Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.48.0-wmf.4 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 13814 988311 968330 2026-11-12T10:29:58Z Bazar29 81355 /* Outil à aléser */ mise en forme 988311 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = sciences de l'ingénieur | numéro = 2 | précédent = [[../Généralités/]] | suivant = [[../Fraisage/]] | niveau = 16 }} == Porte pièce == Le porte pièce est utilisé pour les pièces de révolution et est fixé à la broche (partie en rotation). Le porte pièce peut-être : * Un '''mandrin à mors concentriques''', les mors étant synchronisés pour serrer la pièce bien au centre. La forme d'un mors est donné ci-dessous. Cette forme permet de serrer une pièce par l'extérieur, mais aussi par l'intérieur (un cylindre par exemple). [[Fichier:Mandrin3Mors.png|center|Mandrin trois mors]][[Fichier:Mors.png|center|Mors]] * Un '''mandrin à quatre mors indépendants''', les mors n'étant ici pas synchronisés. Il est utilisé pour des pièces à géométrie complexe ou ne présentant pas de géométrie de révolution. S'il est mal réglé, la pièce est désaxée (on perd alors en précision). * Une '''pince''', on serre alors une douille fendue. La pince garantit une meilleure coaxialité de la pièce par rapport au porte pièce. Elle offre en outre une grande surface de contacte avec la pièce, ce qui permet de réduire la pression de contact (on abîme alors moins la pièce). En revanche, le diamètre étant fixe, une pince n’est pas polyvalente. Il n’est pas possible de réaliser une ébauche par exemple, car l'effort de coupe ne peut pas être trop important. La pince est fixée dans un embout conique. Ainsi, on n'utilise pas de vis de serrage, d'où un risque de détachement. L'embout conique permet malgré tout d'obtenir une bonne coaxialité. * Une '''pointe à griffe'''. Ce porte pièce permet d'obtenir une bonne coaxialité et d'usiner toute la pièce sans la démonter. En revanche, la faible rigidité ne permet pas d'imposer des efforts couples trop importants. La pointe à griffe est utilisée dans un montage entre pointes, représenté ci-dessous. [[Fichier:Montage_Entrepointes.png|center|Montage entrepointes]] * Un '''montage mixte''' (mandrin + contre pointe). Ce montage nécessite un trou de centrage pour la contre pointe. Si <math>\ell_{\text{pièce}}\geq2\times\varnothing_{\text{piece}}</math>, la contre pointe devient obligatoire, sous peine de flexion de la pièce (voir ci-dessous). Si la pièce est vraiment longue, il est également possible d’utiliser un soutien intermédiaire (lunette fixe sur le banc du tour ou lunette à suivre sur le chariot transversal). [[Fichier:Montage ContrePointe.png|center|Montage avec contrepointe]][[Fichier:Montage sanscontrepointe.png|center|Montage sans contrepointe]] On distingue deux types de mors. Un mors doux est usiné au diamètre de la pièce et permet une meilleure mise en position et une bonne coaxialité (bien meilleure qu'avec un mors dur). On a la qualité de la coaxialité : mors dur < mors doux < montage en pince < montage en entre pointe. Il est à noter cependant que la qualité de coaxialité d'un montage à quatre mors dépend fortement du réglage. Il n'est donc pas possible de l'inclure dans le classement ci-dessus. == Outil == [[Fichier:Aufbauschneide.jpg|250px|right]] L'outil est fixé sur le porte outil, à hauteur de centre : l'arête de coupe se situe au niveau de l'axe de rotation (quitte à installer des cales sous l'outil). Si l'outil est trop bas, on a une mauvaise formation du copeau (dans le cas d'un dressage, il reste un bossage non usiné). Si l'outil est trop haut, il talonne : il touche la pièce avec une partie non coupante (ce qui aboutit presque systématiquement à la casse de l'outil, de la pièce ou des deux). Les outils peuvent former différents angles. {| class="wikitable" ! Outil ! Résultat |----- | Outil à charioter | Usinage d'un cylindre (chariotage) |- | Couteau | Formation d'une arête de coupe perpendiculaire à l'axe de rotation (formation d'un épaulement à l'arrêt du tournage) |----- | Outil à dresser | Formation d'une surface plane perpendiculaire à l'axe de rotation (dressage) |- | Outil à charioter coudé | Dressage, chanfrein (épaulement droit impossible) |----- | Outil à gorge | Formation d'une gorge dont la forme dépend de celle de l'outil |- | Outil de forme | La forme de l'arête de l'outil se reproduit sur la pièce |} Les outils sont généralement réalisés en ARS (Acier Rapide Supérieur). On trouve également des outils en ARES (Acier Rapide Extra Supérieur). Lors d'une phase d'usinage, un outil : * ne doit pas s'user ; * ne doit pas casser ; * ne doit pas trop fléchir ; * ne doit pas perdre ses caractéristiques à haute température<ref>la température à l'extrémité de l'outil atteint plusieurs centaines de degrés</ref> (nécessité d’utiliser un acier réfractaire). == Perçage par tournage == On utilise dans un premier temps un foret à centrer ("centreur") (plus court et plus rigide, pour réaliser un trou de centre), ce qui évitera que le forêt ne dévie de l'axe de la machine. [[Fichier:Percage en tournage.png|center|Perçage par tournage]] * Le foret avance, mais ne tourne pas. * Si la pièce est usinée (cylindre par exemple), ce procédé permet de rendre le trou et la pièce coaxiaux. == Outil à aléser == L'outil à aléser permet de réaliser un perçage de diamètre précis. Il est cependant nécessaire de réaliser un pré-trou au moyen d'un foret. [[Fichier:Alesoir.png|thumb|center|Outil à aléser]] [[Fichier:LatheCarbideTippedTool.jpg|thumb|center|Outil à charioter/dresser à plaquette carbure]] On a la vitesse de coupe : <math>N=\dfrac{1\,000\,V_c}{\pi\,d}</math> Avec : * ''N'' : exprimé en tr/min ; * <math>V_c</math> : vitesse de coupe en m/min ; * ''d'' : diamiètre de la pièce en mm. La vitesse de coupe est de l’ordre de {{unité|50 m/min}} pour les outils en acier rapide ARS. En pratique, on règle sur la machine l'avance, exprimée en mm/tr. Une valeur usuelle est 0,5 mm/tr. == Machines à commande numérique == === Avantages === * Optimisation des paramètres de coupe * Possibilité de réaliser des formes complexes * Changement rapide d'outil * Déplacement hors usinage en vitesse rapide * Très bonne répétabilité des pièces (qualité de pièce constante) L'opérateur a alors un rôle de surveillance et de mise au point (changement d'un outil par exemple). La machine étant entièrement "carterisée", on gagne en sécurité. === Outils de machines à commande numérique === Une MCN est équipée d'un porte outil sur lequel viennent se fixer différents embouts (plaquettes), de formes diverses : * losange (rombique) ; * rond ; * ... Ces plaquettes se déclinent suivant différentes nuances : * revêtement de la plaquette ; * matériau ; * forme ; * taille ; * orientation dans l'espace ; * ... === Décolletage === Le décolletage permet la réalisation de pièces prises dans la barre. Il consiste à réaliser des opérations de tournage sur des machines spéciales qui utilisent un certain nombre d’outils placés radialement autour de la pièce. Certaines machines possèdent plusieurs broches pour améliorer la productivité. Les mouvements des outils sont le plus souvent commandés par des cames bien qu’il existe également des machines à commande numérique. Ce procédé est notamment utilisé pour usiner des pièces en grande série, de forme simple à complexe et quelque fois pour de très petites pièces(horlogerie). == Notes == <references /> {{Bas de page | idfaculté = sciences de l'ingénieur | précédent = [[../Généralités/]] | suivant = [[../Fraisage/]] }} nefre87yn3p3a5lf6evg7hggqhfra9a 0 15711 988303 912453 2026-11-11T20:21:54Z ~2026-59781-36 81351 /* TautégOrique */ 988303 wikitext text/x-wiki {{Haut de page | idfaculté = philosophie | titre = Mots commençant par la lettre T | numéro = 20 | précédent = [[../S/]] | suivant = [[../U/]] }} {{BUdébut|texte= }} __TOC__ {{BUfin}} == Tabou == Le tabou est la plus grande interdiction de la pensée. C'est quelque chose, qui vient spontanément, lorsque un sujet, une idée ... vient à la conscience et qui définit ce qui ne doit pas être dit, fait, pensé, discuter, autorisé, ou démontré ... Parfois, ce qui ne doit pas être dit ou fait, concerne le tabou en société. Certaines choses n'y sont pas admissibles par Autrui qui nous juges tout comme je juge autrui. Ce qui n’est pas admis en société concerne les normes sociales de cette dernière. Cependant, le Tabou en société (celui du Moi Social ) n’est pas le même que le Tabou intérieur à la pensée (celui du Moi Profond). Il s'agit de ce qu'on ne veut pas penser, faire, autoriser, devenir ... (lorsqu'on n’est pas en présence d'autrui). Mais que le tabou apparaisse à la conscience en présence d'autrui, ou sans sa présence, il est régit par notre morale, elle-même définit par ce que l’on croit juste, mal, vrai ou faux : il s'agit des inclinaisons qu'ont nos idées, notre pensée, qui s'apprennent, et qui aussi s'accorde à notre vision du monde. Notons enfin, que nous n'avons pas nécessairement tous les mêmes tabous, car nous ne penchons pas tous vers les mêmes intérêts, principes, règles, normes ou valeur au cours de notre existence. == Talent == == Tautégorie == Une tautégorie est un discours, souvent un mythe, qui ne peut-être interprété qu'en tant que sa signification littérale. Il s'oppose à l'alégorie. == Tautologie == Une tautologie est un énoncé ou argument qui ne peut pas être faux et qui est vrai à 100% du temps. La force d'un argument tautologique est nulle. La forme d'un raisonnement tautologique est A=A (ne dit rien sur la nature de A, mais seulement qu'il est égal à lui-même.) == Technique == == Technocratie == == Téléologie == == Téléonomie == de télos=but. Donc, téléologique signifie en vertu d'un but, qui se dirige vers un but préétabli. == Témérité == == Témoignage == == Tempérament == == Tempérance == == Temporalité == == Temps perdu == == Temps retrouvé == == Tendance == == Tendresse == == Tératologie == == Terme (grand, moyen, petit) == == Terrorisme == == Tétéologique == == Tetrapharmakon == == Théisme == == Théiste == == Théodicée == == Théologales (vertus) == == Théologie == == Théologien == == Théorème == == Théorétique == == Théôria == == Théoricisme == == Théorie == == Thèse == == Tiers exclu (principe du) == == Tolérance == == Topique == == Torture == == Totalitarisme == == Totalité == == Tout == == Tragique == == Transcendance == == Transcendant == == Transcendantal == == Transfert == == Transsubstantiation == == Travail == == Tristesse == == Troisième homme (argument du) == == Trope == == Truisme == == Tyrannie == {{Bas de page | idfaculté = philosophie | précédent = [[../S/]] | suivant = [[../U/]] }} flbjux8lf8ql96ijayqno5rwm9aw0wr 988304 988303 2026-11-11T20:23:44Z ~2026-59781-36 81351 /* Téléologie */ 988304 wikitext text/x-wiki {{Haut de page | idfaculté = philosophie | titre = Mots commençant par la lettre T | numéro = 20 | précédent = [[../S/]] | suivant = [[../U/]] }} {{BUdébut|texte= }} __TOC__ {{BUfin}} == Tabou == Le tabou est la plus grande interdiction de la pensée. C'est quelque chose, qui vient spontanément, lorsque un sujet, une idée ... vient à la conscience et qui définit ce qui ne doit pas être dit, fait, pensé, discuter, autorisé, ou démontré ... Parfois, ce qui ne doit pas être dit ou fait, concerne le tabou en société. Certaines choses n'y sont pas admissibles par Autrui qui nous juges tout comme je juge autrui. Ce qui n’est pas admis en société concerne les normes sociales de cette dernière. Cependant, le Tabou en société (celui du Moi Social ) n’est pas le même que le Tabou intérieur à la pensée (celui du Moi Profond). Il s'agit de ce qu'on ne veut pas penser, faire, autoriser, devenir ... (lorsqu'on n’est pas en présence d'autrui). Mais que le tabou apparaisse à la conscience en présence d'autrui, ou sans sa présence, il est régit par notre morale, elle-même définit par ce que l’on croit juste, mal, vrai ou faux : il s'agit des inclinaisons qu'ont nos idées, notre pensée, qui s'apprennent, et qui aussi s'accorde à notre vision du monde. Notons enfin, que nous n'avons pas nécessairement tous les mêmes tabous, car nous ne penchons pas tous vers les mêmes intérêts, principes, règles, normes ou valeur au cours de notre existence. == Talent == == Tautégorie == Une tautégorie est un discours, souvent un mythe, qui ne peut-être interprété qu'en tant que sa signification littérale. Il s'oppose à l'alégorie. == Tautologie == Une tautologie est un énoncé ou argument qui ne peut pas être faux et qui est vrai à 100% du temps. La force d'un argument tautologique est nulle. La forme d'un raisonnement tautologique est A=A (ne dit rien sur la nature de A, mais seulement qu'il est égal à lui-même.) == Technique == == Technocratie == == Téléologie == Une téléologie est un raisonnement qui part de la conclusion ou qui anticipe une fin pour expliquer la cause. == Téléonomie == de télos=but. Donc, téléologique signifie en vertu d'un but, qui se dirige vers un but préétabli. == Témérité == == Témoignage == == Tempérament == == Tempérance == == Temporalité == == Temps perdu == == Temps retrouvé == == Tendance == == Tendresse == == Tératologie == == Terme (grand, moyen, petit) == == Terrorisme == == Tétéologique == == Tetrapharmakon == == Théisme == == Théiste == == Théodicée == == Théologales (vertus) == == Théologie == == Théologien == == Théorème == == Théorétique == == Théôria == == Théoricisme == == Théorie == == Thèse == == Tiers exclu (principe du) == == Tolérance == == Topique == == Torture == == Totalitarisme == == Totalité == == Tout == == Tragique == == Transcendance == == Transcendant == == Transcendantal == == Transfert == == Transsubstantiation == == Travail == == Tristesse == == Troisième homme (argument du) == == Trope == == Truisme == == Tyrannie == {{Bas de page | idfaculté = philosophie | précédent = [[../S/]] | suivant = [[../U/]] }} bok6r4vdts42o6fhpe6cuyobntbbjar 0 22404 988305 968912 2026-11-11T22:50:39Z Zetud 1978 Orth. 988305 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Orthogonalité dans l'espace/]] | niveau = 13 }} == Projections orthogonales dans l'espace == {{Définition | contenu = * Soient P un plan et M un point de l'espace. :La droite <math>\Delta_M</math> passant par M et perpendiculaire à P coupe P en M', le projeté orthogonal de M sur P. * Soient D une droite et M un point de l'espace. : Le plan <math>P_M</math> passant par M et perpendiculaire à D coupe D en <math>M''</math>, le projeté orthogonal de M sur D. }} == Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace == {{Définition | contenu = Soient <math>\overrightarrow{u}</math> et <math>\overrightarrow{v}</math> deux vecteurs de l'espace. Soient A, B et C trois points tels que <math>\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}</math> et <math>\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}</math>. Le produit scalaire de <math>\overrightarrow{u}</math> et <math>\overrightarrow{v}</math> en tant que vecteurs de l'espace est <math>\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}</math> en tant que vecteurs du plan (ABC). }} == Expressions du produit scalaire == {{Propriété | contenu = * <math>\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB\times AC\times\cos(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})</math> * Si H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) : * <math>\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = AB \times AH</math> si <math>H\in\left(AB\right)</math> * <math>\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - AB \times AH</math> si <math>H\not\in\left(AB\right)</math> * Soit un repère orthonormé de l'espace <math>(O,\overrightarrow{i} ,\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}</math>) dans lequel <math>\overrightarrow{u}(x, y, z)</math> et <math>\overrightarrow{v} (x', y', z')</math>, : On a alors : <math>\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} = xx' + yy'+zz'</math> }} == Propriétés du produit scalaire == Les propriétés de symétrie et de linéarité du produit scalaire sont conservées dans l'espace. {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Orthogonalité dans l'espace/]] }} n1wtxlb79tjs53ma2ifa3z2n2eg09c2 0 29637 988290 969394 2026-11-11T12:01:04Z Crochet.david.bot 1005 corrections en provenance de « Check Wikipedia » 988290 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 15 | idfaculté = informatique | numéro = 6 | précédent = [[../VHDL et machines à états algorithmiques/]] | suivant = [[../Micro contrôleur embarqué : le PicoBlaze/]] }} == Vers les systèmes monopuces (SoC) == Si l’on désire aller plus loin dans l'intégration de systèmes dans un [[w:FPGA|FPGA]], il faut commencer à penser aux [[w:Microprocesseur|microprocesseurs]] et aux [[w:Micro_controleur|micro contrôleurs]]. Dans un FPGA vous pouvez insérer un micro contrôleur existant (je veux dire disponible sur le marché en tant que circuit) ou concevoir un processeur complètement dédié. Nous allons commencer par une architecture dédiée et très simple qui comporte un [[w:Jeu_d'instructions|jeu d'instructions]] réduit (quatre instructions) mais conçu de manière très intelligente. Il est en effet assez rare de rencontrer un système de 4 instructions capable de réaliser un programme qui réalise autre chose qu'une addition et c’est bien le cas ici, comme nous le montrerons avec un calcul de [[w:PGCD|PGCD]]. === Étude du miniprocesseur embarqué "MCPU" === Tim Boescke, cpldcpu@opencores.org a publié en 2001-2004 un miniprocesseur (appelé '''MCPU''' par la suite) de quatre instructions ([http://opencores.org/project,mcpu MCPU chez opencores]) destiné à tenir dans un [[w:Complex_Programmable_Logic_Device|CPLD]]. Ses quatre [[w:Instruction_machine|instructions]] (on parle de [[w:Jeu_d'instructions|jeu d'instructions]]) sont les suivantes : {| class=wikitable |+ Jeu d'instructions 8-bit pour MCPU ! [[w:Opcode|Opcode]] ([[w:Code_binaire|binaire]]) !! Mnemonic !! Description |- | <code>00AA AAAA</code> || NOR || [[w:Accumulateur_(informatique)|Accu]] = Accu NOR mem[AA AAAA] |- | <code>01AA AAAA</code> || ADD || Accu = Accu + mem[AA AAAA] + MAJ retenue |- | <code>10AA AAAA</code> || STA || mem[AA AAAA] = [[w:Accumulateur_(informatique)|Accumulateur]] |- | <code>11DD DDDD</code> || JCC || Positionne le PC à DD DDDD quand retenue = 0 + RAZ retenue |} Évidemment on a utilisé dans ce tableau * RAZ pour Remise à zéro * MAJ pour mise à jour * [[w:Accumulateur_(informatique)|Accu]] pour Accumulateur * PC pour [[w:Compteur_ordinal|compteur ordinal]] Seul l’[[w:Mode_d'adressage#Adressage_direct|adressage direct]] est implanté dans cette architecture et c’est bien suffisant pour un début. Ce qui fait le grand intérêt de cette architecture c’est qu’il est possible de définir par dessus ces instructions des macros instructions de manière assez subtile : {| class=wikitable |+ Jeu de macro instructions pour MCPU ! Macro!! Assembleur !! Description |- | CLR || NOR allone|| Accu = 0 (allone doit contenir 0xFF) |- | LDA mem || NOR allone, ADD mem || Accu = mem[AA AAAA], allone doit contenir 0xFF |- | NOT || NOR zero || inverse le contenu de l'accumulateur, zero doit contenir 0x00 |- | JMP dest || JCC dest, JCC dest || saut inconditionnel à dest |- | JCS dest || JCC *+2, JCC dest || saut si retenue |- | SUB mem || NOR zero, ADD mem, ADD one || Accu = mem[AA AAAA] - Accu, one doit contenir 0x01 |- | MOV src,dest || NOR allone, ADD src, STA dest || déplacement de la mémoire src vers dest |} Vous disposez à ce point de 11 instructions (4 instructions d'origine + 7 macros), ce qui est suffisant pour un calcul de [[w:PGCD|PGCD]] (voir aussi [[Very High Speed Integrated Circuit Hardware Description Language/VHDL et machines à états algorithmiques|le chapitre précédent]] pour le PGCD). {{remarque|contenu= La documentation originale de Tim Boescke mentionne pour l'instruction "SUB mem" la réalisation de Accu=Accu-mem[AA AAAA]. Nous pensons au contraire qu'elle réalise Accu=mem[AA AAAA] - Accu ce qui n'est absolument pas habituel. La sémantique de cette instruction risque de perturber l'utilisateur de cette architecture. Si vous voulez respecter la sémantique habituelle vous devriez faire plutôt : SUB mem = NOR zero, ADD one, ADD mem, NOR zero, ADD one }} == Transformer notre FSMD en programme == Dans cette section, nous désirons reprendre un [[../VHDL et machines à états algorithmiques#Les FSMD (Finite State Machine with Data path)|FSMD qui calculait un PGCD]] et le transformer en programme. Il est toujours possible de transformer un [[../VHDL et machines à états algorithmiques#Les FSMD (Finite State Machine with Data path)|FSMD]] ou un graphe d'état en un ensemble d'instructions. Il faudra ensuite imaginer une architecture capable de réaliser un tel [[w:Programme_(informatique)|programme]]. Nous ne sommes pas tout à fait dans cette situation puisque notre architecture existe, nous venons tout juste de la présenter. Pour notre exemple de calcul de [[w:PGCD|PGCD]], cela peut se faire avec un programme en [[w:Assembleur|assembleur]] du style (sans utiliser les macros) : <syntaxhighlight lang="asm"> ;********* programme non testé ****** ;USE "cpu3.inc" start: NOR allone ADD allone ;LDA allone ADD b JCC end ; fini si B=0 Bdif0: NOR allone ADD a STA t ;MOV a,t ; t <- A ;****** T<B ? rem: NOR allone ;CLR LDA b ADD one ;Akku = - b ADD t ;Akku = t - b ;Carry set when akku >= 0 JCC Tinfb STA t ;t <- t-b JCC rem JCC rem ;JMP rem Tinfb: NOR allone ADD b STA a ;MOV b,a a <- b NOR allone ADD t STA b ;MOV t,b b <- t JCC start JCC start ;JMP start end: JCC end JCC end ;JMP end a: DCB (126) b: DCB (124) t: DCB (0) allone: DCB (255) zero: DCB (0) one: DCB (1) </syntaxhighlight> Ce programme est facile à comprendre pour qui a un peu d'expérience car il reprend la technique utilisée dans l' [[w:Unité_de_contrôle|unité de contrôle]] du chapitre précédent (nous avons modifié le programme original de Tim Boescke pour cela). Les données "allone", "zero" et "one" ainsi que les macros peuvent être définies dans un fichier à inclure comme dans le programme original. === Transformer notre programme en ... === Quand on a l'habitude de faire fonctionner des [[w:Micro_controleur|micro contrôleurs]] on sait qu’il suffit de compiler un programme en fichier [[w:HEX_(Intel)|hex]] qu'un programmateur permettra d'envoyer à une [[w:Erasable Programmable Read Only Memory|EPROM]]. Mais ici, comment et où va finir notre programme ? En général on dispose d'un programme convertisseur qui permet de transformer notre fichier hex en [[w:VHDL|VHDL]]. Ce VHDL finira dans des blocs logiques ou dans de la [[w:Mémoire_vive|RAM]] (il y en a dans tout FPGA moderne). Ainsi mettre notre '''MCPU''' dans un [[w:FPGA|FPGA]] ou dans un [[w:Complex_Programmable_Logic_Device|CPLD]] (comme initialement prévu par son concepteur) est un peu différent : dans le CPLD il est très probable que le programme soit externe (EPROM externe par exemple), alors que dans un FPGA on s'arrangera pour laisser le programme en interne dans une RAM/ROM prévue à cet effet. {{remarque | contenu = Puisqu’il n'y a pas de standard pour la description de RAM/ROM en VHDL, les différents [[w:FPGA#Fabricants|fabricants]] de FPGA laissent au style de programmation VHDL le soin de définir ce qui sera finalement utilisé dans le [[w:FPGA|FPGA]] en lieu et place des RAM/ROM. C'est pratique, mais cela a un inconvénient : celui d’être dépendant du fabricant. }} ==== Liens internes ==== * [[b:TD2_VHDL_et_logique_programmable#RAM_et_FPGA|RAM et FPGA]] d'un autre projet aborde le problème des RAMs dans un FPGA. === Exercice 1 === Le programme [[w:VHDL|VHDL]] de description original de Tim Boescke pour décrire son architecture est tellement simple que nous le donnons maintenant complètement : <syntaxhighlight lang="VHDL"> -- Minimal 8 Bit CPU -- rev 15102001 -- 01−02/2001 Tim Boescke -- 10 /2001 slight changes for proper simulation. -- t.boescke@tuhh.de library ieee; use ieee.std_logic_1164.all; use ieee.std_logic_unsigned.all; entity CPU8BIT2 is port ( data: inout std_logic_vector(7 downto 0); adress: out std_logic_vector(5 downto 0); oe: out std_logic; we: out std_logic; -- Asynchronous memory interface rst: in std_logic; clk: in std_logic); end; architecture CPU_ARCH of CPU8BIT2 is signal akku: std_logic_vector(8 downto 0); -- akku(8) is carry ! signal adreg: std_logic_vector(5 downto 0); signal pc: std_logic_vector(5 downto 0); signal states: std_logic_vector(2 downto 0); begin process(clk,rst) begin if (rst = '0') then adreg <= (others => '0');-- start execution at memory location 0 states <= "000"; akku <= (others => '0'); pc <= (others => '0'); elsif rising_edge(clk) then -- PC / Adress path if (states = "000") then pc <= adreg + 1; adreg <= data(5 downto 0); else adreg <= pc; end if; -- ALU / Data Path case states is when "010" => akku <= ("0" & akku(7 downto 0)) + ("0" & data); -- add when "011" => akku(7 downto 0) <= akku(7 downto 0) nor data; -- nor when "101" => akku(8) <= '0';-- branch not taken, clear carry when others => null; -- instr. fetch, jcc taken (000), sta (001) end case; -- State machine if (states /= "000") then states <= "000"; -- fetch next opcode elsif (data(7 downto 6) = "11" and akku(8)='1') then states <= "101"; -- branch not taken else states <= "0" & not data(7 downto 6);-- execute instruction end if; end if; end process; -- output adress <= adreg; data <= "ZZZZZZZZ" when states /= "001" else akku(7 downto 0); oe <= '1' when (clk='1' or states = "001" or rst='0' or states = "101") else '0'; -- no memory access during reset and we <= '1' when (clk='1' or states /= "001" or rst='0') else '0'; -- state "101" (branch not taken) end CPU_ARCH; </syntaxhighlight> Cette architecture utilise une seule mémoire pour les données et le programme : ils peuvent donc être mélangés dans une même mémoire. Répondre aux questions suivantes : # Le [[w:Compteur_ordinal|compteur programme]] destiné à chercher les instructions en mémoire programme est sur {{Unité|6|bits}}. Quelle est la taille de la mémoire programme sachant que, comme le montre le tableau des [[w:Instruction_machine|instructions]], les opcodes sont sur {{Unité|8|bits}} ? # Dans le tableau ci-dessus, AAAAAA désigne une adresse mémoire en binaire sur {{Unité|6|bits}} tandis que DDDDDD désigne une destination sur aussi {{Unité|6|bits}}. Quelle est la taille de la mémoire donnée adressable ? # L'astuce de cette architecture est qu’il est possible de définir par dessus ces instructions des macros instructions (ensemble d'une ou plusieurs instructions) de manière assez subtile. Pouvez-vous donner l'opcode de "JMP dst" ? # Le signal "Akku" représente le registre [[w:Accumulateur_(informatique)|accumulateur]], là où se trouve le résultat de toute exécution d'instruction. Pourquoi est-il sur {{Unité|9|bits}} au lieu de 8 ? # La machine d'états qui séquence le processeur est décrite après le commentaire "State machine" sur 3 lignes. Son état est décrit par le signal "state". Combien d'états (au maximum) peut comporter cette machine ? # Quel est l'état futur de l'état "001" ? # Chercher les équations de récurrences de cette machine d'états. # Assembler manuellement le programme du PGCD, puis transformer manuellement le binaire en mémoire ROM VHDL. Insérer cette ROM avec le processeur et tester à l'aide d'une simulation. {{Solution|contenu= # la donnée de {{Unité|8|bits}} dans la question sert à connaitre la largeur de la mémoire. Son nombre de ligne est donné par contre par 2^6 = 64. Cette mémoire contient donc {{Unité|64|octets}}. # même réponse qu’à la question précédente. Heureusement puisque les deux mémoires sont confondues. # JMP dst = JCC dst, JCC dst Donc l'opcode est 11DDDDDD suivi de 11DDDDDD où DDDDDD représente l'adresse de dst. # Akku est sur {{Unité|9|bits}} car comme le dit le commentaire le neuvième bit représente la retenue. # state est sur {{Unité|3|bits}} peut donc contenir 8 valeurs différentes ⇒ 8 états maxi. # L'état futur de tout état est "000" dès qu’il diffère de "000" : voir le code VHDL # Le tableau état présent / état futur peut s'écrire à partir du code : <pre> État present Opcode(7) Opcode(6) Akku(8) État futur 000 1 1 1 101 pas de saut car retenue à 1 000 1 1 0 000 saut car retenue à 0 000 0 1 X 010 000 1 0 X 001 000 0 0 X 011 001 X X X 000 010 X X X 000 011 X X X 000 100 X X X 000 101 X X X 000 110 X X X 000 111 X X X 000 </pre> Il permet d'écrire facilement les équations de récurrences. }} Nous allons nous intéresser maintenant à la réalisation de ce processeur en [[w:Architecture_Harvard|architecture Harvard]], c'est-à-dire en séparant la mémoire donnée de la mémoire programme. L'intérêt est de réaliser un processeur pouvant exécuter une instruction par période d'horloge, mais sa compréhension nécessite un certain recul sur l'architecture des [[w:Chemin_de_données|chemins de données]] dans les [[w:Processeur|processeurs]]. === Autre code source de MCPU === Un membre du forum [http://stackoverflow.com/questions/20955863/vhdl-microprocessor-microcontroller stackoverflow] a écrit une version un peu plus lisible de MCPU en VHDL : {{Boîte déroulante|titre=Version plus lisible de MCPU|contenu= <syntaxhighlight lang=vhdl> library ieee; use ieee.std_logic_1164.all; use ieee.std_logic_unsigned.all; entity mcpu is port ( data_bus: inout std_logic_vector(7 downto 0); address: out std_logic_vector(5 downto 0); n_oe: out std_logic; -- Asynchronous memory interface n_we: out std_logic; n_reset: in std_logic; clock: in std_logic ); end; architecture refactored of mcpu is signal accumulator: std_logic_vector(8 downto 0); alias carry is accumulator(8); alias result is accumulator(7 downto 0); alias opcode is data_bus(7 downto 6); signal address_register: std_logic_vector(5 downto 0); signal pc: std_logic_vector(5 downto 0); signal states: std_logic_vector(2 downto 0); type cpu_state_type is (FETCH, WRITE, ALU_ADD, ALU_NOR, BRANCH_NOT_TAKEN); signal cpu_state: cpu_state_type; type state_encoding_type is array (cpu_state_type) of std_logic_vector(2 downto 0); constant STATE_ENCODING: state_encoding_type := ( FETCH => "000", WRITE => "001", ALU_ADD => "010", ALU_NOR => "011", BRANCH_NOT_TAKEN => "101" ); begin process (clock, n_reset) begin if not n_reset then -- start execution at memory location 0 address_register <= (others => '0'); states <= "000"; cpu_state <= FETCH; accumulator <= (others => '0'); pc <= (others => '0'); elsif rising_edge(clock) then -- PC / Adress path if cpu_state = FETCH then pc <= address_register + 1; address_register <= data_bus(5 downto 0); else address_register <= pc; end if; -- ALU / Data Path case cpu_state is when ALU_ADD => accumulator <= ('0' & result) + ('0' & data_bus); when ALU_NOR => result <= result nor data_bus; when BRANCH_NOT_TAKEN => carry <= '0'; when others => null; end case; -- State machine if cpu_state /= FETCH then cpu_state <= FETCH; elsif opcode ?= "11" and carry then cpu_state <= BRANCH_NOT_TAKEN; else states <= "0" & not opcode; -- execute instruction case opcode is when "00" => cpu_state <= ALU_NOR; -- 011 when "01" => cpu_state <= ALU_ADD; -- 010 when "10" => cpu_state <= WRITE; -- 001 when "11" => cpu_state <= FETCH; -- 000 when others => null; end case; end if; end if; end process; -- output address <= address_register; data_bus <= result when (cpu_state = WRITE) else (others => 'Z'); -- output enable is active low, asserted only when -- rst=1, clk=0, and state!=001(wr_acc) and state!=101(read_pc) n_oe <= '1' when (clock='1' or cpu_state = WRITE or n_reset = '0' or cpu_state = BRANCH_NOT_TAKEN) else '0'; -- write enable is active low, asserted only when -- rst=1, clk=0, and state=001(wr_acc) n_we <= '1' when (clock = '1' or cpu_state /= WRITE or n_reset = '0') else '0'; end; </syntaxhighlight> }} == Réalisation du MCPU en mono cycle (un cycle d'horloge par instruction) == Le travail demandé dans cette section est important pour simplement doubler la vitesse de notre processeur puisque toutes les instructions étaient réalisées en deux cycles d'horloge et vont l'être maintenant en un seul cycle. Il est même possible que la première version puisse tourner avec une fréquence un peu plus grande et qu'ainsi le gain ne soit pas total. Pourtant si vous désirez écrire votre propre cœur embarqué nous pensons que cette deuxième façon est plus moderne : la très grande majorité des architectures modernes sont des [[w:Architecture_Harvard|architectures Harvard]]. {{Section difficile|Facultatif }} Dans une réalisation mono cycle un [[w:Processeur|processeur]] doit accéder aux [[w:Instruction_machine|instructions]] et aux données indépendamment et chaque instruction se réalise en un cycle d'horloge. C'est ce que l’on appelle l'architecture Harvard qui propose une mémoire pour les données et une mémoire pour le [[w:Programme_(informatique)|programme]] comme déjà expliqué. Si l’on veut rapidement réaliser une architecture programmable mono cycle, il faut d’abord se pencher sur le [[w:Chemin_de_données|chemin de données]]. Concevoir le chemin de données est un processus incrémental. On commence toujours par le séquencement des instructions (recherche des instructions en [[w:Mémoire_(informatique)|mémoire]]), puis à chaque étape on examine une classe d'instructions et on essaye de construire une portion du chemin de donnée qui peut exécuter cette classe d'instructions. Nous allons le détailler maintenant pour notre architecture '''MCPU'''. {{Remarque | contenu = Les sections suivantes sur la réalisation mono cycle du '''MCPU''' sont inspirées du livre "Embedded Core Design with FPGA" de Zainalabedin Navabi (McGrawHill 2007) qui montre la construction d'un processeur de quatre instructions (en verilog). Ses quatre instructions choisies sont différentes de celles du '''MCPU''' de Tim Boescke et conduisent à un processeur seulement capable de faire une addition alors que le '''MCPU''' est capable de calculer un [[w:PGCD|PGCD]]. Les objectifs de Zainalabedin Navabi étaient d'expliquer et d'introduire une méthode de construction du chemin de données ce qu’il a réussi à faire puisque nous l'utilisons de suite. }} === Séquencement du programme === Le déroulement d'un programme se fait par recherche de l'instruction "Instruction Fetch" et incrémentation du PC (compteur programme ou [[w:Compteur_ordinal|compteur ordinal]]) pour pouvoir aller chercher l'instruction suivante. Voici le schéma correspondant : [[Fichier:MCPUCorePart1.png|thumb|center|500px|Le compteur ordinal]] === Instructions NOR et ADD === Ces deux instructions sont dans le même groupe car elles vont chercher toutes les deux une donnée en mémoire. Voici le schéma correspondant : [[Fichier:MCPUCorePart2.png|thumb|center|500px|Nos deux premières instructions]] Vous voyez apparaître dans cette figure une Unité Arithmétique et Logique [[w:Unité_arithmétique_et_logique|ou ALU]] qui est responsable de la réalisation de deux instructions. Cela signifie qu'elle possède à ce stade un seul fil de sélection non présenté dans le schéma. Un [[w:Registre_(informatique)|registre]] supplémentaire, l’[[w:Accumulateur_(informatique)|accumulateur]] noté "AC", apparaît maintenant dans notre nouvelle architecture. {{Remarque | contenu = Regrouper les instructions par groupes nécessite une certaine expérience. Lisez l’article [[w:Instruction_machine|Instruction Machine]] qui vous détaille un classement des instructions. }} === Séquencement de NOR et ADD === Cela consiste tout simplement à associer les deux schémas précédents : [[Fichier:MCPUCorePart3.png|thumb|center|500px|Séquencement de nos deux premières instructions]] === Instruction STA ou écriture dans la mémoire données === [[Fichier:MCPUCorePart4.png|thumb|center|500px|L'instruction STA]] Évidemment l'adresse provient de l'instruction. === Séquencement des 3 instructions === On assemble les deux derniers schémas : [[Fichier:MCPUCorePart5.png|thumb|center|500px|Séquencement de nos trois premières instructions]] Un soin tout particulier devra être pris pour l’ensemble AC + ALU + DMUX si l’on veut garder la valeur dans AC (front d'horloge inévitable). === Instruction de contrôle et son chemin de donnée === L'instruction de contrôle unique est JCC qui a la particularité de mettre la retenue à 0 après son exécution. [[Fichier:MCPUCorePart6.png|thumb|center|500px|Notre seule et unique instruction de contrôle : JCC]] Jusqu'à présent, le bit de retenue n'a pas été ajouté au schéma pour raisons de simplifications. === Ensemble des instructions === L'ensemble des instructions peut être réalisé par le [[w:Chemin_de_données|chemin de données]] suivant: [[Fichier:MCPUCorePart7.png|thumb|center|500px|Architecture complète]] La fonction combinatoire "Fct" détecte l'instruction JCC et la retenue à 0. {{remarque| contenu = Le fait de séparer la mémoire données de la mémoire programme présente un grave inconvénient pour une si petite architecture : on ne peut plus mettre les données dans la mémoire programme puisqu’il n'y a plus d'instruction pour venir les chercher ! Il existe heureusement plusieurs solutions pour contourner cela : # Décomposer la mémoire données en deux parties comme dans la très grande majorité des [[w:Micro_controleur|micro contrôleurs]] modernes, soit un banc de registres suivi de la RAM proprement dite. Le banc de registres relié à l'extérieur permettrait d'entrer les données par l'extérieur. # Prévoir dans l'assembleur une possibilité de séparer des valeurs qui iront dans la mémoire données. La programmation du composant se fera par l'envoi du programme pour la mémoire programme et par l'envoi des données pour la mémoire données. }} === Réalisation de l'unité de contrôle === L'[[w:Unité_de_contrôle|unité de contrôle]] permet de générer "wr_mem", rd_mem", "ac_src" et "pc_src" à partir des bits d'instructions et de la retenue. C'est donc tout simplement une super-fonction combinatoire remplaçant "Fct". === Exercice 2 === Implanter complètement l'architecture '''MCPU''' monocycle et la tester avec le programme PGCD. == Voir aussi == Pour aller plus loin, jetez un coup d'œil sur les [[w:Processeur|processeurs]] et aussi fonctionnement appelé [[w:Pipeline_(informatique)|pipeline]]. * Série de 12 étapes pour construire un processeur 16 bits : [https://sites.google.com/site/l2s3ae/home Le processeur S3 sur carte Nexys2/ Nexys3] de Jean-Luc DEKEYSER * [[b:en:Microprocessor_Design|(en) Microprocessor Design]] * [http://members.optusnet.com.au/jekent/Micro8/index.html John Kent's Micro8], une extension de MCPU {{Bas de page | idfaculté = informatique | précédent = [[../VHDL et machines à états algorithmiques/]] | suivant = [[../Micro contrôleur embarqué : le PicoBlaze/]] }} 7yaismxb7rjme44b6kvju601gax4chg 2 32612 988291 969526 2026-11-11T12:55:06Z Crochet.david.bot 1005 corrections en provenance de « Check Wikipedia » 988291 wikitext text/x-wiki {{Utilisateur:Alasjourn/Onglets outils}} * '''[[:w:Utilisateur:Alasjourn/Outils|Mes outils sur Wikipédia]]''' == [[Projet:Maintenance]] == '''[[:Catégorie:Modèle de maintenance]]''' | '''[[:Catégorie:Maintenance des leçons]]''' Pour demander la suppression de pages : [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs]] Pour suivre et