ויקיספר hewikibooks https://he.wikibooks.org/wiki/%D7%A2%D7%9E%D7%95%D7%93_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99 MediaWiki 1.47.0-wmf.1 first-letter מדיה מיוחד שיחה משתמש שיחת משתמש ויקיספר שיחת ויקיספר קובץ שיחת קובץ מדיה ויקי שיחת מדיה ויקי תבנית שיחת תבנית עזרה שיחת עזרה קטגוריה שיחת קטגוריה שער שיחת שער מדף שיחת מדף TimedText TimedText talk יחידה שיחת יחידה אירוע שיחת אירוע 2 30802 180365 179849 2026-05-06T20:52:21Z יהודה שמחה ולדמן 6994 תיקון קישור 180365 wikitext text/x-wiki ==הקדמה== משפט זה הוא גרסה חלשה יותר של '''[[w:משפט לינדמן-ויירשטראס|משפט לינדמן]]'''.{{ש}} חרף זאת, הוא מספיק עבור מקרים פרטיים רבים – למשל <math>\pi</math>, או <math>\ln(q):q\in\Q\!\setminus\!\{0\}</math> וכדומה. {{-}} {{תוכן עניינים| *[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה|קומבינטוריקה]] (בסיסית) *[[חשבון אינפיניטסימלי|חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי]] *[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים|מספרים מרוכבים]] *[[הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי|פולינומים סימטריים]] *[[הוכחות מתמטיות/שונות/מספר אלגברי|מספרים אלגבריים]] |ידע קודם נדרש:}} ===הגדרה=== תהי <math>(A_1,\ldots,A_n~\!\!)</math> [[w:n-יה סדורה|n־יה סדורה]]. נגדיר: :<math>\vec{A}{}^{^{_{~\!n}}}=(A_1,\ldots,A_n~\!\!)</math> עבור [[w:פונקציה|פונקציות]] <math>\vec{F}{}^{^{_{~\!m}}}\!,\vec{G}{}^{^{_{~\!n}}}</math> נגדיר: :<math>\vec{F}{}^{^{_{~\!m}}}\!(\vec{G}{}^{^{_{~\!n}}}\!)=\bigl(F_1(G_1,\ldots,G_n~\!\!)~\!,\ldots,F_m(G_1,\ldots,G_n~\!\!)\bigr)</math> סימון מקוצר זה ישמש אותנו במהלך ההוכחה. *דוגמא: יהי <math>\mathbf{R}</math> [[w:חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] או [[מבנים אלגבריים/שדות|שדה]]. אזי <math>\mathbf{R}\bigl[\vec{X}{}^{^{_{~\!n}}}~\!\!\bigr]</math> הוא מרחב הפולינומים במשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math> עם מקדמים ב־<math>\mathbf{R}</math>. =משפט לינדמן (חלש)= אם <math>z\ne0</math> [[w:מספר אלגברי|אלגברי]] אזי <math>\text{e}^z</math> [[w:מספר אי-רציונלי|אי־רציונלי]]. [[w:קונטרה פוזיטיב|ניסוח שקול]]: אם <math>\text{e}^z</math> [[w:מספר רציונלי|רציונלי]] אזי <math>z\ne0</math> [[w:מספר טרנסצנדנטי|אי־אלגברי]] או <math>z=0</math>. ==הוכחה== יהי <math>z_1\!\ne0</math> מספר אלגברי.{{ש}} לפיכך קיים [[w:פולינום מינימלי|פולינום מינימלי]] <math>P_1\!\in\Q[z]</math> [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/המשפט היסודי של האלגברה|בעל השורשים]] <math>z_1,\ldots,z_n</math> (שונים זה מזה). [[w:הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] כי <math>\text{e}^{z_1}</math> רציונלי.{{ש}} לפיכך קיימים <math>a,b\in\Z\!\setminus\!\{0\}</math> כאשר <math>\gcd\{a,\!b\}=1</math>, עבורם <math>\text{e}^{z_1}\!=\frac{a}{b}</math>.{{ש}} [[w:ללא הגבלת הכלליות|ללא הגבלת הכלליות]] נקבע <math>1\le a\le|b|</math>, שכן <math>\text{e}^{z_1}~\!\!\in\Q</math> [[w:אם ורק אם|אם ורק אם]] <math>\text{e}^{-z_1}~\!\!\in\Q</math>. ===א)=== מתקיים כי: :<math display>\begin{align}0&\,=\,(a-b\,\text{e}^{z_1}\!)\cdots(a-b\,\text{e}^{z_n}\!)\\[7pt]&\,=\,a^n-\,a^{n-1}b\!\sum_{1\le i\le n}\!{\rm e}^{z_i}+\,a^{n-2}b^2\!\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1~\!\!<i_2\le n}\!\!\!\!\!\text{e}^{z_{i_1}}\text{e}^{z_{i_2}}-\,\cdots\,+\,(-b)^n\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1~\!\!<\cdots<i_n\le n}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\text{e}^{z_{i_1}}\!\cdots\text{e}^{z_{i_n}}\\[5pt]&\,=\,a^n-\,a^{n-1}b\!\sum_{1\le i\le n}\!\text{e}^{z_i}+\,a^{n-2}b^2\!\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1~\!\!<i_2\le n}\!\!\!\!\!