ויקיספר hewikibooks https://he.wikibooks.org/wiki/%D7%A2%D7%9E%D7%95%D7%93_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99 MediaWiki 1.48.0-wmf.1 first-letter מדיה מיוחד שיחה משתמש שיחת משתמש ויקיספר שיחת ויקיספר קובץ שיחת קובץ מדיה ויקי שיחת מדיה ויקי תבנית שיחת תבנית עזרה שיחת עזרה קטגוריה שיחת קטגוריה שער שיחת שער מדף שיחת מדף TimedText TimedText talk יחידה שיחת יחידה אירוע שיחת אירוע 0 30171 181067 181041 2026-11-01T11:14:44Z יהודה שמחה ולדמן 6994 181067 wikitext text/x-wiki ==הקדמה== ב[[w:אלגברה|אלגברה]], [[w:פולינום|פולינום]] בכמה משתנים הוא '''פולינום סימטרי''', אם הוא נשאר קבוע תחת כל החלפה של המשתנים. הפולינומים הסימטריים נחקרו בתחילה בהקשר לפתרונות של משוואות פולינומיות בנעלם אחד, משום שמקדמי הפולינום הם פולינומים סימטריים בשורשים שלו.{{ש}} עם הזמן זכו הפולינומים הסימטריים למעמד משל עצמם, והם מופיעים בענפים שונים של המתמטיקה, בעיקר ב[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה|קומבינטוריקה]]. {{תוכן עניינים| *[[/סידור מונומי/]] *[[/תמורות וסימטריה/]] *[[/פולינומים סימטריים אלמנטריים/]] *[[/המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים/]] *[[/תוצאות חשובות/]] }} [[קטגוריה:מבנים אלגבריים]] f3e6f63duh5jvg9so421qfa1zb6w8p1 0 30175 181065 181045 2026-11-01T05:23:36Z יהודה שמחה ולדמן 6994 העברת מידע לסעיף חדש 181065 wikitext text/x-wiki יהי <math>\mathbb{F}</math> שדה, ויהי <math>F\in\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]</math> פולינום סימטרי.{{ש}} אזי ניתן להציגו באופן יחיד כפולינום <math>G(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))\in\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]</math>, כאשר: *מעלת <math>G</math> אינה עולה על מעלת <math>F</math>. *אם <math>F</math> בעל מקדמים שלמים אזי גם <math>G</math> בעל מקדמים שלמים. ===הוכחה=== ראשית, נתאר [[w:אלגוריתם|אלגוריתם]] למציאת הפולינום המבוקש <math>G</math>. נגדיר תנאי התחלה <math>m=1</math> וכן <math>F_1=F</math>. #מצאו את <math>\text{L}(F_m)=c_m\,X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n}</math> כאשר <math>c_m\in\mathbb F,c_m\ne0</math>. #הגדירו <math>G_m(\vec{Y}{}^n)=c_m\,Y_1^{a_1-a_2}Y_2^{a_2-a_3}\!\cdots Y_{n-1}^{a_{n-1}-a_n}Y_n^{a_n}</math>. #הציבו <math>F_{m+1}(\vec{X}{}^n)=F_m(\vec{X}{}^n)-G_m(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))</math>. #אם <math>F_{m+1}\ne0</math>, שובו לסעיף 1 והתחילו את התהליך מחדש באינדקס <math>m+1</math>.{{ש}}אם <math>F_{m+1}=0</math>, עברו לסעיף 5. #הציבו <math>G=G_1\!+\cdots+G_m</math>. להוכחת האלגוריתם אנו זקוקים לשתי [[w:למה (מתמטיקה)|למות]]. '''למה 1:''' המונום המוביל ב־<math>F</math> מקיים <math>a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n</math>. '''הוכחה:''' [[w:הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] כי קיים אינדקס <math>k</math> עבורו <math>a_k<a_{k+1}</math>. קיימת תמורה כלשהיא <math>\sigma\in S_X</math> עבורה :<math>X_{\sigma(m)}=\begin{cases}X_m&:m\ne k,k+1\\X_{k+1}&:m=k\\X_k&:m=k+1\end{cases}</math> אך הפולינום <math>\sigma(F)=F</math> מכיל את המונום <math>c\,X_1^{a_1}\!\cdots X_k^{a_{k+1}}X_{k+1}^{a_k}\!\cdots X_n^{a_n}</math>, שסדרו גדול מזה של <math>c\,X_1^{a_1}\!\cdots X_k^{a_k}X_{k+1}^{a_{k+1}}\cdots X_n^{a_n}</math>.