voter pour les pages proposées à la suppression : '''[[Wikiversité:Pages à supprimer]]''' | '''[[:Catégorie:Page à supprimer]]''' [[Wikiversité:Requêtes import]] === Bandeaux === ==== Pas fini ==== <syntaxhighlight lang="text">{{ébauche sciences de l'ingénieur}}</syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="text">{{ébauche physique}}</syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="text">{{Pas fini}}</syntaxhighlight> ==== Page à supprimer ==== {| class="wikitable centre" width="100%" |- | align="center" | avec discussion <syntaxhighlight lang="text"> {{PàS |auteur= |raison= }} </syntaxhighlight> || sans discussion <syntaxhighlight lang="text"> {{Supp}} </syntaxhighlight> |} == Niveaux == {{Article principal|Aide:Niveaux}} {{BDdebut|titre=Niveaux|enrouler=|dérouler=|visible}} {| class="wikitable" style="text-align:center; width:90%" |+ '''''Tableau de comparaison des différents systèmes''''' [<small class="plainlinks">[{{fullurl:Aide:Niveau de difficulté/Tableau de comparaison|action=edit}} modifier]</small>] |- ! '''Niveau''' !! '''France''' !! '''Belgique''' !! Suisse <br /> _{_{'' ancien / HARMOS''}}!! Québec !! Canada !! |- | [[Aide:Niveau de difficulté/Niveau 0|0]] || ''Non évalué'' || ''Non évalué'' || ''École enfantine'' / 1^ère et 2^ème - Cycle 1 || ''Maternelle'' || ''Non évalué'' || [[:Catégorie:leçon de niveau 0|Accéder aux leçons]] |- | [[Aide:Niveau de difficulté/Niveau 1|1]] || CP || 1{{re}} primaire || 1{{re}} primaire / 3^ème - Cycle 1 || 1{{re}} primaire || 1{{re}} année || [[:Catégorie:leçon de niveau 1|Accéder aux leçons]] |- | [[Aide:Niveau de difficulté/Niveau 2|2]] || {{abréviation|CE1|cours élémentaire première année}} || 2{{e}} primaire ||2{{e}} primaire / 4^ème - Cycle 1 || 2{{e}} primaire || 2{{e}} année || [[:Catégorie:leçon de niveau 2|Accéder aux leçons]] |- | [[Aide:Niveau de difficulté/Niveau 3|3]] || {{abréviation|CE2|cours élémentaire deuxième année}} || 3{{E}} primaire ||3{{E}} primaire / 5^ème - Cycle 2 || 3{{E}} primaire || 3{{e}} année || [[:Catégorie:leçon de niveau 3|Accéder aux leçons]] |- | [[Aide:Niveau de difficulté/Niveau 4|4]] || {{abréviation|CM1|cours moyen première année}} || 4{{E}} primaire ||4{{E}} primaire / 6^ème - 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Cycle 3 || 3{{E}} secondaire || 9{{e}} année || [[:Catégorie:leçon de niveau 9|Accéder aux leçons]] |- | [[Aide:Niveau de difficulté/Niveau 10|10]] || 2{{E}} (lycée) || 4{{E}} secondaire || 1{{re}} (lycée) || 4{{E}} secondaire ou D.E.P. || 10{{e}} année || [[:Catégorie:leçon de niveau 10|Accéder aux leçons]] |- | [[Aide:Niveau de difficulté/Niveau 11|11]] || 1{{ère}} (lycée) || 5{{E}} secondaire || 2{{e}} (lycée) || 5{{E}} secondaire ou D.E.P. || 11{{e}} année || [[:Catégorie:leçon de niveau 11|Accéder aux leçons]] |- | [[Aide:Niveau de difficulté/Niveau 12|12]] || Terminale (lycée) || 6{{E}} secondaire (ou rhéto) || 3{{e}} ou 4{{e}} (lycée) || D.E.C. 1 et 2 || 12{{e}} année || [[:Catégorie:leçon de niveau 12|Accéder aux leçons]] |- | [[Aide:Niveau de difficulté/Niveau 13|13]] || Licence 1 || Baccalauréat 1 || Bachelor 1 ou 1{{re}} HES || Baccalauréat 1 et D.E.C. 3 || Baccalauréat 1 || [[:Catégorie:leçon de niveau 13|Accéder aux leçons]] |- | [[Aide:Niveau de difficulté/Niveau 14|14]] || Licence 2 || Baccalauréat 2 || Bachelor 2/3 ou 2{{e}} HES || Baccalauréat 2 || Baccalauréat 2 || [[:Catégorie:leçon de niveau 14|Accéder aux leçons]] |- | [[Aide:Niveau de difficulté/Niveau 15|15]] || Licence 3 || Baccalauréat 3 || Bachelor 3 ou 3{{E}} HES || Baccalauréat 3 et 4 || Baccalauréat 3 || [[:Catégorie:leçon de niveau 15|Accéder aux leçons]] |- | [[Aide:Niveau de difficulté/Niveau 16|16]] || Master 1 || Master 1|| Master 1 || Maîtrise 1 || Maîtrise 1 || [[:Catégorie:leçon de niveau 16|Accéder aux leçons]] |- | [[Aide:Niveau de difficulté/Niveau 17|17]] || Master 2 || Master 2 || Master 1 ou 2 || Maîtrise 2 || Maîtrise 2 || [[:Catégorie:leçon de niveau 17|Accéder aux leçons]] |- | [[Aide:Niveau de difficulté/Niveau 18|18]] || Doctorat || Doctorat || Master 2 ou doctorat || Doctorat || Doctorat || [[:Catégorie:leçon de niveau 18|Accéder aux leçons]] |} {{BDfin}} a56pyb4hnvga003a9113uk7atzxg2dg 3 52038 988293 983092 2026-11-11T16:44:48Z Crochet.david.bot 1005 corrections en provenance de « Check Wikipedia » 988293 wikitext text/x-wiki Bienvenue de la part de votre enseignant, Pour votre travail de partiel collectif sur WIKIVERSITY, voici les cours et les alias qui sont ou vont être utilisés : * [[Macros-commandes VBA]] tableaux croisés dynamiques et autres chapitres en partenariat avec les alias [[utilisateur:bakope]] * [[Macros-commandes VBA]] graphiques et autres chapitres en partenariat avec les alias [[utilisateur:mepothe]] * [[Tableur EXCEL]] Partie ⇒ gestion des erreurs en partenariat avec les alias [[utilisateur:lamelaan]] * [[Intégration de données]] (création de leçon) ou [[Talend]] (modification de leçon) en partenariat avec les alias [[utilisateur:spcteamwork]] * [[Cloud computing et entreprise]] Partie ⇒ protection de données en partenariat avec les alias [[utilisateur:mamaanam]] * [[Gestion de projet stratégique]] Partie ⇒ projet décisionnel en partenariat avec les alias [[utilisateur:itcrew]] Il vous reste quelques étapes à franchir : * Créer ou modifier la page page d'accueil de votre leçon [[Tableur EXCEL]] Partie ⇒ Tableaux de bord (modification) ou [[Gestion de projet stratégique]] Partie Projet décisionnel (modification) en insérant votre alias dans la liste des référents * Valider votre plan de leçon, et me le communiquer via votre page de discussion ou dans ma page de discussion * Modifier la page d'accueil de votre leçon en renseignant correctement une présentation sommaire de votre leçon, ses objectifs, ses prérequis * Commencer à rédiger vos premiers chapitres en respectant le protocole WIKIVERSITY (Voir aussi [[Aide:Bien débuter sur la Wikiversité]]) ** utilisation de la syntaxe WIKI ** ton neutre et positif ** phrases complètes ** utilisation des modèles et des balises WIKIVERSITY ** pas de blabla, pas de copier-coller de quoi que ce soit ** insertion exclusive de medias libres de droits trouvées sur WIKICOMMONS, ...) * Commencer à rédiger un exemple ou un exercice en respectant le même protocole WIKIVERSITY * Commencer à rédiger un QUIZ en respectant le même protocole WIKIVERSITY [[Utilisateur:Mamagalubru|Mamagalubru]] ([[Discussion utilisateur:Mamagalubru|discussion]]) 18 décembre 2014 à 22:00 (UTC) PS : j’ai créé tous les comptes des alias, il vous faudra les personnaliser et renseigner leur page utilisateur == Ce que j'attends de vous == Bonjour, Si vous choisissez la leçon "tableau excel partie tableau de bord", ou la leçon "gestion de projet partie projet décisionnel", vous pouvez ajouter vos propres chapitres et/ou modifier certains chapitres existants, je vous aiderai techniquement à enregistrer sur wikiversité. Dans tableau "excel partie tableau de bord" comme dans "gestion de projet partie projet décisionnel", le ou les chapitres sont à créer. À bientôt [[Utilisateur:Mamagalubru|Mamagalubru]] ([[Discussion utilisateur:Mamagalubru|discussion]]) 18 décembre 2014 à 22:19 (UTC) == Votre plan == Votre plan sur le chapitre [[Gestion de projet stratégique/Projet décisionnel]] me convient parfaitement. À bientôt. [[Utilisateur:Mamagalubru|Mamagalubru]] ([[Discussion utilisateur:Mamagalubru|discussion]]) 19 janvier 2015 à 09:22 (UTC) == Connexion via alias == Bonjour, N'oubliez pas de vous connecter avec votre alias [[utilisateur:itcrew|itcrew]] quand vous êtes rédacteur, sinon je ne sais pas si la rédaction émane de vous. À bientôt. [[Utilisateur:Mamagalubru|Mamagalubru]] ([[Discussion utilisateur:Mamagalubru|discussion]]) 22 janvier 2015 à 09:30 (UTC) == Comment insérer une image == Bonjour, Pour insérer une image dans votre leçon, revoyez mon support powerpoint de cours Wikiversité ou allez consulter cette adresse ⇒https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Mamagalubru/HowTo#Comment_insérer_une_image_ou_une_photo ou celle-ci ou celle-ci ⇒ https://fr.wikipedia.org/wiki/Wikipédia:Règles_d%27utilisation_des_images ou encore celle-ci ⇒ https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:UploadWizard À bientôt [[Utilisateur:Mamagalubru|Mamagalubru]] ([[Discussion utilisateur:Mamagalubru|discussion]]) 9 février 2015 à 13:53 (UTC) == Avancée du projet == Bonjour, Voici quelques observations sur la forme : * un plan qui semble correct (sauf le paragraphe lancement du projet qui devrait s'appeler estimation du projet * encore pas mal de fautes d'orthographe * quelques phrases incompréhensibles * quelques phrases non terminées * quelques fautes de balise wiki * certains paragraphes n'ont que des listes à point * pas d'illustration par des images * ... Voici quelques observations sur le fond : * un contenu qui semble correct pour ce qui est traité * un contenu qui me semble court * la partie lancement du projet n’est pas traitée (en chapitre 3 par exemple) * la partie déroulement et suivi du projet n’est pas traitée (en chapitre 4 par exemple) * la partie bilan du projet n’est pas traitée (en chapitre 5 par exemple) * l'emploi du "je" n’est pas utile (et est surtout déconseillé) * j'attends vos exemples, exercices et quiz pour vous en dire plus sur le continu * ... À bientôt [[Utilisateur:Mamagalubru|Mamagalubru]] ([[Discussion utilisateur:Mamagalubru|discussion]]) 10 février 2015 à 02:16 (UTC) Bonjour Monsieur, Merci pour votre retour. Quand vous dîtes "la partie lancement du projet n’est pas traitée (en chapitre 3 par exemple) la partie déroulement et suivi du projet n’est pas traitée (en chapitre 4 par exemple) la partie bilan du projet n’est pas traitée (en chapitre 5 par exemple)" Si je comprends bien, vous souhaitez que nous modifions ces chapitres? Mais nous avons la possibilité également d’en créer ? Merci d'avance pour votre retour. Cordialement, Le groupe ITCREW : oui, je préfère la modification des chapitres existants, mais vous pouvez aussi créer des sous-chapitres dans votre partie de leçon, les 2 voies sont possibles : à bientôt : [[Utilisateur:Mamagalubru|Mamagalubru]] ([[Discussion utilisateur:Mamagalubru|discussion]]) 10 février 2015 à 18:44 (UTC) : Merci. Et quand vous dîtes que "la partie bilan du projet n’est pas traitée (en chapitre 5 par exemple)", vous voulez qu'on traite le bilan du projet dans le chapitre 5 qu'on a crée "Projet décisionnel" ? Merci d'avance pour votre retour. Le groupe ITCREW == Questions avancée du projet == Merci pour votre réponse. Vous voudriez par exemple qu'on traite le lancement du projet dans le chapitre 3 "Équipe de projet" ? Merci pour votre retour. Cordialement, Le groupe ITCREW == Rappel Connexion via alias == Bonjour, Vous avez effectué pas mal de rédaction en oubliant de vous connecter avec votre alias [[utilisateur:itcrew|itcrew]]. Quand vous êtes rédacteur, travaillez sous votre alias, sinon je ne sais pas si la rédaction émane de vous. À bientôt. [[Utilisateur:Mamagalubru|Mamagalubru]] ([[Discussion utilisateur:Mamagalubru|discussion]]) 11 février 2015 à 19:31 (UTC) : Bonsoir Monsieur, nous ferons davantage attention. Nous ne savons pas si vous avez remarqué mais nous avons rajouter un jeu intitulé "Les mots croisés sous le thème du projet décisionnel", nous voudrions avoir votre avis. Nous préparons actuellement le quizz. On vous remercie d'avance. Le groupe ITCREW :: Très bonne idée le jeu, je l'avais déjà remarqué. J'attends maintenant le QUIZ. À bientôt. [[Utilisateur:Mamagalubru|Mamagalubru]] ([[Discussion utilisateur:Mamagalubru|discussion]]) 11 février 2015 à 21:31 (UTC) == Nouvelle mission == Bienvenue pour votre nouveau sujet dans le cadre de mon cours Systèmes d'information. Je viens de créer votre nouvelle leçon [[Modélisation UML]], avec les chapitres et sous-chapitres que j'attends. Vous n'êtes pas obligées de tous les renseigner, seuls l'introduction, les 5 ou 6 diagrammes les plus utilisés, un exemple et un quiz sont demandés. À bientôt. [[Utilisateur:Mamagalubru|Mamagalubru]] ([[Discussion utilisateur:Mamagalubru|discussion]]) 9 février 2016 à 15:06 (UTC) == différence entre UML et UML2 == Bonjour, je voudrais savoir quelle est la différence entre UML et UML2. Est-ce une version plus évoluée? Laquelle choisir pour notre devoir? Merci à vous. Bien cordialement. :Bonjour, UML2 a été adopté et validé en 2005 par l'OMG (association américaine à but non lucratif créée en 1989 dont l’objectif est de standardiser et promouvoir le modèle objet sous toutes ses formes), donc quand on parle d'UML de nos jours, il s'agit bien d'UML2. Il faut donc choisir pour votre travail les spécifications et caractéristiques UML2, tout en l'intégrant dans la leçon Modélisation UML de wikiversité (https://fr.wikiversity.org/wiki/Modélisation_UML) dont je vous ai préparé le plan. : A bientôt. [[Utilisateur:Mamagalubru|Mamagalubru]] ([[Discussion utilisateur:Mamagalubru|discussion]]) 8 mars 2016 à 16:56 (UTC) ::PS : je viens de découvrir sur l'université anglophone une version qui sans doute peut vous aider dans votre rédaction : https://en.wikiversity.org/wiki/UML == Retour sur le contenu de votre leçon == Bonjour, Je ne suis pas encore convaincu du contenu de votre leçon, quantitativement il n'y a pas assez de contenu ajouté (caractères, tableaux, images insérés, ...) pour que je puisse me faire une opinion qualitative (rédaction, présentation, cohérence, explications, exemples, ...). Vos exercices et votre quiz seront un plus qui vous permettra une présentation efficace vendredi prochain. N'hésitez-pas à me contacter si vous avez des questions complémentaires. À bientôt. [[Utilisateur:Mamagalubru|Mamagalubru]] ([[Discussion utilisateur:Mamagalubru|discussion]]) 19 mars 2016 à 14:31 (UTC) == Encore pas mal de choses à faire == Bonjour, Votre leçon a bien évolué depuis mon dernier passage, vos ajouts et modifications sont pertinents et plutôt efficaces. Il reste cependant encore trop de phrases trouvées sur le WEB que vous ne vous êtes pas appropriées. Les 5 chapitres faits peuvent être encore améliorés ou terminés. Le quiz et l'exemple ou l'exercice n'existant pas encore, je ne peux pas vous aider à les améliorer. Un peu d'entrainement et d'originalité pour la partie orale de demain (présentation, quiz, exercice) et vous serez sur la bonne voie. À bientôt. [[Utilisateur:Mamagalubru|Mamagalubru]] ([[Discussion utilisateur:Mamagalubru|discussion]]) 24 mars 2016 à 14:07 (UTC) :Bonjour Monsieur, nous faisons nos recherches à l'aide d'ouvrages et non sur le WEB. Concernant le quizz et les exercices, nous y travaillons actuellement, ils seront bientôt mis en ligne. Le groupe ITCREW hal3x6edisc2ngzxijhhnj7wzddt4cx 0 52053 988294 970788 2026-11-11T16:44:58Z Crochet.david.bot 1005 corrections en provenance de « Check Wikipedia » 988294 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = informatique | numéro = 13 | niveau = 15 | précédent = [[../PowerPivot/]] | suivant = [[../Analyse de scénario/]] }} [[Fichier:Faceerreurexcel.jpg|center|350px|Photo face erreur excel]] {{Définition|titre=Les erreurs EXCEL| contenu = [[Fichier:Diesepournous.png|right|caption|100px|symbole dièse]] Il existe différents types d'erreurs sur Excel. Nous traiterons ici les 8 erreurs les plus communes d'Excel ainsi que celle de la référence circulaire qui peuvent se résoudre de manières différentes en fonction de l'environnement de travail (PC ou Mac). Certaines cellules contiennent des formules qui génèrent une erreur. En général, c’est que la formule n’utilise pas la syntaxe définie. C’est-à-dire que les arguments ou les types de données attendus ne sont pas les bons ou ne correspondent pas. Ces valeurs d’erreur comprennent #REF!, #VALEUR!, #NOM?, #NOMBRE!, ######, #N/A, #NULL!, #DIV/0!, et sont détectables par un triangle vert qui s’affiche dans le coin supérieur gauche de la cellule. Un autre type d’erreur peut être la référence circulaire : la formule fait, directement ou indirectement, référence à sa propre valeur. Lorsqu’une cellule affiche un code d’erreur, toutes les cellules qui utilisent son résultat affichent en cascade le même code d’erreur. Une seule formule erronée peut ainsi déclencher des centaines de codes d’erreur au sein des cellules qui dépendent de son résultat. Aussi pour trouver l’origine d’une erreur, nous pouvons utiliser les commandes de l’onglet '''Formules''' du ruban présentes au sein de la section nommée '''Audit de formules'''. }} [[Fichier:Schemaerreur.JPG|center|400px|Erreurs Excel]] {{Remarque|titre= Vérification des erreurs|contenu= Ces valeurs peuvent être corrigées une par une dans les formules. Il est possible d’utiliser certaines règles pour détecter les erreurs dans les formules, comme le correcteur orthographique mais qui cherche à trouver les erreurs des données entrées dans les cellules. Ceci permet de localiser les erreurs les plus courantes, et elles peuvent être corrigées de deux façons différentes soit au fur et à mesure de leur apparition soit l’une après l’autre. Même si lors de la vérification des erreurs dans la feuille de calcul certaines erreurs ont pu être ignorées. }} {| class="wikitable" ! !PC !MAC |- |Vérification des erreurs | * Sélectionnez la feuille de calcul pour laquelle vous souhaitez vérifier les erreurs. * Si la feuille de calcul est calculée manuellement, appuyez sur F9 pour la recalculer maintenant. * Sous l’onglet '''Formules''', dans le groupe '''Audit de formules''', cliquez sur '''Vérification des erreurs.''' [[Fichier:Verifpc.jpg|center|250px|Vérification erreurs]] * Si des erreurs sont trouvées alors la boîte de dialogue Vérification des erreurs s'affiche. * Si des erreurs ont été ignorées, vous pouvez les revoir. [[Fichier:Boitedial2.jpg|center|250px|boite dialogue vérification des erreurs]] | * Sélectionnez la feuille de calcul pour laquelle vous souhaitez vérifier les erreurs. * Si la feuille de calcul est calculée manuellement, cliquer sur '''Recalculer la feuille''' dans le groupe '''Calcul''' de l'onglet '''Formules''' * Sous l'onglet '''Formules''', dans le groupe '''Formules d'audit''', cliquez sur '''Rechercher les erreurs'''. [[Fichier:Repérer des erreurs Mac.png|center|250px|Repérer des erreurs Mac]] * Si des erreurs sont trouvées alors la boîte de dialogue Vérification des erreurs s'affiche. * Si des erreurs ont été ignorées, vous pouvez les revoir. [[Fichier:Boite de dialogue erreurs.png|center|350px|boite de dialogue erreurs]] | |} {{Remarque|titre=Information supplémentaire pour l’utilisation d'Excel sur PC|contenu= Lorsque la vérification des erreurs est activée dans Excel, grâce à l’info-bulle de la cellule affichant l’erreur, vous pouvez cliquez sur « Afficher les étapes du calcul » permettant ainsi de choisir la résolution adaptée à votre demande. [[Fichier:Afficher les étapes du calcul.jpg|center|250px|Afficher les étapes du calcul]] Cette aide permet donc d'afficher les étapes du calcul, et de nous aider avec le mode "pas à pas" pour situer à quel moment précis l'erreur est faite [[Fichier:Evaluation de formule.png|center|350px|Evaluation de formule]]}} == L'erreur #REF! == L'erreur #REF peut avoir plusieurs causes. Généralement, elle apparaît lorsqu'une formule contient une cellule non référencée, non valable. === La formule contient une ou plusieurs références à des cellules qui ont été déplacées, supprimées ou remplacées === {| class="wikitable" !Solution 1 MAC/PC |Annulez vos modifications pour rétablir les cellules à leur état d’origine # Dans la barre d’outils standard, cliquez sur '''Annuler''' (Ctrl+Z) immédiatement après avoir supprimé ou collé les cellules |- !Solution 2 MAC |Modifiez la formule pour supprimer les références aux cellules supprimées # Sélectionnez la cellule # Dans l’onglet '''Formules''', dans '''Fonctions''', cliquez sur '''Concepteur de formule''' # Modifiez la formule dans la section '''Arguments''' de la fenêtre '''Concepteur de formule''' Modifiez la référence de plage pour y inclure soit la ligne, soit la colonne contenant la formule. # Sélectionnez la cellule # Dans l’onglet '''Formules''', dans Fonctions, cliquez sur '''Concepteur de formule''' # Modifiez la formule dans la section '''Arguments''' de la fenêtre '''Concepteur de formule''' |- !Solution 2bis PC |Modifiez la formule pour supprimer les références aux cellules supprimées # Sélectionnez la cellule # Dans la barre de saisie de la fonction, mettre à jour la plage de cellule afin d'éliminer les références aux cellules supprimées Modifiez la référence de plage pour y inclure soit la ligne, soit la colonne contenant la formule. # Sélectionnez la cellule # Dans la barre de saisie de la fonction, modifiez la référence de la place afin d'y inclure soit la ligne, soit la colonne contenant la formule |} === Une matrice non valide est utilisée dans l’une des fonctions matricielles, telle que INVERSMAT, PRODUITMAT et DETERMAT === {| class="wikitable" !Solution MAC !Solution PC |- |Vérifiez que les dimensions de la matrice sont appropriées aux arguments de la fonction matricielle. # Sélectionnez la cellule # Dans l’onglet '''Formules''', dans '''Fonctions''', cliquez sur '''Concepteur de formule''' # Modifiez la formule dans la section '''Arguments''' de la fenêtre '''Concepteur de formule''' [[Fichier:Capture d’écran 2015-02-12 à 13.26.07.png|center|250px]] |Vérifiez que les dimensions de la matrice sont appropriées aux arguments de la fonction matricielle. # Sélectionnez la cellule # Dans l’onglet '''Formules''', dans '''Fonctions''', cliquez sur insérer une fonction [[Fichier:Insererfonction.JPG|center|90px|insérer une fonction]] # Modifiez la formule selon les arguments demandés pour la fonction choisie [[Fichier:Somme.si.ens.png|center|250px|argument fonction somme.si.ens]] |} == L'erreur #VALEUR! == Cette erreur s’affiche lorsque la formule inclut des cellules qui contiennent des types de données non identiques. En général, l’info-bulle nous amène des précisions concernant l’erreur et affiche « Le type de données d’une valeur utilisée dans la formule est incorrect ». Cette erreur peut se résoudre en faisant des modifications simples dans la formule. === Il manque un argument nécessaire dans la formule === {| class="wikitable" !Solution MAC/PC |Vérifiez que la formule ou fonction est correcte pour l’opérande ou l’argument nécessaire et que les cellules auxquelles la formule fait référence contiennent des valeurs valides. * Excel ne peut convertir le texte dans le type de donnée approprié. * Par exemple, si la cellule A5 contient un nombre et que la cellule A6 contient le texte « Non disponible », la formule =A5+A6 renvoie l’erreur #VALEUR !. Utiliser la fonction SOMME ajouter les deux valeurs, car cette fonction ne prend pas en compte les données textuelles * =SOMME(A5 :A6) |} === L'entrée de la formule matricielle est incorrecte === {| class="wikitable" !Solution MAC |- |Il est nécessaire d’utiliser la procédure suivante pour entrer la formule matricielle Sélectionnez la cellule ou plage de cellules contenant la formule matricielle, puis appuyez sur la combinaison de touches CTRL+U pour modifier la formule puis faites retour (CMD+RETOUR sur MAC) |} === Une référence de cellule, une formule ou une fonction est entrée en tant que constante matricielle === {| class="wikitable" !Solution MAC/PC |- |Vérifiez que la constante matrice ne contient pas de référence de cellule, de formule ou de fonction. * Les constantes matricielles ne peuvent pas contenir de références de cellules, de lignes ou de colonnes de longueur inégale, de formules, de fonctions ou le caractère spécial dollar ($), parenthèses (()) ou pourcent (%). |} === Une plage de valeurs est fournie à un opérateur ou une fonction qui exige une valeur unique === {| class="wikitable" !Solution MAC !Solution PC |- |Modifiez la formule pour faire référence à une valeur unique. * Sélectionnez la formule * Dans l’onglet '''Formules''', dans '''Fonctions''', cliquez sur '''Concepteur de formule'''. |Modifiez la formule pour faire référence à une valeur unique. * Sélectionnez la formule * Dans la barre de saisie de la fonction, modifiez de telle sorte que la formule fasse référence à une valeur unique |} === Autre causes principales === {| class="wikitable" !Causes !Solutions MAC/PC |- |La formule contient des éléments de cellule sous format texte et la formule effectue des calculs avec des opérateurs mathématiques (division, addition, multiplication, soustraction) | * Respectez les arguments demandés selon la fonction utilisée (s’aider de l’info-bulle ou de l’aide en ligne excel si besoin) : Par ex, pour des opérations mathématiques n’utilisez que des nombres * Respectez la casse: position des virgules ou point virgules ou deux-points ; * Opter pour l’utilisation des fonctions que des opérateurs mathématiques afin de simplifier les calculs et éviter les erreurs ; |} == L'erreur #NOM? == Cette erreur apparaît lorsque la formule utilisée ne reconnaît par le texte contenu au sein de celle-ci. On distingue plusieurs causes qui peuvent être à l’origine de l’erreur #NOM? === La formule utilise une fonction personnalisée qui n’est pas disponible === Il faut vérifier que le classeur contenant la fonction personnalisée est ouvert et que celle-ci fonctionne correctement. {| class="wikitable" !Solution MAC | * Après avoir,sélectionné la cellule, allez dans l’onglet '''Formules''' puis cliquer sur '''Concepteur de formule''' * Modifiez ensuite la formule dans la section '''Arguments''' de la fenêtre '''Concepteur de formule'''. |} === La formule contient une référence à une cellule ou à une plage nommée qui n’est pas définie === Il faut vérifier que la cellule ou la plage nommée est correctement définie. {| class="wikitable" !Solution MAC/PC | * Allez dans le menu Insertion, cliquez sur Nom, puis sur Définir. * Vérifiez que la cellule ou la plage est bien dans la liste. Sinon il faut la définir en cliquant sur Ajouter.  |} === La formule contient un nom de fonction mal orthographié     === Il faut modifier la formule pour corriger l’orthographe.  {| class="wikitable" !Solution MAC !Solution PC |- | * Après avoir sélectionné la cellule, allez dans l’onglet '''Formules''', puis cliquez sur '''Concepteur de formules''' * Modifiez la formule dans la section '''Arguments''' | * Sélectionnez le nom de la fonction dans la barre de formule « Fx= » puis appuyez sur F3 * Sélectionnez le nom de la formule souhaité puis cliquez sur OK. |} === Les deux points (:) sont manquant à la référence d’une plage === Il faut vérifier que toutes les références de plage de la formule utilisent les deux points (:). Par exemple, l’argument =SOMME(A1:C10)  === La référence d’une feuille ou d’un classeur contenue dans une formule contient une erreur (caractère non alphabétique, espace, non utilisation de guillemets simples)     === Il faut modifier la formule pour orthographiée correctement la référence du classeur ou de la feuille.     {| class="wikitable" !Solution MAC !Solution PC |- | * Après avoir sélectionné la cellule, allez dans l’onglet '''Formules''' puis cliquer sur '''Concepteur de formule''' * Modifiez ensuite la formule dans la section '''Arguments''' de la fenêtre '''Concepteur de formule''' en utilisant des guillemets simples (‘) pour faire référence à la feuille ou au classeur.     | * Double-cliquez sur la cellule puis vérifier que la référence à la feuille ou au classeur soit correctement orthographié. * Il faut notamment vérifier que de part et d’autre de la référence de la feuille ou du classeur il y ait des guillemets simples (' '). |} === Le texte entré dans une formule n’est pas mis entre double guillemets (« »)     === Excel interprète cette entrée comme une référence alors qu’il s’agit en réalité d’un texte.  Il faut modifier la formule pour placer le texte entre double guillemets « ». {| class="wikitable" !Solution MAC !Solution PC |- | * Après avoir sélectionné la cellule, allez dans l’onglet '''Formules''', puis cliquez sur '''Concepteur de formule'''. * Modifiez la formule dans la section '''Arguments''' de la fenêtre '''Concepteur de formule''' en mettant des double guillemet entre le texte tapé. | * Double-cliquez sur la cellule puis vérifier que le texte tapé soit mis entre double guillemets. |} == L'erreur #NOMBRE! == Cette erreur survient lorsqu’une formule ou une fonction contient des valeurs numériques non valides. On distingue plusieurs causes qui peuvent être à l'origine de l'erreur #NOMBRE! === Un argument non numérique est utilisé dans une fonction qui nécessite un argument numérique === Il faut vérifier que les arguments utilisés dans la fonction sont des nombres.  {| class="wikitable" !Solution MAC !Solution PC |- | * Après avoir sélectionné la cellule, allez dans l’onglet '''Formules''', puis cliquez sur '''Concepteur de formule''' * Modifiez la formule dans la section '''Arguments''' de la fenêtre '''Concepteur de formule''' * Supprimez tous les caractères non numériques de l’argument numérique dans la formule (n’oubliez pas les espaces)     | * Après avoir sélectionné la cellule, cliquez dans la barre de formule "Fx=" puis appuyez sur F3 * Supprimez tous les caractères non numériques de l'argument numérique dans la formule (n'oubliez pas les espaces)     |} === Une fonction qui se réitère, telle que TRI ou TAUX, n’arrive pas à trouver de résultat === Il faut modifier le nombre de fois qu’Excel itère les formules.    <u>Remarque</u> : Plus le nombre d'itérations est élevé, plus la durée nécessaire à l'exécution des calculs d'une feuille par Excel est importante.     {| class="wikitable" !Solution MAC !Solution PC |- | * Dans le menu Excel, cliquez sur '''Préférences'''. * Sous Formules et listes, cliquez sur '''Calcul''' Bouton Préférences de calcul puis, sous Itération, activez la case à cocher Limiter l'itération. * Dans la zone Itérations maximales, tapez le nombre d'itérations que vous voulez définir comme nombre maximal de fois où Excel effectue de nouveau les calculs. * Dans la zone Modification maximale, tapez le montant que vous voulez définir comme montant maximal de modification entre les résultats de calcul. Plus le nombre est petit, plus le résultat est précis et plus la durée nécessaire à l'exécution des calculs d'une feuille par Excel est importante.     | * Dans le menu '''Outils''', cliquez sur '''Options''', puis sur l’onglet '''Calcul'''. * Activez la case à cocher Itération. * Pour définir le nombre maximal de fois où Excel recalcule, tapez le nombre d’itérations dans la zone Nb maximal d’itérations. * Pour définir l’écart maximal entre les résultats du calcul, tapez le chiffre dans la zone Ecart maximal. Plus le nombre est petit, plus le résultat est précis et plus la durée nécessaire à l'exécution des calculs d'une feuille par Excel est importante.     |} === La formule produit un nombre qui est trop grand ou trop petit pour être représenté dans Excel     === Il faut modifier la formule afin que son résultat puisse être représenté dans Excel. {| class="wikitable" !Solution MAC/PC | * Excel peut représenter des valeurs comprises entre -1 × 10³⁰⁷ et 1 × 10³⁰⁷ |} == L'erreur ###### == [[Fichier:Erreurmm.png|right|100px]] <nowiki>######</nowiki> est une erreur d'affichage d'une valeur numérique, celle-ci apparaît lorsqu'une colonne est trop étroite pour afficher la totalité d'une donnée numérique. Afin de corriger cette erreur, il suffit tout simplement d'élargir la colonne dans laquelle apparaît l'erreur. === Vidéo === Pour vous aider dans cette démarche voici une vidéo de tutorat qui vous permettra de mieux comprendre la modification à effectuer. https://www.youtube.com/watch?v=mBu4V5jmOPY&feature=share * <u>Remarque :</u> <nowiki> </nowiki>Que ce soit sur MAC ou bien PC la solution reste la même. == L'erreur #N/A ou NA() == L'erreur #N/A ou NA() survient lorsqu'une donnée nécessaire au bon fonctionnement de la formule est manquante. === Les causes : === Les causes de cette erreur sont nombreuses et diverses, celle-ci apparaît donc lorsque : * Les cellules référencées dans la formule contiennent déjà des données erronées #N/A ou NA(). * Une erreur lors de la sélection de la plage de cellules, celles-ci n'étant pas figée, ou bien lorsque la ''valeur_cherchée'' dans une ligne ou colonne est mal triée pour les fonctions RECHERCHEV, RECHERCHEH ou INDEX. :{{Remarque|titre=Remarque|contenu= <nowiki> </nowiki>Si dans le dernier argument de la fonction la valeur VRAI est choisi alors l'erreur concernant les lignes et colonnes non triées prendra effet, cependant si la valeur FAUX est choisi alors la recherche dans une ligne ou colonne non triée ne fera pas apparaître d'erreur. → Pour figer vos cellules il suffit de cliquer sur F4 ou bien d'insérer des dollars ($) dans la plage de données sélectionnées. }} * La dimension des plages de cellules sélectionnées dans la formule ne sont pas les mêmes.. <u>Exemple :</u> Dans une formule '''=SOMMEPROD((A1:A6)*(A1:A5))''' ici la matrice renvoie une erreur #N/A car les plages de cellules sélectionnées ne sont pas de même dimension. Afin de la corriger, il faut sélectionner la même plage de cellules donc soit de '''A1:A5''' ou de '''A1:A6''' dans notre exemple. {| class="wikitable" !Solution MAC !Solution PC |- | * Dans l'onglet '''Formules''', dans '''Fonctions''', cliquez sur '''Concepteur de formule''' * Modifier la formule dans la section '''Arguments''' de la fenêtre Concepteur de formule | * Dans l'onglet '''Formules''', dans '''Vérification des formules''', cliquez sur '''Vérification des erreurs''' * Cliquez sur '''Aide sur cette erreur''' et suivez les indications |} === Vidéo === Pour vous aider dans cette démarche voici une vidéo de tutorat qui vous permettra de mieux comprendre la modification à effectuer. https://www.youtube.com/watch?v=YGXMoEt363A&feature=share == L'erreur #NULL! == === Causes: === * Intersection de plages de cellules n'étant pas adjacentes * Séparateur non défini entre les rangs === Solutions: === * Il fait bien vérifier que les deux points (:) séparent la première cellule de la plage sélectionnée, de la dernière. <u>Par exemple</u>: ''C1:C12 comprend la plage de cellules allant de la C1 à la C12'' * Si deux zone de se coupent pas, on peut utiliser l'opérateur d'union (;) <u>Par exemple</u>: ''Si on fait la somme entre deux plages de cellules: =SOMME(D3:D6;C3:C6)'' === Exemple: === Si on entre la formule suivante: SOMME(D3:D6 C3:C6), #NUL! est renvoyé car il n'y a pas de séparateur entre les rangs 1 et 2. Afin de corriger cette erreur il faut placer un point-virgule (;) entre les deux plages sélectionnés. Exemple d'erreur #NULL! : [[Fichier:Erreurnul.gif|center|thumb|exemple d'erreur #null!]] Exemple de solution pour #NULL!: [[Fichier:Erreurnulsol.gif|center|thumb|erreur #null! solution]] == L'erreur #DIV/O! == === Causes: === L'erreur #DIV/0! survient lorsqu'un nombre est divisé par zéro (0), comme pour la division simple = 23÷0. Dans le cas d'une formule, elle survient lorsqu'on fait référence a une cellule contenant 0 ou une cellule vide. === Solutions: === Afin de rectifier cette erreur il faut vérifier que: * le diviseur de la formule n'est ni zéro (0), ni une cellule vide * modifier la référence de la cellule dans la formule de façon a ce qu'elle ne soit ni vide, ni contenant la valeur zéro (0) * entrer #N/A dans la cellule non référencée comme diviseur, ce qui remplacera le résultat de la formule par #N/A, signifiant que le diviseur est indisponible Si l'erreur persiste, on peut utiliser la formule SI afin d'interrompre l’affichage de cette erreur. La formule SI va afficher 0 ou cellule vide au lieu de l'erreur #DIV/0. <u>Par exemple:</u> Si nous avons l'opération =L1/L2 * SI(L2=0;0;L1/L2) pour faire afficher zéro (0) [[Fichier:Erreurdi0.gif|center|erreur #Div/0!]] * SI(L2=0;" ";L1/L2) pour faire afficher une valeur vide [[Fichier:Erreurdiv0gui.gif|center|Erreur #DIV/0! bis]] == Les erreurs de référence circulaire == Lorsque l’un des classeurs excel est ouvert et s’il contient une référence circulaire, un message d’avertissement de référence circulaire s’affiche. Exemple d’une « référence circulaire » : formule dans C3 = C3+1. L’implication de la cellule elle-même dans la formule de la cellule implique une répétition infinie à Excel et donc Excel arrête le processus et nous affiche un avertissement pour éviter une « boucle sans fin ». === Comment rechercher et supprimer des références circulaires ? === En général, vous pouvez rechercher et supprimez la référence circulaire. Mais sinon, excel peut également calculer une fois les cellules de la référence circulaire, ou il arrête automatiquement le calcul après 100 itérations ou bien lorsque l’écart qui existe entre les valeurs de la référence circulaire est supérieur à 0.001 entre les itérations. Pour rechercher et supprimer une référence circulaire, vous pouvez vous aider du bouton '''Vérification des erreurs''' qui se trouve dans la section '''Audit de formules''' de l’onglet '''formules.'''  Puis en cliquant sur références circulaires, vous pouvez cliquez sur la première cellule répertoriée dans le sous-menu. Ensuite, Il y a deux cas possibles : {| class="wikitable" !Cas 1 |Soit vous pouvez déterminer la formule de la cellule et savoir si elle est la cause d’une référence circulaire |- !Cas 2 |Soit vous ne pouvez pas savoir et il est nécessaire de cliquer sur la cellule suivante dans le sous-menu « références circulaires » |} {{Remarque|Titre=Remarque|contenu= Si la barre d’état affiche le mot « circulaire » suivi d’une référence à l’une des cellules contenues dans la référence circulaire. Sinon s’il n’y a pas de référence à une cellule, la feuille excel ne contient pas de référence circulaire.}} Pour supprimer une référence circulaire, il faut continuer à regarder toutes les cellules afin de corriger la référence circulaire jusqu'à ce que la barre d'état n'affiche plus le mot «Circulaire» === Comment autoriser et utiliser une référence circulaire ? === Par défaut, les références circulaires sont indisponibles dans Excel et c’est pour cela que nous avons précédemment expliqué comment les trouver et les supprimer. Pourtant, il est possible d’autoriser et d’utiliser ces références circulaires tout en les paramétrant. Dans l’onglet '''Fichier''', puis '''options''', options Excel cliquez sur le menu '''Formules'''. Ici, nous voulons autoriser l’itération des références circulaires donc il faut cocher la case « Activer le calcul itératif ». Cette case nous permet de paramétrer le nombre maximal d’itérations et l’écart maximal entre les itérations. Par défaut, Excel met 100 itérations maximales pour un écart maximal de 0,001. Selon vos besoins, vous pouvez appliquez l’itération 1 fois, 2 fois … jusqu’à 100. [[Fichier:Doserreurexcel.jpg|center|350px|Photo dos erreur excel]] {{Bas de page | idfaculté = informatique | précédent = [[../PowerPivot/]] | suivant = [[../Analyse de scénario/]] }} 38snkvh7j9bsbhjmoy3pz1ld260gpaw 0 53427 988295 970884 2026-11-11T17:52:47Z Crochet.david.bot 1005 corrections en provenance de « Check Wikipedia » 988295 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ {| width="100%" border="0" cellpadding="5px" cellspacing="0px" |- valign="top" align="left" <!