\text{e}^{z_{i_1}+\,z_{i_2}}-\,\cdots\,+\,(-b)^n\text{e}^{z_1+\,\cdots\,+\,z_n}\end{align}</math> בשורה האחרונה, המעריכים הם קבוצות של פולינומים סימטריים לפי <math>z_\mathtt{1},\ldots,z_n</math>, וחלקם עלולים להתאפס.{{ש}} לבד מן המעריך הימני ביותר, שאר קבוצות המעריכים בהכרח מכילות לפחות מעריך אחד השונה מ־0.{{ש}} הנימוק: לו כולם היו מתאפסים אזי נובע היה כי <math>z_\mathtt{1}\!=\cdots=z_n\!=0</math>, בסתירה להנחה הראשית. נבטא את השורה האחרונה כך: :<math>0\,=\,a_\mathtt{0}+\,a_\mathtt{1}\!\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{1}}}\text{e}^{\beta_{\mathtt{1},\mathtt{j}}}+\,a_\mathtt{2}\!\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{2}}}\text{e}^{\beta_{\mathtt{2},\mathtt{j}}}+\,\cdots\,+\,a_\mathtt{r}\!\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{r}}}\text{e}^{\beta_{\mathtt{r},\mathtt{j}}}</math> כאשר המקדם החופשי הוא סכום כל מקדמי המעריכים המתאפסים הנ"ל: :<math>\begin{align}&a_\mathtt{0}=\,a^n+\,\sum_{i\,=\,1}^nk_ia^{n-i}(-b)^i\\[2pt]&\begin{cases}\,k_\mathtt{1}\!=0&\\[3pt]\,0\le k_i\!<\!\tbinom{n}{i}&:\!2\le i\le n-1\\[3pt]\,0\le k_n\!\le1\end{cases}\end{align}</math> לצורך המשך ההוכחה, עלינו להראות כי <math>a_\mathtt{0}\!\ne0</math>. *עבור <math>b\ge2</math> מתקיים <math>a_\mathtt{0}\!=a^n\!-b\sum_{i\,=\,1}^nk_ia^{n-i}(-b)^{i-1}</math>. לפי ההנחה <math>\gcd\{a,\!b\}=1</math>, ולכן <math>a_\mathtt{0}\!\notin b~\!\Z</math>. *עבור <math>b\le-1</math> מתקיים <math>a_\mathtt{0}~\!\!\ge a^n\!>0</math>. *עבור <math>a=b=1</math> ההוכחה נכשלת. פרט זה לא ישפיע על התוצאה הסופית. (מדוע?) [[הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי/המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים#תוצאות חשובות|על פי תוצאת המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים]]:{{ש}} לכל <math>0\le k\le n</math> קיים [[w:פולינום מתוקן|פולינום מתוקן]] <math>P_k\in\Q[z]</math> אשר שורשיו הם סכומי כל <math>k</math> מבין השורשים <math>z_1,\ldots,z_n</math>.{{ש}} לפיכך, לכל <math>1\le i\le r</math> המעריכים <math>\beta_{\mathtt{i},\mathtt1},\ldots,\beta_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}</math> מהוים מערכת שלמה של [[w:איבר צמוד (תורת השדות)|צמודים אלגבריים]] – שורשי פולינום מינימלי משותף בעל מקדמים רציונליים: :<math>(z-\beta_{\mathtt{i},\mathtt1}~\!\!)\cdots(z-\beta_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}~~\!\!\!\!)\in\Q[z]</math> נכפיל ב[[w:כפולה משותפת מינימלית|מכנה המשותף המינימלי]] <math>b_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}\!\in\Z</math> של המקדמים הרציונליים, ונקבל פולינום בעל מקדמים שלמים: :<math>B_\mathtt{i\!}(z)=b_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}\!(z-\beta_{\mathtt{i},\mathtt1}~\!\!)\cdots(z-\beta_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}~~\!\!\!\!)\in\Z[z]</math> נגדיר: :<math>\begin{align}B(z)&=B_{\mathtt1\!}(z)\cdots B_{\mathtt r\!}(z)\in\Z[z]\\[5pt]&=b_\mathtt{0}\!+b_\mathtt{1}z+\cdots+b_{m-1}z^{m-1}\!+b_mz^m\\[5pt]b_m&=b_{\mathtt{1},m_\mathtt{1}}\!\cdots b_{\mathtt{r},m_\mathtt{r}}\\[5pt]m&=m_\mathtt{1}\!+\cdots+m_\mathtt{r}\end{align}</math> ===ב)=== יהי <math>f(z)</math> פולינום ממעלה <math>d</math>. נגדיר: :<math>F(z)=\sum_{k\,=\,0}^df^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z)</math> נגזור ונקבל כי: :<math>F'\!(z)=\sum_{k\,=\,0}^df^{^\mathtt{(k+1)}}\!\!(z)=\sum_{k\,=\,1}^df^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z)=F(z)-f(z)</math> נגדיר <math>G(z)=\text{e}^{-z}F(z)</math>. נגזור ונקבל כי: :<math>\begin{align}G'\!(z)&=\text{e}^{-z}F'\!(z)-\text{e}^{-z}F(z)\\[5pt]&=\text{e}^{-z}\bigl[F'\!(z)-F(z)\bigr]\\[5pt]&=-\text{e}^{-z}f(z)\end{align}</math> על־פי [[w:המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי|המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]], מתקיים כי: :<math>\begin{align}G(z)-G(0)\,=\,\text{e}^{-z}F(z)-\text{e}^{-0}F(0)&\,=\,-\!