Harvest Moon:Back To Nature/Kalender

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11.xsd" version="0.11" xml:lang="id">
  <siteinfo>
    <sitename>Wikibuku</sitename>
    <dbname>idwikibooks</dbname>
    <base>https://id.wikibooks.org/wiki/Halaman_Utama</base>
    <generator>MediaWiki 1.47.0-wmf.8</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">Media</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">Istimewa</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">Pembicaraan</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">Pengguna</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">Pembicaraan Pengguna</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">Wikibuku</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">Pembicaraan Wikibuku</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">Berkas</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">Pembicaraan Berkas</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">MediaWiki</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">Pembicaraan MediaWiki</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">Templat</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">Pembicaraan Templat</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">Bantuan</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">Pembicaraan Bantuan</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">Kategori</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">Pembicaraan Kategori</namespace>
      <namespace key="100" case="first-letter">Resep</namespace>
      <namespace key="101" case="first-letter">Pembicaraan Resep</namespace>
      <namespace key="102" case="first-letter">Wisata</namespace>
      <namespace key="103" case="first-letter">Pembicaraan Wisata</namespace>
      <namespace key="710" case="first-letter">TimedText</namespace>
      <namespace key="711" case="first-letter">TimedText talk</namespace>
      <namespace key="828" case="first-letter">Modul</namespace>
      <namespace key="829" case="first-letter">Pembicaraan Modul</namespace>
      <namespace key="1728" case="first-letter">Acara</namespace>
      <namespace key="1729" case="first-letter">Pembicaraan Acara</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
  <page>
    <title>Harvest Moon:Back To Nature/Kalender</title>
    <ns>0</ns>
    <id>8422</id>
    <revision>
      <id>117275</id>
      <parentid>117264</parentid>
      <timestamp>2026-06-30T11:41:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-36231-94</username>
        <id>43450</id>
      </contributor>
      <comment>/* Musim Dingin */</comment>
      <origin>117275</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2171" sha1="o2le35f72nw5oxmi9xr78pf60v60kya" xml:space="preserve">==Musim Semi==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanggal !! Acara
|-
| 1 || New Year Festival
|-
| 2 || Louis (madu,roti)
|-
| 4 || Bold (ungu) tepung
|-
| 8 || Goddess Festival
|-
| 11 || Saibara (ikan besar,rebung)
|-
| 14 || Thanksgiving Festival
|-
| 15 ||	Staid (biru tua) tepung
|-
| 16 ||	Elli (semua bunga)
|-
| 17 ||	Barley (telur spa)
|-
| 18 ||	Local Horse Festival
|-
| 19 || Lillia (turbojolt)
|-
| 22 || Cooking Festival
|-
| 26 || Aqua (biru muda) tepung
|-
| 29 || Greg (ikan besar)
|-
| 30 || Sasha- karen mom(coklat,cookies)
|}

==Musim Panas==
{| class=&quot;wikitable&quot; 
|-
! Tanggal !! Acara
|-
| 1 || Swimming Festival
|-
| 3 || Popuri (telur spa,cokelat)
|-
| 4 || Harris (telur spa,turbojolt)
|-
| 6 || Cliff (apel,jus sayur)
|-
| 7 || Chicken Sumo Festival
|-
| 11 || Basil (telur spa,jamur)
|-
| 12 ||	Tomato Fight Festival
|-
| 16 ||	Timid (hijau) tepung
|-
| 17 ||	Ann (telur spa,cokelat)
|-
| 20 || Cow Festival
|-
| 22 || Kai (wine,minyak goreng)
|-
| 24 || Fireworks Festival
|-
| 25 || Walikota Thomas (truffle,wine)
|-
| 29 || Zack (wine)
|}

==Musim Gugur==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanggal !! Acara
|-
| 2 || Gotz (telur,susu)
|-
| 3 || Music Festival
|-
| 5 || Stu (madu , ice cream)
|-
| 9 || Harvest Festival
|-
| 10 || Hoggy (kuning)
|-
| 11 ||	Manna (madu,jus sayur)
|-
| 13 ||	Moon Festival
|-
| 14 ||	Chef (merah)
|-
| 15 ||	Karen (wine,popcorn)
|-
| 17 ||	Doctor (jamur beracun,telur spa)
|-
| 20 || Carter (wine)
|-
| 21 || Sheep Festival
|-
| 23 || Anna mary's mom (flower)
|-
| 27 || Rick (telur spa,madu)
|}

==Musim Dingin==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanggal !! Acara
|-1 tanya kepada nenek elli 2 kali terus ke puncak gunung  jam 6 sore melihat bunga ke bahgiaan dan ke nenek eli dan papanya mery

| 2 || Kano (madu,wine)
|-
| 6 || Grey (biji tambang,es krim)
|-
| 10 || Dog Race Festival
|-
| 11 || Doug (madu,wine)
|-
| 13 || Ellen (flower,yarn ball)
|-
| 14 || Admirer Thanksgiving Festival
|-
| 15 ||	Duke (telur spa,wine)
|-
| 19 ||	Won (ikan)
|-
| 20 ||	Mary (rebung,jamur)
|-
| 22 ||	Nappy (oren)
|-
| 24 ||	Star Night Festival
|-
| 26 || May (madu,es krim)
|-
| 29 || Jeff (bodigizer,turbojolt)
|-
| 30 || New Year Eve Festival</text>
      <sha1>o2le35f72nw5oxmi9xr78pf60v60kya</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Barisan dan deret geometri</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23118</id>
    <revision>
      <id>117270</id>
      <parentid>113850</parentid>
      <timestamp>2026-06-29T14:27:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Tambahan */</comment>
      <origin>117270</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="17228" sha1="er7y42rn7pn2bh4t51ntfzv965r3a1k" xml:space="preserve">== Rumus barisan dan deret geometri ==
&lt;math&gt;
\begin{align}
U_n &amp;= ar^{n-1} \\
S_n &amp;= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r&gt;1 \\
S_n &amp;= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r&lt;1 \\
r &amp;= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\
U_n &amp;= S_n-S_{n-1} \\
U_t &amp;= \sqrt{U_1 U_n} \\
r &amp;= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\
\text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;

keterangan:
: a/U&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;: suku pertama
: n: banyaknya suku ke-n
: r: rasio suku
: Ut: suku tengah
: Un: suku ke-n
: Sn: jumlah suku ke-n

;rataan
:&lt;math&gt;R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}&lt;/math&gt;

;suku dan rasio baru
*&lt;math&gt;n_b = n + (n-1)x&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;r_b = \sqrt[x+1]{r}&lt;/math&gt;

; deret takhingga
*&lt;math&gt;S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{ bila } -1&lt;r&lt;1 \text{ (deret konvergen) }&lt;/math&gt; (konvergen: |r|&lt;1)
*&lt;math&gt;S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}&lt;/math&gt; (suku ganjil)
*&lt;math&gt;S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}&lt;/math&gt; (suku genap)
*&lt;math&gt;S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}&lt;/math&gt;

; barisan dan deret bertingkat
;cara 1

;cara 2
*&lt;math&gt;a_n = a^{n^2} + b^n + c&lt;/math&gt; (tingkat 2)
*&lt;math&gt;a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d&lt;/math&gt; (tingkat 3)

== Tambahan ==
*Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: &lt;math&gt;a_n = a r^{n-1}&lt;/math&gt; dimana &lt;math&gt;n-1 = \frac{\Delta t}{t}&lt;/math&gt;.
*Rumus panjang lintasan: &lt;math&gt;PL = 2S_\infty-a&lt;/math&gt;.
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 S_{turun} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 S_{naik} &amp;= \frac{ar}{1-r} \\
 
 S_{total} &amp;= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\
 &amp;= \frac{a+ar}{1-r} \\
 &amp;= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\
 &amp;= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\
 &amp;= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\
 &amp;= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\
 &amp;= 2S_\infty-a \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

contoh soal
# Tentukan jumlah deret tak terhingga sebagai berikut:
: &lt;math&gt;\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+ \dots&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots&lt;/math&gt;
: 1-2+3-4+…+99

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
*
\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+ \dots \\
a=\frac{1}{2}, r=\frac{1}{2} \\
S_\infty &amp;= \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} \\
 &amp;= \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \\
 &amp;= 1 \\

*
\text{cara 1} \\
\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots \\
\text{misalkan } \frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots = x \\
\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots &amp;= x \\
\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+\frac{4}{32}+\frac{5}{64}+ \dots &amp;= \frac{1}{2}x \\
\text{kurangkan } x \text{ dengan } \frac{1}{2}x \\
\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+ \dots &amp;= \frac{1}{2}x \\

a=\frac{1}{2}, r=\frac{1}{2} \\
S_\infty &amp;= \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} \\
 &amp;= \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \\
 &amp;= 1 \\

