ויקיספר hewikibooks https://he.wikibooks.org/wiki/%D7%A2%D7%9E%D7%95%D7%93_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99 MediaWiki 1.46.0-wmf.24 first-letter מדיה מיוחד שיחה משתמש שיחת משתמש ויקיספר שיחת ויקיספר קובץ שיחת קובץ מדיה ויקי שיחת מדיה ויקי תבנית שיחת תבנית עזרה שיחת עזרה קטגוריה שיחת קטגוריה שער שיחת שער מדף שיחת מדף TimedText TimedText talk יחידה שיחת יחידה אירוע שיחת אירוע 0 30126 180323 180321 2026-04-23T13:51:58Z יהודה שמחה ולדמן 6994 180323 wikitext text/x-wiki הקבוע המתמטי <math>\pi=3.141592\ldots</math> הוא [[w:מספר טרנסצנדנטי|מספר טרנסצנדנטי]] (או [[w:מספר אלגברי|אי־אלגברי]]). לאמר, הוא איננו שורש של אף [[w:פולינום|פולינום]] בעל מקדמים רציונליים. ==הוכחה== [[w:הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] כי <math>\pi</math> אלגברי. לכן קיים פולינום :<math>P(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_dz^d\in\Q[z]</math> עבורו <math>P(\pi)=0</math>. ===א)=== [[w:למה (מתמטיקה)|'''למה:''']] אם <math>\pi</math> אלגברי, אזי <math>\pi i</math> אלגברי. '''הוכחה:''' מתקיים כי :<math>\begin{align}P(\pm iz)&=a_0+a_1(\pm iz)+a_2(\pm iz)^2+\cdots+a_d(\pm iz)^d\\[5pt]&=(a_0-a_2z^2+\cdots\,)\pm(a_1z-a_3z^3+\cdots\,)\,i\end{align}</math> לכן <math>\pi i</math> שורש של הפולינום :<math>P(iz)P(-iz)=(a_0-a_2z^2+\cdots\,)^2+(a_1z-a_3z^3+\cdots\,)^2\in\Q[z]</math> <math>\square</math> לפיכך, קיים פולינום <math>P_1\in\Q[z]</math> ממעלה <math>n</math> בעל השורשים <math>z_1,\ldots,z_n</math>, כאשר <math>z_1=\pi i</math>. על־פי [[w:זהות אוילר|זהות אוילר]] מתקיים כי <math>\text{e}^{\pi i}+1=0</math>. לכן: :<math>\begin{align}0&\,=\,(1+\text{e}^{z_1}\!)\cdots(1+\text{e}^{z_n}\!)\\[7pt]&\,=\,1\,+\,\sum_{1\le i\le n}\!\text{e}^{z_i}\,+\!\!\!\sum_{1\le i_1~\!\!<i_2\le n}\!\!\!\!\!\text{e}^{z_{i_1}}\text{e}^{z_{i_2}}\,+\!\!\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1~\!\!<i_2~\!\!<i_3\le n}\!\!\!\!\!\!\!\!\text{e}^{z_{i_1}}\text{e}^{z_{i_2}}\text{e}^{z_{i_3}}+\,\cdots\,+\!\!\!\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1~\!\!<\cdots<i_n\le n}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\text{e}^{z_{i_1}}\!\cdots\text{e}^{z_{i_n}}\\[5pt]&\,=\,\text{e}^0+\sum_{1\le i\le n}\!\text{e}^{z_i}\,+\!\!\!\sum_{1\le i_1~\!\!<i_2\le n}\!\!\!\!\!\text{e}^{z_{i_1}+\,z_{i_2}}\,+\!\!\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1~\!\!<i_2~\!\!<i_3\le n}\!\!\!\!\!\!\!\!