Wikibuku:Warung kopi

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11.xsd" version="0.11" xml:lang="id">
  <siteinfo>
    <sitename>Wikibuku</sitename>
    <dbname>idwikibooks</dbname>
    <base>https://id.wikibooks.org/wiki/Halaman_Utama</base>
    <generator>MediaWiki 1.46.0-wmf.24</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">Media</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">Istimewa</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">Pembicaraan</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">Pengguna</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">Pembicaraan Pengguna</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">Wikibuku</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">Pembicaraan Wikibuku</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">Berkas</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">Pembicaraan Berkas</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">MediaWiki</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">Pembicaraan MediaWiki</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">Templat</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">Pembicaraan Templat</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">Bantuan</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">Pembicaraan Bantuan</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">Kategori</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">Pembicaraan Kategori</namespace>
      <namespace key="100" case="first-letter">Resep</namespace>
      <namespace key="101" case="first-letter">Pembicaraan Resep</namespace>
      <namespace key="102" case="first-letter">Wisata</namespace>
      <namespace key="103" case="first-letter">Pembicaraan Wisata</namespace>
      <namespace key="710" case="first-letter">TimedText</namespace>
      <namespace key="711" case="first-letter">TimedText talk</namespace>
      <namespace key="828" case="first-letter">Modul</namespace>
      <namespace key="829" case="first-letter">Pembicaraan Modul</namespace>
      <namespace key="1728" case="first-letter">Acara</namespace>
      <namespace key="1729" case="first-letter">Pembicaraan Acara</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
  <page>
    <title>Wikibuku:Warung kopi</title>
    <ns>4</ns>
    <id>1646</id>
    <revision>
      <id>114984</id>
      <parentid>114978</parentid>
      <timestamp>2026-04-26T00:57:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>MediaWiki message delivery</username>
        <id>15529</id>
      </contributor>
      <comment>/* Request for comment (global AI policy) */ bagian baru</comment>
      <origin>114984</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="77377" sha1="nqqaqbh23nufjg3tncemdumm2cy6sy9" xml:space="preserve">__NEWSECTIONLINK__
{{introkopi}}
Arsip: [[Wikibuku:Warung kopi/Arsip/2006-2011|2006-2011]] | [[Wikibuku:Warung kopi/Arsip/2012|2012]] | [[Wikibuku:Warung kopi/Arsip/2013|2013]] |  [[Wikibuku:Warung kopi/Arsip/2014|2014]] | [[Wikibuku:Warung kopi/Arsip/2015|2015]] | [[Wikibuku:Warung kopi/Arsip/2016|2016]] | [[Wikibuku:Warung kopi/Arsip/2017|2017]] | [[Wikibuku:Warung kopi/Arsip/2018|2018]] | [[Wikibuku:Warung kopi/Arsip/2019|2019]] | [[Wikibuku:Warung kopi/Arsip/2020|2020]] | [[Wikibuku:Warung kopi/Arsip/2021|2021]] | [[Wikibuku:Warung kopi/Arsip/2022|2022]] | [[Wikibuku:Warung kopi/Arsip/2023|2023]]''' | [[Wikibuku:Warung kopi/Arsip/2024|2024]] | '''[[Wikibuku:Warung kopi/Arsip/2025|2025]]''' &lt;!-- | [[Wikibuku:Warung kopi/Arsip/2026|2026]] | [[Wikibuku:Warung kopi/Arsip/2027|2027]] | [[Wikibuku:Warung kopi/Arsip/2028|2028]] | [[Wikibuku:Warung kopi/Arsip/2029|2029]] | [[Wikibuku:Warung kopi/Arsip/2030|2030]]--&gt;

* '''en:''' Requests for the [[m:bot|bot]] flag should be made on this page. This wiki uses the [[m:bot policy|standard bot policy]], and allows [[m:bot policy#Global_bots|global bots]] and [[m:bot policy#Automatic_approval|automatic approval of certain types of bots]]. Other bots should apply below, and then [[m:Steward requests/Bot status|request access]] from a steward if there is no objection.

__TOC__

== Launching! Join Us for Wiki Loves Ramadan 2025! ==

Dear All,

We’re happy to announce the launch of [[m:Wiki Loves Ramadan 2025|Wiki Loves Ramadan 2025]], an annual international campaign dedicated to celebrating and preserving Islamic cultures and history through the power of Wikipedia. As an active contributor to the Local Wikipedia, you are specially invited to participate in the launch. 

This year’s campaign will be launched for you to join us write, edit, and improve articles that showcase the richness and diversity of Islamic traditions, history, and culture.

* Topic: [[m:Event:Wiki Loves Ramadan 2025 Campaign Launch|Wiki Loves Ramadan 2025 Campaign Launch]]
* When: Jan 19, 2025 
* Time: 16:00 Universal Time UTC and runs throughout Ramadan (starting February 25, 2025).
* Join Zoom Meeting: https://us02web.zoom.us/j/88420056597?pwd=NdrpqIhrwAVPeWB8FNb258n7qngqqo.1 
* Zoom meeting hosted by [[m:Wikimedia Bangladesh|Wikimedia Bangladesh]]

To get started, visit the [[m:Wiki Loves Ramadan 2025|campaign page]] for details, resources, and guidelines: Wiki Loves Ramadan 2025.

Add [[m:Wiki Loves Ramadan 2025/Participant|your community here]], and organized Wiki Loves Ramadan 2025 in your local language.

Whether you’re a first-time editor or an experienced Wikipedian, your contributions matter. Together, we can ensure Islamic cultures and traditions are well-represented and accessible to all.

Feel free to invite your community and friends too. Kindly reach out if you have any questions or need support as you prepare to participate.

Let’s make Wiki Loves Ramadan 2025 a success!

For the [[m:Wiki Loves Ramadan 2025/Team|International Team]] 16 Januari 2025 12.08 (UTC)
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:ZI Jony@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&amp;oldid=27568454 --&gt;

== Universal Code of Conduct annual review: provide your comments on the UCoC and Enforcement Guidelines ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
My apologies for writing in English.
{{Int:Please-translate}}.

I am writing to you to let you know the annual review period for the Universal Code of Conduct and Enforcement Guidelines is open now. You can make suggestions for changes through 3 February 2025. This is the first step of several to be taken for the annual review.
[[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Annual_review|Read more information and find a conversation to join on the UCoC page on Meta]].

The [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] (U4C) is a global group dedicated to providing an equitable and consistent implementation of the UCoC. This annual review was planned and implemented by the U4C. For more information and the responsibilities of the U4C, [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Charter|you may review the U4C Charter]].

Please share this information with other members in your community wherever else might be appropriate.

-- In cooperation with the U4C, [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]]) 24 Januari 2025 01.10 (UTC)
&lt;/div&gt;
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:Keegan (WMF)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=27746256 --&gt;

== Pengurus ==

Saya ingin mengajukan diri untuk menjadi pengurus di wikibooks bahasa Indonesia, dikarenakan jarangnya pengurus yang ada untuk hadir dan mematroli disini. [[Pengguna:Glorious Engine|Glorious Engine]] ([[Pembicaraan Pengguna:Glorious Engine|bicara]]) 25 Januari 2025 13.03 (UTC)

:{{setuju}}. Silakan. Nanti halaman-halaman yang bahasa Inggris tolong dihapus ya. &lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]]) 25 Januari 2025 22.04 (UTC)
:{{setuju}}. Baiklah. Karena Mas Bennylin setuju. Saya percaya saja. [[Pengguna:Meursault2004|Meursault2004]] ([[Pembicaraan Pengguna:Meursault2004|bicara]]) 3 Februari 2025 19.25 (UTC)

== Reminder: first part of the annual UCoC review closes soon ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
My apologies for writing in English.
{{Int:Please-translate}}.

This is a reminder that the first phase of the annual review period for the Universal Code of Conduct and Enforcement Guidelines will be closing soon. You can make suggestions for changes through [[d:Q614092|the end of day]], 3 February 2025. This is the first step of several to be taken for the annual review.
[[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Annual_review|Read more information and find a conversation to join on the UCoC page on Meta]]. After review of the feedback, proposals for updated text will be published on Meta in March for another round of community review. 

Please share this information with other members in your community wherever else might be appropriate.

-- In cooperation with the U4C, [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]]) 3 Februari 2025 00.48 (UTC)
&lt;/div&gt;
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:Keegan (WMF)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=28198931 --&gt;

== Dukung proyek WikiCitaRasa kami di program Rapid Fund! 📚🍛 ==

Halo, semua! 👋🏻

Melalui halaman warung kopi ini, saya dan @[[Pengguna:Agus Damanik|Agus Damanik]] ingin memberitahukan bahwa kami akan mengajukan proyek bertajuk '''WikiCitaRasa''' di program Rapid Fund di Cycle 4. 

Proyek WikiCitaRasa ini merupakan proyek penulisan resep kuliner nusantara di Wikibooks Indonesia dengan memanfaatkan sumber bacaan berlisensi bebas (domain publik) dari Wikisource. Tujuan utama proyek ini adalah mengembangkan konten di Wikibooks Indonesia, terutama mengenai resep kuliner. Pada pelaksanaannya, proyek ini akan melibatkan enam (6) komunitas Wikimedia di Indonesia, yaitu Medan, Padang, Palembang, Bandung, Madura, dan Jakarta.

Kami sangat mengharapkan dukungan dari kawan-kawan semua agar usulan proyek ini dapat didanai. Kami berharap, proyek ini dapat mengajak lebih banyak sukarelawan untuk berkontribusi dan memperkaya konten-konten di Wikibooks Indonesia.

Jika kawan-kawan setuju, mohon berikan dukungan melalui komentar pada halaman warung kopi ini. 

Terima kasih dan salam. 😉

[[Pengguna:Raflinoer32|Raflinoer32]] ([[Pembicaraan Pengguna:Raflinoer32|bicara]]) 13 Februari 2025 02.57 (UTC)

:Halo Rafli, wah saya tidak sabar dengan proyeknya. Semoga bisa ikut terlibat dan berkontribusi yaaa😆 
:[[Pengguna:Lany pirna|Lany pirna]] ([[Pembicaraan Pengguna:Lany pirna|bicara]]) 14 Februari 2025 12.54 (UTC)
:Halo Rafli! Ih keren banget proyeknya... Dengan pengalaman Rafli dan Mas Agus, aku percaya sih proyeknya bakal sukses banget. Semangat yaa! [[Pengguna:Diahasy|Diahasy]] ([[Pembicaraan Pengguna:Diahasy|bicara]]) 14 Februari 2025 13.37 (UTC)
:Keren Mas Rafli, sudah tidak sabar bisa berkontribusi dari daerah masing-masing, ahahaha, kebetulan di Medan nih [[Pengguna:Nafisathallah|Nafisathallah]] ([[Pembicaraan Pengguna:Nafisathallah|bicara]]) 15 Februari 2025 03.06 (UTC)
:Halo, Ambo afdhal mendukung penuh Mas Rafli dan Kak Diah untuk mengembangan konten kuliner Indonesia di proyek Wikimedia. Semoga sehat sehat dan lancar lancar kegiatannya, Semangat bebaskan pengetahuan. - Afdhal, Komunitas Wikimedia Padang [[Pengguna:Afdhal Sy|Afdhal Sy]] ([[Pembicaraan Pengguna:Afdhal Sy|bicara]]) 6 April 2026 09.52 (UTC)
:Saya sangat mendukung proyek ini untuk memperkaya konten kuliner Indonesia di proyek Wikimedia. - Siti Noviali, Komunitas Wikimedia Denpasar[[Pengguna:Siti Noviali|Siti Noviali]] ([[Pembicaraan Pengguna:Siti Noviali|bicara]]) 21 April 2026 10.03 (UTC)

==  Pertemuan Komunitas Bahasa (28 Februari, 14.00 UTC) dan Nawala Mendatang ==

&lt;section begin=&quot;message&quot;/&gt;
Halo, semuanya!
[[File:WP20Symbols WIKI INCUBATOR.svg|right|frameless|150x150px|alt=Sebuah gambar yang menggambarkan berbagai bahasa]]
Kami gembira mengumumkan bahwa '''Pertemuan Komunitas Bahasa''' mendatang akan diselenggarakan pada '''28 Februari pukul 14.00 UTC'''! Jika ingin bergabung, cukup mendaftar '''[[mw:Wikimedia_Language_and_Product_Localization/Community_meetings#28_February_2025|di halaman wiki]]'''.

Ini merupakan pertemuan yang berbasis peserta tempat kita berbagi informasi terbaru mengenai proyek-proyek yang berhubungan dengan bahasa, mendiskusikan tantangan teknis dalam wiki yang berhubungan dengan bahasa, dan bekerja sama dalam mencari solusi. Pada pertemuan terakhir yang lalu, kami membahas topik-topik seperti pengembangan papan ketik bahasa, pembuatan Wikipedia Moore, dan berita terbaru dari jalur dukungan bahasa di Wiki Indaba.

'''Ada topik yang ingin disampaikan?''' Baik itu kabar terbaru teknis dari proyek Anda, tantangan yang perlu dibantu, atau permintaan bantuan penjurubahasaan, kami ingin mendengarnya dari Anda! Jangan ragu untuk '''menanggapi pesan ini''' atau menambahkan topik ke dalam dokumen '''[[etherpad:p/language-community-meeting-feb-2025|di sini]]'''.

Kami juga ingin menyampaikan bahwa nawala Bahasa &amp; Internasionalisasi edisi keenam (Januari 2025) tersedia di sini: [[:mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Language and Product Localization/Newsletter/2025/January|Wikimedia Language and Product Localization/Newsletter/2025/January]]. Nawala ini menyajikan informasi terbaru dari kuartal Oktober–Desember 2024 tentang pengembangan fitur baru, peningkatan berbagai proyek teknis terkait bahasa dan upaya dukungan, informasi mengenai pertemuan komunitas, dan ide untuk berkontribusi ke dalam proyek tersebut. Untuk mendapatkan informasi terbaru, Anda dapat berlangganan nawalanya di halaman wiki: [[:mw:Wikimedia Language and Product Localization/Newsletter|Wikimedia Language and Product Localization/Newsletter]].

Sampai jumpa di pertemuan komunitas bahasa berikutnya. Kami tunggu ide dan partisipasi Anda!
&lt;section end=&quot;message&quot;/&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 22 Februari 2025 08.28 (UTC)
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:SSethi (WMF)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=28217779 --&gt;

== Universal Code of Conduct annual review: proposed changes are available for comment ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
My apologies for writing in English.
{{Int:Please-translate}}.

I am writing to you to let you know that [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Annual_review/Proposed_Changes|proposed changes]] to the [[foundation:Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines|Universal Code of Conduct (UCoC) Enforcement Guidelines]] and [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Charter|Universal Code of Conduct Coordinating Committee (U4C) Charter]] are open for review. '''[[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Annual_review/Proposed_Changes|You can provide feedback on suggested changes]]''' through the [[d:Q614092|end of day]] on Tuesday, 18 March 2025. This is the second step in the annual review process, the final step will be community voting on the proposed changes.
[[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Annual_review|Read more information and find relevant links about the process on the UCoC annual review page on Meta]].

The [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] (U4C) is a global group dedicated to providing an equitable and consistent implementation of the UCoC. This annual review was planned and implemented by the U4C. For more information and the responsibilities of the U4C, [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Charter|you may review the U4C Charter]].

Please share this information with other members in your community wherever else might be appropriate.

-- In cooperation with the U4C, [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] 7 Maret 2025 18.50 (UTC)

&lt;/div&gt;
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:Keegan (WMF)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=28307738 --&gt;

== Wiki Anda akan segera menjadi mode hanya baca ==

&lt;section begin=&quot;server-switch&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;

[[:m:Special:MyLanguage/Tech/Server switch|Baca pesan ini dalam bahasa lain]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-Tech%2FServer+switch&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]

[[foundation:|Wikimedia Foundation]] akan menguji coba mengalihkan pusat data utama dan sekundernya. Hal ini akan memastikan bahwa Wikipedia dan wiki Wikimedia lainnya dapat tetap beroperasi bahkan selepas bencana.

Semua lalu lintas akan beralih pada '''{{#time:j xg|2025-03-19|id}}'''. Uji coba akan dimulai pukul '''[https://zonestamp.toolforge.org/{{#time:U|2025-03-19T14:00|en}} {{#time:H:i e|2025-03-19T14:00}}]'''.

Akan tetapi, karena adanya keterbatasan dalam perangkat lunak [[mw:Special:MyLanguage/Manual:What is MediaWiki?|MediaWiki]], semua aktivitas penyuntingan harus berhenti sementara ketika proses pengalihan ini kami lakukan. Kami memohon maaf atas ketidaknyamanan ini dan kami akan berupaya untuk meminimalkan hal serupa pada waktu yang akan datang. 

Sebuah papan pengumuman akan ditampilkan di semua wiki 30 menit sebelum pelaksanaan operasi ini. Papan pengumuman tersebut akan selalu terlihat hingga akhir pengerjaan. 

'''Anda masih bisa membaca, tetapi tidak bisa menyunting, seluruh wiki dalam waktu terbatas.'''

*Anda tidak dapat menyunting hingga satu jam pada hari {{#time:l j xg Y|2025-03-19|id}}.
*Jika Anda mencoba menyunting atau menyimpan suntingan Anda pada waktu tersebut, akan muncul pesan galat. Kami berharap tidak ada suntingan yang hilang pada waktu-waktu tersebut, tetapi kami tidak dapat menjamin hal ini. Jika Anda mendapat pesan galat, mohon menunggu hingga semuanya kembali normal. Ketika uji coba telah selesai, Anda dapat menyimpan suntingan Anda. Namun, kami sangat menyarankan untuk membuat salinan suntingan Anda terlebih dahulu untuk berjaga-jaga.

''Pengaruh lainnya'':

*Pekerjaan latar belakang akan menjadi lebih lambat dan beberapa pekerjaan mungkin akan diberhentikan. Pranala merah mungkin tidak dapat diperbarui secepat biasanya. Jika Anda membuat artikel yang telah terhubung dengan halaman lainnya, pranalanya akan tetap merah lebih lama daripada biasanya. Beberapa skrip yang berjalan lama terpaksa dihentikan.
* Kami berharap penerapan kode akan terjadi seperti minggu-minggu lainnya. Namun, beberapa kasus pembekuan kode dapat terjadi secara cepat jika proses operasi membutuhkannya setelah itu.
* [[mw:Special:MyLanguage/GitLab|GitLab]] akan tidak tersedia selama 90 menit.

Proyek ini mungkin ditunda jika diperlukan. Anda dapat [[wikitech:Switch_Datacenter|membaca jadwalnya di wikitech.wikimedia.org]] Semua perubahan akan diumumkan dalam jadwal tersebut. 

'''Mohon sebarkan informasi ini kepada komunitas Anda.'''&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;server-switch&quot;/&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 14 Maret 2025 23.14 (UTC)
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:Quiddity (WMF)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&amp;oldid=28307742 --&gt;

== Final proposed modifications to the Universal Code of Conduct Enforcement Guidelines and U4C Charter now posted ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
The proposed modifications to the [[foundation:Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines|Universal Code of Conduct Enforcement Guidelines]] and the U4C Charter [[m:Universal_Code_of_Conduct/Annual_review/2025/Proposed_Changes|are now on Meta-wiki for community notice]] in advance of the voting period. This final draft was developed from the previous two rounds of community review. Community members will be able to vote on these modifications starting on 17 April 2025. The vote will close on 1 May 2025, and results will be announced no later than 12 May 2025. The U4C election period, starting with a call for candidates, will open immediately following the announcement of the review results. More information will be posted on [[m:Special:MyLanguage//Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election|the wiki page for the election]] soon.

Please be advised that this process will require more messages to be sent here over the next two months. 

The [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee (U4C)]] is a global group dedicated to providing an equitable and consistent implementation of the UCoC. This annual review was planned and implemented by the U4C. For more information and the responsibilities of the U4C, you may [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Charter|review the U4C Charter]].

Please share this message with members of your community so they can participate as well.

-- In cooperation with the U4C, [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User_talk:Keegan (WMF)|talk]]) 4 April 2025 02.04 (UTC)
&lt;/div&gt;
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:Keegan (WMF)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=28469465 --&gt;

== Wikidata and Sister Projects: An online community event ==

''(Apologies for posting in English)''

Hello everyone, I am excited to share news of an upcoming online event called '''[[d:Event:Wikidata_and_Sister_Projects|Wikidata and Sister Projects]]''' celebrating the different ways Wikidata can be used to support or enhance with another Wikimedia project. The event takes place over 4 days between '''May 29 - June 1st, 2025'''.

We would like to invite speakers to present at this community event, to hear success stories, challenges, showcase tools or projects you may be working on, where Wikidata has been involved in Wikipedia, Commons, WikiSource and all other WM projects.

If you are interested in attending, please [[d:Special:RegisterForEvent/1291|register here]].
If you would like to speak at the event, please fill out this Session Proposal template on the [[d:Event_talk:Wikidata_and_Sister_Projects|event talk page]], where you can also ask any questions you may have. 

I hope to see you at the event, in the audience or as a speaker, - [[Pengguna:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Pembicaraan Pengguna:MediaWiki message delivery|bicara]]) 11 April 2025 09.18 (UTC)
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:Danny Benjafield (WMDE)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Danny_Benjafield_(WMDE)/MassMessage_Send_List&amp;oldid=28525705 --&gt;

== Vote now on the revised UCoC Enforcement Guidelines and U4C Charter ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;

The voting period for the revisions to the Universal Code of Conduct Enforcement Guidelines (&quot;UCoC EG&quot;) and the UCoC's Coordinating Committee Charter is open now through the end of 1 May (UTC) ([https://zonestamp.toolforge.org/1746162000 find in your time zone]). [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Annual_review/2025/Voter_information|Read the information on how to participate and read over the proposal before voting]] on the UCoC page on Meta-wiki.

The [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee (U4C)]] is a global group dedicated to providing an equitable and consistent implementation of the UCoC. This annual review of the EG and Charter was planned and implemented by the U4C. Further information will be provided in the coming months about the review of the UCoC itself. For more information and the responsibilities of the U4C, you may [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Charter|review the U4C Charter]].

Please share this message with members of your community so they can participate as well.

In cooperation with the U4C -- [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User_talk:Keegan (WMF)|talk]]) 17 April 2025 00.34 (UTC)
&lt;/div&gt;
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:Keegan (WMF)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=28469465 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Vote on proposed modifications to the UCoC Enforcement Guidelines and U4C Charter&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
The voting period for the revisions to the Universal Code of Conduct Enforcement Guidelines and U4C Charter closes on 1 May 2025 at 23:59 UTC ([https://zonestamp.toolforge.org/1746162000 find in your time zone]). [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Annual review/2025/Voter information|Read the information on how to participate and read over the proposal before voting]] on the UCoC page on Meta-wiki.

The [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee (U4C)]] is a global group dedicated to providing an equitable and consistent implementation of the UCoC. This annual review was planned and implemented by the U4C. For more information and the responsibilities of the U4C, you may [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Charter|review the U4C Charter]].

Please share this message with members of your community in your language, as appropriate, so they can participate as well.

In cooperation with the U4C -- &lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
[[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]]) 29 April 2025 03.40 (UTC)&lt;/div&gt;
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:Keegan (WMF)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=28618011 --&gt;

== We will be enabling the new Charts extension on your wiki soon! ==

''(Apologies for posting in English)''

Hi all! We have good news to share regarding the ongoing problem with graphs and charts affecting all wikis that use them.

As you probably know, the [[:mw:Special:MyLanguage/Extension:Graph|old Graph extension]] was disabled in 2023 [[listarchive:list/wikitech-l@lists.wikimedia.org/thread/EWL4AGBEZEDMNNFTM4FRD4MHOU3CVESO/|due to security reasons]]. We’ve worked in these two years to find a solution that could replace the old extension, and provide a safer and better solution to users who wanted to showcase graphs and charts in their articles. We therefore developed the [[:mw:Special:MyLanguage/Extension:Chart|Charts extension]], which will be replacing the old Graph extension and potentially also the [[:mw:Extension:EasyTimeline|EasyTimeline extension]].

After successfully deploying the extension on Italian, Swedish, and Hebrew Wikipedia, as well as on MediaWiki.org, as part of a pilot phase, we are now happy to announce that we are moving forward with the next phase of deployment, which will also include your wiki.

The deployment will happen in batches, and will start from '''May 6'''. Please, consult [[:mw:Special:MyLanguage/Extension:Chart/Project#Deployment Timeline|our page on MediaWiki.org]] to discover when the new Charts extension will be deployed on your wiki. You can also [[:mw:Special:MyLanguage/Extension:Chart|consult the documentation]] about the extension on MediaWiki.org.

If you have questions, need clarifications, or just want to express your opinion about it, please refer to the [[:mw:Special:MyLanguage/Extension_talk:Chart/Project|project’s talk page on Mediawiki.org]], or ping me directly under this thread. If you encounter issues using Charts once it gets enabled on your wiki, please report it on the [[:mw:Extension_talk:Chart/Project|talk page]] or at [[phab:tag/charts|Phabricator]].

Thank you in advance! -- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 6 Mei 2025 15.07 (UTC)
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:Sannita (WMF)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Sannita_(WMF)/Mass_sending_test&amp;oldid=28663781 --&gt;

== Pembukaan Pendaftaran Calon Anggota Komite Koordinasi Kode Etik Universal (U4C) ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
Hasil pemungutan suara mengenai Pedoman Penegakan Kode Etik Universal dan Piagam Komite Koordinasi Kode Etik Universal (U4C) telah [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Annual review/2025#Results|tersedia di Meta-Wiki]].

Anda kini dapat [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Election/2025/Candidates|mengajukan diri sebagai calon anggota U4C]] hingga 29 Mei 2025 pukul 12.00 UTC. Informasi mengenai [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Election/2025|syarat kelayakan, proses pencalonan, dan jadwal pemilihan tersedia di Meta-Wiki]]. Pemungutan suara untuk para calon akan dibuka pada 1 Juni 2025 dan berlangsung selama dua pekan, ditutup pada 15 Juni 2025 pukul 12.00 UTC.

Jika Anda memiliki pertanyaan, silakan ajukan di [[m:Talk:Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Election/2025|halaman diskusi pemilihannya]]. — bersama dengan U4C, &lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User_talk:Keegan (WMF)|bicara]])&lt;/bdi&gt; 15 Mei 2025 22.06 (UTC)
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:Keegan (WMF)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=28618011 --&gt;

== RfC ongoing regarding Abstract Wikipedia (and your project) ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
''(Apologies for posting in English, if this is not your first language)''

Hello all! We opened a discussion on Meta about a very delicate issue for the development of [[:m:Special:MyLanguage/Abstract Wikipedia|Abstract Wikipedia]]: where to store the abstract content that will be developed through functions from Wikifunctions and data from Wikidata. Since some of the hypothesis involve your project, we wanted to hear your thoughts too. 

We want to make the decision process clear: we do not yet know which option we want to use, which is why we are consulting here. We will take the arguments from the Wikimedia communities into account, and we want to consult with the different communities and hear arguments that will help us with the decision. The decision will be made and communicated after the consultation period by the Foundation.

You can read the various hypothesis and have your say at [[:m:Abstract Wikipedia/Location of Abstract Content|Abstract Wikipedia/Location of Abstract Content]]. Thank you in advance! -- [[User:Sannita (WMF)|Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|&lt;span class=&quot;signature-talk&quot;&gt;{{int:Talkpagelinktext}}&lt;/span&gt;]]) 22 Mei 2025 15.26 (UTC)
&lt;/div&gt;
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:Sannita (WMF)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Sannita_(WMF)/Mass_sending_test&amp;oldid=28768453 --&gt;

== Pemilihan Dewan Pengawas Yayasan Wikimedia 2025 &amp; Pengajuan Pertanyaan ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
:''[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2025/Announcement/Selection announcement|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Wikimedia Foundation elections/2025/Announcement/Selection announcement}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]''

Halo semua,

Tahun ini, periode 2 (dua) tahun jabatan Dewan Pengawas Yayasan Wikimedia untuk kursi perwakilan Komunitas dan Organisasi Afiliasi akan segera berakhir. [1] Dewan Pengawas mengundang seluruh anggota Gerakan Wikimedia untuk ikut serta dalam proses pemilihan tahun ini serta memberikan suara mereka supaya jabatan yang kosong bisa segera terisi.

Komite Pemilihan akan mengawasi tahapan pemilihan ini dengan dukungan dari pegawai Yayasan Wikimedia. [2] Komite Tata Kelola Dewan, terdiri atas para anggota Dewan Pengawas yang tidak menjadi calon dalam tahapan pemilihan Dewan Pengawas untuk kursi perwakilan komunitas dan organisasi afiliasi tahun 2025 (Raju Narisetti, Shani Evenstein Sigalov, Lorenzo Losa, Kathy Collins, Victoria Doronina dan Esra’a Al Shafei), [3] akan bertugas untuk melaksanakan fungsi pengawasan bagi Dewan Pengawas di dalam tahapan pemilihan 2025 ini serta senantiasa menginformasikan perkembangan terbaru kepada Dewan Pengawas. Silakan kunjungi pranala yang tersedia pada catatan kaki di bawah ini untuk mendapatkan informasi lebih lanjut mengenai peran dari Komite Pemilihan, Dewan Pengawas, dan pegawai Wikimedia. [4]

Berikut merupakan tanggal-tanggal penting untuk tahapan pemilihan tahun ini:

* 22 Mei–5 Juni 2025: Pengumuman (informasi yang sedang Anda baca ini) dan masa pengajuan pertanyaan [6]
* 17 Juni–1 Juli 2025: Pengajuan calon17 Juni–1 Juli 2025: Pengajuan calon
* Juli 2025: Jika diperlukan, organisasi afiliasi akan memilih calon Dewan Pengawas yang akan dimasukkan ke tahapan pemilihan berikutnya, apabila terdapat 10 atau lebih calon yang mendaftar [5]
* Agustus 2025: Masa kampanye
* Agustus–September 2025: Masa pemungutan suara komunitas yang akan berlangsung selama dua minggu
* Oktober–November 2025: Pemeriksaan latar belakang dari calon terpilih
* Rapat Dewan Pengawas pada bulan Desember 2025: Penetapan anggota Dewan Pengawas terbaru

Silakan pelajari proses pemilihan 2025 lebih mendalam, termasuk rincian lini masa, proses pencalonan, peraturan kampanye, dan syarat kelayakan pemilih dengan mengakses [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_elections/2025|pranala halaman Meta-Wiki ini]].

'''Pengajuan Pertanyaan'''

Dalam proses pemilihan ini, anggota komunitas berkesempatan untuk mengajukan pertanyaan yang akan dijawab oleh para calon Dewan Pengawas. Komite Pemilihan akan memilih pertanyaan dari daftar yang telah diajukan oleh anggota komunitas sebelumnya, dan kemudian, para calon akan menjawab pertanyaan tersebut. Para calon harus menjawab semua pertanyaan wajib yang tercantum dalam formulir pencalonan agar dapat dianggap telah memenuhi syarat. Jika tidak, pencalonan tersebut akan dianggap batal. Pada tahun ini, Komite Pemilihan akan memilih 5 pertanyaan untuk dijawab oleh para calon. Pertanyaan terpilih mungkin merupakan hasil perpaduan dari daftar pertanyaan yang diajukan oleh komunitas, jika ternyata pertanyaan tersebut mirip atau berkaitan. [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_elections/2025/Questions_for_candidates|[link]]]

'''Sukarelawan Pemilihan'''

Cara lain untuk terlibat dalam proses pemilihan 2025 yaitu dengan menjadi Sukarelawan Pemilihan. Sukarelawan Pemilihan akan menjembatani hubungan antara Komite Pemilihan dan komunitas masing-masing. Mereka akan membantu memastikan agar komunitas mereka terwakili dan mengajak anggota komunitas untuk ikut serta memberikan suaranya. Silakan pelajari lebih lanjut tentang program ini dan cara bergabung melalui dengan mengakses [[m:Wikimedia_Foundation_elections/2025/Election_volunteers|pranala halaman Meta Wiki]].

Terima kasih banyak!

[1] https://meta.wikimedia.org/wiki/Wikimedia_Foundation_elections/2022/Results

[2] https://foundation.wikimedia.org/wiki/Committee:Elections_Committee_Charter

[3] https://foundation.wikimedia.org/wiki/Resolution:Committee_Membership,_December_2024

[4] https://meta.wikimedia.org/wiki/Wikimedia_Foundation_elections_committee/Roles

[5] https://meta.wikimedia.org/wiki/Wikimedia_Foundation_elections/2025/FAQ

[6] https://meta.wikimedia.org/wiki/Wikimedia_Foundation_elections/2025/Questions_for_candidates

Salam hangat,

Victoria Doronina

Narahubung Dewan Pengawas untuk Komite Pemilihan

Komite Tata Kelola Dewan&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

[[Pengguna:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Pembicaraan Pengguna:MediaWiki message delivery|bicara]]) 28 Mei 2025 03.07 (UTC)
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:RamzyM (WMF)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=28618011 --&gt;

== Vote now in the 2025 U4C Election ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Apologies for writing in English.
{{Int:Please-translate}}

Eligible voters are asked to participate in the 2025 [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] election. More information–including an eligibility check, voting process information, candidate information, and a link to the vote–are available on Meta at the [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2025|2025 Election information page]]. The vote closes on 17 June 2025 at [https://zonestamp.toolforge.org/1750161600 12:00 UTC].

Please vote if your account is eligible. Results will be available by 1 July 2025. -- In cooperation with the U4C, [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]]) 13 Juni 2025 23.00 (UTC) &lt;/div&gt;
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:Keegan (WMF)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=28848819 --&gt;

== Dewan Pengawas Yayasan Wikimedia 2025 - Pengajuan Calon ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2025/Announcement/Call for candidates|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Wikimedia Foundation elections/2025/Announcement/Call for candidates}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;
Halo semua,

Saat ini, [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2025|tahap pengajuan calon untuk pemilihan Dewan Pengawas Yayasan Wikimedia 2025]] telah dibuka. Tahap ini akan berlangsung dari tanggal 17 Juni 2025 sampai pukul 11:59 UTC, 2 Juli 2025.[1] Dewan Pengawas bertugas untuk mengawasi pekerjaan Yayasan Wikimedia dan masing-masing Pengawas bertugas selama tiga tahun masa jabatan.[2] Jabatan ini bersifat sukarela.

Tahun ini, komunitas Wikimedia akan menghadapi pemilihan yang akan dilangsungkan dari akhir Agustus hingga September 2025. Pemilihan ini bertujuan untuk mengisi dua (2) kursi kosong di Dewan Pengawas, Yayasan Wikimedia. Apakah Anda calon yang kami cari atau Anda tahu orang yang kira-kira cocok untuk dicalonkan sebagai Dewan Pengawas, Yayasan Wikimedia?[3]

Silakan baca lebih lanjut [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2025/Candidate application|di halaman Meta-Wiki]] untuk mengetahui hal apa saja yang diperlukan untuk dapat menjabat sebagai Dewan Pengawas, cara mengajukan pencalonan diri atau mengajak orang lain untuk maju dalam pemilihan tahun ini.

Salam hangat,

Abhishek Suryawanshi&lt;br /&gt;
Ketua Komite Pemilihan

Atas nama Komite Pemilihan dan Komite Tata Kelola Dewan

[1] https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_elections/2025/Call_for_candidates

[2] https://foundation.wikimedia.org/wiki/Legal:Bylaws#(B)_Term.

[3] https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_elections/2025/Resources_for_candidates&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

[[Pengguna:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Pembicaraan Pengguna:MediaWiki message delivery|bicara]]) 17 Juni 2025 17.43 (UTC)
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:RamzyM (WMF)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=28866958 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Sister Projects Task Force reviews Wikispore and Wikinews&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;message&quot;/&gt;
Dear Wikimedia Community,

The [[m:Wikimedia Foundation Community Affairs Committee|Community Affairs Committee (CAC)]]  of the Wikimedia Foundation Board of Trustees assigned [[m:Wikimedia Foundation Community Affairs Committee/Sister Projects Task Force|the Sister Projects Task Force (SPTF)]] to update and implement a procedure for assessing the lifecycle of Sister Projects – wiki [[m:Wikimedia projects|projects supported by Wikimedia Foundation (WMF)]].

A vision of relevant, accessible, and impactful free knowledge has always guided the Wikimedia Movement. As the ecosystem of Wikimedia projects continues to evolve, it is crucial that we periodically review existing projects to ensure they still align with our goals and community capacity.

Despite their noble intent, some projects may no longer effectively serve their original purpose. '''Reviewing such projects is not about giving up – it's about responsible stewardship of shared resources'''. Volunteer time, staff support, infrastructure, and community attention are finite, and the non-technical costs tend to grow significantly as our ecosystem has entered a different age of the internet than the one we were founded in. Supporting inactive projects or projects that didn't meet our ambitions can unintentionally divert these resources from areas with more potential impact.

Moreover, maintaining projects that no longer reflect the quality and reliability of the Wikimedia name stands for, involves a reputational risk. An abandoned or less reliable project affects trust in the Wikimedia movement.

Lastly, '''failing to sunset or reimagine projects that are no longer working can make it much harder to start new ones'''. When the community feels bound to every past decision – no matter how outdated – we risk stagnation. A healthy ecosystem must allow for evolution, adaptation, and, when necessary, letting go. If we create the expectation that every project must exist indefinitely, we limit our ability to experiment and innovate.

Because of this, SPTF reviewed two requests concerning the lifecycle of the Sister Projects to work through and demonstrate the review process. We chose Wikispore as a case study for a possible new Sister Project opening and Wikinews as a case study for a review of an existing project. Preliminary findings were discussed with the CAC, and a community consultation on both proposals was recommended.

=== Wikispore ===

The [[m:Wikispore|application to consider Wikispore]] was submitted in 2019. SPTF decided to review this request in more depth because rather than being concentrated on a specific topic, as most of the proposals for the new Sister Projects are, Wikispore has the potential to nurture multiple start-up Sister Projects.

After careful consideration, the SPTF has decided '''not to recommend''' Wikispore as a Wikimedia Sister Project. Considering the current activity level, the current arrangement allows '''better flexibility''' and experimentation while WMF provides core infrastructural support. 

We acknowledge the initiative's potential and seek community input on what would constitute a sufficient level of activity and engagement to reconsider its status in the future.

As part of the process, we shared the decision with the Wikispore community and invited one of its leaders, Pharos, to an SPTF meeting.

Currently, we especially invite feedback on measurable criteria indicating the project's readiness, such as contributor numbers, content volume, and sustained community support. This would clarify the criteria sufficient for opening a new Sister Project, including possible future Wikispore re-application. However, the numbers will always be a guide because any number can be gamed.

=== Wikinews ===

We chose to review Wikinews among existing Sister Projects because it is the one for which we have observed the highest level of concern in multiple ways.

Since the SPTF was convened in 2023, its members have asked for the community's opinions during conferences and community calls about Sister Projects that did not fulfil their promise in the Wikimedia movement.[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:WCNA_2024._Sister_Projects_-_opening%3F_closing%3F_merging%3F_splitting%3F.pdf &lt;nowiki&gt;[1]&lt;/nowiki&gt;][https://meta.wikimedia.org/wiki/Wikimedia_Foundation_Community_Affairs_Committee/Sister_Projects_Task_Force#Wikimania_2023_session_%22Sister_Projects:_past,_present_and_the_glorious_future%22 &lt;nowiki&gt;[2]&lt;/nowiki&gt;][https://meta.wikimedia.org/wiki/WikiConvention_francophone/2024/Programme/Quelle_proc%C3%A9dure_pour_ouvrir_ou_fermer_un_projet_%3F &lt;nowiki&gt;[3]&lt;/nowiki&gt;] Wikinews was the leading candidate for an evaluation because people from multiple language communities proposed it. Additionally, by most measures, it is the least active Sister Project, with the greatest drop in activity over the years.

While the Language Committee routinely opens and closes language versions of the Sister Projects in small languages, there has never been a valid proposal to close Wikipedia in major languages or any project in English. This is not true for Wikinews, where there was a proposal to close English Wikinews, which gained some traction but did not result in any action[https://meta.wikimedia.org/wiki/Proposals_for_closing_projects/Closure_of_English_Wikinews &lt;nowiki&gt;[4]&lt;/nowiki&gt;][https://meta.wikimedia.org/wiki/WikiConvention_francophone/2024/Programme/Quelle_proc%C3%A9dure_pour_ouvrir_ou_fermer_un_projet_%3F &lt;nowiki&gt;[5]&lt;/nowiki&gt;, see section 5] as well as a draft proposal to close all languages of Wikinews[https://meta.wikimedia.org/wiki/Talk:Proposals_for_closing_projects/Archive_2#Close_Wikinews_completely,_all_languages? &lt;nowiki&gt;[6]&lt;/nowiki&gt;].

[[:c:File:Sister Projects Taskforce Wikinews review 2024.pdf|Initial metrics]] compiled by WMF staff also support the community's concerns about Wikinews.

Based on this report, SPTF recommends a community reevaluation of Wikinews. We conclude that its current structure and activity levels are the lowest among the existing sister projects. SPTF also recommends pausing the opening of new language editions while the consultation runs.

SPTF brings this analysis to a discussion and welcomes discussions of alternative outcomes, including potential restructuring efforts or integration with other Wikimedia initiatives.

'''Options''' mentioned so far (which might be applied to just low-activity languages or all languages) include but are not limited to:
*Restructure how Wikinews works and is linked to other current events efforts on the projects,
*Merge the content of Wikinews into the relevant language Wikipedias, possibly in a new namespace,
*Merge content into compatibly licensed external projects,
*Archive Wikinews projects.
Your insights and perspectives are invaluable in shaping the future of these projects. We encourage all interested community members to share their thoughts on the relevant discussion pages or through other designated feedback channels.

=== Feedback and next steps ===

We'd be grateful if you want to take part in a conversation on the future of these projects and the review process. We are setting up two different project pages: [[m:Public consultation about Wikispore|Public consultation about Wikispore]] and [[m:Public consultation about Wikinews|Public consultation about Wikinews]]. Please participate between 27 June 2025 and 27 July 2025, after which we will summarize the discussion to move forward. You can write in your own language.

I will also host a community conversation 16th July Wednesday 11.00 UTC and 17th July Thursday 17.00 UTC (call links to follow shortly) and will be around at Wikimania for more discussions. 
&lt;section end=&quot;message&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

-- [[User:Victoria|Victoria]] on behalf of the Sister Project Task Force, 27 Juni 2025 20.56 (UTC)
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:Johan (WMF)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Johan_(WMF)/Sister_project_MassMassage_on_behalf_of_Victoria/Target_list&amp;oldid=28911188 --&gt;

== Wikidata Item and Property labels soon displayed in Wiki Watchlist/Recent Changes ==

''(Apologies for posting in English, you can help by translating into your language)''

Hello everyone, the [[m:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Resolve_Labels|Wikidata For Wikimedia Projects]] team is excited to announce an upcoming change in how Wikidata edit changelogs are displayed in your [[Special:Watchlist|Watchlists]] and [[Special:RecentChanges|Recent Changes]] lists. If an edit is made on Wikidata that affects a page in another Wikimedia Project, the changelog will contain some information about the nature of the edit. This can include a QID (or Q-number), a PID (or P-number) and a value (which can be text, numbers, dates, or also QID or PID’s). Confused by these terms? See the [[d:Special:MyLanguage/Wikidata:Glossary|Wikidata:Glossary]] for further explanations.

The upcoming change is scheduled for '''17.07.2025''', between '''1300 - 1500 UTC'''.
The change will display the label (item name) alongside any QID or PIDs, as seen in the image below:
[[File:Apr10 edit summary on Wikidata.png|An edit sum entry on Wikidata, labels display alongside their P- and Q-no.'s]]

These changes will only be visible if you have Wikidata edits enabled in your User Preferences for Watchlists and Recent Changes, or have the active filter ‘Wikidata edits’ checkbox toggled on, directly on the Watchlist and Recent Changes pages.

Your bot and gadget may be affected! There are thousands of bots, gadgets and user-scripts and whilst we have researched potential effects to many of them, we cannot guarantee there won’t be some that are broken or affected by this change.

Further information and context about this change, including how your bot may be affected can be found on this [[m:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Resolve_Labels|project task page]]. We welcome your questions and feedback, please write to us on this dedicated [[m:Talk:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Resolve_Labels|Talk page]].

Thank you, - [[m:User:Danny_Benjafield_(WMDE)|Danny Benjafield (WMDE)]] on behalf of the Wikidata For Wikimedia Projects Team. [[Pengguna:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Pembicaraan Pengguna:MediaWiki message delivery|bicara]]) 14 Juli 2025 12.46 (UTC)
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:Danny Benjafield (WMDE)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Danny_Benjafield_(WMDE)/MassMessage_Test_List&amp;oldid=28981877 --&gt;

== Usulan Artikel Unggulan: Panduan Lengkap Membuat Video Company Profile Profesional ==

Halo para Wikibukuwan,

Saya baru saja menulis artikel berjudul [[Panduan_lengkap_jawa_video_company_profil#Panduan_Lengkap_Membuat_Video_Company_Profile_Profesional]] di Wikibuku. Artikel ini membahas langkah-langkah membuat video company profile berkualitas tinggi, manfaatnya bagi perusahaan, serta rekomendasi layanan profesional di sini.

Saya berharap artikel ini dapat dipertimbangkan untuk tampil di Halaman Utama Wikibuku agar lebih banyak pembaca bisa memanfaatkannya. Mohon masukan dan dukungan dari komunitas.

Terima kasih.  
[[Pengguna:KingjuniWiki|KingjuniWiki]] ([[Pembicaraan Pengguna:KingjuniWiki|bicara]]) 31 Juli 2025 11.50 (UTC)

:Hm.. spammer yang effort sekali. &lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]]) 13 Januari 2026 21.49 (UTC)

== ingin menghapus karya Resep Bistik Solo ==

halo admin, saya ingin menghapus unggahan saya yang berjudul Resep Bistik Solo. unggahan tersebut tidak ditulis oleh saya sendiri, melainkan milik orang lain. terima kasih. [[Resep bistik solo]]  [[Pengguna:Adellia Putri Rahayu|Adellia Putri Rahayu]] ([[Pembicaraan Pengguna:Adellia Putri Rahayu|bicara]]) 1 Agustus 2025 17.40 (UTC)

== Akun sementara akan diaktifkan segera ==

&lt;section begin=&quot;body&quot;/&gt;
Halo, kami dari tim [[mw:Special:MyLanguage/Product Safety and Integrity|Product and Safety]] Wikimedia Foundation ingin mengumumkan bahwa fitur '''[[mw:Special:MyLanguage/Trust and Safety Product/Temporary Accounts|akun sementara]] rencananya akan diaktifkan di wiki ini pada 1 September'''.

Fitur ini sudah diaktifkan di 30 wiki, termasuk beberapa di antaranya adalah Wikipedia bahasa Jerman, Jepang, Prancis, dan Indonesia. Ini berguna untuk kontributor yang tidak memiliki akun dan/atau masuk log dalam melindungi privasinya. Selain itu, fitur ini juga bermanfaat bagi kontributor yang melakukan patroli maupun pengurus, sebagai bagian dari menjaga wiki senantiasa aman dan tetap akurat. 

'''Mengapa kami membuat fitur ini?'''

Sudah sepatutnya proyek Wikimedia menjadi tempat yang aman bagi semua kontributor, termasuk mereka yang memilih untuk tidak masuk log (pengguna anonim). Fitur Akun Sementara mengizinkan pengguna anonim untuk bisa berkontribusi tanpa harus menunjukkan alamat IP mereka secara publik. 

Selain itu, perangkat lunak moderasi kami sangat bergantung pada jaringan yang digunakan (dalam hal ini adalah alamat IP) untuk mendeteksi perilaku vandal maupun penggunaan akun siluman secara tidak bertanggung jawab. Permasalahannya, tidak jarang satu/beberapa alamat IP yang digunakan oleh pelaku vandal juga berbarengan dengan pengguna berniat baik. Alhasil, kontributor berniat baik tersebut bisa saja enggan untuk menyunting kembali karena diblokir dan dianggap sama dengan pelaku vandal tersebut.
Melalui Akun Sementara, kami harapkan hal seperti ini dapat diminimalkan. Untuk cara kerja dari fitur ini dapat dilihat di bawah.

'''Bagaimana fitur ini bekerja?'''
[[File:Temporary account banner and empty talk page.png|thumb]]
Siapa saja yang menyunting secara anonim di wiki, sebuah kuki (cookie) akan disimpan ke dalam peramban web pengguna anonim tersebut. Kemudian, akun sementara yang terhubung dengan kuki tersebut akan dibuat secara otomatis. Nama akun pengguna tersebut akan mengikuti format sebagai berikut: &lt;code dir=ltr&gt;~2025-12345-67&lt;/code&gt; (tanda tilda, tahun sekarang, dan angka). Format tersebut yang akan tampil di halaman perubahan terbaru, alih-alih alamat IP seperti sebelumnya.
Kuki akan disimpan selama 90 hari sejak pembuatan. Selama kuki tersebut masih tersimpan, maka nama tersebutlah yang akan digunakan dan akan tetap sama apapun koneksi internet (alamat IP) yang dipakai. Catatan log terkait alamat IP dari akun tersebut akan disimpan selama 90 hari setelah penyuntingan terakhir. Namun, hanya beberapa pengguna terdaftar yang dapat melihat alamat IP tersebut.

'''Apa artinya ini bagi kontributor?'''

'''Bagi pengguna anonim (tidak masuk log)'''

* Meningkatkan privasi atau keamanan. Pada saat ini, ketika Anda memilih untuk tidak masuk log, maka alamat IP Anda akan tampil secara publik. Hal seperti ini tidak akan terjadi lagi nantinya. 
* Apabila Anda menggunakan akun sementara untuk menyunting di lokasi yang berbeda selama 90 hari terakhir, maka riwayat suntingan dan alamat IP dari lokasi tersebut akan tersimpan di dalam akun sementara. Pengguna terdaftar yang [[foundation:Special:MyLanguage/Policy:Access_to_temporary_account_IP_addresses|memenuhi kriteria]] dapat melihat data tersebut. Jika hal ini membuat Anda terancam, silakan hubungi surel talktohumanrights@wikimedia.org untuk bantuan.

'''Bagi kontributor yang berinteraksi dengan pengguna anonim'''

* Akun sementara secara unik hanya terhubung ke satu perangkat. Jika dibandingkan dengan alamat IP, maka satu alamat IP bisa saja digunakan lebih banyak orang maupun perangkat pada saat yang bersamaan.
* Akan jauh lebih mudah untuk berasumsi bahwa satu akun sementara hanya berlaku untuk satu orang. Jika dibandingkan dengan alamat IP, maka sulit untuk memprediksi apakah itu orang yang sama atau bukan.

'''Bagi kontributor yang menggunakan alamat IP untuk patroli'''

* '''Untuk kontributor yang rutin melakukan patroli''' dalam mencari pelaku vandal, melakukan investigasi pelanggaran kebijakan dan pedoman, dsb: kontributor yang [[foundation:Special:MyLanguage/Policy:Access_to_temporary_account_IP_addresses|memenuhi kriteria]] dapat melihat alamat IP dari akun sementara maupun seluruh kontribusi yang dibuat oleh akun sementara dari alamat IP secara spesifik/rentang tertentu ([[Special:IPContributions]]). Mereka juga akan memiliki akses ke informasi bermanfaat tentang alamat IP berkat fitur [[mw:Special:MyLanguage/Trust and Safety Product/IP Info|Info IP]]. Selain itu, fitur yang sudah tersedia seperti filter penyalahgunaan, blokir global, kontribusi global, dsb. akan disesuaikan agar dapat bekerja dengan fitur Akun Sementara.
* '''Untuk pengurus yang memblokir alamat IP:'''
** Sangat memungkinkan untuk mencegah beberapa orang dalam membuat akun hanya dengan memblokir akun sementaranya. Seseorang yang diblokir tidak akan dapat membuat akun sementara baru jika pengurus memilih opsi [[mw:Special:MyLanguage/Autoblock|blokir otomatis.]]
** Blokir satu maupun rentang alamat IP tetap berlaku.
* Akun Sementara tidak akan berlaku untuk kontribusi sebelum perilisan fitur ini. Pada halaman Istimewa:Kontribusi pengguna, alamat IP yang sudah ada sebelumnya tetap akan tampil. Jika ingin melihat suntingan oleh akun sementara, kunjungi halaman Istimewa:Kontribusi alamat IP.

'''Tahap selanjutnya dan apa yang harus dilakukan'''

* Apabila Anda mengetahui perkakas, akun bot, dsb. yang menggunakan alamat IP, sebaiknya dilakukan uji coba terlebih dahulu di [[testwiki:Main_Page|testwiki]] atau [[test2wiki:Main_Page|test2wiki]]. Jika Anda adalah pengembang sukarelawan, silakan membaca dokumentasi [[mw:Special:MyLanguage/Trust and Safety Product/Temporary Accounts/For developers| berikut ini]] dan lihat bagian [[mw:Special:MyLanguage/Trust and Safety Product/Temporary Accounts/For developers#How should I update my code?|kode Anda mungkin perlu diperbarui]].
* Apabila Anda ingin merasakan pengalaman menggunakan akun sementara, silakan kunjungi testwiki atau test2wiki tanpa masuk log.
* Sampaikan kepada kami apa saja halangan maupun permasalahan yang dialami. Kami akan berusaha semaksimal mungkin dalam membantu, tetapi apabila tidak bisa maka kami akan memikirkan opsi lain yang tersedia.
* Lihat kembali [[m:Meta:Babel#Temporary_Accounts:_access_to_IP_addresses_and_next_steps|pengumuman terakhir kami]] tentang syarat bagi pengguna tanpa hak khusus (pengurus, birokrat, pemeriksa, pengawas) yang ingin melihat alamat IP akun sementara.

Untuk mengetahui lebih lanjut tentang proyek ini, silakan kunjungi halaman [[mw:Special:MyLanguage/Trust and Safety Product/Temporary Accounts/FAQ|pertanyaan yang sering diajukan]]. Anda mungkin juga tertarik untuk melihat [[mw:Special:MyLanguage/Trust and Safety Product/Temporary Accounts/Updates|pengumuman terkini ]] dan [[mw:Newsletter:Product Safety and Integrity|berlangganan nawala kami]]. Salam.&lt;section end=&quot;body&quot; /&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[m:user:NKohli (WMF)|NKohli (WMF)]], [[m:user:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]]&lt;/bdi&gt; 26 Agustus 2025 21.35 (UTC)
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:Quiddity (WMF)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Quiddity_(WMF)/sandbox6&amp;oldid=29181713 --&gt;

== Wiki Anda akan segera menjadi mode hanya baca ==

&lt;section begin=&quot;server-switch&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;

[[:m:Special:MyLanguage/Tech/Server switch|Baca pesan ini dalam bahasa lain]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-Tech%2FServer+switch&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]

[[foundation:|Wikimedia Foundation]] akan menguji coba mengalihkan pusat data utama dan sekundernya. Hal ini akan memastikan bahwa Wikipedia dan wiki Wikimedia lainnya dapat tetap beroperasi bahkan selepas bencana.

Semua lalu lintas akan beralih pada '''{{#time:j xg|2025-09-24|id}}'''. Uji coba akan dimulai pukul '''[https://zonestamp.toolforge.org/{{#time:U|2025-09-24T15:00|en}} {{#time:H:i e|2025-09-24T15:00}}]'''.

Akan tetapi, karena adanya keterbatasan dalam perangkat lunak [[mw:Special:MyLanguage/Manual:What is MediaWiki?|MediaWiki]], semua aktivitas penyuntingan harus berhenti sementara ketika proses pengalihan ini kami lakukan. Kami memohon maaf atas ketidaknyamanan ini dan kami akan berupaya untuk meminimalkan hal serupa pada waktu yang akan datang. 

Sebuah papan pengumuman akan ditampilkan di semua wiki 30 menit sebelum pelaksanaan operasi ini. Papan pengumuman tersebut akan selalu terlihat hingga akhir pengerjaan. 
&lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;You can contribute to the [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ATranslate&amp;group=Centralnotice-tgroup-read_only_banner&amp;task=view&amp;language=&amp;filter=&amp;action=translate translation or proofreading] of this banner text.&lt;/span&gt;

'''Anda masih bisa membaca, tetapi tidak bisa menyunting, seluruh wiki dalam waktu terbatas.'''

*Anda tidak dapat menyunting hingga satu jam pada hari {{#time:l j xg Y|2025-09-24|id}}.
*Jika Anda mencoba menyunting atau menyimpan suntingan Anda pada waktu tersebut, akan muncul pesan galat. Kami berharap tidak ada suntingan yang hilang pada waktu-waktu tersebut, tetapi kami tidak dapat menjamin hal ini. Jika Anda mendapat pesan galat, mohon menunggu hingga semuanya kembali normal. Ketika uji coba telah selesai, Anda dapat menyimpan suntingan Anda. Namun, kami sangat menyarankan untuk membuat salinan suntingan Anda terlebih dahulu untuk berjaga-jaga.

''Pengaruh lainnya'':

*Pekerjaan latar belakang akan menjadi lebih lambat dan beberapa pekerjaan mungkin akan diberhentikan. Pranala merah mungkin tidak dapat diperbarui secepat biasanya. Jika Anda membuat artikel yang telah terhubung dengan halaman lainnya, pranalanya akan tetap merah lebih lama daripada biasanya. Beberapa skrip yang berjalan lama terpaksa dihentikan.
* Kami berharap penerapan kode akan terjadi seperti minggu-minggu lainnya. Namun, beberapa kasus pembekuan kode dapat terjadi secara cepat jika proses operasi membutuhkannya setelah itu.
* [[mw:Special:MyLanguage/GitLab|GitLab]] akan tidak tersedia selama 90 menit.

Proyek ini mungkin ditunda jika diperlukan. Anda dapat [[wikitech:Switch_Datacenter|membaca jadwalnya di wikitech.wikimedia.org]] Semua perubahan akan diumumkan dalam jadwal tersebut. 

'''Mohon sebarkan informasi ini kepada komunitas Anda.'''&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;server-switch&quot;/&gt;

&lt;span dir=ltr&gt;[[m:User:Trizek (WMF)|Trizek (WMF)]] ([[m:User talk:Trizek (WMF)|{{int:talk}}]])&lt;/span&gt; 18 September 2025 15.41 (UTC)
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:Trizek (WMF)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&amp;oldid=29170715 --&gt;

== Berikan suara Anda: pemilihan Dewan Pengawas 2025 ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
Halo semua,

Masa pemungutan suara untuk [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2025|pemilihan Dewan Pengawas 2025]] telah dibuka. Para calon akan bertanding untuk memperebutkan dua (2) kursi Dewan Pengawas.

Untuk memeriksa kelayakan Anda sebagai pemilih, silakan kunjungi [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2025/Voter eligibility guidelines|halaman kelayakan pemilih]].

Pelajari para calon dengan [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2025/Candidates|membaca pernyataan yang tercantum dalam halaman pencalonan dan juga saksikan video mereka]].

Jika Anda telah merasa siap, silakan kunjungi [[m:Special:SecurePoll/vote/405|halaman pemungutan suara untuk memberikan suara Anda]].

'''Pemungutan suara akan dibuka dari pukul 00:00 UTC, 8 Oktober hingga 23:59 UTC, 22 Oktober 2022.'''

Salam hangat,

Abhishek Suryawanshi&lt;br /&gt;Ketua, Komite Pemilihan&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

[[Pengguna:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Pembicaraan Pengguna:MediaWiki message delivery|bicara]]) 9 Oktober 2025 04.47 (UTC)
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:RamzyM (WMF)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=29360896 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Help us decide the name of the new Abstract Wikipedia project&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;function1&quot;/&gt;
{{int:Hello}}. Please help pick a name for the new Abstract Wikipedia wiki project. This project will be a wiki that will enable users to combine functions from [[:f:|Wikifunctions]] and data from Wikidata in order to generate natural language sentences in any supported languages. These sentences can then be used by any Wikipedia (or elsewhere).

There will be two rounds of voting, each followed by legal review of candidates, with votes beginning on 20 October and 17 November 2025. Our goal is to have a final project name selected on mid-December 2025. If you would like to participate, then '''[[m:Special:MyLanguage/Abstract Wikipedia/Abstract Wikipedia naming contest|please learn more and vote now]]''' at meta-wiki.
{{Int:Feedback-thanks-title}}
&lt;section end=&quot;function1&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

-- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 20 Oktober 2025 11.42 (UTC)
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:Sannita (WMF)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=29432175 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Seeking volunteers to join several of the movement’s committees&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
Each year, typically from October through December, several of the movement’s committees seek new volunteers. 

Read more about the committees on their Meta-wiki pages:
* [[m:Special:MyLanguage/Affiliations Committee|Affiliations Committee (AffCom)]]
* [[m:Special:MyLanguage/Ombuds commission|Ombuds commission (OC)]]
* [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation/Legal/Community Resilience and Sustainability/Trust and Safety/Case Review Committee|Case Review Committee (CRC)]]

Applications for the committees open on October 30, 2025. Applications for the Affiliations Committee, Ombuds commission and the Case Review Committee close on December 11, 2025. Learn how to apply by [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation/Legal/Committee appointments|visiting the appointment page on Meta-wiki]]. Post to the talk page or email cst[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org with any questions you may have.

For the Committee Support team,
&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
&lt;/div&gt;

-[[m:User:MKaur (WMF)| MKaur (WMF)]] 30 Oktober 2025 14.12 (UTC)
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:MKaur (WMF)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=29517125 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Reminder: Help us decide the name of the new Abstract Wikipedia project&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;function2&quot;/&gt;
{{int:Hello}}. Reminder: Please help to choose name for the new Abstract Wikipedia wiki project. The finalist vote starts today. The finalists for the name are: &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;Abstract Wikipedia, Multilingual Wikipedia, Wikiabstracts, Wikigenerator, Proto-Wiki&lt;/span&gt;. If you would like to participate, then '''[[m:Special:MyLanguage/Abstract Wikipedia/Abstract Wikipedia naming contest|please learn more and vote now]]''' at meta-wiki.
{{Int:Feedback-thanks-title}}
&lt;section end=&quot;function2&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

-- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 20 November 2025 14.21 (UTC)
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:Sannita (WMF)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=29583860 --&gt;

== Thank You for Last Year – Join Wiki Loves Ramadan 2026 ==

Dear Wikimedia communities,

We hope you are doing well, and we wish you a happy New Year.

''Last year, we captured light. This year, we’ll capture legacy.''

In 2025, communities around the world shared the glow of Ramadan nights and the warmth of collective iftars. In 2026, ''Wiki Loves Ramadan'' is expanding, bringing more stories, more cultures, and deeper global connections across Wikimedia projects.

We invite you to explore the ''Wiki Loves Ramadan 2026'' [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026|Meta page]] to learn how you can participate and [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026/Participating communities|sign up]] your community.

📷 ''Photo campaign on '' [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan 2026|Wikimedia Commons]]

If you have questions about the project, please refer to the FAQs:  
* [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan/FAQ/|Meta-Wiki]]
* [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan/FAQ|Wikimedia Commons]]

''Early registration for updates is now open via the '''[[m:Special:RegisterForEvent/2710|Event page]]'''''

''Stay connected and receive updates:''  
* [https://t.me/WikiLovesRamadan Telegram channel]  
* [https://lists.wikimedia.org/postorius/lists/wikilovesramadan.lists.wikimedia.org/ Mailing list]

We look forward to collaborating with you and your community.


'''The Wiki Loves Ramadan 2026 Organizing Team''' 16 Januari 2026 19.45 (UTC)
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:ZI Jony@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&amp;oldid=29879549 --&gt;

== Tinjauan tahunan untuk Kode Etik Universal dan Panduan Penegakan ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
Saya ingin menyampaikan bahwa periode peninjauan tahunan Kode Etik Universal dan Pedoman Penegakannya saat ini telah dibuka. Usulan perubahan dapat diajukan hingga 9 Februari 2026. Tahap ini merupakan langkah awal dari rangkaian proses peninjauan tahunan yang akan dilakukan.[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Annual review/2026|Informasi lengkap dan ruang diskusi tersedia di halaman UCoC di Meta]].

[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee|Komite Pengarah Kode Etik Universal]] (U4C) adalah grup global yang didedikasikan untuk memberikan implementasi yang adil dan konsisten dari UCoC. Tinjauan tahunan ini telah direncanakan dan diimplementasikan oleh U4C. Untuk informasi dan tanggung jawab U4C lebih lanjut, [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Charter|Anda dapat meninjaunya pada piagam U4C]].

Mohon bagikan informasi ini pada anggota lain di komunitas Anda di mana pun yang mungkin sesuai.

-- Bekerja sama dengan U4C, [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|bicara]])&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

19 Januari 2026 21.01 (UTC)
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:Keegan (WMF)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=29905753 --&gt;

== Konsensus untuk pemasangan spanduk ==

Apakah komunitas Wikibooks Bahasa Indonesia memutuskan ingin memasang spanduk terkait pembatasan akses wiki di Indonesia? (Untuk pembahasan isu ini selengkapnya dapat disimak/berpartisipasi secara anonim di https://id.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Permohonan_pendapat/Pembatasan_akses_wiki_di_Indonesia_(Februari_2026)#Konsensus_untuk_isi_spanduk

Apabila mencapai konsensus, kita akan membawa hasil ini ke Meta untuk meminta supaya spanduk dipasang di situs-situs wiki bahasa-bahasa di Indonesia, untuk pembaca dari Indonesia, tanggal (tentatif) 23 Maret 2026, selama 31 hari (durasi paling lama), hingga 24 April 2026. Setelah itu, bisa diperpanjang melalui konsensus yang baru.

# &lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]]) 2 Maret 2026 19.48 (UTC) sebagai inisiator.
# {{Setuju}} [[Pengguna:Deepturquoise|Deepturquoise]] ([[Pembicaraan Pengguna:Deepturquoise|bicara]]) 3 Maret 2026 05.04 (UTC)

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Upcoming deployment of CampaignEvents extension to Wikibooks&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;message&quot;/&gt;
Hello everyone,

We are writing to inform you that the [[mw:Help:Extension:CampaignEvents|CampaignEvents extension]] will be deployed to all Wikibooks projects during the week of '''23 March 2026'''.
This follows last year’s broader rollout across Wikimedia projects. We realized that Wikibooks was not included at the time, and we’re now addressing that to ensure consistency across all communities.

The CampaignEvents extension provides tools to support event and campaign organization on-wiki, including features like on-wiki event registration and collaboration lists(global event list).

We welcome any questions, feedback, or concerns you may have. We are also happy to support anyone interested in trying out the tools. 
''Apologies if this message is not in your preferred language. If you’re able to help translate it for your community, please feel free to do so.''
&lt;section end=&quot;message&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:Udehb-WMF|Udehb-WMF]] ([[User talk:Udehb-WMF|bicara]]) 19 Maret 2026 18.22 (UTC)&lt;/bdi&gt;
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:Udehb-WMF@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Udehb-WMF/sandbox/MM_target&amp;oldid=30284073 --&gt;

== Dukungan kawan Wiki untuk proyek WikiCitaRasa 2.0 sangat berharga! 📚✨ ==

Halo, kawan Wiki! 👋🏻

Melalui halaman Warung Kopi ini, saya dan @[[Pengguna:Diahasy|Diahasy]] ingin memberitahukan bahwa kami akan melanjutkan proyek WikiCitaRasa melalui program Rapid Fund FY 2025–26 Cycle 5.

Proyek WikiCitaRasa 2.0 merupakan proyek lokakarya penulisan resep kuliner nusantara di Wikibooks Indonesia dengan memanfaatkan sumber bacaan berlisensi bebas (domain publik). Proyek ini bertujuan untuk memperkaya konten mengenai resep kuliner Indonesia di Wikibooks. Kami akan menyelenggarakan lokakarya di 6 (enam) kota di Indonesia bekerja sama dengan komunitas lokal Wikimedia yakni Medan, Padang, Pontianak, Malang, Denpasar, dan Gorontalo. 

Selain lokakarya, kami juga akan mengadakan kopi darat (kopdar) di 6 (enam) kota lainnya bersama komunitas lokal yang telah berkolaborasi dalam proyek sebelumnya, yaitu Palembang, Bandar Lampung, Jakarta, Bandung, Banjarmasin, dan Madura. Kopdar ini bertujuan untuk meningkatkan keberlanjutan dan keterlibatan anggota komunitas agar terus dapat berkontribusi pada proyek Wikibooks bahasa Indonesia.

Kami sangat mengharapkan dukungan dari kawan-kawan semua agar proposal ini dapat disetujui dan didanai. Melalui proyek ini, kami ingin mengajak lebih banyak anggota komunitas Wikimedia lokal di Indonesia untuk turut berkontribusi dalam memperkaya konten artikel di Wikibooks Indonesia.

Dukungan kawan-kawan sangat berharga bagi kami. Mohon berkenan memberikan dukungan pada proposal proyek ini dengan menuliskan komentar atau umpan balik di halaman Warung Kopi ini. 

Terima kasih banyak!

Teriring salam,

Raflinoer32 &amp; Diahsy

[[Pengguna:Raflinoer32|Raflinoer32]] ([[Pembicaraan Pengguna:Raflinoer32|bicara]]) 27 Maret 2026 02.32 (UTC)

:Woah, menarik menarik! 👏🏻✨
:Aku barusan cek [[:Kategori:WikiCitaRasa|hasil dari WikiCitaRasa pertama]], bagus banget, rapi! 
:Format penulisan judulnya juga konsisten dengan konsep “Resep: Judul resep”, jadi enak dibaca dan terasa terstruktur.