\int\limits_0^z~\!\!\text{e}^{-w}f(w)dw\\F(z)-\text{e}^zF(0)&\,=\,-\!\int\limits_0^z~\!\!\text{e}^{z-w}f(w)dw\end{align}</math> נסמן: :<math>A_{\mathtt{i},\mathtt{j}}=\,a_\mathtt{i}F(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\,-\,a_\mathtt{i}\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}F(0)\,=\,-\,a_\mathtt{i}\!\!\int\limits_0^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}~\!\!\!\!\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}-\,w}f(w)dw</math> נסכום ונקבל כי: :<math>\begin{align}\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}A_{\mathtt{i},\mathtt{j}}&=\,\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}a_\mathtt{i}F(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\,-\,\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}a_\mathtt{i}\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}~\!\!F(0)\\[3pt]\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}A_{\mathtt{i},\mathtt{j}}&=\,\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}a_\mathtt{i}F(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\,-\,F(0)\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}a_\mathtt{i}\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}\\[3pt]&=\,a_\mathtt{0}F(0)\,+\,\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}a_\mathtt{i}F(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\end{align}</math> ===ג)=== [[w:למה (מתמטיקה)|'''למה:''']] יהי <math>f(z)</math> פולינום בעל שורש <math>z_\mathtt{0}</math> מריבוי <math>p\ge1</math>. אזי <math>f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z_\mathtt{0}~\!\!)=0</math> לכל <math>0\le k\le p-1</math>. '''הוכחה:''' ב[[w:אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה שלמה]]. נרשום <math>f(z)=(z-z_\mathtt{0}~\!\!)^pQ(z)</math>, כאשר <math>Q(z)</math> פולינום עבורו <math>Q(z_\mathtt{0}~\!\!)\ne0</math>. עבור <math>p=1</math> מתקיים: :<math>f^{^\mathtt{(0)}}\!\!(z_\mathtt{0}~\!\!)=f(z_\mathtt{0}~\!\!)=0</math> נניח כי לכל <math>1\le p\le d</math> הטענה מתקיימת לכל <math>0\le k\le d-1</math>.{{ש}} נוכיח כי עבור <math>p=d+1</math> הטענה מתקיימת לכל <math>0\le k\le d</math>: :<math>\begin{align}f(z)&=(z-z_\mathtt{0}~\!\!)^{p+1}Q(z){\color{white}\sum}\\[4pt]f^{^\mathtt{(1)}}\!\!(z)&=(p+1)(z-z_\mathtt{0}~\!\!)^pQ(z)+(z-z_\mathtt{0}~\!\!)^{p+1}Q^{^\mathtt{\!(1)}}\!\!(z)\\[5pt]&={\color{blue}(z-z_\mathtt{0}~\!\!)^p}{\color{red}\bigl[\,(p+1)Q(z)+(z-z_\mathtt{0}~\!\!)Q^{^\mathtt{\!(1)}}\!\!(z)\,\bigr]}\\[5pt]&={\color{blue}(z-z_\mathtt{0}~\!\!)^p}{\color{red}R(z)}\end{align}</math> {{צבע גופן|כחול|'''הביטוי הכחול'''}} מריבוי <math>p\ge1</math>, כאשר <math>R(z)</math> פולינום עבורו <math>R(z_\mathtt{0}~\!\!)\ne0</math>.{{ש}} לכן מכפלתם מקיימת את הנחת האינדוקציה. <math>\square</math> ===ד)=== עתה נגדיר: :<math>\begin{align}f(z)&=\frac{(b_m~\!\!)^q}{(p-1)!}\,z^{~\!p-1}\bigl[B(z)\bigr]^p\\[5pt]&=\!\!\sum_{i\,=\,p-1}^{p\,+\,q}\!\frac{\text{c}_i}{(p-1)!}\,z^{~\!i}\quad\begin{align}&:\!\text{c}_i\!\in\Z\\[2pt]&:\!q=mp-1\end{align}\end{align}</math> כאשר <math>p</math> [[w:מספר ראשוני|מספר ראשוני]].{{ש}} מתקיים כי :<math>f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z)=\sum_{i\,=\,k}^{p\,+\,q}\frac{k!}{(p-1)!}\binom{i}{k}\text{c}_iz^{~\!i-k}\quad:\!0\le k\le p+q</math> '''הערות:''' *מקדמי <math>f^{^\mathtt{(p-1)}}\!\!(z)</math> הם מספרים שלמים המתחלקים כולם ב־<math>(b_m~\!\!)^q</math>. *עבור <math>p\le k\le p+q</math>, מקדמי <math>f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z)</math> הם מספרים שלמים המתחלקים כולם ב־<math>(b_m~\!