\text{e}^{z_{i_1}+\,z_{i_2}+\,z_{i_3}}+\,\cdots\,+\,\text{e}^{z_1+\,\cdots\,+\,z_n}\\&\,=\,\sum_{i\,=\,1}^{2^n}\text{e}^{\beta_i}\end{align}</math> המעריכים הם פולינומים סימטריים לפי <math>z_1,\ldots,z_n</math>, ומביניהם <math>n\le m\le2^n-1</math> סכומים שונים מ־0. לאמר: :<math>\text{e}^{\beta_1}\!+\cdots+\text{e}^{\beta_m}\!+2^n\!-m=0</math> [[הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי/המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים#תוצאות חשובות|על פי תוצאת המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים]]:{{ש}} לכל <math>0\le k\le n</math> קיים [[w:פולינום מתוקן|פולינום מתוקן]] <math>P_k\in\Q[z]</math> אשר שורשיו הם סכומי כל <math>k</math> מבין השורשים <math>z_1,\ldots,z_n</math>. לפיכך: :<math>\begin{align}Q(z)&=P_0(z)\,P_1(z)\cdots P_n(z)\in\Q[z]\\[5pt]&=(z-\beta_1)\cdots(z-\beta_m)\cdots(z-\beta_{2^n})\\[5pt]&=z^{2^n-\,m}(z-\beta_1)\cdots(z-\beta_m)\end{align}</math> לאחר צמצום נקבל כי: :<math>(z-\beta_1)\cdots(z-\beta_m)\in\Q[z]</math> נכפיל ב[[w:כפולה משותפת מינימלית|מכנה המשותף המינימלי]] <math>b_m\!\in\Z</math> של המקדמים הרציונליים, ונקבל פולינום מהצורה :<math>\begin{align}B(z)&\,=\,b_m(z-\beta_1)\cdots(z-\beta_m)\in\Z[z]\\[5pt]&\,=\,b_0\!+b_1z+\cdots+b_{m-1}z^{m-1}\!+b_mz^m\end{align}</math> ===ב)=== יהי <math>f(z)</math> פולינום ממעלה <math>d</math>. נגדיר: :<math>F(z)=\sum_{k\,=\,0}^df^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z)</math> נגזור ונקבל כי: :<math>F'\!(z)=\sum_{k\,=\,0}^df^{^\mathtt{(k+1)}}\!\!(z)=\sum_{k\,=\,1}^df^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z)=F(z)-f(z)</math> נגדיר <math>G(z)=\text{e}^{-z}F(z)</math>. נגזור ונקבל כי: :<math>\begin{align}G'\!(z)&=\text{e}^{-z}F'\!(z)-\text{e}^{-z}F(z)\\[5pt]&=\text{e}^{-z}\bigl[F'\!(z)-F(z)\bigr]\\[5pt]&=-\text{e}^{-z}f(z)\end{align}</math> על־פי [[w:המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי|המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]], מתקיים כי: :<math>\begin{align}G(z)-G(0)\,=\,\text{e}^{-z}F(z)-\text{e}^{-0}F(0)&\,=\,-\!\int\limits_0^z\text{e}^{-w}f(w)dw\\F(z)-\text{e}^zF(0)&\,=\,-\!\int\limits_0^z\text{e}^{z-w}f(w)dw\end{align}</math> נסמן: :<math>A_i=\,F(\beta_i~\!\!)-\text{e}^{\beta_i}F(0)\,=\,-\,\!\!\int\limits_0^{\beta_i}~\!\!\text{e}^{~\!\beta_i-w}f(w)dw</math> נסכום ונקבל כי: :<math>\begin{align}\sum_{i\,=\,1}^mA_i&=\,\sum_{i\,=\,1}^mF(\beta_i~\!\!)