ויקיספר hewikibooks https://he.wikibooks.org/wiki/%D7%A2%D7%9E%D7%95%D7%93_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99 MediaWiki 1.47.0-wmf.9 first-letter מדיה מיוחד שיחה משתמש שיחת משתמש ויקיספר שיחת ויקיספר קובץ שיחת קובץ מדיה ויקי שיחת מדיה ויקי תבנית שיחת תבנית עזרה שיחת עזרה קטגוריה שיחת קטגוריה שער שיחת שער מדף שיחת מדף TimedText TimedText talk יחידה שיחת יחידה אירוע שיחת אירוע 0 2862 180509 148150 2026-07-06T18:24:56Z Virant 5484 הגהה (הצורה "מאחר ו..." שגויה) 180509 wikitext text/x-wiki ==תחומי הגדרה וסימונים== שורש <math>\sqrt{f(x)}</math> מוגדר רק עבור <math>x\ge0</math> (כל עוד מדברים על מספרים ממשיים) לדוגמה, <math>\sqrt9</math> מוגדר, אך <math>\sqrt{-9}</math> איננו. על כן כאשר פותרים אי שוויונים עם שורשים יש להוריד מהתשובות את תחום ההגדרה של השורש דהינו <math>\sqrt{f(x)}>0</math>. {{תרגיל |מספר=מה תחום ההגדרה של: <center><math>\sqrt{x+1}<\sqrt{3-2x}</math></center> |שאלה= |פתרון= יש לנו שני שורשים ולכן יש לנו שני תרגלים של אי שוויונים ובניהם מערכת וגם. <center> <math>x+1\ge0</math> וגם <math>3-2x\ge 0</math> <math>\Updownarrow</math> <math>x\ge-1</math> וגם <math>x\le 1.5</math> <math>\Updownarrow</math> <math>-1\le x\le1.5</math> </center> |יישור=}} ==העלאה בריבוע== כאשר <math>x^2=a</math> ישנם שני פתרונות לשורש כאשר <math>0 \le x</math> דהינו <math>x=\sqrt{a}</math> או כאשר <math>x<0</math> דהינו <math>x=-\sqrt{a}</math>. לדוגמה, השורש הריבועי של תשע יכול להיות גם שלוש וגם מינוס שלוש. כאשר אנו רוצים להעלות בשנייה מערכת של אי שוויוניים עם שורשים, לדוגמה <math>\sqrt {x+a} - 2< \sqrt{x+b}</math> (<math>a>b</math>), חשוב להשם לב ששני האגפים '''חיובים''' בכדי '''לא לשנות את סימן המשוואה'''. *אם כל אחד מאגפיו חיובי, הסימן נשאר. *אם כל אחד מאגפיו שלילי, הסימן מתהפך. הבדיקה תתבצע על ידי הצבת הערך הקטן ביותר מתחום ההגדרה בשורש. אם בעת בדיקה מתקבל כי אחד מהאגפים אינו חיובי, ננסה להעביר אגפים של ערכים חופשיים בכדי לקבל שני אגפים חיובים. {{דוגמה| מספר=1 |שם=העלאה בשנייה את <math>\sqrt {x+a} - 2< \sqrt{x+b}</math> כאשר (<math>a>b</math>)| |תוכן= ראשית נמצא את תחום ההגדרה <math>b \ge 0</math> וגם <math>a \ge 0</math>. מאחר ש-<math>a>b</math> תחום ההגדרה הכולל הינו <math>a \ge 0</math> עתה נציב <math>a</math> ונראה מה קורה. אנו יודעים בוודאות שהאגף ימיני חיובי מאחר שהוא נמצא בשורש והמספרים אותם אנו מציבים נמצאים בתחום ההגדרה של השורש. לעומת זאת באגף השמאלי איננו יודעים מה יצא הפתרון. יתכן כי הוא יהיה שלילי או חיובי. בכדי לפתור את הבעיה נוכל להעביר את הספרה שתים מאגפו השמאלי אל אגפו הימני ולפתור <math>\sqrt {x+a} < \sqrt{x+b}+2</math>}} {{דוגמה| מספר=2 |שם=הדגמה לשני האגפים חיובים |תוכן= נפתור את אי-השוויון: <math>\sqrt{x+1}<\sqrt{3-2x}</math> כבר ראינו מקודם שתחום ההגדרה הוא <center><math>-1\le x\le1.5</math></center> כדי לפתור את אי-השוויון, נשים לב ששני אגפיו אינם שליליים בהצבת <math>-1</math> (הערך הקטן ביותר של תחום ההגדרה), ולכן נוכל להעלות בריבוע את אגפיו ולשמור על הסימן: <center> <math>x+1<3-2x</math> <math>\Updownarrow</math> <math>3x<2</math> <math>\Updownarrow</math> <math>x<\frac23</math> </center> כל שנותר הוא לחתוך את מה שקיבלנו כאן עם תחום ההגדרה: <center> <math>-1\le x\le1.5</math> וגם <math>x<\frac23</math> <math>\Updownarrow</math> <math>-1\le x<\frac23</math> </center> וזהו הפתרון. }} {{דוגמה| מספר=3 |שם= העברת אגפים בכדי לשמור על שני אגפים חיובים |תוכן= נפתור את <math>\sqrt{x-4}-2<\sqrt{x-1}</math> קל למצוא את תחום ההגדרה: <center> <math>x-4\ge0</math> וגם <math>x-1\ge 0</math> <math>\Updownarrow</math> <math>x\ge4</math> וגם <math>x\ge1</math> <math>\Updownarrow</math> <math>x\ge4</math> </center> קל גם לראות שאגף ימין אינו שלילי כאשר מציבים <math>-4</math>. אגף שמאל, לעומת זאת, יכול להיות שלילי (<math>-4</math>) או חיובי (<math>24</math>) - קשה לקבוע זאת. נעביר את ה-2 לאגף ימין, בכך סימנו ישתנה לפלוס ובכך תיפתר הבעיה: שני האגפים יהיו אי-שליליים בהכרח. <center> <math>\sqrt{x-4}<\sqrt{x-1}+2</math> <math>\Updownarrow</math> <math>x-4<x-1+2\cdot2\sqrt{x-1}+4</math> <math>\Updownarrow</math> <math>x-4<x+3+4\sqrt{x-1}</math> <math>\Updownarrow</math> <math>-7<4\sqrt{x-1}</math> </center> כאן אגף שמאל שלילי, ואגף ימין אי-שלילי. לכן אי-השוויון מתקיים תמיד (בתחום ההצבה). הפתרון לבעיה, אם כן, הוא חיתוך כל המספרים עם תחום ההצבה, או, באופן פשוט, תחום ההגדרה. }} ===סימן תחום ההגדרה אינו ידוע - חלוקה למקרים=== גישה נוספת לפתרון במקרה שאגף כלשהו בעל סימן לא ידוע, הוא לחלק את הבעיה לכל אחד מהמקרים האפשריים. כלומר, יש לבדוק מה קורה כשהאגף שלילי, ומה קורה כשהאגף חיובי. =====דוגמא===== <center><math>\sqrt{x-4}-2<\sqrt{x-1}</math></center> קל לראות שאגף ימין חיובי תמיד (נמצא בו רק שורש). לעומת זאת, אין אנו יודעים מה סימנו של אגף שמאל. נבדוק מה קורה כאשר האגף שלילי וכאשר האגף חיובי. =====אגף שלילי===== אם האגף השמאלי שלילי, כלומר ערכי המשוואה הם <math>\sqrt{x-4}-2<0</math> (דהינו x<math>x<8</math>) אז המשוואה תמיד נכונה לכל <math>x</math> שנציב בביטוי <math>\sqrt{x-4}-2<0</math> (מיד נבדוק אלו ערכים אלו) מפני שהאגף השמאלי תמיד יהא שלילי! לאור העובדה שהאגף הימיני תמיד חיובי ועל פי סמני המשוואה הוא גדול מהאגף שלילי, כל <math>x</math> (המקיימים את הביטוי <math>\sqrt{x-4}-2<0</math>) שנציב תמיד יקיים את המשוואה. נפתח את הביטוי כדי לראות באילו ערכים מדובר: <center> <math>\sqrt{x-4}<2</math> <math>\Updownarrow</math> <math>x-4<2^2</math> <math>\Updownarrow</math> <math>x<8</math> </center> כלומר עבור כל ערך של <math>x</math> שקטן משמונה, נקבל שאגף שמאל של אי-השוויון המקורי הוא שלילי ומכיון שאגף ימין תמיד אי-שלילי, אי-השוויון כולו מתקיים. =====אגף אי שלילי===== אם אגף שמאל אי-שלילי (למה בחרנו דוקא אי-שלילי?), כלומר <math>\sqrt{x-4}-2\ge0</math> , אזי שני האגפים יהיו חיוביים ונוכל להעלות את הביטוי בריבוע. ראשית נבדוק באילו ערכים מדובר: <center> <math>\sqrt{x-4}\ge2</math> <math>\Updownarrow</math> <math>x-4\ge4</math> <math>\Updownarrow</math> <math>x\ge8</math> </center> כעת נעלה את אי-השוויון המקורי בריבוע: <center> <math>x-4-2\cdot2\sqrt{x-4}+4<x-1</math> <math>\Updownarrow</math> <math>x-4\sqrt{x-4}<x-1</math> <math>\Updownarrow</math> <math>-4\sqrt{x-4}<-1</math> <math>\Updownarrow</math> <math>4\sqrt{x-4}>1</math> <math>\Updownarrow</math> <math>\sqrt{x-4}>\frac14</math> <math>\Updownarrow</math> <math>x-4>\frac{1}{16}</math> <math>\Updownarrow</math> <math>x>4\frac{1}{16}</math> </center> כעת נחתוך את הערכים בהם מדובר כאן (סעיף זה) עם התוצאה ונקבל: <center> <math>x\ge8</math> וגם <math>x>4\frac{1}{16}</math> <math>\Updownarrow</math> <math>x\ge8</math> </center> כעת יש לאחד את שני הפתרונות שיצאו משתי ההנחות (שיחד משלימות לכל ציר המספרים) בקשר של '''או''': <center><math>x\ge 8</math> או <math>x<8</math></center> כלומר כל <math>x</math> , בריבוע (כמו במשוואות, גם באי-שוויונות העלאה בריבוע מוסיפה פתרונות). נקבל שהפתרון הוא חיתוך של <math>x\in\R</math> עם תחום ההצבה שחישבנו בתחילת הדוגמא, וזה בדיוק תחום ההצבה. {{הארה|שיטת פתרון זו היא מעט מסובכת יותר, אך לא תמיד ניתן לפתור אי-שוויון בעזרת העלאה בריבוע. במקרים מסויימים, עלינו לחלק למקרים ולעתים שיטה זו פשוטה יותר משיטות אחרות.}} {{תוכן| |הפרק הקודם=[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות ממעלה שניה|אי־שוויונות ממעלה שניה]] |הפרק הנוכחי=אי-שוויונות עם שורשים |תרגילים=[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות עם שורשים/תרגילים|תרגילים]] |הפרק הבא=[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות עם ערך מוחלט|אי־שוויונות עם ערך מוחלט]] }} [[קטגוריה:אלגברה תיכונית - אי שיויונות]] 04rsj7rzymtgy22tk3a8qg8u1cz01v5 0 8912 180504 157908 2026-07-06T17:33:16Z Virant 5484 הגהה (הצורה "מאחר ו..." שגויה) 180504 wikitext text/x-wiki {{אנליזה נומרית}} נעבוד עם המקטעים <math>\ x_i=x_0+ih,\ i\in \mathbb{N}</math>. נתרכז במציאת פתרון לבעיה <math>\ y'(x)=f(x,y)</math>, עם תנאי ההתחלה <math>\ y(x_0)=y_0</math>. מכאן והלאה, הסימול <math>\ y(x_i)</math> יציין הערך האנליטי המדוייק של הפונקציה בנקודה x_i, ואילו <math>\ y_i</math> יציין את הערך המקורב שחושב באמצעות השיטה. שימו לב כי במקרים מיוחדים יתכן שהערכים זהים, כלומר: לפעמים <math>\ y(x_i)=y_i</math>. ==פתרון באמצעות טור טיילור== השיטה מתבססת על פיתוח לטור טיילור של ערכי הפונקציה <math>\ y_1,y_2,...</math> סביב הנקודות <math>\ x_1,x_2,...</math>, נקודה אחר נקודה, כך שבכל צעד משתמשים בתוצאה הקודמת. שיטה כזו נקראת שיטה "חד-צעדית" (בהמשך נעסוק גם בשיטות רב-צעדיות). לשם כך נפתח תחילה את הפונקציה לטור טיילור סביב x₀: :<math>\ y_1=y_0+hy_0'+ \tfrac{h^2}{2}y_0''+ ...</math> השלב הבא הוא לחשב את y₂ באמצעות הערך שהתקבל עבור y₁, ובאופן כללי: :<math>\ y_{i+1}=y_i+hy_i'+ \tfrac{h^2}{2}y_i''+...</math> שימו לב כי רק y₀ הוא ערך מדוייק, כי ערכי y_i עבור i>0 התקבלו באמצעות חישוב מקורב. המטרה היא, אם כן, להקטין ככל הניתן את ההפרש <math>\ y(x_i)-y_i\ ,\ i\ge1</math>. על מנת למצוא קירוב נומרי, נשתמש, לשם הדגמה, בשלושת האיברים הראשונים של הטור. נמצא את ערכי המקדמים עבור y₁: :<math>\ y_0=y(x_0)</math> (נתון) :<math>\ y_0'=y'(x_0)=f(x_0,y_0)</math> :<math>\ y_0''= \left.\left( \tfrac{d}{dx}y' \right)\right|_{x_0}= \left.\left[ \tfrac{d}{dx}f(x,y(x)) \right]\right|_{x_0}= \left.\left[ \tfrac{\partial f}{\partial x}+ \tfrac{\partial f}{\partial y}\tfrac{dy}{dx} \right]\right|_{x_0}</math> (כלל השרשרת) שימו לב כי ערכו של הביטוי שהתקבל באמצעות כלל השרשרת הינו ידוע ב-x₀. בדרך זו ממשיכים ומוצאים את ערכי y₂, y₃... ככל שרוצים לקבל דיוק רב יותר, יש צורך לחשב נגזרות מסדר גבוה יותר, ולפעמים הדבר בלתי אפשרי. ==פתרון בשיטת אוילר== {{תזכורת|פתרון מד"ר (אוילר):<br /><math>\ y_{i+1}= y_i+hf(x_i,y_i)</math>}} שיטת אוילר היא פתרון באמצעות טור טיילור, כאשר לוקחים שני איברים ראשונים בלבד, דבר אשר חוסך חישוב נגזרות על חשבון פגיעה בדיוק הפתרון: :<math>\ y_{i+1}=y_i+hy_i'+ R_2= y_i+hf(x_i,y_i)+ O(h^2)</math> כאמור, בשיטה זו הדיוק אינו רב אך יתרה מזאת, השיטה לעתים קרובות לא יציבה מכיוון שעבור פתרונות שאינם די מתונים, שגיאות קטנות מוגברות ככל שמתקדמים ב-x. כפי שנראה בהמשך, שיטת אוילר היא שיטת רונגה-קוטה מסדר ראשון. ===קישורים חיצוניים=== {{מיזמים|ויקיפדיה=en:Euler integration|שם ויקיפדיה=שיטת אוילר (אנגלית)}} - ==פתרון בשיטות רונגה-קוטה== אלו הן קבוצה של שיטות רבות אשר נבדלות זו מזו בכמות החישובים שיש לבצע, ולכן גם בדיוק. שיטות אלה שימושיות במיוחד, עקב נוחיותן בכך שאינן מצריכות חישוב כל נגזרת של הפונקציה המדוברת, אלא רק חישוב ערכי הפונקציה עצמה. כפי שראינו, לפי טור טיילור: :<math>\ y_{i+1}= y_i+hf(x_i,y_i)+ \frac{h^2}{2}\left[ \frac{\partial f(x_i,y_i)}{\partial x}+ \frac{\partial f(x_i,y_i)}{\partial y}f(x_i,y_i) \right]+O(h^3)</math> נשתמש בשיטה הבאה, אשר מזכירה מעט את משפט לגראנז': :<math>\ y_{i+1}= y_i+\lambda_1hf(x_i,y_i)+ \lambda_2hf\left[x_i+\mu_1h,y_i+\mu_2hf(x_i,y_i)\right]</math> ואת הקבועים <math>\ \lambda_1,\lambda_2,\mu_1,\mu_2</math> נמצא על ידי השוואת מקדמים. לשם כך נפתח את השיטה לטור טיילור סביב <math>\ (x_i,y_i)</math>: :<math>\ y_{i+1}= y_i+\lambda_1hf(x_i,y_i)+ \lambda_2h \left[ f(x_i,y_i)+ \mu_1h \frac{\partial f(x_i,y_i)}{\partial x}+ \mu_2hf(x_i,y_i) \frac{\partial f(x_i,y_i)}{\partial y} +O(h^2) \right]</math> <div style="direction: ltr;"> :<math>\ \Rightarrow\ \begin{array}{lcl} hf(x_i,y_i) & : & \lambda_1+\lambda_2=1 \\ h^2 \frac{\partial f(x_i,y_i)}{\partial x} & : & \lambda_2\mu_1=\tfrac{1}{2} \\ h^2 f(x_i,y_i) \frac{\partial f(x_i,y_i)}{\partial y} & : & \lambda_2\mu_2=\tfrac{1}{2} \end{array}</math> </div> מאחר שיש לנו 4 נעלמים ורק 3 משוואות, נקבע אחד מהם שרירותית וזאת תהיה המשוואה הרביעית. עבור <math>\ \lambda_1=\tfrac{1}{2}</math> נקבל את שיטת Heun, ועבור <math>\ \lambda_1=0</math> נקבל את שיטת improved polygon. ===הצורה הכללית של שיטה מסדר 2=== אם נסמן <math>\begin{cases} \lambda_1=1-\kappa \\ \lambda_2=\kappa\neq 0 \\ \mu_1=\mu_2={1\over 2\kappa} \end{cases}</math> נקבל את הצורה הכללית של שיטת רונגה קוטה מסדר שני: :<math>\ y_{i+1}=y_i+ h[(1-\kappa)f(x_i,y_i)+ \kappa f(x_i+ \tfrac{h}{2\kappa}, y_i+\tfrac{h}{2\kappa} f(x_i,y_i))] +O(h^3)</math> ואז שיטת Heun תתקבל עבור <math>\ \kappa= \tfrac{1}{2}</math> ושיטת improved polygon עבור <math>\ \kappa=1</math>. ===שיטת Heun (שיטה מסדר 2)=== שיטה זו נקראת גם "שיטת אוילר המשופרת" (improved Euler method). מבחינה גאומטרית, היא משתמשת בממוצע השיפועים בשתי נקודות סמוכות <math>\ (x_i,y_i),\ (x_i+h,y_i+hy_i')</math> המתקבלות משיטת אוילר. שימו לב כי: <math>\ x_{i+1}=x_i+h,\ y_{i+1}= y_i+hy_i'</math> רק בשיטת אוילר, ואילו כאן אלו שתי נקודות שונות. כאן, הנקודה <math>\ (x_{i+1},y_{i+1})</math> מתקבלת מחיתוך הקו הישר היוצא מנקודה <math>\ (x_i,y_i)</math> וששיפועו הוא הממוצע הנ"ל, עם הישר <math>\ x=x_{i+1}=x+h</math>. {{תזכורת|'''שיטת Heun''':<br /> <math>\ y_{i+1}= y_i+ \tfrac{h}{2}(K_0+K_1)</math><br /> <math>\ K_0= f(x_i,y_i)</math><br /> <math>\ K_1=f(x_i+h,y_i+h K_0)</math>}} נקח <math>\ \lambda_1=\tfrac{1}{2}</math> ואז <math>\ \lambda_2=\tfrac{1}{2}\ ,\ \mu_1=\mu_2=1</math>, כך שהשיטה המתקבלת היא: :<math>\ y_{i+1}= y_i+ \tfrac{1}{2}hf(x_i,y_i)+ \tfrac{1}{2}hf[x_i+h,y_i+hf(x_i,y_i)]+ O(h^3)</math> את הביטוי האחרון נהוג לבטא במקדמים <math>K_0, K_1</math> באופן הבא: :<math>\ y_{i+1}= y_i+ \frac{h}{2} \left[ \overbrace{f(x_i,y_i)}^{K_0} + \overbrace{f\left(x_i+h,y_i + h \overbrace{f(x_i,y_i)}^{K_0} \right)}^{K_1} \right]+ O(h^3) = y_i+ \tfrac{h}{2}(K_0+K_1) + O(h^3)</math> (כאשר בשיטות מסדר גבוה יותר המקדמים <math>K_i</math> מייצגים ביטויים מורכבים יותר) ===שיטת improved polygon (שיטה מסדר 2)=== שיטה זו נקראת גם modified Euler method. בניגוד לשיטת Heun, במקום לקחת את ממוצע השיפועים של שתי נקודות, ניקח את השיפוע של נקודת האמצע. במקרה זה נקח <math>\ \lambda_1=0</math> ואז <math>\ \lambda_2=1\ ,\ \mu_1=\mu_2= \tfrac{1}{2}</math>, כך שהשיטה המתקבלת היא: :<math>\ y_{i+1}= y_i+ hf[x_i+\tfrac{h}{2},y_i+\tfrac{h}{2}f(x_i,y_i)]+ O(h^3)</math> ===שיקולי דיוק=== שני שיקולים ינחו אותנו בעת בחירת מרווח האינטגרציה h: * בהתאם לגודל האופייני של הבעיה הפיזיקלית נחליט בכמה סדרי גודל על h להיות קטן יותר. * ערכו של h יכול להשתנות מנקודה לנקודה בהתאם להתנהגות הפונקציה. אם אין גרדיאנטים חריפים מנקודה לנקדוה, ניתן לקחת מרווחים גדולים יותר בלי לפגוע משמעותית בדיוק, כך ש- <math>\ h={c \over y'}= {c \over f(x_i,y_i)}</math>, כאשר c הוא קבוע פרופורציה כלשהו. ===אבחנות=== * בעוד ששיטת אוילר מחשבת את הערך הבא באמצעות השיפוע בערך הנוכחי, שיטות רונגה-קוטה משתמשות במידע נוסף. * בשיטות רונגה קוטה מסדר שני