ויקיספר hewikibooks https://he.wikibooks.org/wiki/%D7%A2%D7%9E%D7%95%D7%93_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99 MediaWiki 1.47.0-wmf.24 first-letter מדיה מיוחד שיחה משתמש שיחת משתמש ויקיספר שיחת ויקיספר קובץ שיחת קובץ מדיה ויקי שיחת מדיה ויקי תבנית שיחת תבנית עזרה שיחת עזרה קטגוריה שיחת קטגוריה שער שיחת שער מדף שיחת מדף TimedText TimedText talk יחידה שיחת יחידה אירוע שיחת אירוע 0 8962 181046 180319 2026-10-25T21:55:31Z יהודה שמחה ולדמן 6994 /* שונות */ 181046 wikitext text/x-wiki __ללא_תוכן__ {{ספר חלקי}} ==מהו ספר זה?== ספר זה, כשמו כן הוא, ספר שנועד לאגד הוכחות מתמטיות של משפטים ולמות משלל הנושאים במתמטיקה. בראש ובראשונה, המטרה היא להקל על כובדם של ספרים המתרכזים בנושאים ספציפיים במתמטיקה, כך שיוכלו להתרכז בעיקר בהעברת החומר, ובמידת הצורך רק יפנו להוכחת המשפט או הטענה הרלוונטית בספר זה. מטרה נוספת בספר זה היא להביא לכך שכל אדם אשר מעוניין לעבור על הוכחתו של משפט כלשהו, יהיה לו מקום בעל גישה נוחה לקרוא שם את ההוכחה. הנחת היסוד היא שהוכחות מתמטיות הן "אוניברסליות" וכי כל אדם אשר מכיר את טיב ההוכחה ופרטיה מסוגל להשתתף בכתיבת הספר, בשעה שכדי להשתתף בכתיבה של ספר מתמטי על נושא רחב כלשהו, יש צורך ביכולות כתיבה ולימוד שהן מעבר לידע של הוכחה מתמטית. נכון לעכשיו, הספר ממוקד בהוכחות מתמטיות משני תחומים מתמטיים מרכזיים: חשבון אינפיניטסימלי של פונקציות ממשיות במשתנה אחד ואלגברה ליניארית. הסיבה לכך היא שאלו הם תחומים אלמנטריים יחסית אשר הקורסים בנושאים אלו מהווים בסיס ללימודים לתואר ראשון במתמטיקה או בחוגים אחרים. ראוי לזכור כי הוכחות של משפטים מטבעם נשענים על נכונותם של משפטים בסיסיים יותר ולכן מומלץ שמשפטים או למות שהוכחת משפט כלשהו נשענת עליהן יוכחו לפני כן, בחלק מוקדם יותר בספר או בפרק. כידוע, למשפטים רבים במתמטיקה יש יותר מהוכחה יחידה ולעיתים עשרות הוכחות שונות. זה בסדר גמור ואין שום דבר רע בכך שבספר יהיו מספר הוכחות שונות לאותו המשפט. נהפוך הוא: כל המרבה, הרי זה משובח! הספר, נכון לעכשיו, הוא כמעט ריק לגמרי אך הקורא מוזמן לתרום לספר בכל נושא שהוא וייתכן כי בעתיד הספר יהפך לאנציקלופדיה עבת-כרס של הוכחות מתמטיות. גם אם הקורא אינו מעוניין לתרום לספר, הוא מוזמן לקרוא תכניו ולהעיר בכל מקרה בו חלק מסוים בהוכחה הוא אינו ברור. אנו נשתדל שכל ההוכחות יהיו ברורות במידת האפשרות, בלי לחסוך במילים. עם זאת, בספר זה, אנו מניחים כי הקורא בקיא בנושאים המתמטיים הקשורים להוכחות. בהוכחת משפט כלשהו, הקורא מצופה לדעת ולהבין את המשפטים הקודמים עליהם הוכחת המשפט מתבססת ואת הכלים המתמטיים בהם משתמשת ההוכחה, בין אם הם בעלי קשר לנושא או כלליים (למשל, אינדוקציה מתמטית). אנו מאחלים לקורא קריאה פורה ונעימה בספר! ==מה ספר זה אינו?== ספר זה הוא בפירוש לא חוברת תרגילים! למטרה זו, ניתן ליצור ספרים מתאימים בנושאים השונים או לכלול דפי תרגילים בספרים הקיימים. נציין כי לעיתים ההבדל בין הוכחה של משפט מתמטי לבין תרגיל חישובי גרידא הוא מעורפל. במקרים שכאלו, ניתן לקיים דיון ולקבוע האם ההוכחה ראויה להיות בספר זה או לא. ספר זה אינו מיועד לרכז הגדרות או לפתח נושאים מתמטיים. הוא נועד להוות מאגר של הוכחות מתמטיות בנושאים שונים וככזה, לא ניתן ללמוד ממנו על נושאים שלמים במתמטיקה. ==מבנה הספר== הספר לא נועד להתרכז בנושא מתמטי מסוים אלא בהוכחות משלל נושאים למיניהם. נכון לעכשיו, קיים בספר שלד כללי למיון הוכחות מתמטיות בחשבון אינפיניטסימלי של פונקציות במשתנה אחד ואלגברה ליניארית. הקורא מוזמן להוסיף נושאים אחרים והוכחות בנושאים אלו כאוות נפשו, אך נציין כי תורות מתמטיות רבות מתבססות, בחלקן לפחות, על שני הנושאים לעיל. כל נושא בספר הוא פרק אשר מחולק לתתי-פרקים בנושא זה. בכל פרק (נושא) קיים קישור לאינדקס בו ניתן למצוא רשימת קישורים לכל המשפטים אשר הפרק כולל את הוכחתם או שואף לכלול אותה. הקורא מוזמן להוסיף משפטים נוספים לאינדקס זה, אם נדמה לו כי האינדקס אינו מקיף את כל המשפטים בחומר. הנושאים בספר זה: ===חשבון אינפיניטסימלי=== *[[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות|גבולות, סדרות ורציפות]] *[[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות|גזירות]] *[[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרביליות|אינטגרביליות]] *[[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות|טורים ומבחני התכנסות]] *[[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/שונות|שונות]] [[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינדקס]] ===אלגברה ליניארית=== [[מושג השדה]] <br /> *[[הוכחות מתמטיות/אלגברה ליניארית/מושג השדה, מטריצות, מערכות משוואות|מושג השדה, מטריצות, מערכות משוואות]] *[[הוכחות מתמטיות/אלגברה לינארית/מרחבים וקטוריים, בסיס וממד|מרחבים וקטוריים, בסיס וממד]] *[[הוכחות מתמטיות/אלגברה ליניארית/העתקות ליניאריות, דטרמיננטים|העתקות ליניאריות, דטרמיננטים]] *[[הוכחות מתמטיות/אלגברה ליניארית/ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים|ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים]] [[הוכחות מתמטיות/אלגברה ליניארית/אינדקס]] ===תורת הקבוצות=== *[[הוכחות מתמטיות/תורת הקבוצות/למת נקודת השבת|למת נקודת השבת]] *[[הוכחות מתמטיות/תורת הקבוצות/משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין|משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין]] *[[הוכחות מתמטיות/תורת הקבוצות/איחוד קבוצות בנות מניה בן מניה|איחוד קבוצות בנות מניה בן מניה]] *[[הוכחות מתמטיות/תורת הקבוצות/האלכסון של קנטור ועוצמת הממשיים|האלכסון של קנטור ועוצמת הממשיים]] *[[הוכחות מתמטיות/תורת הקבוצות/משפט דדקינד|משפט דדקינד]] *[[הוכחות מתמטיות/תורת הקבוצות/משפט קנטור|משפט קנטור]] *[[הוכחות מתמטיות/תורת הקבוצות/משפט האינדקוציה הטרנספיניטית|משפט האינדקוציה הטרנספיניטית]] *[[הוכחות מתמטיות/תורת הקבוצות/משפט הסדר הטוב|משפט הסדר הטוב]] *[[הוכחות מתמטיות/תורת הקבוצות/השקילות בין אקסיומת הבחירה, משפט הסדר הטוב, הלמה של צורן ועקרון המקסימום של האוסדורף|השקילות בין אקסיומת הבחירה, משפט הסדר הטוב, הלמה של צורן ועקרון המקסימום של האוסדורף]] [[הוכחות מתמטיות/תורת הקבוצות/אינדקס]] ===לוגיקה=== *[[הוכחות מתמטיות/לוגיקה/משפט הנאותות|משפט הנאותות]] *[[הוכחות מתמטיות/לוגיקה/משפט הדדוקציה|משפט הדדוקציה]] *[[הוכחות מתמטיות/לוגיקה/משפט לינדנבאום|משפט לינדנבאום]] [[הוכחות מתמטיות/לוגיקה/אינדקס]] ===מתמטיקה בדידה=== *[[הוכחות מתמטיות/מתמטיקה בדידה/משפט החתונה של הול|משפט החתונה של הול]] *[[הוכחות מתמטיות/מתמטיקה בדידה/בגרף דו צדדי d-רגולרי יש זיווג מושלם|בגרף דו צדדי d-רגולרי יש זיווג מושלם]] ===שונות=== *[[הוכחות מתמטיות/שונות/תחום הגדרת שורש טבעי למספר טבעי|תחום הגדרת שורש טבעי למספר טבעי]] *[[הוכחות מתמטיות/שונות/שורש 2|שורש 2]] *[[הוכחות מתמטיות/שונות/קיום שורש ריבועי|קיום שורש ריבועי]] *[[הוכחות מתמטיות/שונות/קיום שורש מסדר n|קיום שורש מסדר n]] *[[הוכחות מתמטיות/שונות/מספר אלגברי|מספר אלגברי]] *[[הוכחות מתמטיות/שונות/e מספר אי-רציונלי|e מספר אי-רציונלי]] *[[הוכחות מתמטיות/שונות/π מספר אי-רציונלי|π מספר אי-רציונלי]] *[[הוכחות מתמטיות/שונות/e מספר טרנסצנדנטי|e מספר טרנסצנדנטי]] *[[הוכחות מתמטיות/שונות/π מספר טרנסצנדנטי|π מספר טרנסצנדנטי]] *[[הוכחות מתמטיות/שונות/משפט לינדמן|משפט לינדמן]] *[[הוכחות מתמטיות/שונות/משפט לינדמן–ויירשטראס|משפט לינדמן–ויירשטראס]] *[[הוכחות מתמטיות/שונות/חישוב פאי|חישוב פאי]] [[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]] gshnmfj5okx5d8zsa6pfiqo8vwhfth8 0 30171 181030 175528 2026-10-25T21:40:59Z יהודה שמחה ולדמן 6994 יהודה שמחה ולדמן העביר את הדף [[הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי]] לשם [[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים]]: תחום זה שייך למבנים אלגבריים 175528 wikitext text/x-wiki ==הקדמה== ב[[w:אלגברה|אלגברה]], [[w:פולינום|פולינום]] בכמה משתנים הוא '''פולינום סימטרי''', אם הוא נשאר קבוע תחת כל החלפה של המשתנים. הפולינומים הסימטריים נחקרו בתחילה בהקשר לפתרונות של משוואות פולינומיות בנעלם אחד, משום שמקדמי הפולינום הם פולינומים סימטריים בשורשים שלו.{{ש}} עם הזמן זכו הפולינומים הסימטריים למעמד משל עצמם, והם מופיעים בענפים שונים של המתמטיקה, בעיקר ב[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה|קומבינטוריקה]]. {{תוכן עניינים| *[[/סידור מונומי/]] *[[/תמורות וסימטריה/]] *[[/פולינומים סימטריים אלמנטריים/]] *[[/המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים/]] }} [[קטגוריה:הוכחות מתמטיות]] k1ko0bnh62m7j7rkny97u75bdohlw4w 181041 181030 2026-10-25T21:52:34Z יהודה שמחה ולדמן 6994 תיקון קטגוריה 181041 wikitext text/x-wiki ==הקדמה== ב[[w:אלגברה|אלגברה]], [[w:פולינום|פולינום]] בכמה משתנים הוא '''פולינום סימטרי''', אם הוא נשאר קבוע תחת כל החלפה של המשתנים. הפולינומים הסימטריים נחקרו בתחילה בהקשר לפתרונות של משוואות פולינומיות בנעלם אחד, משום שמקדמי הפולינום הם פולינומים סימטריים בשורשים שלו.{{ש}} עם הזמן זכו הפולינומים הסימטריים למעמד משל עצמם, והם מופיעים בענפים שונים של המתמטיקה, בעיקר ב[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה|קומבינטוריקה]]. {{תוכן עניינים| *[[/סידור מונומי/]] *[[/תמורות וסימטריה/]] *[[/פולינומים סימטריים אלמנטריים/]] *[[/המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים/]] }} [[קטגוריה:מבנים אלגבריים]] o0i17hubl9hpitg7534aebrdba0l190 0 30172 181033 181029 2026-10-25T21:45:31Z יהודה שמחה ולדמן 6994 יהודה שמחה ולדמן העביר את הדף [[הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי/סידור מונומי]] לשם [[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים/סידור מונומי]]: תחום זה שייך למבנים אלגבריים 181029 wikitext text/x-wiki ==הגדרה 1== תהי <math>(A_1,\ldots,A_n)</math> [[w:n-יה סדורה|n־יה סדורה]]. נגדיר: :<math>\vec{A}{}^n=(A_1,\ldots,A_n)</math> עבור [[w:פונקציה|פונקציות]] <math>\vec{F}{}^m,\vec{G}{}^n</math> נגדיר: :<math>\vec{F}{}^m(\vec{G}{}^n)=\bigl(F_1(G_1,\ldots,G_n),\ldots,F_m(G_1,\ldots,G_n)\bigr)</math> סימון מקוצר זה ישמש אותנו רבות בעמודים הבאים. ==הגדרה 2== יהי <math>\mathbb{F}</math> שדה. אזי <math>\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]</math> הוא מרחב הפולינומים במשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math> עם מקדמים ב־<math>\mathbb{F}</math>. '''[[w:מונום|מונום]]''' ('''חד־אבר''') הוא פולינום מן הצורה <math>c\,X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n}</math>, כאשר <math>c\in\mathbb{F}</math> וכן <math>a_1,\ldots,a_n\in\N</math>. ==הגדרה 3== יהי <math>X=X_1\!