1 &amp;= \frac{1}{2}x \\
x &amp;= 2 \\

\text{cara 2} \\
\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots \\
\text{misalkan } \frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots = x \\
\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots &amp;= x \\
1+1+\frac{3}{4}+\frac{4}{8}+\frac{5}{16}+ \dots &amp;= 2x \\
\text{kurangkan } 2x \text{ dengan } x \\
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+ \dots &amp;= x \\

a=1, r=\frac{1}{2} \\
S_\infty &amp;= \frac{1}{1-\frac{1}{2}} \\
 &amp;= \frac{1}{\frac{1}{2}} \\
 &amp;= 2 \\

x &amp;= 2 \\

*
\text{cara 1} \\
\frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots \\
\text{misalkan } \frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots = x \\
\frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots &amp;= x \\
\frac{1}{5^2}+\frac{4}{5^3}+\frac{7}{5^4}+\frac{10}{5^5}+\frac{13}{5^6}+ \dots &amp;= \frac{1}{5}x \\
\text{kurangkan } x \text{ dengan } \frac{1}{5}x \\
\frac{1}{5}+\frac{3}{5^2}+\frac{3}{5^3}+\frac{3}{5^4}+\frac{3}{5^5}+ \dots &amp;= \frac{4}{5}x \\
\frac{1}{5}+3(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{5^4}+\frac{1}{5^5}+ \dots) &amp;= \frac{4}{5}x \\

a=\frac{1}{5^2}, r=\frac{1}{5} \\
S_\infty &amp;= \frac{\frac{1}{5^2}}{1-\frac{1}{5}} \\
 &amp;= \frac{\frac{1}{5^2}}{\frac{4}{5}} \\
 &amp;= \frac{1}{20} \\

\frac{1}{5}+3(\frac{1}{20}) &amp;= \frac{4}{5}x \\
\frac{7}{20} &amp;= \frac{4}{5}x \\
\frac{7}{4} &amp;= 4x \\
x &amp;= \frac{7}{16} \\

\text{cara 2} \\
\frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots \\
\text{misalkan } \frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots = x \\
\frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots &amp;= x \\
1+\frac{4}{5}+\frac{7}{5^2}+\frac{10}{5^3}+\frac{13}{5^4}+ \dots &amp;= 5x \\
\text{kurangkan } 5x \text{ dengan } x \\
1+\frac{3}{5}+\frac{3}{5^2}+\frac{3}{5^3}+\frac{3}{5^4}+ \dots &amp;= 4x \\
1+3(\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{5^4}+ \dots) &amp;= 4x \\

a=\frac{1}{5}, r=\frac{1}{5} \\
S_\infty &amp;= \frac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}} \\
 &amp;= \frac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{5}} \\
 &amp;= \frac{1}{4} \\

1+3(\frac{1}{4}) &amp;= 4x \\
x &amp;= \frac{7}{16} \\

*
1-2+3-4+5-\dots-100 &amp;= 1+3+5+\dots+99-(2+4+6+8+\dots+98) \\
\text{untuk } 1+3+5+\dots+99 \\
99 &amp;= 1+(n-1)2 \\
98 &amp;= 2(n-1) \\
49 &amp;= n-1 \\
n &amp;= 50 \\

S_{50} &amp;= \frac{50}{2}(1+99) \\
&amp;= 25 \times 100 \\
&amp;= 2.500 \\

\text{untuk } 2+4+6+8+\dots+98 \\
98 &amp;= 2+(n-1)2 \\
96 &amp;= 2(n-1) \\
48 &amp;= n-1 \\
n &amp;= 49 \\

S_{49} &amp;= \frac{49}{2}(2+98) \\
&amp;= \frac{49}{2} \times 100 \\
&amp;= 2.450 \\

1-2+3-4+5-\dots-100 &amp;= 2.500-2.450 \\
&amp;= 50 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui deret geometri tak hingga &lt;math&gt;U_1+U_2+U_3+ \dots&lt;/math&gt; jika rasio deret adalah r;-1&lt;r&lt;1, &lt;math&gt;U_1+U_2+U_3+ \dots = 5&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;U_3+U_4+U_5+ \cdot = \frac{1}{5}&lt;/math&gt;. Tentukan nilai r!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
U_1+U_2+U_3+ \dots &amp;= 5 \\
S_\infty &amp;= 5 \\
\frac{a}{1-r} &amp;= 5 \\
a &amp;= 5(1-r) \\

U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+ \dots &amp;= 5 \\
U_1+U_2+(U_3+U_4+U_5+ \dots) &amp;= 5 \\
a+ar+\frac{1}{5} &amp;= 5 \\
a(1+r) &amp;= 5-\frac{1}{5} \\
5(1-r)(1+r) &amp;= \frac{24}{5} \\
1-r^2 &amp;= \frac{24}{25} \\
r^2 &amp;= \frac{1}{25} \\
r^2 &amp;= (\frac{1}{5})^2 \\
r^2-(\frac{1}{5})^2 &amp;= 0 \\
(r+\frac{1}{5})(r-\frac{1}{5}) &amp;= 0 \\
r=-\frac{1}{5} &amp;\text{ atau } r=\frac{1}{5} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai x agar deret geometri tak hingga bersifat konvergen sebagai berikut:
*&lt;math&gt;\frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dots&lt;/math&gt;
*rasionya &lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;log (2x-1)
*jika jumlah deret tak hingga adalah 10 serta suku pertama adalah x

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{ketiga soal mempunyai syarat konvergen adalah } -1&lt;r&lt;1 (|r|&lt;1) \\

*
\frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dots \\
r &amp;= \frac{1}{x-1} \\
-1&lt;r&lt;1 \\
-1&lt;\frac{1}{x-1}&lt;1 \\

\frac{1}{x-1}&amp;&gt;-1 \\
\frac{x}{x-1}&amp;&gt;0 \\
\text{harga nol pembilang } \\
x&amp;=0 \\
\text{harga nol penyebut } \\
x-1&amp;=0 \\
x&amp;=1 \\
\text{jadi } x &lt; 0 \text{ atau } x &gt; 1 \\

\frac{1}{x-1}&amp;&lt;1 \\
\frac{2-x}{x-1}&amp;&lt;0 \\
\text{harga nol pembilang } \\
2-x&amp;=0 \\
x&amp;=2 \\
\text{harga nol penyebut } \\
x-1&amp;=0 \\
x&amp;=1 \\
\text{jadi } x &lt; 1 \text{ atau } x &gt; 2 \\
\text{kedua tergabung menjadi irisan  yaitu } x&lt;0 \text{ atau } x&gt;2 \\

*
-1&lt;^3 log (2x-1)&lt;1 \\
^3 log 3^{-1}&lt;^3 log (2x-1)&lt;^3 log 3 \\
3^{-1}&lt;2x-1&lt;3 \\
\frac{1}{3}&lt;2x-1&lt;3 \\
\frac{4}{3}&lt;2x&lt;4 \\
\frac{2}{3}&lt;x&lt;2 \\

*
a=x \text{ dan } S_\infty = 10 \\
S_\infty &amp;= 10 \\
\frac{x}{1-r} &amp;= 10 \\
1-r &amp;= \frac{x}{10} \\
r &amp;= \frac{10-x}{10} \\

-1&lt;r&lt;1 \\
-1&lt;\frac{10-x}{10}&lt;1 \\
-10&lt;10-x&lt;10 \\
-20&lt;-x&lt;0 \\

\text{langsung } \\
-20&lt;-x&lt;0 \\
20&gt;x&gt;0 \\
0&lt;x&lt;20 \\

\text{tidak langsung } \\
-20&lt;-x \\
20&gt;x \\
x&lt;20 \\

-x&lt;0 \\
x&gt;0 \\
\text{jadi } 0&lt;x&lt;20 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
n &amp;= 5 \\
a &amp;= 81 \\
U_n &amp;= U_5 = 256 \\
r &amp;= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\
 &amp;= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\
 &amp;= \frac{4}{3} \\

S_5 &amp;= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\
 &amp;= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\
 &amp;= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\
 &amp;= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\
 &amp;= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\
 &amp;= 4^5-1 \\
 &amp;= 1.023 \\

\text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a &amp;= 40 \\
r &amp;= \frac{1}{2} \\
\text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\

*\text{cara 1} \\
U_5 &amp;= ar^{5-1} \\
 &amp;= 40(\frac{1}{2})^4 \\
 &amp;= 40(\frac{1}{16}) \\
 &amp;= \frac{5}{2} \\
 &amp;= 2,5 \\

\text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\

*\text{cara 2} \\
\text{awal = } U_1 &amp;= 40 \\
\text{p1 = } U_2 &amp;= 20 \\
\text{p2 = } U_3 &amp;= 10 \\
\text{p3 = } U_4 &amp;= 5 \\
\text{p4 = } U_5 &amp;= 2,5 \\

\text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a &amp;= 15 \\
r &amp;= \frac{2}{3} \\
PL &amp;= 2S_\infty-a \\
 &amp;= 2(\frac{a}{1-r})-a \\
 &amp;= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\
 &amp;= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\
 &amp;= 90-15 \\
 &amp;= 75 \\

\text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti? 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{pantulan awal } &amp;= 15 \\
\text{pantulan kesatu } &amp;= 10 \\
\text{pantulan kedua } &amp;= \frac{20}{3} \\
\text{pantulan ketiga } &amp;= \frac{40}{9} \\
a &amp;= \frac{40}{9} \\
r &amp;= \frac{2}{3} \\
PL &amp;= 2S_\infty \\
 &amp;= 2\frac{a}{1-r} \\
 &amp;= 2(\frac{\frac{40}{9}}{1-\frac{2}{3}}) \\
 &amp;= 2(\frac{\frac{40}{9}}{\frac{1}{3}}) \\
 &amp;= \frac{80}{3} \\
 