אנו מגיעים לדיוק מסדר <math>\ O(h^2)</math> באמצעות חישוב ערך הפונקציה f בשתי נקודות בלבד, לעומת שיטת טור-טיילור בה נדרשים שלושה חישובים: <math>\ f(x_i), \tfrac{\partial f(x_i)}{\partial x}, \tfrac{\partial f(y_i)}{\partial y}</math> ===שיטת רונגה-קוטה מסדר 4=== בשיטה זו לוקחים :<math> \begin{array}{rcl} K_0 &=& f(x_i,y_i) \\ K_1 &=& f(x_i+\tfrac{h}{2}, y_i+\tfrac{h}{2}K_0) \\ K_2 &=& f(x_i+\tfrac{h}{2}, y_i+\tfrac{h}{2}K_1) \\ K_3 &=& f(x_i+h,y_i+hK_2) \\ y_{i+1} &=& y_i + \tfrac{h}{6} \left( K_0 + 2K_1 + 2K_2 + K_3 \right) \end{array} </math> ===שיטת Dormand-Prince=== בשיטה זו לוקחים :<math> \begin{array}{rcl} K_0 &=& f(x_i,y_i) \\ K_1 &=& f(x_i+\tfrac{1}{5}h, y_i+\tfrac{1}{5}hK_0) \\ K_2 &=& f(x_i+\tfrac{3}{10}h, y_i+\tfrac{3}{40}hK_0 + \tfrac{9}{40}hK_1) \\ K_3 &=& f(x_i+\tfrac{4}{5}h, y_i+\tfrac{44}{45}hK_0 - \tfrac{56}{15}hK_1 + \tfrac{32}{9}hK_2) \\ K_4 &=& f(x_i+\tfrac{8}{9}h, y_i+\tfrac{19372}{6561}hK_0 - \tfrac{25360}{2187}hK_1 + \tfrac{64448}{6561}hK_2 - \tfrac{212}{729}hK_3) \\ K_5 &=& f(x_i+h, y_i+\tfrac{9017}{3168}hK_0 - \tfrac{355}{33}hK_1 + \tfrac{46732}{5247}hK_2 + \tfrac{49}{176}hK_3 - \tfrac{5103}{18656}hK_4) \\ K_6 &=& f(x_i+h, y_i+\tfrac{35}{384}hK_0 + \tfrac{500}{1113}hK_2 + \tfrac{125}{192}hK_3 - \tfrac{2187}{6784}hK_4 + \tfrac{11}{84}hK_5) \\ & & \\ y_{i+1} &=& y_i + h \left( \tfrac{5179}{57600} K_0 + \tfrac{7571}{16695} K_2 + \tfrac{393}{640} K_3 - \tfrac{92097}{339200} K_4 + \tfrac{187}{2100} K_5 + \tfrac{1}{40} K_6 \right) + O(h^5) \\ y_{i+1} &=& y_i + h \left( \tfrac{35}{384} K_0 + \tfrac{500}{1113} K_2 + \tfrac{125}{192} K_3 - \tfrac{2187}{6784} K_4 + \tfrac{11}{84} K_5 \right) + O(h^6) \end{array} </math> ===קישורים חיצוניים=== {{מיזמים|ויקיפדיה=en:Runge–Kutta methods|שם ויקיפדיה=שיטות רונגה-קוטה (אנגלית)}} * הסברים על [http://prosys.korea.ac.kr/~tclee/lecture/numerical/node33.html שיטת Heun] באתר אוניברסיטת קוריאה. ==שיטות רב-צעדיות== שיטות אלה, בניגוד לנ"ל, משתמשות במספר נקודות קודמות. נפתח את בסיס השיטה: :<math>\ y'(x)=f(x,y)\quad\Rightarrow\ \int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} \frac{dy}{dx}dx= \int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} fdx \quad\Rightarrow\ y_{i+1}-y_i= \int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} fdx</math> נשאר, אם כן, לפתור את האינטגרל <math>\ \int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} fdx</math>. לשם כך נבצע החלפת משתנים: <math>\ x=x_i+ \theta h,\ dx=hd\theta,\ 0\le\theta\le 1</math> כך שערכי f המתקבלים בין x_i,x_i+1 ניתנים לתיאור על ידי: <math>\ f=E^{\theta} f(x_i)</math> ולכן האינטגרל מקבל את הצורה: <div style="direction: ltr;"> :<math>\ \int\limits_0^1 E^{\theta} \overbrace{f(x_i,y_i)h}^{const.}d\theta= \int\limits_0^1 (1-\nabla)^{-\theta}f(x_i,y_i)hd\theta=</math> :<math>\ =\ \int\limits_0^1 h\left[ 1+\theta\nabla+ \tfrac{\theta(\theta+1)}{2}\nabla^2+... \right]f(x_i,y_i) d\theta= </math> :<math>\ = h\left.\left[ \theta+{\theta^2\over 2}\nabla+ \left( {\theta^3\over 6}+{\theta^2\over 4} \right)\nabla^2... \right]f(x_i,y_i)\right|_0^1= </math> :<math>\ =\ h\left[ 1+{\nabla\over 2}+ {5 \over 12}\nabla^2+ {9\over 24}\nabla^3+... \right]f(x_i,y_i)</math> </div> כך שככל שנקח יותר איברים, נקבל ביטוי התלוי ביותר נקודות קודמות. שימו לב כי השתמשנו באופרטור הפרשים אחוריים על מנת לקבל תלות בנקודות הקודמות. {{תזכורת|שיטה רב-צעדית:<br /><math>\ y_{i+1}= y_i+ h\left[ 1+{\nabla\over 2}+ {5 \over 12}\nabla^2+ {3\over 8}\nabla^3+... \right]f(x_i,y_i)</math>}} שימו לב כי אם ניקח איבר בודד, נקבל את שיטת אוילר. '''הערה''': אחד המאפיינים של שיטות רב-צעדיות הוא שאינן מאתחלות את עצמן (not self-starting), כלומר יש לספק עבורן מספר תנאי התחלה באמצעות שיטות חד-צעדיות בעלות אותו מרווח h. ===שיטת Adams-Bashforth=== נפתח את 4 האיברים הראשונים שציינו לעיל: :<math>\ \begin{align} y_{i+1} & = y_i+{h\over 24} \left[ 55f(x_i,y_i)-59f(x_{i-1},y_{i-1})+ \right. \\ & + \left. 37f(x_{i-2},y_{i-2})-9f(x_{i-3},y_{i-3}) \right]+ O(h^5) \\ \end{align} \ ,\quad i\ge 3</math> *שימו לב כי לשיטה זו יש לספק 3 תנאי התחלה, אשר בדרך כלל מוצאים אותם בשיטת רונגה-קוטה או בשיטת אוילר. כמו כן, על אותה שיטה להשתמש באותו מרווח h. *נשווה שיטה זו לשיטת רונגה-קוטה מסדר 4, מבחינת מספר פעולות החישוב: <math>\ \tfrac{R-K}{A-B}= \tfrac{4N}{4\cdot 3+(N-3)}=\tfrac{4N}{N+9}\approx 4</math>, כלומר שיטת רונגה-קוטה איטית פי 4. *על מנת להשתמש בשיטה זו עבור '''מערכת מד"ר''', נחליף את הכתיב הסקלרי בכתיב הוקטורי: :<math>\ \begin{align} \vec y_{i+1} & = \vec y_i+{h\over 24} \left[ 55\vec f(x_i,\vec y_i)-59\vec f(x_{i-1},\vec y_{i-1})+ \right. \\ & + \left. 37\vec f(x_{i-2},\vec y_{i-2})-9\vec f(x_{i-3},\vec y_{i-3}) \right]+ O(h^5)\ \\ \end{align} ,\quad i\ge 3</math> ===שיטת Adams=== שיטת אדאמס היא מהצורה: <div style="direction: ltr;"> :<math>\ y_{n+1}=y_n+ {h \over 12} [5y_{n+1}'+8y_n'-y_{n-1}']</math> </div> נמצא את הביטוי לשגיאה באמצעות פיתוח האגפים לטור טיילור והשוואת מקדמים: <div style="direction: ltr;"> :<math>\ \mbox{LHS:}\quad y_n+ hy_n'+ \tfrac{h^2}{2}y_n''+ \tfrac{h^3}{3!}y_n'''+ \tfrac{h^4}{4!}y_n^{(4)}+...</math> :<math>\ \begin{align} \mbox{RHS:} & \quad y_n+ {h\over 12}\left[\left(5y_n'+ 5hy_n''+ 5\tfrac{h^2}{2}y_n'''+ 5\tfrac{h^3}{3!}y_n^{(4)}+...\right)+ \right. \\ & \left. + (8y_n')- \left(y_n'-hy_n''+ \tfrac{h^2}{2}y_n'''- \tfrac{h^3}{3!}y_n^{(4)}+...\right)\right] +R \\ \end{align}</math> <br /> :<math>\ \begin{align} y_n: & \quad 1=1 \quad\rightarrow OK\\ y_n': & \quad h=h\left( \tfrac{5}{12}+\tfrac{8}{12}-\tfrac{1}{12} \right)=h \quad\rightarrow OK\\ y_n'': & \quad \tfrac{h^2}{2}=\tfrac{h^2}{12}(5+1)=\tfrac{h^2}{2} \quad\rightarrow OK\\ y_n''': & \quad \tfrac{h^3}{3!}=\tfrac{h^3}{12}\left(\tfrac{5-1}{2}\right)=\tfrac{h^3}{3!} \quad\rightarrow OK\\ y_n^{(4)}: & \quad \tfrac{h^4}{4!} \neq \tfrac{h^4}{12}\left(\tfrac{5+1}{3!}\right)=\tfrac{h^4}{12} \quad\Rightarrow\quad R=y^{(4)}(c)\left( \tfrac{h^4}{24}-\tfrac{h^4}{12} \right)= -\tfrac{h^4}{24}y^{(4)}(c)= O(h^4)\\ \end{align}</math> </div> ===שיטת Cowell-Numerov=== שיטה זו היא עבור מד"ר מסדר 2, כאשר f אינה פונקציה של <math>\ y'</math> אלא של <math>\ y''</math>, ותנאי ההתחלה נתונים ב-x=0. <div style="direction: ltr;"> :<math>\ \begin{cases} y_{i+1}=2y_i-y_{i-1}+ {h^2\over 12}[f(x_{i+1},y_{i+1})+10f(x_i,y_i)+f(x_{i-1},y_{i-1})] \\ y''(x)=f(x,y) \end{cases}</math> </div> שימו לב כי זוהי שיטה סתומה מאחר ש-<math>\ y_{i+1}</math> תלוי ב-f, אשר תלוי ב-<math>\ y''</math>. ===שיטות נוספות=== * <math>\ y_{i+1}= y_{i-1}+2hf(x_i,y_i)+ O(h^3)</math> * <math>\ y_{i+1}= y_{i-3}+ \tfrac{4h}{3}[2f(x_i,y_i)-f(x_{i-1},y_{i-1})+ 2f(x_{i-2},y_{i-2})] +O(h^5)</math> ===קישורים חיצוניים=== {{מיזמים|ויקיפדיה=en:Multistep method|שם ויקיפדיה=שיטות רב צעדיות (אנגלית)}} * שיטת [http://mathworld.wolfram.com/AdamsMethod.html אדאמס-באשפורת'] באתר MathWorld. * שיטת [http://mathews.ecs.fullerton.edu/n2003/AdamsBashforthMod.html אדאמס-באשפורת'] באתר אוניברסיטת CSUF (כולל אנימציות, הוכחות ודוגמאות שימוש). * אנימציית [http://www.cse.uiuc.edu/eot/modules/ode/adams/ אדאמס-באשפורת'] באתר אוניברסיטת אילנוי. ==שיטות מסוג מעריך-מתקן== שיטות מעריך-מתקן (Predictor-Corrector Methods) מתבססות על פתרון האינטגרל על <math>\ y'(x)= f(x,y)dx</math>, או: <math>\ y_{i+1}= y_i+\int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} fdx</math>. השלב הבא הוא להשתמש בנוסחה מקורבת לאינטגרל על מנת להתקדם לנקודה הבאה (זכרו כי <math>\ h=x_{i+1}-x_i</math>). * אם נשתמש בשיטת המלבן להערכת האינטגרל, נקבל: :<math>\ y_{i+1}= y_i+ \int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} fdx= y_i+ hf\left(\tfrac{x_{i+1}+x_i}{2},y_i\right)</math> :שימו לב כי כל הפרמטרים ידועים, פרט ל-y_i+1, שאותו אנו מחפשים. * אם, לעומת זאת, נשתמש בשיטת הטרפז, נקבל: :<math>\ y_{i+1}= y_i+ \int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} fdx= y_i+ \tfrac{h}{2}[f(x_{i+1},y_{i+1})+f(x_i,y_i)]+ O(h^3)</math> :שימו לב כי קיבלנו קשר סתום עבור y_i+1, וכביכול אין באפשרותנו להמשיך. כאן, ובכלל, במקרים בהם יש צורך להשתמש בערכים שאינם קיימים עדיין לרשותנו, נכנסת לתמונה שיטת המעריך-מתקן. כללית, כל שיטת מעריך-מתקן מורכבת משני שלבים: # '''מעריך''': בוחרים בשיטה כלשהי אשר מאפשרת חישוב ישיר של y_i+1. # '''מתקן איטרטיבי''': מציבים את המעריך לתוך השיטה הסתומה. אם נבחר בשיטה כלשהי על מנת להעריך את ערכו של y_i+1, כמו למשל בשיטת המלבן, נוכל להציב איטרטיבית את התוצאה בשיטת הטרפז. שיטת הטרפז תניב ערך מתוקן אשר קרוב יותר לאמיתי. ניתן להפעיל שוב את השלב האיטרטיבי, אולם לא נהוג להפעילה יותר מפעמיים. אם נדרש דיוק רב יותר, ניתן להקטין את המרווח h, ואף ניתן לעשות זאת בכל איטרציה, אך במקרה זה יש לבצע מחדש את שלב המעריך. ===שיקולי התכנסות=== ניתן לראות בביטוי הסתום עבור y_i+1 מעין שיטה איטרטיבית (נסמן <math>\ \hat y=y_{i+1}</math>): <math>\ \hat y_{n+1}=\Phi(\hat y_n)</math> (כל שאר הפרמטרים ידועים). וכזכור, התנאי להתכנסות (מסדר 1) הוא <math>\ |\Phi'(\hat y)|<1</math>. לדוגמה: עבור שיטת הטרפז: :<math>\ |\Phi'(\hat y)|= \left|{h\over 2}{\partial f\over\partial y}\right|<1\ \Rightarrow\ h < \frac{2}{\tfrac{\partial f}{\partial\hat y}}</math> ואז ההתכנסות מובטחת. על מנת להבטיח התכנסות מהירה, יש לדאוג לכך ש- <math>\ h \ll \frac{2}{\tfrac{\partial f}{\partial\hat y}}</math>. ===מקרים פרטיים=== '''Adams-Bashforth''': שיטה זו היא למעשה קירוב של פולינום לגראנז' המתקבל על ידי ארבע נקודות. ניתן לאמר שהמעריך הוא: :<math>\ y_{i+1}^{predictor}= y_i+{h\over 24} \left[ 55f(x_i,y_i)-59f(x_{i-1},y_{i-1})+37f(x_{i-2},y_{i-2})-9f(x_{i-3},y_{i-3}) \right]</math> והמתקן יתקבל באמצעות הנקודה החדשה ושלוש הנקודות הקודמות לה: :<math>\ y_{i+1}^{corrector}= y_i+{h\over 24} \left[ 9f(x_{i+1},y_{i+1})+19f(x_i,y_i)-5f(x_{i-1},y_{i-1})+(x_{i-2},y_{i-2}) \right]</math> ===קישורים חיצוניים=== * אנימציה של [http://www.cse.uiuc.edu/eot/modules/ode/pcorrect/ מעריך-מתקן] באתר אוניברסיטת אילנוי. * הסברים באתר [http://mathforum.org/library/drmath/view/61173.html Dr. Math]. * הסברים באתר [http://phycomp.technion.ac.il/~phsorkin/thesis/node41.html הפקולטה לפיזיקה] של הטכניון. ==יציבות של שיטות לפתרון מד"ר== יציבות תלויה במד"ר אותה רוצים לפתור. מניחים כי הפתרון מתנהג כמו משוואת ההפרשים: <math>\ y_n= \sigma y_{n-1}=...= \sigma^n y_0</math>. כאשר נציב ביטוי זה (<math>\ y_n=c\cdot\sigma^n</math>) לשיטה, נקבל משוואה עבור &sigma; אשר תלויה ב-<math>\ f(x,y)</math> הנידון. בדרך כלל נקבל שני פתרונות עבור &sigma;, כאשר לאחד נקרא אנליטי (<math>\ \sigma_{analytic}</math>) - והוא מבטא את הפתרון למשוואה - ולשני פרזיטי (<math>\ \sigma_{parasitic}</math>) - אשר מבטא את השגיאה הנרכשת בכל איטרציה ושאינה קשורה לפתרון האמיתי. התנאים ליציבות הם: <div style="text-align: center;"> :<math>\ 0\le\sigma_{analytic}\le 1 \qquad\qquad |\sigma_{parasitic}|<1</math> </div> ותחום היציבות נקבע על פי קבוצת החיתוך של שני התנאים וכאשר אין חיתוך - אין יציבות. הפתרון הכללי הוא מהצורה: :<math>\ y_n=c_1\sigma_1^n+ c_2\sigma_2^n+...</math> מאחר ש-&sigma; תלוי ב-h, נשתמש בקשר <math>\ h=\frac{x_n}{n}</math> ונשאיף את n לאינסוף על מנת לקבל את הפתרון: :<math>\ y= \lim_{n\to\infty} y_n(x_n)</math> {{אנליזה נומרית|מוגבל=כן}} [[קטגוריה:אנליזה נומרית]] q6skjf38zbvprpgzr52ncryk5tt5ffa 0 9052 180517 167444 2026-07-06T20:38:52Z Virant 5484 הגהה (הצורה "מאחר ו..." שגויה) 180517 wikitext text/x-wiki ;משפט תהי <math>f:[a,b]\to\R</math> פונקציה רציפה. יהי <math>y</math> מספר ממשי עבורו <math>f(a)<y<f(b)</math> או <math>f(a)>y>f(b)</math> . אזי קיים <math>c\in(a,b)</math> עבורו <math>f(c)=y</math> . ==הוכחה באמצעות הגדרת קבוצה (1)== נניח ללא הגבלת הכלליות כי עבור <math>f(a)<y<f(b)</math> אנו רוצים למצוא מספר <math>c\in(a,b)</math> עבורו <math>f(c)=y</math> . נגדיר קבוצה <math>A=\Big\{x\in[a,b]:f(x)<y\Big\}</math> . <math>a\in A</math> ולכן זוהי קבוצה לא־ריקה, <math>b</math> חסם מלעיל שלה. על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשיים יש לה חסם עליון <math>c</math> . נוכיח כי <math>f(c)=y</math> . *נניח <math>f(c)>y</math> . מהרציפות נובע שבפרט עבור <math>\varepsilon=f(c)-y</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>|x-c|<\delta</math> מתקיים :<math display=block>\begin{matrix}\bigl|f(x)-f(c)\bigr|<f(c)-y\\\\{\color{red}y<f(x)}<2f(c)-y\end{matrix}</math> :אך לכל <math>x\in(c-\delta,c)</math> מתקיים <math>x\in A</math> . סתירה. *נניח <math>f(c)<y</math> . באופן דומה נובע שבפרט עבור <math>\varepsilon=y-f(c)</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>|x-c|<\delta</math> מתקיים :<math display=block>\begin{matrix}\bigl|f(x)-f(c)\bigr|<y-f(c)\\\\2f(c)-y<{\color{red}f(x)<y}\end{matrix}</math> :אך לכל <math>x\in(c,c+\delta)</math> מתקיים <math>x\notin A</math> . סתירה. לכן <math>f(c)=y</math> . <math>\blacksquare</math> ==הוכחה באמצעות הגדרת קבוצה (2)== הוכחה זו כמעט זהה לקודמתה, אך ניסוחה מסובך יותר. נניח ללא הגבלת הכלליות כי עבור <math>f(a)<y<f(b)</math> אנו רוצים למצוא מספר <math>c\in(a,b)</math> עבורו <math>f(c)=y</math> . נגדיר קבוצה <math>A=\Big\{x\in[a,b]:f(x)<y\Big\}</math> . <math>a\in A</math> ולכן זוהי קבוצה לא־ריקה, <math>b</math> חסם מלעיל שלה. על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשיים יש לה חסם עליון <math>c</math> . נוכיח כי <math>f(c)=y</math> . מרציפות <math>f</math> נובע שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>|x-c|<\delta</math> מתקיים <math>\bigl|f(x)-f(c)\bigr|<\varepsilon</math> . כלומר :<math display=block>f(x)-\varepsilon<f(c)<f(x)+\varepsilon</math> *בכל סביבה <math>(c-\delta,c)</math> יש אבר של <math>A</math> . בפרט קיים בסביבה זו <math>x_1\in A</math> עבורו :<math display=block>\begin{matrix}f(x_1)-\varepsilon<f(c)<f(x_1)+\varepsilon\\\\x_1\in A\quad\Rarr\quad f(x_1)<y\quad\Rarr\quad f(x_1)+\varepsilon<y+\varepsilon\\\\f(x_1)-\varepsilon<{\color{red}f(c)<}\ f(x_1)+\varepsilon<{\color{red}y+\varepsilon}\end{matrix}</math> *בכל סביבה <math>(c,c+\delta)</math> אין אבר של <math>A</math> . בפרט קיים בסביבה זו <math>x_2\notin A</math> עבורו :<math display=block>\begin{matrix}f(x_2)-\varepsilon<f(c)<f(x_2)+\varepsilon\\\\x_2\notin A\quad\Rarr\quad f(x_2)\ge y\quad\Rarr\quad f(x_2)-\varepsilon\ge y-\varepsilon\\\\{\color{red}y-\varepsilon}\le f(x_2)-\varepsilon\ {\color{red}<f(c)}<f(x_2)+\varepsilon\end{matrix}</math> עקב