ויקיספר hewikibooks https://he.wikibooks.org/wiki/%D7%A2%D7%9E%D7%95%D7%93_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99 MediaWiki 1.48.0-wmf.3 first-letter מדיה מיוחד שיחה משתמש שיחת משתמש ויקיספר שיחת ויקיספר קובץ שיחת קובץ מדיה ויקי שיחת מדיה ויקי תבנית שיחת תבנית עזרה שיחת עזרה קטגוריה שיחת קטגוריה שער שיחת שער מדף שיחת מדף TimedText TimedText talk יחידה שיחת יחידה אירוע שיחת אירוע 0 28952 181115 181112 2026-11-09T23:31:15Z Pashute 7150 ארגון הדף. הוגים בעבר ובהווה. העברת ההתנצלות לסוף וניסוחו 181115 wikitext text/x-wiki {{ספר חלקי}} ::&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; כאן '''העמוד הראשי''' (על הספר) | &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[/יסודות/מבוא|לפרק הבא (מבוא) >>]] === על הספר === {{קטן|''מדעי הנפש, מוח לעומת שכל, חלוקת חומר ורוח, גורל או בחירה, חשיבה על חשיבה''}} {{רן| '''הגות הנפש''' או '''החשיבה על החשיבה'''. :{{קטן|באנגלית: '''פילוסופי אוף מיינד''', ובאוניברסיטה הפתוחה: '''הפילוסופיה של הנפש בתקופתנו'''}} :ספר זה הוא הֶסְבֵּר המצב העדכני של המחקר, של המדע, ושל ההגות, בנושא '''השכל התפישה והנפש''', בלשון קצרה וברורה, ובעברית שורשית. :בספר זה נתרכז במושג "נפש" המשמש במדע. :מונח זה אוּמץ מהתפישות העתיקות שהפרידו בין רוחני לגשמי, תפישות שהן חלק חשוב מהאמונות הדתיות הרווחות כיום. נעסוק בזה רק מן ההיבטים המדעיים וההגותיים המקובלים או הדחויים במדע בימינו. ניגע בתפישות ההגותיות על קיומה או חסרונה של "נפש נפרדת" ומשמעותה '''בהגות של ימינו''', ונטפל בשאלות על אפשרות הבחירה - סוגיית הבחירה החפשית, והמציאות כגורל קבוע מראש, כגורל אקראי לחלוטין, או כעתיד הניתן לשינוי. נברר את תפיסת השרשרת הסיבתית - לפיה דבר נובע מדבר, ואת התפישות לפיהן הדברים מתקדמים לעבר יעדם. בכל נושא בו נדון בספר, נשאף לראות את ההגיוני, הסביר, והמובן, וגם להגדיר את המושגים האלו "הגיוני, סביר, מובן" - עצמם. בכך הספר עוסק גם ב'''חקר הידיעה''' - האפיסטמולוגיה, ב'''מדעי הקיים''' ו'''חקר היש''' - האונטולוגיה, ב'''חקר העירות, התפישה, ההבנה, והמודעות''' - קוגניציה וקונציסיה (קונשסנס), הן בהיבט של '''מדעי הרוח''' והן בהיבטים של '''מדעי הטבע והחומר, החיים והגוף''' - פיזיקה וכימיה, ביולוגיה ופיזיולוגיה. עצם חלוקת תחומי המדע בין מדעי הטבע והחומר למדעי הרוח והחברה מורה לנו עד כמה רחב הוא השטח המוקצה והמיוחד לחקר הרעיוני במדע בימינו, ועד כמה עמוק הפער המפריד בינו לחקר המציאות החמרית. העיסוק העכשיווי של הגות הנפש הוא בעיקרו ניסיון איחוד בין התחומים וניסיון הבנת פעולתם והתפתחותם של רעיונות רצונות תחושות והחלטות - התחום הנפשי. תחום הגות הנפש הוא חלק ממדעי המוח העכשיויים הכוללים את חקר ההבנה - הקוגניציה, חקר העצבים - נוירולוגיה, הוא כולל את טכנולוגיות הבינה המלאכותית המחשוב התקשורת והרובוטיקה, והתחום ניזון גם מההבנות החדשות והעדכניות בכל תחומי החקר ובמיוחד במדעי החיים: התורשה, חקר חמרי החיים, חקר התקשורת, חקר השפות והבלשנות, וחקר החברה והתרבות - ביולוגיה, גנטיקה, ביוכימיה, קומוניקציה ומדיה, לינגוויסטיקה, סוציולוגיה ואנתרופולוגיה. (כפי שאומרים ביידיש: בעברית זה נשמע יותר טוב). הספר מביא את הדיעות השונות, את המחלוקות החשובות ואת סיפור התפתחותה של '''החשיבה על החשיבה'''. במידה מסויימת, הוא גם ספר היסטוריה על תולדות החשיבה, למן העת העתיקה - ההגות האלילית של המזרח הקדום, הפילוסופיה היוונית הקדומה ומקבילתה בהודו, דרך ההגות המקראית והיהודית, ועד להוגי ימי הביניים, העת החדשה, וימינו אנו. }} ==== מהות הספר ==== {{רן| '''מהי הנפש?''' איך אנחנו מבינים דברים? האם יש הבדל בינינו לבין בעלי חיים? האם תמנון ציפור או אמֶבה חשים כאב כמונו או חווים צבעים ורגשות כמונו? האם