-- Colonne 1 --> | width="33%" | === Généralités === * [[Introduction au jazz]] <!-- Colonne 2 --> | width="33%" | === Harmonie === * [[Harmonie du jazz]] * [[Chiffrage des accords]] * [[Enrichissements des accords]] * [[Structure harmonique du blues]] (→ Leçon sur le blues) * [[Substitutions harmoniques]] * [[Turnarounds & anatoles]] <!-- Colonne 3 --> | width="33%" | === Arrangement & orchestration === * [[Arrangement d'une introduction]] * [[Arrangement musical]] === Divers === * [[Analyse de thèmes]] * [[Partitions de jazz]] :''Pour les extraits de partitions, voir aussi :'' * [[Partitions avec Lilypond pour wiki]] |} {{AutoCat}} 489qe258hry6emt9q76q6ojpi2jx3r6 105 55900 988296 924154 2026-11-11T17:52:57Z Crochet.david.bot 1005 corrections en provenance de « Check Wikipedia » 988296 wikitext text/x-wiki {{Auteurs crédités après scission|Recherche:Clefs pour mieux comprendre le monde et participer à son évolution|29 mai 2015}} == Neutralité == Dans ce travail de recherche au titre très vaste ([[Recherche:Clefs pour mieux comprendre le monde et participer à son évolution]]), je plussoie l'effort de neutralité qui est fait en présentant les avantages et les inconvénients -- selon le point de vue de l'auteur -- des différents courants économiques. Mais les arguments finaux contre le libéralisme se basent, selon moi, sur des idées qui ont pourtant été réfutées depuis : {{Citation bloc|Dans sa version actuelle, le libéralisme mise sur l’intérêt bien compris de chacun. Il s’appuie en fait sur nos tendances égoïstes. Comme actuellement celles-ci ne sont plus guère tempérées par des idéaux éthiques, sociaux ou religieux, nous assistons à une concurrence sans merci qui empêche la libre expression de ce qu’il y a de plus humain en nous. En un sens, le libéralisme n’est qu’une transposition de la loi de la jungle sur le plan économique. Il n’a cependant pas les vertus régulatrices de la sélection naturelle, surtout quand les prédateurs ne vivent pas dans le même espace que ceux qu’ils éliminent. Quelqu’un peut hériter d’une immense fortune et être indifférent à ce qui adviendra après lui. Il pourra néanmoins peser sur des décisions qui ruineront une région concurrente ou occasionneront des désastres écologiques irréversibles. Il n'y a pas de plus grand esclavage que de faussement croire que l’on est libre. Dans le système capitaliste, les entrepreneurs qui ne sont pas d’habiles tacticiens se retrouvent facilement hors-jeu. Ceux qui les supplantent n’offrent pas nécessairement des services de meilleure qualité. À cause de la recherche individuelle du profit maximum à court terme, l’apparence est privilégiée au détriment de la qualité réelle. Les conditions de travail sont quelquefois à la limite du supportable. La personne est sacrifiée et le respect de la nature est réduit au minimum acceptable pour éviter les poursuites. Les efforts consentis se limitent généralement à quelques gestes savamment dosés qui visent avant tout à créer une image de marque valorisante. Le libéralisme en vigueur n’encourage pas véritablement le sens de la responsabilité. Étant eux aussi prisonniers de l’implacable logique du système actuel, les décideurs sont quelquefois amenés à réduire leur conscience au silence afin de pouvoir prendre des décisions inhumaines. – Et c’est sans doute rarement de gaîté de cœur ! De leur côté, les employés doivent exécuter des ordres qui vont à l’encontre de leurs convictions profondes ou accepter des tâches ou des conditions peu compatibles avec leur sens de la dignité humaine. Leur conscience professionnelle et le respect d’eux-mêmes s’en trouvent alors fréquemment amoindris. Ceux qui aimeraient vraiment se consacrer au bien commun refusent parfois les compromis qu’ils jugent déshonorants. Leur insertion dans le monde du travail devient alors difficile. Malgré leurs compétences, beaucoup se retrouvent ainsi fortement pénalisés, voire exclus. La toute puissance de l’argent crée des situations totalement artificielles. Les très grandes firmes sont assez puissantes pour influencer les politiques des états. Elles menacent par exemple de se retirer du pays si les dirigeants prennent des mesures sociales ou écologiques qui ne leur sont pas favorables. D’un autre côté, par le biais de la publicité, elles modèlent le psychisme du public pour l’inciter à consommer ce qu’elles trouvent avantageux de produire. À cela, il convient d’ajouter que, de nos jours, l’argent n’est que faiblement investi pour répondre aux besoins de l’économie. Les sommes investies dans la spéculation financière sont des dizaines de fois plus importantes que celles qui sont consacrées à la création des services ou des produits en tous genres. À cause des gigantesques « parties de poker » qui se jouent, des pans entiers de l’économie peuvent ainsi s’écrouler subitement comme des châteaux de cartes. Les règles du jeu économique ne sont pas des lois naturelles.}} Il faudrait au moins : * distinguer clairement le libéralisme global (théorique) des politiques économiques actuelles, qui comportent toujours une part de non-libéralisme (→ les identifier) * nuancer ou préciser "mesures sociales ou écologiques de l'État" * intégrer les réponses des libéraux ce qui changerait donc la fin du chapitre. Si vous voulez que je développe, n'hésitez pas à me re-solliciter. --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Hérisson grognon/Flow|discuter]]) 26 mai 2023 à 17:43 (UTC) kkkt2jdmy7utdb9im3x2g2rg1oqu5t1 104 56489 988297 976713 2026-11-11T17:53:08Z Crochet.david.bot 1005 corrections en provenance de « Check Wikipedia » 988297 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ {{Entête de fiche | idfaculté = sciences de l'ingénieur | nom = des retours d'expérience }} En complément de l’[[Recherche:Mise_au_point_d'un_drone_subaquatique/Fiche/Etat_de_l'art|état de l'art]] dans le domaine, l'analyse des [[w:fr:Retour d'expérience|retour d'expérience]] (REX) est l'une des bases de la [[w:Recherche appliquée|Recherche appliquée]]. <br />Cette fiche (toujours à compléter, au gré des avancées du projet et des versions de prototypes) y est consacrée. C'est aussi une ''« boite à idée »'' (suggestion de solutions à explorer ou améliorer pour chaque problème exposé). == Introduction == '''Cette fiche''' est consacré à 4 grands types de [[w:Retour d'expérience|retours d'expérience]] (REX). <br />Ils doivent y être présentés, analysé et hiérarchisés, tout au long de l'avancée du projet et des sous-projets pour comprendre et partager les causes de difficulté ou d'échec, dans un esprit d'[[w:amélioration continue|amélioration continue]]. <br />D'autres personnes ou équipes pourront en bénéficier et ne pas reproduire les mêmes erreurs. <br />C'est aussi le lieu d'une mise à disposition ouverte des premiers résultats (qui peuvent alors être commentés et débattus en page de discussion, pour d'éventuelles solutions ou en faveur de l'abandon d'une piste dont les REX montrent qu'elle est un cul-de-sac, au moins dans les conditions financières et techniques du moment). '''Ces 4 formes de REX''' que la communauté a à étudier sont : # les retours techniques sur le {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}-drone lui-même ; ils concernent notamment la qualité et le comportement des « éléments » du {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} pris séparément ([[w:coque|coque]], [[w:chassis|chassis]], [[w:motorisation|motorisation]], [[w:hardware|hardware]] et [[w:software|sfotware]]...), ou le robot complet, notamment lors des tests en bassin ou en piscine, puis en vraie grandeur dans le milieu naturel (dont en condition difficile) ; # les retours internes des équipes ; en termes de conception/écoconception, d'organisation de la collaboration, de réalisation ; # les retours d'utilisateurs (experts et non-experts), à propos de l'[[w:ergonomie|ergonomie]] et la facilité d'usage et d'entretien du robot/drone ; # d'autres retours d'expérience, relatifs à d'autres types de robots subaquatiques ou de projets thématiquement proches, s'ils semblent utile à notre laboratoire. '''Rem :''' Les contributeurs sont invités à être synthétiques, techniques, clairs et précis. Les mots-clé peuvent être mis en gras. Le propos peut-être illustré de photos et schémas... (à préalablement déposer dans [[commons:Accueil|Wikimedia Commons]] via son [[commons:Special:UploadWizard|assistant d'import]]). == Retours techniques d'expérience == [[File:OpenRovProjetCh'tiPlouf2017a6Nacelle.jpg|thumb|L'un des modèle de nacelle de l'[[w:fr:OpenRov|OpenRov]]. Le plexiglas prédécoupé au laser doit être collé). Nous constatons que bien coller le plexiglas n'est pas toujours facile.]]. Ils concernent les essais préalables de systèmes, de matériaux, d'éléments du robot, de machines-outils, d'étanchéité, etc. ...puis les essais de prototypes en piscine (piscine d'essais acoustiques de l'[[w:fr:Institut supérieur de l'électronique et du numérique|ISEN]] dans notre cas), puis en vraie grandeur dans le milieu naturel (dont en condition difficile) ; * En octobre 2017, nous faisons quelques essais de collage de surfaces et bords d'éléments en plexiglas prédécoupés au laser. Nous constatons l'apparition de microfissures dans le film de colle (cf photo). De plus un essai de cube creux fait de plaques de plexiglas prédécoupées au laser s'avère ne pas être étanche.<br />Suggestion : 1) Des tests pourraient être refaits en collant les pièces avec une colle non-instantanée avant de placer l'objet sous vide pour un débullage complet. ; 2) Un [[w:wikilivre|wikilivre]] sur les colles et techniques d'encollages pour éléments subaquatiques et devant résister à une certaine pression et à des chocs thermiques serait bienvenu, qui pourrait être un chapitre d'un guide plus complet sur toutes les colles (il pourrait être co-écrit par des makers, des artisans et autres experts en la matière) {{...}} == Retours des équipes de conception/écoconception, réalisation sur les méthodes de créativité, de travail (Makers...) == === En phase de lancement du projet : === * '''Tempête de cerveaux ''' Le [[w:brainstorming|brainstorming]] initial, en discussions ouvertes, puis approfondi et assisté par un [[w:arbre heuristique|arbre heuristique]] s'est montrée très intéressante pour nos débuts (merci à Yann qui était au clavier et a produit l'arbre initial). Après enrichissement, il a servi à structurer les premières pages/Wikiversité du laboratoire (il fallait un début). Mais [[w:wikimedia Common|Commons]] ne semble pas (à ce jour) prévu pour le stockage de visualisations heuristiques en perpétuelle évolution (c'est une suggestion wikimédienne à faire remonter). C'est un prélude à une démarche de [[w:codesign|codesign]] (en projet avec plusieurs grandes écoles en 207-2018) * '''Framasoft''' : [[w:Framapad|framapad]] se montre facile à utiliser (pour l'écriture, il manque un équivalent pour le co-desing coopératif (ou existe-t-elle ?), et utile en situation de « travail asychrone », mais ce n’est pas encore un outil très connu. À encourager, sans oublier de verser le résultat final au pot commun dans wikiversité. Des mini-séances de prises en main de cet outil sont faciles à organiser (type ''formation action / minga'') * '''Visualiser et archiver''' les idées qui émergent est essentiel. Une tablette graphique, un vidéoprojecteur et une personne formée aux logiciels permettant de sculpter des formes seraient utiles pour dessiner et donner "en direct " des formes et pour la visualisation d'idées, par exemple pour des ateliers de design. L'archivage et le classement des croquis et idées dessinées est fastidieux (jeux de mots-clé à trouver ?). Quelqu'un a t il une méthode à proposer ? ( ⇒ en page de discussion). * '''Montrer, partager des images déjà réalisées''' (sans {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} et avec {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}) pour mieux faire comprendre l’intérêt du projet et ce qui pourra être fait avec un bon petit {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}. Un espace (des catégories/sous-catégories...) est à ouvrir dans [[w:Wikimedia CommonsWikimedia Commons]] pour mieux classer des images de {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} et des images faites par des {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} (catégories en anglais ou aussi en français avec redirections vers l'anglais ?). <br />Une bonne illustration de nos pages sur Wikiversité (et des pages correspondantes de wikipédia) serait également utile. La conférence de présentation du projet ch'ti plouf était basée sur une vidéo, mais accompagnée d'une expo-photo (Lille, février 2016) pour le lancement du Crowdfunding du projet Ch'ti plouf. <br />Une galerie (virtuelle) d'images bien commentées (en plusieurs langues et hypertexte) pourrait aussi enrichir les couloirs de notre wiki-laboratoire. == Remarques générales == === Système anti-vol et antipiratage === Suite à une expérience de vol de matériel couteux et difficile à remplacer (en pleine mission), il est suggéré de prévoir une sécurisation <br />(Alarme ? code ? tracking ? option de désactivation, possibilité d'accrochage antivol intégré, y compris pour les contenants de transport et du matériel de contrôle, etc.). Bonnes idées bienvenues ... De même il convient de protéger le logiciel de télécommande de possibles interférences et du piratage. === Facilités de transport === Les scientifiques, photographes et naturalistes doivent pouvoir facilement emporter ce {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} en mission en mer, dans la jungle, une [[w:fr:mangrove|mangrove]], en montagne dans les grottes sur des récifs ou en exploration spéléologique. Le {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} peut sans doute être encore miniaturisé (par rapport aux solutions existantes), mais les versions très miniaturisées risquent d’être moins stables ailleurs que dans les eaux stagnantes. ''Constat'' : Les {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} professionnels sont souvent très lourds et malgré des efforts de la part des concepteurs, de nombreux mini-{{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} sont encore assez difficiles à transporter sans véhicule motorisé (ex : pas de poignées ergonomiques, pas de tampons amortisseurs ni roulettes...). <br />Nos designers et ergonomes peuvent-ils aussi configurer la coque du {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}, ou un « petit matériel ergonomique connexe » (ex : sangles/bretelles, roulettes + amortisseur) de manière à pouvoir le transporter facilement, dont sur un vélo ou « comme un sac à dos », tout en veillant à ce qu’il soit bien protégé des UV, des chocs, qu’il puisse être désinfecté et permettre qu’il se vide de son eau résiduelle et puisse sécher sans moisissures. Idem pour l'interface homme-machine. === Facilités énergétiques === [[File:2OpenRov batteries chargers ProjetCh'tiPlouf2017.jpg|thumb|Rack de chargement de trois batteries, avec écran de contrôle, recommandé pour l'OpenRov, capable de simultanément charger des piles rechargeables "26650" au lithium et à haute capacité Li-NiMnCo "26650". Inconvénient : le temps de charge est assez long]] Se trouver en panne de batterie à un moment crucial est très désagréable. <br />Recharger une batterie en plein jungle ou "loin de tout" n’est pas aisé. < <br />Peut-on envisager et designer un kit léger et solide de recharge photovoltaïque pour le {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} et son interface. Ce kit pourrait être flottant, car il y a plus de lumière et un refroidissement possible des modules photovoltaïques, mais l'exposition aux embruns et le risque électrique sont à prendre en compte. Option possible : l'emballage de transport (dur ou souple ou dur-souple, partiellement gonflable/flottant ?) peut il être également photovoltaïque (et doté d'une ventilation passive ou active pour le séchage du matériel). === Interfaces intuitives ? === Les [[w:Interface homme-machine|interfaces avec les {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}]] ne sont pas toujours conviviales et intuitives, ni facile à utiliser en plein soleil (où il devient difficile de lire la plupart des écrans) comme sous la pluie ou la neige. L'opérateur d'un drone subaquatique est souvent situé dans l'eau, sur une berge ou une embarcation. Dans tous ces cas il existe un risque spécifique lié à la proximité de l'eau. Pour la sécurité de l'utilisateur, le casque de vision, s'il est utilisé de devrait pas complètement ni « ''trop ''» isoler son utilisateur de son environnement proche. === Facilité de récupération === Un {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} même bien conçu et équipé de systèmes redondants ou de secours peut être accidentellement piégé dans une anfractuosité, un filet de pêche, un amas dense de branches, de racines ou de plantes aquatiques. Il faut alors pouvoir le repérer et le récupérer aussi facilement que possible. === Géopositionnement, mémorisation de parcours... === L'[[w:Odométrie|Odométrie]] (mesure de la position d'un véhicule en mouvement) ne peut être utilisée. Une fonction GPS n’est pas aisément disponible sous l'eau. Existe-t-il un moyen raisonnablement accessible de permettre au robot de bien se situer dans l'espace (coordonnées X-Y, la profondeur (Z) pouvant être déterminée par des capteurs (de pression) existants. === Métadonnées, pré-traitement et gestion des images === Après une mission longue et/ou fatigante, il n’est pas facile de se souvenir avec précision du lieu, du moment, de la profondeur ou des circonstances d'une observation ou d'un échantillonnage. L'enregistrement automatique et intelligent de métadonnées (et pourquoi pas de commentaires audio de l'opérateur ou d'un observateur associé) est à envisager. Il est utile d'associer aux métadonnées une image du décor automatiquement archivée en début/fin de mission et quelques prise de vues (avec le pt GPS au moment de l'immersion). Les propriétés optiques de l'eau et sa fréquente [[w:fr:Turbidité|turbidité]] déforment l'image et causent des problèmes d'absorption et de diffusion de la lumière, qui imposent d'apporter des corrections de réglages de la distance, et de compenser la perte d'intensité lumineuse et d'une partie du spectre de couleur par l'utilisation d'un éclairage d'appoint (phares étanches). Parfois des lasers de télémétrie permettent de mesurer la distance à l'objet filmé ou observé. des logiciels et [[w:fr:algorithme|algorithmes]] embarqués peuvent automatiquement pré-traiter et améliorer l'image (''in situ''), valorisant sur divers travaux ont porté sur le ''« débruitage »'' d'images sous-marine, avec par exemple quatre filtrages successifs : un filtrage homomorphique réduisant les défauts d'illumination, un filtre de débruitage par ondelettes, un filtrage anisotropique pour atténuer le bruit et renforcer les contours, et ''in fine'' une correction automatique des couleurs, nuances et contrastes rendant l'image souvent bien plus nette et facile à interpréter<ref>Bazeille, S., Quidu, I., Jaulin, L., & MALKASSE, J. P. (2008). ''Une méthode de pré-traitement automatique pour le débruitage des images sous-marines (Automatic Underwater Image Denoising)''.</ref>. L'imagerie peut être élargie à des longueurs d'onde non-visible via le sonar qui permet de reconstituer le relief d'objets (par exemple des objets archéologiques sur le fond)<ref>Gracias, N., Ridao, P., Garcia, R., Escartín, J., L'Hour, M., Cibecchini, F., ... & Magi, L. (2013, June). [http://www.academia.edu/download/42947045/-_Mapping_the_Moon__Using_a_lightweight_20160222-7616-hz6qx9.pdf ''Mapping the Moon: Using a lightweight AUV to survey the site of the 17th century ship ‘La Lune’.''] In Oceans-Bergen, 2013 MTS/IEEE (pp. 1-8). IEEE.</ref> Pré-traiter automatiquement les images implique des capacités de calcul et une consommation d'énergie supplémentaire ; cette option qui pourrait être désactivable à la demande, ou uniquement mise en route quand une connexion filaire (ou à haut débit par un autre moyen) est établie. Pour gagner en mémoire, l'opérateur devrait pouvoir effacer à distance des images visiblement ratées ou inutiles. === hélices bloquées, sous-marin piégé par des algues filamenteuses === [[Fichier:SM jouet accrochage2.jpg|thumb|Les deux imagettes montrent ce micro-sous-marin rapidement piégé dans un tapis de petites (courtes) algues filamenteuses quand il s'est posé sur le fond. (Des algues plus fines que des cheveux, ancrées sur le substrat se sont prises dans les deux hélices arrières).]] * Essai d'un micro sous-marin (jouet) à 3 hélices (une hélice interne protégée dans un tube verticale, et 2 hélices à l'arrière) sans fil (télécommandés/commande radio efficace jusqu'à 5-{{unité|6|{{abréviation|m|mètre}}}} environ de distance, mais je n'ai pas testé avec l'antenne sous l'eau et en l'orientant de différentes manières). <br />Test 1 (dans la [[w:Moyenne-Deûle|Moyenne-Deûle]]) : Le sous-marin est bloqué en quelques secondes en présence de longues algues filamenteuses (enroulement autour du moyeu et des pales des hélices arrière. <br />Test 2 : dans une zone à très faible courant, sans longues algues filamenteuses ni plantes, mais en présence d'un amas de branches et d'un tapis de petites algues filamenteuses formant une sorte de gazon un à qqs cm de longueur). le mini-sous marin ne se bloque pas dans les branches si on ne cherche pas à entrer dans l'ama, mais il se bloque et reste accroché après quelques tentative d'immobilisation sur le fond tapissé de petites algues filamenteuses. <br />Rem : Ayant prévu cela j’avais accroché un fil de nylon (fil de pêche) fin et léger mais solide au sous-marin. La tension du fil ou la pression d'un faible courant sur ce fil suffit à fortement dégrader la manoeuvrabilité du sous-marin. '''Déductions ''' # La solution sans fil est à privilégier pour les petits {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}, surtout s'ils doivent effectuer des mouvements complexes ou faciles à contrôler (nécessaire pour faire de bonnes photos). # Le problème des algues filamenteuses doit être considéré (protection spéciale optionnelle ou permanente ?) # Ici la batterie n'était pas interchangeable, le temps de recharge est "perdu". # le système de commande devrait être plus ergonomique et intuitif, 5) L'engin réagit trop systématiquement "brutalement" à la commande. C'est utile pour éviter un obstacle, mais cela nuirait à des prises de vues nécessitant des positionnement précis, un mouvement harmonieux ou par exemple le suivi d'un organisme mobile. === Problèmes de mise en suspension de sédiment === Il faut au moins provisoirement pouvoir éviter qu'il y ait de l'eau pulsée vers le bas (par hélice ou tuyère), car dans les milieux [[w:lentique|lentiques]] et vaseux ou riches en [[w:Moule zébrée|moules zébrées]] le [[w:Sédiment|sédiment]] fin est alors immédiatement remis en suspension, formant un nuage qui trouble l'eau et ne se redéposant que très lentement. Ce nuage, même léger empêche les prises de vues de qualité.<br />L'un des nouveaux modèles de miniRov mis sur le marché en 2017 (conçu en Norvège et dénommé Blueeye) est présenté comme ayant pris en compte ce problème grâce à une chambre verticale d'hélice qui dévie légèrement le flux d'eau expulsé vers l'horizontale, alors que son 1er prototype expulsait directement l'eau verticalement vers le bas<ref>https://www.blueyerobotics.com/voyage</ref> === Problèmes liées aux bulles d'air/oxygène === [[Fichier:Nucleation finger zoom.jpg|thumb|Nucléation de bulles autour d'un doigt plongé dans une eau saturée de gaz (ici de {{formule chimique|CO|2}}, mais le même phénomène peut survenir avec de l'oxygène dans une eau saturée d'oxygène ou avec un autre gaz soluble dans l'eau).]] [[Fichier:Sumarine toy test 2015-06-24 French Rov project on Wikiversity.jpg|thumb|Petit sous-marin (jouet) testé dans un cours d'eau riche en phytoplancton et donc saturé en oxygène durant la journée. Des bulles se forment spontanément (nucléation) sur la coque. La partie supérieure en a été débarrassée quand l'engin est remonté plusieurs fois en surface, mais les bulles persistent dans la partie inférieure de la coque. Si de telles bulles se forment sur une caméra ou système photo embarqué, elles dégradent la qualité des images.]] Ce n’est pas un problème fréquent, mais en été dans les eaux saturées d'oxygène et riches en plantes et/ou en plancton, le "décor" est en quelques heures tapissés de bulles d'oxygène et certaines plantes relâchent périodiquement des filets de bulles. Étant donné la viscosité de l'eau et la petite taille de ces bulles. Deux problèmes peuvent alors survenir : ==== Bulles d'air collées sur un objectif ou une fenêtre de vision ==== De petites bulles (0,2 à {{unité|1|mm}} de diam en général) se forment souvent au moment de l'immersion. '''Constat''' : Certaines de ces bulles se collent volontiers sur des microreliefs et en particulier sur le bord d'un objectif photo ou d'une caméra ou sur les bords d'une fenêtre de vision ou sur un capteur. Ces bulles sont souvent peu visibles au moment de l'immersion et sur les écrans de contrôle, mais elles peuvent persister plusieurs minutes (voire plus de 10 min si le {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} ne se déplace pas rapidement) et dégrader la prise de vue. <br />Un moyen de les éliminer est de nettoyer manuellement (sous l'eau, par ex au moyen d'un pinceau doux) les fenêtres de vision ou zones sensibles au moment de la mise à l'eau ou d'une réimmersion du Rov. <br />Un autre moyen est de faire plusieurs fois monter et descendre le {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} au niveau de la surface au moment de l'immersion, ce qui chasse généralement les bulles. Mais la méthode n’est pas toujours efficace ou peut-être l’occasion d'aussi couvrir les objectifs ou fenêtres de vision d'un biofilm collant tout aussi gênant (voir plus bas). <br />Rem : Ces bulles sont bien plus gênante sur les objectifs de petite taille, et nous cherchons justement à miniaturiser les systèmes embarqués. Des bulles peuvent aussi être « captées » par le {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} lors qu’il survole ou frôle des plantes ou un décor riche en algues ou [[w:Cyanophycée|cyanophycées]] en train de [[w:Photosynthèse|photosynthétiser]]. '''Questions :''' # peu on traiter ces surfaces pour empêcher les bulles d'y adhérer ? <br />(les détergents sont efficaces, mais non recommandés par les fabricants ou incompatibles avec certains joints polymères). # un système mécanique simple de nettoyage est il envisageable ? ... de type essuie-glace (ou paupière en version biomimétique ? ) <br />Rem : Cela est rare, mais notamment en mode "''observation fixe avec {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} posé au fond ou accroché à un élément du décor''" il peut arriver qu'un escargot aquatique, une limace de mer, une sangsue ou d'autres organismes escaladent le {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} et passent sur l'objectif. Il arrive aussi que quand le {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} avance ou fait face au courant, une algue filamenteuse, une feuille en décomposition se colle inopportunément sur un objectif ou une fenêtre de vision. Le même système pourrait-il aussi permettre de les décoller (le cas le plus difficile est celui de la sangsue, mais il est rare ; une fois en {{unité|1|an}} pour ma part) ? ==== Désaturation de l'eau par temps d'orage ==== Exceptionnellement (par temps d'orage avec forte dépression), un phénomène de désaturation d'une eau très oxygénée peut se produire. Les objets (même couverts de téflon) qui y sont plongés se couvrent alors en quelques minutes d'un tapis dense de microbulles d'oxygène qui s'accroche aux surfaces des objets immergés (phénomène comparable au dépôt de rosée lorsque le point de condensation est atteint, mais en quelque sorte « inverse »). Ceci n'est gênant qu’à la surface de certains capteurs ou sur les objectifs ou fenêtres de vision (voir ci-dessus) === Problèmes de biofilm === Dans les eaux stagnantes et/ou [[w:eutrophisation|eutrophes]], il est fréquent qu'un [[w:biofilm|biofilm organique]] ou un tapis de [[w:Lentille d'eau|lentilles d'eau]] recouvre tout ou partie de la surface de l'eau. Au moment de l'immersion ce biofilm peut parfois entièrement recouvrir le {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}. Ceci peut éventuellement gêner la prise de vue si les objectifs ou fenêtres de vue sont concernés. Ce problème renvoie à ceux qui sont cités ci-dessus === Pollutions (huileuses notamment) === Des taches ou traces d'[[huile minérale|huiles minérales]], d'[[w:essence (hydrocarbure)|essence]] ou de [[w:fuel|fuel]] dérivent ou flottent souvent sur les canaux et dans les ports industriels, de pêche ou de plaisance, bassins d'orages, etc. <br />Du [[w:pétrole brut|pétrole brut]] ou plus ou moins dégradé en [[w:Goudron|goudron]] (parfois très collant) est également trouvé en contexte de [[w:marée noire|marée noire]] ou suite à un accident industriel ou routier en eau douce. Ces produits peuvent tâcher la coque et les objectifs, des capteurs et les fenêtres de vision, dégrader les éléments en [[w:silicone|silicones]] et d'autres [[w:polymère|polymères]], de même que certains solvants de nettoyage. Dans ce cas, l'opérateur peut immerger le {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} dans une zone épargnée (propre), ou protéger le robot dans un étui (un sac-poubelle suffit) pour ensuite libérer l'engin sous la surface (dans une eau ''a priori'' « propre », si elle n’est pas trop agitée). La récupération du {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} doit se faire de la même manière, mais elle est souvent plus délicate. Il convient d'alors au moins protéger les fenêtres de vision et les sondes ou capteurs vulnérables. '''Questions :''' # Peut-on prévoir une protection transparente système (manuel, permanent ou non ou intégré ou optionnel ?) d'occultation/protection (transparente) des objectifs ou de la fenêtre de vision, ou d'un filtre (cf. filtrage d'eau de ballast) ? # Ce système pourrait par exemple s'activer automatiquement (mécaniquement et passivement si possible) au moment de l'immersion ou de l'émergence du {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}. === Problème de buée === De la buée sur surfaces de vision (lentilles, fenêtre de plexiglas...) peut traduire un problème de condensation ou, ce qui est plus grave, la présence d'une fuite. S'il ne s'agit pas d'une fuite, des sachets déshydratants (qui demandent parfois plusieurs heures pour assécher l'air du ROV) y remédient. La finalisation du ROV dans un air sec est aussi une mesures préventive. == Problèmes de vision induits par les algues, matières ou débris en suspension == Il est scientifiquement intéressant de pouvoir observer ce qui se passe dans les situations de blooms planctoniques et/ou de [[w:fr:Marée verte|marée verte]] ou dans les [[w:laisse de mer|laisses de mer]] Dans ces cas, le {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} peut se retrouver dans un milieu visuellement saturé d'algues vivantes et mortes et éventuellement d'objets divers (branches, fils, morceaux de filets de pêche, etc).. Questions : # comment faire pour que les algues et autres objets en suspension dans l'eau nuisent le moins possible aux déplacement et contrôle du {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} (et donc la motorisation) ? # est-il possible (par moment) d'éloigner les objets en suspension de la fenêtre de vision ou des objectifs (par un flux d'eau propre associé à un léger recul du {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} de manière à pouvoir à mieux observer et photographier les organismes présents. == Analyse commentée et REX d'autres projets == [[Image:FMIB 47536 Photograph showing the method of using the reflecting camera inclosed in the water-tight box for subaquatic work The upper part.jpeg|thumb|Que retenir des expériences des pionniers de la [[w:Photographie sous-marine|photographie sous-marine]], et de leurs successeurs ?]] [[Image:FMIB 35606 Showing Boutan's Method of Obtaining Instantaneous Photographs of Fish with his Third Apparatus.jpeg|thumb|Quel robot/drone [[w:Louis Boutan|Louis Boutan]], pionnier de la photo subaquatique pourrait il aujourd'hui rêver et construire ?]] [[File:Cirroteuthis muelleri.jpg|thumb|Dispositif de succion équipant un {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}, cherchant à délicatement capturer (à fins d'étude) un spécimen de pieuvre des grands fonds (''[[w:Cirroteuthis muelleri|Cirroteuthis muelleri]]''). Un système d'obturation permettrait de filmer l'animal de près puis le relâcher]] '''Rem générale et préalable''' * pour tous les projets filaires : parfaits en eau libre, mais problématique dans les milieux complexes (épaves, mangroves, branchages et ronces immergées, etc. * pour toutes les motorisation à hélices : problématiques en milieux riches en algues filamenteuses '''Concernant d'autres projets''' * '''OpenRov''' ; intelligent, plein de qualité, très rapide pour la dernière version, mais avec fil un peu encombrant, et encore à améliorer pour répondre à nos besoins photo/vidéo et de contrainte de milieu (cf. [[Recherche:Mise_au_point_d'un_drone_subaquatique/Cahier_ces_charges_(ce_qu'on_demande_au_robot)|notre cahier des charges]]). Coopération à envisager. * [[w:SCINI|SCINI]] (avec programme pédagogique en lien avec le rectorat de Renne à partir de mai 2013) dont en milieu extrême ; voir [http://www.discoverygreenland.com/science/robot-sous-marin-rov/ Rov-torpille modulaire, de moins de {{Unité|20|{{Abréviation|kg|kilogramme}}}} pur l'exploration des eaux sous-glaciaires et de banquise, jusqu'à {{unité|300|{{abréviation|m|mètre}}}}] (mission Under the Pole II) * '''[http://ibubble.camera/fr/camera-sous-marine-autonome/ I bubble]''', projet brillant de caméra sous-marine dite "autonome" (8 moteurs et {{unité|100|{{abréviation|m|mètre}}}} de fil non visible sur images de présentation), apparue sur l'internet en 2016, mis au point par Kévin Delfour et Xavier Spengler développé avec Startup Maker (accélérateur et financeur de start-up dans la région grenobloise connu pour la [https://hexoplus.com/fr/?utm_expid=87360527-2.ZNXOsYEJT3mnjIn4zHWdRQ.0&utm_referrer=https%3A%2F%2Fwww.google.fr caméra-drone Hexo+] qui peut suivre et cadrer une cible en mouvement, et connu par une campagne Kickstarter de 1.3M$ en 2014). En 2016, Nicolas Gambini et Benjamin Valtin sont CEO et Responsable des Ventes de Notilo+. Ce projet combine des formes logiques et les principes de deux de nos premières esquisses (forme arrière et générale et motorisation), que nous avons au moins provisoirement abandonné pour recherche une solution adaptable au contexte des algues filamenteuses. C'est sans doute le projet qui s'approche le plus du nôtre pour une partie de ses objectifs, mais plutôt dédié aux plongeurs (avec un esprit très « ''[[w:Selfie|Selfie]]'' ») et pour l'instant à la GoPro. Si le projet tient ses promesse, on peut s'attendre à une énorme amélioration de qualité technique des films subaquatiques semi-amateurs (et à des milliers d'heures supplémentaires de vues d'hommes-grenouilles en train de se filmer eux-mêmes). == Retours d’utilisateurs finaux == Concernant les facilités ou difficultés de de commande, de transport et d'entretien, ou l'ergonomie du robot, etc. remarques et propositions concernant les premiers prototypes à venir : * '''Laver/Désinfecter facilement l'engin''' ; comment faciliter ces opérations ? * '''Télécontrôle''' ; A faciliter (par ex pour un opérateur dans un bateau en mouvement, sous la pluie, etc.) * '''Gaines de câbles en polymères, et fil de nylon''' : Quand ils sont neufs et souples, ils s'accrochent peu. Mais en vieillissant ils deviennent respectivement plus râpeux (après s'être frottés sur des rochers par ex) et défibrés (pour le câble nylon) et s'emmêlent alors plus facilement. Certains fils (nylon tressé ou enroulé) tendent aussi à se tordre ou détordre dans l'eau en interférant avec les mouvements du {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}. Un dévidoir plus facile à utiliser (à manipuler au pied par ex) serait également intéressant. Un petit {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} coincé dans un roncier immergé est difficile à en sortir sans plonger avec un sécateur. : ''Rem 1'' : laver au savon un fil nylon un peu dégradé fait qu'il s'emmêle moins lors de son prochain usage. : ''Rem 2'' : plus un {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} est léger, plus la pression du courant sur le fil (voire la pression du vent sur la partie du fil qui est dans l'air) interfère avec le guidage et les mouvements de l'engin (d'où l'intérêt de pouvoir solidement "fixer" le drone à un objet stable quand il y a du courant). == Exemples de R&D dans le monde == === En France === ==== Aquadrone, "pour l'exploration et la surveillance des lacs et des rivières" ==== Ce beau projet (également [[w:OpenSource|OpenSource]]) a été initié par l'[[w:Agence Française pour la Biodiversité|Agence Française pour la Biodiversité]]. <br />Evolutif et co-porté par L'[[w:ESIPE|ESIPE]] et par le pôle INSIDE (Université Paris-Est-Marne-la-Vallée, UPEM) dédié à l' ''Interopérabilité des systèmes d'information sur l'eau'' ; il est dédié à la surveillance de milieux subaquatiques (plans d'eau et cours d'eau à faible courant). Il emporte un module de [[w:Géolocalisation|géolocalisation]] sur l'eau (et, ce qui est beaucoup moins facile, notamment dans le courant et les remous sous l'eau). Il est contrôlé (et filoguidé) depuis la berge, avec une vidéo embarquée. <br />Le projet a techniquement commencé en septembre 2016 à l’ESIPE (école d’ingénieurs) avec un groupe ''Last project''. <br />'''1ère phase''' : [[w:Topographie|cartographie topographique]] des fonds avec accès en temps réel à la donnée(sur logiciel [[w:Système d'information géographique|SIG]]) ; le ROV reprécise sa position à chaque fois qu'il émerge et un [[w:algorithme|algorithme]] corrige alors les données déjà acquises directement sur les « postes clients » ; en cas d'anomalies le pilote peut renvoyer le drone sur place pour vérification ou en savoir plus. Le ROV pourra embarquer des sondes physico-chimiques, sonars… et de ramener beaucoup d’information (nuages de points pour la topographie) au service notamment de modélisation des fonds et des habitats. Le premier test grandeur nature du prototype a été effectué par l'équipe projet transversale DAPP(INSIDE, DSOD)/DREC(RDI), les étudiants, et la direction interrégionale Normandie- Hauts de France de l’AFB/ONEMA au au [https://www.google.fr/maps/place/AFB-Paraclet/@49.8182631,2.3950119,17z/data=!4m12!1m6!3m5!1s0x47e7902f1bf64dd7:0x74eacbbc52b66bd!2sEPLEA+LE+PARACLET!8m2!3d49.822316!4d2.390318!3m4!1s0x0:0x1c8be00728198a8f!8m2!3d49.8181901!4d2.3991112 ''Domaine du Paraclet''] à [[w:Fouencamps|Fouencamps]] (Centre de formation sur l'eau et les milieux aquatiques de l’[[w:ONEMA|ONEMA]]) début mars 2017, avec succès. <br />Le ROV utilisé comme plate-forme de départ est le BlueROV2 (produit par BlueRobotics) qui permet une grande modularité. Architecture logicielle : proposée par l'ESIPE (édudiants) et validé par l'AFB, avec simulation de flux MAVLink ("permettant de rejouer des sorties afin d'affiner ultérieurement les calibrages logiciels en mode développement". Coût espéré de l'aquadrone (équipé) < {{unité|5000|€}} TTC. <br />Bravo à cette équipe [pour l’AFB les référents sont : Alexandre Liccardi (DAPP, INSIDE), Laurent Breton (DAPP), Gabriel Melun (DREC) + Yann Galez (SD76), Philippe Rosan (SD62), Baptiste Roussel (DIR Normandie Hauts de France), Caroline Pénil (DAPP), François Hissel (DAPP)] ; et à l’ESIPE : Jérémie Collomb, Julien Roussel, Philippe Strock, Loïc Szymanski, Thibault You, Jérôme Goasdoue, Théo Pascoli, François Vanderperre<br />...et pour en savoir plus : http://www.pole-inside.fr/fr/aquadrone === En Europe === * '''SHOAL''' a été un consortium (2012) portant un projet d'essaim de poissons-drones pouvant surveiller et rechercher la pollution dans des ports et d'autres zones aquatiques. Le projet était porté par Luke Speller et soutenu par le 7ème PCRD (Challenge 2: Cognitive Systems, Interaction, Robotics) : [http://www.roboshoal.com/featured-items/advanced-intelligence-and-swarm-intelligence/ Artificial Intelligence and Swarm intelligence], de design robotique pour le milieu aquatique<ref>[http://www.roboshoal.com/featured-items/advanced-intelligence-and-swarm-intelligence/ Voir] </ref>, avec modélisation mathématique du mouvement natatoire et travail sur les aspects mécaniques, de contrôle du mouvement, des capteurs...), un volet [http://www.roboshoal.com/featured-items/chemical-analysis/ analyses chimiques] (Comment créer de nouveaux sous-systèmes de capteurs chimiques intégrables au concept global du robot), un volet [http://www.roboshoal.com/featured-items/underwater-communication/ Communication subaquatique] (pour un réseau Ad-hoc sous-marin mobile (UMANet) en conditions environnementales difficiles) et un [http://www.roboshoal.com/featured-items/hydrodynamics/ volet hydrodynamie] visant des moyens adaptés de modélisation de dynamique des fluides et de tests hydrodynamiques. {{Bas de page | idfaculté = environnement | précédent = [[../Stabilisation (gyroscopique, élasticomécanique...)