ויקיספר hewikibooks https://he.wikibooks.org/wiki/%D7%A2%D7%9E%D7%95%D7%93_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99 MediaWiki 1.48.0-wmf.3 first-letter מדיה מיוחד שיחה משתמש שיחת משתמש ויקיספר שיחת ויקיספר קובץ שיחת קובץ מדיה ויקי שיחת מדיה ויקי תבנית שיחת תבנית עזרה שיחת עזרה קטגוריה שיחת קטגוריה שער שיחת שער מדף שיחת מדף TimedText TimedText talk יחידה שיחת יחידה אירוע שיחת אירוע 0 30176 181109 181043 2026-11-08T00:03:04Z יהודה שמחה ולדמן 6994 שיפוץ קודים מתמטיים 181109 wikitext text/x-wiki ==הגדרה 1== תהי [[w:קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] סופית <math>X=\bigl\{X_1,\ldots,X_n\bigr\}</math>. הפונקציה <math>\mathbf{\sigma}:X\to X</math> תיקרא [[w:תמורה (מתמטיקה)|תמורה]] [[w:אם ורק אם|אם ורק אם]] היא [[w:פונקציה חד-חד-ערכית ועל|חד־חד־ערכית ועל]]. לאמר, לכל <math>1\le i\le n</math> קיים <math>1\le j\le n</math> יחיד עבורו <math>\mathbf{\sigma}(X_i)=X_{\sigma(i)}=X_j</math>. קבוצת כל התמורות של אברי <math>X</math> מסומנת <math>\boldsymbol{S}_X</math>. ===דוגמא=== עבור <math>X=\bigl\{1,2,3\bigr\}</math> קיימות <math>3!=6</math> תמורות שונות: :<math>\begin{align}&\\&\mathbf{\sigma}_{\!_1}=\begin{bmatrix}\,1&2&3\,\\\,1&2&3\,\end{bmatrix},\quad\mathbf{\sigma}_{\!_2}=\begin{bmatrix}\,1&2&3\,\\\,1&3&2\,\end{bmatrix}\\[8pt]&\mathbf{\sigma}_{\!_3}=\begin{bmatrix}\,1&2&3\,\\\,2&1&3\,\end{bmatrix},\quad\mathbf{\sigma}_{\!_4}=\begin{bmatrix}\,1&2&3\,\\\,2&3&1\,\end{bmatrix}\\[8pt]&\mathbf{\sigma}_{\!_5}=\begin{bmatrix}\,1&2&3\,\\\,3&1&2\,\end{bmatrix},\quad\mathbf{\sigma}_{\!_6}=\begin{bmatrix}\,1&2&3\,\\\,3&2&1\,\end{bmatrix}\\&\end{align}</math> באופן כללי, אם <math>|X|=n</math> אזי <math>|\boldsymbol{S}_X|=n!</math>. ==הגדרה 2== יהי <math>A\in\mathbb{F}\bigl[\vec{X}^n\bigr]</math> פולינום. נגדיר: :<math>\mathbf{\sigma}(A)\triangleq A(\underline{X}_{\sigma})=A(X_{\sigma(1)},\ldots,X_{\sigma(n)})</math> ===תכונות=== יהיו <math>A,\!B\in\mathbb{F}\bigl[\vec{X}^n\bigr]</math> פולינומים. אזי מתקיים: *<math>\mathbf{\sigma}(c\,A)=c\,\mathbf{\sigma}(A)</math> כאשר <math>c\in\mathbb{F}</math>. *<math>\mathbf{\sigma}(A\pm B)=\mathbf{\sigma}(F)\pm\mathbf{\sigma}(B)</math> *<math>\mathbf{\sigma}(A\cdot B)=\mathbf{\sigma}(A)\cdot\mathbf{\sigma}(B)</math> *<math>(\mathbf{\sigma}_{\!_2}\!\circ\mathbf{\sigma}_{\!_1})(A)=\mathbf{\sigma}_{\!_2}(\mathbf{\sigma}_{\!_1}(A))</math> ====הוכחה==== *מן ההגדרה, התמורה פועלת על אינדקסי המשתנים בלבד. *ראשית, נניח כי <math>A,\!B</math> מונומים מהצורה :<math>\begin{align}&\\A\!\!\!&=a\;\!\underline{X}^{\;\!\underline{a}}\\[8pt]B\!\!\!&=b\;\!\underline{X}^{\;\!\underline{b}}\\[8pt]\mathbf{\sigma}(A\pm B)\!