\cdots X_n</math>, ויהי <math>a=(a_1,\ldots,a_n)\in\N^n</math> וקטור מעריכים. נגדיר: *<math>X^a=X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n}</math> *<math>\deg(X^a)=a_1\!+\cdots+a_n</math> *מעלת פולינום (שאינו פולינום האפס) שוה למקסימלית מבין מעלות המונומים המרכיבים אותו. ===תכונות=== מכפלת מונומים מקיימת [[w:מרחב וקטורי|חיבור וקטורי מעריכים]]: :<math>\begin{align}X^a\!\cdot X^b&=(X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n})\cdot(X_1^{b_1}\!\cdots X_n^{b_n})\\[5pt]&=(X_1^{a_1}\!\cdot X_1^{b_1})\cdots(X_n^{a_n}\!\cdot X_n^{b_n})\\[5pt]&=X_1^{a_1+b_1}\!\cdots X_n^{a_n+b_n}\\[5pt]&=X^{a+b}\end{align}</math> ==הגדרה 4== יהיו <math>X^a,X^b</math> מונומים. נאמר כי <math>X^a</math> '''בעל סדר קטן מ־'''<math>X^b</math> (ונסמן <math>X^a\!\prec X^b</math>) אם קיים אינדקס <math>1\le k\le n</math> עבורו מתקיים :<math>\begin{cases}a_i=b_i&:\!1\le i\le k-1\\[3pt]a_i<b_i&:i=k\end{cases}</math> במלים אחרות, בין שני הוקטורים <math>(a_1,\ldots,a_n),(b_1,\ldots,b_n)</math> קיים [[w:יחס סדר מילוני|יחס סדר מילוני]]. למונום בעל בעל הסדר המקסימלי בפולינום <math>F</math> נקרא '''המונום המוביל''', ונסמנו <math>\text{L}(F)</math>. ===דוגמא=== :<math>x_1^7x_2^3x_3^{10}\!\prec x_1^7x_2^{31}x_3\iff(7,3,10)\prec(7,31,1)</math> ==[[w:למה (מתמטיקה)|למה]]== יהיו <math>F,G\in\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]</math> פולינומים. אזי מתקיים <math>\text{L}(F\cdot G)=\text{L}(F)\cdot\text{L}(G)</math>. ===הוכחה=== יהיו <math>X^a,X^b,X^f,X^g</math> מונומים, כאשר <math>X^f=\text{L}(F),\,X^g=\text{L}(G)</math>. 1. נניח כי <math>X^a\!\prec X^f</math>. נראה כי מתקיים <math>X^{a+c}\!\prec X^{f+c}</math> לכל <math>X^c</math>.{{ש}} מן ההגדרה, קיים אינדקס <math>1\le k\le n</math> עבורו מתקיים :<math>\begin{cases}a_i(+\,c_i)=f_i(+\,c_i)&:\!1\le i\le k-1\\[3pt]a_i(+\,c_i)<f_i(+\,c_i)&:i=k\end{cases}</math> 2. נניח כי גם <math>X^b\prec X^g</math>. נראה כי מתקיים <math>X^{a+b}\!\prec X^{f+g}</math>.{{ש}} מן ההגדרה, קיימים אינדקסים <math>k_1,k_2\in\{1,\ldots,n\}</math> עבורם מתקיים בהתאמה :<math>\begin{align}&\begin{cases}a_i=f_i&:\!1\le i\le k_1-1\\[3pt]a_i<f_i&:i=k_1\end{cases},\quad\begin{cases}b_i=g_i&:\!1\le i\le k_2-1\\[3pt]b_i<g_i&:i=k_2\end{cases}\\[8pt]&\begin{cases}1\le k_1\le k_2\le n\!:&(a_{k_1}\!<f_{k_1}\!)\and(b_{k_1}\!\le g_{k_1}\!)\,\implies\,a_{k_1}\!+b_{k_1}\!<f_{k_1}\!+g_{k_1}\\[5pt]1\le k_2<k_1\le n\!:&(a_{k_2}\!=f_{k_2}\!)\and(b_{k_2}\!<g_{k_2}\!)\,\implies\,a_{k_2}\!+b_{k_2}\!<f_{k_2}\!+g_{k_2}\end{cases}\!\Bigg\}\,\implies\,X^{a+b}\!\prec X^{f+g}\end{align}</math> כלומר: :<math>\text{L}(F\cdot G)=X^{f+g}=X^f\cdot X^g=\text{L}(F)\cdot\text{L}(G)</math> <math>\square</math> ==הגדרה 5== יהי <math>F\in\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]</math> פולינום. נגדיר: :<math>\text{D}(F)=\Big\{X^a\!\in\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]:\deg(X^a)\le\deg(\text{L}(F)),X^a\!\prec\text{L}(F)\Big\}</math> כלומר, קבוצת כל [[w:פולינום מתוקן|המונומים המתוקנים]] ממעלה <math>\deg(\text{L}(F))\ge</math> ובעלי סדר קטן מזה של <math>\text{L}(F)</math>. ===דוגמא=== :<math>\begin{align}&F(x_1,x_2)=4+3x_1+2x_1^2x_2+x_2^4\\[3pt]&\text{L}(F)=2x_1^2x_2\\[3pt]&\text{D}(F)=\Big\{x_1x_2^2,x_1^2,x_1x_2,x_2^2,x_1,x_2,1\Big\}\end{align}</math> {{תוכן| |הפרק הקודם=[[../|הקדמה]] |הפרק הנוכחי=סידור מונומי |הפרק הבא=[[../תמורות וסימטריה/]] }} [[קטגוריה:הוכחות מתמטיות]] a7sivclfpux38ymfpc6ollusj3o1c2j 181042 181033 2026-10-25T21:53:15Z יהודה שמחה ולדמן 6994 תיקון קטגוריה 181042 wikitext text/x-wiki ==הגדרה 1== תהי <math>(A_1,\ldots,A_n)</math> [[w:n-יה סדורה|n־יה סדורה]]. נגדיר: :<math>\vec{A}{}^n=(A_1,\ldots,A_n)</math> עבור [[w:פונקציה|פונקציות]] <math>\vec{F}{}^m,\vec{G}{}^n</math> נגדיר: :<math>\vec{F}{}^m(\vec{G}{}^n)=\bigl(F_1(G_1,\ldots,G_n),\ldots,F_m(G_1,\ldots,G_n)\bigr)</math> סימון מקוצר זה ישמש אותנו רבות בעמודים הבאים. ==הגדרה 2== יהי <math>\mathbb{F}</math> שדה. אזי <math>\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]</math> הוא מרחב הפולינומים במשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math> עם מקדמים ב־<math>\mathbb{F}</math>. '''[[w:מונום|מונום]]''' ('''חד־אבר''') הוא פולינום מן הצורה <math>c\,X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n}</math>, כאשר <math>c\in\mathbb{F}</math> וכן <math>a_1,\ldots,a_n\in\N</math>. ==הגדרה 3== יהי <math>X=X_1\!\cdots X_n</math>, ויהי <math>a=(a_1,\ldots,a_n)\in\N^n</math> וקטור מעריכים. נגדיר: *<math>X^a=X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n}</math> *<math>\deg(X^a)=a_1\!+\cdots+a_n</math> *מעלת פולינום (שאינו פולינום האפס) שוה למקסימלית מבין מעלות המונומים המרכיבים אותו. ===תכונות=== מכפלת מונומים מקיימת [[w:מרחב וקטורי|חיבור וקטורי מעריכים]]: :<math>\begin{align}X^a\!\cdot X^b&=(X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n})\cdot(X_1^{b_1}\!\cdots X_n^{b_n})\\[5pt]&=(X_1^{a_1}\!\cdot X_1^{b_1})\cdots(X_n^{a_n}\!\cdot X_n^{b_n})\\[5pt]&=X_1^{a_1+b_1}\!\cdots X_n^{a_n+b_n}\\[5pt]&=X^{a+b}\end{align}</math> ==הגדרה 4== יהיו <math>X^a,X^b</math> מונומים. נאמר כי <math>X^a</math> '''בעל סדר קטן מ־'''<math>X^b</math> (ונסמן <math>X^a\!\prec X^b</math>) אם קיים אינדקס <math>1\le k\le n</math> עבורו מתקיים :<math>\begin{cases}a_i=b_i&:\!1\le i\le k-1\\[3pt]a_i<b_i&:i=k\end{cases}</math> במלים אחרות, בין שני הוקטורים <math>(a_1,\ldots,a_n),(b_1,\ldots,b_n)</math> קיים [[w:יחס סדר מילוני|יחס סדר מילוני]]. למונום בעל בעל הסדר המקסימלי בפולינום <math>F</math> נקרא '''המונום המוביל''', ונסמנו <math>\text{L}(F)</math>. ===דוגמא=== :<math>x_1^7x_2^3x_3^{10}\!\prec x_1^7x_2^{31}x_3\iff(7,3,10)\prec(7,31,1)</math> ==[[w:למה (מתמטיקה)|למה]]== יהיו <math>F,G\in\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]</math> פולינומים. אזי מתקיים <math>\text{L}(F\cdot G)=\text{L}(F)\cdot\text{L}(G)</math>. ===הוכחה=== יהיו <math>X^a,X^b,X^f,X^g</math> מונומים, כאשר <math>X^f=\text{L}(F),\,X^g=\text{L}(G)</math>. 1. נניח כי <math>X^a\!\prec X^f</math>. נראה כי מתקיים <math>X^{a+c}\!\prec X^{f+c}</math> לכל <math>X^c</math>.{{ש}} מן ההגדרה, קיים אינדקס <math>1\le k\le n</math> עבורו מתקיים :<math>\begin{cases}a_i(+\,c_i)=f_i(+\,c_i)&:\!1\le i\le k-1\\[3pt]a_i(+\,c_i)<f_i(+\,c_i)&:i=k\end{cases}</math> 2. נניח כי גם <math>X^b\prec X^g</math>. נראה כי מתקיים <math>X^{a+b}\!\prec X^{f+g}</math>.{{ש}} מן ההגדרה, קיימים אינדקסים <math>k_1,k_2\in\{1,\ldots,n\}</math> עבורם מתקיים בהתאמה :<math>\begin{align}&\begin{cases}a_i=f_i&:\!1\le i\le k_1-1\\[3pt]a_i<f_i&:i=k_1\end{cases},\quad\begin{cases}b_i=g_i&:\!1\le i\le k_2-1\\[3pt]b_i<g_i&:i=k_2\end{cases}\\[8pt]&\begin{cases}1\le k_1\le k_2\le n\!:&(a_{k_1}\!<f_{k_1}\!)\and(b_{k_1}\!\le g_{k_1}\!)\,\implies\,a_{k_1}\!+b_{k_1}\!<f_{k_1}\!+g_{k_1}\\[5pt]1\le k_2<k_1\le n\!:&(a_{k_2}\!=f_{k_2}\!)\and(b_{k_2}\!<g_{k_2}\!)\,\implies\,a_{k_2}\!+b_{k_2}\!<f_{k_2}\!+g_{k_2}\end{cases}\!\Bigg\}\,\implies\,X^{a+b}\!\prec X^{f+g}\end{align}</math> כלומר: :<math>\text{L}(F\cdot G)=X^{f+g}=X^f\cdot X^g=\text{L}(F)\cdot\text{L}(G)</math> <math>\square</math> ==הגדרה 5== יהי <math>F\in\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]</math> פולינום. נגדיר: :<math>\text{D}(F)=\Big\{X^a\!\in\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]:\deg(X^a)\le\deg(\text{L}(F)),X^a\!\prec\text{L}(F)\Big\}</math> כלומר, קבוצת כל [[w:פולינום מתוקן|המונומים המתוקנים]] ממעלה <math>\deg(\text{L}(F))\ge</math> ובעלי סדר קטן מזה של <math>\text{L}(F)</math>. ===דוגמא=== :<math>\begin{align}&F(x_1,x_2)=4+3x_1+2x_1^2x_2+x_2^4\\[3pt]&\text{L}(F)=2x_1^2x_2\\[3pt]&\text{D}(F)=\Big\{x_1x_2^2,x_1^2,x_1x_2,x_2^2,x_1,x_2,1\Big\}\end{align}</math> {{תוכן| |הפרק הקודם=[[../|הקדמה]] |הפרק הנוכחי=סידור מונומי |הפרק הבא=[[../תמורות וסימטריה/]] }} [[קטגוריה:מבנים אלגבריים]] kfaghx6675agkqlfu3tb6pj02za168u 0 30174 181035 175526 2026-10-25T21:47:39Z יהודה שמחה ולדמן 6994 יהודה שמחה ולדמן העביר את הדף [[הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי/פולינומים סימטריים אלמנטריים]] לשם [[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים/פולינומים סימטריים אלמנטריים]]: תחום זה שייך למבנים אלגבריים 175526 wikitext text/x-wiki יהי פולינום במשתנה יחיד ממעלה <math>n\ge1</math> :<math>P(z)=\sum_{k\,=\,0}^na_kz^k\in\C[z]</math> לפי [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/המשפט היסודי של האלגברה|המשפט היסודי של האלגברה]] יש לו <math>n</math> פתרונות מרוכבים (עם ריבוי). לכן ניתן לרשום: :<math>P(z)=a_n\prod_{k\,=\,1}^n(z-z_k)</math> כידוע, [[w:נוסחאות ויאטה|נוסחאות ויאטה]] מקשרות בין מקדמי הפולינום ובין שורשיו: :<math>\begin{cases}z_1+\cdots+z_n=-\dfrac{a_{n-1}}{a_n}\\(z_1z_2+\cdots+z_1z_n)+(z_2z_3+\cdots+z_2z_n)+\cdots+z_{n-1}z_n=\dfrac{a_{n-2}}{a_n}\\(z_1z_2z_3+\cdots+z_1z_2z_n)+(z_1z_3z_4+\cdots+z_1z_3z_n)+\cdots+(z_2z_3z_4+\cdots+z_2z_{n-1}z_n)+\cdots+z_{n-2}z_{n-1}z_n=-\dfrac{a_{n-3}}{a_n}\\\vdots\\z_1\!