מחשב מסוגל לחשוב להבין או להרגיש? ומה לגבי ילדים? ותינוקות? מה לגבי נשים לעומת גברים? - במשך דורות רבים עוד מההוגים היווניים בפירוש חשבו שיש "עליונות גברית". וקרוב מאוד לדיעות אלו היו גם חוקרי המוח שדנו בכובד ראש בעליונות הגזעים ועליונות שכלית של עמים או של בעלי אמונה דתית אחת על פני אחרים, בעיקר על פני שכלם ואמונותיהם של שבטי "פרא". יחד עם חכמת היתר, באה גם "עליונות מוסרית" מובנית על פני דתות נחותות או בעלי אמונות "חשוכות" שהאוחזים בהם נולדו בהם או צמחו בהם באופן שעיוות את יכולותיהם התפישתיות. בספר זה יידונו גם דיעות פסולות אלו וכיצד היטו לעתים את החקר לכיוונים שגויים או גרוע יותר - מחרידים, כמו "קראניולוגיה" (חכמת גודל הגולגולת) שבה אחז בין היתר פול ברוקה, שעל שמו איזור המוח העוסק בדיבור. והעיקר: האם אפשר להסביר את המוּדעות, והאם יש "אני"? הספר עוסק בתפישות העדכניות של מדעי ההגות (הפילוסופיה) בשאלות של ניתוח והסבר התחושות הפנימיות (הנפשיות) המעובדות במוח. הסברים חדשים ועדכניים אלו ניתנו לְאוֹר השינויים וההתפתחויות במדעי המוח, במדעי הבלשנות, ובמדעי התקשוב, ולאור הבנתנו החדשה את המציאות. ספרנו זה בעיקרו עוקב אחרי חקר השכל והתפישה כפי שנלמדו ב[[/שיעורי קפלן|הרצאותיו המקוונים (אונליין) של ג'פרי קפלן]] אך מרחיב אותם בהרבה. הספר יעסוק בהתפתחות התחום ומינוחיו לאורך הדורות, ועל השינוי הניכר אשר חל בהגות על "הנפש" וה"שכל" ועברו עליו כעת עם ההתפתחות המדעית. בין תחומי מדע השייכים לענייננו, שהתפתחו מאוד בעשרות השנים האחרונות והשתנו מקצה לקצה, נמצאים: חקר המוח ומדעי החיים והחומר, מדע הבלשנות, מדעי הנפש, חקר המידע, עיבוד אותות, פיתוח הבינה המלאכותית ומדעי המחשב, חקר ההתנהגות ומדעי החברה. }} === המקורות לתוכן בספר === * הפילוסופיה של הנפש - שיעורי האוניברסיטה הפתוחה: גרעין הספר נוצר סביב חומר הלימודים בקורס "הפילוסופיה של הנפש בתקופתנו" הנלמד באוניברסיטה הפתוחה, מתוך ספרו של פרופ' אמיר הורוביץ, אלא שספרנו מתעמת עם ספרו לעיתים, מפשט את ההסברים, ומשתמש במונחים מוצלחים וברורים יותר מאלו שפרופ' הורביץ בחר. כדי לקרב את הלומדים לניסוחינו - החורגים לעתים ממה שהתקבל בשנים האחרונות כלשון ההגות הרשמית, נציין בספרנו זה מה נחשב נכון במטלות ובמבחנים, ובאיזה מונחים יש להשתמש שם. * שיעוריו המקוונים של פרופ' ג'פרי קפלן: סדר הדברים שונה מן הספר שלן הורביץ, ועוקב אחר שיעוריו המקוונים של [[#סדרת סרטוני הרצאות ג'פרי קפלן|ד"ר ג'פרי קפלן]] (אך מפורט יותר ונסמך על החומרים המקוריים של ההוגים אותם הוא מציג בשיעוריו). * הוגי הנפש בימינו: (להשלים קישורים לעמודי הספר הנוגעים להם) ** דוגלאס הופשטטר - בספריו: גדל אשר באך, עין השכל (משחק מלים עם האני של השכל - The Mind's Eye) אסופת מאמרים של הוגים שונים וביניהם ריימונד סמוליאן, על כך שאין "נשמה", וסיפור נשמתו של היצור סימן 3, על יצור רובוטי שנרצח במכות פטיש אחרי שהתחנן על חייו, ונוזל הידראולי אדום נשפך ממנו. ** דניאל דנט - בספרו המוּדע מוסבר Consciousness Explained: עוסק "בבעיה הקשה" של הסבר האדמימות באדום, וטוען שאין מקום אחד של "אני" אלא גרסאות מתחרות המביעות את עצמן עם התגברותן. ** פטרישיה צ'ורצ'לנד - וספרה נוירופילוסופיה: סוגיות של האפשרות להבין ולהסביר, וסוגיות של קשר לעיבוד המחשבתי בעולם החי ממנו התפתחנו. ** פול צור'צ'לנד - חומרנות מבטלת (Eliminative Materialism): הטענה שהמושגים המקובלים כמו רצונות פחדים ותחושות ייעלמו ברגע שיתברר ההסבר המדעי העצבי המלא. ** מרי מידג'לי - על המוסר והאחריות לעולם החי. על תפיסת העולם הערכית, שאינה מסתכמת במדע, ושנדרשים היבטים אחרים נוספים לצורך ההבנה. (החלה לכתוב קרוב לגיל שישים, המשיכה להרצות עד יומה האחרון, ומתה חודש לפני יום הולדתה המאה.) אחרון ספריה: לשם מה לנו הגות? (?What is Philosophy For) ** איליין מורגן - ופירסום השערת הקוף החופי (במקור של המדען אליסטר הרדי) - לגבי הבעת רגשות ייחודית של בכי מלוח לעומת קופים אחרים, השליטה בנשימה, איבוד הפרווה והשפעתו על קשר האם והתינוק ועוד. (פרסמה את ספרה הראשון בנושא התפתחות בת האדם, בגיל 51, בשנת 1972, והמשיכה להרצות גם בגיל 92 קרוב ליום מותה.). * הגות הנפש בעבר: ** **במזרח הקדום** - אמונות מצריות ובסהר הפורה בין הנהרות (הממלכות באיזור בבל הקדומה) ** הגות הנפש המשתקפת **במקרא** ** **בפילוסופיה היוונית** הקדומה, ואת התפתחותם בקרב המלומדים - כפי שתפישות אלו מופיעות בכתבי הוגים יהודים מתקופת החורבן, ובימי הביניים. }} === התנצלות על מצב הספר === מצב הספר כרגע לא משהו. הוא מבולגן ויש בו חומר חלקי או שלא במקומו. אין בו ניווט מסודר. ==== עדכונים ==== * כל זה בשלבי תיקון. אביב 2025 תשפה. * חורף תשפו - סדר משופר, וכבר קריא למדי, אך עדיין צריך מעבר רציני ומשמעותי על חלקיו. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[/יסודות|לפרק הבא (יסודות) >>]] = ראו גם = * [[/מבנה|מבנה הספר ותוכן העניינים]] * מכל עמוד תוכלו להגיע אל '''[[/יסודות/מילון מושגים|מילון המושגים]]''', הכולל טבלת השוואה עם מונחי האו"פ. = קישורים חיצוניים = * [[/שיעורי קפלן]] - קישורים לסרטי הרצאותיו של ד"ר ג'פרי קפלן. הנספח כאן בספר גם נותן תקציר ומעט הסבר למה שהוצג בהרצאותיו. * [https://www.facebook.com/groups/520143522291814 פילונפש - הפילוסופיה של הנפש] קבוצת פייסבוק למתעניינים בנושא - ובפרט בהקשר לקורס באוניברסיטה הפתוחה. * [https://docs.google.com/document/d/1nBQLXIa8UkfkfVI-VS1e9vLof8hm7FE6cwTkzO1Rzos/edit?usp=sharing סיכומים והרחבות שיעורי האוניברסיטה בפתוחה] קובץ בהתהוות, עורך ומעיר משה פלאם על יסוד הרצאות ד"ר יחזקאל קופמן. == ארכיב (דפי טיוטה ודפים למחיקה) == * [[/מבנה|מבנה הספר ותוכן העניינים]] * [[משתמש:Pashute/הגות הנפש/ארכיב/טיוטה א|דואליזם/טענות/נדחית: סיבתיות יתר]] * [[משתמש:משתמש:Pashute/הגות הנפש/ארכיב/שונות|שונות - קישורים ונושאים שונים שצריכים להיכנס לספר]] &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[/יסודות|לפרק הבא (יסודות) >>]] [[קטגוריה:הגות הנפש]] f7p1iq35rn1cyc1kwafmkxu595otmlm 0 30172 181114 181063 2026-11-09T23:24:07Z יהודה שמחה ולדמן 6994 שיפוץ קודים מתמטיים 181114 wikitext text/x-wiki ==הגדרה 1== תהי <math>(A_\mathtt{1},\ldots,A_n)</math> [[w:n-יה סדורה|n־יה סדורה]]. נגדיר: :<math>\vec{A}^n=(A_\mathtt{1},\ldots,A_n)</math> עבור [[w:פונקציה|פונקציות]] <math>\vec{A}^{\;\!\!m}\!,\vec{B}^{\;\!n}</math> נגדיר: :<math>\begin{align}\vec{A}^{\;\!\!m}(\vec{B}^{\;\!n})=\bigl(A_\mathtt{1}(B_\mathtt{1},\ldots,B_n)\,,\ldots,A_m(B_\mathtt{1},\ldots,B_n)\bigr)\end{align}</math> סימון מקוצר זה ישמש אותנו רבות בעמודים הבאים. ==הגדרה 2== יהי <math>\mathbb{F}</math> [[מבנים אלגבריים/שדות|שדה]]. יהיו <math>\;\!\underline{a}\,,\underline{b}\in\mathbb{F}^{\;\!n}</math>. נגדיר: *חיבור וקטורי: ::<math>\underline{a}+\underline{b}=(a_\mathtt{1}\!+b_\mathtt{1}\;\!,\ldots,a_n\!+b_n)</math> *חזקה חיבורית: ::<math>c\,\underline{a}=(c\!\cdot\!a_\mathtt{1}\;\!,\ldots,c\!\cdot\!a_n)\quad:\!c\in\mathbb{F}</math> *כפל וקטורי: ::<math>\underline{a}\!\cdot\!\underline{b}=(a_\mathtt{1}\!\cdot b_\mathtt{1}\;\!,\ldots,a_n\!\cdot b_n)</math> *חזקה כפלית: ::<math>\underline{a}^k=\bigl((a_\mathtt{1})^k,\ldots,(a_n)^k\bigr)\quad:\!k\in\N</math> *מכפלה סקלרית: ::<math>\underline{a}\bullet\underline{b}=(a_\mathtt{1}\!\cdot b_\mathtt{1})+\cdots+(a_n\!\cdot b_n)</math> *חזקה סקלרית: ::<math>\underline{a}^{\;\!\underline{k}}=(a_\mathtt{1})^{k_1}\cdots(a_n)^{k_n}\quad:\!