\text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah } \frac{80}{3} m \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Populasi kelinci berlipat tiga di sebuah pulau. jumlah populasi kelinci pada tahun semula 6 ekor maka berapa jumlah populasi kelinci dalam 4 tahun?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a &amp;= 6 \\
r &amp;= 3 \\
n-1 &amp;= 4 \\

\text{cara 1 } \\
u_n &amp;= ar^{n-1} \\
 &amp;= 6(3)^4 \\
 &amp;= 6(81) \\
 &amp;= 486 \\

\text{cara 2 } \\
n-1 &amp;= 4 \\
n &amp;= 5 \\

\text{jadi } \\
\text{0 } &amp;= U_1 = 6 \\
\text{1 } &amp;= U_2 = 18 \\
\text{2 } &amp;= U_3 = 54 \\
\text{3 } &amp;= U_4 = 162 \\
\text{4 } &amp;= U_5 = 486 \\

\text{jadi jumlah populasi kelinci dalam 4 tahun adalah 486 ekor } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Suatu jenis hewan langka mengalami penurunan jumlah populasi 1/3 dari jumlah tahun sebelumnya. Pada tahun 2021 diperkirakan jumlah hewan langka di suatu provinsi 729 ekor, berapakah perkiraan jumlah hewan itu pada tahun 2025? 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a &amp;= 729 \\
r &amp;= \frac{1}{3} \\
n-1 &amp;= 4 \\

\text{cara 1 } \\
u_n &amp;= ar^{n-1} \\
 &amp;= 729(\frac{1}{3})^4 \\
 &amp;= \frac{729}{81} \\
 &amp;= 9 \\

\text{cara 2 } \\
n-1 &amp;= 4 \\
n &amp;= 5 \\

\text{jadi } \\
\text{2021 } &amp;= U_1 = 729 \\
\text{2022 } &amp;= U_2 = 243 \\
\text{2023 } &amp;= U_3 = 81 \\
\text{2024 } &amp;= U_4 = 27 \\
\text{2025 } &amp;= U_5 = 9 \\

\text{jadi perkiraan jumlah hewan itu pada tahun 2025 adalah 9 ekor } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sebuah motor dibeli dengan harga Rp 60.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi 3/4 dari tahun sebelumnya. berapa nilai jual dipakai 3 tahun?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a &amp;= 60.000.000 \\
r &amp;= \frac{3}{4} \\
n-1 &amp;= 3 \\

\text{cara 1 } \\
u_n &amp;= ar^{n-1} \\
 &amp;= 60.000.000(\frac{3}{4})^3 \\
 &amp;= \frac{720}{64} \\
 &amp;= 25.312.500 \\

\text{cara 2 } \\
n-1 &amp;= 3 \\
n &amp;= 4 \\

\text{jadi } \\
\text{0 } &amp;= U_1 = 60.000.000 \\
\text{1 } &amp;= U_2 = 45.000.000 \\
\text{2 } &amp;= U_3 = 33.750.000 \\
\text{3 } &amp;= U_4 = 25.312.500 \\

\text{jadi nilai jual pada tahun 2025 adalah Rp. 25.312.500,00 } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a &amp;= 30 \\
r &amp;= 2 \\
n-1 &amp;= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\
 &amp;= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\
 &amp;= 8 \text{ (kali) } \\

\text{cara 1 } \\
u_n &amp;= ar^{n-1} \\
 &amp;= 30(2)^8 \\
 &amp;= 30(256) \\
 &amp;= 7.680 \\

\text{cara 2 } \\
n-1 &amp;= 8 \\
n &amp;= 9 \\

\text{jadi } \\
\text{awal } &amp;= U_1 = 30 \\
\text{15 mnt } &amp;= U_2 = 60 \\
\text{30 mnt } &amp;= U_3 = 120 \\
\text{45 mnt } &amp;= U_4 = 240 \\
\text{60 mnt } &amp;= U_5 = 480 \\
\text{75 mnt } &amp;= U_6 = 960 \\
\text{90 mnt } &amp;= U_7 = 1.920 \\
\text{105 mnt } &amp;= U_8 = 3.840 \\
\text{120 mnt } &amp;= U_9 = 7.680 \\

\text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 1/2 jam. Pada 2 jam akan menjadi 1/4 dari jumlah bakteri mati. Jika mula-mula 4 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 3 jam?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a &amp;= 30 \\
r &amp;= 2 \\
n-1 &amp;= \frac{2 \text{ jam }}{30 \text{ menit }} \\
 &amp;= \frac{120 \text{ menit }}{30 \text{ menit }} \\
 &amp;= 4 \text{ (kali) } \\

\text{cara 1 } \\
u_n &amp;= ar^{n-1} \\
 &amp;= 4(2)^4 \\
 &amp;= 4(16) \\
 &amp;= 64 \\

\text{ karena setiap dua jam akan mati jika 1/4 dari jumlah bakteri itu maka } \\
u_4 &amp;= 64-\frac{1}{4} \cdot 64 = 48 \\

\text{anggapan 120 menit sebagai mula-mula maka 180 menit adalah 60 menit } \\
u_6 &amp;= 48(2)^2 = 192 \\

\text{cara 2 } \\
n-1 &amp;= 8 \\
n &amp;= 9 \\

\text{jadi } \\
\text{awal } &amp;= U_1 = 4 \\
\text{30 mnt } &amp;= U_2 = 8 \\
\text{60 mnt } &amp;= U_3 = 16 \\
\text{90 mnt } &amp;= U_4 = 32 \\
\text{120 mnt } &amp;= U_6 = 64 - \frac{1}{4} \cdot 64 = 48 \\
\text{150 mnt } &amp;= U_7 = 96 \\
\text{180 mnt } &amp;= U_8 = 192 \\

\text{jadi jumlah bakteri selama 3 jam adalah 192 } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a &amp;= 1.600 \\
r &amp;= \frac{1}{2} \\
n-1 &amp;= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\
 &amp;= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\
 &amp;= 3 \text{ (kali) } \\

\text{cara 1 } \\
u_n &amp;= ar^{n-1} \\
 &amp;= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\
 &amp;= 1.600(\frac{1}{8}) \\
 &amp;= 200 \\

\text{cara 2 } \\
n-1 &amp;= 3 \\
n &amp;= 4 \\

\text{jadi } \\
\text{awal } &amp;= U_1 = 1.600 \\
\text{3 jam } &amp;= U_2 = 800 \\
\text{6 jam } &amp;= U_3 = 400 \\
\text{9 jam } &amp;= U_4 = 200 \\

\text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>er7y42rn7pn2bh4t51ntfzv965r3a1k</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117271</id>
      <parentid>117270</parentid>
      <timestamp>2026-06-29T14:30:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Tambahan */</comment>
      <origin>117271</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="17227" sha1="jg5i8lp0yoe5wqtlu5anggjhvkgee52" xml:space="preserve">== Rumus barisan dan deret geometri ==
&lt;math&gt;
\begin{align}
U_n &amp;= ar^{n-1} \\
S_n &amp;= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r&gt;1 \\
S_n &amp;= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r&lt;1 \\
r &amp;= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\
U_n &amp;= S_n-S_{n-1} \\
U_t &amp;= \sqrt{U_1 U_n} \\
r &amp;= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\
\text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;

keterangan:
: a/U&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;: suku pertama
: n: banyaknya suku ke-n
: r: rasio suku
: Ut: suku tengah
: Un: suku ke-n
: Sn: jumlah suku ke-n

;rataan
:&lt;math&gt;R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}&lt;/math&gt;

;suku dan rasio baru
*&lt;math&gt;n_b = n + (n-1)x&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;r_b = \sqrt[x+1]{r}&lt;/math&gt;

; deret takhingga
*&lt;math&gt;S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{ bila } -1&lt;r&lt;1 \text{ (deret konvergen) }&lt;/math&gt; (konvergen: |r|&lt;1)
*&lt;math&gt;S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}&lt;/math&gt; (suku ganjil)
*&lt;math&gt;S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}&lt;/math&gt; (suku genap)
*&lt;math&gt;S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}&lt;/math&gt;

; barisan dan deret bertingkat
;cara 1

;cara 2
*&lt;math&gt;a_n = a^{n^2} + b^n + c&lt;/math&gt; (tingkat 2)
*&lt;math&gt;a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d&lt;/math&gt; (tingkat 3)

== Tambahan ==
*Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: &lt;math&gt;a_n = a r^{n-1}&lt;/math&gt; dimana &lt;math&gt;n-1 = \frac{\Delta t}{t}&lt;/math&gt;.
*Rumus panjang lintasan: &lt;math&gt;PL = 2S_\infty-a&lt;/math&gt;.
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 S_{turun} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 S_{naik} &amp;= \frac{ar}{1-r} \\
 
 S_{total} &amp;= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\
 &amp;= \frac{a+ar}{1-r} \\
 &amp;= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\
 &amp;= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\
 &amp;= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\
 &amp;= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\
 &amp;= 2S_\infty-a \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

contoh soal
# Tentukan jumlah deret tak terhingga sebagai berikut:
: &lt;math&gt;\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+ \dots&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots&lt;/math&gt;
: 1-2+3-4+…+99