\!\!&=\mathbf{\sigma}(a\;\!\underline{X}^{\;\!\underline{a}}\pm b\;\!\underline{X}^{\;\!\underline{b}})\\[8pt]&=a\;\!(\underline{X}_\sigma)^\underline{a}\pm b\;\!(\underline{X}_\sigma)^\underline{b}\\[8pt]&=\mathbf{\sigma}(A)\pm\mathbf{\sigma}(B)\\&\end{align}</math> :נכליל ב[[w:אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]] עבור <math>A=\sum_{i_1\,=\,1}^{k_1}A_{i_1}\,,\,B=\sum_{i_2\,=\,1}^{k_2}B_{i_2}</math>, כאשר <math>A_{i_1},B_{i_2}</math> מונומים. *כנ"ל, נניח כי <math>A,\!B</math> מונומים מהצורה :<math>\begin{align}&\\A\!\!\!&=a\;\!\underline{X}^{\;\!\underline{a}}\\[8pt]B\!\!\!&=b\;\!\underline{X}^{\;\!\underline{b}}\\[8pt]\mathbf{\sigma}(A\cdot B)\!\!\!&=\mathbf{\sigma}(a\;\!\underline{X}^{\;\!\underline{a}}\cdot b\;\!\underline{X}^{\;\!\underline{b}}\,)\\[8pt]&=ab\,\mathbf{\sigma}(\underline{X}^{\;\!\underline{a}}\cdot\underline{X}^{\;\!\underline{b}})\\[8pt]&=ab\,\mathbf{\sigma}(\underline{X}^{\;\!\underline{a}\,+\,\underline{b}})\\[8pt]&=ab\;\!(\underline{X}_\sigma)^{\;\!\underline{a}\,+\,\underline{b}}\\[8pt]&=a\;\!(\underline{X}_\sigma)^\underline{a}\cdot b\;\!(\underline{X}_\sigma)^\underline{b}\\[8pt]&=\mathbf{\sigma}(A)\cdot\mathbf{\sigma}(B)\\&\end{align}</math> :כנ"ל, נכליל באינדוקציה עבור <math>A=\sum_{i_1\,=\,1}^{k_1}A_{i_1}\,,\,B=\sum_{i_2\,=\,1}^{k_2}B_{i_2}</math>, כאשר <math>A_{i_1},B_{i_2}</math> מונומים: ::<math>\begin{align}&\\\mathbf{\sigma}(A\cdot B)\!\!\!&=\mathbf{\sigma}\bigg(\,\sum_{i_1\,=\,1}^{k_1}A_{i_1}\cdot\sum_{i_2\,=\,1}^{k_2}B_{i_2}\bigg)\\[5pt]&=\mathbf{\sigma}\bigg(\,\sum_{i_1\,=\,1}^{k_1}\sum_{i_2\,=\,1}^{k_2}A_{i_1}B_{i_2}\bigg)\\[5pt]&=\sum_{i_1\,=\,1}^{k_1}\sum_{i_2\,=\,1}^{k_2}\mathbf{\sigma}(A_{i_1}\!\cdot B_{i_2})\\[5pt]&=\sum_{i_1\,=\,1}^{k_1}\sum_{i_2\,=\,1}^{k_2}\mathbf{\sigma}(A_{i_1})\cdot\mathbf{\sigma}(B_{i_2})\\[5pt]&=\sum_{i_1\,=\,1}^{k_1}\mathbf{\sigma}(A_{i_1})\cdot\sum_{i_2\,=\,1}^{k_2}\mathbf{\sigma}(B_{i_2})\\&=\mathbf{\sigma}\bigg(\,\sum_{i_1\,=\,1}^{k_1}A_{i_1}\bigg)\cdot\mathbf{\sigma}\bigg(\,\sum_{i_2\,=\,1}^{k_2}B_{i_2}\bigg)\\[8pt]&=\mathbf{\sigma}(A)\cdot\mathbf{\sigma}(B)\\&\end{align}</math> *מן ההגדרה נקבל: ::<math>\begin{align}&\\(\mathbf{\sigma}_{\!_2}\!\circ\mathbf{\sigma}_{\!_1})(A)\!\!\!&=A\big(\;\!\underline{X}_{~\!\!(\sigma_2~\!\circ\,\sigma_1)}~\!\!\big)\\[8pt]&=A\bigl(X_{\sigma_2(\sigma_1(1))},\ldots,X_{\sigma_2(\sigma_1(n))}\bigr)\\[8pt]&=\mathbf{\sigma}_{\!_2}(A(\underline{X}_{\sigma_1}))\\[8pt]&=\mathbf{\sigma}_{\!_2}(\mathbf{\sigma}_{\!