:Mendukung penuh kelanjutan proyek ini! Semoga WikiCitaRasa 2.0 berjalan lancar, sukses, dan output suntingannya lebih banyak! 🔥💪 

:btw, mau request dong (kalau bisa) pelatihannya ada yang sesi daring dong. [[Pengguna:Quraeni|Qureee]] ([[Pembicaraan Pengguna:Quraeni|bicara]]) 3 April 2026 19.44 (UTC)
:Saya mendukung penuh proyek ini untuk pengembangan konten kuliner Indonesia di proyek Wikimedia. - Ara, Komunitas Wikimedia Pontianak [[Pengguna:Katekuchan|Katekuchan]] ([[Pembicaraan Pengguna:Katekuchan|bicara]]) 5 April 2026 10.56 (UTC)
::Saya sangat mendukung proyek ini untuk pengembangan konten resep kuliner Indonesia di proyek Wikimedia ,- [[Pengguna:Alfinlutvianaaa|Alfinlutvianaaa]] ([[Pembicaraan Pengguna:Alfinlutvianaaa|bicara]]) 7 April 2026 13.27 (UTC) , Komunitas Wikimedia Madura.
:Saya dengan sepenuh hati mendukung proyek ini sebagai ruang kolaboratif untuk merangkum kekayaan rasa dan tradisi makanan Indonesia. Semoga sukses! - Anan, Komunitas Wikimedia Pontianak [[Pengguna:Beneathecanopy|Beneathecanopy]] ([[Pembicaraan Pengguna:Beneathecanopy|bicara]]) 11 April 2026 03.21 (UTC)
:Saya mendukung penuh proyek ini untuk pengembangan konten kuliner Indonesia di proyek Wikimedia. - Aguswirawan108, Komunitas Wikimedia Denpasar [[Pengguna:Aguswirawan108|Aguswirawan108]] ([[Pembicaraan Pengguna:Aguswirawan108|bicara]]) 22 April 2026 10.30 (UTC)
:Saya sangat tertarik dengan proyek ini dan menurut saya ini adalah proyek yang sangat strategis dan impactful dengan inti kegiatan mereka menyelamatkan resep-resep masakan dari seluruh daerah di Indonesia. Saya support proyek ini untuk berlanjut! [[Pengguna:Nafisathallah|Nafisathallah]] ([[Pembicaraan Pengguna:Nafisathallah|bicara]]) 25 April 2026 03.03 (UTC)

== Action Required: Update templates/modules for electoral maps (Migrating from P1846 to P14226) ==

Hello everyone,

This is a notice regarding an ongoing data migration on Wikidata that may affect your election-related templates and Lua modules (such as &lt;code&gt;Module:Itemgroup/list&lt;/code&gt;).

'''The Change:'''&lt;br /&gt;
Currently, many templates pull electoral maps from Wikidata using the property [[:d:Property:P1846|P1846]], combined with the qualifier [[:d:Property:P180|P180]]: [[:d:Q19571328|Q19571328]]. 

We are migrating this data (across roughly 4,000 items) to a newly created, dedicated property: '''[[:d:Property:P14226|P14226]]'''.

'''What You Need To Do:'''&lt;br /&gt;
To ensure your templates and infoboxes do not break or lose their maps, please update your local code to fetch data from [[:d:Property:P14226|P14226]] instead of the old [[:d:Property:P1846|P1846]] + [[:d:Property:P180|P180]] structure. A [[m:Wikidata/Property Migration: P1846 to P14226/List|list of pages]] was generated using Wikimedia Global Search.

'''Deadline:'''&lt;br /&gt;
We are temporarily retaining the old data on [[:d:Property:P1846|P1846]] to allow for a smooth transition. However, to complete the data cleanup on Wikidata, the old [[:d:Property:P1846|P1846]] statements will be removed after '''May 1, 2026'''. Please update your modules and templates before this date to prevent any disruption to your wiki's election articles.

Let us know if you have any questions or need assistance with the query logic. Thank you for your help! [[User:ZI Jony|ZI Jony]] using [[Pengguna:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Pembicaraan Pengguna:MediaWiki message delivery|bicara]]) 3 April 2026 17.11 (UTC)
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:ZI Jony@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&amp;oldid=29941252 --&gt;

== Request for comment (global AI policy) ==

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Apologies for writing in English. {{int:Please-translate}}
A [[:m:Requests for comment/Artificial intelligence policy|request for comment]] is currently being held to decide on a global AI policy. {{int:Feedback-thanks-title}}
[[Pengguna:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Pembicaraan Pengguna:MediaWiki message delivery|bicara]]) 26 April 2026 00.57 (UTC)
&lt;/bdi&gt;
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:Codename Noreste@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=30424282 --&gt;</text>
      <sha1>nqqaqbh23nufjg3tncemdumm2cy6sy9</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Barisan dan deret aritmatika</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23117</id>
    <revision>
      <id>114991</id>
      <parentid>114858</parentid>
      <timestamp>2026-04-26T10:49:49Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25546-23</username>
        <id>43043</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rumus istimewa */</comment>
      <origin>114991</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7154" sha1="3kkotd8xfod1p7hdu7304d2qr7ka6oa" xml:space="preserve">== Rumus barisan dan deret aritmatika ==
&lt;math&gt;
\begin{align}
U_n &amp;= a + (n - 1)b \\
S_n &amp;= \frac{n (2a + (n-1)b}{2} \\
b &amp;= U_n - U_{n-1} \\
U_n &amp;= S_n - S_{n-1} \\
U_t &amp;= \frac{U_1 + U_n}{2} \\
b &amp;= \frac{U_n - U_k}{n - k} \\
\text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
 
keterangan:
: a/U&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;: suku pertama
: n: banyaknya suku ke-n
: b: beda suku
: Ut: suku tengah
: Un: suku ke-n
: Sn: jumlah suku ke-n

; rataan
:&lt;math&gt;R = \frac{a_1+a_2+a_3+ \dots + a_n}{n}&lt;/math&gt;

; suku dan beda baru
:&lt;math&gt;n_b = n + (n-1)x&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;b_b = \frac{b}{x+1}&lt;/math&gt;

; barisan dan deret bertingkat
;cara 1
&lt;math&gt;
\begin{align}
U_n &amp;= a + \frac{(n - 1)b}{1!} + \frac{(n - 1)(n-2)c}{2!} + \dots \\
S_n &amp;= \frac{an}{1!} + \frac{n(n-1)b}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)c}{3!} + \dots \\
\end{align}
&lt;/math&gt;

;cara 2
*&lt;math&gt;a_n = an^2 + bn + c&lt;/math&gt; (tingkat 2)
*&lt;math&gt;a_n = an^3 + bn^2 + cn + d&lt;/math&gt; (tingkat 3)

== Rumus istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan !! Suku ke n !! Jumlah suku ke n
|-
| Bilangan asli || 1 + 2 + 3 + 4 + …. + (n-1) + n || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)}{2}&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan asli persegi panjang || &lt;math&gt;1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + \dots + n(n+1)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan asli segitiga || &lt;math&gt;1 + 3 + 6 + 10 + \dots + \frac{n(n+1)}{2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan asli balok || &lt;math&gt;1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + 4 \cdot 5 \cdot 6 + \dots + n(n+1)(n+2)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}&lt;/math&gt;
|-
| Kuadrat bilangan asli || &lt;math&gt;1 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dots + (n-1)^2 + n^2&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}&lt;/math&gt;
|-
| Kubik bilangan asli || &lt;math&gt;1 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + \dots + (n-1)^3 + n^3&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = (\frac{n(n+1)}{2})^2&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan ganjil || 1 + 3 + 5 + 7 + …. + 2n + (2n-1) || &lt;math&gt;S_n = n^2&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan genap || 2 + 4 + 6 + 8 +  … + 2n-2 + 2n || &lt;math&gt;S_n = n(n+1)&lt;/math&gt;
|}

* &lt;math&gt;\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^n} = 1-\frac{1}{2^n}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} = \frac{4}{5}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}&lt;/math&gt; (deret teleskop)
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{(n-1) \times n} = \frac{n-1}{n}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{2+1}{1 \times 2} - \frac{3+2}{2 \times 3} + \frac{4+3}{3 \times 4} - \frac{5+4}{4 \times 5} = (1 + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) - (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{2+1}{1 \times 2} - \frac{3+2}{2 \times 3} + \frac{4+3}{3 \times 4} - \frac{5+4}{4 \times 5} + \frac{6+5}{5 \times 6} = \frac{7}{6}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{(n+1)+n}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}&lt;/math&gt; (deret teleskop)
* &lt;math&gt;1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \frac{1}{1+2+3+4} + \dots + \frac{1}{1+2+3+4+ \dots } = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \dots + \frac{1}{10+ \dots } = \frac{2}{2} + \frac{2}{6} + \frac{2}{12} + \frac{2}{20} + \dots + \frac{2}{n \cdot (n+1)} = \frac{2}{1 \cdot 2} + \frac{2}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 4} + \frac{2}{4 \cdot 5} + \dots + \frac{2}{n \cdot (n+1)} = 2(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n \cdot (n+1)}) = 2(1 - \frac{1}{n+1})&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{6 \times 10} + \frac{1}{10 \times 14} + \frac{1}{14 \times 18} + \frac{1}{18 \times 22} = \frac{1}{6 \times (6+4)} + \frac{1}{10 \times (10+4)} + \frac{1}{14 \times (14+4)} + \frac{1}{18 \times (18+4)} = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{6+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{10} - \frac{1}{10+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{14} - \frac{1}{14+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{18} - \frac{1}{18+4}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{10} + \frac{1}{10} - \frac{1}{14} + \frac{1}{14} - \frac{1}{18} + \frac{1}{18} - \frac{1}{22}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{22}) = \frac{1}{33}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{n \times (n+k)} = \frac{1}{k}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k})&lt;/math&gt; (deret teleskop)

* &lt;math&gt;\frac{6}{1 \times 4 \times 7} + \frac{6}{4 \times 7 \times 10} + \frac{6}{7 \times 10 \times 13} + \dots + \frac{6}{94 \times 97 \times 100} = \frac{1}{1 \times 4} - \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{4 \times 7} - \frac{1}{7 \times 10} + \frac{1}{7 \times 10} - \frac{1}{10 \times 13} + \dots + \frac{1}{94 \times 97} - \frac{1}{97 \times 100} = \frac{1}{1 \times 4} - \frac{1}{97 \times 100} = \frac{1}{4} - \frac{1}{9700} = \frac{2425-1}{9700} = \frac{2424}{9700} = \frac{606}{2425}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{c-a}{a \times b \times c} = \frac{1}{a \times b} - \frac{1}{b \times c}&lt;/math&gt; (a, b dan c adalah bilangan yang berurutan dengan selisih tetap pada tingkat pertama)
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} = (1 - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} - \frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{5}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} - \dots - \frac{1}{(n-1) \times n} = \frac{1}{n}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} = \sqrt{5} - 1&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{6}} = \sqrt{6} - 1&lt;/math&gt;
* n x n! = (n+1)! - n!
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n-1} + \sqrt{n}} = \sqrt{n} - 1&lt;/math&gt;
* 1 + 11 + 111 = 123 x 1 = 123
* 2 + 22 + 222 = 123 x 2 = 246
* 3 + 33 + 333 = 123 x 3 = 369
* 1 + 11 + 111 + 1111 = 1234 x 1 = 1234
* 2 + 22 + 222 + 2222 = 1234 x 2 = 2468
* 3 + 33 + 333 + 3333 = 1234 x 3 = 3702
* &lt;math&gt;\frac{1}{4} + \frac{11}{44} + \frac{111}{444} = \frac{1}{4} \times 3 = \frac{3}{4}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{3} + \frac{11}{33} + \frac{111}{333} + \dots + \frac{111.111}{333.333} = \frac{1}{3} \times 6 = 2&lt;/math&gt;

; contoh soal
# Kursi pada gedung bioskop memiliki 10 baris, yang kapasitasnya membentuk barisan aritmatika. baris terdepan 15 kursi dan terbelakang 33 kursi maka berapa kapasitas kursi pada bioskop tersebut?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
n &amp;= 10 \\
a &amp;= 15 \\
U_n &amp;= U_{10} = 33 \\
b &amp;= \frac{33-15}{10-1} \\
 &amp;= \frac{18}{9} \\
 &amp;= 2 \\

S_{10} &amp;= \frac{n}{2}(a+U_n) \\
 &amp;= \frac{10}{2}(15+33) \\
 &amp;= 5(48) \\
 &amp;= 240 \\

\text{jadi kapasitas kursi pada bioskop adalah 240 kursi } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>3kkotd8xfod1p7hdu7304d2qr7ka6oa</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>114992</id>
      <parentid>114991</parentid>
      <timestamp>2026-04-26T10:53:23Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25546-23</username>
        <id>43043</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rumus istimewa */</comment>
      <origin>114992</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7153" sha1="ielegdjnvb0fye4w481m88fz2e81b4u" xml:space="preserve">== Rumus barisan dan deret aritmatika ==
&lt;math&gt;
\begin{align}
U_n &amp;= a + (n - 1)b \\
S_n &amp;= \frac{n (2a + (n-1)b}{2} \\
b &amp;= U_n - U_{n-1} \\
U_n &amp;= S_n - S_{n-1} \\
U_t &amp;= \frac{U_1 + U_n}{2} \\
b &amp;= \frac{U_n - U_k}{n - k} \\
\text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
 
keterangan:
: a/U&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;: suku pertama
: n: banyaknya suku ke-n
: b: beda suku
: Ut: suku tengah
: Un: suku ke-n
: Sn: jumlah suku ke-n

; rataan
:&lt;math&gt;R = \frac{a_1+a_2+a_3+ \dots + a_n}{n}&lt;/math&gt;

; suku dan beda baru
:&lt;math&gt;n_b = n + (n-1)x&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;b_b = \frac{b}{x+1}&lt;/math&gt;

; barisan dan deret bertingkat
;cara 1
&lt;math&gt;
\begin{align}
U_n &amp;= a + \frac{(n - 1)b}{1!} + \frac{(n - 1)(n-2)c}{2!} + \dots \\
S_n &amp;= \frac{an}{1!} + \frac{n(n-1)b}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)c}{3!} + \dots \\
\end{align}
&lt;/math&gt;

;cara 2
*&lt;math&gt;a_n = an^2 + bn + c&lt;/math&gt; (tingkat 2)
*&lt;math&gt;a_n = an^3 + bn^2 + cn + d&lt;/math&gt; (tingkat 3)

== Rumus istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan !! Suku ke n !! Jumlah suku ke n
|-
| Bilangan asli || 1 + 2 + 3 + 4 + …. + (n-1) + n || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)}{2}&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan asli persegi panjang || &lt;math&gt;1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + \dots + n(n+1)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan asli segitiga || &lt;math&gt;1 + 3 + 6 + 10 + \dots + \frac{n(n+1)}{2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan asli balok || &lt;math&gt;1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + 4 \cdot 5 \cdot 6 + \dots + n(n+1)(n+2)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}&lt;/math&gt;
|-
| Kuadrat bilangan asli || &lt;math&gt;1 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dots + (n-1)^2 + n^2&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}&lt;/math&gt;
|-
| Kubik bilangan asli || &lt;math&gt;1 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + \dots + (n-1)^3 + n^3&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = (\frac{n(n+1)}{2})^2&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan ganjil || 1 + 3 + 5 + 7 + …. + 2n + (2n-1) || &lt;math&gt;S_n = n^2&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan genap || 2 + 4 + 6 + 8 +  … + 2n-2 + 2n || &lt;math&gt;S_n = n(n+1)&lt;/math&gt;
|}

* &lt;math&gt;\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^n} = 1-\frac{1}{2^n}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} = \frac{4}{5}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}&lt;/math&gt; (deret teleskop)
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{(n-1) \times n} = \frac{n-1}{n}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{2+1}{1 \times 2} - \frac{3+2}{2 \times 3} + \frac{4+3}{3 \times 4} - \frac{5+4}{4 \times 5} = (1 + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) - (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{2+1}{1 \times 2} - \frac{3+2}{2 \times 3} + \frac{4+3}{3 \times 4} - \frac{5+4}{4 \times 5} + \frac{6+5}{5 \times 6} = \frac{7}{6}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{(n+1)+n}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}&lt;/math&gt; (deret teleskop)
* &lt;math&gt;1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \frac{1}{1+2+3+4} + \dots + \frac{1}{1+2+3+4+ \dots } = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \dots + \frac{1}{10+ \dots } = \frac{2}{2} + \frac{2}{6} + \frac{2}{12} + \frac{2}{20} + \dots + \frac{2}{n \cdot (n+1)} = \frac{2}{1 \cdot 2} + \frac{2}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 4} + \frac{2}{4 \cdot 5} + \dots + \frac{2}{n \cdot (n+1)} = 2(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n \cdot (n+1)}) = 2(1 - \frac{1}{n+1})&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{6 \times 10} + \frac{1}{10 \times 14} + \frac{1}{14 \times 18} + \frac{1}{18 \times 22} = \frac{1}{6 \times (6+4)} + \frac{1}{10 \times (10+4)} + \frac{1}{14 \times (14+4)} + \frac{1}{18 \times (18+4)} = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{6+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{10} - \frac{1}{10+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{14} - \frac{1}{14+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{18} - \frac{1}{18+4}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{10} + \frac{1}{10} - \frac{1}{14} + \frac{1}{14} - \frac{1}{18} + \frac{1}{18} - \frac{1}{22}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{22}) = \frac{1}{33}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{n \times (n+k)} = \frac{1}{k}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k})&lt;/math&gt; (deret teleskop)
* &lt;math&gt;\frac{6}{1 \times 4 \times 7} + \frac{6}{4 \times 7 \times 10} + \frac{6}{7 \times 10 \times 13} + \dots + \frac{6}{94 \times 97 \times 100} = \frac{1}{1 \times 4} - \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{4 \times 7} - \frac{1}{7 \times 10} + \frac{1}{7 \times 10} - \frac{1}{10 \times 13} + \dots + \frac{1}{94 \times 97} - \frac{1}{97 \times 100} = \frac{1}{1 \times 4} - \frac{1}{97 \times 100} = \frac{1}{4} - \frac{1}{9700} = \frac{2425-1}{9700} = \frac{2424}{9700} = \frac{606}{2425}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{c-a}{a \times b \times c} = \frac{1}{a \times b} - \frac{1}{b \times c}&lt;/math&gt; (a, b dan c adalah bilangan yang berurutan dengan selisih tetap pada tingkat pertama)
* n x n! = (n+1)! - n!
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} = (1 - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} - \frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{5}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} - \dots - \frac{1}{(n-1) \times n} = \frac{1}{n}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} = \sqrt{5} - 1&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{6}} = \sqrt{6} - 1&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n-1} + \sqrt{n}} = \sqrt{n} - 1&lt;/math&gt;
* 1 + 11 + 111 = 123 x 1 = 123
* 2 + 22 + 222 = 123 x 2 = 246
* 3 + 33 + 333 = 123 x 3 = 369
* 1 + 11 + 111 + 1111 = 1234 x 1 = 1234
* 2 + 22 + 222 + 2222 = 1234 x 2 = 2468
* 3 + 33 + 333 + 3333 = 1234 x 3 = 3702
* &lt;math&gt;\frac{1}{4} + \frac{11}{44} + \frac{111}{444} = \frac{1}{4} \times 3 = \frac{3}{4}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{3} + \frac{11}{33} + \frac{111}{333} + \dots + \frac{111.111}{333.333} = \frac{1}{3} \times 6 = 2&lt;/math&gt;

; contoh soal
# Kursi pada gedung bioskop memiliki 10 baris, yang kapasitasnya membentuk barisan aritmatika. baris terdepan 15 kursi dan terbelakang 33 kursi maka berapa kapasitas kursi pada bioskop tersebut?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
n &amp;= 10 \\
a &amp;= 15 \\
U_n &amp;= U_{10} = 33 \\
b &amp;= \frac{33-15}{10-1} \\
 &amp;= \frac{18}{9} \\
 &amp;= 2 \\

S_{10} &amp;= \frac{n}{2}(a+U_n) \\
 &amp;= \frac{10}{2}(15+33) \\
 &amp;= 5(48) \\
 &amp;= 240 \\

\text{jadi kapasitas kursi pada bioskop adalah 240 kursi } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>ielegdjnvb0fye4w481m88fz2e81b4u</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>115000</id>
      <parentid>114992</parentid>
      <timestamp>2026-04-26T11:17:14Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25546-23</username>
        <id>43043</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rumus barisan dan deret aritmatika */</comment>
      <origin>115000</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7291" sha1="ghifduhv51mdkp6891uzhe785k6ux9k" xml:space="preserve">== Rumus barisan dan deret aritmatika ==
&lt;math&gt;
\begin{align}
U_n &amp;= a + (n - 1)b \\
S_n &amp;= \frac{n (2a + (n-1)b}{2} \\
b &amp;= U_n - U_{n-1} \\
U_n &amp;= S_n - S_{n-1} \\
U_t &amp;= \frac{U_1 + U_n}{2} \\
b &amp;= \frac{U_n - U_k}{n - k} \\
\text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
 
keterangan:
: a/U&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;: suku pertama
: n: banyaknya suku ke-n
: b: beda suku
: Ut: suku tengah
: Un: suku ke-n
: Sn: jumlah suku ke-n

; rataan
:&lt;math&gt;R = \frac{a_1+a_2+a_3+ \dots + a_n}{n}&lt;/math&gt;

; suku dan beda baru
:&lt;math&gt;n_b = n + (n-1)x&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;b_b = \frac{b}{x+1}&lt;/math&gt;

: rasio kedua suku barisan dan deret
: dari barisan (Un) ke deret (Sn):&lt;math&gt;\frac{n+1}{2}&lt;/math&gt;
: dari deret (Sn) ke barisan (Un):2n-1

; barisan dan deret bertingkat
;cara 1
&lt;math&gt;
\begin{align}
U_n &amp;= a + \frac{(n - 1)b}{1!} + \frac{(n - 1)(n-2)c}{2!} + \dots \\
S_n &amp;= \frac{an}{1!} + \frac{n(n-1)b}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)c}{3!} + \dots \\
\end{align}
&lt;/math&gt;

;cara 2
*&lt;math&gt;a_n = an^2 + bn + c&lt;/math&gt; (tingkat 2)
*&lt;math&gt;a_n = an^3 + bn^2 + cn + d&lt;/math&gt; (tingkat 3)

== Rumus istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan !! Suku ke n !! Jumlah suku ke n
|-
| Bilangan asli || 1 + 2 + 3 + 4 + …. + (n-1) + n || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)}{2}&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan asli persegi panjang || &lt;math&gt;1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + \dots + n(n+1)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan asli segitiga || &lt;math&gt;1 + 3 + 6 + 10 + \dots + \frac{n(n+1)}{2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan asli balok || &lt;math&gt;1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + 4 \cdot 5 \cdot 6 + \dots + n(n+1)(n+2)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}&lt;/math&gt;
|-
| Kuadrat bilangan asli || &lt;math&gt;1 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dots + (n-1)^2 + n^2&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}&lt;/math&gt;
|-
| Kubik bilangan asli || &lt;math&gt;1 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + \dots + (n-1)^3 + n^3&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = (\frac{n(n+1)}{2})^2&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan ganjil || 1 + 3 + 5 + 7 + …. + 2n + (2n-1) || &lt;math&gt;S_n = n^2&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan genap || 2 + 4 + 6 + 8 +  … + 2n-2 + 2n || &lt;math&gt;S_n = n(n+1)&lt;/math&gt;
|}

* &lt;math&gt;\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^n} = 1-\frac{1}{2^n}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} = \frac{4}{5}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}&lt;/math&gt; (deret teleskop)
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{(n-1) \times n} = \frac{n-1}{n}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{2+1}{1 \times 2} - \frac{3+2}{2 \times 3} + \frac{4+3}{3 \times 4} - \frac{5+4}{4 \times 5} = (1 + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) - (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{2+1}{1 \times 2} - \frac{3+2}{2 \times 3} + \frac{4+3}{3 \times 4} - \frac{5+4}{4 \times 5} + \frac{6+5}{5 \times 6} = \frac{7}{6}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{(n+1)+n}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}&lt;/math&gt; (deret teleskop)
* &lt;math&gt;1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \frac{1}{1+2+3+4} + \dots + \frac{1}{1+2+3+4+ \dots } = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \dots + \frac{1}{10+ \dots } = \frac{2}{2} + \frac{2}{6} + \frac{2}{12} + \frac{2}{20} + \dots + \frac{2}{n \cdot (n+1)} = \frac{2}{1 \cdot 2} + \frac{2}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 4} + \frac{2}{4 \cdot 5} + \dots + \frac{2}{n \cdot (n+1)} = 2(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n \cdot (n+1)}) = 2(1 - \frac{1}{n+1})&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{6 \times 10} + \frac{1}{10 \times 14} + \frac{1}{14 \times 18} + \frac{1}{18 \times 22} = \frac{1}{6 \times (6+4)} + \frac{1}{10 \times (10+4)} + \frac{1}{14 \times (14+4)} + \frac{1}{18 \times (18+4)} = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{6+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{10} - \frac{1}{10+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{14} - \frac{1}{14+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{18} - \frac{1}{18+4}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{10} + \frac{1}{10} - \frac{1}{14} + \frac{1}{14} - \frac{1}{18} + \frac{1}{18} - \frac{1}{22}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{22}) = \frac{1}{33}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{n \times (n+k)} = \frac{1}{k}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k})&lt;/math&gt; (deret teleskop)
* &lt;math&gt;\frac{6}{1 \times 4 \times 7} + \frac{6}{4 \times 7 \times 10} + \frac{6}{7 \times 10 \times 13} + \dots + \frac{6}{94 \times 97 \times 100} = \frac{1}{1 \times 4} - \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{4 \times 7} - \frac{1}{7 \times 10} + \frac{1}{7 \times 10} - \frac{1}{10 \times 13} + \dots + \frac{1}{94 \times 97} - \frac{1}{97 \times 100} = \frac{1}{1 \times 4} - \frac{1}{97 \times 100} = \frac{1}{4} - \frac{1}{9700} = \frac{2425-1}{9700} = \frac{2424}{9700} = \frac{606}{2425}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{c-a}{a \times b \times c} = \frac{1}{a \times b} - \frac{1}{b \times c}&lt;/math&gt; (a, b dan c adalah bilangan yang berurutan dengan selisih tetap pada tingkat pertama)
* n x n! = (n+1)! - n!
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} = (1 - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} - \frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{5}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} - \dots - \frac{1}{(n-1) \times n} = \frac{1}{n}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} = \sqrt{5} - 1&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{6}} = \sqrt{6} - 1&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n-1} + \sqrt{n}} = \sqrt{n} - 1&lt;/math&gt;
* 1 + 11 + 111 = 123 x 1 = 123
* 2 + 22 + 222 = 123 x 2 = 246
* 3 + 33 + 333 = 123 x 3 = 369
* 1 + 11 + 111 + 1111 = 1234 x 1 = 1234
* 2 + 22 + 222 + 2222 = 1234 x 2 = 2468
* 3 + 33 + 333 + 3333 = 1234 x 3 = 3702
* &lt;math&gt;\frac{1}{4} + \frac{11}{44} + \frac{111}{444} = \frac{1}{4} \times 3 = \frac{3}{4}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{3} + \frac{11}{33} + \frac{111}{333} + \dots + \frac{111.111}{333.333} = \frac{1}{3} \times 6 = 2&lt;/math&gt;

; contoh soal
# Kursi pada gedung bioskop memiliki 10 baris, yang kapasitasnya membentuk barisan aritmatika. baris terdepan 15 kursi dan terbelakang 33 kursi maka berapa kapasitas kursi pada bioskop tersebut?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
n &amp;= 10 \\
a &amp;= 15 \\
U_n &amp;= U_{10} = 33 \\
b &amp;= \frac{33-15}{10-1} \\
 &amp;= \frac{18}{9} \\
 &amp;= 2 \\

S_{10} &amp;= \frac{n}{2}(a+U_n) \\
 &amp;= \frac{10}{2}(15+33) \\
 &amp;= 5(48) \\
 &amp;= 240 \\

\text{jadi kapasitas kursi pada bioskop adalah 240 kursi } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>ghifduhv51mdkp6891uzhe785k6ux9k</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Persamaan linear dua variabel</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23119</id>
    <revision>
      <id>114989</id>
      <parentid>113091</parentid>
      <timestamp>2026-04-26T10:42:23Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25546-23</username>
        <id>43043</id>
      </contributor>
      <comment>/* Jarak */</comment>
      <origin>114989</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7477" sha1="jcq2ui4dxfwxcze5lpdxr14no0p7kc5" xml:space="preserve">== Persamaan linear dua variabel ==
bentuk:
* ax+by = c (implisit)
* y = mx + c (eksplisit)

Ada tiga solusi sistem penyelesaian persamaan linear dua variabel yaitu:
# solusi tunggal
bercirikan
:# semua koefisien dan konstanta yang berbeda atau hanya salah satu koefisien yang sama nilainya dengan konstanta dimana salah satu lainnya koefisien adalah nol.
:# memiliki 1 titik potong
:# rumus:
&lt;math&gt;
:a_1x+b_1y = c_1
:a_2x+b_2y = c_2

:\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} 
&lt;/math&gt;
contoh: x+y=3 dan x+2y=5
# solusi tak hingga (banyak penyelesaian)
bercirikan
:# semua koefisen dan konstanta yang sama
:# memiliki garis berhimpit (sejajar)
:# banyak variabel ≥ banyak persamaan
:# rumus
&lt;math&gt;
:a_1x+b_1y = c_1
:a_2x+b_2y = c_2

:\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} 
&lt;/math&gt;
contoh: 5x+6y=11 dan 10x+12y=22
# Tidak punya solusi (tidak memiliki penyelesaian)
bercirikan
:# semua koefisen yang sama tetapi konstanta yang berbeda
:# hasilnya hanya pasti konstanta yang berbeda
:# memiliki jawaban yang berbeda
:# rumus
&lt;math&gt;
:a_1x+b_1y = c_1 
:a_2x+b_2y = c_2 

:\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} 
&lt;/math&gt;
contoh: 5x+y=13 dan 10x+2y=16

Ada empat metode untuk menyelesaikan persamaan linear dua variabel yaitu: substitusi, eliminasi, matriks serta grafik.

1. Tentukan nilai x dan y dari persamaan 6x - 7y = 4 dan 2x + 3y = 12!
; substitusi
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 6x-7y &amp;= 4 \\
 6x &amp;= 7y+ 4 \\
 x &amp;= \frac{7y+4}{6} \\
 
 2x+3y &amp;= 12 \\
 2(\frac{7y+4}{6})+3y &amp;= 12 \\
 \frac{7y+4}{3}+3y &amp;= 12 \\
 7y+4+9y &amp;= 36 \\
 16y &amp;= 32 \\
 y &amp;= 2 \\

 x &amp;= \frac{7y+4}{6} \\
  &amp;= \frac{7(2)+4}{6} \\
  &amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;

jadi nilai x dan y adalah 3 dan 2.
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; eliminasi
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 6x-7y &amp;= 4 (1) \\
 2x+3y &amp;= 12 (2) \\
 \text{persamaan kedua dikalikan tiga agar dieliminasi.} \\

 6x-7y &amp;= 4 (1) \\
 6x+9y &amp;= 36 (2) \\
 \text{persamaan pertama kurangkan persamaan kedua.} \\

 -16y &amp;= -32 \\
 y &amp;= 2 \\

 2x+3y &amp;= 12 \\
 2x+3(2) &amp;= 12 \\
 2x+6 &amp;= 12 \\
 2x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;

jadi nilai x dan y adalah 3 dan 2.
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;matriks
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  6 &amp; -7 \\
  2 &amp; 3 \\
  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  4 \\
  12 \\
  \end{bmatrix} \\

 \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  6 &amp; -7 \\
  2 &amp; 3 \\
  \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  4 \\
  12 \\
  \end{bmatrix} \\

 \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= \frac{1}{6(3) - (-7)2} \begin{bmatrix}
  3 &amp; 7 \\
  -2 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  4 \\
  12 \\
  \end{bmatrix} \\

 \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= \frac{1}{32} \begin{bmatrix}
  3 &amp; 7 \\
  -2 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  4 \\
  12 \\
  \end{bmatrix} \\

 \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= \frac{1}{32} \begin{bmatrix}
  96 \\
  64 \\
  \end{bmatrix} \\

 \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  3 \\
  2 \\
  \end{bmatrix} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;

jadi nilai x dan y adalah 3 dan 2.
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;grafik

== Gradien serta persamaan garis lurus ==
rumus gradien:
# &lt;math&gt;m = \frac{y}{x}&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}&lt;/math&gt;
# sejajar: &lt;math&gt;m_1 = m_2&lt;/math&gt;
# tegak lurus: &lt;math&gt;m_1 = - \frac{1}{m_2}&lt;/math&gt;
# berpotongan: &lt;math&gt;tan \, \alpha = \frac{m_1 + m_2}{1 - m_1 \cdot m_2}&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\alpha = \beta_1 - \beta_2&lt;/math&gt;)

rumus persamaan garis lurus:
# &lt;math&gt;y = mx \pm c&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;y - y_1 = m(x - x_1)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}&lt;/math&gt;

== Jarak ==
: Dua titik (A (x1, y1), B (x2,y2))
* |AB| = &lt;math&gt;\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}&lt;/math&gt;

: Titik A (x1, y1) terhadap ax+by+c=0
* d = &lt;math&gt;\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}&lt;/math&gt;

jika ada dua garis untuk mencari jarak maka ambil salah satu garis untuk mencari nilai x dan y secara sembarangan terlebih dahulu kemudian rumuskan sesuai dengan di atas

: Titik A (x1, y1) terhadap y=mx+c
* d = &lt;math&gt;\frac{|y_1-mx_1-c|}{\sqrt{1+m^2}}&lt;/math&gt;

==Berkas persamaan linier==
Persamaan lingkaran G1 dan G2 melalui komponen (x,y) dapat dirumuskan sebagai berikut: &lt;math&gt;G1+\lambda G2=0&lt;/math&gt;

contoh soal

1 Jimmy memelihara ayam dan anjing yang berjumlah 44 kaki. Jumlah ayam di kandang dan anjing di teras adalah 15. maka berapa banyaknya ayam dan anjing masing-masing?

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{misalkan ayam = a dan anjing = b} \\
 2a + 4b &amp;= 44 \\
 a + b &amp;= 15 \\
 
 a + b &amp;= 15 \\
 a &amp;= 15 - b \\
 2(15 - b) + 4b &amp;= 44 \\
 30 - 2b + 4b &amp;= 44 \\
 2b &amp;= 14 \\
 b &amp;= 7 \\

 a + 7 &amp;= 15 \\
 a &amp;= 8 \\
\end{align}

jadi banyaknya ayam 8 ekor serta anjing 7 ekor
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

2. tentukan persamaan garis lurus yang melalui (0,5) dan (2,7)!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \frac{y-5}{7-5} &amp;= \frac{x-0}{2-0} \\
 \frac{y-5}{2} &amp;= \frac{x-0}{2} \\
 y-5 &amp;= x \\
 y &amp;= x+5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

3 tentukan persamaan garis lurus yang melalui (0,5) dan sejajar dengan 2x + 3y = 7!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 2x + 3y &amp;= 7 \\
 3y &amp;= -2x + 7 \\
 y &amp;= -\frac{2}{3}x + \frac{7}{3} \\

 m_1 &amp;= -\frac{2}{3} \\
 m_2 &amp;= m_1 \\
 m_2 &amp;= -\frac{2}{3} \\

 y-5 &amp;= -\frac{2}{3}(x-0) \\
 y-5 &amp;= -\frac{2}{3}x \\
 y &amp;= -\frac{2}{3}x + 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

4 tentukan persamaan garis lurus yang melalui (2,9) dan tegak lurus dengan x + 4y = 8!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x + 4y &amp;= 8 \\
 4y &amp;= -x + 8 \\
 y &amp;= -\frac{1}{4}x + \frac{8}{4} \\
 y &amp;= -\frac{1}{4}x + 2 \\

 m_1 &amp;= -\frac{1}{4} \\
 m_2 &amp;= -\frac{1}{m_1} \\
 m_2 &amp;= -\frac{1}{-\frac{1}{4}} \\
 m_2 &amp;= 4 \\

 y-9 &amp;= 4(x-2) \\
 y-9 &amp;= 4x-8 \\
 y &amp;= 4x+1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

5. tentukan jarak (2,1) terhadap 4y-3x=8!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{ubah 4y-3x=8 menjadi 3x-4y+8=0 } \\
 d &amp;= \frac{|3(2)+(-4)1+8|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} \\
 &amp;= \frac{|6-4+8|}{\sqrt{25}} \\
 &amp;= \frac{10}{5} \\
 &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>jcq2ui4dxfwxcze5lpdxr14no0p7kc5</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Bangun datar</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23127</id>
    <revision>
      <id>115001</id>
      <parentid>114691</parentid>
      <timestamp>2026-04-26T11:21:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25546-23</username>
        <id>43043</id>
      </contributor>
      <origin>115001</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8087" sha1="fyzxpsw3uyiwbi4j8psyl6e416nwpsw" xml:space="preserve">Bangun datar disebut juga dimensi dua yang memiliki sebidang serta beberapa rusuknya. bangun ini memiliki simetri lipat, simetri putar dan sumbu simetri

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! bangun datar !! simetri lipat !! simetri putar !! sumbu simetri
|-
| persegi || 4 || 4 || 4
|-
| segi-n || || ||
|-
| persegi panjang || 2 || 2 || 2
|-
| segitiga sama sisi || 3 || 3 || 3
|-
| segitiga sama kaki || 1 || 0 || 1
|-
| segitiga siku-siku || 1 || 0 || 1
|-
| lingkaran || takhingga || takhingga || takhingga
|-
| jajar genjang || 0 || 2 || 0
|-
| belah ketupat || 2 || 2 || 2
|-
| trapesium sama kaki || 1 || 0 || 1
|-
| trapesium siku-siku || 0 || 0 || 0
|-
| layang-layang || 1 || 0 || 1
|-
| elips || 2 || 0 || 2
|}

; Jenis garis pada segitiga
ada 4 jenis garis pada segitiga yaitu
# garis tinggi adalah garis yang menghubungkan satu titik ke sisi yang dihadapannya secara tegak lurus.
# garis bagi adalah garis yang menghubungkan satu titik ke sisi yang dihadapannya menjadi dua sudut yang sama.
# garis berat adalah garis menghubungkan satu titik ke sisi yang dihadapannya menjadi dua bagian yang sama panjangnya.
# garis sumbu adalah garis menghubungkan satu titik ke sisi yang dihadapannya menjadi dua bagian yang sama panjangnya dan tegak lurus.

; Besar sudut keliling dan sudut pusat
: sudut pusat = 2 x sudut keliling

; Dua segitiga dalam satu bangunan
: z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=xy
: a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=xc
: b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=yc

; Teorema de Poncelet [Hubungan ketiga sisi segitiga dengan jari-jari lingkaran (lingkaran dalam segitiga siku-siku)]: &lt;math&gt;r = \frac{a+b-c}{2}&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a-r + b-r &amp;= c \\
a+b-2r &amp;= c \\
2r &amp;= a+b-c \\
r &amp;= \frac{a+b-c}{2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; Hubungan dua tali busur dengan jari-jari lingkaran: &lt;math&gt;r = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{4}}&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{ misalkan } p &amp;= \frac{c+d}{2} \text{ dan } q = \frac{a+b}{2} \\
\text{ misalkan persegi panjang dibuat x dan y} &amp; \\

x + p &amp;= d \\
x + \frac{c+d}{2} &amp;= d \\
x &amp;= d - \frac{c+d}{2} \\
x &amp;= \frac{d-c}{2} \\

y + q &amp;= b \\
y + \frac{a+b}{2} &amp;= b \\
y &amp;= b - \frac{a+b}{2} \\
y &amp;= \frac{b-a}{2} \\

y^2 + p^2 &amp;= r^2 \\
(\frac{b-a}{2})^2 + (\frac{c+d}{2})^2 &amp;= r^2 \\
\frac{a^2-2ab+b^2}{4} + \frac{c^2+2cd+d^2}{4} &amp;= r^2 \\

x^2 + q^2 &amp;= r^2 \\
(\frac{d-c}{2})^2 + (\frac{a+b}{2})^2 &amp;= r^2 \\
\frac{c^2-2cd+d^2}{4} + \frac{a^2+2ab+b^2}{4} &amp;= r^2 \\

\text {jumlah dua persamaan tersebut menjadi } &amp; \\
\frac{a^2-2ab+b^2}{4} + \frac{c^2+2cd+d^2}{4} + \frac{c^2-2cd+d^2}{4} + \frac{a^2+2ab+b^2}{4} &amp;= 2r^2 \\

\frac{2a^2+2b^2+2c^2+2d^2}{4} &amp;= 2r^2 \\
\frac{2(a^2+b^2+c^2+d^2)}{4} &amp;= 2r^2 \\
\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4} &amp;= r^2 \\
a^2+b^2+c^2+d^2 &amp;= 4r^2 \\
r &amp;= \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{4}} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; Lingkaran dalam segitiga: &lt;math&gt;r = \frac{L}{s}&lt;/math&gt; (s adalah setengah keliling segitiga)
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{ misalkan luas segitiga AOC } L_a &amp;= \frac{ra}{2} \\
\text{ misalkan luas segitiga COB } L_b &amp;= \frac{rb}{2} \\
\text{ misalkan luas segitiga BOC } L_c &amp;= \frac{rc}{2} \\

\text{ maka total luas ketiga segitiga tersebut adalah } L &amp;= L_a + L_b + L_c \\
&amp;= \frac{ra}{2} + \frac{rb}{2} + \frac{rc}{2} \\
&amp;= r \frac{a+b+c}{2} \\
&amp;= r s \\
r &amp;= \frac{L}{s} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; Lingkaran luar segitiga: &lt;math&gt;r = \frac{abc}{4L}&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{ lihat posisi kesebangunan } \frac{t}{b} &amp;= \frac{c}{2r} \\
t &amp;= \frac{bc}{2r} \\

L &amp;= \frac{at}{2} \\
&amp;= \frac{abc}{2(2r)} \\
r &amp;= \frac{abc}{4L} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; Garis singgung (satu) lingkaran di titik pusat serta perpanjangan jari-jari: &lt;math&gt;d = \sqrt{a^2-b^2}&lt;/math&gt;

; Garis singgung persekutuan dalam (dua) lingkaran: &lt;math&gt;d = \sqrt{p^2-(R+r)^2}&lt;/math&gt;

; Garis singgung persekutuan luar (dua) lingkaran: &lt;math&gt;d = \sqrt{p^2-(R-r)^2}&lt;/math&gt;

keterangan:
: d = panjang singgung persekutuan dalam/luar lingkaran
: p = jarak kedua titik pusat lingkaran

; Teorema Ceva: (lingkaran dalam segitiga)
:: AF x BD x CE = BF x CD x AE

; Teorema de Pitot: (lingkaran dalam segiempat)
:: AB + DC = AD + BC

; Teorema Power de Point: (lingkaran luar segiempat)
:: AE x EC = BE x ED
; Tali busur pada satu titik di luar lingkaran:
:: AB&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = AD x AE
:: AB x AC = AD x AE

; Teorema Ptolomeos: (lingkaran luar segiempat)
:: AC x BD = AB x DC + AD x BC

; Titik E adalah pertemuan kedua perpanjangan tali busur yang bertemu.
:: maka sudut E = 1/2 (sudut besar - sudut kecil)

; Dua tali busur yang berpotongan
Tali busur AC dan BD memiliki titik potong yaitu T dan O adalah titik pusat maka besar sudut sebagsi berikut:
:: sudut ATB = 1/2 (sudut AOB+sudut COD)
:: sudut CTD = sudut ATB
:: sudut ATD = 1/2 (sudut AOD+sudut BOC)
:: sudut BTC = sudut ATD

; Hubungan besar sudut, luas juring dan panjang busur
: &lt;math&gt;\frac{\text{besar sudut AOB }}{\text{besar sudut COD }} = \frac{\text{luas juring AOB }}{\text{luas juring COD }} = \frac{\text{panjang busur AB }}{\text{panjang busur CD }}&lt;/math&gt;

; Panjang busur, Luas juring, Keliling juring
: &lt;math&gt;\text{panjang busur } = \frac{x}{360^\circ} \cdot \text{keliling lingkaran }&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\text{luas juring } = \frac{x}{360^\circ} \cdot \text{luas lingkaran }&lt;/math&gt;
: keliling juring = panjang busur + diameter lingkaran

; Panjang tali lilitan minimum
;# lingkaran bertingkat
: rumus: (π+n)d

;# lingkaran berjejer
: rumus: (π+2(n-1))d

; Kesebangunan segitiga pada trapesium
;# panjang EF pada trapesium
;## tidak simetris
: rumus: &lt;math&gt;EF=\frac{AE \cdot DC + ED \cdot AB}{AD}&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;EF=\frac{BF \cdot DC + FC \cdot AB}{BC}&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{misalkan titik E diantara AD dan F diantara BC dengan sembarang lalu titik P diantara AB serta Q diantara EF dimana DP sejajar dengan BC sehingga PB=QF=DC } \\
EF &amp;= EQ+QF \\
 &amp;= EQ+DC \\
AP &amp;= AB-PB \\
 &amp;= AB-DC \\
EQ &amp;= \frac{ED \cdot AP}{AD} \\
EF &amp;= \frac{ED \cdot AP}{AD}+DC \\
 &amp;= \frac{ED \cdot AP}{AD}+\frac{DC \cdot AD}{AD} \\
 &amp;= \frac{ED \cdot (AB-DC)}{AD}+\frac{DC \cdot (AE+ED)}{AD} \\
 &amp;= \frac{ED \cdot AB-ED \cdot DC+DC \cdot AE+DC \cdot ED}{AD} \\
 &amp;= \frac{ED \cdot AB+DC \cdot AE}{AD} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;## simetris
: rumus: &lt;math&gt;EF=\frac{AB+DC}{2}&lt;/math&gt;

;# titik tengah EF pada trapesium
: rumus: &lt;math&gt;\frac{AB-DC}{2}&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{misalkan titik E di tengah-tengah AE, F di tengah-tengah BD serta Q adalah titik potong AC dan BD serta buatlah garis untuk FG } \\
\text{lihat segitiga ABC dan segitiga EGC } \\
EG &amp;= \frac{EC \cdot AB}{AC} \\
\text{lihat segitiga BCD dan segitiga EGC } \\
FG &amp;= \frac{BF \cdot DC}{BD} \\

EF &amp;= EG-FG \\
 &amp;= \frac{EC \cdot AB}{AC}-\frac{BF \cdot DC}{BD} \\
 &amp;= \frac{EC \cdot AB}{AC}-\frac{EC \cdot DC}{AC} \\
 &amp;= \frac{EC \cdot AB-EC \cdot DC}{AC} \\
 &amp;= \frac{EC \cdot AB-EC \cdot DC}{2 \cdot EC} \\
 &amp;= \frac{EC \cdot (AB-DC)}{2 \cdot EC} \\
 &amp;= \frac{AB-DC}{2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>fyzxpsw3uyiwbi4j8psyl6e416nwpsw</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Integral</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23140</id>
    <revision>
      <id>115005</id>
      <parentid>114871</parentid>
      <timestamp>2026-04-26T11:47:19Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25546-23</username>
        <id>43043</id>
      </contributor>
      <comment>/* Kaidah umum */</comment>
      <origin>115005</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="42474" sha1="16dagepatx8vqcd7ktr7sr6tdruyxmi" xml:space="preserve">== Kaidah umum ==
:# &lt;math&gt;\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstan)}\,\!&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x) - g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(untuk } n\neq -1\mbox{)}\,\! &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int  {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int  {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x) \, dx = F(x) + C&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x) \circ g(x) dx&lt;/math&gt; = f’(g(x)) g’(x)
:# &lt;math&gt;\int f^{-1}(x) dx = \frac{1}{f’(f’(x))&lt;/math&gt;

== rumus sederhana ==
:&lt;math&gt;\int \, dx = x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int x^n\,dx =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int (ax+b)^n\,dx =  \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int {dx \over \sqrt{a^2-b^2 x^2}} = \frac{1}{b} \arcsin \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int {dx \over {a^2+b^2x^2}} = {1 \over ab}\arctan \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int {dx \over x\sqrt{b^2x^2-a^2}} = {1 \over a}\arcsec \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt;\int e^x\,dx = e^x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \ln \, x\,dx = x \cdot \, \ln {x} - x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \, ^b\!\log \, x\,dx = x \cdot \, ^b\!\log \, x - x \cdot \,^b\!\log e + C&lt;/math&gt;

; Trigonometri
:&lt;math&gt;\int \sin \, x \, dx = -\cos \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cos \, x \, dx = \sin \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \tan \, x \, dx = -\ln{\left| \cos \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cot \, x \, dx = \ln{\left| \sin \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \sec \, x \, dx = \ln{\left| \sec \, x  + \tan \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \csc \, x \, dx = -\ln{\left| \csc \, x + \cot \, x \right|} + C&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
:&lt;math&gt;\int \sinh \, x \, dx = \cosh \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cosh \, x \, dx = \sinh \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \tanh \, x \, dx = \ln{\left| \cosh \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \coth \, x \, dx = \ln{\left| \sinh \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \mbox{sech} \, x \, dx = \arctan \,(\sinh \, x) + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \mbox{csch} \, x \, dx = \ln{\left| \tanh \, {x \over 2} \right|} + C&lt;/math&gt;

== Jenis integral ==
=== integral biasa ===
Berikut contoh penyelesaian cara biasa.
: 1. &lt;math&gt;\int x^3 - cos 3x + e^{5x+2} - \frac{1}{2x+5}\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{1}{3+1}x^{3+1} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^4}{4} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C&lt;/math&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x(x^4-4x^3(5)+6x^2(25)-4x(125)+625)\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x(x^4-20x^3+150x^2-500x+625)\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x^5-20x^4+150x^3-500x^2+625x\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{150x^4}{4}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C&lt;/math&gt;

=== integral substitusi ===
Berikut contoh penyelesaian cara substitusi.
: 1. &lt;math&gt;\int \frac{\ln \, x}{x}\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = \ln \, x\, du = \frac{dx}{x}&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \frac{\ln(x)}{x} dx \\
\int u du \\
\frac{1}{2} u^2 + C \\
\frac{1}{2} ln^2 x + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x-5,\, du = dx,\, x = u+5&lt;/math&gt; 

Dengan menggunakan rumus di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4\,dx \\
\int (u+5)u^4\,du \\
\int (u^5+5u^4)\,du \\
\frac{1}{6} u^6+u^5 + C \\
\frac{1}{6} (x-5)^6+(x-5)^5 + C \\
\frac{1}{6} (x^6-6x^5(5)+15x^4(25)-20x^3(125)+15x^2(625)-6x(3125)+15625)+(x^5-5x^4(5)+10x^3(25)-10x^2(125)+5x(625)+3125) + C \\
\frac{1}{6}x^6-5x^5+\frac{125x^4}{2}-\frac{1250x^3}{3}+\frac{3125x^2}{2}-3125x+\frac{15625}{6}+x^5-25x^4+250x^3-1250x^2+3125x+3125 + C \\
\frac{1}{6}x^6-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== integral parsial ===
;Cara 1: Rumus
Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut.
: &lt;math&gt;\int u\,dv = uv - \int v\,du &lt;/math&gt;

Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan rumus.
: 1. &lt;math&gt;\int x \sin \, x \, dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x, du = 1 \, dx, dv = \sin \, x \, dx, v = -\cos \, x&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \sin \, x \,dx \\
(x)(-\cos \, x) - \int (-\cos \, x)(1 dx) \\
-x \cos \, x + \int \cos \, x dx \\
-x \cos \, x + \sin \, x + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x,\, du = 1\,dx,\, dv = (x-5)^4\,dx,\, v = \frac{1}{5}(x-5)^5&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4 \, dx \\
(x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - \int (\frac{1}{5}(x-5)^5)(1\,dx) \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \int \frac{1}{5}(x-5)^5\,dx \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6\,dx \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int x \ln \,x\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = \ln \,x,\, du = \frac{1}{x}\,dx,\, dv = x\,dx,\, v = \frac{x^2}{2}&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \ln \,x\, dx \\
(\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{x^2}{2})(\frac{1}{x}\,dx) \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x^2}{2}(\frac{1}{x})\,dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \,dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 4. &lt;math&gt;\int e^x \sin \,x\,dx&lt;/math&gt;

ini terjadi dua kali integral parsial

: &lt;math&gt;u = \sin \,x,\, du = \cos \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int e^x \sin \,x\, dx \\
(\sin \,x)(e^x) - \int (e^x)(\cos \,x\,dx) \\
e^x \sin \,x - \int e^x \cos \,x\,dx \\

u = \cos \,x,\, du = -\sin \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x \\

(\cos \,x)(e^x) - \int (e^x)(-\sin \,x\,dx) \\
e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx \\
e^x \sin \,x - (e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx) \\
e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x\,dx \\

\text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\
I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\
2I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\
I &amp;= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\
 &amp;= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\

\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;Cara 2: Tabel
Untuk &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\int u\,dv&lt;/math&gt;, berlaku ketentuan sebagai berikut.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;dv&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\frac{du}{dx}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;v&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;\frac{d^2u}{dx^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\int v\,dx&lt;/math&gt;
|}

Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan tabel.
: 1. &lt;math&gt;\int x \sin \, x \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\sin \, x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;-\cos \, x&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;-\sin \, x&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \sin \, x \, dx \\
(x)(-\cos \, x) - (1)(-\sin \, x) + C \\
-x \cos \, x + \sin \, x + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4 \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x-5)^4&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{1}{5}(x-5)^5&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{1}{30}(x-5)^6&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4 \, dx \\
(x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - (1)(\frac{1}{30}(x-5)^6) + C \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6 + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int x \ln \,x \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;\ln \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\frac{1}{x}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x^2}{2}&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \ln \,x \, dx \\
(\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{1}{x})(\frac{x^2}{2}) \, dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \, dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 4. &lt;math&gt;\int e^x \sin \,x \, dx&lt;/math&gt;

ini terjadi dua kali integral parsial

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;\sin \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\cos \, x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;-\sin \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int e^x \sin \,x \, dx \\
(\sin \,x)(e^x) - (\cos \,x)(e^x) + \int (-\sin \,x)(e^x) \, dx \\
e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x) \, dx \\

\text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\
I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\
2I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\
I &amp;= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\
 &amp;= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== integral pecahan parsial ===
Berikut contoh penyelesaian cara parsial untuk persamaan pecahan (rasional).
: &lt;math&gt;\int \frac{dx}{x^2 - 4}&lt;/math&gt;

Pertama, pisahkan pecahan tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{1}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \frac{1}{(x + 2)(x - 2)} \\
=&amp;\; \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} \\
=&amp;\; \frac{A(x - 2) + B(x + 2)}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \frac{(A + B)x - 2(A - B)}{x^2 - 4}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Kita tahu bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A + B = 0&lt;/math&gt; dan &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A - B = -\frac{1}{2}&lt;/math&gt; dapat diselesaikan, yaitu &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A = -\frac{1}{4}&lt;/math&gt; dan {{nowrap|&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B = \frac{1}{4}&lt;/math&gt;.}}

: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{dx}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \int -\frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)}\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{4} (\ln|x - 2| - \ln|x + 2|) + C \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \ln|\frac{x - 2}{x + 2}| + C
\end{aligned}&lt;/math&gt;

=== integral substitusi trigonometri ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Bentuk !! Substitusi Trigonometri
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{a^2 - b^2 x^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} sin \, \alpha &lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{a^2 + b^2 x^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} tan \, \alpha&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{b^2 x^2 - a^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} sec \, \alpha&lt;/math&gt;
|}

Berikut contoh penyelesaian cara substitusi trigonometri.
: &lt;math&gt;\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 4}}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;x = 2 \tan \, A, dx = 2 \sec^2 \, A \,dA&lt;/math&gt;

Dengan substitusi di atas,
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(2 \tan \, A)^2 \sqrt{4 + (2 \tan \, A)^2}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 + 4 \tan^2 \, A}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4(1 + \tan^2 \, A)}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 \sec^2 \, A }} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(4 \tan^2 \, A)(2 \sec \, A)} \\
=&amp;\; \int \frac{\sec \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\sec \, A \,dA}{\tan^2 \, A} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Substitusi berikut dapat dibuat.
: &lt;math&gt;\int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;t = \sin \, A, dt = \cos \, A \,dA&lt;/math&gt;

Dengan substitusi di atas,
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A}\,dA \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t^2} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{t}\right) + C \\
=&amp;\; -\frac{1}{4 t} + C \\
=&amp;\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Ingat bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sin \, A = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}&lt;/math&gt; berlaku.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C \\
=&amp;\; -\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4x} + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

=== integral mutlak ===
: &lt;math&gt;\int |f(x)| \,dA&lt;/math&gt;

buatlah &lt;math&gt;f(x) \ge 0&lt;/math&gt; jika hasil x adalah lebih dari 0 maka f(x) sedangkan kurang dari 0 maka -f(x)

: &lt;math&gt;\int_a^c |f(x)| \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c -f(x) \, dx = F(b) - F(a) - F(c) + F(b)&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;|f(x)| = \begin{cases} f(x), &amp; \mbox{jika }  f(x) \ge b,  \\ -f(x),  &amp; \mbox{jika } f(x) &lt; b. \end{cases}&lt;/math&gt;. sebelum membuat f(x) dan -f(x) menentukan nilai x sebagai f(x) ≥ 0 untuk batas-batas wilayah yang menempatkan hasil positif (f(x)) dan negatif (-(f(x)) serta hasil integral mutlak tidak mungkin negatif.

=== integral fungsi ganjil dan integral fungsi genap ===
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

dengan mengingat fungsi ganjil dan fungsi genap yaitu f(-x)=-f(x) untuk fungsi ganjil dan f(-x)=f(x) untuk fungsi genap
maka berlaku untuk integral:
: integral fungsi ganjil
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt; = 0

: integral fungsi genap
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;2 \int_{0}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

=== integral notasi ===
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \,dx = \int_{a-p}^{b-p} f(x) \,dx = \int_{a+p}^{b+p} f(x) \,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\int_a^c f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx + \int_{b}^{c} f(x) \,dx&lt;/math&gt;

=== integral terbalik ===
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \,dx = -\int_b^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

== Jenis integral lainnya ==
=== panjang busur ===
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;S = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;S = \int_{y_1}^{y_2} \sqrt{1 + (f'(y))^2}\,dy&lt;/math&gt;

=== luas daerah ===
; Satu kurva
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;L = \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;L = \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,dy&lt;/math&gt;

; Dua kurva 
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;L = \int_{x_1}^{x_2} (f(x_2) - f(x_1))\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;L = \int_{y_1}^{y_2} (f(y_2) - f(y_1))\,dy&lt;/math&gt;

: atau juga &lt;math&gt;L = \frac {D \sqrt{D}}{6 a^2}&lt;/math&gt;

=== luas permukaan benda putar ===
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;L_p = 2 \pi \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,ds&lt;/math&gt;
dengan
: &lt;math&gt;ds = \sqrt {1 + (f'(x))^2}\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;L_p = 2 \pi \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,ds&lt;/math&gt;
dengan
: &lt;math&gt;ds = \sqrt {1 + (f'(y))^2}\,dy&lt;/math&gt;

=== volume benda putar ===
; Satu kurva
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{y_1}^{y_2} (f(y))^2\,dy&lt;/math&gt;

; Dua kurva
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{x_1}^{x_2} ((f(x_2))^2 - (f(x_1))^2)\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{y_1}^{y_2} ((f(y_2))^2 - (f(y_1))^2)\,dy&lt;/math&gt;

: atau juga &lt;math&gt;V = |\frac {D^2 \sqrt{D}}{30 a^3}|&lt;/math&gt;

== Integral lipat ==
Jenis integral lipat yaitu integral lipat dua dan integral lipat tiga. 

;contoh
# Tentukan hasil dari:
* &lt;math&gt;\int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int x^2 cos 3x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int sin^2 x cos x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int cos^2 x sin x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int sec x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int csc x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{{12+75x^2}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx&lt;/math&gt;

; jawaban
**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{misalkan } u &amp;= 5x^2-2x+7 \\
 u &amp;= 5x^2-2x+7 \\
 du &amp;= 10x-2 dx \\
 &amp;= 2(5x-1) dx \\
 \frac{du}{2} &amp;= (5x-1) dx \\
 
 \int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx &amp;= \int \frac{1}{2}u^4 du \\
 &amp;= \frac{1}{2}\frac{1}{5}u^5 + C \\
 &amp;= \frac{1}{10}(5x^2-2x+7)^5 + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{gunakan integral parsial } \\
 \int x^2 cos 3x dx &amp;= \frac{x^2}{3} sin 3x-\frac{2x}{9} (-cos 3x)+\frac{2}{27} (-sin 3x)+C \\
 &amp;= \frac{x^2}{3} sin 3x+\frac{2x}{9} cos 3x-\frac{2}{27} sin 3x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
*
\text{cara 1} \\
\text{misalkan } u &amp;= sin x \\
 u &amp;= sin x \\
 du &amp;= cos x dx \\

 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int u^2 du \\
 &amp;= \frac{u^3}{3}+C \\
 &amp;= \frac{sin^3 x}{3}+C \\

*
\text{cara 2} \\
 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int \frac{1-cos 2x}{2} cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int (1-cos 2x) cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-cos 2x cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}(cos 3x+cox x) dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}cos 3x-\frac{1}{2}cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}cos x-\frac{1}{2}cos 3x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} (\frac{1}{2}sin x-\frac{1}{6}sin 3x)+C \\
 &amp;= \frac{sin x}{4}-\frac{sin 3x}{12}+C \\

*
\text{cara 3} \\
 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int sin x sin x cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int sin x sin 2x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int -(cos 3x-cos (-x)) dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int -cos 3x+cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} (-\frac{sin 3x}{3}+sin x)+C \\
 &amp;= -\frac{sin 3x}{12}+\frac{sin x}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
*
\text{cara 1} \\
\text{misalkan } u &amp;= cos x \\
 u &amp;= cos x \\
 du &amp;= -sin x dx \\
 -du &amp;= sin x dx \\

 \int cos^2 x sin x dx &amp;= -\int u^2 du \\
 &amp;= -\frac{u^3}{3}+C \\
 &amp;= -\frac{cos^3 x}{3}+C \\

*
\text{cara 2} \\
 \int cos^2 x sin x dx &amp;= \int \frac{cos 2x+1}{2} sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int (cos 2x+1) sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos 2xsin x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}(sin 3x-sin x)+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x-\frac{1}{2}sin x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x+\frac{1}{2}sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} (-\frac{1}{6}cos 3x-\frac{1}{2}cos x)+C \\
 &amp;= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\

*
\text{cara 3} \\
 \int cos^2 x sin x dx &amp;= \int cos x cos x sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x sin 2x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int (sin 3x-sin (-x)) dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int sin 3x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} (-\frac{cos 3x}{3}-cos x)+C \\
 &amp;= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int sec x dx &amp;= \int sec x \frac{sec x+tan x}{sec x+tan x}dx \\
 &amp;= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\
\text{misalkan } u &amp;= sec x+tan x \\
 u &amp;= sec x+tan x \\
 du &amp;= sec xtan x+sec^2 x dx \\

 &amp;= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\
 &amp;= \int \frac{1}{u}du \\
 &amp;= ln u+C \\
 &amp;= ln |sec x+tan x|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int csc x dx &amp;= \int csc x \frac{csc x+cot x}{csc x+cot x}dx \\
 &amp;= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\
\text{misalkan } u &amp;= csc x+cot x \\
 u &amp;= csc x+cot x \\
 du &amp;= -csc xcot x-csc^2 x dx \\
 -du &amp;= csc xcot x+csc^2 x dx \\

 &amp;= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\
 &amp;= -\int \frac{1}{u}du \\
 &amp;= -ln u+C \\
 &amp;= -ln |csc x+cot x|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx &amp;= \int \frac{1}{(2x-3)(x-1)} dx \\
 &amp;= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{A(x-1)+B(2x-3)}{(2x-3)(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{Ax-A+2Bx-3B}{2x^2-5x+3}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{(A+2B)x+(-A-3B)}{2x^2-5x+3}) dx \\
\text{cari nilai A dan B dari 0=A+2B dan 1=-A-3B adalah 2 dan -1} \\
 &amp;= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{2}{(2x-3)}+\frac{-1}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= ln |2x-3|-ln |x-1|+C \\
 &amp;= ln |\frac{2x-3}{x-1}|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx \\
 x &amp;= \frac{5}{12} sin A \\
 dx &amp;= \frac{5}{12} cos A dA \\
 
 \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-288(\frac{5}{12} sin A)^2}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-\frac{288 \cdot 25}{144} sin^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-50 sin^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50(1-sin^2 A)}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50cos^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{5cos A \sqrt{2}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\sqrt{2}}{24} dA \\
 &amp;= \frac{\sqrt{2}}{24} \int dA \\
 &amp;= A+C \\
 A &amp;= arc sin \frac{12x}{5} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{2}}{24} arc sin \frac{12x}{5}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{12+75x^2} dx \\
 x &amp;= \frac{2}{5} tan A \\
 dx &amp;= \frac{2}{5} sec^2 A dA \\
 
 \int \frac{1}{12+75x^2} dx &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+75(\frac{2}{5} tan A)^2} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+\frac{75 \cdot 4}{25} tan^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+12 tan^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 (1+tan^2 A)} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 sec^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{1}{30} dA \\
 &amp;= \frac{A}{30}+C \\
 A &amp;= arc tan \frac{5x}{2} \\
 &amp;= \frac{arc tan \frac{5x}{2}}{30}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx \\
 x &amp;= \frac{7}{11} sec A \\
 dx &amp;= \frac{7}{11} sec A tan A dA \\
 
 \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx &amp;= \int \frac{\frac{7}{11} sec A tan A}{11(\frac{7}{11} sec A)\sqrt{605(\frac{7}{11} sec A)^2-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A} {11 sec A\sqrt{\frac{605 \cdot 49}{121} sec^2 A-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245sec^2 A-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245(sec^2 A-1)}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245tan^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{77\sqrt{5} sec A tan A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\sqrt{5}}{385} dA \\
 &amp;= \frac{A\sqrt{5}}{385}+C \\
 A &amp;= arc sec \frac{11x}{7} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{5}arc sec \frac{11x}{7}}{385}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx \\
 a=1, r=sin^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{1}{1-sin^2 x} \\
 &amp;= \frac{1}{cos^2 x} \\
 &amp;= sec^2 x \\
\int sec^2 x dx &amp;= tan x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx \\
 a=1, r=cos^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{1}{1-cos^2 x} \\
 &amp;= \frac{1}{sin^2 x} \\
 &amp;= csc^2 x \\
\int csc^2 x dx &amp;= -cot x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx \\
 a=sin x, r=sin^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{sin x}{1-sin^2 x} \\
 &amp;= \frac{sin x}{cos^2 x} \\
 &amp;= sec x \cdot tan x \\
\int sec x \cdot tan x dx &amp;= sec x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx \\
 a=cos x, r=cos^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{cos x}{1-cos^2 x} \\
 &amp;= \frac{cos x}{sin^2 x} \\
 &amp;= csc x \cdot cot x \\
\int csc x \cdot cot x dx &amp;= -csc x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx \\
\text{misalkan } y = \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\
 y &amp;= \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\
 y^2 &amp;= \frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}} \\
 &amp;= \frac{x}{y} \\
 y^3 &amp;= x \\
 3y^2 dy &amp;= dx \\
\int y \cdot 3y^2 dy \\
\int 3y^3 dy \\
\frac{3y^4}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan hasil dari:
* &lt;math&gt;\int_{1}^{5} 2x-3 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{0}^{4} |x-2| dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{2}^{4} |3-x| dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx&lt;/math&gt;