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
*
\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+ \dots \\
a=\frac{1}{2}, r=\frac{1}{2} \\
S_\infty &amp;= \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} \\
 &amp;= \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \\
 &amp;= 1 \\

*
\text{cara 1} \\
\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots \\
\text{misalkan } \frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots = x \\
\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots &amp;= x \\
\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+\frac{4}{32}+\frac{5}{64}+ \dots &amp;= \frac{1}{2}x \\
\text{kurangkan } x \text{ dengan } \frac{1}{2}x \\
\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+ \dots &amp;= \frac{1}{2}x \\

a=\frac{1}{2}, r=\frac{1}{2} \\
S_\infty &amp;= \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} \\
 &amp;= \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \\
 &amp;= 1 \\

1 &amp;= \frac{1}{2}x \\
x &amp;= 2 \\

\text{cara 2} \\
\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots \\
\text{misalkan } \frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots = x \\
\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots &amp;= x \\
1+1+\frac{3}{4}+\frac{4}{8}+\frac{5}{16}+ \dots &amp;= 2x \\
\text{kurangkan } 2x \text{ dengan } x \\
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+ \dots &amp;= x \\

a=1, r=\frac{1}{2} \\
S_\infty &amp;= \frac{1}{1-\frac{1}{2}} \\
 &amp;= \frac{1}{\frac{1}{2}} \\
 &amp;= 2 \\

x &amp;= 2 \\

*
\text{cara 1} \\
\frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots \\
\text{misalkan } \frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots = x \\
\frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots &amp;= x \\
\frac{1}{5^2}+\frac{4}{5^3}+\frac{7}{5^4}+\frac{10}{5^5}+\frac{13}{5^6}+ \dots &amp;= \frac{1}{5}x \\
\text{kurangkan } x \text{ dengan } \frac{1}{5}x \\
\frac{1}{5}+\frac{3}{5^2}+\frac{3}{5^3}+\frac{3}{5^4}+\frac{3}{5^5}+ \dots &amp;= \frac{4}{5}x \\
\frac{1}{5}+3(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{5^4}+\frac{1}{5^5}+ \dots) &amp;= \frac{4}{5}x \\

a=\frac{1}{5^2}, r=\frac{1}{5} \\
S_\infty &amp;= \frac{\frac{1}{5^2}}{1-\frac{1}{5}} \\
 &amp;= \frac{\frac{1}{5^2}}{\frac{4}{5}} \\
 &amp;= \frac{1}{20} \\

\frac{1}{5}+3(\frac{1}{20}) &amp;= \frac{4}{5}x \\
\frac{7}{20} &amp;= \frac{4}{5}x \\
\frac{7}{4} &amp;= 4x \\
x &amp;= \frac{7}{16} \\

\text{cara 2} \\
\frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots \\
\text{misalkan } \frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots = x \\
\frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots &amp;= x \\
1+\frac{4}{5}+\frac{7}{5^2}+\frac{10}{5^3}+\frac{13}{5^4}+ \dots &amp;= 5x \\
\text{kurangkan } 5x \text{ dengan } x \\
1+\frac{3}{5}+\frac{3}{5^2}+\frac{3}{5^3}+\frac{3}{5^4}+ \dots &amp;= 4x \\
1+3(\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{5^4}+ \dots) &amp;= 4x \\

a=\frac{1}{5}, r=\frac{1}{5} \\
S_\infty &amp;= \frac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}} \\
 &amp;= \frac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{5}} \\
 &amp;= \frac{1}{4} \\

1+3(\frac{1}{4}) &amp;= 4x \\
x &amp;= \frac{7}{16} \\

*
1-2+3-4+5-\dots-100 &amp;= 1+3+5+\dots+99-(2+4+6+8+\dots+98) \\
\text{untuk } 1+3+5+\dots+99 \\
99 &amp;= 1+(n-1)2 \\
98 &amp;= 2(n-1) \\
49 &amp;= n-1 \\
n &amp;= 50 \\

S_{50} &amp;= \frac{50}{2}(1+99) \\
&amp;= 25 \times 100 \\
&amp;= 2.500 \\

\text{untuk } 2+4+6+8+\dots+98 \\
98 &amp;= 2+(n-1)2 \\
96 &amp;= 2(n-1) \\
48 &amp;= n-1 \\
n &amp;= 49 \\

S_{49} &amp;= \frac{49}{2}(2+98) \\
&amp;= \frac{49}{2} \times 100 \\
&amp;= 2.450 \\

1-2+3-4+5-\dots-100 &amp;= 2.500-2.450 \\
&amp;= 50 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui deret geometri tak hingga &lt;math&gt;U_1+U_2+U_3+ \dots&lt;/math&gt; jika rasio deret adalah r;-1&lt;r&lt;1, &lt;math&gt;U_1+U_2+U_3+ \dots = 5&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;U_3+U_4+U_5+ \cdot = \frac{1}{5}&lt;/math&gt;. Tentukan nilai r!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
U_1+U_2+U_3+ \dots &amp;= 5 \\
S_\infty &amp;= 5 \\
\frac{a}{1-r} &amp;= 5 \\
a &amp;= 5(1-r) \\

U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+ \dots &amp;= 5 \\
U_1+U_2+(U_3+U_4+U_5+ \dots) &amp;= 5 \\
a+ar+\frac{1}{5} &amp;= 5 \\
a(1+r) &amp;= 5-\frac{1}{5} \\
5(1-r)(1+r) &amp;= \frac{24}{5} \\
1-r^2 &amp;= \frac{24}{25} \\
r^2 &amp;= \frac{1}{25} \\
r^2 &amp;= (\frac{1}{5})^2 \\
r^2-(\frac{1}{5})^2 &amp;= 0 \\
(r+\frac{1}{5})(r-\frac{1}{5}) &amp;= 0 \\
r=-\frac{1}{5} &amp;\text{ atau } r=\frac{1}{5} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai x agar deret geometri tak hingga bersifat konvergen sebagai berikut:
*&lt;math&gt;\frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dots&lt;/math&gt;
*rasionya &lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;log (2x-1)
*jika jumlah deret tak hingga adalah 10 serta suku pertama adalah x

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{ketiga soal mempunyai syarat konvergen adalah } -1&lt;r&lt;1 (|r|&lt;1) \\

*
\frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dots \\
r &amp;= \frac{1}{x-1} \\
-1&lt;r&lt;1 \\
-1&lt;\frac{1}{x-1}&lt;1 \\

\frac{1}{x-1}&amp;&gt;-1 \\
\frac{x}{x-1}&amp;&gt;0 \\
\text{harga nol pembilang } \\
x&amp;=0 \\
\text{harga nol penyebut } \\
x-1&amp;=0 \\
x&amp;=1 \\
\text{jadi } x &lt; 0 \text{ atau } x &gt; 1 \\

\frac{1}{x-1}&amp;&lt;1 \\
\frac{2-x}{x-1}&amp;&lt;0 \\
\text{harga nol pembilang } \\
2-x&amp;=0 \\
x&amp;=2 \\
\text{harga nol penyebut } \\
x-1&amp;=0 \\
x&amp;=1 \\
\text{jadi } x &lt; 1 \text{ atau } x &gt; 2 \\
\text{kedua tergabung menjadi irisan  yaitu } x&lt;0 \text{ atau } x&gt;2 \\

*
-1&lt;^3 log (2x-1)&lt;1 \\
^3 log 3^{-1}&lt;^3 log (2x-1)&lt;^3 log 3 \\
3^{-1}&lt;2x-1&lt;3 \\
\frac{1}{3}&lt;2x-1&lt;3 \\
\frac{4}{3}&lt;2x&lt;4 \\
\frac{2}{3}&lt;x&lt;2 \\

*
a=x \text{ dan } S_\infty = 10 \\
S_\infty &amp;= 10 \\
\frac{x}{1-r} &amp;= 10 \\
1-r &amp;= \frac{x}{10} \\
r &amp;= \frac{10-x}{10} \\

-1&lt;r&lt;1 \\
-1&lt;\frac{10-x}{10}&lt;1 \\
-10&lt;10-x&lt;10 \\
-20&lt;-x&lt;0 \\

\text{langsung } \\
-20&lt;-x&lt;0 \\
20&gt;x&gt;0 \\
0&lt;x&lt;20 \\

\text{tidak langsung } \\
-20&lt;-x \\
20&gt;x \\
x&lt;20 \\

-x&lt;0 \\
x&gt;0 \\
\text{jadi } 0&lt;x&lt;20 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
n &amp;= 5 \\
a &amp;= 81 \\
U_n &amp;= U_5 = 256 \\
r &amp;= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\
 &amp;= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\
 &amp;= \frac{4}{3} \\

S_5 &amp;= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\
 &amp;= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\
 &amp;= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\
 &amp;= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\
 &amp;= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\
 &amp;= 4^5-1 \\
 &amp;= 1.023 \\

\text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a &amp;= 40 \\
r &amp;= \frac{1}{2} \\
\text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\

*\text{cara 1} \\
U_5 &amp;= ar^{5-1} \\
 &amp;= 40(\frac{1}{2})^4 \\
 &amp;= 40(\frac{1}{16}) \\
 &amp;= \frac{5}{2} \\
 &amp;= 2,5 \\