התנאים הנ"ל מתקיים על־פי [[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/כלל הסנדוויץ'|כלל הסנדוויץ']] :<math display=block>y-\varepsilon<f(c)<y+\varepsilon</math> לכן <math>f(c)=y</math> כמבוקש. <math>\blacksquare</math> ==הוכחה באמצעות חציה לקטעים== אם <math>f(a)=f(b)</math> , אז ההוכחה גמורה מכיון ש- <math>y</math> האפשרי היחיד הוא <math>f(a)</math> (או <math>f(b)</math>) המתקבל בנקודות <math>x=a,x=b</math> . אזי, נניח <math>f(a)<f(b)</math> . נגדיר את פונקצית העזר הבאה: <math>g(x)=f(x)-y</math> . נשים לב כי מתקיים <math>g(a)<0</math> וכן <math>g(b)>0</math> . תהי <math>m=\frac{a+b}{2}</math> . קיימות שלוש אפשרויות: א) <math>f(m)=y\ \Leftarrow\ g(m)=0</math> וסיימנו. ב) <math>g(m)>0</math> ואז נתבונן בקטע <math>[a_1,b_1]=\left[a,\frac{a+b}{2}\right]</math> ג) <math>g(m)<0</math> ואז נתבונן בקטע <math>[a_1,b_1]=\left[\frac{a+b}{2},b\right]</math> בשני המקרים האחרונים מתקיים <math>g(a_1)\cdot g(b_1)<0</math> ו- <math>a_1\ge a</math> ו- <math>b_1\le b</math> . נמשיך ע"י חציית הקטעים באופן דומה. בשלב ה-<math>n</math>-י נתון הקטע <math>[a_n,b_n]</math> כך ש- <math>g(a_n)\cdot g(b_n)<0</math> ואנו בוחרים בנקודה <math>m_n=\frac{a_n+b_n}{2}</math> וכדומה. אם התהליך נעצר בשלב סופי, כלומר קיים <math>n</math> כך ש- <math>g(m_n)=0</math> אז סיימנו כי אז <math>f(m_n)=y</math> . אחרת, בנינו סדרות המקיימות: *<math>\{a_n\}</math> סדרה מונוטונית עולה שחסומה מלעיל ע"י <math>b_1=b</math> ולכן מתכנסת לנקודה שנסמנה <math>x_a</math> . *<math>\{b_n\}</math> סדרה מונוטונית יורדת שחסומה מלרע ע"י <math>a_1=a</math> ולכן מתכנסת לנקודה שנסמנה <math>x_b</math> . באופן שמתקיים <math>a_n\le a_{n+1}<b_{n+1}\le b_n</math> . נשים לב, שאופיו של תהליך החציה שלנו בקטע הנתון מקיים: <math display=block>0\le b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}</math> הסדרה השמאלית היא סדרה קבועה שמתכנסת ל-0. הסדרה הימנית גם כן מתכנסת ל-0. הסדרה האמצעית מתכנסת ל- <math>x_b-x_a</math> עפ"י [[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של סכום והפרש|החוק להפרש גבולות]]. לכן, נובע מ[[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/כלל הסנדוויץ'|כלל הסנדוויץ']] כי <math>x_b-x_a</math> הוא ביטוי אשר מתכנס ל-0. לפיכך, <math>x_b=x_a</math> ונסמן גבול זה <math>x_0</math> . (הערה: לחילופין, היינו יכולים להשתמש ב[[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/הלמה של קנטור|למה של קנטור]] כדי להראות שהסדרות מתכנסות ולאותו הגבול) נתבונן בסדרות <math>\big\{g(a_n)\big\},\big\{g(b_n)\big\}</math> {{כ}}. <math>g</math> היא פונקציה רציפה כ[[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/אריתמטיקה והרכבה של פונקציות רציפות#סכום והפרש של פונקציות רציפות|הפרש של פונקציות רציפות]] ו- <math>\{a_n\}\,\xrightarrow[n\to\infty]{}\,x_0</math> , לכן <math>\big\{g(a_n)\big\}\,\xrightarrow[n\to\infty]{}\,g(x_0)</math> . באופן דומה <math>\big\{g(b_n)\big\}\,\xrightarrow[n\to\infty]{}\,g(x_0)</math> . מאחר ש- <math>g(a_n)\cdot g(b_n)<0</math> לכל <math>n</math> והסדרות <math>\big\{g(a_n)\big\},\big\{g(b_n)\big\}</math> מתכנסות, אזי נובע מהמשפט [[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/מונוטוניות של גבולות|מונטוניות של גבולות]] כי <math display=block>\lim_{n\to\infty}\Big[g(a_n)\cdot g(b_n)\Big]\le 0</math> מאידך גיסא, עפ"י [[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של מכפלה|החוק למכפלת גבולות]], מקבלים כי: <math display=block>\lim_{n\to\infty}\Big[g(a_n)\cdot g(b_n)\Big]=\lim_{n\to\infty}g(a_n)\cdot\lim_{n\to\infty}g(b_n)=g(x_0)\cdot g(x_0)=g(x_0)^2</math> קיבלנו כי <math>g(x_0)^2\le0</math> וזה נכון אם ורק אם <math>g(x_0)=0</math> כמבוקש. <math>\blacksquare</math> [[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]] 09bxt37ca68cl82g38uippa2zrlmoo0 0 9055 180505 150071 2026-07-06T17:40:57Z Virant 5484 הגהה (הצורה "מאחר ו..." שגויה) 180505 wikitext text/x-wiki ==הגדרת רציפות== פונקציה <math>f</math> רציפה בנקודה <math>a</math> אם היא קיים לה גבול בנקודה, והיא מוגדרת וערכה שווה לערך הגבול. כלומר: :<math display=block>\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)</math> ;משפט (סכום והפרש של פונקציות רציפות) אם <math>f,g</math> רציפות בנקודה <math>a</math> , אזי <math>f\pm g</math> רציפה בנקודה <math>a</math> . ;הוכחה כיון ששני גבולות אלו קיימים וסופיים, ניתן להשתמש ב[[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של סכום והפרש|גבול של סכום והפרש]] ונקבל: :<math display=block>\lim_{x\to a}\Big[f(x)\pm g(x)\Big]=\lim_{x\to a}f(x)\pm\lim_{x\to a}g(x)=f(a)\pm g(a)</math> <math>\blacksquare</math> ;משפט (מכפלת פונקציות רציפות) אם <math>f,g</math> רציפות בנקודה <math>a</math> , אזי <math>f\cdot g</math> רציפה בנקודה <math>a</math> . ;הוכחה כיון ששני גבולות אלו קיימים וסופיים, ניתן להשתמש ב[[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של מכפלה|גבול של מכפלה]] ונקבל: :<math display=block>\lim_{x\to a}\Big[f(x)\cdot g(x)\Big]=\lim_{x\to a}f(x)\cdot\lim_{x\to a}g(x)=f(a)\cdot g(a)</math> <math>\blacksquare</math> ;משפט (מנת פונקציות רציפות) אם <math>f,g</math> רציפות בנקודה <math>a</math> ו־<math>g(a)\ne0</math> , אזי <math>\frac{f}{g}</math> רציפה בנקודה <math>a</math> . ;הוכחה כיון ששני גבולות אלו קיימים וסופיים ו־<math>g(a)\ne0</math> , ניתן להשתמש ב[[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של מנה|גבול של מנה]] ונקבל: :<math display=block>\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\to a}f(x)}{\lim\limits_{x\to a}g(x)}=\frac{f(a)}{g(a)}</math> <math>\blacksquare</math> ;משפט (הרכבה של פונקציות רציפות) אם <math>\lim_{x\to x_0}g(x)=z_0</math> ו־<math>f</math> רציפה ב־<math>z_0</math> (כלומר <math>\lim_{x\to z_0}f(x)=f(z_0)</math>), אזי <math>\lim_{x\to x_0}(f\circ g)(x)=f\bigl(\lim_{x\to x_0}g(x)\bigr)=f(z_0)</math> . ;הוכחה בלשון <math>\varepsilon,\delta</math> יהי <math>\varepsilon>0</math> . נתון כי <math>f</math> רציפה בנקודה <math>z_0</math> , לכן קיים <math>\delta_1>0</math> כך שלכל<math>|z-z_0|<\delta_1</math> מתקיים <math>\bigl|f(z)-f(z_0)\bigr|<\varepsilon</math> {{כ}}(1). כמו־כן, נתון <math>\lim_{x\to x_0}g(x)=z_0</math> ולכן קיים <math>\delta_2>0</math> כך שלכל <math>x</math> המקיים <math>0<|x-x_0|<\delta_2</math> מתקיים <math>\bigl|g(x)-z_0\bigr|<\delta_1</math> {{כ}}(2). מ־(2) נסיק כי לכל <math>x</math> המקיים <math>0<|x-x_0|<\delta_2</math> מתקיים <math>\bigl|g(x)-z_0\bigr|<\delta_1</math> ולכן עבור <math>z=g(x)</math> נקבל מ־(1) כי <math>\bigl|f\bigl(g(x)\bigr)-f(z_0)\bigr|<\varepsilon</math> כדרוש. <math>\blacksquare</math> ;הוכחה בלשון סדרות בכדי להראות כי <math>(f\circ g)(x)</math> רציפה ב־<math>x_0</math> , מספיק להוכיח שלכל סדרה <math>\{x_n\}</math> המקיימת <math>\lim_{n\to\infty}x_n=x_0</math> אזי <math>\lim_{n\to\infty}f\bigl(g(x_n)\bigr)=f\bigl(g(x_0)\bigr)</math> . תהי <math>\{x_n\}</math> סדרה המקיימת <math>\lim_{n\to\infty}x_n=x_0</math> . על־פי הנתון <math>\lim_{n\to\infty}g(x_n)=z_0</math> . מאחר ש־<math>f</math> רציפה ב־<math>z_0</math> , מתקיים <math>\lim_{n\to\infty}f\bigl(g(x_n)\bigr)=f(z_0)</math> . לכן <math>f\bigl(g(x)\bigr)</math> רציפה ב־<math>x_0</math> . <math>\blacksquare</math> [[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]] 6uagm0ph2vvuv9ombq88xg66jo1dgy7 0 9090 180508 163577 2026-07-06T18:15:13Z Virant 5484 הגהה (הצורה "מאחר ו..." שגויה, הכפלת ו לפי כללי האקדמיה) 180508 wikitext text/x-wiki בעיות לינאריות בדרך כלל קלות יותר לפתרון מאשר בעיות לא לינאריות. ניתן לגשת לבעיות אלו בצורה אנליטית, ואז הפתרון תלוי בדיוק המחשב, או בצורה נומרית, ואז הפתרון תלוי במידת התכנסות השיטה וגם בדיוק המחשב. השיטות הנומריות בדרך כלל מהירות יותר מהשיטות האנליטיות (אחרת לא היו משתמשים בהן). מאחר שאנו מתעניינים בבעיות בעלות פתרון (יחיד), נתקל במטריצות ריבועיות בלבד, אשר מקיימות <math>|A|=\det(A)\ne 0</math> . לשם נוחות, נציג את אופני הכתיבה השונים של מערכת משוואות לינאריות: :<math> \left\{ \begin{array}{rcrcccrcl} a_{11}x_1 &+& a_{12}x_2 &+& \cdots &+& a_{1n}x_n &=& b_1 \\ a_{21}x_1 &+& a_{22}x_2 &+& \cdots &+& a_{2n}x_n &=& b_2 \\ &&&\vdots&&&&&\vdots \\ a_{n1}x_1 &+& a_{n2}x_2 &+& \cdots &+& a_{nn}x_n &=& b_n \end{array} \right. \quad\Rightarrow\quad \overbrace{\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}}^{\underline{A}} \overbrace{\begin{Bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{Bmatrix}}^{\underline{x}} = \overbrace{\begin{Bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{Bmatrix}}^{\underline{b}} </math> <div style="text-align: center;"> :<math>\ (\underline{A})_{ij}=a_{ij} \quad;\quad \underline{A} \cdot \underline{x}= \underline{b} \quad;\quad \sum_{j=1}^n a_{ij}x_j=b_i</math> </div> {{אנליזה נומרית}} ==שיטות אנליטיות== בשיטות האנליטיות מבצעים פעולות שורה אלמנטריות על המטריצה לקבל הפתרון הרצוי, אשר תלוי בדיוק המחשב עליו מתבצע החישוב. נקודת התורפה המרכזית של השיטות האנליטיות היא גודל המערכת המירבי בו ניתן לטפל. ===שיטת גאוס=== בשיטת גאוס (הנקראת גם "שיטת הדרוג" או "שיטת החילוץ") מדרגים את המטריצה המורחבת [A|b] ובסוף מציבים לאחור. עבור מטריצה מסדר n יידרשו <math>\ {n^3 \over 3} +n^2 -{n\over 3}</math> פעולות. ===שיטת גאוס-ג'ורדן=== עבור מטריצה מסדר n יידרשו <math>\ {n^3 \over 2} +n^2 -{n\over 2}</math> פעולות. ===פירוק LU=== מאלגברה לינארית ידוע, כי כל מטרציה שניתן להביא אותה לצורה משולשת-עליונה על ידי פעולות שורה אלמנטריות, ניתן ליצג באמצעות מכפלת מטריצה תחתונה (L) במטריצה עליונה (U). נדגים זאת באמצעות מטריצה מסדר 3: :<math> \overbrace{\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix}}^{\underline{A}} = \overbrace{\begin{bmatrix} l_{11} & 0 & 0 \\ l_{12} & l_{22} & 0 \\ l_{13} & l_{23} & l_{33} \\ \end{bmatrix}}^{\underline{L}} \overbrace{\begin{bmatrix} 1 & u_{12} & u_{13} \\ 0 & 1 & u_{23} \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}}^{\underline{U}} </math> כעת ניתן למצוא את המקדמים l_ij, u_ij כתלות ב-a_ij. אחרי שמצויות בידינו שתי המטריצות L,U ניתן לפתור בקלות יחסית מערכת משוואות מהצורה Ax=B: :<math>\ Ax=LUx \overbrace{=}^{Ux=y} Ly=B</math> מאחר ש-L משושלת תחתונה, ניתן למצוא את y ללא קושי, ואז נשאר לפתור Ux=y, מה שגם מתאפשר בקלות מכיוון ש-U משולשת עליונה. ===היפוך מטריצה=== על מנת לפתור מערכת משוואות מהצורה Ax=B נוכל למצוא את המטריצה ההופכית של A ולבצע מכפלת מטריצות: x=A^-1B. בדרך כלל לא נשתמש בשיטה זו כי הביטוי האנליטי למטריצה הופכית מערב מציאת קופקטורים (זהו למעשה ה-Adjoint). נציג את הביטוי בכל זאת: :<math>A^{-1}={1 \over \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}\left(C_{ij}\right)^{T}={1 \over \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}} \begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{j1} \\ C_{12} & \ddots & & C_{j2} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ C_{1i} & \cdots & \cdots & C_{ji} \\ \end{pmatrix}</math> כאשר Cij הם הקופקטורים של המטריצה A, אשר מתקבלים כזכור, על ידי חישוב מינורי המטריצה A. '''שיטה אחרת:'''<br /> בהינתן מערכת מסדר n, נפתור את n הבעיות <math>\ \underline{A}\cdot\underline{x}_i= \underline{e}_i</math>, כאשר <math>\ \underline{e}_i</math> הם וקטורי הבסיס הסטנדרטי. לשם פתרון n הבעיות הללו ניתן להעזר בשיטות המופיעות בדף זה. ===פתרון מערכת תלת-אלכסונית=== פתרון מערכת תלת-אלכסונית מתבצע באמצעות אלגוריתם הנקרא TDMA (Tridiagonal matrix algorithm), או אלגוריתם תומס. :<math> \left[ \begin{matrix} {b_1} & {c_1} & { } & { } & { 0 } \\ {a_2} & {b_2} & {c_2} & { } & { } \\ { } & {a_3} & {b_3} & \ddots & { } \\ { } & { } & \ddots & \ddots & {c_{N-1}}\\ { 0 } & { } & { } & {a_N} & {b_N}\\ \end{matrix} \right] \left\{ \begin{matrix} {x_1 } \\ {x_2 } \\ \cdot \\ \cdot \\ {x_N } \\ \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} {d_1 } \\ {d_2 } \\ \cdot \\ \cdot \\ {d_N } \\ \end{matrix} \right\} \quad\Rightarrow\quad \begin{array}{lcl} b_1x_1 + c_1x_2 & = & d_1 \\ a_2x_1 + b_2x_2 + c_2x_3 & = & d_2 \\ \vdots & { } & { } \\ a_ix_{i-1} + b_ix_i + c_ix_{i+1} & = & d_i \\ \vdots & { } & { } \\ a_Nx_{N-1} + b_Nx_N & = & d_N \\ \end{array}</math> יש לנו אם כן, 3N-2 איברים, אשר חלקם יכולים להיות 0. על מנת להגיע לפתרון, נבצע דירוג של שורה אחר שורה: נכפיל את השורה הראשונה ב- <math>\ -{a_2 \over b_1}</math> ונוסיף אותה לשורה השנייה, כך שנקבל: :<math>\ \overbrace{\left( b_2 - {a_2c_1 \over b_1} \right)}^{\beta_2} x_2 +c_2x_3= \overbrace{d_2- {a_2d_2 \over b_1}}^{\delta_2} \quad\Rightarrow\quad \beta_2x_2+ c_2x_3= \delta_2</math> כעת נכפיל את את המשוואה ב- <math>\ -{a_3 \over \beta_2}</math> ונוסיף אותה לשורה השלישית, כך שנקבל: :<math>\ \overbrace{\left( b_3 - {a_3c_2 \over \beta_2} \right)}^{\beta_3} x_3 +c_3x_4= \overbrace{d_3- {a_3\delta_2 \over \beta_2}}^{\delta_3} \quad\Rightarrow\quad \beta_3x_3+ c_3x_4= \delta_3</math> כעת, אחרי שעברנו לכתיב &beta;,&delta; ניתן להכליל ולומר שהמשוואות ה-(i-1)-ית וה-i-ית הן מן הצורה: :<math>\ \beta_{i-1}x_{i-1}+ c_{i-1}x_i= \delta_{i-1}</math> :<math>\ a_ix_{i-1}+ b_ix_i+ c_ix_{i+1}= d_i</math> בהתאמה, כך שכאשר נכפיל את המשוואה ה-(i-1)-ית ב- <math>\ -{a_i \over \beta_{i-1}}</math>, ונוסיף למשוואה ה-i-ית, נקבל: :<math>\ \overbrace{\left( b_i - {a_ic_{i-1} \over \beta_{i-1}} \right)}^{\beta_i} x_i +c_ix_{i+1}= \overbrace{d_i- {a_i\delta_{i-1} \over \beta_{i-1}}}^{\delta_i} \quad\Rightarrow\quad \beta_ix_i+ c_ix_{i+1}= \delta_i</math> לשם השלמת התמונה, נביט בשתי המשוואות האחרונות: :<math>\ \beta_{N-1}x_{N-1}+ c_{N-1}x_N= \delta_{N-1}</math> :<math>\ a_Nx_{N-1}+ b_Nx_N= d_N</math> נכפיל את המשוואה ה-(N-1)-ית ב- <math>\ -{a_N \over \beta_{N-1}}</math>, ונוסיף למשוואה ה-N-ית, כך שנקבל: :<math>\ \overbrace{\left( b_N - {a_Nc_{N-1} \over \beta_{N-1}} \right)}^{\beta_N} x_N= \overbrace{d_N- {a_N\delta_{N-1} \over \beta_{N-1}}}^{\delta_N} \quad\Rightarrow\quad \beta_Nx_N= \delta_N</math> מכאן מחלצים את x_N ומקבלים את שאר הנעלמים על ידי הצבה לאחור. כאשר נצטרך לכתוב תכנית מחשב, נרצה להכליל את כתיב &beta;,&delta; גם על השורה הראשונה. לשם כך נוכל להגדיר: :# <math>\ \delta_1=d_1,\ \beta_1=b_1</math>, ואז האלגוריתם ימשיך: :# <math>\ \beta_i= \left( b_i - {a_ic_{i-1} \over \beta_{i-1}} \right) \quad,\quad \delta_i= d_i- {a_i\delta_{i-1} \over \beta_{i-1}}</math> עבור <math>\ i=2,3,...,N</math>. :# <math>\ x_N= {\delta_N \over \beta_N}</math> :# <math>\ x_i= {\delta_i-c_ix_{i+1} \over \beta_i}</math> עבור <math>\ i=N-1,N-2,...,2,1</math>. בהערכה פשוטה מתקבל כי מספר הפעולות המקסימלי לשיטה זו הינו 5N-4. '''שימושים:''' * בהינתן מד"ר, אם נכתוב את משוואת הפרשים עבורה, נקבל מטריצה תלת-אלכסונית. ===קישורים חיצוניים=== {{מיזמים|ויקיפדיה=צורת ז'ורדן|ויקיפדיה 2=en:LU decomposition|שם ויקיפדיה 2=פירוק LU (אנגלית)|ויקיפדיה 3=מטריצה הפיכה|ויקיפדיה 4=en:Tridiagonal matrix algorithm|שם ויקיפדיה 4=אלגוריתם תומס}} * [http://www.cs.colostate.edu/cameron/tridiagonal.html קוד מקור] לאלגוריתם תומס. ==שיטות איטרטיביות== מאחר שהתרגלנו לסמן את מספר האיטרציה ב"n", נסמן את סדר המערכת ב-N. ===שיטת Jacobi=== שיטה זו משתמשת באיברי המטריצה A על מנת להתכנס לפתרון בדרך המהירה ביותר יש לבחור ניחוש התחלתי השווה לממוצע של הערכים העצמיים. מבצעים איטרציות עד להתכנסות של כל וקטור הנעלמים. כלומר: לא מתבצעות איטרציות עבור כל אחד ואחד מהנעלמים בנפרד. מתוך הסכום :<math>\ \sum_{j=1}^N a_{ij}x_j=b_i,\ i=1,..,N</math> נבודד את הנעלם x_i: :<math>\ a_{ii}x_i+ \sum_{j=1,j\neq i}^N a_{ij}x_j= b_i \quad\Rightarrow\ x_i= -\sum_{j=1,j\neq i}^N {a_{ij}\over a_{ii}} x_j+ {b_i\over a_{ii}}</math> ואז השיטה האיטרטיבית היא: :<math>\ x_i^{(n+1)}= -\sum_{j=1,j\neq i}^N {a_{ij}\over a_{ii}} x_j^{(n)}+ {b_i\over a_{ii}}\ ,\quad i=1,..,N;\ n=0,1,2,...