/]] | suivant = [[../Aspects éthiques/]] }} tn3d4kao5e2akbwyhgu4suxs3gx1ar6 104 56492 988298 947335 2026-11-11T17:53:17Z Crochet.david.bot 1005 corrections en provenance de « Check Wikipedia » 988298 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ {{Chapitre | idfaculté = environnement | numéro = 4 | niveau = | précédent = [[../Cahier des charges (ce qu'on demande au robot)/]] | suivant = [[../|Sommaire]] }} Les progrès de la robotique subaquatique sont rapides, mais il n'existe pas encore de drone subaquatique petit, fiable, intelligent, contrôlable et « très bon photographe ». Relever ce défi implique de mobiliser de multiples compétences (vous notamment) et de faire en sorte qu’elles puissent se coordonner intelligemment. Notre projet est contributif et collaboratif ; ceci signifie qu’il n'y a pas de chefs et que les rôles sont dans la mesure de nos compétences interchangeables ; Chacun, selon ses compétences, ses affinités et ses disponibilités peut coopérer au sein de l'une (ou plusieurs) des équipes suivantes. Parfois on préférera travailler seul. Dans les deux cas, chacun doit pouvoir à tout instant se signaler aux autres et repérer (ci-dessous notamment) les taches en cours ou à préparer. Travailler sans chef peut paraitre incongru ou impossible à certains, mais c'est ainsi que Wikipédia s'est construit et qu'il est devenu incontournable en moins de {{unité|10|ans}} ; notre projet est bien moins ambitieux. Les départements proposés ci-dessous sont donc purement ''virtuels'', vous pouvez proposer (en page de discussion) de les réaménager, étendre, fusionner ou d’en ajouter d'autres (leurs noms sont néanmoins inspirés de la gestion de projets similaires par d'autres équipes) ; Leur intérêt est « organisationnel » (ce qui n’est pas rien) ; Notre laboratoire se développe au sein de la Wikiversité ; toute personne si elle en a (ou acquiert) les compétence peut donc être active dans plusieurs de ces unités, ici dénommés bureaux ou départements pour conserver des repères habituels ; Chacun peut aussi passer de l'un à l'autre et interrompre ses contributions quand il le souhaite. La méthode est collaborative : chaque département, chaque personne et équipe s'auto-organise, mais en décrivant ( ⇒ écrire et archiver dans notre wiki-laboratoire ses avancées, ses échecs, ainsi que les tâches terminées, en cours et à faire). Vous pouvez faire (aimablement) toute suggestions que vous jugez utile aux autres personnes ou groupes. Ceux qui aiment écrire peuvent prendre en charge la rédaction ou le ''rewrighting'' et les photographes et modélisateurs se charger de l'illustration (cela fonctionne très bien dans Wikipédia). Ceux qui parlent anglais peuvent résumer nos avancées en anglais pour nos amis et partenaires étrangers (Idem pour d'autres langues éventuellement). Chacun peut-être un peu archiviste ; Merci à tous. Le vrai carburant et moteur de ce projet (utile et nécessaire aux avancées scientifiques en matière de connaissance et protection de la vie subaquatique) seront respectivement le plaisir que chacun aura à apprendre et à y contribuer, et le plaisir de partager nos avancées avec d'autres (qui en retour souvent nous aideront à aller plus loin). == Le « bureau de la mise au point » (conception-programmation-évaluation) == Bien qu'en partie "virtuel" il affine le '''[[Recherche:Mise_au_point_d'un_drone_subaquatique/Cahier_ces_charges_(ce_qu'on_demande_au_robot)|cahier des charges]]''' du drone (que demande-t-on à ce drone subaquatique ?) Il traduit les souhaits et besoins exprimés par le cahier des charges en propositions de "solutions techniques efficaces" ; via des options techniques et stratégiques (''Ex : peut-on et faut-il séparer les fonctions du {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} en ''racks'' ou en modules interopérables faciles à changer en cas de panne ? Comment permettre l'ajout de fonctions optionnelles "[[w:Plug & play|plug & play]]" sans déséquilibrer physiquement, énergétiquement et « informatiquement » le drone, etc.''). <br />Pour cela, il peut proposer ou modéliser plusieurs variantes du {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}, au vu des retours d'expérience, d'éventuelles nouvelles demandes en les croisant avec des solutions techniques disponibles ou à imaginer. Il peut s'inspire des [[w:Démarche qualité|démarches dites de qualité]] et d'[[w:Amélioration continue|amélioration continue]]. Il facilite le travail de coordination des membres de la communauté. Il aide à ce que tout le monde puisse se tenir au courant des avancées de chaque tache et groupe. Il programme, réunit et gère les budgets en préparation (fonds propres, crowd-funding (en cours), subventions, dons monétaires ou en nature de sponsors, fondations, entreprises... prix de concours, etc.), de manière transparente (assurance, financement du "magasin", etc.) et en lien avec le bureau de la comptabilité (qui lui n’est pas virtuel). S'il en a les moyens, il peut aussi acheter des machines ou louer des services (test en soufflerie ou en bassin d'essai...) financer des missions d'ingénierie ou de production de certaines pièces difficiles à produire par nos propres moyens. == Département CAO (Conception assistée par ordinateur) et de co-design == Il est au service des autres départements et équipes et associé aux essais et prend en charge les « crash-tests ». Le codesign consiste ici à développer le {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}/Drone en lien avec l'utilisateur final pour que ses besoins soient réellement pris en compte. La CAO permet aujourd'hui un prototypage virtuel et l'adaptation ou le renouvellement rapide des plans au fur et à mesure que le projet avance. [http://oselille.org/ OSE-Lille] (OSE = [http://www.osefrance.fr/ ''Open Source Ecologie'']) élabore en 2017 une méthode permettant de garder une grande cohérence, mémoire et traçabilité dans la chaine des versions, évolutions et améliorations du robot. Les dessins et modélisations permettent à tous de mieux comprendre les éléments et fonctionnalités du robot. Une partie d'entre eux permettent aussi de montrer aux finançeurs l'état d'avancée et les perspectives du projet. == Le magasin == Presque purement virtuel, il est constitué de volontaires qui aident la communauté des makers à se fournir en outils, matériels et matériaux (achat, transport, et mise à disposition). Sans attendre qu'on leur demande, les magasiniers cherchent, grâce à une veille technologique, à anticiper sur les besoins des équipes, y compris en explorant les ressources géographiquement proches en compétences, outils et matériels (ré)utilisables. Si aucun volontaire n'est disponible, chaque équipe s'occupe de ses besoins. == Département Programmation informatique == Les membres de cette l'équipe (informaticiens, programmateurs) préparent, testent et améliorent les aspects informatiques, cartes, communication (WI-FI, HF, BF?...), logiciel de modélisation, de débogage, de contrôle du {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} (motorisation, stabilisation, vision), et interface homme-machine. Ceci doit se faire en lien étroit avec l'équipe en charge des aspect électromécaniques. == Département robotique et électromécanique == Il assure l'ingénierie des aspects robotiques. Pour cela, il prépare, teste et améliorer l'infrastructure électrique, qui supportera la motorisation et le matériel informatique. Il teste les systèmes de sonar/pinger. == Département mécanique == Elle conçoit, fabrique et teste le châssis, la coque, les compartiments du sous-marin, en veillant à l'étanchéité des composants qui doivent être hors d'eau et à la stabilité du {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} ainsi qu'aux aspects hydrodynamique et hydrostatique. Elle peut s'appuyer sur des logiciels de CAO, le prototypage rapide, l'usinage et l'impression 3D. Elle teste les système pneumatiques et de propulsion. == Le bureau de l'animation et des partenariats == C'est là que se préparent les formations (conviviales), les communiqués internes et externes, les animations internes et externes et la valorisation pédagogique et culturelle du projet. Elle peut contribuer à faciliter la formation par les pairs ou à l'extérieur. Cette équipe s'occupe aussi d’établir et entretenir des partenariats avec des écoles, universités, entreprises ou {{abréviation|ONG|organisation non gouvernementale}} intéressés par le projet ou qui voudrait profiter du projet pour former des étudiants ou salariés à acquérir une expérience de l'ingénierie ou des méthodes collaboratives et contributives. == Le bureau des balayeurs/balayeuses, de l'hygiène et de la sécurité == Tout le monde en fait partie. Il veille à ce que le matériel soit bien rangé, les salles propres et que l’on travaille dans les meilleures conditions (masques, aspirateurs, boules quies, gants, lunettes et vêtements de protection à chaque fois que nécessaire. Il veille aussi à ce que les déchets pouvant être recyclés le soient effectivement ( ⇒ tri sélectif). <br />Lors des essais en piscine et dans la nature, il conviendra également de prendre connaissance des règles de sécurité et de les respecter. {{Bas de page | idfaculté = environnement | précédent = [[../Cahier des charges (ce qu'on demande au robot)/]] | suivant = [[../|Sommaire]] }} a0rgx1x7nmje7i5cttl7mh5ss3q0lzs 3 57014 988299 961312 2026-11-11T17:54:29Z Crochet.david.bot 1005 corrections en provenance de « Check Wikipedia » 988299 wikitext text/x-wiki {{Bandeaux ateliers université de Lille |atelier = [[Recherche:Atelier-Projet « Analyse de soutenabilité, évaluations environnementales » à Lille 1]] |session = 2015-2016 |lien_atelier = v: Recherche:Atelier-projet « Wikipédia et MediaWiki » |institution = [[w:Université Lille I|Université Lille I]] |encadrant1 = User:RP87 |encadrant2 = }} {{Bienvenue}}— [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 23 septembre 2015 à 11:05 (UTC) == Temps de travail et valeur ajoutée == Bonjour Nlipuma, Tout d’abord merci de réagir. Vous êtes le seul de votre classe à l'avoir fait (en atteste les historiques de contribution "https://fr.wikiversity.org/wiki/Spécial:Contributions/"). Je note que vous avez poursuivi votre "formation wiki". Toutefois je juge plus utile que vous produisiez l'analyse et des critiques de ce que vous avez fait. Des images seront selon moi plus faciles à uploader que d'éditer des tables (ce que je sais être assez long à faire sans assistance numérique). La maîtrise du wiki n'apporte selon vous pas beaucoup de "points" (4 d’après la grille établie collaborativement). Or il me semble par nos discussions en cours que vous avez tout à fait la matière à faire du score dans les autres cases de cette grille. Cette stratégie à même effort vous apportera plus de valeur. Quelques questions donc pour guider votre second tir. Qu'en est-il de : *vos tableurs (captures d'images + commentaires ; ou/et lien(s) vers un framacalc ou autres ressources partagées) ? *votre production de l'an dernier (Je ne l'ai pas reçu. Quel retour de vos co-auteurs de l'exercice n-1 ? des résultats dans ce rapport ?) ? *votre évolution en termes de compréhension sur la méthode (La question du maître d’œuvre est généralement passé sous silence. Dans votre classe des personnes s'y sont attelées. Ce fut assez mal exécuté, mais cela vous donnera certainement des pistes sur vos critiques de l'évolution n-1 → n. Quelle avait été la discussion des périmètres l'an dernier pour votre groupe et vos anciens collègues ?). *votre évaluation ? cdlt --[[Utilisateur:RP87|RP87]] ([[Discussion utilisateur:RP87|discussion]]) 18 novembre 2015 à 11:25 (UTC) == Bilan Carbone == Votre auto-évaluation, {| class="wikitable" ! Critère ! Note possible ! Note ! Commentaire |- | Contexte | 3 | Un chiffre |Compréhension des enjeux du Bilan Carbone ® |- | Méthode | 2 | Texte de la cellule |Compréhension du fonctionnement du Bilan Carbone ® |- | Sources | 2 | Texte de la cellule | Recherches et contributions apportées |- | Wiki | 2 | Texte de la cellule | Exploitation du Wikiversité |- | Liens | 3 | Texte de la cellule |Utilisation d' outils externes ( bête à cornes, framacalc, brainstorming, mind map, etc..) |- | '''Note finale''' | 12 à 20 |Texte de la cellule |<br /> |- |} {| class="wikitable" Évaluation, {| class="wikitable" |- ! Critère !! Note possible !! Note !! Commentaire |- | Contexte || 0 à 6 || 0 ||Rien sur les thématiques énergétique ou climatique |- | Méthode || 0 à 4 || 1 ||Contributions à deux étapes isolées [[Spécial:Contributions/Nlipuma]] Collecte, exploitation. |- | Sources || 0 à 4 || 1 || [[Discussion Recherche:Bilan Carbone/Collecte des données]], Les conseils suivis font toujours plaisirs.. |- | Wiki || 0 à 4 || 4 || Y'a pas besef, mais c’est fignolé (des menus, des images, des tableaux). |- | Liens || 0 à 2 || 2 ||Des graphs en ligne, des calc... C'est dommage que l'activité ne transparaisse pas au wiki sur le contenu des autres points de l'évaluation. Je m'attendais à mieux sur les autres critères. |- | '''Note finale''' || 0 à 20 ||8|| |- |} Pourquoi n'avez vous pas saisi le second essai ? Ce n’est pas pour rien que je l'ai proposé. --[[Utilisateur:RP87|RP87]] ([[Discussion utilisateur:RP87|discussion]]) 10 janvier 2016 à 03:15 (UTC) == Notation ACV == == Évaluation == [[Recherche:ACV, 1kg pates, Lipuma et Derache | Pas grand chose à évaluer]]. {| class="wikitable" |- ! '''Critère''' !! '''Score''' !! '''Contenu''' !! '''Contribution relative à l'évaluation''' |- | Outils de modélisation || 0 || Fonctions : créer un flux, un procédé, un système, un projet. Produire un calcul de caractérisation avec des méthodes pré-établies. || rien |- | Méthodes || 1.5 || Relativement aux étapes ISO ou ILCD, réflexion sur l’ensemble des étapes et leurs relations. Deux points sont attribués spécifiquement sur le caractère social. || mention de l'ISO, un début de quelque chose (titre objectif) mot clef "unité fonctionnelle", puis rien. |- | Source || 1 || Appuis des éléments apporté part des sources vérifiables ou vérifiées. Éléments de réflexion sur le rôle des sources et leur contrôle. || [[Recherche:ACV, 1kg pates, Lipuma et Derache#Notes et Références]] Pour les pâtes de légifrance. |- | Wiki || 2 || Emploi du wiki, participation individuelle à l'effort collectif, notamment la collaboration asynchrone étendue. ||Comme précédemment, pas grand chose, mais des modèles, des tables, une référence... reste que cela est fort vide. |- | Liens|| 0 || Mise en œuvre des relations aux autres enseignements. Utilisation d’outils externes à l'ACV propre à votre formation (AMDEC, document unique, outils de diagnostic, analyse fonctionnelle...) || RAS sur d'autres enseignements intégré ici. |- | '''Note Finale''' || 4.5 || Auto-évaluation, avec revue par les pairs (signatures de pairs sous votre grille d'auto-évaluation), rendue en page utilisateur + retour sur ce cours || Rien |- |} C'est à croire que vous n'êtes pas intéressés. Nous avions pourtant discuté des propriétés nutritionnelles et gustatives... Il y avait de quoi faire une contribution originale. Bonjour, Je ne veux pas justifier le manque de contenus évidant de notre page, mais j’ai eu vraiment beaucoup de difficulté à gérer depuis les vacances mon temps de travail. C'est bête car je penser maintenant que nos 2 gros partiel de la semaine terminer, profiter du week end pour finir notre ACV, j’ai même hier soir eu la curiosité de voir l'avancé des travaux de mes collègue et préparer quelques note personnel afin de bosser ce weekend. Cordialement, LIPUMA Nicolas, LP ECPI --[[Utilisateur:RP87|RP87]] ([[Discussion utilisateur:RP87|discussion]]) 13 janvier 2016 à 22:25 (UTC) god9vokr7e3hvi2ub261pncegsbsbc1 0 57056 988300 961313 2026-11-11T17:54:39Z Crochet.david.bot 1005 corrections en provenance de « Check Wikipedia » 988300 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = informatique | numéro = 5 | précédent = [[../Tableaux/]] | suivant = [[../Fonctions/]] }} == Les variables superglobales == Ces variables sont prédéfinies à PHP et sont destinées à stocker des informations bien spécifiques. Elles se présentent généralement sous la forme d'un tableau associatif à une ou deux dimensions. Voici une liste non-exhaustive (comprenant les cas d'utilisation les plus courants): === Variables de serveur : $_SERVER === Elle contient des informations sur le serveur (nom, IP, logiciels installés…) Par exemple pour extraire l'URL de la page courante : <syntaxhighlight lang="PHP"> echo 'http://'.$_SERVER['HTTP_HOST'].$_SERVER['REQUEST_URI']; </syntaxhighlight> ==== Références ==== * {{LienWeb|format=html|licence=copyright|langue=fr|url=http://www.webtolosa.com/2009/12/05/extraire-l-url-de-la-page-en-cours/|commentaire=Source}} * {{LienWeb|format=html|licence=copyright|langue=en|url=http://www.php.net/manual/fr/reserved.variables.server.php|commentaire=Documentation PHP}} === Variables d'environnement : $_ENV === Elle contient des informations sur l'environnement d'exécution du script PHP (c'est-à-dire sur le serveur). Elle est donc directement liée au serveur et à son système. <br /> Prenons comme exemple, le prénom 'Paul': <syntaxhighlight lang="PHP"> <?php echo 'Mon nom d\'utilisateur est ' .$_ENV["USER"] . '!'; ?> </syntaxhighlight> En imaginant que l'utilisateur 'Paul' exécute ce script, on aura alors: {{Exemple | contenu = Mon nom d'utilisateur est Paul ! }} === Cookies : $_COOKIE === Elle stocke les informations sur les [[PHP/Cookies|cookies]] envoyés aux clients. <br /> Un petit exemple pour illustrer cela: <syntaxhighlight lang="PHP"> <?php echo 'Bonjour ' . htmlspecialchars($_COOKIE["name"]) . '!'; ?> </syntaxhighlight> On suppose que le cookie "name" a été défini précédemment, (on prendra Paul encore une fois) <br /> L'exemple ci-dessus va afficher alors: {{Exemple | contenu = Bonjour Paul ! }} === GET variables : $_GET === Elle stocke les valeurs des arguments passés par URL. Ses clés sont donc par conséquent variables. Pour illustrer ces propos, imaginons que l'utilisateur ai entrée l'URL suivant: ''http://example.com/?name=Paul'' <syntaxhighlight lang="PHP"> <?php echo 'Bonjour ' . htmlspecialchars($_GET["name"]) . '!'; ?> </syntaxhighlight> L'exemple ci-dessus va afficher alors: {{Exemple | contenu = Bonjour Paul ! }} === POST variables : $_POST === Elle stocke les valeurs des informations passées par formulaire avec la méthode="post". Ses clés sont donc par conséquent variables. Voir le cours sur les formulaires. <br /> L'exemple ci-dessous est un formulaire comportant un champ de saisie et un bouton de soumission. <br />Quand un utilisateur soumet des données en cliquant sur "Soumettre", les données du formulaire sont envoyées dans un fichier spécial dans l'attribut d'action de la balise <form>. <br />Puis, on peut utiliser $ _POST pour recueillir la valeur du champ de saisie. {{Exemple | contenu = <syntaxhighlight lang="php"> <html> <body> <form method="post" action="<?php echo $_SERVER['PHP_SELF'];?>"> Nom: <input type="text" nom="fnom"> <input type="soumettre"> </form> <?php if ($_SERVER["REQUEST_METHOD"] == "POST") { // collecte la valeur du champ de saisie $nom = $_REQUEST['fnom']; if (empty($nom)) { echo "Le nom est vide"; } else { echo $nom; } } ?> </body> </html> </syntaxhighlight> }} === Variables de requête : $_REQUEST === Un tableau associatif constitué du contenu des variables $_GET, $_POST, $_COOKIE. <br /> L'exemple ci-dessous est un formulaire comportant un champ de saisie et un bouton de soumission. <br />Quand un utilisateur soumet des données en cliquant sur "Soumettre", les données du formulaire sont envoyées dans un fichier spécial dans l'attribut d'action de la balise <form>. <br />Puis, on peut utiliser $ _REQUEST pour recueillir la valeur du champ de saisie. {{Exemple | contenu = <syntaxhighlight lang="php"> <html> <body> <form method="post" action="<?php echo $_SERVER['PHP_SELF'];?>"> Nom: <input type="text" nom="fnom"> <input type="soumettre"> </form> <?php if ($_SERVER["REQUEST_METHOD"] == "POST") { // collecte la valeur du champ de saisie $nom = $_REQUEST['fnom']; if (empty($nom)) { echo "Le nom est vide"; } else { echo $nom; } } ?> </body> </html> </syntaxhighlight> }} === Variable de téléchargement : $_FILES === Elle stocke les informations sur un fichier envoyé via HTTP par le client. Voir le cours sur les formulaires. === Variables de session : $_SESSION === Elle contient les valeurs de la [[PHP/Sessions|session]] en cours pour le client. === Variables globales : $GLOBALS === Elle stocke les variables globales de la page. Ses clés sont donc des variables. <br /> Ci-dessous, un exemple d'utilisation de la variable $GLOBALS. <br />{{Exemple | contenu = <syntaxhighlight lang="php"> <?php $x = 75; $y = 25; function addition() { $GLOBALS['z'] = $GLOBALS['x'] + $GLOBALS['y']; } addition(); echo $z; ?> </syntaxhighlight> }} Lorsqu'on exécute ce code, on obtient "100" ( ⇒ résultat de la variable 'x' + 'y') {{Bas de page | idfaculté = informatique | précédent = [[../Tableaux/]] | suivant = [[../Fonctions/]] }} h7ngyhywyp3jhzaja7ev74aaux5os1t 105 58467 988301 981568 2026-11-11T18:28:00Z Crochet.david.bot 1005 corrections en provenance de « Check Wikipedia » 988301 wikitext text/x-wiki == Conseils objectif de l'étude == Afin de vous guider pour vos contributions j'ajoute des questions dans votre texte. Y répondre devrait vous aider. "L'objectif est de déterminer les impacts environnementaux et sociaux" Lesquels ? Pourquoi ? ⇒ je m'en occupe ( Marie ) ⇒ fait "des méthodes de conditionnement préalablement définis." Qui sont décrites où ? (liens, vous ferez les développement dans la partie inventaire). Pourquoi celles-ci ? ⇒Je ne retrouve plus la phrase, je m'occupe des méthodes de conditionnement dans l'inventaire( Marie ) "Le public cible est le consommateur." Quelles sont les implications sur la méthodologie ? Conseil parcourez à coups de CTRL + F l'[http://eplca.jrc.ec.europa.eu/uploads/ILCD-Handbook-General-guide-for-LCA-DETAILED-GUIDANCE-12March2010-ISBN-fin-v1.0-EN.pdf ILCD] (detailed guidance). Si vous avez avec l'IUT un compte sagaweb afnor, vous pouvez également pointer vers l'ISO. ⇒ je ne comprends pas " les implications sur la méthodologie" (Marie) "Cette analyse permettra de définir un comparatif entre chaque emballage par rapport à leurs impacts." Mettez en relation votre cible, l’objet d'étude et la finalité de la comparaison dans vos conclusions. --[[Utilisateur:RP87|RP87]] ([[Discussion utilisateur:RP87|discussion]]) 9 décembre 2015 à 10:22 (UTC) == 20151216_analyses conseils == Comme vous êtes nombreux sur ce groupe, n'hésitez pas à vous faire une TO-DO List pour avancer collectivement en asynchrone (Logiciel Open LCA (Dylan)). Si vous ramez sur les indicateurs sociaux choisi, ne restez pas sur la collecte de données de ces points. Par contre vous pouvez développer la partie critique et interprétation. Ex: comment feriez vous le modèle et les calcul si vous disposiez des données : création des propriétés de flux, et les flux eux-même, calcul d'indicateur ? "Affirmations comparatives destinées à être divulguées au public. Nous effectuerons l’ACV de deux emballages différents : le plastique , le carton. Celui-ci sera destinées à être divulguées." Je vois que vous avez lu des documents méthodologiques. Quelles sont les indications particulières relatives aux assertions comparatives destinées à publication dans cette documentation ? ⇒ Marie : http://www.evea-conseil.com/sites/default/files/actualite/maaprat_evea_rapport_final_2012_erratum2.pdf "Fonction principale: Emballer le kilo de pâte, il aura une contenance de 2L puisque les pâtes sont volumineuses." C'est un élément intéressant. Sur quel base l'avez-vous déterminé ? (Mesure des cottes de boites ? Pesé d'un verre doseur cylindrique ?) "Fonction secondaire : Être résistant => Protéger le kilo de pâte" Secondaire ? D'autre groupe traite de l'emballage, n'hésitez pas à échanger entre vous. Des contributions ''d'explication'' échanger dans des pages de discussion peuvent tout à fait être employer pour justifier de l'acquisition d'éléments méthodologique. ⇒ Marie : https://fr.wikiversity.org/wiki/Discussion_Recherche:ACV_:_Emballage_paquet_de_p%C3%A2tes_Baptiste_Samia_Marine "Argumentation des entrants + Argumentation sortants :" Outre la liste des sets de données, que pouvez vous dire de ceux-ci ? (Sur le set de l'électricité, comparativement au PP par exemple). Qu'en est-il du "Glued laminated timber..." visible dans votre modèle ? ⇒ Marie, c’est de la colle allimentaire --[[Utilisateur:RP87|RP87]] ([[Discussion utilisateur:RP87|discussion]]) 16 décembre 2015 à 15:44 (UTC) == les règles d'affectation == C'est un sujet fort intéressant au sein de la recherche sur l'ACV. Je suis curieux de vous voir développer cela. Quand ces règles sont-elles nécessaire? à quoi servent-elles ? Quelle conséquence ont-elles sur l'ACV ? Quelles-sont ces règles ? --[[Utilisateur:RP87|RP87]] ([[Discussion utilisateur:RP87|discussion]]) 30 décembre 2015 à 21:37 (UTC) ouwndxkfqtoiqxnn2ho5sc8mrj0q2cr 0 58865 988302 961368 2026-11-11T19:45:51Z Crochet.david.bot 1005 corrections en provenance de « Check Wikipedia » 988302 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = informatique | numéro = 2 | niveau = 14 | précédent = [[../Exercice 1/]] | suivant = [[../Exercice 3/]] }} == 2. Création de Tableau == Après un premier exercice d'une facilité déconcertante, montons progressivement le niveau vers la création de [[PHP/Tableaux|Tableau!]] <br />'''Voici l'énoncé, découpé en plusieurs parties :''' <br /> '''I. Créer un tableau comportant les valeurs suivantes:''' *banane *pomme *poire *fraise <br /> Puis, afficher ce tableau avec la valeur correspondante. '''II. Parcourir le tableau avec la boucle la plus adaptée afin d'afficher chaque fruit sur une nouvelle ligne''' (CF ⇒ [[PHP/Structures de contrôle]] ) <br /> '''III. Regrouper toutes les valeurs du tableau en une chaîne de caractères séparés par des virgules.''' <br /> ''Place à la correction....'' {{solution| contenu = * Voici le code PHP '''pour le I.''' , création du tableau. <br /> {{Exemple | contenu = <syntaxhighlight lang="php"> $fruit = array('banane','pomme','poire','oignon'); print_r($fruit); </syntaxhighlight> }} Parcourir le tableau avec la bonne boucle PHP, exemple de code PHP: {{Exemple | contenu = <syntaxhighlight lang="php"> foreach ($fruit as $v) { echo "$v <br>"; } </syntaxhighlight> }} Regroupement de valeurs pour la partie '''III.''', exemple de code PHP : {{Exemple | contenu = <syntaxhighlight lang="php"> $tableau_colle = implode(',',$fruit); </syntaxhighlight> }} }} {{Bas de page | idfaculté = informatique | précédent = [[../Exercice 1/]] | suivant = [[../Exercice 3/]] }} l5oipn1qs6jn1mi0cns7c5asp4vjwlb 3 59066 988310 987048 2026-11-12T06:11:29Z Crochet.david.bot 1005 corrections en provenance de « Check Wikipedia » 988310 wikitext text/x-wiki {{Bienvenue}} J’ai répondu dans [[Wikiversité:Requêtes_aux_contributeurs#Licence_en_assurances]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 23 janvier 2016 à 15:08 (UTC) == '''Résolu et traité''' : À propos de la leçon [[Certificat de qualification professionnelle CQP Chargé de clientèle assurance]] == Bonjour et bienvenue sur la Wikiversité. Compte-tenu de l’ampleur de votre leçon, j'attire votre attention sur la possibilité de faire des leçons dont les chapitres sont des sous-pages. Voir par exemple : * [[Branches de la finance]] * [[Systèmes monétaires]] Pour plus de détails, vous pouvez consulter la page d'[[aide:Comment créer une leçon]]. Si je peux vous être utile, n'hésitez pas ! {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 13 février 2016 à 17:47 (UTC) :'''Résolu''', Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 19 février 2016 à 10:45 (UTC) == Niveau Unité de valeur == Bonjour Noria et merci d'ores et déjà pour votre soutien... Je me rend compte qu’il me manque un niveau quand je m'inspire des chapitres que vous m'avez conseillé de consulter : C'est le niveau UV dans un certificat. Le 1er cours que je tente de wikifier est l'UV 3 parmi 4 donc il faut que mon introduction générale de niveau Certificat prévoit les 4 UV et il faut avant les chapitres de mon 1er cours la mise en place du niveau UV. Comment faire ? Merci d'avance Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 15 février 2016 à 15:08 (UTC) : Bonjour, si [[Certificat de qualification professionnelle CQP Chargé de clientèle assurance]] représente l'UV 3, alors il faut que vous créiez un cours. Sur la Wikiversité, un cours est un ensemble de leçons (Voir l’[[aide:Comment créer un cours]]). On va donc dire qu’il y a 4 leçons et chaque leçon est une UV. Il faut donc créer un cours de quatre leçons. Dans le cas présent, on assimilera un cours à un certificat et les quatre leçons du cours sont ses UV. Par exemple, le cours [[Système d'Information pour Stratégie et Pilotage d'Entreprise]] comprend 17 leçons, mais vous pouvez n'en mettre que 4, une pour chaque UV et vous pouvez présenter globalement ces 4 UV dans la présentation du cours. J'espère avoir été claire, sinon n'hésitez pas à me demander des précisions. Au pire, vous pouvez créer une page ayant pour nom, le nom du certificat et mettre dedans : <syntaxhighlight lang="text"> {{Cours | idfaculté = économie | département = <br />[[Département:Finance]] | niveau = 16 }} </syntaxhighlight> : Et ensuite, vous cliquez sur les liens rouges pour créer les sous-pages du cours. : S'il y a des problèmes, je corrigerai. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 15 février 2016 à 18:31 (UTC) :'''PS :''' En fait, en relisant votre leçon, je me rends compte que vous lui avez déjà donné le nom du cours (certificat), alors que ce n'est que l'UV 3. IL faudrait renommez cette leçon de façon à ce qu'elle ne concerne que !'UV 3. Je peux vous aider à la renommer si vous me donnez un nom complet pour l'UV 3. « Développer et globaliser le portefeuille » me semble imprécis. Que pensez vous, par exemple, de « Développer et globaliser le portefeuille pour un chargé de clientèle assurance » — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 15 février 2016 à 19:18 (UTC) :: ::Bonjour Noria, encore merci... Je récapitule pour vérifier avoir bien compris, choisir la meilleure des solutions proposées compte tenu du travail effectué et poser des soucis de "jeune puceau WkV"... Le jeu consiste à ne pas consommer "inutilement" les niveaux possibles de WkV : Catégorie Mère/Catégories Filles/Cours/Leçon/Chapitre/ puis les niveaux à l'intérieur d'une page WkV (section/sous titre1/sous titre2/sous titre3/...). Et aussi de ne pas trop allonger le titre car sinon il est raccourci à l’utilisation lors du découpage de la leçon en chapitres... :: Proposition : :: Le cours déposé est en fait l'UV 3 il faut donc modifier le titre pour l'appeler "U3 CQP Chargé de clientèle Assurance"... j’ai essayé de voir comment faire ce changement de titre : sans succès... Il faut remplacer "Certificat de qualification professionnelle" par "U3" pour toutes les catégories en cours. :: Je construirai la leçon "U4 Suivre et gérer le portefeuille" : 4 chapitres dont 1 assez 'lourd'. :: Je construirai la leçon "U2-7 " qui est la 7ème partie de "U2 Proposer la meilleure offre et satisfaire le client" : 5 chapitres dont 2 assez 'lourds'. :: En introduction, chaque leçon récapitulera son positionnement par rapport à l’ensemble du CQP. :: Des catégories ''ad hoc'' en amont donneront l'arborescence de tout le CQP... On les titrera ensemble pour ne pas tout emmêler... Catégorie mère : le certificat/1er niveau de fille : chaque UV (4)/ 2ème niveau de fille : Une partie dans une UV. :: Nota : il est dommage que je n'ai pas trouvé une page spécifique dans les outils du bandeau de gauche "Contribuer" (ou ailleurs !) qui explique l'organisation et la structuration d'un cours, les différents modèles et catégories. Si cette page existe elle est trop "enfoncée" dans l'arborescence très (trop!) complexe... Le champ de recherche ne m'a pas été très utile pour trouver car, comme je ne connaissais pas les termes employés dans la structuration du WkV, je n'ai pas su comment formuler la requête !!! :: Qu'en pensez-vous ? Merci, à bientôt, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 16 février 2016 à 05:53 (UTC) ::: Bonjour ! J'espère ne pas vous avoir trop effrayé avec mes manipulations. J’ai transformé [[Certificat de qualification professionnelle CQP Chargé de clientèle assurance]] en cours et [[U3 CQP Chargé de clientèle Assurance]] est devenu une de ses unités de valeur. J’ai pris la liberté de récupéré le chapitre 2 pour en faire la présentation du cours, mais on peut toujours changer si vous y voyez un inconvénient. Je pense que la situation est un peu plus claire, mais tout est modifiable si vous le souhaitez. Qu'en penser vous ? {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 16 février 2016 à 10:32 (UTC) ::::Super Noria : De mon point de vue vous êtes la fée de Wikiversité... Je vais compléter la partie amont pour nous y voyions clair dans l'arborescence... Merci beaucoup, Guy--[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 16 février 2016 à 10:37 (UTC) ::::: Vous parliez, plus haut, de créer en amont une arborescence du CQP, j’ai donc effectivement prévu un encadré a cette fin. J’ai aussi mis des encadrés complément et annexe au cas où, mais on peut les annuler si vous n'en avez pas besoin. Vous cherchiez une page sur l'organisation de la Wikiversité. Nous avons la page [[Wikiversité:Organisation des enseignements]]. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 16 février 2016 à 10:43 (UTC) :: Au secours Noria, je n'arrive pas à modifier l’introduction de la catégorie mère "certificat" qui détaille l'arborescence en 4 UV's (celle que vous avez récupérée). Lorsque je passe en mode modif je tombe sur le modèle "cours" dans lequel je ne peux pas modifer l'intro et en mode wiki non plus : je crois que j’avais créé une extension [...]/introduction pour la créationdu 1er cours... À l'aide SVP, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 16 février 2016 à 10:51 (UTC) ::Pour modifier les cadres de couleurs, il faut utiliser les petits liens « modifier » qui se trouve dans un coin à droite dudit cadre. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 16 février 2016 à 10:58 (UTC) ::: Ok merci beaucoup : :'''Résolu'''... Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 16 février 2016 à 18:34 (UTC) == Copier coller à partir d'un de mes textes en Word vers Wikiversité == Bonjour Noria, Existe-t-il une procédure pour copier coller un texte personnel (sans copyright) saisi sous word dans une page WkV... Je pense notamment à des tableaux et à des schémas que j’ai moi-même confectionnés... À bientôt, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 16 février 2016 à 06:11 (UTC) :Dans Word vous pouvez ''enregistrer sous'' un format HTML. Or les wikis sont compatibles avec la plupart des balises HTML, dont celles des tableaux. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 16 février 2016 à 07:38 (UTC) :: J’ai vu dans les "aides relatives au tableau" qu’il valait mieux ne pas utiliser le mode HTML à cause des mal voyants, et d'ailleurs de limiter les schémas au strict nécessaire... Comme c’est tout de même plus rapide de mémoriser un schéma (selon l'adage "un schéma vaut mieux qu'un long discours"... Napoléon acte 1 scène 2 !) je vais : 1) éviter les schémas personnels, 2/ utiliser les schémas déjà dans WkP, tenter de construire les schémas incontournables sans HTML en gardant une lecture-exploitation pour les non voyants... Vos avis SVP, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 16 février 2016 à 16:00 (UTC) :::Dans ce cas, si vous avez le budget temps pour transcrire les tableaux en balises ''div'' c’est mieux, mais je n'en connais aucune automatisation simple. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 16 février 2016 à 16:39 (UTC) :::: Merci JackPotte. En tant que "puceau " : Dois-je craindre "le pire" ??? et prendre le risque de me décourager ??? Comment font "mes petits copains enseignants" qui acceptent l'exigence pour les mal voyants ? A+, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 16 février 2016 à 18:38 (UTC) == Hyperlien amont pour le cours CQP Chargé de clientèle assurance == Bonjour Noria, Il nous faudrait créer le lien entre le CQP et le niveau "assurance" inclut dans le département "Finances" lui-même inclut dans le niveau de la science "économie" : https://fr.wikiversity.org/wiki/Faculté:%C3%89conomie D'avance merci, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 16 février 2016 à 15:52 (UTC) : C'est fait ! {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 16 février 2016 à 19:53 (UTC) :: Bonjour et merci Noria, mais sur la page ci-dessus indique le mot "Assurance" n’est pas un hyperlien vers quelque chose... comme peut l'être "Finance d'entreprise" de cette même page... A+, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 17 février 2016 à 09:09 (UTC) :::C'est corrigé, mais sur le principe de la suppression de l'autre lien car il menait vers une page spécifique plutôt qu'une page généraliste. Comme cela, maintenant, l'apprenant ira dans la page du département où il trouvera l’ensemble des cours et leçons. