Soal-Soal Matematika/Barisan dan deret aritmatika

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11.xsd" version="0.11" xml:lang="id">
  <siteinfo>
    <sitename>Wikibuku</sitename>
    <dbname>idwikibooks</dbname>
    <base>https://id.wikibooks.org/wiki/Halaman_Utama</base>
    <generator>MediaWiki 1.48.0-wmf.4</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">Media</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">Istimewa</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">Pembicaraan</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">Pengguna</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">Pembicaraan Pengguna</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">Wikibuku</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">Pembicaraan Wikibuku</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">Berkas</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">Pembicaraan Berkas</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">MediaWiki</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">Pembicaraan MediaWiki</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">Templat</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">Pembicaraan Templat</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">Bantuan</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">Pembicaraan Bantuan</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">Kategori</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">Pembicaraan Kategori</namespace>
      <namespace key="100" case="first-letter">Resep</namespace>
      <namespace key="101" case="first-letter">Pembicaraan Resep</namespace>
      <namespace key="102" case="first-letter">Wisata</namespace>
      <namespace key="103" case="first-letter">Pembicaraan Wisata</namespace>
      <namespace key="710" case="first-letter">TimedText</namespace>
      <namespace key="711" case="first-letter">TimedText talk</namespace>
      <namespace key="828" case="first-letter">Modul</namespace>
      <namespace key="829" case="first-letter">Pembicaraan Modul</namespace>
      <namespace key="1728" case="first-letter">Acara</namespace>
      <namespace key="1729" case="first-letter">Pembicaraan Acara</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Barisan dan deret aritmatika</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23117</id>
    <revision>
      <id>122506</id>
      <parentid>121660</parentid>
      <timestamp>2026-11-11T23:17:08Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rumus istimewa */</comment>
      <origin>122506</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8126" sha1="65vg4mla5jjj66jkx45mbnflnx0no3v" xml:space="preserve">== Rumus barisan dan deret aritmatika ==
&lt;math&gt;
\begin{align}
U_n &amp;= a + (n - 1)b \\
S_n &amp;= \frac{n (2a + (n-1)b}{2} \\
b &amp;= U_n - U_{n-1} \\
U_n &amp;= S_n - S_{n-1} \\
U_t &amp;= \frac{U_1 + U_n}{2} \\
b &amp;= \frac{U_n - U_k}{n - k} \\
\text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
 
keterangan:
: a/U&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;: suku pertama
: n: banyaknya suku ke-n
: b: beda suku
: Ut: suku tengah
: Un: suku ke-n
: Sn: jumlah suku ke-n

; rataan
:&lt;math&gt;R = \frac{a_1+a_2+a_3+ \dots + a_n}{n}&lt;/math&gt;

; suku dan beda baru
:&lt;math&gt;n_b = n + (n-1)x&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;b_b = \frac{b}{x+1}&lt;/math&gt;

: rasio kedua suku barisan dan deret
: dari barisan (Un) ke deret (Sn):&lt;math&gt;\frac{n+1}{2}&lt;/math&gt;
: dari deret (Sn) ke barisan (Un):2n-1

; barisan dan deret bertingkat
;cara 1
&lt;math&gt;
\begin{align}
U_n &amp;= a + \frac{(n - 1)b}{1!} + \frac{(n - 1)(n-2)c}{2!} + \dots \\
S_n &amp;= \frac{an}{1!} + \frac{n(n-1)b}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)c}{3!} + \dots \\
\end{align}
&lt;/math&gt;

;cara 2
*&lt;math&gt;a_n = an^2 + bn + c&lt;/math&gt; (tingkat 2)
*&lt;math&gt;a_n = an^3 + bn^2 + cn + d&lt;/math&gt; (tingkat 3)