\!)^q</math> וב־<math>p</math>. לפי חלקים א ו־ג, מתקיים כי: :<math>\begin{align}N&\,=\,a_\mathtt{0}F(0)\,+\,\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}a_\mathtt{i}F(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\\[2pt]&\,=\,a_\mathtt{0}\sum_{k\,=\,0}^{p\,+\,q}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(0)\,+\,\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}\sum_{k\,=\,0}^{p\,+\,q}a_\mathtt{i}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\\[2pt]&\,=\,a_\mathtt{0}\!\!\!\sum_{k\,=\,p-1}^{p\,+\,q}\!\!\!f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(0)\,+\,\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}a_\mathtt{i}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\\[2pt]{}&\,=\,a_\mathtt{0}\bigg[\,f^{^\mathtt{(p-1)}}\!\!(0)\,+\,\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(0)\,\bigg]+\,\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}a_\mathtt{i}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\\[2pt]&\,=\,{\color{red}a_\mathtt{0}(b_\mathtt{0}~\!\!)^p(b_m~\!\!)^q}\,+\,{\color{green}a_\mathtt{0}\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(0)}\,+\,{\color{blue}\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}\left[\,\,\sum_{i\,=\,1}^ra_\mathtt{i}\!\bigg(\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\bigg)\,\right]}\end{align}</math> עתה נבחר מספר ראשוני <math>p>\max\!\bigl\{|a_\mathtt{0}~\!\!|,\!|b_\mathtt{0}~\!\!|,\!|b_m~\!\!|\bigr\}</math>. נקבל: {{צבע גופן|אדום|'''הביטוי האדום'''}} הוא מספר שלם אשר איננו מתחלק ב־<math>p</math>.{{ש}} {{צבע גופן|ירוק|'''הביטוי הירוק'''}} הוא מספר שלם אשר מתחלק ב־<math>p</math>.{{ש}} {{צבע גופן|כחול|'''הביטוי הכחול'''}} הוא החלק החשוב ביותר:{{ש}} על־פי [[w:נוסחאות ויאטה|נוסחאות ויאטה]] מתקיים כי :<math>E_\mathtt{k}(\vec{\beta}_\mathtt{i}{}^{^{\!\!m_\mathtt{i}}}\!)=(-1)^k\frac{b_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}-\,\mathtt{k}}}{\,\,b_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}}\in\Q\quad:\!1\le k\le m_\mathtt{i}</math> והסכומים הכחולים הם פולינומים סימטריים לפי <math>\beta_{\mathtt{i},\mathtt{1}},\ldots,\beta_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}\!</math>.{{ש}} [[הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי/המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים|על פי המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים]], סכומים אלה ניתנים להצגה כפולינומים :<math>\begin{align}\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}f^{^{\mathtt{(k)}}}\!\!(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)&\,=\,G_{\mathtt{k},\mathtt{i}}\!\bigl(\vec{E}{}^{^{\,m_\mathtt{i}}}\!(\vec{\beta}_\mathtt{i}{}^{^{\!\!m_\mathtt{i}}}\!)\bigr)\in\Z\bigl[\vec{\beta}_\mathtt{i}{}^{^{\!\!m_\mathtt{i}}}\!\bigr]\\&~=\,{\color{DeepSkyBlue }(b_m~\!\!)^q\frac{c_{_{~\!\mathtt{k},\mathtt{i}}}}{(b_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}\!)^{q_{\kappa,\mathtt{i}}}}}\quad\begin{align}&:\!c_{_{~\!\mathtt{k},\mathtt{i}}}\!\in\Z\\&:\!q_{_{~\!\mathtt{k},\mathtt{i}}}\!\in\N\end{align}\end{align}</math> כאשר: *<math>b_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}\!</math> מחלק את <math>b_m</math>. *<math>0\le q_{_{~\!\mathtt{k},\mathtt{i}}}~\!\!\!=\deg(G_{\mathtt{k},\mathtt{i}}~\!\!)\le\deg(f^{^{\mathtt{(k)}}}\!)\le q\quad:\!p\le k\le p+q</math> לכן <math>(b_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}\!)^{q_{\kappa,\mathtt{i}}}\!</math> מחלק את <math>(b_m~\!\!)