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 17 février 2016 à 09:28 (UTC) :::: Bonjour Noria, Cela me semble super comme cela et plus homogène avec les autres départements. Cela dit il y a 2 soucis : :::: - Celui lié à la nature des enseignements : enseignements fondamentaux (cours généraliste sur l'analyse de risque) ou enseignements professionnels liés à une formation qualifiante (formation métier). :::: - Celui lié à l’arborescence des métiers de l’assurance :::: Pour le 2ème souci : Puis je suggérer que sur la page https://fr.wikiversity.org/wiki/Département:Finance vous mettiez 'métiers de l’assurance' ou 'assurance' comme chapeau, qu’il y ait une liste de métier comme agent général, courtier, chargé de clientèle et actuaire ; que tout le certificat CQP et pas seulement U3 (qui est une seule UV ! Je vais déposer 2 autres cours de ce CQP) se trouve lié... J'espère être plus clair avec le schéma : :::: (Métiers de l')Assurance ::::* Agent général ::::* Courtier ::::* Chargé de clientèle ::::** Chargé de clientèle toutes branches ::::***CQP chargé de clientèle assurance ::::** Chargé de clientèle IARD ::::* Gestionnaire assurance de personnes ::::* Gestionnaire de production IARD ::::* Gestion de sinistre IARD ::::* Actuaire :::: Puis je le faire moi-même ??? Merci encore, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 17 février 2016 à 10:52 (UTC) :::::Vous pouvez le faire vous-même si cela améliore. Il faut néanmoins préserver l'existant. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 17 février 2016 à 11:22 (UTC) ::::Ok pour enrichir l'existant et merci de votre confiance : je m'y mets cet après midi et reviens vers vous ensuite...Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 17 février 2016 à 11:35 (UTC) ::::: La façon dont est conçu ce département n’est pas un très bon exemple. Il faudrait éviter de détailler les chapitres, comme un contributeur l'a fait et éviter aussi de prévoir beaucoup de leçons à l'avance. Il faut imaginer ce que va devenir le département quand il y aura plus de 50 leçons et pour cela prendre exemple sur des départements qui ont déjà plus de 50 leçons comme [[Département:Analyse]]. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 17 février 2016 à 13:14 (UTC) ::::::Bonjour Noria, Je suis d'accord avec vous (toi) pour considérer qu’il n'y a pas à créer des arborescnce juste pour le plaisir... On doit néanmoins considérer que pour les assurances et autres matières professionnelles il y a 2 natures de cours : Les fondamentaux comme pour l'analyse mathématique (cela me rappelle mon DUES de maths physique de quand j'étais petit !) et les formations professionnelles comme celle du CQP. Aussi je vais faire quelque chose qui sépare les 2 natures et qui sera plus simple que ce qui est ci-dessus pour la part professionnelle. Attends une heure pour voir ce qui sera disponible : on en parle ensuite... A+ Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 17 février 2016 à 14:19 (UTC) :'''Résolu''', Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 19 février 2016 à 10:44 (UTC), == À propos du [[Modèle:Autres projets]] == Bonjour, ce modèle s'utilise dans l' encadré « Voir aussi » en bas et à droite de la page [[Certificat de qualification professionnelle CQP Chargé de clientèle assurance]]. Voir par exemple le cours :[[Jeu d'échecs]]. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 19 février 2016 à 09:50 (UTC) :Bonjour Noria, ok je regarde tout cela... et modifie la localisation en conséquence cet après midi... Nota : Je suis en train de découvrir les joies du lien bijectif entre projets et je "transpire mon embonpoint sous les bras"... Merci pour votre (ton) conseil, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 19 février 2016 à 10:42 (UTC) :'''Résolu''', Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 26 février 2016 à 17:48 (UTC) == '''Résolu''' : À la recherche d'une licence == Salut, existe-t-il une licence, s'inscrivant dans le schéma européen LMD, dans laquelle ton cours [[Certificat de qualification professionnelle CQP Chargé de clientèle assurance]] pourrait prendre place. Je voudrais profiter de ta présence pour compléter la page [[Scolarité en France/Licences]]. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 19 février 2016 à 12:21 (UTC) : Bonjour Noria, oui il y a une licence assurance et un bachelor (= licence professionnelle en termes "grosse maille" !!!) mais je n'y ai pas enseigné car je ne suis pas diplômé de l'université pour cela. Je détiens mon expertise pour enseigner en CQP et en école privée grâce à mon expérience d'agent général assurances de personnes... De ce que je comprends de ta question : :1/ lien de mon cours avec un LMD : j’ai l'intention d'extraire de ce cours déposé les éléments fondamentaux en les positionnant par niveau. J'avais créé à dessein la case : Fondamentaux/analyse assurancielle du risque dans la page Finance. D'autres pourront/pourraient la rejoindre... Tel que le cours est en ce moment il peut se retrouver en Licence avec un petit travail d'enlèvement de toutes les références à la pratique professionnelle en parallèle (contrat de professionnalisation ou contrat en alternance), vu que les bachelors ne font qu'un projet tutoré et un stage en entreprise... :2/ structure du LMD assurance : Veux-tu que je te cherche des liens avec des sites ''ad hoc'' ou préfères-tu que je le fasse ? si oui dis moi où je dois compléter une page WkV... :Merci de ta confiance, A+ Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 19 février 2016 à 13:48 (UTC) :: Je te remercie pour ta réponse. Je ne cherche pas des liens sur des sites, c’était pour savoir si ton cours pouvait constituer un module de licence et être accessible par la [[Scolarité francophone|scolarité]] (immédiatement en dessous de « Accueil » dans la colonne de gauche). C'est juste une facilité, mais nullement une obligation. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 19 février 2016 à 14:58 (UTC) :::Coucou, comment veux-tu gérer le distinguo entre licence universitaire et licence pro... Je crains que les puristes de l'Université ne considèrent mon cours que comme un manuel de formation professionnelle permettant une embauche et non comme un enseignement universitaire dûment estampillé "Faculté" permettant une carrière ou de l'enseignement ou de la recherche... Ils pourraient être "susceptibles" et donc les consulter me semble de bon aloi... cela dit je peux faire... à toi de me dire, A+, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 19 février 2016 à 15:08 (UTC)Guy, :::: Je ne me rend pas compte. Je ne suis pas une spécialiste de l’assurance. Je me posais juste la question au cas où. Ce n’est pas important. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 19 février 2016 à 15:30 (UTC) :::::Indépendamment de l’assurance quid des formations universitaires par rapoort aux formations professionnelles ??? qui pourrait avoir un avis ??? À +, Guy--[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 19 février 2016 à 15:47 (UTC) ::::::Je dirais que ce n’est pas le plus important. ni l'universitaire, ni le professionnel n'a une chasse gardée sur ses formations. Quel que soit le lieu ou la méthode de formation dans la vie réelle (autodidacte, université, hypnose, incantation vaudou, transplantation de cerveau, etc.), il existe une formation, que l’on essaie au mieux de rapprocher du système quasiment connu de tous : le LMD. C'est en cela que la page [[aide:niveaux|des niveaux]] permet de lier la scolarité dans les différents pays francophones. L’idée globale est de s'extraire de toute structure spécifique pour se rapprocher d'une structure globale et logique. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 19 février 2016 à 16:05 (UTC) ::::::: Salut, ouaf j’ai bien rigolé avec le vaudou et la greffe d'encéphale....et je comprends l’idée d'ouverture sans ''a priori''... En fait je suis tellement sclérosé par les refus Wikipédia que je suis maintenant un peu frileux dès que je ne me sens pas totalement en situation... Ok je ferai dès que possible... avec votre bénédiction vaudou de validation, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 19 février 2016 à 16:14 (UTC) :'''Résolu''' n'étant pas enseignant dûment estampillé par la "Faculté" je préfère m'abstenir de créer les éléments de la licence universitaire et du Bachelor Assurances. Mais comme promis j’ai créé dans scolarité les 2 types de licences et ajouté le CQP de façon ''ad hoc''... ça va comme réalisé ?!? Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 26 février 2016 à 17:12 (UTC) == '''Résolu''' :À propos des prérequis == Pour les prérequis, il faut y comprendre les notions nécessaires pour pouvoir intégrer les notions de la leçon. Par exemple y mettre « baccalauréat » ne dit pas ce que je doit savoir pour comprendre. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 25 février 2016 à 06:40 (UTC) : '''Résolu''', prérequis modifiés, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 26 février 2016 à 17:13 (UTC) == '''Résolu''' : Problème == Bonjour, Peux-tu me dire ce que tu fabriques. Nous avons d’abord la [[:Catégorie:Analyse assurancielle du risque]] qui est catégorisée dans elle-même d'où le message Modèle en « boucle détecté ». Nous avons ensuite la page [[Le danger]] qui n'est rattachée à rien ? {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 26 février 2016 à 10:17 (UTC) :Bonjour, je suis perdu... J’ai une boucle dont je ne sais pas trouver "une" porte d'entrée par la stopper : l'aide ne m’est d'aucun recours... J'allais te solliciter pour le versement de la partie fondamentale de mon cours professionnel vers les catégories ''ad hoc''. J’ai un problème de méthode : Faut-il vraiment créer les pages de chapitre avant de les catégoriser comme j’avais compris ??? Merci, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 26 février 2016 à 10:23 (UTC) :: Il faut d’abord créer la page de sommaire avant de créer les chapitres en cliquant sur les liens rouges apparaissant dans la page de sommaire. Voir ma correction dans [[Analyse assurancielle du risque]]. Les chapitres sont des sous-pages du sommaire, j’ai donc renommé ton premier chapitre en [[Analyse assurancielle du risque/Le danger]] pour qu'elle apparaisse dans le sommaire. La catégorie de la leçon doit être catégorisé dans la catégorie du cours et dans la catégorie du département (et pas dans elle-même). J’ai donc recatégorisée [[:Catégorie:Analyse assurancielle du risque]] dans la [[:Catégorie:Finance]] en attendant le cours. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 26 février 2016 à 10:34 (UTC) ::: Merci déjà pour tout : je modifierai ma procédure en indiquant cette étape de création du sommaire que tu avais peut-être fait lors de mon 1er versement ou bien je ne l'avais pas noté explicitement sur mon livre de bord. Merci de tuer un article [[L’analyse assurantielle du risque]] et sa catégorie... Pardon pour le souci, A + Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 26 février 2016 à 10:40 (UTC) :'''Résolu''', Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 26 février 2016 à 17:02 (UTC) == Informations complémentaires == J’ai vu que tu a catégorisé les chapitres de ta nouvelle leçon en mettant <nowiki>{{Catégorie:Analyse assurancielle du risque}}</nowiki> en bas de page. D'abord, il faut mettre des crochets et pas des accolades : <nowiki>[[Catégorie:Analyse assurancielle du risque]]</nowiki>. Ensuite, ce n’est pas la peine de catégoriser les pages qui ont un modèle de début de page, car ce modèle assure la catégorisation automatique de la page (ici le [[modèle:Chapitre]]). Les pages seront automatiquement catégorisées quand tu mettra le [[modèle:Chapitre]]. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 26 février 2016 à 11:38 (UTC) : Merci Lydie, je n'ai pas la même structure de catégories entre l'U2 du CQP : [[:Catégorie:U2_CQP_Chargé_de_clientèle_Assurance]] qui contient des catégories:U2[...]/titres de chapitre et la catégorie:analyse assurancielle du risque [[:Catégorie:Analyse_assurancielle_du_risque]] dans laquelle il n'y a pas ces titres de chapitre : Erreur ou c’est lié à la structure des UV ??? Merci, Guy, :: S'il n'y a pas les titres de chapitre dans la [[:Catégorie:Analyse assurancielle du risque]], c’est parceque tu n'as pas encore mis les [[modèle:Chapitre]] en haut des pages concernées. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 26 février 2016 à 11:57 (UTC) ::: Wouaouh !!! ma procédure est encore vraiment très balbutiante... Merci, je m'y mets cet après midi... Je vais manger... Merci A + Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 26 février 2016 à 12:00 (UTC) :::: Bon appétit ! {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 26 février 2016 à 12:01 (UTC) :::::'''Résolu''', Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 26 février 2016 à 17:03 (UTC) == '''Résolu''' : À propos de la page [[Scolarité en France/Licences/Sous structure]] == Salut, j’ai vu que tu as rajouté ton cours dans la page [[Scolarité en France/Licences/Sous structure]]. Cette page est réservée aux licences. Il ne faut pas y mettre directement des cours. Les cours se trouvent dans les licences. Voir par exemple la page [[Licence de mathématiques (France)]] où il y a tous les cours utiles à la Licence de math (La page [[Licence de mathématiques (France)]] étant accessible à partir de [[Scolarité en France/Licences/Sous structure]]). C'est pour cela que je te demandais plus haut si ton cours pouvait être enseigné dans une licence, c’était pour rajouter cette licence dans la page [[Scolarité en France/Licences/Sous structure]], créer ensuite la page de la licence en question (comme [[Licence de mathématiques (France)]]) dans laquelle j'aurais mis ton cours. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 26 février 2016 à 20:03 (UTC) : Bonjour Noria {{notif|Lydie Noria}}, merci. Comme je te l'avais dit dans un post précédent : un {{Abréviation|BTS|brevet de technicien supérieur}} + le CQP = Licence professionnelle (Bac + 3) et j’ai bien indiqué dans le préambule (page chapeau du CQP) qu’il fallait un bac + 2 au moins ( 2ème année de licence ou BTS) pour pourvoir postuler et avoir le CQP. D'autre part, je dis ailleurs que cette année de CQP est une transition entre le {{Abréviation|BTS|brevet de technicien supérieur}} et la Master pour ceux qui souhaitent continuer dans une voie soit universitaire, soit professionnelle. Cette année de CQP s'inscrit donc bien dans une structure LMD.... Certes mon cours ne couvre pas tout le contenu du CQP Il manque U1 et 6 UV de U2... Néanmoins, je pensais finir l'action que j’avais prise en modifiant la page des licences et en respectant ce que je considérais comme un accord entre nous !... Pardon pour la méprise !... Comment fait-il modifier ? Le fais-tu ou le fais-je ? À + Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 27 février 2016 à 14:49 (UTC) :: Bonjour, Mon souci est surtout un souci de présentation. J’ai donc modifié la page [[Scolarité en France/Licences]] de façon à ne pas rentrer directement dans ton cours, mais de façon à rentrer dans la page [[Licence professionnelle en assurance (France)]] où ton cours est présenté. Qu'en penses-tu ? {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 28 février 2016 à 10:52 (UTC) ::: Coucou Noria {{notif|Lydie Noria}}, comme tu l'as présenté, c’est effectivement plus homogène avec les autres filières... Faudra penser à généraliser cette dichotomie des dimensions universitaire / professionnelle... Merci en tout cas, je me sentais un peu morveux sur ce coup là... A+, Guy, ::: Noria {{notif|Lydie Noria}}, le lien : [[:Catégorie:Licence_professionnelle_en_assurance_(France)]] tombe dans le vide... Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 28 février 2016 à 11:15 (UTC) ::::Théoriquement corrigé. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 28 février 2016 à 11:23 (UTC) ::: :::: Cette fois je crois que ça commence à être convenable, j’ai mis à jour ton cours [[Certificat de qualification professionnelle CQP Chargé de clientèle assurance]] pour pouvoir accéder à la page [[Licence professionnelle en assurance (France)]]. À tout hasard, j’ai aussi créé la page [[BTS Assurance (France)]] au cas où ! {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 28 février 2016 à 12:34 (UTC) ::::: Au secours Noria {{notif|Lydie Noria}}, je ne trouve pas le moyen de mettre en fond bleu pastel l'encart relatif à tout ce qui est pédagogie de mon cours CQP. La présentation non plus... Merci A + Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 28 février 2016 à 17:19 (UTC) :::::: Dans tous les cours, la présentation est laissé sur fond blanc, ça risque d’être moche sinon. Pour les compléments, s'il est sur fond blanc, c’est pour laisser une certaine liberté à l'auteur. Par exemple dans [[Jeu d'échecs]], j’ai mis un fond noir pour y représenter les pièces. J’ai transféré le contenu des compléments dans un cadre option2, comme cela, tu as un un fond bleu. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 28 février 2016 à 17:38 (UTC) :{{notif|Lydie Noria}} Merci mille fois :'''Résolu''', Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 29 février 2016 à 13:14 (UTC) == À propos de [[Aide:Versement d'un cours totalement fondé]] == Bonjour. J’ai vu passer quelques modifications, mais qui ne sont pas forcément les tiennes car je n'ai pas fait de recherches dans l’historique. Dans une page d'aide, il faut éviter au mieux l'usage de nom d'utilisateur dans l'aide. Pourquoi ? Ces pages sont très peu revues en correction, il pourrait se passer 4 ou {{Unité|5|ans}} sans que personne ne vérifie si ce qui est dit est toujours vrai. Avant qu’il y ait un journal des modifications implanté par les services techniques de wikimedia, on ne savait même pas les modifications du logiciel mediawiki et leurs conséquences. Il en est de même pour nous, « être humain ». Des premiers contributeurs, peu sont encore là. Et ils ne disent pas quand ils partent. En conséquence, lorsque dans cette page tu fais référence à des personnes (il faut les éviter !) ou il faut être certain qu’il soient au courant que leur nom est là, comme cela le jour où ils ne pourront/voudront plus être sur wikiversité autant qu'avant, ils pourront retirer leur nom et ainsi éviter d’être contactés pour non réponse. D'autre part, il n'est rien de plus désagréable de se dire que je peux contacter une personne, que je la contacte, et que j'attende des jours sa réponse... qui ne viendra pas. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 27 février 2016 à 07:29 (UTC) : Bonjour, Modifié. Comme il s'agit de "patrouilleurs actuels" je pensais, abusivement, leur rendre "hommage" en précisant l'origine de ma rédaction... Pardon pour le non respect d'une règle tacite... D'autre part, suite à des propositions de patrouilleurs, je vais enlever ce texte de l'aide et en faire une leçon ; l'aide ne donnera qu'une piste et un lien vers la leçon. :Pseudos enlevés de l'aide : '''Résolu''', Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 27 février 2016 à 15:10 (UTC) Je profite aussi de l’occasion pour rajouter ma remarque personnelle sur cette page d'aide en attirant ton attention sur le fait que la Wikiversité n’est pas française mais francophone. Il serait souhaitable d’utiliser dans toutes les pages d'encadrement comme les pages d'aide un français de base compréhensible par tous les pays francophones. En particulier, un français exempt de [[w:Figure de style|Figures de styles]] ou d'expressions que seul certains initiés peuvent comprendre. J’ai relue ta page et je doit avouer que j’ai du mal à comprendre certains passages. Je suppose, par exemple, que la page chapeau est la page du sommaire, mais pourquoi prendre des risques sur la compréhension et ne pas parler simplement de la page du sommaire. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 27 février 2016 à 09:49 (UTC) : Noria, merci de ton commentaire : C'est une dimension nouvelle pour moi... que de parler à des francophones... Donc : Merci de lister tout ce qui n’est pas francophone... La leçon qu’il me reste à créer sera pensée avec cette nouvelle dimension. As-tu eu l’occasion de parcourir mes cours et relever des incompréhensions françaises et/ou francophones ??? je modifierai en conséquence. De toute façon, je relierai à la lumière de ce riche commentaire qui peut rendre le propos plus "universel"... : Page chapeau ⇒ page sommaire : '''Résolu''' D'avance merci, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 27 février 2016 à 15:10 (UTC) == Statut de patrouilleur == Bonjour, compte-tenu de ta motivation et de ton expérience acquise sur la Wikiversité, je t'ai promu au statut de "patrouilleur". Rassures-toi, cela ne t'engage à rien. Tu trouveras des informations complémentaires dans [[Wikiversité:Patrouille RC]] et [[Aide:Patrouille RC]]. bonne continuation ! {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 3 mars 2016 à 12:28 (UTC) : {{notif|Lydie Noria}}, Ce post me fait à la fois : : plaisir (infiniment !) car je souhaite partager et faire partager... et que si cela a été remarqué cela me procure des strokes super positifs... : stress (positif) car je dois me responsabiliser pour être à la hauteur des espoirs, des enjeux et objectifs de la communauté wiki... : Pour tout cela, je te remercie, et compte sur toi (et d'autres wiki-expérimentés !) pour continuer à me servir de "main courante"... À +, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 3 mars 2016 à 13:19 (UTC) == '''Résolu''' Blason rouge A blanc ??? == {{notif|Lydie Noria}} Bonjour, as-tu une idée de ce que veut dire et représente le blason couleur rouge avec un A majuscule couleur blanche à gauche du logo WkV et WkP mais pas les autres onglets de Firefox ??? Si je mets le curseur dessus il m'ouvre un pop up "Play"... Est-ce que cela pourrait être lié à mon nouveau statut de "patrouilleur" ou à un "plug in" de Firefox ??? D'avance merci. Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 4 mars 2016 à 17:40 (UTC) :Peux-tu faire une copie d'écran et le mettre sur un site de partage temporaire, un statut sur un projet ne peut pas avoir de conséquence sur un autre projet, il sont indépendant. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 4 mars 2016 à 18:15 (UTC) :: Pardon c’est le plug in "AdBlock Pub" qui colle ce blason : je l'ai désactivé pour WkP et WkV vu qu’il n'y a pas de pub... Merci pour la réponse, : '''Résolu''', Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 4 mars 2016 à 18:37 (UTC) == Encore à propos de [[Aide:Versement d'un cours totalement fondé]] == Salut, ta page [[Aide:Versement d'un cours totalement fondé]] fait polémique dans la salle café (voir : [[Wikiversité:La salle café/mars 2016#Traduction]]). Un contributeur semble reprocher aux administrateurs de t'avoir laissé faire une page pareille qui suppose une grande expérience de la Wikiversité. Je pense qu’il faudrait que tu revoies toute la rédaction de cette page dans un style plus clair et plus concis. De la façon dont tu l'as rédigée, j’ai même peur que cette page fasse fuir les nouveaux contributeurs en leur faisant croire que faire un cours dans la Wikiversité est compliqué. Les contributeurs sont déjà effrayés à l’idée d’utiliser le [[modèle:Leçon]]. Si, en plus, tu leur racontes que « l'arborescence de la Wikiversité est construite sur la base d'une organisation catégorielle qu’il faut découvrir et connaître » (surtout en parlant de « structures matricielles »). S'il faut qu’il se soucis de « bien mettre en place les liens ''ad hoc'' avec ce qui existe », qu'« il est nécessaire de trouver la racine de placement du cours à verser afin de générer le lien amont ''ad hoc'' ». Que « Chaque morceau du cours possède une relation privilégiée avec les catégories et les niveaux de la Wikiversité existante qu’il vous faut définir ». En plus, il faut préparer le moule qui sera le réceptacle du versement ??? Qu'est-ce qu'un encart ??? et ainsi de suite. Quand j’ai parlé de la page chapeau, il s'agissait d'un exemple parmi une multitude d'autres. Les nouveaux contributeurs n'ont vraiment pas besoin de connaitre tout cela pour débuter. Généralement, il commence par faire une simple leçon. La notion de cours avec le [[modèle:Cours]] est très rarement abordée avec les nouveaux (tu es une exception, car tu as provoqué la chose dans le paragraphe "Niveau Unité de valeur" plus haut). Sur la Wikiversité, les choses sont plus simples que cela. Généralement, on commence par faire des leçons. Éventuellement, s'il s'agit d'une série de leçons appartenant à un cours, on crée un cours pour contenir les leçons. Mais tous les détails comme la construction de tableaux, les catégories, les éventuelles références bibliographiques ou notes en bas de page, les liens et interwikis, etc.. tout cela est apporté au fur et à mesure des besoins par les patrouilleurs. Dans ton contexte particulier, tu voulais faire un certificat qui contenait des unités de valeur. On a donc assimilé "cours" à "certificat" d’une part et "leçon" à "unité de valeur" d’autre part, et donc les unités de valeur ne contiennent pas des leçons comme tu le dis dans [[Aide:Versement d'un cours totalement fondé]]. Je pense qu’il ne faut pas confondre ton contexte particulier avec tous les contextes très diversifiés de tous les contributeurs d'origine très diverses pouvant intervenir sur la Wikiversité et qui voudraient faire partager leur cours. Je pense que ta page d'aide présente un intérêt, mais il faudrait la présenter plus simplement en différenciant bien ce qui est essentiel de ce qui est moins important. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 7 mars 2016 à 14:11 (UTC) :Je rejoins [[user:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur ce sujet. Il faut utiliser des termes simple clair et non policé. Pour moi, un rugbyman ne joue pas avec un référentiel rebondissant aléatoire et un nageur n'évolue pas dans un milieu aquatique profond standardisé. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 7 mars 2016 à 17:51 (UTC) :: {{notif|Lydie Noria|Crochet.david}} 1/ Urgence : mettez la page dans un endroit inaccessible (aux nouveaux) mais donnez moi la possibilité de la récupérer. 2/ Ensuite je vous avais dit que je travaillais sur un cours WkV complet relatif à ce versement qui annule et remplace cette page d'aide (construite au fil de mon tableau de bord)... J’ai promis de faire des efforts de simplicité. 3/ la page d'aide WkV qui reste à créer elle aussi, renverra les intéressés vers le cours WkV. 4/ j’ai un autre cours sur le "management des opérations" totalement terminé à verser. 5/ Je peux m'en tenir qu'au versement de de cours et laisser tomber cette page WkV en création que l’on pourra détruire tout simplement. 6/ Maintenant si vous considérez que les profs qui ont déjà leur cours totalement terminés comme des non clients de la wikiversité parce que seules les leçons (sans cours, sans UV, et autres caractéristiques de l'enseignement universitaire) sont dans le référentiel : il n'y a qu’à me le dire : ma vie est riche d'autres potentialités, et je n'en voudrais à personne de me dire "d'aller jouer ailleurs"... Ma carapace peut aussi entendre cela... L'autre solution c’est de faire confiance aux êtres humains : les informaticiens ne comprennent pas sans faire d'effort le référentiel bondissant et les enseignants ne comprennent pas sans faire d'efforts le wikicode et toute la syntaxe des modèles.... Alors j’ai fait l'effort pour mettre au niveau de la WkV et je vous sais capable de comprendre ce que je vais raconter simplement une fois que mes idées seront claires... À +, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 8 mars 2016 à 19:49 (UTC) :::Le problème n’est pas le fond, et je dirais même au contraire, tu a un point de vue neuf, tu as réussi à te démerder pour réussir, et tu veux partager cette expérience. Le problème, c’est la forme, mais surtout le langage utilisé. Pour que la page d'aide que tu proposes soit le plus rapidement utilisable et que chacun puisse se l'approprier, il faut des termes simples, précis, concis. Continue comme tu l'as pensé, mais met-toi à la place d'une personne qui n'y connaît rien et une personne qui n'y connait rien ou peu, n'a pas envie de traduire dans son langage ce qu’il a mis tant de temps à comprendre déjà. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 8 mars 2016 à 20:37 (UTC) :: ::: Comme tu l'as suggéré, j’ai mis la page dans un endroit inaccessible aux nouveaux, voir [[Utilisateur:Guy6631/Versement d'un cours totalement fondé]]. Elle est dans ton espace utilisateur. Comme cela, tu peux y travaillé tranquillement ou la conserver pour usages divers. Les utilisateurs qui veulent rédiger tranquillement certaines pages sans être dérangés par d'autres utilisateurs, peuvent commencer par rédiger ces pages dans leur espace utilisateur et les transférer ensuite, seulement quand elles sont achevées, dans l'endroit adéquat de la Wikiversité. Crois bien que l’on apprécie ton investissement dans la Wikiversité et que l’on t'en remercie. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 9 mars 2016 à 10:26 (UTC) :::: Merci Lydie, Merci David. Crochet, je vais poursuivre dans le contexte et le sens que tu évoques. Est-ce que vous aurez visibilité sur ma page de travail ? que faut-il que je fasse pour cela ? : Monter la page de procédure et la page d'aide avec des termes simples de la vie de tous les jours dans mon espace utilisateur avec votre soutien actif si nécessaire. Je vous demanderai la validation forme et contenu à l'issue. On verra ensuite ce que l’on fait. Il n’est pas impossible que je mène les opérations de versement de mon cours comme TP de ma procédure afin de valider les étapes et les termes toujours avec votre soutien actif si nécessaire. A+, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 9 mars 2016 à 13:39 (UTC) :::::Toute page est visible et donc lisible par tout le monde. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 9 mars 2016 à 16:48 (UTC) == Quelques liens qui pourraient te servir. == Salut Guy, En parcourant le net je suis tombé sur quelque lien qui pourrait te servir dans l'importation de tes travaux. J'espère qu’il n'arriverons pas trop tard... *http://uses.plantnet-project.org/fr/Aide:Outils_et_astuces_pour_écrire_avec_Mediawiki#Conversion_de_Word_en_Mediawiki *https://en.wikipedia.org/wiki/Help:WordToWiki *http://openwetware.org/wiki/Converting_documents_to_mediawiki_markup Bien à toi, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 13 mars 2016 à 21:37 (UTC) : Salut Lionel et mille merci, {{notif|Lydie Noria}}, Thème "Numériser un cours en présentiel" : je connaissais le sujet car j’ai enseigné dans une école privée (voir IONISX : https://ionisx.com/) qui était en train de changer son modèle économique en utilisant les {{Abréviation|MOOC|Massive Open Online Course|en}} et autres nouvelles techniques-technologies pour élargir sa gamme de formation tout en réduisant ses coûts de fonctionnement (Comme les citrons, on se débarrasse des professeurs une fois qu'on les a pressés en enregistrant leurs cours !!!). Cela pose la question du positionnement de wikiversité par rapport au monde de la formation et des MOOC... Pour moi WkV n’est pas en compétition frontale avec les {{Abréviation|MOOC|Massive Open Online Course|en}} et doit veiller à ne pas y entrer... LE jeu c’est de rester sur le '''contenu académique''' et non sur la pédagogie pour le faire rentrer dans la tête des apprenants, pour aider à choisir et à changer et pour décider de l'appliquer en tant que pratiques/comportements/usages/us/mœurs... Sinon on se retrouve en face de FUN ou de COURSERA et là, il me semble, que c’est un autre monde dans lequel nos "petites mains de bénévoles zappeurs" ne sauront pas appréhender tous les enjeux : Exemple je ne me vois pas, comme sur les forums de ces 2 plate-formes, en train d'écrire des posts sur la page discussion de la Wikiversité pour répondre en temps réel à un apprenant lisant "mes cours" (nota : j’espère perdre rapidement la "paternité" quand ils seront repris et modifiés par d'autres bénévoles !)... Thème "Numériser un cours en présentiel pour en faire un cours dans la WkV" : Là c’est compliqué et j'apprends !!!... et tes informations me sont utiles : il y a déjà de la matière dans les wikis mais on y dit souvent "ce que l’on pourrait faire si" pas "ce que l’on doit faire pour..." et/ou "ce que l’on doit faire quand on veut...". Charge à moi d’en faire un outil pragmatique pour un nouvel entrant... En bref, dans la formation il y a 4 facteurs : Le savoir, l'apprenant, le formateur, la pédagogie. Je crois qu’il faut se positionner dans : "WkV est une base de données relative au "Savoir" exclusivement ! comme une encyclopédie liée aux Savoirs"... Je vous tiens au courant. Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 15 mars 2016 à 11:33 (UTC) ::On peut se tutoyer si tu veux. Tu te lances dans un beau projet et je partage tes idées : Wikiversité ne doit être complémentaire au {{Abréviation|MOOC|Massive Open Online Course|en}} et le monde du travail ressemble parfois à un presse citron où l’on peut se retrouver du jour au lendemain, sans reconnaissance malgré toute une expérience accumulée. Question paternité, la licence appliquée à l’ensemble du projet garanti que tu le veuilles ou non la paternité au niveau de ta participation à chaque page du projet. Cette paternité est cependant partagée entre toute les personnes ayant édité une page sans distinction faite de la quantité de travail apporté. Enfin ce qui doit apparaître en termes de paternité suite obligations liée à la licence c’est ton nom d'utilisateur et pas ton identité réelle. Bon courage pour la suite ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 15 mars 2016 à 14:21 (UTC) == Stand By == Bonjour, {{notif|Lydie Noria|Lionel Scheepmans|Crochet.david}} je me suis mis en stand by sur WV car j’ai suivi les 5 semaines du WikiMOOC et que j’ai un article à finir avant publication WP. Je compte me replonger dans mes projets WV ci-dessus indiqués suite à cela. À bientôt, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 31 mars 2016 à 06:30 (UTC) == Nouvelle prise de décision au sujet de l'installation de Flow dans la Wikiversité == Bonjour, Une prise de décision concernant l'installation de [[w:wikipédia:Flow|Flow]] dans la Wikiversité vient d'être lancée. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page : [[Projet:Wikiversité/Flow]]. Une belle fin de journée ! [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 juin 2016 à 17:06 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&oldid=585023 --> == Nouvelle prise de décision en cours == Bonjour, Une nouvelle [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Collaboration juive sous le nazisme|prise de décision communautaire au sujet de la suppression d'une page de recherche est en cours]]. Soyez les bienvenus pour apporter vos commentaires et vos avis. Une belle fin de journée à tous. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 26 octobre 2016 à 21:42 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&oldid=607578 --> == Nouvelle prise de décision == Bonjour, Une nouvelle prise de décision est organisée sur le recyclage de cinq facultés en département. Vous êtes invités à en discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Recyclage de cinq facultés en département]]. Cordialement. <!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&oldid=614606 --> == Prise de décision sur les facultés de langues == [[Utilisateur:Amqui|Amqui]] a lancé une prise de décision sur la page [[Projet:Wikiversité/Langues]]. Vous êtes invités à venir en discuter. L'objet du ou des votes n'a pas encore été clairement précisé. Si l'objet de la discussion vous intéresse, veuillez garder un œil sur la page pour voter le cas échéant. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 19 février 2017 à 04:05 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&oldid=614606 --> == Installation d'extensions pour visualiser des vidéos externes dans la Wikiversité == Bonjour, une prise de décision a été lancée dans le [[Projet:Wikiversité/Installation d'un lecteur de vidéos externes]]. Vous êtes invités à venir en discuter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 6 avril 2017 à 19:59 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&oldid=614606 --> == Votes sur les facultés de langues == Bonjour, la phase de vote a démarrée sur le [[Projet:Wikiversité/Langues]]. Vous êtes cordialement invité à venir voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 24 avril 2017 à 04:21 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&oldid=614606 --> == Nouvelle prise de décision importante sur les principes de bonne gouvernance == Bonjour, vous êtes invité à participer à une prise de décision importante pouvant potentiellement déboucher sur la mise en place de principes de bonne gouvernance au sein du projet Wikiversité francophone. Les enjeux, discussions, propositions à voter et les votes éventuels auront lieu sur la page [[Projet:Wikiversité/Principes de bonne gouvernance]]. En espérant vous y retrouver, on vous souhaite une très agréable fin de journée, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 28 avril 2017 à 09:00 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&oldid=651778 --> == Nouvelle prise de décision au sujet de Flow == Bonjour, vous êtes invité à participer à une prise de décision au sujet d'une potentielle expansion de Flow sur les pages de discussions au sein de Wikiversité. Le rendez-vous est fixé sur la page [[Projet:Wikiversité/Flow 2]]. En espérant vous y retrouver nombreux, on vous souhaite une très agréable fin de journée. P.-S. Ce message vous est envoyé parce que votre non utilisateur figure sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]]. Si vous ne voulez plus recevoir ces notifications, rendez vous sur cette page et effacez votre nom d’utilisateur qui figure dans la liste. <!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&oldid=651778 --> == Début des votes concernant l'installation de Flow == Bonjour, vous pouvez dès à présent [[Projet:Wikiversité/Flow 2#Vote|participer aux votes]] concernant l'expansion de Flow sur les pages de discussions des espaces de noms de Wikiversité. En espérant vous y voir nombreux, nous vous souhaitons une très agréable fin de journée. <small>P.