== Rumus istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan !! Suku ke n !! Jumlah suku ke n
|-
| Bilangan asli || 1 + 2 + 3 + 4 + …. + (n-1) + n || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)}{2}&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan asli persegi panjang || &lt;math&gt;1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + \dots + n(n+1)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan asli segitiga || &lt;math&gt;1 + 3 + 6 + 10 + \dots + \frac{n(n+1)}{2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan asli balok || &lt;math&gt;1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + 4 \cdot 5 \cdot 6 + \dots + n(n+1)(n+2)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}&lt;/math&gt;
|-
| Kuadrat bilangan asli || &lt;math&gt;1 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dots + (n-1)^2 + n^2&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}&lt;/math&gt;
|-
| Kubik bilangan asli || &lt;math&gt;1 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + \dots + (n-1)^3 + n^3&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = (\frac{n(n+1)}{2})^2&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan ganjil || 1 + 3 + 5 + 7 + …. + 2n + (2n-1) || &lt;math&gt;S_n = n^2&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan genap || 2 + 4 + 6 + 8 +  … + 2n-2 + 2n || &lt;math&gt;S_n = n(n+1)&lt;/math&gt;
|}

* &lt;math&gt;\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^n} = 1-\frac{1}{2^n}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} = \frac{4}{5}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}&lt;/math&gt; (deret teleskop)
* &lt;math&gt;\frac{1}{6 \times 10} + \frac{1}{10 \times 14} + \frac{1}{14 \times 18} + \frac{1}{18 \times 22} = \frac{1}{6 \times (6+4)} + \frac{1}{10 \times (10+4)} + \frac{1}{14 \times (14+4)} + \frac{1}{18 \times (18+4)} = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{6+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{10} - \frac{1}{10+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{14} - \frac{1}{14+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{18} - \frac{1}{18+4}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{10} + \frac{1}{10} - \frac{1}{14} + \frac{1}{14} - \frac{1}{18} + \frac{1}{18} - \frac{1}{22}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{22}) = \frac{1}{33}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{n \times (n+k)} = \frac{1}{k}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k})&lt;/math&gt; (deret teleskop)
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{(n-1) \times n} = \frac{n-1}{n}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{2+1}{1 \times 2} - \frac{3+2}{2 \times 3} + \frac{4+3}{3 \times 4} - \frac{5+4}{4 \times 5} = (1 + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) - (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{2+1}{1 \times 2} - \frac{3+2}{2 \times 3} + \frac{4+3}{3 \times 4} - \frac{5+4}{4 \times 5} + \frac{6+5}{5 \times 6} = \frac{7}{6}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{(n+1)+n}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}&lt;/math&gt; (deret teleskop)
* &lt;math&gt;1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \frac{1}{1+2+3+4} + \dots + \frac{1}{1+2+3+4+ \dots } = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \dots + \frac{1}{10+ \dots } = \frac{2}{2} + \frac{2}{6} + \frac{2}{12} + \frac{2}{20} + \dots + \frac{2}{n \cdot (n+1)} = \frac{2}{1 \cdot 2} + \frac{2}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 4} + \frac{2}{4 \cdot 5} + \dots + \frac{2}{n \cdot (n+1)} = 2(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n \cdot (n+1)}) = 2(1 - \frac{1}{n+1})&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{6}{1 \times 4 \times 7} + \frac{6}{4 \times 7 \times 10} + \frac{6}{7 \times 10 \times 13} + \dots + \frac{6}{94 \times 97 \times 100} = \frac{1}{1 \times 4} - \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{4 \times 7} - \frac{1}{7 \times 10} + \frac{1}{7 \times 10} - \frac{1}{10 \times 13} + \dots + \frac{1}{94 \times 97} - \frac{1}{97 \times 100} = \frac{1}{1 \times 4} - \frac{1}{97 \times 100} = \frac{1}{4} - \frac{1}{9700} = \frac{2425-1}{9700} = \frac{2424}{9700} = \frac{606}{2425}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{c-a}{a \times b \times c} = \frac{1}{a \times b} - \frac{1}{b \times c}&lt;/math&gt; (a, b dan c adalah bilangan yang berurutan dengan selisih tetap pada tingkat pertama)
* n x n! = (n+1)! - n!
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} = (1 - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} - \frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{5}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} - \dots - \frac{1}{(n-1) \times n} = \frac{1}{n}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} = \sqrt{5} - 1&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{6}} = \sqrt{6} - 1&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n-1} + \sqrt{n}} = \sqrt{n} - 1&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;a \frac{b}{c} + aa \frac{b}{c} + aaa \frac{b}{c} + \dots + \text{ (banyaknya n kali pada a) } \frac{b}{c} = 1234 \dots \text{ (sesuai n kali)} \times a + \frac{b}{c} \times n&lt;/math&gt;
* 1 + 11 + 111 = 123 x 1 = 123
* 2 + 22 + 222 = 123 x 2 = 246
* 3 + 33 + 333 = 123 x 3 = 369
* 7&lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt; + 77&lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt; + 777&lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt; = 123 x 7 + &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt; x 3 = 862.5
* 1 + 11 + 111 + 1111 = 1234 x 1 = 1234
* 2 + 22 + 222 + 2222 = 1234 x 2 = 2468
* 3 + 33 + 333 + 3333 = 1234 x 3 = 3702
* 7&lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt; + 77&lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt; + 777&lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt; + 7777&lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt; = 1234 x 7 + &lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt; x 4 = 8641
* &lt;math&gt;a,b + a,bb + a,bbb + \dots + a,bbbbb \dot \text{ (banyaknya n kali pada a serta m kali pada b) } = a \times m + \dots \text{ (sesuai n kali)}4321 \times b&lt;/math&gt; (hasil belakang koma sesuai n kali)
* 0,5 + 0,55 + 0,555 + 0,5555 = 4321 x 5 = 2,1605
* 2,4 + 2,44 + 2,444 + 2,4444 + 2,44444 = 2 x 5 + 54321 x 4 = 10 + 2,17284 = 12,17284
* &lt;math&gt;\frac{1}{4} + \frac{11}{44} + \frac{111}{444} = \frac{1}{4} \times 3 = \frac{3}{4}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{3} + \frac{11}{33} + \frac{111}{333} + \dots + \frac{111.111}{333.333} = \frac{1}{3} \times 6 = 2&lt;/math&gt;