^q</math>, ו{{צבע גופן|00BFFF|'''הביטוי התכול'''}} הוא מספר שלם. לכן הביטוי הכחול גם הוא מספר שלם אשר מתחלק ב־<math>p</math>. '''מסקנה:''' <math>N</math> הוא מספר שלם אשר איננו מתחלק ב־<math>p</math>, ובפרט <math>N\ne0</math>. לאמר <math>1\le|N|\in\N</math>. ===ה)=== לפי חלק ב, על־פי [[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרביליות/תכונות האינטגרל/אי-שוויון המשולש האינטגרלי|אי־שוויון המשולש האינטגרלי]] מתקיים כי: :<math>\begin{align}|A_{\mathtt{i},\mathtt{j}}~\!\!|&=\Bigg|\!\int\limits_0^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}\!\!\!\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}-\,w}f(w)dw\,\Bigg|\\[2pt]&\le\int\limits_0^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}\!\!\bigl|~\!\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}-\,w}\bigr|\,\bigr|f(w)\bigl|\,|dw|\\[2pt]&=\int\limits_0^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}\!\!\bigl|~\!\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}-\,w}\bigr|\left|\,\frac{(b_m~\!\!)^q}{(p-1)!}\,w^{~\!p-1}\bigl[B(w)\bigr]^p\,\right||dw|\\[2pt]&=\int\limits_0^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}\!\frac{\bigl|~\!\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}-\,w}\bigr|}{|b_m~\!\!|}\,\frac{|w|^{p-1}\bigl(~\!|b_m~\!\!|^m~\!\bigl|B(w)\bigr|~\!\bigr)^p}{(p-1)!}\,|dw|\end{align}</math> על־פי [[w:אי-שוויון המשולש|אי־שוויון המשולש]] מתקיים כי: :<math>1\,\le\,|N|\,=\,\Bigg|\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}A_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\Bigg|\,\le\,\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}|A_{\mathtt{i},\mathtt{j}}~\!\!|\,\le\,\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}\int\limits_0^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}\!\frac{\bigl|~\!\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}-\,w}\bigr|}{|b_m~\!\!|}\,\frac{|w|^{p-1}\bigl(~\!|b_m~\!\!|^m~\!\bigl|B(w)\bigr|~\!\bigr)^p}{(p-1)!}\,|dw|</math> אך לעומת זאת מתקיים כי :<math>\lim_{p~\!\to~\!\infty}\frac{|w|^{p-1}\bigl(~\!|b_m~\!\!|^m~\!\bigl|B(w)\bigr|~\!\bigr)^p}{(p-1)!}=0\quad:\!w\in\C</math> לאמר, עבור <math>p</math> [[w:גדול מספיק|גדול מספיק]] מתקיים <math>1\le|N|<1</math>. '''[[w:סתירה (לוגיקה)|סתירה]].''' <math>\square</math> '''מסקנה:''' אם <math>\,0\ne z\in\overline{\Q}\,</math> אזי <math>\text{e}^z~\!\!\notin\Q\,</math>. <math>\blacksquare</math> [[קטגוריה:הוכחות מתמטיות]] mk0haqswvy2pyi4r8x7j3uxmz8ekk5o 0 31025 180359 2026-05-06T17:58:21Z ~2026-27492-24 25738 יצירת דף עם התוכן "מערכת הנשימה האנושית מבוא מערכת הנשימה היא מערכת חיונית בגוף האדם האחראית על קליטת חמצן מהסביבה והוצאת פחמן דו־חמצני. החמצן נדרש להפקת אנרגיה בתאים, בעוד שפחמן דו־חמצני הוא תוצר פסולת שיש לסלק. תהליך זה נקרא חילוף גזים והוא מתרחש באופן רציף לאורך כל החי..." 180359 wikitext text/x-wiki מערכת הנשימה האנושית מבוא מערכת הנשימה היא מערכת חיונית בגוף האדם האחראית על קליטת חמצן מהסביבה והוצאת פחמן דו־חמצני. החמצן נדרש להפקת אנרגיה בתאים, בעוד שפחמן דו־חמצני הוא תוצר פסולת שיש לסלק. תהליך זה נקרא חילוף גזים והוא מתרחש באופן רציף לאורך כל החיים. מבנה מערכת הנשימה מערכת הנשימה מורכבת מהאיברים הבאים: - האף וחלל האף: מסננים, מחממים ומלחלחים את האוויר הנכנס - הלוע: מעבר משותף למערכת הנשימה והעיכול - הגרון: כולל את מיתרי הקול - קנה הנשימה: צינור המעביר אוויר לריאות - סמפונות: ענפים של קנה הנשימה בתוך הריאות - סמפונונים: ענפים קטנים יותר בתוך הריאה - נאדיות הריאה: שקיקים זעירים שבהם מתבצע חילוף הגזים הריאות הן שני איברים ספוגיים הנמצאים בבית החזה ומוגנים על ידי הצלעות. מנגנון פעולת הנשימה שאיפה: - הסרעפת מתכווצת ויורדת - נפח בית החזה גדל - לחץ האוויר בריאות יורד - אוויר נכנס לריאות נשיפה: - הסרעפת נרגעת ועולה - נפח בית החזה קטן - לחץ האוויר בריאות עולה - אוויר יוצא מהריאות חילוף גזים בנאדיות