; jawaban
** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{1}^{5} 2x-3 dx &amp;= \left. x^2 - 3x \right|_{1}^{5} \\
&amp;= 10 - (-2) \\
&amp;= 12 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{0}^{4} |x-2| dx \\
\text{ tentukan nilai harga nol } \\
x-2 &amp;= 0 \\
x &amp;= 2 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu kurang dari 2 bernilai - sedangkan minimal dari 2 bernilai + berarti } \\
|x-2| = \begin{cases} x-2, &amp; \mbox{jika }  x \ge 2,  \\ -(x-2),  &amp; \mbox{jika } x &lt; 2. \end{cases} \\
\int_{0}^{4} |x-2| dx &amp;= \int_{2}^{4} x-2 dx + \int_{0}^{2} -(x-2) dx \\
&amp;= \left. (\frac{x^2}{2}-2x) \right|_{2}^{4} + \left. (\frac{-x^2}{2}+2x) \right|_{0}^{2} \\
&amp;= 0 - (-2) + 2 - 0 \\
&amp;= 4 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{2}^{4} |3-x| dx \\
\text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\
3-x &amp;\ge 0 \\
\text{ harga nol } \\
x &amp;= 3 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu lebih dari 3 bernilai - sedangkan maksimal dari 3 bernilai + berarti } \\
|3-x| = \begin{cases} 3-x, &amp; \mbox{jika }  x \le 3,  \\ -(3-x),  &amp; \mbox{jika } x &gt; 3. \end{cases} \\
\int_{2}^{4} |3-x| dx &amp;= \int_{2}^{3} 3-x dx + \int_{3}^{4} -(3-x) dx \\
&amp;= \left. (3x-\frac{x^2}{2}) \right|_{2}^{3} + \left. (-3x+\frac{x^2}{2}) \right|_{3}^{4} \\
&amp;= 4.5 - 4 - 4 - (-4.5) \\
&amp;= 1 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx &amp;= \left. \frac{x^3}{3}-3x^2+8x \right|_{1}^{5} \\
&amp;= \frac{20}{3} - \frac{16}{3} \\
&amp;= \frac{4}{3} \\
&amp;= 1\frac{1}{3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx \\
\text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\
x^2-2x-8 &amp;\ge 0 \\
\text{ harga nol } \\
(x+2)(x-4) &amp;= 0 \\
x = -2 \text{ atau } x = 4 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu antara -2 dan 4 bernilai - sedangkan maksimal dari -2 dan minimal dari 4 bernilai + berarti } \\
|x^2-2x-8| = \begin{cases} x^2-2x-8, &amp; \mbox{jika } x \le -2,  \\ -(x^2-2x-8),  &amp; \mbox{jika } -2 &lt; x &lt; 4, \\ x^2-2x-8, &amp; \mbox{jika } x \ge 4 \end{cases} \\
\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx &amp;= \int_{-3}^{-2} x^2-2x-8 dx + \int_{-2}^{4} -(x^2-2x-8) dx + \int_{4}^{5} x^2-2x-8 dx \\
&amp;= \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{-3}^{-2} + \left. (\frac{-x^3}{3}+x^2+8x) \right|_{-2}^{4} + \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{4}^{5} \\
&amp;= \frac{28}{3} - 6 + \frac{80}{3} - (-\frac{28}{3}) - \frac{70}{3} - (-\frac{80}{3}) \\
&amp;= \frac{128}{3} \\
&amp;= 42\frac{2}{3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = x&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int x\,dx \\
L &amp;= \frac{1}{2} x^2 \\
L &amp;= \frac{1}{2} xy \quad (y = x)
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = x^2&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int x^2\,dx \\
L &amp;= \frac{1}{3} x^3 \\
L &amp;= \frac{1}{3} xy \quad (y = x^2)
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = \sqrt{x}&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int \sqrt{x}\,dx \\
L &amp;= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \\
L &amp;= \frac{2}{3} xy \quad (y = \sqrt{x})
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas persegi &lt;math&gt;L = s^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = s \text{ dan titik (''s'', ''s''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{s} s\,dx \\
L &amp;= sx |_{0}^{s} \\
L &amp;= ss - 0 \\
L &amp;= s^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas persegi panjang &lt;math&gt;L = pl&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = l \text{dan titik (''p'', ''l''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{p} l\,dx \\
L &amp;= lx |_{0}^{p} \\
L &amp;= pl - 0 \\
L &amp;= pl
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Buktikan luas segitiga &lt;math&gt;L = \frac{at}{2}&lt;/math&gt; dengan cara integral!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \frac{-tx}{a} + t \text { dan titik (''a'', ''t''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{a} \left (\frac{-tx}{a} + t \right) \,dx \\
L &amp;= \left. \frac{-tx^2}{2a} + tx \right|_{0}^{a} \\
L &amp;= \frac{-ta^2}{2a} + ta - 0 + 0 \\
L &amp;= \frac{-ta}{2} + ta \\
L &amp;= \frac{at}{2}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume tabung &lt;math&gt;V = \pi r^2t&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ Dengan posisi } y = r \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\
V &amp;= \pi \int_{0}^{t} r^2\,dx \\
V &amp;= \pi \left. r^2x \right|_{0}^{t} \\
V &amp;= \pi r^2t - 0 \\
V &amp;= \pi r^2t
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume kerucut &lt;math&gt;V = \frac{\pi r^2t}{3}&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \frac{rx}{t} \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\
V &amp;= \pi \int_{0}^{t} \left (\frac{rx}{t} \right)^2 \,dx \\
V &amp;= \pi \left. \frac{r^2 x^3}{3t^2} \right|_{0}^{t} \\
V &amp;= \pi \frac{r^2 t^3}{3t^2} - 0 \\
V &amp;= \frac{\pi r^2t}{3}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume bola &lt;math&gt;V = \frac{4 \pi r^3}{3}&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), } \\
V &amp;= \pi \int_{-r}^{r} \left(\sqrt {r^2 - x^2}\right)^2\,dx \\
V &amp;= \pi \int_{-r}^{r} r^2 - x^2 dx \\
V &amp;= \pi \left. r^2x - \frac{x^3}{3} \right|_{-r}^{r} \\
V &amp;= \pi \left (r^3 - \frac{r^3}{3} - \left (-r^3 + \frac{r^3}{3} \right) \right) \\
V &amp;= \frac{4 \pi r^3}{3}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas permukaan bola &lt;math&gt;L = 4 \pi r^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), Kita tahu bahwa turunannya adalah } \\
y' &amp;= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\
\text{selanjutnya } \\
ds &amp;= \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\
ds &amp;= \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
ds &amp;= \sqrt{\frac{r^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
ds &amp;= \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
\text{sehingga } \\
L &amp;= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
L &amp;= 2 \pi \int_{-r}^{r} r\,dx \\
L &amp;= 2 \pi rx|_{-r}^{r} \\
L &amp;= 2 \pi (r r - r (-r)) \\
L &amp;= 2 \pi (r^2 + r^2) \\
L &amp;= 4 \pi r^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan keliling lingkaran &lt;math&gt;K = 2 \pi r&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0) } \\
\text{kita tahu bahwa turunannya adalah } \\
 y' &amp;= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\
\text{sehingga } \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{x^2}{r^2 - x^2})}\,dx \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt\frac{r^2}{r^2 - x^2}\,dx \\
K &amp;= 4r \int_{0}^{r} \sqrt\frac{1}{r^2 - x^2}\,dx \\
K &amp;= 4r \int_{0}^{r} \frac{1}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
K &amp;= 4r \left. \arcsin \left (\frac{x}{r} \right) \right|_{0}^{r} \\
K &amp;= 4r \left (\arcsin \left (\frac{r}{r}\right) - \arcsin \left (\frac{0}{r} \right) \right) \\
K &amp;= 4r \left (\arcsin\left (1 \right) - \arcsin \left(0 \right) \right)) \\
K &amp;= 4r \left (\frac{\pi}{2} \right) \\
K &amp;= 2 \pi r
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas lingkaran &lt;math&gt;L = \pi r^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), dibuat trigonometri dan turunannya terlebih dahulu. } \\
\sin(\theta) &amp;= \frac{x}{r} \\
x &amp;= r \sin(\theta) \\
dx &amp;= r \cos(\theta)\,d\theta \\
\text{dengan turunan di atas } \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - (r \sin(\theta))^2}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - r^2 \sin^2(\theta)}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 (1 - \sin^2(\theta))}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta)\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta) (r \cos(\theta)\,d\theta) \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r^2 \cos^2(\theta)\,d\theta \\
L &amp;= 4r^2 \int_{0}^{r} \left(\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right)\,d\theta \\
L &amp;= 2r^2 \int_{0}^{r} (1 + \cos(2\theta))\,d\theta \\
L &amp;= 2r^2 \left (\theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right)|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 (\theta + \sin(\theta) \cos(\theta))|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 \left (\arcsin \left (\frac{x}{r} \right) + \left (\frac{x}{r} \right) \left (\frac{r^2 - x^2}{r} \right) \right)|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 \left (\arcsin \left(\frac{r}{r} \right) + \left (\frac{r}{r} \right) \left (\frac {r^2 - r^2}{r} \right) \right) - \left(\arcsin \left (\frac{0}{r} \right) + \left (\frac{0}{r}\right) \left (\frac{r^2 - 0^2}{r} \right) \right) \\
L &amp;= 2r^2 (\arcsin(1) + 0 - (\arcsin(0) + 0)) \\
L &amp;= 2r^2 \left (\frac{\pi}{2} \right) \\
L &amp;= \pi r^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas elips &lt;math&gt;L = \pi ab&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a} \text{ serta (-''a'', 0) dan (''a'', 0), } \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a}\,dx \\
L &amp;= \frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx \\
\text{dengan anggapan bahwa lingkaran mempunyai memotong titik (-''a'', 0) dan (''a'', 0) serta pusatnya setitik dengan pusat elips, } \\
\frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &amp;= \frac{\frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx}{4 \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx} \\
\frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &amp;= \frac{b}{a} \\
L_\text{elips} &amp;= \frac{b}{a} L_\text{ling} \\
L_\text{elips} &amp;= \frac{b}{a} \pi a^2 \\
L_\text{elips} &amp;= \pi ab
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa luas daerah yang dibatasi y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x dan y=4x+7!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\
 y_1 &amp;= y_2 \\
 x^-2x &amp;= 4x+7 \\
 x^2-6x-7 &amp;= 0 \\
 (x+1)(x-7) &amp;= 0 \\
 x=-1 &amp;\text{ atau } x=7 \\

y &amp;= 4(-1)+7 = 3 \\
y &amp;= 4(7)+7 = 35 \\

\text{jadi titik potong (-1,3) dan (7,35) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\

L &amp;= \int_{-1}^{7} 4x+7-(x^2-2x)\,dx \\
 &amp;= \int_{-1}^{7} -x^2+6x+7\,dx \\
 &amp;= -\frac{x^3}{3}+3x^2+7x|_{-1}^{7} \\
 &amp;= -\frac{7^3}{3}+3(7)^2+7(7)-(-\frac{(-1)^3}{3}+3(-1)^2+7(-1)) \\
 &amp;= \frac{245}{3}-(-\frac{13}{3}) \\
 &amp;= \frac{258}{3} \\
 &amp;= 86 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa volume benda putar yang dibatasi y=6-1,5x, y=x-4 dan x=0 mengelilingi sumbu x sejauh 360°!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\
 y_1 &amp;= y_2 \\
 6-1,5x &amp;= x-4 \\
 2,5x &amp;= 10 \\
 x &amp;= 4 \\

y &amp;= 4-4 = 0 \\

\text{jadi titik potong (4,0) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\

\text{untuk x=0 } \\
y &amp;= 6-1,5(0) = 6 \\
y &amp;= 0-4 = -4 \\

L &amp;= \pi \int_{0}^{4} ((6-1,5x)^2-(x-4)^2)\,dx \\
 &amp;= \pi \int_{0}^{4} (36-18x+2,25x^2-(x^2-8x+16))\,dx \\
 &amp;= \pi \int_{0}^{4} (1,25x^2-10x+20)\,dx \\
 &amp;= \pi (\frac{1,25x^3}{3}-5x^2+20x)|_{0}^{4} \\
 &amp;= \pi (\frac{1,25(4)^3}{3}-5(4)^2+20(4)-(\frac{1,25(0)^3}{3}-5(0)^2+20(0))) \\
 &amp;= \pi (\frac{30}{3}-0) \\
 &amp;= 10\pi \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>16dagepatx8vqcd7ktr7sr6tdruyxmi</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>115006</id>
      <parentid>115005</parentid>
      <timestamp>2026-04-26T11:49:02Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25546-23</username>
        <id>43043</id>
      </contributor>
      <comment>/* Kaidah umum */</comment>
      <origin>115006</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="42470" sha1="6vah60k3sqshr3ku9p9xppe822bz59c" xml:space="preserve">== Kaidah umum ==
:# &lt;math&gt;\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstan)}\,\!&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x) - g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(untuk } n\neq -1\mbox{)}\,\! &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int  {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int  {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x) \, dx = F(x) + C&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x) \circ g(x) dx&lt;/math&gt; = f’(g(x)) g’(x)
:# &lt;math&gt;\int f^{-1}(x) dx = \frac{1}{f'(f'(x))&lt;/math&gt;

== rumus sederhana ==
:&lt;math&gt;\int \, dx = x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int x^n\,dx =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int (ax+b)^n\,dx =  \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int {dx \over \sqrt{a^2-b^2 x^2}} = \frac{1}{b} \arcsin \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int {dx \over {a^2+b^2x^2}} = {1 \over ab}\arctan \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int {dx \over x\sqrt{b^2x^2-a^2}} = {1 \over a}\arcsec \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt;\int e^x\,dx = e^x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \ln \, x\,dx = x \cdot \, \ln {x} - x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \, ^b\!\log \, x\,dx = x \cdot \, ^b\!\log \, x - x \cdot \,^b\!\log e + C&lt;/math&gt;

; Trigonometri
:&lt;math&gt;\int \sin \, x \, dx = -\cos \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cos \, x \, dx = \sin \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \tan \, x \, dx = -\ln{\left| \cos \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cot \, x \, dx = \ln{\left| \sin \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \sec \, x \, dx = \ln{\left| \sec \, x  + \tan \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \csc \, x \, dx = -\ln{\left| \csc \, x + \cot \, x \right|} + C&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
:&lt;math&gt;\int \sinh \, x \, dx = \cosh \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cosh \, x \, dx = \sinh \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \tanh \, x \, dx = \ln{\left| \cosh \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \coth \, x \, dx = \ln{\left| \sinh \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \mbox{sech} \, x \, dx = \arctan \,(\sinh \, x) + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \mbox{csch} \, x \, dx = \ln{\left| \tanh \, {x \over 2} \right|} + C&lt;/math&gt;

== Jenis integral ==
=== integral biasa ===
Berikut contoh penyelesaian cara biasa.
: 1. &lt;math&gt;\int x^3 - cos 3x + e^{5x+2} - \frac{1}{2x+5}\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{1}{3+1}x^{3+1} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^4}{4} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C&lt;/math&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x(x^4-4x^3(5)+6x^2(25)-4x(125)+625)\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x(x^4-20x^3+150x^2-500x+625)\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x^5-20x^4+150x^3-500x^2+625x\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{150x^4}{4}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C&lt;/math&gt;

=== integral substitusi ===
Berikut contoh penyelesaian cara substitusi.
: 1. &lt;math&gt;\int \frac{\ln \, x}{x}\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = \ln \, x\, du = \frac{dx}{x}&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \frac{\ln(x)}{x} dx \\
\int u du \\
\frac{1}{2} u^2 + C \\
\frac{1}{2} ln^2 x + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x-5,\, du = dx,\, x = u+5&lt;/math&gt; 

Dengan menggunakan rumus di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4\,dx \\
\int (u+5)u^4\,du \\
\int (u^5+5u^4)\,du \\
\frac{1}{6} u^6+u^5 + C \\
\frac{1}{6} (x-5)^6+(x-5)^5 + C \\
\frac{1}{6} (x^6-6x^5(5)+15x^4(25)-20x^3(125)+15x^2(625)-6x(3125)+15625)+(x^5-5x^4(5)+10x^3(25)-10x^2(125)+5x(625)+3125) + C \\
\frac{1}{6}x^6-5x^5+\frac{125x^4}{2}-\frac{1250x^3}{3}+\frac{3125x^2}{2}-3125x+\frac{15625}{6}+x^5-25x^4+250x^3-1250x^2+3125x+3125 + C \\
\frac{1}{6}x^6-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== integral parsial ===
;Cara 1: Rumus
Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut.
: &lt;math&gt;\int u\,dv = uv - \int v\,du &lt;/math&gt;

Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan rumus.
: 1. &lt;math&gt;\int x \sin \, x \, dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x, du = 1 \, dx, dv = \sin \, x \, dx, v = -\cos \, x&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \sin \, x \,dx \\
(x)(-\cos \, x) - \int (-\cos \, x)(1 dx) \\
-x \cos \, x + \int \cos \, x dx \\
-x \cos \, x + \sin \, x + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x,\, du = 1\,dx,\, dv = (x-5)^4\,dx,\, v = \frac{1}{5}(x-5)^5&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4 \, dx \\
(x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - \int (\frac{1}{5}(x-5)^5)(1\,dx) \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \int \frac{1}{5}(x-5)^5\,dx \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6\,dx \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int x \ln \,x\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = \ln \,x,\, du = \frac{1}{x}\,dx,\, dv = x\,dx,\, v = \frac{x^2}{2}&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \ln \,x\, dx \\
(\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{x^2}{2})(\frac{1}{x}\,dx) \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x^2}{2}(\frac{1}{x})\,dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \,dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 4. &lt;math&gt;\int e^x \sin \,x\,dx&lt;/math&gt;

ini terjadi dua kali integral parsial

: &lt;math&gt;u = \sin \,x,\, du = \cos \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int e^x \sin \,x\, dx \\
(\sin \,x)(e^x) - \int (e^x)(\cos \,x\,dx) \\
e^x \sin \,x - \int e^x \cos \,x\,dx \\

u = \cos \,x,\, du = -\sin \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x \\

(\cos \,x)(e^x) - \int (e^x)(-\sin \,x\,dx) \\
e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx \\
e^x \sin \,x - (e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx) \\
e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x\,dx \\

\text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\
I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\
2I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\
I &amp;= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\
 &amp;= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\

\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;Cara 2: Tabel
Untuk &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\int u\,dv&lt;/math&gt;, berlaku ketentuan sebagai berikut.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;dv&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\frac{du}{dx}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;v&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;\frac{d^2u}{dx^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\int v\,dx&lt;/math&gt;
|}

Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan tabel.
: 1. &lt;math&gt;\int x \sin \, x \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\sin \, x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;-\cos \, x&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;-\sin \, x&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \sin \, x \, dx \\
(x)(-\cos \, x) - (1)(-\sin \, x) + C \\
-x \cos \, x + \sin \, x + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4 \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x-5)^4&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{1}{5}(x-5)^5&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{1}{30}(x-5)^6&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4 \, dx \\
(x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - (1)(\frac{1}{30}(x-5)^6) + C \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6 + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int x \ln \,x \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;\ln \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\frac{1}{x}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x^2}{2}&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \ln \,x \, dx \\
(\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{1}{x})(\frac{x^2}{2}) \, dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \, dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 4. &lt;math&gt;\int e^x \sin \,x \, dx&lt;/math&gt;

ini terjadi dua kali integral parsial

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;\sin \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\cos \, x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;-\sin \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int e^x \sin \,x \, dx \\
(\sin \,x)(e^x) - (\cos \,x)(e^x) + \int (-\sin \,x)(e^x) \, dx \\
e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x) \, dx \\

\text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\
I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\
2I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\
I &amp;= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\
 &amp;= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== integral pecahan parsial ===
Berikut contoh penyelesaian cara parsial untuk persamaan pecahan (rasional).
: &lt;math&gt;\int \frac{dx}{x^2 - 4}&lt;/math&gt;

Pertama, pisahkan pecahan tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{1}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \frac{1}{(x + 2)(x - 2)} \\
=&amp;\; \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} \\
=&amp;\; \frac{A(x - 2) + B(x + 2)}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \frac{(A + B)x - 2(A - B)}{x^2 - 4}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Kita tahu bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A + B = 0&lt;/math&gt; dan &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A - B = -\frac{1}{2}&lt;/math&gt; dapat diselesaikan, yaitu &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A = -\frac{1}{4}&lt;/math&gt; dan {{nowrap|&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B = \frac{1}{4}&lt;/math&gt;.}}

: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{dx}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \int -\frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)}\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{4} (\ln|x - 2| - \ln|x + 2|) + C \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \ln|\frac{x - 2}{x + 2}| + C
\end{aligned}&lt;/math&gt;

=== integral substitusi trigonometri ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Bentuk !! Substitusi Trigonometri
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{a^2 - b^2 x^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} sin \, \alpha &lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{a^2 + b^2 x^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} tan \, \alpha&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{b^2 x^2 - a^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} sec \, \alpha&lt;/math&gt;
|}

Berikut contoh penyelesaian cara substitusi trigonometri.
: &lt;math&gt;\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 4}}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;x = 2 \tan \, A, dx = 2 \sec^2 \, A \,dA&lt;/math&gt;

Dengan substitusi di atas,
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(2 \tan \, A)^2 \sqrt{4 + (2 \tan \, A)^2}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 + 4 \tan^2 \, A}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4(1 + \tan^2 \, A)}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 \sec^2 \, A }} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(4 \tan^2 \, A)(2 \sec \, A)} \\
=&amp;\; \int \frac{\sec \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\sec \, A \,dA}{\tan^2 \, A} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Substitusi berikut dapat dibuat.
: &lt;math&gt;\int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;t = \sin \, A, dt = \cos \, A \,dA&lt;/math&gt;

Dengan substitusi di atas,
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A}\,dA \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t^2} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{t}\right) + C \\
=&amp;\; -\frac{1}{4 t} + C \\
=&amp;\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Ingat bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sin \, A = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}&lt;/math&gt; berlaku.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C \\
=&amp;\; -\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4x} + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

=== integral mutlak ===
: &lt;math&gt;\int |f(x)| \,dA&lt;/math&gt;

buatlah &lt;math&gt;f(x) \ge 0&lt;/math&gt; jika hasil x adalah lebih dari 0 maka f(x) sedangkan kurang dari 0 maka -f(x)

: &lt;math&gt;\int_a^c |f(x)| \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c -f(x) \, dx = F(b) - F(a) - F(c) + F(b)&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;|f(x)| = \begin{cases} f(x), &amp; \mbox{jika }  f(x) \ge b,  \\ -f(x),  &amp; \mbox{jika } f(x) &lt; b. \end{cases}&lt;/math&gt;. sebelum membuat f(x) dan -f(x) menentukan nilai x sebagai f(x) ≥ 0 untuk batas-batas wilayah yang menempatkan hasil positif (f(x)) dan negatif (-(f(x)) serta hasil integral mutlak tidak mungkin negatif.

=== integral fungsi ganjil dan integral fungsi genap ===
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

dengan mengingat fungsi ganjil dan fungsi genap yaitu f(-x)=-f(x) untuk fungsi ganjil dan f(-x)=f(x) untuk fungsi genap
maka berlaku untuk integral:
: integral fungsi ganjil
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt; = 0

: integral fungsi genap
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;2 \int_{0}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

=== integral notasi ===
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \,dx = \int_{a-p}^{b-p} f(x) \,dx = \int_{a+p}^{b+p} f(x) \,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\int_a^c f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx + \int_{b}^{c} f(x) \,dx&lt;/math&gt;

=== integral terbalik ===
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \,dx = -\int_b^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

== Jenis integral lainnya ==
=== panjang busur ===
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;S = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;S = \int_{y_1}^{y_2} \sqrt{1 + (f'(y))^2}\,dy&lt;/math&gt;

=== luas daerah ===
; Satu kurva
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;L = \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;L = \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,dy&lt;/math&gt;

; Dua kurva 
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;L = \int_{x_1}^{x_2} (f(x_2) - f(x_1))\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;L = \int_{y_1}^{y_2} (f(y_2) - f(y_1))\,dy&lt;/math&gt;

: atau juga &lt;math&gt;L = \frac {D \sqrt{D}}{6 a^2}&lt;/math&gt;

=== luas permukaan benda putar ===
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;L_p = 2 \pi \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,ds&lt;/math&gt;
dengan
: &lt;math&gt;ds = \sqrt {1 + (f'(x))^2}\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;L_p = 2 \pi \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,ds&lt;/math&gt;
dengan
: &lt;math&gt;ds = \sqrt {1 + (f'(y))^2}\,dy&lt;/math&gt;

=== volume benda putar ===
; Satu kurva
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{y_1}^{y_2} (f(y))^2\,dy&lt;/math&gt;

; Dua kurva
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{x_1}^{x_2} ((f(x_2))^2 - (f(x_1))^2)\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{y_1}^{y_2} ((f(y_2))^2 - (f(y_1))^2)\,dy&lt;/math&gt;

: atau juga &lt;math&gt;V = |\frac {D^2 \sqrt{D}}{30 a^3}|&lt;/math&gt;

== Integral lipat ==
Jenis integral lipat yaitu integral lipat dua dan integral lipat tiga. 

;contoh
# Tentukan hasil dari:
* &lt;math&gt;\int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int x^2 cos 3x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int sin^2 x cos x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int cos^2 x sin x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int sec x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int csc x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{{12+75x^2}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx&lt;/math&gt;

; jawaban
**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{misalkan } u &amp;= 5x^2-2x+7 \\
 u &amp;= 5x^2-2x+7 \\
 du &amp;= 10x-2 dx \\
 &amp;= 2(5x-1) dx \\
 \frac{du}{2} &amp;= (5x-1) dx \\
 
 \int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx &amp;= \int \frac{1}{2}u^4 du \\
 &amp;= \frac{1}{2}\frac{1}{5}u^5 + C \\
 &amp;= \frac{1}{10}(5x^2-2x+7)^5 + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{gunakan integral parsial } \\
 \int x^2 cos 3x dx &amp;= \frac{x^2}{3} sin 3x-\frac{2x}{9} (-cos 3x)+\frac{2}{27} (-sin 3x)+C \\
 &amp;= \frac{x^2}{3} sin 3x+\frac{2x}{9} cos 3x-\frac{2}{27} sin 3x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
*
\text{cara 1} \\
\text{misalkan } u &amp;= sin x \\
 u &amp;= sin x \\
 du &amp;= cos x dx \\

 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int u^2 du \\
 &amp;= \frac{u^3}{3}+C \\
 &amp;= \frac{sin^3 x}{3}+C \\

*
\text{cara 2} \\
 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int \frac{1-cos 2x}{2} cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int (1-cos 2x) cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-cos 2x cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}(cos 3x+cox x) dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}cos 3x-\frac{1}{2}cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}cos x-\frac{1}{2}cos 3x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} (\frac{1}{2}sin x-\frac{1}{6}sin 3x)+C \\
 &amp;= \frac{sin x}{4}-\frac{sin 3x}{12}+C \\

*
\text{cara 3} \\
 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int sin x sin x cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int sin x sin 2x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int -(cos 3x-cos (-x)) dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int -cos 3x+cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} (-\frac{sin 3x}{3}+sin x)+C \\
 &amp;= -\frac{sin 3x}{12}+\frac{sin x}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
*
\text{cara 1} \\
\text{misalkan } u &amp;= cos x \\
 u &amp;= cos x \\
 du &amp;= -sin x dx \\
 -du &amp;= sin x dx \\

 \int cos^2 x sin x dx &amp;= -\int u^2 du \\
 &amp;= -\frac{u^3}{3}+C \\
 &amp;= -\frac{cos^3 x}{3}+C \\

*
\text{cara 2} \\
 \int cos^2 x sin x dx &amp;= \int \frac{cos 2x+1}{2} sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int (cos 2x+1) sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos 2xsin x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}(sin 3x-sin x)+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x-\frac{1}{2}sin x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x+\frac{1}{2}sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} (-\frac{1}{6}cos 3x-\frac{1}{2}cos x)+C \\
 &amp;= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\

*
\text{cara 3} \\
 \int cos^2 x sin x dx &amp;= \int cos x cos x sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x sin 2x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int (sin 3x-sin (-x)) dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int sin 3x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} (-\frac{cos 3x}{3}-cos x)+C \\
 &amp;= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int sec x dx &amp;= \int sec x \frac{sec x+tan x}{sec x+tan x}dx \\
 &amp;= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\
\text{misalkan } u &amp;= sec x+tan x \\
 u &amp;= sec x+tan x \\
 du &amp;= sec xtan x+sec^2 x dx \\

 &amp;= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\
 &amp;= \int \frac{1}{u}du \\
 &amp;= ln u+C \\
 &amp;= ln |sec x+tan x|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int csc x dx &amp;= \int csc x \frac{csc x+cot x}{csc x+cot x}dx \\
 &amp;= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\
\text{misalkan } u &amp;= csc x+cot x \\
 u &amp;= csc x+cot x \\
 du &amp;= -csc xcot x-csc^2 x dx \\
 -du &amp;= csc xcot x+csc^2 x dx \\

 &amp;= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\
 &amp;= -\int \frac{1}{u}du \\
 &amp;= -ln u+C \\
 &amp;= -ln |csc x+cot x|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx &amp;= \int \frac{1}{(2x-3)(x-1)} dx \\
 &amp;= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{A(x-1)+B(2x-3)}{(2x-3)(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{Ax-A+2Bx-3B}{2x^2-5x+3}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{(A+2B)x+(-A-3B)}{2x^2-5x+3}) dx \\
\text{cari nilai A dan B dari 0=A+2B dan 1=-A-3B adalah 2 dan -1} \\
 &amp;= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{2}{(2x-3)}+\frac{-1}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= ln |2x-3|-ln |x-1|+C \\
 &amp;= ln |\frac{2x-3}{x-1}|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx \\
 x &amp;= \frac{5}{12} sin A \\
 dx &amp;= \frac{5}{12} cos A dA \\
 
 \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-288(\frac{5}{12} sin A)^2}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-\frac{288 \cdot 25}{144} sin^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-50 sin^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50(1-sin^2 A)}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50cos^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{5cos A \sqrt{2}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\sqrt{2}}{24} dA \\
 &amp;= \frac{\sqrt{2}}{24} \int dA \\
 &amp;= A+C \\
 A &amp;= arc sin \frac{12x}{5} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{2}}{24} arc sin \frac{12x}{5}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{12+75x^2} dx \\
 x &amp;= \frac{2}{5} tan A \\
 dx &amp;= \frac{2}{5} sec^2 A dA \\
 
 \int \frac{1}{12+75x^2} dx &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+75(\frac{2}{5} tan A)^2} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+\frac{75 \cdot 4}{25} tan^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+12 tan^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 (1+tan^2 A)} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 sec^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{1}{30} dA \\
 &amp;= \frac{A}{30}+C \\
 A &amp;= arc tan \frac{5x}{2} \\
 &amp;= \frac{arc tan \frac{5x}{2}}{30}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx \\
 x &amp;= \frac{7}{11} sec A \\
 dx &amp;= \frac{7}{11} sec A tan A dA \\
 
 \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx &amp;= \int \frac{\frac{7}{11} sec A tan A}{11(\frac{7}{11} sec A)\sqrt{605(\frac{7}{11} sec A)^2-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A} {11 sec A\sqrt{\frac{605 \cdot 49}{121} sec^2 A-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245sec^2 A-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245(sec^2 A-1)}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245tan^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{77\sqrt{5} sec A tan A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\sqrt{5}}{385} dA \\
 &amp;= \frac{A\sqrt{5}}{385}+C \\
 A &amp;= arc sec \frac{11x}{7} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{5}arc sec \frac{11x}{7}}{385}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx \\
 a=1, r=sin^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{1}{1-sin^2 x} \\
 &amp;= \frac{1}{cos^2 x} \\
 &amp;= sec^2 x \\
\int sec^2 x dx &amp;= tan x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx \\
 a=1, r=cos^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{1}{1-cos^2 x} \\
 &amp;= \frac{1}{sin^2 x} \\
 &amp;= csc^2 x \\
\int csc^2 x dx &amp;= -cot x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx \\
 a=sin x, r=sin^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{sin x}{1-sin^2 x} \\
 &amp;= \frac{sin x}{cos^2 x} \\
 &amp;= sec x \cdot tan x \\
\int sec x \cdot tan x dx &amp;= sec x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx \\
 a=cos x, r=cos^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{cos x}{1-cos^2 x} \\
 &amp;= \frac{cos x}{sin^2 x} \\
 &amp;= csc x \cdot cot x \\
\int csc x \cdot cot x dx &amp;= -csc x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx \\
\text{misalkan } y = \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\
 y &amp;= \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\
 y^2 &amp;= \frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}} \\
 &amp;= \frac{x}{y} \\
 y^3 &amp;= x \\
 3y^2 dy &amp;= dx \\
\int y \cdot 3y^2 dy \\
\int 3y^3 dy \\
\frac{3y^4}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan hasil dari:
* &lt;math&gt;\int_{1}^{5} 2x-3 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{0}^{4} |x-2| dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{2}^{4} |3-x| dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx&lt;/math&gt;

; jawaban
** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{1}^{5} 2x-3 dx &amp;= \left. x^2 - 3x \right|_{1}^{5} \\
&amp;= 10 - (-2) \\
&amp;= 12 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{0}^{4} |x-2| dx \\
\text{ tentukan nilai harga nol } \\
x-2 &amp;= 0 \\
x &amp;= 2 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu kurang dari 2 bernilai - sedangkan minimal dari 2 bernilai + berarti } \\
|x-2| = \begin{cases} x-2, &amp; \mbox{jika }  x \ge 2,  \\ -(x-2),  &amp; \mbox{jika } x &lt; 2. \end{cases} \\
\int_{0}^{4} |x-2| dx &amp;= \int_{2}^{4} x-2 dx + \int_{0}^{2} -(x-2) dx \\
&amp;= \left. (\frac{x^2}{2}-2x) \right|_{2}^{4} + \left. (\frac{-x^2}{2}+2x) \right|_{0}^{2} \\
&amp;= 0 - (-2) + 2 - 0 \\
&amp;= 4 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{2}^{4} |3-x| dx \\
\text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\
3-x &amp;\ge 0 \\
\text{ harga nol } \\
x &amp;= 3 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu lebih dari 3 bernilai - sedangkan maksimal dari 3 bernilai + berarti } \\
|3-x| = \begin{cases} 3-x, &amp; \mbox{jika }  x \le 3,  \\ -(3-x),  &amp; \mbox{jika } x &gt; 3. \end{cases} \\
\int_{2}^{4} |3-x| dx &amp;= \int_{2}^{3} 3-x dx + \int_{3}^{4} -(3-x) dx \\
&amp;= \left. (3x-\frac{x^2}{2}) \right|_{2}^{3} + \left. (-3x+\frac{x^2}{2}) \right|_{3}^{4} \\
&amp;= 4.5 - 4 - 4 - (-4.5) \\
&amp;= 1 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx &amp;= \left. \frac{x^3}{3}-3x^2+8x \right|_{1}^{5} \\
&amp;= \frac{20}{3} - \frac{16}{3} \\
&amp;= \frac{4}{3} \\
&amp;= 1\frac{1}{3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx \\
\text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\
x^2-2x-8 &amp;\ge 0 \\
\text{ harga nol } \\
(x+2)(x-4) &amp;= 0 \\
x = -2 \text{ atau } x = 4 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu antara -2 dan 4 bernilai - sedangkan maksimal dari -2 dan minimal dari 4 bernilai + berarti } \\
|x^2-2x-8| = \begin{cases} x^2-2x-8, &amp; \mbox{jika } x \le -2,  \\ -(x^2-2x-8),  &amp; \mbox{jika } -2 &lt; x &lt; 4, \\ x^2-2x-8, &amp; \mbox{jika } x \ge 4 \end{cases} \\
\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx &amp;= \int_{-3}^{-2} x^2-2x-8 dx + \int_{-2}^{4} -(x^2-2x-8) dx + \int_{4}^{5} x^2-2x-8 dx \\
&amp;= \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{-3}^{-2} + \left. (\frac{-x^3}{3}+x^2+8x) \right|_{-2}^{4} + \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{4}^{5} \\
&amp;= \frac{28}{3} - 6 + \frac{80}{3} - (-\frac{28}{3}) - \frac{70}{3} - (-\frac{80}{3}) \\
&amp;= \frac{128}{3} \\
&amp;= 42\frac{2}{3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = x&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int x\,dx \\
L &amp;= \frac{1}{2} x^2 \\
L &amp;= \frac{1}{2} xy \quad (y = x)
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = x^2&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int x^2\,dx \\
L &amp;= \frac{1}{3} x^3 \\
L &amp;= \frac{1}{3} xy \quad (y = x^2)
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = \sqrt{x}&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int \sqrt{x}\,dx \\
L &amp;= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \\
L &amp;= \frac{2}{3} xy \quad (y = \sqrt{x})
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas persegi &lt;math&gt;L = s^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = s \text{ dan titik (''s'', ''s''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{s} s\,dx \\
L &amp;= sx |_{0}^{s} \\
L &amp;= ss - 0 \\
L &amp;= s^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas persegi panjang &lt;math&gt;L = pl&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = l \text{dan titik (''p'', ''l''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{p} l\,dx \\
L &amp;= lx |_{0}^{p} \\
L &amp;= pl - 0 \\
L &amp;= pl
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Buktikan luas segitiga &lt;math&gt;L = \frac{at}{2}&lt;/math&gt; dengan cara integral!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \frac{-tx}{a} + t \text { dan titik (''a'', ''t''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{a} \left (\frac{-tx}{a} + t \right) \,dx \\
L &amp;= \left. \frac{-tx^2}{2a} + tx \right|_{0}^{a} \\
L &amp;= \frac{-ta^2}{2a} + ta - 0 + 0 \\
L &amp;= \frac{-ta}{2} + ta \\
L &amp;= \frac{at}{2}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume tabung &lt;math&gt;V = \pi r^2t&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ Dengan posisi } y = r \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\
V &amp;= \pi \int_{0}^{t} r^2\,dx \\
V &amp;= \pi \left. r^2x \right|_{0}^{t} \\
V &amp;= \pi r^2t - 0 \\
V &amp;= \pi r^2t
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume kerucut &lt;math&gt;V = \frac{\pi r^2t}{3}&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \frac{rx}{t} \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\
V &amp;= \pi \int_{0}^{t} \left (\frac{rx}{t} \right)^2 \,dx \\
V &amp;= \pi \left. \frac{r^2 x^3}{3t^2} \right|_{0}^{t} \\
V &amp;= \pi \frac{r^2 t^3}{3t^2} - 0 \\
V &amp;= \frac{\pi r^2t}{3}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume bola &lt;math&gt;V = \frac{4 \pi r^3}{3}&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), } \\
V &amp;= \pi \int_{-r}^{r} \left(\sqrt {r^2 - x^2}\right)^2\,dx \\
V &amp;= \pi \int_{-r}^{r} r^2 - x^2 dx \\
V &amp;= \pi \left. r^2x - \frac{x^3}{3} \right|_{-r}^{r} \\
V &amp;= \pi \left (r^3 - \frac{r^3}{3} - \left (-r^3 + \frac{r^3}{3} \right) \right) \\
V &amp;= \frac{4 \pi r^3}{3}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas permukaan bola &lt;math&gt;L = 4 \pi r^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), Kita tahu bahwa turunannya adalah } \\
y' &amp;= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\
\text{selanjutnya } \\
ds &amp;= \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\
ds &amp;= \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
ds &amp;= \sqrt{\frac{r^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
ds &amp;= \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
\text{sehingga } \\
L &amp;= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
L &amp;= 2 \pi \int_{-r}^{r} r\,dx \\
L &amp;= 2 \pi rx|_{-r}^{r} \\
L &amp;= 2 \pi (r r - r (-r)) \\
L &amp;= 2 \pi (r^2 + r^2) \\
L &amp;= 4 \pi r^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan keliling lingkaran &lt;math&gt;K = 2 \pi r&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0) } \\
\text{kita tahu bahwa turunannya adalah } \\
 y' &amp;= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\
\text{sehingga } \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{x^2}{r^2 - x^2})}\,dx \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt\frac{r^2}{r^2 - x^2}\,dx \\
K &amp;= 4r \int_{0}^{r} \sqrt\frac{1}{r^2 - x^2}\,dx \\
K &amp;= 4r \int_{0}^{r} \frac{1}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
K &amp;= 4r \left. \arcsin \left (\frac{x}{r} \right) \right|_{0}^{r} \\
K &amp;= 4r \left (\arcsin \left (\frac{r}{r}\right) - \arcsin \left (\frac{0}{r} \right) \right) \\
K &amp;= 4r \left (\arcsin\left (1 \right) - \arcsin \left(0 \right) \right)) \\
K &amp;= 4r \left (\frac{\pi}{2} \right) \\
K &amp;= 2 \pi r
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas lingkaran &lt;math&gt;L = \pi r^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), dibuat trigonometri dan turunannya terlebih dahulu. } \\
\sin(\theta) &amp;= \frac{x}{r} \\
x &amp;= r \sin(\theta) \\
dx &amp;= r \cos(\theta)\,d\theta \\
\text{dengan turunan di atas } \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - (r \sin(\theta))^2}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - r^2 \sin^2(\theta)}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 (1 - \sin^2(\theta))}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta)\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta) (r \cos(\theta)\,d\theta) \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r^2 \cos^2(\theta)\,d\theta \\
L &amp;= 4r^2 \int_{0}^{r} \left(\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right)\,d\theta \\
L &amp;= 2r^2 \int_{0}^{r} (1 + \cos(2\theta))\,d\theta \\
L &amp;= 2r^2 \left (\theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right)|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 (\theta + \sin(\theta) \cos(\theta))|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 \left (\arcsin \left (\frac{x}{r} \right) + \left (\frac{x}{r} \right) \left (\frac{r^2 - x^2}{r} \right) \right)|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 \left (\arcsin \left(\frac{r}{r} \right) + \left (\frac{r}{r} \right) \left (\frac {r^2 - r^2}{r} \right) \right) - \left(\arcsin \left (\frac{0}{r} \right) + \left (\frac{0}{r}\right) \left (\frac{r^2 - 0^2}{r} \right) \right) \\
L &amp;= 2r^2 (\arcsin(1) + 0 - (\arcsin(0) + 0)) \\
L &amp;= 2r^2 \left (\frac{\pi}{2} \right) \\
L &amp;= \pi r^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas elips &lt;math&gt;L = \pi ab&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a} \text{ serta (-''a'', 0) dan (''a'', 0), } \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a}\,dx \\
L &amp;= \frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx \\
\text{dengan anggapan bahwa lingkaran mempunyai memotong titik (-''a'', 0) dan (''a'', 0) serta pusatnya setitik dengan pusat elips, } \\
\frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &amp;= \frac{\frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx}{4 \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx} \\
\frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &amp;= \frac{b}{a} \\
L_\text{elips} &amp;= \frac{b}{a} L_\text{ling} \\
L_\text{elips} &amp;= \frac{b}{a} \pi a^2 \\
L_\text{elips} &amp;= \pi ab
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa luas daerah yang dibatasi y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x dan y=4x+7!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\
 y_1 &amp;= y_2 \\
 x^-2x &amp;= 4x+7 \\
 x^2-6x-7 &amp;= 0 \\
 (x+1)(x-7) &amp;= 0 \\
 x=-1 &amp;\text{ atau } x=7 \\

y &amp;= 4(-1)+7 = 3 \\
y &amp;= 4(7)+7 = 35 \\

\text{jadi titik potong (-1,3) dan (7,35) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\

L &amp;= \int_{-1}^{7} 4x+7-(x^2-2x)\,dx \\
 &amp;= \int_{-1}^{7} -x^2+6x+7\,dx \\
 &amp;= -\frac{x^3}{3}+3x^2+7x|_{-1}^{7} \\
 &amp;= -\frac{7^3}{3}+3(7)^2+7(7)-(-\frac{(-1)^3}{3}+3(-1)^2+7(-1)) \\
 &amp;= \frac{245}{3}-(-\frac{13}{3}) \\
 &amp;= \frac{258}{3} \\
 &amp;= 86 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa volume benda putar yang dibatasi y=6-1,5x, y=x-4 dan x=0 mengelilingi sumbu x sejauh 360°!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\
 y_1 &amp;= y_2 \\
 6-1,5x &amp;= x-4 \\
 2,5x &amp;= 10 \\
 x &amp;= 4 \\

y &amp;= 4-4 = 0 \\

\text{jadi titik potong (4,0) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\

\text{untuk x=0 } \\
y &amp;= 6-1,5(0) = 6 \\
y &amp;= 0-4 = -4 \\

L &amp;= \pi \int_{0}^{4} ((6-1,5x)^2-(x-4)^2)\,dx \\
 &amp;= \pi \int_{0}^{4} (36-18x+2,25x^2-(x^2-8x+16))\,dx \\
 &amp;= \pi \int_{0}^{4} (1,25x^2-10x+20)\,dx \\
 &amp;= \pi (\frac{1,25x^3}{3}-5x^2+20x)|_{0}^{4} \\
 &amp;= \pi (\frac{1,25(4)^3}{3}-5(4)^2+20(4)-(\frac{1,25(0)^3}{3}-5(0)^2+20(0))) \\
 &amp;= \pi (\frac{30}{3}-0) \\
 &amp;= 10\pi \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>6vah60k3sqshr3ku9p9xppe822bz59c</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>115007</id>
      <parentid>115006</parentid>
      <timestamp>2026-04-26T11:49:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25546-23</username>
        <id>43043</id>
      </contributor>
      <comment>/* Kaidah umum */</comment>
      <origin>115007</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="42470" sha1="4i57zibee3rqr2fdu00knq03s30y6ct" xml:space="preserve">== Kaidah umum ==
:# &lt;math&gt;\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstan)}\,\!&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x) - g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(untuk } n\neq -1\mbox{)}\,\! &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int  {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int  {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x) \, dx = F(x) + C&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x) \circ g(x) dx&lt;/math&gt; = f’(g(x)) g’(x)
:# &lt;math&gt;\int f^{-1}(x) dx = \frac{1}{f'(f'(x)}&lt;/math&gt;

== rumus sederhana ==
:&lt;math&gt;\int \, dx = x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int x^n\,dx =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int (ax+b)^n\,dx =  \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int {dx \over \sqrt{a^2-b^2 x^2}} = \frac{1}{b} \arcsin \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int {dx \over {a^2+b^2x^2}} = {1 \over ab}\arctan \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int {dx \over x\sqrt{b^2x^2-a^2}} = {1 \over a}\arcsec \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt;\int e^x\,dx = e^x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \ln \, x\,dx = x \cdot \, \ln {x} - x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \, ^b\!\log \, x\,dx = x \cdot \, ^b\!\log \, x - x \cdot \,^b\!\log e + C&lt;/math&gt;

; Trigonometri
:&lt;math&gt;\int \sin \, x \, dx = -\cos \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cos \, x \, dx = \sin \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \tan \, x \, dx = -\ln{\left| \cos \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cot \, x \, dx = \ln{\left| \sin \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \sec \, x \, dx = \ln{\left| \sec \, x  + \tan \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \csc \, x \, dx = -\ln{\left| \csc \, x + \cot \, x \right|} + C&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
:&lt;math&gt;\int \sinh \, x \, dx = \cosh \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cosh \, x \, dx = \sinh \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \tanh \, x \, dx = \ln{\left| \cosh \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \coth \, x \, dx = \ln{\left| \sinh \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \mbox{sech} \, x \, dx = \arctan \,(\sinh \, x) + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \mbox{csch} \, x \, dx = \ln{\left| \tanh \, {x \over 2} \right|} + C&lt;/math&gt;

== Jenis integral ==
=== integral biasa ===
Berikut contoh penyelesaian cara biasa.
: 1. &lt;math&gt;\int x^3 - cos 3x + e^{5x+2} - \frac{1}{2x+5}\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{1}{3+1}x^{3+1} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^4}{4} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C&lt;/math&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x(x^4-4x^3(5)+6x^2(25)-4x(125)+625)\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x(x^4-20x^3+150x^2-500x+625)\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x^5-20x^4+150x^3-500x^2+625x\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{150x^4}{4}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C&lt;/math&gt;

=== integral substitusi ===
Berikut contoh penyelesaian cara substitusi.
: 1. &lt;math&gt;\int \frac{\ln \, x}{x}\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = \ln \, x\, du = \frac{dx}{x}&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \frac{\ln(x)}{x} dx \\
\int u du \\
\frac{1}{2} u^2 + C \\
\frac{1}{2} ln^2 x + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x-5,\, du = dx,\, x = u+5&lt;/math&gt; 

Dengan menggunakan rumus di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4\,dx \\
\int (u+5)u^4\,du \\
\int (u^5+5u^4)\,du \\
\frac{1}{6} u^6+u^5 + C \\
\frac{1}{6} (x-5)^6+(x-5)^5 + C \\
\frac{1}{6} (x^6-6x^5(5)+15x^4(25)-20x^3(125)+15x^2(625)-6x(3125)+15625)+(x^5-5x^4(5)+10x^3(25)-10x^2(125)+5x(625)+3125) + C \\
\frac{1}{6}x^6-5x^5+\frac{125x^4}{2}-\frac{1250x^3}{3}+\frac{3125x^2}{2}-3125x+\frac{15625}{6}+x^5-25x^4+250x^3-1250x^2+3125x+3125 + C \\
\frac{1}{6}x^6-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== integral parsial ===
;Cara 1: Rumus
Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut.
: &lt;math&gt;\int u\,dv = uv - \int v\,du &lt;/math&gt;

Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan rumus.
: 1. &lt;math&gt;\int x \sin \, x \, dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x, du = 1 \, dx, dv = \sin \, x \, dx, v = -\cos \, x&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \sin \, x \,dx \\
(x)(-\cos \, x) - \int (-\cos \, x)(1 dx) \\
-x \cos \, x + \int \cos \, x dx \\
-x \cos \, x + \sin \, x + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x,\, du = 1\,dx,\, dv = (x-5)^4\,dx,\, v = \frac{1}{5}(x-5)^5&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4 \, dx \\
(x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - \int (\frac{1}{5}(x-5)^5)(1\,dx) \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \int \frac{1}{5}(x-5)^5\,dx \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6\,dx \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int x \ln \,x\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = \ln \,x,\, du = \frac{1}{x}\,dx,\, dv = x\,dx,\, v = \frac{x^2}{2}&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \ln \,x\, dx \\
(\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{x^2}{2})(\frac{1}{x}\,dx) \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x^2}{2}(\frac{1}{x})\,dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \,dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 4. &lt;math&gt;\int e^x \sin \,x\,dx&lt;/math&gt;

ini terjadi dua kali integral parsial

: &lt;math&gt;u = \sin \,x,\, du = \cos \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int e^x \sin \,x\, dx \\
(\sin \,x)(e^x) - \int (e^x)(\cos \,x\,dx) \\
e^x \sin \,x - \int e^x \cos \,x\,dx \\

u = \cos \,x,\, du = -\sin \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x \\

(\cos \,x)(e^x) - \int (e^x)(-\sin \,x\,dx) \\
e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx \\
e^x \sin \,x - (e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx) \\
e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x\,dx \\

\text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\
I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\
2I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\
I &amp;= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\
 &amp;= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\

\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;Cara 2: Tabel
Untuk &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\int u\,dv&lt;/math&gt;, berlaku ketentuan sebagai berikut.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;dv&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\frac{du}{dx}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;v&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;\frac{d^2u}{dx^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\int v\,dx&lt;/math&gt;
|}

Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan tabel.
: 1. &lt;math&gt;\int x \sin \, x \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\sin \, x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;-\cos \, x&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;-\sin \, x&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \sin \, x \, dx \\
(x)(-\cos \, x) - (1)(-\sin \, x) + C \\
-x \cos \, x + \sin \, x + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4 \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x-5)^4&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{1}{5}(x-5)^5&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{1}{30}(x-5)^6&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4 \, dx \\
(x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - (1)(\frac{1}{30}(x-5)^6) + C \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6 + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int x \ln \,x \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;\ln \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\frac{1}{x}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x^2}{2}&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \ln \,x \, dx \\
(\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{1}{x})(\frac{x^2}{2}) \, dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \, dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 4. &lt;math&gt;\int e^x \sin \,x \, dx&lt;/math&gt;

ini terjadi dua kali integral parsial

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;\sin \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\cos \, x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;-\sin \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int e^x \sin \,x \, dx \\
(\sin \,x)(e^x) - (\cos \,x)(e^x) + \int (-\sin \,x)(e^x) \, dx \\
e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x) \, dx \\

\text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\
I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\
2I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\
I &amp;= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\
 &amp;= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== integral pecahan parsial ===
Berikut contoh penyelesaian cara parsial untuk persamaan pecahan (rasional).
: &lt;math&gt;\int \frac{dx}{x^2 - 4}&lt;/math&gt;

Pertama, pisahkan pecahan tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{1}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \frac{1}{(x + 2)(x - 2)} \\
=&amp;\; \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} \\
=&amp;\; \frac{A(x - 2) + B(x + 2)}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \frac{(A + B)x - 2(A - B)}{x^2 - 4}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Kita tahu bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A + B = 0&lt;/math&gt; dan &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A - B = -\frac{1}{2}&lt;/math&gt; dapat diselesaikan, yaitu &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A = -\frac{1}{4}&lt;/math&gt; dan {{nowrap|&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B = \frac{1}{4}&lt;/math&gt;.}}

: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{dx}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \int -\frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)}\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{4} (\ln|x - 2| - \ln|x + 2|) + C \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \ln|\frac{x - 2}{x + 2}| + C
\end{aligned}&lt;/math&gt;

=== integral substitusi trigonometri ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Bentuk !! Substitusi Trigonometri
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{a^2 - b^2 x^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} sin \, \alpha &lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{a^2 + b^2 x^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} tan \, \alpha&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{b^2 x^2 - a^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} sec \, \alpha&lt;/math&gt;
|}

Berikut contoh penyelesaian cara substitusi trigonometri.
: &lt;math&gt;\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 4}}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;x = 2 \tan \, A, dx = 2 \sec^2 \, A \,dA&lt;/math&gt;

Dengan substitusi di atas,
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(2 \tan \, A)^2 \sqrt{4 + (2 \tan \, A)^2}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 + 4 \tan^2 \, A}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4(1 + \tan^2 \, A)}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 \sec^2 \, A }} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(4 \tan^2 \, A)(2 \sec \, A)} \\
=&amp;\; \int \frac{\sec \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\sec \, A \,dA}{\tan^2 \, A} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Substitusi berikut dapat dibuat.
: &lt;math&gt;\int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;t = \sin \, A, dt = \cos \, A \,dA&lt;/math&gt;

Dengan substitusi di atas,
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A}\,dA \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t^2} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{t}\right) + C \\
=&amp;\; -\frac{1}{4 t} + C \\
=&amp;\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Ingat bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sin \, A = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}&lt;/math&gt; berlaku.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C \\
=&amp;\; -\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4x} + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

=== integral mutlak ===
: &lt;math&gt;\int |f(x)| \,dA&lt;/math&gt;

buatlah &lt;math&gt;f(x) \ge 0&lt;/math&gt; jika hasil x adalah lebih dari 0 maka f(x) sedangkan kurang dari 0 maka -f(x)

: &lt;math&gt;\int_a^c |f(x)| \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c -f(x) \, dx = F(b) - F(a) - F(c) + F(b)&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;|f(x)| = \begin{cases} f(x), &amp; \mbox{jika }  f(x) \ge b,  \\ -f(x),  &amp; \mbox{jika } f(x) &lt; b. \end{cases}&lt;/math&gt;. sebelum membuat f(x) dan -f(x) menentukan nilai x sebagai f(x) ≥ 0 untuk batas-batas wilayah yang menempatkan hasil positif (f(x)) dan negatif (-(f(x)) serta hasil integral mutlak tidak mungkin negatif.

=== integral fungsi ganjil dan integral fungsi genap ===
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

dengan mengingat fungsi ganjil dan fungsi genap yaitu f(-x)=-f(x) untuk fungsi ganjil dan f(-x)=f(x) untuk fungsi genap
maka berlaku untuk integral:
: integral fungsi ganjil
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt; = 0

: integral fungsi genap
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;2 \int_{0}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

=== integral notasi ===
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \,dx = \int_{a-p}^{b-p} f(x) \,dx = \int_{a+p}^{b+p} f(x) \,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\int_a^c f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx + \int_{b}^{c} f(x) \,dx&lt;/math&gt;

=== integral terbalik ===
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \,dx = -\int_b^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

== Jenis integral lainnya ==
=== panjang busur ===
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;S = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;S = \int_{y_1}^{y_2} \sqrt{1 + (f'(y))^2}\,dy&lt;/math&gt;

=== luas daerah ===
; Satu kurva
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;L = \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;L = \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,dy&lt;/math&gt;

; Dua kurva 
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;L = \int_{x_1}^{x_2} (f(x_2) - f(x_1))\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;L = \int_{y_1}^{y_2} (f(y_2) - f(y_1))\,dy&lt;/math&gt;

: atau juga &lt;math&gt;L = \frac {D \sqrt{D}}{6 a^2}&lt;/math&gt;

=== luas permukaan benda putar ===
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;L_p = 2 \pi \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,ds&lt;/math&gt;
dengan
: &lt;math&gt;ds = \sqrt {1 + (f'(x))^2}\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;L_p = 2 \pi \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,ds&lt;/math&gt;
dengan
: &lt;math&gt;ds = \sqrt {1 + (f'(y))^2}\,dy&lt;/math&gt;

=== volume benda putar ===
; Satu kurva
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{y_1}^{y_2} (f(y))^2\,dy&lt;/math&gt;

; Dua kurva
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{x_1}^{x_2} ((f(x_2))^2 - (f(x_1))^2)\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{y_1}^{y_2} ((f(y_2))^2 - (f(y_1))^2)\,dy&lt;/math&gt;

: atau juga &lt;math&gt;V = |\frac {D^2 \sqrt{D}}{30 a^3}|&lt;/math&gt;

== Integral lipat ==
Jenis integral lipat yaitu integral lipat dua dan integral lipat tiga. 

;contoh
# Tentukan hasil dari:
* &lt;math&gt;\int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int x^2 cos 3x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int sin^2 x cos x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int cos^2 x sin x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int sec x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int csc x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{{12+75x^2}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx&lt;/math&gt;

; jawaban
**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{misalkan } u &amp;= 5x^2-2x+7 \\
 u &amp;= 5x^2-2x+7 \\
 du &amp;= 10x-2 dx \\
 &amp;= 2(5x-1) dx \\
 \frac{du}{2} &amp;= (5x-1) dx \\
 
 \int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx &amp;= \int \frac{1}{2}u^4 du \\
 &amp;= \frac{1}{2}\frac{1}{5}u^5 + C \\
 &amp;= \frac{1}{10}(5x^2-2x+7)^5 + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{gunakan integral parsial } \\
 \int x^2 cos 3x dx &amp;= \frac{x^2}{3} sin 3x-\frac{2x}{9} (-cos 3x)+\frac{2}{27} (-sin 3x)+C \\
 &amp;= \frac{x^2}{3} sin 3x+\frac{2x}{9} cos 3x-\frac{2}{27} sin 3x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
*
\text{cara 1} \\
\text{misalkan } u &amp;= sin x \\
 u &amp;= sin x \\
 du &amp;= cos x dx \\

 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int u^2 du \\
 &amp;= \frac{u^3}{3}+C \\
 &amp;= \frac{sin^3 x}{3}+C \\

*
\text{cara 2} \\
 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int \frac{1-cos 2x}{2} cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int (1-cos 2x) cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-cos 2x cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}(cos 3x+cox x) dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}cos 3x-\frac{1}{2}cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}cos x-\frac{1}{2}cos 3x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} (\frac{1}{2}sin x-\frac{1}{6}sin 3x)+C \\
 &amp;= \frac{sin x}{4}-\frac{sin 3x}{12}+C \\

*
\text{cara 3} \\
 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int sin x sin x cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int sin x sin 2x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int -(cos 3x-cos (-x)) dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int -cos 3x+cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} (-\frac{sin 3x}{3}+sin x)+C \\
 &amp;= -\frac{sin 3x}{12}+\frac{sin x}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
*
\text{cara 1} \\
\text{misalkan } u &amp;= cos x \\
 u &amp;= cos x \\
 du &amp;= -sin x dx \\
 -du &amp;= sin x dx \\

 \int cos^2 x sin x dx &amp;= -\int u^2 du \\
 &amp;= -\frac{u^3}{3}+C \\
 &amp;= -\frac{cos^3 x}{3}+C \\

*
\text{cara 2} \\
 \int cos^2 x sin x dx &amp;= \int \frac{cos 2x+1}{2} sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int (cos 2x+1) sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos 2xsin x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}(sin 3x-sin x)+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x-\frac{1}{2}sin x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x+\frac{1}{2}sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} (-\frac{1}{6}cos 3x-\frac{1}{2}cos x)+C \\
 &amp;= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\

*
\text{cara 3} \\
 \int cos^2 x sin x dx &amp;= \int cos x cos x sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x sin 2x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int (sin 3x-sin (-x)) dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int sin 3x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} (-\frac{cos 3x}{3}-cos x)+C \\
 &amp;= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int sec x dx &amp;= \int sec x \frac{sec x+tan x}{sec x+tan x}dx \\
 &amp;= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\
\text{misalkan } u &amp;= sec x+tan x \\
 u &amp;= sec x+tan x \\
 du &amp;= sec xtan x+sec^2 x dx \\

 &amp;= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\
 &amp;= \int \frac{1}{u}du \\
 &amp;= ln u+C \\
 &amp;= ln |sec x+tan x|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int csc x dx &amp;= \int csc x \frac{csc x+cot x}{csc x+cot x}dx \\
 &amp;= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\
\text{misalkan } u &amp;= csc x+cot x \\
 u &amp;= csc x+cot x \\
 du &amp;= -csc xcot x-csc^2 x dx \\
 -du &amp;= csc xcot x+csc^2 x dx \\

 &amp;= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\
 &amp;= -\int \frac{1}{u}du \\
 &amp;= -ln u+C \\
 &amp;= -ln |csc x+cot x|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx &amp;= \int \frac{1}{(2x-3)(x-1)} dx \\
 &amp;= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{A(x-1)+B(2x-3)}{(2x-3)(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{Ax-A+2Bx-3B}{2x^2-5x+3}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{(A+2B)x+(-A-3B)}{2x^2-5x+3}) dx \\
\text{cari nilai A dan B dari 0=A+2B dan 1=-A-3B adalah 2 dan -1} \\
 &amp;= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{2}{(2x-3)}+\frac{-1}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= ln |2x-3|-ln |x-1|+C \\
 &amp;= ln |\frac{2x-3}{x-1}|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx \\
 x &amp;= \frac{5}{12} sin A \\
 dx &amp;= \frac{5}{12} cos A dA \\
 
 \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-288(\frac{5}{12} sin A)^2}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-\frac{288 \cdot 25}{144} sin^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-50 sin^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50(1-sin^2 A)}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50cos^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{5cos A \sqrt{2}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\sqrt{2}}{24} dA \\
 &amp;= \frac{\sqrt{2}}{24} \int dA \\
 &amp;= A+C \\
 A &amp;= arc sin \frac{12x}{5} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{2}}{24} arc sin \frac{12x}{5}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{12+75x^2} dx \\
 x &amp;= \frac{2}{5} tan A \\
 dx &amp;= \frac{2}{5} sec^2 A dA \\
 
 \int \frac{1}{12+75x^2} dx &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+75(\frac{2}{5} tan A)^2} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+\frac{75 \cdot 4}{25} tan^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+12 tan^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 (1+tan^2 A)} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 sec^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{1}{30} dA \\
 &amp;= \frac{A}{30}+C \\
 A &amp;= arc tan \frac{5x}{2} \\
 &amp;= \frac{arc tan \frac{5x}{2}}{30}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx \\
 x &amp;= \frac{7}{11} sec A \\
 dx &amp;= \frac{7}{11} sec A tan A dA \\
 
 \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx &amp;= \int \frac{\frac{7}{11} sec A tan A}{11(\frac{7}{11} sec A)\sqrt{605(\frac{7}{11} sec A)^2-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A} {11 sec A\sqrt{\frac{605 \cdot 49}{121} sec^2 A-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245sec^2 A-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245(sec^2 A-1)}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245tan^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{77\sqrt{5} sec A tan A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\sqrt{5}}{385} dA \\
 &amp;= \frac{A\sqrt{5}}{385}+C \\
 A &amp;= arc sec \frac{11x}{7} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{5}arc sec \frac{11x}{7}}{385}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx \\
 a=1, r=sin^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{1}{1-sin^2 x} \\
 &amp;= \frac{1}{cos^2 x} \\
 &amp;= sec^2 x \\
\int sec^2 x dx &amp;= tan x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx \\
 a=1, r=cos^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{1}{1-cos^2 x} \\
 &amp;= \frac{1}{sin^2 x} \\
 &amp;= csc^2 x \\
\int csc^2 x dx &amp;= -cot x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx \\
 a=sin x, r=sin^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{sin x}{1-sin^2 x} \\
 &amp;= \frac{sin x}{cos^2 x} \\
 &amp;= sec x \cdot tan x \\
\int sec x \cdot tan x dx &amp;= sec x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx \\
 a=cos x, r=cos^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{cos x}{1-cos^2 x} \\
 &amp;= \frac{cos x}{sin^2 x} \\
 &amp;= csc x \cdot cot x \\
\int csc x \cdot cot x dx &amp;= -csc x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx \\
\text{misalkan } y = \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\
 y &amp;= \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\
 y^2 &amp;= \frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}} \\
 &amp;= \frac{x}{y} \\
 y^3 &amp;= x \\
 3y^2 dy &amp;= dx \\
\int y \cdot 3y^2 dy \\
\int 3y^3 dy \\
\frac{3y^4}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan hasil dari:
* &lt;math&gt;\int_{1}^{5} 2x-3 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{0}^{4} |x-2| dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{2}^{4} |3-x| dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx&lt;/math&gt;

; jawaban
** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{1}^{5} 2x-3 dx &amp;= \left. x^2 - 3x \right|_{1}^{5} \\
&amp;= 10 - (-2) \\
&amp;= 12 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{0}^{4} |x-2| dx \\
\text{ tentukan nilai harga nol } \\
x-2 &amp;= 0 \\
x &amp;= 2 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu kurang dari 2 bernilai - sedangkan minimal dari 2 bernilai + berarti } \\
|x-2| = \begin{cases} x-2, &amp; \mbox{jika }  x \ge 2,  \\ -(x-2),  &amp; \mbox{jika } x &lt; 2. \end{cases} \\
\int_{0}^{4} |x-2| dx &amp;= \int_{2}^{4} x-2 dx + \int_{0}^{2} -(x-2) dx \\
&amp;= \left. (\frac{x^2}{2}-2x) \right|_{2}^{4} + \left. (\frac{-x^2}{2}+2x) \right|_{0}^{2} \\
&amp;= 0 - (-2) + 2 - 0 \\
&amp;= 4 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{2}^{4} |3-x| dx \\
\text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\
3-x &amp;\ge 0 \\
\text{ harga nol } \\
x &amp;= 3 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu lebih dari 3 bernilai - sedangkan maksimal dari 3 bernilai + berarti } \\
|3-x| = \begin{cases} 3-x, &amp; \mbox{jika }  x \le 3,  \\ -(3-x),  &amp; \mbox{jika } x &gt; 3. \end{cases} \\
\int_{2}^{4} |3-x| dx &amp;= \int_{2}^{3} 3-x dx + \int_{3}^{4} -(3-x) dx \\
&amp;= \left. (3x-\frac{x^2}{2}) \right|_{2}^{3} + \left. (-3x+\frac{x^2}{2}) \right|_{3}^{4} \\
&amp;= 4.5 - 4 - 4 - (-4.5) \\
&amp;= 1 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx &amp;= \left. \frac{x^3}{3}-3x^2+8x \right|_{1}^{5} \\
&amp;= \frac{20}{3} - \frac{16}{3} \\
&amp;= \frac{4}{3} \\
&amp;= 1\frac{1}{3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx \\
\text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\
x^2-2x-8 &amp;\ge 0 \\
\text{ harga nol } \\
(x+2)(x-4) &amp;= 0 \\
x = -2 \text{ atau } x = 4 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu antara -2 dan 4 bernilai - sedangkan maksimal dari -2 dan minimal dari 4 bernilai + berarti } \\
|x^2-2x-8| = \begin{cases} x^2-2x-8, &amp; \mbox{jika } x \le -2,  \\ -(x^2-2x-8),  &amp; \mbox{jika } -2 &lt; x &lt; 4, \\ x^2-2x-8, &amp; \mbox{jika } x \ge 4 \end{cases} \\
\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx &amp;= \int_{-3}^{-2} x^2-2x-8 dx + \int_{-2}^{4} -(x^2-2x-8) dx + \int_{4}^{5} x^2-2x-8 dx \\
&amp;= \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{-3}^{-2} + \left. (\frac{-x^3}{3}+x^2+8x) \right|_{-2}^{4} + \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{4}^{5} \\
&amp;= \frac{28}{3} - 6 + \frac{80}{3} - (-\frac{28}{3}) - \frac{70}{3} - (-\frac{80}{3}) \\
&amp;= \frac{128}{3} \\
&amp;= 42\frac{2}{3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = x&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int x\,dx \\
L &amp;= \frac{1}{2} x^2 \\
L &amp;= \frac{1}{2} xy \quad (y = x)
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = x^2&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int x^2\,dx \\
L &amp;= \frac{1}{3} x^3 \\
L &amp;= \frac{1}{3} xy \quad (y = x^2)
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = \sqrt{x}&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int \sqrt{x}\,dx \\
L &amp;= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \\
L &amp;= \frac{2}{3} xy \quad (y = \sqrt{x})
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas persegi &lt;math&gt;L = s^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = s \text{ dan titik (''s'', ''s''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{s} s\,dx \\
L &amp;= sx |_{0}^{s} \\
L &amp;= ss - 0 \\
L &amp;= s^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas persegi panjang &lt;math&gt;L = pl&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = l \text{dan titik (''p'', ''l''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{p} l\,dx \\
L &amp;= lx |_{0}^{p} \\
L &amp;= pl - 0 \\
L &amp;= pl
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Buktikan luas segitiga &lt;math&gt;L = \frac{at}{2}&lt;/math&gt; dengan cara integral!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \frac{-tx}{a} + t \text { dan titik (''a'', ''t''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{a} \left (\frac{-tx}{a} + t \right) \,dx \\
L &amp;= \left. \frac{-tx^2}{2a} + tx \right|_{0}^{a} \\
L &amp;= \frac{-ta^2}{2a} + ta - 0 + 0 \\
L &amp;= \frac{-ta}{2} + ta \\
L &amp;= \frac{at}{2}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume tabung &lt;math&gt;V = \pi r^2t&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ Dengan posisi } y = r \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\
V &amp;= \pi \int_{0}^{t} r^2\,dx \\
V &amp;= \pi \left. r^2x \right|_{0}^{t} \\
V &amp;= \pi r^2t - 0 \\
V &amp;= \pi r^2t
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume kerucut &lt;math&gt;V = \frac{\pi r^2t}{3}&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \frac{rx}{t} \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\
V &amp;= \pi \int_{0}^{t} \left (\frac{rx}{t} \right)^2 \,dx \\
V &amp;= \pi \left. \frac{r^2 x^3}{3t^2} \right|_{0}^{t} \\
V &amp;= \pi \frac{r^2 t^3}{3t^2} - 0 \\
V &amp;= \frac{\pi r^2t}{3}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume bola &lt;math&gt;V = \frac{4 \pi r^3}{3}&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), } \\
V &amp;= \pi \int_{-r}^{r} \left(\sqrt {r^2 - x^2}\right)^2\,dx \\
V &amp;= \pi \int_{-r}^{r} r^2 - x^2 dx \\
V &amp;= \pi \left. r^2x - \frac{x^3}{3} \right|_{-r}^{r} \\
V &amp;= \pi \left (r^3 - \frac{r^3}{3} - \left (-r^3 + \frac{r^3}{3} \right) \right) \\
V &amp;= \frac{4 \pi r^3}{3}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas permukaan bola &lt;math&gt;L = 4 \pi r^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), Kita tahu bahwa turunannya adalah } \\
y' &amp;= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\
\text{selanjutnya } \\
ds &amp;= \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\
ds &amp;= \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
ds &amp;= \sqrt{\frac{r^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
ds &amp;= \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
\text{sehingga } \\
L &amp;= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
L &amp;= 2 \pi \int_{-r}^{r} r\,dx \\
L &amp;= 2 \pi rx|_{-r}^{r} \\
L &amp;= 2 \pi (r r - r (-r)) \\
L &amp;= 2 \pi (r^2 + r^2) \\
L &amp;= 4 \pi r^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan keliling lingkaran &lt;math&gt;K = 2 \pi r&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0) } \\
\text{kita tahu bahwa turunannya adalah } \\
 y' &amp;= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\
\text{sehingga } \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{x^2}{r^2 - x^2})}\,dx \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt\frac{r^2}{r^2 - x^2}\,dx \\
K &amp;= 4r \int_{0}^{r} \sqrt\frac{1}{r^2 - x^2}\,dx \\
K &amp;= 4r \int_{0}^{r} \frac{1}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
K &amp;= 4r \left. \arcsin \left (\frac{x}{r} \right) \right|_{0}^{r} \\
K &amp;= 4r \left (\arcsin \left (\frac{r}{r}\right) - \arcsin \left (\frac{0}{r} \right) \right) \\
K &amp;= 4r \left (\arcsin\left (1 \right) - \arcsin \left(0 \right) \right)) \\
K &amp;= 4r \left (\frac{\pi}{2} \right) \\
K &amp;= 2 \pi r
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas lingkaran &lt;math&gt;L = \pi r^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), dibuat trigonometri dan turunannya terlebih dahulu. } \\
\sin(\theta) &amp;= \frac{x}{r} \\
x &amp;= r \sin(\theta) \\
dx &amp;= r \cos(\theta)\,d\theta \\
\text{dengan turunan di atas } \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - (r \sin(\theta))^2}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - r^2 \sin^2(\theta)}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 (1 - \sin^2(\theta))}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta)\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta) (r \cos(\theta)\,d\theta) \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r^2 \cos^2(\theta)\,d\theta \\
L &amp;= 4r^2 \int_{0}^{r} \left(\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right)\,d\theta \\
L &amp;= 2r^2 \int_{0}^{r} (1 + \cos(2\theta))\,d\theta \\
L &amp;= 2r^2 \left (\theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right)|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 (\theta + \sin(\theta) \cos(\theta))|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 \left (\arcsin \left (\frac{x}{r} \right) + \left (\frac{x}{r} \right) \left (\frac{r^2 - x^2}{r} \right) \right)|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 \left (\arcsin \left(\frac{r}{r} \right) + \left (\frac{r}{r} \right) \left (\frac {r^2 - r^2}{r} \right) \right) - \left(\arcsin \left (\frac{0}{r} \right) + \left (\frac{0}{r}\right) \left (\frac{r^2 - 0^2}{r} \right) \right) \\
L &amp;= 2r^2 (\arcsin(1) + 0 - (\arcsin(0) + 0)) \\
L &amp;= 2r^2 \left (\frac{\pi}{2} \right) \\
L &amp;= \pi r^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas elips &lt;math&gt;L = \pi ab&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a} \text{ serta (-''a'', 0) dan (''a'', 0), } \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a}\,dx \\
L &amp;= \frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx \\
\text{dengan anggapan bahwa lingkaran mempunyai memotong titik (-''a'', 0) dan (''a'', 0) serta pusatnya setitik dengan pusat elips, } \\
\frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &amp;= \frac{\frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx}{4 \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx} \\
\frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &amp;= \frac{b}{a} \\
L_\text{elips} &amp;= \frac{b}{a} L_\text{ling} \\
L_\text{elips} &amp;= \frac{b}{a} \pi a^2 \\
L_\text{elips} &amp;= \pi ab
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa luas daerah yang dibatasi y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x dan y=4x+7!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\
 y_1 &amp;= y_2 \\
 x^-2x &amp;= 4x+7 \\
 x^2-6x-7 &amp;= 0 \\
 (x+1)(x-7) &amp;= 0 \\
 x=-1 &amp;\text{ atau } x=7 \\

y &amp;= 4(-1)+7 = 3 \\
y &amp;= 4(7)+7 = 35 \\

\text{jadi titik potong (-1,3) dan (7,35) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\