\,-\,\sum_{i\,=\,1}^m\text{e}^{\beta_i}F(0)\\[3pt]\sum_{i\,=\,1}^mA_i&=\,\sum_{i\,=\,1}^mF(\beta_i~\!\!)\,-\,F(0)\sum_{i\,=\,1}^m\text{e}^{\beta_i}\\[3pt]&=\,(2^n\!-m)~\!F(0)\,+\,\sum_{i\,=\,1}^mF(\beta_i~\!\!)\end{align}</math> ===ג)=== '''למה:''' יהי <math>f(z)</math> פולינום בעל שורש <math>z_0</math> מריבוי <math>p\ge1</math>. אזי <math>f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z_0~\!\!)=0</math> לכל <math>0\le k\le p-1</math>. '''הוכחה:''' ב[[w:אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה שלמה]]. נרשום <math>f(z)=(z-z_0~\!\!)^pQ(z)</math>, כאשר <math>Q(z)</math> פולינום עבורו <math>Q(z_0~\!\!)\ne0</math>. עבור <math>p=1</math> מתקיים: :<math>f^{^\mathtt{(0)}}\!\!(z_0~\!\!)=f(z_0~\!\!)=0</math> נניח כי לכל <math>1\le p\le d</math> הטענה מתקיימת לכל <math>0\le k\le d-1</math>.{{ש}} נוכיח כי עבור <math>p=d+1</math> הטענה מתקיימת לכל <math>0\le k\le d</math>: :<math>\begin{align}f(z)&=(z-z_0~\!\!)^{p+1}Q(z){\color{white}\sum}\\[4pt]f^{^\mathtt{(1)}}\!\!(z)&=(p+1)(z-z_0~\!\!)^pQ(z)+(z-z_0~\!\!)^{p+1}Q^{^\mathtt{(1)}}\!\!(z)\\[5pt]&={\color{blue}(z-z_0~\!\!)^p}{\color{red}\bigl[\,(p+1)Q(z)+(z-z_0~\!\!)Q^{^\mathtt{(1)}}\!\!(z)\,\bigr]}\\[5pt]&={\color{blue}(z-z_0~\!\!)^p}{\color{red}R(z)}\end{align}</math> {{צבע גופן|כחול|'''הביטוי הכחול'''}} מריבוי <math>p\ge1</math>, כאשר <math>R(z)</math> פולינום עבורו <math>R(z_0~\!\!)\ne0</math>.{{ש}} לכן מכפלתם מקיימת את הנחת האינדוקציה. <math>\square</math> ===ד)=== עתה נגדיר: :<math>\begin{align}f(z)&=\frac{(b_m~\!\!)^q}{(p-1)!}\,z^{~\!p-1}\bigl[B(z)\bigr]^p\\[5pt]&=\!\!\sum_{i\,=\,p-1}^{p\,+\,q}\!\frac{\text{c}_i}{(p-1)!}\,z^{~\!i}\quad\begin{align}&:\!\text{c}_i\!\in\Z\\[2pt]&:\!q=mp-1\end{align}\end{align}</math> כאשר <math>p</math> [[w:מספר ראשוני|מספר ראשוני]].{{ש}} מתקיים כי :<math>f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z)=\sum_{i\,=\,k}^{p\,+\,q}\frac{k!}{(p-1)!}\binom{i}{k}\text{c}_iz^{~\!i-k}\quad:\!0\le k\le p+q</math> '''הערות:''' *מקדמי <math>f^{^\mathtt{(p-1)}}\!\!(z)</math> הם מספרים שלמים המתחלקים כולם ב־<math>(b_m~\!\!)^q</math>. *עבור <math>p\le k\le p+q</math>, מקדמי <math>f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z)</math> הם מספרים שלמים המתחלקים כולם ב־<math>(b_m~\!\!)^q</math> וב־<math>p</math>. לפי חלקים א ו־ג, מתקיים כי: :<math>\begin{align}N&\,=\,(2^n\!-m)~\!F(0)\,+\,\sum_{i\,=\,1}^mF(\beta_i~\!\!)\\[2pt]&\,=\,(2^n\!