הריאה בנאדיות הריאה מתרחש מעבר חומרים בין האוויר לדם: - חמצן עובר מהנאדיות לדם - פחמן דו־חמצני עובר מהדם לנאדיות תהליך זה מתבצע באמצעות דיפוזיה ומאפשר אספקת חמצן לכל תאי הגוף. ויסות הנשימה קצב הנשימה נשלט על ידי המוח, בעיקר בגזע המוח. הוא מגיב לרמות הפחמן הדו־חמצני בדם: - כאשר הרמה עולה → קצב הנשימה עולה - כאשר הרמה יורדת → קצב הנשימה יורד תפקידים נוספים של מערכת הנשימה - הפקת קול - סינון אוויר ממזהמים - שמירה על איזון חומצי-בסיסי בגוף - חוש הריח מחלות נפוצות - אסתמה: היצרות דרכי הנשימה - דלקת ריאות: זיהום בנאדיות - ברונכיטיס: דלקת בסמפונות - שפעת ונזלת: זיהומים בדרכי הנשימה העליונות - COPD: מחלה כרונית הפוגעת בריאות חשיבות לבריאות - הימנעות מעישון - פעילות גופנית - שמירה על אוויר נקי - טיפול מוקדם בזיהומים סיכום מערכת הנשימה חיונית לחיים, מאפשרת אספקת חמצן לתאים וסילוק פחמן דו־חמצני, ובכך תומכת בכל תפקודי הגוף. q6iazz3xwn9wd6qzedtmoiemkeivm8n 180360 180359 2026-05-06T18:09:20Z ~2026-27492-24 25738 /* */ 180360 wikitext text/x-wiki מערכת הנשימה האנושית מבוא מערכת הנשימה היא מערכת חיונית בגוף האדם האחראית על קליטת חמצן מהסביבה והוצאת פחמן דו־חמצני. החמצן נדרש להפקת אנרגיה בתאים, בעוד שפחמן דו־חמצני הוא תוצר פסולת שיש לסלק. תהליך זה נקרא חילוף גזים והוא מתרחש באופן רציף לאורך כל החיים מבנה מערכת הנשימה מערכת הנשימה מורכבת מהאיברים הבאים: - האף וחלל האף: מסננים, מחממים ומלחלחים את האוויר הנכנס - הלוע: מעבר משותף למערכת הנשימה והעיכול - הגרון: כולל את מיתרי הקול - קנה הנשימה: צינור המעביר אוויר לריאות - סמפונות: ענפים של קנה הנשימה בתוך הריאות - סמפונונים: ענפים קטנים יותר בתוך הריאה - נאדיות הריאה: שקיקים זעירים שבהם מתבצע חילוף הגזים הריאות הן שני איברים ספוגיים הנמצאים בבית החזה ומוגנים על ידי הצלעות. מנגנון פעולת הנשימה שאיפה: - הסרעפת מתכווצת ויורדת - נפח בית החזה גדל - לחץ האוויר בריאות יורד - אוויר נכנס לריאות נשיפה: - הסרעפת נרגעת ועולה - נפח בית החזה קטן - לחץ האוויר בריאות עולה - אוויר יוצא מהריאות חילוף גזים בנאדיות הריאה בנאדיות הריאה מתרחש מעבר חומרים בין האוויר לדם: - חמצן עובר מהנאדיות לדם - פחמן דו־חמצני עובר מהדם לנאדיות תהליך זה מתבצע באמצעות דיפוזיה ומאפשר אספקת חמצן לכל תאי הגוף. ויסות הנשימה קצב הנשימה נשלט על ידי המוח, בעיקר בגזע המוח. הוא מגיב לרמות הפחמן הדו־חמצני בדם: - כאשר הרמה עולה → קצב הנשימה עולה - כאשר הרמה יורדת → קצב הנשימה יורד תפקידים נוספים של מערכת הנשימה - הפקת קול - סינון אוויר ממזהמים - שמירה על איזון חומצי-בסיסי בגוף חוש הריח מחלות נפוצות - אסתמה: היצרות דרכי הנשימה - דלקת ריאות: זיהום בנאדיות - ברונכיטיס: דלקת בסמפונות - שפעת ונזלת: זיהומים בדרכי הנשימה העליונות - COPD: מחלה כרונית הפוגעת בריאות חשיבות לבריאות - הימנעות מעישון - פעילות גופנית - שמירה על אוויר נקי - טיפול מוקדם בזיהומים סיכום מערכת הנשימה חיונית לחיים מאפשרת אספקת חמצן לתאים וסילוק פחמן דו־חמצני, ובכך תומכת בכל תפקודי הגוף. hbi1zb7vpiw9g0whgk039fugmua7yh8 180361 180360 2026-05-06T18:20:56Z ~2026-27492-24 25738 הוספתי קישור 180361 wikitext text/x-wiki [https://www.khanacademy.org/science/biology Khan Academy הוא אתר לימודי חינמי שמסביר נושאים בביולוגיה, כולל מערכת הנשימה, באמצעות סרטונים, הסברים ותרגולים.] הנשימה האנושית מבוא מערכת הנשימה היא מערכת חיונית בגוף האדם האחראית על קליטת חמצן מהסביבה והוצאת פחמן דו־חמצני. החמצן נדרש להפקת אנרגיה בתאים, בעוד שפחמן דו־חמצני הוא תוצר פסולת שיש לסלק. תהליך זה נקרא חילוף גזים והוא מתרחש באופן רציף לאורך כל החיים מבנה מערכת הנשימה מערכת הנשימה מורכבת מהאיברים הבאים: - האף וחלל האף: מסננים, מחממים ומלחלחים את האוויר הנכנס - הלוע: מעבר משותף למערכת הנשימה והעיכול - הגרון: כולל את מיתרי הקול - קנה הנשימה: צינור המעביר אוויר לריאות - סמפונות: ענפים של קנה הנשימה בתוך הריאות - סמפונונים: ענפים קטנים יותר בתוך הריאה - נאדיות הריאה: שקיקים זעירים שבהם מתבצע חילוף הגזים הריאות הן