{{ש}} '''סתירה.''' <math>\square</math> '''למה 2:''' המונום המוביל בפיתוחו של הפולינום <math>G_m(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))</math> הוא <math>c_m\,X_1^{a_1}\!X_2^{a_2}\!\cdots X_n^{a_n}</math>. '''הוכחה:''' מתקיים כי :<math>\begin{align}\text{L}(E_k)=X_1\!\cdots X_k,&\quad:\!1\le k\le n\\[5pt]\text{L}(c_m\,E_1^{b_1}E_2^{b_2}\!\cdots E_n^{b_n})&=c_m\,\text{L}(E_1^{b_1})\,\text{L}(E_2^{b_2})\cdots\text{L}(E_n^{b_n})\\[5pt]&=c_m\,\text{L}(E_1)^{b_1}\text{L}(E_2)^{b_2}\!\cdots\text{L}(E_n)^{b_n}\\[5pt]&=c_m\,X_1^{b_1}(X_1X_2)^{b_2}\!\cdots(X_1X_2\cdots X_n)^{b_n}\\[5pt]&=c_m(X_1)^{b_1\,+\,\cdots\,+\,b_n}(X_2)^{b_2\,+\,\cdots\,+\,b_n}\!\cdots(X_{n-1})^{b_{n-1}+\,b_n}(X_n)^{b_n}\\[5pt]&=c_m\,X_1^{a_1}X_2^{a_2}\!\cdots X_n^{a_n}\end{align}</math> השוויון האחרון מתקיים [[w:אם ורק אם|אם ורק אם]] :<math>\begin{align}a_k&=\sum_{i\,=\,k}^nb_i,\quad:\!1\le k\le n\\[5pt]b_k&=\begin{cases}a_k\!-a_{k+1}&:\!1\le k\le n-1\\[5pt]a_k&:\!k=n\end{cases}\end{align}</math> <math>\square</math> עתה ניגש להוכחת המשפט: 1. יהי <math>F\ne0</math> פולינום סימטרי במשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math>.{{ש}} ההוכחה ב[[w:אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה שלמה]] על <math>|\text{D}(F)|</math> (ראו [[הוכחות מתמטיות/שונות/π מספר טרנסצנדנטי/סידור מונומי#הגדרה 5|הגדרה]]). אם <math>|\text{D}(F)|=0</math> אזי <math>F</math> פולינום קבוע, וקל להראות כי האלגוריתם מתקיים עבורו. נניח כי האלגוריתם מתקיים לכל הפולינומים הסימטריים <math>F</math> בעלי <math>0\le|\text{D}(F)|\le k</math>, עבור <math>k\in\N</math> כלשהוא.{{ש}} נראה כי האלגוריתם מתקיים גם עבור פולינום סימטרי <math>F_1</math> בעל <math>|\text{D}(F_1)|=k+1</math>, כאשר <math>\text{L}(F_1)=c_1\,X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n}</math>. על־פי למה 2, מתקיים כי: :<math>\begin{align}G_1(\vec{Y}{}^n)&=c_1\,Y_1^{a_1-a_2}Y_2^{a_2-a_3}\!\cdots Y_{n-1}^{a_{n-1}-a_n}Y_n^{a_n}\\[5pt]F_2(\vec{X}{}^n)&=F_1(\vec{X}{}^n)-G_1(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))\end{align}</math> הפונקציה <math>G_1</math> היא פולינום, שכן <math>a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n</math>.{{ש}} בנוסף, על־פי [[הוכחות מתמטיות/שונות/π מספר טרנסצנדנטי/פולינומים סימטריים#תכונות|תכונות הפולינומים הסימטריים]] <math>G_1(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))</math> פולינום סימטרי במשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math>, ולכן גם <math>F_2</math> פולינום סימטרי.{{ש}} הפולינומים <math>F_1(\vec{X}{}^n),G_1(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))</math> מכילים שניהם את <math>\text{L}(F_1)</math>, ולכן הוא מתקזז בהפרשם.{{ש}} אם <math>F_2=0</math> אזי <math>G=G_1</math>.{{ש}} אם <math>F_2\ne0</math> אזי <math>\text{L}(F_2)\prec\text{L}(F_1)</math>, כלומר <math>|\text{D}(F_2)|<|\text{D}(F_1)|=k+1</math>.{{ש}} הנחת האינדוקציה מתקיימת עבור <math>F_2</math>, ועל כן האלגוריתם מניב פולינום <math>G^*</math> עבורו :<math>\begin{align}F_2(\vec{X}{}^n)&=G^*\!(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))\\[5pt]F_1(\vec{X}{}^n)&=G_1(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))+G^*\!(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))\end{align}</math> 2. תכונות המשפט מתקיימות: *על־פי ההגדרה, מעלת <math>G_1(\vec{Y}{}^n)</math> היא <math>a_1</math> ומעלת <math>F_1</math> היא לפחות <math>a_1\!