; contoh soal
# Kursi pada gedung bioskop memiliki 10 baris, yang kapasitasnya membentuk barisan aritmatika. baris terdepan 15 kursi dan terbelakang 33 kursi maka berapa kapasitas kursi pada bioskop tersebut?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
n &amp;= 10 \\
a &amp;= 15 \\
U_n &amp;= U_{10} = 33 \\
b &amp;= \frac{33-15}{10-1} \\
 &amp;= \frac{18}{9} \\
 &amp;= 2 \\

S_{10} &amp;= \frac{n}{2}(a+U_n) \\
 &amp;= \frac{10}{2}(15+33) \\
 &amp;= 5(48) \\
 &amp;= 240 \\

\text{jadi kapasitas kursi pada bioskop adalah 240 kursi } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>65vg4mla5jjj66jkx45mbnflnx0no3v</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>122507</id>
      <parentid>122506</parentid>
      <timestamp>2026-11-12T01:08:37Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rumus istimewa */</comment>
      <origin>122507</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8347" sha1="h91d34b2kwm3ul9tn9fxvm2chxnfovf" xml:space="preserve">== Rumus barisan dan deret aritmatika ==
&lt;math&gt;
\begin{align}
U_n &amp;= a + (n - 1)b \\
S_n &amp;= \frac{n (2a + (n-1)b}{2} \\
b &amp;= U_n - U_{n-1} \\
U_n &amp;= S_n - S_{n-1} \\
U_t &amp;= \frac{U_1 + U_n}{2} \\
b &amp;= \frac{U_n - U_k}{n - k} \\
\text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
 
keterangan:
: a/U&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;: suku pertama
: n: banyaknya suku ke-n
: b: beda suku
: Ut: suku tengah
: Un: suku ke-n
: Sn: jumlah suku ke-n