L &amp;= \int_{-1}^{7} 4x+7-(x^2-2x)\,dx \\
 &amp;= \int_{-1}^{7} -x^2+6x+7\,dx \\
 &amp;= -\frac{x^3}{3}+3x^2+7x|_{-1}^{7} \\
 &amp;= -\frac{7^3}{3}+3(7)^2+7(7)-(-\frac{(-1)^3}{3}+3(-1)^2+7(-1)) \\
 &amp;= \frac{245}{3}-(-\frac{13}{3}) \\
 &amp;= \frac{258}{3} \\
 &amp;= 86 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa volume benda putar yang dibatasi y=6-1,5x, y=x-4 dan x=0 mengelilingi sumbu x sejauh 360°!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\
 y_1 &amp;= y_2 \\
 6-1,5x &amp;= x-4 \\
 2,5x &amp;= 10 \\
 x &amp;= 4 \\

y &amp;= 4-4 = 0 \\

\text{jadi titik potong (4,0) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\

\text{untuk x=0 } \\
y &amp;= 6-1,5(0) = 6 \\
y &amp;= 0-4 = -4 \\

L &amp;= \pi \int_{0}^{4} ((6-1,5x)^2-(x-4)^2)\,dx \\
 &amp;= \pi \int_{0}^{4} (36-18x+2,25x^2-(x^2-8x+16))\,dx \\
 &amp;= \pi \int_{0}^{4} (1,25x^2-10x+20)\,dx \\
 &amp;= \pi (\frac{1,25x^3}{3}-5x^2+20x)|_{0}^{4} \\
 &amp;= \pi (\frac{1,25(4)^3}{3}-5(4)^2+20(4)-(\frac{1,25(0)^3}{3}-5(0)^2+20(0))) \\
 &amp;= \pi (\frac{30}{3}-0) \\
 &amp;= 10\pi \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>4i57zibee3rqr2fdu00knq03s30y6ct</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>115008</id>
      <parentid>115007</parentid>
      <timestamp>2026-04-26T11:49:55Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25546-23</username>
        <id>43043</id>
      </contributor>
      <comment>/* Kaidah umum */</comment>
      <origin>115008</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="42471" sha1="o7xwuz3btkzm0wiqqr11wlbt7uvylju" xml:space="preserve">== Kaidah umum ==
:# &lt;math&gt;\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstan)}\,\!&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x) - g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(untuk } n\neq -1\mbox{)}\,\! &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int  {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int  {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x) \, dx = F(x) + C&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x) \circ g(x) dx&lt;/math&gt; = f’(g(x)) g’(x)
:# &lt;math&gt;\int f^{-1}(x) dx = \frac{1}{f'(f'(x))}&lt;/math&gt;

== rumus sederhana ==
:&lt;math&gt;\int \, dx = x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int x^n\,dx =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int (ax+b)^n\,dx =  \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int {dx \over \sqrt{a^2-b^2 x^2}} = \frac{1}{b} \arcsin \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int {dx \over {a^2+b^2x^2}} = {1 \over ab}\arctan \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int {dx \over x\sqrt{b^2x^2-a^2}} = {1 \over a}\arcsec \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt;\int e^x\,dx = e^x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \ln \, x\,dx = x \cdot \, \ln {x} - x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \, ^b\!\log \, x\,dx = x \cdot \, ^b\!\log \, x - x \cdot \,^b\!\log e + C&lt;/math&gt;

; Trigonometri
:&lt;math&gt;\int \sin \, x \, dx = -\cos \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cos \, x \, dx = \sin \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \tan \, x \, dx = -\ln{\left| \cos \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cot \, x \, dx = \ln{\left| \sin \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \sec \, x \, dx = \ln{\left| \sec \, x  + \tan \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \csc \, x \, dx = -\ln{\left| \csc \, x + \cot \, x \right|} + C&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
:&lt;math&gt;\int \sinh \, x \, dx = \cosh \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cosh \, x \, dx = \sinh \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \tanh \, x \, dx = \ln{\left| \cosh \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \coth \, x \, dx = \ln{\left| \sinh \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \mbox{sech} \, x \, dx = \arctan \,(\sinh \, x) + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \mbox{csch} \, x \, dx = \ln{\left| \tanh \, {x \over 2} \right|} + C&lt;/math&gt;

== Jenis integral ==
=== integral biasa ===
Berikut contoh penyelesaian cara biasa.
: 1. &lt;math&gt;\int x^3 - cos 3x + e^{5x+2} - \frac{1}{2x+5}\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{1}{3+1}x^{3+1} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^4}{4} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C&lt;/math&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x(x^4-4x^3(5)+6x^2(25)-4x(125)+625)\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x(x^4-20x^3+150x^2-500x+625)\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x^5-20x^4+150x^3-500x^2+625x\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{150x^4}{4}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C&lt;/math&gt;

=== integral substitusi ===
Berikut contoh penyelesaian cara substitusi.
: 1. &lt;math&gt;\int \frac{\ln \, x}{x}\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = \ln \, x\, du = \frac{dx}{x}&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \frac{\ln(x)}{x} dx \\
\int u du \\
\frac{1}{2} u^2 + C \\
\frac{1}{2} ln^2 x + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x-5,\, du = dx,\, x = u+5&lt;/math&gt; 

Dengan menggunakan rumus di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4\,dx \\
\int (u+5)u^4\,du \\
\int (u^5+5u^4)\,du \\
\frac{1}{6} u^6+u^5 + C \\
\frac{1}{6} (x-5)^6+(x-5)^5 + C \\
\frac{1}{6} (x^6-6x^5(5)+15x^4(25)-20x^3(125)+15x^2(625)-6x(3125)+15625)+(x^5-5x^4(5)+10x^3(25)-10x^2(125)+5x(625)+3125) + C \\
\frac{1}{6}x^6-5x^5+\frac{125x^4}{2}-\frac{1250x^3}{3}+\frac{3125x^2}{2}-3125x+\frac{15625}{6}+x^5-25x^4+250x^3-1250x^2+3125x+3125 + C \\
\frac{1}{6}x^6-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== integral parsial ===
;Cara 1: Rumus
Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut.
: &lt;math&gt;\int u\,dv = uv - \int v\,du &lt;/math&gt;

Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan rumus.
: 1. &lt;math&gt;\int x \sin \, x \, dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x, du = 1 \, dx, dv = \sin \, x \, dx, v = -\cos \, x&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \sin \, x \,dx \\
(x)(-\cos \, x) - \int (-\cos \, x)(1 dx) \\
-x \cos \, x + \int \cos \, x dx \\
-x \cos \, x + \sin \, x + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x,\, du = 1\,dx,\, dv = (x-5)^4\,dx,\, v = \frac{1}{5}(x-5)^5&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4 \, dx \\
(x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - \int (\frac{1}{5}(x-5)^5)(1\,dx) \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \int \frac{1}{5}(x-5)^5\,dx \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6\,dx \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int x \ln \,x\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = \ln \,x,\, du = \frac{1}{x}\,dx,\, dv = x\,dx,\, v = \frac{x^2}{2}&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \ln \,x\, dx \\
(\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{x^2}{2})(\frac{1}{x}\,dx) \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x^2}{2}(\frac{1}{x})\,dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \,dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 4. &lt;math&gt;\int e^x \sin \,x\,dx&lt;/math&gt;

ini terjadi dua kali integral parsial

: &lt;math&gt;u = \sin \,x,\, du = \cos \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int e^x \sin \,x\, dx \\
(\sin \,x)(e^x) - \int (e^x)(\cos \,x\,dx) \\
e^x \sin \,x - \int e^x \cos \,x\,dx \\

u = \cos \,x,\, du = -\sin \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x \\

(\cos \,x)(e^x) - \int (e^x)(-\sin \,x\,dx) \\
e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx \\
e^x \sin \,x - (e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx) \\
e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x\,dx \\

\text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\
I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\
2I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\
I &amp;= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\
 &amp;= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\

\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;Cara 2: Tabel
Untuk &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\int u\,dv&lt;/math&gt;, berlaku ketentuan sebagai berikut.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;dv&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\frac{du}{dx}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;v&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;\frac{d^2u}{dx^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\int v\,dx&lt;/math&gt;
|}

Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan tabel.
: 1. &lt;math&gt;\int x \sin \, x \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\sin \, x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;-\cos \, x&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;-\sin \, x&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \sin \, x \, dx \\
(x)(-\cos \, x) - (1)(-\sin \, x) + C \\
-x \cos \, x + \sin \, x + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4 \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x-5)^4&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{1}{5}(x-5)^5&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{1}{30}(x-5)^6&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4 \, dx \\
(x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - (1)(\frac{1}{30}(x-5)^6) + C \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6 + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int x \ln \,x \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;\ln \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\frac{1}{x}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x^2}{2}&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \ln \,x \, dx \\
(\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{1}{x})(\frac{x^2}{2}) \, dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \, dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 4. &lt;math&gt;\int e^x \sin \,x \, dx&lt;/math&gt;

ini terjadi dua kali integral parsial

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;\sin \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\cos \, x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;-\sin \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int e^x \sin \,x \, dx \\
(\sin \,x)(e^x) - (\cos \,x)(e^x) + \int (-\sin \,x)(e^x) \, dx \\
e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x) \, dx \\

\text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\
I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\
2I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\
I &amp;= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\
 &amp;= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== integral pecahan parsial ===
Berikut contoh penyelesaian cara parsial untuk persamaan pecahan (rasional).
: &lt;math&gt;\int \frac{dx}{x^2 - 4}&lt;/math&gt;

Pertama, pisahkan pecahan tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{1}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \frac{1}{(x + 2)(x - 2)} \\
=&amp;\; \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} \\
=&amp;\; \frac{A(x - 2) + B(x + 2)}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \frac{(A + B)x - 2(A - B)}{x^2 - 4}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Kita tahu bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A + B = 0&lt;/math&gt; dan &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A - B = -\frac{1}{2}&lt;/math&gt; dapat diselesaikan, yaitu &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A = -\frac{1}{4}&lt;/math&gt; dan {{nowrap|&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B = \frac{1}{4}&lt;/math&gt;.}}

: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{dx}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \int -\frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)}\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{4} (\ln|x - 2| - \ln|x + 2|) + C \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \ln|\frac{x - 2}{x + 2}| + C
\end{aligned}&lt;/math&gt;

=== integral substitusi trigonometri ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Bentuk !! Substitusi Trigonometri
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{a^2 - b^2 x^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} sin \, \alpha &lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{a^2 + b^2 x^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} tan \, \alpha&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{b^2 x^2 - a^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} sec \, \alpha&lt;/math&gt;
|}

Berikut contoh penyelesaian cara substitusi trigonometri.
: &lt;math&gt;\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 4}}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;x = 2 \tan \, A, dx = 2 \sec^2 \, A \,dA&lt;/math&gt;

Dengan substitusi di atas,
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(2 \tan \, A)^2 \sqrt{4 + (2 \tan \, A)^2}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 + 4 \tan^2 \, A}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4(1 + \tan^2 \, A)}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 \sec^2 \, A }} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(4 \tan^2 \, A)(2 \sec \, A)} \\
=&amp;\; \int \frac{\sec \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\sec \, A \,dA}{\tan^2 \, A} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Substitusi berikut dapat dibuat.
: &lt;math&gt;\int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;t = \sin \, A, dt = \cos \, A \,dA&lt;/math&gt;

Dengan substitusi di atas,
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A}\,dA \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t^2} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{t}\right) + C \\
=&amp;\; -\frac{1}{4 t} + C \\
=&amp;\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Ingat bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sin \, A = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}&lt;/math&gt; berlaku.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C \\
=&amp;\; -\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4x} + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

=== integral mutlak ===
: &lt;math&gt;\int |f(x)| \,dA&lt;/math&gt;

buatlah &lt;math&gt;f(x) \ge 0&lt;/math&gt; jika hasil x adalah lebih dari 0 maka f(x) sedangkan kurang dari 0 maka -f(x)

: &lt;math&gt;\int_a^c |f(x)| \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c -f(x) \, dx = F(b) - F(a) - F(c) + F(b)&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;|f(x)| = \begin{cases} f(x), &amp; \mbox{jika }  f(x) \ge b,  \\ -f(x),  &amp; \mbox{jika } f(x) &lt; b. \end{cases}&lt;/math&gt;. sebelum membuat f(x) dan -f(x) menentukan nilai x sebagai f(x) ≥ 0 untuk batas-batas wilayah yang menempatkan hasil positif (f(x)) dan negatif (-(f(x)) serta hasil integral mutlak tidak mungkin negatif.

=== integral fungsi ganjil dan integral fungsi genap ===
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

dengan mengingat fungsi ganjil dan fungsi genap yaitu f(-x)=-f(x) untuk fungsi ganjil dan f(-x)=f(x) untuk fungsi genap
maka berlaku untuk integral:
: integral fungsi ganjil
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt; = 0

: integral fungsi genap
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;2 \int_{0}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

=== integral notasi ===
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \,dx = \int_{a-p}^{b-p} f(x) \,dx = \int_{a+p}^{b+p} f(x) \,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\int_a^c f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx + \int_{b}^{c} f(x) \,dx&lt;/math&gt;

=== integral terbalik ===
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \,dx = -\int_b^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

== Jenis integral lainnya ==
=== panjang busur ===
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;S = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;S = \int_{y_1}^{y_2} \sqrt{1 + (f'(y))^2}\,dy&lt;/math&gt;

=== luas daerah ===
; Satu kurva
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;L = \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;L = \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,dy&lt;/math&gt;

; Dua kurva 
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;L = \int_{x_1}^{x_2} (f(x_2) - f(x_1))\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;L = \int_{y_1}^{y_2} (f(y_2) - f(y_1))\,dy&lt;/math&gt;

: atau juga &lt;math&gt;L = \frac {D \sqrt{D}}{6 a^2}&lt;/math&gt;

=== luas permukaan benda putar ===
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;L_p = 2 \pi \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,ds&lt;/math&gt;
dengan
: &lt;math&gt;ds = \sqrt {1 + (f'(x))^2}\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;L_p = 2 \pi \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,ds&lt;/math&gt;
dengan
: &lt;math&gt;ds = \sqrt {1 + (f'(y))^2}\,dy&lt;/math&gt;

=== volume benda putar ===
; Satu kurva
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{y_1}^{y_2} (f(y))^2\,dy&lt;/math&gt;

; Dua kurva
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{x_1}^{x_2} ((f(x_2))^2 - (f(x_1))^2)\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{y_1}^{y_2} ((f(y_2))^2 - (f(y_1))^2)\,dy&lt;/math&gt;

: atau juga &lt;math&gt;V = |\frac {D^2 \sqrt{D}}{30 a^3}|&lt;/math&gt;

== Integral lipat ==
Jenis integral lipat yaitu integral lipat dua dan integral lipat tiga. 

;contoh
# Tentukan hasil dari:
* &lt;math&gt;\int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int x^2 cos 3x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int sin^2 x cos x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int cos^2 x sin x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int sec x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int csc x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{{12+75x^2}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx&lt;/math&gt;

; jawaban
**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{misalkan } u &amp;= 5x^2-2x+7 \\
 u &amp;= 5x^2-2x+7 \\
 du &amp;= 10x-2 dx \\
 &amp;= 2(5x-1) dx \\
 \frac{du}{2} &amp;= (5x-1) dx \\
 
 \int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx &amp;= \int \frac{1}{2}u^4 du \\
 &amp;= \frac{1}{2}\frac{1}{5}u^5 + C \\
 &amp;= \frac{1}{10}(5x^2-2x+7)^5 + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{gunakan integral parsial } \\
 \int x^2 cos 3x dx &amp;= \frac{x^2}{3} sin 3x-\frac{2x}{9} (-cos 3x)+\frac{2}{27} (-sin 3x)+C \\
 &amp;= \frac{x^2}{3} sin 3x+\frac{2x}{9} cos 3x-\frac{2}{27} sin 3x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
*
\text{cara 1} \\
\text{misalkan } u &amp;= sin x \\
 u &amp;= sin x \\
 du &amp;= cos x dx \\

 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int u^2 du \\
 &amp;= \frac{u^3}{3}+C \\
 &amp;= \frac{sin^3 x}{3}+C \\

*
\text{cara 2} \\
 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int \frac{1-cos 2x}{2} cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int (1-cos 2x) cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-cos 2x cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}(cos 3x+cox x) dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}cos 3x-\frac{1}{2}cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}cos x-\frac{1}{2}cos 3x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} (\frac{1}{2}sin x-\frac{1}{6}sin 3x)+C \\
 &amp;= \frac{sin x}{4}-\frac{sin 3x}{12}+C \\

*
\text{cara 3} \\
 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int sin x sin x cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int sin x sin 2x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int -(cos 3x-cos (-x)) dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int -cos 3x+cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} (-\frac{sin 3x}{3}+sin x)+C \\
 &amp;= -\frac{sin 3x}{12}+\frac{sin x}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
*
\text{cara 1} \\
\text{misalkan } u &amp;= cos x \\
 u &amp;= cos x \\
 du &amp;= -sin x dx \\
 -du &amp;= sin x dx \\

 \int cos^2 x sin x dx &amp;= -\int u^2 du \\
 &amp;= -\frac{u^3}{3}+C \\
 &amp;= -\frac{cos^3 x}{3}+C \\

*
\text{cara 2} \\
 \int cos^2 x sin x dx &amp;= \int \frac{cos 2x+1}{2} sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int (cos 2x+1) sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos 2xsin x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}(sin 3x-sin x)+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x-\frac{1}{2}sin x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x+\frac{1}{2}sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} (-\frac{1}{6}cos 3x-\frac{1}{2}cos x)+C \\
 &amp;= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\

*
\text{cara 3} \\
 \int cos^2 x sin x dx &amp;= \int cos x cos x sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x sin 2x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int (sin 3x-sin (-x)) dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int sin 3x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} (-\frac{cos 3x}{3}-cos x)+C \\
 &amp;= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int sec x dx &amp;= \int sec x \frac{sec x+tan x}{sec x+tan x}dx \\
 &amp;= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\
\text{misalkan } u &amp;= sec x+tan x \\
 u &amp;= sec x+tan x \\
 du &amp;= sec xtan x+sec^2 x dx \\

 &amp;= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\
 &amp;= \int \frac{1}{u}du \\
 &amp;= ln u+C \\
 &amp;= ln |sec x+tan x|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int csc x dx &amp;= \int csc x \frac{csc x+cot x}{csc x+cot x}dx \\
 &amp;= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\
\text{misalkan } u &amp;= csc x+cot x \\
 u &amp;= csc x+cot x \\
 du &amp;= -csc xcot x-csc^2 x dx \\
 -du &amp;= csc xcot x+csc^2 x dx \\

 &amp;= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\
 &amp;= -\int \frac{1}{u}du \\
 &amp;= -ln u+C \\
 &amp;= -ln |csc x+cot x|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx &amp;= \int \frac{1}{(2x-3)(x-1)} dx \\
 &amp;= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{A(x-1)+B(2x-3)}{(2x-3)(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{Ax-A+2Bx-3B}{2x^2-5x+3}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{(A+2B)x+(-A-3B)}{2x^2-5x+3}) dx \\
\text{cari nilai A dan B dari 0=A+2B dan 1=-A-3B adalah 2 dan -1} \\
 &amp;= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{2}{(2x-3)}+\frac{-1}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= ln |2x-3|-ln |x-1|+C \\
 &amp;= ln |\frac{2x-3}{x-1}|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx \\
 x &amp;= \frac{5}{12} sin A \\
 dx &amp;= \frac{5}{12} cos A dA \\
 
 \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-288(\frac{5}{12} sin A)^2}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-\frac{288 \cdot 25}{144} sin^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-50 sin^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50(1-sin^2 A)}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50cos^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{5cos A \sqrt{2}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\sqrt{2}}{24} dA \\
 &amp;= \frac{\sqrt{2}}{24} \int dA \\
 &amp;= A+C \\
 A &amp;= arc sin \frac{12x}{5} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{2}}{24} arc sin \frac{12x}{5}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{12+75x^2} dx \\
 x &amp;= \frac{2}{5} tan A \\
 dx &amp;= \frac{2}{5} sec^2 A dA \\
 
 \int \frac{1}{12+75x^2} dx &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+75(\frac{2}{5} tan A)^2} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+\frac{75 \cdot 4}{25} tan^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+12 tan^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 (1+tan^2 A)} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 sec^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{1}{30} dA \\
 &amp;= \frac{A}{30}+C \\
 A &amp;= arc tan \frac{5x}{2} \\
 &amp;= \frac{arc tan \frac{5x}{2}}{30}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx \\
 x &amp;= \frac{7}{11} sec A \\
 dx &amp;= \frac{7}{11} sec A tan A dA \\
 
 \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx &amp;= \int \frac{\frac{7}{11} sec A tan A}{11(\frac{7}{11} sec A)\sqrt{605(\frac{7}{11} sec A)^2-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A} {11 sec A\sqrt{\frac{605 \cdot 49}{121} sec^2 A-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245sec^2 A-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245(sec^2 A-1)}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245tan^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{77\sqrt{5} sec A tan A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\sqrt{5}}{385} dA \\
 &amp;= \frac{A\sqrt{5}}{385}+C \\
 A &amp;= arc sec \frac{11x}{7} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{5}arc sec \frac{11x}{7}}{385}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx \\
 a=1, r=sin^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{1}{1-sin^2 x} \\
 &amp;= \frac{1}{cos^2 x} \\
 &amp;= sec^2 x \\
\int sec^2 x dx &amp;= tan x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx \\
 a=1, r=cos^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{1}{1-cos^2 x} \\
 &amp;= \frac{1}{sin^2 x} \\
 &amp;= csc^2 x \\
\int csc^2 x dx &amp;= -cot x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx \\
 a=sin x, r=sin^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{sin x}{1-sin^2 x} \\
 &amp;= \frac{sin x}{cos^2 x} \\
 &amp;= sec x \cdot tan x \\
\int sec x \cdot tan x dx &amp;= sec x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx \\
 a=cos x, r=cos^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{cos x}{1-cos^2 x} \\
 &amp;= \frac{cos x}{sin^2 x} \\
 &amp;= csc x \cdot cot x \\
\int csc x \cdot cot x dx &amp;= -csc x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx \\
\text{misalkan } y = \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\
 y &amp;= \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\
 y^2 &amp;= \frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}} \\
 &amp;= \frac{x}{y} \\
 y^3 &amp;= x \\
 3y^2 dy &amp;= dx \\
\int y \cdot 3y^2 dy \\
\int 3y^3 dy \\
\frac{3y^4}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan hasil dari:
* &lt;math&gt;\int_{1}^{5} 2x-3 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{0}^{4} |x-2| dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{2}^{4} |3-x| dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx&lt;/math&gt;

; jawaban
** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{1}^{5} 2x-3 dx &amp;= \left. x^2 - 3x \right|_{1}^{5} \\
&amp;= 10 - (-2) \\
&amp;= 12 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{0}^{4} |x-2| dx \\
\text{ tentukan nilai harga nol } \\
x-2 &amp;= 0 \\
x &amp;= 2 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu kurang dari 2 bernilai - sedangkan minimal dari 2 bernilai + berarti } \\
|x-2| = \begin{cases} x-2, &amp; \mbox{jika }  x \ge 2,  \\ -(x-2),  &amp; \mbox{jika } x &lt; 2. \end{cases} \\
\int_{0}^{4} |x-2| dx &amp;= \int_{2}^{4} x-2 dx + \int_{0}^{2} -(x-2) dx \\
&amp;= \left. (\frac{x^2}{2}-2x) \right|_{2}^{4} + \left. (\frac{-x^2}{2}+2x) \right|_{0}^{2} \\
&amp;= 0 - (-2) + 2 - 0 \\
&amp;= 4 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{2}^{4} |3-x| dx \\
\text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\
3-x &amp;\ge 0 \\
\text{ harga nol } \\
x &amp;= 3 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu lebih dari 3 bernilai - sedangkan maksimal dari 3 bernilai + berarti } \\
|3-x| = \begin{cases} 3-x, &amp; \mbox{jika }  x \le 3,  \\ -(3-x),  &amp; \mbox{jika } x &gt; 3. \end{cases} \\
\int_{2}^{4} |3-x| dx &amp;= \int_{2}^{3} 3-x dx + \int_{3}^{4} -(3-x) dx \\
&amp;= \left. (3x-\frac{x^2}{2}) \right|_{2}^{3} + \left. (-3x+\frac{x^2}{2}) \right|_{3}^{4} \\
&amp;= 4.5 - 4 - 4 - (-4.5) \\
&amp;= 1 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx &amp;= \left. \frac{x^3}{3}-3x^2+8x \right|_{1}^{5} \\
&amp;= \frac{20}{3} - \frac{16}{3} \\
&amp;= \frac{4}{3} \\
&amp;= 1\frac{1}{3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx \\
\text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\
x^2-2x-8 &amp;\ge 0 \\
\text{ harga nol } \\
(x+2)(x-4) &amp;= 0 \\
x = -2 \text{ atau } x = 4 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu antara -2 dan 4 bernilai - sedangkan maksimal dari -2 dan minimal dari 4 bernilai + berarti } \\
|x^2-2x-8| = \begin{cases} x^2-2x-8, &amp; \mbox{jika } x \le -2,  \\ -(x^2-2x-8),  &amp; \mbox{jika } -2 &lt; x &lt; 4, \\ x^2-2x-8, &amp; \mbox{jika } x \ge 4 \end{cases} \\
\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx &amp;= \int_{-3}^{-2} x^2-2x-8 dx + \int_{-2}^{4} -(x^2-2x-8) dx + \int_{4}^{5} x^2-2x-8 dx \\
&amp;= \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{-3}^{-2} + \left. (\frac{-x^3}{3}+x^2+8x) \right|_{-2}^{4} + \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{4}^{5} \\
&amp;= \frac{28}{3} - 6 + \frac{80}{3} - (-\frac{28}{3}) - \frac{70}{3} - (-\frac{80}{3}) \\
&amp;= \frac{128}{3} \\
&amp;= 42\frac{2}{3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = x&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int x\,dx \\
L &amp;= \frac{1}{2} x^2 \\
L &amp;= \frac{1}{2} xy \quad (y = x)
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = x^2&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int x^2\,dx \\
L &amp;= \frac{1}{3} x^3 \\
L &amp;= \frac{1}{3} xy \quad (y = x^2)
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = \sqrt{x}&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int \sqrt{x}\,dx \\
L &amp;= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \\
L &amp;= \frac{2}{3} xy \quad (y = \sqrt{x})
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas persegi &lt;math&gt;L = s^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = s \text{ dan titik (''s'', ''s''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{s} s\,dx \\
L &amp;= sx |_{0}^{s} \\
L &amp;= ss - 0 \\
L &amp;= s^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas persegi panjang &lt;math&gt;L = pl&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = l \text{dan titik (''p'', ''l''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{p} l\,dx \\
L &amp;= lx |_{0}^{p} \\
L &amp;= pl - 0 \\
L &amp;= pl
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Buktikan luas segitiga &lt;math&gt;L = \frac{at}{2}&lt;/math&gt; dengan cara integral!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \frac{-tx}{a} + t \text { dan titik (''a'', ''t''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{a} \left (\frac{-tx}{a} + t \right) \,dx \\
L &amp;= \left. \frac{-tx^2}{2a} + tx \right|_{0}^{a} \\
L &amp;= \frac{-ta^2}{2a} + ta - 0 + 0 \\
L &amp;= \frac{-ta}{2} + ta \\
L &amp;= \frac{at}{2}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume tabung &lt;math&gt;V = \pi r^2t&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ Dengan posisi } y = r \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\
V &amp;= \pi \int_{0}^{t} r^2\,dx \\
V &amp;= \pi \left. r^2x \right|_{0}^{t} \\
V &amp;= \pi r^2t - 0 \\
V &amp;= \pi r^2t
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume kerucut &lt;math&gt;V = \frac{\pi r^2t}{3}&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \frac{rx}{t} \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\
V &amp;= \pi \int_{0}^{t} \left (\frac{rx}{t} \right)^2 \,dx \\
V &amp;= \pi \left. \frac{r^2 x^3}{3t^2} \right|_{0}^{t} \\
V &amp;= \pi \frac{r^2 t^3}{3t^2} - 0 \\
V &amp;= \frac{\pi r^2t}{3}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume bola &lt;math&gt;V = \frac{4 \pi r^3}{3}&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), } \\
V &amp;= \pi \int_{-r}^{r} \left(\sqrt {r^2 - x^2}\right)^2\,dx \\
V &amp;= \pi \int_{-r}^{r} r^2 - x^2 dx \\
V &amp;= \pi \left. r^2x - \frac{x^3}{3} \right|_{-r}^{r} \\
V &amp;= \pi \left (r^3 - \frac{r^3}{3} - \left (-r^3 + \frac{r^3}{3} \right) \right) \\
V &amp;= \frac{4 \pi r^3}{3}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas permukaan bola &lt;math&gt;L = 4 \pi r^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), Kita tahu bahwa turunannya adalah } \\
y' &amp;= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\
\text{selanjutnya } \\
ds &amp;= \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\
ds &amp;= \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
ds &amp;= \sqrt{\frac{r^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
ds &amp;= \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
\text{sehingga } \\
L &amp;= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
L &amp;= 2 \pi \int_{-r}^{r} r\,dx \\
L &amp;= 2 \pi rx|_{-r}^{r} \\
L &amp;= 2 \pi (r r - r (-r)) \\
L &amp;= 2 \pi (r^2 + r^2) \\
L &amp;= 4 \pi r^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan keliling lingkaran &lt;math&gt;K = 2 \pi r&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0) } \\
\text{kita tahu bahwa turunannya adalah } \\
 y' &amp;= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\
\text{sehingga } \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{x^2}{r^2 - x^2})}\,dx \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt\frac{r^2}{r^2 - x^2}\,dx \\
K &amp;= 4r \int_{0}^{r} \sqrt\frac{1}{r^2 - x^2}\,dx \\
K &amp;= 4r \int_{0}^{r} \frac{1}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
K &amp;= 4r \left. \arcsin \left (\frac{x}{r} \right) \right|_{0}^{r} \\
K &amp;= 4r \left (\arcsin \left (\frac{r}{r}\right) - \arcsin \left (\frac{0}{r} \right) \right) \\
K &amp;= 4r \left (\arcsin\left (1 \right) - \arcsin \left(0 \right) \right)) \\
K &amp;= 4r \left (\frac{\pi}{2} \right) \\
K &amp;= 2 \pi r
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas lingkaran &lt;math&gt;L = \pi r^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), dibuat trigonometri dan turunannya terlebih dahulu. } \\
\sin(\theta) &amp;= \frac{x}{r} \\
x &amp;= r \sin(\theta) \\
dx &amp;= r \cos(\theta)\,d\theta \\
\text{dengan turunan di atas } \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - (r \sin(\theta))^2}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - r^2 \sin^2(\theta)}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 (1 - \sin^2(\theta))}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta)\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta) (r \cos(\theta)\,d\theta) \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r^2 \cos^2(\theta)\,d\theta \\
L &amp;= 4r^2 \int_{0}^{r} \left(\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right)\,d\theta \\
L &amp;= 2r^2 \int_{0}^{r} (1 + \cos(2\theta))\,d\theta \\
L &amp;= 2r^2 \left (\theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right)|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 (\theta + \sin(\theta) \cos(\theta))|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 \left (\arcsin \left (\frac{x}{r} \right) + \left (\frac{x}{r} \right) \left (\frac{r^2 - x^2}{r} \right) \right)|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 \left (\arcsin \left(\frac{r}{r} \right) + \left (\frac{r}{r} \right) \left (\frac {r^2 - r^2}{r} \right) \right) - \left(\arcsin \left (\frac{0}{r} \right) + \left (\frac{0}{r}\right) \left (\frac{r^2 - 0^2}{r} \right) \right) \\
L &amp;= 2r^2 (\arcsin(1) + 0 - (\arcsin(0) + 0)) \\
L &amp;= 2r^2 \left (\frac{\pi}{2} \right) \\
L &amp;= \pi r^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas elips &lt;math&gt;L = \pi ab&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a} \text{ serta (-''a'', 0) dan (''a'', 0), } \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a}\,dx \\
L &amp;= \frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx \\
\text{dengan anggapan bahwa lingkaran mempunyai memotong titik (-''a'', 0) dan (''a'', 0) serta pusatnya setitik dengan pusat elips, } \\
\frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &amp;= \frac{\frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx}{4 \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx} \\
\frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &amp;= \frac{b}{a} \\
L_\text{elips} &amp;= \frac{b}{a} L_\text{ling} \\
L_\text{elips} &amp;= \frac{b}{a} \pi a^2 \\
L_\text{elips} &amp;= \pi ab
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa luas daerah yang dibatasi y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x dan y=4x+7!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\
 y_1 &amp;= y_2 \\
 x^-2x &amp;= 4x+7 \\
 x^2-6x-7 &amp;= 0 \\
 (x+1)(x-7) &amp;= 0 \\
 x=-1 &amp;\text{ atau } x=7 \\

y &amp;= 4(-1)+7 = 3 \\
y &amp;= 4(7)+7 = 35 \\

\text{jadi titik potong (-1,3) dan (7,35) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\

L &amp;= \int_{-1}^{7} 4x+7-(x^2-2x)\,dx \\
 &amp;= \int_{-1}^{7} -x^2+6x+7\,dx \\
 &amp;= -\frac{x^3}{3}+3x^2+7x|_{-1}^{7} \\
 &amp;= -\frac{7^3}{3}+3(7)^2+7(7)-(-\frac{(-1)^3}{3}+3(-1)^2+7(-1)) \\
 &amp;= \frac{245}{3}-(-\frac{13}{3}) \\
 &amp;= \frac{258}{3} \\
 &amp;= 86 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa volume benda putar yang dibatasi y=6-1,5x, y=x-4 dan x=0 mengelilingi sumbu x sejauh 360°!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\
 y_1 &amp;= y_2 \\
 6-1,5x &amp;= x-4 \\
 2,5x &amp;= 10 \\
 x &amp;= 4 \\

y &amp;= 4-4 = 0 \\

\text{jadi titik potong (4,0) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\

\text{untuk x=0 } \\
y &amp;= 6-1,5(0) = 6 \\
y &amp;= 0-4 = -4 \\

L &amp;= \pi \int_{0}^{4} ((6-1,5x)^2-(x-4)^2)\,dx \\
 &amp;= \pi \int_{0}^{4} (36-18x+2,25x^2-(x^2-8x+16))\,dx \\
 &amp;= \pi \int_{0}^{4} (1,25x^2-10x+20)\,dx \\
 &amp;= \pi (\frac{1,25x^3}{3}-5x^2+20x)|_{0}^{4} \\
 &amp;= \pi (\frac{1,25(4)^3}{3}-5(4)^2+20(4)-(\frac{1,25(0)^3}{3}-5(0)^2+20(0))) \\
 &amp;= \pi (\frac{30}{3}-0) \\
 &amp;= 10\pi \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>o7xwuz3btkzm0wiqqr11wlbt7uvylju</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>115009</id>
      <parentid>115008</parentid>
      <timestamp>2026-04-26T11:53:30Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25546-23</username>
        <id>43043</id>
      </contributor>
      <comment>/* integral notasi */</comment>
      <origin>115009</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="42550" sha1="c1itkwr35ziex22xf36ra2nwhgxdel6" xml:space="preserve">== Kaidah umum ==
:# &lt;math&gt;\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstan)}\,\!&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x) - g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(untuk } n\neq -1\mbox{)}\,\! &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int  {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int  {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x) \, dx = F(x) + C&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x) \circ g(x) dx&lt;/math&gt; = f’(g(x)) g’(x)
:# &lt;math&gt;\int f^{-1}(x) dx = \frac{1}{f'(f'(x))}&lt;/math&gt;

== rumus sederhana ==
:&lt;math&gt;\int \, dx = x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int x^n\,dx =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int (ax+b)^n\,dx =  \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int {dx \over \sqrt{a^2-b^2 x^2}} = \frac{1}{b} \arcsin \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int {dx \over {a^2+b^2x^2}} = {1 \over ab}\arctan \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int {dx \over x\sqrt{b^2x^2-a^2}} = {1 \over a}\arcsec \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt;\int e^x\,dx = e^x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \ln \, x\,dx = x \cdot \, \ln {x} - x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \, ^b\!\log \, x\,dx = x \cdot \, ^b\!\log \, x - x \cdot \,^b\!\log e + C&lt;/math&gt;

; Trigonometri
:&lt;math&gt;\int \sin \, x \, dx = -\cos \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cos \, x \, dx = \sin \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \tan \, x \, dx = -\ln{\left| \cos \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cot \, x \, dx = \ln{\left| \sin \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \sec \, x \, dx = \ln{\left| \sec \, x  + \tan \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \csc \, x \, dx = -\ln{\left| \csc \, x + \cot \, x \right|} + C&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
:&lt;math&gt;\int \sinh \, x \, dx = \cosh \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cosh \, x \, dx = \sinh \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \tanh \, x \, dx = \ln{\left| \cosh \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \coth \, x \, dx = \ln{\left| \sinh \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \mbox{sech} \, x \, dx = \arctan \,(\sinh \, x) + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \mbox{csch} \, x \, dx = \ln{\left| \tanh \, {x \over 2} \right|} + C&lt;/math&gt;

== Jenis integral ==
=== integral biasa ===
Berikut contoh penyelesaian cara biasa.
: 1. &lt;math&gt;\int x^3 - cos 3x + e^{5x+2} - \frac{1}{2x+5}\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{1}{3+1}x^{3+1} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^4}{4} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C&lt;/math&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x(x^4-4x^3(5)+6x^2(25)-4x(125)+625)\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x(x^4-20x^3+150x^2-500x+625)\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x^5-20x^4+150x^3-500x^2+625x\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{150x^4}{4}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C&lt;/math&gt;

=== integral substitusi ===
Berikut contoh penyelesaian cara substitusi.
: 1. &lt;math&gt;\int \frac{\ln \, x}{x}\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = \ln \, x\, du = \frac{dx}{x}&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \frac{\ln(x)}{x} dx \\
\int u du \\
\frac{1}{2} u^2 + C \\
\frac{1}{2} ln^2 x + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x-5,\, du = dx,\, x = u+5&lt;/math&gt; 

Dengan menggunakan rumus di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4\,dx \\
\int (u+5)u^4\,du \\
\int (u^5+5u^4)\,du \\
\frac{1}{6} u^6+u^5 + C \\
\frac{1}{6} (x-5)^6+(x-5)^5 + C \\
\frac{1}{6} (x^6-6x^5(5)+15x^4(25)-20x^3(125)+15x^2(625)-6x(3125)+15625)+(x^5-5x^4(5)+10x^3(25)-10x^2(125)+5x(625)+3125) + C \\
\frac{1}{6}x^6-5x^5+\frac{125x^4}{2}-\frac{1250x^3}{3}+\frac{3125x^2}{2}-3125x+\frac{15625}{6}+x^5-25x^4+250x^3-1250x^2+3125x+3125 + C \\
\frac{1}{6}x^6-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== integral parsial ===
;Cara 1: Rumus
Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut.
: &lt;math&gt;\int u\,dv = uv - \int v\,du &lt;/math&gt;

Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan rumus.
: 1. &lt;math&gt;\int x \sin \, x \, dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x, du = 1 \, dx, dv = \sin \, x \, dx, v = -\cos \, x&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \sin \, x \,dx \\
(x)(-\cos \, x) - \int (-\cos \, x)(1 dx) \\
-x \cos \, x + \int \cos \, x dx \\
-x \cos \, x + \sin \, x + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x,\, du = 1\,dx,\, dv = (x-5)^4\,dx,\, v = \frac{1}{5}(x-5)^5&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4 \, dx \\
(x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - \int (\frac{1}{5}(x-5)^5)(1\,dx) \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \int \frac{1}{5}(x-5)^5\,dx \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6\,dx \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int x \ln \,x\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = \ln \,x,\, du = \frac{1}{x}\,dx,\, dv = x\,dx,\, v = \frac{x^2}{2}&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \ln \,x\, dx \\
(\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{x^2}{2})(\frac{1}{x}\,dx) \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x^2}{2}(\frac{1}{x})\,dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \,dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 4. &lt;math&gt;\int e^x \sin \,x\,dx&lt;/math&gt;

ini terjadi dua kali integral parsial

: &lt;math&gt;u = \sin \,x,\, du = \cos \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int e^x \sin \,x\, dx \\
(\sin \,x)(e^x) - \int (e^x)(\cos \,x\,dx) \\
e^x \sin \,x - \int e^x \cos \,x\,dx \\

u = \cos \,x,\, du = -\sin \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x \\

(\cos \,x)(e^x) - \int (e^x)(-\sin \,x\,dx) \\
e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx \\
e^x \sin \,x - (e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx) \\
e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x\,dx \\

\text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\
I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\
2I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\
I &amp;= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\
 &amp;= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\

\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;Cara 2: Tabel
Untuk &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\int u\,dv&lt;/math&gt;, berlaku ketentuan sebagai berikut.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;dv&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\frac{du}{dx}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;v&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;\frac{d^2u}{dx^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\int v\,dx&lt;/math&gt;
|}

Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan tabel.
: 1. &lt;math&gt;\int x \sin \, x \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\sin \, x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;-\cos \, x&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;-\sin \, x&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \sin \, x \, dx \\
(x)(-\cos \, x) - (1)(-\sin \, x) + C \\
-x \cos \, x + \sin \, x + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4 \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x-5)^4&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{1}{5}(x-5)^5&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{1}{30}(x-5)^6&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4 \, dx \\
(x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - (1)(\frac{1}{30}(x-5)^6) + C \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6 + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int x \ln \,x \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;\ln \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\frac{1}{x}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x^2}{2}&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \ln \,x \, dx \\
(\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{1}{x})(\frac{x^2}{2}) \, dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \, dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 4. &lt;math&gt;\int e^x \sin \,x \, dx&lt;/math&gt;

ini terjadi dua kali integral parsial

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;\sin \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\cos \, x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;-\sin \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int e^x \sin \,x \, dx \\
(\sin \,x)(e^x) - (\cos \,x)(e^x) + \int (-\sin \,x)(e^x) \, dx \\
e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x) \, dx \\

\text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\
I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\
2I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\
I &amp;= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\
 &amp;= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== integral pecahan parsial ===
Berikut contoh penyelesaian cara parsial untuk persamaan pecahan (rasional).
: &lt;math&gt;\int \frac{dx}{x^2 - 4}&lt;/math&gt;

Pertama, pisahkan pecahan tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{1}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \frac{1}{(x + 2)(x - 2)} \\
=&amp;\; \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} \\
=&amp;\; \frac{A(x - 2) + B(x + 2)}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \frac{(A + B)x - 2(A - B)}{x^2 - 4}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Kita tahu bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A + B = 0&lt;/math&gt; dan &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A - B = -\frac{1}{2}&lt;/math&gt; dapat diselesaikan, yaitu &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A = -\frac{1}{4}&lt;/math&gt; dan {{nowrap|&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B = \frac{1}{4}&lt;/math&gt;.}}

: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{dx}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \int -\frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)}\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{4} (\ln|x - 2| - \ln|x + 2|) + C \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \ln|\frac{x - 2}{x + 2}| + C
\end{aligned}&lt;/math&gt;

=== integral substitusi trigonometri ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Bentuk !! Substitusi Trigonometri
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{a^2 - b^2 x^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} sin \, \alpha &lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{a^2 + b^2 x^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} tan \, \alpha&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{b^2 x^2 - a^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} sec \, \alpha&lt;/math&gt;
|}

Berikut contoh penyelesaian cara substitusi trigonometri.
: &lt;math&gt;\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 4}}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;x = 2 \tan \, A, dx = 2 \sec^2 \, A \,dA&lt;/math&gt;

Dengan substitusi di atas,
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(2 \tan \, A)^2 \sqrt{4 + (2 \tan \, A)^2}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 + 4 \tan^2 \, A}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4(1 + \tan^2 \, A)}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 \sec^2 \, A }} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(4 \tan^2 \, A)(2 \sec \, A)} \\
=&amp;\; \int \frac{\sec \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\sec \, A \,dA}{\tan^2 \, A} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Substitusi berikut dapat dibuat.
: &lt;math&gt;\int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;t = \sin \, A, dt = \cos \, A \,dA&lt;/math&gt;

Dengan substitusi di atas,
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A}\,dA \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t^2} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{t}\right) + C \\
=&amp;\; -\frac{1}{4 t} + C \\
=&amp;\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Ingat bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sin \, A = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}&lt;/math&gt; berlaku.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C \\
=&amp;\; -\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4x} + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

=== integral mutlak ===
: &lt;math&gt;\int |f(x)| \,dA&lt;/math&gt;

buatlah &lt;math&gt;f(x) \ge 0&lt;/math&gt; jika hasil x adalah lebih dari 0 maka f(x) sedangkan kurang dari 0 maka -f(x)

: &lt;math&gt;\int_a^c |f(x)| \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c -f(x) \, dx = F(b) - F(a) - F(c) + F(b)&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;|f(x)| = \begin{cases} f(x), &amp; \mbox{jika }  f(x) \ge b,  \\ -f(x),  &amp; \mbox{jika } f(x) &lt; b. \end{cases}&lt;/math&gt;. sebelum membuat f(x) dan -f(x) menentukan nilai x sebagai f(x) ≥ 0 untuk batas-batas wilayah yang menempatkan hasil positif (f(x)) dan negatif (-(f(x)) serta hasil integral mutlak tidak mungkin negatif.

=== integral fungsi ganjil dan integral fungsi genap ===
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

dengan mengingat fungsi ganjil dan fungsi genap yaitu f(-x)=-f(x) untuk fungsi ganjil dan f(-x)=f(x) untuk fungsi genap
maka berlaku untuk integral:
: integral fungsi ganjil
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt; = 0

: integral fungsi genap
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;2 \int_{0}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

=== integral notasi ===
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \,dx = \int_{a-p}^{b-p} f(x) \,dx = \int_{a+p}^{b+p} f(x) \,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\int_a^c f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx + \int_{b}^{c} f(x) \,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x \pm k) \,dx = \int_{a \pm k}^{b \pm k} f(x) \,dx +&lt;/math&gt;

=== integral terbalik ===
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \,dx = -\int_b^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

== Jenis integral lainnya ==
=== panjang busur ===
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;S = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;S = \int_{y_1}^{y_2} \sqrt{1 + (f'(y))^2}\,dy&lt;/math&gt;

=== luas daerah ===
; Satu kurva
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;L = \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;L = \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,dy&lt;/math&gt;

; Dua kurva 
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;L = \int_{x_1}^{x_2} (f(x_2) - f(x_1))\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;L = \int_{y_1}^{y_2} (f(y_2) - f(y_1))\,dy&lt;/math&gt;

: atau juga &lt;math&gt;L = \frac {D \sqrt{D}}{6 a^2}&lt;/math&gt;

=== luas permukaan benda putar ===
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;L_p = 2 \pi \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,ds&lt;/math&gt;
dengan
: &lt;math&gt;ds = \sqrt {1 + (f'(x))^2}\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;L_p = 2 \pi \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,ds&lt;/math&gt;
dengan
: &lt;math&gt;ds = \sqrt {1 + (f'(y))^2}\,dy&lt;/math&gt;

=== volume benda putar ===
; Satu kurva
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{y_1}^{y_2} (f(y))^2\,dy&lt;/math&gt;

; Dua kurva
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{x_1}^{x_2} ((f(x_2))^2 - (f(x_1))^2)\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{y_1}^{y_2} ((f(y_2))^2 - (f(y_1))^2)\,dy&lt;/math&gt;

: atau juga &lt;math&gt;V = |\frac {D^2 \sqrt{D}}{30 a^3}|&lt;/math&gt;

== Integral lipat ==
Jenis integral lipat yaitu integral lipat dua dan integral lipat tiga. 

;contoh
# Tentukan hasil dari:
* &lt;math&gt;\int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int x^2 cos 3x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int sin^2 x cos x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int cos^2 x sin x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int sec x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int csc x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{{12+75x^2}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx&lt;/math&gt;

; jawaban
**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{misalkan } u &amp;= 5x^2-2x+7 \\
 u &amp;= 5x^2-2x+7 \\
 du &amp;= 10x-2 dx \\
 &amp;= 2(5x-1) dx \\
 \frac{du}{2} &amp;= (5x-1) dx \\
 
 \int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx &amp;= \int \frac{1}{2}u^4 du \\
 &amp;= \frac{1}{2}\frac{1}{5}u^5 + C \\
 &amp;= \frac{1}{10}(5x^2-2x+7)^5 + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{gunakan integral parsial } \\
 \int x^2 cos 3x dx &amp;= \frac{x^2}{3} sin 3x-\frac{2x}{9} (-cos 3x)+\frac{2}{27} (-sin 3x)+C \\
 &amp;= \frac{x^2}{3} sin 3x+\frac{2x}{9} cos 3x-\frac{2}{27} sin 3x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
*
\text{cara 1} \\
\text{misalkan } u &amp;= sin x \\
 u &amp;= sin x \\
 du &amp;= cos x dx \\

 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int u^2 du \\
 &amp;= \frac{u^3}{3}+C \\
 &amp;= \frac{sin^3 x}{3}+C \\

*
\text{cara 2} \\
 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int \frac{1-cos 2x}{2} cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int (1-cos 2x) cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-cos 2x cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}(cos 3x+cox x) dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}cos 3x-\frac{1}{2}cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}cos x-\frac{1}{2}cos 3x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} (\frac{1}{2}sin x-\frac{1}{6}sin 3x)+C \\
 &amp;= \frac{sin x}{4}-\frac{sin 3x}{12}+C \\

*
\text{cara 3} \\
 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int sin x sin x cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int sin x sin 2x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int -(cos 3x-cos (-x)) dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int -cos 3x+cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} (-\frac{sin 3x}{3}+sin x)+C \\
 &amp;= -\frac{sin 3x}{12}+\frac{sin x}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
*
\text{cara 1} \\
\text{misalkan } u &amp;= cos x \\
 u &amp;= cos x \\
 du &amp;= -sin x dx \\
 -du &amp;= sin x dx \\

 \int cos^2 x sin x dx &amp;= -\int u^2 du \\
 &amp;= -\frac{u^3}{3}+C \\
 &amp;= -\frac{cos^3 x}{3}+C \\

*
\text{cara 2} \\
 \int cos^2 x sin x dx &amp;= \int \frac{cos 2x+1}{2} sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int (cos 2x+1) sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos 2xsin x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}(sin 3x-sin x)+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x-\frac{1}{2}sin x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x+\frac{1}{2}sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} (-\frac{1}{6}cos 3x-\frac{1}{2}cos x)+C \\
 &amp;= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\

*
\text{cara 3} \\
 \int cos^2 x sin x dx &amp;= \int cos x cos x sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x sin 2x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int (sin 3x-sin (-x)) dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int sin 3x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} (-\frac{cos 3x}{3}-cos x)+C \\
 &amp;= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int sec x dx &amp;= \int sec x \frac{sec x+tan x}{sec x+tan x}dx \\
 &amp;= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\
\text{misalkan } u &amp;= sec x+tan x \\
 u &amp;= sec x+tan x \\
 du &amp;= sec xtan x+sec^2 x dx \\

 &amp;= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\
 &amp;= \int \frac{1}{u}du \\
 &amp;= ln u+C \\
 &amp;= ln |sec x+tan x|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int csc x dx &amp;= \int csc x \frac{csc x+cot x}{csc x+cot x}dx \\
 &amp;= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\
\text{misalkan } u &amp;= csc x+cot x \\
 u &amp;= csc x+cot x \\
 du &amp;= -csc xcot x-csc^2 x dx \\
 -du &amp;= csc xcot x+csc^2 x dx \\

 &amp;= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\
 &amp;= -\int \frac{1}{u}du \\
 &amp;= -ln u+C \\
 &amp;= -ln |csc x+cot x|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx &amp;= \int \frac{1}{(2x-3)(x-1)} dx \\
 &amp;= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{A(x-1)+B(2x-3)}{(2x-3)(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{Ax-A+2Bx-3B}{2x^2-5x+3}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{(A+2B)x+(-A-3B)}{2x^2-5x+3}) dx \\
\text{cari nilai A dan B dari 0=A+2B dan 1=-A-3B adalah 2 dan -1} \\
 &amp;= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{2}{(2x-3)}+\frac{-1}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= ln |2x-3|-ln |x-1|+C \\
 &amp;= ln |\frac{2x-3}{x-1}|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx \\
 x &amp;= \frac{5}{12} sin A \\
 dx &amp;= \frac{5}{12} cos A dA \\
 
 \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-288(\frac{5}{12} sin A)^2}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-\frac{288 \cdot 25}{144} sin^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-50 sin^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50(1-sin^2 A)}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50cos^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{5cos A \sqrt{2}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\sqrt{2}}{24} dA \\
 &amp;= \frac{\sqrt{2}}{24} \int dA \\
 &amp;= A+C \\
 A &amp;= arc sin \frac{12x}{5} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{2}}{24} arc sin \frac{12x}{5}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{12+75x^2} dx \\
 x &amp;= \frac{2}{5} tan A \\
 dx &amp;= \frac{2}{5} sec^2 A dA \\
 
 \int \frac{1}{12+75x^2} dx &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+75(\frac{2}{5} tan A)^2} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+\frac{75 \cdot 4}{25} tan^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+12 tan^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 (1+tan^2 A)} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 sec^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{1}{30} dA \\
 &amp;= \frac{A}{30}+C \\
 A &amp;= arc tan \frac{5x}{2} \\
 &amp;= \frac{arc tan \frac{5x}{2}}{30}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx \\
 x &amp;= \frac{7}{11} sec A \\
 dx &amp;= \frac{7}{11} sec A tan A dA \\
 
 \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx &amp;= \int \frac{\frac{7}{11} sec A tan A}{11(\frac{7}{11} sec A)\sqrt{605(\frac{7}{11} sec A)^2-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A} {11 sec A\sqrt{\frac{605 \cdot 49}{121} sec^2 A-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245sec^2 A-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245(sec^2 A-1)}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245tan^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{77\sqrt{5} sec A tan A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\sqrt{5}}{385} dA \\
 &amp;= \frac{A\sqrt{5}}{385}+C \\
 A &amp;= arc sec \frac{11x}{7} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{5}arc sec \frac{11x}{7}}{385}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx \\
 a=1, r=sin^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{1}{1-sin^2 x} \\
 &amp;= \frac{1}{cos^2 x} \\
 &amp;= sec^2 x \\
\int sec^2 x dx &amp;= tan x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx \\
 a=1, r=cos^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{1}{1-cos^2 x} \\
 &amp;= \frac{1}{sin^2 x} \\
 &amp;= csc^2 x \\
\int csc^2 x dx &amp;= -cot x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx \\
 a=sin x, r=sin^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{sin x}{1-sin^2 x} \\
 &amp;= \frac{sin x}{cos^2 x} \\
 &amp;= sec x \cdot tan x \\
\int sec x \cdot tan x dx &amp;= sec x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx \\
 a=cos x, r=cos^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{cos x}{1-cos^2 x} \\
 &amp;= \frac{cos x}{sin^2 x} \\
 &amp;= csc x \cdot cot x \\
\int csc x \cdot cot x dx &amp;= -csc x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx \\
\text{misalkan } y = \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\
 y &amp;= \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\
 y^2 &amp;= \frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}} \\
 &amp;= \frac{x}{y} \\
 y^3 &amp;= x \\
 3y^2 dy &amp;= dx \\
\int y \cdot 3y^2 dy \\
\int 3y^3 dy \\
\frac{3y^4}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan hasil dari:
* &lt;math&gt;\int_{1}^{5} 2x-3 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{0}^{4} |x-2| dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{2}^{4} |3-x| dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx&lt;/math&gt;

; jawaban
** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{1}^{5} 2x-3 dx &amp;= \left. x^2 - 3x \right|_{1}^{5} \\
&amp;= 10 - (-2) \\
&amp;= 12 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{0}^{4} |x-2| dx \\
\text{ tentukan nilai harga nol } \\
x-2 &amp;= 0 \\
x &amp;= 2 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu kurang dari 2 bernilai - sedangkan minimal dari 2 bernilai + berarti } \\
|x-2| = \begin{cases} x-2, &amp; \mbox{jika }  x \ge 2,  \\ -(x-2),  &amp; \mbox{jika } x &lt; 2. \end{cases} \\
\int_{0}^{4} |x-2| dx &amp;= \int_{2}^{4} x-2 dx + \int_{0}^{2} -(x-2) dx \\
&amp;= \left. (\frac{x^2}{2}-2x) \right|_{2}^{4} + \left. (\frac{-x^2}{2}+2x) \right|_{0}^{2} \\
&amp;= 0 - (-2) + 2 - 0 \\
&amp;= 4 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{2}^{4} |3-x| dx \\
\text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\
3-x &amp;\ge 0 \\
\text{ harga nol } \\
x &amp;= 3 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu lebih dari 3 bernilai - sedangkan maksimal dari 3 bernilai + berarti } \\
|3-x| = \begin{cases} 3-x, &amp; \mbox{jika }  x \le 3,  \\ -(3-x),  &amp; \mbox{jika } x &gt; 3. \end{cases} \\
\int_{2}^{4} |3-x| dx &amp;= \int_{2}^{3} 3-x dx + \int_{3}^{4} -(3-x) dx \\
&amp;= \left. (3x-\frac{x^2}{2}) \right|_{2}^{3} + \left. (-3x+\frac{x^2}{2}) \right|_{3}^{4} \\
&amp;= 4.5 - 4 - 4 - (-4.5) \\
&amp;= 1 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx &amp;= \left. \frac{x^3}{3}-3x^2+8x \right|_{1}^{5} \\
&amp;= \frac{20}{3} - \frac{16}{3} \\
&amp;= \frac{4}{3} \\
&amp;= 1\frac{1}{3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx \\
\text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\
x^2-2x-8 &amp;\ge 0 \\
\text{ harga nol } \\
(x+2)(x-4) &amp;= 0 \\
x = -2 \text{ atau } x = 4 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu antara -2 dan 4 bernilai - sedangkan maksimal dari -2 dan minimal dari 4 bernilai + berarti } \\
|x^2-2x-8| = \begin{cases} x^2-2x-8, &amp; \mbox{jika } x \le -2,  \\ -(x^2-2x-8),  &amp; \mbox{jika } -2 &lt; x &lt; 4, \\ x^2-2x-8, &amp; \mbox{jika } x \ge 4 \end{cases} \\
\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx &amp;= \int_{-3}^{-2} x^2-2x-8 dx + \int_{-2}^{4} -(x^2-2x-8) dx + \int_{4}^{5} x^2-2x-8 dx \\
&amp;= \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{-3}^{-2} + \left. (\frac{-x^3}{3}+x^2+8x) \right|_{-2}^{4} + \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{4}^{5} \\
&amp;= \frac{28}{3} - 6 + \frac{80}{3} - (-\frac{28}{3}) - \frac{70}{3} - (-\frac{80}{3}) \\
&amp;= \frac{128}{3} \\
&amp;= 42\frac{2}{3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = x&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int x\,dx \\
L &amp;= \frac{1}{2} x^2 \\
L &amp;= \frac{1}{2} xy \quad (y = x)
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = x^2&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int x^2\,dx \\
L &amp;= \frac{1}{3} x^3 \\
L &amp;= \frac{1}{3} xy \quad (y = x^2)
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = \sqrt{x}&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int \sqrt{x}\,dx \\
L &amp;= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \\
L &amp;= \frac{2}{3} xy \quad (y = \sqrt{x})
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas persegi &lt;math&gt;L = s^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = s \text{ dan titik (''s'', ''s''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{s} s\,dx \\
L &amp;= sx |_{0}^{s} \\
L &amp;= ss - 0 \\
L &amp;= s^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas persegi panjang &lt;math&gt;L = pl&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = l \text{dan titik (''p'', ''l''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{p} l\,dx \\
L &amp;= lx |_{0}^{p} \\
L &amp;= pl - 0 \\
L &amp;= pl
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Buktikan luas segitiga &lt;math&gt;L = \frac{at}{2}&lt;/math&gt; dengan cara integral!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \frac{-tx}{a} + t \text { dan titik (''a'', ''t''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{a} \left (\frac{-tx}{a} + t \right) \,dx \\
L &amp;= \left. \frac{-tx^2}{2a} + tx \right|_{0}^{a} \\
L &amp;= \frac{-ta^2}{2a} + ta - 0 + 0 \\
L &amp;= \frac{-ta}{2} + ta \\
L &amp;= \frac{at}{2}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume tabung &lt;math&gt;V = \pi r^2t&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ Dengan posisi } y = r \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\
V &amp;= \pi \int_{0}^{t} r^2\,dx \\
V &amp;= \pi \left. r^2x \right|_{0}^{t} \\
V &amp;= \pi r^2t - 0 \\
V &amp;= \pi r^2t
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume kerucut &lt;math&gt;V = \frac{\pi r^2t}{3}&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \frac{rx}{t} \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\
V &amp;= \pi \int_{0}^{t} \left (\frac{rx}{t} \right)^2 \,dx \\
V &amp;= \pi \left. \frac{r^2 x^3}{3t^2} \right|_{0}^{t} \\
V &amp;= \pi \frac{r^2 t^3}{3t^2} - 0 \\
V &amp;= \frac{\pi r^2t}{3}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume bola &lt;math&gt;V = \frac{4 \pi r^3}{3}&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), } \\
V &amp;= \pi \int_{-r}^{r} \left(\sqrt {r^2 - x^2}\right)^2\,dx \\
V &amp;= \pi \int_{-r}^{r} r^2 - x^2 dx \\
V &amp;= \pi \left. r^2x - \frac{x^3}{3} \right|_{-r}^{r} \\
V &amp;= \pi \left (r^3 - \frac{r^3}{3} - \left (-r^3 + \frac{r^3}{3} \right) \right) \\
V &amp;= \frac{4 \pi r^3}{3}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas permukaan bola &lt;math&gt;L = 4 \pi r^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), Kita tahu bahwa turunannya adalah } \\
y' &amp;= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\
\text{selanjutnya } \\
ds &amp;= \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\
ds &amp;= \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
ds &amp;= \sqrt{\frac{r^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
ds &amp;= \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
\text{sehingga } \\
L &amp;= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
L &amp;= 2 \pi \int_{-r}^{r} r\,dx \\
L &amp;= 2 \pi rx|_{-r}^{r} \\
L &amp;= 2 \pi (r r - r (-r)) \\
L &amp;= 2 \pi (r^2 + r^2) \\
L &amp;= 4 \pi r^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan keliling lingkaran &lt;math&gt;K = 2 \pi r&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0) } \\
\text{kita tahu bahwa turunannya adalah } \\
 y' &amp;= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\
\text{sehingga } \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{x^2}{r^2 - x^2})}\,dx \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt\frac{r^2}{r^2 - x^2}\,dx \\
K &amp;= 4r \int_{0}^{r} \sqrt\frac{1}{r^2 - x^2}\,dx \\
K &amp;= 4r \int_{0}^{r} \frac{1}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
K &amp;= 4r \left. \arcsin \left (\frac{x}{r} \right) \right|_{0}^{r} \\
K &amp;= 4r \left (\arcsin \left (\frac{r}{r}\right) - \arcsin \left (\frac{0}{r} \right) \right) \\
K &amp;= 4r \left (\arcsin\left (1 \right) - \arcsin \left(0 \right) \right)) \\
K &amp;= 4r \left (\frac{\pi}{2} \right) \\
K &amp;= 2 \pi r
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas lingkaran &lt;math&gt;L = \pi r^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), dibuat trigonometri dan turunannya terlebih dahulu. } \\
\sin(\theta) &amp;= \frac{x}{r} \\
x &amp;= r \sin(\theta) \\
dx &amp;= r \cos(\theta)\,d\theta \\
\text{dengan turunan di atas } \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - (r \sin(\theta))^2}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - r^2 \sin^2(\theta)}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 (1 - \sin^2(\theta))}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta)\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta) (r \cos(\theta)\,d\theta) \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r^2 \cos^2(\theta)\,d\theta \\
L &amp;= 4r^2 \int_{0}^{r} \left(\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right)\,d\theta \\
L &amp;= 2r^2 \int_{0}^{r} (1 + \cos(2\theta))\,d\theta \\
L &amp;= 2r^2 \left (\theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right)|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 (\theta + \sin(\theta) \cos(\theta))|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 \left (\arcsin \left (\frac{x}{r} \right) + \left (\frac{x}{r} \right) \left (\frac{r^2 - x^2}{r} \right) \right)|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 \left (\arcsin \left(\frac{r}{r} \right) + \left (\frac{r}{r} \right) \left (\frac {r^2 - r^2}{r} \right) \right) - \left(\arcsin \left (\frac{0}{r} \right) + \left (\frac{0}{r}\right) \left (\frac{r^2 - 0^2}{r} \right) \right) \\
L &amp;= 2r^2 (\arcsin(1) + 0 - (\arcsin(0) + 0)) \\
L &amp;= 2r^2 \left (\frac{\pi}{2} \right) \\
L &amp;= \pi r^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas elips &lt;math&gt;L = \pi ab&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a} \text{ serta (-''a'', 0) dan (''a'', 0), } \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a}\,dx \\
L &amp;= \frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx \\
\text{dengan anggapan bahwa lingkaran mempunyai memotong titik (-''a'', 0) dan (''a'', 0) serta pusatnya setitik dengan pusat elips, } \\
\frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &amp;= \frac{\frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx}{4 \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx} \\
\frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &amp;= \frac{b}{a} \\
L_\text{elips} &amp;= \frac{b}{a} L_\text{ling} \\
L_\text{elips} &amp;= \frac{b}{a} \pi a^2 \\
L_\text{elips} &amp;= \pi ab
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa luas daerah yang dibatasi y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x dan y=4x+7!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\
 y_1 &amp;= y_2 \\
 x^-2x &amp;= 4x+7 \\
 x^2-6x-7 &amp;= 0 \\
 (x+1)(x-7) &amp;= 0 \\
 x=-1 &amp;\text{ atau } x=7 \\

y &amp;= 4(-1)+7 = 3 \\
y &amp;= 4(7)+7 = 35 \\

\text{jadi titik potong (-1,3) dan (7,35) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\

L &amp;= \int_{-1}^{7} 4x+7-(x^2-2x)\,dx \\
 &amp;= \int_{-1}^{7} -x^2+6x+7\,dx \\
 &amp;= -\frac{x^3}{3}+3x^2+7x|_{-1}^{7} \\
 &amp;= -\frac{7^3}{3}+3(7)^2+7(7)-(-\frac{(-1)^3}{3}+3(-1)^2+7(-1)) \\
 &amp;= \frac{245}{3}-(-\frac{13}{3}) \\
 &amp;= \frac{258}{3} \\
 &amp;= 86 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa volume benda putar yang dibatasi y=6-1,5x, y=x-4 dan x=0 mengelilingi sumbu x sejauh 360°!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\
 y_1 &amp;= y_2 \\
 6-1,5x &amp;= x-4 \\
 2,5x &amp;= 10 \\
 x &amp;= 4 \\

y &amp;= 4-4 = 0 \\

\text{jadi titik potong (4,0) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\

\text{untuk x=0 } \\
y &amp;= 6-1,5(0) = 6 \\
y &amp;= 0-4 = -4 \\

L &amp;= \pi \int_{0}^{4} ((6-1,5x)^2-(x-4)^2)\,dx \\
 &amp;= \pi \int_{0}^{4} (36-18x+2,25x^2-(x^2-8x+16))\,dx \\
 &amp;= \pi \int_{0}^{4} (1,25x^2-10x+20)\,dx \\
 &amp;= \pi (\frac{1,25x^3}{3}-5x^2+20x)|_{0}^{4} \\
 &amp;= \pi (\frac{1,25(4)^3}{3}-5(4)^2+20(4)-(\frac{1,25(0)^3}{3}-5(0)^2+20(0))) \\
 &amp;= \pi (\frac{30}{3}-0) \\
 &amp;= 10\pi \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>c1itkwr35ziex22xf36ra2nwhgxdel6</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>115010</id>
      <parentid>115009</parentid>
      <timestamp>2026-04-26T11:54:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25546-23</username>
        <id>43043</id>
      </contributor>
      <comment>/* integral notasi */</comment>
      <origin>115010</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="42548" sha1="aj7p1wovfjibmkgyf12mlbdrnv30jee" xml:space="preserve">== Kaidah umum ==
:# &lt;math&gt;\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstan)}\,\!&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x) - g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(untuk } n\neq -1\mbox{)}\,\! &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int  {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int  {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x) \, dx = F(x) + C&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x) \circ g(x) dx&lt;/math&gt; = f’(g(x)) g’(x)
:# &lt;math&gt;\int f^{-1}(x) dx = \frac{1}{f'(f'(x))}&lt;/math&gt;

== rumus sederhana ==
:&lt;math&gt;\int \, dx = x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int x^n\,dx =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int (ax+b)^n\,dx =  \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int {dx \over \sqrt{a^2-b^2 x^2}} = \frac{1}{b} \arcsin \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int {dx \over {a^2+b^2x^2}} = {1 \over ab}\arctan \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int {dx \over x\sqrt{b^2x^2-a^2}} = {1 \over a}\arcsec \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt;\int e^x\,dx = e^x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \ln \, x\,dx = x \cdot \, \ln {x} - x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \, ^b\!\log \, x\,dx = x \cdot \, ^b\!\log \, x - x \cdot \,^b\!\log e + C&lt;/math&gt;

; Trigonometri
:&lt;math&gt;\int \sin \, x \, dx = -\cos \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cos \, x \, dx = \sin \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \tan \, x \, dx = -\ln{\left| \cos \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cot \, x \, dx = \ln{\left| \sin \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \sec \, x \, dx = \ln{\left| \sec \, x  + \tan \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \csc \, x \, dx = -\ln{\left| \csc \, x + \cot \, x \right|} + C&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
:&lt;math&gt;\int \sinh \, x \, dx = \cosh \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cosh \, x \, dx = \sinh \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \tanh \, x \, dx = \ln{\left| \cosh \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \coth \, x \, dx = \ln{\left| \sinh \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \mbox{sech} \, x \, dx = \arctan \,(\sinh \, x) + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \mbox{csch} \, x \, dx = \ln{\left| \tanh \, {x \over 2} \right|} + C&lt;/math&gt;

== Jenis integral ==
=== integral biasa ===
Berikut contoh penyelesaian cara biasa.
: 1. &lt;math&gt;\int x^3 - cos 3x + e^{5x+2} - \frac{1}{2x+5}\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{1}{3+1}x^{3+1} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^4}{4} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C&lt;/math&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x(x^4-4x^3(5)+6x^2(25)-4x(125)+625)\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x(x^4-20x^3+150x^2-500x+625)\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x^5-20x^4+150x^3-500x^2+625x\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{150x^4}{4}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C&lt;/math&gt;

=== integral substitusi ===
Berikut contoh penyelesaian cara substitusi.
: 1. &lt;math&gt;\int \frac{\ln \, x}{x}\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = \ln \, x\, du = \frac{dx}{x}&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \frac{\ln(x)}{x} dx \\
\int u du \\
\frac{1}{2} u^2 + C \\
\frac{1}{2} ln^2 x + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x-5,\, du = dx,\, x = u+5&lt;/math&gt; 

Dengan menggunakan rumus di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4\,dx \\
\int (u+5)u^4\,du \\
\int (u^5+5u^4)\,du \\
\frac{1}{6} u^6+u^5 + C \\
\frac{1}{6} (x-5)^6+(x-5)^5 + C \\
\frac{1}{6} (x^6-6x^5(5)+15x^4(25)-20x^3(125)+15x^2(625)-6x(3125)+15625)+(x^5-5x^4(5)+10x^3(25)-10x^2(125)+5x(625)+3125) + C \\
\frac{1}{6}x^6-5x^5+\frac{125x^4}{2}-\frac{1250x^3}{3}+\frac{3125x^2}{2}-3125x+\frac{15625}{6}+x^5-25x^4+250x^3-1250x^2+3125x+3125 + C \\
\frac{1}{6}x^6-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== integral parsial ===
;Cara 1: Rumus
Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut.
: &lt;math&gt;\int u\,dv = uv - \int v\,du &lt;/math&gt;

Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan rumus.
: 1. &lt;math&gt;\int x \sin \, x \, dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x, du = 1 \, dx, dv = \sin \, x \, dx, v = -\cos \, x&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \sin \, x \,dx \\
(x)(-\cos \, x) - \int (-\cos \, x)(1 dx) \\
-x \cos \, x + \int \cos \, x dx \\
-x \cos \, x + \sin \, x + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x,\, du = 1\,dx,\, dv = (x-5)^4\,dx,\, v = \frac{1}{5}(x-5)^5&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4 \, dx \\
(x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - \int (\frac{1}{5}(x-5)^5)(1\,dx) \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \int \frac{1}{5}(x-5)^5\,dx \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6\,dx \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int x \ln \,x\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = \ln \,x,\, du = \frac{1}{x}\,dx,\, dv = x\,dx,\, v = \frac{x^2}{2}&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \ln \,x\, dx \\
(\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{x^2}{2})(\frac{1}{x}\,dx) \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x^2}{2}(\frac{1}{x})\,dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \,dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 4. &lt;math&gt;\int e^x \sin \,x\,dx&lt;/math&gt;

ini terjadi dua kali integral parsial

: &lt;math&gt;u = \sin \,x,\, du = \cos \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int e^x \sin \,x\, dx \\
(\sin \,x)(e^x) - \int (e^x)(\cos \,x\,dx) \\
e^x \sin \,x - \int e^x \cos \,x\,dx \\

u = \cos \,x,\, du = -\sin \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x \\

(\cos \,x)(e^x) - \int (e^x)(-\sin \,x\,dx) \\
e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx \\
e^x \sin \,x - (e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx) \\
e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x\,dx \\

\text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\
I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\
2I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\
I &amp;= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\
 &amp;= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\

\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;Cara 2: Tabel
Untuk &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\int u\,dv&lt;/math&gt;, berlaku ketentuan sebagai berikut.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;dv&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\frac{du}{dx}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;v&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;\frac{d^2u}{dx^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\int v\,dx&lt;/math&gt;
|}

Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan tabel.
: 1. &lt;math&gt;\int x \sin \, x \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\sin \, x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;-\cos \, x&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;-\sin \, x&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \sin \, x \, dx \\
(x)(-\cos \, x) - (1)(-\sin \, x) + C \\
-x \cos \, x + \sin \, x + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4 \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x-5)^4&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{1}{5}(x-5)^5&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{1}{30}(x-5)^6&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4 \, dx \\
(x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - (1)(\frac{1}{30}(x-5)^6) + C \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6 + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int x \ln \,x \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;\ln \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\frac{1}{x}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x^2}{2}&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \ln \,x \, dx \\
(\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{1}{x})(\frac{x^2}{2}) \, dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \, dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 4. &lt;math&gt;\int e^x \sin \,x \, dx&lt;/math&gt;

ini terjadi dua kali integral parsial

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;\sin \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\cos \, x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;-\sin \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int e^x \sin \,x \, dx \\
(\sin \,x)(e^x) - (\cos \,x)(e^x) + \int (-\sin \,x)(e^x) \, dx \\
e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x) \, dx \\

\text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\
I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\
2I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\
I &amp;= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\
 &amp;= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== integral pecahan parsial ===
Berikut contoh penyelesaian cara parsial untuk persamaan pecahan (rasional).
: &lt;math&gt;\int \frac{dx}{x^2 - 4}&lt;/math&gt;

Pertama, pisahkan pecahan tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{1}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \frac{1}{(x + 2)(x - 2)} \\
=&amp;\; \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} \\
=&amp;\; \frac{A(x - 2) + B(x + 2)}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \frac{(A + B)x - 2(A - B)}{x^2 - 4}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Kita tahu bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A + B = 0&lt;/math&gt; dan &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A - B = -\frac{1}{2}&lt;/math&gt; dapat diselesaikan, yaitu &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A = -\frac{1}{4}&lt;/math&gt; dan {{nowrap|&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B = \frac{1}{4}&lt;/math&gt;.}}

: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{dx}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \int -\frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)}\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{4} (\ln|x - 2| - \ln|x + 2|) + C \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \ln|\frac{x - 2}{x + 2}| + C
\end{aligned}&lt;/math&gt;

=== integral substitusi trigonometri ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Bentuk !! Substitusi Trigonometri
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{a^2 - b^2 x^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} sin \, \alpha &lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{a^2 + b^2 x^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} tan \, \alpha&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{b^2 x^2 - a^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} sec \, \alpha&lt;/math&gt;
|}

Berikut contoh penyelesaian cara substitusi trigonometri.
: &lt;math&gt;\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 4}}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;x = 2 \tan \, A, dx = 2 \sec^2 \, A \,dA&lt;/math&gt;

Dengan substitusi di atas,
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(2 \tan \, A)^2 \sqrt{4 + (2 \tan \, A)^2}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 + 4 \tan^2 \, A}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4(1 + \tan^2 \, A)}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 \sec^2 \, A }} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(4 \tan^2 \, A)(2 \sec \, A)} \\
=&amp;\; \int \frac{\sec \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\sec \, A \,dA}{\tan^2 \, A} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Substitusi berikut dapat dibuat.
: &lt;math&gt;\int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;t = \sin \, A, dt = \cos \, A \,dA&lt;/math&gt;

Dengan substitusi di atas,
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A}\,dA \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t^2} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{t}\right) + C \\
=&amp;\; -\frac{1}{4 t} + C \\
=&amp;\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Ingat bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sin \, A = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}&lt;/math&gt; berlaku.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C \\
=&amp;\; -\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4x} + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

=== integral mutlak ===
: &lt;math&gt;\int |f(x)| \,dA&lt;/math&gt;

buatlah &lt;math&gt;f(x) \ge 0&lt;/math&gt; jika hasil x adalah lebih dari 0 maka f(x) sedangkan kurang dari 0 maka -f(x)

: &lt;math&gt;\int_a^c |f(x)| \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c -f(x) \, dx = F(b) - F(a) - F(c) + F(b)&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;|f(x)| = \begin{cases} f(x), &amp; \mbox{jika }  f(x) \ge b,  \\ -f(x),  &amp; \mbox{jika } f(x) &lt; b. \end{cases}&lt;/math&gt;. sebelum membuat f(x) dan -f(x) menentukan nilai x sebagai f(x) ≥ 0 untuk batas-batas wilayah yang menempatkan hasil positif (f(x)) dan negatif (-(f(x)) serta hasil integral mutlak tidak mungkin negatif.