\underline{k}\in\N^{\;\!n}</math> ==הגדרה 3== יהי <math>\mathbb{F}</math> שדה. אזי <math>\mathbb{F}\big[\vec{X}^n\big]</math> הוא מרחב הפולינומים במשתנים <math>X_\mathtt{1},\ldots,X_n</math> עם מקדמים ב־<math>\mathbb{F}</math>. '''[[w:מונום|מונום]]''' ('''חד־אבר''') הוא פולינום מן הצורה <math>c\;\!\underline{X}^{\;\!\underline{a}}</math>, כאשר <math>\underline{a}\in\N^{\;\!n}</math> וכן <math>c\in\mathbb{F}</math>. *<math>\deg(\underline{X}^{\;\!\underline{a}})=a_\mathtt{1}\!+\cdots+a_n</math> *מעלת פולינום (שאיננו פולינום האפס) שוה למרבית מבין מעלות המונומים המרכיבים אותו. ===תכונות=== *מכפלת מונומים בעלי בסיס זהה מקיימת [[w:מרחב וקטורי|חיבור וקטורי מעריכים]]: :<math>\begin{align}\underline{X}^{\;\!\underline{a}}\;\!\!\cdot\;\!\!\underline{X}^{\;\!\underline{b}}\!\!&=\bigl[\,(X_\mathtt{1})^{a_\mathtt{1}}\;\!\!\cdots(X_n)^{a_n}\,\bigr]\cdot\bigl[\,(X_\mathtt{1})^{b_\mathtt{1}}\;\!\!\cdots(X_n)^{b_n}\,\bigr]\\[8pt]&=\bigl[\,(X_\mathtt{1})^{a_\mathtt{1}}\!\cdot\;\!\!(X_\mathtt{1})^{b_\mathtt{1}}~\!\bigr]\cdots\bigl[\,(X_\mathtt{1})^{a_n}\!\cdot\;\!\!(X_n)^{b_n}~\!\bigr]\\[8pt]&=~\!(X_\mathtt{1})^{a_\mathtt{1}+~\!b_\mathtt{1}}\;\!\!\cdots(X_n)^{a_n+~\!b_n}\\[8pt]&=~\!\underline{X}^{\;\!\underline{a}~\!+~\!\underline{b}}\end{align}</math> *החזקה הסקלרית [[w:חוק הפילוג|מתפלגת]] מעל הכפל הוקטורי: :<math>\begin{align}(\underline{X}\;\!\!\cdot\;\!\!\underline{Y})^{\;\!\underline{a}}\!\!&=(X_\mathtt{1}~\!\!\!\cdot\;\!\!Y_\mathtt{1}\;\!,\ldots,X_n~\!\!\!\cdot\;\!\!Y_n)^{\;\!\underline{a}}\\[8pt]&=(X_\mathtt{1}~\!\!\!\cdot~\!\!Y_\mathtt{1})^{a_1}\;\!\!\cdots(X_n~\!\!\!\cdot~\!\!Y_n)^{a_n}\\[8pt]&=\bigl[\,(X_\mathtt{1})^{a_\mathtt{1}}\!\cdot\;\!\!(Y_\mathtt{1})^{a_\mathtt{1}}\,\bigr]\cdots\bigl[\,(X_n)^{a_n}\!\cdot\;\!\!(Y_n)^{a_n}\,\bigr]\\[8pt]&=\bigl[\,(X_\mathtt{1})^{a_\mathtt{1}}\;\!\!\cdots(X_n)^{a_n}\,\bigr]\cdot\bigl[\,(Y_\mathtt{1})^{a_\mathtt{1}}\;\!\!\cdots(Y_n)^{a_n}\,\bigr]\\[8pt]&=~\!\underline{X}^{\;\!\underline{a}}\;\!\!\cdot\;\!\!\underline{Y}^{\;\!\underline{a}}\end{align}</math> ==הגדרה 4== יהיו <math>\underline{X}^{\;\!\underline{b}},\underline{X}^{\;\!\underline{b}}</math> מונומים. נאמר כי <math>\underline{X}^{\;\!\underline{a}}</math> '''בעל סדר קטן מ־'''<math>\underline{X}^{\;\!\underline{b}}</math> אם קיים אינדקס <math>1\le k\le n</math> עבורו מתקיים: :<math>\begin{cases}\,a_i=b_i&:\!1\le i\le k-1\\[7pt]\,a_i<b_i&:\!i=k\end{cases}</math> במלים אחרות, בין שני הוקטורים <math>\underline{a}\,,\underline{b}</math> קיים [[w:יחס סדר מילוני|יחס סדר מילוני]]. נסמן זאת <math>\;\!\underline{X}^{\;\!\underline{a}}\prec\underline{X}^{\;\!\underline{b}}</math>. בפולינום <math>A</math>, למונום בעל הסדר המרבי נקרא '''המונום המוביל''', ונסמנו <math>\text{L}(A)</math>. ===דוגמא=== :<math>(X_1)^7(X_2)^3(X_3)^{10}\,\prec\,(X_1)^7(X_2)^{31}(X_3)\,\iff\,(7,3,10)\prec(7,31,1)</math> ==[[w:למה (מתמטיקה)|למה]]== יהיו <math>A,B\in\mathbb{F}\big[\vec{X}^n\big]</math> פולינומים. אזי מתקיים <math>\;\!\text{L}(A\;\!\!\cdot\;\!\!B)=\text{L}(A)\cdot\text{L}(B)</math>. ===הוכחה=== יהיו <math>\underline{X}^{\;\!\underline{a}},\underline{X}^{\;\!\underline{b}},\underline{X}^{\;\!\underline{c}},\underline{X}^{\;\!\underline{d}}</math> מונומים, כאשר <math>\;\!\underline{X}^{\;\!\underline{a}}=\text{L}(A)\,,\,\underline{X}^{\;\!\underline{b}}=\text{L}(B)</math>. 1. נניח כי <math>\;\!