; rataan
:&lt;math&gt;R = \frac{a_1+a_2+a_3+ \dots + a_n}{n}&lt;/math&gt;

; suku dan beda baru
:&lt;math&gt;n_b = n + (n-1)x&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;b_b = \frac{b}{x+1}&lt;/math&gt;

: rasio kedua suku barisan dan deret
: dari barisan (Un) ke deret (Sn):&lt;math&gt;\frac{n+1}{2}&lt;/math&gt;
: dari deret (Sn) ke barisan (Un):2n-1

; barisan dan deret bertingkat
;cara 1
&lt;math&gt;
\begin{align}
U_n &amp;= a + \frac{(n - 1)b}{1!} + \frac{(n - 1)(n-2)c}{2!} + \dots \\
S_n &amp;= \frac{an}{1!} + \frac{n(n-1)b}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)c}{3!} + \dots \\
\end{align}
&lt;/math&gt;

;cara 2
*&lt;math&gt;a_n = an^2 + bn + c&lt;/math&gt; (tingkat 2)
*&lt;math&gt;a_n = an^3 + bn^2 + cn + d&lt;/math&gt; (tingkat 3)

== Rumus istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan !! Suku ke n !! Jumlah suku ke n
|-
| Bilangan asli || 1 + 2 + 3 + 4 + …. + (n-1) + n || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)}{2}&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan asli persegi panjang || &lt;math&gt;1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + \dots + n(n+1)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan asli segitiga || &lt;math&gt;1 + 3 + 6 + 10 + \dots + \frac{n(n+1)}{2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan asli balok || &lt;math&gt;1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + 4 \cdot 5 \cdot 6 + \dots + n(n+1)(n+2)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}&lt;/math&gt;
|-
| Kuadrat bilangan asli || &lt;math&gt;1 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dots + (n-1)^2 + n^2&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}&lt;/math&gt;
|-
| Kubik bilangan asli || &lt;math&gt;1 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + \dots + (n-1)^3 + n^3&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = (\frac{n(n+1)}{2})^2&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan ganjil || 1 + 3 + 5 + 7 + …. + 2n + (2n-1) || &lt;math&gt;S_n = n^2&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan genap || 2 + 4 + 6 + 8 +  … + 2n-2 + 2n || &lt;math&gt;S_n = n(n+1)&lt;/math&gt;
|}