-S. Ce message vous est envoyé parce que votre non utilisateur figure sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]]. Si vous ne voulez plus recevoir ces notifications, rendez vous sur cette page et effacez votre nom d’utilisateur figurant dans la liste.</small> <!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&oldid=661329 --> == Refonte des pages de discussions communautaires == Bonjour, Une prise de décision est proposée sur une refonte des pages de discussions communautaires. Vous êtes invités à y participer sur le [[Projet:Wikiversité/Refonte des pages de discussions communautaires]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 28 août 2017 à 09:33 (UTC) <small>Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].</small> <!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&oldid=687403 --> == Conventions de gestion de la Wikiversité == Bonjour, Une prise de décision est proposée par [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur l'approbation de la page [[Wikiversité:Conventions de gestion]] qui définit les règles de gestion de la Wikiversité. Vous êtes invités à en discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 20 septembre 2017 à 01:31 (UTC) <small>Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].</small> <!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&oldid=687403 --> == Conventions de gestion de la Wikiversité (Redémarrage) == Bonjour, vous êtes invité à nouveau à discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]]. [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ayant fait des modifications importantes du texte initial proposé (qui ne faisait pas consensus) et en accord avec une majorité d'utilisateurs ayant participé aux votes sur le texte initial, il a été décidé un redémarrage de la prise de décision. Les votes et les discussions concernant le texte initial ont été supprimés, veuillez nous en excuser. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 26 septembre 2017 à 06:12 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&oldid=687403 --> == Avis de clôture des votes sur les conventions de gestion de la Wikiversité == Bonjour, sauf reprise des discussions, le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]] sera conclu le jeudi 5 octobre 2017. Vous êtes chaleureusement invités à venir voter avant clôture des votes. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 2 octobre 2017 à 08:12 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&oldid=687403 --> == Proposition d'une page à la suppression == Bonjour, La page [[Recherche:Métajustification de Wikipedia]] est proposée à la suppression sur [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Métajustification de Wikipedia]]. Vous êtes invités à venir voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 17 décembre 2017 à 05:01 (UTC) <small>Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].</small> <!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&oldid=697274 --> == Nouvelle candidature au statut d'administrateur == Bonjour. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] propose sa candidature au statut d'administrateur de la Wikiversité. Vous êtes invités à venir en discuter et voter sur la page [[Wikiversité:Administrateur/Candidature/FrankyLeRoutier 4]]. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 mai 2018 à 08:58 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&oldid=697274 --> == Amendement des critères de sélection des administrateurs == Bonjour, Ce petit message pour vous informer qu'un vote est ouvert sur [[Discussion Wikiversité:Administrateur/Candidature/Critères|cette page]] pour amender les critères de sélection des administrateurs suite à une situation d'incohérence. Bien à vous, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 5 juin 2018 à 14:58 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&oldid=697274 --> == Proposition à la suppression de plusieurs travaux de recherche en mathématiques == Bonjour, Tous les travaux de recherche se trouvant dans le laboratoire [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]] ainsi que le travail de [[Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]] sont proposés à la suppression respectivement dans les deux pages [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]] et [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]] où vous êtes invités à venir en discuter et voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 10 juin 2018 à 17:22 (UTC) <small>Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].</small> <!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&oldid=697274 --> == Demande d'avis sur intégration d'un utilisateur dans un nouveau groupe == À partir du 15 août, les [[Wikiversité:Administrateur/Liste des administrateurs|administrateurs]] vont perdre les droits ([[mediawikiwiki:Manual:User_rights#List_of_permissions|editsitecss]] et [[mediawikiwiki:Manual:User_rights#List_of_permissions|editsitejs]]).<br /> Un groupe spécifique d'utilisateur est crée pour cela : [[m:Special:MyLanguage/Interface administrators|interface-admin]] .<br />[[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] demande à faire partie de ce groupe.<br />Si aucun utilisateur n'est nommé dans ce groupe, nous serions obliger de passer par une requête sur MétaWiki, faute d'utilisateur autorisé dans la wikiversité francophone.<br /> Merci d’émettre [[Wikiversité:Requêtes_aux_bureaucrates#Wikiversité:La_salle_café/juillet_2018#New_user_group_for_editing_sitewide_CSS/JS|votre avis]] sur cette requête.<br /> [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 9 août 2018 à 15:18 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Crochet.david@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&oldid=722193 --> == Proposition d'un travail de recherche à la suppression == Bonjour, La [[Recherche:Raisonnement contradictoire et structure des nombres entiers/Démonstration canonique du DTF]] est proposée à la suppression sur [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Raisonnement contradictoire et structure des nombres entiers/Démonstration canonique du DTF]]. Vous êtes invités à venir voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 17 janvier 2019 à 17:11 (UTC) <small>Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].</small> <!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&oldid=722193 --> == Mise en page == Bonjour, Une prise de décision est proposée sur La mise en page des chapitres. Vous êtes invités à y participer sur le [[Projet:Wikiversité/Mise en page]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 1 février 2019 à 19:00 (UTC) <small>Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].</small> <!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&oldid=722193 --> == Candidature de Rical à l'administration == Nous vous informons que le vote suivant vient d'ouvrir : [[Wikiversité:Administrateur/Candidature/:Rical]]. <!-- Message envoyé par User:JackPotte@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&oldid=722193 --> == Suppressions de travaux personnels == Bonjour, Une prise de décision est lancée sur la suppression de trois travaux personnels dans la Wikiversité. Vous êtes invités à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Suppression de travaux personnels]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 février 2019 à 17:37 (UTC) <small>Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].</small> <!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&oldid=722193 --> == Versement d'un nouveau cours - Aide au (re)démarrage == Bonjour [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]], J'espère que tu vas bien depuis le temps... Après maints péripéties personnelles (divorce, déménagement, installation,...) et professionnelle (retraite) je vais enfin pouvoir reverser mon 2ème cours... Il s'agit d'un cours pour des étudiants bac + 4 en [[w:fr:Management_des_opérations|Management_des_opérations]]. Je l'ai professé 3 années, pour 2*1/2 promotions par an, donc 6 fois... En guise de reprise de contact : 1/ dans quel département cela va se glisser ? 2/ quelles sont les grands changements opérés depuis 2016 ? 3/ il me faudra regarder aussi mon projet de "versement d'un cours totalement fondé" et en discuter avec toi/vous !!!... À bientôt --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 14 février 2019 à 19:07 (UTC) : Bonjour, bon retour parmi nous {{sourire}}. :1/ Je ne suis pas une spécialiste de ces questions. Peut-être le [[Département:Management industriel et logistique]] ou un autre département de la [[Faculté:Gestion]]. Si tes leçons sont a dominante informatique, peut-être un département de la [[Faculté:Informatique]] comme le cours [[Système d'Information pour Stratégie et Pilotage d'Entreprise]] qui me semble assez proche (je me trompe peut-être, je n'y connais rien). :2/ Pas de grand changement depuis 2016. Voir la page [[Wikiversité:Annonces]]. :3/ .... :A bientôt. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 15 février 2019 à 09:03 (UTC) ::Bonjour [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]], merci pour ton accueil... J'ai fait la découverte des 2 lieux possibles, mon choix s'est porté sur le domaine industriel et non sur le domaine informatique... 1/ J'ai réorganisé la page en vrac [[Département:Management industriel et logistique]], sans enlever quoi que ce soit... et ajouté la coquille qui va me servir de localisation de mon versement : Peux-tu me donner ton sentiment Stp ? avant que je n'aille plus loin... 2/ Je voudrais d'abord travailler sur un espace brouillon avant de te faire valider et de verser : Where is-it possible ??? D'avance merci [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 15 février 2019 à 15:51 (UTC) ::: Un département stocke des leçons. Le [[Département:Management industriel et logistique]] ne me semble pas conforme à cet objectif. Regarde comment sont organisés les autres département comme le [[Département:Finance, comptabilité et contrôle de gestion]] ou le [[Département:Management et organisation des organismes sociaux]], ou encore le [[Département:Analyse]] ou le [[Département:Statistique et probabilités]]. Il faut faire en sorte que d'autres puissent rajouter facilement des leçons. En fait, le [[Département:Management industriel et logistique]] était déjà mal organisé avant que tu n'interviennes, il faut d'abord créer les leçons et ensuite les mettre dans un département au fur et à mesure. Le plan d'un cours ne se prépare pas dans le département mais dans le cours lui-même. un département est simplement un lieu de stockage de leçons. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 15 février 2019 à 16:14 (UTC) == Candidature au statut d'administrateur d'interface == Bonjour, Frigory propose sa candidature au statut d'administrateur d'interface sur la page [[Wikiversité:Administrateur d'interface/Candidature/Frigory]]. Vous êtes cordialement invités à venir voter ! [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 27 mars 2019 à 16:56 (UTC) <small>Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].</small> <!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&oldid=722193 --> == Modernisation de la Wikiversité == Bonjour, Une prise de décision est proposée sur la modernisation de la Wikiversité (nouvelle charte graphique). Vous êtes invités à y participer sur le [[Projet:Wikiversité/Modernisation du wiki]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 1 avril 2019 à 03:31 (UTC) <small>Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].</small> <!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&oldid=722193 --> == Création d'une faculté des Sciences Mentales == Bonjour, Une prise de décision est proposée sur la création d'une nouvelle faculté sur la Wikiversité. Vous êtes invités à y participer et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Création d'une faculté des Sciences Mentales]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 20 juin 2019 à 09:30 (UTC) <small>Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].</small> <!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&oldid=722193 --> == Nouvelle candidature au poste d'administrateur d'interface == Bonjour, Vous êtes convié à participer au recrutement d'un nouvel administrateur d'interface pour la Wikivesité au niveau de la page [[Wikiversité:Administrateur d'interface/Candidature/Lionel Scheepmans]]. Bien cordialement, <!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&oldid=722193 --> == Nouvelle prise de décision au sujet de l'intégration des travaux d'enseignants et d'étudiants == Bonjour, [[Projet:Wikiversité/Intégration travaux étudiants|Une nouvelle prise de décision voit le jour au niveau de l'intégration des travaux d'enseignants et d'étudiants en provenance d'institutions hors ligne]]. En vous souhaitant une très agréable journée ! [[user:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] <!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&oldid=722193 --> == Nouvelle prise de décision == Bonjour. Juste un petit message pour vous informer qu'une nouvelle prise de décision vient de commencer sur la page : [[Projet:Wikiversité/Patrons de page, fonctionnalités beta individuelles, crochets indice de renvoi]]. Cordialement, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 19 février 2021 à 23:19 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&oldid=828479 --> == Nouvelle candidature au statut d'administrateur == [[Utilisateur:Hérisson grognon|Hérisson grognon]] propose sa candidature au statut d'administrateur sur la page [[Wikiversité:Administrateur/Candidature/Hérisson grognon]]. Vous êtes invités à venir voter ! <small>Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].</small> <!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&oldid=828479 --> == Nouvelle prise de décision == Bonsoir, Une nouvelle prise de décision concernant la mise en place d'une [[Projet:Wikiversité/Bannière personnalisée d'appel aux dons|bannière personnalisée d'appel aux dons]] vient de commencer. Vous êtes invités à venir donner votre avis. Cordialement, --[[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 25 janvier 2022 à 20:00 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Hérisson grognon@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&oldid=861600 --> == Prise de décision - Présentation de la faculté Langues == Bonjour, Une '''[[Wikiversité:Prise de décision/Présentation de la faculté Langues|prise de décision]]''' est en cours concernant la présentation de la [[Faculté:Langues]]. Merci d'avance pour votre participation ! (Ceci est un message automatique.) [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 1 mars 2024 à 07:10 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Fourmidable@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&oldid=926422 --> :@ [[Spécial:Contributions/176.166.60.16|176.166.60.16]] 1 mars 2024 à 08:39 (UTC) == Une prise de décision en cours de discussion est initiée == Bonjour Une prise de décision est initiée : [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 19 avril 2025 à 09:25 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Crochet.david@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&oldid=958072 --> == Erreur technique dans les cours MOOC == Bonjour à toutes et tous, La [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC|prise de décision concernant l'erreur technique dans les cours MOOC]] vient de commencer officiellement. Il n'est plus temps de discuter mais seulement de [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC#Avis|statuer pour ou contre la suppression du format MOOC]] (jusqu'à ce que le problème soit résolu). {{Centrer|[[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC#Avis|{{Bouton cliquable|Donner son avis officiellement|couleur=bleu}}]]}} Wikiversitairement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2025 à 09:43 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Fourmidable@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&oldid=958072 --> == Débats d'admissibilité == Bonjour, Les [[WV:DDA|débats d'admissibilité]] suivants ne comptabilisent aucun avis depuis plus de deux mois : * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Flash]] (leçon créée en 2007) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Mouvement féministe]] (leçon créée en 2008) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Joomla]] (leçon créée en 2008) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Programmation distribuée]] (leçon créée en 2010) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Collapsologie]] (leçon créée en 2016) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Citoyenneté et empire à Rome (leçon créée en Ie-IIIe siècle)]] (leçon créée en 2018) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Peuples amérindiens]] (leçon créée en 2019) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Création des états modernes en Europe]] (leçon créée en 2019) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Apprentissage supervisé]] (leçon créée en 2022) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Apprentissage profond]] (leçon créée en 2024) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Apprentissage par renforcement]] (leçon créée en 2024) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Algorithme génétique]] (leçon créée en 2024) Merci d'y donner votre avis ! [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 23 juillet 2025 à 00:55 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Fourmidable@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&oldid=958072 --> :Les 3 dernières leçons (IA) créées par lela même contributeurice sur la même trame mériterait de se retrouver chapeautées par un paragraphe ad hoc les présentant en une perspective globale. La Faculté en charge doit pouvoir intervenir, me semble-t-il... [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 23 juillet 2025 à 09:32 (UTC) == Améliorer Wikiversité pour ses vingt ans d'existence == Bonjour. Je viens vers vous au travers de MassMessage pour attirer votre attention sur [[Wikiversit%C3%A9:La_salle_caf%C3%A9/ao%C3%BBt_2026#Am%C3%A9liorer_Wikiversit%C3%A9_pour_ses_vingt_ans_d'existence|un message que je viens de laisser dans la salle café de notre projet]]. Il concerne un projet d'amélioration de Wikiversité à l'approche de ses 20 ans d'existence et vous invite à poster vos commentaires et partager votre envie de participation. Cordialement, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} <!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&oldid=958072 --> po5tlzb5m29xbym3u7wd8lre1d88u59 0 74760 988308 988281 2026-11-12T02:08:03Z Phl7605 31541 /* Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable */ 988308 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nulle «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit à «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle <math>\,\big[</math>sauf cas particulier non considéré<math>\big]\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit « }}<math>\big[</math>sauf cas particulier non considéré où <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\forall\;t\big]</math>. == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorèmes de l'énnergie cinétique appliqués à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> « quelconque » }}sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le travaail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nul <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit, sous sa forme élémentaire, à «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, }}sur une durée finie, à «<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, sur une durée finie, à «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : Le travail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré"> Sauf cas particulier non considéré <math>\;\ldots</math></ref> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis"> Sauf cas particulier non considéré pour lequel <math>\,\delta W_{\text{int}} = 0\,</math> pour la forme élémentaire ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Sauf cas particulier non considéré pour lequel }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\,</math> pour la forme à durée finie.</ref> ou <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit }}«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis" /> avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}La notion du « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que <br>{{Al|14}}celle d’« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais <br>{{Al|5}}ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelles_énergies_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_étudié_dans_un_référentiel_donné_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans un référentiel donné ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce) » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref> Le prolongement aux systèmes continus fermés de matière ayant été établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \left[ \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t)\;dt = d{r}_{i,\,j}\,</math> selon le lien entre dérivée et différentielle.</ref>{{,}} <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Prolongement aux systèmes continus fermés de matière d'après la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math> <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\,</math> à savoir <math>\,\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\,</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\,</math> ni des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_l,\;l \neq j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\,r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\,dr_{M,\,M'}\,</math> étant une fonction des trois variables <math>\,\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou curvilignes sur <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N\,</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\,</math> formes différentielles dont <br>{{Al|8}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de }}chacune dépend d'une variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> différente, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math><u>est une différentielle de</u> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « chacune des<math>\;\color{transparent}{N\,(N - 1)}\;</math>formes différentielles<math>\;\color{transparent}{\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}}\;</math>est }}<u>fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_inté9rieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_déformable-32|³²]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> est uniquement fonction des trois variables indépendantes <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}<math>\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}fonction de la seule variable <math>\,r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,y\;</math>», * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,z\;</math>» et * <math>\,\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\,</math> ne dépende que de <math>\,x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\,\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\,</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\,r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\,\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\,\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\,U\,</math> ouverte ou non de <math>\,\mathbb{R}^3\,</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\,U\,</math> contient au moins un point <math>\,P\,</math> tel que, pour tout point <math>\,Q\,</math> de <math>\,U</math>, le segment <math>\,\left[ PQ \right]\,</math> est inclus dans <math>\,U</math>, on dit alors que <math>\,U\,</math> est « étoilée par rapport à <math>\,P\;</math>» <math>\big\{U\,</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\,U\,</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <ref name="d'après un théorème de Poincaré"> D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de <math>\,\mathbb{R}^3</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|⁴²]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|⁴³]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref><math>\big\}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> soit « <u>conservatif</u> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}est que son travail élémentaire <ref> Ou le travail élémentaire d'un des sous-systèmes de forces intérieures dont on cherche à prouver le caractère conservatif.</ref> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» est une différentielle de fonction <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\,\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\,\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\,</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> s'écrivant «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>» est une différentielle de fonction.</ref>, fonction à partir de laquelle se définit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'« énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» et déduite de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)\,</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» déduite de <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\,</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » adapté au cas du point <math>\,M_i\,</math> repéré dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> avec <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\,\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\,</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\,\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\,r_{i,\,j}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\,\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\,</math> <math>\,\searrow\,</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\,\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\,</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\,;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\,r_{M,\,M'}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> pour <math>\,M\,</math> et <math>\,M'\,</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\,</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\,\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\,r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\,</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace\;</math>» ou, en permutant double somme discrète et différenciation <ref name="différenciation opération linéaire"> la différenciation étant une opération linéaire.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = -d \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace = -d \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace\;</math>» dont on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}avec «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces <br>{{Al|95}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> vue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_que_le_système_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_soit_conservatif-46|⁴⁶]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>. === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\,2\,</math> ou <math>\,3\,</math> points matériels. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,2\,</math> points matériels il n'y a qu'un seul couple de points nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,3\,</math> points matériels il y a <math>\,3\,</math> couple de points <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \left( 1\,,\, 2 \right)\\ \left( 1\,,\, 3 \right)\\ \left( 2\,,\, 3 \right) \end{array} \right\rbrace\,</math> nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2}) + U_{\text{int},\, 1,\, 3}(r_{1,\,3}) + U_{\text{int},\, 2,\, 3}(r_{2,\,3})\;</math>». ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : <math>\bullet\;</math>«<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\,T\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\,m_\text{♁} \,</math> sa masse, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\,L\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\,m_\text{☽} \,</math> sa masse ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\,</math> d’où, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon }}«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon « }}la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, l'expression de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » «<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" />, <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ». ==== Atome d’hélium ==== [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}Dans cet exemple l'atome d'hélium composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium }}est modélisé par <math>\,3\,</math> points <math>\bullet\;</math>«<math>\;E_1\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 1 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_1\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;E_2\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 2 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_2\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;N\,, \left( +2 e \right)\;</math>» pour le noyau <math>\,\left( 3 \right)\,</math> dans lequel <math>\,N\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}nous nous proposons de déterminer l'énergie potentielle d'interaction électrique entre les trois constituants de l'atome d'hélium et pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple nous nous proposons }}d'établir celle entre chaque couple de points <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)</math>, <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> et <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\;</math><ref name="nombre de couples"> Pour <math>\,N = 3\,</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre les deux électrons du couple <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\,M'\,\left( q' \right)\,</math> exerce sur <math>\,M\,\left( q \right)\,</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] » <math>\,\big[\varepsilon_0\,</math> définie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-permittivité_diélectrique_du_vide-62|⁶²]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big]</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des [[w:Loi_de_Coulomb_(mécanique)|lois de frottement « solide »]] ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,r_{1,\,2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des deux électrons et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\,\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\,</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\,\big(</math>ou de celle du milieu isolant<math>\big)\,</math> à l'action d'un champ électrique <math>\,\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\,0,05\;\%\,</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\,</math> de valeur telle que <math>\,\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\,\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>.</ref> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre électrons <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(2)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\,</math> ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}électrons <math>\,(1)\,</math> et <math>\,(2)\,</math> infiniment éloignés l'un de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{1}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_1} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} + cste_1\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(1)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_1 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,< 0</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(2)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_2} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + cste_2\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(2)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_2 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» étant la somme des énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium }}s'écrit «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,2} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}le 1^er terme correspondant à une répulsion <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive" /> et les deux derniers à une attraction <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" />. == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique » <ref name="forme intégrée associée à une forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}ces formes intégrée et locale <ref name="forme intégrée associée à une forme locale" /> sont indispensables à connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> peut être <math>\,=\,</math> à <math>\,1\,</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le paragaphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1]] (PCSI) ».