שני איברים ספוגיים הנמצאים בבית החזה ומוגנים על ידי הצלעות. מנגנון פעולת הנשימה שאיפה: - הסרעפת מתכווצת ויורדת - נפח בית החזה גדל - לחץ האוויר בריאות יורד - אוויר נכנס לריאות נשיפה: - הסרעפת נרגעת ועולה - נפח בית החזה קטן - לחץ האוויר בריאות עולה - אוויר יוצא מהריאות חילוף גזים בנאדיות הריאה בנאדיות הריאה מתרחש מעבר חומרים בין האוויר לדם: - חמצן עובר מהנאדיות לדם - פחמן דו־חמצני עובר מהדם לנאדיות תהליך זה מתבצע באמצעות דיפוזיה ומאפשר אספקת חמצן לכל תאי הגוף. ויסות הנשימה קצב הנשימה נשלט על ידי המוח, בעיקר בגזע המוח. הוא מגיב לרמות הפחמן הדו־חמצני בדם: - כאשר הרמה עולה → קצב הנשימה עולה - כאשר הרמה יורדת → קצב הנשימה יורד תפקידים נוספים של מערכת הנשימה - הפקת קול - סינון אוויר ממזהמים - שמירה על איזון חומצי-בסיסי בגוף חוש הריח מחלות נפוצות - אסתמה: היצרות דרכי הנשימה - דלקת ריאות: זיהום בנאדיות - ברונכיטיס: דלקת בסמפונות - שפעת ונזלת: זיהומים בדרכי הנשימה העליונות - COPD: מחלה כרונית הפוגעת בריאות חשיבות לבריאות - הימנעות מעישון - פעילות גופנית - שמירה על אוויר נקי - טיפול מוקדם בזיהומים סיכום מערכת הנשימה חיונית לחיים מאפשרת אספקת חמצן לתאים וסילוק פחמן דו־חמצני, ובכך תומכת בכל תפקודי הגוף. 8gy48264ln00o36fazhkxdfcy3pim8x 180362 180361 2026-05-06T18:21:58Z ~2026-27492-24 25738 הוספתי קישור 180362 wikitext text/x-wiki הנשימה האנושית מבוא מערכת הנשימה היא מערכת חיונית בגוף האדם האחראית על קליטת חמצן מהסביבה והוצאת פחמן דו־חמצני. החמצן נדרש להפקת אנרגיה בתאים, בעוד שפחמן דו־חמצני הוא תוצר פסולת שיש לסלק. תהליך זה נקרא חילוף גזים והוא מתרחש באופן רציף לאורך כל החיים מבנה מערכת הנשימה מערכת הנשימה מורכבת מהאיברים הבאים: - האף וחלל האף: מסננים, מחממים ומלחלחים את האוויר הנכנס - הלוע: מעבר משותף למערכת הנשימה והעיכול - הגרון: כולל את מיתרי הקול - קנה הנשימה: צינור המעביר אוויר לריאות - סמפונות: ענפים של קנה הנשימה בתוך הריאות - סמפונונים: ענפים קטנים יותר בתוך הריאה - נאדיות הריאה: שקיקים זעירים שבהם מתבצע חילוף הגזים הריאות הן שני איברים ספוגיים הנמצאים בבית החזה ומוגנים על ידי הצלעות. מנגנון פעולת הנשימה שאיפה: - הסרעפת מתכווצת ויורדת - נפח בית החזה גדל - לחץ האוויר בריאות יורד - אוויר נכנס לריאות נשיפה: - הסרעפת נרגעת ועולה - נפח בית החזה קטן - לחץ האוויר בריאות עולה - אוויר יוצא מהריאות חילוף גזים בנאדיות הריאה בנאדיות הריאה מתרחש מעבר חומרים בין האוויר לדם: - חמצן עובר מהנאדיות לדם - פחמן דו־חמצני עובר מהדם לנאדיות תהליך זה מתבצע באמצעות דיפוזיה ומאפשר אספקת חמצן לכל תאי הגוף. ויסות הנשימה קצב הנשימה נשלט על ידי המוח, בעיקר בגזע המוח. הוא מגיב לרמות הפחמן הדו־חמצני בדם: - כאשר הרמה עולה → קצב הנשימה עולה - כאשר הרמה יורדת → קצב הנשימה יורד תפקידים נוספים של מערכת הנשימה - הפקת קול - סינון אוויר ממזהמים - שמירה על איזון חומצי-בסיסי בגוף חוש הריח מחלות נפוצות - אסתמה: היצרות דרכי הנשימה - דלקת ריאות: זיהום בנאדיות - ברונכיטיס: דלקת בסמפונות - שפעת ונזלת: זיהומים בדרכי הנשימה העליונות - COPD: מחלה כרונית הפוגעת בריאות חשיבות לבריאות - הימנעות מעישון - פעילות גופנית - שמירה על אוויר נקי - טיפול מוקדם בזיהומים סיכום מערכת הנשימה חיונית לחיים מאפשרת אספקת חמצן לתאים וסילוק פחמן דו־חמצני, ובכך תומכת בכל תפקודי הגוף.[https://www.khanacademy.org/science/biology Khan Academy הוא אתר לימודי חינמי שמסביר נושאים בביולוגיה, כולל מערכת הנשימה, באמצעות סרטונים, הסברים ותרגולים.] splafl8et4w9ng7iaezmlthm6d0nqef 180363 180362 2026-05-06T18:24:15Z ~2026-27492-24 25738 /* */ תיקנתי 180363 wikitext text/x-wiki הנשימה האנושית מבוא מערכת הנשימה היא מערכת חיונית בגוף האדם האחראית על קליטת חמצן מהסביבה והוצאת פחמן דו־חמצני. החמצן נדרש להפקת אנרגיה בתאים, בעוד שפחמן דו־חמצני הוא תוצר פסולת שיש לסלק. תהליך זה נקרא חילוף גזים והוא מתרחש באופן רציף לאורך כל החיים מבנה מערכת הנשימה מערכת הנשימה מורכבת מהאיברים הבאים: - האף וחלל האף: מסננים, מחממים