\cdots z_n=(-1)^n\dfrac{a_0}{a_n}\end{cases}</math> כפי שניתן לראות, סכומים אלה הם פולינומים סימטריים, והם נקראים '''פולינומים סימטריים אלמנטריים'''. ==הגדרה== הפולינומים הסימטריים האלמנטריים במשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math>, מוגדרים כך: :<math>\begin{align}E_1(\vec{X}{}^n)&=\sum_{1\le i\le n}X_i\\[5pt]E_2(\vec{X}{}^n)&=\sum_{1\le i_1<i_2\le n}\!\!\!\!X_{i_1}X_{i_2}\\&\,\,\,\vdots\\[5pt]E_k(\vec{X}{}^n)&=\sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n}\!\!\!\!\!\!X_{i_1}\!\cdots X_{i_k}\\&\,\,\,\vdots\\[5pt]E_n(\vec{X}{}^n)&=X_1\!\cdots X_n\end{align}</math> {{תוכן| |הפרק הקודם=[[../תמורות וסימטריה/]] |הפרק הנוכחי=פולינומים סימטריים אלמנטריים |הפרק הבא=[[../המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים/]] }} [[קטגוריה:הוכחות מתמטיות]] d56i2xt4f87l5uao91wgisdwh34hfye 181044 181035 2026-10-25T21:54:18Z יהודה שמחה ולדמן 6994 תיקון קטגוריה 181044 wikitext text/x-wiki יהי פולינום במשתנה יחיד ממעלה <math>n\ge1</math> :<math>P(z)=\sum_{k\,=\,0}^na_kz^k\in\C[z]</math> לפי [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/המשפט היסודי של האלגברה|המשפט היסודי של האלגברה]] יש לו <math>n</math> פתרונות מרוכבים (עם ריבוי). לכן ניתן לרשום: :<math>P(z)=a_n\prod_{k\,=\,1}^n(z-z_k)</math> כידוע, [[w:נוסחאות ויאטה|נוסחאות ויאטה]] מקשרות בין מקדמי הפולינום ובין שורשיו: :<math>\begin{cases}z_1+\cdots+z_n=-\dfrac{a_{n-1}}{a_n}\\(z_1z_2+\cdots+z_1z_n)+(z_2z_3+\cdots+z_2z_n)+\cdots+z_{n-1}z_n=\dfrac{a_{n-2}}{a_n}\\(z_1z_2z_3+\cdots+z_1z_2z_n)+(z_1z_3z_4+\cdots+z_1z_3z_n)+\cdots+(z_2z_3z_4+\cdots+z_2z_{n-1}z_n)+\cdots+z_{n-2}z_{n-1}z_n=-\dfrac{a_{n-3}}{a_n}\\\vdots\\z_1\!\cdots z_n=(-1)^n\dfrac{a_0}{a_n}\end{cases}</math> כפי שניתן לראות, סכומים אלה הם פולינומים סימטריים, והם נקראים '''פולינומים סימטריים אלמנטריים'''. ==הגדרה== הפולינומים הסימטריים האלמנטריים במשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math>, מוגדרים כך: :<math>\begin{align}E_1(\vec{X}{}^n)&=\sum_{1\le i\le n}X_i\\[5pt]E_2(\vec{X}{}^n)&=\sum_{1\le i_1<i_2\le n}\!\!\!\!X_{i_1}X_{i_2}\\&\,\,\,\vdots\\[5pt]E_k(\vec{X}{}^n)&=\sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n}\!\!\!\!\!\!X_{i_1}\!\cdots X_{i_k}\\&\,\,\,\vdots\\[5pt]E_n(\vec{X}{}^n)&=X_1\!\cdots X_n\end{align}</math> {{תוכן| |הפרק הקודם=[[../תמורות וסימטריה/]] |הפרק הנוכחי=פולינומים סימטריים אלמנטריים |הפרק הבא=[[../המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים/]] }} [[קטגוריה:מבנים אלגבריים]] gtq2zgkdmuwcf4yu0lb0owidpff0v27 0 30175 181037 175779 2026-10-25T21:49:13Z יהודה שמחה ולדמן 6994 יהודה שמחה ולדמן העביר את הדף [[הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי/המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים]] לשם [[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים/המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים]]: תחום זה שייך למבנים אלגבריים 175779 wikitext text/x-wiki יהי <math>\mathbb{F}</math> שדה, ויהי <math>F\in\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]</math> פולינום סימטרי.{{ש}} אזי ניתן להציגו באופן יחיד כפולינום <math>G(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))\in\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]</math>, כאשר: *מעלת <math>G</math> אינה עולה על מעלת <math>F</math>. *אם <math>F</math> בעל מקדמים שלמים אזי גם <math>G</math> בעל מקדמים שלמים. ===הוכחה=== ראשית, נתאר [[w:אלגוריתם|אלגוריתם]] למציאת הפולינום המבוקש <math>G</math>. נגדיר תנאי התחלה <math>m=1</math> וכן <math>F_1=F</math>. #מצאו את <math>\text{L}(F_m)=c_m\,X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n}</math> כאשר <math>c_m\in\mathbb F,c_m\ne0</math>. #הגדירו <math>G_m(\vec{Y}{}^n)=c_m\,Y_1^{a_1-a_2}Y_2^{a_2-a_3}\!\cdots Y_{n-1}^{a_{n-1}-a_n}Y_n^{a_n}</math>. #הציבו <math>F_{m+1}(\vec{X}{}^n)=F_m(\vec{X}{}^n)-G_m(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))</math>. #אם <math>F_{m+1}\ne0</math>, שובו לסעיף 1 והתחילו את התהליך מחדש באינדקס <math>m+1</math>.{{ש}}אם <math>F_{m+1}=0</math>, עברו לסעיף 5. #הציבו <math>G=G_1\!+\cdots+G_m</math>. להוכחת האלגוריתם אנו זקוקים לשתי [[w:למה (מתמטיקה)|למות]]. '''למה 1:''' המונום המוביל ב־<math>F</math> מקיים <math>a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n</math>. '''הוכחה:''' [[w:הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] כי קיים אינדקס <math>k</math> עבורו <math>a_k<a_{k+1}</math>. קיימת תמורה כלשהיא <math>\sigma\in S_X</math> עבורה :<math>X_{\sigma(m)}=\begin{cases}X_m&:m\ne k,k+1\\X_{k+1}&:m=k\\X_k&:m=k+1\end{cases}</math> אך הפולינום <math>\sigma(F)=F</math> מכיל את המונום <math>c\,X_1^{a_1}\!\cdots X_k^{a_{k+1}}X_{k+1}^{a_k}\!\cdots X_n^{a_n}</math>, שסדרו גדול מזה של <math>c\,X_1^{a_1}\!\cdots X_k^{a_k}X_{k+1}^{a_{k+1}}\cdots X_n^{a_n}</math>.{{ש}} '''סתירה.''' <math>\square</math> '''למה 2:''' המונום המוביל בפיתוחו של הפולינום <math>G_m(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))</math> הוא <math>c_m\,X_1^{a_1}\!X_2^{a_2}\!\cdots X_n^{a_n}</math>. '''הוכחה:''' מתקיים כי :<math>\begin{align}\text{L}(E_k)=X_1\!\cdots X_k,&\quad:\!1\le k\le n\\[5pt]\text{L}(c_m\,E_1^{b_1}E_2^{b_2}\!\cdots E_n^{b_n})&=c_m\,\text{L}(E_1^{b_1})\,\text{L}(E_2^{b_2})\cdots\text{L}(E_n^{b_n})\\[5pt]&=c_m\,\text{L}(E_1)^{b_1}\text{L}(E_2)^{b_2}\!\cdots\text{L}(E_n)^{b_n}\\[5pt]&=c_m\,X_1^{b_1}(X_1X_2)^{b_2}\!\cdots(X_1X_2\cdots X_n)^{b_n}\\[5pt]&=c_m(X_1)^{b_1\,+\,\cdots\,+\,b_n}(X_2)^{b_2\,+\,\cdots\,+\,b_n}\!\cdots(X_{n-1})^{b_{n-1}+\,b_n}(X_n)^{b_n}\\[5pt]&=c_m\,X_1^{a_1}X_2^{a_2}\!\cdots X_n^{a_n}\end{align}</math> השוויון האחרון מתקיים [[w:אם ורק אם|אם ורק אם]] :<math>\begin{align}a_k&=\sum_{i\,=\,k}^nb_i,\quad:\!1\le k\le n\\[5pt]b_k&=\begin{cases}a_k\!-a_{k+1}&:\!1\le k\le n-1\\[5pt]a_k&:\!k=n\end{cases}\end{align}</math> <math>\square</math> עתה ניגש להוכחת המשפט: 1. יהי <math>F\ne0</math> פולינום סימטרי במשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math>.{{ש}} ההוכחה ב[[w:אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה שלמה]] על <math>|\text{D}(F)|</math> (ראו [[הוכחות מתמטיות/שונות/π מספר טרנסצנדנטי/סידור מונומי#הגדרה 5|הגדרה]]). אם <math>|\text{D}(F)|=0</math> אזי <math>F</math> פולינום קבוע, וקל להראות כי האלגוריתם מתקיים עבורו. נניח כי האלגוריתם מתקיים לכל הפולינומים הסימטריים <math>F</math> בעלי <math>0\le|\text{D}(F)|\le k</math>, עבור <math>k\in\N</math> כלשהוא.{{ש}} נראה כי האלגוריתם מתקיים גם עבור פולינום סימטרי <math>F_1</math> בעל <math>|\text{D}(F_1)|=k+1</math>, כאשר <math>\text{L}(F_1)=c_1\,X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n}</math>. על־פי למה 2, מתקיים כי: :<math>\begin{align}G_1(\vec{Y}{}^n)&=c_1\,Y_1^{a_1-a_2}Y_2^{a_2-a_3}\!\cdots Y_{n-1}^{a_{n-1}-a_n}Y_n^{a_n}\\[5pt]F_2(\vec{X}{}^n)&=F_1(\vec{X}{}^n)-G_1(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))\end{align}</math> הפונקציה <math>G_1</math> היא פולינום, שכן <math>a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n</math>.{{ש}} בנוסף, על־פי [[הוכחות מתמטיות/שונות/π מספר טרנסצנדנטי/פולינומים סימטריים#תכונות|תכונות הפולינומים הסימטריים]] <math>G_1(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))</math> פולינום סימטרי במשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math>, ולכן גם <math>F_2</math> פולינום סימטרי.{{ש}} הפולינומים <math>F_1(\vec{X}{}^n),G_1(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))</math> מכילים שניהם את <math>\text{L}(F_1)</math>, ולכן הוא מתקזז בהפרשם.{{ש}} אם <math>F_2=0</math> אזי <math>G=G_1</math>.{{ש}} אם <math>F_2\ne0</math> אזי <math>\text{L}(F_2)\prec\text{L}(F_1)</math>, כלומר <math>|\text{D}(F_2)|<|\text{D}(F_1)|=k+1</math>.{{ש}} הנחת האינדוקציה מתקיימת עבור <math>F_2</math>, ועל כן האלגוריתם מניב פולינום <math>G^*</math> עבורו :<math>\begin{align}F_2(\vec{X}{}^n)&=G^*\!(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))\\[5pt]F_1(\vec{X}{}^n)&=G_1(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))+G^*\!(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))\end{align}</math> 2. תכונות המשפט מתקיימות: *על־פי ההגדרה, מעלת <math>G_1(\vec{Y}{}^n)</math> היא <math>a_1</math> ומעלת <math>F_1</math> היא לפחות <math>a_1\!+\cdots+a_n</math>. *אם <math>F_1</math> בעל מקדמים שלמים אזי <math>c_1\ne0</math> הנ"ל מספר שלם. לכן גם <math>G_1</math> בעל מקדמים שלמים. <math>\blacksquare</math> ==תוצאות חשובות== '''משפט.''' יהי <math>\mathbb{F}\sube\mathbb{E}</math> שדה, ויהי <math>P\in\mathbb{F}[z]</math> פולינום ממעלה <math>n</math> בעל השורשים <math>\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\mathbb{E}</math> (עם ריבוי).{{ש}} יהי <math>G\in\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]</math> פולינום סימטרי. אזי <math>G(\vec{\alpha}{}^n)\in\mathbb{F}</math>. '''הוכחה.''' על־פי [[w:נוסחאות ויאטה|נוסחאות ויאטה]] מתקיים כי: :<math>\begin{align}P(z)&=\sum_{k\,=\,0}^na_kz^k\in\mathbb{F}[z]\\[5pt]E_k(\vec{\alpha}{}^n)&=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n}\in\mathbb{F},\quad(1\le k\le n)\end{align}</math> על־פי המשפט היסודי, <math>G</math> ניתן להצגה כפולינום :<math>\begin{align}G(\vec{X}{}^n)&=H(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))\in\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]\\[5pt]G(\vec{\alpha}{}^n)&=H(\vec{E}{}^n(\vec{\alpha}{}^n))\in\mathbb{F}\end{align}</math> <math>\square</math> '''משפט.''' יהי <math>\mathbb{F}\sube\mathbb{E}</math> שדה, ויהי <math>P\in\mathbb{F}[z]</math> פולינום ממעלה <math>n</math> בעל השורשים <math>\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\mathbb{E}</math> (עם ריבוי).