+\cdots+a_n</math>. *אם <math>F_1</math> בעל מקדמים שלמים אזי <math>c_1\ne0</math> הנ"ל מספר שלם. לכן גם <math>G_1</math> בעל מקדמים שלמים. <math>\blacksquare</math> {{תוכן| |הפרק הקודם=[[../פולינומים סימטריים אלמנטריים/]] |הפרק הנוכחי=המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים |הפרק הבא=[[../תוצאות חשובות/]] }} [[קטגוריה:מבנים אלגבריים]] hz8rnq96lk81ux4oq86nz4oix5d37u9 0 31180 181066 2026-11-01T11:10:52Z יהודה שמחה ולדמן 6994 יצירת דף חדש 181066 wikitext text/x-wiki '''משפט.''' יהי <math>\mathbb{F}\sube\mathbb{E}</math> שדה, ויהי <math>A\in\mathbb{F}[z]</math> פולינום בעל השורשים <math>\alpha_\mathtt{1},\ldots,\alpha_n\in\mathbb{E}</math> (עם ריבוי).{{ש}} יהי <math>G\in\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]</math> פולינום סימטרי. אזי <math>G(\vec{\alpha}{}^n)\in\mathbb{F}</math>. '''הוכחה.''' על־פי [[w:נוסחאות ויאטה|נוסחאות ויאטה]] מתקיים כי: :<math>\begin{align}A(z)&=\sum_{k\,=\,0}^na_kz^k\in\mathbb{F}[z]\\[5pt]E_k(\vec{\alpha}{}^n)&=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n}\in\mathbb{F},\quad(1\le k\le n)\end{align}</math> על־פי המשפט היסודי, <math>G</math> ניתן להצגה כפולינום :<math>\begin{align}G(\vec{X}{}^n)&=H(\vec{E}{}^n(\vec{X}{}^n))\in\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]\\[5pt]G(\vec{\alpha}{}^n)&=H(\vec{E}{}^n(\vec{\alpha}{}^n))\in\mathbb{F}\end{align}</math> <math>\square</math> '''משפט.''' יהי <math>\mathbb{F}\sube\mathbb{E}</math> שדה, ויהי <math>A\in\mathbb{F}[z]</math> פולינום בעל השורשים <math>\alpha_\mathtt{1},\ldots,\alpha_n\in\mathbb{E}</math> (עם ריבוי).{{ש}} אזי לכל <math>1\le k\le n</math> קיים [[w:פולינום מתוקן|פולינום מתוקן]] <math>B_k\in\mathbb{F}[z]</math> אשר שורשיו הם סכומי/מכפלות כל <math>k</math> מבין שורשי <math>A</math>. '''הוכחה.''' יהיו <math>\beta_\mathtt{1},\ldots,\beta_m</math> סכומי/מכפלות כל <math>k</math> מבין שורשי <math>A</math> (לאמר <math>m=\tbinom{n}{k}</math>).{{ש}} עלינו להראות כי מתקיים :<math>B_k(z)=\prod_{i\,=\,1}^m(z-\beta_i)\in\mathbb{F}[z]</math> על־פי נוסחאות ויאטה, מקדמי הפולינום כולם פולינומים סימטריים לפי <math>\beta_\mathtt{1},\ldots,\beta_m</math>. יהי <math>G\in\mathbb{F}[\vec{Y}{}^m]</math> פולינום סימטרי, ויהיו <math>Y_\mathtt{1},\ldots,Y_m</math> סכומי/מכפלות כל <math>k</math> מבין המשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math>.{{ש}} אזי <math>G</math> ניתן להצגה כפולינום :<math>G(\vec{Y}{}^m)=H(\vec{X}{}^n)</math> קל לראות כי בהפעלת תמורה על <math>X_\mathtt{1},\ldots,X_n</math> מתקיימת גם תמורה על <math>Y_\mathtt{1},\ldots,Y_m</math>.{{ש}} לכן <math>H\in\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]</math> פולינום סימטרי, ועל־פי המשפט הקודם מתקיים כי :<math>G(\vec{\beta}{}^m)=H(\vec{\alpha}{}^n)\in\mathbb{F}</math> <math>\square</math> ===מסקנה=== יהי <math>\mathbb{E}</math> שדה, ויהי <math>A\in\Z[z]</math> [[w:פולינום מתוקן|פולינום מתוקן]] בעל השורשים <math>\alpha_\mathtt{1},\ldots,\alpha_n\in\mathbb{E}</math> (עם ריבוי).{{ש}} אזי לכל <math>1\le k\le n</math> מתקיים <math>B_k\in\Z[z]</math>. {{תוכן| |הפרק הקודם=[[../המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים/]] |הפרק הנוכחי=תוצאות חשובות |הפרק הבא=סוף }} [[קטגוריה:מבנים אלגבריים]] ol050civm5656xidc83mrm1vyge1suv