</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur un système discret de points matériels"> Voir la relation <math>\,\left( \mathfrak{c} \right)\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas d'un système discret de points matériels) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «}}<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» ainsi que <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «}}<math>\;\sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\,</math> la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\,M_i</math>, et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces <br>{{Al|19}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}} = \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}}\;</math>» avec « }}extérieures exercées sur le point matériel <math>\,M_i</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{ext}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\,3\;N\,</math> variables scalaires indépendantes <br>{{Al|6}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> étant une « forme différentielle des }}positionnant les <math>\,N\,</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\,3\,</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\,M\,</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\,\left( S \right)\,</math> ou curviligne sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\,i\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,N\,</math> formes différentielles dont chacune <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de <math>\,\color{transparent}{N}\,</math> }}dépend d'un triplet de variables scalaires différent <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces extérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;N\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière-71|⁷¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète_-_ter-72|⁷²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}{{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{ext}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\,M_i\,</math> est repéré, dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est « conservatif »}}cartésiennes <math>\,\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou un repérage sphérique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\,\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\,\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\,</math> en cylindro-polaire <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou <math>\,\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\,</math> en sphérique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que la forme différentielle «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} =</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est « conservatif »}}<math>\overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est « conservatif »}}soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\,M\,</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|⁷⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\,</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\,\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_-_ter-76|⁷⁶]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est « conservatif »}}<math>\,\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S." /> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est « conservatif »<math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}un « ouvert étoilé » <ref name="ouvert étoilé" /> de son domaine de définition <ref name="d'après un théorème de Poincaré" /><math>\big\}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces extérieures" /> soit « <u>conservatif</u> » est que le travail élémentaire de ce système de forces <ref name="ou un des sous-systèmes de forces extérieures" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <ref> En repérage cartésien<math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="autre repérage possible" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}</math> }}satisfasse les conditions «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\,</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\,</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|⁷⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\,</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\,\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|⁷⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\,</math> pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|⁷⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\,</math> pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|⁷⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|⁷⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\,</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|⁷⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «<math>\;\color{transparent}{_k}\;</math>» }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire de ces forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» <math>\,\delta W_{\text{ext}_k}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «<math>\;\color{transparent}{_k}\;</math>» est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» est une différentielle de fonction <ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\,\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\,\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\,</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\,\delta W_{\text{ext}_k}\,</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\,_k\,</math> au point <math>\,M\,</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref>, fonction utilisée pour définir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «<math>\;\color{transparent}{_k}\;</math>» est conservatif, }}l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\,_k\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» et vérifiant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «<math>\;\color{transparent}{_k}\;</math>» est conservatif, l’}}«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière" /> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math>» <ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ainsi que « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\,_k\,</math> au point <math>\,M\,</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_élémentaire_des_forces_extérieures_de_type_k_conservatives_d'un_système_continu_de_matière-80|⁸⁰]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> soit, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «<math>\;\color{transparent}{_k}\;</math>» est conservatif, l’}} «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\,_k\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\,M_i\,</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\,_k\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\,_k\,</math> au point <math>\,M\,</math> de l'expansion considérée <math>\,\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\,M\,</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\,_k\,</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\,_k\,</math>»}} au point <math>\,M\,</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\,M\,</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\,_k\,</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> dont on déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «<math>\;\color{transparent}{_k}\;</math>» est conservatif, }}l'énergie potentielle du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «<math>\;\color{transparent}{_k}\;</math>» est conservatif, l'énergie potentielle du système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\,u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\,</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\,M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_linéique_dans_le_champ_des_forces_extérieures_de_type_k-83|⁸³]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\,u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\,</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\,M\,\in\,\left( S \right)\,</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\,\big[</math>voir la note [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_linéique_dans_le_champ_des_forces_extérieures_de_type_k-83|⁸³]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\,</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\,u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\,</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\,M\,\in\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_linéique_dans_le_champ_des_forces_extérieures_de_type_k-83|⁸³]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>. === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" />, déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>, déformable, }}est notée, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>ou <math>\,E_m(t)\,</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>, déformable, est }}définie selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>, déformable, est définie selon «<math>\;\color{transparent}{E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) =}</math> }}<math>K_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>, déformable, est définie selon «<math>\;\color{transparent}{E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) =}</math> }}<math>U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\,</math> son énergie potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\,_k\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>, déformable, est définie selon «<math>\;\color{transparent}{E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) =}</math> }}<math>U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\,</math> son énergie potentielle dans le champ de forces intérieures de type <math>\,_l\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ou « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_du_théorème_de_l'énergie_cinétique_d’un_système_de_matière_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_galiléen|rappel du théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s’écrivant <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on y distingue, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}</math> }}<math>\bullet\;</math>dans <math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>, les forces extérieures conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>dans}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, en introduisant l'énergie <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>dans« }}potentielle de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> «<math>\;U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» dans le champ des forces extérieures de type <math>\,_k</math>, <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>dans« }}<math>W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'où <math>\,\sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou encore <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>dans« <math>\color{transparent}{W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right)}\,</math> d'où }}<math>\,\sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta\! \left[ \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) \right]\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>dans}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta\! \left[ \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}</math> }}<math>\bullet\;</math>dans <math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>, les forces intérieures conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>dans}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, en introduisant l'énergie <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>dans« }}potentielle de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> «<math>\;U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» dans le champ des forces intérieures de type <math>\,_\mathit{l}</math>, <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>dans« }}<math>W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'où <math>\,\sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou encore <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>dans« <math>\color{transparent}{W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)}\,</math> d'où }}<math>\,\sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta\! \left[ \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) \right]\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>dans}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta\! \left[ \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», d'où <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta\! \left[ \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} - \Delta\! \left[ \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ; <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable }}on bascule alors les variations d’énergies potentielles changées de signe dans le membre de gauche d'où <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \Delta\! \left[ \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] + \Delta\! \left[ \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable }}«<math>\;\Delta\! \left[ K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou enfin, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable }}avec «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» l'énergie mécanique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable avec « }}déformable <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Énergie_mécanique_d'un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives|énergie mécanique d'un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intéreieures conservatives]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable }}«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})\;</math>». {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie mécanique d’un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, <br>{{Al|8}}{{Transparent|La variation d'énergie mécanique d’un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable, }}entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail }}appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail }}«<math>\;\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui }}appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui }}«<math>\;\sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie mécanique d’un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures <br>{{Al|8}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie mécanique d’un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable, }}conservatives, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|8}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie mécanique d’un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable, conservatives, sur l'intervalle }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire }}au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de la variation de l'énergie mécanique }}est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de la puissance mécanique }}étant la forme locale de la forme intégrée « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de la puissance mécanique étant la forme locale de la forme intégrée « }}des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="forme intégrée associée à une forme locale" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de la puissance mécanique }}s'obtient en divisant par <math>\,dt\,</math> la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à ce système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de la puissance mécanique s'obtient en divisant par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> la forme élémentaire du « }}champ des forces extérieures et intérieures conservatives sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de la puissance mécanique s'obtient en divisant par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> }}«<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» dans lequel on reconnaît <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de la puissance mécanique s'obtient en divisant par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> }}<math>\bullet\;</math>dans «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt}\;</math>» la puissance mécanique instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et <br>{{Al|97}}{{Transparent|Le « théorème de la puissance mécanique s'obtient en divisant par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}intérieures conservatives, dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de la puissance mécanique s'obtient en divisant par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> }}<math>\bullet\;</math>dans «<math>\;\dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math>» la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <br>{{Al|83}}{{Transparent|Le « théorème de la puissance mécanique s'obtient en divisant par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de la puissance mécanique s'obtient en divisant par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> }}<math>\bullet\;</math>dans «<math>\;\dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math>» la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <br>{{Al|83}}{{Transparent|Le « théorème de la puissance mécanique s'obtient en divisant par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}'})}\!(t)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}La puissance mécanique d’un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie mécanique d’un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable, }}dans un éférentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire }}au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>». Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} 01jgag4grwor4vc2txrow5ojfwocu8j 988309 988308 2026-11-12T02:31:58Z Phl7605 31541 /* Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable */ 988309 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nulle «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit à «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle <math>\,\big[</math>sauf cas particulier non considéré<math>\big]\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit « }}<math>\big[</math>sauf cas particulier non considéré où <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\forall\;t\big]</math>. == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorèmes de l'énnergie cinétique appliqués à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> « quelconque » }}sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le travaail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nul <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit, sous sa forme élémentaire, à «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, }}sur une durée finie, à «<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, sur une durée finie, à «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : Le travail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré"> Sauf cas particulier non considéré <math>\;\ldots</math></ref> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis"> Sauf cas particulier non considéré pour lequel <math>\,\delta W_{\text{int}} = 0\,</math> pour la forme élémentaire ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Sauf cas particulier non considéré pour lequel }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\,</math> pour la forme à durée finie.</ref> ou <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit }}«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis" /> avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}La notion du « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que <br>{{Al|14}}celle d’« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais <br>{{Al|5}}ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelles_énergies_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_étudié_dans_un_référentiel_donné_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans un référentiel donné ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce) » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref> Le prolongement aux systèmes continus fermés de matière ayant été établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \left[ \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t)\;dt = d{r}_{i,\,j}\,</math> selon le lien entre dérivée et différentielle.</ref>{{,}} <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Prolongement aux systèmes continus fermés de matière d'après la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math> <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\,</math> à savoir <math>\,\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\,</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\,</math> ni des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_l,\;l \neq j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\,r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\,dr_{M,\,M'}\,</math> étant une fonction des trois variables <math>\,\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou curvilignes sur <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N\,</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\,</math> formes différentielles dont <br>{{Al|8}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de }}chacune dépend d'une variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> différente, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math><u>est une différentielle de</u> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « chacune des<math>\;\color{transparent}{N\,(N - 1)}\;</math>formes différentielles<math>\;\color{transparent}{\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}}\;</math>est }}<u>fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_inté9rieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_déformable-32|³²]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> est uniquement fonction des trois variables indépendantes <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}<math>\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}fonction de la seule variable <math>\,r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,y\;</math>», * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,z\;</math>» et * <math>\,\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\,</math> ne dépende que de <math>\,x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\,\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\,</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\,r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\,\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\,\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\,U\,</math> ouverte ou non de <math>\,\mathbb{R}^3\,</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\,U\,</math> contient au moins un point <math>\,P\,</math> tel que, pour tout point <math>\,Q\,</math> de <math>\,U</math>, le segment <math>\,\left[ PQ \right]\,</math> est inclus dans <math>\,U</math>, on dit alors que <math>\,U\,</math> est « étoilée par rapport à <math>\,P\;</math>» <math>\big\{U\,</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\,U\,</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <ref name="d'après un théorème de Poincaré"> D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de <math>\,\mathbb{R}^3</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|⁴²]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|⁴³]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref><math>\big\}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> soit « <u>conservatif</u> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}est que son travail élémentaire <ref> Ou le travail élémentaire d'un des sous-systèmes de forces intérieures dont on cherche à prouver le caractère conservatif.</ref> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» est une différentielle de fonction <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\,\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\,\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\,</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> s'écrivant «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>» est une différentielle de fonction.</ref>, fonction à partir de laquelle se définit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'« énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» et déduite de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)\,</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» déduite de <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\,</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » adapté au cas du point <math>\,M_i\,</math> repéré dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> avec <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\,\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\,</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\,\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\,r_{i,\,j}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\,\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\,</math> <math>\,\searrow\,</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\,\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\,</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\,;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\,r_{M,\,M'}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> pour <math>\,M\,</math> et <math>\,M'\,</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\,</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\,\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\,r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\,</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace\;</math>» ou, en permutant double somme discrète et différenciation <ref name="différenciation opération linéaire"> la différenciation étant une opération linéaire.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = -d \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace = -d \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace\;</math>» dont on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}avec «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces <br>{{Al|95}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> vue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_que_le_système_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_soit_conservatif-46|⁴⁶]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>. === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\,2\,</math> ou <math>\,3\,</math> points matériels. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,2\,</math> points matériels il n'y a qu'un seul couple de points nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,3\,</math> points matériels il y a <math>\,3\,</math> couple de points <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \left( 1\,,\, 2 \right)\\ \left( 1\,,\, 3 \right)\\ \left( 2\,,\, 3 \right) \end{array} \right\rbrace\,</math> nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2}) + U_{\text{int},\, 1,\, 3}(r_{1,\,3}) + U_{\text{int},\, 2,\, 3}(r_{2,\,3})\;</math>». ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : <math>\bullet\;</math>«<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\,T\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\,m_\text{♁} \,</math> sa masse, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\,L\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\,m_\text{☽} \,</math> sa masse ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\,</math> d’où, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon }}«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon « }}la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, l'expression de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » «<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" />, <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ». ==== Atome d’hélium ==== [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}Dans cet exemple l'atome d'hélium composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium }}est modélisé par <math>\,3\,</math> points <math>\bullet\;</math>«<math>\;E_1\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 1 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_1\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;E_2\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 2 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_2\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;N\,, \left( +2 e \right)\;</math>» pour le noyau <math>\,\left( 3 \right)\,</math> dans lequel <math>\,N\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}nous nous proposons de déterminer l'énergie potentielle d'interaction électrique entre les trois constituants de l'atome d'hélium et pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple nous nous proposons }}d'établir celle entre chaque couple de points <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)</math>, <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> et <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\;</math><ref name="nombre de couples"> Pour <math>\,N = 3\,</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre les deux électrons du couple <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\,M'\,\left( q' \right)\,</math> exerce sur <math>\,M\,\left( q \right)\,</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] » <math>\,\big[\varepsilon_0\,</math> définie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-permittivité_diélectrique_du_vide-62|⁶²]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big]</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des [[w:Loi_de_Coulomb_(mécanique)|lois de frottement « solide »]] ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,r_{1,\,2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des deux électrons et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\,\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\,</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\,\big(</math>ou de celle du milieu isolant<math>\big)\,</math> à l'action d'un champ électrique <math>\,\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\,0,05\;\%\,</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\,</math> de valeur telle que <math>\,\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\,\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>.</ref> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre électrons <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(2)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\,</math> ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}électrons <math>\,(1)\,</math> et <math>\,(2)\,</math> infiniment éloignés l'un de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{1}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_1} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} + cste_1\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(1)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_1 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,< 0</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(2)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_2} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + cste_2\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(2)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_2 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» étant la somme des énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium }}s'écrit «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,2} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}le 1^er terme correspondant à une répulsion <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive" /> et les deux derniers à une attraction <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" />. == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique » <ref name="forme intégrée associée à une forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}ces formes intégrée et locale <ref name="forme intégrée associée à une forme locale" /> sont indispensables à connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> peut être <math>\,=\,</math> à <math>\,1\,</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le paragaphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1]] (PCSI) ».</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur un système discret de points matériels"> Voir la relation <math>\,\left( \mathfrak{c} \right)\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas d'un système discret de points matériels) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «}}<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» ainsi que <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «}}<math>\;\sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\,</math> la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\,M_i</math>, et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces <br>{{Al|19}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}} = \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}}\;</math>» avec « }}extérieures exercées sur le point matériel <math>\,M_i</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{ext}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\,3\;N\,</math> variables scalaires indépendantes <br>{{Al|6}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> étant une « forme différentielle des }}positionnant les <math>\,N\,</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\,3\,</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\,M\,</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\,\left( S \right)\,</math> ou curviligne sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\,i\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,N\,</math> formes différentielles dont chacune <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de <math>\,\color{transparent}{N}\,</math> }}dépend d'un triplet de variables scalaires différent <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces extérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;N\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière-71|⁷¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète_-_ter-72|⁷²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}{{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{ext}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\,M_i\,</math> est repéré, dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est « conservatif »}}cartésiennes <math>\,\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou un repérage sphérique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\,\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\,\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\,</math> en cylindro-polaire <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou <math>\,\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\,</math> en sphérique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que la forme différentielle «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} =</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est « conservatif »}}<math>\overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est « conservatif »}}soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\,M\,</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|⁷⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\,</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\,\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_-_ter-76|⁷⁶]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est « conservatif »}}<math>\,\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S." /> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est « conservatif »<math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}un « ouvert étoilé » <ref name="ouvert étoilé" /> de son domaine de définition <ref name="d'après un théorème de Poincaré" /><math>\big\}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces extérieures" /> soit « <u>conservatif</u> » est que le travail élémentaire de ce système de forces <ref name="ou un des sous-systèmes de forces extérieures" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <ref> En repérage cartésien<math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="autre repérage possible" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}</math> }}satisfasse les conditions «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\,</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\,</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|⁷⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\,</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\,\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|⁷⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\,</math> pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|⁷⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\,</math> pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|⁷⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|⁷⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\,</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|⁷⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «<math>\;\color{transparent}{_k}\;</math>» }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire de ces forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» <math>\,\delta W_{\text{ext}_k}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «<math>\;\color{transparent}{_k}\;</math>» est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» est une différentielle de fonction <ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\,\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\,\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\,</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\,\delta W_{\text{ext}_k}\,</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\,_k\,</math> au point <math>\,M\,</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref>, fonction utilisée pour définir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «<math>\;\color{transparent}{_k}\;</math>» est conservatif, }}l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\,_k\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» et vérifiant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «<math>\;\color{transparent}{_k}\;</math>» est conservatif, l’}}«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière" /> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math>» <ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ainsi que « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\,_k\,</math> au point <math>\,M\,</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_élémentaire_des_forces_extérieures_de_type_k_conservatives_d'un_système_continu_de_matière-80|⁸⁰]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> soit, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «<math>\;\color{transparent}{_k}\;</math>» est conservatif, l’}} «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\,_k\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\,M_i\,</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\,_k\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\,_k\,</math> au point <math>\,M\,</math> de l'expansion considérée <math>\,\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\,M\,</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\,_k\,</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\,_k\,</math>»}} au point <math>\,M\,</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\,M\,</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\,_k\,</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> dont on déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «<math>\;\color{transparent}{_k}\;</math>» est conservatif, }}l'énergie potentielle du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «<math>\;\color{transparent}{_k}\;</math>» est conservatif, l'énergie potentielle du système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\,u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\,</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\,M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_linéique_dans_le_champ_des_forces_extérieures_de_type_k-83|⁸³]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\,u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\,</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\,M\,\in\,\left( S \right)\,</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\,\big[</math>voir la note [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_linéique_dans_le_champ_des_forces_extérieures_de_type_k-83|⁸³]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\,</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\,u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\,</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\,M\,\in\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_linéique_dans_le_champ_des_forces_extérieures_de_type_k-83|⁸³]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>. === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" />, déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>, déformable, }}est notée, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>ou <math>\,E_m(t)\,</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>, déformable, est }}définie selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>, déformable, est définie selon «<math>\;\color{transparent}{E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) =}</math> }}<math>K_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>, déformable, est définie selon «<math>\;\color{transparent}{E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) =}</math> }}<math>U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\,</math> son énergie potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\,_k\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>, déformable, est définie selon «<math>\;\color{transparent}{E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) =}</math> }}<math>U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\,</math> son énergie potentielle dans le champ de forces intérieures de type <math>\,_l\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ou « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_du_théorème_de_l'énergie_cinétique_d’un_système_de_matière_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_galiléen|rappel du théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s’écrivant <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on y distingue, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}</math> }}<math>\bullet\;</math>dans <math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>, les forces extérieures conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>dans}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, en introduisant l'énergie <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>dans« }}potentielle de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> «<math>\;U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» dans le champ des forces extérieures de type <math>\,_k</math>, <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>dans« }}<math>W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'où <math>\,\sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou encore <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>dans« <math>\color{transparent}{W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right)}\,</math> d'où }}<math>\,\sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta\! \left[ \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) \right]\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>dans}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta\! \left[ \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}</math> }}<math>\bullet\;</math>dans <math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>, les forces intérieures conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>dans}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, en introduisant l'énergie <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>dans« }}potentielle de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> «<math>\;U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» dans le champ des forces intérieures de type <math>\,_\mathit{l}</math>, <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>dans« }}<math>W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'où <math>\,\sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou encore <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>dans« <math>\color{transparent}{W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)}\,</math> d'où }}<math>\,\sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta\! \left[ \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) \right]\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>dans}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta\! \left[ \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», d'où <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta\! \left[ \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} - \Delta\! \left[ \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ; <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable }}on bascule alors les variations d’énergies potentielles changées de signe dans le membre de gauche d'où <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \Delta\! \left[ \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] + \Delta\! \left[ \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable }}«<math>\;\Delta\! \left[ K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou enfin, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable }}avec «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» l'énergie mécanique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable avec « }}déformable <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Énergie_mécanique_d'un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives|énergie mécanique d'un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intéreieures conservatives]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable }}«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})\;</math>». {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie mécanique d’un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, <br>{{Al|8}}{{Transparent|La variation d'énergie mécanique d’un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable, }}entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail }}appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail }}«<math>\;\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui }}appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui }}«<math>\;\sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie mécanique d’un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures <br>{{Al|8}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie mécanique d’un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable, }}conservatives, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|8}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie mécanique d’un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable, conservatives, sur l'intervalle }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire }}au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de la variation de l'énergie mécanique }}est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de la puissance mécanique }}étant la forme locale de la forme intégrée « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de la puissance mécanique étant la forme locale de la forme intégrée « }}des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="forme intégrée associée à une forme locale" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de la puissance mécanique }}s'obtient en divisant par <math>\,dt\,</math> la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à ce système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de la puissance mécanique s'obtient en divisant par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> la forme élémentaire du « }}champ des forces extérieures et intérieures conservatives sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de la puissance mécanique s'obtient en divisant par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> }}«<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» dans lequel on reconnaît <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de la puissance mécanique s'obtient en divisant par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> }}<math>\bullet\;</math>dans «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt}\;</math>» la puissance mécanique instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et <br>{{Al|97}}{{Transparent|Le « théorème de la puissance mécanique s'obtient en divisant par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}intérieures conservatives, dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de la puissance mécanique s'obtient en divisant par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> }}<math>\bullet\;</math>dans «<math>\;\dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math>» la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <br>{{Al|83}}{{Transparent|Le « théorème de la puissance mécanique s'obtient en divisant par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de la puissance mécanique s'obtient en divisant par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> }}<math>\bullet\;</math>dans «<math>\;\dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math>» la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <br>{{Al|83}}{{Transparent|Le « théorème de la puissance mécanique s'obtient en divisant par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}'})}\!