=== integral fungsi ganjil dan integral fungsi genap ===
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

dengan mengingat fungsi ganjil dan fungsi genap yaitu f(-x)=-f(x) untuk fungsi ganjil dan f(-x)=f(x) untuk fungsi genap
maka berlaku untuk integral:
: integral fungsi ganjil
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt; = 0

: integral fungsi genap
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;2 \int_{0}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

=== integral notasi ===
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \,dx = \int_{a-p}^{b-p} f(x) \,dx = \int_{a+p}^{b+p} f(x) \,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\int_a^c f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx + \int_{b}^{c} f(x) \,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x \pm k) \,dx = \int_{a \pm k}^{b \pm k} f(x) \,dx&lt;/math&gt;

=== integral terbalik ===
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \,dx = -\int_b^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

== Jenis integral lainnya ==
=== panjang busur ===
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;S = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;S = \int_{y_1}^{y_2} \sqrt{1 + (f'(y))^2}\,dy&lt;/math&gt;

=== luas daerah ===
; Satu kurva
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;L = \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;L = \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,dy&lt;/math&gt;

; Dua kurva 
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;L = \int_{x_1}^{x_2} (f(x_2) - f(x_1))\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;L = \int_{y_1}^{y_2} (f(y_2) - f(y_1))\,dy&lt;/math&gt;

: atau juga &lt;math&gt;L = \frac {D \sqrt{D}}{6 a^2}&lt;/math&gt;

=== luas permukaan benda putar ===
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;L_p = 2 \pi \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,ds&lt;/math&gt;
dengan
: &lt;math&gt;ds = \sqrt {1 + (f'(x))^2}\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;L_p = 2 \pi \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,ds&lt;/math&gt;
dengan
: &lt;math&gt;ds = \sqrt {1 + (f'(y))^2}\,dy&lt;/math&gt;

=== volume benda putar ===
; Satu kurva
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{y_1}^{y_2} (f(y))^2\,dy&lt;/math&gt;

; Dua kurva
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{x_1}^{x_2} ((f(x_2))^2 - (f(x_1))^2)\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{y_1}^{y_2} ((f(y_2))^2 - (f(y_1))^2)\,dy&lt;/math&gt;

: atau juga &lt;math&gt;V = |\frac {D^2 \sqrt{D}}{30 a^3}|&lt;/math&gt;

== Integral lipat ==
Jenis integral lipat yaitu integral lipat dua dan integral lipat tiga. 

;contoh
# Tentukan hasil dari:
* &lt;math&gt;\int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int x^2 cos 3x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int sin^2 x cos x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int cos^2 x sin x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int sec x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int csc x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{{12+75x^2}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx&lt;/math&gt;

; jawaban
**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{misalkan } u &amp;= 5x^2-2x+7 \\
 u &amp;= 5x^2-2x+7 \\
 du &amp;= 10x-2 dx \\
 &amp;= 2(5x-1) dx \\
 \frac{du}{2} &amp;= (5x-1) dx \\
 
 \int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx &amp;= \int \frac{1}{2}u^4 du \\
 &amp;= \frac{1}{2}\frac{1}{5}u^5 + C \\
 &amp;= \frac{1}{10}(5x^2-2x+7)^5 + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{gunakan integral parsial } \\
 \int x^2 cos 3x dx &amp;= \frac{x^2}{3} sin 3x-\frac{2x}{9} (-cos 3x)+\frac{2}{27} (-sin 3x)+C \\
 &amp;= \frac{x^2}{3} sin 3x+\frac{2x}{9} cos 3x-\frac{2}{27} sin 3x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
*
\text{cara 1} \\
\text{misalkan } u &amp;= sin x \\
 u &amp;= sin x \\
 du &amp;= cos x dx \\

 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int u^2 du \\
 &amp;= \frac{u^3}{3}+C \\
 &amp;= \frac{sin^3 x}{3}+C \\

*
\text{cara 2} \\
 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int \frac{1-cos 2x}{2} cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int (1-cos 2x) cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-cos 2x cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}(cos 3x+cox x) dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}cos 3x-\frac{1}{2}cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}cos x-\frac{1}{2}cos 3x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} (\frac{1}{2}sin x-\frac{1}{6}sin 3x)+C \\
 &amp;= \frac{sin x}{4}-\frac{sin 3x}{12}+C \\

*
\text{cara 3} \\
 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int sin x sin x cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int sin x sin 2x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int -(cos 3x-cos (-x)) dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int -cos 3x+cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} (-\frac{sin 3x}{3}+sin x)+C \\
 &amp;= -\frac{sin 3x}{12}+\frac{sin x}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
*
\text{cara 1} \\
\text{misalkan } u &amp;= cos x \\
 u &amp;= cos x \\
 du &amp;= -sin x dx \\
 -du &amp;= sin x dx \\

 \int cos^2 x sin x dx &amp;= -\int u^2 du \\
 &amp;= -\frac{u^3}{3}+C \\
 &amp;= -\frac{cos^3 x}{3}+C \\

*
\text{cara 2} \\
 \int cos^2 x sin x dx &amp;= \int \frac{cos 2x+1}{2} sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int (cos 2x+1) sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos 2xsin x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}(sin 3x-sin x)+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x-\frac{1}{2}sin x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x+\frac{1}{2}sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} (-\frac{1}{6}cos 3x-\frac{1}{2}cos x)+C \\
 &amp;= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\

*
\text{cara 3} \\
 \int cos^2 x sin x dx &amp;= \int cos x cos x sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x sin 2x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int (sin 3x-sin (-x)) dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int sin 3x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} (-\frac{cos 3x}{3}-cos x)+C \\
 &amp;= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int sec x dx &amp;= \int sec x \frac{sec x+tan x}{sec x+tan x}dx \\
 &amp;= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\
\text{misalkan } u &amp;= sec x+tan x \\
 u &amp;= sec x+tan x \\
 du &amp;= sec xtan x+sec^2 x dx \\

 &amp;= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\
 &amp;= \int \frac{1}{u}du \\
 &amp;= ln u+C \\
 &amp;= ln |sec x+tan x|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int csc x dx &amp;= \int csc x \frac{csc x+cot x}{csc x+cot x}dx \\
 &amp;= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\
\text{misalkan } u &amp;= csc x+cot x \\
 u &amp;= csc x+cot x \\
 du &amp;= -csc xcot x-csc^2 x dx \\
 -du &amp;= csc xcot x+csc^2 x dx \\

 &amp;= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\
 &amp;= -\int \frac{1}{u}du \\
 &amp;= -ln u+C \\
 &amp;= -ln |csc x+cot x|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx &amp;= \int \frac{1}{(2x-3)(x-1)} dx \\
 &amp;= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{A(x-1)+B(2x-3)}{(2x-3)(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{Ax-A+2Bx-3B}{2x^2-5x+3}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{(A+2B)x+(-A-3B)}{2x^2-5x+3}) dx \\
\text{cari nilai A dan B dari 0=A+2B dan 1=-A-3B adalah 2 dan -1} \\
 &amp;= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{2}{(2x-3)}+\frac{-1}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= ln |2x-3|-ln |x-1|+C \\
 &amp;= ln |\frac{2x-3}{x-1}|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx \\
 x &amp;= \frac{5}{12} sin A \\
 dx &amp;= \frac{5}{12} cos A dA \\
 
 \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-288(\frac{5}{12} sin A)^2}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-\frac{288 \cdot 25}{144} sin^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-50 sin^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50(1-sin^2 A)}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50cos^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{5cos A \sqrt{2}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\sqrt{2}}{24} dA \\
 &amp;= \frac{\sqrt{2}}{24} \int dA \\
 &amp;= A+C \\
 A &amp;= arc sin \frac{12x}{5} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{2}}{24} arc sin \frac{12x}{5}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{12+75x^2} dx \\
 x &amp;= \frac{2}{5} tan A \\
 dx &amp;= \frac{2}{5} sec^2 A dA \\
 
 \int \frac{1}{12+75x^2} dx &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+75(\frac{2}{5} tan A)^2} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+\frac{75 \cdot 4}{25} tan^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+12 tan^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 (1+tan^2 A)} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 sec^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{1}{30} dA \\
 &amp;= \frac{A}{30}+C \\
 A &amp;= arc tan \frac{5x}{2} \\
 &amp;= \frac{arc tan \frac{5x}{2}}{30}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx \\
 x &amp;= \frac{7}{11} sec A \\
 dx &amp;= \frac{7}{11} sec A tan A dA \\
 
 \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx &amp;= \int \frac{\frac{7}{11} sec A tan A}{11(\frac{7}{11} sec A)\sqrt{605(\frac{7}{11} sec A)^2-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A} {11 sec A\sqrt{\frac{605 \cdot 49}{121} sec^2 A-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245sec^2 A-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245(sec^2 A-1)}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245tan^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{77\sqrt{5} sec A tan A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\sqrt{5}}{385} dA \\
 &amp;= \frac{A\sqrt{5}}{385}+C \\
 A &amp;= arc sec \frac{11x}{7} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{5}arc sec \frac{11x}{7}}{385}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx \\
 a=1, r=sin^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{1}{1-sin^2 x} \\
 &amp;= \frac{1}{cos^2 x} \\
 &amp;= sec^2 x \\
\int sec^2 x dx &amp;= tan x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx \\
 a=1, r=cos^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{1}{1-cos^2 x} \\
 &amp;= \frac{1}{sin^2 x} \\
 &amp;= csc^2 x \\
\int csc^2 x dx &amp;= -cot x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx \\
 a=sin x, r=sin^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{sin x}{1-sin^2 x} \\
 &amp;= \frac{sin x}{cos^2 x} \\
 &amp;= sec x \cdot tan x \\
\int sec x \cdot tan x dx &amp;= sec x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx \\
 a=cos x, r=cos^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{cos x}{1-cos^2 x} \\
 &amp;= \frac{cos x}{sin^2 x} \\
 &amp;= csc x \cdot cot x \\
\int csc x \cdot cot x dx &amp;= -csc x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx \\
\text{misalkan } y = \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\
 y &amp;= \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\
 y^2 &amp;= \frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}} \\
 &amp;= \frac{x}{y} \\
 y^3 &amp;= x \\
 3y^2 dy &amp;= dx \\
\int y \cdot 3y^2 dy \\
\int 3y^3 dy \\
\frac{3y^4}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan hasil dari:
* &lt;math&gt;\int_{1}^{5} 2x-3 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{0}^{4} |x-2| dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{2}^{4} |3-x| dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx&lt;/math&gt;

; jawaban
** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{1}^{5} 2x-3 dx &amp;= \left. x^2 - 3x \right|_{1}^{5} \\
&amp;= 10 - (-2) \\
&amp;= 12 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{0}^{4} |x-2| dx \\
\text{ tentukan nilai harga nol } \\
x-2 &amp;= 0 \\
x &amp;= 2 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu kurang dari 2 bernilai - sedangkan minimal dari 2 bernilai + berarti } \\
|x-2| = \begin{cases} x-2, &amp; \mbox{jika }  x \ge 2,  \\ -(x-2),  &amp; \mbox{jika } x &lt; 2. \end{cases} \\
\int_{0}^{4} |x-2| dx &amp;= \int_{2}^{4} x-2 dx + \int_{0}^{2} -(x-2) dx \\
&amp;= \left. (\frac{x^2}{2}-2x) \right|_{2}^{4} + \left. (\frac{-x^2}{2}+2x) \right|_{0}^{2} \\
&amp;= 0 - (-2) + 2 - 0 \\
&amp;= 4 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{2}^{4} |3-x| dx \\
\text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\
3-x &amp;\ge 0 \\
\text{ harga nol } \\
x &amp;= 3 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu lebih dari 3 bernilai - sedangkan maksimal dari 3 bernilai + berarti } \\
|3-x| = \begin{cases} 3-x, &amp; \mbox{jika }  x \le 3,  \\ -(3-x),  &amp; \mbox{jika } x &gt; 3. \end{cases} \\
\int_{2}^{4} |3-x| dx &amp;= \int_{2}^{3} 3-x dx + \int_{3}^{4} -(3-x) dx \\
&amp;= \left. (3x-\frac{x^2}{2}) \right|_{2}^{3} + \left. (-3x+\frac{x^2}{2}) \right|_{3}^{4} \\
&amp;= 4.5 - 4 - 4 - (-4.5) \\
&amp;= 1 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx &amp;= \left. \frac{x^3}{3}-3x^2+8x \right|_{1}^{5} \\
&amp;= \frac{20}{3} - \frac{16}{3} \\
&amp;= \frac{4}{3} \\
&amp;= 1\frac{1}{3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx \\
\text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\
x^2-2x-8 &amp;\ge 0 \\
\text{ harga nol } \\
(x+2)(x-4) &amp;= 0 \\
x = -2 \text{ atau } x = 4 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu antara -2 dan 4 bernilai - sedangkan maksimal dari -2 dan minimal dari 4 bernilai + berarti } \\
|x^2-2x-8| = \begin{cases} x^2-2x-8, &amp; \mbox{jika } x \le -2,  \\ -(x^2-2x-8),  &amp; \mbox{jika } -2 &lt; x &lt; 4, \\ x^2-2x-8, &amp; \mbox{jika } x \ge 4 \end{cases} \\
\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx &amp;= \int_{-3}^{-2} x^2-2x-8 dx + \int_{-2}^{4} -(x^2-2x-8) dx + \int_{4}^{5} x^2-2x-8 dx \\
&amp;= \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{-3}^{-2} + \left. (\frac{-x^3}{3}+x^2+8x) \right|_{-2}^{4} + \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{4}^{5} \\
&amp;= \frac{28}{3} - 6 + \frac{80}{3} - (-\frac{28}{3}) - \frac{70}{3} - (-\frac{80}{3}) \\
&amp;= \frac{128}{3} \\
&amp;= 42\frac{2}{3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = x&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int x\,dx \\
L &amp;= \frac{1}{2} x^2 \\
L &amp;= \frac{1}{2} xy \quad (y = x)
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = x^2&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int x^2\,dx \\
L &amp;= \frac{1}{3} x^3 \\
L &amp;= \frac{1}{3} xy \quad (y = x^2)
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = \sqrt{x}&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int \sqrt{x}\,dx \\
L &amp;= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \\
L &amp;= \frac{2}{3} xy \quad (y = \sqrt{x})
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas persegi &lt;math&gt;L = s^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = s \text{ dan titik (''s'', ''s''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{s} s\,dx \\
L &amp;= sx |_{0}^{s} \\
L &amp;= ss - 0 \\
L &amp;= s^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas persegi panjang &lt;math&gt;L = pl&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = l \text{dan titik (''p'', ''l''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{p} l\,dx \\
L &amp;= lx |_{0}^{p} \\
L &amp;= pl - 0 \\
L &amp;= pl
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Buktikan luas segitiga &lt;math&gt;L = \frac{at}{2}&lt;/math&gt; dengan cara integral!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \frac{-tx}{a} + t \text { dan titik (''a'', ''t''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{a} \left (\frac{-tx}{a} + t \right) \,dx \\
L &amp;= \left. \frac{-tx^2}{2a} + tx \right|_{0}^{a} \\
L &amp;= \frac{-ta^2}{2a} + ta - 0 + 0 \\
L &amp;= \frac{-ta}{2} + ta \\
L &amp;= \frac{at}{2}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume tabung &lt;math&gt;V = \pi r^2t&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ Dengan posisi } y = r \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\
V &amp;= \pi \int_{0}^{t} r^2\,dx \\
V &amp;= \pi \left. r^2x \right|_{0}^{t} \\
V &amp;= \pi r^2t - 0 \\
V &amp;= \pi r^2t
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume kerucut &lt;math&gt;V = \frac{\pi r^2t}{3}&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \frac{rx}{t} \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\
V &amp;= \pi \int_{0}^{t} \left (\frac{rx}{t} \right)^2 \,dx \\
V &amp;= \pi \left. \frac{r^2 x^3}{3t^2} \right|_{0}^{t} \\
V &amp;= \pi \frac{r^2 t^3}{3t^2} - 0 \\
V &amp;= \frac{\pi r^2t}{3}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume bola &lt;math&gt;V = \frac{4 \pi r^3}{3}&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), } \\
V &amp;= \pi \int_{-r}^{r} \left(\sqrt {r^2 - x^2}\right)^2\,dx \\
V &amp;= \pi \int_{-r}^{r} r^2 - x^2 dx \\
V &amp;= \pi \left. r^2x - \frac{x^3}{3} \right|_{-r}^{r} \\
V &amp;= \pi \left (r^3 - \frac{r^3}{3} - \left (-r^3 + \frac{r^3}{3} \right) \right) \\
V &amp;= \frac{4 \pi r^3}{3}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas permukaan bola &lt;math&gt;L = 4 \pi r^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), Kita tahu bahwa turunannya adalah } \\
y' &amp;= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\
\text{selanjutnya } \\
ds &amp;= \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\
ds &amp;= \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
ds &amp;= \sqrt{\frac{r^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
ds &amp;= \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
\text{sehingga } \\
L &amp;= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
L &amp;= 2 \pi \int_{-r}^{r} r\,dx \\
L &amp;= 2 \pi rx|_{-r}^{r} \\
L &amp;= 2 \pi (r r - r (-r)) \\
L &amp;= 2 \pi (r^2 + r^2) \\
L &amp;= 4 \pi r^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan keliling lingkaran &lt;math&gt;K = 2 \pi r&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0) } \\
\text{kita tahu bahwa turunannya adalah } \\
 y' &amp;= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\
\text{sehingga } \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{x^2}{r^2 - x^2})}\,dx \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt\frac{r^2}{r^2 - x^2}\,dx \\
K &amp;= 4r \int_{0}^{r} \sqrt\frac{1}{r^2 - x^2}\,dx \\
K &amp;= 4r \int_{0}^{r} \frac{1}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
K &amp;= 4r \left. \arcsin \left (\frac{x}{r} \right) \right|_{0}^{r} \\
K &amp;= 4r \left (\arcsin \left (\frac{r}{r}\right) - \arcsin \left (\frac{0}{r} \right) \right) \\
K &amp;= 4r \left (\arcsin\left (1 \right) - \arcsin \left(0 \right) \right)) \\
K &amp;= 4r \left (\frac{\pi}{2} \right) \\
K &amp;= 2 \pi r
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas lingkaran &lt;math&gt;L = \pi r^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), dibuat trigonometri dan turunannya terlebih dahulu. } \\
\sin(\theta) &amp;= \frac{x}{r} \\
x &amp;= r \sin(\theta) \\
dx &amp;= r \cos(\theta)\,d\theta \\
\text{dengan turunan di atas } \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - (r \sin(\theta))^2}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - r^2 \sin^2(\theta)}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 (1 - \sin^2(\theta))}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta)\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta) (r \cos(\theta)\,d\theta) \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r^2 \cos^2(\theta)\,d\theta \\
L &amp;= 4r^2 \int_{0}^{r} \left(\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right)\,d\theta \\
L &amp;= 2r^2 \int_{0}^{r} (1 + \cos(2\theta))\,d\theta \\
L &amp;= 2r^2 \left (\theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right)|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 (\theta + \sin(\theta) \cos(\theta))|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 \left (\arcsin \left (\frac{x}{r} \right) + \left (\frac{x}{r} \right) \left (\frac{r^2 - x^2}{r} \right) \right)|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 \left (\arcsin \left(\frac{r}{r} \right) + \left (\frac{r}{r} \right) \left (\frac {r^2 - r^2}{r} \right) \right) - \left(\arcsin \left (\frac{0}{r} \right) + \left (\frac{0}{r}\right) \left (\frac{r^2 - 0^2}{r} \right) \right) \\
L &amp;= 2r^2 (\arcsin(1) + 0 - (\arcsin(0) + 0)) \\
L &amp;= 2r^2 \left (\frac{\pi}{2} \right) \\
L &amp;= \pi r^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas elips &lt;math&gt;L = \pi ab&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a} \text{ serta (-''a'', 0) dan (''a'', 0), } \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a}\,dx \\
L &amp;= \frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx \\
\text{dengan anggapan bahwa lingkaran mempunyai memotong titik (-''a'', 0) dan (''a'', 0) serta pusatnya setitik dengan pusat elips, } \\
\frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &amp;= \frac{\frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx}{4 \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx} \\
\frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &amp;= \frac{b}{a} \\
L_\text{elips} &amp;= \frac{b}{a} L_\text{ling} \\
L_\text{elips} &amp;= \frac{b}{a} \pi a^2 \\
L_\text{elips} &amp;= \pi ab
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa luas daerah yang dibatasi y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x dan y=4x+7!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\
 y_1 &amp;= y_2 \\
 x^-2x &amp;= 4x+7 \\
 x^2-6x-7 &amp;= 0 \\
 (x+1)(x-7) &amp;= 0 \\
 x=-1 &amp;\text{ atau } x=7 \\

y &amp;= 4(-1)+7 = 3 \\
y &amp;= 4(7)+7 = 35 \\

\text{jadi titik potong (-1,3) dan (7,35) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\

L &amp;= \int_{-1}^{7} 4x+7-(x^2-2x)\,dx \\
 &amp;= \int_{-1}^{7} -x^2+6x+7\,dx \\
 &amp;= -\frac{x^3}{3}+3x^2+7x|_{-1}^{7} \\
 &amp;= -\frac{7^3}{3}+3(7)^2+7(7)-(-\frac{(-1)^3}{3}+3(-1)^2+7(-1)) \\
 &amp;= \frac{245}{3}-(-\frac{13}{3}) \\
 &amp;= \frac{258}{3} \\
 &amp;= 86 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa volume benda putar yang dibatasi y=6-1,5x, y=x-4 dan x=0 mengelilingi sumbu x sejauh 360°!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\
 y_1 &amp;= y_2 \\
 6-1,5x &amp;= x-4 \\
 2,5x &amp;= 10 \\
 x &amp;= 4 \\

y &amp;= 4-4 = 0 \\

\text{jadi titik potong (4,0) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\

\text{untuk x=0 } \\
y &amp;= 6-1,5(0) = 6 \\
y &amp;= 0-4 = -4 \\

L &amp;= \pi \int_{0}^{4} ((6-1,5x)^2-(x-4)^2)\,dx \\
 &amp;= \pi \int_{0}^{4} (36-18x+2,25x^2-(x^2-8x+16))\,dx \\
 &amp;= \pi \int_{0}^{4} (1,25x^2-10x+20)\,dx \\
 &amp;= \pi (\frac{1,25x^3}{3}-5x^2+20x)|_{0}^{4} \\
 &amp;= \pi (\frac{1,25(4)^3}{3}-5(4)^2+20(4)-(\frac{1,25(0)^3}{3}-5(0)^2+20(0))) \\
 &amp;= \pi (\frac{30}{3}-0) \\
 &amp;= 10\pi \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>aj7p1wovfjibmkgyf12mlbdrnv30jee</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Matriks</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23143</id>
    <revision>
      <id>115002</id>
      <parentid>112797</parentid>
      <timestamp>2026-04-26T11:30:33Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25546-23</username>
        <id>43043</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bentuk dan sifat matriks */</comment>
      <origin>115002</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="17232" sha1="m0j7uu4isy0nmcqg085rxva25jooo7f" xml:space="preserve">== Bentuk dan sifat matriks ==
;bentuk:
* ordo 2x2: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; b \\
  c &amp; d \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

* ordo 3x3: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; b &amp; c \\
  d &amp; e &amp; f \\
  g &amp; h &amp; i \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

;sifat:
# komutatif
* A + B = B + A
# asosiatif
* (A + B) + C = A + (B + C)
* (A . B) . C = A. (B x C)
# distributif
* A . (B + C) = A . B + A . C
* A . (B - C) = A . B - A . C
# (k . A) . B = k. (A . B)
# A . B ≠ B . A
# A . I = A
# (A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = A
# A . A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; . A = I
# (A . B)&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = B&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; . A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;
# (A . B)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = B&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; . A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
# (A . B . C)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = C&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; . B&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; . A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
# det (A . B) = det A . det B
# A = B . C &lt;=&gt; det A = det B . det C
# det (A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;) = det A
# det (A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) . det A = 1 (invers bukan pangkat)
# det (A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) . det A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = 1 (karena det (A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;) = det A)
# det (A&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;) = (det A)&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;
# det (k . A) = k&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; . det A

;vektor baris: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}3 &amp; 7 &amp; 2 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;
;vektor kolom: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}4 \\ 1 \\ 8 \\ \end{bmatrix}&lt;/math&gt;
;matriks persegi: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  9 &amp; 13 &amp; 5 \\
  1 &amp; 11 &amp; 7 \\
  2 &amp; 6  &amp; 3 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a_{11} &amp; a_{12} &amp; a_{13} \\
  a_{21} &amp; a_{22} &amp; a_{23} \\
  a_{31} &amp; a_{32} &amp; a_{33} \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

*baris: 
:# pertama: a11, a12 dan a13
:# kedua: a21, a22 dan a23
:# ketiga: a31, a32 dan a33

*kolom:
:# pertama: a11, a21 dan a31
:# kedua: a12, a22 dan a32
:# ketiga: a13, a23 dan a33

*diagonal
:# sisi kiri ke kanan: a11, a22 dan a33 (utama)
:# sisi kanan ke kiri: a13, a22 dan a31 (samping)

*Matriks diagonal 
&lt;math&gt;
\begin{bmatrix}
a_{11} &amp; 0      &amp; 0 \\
     0 &amp; a_{22} &amp; 0 \\
     0 &amp; 0      &amp; a_{33} \\
\end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

*Matriks segitiga bawah 
&lt;math&gt;
\begin{bmatrix}
a_{11} &amp;      0 &amp; 0 \\
a_{21} &amp; a_{22} &amp; 0 \\
a_{31} &amp; a_{32} &amp; a_{33} \\
\end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

*Matriks segitiga atas 
&lt;math&gt;
\begin{bmatrix}
a_{11} &amp; a_{12} &amp; a_{13} \\
     0 &amp; a_{22} &amp; a_{23} \\
     0 &amp;      0 &amp; a_{33} \\
\end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

== matriks perkalian ==
&lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; b \\
  c &amp; d \\
  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  e &amp; f \\
  g &amp; h \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  ae + bg &amp; af + bh \\
  ce + dg &amp; cf + dh \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

=== ordo 2x2 ===
; bentuk: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; b \\
  c &amp; d \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

; Matriks transpos (A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;): &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; c \\
  b &amp; d 
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

;* matriks simetris

A = A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;

A = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; d \\
  c &amp; b \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; d \\
  c &amp; b \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

;* matriks simetris miring

A = -A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;

A = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; d \\
  c &amp; b \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  -a &amp; -d \\
  -c &amp; -b \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

; Determinan (Det): ad - bc
Matriks singular adalah matriks yang hasil determinan bernilai nol sedangkan matriks nonsingular adalah matriks yang hasil determinan bernilai bukan nol.

Matriks nonsingular memiliki ciri yang khas yaitu kolom pertama dan kolom kedua merupakan kelipatan yang sama. contoh:
&lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -4 \\
  4 &amp; -8 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  5 &amp; 15 \\
  11 &amp; 33 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, dst

; Adjoint (Adj): &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  d &amp; -b \\
  -c &amp; a \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

; Matriks inverse (A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;): &lt;math&gt;\frac{1}{\text {det A}}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  d &amp; -b \\
  -c &amp; a \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

=== ordo 3x3 ===
; bentuk: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; b &amp; c \\
  d &amp; e &amp; f \\
  g &amp; h &amp; i \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

; Matriks transpos (A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;): &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; d &amp; g \\
  b &amp; e &amp; h \\
  c &amp; f &amp; i \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

;* matriks simetris

A = A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;

A = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; d &amp; e \\
  d &amp; b &amp; f \\
  e &amp; f &amp; c \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; d &amp; e \\
  d &amp; b &amp; f \\
  e &amp; f &amp; c \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

;* matriks simetris miring

A = -A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;

A = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; d &amp; e \\
  d &amp; b &amp; f \\
  e &amp; f &amp; c \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  -a &amp; -d &amp; -e \\
  -d &amp; -b &amp; -f \\
  -e &amp; -f &amp; -c \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

; Determinan (Det):
* dengan aturan sarrus
&lt;math&gt;\begin{align}
\begin{array}{rrr|rr}
 a &amp; b &amp; c &amp; a &amp; b \\
 d &amp; e &amp; f &amp; d &amp; e \\
 g &amp; h &amp; i &amp; g &amp; h \\
 - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
 \end{array} \\
\end{align}&lt;/math&gt;
: det A = aei + bfg + cdh - bdi - afh - ceg

* dengan minor-kofaktor
: untuk minor M&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; = det A&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt;
: untuk kofaktor C&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; = (-1)&lt;sup&gt;i+j&lt;/sup&gt; . M&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt;
: det A = &lt;math&gt;\sum_{j=1}^n i= a_{ij} \cdot C_{ij}&lt;/math&gt; dimana sembarang baris i atau kolom j (i atau j = 1, 2, 3, ..., n)

Matriks nonsingular memiliki ciri yang khas yaitu kolom pertama, kolom kedua dan/atau kolom tiga merupakan kelipatan yang sama. contoh:
&lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  3 &amp; -7 &amp; 6 \\
  4 &amp; 1 &amp; 8 \\
  -5 &amp; 2 &amp; -10 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  -6 &amp; -1 &amp; -4 \\
  12 &amp; 2 &amp; 8 \\
  18 &amp; 3 &amp; 12 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, dst

; Adjoint (Adj): 
: kof (A) = (-1)&lt;sup&gt;i+j&lt;/sup&gt; . M&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt;
: kof (A) = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  M_{11} &amp; M_{12} &amp; M_{13} \\
  M_{21} &amp; M_{22} &amp; M_{23} \\
  M_{31} &amp; M_{32} &amp; M_{33} \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;
: adj A = (kof (A))&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;

; Matriks inverse (A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;):
* dengan adjoint
::&lt;math&gt;\frac{adj A}{\text {det A}}&lt;/math&gt;

* dengan elementer
::A | I diubah menjadi I | A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;

== matriks persamaan linear (aturan cramer) ==

=== ordo 2x2 (dua variabel) ===
persamaan linear yaitu a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x + b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y = c&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; serta a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;x + b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y = c&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.

maka sebagai berikut:
: D = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a_1 &amp; b_1 \\
  a_2 &amp; b_2 \\
  \end{bmatrix} = a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1&lt;/math&gt;

: D&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  c_1 &amp; b_1 \\
  c_2 &amp; b_2 \\
  \end{bmatrix} = c_1 \cdot b_2 - c_2 \cdot b_1&lt;/math&gt;

: D&lt;sub&gt;y&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a_1 &amp; c_1 \\
  a_2 &amp; c_2 \\
  \end{bmatrix} = a_1 \cdot c_2 - a_2 \cdot c_1&lt;/math&gt;

: x = &lt;math&gt;\frac{D_x}{D}&lt;/math&gt; serta y = &lt;math&gt;\frac{D_y}{D}&lt;/math&gt;

=== ordo 3x3 (tiga variabel) ===
persamaan linear yaitu a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x + b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y + c&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;z = d&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;x + b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y + c&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;z = d&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; serta a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;x + b&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;y + c&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;z = d&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;.

maka sebagai berikut:
: D = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a_1 &amp; b_1 &amp; c_1 \\
  a_2 &amp; b_2 &amp; c_2 \\
  a_3 &amp; b_3 &amp; c_3 \\
  \end{bmatrix} = a_1 \cdot b_2 \cdot c_3 + b_1 \cdot c_2 \cdot a_3 + c_1 \cdot a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \cdot c_1 - b_3 \cdot c_2 \cdot a_1 - c_3 \cdot a_2 \cdot b_1&lt;/math&gt;

: D&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  d_1 &amp; b_1 &amp; c_1 \\
  d_2 &amp; b_2 &amp; c_2 \\
  d_3 &amp; b_3 &amp; c_3 \\
  \end{bmatrix} = d_1 \cdot b_2 \cdot c_3 + b_1 \cdot c_2 \cdot d_3 + c_1 \cdot d_2 \cdot b_3 - d_3 \cdot b_2 \cdot c_1 - b_3 \cdot c_2 \cdot d_1 - c_3 \cdot d_2 \cdot b_1&lt;/math&gt;

: D&lt;sub&gt;y&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a_1 &amp; d_1 &amp; c_1 \\
  a_2 &amp; d_2 &amp; c_2 \\
  a_3 &amp; d_3 &amp; c_3 \\
  \end{bmatrix} = a_1 \cdot d_2 \cdot c_3 + d_1 \cdot c_2 \cdot a_3 + c_1 \cdot a_2 \cdot d_3 - a_3 \cdot d_2 \cdot c_1 - d_3 \cdot c_2 \cdot a_1 - c_3 \cdot a_2 \cdot d_1&lt;/math&gt;

: D&lt;sub&gt;z&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a_1 &amp; b_1 &amp; d_1 \\
  a_2 &amp; b_2 &amp; d_2 \\
  a_3 &amp; b_3 &amp; d_3 \\
  \end{bmatrix} = a_1 \cdot b_2 \cdot d_3 + b_1 \cdot d_2 \cdot a_3 + d_1 \cdot a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \cdot d_1 - b_3 \cdot d_2 \cdot a_1 - d_3 \cdot a_2 \cdot b_1&lt;/math&gt;

: x = &lt;math&gt;\frac{D_x}{D}&lt;/math&gt;, y = &lt;math&gt;\frac{D_y}{D}&lt;/math&gt; serta z = &lt;math&gt;\frac{D_z}{D}&lt;/math&gt;

contoh

# tentukan hasil determinan serta matriks invers dari &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; 1 \\
  6 &amp; 4 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* det A &amp;= 2 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 8 - 6 = 2 \\
* A^{-1} &amp;= \frac{1}{det A} \cdot \begin{bmatrix}
  4 &amp; -1 \\
  -6 &amp; 2 \\
  \end{bmatrix} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{bmatrix}
  4 &amp; -1 \\
  -6 &amp; 2 \\
  \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -\frac{1}{2} \\
  -3 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan hasil determinan serta matriks invers dari &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  1 &amp; 2 &amp; 3 \\
  2 &amp; 8 &amp; 7 \\
  1 &amp; 5 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* \text{cara 1} \\
 \begin{array}{rrr|rr}
 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp; 2 \\
 2 &amp; 8 &amp; 7 &amp; 2 &amp; 8 \\
 1 &amp; 5 &amp; 6 &amp; 1 &amp; 5  \\
 - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
 \end{array} \\
 det A &amp;= 1 \cdot 8 \cdot 6 + 2 \cdot 7 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot 5 - 2 \cdot 2 \cdot 6 - 1 \cdot 7 \cdot 5 - 3 \cdot 8 \cdot 1 = 48 + 14 + 30 - 24 - 35  - 24 = 9 \\

 \text{cara 2} \\
 det A &amp;= a_{11} \cdot c_{11} + a_{12} \cdot c_{12} + a_{13} \cdot c_{13} \\
 &amp;= 1 \cdot (-1)^{1+1} \cdot \begin{bmatrix}
  8 &amp; 7 \\
  5 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix} + 2 \cdot (-1)^{1+2} \cdot \begin{bmatrix}
  2 &amp; 7 \\
  1 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix} + 3 \cdot (-1)^{1+3} \cdot \begin{bmatrix}
  2 &amp; 8 \\
  1 &amp; 5 \\
  \end{bmatrix} \\
 &amp;= 1 \cdot 1 \cdot (48-35) + 2 \cdot (-1) \cdot (12-7) + 3 \cdot 1 \cdot (10-8) \\
 &amp;= 13 - 10 + 6 = 9 \\

* \text{cara 1} \\
 kof (A) &amp;= \begin{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
  8 &amp; 7 \\
  5 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix} &amp; -\begin{bmatrix}
  2 &amp; 7 \\
  1 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix} &amp; \begin{bmatrix}
  2 &amp; 8 \\
  1 &amp; 5 \\
  \end{bmatrix} \\
  -\begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 \\
  5 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix} &amp; \begin{bmatrix}
  1 &amp; 3 \\
  1 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix} &amp; -\begin{bmatrix}
  1 &amp; 2 \\
  1 &amp; 5 \\
  \end{bmatrix} \\
 \begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 \\
  8 &amp; 7 \\
  \end{bmatrix} &amp; -\begin{bmatrix}
  1 &amp; 3 \\
  2 &amp; 7 \\
  \end{bmatrix} &amp;\begin{bmatrix}
  1 &amp; 2 \\
  2 &amp; 8 \\
  \end{bmatrix} \\
  \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  13 &amp; -5 &amp; 2 \\
  3 &amp; 3 &amp; -3 \\
  -10 &amp; -1 &amp; 4 \\
  \end{bmatrix} \\

 adj (A) &amp;= (kof (A))^T \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  13 &amp; 3 &amp; -10 \\
  -5 &amp; 3 &amp; -1 \\
  2 &amp; -3 &amp; 4 \\
  \end{bmatrix} \\

 A^{-1} &amp;= \frac{adj A}{det A} \\
 &amp;= \frac{1}{9} \cdot \begin{bmatrix}
  13 &amp; 3 &amp; -10 \\
  -5 &amp; 3 &amp; -1 \\
  2 &amp; -3 &amp; 4 \\
  \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{13}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{10}{9} \\
  -\frac{5}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{1}{9} \\
  \frac{2}{9} &amp; -\frac{1}{3} &amp; \frac{4}{9} \\
  \end{bmatrix} \\

 \text{cara 2} \\
 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \\
 2 &amp; 8 &amp; 7 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 \\
 1 &amp; 5 &amp; 6 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {b2-2b1} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \\
 0 &amp; 4 &amp; 1 &amp; -2 &amp; 1 &amp; 0 \\
 1 &amp; 5 &amp; 6 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {b3-b1} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \\
 0 &amp; 4 &amp; 1 &amp; -2 &amp; 1 &amp; 0 \\
 0 &amp; 3 &amp; 3 &amp; -1 &amp; 0 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {1/4b2} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \\
 0 &amp; 1 &amp; \frac{1}{4} &amp; -\frac{1}{2} &amp; \frac{1}{4} &amp; 0 \\
 0 &amp; 3 &amp; 3 &amp; -1 &amp; 0 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {b1-2b2} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 0 &amp; \frac{5}{2} &amp; 2 &amp; -\frac{1}{2} &amp; 0 \\
 0 &amp; 1 &amp; \frac{1}{4} &amp; -\frac{1}{2} &amp; \frac{1}{4} &amp; 0 \\
 0 &amp; 3 &amp; 3 &amp; -1 &amp; 0 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {b3-3b2} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 0 &amp; \frac{5}{2} &amp; 2 &amp; -\frac{1}{2} &amp; 0 \\
 0 &amp; 1 &amp; \frac{1}{4} &amp; -\frac{1}{2} &amp; \frac{1}{4} &amp; 0 \\
 0 &amp; 0 &amp; \frac{9}{4} &amp; \frac{1}{2} &amp; -\frac{3}{4} &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {4/9b3} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 0 &amp; \frac{5}{2} &amp; 2 &amp; -\frac{1}{2} &amp; 0 \\
 0 &amp; 1 &amp; \frac{1}{4} &amp; -\frac{1}{2} &amp; \frac{1}{4} &amp; 0 \\
 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; \frac{2}{9} &amp; -\frac{1}{3} &amp; \frac{4}{9} \\
 \end{array} \\
 \text {b1-5/2b3} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; \frac{13}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{10}{9} \\
 0 &amp; 1 &amp; \frac{1}{4} &amp; -\frac{1}{2} &amp; \frac{1}{4} &amp; 0 \\
 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; \frac{2}{9} &amp; -\frac{1}{3} &amp; \frac{4}{9} \\
 \end{array} \\
 \text {b2-1/4b3} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; \frac{13}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{10}{9} \\
 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; -\frac{5}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{1}{9} \\
 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; \frac{2}{9} &amp; -\frac{1}{3} &amp; \frac{4}{9} \\
 \end{array} \\

 \text{jadi } A^{-1} &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{13}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{10}{9} \\
  -\frac{5}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{1}{9} \\
  \frac{2}{9} &amp; -\frac{1}{3} &amp; \frac{4}{9} \\
  \end{bmatrix} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai x dan y dari 2x + 3y = 16 serta 3x + y = 10!
; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 \\
  3 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  16 \\
  10 \\
  \end{bmatrix} \\

 \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 \\
  3 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  16 \\
  10 \\
  \end{bmatrix} \\

 \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= \frac{1}{2(1) - 3(3)} \begin{bmatrix}
  1 &amp; -3 \\
  -3 &amp; 2 \\
  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  16 \\
  10 \\
  \end{bmatrix} \\

 \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= -\frac{1}{7} \begin{bmatrix}
  1 &amp; -3 \\
  -3 &amp; 2 \\
  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  16 \\
  10 \\
  \end{bmatrix} \\

 \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= -\frac{1}{7} \begin{bmatrix}
  -14 \\
  -28 \\
  \end{bmatrix} \\

 \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  4 \\
  \end{bmatrix} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 D &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 \\
  3 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} = 2(1) - 3(3) = -7 \\

 D_x &amp;= \begin{bmatrix}
  16 &amp; 3 \\
  10 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} = 16(1) - 10(3) = -14 \\
 
 D_y &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; 16 \\
  3 &amp; 10 \\
  \end{bmatrix} = 2(10) - 3(16) = -28 \\

 x &amp;= \frac{-14}{-7} = 2 \\
 y &amp;= \frac{-28}{-7} = 4 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai x, y dan z dari 2x + 3y + 5z = 17, 3x + y + 4z = 15 serta x + 7y + z = 18!
; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{array}{rrr|r}
 2 &amp; 3 &amp; 5 &amp; 17 \\
 3 &amp; 1 &amp; 4 &amp; 15 \\
 1 &amp; 7 &amp; 1 &amp; 18 \\
 \end{array} \\
 \text {b1/2} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; \frac{3}{2} &amp; \frac{5}{2} &amp; \frac{17}{2} \\
 3 &amp; 1 &amp; 4 &amp; 15 \\
 1 &amp; 7 &amp; 1 &amp; 18 \\
 \end{array} \\
 \text {b2-3b1} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; \frac{3}{2} &amp; \frac{5}{2} &amp; \frac{17}{2} \\
 0 &amp; -\frac{7}{2} &amp; -\frac{7}{2} &amp; -\frac{21}{2} \\
 1 &amp; 7 &amp; 1 &amp; 18 \\
 \end{array} \\
 \text {b3-b1} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; \frac{3}{2} &amp; \frac{5}{2} &amp; \frac{17}{2} \\
 0 &amp; -\frac{7}{2} &amp; -\frac{7}{2} &amp; -\frac{21}{2} \\
 0 &amp; \frac{11}{2} &amp; -\frac{3}{2} &amp; \frac{19}{2} \\
 \end{array} \\
 \text {-2b2/7} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; \frac{3}{2} &amp; \frac{5}{2} &amp; \frac{17}{2} \\
 0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 3 \\
 0 &amp; \frac{11}{2} &amp; -\frac{3}{2} &amp; \frac{19}{2} \\
 \end{array} \\
 \text {b1-3b2/2} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 4 \\
 0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 3 \\
 0 &amp; \frac{11}{2} &amp; -\frac{3}{2} &amp; \frac{19}{2} \\
 \end{array} \\
 \text {b3-11b2/2} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 4 \\
 0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 3 \\
 0 &amp; 0 &amp; -7 &amp; -7 \\
 \end{array} \\
 \text {-b3/7} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 4 \\
 0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 3 \\
 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {b1-b3} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 3 \\
 0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 3 \\
 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {b2-b3} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 3 \\
 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 2 \\
 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 D &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 &amp; 5 \\
  3 &amp; 1 &amp; 4 \\
  1 &amp; 7 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} = 2(1)(1) + 3(4)(1) + 5(3)(7) - 1(1)(5) - 7(4)(2) - 1(3)(3) = 49 \\

 D_x &amp;= \begin{bmatrix}
  17 &amp; 3 &amp; 5 \\
  15 &amp; 1 &amp; 4 \\
  18 &amp; 7 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} = 17(1)(1) + 3(4)(18) + 5(15)(7) - 18(1)(5) - 7(4)(17) - 1(15)(3) = 147 \\
 
 D_y &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; 17 &amp; 5 \\
  3 &amp; 15 &amp; 4 \\
  1 &amp; 18 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} = 2(15)(1) + 17(4)(1) + 5(3)(18) - 1(15)(5) - 18(4)(2) - 1(3)(17) = 98 \\

 D_z &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 &amp; 17 \\
  3 &amp; 1 &amp; 15 \\
  1 &amp; 7 &amp; 18 \\
  \end{bmatrix} = 2(1)(18) + 3(15)(1) + 17(3)(7) - 1(1)(17) - 7(15)(2) - 18(3)(3) = 49 \\

 x &amp;= \frac{147}{49} = 3 \\
 y &amp;= \frac{98}{49} = 2 \\
 z &amp;= \frac{49}{49} = 1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>m0j7uu4isy0nmcqg085rxva25jooo7f</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>115003</id>
      <parentid>115002</parentid>
      <timestamp>2026-04-26T11:34:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25546-23</username>
        <id>43043</id>
      </contributor>
      <comment>/* ordo 3x3 */</comment>
      <origin>115003</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="17236" sha1="32j7w6sd5kglhdx19hzbyzlce6kljf3" xml:space="preserve">== Bentuk dan sifat matriks ==
;bentuk:
* ordo 2x2: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; b \\
  c &amp; d \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

* ordo 3x3: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; b &amp; c \\
  d &amp; e &amp; f \\
  g &amp; h &amp; i \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

;sifat:
# komutatif
* A + B = B + A
# asosiatif
* (A + B) + C = A + (B + C)
* (A . B) . C = A. (B x C)
# distributif
* A . (B + C) = A . B + A . C
* A . (B - C) = A . B - A . C
# (k . A) . B = k. (A . B)
# A . B ≠ B . A
# A . I = A
# (A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = A
# A . A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; . A = I
# (A . B)&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = B&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; . A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;
# (A . B)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = B&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; . A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
# (A . B . C)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = C&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; . B&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; . A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
# det (A . B) = det A . det B
# A = B . C &lt;=&gt; det A = det B . det C
# det (A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;) = det A
# det (A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) . det A = 1 (invers bukan pangkat)
# det (A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) . det A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = 1 (karena det (A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;) = det A)
# det (A&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;) = (det A)&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;
# det (k . A) = k&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; . det A

;vektor baris: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}3 &amp; 7 &amp; 2 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;
;vektor kolom: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}4 \\ 1 \\ 8 \\ \end{bmatrix}&lt;/math&gt;
;matriks persegi: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  9 &amp; 13 &amp; 5 \\
  1 &amp; 11 &amp; 7 \\
  2 &amp; 6  &amp; 3 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a_{11} &amp; a_{12} &amp; a_{13} \\
  a_{21} &amp; a_{22} &amp; a_{23} \\
  a_{31} &amp; a_{32} &amp; a_{33} \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

*baris: 
:# pertama: a11, a12 dan a13
:# kedua: a21, a22 dan a23
:# ketiga: a31, a32 dan a33

*kolom:
:# pertama: a11, a21 dan a31
:# kedua: a12, a22 dan a32
:# ketiga: a13, a23 dan a33

*diagonal
:# sisi kiri ke kanan: a11, a22 dan a33 (utama)
:# sisi kanan ke kiri: a13, a22 dan a31 (samping)

*Matriks diagonal 
&lt;math&gt;
\begin{bmatrix}
a_{11} &amp; 0      &amp; 0 \\
     0 &amp; a_{22} &amp; 0 \\
     0 &amp; 0      &amp; a_{33} \\
\end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

*Matriks segitiga bawah 
&lt;math&gt;
\begin{bmatrix}
a_{11} &amp;      0 &amp; 0 \\
a_{21} &amp; a_{22} &amp; 0 \\
a_{31} &amp; a_{32} &amp; a_{33} \\
\end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

*Matriks segitiga atas 
&lt;math&gt;
\begin{bmatrix}
a_{11} &amp; a_{12} &amp; a_{13} \\
     0 &amp; a_{22} &amp; a_{23} \\
     0 &amp;      0 &amp; a_{33} \\
\end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

== matriks perkalian ==
&lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; b \\
  c &amp; d \\
  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  e &amp; f \\
  g &amp; h \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  ae + bg &amp; af + bh \\
  ce + dg &amp; cf + dh \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

=== ordo 2x2 ===
; bentuk: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; b \\
  c &amp; d \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

; Matriks transpos (A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;): &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; c \\
  b &amp; d 
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

;* matriks simetris

A = A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;

A = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; d \\
  c &amp; b \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; d \\
  c &amp; b \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

;* matriks simetris miring

A = -A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;

A = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; d \\
  c &amp; b \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  -a &amp; -d \\
  -c &amp; -b \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

; Determinan (Det): ad - bc
Matriks singular adalah matriks yang hasil determinan bernilai nol sedangkan matriks nonsingular adalah matriks yang hasil determinan bernilai bukan nol.

Matriks nonsingular memiliki ciri yang khas yaitu kolom pertama dan kolom kedua merupakan kelipatan yang sama. contoh:
&lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -4 \\
  4 &amp; -8 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  5 &amp; 15 \\
  11 &amp; 33 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, dst

; Adjoint (Adj): &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  d &amp; -b \\
  -c &amp; a \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

; Matriks inverse (A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;): &lt;math&gt;\frac{1}{\text {det A}}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  d &amp; -b \\
  -c &amp; a \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

=== ordo 3x3 ===
; bentuk: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; b &amp; c \\
  d &amp; e &amp; f \\
  g &amp; h &amp; i \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

; Matriks transpos (A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;): &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; d &amp; g \\
  b &amp; e &amp; h \\
  c &amp; f &amp; i \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

;* matriks simetris

A = A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;

A = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; d &amp; e \\
  d &amp; b &amp; f \\
  e &amp; f &amp; c \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; d &amp; e \\
  d &amp; b &amp; f \\
  e &amp; f &amp; c \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

;* matriks simetris miring

A = -A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;

A = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; d &amp; e \\
  d &amp; b &amp; f \\
  e &amp; f &amp; c \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  -a &amp; -d &amp; -e \\
  -d &amp; -b &amp; -f \\
  -e &amp; -f &amp; -c \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

; Determinan (Det):
* dengan aturan sarrus
&lt;math&gt;\begin{align}
\begin{array}{rrr|rr}
 a &amp; b &amp; c &amp; a &amp; b \\
 d &amp; e &amp; f &amp; d &amp; e \\
 g &amp; h &amp; i &amp; g &amp; h \\
 - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
 \end{array} \\
\end{align}&lt;/math&gt;
: det A = aei + bfg + cdh - bdi - afh - ceg

* dengan minor-kofaktor
: untuk minor M&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; = det A&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt;
: untuk kofaktor C&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; = (-1)&lt;sup&gt;i+j&lt;/sup&gt; . M&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt;
: det A = &lt;math&gt;\sum_{j=1}^n i= a_{ij} \cdot C_{ij}&lt;/math&gt; dimana sembarang baris i atau kolom j (i atau j = 1, 2, 3, ..., n)

Matriks nonsingular memiliki ciri yang khas yaitu kolom pertama, kolom kedua dan/atau kolom tiga merupakan kelipatan yang sama. contoh:
&lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  3 &amp; -7 &amp; 6 \\
  4 &amp; 1 &amp; 8 \\
  -5 &amp; 2 &amp; -10 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  -6 &amp; -1 &amp; -4 \\
  12 &amp; 2 &amp; 8 \\
  18 &amp; 3 &amp; 12 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, dst

; Adjoint (Adj): 
: kof (A) = (-1)&lt;sup&gt;i+j&lt;/sup&gt; . M&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt;
: kof (A) = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  M_{11} &amp; -M_{12} &amp; M_{13} \\
  -M_{21} &amp; M_{22} &amp; -M_{23} \\
  M_{31} &amp; -M_{32} &amp; M_{33} \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;
: adj A = (kof (A))&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;

; Matriks inverse (A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;):
* dengan adjoint
::&lt;math&gt;\frac{adj A}{\text {det A}}&lt;/math&gt;

* dengan elementer
::A | I diubah menjadi I | A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;

== matriks persamaan linear (aturan cramer) ==

=== ordo 2x2 (dua variabel) ===
persamaan linear yaitu a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x + b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y = c&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; serta a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;x + b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y = c&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.

maka sebagai berikut:
: D = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a_1 &amp; b_1 \\
  a_2 &amp; b_2 \\
  \end{bmatrix} = a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1&lt;/math&gt;

: D&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  c_1 &amp; b_1 \\
  c_2 &amp; b_2 \\
  \end{bmatrix} = c_1 \cdot b_2 - c_2 \cdot b_1&lt;/math&gt;

: D&lt;sub&gt;y&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a_1 &amp; c_1 \\
  a_2 &amp; c_2 \\
  \end{bmatrix} = a_1 \cdot c_2 - a_2 \cdot c_1&lt;/math&gt;

: x = &lt;math&gt;\frac{D_x}{D}&lt;/math&gt; serta y = &lt;math&gt;\frac{D_y}{D}&lt;/math&gt;

=== ordo 3x3 (tiga variabel) ===
persamaan linear yaitu a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x + b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y + c&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;z = d&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;x + b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y + c&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;z = d&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; serta a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;x + b&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;y + c&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;z = d&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;.

maka sebagai berikut:
: D = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a_1 &amp; b_1 &amp; c_1 \\
  a_2 &amp; b_2 &amp; c_2 \\
  a_3 &amp; b_3 &amp; c_3 \\
  \end{bmatrix} = a_1 \cdot b_2 \cdot c_3 + b_1 \cdot c_2 \cdot a_3 + c_1 \cdot a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \cdot c_1 - b_3 \cdot c_2 \cdot a_1 - c_3 \cdot a_2 \cdot b_1&lt;/math&gt;

: D&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  d_1 &amp; b_1 &amp; c_1 \\
  d_2 &amp; b_2 &amp; c_2 \\
  d_3 &amp; b_3 &amp; c_3 \\
  \end{bmatrix} = d_1 \cdot b_2 \cdot c_3 + b_1 \cdot c_2 \cdot d_3 + c_1 \cdot d_2 \cdot b_3 - d_3 \cdot b_2 \cdot c_1 - b_3 \cdot c_2 \cdot d_1 - c_3 \cdot d_2 \cdot b_1&lt;/math&gt;

: D&lt;sub&gt;y&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a_1 &amp; d_1 &amp; c_1 \\
  a_2 &amp; d_2 &amp; c_2 \\
  a_3 &amp; d_3 &amp; c_3 \\
  \end{bmatrix} = a_1 \cdot d_2 \cdot c_3 + d_1 \cdot c_2 \cdot a_3 + c_1 \cdot a_2 \cdot d_3 - a_3 \cdot d_2 \cdot c_1 - d_3 \cdot c_2 \cdot a_1 - c_3 \cdot a_2 \cdot d_1&lt;/math&gt;

: D&lt;sub&gt;z&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a_1 &amp; b_1 &amp; d_1 \\
  a_2 &amp; b_2 &amp; d_2 \\
  a_3 &amp; b_3 &amp; d_3 \\
  \end{bmatrix} = a_1 \cdot b_2 \cdot d_3 + b_1 \cdot d_2 \cdot a_3 + d_1 \cdot a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \cdot d_1 - b_3 \cdot d_2 \cdot a_1 - d_3 \cdot a_2 \cdot b_1&lt;/math&gt;

: x = &lt;math&gt;\frac{D_x}{D}&lt;/math&gt;, y = &lt;math&gt;\frac{D_y}{D}&lt;/math&gt; serta z = &lt;math&gt;\frac{D_z}{D}&lt;/math&gt;

contoh

# tentukan hasil determinan serta matriks invers dari &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; 1 \\
  6 &amp; 4 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* det A &amp;= 2 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 8 - 6 = 2 \\
* A^{-1} &amp;= \frac{1}{det A} \cdot \begin{bmatrix}
  4 &amp; -1 \\
  -6 &amp; 2 \\
  \end{bmatrix} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{bmatrix}
  4 &amp; -1 \\
  -6 &amp; 2 \\
  \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -\frac{1}{2} \\
  -3 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan hasil determinan serta matriks invers dari &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  1 &amp; 2 &amp; 3 \\
  2 &amp; 8 &amp; 7 \\
  1 &amp; 5 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* \text{cara 1} \\
 \begin{array}{rrr|rr}
 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp; 2 \\
 2 &amp; 8 &amp; 7 &amp; 2 &amp; 8 \\
 1 &amp; 5 &amp; 6 &amp; 1 &amp; 5  \\
 - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
 \end{array} \\
 det A &amp;= 1 \cdot 8 \cdot 6 + 2 \cdot 7 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot 5 - 2 \cdot 2 \cdot 6 - 1 \cdot 7 \cdot 5 - 3 \cdot 8 \cdot 1 = 48 + 14 + 30 - 24 - 35  - 24 = 9 \\

 \text{cara 2} \\
 det A &amp;= a_{11} \cdot c_{11} + a_{12} \cdot c_{12} + a_{13} \cdot c_{13} \\
 &amp;= 1 \cdot (-1)^{1+1} \cdot \begin{bmatrix}
  8 &amp; 7 \\
  5 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix} + 2 \cdot (-1)^{1+2} \cdot \begin{bmatrix}
  2 &amp; 7 \\
  1 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix} + 3 \cdot (-1)^{1+3} \cdot \begin{bmatrix}
  2 &amp; 8 \\
  1 &amp; 5 \\
  \end{bmatrix} \\
 &amp;= 1 \cdot 1 \cdot (48-35) + 2 \cdot (-1) \cdot (12-7) + 3 \cdot 1 \cdot (10-8) \\
 &amp;= 13 - 10 + 6 = 9 \\

* \text{cara 1} \\
 kof (A) &amp;= \begin{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
  8 &amp; 7 \\
  5 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix} &amp; -\begin{bmatrix}
  2 &amp; 7 \\
  1 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix} &amp; \begin{bmatrix}
  2 &amp; 8 \\
  1 &amp; 5 \\
  \end{bmatrix} \\
  -\begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 \\
  5 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix} &amp; \begin{bmatrix}
  1 &amp; 3 \\
  1 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix} &amp; -\begin{bmatrix}
  1 &amp; 2 \\
  1 &amp; 5 \\
  \end{bmatrix} \\
 \begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 \\
  8 &amp; 7 \\
  \end{bmatrix} &amp; -\begin{bmatrix}
  1 &amp; 3 \\
  2 &amp; 7 \\
  \end{bmatrix} &amp;\begin{bmatrix}
  1 &amp; 2 \\
  2 &amp; 8 \\
  \end{bmatrix} \\
  \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  13 &amp; -5 &amp; 2 \\
  3 &amp; 3 &amp; -3 \\
  -10 &amp; -1 &amp; 4 \\
  \end{bmatrix} \\

 adj (A) &amp;= (kof (A))^T \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  13 &amp; 3 &amp; -10 \\
  -5 &amp; 3 &amp; -1 \\
  2 &amp; -3 &amp; 4 \\
  \end{bmatrix} \\

 A^{-1} &amp;= \frac{adj A}{det A} \\
 &amp;= \frac{1}{9} \cdot \begin{bmatrix}
  13 &amp; 3 &amp; -10 \\
  -5 &amp; 3 &amp; -1 \\
  2 &amp; -3 &amp; 4 \\
  \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{13}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{10}{9} \\
  -\frac{5}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{1}{9} \\
  \frac{2}{9} &amp; -\frac{1}{3} &amp; \frac{4}{9} \\
  \end{bmatrix} \\