{{ש}} אזי לכל <math>1\le k\le n</math> קיים [[w:פולינום מתוקן|פולינום מתוקן]] <math>P_k\in\mathbb{F}[z]</math> אשר שורשיו הם סכומי/מכפלות כל <math>k</math> מבין שורשי <math>P</math>. '''הוכחה.''' יהיו <math>\beta_1,\ldots,\beta_m</math> סכומי/מכפלות כל <math>k</math> מבין שורשי <math>P</math> (לאמר <math>m=\tbinom{n}{k}</math>).{{ש}} עלינו להראות כי מתקיים :<math>P_k(z)=\prod_{i\,=\,1}^m(z-\beta_i)\in\mathbb{F}[z]</math> על־פי נוסחאות ויאטה, מקדמי הפולינום כולם פולינומים סימטריים לפי <math>\beta_1,\ldots,\beta_m</math>. יהי <math>G\in\mathbb{F}[\vec{Y}{}^m]</math> פולינום סימטרי, ויהיו <math>Y_1,\ldots,Y_m</math> סכומי/מכפלות כל <math>k</math> מבין המשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math>.{{ש}} אזי <math>G</math> ניתן להצגה כפולינום :<math>G(\vec{Y}{}^m)=H(\vec{X}{}^n)</math> קל לראות כי בהפעלת תמורה על <math>X_1,\ldots,X_n</math> מתקיימת גם תמורה על <math>Y_1,\ldots,Y_m</math>.{{ש}} לכן <math>H\in\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]</math> פולינום סימטרי, ועל־פי המשפט הקודם מתקיים כי :<math>G(\vec{\beta}{}^m)=H(\vec{\alpha}{}^n)\in\mathbb{F}</math> <math>\square</math> ===מסקנה=== יהי <math>\mathbb{E}</math> שדה, ויהי <math>P\in\Z[z]</math> [[w:פולינום מתוקן|פולינום מתוקן]] ממעלה <math>n</math> בעל השורשים <math>\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\mathbb{E}</math> (עם ריבוי).{{ש}} אזי לכל <math>1\le k\le n</math> מתקיים <math>P_k\in\Z[z]</math>. {{תוכן| |הפרק הקודם=[[../פולינומים סימטריים אלמנטריים/]] |הפרק הנוכחי=המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים |הפרק הבא=סוף }} [[קטגוריה:הוכחות מתמטיות]] 0fjhun108puqinynn0yf57wj7iklqus 181045 181037 2026-10-25T21:54:36Z יהודה שמחה ולדמן 6994 תיקון קטגוריה 181045 wikitext text/x-wiki יהי <math>\mathbb{F}</math> שדה, ויהי <math>F\in\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]</math> פולינום סימטרי.{{ש}} אזי ניתן להציגו באופן יחיד כפולינום <math>G(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))\in\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]</math>, כאשר: *מעלת <math>G</math> אינה עולה על מעלת <math>F</math>. *אם <math>F</math> בעל מקדמים שלמים אזי גם <math>G</math> בעל מקדמים שלמים. ===הוכחה=== ראשית, נתאר [[w:אלגוריתם|אלגוריתם]] למציאת הפולינום המבוקש <math>G</math>. נגדיר תנאי התחלה <math>m=1</math> וכן <math>F_1=F</math>. #מצאו את <math>\text{L}(F_m)=c_m\,X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n}</math> כאשר <math>c_m\in\mathbb F,c_m\ne0</math>. #הגדירו <math>G_m(\vec{Y}{}^n)=c_m\,Y_1^{a_1-a_2}Y_2^{a_2-a_3}\!\cdots Y_{n-1}^{a_{n-1}-a_n}Y_n^{a_n}</math>. #הציבו <math>F_{m+1}(\vec{X}{}^n)=F_m(\vec{X}{}^n)-G_m(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))</math>. #אם <math>F_{m+1}\ne0</math>, שובו לסעיף 1 והתחילו את התהליך מחדש באינדקס <math>m+1</math>.{{ש}}אם <math>F_{m+1}=0</math>, עברו לסעיף 5. #הציבו <math>G=G_1\!+\cdots+G_m</math>. להוכחת האלגוריתם אנו זקוקים לשתי [[w:למה (מתמטיקה)|למות]]. '''למה 1:''' המונום המוביל ב־<math>F</math> מקיים <math>a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n</math>. '''הוכחה:''' [[w:הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] כי קיים אינדקס <math>k</math> עבורו <math>a_k<a_{k+1}</math>. קיימת תמורה כלשהיא <math>\sigma\in S_X</math> עבורה :<math>X_{\sigma(m)}=\begin{cases}X_m&:m\ne k,k+1\\X_{k+1}&:m=k\\X_k&:m=k+1\end{cases}</math> אך הפולינום <math>\sigma(F)=F</math> מכיל את המונום <math>c\,X_1^{a_1}\!\cdots X_k^{a_{k+1}}X_{k+1}^{a_k}\!\cdots X_n^{a_n}</math>, שסדרו גדול מזה של <math>c\,X_1^{a_1}\!\cdots X_k^{a_k}X_{k+1}^{a_{k+1}}\cdots X_n^{a_n}</math>.{{ש}} '''סתירה.''' <math>\square</math> '''למה 2:''' המונום המוביל בפיתוחו של הפולינום <math>G_m(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))</math> הוא <math>c_m\,X_1^{a_1}\!X_2^{a_2}\!\cdots X_n^{a_n}</math>. '''הוכחה:''' מתקיים כי :<math>\begin{align}\text{L}(E_k)=X_1\!\cdots X_k,&\quad:\!1\le k\le n\\[5pt]\text{L}(c_m\,E_1^{b_1}E_2^{b_2}\!\cdots E_n^{b_n})&=c_m\,\text{L}(E_1^{b_1})\,\text{L}(E_2^{b_2})\cdots\text{L}(E_n^{b_n})\\[5pt]&=c_m\,\text{L}(E_1)^{b_1}\text{L}(E_2)^{b_2}\!\cdots\text{L}(E_n)^{b_n}\\[5pt]&=c_m\,X_1^{b_1}(X_1X_2)^{b_2}\!\cdots(X_1X_2\cdots X_n)^{b_n}\\[5pt]&=c_m(X_1)^{b_1\,+\,\cdots\,+\,b_n}(X_2)^{b_2\,+\,\cdots\,+\,b_n}\!\cdots(X_{n-1})^{b_{n-1}+\,b_n}(X_n)^{b_n}\\[5pt]&=c_m\,X_1^{a_1}X_2^{a_2}\!\cdots X_n^{a_n}\end{align}</math> השוויון האחרון מתקיים [[w:אם ורק אם|אם ורק אם]] :<math>\begin{align}a_k&=\sum_{i\,=\,k}^nb_i,\quad:\!1\le k\le n\\[5pt]b_k&=\begin{cases}a_k\!-a_{k+1}&:\!1\le k\le n-1\\[5pt]a_k&:\!k=n\end{cases}\end{align}</math> <math>\square</math> עתה ניגש להוכחת המשפט: 1. יהי <math>F\ne0</math> פולינום סימטרי במשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math>.{{ש}} ההוכחה ב[[w:אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה שלמה]] על <math>|\text{D}(F)|</math> (ראו [[הוכחות מתמטיות/שונות/π מספר טרנסצנדנטי/סידור מונומי#הגדרה 5|הגדרה]]). אם <math>|\text{D}(F)|=0</math> אזי <math>F</math> פולינום קבוע, וקל להראות כי האלגוריתם מתקיים עבורו. נניח כי האלגוריתם מתקיים לכל הפולינומים הסימטריים <math>F</math> בעלי <math>0\le|\text{D}(F)|\le k</math>, עבור <math>k\in\N</math> כלשהוא.{{ש}} נראה כי האלגוריתם מתקיים גם עבור פולינום סימטרי <math>F_1</math> בעל <math>|\text{D}(F_1)|=k+1</math>, כאשר <math>\text{L}(F_1)=c_1\,X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n}</math>. על־פי למה 2, מתקיים כי: :<math>\begin{align}G_1(\vec{Y}{}^n)&=c_1\,Y_1^{a_1-a_2}Y_2^{a_2-a_3}\!\cdots Y_{n-1}^{a_{n-1}-a_n}Y_n^{a_n}\\[5pt]F_2(\vec{X}{}^n)&=F_1(\vec{X}{}^n)-G_1(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))\end{align}</math> הפונקציה <math>G_1</math> היא פולינום, שכן <math>a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n</math>.{{ש}} בנוסף, על־פי [[הוכחות מתמטיות/שונות/π מספר טרנסצנדנטי/פולינומים סימטריים#תכונות|תכונות הפולינומים הסימטריים]] <math>G_1(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))</math> פולינום סימטרי במשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math>, ולכן גם <math>F_2</math> פולינום סימטרי.{{ש}} הפולינומים <math>F_1(\vec{X}{}^n),G_1(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))</math> מכילים שניהם את <math>\text{L}(F_1)</math>, ולכן הוא מתקזז בהפרשם.{{ש}} אם <math>F_2=0</math> אזי <math>G=G_1</math>.{{ש}} אם <math>F_2\ne0</math> אזי <math>\text{L}(F_2)\prec\text{L}(F_1)</math>, כלומר <math>|\text{D}(F_2)|<|\text{D}(F_1)|=k+1</math>.{{ש}} הנחת האינדוקציה מתקיימת עבור <math>F_2</math>, ועל כן האלגוריתם מניב פולינום <math>G^*</math> עבורו :<math>\begin{align}F_2(\vec{X}{}^n)&=G^*\!(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))\\[5pt]F_1(\vec{X}{}^n)&=G_1(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))+G^*\!(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))\end{align}</math> 2. תכונות המשפט מתקיימות: *על־פי ההגדרה, מעלת <math>G_1(\vec{Y}{}^n)</math> היא <math>a_1</math> ומעלת <math>F_1</math> היא לפחות <math>a_1\!+\cdots+a_n</math>. *אם <math>F_1</math> בעל מקדמים שלמים אזי <math>c_1\ne0</math> הנ"ל מספר שלם. לכן גם <math>G_1</math> בעל מקדמים שלמים. <math>\blacksquare</math> ==תוצאות חשובות== '''משפט.''' יהי <math>\mathbb{F}\sube\mathbb{E}</math> שדה, ויהי <math>P\in\mathbb{F}[z]</math> פולינום ממעלה <math>n</math> בעל השורשים <math>\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\mathbb{E}</math> (עם ריבוי).{{ש}} יהי <math>G\in\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]</math> פולינום סימטרי. אזי <math>G(\vec{\alpha}{}^n)\in\mathbb{F}</math>. '''הוכחה.''' על־פי [[w:נוסחאות ויאטה|נוסחאות ויאטה]] מתקיים כי: :<math>\begin{align}P(z)&=\sum_{k\,=\,0}^na_kz^k\in\mathbb{F}[z]\\[5pt]E_k(\vec{\alpha}{}^n)&=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n}\in\mathbb{F},\quad(1\le k\le n)\end{align}</math> על־פי המשפט היסודי, <math>G</math> ניתן להצגה כפולינום :<math>\begin{align}G(\vec{X}{}^n)&=H(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))\in\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]\\[5pt]G(\vec{\alpha}{}^n)&=H(\vec{E}{}^n(\vec{\alpha}{}^n))\in\mathbb{F}\end{align}</math> <math>\square</math> '''משפט.''' יהי <math>\mathbb{F}\sube\mathbb{E}</math> שדה, ויהי <math>P\in\mathbb{F}[z]</math> פולינום ממעלה <math>n</math> בעל השורשים <math>\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\mathbb{E}</math> (עם ריבוי).{{ש}} אזי לכל <math>1\le k\le n</math> קיים [[w:פולינום מתוקן|פולינום מתוקן]] <math>P_k\in\mathbb{F}[z]</math> אשר שורשיו הם סכומי/מכפלות כל <math>k</math> מבין שורשי <math>P</math>. '''הוכחה.''' יהיו <math>\beta_1,\ldots,\beta_m</math> סכומי/מכפלות כל <math>k</math> מבין שורשי <math>P</math> (לאמר <math>m=\tbinom{n}{k}</math>).{{ש}} עלינו להראות כי מתקיים :<math>P_k(z)=\prod_{i\,=\,1}^m(z-\beta_i)\in\mathbb{F}[z]</math> על־פי נוסחאות ויאטה, מקדמי הפולינום כולם פולינומים סימטריים לפי <math>\beta_1,\ldots,\beta_m</math>. יהי <math>G\in\mathbb{F}[\vec{Y}{}^m]</math> פולינום סימטרי, ויהיו <math>Y_1,\ldots,Y_m</math> סכומי/מכפלות כל <math>k</math> מבין המשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math>.