\underline{X}^{\;\!\underline{c}}\prec\underline{X}^{\;\!\underline{a}}</math>. נראה כי מתקיים <math>\underline{X}^{\;\!\underline{c}~\!+~\!\underline{d}}\prec\underline{X}^{\;\!\underline{a}~\!+~\!\underline{d}}</math> לכל <math>\;\!\underline{X}^{\;\!\underline{d}}</math>.{{ש}} מן ההגדרה, קיים אינדקס <math>1\le k\le n</math> עבורו מתקיים: :<math>\begin{cases}\,c_i(+\,d_i)=a_i(+\,d_i)&:\!1\le i\le k-1\\[7pt]\,c_i(+\,d_i)<a_i(+\,d_i)&:\!i=k\end{cases}</math> {{ש}} 2. נניח כי גם <math>\;\!\underline{X}^{\;\!\underline{d}}\prec\underline{X}^{\;\!\underline{b}}</math>. נראה כי מתקיים <math>\;\!\underline{X}^{\;\!\underline{c}~\!+~\!\underline{d}}\prec\underline{X}^{\;\!\underline{a}~\!+~\!\underline{b}}</math>.{{ש}} מן ההגדרה, קיימים אינדקסים <math>k_1,k_2\in\{1,\ldots,n\}</math> עבורם מתקיים בהתאמה: :<math>\begin{align}&\begin{cases}\,c_i=a_i&:\!1\le i\le k_1-1\\[7pt]\,c_i<a_i&:\!i=k_1\end{cases}\,,\quad\begin{cases}\,d_i=b_i&:\!1\le i\le k_2-1\\[7pt]\,d_i<b_i&:\!i=k_2\end{cases}\\[15pt]&\begin{Bmatrix}\,1\le k_1\le k_2\le n\!:&(c_\mathtt{k_1}\!<a_\mathtt{k_1})\and(d_\mathtt{k_1}\!\le b_\mathtt{k_1})\,\implies\,c_\mathtt{k_1}\!+d_\mathtt{k_1}\!<a_\mathtt{k_1}\!+b_\mathtt{k_1}\,\\[8pt]\,1\le k_2<k_1\le n\!:&(c_\mathtt{k_2}\!=a_\mathtt{k_2})\and(d_\mathtt{k_2}\!<b_\mathtt{k_2})\,\implies\,c_\mathtt{k_2}\!+d_\mathtt{k_2}\!<a_\mathtt{k_2}\!+b_\mathtt{k_2}\,\end{Bmatrix}\,\implies\,\underline{X}^{\;\!\underline{c}~\!+~\!\underline{d}}\prec\underline{X}^{\;\!\underline{a}~\!+~\!\underline{b}}\\\end{align}</math> לאמר: :<math>\text{L}(A\;\!\!\cdot\;\!\!B)=\underline{X}^{\;\!\underline{a}~\!+~\!\underline{b}}=\underline{X}^{\;\!\underline{a}}\;\!\!\cdot\;\!\!\underline{X}^{\;\!\underline{b}}=\text{L}(A)\cdot\text{L}(B)</math> <math>\square</math> ==הגדרה 5== יהי <math>A\in\mathbb{F}\big[\vec{X}^n\big]</math> פולינום. נגדיר: :<math>\text{D}(A)=\Big\{\,\underline{X}^{\;\!\underline{a}}\in\mathbb{F}\big[\vec{X}^n\big]\!:\deg(\underline{X}^{\;\!\underline{a}})\le\deg(\text{L}(A)),\,\underline{X}^{\;\!\underline{a}}\prec\text{L}(A)\,\Big\}</math> לאמר, קבוצת כל [[w:פולינום מתוקן|המונומים המתוקנים]] אשר מעלתם לכל היותר כמעלת המונום המוביל וסדרם קטן יותר מסדרו. ===דוגמא=== :<math>\begin{align}A(X_1,X_2)\!\!\!&=4+3X_1+2(X_1)^2X_2+(X_2)^4\\[8pt]\text{L}(A)\!\!\!&=2(X_1)^2(X_2)\\[8pt]\text{D}(F)\!\!\!&=\Big\{\,(X_1)(X_2)^2\;\!,(X_1)^2\;\!,X_1X_2\;\!,(X_2)^2\;\!,X_1\;\!,X_2\;\!,1\,\Big\}\end{align}</math> {{תוכן| |הפרק הקודם=[[../|הקדמה]] |הפרק הנוכחי=סידור מונומי |הפרק הבא=[[../תמורות וסימטריה/]] }} [[קטגוריה:מבנים אלגבריים]] l7pdtcwf0rwv0js84gjm8qke7k0qi7r 0 30175 181113 181065 2026-11-09T12:29:50Z יהודה שמחה ולדמן 6994 שיפוץ קודים מתמטיים 181113 wikitext text/x-wiki יהי <math>\mathbb{F}</math> שדה, ויהי <math>A\in\mathbb{F}\big[\vec{X}^n\big]</math> פולינום סימטרי. אזי ניתן להציגו באופן יחיד כפולינום <math>S(\vec{E}^{~\!\!n}(\vec{X}^n))\in\mathbb{F}\big[\vec{X}^n\big]</math>, כאשר: *מעלת <math>S</math> אינה עולה על מעלת <math>A</math>. *אם <math>A</math> בעל מקדמים שלמים אזי גם <math>S</math> בעל מקדמים שלמים. ===הוכחה=== ראשית, נתאר [[w:אלגוריתם|אלגוריתם]] למציאת הפולינום המבוקש <math>S</math>. נגדיר תנאי התחלה <math>m=1</math> וכן <math>A_1=A</math>. #מצאו את <math>\text{L}(A_m)=c_m\;\!\underline{X}^{\;\!\underline{a}}</math> כאשר <math>c_m\in\mathbb{F}\!\setminus\!