-m)\sum_{k\,=\,0}^{p\,+\,q}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(0)\,+\,\sum_{i\,=\,1}^m\sum_{k\,=\,0}^{p\,+\,q}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(\beta_i~\!\!)\\[2pt]&\,=\,(2^n\!-m)\!\!\sum_{k\,=\,p-1}^{p\,+\,q}\!\!\!f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(0)\,+\,\sum_{i\,=\,1}^m\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(\beta_i~\!\!)\\[2pt]&\,=\,(2^n\!-m)\,\bigg[\,f^{^\mathtt{(p-1)}}\!\!(0)\,+\,\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(0)\,\bigg]\,+\,\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}\sum_{i\,=\,1}^mf^{^\mathtt{(k)}}\!\!(\beta_i~\!\!)\\[2pt]&~=\,{\color{red}(2^n\!-m)~\!(b_0~\!\!)^p(b_m~\!\!)^q}\,+\,{\color{green}(2^n\!-m)\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(0)}\,+\,{\color{blue}\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}\sum_{i\,=\,1}^mf^{^\mathtt{(k)}}\!\!(\beta_i~\!\!)}\end{align}</math> עתה נבחר מספר ראשוני <math>p>\max\!\bigl\{2^n\!-m,\!|b_0~\!\!|,\!|b_m~\!\!|\bigr\}</math>. נקבל: {{צבע גופן|אדום|'''הביטוי האדום'''}} הוא מספר שלם שאינו מתחלק ב־<math>p</math>.{{ש}} {{צבע גופן|ירוק|'''הביטוי הירוק'''}} הוא מספר שלם המתחלק ב־<math>p</math>.{{ש}} {{צבע גופן|כחול|'''הביטוי הכחול'''}} הוא החלק החשוב ביותר:{{ש}} על־פי [[w:נוסחאות ויאטה|נוסחאות ויאטה]] מתקיים כי :<math>E_\mathtt{k}(\vec{\beta}{}^{^{~\!m}}~\!\!)=(-1)^k\frac{b_{m-k}}{\,b_m}\in\Q\quad:\!1\le k\le m</math> והסכומים הכחולים הם פולינומים סימטריים לפי <math>\beta_1,\ldots,\beta_m</math>.{{ש}} [[הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי/המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים|על פי המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים]], סכומים אלה ניתנים להצגה כפולינומים :<math>\begin{align}\sum_{i\,=\,1}^mf^{^{\mathtt{(k)}}}\!\!(\beta_i~\!\!)&\,=\,G_\mathtt{k}\bigl(\vec{E}{}^{^{~\!m}}\!(\vec{\beta}{}^{^{~\!m}}~\!\!)\bigr)\in\Z\bigl[\vec{\beta}{}^{^{~\!m}}~\!\!\bigr]\\&~=\,{\color{DeepSkyBlue }(b_m~\!\!)^q\frac{c_{_{~\!\mathtt{k}}}}{(b_m~\!\!)^{q_{\kappa}}}}\quad\begin{align}&:\!c_{_{~\!\mathtt{k}}}\!\in\Z\\&:\!q_{_{~\!\mathtt{k}}}\!\in\N\end{align}\end{align}</math> כאשר: *<math>0\le q_{_{~\!\mathtt{k}}}~\!\!\!=\deg(G_\mathtt{k}~\!\!)\le\deg(f^{^{\mathtt{(k)}}}\!)\le q\quad:\!p\le k\le p+q</math> לכן <math>(b_m~\!\!)^{q_{\kappa}}\!</math> מחלק את <math>(b_m~\!\!)