{{ש}} אזי <math>G</math> ניתן להצגה כפולינום :<math>G(\vec{Y}{}^m)=H(\vec{X}{}^n)</math> קל לראות כי בהפעלת תמורה על <math>X_1,\ldots,X_n</math> מתקיימת גם תמורה על <math>Y_1,\ldots,Y_m</math>.{{ש}} לכן <math>H\in\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]</math> פולינום סימטרי, ועל־פי המשפט הקודם מתקיים כי :<math>G(\vec{\beta}{}^m)=H(\vec{\alpha}{}^n)\in\mathbb{F}</math> <math>\square</math> ===מסקנה=== יהי <math>\mathbb{E}</math> שדה, ויהי <math>P\in\Z[z]</math> [[w:פולינום מתוקן|פולינום מתוקן]] ממעלה <math>n</math> בעל השורשים <math>\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\mathbb{E}</math> (עם ריבוי).{{ש}} אזי לכל <math>1\le k\le n</math> מתקיים <math>P_k\in\Z[z]</math>. {{תוכן| |הפרק הקודם=[[../פולינומים סימטריים אלמנטריים/]] |הפרק הנוכחי=המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים |הפרק הבא=סוף }} [[קטגוריה:מבנים אלגבריים]] ciybhnqije9il2km3msiirtqkrcz7gi 0 30176 181039 175524 2026-10-25T21:50:38Z יהודה שמחה ולדמן 6994 יהודה שמחה ולדמן העביר את הדף [[הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי/תמורות וסימטריה]] לשם [[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים/תמורות וסימטריה]]: תחום זה שייך למבנים אלגבריים 175524 wikitext text/x-wiki ==הגדרה 1== [[w:תמורה (מתמטיקה)|תמורה]] היא [[w:פונקציה חד-חד-ערכית ועל|פונקציה חד־חד־ערכית ועל]] מ[[w:קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] לעצמה. תהי קבוצה סופית <math>X=\bigl\{X_1,\ldots,X_n\bigr\}</math>. הפונקציה <math>\sigma:X\to X</math> תיקרא תמורה [[w:אם ורק אם|אם ורק אם]] היא חד־חד־ערכית ועל. כלומר, לכל <math>1\le i\le n</math> קיים <math>1\le j\le n</math> יחיד עבורו <math>\sigma(X_i)=X_{\sigma(i)}=X_j</math>. קבוצת כל התמורות של אברי <math>X</math> מסומנת <math>S_X</math>. ===דוגמא=== עבור <math>X=\bigl\{1,2,3\bigr\}</math> קיימות <math>3!=6</math> תמורות שונות: :<math>\begin{align}&\sigma_1=\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix},\quad\sigma_2=\begin{bmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{bmatrix}\\[5pt]&\sigma_3=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{bmatrix},\quad\sigma_4=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{bmatrix}\\[5pt]&\sigma_5=\begin{bmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{bmatrix},\quad\sigma_6=\begin{bmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{bmatrix}\end{align}</math> {{ש}} באופן כללי, אם <math>|X|=n</math> אזי <math>|S_X|=n!=1\cdot2\cdots n</math>. ==הגדרה 2== יהי <math>F(\vec{X}{}^n)</math> פולינום. נגדיר: :<math>\sigma(F):=F(X_{\sigma(1)},\ldots,X_{\sigma(n)})</math> ===תכונות=== יהיו <math>F(\vec{X}{}^n),G(\vec{X}{}^n)</math> פולינומים. אזי מתקיים: *<math>\sigma(cF)=c\,\sigma(F)</math> כאשר <math>c\in\R</math>. *<math>\sigma(F\pm G)=\sigma(F)\pm\sigma(G)</math> *<math>\sigma(F\cdot G)=\sigma(F)\cdot\sigma(G)</math> *<math>(\sigma_1\circ\sigma_2)(F)=\sigma_1(\sigma_2(F))</math> ====הוכחה==== *מן ההגדרה, התמורה פועלת על אינדקסי המשתנים בלבד. *ראשית, נניח כי <math>F,G</math> מונומים מהצורה :<math>\begin{align}F&=a\,X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n}\\[5pt]G&=b\,X_1^{b_1}\!\cdots X_n^{b_n}\\[5pt]\sigma(F\pm G)&=\sigma\bigl(a\,X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n}\!\pm b\,X_1^{b_1}\!\cdots X_n^{b_n}\bigl)\\[5pt]&=a\,X_{\sigma(1)}^{a_1}\!\cdots X_{\sigma(n)}^{a_n}\!\pm b\,X_{\sigma(1)}^{b_1}\!\cdots X_{\sigma(n)}^{b_n}\\[5pt]&=\sigma\bigl(a\,X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n}\bigl)\pm\sigma\bigl(b\,X_1^{b_1}\!\cdots X_n^{b_n}\bigl)\\[5pt]&=\sigma(F)\pm\sigma(G)\end{align}</math> :נכליל ב[[w:אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]] לגבי <math>F=\sum_{i_1\,=\,1}^{k_1}F_{i_1},\,G=\sum_{i_2\,=\,1}^{k_2}G_{i_2}</math>, כאשר <math>F_{i_1},G_{i_2}</math> מונומים. *כנ"ל, נניח כי <math>F,G</math> מונומים מהצורה :<math>\begin{align}F&=a\,X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n}\\[5pt]G&=b\,X_1^{b_1}\!\cdots X_n^{b_n}\\[5pt]\sigma(F\cdot G)&=\sigma\bigl(a\,X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n}\!\cdot b\,X_1^{b_1}\!\cdots X_n^{b_n}\bigl)\\[5pt]&=ab\,\sigma\bigl(X_1^{a_1+b_1}\!\cdots X_n^{a_n+b_n}\bigl)\\[5pt]&=ab\,X_{\sigma(1)}^{a_1+b_1}\!\cdots X_{\sigma(n)}^{a_n+b_n}\\[5pt]&=\bigl(a\,X_{\sigma(1)}^{a_1}\!\cdots X_{\sigma(n)}^{a_n}\bigr)\cdot\bigl(b\,X_{\sigma(1)}^{b_1}\!\cdots X_{\sigma(n)}^{b_n}\bigr)\\[5pt]&=\sigma\bigl(a\,X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n}\bigl)\cdot\sigma\bigl(b\,X_1^{b_1}\!\cdots X_n^{b_n}\bigl)\\[5pt]&=\sigma(F)\cdot\sigma(G)\end{align}</math> :כנ"ל, נכליל באינדוקציה לגבי <math>F=\sum_{i_1\,=\,1}^{k_1}F_{i_1},\,G=\sum_{i_2\,=\,1}^{k_2}G_{i_2}</math>, כאשר <math>F_{i_1},G_{i_2}</math> מונומים: ::<math>\begin{align}\sigma(F\cdot G)&=\sigma\bigg(\sum_{i_1\,=\,1}^{k_1}F_{i_1}\cdot\sum_{i_2\,=\,1}^{k_2}G_{i_2}\bigg)\\[5pt]&=\sigma\bigg(\sum_{i_1\,=\,1}^{k_1}\sum_{i_2\,=\,1}^{k_2}F_{i_1}G_{i_2}\bigg)\\[5pt]&=\sum_{i_1\,=\,1}^{k_1}\sum_{i_2\,=\,1}^{k_2}\sigma(F_{i_1}\!\cdot G_{i_2})\\[5pt]&=\sum_{i_1\,=\,1}^{k_1}\sum_{i_2\,=\,1}^{k_2}\sigma(F_{i_1})\cdot\sigma(G_{i_2})\\[5pt]&=\sum_{i_1\,=\,1}^{k_1}\sigma(F_{i_1})\cdot\sum_{i_2\,=\,1}^{k_2}\sigma(G_{i_2})\\&=\sigma\bigg(\sum_{i_1\,=\,1}^{k_1}F_{i_1}\bigg)\cdot\sigma\bigg(\sum_{i_2\,=\,1}^{k_2}G_{i_2}\bigg)\\[5pt]&=\sigma(F)\cdot\sigma(G)\end{align}</math> *מן ההגדרה נקבל: ::<math>\begin{align}(\sigma_1\circ\sigma_2)(F)&=F\bigl(X_{(\sigma_1\,\circ\,\sigma_2)(1)},\ldots,X_{(\sigma_1\,\circ\,\sigma_2)(n)}\bigr)\\[5pt]&=F\bigl(X_{\sigma_1(\sigma_2(1))},\ldots,X_{\sigma_1(\sigma_2(n))}\bigr)\\[5pt]&=\sigma_1\bigl(F(X_{\sigma_2(1)},\ldots,X_{\sigma_2(n)})\bigr)\\[5pt]&=\sigma_1(\sigma_2(F))\end{align}</math> ==הגדרה 3== יהי <math>P(\vec{X}{}^n)</math> פולינום. אזי הוא נקרא [[w:פולינום סימטרי|'''פולינום סימטרי''']] אם מתקיים :<math>\sigma(P)=P</math> לכל תמורה <math>\sigma:\{1,\ldots,n\}\to\{1,\ldots,n\}</math>. ===דוגמאות=== *פולינום סימטרי: ::<math>\begin{align}P({\color{red}x_1},{\color{Green}x_2},{\color{blue}x_3})&={\color{red}x_1^2}{\color{Green}x_2^2}{\color{blue}x_3^2}+{\color{red}3x_1}+{\color{Green}3x_2}+{\color{blue}3x_3}\\[5pt]&={\color{red}x_1^2}{\color{blue}x_3^2}{\color{Green}x_2^2}+{\color{red}3x_1}+{\color{blue}3x_3}+{\color{Green}3x_2}\\[5pt]&={\color{Green}x_2^2}{\color{red}x_1^2}{\color{blue}x_3^2}+{\color{Green}3x_2}+{\color{red}3x_1}+{\color{blue}3x_3}\\[5pt]&={\color{Green}x_2^2}{\color{blue}x_3^2}{\color{red}x_1^2}+{\color{Green}3x_2}+{\color{blue}3x_3}+{\color{red}3x_1}\\[5pt]&={\color{blue}x_3^2}{\color{red}x_1^2}{\color{Green}x_2^2}+{\color{blue}3x_3}+{\color{red}3x_1}+{\color{Green}3x_2}\\[5pt]&={\color{blue}x_3^2}{\color{Green}x_2^2}{\color{red}x_1^2}+{\color{blue}3x_3}+{\color{Green}3x_2}+{\color{red}3x_1}\end{align}</math> *פולינום אי־סימטרי: ::<math>\begin{align}P({\color{red}x_1},{\color{Green}x_2},{\color{blue}x_3})&={\color{red}x_1}+{\color{Green}x_2}-{\color{blue}x_3}\\[5pt]&\ne{\color{red}x_1}+{\color{blue}x_3}-{\color{Green}x_2}\\[5pt]&\ne{\color{Green}x_2}+{\color{red}x_1}-{\color{blue}x_3}\\[5pt]&\ne{\color{Green}x_2}+{\color{blue}x_3}-{\color{red}x_1}\\[5pt]&\ne{\color{blue}x_3}+{\color{red}x_1}-{\color{Green}x_2}\\[5pt]&\ne{\color{blue}x_3}+{\color{Green}x_2}-{\color{red}x_1}\end{align}</math> ===תכונות=== *סכום, הפרש ומכפלת פולינומים סימטריים הוא פולינום סימטרי.{{ש}} *יהי <math>F</math> פולינום במשתנים <math>Y_1,\ldots,Y_m</math>, ויהיו <math>G_1,\ldots,G_m</math> פולינומים סימטריים במשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math>. :אזי גם <math>F(\vec{G}{}^m(\vec{X}{}^n))</math> סימטרית במשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math>. ====הוכחה==== *נובע מן התכונות בהגדרה 2 ומהגדרת הפולינום הסימטרי לעיל. *מן ההגדרה מתקיים: :<math>\begin{align}\sigma\bigl(F(\vec{G}{}^m(\vec{X}{}^n))\bigr)&=\sigma\bigl(F(G_1(\vec{X}{}^n),\ldots,G_m(\vec{X}{}^n))\bigr)\\[5pt]&=F\bigl(\sigma(G_1(\vec{X}{}^n)),\ldots,\sigma(G_m(\vec{X}{}^n))\bigr)\\[5pt]&=F\bigl(G_1(\vec{X}{}^n),\ldots,G_m(\vec{X}{}^n)\bigr)\\[5pt]&=F(\vec{G}{}^m(\vec{X}{}^n))\end{align}</math> {{תוכן |הפרק הקודם=[[../סידור מונומי/]] |הפרק הנוכחי=תמורות וסימטריה |הפרק הבא=[[../פולינומים סימטריים אלמנטריים/]] }} [[קטגוריה:הוכחות מתמטיות]] 9e45oxa65tuyaetugu1956vklb29xux 181043 181039 2026-10-25T21:53:41Z יהודה שמחה ולדמן 6994 181043 wikitext text/x-wiki ==הגדרה 1== [[w:תמורה (מתמטיקה)|תמורה]] היא [[w:פונקציה חד-חד-ערכית ועל|פונקציה חד־חד־ערכית ועל]] מ[[w:קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] לעצמה. תהי קבוצה סופית <math>X=\bigl\{X_1,\ldots,X_n\bigr\}</math>. הפונקציה <math>\sigma:X\to X</math> תיקרא תמורה [[w:אם ורק אם|אם ורק אם]] היא חד־חד־ערכית ועל. כלומר, לכל <math>1\le i\le n</math> קיים <math>1\le j\le n</math> יחיד עבורו <math>\sigma(X_i)=X_{\sigma(i)}=X_j</math>. קבוצת כל התמורות של אברי <math>X</math> מסומנת <math>S_X</math>. ===דוגמא=== עבור <math>X=\bigl\{1,2,3\bigr\}</math> קיימות <math>3!=6</math> תמורות שונות: :<math>\begin{align}&\sigma_1=\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix},\quad\sigma_2=\begin{bmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{bmatrix}\\[5pt]&\sigma_3=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{bmatrix},\quad\sigma_4=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{bmatrix}\\[5pt]&\sigma_5=\begin{bmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{bmatrix},\quad\sigma_6=\begin{bmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{bmatrix}\end{align}</math> {{ש}} באופן כללי, אם <math>|X|=n</math> אזי <math>|S_X|=n!