ומלחלחים את האוויר הנכנס - הלוע: מעבר משותף למערכת הנשימה והעיכול - הגרון: כולל את מיתרי הקול - קנה הנשימה: צינור המעביר אוויר לריאות - סמפונות: ענפים של קנה הנשימה בתוך הריאות - סמפונונים: ענפים קטנים יותר בתוך הריאה - נאדיות הריאה: שקיקים זעירים שבהם מתבצע חילוף הגזים הריאות הן שני איברים ספוגיים הנמצאים בבית החזה ומוגנים על ידי הצלעות. מנגנון פעולת הנשימה שאיפה: - הסרעפת מתכווצת ויורדת - נפח בית החזה גדל - לחץ האוויר בריאות יורד - אוויר נכנס לריאות נשיפה: - הסרעפת נרגעת ועולה - נפח בית החזה קטן - לחץ האוויר בריאות עולה - אוויר יוצא מהריאות חילוף גזים בנאדיות הריאה בנאדיות הריאה מתרחש מעבר חומרים בין האוויר לדם: - חמצן עובר מהנאדיות לדם - פחמן דו־חמצני עובר מהדם לנאדיות תהליך זה מתבצע באמצעות דיפוזיה ומאפשר אספקת חמצן לכל תאי הגוף. ויסות הנשימה קצב הנשימה נשלט על ידי המוח, בעיקר בגזע המוח. הוא מגיב לרמות הפחמן הדו־חמצני בדם: - כאשר הרמה עולה → קצב הנשימה עולה - כאשר הרמה יורדת → קצב הנשימה יורד תפקידים נוספים של מערכת הנשימה - הפקת קול - סינון אוויר ממזהמים - שמירה על איזון חומצי-בסיסי בגוף -חוש הריח מחלות נפוצות - אסתמה: היצרות דרכי הנשימה - דלקת ריאות: זיהום בנאדיות - ברונכיטיס: דלקת בסמפונות - שפעת ונזלת: זיהומים בדרכי הנשימה העליונות - COPD: מחלה כרונית הפוגעת בריאות חשיבות לבריאות - הימנעות מעישון - פעילות גופנית - שמירה על אוויר נקי - טיפול מוקדם בזיהומים סיכום מערכת הנשימה חיונית לחיים מאפשרת אספקת חמצן לתאים וסילוק פחמן דו־חמצני, ובכך תומכת בכל תפקודי הגוף.[https://www.khanacademy.org/science/biology Khan Academy הוא אתר לימודי חינמי שמסביר נושאים בביולוגיה, כולל מערכת הנשימה, באמצעות סרטונים, הסברים ותרגולים.] atu9bfx1wjm7qydronncz3majtqaewd 180364 180363 2026-05-06T18:24:39Z ~2026-27492-24 25738 /* */ 180364 wikitext text/x-wiki הנשימה האנושית מבוא מערכת הנשימה היא מערכת חיונית בגוף האדם האחראית על קליטת חמצן מהסביבה והוצאת פחמן דו־חמצני. החמצן נדרש להפקת אנרגיה בתאים, בעוד שפחמן דו־חמצני הוא תוצר פסולת שיש לסלק. תהליך זה נקרא חילוף גזים והוא מתרחש באופן רציף לאורך כל החיים מבנה מערכת הנשימה מערכת הנשימה מורכבת מהאיברים הבאים: - האף וחלל האף: מסננים, מחממים ומלחלחים את האוויר הנכנס - הלוע: מעבר משותף למערכת הנשימה והעיכול - הגרון: כולל את מיתרי הקול - קנה הנשימה: צינור המעביר אוויר לריאות - סמפונות: ענפים של קנה הנשימה בתוך הריאות - סמפונונים: ענפים קטנים יותר בתוך הריאה - נאדיות הריאה: שקיקים זעירים שבהם מתבצע חילוף הגזים הריאות הן שני איברים ספוגיים הנמצאים בבית החזה ומוגנים על ידי הצלעות. מנגנון פעולת הנשימה שאיפה: - הסרעפת מתכווצת ויורדת - נפח בית החזה גדל - לחץ האוויר בריאות יורד - אוויר נכנס לריאות נשיפה: - הסרעפת נרגעת ועולה - נפח בית החזה קטן - לחץ האוויר בריאות עולה - אוויר יוצא מהריאות חילוף גזים בנאדיות הריאה בנאדיות הריאה מתרחש מעבר חומרים בין האוויר לדם: - חמצן עובר מהנאדיות לדם - פחמן דו־חמצני עובר מהדם לנאדיות תהליך זה מתבצע באמצעות דיפוזיה ומאפשר אספקת חמצן לכל תאי הגוף. ויסות הנשימה קצב הנשימה נשלט על ידי המוח, בעיקר בגזע המוח. הוא מגיב לרמות הפחמן הדו־חמצני בדם: - כאשר הרמה עולה → קצב הנשימה עולה - כאשר הרמה יורדת → קצב הנשימה יורד תפקידים נוספים של מערכת הנשימה - הפקת קול - סינון אוויר ממזהמים - שמירה על איזון חומצי-בסיסי בגוף - חוש הריח מחלות נפוצות - אסתמה: היצרות דרכי הנשימה - דלקת ריאות: זיהום בנאדיות - ברונכיטיס: דלקת בסמפונות - שפעת ונזלת: זיהומים בדרכי הנשימה העליונות - COPD: מחלה כרונית הפוגעת בריאות חשיבות לבריאות - הימנעות מעישון - פעילות גופנית - שמירה על אוויר נקי - טיפול מוקדם בזיהומים סיכום מערכת הנשימה חיונית לחיים מאפשרת אספקת חמצן לתאים וסילוק פחמן דו־חמצני, ובכך תומכת בכל תפקודי הגוף.[https://www.khanacademy.org/science/biology Khan Academy הוא אתר לימודי חינמי שמסביר נושאים בביולוגיה, כולל מערכת הנשימה, באמצעות סרטונים, הסברים ותרגולים.] nmuni10qad3q881kt3hghbk2qmpln5c