_1}(A))\end{align}</math> ==הגדרה 3== יהי <math>A\in\mathbb{F}\bigl[\vec{X}^n\bigr]</math> פולינום. אזי הוא נקרא [[w:פולינום סימטרי|'''פולינום סימטרי''']] אם מתקיים :<math>\mathbf{\sigma}(A)=A</math> לכל תמורה <math>\mathbf{\sigma}\in\boldsymbol{S}_X</math>. ===דוגמאות=== *פולינום סימטרי: ::<math>\begin{align}&\\A({\color{red}X_1},{\color{Green}X_2},{\color{blue}X_3})\!\!\!&={\color{red}X_1^2}{\color{Green}X_2^2}{\color{blue}X_3^2}+{\color{red}3X_1}+{\color{Green}3X_2}+{\color{blue}3X_3}\\[8pt]&={\color{red}X_1^2}{\color{blue}X_3^2}{\color{Green}X_2^2}+{\color{red}3X_1}+{\color{blue}3X_3}+{\color{Green}3X_2}\\[8pt]&={\color{Green}X_2^2}{\color{red}X_1^2}{\color{blue}X_3^2}+{\color{Green}3X_2}+{\color{red}3X_1}+{\color{blue}3X_3}\\[8pt]&={\color{Green}X_2^2}{\color{blue}X_3^2}{\color{red}X_1^2}+{\color{Green}3X_2}+{\color{blue}3X_3}+{\color{red}3X_1}\\[8pt]&={\color{blue}X_3^2}{\color{red}X_1^2}{\color{Green}X_2^2}+{\color{blue}3X_3}+{\color{red}3X_1}+{\color{Green}3X_2}\\[8pt]&={\color{blue}X_3^2}{\color{Green}X_2^2}{\color{red}X_1^2}+{\color{blue}3X_3}+{\color{Green}3X_2}+{\color{red}3X_1}\\&\end{align}</math> *פולינום אי־סימטרי: ::<math>\begin{align}&\\A({\color{red}X_1},{\color{Green}X_2},{\color{blue}X_3})\!\!\!&={\color{red}X_1}+{\color{Green}X_2}-{\color{blue}X_3}\\[8pt]&\ne{\color{red}X_1}+{\color{blue}X_3}-{\color{Green}X_2}\\[8pt]&\ne{\color{Green}X_2}+{\color{red}X_1}-{\color{blue}X_3}\\[8pt]&\ne{\color{Green}X_2}+{\color{blue}X_3}-{\color{red}X_1}\\[8pt]&\ne{\color{blue}X_3}+{\color{red}X_1}-{\color{Green}X_2}\\[8pt]&\ne{\color{blue}X_3}+{\color{Green}X_2}-{\color{red}X_1}\\&\end{align}</math> ===תכונות=== *סכום, הפרש ומכפלת פולינומים סימטריים הוא פולינום סימטרי. *יהי <math>A</math> פולינום במשתנים <math>Y_1,\ldots,Y_m</math>, ויהיו <math>B_\mathtt{1},\ldots,B_m</math> פולינומים סימטריים במשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math>. :אזי גם <math>A(\vec{B}^{\;\!m}(\vec{X}^n))</math> סימטרית במשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math>. ====הוכחה==== *נובע מן התכונות בהגדרה 2 ומהגדרת הפולינום הסימטרי לעיל. *מן ההגדרה מתקיים: ::<math>\begin{align}&\\\mathbf{\sigma}\bigl(A(\vec{B}^{\;\!m}(\vec{X}^n))\bigr)\!\!\!&=\mathbf{\sigma}\bigl(A(B_\mathtt{1}(\vec{X}^n)\,,\ldots,B_m(\vec{X}^n))\bigr)\\[8pt]&=A\bigl(\mathbf{\sigma}(B_\mathtt{1}(\vec{X}^n))\,,\ldots,\mathbf{\sigma}(B_m(\vec{X}^n))\bigr)\\[8pt]&=A\bigl(B_\mathtt{1}(\vec{X}^n)\,,\ldots,B_m(\vec{X}^n)\bigr)\\[8pt]&=A(\vec{B}^{\;\!m}(\vec{X}^n))\end{align}</math> {{תוכן |הפרק הקודם=[[../סידור מונומי/]] |הפרק הנוכחי=תמורות וסימטריה |הפרק הבא=[[../פולינומים סימטריים אלמנטריים/]] }} [[קטגוריה:מבנים אלגבריים]] my6gm8m145pza7k2qcmy8jqwg3dd6je