=1\cdot2\cdots n</math>. ==הגדרה 2== יהי <math>F(\vec{X}{}^n)</math> פולינום. נגדיר: :<math>\sigma(F):=F(X_{\sigma(1)},\ldots,X_{\sigma(n)})</math> ===תכונות=== יהיו <math>F(\vec{X}{}^n),G(\vec{X}{}^n)</math> פולינומים. אזי מתקיים: *<math>\sigma(cF)=c\,\sigma(F)</math> כאשר <math>c\in\R</math>. *<math>\sigma(F\pm G)=\sigma(F)\pm\sigma(G)</math> *<math>\sigma(F\cdot G)=\sigma(F)\cdot\sigma(G)</math> *<math>(\sigma_1\circ\sigma_2)(F)=\sigma_1(\sigma_2(F))</math> ====הוכחה==== *מן ההגדרה, התמורה פועלת על אינדקסי המשתנים בלבד. *ראשית, נניח כי <math>F,G</math> מונומים מהצורה :<math>\begin{align}F&=a\,X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n}\\[5pt]G&=b\,X_1^{b_1}\!\cdots X_n^{b_n}\\[5pt]\sigma(F\pm G)&=\sigma\bigl(a\,X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n}\!\pm b\,X_1^{b_1}\!\cdots X_n^{b_n}\bigl)\\[5pt]&=a\,X_{\sigma(1)}^{a_1}\!\cdots X_{\sigma(n)}^{a_n}\!\pm b\,X_{\sigma(1)}^{b_1}\!\cdots X_{\sigma(n)}^{b_n}\\[5pt]&=\sigma\bigl(a\,X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n}\bigl)\pm\sigma\bigl(b\,X_1^{b_1}\!\cdots X_n^{b_n}\bigl)\\[5pt]&=\sigma(F)\pm\sigma(G)\end{align}</math> :נכליל ב[[w:אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]] לגבי <math>F=\sum_{i_1\,=\,1}^{k_1}F_{i_1},\,G=\sum_{i_2\,=\,1}^{k_2}G_{i_2}</math>, כאשר <math>F_{i_1},G_{i_2}</math> מונומים. *כנ"ל, נניח כי <math>F,G</math> מונומים מהצורה :<math>\begin{align}F&=a\,X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n}\\[5pt]G&=b\,X_1^{b_1}\!\cdots X_n^{b_n}\\[5pt]\sigma(F\cdot G)&=\sigma\bigl(a\,X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n}\!\cdot b\,X_1^{b_1}\!\cdots X_n^{b_n}\bigl)\\[5pt]&=ab\,\sigma\bigl(X_1^{a_1+b_1}\!\cdots X_n^{a_n+b_n}\bigl)\\[5pt]&=ab\,X_{\sigma(1)}^{a_1+b_1}\!\cdots X_{\sigma(n)}^{a_n+b_n}\\[5pt]&=\bigl(a\,X_{\sigma(1)}^{a_1}\!\cdots X_{\sigma(n)}^{a_n}\bigr)\cdot\bigl(b\,X_{\sigma(1)}^{b_1}\!\cdots X_{\sigma(n)}^{b_n}\bigr)\\[5pt]&=\sigma\bigl(a\,X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n}\bigl)\cdot\sigma\bigl(b\,X_1^{b_1}\!\cdots X_n^{b_n}\bigl)\\[5pt]&=\sigma(F)\cdot\sigma(G)\end{align}</math> :כנ"ל, נכליל באינדוקציה לגבי <math>F=\sum_{i_1\,=\,1}^{k_1}F_{i_1},\,G=\sum_{i_2\,=\,1}^{k_2}G_{i_2}</math>, כאשר <math>F_{i_1},G_{i_2}</math> מונומים: ::<math>\begin{align}\sigma(F\cdot G)&=\sigma\bigg(\sum_{i_1\,=\,1}^{k_1}F_{i_1}\cdot\sum_{i_2\,=\,1}^{k_2}G_{i_2}\bigg)\\[5pt]&=\sigma\bigg(\sum_{i_1\,=\,1}^{k_1}\sum_{i_2\,=\,1}^{k_2}F_{i_1}G_{i_2}\bigg)\\[5pt]&=\sum_{i_1\,=\,1}^{k_1}\sum_{i_2\,=\,1}^{k_2}\sigma(F_{i_1}\!\cdot G_{i_2})\\[5pt]&=\sum_{i_1\,=\,1}^{k_1}\sum_{i_2\,=\,1}^{k_2}\sigma(F_{i_1})\cdot\sigma(G_{i_2})\\[5pt]&=\sum_{i_1\,=\,1}^{k_1}\sigma(F_{i_1})\cdot\sum_{i_2\,=\,1}^{k_2}\sigma(G_{i_2})\\&=\sigma\bigg(\sum_{i_1\,=\,1}^{k_1}F_{i_1}\bigg)\cdot\sigma\bigg(\sum_{i_2\,=\,1}^{k_2}G_{i_2}\bigg)\\[5pt]&=\sigma(F)\cdot\sigma(G)\end{align}</math> *מן ההגדרה נקבל: ::<math>\begin{align}(\sigma_1\circ\sigma_2)(F)&=F\bigl(X_{(\sigma_1\,\circ\,\sigma_2)(1)},\ldots,X_{(\sigma_1\,\circ\,\sigma_2)(n)}\bigr)\\[5pt]&=F\bigl(X_{\sigma_1(\sigma_2(1))},\ldots,X_{\sigma_1(\sigma_2(n))}\bigr)\\[5pt]&=\sigma_1\bigl(F(X_{\sigma_2(1)},\ldots,X_{\sigma_2(n)})\bigr)\\[5pt]&=\sigma_1(\sigma_2(F))\end{align}</math> ==הגדרה 3== יהי <math>P(\vec{X}{}^n)</math> פולינום. אזי הוא נקרא [[w:פולינום סימטרי|'''פולינום סימטרי''']] אם מתקיים :<math>\sigma(P)=P</math> לכל תמורה <math>\sigma:\{1,\ldots,n\}\to\{1,\ldots,n\}</math>. ===דוגמאות=== *פולינום סימטרי: ::<math>\begin{align}P({\color{red}x_1},{\color{Green}x_2},{\color{blue}x_3})&={\color{red}x_1^2}{\color{Green}x_2^2}{\color{blue}x_3^2}+{\color{red}3x_1}+{\color{Green}3x_2}+{\color{blue}3x_3}\\[5pt]&={\color{red}x_1^2}{\color{blue}x_3^2}{\color{Green}x_2^2}+{\color{red}3x_1}+{\color{blue}3x_3}+{\color{Green}3x_2}\\[5pt]&={\color{Green}x_2^2}{\color{red}x_1^2}{\color{blue}x_3^2}+{\color{Green}3x_2}+{\color{red}3x_1}+{\color{blue}3x_3}\\[5pt]&={\color{Green}x_2^2}{\color{blue}x_3^2}{\color{red}x_1^2}+{\color{Green}3x_2}+{\color{blue}3x_3}+{\color{red}3x_1}\\[5pt]&={\color{blue}x_3^2}{\color{red}x_1^2}{\color{Green}x_2^2}+{\color{blue}3x_3}+{\color{red}3x_1}+{\color{Green}3x_2}\\[5pt]&={\color{blue}x_3^2}{\color{Green}x_2^2}{\color{red}x_1^2}+{\color{blue}3x_3}+{\color{Green}3x_2}+{\color{red}3x_1}\end{align}</math> *פולינום אי־סימטרי: ::<math>\begin{align}P({\color{red}x_1},{\color{Green}x_2},{\color{blue}x_3})&={\color{red}x_1}+{\color{Green}x_2}-{\color{blue}x_3}\\[5pt]&\ne{\color{red}x_1}+{\color{blue}x_3}-{\color{Green}x_2}\\[5pt]&\ne{\color{Green}x_2}+{\color{red}x_1}-{\color{blue}x_3}\\[5pt]&\ne{\color{Green}x_2}+{\color{blue}x_3}-{\color{red}x_1}\\[5pt]&\ne{\color{blue}x_3}+{\color{red}x_1}-{\color{Green}x_2}\\[5pt]&\ne{\color{blue}x_3}+{\color{Green}x_2}-{\color{red}x_1}\end{align}</math> ===תכונות=== *סכום, הפרש ומכפלת פולינומים סימטריים הוא פולינום סימטרי.{{ש}} *יהי <math>F</math> פולינום במשתנים <math>Y_1,\ldots,Y_m</math>, ויהיו <math>G_1,\ldots,G_m</math> פולינומים סימטריים במשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math>. :אזי גם <math>F(\vec{G}{}^m(\vec{X}{}^n))</math> סימטרית במשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math>. ====הוכחה==== *נובע מן התכונות בהגדרה 2 ומהגדרת הפולינום הסימטרי לעיל. *מן ההגדרה מתקיים: :<math>\begin{align}\sigma\bigl(F(\vec{G}{}^m(\vec{X}{}^n))\bigr)&=\sigma\bigl(F(G_1(\vec{X}{}^n),\ldots,G_m(\vec{X}{}^n))\bigr)\\[5pt]&=F\bigl(\sigma(G_1(\vec{X}{}^n)),\ldots,\sigma(G_m(\vec{X}{}^n))\bigr)\\[5pt]&=F\bigl(G_1(\vec{X}{}^n),\ldots,G_m(\vec{X}{}^n)\bigr)\\[5pt]&=F(\vec{G}{}^m(\vec{X}{}^n))\end{align}</math> {{תוכן |הפרק הקודם=[[../סידור מונומי/]] |הפרק הנוכחי=תמורות וסימטריה |הפרק הבא=[[../פולינומים סימטריים אלמנטריים/]] }} [[קטגוריה:מבנים אלגבריים]] 9b6eep27lxj5898n0ez3cflhea9kz0h 2 30802 181052 180365 2026-10-25T22:11:35Z יהודה שמחה ולדמן 6994 עדכון קישור 181052 wikitext text/x-wiki ==הקדמה== משפט זה הוא גרסה חלשה יותר של '''[[w:משפט לינדמן-ויירשטראס|משפט לינדמן]]'''.{{ש}} חרף זאת, הוא מספיק עבור מקרים פרטיים רבים – למשל <math>\pi</math>, או <math>\ln(q):q\in\Q\!\setminus\!\{0\}</math> וכדומה. {{-}} {{תוכן עניינים| *[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה|קומבינטוריקה]] (בסיסית) *[[חשבון אינפיניטסימלי|חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי]] *[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים|מספרים מרוכבים]] *[[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים|פולינומים סימטריים]] *[[הוכחות מתמטיות/שונות/מספר אלגברי|מספרים אלגבריים]] |ידע קודם נדרש:}} ===הגדרה=== תהי <math>(A_1,\ldots,A_n~\!\!)</math> [[w:n-יה סדורה|n־יה סדורה]]. נגדיר: :<math>\vec{A}{}^{^{_{~\!n}}}=(A_1,\ldots,A_n~\!\!)</math> עבור [[w:פונקציה|פונקציות]] <math>\vec{F}{}^{^{_{~\!m}}}\!,\vec{G}{}^{^{_{~\!n}}}</math> נגדיר: :<math>\vec{F}{}^{^{_{~\!m}}}\!(\vec{G}{}^{^{_{~\!n}}}\!)=\bigl(F_1(G_1,\ldots,G_n~\!\!)~\!,\ldots,F_m(G_1,\ldots,G_n~\!\!)\bigr)</math> סימון מקוצר זה ישמש אותנו במהלך ההוכחה. *דוגמא: יהי <math>\mathbf{R}</math> [[w:חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] או [[מבנים אלגבריים/שדות|שדה]]. אזי <math>\mathbf{R}\bigl[\vec{X}{}^{^{_{~\!n}}}~\!\!\bigr]</math> הוא מרחב הפולינומים במשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math> עם מקדמים ב־<math>\mathbf{R}</math>. =משפט לינדמן (חלש)= אם <math>z\ne0</math> [[w:מספר אלגברי|אלגברי]] אזי <math>\text{e}^z</math> [[w:מספר אי-רציונלי|אי־רציונלי]]. [[w:קונטרה פוזיטיב|ניסוח שקול]]: אם <math>\text{e}^z</math> [[w:מספר רציונלי|רציונלי]] אזי <math>z\ne0</math> [[w:מספר טרנסצנדנטי|אי־אלגברי]] או <math>z=0</math>. ==הוכחה== יהי <math>z_1\!\ne0</math> מספר אלגברי.{{ש}} לפיכך קיים [[w:פולינום מינימלי|פולינום מינימלי]] <math>P_1\!\in\Q[z]</math> [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/המשפט היסודי של האלגברה|בעל השורשים]] <math>z_1,\ldots,z_n</math> (שונים זה מזה). [[w:הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] כי <math>\text{e}^{z_1}</math> רציונלי.{{ש}} לפיכך קיימים <math>a,b\in\Z\!\setminus\!\{0\}</math> כאשר <math>\gcd\{a,\!b\}=1</math>, עבורם <math>\text{e}^{z_1}\!=\frac{a}{b}</math>.{{ש}} [[w:ללא הגבלת הכלליות|ללא הגבלת הכלליות]] נקבע <math>1\le a\le|b|</math>, שכן <math>\text{e}^{z_1}~\!\!\in\Q</math> [[w:אם ורק אם|אם ורק אם]] <math>\text{e}^{-z_1}~\!\!\in\Q</math>. ===א)=== מתקיים כי: :<math display>\begin{align}0&\,=\,(a-b\,\text{e}^{z_1}\!)\cdots(a-b\,\text{e}^{z_n}\!)\\[7pt]&\,=\,a^n-\,a^{n-1}b\!\sum_{1\le i\le n}\!{\rm e}^{z_i}+\,a^{n-2}b^2\!\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1~\!\!<i_2\le n}\!\!\!\!\!\text{e}^{z_{i_1}}\text{e}^{z_{i_2}}-\,\cdots\,+\,(-b)^n\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1~\!\!<\cdots<i_n\le n}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\text{e}^{z_{i_1}}\!\cdots\text{e}^{z_{i_n}}\\[5pt]&\,=\,a^n-\,a^{n-1}b\!\sum_{1\le i\le n}\!\text{e}^{z_i}+\,a^{n-2}b^2\!\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1~\!\!<i_2\le n}\!\!\!\!\!