\text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\

*\text{cara 2} \\
\text{awal = } U_1 &amp;= 40 \\
\text{p1 = } U_2 &amp;= 20 \\
\text{p2 = } U_3 &amp;= 10 \\
\text{p3 = } U_4 &amp;= 5 \\
\text{p4 = } U_5 &amp;= 2,5 \\

\text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a &amp;= 15 \\
r &amp;= \frac{2}{3} \\
PL &amp;= 2S_\infty-a \\
 &amp;= 2(\frac{a}{1-r})-a \\
 &amp;= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\
 &amp;= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\
 &amp;= 90-15 \\
 &amp;= 75 \\

\text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti? 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{pantulan awal } &amp;= 15 \\
\text{pantulan kesatu } &amp;= 10 \\
\text{pantulan kedua } &amp;= \frac{20}{3} \\
\text{pantulan ketiga } &amp;= \frac{40}{9} \\
a &amp;= \frac{40}{9} \\
r &amp;= \frac{2}{3} \\
PL &amp;= 2S_\infty \\
 &amp;= 2\frac{a}{1-r} \\
 &amp;= 2(\frac{\frac{40}{9}}{1-\frac{2}{3}}) \\
 &amp;= 2(\frac{\frac{40}{9}}{\frac{1}{3}}) \\
 &amp;= \frac{80}{3} \\
 
\text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah } \frac{80}{3} m \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Populasi kelinci berlipat tiga di sebuah pulau. jumlah populasi kelinci pada tahun semula 6 ekor maka berapa jumlah populasi kelinci dalam 4 tahun?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a &amp;= 6 \\
r &amp;= 3 \\
n-1 &amp;= 4 \\

\text{cara 1 } \\
u_n &amp;= ar^{n-1} \\
 &amp;= 6(3)^4 \\
 &amp;= 6(81) \\
 &amp;= 486 \\

\text{cara 2 } \\
n-1 &amp;= 4 \\
n &amp;= 5 \\

\text{jadi } \\
\text{0 } &amp;= U_1 = 6 \\
\text{1 } &amp;= U_2 = 18 \\
\text{2 } &amp;= U_3 = 54 \\
\text{3 } &amp;= U_4 = 162 \\
\text{4 } &amp;= U_5 = 486 \\

\text{jadi jumlah populasi kelinci dalam 4 tahun adalah 486 ekor } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Suatu jenis hewan langka mengalami penurunan jumlah populasi 1/3 dari jumlah tahun sebelumnya. Pada tahun 2021 diperkirakan jumlah hewan langka di suatu provinsi 729 ekor, berapakah perkiraan jumlah hewan itu pada tahun 2025? 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a &amp;= 729 \\
r &amp;= \frac{1}{3} \\
n-1 &amp;= 4 \\

\text{cara 1 } \\
u_n &amp;= ar^{n-1} \\
 &amp;= 729(\frac{1}{3})^4 \\
 &amp;= \frac{729}{81} \\
 &amp;= 9 \\

\text{cara 2 } \\
n-1 &amp;= 4 \\
n &amp;= 5 \\

\text{jadi } \\
\text{2021 } &amp;= U_1 = 729 \\
\text{2022 } &amp;= U_2 = 243 \\
\text{2023 } &amp;= U_3 = 81 \\
\text{2024 } &amp;= U_4 = 27 \\
\text{2025 } &amp;= U_5 = 9 \\

\text{jadi perkiraan jumlah hewan itu pada tahun 2025 adalah 9 ekor } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sebuah motor dibeli dengan harga Rp 60.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi 3/4 dari tahun sebelumnya. berapa nilai jual dipakai 3 tahun?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a &amp;= 60.000.000 \\
r &amp;= \frac{3}{4} \\
n-1 &amp;= 3 \\

\text{cara 1 } \\
u_n &amp;= ar^{n-1} \\
 &amp;= 60.000.000(\frac{3}{4})^3 \\
 &amp;= \frac{720}{64} \\
 &amp;= 25.312.500 \\

\text{cara 2 } \\
n-1 &amp;= 3 \\
n &amp;= 4 \\

\text{jadi } \\
\text{0 } &amp;= U_1 = 60.000.000 \\
\text{1 } &amp;= U_2 = 45.000.000 \\
\text{2 } &amp;= U_3 = 33.750.000 \\
\text{3 } &amp;= U_4 = 25.312.500 \\

\text{jadi nilai jual pada tahun 2025 adalah Rp. 25.312.500,00 } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a &amp;= 30 \\
r &amp;= 2 \\
n-1 &amp;= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\
 &amp;= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\
 &amp;= 8 \text{ (kali) } \\

\text{cara 1 } \\
u_n &amp;= ar^{n-1} \\
 &amp;= 30(2)^8 \\
 &amp;= 30(256) \\
 &amp;= 7.680 \\

\text{cara 2 } \\
n-1 &amp;= 8 \\
n &amp;= 9 \\

\text{jadi } \\
\text{awal } &amp;= U_1 = 30 \\
\text{15 mnt } &amp;= U_2 = 60 \\
\text{30 mnt } &amp;= U_3 = 120 \\
\text{45 mnt } &amp;= U_4 = 240 \\
\text{60 mnt } &amp;= U_5 = 480 \\
\text{75 mnt } &amp;= U_6 = 960 \\
\text{90 mnt } &amp;= U_7 = 1.920 \\
\text{105 mnt } &amp;= U_8 = 3.840 \\
\text{120 mnt } &amp;= U_9 = 7.680 \\

\text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 1/2 jam. Pada 2 jam akan mengalami 1/4 dari jumlah bakteri mati. Jika mula-mula 4 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 3 jam?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a &amp;= 30 \\
r &amp;= 2 \\
n-1 &amp;= \frac{2 \text{ jam }}{30 \text{ menit }} \\
 &amp;= \frac{120 \text{ menit }}{30 \text{ menit }} \\
 &amp;= 4 \text{ (kali) } \\

\text{cara 1 } \\
u_n &amp;= ar^{n-1} \\
 &amp;= 4(2)^4 \\
 &amp;= 4(16) \\
 &amp;= 64 \\

\text{ karena setiap dua jam akan mati jika 1/4 dari jumlah bakteri itu maka } \\
u_4 &amp;= 64-\frac{1}{4} \cdot 64 = 48 \\

\text{anggapan 120 menit sebagai mula-mula maka 180 menit adalah 60 menit } \\
u_6 &amp;= 48(2)^2 = 192 \\

\text{cara 2 } \\

\text{awal } &amp;= U_1 = 4 \\
\text{30 mnt } &amp;= U_2 = 8 \\
\text{60 mnt } &amp;= U_3 = 16 \\
\text{90 mnt } &amp;= U_4 = 32 \\
\text{120 mnt (dianggap awal)} &amp;= U_6 = 64 - \frac{1}{4} \cdot 64 = 48 \\
\text{150 mnt (30 menit)} &amp;= U_7 = 96 \\
\text{180 mnt (60 menit)} &amp;= U_8 = 192 \\

\text{jadi jumlah bakteri selama 3 jam adalah 192 } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a &amp;= 1.600 \\
r &amp;= \frac{1}{2} \\
n-1 &amp;= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\
 &amp;= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\
 &amp;= 3 \text{ (kali) } \\

\text{cara 1 } \\
u_n &amp;= ar^{n-1} \\
 &amp;= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\
 &amp;= 1.600(\frac{1}{8}) \\
 &amp;= 200 \\

\text{cara 2 } \\
n-1 &amp;= 3 \\
n &amp;= 4 \\

\text{jadi } \\
\text{awal } &amp;= U_1 = 1.600 \\
\text{3 jam } &amp;= U_2 = 800 \\
\text{6 jam } &amp;= U_3 = 400 \\
\text{9 jam } &amp;= U_4 = 200 \\

\text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>jg5i8lp0yoe5wqtlu5anggjhvkgee52</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117272</id>
      <parentid>117271</parentid>
      <timestamp>2026-06-29T14:32:50Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Tambahan */</comment>
      <origin>117272</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="17227" sha1="amadkevgaz0xuptw74jrbu3krr2geu5" xml:space="preserve">== Rumus barisan dan deret geometri ==
&lt;math&gt;
\begin{align}
U_n &amp;= ar^{n-1} \\
S_n &amp;= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r&gt;1 \\
S_n &amp;= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r&lt;1 \\
r &amp;= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\
U_n &amp;= S_n-S_{n-1} \\
U_t &amp;= \sqrt{U_1 U_n} \\
r &amp;= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\
\text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;

keterangan:
: a/U&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;: suku pertama
: n: banyaknya suku ke-n
: r: rasio suku
: Ut: suku tengah
: Un: suku ke-n
: Sn: jumlah suku ke-n

;rataan
:&lt;math&gt;R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}&lt;/math&gt;

;suku dan rasio baru
*&lt;math&gt;n_b = n + (n-1)x&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;r_b = \sqrt[x+1]{r}&lt;/math&gt;

; deret takhingga
*&lt;math&gt;S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{ bila } -1&lt;r&lt;1 \text{ (deret konvergen) }&lt;/math&gt; (konvergen: |r|&lt;1)
*&lt;math&gt;S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}&lt;/math&gt; (suku ganjil)
*&lt;math&gt;S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}&lt;/math&gt; (suku genap)
*&lt;math&gt;S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}&lt;/math&gt;