</math> מה שמתרחש בפועל הוא 3 לולאות מקוננות אשר משתמשות בווקטור <math>\ \underline{x}^{(n)}</math> על מנת לייצר את הווקטור <math>\ \underline{x}^{(n+1)}</math> (ראו "קישורים חיצוניים" עבור האלגוריתם). '''קריטריוני התכנסות'''<br /> ניתן להשתמש באחד מן הקריטריונים הבאים: * <math>\ \left| x_i^{(n+1)}- x_i^{(n)} \right| < \epsilon\ ,\quad 1\le i\le N</math> * <math>\ \left| 1-\frac{x_i^{(n)}}{x_i^{(n+1)}} \right| < \epsilon\ ,\quad 1\le i\le N</math> * <math>\ \sqrt{\sum_{i=1}^n \left( x_i^{(n+1)}-x_i^{(n)} \right)^2} < \epsilon</math> בדרך כלל התכנסות השיטה היא איטית ולכן יש לבצע מספר רב של איטרציות. את בדיקת ההתכנסות נהוג לבצע בתום הלולאה עבור כל נעלם בנפרד, ולא עבור כל איטרציה בנפרד. '''התנאי להתכנסות'''<br /> אם <math>\ \underline{\alpha}=(\alpha_1,\alpha_2...,\alpha_N)</math> הוא הפתרון, אז <math>\ \sum_{j=1}^N a_{ij}\alpha_j \equiv b_i</math>. נציב את וקטור השגיאה <math>\ \epsilon_i^{(n)}= x_i^{(n)}- \alpha_i</math> לתוך שיטת Jacobi: <div style="direction: ltr;"> :<math>\ x_i^{(n+1)}= -\sum_{j=1,j\neq i}^N {a_{ij}\over a_{ii}} x_j^{(n)}+ {b_i\over a_{ii}} \quad\Rightarrow\quad \alpha_i+\epsilon_i^{(n+1)}= -\sum_{j=1,j\neq i}^N {a_{ij}\over a_{ii}} \left( \alpha_j+\epsilon_j^{(n)} \right)+ {b_i\over a_{ii}}</math> :<math>\ \Rightarrow\quad \epsilon_i^{(n+1)}= -\sum_{j=1,j\neq i}^N {a_{ij}\over a_{ii}} \epsilon_j^{(n)}</math> </div> לשם נוחות, נגדיר את השגיאה המקסימלית באיטרציה: <math>\ \Epsilon^{(n)}= \max_{1\le j\le N, j\neq i} \left\{\left| \epsilon_j^{(n)} \right|\right\}</math> ואז: :<math>\ \left| \epsilon_i^{(n+1)} \right| \le \sum_{j=1,j\neq i}^N \left|{a_{ij}\over a_{ii}}\right| \left|\epsilon_j^{(n)}\right| \le \sum_{j=1,j\neq i}^N \left|{a_{ij}\over a_{ii}}\right| \Epsilon^{(n)} \quad\Rightarrow\quad {\epsilon_i^{(n+1)}\over\Epsilon^{(n)}} \le \sum_{j=1,j\neq i}^N \left|{a_{ij}\over a_{ii}}\right|</math> ואז התנאי להתכנסות הוא: :<math>\ {\epsilon_i^{(n+1)}\over\Epsilon^{(n)}} \le 1 \quad\Rightarrow\quad \sum_{j=1,j\neq i}^N \left|{a_{ij}\over a_{ii}}\right| \le 1 \quad\Rightarrow\quad \sum_{j=1,j\neq i}^N |a_{ij}| \le |a_{ii}|</math> כלומר איברי האלכסון בכל שורה במטריצה A צריכים להיות גדולים מסכום כל שאר האיברים באותה השורה, ואז ההתכנסות מובטחת. ניתן להוכיח שנתאי זה מספיק אך לא הכרחי. לתנאי זה קוראים גם בשם "שליטה אלכסונית". כעת כשאנו מודעים לתנאי ההתכנסות, ננסה לסדר את שורות המטריצה כך שהתנאי יתקיים, לפני הפעלת השיטה. ===שיטת Gauss-Seidel=== שיטת GS מפצלת את הסכימה לנעלמים לפני הנעלם הנוכחי ולנעלמים אחרי הנעלם הנוכחי: :<math>\ x_i^{(n+1)}= -\sum_{j=1}^{i-1} {a_{ij}\over a_{ii}} x_j^{(n+1)} -\sum_{j=i+1}^{N} {a_{ij}\over a_{ii}} x_j^{(n)}+ {b_i\over a_{ii}}\ ,\quad i=1,..,N;\ n=0,1,2,...</math> בשיטה זו, בכל איטרציה משתמשים בערכים האחרונים שהתקבלו. כלומר כאן i-1 הנעלמים בווקטור הנעלמים מתעדכנים לפי הסדר יחד עם הנעלם ה-i, עם התקדמות הלולאה. מסיבה זו ההתכנסות מהירה פי 2 משיטת Jacobi. בדיקת ההתכנסות תתבצע כמו בשיטה הקודמת. ===השוואה בין שיטת יעקובי לשיטת גאוס-זיידל=== ננתח את השיטות במקרה של מערכת מסדר 2: :<math>\ \left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right] \left\{\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix}\right\} = \left\{\begin{matrix} e_1 \\ e_2 \end{matrix}\right\}</math> במקרה זה, התהליך האיטרטיבי הוא מהצורה: :<math>\ \begin{matrix} \underline{\mbox{Jacobi}} & \qquad \underline{\mbox{G-S}} \\ ax_1^{(n+1)}= e_1-bx_2^{(n)} & \qquad ax_1^{(n+1)}= e_1-bx_2^{(n)} \\ dx_2^{(n+1)}= e_2-cx_1^{(n)} & \qquad dx_2^{(n+1)}= e_2-cx_1^{(n+1)} \end{matrix}</math> כלומר ההבדל היחיד הוא ששיטת גאוס-זיידל משתמשת בערך המעודכן של x₁. נציב את הביטוי לשגיאה <math>\ x_i=\epsilon_i+\alpha_i</math> ונקבל: :<math>\ \begin{matrix} \underline{\mbox{Jacobi}} & \qquad \underline{\mbox{G-S}} \\ a \left( \epsilon_1^{(n+1)}+\alpha_1 \right)= e_1-b \left(\epsilon_2^{(n)}+\alpha_2 \right) & \qquad a \left(\epsilon_1^{(n+1)}+\alpha_1 \right)= e_1-b \left(\epsilon_2^{(n)}+\alpha_2 \right) \\ d \left(\epsilon_2^{(n+1)}+\alpha_2 \right)= e_2-c \left(\epsilon_1^{(n)}+\alpha_1 \right) & \qquad d \left(\epsilon_2^{(n+1)}+\alpha_2 \right)= e_2-c \left(\epsilon_1^{(n+1)}+\alpha_1 \right) \end{matrix}</math> נזכור כי הווקטור <math>\ (\alpha_1,\alpha_2)^T</math> פותר את המערכת, ואז באמצעות המשוואות הנ"ל נוכל למצוא קשר בין שתי שגיאות עוקבות: :<math>\ \begin{matrix} \underline{\mbox{Jacobi}} & \qquad \underline{\mbox{G-S}} \\ \epsilon_1^{(n+1)}= -{b\over a}\epsilon_2^{(n)} & \qquad \epsilon_1^{(n+1)}= -{b\over a}\epsilon_2^{(n)} \\ \epsilon_2^{(n+1)}= -{c\over d}\epsilon_1^{(n)} & \qquad \epsilon_2^{(n+1)}= -{c\over d}\epsilon_1^{(n+1)} \\ \end{matrix}</math> כך שעבור שיטת יעקובי מתקיים: :<math>\ \left\{\begin{matrix} \epsilon_1^{(n+1)} \\ \epsilon_2^{(n+1)} \end{matrix}\right\} = \overbrace{{b\over a}{c\over d}}^{\sigma} \left\{\begin{matrix} \epsilon_1^{(n-1)} \\ \epsilon_2^{(n-1)} \end{matrix}\right\} \qquad\Rightarrow \underline{\epsilon}^{(2n)}= \sigma^n \underline{\epsilon}^{(0)}</math> ואילו עבור שיטת גאוס-זיידל מתקיים: :<math>\ \left\{\begin{matrix} \epsilon_1^{(n+1)} \\ \epsilon_2^{(n+1)} \end{matrix}\right\} = \overbrace{{b\over a}{c\over d}}^{\sigma} \left\{\begin{matrix} \epsilon_1^{(n)} \\ \epsilon_2^{(n)} \end{matrix}\right\} \qquad\Rightarrow \underline{\epsilon}^{(n)}= \sigma^n \underline{\epsilon}^{(0)}</math> כלומר בעוד שבשיטת יעקובי &sigma; היא השגיאה כעבור כל שתי איטרציות, בשיטת גאוס-זיידל &sigma; היא השגיאה בכל איטרציה בודדת. לכן בשיטת גאוס-זיידל ההתכנסות מהירה פי 2. ===שיטת Successive Over-Relaxation=== שיטת SOR נועדה על מנת לזרז את התכנסותה של שיטת Gauss-Seidel. :<math>\ x_i^{(n+1)}= x_i^{(n)}+ \omega \left[ x_{i_{GS}}^{(n+1)}-x_i^{(n)} \right]</math> &omega; הוא פרמטר הרלקסציה אשר מקיים <math>\ 0<\omega<2</math>. על מנת להאיץ תהליך התכנסות איטי לוקחים &omega;>1 ואילו על מנת להבטיח התכנסות עבור שיטות מתבדרות, לוקחים &omega;<1. שימו לב כי עבור &omega;=1 מקבלים חזרה את שיטת GS. כמו כן, עבור מטריצה A נתונה, קיים ערך אופטימלי של &omega; אשר מביא להתכנסות המהירה ביותר. ניתן להוכיח שאם שיטת GS מתכנסת, אז שיטת SOR תתכנס מהר יותר. דרך אחרת לפיתוח השיטה הוא באמצעות שימוש ייצוג המטריצה A באמצעות המכפלה DLU, כאשר D היא מטריצה אלכסונית (למידע נוסף ראו "קישורים חיצוניים"). ===קישורים חיצוניים=== {{מיזמים|ויקיפדיה=en:Jacobi method|שם ויקיפדיה=שיטת Jacobi (אנגלית)|ויקיפדיה 2=en:Gauss-Seidel method|שם ויקיפדיה 2=שיטת Gauss-Seidel (אנגלית)|ויקיפדיה 3=en:Successive over-relaxation|שם ויקיפדיה 3=שיטת SOR (אנגלית)}} * הסברים באתר MathWorld: [http://mathworld.wolfram.com/JacobiMethod.html שיטת Jacobi], [http://mathworld.wolfram.com/Gauss-SeidelMethod.html שיטת Gauss-Seidel], [http://mathworld.wolfram.com/SuccessiveOverrelaxationMethod.html שיטת SOR], [http://mathworld.wolfram.com/TridiagonalMatrix.html אלגוריתם תומס] * הסברים באתר אוניברסיטת USCF על [http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/SORmethodMod.html שיטת SOR] עם קטעי קוד עבור תוכנת Mathematica. {{אנליזה נומרית|מוגבל=כן}} [[קטגוריה:אנליזה נומרית]] j80locpmxa7adiys9262kmc8yim32jp 0 9460 180511 150198 2026-07-06T19:02:47Z Virant 5484 הגהה (הצורה "מאחר ו..." שגויה) 180511 wikitext text/x-wiki ;משפט הטענות הבאות שקולות: #<math>\lim_{x\to a}f(x)=L</math> . #לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>0<|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>\bigl|f(x)-L\bigr|<\varepsilon</math> . #לכל סדרה <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> המקיימת <math>\lim_{n\to\infty}x_n=a</math> ו־<math>x_n\ne a</math> לכל <math>n</math> , מתקיים <math>\lim_{n\to\infty}f(x_n)=L</math> . ;הוכחה <math>2\iff1</math> מכיון שטענה 2 היא פשוט הגדרת הגבול (לפי קושי). לכן, עלינו להוכיח את השקילות בין הגדרות הגבול של קושי ושל היינה, כלומר <math>3\iff2</math> . נוכיח <math>3\Larr2</math> . תהי <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרה המקיימת <math>\lim_{n\to\infty}x_n=a</math> ו־<math>x_n\ne a</math> לכל <math>n</math> . יהי <math>\varepsilon>0</math> . קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>0<|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>\bigl|f(x)-L\bigr|<\varepsilon</math> . מהגדרת הגבול קיים <math>k\in\N</math> כך שלכל <math>n>k</math> מתקיים <math>|x_n-a|<\delta</math> . מאחר ש־<math>x_n\ne a</math> לכל <math>n</math> מתקיים <math>0<|x_n-a|<\delta</math> . אזי עבור <math>k</math> זה ועבור <math>x=x_n</math> נקבל כי <math>\bigl|f(x)-L\bigr|<\varepsilon</math> , כלומר <math>\lim_{n\to\infty}f(x_n)=L</math> . <math>\blacksquare</math> נוכיח <math>1\Larr3</math> . נניח כי לכל סדרה <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> המקיימת <math>\lim_{n\to\infty}x_n=a</math> ו־<math>x_n\ne a</math> לכל <math>n</math> , מתקיים <math>\lim_{n\to\infty}f(x_n)=L</math> ונוכיח כי <math>\lim_{x\to a}f(x)=L</math> . נניח בשלילה כי <math>\lim_{x\to a}f(x)\ne L</math> . לכן לפי טענה 2 (היא שקולה לטענה 1), קיים <math>\varepsilon>0</math> כך שלכל <math>\delta>0</math> קיים <math>x</math> המקיים <math>0<|x-a|<\delta</math> עבורו <math>\bigl|f(x)-L\bigr|\ge\varepsilon</math> . בפרט, לכל <math>n</math> קיים <math>x_n</math> המקיים <math>|x_n-a|<\frac1n</math> עבורו <math>\bigl|f(x_n)-L\bigr|\ge\varepsilon</math> . אזי <math>\lim_{n\to\infty}f(x_n)\ne L</math> וזוהי סתירה להנחה שלנו. לכן <math>\lim_{x\to a}f(x)=L</math> . <math>\blacksquare</math> אזי <math>1\Larr3\Larr2\Larr1</math> , והטענות הן שקולות. [[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]] 71ui2v6iniysbk9dqhms0qokneeo0bl 0 18935 180512 175508 2026-07-06T19:20:23Z Virant 5484 הגהה (הצורה "מאחר ו..." שגויה) 180512 wikitext text/x-wiki עד עכשיו למדנו לפתור בעיות מההבט של כוחות, ישנם עוד דרכים לפתור בעיות כמו מבחינה אנרגטית למעשה שתי הדרכים שוות זו לזו אבל לפעמים יותר נוח לפתור בעיות על-ידי הסתכלות אנרגטית כמו בדוגמא הבאה: כדור משוחרר ממנוחה מראש מסלול בצורת רבע עיגול, רדיוס המסלול מטר אחד והחיכוך ניתן להזנחה, מה תהיה מהירותו בסוף המסלול? [[תמונה:כדור על מסלול מעוגל.svg|שמאל|ממוזער|200 פיקסלים]] הדרך לפתרון בעייה זו באמצעות כוחות היא מסובכת ולכן צריך עוד דרכים לפתרון בעיות, לצורך כך אנו מגדירים גדלים חדשים: עבודה ואנרגיה, אבל קודם הקדמה מתמטית קצרה. === כפל וקטורים === ישנם שני סוגים של כפל בין וקטורים כפל וקטורי וכפל סקלרי, הכפל הוקטורי (מסומן באמצעות <math>\times</math>) והתוצאה מהכפלה זו היא וקטור, לא נעמוד כאן על הדרך להכפלה זו, הדרך השניה היא כפל סקלרי (מסומן בנקודה <math>\cdot</math>) והתוצאה של כפל זה היא סקלר (מספר פשוט) כפל זה נעשה כך: מכפלת גודל הוקטורים בקוסינוס הזוית ביניהם או בצורה מתמטית: :<math>\vec A\cdot\vec B=|\vec A|\cdot|\vec B|\cdot\cos(\alpha)</math> כאשר <math>\alpha</math> היא הזוית בין הוקטורים. הסתכלות נוספת היא שכפל סקלרי הוא כפל גודל וקטור אחד בהטל הוקטור השני עליו או בצורה מתמטית <math>\vec A\cdot\vec B=|\vec A|\cdot|\vec{B_A}|</math> . = עבודה = יש להבדיל בין המושג הפיזיקלי של עבודה לבין המושג היומיומי == הגדרת עבודה == עבודה מוגדרת כוקטור הכוח כפול כפל סקלרי בוקטור העתק או בצורה מתמטית: <span style="font-size:x-large;"><math>\vec F\cdot\Delta\vec x=|\vec F|\cdot|\Delta\vec x|\cdot\cos(\alpha)</math></span> מבחינה גרפית השטח הכלוא ע"י גרף כוח-מקום שווה לעבודה. [[תמונה: גרף כוח מקום.svg|250px]] עד עכשיו דיברנו על כוח קבוע, כשהכוח לא קבוע בגודלו (אבל קבוע בכיוון יחסית להעתק) העבודה היא האינטגרל של הכוח כפונקציה של המקום ובצורה מתמטית: :<span style="font-size:x-large;"><math>W=\int\limits_{x_1}^{x_2}\vec F\cdot d\vec x=\cos(\alpha)\cdot\int\limits_{x_1}^{x_2}F\cdot dx</math></span> כאשר <math>\alpha</math> היא הזוית בין וקטור העתק לוקטור הכוח. בצורה גרפית העבודה היא השטח הכלוא תחת הגרף כוח-מקום [[תמונה: גרף כוח משתנה מקום.svg|250px]] ;הערות *עבודה היא גודל סקלרי. *עבודה יכולה להיות חיובית שלילית או אפס, דבר זה תלוי בזוית שבין וקטור הכח לוקטור העתק. *יחידות העבודה הם ג'ול (ששוות מטר כפול ניוטון) והסימון הוא J (היחידות כתובות בסוגריים המרובעים): <math>W=\vec F\cdot\Delta\vec x=[N\cdot m]=[J]</math> ,{{כ}} 1 ג'ול שוה לכוח בגודל 1 ניוטון הפועל (ומקביל) לאורך 1 מטר. *אפשר להתייחס לעבודה של כוח בודד גם אם על הגוף פועלים עוד כוחות. *סך העבודות של כל כוח בנפרד שווה לעבודת הכוח השקול :<span style="font-size:x-large;"><math>W'=\sum_{k=1}^nW_k=W_1+\cdots+W_n</math></span> :כאשר <math>W'</math> עבודת הכוח השקול. == כוחות משמרים == כוחות משמרים אלו כוחות שעבודתם תלויה רק בהעתק (ולא במסלול שעברו) במילים אחרות אם יחזרו למקום שממנו יצאו סך העבודה שהכוח המשמר עשה על הגוף יהיה שווה לאפס. כוחות משמרים לדוגמא: הכבידה, האלסטיות, החשמל ועוד. כוחות לא משמרים לדוגמה: החיכוך ועוד = אנרגיה = לא נתעכב על השאלה מהי בעצם אנרגיה אלא נתייחס לצדדים המעשיים שלה. *היחידות של אנרגיה הם גם כן ג'ול. *אנרגיה היא גודל סקלרי. *על-פי חוק שימור האנרגיה לא נאבדת אנרגיה אלא היא מחליפה צורה או עוברת לגוף אחר. נפרט עכשיו כמה מהסוגים של האנרגיה: '''אנרגיה קינטית''' או אנרגיית תנועה. מסומנת וגודלה מוגדר: :<span style="font-size:x-large;"><math>E_k=\tfrac12mv^2</math></span> כאשר <math>m</math> מסת הגוף, <math>v</math> מהירותו. '''אנרגיה פוטנציאלית כובדית''' או אנרגיית הכובד. מסומנת וגודלה מוגדר: :<span style="font-size:x-large;"><math>U_g=E_p=m\cdot g\cdot h</math></span> כאשר <math>m</math> מסת הגוף, <math>g</math> תאוצת גוף חופשי, <math>h</math> גובה הגוף ממישור היחוס. מישור היחוס הוא המישור ממנו מתחילים למדוד את גובה הגוף, מישור זה נקבע שרירותית ולפי הנוחות. למעשה משום שרוב החישובים שלנו עם אנרגיה זו יהיו על ההפרשים בין נקודות לא ישנה איפה נקבע את מישור היחוס. '''אנרגיה פוטנציאלית אלסטית''' או אנרגיה אלסטית. מסומנת וגודלה מוגדר: :<span style="font-size:x-large;"><math>U_{sp}=\tfrac12kx^2</math></span> כאשר <math>k</math> קבוע הקפיץ, <math>x</math> ההעתק מנקודת הרפיון של הקפיץ. בהמשך נסביר את הסיבה לקביעת גדלים אלו כאנרגיות. == משפט עבודה-אנרגיה == נקח לדוגמא כוח (השקול) שפועל על גוף בכיוון התנועה של הגוף, המשוואות הבאות מתארות את הפעולה של הכוח. על-פי החוק השני של ניוטון: ^{<span style="color:#000070;">(1)</span>}{{כ}} <span style="font-size:x-large;"><math>\vec F=m\vec a</math></span> על-פי משוואות התנועה תנועת הגוף מתוארת במשוואה הבאה: ^{<span style="color:#000070;">(2)</span>}{{כ}} <span style="font-size:x-large;"><math>v_t^2=v_0^2+2a(x_t-x_0)</math></span> על-פי המשוואה הראשונה מתקיים השוויון הבא: <span style="font-size:x-large;"><math>a=\frac{F}{m}</math></span> נציב את התוצאה הזו במשוואה השניה ונקבל: <span style="font-size:x-large;"><math>v_t^2=v_0^2+\frac{2F\cdot(x_t-x_0)}{m}</math></span> נסדר את המשוואה ונקבל: <span style="font-size:x-large;"><math>F\cdot(x_t-x_0)=\vec F\cdot\Delta\vec x=\tfrac12mv_t^2-\tfrac12mv_0^2</math></span> כלומר עבודת הכוח השקול שווה לשנוי באנרגיה הקינטית משוואה זו נקראת '''משפט עבודה-אנרגיה''': <span style="font-size:x-large;"><math>\vec F\cdot\Delta\vec x=\Delta E_k</math></span> == אנרגיה מכאנית ושימורה == נדמיין לעצמנו שגוף נע מנקודה A לנקודה B בהשפעת כוח משמר כתוצאה מאותו הכוח האנרגיה הקינטית שלו משתנה, במידה מסוימת השינוי באנרגיה לא תלוי במסלול שהגוף עבר בו, אפשר לומר אם כן שיש פוטנציאל לאנרגיה קינטית בין הנקודות A ל-B (הפוטנציאל יכול להיות חיובי אם האנרגיה הקנטית עולה או שלילית אם יורדת) למעשה הפוטנציאל מוגדר תמיד בין שתי נקודות שנמצאות בהשפעת הכוח המשמר (אין אפשרות לומר שיש פוטנציאל מסוים בין שתי נקודות שמושפעות מכוח לא משמר כיוון שאנרגיית הגוף בסוף המסלול תלויה גם בדרך). לכן אנו יכולים להגדיר גודל חדש, '''אנרגיה פוטנציאלית''' (המסומנת ב-U) כלומר כמה פוטנציאל לאנרגיה קינטית יש בנקודה מסוימת לשם נוחות אנו קובעים מישור יחוס כלומר מקום בו הגדרנו שהאנרגיה הפוטנציאלית שווה לאפס וכך כל נקודה בהשפעת הכוח המשמר יכולה לקבל ערך פוטנציאלי יחיד, חישוב הפוטנציאל בין שתי נקודות כלשהן נעשה ע"י חיסור ערך האנרגיה הפוטנציאלית של האחרונה מהראשונה, או בצורה מתמטית: הפוטנציאל לאנרגיה בין שתי נקודות <span style="font-size:x-large;"><math>U_1-U_2=</math></span> . *חשוב להבהיר שאנרגיה פוטנציאלית זה אנרגיה לכל דבר. *ניתן להגדיר אנרגיה פוטנציאלית לכל כוח משמר סימן אנרגיה זו נעשה ע"י כתיבת שם הכוח באותיות תחתיות מימין ל-U. *היחידות של אנרגיה פוטנציאלית הן ג'ול. *מיקום מישור היחוס אין לו משמעות מבחינת הפוטנציאל בין נקודות ומאחר שהפרש זה הוא העיקר אנו קובעים את מיקום מישור הייחוס לפי הנוחות. מהדברים שלמעלה יוצא שהפוטנציאל בין הנקודות שווה לשינוי באנרגיה הקינטית בין אותם הנקודות או בצורה מתמטית: :<span style="font-size:x-large;"><math>\Delta E_k=U_1-U_2=-(U_2-U_1)=-\Delta U</math></span> נפתח את המשוואה הזו ונקבל: :<span style="font-size:x-large;"><math>E_{k2}-E_{k1}=U_1-U_2</math></span> נעביר אגפים ונקבל: :<span style="font-size:x-large;"><math>E_{k1}+U_1=E_{k2}+U_2</math></span> ממשוואה זו יוצא שסך האנרגיה הקינטית והאנרגיות הפוטנציאליות שווה בכל נקודה לאורך המסלול שהגוף עבר בו אנרגיה זו (הקינטית ועוד הפוטנציאלית) נקראת אנרגיה מכאנית (ומסומנת E) *כאשר עבודת הכוחות הלא משמרים שווה לאפס אין שינוי באנרגיה המכאנית. *אם יש כוח לא משמר העבודה הנעשית על ידו שווה לשינוי באנרגיה המכאנית. *למעשה גם כשיש כוח לא משמר האנרגיה נשמרת היא פשוט נהפכת לסוגים אחרים של אנרגיה שלא נכללים באנרגיה המכאנית, לדוגמא חיכוך הופך אנרגיה מכאנית לחום כלומר לאנרגית חום. דברים אלו יובנו יותר עם פירוט אנרגיות פוטנציאליות ספציפיות: === אנרגיה פוטנציאלית כובדית (<math>U_g</math>) === נסביר את הסיבה לכך שבחרנו את mgh כגודל האנרגיה הפוטנציאלית כובדית. נתבונן בתרחיש הבא: כדור בעל מסה m משוחרר ממנוחה בנפילה חופשית ללא חיכוך. נתמקד בקטע ממסלולו בין הנקודות <math>h_1</math> ל- <math>h_2</math> . העבודה שכוח הכובד עשה בקטע זה שווה: <span style="font-size:x-large;"><math>W_g=|\vec F_g|\cdot|\Delta\vec h|\cdot\cos(0)</math></span> הזוית היא אפס כיון שכיוון הכוח וההעתק זהה. *כזכור כוח הכובד שווה <span style="font-size:x-large;"><math>\vec F_g=m\vec g</math></span> . *מאחר ש- <math>h_1>h_2</math> ו- <math>\Delta h</math> נמצא בערך מוחלט אפשר לעשות: <span style="font-size:x-large;"><math>|\Delta\vec h|=h_1-h_2</math></span> לכן העבודה שווה גם: :<span style="font-size:x-large;"> <math>\begin{align} W_g&=|\vec F_g|\cdot|\Delta\vec h|\cdot\cos(0)\\&=mg\cdot(h_1-h_2)=mgh_1-mgh_2=-(mgh_2-mgh_1)=-\Delta(mgh)=-\Delta U_g \end{align}</math> </span> ומאחר שעבודה שווה לשינוי באנרגיה הקנטית מתקבל: <span style="font-size:x-large;"><math>W_G=\Delta E_k=-\Delta U_G</math></span> נפתח את המשוואה הנ"ל ונקבל: <span style="font-size:x-large;"><math>E_{k2}-E_{k1}=-(U_{g2}-U_{g1})=U_{g1}-U_{g2}</math></span> נעביר אגפים ונקבל: <span style="font-size:x-large;"><math>E_{k1}+U_{g1}=E_{k2}+U_{g2}</math></span> כלומר סכום האנרגיות (הפוטנציאלית כובדית והקינטית) בין שתי הנקודות כלומר שהאנרגיות נשמרות לאורך המסלול. === אנרגיה פוטנציאלית אלסטית (<math>U_{sp}</math>) === *הכוח שהקפיץ מפעיל הוא כוח משמר. *נזכיר הכוח של הקפיץ שווה: <span style="font-size:x-large;"><math>\vec F_{sp}=-k\Delta\vec x</math></span> . נתבונן בקפיץ בעל קבוע כוח <math>k</math> שמכווץ עד נקודה <math>x_1</math> ואז מכווצים אותו עוד עד נקודה <math>x_2</math> , נחשב את העבודה שהקפיץ עשה בין שתי נקודות אלו: השרטוט הבא מתאר את העבודה:{{ש}} [[תמונה: עבודת קפיץ.svg|250px]]{{ש}} נחשב את השטח הצבוע (שהוא מייצג את העבודה), אפשר לחשב את השטח ע"י חישוב שטח המשולש ABD והפחתה משטח זה את שטח המשולש ECD:{{כ}} :<span style="font-size:x-large;"><math>\begin{align}S_{ABD}&=-\tfrac12kx^2_2\\S_{ECD}&=-\tfrac12kx^2_1\end{align}</math></span> ולכן העבודה שווה: :<span style="font-size:x-large;"><math>W_{sp}=-\tfrac12kx^2_2+\tfrac12kx^2_1=-\left(\tfrac12kx^2_2-\tfrac12kx^2_1\right)=-\Delta\left(\tfrac12kx^2\right)</math></span> אנו קובעים את מישור הייחוס כשהקפיץ רפוי ולכן האנרגיה הפוטנציאלית האלסטית נקבעה כך: :<span style="font-size:x-large;"><math>U_{sp}=\tfrac12k\Delta x^2</math></span> כאשר <math>k</math> קבוע הקפיץ, <math>\Delta x</math> ההעתק מהמקום בו הקפיץ נמצא במצב רפוי. *יש לשים לב שהאנרגיה הפוטנציאלית הזו תהיה חיובית בין אם מכווצים את הקפיץ בין אם מותחים אותו. === דוגמה לשימור אנרגיה מכאנית === בשרטוט הבא מוצג כדור בעל מסה <math>m</math> המשוחרר ממנוחה מגובה <math>h'</math> מעל הרצפה, תחתיו מונח קפיץ בעל קבוע <math>k</math> גובה הקפיץ מעל הרצפה כשהוא במצב המכווץ המקסימלי הוא H, החיכוך עם האוויר זניח. בשרטוט מוצגים חמישה מצבים עוקבים: :A - בתחילת התנועה :B - הכדור נושק לקפיץ :C - הקפיץ מכווץ במצב המקסימלי :D - הכדור נושק לקפיץ וכיוונו כלפי מעלה :E - הכדור בגובה מקסימלי. [[תמונה:אנרגייה פוטנציאלית02.5.svg|250px]] '''שאלה:''' מה ערך האנרגיות הקינטית, הפונטציאלית-כובדית, הפוטנציאלית-אלסטית והמכאנית בכל אחד מהמצבים? ;נתונים <span style="font-size:x-large;"><math>m=0.5kg\ ,\ h'=20m\ ,\ k=10\frac{N}{m}\ ,\ H=4m</math></span> ;פתרון. נקבע את מישור הייחוס בגובה שבו הקפיץ נמצא במצב המכווץ המקסימלי שלו. '''A:''' מאחר שהכדור משוחרר ממנוחה כלומר אין לו מהירות הקפיץ רפוי האנרגיות הקינטית והאלסטית שוות לאפס ובצורה מתמטית: :<span style="font-size:x-large;"><math>E_k=\tfrac12mv^2=\tfrac120.5\cdot0^2=0\ ,\ U_{sp}=\tfrac12k\Delta x^2=\tfrac12\cdot10\cdot0^2=0</math></span> האנרגיה הפוטנציאלית-כובדית תלויה בגובה הנמדד ממישור הייחוס (h) במצב A גובה זה שווה: <math>h=h'-H</math> ולכן האנרגיה שווה: :<span style="font-size:x-large;"><math>U_g=mgh=mg(h'-H)=0.5\cdot10(20-4)=80J</math></span> האנרגיה המכאנית היא סכום האנרגיות הפוטנציאלית-כובדית והאלסטית והקינטית ובצורה מתמטית: :<span style="font-size:x-large;"><math>E=E_k+U_g+U_{sp}=0+80+0=80</math></span> '''נקפוץ למצב C:''' במצב זה אין קינטית (אחרת הקפיץ היה ממשיך להתכווץ) ואין פוטנציאלית-כובדית מאחר שקבענו את מישור הייחוס בגובה זה, על-פי חוק שימור האנרגיה המכאנית זו במצב A שווה לאנרגיה המכנית במצב C ומאחר שהאנרגיה המכאנית במצב A מורכבת רק מהפוטנציאלית-כובדית ובמצב C רק מאנרגיה פוטנציאלית-אלסטית שתי האנרגיות שוות ובצורה מתמטית: :<span style="font-size:x-large;"><math>E_A=E_C\ ,\ E_A=U_g\ ,\ E_C=U_{sp}\ ,\ U_{g,A}=U_{sp,C}=80J</math></span> '''נשוב למצב B:''' במצב זה הקינטית היא הגבוהה ביותר לאורך המסלול, אין פוטנציאלית-אלסטית ויש פוטנציאלית-כובדית. נחשב זאת בצעדים הבאים:{{ש}} ראשית נמצא את הגובה ממישור הייחוס שבו הקפיץ רפוי על-ידי חישוב גודל הכיווץ של הקפיץ במצב המכווץ המקסימלי: :<span style="font-size:x-large;"><math>U_{sp,C}=\tfrac12k\Delta x^2=80</math></span> :<span style="font-size:x-large;"><math>\Delta x=\sqrt{\frac{2\cdot 80}{k}}=\sqrt{\frac{2\cdot80}{10}}=4m</math></span> כלומר הגובה ממישור הייחוס עד לגובה בו הקפיץ רפוי הוא 4 מטר, ולכן האנרגיה הפוטנציאלית-כובדית שווה: :<span style="font-size:x-large;"><math>U_{g,B}=mgh_B=0.5\cdot10\cdot4=20J</math></span> על פי חוק שימור האנרגיה אנו יודעים שהאנרגיה המכאנית שווה <math>80J</math> ומורכבת מאנרגיה קינטית ופוטנציאלית-כובדית ולכן: :<span style="font-size:x-large;"><math>E_B=E_{k,B}+U_{g,B}=80</math></span> :<span style="font-size:x-large;"><math>E_{k,B}=80-U_{g,B}=80-20=60J</math></span> '''D:''' מצב זה דומה למצב B אין אנרגיה פוטנציאלית-אלסטית (הקפיץ רפוי), הפוטנציאלית-כובדית שווה לזו שבמצב B מאחר שהגובה של הכדור זהה. בגלל שימור האנרגיה - הקינטית שווה בשני המצבים. '''E:''' מצב זה דומה למצב A בשתי המצבים אין פוטנציאלית-אלסטית וכן אין קינטית (אחרת הגוף היה ממשיך לעלות במצב E) לכן לפי שימור האנרגיה - הפוטנציאלית-כובדית שווה בשתי המצבים מה שאומר שגובה הכדור בשתי המצבים זהה. * הערת אגב אם אין חיכוך עם האויר תנועה זו (מעלה מטה) תמשיך לנצח. '''תשובה סופית:''' {|class="wikitable" latexfontsize="scriptsize" style="text-align:center" ! ! אנרגיה מכאנית{{ש}}<span style="font-size:x-large;"><math>E</math></span> ! אנרגיה קינטית{{ש}}<span style="font-size:x-large;"><math>E_k</math></span> ! אנרגיה פוטנציאלית-כובדית{{ש}}<span style="font-size:x-large;"><math>U_g</math></span> ! אנרגיה פוטנציאלית-אלסטית{{ש}}<span style="font-size:x-large;"><math>U_{sp}</math></span> |- ! A |rowspan=5| <span style="font-size:x-large;"><math>80J</math></span> | <span style="font-size:x-large;"><math>80J</math></span> | <span style="font-size:x-large;"><math>0</math></span> |rowspan=2| <span style="font-size:x-large;"><math>0</math></span> |- ! B | <span style="font-size:x-large;"><math>60J</math></span> | <span style="font-size:x-large;"><math>20J</math></span> |- ! C | <span style="font-size:x-large;"><math>0</math></span> | <span style="font-size:x-large;"><math>0</math></span> | <span style="font-size:x-large;"><math>80J</math></span> |- ! D | <span style="font-size:x-large;"><math>60J</math></span> | <span style="font-size:x-large;"><math>20J</math></span> |rowspan=2| <span style="font-size:x-large;"><math>0</math></span> |- ! E | <span style="font-size:x-large;"><math>80J</math></span> | <span style="font-size:x-large;"><math>0</math></span> |} = סיכום = עבודה: <span style="font-size:x-large;"><math>W=\vec F\cdot\Delta\vec x=|\vec F|\cdot|\Delta\vec x|\cdot\cos(\alpha)</math></span> אנרגיה קינטית: <span style="font-size:x-large;"><math>E_k=\tfrac12mv^2</math></span> אנרגיה פוטנציאלית-כובדית: <span style="font-size:x-large;"><math>U_g=m\cdot g\cdot h</math></span> אנרגיה פוטנציאלית-אלסטית: <span style="font-size:x-large;"><math>U_{sp}=\tfrac12k\Delta x^2</math></span> אנרגיה מכאנית: <span style="font-size:x-large;"><math>E=E_k+U_g+U_{sp}</math></span> משפט עבודה-אנרגיה: <span style="font-size:x-large;"><math>W=\Delta E_k</math></span> = פתרון הבעיה = כעת נפתור את הבעיה מתחילת הפרק. הבעיה היתה: כדור משוחרר ממנוחה מראש מסלול בצורת רבע מעגל בעל רדיוס בגודל מטר אחד ללא חיכוך, מה תהיה מהירותו בסוף המסלול? ;פתרון. נגדיר את מישור הייחוס בסוף המסלול כך שבתחילתו יש לכדור אנרגיה פוטנציאלית <math>mg\cdot1</math> . כיון שהכדור שוחרר ממנוחה אין לו אנרגיה קינטית. בסוף המסלול אין לכדור אנרגיה פוטנציאלית (כיון שקבענו את מישור הייחוס בסוף המסלול) ולכן בגלל חוק שימור אנרגיה מכאנית כל האנרגיה הפוטנציאלית הפכה לאנרגיה קינטית. נחשב זאת: <math>mg\cdot1=\tfrac12mv^2</math> נצמצם ונסדר את המשוואה: <math>v=\sqrt{2g}\approx4.5</math> כלומר המהירות של הכדור בסוף המסלול תהיה בערך <math>4.5\frac{m}{s}</math> {{פיזיקה תיכונית|מוגבל}} [[קטגוריה:פיזיקה תיכונית]] t64x5vfs3s1ok8vzmbbn64o46gq9oln 0 20506 180507 150722 2026-07-06T18:00:15Z Virant 5484 הגהה (הצורה "מאחר ו..." שגויה) 180507 wikitext text/x-wiki ;משפט לכל קבוצה <math>X</math> מתקיים <math>|X|<|2^X|=|P(X)|</math> . מסקנה של משפט זה: קיימות אינסוף עוצמות שונות. ;הוכחה עבור <math>X=\varnothing</math> מתקיים <math>|X|=0<1=|\{\varnothing\}|=|P(X)|</math> כנדרש. כעת נוכל להניח <math>X\ne\varnothing</math> . מתקיים <math>|X|\le|P(X)|</math> כי הפונקציה <math>\psi:X\to P(X)</math> המוגדרת <math>\varphi(a)=\{a\}</math> הנה חח"ע. נניח בשלילה כי <math>|X|=|P(X)|</math> , אזי לפי ההגדרה קיימת <math>\psi:X\to P(X)</math> פונקציית שקילות, כלומר חח"ע ועל. נגדיר <math>A=\Big\{x\in X:x\notin\psi(x)\Big\}\in P(X)</math> . מאחר ש־<math>\psi</math> פונקציית שקילות קיים <math>a\in X</math> המקיים <math>\psi(a)=A</math> . אם <math>a\in\psi(a)=A</math> נקבל לפי ההגדרה <math>a\notin A</math> . סתירה. אחרת, אם <math>a\notin\psi(a)=A</math> נקבל לפי ההגדרה <math>a\in A</math> . סתירה. מכאן נסיק כי <math>|X|\ne|P(X)|</math> , כלומר <math>|X|<|P(X)|</math> . <math>\blacksquare</math> [[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]] 2emk0n0s8fuo9esbnd8ioq2d8q2zy7g 0 20508 180510 133956 2026-07-06T18:50:23Z Virant 5484 הגהה (הצורה "מאחר ו..." שגויה) 180510 wikitext text/x-wiki <math>\aleph_0=|\mathbb{N}|<|(0,1)|=|\mathbb{R}|=\aleph=\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}</math> == הוכחה == ראשית, ניווכח כי אכן <math>|(0,1)|=|\mathbb{R}|</math>: <br /> נגדיר <math>f \colon (0,1) \to \mathbb{R}</math> כ-<math>f(x)=x</math>, מובן כי היא חח"ע. <br /> נגדיר <math>g \colon \mathbb{R} \to (0,1)</math> כ-<math>g(x)=\arctan(x)/\pi+1/2</math>, אשר גם היא חח"ע. <br /> לפי [[הוכחות_מתמטיות/תורת הקבוצות/משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין|משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין]] נקבל <math>|(0,1)|=|\mathbb{R}|</math>. שנית, מאחר ש-<math>\mathbb{N} \subset \mathbb{R}</math> נקבל אוטומטית <math>|\mathbb{N}|\le|\mathbb{R}|</math> נראה כי יש התאמה בין <math>(0,1)</math> לבין <math>2^\mathbb{N}=\{0,1\}^\mathbb{N}</math>. <br /> נסתכל על המספרים בין 0 ל-1 בבסיס בבינארי. לכל מספר כזה קיים ייצוג (או שניים) המהווה סדרה של 0 ו-1. <br /> המקרה היחיד שיש שני ייצוגים לאותו המספר, הוא מספר המסתיים ברצף אינסופי של 1. במקרה שכזה נבחר באופן שרירותי את הייצוג השני. <br /> כעת יש לנו התאמה בין שתי הקבוצות הנ"ל. נניח בשלילה כי יש פונקציית שקילות <math>\varphi</math> בין <math>\mathbb{N}</math> לבין <math>(0,1)</math>. <br /> נגדיר סדרות כך ש-<math>r^i_j</math> זו הספרה ה-<math>j</math> אחרי הנקודה בייצוג בבסיס בינארי של <math>\varphi(i)</math>. <br /> נבנה מספר חדש על ידי הסדרה שמייצגת אותו, <math>r_j=1-r^j_j</math> היא הספרה ה-<math>j</math> אחרי הנקודה בייצוג בבסיס בינארי של המספר. <br /> לא ייתכן כי המספר החדש נמצא במנייה כי הוא שונה מכל מספר לפחות בספרה אחת לפחות. <br /> מכאן <math>|\mathbb{N}| \neq (0,1)</math>. אם נשלב את כל שקיבלנו, נמצא כי <math>\aleph_0=|\mathbb{N}|<|(0,1)|=|\mathbb{R}|=\aleph=\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}</math>. [[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]] bkxi60lil01qinq5es1j0norhjbyvmu 0 22912 180516 138948 2026-07-06T20:25:06Z Virant 5484 הגהה (הצורה "מאחר ו..." שגויה) 180516 wikitext text/x-wiki במקבילית abcd הגובה ae לצלע dc מונח על הישר y=-2x+10 והגובה af לצלע bc מונח על הישר x+5y=14. שיעורי הקודקוד c הם (7,8). # מצא את שיעורי הקודקודים a ו-d # חשב את שטח המקבילית ===פתרון=== מציאת נקודת A (נקודת המפגש של הגבהים ae ו-af). # AE: y=-2x+10 # AF: x+5y=14 # נציב את Y_AE במשוואה AF: <math>x+5(-2x+10)=14</math> # נפתור: <math>x-10x+50=14</math> # נצמצם: <math>\ -9x=-36</math> # נקבל <math>x=4</math> # נמצא את שיעור ה-Y של נקודה A: <math>y=-2x+10=2*4+10=2</math> # מכאן A(4,2) מציאת הנקודה D : מציאת המשוואות של הישרים DC ו-AD. # משוואת DC: #* הנקודה C(7,8) עוברת דרך הישר DC (נקודה) #* DC מאונך לישר AE: y=-2x+10. #**מאחר ש[[השיפוע של שני מאונכים]] הוא <math>m=-\frac{1}{m_1}</math> #**השיפוע של DC הוא <math>m=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}</math> (שיפוע) #*[[מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/ישר/משוואת הקו הישר|משוואת הקו הישר]] על פי שיפוע ונקודה : <math>y-y_1=m(x-x_1)</math> #* נציב: <math>y-8=\frac{1}{2}(x-7)</math> #* נפטר מהמכנה: <math>2y-16=x-7</math> #* נצמצם ונקבל משוואת DC: <math>2y-x=-9</math> (משוואה) #משוואת AD #*הנקודה A(4,2) עוברת דרך הישר AD (נקודה) #* הצלע AD מקבילה ל-BC (מקבילית) #* מאחר ש-AF הוא אנך ל-BC, הוא אנך גם ל-AD ([[אנך בין שני מקבלים לעולם לא נפגשים]]) #* שיפוע AF הוא x+5y=14 => <math>y=\frac{14}{5}-\frac{x}{5}</math>. במילים אחרות השיפוע הוא <math>M_{AF}=\frac{-1}{5}</math>. #* מאחר ש-AD אנך ל-AF מתקיים <math>m=-\frac{1}{m_1}</math> ([[שיפוע של שני מאונכים]]). מתקבל <math>m=\frac{1}{5}</math> (שיפוע). #* [[מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/ישר/משוואת הקו הישר|משוואת הקו הישר]] על פי שיפוע ונקודה : <math>y-y_1=m(x-x_1)</math> #* נציב: <math>y-2=5(x-4)</math> #* נפטר מהמכנה: <math>y-2=5x-20</math> #* נצמצם ונקבל משוואת AD: <math>y-5x=-18</math>. (משוואה) # D היא נקודת החיתוך של DC ו-AD ולכן נשווה בין המשוואות (AD: <math>y-5x=-18</math>; DC: <math>2y-x=-9</math>) #*נכפיל את <math>y-5x=-18</math> בשתיים ונקבל <math>2y-10x=-36</math>. #* נחסיר בין המשוואה <math>2y-10x=-36</math> ב- <math>2y-x=-9</math> # נקבל <math>9x=45</math> כלומר <math>x=5</math> # נמצא את שיעור y של נקודה <math>2y-5=-9</math> כלומר y=7 # D(5,7) =חלק ב'= # אורך הצלע DC: <math>DC^2=(x_1-x^2)^2+(y_1-y_2)^2</math> # <math>DC^2=(x_C-x_D)^2+(y_C-y_D)=(7-5)^2+(8-7)^2=5</math> # <math>DC=\sqrt{5}</math> {{להשלים}} [[קטגוריה:מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ז' שאלון 035007]] kauux0ng5xh1qqvt219wvqi9d4vu4i8 0 24456 180506 162863 2026-07-06T17:50:23Z Virant 5484 הגהה (הצורה "מאחר ו..." שגויה) 180506 wikitext text/x-wiki ==שלבי פתרון משוואה עם ערך מוחלט אחד== '''אי-שוויונות עם ערך מוחלט אחד''' נפתר בהתאם לערכו של <math>a</math> . עלינו להחליט לאיזה סעיף הוא מתאים: #<math>|x|<a</math> - נעזר בדרך פתרון מקרה א. #*אם <math>a</math> שלילי - אין פתרון #*אם <math>a</math> חיובי - נפטר מערך מוחלט באמצעות המשוואה <math>-a<x<a</math> #<math>|x|>a</math> - נעזר בדרך פתרון מקרה ב. #*אם <math>a</math> שלילי - '''כל''' <math>x</math> (מפני שהערך המוחלט הופך כל מספר לחיובי) #*אם <math>a</math> חיובי - ניפטר מערך מוחלט באמצעות המשוואה <math>x>a</math> '''או''' <math>x<-a</math>. :::נסביר את הסעיף האחרון: אם היה לנו את המשואה <math>|x|\ge 1</math> אזהי כל הערכים הגדולים או שווים לאחדד מקיימים את המשוואה ומנגד, בגלל הערך המוחלט גם כל הערכים הקטנים ממינוס אחד. ==מקרה א: <math>|x|<a</math>== #אם <math>a</math> שלילי, אז יש טעות במשוואה מאחר שנעלם בערך מוחלט אינו יכול להיות קטן ממספר שלילי, לפיכך אין פתרון לאי-שוויון זה. #אם <math>a</math> חיובי, אזי תחום הערכים המהווים פתרון לאי-השוויון הוא <math>-a<x<a</math> ::מדוע <math>x<a</math> כולם מבינים. למה החליטו לתחום את הפתרון ב-<math>-a<x</math> פשוטה. נעזר בתרגיל <math>|x|<5</math> שפתרונו <math>-5<x<5</math>. אם <math>-a</math> היה גדול אז המשוואה <math>x<5</math> לא הייתה מתקיימת. נציב למשל <math>-6</math> ב-<math>x</math> ונראה כי <math>|-6| < 5</math> אינו אמת. זו הסיבה שבכל פעם בה אנו רואים ערך מוחלט קטן ממספר חיובי נתחום את פתרונו ===גרף=== אם נצייר גרף לדוגמא, נוכל לראות מתי אי-השוויון מתקיים: <center>[[תמונה:Inequality5.PNG|500px]]</center> מהגרף ניתן לראות כי ערכי <math>x</math> עבורם מתקיים <math>|x|<5</math> הנם <center><math>-5<x<5</math></center> ====דוגמא==== מצא לאילו ערכי <math>x</math> אי-השוויון הבא מתקיים: <center><math>|2x-3|<4</math></center> מאחר ש- <math>a=4</math> גדול מהערך המחלט, וכן מאחר שהוא מספר חיובי, נפתור לפי הפתרון שהצגנו לעיל בסעיף א' 2: נפטר מהערך המוחלט <center><math>-4<2x-3<4</math></center> נפריד בין המשוואות <center><math>-4<2x-3</math> וגם <math>2x-3<4</math></center> נפתור כל משוואה בפני עצמה <center> <math>-1<2x</math> וגם <math>2x<7</math> <math>x>-0.5</math> וגם <math>x<3.5</math> </center> נאחד פתרונות של משוואה גם <center><math>-0.5<x<3.5</math></center> וזהו הפתרון. ==מקרה ב: <math>|x|>a</math>== #אם <math>a</math> שלילי, אז אי-השוויון תמיד גדול מ- <math>a</math> כי ערך המוחלט מיצג מספר חיובי הגדול תמיד ממספר שלילי ולכן מתקיים עבור '''כל''' <math>x</math> . בגרף אגף שמאל תמיד אי-שלילי (ערך מוחלט), והאגף הימני שלילי. #אם <math>a</math> חיובי, אזי תחום הערכים המהווים פתרון לאי-השוויון הוא <math>x>a</math> '''או''' <math>x<-a</math> . ===יצוג בגרף=== נצייר את הגרף לשני האגפים בנפרד על אותה מערכת צירים, ונראה מתי אי-השוויון <math>|x|>5</math> מתקיים. במקרה זה אנו מעוניינים לבדוק באיזה תחום הגרף של <math>|x|</math> נמצא מעל אגף ימין: <center>[[תמונה:Inequality6.PNG|500px]]<BR></center> מהגרף ניתן לראות כי ערכי <math>x</math> עבורם <math>|x|>5</math> (מודגשים בקו שחור עבה) הנם <center><math>x>5</math> או <math>x<-5</math></center> ===דוגמא=== מצא לאילו ערכים של <math>x</math> אי-השוויון הבא מתקיים: <center><math>|4x-2|>12</math></center> מאחר ש- <math>a</math> קטן מהערך המוחלט, נעזר בדרך פתרון מקרה ב. בנוסף בגלל שהוא חיובי נעזר באפשרות פתרונות באמצעות משוואת "או" כלומר סעיף ב 2. <center> <math>4x-2>12</math> או <math>4x-2<-12</math> <math>4x>14</math> או <math>4x<-10</math> <math>x>3.5</math> או <math>x<-2.5</math></center> וזהו הפתרון. [[קטגוריה:אלגברה תיכונית - אי שיויונות]] 1qmuh3ke9rakxvasqxvb8y1c578243l 0 24556 180514 125697 2026-07-06T20:03:35Z Virant 5484 הגהה (הצורה "מאחר ו..." שגויה) 180514 wikitext text/x-wiki == משפטים לבחינה סמסטר א' 2015 == === המשפטים ה"חשובים" === ====3.22 - הלמה של קנטור==== נוכיח ש-<math>a_n,b_n</math> מונוטוניות וחסומות ולכן נקבל שהם מתכנסת<br /> לפי אריתמטיקה נקבל שהגבולות של <math>a_n,b_n</math> שווים ונסמן אותם ב-<math>C</math>.<br /> נראה שאם קיימת נקודה אחרת המוכלת בכל הקטעים אז לפי סנדביץ נקבל שהיא שווה גם ל-<math>C</math> <br /> ====3.32 - בולצנו ויירשטראס<br />==== עלינו לתאר בנייה שבאמצעות הלמה של קנטור תתן לנו את הנדרש.<br /> נחצה את הקטע כל פעם לשתיים ונבחר את הקטע הבא להיות התת-קטע שבו יש מספר אינסופי של איברים<br /> נקבל שלפי קנטור קיימת נקודה אחת המוכלת בכל הקטעים והיא שווה לגבול של הקצוות נסמנו ב-L<br /> נייצר סדרת אינדקסים עולה ממש ונקבל שקיים גבול חלקי של הסדרה ששוה ל-L כנדרש<br /> ====3.36 - קריטריון קושי להתכנסות סדרה==== '''כיוון ראשון'''-<br /> נניח סדרה מתכנסת.<br /> יהי אפסילון לפי שהסדרה מתכנסת קיים <math>N_0</math> כך שלכל <math>n</math> גדול ממנו מתקיים שהסדרה קרובה אפסילון חלקי חצי לגבול<br /> נסתכל על <math>|a_m-a_n|</math> נוסיף ונחסר L ונשתמש באי שיוויון המשולש להוכיח שהביטוי קטן מאפסילון.<br /> '''כיוון שני'''-<br /> נניח סדרת קושי <br /> יהי אפסילון נוכיח תחילה שהיא חסומה לפי כך שהיא סדרת קושי<br /> לפי 3.32 יש לה תת סדרה מתכנסת נסמן את הגבול ב-L <br /> נוכיח כי הסדרה מתכנסת ל-L כאשר נשתמש ב-3.27 ואי שייון המשולש+ נבחר את האפסילון של ההנחה להיות אפסילון חלקי 2.<br /> ====4.30 - היינה שקול לדלתא-אפסילון==== '''כייון ראשון'''- <br /> נניח מתקיים אפסילון דלתא ונראה היינה.<br /> נראה שלכל אפסילון גדול מאפס ניתן למצוא <math>N_0</math> כך שלכל n גדול ממנו מתקיים <math>|f(x_n)-L|<epsilon</math><br /> לפי כך שהסדרה שואפת לאיקס אפס תמיד עבור אפסילון שווה לדלתא קיים <math>N_0</math> כך שלכל n גדול ממנו הסדרה בסביבת דלתא של איקס אפס ולפי הגדרת הגבול זה גורר שהיא קטנה מאפסילון.<br /> '''כיוון שני''' - <br /> נניח היינה ונניח בשלילה לא אפסילון דלתא .<br /> כלומר, קיים אפסילון אפס כך שלכל דלתא מתקיים שיש איזשהו איקס אפס שמקיים <math>|f(x_0)-L|>epsilon</math><br /><br /> בפרט זה מתקיים עבור דלתא שווה 1,1/2,1/3 וכו'.<br /> יצרנו כך סדרה של איקס אן שמצד אחד לפי סנדביץ שואפת לאיקס אפס ולכן לפי היינה מתקיים שהיא שואפת ל-L ומצד שני לכל n היא רחוקה מסביבת אפסילון,סתירה.<br /> ====5.29 - ערך הביניים==== נניח קודם בה"כ שf(b) חיובי ו-f(a) שלילי.<br /> נגדיר קטע "טוב"<br /> נוכיח טענת עזר שתמיד אפשר למצוא קטע טוב<br /> נחלק למקרים- או שמצאנו אפס או שמחפשים אינסוף פעמים<br /> במקרה שהסדרה אינסופית נקבל לפי קנטור כי יש נקודה c ששווה לגבול של שתי הסדרות של הקצוות<br /> נקבל מהרציפות שמצד אחד f(c) גדול שווה מאפס (נציב את an) ומצד שני קטן שווה מאפס(נציב bn) ולכן נקבל שהוא שווה לאפס.<br /> בכל מקרה מצאנו נקודה ששווה לאפס. ====5.35 - המשפט הראשון של ויירשטראס==== ====5.37 - המשפט השני של ויירשטראס==== ====5.48 - משפט קנטור==== נניח בשלילה ש-f אינה רציפה במ"ש נקבל אפסילון אפס שלכל דלתא מקיים את שלילת התנאי<br /> נבחר סדרת דלתא שווה לאחד חלקי אן נקבל שתי סדרות שהמרחק בין התמונות שלהן גדול מאפסילון אפס לפי כך שהן חסומות נבחר תת סדרה מתכנסת ונראה שהגבול של התת סדרה השנייה שווה לפי סנדוויץ נקבל מהרציפות את כך שהגבול של הפרש התמונות של תתי הסדרות שואף לאפס בסתירה להנחה כעת ====8.4 - משפט פרמה==== ====8.5 - משפט רול==== ====8.6 - משפט הערך הממוצע==== ====8.10 - משפט דארבו==== בה"כ נניח <math>f'(a)<f'(b)</math>. <br /> כעת נגדיר <math>H(x)=f(X)-tx</math> ונקבל <math>H'(x)=f'(x)-t</math>/ כעת אנו רוצים להוכיח שהנגזרת מתאפסת וסיימנו.<br /> לפי ויירשטראס 2 נקבל שקיימות מינימום מקסימום לפונקציה בקטע. נוכיח שהוא לא מתקבל בקצוות<br /> הסתירה תתקבל מכך שלכל נגזרת בקצה מצד אחד לפי הבחירה של הערכים הוא יהיה בסימן מסויים.<br /> אם נניח שמתקבל מינ' מקס' בקצוות נקבל שהוא בסימן שונה לפי הגדרת הנגזרת.<br /> 8.14 - כלל לופיטל<br /> === יחידה 1 === ==== טענה 1.43 ==== ( אי שוויו ברנולי )-עמ' 53 ,הבהרה: ניתן לסלק את <math>NX^2</math> מאחר שזה הצד הקטן באי שיוויון ולכן מספר חיובי לא ישנה משהו(כי להוריד מספר חיובי רק מקטין עוד יותר והופך את האי שיוויון לעוד יותר נכון). ==== טענה 1.47 ==== עמ' 56 , הבהרה: מחלקים את ההוכחה ל2 שלבים,מקס' ומינ'(הוכחה זהה לכל אחד), עושים אינדוקציה וההוכחה היא שיש קבוצה בעלת N איברים עם מקס',פשוט וקל להוכיח על N+1 איברים ===יחידה 2=== ====משפט 2.12 ==== עמ' 95 , הבהרה: אתה מניח בשלילה שהם שונים ואז על פי הגדרת הגבול לוקח את הN המקסימלי בין שתי הגבולות ומשם מתקיים אי שוויון המשלוש: <math>|L1-L2|<=|L1-E|+|E-L2|<E+E=2E < |L1- L2|</math> ====משפט 2.16 ==== עמ' 98 , הבהרה: לוקחים את הגדרת הגבול ורושמים, רושמים אחר כך AN-L+L באי שיוויון המשולש ומציבים בצד הימני את הגדרת הגבול, מגדירים M מקס' של כל האיברים והערך המוחלט של L ומוסיפים לM את 1, לפי אי שיוויון המשולש הסדרה תמיד קטנה מM ולכן חסומה. ====משפט 2.22==== עמ' 102 , הבהרה : נתון לנו כי קיים M שמקיים |bn| < M בנוסף לכך נתון לנו לכל e>0 קיים N טבעי כך שלכל n>N מתקיים |an| < e/M מכאן נובע כי לכל n > N מתקיים: |an * bn | = |an| * |bn| < e/M * M = e למה 2.26 - עמ' 104 :תשובה עמ' 239 , הבהרה: נקרא לגבול של הסדרה L, הגבול שונה מ0 לפי הנתון, נגדיר את אפסילון כערך המוחלט של L נרשום את הגדרת הגבול ונציב את אפסילון, יתקיים שהסדרה שונה מ0 מאחר שאם היא שווה ל0 זה יסתור את הגדרת הגבול. משפט 2.32 - עמ' 111 , הבהרה: נתון לנו שBN הוא בין או שווה ל2 סדרות אחרות, נגדיר את 2 הגבולות של הסדרות של AN וBN כL ולאחר מכן נרשום את הגדרת הגבול של כל אחת מהן בנפרד (נזכור לבודד את AN מהערך המוחלט ולדאוג ל2 הצדדים של השוויון משום שזהו ערך מוחלט),נגדיר N כמקס' שך 2 הN, נרשום את הצד השמאלי(AN קטן מ..) ואז מימינו שBN גדול שווה לAN לפי הנתון ואז את הצד הימני של CN, לסיום נוציא את AN וBN וקיבלנו הגדרת גבול זהה לשלהם ולכן BN עם גבול זהה). משפט 2.43 (ה') - עמ' 120 סעיף ה' - פתרון עמ' 245 ,הבהרה: נגדיר ש AN קטן מ1 חלקי אפסילון, לכן 1 חלקי AN הוא בין אפסילון ל0(ובוודאי בערך מוחלט) לכן הגבול הינו 0. הערה: האי שיוויון שינה כיוון מאחר שעשינו 1 חלקי האי שיוויון המקורי מה שמחליף את כיוונו). טענה 2.47 - עמ' 125 ,הבהרה: נפריד בין AN לR לאחר מכן נעשה אינדוקציה לכל האיברים ונגלה שכל איבר קטן שווה מA1 בחזק N פחות 1 לכן Aמ קטן שווה מA1 כפולה R בחזקת N פחות 1 וכמובן שגדול מ-0, בהשאפה לאינסוף זה שווה 0 מאחר ש-R בין 1 ל-0 ולכן AN ישאף ל-0 גם... משפט 2.51 - עמ' 128 , הבהרה: נחלק ל3 חלקים: חלק 1: נוכיח עבור L=0 , אם נקבע עבור AN אפסילון חלקי 2.. נרשום את נוסחת סדרת הממוצעים החשבונים ונפריד את החלקים בין הקטע שהאיברים קטנים מאפסילון חלקי 2(עד N1) ומN1 עד הסוף. נזכור שn קטןשווה תמיד מהאינדקס שקטן שווה תמיד מN1+1 ולכן נציב את CN באי שיוויון המשולש בצורה המחולקת שהגדרנו קודם ואז נוכל להגיד שהסכום מN1 ועד סופו קטנים מכמות האיברים שיש מN1 עד הסוף כפול הערך המקס' שלהם(אפסילון חלקי 2) נקבל שCN קטנה מהסכום של האיברים עד N1 חלקי n ועוד אפסילון חלקי 2. כעת נסתכל על הסכום חלקי n ונוכל להגיד כי הוא שואף ל0 באינסוף ולכן נוכל גם להגדיר אותו כקטן מאפסילון חלקי 2... נציב את זה באי שיוויון המשולש ממקודם לגבי BN ונקבל שBN קטן מאפסילון. משל! חלק 2: נמציא סדרה AN* הסדרה הזאת שווה לAN-L ולכן שואפת ל0 מאחר ש-AN שואפת לL נוציא את AN מהסדרה ונבדוק למה היא שואפת, נעביר את L אגף ונקבל שAN תשאף לL . משל. חלק 3: נקח M חיובי כך שמאיבר N1 מתקיים שAN גדול מ2M . נרשום את נוסחאת סדרת הממוצעים החשבונים BN ונקיים אי שיוויון לפיה הסכום מהאיבר הN1 עד הסוף גדול מההפרש שלהם כפול 2M (מאחר שכולם בהכרח גדול מ2M זה יתקיים). אם נשאיף את הצד הימני לאינסוף נקבל 2M לכן ניתן להגיד שהצד הימני בהכרח גדול מM ולכן אם נציב זאת באי השיוויון ממקודם נקבל שBN גדול מM ===יחידה 3=== ====טענה 3.10==== עמ' 146-147 , הבהרה: נסמן חסם עליון של A וB כSA וSB , ברור לנו כי SA גדול שווה A וכי SB גדול שווה SB לכן אם נחבר נקבל שA+B קטן שווה SA+SB ולכן הוא חסם עליון של הקבוצה , כעת נוכיח שהוא החסם העליון הקטן ביותר. לצורך כך נרשום כי A גדול מSA פחות אפסילון חלקי 2, אותו הדבר בנוגע לB, אם נחבר את 2 האי שיוויונים נקבל שA+B גדול מחיבור SA+SB פחות אפסילון ולכן הוכחנו את הטענה. ====משפט 3.16==== עמ' 151 , הבהרה:נסמן את L כSUPA (וכמובן שL הוא הגבול של A ). אנו יודעים שהסדרה גדולה מהגבול פחות אפסילון מN מסויים ושהסדרה קטנה או שווה לL (נרשום זאת באי שיוויון דו כיווני). ולכן היא כמובן גם קטנה מL ביחד עם אפסילון ולכן הוכחנו את הטענה...