\{0\}</math>. #הגדירו <math>S_m(\vec{Y}^n)=c_m~\!\!(Y_1)^{a_1-a_2}(Y_2)^{a_2-a_3}\!\cdots(Y_{n-1})^{a_{n-1}-a_n}(Y_n)^{a_n}</math>. #הציבו <math>A_{m+1}(\vec{X}^n)=A_m(\vec{X}^n)-S_m(\vec{E}^{~\!\!n}(\vec{X}^n))</math>. #אם <math>A_{m+1}\ne0</math>, שובו לסעיף 1 והתחילו את התהליך מחדש באינדקס <math>m+1</math>.{{ש}}אם <math>A_{m+1}=0</math>, עברו לסעיף 5. #הציבו <math>S=S_1\!+\cdots+S_m</math>. להוכחת האלגוריתם אנו זקוקים לשתי [[w:למה (מתמטיקה)|למות]]. '''למה 1:''' המונום המוביל ב־<math>A</math> מקיים <math>a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n</math>. '''הוכחה:''' [[w:הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] כי קיים אינדקס <math>k</math> עבורו <math>a_k<a_{k+1}</math>.{{ש}} קיימת תמורה <math>\mathbf{\sigma}\in\boldsymbol{S}_X</math> עבורה :<math>X_{\sigma(m)}=\begin{cases}X_m&:\!m\ne k,k+1\\X_{k+1}&:\!m=k\\X_k&:\!m=k+1\end{cases}</math> אך עקב הסימטריה <math>\mathbf{\sigma}(A)=A</math> מכיל את המונום השמאלי עבורו :<math>c_\mathtt{1}~\!\!(X_1)^{a_1}\cdots(X_k)^{a_{k+1}}(X_{k+1})^{a_k}\cdots(X_n)^{a_n}\,\succ\,\text{L}(A)</math> '''סתירה.''' <math>\square</math> '''למה 2:''' המונום המוביל בפיתוחו של <math>S_m(\vec{E}^{~\!\!n}(\vec{X}^n))</math> הוא <math>c_m~\!\!(X_1)^{a_1}\cdots(X_n)^{a_n}</math>. '''הוכחה:''' מתקיים כי :<math>\begin{align}\text{L}(E_k)=X_1\cdots X_k,\!\!\!&\quad:\!1\le k\le n\\[8pt]\text{L}\big[c_m~\!\!(E_1)^{b_1}(E_2)^{b_2}\cdots(E_n)^{b_n}\big]\!\!\!&=c_m~\!\!\text{L}\big[(E_1)^{b_1}\big]\,\text{L}\big[(E_2)^{b_2}\big]\cdots\text{L}\big[(E_n)^{b_n}\big]\\[8pt]\!\!\!&=c_m\,\text{L}(E_1)^{b_1}\text{L}(E_2)^{b_2}\!\cdots\text{L}(E_n)^{b_n}\\[8pt]\!\!\!&=c_m~\!\!(X_1)^{b_1}(X_1X_2)^{b_2}\!\cdots(X_1\cdots X_n)^{b_n}\\[8pt]\!\!\!&=c_m~\!\!(X_1)^{b_1\,+\,\cdots\,+\,b_n}(X_2)^{b_2\,+\,\cdots\,+\,b_n}\cdots(X_{n-1})^{b_{n-1}+\,b_n}(X_n)^{b_n}\\[8pt]\!\!\!&=c_m~\!\!(X_1)^{a_1}\cdots(X_n)^{a_n}\end{align}</math> השוויון האחרון מתקיים [[w:אם ורק אם|אם ורק אם]] :<math>\begin{align}a_k\!\!\!&=\sum_{i\,=\,k}^nb_i\,,\quad:\!1\le k\le n\\[8pt]b_k\!\!\!&=\begin{cases}a_k\!-a_{k+1}&:\!1\le k\le n-1\\[8pt]a_k&:\!k=n\end{cases}\end{align}</math> <math>\square</math> עתה ניגש להוכחת המשפט: 1. יהי <math>A\ne0</math> פולינום סימטרי במשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math>.{{ש}} ההוכחה ב[[w:אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה שלמה]] על <math>|\text{D}(A)|</math> (ראו [[הוכחות מתמטיות/שונות/π מספר טרנסצנדנטי/סידור מונומי#הגדרה 5|הגדרה]]). אם <math>|\text{D}(A)|=0</math> אזי <math>A</math> פולינום קבוע, וקל להראות כי האלגוריתם מתקיים עבורו. נניח כי האלגוריתם מתקיים לכל הפולינומים הסימטריים <math>A</math> בעלי <math>0\le|\text{D}(A)|\le k</math>, עבור <math>k\in\N</math> כלשהוא.{{ש}} נראה כי האלגוריתם מתקיים גם עבור פולינום סימטרי <math>A_1</math> בעל <math>|\text{D}(A_1)|=k+1</math>, כאשר <math>\text{L}(A_1)=c_\mathtt{1}\;\!\underline{X}^{\;\!\underline{a}}</math>. על־פי למה 2, מתקיים כי: :<math>\begin{align}S_1(\vec{Y}^n)&=c_\mathtt{1}~\!\!(Y_1)^{a_1-a_2}(Y_2)^{a_2-a_3}\cdots(Y_{n-1})^{a_{n-1}-a_n}(Y_n)^{a_n}\\[8pt]A_2(\vec{X}^n)&=A_1(\vec{X}^n)-S_1(\vec{E}^{~\!\!n}(\vec{X}^n))\end{align}</math> הפונקציה <math>S_1</math> היא פולינום, שכן <math>a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n</math>.