; barisan dan deret bertingkat
;cara 1

;cara 2
*&lt;math&gt;a_n = a^{n^2} + b^n + c&lt;/math&gt; (tingkat 2)
*&lt;math&gt;a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d&lt;/math&gt; (tingkat 3)

== Tambahan ==
*Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: &lt;math&gt;a_n = a r^{n-1}&lt;/math&gt; dimana &lt;math&gt;n-1 = \frac{\Delta t}{t}&lt;/math&gt;.
*Rumus panjang lintasan: &lt;math&gt;PL = 2S_\infty-a&lt;/math&gt;.
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 S_{turun} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 S_{naik} &amp;= \frac{ar}{1-r} \\
 
 S_{total} &amp;= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\
 &amp;= \frac{a+ar}{1-r} \\
 &amp;= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\
 &amp;= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\
 &amp;= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\
 &amp;= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\
 &amp;= 2S_\infty-a \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

contoh soal
# Tentukan jumlah deret tak terhingga sebagai berikut:
: &lt;math&gt;\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+ \dots&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots&lt;/math&gt;
: 1-2+3-4+…+99

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
*
\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+ \dots \\
a=\frac{1}{2}, r=\frac{1}{2} \\
S_\infty &amp;= \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} \\
 &amp;= \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \\
 &amp;= 1 \\

*
\text{cara 1} \\
\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots \\
\text{misalkan } \frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots = x \\
\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots &amp;= x \\
\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+\frac{4}{32}+\frac{5}{64}+ \dots &amp;= \frac{1}{2}x \\
\text{kurangkan } x \text{ dengan } \frac{1}{2}x \\
\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+ \dots &amp;= \frac{1}{2}x \\

a=\frac{1}{2}, r=\frac{1}{2} \\
S_\infty &amp;= \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} \\
 &amp;= \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \\
 &amp;= 1 \\

1 &amp;= \frac{1}{2}x \\
x &amp;= 2 \\

\text{cara 2} \\
\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots \\
\text{misalkan } \frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots = x \\
\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots &amp;= x \\
1+1+\frac{3}{4}+\frac{4}{8}+\frac{5}{16}+ \dots &amp;= 2x \\
\text{kurangkan } 2x \text{ dengan } x \\
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+ \dots &amp;= x \\

a=1, r=\frac{1}{2} \\
S_\infty &amp;= \frac{1}{1-\frac{1}{2}} \\
 &amp;= \frac{1}{\frac{1}{2}} \\
 &amp;= 2 \\

x &amp;= 2 \\

*
\text{cara 1} \\
\frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots \\
\text{misalkan } \frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots = x \\
\frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots &amp;= x \\
\frac{1}{5^2}+\frac{4}{5^3}+\frac{7}{5^4}+\frac{10}{5^5}+\frac{13}{5^6}+ \dots &amp;= \frac{1}{5}x \\
\text{kurangkan } x \text{ dengan } \frac{1}{5}x \\
\frac{1}{5}+\frac{3}{5^2}+\frac{3}{5^3}+\frac{3}{5^4}+\frac{3}{5^5}+ \dots &amp;= \frac{4}{5}x \\
\frac{1}{5}+3(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{5^4}+\frac{1}{5^5}+ \dots) &amp;= \frac{4}{5}x \\

a=\frac{1}{5^2}, r=\frac{1}{5} \\
S_\infty &amp;= \frac{\frac{1}{5^2}}{1-\frac{1}{5}} \\
 &amp;= \frac{\frac{1}{5^2}}{\frac{4}{5}} \\
 &amp;= \frac{1}{20} \\

\frac{1}{5}+3(\frac{1}{20}) &amp;= \frac{4}{5}x \\
\frac{7}{20} &amp;= \frac{4}{5}x \\
\frac{7}{4} &amp;= 4x \\
x &amp;= \frac{7}{16} \\

\text{cara 2} \\
\frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots \\
\text{misalkan } \frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots = x \\
\frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots &amp;= x \\
1+\frac{4}{5}+\frac{7}{5^2}+\frac{10}{5^3}+\frac{13}{5^4}+ \dots &amp;= 5x \\
\text{kurangkan } 5x \text{ dengan } x \\
1+\frac{3}{5}+\frac{3}{5^2}+\frac{3}{5^3}+\frac{3}{5^4}+ \dots &amp;= 4x \\
1+3(\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{5^4}+ \dots) &amp;= 4x \\

a=\frac{1}{5}, r=\frac{1}{5} \\
S_\infty &amp;= \frac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}} \\
 &amp;= \frac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{5}} \\
 &amp;= \frac{1}{4} \\

1+3(\frac{1}{4}) &amp;= 4x \\
x &amp;= \frac{7}{16} \\

*
1-2+3-4+5-\dots-100 &amp;= 1+3+5+\dots+99-(2+4+6+8+\dots+98) \\
\text{untuk } 1+3+5+\dots+99 \\
99 &amp;= 1+(n-1)2 \\
98 &amp;= 2(n-1) \\
49 &amp;= n-1 \\
n &amp;= 50 \\

S_{50} &amp;= \frac{50}{2}(1+99) \\
&amp;= 25 \times 100 \\
&amp;= 2.500 \\

\text{untuk } 2+4+6+8+\dots+98 \\
98 &amp;= 2+(n-1)2 \\
96 &amp;= 2(n-1) \\
48 &amp;= n-1 \\
n &amp;= 49 \\

S_{49} &amp;= \frac{49}{2}(2+98) \\
&amp;= \frac{49}{2} \times 100 \\
&amp;= 2.450 \\

1-2+3-4+5-\dots-100 &amp;= 2.500-2.450 \\
&amp;= 50 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui deret geometri tak hingga &lt;math&gt;U_1+U_2+U_3+ \dots&lt;/math&gt; jika rasio deret adalah r;-1&lt;r&lt;1, &lt;math&gt;U_1+U_2+U_3+ \dots = 5&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;U_3+U_4+U_5+ \cdot = \frac{1}{5}&lt;/math&gt;. Tentukan nilai r!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
U_1+U_2+U_3+ \dots &amp;= 5 \\
S_\infty &amp;= 5 \\
\frac{a}{1-r} &amp;= 5 \\
a &amp;= 5(1-r) \\

U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+ \dots &amp;= 5 \\
U_1+U_2+(U_3+U_4+U_5+ \dots) &amp;= 5 \\
a+ar+\frac{1}{5} &amp;= 5 \\
a(1+r) &amp;= 5-\frac{1}{5} \\
5(1-r)(1+r) &amp;= \frac{24}{5} \\
1-r^2 &amp;= \frac{24}{25} \\
r^2 &amp;= \frac{1}{25} \\
r^2 &amp;= (\frac{1}{5})^2 \\
r^2-(\frac{1}{5})^2 &amp;= 0 \\
(r+\frac{1}{5})(r-\frac{1}{5}) &amp;= 0 \\
r=-\frac{1}{5} &amp;\text{ atau } r=\frac{1}{5} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai x agar deret geometri tak hingga bersifat konvergen sebagai berikut:
*&lt;math&gt;\frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dots&lt;/math&gt;
*rasionya &lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;log (2x-1)
*jika jumlah deret tak hingga adalah 10 serta suku pertama adalah x

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{ketiga soal mempunyai syarat konvergen adalah } -1&lt;r&lt;1 (|r|&lt;1) \\

*
\frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dots \\
r &amp;= \frac{1}{x-1} \\
-1&lt;r&lt;1 \\
-1&lt;\frac{1}{x-1}&lt;1 \\

\frac{1}{x-1}&amp;&gt;-1 \\
\frac{x}{x-1}&amp;&gt;0 \\
\text{harga nol pembilang } \\
x&amp;=0 \\
\text{harga nol penyebut } \\
x-1&amp;=0 \\
x&amp;=1 \\
\text{jadi } x &lt; 0 \text{ atau } x &gt; 1 \\

\frac{1}{x-1}&amp;&lt;1 \\
\frac{2-x}{x-1}&amp;&lt;0 \\
\text{harga nol pembilang } \\
2-x&amp;=0 \\
x&amp;=2 \\
\text{harga nol penyebut } \\
x-1&amp;=0 \\
x&amp;=1 \\
\text{jadi } x &lt; 1 \text{ atau } x &gt; 2 \\
\text{kedua tergabung menjadi irisan  yaitu } x&lt;0 \text{ atau } x&gt;2 \\

*
-1&lt;^3 log (2x-1)&lt;1 \\
^3 log 3^{-1}&lt;^3 log (2x-1)&lt;^3 log 3 \\
3^{-1}&lt;2x-1&lt;3 \\
\frac{1}{3}&lt;2x-1&lt;3 \\
\frac{4}{3}&lt;2x&lt;4 \\
\frac{2}{3}&lt;x&lt;2 \\

*
a=x \text{ dan } S_\infty = 10 \\
S_\infty &amp;= 10 \\
\frac{x}{1-r} &amp;= 10 \\
1-r &amp;= \frac{x}{10} \\
r &amp;= \frac{10-x}{10} \\

-1&lt;r&lt;1 \\
-1&lt;\frac{10-x}{10}&lt;1 \\
-10&lt;10-x&lt;10 \\
-20&lt;-x&lt;0 \\