 \text{cara 2} \\
 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \\
 2 &amp; 8 &amp; 7 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 \\
 1 &amp; 5 &amp; 6 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {b2-2b1} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \\
 0 &amp; 4 &amp; 1 &amp; -2 &amp; 1 &amp; 0 \\
 1 &amp; 5 &amp; 6 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {b3-b1} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \\
 0 &amp; 4 &amp; 1 &amp; -2 &amp; 1 &amp; 0 \\
 0 &amp; 3 &amp; 3 &amp; -1 &amp; 0 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {1/4b2} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \\
 0 &amp; 1 &amp; \frac{1}{4} &amp; -\frac{1}{2} &amp; \frac{1}{4} &amp; 0 \\
 0 &amp; 3 &amp; 3 &amp; -1 &amp; 0 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {b1-2b2} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 0 &amp; \frac{5}{2} &amp; 2 &amp; -\frac{1}{2} &amp; 0 \\
 0 &amp; 1 &amp; \frac{1}{4} &amp; -\frac{1}{2} &amp; \frac{1}{4} &amp; 0 \\
 0 &amp; 3 &amp; 3 &amp; -1 &amp; 0 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {b3-3b2} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 0 &amp; \frac{5}{2} &amp; 2 &amp; -\frac{1}{2} &amp; 0 \\
 0 &amp; 1 &amp; \frac{1}{4} &amp; -\frac{1}{2} &amp; \frac{1}{4} &amp; 0 \\
 0 &amp; 0 &amp; \frac{9}{4} &amp; \frac{1}{2} &amp; -\frac{3}{4} &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {4/9b3} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 0 &amp; \frac{5}{2} &amp; 2 &amp; -\frac{1}{2} &amp; 0 \\
 0 &amp; 1 &amp; \frac{1}{4} &amp; -\frac{1}{2} &amp; \frac{1}{4} &amp; 0 \\
 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; \frac{2}{9} &amp; -\frac{1}{3} &amp; \frac{4}{9} \\
 \end{array} \\
 \text {b1-5/2b3} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; \frac{13}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{10}{9} \\
 0 &amp; 1 &amp; \frac{1}{4} &amp; -\frac{1}{2} &amp; \frac{1}{4} &amp; 0 \\
 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; \frac{2}{9} &amp; -\frac{1}{3} &amp; \frac{4}{9} \\
 \end{array} \\
 \text {b2-1/4b3} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; \frac{13}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{10}{9} \\
 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; -\frac{5}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{1}{9} \\
 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; \frac{2}{9} &amp; -\frac{1}{3} &amp; \frac{4}{9} \\
 \end{array} \\

 \text{jadi } A^{-1} &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{13}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{10}{9} \\
  -\frac{5}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{1}{9} \\
  \frac{2}{9} &amp; -\frac{1}{3} &amp; \frac{4}{9} \\
  \end{bmatrix} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai x dan y dari 2x + 3y = 16 serta 3x + y = 10!
; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 \\
  3 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  16 \\
  10 \\
  \end{bmatrix} \\

 \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 \\
  3 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  16 \\
  10 \\
  \end{bmatrix} \\

 \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= \frac{1}{2(1) - 3(3)} \begin{bmatrix}
  1 &amp; -3 \\
  -3 &amp; 2 \\
  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  16 \\
  10 \\
  \end{bmatrix} \\

 \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= -\frac{1}{7} \begin{bmatrix}
  1 &amp; -3 \\
  -3 &amp; 2 \\
  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  16 \\
  10 \\
  \end{bmatrix} \\

 \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= -\frac{1}{7} \begin{bmatrix}
  -14 \\
  -28 \\
  \end{bmatrix} \\

 \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  4 \\
  \end{bmatrix} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 D &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 \\
  3 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} = 2(1) - 3(3) = -7 \\

 D_x &amp;= \begin{bmatrix}
  16 &amp; 3 \\
  10 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} = 16(1) - 10(3) = -14 \\
 
 D_y &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; 16 \\
  3 &amp; 10 \\
  \end{bmatrix} = 2(10) - 3(16) = -28 \\

 x &amp;= \frac{-14}{-7} = 2 \\
 y &amp;= \frac{-28}{-7} = 4 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai x, y dan z dari 2x + 3y + 5z = 17, 3x + y + 4z = 15 serta x + 7y + z = 18!
; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{array}{rrr|r}
 2 &amp; 3 &amp; 5 &amp; 17 \\
 3 &amp; 1 &amp; 4 &amp; 15 \\
 1 &amp; 7 &amp; 1 &amp; 18 \\
 \end{array} \\
 \text {b1/2} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; \frac{3}{2} &amp; \frac{5}{2} &amp; \frac{17}{2} \\
 3 &amp; 1 &amp; 4 &amp; 15 \\
 1 &amp; 7 &amp; 1 &amp; 18 \\
 \end{array} \\
 \text {b2-3b1} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; \frac{3}{2} &amp; \frac{5}{2} &amp; \frac{17}{2} \\
 0 &amp; -\frac{7}{2} &amp; -\frac{7}{2} &amp; -\frac{21}{2} \\
 1 &amp; 7 &amp; 1 &amp; 18 \\
 \end{array} \\
 \text {b3-b1} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; \frac{3}{2} &amp; \frac{5}{2} &amp; \frac{17}{2} \\
 0 &amp; -\frac{7}{2} &amp; -\frac{7}{2} &amp; -\frac{21}{2} \\
 0 &amp; \frac{11}{2} &amp; -\frac{3}{2} &amp; \frac{19}{2} \\
 \end{array} \\
 \text {-2b2/7} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; \frac{3}{2} &amp; \frac{5}{2} &amp; \frac{17}{2} \\
 0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 3 \\
 0 &amp; \frac{11}{2} &amp; -\frac{3}{2} &amp; \frac{19}{2} \\
 \end{array} \\
 \text {b1-3b2/2} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 4 \\
 0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 3 \\
 0 &amp; \frac{11}{2} &amp; -\frac{3}{2} &amp; \frac{19}{2} \\
 \end{array} \\
 \text {b3-11b2/2} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 4 \\
 0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 3 \\
 0 &amp; 0 &amp; -7 &amp; -7 \\
 \end{array} \\
 \text {-b3/7} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 4 \\
 0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 3 \\
 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {b1-b3} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 3 \\
 0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 3 \\
 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {b2-b3} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 3 \\
 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 2 \\
 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 D &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 &amp; 5 \\
  3 &amp; 1 &amp; 4 \\
  1 &amp; 7 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} = 2(1)(1) + 3(4)(1) + 5(3)(7) - 1(1)(5) - 7(4)(2) - 1(3)(3) = 49 \\

 D_x &amp;= \begin{bmatrix}
  17 &amp; 3 &amp; 5 \\
  15 &amp; 1 &amp; 4 \\
  18 &amp; 7 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} = 17(1)(1) + 3(4)(18) + 5(15)(7) - 18(1)(5) - 7(4)(17) - 1(15)(3) = 147 \\
 
 D_y &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; 17 &amp; 5 \\
  3 &amp; 15 &amp; 4 \\
  1 &amp; 18 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} = 2(15)(1) + 17(4)(1) + 5(3)(18) - 1(15)(5) - 18(4)(2) - 1(3)(17) = 98 \\

 D_z &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 &amp; 17 \\
  3 &amp; 1 &amp; 15 \\
  1 &amp; 7 &amp; 18 \\
  \end{bmatrix} = 2(1)(18) + 3(15)(1) + 17(3)(7) - 1(1)(17) - 7(15)(2) - 18(3)(3) = 49 \\

 x &amp;= \frac{147}{49} = 3 \\
 y &amp;= \frac{98}{49} = 2 \\
 z &amp;= \frac{49}{49} = 1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>32j7w6sd5kglhdx19hzbyzlce6kljf3</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>115004</id>
      <parentid>115003</parentid>
      <timestamp>2026-04-26T11:35:44Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25546-23</username>
        <id>43043</id>
      </contributor>
      <comment>/* ordo 3x3 */</comment>
      <origin>115004</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="17253" sha1="9mnaoc4l8qt665t4ri7pl0z6aiztgkx" xml:space="preserve">== Bentuk dan sifat matriks ==
;bentuk:
* ordo 2x2: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; b \\
  c &amp; d \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

* ordo 3x3: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; b &amp; c \\
  d &amp; e &amp; f \\
  g &amp; h &amp; i \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

;sifat:
# komutatif
* A + B = B + A
# asosiatif
* (A + B) + C = A + (B + C)
* (A . B) . C = A. (B x C)
# distributif
* A . (B + C) = A . B + A . C
* A . (B - C) = A . B - A . C
# (k . A) . B = k. (A . B)
# A . B ≠ B . A
# A . I = A
# (A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = A
# A . A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; . A = I
# (A . B)&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = B&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; . A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;
# (A . B)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = B&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; . A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
# (A . B . C)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = C&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; . B&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; . A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
# det (A . B) = det A . det B
# A = B . C &lt;=&gt; det A = det B . det C
# det (A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;) = det A
# det (A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) . det A = 1 (invers bukan pangkat)
# det (A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) . det A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = 1 (karena det (A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;) = det A)
# det (A&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;) = (det A)&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;
# det (k . A) = k&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; . det A

;vektor baris: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}3 &amp; 7 &amp; 2 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;
;vektor kolom: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}4 \\ 1 \\ 8 \\ \end{bmatrix}&lt;/math&gt;
;matriks persegi: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  9 &amp; 13 &amp; 5 \\
  1 &amp; 11 &amp; 7 \\
  2 &amp; 6  &amp; 3 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a_{11} &amp; a_{12} &amp; a_{13} \\
  a_{21} &amp; a_{22} &amp; a_{23} \\
  a_{31} &amp; a_{32} &amp; a_{33} \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

*baris: 
:# pertama: a11, a12 dan a13
:# kedua: a21, a22 dan a23
:# ketiga: a31, a32 dan a33

*kolom:
:# pertama: a11, a21 dan a31
:# kedua: a12, a22 dan a32
:# ketiga: a13, a23 dan a33

*diagonal
:# sisi kiri ke kanan: a11, a22 dan a33 (utama)
:# sisi kanan ke kiri: a13, a22 dan a31 (samping)

*Matriks diagonal 
&lt;math&gt;
\begin{bmatrix}
a_{11} &amp; 0      &amp; 0 \\
     0 &amp; a_{22} &amp; 0 \\
     0 &amp; 0      &amp; a_{33} \\
\end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

*Matriks segitiga bawah 
&lt;math&gt;
\begin{bmatrix}
a_{11} &amp;      0 &amp; 0 \\
a_{21} &amp; a_{22} &amp; 0 \\
a_{31} &amp; a_{32} &amp; a_{33} \\
\end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

*Matriks segitiga atas 
&lt;math&gt;
\begin{bmatrix}
a_{11} &amp; a_{12} &amp; a_{13} \\
     0 &amp; a_{22} &amp; a_{23} \\
     0 &amp;      0 &amp; a_{33} \\
\end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

== matriks perkalian ==
&lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; b \\
  c &amp; d \\
  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  e &amp; f \\
  g &amp; h \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  ae + bg &amp; af + bh \\
  ce + dg &amp; cf + dh \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

=== ordo 2x2 ===
; bentuk: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; b \\
  c &amp; d \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

; Matriks transpos (A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;): &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; c \\
  b &amp; d 
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

;* matriks simetris

A = A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;

A = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; d \\
  c &amp; b \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; d \\
  c &amp; b \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

;* matriks simetris miring

A = -A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;

A = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; d \\
  c &amp; b \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  -a &amp; -d \\
  -c &amp; -b \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

; Determinan (Det): ad - bc
Matriks singular adalah matriks yang hasil determinan bernilai nol sedangkan matriks nonsingular adalah matriks yang hasil determinan bernilai bukan nol.

Matriks nonsingular memiliki ciri yang khas yaitu kolom pertama dan kolom kedua merupakan kelipatan yang sama. contoh:
&lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -4 \\
  4 &amp; -8 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  5 &amp; 15 \\
  11 &amp; 33 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, dst

; Adjoint (Adj): &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  d &amp; -b \\
  -c &amp; a \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

; Matriks inverse (A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;): &lt;math&gt;\frac{1}{\text {det A}}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  d &amp; -b \\
  -c &amp; a \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

=== ordo 3x3 ===
; bentuk: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; b &amp; c \\
  d &amp; e &amp; f \\
  g &amp; h &amp; i \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

; Matriks transpos (A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;): &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; d &amp; g \\
  b &amp; e &amp; h \\
  c &amp; f &amp; i \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

;* matriks simetris

A = A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;

A = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; d &amp; e \\
  d &amp; b &amp; f \\
  e &amp; f &amp; c \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; d &amp; e \\
  d &amp; b &amp; f \\
  e &amp; f &amp; c \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

;* matriks simetris miring

A = -A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;

A = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; d &amp; e \\
  d &amp; b &amp; f \\
  e &amp; f &amp; c \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  -a &amp; -d &amp; -e \\
  -d &amp; -b &amp; -f \\
  -e &amp; -f &amp; -c \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

; Determinan (Det):
* dengan aturan sarrus
&lt;math&gt;\begin{align}
\begin{array}{rrr|rr}
 a &amp; b &amp; c &amp; a &amp; b \\
 d &amp; e &amp; f &amp; d &amp; e \\
 g &amp; h &amp; i &amp; g &amp; h \\
 - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
 \end{array} \\
\end{align}&lt;/math&gt;
: det A = aei + bfg + cdh - bdi - afh - ceg

* dengan minor-kofaktor
: untuk minor M&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; = det A&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt;
: untuk kofaktor C&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; = (-1)&lt;sup&gt;i+j&lt;/sup&gt; . M&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt;
: det A = &lt;math&gt;\sum_{j=1}^n i= a_{ij} \cdot C_{ij}&lt;/math&gt; dimana sembarang baris i atau kolom j (i atau j = 1, 2, 3, ..., n)

Matriks nonsingular memiliki ciri yang khas yaitu kolom pertama, kolom kedua dan/atau kolom tiga merupakan kelipatan yang sama. contoh:
&lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  3 &amp; -7 &amp; 6 \\
  4 &amp; 1 &amp; 8 \\
  -5 &amp; 2 &amp; -10 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  -6 &amp; -1 &amp; -4 \\
  12 &amp; 2 &amp; 8 \\
  18 &amp; 3 &amp; 12 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, dst

; Adjoint (Adj): 
: kof (A) = C&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; = (-1)&lt;sup&gt;i+j&lt;/sup&gt; . M&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt;
: kof (A) = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  M_{11} &amp; -M_{12} &amp; M_{13} \\
  -M_{21} &amp; M_{22} &amp; -M_{23} \\
  M_{31} &amp; -M_{32} &amp; M_{33} \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;
: adj A = (kof (A))&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;

; Matriks inverse (A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;):
* dengan adjoint
::&lt;math&gt;\frac{adj A}{\text {det A}}&lt;/math&gt;

* dengan elementer
::A | I diubah menjadi I | A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;

== matriks persamaan linear (aturan cramer) ==

=== ordo 2x2 (dua variabel) ===
persamaan linear yaitu a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x + b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y = c&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; serta a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;x + b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y = c&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.

maka sebagai berikut:
: D = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a_1 &amp; b_1 \\
  a_2 &amp; b_2 \\
  \end{bmatrix} = a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1&lt;/math&gt;

: D&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  c_1 &amp; b_1 \\
  c_2 &amp; b_2 \\
  \end{bmatrix} = c_1 \cdot b_2 - c_2 \cdot b_1&lt;/math&gt;

: D&lt;sub&gt;y&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a_1 &amp; c_1 \\
  a_2 &amp; c_2 \\
  \end{bmatrix} = a_1 \cdot c_2 - a_2 \cdot c_1&lt;/math&gt;

: x = &lt;math&gt;\frac{D_x}{D}&lt;/math&gt; serta y = &lt;math&gt;\frac{D_y}{D}&lt;/math&gt;

=== ordo 3x3 (tiga variabel) ===
persamaan linear yaitu a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x + b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y + c&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;z = d&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;x + b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y + c&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;z = d&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; serta a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;x + b&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;y + c&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;z = d&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;.

maka sebagai berikut:
: D = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a_1 &amp; b_1 &amp; c_1 \\
  a_2 &amp; b_2 &amp; c_2 \\
  a_3 &amp; b_3 &amp; c_3 \\
  \end{bmatrix} = a_1 \cdot b_2 \cdot c_3 + b_1 \cdot c_2 \cdot a_3 + c_1 \cdot a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \cdot c_1 - b_3 \cdot c_2 \cdot a_1 - c_3 \cdot a_2 \cdot b_1&lt;/math&gt;

: D&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  d_1 &amp; b_1 &amp; c_1 \\
  d_2 &amp; b_2 &amp; c_2 \\
  d_3 &amp; b_3 &amp; c_3 \\
  \end{bmatrix} = d_1 \cdot b_2 \cdot c_3 + b_1 \cdot c_2 \cdot d_3 + c_1 \cdot d_2 \cdot b_3 - d_3 \cdot b_2 \cdot c_1 - b_3 \cdot c_2 \cdot d_1 - c_3 \cdot d_2 \cdot b_1&lt;/math&gt;

: D&lt;sub&gt;y&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a_1 &amp; d_1 &amp; c_1 \\
  a_2 &amp; d_2 &amp; c_2 \\
  a_3 &amp; d_3 &amp; c_3 \\
  \end{bmatrix} = a_1 \cdot d_2 \cdot c_3 + d_1 \cdot c_2 \cdot a_3 + c_1 \cdot a_2 \cdot d_3 - a_3 \cdot d_2 \cdot c_1 - d_3 \cdot c_2 \cdot a_1 - c_3 \cdot a_2 \cdot d_1&lt;/math&gt;

: D&lt;sub&gt;z&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a_1 &amp; b_1 &amp; d_1 \\
  a_2 &amp; b_2 &amp; d_2 \\
  a_3 &amp; b_3 &amp; d_3 \\
  \end{bmatrix} = a_1 \cdot b_2 \cdot d_3 + b_1 \cdot d_2 \cdot a_3 + d_1 \cdot a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \cdot d_1 - b_3 \cdot d_2 \cdot a_1 - d_3 \cdot a_2 \cdot b_1&lt;/math&gt;

: x = &lt;math&gt;\frac{D_x}{D}&lt;/math&gt;, y = &lt;math&gt;\frac{D_y}{D}&lt;/math&gt; serta z = &lt;math&gt;\frac{D_z}{D}&lt;/math&gt;

contoh

# tentukan hasil determinan serta matriks invers dari &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; 1 \\
  6 &amp; 4 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* det A &amp;= 2 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 8 - 6 = 2 \\
* A^{-1} &amp;= \frac{1}{det A} \cdot \begin{bmatrix}
  4 &amp; -1 \\
  -6 &amp; 2 \\
  \end{bmatrix} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{bmatrix}
  4 &amp; -1 \\
  -6 &amp; 2 \\
  \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -\frac{1}{2} \\
  -3 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan hasil determinan serta matriks invers dari &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  1 &amp; 2 &amp; 3 \\
  2 &amp; 8 &amp; 7 \\
  1 &amp; 5 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* \text{cara 1} \\
 \begin{array}{rrr|rr}
 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp; 2 \\
 2 &amp; 8 &amp; 7 &amp; 2 &amp; 8 \\
 1 &amp; 5 &amp; 6 &amp; 1 &amp; 5  \\
 - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
 \end{array} \\
 det A &amp;= 1 \cdot 8 \cdot 6 + 2 \cdot 7 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot 5 - 2 \cdot 2 \cdot 6 - 1 \cdot 7 \cdot 5 - 3 \cdot 8 \cdot 1 = 48 + 14 + 30 - 24 - 35  - 24 = 9 \\

 \text{cara 2} \\
 det A &amp;= a_{11} \cdot c_{11} + a_{12} \cdot c_{12} + a_{13} \cdot c_{13} \\
 &amp;= 1 \cdot (-1)^{1+1} \cdot \begin{bmatrix}
  8 &amp; 7 \\
  5 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix} + 2 \cdot (-1)^{1+2} \cdot \begin{bmatrix}
  2 &amp; 7 \\
  1 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix} + 3 \cdot (-1)^{1+3} \cdot \begin{bmatrix}
  2 &amp; 8 \\
  1 &amp; 5 \\
  \end{bmatrix} \\
 &amp;= 1 \cdot 1 \cdot (48-35) + 2 \cdot (-1) \cdot (12-7) + 3 \cdot 1 \cdot (10-8) \\
 &amp;= 13 - 10 + 6 = 9 \\

* \text{cara 1} \\
 kof (A) &amp;= \begin{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
  8 &amp; 7 \\
  5 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix} &amp; -\begin{bmatrix}
  2 &amp; 7 \\
  1 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix} &amp; \begin{bmatrix}
  2 &amp; 8 \\
  1 &amp; 5 \\
  \end{bmatrix} \\
  -\begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 \\
  5 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix} &amp; \begin{bmatrix}
  1 &amp; 3 \\
  1 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix} &amp; -\begin{bmatrix}
  1 &amp; 2 \\
  1 &amp; 5 \\
  \end{bmatrix} \\
 \begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 \\
  8 &amp; 7 \\
  \end{bmatrix} &amp; -\begin{bmatrix}
  1 &amp; 3 \\
  2 &amp; 7 \\
  \end{bmatrix} &amp;\begin{bmatrix}
  1 &amp; 2 \\
  2 &amp; 8 \\
  \end{bmatrix} \\
  \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  13 &amp; -5 &amp; 2 \\
  3 &amp; 3 &amp; -3 \\
  -10 &amp; -1 &amp; 4 \\
  \end{bmatrix} \\

 adj (A) &amp;= (kof (A))^T \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  13 &amp; 3 &amp; -10 \\
  -5 &amp; 3 &amp; -1 \\
  2 &amp; -3 &amp; 4 \\
  \end{bmatrix} \\

 A^{-1} &amp;= \frac{adj A}{det A} \\
 &amp;= \frac{1}{9} \cdot \begin{bmatrix}
  13 &amp; 3 &amp; -10 \\
  -5 &amp; 3 &amp; -1 \\
  2 &amp; -3 &amp; 4 \\
  \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{13}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{10}{9} \\
  -\frac{5}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{1}{9} \\
  \frac{2}{9} &amp; -\frac{1}{3} &amp; \frac{4}{9} \\
  \end{bmatrix} \\

 \text{cara 2} \\
 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \\
 2 &amp; 8 &amp; 7 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 \\
 1 &amp; 5 &amp; 6 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {b2-2b1} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \\
 0 &amp; 4 &amp; 1 &amp; -2 &amp; 1 &amp; 0 \\
 1 &amp; 5 &amp; 6 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {b3-b1} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \\
 0 &amp; 4 &amp; 1 &amp; -2 &amp; 1 &amp; 0 \\
 0 &amp; 3 &amp; 3 &amp; -1 &amp; 0 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {1/4b2} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \\
 0 &amp; 1 &amp; \frac{1}{4} &amp; -\frac{1}{2} &amp; \frac{1}{4} &amp; 0 \\
 0 &amp; 3 &amp; 3 &amp; -1 &amp; 0 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {b1-2b2} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 0 &amp; \frac{5}{2} &amp; 2 &amp; -\frac{1}{2} &amp; 0 \\
 0 &amp; 1 &amp; \frac{1}{4} &amp; -\frac{1}{2} &amp; \frac{1}{4} &amp; 0 \\
 0 &amp; 3 &amp; 3 &amp; -1 &amp; 0 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {b3-3b2} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 0 &amp; \frac{5}{2} &amp; 2 &amp; -\frac{1}{2} &amp; 0 \\
 0 &amp; 1 &amp; \frac{1}{4} &amp; -\frac{1}{2} &amp; \frac{1}{4} &amp; 0 \\
 0 &amp; 0 &amp; \frac{9}{4} &amp; \frac{1}{2} &amp; -\frac{3}{4} &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {4/9b3} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 0 &amp; \frac{5}{2} &amp; 2 &amp; -\frac{1}{2} &amp; 0 \\
 0 &amp; 1 &amp; \frac{1}{4} &amp; -\frac{1}{2} &amp; \frac{1}{4} &amp; 0 \\
 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; \frac{2}{9} &amp; -\frac{1}{3} &amp; \frac{4}{9} \\
 \end{array} \\
 \text {b1-5/2b3} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; \frac{13}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{10}{9} \\
 0 &amp; 1 &amp; \frac{1}{4} &amp; -\frac{1}{2} &amp; \frac{1}{4} &amp; 0 \\
 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; \frac{2}{9} &amp; -\frac{1}{3} &amp; \frac{4}{9} \\
 \end{array} \\
 \text {b2-1/4b3} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; \frac{13}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{10}{9} \\
 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; -\frac{5}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{1}{9} \\
 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; \frac{2}{9} &amp; -\frac{1}{3} &amp; \frac{4}{9} \\
 \end{array} \\

 \text{jadi } A^{-1} &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{13}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{10}{9} \\
  -\frac{5}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{1}{9} \\
  \frac{2}{9} &amp; -\frac{1}{3} &amp; \frac{4}{9} \\
  \end{bmatrix} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai x dan y dari 2x + 3y = 16 serta 3x + y = 10!
; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 \\
  3 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  16 \\
  10 \\
  \end{bmatrix} \\

 \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 \\
  3 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  16 \\
  10 \\
  \end{bmatrix} \\

 \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= \frac{1}{2(1) - 3(3)} \begin{bmatrix}
  1 &amp; -3 \\
  -3 &amp; 2 \\
  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  16 \\
  10 \\
  \end{bmatrix} \\

 \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= -\frac{1}{7} \begin{bmatrix}
  1 &amp; -3 \\
  -3 &amp; 2 \\
  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  16 \\
  10 \\
  \end{bmatrix} \\

 \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= -\frac{1}{7} \begin{bmatrix}
  -14 \\
  -28 \\
  \end{bmatrix} \\

 \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  4 \\
  \end{bmatrix} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 D &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 \\
  3 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} = 2(1) - 3(3) = -7 \\

 D_x &amp;= \begin{bmatrix}
  16 &amp; 3 \\
  10 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} = 16(1) - 10(3) = -14 \\
 
 D_y &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; 16 \\
  3 &amp; 10 \\
  \end{bmatrix} = 2(10) - 3(16) = -28 \\

 x &amp;= \frac{-14}{-7} = 2 \\
 y &amp;= \frac{-28}{-7} = 4 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai x, y dan z dari 2x + 3y + 5z = 17, 3x + y + 4z = 15 serta x + 7y + z = 18!
; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{array}{rrr|r}
 2 &amp; 3 &amp; 5 &amp; 17 \\
 3 &amp; 1 &amp; 4 &amp; 15 \\
 1 &amp; 7 &amp; 1 &amp; 18 \\
 \end{array} \\
 \text {b1/2} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; \frac{3}{2} &amp; \frac{5}{2} &amp; \frac{17}{2} \\
 3 &amp; 1 &amp; 4 &amp; 15 \\
 1 &amp; 7 &amp; 1 &amp; 18 \\
 \end{array} \\
 \text {b2-3b1} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; \frac{3}{2} &amp; \frac{5}{2} &amp; \frac{17}{2} \\
 0 &amp; -\frac{7}{2} &amp; -\frac{7}{2} &amp; -\frac{21}{2} \\
 1 &amp; 7 &amp; 1 &amp; 18 \\
 \end{array} \\
 \text {b3-b1} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; \frac{3}{2} &amp; \frac{5}{2} &amp; \frac{17}{2} \\
 0 &amp; -\frac{7}{2} &amp; -\frac{7}{2} &amp; -\frac{21}{2} \\
 0 &amp; \frac{11}{2} &amp; -\frac{3}{2} &amp; \frac{19}{2} \\
 \end{array} \\
 \text {-2b2/7} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; \frac{3}{2} &amp; \frac{5}{2} &amp; \frac{17}{2} \\
 0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 3 \\
 0 &amp; \frac{11}{2} &amp; -\frac{3}{2} &amp; \frac{19}{2} \\
 \end{array} \\
 \text {b1-3b2/2} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 4 \\
 0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 3 \\
 0 &amp; \frac{11}{2} &amp; -\frac{3}{2} &amp; \frac{19}{2} \\
 \end{array} \\
 \text {b3-11b2/2} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 4 \\
 0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 3 \\
 0 &amp; 0 &amp; -7 &amp; -7 \\
 \end{array} \\
 \text {-b3/7} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 4 \\
 0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 3 \\
 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {b1-b3} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 3 \\
 0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 3 \\
 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {b2-b3} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 3 \\
 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 2 \\
 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 D &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 &amp; 5 \\
  3 &amp; 1 &amp; 4 \\
  1 &amp; 7 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} = 2(1)(1) + 3(4)(1) + 5(3)(7) - 1(1)(5) - 7(4)(2) - 1(3)(3) = 49 \\

 D_x &amp;= \begin{bmatrix}
  17 &amp; 3 &amp; 5 \\
  15 &amp; 1 &amp; 4 \\
  18 &amp; 7 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} = 17(1)(1) + 3(4)(18) + 5(15)(7) - 18(1)(5) - 7(4)(17) - 1(15)(3) = 147 \\
 
 D_y &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; 17 &amp; 5 \\
  3 &amp; 15 &amp; 4 \\
  1 &amp; 18 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} = 2(15)(1) + 17(4)(1) + 5(3)(18) - 1(15)(5) - 18(4)(2) - 1(3)(17) = 98 \\

 D_z &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 &amp; 17 \\
  3 &amp; 1 &amp; 15 \\
  1 &amp; 7 &amp; 18 \\
  \end{bmatrix} = 2(1)(18) + 3(15)(1) + 17(3)(7) - 1(1)(17) - 7(15)(2) - 18(3)(3) = 49 \\

 x &amp;= \frac{147}{49} = 3 \\
 y &amp;= \frac{98}{49} = 2 \\
 z &amp;= \frac{49}{49} = 1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>9mnaoc4l8qt665t4ri7pl0z6aiztgkx</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Matriks transformasi</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23146</id>
    <revision>
      <id>114993</id>
      <parentid>113516</parentid>
      <timestamp>2026-04-26T10:54:50Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25546-23</username>
        <id>43043</id>
      </contributor>
      <comment>/* Refleksi */</comment>
      <origin>114993</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="20544" sha1="dbruzigxp73yp4e4w1i11am1mwurk4e" xml:space="preserve">== Transformasi ==
Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:
* Transformasi [[isometri]]
Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).
* Transformasi nonisometri
Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

=== Translasi ===
Rumus translasi adalah:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

Rumus arah translasi T(a,b) atau &lt;math&gt;
T\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Refleksi ===
Rumus refleksi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
*&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Rotasi ===
Rumus rotasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \alpha &amp; -sin \alpha \\
    sin \alpha &amp; cos \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Dilatasi ===
Rumus dilatasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Stretching ===
Rumus stretching adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Shearing ===
Rumus shearing adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: Rumus sederhana
{| class=&quot;wikitable&quot; 
|-
! Keterangan !! Posisi !! Hasil
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Translasi
|-
| penggeseran (a,b) || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + a, y + b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Refleksi
|-
| sumbu x [0°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y [90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| y=x [45°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, x)&lt;/math&gt;
|-
| y=-x [135°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(- x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, x)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + y, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, x + k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y + a + b, x - a + b)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - a + b, -x + a + b)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x + 2a, -y + 2b)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + k \cdot (y - b)), y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, y + k \cdot (x - a))&lt;/math&gt;
|}

*keterangan:
# berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif

== Luas ==
misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3)
; cara 1
titik awal diubah menjadi titik bayangan.
: &lt;math&gt;\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 x_1' &amp; x_2' &amp; x_3' &amp; x_1' \\
 y_1' &amp; y_2' &amp; y_3' &amp; y_1' \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\
\end{align}&lt;/math&gt;

; cara 2
: Luas = | det M | x luas awal

contoh
# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2x-y \\
  5x-3y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\
\text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\
 
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= -1 \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3 &amp; -1 \\
  5 &amp; -2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3x'-y' \\
  5x'-2y' \\
 \end{bmatrix} \\
 
 x &amp;= 3x'-y' \\
 y &amp;= 5x'-2y' \\
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  5+y \\
  2+x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\
\text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-2x-3 \\
x''-5 &amp;= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\
x''-5 &amp;= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\
x'' &amp;= y''^2-6y''+10 \\
x &amp;= y^2-6y+10 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+6 jika ditransformasikan oleh  refleksi persamaan y-x=3?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

y-x &amp;= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\
tan \, \alpha &amp;= 1 \\
\alpha &amp;= 45^\circ \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x+3 \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\
\text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-5x+6 \\
x'+3 &amp;= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\
x'+3 &amp;= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\
x' &amp;= y'^2-11y''+27 \\
x &amp;= y^2-11y+27 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{dilatasi skala 4. } \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -4y \\
  4x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\
\text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

&amp;= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; \frac{1}{4} \\
  -\frac{1}{4} &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{y'}{4} \\
  -\frac{x'}{4} \\
 \end{bmatrix} \\

x &amp;= \frac{y'}{4} \\
y &amp;= -\frac{x'}{4} \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y'}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
; \text{menentukan titik bayangan A} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -7 \\
  13 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan B} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -2 \\
  4 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -16 \\
  14 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan C} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -1 \\
  -1 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  1 \\
  -5 \\
 \end{bmatrix} \\

 L &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 -7 &amp; -16 &amp; 1 &amp; -7 \\
 13 &amp; 14 &amp; -5 &amp; 13 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 154 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 L_a &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 1 \\
 3 &amp; 4 &amp; -1 &amp; 3 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 14 \\
 &amp;= 7 \\
 L_b &amp;= | \text{det M} | \cdot L_a \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot 7 \\
 &amp;= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\
 &amp;= (8+3) \cdot 7 \\
 &amp;= 11 \cdot 7 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>dbruzigxp73yp4e4w1i11am1mwurk4e</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>114994</id>
      <parentid>114993</parentid>
      <timestamp>2026-04-26T11:00:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25546-23</username>
        <id>43043</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rotasi */</comment>
      <origin>114994</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="20712" sha1="h08t5ker7owg5x030mfkm4iplfzfybg" xml:space="preserve">== Transformasi ==
Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:
* Transformasi [[isometri]]
Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).
* Transformasi nonisometri
Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

=== Translasi ===
Rumus translasi adalah:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

Rumus arah translasi T(a,b) atau &lt;math&gt;
T\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Refleksi ===
Rumus refleksi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
*&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Rotasi ===
Rumus rotasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \alpha &amp; -sin \alpha \\
    sin \alpha &amp; cos \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
* &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt; &lt;frac&gt;{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Dilatasi ===
Rumus dilatasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Stretching ===
Rumus stretching adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Shearing ===
Rumus shearing adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: Rumus sederhana
{| class=&quot;wikitable&quot; 
|-
! Keterangan !! Posisi !! Hasil
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Translasi
|-
| penggeseran (a,b) || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + a, y + b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Refleksi
|-
| sumbu x [0°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y [90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| y=x [45°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, x)&lt;/math&gt;
|-
| y=-x [135°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(- x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, x)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + y, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, x + k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y + a + b, x - a + b)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - a + b, -x + a + b)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x + 2a, -y + 2b)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + k \cdot (y - b)), y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, y + k \cdot (x - a))&lt;/math&gt;
|}

*keterangan:
# berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif

== Luas ==
misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3)
; cara 1
titik awal diubah menjadi titik bayangan.
: &lt;math&gt;\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 x_1' &amp; x_2' &amp; x_3' &amp; x_1' \\
 y_1' &amp; y_2' &amp; y_3' &amp; y_1' \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\
\end{align}&lt;/math&gt;

; cara 2
: Luas = | det M | x luas awal

contoh
# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2x-y \\
  5x-3y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\
\text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\
 
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= -1 \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3 &amp; -1 \\
  5 &amp; -2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3x'-y' \\
  5x'-2y' \\
 \end{bmatrix} \\
 
 x &amp;= 3x'-y' \\
 y &amp;= 5x'-2y' \\
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  5+y \\
  2+x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\
\text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-2x-3 \\
x''-5 &amp;= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\
x''-5 &amp;= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\
x'' &amp;= y''^2-6y''+10 \\
x &amp;= y^2-6y+10 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+6 jika ditransformasikan oleh  refleksi persamaan y-x=3?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

y-x &amp;= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\
tan \, \alpha &amp;= 1 \\
\alpha &amp;= 45^\circ \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x+3 \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\
\text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-5x+6 \\
x'+3 &amp;= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\
x'+3 &amp;= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\
x' &amp;= y'^2-11y''+27 \\
x &amp;= y^2-11y+27 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{dilatasi skala 4. } \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -4y \\
  4x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\
\text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

&amp;= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; \frac{1}{4} \\
  -\frac{1}{4} &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{y'}{4} \\
  -\frac{x'}{4} \\
 \end{bmatrix} \\

x &amp;= \frac{y'}{4} \\
y &amp;= -\frac{x'}{4} \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y'}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
; \text{menentukan titik bayangan A} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -7 \\
  13 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan B} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -2 \\
  4 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -16 \\
  14 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan C} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -1 \\
  -1 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  1 \\
  -5 \\
 \end{bmatrix} \\

 L &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 -7 &amp; -16 &amp; 1 &amp; -7 \\
 13 &amp; 14 &amp; -5 &amp; 13 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 154 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 L_a &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 1 \\
 3 &amp; 4 &amp; -1 &amp; 3 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 14 \\
 &amp;= 7 \\
 L_b &amp;= | \text{det M} | \cdot L_a \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot 7 \\
 &amp;= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\
 &amp;= (8+3) \cdot 7 \\
 &amp;= 11 \cdot 7 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>h08t5ker7owg5x030mfkm4iplfzfybg</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>114995</id>
      <parentid>114994</parentid>
      <timestamp>2026-04-26T11:04:44Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25546-23</username>
        <id>43043</id>
      </contributor>
      <origin>114995</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="20390" sha1="dbwuii9sq7kh6l07eicbjljy1bft06m" xml:space="preserve">== Transformasi ==
Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:
* Transformasi [[isometri]]
Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).
* Transformasi nonisometri
Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

=== Translasi ===
Rumus translasi adalah:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

Rumus arah translasi T(a,b) atau &lt;math&gt;
T\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Refleksi ===
Rumus refleksi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
* &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt; \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp;m^2-1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Rotasi ===
Rumus rotasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \alpha &amp; -sin \alpha \\
    sin \alpha &amp; cos \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Dilatasi ===
Rumus dilatasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Stretching ===
Rumus stretching adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Shearing ===
Rumus shearing adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: Rumus sederhana
{| class=&quot;wikitable&quot; 
|-
! Keterangan !! Posisi !! Hasil
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Translasi
|-
| penggeseran (a,b) || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + a, y + b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Refleksi
|-
| sumbu x [0°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y [90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| y=x [45°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, x)&lt;/math&gt;
|-
| y=-x [135°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(- x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, x)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + y, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, x + k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y + a + b, x - a + b)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - a + b, -x + a + b)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x + 2a, -y + 2b)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + k \cdot (y - b)), y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, y + k \cdot (x - a))&lt;/math&gt;
|}

*keterangan:
# berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif

== Luas ==
misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3)
; cara 1
titik awal diubah menjadi titik bayangan.
: &lt;math&gt;\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 x_1' &amp; x_2' &amp; x_3' &amp; x_1' \\
 y_1' &amp; y_2' &amp; y_3' &amp; y_1' \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\
\end{align}&lt;/math&gt;

; cara 2
: Luas = | det M | x luas awal

contoh
# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2x-y \\
  5x-3y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\
\text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\
 
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= -1 \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3 &amp; -1 \\
  5 &amp; -2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3x'-y' \\
  5x'-2y' \\
 \end{bmatrix} \\
 
 x &amp;= 3x'-y' \\
 y &amp;= 5x'-2y' \\
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  5+y \\
  2+x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\
\text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-2x-3 \\
x''-5 &amp;= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\
x''-5 &amp;= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\
x'' &amp;= y''^2-6y''+10 \\
x &amp;= y^2-6y+10 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+6 jika ditransformasikan oleh  refleksi persamaan y-x=3?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

y-x &amp;= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\
tan \, \alpha &amp;= 1 \\
\alpha &amp;= 45^\circ \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x+3 \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\
\text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-5x+6 \\
x'+3 &amp;= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\
x'+3 &amp;= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\
x' &amp;= y'^2-11y''+27 \\
x &amp;= y^2-11y+27 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{dilatasi skala 4. } \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -4y \\
  4x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\
\text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

&amp;= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; \frac{1}{4} \\
  -\frac{1}{4} &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{y'}{4} \\
  -\frac{x'}{4} \\
 \end{bmatrix} \\

x &amp;= \frac{y'}{4} \\
y &amp;= -\frac{x'}{4} \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y'}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
; \text{menentukan titik bayangan A} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -7 \\
  13 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan B} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -2 \\
  4 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -16 \\
  14 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan C} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -1 \\
  -1 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  1 \\
  -5 \\
 \end{bmatrix} \\

 L &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 -7 &amp; -16 &amp; 1 &amp; -7 \\
 13 &amp; 14 &amp; -5 &amp; 13 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 154 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 L_a &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 1 \\
 3 &amp; 4 &amp; -1 &amp; 3 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 14 \\
 &amp;= 7 \\
 L_b &amp;= | \text{det M} | \cdot L_a \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot 7 \\
 &amp;= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\
 &amp;= (8+3) \cdot 7 \\
 &amp;= 11 \cdot 7 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>dbwuii9sq7kh6l07eicbjljy1bft06m</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>114996</id>
      <parentid>114995</parentid>
      <timestamp>2026-04-26T11:05:18Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25546-23</username>
        <id>43043</id>
      </contributor>
      <comment>/* Refleksi */</comment>
      <origin>114996</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="20389" sha1="tbube4zoajwt0taqqzj1emluykx9lro" xml:space="preserve">== Transformasi ==
Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:
* Transformasi [[isometri]]
Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).
* Transformasi nonisometri
Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

=== Translasi ===
Rumus translasi adalah:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

Rumus arah translasi T(a,b) atau &lt;math&gt;
T\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Refleksi ===
Rumus refleksi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
* &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt; \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp;m^2-1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Rotasi ===
Rumus rotasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \alpha &amp; -sin \alpha \\
    sin \alpha &amp; cos \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Dilatasi ===
Rumus dilatasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Stretching ===
Rumus stretching adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Shearing ===
Rumus shearing adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: Rumus sederhana
{| class=&quot;wikitable&quot; 
|-
! Keterangan !! Posisi !! Hasil
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Translasi
|-
| penggeseran (a,b) || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + a, y + b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Refleksi
|-
| sumbu x [0°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y [90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| y=x [45°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, x)&lt;/math&gt;
|-
| y=-x [135°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(- x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, x)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + y, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, x + k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y + a + b, x - a + b)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - a + b, -x + a + b)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x + 2a, -y + 2b)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + k \cdot (y - b)), y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, y + k \cdot (x - a))&lt;/math&gt;
|}

*keterangan:
# berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif

== Luas ==
misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3)
; cara 1
titik awal diubah menjadi titik bayangan.
: &lt;math&gt;\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 x_1' &amp; x_2' &amp; x_3' &amp; x_1' \\
 y_1' &amp; y_2' &amp; y_3' &amp; y_1' \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\
\end{align}&lt;/math&gt;

; cara 2
: Luas = | det M | x luas awal

contoh
# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2x-y \\
  5x-3y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\
\text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\
 
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= -1 \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3 &amp; -1 \\
  5 &amp; -2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3x'-y' \\
  5x'-2y' \\
 \end{bmatrix} \\
 
 x &amp;= 3x'-y' \\
 y &amp;= 5x'-2y' \\
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  5+y \\
  2+x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\
\text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-2x-3 \\
x''-5 &amp;= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\
x''-5 &amp;= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\
x'' &amp;= y''^2-6y''+10 \\
x &amp;= y^2-6y+10 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+6 jika ditransformasikan oleh  refleksi persamaan y-x=3?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

y-x &amp;= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\
tan \, \alpha &amp;= 1 \\
\alpha &amp;= 45^\circ \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x+3 \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\
\text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-5x+6 \\
x'+3 &amp;= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\
x'+3 &amp;= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\
x' &amp;= y'^2-11y''+27 \\
x &amp;= y^2-11y+27 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{dilatasi skala 4. } \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -4y \\
  4x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\
\text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

&amp;= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; \frac{1}{4} \\
  -\frac{1}{4} &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{y'}{4} \\
  -\frac{x'}{4} \\
 \end{bmatrix} \\

x &amp;= \frac{y'}{4} \\
y &amp;= -\frac{x'}{4} \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y'}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
; \text{menentukan titik bayangan A} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -7 \\
  13 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan B} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -2 \\
  4 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -16 \\
  14 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan C} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -1 \\
  -1 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  1 \\
  -5 \\
 \end{bmatrix} \\

 L &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 -7 &amp; -16 &amp; 1 &amp; -7 \\
 13 &amp; 14 &amp; -5 &amp; 13 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 154 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 L_a &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 1 \\
 3 &amp; 4 &amp; -1 &amp; 3 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 14 \\
 &amp;= 7 \\
 L_b &amp;= | \text{det M} | \cdot L_a \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot 7 \\
 &amp;= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\
 &amp;= (8+3) \cdot 7 \\
 &amp;= 11 \cdot 7 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>tbube4zoajwt0taqqzj1emluykx9lro</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>114997</id>
      <parentid>114996</parentid>
      <timestamp>2026-04-26T11:06:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25546-23</username>
        <id>43043</id>
      </contributor>
      <comment>/* Refleksi */</comment>
      <origin>114997</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="20390" sha1="sue54ekfj9vg3qmezartv9lsl929bbi" xml:space="preserve">== Transformasi ==
Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:
* Transformasi [[isometri]]
Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).
* Transformasi nonisometri
Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

=== Translasi ===
Rumus translasi adalah:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

Rumus arah translasi T(a,b) atau &lt;math&gt;
T\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Refleksi ===
Rumus refleksi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
* &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

* &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt; \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp;m^2-1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Rotasi ===
Rumus rotasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \alpha &amp; -sin \alpha \\
    sin \alpha &amp; cos \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Dilatasi ===
Rumus dilatasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Stretching ===
Rumus stretching adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Shearing ===
Rumus shearing adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: Rumus sederhana
{| class=&quot;wikitable&quot; 
|-
! Keterangan !! Posisi !! Hasil
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Translasi
|-
| penggeseran (a,b) || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + a, y + b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Refleksi
|-
| sumbu x [0°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y [90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| y=x [45°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, x)&lt;/math&gt;
|-
| y=-x [135°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(- x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, x)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + y, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, x + k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y + a + b, x - a + b)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - a + b, -x + a + b)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x + 2a, -y + 2b)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + k \cdot (y - b)), y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, y + k \cdot (x - a))&lt;/math&gt;
|}

*keterangan:
# berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif

== Luas ==
misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3)
; cara 1
titik awal diubah menjadi titik bayangan.
: &lt;math&gt;\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 x_1' &amp; x_2' &amp; x_3' &amp; x_1' \\
 y_1' &amp; y_2' &amp; y_3' &amp; y_1' \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\
\end{align}&lt;/math&gt;

; cara 2
: Luas = | det M | x luas awal

contoh
# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2x-y \\
  5x-3y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\
\text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\
 
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= -1 \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3 &amp; -1 \\
  5 &amp; -2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3x'-y' \\
  5x'-2y' \\
 \end{bmatrix} \\
 
 x &amp;= 3x'-y' \\
 y &amp;= 5x'-2y' \\
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  5+y \\
  2+x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\
\text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-2x-3 \\
x''-5 &amp;= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\
x''-5 &amp;= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\
x'' &amp;= y''^2-6y''+10 \\
x &amp;= y^2-6y+10 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+6 jika ditransformasikan oleh  refleksi persamaan y-x=3?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

y-x &amp;= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\
tan \, \alpha &amp;= 1 \\
\alpha &amp;= 45^\circ \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x+3 \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\
\text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-5x+6 \\
x'+3 &amp;= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\
x'+3 &amp;= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\
x' &amp;= y'^2-11y''+27 \\
x &amp;= y^2-11y+27 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{dilatasi skala 4. } \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -4y \\
  4x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\
\text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

&amp;= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; \frac{1}{4} \\
  -\frac{1}{4} &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{y'}{4} \\
  -\frac{x'}{4} \\
 \end{bmatrix} \\

x &amp;= \frac{y'}{4} \\
y &amp;= -\frac{x'}{4} \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y'}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
; \text{menentukan titik bayangan A} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -7 \\
  13 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan B} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -2 \\
  4 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -16 \\
  14 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan C} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -1 \\
  -1 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  1 \\
  -5 \\
 \end{bmatrix} \\

 L &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 -7 &amp; -16 &amp; 1 &amp; -7 \\
 13 &amp; 14 &amp; -5 &amp; 13 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 154 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 L_a &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 1 \\
 3 &amp; 4 &amp; -1 &amp; 3 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 14 \\
 &amp;= 7 \\
 L_b &amp;= | \text{det M} | \cdot L_a \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot 7 \\
 &amp;= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\
 &amp;= (8+3) \cdot 7 \\
 &amp;= 11 \cdot 7 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>sue54ekfj9vg3qmezartv9lsl929bbi</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>114998</id>
      <parentid>114997</parentid>
      <timestamp>2026-04-26T11:06:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25546-23</username>
        <id>43043</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rotasi */</comment>
      <origin>114998</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="20402" sha1="l7l1c0q3iwt3ngdgvvsyz82jcdfdduj" xml:space="preserve">== Transformasi ==
Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:
* Transformasi [[isometri]]
Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).
* Transformasi nonisometri
Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

=== Translasi ===
Rumus translasi adalah:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

Rumus arah translasi T(a,b) atau &lt;math&gt;
T\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Refleksi ===
Rumus refleksi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
* &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

* &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt; \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp;m^2-1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Rotasi ===
Rumus rotasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Dilatasi ===
Rumus dilatasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Stretching ===
Rumus stretching adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Shearing ===
Rumus shearing adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: Rumus sederhana
{| class=&quot;wikitable&quot; 
|-
! Keterangan !! Posisi !! Hasil
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Translasi
|-
| penggeseran (a,b) || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + a, y + b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Refleksi
|-
| sumbu x [0°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y [90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| y=x [45°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, x)&lt;/math&gt;
|-
| y=-x [135°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(- x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, x)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + y, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, x + k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y + a + b, x - a + b)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - a + b, -x + a + b)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x + 2a, -y + 2b)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + k \cdot (y - b)), y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, y + k \cdot (x - a))&lt;/math&gt;
|}

*keterangan:
# berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif

== Luas ==
misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3)
; cara 1
titik awal diubah menjadi titik bayangan.
: &lt;math&gt;\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 x_1' &amp; x_2' &amp; x_3' &amp; x_1' \\
 y_1' &amp; y_2' &amp; y_3' &amp; y_1' \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\
\end{align}&lt;/math&gt;

; cara 2
: Luas = | det M | x luas awal

contoh
# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2x-y \\
  5x-3y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\
\text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\
 
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= -1 \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3 &amp; -1 \\
  5 &amp; -2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3x'-y' \\
  5x'-2y' \\
 \end{bmatrix} \\
 
 x &amp;= 3x'-y' \\
 y &amp;= 5x'-2y' \\
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  5+y \\
  2+x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\
\text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-2x-3 \\
x''-5 &amp;= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\
x''-5 &amp;= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\
x'' &amp;= y''^2-6y''+10 \\
x &amp;= y^2-6y+10 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+6 jika ditransformasikan oleh  refleksi persamaan y-x=3?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

y-x &amp;= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\
tan \, \alpha &amp;= 1 \\
\alpha &amp;= 45^\circ \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x+3 \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\
\text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-5x+6 \\
x'+3 &amp;= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\
x'+3 &amp;= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\
x' &amp;= y'^2-11y''+27 \\
x &amp;= y^2-11y+27 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{dilatasi skala 4. } \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -4y \\
  4x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\
\text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

&amp;= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; \frac{1}{4} \\
  -\frac{1}{4} &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{y'}{4} \\
  -\frac{x'}{4} \\
 \end{bmatrix} \\

x &amp;= \frac{y'}{4} \\
y &amp;= -\frac{x'}{4} \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y'}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
; \text{menentukan titik bayangan A} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -7 \\
  13 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan B} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -2 \\
  4 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -16 \\
  14 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan C} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -1 \\
  -1 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  1 \\
  -5 \\
 \end{bmatrix} \\

 L &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 -7 &amp; -16 &amp; 1 &amp; -7 \\
 13 &amp; 14 &amp; -5 &amp; 13 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 154 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 L_a &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 1 \\
 3 &amp; 4 &amp; -1 &amp; 3 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 14 \\
 &amp;= 7 \\
 L_b &amp;= | \text{det M} | \cdot L_a \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot 7 \\
 &amp;= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\
 &amp;= (8+3) \cdot 7 \\
 &amp;= 11 \cdot 7 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>l7l1c0q3iwt3ngdgvvsyz82jcdfdduj</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>114999</id>
      <parentid>114998</parentid>
      <timestamp>2026-04-26T11:08:18Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25546-23</username>
        <id>43043</id>
      </contributor>
      <comment>/* Refleksi */</comment>
      <origin>114999</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="20424" sha1="4drnxbx57xzkdc7w5xxu58qsijiqqco" xml:space="preserve">== Transformasi ==
Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:
* Transformasi [[isometri]]
Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).
* Transformasi nonisometri
Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

=== Translasi ===
Rumus translasi adalah:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

Rumus arah translasi T(a,b) atau &lt;math&gt;
T\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Refleksi ===
Rumus refleksi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt; \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp;m^2-1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Rotasi ===
Rumus rotasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Dilatasi ===
Rumus dilatasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Stretching ===
Rumus stretching adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Shearing ===
Rumus shearing adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: Rumus sederhana
{| class=&quot;wikitable&quot; 
|-
! Keterangan !! Posisi !! Hasil
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Translasi
|-
| penggeseran (a,b) || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + a, y + b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Refleksi
|-
| sumbu x [0°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y [90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| y=x [45°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, x)&lt;/math&gt;
|-
| y=-x [135°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(- x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, x)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + y, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, x + k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y + a + b, x - a + b)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - a + b, -x + a + b)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x + 2a, -y + 2b)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + k \cdot (y - b)), y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, y + k \cdot (x - a))&lt;/math&gt;
|}

*keterangan:
# berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif

== Luas ==
misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3)
; cara 1
titik awal diubah menjadi titik bayangan.
: &lt;math&gt;\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 x_1' &amp; x_2' &amp; x_3' &amp; x_1' \\
 y_1' &amp; y_2' &amp; y_3' &amp; y_1' \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\
\end{align}&lt;/math&gt;

; cara 2
: Luas = | det M | x luas awal

contoh
# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2x-y \\
  5x-3y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\
\text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\
 
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= -1 \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3 &amp; -1 \\
  5 &amp; -2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3x'-y' \\
  5x'-2y' \\
 \end{bmatrix} \\
 
 x &amp;= 3x'-y' \\
 y &amp;= 5x'-2y' \\
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  5+y \\
  2+x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\
\text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-2x-3 \\
x''-5 &amp;= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\
x''-5 &amp;= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\
x'' &amp;= y''^2-6y''+10 \\
x &amp;= y^2-6y+10 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+6 jika ditransformasikan oleh  refleksi persamaan y-x=3?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

y-x &amp;= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\
tan \, \alpha &amp;= 1 \\
\alpha &amp;= 45^\circ \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x+3 \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\
\text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-5x+6 \\
x'+3 &amp;= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\
x'+3 &amp;= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\
x' &amp;= y'^2-11y''+27 \\
x &amp;= y^2-11y+27 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{dilatasi skala 4. } \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -4y \\
  4x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\
\text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

&amp;= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; \frac{1}{4} \\
  -\frac{1}{4} &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{y'}{4} \\
  -\frac{x'}{4} \\
 \end{bmatrix} \\

x &amp;= \frac{y'}{4} \\
y &amp;= -\frac{x'}{4} \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y'}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
; \text{menentukan titik bayangan A} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -7 \\
  13 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan B} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -2 \\
  4 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -16 \\
  14 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan C} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -1 \\
  -1 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  1 \\
  -5 \\
 \end{bmatrix} \\

 L &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 -7 &amp; -16 &amp; 1 &amp; -7 \\
 13 &amp; 14 &amp; -5 &amp; 13 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 154 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 L_a &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 1 \\
 3 &amp; 4 &amp; -1 &amp; 3 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 14 \\
 &amp;= 7 \\
 L_b &amp;= | \text{det M} | \cdot L_a \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot 7 \\
 &amp;= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\
 &amp;= (8+3) \cdot 7 \\
 &amp;= 11 \cdot 7 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>4drnxbx57xzkdc7w5xxu58qsijiqqco</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Persamaan lingkaran</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23199</id>
    <revision>
      <id>114988</id>
      <parentid>112572</parentid>
      <timestamp>2026-04-26T10:40:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25546-23</username>
        <id>43043</id>
      </contributor>
      <comment>/* Persamaan berkas lingkaran */</comment>
      <origin>114988</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="13201" sha1="8iyfksz9yrrp3eknm7ihjox459oy4ri" xml:space="preserve">== Persamaan lingkaran ==
: Titik pusat (0,0): &lt;math&gt;x^2 + y^2 = r^2&lt;/math&gt;
: Titik pusat (h,k): &lt;math&gt;(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \text { atau } x^2 + 2hx + h^2 + y^2 + 2ky + k^2 - r^2 = 0&lt;/math&gt;

dengan &lt;math&gt;x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 &lt;/math&gt; maka &lt;math&gt;A = 2h, B = 2k \text { serta } C = h^2 + k^2 - r^2&lt;/math&gt;

==Berkas persamaan lingkaran==
Persamaan lingkaran L1 dan L2 melalui komponen (x,y) dapat dirumuskan sebagai berikut: &lt;math&gt;L1+\lambda L2=0&lt;/math&gt;

==Kedudukan dua lingkaran==
misalnya lingkaran pertama (L&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) jari-jarinya R dan titik pusat P sedangkan lingkaran dua (L&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) jari-jarinya r dan titik pusat Q.
* L&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; di dalam L&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; dan konsentris (PQ = 0)
* L&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; di dalam L&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; dan tidak konsentris (PQ &lt; R-r)
* L&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; dan L&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; bersinggung di dalam (PQ = R-r)
* L&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; dan L&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; bersinggung di luar (PQ = R+r)
* L&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; dan L&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; saling terpisah (PQ &gt; R+r)
* L&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; dan L&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; saling berpotongan (R-r &lt; PQ &lt; R+r)
* L&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; dan L&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; berpotongan di diameter (PQ = R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)
* L&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; dan L&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ortognal (PQ = R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)

== Jarak (x2,y2) pada persamaan lingkaran ==
* harus diubah menjadi &lt;math&gt;(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=R^2&lt;/math&gt;
* temukan titik pusat pada persamaan yang tadi dengan (x,y) menentukan jarak yaitu d = &lt;math&gt;\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}&lt;/math&gt;
* kalau jarak terdekat maka rumusnya R-d tapi kalau terjauh maka rumusnya R+d

# tentukan jarak terdekat dan terjauh (3,6) terhadap &lt;math&gt;x^2-6x+y^2-8y=0&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{mencari titik pusat dan nilai R (jari-jari) adalah } \\
 x^2-6x+y^2-8y &amp;= 0 \\
 x^2-6x+9+y^2-8y+16-25 &amp;= 0 \\
 (x-3)^2+(y-4)^2 &amp;= 25 \\
 (x-3)^2+(y-4)^2 &amp;= 5^2 \\

\text{titik pusat adalah (3,4) dan nilai R (jari-jari) adalah 5 } \\
\text{menentukan jaraknya } \\
 d &amp;= \sqrt{(3-3)^2+(4-6)^2} \\
 &amp;= \sqrt{4} \\
 &amp;= 2 \\

\text{jika jarak terdekat maka } R-d = 5-2 = 3 \\
\text{jika jarak terjauh maka } R+d = 5+2 = 7 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

== Persamaan garis singgung ==
; bergradien &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;y = mx + c &lt;/math&gt;)
: Titik pusat (0,0): &lt;math&gt;y = mx \pm r\sqrt{1+m^2}&lt;/math&gt;
: Titik pusat (h,k): &lt;math&gt;(y - k) = m(x - h) \pm r\sqrt{1+m^2}&lt;/math&gt;

: jika persamaan garis lurus bergradien sejajar maka &lt;math&gt;m_2 = m_1&lt;/math&gt;
: jika persamaan garis lurus bergradien tegak lurus maka &lt;math&gt;m_2 = \frac{-1}{m_1}&lt;/math&gt;

; melalui titik &lt;math&gt;(x_1, y_1) &lt;/math&gt;
dengan cara bagi adil
: Titik pusat (0,0): &lt;math&gt;x x_1 + y y_1 = r^2&lt;/math&gt;
: Titik pusat (h,k): &lt;math&gt;(x - h)(x_1 - h) + (y - k)(y_1 - k) = r^2&lt;/math&gt; atau &lt;br&gt;&lt;math&gt; x x_1 + y y_1 + \frac{1}{2} A x + \frac{1}{2} A x_1 + \frac{1}{2} B y + \frac{1}{2} B y_1 + C = 0&lt;/math&gt;

: jika titik &lt;math&gt;(x_1, y_1) &lt;/math&gt; berada di dalam bentuknya maka ada 1 persamaan garis singgung (1 langkah).
: jika titik &lt;math&gt;(x_1, y_1) &lt;/math&gt; berada di luar bentuknya maka ada 2 persamaan garis singgung (2 langkah) dimana hasil y dari persamaan singgung pertama masuk ke persamaan lingkaran untuk mencari x.

contoh
; Umum
# Tentukan persamaan lingkaran
: berpusat (-3,4) dan menyinggung sumbu x
: berpusat (-2,-3) dan menyinggung sumbu y
: berpusat (-1,1) dan menyinggung 3x-4y+12=0
: berpusat (2&lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;,0) dan menyinggung x-y=0
: berpusat (1,-3) dan melalui titik potong x+3y-1=0 dan 2x+y+3=0
: berpusat x+y+2=0 dan menyinggung sumbu x negatif dan sumbu y negatif

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* 
\text{titik P (-3,4) dan lingkaran menyinggung sumbu x berarti kuadran II maka jari-jari adalah 4. } \\
(x-a)^2+(y-b)^2 &amp;= r^2 \\
(x+3)^2+(y-4)^2 &amp;= 4^2 \\
x^2+6x+9+y^2-8y+16 &amp;= 16 \\
x^2+y^2+6x-8y+9 &amp;= 0 \\

*
\text{titik P (-2,-3) dan lingkaran menyinggung sumbu y berarti kuadran III maka jari-jari adalah 2. } \\
(x-a)^2+(y-b)^2 &amp;= r^2 \\
(x+2)^2+(y+3)^2 &amp;= 2^2 \\
x^2+4x+4+y^2-6y+9 &amp;= 4 \\
x^2+y^2+4x-6y+9 &amp;= 0 \\

*
\text{cara 1} \\
P(-1,1) \\
3x-4y+12 &amp;= 0 \\
r &amp;= \frac{|3(-1)+(-4)(1)+12|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} \\
 &amp;= \frac{5}{5} \\
 &amp;= 1 \\
(x+1)^2+(y-1)^2 &amp;= 1^2 \\
x^2+2x+1+y^2-2y+1 &amp;= 1 \\
x^2+y^2+2x-2y+1 &amp;= 0 \\

\text{cara 2} \\
3x-4y+12 &amp;= 0 \\
y &amp;= \frac{3}{4}x+3 \\
m &amp;= \frac{3}{4} \\
y-k &amp;= m(x-h) \pm r \sqrt{1+m^2} \\
y-1 &amp;= \frac{3}{4}(x+1) \pm r \sqrt{1+(\frac{3}{4})^2} \\
y-1 &amp;= \frac{3}{4}x+\frac{3}{4} \pm r \sqrt{\frac{25}{16}} \\
y &amp;= \frac{3}{4}x+\frac{7}{4} \pm r \frac{5}{4} \\
\frac{3}{4}x+3 &amp;= \frac{3}{4}x+\frac{7}{4} \pm r \frac{5}{4} \\
\frac{5}{4} &amp;= \pm r \frac{5}{4} \\
1 &amp;= \pm r \\
r &amp;= \pm 1 \\
(x-h)^2+(y-k)^2 &amp;= r^2 \\
(x+1)^2+(y-1)^2 &amp;= 1^2 \\
x^2+2x+1+y^2-2y+1 &amp;= 1 \\
x^2+y^2+2x-2y+1 &amp;= 0 \\

*
\text{cara 1} \\
P(2\sqrt{2},0) \\
x-y &amp;= 0 \\
r &amp;= \frac{|1(2\sqrt{2})+(-1)(0)+0|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} \\
 &amp;= \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\
 &amp;= 2 \\
(x-2\sqrt{2})^2+y^2 &amp;= 2^2 \\
x^2-4\sqrt{2}x+8+y^2 &amp;= 4 \\
x^2+y^2-4\sqrt{2}x+4 &amp;= 0 \\

\text{cara 2} \\
x-y &amp;= 0 \\
y &amp;= x \\
m &amp;= 1 \\
y-k &amp;= m(x-h) \pm r \sqrt{1+m^2} \\
y-0 &amp;= 1(x-2 \sqrt{2}) \pm r \sqrt{1+1^2} \\
y &amp;= x-2 \sqrt{2} \pm r \sqrt{2} \\
x &amp;= x-2 \sqrt{2} \pm r \sqrt{2} \\
2 \sqrt{2} &amp;= \pm r \sqrt{2} \\
2 &amp;= \pm r \\
r &amp;= \pm 2 \\
(x-2\sqrt{2})^2+y^2 &amp;= 2^2 \\
x^2-4\sqrt{2}x+8+y^2 &amp;= 4 \\
x^2+y^2-4\sqrt{2}x+4 &amp;= 0 \\

*
\text{cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\
x+3y-1 &amp;= 0 \\
x+3y &amp;= 1 \\
2x+y+3 &amp;= 0 \\
2x+y &amp;= -3 \\
\text{cari x dan y dengan metode substitusi dan eliminasi dan hasilnya adalah } (-2,1) \\
\text{mencari jari-jari lingkaran tersebut } \\

(x-h)^2+(y-k)^2 &amp;= r^2 \\
(-2-1)^2+(1+3)^2 &amp;= r^2 \\
(-3)^2+4^2 &amp;= r^2 \\
25 &amp;= r^2 \\
r &amp;= 5 \\

(x-1)^2+(y+3)^2 &amp;= 5^2 \\
x^2-2x+1+y^2+6y+9 &amp;= 25 \\
x^2+y^2-2x+6y-15 &amp;= 0 \\

*
\text{misalkan titik pusat } (a,b) \\
r = |a| &amp;= |b| \\
a &amp;= b \\

x+y+2 &amp;= 0 \\
a+b+2 &amp;= 0 \\
b+b+2 &amp;= 0 \\
2b &amp;= -2 \\
b &amp;= -1 \\
a &amp;= -1 \\
\text{titik pusat adalah } (-1,-1) \text{ serta jari-jari adalah } 1 \\
(x+1)^2+(y+1)^2 &amp;= 1^2 \\
x^2+2x+1+y^2+2y+1 &amp;= 1 \\
x^2+y^2+2x+2y+1 &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; Titik pusat (0,0)
# Tentukan persamaan garis singgung yang bergradien 3 terhadap &lt;math&gt;x^2+y^2=4&lt;/math&gt;!
jawab:
:&lt;math&gt;x^2 + y^2 = 4 -&gt; x^2 + y^2 = 2^2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y = mx \pm r\sqrt{1+m^2}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y = 3x \pm 2\sqrt{1+3^2}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;y = 3x \pm 2\sqrt{10}&lt;/math&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (1,3) terhadap &lt;math&gt;x^2+y^2=10&lt;/math&gt;!
jawab:
:&lt;math&gt;x^2 + y^2 - 10 = 0 \text{ maka masukkan lah (1,3) } 1^2 + 3^2 - 10 = 0 = 0&lt;/math&gt; (dalam)
dengan cara bagi adil
:&lt;math&gt;x x_1 + y y_1 = r^2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x (1) + y (3) = 10&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x + 3y = 10&lt;/math&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (4,6) terhadap &lt;math&gt;x^2+y^2=25&lt;/math&gt;!
jawab:
:&lt;math&gt; x^2 + y^2 - 25 = 0 \text{ maka masukkan lah (4,6) } 4^2 - 6^2 - 25 = 27 &gt; 0&lt;/math&gt; (luar)
dengan cara bagi adil
:&lt;math&gt;x x_1 + y y_1 = r^2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x (4) + y (6) = 25&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;4x + 6y = 25&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y = - \frac{4}{6}x + \frac{25}{6}&lt;/math&gt;

masukkan lah &lt;math&gt;x^2 + y^2 = 25&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x^2 + (- \frac{4}{6}x + \frac{25}{6})^2 = 25&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x^2 + \frac{16}{36}x^2 - \frac{200}{36}x + \frac{256}{36} - 25 = 0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{52}{36}x^2 - \frac{200}{36}x - \frac{644}{36} = 0&lt;/math&gt; (dikalikan 9)
:&lt;math&gt;13x^2 - 50x - 161 = 0&lt;/math&gt;

maka kita mencari nilai x
:&lt;math&gt;x = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x = \frac{50 \pm \sqrt{2.500 + 8.372}}{26}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x = \frac{50 \pm \sqrt{10.872}}{26}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x = \frac{50 \pm 6\sqrt{302}}{26}&lt;/math&gt; (dibagi 2)
:&lt;math&gt;x = \frac{25 \pm 3\sqrt{302}}{13}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x_1 = \frac{25 + 3\sqrt{302}}{13}&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;x_2 = \frac{25 - 3\sqrt{302}}{13}&lt;/math&gt;

maka kita mencari nilai y
: untuk &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y_1 = -\frac{4}{6} (\frac{25 + 3\sqrt{302}}{13}) + \frac{25}{6}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y_1 = \frac{-100 - 12\sqrt{302} + 325}{78}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y_1 = \frac{225 - 12\sqrt{302}}{78}&lt;/math&gt;
jadi &lt;math&gt;(\frac{25 + 3\sqrt{302}}{13}, \frac{225 - 12\sqrt{302}}{78})&lt;/math&gt;

: untuk &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y_2 = -\frac{4}{6} (\frac{25 - 3\sqrt{302}}{13}) + \frac{25}{6}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y_2 = \frac{-100 + 12\sqrt{302} + 325}{78}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y_2 = \frac{225 + 12\sqrt{302}}{78}&lt;/math&gt;
jadi &lt;math&gt;(\frac{25 - 3\sqrt{302}}{13}, \frac{225 + 12\sqrt{302}}{78})&lt;/math&gt;

kembali dengan cara bagi adil
: untuk persamaan singgung pertama
:&lt;math&gt;x x_1 + y y_1 = r^2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x (\frac{25 + 3\sqrt{302}}{13}) + y (\frac{225 - 12\sqrt{302}}{78}) = 25&lt;/math&gt; (dikalikan 78)
:&lt;math&gt;x (6(25 + 3\sqrt{302})) + y (225 - 12\sqrt{302}) = 1.950&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(150 + 18\sqrt{302})x + (225 - 12\sqrt{302})y = 1.950&lt;/math&gt;