{{ש}} בנוסף, על־פי [[הוכחות מתמטיות/שונות/π מספר טרנסצנדנטי/פולינומים סימטריים#תכונות|תכונות הפולינומים הסימטריים]] <math>S_1</math> פולינום סימטרי במשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math>, ולכן גם <math>A_2</math> פולינום סימטרי.{{ש}} הפולינומים <math>A_1,S_1</math> מכילים שניהם את <math>\text{L}(A_1)</math>, ולכן הוא מתקזז בהפרשם.{{ש}} אם <math>A_2=0</math> אזי <math>S=S_1</math>.{{ש}} אם <math>A_2\ne0</math> אזי <math>\text{L}(A_2)\prec\text{L}(A_1)</math>, לאמר <math>|\text{D}(A_2)|<|\text{D}(A_1)|=k+1</math>.{{ש}} הנחת האינדוקציה מתקיימת עבור <math>A_2</math>, ועל כן האלגוריתם מניב פולינום <math>S^*</math> עבורו :<math>\begin{align}A_2(\vec{X}^n)\!\!\!&=S^*\!(\vec{E}^{~\!\!n}(\vec{X}^n))\\[8pt]A_1(\vec{X}{}^n)\!\!\!&=S_1(\vec{E}^{~\!\!n}(\vec{X}^n))+S^*\!(\vec{E}^{~\!\!n}(\vec{X}^n))\end{align}</math> 2. תכונות המשפט מתקיימות: *על־פי ההגדרה, מעלת <math>S_1(\vec{Y}^n)</math> היא <math>a_1</math> ומעלת <math>A_1</math> היא לפחות <math>a_1\!+\cdots+a_n</math>. *אם <math>A_1</math> בעל מקדמים שלמים אזי <math>c_\mathtt{1}\ne0</math> הנ"ל מספר שלם. לכן גם <math>S_1</math> בעל מקדמים שלמים. <math>\blacksquare</math> {{תוכן| |הפרק הקודם=[[../פולינומים סימטריים אלמנטריים/]] |הפרק הנוכחי=המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים |הפרק הבא=[[../תוצאות חשובות/]] }} [[קטגוריה:מבנים אלגבריים]] qm6kkdixv0o2mmw9kg8urunu0wkn503 181116 181113 2026-11-10T11:37:24Z יהודה שמחה ולדמן 6994 שיפוץ קודים מתמטיים 181116 wikitext text/x-wiki יהי <math>\mathbb{F}</math> שדה, ויהי <math>A\in\mathbb{F}\big[\vec{X}^n\big]</math> פולינום סימטרי. אזי ניתן להציגו באופן יחיד כפולינום <math>S(\vec{E}^{~\!\!n}(\vec{X}^n))\in\mathbb{F}\big[\vec{X}^n\big]</math>, כאשר: *מעלת <math>S</math> אינה עולה על מעלת <math>A</math>. *אם <math>A</math> בעל מקדמים שלמים אזי גם <math>S</math> בעל מקדמים שלמים. ===הוכחה=== ראשית, נתאר [[w:אלגוריתם|אלגוריתם]] למציאת הפולינום המבוקש <math>S</math>. נגדיר תנאי התחלה <math>m=1</math> וכן <math>A_1=A</math>. #מצאו את <math>\text{L}(A_m)=c_m\;\!\underline{X}^{\;\!\underline{a}}</math> כאשר <math>c_m\in\mathbb{F}\!\setminus\!\{0\}</math>. #הגדירו <math>S_m(\vec{Y}^n)=c_m~\!\!(Y_1)^{a_1-a_2}(Y_2)^{a_2-a_3}\!\cdots(Y_{n-1})^{a_{n-1}-a_n}(Y_n)^{a_n}</math>. #הציבו <math>A_{m+1}(\vec{X}^n)=A_m(\vec{X}^n)-S_m(\vec{E}^{~\!\!n}(\vec{X}^n))</math>. #אם <math>A_{m+1}\ne0</math>, שובו לסעיף 1 והתחילו את התהליך מחדש באינדקס <math>m+1</math>.{{ש}}אם <math>A_{m+1}=0</math>, עברו לסעיף 5. #הציבו <math>S=S_1\!+\cdots+S_m</math>. להוכחת האלגוריתם אנו זקוקים לשתי [[w:למה (מתמטיקה)|למות]]. '''למה 1:''' המונום המוביל ב־<math>A</math> מקיים <math>a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n</math>. '''הוכחה:''' [[w:הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] כי קיים אינדקס <math>k</math> עבורו <math>a_k<a_{k+1}</math>.{{ש}} קיימת תמורה <math>\mathbf{\sigma}\in\boldsymbol{S}_X</math> עבורה :<math>X_{\sigma(m)}=\begin{cases}\,X_m&:\!m\ne k,k+1\\\,X_{k+1}&:\!m=k\\\,X_k&:\!m=k+1\end{cases}</math> אך עקב הסימטריה <math>\mathbf{\sigma}(A)=A</math> מכיל את המונום השמאלי עבורו :<math>c_\mathtt{1}~\!\!(X_1)^{a_1}\cdots(X_k)^{a_{k+1}}(X_{k+1})^{a_k}\cdots(X_n)^{a_n}\,\succ\,\text{L}(A)</math> '''סתירה.''' <math>\square</math> '''למה 2:''' המונום המוביל בפיתוחו של <math>S_m(\vec{E}^{~\!\!n}(\vec{X}^n))</math> הוא <math>c_m~\!\!(X_1)^{a_1}\cdots(X_n)^{a_n}</math>. '''הוכחה:''' מתקיים כי :<math>\begin{align}\text{L}(E_k)=X_1\cdots X_k,\!