\text{langsung } \\
-20&lt;-x&lt;0 \\
20&gt;x&gt;0 \\
0&lt;x&lt;20 \\

\text{tidak langsung } \\
-20&lt;-x \\
20&gt;x \\
x&lt;20 \\

-x&lt;0 \\
x&gt;0 \\
\text{jadi } 0&lt;x&lt;20 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
n &amp;= 5 \\
a &amp;= 81 \\
U_n &amp;= U_5 = 256 \\
r &amp;= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\
 &amp;= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\
 &amp;= \frac{4}{3} \\

S_5 &amp;= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\
 &amp;= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\
 &amp;= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\
 &amp;= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\
 &amp;= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\
 &amp;= 4^5-1 \\
 &amp;= 1.023 \\

\text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a &amp;= 40 \\
r &amp;= \frac{1}{2} \\
\text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\

*\text{cara 1} \\
U_5 &amp;= ar^{5-1} \\
 &amp;= 40(\frac{1}{2})^4 \\
 &amp;= 40(\frac{1}{16}) \\
 &amp;= \frac{5}{2} \\
 &amp;= 2,5 \\

\text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\

*\text{cara 2} \\
\text{awal = } U_1 &amp;= 40 \\
\text{p1 = } U_2 &amp;= 20 \\
\text{p2 = } U_3 &amp;= 10 \\
\text{p3 = } U_4 &amp;= 5 \\
\text{p4 = } U_5 &amp;= 2,5 \\

\text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a &amp;= 15 \\
r &amp;= \frac{2}{3} \\
PL &amp;= 2S_\infty-a \\
 &amp;= 2(\frac{a}{1-r})-a \\
 &amp;= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\
 &amp;= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\
 &amp;= 90-15 \\
 &amp;= 75 \\

\text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti? 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{pantulan awal } &amp;= 15 \\
\text{pantulan kesatu } &amp;= 10 \\
\text{pantulan kedua } &amp;= \frac{20}{3} \\
\text{pantulan ketiga } &amp;= \frac{40}{9} \\
a &amp;= \frac{40}{9} \\
r &amp;= \frac{2}{3} \\
PL &amp;= 2S_\infty \\
 &amp;= 2\frac{a}{1-r} \\
 &amp;= 2(\frac{\frac{40}{9}}{1-\frac{2}{3}}) \\
 &amp;= 2(\frac{\frac{40}{9}}{\frac{1}{3}}) \\
 &amp;= \frac{80}{3} \\
 
\text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah } \frac{80}{3} m \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Populasi kelinci berlipat tiga di sebuah pulau. jumlah populasi kelinci pada tahun semula 6 ekor maka berapa jumlah populasi kelinci dalam 4 tahun?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a &amp;= 6 \\
r &amp;= 3 \\
n-1 &amp;= 4 \\

\text{cara 1 } \\
u_n &amp;= ar^{n-1} \\
 &amp;= 6(3)^4 \\
 &amp;= 6(81) \\
 &amp;= 486 \\

\text{cara 2 } \\
n-1 &amp;= 4 \\
n &amp;= 5 \\

\text{jadi } \\
\text{0 } &amp;= U_1 = 6 \\
\text{1 } &amp;= U_2 = 18 \\
\text{2 } &amp;= U_3 = 54 \\
\text{3 } &amp;= U_4 = 162 \\
\text{4 } &amp;= U_5 = 486 \\

\text{jadi jumlah populasi kelinci dalam 4 tahun adalah 486 ekor } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Suatu jenis hewan langka mengalami penurunan jumlah populasi 1/3 dari jumlah tahun sebelumnya. Pada tahun 2021 diperkirakan jumlah hewan langka di suatu provinsi 729 ekor, berapakah perkiraan jumlah hewan itu pada tahun 2025? 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a &amp;= 729 \\
r &amp;= \frac{1}{3} \\
n-1 &amp;= 4 \\

\text{cara 1 } \\
u_n &amp;= ar^{n-1} \\
 &amp;= 729(\frac{1}{3})^4 \\
 &amp;= \frac{729}{81} \\
 &amp;= 9 \\

\text{cara 2 } \\
n-1 &amp;= 4 \\
n &amp;= 5 \\

\text{jadi } \\
\text{2021 } &amp;= U_1 = 729 \\
\text{2022 } &amp;= U_2 = 243 \\
\text{2023 } &amp;= U_3 = 81 \\
\text{2024 } &amp;= U_4 = 27 \\
\text{2025 } &amp;= U_5 = 9 \\

\text{jadi perkiraan jumlah hewan itu pada tahun 2025 adalah 9 ekor } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sebuah motor dibeli dengan harga Rp 60.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi 3/4 dari tahun sebelumnya. berapa nilai jual dipakai 3 tahun?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a &amp;= 60.000.000 \\
r &amp;= \frac{3}{4} \\
n-1 &amp;= 3 \\

\text{cara 1 } \\
u_n &amp;= ar^{n-1} \\
 &amp;= 60.000.000(\frac{3}{4})^3 \\
 &amp;= \frac{720}{64} \\
 &amp;= 25.312.500 \\

\text{cara 2 } \\
n-1 &amp;= 3 \\
n &amp;= 4 \\

\text{jadi } \\
\text{0 } &amp;= U_1 = 60.000.000 \\
\text{1 } &amp;= U_2 = 45.000.000 \\
\text{2 } &amp;= U_3 = 33.750.000 \\
\text{3 } &amp;= U_4 = 25.312.500 \\

\text{jadi nilai jual pada tahun 2025 adalah Rp. 25.312.500,00 } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a &amp;= 30 \\
r &amp;= 2 \\
n-1 &amp;= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\
 &amp;= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\
 &amp;= 8 \text{ (kali) } \\

\text{cara 1 } \\
u_n &amp;= ar^{n-1} \\
 &amp;= 30(2)^8 \\
 &amp;= 30(256) \\
 &amp;= 7.680 \\

\text{cara 2 } \\
n-1 &amp;= 8 \\
n &amp;= 9 \\

\text{jadi } \\
\text{awal } &amp;= U_1 = 30 \\
\text{15 mnt } &amp;= U_2 = 60 \\
\text{30 mnt } &amp;= U_3 = 120 \\
\text{45 mnt } &amp;= U_4 = 240 \\
\text{60 mnt } &amp;= U_5 = 480 \\
\text{75 mnt } &amp;= U_6 = 960 \\
\text{90 mnt } &amp;= U_7 = 1.920 \\
\text{105 mnt } &amp;= U_8 = 3.840 \\
\text{120 mnt } &amp;= U_9 = 7.680 \\

\text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 1/2 jam. Pada 2 jam akan mengalami 1/4 dari jumlah bakteri mati. Jika mula-mula 4 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 3 jam?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a &amp;= 30 \\
r &amp;= 2 \\
n-1 &amp;= \frac{2 \text{ jam }}{30 \text{ menit }} \\
 &amp;= \frac{120 \text{ menit }}{30 \text{ menit }} \\
 &amp;= 4 \text{ (kali) } \\

\text{cara 1 } \\
u_n &amp;= ar^{n-1} \\
 &amp;= 4(2)^4 \\
 &amp;= 4(16) \\
 &amp;= 64 \\

\text{ karena setiap dua jam akan mati jika 1/4 dari jumlah bakteri itu maka } \\
u_4 &amp;= 64-\frac{1}{4} \cdot 64 = 48 \\

\text{anggapan 120 menit sebagai mula-mula maka 180 menit adalah 60 menit } \\
u_6 &amp;= 48(2)^2 = 192 \\

\text{cara 2 } \\

\text{awal } &amp;= U_1 = 4 \\
\text{30 mnt } &amp;= U_2 = 8 \\
\text{60 mnt } &amp;= U_3 = 16 \\
\text{90 mnt } &amp;= U_4 = 32 \\
\text{120 mnt (dianggap awal)} &amp;= U_5 = 64 - \frac{1}{4} \cdot 64 = 48 \\
\text{150 mnt (30 menit)} &amp;= U_6 = 96 \\
\text{180 mnt (60 menit)} &amp;= U_7 = 192 \\

\text{jadi jumlah bakteri selama 3 jam adalah 192 } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a &amp;= 1.600 \\
r &amp;= \frac{1}{2} \\
n-1 &amp;= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\
 &amp;= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\
 &amp;= 3 \text{ (kali) } \\

\text{cara 1 } \\
u_n &amp;= ar^{n-1} \\
 &amp;= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\
 &amp;= 1.600(\frac{1}{8}) \\
 &amp;= 200 \\

\text{cara 2 } \\
n-1 &amp;= 3 \\
n &amp;= 4 \\

\text{jadi } \\
\text{awal } &amp;= U_1 = 1.600 \\
\text{3 jam } &amp;= U_2 = 800 \\
\text{6 jam } &amp;= U_3 = 400 \\
\text{9 jam } &amp;= U_4 = 200 \\