(אותו הדבר גם לכיוון ההפוך). ====משפט 3.17==== עמ' 152 - פתרון עמ' 264 , הבהרה : L אינו חסם מלעיל של הקבוצה כי אם היה חסם אז AN היה קטן שווה לK והסדרה הייתה חסומה. לכן קיים איבר N שעבורו AN גדול מL ולכן לכל n שגדול מN מתקיים שAn גדול מAN גדול מL כנדרש מהגדרת של שאיפה לאינסוף. ====משפט 3.22 ( הלמה של קנטור )==== עמ' 162 - משפט 3.30 - עמ' 175 משפט 3.32 ( בולצאנו-ויירשטראס ) - עמ' 178 משפט 3.36 - עמ' 181 למה 3.37 - עמ' 183 ===יחידה 4=== משפט 4.30 - עמ' 66 משפט 4.39 - עמ' 76 ===יחידה 5=== משפט 5.14 - עמ' 112 משפט 5.15 - עמ' 113 משפט 5.29 - עמ' 128 משפט 5.30 - עמ' 132 משפט 5.35 ( המשפט הראשו של ויירשטראס ) - עמ' 138 משפט 5.37 ( המשפט השני של ויירשטראס ) - עמ' 141 משפט 5.48 - עמ' 155 ===יחידה 6=== טענה 6.16 - עמ' 181 ===יחידה 7=== משפט 7.9 - עמ' 25 ===יחידה 8=== משפט 8.4 ( משפט פרמה ) - עמ' 90 משפט ( 8.5 משפט רול ) - עמ' 94 משפט ( 8.6 משפט הער�ך הממוצע ) - עמ' 96 משפט 8.10 ( משפט דארבו ) - עמ' 104 משפט 8.12 - עמ' 108 משפט 8.14 ( כלל לופיטל ) - עמ' 110 [[קטגוריה: חשבון אינפיניטסימלי 1 (20474)]] sc6i8qqn4q2y2zvznyw6nbg02ma43lb 0 24557 180518 160408 2026-07-06T20:41:18Z Virant 5484 הגהה (הצורה "מאחר ו..." שגויה) 180518 wikitext text/x-wiki ==טיפים וטריקים== ===שאלות חשובות מהספרים=== ====יחידה 3==== שאלה 7: A קב' צפופה ב R, מתקיים sup( A ^ (a,b)) = b. ====יחידה 4==== שאלה 14: תהי f:I→R פונקציה מונוטונית בקטע I. במקרה זה f היא חד-חד ערכית. כלומר לכל ערך של x יש פתרון יחיד.<br> שאלה 68 כרך ב'( איקס גדול מסינוס איקס) ====יחידה 5==== שאלה 4 עמוד 107 כרך ב' (רציפות ערך שלם). שאלה 44 (רציפות במ"ש בקטע מוכל) שאלה 48 כרך ב' (רציפות במידה שווה עבור קטע חצי אינסופי): פונ' הרציפה בקרן, וקיים הגבול באינסוף. אזי רב"ש. שאלה 49 כרך ב'(חיבור קטעים רציפים במ"ש): פונ' אשר רב"ש בקטעים I1, I2 ומתקיים min(I1) = max(I2) אזי הפונ' רב"ש באיחוד הקטעים. ====יחידה 7==== שאלה 19: תהיינה <math>f</math> ו-<math>g</math> שתי פונקציות גזירות ב <math>x_0</math> המקיימות : הגדרת הפונקציה <math>k(x)</math> : כאשר <math>x\le x_0</math> , אז <math>f(x)</math> כאשר <math>x>x_0</math> , אז <math>g(x)</math> א. k רציפה ב <math>x_0</math> אם ורק אם <math>f(x_0)</math>=<math>g(x_0)</math> ב. k גזירה ב <math>x_0</math> אם ורק אם <math>f(x_0)</math>=<math>g(x_0)</math> וגם <math>g'(x_0)</math>=<math>f'(x_0)</math> ====יחידה 8==== שאלה 8,9 כרך ג' ( 9.א נגזרת חסומה גוררת רציפות במ"ש): פונ' אשר נגזרת חסומה בקטע, רב"ש בקטע. שאלה 17: בין כל שתי נק' בנגזרת בהם היא מקבלת את הערך 0, הנגזרת אינה משנה את סימנה. שאלה 28: f עולה במובן החלש בI אם ורק אם f'≥0 בפנים הקטע I שאלה 29: f עולה במובן החזק בI אם ורק אם : <br> * בכל x בקטע , f'≥0<br> * f לא מתחלפת זהויתית באף תת קטע (יש מספר סופי של נקודות בהם f'=0 אבל אסור שיהיו צפופות באף תת-קטע) ===סדרות מונוטוניות=== עבור סדרה מונוטונית(עולה או יורדת) ====סדרה עולה==== אם הסדרה חסומה מלעיל במקרה של סדרה עולה אז היא מתכנסת ל-sup. אחרת שואפות לאינסוף. ====סדרה יורדת==== אם הסדרה חסומה מלרע במקרה של סדרה יורדת אז היא מתכנסת ל-inf. אחרת שואפות למינוס אינסוף ===טריקים חשובים=== בקורס חשבון אינפיניטסימלי 1 יש הרבה פעמים הפרשים בין דברים. לדוגמה בהגדרת הגבול: לכל ε>0 קיים δ>0 כך שלכול x שמקיים δ>|x-x0|>0 מתקיים |ε>|f(x)-L אם ורק אם הגבול של f כאשר x שואף ל x0 שווה L. אך מה עושים אם f(x)= x^0.5? במקרה כזה צריך להשתמש בטריק שמביא לנו הכפל המקוצר. יש נוסחה של כפל מקוצר שאומרת את הדבר הבא: a-b)*(a+b)=a^2-b^2). לכן אם יש הפרש שורשים אפשר להכפיל מונה ומכנה ב a+b ולקבל משהו שאפשר לפשט. == משפטים לבחינה סמסטר א' 2015 == === יחידה 1 === ==== טענה 1.43 ==== ( אי שוויו ברנולי )-עמ' 53 ,הבהרה: ניתן לסלק את NX^2 מאחר שזה הצד הקטן באי שיוויון ולכן מספר חיובי לא ישנה משהו(כי להוריד מספר חיובי רק מקטין עוד יותר והופך את האי שיוויון לעוד יותר נכון). ==== טענה 1.47 ==== עמ' 56 , הבהרה: מחלקים את ההוכחה ל2 שלבים,מקס' ומינ'(הוכחה זהה לכל אחד), עושים אינדוקציה וההוכחה היא שיש קבוצה בעלת N איברים עם מקס',פשוט וקל להוכיח על N+1 איברים ===יחידה 2=== ====משפט 2.12==== עמ' 95 הבהרה: אתה מניח בשלילה שהם שונים ואז על פי הגדרת הגבול לוקח את הN המקסימלי בין שתי הגבולות ומשם מתקיים אי שוויון המשלוש |L1-L2|<=|L1-E|+|E-L2|<E+E=2E < |L1- L2| ====משפט 2.16 ==== עמ' 98 , הבהרה: לוקחים את הגדרת הגבול ורושמים, רושמים אחר כך AN-L+L באי שיוויון המשולש ומציבים בצד הימני את הגדרת הגבול, מגדירים M מקס' של כל האיברים והערך המוחלט של L ומוסיפים לM את 1, לפי אי שיוויון המשולש הסדרה תמיד קטנה מM ולכן חסומה. ====משפט 2.22==== עמ' 102 , הבהרה : נתון לנו כי קיים M שמקיים |bn| < M בנוסף לכך נתון לנו לכל e>0 קיים N טבעי כך שלכל n>N מתקיים |an| < e/M מכאן נובע כי לכל n > N מתקיים: |an * bn | = |an| * |bn| < e/M * M = e '''למה 2.26''' - עמ' 104 :תשובה עמ' 239 , הבהרה: נקרא לגבול של הסדרה L, הגבול שונה מ0 לפי הנתון, נגדיר את אפסילון כערך המוחלט של L נרשום את הגדרת הגבול ונציב את אפסילון, יתקיים שהסדרה שונה מ0 מאחר שאם היא שווה ל0 זה יסתור את הגדרת הגבול. משפט 2.32 - עמ' 111 , הבהרה: נתון לנו שBN הוא בין או שווה ל2 סדרות אחרות, נגדיר את 2 הגבולות של הסדרות של AN וBN כL ולאחר מכן נרשום את הגדרת הגבול של כל אחת מהן בנפרד (נזכור לבודד את AN מהערך המוחלט ולדאוג ל2 הצדדים של השוויון משום שזהו ערך מוחלט),נגדיר N כמקס' שך 2 הN, נרשום את הצד השמאלי(AN קטן מ..) ואז מימינו שBN גדול שווה לAN לפי הנתון ואז את הצד הימני של CN, לסיום נוציא את AN וBN וקיבלנו הגדרת גבול זהה לשלהם ולכן BN עם גבול זהה). משפט 2.43 (ה') - עמ' 120 סעיף ה' - פתרון עמ' 245 ,הבהרה: נגדיר ש AN קטן מ1 חלקי אפסילון, לכן 1 חלקי AN הוא בין אפסילון ל0(ובוודאי בערך מוחלט) לכן הגבול הינו 0. הערה: האי שיוויון שינה כיוון מאחר שעשינו 1 חלקי האי שיוויון המקורי מה שמחליף את כיוונו). טענה 2.47 - עמ' 125 ,הבהרה: נפריד בין AN לR לאחר מכן נעשה אינדוקציה לכל האיברים ונגלה שכל איבר קטן שווה מA1 בחזק N פחות 1 לכן Aמ קטן שווה מA1 כפולה R בחזקת N פחות 1 וכמובן שגדול מ0, בהשאפה לאינסוף זה שווה 0 מאחר ש-R בין 1 ל-0 ולכן AN ישאף ל-0 גם... משפט 2.51 - עמ' 128 , הבהרה: נחלק ל3 חלקים: חלק 1: נוכיח עבור L=0 , אם נקבע עבור AN אפסילון חלקי 2.. נרשום את נוסחת סדרת הממוצעים החשבונים ונפריד את החלקים בין הקטע שהאיברים קטנים מאפסילון חלקי 2(עד N1) ומN1 עד הסוף. נזכור שn קטןשווה תמיד מהאינדקס שקטן שווה תמיד מN1+1 ולכן נציב את CN באי שיוויון המשולש בצורה המחולקת שהגדרנו קודם ואז נוכל להגיד שהסכום מN1 ועד סופו קטנים מכמות האיברים שיש מN1 עד הסוף כפול הערך המקס' שלהם(אפסילון חלקי 2) נקבל שCN קטנה מהסכום של האיברים עד N1 חלקי n ועוד אפסילון חלקי 2. כעת נסתכל על הסכום חלקי n ונוכל להגיד כי הוא שואף ל0 באינסוף ולכן נוכל גם להגדיר אותו כקטן מאפסילון חלקי 2... נציב את זה באי שיוויון המשולש ממקודם לגבי BN ונקבל שBN קטן מאפסילון. משל! חלק 2: נמציא סדרה AN* הסדרה הזאת שווה לAN-L ולכן שואפת ל0 מאחר ש-AN שואפת לL נוציא את AN מהסדרה ונבדוק למה היא שואפת, נעביר את L אגף ונקבל שAN תשאף לL . משל. חלק 3: נקח M חיובי כך שמאיבר N1 מתקיים ש-AN גדול מ2M. נרשום את נוסחאת סדרת הממוצעים החשבונים BN ונקיים אי שיוויון לפיה הסכום מהאיבר הN1 עד הסוף גדול מההפרש שלהם כפול 2M (מאחר שכולם בהכרח גדול מ2M זה יתקיים). אם נשאיף את הצד הימני לאינסוף נקבל 2M לכן ניתן להגיד שהצד הימני בהכרח גדול מM ולכן אם נציב זאת באי השיוויון ממקודם נקבל שBN גדול מM ===יחידה 3=== '''טענה 3.10''' - עמ' 146-147 , הבהרה: נסמן חסם עליון של A וB כSA וSB , ברור לנו כי SA גדול שווה A וכי SB גדול שווה SB לכן אם נחבר נקבל שA+B קטן שווה SA+SB ולכן הוא חסם עליון של הקבוצה , כעת נוכיח שהוא החסם העליון הקטן ביותר. לצורך כך נרשום כי A גדול מSA פחות אפסילון חלקי 2, אותו הדבר בנוגע לB, אם נחבר את 2 האי שיוויונים נקבל שA+B גדול מחיבור SA+SB פחות אפסילון ולכן הוכחנו את הטענה. '''משפט 3.16''' - עמ' 151 , הבהרה:נסמן את L כSUPA (וכמובן שL הוא הגבול של A ). אנו יודעים שהסדרה גדולה מהגבול פחות אפסילון מN מסויים ושהסדרה קטנה או שווה לL (נרשום זאת באי שיוויון דו כיווני). ולכן היא כמובן גם קטנה מL ביחד עם אפסילון ולכן הוכחנו את הטענה...(אותו הדבר גם לכיוון ההפוך). '''משפט 3.17''' - עמ' 152 - פתרון עמ' 264 , הבהרה : L אינו חסם מלעיל של הקבוצה כי אם היה חסם אז AN היה קטן שווה לK והסדרה הייתה חסומה. לכן קיים איבר N שעבורו AN גדול מL ולכן לכל n שגדול מN מתקיים שAn גדול מAN גדול מL כנדרש מהגדרת של שאיפה לאינסוף. '''משפט 3.22 ( הלמה של קנטור )''' - עמ' 162: הרעיון שעומד מאחורי ההוכחה הוא הגדרת סדרת הקטעים ע"י שתי סדרות, האחד היא סדרה של הקצוות השמאליים של הקטעים, והשנייה של הימניים. כעט, מפני שהסדרות חסומות, אזי הן מתכנסות וגבולן שווה לפי הנתון. משם שוללים את ההנחה כי קיימת יותר מנק' אחת משותפת. וזהו :] '''משפט 3.30''' - עמ' 175 '''משפט 3.32''' ( בולצאנו-ויירשטראס ) - עמ' 178 פה, ההוכחה היא פחות פורמלית ויותר אלגוריתמית (בדומה ללמה של קנטור ואפילו מתבססת עליה). מכך שהסדרה חסומה בקטע I, אנו ניצור סדרה של קטעים כך שכל קטע הוא מחצית מקודמו, ובחירת החצי היא לפי השיקול "באיזה חלק קיימים אינסוף איברים". כך יצרנו סדרת קטעים המקיימת את הלמה של קנטור ובעצם נחתכת לערך אחד ויחיד. כעט, ניתן ליצור סדרה של ערכים, כך שהאיבר ה-n לקוח מהקטע In. עושים סנדוויץ על הסדרה שיצרנו עם שתי הסדרות של קצוות הקטעים. בום! '''משפט 3.36''' - (קריטריון קושי להתכנסות) עמ' 181 הכיוון הראשון טריוויאלי ומסתמך על אי שוויון המשולש והגדרת הגבול. הכיוון השני מתחלק לשלושה שלבים, הראשון הוא ההוכחה כי הסדרה חסומה - בוחרים אפסילון = 1 ואת האיבר המקס' שנמצא לפני An, לפי אי שוויון המשולש ניתן להראות כי An קטן מ 1 + האיבר המקס' לפני An. חלק שני, BW לעזרתו טוען כי קיימת תת סדרה מתכנסת ל L, ז"א יש לסדרה לפחות גבול אחד. מפה נותר החלק השלישי והוא כל הסדרה An מתכנסת ל L ע"י אי שוויון המשולש והגדרת הגבול בלשון "אינסוף איברים". למה 3.37 - עמ' 183 ===יחידה 4=== '''משפט 4.30''' - עמ' 66 (שקילות הגדרת הגבול בלשון סדרות <=> בלשון אפסילון) כיוון ראשון, נתון לשון אפסילון, נוכיח את היינה. אנו נרשום את הגדרת הגבול לכל אפסילון, קיים גמאה... לפי הנתון כי הסדרה מתכנסת ל x0 אזי קיים אינדקס שכל האיברים נמצאים בסביבות גמאה הקיימת, ומכך שגבול של סדרת הזזה שווה לגבול המקורי (עבור סדרות מתכנסות) סיימנו. הכיוון השני פחות נחמד, נתון כי היינה מתקיים ונניח בשלילה כי ההגדרה בלשון אפסילון אינה מתקיימת. ז"א קיים אפסילון קח שלכל גמאה.......... נשתמש ב "לכל גמאה" ונתאים לה את הסדרה 1/n, כעט ניצור סדרה Xn כך שכל איבר n שלה שייך לסביבה 1/n של x0. הסדרה מתכנסת, לכן מקיימת את הגדרת היינה, בסתירה להנחה כי הגדרת הגבול איזה מתקיימת. משפט 4.39 - עמ' 76 ===יחידה 5=== משפט 5.14 - עמ' 112 משפט 5.15 - עמ' 113 '''משפט 5.29''' - עמ' 128 משפט זה הוא בעצם הבסיס לערך הביניים של קושי, רובו מסתמך על הלמה של קנטור וההנחיה היא כזאת: ללא הגבלת הכלליות נניח כי הערך ב f(a) שלילי וב f(b) חיובי, כעת ניצור סדרה של קטעים סגורים כך שכל הבא הוא מחצית מהקטע הקודם, את בחירת החצי אנו עושים לפי שמירה על החוקיות כי קצה אחד של הקטע שלילי והקצה השני חיובי. אם הגענו לנק' ובה אמצע הקטע In הוא אפס, אזי סיימנו, כי מזאת הוכח שקיים ערך בקטע הגדול ובו הפונ' מקבלת אפס. אחרת, יצרנו סדרת קטעים סגורים המקיימת את הלמה של קנטור! הגבול של הרכבת סדרת הקצוות הימנים על הפונ' יהיה גדול שווה לאפס (כי כל הקצוות הימניים חיוביים), והגבול של הרכבת סדרת הקצוות השמאלית על הפונ' יהיה קטן שווה לאפס (כי כל הקצוות השמאליים קטנים מאפס). לפי קנטור הגבולות שואפים לאותו ערך => אפס! שוב לפי קנטור, ערך זה נמצא בכל סדרת הקטעים, אז בוודאי שנמצא בקטע הגדול. מ.ש.