\!\!&\quad:\!1\le k\le n\\[8pt]\text{L}\big[\,c_m~\!\!(E_1)^{b_1}(E_2)^{b_2}\cdots(E_n)^{b_n}\,\big]\!\!\!&=c_m\;\!\text{L}\big[(E_1)^{b_1}\big]\,\text{L}\big[(E_2)^{b_2}\big]\cdots\text{L}\big[(E_n)^{b_n}\big]\\[8pt]\!\!\!&=c_m\;\!\text{L}(E_1)^{b_1}\;\!\text{L}(E_2)^{b_2}\cdots\text{L}(E_n)^{b_n}\\[8pt]\!\!&=c_m~\!\!(X_1)^{b_1}(X_1X_2)^{b_2}\cdots(X_1\cdots X_n)^{b_n}\\[8pt]\!\!\!&=c_m~\!\!(X_1)^{b_1\,+\,\cdots\,+\,b_n}(X_2)^{b_2\,+\,\cdots\,+\,b_n}\cdots(X_{n-1})^{b_{n-1}+\,b_n}(X_n)^{b_n}\\[8pt]\!\!\!&=c_m~\!\!(X_1)^{a_1}\cdots(X_n)^{a_n}\end{align}</math> השוויון האחרון מתקיים [[w:אם ורק אם|אם ורק אם]] :<math>\begin{align}a_k\!\!\!&=\sum_{i\,=\,k}^nb_i\,,\quad:\!1\le k\le n\\[8pt]b_k\!\!\!&=\begin{cases}\,a_k-a_{k+1}&:\!1\le k\le n-1\\[8pt]\,a_k&:\!k=n\end{cases}\end{align}</math> <math>\square</math> עתה ניגש להוכחת המשפט: 1. יהי <math>A\ne0</math> פולינום סימטרי במשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math>.{{ש}} ההוכחה ב[[w:אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה שלמה]] על <math>|\text{D}(A)|</math> (ראו [[הוכחות מתמטיות/שונות/π מספר טרנסצנדנטי/סידור מונומי#הגדרה 5|הגדרה]]). אם <math>|\text{D}(A)|=0</math> אזי <math>A</math> פולינום קבוע, וקל להראות כי האלגוריתם מתקיים עבורו. נניח כי האלגוריתם מתקיים לכל הפולינומים הסימטריים <math>A</math> בעלי <math>0\le|\text{D}(A)|\le k</math>, עבור <math>k\in\N</math> כלשהוא.{{ש}} נראה כי האלגוריתם מתקיים גם עבור פולינום סימטרי <math>A_1</math> בעל <math>|\text{D}(A_1)|=k+1</math>, כאשר <math>\text{L}(A_1)=c_\mathtt{1}\;\!\underline{X}^{\;\!\underline{a}}</math>. על־פי למה 2, מתקיים כי: :<math>\begin{align}S_1(\vec{Y}^n)\!\!\!&=c_\mathtt{1}~\!\!(Y_1)^{a_1-a_2}(Y_2)^{a_2-a_3}\cdots(Y_{n-1})^{a_{n-1}-a_n}(Y_n)^{a_n}\\[8pt]A_2(\vec{X}^n)\!\!\!&=A_1(\vec{X}^n)-S_1(\vec{E}^{~\!\!n}(\vec{X}^n))\end{align}</math> הפונקציה <math>S_1</math> היא פולינום, שכן <math>a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n</math>.{{ש}} בנוסף, על־פי [[הוכחות מתמטיות/שונות/π מספר טרנסצנדנטי/פולינומים סימטריים#תכונות|תכונות הפולינומים הסימטריים]] <math>S_1</math> פולינום סימטרי במשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math>, ולכן גם <math>A_2</math> פולינום סימטרי.{{ש}} הפולינומים <math>A_1,S_1</math> מכילים שניהם את <math>\text{L}(A_1)</math>, ולכן הוא מתקזז בהפרשם.{{ש}} אם <math>A_2=0</math> אזי <math>S=S_1</math>.{{ש}} אם <math>A_2\ne0</math> אזי <math>\text{L}(A_2)\prec\text{L}(A_1)</math>, לאמר <math>|\text{D}(A_2)|<|\text{D}(A_1)|=k+1</math>.{{ש}} הנחת האינדוקציה מתקיימת עבור <math>A_2</math>, ועל כן האלגוריתם מניב פולינום <math>S^*</math> עבורו :<math>\begin{align}A_2(\vec{X}^n)\!\!\!&=S^*\!(\vec{E}^{~\!\!n}(\vec{X}^n))\\[8pt]A_1(\vec{X}{}^n)\!\!\!&=S_1(\vec{E}^{~\!\!n}(\vec{X}^n))+S^*\!(\vec{E}^{~\!\!n}(\vec{X}^n))\end{align}</math> 2. תכונות המשפט מתקיימות: *על־פי ההגדרה, מעלת <math>S_1(\vec{Y}^n)</math> היא <math>a_1</math> ומעלת <math>A_1</math> היא לפחות <math>a_1\!+\cdots+a_n</math>. *אם <math>A_1</math> בעל מקדמים שלמים אזי <math>c_\mathtt{1}\ne0</math> הנ"ל מספר שלם. לכן גם <math>S_1</math> בעל מקדמים שלמים. <math>\blacksquare</math> {{תוכן| |הפרק הקודם=[[../פולינומים סימטריים אלמנטריים/]] |הפרק הנוכחי=המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים |הפרק הבא=[[../תוצאות חשובות/]] }} [[קטגוריה:מבנים אלגבריים]] 9n72ort4ele2icds06wbknzptnzn034