: untuk persamaan singgung kedua
:&lt;math&gt;x x_1 + y y_1 = r^2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x (\frac{25 - 3\sqrt{302}}{13}) + y (\frac{225 + 12\sqrt{302}}{78}) = 25&lt;/math&gt; (dikalikan 78)
:&lt;math&gt;x (6(25 - 3\sqrt{302})) + y (225 + 12\sqrt{302}) = 1.950&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(150 - 18\sqrt{302})x + (225 + 12\sqrt{302})y = 1.950&lt;/math&gt;

; Titik pusat (h,k)
# Tentukan persamaan garis singgung &lt;math&gt;x^2-2x+y^2+4y-11=0&lt;/math&gt; melalui persamaan yang sejajar &lt;math&gt;4y - 2x + 7 = 0&lt;/math&gt;!
jawab:
:&lt;math&gt;x^2-2x+y^2+4y-11=0 -&gt; (x-1)^2 + (y + 2)^2 = 4^2&lt;/math&gt;

cari gradien dari persamaan &lt;math&gt;4y - 2x + 7 = 0&lt;/math&gt;:
: &lt;math&gt;4y - 2x + 7 = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;y = \frac{1}{2}x - \frac{7}{2}&lt;/math&gt;
gradien &lt;math&gt;(m_1) = \frac{1}{2}&lt;/math&gt; karena karena sejajar menjadi &lt;math&gt;(m_2) = \frac{1}{2}&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;y - y_1 = m(x - x_1) \pm r\sqrt{1+m^2}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y + 2 = \frac{1}{2}(x - 1) \pm 4\sqrt{1+(\frac{1}{2})^2}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y + 2 = \frac{1}{2}(x - 1) \pm 4\sqrt{1+\frac{1}{4}}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2} \pm 2\sqrt{5}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y = \frac{1}{2}x - (\frac{5}{2} \mp 2\sqrt{5})&lt;/math&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung &lt;math&gt;x^2-6x+y^2+2y-3=0&lt;/math&gt; yang berordinat 1!
jawab:
:cari x pada persamaan &lt;math&gt;x^2-6x+y^2+2y-3=0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x^2 - 6x + y^2 + 2y - 3 = 0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x^2 - 6x + 1^2 + 2(1) - 3 = 0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x^2 - 6x = 0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x(x - 6) = 0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x = 0 \text{ atau } x = 6&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;x^2-6x+y^2+2y-3=0 -&gt; (x-3)^2+(y+1)^2=(\sqrt{13})^2&lt;/math&gt;

:untuk (0,1)
dengan cara bagi adil
:&lt;math&gt;(x - h) (x_1 - h) + (y - k) (y_1 - k) = r^2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(x - 3) (0 - 3) + (y + 1) (1 + 1) = 13&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(x - 3)(-3) + (y + 1)(2) = 13&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;-3x + 9 + 2y + 2 = 13&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;-3x + 2y = 2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y = \frac{3}{2}x + 1&lt;/math&gt;

:untuk (6,1)
dengan cara bagi adil
:&lt;math&gt;(x - h) (x_1 - h) + (y - k) (y_1 - k) = r^2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(x - 3) (6 - 3) + (y + 1) (1 + 1) = 13&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(x - 3)(3) + (y + 1)(2) = 13&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;3x - 9 + 2y + 2 = 13&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;3x + 2y = 20&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y = -\frac{3}{2}x + 10&lt;/math&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (4,2) terhadap &lt;math&gt;x^2-2x+y^2-2y-7=0&lt;/math&gt;!
jawab:
:&lt;math&gt;x^2-2x+y^2-2y-7=0 \text{ maka masukkan lah (4,2) } 4^2-2(4)+2^2-2(2)-7 = 1 &gt; 0&lt;/math&gt; (luar)

:&lt;math&gt;x^2-2x+y^2-2y-7=0 -&gt; (x-1)^2+(y-1)^2=3^2&lt;/math&gt;
dengan cara bagi adil
:&lt;math&gt;(x - h) (x_1 - h) + (y - k) (y_1 - k) = r^2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(x - 1) (4 - 1) + (y - 1) (2 - 1) = 9&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(x - 1) 3 + y - 1 = 9&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;3x - 3 + y - 1 = 9&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;3x + y = 13&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y = -3x + 13&lt;/math&gt;

masukkan lah &lt;math&gt;(x-1)^2 + (y-1)^2 = 9&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(x-1)^2 + (-3x + 13 - 1)^2 = 9&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(x-1)^2 + (-3x + 12)^2 - 9 = 0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x^2 - 2x + 1 + 9x^2 - 72x + 144 - 9 = 0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;10x^2 - 74x + 136 = 0&lt;/math&gt; (dibagi 2)
:&lt;math&gt;5x^2 - 37x + 68 = 0&lt;/math&gt;

maka kita mencari nilai x
:&lt;math&gt;x = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x = \frac{37 \pm \sqrt{1.369 - 1.360}}{10}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x = \frac{37 \pm \sqrt{9}}{10}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x = \frac{37 \pm 3}{10}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x_1 = \frac{37 + 3}{10} = 4&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;x_2 = \frac{37 - 3}{10} = \frac{34}{10}&lt;/math&gt;

maka kita mencari nilai y
: untuk &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y_1 = -3x + 13&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y_1 = -3(4) + 13&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y_1 = 1&lt;/math&gt;
jadi &lt;math&gt;(4, 1)&lt;/math&gt;

: untuk &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y_2 = -3x + 13&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y_2 = -3(\frac{34}{10}) + 13&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y_2 = \frac{-102 + 130}{10}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y_2 = \frac{28}{10}&lt;/math&gt;
jadi &lt;math&gt;(\frac{34}{10}, \frac{28}{10})&lt;/math&gt;

kembali dengan cara bagi adil
: untuk persamaan singgung pertama
:&lt;math&gt;(x - h) (x_1 - h) + (y - k) (y_1 - k) = r^2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(x - 1) (4 - 1) + (y - 1) (1 - 1) = 9&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;3x - 3 = 9&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;3x = 12&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x = 4&lt;/math&gt;

: untuk persamaan singgung kedua
:&lt;math&gt;(x - h) (x_1 - h) + (y - k) (y_1 - k) = r^2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(x - 1) (\frac{34}{10} - 1) + (y - 1) (\frac{28}{10} - 1) = 9&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(x - 1) \frac{24}{10} + (y - 1) \frac{18}{10} = 9&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{24}{10} x - \frac{24}{10} + \frac{18}{10} y - \frac{18}{10} = 9&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{24}{10}x + \frac{18}{10}y = \frac{132}{10}&lt;/math&gt; (dikalikan 10/6)
:&lt;math&gt;4x + 3y = 22&lt;/math&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>8iyfksz9yrrp3eknm7ihjox459oy4ri</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>OSN Sekolah Menengah Atas</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23568</id>
    <revision>
      <id>114990</id>
      <parentid>114697</parentid>
      <timestamp>2026-04-26T10:46:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25546-23</username>
        <id>43043</id>
      </contributor>
      <origin>114990</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="83908" sha1="9rzx6e2kjlggabphlvxk9fzk5zmm7lo" xml:space="preserve">contoh soal

# Berapa hasil dari &lt;math&gt;\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Misalkan 2020 = p} \\
\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &amp;= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\
&amp;= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\
&amp;= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\
&amp;= \sqrt{(p^2-17)^2} \\
&amp;= p^2-17 \\
&amp;= 2020^2-17 \\
&amp;= (2000+20)^2-17 \\
&amp;= 4.000.000+80.000+400-17 \\
&amp;= 4.080.383 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai x dari &lt;math&gt;\frac{\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}}}{\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}}} = \frac{9}{10}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}}}{\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}}} &amp;= \frac{9}{10} \\
\text{misalkan untuk } \sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}} = p \\
\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}} &amp;= p \\
x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}} &amp;= p^2 \\
x^2-x-p &amp;= p^2 \\
x^2-2x+1+x-1 &amp;= p^2+p \\
(x-1)^2+(x-1) &amp;= p^2+p \\
x-1 &amp;= p \\

\text{misalkan untuk } \sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}} &amp;= q \\
\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}} &amp;= q \\
x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}} &amp;= q^3 \\
x^2 q &amp;= q^3 \\
x^2 &amp;= q^2 \\
x &amp;= q \\

\frac{x-1}{x} &amp;= \frac{9}{10} \\
x &amp;= 10 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai x dari &lt;math&gt;(\frac{x}{x+10})^{x+10}=\frac{1}{1024}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
(\frac{x+10}{x})^{-(x+10)} &amp;= (1024)^{-1} \\
(\frac{x+10}{x})^{x+10} &amp;= 1024 \\
(\frac{x+10}{x})^{x+10} &amp;= 2^{10} \\
(\frac{x+10}{x})^{\frac{x+10}{10}} &amp;= 2 \\
(1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &amp;= 2 \\
(1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &amp;= (\frac{1}{2})^{-1} \\
(1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &amp;= (1+(-\frac{1}{2}))^{(1+(-\frac{2}{1}))} \\

\frac{10}{x} &amp;= -\frac{1}{2} \\
x &amp;= -20 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai x dari &lt;math&gt;x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=4&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}} &amp;= (\sqrt{x+\frac{1}{4}})^2+2 \cdot \sqrt{x+\frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2 \\
&amp;= (\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2 \\

x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}} &amp;= 4 \\
x+\sqrt{(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2} &amp;= 4 \\
x+\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2} &amp;= 4 \\
(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2 &amp;= 4 \\
\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2} &amp;= 2 \\
\sqrt{x+\frac{1}{4}} &amp;= \frac{3}{2} \\
x+\frac{1}{4} &amp;= \frac{9}{4} \\
x &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai x dari &lt;math&gt;\frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}}+x^2-8=0&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}}+x^2-8 &amp;= 0 \\
\frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}} &amp;= 8-x^2 \\
x^3 &amp;= (8-x^2)^{\frac{3}{2}} \\
x &amp;= (8-x^2)^{\frac{1}{2}} \\
x^2 &amp;= 8-x^2 \\
2x^2-8 &amp;= 0 \\
x^2-4 &amp;= 0 \\
(x-2)(x+2) &amp;= 0 \\

\text{membuktikan } \\
x=2 \text{ maka hasilnya 0 } \\
x=-2 \text{ maka hasilnya -8 } \\

\text{jadi } x=2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai x dari &lt;math&gt;\sqrt{3x+5+\sqrt{4x+5}} = x&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\sqrt{3x+5+\sqrt{4x+5}} &amp;= x \\
\sqrt{4x+5+\sqrt{4x+5}-x} &amp;= x \\
\text{misalkan } \sqrt{4x+5}=y \text{ dan } 4x+5=y^2 \\

\sqrt{4x+5+\sqrt{4x+5}-x} &amp;= x \\
\sqrt{y^2+y-x} &amp;= x \\
y^2+y &amp;= x^2+x \\
y=x \\

4x+5 &amp;= y^2 \\
4x+5 &amp;= x^2 \\
x^2-4x-5 &amp;= 0 \\
(x-5)(x+1) &amp;= 0 \\
x=5 &amp;\text{ atau } x=-1 \text{ (TM) } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai x dari &lt;math&gt;\sqrt{1+\sqrt{1+x}} = \sqrt[3]{x}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\sqrt{1+\sqrt{1+x}} &amp;= \sqrt[3]{x} \\
\sqrt[3]{x} &amp;= n \\
x &amp;= n^3 \\

\sqrt{1+\sqrt{1+n^3}} &amp;= n \\
1+\sqrt{1+n^3} &amp;= n^2 \\
\sqrt{1+n^3} &amp;= n^2-1 \\
1+n^3 &amp;= n^4-2n^2+1 \\
n^4-n^3-2n^2 &amp;= 0 \\
n^2(n^2-n-2) &amp;= 0 \\
n^2(n-2)(n+1) &amp;= 0 \\
n=0, n=2 \text{ atau } n=-1 \\

n &amp;= 0 \\
x &amp;= 0^3 \\
 &amp;= 0 \\

n &amp;= 2 \\
x &amp;= 2^3 \\
 &amp;= 8 \\

n &amp;= -1 \\
x &amp;= (-1)^3 \\
 &amp;= -1 \\

\text{yang paling mungkin untuk nilai x adalah } 8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai x dari &lt;math&gt;\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}} &amp;= \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}} \\
\sqrt{x}(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}) &amp;= (\sqrt{1+x}-\sqrt{x})\sqrt{1+x} \\
\sqrt{x(1+x)}+x &amp;= 1+x-\sqrt{x(1+x)} \\
2\sqrt{x(1+x)} &amp;= 1 \\
\sqrt{x(1+x)} &amp;= \frac{1}{2} \\
x(1+x) &amp;= \frac{1}{4} \\
x^2+x &amp;= \frac{1}{4} \\
4x^2+4x &amp;= 1 \\
4x^2+4x-1 &amp;= 0 \\
x &amp;= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4(4)(-1)}}{2(4)} \\
&amp;= \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{8} \\
&amp;= \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{8} \\
&amp;= \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2} \\
\text{karena akar x harus minimal nol jadi } x = \frac{-1+\sqrt{2}}{2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai x dari &lt;math&gt;\frac{x-\sqrt{x+1}}{x+\sqrt{x+1}}=\frac{11}{19}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{x-\sqrt{x+1}}{x+\sqrt{x+1}} &amp;= \frac{11}{19} \\
\text{misalkan } \sqrt{x+1}=y \text{ dan } x=y^2-1 \\
\frac{y^2-1-y}{y^2-1+y} &amp;= \frac{11}{19} \\
19(y^2-y-1) &amp;= 11(y^2+y-1) \\
19y^2-19y-19 &amp;= 11y^2+11y-11 \\
8y^2-30y-8 &amp;= 0 \\
4y^2-15y-4 &amp;= 0 \\
(4y+1)(y-4) &amp;= 0 \\
y=-\frac{1}{4} \text{ (TM) atau } &amp; y=4 \\
x &amp;= 4^2-1 \\
 &amp;= 15 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai x dari &lt;math&gt;\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}=98&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}} &amp;= 98 \\
\text{misalkan } \sqrt{x^2-1}=y \\
\frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y} &amp;= 98 \\
\frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} &amp;= 98 \\
\frac{x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2}{x^2-y^2} &amp;= 98 \\
\frac{2(x^2+y^2)}{x^2-y^2} &amp;= 98 \\
\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} &amp;= 49 \\
x^2+y^2 &amp;= 49(x^2-y^2) \\
x^2+y^2 &amp;= 49x^2-49y^2 \\
48x^2 &amp;= 50y^2 \\
24x^2 &amp;= 25y^2 \\
24x^2 &amp;= 25(\sqrt{x^2-1})^2 \\
24x^2 &amp;= 25(x^2-1) \\
24x^2 &amp;= 25x^2-25 \\
x^2 &amp;= 25 \\
x &amp;= \pm 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai x dari &lt;math&gt;\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}=\frac{5}{4}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{misalkan } \sqrt{x}=y \text{ dan } x=y^2 \\
\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}} &amp;= \frac{5}{4}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}} \\
\sqrt{y^2+y}-\sqrt{y^2-y} &amp;= \frac{5}{4}\sqrt{\frac{y^2}{y^2+y}} \\
\sqrt{y^2+y}-\sqrt{y^2-y} &amp;= \frac{5}{4}\frac{y}{\sqrt{y^2+y}} \\
y^2+y-\sqrt{(y^2+y)(y^2-y)} &amp;= \frac{5}{4}y \\
y^2+y-\sqrt{y^4-y^2} &amp;= \frac{5}{4}y \\
y^2+y-\sqrt{y^2(y^2-1)} &amp;= \frac{5}{4}y \\
y(y+1)-y\sqrt{y^2-1} &amp;= \frac{5}{4}y \\
y+1-\sqrt{y^2-1} &amp;= \frac{5}{4} \\
-\sqrt{y^2-1} &amp;= \frac{1}{4}-y \\
y^2-1 &amp;= (\frac{1}{4}-y)^2 \\
y^2-1 &amp;= \frac{1}{16}-\frac{1}{2}y+y^2 \\
-1 &amp;= \frac{1}{16}-\frac{1}{2}y \\
\frac{1}{2}y &amp;= \frac{1}{16}+1 \\
\frac{1}{2}y &amp;= \frac{17}{16} \\
y &amp;= \frac{17}{8} \\
x &amp;= (\frac{17}{8})^2 \\
 &amp;= \frac{289}{64} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai x dari &lt;math&gt;\sqrt[4]{62+x}+\sqrt[4]{275-x}=7&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{ misalkan } \sqrt[4]{62+x}=a, 62+x=a^4, \sqrt[4]{275-x}=b \text{ dan } 275-x=b^4 \\
a+b &amp;= 7 \\
(a+b)^2 &amp;= 49 \\
a^2+b^2+2ab &amp;= 49 \\
a^2+b^2 &amp;= 49-2ab \\

a^4+b^4 &amp;= 62+x+275-x \\
(a^2+b^2)^2-2(ab)^2 &amp;= 337 \\
(49-2ab)^2-2(ab)^2 &amp;= 337 \\
2401-196ab+4(ab)^2-2(ab)^2 &amp;= 337 \\
2(ab)^2-196ab+2064 &amp;= 0 \\
(ab)^2-98ab+1032 &amp;= 0 \\
(ab-12)(ab-86) &amp;= 0 \\
ab = 12 \text{ atau } &amp; ab = 86 \text{ (TM) karena hasil kali maksimum yaitu 12 } \\
ab =12 \text{ dan } a+b=7 \\
a+b &amp;= 7 \\
b &amp;= 7-a \\
ab &amp;= 12 \\
a(7-a) &amp;= 12 \\
-a^2+7a &amp;= 12 \\
a^2-7a+12 &amp;= 0 \\
(a-3)(a-4) &amp;= 0 \\
a=3 \text{ atau } &amp; a=4 \\

a=3, b=4 \\
62+x &amp;= a^4 \\
62+x &amp;= (3)^4 \\
62+x &amp;= 81 \\
x &amp;= 19 \\

a=4, b=3 \\
62+x &amp;= a^4 \\
62+x &amp;= (4)^4 \\
62+x &amp;= 256 \\
x &amp;= 194 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai x dari &lt;math&gt;\sqrt[3]{(8+x)^2}-\sqrt[3]{(8+x)(27-x)}+\sqrt[3]{(27-x)^2}=7&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\sqrt[3]{(8+x)^2}-\sqrt[3]{(8+x)(27-x)}+\sqrt[3]{(27-x)^2} &amp;= 7 \\
(\sqrt[3]{8+x})^2-\sqrt[3]{8+x} \sqrt[3]{27-x}+(\sqrt[3]{27-x})^2 &amp;= 7 \\
\text{misalkan } \sqrt[3]{8+x}=a, 8+x=a^3, \sqrt[3]{27-x}=b \text{ dan } 27-x=b^3 \\
a^2-ab+b^2 &amp;= 7 \\
a^3+b^3 &amp;= 8+x+27-x \\
 &amp;= 35 \\
a^3+b^3 &amp;= (a+b)(a^2-ab+b^2) \\
35 &amp;= (a+b)(7) \\
a+b &amp;= 5 \\
b &amp;= 5-a \\

(a+b)^3 &amp;= a^3+b^3+3ab(a+b) \\
5^3 &amp;= 35+3ab(5) \\
125 &amp;= 35+15ab \\
80 &amp;= 15ab \\
ab &amp;= 6 \\
a(5-a) &amp;= 6 \\
5a-a^2 &amp;= 6 \\
a^2-5a+6 &amp;= 6 \\
(a-2)(a-3) &amp;= 6 \\
a=2 &amp;\text{ atau } a=3 \\

a=2, b=3 \text{ dan } a=3,b=2 \\
8+x &amp;= a^3 \\
 &amp;= 2^3 \\
 &amp;= 8 \\
x &amp;= 0 \\

8+x &amp;= a^3 \\
 &amp;= 3^3 \\
 &amp;= 27 \\
x &amp;= 19 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai x dari &lt;math&gt;3^x+5^x-9^x+15^x-25^x=1&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
3^x+5^x-9^x+15^x-25^x &amp;= 1 \\
3^x+5^x-(3^2)^x+(3 \cdot 5)^x-(5^2)^x &amp;= 1 \\
3^x+5^x-(3^x)^2+(3^x \cdot 5^x)-(5^x)^2 &amp;= 1 \\
\text{misalkan } 3^x=a \text{ dan } 5^x=b \\
a+b-a^2+ab-b^2 &amp;= 1 \\
a^2-ab+b^2-a-b+1 &amp;= 0 \\
2a^2-2ab+2b^2-2a-2b+2 &amp;= 0 \\
a^2-2ab+b^2+a^2-2a+1+b^2-2b+1 &amp;= 0 \\
(a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2 &amp;= 0 \\
a-b=0; a-1=0; b-1 &amp;= 0 \\
a=b &amp;= 1 \\
3^x &amp;= 1 \\
x &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai x dari &lt;math&gt;^6log x^2+^{6x}log \frac{6}{x}=1&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
^6log x^2+^{6x}log \frac{6}{x} &amp;= 1 \\
\text{misalkan } 6x=a \text{ maka } x=\frac{a}{6} \\
^6log x^2+^{6x}log \frac{6}{x} &amp;= 1 \\
^6log (\frac{a}{6})^2+^{6 \frac{a}{6}}log \frac{6}{\frac{a}{6}} &amp;= 1 \\
^6log \frac{a^2}{6^2}+^alog \frac{6^2}{a} &amp;= 1 \\
^6log a^2-^6log 6^2+^alog 6^2-^alog a &amp;= 1 \\
2 ^6log a-2 ^6log 6+2 ^alog 6-^alog a &amp;= 1 \\
2 ^6log a-2+2 \frac{1}{^6log a}-1 &amp;= 1 \\
2 ^6log a+2 \frac{1}{^6log a}-4 &amp;= 0 \\
2 ^6log^2 a-4 ^6log a+2 &amp;= 0 \\
^6log^2 a-2 ^6log a+1 &amp;= 0 \\
(^6log a-1)^2 &amp;= 0 \\
^6log a &amp;= 1 \\
a &amp;= 6 \\

x &amp;= \frac{a}{6} \\
 &amp;= \frac{6}{6} \\
 &amp;= 1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai x dari (x+500)&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;+x=20?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
(x+500)^3+x &amp;= 20 \\
\text{misalkan } a=x+500 \text{ maka } x=a-500 \\
a^3+a-500 &amp;= 20 \\
a^3+a &amp;= 520 \\
a(a^2+1) &amp;= 8 \cdot 65 \\
a(a^2+1) &amp;= 8(64+1) \\
a(a^2+1) &amp;= 8(8^2+1) \\
a &amp;= 8 \\
x &amp;= 8-500 \\
 &amp;= -492 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai x dari &lt;math&gt;\sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}}-\frac{1}{2}=0&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}}-\frac{1}{2} &amp;= 0 \\
\sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}} &amp;= \frac{1}{2} \\
\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n} &amp;= (\frac{1}{2})^n \\
\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n} &amp;= \frac{1}{2^n} \\
2^n(x^n+4^n) &amp;= x^n+16^n \\
2^n(x^n+2^{2n}) &amp;= x^n+2^{4n} \\
2^n \cdot x^n+2^{3n} &amp;= x^n+2^{4n} \\
2^n \cdot x^n-x^n &amp;= 2^{4n}-2^{3n} \\
x^n(2^n-1) &amp;= 2^{3n}(2^n-1) \\
x^n &amp;= 2^{3n} \\
x^n &amp;= (2^3)^n \\
x^n &amp;= 8^n \\
x &amp;= 8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa hasil dari &lt;math&gt;\frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{misalkan } x=\frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\
x &amp;= \frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{5 \cdot 6}+\sqrt{5 \cdot 5}+\sqrt{6 \cdot 4}+\sqrt{5 \cdot 4}}{\sqrt{5 \cdot 4}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6} \cdot \sqrt{4}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6} \cdot \sqrt{4}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{4}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{6}(\sqrt{5}+\sqrt{4})+\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{4})}{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\
 &amp;= \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})}{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\
\frac{1}{x} &amp;= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{4}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})} \\
 &amp;= \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{5-4}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{6-5} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{1}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{1} \\
 &amp;= \sqrt{5}-\sqrt{4}+\sqrt{6}-\sqrt{5} \\
 &amp;= \sqrt{6}-\sqrt{4} \\
 &amp;= \sqrt{6}-2 \\
x &amp;= \frac{1}{\sqrt{6}-2} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{6}+2}{6-4} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{6}+2}{2} \\
 &amp;= 1+\frac{\sqrt{6}}{2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa hasil dari &lt;math&gt;(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}})^5&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}})^5 \\
\text{misalkan } x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}} \\
x &amp;= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4\sqrt{2}} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{3}+1}{4} \\
4x &amp;= \sqrt{3}+1 \\
4x-1 &amp;= \sqrt{3} \\
(4x-1)^2 &amp;= 3 \\
16x^2-8x+1 &amp;= 3 \\
16x^2 &amp;= 8x+2 \\
8x^2 &amp;= 4x+1 \\
x^2 &amp;= \frac{4x+1}{8} \\

\text{cara 1 } \\
x^3 &amp;= x \cdot x^2 \\
 &amp;= x(\frac{4x+1}{8}) \\
 &amp;= \frac{4x^2+x}{8} \\
 &amp;= \frac{4x^2}{8}+\frac{x}{8} \\
 &amp;= \frac{4(\frac{4x+1}{8})}{8}+\frac{x}{8} \\
 &amp;= \frac{16x+4}{64}+\frac{x}{8} \\
 &amp;= \frac{4x+1}{16}+\frac{x}{8} \\
 &amp;= \frac{4x+1+2x}{16} \\
 &amp;= \frac{6x+1}{16} \\

x^5 &amp;= x^2 \cdot x^3 \\
 &amp;= (\frac{4x+1}{8})(\frac{6x+1}{16}) \\
 &amp;= \frac{24x^2+10x+1}{128} \\
 &amp;= \frac{24x^2}{128}+\frac{10x+1}{128} \\
 &amp;= \frac{24(\frac{4x+1}{8})}{128}+\frac{10x+1}{128} \\
 &amp;= \frac{96x+24}{1024}+\frac{10x+1}{128} \\
 &amp;= \frac{96x+24+80x+8}{1024} \\
 &amp;= \frac{176x+32}{1024} \\
 &amp;= \frac{176x}{1024}+\frac{32}{1024} \\
 &amp;= \frac{176}{1024}(\frac{\sqrt{3}+1}{4})+\frac{32}{1024} \\
 &amp;= \frac{44(\sqrt{3}+1)}{1024}+\frac{32}{1024} \\
 &amp;= \frac{44\sqrt{3}+44}{1024}+\frac{32}{1024} \\
 &amp;= \frac{76+44\sqrt{3}}{1024} \\
 &amp;= \frac{19+11\sqrt{3}}{256} \\

\text{cara 2 } \\
x^4 &amp;= (x^2)^2 \\
 &amp;= (\frac{4x+1}{8})^2 \\
 &amp;= \frac{16x^2+8x+1}{64} \\
 &amp;= \frac{16x^2}{64}+\frac{8x}{64}+\frac{1}{64} \\
 &amp;= \frac{x^2}{4}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\
 &amp;= \frac{\frac{4x+1}{8}}{4}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\
 &amp;= \frac{4x}{32}+\frac{1}{32}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\
 &amp;= \frac{x}{8}+\frac{1}{32}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\
 &amp;= \frac{x}{4}+\frac{3}{64} \\
x^5 &amp;= x \cdot x^4 \\
 &amp;= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{x}{4}+\frac{3}{64}) \\
 &amp;= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{4}}{4}+\frac{3}{64}) \\
 &amp;= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{\sqrt{3}+1}{16}+\frac{3}{64}) \\
 &amp;= \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{64}+(\frac{\sqrt{3}+1}{4})\frac{3}{64} \\
 &amp;= \frac{3+2\sqrt{3}+1}{64}+\frac{3(\sqrt{3}+1)}{256} \\
 &amp;= \frac{4+2\sqrt{3}}{64}+\frac{3(\sqrt{3}+1)}{256} \\
 &amp;= \frac{16+8\sqrt{3}}{256}+\frac{3\sqrt{3}+3}{256} \\
 &amp;= \frac{19+11\sqrt{3}}{256} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa hasil dari &lt;math&gt;\frac{1}{4}+\frac{5}{16}+\frac{9}{64}+\frac{13}{256}+\dots&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
x &amp;= \frac{1}{4}+\frac{5}{16}+\frac{9}{64}+\frac{13}{256}+\dots \\
\frac{x}{4} &amp;= \frac{1}{16}+\frac{5}{64}+\frac{9}{256}+\frac{13}{1.024}+\dots \\
\frac{3x}{4} &amp;= \frac{1}{4}+\frac{4}{16}+\frac{4}{64}+\frac{4}{256}+\dots \\
\frac{3x}{4} &amp;= \frac{1}{4}+4(\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}+\dots) \\

\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}+\dots &amp;= \frac{1}{1-\frac{1}{4}} \\
 &amp;= \frac{4}{3} \\
\frac{3x}{4} &amp;= \frac{1}{4}+4(\frac{4}{3}) \\
 &amp;= \frac{1}{4}+\frac{16}{3} \\
 &amp;= \frac{67}{12} \\
x &amp;= \frac{67}{9} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai y-x jika &lt;math&gt;\frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} = \frac{x}{y}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} &amp;= \frac{x}{y} \\
\frac{\frac{106 \times 107}{2}}{\frac{106}{2}(4+109)} &amp;= \frac{x}{y} \\
\frac{53 \times 107}{53 \times 113} &amp;= \frac{x}{y} \\

y-x &amp;= 113-107 = 6 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa angka satuan dari hasil 17&lt;sup&gt;2024&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan angka satuannya} \\
17^1 &amp;= 7 \\
17^2 &amp;= 9 \\
17^3 &amp;= 3 \\
17^4 &amp;= 1 \\
17^5 &amp;= 7 \\
17^6 &amp;= 9 \\
17^7 &amp;= 3 \\
17^8 &amp;= 1 \\
\text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan} \\
1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &amp;= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\
&amp;= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\

\text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan} \\
\frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &amp;= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\
&amp;= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\

\text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Penjumlahan bilangan 1 masing-masing seperti 1+1+1+1+… sebanyak 88 buah ditambah x dan y maka hasilnya A dan perkalian bilangan 1 masing-masing 1x1x1x… sebanyak 88 buah dikali x dan y maka hasilnya A maka berapa nilai A?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{penjumlahan} \\
1+1+1+1+ \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }+x+y &amp;= A \\
88+x+y &amp;= A \\

\text{perkalian} \\
1 \times 1 \times 1 \times \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }\times x \times y &amp;= A \\
x \times y &amp;= A \\

88+x+y &amp;= xy \\
xy-y &amp;= 88+x \\
y(x-1) &amp;= 88+x \\
y &amp;= \frac{88+x}{x-1} \\

\text{uji selidiki untuk x=2} \\
y &amp;= \frac{88+2}{2-1} \\
 &amp;= 90 \\

\text{buktikan} \\
88+x+y &amp;= xy \\
88+2+90 &amp;= 2(90) \\
180 &amp;= 180 \\
\text{terbukti} \\

\text{nilai A adalah } 180 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai x, y dan z dari &lt;math&gt;x+y-z=1, x^2+y^2-z^2=-5 \text{ dan } x^3+y^3-z^3=-53&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
x+y-z &amp;= 1 \\
x+y &amp;= z+1 \\
x^2+2xy+y^2 &amp;= z^2+2z+1 \\
x^2+y^2-z^2 &amp;= 2z+1-2xy \\
-5 &amp;= 2z+1-2xy \\
2xy &amp;= 2z+6 \\
xy &amp;= z+3 \\

x^2+y^2-z^2 &amp;= -5 \\
x^2+y^2 &amp;= z^2-5 \\

x^3+y^3-z^3 &amp;= -53 \\
(x+y)(x^2-xy+y^2)-z^3+53 &amp;= 0 \\
(x+y)(x^2+y^2-xy)-z^3+53 &amp;= 0 \\
(z+1)(z^2-5-(z+3))-z^3+53 &amp;= 0 \\
(z+1)(z^2-z-8)-z^3+53 &amp;= 0 \\
z^3-z^2-8z+z^2-z-8-z^3+53 &amp;= 0 \\
-9z+45 &amp;= 0 \\
-9z &amp;= -45 \\
z &amp;= 5 \\

x+y &amp;= 5+1 \\
x+y &amp;= 6 \\
x &amp;= 6-y \\
xy &amp;= 5+3 \\
xy &amp;= 8 \\
(6-y)y &amp;= 8 \\
6y-y^2 &amp;= 8 \\
y^2-6y+8 &amp;= 0 \\
(y-4)(y-2) &amp;= 0 \\
y=4 \text{ atau } y=2 \\

\text{jika } y=4 \\
x+y &amp;= z+1 \\
x+4 &amp;= 5+1 \\
x &amp;= 2 \\

\text{jika } y=2 \\
x+y &amp;= z+1 \\
x+2 &amp;= 5+1 \\
x &amp;= 4 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai titik koordinat (x,y) dari &lt;math&gt;\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=\sqrt{\frac{432x}{13y}}&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=\sqrt{\frac{52y}{3x}}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y} &amp;= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \\
\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y} &amp;= \sqrt{\frac{52y}{3x}} \\
(\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y})(\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}) &amp;= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \cdot \sqrt{\frac{52y}{3x}} \\
x+y-x+y &amp;= \sqrt{\frac{432x \cdot 52y}{13y \cdot 3x}} \\
2y &amp;= \sqrt{144 \cdot 4} \\
2y &amp;= \sqrt{576} \\
2y &amp;= 24 \\
 y &amp;= 12 \\

\sqrt{x+12}+\sqrt{x-12} &amp;= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \\
\sqrt{x+12}+\sqrt{x-12} &amp;= \sqrt{\frac{432x}{13(12)}} \\
x+12+x-12+2 \cdot \sqrt{x+12} \cdot \sqrt{x-12} &amp;= \frac{36x}{13} \\
2x+2 \sqrt{x^2-144} &amp;= \frac{36x}{13} \\
2(x+\sqrt{x^2-144}) &amp;= \frac{36x}{13} \\
x+\sqrt{x^2-144} &amp;= \frac{18x}{13} \\
\sqrt{x^2-144} &amp;= \frac{5x}{13} \\
x^2-144 &amp;= \frac{25x^2}{169} \\
\frac{144x^2}{169}-144 &amp;= 0 \\
\frac{x^2}{169}-1 &amp;= 0 \\
x^2-169 &amp;= 0 \\
(x-13)(x+13) &amp;= 0 \\
x_1=13 &amp;\text{ atau } x_2=-13 \text{ (TM) karena } x&gt;y \\
\end{align}
&lt;/math&gt;

jadi titik koordinat (13,12)
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;x^2-7x&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;(x-2)^2+\frac{1}{(x-2)^2} = 11&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
(x-2)^2+\frac{1}{(x-2)^2} &amp;= 11 \\
(x-2)^2-2(x-2)\frac{1}{(x-2)}+\frac{1}{(x-2)^2} &amp;= 11-2 \\
(x-2-\frac{1}{x-2})^2 &amp;= 9 \\
x-2-\frac{1}{x-2} &amp;= 3 \\
(x-2)^2-1 &amp;= 3(x-2) \\
x^2-4x+4-1 &amp;= 3x-6 \\
x^2-7x &amp;= -9 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{(x+y)^2(x+z)^2(x+z)^2}{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)}&lt;/math&gt; jika xy+yz+xz=1?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
xy+yz+xz &amp;= 1 \\
x^2+xy+yz+xz &amp;= x^2+1 \\
x(x+y)+z(x+y) &amp;= x^2+1 \\
(x+y)(x+z) &amp;= x^2+1 \\
\text{dengan pola yang sama } \\
(y+x)(y+z) &amp;= y^2+1 \\
(x+z)(y+z) &amp;= z^2+1 \\

\frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)} &amp;= \frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x+y)(x+z)(y+x)(y+z)(x+z)(y+z)} \\
 &amp;= \frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2} \\
 &amp;= 1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari w+x+y+z jika w+5=x+4=y+3=z+2=w+x+y+z+5?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
w+5 &amp;= w+x+y+z+5 \\
x+4 &amp;= w+x+y+z+5 \\
y+3 &amp;= w+x+y+z+5 \\
z+2 &amp;= w+x+y+z+5 \\
\text{jumlahkan keempat persamaan } \\
w+x+y+z+14 &amp;= 4(w+x+y+z+5) \\
w+x+y+z+14 &amp;= 4(w+x+y+z)+20 \\
3(w+x+y+z) &amp;= -6 \\
w+x+y+z &amp;= -2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2}{x^2y^2z^2}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3&lt;/math&gt; dan x+y+z=xyz?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2}{x^2y^2z^2} &amp;= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \\
(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2 &amp;= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}) \\
3^2 &amp;= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{z+x+y}{xyz}) \\
9 &amp;= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{xyz}{xyz}) \\
 &amp;= \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2 \\
\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2} &amp;= 7 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{2z}{x+y}-\frac{5y}{x+z}-\frac{7x}{y+z}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;x^2+y^2+z^2 = -2(ab+bc+ac)&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
x^2+y^2+z^2 &amp;= -2(xy+yz+xz) \\
x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz) &amp;= 0 \\
(x+y+z)^2 &amp;= 0 \\
x+y+z &amp;= 0 \\

x+y &amp;= -z \\
x+z &amp;= -y \\
y+z &amp;= -x \\

\frac{2z}{x+y}-\frac{5y}{x+z}-\frac{7x}{y+z} &amp;= \frac{2z}{-z}-\frac{5y}{-y}-\frac{7x}{-x} \\
 &amp;= -2-(-5)-(-7) \\
 &amp;= 10 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{20xyz}{xy+yz+xz}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;16^x = 256^y = 625^z = 40&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
16^x = 256^y = 625^z &amp;= 40 \\
2^{4x} = 4^{4y} = 5^{4z} &amp;= 40 \\

2^{4x} &amp;= 40 \\
2 &amp;= 40^{\frac{1}{4x}} \\

4^{4y} &amp;= 40 \\
4 &amp;= 40^{\frac{1}{4y}} \\

5^{4z} &amp;= 40 \\
5 &amp;= 40^{\frac{1}{4z}} \\

2 \cdot 4 \cdot 5 &amp;= 40^{\frac{1}{4x}} \cdot 40^{\frac{1}{4y}} \cdot 40^{\frac{1}{4z}} \\

40 &amp;= 40^{\frac{1}{4x}} \cdot 40^{\frac{1}{4y}} \cdot 40^{\frac{1}{4z}} \\

40 &amp;= 40^{\frac{1}{4x} + \frac{1}{4y} + \frac{1}{4z}} \\
1 &amp;= \frac{1}{4x} + \frac{1}{4y} + \frac{1}{4z} \\
4 &amp;= \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \\

\frac{20xyz}{xy+yz+xz} &amp;= 20 \cdot \frac{xyz}{xy+yz+xz} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{xy+yz+xz}{xyz})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{1}{z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (4)^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot \frac{1}{4} \\
&amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{x^2}{x^4+3x^2+1}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;6x^2+25x+6=0&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
6x^2+25x+6 &amp;= 0 \\
6x+25+\frac{6}{x} &amp;= 0 \\
6(x+\frac{1}{x}) &amp;= -25 \\
x+\frac{1}{x} &amp;= \frac{-25}{6} \\
(c+\frac{1}{x})^2 &amp;= (\frac{-25}{6})^2 \\
x^2+2+\frac{1}{x^2} &amp;= \frac{625}{36} \\
x^2+\frac{1}{x^2} &amp;= \frac{625}{36}-2 \\
x^2+\frac{1}{x^2} &amp;= \frac{553}{36} \\

\frac{x^2}{x^4+3x^2+1} &amp;= \frac{1}{x^2+3+\frac{1}{x^2}} \\
&amp;= \frac{1}{a^2+\frac{1}{x^2}+3} \\
&amp;= \frac{1}{\frac{553}{36}+3} \\
&amp;= \frac{1}{\frac{661}{36}} \\
&amp;= \frac{36}{661} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{(9+4\sqrt{5})^{1013}}{(38+17\sqrt{5})^{675}}+6-\sqrt{5}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{(9+4\sqrt{5})^{1013}}{(38+17\sqrt{5})^{675}}+6-\sqrt{5} &amp;= \frac{(9+2\sqrt{20})^{1013}}{((2)^3+3(2)^2(\sqrt{5})+3(2)(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^3)^{675}}+6-\sqrt{5} \\
&amp;= \frac{((2+\sqrt{5})^2)^{1013}}{((2+\sqrt{5})^3)^{675}}+6-\sqrt{5} \\
&amp;= \frac{(2+\sqrt{5})^{2026}}{(2+\sqrt{5})^{2025}}+6-\sqrt{5} \\
&amp;= 2+\sqrt{5}+6-\sqrt{5} \\
&amp;= 8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;27x^3+\frac{8}{x^3}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;3x+\frac{2}{x}=6&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
3x+\frac{2}{x} &amp;= 6 \\
(3x+\frac{2}{x})^3 &amp;= 6^3 \\
27x^3+3(3x)(\frac{2}{x})(3x+\frac{2}{x})+\frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3+18(6)+\frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3+108+\frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3+\frac{8}{x^3} &amp;= 108 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;x^6+\frac{8}{x^3}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;x^3+\frac{1}{x^3}=8&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
x^3+\frac{1}{x^3} &amp;= 8 \\
x^3 &amp;= 8-\frac{1}{x^3} \\
x^6 &amp;= 8x^3-1 \\

x^6+\frac{8}{x^3} &amp;= 8x^3-1+\frac{8}{x^3} \\
&amp;= 8x^3+\frac{8}{x^3}-1 \\
&amp;= 8(x^3+\frac{1}{x^3})-1 \\
&amp;= 8(8)-1 \\
&amp;= 63 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;4x+\frac{25}{x}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}=4x-\frac{25}{x}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &amp;= 4x-\frac{25}{x} \\
2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &amp;= (2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}}) \\
1 &amp;= 2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}} \\
1^2 &amp;= (2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\
1 &amp;= 4x-20+\frac{25}{x} \\
4x+\frac{25}{x} &amp;= 21 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;x+\frac{1}{x}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=\frac{5}{6}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1} &amp;= \frac{5}{6} \\
\frac{x^2+1-x}{x^2+1+x} &amp;= \frac{5}{6} \\
\frac{x+\frac{1}{x}-1}{x+\frac{1}{x}+1} &amp;= \frac{5}{6} \\
\text{ misalkan } x+\frac{1}{x} &amp;= y  \\
\frac{y-1}{y+1} &amp;= \frac{5}{6} \\
6(y-1) &amp;= 5(y+1) \\
6y-6 &amp;= 5y+5 \\
y &amp;= 11 \\
x+\frac{1}{x} &amp;= 11 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;x+\frac{1}{x}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;\sqrt{x}+x=1&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\sqrt{x}+x &amp;= 1 \\
x-1 &amp;= -\sqrt{x} \\
(x-1)^2 &amp;= (-\sqrt{x})^2 \\
x^2-2x+1 &amp;= x \\
x^2-3x+1 &amp;= 0 \\
x-3+\frac{1}{x} &amp;= 0 \\
x+\frac{1}{x} &amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;x+\frac{1}{x}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36}=3&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36} &amp;= 3 \\
(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36})^3 &amp;= 3^3 \\
x-(x-36)-3 \sqrt[3]{x(x-36)}(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36}) &amp;= 27 \\
36-3 \sqrt[3]{x(x-36)}3 &amp;= 27 \\
-9 \sqrt[3]{x(x-36)} &amp;= -9 \\
\sqrt[3]{x(x-36)} &amp;= 1 \\
x(x-36) &amp;= 1 \\
x^2-36x-1 &amp;= 0 \\
x-36-\frac{1}{x} &amp;= 0 \\
x-\frac{1}{x} &amp;= 36 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;x+\frac{16}{x}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;x-3\sqrt{x}=4&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
x-3\sqrt{x} &amp;= 4 \\
x-4 &amp;= 3\sqrt{x} \\
x^2-8x+16 &amp;= 9x \\
x^2-17x+16 &amp;= 0 \\
x-17+\frac{16}{x} &amp;= 0 \\
x+\frac{16}{x} &amp;= 17 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{x^2}{x^4+4}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;x^2-7x+2=0&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
x^2-7x+2 &amp;= 0 \\
x^2+2 &amp;= 7x  \\
x+\frac{2}{x} &amp;= 7 \\
x^2+4+\frac{4}{x^2} &amp;= 49 \\
x^2+\frac{4}{x^2} &amp;= 45 \\
\frac{x^4+4}{x^2} &amp;= 45 \\
\frac{x^2}{x^4+4} &amp;= \frac{1}{45} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;x+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}}+x^{-1}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}=5&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}} &amp;= 5 \\
x^{\frac{1}{2}}+2+x^{-\frac{1}{2}} &amp;= 25 \\
x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}} &amp;= 23 \\
x+2+x^{-1} &amp;= 529 \\
x+x^{-1} &amp;= 527 \\

x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}} &amp;= 5 \\
x^{\frac{3}{4}}+3(x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}})+x^{-\frac{3}{4}} &amp;= 125 \\
x^{\frac{3}{4}}+3(5)+x^{-\frac{3}{4}} &amp;= 125 \\
x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}} &amp;= 110 \\

x+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}}+x^{-1} &amp;= x+x^{-1}+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}} \\
 &amp;= 527+110 \\
 &amp;= 637 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\sqrt{8x^6+x^5+x^4+5x^3+1}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^5}=0&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^5} &amp;= 0 \\
\frac{x^2+x+1}{x^5} &amp;= 0 \\
x^2+x+1 &amp;= 0 \\
x^2+x+1 &amp;= 0 \\
(x-1)(x^2+x+1) &amp;= 0(x-1) \\
x^3-1 &amp;= 0 \\
x^3 &amp;= 1 \\
x &amp;= 1 \\

\sqrt{8x^6+x^5+x^4+5x^3+1} &amp;= \sqrt{(2x^3)^2+x^3x^2+x^3x+5x^3+1} \\
&amp;= \sqrt{(2(1))^2+(1)x^2+(1)x+5(1)+1} \\
&amp;= \sqrt{(2)^2+x^2+x+5+1} \\
&amp;= \sqrt{4+x^2+x+1+5} \\
&amp;= \sqrt{4+0+5} \\
&amp;= \sqrt{9} \\
&amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;f(1)+f(2)+f(3)+ \dots + f(99)&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) &amp;= \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{x+1-x} \\
 &amp;= \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \\

f(1)+f(2)+f(3)+ \dots + f(98)+f(99) &amp;= \sqrt{1+1}-\sqrt{1}+\sqrt{2+1}-\sqrt{2}+\sqrt{3+1}-\sqrt{3}+ \cdot + \sqrt{98+1}-\sqrt{98}+\sqrt{99+1}-\sqrt{99} \\
 &amp;= \sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+ \cdot + \sqrt{99}-\sqrt{98}+\sqrt{100}-\sqrt{99} \\
 &amp;= \sqrt{100}-\sqrt{1} \\
 &amp;= 10-1 \\
 &amp;= 9 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;5(\frac{1}{2025}+\frac{2}{2025}+\frac{3}{2025}+ \dots + \frac{2024}{2025})&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;h(x)=\frac{3}{3+9^x}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
h(x) &amp;= \frac{3}{3+9^x} \\
h(1-x) &amp;= \frac{3}{3+9^{1-x}} \\
 &amp;= \frac{3}{3+\frac{9}{9^x}} \\
 &amp;= \frac{9^x}{3+9^x} \\
h(x)+h(1-x) &amp;= \frac{3}{3+9^x}+\frac{9^x}{3+9^x} \\
 &amp;= \frac{3+9^x}{3+9^x} \\
 &amp;= 1 \\

&amp; 5(\frac{1}{2025}+\frac{2}{2025}+\frac{3}{2025}+ \dots +(1-\frac{2}{2025})+(1-\frac{1}{2025})) \\
&amp; 5(1+1+1+ \dots +1+1) \text{ sebanyak 1012 kali } \\
&amp; 5(1012) \\
&amp; 5060 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{7^{2025}-7^{2023}+432}{7^{2024}+7^{2023}+72} &amp;= \frac{7^{2023}7^{2}-7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1+7^{2023}+8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023}(7^{2}-1)+48 \times 9}{7^{2023}(7^1+1)+8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023}(49-1)+48 \times 9}{7^{2023}(7+1) + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023} \times 48+48 \times 9}{7^{2023} \times 8+8 \times 9} \\
&amp;= \frac{48(7^{2023}+9)}{8(7^{2023}+9)} \\
&amp;= \frac{48}{8} \\
&amp;= 6 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;tan (x+\frac{\pi}{4})&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;\frac{1}{cos x}-tan x = \frac{4}{5}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{1}{cos x}-tan x &amp;= \frac{4}{5} \\
sec x-tan x &amp;= \frac{4}{5} \\
sec^2 x-tan^2 x &amp;= 1 \\
(sec x+tan x)(sec x-tan x) &amp;= 1 \\
(sec x+tan x)\frac{4}{5} &amp;= 1 \\
sec x+tan x &amp;= \frac{5}{4} \\
\text{kedua persamaan dengan cara metode eliminasi } \\
2 tan x &amp;= \frac{5}{4}-\frac{4}{5} \\
2 tan x &amp;= \frac{9}{20} \\
tan x &amp;= \frac{9}{40} \\

tan (x+\frac{\pi}{4}) &amp;= \frac{tan x+tan \frac{\pi}{4}}{1-tan x \cdot tan \frac{\pi}{4}} \\
&amp;= \frac{\frac{9}{40}+1}{1-\frac{9}{40} \cdot 1} \\
&amp;= \frac{\frac{49}{40}}{\frac{31}{40}} \\
&amp;= \frac{49}{31} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;sin^3 x+csc^3 x&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;sin x-csc x = 8&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{ Dengan menggunakan rumus: } (a-b)^3 &amp;= a^3-b^3-3ab(a-b) \\
(sin x-csc x)^3 &amp;= sin^3 x-csc^3 x-3sin x csc x(sin x-csc x) \\
8^3 &amp;= sin^3 x-csc^3 x-3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\
512 &amp;= sin^3 x-csc^3 x-24 \\
sin^3 x-csc^3 x &amp;= 512+24 \\
sin^3 x-csc^3 x &amp;= 536 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;(sin x+\frac{1}{cos x})^2+(cos x+\frac{1}{sin x})^2&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;\frac{1}{sin x}+\frac{1}{cos x} = 10&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{1}{sin x}+\frac{1}{cos x} &amp;= 10 \\
\frac{1}{sin^2 x}+\frac{2}{sin x \cdot cos x}+\frac{1}{cos^2 x} &amp;= 100 \\
(sin x+\frac{1}{cos x})^2+(cos x+\frac{1}{sin x})^2 &amp;= sin^2 x+\frac{2sin x}{cos x}+\frac{1}{cos^2 x}+cos^2 x+\frac{2cos x}{sin x}+\frac{1}{sin^2 x} \\
&amp;= 1+\frac{1}{sin^2 x}+\frac{2(sin^2 x+cos^2 x)}{sin x \cdot cos x}+\frac{1}{cos^2 x} \\
&amp;= 1+\frac{1}{sin^2 x}+\frac{2}{sin x \cdot cos x}+\frac{1}{cos^2 x} \\
&amp;= 1+100 \\
&amp;= 101 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari (x-1)&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; jika &lt;math&gt;x=\frac{4 cos 55^\circ cos 25^\circ cos 10^\circ+sin 40^\circ}{sin 80^\circ}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
sin 80^\circ &amp;= cos 10^\circ \\
sin 80^\circ-cos 10^\circ &amp;= 0 \\
x &amp;= \frac{4 cos 55^\circ cos 25^\circ cos 10^\circ+sin 40^\circ}{sin 80^\circ} \\
 &amp;= \frac{4 cos 55^\circ cos 25^\circ cos 10^\circ+2 sin 20^\circ cos 20^\circ}{cos 10^\circ} \\
 &amp;= \frac{4 cos 55^\circ cos 25^\circ cos 10^\circ+4 sin 10^\circ cos 10^\circ cos 20^\circ}{cos 10^\circ} \\
 &amp;= 4 cos 55^\circ cos 25^\circ+4 sin 10^\circ cos 20^\circ \\
 &amp;= 2(2 cos 55^\circ cos 25^\circ+2 sin 10^\circ cos 20^\circ) \\
 &amp;= 2(cos 80^\circ+cos 30^\circ+sin 30^\circ+sin (-10)^\circ) \\
 &amp;= 2(cos 80^\circ+cos 30^\circ+sin 30^\circ-sin 10^\circ) \\
 &amp;= 2(cos 80^\circ-sin 10^\circ+cos 30^\circ+sin 30^\circ) \\
 &amp;= 2(cos 80^\circ-sin (90^\circ-80^\circ)+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\
 &amp;= 2(cos 80^\circ-cos 80^\circ+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\
 &amp;= 2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\
 &amp;= \sqrt{3}+1 \\
x-1 &amp;= \sqrt{3} \\
(x-1)^6 &amp;= (\sqrt{3})^6 \\
 &amp;= 27 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari x jika &lt;math&gt;x=\frac{x sin 20^\circ-x^2 sin 10^\circ}{2 sin 20^\circ-sin 40 ^\circ}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
x &amp;= \frac{x sin 20^\circ-x^2 sin 10^\circ}{2 sin 20^\circ-sin 40 ^\circ} \\
2x sin 20^\circ-x sin 40 ^\circ &amp;= x sin 20^\circ-x^2 sin 10^\circ \\
x^2 sin 10^\circ+x sin 20^\circ-x sin 40 ^\circ &amp;= 0 \\
x(x sin 10^\circ+sin 20^\circ-sin 40 ^\circ) &amp;= 0 \\
x = 0 &amp;\text{ atau } x sin 10^\circ+sin 20^\circ-sin 40 ^\circ = 0 \\

x sin 10^\circ+sin 20^\circ-sin 40 ^\circ &amp;= 0 \\
x sin 10^\circ &amp;= sin 40 ^\circ-sin 20^\circ \\
x &amp;= \frac{sin 40 ^\circ-sin 20^\circ}{sin 10^\circ} \\
 &amp;= \frac{2 cos 30 ^\circ sin 10^\circ}{sin 10^\circ} \\
 &amp;= 2 cos 30 ^\circ \\
 &amp;= \frac{2 \sqrt{3}}{2} \\
 &amp;= \sqrt{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{x}{y}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;\frac{x^2}{x^2-16y^2} = \frac{625}{49}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{x^2}{x^2-16y^2} &amp;= \frac{625}{49} \\
\frac{x^2-16y^2}{x^2} &amp;= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\
1-\frac{16y^2}{x^2} &amp;= \frac{49}{625} \\
\frac{16y^2}{x^2} &amp;= 1 - \frac{49}{625} \\
(\frac{4y}{x})^2 &amp;= \frac{576}{625} \\
(\frac{4y}{x})^2 &amp;= (\frac{24}{25})^2 \\
\frac{4y}{x} &amp;= \frac{24}{25} \\
\frac{y}{x} &amp;= \frac{6}{25} \\
\frac{x}{y} &amp;= \frac{25}{6} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari xy jika &lt;math&gt;x^4+y^4+x^2y^2=15 \text{ dan } x^2+y^2+xy=5&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
x^2+y^2+xy &amp;= 5 \\
x^2+y^2 &amp;= 5-xy \\
x^4+y^4+x^2y^2 &amp;= 15 \\
(x^2)^2+(y^2)^2+2x^2y^2-x^2y^2 &amp;= 15 \\
(x^2+y^2)^2-x^2y^2 &amp;= 15 \\
(5-xy)^2-x^2y^2 &amp;= 15 \\
25-10xy+x^2y^2-x^2y^2 &amp;= 15 \\
25-10xy &amp;= 15 \\
10xy &amp;= 10 \\
xy &amp;= 1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari x jika &lt;math&gt;4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
4^x &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\
 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\
 &amp;= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\
 &amp;= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
 &amp;= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
 &amp;= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\
 &amp;= 4^{24}-1 \\
4^x &amp;= 4^{24} \\
x &amp;= 24 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{x^4-5x^3+2x^2+5x+3}{x^2-4x+1}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;x=\sqrt{9+4\sqrt{5}}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
x &amp;= \sqrt{9+4\sqrt{5}} \\
x &amp;= 2+\sqrt{5} \\
x^2 &amp;= 9+4\sqrt{5} \\

x^2-4x &amp;= 9+4\sqrt{5}-4(2+\sqrt{5}) \\
x^2-4x &amp;= 1 \\
x^2 &amp;= 4x+1 \\

x^3 &amp;= x \cdot x^2 \\
 &amp;= x(4x+1) \\
 &amp;= 4x^2+x \\
 &amp;= 4(4x+1)+x \\
 &amp;= 16x+4+x \\
 &amp;= 17x+4 \\

x^4 &amp;= x \cdot x^3 \\
 &amp;= x(17x+4) \\
 &amp;= 17x^2+4x \\
 &amp;= 17(4x+1)+4x \\
 &amp;= 68x+17+4x \\
 &amp;= 72x+17 \\

\frac{x^4-5x^3+2x^2+5x+3}{x^2-4x+1} &amp;= \frac{72x+17-5(17x+4)+2(4x+1)+5x+3}{1+1} \\
 &amp;= \frac{72x+17-85x-20+8x+2+5x+3}{2} \\
 &amp;= \frac{2}{2} \\
 &amp;= 1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\sqrt{\frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2}}&lt;/math&gt; jika 2x-1=&lt;math&gt;\sqrt{61}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{misalkan } \frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2} = p \\
p &amp;= \frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2} \\
 &amp;= \frac{x^3+1}{x^5-x^4-(x^3-x^2)} \\
 &amp;= \frac{x^3+1}{x^4(x-1)-x^2(x-1)} \\
 &amp;= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x^4(x-1)-x^2(x-1)} \\
 &amp;= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)(x^4-x^2)} \\
 &amp;= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)x^2(x^2-1)} \\
 &amp;= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)x^2(x-1)(x+1)} \\
 &amp;= \frac{x^2-x+1}{x^2(x-1)^2} \\
 &amp;= \frac{x^2-x+1}{(x(x-1))^2} \\
 &amp;= \frac{x(x-1)+1}{(x(x-1))^2} \\

2x-1 &amp;= \sqrt{61} \\
 x &amp;= \frac{\sqrt{61}+1}{2} \\
 x-1 &amp;= \frac{\sqrt{61}-1}{2} \\
 x(x-1) &amp;= (\frac{\sqrt{61}+1}{2})(\frac{\sqrt{61}-1}{2}) \\
 &amp;= \frac{61-1}{4} \\
 &amp;= \frac{60}{4} \\
 &amp;= 15 \\

p &amp;= \frac{x(x-1)+1}{(x(x-1))^2} \\
 &amp;= \frac{15+1}{15^2} \\
 &amp;= \frac{16}{15^2} \\
 
\sqrt{p} &amp;= \sqrt{\frac{16}{15^2}} \\
 &amp;= \frac{4}{15} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;(\frac{x-3}{x})^{25}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;x+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{2}=1+\sqrt[5]{16}+\sqrt[5]{4}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
x+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{2} &amp;= 1+\sqrt[5]{16}+\sqrt[5]{4} \\
x+(\sqrt[5]{2})^3+\sqrt[5]{2} &amp;= 1+(\sqrt[5]{2})^4+(\sqrt[5]{2})^2 \\
x &amp;= (\sqrt[5]{2})^4-(\sqrt[5]{2})^3+(\sqrt[5]{2})^2-\sqrt[5]{2}+1 \\
\text{misalkan } \sqrt[5]{2} = p \\
x &amp;= p^4-p^3+p^2-p+1 \\
x &amp;= \frac{p^5+1}{p+1} \\

(\frac{x-3}{x})^{25} &amp;= (1-\frac{3}{x})^{25} \\
&amp;= (1-\frac{3}{\frac{p^5+1}{p+1}})^{25} \\
&amp;= (1-\frac{3(p+1)}{p^5+1})^{25} \\
&amp;= (1-\frac{3(\sqrt[5]{2}+1)}{(\sqrt[5]{2})^5+1})^{25} \\
&amp;= (1-\frac{(3\sqrt[5]{2}+3)}{2+1})^{25} \\
&amp;= (1-\frac{(3\sqrt[5]{2}+3)}{3})^{25} \\
&amp;= (\frac{3-(3\sqrt[5]{2}+3)}{3})^{25} \\
&amp;= (\frac{3-3\sqrt[5]{2}-3)}{3})^{25} \\
&amp;= (-\sqrt[5]{2})^{25} \\
&amp;= (-2)^5 \\
&amp;= -32 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;x^{50}+x^{49}+x^{48}+x^{47}+x^{46}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;x^2+x+1=0&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
x^2+x+1 &amp;= 0 \\
x^2+x &amp;= -1 \\
\frac{x^3-1}{x-1} &amp;= 0 \\
x^3 &amp;= 1 \\
x &amp;= 1 \\

x^{50}+x^{49}+x^{48}+x^{47}+x^{46} &amp;= x^{48}(x^2+x+1)+x^{45}(x^2+x) \\
 &amp;= x^{48}(0)+(x^3)^{15}(-1) \\
 &amp;= 0+(1)^{15}(-1) \\
 &amp;= -1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;x^{42}+x^{36}+x^{30}+x^{24}+x^{18}+x^{12}+x^6+1&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
x+\frac{1}{x} &amp;= \sqrt{3} \\
x^2+2+\frac{1}{x^2} &amp;= 3 \\
x^2-1+\frac{1}{x^2} &amp;= 0 \\
x^2(x^2-1+\frac{1}{x^2}) &amp;= x^2(0) \\
x^4-x^2+1 &amp;= 0 \\
(x^2+1)(x^4-x^2+1) &amp;= (x^2+1)0 \\
x^6-x^4+x^2+x^4-x^2+1 &amp;= 0 \\
x^6+1 &amp;= 0 \\
x^6 &amp;= -1 \\

x^{42}+x^{36}+x^{30}+x^{24}+x^{18}+x^{12}+x^6+1 &amp;= {x^6}^7+{x^6}^6+{x^6}^5+{x^6}^4+{x^6}^3+{x^6}^2+x^6+1 \\
 &amp;= (-1)^7+(-1)^6+(-1)^5+(-1)^4+(-1)^3+(-1)^2-1+1 \\
 &amp;= -1+1-1+1-1+1-1+1 \\
 &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari &lt;math&gt;\frac{c-b}{a-1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) &amp;= ax^2+bx+c \\
f(2) &amp;= a(2)^2+2b+c = 4 \\
 &amp;= 4a+2b+c = 4 \\
f(7) &amp;= a(7)^2+7b+c = 49 \\
 &amp;= 49a+7b+c = 49 \\

49a+7b+c &amp;= 49 \\
4a+2b+c &amp;= 4 \\
45a+5b &amp;= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\
9a+b &amp;= 9 \\
b &amp;= -9a+9 \\

4a+2b+c &amp;= 4 \\
4a+2(-9a+9)+c &amp;= 4 \\
4a-18a+18+c &amp;= 4 \\
-14a+18+c &amp;= 4 \\
c &amp;= 14a-14 \\

\frac{c-b}{a-1} &amp;= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\
&amp;= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\
&amp;= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\
&amp;= 23 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;+y&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 242 dan x+y = 11 maka berapa hasil dari (x-y)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
(x+y)^3 &amp;= x^3+y^3+3xy(x+y) \\
11^3 &amp;= 242+3xy(11) \text{ (dibagi 11)} \\
11^2 &amp;= 22+3xy \\
121 &amp;= 22+3xy \\
99 &amp;= 3xy \\
xy &amp;= 33 \\

(x-y)^2 &amp;= x^2+y^2-2xy \\
&amp;= ((x+y)^2-2xy)-2xy \\
&amp;= (x+y)^2-4xy \\
&amp;= 11^2-4(33) \\
&amp;= 121-132 \\
&amp;= -11 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa f(1)+f(-1) jika &lt;math&gt;f(\frac{ax-b}{bx-a})&lt;/math&gt;=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+6?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{ jika} f(1) = f(\frac{ax-b}{bx-a}) \\
1 &amp;= \frac{ax-b}{bx-a} \\
bx-a &amp;= ax-b \\
(b-a)x &amp;= -b+a \\
 &amp;= -(b-a) \\
 &amp;= -1 \\

f(1) &amp;= x^2-5x+6 \\
 &amp;= (-1)^2-5(-1)+6 \\
 &amp;= 12 \\

\text{ jika} f(-1) = f(\frac{ax-b}{bx-a}) \\
-1 &amp;= \frac{ax-b}{bx-a} \\
-(bx-a) &amp;= ax-b \\
-bx+a &amp;= ax-b \\
(-b-a)x &amp;= -b-a \\
 &amp;= 1 \\

f(-1) &amp;= x^2-5x+6 \\
 &amp;= (1)^2-5(1)+6 \\
 &amp;= 2 \\

f(1)+f(-1) &amp;= 12+2 \\
 &amp;= 14 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# berapa f(200) jika f(0)=1 serta f(x)-x=f(x-1)?