\text{e}^{z_{i_1}+\,z_{i_2}}-\,\cdots\,+\,(-b)^n\text{e}^{z_1+\,\cdots\,+\,z_n}\end{align}</math> בשורה האחרונה, המעריכים הם קבוצות של פולינומים סימטריים לפי <math>z_\mathtt{1},\ldots,z_n</math>, וחלקם עלולים להתאפס.{{ש}} לבד מן המעריך הימני ביותר, שאר קבוצות המעריכים בהכרח מכילות לפחות מעריך אחד השונה מ־0.{{ש}} הנימוק: לו כולם היו מתאפסים אזי נובע היה כי <math>z_\mathtt{1}\!=\cdots=z_n\!=0</math>, בסתירה להנחה הראשית. נבטא את השורה האחרונה כך: :<math>0\,=\,a_\mathtt{0}+\,a_\mathtt{1}\!\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{1}}}\text{e}^{\beta_{\mathtt{1},\mathtt{j}}}+\,a_\mathtt{2}\!\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{2}}}\text{e}^{\beta_{\mathtt{2},\mathtt{j}}}+\,\cdots\,+\,a_\mathtt{r}\!\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{r}}}\text{e}^{\beta_{\mathtt{r},\mathtt{j}}}</math> כאשר המקדם החופשי הוא סכום כל מקדמי המעריכים המתאפסים הנ"ל: :<math>\begin{align}&a_\mathtt{0}=\,a^n+\,\sum_{i\,=\,1}^nk_ia^{n-i}(-b)^i\\[2pt]&\begin{cases}\,k_\mathtt{1}\!=0&\\[3pt]\,0\le k_i\!<\!\tbinom{n}{i}&:\!2\le i\le n-1\\[3pt]\,0\le k_n\!\le1\end{cases}\end{align}</math> לצורך המשך ההוכחה, עלינו להראות כי <math>a_\mathtt{0}\!\ne0</math>. *עבור <math>b\ge2</math> מתקיים <math>a_\mathtt{0}\!=a^n\!-b\sum_{i\,=\,1}^nk_ia^{n-i}(-b)^{i-1}</math>. לפי ההנחה <math>\gcd\{a,\!b\}=1</math>, ולכן <math>a_\mathtt{0}\!\notin b~\!\Z</math>. *עבור <math>b\le-1</math> מתקיים <math>a_\mathtt{0}~\!\!\ge a^n\!>0</math>. *עבור <math>a=b=1</math> ההוכחה נכשלת. פרט זה לא ישפיע על התוצאה הסופית. (מדוע?) [[הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי/המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים#תוצאות חשובות|על פי תוצאת המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים]]:{{ש}} לכל <math>0\le k\le n</math> קיים [[w:פולינום מתוקן|פולינום מתוקן]] <math>P_k\in\Q[z]</math> אשר שורשיו הם סכומי כל <math>k</math> מבין השורשים <math>z_1,\ldots,z_n</math>.{{ש}} לפיכך, לכל <math>1\le i\le r</math> המעריכים <math>\beta_{\mathtt{i},\mathtt1},\ldots,\beta_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}</math> מהוים מערכת שלמה של [[w:איבר צמוד (תורת השדות)|צמודים אלגבריים]] – שורשי פולינום מינימלי משותף בעל מקדמים רציונליים: :<math>(z-\beta_{\mathtt{i},\mathtt1}~\!\!)\cdots(z-\beta_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}~~\!\!\!\!)\in\Q[z]</math> נכפיל ב[[w:כפולה משותפת מינימלית|מכנה המשותף המינימלי]] <math>b_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}\!\in\Z</math> של המקדמים הרציונליים, ונקבל פולינום בעל מקדמים שלמים: :<math>B_\mathtt{i\!}(z)=b_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}\!(z-\beta_{\mathtt{i},\mathtt1}~\!\!)\cdots(z-\beta_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}~~\!\!\!\!)\in\Z[z]</math> נגדיר: :<math>\begin{align}B(z)&=B_{\mathtt1\!}(z)\cdots B_{\mathtt r\!}(z)\in\Z[z]\\[5pt]&=b_\mathtt{0}\!+b_\mathtt{1}z+\cdots+b_{m-1}z^{m-1}\!+b_mz^m\\[5pt]b_m&=b_{\mathtt{1},m_\mathtt{1}}\!\cdots b_{\mathtt{r},m_\mathtt{r}}\\[5pt]m&=m_\mathtt{1}\!+\cdots+m_\mathtt{r}\end{align}</math> ===ב)=== יהי <math>f(z)</math> פולינום ממעלה <math>d</math>. נגדיר: :<math>F(z)=\sum_{k\,=\,0}^df^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z)</math> נגזור ונקבל כי: :<math>F'\!(z)=\sum_{k\,=\,0}^df^{^\mathtt{(k+1)}}\!\!(z)=\sum_{k\,=\,1}^df^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z)=F(z)-f(z)</math> נגדיר <math>G(z)=\text{e}^{-z}F(z)</math>. נגזור ונקבל כי: :<math>\begin{align}G'\!(z)&=\text{e}^{-z}F'\!(z)-\text{e}^{-z}F(z)\\[5pt]&=\text{e}^{-z}\bigl[F'\!(z)-F(z)\bigr]\\[5pt]&=-\text{e}^{-z}f(z)\end{align}</math> על־פי [[w:המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי|המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]], מתקיים כי: :<math>\begin{align}G(z)-G(0)\,=\,\text{e}^{-z}F(z)-\text{e}^{-0}F(0)&\,=\,-\!\int\limits_0^z~\!\!\text{e}^{-w}f(w)dw\\F(z)-\text{e}^zF(0)&\,=\,-\!\int\limits_0^z~\!\!\text{e}^{z-w}f(w)dw\end{align}</math> נסמן: :<math>A_{\mathtt{i},\mathtt{j}}=\,a_\mathtt{i}F(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\,-\,a_\mathtt{i}\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}F(0)\,=\,-\,a_\mathtt{i}\!\!\int\limits_0^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}~\!\!\!\!\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}-\,w}f(w)dw</math> נסכום ונקבל כי: :<math>\begin{align}\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}A_{\mathtt{i},\mathtt{j}}&=\,\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}a_\mathtt{i}F(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\,-\,\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}a_\mathtt{i}\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}~\!\!F(0)\\[3pt]\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}A_{\mathtt{i},\mathtt{j}}&=\,\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}a_\mathtt{i}F(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\,-\,F(0)\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}a_\mathtt{i}\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}\\[3pt]&=\,a_\mathtt{0}F(0)\,+\,\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}a_\mathtt{i}F(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\end{align}</math> ===ג)=== [[w:למה (מתמטיקה)|'''למה:''']] יהי <math>f(z)</math> פולינום בעל שורש <math>z_\mathtt{0}</math> מריבוי <math>p\ge1</math>. אזי <math>f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z_\mathtt{0}~\!\!)=0</math> לכל <math>0\le k\le p-1</math>. '''הוכחה:''' ב[[w:אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה שלמה]]. נרשום <math>f(z)=(z-z_\mathtt{0}~\!\!)^pQ(z)</math>, כאשר <math>Q(z)</math> פולינום עבורו <math>Q(z_\mathtt{0}~\!\!)\ne0</math>. עבור <math>p=1</math> מתקיים: :<math>f^{^\mathtt{(0)}}\!\!(z_\mathtt{0}~\!\!)=f(z_\mathtt{0}~\!\!)=0</math> נניח כי לכל <math>1\le p\le d</math> הטענה מתקיימת לכל <math>0\le k\le d-1</math>.{{ש}} נוכיח כי עבור <math>p=d+1</math> הטענה מתקיימת לכל <math>0\le k\le d</math>: :<math>\begin{align}f(z)&=(z-z_\mathtt{0}~\!\!)^{p+1}Q(z){\color{white}\sum}\\[4pt]f^{^\mathtt{(1)}}\!\!(z)&=(p+1)(z-z_\mathtt{0}~\!\!)^pQ(z)+(z-z_\mathtt{0}~\!\!)^{p+1}Q^{^\mathtt{\!(1)}}\!\!(z)\\[5pt]&={\color{blue}(z-z_\mathtt{0}~\!\!)^p}{\color{red}\bigl[\,(p+1)Q(z)+(z-z_\mathtt{0}~\!\!)Q^{^\mathtt{\!(1)}}\!\!(z)\,\bigr]}\\[5pt]&={\color{blue}(z-z_\mathtt{0}~\!\!)^p}{\color{red}R(z)}\end{align}</math> {{צבע גופן|כחול|'''הביטוי הכחול'''}} מריבוי <math>p\ge1</math>, כאשר <math>R(z)</math> פולינום עבורו <math>R(z_\mathtt{0}~\!\!)\ne0</math>.{{ש}} לכן מכפלתם מקיימת את הנחת האינדוקציה. <math>\square</math> ===ד)=== עתה נגדיר: :<math>\begin{align}f(z)&=\frac{(b_m~\!\!)^q}{(p-1)!}\,z^{~\!p-1}\bigl[B(z)\bigr]^p\\[5pt]&=\!\!\sum_{i\,=\,p-1}^{p\,+\,q}\!\frac{\text{c}_i}{(p-1)!}\,z^{~\!i}\quad\begin{align}&:\!\text{c}_i\!\in\Z\\[2pt]&:\!q=mp-1\end{align}\end{align}</math> כאשר <math>p</math> [[w:מספר ראשוני|מספר ראשוני]].{{ש}} מתקיים כי :<math>f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z)=\sum_{i\,=\,k}^{p\,+\,q}\frac{k!}{(p-1)!}\binom{i}{k}\text{c}_iz^{~\!i-k}\quad:\!0\le k\le p+q</math> '''הערות:''' *מקדמי <math>f^{^\mathtt{(p-1)}}\!\!(z)</math> הם מספרים שלמים המתחלקים כולם ב־<math>(b_m~\!\!)^q</math>. *עבור <math>p\le k\le p+q</math>, מקדמי <math>f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z)</math> הם מספרים שלמים המתחלקים כולם ב־<math>(b_m~\!\!)^q</math> וב־<math>p</math>. לפי חלקים א ו־ג, מתקיים כי: :<math>\begin{align}N&\,=\,a_\mathtt{0}F(0)\,+\,\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}a_\mathtt{i}F(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\\[2pt]&\,=\,a_\mathtt{0}\sum_{k\,=\,0}^{p\,+\,q}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(0)\,+\,\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}\sum_{k\,=\,0}^{p\,+\,q}a_\mathtt{i}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\\[2pt]&\,=\,a_\mathtt{0}\!\!\!\sum_{k\,=\,p-1}^{p\,+\,q}\!\!\!f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(0)\,+\,\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}a_\mathtt{i}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\\[2pt]{}&\,=\,a_\mathtt{0}\bigg[\,f^{^\mathtt{(p-1)}}\!\!(0)\,+\,\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(0)\,\bigg]+\,\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}a_\mathtt{i}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\\[2pt]&\,=\,{\color{red}a_\mathtt{0}(b_\mathtt{0}~\!\!)^p(b_m~\!\!)^q}\,+\,{\color{green}a_\mathtt{0}\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(0)}\,+\,{\color{blue}\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}\left[\,\,\sum_{i\,=\,1}^ra_\mathtt{i}\!\bigg(\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\bigg)\,\right]}\end{align}</math> עתה נבחר מספר ראשוני <math>p>\max\!\bigl\{|a_\mathtt{0}~\!\!|,\!|b_\mathtt{0}~\!\!|,\!|b_m~\!\!|\bigr\}</math>. נקבל: {{צבע גופן|אדום|'''הביטוי האדום'''}} הוא מספר שלם אשר איננו מתחלק ב־<math>p</math>.{{ש}} {{צבע גופן|ירוק|'''הביטוי הירוק'''}} הוא מספר שלם אשר מתחלק ב־<math>p</math>.{{ש}} {{צבע גופן|כחול|'''הביטוי הכחול'''}} הוא החלק החשוב ביותר:{{ש}} על־פי [[w:נוסחאות ויאטה|נוסחאות ויאטה]] מתקיים כי :<math>E_\mathtt{k}(\vec{\beta}_\mathtt{i}{}^{^{\!\!m_\mathtt{i}}}\!)