ל. '''משפט 5.30''' - עמ' 132 ראשית, נבנה פונ' שהיא ההפרש בין הפונ' המקורית לבין הישר y=t. הפונ' שבנינו מקיימת את משפט ערך הביניים, לכן מקבל את הערך אפס בקטע, ומכך קל לראות כי הפונ' המקורית מקבלת את הערך t בקטע. '''משפט 5.35''' ( המשפט הראשו של ויירשטראס ) - עמ' 138 הוכחה זאת קל לכתוב בדרך השלילה, נניח כי הפונ' אינה חסומה בקטע... אזי לכל ערך N קיים Xn עבורו f(Xn) > N. אותה סדרה Xn שיצרנו חסומה בקטע, לכן לפי BW קיימת לה תת סדרה מתכנסת לערך שנמצא בקטע. מרציפות הפונ' ולפי היינה, הרכבת התת סדרה על הפונ' שואפת לערך תמונת הפונ' בנק' מסויימת בקטע. בסתירה להנחה! * חשוב להראות כי f(Xn) בערך מוחלט שואף לאינסוף, וכי השאיפה של התת סדרה בערך מוחלט שואפת לערך סופי. '''משפט 5.37''' ( המשפט השני של ויירשטראס ) - עמ' 141 תחילה, נשתמש במשפט ווירשסטראס הראשון כדי לומר שהפונ' חסומה, ומכך שהיא חסומה נסיק כי קיים לה חסם עליון מינ'. נגדיר סדרה של איברים בקטע על סמך תכונת החסם העליון, יתקיים: f(Xn) >= sup - 1/n לכל n. בנוסף מתקיים כי f(Xn) < sup לכל n. מאי שוויון נאמר כי הסדרה שואפת ל sup, ואנו קרובים לסיום. כעת, שוב BW בא לעזרתנו וטוען כי לסדרה שהגדרנו קיימת תת סדרה המתכנסת לערך הנמצא בקטע (כי היא חסומה). לכן הרכבת תת הסדרה על הפונ' שואפת ל sup, ומרציפות הפונ' נקבל כי עבור ערך ההתכנסות x0 מתקיים: f(x0) = sup. "מגעיל אבל משביע" '''משפט 5.48''' - עמ' 155 (משפט קנטור) נניח בשלילה כי לא מתקיימת רב"ש לפונ' בקטע הסגור, ז"א כי קיים אפסילון עבורו לכל גמאה.... כמו בהוכחות קודמות, נשתמש ב "לכל גמאה" ונדביק עליה את הסדרה 1/n, עבורה ניצור שתי סדרות של ערכים החסומות הקטע אשר מקיימות את שלילית ההגדרה של רב"ש. הגבול של הפרש הסדרות שואף לאפס! נזכור זאת ונפנה לתת סדרות המתכנסות עבור כל סדרה, מכך נסיק כי שתי התת סדרות מתכנסות לאותו גבול. ומרציפות הפונ' ולפי היינה נרכיב את התת סדרות על התנאי ששולל את הרב"ש. כאן אני מקבלים אפס, בסתירה לטענה כי אפסילון גדול מאפס וכי המשוואה גדולה מאפסילון. פאפאםםםםם. משפט 5.49 - עמ' 157 ===יחידה 6=== טענה 6.16 - עמ' 181 ===יחידה 7=== משפט 7.9 - עמ' 25 ===יחידה 8=== '''משפט 8.4''' ( משפט פרמה ) - עמ' 90 ללא הגבלת הכלליות נניח כי נק' הקיצון x0 היא נק' מקס' מקומי, לכן נרשום את הגדרת הנגזרת ע"י גבול מימין ומשמאל. נפרק את ביטוי מגבולו, ולפי הגדרת המקס' המקומי נראה שמימין, לכל h חיובי, ערך המשוואה (ובעצם הנגזרת) צריך להיות קטן שווה לאפס. משמאל, לכל h שלילי, ערך המשוואה (ובעצם ערך הנגזרת) צריך להיות גדול שווה לאפס. ז"א שמימין, הנגזרת כגבול קטנה שווה לאפס, ומשמאל גדולה שווה לאפס. אך מגזירות הפונ' בקטע, הנגזרת כגבול מימין ומשמאל צריכות להיות שוות! ופה סיימנו. '''משפט 8.5''' (משפט רול ) - עמ' 94 ע"פ ווירשטראס השני לפונ' יש מינ' ומקס' בקטע. כאשר המינ' והמקס' מתקבלים בקצוות אזי הם שווים לפי נתון, מכך סיימנו כי הפונ' קבועה. כעת ניגש לבשרררר, אם לפחות אחת משתי הנק' (מקס' \ מינ') אינה מתקבלת בקצוות אזי היא מתקבלת בפנים הקטע. ולפי פרמה, בנק' זאת הנגזרת שווה לאפס. כיף חיים! '''משפט 8.6''' (משפט הערך הממוצע - לגראנג' ) - עמ' 96 נגדיר את פונ' הישר העובר שתי קצוות הפונ', על ידיו ניצור פונ' חדשה שהיא ההפרש בין הפונ' המקורית לפונ' הישר. הפונ' החדשה שיצרנו מקיימת את התנאי למשפט רול, לכן נגזרתה מקבלת את הערך אפס בקטע. מאריתמטיקה של נגזרות כל לראות כי גם הפונ' המקורית מקבלת את שיפוע פונ' הישר בקטע. מ.ש.ל. '''משפט 8.10''' ( משפט דארבו ) - עמ' 104 נגדיר t ערך בין f'(a) לבין f'(b), ללא הגבלת הכלליות נניח כי f'(a) < f'(b). ניצור פונ' חדשה = f(x) - tx. הפונ' החדשה שלנו מקבלת מינ' ומקס' בקטע, אם אחת הנק' אלו מתקבלת הפנים בקטע אזי לפי פרמה סיימנו. כעת נותר להוכיח כי לפחות אחת מהנק', המינ' או המקס', מתקבלת בפנים הקטע. לפי הגדרת הנגזרת + ההנחה כי f'(a) < t < f'(b) נראה כי הפונ' החדשה יורדת מימין ל a, ועולה משמאל ל b! לכן נק' הקצה אינן יכולות להיות נק' מינ'. Well Done! משפט 8.12 - עמ' 108 '''משפט 8.14''' ( כלל לופיטל ) - עמ' 110 אם הגעתי עד לפה ולא השתגעתי, אז אחרי זה אני בטוח משתגע, נתראה בבית משוגעים נס ציונה רח' התור 108. שימו לב טוב טוב להנחות המשפט, הם שימושיות לכל אורך ההוכחה! ראשית, מפני שאין שום קשר בין גבול חלוקת הפונ' כאשר איקס שואף ל a מימין, לבין ערך הפונ' עבור אותו a, נוכל "לתקן" את שתי הפונ' ולטעון כי ערכם ב a הוא אפס, דבר זה גורר אותנו לרציפות מימין ל a. מהמסקנה כי הפונ' המתוקנות שלנו רציפות מימין ל a, אזי רציפות לכל קטע מהצורה (a, a+h], ניגש לקטע הסגור [a,b] המקיים כי b < a+h, לכל h שנבחר בעצם! הפונ' בקטע הסגור [a,b], מקיימת את תנאי הערך הממוצע. אזי גשו לספר ותראו מה יצא כי אין לי מושג איך לרשום את זה פה. ניתן לראות, כי עבור כל b שנבחר, נקבל נק' c בהתאם, נרכיב סדרה מנק' ה c האלו ונקרא לה Cb. סדרה זו מתכנסת לערך a מפני ש: a < Cb < b < a+h, לכל h שנבחר אשר שואף לאפס! כעת, נתמקדם בהנחה השנייה של המשפט שאומרת כי גבול חלוקת הנגזרות כאשר איקס שואף ל a קיים! ומכך כאשר נרכיב את הסדרה Cb על גבול חלוקת הנגזרות, לפי היינה נקבל את אותו ערך. נחזור לאותו ביטוי שלא הצלחתי לכתוב למעלה, במשוואה זאת מתקיים שיוויון בין חלוקת הפונ' בערך a, לבין חלוקת הנגזרות בערך Cb. נרכיב גבול כאשר איקס שואף ל a בשתיהם, וקבלנו את הנדרש! ==סטטיסטיקת משפטים== {| class="wikitable" |- ! משפטים !! 2015 א1 !! 2015 א2 !! סה"כ |- | '''יחידה 1''' || ------ || ------ || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |- | טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא || טקסט התא |} [[קטגוריה: חשבון אינפיניטסימלי 1 (20474)]] hk266sgiknsiwt0cdu9w55l4y3u0lgy 0 26511 180513 141376 2026-07-06T19:52:35Z Virant 5484 הגהה (הצורה "מאחר ו..." שגויה) 180513 wikitext text/x-wiki חקור את הפונקציה <math>y=(8-x^2)e^x</math>: # תחום הגדרה # נקודות קיצון # תחומי עליה וירידה # נקודות חיתוך עם הצירים. # גרף. <u>'''תחום הגדרה:'''</u> הפונקציה מוגדרת לכל <math>x</math> <u>'''נקודות קיצון:'''</u> א. הפונקציה לפנינו היא מנה של פונקציות. <math>f(8-x^2)' = -2x</math> <math>g(e^x)=e^x</math> נעזר בכלל מנה של פונקציות ונקבל <math>-2xe^x+(8-x^2)e^x</math>. נוציא גורם משותף ונשווה לאפס, <math>e^x[-2x+(8-x^2)]=0</math>. מאחר ש-<math>e^x>0</math> נחלק אותו ונקבל, <math>-2x+(8-x^2)=0</math> דהינו משוואה ריבועית, <math>x^2+2x-8=0</math> מהצורה <math>(x+4)(x-2)=0</math> הנקודות החשודות הינם <math>x_1=4, x_2=2</math> ב. נאשרר כי אלו נקודות קיצון (על ידי קבלת נגזרת שנייה גדולה מאפס) ונבדוק את סוג נקודות קיצון: נגזור את הביטוי <math>x^2+2x-8=0</math> נקבל <math>y''=2x+2</math> נציב את ערכי ה-<math>x</math> : : <math>y''(-4)=2*-4+2=-6\rightarrow min</math> : <math>y''(2)=2*2+2=6\rightarrow max</math> נמצא את ערכי ה-<math>y</math> באמצעות הצבה בפונקציה <math>y=(8-x^2)e^x</math> : <math>y(-4)=(8-16)e^{-4}=\frac{-8}{e^4}</math> : <math>y(2)=(8-4)e^{2}=4e^2</math> פתרונות: <math>(2, 4e^2) max, (-4, \frac{-8}{e^4})min</math> <u> '''תחומי עלייה וירידה:'''</u> ניתן או לפתור משוואה או באמצעות הגרף. : ירידה (<math>y''<0</math>): <math>x<-4, x>2</math> : עליה (y''>0): <math>-4<x<2</math> <u>'''נקודות חיתוך עם הצירים: '''</u> '''חיתוך עם ציר <math>x</math>:''' <math>(8-x^2)e^x=0</math> נחלק ב-<math>e^x</math> מאחר שגדול מאפס ונקבל, <math>8-x^2=0</math> נעביר אגפים, <math>8=x^2</math> ונקבל <math>x_1=\sqrt{8} \ \ \ \ x_2=-\sqrt{8}</math> '''חיתוך עם ציר <math>y</math>:''' נציב <math>x=0</math> ונקבל <math>y=(8-0^2)e^0=8</math>. פתרונות: <math>(\sqrt{8},0) \ \ \ \ (-\sqrt{8},0), (0,8)</math> [[קטגוריה:מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ז' שאלון 035007]] pmpln83oiyxifjodsb600qy3eyvasld 0 27129 180519 146994 2026-07-06T20:42:06Z Virant 5484 הגהה (הצורה "מאחר ו..." שגויה) 180519 wikitext text/x-wiki <div id="custom1TabsWait" style="font-size: small; color: green;">טוען את הטאבים...</div> <div id="custom1Tabs" style="display: none;"> <div id="custom1Tab1" title="עברית"> {|width="100%" align="center" border="2" cellpadding="8" |- !תרגיל | נתונה סדרה חשבונית <math>a_n</math> המקיימת <math>a_4+a_8+a_12+a_16=224</math> # מצא את הסכום של 19 האיברים הראשונים בסדרה <math>a_n</math> # הסדרה <math>s_n</math> היא סדרת הסכומים של הסדרה <math>a_n</math> <math>S_1, S_2, S_3...</math> נתון כי <math>s_n=n*a_n</math> לכל <math>n</math> טבעי. הראה כי הפרש הסדרה <math>a_n</math> הוא 0. # היעזר בסעיפים הקודמים ומצא את <math>a_1</math>. # נתונה סדרה <math>b_n</math> המקיימת את הכלל <math>b_{n+1}-b_n=a_n+S_n</math> לכל <math>n</math> טבעי. היעזר בסעיפים הקודמים ומצא את הסכום <math>(b_2-b_1)+(b_3-b_2)+(b_4-b_3)+...+(b_20-b-19)</math> |- !נושא |(ידע נדרש לפתירת התרגיל) |- ! מקור |[http://meyda.education.gov.il/sheeloney_bagrut/2016/6/HEB/35806.PDF] |} </div> <div id="custom1TabDefault">1</div> <div id="custom1Tab2" title="ערבית"> {|width="100%" align="center" border="2" cellpadding="8" |- !תרגיל | (תוכן) |- !נושא |(ידע נדרש לפתירת התרגיל) |- ! מקור |(קישור למסמך המקורי) |} </div> <div id="custom1Tab3" title="רוסית"> {|width="100%" align="center" border="2" cellpadding="8" |- !תרגיל | (תוכן) |- !נושא |(ידע נדרש לפתירת התרגיל) |- ! מקור |(קישור למסמך המקורי) |} </div> <div id="custom1TabWidth">90%</div> <div id="custom1TabBorder">#AAAAAA</div> <div id="custom1TabAlign">center</div> </div> ==פתרון== ===סעיף א=== נתון <math>a_4+a_8+a_12+a_16=224</math> תחילה נפט את הנתונים: <math> \begin{cases} a_4=a_1+3d a_8=a_1+7d a_12=a_1+11d a_16=a_1+15d \end{cases} </math> נציב ונקבל <math>a_1+3d+a_1+7d+a_1+11d+a_1+15d=224</math> נצמצם: <math>4a_1+36d=224</math> נחלק: <math>a_1+9d=56</math> נוסחה למציאת סכום סדרה חשבונית: <math>S_n=\frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}</math> הסכום המבוקש: <math>S_{19}=\frac{19[2a_1+d(19-1)]}{2}</math> <math>S_{19}=\frac{19[2a_1+18d]}{2}</math> <math>S_{19}=\frac{19*2[a_1+9d]}{2}</math> נציב את הנתון : <math>a_1+9d=56</math> ונקבל <math>S_{19}=\frac{19*2*56}{2}</math> נצמצם: <math>S_{19}=19*56=1064</math> ===סעיף ב=== על פי הנתון מסעיף א': <math>a_1+9d=56</math> נקבל כי <math>a_{10}=56</math> ואילו <math>a_1=56-9d</math> על פי הנתונים: <math>s_10=10*a_10=10*56=560</math> נציב בנוסחה למציאת סכום סדרה חשבונית: <math>S_{10}=\frac{10\left[2a_1+9d\right]}{2}</math> <math>S_{10}=5[2a_1+9d]=560</math> נציב את <math>a_1</math> ונקבל : <math>5[2(56-9d)+9d]=560</math> נצמצם: <math>2(56-9d)+9d=112</math> נפתח סוגרים : <math>112-18d+9d=112</math> נכנס אברים: <math>9d=0</math> <math>d=0</math> ===סעיף ג=== <math>a_1=56-9d</math> נציב <math>d=0</math> ונקבל <math>a_1=56-9*=56</math> ===סעיף ד=== נתון:<math>b_{n+1}-b_n=a_n+S_n</math> ועל כן <math>b_2-b_1=a_1+s1</math> וכן הלאה. במילים אחרות ניתן במקום <math>(b_2-b_1)+(b_3-b_2)+(b_4-b_3)+...+(b_20-b-19)</math> למצוא את <math>(a_1+s1)+(a_2+s2)...+(a_19+s_{19})</math> אם נבודד את האיברים והסכומים נקבל כי עלינו לחשב:<math>(a_1+a_2+...+a_19)+(s_1+s_2+...+s_{19})</math> במקום <math>(a_1+a_2+...+a_19)</math> נוכל למצוא את סכום האברים עד המספר 19 כלומר <math>S_{19}</math> כלומר <math>S_{19}+(s_1+s_2+...+s_{19})</math> סכום האיבר ה-19: <math>S_n=\frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}</math> דהינו <math>S_{19}=\frac{19\left[2a_1+(19-1)0\right]}{2}=\frac{19*2a_1}{2}=19a_1</math> עד כה מצאנו את הסכום <math>19a_1+(s_1+s_2+...+s_{19})</math> על פי הנתונים: <math>s_n=n*a_n</math>. נציב את האיבר הכללי <math>a_n=a_1+(n-1)d</math>. מאחר ש-<math>d=0</math> נקבל <math>s_n=n*a_1</math>. אנו רוצים למצוא את כל הסכומים עד 19 דהינו <math>1*a_1+2*a_1+3*a_1+...+19a_1=a_1(1+2+3+...+19)</math> כלומר <math>19a_1+n*a_1(1+2+3+...+19)</math> נחשב את סכום הסדרה <math>1+2+...+19</math> באמצעות נוסחת הסכום: <math>S_{19}=\frac{19\left[2*1+(19-1)1\right]}{2}=190</math> נציב את הנתון ונקבל <math>19a_1+n*190a_1</math> דהינו <math>209a_1</math> נציב את <math>a_1=56</math> מסעיף ג' ונקבל <math>209*56=11704</math> [[קטגוריה:סדרות - שאלון 035806]] [[קטגוריה:בגרות במתמטיקה, קיץ א, תשע"ו (035806)]] 7tbttj56rzobs1oe3jycvkazcrtpufx 0 28313 180515 158421 2026-07-06T20:10:46Z Virant 5484 הגהה (הצורה "מאחר ו..." שגויה) 180515 wikitext text/x-wiki {{Java/בלון|רקע=#FCECAD|מסגרת=#AFAFAF|תמונה=Manhwa balloon.svg|גודל=50px|כותרת=בלון!|הסבר=בפרק זה נעסוק בכך שמטריצות מעברי הבסיסים <math>\left[T\right]_{B}^{B}</math> ו<math>\left[T\right]_{C}^{C} </math> דומות זו לזו. על כן מומלץ לרענן תחילה את הנושא: [[אלגברה לינארית/מטריצות דומות|מטריצות דומות]]. }} {{הגדרה| מספר=1 שם=העתקה הפיכה| תוכן= תהי <math>T:V \to V</math> אז <math>T</math> הפיכה (<math>[T^{-1}]_B</math>) כלומר מתקיימת העתקה לינארית <math>V\xrightarrow{T} V \xrightarrow{T^{-1}}V</math> ומתקיים שהמטריצה ההופכית של העתקה שווה למטריצה המצייגת העתקה הפכית <math>[T]^{-1}_B=[T^{-1}]_B</math> מטריצות הפוכות זו לזו מקיימות <math>[T]^{-1}_B*[T]_B=I_n</math> }} {{טענה| מספר=1 שם=מטריצה Id של מעבר בסיסים דומות| תוכן= מטריצות מייצגות של אותה העתקה בבסיסים שונים (מטריצות דומות): זוג מטריצות ריבועיות, <math>C, D</math> תקראנה דומות אם קיימת מטריצה הפיכה, <math>P</math>, המקיימת <math>C=P^{-1}*D*P</math> יהי B בסיס למרחב ווקטורי ותהי P מטריצה הפיכה אזי קיים בסיס C כך שמטריצת המעבר מ-B ל-C היא P. <math>[Idv]^c_b</math> הפיכה ל-<math>[Idv]^b_c</math> את טענה זו נוכיח על ידי הוכחה כי <math>\left[T\right]_{B}^{B}</math> ו<math>\left[T\right]_{C}^{C} </math> דומות}} == <math>\left[T\right]_{B}^{B}</math> ו<math>\left[T\right]_{C}^{C} </math> דומות== {{למה| מספר=1| שם=יהי <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math> ו<math>B=\left(v_{1},..,v_{n}\right) </math> בסיס של <math>V</math>. ו <math>P\in M_{n\times n}\left(\mathbb{F}\right)</math> הפיכה. אז קיים בסיס <math>C</math> של <math>V</math> כך שקיימת מטריצה מעבר <math>\left[Id\right]_{B}^{C}=p</math>| תוכן= נתון <math>P=\begin{pmatrix}p_{11} & & p_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\ p_{n1} & & p_{nn} \end{pmatrix}</math>. נגדיר צ"ל של וקטור בבסיס <math>B :w_{j}=p_{1j}v_{1}+...+p_{nj}v_{n}=\sum_{j=1}^np_{ij}v_{j}</math>. צ"ל כי <math>w_{j}=\left(w_{1},..,w_{n}\right)</math> בסיס של <math>V</math>. נסמן את המטרציה ההפיכה <math>Q=P^{-1}</math> ונסמן <math>Q=\begin{pmatrix}q_{11} & & q_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\ q_{n1} & & q_{nn} \end{pmatrix}</math> יהי <math>1\le k\le n</math>, כך ש-<math>q_{i}\in Q</math> נראה ש <math>q_{1k}w_{1}+...+q_{nk}w_{n}=\sum_{j=1}^nq_{jk}w_{j}=\sum_{j=1}^nq_{jk}\sum_{i=1}^np_{ij}v_{i} =\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^np_{ij}\cdot q_{jk}\cdot v_{i}=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^np_{ij}\cdot q_{jk}\right)\cdot v_{i}=0\cdot v_{1}+...+1\cdot v_{k}+...+0v_{n}=v_{k}</math> לכן <math>v_{k}\in T span\left(w_{1},..,w_{n}\right)</math> לכל <math> 1\le k\le n</math>. לפיכך <math>span\left(w_{1},..,w_{n}\right)=V</math>. מאחר ש<math> \dim V=n</math> אז <math>\left(w_{1},..,w_{n}\right)</math> בת"ל. כלומר <math>C=\left(w_{1},..,w_{n}\right)</math> בסיס של <math>V</math> וגם <math>\left[Id\right]_{B}^{C}</math>. }} {{טענה| מספר=1| שם=מטריצות מעברי הבסיסים <math>\left[T\right]_{B}^{B}</math> ו<math>\left[T\right]_{C}^{C} </math> דומות זו לזו| תוכן=יהי<math> V</math> מ"ו מעל <math> \mathbb{F}</math>, <math>B=\left(v_{1},..,v_{n}\right)</math> בסיס של <math>V</math>. <math>T:V\to V</math> ה"ל ונתונות <math>K,L\in M_{n\times n}\left(\mathbb{F}\right)</math> מטריצות דומות זו לזו כך ש<math> K=\left[T\right]_{B}^{B}</math>. אז קיים בסיס <math>C</math> של <math>V</math> כך ש<math> \left[T\right]_{C}^{C}=L</math> {{הוכחה|מאחר ש <math>K,L</math> דומות קיימת מטריצה <math>P\in M_{n\times n}\left(\mathbb{F}\right) </math> הפיכה כך ש: <math>L=P^{-1}\cdot K\cdot P=P^{-1}\cdot\left[T\right]_{B}^{B}\cdot P</math> לפי הלמה קיים בסיס <math>C</math> של <math>V</math> כך ש <math>\left[Id\right]_{B}^{C}=P</math> אז <math>L=\left(\left[Id\right]_{B}^{C}\right)^{-1}\cdot\left[T\right]_{B}^{B}\cdot\left[Id\right]_{B}^{C}=\left[T\right]_{C}^{C}</math>}}}} [[קטגוריה:אלגברה לינארית]] 190wccsbodw7688ny387yr69ofwyxan