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x)-x &amp;= f(x-1) \\
f(x)-f(x-1) &amp;= x \\
x=1 ; f(1)-f(0) &amp;= 1 \\
x=2 ; f(2)-f(1) &amp;= 2 \\
x=3 ; f(3)-f(2) &amp;= 3 \\
x=4 ; f(4)-f(3) &amp;= 4 \\
\dots \\
x=200 ; f(200)-f(199) &amp;= 200 \\
\text{ jumlahkan tersebut menjadi } \\
f(200)-f(0) &amp;= 1+2+3+4+\dots+200 \\
 &amp;= \frac{200 \cdot 201}{2} \\
 &amp;= 20.100 \\
f(200)-1 &amp;= 20.100 \\
 &amp;= 20.101 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Misalkan f(x) adalah fungsi rekursif yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut:
: f(x)+f(15-x) = 2024
: f(15+x) = f(x)+2020
maka tentukan nilai dari 2f(2025)+2f(-2025)!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x)+f(15-x) &amp;= 2024 \\
f(15+x) &amp;= f(x)+2020 \\

*\text{cara 1 } \\
\text{ganti x dengan 15+x } \\
f(15+x)+f(-x) &amp;= 2024 \\

f(15+x)-f(x) &amp;= 2020 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
f(x)+f(-x) &amp;= 4 \\

\text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\
2f(x)+2f(-x) = 8 \\

\text{maka } 2f(2025)+2f(-2025) = 8 \\

*\text{cara 2 } \\
\text{ganti x dengan -x } \\
f(-x)+f(15+x) &amp;= 2024 \\

f(15+x)-f(x) &amp;= 2020 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
f(x)+f(-x) &amp;= 4 \\

\text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\
2f(x)+2f(-x) = 8 \\

\text{maka } 2f(2025)+2f(-2025) = 8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Misalkan f suatu fungsi rekursif yang memenuhi &lt;math&gt;f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x&lt;/math&gt; untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(\frac{1}{x})+\frac{1}{x}f(-x) &amp;= 3x \\

\text{ganti x dengan 1/3 } \\
f(3)+3f(-\frac{1}{3}) &amp;= 1 \\

\text{ganti x dengan -3 } \\
f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\
\text{dikalikan 3 } \\
3f(-\frac{1}{3})-f(3) &amp;= -27 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
2f(3) &amp;= 28 \\
f(3) &amp;= 14 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui polinom &lt;math&gt;f(7^b-1)=7^{3b}-10&lt;/math&gt;. tentukan nilai f(5)!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
*
cara 1 \\
f(5) &amp;= f(7^b-1) \\
5 &amp;= 7^b-1 \\
7^b &amp;= 6 \\

f(7^b-1) &amp;= 7^{3b}-10 \\
 &amp;= (7^b)^3-10 \\
f(6-1) &amp;= 6^3-10 \\
f(5) &amp;= 216-10 \\
 &amp;= 206 \\

*
cara 2 \\
\text{misalkan } 7^b-1=a \text{ maka } 7^b=a+1 \\
f(7^b-1) &amp;= 7^{3b}-10 \\
 &amp;= (7^b)^3-10 \\
f(a) &amp;= (a+1)^3-10 \\
f(5) &amp;= (5+1)^3-10 \\
 &amp;= 6^3-10 \\
 &amp;= 216-10 \\
 &amp;= 206 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui polinom &lt;math&gt;f(6^b-7)=6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4&lt;/math&gt;. tentukan nilai f(-2)!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
*
cara 1 \\
f(-2) &amp;= f(6^b-7) \\
-2 &amp;= 6^b-7 \\
6^b &amp;= 5 \\

f(6^b-7) &amp;= 6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4 \\
 &amp;= (6^b)^3-2 \cdot (6^b)^2-4 \\
f(5-7) &amp;= 5^3-2 \cdot 5^2-4 \\
f(-2) &amp;= 125-50-4 \\
 &amp;= 71 \\

*
cara 2 \\
\text{misalkan } 6^b-7=a \text{ maka } 6^b=a+7 \\
f(6^b-7) &amp;= 6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4 \\
 &amp;= (6^b)^3-2 \cdot (6^b)^2-4 \\
f(a) &amp;= (a+7)^3-2(a+7)^2-4 \\
f(-2) &amp;= (-2+7)^3-2(-2+7)^2-4 \\
 &amp;= 5^3-2(5)^2-4 \\
 &amp;= 125-50-4 \\
 &amp;= 71 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika &lt;math&gt;f(xy)=\frac{f(x)}{y}&lt;/math&gt; dengan y ≠ 0 serta f(10)=7 maka tentukan nilai f(2)!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(10) &amp;= 7 \\
f(2 \cdot 5) &amp;= 7 \\

f(xy) &amp;= \frac{f(x)}{y} \\
f(2 \cdot 5) &amp;= \frac{f(2)}{5} \\
7 &amp;= \frac{f(2)}{5} \\
f(2) &amp;= 35 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika &lt;math&gt;f(xy)=\frac{f(x+y)}{xy}&lt;/math&gt; dengan f(xy) ≠ 0 serta f(15)=16 maka tentukan nilai f(8)!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(15) &amp;= 16 \\
f(3 \cdot 5) &amp;= 16 \\

f(xy) &amp;= \frac{f(x+y)}{xy} \\
f(3 \cdot 5) &amp;= \frac{f(3+5)}{3 \cdot 5} \\
f(15) &amp;= \frac{f(8)}{15} \\
16 &amp;= \frac{f(8)}{15} \\
f(8) &amp;= 240 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika &lt;math&gt;f(x+\frac{1}{x}+6)=x^2+\frac{1}{x^2}+15&lt;/math&gt; maka tentukan nilai f(16)!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x+\frac{1}{x}+6) &amp;= x^2+\frac{1}{x^2}+15 \\
 &amp;= (x+\frac{1}{x})^2-2+15 \\
 &amp;= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\

\text{misalkan } x+\frac{1}{x} &amp;= p \\
f(x+\frac{1}{x}+6) &amp;= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\
f(p+6) &amp;= p^2+13 \\

\text{jika f(16) maka p adalah 10 sebelum ditambahkan 6 } \\
f(p+6) &amp;= p^2+13 \\
f(10+6) &amp;= 10^2+13 \\
f(16) &amp;= 100+13 \\
 &amp;= 113 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai x jika &lt;math&gt;f(x)=\frac{4}{4-x}&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;f(x \cdot f(x))^{\frac{f(4x)}{f(x)}}=256&lt;/math&gt;!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) &amp;= \frac{4}{4-x} \\
f(4x) &amp;= \frac{4}{4-4x} \\
\frac{f(4x)}{f(x)} &amp;= \frac{\frac{4}{4-4x}}{\frac{4}{4-x}} \\
 &amp;= \frac{4-x}{4-4x} \\
f(x \cdot f(x)) &amp;= f(x(\frac{4}{4-x})) \\
 &amp;= f(\frac{4x}{4-x}) \\
 &amp;= \frac{4}{4-(\frac{4x}{4-x})} \\
 &amp;= \frac{4}{\frac{16-4x-4x}{4-x}} \\
 &amp;= \frac{4}{\frac{16-8x}{4-x}} \\
 &amp;= \frac{4(4-x)}{4(4-4x)} \\
 &amp;= \frac{4-x}{4-4x} \\

\text{misalkan } \frac{4-x}{4-4x} &amp;= a \\

f(x \cdot f(x))^{\frac{f(4x)}{f(x)}} &amp;= 256 \\
a^a &amp;= 256 \\
a^a &amp;= 4^4 \\
a &amp;= 4 \\

\frac{4-x}{4-4x} &amp;= 4 \\
4-x &amp;= 16-16x \\
15x &amp;= 12 \\
x &amp;= \frac{4}{5} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Fungsi &lt;math&gt;f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}&lt;/math&gt;. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) &amp;= \frac{kx}{2x+1} \\

f(f(x)) &amp;= x \\
f(\frac{kx}{2x+1}) &amp;= x \\
\frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &amp;= x \\
\frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &amp;= x \\
\frac{k^2x}{2kx+2x+1} &amp;= x \\
\frac{k^2}{2kx+2x+1} &amp;= 1 \\
k^2 &amp;= 2kx+2x+1 \\
k^2-2kx &amp;= 2x+1 \\
k^2-2kx+x^2 &amp;= x^2+2x+1 \\
(k-x)^2 &amp;= (x+1)^2 \\
(k-x)^2-(x+1)^2 &amp;= 0 \\
(k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &amp;= 0 \\
k=-1 &amp;\text{ atau } k=2x+1 &amp;\text{ (TM) } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika n = 2023&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+2024&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; maka berapa hasil dari &lt;math&gt;\sqrt{2n-1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
n &amp;= 2023^2+2024^2 \\
&amp;= 2023^2+(2023+1)^2 \\

\text{Misalkan 2023 = p} \\
n &amp;= p^2+(p+1)^2 \\
&amp;= p^2+p^2+2p+1 \\
&amp;= 2p^2+2p+1 \\

\sqrt{2n-1} &amp;= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\
&amp;= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\
&amp;= \sqrt{4p^2+4p+1} \\
&amp;= \sqrt{(2p+1)^2} \\
&amp;= 2p+1 \\
&amp;= 2(2023)+1 \\
&amp;= 4046+1 \\
&amp;= 4047 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai dari (a-c)&lt;sup&gt;b&lt;/sup&gt; jika &lt;math&gt;\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{ab}{a+b} &amp;= \frac{1}{3} \\ 
\frac{a+b}{ab} &amp;= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{b} + \frac{1}{a} &amp;= 3 \\

\frac{bc}{b+c} &amp;= \frac{1}{4} \\ 
\frac{b+c}{bc} &amp;= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{b} &amp;= 4 \\

\frac{ac}{a+c} &amp;= \frac{1}{9} \\ 
\frac{a+c}{ac} &amp;= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{a} &amp;= 9 \\

\text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\
x+y &amp;= 3 \\
y+z &amp;= 4 \\
x+z &amp;= 9 \\

x+y &amp;= 3 \\
y+z &amp;= 4 \\
x-z &amp;= -1 \\

x-z &amp;= -1 \\
x+z &amp;= 9 \\
2x &amp;= 8 \\
x &amp;= 4 \\ 

x-z &amp;= -1 \\
4-z &amp;= -1 \\
z &amp;= 5 \\

x+y &amp;= 3 \\
4+y &amp;= 3 \\
y &amp;= -1 \\

\frac{1}{a} &amp;= 4 \\
a &amp;= \frac{1}{4} \\

\frac{1}{b} &amp;= -1 \\
b &amp;= -1 \\

\frac{1}{c} &amp;= 5 \\
c &amp;= \frac{1}{5} \\

(a-c)^b &amp;= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\
&amp;= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\
&amp;= (\frac{1}{20})^{-1} \\
&amp;= 20 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai dari a, b dan c jika &lt;math&gt;\frac{a+b}{2}=\frac{a+c}{4}=\frac{b+c}{5}&lt;/math&gt; dan a+2b+3c=28?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{misalkan k untuk semua ketiga persamaan tersebut } \\
\frac{a+b}{2}=\frac{a+c}{4}=\frac{b+c}{5} &amp;= k \\
a+b &amp;= 2k \\
a+c &amp;= 4k \\
b+c &amp;= 5k \\

2a+b+c &amp;= 6k \\
2a+5k &amp;= 6k \\
k &amp;= 2a \\
a &amp;= \frac{k}{2} \\
b &amp;= \frac{3k}{2} \\
c &amp;= \frac{7k}{2} \\

a+2b+3c &amp;= 28 \\
\frac{k}{2}+2(\frac{3k}{2})+3(\frac{7k}{2}) &amp;= 28 \\
k+6k+21k &amp;= 56 \\
28k &amp;= 56 \\
k &amp;= 2 \\

a &amp;= \frac{k}{2} \\
 &amp;= \frac{2}{2} = 1 \\
b &amp;= \frac{3k}{2} \\
 &amp;= \frac{3(2)}{2} = 3 \\
c &amp;= \frac{7k}{2} \\
 &amp;= \frac{7(2)}{2} = 7 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai dari (b+c)&lt;sup&gt;a&lt;/sup&gt; jika &lt;math&gt;\frac{a+b+c}{2} = \sqrt{a-2}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{a+b+c}{2} &amp;= \sqrt{a-2}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c} \\
a+b+c &amp;= 2(\sqrt{a-2}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c}) \\
a-2\sqrt{a-2}+b-2\sqrt{b-1}+c-2\sqrt{c} &amp;= 0 \\
a-2-2\sqrt{a-2}+1+b-1-2\sqrt{b-1}+1+c-2\sqrt{c}+1 &amp;= 0 \\
(\sqrt{a-2}-1)^2+(\sqrt{b-1}-1)^2+(\sqrt{c}-1)^2 &amp;= 0 \\

(\sqrt{a-2}-1)^2 &amp;= 0 \\
\sqrt{a-2}-1 &amp;= 0 \\
\sqrt{a-2} &amp;= 1 \\
a-2 &amp;= 1 \\
a &amp;= 3 \\

(\sqrt{b-1}-1)^2 &amp;= 0 \\
\sqrt{b-1}-1 &amp;= 0 \\
\sqrt{b-1} &amp;= 1 \\
b-1 &amp;= 1 \\
b &amp;= 1 \\

(\sqrt{c}-1)^2 &amp;= 0 \\
\sqrt{c}-1 &amp;= 0 \\
\sqrt{c} &amp;= 1 \\
c &amp;= 1 \\

(b+c)^a &amp;= (2+1)^3 \\
&amp;= 3^3 \\
&amp;= 27 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = &lt;math&gt;\frac{x}{y}&lt;/math&gt; = x-y maka berapa nilai x+y?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
xy &amp;= \frac{x}{y} \\ 
y^2 &amp;= 1 \\
y^2 - 1 &amp;= 0 \\
(y-1)(y+1) &amp;= 0 \\
y = 1 &amp;\text{ atau } y = -1 \\

\frac{x}{y} &amp;= x-y \\ 
x &amp;= xy-y^2 \\
x-xy &amp;= -y^2 \\
x(1-y) &amp;= -y^2 \\
x &amp;= \frac{-y^2}{1-y} \\

\text{cek y=1 } \\
x &amp;= \frac{-1^2}{1-1} \\
\text{tidak memenuhi syarat } \\

\text{cek y=-1 } \\
x &amp;= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\
 &amp;= \frac{-1}{2} \\

x+y &amp;= -1-\frac{1}{2} \\
 &amp;= -\frac{3}{2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# berapa nilai x dari &lt;math&gt;(\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3 = 2\sqrt{x}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{1}{a}+\frac{1}{b} &amp;= \frac{1}{a+b} \\ 
\frac{a+b}{ab} &amp;= \frac{1}{a+b} \\
(a+b)^2 &amp;= ab \\
a^2+2ab+b^2 &amp;= ab \\
a^2+b^2 &amp;= -ab \\

\text{misalkan } \frac{a}{b}+\frac{b}{a} = n \\
\frac{a}{b}+\frac{b}{a} &amp;= n \\
\frac{a^2+b^2}{ab} &amp;= n \\
a^2+b^2 &amp;= nab \\

n &amp;= -1 \\

\frac{a}{b}+\frac{b}{a} &amp;= n \\
(\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3+3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}) &amp;= n^3 \\
(\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3+3n &amp;= n^3 \\
(\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3 &amp;= n^3-3n \\
 &amp;= (-1)^3-3(-1) \\
 &amp;= 2 \\

2\sqrt{x} &amp;= 2 \\
 \sqrt{x} &amp;= 1 \\
 x &amp;= 1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# berapa nilai m dari &lt;math&gt;x^2-mx-1=0&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;\sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2}=1&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\sqrt[3]{x_1} &amp;= a \\
x_1 &amp;= a^3 \\
\sqrt[3]{x_2} &amp;= b \\
x_2 &amp;= b^3 \\

\sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2} &amp;= 1 \\
a+b &amp;= 1 \\

x^2-mx-1 &amp;= 0 \\
x_1+x_2 &amp;= m \\
x_1 \cdot x_2 &amp;= -1 \\

x_1+x_2 &amp;= m \\
a^3+b^3 &amp;= m \\

x_1 \cdot x_2 &amp;= -1 \\
a^3 \cdot b^3 &amp;= -1 \\
(ab)^2 &amp;= (-1)^3 \\
ab &amp;= -1 \\

(a+b)^3 &amp;= a^3+b^3+3ab(a+b) \\
(1)^3 &amp;= m+3(-1)(1) \\
1 &amp;= m-3 \\
m &amp;= 4 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# berapa nilai &lt;math&gt;\frac{x_1}{x_2}&lt;/math&gt; dari &lt;math&gt;ax^2-18x-b=0&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;ab=45&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
ab &amp;= 45 \\
b &amp;= \frac{45}{a} \\
ax^2-18x-b &amp;= 0 \\
ax^2-18x-\frac{45}{a} &amp;= 0 \\
a^2x^2-18ax-45 &amp;= 0 \\
(ax-3)(ax-15) &amp;= 0 \\
ax-3 &amp;= 0 \\
x &amp;= \frac{3}{a} \\
ax-15 &amp;= 0 \\
x &amp;= \frac{15}{a} \\
\frac{x_1}{x_2} &amp;= \frac{\frac{3}{a}}{\frac{15}{a}} \\
&amp;= \frac{3}{15} \\
&amp;= \frac{1}{5} \\
\frac{x_1}{x_2} &amp;= \frac{\frac{15}{a}}{\frac{3}{a}} \\
&amp;= \frac{15}{3} \\
&amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika &lt;math&gt;\frac{u_3}{u_1+u_2} = \frac{7}{8}&lt;/math&gt; merupakan barisan aritmetika maka berapa dari &lt;math&gt;\frac{u_2+u_3}{u_1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{u_3}{u_1+u_2} &amp;= \frac{7}{8} \\ 
\frac{a+2b}{a+a+b} &amp;= \frac{7}{8} \\
\frac{a+2b}{2a+b} &amp;= \frac{7}{8} \\
8(a+2b) &amp;= 7(2a+b) \\
8a+16b &amp;= 14a+7b \\
9b &amp;= 6a \\
b &amp;= \frac{2a}{3} \\

\frac{u_2+u_3}{u_1} &amp;= \frac{a+b+a+2b}{a} \\
 &amp;= \frac{2a+3b}{a} \\
 &amp;= \frac{2a+3(\frac{2a}{3})}{a} \\
 &amp;= \frac{2a+2a}{a} \\
 &amp;=  \frac{4a}{a} \\
 &amp;= 4 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{7p+q}{2p+q} &amp;= \frac{17p+q}{7p+q} \\ 
(7p+q)^2 &amp;= (17p+q)(2p+q) \\
49p^2+14pq+q^2 &amp;= 34p^2+19pq+q^2 \\
15p^2 &amp;= 5pq \\
3p &amp;= q \\

\frac{7p+q}{2p+q} &amp;= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\
 &amp;= \frac{10p}{5p} \\
 &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Rataan geometris a dan b adalah kurangnya 24 dari b serta rataan aritmatik a dan b adalah lebihnya 15 dari a maka berapa nilai a+b?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{rataan geometris } \\
\sqrt{a \cdot b} &amp;= b-24 \\
a \cdot b &amp;= (b-24)^2 \\

\text{rataan aritmatik } \\
\frac{a+b}{2} &amp;= a+15 \\
a+b &amp;= 2(a+15) \\
a+b &amp;= 2a+30 \\
a &amp;= b-30 \\

a \cdot b &amp;= (b-24)^2 \\
(b-30)b &amp;= (b-24)^2 \\
b^2-30b &amp;= b^2-48b+576 \\
18b &amp;= 576 \\
b &amp;= 32 \\

a &amp;= b-30 \\
&amp;= 32-30 \\
&amp;= 2 \\

a+b &amp;= 32+2 \\
&amp;= 34 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Segitiga lancip ABC dengan &lt;math&gt;\frac{a^4+b^4+c^4+a^2b^2}{c^2(a^2+b^2)}=2&lt;/math&gt;. tentukan nilai sudut C?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{syarat segitiga lancip semua sudut masing-masing kurang dari } 90^\circ \\
c^2 &amp;= a^2+b^2-2ab cos C \\
cos C &amp;= \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \\

a^4+b^4+c^4+a^2b^2 &amp;= 2c^2(a^2+b^2) \\
a^4+b^4+a^2b^2+c^4 &amp;= 2c^2(a^2+b^2) \\
(a^2+b^2)^2-a^2b^2+c^4 &amp;= 2c^2(a^2+b^2) \\
(a^2+b^2)^2-2c^2(a^2+b^2)+(c^2)^2 &amp;= a^2b^2 \\
(a^2+b^2-c^2)^2 &amp;= a^2b^2 \\
(a^2+b^2-c^2)^2 &amp;= (ab)^2 \\
a^2+b^2-c^2 &amp;= \pm ab \\

cos C &amp;= \pm \frac{ab}{2ab} \\
 &amp;= \pm \frac{1}{2} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \text{ (karena sudut harus kurang dari } 90^\circ) \\
C &amp;= 60^\circ \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Segitiga siku-siku CAB titik D diantara C dan A dan titik E diantara B dan A. Panjang CD adalah 9 cm, panjang BE 5 cm serta panjang DA = EA. Berapakah panjang BC jika luasnya 45 cm&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{misalkan panjang DA dan EA } = x \text{ dan panjang AB } = y \\

\text{luas segitiga CAB } &amp;= \frac{CA \cdot AB}{2} \\
45 &amp;= \frac{(x+9)(x+5)}{2} \\
90 &amp;= x^2+14x+45 \\
x^2+14x &amp;= 45 \\

y^2 &amp;= (x+9)^2+(x+5)^2 \\
 &amp;= x^2+18x+81+x^2+10x+25 \\
 &amp;= 2x^2+28x+106 \\
 &amp;= 2(x^2+14x)+106 \\
 &amp;= 2(45)+106 \\
 &amp;= 196 \\
y &amp;= 14 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;

jadi panjang BC adalah 14 cm
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Persegi panjang ABCD memiliki AD 15 cm dan DC 12 cm. E dan F merupakan perpanjangan DC yaitu CE 6 cm serta EF = DC. G merupakan titik potong antara BC dan AE maka berapa luas daerah BFEG?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{kita cari ukuran GC yaitu } \\
\frac{GC}{AD} &amp;= \frac{CE}{DE} \\
\frac{GC}{15} &amp;= \frac{6}{18} \\
GC &amp;= 5 \\

\text{luas BEFG = luas segitiga BFC - luas segitiga GEC } \\
&amp;= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CF - \frac{1}{2} \cdot GC \cdot CE \\
&amp;= \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 18 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \\
&amp;= 135 - 15 \\
&amp;= 120 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;

jadi luas daerah BFEG adalah 120 cm&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Dua buah persegi masing-masing yaitu ABCD dan EFGH. persegi ABCD berhimpit dengan EFGH. I terletak antara A dengan F. Sisi persegi ABCD 4 cm dan EFGH 6 cm. Perbandingan AI:AF adalah 1:5 maka berapa luas daerah segitiga IGD?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align} \\
AI &amp;= \frac{1}{5} AF \\
 &amp;= \frac{1}{5} 10 \\
 &amp;= 2 \\

IF &amp;= AF-AI \\
 &amp;= 10-2 \\
 &amp;= 8 \\

\text{luas trapesium AFGD } &amp;= \frac{(AD+EF) \cdot AF}{2} \\
 &amp;= \frac{(4+6)10}{2} \\
 &amp;= 50 \\

\text{luas segitiga AID } &amp;= \frac{AI \cdot AF}{2} \\
 &amp;= \frac{(2)4}{2} \\
 &amp;= 4 \\

\text{luas segitiga IFG } &amp;= \frac{IF \cdot FG}{2} \\
 &amp;= \frac{(8)6}{2} \\
 &amp;= 24 \\

\text{luas daerah segitiga IGD } &amp;= \text{luas trapesium AFGD-luas segitiga AI—luas segitiga IFG } \\
 &amp;= 50-4-24 \\
 &amp;= 22 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;

jadi luas daerah segitiga IGD adalah 22 cm&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sebuah balok tertutup memiliki alas yang berbentuk persegi dengan tinggi 12 cm. Di dalam balok terdapat kerucut yang alasnya menempel serta titik tinggi tepat di atas baloknya dimana tingginya sama dengan tinggi balok. Volume antara luar kerucut dan dalam balok adalah 100(3-&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;) cm&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; maka berapa luas permukaan kerucut tersebut?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align} \\
\text{volume balok} \\
V_b &amp;= x^2(12) \\

\text{volume kerucut} \\
V_b &amp;= \frac{1}{3}\pi x^2(12) \\
 &amp;= 4\pi x^2 \\

V_{b-k} &amp;= Vb-Vk \\
100(3-\pi) &amp;= 12x^2-4\pi x^2 \\
100(3-\pi) &amp;= 4x^2(3-\pi) \\
x^2 &amp;= 25 \\
x &amp;= 5 \\

s &amp;= \sqrt{12^2+5^2} \\
 &amp;= \sqrt{144+25} \\
 &amp;= \sqrt{169} \\
 &amp;= 13 \\

\text{luas permukaan kerucut } &amp;= \pi r(r+s) \\
 &amp;= \pi(5)(5+13) \\
 &amp;= 90\pi \\
\end{align}
&lt;/math&gt;

jadi luas daerah permukaan kerucut adalah 90&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; cm&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 3 bersisa 1 dan 2 maka berapa sisa pembagian A(A+1)+3B dibagi 9?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
A &amp;= 3a+1 \\
B &amp;= 3b+2 \\
A(A+1)+3B \\
(3a+1)(3a+1+1)+3(3b+2) \\
(3a+1)(3a+2)+9b+6 \\
9a^2+9a+2+9b+6 \\
9a^2+9a+9b+8 \\
9(a^2+a+b)+8 \\

\text{sisa pembagiannya adalah } 8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 9 bersisa 7 dan 8 maka berapa sisa pembagian A(A-5)+9B dibagi 81?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
A &amp;= 9a+7 \\
B &amp;= 9b+8 \\
A(A-5)+9B \\
(9a+7)(9a+7-5)+9(9b+8) \\
(9a+7)(9a+2)+81b+72 \\
81a^2+81a+14+81b+72 \\
81a^2+81a+81b+86 \\
81a^2+81a+81b+81+5 \\
81(a^2+a+b+1)+5 \\

\text{sisa pembagiannya adalah } 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  3 &amp; 7 \\
  -1 &amp; -2 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt; maka berapa hasil dari A&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;+A&lt;sup&gt;25&lt;/sup&gt;+A&lt;sup&gt;46&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
A^2 &amp;= A \cdot A \\
&amp;= \begin{bmatrix}
  3 &amp; 7 \\
  -1 &amp; -2 \\
  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  3 &amp; 7 \\
  -1 &amp; -2 \\
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
  2 &amp; 7 \\
  -1 &amp; -3 \\
  \end{bmatrix} \\

A^3 &amp;= A^2 \cdot A \\
&amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; 7 \\
  -1 &amp; -3 \\
  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  3 &amp; 7 \\
  -1 &amp; -2 \\
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
  -1 &amp; 0 \\
  0 &amp; -1 \\
  \end{bmatrix} \\
&amp;= - \begin{bmatrix}
  1 &amp; 0 \\
  0 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} \\
&amp;= -I \\

A^{21}+A^{25}+A^{46} &amp;= A^{21} \cdot (I+A^4+A^{25}) \\
&amp;= A^{21} \cdot (I+A^3 \cdot A +A^{24} \cdot A) \\
&amp;= (A^3)^7 \cdot (I+A^3 \cdot A +(A^3)^8 \cdot A) \\
&amp;= (-I)^7 \cdot (I-I \cdot A +(-I)^8 \cdot A) \\
&amp;= -I \cdot (I-A+A) \\
&amp;= -I \cdot I \\
&amp;= -I \\
&amp;= -\begin{bmatrix}
  1 &amp; 0 \\
  0 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} \\
&amp;= \begin{bmatrix}
  -1 &amp; 0 \\
  0 &amp; -1 \\
  \end{bmatrix} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Ida menuliskan 8 buah bilangan bulat positif berbeda yang kurang dari 16 sehingga tidak ada jumlah 2 bilangan dari 8 bilangan yang jumlahnya 16. Bilangan berapa yang pasti ditulis Ida?
: bilangan yang kurang dari 16 yaitu 1,2,3,4,5,6, … , 15
: ditulis 7 buah bilangan berbeda yang jumlahnya 8 yaitu (1,15), (2,14), (3,13), (4,12), (5,11), (6,10), (7,9).
: ditulis 8 buah bilangan sama yang jumlahnya 8 yaitu (8,8)
: maka Ida menulis bilangan 8.

# Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9?
: Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu.
: untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja.
: untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja.
: Jadi banyaknya bilangan mungkin 2.

# Buktikan bahwa 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli!
;cara 1
# 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1
# 8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1)
# 8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1)
# 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1 atau 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=(8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; sama dengan 1^2)
# 8&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 1
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1 (semua n untuk bilangan asli)

Terbukti 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

;cara 2
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = b mod 7

# 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; dianggap pangkat terkecil)
# (8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; mod 7 (pangkat n kedua ruasnya)
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; mod 7
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1)

Terbukti 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

# Berapa hasil sisa dari 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 5?
;cara 1
# 1 &amp; 6 = sisa 1, 2 &amp; 7 = sisa 2, 3 &amp; 8 = sisa 3, 4 &amp; 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0

# 7&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 7 (sisa 1)
# 7&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 49 (sisa 2)
# 7&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 343 (sisa 3)
# 7&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 2,401 (sisa 0)
# 7&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 16,807
# 7&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 117,649

nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3

;cara 2
:17&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 2
:17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 4
:17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 3
:17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 4 x 24 + 3
:17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = (17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
Untuk 17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 sama dengan sisa 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 3

;cara 3
:Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;
::17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 mod 5
::(17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; mod 5
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; mod 5 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1 mod 5 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 5
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17 x 17 x 17 mod 5
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 2 x 2 x 2 mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 8 mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 3 mod 5 

Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 5 bersisa 3

# Berapa hasil sisa dari 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7?
;cara 1
:17&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 3 
:17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2
:17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 6
:17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 4
:17&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 5
:17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 6 x 16 + 3
:17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = (17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
Untuk 17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 sama dengan sisa 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 6

;cara 2
:Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;
::17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 1 mod 7
::(17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; mod 7
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; mod 7 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 7
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17 x 17 x 17 mod 7
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 3 x 3 x 3 mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 27 mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 6 mod 7 

Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 6

# Berapa hasil sisa dari 41&lt;sup&gt;2024&lt;/sup&gt; dibagi 33?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
41^{2024} &amp;= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= 16 \text{ mod } 33 \\

\text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; membagi 99&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
99^{99} &amp;= (3^2 \times 11)^{99} \\
&amp;= 3^{198} \times 11^{99} \\

243^n &amp;= (3^5)^n \\
&amp;= 3^{5n} \\

\text{agar bisa membagi, maka} \\
5n &amp;= 198 \\
n &amp;= 39.6 \\

\text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; membagi 88&lt;sup&gt;88&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
88^{88} &amp;= (8 \times 11)^{88} \\
&amp;= 8^{88} \times 11^{88} \\
&amp;= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\
&amp;= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\
&amp;= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\

512^n &amp;= 512^{29} \\

\text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6!
; Cara 1
: KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N &lt; 105.

: N dibagi 3 sisa 1
: N dibagi 5 sisa 2
: N dibagi 7 sisa 6

FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a

: KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70
: KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21
: KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15

Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97

; Cara 2
: Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35
: kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK.

: KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;
: KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;
: KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;

Jadi bilangan bulat positif adalah 97

:: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202

# Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember?

; Cara 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan
|-
| 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
|-
| 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B
|-
| 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
|-
| 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|}

nah ada ember A berisi 1 liter.

; Cara 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan
|-
| 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|}

nah ada ember A berisi 1 liter.

# Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember?

; Cara 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan
|-
| 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
|-
| 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B
|-
| 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
|}

nah ada ember A berisi 4 liter.

; Cara 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan
|-
| 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|-
| 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|}

nah ada ember B berisi 4 liter.

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>9rzx6e2kjlggabphlvxk9fzk5zmm7lo</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Resep:Dawet ayu</title>
    <ns>100</ns>
    <id>27033</id>
    <revision>
      <id>114985</id>
      <parentid>114333</parentid>
      <timestamp>2026-04-26T04:55:31Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>NikolasKHF</username>
        <id>36490</id>
      </contributor>
      <minor />
      <origin>114985</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3317" sha1="1ixgtheonm2l62npjpxd63enyfvjr1c" xml:space="preserve">[[Berkas: Es dawet ayu banjarnegara.jpg|thumb|Dawet Ayu Banjarnegara]]
'''Dawet Ayu Banjarnegara''' adalah minuman khas dari Kabupaten Banjarnegara. Dawet Ayu mudah ditemukan di pasar-pasar tradisional. Es Dawet Ayu asli khas Banjarnegara lezat serta segar dan sangat cocok diminum pada cuaca panas, es dawet dapat diminum panas ataupun dingin dengan menambahkan es batu. Rasanya yang segar serta manis dengan campuran gula jawa asli, inilah keistimewaan serta keunikan minuman tradisional khas Banjarnegara yang satu ini.

== Bahan-Bahan ==

Bahan Dawet
# 100 gram tepung beras
# 50 gram tepung tapioka
# 50 ml air (untuk adonan)
# 1 sendok teh pasta pandan atau pewarna hijau alami
# 1 liter udara (untuk merebus adonan)
# Air es secukupnya (untuk merendam dawet)

Bahan Sirup Gula Jawa
# 250 gram gula jawa
# 250 ml air

Bahan Santan
# 1 butir kelapa muda (menghasilkan ±200 ml santan kental)


== Cara membuat ==
'''Membuat Candil Dawet'''
# Siapkan wadah, lalu satukan tepung beras sebanyak 100 gram dengan 50 gram tepung tapioka. Tambahkan 50 ml air, lalu aduk hingga campuran menjadi licin dan tidak menyisakan butiran kasar.
# Untuk menghadirkan wangi khas sekaligus warna hijau, masukkan satu sendok teh pasta pandan. Apabila tidak tersedia, gunakan pewarna hijau alami lainnya sebagai pengganti.
# Tuang campuran tersebut melalui saringan agar teksturnya benar-benar lembut. Proses ini penting agar hasil akhirnya terasa lebih halus dan elastis saat disantap.
# Rebus 1 liter air sampai mendidih. Setelah air bergolak, kecilkan nyala api, lalu tuangkan adonan sedikit demi sedikit sambil terus diaduk agar tidak saling menempel dan membentuk gumpalan.
# Biarkan hingga adonan berubah menjadi kental dan membentuk butiran kecil. Segera angkat, lalu masukkan ke dalam air dingin atau air es agar proses pendinginan berhenti dan teksturnya tetap kenyal.

'''Membuat Pemanis Gula Jawa'''
# Campurkan 250 gram gula jawa pilihan dengan 250 ml air, lalu aduk sampai gula benar-benar meleleh dan menyatu dengan udara.
# Setelah itu, saring cairan tersebut untuk memecah kotoran maupun sisa ampas. Langkah ini membantu menghasilkan sirup yang lebih bersih dan tampak jernih.
# Panaskan kembali larutan gula hingga mendidih dan teksturnya sedikit mengental. Perebusan ini membuat sirup lebih pekat serta tahan disimpan lebih lama.
# Jika sudah mencapai kekentalan yang diinginkan, angkat dari kompor dan biarkan hingga suhu turun sebelum dipakai.

'''Membuat Santan'''
# Siapkan satu buah kelapa muda, lalu parut dagingnya dan peras hingga diperoleh kurang lebih 200 ml santan yang kental.
# Panaskan santan tersebut sebentar sampai hampir mendidih agar lebih tahan lama dan tidak cepat basi. Hindari merebus terlalu lama agar santan tidak pecah.
# Setelah itu, biarkan santan hingga dingin sebelum dituangkan sebagai pelengkap dawet.

'''Penyajian'''
# Ambil gelas untuk penyajian, lalu tuangkan larutan gula jawa secukupnya sebagai lapisan dasar.
# Tambahkan dawet yang sebelumnya telah direndam dalam air es ke dalam gelas tersebut.
Setelah itu tuangkan santan kental di atasnya hingga merata.
# Minuman Dawet Ayu Banjarnegara pun siap disantap dalam keadaan dingin agar terasa lebih segar.


== Pranala luar ==
{{Wikipedia|Dawet Ayu Banjarnegara}}

[[Category:WikiMaknyus]]
[[Category:WikiMaknyus Banjarnegara]]</text>
      <sha1>1ixgtheonm2l62npjpxd63enyfvjr1c</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kerja Sama Prancis–Algeria di Level Subnasional: Analisis Municipal Partnership Kota Mulhouse dengan Kota El Khroub</title>
    <ns>0</ns>
    <id>27201</id>
    <revision>
      <id>114987</id>
      <parentid>114907</parentid>
      <timestamp>2026-04-26T05:28:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fishynila</username>
        <id>41127</id>
      </contributor>
      <origin>114987</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="29570" sha1="hn68brf1lgyeiiq9aq6khq2izt2ve8r" xml:space="preserve">''(Ditulis pada 11 Desember 2025. Tulisan ini masih memiliki banyak kekurangan, mohon maklum.)''

== Abstrak ==
Artikel ini mendalami ''municipal partnership'' atau kemitraan kota antara Mulhouse, Prancis dengan El Khroub, Algeria. Kerja sama ini dianalisis menggunakan lensa ''stag hunt game theory'' untuk memahami lebih lanjut dinamika politik kerja sama internasional di level subnasional. ''Stag hunt'' dipilih sebagai kerangka analisis untuk memotret praktik kerja sama sekaligus tantangan yang datang menghadapi aktor subnasional yang terlibat dalam kerja sama lintas batas. Studi kasus Mulhouse dengan El Khroub menawarkan contoh relevan untuk kerja sama Prancis dengan Algeria yang sama-sama menerapkan desentralisasi. Bermula dari kota kembar yang bersifat seremonial, lama-lama kerja sama ini berkembang menjadi kemitraan substantif yang mendukung pembangunan level subnasional. Melalui analisis ''stag hunt'', artikel ini menggambarkan bagaimana tantangan utama dalam kerja sama subnasional bukan terletak di keinginan untuk mengundurkan diri dari kerja sama (''defect''), melainkan pada ketidakpastian kota mitra untuk membalas komitmen dengan seimbang dan melestarikan partisipasinya dalam hubungan kerja sama. Berdasarkan analisis terhadap kemitraan Mulhouse–El Khroub, artikel ini menemukan bahwa kerja sama yang sukses bergantung kepada mekanisme pembangunan kepercayaan (''trust-building''), kerangka kerja institusional yang bisa memberikan jaminan, dan strategi yang dirancang untuk mengurangi risiko yang ada.

'''Kata kunci''': Paradiplomasi, kerja sama subnasional, ''municipal partnership'', ''stag hunt'', Hubungan Prancis–Algeria

== Daftar isi ==

# [[Kerja Sama Prancis–Algeria di Level Subnasional: Analisis Municipal Partnership Kota Mulhouse dengan Kota El Khroub#I. Pendahuluan|Pendahuluan]]
## [[Kerja Sama Prancis–Algeria di Level Subnasional: Analisis Municipal Partnership Kota Mulhouse dengan Kota El Khroub#A. Perkembangan Aktivitas Internasional oleh Pemerintah Subnasional|Perkembangan Aktivitas Internasional oleh Pemerintah Subnasional]]
## [[Kerja Sama Prancis–Algeria di Level Subnasional: Analisis Municipal Partnership Kota Mulhouse dengan Kota El Khroub#Kerja Sama Desentralisasi Prancis dan Algeria|Kerja Sama Desentralisasi Prancis dan Algeria]]
## [[Kerja Sama Prancis–Algeria di Level Subnasional: Analisis Municipal Partnership Kota Mulhouse dengan Kota El Khroub#C. Kerja Sama Subnasional Mulhouse dan El Khroub|Kerja Sama Subnasional Mulhouse dan El Khroub]]
# [[Kerja Sama Prancis–Algeria di Level Subnasional: Analisis Municipal Partnership Kota Mulhouse dengan Kota El Khroub#Kerangka Pemikiran|Kerangka Pemikiran]]
## [[Kerja Sama Prancis–Algeria di Level Subnasional: Analisis Municipal Partnership Kota Mulhouse dengan Kota El Khroub#Stag Hunt sebagai Game Theory dalam Kerja Sama Internasional|Stag Hunt sebagai Game Theory dalam Kerja Sama Internasional]]
# [[Kerja Sama Prancis–Algeria di Level Subnasional: Analisis Municipal Partnership Kota Mulhouse dengan Kota El Khroub#Hasil dan Pembahasan|Hasil dan Pembahasan]]
## [[Kerja Sama Prancis–Algeria di Level Subnasional: Analisis Municipal Partnership Kota Mulhouse dengan Kota El Khroub#Struktur Payoff|Struktur Payoff]]
## [[Kerja Sama Prancis–Algeria di Level Subnasional: Analisis Municipal Partnership Kota Mulhouse dengan Kota El Khroub#Mekanisme Kerja Sama|Mekanisme Kerja Sama]]
### [[Kerja Sama Prancis–Algeria di Level Subnasional: Analisis Municipal Partnership Kota Mulhouse dengan Kota El Khroub#Pendekatan Bertahap dan Pembentukan Kepercayaan|Pendekatan Bertahap dan Pembentukan Kepercayaan]]
### [[Kerja Sama Prancis–Algeria di Level Subnasional: Analisis Municipal Partnership Kota Mulhouse dengan Kota El Khroub#Pendekatan Partisipatif dan Kepemilikan Lokal|Pendekatan Partisipatif dan Kepemilikan Lokal]]
### [[Kerja Sama Prancis–Algeria di Level Subnasional: Analisis Municipal Partnership Kota Mulhouse dengan Kota El Khroub#Fokus Tematik dan Proyek Konkret|Fokus Tematik dan Proyek Konkret]]
### [[Kerja Sama Prancis–Algeria di Level Subnasional: Analisis Municipal Partnership Kota Mulhouse dengan Kota El Khroub#Dukungan dan Fasilitasi Pihak Ketiga|Dukungan dan Fasilitasi Pihak Ketiga]]
### [[Kerja Sama Prancis–Algeria di Level Subnasional: Analisis Municipal Partnership Kota Mulhouse dengan Kota El Khroub#Hubungan Pribadi dan Jaringan|Hubungan Pribadi dan Jaringan]]
## [[Kerja Sama Prancis–Algeria di Level Subnasional: Analisis Municipal Partnership Kota Mulhouse dengan Kota El Khroub#Tantangan dan Ketidakpastian dalam Kerja Sama|Tantangan dan Ketidakpastian dalam Kerja Sama]]
### [[Kerja Sama Prancis–Algeria di Level Subnasional: Analisis Municipal Partnership Kota Mulhouse dengan Kota El Khroub#Kapasitas Asimetris|Kapasitas Asimetris]]
### [[Kerja Sama Prancis–Algeria di Level Subnasional: Analisis Municipal Partnership Kota Mulhouse dengan Kota El Khroub#Ketidakpastian Politik|Ketidakpastian Politik]]
### [[Kerja Sama Prancis–Algeria di Level Subnasional: Analisis Municipal Partnership Kota Mulhouse dengan Kota El Khroub#Kerangka Hukum dan Institusional yang Lemah|Kerangka Hukum dan Institusional yang Lemah]]
### [[Kerja Sama Prancis–Algeria di Level Subnasional: Analisis Municipal Partnership Kota Mulhouse dengan Kota El Khroub#Keterbatasan Sumber Daya|Keterbatasan Sumber Daya]]
# [[Kerja Sama Prancis–Algeria di Level Subnasional: Analisis Municipal Partnership Kota Mulhouse dengan Kota El Khroub#Kesimpulan|Kesimpulan]]

[[Kerja Sama Prancis–Algeria di Level Subnasional: Analisis Municipal Partnership Kota Mulhouse dengan Kota El Khroub#Daftar Pustaka|DAFTAR PUSTAKA]]

== I. Pendahuluan ==

=== A. Perkembangan Aktivitas Internasional oleh Pemerintah Subnasional ===
Beberapa dekade ke belakang, studi hubungan internasional telah melihat adanya pergeseran signifikan dalam peran kota, daerah, dan entitas subnasional lainnya melalui meningkatnya partisipasi mereka dalam kerja sama lintas batas secara langsung dan independen dari perantara pemerintahan pusat (Lecours, 2008). Fenomena ini dikenal dengan berbagai nama seperti “diplomasi subnasional” atau “kerja sama desentralisasi”, tetapi paling sering disebut sebagai “paradiplomasi”. Paradiplomasi menantang mekanisme kerja sama internasional yang secara tradisional terpusat di aktor negara, sehingga menghadirkan aktor dan dinamika baru ke dalam arena global. Pemerintah subnasional berpartisipasi dengan berbagai macam motivasi, seperti pembangunan ekonomi, melebarkan pengaruh politik, pertukaran budaya, dan mengatasi permasalahan lintas batas seperti isu lingkungan dan imigrasi.

Signifikansi yang dimiliki paradiplomasi melampaui sekadar menambah aktor baru ke dalam panggung internasional, tetapi juga mempertanyakan asumsi mengenai kedaulatan, monopoli pemerintah akan perihal hubungan internasional, dan sifat kerja sama di dunia yang semakin hari semakin terinterkoneksi (Kuznetsov, 2014). Dalam bukunya, Kuznetsov berargumen bahwa paradiplomasi mewakili “elemen konstitutif dari sistem berlapis dalam pemerintahan global” alih-alih hanya suatu anomali atau pengecualian dalam praktik diplomasi yang berpusat di negara. Memahami bagaimana aktor subnasional menjalankan kerja sama internasional pun memerlukan kerangka analisis yang bisa memperhitungkan motivasi, kapasitas, dan hambatan mereka secara spesifik. 

=== B. Kerja Sama Desentralisasi Prancis dan Algeria ===
Hubungan Prancis dan Algeria memiliki keunikan dan kompleksitasnya sendiri, dengan sejarah panjang kolonial yang diakhiri dengan kemerdekaan Algeria pada tahun 1962 setelah peperangan panjang selama delapan tahun. (Evans &amp; Phillips, 2007) Hubungan pasca-kolonial keduanya mengandung kooperasi sekaligus ketegangan, dengan masa keakraban diplomatik yang beriringan dengan krisis atas isu politik, ekonomi, dan migrasi. Dalam konteks bilateral yang luas ini, kerja sama terdesentralisasi antara kota di Prancis dan Algeria timbul sebagai dimensi yang penting di dalam relasi antara kedua negara. Kebijakan paradiplomasi Prancis berakar secara historis, di mana muncul perkembangan “kota kembar” di seantero Eropa untuk mempererat hubungan antarnegara pasca-Perang Dunia II (Akerkar, 2022). Landasan hukum Prancis secara eksplisit mengakui hak otoritas lokal, atau disebut sebagai “komunitas teritorial” di Prancis, untuk turut ikut campur dalam urusan hubungan internasional, selama tetap sejalan dengan aturan dan koordinasi dengan kebijakan luar negeri nasional (Ksenicz, 2023). Sementara itu, landasan hukum Algeria tidak banyak mengalami perkembangan, meskipun terdapat perubahan akhir-akhir ini melalui pengakuan legal yang lebih jelas untuk hubungan otoritas lokal dengan entitas eksternal (Akerkar &amp; Benabbas-Kaghouche, 2021).

Kemitraan kota Prancis dan Algeria umumnya memiliki fokus pengembangan pemerintahan, ''capacity-building'' teknis, dan pertukaran budaya. Proyek kerja sama ekonomi berskala besar jarang menjadi perbincangan. Kemitraan ini kerap kali lahir dari koneksi historis migrasi, berkat banyaknya kota di Prancis yang menjadi rumah bagi populasi keturunan Algeria yang jumlahnya signifikan (Akerkar, 2020). Namun, kerja sama subnasional keduanya mengalami tantangan besar termasuk sumber pemasukan finansial yang terbatas, kapasitas institusional yang lemah (terutama di pihak Algeria), gesekan politik bilateral yang sensitif, dan kerangka hukum yang kurang komprehensif.

=== C. Kerja Sama Subnasional Mulhouse dan El Khroub ===
Kerja sama antara Mulhouse, sebuah kota yang terletak di timur Prancis, dengan El Khroub, sebuah kota yang terletak di ''wilaya'' (provinsi) Constantine di timur laut Algeria, menggambarkan studi kasus kerja sama subnasional antara Prancis dengan Algeria (Akerkar, 2020). Kerja sama ini berawal dari inisiatif kemitraan seremonial pada awal tahun 2000-an, tetapi kini memiliki kerangka kooperasi yang terstruktur dengan fokus di pembangunan daerah berkelanjutan, perencanaan kota, pemerintahan dan administrasi lokal, dan ''capacity-building''.

Secara historis Mulhouse merupakan kota industrial yang mengalami restrukturisasi ekonomi secara besar-besaran sehingga telah memiliki keahlian yang mumpuni dalam peremajaan kota, pembangunan berkelanjutan, dan ''participatory governance''. Di sisi lain, El Khroub mengalami urbanisasi cepat dan menghadapi tantangan yang umum dijumpai kota-kota di Algeria: pengelolaan pertumbuhan urban, pembenahan layanan publik, penguatan kapasitas pemerintahan lokal, dan pembangunan ekonomi. Latar belakang kedua kota tersebut pun menjadi landasan fokus kerja sama subnasional mereka. Sejumlah bidang tematik yang menjadi fokus antara lain adalah perencanaan kota dan pengelolaan lahan, pengelolaan sampah dan penanganan lingkungan, peningkatan kapasitas administratif kota, serta mendorong pendekatan partisipati aktif warga dan aktor non-pemerintahan lain dalam pemerintahan lokal.

Kerja sama ini patut dianggap langkah yang signifikan karena kemitraan yang mulanya bersifat seremonial semata dapat berkembang menjadi ''approche territoriale durable'' atau suatu “pendekatan teritorial berkelanjutan”, di mana pembangunan kapasitas institusional dan metode partisipatif digunakan alih-alih hanya gimik proyek yang bersifat sebatas wacana. Evolusi ini mencerminkan tren dalam kerja sama subnasional baik secara teoritis maupun praktis, di mana model pemberi–penerima mulai digantikan oleh kemitraan yang berbasis pembelajaran mutual dan perkembangan daerah.

== II. Kerangka Pemikiran ==

=== A. Stag Hunt sebagai ''Game Theory'' dalam Kerja Sama Internasional ===
''Game theory'' telah menjadi instrumen analisis yang sangat berguna dalam memahami problematika kerja sama dalam hubungan internasional. Esensi fundamental dalam pendekatan ''game theory'' terletak di interaksi strategis, yakni situasi di mana pilihan paling optimal yang dapat diambil oleh satu aktor bergantung kepada ekspektasi yang ada terhadap perilaku aktor lawannya. Hal ini menunjukkan bahwa tantangan kerja sama membutuhkan solusi tersendiri yang sesuai dengan struktur tersirat yang perlu dianalisis lebih dalam (Schelling, 1960).

Salah satu bentuk ''game theory'', yang juga akan digunakan sebagai kerangka analisis artikel ini, adalah ''stag hunt'' atau “perburuan rusa”. ''Stag hunt'' pertama kali dicetuskan dalam buku ''Discourse on Inequality'' milik Jean-Jacques Rousseau (1755), di mana dijelaskan bahwa pemburu-pemburu memiliki dua pilihan: bekerja sama satu sama lain untuk menangkap seekor rusa, atau bekerja sendiri-sendiri untuk menangkap ''hare'' (kelinci). Menangkap seekor rusa tidak bisa dilakukan sendiri, sementara menangkap kelinci bisa dilakukan secara individu. Menangkap seekor rusa bersama akan memberikan ''payoff'' atau keuntungan besar bagi semua pihak, sementara menangkap kelinci sendirian akan memberikan keuntungan yang kecil tetapi pasti. Konsep kunci di sini adalah bagaimana menangkap seekor rusa memerlukan upaya kooperatif, di mana jika salah satu pemburu membelot untuk mengejar kelinci, maka sang rusa akan kabur dan para pemburu yang mulanya bekerja sama justru tidak mendapat apapun. Teori ini mencerminkan suatu situasi di mana komunikasi antar aktor atau pemburu bersifat terbatas, sehingga penentuan keputusan bergantung kepada kesadaran diri dan perhitungan masing-masing akan untung dan rugi dari pilihan mereka.

Terdapat dua buah Nash equilibria yang muncul untuk menggambarkan dilema dari kerja sama internasional. Yang pertama adalah skenario di mana seluruh aktor atau pemburu memilih untuk bekerja sama dan memburu rusa, sehingga memeroleh ''payoff'' kolektif tertinggi tetapi memerlukan kepercayaan dan keterjaminan. Skenario ini disebut sebagai ''payoff dominant'' equilibrium karena menghasilkan keuntungan terbesar. Sementara itu di skenario kedua,  kedua aktor atau pemburu melakukan ''defect'' (memilih keputusan sendiri tanpa mempertimbangkan aktor lawan) dan masing-masing memburu kelinci, sehingga menghasilkan keuntungan yang lebih kecil tetapi pasti. Skenario ini disebut sebagai ''risk dominant'' equilibrium, di mana risiko menjadi pertimbangan utama dalam mengambil keputusan. Dalam konteks hubungan internasional, hal ini mengilustrasikan bagaimana negara dan aktor lain menghadapi problematika kerja sama. Proyek kerja sama kolektif seperti perjanjian internasional, kooperasi perdagangan, hingga aliansi keamanan hanya bisa berhasil apabila tiap aktor percaya bahwa aktor lainnya akan komitmen. Jika tidak, mereka tentu akan lebih memilih untuk mundur dan menjalani strategi unilateral yang lebih aman dari risiko (Skyrms, 2004).

== III. Hasil dan Pembahasan ==

=== A. Struktur ''Payoff'' ===
Sebagai langkah pertama dalam menerapkan analisis ''stag hunt'' ke dalam kerja sama subnasional Mulhouse dan El Khroub, kita harus mengidentifikasi ''payoff'' yang relevan dan pilihan-pilihan strategis yang tersaji bagi masing-masing pemerintah subnasional. Pilihan fundamental bagi tiap aktor yang terlibat adalah antara berinvestasi secara signifikan dalam kerja samanya melalui mencurahkan waktu, sumber daya finansial, dan atensi dari agenda politik, atau hanya melakukan partisipasi seadanya sebagai bentuk formalitas. Tertera di bawah adalah gambaran penerapan ''game theory'' apabila dilihat dari langkah yang mungkin diambil oleh aktor terkait (Akerkar, 2020).

Bagi Mulhouse yang merupakan pihak yang relatif lebih kuat:

* Kerja sama timbal balik: Kemitraan yang sukses memberikan manfaat reputasi, memenuhi komitmen solidaritas internasional, memberikan kesempatan belajar dari pengalaman komparatif, dan memperkuat hubungan dengan komunitas diaspora Algeria di Mulhouse.
* Kerja sama unilateral: Mulhouse menginvestasikan sumber daya dan keahlian, namun El Khroub tidak membalas dengan keterlibatan atau implementasi yang berkelanjutan. Mulhouse menanggung biaya tanpa mencapai tujuan kemitraan, dan menghadapi kritik atas penggunaan sumber daya publik yang tidak efektif.
* Pengunduran (''defect'') sepihak oleh Mulhouse: Mulhouse mengurangi keterlibatan sementara El Khroub terus menginvestasikan sumber daya. Mulhouse menghemat sumber daya sambil mempertahankan status kemitraan nominal, meskipun skenario ini kurang mungkin mengingat peran inisiatif Mulhouse.
* Pengunduran diri mutual: Keduanya hanya mempertahankan hubungan seremonial tanpa kerja sama substansial. Tidak ada yang menanggung biaya signifikan, tetapi juga tidak mencapai manfaat kemitraan. Kemitraan menjadi “hidup enggan mati pun tak mau”. Secara formal ada, tetapi secara substansial tidak aktif.

Bagi El Khroub yang merupakan pihak yang relatif lebih lemah:

* Kerja sama timbal balik: Kemitraan ini memberikan pembangunan kapasitas, keahlian teknis, peningkatan layanan pemerintah kota, sistem administratif yang lebih baik, dan pengakuan internasional.
* Kerja sama unilateral: El Khroub mengalokasikan sumber daya yang terbatas dan modal politik untuk kegiatan kemitraan, namun Mulhouse tidak mempertahankan keterlibatan. El Khroub menanggung biaya kesempatan tanpa menerima manfaat yang diharapkan.
* Pengunduran diri sepihak oleh El Khroub: El Khroub mengurangi keterlibatan sementara Mulhouse terus berinvestasi. Namun, hal ini memberikan manfaat terbatas karena El Khroub membutuhkan keahlian dan sumber daya Mulhouse.
* Pengunduran diri bersama: Kemitraan seremonial tanpa keterlibatan substansial. El Khroub menghindari biaya kesempatan tetapi melewatkan manfaat pembangunan kapasitas.

=== B. Mekanisme Kerja Sama ===

==== a. Pendekatan Bertahap dan Pembentukan Kepercayaan ====
Kemitraan ini berkembang secara bertahap dari kontak awal hingga kerja sama yang lebih terstruktur, memungkinkan kedua pemerintah kota untuk membangun kepercayaan melalui langkah-langkah kolaboratif kecil sebelum berkomitmen pada inisiatif yang lebih besar. Pendekatan gradual ini sejalan dengan logika ''stag hunt'': memulai dengan tindakan kolaboratif berisiko rendah yang menunjukkan timbal balik dan membangun kepercayaan, lalu memperluas kerja sama seiring meningkatnya jaminan (Oye, 1986). Kemitraan ini awalnya berfokus pada pertukaran dan pembelajaran bersama sebelum beralih ke proyek-proyek pembangunan kapasitas yang lebih ambisius. Urutan ini memungkinkan kedua pemerintah kota untuk memperbarui keyakinan mereka tentang komitmen dan kapasitas pihak lain, mengurangi ketidakpastian strategis seiring waktu.

==== b. Pendekatan Partisipatif dan Kepemilikan Lokal   ====
Kemitraan ini secara eksplisit menekankan metode partisipatif dan kepemilikan lokal daripada model pemberi-penerima (Akerkar, 2020). Pendekatan ini mengatasi masalah jaminan dengan memastikan bahwa pemangku kepentingan El Khroub secara aktif terlibat dalam menentukan prioritas dan melaksanakan kegiatan, sehingga meningkatkan kemungkinan komitmen lokal yang berkelanjutan. Dengan melibatkan berbagai pemangku kepentingan lokal (pemerintahan kota, organisasi masyarakat sipil, warga) dalam kegiatan kemitraan, kerangka kerja kerja sama mengurangi ketergantungan pada pemimpin individu dan menciptakan basis dukungan yang lebih luas untuk mempertahankan keterlibatan. Institusionalisasi partisipasi ini memberikan jaminan lebih besar bagi Mulhouse bahwa kerja sama akan terus berlanjut meskipun individu tertentu meninggalkan jabatannya.

==== c. Fokus Tematik dan Proyek Konkret ====
Kemitraan berfokus pada bidang tematik spesifik—perencanaan kota, pengelolaan limbah, administrasi kota, tata kelola partisipatif—dengan proyek dan hasil konkret (Akerkar, 2020). Fokus ini memberikan kejelasan tentang tujuan kerja sama dan memudahkan pemantauan kemajuan serta penilaian timbal balik. Proyek konkret berfungsi sebagai alat koordinasi dalam situasi perburuan bertahap: mereka menciptakan titik fokus untuk kerja sama dan memberikan bukti nyata komitmen bersama. Ketika kedua pemerintah daerah dapat menunjuk pada pencapaian spesifik (program pelatihan yang selesai, rencana kota yang diterapkan, pengumpulan sampah yang ditingkatkan), hal ini memperkuat keyakinan terhadap kelayakan kemitraan dan keandalan pihak lain.

==== d. Dukungan dan Fasilitasi Pihak Ketiga ====
Kemitraan Mulhouse-El Khroub telah mendapat manfaat dari dukungan pihak eksternal, termasuk Kementerian Luar Negeri Prancis (melalui program kerja sama desentralisasinya), pemerintah daerah, dan organisasi masyarakat sipil (Akerkar, 2020). Dukungan pihak ketiga ini memberikan beberapa manfaat koordinasi, seperti sumber daya keuangan yang mengurangi biaya kesempatan kerja sama bagi kedua pemerintah kota, bantuan teknis yang meningkatkan kapasitas dan meningkatkan kemungkinan implementasi yang sukses, koordinasi dan fasilitasi yang membantu menyelaraskan ekspektasi dan menyelesaikan kesalahpahaman, serta legitimasi yang memberikan perlindungan politik untuk kerja sama sehingga menandakan kepercayaan eksternal terhadap kemitraan. Dukungan eksternal secara efektif mensubsidi kerja sama, membuat ''payoff dominant'' equilibrium lebih menarik dibandingkan dengan ''risk dominant'' equilibrium dan mengurangi risiko yang terkait dengan kerja sama unilateral.

==== e. Hubungan Pribadi dan Jaringan ====
Hubungan pribadi antara pejabat pemerintah kota, staf teknis, dan aktor masyarakat sipil di Mulhouse dan El Khroub telah memainkan peran penting dalam mempertahankan kerja sama. Hubungan ini menyediakan mekanisme jaminan informal yang melengkapi perjanjian formal. Hubungan pribadi menciptakan konsekuensi reputasi yang meningkatkan biaya non-kooperasi dan menyediakan saluran komunikasi yang dapat mengatasi kesalahpahaman sebelum merusak kerjasama. Dalam konteks Prancis-Algeria, koneksi diaspora, khususnya penduduk Mulhouse asal Algeria yang memiliki hubungan keluarga atau sejarah dengan wilayah Constantine, kadang-kadang memfasilitasi jaringan pribadi ini (Ville de Mulhouse, 2018).

=== C. Tantangan dan Ketidakpastian dalam Kerja Sama ===

==== a. Kapasitas Asimetris ====
Kemitraan ini melibatkan ketidakseimbangan kapasitas yang signifikan. Mulhouse memiliki sumber daya keuangan, keahlian teknis, dan kapasitas administratif yang lebih besar daripada El Khroub (Akerkar, 2020). Ketidakseimbangan ini menimbulkan masalah kepercayaan di kedua belah pihak. Mulhouse mungkin meragukan apakah El Khroub memiliki kapasitas yang cukup untuk melaksanakan proyek bersama dan mempertahankan keterlibatan dalam jangka panjang. El Khroub mungkin khawatir bahwa Mulhouse akan kehilangan minat jika kemajuan lambat atau jika kemitraan memerlukan dukungan yang lebih intensif daripada yang diperkirakan semula. Kemitraan ini secara eksplisit mengadopsi pendekatan “berkelanjutan berbasis wilayah” untuk mengatasi ketidakseimbangan ini, dengan menekankan pembangunan kapasitas institusional jangka panjang daripada penyelesaian proyek jangka pendek. Pendekatan ini mengakui bahwa koordinasi memerlukan penyesuaian ekspektasi untuk memperhitungkan perbedaan kapasitas dan membangun fondasi institusional El Khroub secara bertahap.

==== b. Ketidakpastian Politik ====
Kedua kota tersebut menghadapi ketidakpastian politik domestik yang memengaruhi kemampuan mereka untuk berkomitmen secara kredibel terhadap kerja sama yang berkelanjutan (Akerkar, 2020). Di Mulhouse, pemilihan umum kota dan perubahan kepemimpinan politik dapat mengubah prioritas dan alokasi sumber daya. Kerja sama internasional dapat rentan terhadap pemotongan anggaran atau kritik politik yang menyatakan bahwa kerja sama tersebut mengalihkan sumber daya dari kebutuhan lokal. Di El Khroub, ketidakpastian politik diperparah oleh kerangka kerja yang kompleks dan terus berkembang dalam tata kelola kota dan tindakan internasional di Algeria. Perubahan dalam kebijakan nasional, administrasi ''wilaya'' (provinsi), atau kepemimpinan lokal dapat mengganggu kelangsungan kemitraan. Hubungan bilateral Prancis-Algeria yang lebih luas juga memperkenalkan risiko politik—ketegangan seputar politik ingatan, migrasi, atau isu lain dapat menciptakan tekanan politik untuk mengurangi kerja sama. Ketidakpastian politik ini membuat setiap pemerintah daerah kesulitan menilai apakah pihak lain akan mempertahankan komitmen selama jangka waktu multi-tahun yang diperlukan untuk kerja sama substansial, memperkuat masalah jaminan yang khas dalam situasi ''stag hunt''.

==== c. Kerangka Hukum dan Institusional yang Lemah ====
Kerangka hukum yang mengatur kerja sama desentralisasi Prancis-Algeria secara historis tidak lengkap dan ambigu, terutama di pihak Algeria (Akerkar &amp; Benabbas-Kaghouche, 2021). Meskipun hukum Prancis secara eksplisit mengakui hak entitas teritorial untuk melakukan kerja sama internasional (dengan syarat koordinasi dengan kebijakan luar negeri nasional), hukum Algeria memberikan otorisasi dan panduan prosedural yang kurang jelas untuk tindakan internasional tingkat kota.

Ketidakjelasan hukum ini menciptakan ketidakpastian strategis. Mulhouse mungkin mempertanyakan apakah El Khroub memiliki wewenang hukum yang pasti untuk membuat komitmen mengikat dan mengalokasikan sumber daya untuk kegiatan kemitraan. El Khroub mungkin tidak yakin tentang status hukum perjanjian kerja sama dan apakah perjanjian tersebut akan diakui dan didukung oleh tingkat administrasi Algeria yang lebih tinggi. Reformasi terbaru di Algeria mulai mengklarifikasi kerangka hukum untuk kerja sama desentralisasi, tetapi celah tetap ada. Institusionalisasi yang kurang komprehensif ini meningkatkan risiko yang dirasakan dalam kerja sama dan mempersulit koordinasi.

==== d. Keterbatasan Sumber Daya ====
Kedua kota menghadapi keterbatasan sumber daya yang signifikan yang memengaruhi perhitungan kerja sama mereka. Bagi Mulhouse, kerja sama internasional bersaing dengan prioritas domestik dalam anggaran kota yang terbatas. Bagi El Khroub, kerja sama dengan Mulhouse bersaing dengan kebutuhan lokal yang mendesak dan prioritas pembangunan lainnya (Akerkar, 2020). Keterbatasan sumber daya ini menciptakan dinamika ''stag hunt'' klasik: kerja sama dapat menghasilkan manfaat tinggi jika kedua pihak berinvestasi secara memadai, tetapi biaya oportunitas dari investasi yang tidak dibalas sangat signifikan. Setiap pemerintah kota harus memutuskan apakah akan mengalokasikan sumber daya yang langka untuk kegiatan kerja sama tanpa kepastian bahwa pihak lain akan melakukan hal yang sama.

== IV. Kesimpulan ==
Analisis ini menunjukkan bahwa teori permainan ''stag hunt'' memberikan pandangan analitis yang berharga untuk memahami kerja sama internasional di tingkat subnasional. Kemitraan Mulhouse-El Khroub menunjukkan ciri khas situasi ''stag hunt'': kerja sama mutual lebih optimal dan disukai oleh kedua belah pihak daripada tindakan ''defect'' yang mutual. Namun, ketidakpastian strategis tentang kapasitas dan komitmen pihak lain menciptakan tantangan koordinasi yang dapat menjebak aktor dalam keseimbangan kerja sama rendah.

Kemitraan Mulhouse-El Khroub mewakili baik wacana maupun tantangan kerja sama internasional pada tingkat subnasional. Pada performa terbaiknya, kerja sama semacam ini memungkinkan kota-kota untuk berbagi keahlian, membangun kapasitas, dan menjalin hubungan yang melampaui batas negara dan ketegangan historis. Kemitraan ini telah mencapai hasil yang berarti dalam perencanaan kota, administrasi kota, dan tata kelola partisipatif, menunjukkan bahwa kerja sama Prancis-Algeria dimungkinkan meskipun adanya kompleksitas bilateral. Namun, kemitraan ini juga menunjukkan betapa sulitnya koordinasi yang berkelanjutan ketika para pemangku kepentingan dihadapkan pada ketidakpastian strategis, keterbatasan kapasitas, dan sensitivitas politik. Karakter “sederhana dan seadanya” dari kerja sama desentralisasi Prancis-Algeria tidak mencerminkan kurangnya niat baik atau kepentingan bersama, melainkan tantangan fundamental dalam mengoordinasikan ekspektasi dan mempertahankan komitmen mutual sepanjang waktu.

== Daftar Pustaka ==
Akerkar, A. (2020). Approche territoriale durable et coopération décentralisée franco-algérienne: Les effets du partenariat avec Mulhouse sur El Khroub. Politique africaine, 39, 77-100.

Akerkar, A., &amp; Benabbas-Kaghouche, S. (2021). Recognition of the legal forms of international action of local authorities in France and Algeria. Vestnik RUDN. International Relations, 21(3), 565-577.

Akerkar, A. (2022). La coopération décentralisée franco-algérienne: une coopération modeste et inachevée. ''Politique africaine'', 165(1), 153-176.

Evans, M., &amp; Phillips, J. (2007). ''Algeria: Anger of the dispossessed''. Yale University Press.

Ksenicz, I. (2023). Frameworks of Paradiplomacy. Cases of Selected Unitary States: France, the Netherlands and Czechia. ''Eastern European Journal of Transnational Relations'', ''7'', 59–75. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.15290/eejtr.2023.07.02.07&lt;/nowiki&gt;

Kuznetsov, A. (2014). ''Theory and practice of paradiplomacy: Subnational governments in international affairs''. Routledge.

Lecours, A. (2008). ''Political Issues of Paradiplomacy: Lessons from the Developed World''. Clingendael Institute. &lt;nowiki&gt;https://www.jstor.org/stable/resrep05373&lt;/nowiki&gt;

Oye, K. A. (Ed.). (1986). ''Cooperation under anarchy''. Princeton University Press.

Rousseau, J.-J. (1755/1984). ''A discourse on inequality''. Penguin Classics.

Schelling, T. C. (1960). ''The strategy of conflict''. Harvard University Press.

Skyrms, B. (2004). ''The stag hunt and the evolution of social structure''. Cambridge University Press.

Ville de Mulhouse. (2018). ''Rapport d'activité: Coopération internationale et solidarité''. Mulhouse: Mairie de Mulhouse.</text>
      <sha1>hn68brf1lgyeiiq9aq6khq2izt2ve8r</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Memahami Fenomena di Sekitar Kita dengan Kacamata Feminisme</title>
    <ns>0</ns>
    <id>27222</id>
    <revision>
      <id>114986</id>
      <timestamp>2026-04-26T05:18:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fishynila</username>
        <id>41127</id>
      </contributor>
      <comment>←Membuat halaman berisi 'Sebagai pemikiran yang berangkat dari emansipasi, feminisme menjadi pandangan yang relevan dalam melihat fenomena sosial yang kerap kali tersirat bias gender di dalamnya. Terlebih lagi sebagai orang yang mengidentifikasi diri sebagai perempuan, pemikiran feminisme juga turut membantu saya memahami fenomena yang terjadi di sekitar saya. Aliran feminisme yang paling menarik bagi saya pribadi adalah ''standpoint'' atau normatif, yang membahas bagaimana sudut pandang...'</comment>
      <origin>114986</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3777" sha1="9np6oyzaz50b09qz1edh7xz44u50bl4" xml:space="preserve">Sebagai pemikiran yang berangkat dari emansipasi, feminisme menjadi pandangan yang relevan dalam melihat fenomena sosial yang kerap kali tersirat bias gender di dalamnya. Terlebih lagi sebagai orang yang mengidentifikasi diri sebagai perempuan, pemikiran feminisme juga turut membantu saya memahami fenomena yang terjadi di sekitar saya. Aliran feminisme yang paling menarik bagi saya pribadi adalah ''standpoint'' atau normatif, yang membahas bagaimana sudut pandang dan pengalaman yang dimiliki perempuan dapat menjadi pendekatan dalam memahami jalannya dunia dan memecahkan masalah. Standar dunia yang menggunakan norma maskulin untuk kebanyakan hal menyempitkan ruang bagi perspektif perempuan untuk menjadi norma yang umum. Contohnya, pembahasan mengenai keamanan masih terlalu condong ke maskulinitas. Apa yang didefinisikan sebagai “kondisi aman” dan “kondisi tidak aman” milik laki-laki berbeda dengan perempuan. Konsep maskulin peperangan dan konflik eksternal sering kali menjadi acuan, sehingga muncul pemikiran tidak ada konflik = damai = aman. Pemikiran ini gagal mempertimbangkan ancaman lain yang dapat muncul bahkan di suatu kondisi tanpa adanya konflik. 

Jika dikerucutkan lagi menjadi fenomena sehari-hari, kita bisa melihat ruang publik di sekitar kita, entah itu Taman Merbabu atau sepanjang Jalan Kayutangan. Faktanya, ruang publik yang seharusnya menjadi tempat di mana siapapun bisa menghabiskan waktunya dengan santai dan aman malah menjadi lokasi yang rentan bagi perempuan. Perempuan, terutama, menghadapi bahaya seperti pelecehan, pencopetan, dan tindak kejahatan lain. Ditambah lagi dengan sistem transportasi umum yang masih terbatas karena jam dan opsi yang kurang memadai, perjalanan pulang perempuan untuk bisa kembali ke rumah dengan aman pun tidak sepenuhnya terjamin. Berbagai tindakan preventif pun dilakukan. Metode yang saya pernah lakukan atau lihat di sekeliling saya antara lain seperti harus membawa ''pepper spray'' atau alat pelindung diri lainnya, membagikan lokasi GPS dengan teman atau keluarga untuk saling berkabar amit-amit ada musibah, atau bahkan harus pulang sebelum jam 9 supaya tidak kena jam-jam rawan kejahatan. ''Mindset fight or flight'' ini jarang ditemukan di kalangan laki-laki, karena bagi mereka bengong di alun-alun sendirian di tengah malam cenderung aman-aman saja tanpa takut di-''catcall'' pengunjung lain. 

Apabila dipandang dengan kacamata feminisme, fenomena ini menunjukkan bagaimana perempuan memiliki pola mobilitas yang berbeda dengan laki-laki karena pengalaman mereka menjadikan definisi aman/tidak aman mereka berbeda. Salah satu penyebab dari hal ini saya rasa adalah tata kota yang mayoritas didesain oleh laki-laki, untuk laki-laki. ''Public sphere'' seperti transportasi, kerja, dan politik dilekatkan dengan laki-laki, sementara perempuan diasosiasikan dengan ''private sphere'' seperti rumah tangga. Bisa dibilang, infrastruktur kota lebih menaruh prioritas di pembangunan jalanan tol dan mengabaikan perbaikan lampu penerangan di pedestrian. Lagi-lagi karena risiko yang dihadapi laki-laki tidak sama dengan perempuan, perancangan tata kota pun kerap kali lalai dalam mempertimbangkan keamanan bagi perempuan. Sejatinya, lebih dari keterbatasan berbasis bias gender, kelompok marginal lain seperti kawan-kawan difabel juga merasakan tantangan dalam menggunakan ruang publik, seperti ''braille blocks'' rusak di trotoar yang tak kunjung dibenahi. Namun, sebagaimana permasalahan ini bisa dianalisis dengan feminisme, solusi juga bisa diberikan. Inklusi, lewat representasi ''decision-maker'' dan substansi kebijakan, harus ditingkatkan untuk merangkul semua kalangan yang memiliki pengalaman berbeda, sehingga menciptakan keamanan bagi semua tanpa melihat gender dan latar belakang.</text>
      <sha1>9np6oyzaz50b09qz1edh7xz44u50bl4</sha1>
    </revision>
  </page>
</mediawiki>