=(-1)^k\frac{b_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}-\,\mathtt{k}}}{\,\,b_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}}\in\Q\quad:\!1\le k\le m_\mathtt{i}</math> והסכומים הכחולים הם פולינומים סימטריים לפי <math>\beta_{\mathtt{i},\mathtt{1}},\ldots,\beta_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}\!</math>.{{ש}} [[הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי/המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים|על פי המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים]], סכומים אלה ניתנים להצגה כפולינומים :<math>\begin{align}\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}f^{^{\mathtt{(k)}}}\!\!(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)&\,=\,G_{\mathtt{k},\mathtt{i}}\!\bigl(\vec{E}{}^{^{\,m_\mathtt{i}}}\!(\vec{\beta}_\mathtt{i}{}^{^{\!\!m_\mathtt{i}}}\!)\bigr)\in\Z\bigl[\vec{\beta}_\mathtt{i}{}^{^{\!\!m_\mathtt{i}}}\!\bigr]\\&~=\,{\color{DeepSkyBlue }(b_m~\!\!)^q\frac{c_{_{~\!\mathtt{k},\mathtt{i}}}}{(b_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}\!)^{q_{\kappa,\mathtt{i}}}}}\quad\begin{align}&:\!c_{_{~\!\mathtt{k},\mathtt{i}}}\!\in\Z\\&:\!q_{_{~\!\mathtt{k},\mathtt{i}}}\!\in\N\end{align}\end{align}</math> כאשר: *<math>b_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}\!</math> מחלק את <math>b_m</math>. *<math>0\le q_{_{~\!\mathtt{k},\mathtt{i}}}~\!\!\!=\deg(G_{\mathtt{k},\mathtt{i}}~\!\!)\le\deg(f^{^{\mathtt{(k)}}}\!)\le q\quad:\!p\le k\le p+q</math> לכן <math>(b_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}\!)^{q_{\kappa,\mathtt{i}}}\!</math> מחלק את <math>(b_m~\!\!)^q</math>, ו{{צבע גופן|00BFFF|'''הביטוי התכול'''}} הוא מספר שלם. לכן הביטוי הכחול גם הוא מספר שלם אשר מתחלק ב־<math>p</math>. '''מסקנה:''' <math>N</math> הוא מספר שלם אשר איננו מתחלק ב־<math>p</math>, ובפרט <math>N\ne0</math>. לאמר <math>1\le|N|\in\N</math>. ===ה)=== לפי חלק ב, על־פי [[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרביליות/תכונות האינטגרל/אי-שוויון המשולש האינטגרלי|אי־שוויון המשולש האינטגרלי]] מתקיים כי: :<math>\begin{align}|A_{\mathtt{i},\mathtt{j}}~\!\!|&=\Bigg|\!\int\limits_0^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}\!\!\!\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}-\,w}f(w)dw\,\Bigg|\\[2pt]&\le\int\limits_0^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}\!\!\bigl|~\!\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}-\,w}\bigr|\,\bigr|f(w)\bigl|\,|dw|\\[2pt]&=\int\limits_0^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}\!\!\bigl|~\!\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}-\,w}\bigr|\left|\,\frac{(b_m~\!\!)^q}{(p-1)!}\,w^{~\!p-1}\bigl[B(w)\bigr]^p\,\right||dw|\\[2pt]&=\int\limits_0^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}\!\frac{\bigl|~\!\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}-\,w}\bigr|}{|b_m~\!\!|}\,\frac{|w|^{p-1}\bigl(~\!|b_m~\!\!|^m~\!\bigl|B(w)\bigr|~\!\bigr)^p}{(p-1)!}\,|dw|\end{align}</math> על־פי [[w:אי-שוויון המשולש|אי־שוויון המשולש]] מתקיים כי: :<math>1\,\le\,|N|\,=\,\Bigg|\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}A_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\Bigg|\,\le\,\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}|A_{\mathtt{i},\mathtt{j}}~\!\!|\,\le\,\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}\int\limits_0^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}\!\frac{\bigl|~\!\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}-\,w}\bigr|}{|b_m~\!\!|}\,\frac{|w|^{p-1}\bigl(~\!|b_m~\!\!|^m~\!\bigl|B(w)\bigr|~\!\bigr)^p}{(p-1)!}\,|dw|</math> אך לעומת זאת מתקיים כי :<math>\lim_{p~\!\to~\!\infty}\frac{|w|^{p-1}\bigl(~\!|b_m~\!\!|^m~\!\bigl|B(w)\bigr|~\!\bigr)^p}{(p-1)!}=0\quad:\!w\in\C</math> לאמר, עבור <math>p</math> [[w:גדול מספיק|גדול מספיק]] מתקיים <math>1\le|N|<1</math>. '''[[w:סתירה (לוגיקה)|סתירה]].''' <math>\square</math> '''מסקנה:''' אם <math>\,0\ne z\in\overline{\Q}\,</math> אזי <math>\text{e}^z~\!\!\notin\Q\,</math>. <math>\blacksquare</math> [[קטגוריה:הוכחות מתמטיות]] b8xyw6303vhrb8pjpuge3dlqv6e80di 2 31106 181051 180704 2026-10-25T22:01:53Z יהודה שמחה ולדמן 6994 עדכון קישור 181051 wikitext text/x-wiki {{תוכן עניינים| *[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה|קומבינטוריקה]] (בסיסית) *[[חשבון אינפיניטסימלי|חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי]] *[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים|מספרים מרוכבים]] *[[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים|פולינומים סימטריים]] *[[הוכחות מתמטיות/שונות/מספר אלגברי|מספרים אלגבריים]] |ידע קודם נדרש:}} ===הגדרה=== תהי <math>(A_1,\ldots,A_n~\!\!)</math> [[w:n-יה סדורה|n־יה סדורה]]. נגדיר: :<math>\vec{A}{}^{^{_{~\!n}}}=(A_1,\ldots,A_n~\!\!)</math> עבור [[w:פונקציה|פונקציות]] <math>\vec{F}{}^{^{_{~\!m}}}\!,\vec{G}{}^{^{_{~\!n}}}\!</math> נגדיר: :<math>\vec{F}{}^{^{_{~\!m}}}\!(\vec{G}{}^{^{_{~\!n}}}\!)=\bigl(F_1(G_1,\ldots,G_n~\!\!)~\!,\ldots,F_m(G_1,\ldots,G_n~\!\!)\bigr)</math> סימון מקוצר זה ישמש אותנו במהלך ההוכחה. *דוגמא: יהי <math>\mathbf{R}</math> [[w:חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] או [[מבנים אלגבריים/שדות|שדה]]. אזי <math>\mathbf{R}\bigl[\vec{X}{}^{^{_{~\!n}}}~\!\!\bigr]\!</math> הוא מרחב הפולינומים במשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math> עם מקדמים ב־<math>\mathbf{R}</math>. {{תוכן עניינים||[[../משפט לינדמן/הוכחה|'''הוכחה''']]}} dww1i9acxyf6qcss5f5337ll5prs5ky 0 31172 181031 2026-10-25T21:40:59Z יהודה שמחה ולדמן 6994 יהודה שמחה ולדמן העביר את הדף [[הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי]] לשם [[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים]]: תחום זה שייך למבנים אלגבריים 181031 wikitext text/x-wiki #הפניה [[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים]] mhi4049k73cnxjq225oxg3i5t7p1m85 181032 181031 2026-10-25T21:42:38Z יהודה שמחה ולדמן 6994 הסרת ההפניה לדף [[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים]] 181032 wikitext text/x-wiki {{למחוק|ערך זה קיים תחת הקטגוריה [[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים]]}} s6qaji98scx8gpxw6nb4a3b34kjzmwx 0 31173 181034 2026-10-25T21:45:31Z יהודה שמחה ולדמן 6994 יהודה שמחה ולדמן העביר את הדף [[הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי/סידור מונומי]] לשם [[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים/סידור מונומי]]: תחום זה שייך למבנים אלגבריים 181034 wikitext text/x-wiki #הפניה [[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים/סידור מונומי]] o25nsu81cfqoq530lvrzgcop28tbe24 181050 181034 2026-10-25T21:58:48Z יהודה שמחה ולדמן 6994 הסרת ההפניה לדף [[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים/סידור מונומי]] 181050 wikitext text/x-wiki {{למחוק|ערך זה קיים תחת הקטגוריה [[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים/סידור מונומי]]}} 4zvbfoku874cu8ivmnq8v69s095i2qm 0 31174 181036 2026-10-25T21:47:39Z יהודה שמחה ולדמן 6994 יהודה שמחה ולדמן העביר את הדף [[הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי/פולינומים סימטריים אלמנטריים]] לשם [[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים/פולינומים סימטריים אלמנטריים]]: תחום זה שייך למבנים אלגבריים 181036 wikitext text/x-wiki #הפניה [[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים/פולינומים סימטריים אלמנטריים]] lycxak1n2e4gw3l1sql4au65el6pykq 181049 181036 2026-10-25T21:58:00Z יהודה שמחה ולדמן 6994 הסרת ההפניה לדף [[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים/פולינומים סימטריים אלמנטריים]] 181049 wikitext text/x-wiki {{למחוק|ערך זה קיים תחת הקטגוריה [[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים/פולינומים סימטריים אלמנטריים]]}} q0dsunlmxz5qxo8dj00797a35vdkur8 0 31175 181038 2026-10-25T21:49:13Z יהודה שמחה ולדמן 6994 יהודה שמחה ולדמן העביר את הדף [[הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי/המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים]] לשם [[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים/המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים]]: תחום זה שייך למבנים אלגבריים 181038 wikitext text/x-wiki #הפניה [[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים/המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים]] q6zpj5la7te58gwifbio6d9ut2p3av8 181048 181038 2026-10-25T21:57:24Z יהודה שמחה ולדמן 6994 הסרת ההפניה לדף [[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים/המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים]] 181048 wikitext text/x-wiki {{למחוק|ערך זה קיים תחת הקטגוריה [[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים/המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים]]}} bte7rahn85ht110qugrhqobo2yvr0py 0 31176 181040 2026-10-25T21:50:38Z יהודה שמחה ולדמן 6994 יהודה שמחה ולדמן העביר את הדף [[הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי/תמורות וסימטריה]] לשם [[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים/תמורות וסימטריה]]: תחום זה שייך למבנים אלגבריים 181040 wikitext text/x-wiki #הפניה [[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים/תמורות וסימטריה]] pc5sjsk4v5w739s60o6rb0sdcsp6nop 181047 181040 2026-10-25T21:56:52Z יהודה שמחה ולדמן 6994 הסרת ההפניה לדף [[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים/תמורות וסימטריה]] 181047 wikitext text/x-wiki {{למחוק|ערך זה קיים תחת הקטגוריה [[מבנים אלגבריים/פולינומים סימטריים/תמורות וסימטריה]]}} nlipareypce5dbf4juzcygu8pjmjpkk