\text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>amadkevgaz0xuptw74jrbu3krr2geu5</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Tinjauan Pendidikan Kewarganegaraan di Daerah Aliran Sungai (DAS) Indragiri/Rumbai Jaya Tempuling</title>
    <ns>0</ns>
    <id>27084</id>
    <revision>
      <id>117276</id>
      <parentid>114515</parentid>
      <timestamp>2026-06-30T11:46:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lalanayla</username>
        <id>42727</id>
      </contributor>
      <comment>/* */</comment>
      <origin>117276</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2933" sha1="h0ig56pt2a2kiehf8dah47doxkkhgdn" xml:space="preserve">'''Rumbai Jaya'''  adalah salah satu desa yang terdapat pada Kecamatan Tempuling di Kabupaten Indragiri Hilir, Provinsi Riau.
[[Kategori:Pendidikan Kewarganegaraan]]
[[Kategori:Kebudayaan Melayu indragiri]] 
Salah satu peristiwa yang pernah terjadi di Desa Rumbai Jaya, Kecamatan Tempuling, Kabupaten Indragiri Hilir adalah pembangunan dan perbaikan jalan rusak penghubung daerah sekitar Rumbai Jaya yang sangat penting bagi masyarakat. Desa ini berada di jalur strategis yang dilalui jalan lintas kabupaten dan provinsi sehingga akses transportasi sangat berpengaruh terhadap kehidupan masyarakat. 
Peristiwa tersebut terjadi sekitar tahun 2024 ketika pemerintah melakukan pembangunan dan perbaikan jalan yang menghubungkan wilayah Rengat, Kuala Cinaku, hingga daerah sekitar Rumbai Jaya. Sebelumnya kondisi jalan sempat rusak dan sulit dilalui sehingga menghambat aktivitas masyarakat, terutama dalam membawa hasil pertanian dan perkebunan ke pasar. 
Kronologi kejadian bermula dari kondisi jalan yang rusak dan amblas sehingga pemerintah daerah melakukan pembangunan dan perbaikan jalan. Selama proses pengerjaan, arus lalu lintas sempat dialihkan ke jalan desa agar pekerjaan bisa berjalan dengan baik. Setelah pembangunan hampir selesai, masyarakat sangat terbantu karena transportasi menjadi lebih lancar dan kegiatan ekonomi menjadi lebih mudah. 
Pada saat itu masyarakat merasa sangat terbantu karena akses jalan yang lebih baik memudahkan mereka pergi ke kota, membawa hasil perkebunan, serta menjalankan aktivitas sehari-hari. Sebagian besar penduduk desa memang bekerja di bidang pertanian dan perkebunan sehingga akses jalan sangat penting bagi kehidupan mereka.
Peristiwa pembangunan jalan tersebut masih diketahui oleh generasi sekarang karena menjadi perubahan besar bagi desa. Banyak masyarakat yang masih mengingat bagaimana kondisi jalan sebelumnya dan bagaimana pembangunan tersebut membawa dampak positif bagi kehidupan masyarakat Desa Rumbai Jaya.

Peristiwa: Kebakaran Lahan di Desa Rumbai Jaya
Pada musim kemarau pernah terjadi kebakaran lahan di Desa Rumbai Jaya, Kecamatan Tempuling. Kebakaran dipicu oleh kondisi lahan yang kering sehingga api cepat menyebar. Peristiwa ini menyebabkan kabut asap, mengganggu aktivitas masyarakat, serta merusak sebagian lahan perkebunan. Warga bersama aparat desa, Manggala Agni, dan pihak terkait berupaya memadamkan api agar tidak meluas.
Saat kejadian, masyarakat merasa khawatir karena asap mengganggu kesehatan dan jarak pandang. Setelah kebakaran berhasil dipadamkan, pemerintah desa mengimbau masyarakat agar tidak membuka lahan dengan cara membakar untuk mencegah kejadian serupa.
Apakah generasi sekarang mengetahui peristiwa tersebut?
Sebagian masyarakat, terutama warga yang tinggal di Desa Rumbai Jaya sejak lama, masih mengingat peristiwa tersebut. Namun, banyak generasi muda hanya mengetahui secara umum dari cerita orang tua atau berita yang pernah beredar.</text>
      <sha1>h0ig56pt2a2kiehf8dah47doxkkhgdn</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Tinjauan Pendidikan Kewarganegaraan di Daerah Aliran Sungai (DAS) Indragiri/Tanah Datar Rengat Barat</title>
    <ns>0</ns>
    <id>27098</id>
    <revision>
      <id>117273</id>
      <parentid>114485</parentid>
      <timestamp>2026-06-30T11:33:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ghea fahmawati</username>
        <id>42717</id>
      </contributor>
      <comment>/* */</comment>
      <origin>117273</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1393" sha1="ifm44isjhcf0shrlsauph6g7r9imlkr" xml:space="preserve">'''Tanah Datar''' adalah sebuah desa yang terdapat pada Kecamatan Rengat Barat, Kabupaten Indragiri Hulu, Provinsi Riau.

Peristiwa Wabah Chikungunya di Desa Tanah Datar

Salah satu peristiwa yang pernah dialami masyarakat Desa Tanah Datar, Kecamatan Rengat Barat, Kabupaten Indragiri Hulu, adalah wabah penyakit chikungunya pada tahun 2008. Pada saat itu, banyak warga terserang penyakit yang ditandai dengan demam tinggi, nyeri sendi, sakit kepala, dan tubuh terasa lemas. Penyakit ini menyebar melalui gigitan nyamuk sehingga jumlah penderita meningkat dalam waktu yang relatif singkat.

Akibat wabah tersebut, aktivitas masyarakat sempat terganggu. Banyak warga tidak dapat bekerja atau bersekolah karena harus beristirahat dan menjalani pengobatan. Untuk mengatasi penyebaran penyakit, masyarakat bersama petugas kesehatan melakukan kerja bakti membersihkan lingkungan, menguras tempat penampungan air, menutup tempat yang dapat menjadi sarang nyamuk, serta melakukan pengasapan (fogging) di beberapa wilayah. Kesadaran masyarakat untuk menjaga kebersihan lingkungan juga semakin meningkat.

Saat ini, peristiwa tersebut masih diingat oleh sebagian warga yang mengalaminya secara langsung. Namun, banyak generasi muda hanya mengetahui kejadian itu dari cerita orang tua, keluarga, atau tokoh masyarakat, sehingga tidak semua memahami bagaimana kondisi desa saat wabah chikungunya terjadi.</text>
      <sha1>ifm44isjhcf0shrlsauph6g7r9imlkr</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117274</id>
      <parentid>117273</parentid>
      <timestamp>2026-06-30T11:40:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ghea fahmawati</username>
        <id>42717</id>
      </contributor>
      <comment>/* */</comment>
      <origin>117274</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2292" sha1="jd4nte7glgymn8natmpwlqd6gtd9n3f" xml:space="preserve">'''Tanah Datar''' adalah sebuah desa yang terdapat pada Kecamatan Rengat Barat, Kabupaten Indragiri Hulu, Provinsi Riau.

Peristiwa Wabah Chikungunya di Desa Tanah Datar

Salah satu peristiwa yang pernah dialami masyarakat Desa Tanah Datar, Kecamatan Rengat Barat, Kabupaten Indragiri Hulu, adalah wabah penyakit chikungunya pada tahun 2008. Pada saat itu, banyak warga terserang penyakit yang ditandai dengan demam tinggi, nyeri sendi, sakit kepala, dan tubuh terasa lemas. Penyakit ini menyebar melalui gigitan nyamuk sehingga jumlah penderita meningkat dalam waktu yang relatif singkat.

Akibat wabah tersebut, aktivitas masyarakat sempat terganggu. Banyak warga tidak dapat bekerja atau bersekolah karena harus beristirahat dan menjalani pengobatan. Untuk mengatasi penyebaran penyakit, masyarakat bersama petugas kesehatan melakukan kerja bakti membersihkan lingkungan, menguras tempat penampungan air, menutup tempat yang dapat menjadi sarang nyamuk, serta melakukan pengasapan (fogging) di beberapa wilayah. Kesadaran masyarakat untuk menjaga kebersihan lingkungan juga semakin meningkat.

Saat ini, peristiwa tersebut masih diingat oleh sebagian warga yang mengalaminya secara langsung. Namun, banyak generasi muda hanya mengetahui kejadian itu dari cerita orang tua, keluarga, atau tokoh masyarakat, sehingga tidak semua memahami bagaimana kondisi desa saat wabah chikungunya terjadi.

HAM DAN DEMOKRASI 

Pelaksanaan demokrasi di Desa Tanah Datar, Kecamatan Rengat Barat, Kabupaten Indragiri Hulu, telah berjalan dengan baik. Masyarakat berpartisipasi dalam Pemilihan Umum (Pemilu) dan pemilihan kepala desa dengan menggunakan hak pilihnya secara langsung, umum, bebas, rahasia, jujur, dan adil. Proses pemungutan suara berlangsung tertib dan aman di Tempat Pemungutan Suara (TPS) dengan pengawasan dari panitia penyelenggara. Selain memilih pemimpin, masyarakat juga ikut menjaga ketertiban selama pelaksanaan pemilihan. Tingginya partisipasi warga menunjukkan adanya kesadaran akan pentingnya demokrasi dalam menentukan pemimpin yang dapat memajukan desa dan meningkatkan kesejahteraan masyarakat.
Salah satu bentuk pelaksanaan demokrasi di Desa Tanah Datar adalah pelaksanaan Pemilu tahun 2024 yang berlangsung dengan aman, tertib, dan mendapat partisipasi aktif dari masyarakat.</text>
      <sha1>jd4nte7glgymn8natmpwlqd6gtd9n3f</sha1>
    </revision>
  </page>
</mediawiki>