(t)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}La puissance mécanique d’un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie mécanique d’un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable, }}dans un éférentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance mécanique }}«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance instantanée développée par les forces extérieures <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance mécanique «<math>\;\color{transparent}{\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)}\;</math>» est égale à la somme de la }}non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|La puissance mécanique «<math>\;\color{transparent}{\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)}\;</math>» est égale à la somme de la non conservatives appliquées à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}<math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance mécanique «<math>\;\color{transparent}{\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)}\;</math>» est égale à la somme }}de celle des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance mécanique «<math>\;\color{transparent}{\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)}\;</math>» est égale à la somme de celle }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}'})}\!(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance mécanique }}mathématiquement, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen ».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} mz2yweke9rk61mx9c0d12iefr1se5q6 0 87441 988306 988247 2026-11-12T01:33:04Z Surcouf01 81280 988306 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = philosophie | numéro = 2 | précédent = [[../Intérêt/]] | suivant = [[../Un avis : Kant/]] | niveau = 13 }} La définition de la philosophie (cf. [[Présentation de la philosophie]]) va être appliquée à travers quatre thèmes : * La thèse de la connaissance : le rationalisme critique * La thèse politique : la société comme convention raisonnée * La thèse éthique : la vie bonne comme tâche de la pensée * La thèse métaphysique : l'être et le sens de l'existence En particulier en utilisant la partie de la définition : "recherche d'une certaine vérité à travers une définition paradigmatique" on va essayer de caractériser les éléments de l'aspect 'paradigmatique' (systémique) et de l'aspect 'vérité' (essentialisme) qui s'attachent à chacun des thèmes. == Le rationalisme critique == Le concept de "rationalisme" peut être approché par une définition que lui donne Descartes, à savoir « La puissance de bien juger, et distinguer le vrai d'avec le faux, qui est proprement ce qu'on nomme le bon sens ou la raison, est naturellement égale en tous les hommes. » (Discours de la méthode, 1637). On voit dans cette définition qu'être rationnel c'est savoir attribuer une valeur vrai ou de faux à une déclaration, en utilisant sa raison, raison qui est supposée égale à tous les hommes. Je m'arrête ici sur le mot "raison". L'académie française définit la raison comme "Faculté par laquelle l’homme connaît, juge et agit", la raison est donc un des propres de l'homme, elle lui permet de "connaître" et de "juger", entre autres. Son lieu est connexes à des glandes qui agissent sur la raison, qui sont le siège des sentiments, la raison de l'homme est donc influencée par des affects. Mais c'est aussi cette raison qui lui permet d'attribuer ces valeurs de vrai ou de faux à ce qui est sa connaissance. Notez bien ici que j'ai écrit "sa" connaissance et non pas "la" connaissance. J'y reviendrai dans l'étude de l'inflexion (rationalisme) "critique". L'homme perçoit le monde à travers ses sens, la vue, l'ouïe, le goût, l'odorat et le toucher, il synthétise ces perceptions à travers sa raison pour connaître et comprendre le monde (l'univers). Connaître : son état, comprendre : sa dynamique. Ne serait-ce que pour avoir découvert le feu, inventé la roue, l'homme a vu, connu puis compris comment les choses intéragissent et comment les mettre en perspectives. Tout cela participe de la raison. On peut introduire l'aspect "critique" de la raison dans la philosophie par une définition de Kant: « Notre siècle est, à proprement parler, le siècle de la critique, à laquelle tout doit se soumettre ». En d'autres termes, on peut utiliser la raison pour critiquer/juger la raison, sa thèse fondatrice est « [qu']aucune autorité n'est au-dessus du jugement [de l'homme] ». Kant rejetait le dogmatisme thélogique mais aussi l'athéisme dogmatique, en d'autres termes c'était un sceptique, une certaine mise en oeuvre du rationalisme critique. Cependant là où je suis en désaccord, c'est que l'essentiel, c'est-à-dire les noumènes, soit inatteignable. Pourtant selon sa définition une table est un noumène, et elle se conçoit parfaitement comme un objet abstrait. Pour moi, Dieu aussi est un noumène, l'être suprême par essence, est approchable par ses sens. Dieu s'est révélé à travers l'histoire, il se laisse voir dans la vie de tous les jours, il essaye de donner une direction à l'histoire mais laisse l'homme libre. Peut-être que la foi est une sorte de sentiment, un de ceux dont je disais qu'il influe sur la raison, cela participe à découvrir des vérités supérieures. On peut faire ici un parallèle avec la Gödelisation, Gödelisation qui consiste à mathématiser un raisonnement. Gödel a permis d'intuiter à travers sa démonstration, que pour certaines vérités il est impossible de les démontrer sans introduire des hypothèses supplémentaires dans son ensemble d'hypothèses de base. Par exemple certaines vérités géométriques sont indémontrables sans augmenter les axiomes du système de Peano. Pour découvrir Dieu c'est un peu pareil, il faut se laisser tenter de croire qu'un être supérieur existe et a créé l'Univers. Mais Dieu s'est révélé à travers l'histoire, j'en veux pour preuve les écrits du Tanakh et du Nouveau Testament. L'axiome supplémentaire est de dire que ces écrits sont inspirés, la vue nous fait lire les versets et la raison nous fait découvrir Dieu à travers Sa parole. Dieu existe, on peut donc qualifier son concept de Noumène, il est même le noumène par excellence. L'aspect critique du rationalisme peut aussi être approché à travers le concept de Solipsisme. Je définis le solipsisme comme acte de la pensée qui réfléchit sur, ou explique, la pensée. Une sorte de méta-réflexion. Sous cette définition, la critique du rationalisme est donc une forme de solipsisme. Si la raison est un jugement, puisqu'elle attribue des valeurs vrai ou fausse à des déclarations, la critique du rationalisme, puisqu'elle est solipsisme, est donc au dessus de ce jugement, c'est en contradiction avec la thèse fondatrice de Kant. J'ajouterai aussi que, puisque j’admets que Dieu existe, c'est pour moi une autorité au dessus du jugement de l'homme. Je fonde cet avis sur le fait que le jugement de l'homme, l'expression de son rationalisme, s'inscrit systématiquement dans un siècle, une époque. Donc ses outils sont ceux de cette époque, ses affects sociétaux aussi, donc tout rationalisme est un reflet de son époque. Certaines vérités de Kant n'ont pas exactement cessées d'être vrai car la connaissance s'est améliorée, elles sont tout simplement inabouties, complétées par les penseurs qui le suivent. On peut se poser la question suivante: "saura-t-on jamais une vérité essentielle" (au sens de Noumène), et je postule qu'il est un être, Dieu, qui les connaît forcément. Il a "la" connaissance, Il est cette autorité "ultime", au dessus de tout jugement, à travers les hommes et à travers les âges. La critique du rationalisme doit être revisité comme un outil du solipsisme qui permet de revisiter les schémas passés pour les dépasser, les compléter et les aboutir. {{Bas de page | idfaculté = philosophie | précédent = [[../Intérêt/]] | suivant = [[../Un avis : Kant/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> mnn1fi02cgi7z17wcv0ls1f3y55m6bi 988307 988306 2026-11-12T01:35:49Z Surcouf01 81280 Ajout de la note la foi est le sens de la raison. 988307 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = philosophie | numéro = 2 | précédent = [[../Intérêt/]] | suivant = [[../Un avis : Kant/]] | niveau = 13 }} La définition de la philosophie (cf. [[Présentation de la philosophie]]) va être appliquée à travers quatre thèmes : * La thèse de la connaissance : le rationalisme critique * La thèse politique : la société comme convention raisonnée * La thèse éthique : la vie bonne comme tâche de la pensée * La thèse métaphysique : l'être et le sens de l'existence En particulier en utilisant la partie de la définition : "recherche d'une certaine vérité à travers une définition paradigmatique" on va essayer de caractériser les éléments de l'aspect 'paradigmatique' (systémique) et de l'aspect 'vérité' (essentialisme) qui s'attachent à chacun des thèmes. == Le rationalisme critique == Le concept de "rationalisme" peut être approché par une définition que lui donne Descartes, à savoir « La puissance de bien juger, et distinguer le vrai d'avec le faux, qui est proprement ce qu'on nomme le bon sens ou la raison, est naturellement égale en tous les hommes. » (Discours de la méthode, 1637). On voit dans cette définition qu'être rationnel c'est savoir attribuer une valeur vrai ou de faux à une déclaration, en utilisant sa raison, raison qui est supposée égale à tous les hommes. Je m'arrête ici sur le mot "raison". L'académie française définit la raison comme "Faculté par laquelle l’homme connaît, juge et agit", la raison est donc un des propres de l'homme, elle lui permet de "connaître" et de "juger", entre autres. Son lieu est connexes à des glandes qui agissent sur la raison, qui sont le siège des sentiments, la raison de l'homme est donc influencée par des affects. Mais c'est aussi cette raison qui lui permet d'attribuer ces valeurs de vrai ou de faux à ce qui est sa connaissance. Notez bien ici que j'ai écrit "sa" connaissance et non pas "la" connaissance. J'y reviendrai dans l'étude de l'inflexion (rationalisme) "critique". L'homme perçoit le monde à travers ses sens, la vue, l'ouïe, le goût, l'odorat et le toucher, il synthétise ces perceptions à travers sa raison pour connaître et comprendre le monde (l'univers). Connaître : son état, comprendre : sa dynamique. Ne serait-ce que pour avoir découvert le feu, inventé la roue, l'homme a vu, connu puis compris comment les choses intéragissent et comment les mettre en perspectives. Tout cela participe de la raison. On peut introduire l'aspect "critique" de la raison dans la philosophie par une définition de Kant: « Notre siècle est, à proprement parler, le siècle de la critique, à laquelle tout doit se soumettre ». En d'autres termes, on peut utiliser la raison pour critiquer/juger la raison, sa thèse fondatrice est « [qu']aucune autorité n'est au-dessus du jugement [de l'homme] ». Kant rejetait le dogmatisme thélogique mais aussi l'athéisme dogmatique, en d'autres termes c'était un sceptique, une certaine mise en oeuvre du rationalisme critique. Cependant là où je suis en désaccord, c'est que l'essentiel, c'est-à-dire les noumènes, soit inatteignable. Pourtant selon sa définition une table est un noumène, et elle se conçoit parfaitement comme un objet abstrait. Pour moi, Dieu aussi est un noumène, l'être suprême par essence, est approchable par ses sens. Dieu s'est révélé à travers l'histoire, il se laisse voir dans la vie de tous les jours, il essaye de donner une direction à l'histoire mais laisse l'homme libre. Peut-être que la foi est une sorte de sentiment, un de ceux dont je disais qu'il influe sur la raison, cela participe à découvrir des vérités supérieures. Je dirais même que la foi est le sens de la raison (par analogie à la vue). On peut faire ici un parallèle avec la Gödelisation, Gödelisation qui consiste à mathématiser un raisonnement. Gödel a permis d'intuiter à travers sa démonstration, que pour certaines vérités il est impossible de les démontrer sans introduire des hypothèses supplémentaires dans son ensemble d'hypothèses de base. Par exemple certaines vérités géométriques sont indémontrables sans augmenter les axiomes du système de Peano. Pour découvrir Dieu c'est un peu pareil, il faut se laisser tenter de croire qu'un être supérieur existe et a créé l'Univers. Mais Dieu s'est révélé à travers l'histoire, j'en veux pour preuve les écrits du Tanakh et du Nouveau Testament. L'axiome supplémentaire est de dire que ces écrits sont inspirés, la vue nous fait lire les versets et la raison nous fait découvrir Dieu à travers Sa parole. Dieu existe, on peut donc qualifier son concept de Noumène, il est même le noumène par excellence. L'aspect critique du rationalisme peut aussi être approché à travers le concept de Solipsisme. Je définis le solipsisme comme acte de la pensée qui réfléchit sur, ou explique, la pensée. Une sorte de méta-réflexion. Sous cette définition, la critique du rationalisme est donc une forme de solipsisme. Si la raison est un jugement, puisqu'elle attribue des valeurs vrai ou fausse à des déclarations, la critique du rationalisme, puisqu'elle est solipsisme, est donc au dessus de ce jugement, c'est en contradiction avec la thèse fondatrice de Kant. J'ajouterai aussi que, puisque j’admets que Dieu existe, c'est pour moi une autorité au dessus du jugement de l'homme. Je fonde cet avis sur le fait que le jugement de l'homme, l'expression de son rationalisme, s'inscrit systématiquement dans un siècle, une époque. Donc ses outils sont ceux de cette époque, ses affects sociétaux aussi, donc tout rationalisme est un reflet de son époque. Certaines vérités de Kant n'ont pas exactement cessées d'être vrai car la connaissance s'est améliorée, elles sont tout simplement inabouties, complétées par les penseurs qui le suivent. On peut se poser la question suivante: "saura-t-on jamais une vérité essentielle" (au sens de Noumène), et je postule qu'il est un être, Dieu, qui les connaît forcément. Il a "la" connaissance, Il est cette autorité "ultime", au dessus de tout jugement, à travers les hommes et à travers les âges. La critique du rationalisme doit être revisité comme un outil du solipsisme qui permet de revisiter les schémas passés pour les dépasser, les compléter et les aboutir. {{Bas de page | idfaculté = philosophie | précédent = [[../Intérêt/]] | suivant = [[../Un avis : Kant/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> hl1d8useruiwoywf9fbz3fe3oxwjr2b 104 87459 988312 988286 2026-11-12T11:16:29Z Supreme assis 28137 caractère différentiel 988312 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 20 | numéro = 3 | précédent = [[../Déplacement de charges/]] | suivant = [[../non défini/]] }} Et voila ... nous y sommes ! Sinon pour quelle raison aurais-je été réveillé après un si long sommeil ? J'y vois deux actualités majeures : '''le réveil de l'IA''' dont les principaux acteurs semblent se préoccuper <ref>Mathilde {{pc|Engelmann}}, ''Face à une technologie de plus en plus autonome, le magnat de la tech Bill Gates alerte : « Les dangers liés à l’intelligence artificielle devraient constituer la priorité absolue du monde. »'', sur Vanity Fair, 28 Aout 2026, https://www.vanityfair.fr/article/meme-bill-gates-a-peur-de-lintelligence-artificielle </ref></center> et '''le désordre sociétal''' qui s'empare de nos sociétés occidentales avec, en toile de fonds, une guerre des religions qui ne dit pas son nom, instrumentalisée par ''les grands de ce monde''. Dois-je m’appesantir davantage sur le constat ? En tout état de cause, je dois dire merci aux courageux qui m'ont suivi jusqu'au bout. J'ai essayé de garder le contact avec ma source, mais les problèmes de santé et le vieillissement de mes cellules grises ont endommagé mon cerveau. Aussi me mets-je encore plus au service de ma ''source'', en espérant qu'elle nous guide vers un horizon de lumière. Je reprends donc le fil de cette étude avec l'espoir qu'elle apporte un peu de douceur à la brutalité ambiante. Pour l'instant je n'ai '''aucune''' intuition de l'issue. La seule chose dont je suis sûr c'est qu'il faut nous placer hors de portée des chiffres et calculs qui sont désormais aux mains de l'IA<ref>Cédric {{pc|Villani}}, ''Open AI :sommes-nous en train de vivre le ''moment le plus important'' de l'histoire des maths'', sur France Inter au micro de Stéphane {{pc|Jourdain}} dans ''nos vies numériques'', octobre 2026 </ref></center>. Les plus grands mathématiciens ne me contrediront pas. Mais alors que nous reste-t-il ? Notre espace de communication est réduit à peau de chagrin. Faut-il '''abandonner le monde à l'IA''' au risque qu'elle nous avale[[https://fr.wikipedia.org/wiki/Course_aux_armements_intelligents]] ? Ou, au contraire, '''collaborer avec elle''' pour qu'elle nous guide vers un nouveau monde et lui faire totalement confiance ?<ref>Jonathan {{pc|Benton}}, ''L’IA accélère les cyberattaques et réduit le temps de réponse, selon le dernier rapport de l'ENISA : l'intelligence artificielle transforme le paysage de la cybersécurité, offrant des opportunités pour une meilleure défense comme pour l'attaque.'' sur Euronews, 10 Novembre 2026 à 3:55 PM UTC+1 </ref></center> Pour ma part, j'aurais plutôt tendance à dire ''(ni l'un ; ni l'autre) ou (soit l'un ; soit l'autre)'' c'est selon. Histoire d'affirmer la supériorité de l'intelligence humaine malgré tout. Mais alors ? Et la France dans tout çà ? Ne servirait-elle pas de champ expérimental ? ==Caractère différentiel== Avant toute chose, il parait important d'identifier un caractère différentiel entre l'IA et l'IH. Et pour assurer la continuité de cette recherche, nous nous en remettrons au final du chapitre précédent. Et plus particulièrement au paragraphe [[Recherche:Énergie_créatrice/Déplacement_de_charges#Conscience_de_Soi|Conscience de Soi]] qui pose une distinction fondamentale entre les deux, que nous pourrons identifier comme une logique fonctionnelle de mobilité dans un monde d'''horizons''. En effet, que les horizons soient identifiés ou non, nous aurons toujours une position intermédiaire accessible à l'IH par la valeur logique '''(ni l'un ; ni l'autre)''', alors que l'IA ne peut fonctionner que sur la valeur '''(soit l'un ; soit l'autre)''', supposant ainsi qu'ils existent, en un choix binaire. Que ce choix soit restreint (horizons atteints) ou probable (horizons statistiques). Mais, pour faire partie de la probabilité, il faut que cette horizon soit statistique (se présente comme une éventualité). À titre d'exemple, pour éclairer ce raisonnement : ''Le fait que je sois président de la république en 2027'' N'EST PAS une éventualité, et ne constitue donc pas un horizon atteignable par un quelconque mobile évoluant dans un espace temps, comme celui d'un terroriste. Cette remarque, anodine s'il en est, permet une application de la ''logique contradictoire'' avec un éventail probabiliste : (p étant la probabilité qu'un évènement se produise (soit un horizon)), nous avons : '''p=0''' alors l'IA est inopérante. '''p=1''' alors l'IA est opérante. '''p= (ni 0 ; ni 1)''' alors l'IA est en sommeil ! Mais, ''en sommeil'' ne veut pas dire ''inopérante''. {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | niveau = 20 | numéro = 3 | précédent = [[../Déplacement de charges/]] | suivant = [[../non défini/]] }} fbajb5q22z30bf5jzaoacwuy2yy218m 0 87460 988292 988273 2026-11-11T14:49:52Z Padarquetty 70883 988292 wikitext text/x-wiki [[Fichier:Charte API 2020 fr.pdf|vignette|page=1|upright=1.2|Le tableau officiel de l'alphabet phonétique international (version française, 2020) : un système conçu pour noter les sons de toutes les langues, mais illisible pour la plupart des lecteurs.]] L''''effet Rewzer''' (parfois appelé '''paradoxe Rewzer''') est la situation dans laquelle un système de notation conçu pour être universel devient, pour un lecteur non spécialiste, '''moins efficace qu'un système local imparfait'''. Le terme est formulé à propos de l'[[w:Alphabet phonétique international|alphabet phonétique international]] (API) : censé permettre de savoir comment se prononcent les mots de toutes les langues, l'API n'est lu que par une minorité de personnes. Pour la majorité des lecteurs, un mot transcrit en API reste impossible à prononcer, alors qu'une transcription approximative dans l'orthographe de leur propre langue leur permettrait de s'en approcher immédiatement. L'outil destiné à faciliter la prononciation des langues étrangères produit donc, auprès du grand public, l'effet inverse de celui recherché : il ajoute une langue à apprendre là où il devait en retirer la barrière. L'effet Rewzer décrit ce renversement entre l'objectif d'un système universel et son effet réel sur ceux qui ne le maîtrisent pas. == Origine du terme == L'expression est proposée en novembre 2026 par Rewzer, auteur de ce travail de recherche, à partir d'une observation simple : l'API est présenté comme la clé de la prononciation de toutes les langues, mais la plupart des personnes ne savent pas le lire, si bien qu'une transcription en API ne leur apprend rien sur la façon de prononcer un mot. Le terme « paradoxe » est employé dans un sens large, celui d'un résultat contraire à l'intention, et non dans le sens d'une contradiction logique stricte (voir la section [[#Critiques et limites|Critiques et limites]]). == Énoncé == [[Fichier:Effet Rewzer comparaison.svg|vignette|upright=1.3|Pour un lecteur francophone non initié, la transcription en API de « Würzburg » ne donne aucune indication exploitable, alors qu'une transcription en orthographe française donne une prononciation approchée immédiatement.]] L'effet Rewzer peut être énoncé ainsi : <blockquote>Pour un lecteur qui ne la maîtrise pas, une notation universelle et précise transmet moins d'information qu'une notation locale et approximative. Un système universel inconnu du lecteur dessert donc l'objectif qu'il prétend servir.</blockquote> Cet énoncé repose sur trois constats : # '''L'objectif''' : l'API vise à indiquer la prononciation de n'importe quel mot, dans n'importe quelle langue, à n'importe quel lecteur. # '''La réalité''' : la plupart des lecteurs ne connaissent pas la valeur de ses symboles. Une transcription en API est, pour eux, une suite de signes indéchiffrables. # '''Le renversement''' : une transcription phonétique dans l'orthographe de la langue maternelle du lecteur, bien que moins précise, lui est directement utile. Comparé à cette solution simple, l'API ne fait pas seulement moins bien : il ne transmet presque rien. == Illustration == Le tableau suivant compare, pour un lecteur francophone sans connaissance de l'API, la transcription en API de quelques noms propres et une transcription approchée en orthographe française. {| class="wikitable" ! Mot !! Transcription en API !! Transcription en orthographe française !! Ce que comprend un lecteur non initié |- | ''Würzburg'' (Allemagne) || [ˈvʏʁtsbʊʁk] || « vurts-bourk » || L'API ne lui indique rien ; la transcription française donne une prononciation proche. |- | ''Leicester'' (Angleterre) || [ˈlɛstə] || « lès-teur » || L'API ne lui indique rien ; la transcription française corrige immédiatement la lecture fautive « lèï-cès-tèr ». |- | ''Worcester'' (Angleterre) || [ˈwʊstə] || « wous-teur » || Même constat. |} Dans les trois cas, l'information est présente dans la transcription en API, mais elle reste inaccessible au lecteur. La transcription en orthographe française, bien qu'approximative, est la seule des deux qui remplit réellement la fonction attendue. == Le cas de l'alphabet phonétique international == === Présentation === [[Fichier:IPA vowels in Passy 1890.png|vignette|Tableau des voyelles de l'API publié par Paul Passy en 1890.]] L'alphabet phonétique international est élaboré à la fin du XIX^e siècle par l'[[w:Association phonétique internationale|Association phonétique internationale]], fondée autour du linguiste français [[w:Paul Passy|Paul Passy]]. Il a pour objectif d'attribuer un symbole unique à chaque son distinctif d'une langue<ref name="britannica">(en) « International Phonetic Alphabet », ''Encyclopædia Britannica'', [https://www.britannica.com/topic/International-Phonetic-Alphabet en ligne] (consulté le 10 novembre 2026).</ref>. Par exemple, le symbole [ʃ] note le son initial du mot français ''chat''. === Une notation de spécialistes === L'API n'est pas devenu le système de transcription universel qu'espéraient ses concepteurs, et il est moins employé en Amérique du Nord qu'en Europe<ref name="britannica"/>. Dans l'usage courant, il reste principalement un outil de linguistes, de phonéticiens, d'orthophonistes, d'enseignants de langues, de chanteurs et de comédiens. Son apprentissage a en outre un coût réel. Il repose largement sur l'alphabet latin, ce qui le rend plus accessible aux personnes déjà familières de cette écriture<ref name="duolingo">(en) « How is the International Phonetic Alphabet used? », ''Duolingo Blog'', [https://blog.duolingo.com/how-is-the-international-phonetic-alphabet-used en ligne] (consulté le 10 novembre 2026).</ref>, et le manuel officiel de l'association précise que la valeur de certains symboles ne peut pas être apprise entièrement à partir de descriptions écrites<ref>(en) International Phonetic Association, ''Handbook of the International Phonetic Association: A Guide to the Use of the International Phonetic Alphabet'', Cambridge, Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-63751-0.</ref>. Pour un lecteur qui cherche seulement à prononcer un nom de lieu, ce coût n'est pas justifié. === Une visibilité sans lisibilité === L'API est pourtant présent dans de nombreux ouvrages et sites destinés au grand public, notamment dans les dictionnaires et les encyclopédies en ligne. Il est donc régulièrement placé sous les yeux de lecteurs qui ne peuvent pas l'exploiter. Sur la Wikipédia anglophone, des contributeurs ont ainsi critiqué la nécessité d'ajouter un avertissement spécifique en tête des articles qui utilisent l'API, signe que la notation n'est pas utilisable par le grand public sans explication<ref>(en) « Wikipedia talk:Manual of Style/Pronunciation/Archive 7 », discussions de la Wikipédia anglophone sur la notation de la prononciation.</ref>. C'est dans cette situation, où la notation est affichée à un public qui ne la lit pas, que l'effet Rewzer est le plus marqué. == L'alternative : la transcription en langue maternelle == La solution opposée à l'API consiste à transcrire la prononciation avec les conventions orthographiques de la langue du lecteur. En anglais, on parle de ''pronunciation respelling'' (« réécriture de la prononciation »). Les systèmes traditionnels de ce type n'utilisent que les lettres ordinaires de l'alphabet et sont conçus pour être compris facilement par les lecteurs natifs<ref name="respelling">(en) « Pronunciation respelling for English », ''Wikipédia'' (anglophone), [https://en.wikipedia.org/wiki/Pronunciation_respelling_for_English en ligne] (consulté le 10 novembre 2026).</ref>. Cette approche est loin d'être marginale. Les dictionnaires américains destinés aux anglophones natifs l'utilisent encore aujourd'hui, tandis que l'API s'est imposé dans les ouvrages de linguistique et dans de nombreux dictionnaires bilingues<ref name="respelling"/>. Au Royaume-Uni, plusieurs dictionnaires de poche destinés aux natifs ont également conservé ce type de système, l'API étant surtout réservé aux dictionnaires pour apprenants étrangers<ref name="linguism">(en) « IPA versus Respelling », ''Linguism'', [https://www.linguism.co.uk/?p=1176 en ligne] (consulté le 10 novembre 2026).</ref>. Ce partage des usages va dans le sens de l'effet Rewzer : lorsque le lecteur visé est un non-spécialiste, les éditeurs choisissent souvent la notation locale, jugée plus directement utile. == Mécanismes explicatifs == === Le rapport entre coût d'apprentissage et gain === Une notation n'est utile qu'une fois apprise. Pour un linguiste ou un apprenant régulier de langues étrangères, le coût d'apprentissage de l'API est rapidement amorti. Pour un lecteur occasionnel, qui cherche à prononcer quelques mots par an, ce coût dépasse largement le gain. La transcription en langue maternelle a un coût d'apprentissage quasi nul, car le lecteur maîtrise déjà son orthographe. === La boucle de faible adoption === [[Fichier:Effet Rewzer boucle.svg|vignette|upright=1.3|La boucle qui entretient la faible diffusion de l'API.]] Un système de notation présente une [[w:Externalité de réseau|externalité de réseau]] : sa valeur augmente avec le nombre de personnes qui le connaissent<ref>(en) Michael L. Katz et Carl Shapiro, « Network Externalities, Competition, and Compatibility », ''The American Economic Review'', vol. 75, n° 3, 1985, p. 424-440.</ref>. Peu de lecteurs apprennent l'API, car peu d'ouvrages grand public en font un usage qu'ils pourraient exploiter, et les ouvrages qui l'utilisent s'adressent à un public qui ne sait pas le lire. Cette boucle maintient l'écart entre la vocation universelle de l'API et son usage réel. === La persistance des conventions locales === La notion de [[w:Dépendance au sentier|dépendance au sentier]] décrit la persistance d'un standard déjà répandu, même lorsqu'une alternative est jugée supérieure<ref>(en) Paul A. David, « Clio and the Economics of QWERTY », ''The American Economic Review'', vol. 75, n° 2, 1985, p. 332-337.</ref>. L'orthographe de la langue maternelle est le standard que chaque lecteur maîtrise déjà : toute notation concurrente doit justifier un effort d'apprentissage supplémentaire. == Un débat existant en lexicographie == L'effet Rewzer rejoint un débat ancien entre lexicographes : faut-il indiquer la prononciation avec l'API ou avec un système de réécriture fondé sur l'orthographe du lecteur ? Les deux systèmes ont leurs défenseurs, et chacun présente des avantages et des inconvénients<ref name="linguism"/>. L'apport de l'effet Rewzer est de formuler ce débat du point de vue du lecteur non spécialiste, et de souligner que, pour ce lecteur, la notation la plus précise peut être la moins utile. == Exemples analogues == D'autres systèmes conçus pour un usage universel se heurtent à une difficulté comparable : * '''L'[[w:Espéranto|espéranto]]''' : langue construite pour servir de langue internationale, elle n'est parlée que par une minorité. Pour communiquer avec un étranger, une langue déjà partagée, même imparfaitement maîtrisée, reste plus efficace. * '''Le projet SaypU''' (''Spell As You Pronounce Universal'') : alphabet phonétique « universel » présenté en 2013, accueilli avec scepticisme par des linguistes qui rappelaient l'existence de l'API<ref>(en) « Universal alphabet », ''Language Log'', 27 février 2013, [https://languagelog.ldc.upenn.edu/nll/?p=4497 en ligne] (consulté le 10 novembre 2026).</ref>. * '''Les [[w:Blissymbolics|Blissymbolics]]''' : système de symboles conçu pour une communication indépendante des langues, aujourd'hui utilisé principalement dans le domaine de la communication alternative et améliorée. == Critiques et limites == === Les sons absents de la langue du lecteur === La transcription en langue maternelle ne peut noter que les sons qui existent dans cette langue. Le « th » anglais de ''thought'' ou le « ll » gallois de ''Llanelli'' n'ont pas d'équivalent en français : toute transcription en orthographe française les déforme. Pour ces sons, l'API reste le seul système capable d'en donner une représentation exacte. L'effet Rewzer est donc surtout marqué pour les mots dont les sons sont proches de ceux de la langue du lecteur. === Une transcription par langue de lecteur === Une transcription en langue maternelle doit être refaite pour chaque langue de lecteur : « vurts-bourk » convient à un francophone, pas à un anglophone. Les systèmes de réécriture varient d'ailleurs d'un ouvrage à l'autre, contrairement à l'API<ref name="respelling"/>. L'API évite cette multiplication en proposant une seule notation pour tous. Sa faiblesse auprès du grand public est la contrepartie de cet avantage. === La dépendance à l'accent du lecteur === Une transcription en orthographe locale suppose que l'auteur et le lecteur associent les mêmes sons aux mêmes lettres. Une même réécriture peut ainsi convenir à certains lecteurs et pas à d'autres, selon leur accent<ref name="respelling"/>. === Une portée relative selon les pays === L'affirmation selon laquelle « personne » ne comprend l'API doit être nuancée : dans certains pays, il est enseigné dès l'école dans le cadre de l'apprentissage des langues étrangères. L'effet Rewzer décrit la situation du lecteur non initié, majoritaire mais pas universel. === Un paradoxe au sens faible === Au sens logique, un [[w:Paradoxe|paradoxe]] désigne une contradiction apparente entre des propositions qui semblent vraies. L'effet Rewzer décrit plutôt un résultat contraire à l'intention, comparable à un effet pervers. C'est pourquoi l'appellation « effet » est préférée à celle de « paradoxe ». == Notes et références == <references /> == Bibliographie == * (en) Geoffrey K. Pullum et William A. Ladusaw, ''Phonetic Symbol Guide'', 2^e éd., Chicago, University of Chicago Press, 1996. * (en) International Phonetic Association, ''Handbook of the International Phonetic Association'', Cambridge University Press, 1999. == Voir aussi (sur Wikipédia) == * [[w:Alphabet phonétique international|Alphabet phonétique international]] * [[w:Transcription phonétique|Transcription phonétique]] * [[w:en:Pronunciation respelling|Pronunciation respelling]] (en anglais) * [[w:Externalité de réseau|Externalité de réseau]] * [[w:Dépendance au sentier|Dépendance au sentier]] * [[w:Effet pervers|Effet pervers]] kpgkmchr98e92qeh8xr2y9669yhzfxq