^q</math>, ו{{צבע גופן|00BFFF|'''הביטוי התכול'''}} הוא מספר שלם. לכן הביטוי הכחול גם הוא מספר שלם אשר מתחלק ב־<math>p</math>. '''מסקנה:''' <math>N</math> הוא מספר שלם אשר איננו מתחלק ב־<math>p</math>, ובפרט <math>N\ne0</math>. לאמר <math>1\le|N|\in\N</math>. ===ה)=== בחלק ב, האינטגרל <math>A_i</math> איננו תלוי במסילה בין הנקודות. [[w:ללא הגבלת הכלליות|ללא הגבלת הכלליות]], נבחר בקטע הישר <math>L_i=\bigl\{w=t~\!\beta_i~\!\!:t\in[0,\!1]\bigr\}</math>.{{ש}} בקטע זה מתקיים כי: :<math>\begin{align}&|w|\le|\beta_i~\!\!|\\[4pt]&\text{e}^{|\beta_i-w|}\le\text{e}^{|\beta_i~\!\!|}\\[4pt]&M_i=\max\bigl\{\bigl|B(w)\bigr|\bigr\}\end{align}</math> נגדיר: :<math>\begin{align}\beta&=\max_{1\le i\le m}\!\!\bigl\{|\beta_i~\!\!|\bigr\}\\[2pt]M&=\max_{1\le i\le m}\!\!\bigl\{M_i\bigr\}\end{align}</math> על־פי [[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרביליות/תכונות האינטגרל/אי-שוויון המשולש האינטגרלי|אי־שוויון המשולש האינטגרלי]] מתקיים כי: :<math>\begin{align}|A_i~\!\!|\,&=\,\Bigg|\int\limits_0^{\beta_i}\!\text{e}^{~\!\beta_i-w}f(w)dw\,\Bigg|\\[2pt]\,&\le\,\int\limits_0^{\beta_i}~\!\!\bigl|~\!\text{e}^{~\!\beta_i-w}\bigr|\,\bigr|f(w)\bigl|\,|dw|\\[2pt]\,&\le\,\int\limits_0^{\beta_i}\text{e}^{|\beta_i-w|}~\!\frac{|b_m~\!\!|^q~\!|w|^{~\!p-1}~\!\bigl|B(w)\bigr|^{~\!p}}{(p-1)!}\,|dw|\\[2pt]\,&\le\,\int\limits_0^{\beta_i}\text{e}^{|\beta_i~\!\!|}~\!\frac{|b_m~\!\!|^q~\!|\beta_i~\!\!|^{~\!p-1}~\!(M_i~\!\!)^{~\!p}}{(p-1)!}\,|dw|\\[3pt]\,&=\,\frac{\text{e}^{|\beta_i~\!\!|}}{|b_m~\!\!|}~\!\frac{|b_m~\!\!|^{mp}~\!|\beta_i~\!\!|^{~\!p}~\!(M_i~\!\!)^{~\!p}}{(p-1)!}\end{align}</math> על־פי [[w:אי-שוויון המשולש|אי־שוויון המשולש]] מתקיים כי: :<math>1\,\le\,|N|\,=\,\Bigg|\sum_{i\,=\,1}^mA_i\Bigg|\,\le\,\sum_{i\,=\,1}^m|A_i~\!\!|\,\le\,\bigg(\sum_{i\,=\,1}^m\frac{\text{e}^{|\beta_i~\!\!|}}{|b_m~\!\!|}\bigg)~\!\!\cdot\frac{\bigl(|b_m~\!\!|^m\beta~\!M~\!\bigr)^p}{(p-1)!}</math> אך לעומת זאת מתקיים כי :<math>\lim_{p~\!\to~\!\infty}\frac{\bigl(|b_m~\!\!|^m\beta~\!M~\!\bigr)^p}{(p-1)!}=0</math> לאמר, עבור <math>p</math> [[w:גדול מספיק|גדול מספיק]] מתקיים <math>1\le|N|<1</math>. '''[[w:סתירה (לוגיקה)|סתירה]].''' <math>\square</math> '''[[w:קונטרה פוזיטיב|מסקנה:]]''' <math>\pi i</math> טרנסצנדנטי, ולכן <math>\pi</math> טרנסצנדנטי. <math>\blacksquare</math> {{תוכן| |הפרק הקודם=[[../המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים/]] |הפרק הנוכחי=הוכחה |הפרק הבא=סוף }} [[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]] d9tsqxapegjng9hy14hkyiqmy3ckkm1