* &lt;math&gt;\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^n} = 1-\frac{1}{2^n}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} = \frac{4}{5}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}&lt;/math&gt; (deret teleskop)
* &lt;math&gt;\frac{1}{6 \times 10} + \frac{1}{10 \times 14} + \frac{1}{14 \times 18} + \frac{1}{18 \times 22} = \frac{1}{6 \times (6+4)} + \frac{1}{10 \times (10+4)} + \frac{1}{14 \times (14+4)} + \frac{1}{18 \times (18+4)} = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{6+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{10} - \frac{1}{10+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{14} - \frac{1}{14+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{18} - \frac{1}{18+4}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{10} + \frac{1}{10} - \frac{1}{14} + \frac{1}{14} - \frac{1}{18} + \frac{1}{18} - \frac{1}{22}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{22}) = \frac{1}{33}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{n \times (n+k)} = \frac{1}{k}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k})&lt;/math&gt; (deret teleskop)
* &lt;math&gt;\frac{2+1}{1 \times 2} - \frac{3+2}{2 \times 3} + \frac{4+3}{3 \times 4} - \frac{5+4}{4 \times 5} = (1 + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) - (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{2+1}{1 \times 2} - \frac{3+2}{2 \times 3} + \frac{4+3}{3 \times 4} - \frac{5+4}{4 \times 5} + \frac{6+5}{5 \times 6} (1 + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) - (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{6}) = 1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} - \dots + \frac{1}{(n-1) \times n} = \frac{n \pm 1}{n}&lt;/math&gt; (deret teleskop) [+:genap ; -:ganjil]
* &lt;math&gt;\frac{(n+1)+n}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n} \pm \frac{1}{n+1}&lt;/math&gt; (deret teleskop) [+:genap ; -:ganjil]
* &lt;math&gt;1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \frac{1}{1+2+3+4} + \dots + \frac{1}{1+2+3+4+ \dots } = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \dots + \frac{1}{10+ \dots } = \frac{2}{2} + \frac{2}{6} + \frac{2}{12} + \frac{2}{20} + \dots + \frac{2}{n \cdot (n+1)} = \frac{2}{1 \cdot 2} + \frac{2}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 4} + \frac{2}{4 \cdot 5} + \dots + \frac{2}{n \cdot (n+1)} = 2(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n \cdot (n+1)}) = 2(1 - \frac{1}{n+1})&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{6}{1 \times 4 \times 7} + \frac{6}{4 \times 7 \times 10} + \frac{6}{7 \times 10 \times 13} + \dots + \frac{6}{94 \times 97 \times 100} = \frac{1}{1 \times 4} - \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{4 \times 7} - \frac{1}{7 \times 10} + \frac{1}{7 \times 10} - \frac{1}{10 \times 13} + \dots + \frac{1}{94 \times 97} - \frac{1}{97 \times 100} = \frac{1}{1 \times 4} - \frac{1}{97 \times 100} = \frac{1}{4} - \frac{1}{9700} = \frac{2425-1}{9700} = \frac{2424}{9700} = \frac{606}{2425}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{c-a}{a \times b \times c} = \frac{1}{a \times b} - \frac{1}{b \times c}&lt;/math&gt; (a, b dan c adalah bilangan yang berurutan dengan selisih tetap pada tingkat pertama)
* n x n! = (n+1)! - n!
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} = (1 - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} - \frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{5}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} - \dots - \frac{1}{(n-1) \times n} = \frac{1}{n}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} = \sqrt{5} - 1&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{6}} = \sqrt{6} - 1&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n-1} + \sqrt{n}} = \sqrt{n} - 1&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;a \frac{b}{c} + aa \frac{b}{c} + aaa \frac{b}{c} + \dots + \text{ (banyaknya n kali pada a) } \frac{b}{c} = 1234 \dots \text{ (sesuai n kali)} \times a + \frac{b}{c} \times n&lt;/math&gt;
* 1 + 11 + 111 = 123 x 1 = 123
* 2 + 22 + 222 = 123 x 2 = 246
* 3 + 33 + 333 = 123 x 3 = 369
* 7&lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt; + 77&lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt; + 777&lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt; = 123 x 7 + &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt; x 3 = 862.5
* 1 + 11 + 111 + 1111 = 1234 x 1 = 1234
* 2 + 22 + 222 + 2222 = 1234 x 2 = 2468
* 3 + 33 + 333 + 3333 = 1234 x 3 = 3702
* 7&lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt; + 77&lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt; + 777&lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt; + 7777&lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt; = 1234 x 7 + &lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt; x 4 = 8641
* &lt;math&gt;a,b + a,bb + a,bbb + \dots + a,bbbbb \dot \text{ (banyaknya n kali pada a serta m kali pada b) } = a \times m + \dots \text{ (sesuai n kali)}4321 \times b&lt;/math&gt; (hasil belakang koma sesuai n kali)
* 0,5 + 0,55 + 0,555 + 0,5555 = 4321 x 5 = 2,1605
* 2,4 + 2,44 + 2,444 + 2,4444 + 2,44444 = 2 x 5 + 54321 x 4 = 10 + 2,17284 = 12,17284
* &lt;math&gt;\frac{1}{4} + \frac{11}{44} + \frac{111}{444} = \frac{1}{4} \times 3 = \frac{3}{4}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{3} + \frac{11}{33} + \frac{111}{333} + \dots + \frac{111.111}{333.333} = \frac{1}{3} \times 6 = 2&lt;/math&gt;

; contoh soal
# Kursi pada gedung bioskop memiliki 10 baris, yang kapasitasnya membentuk barisan aritmatika. baris terdepan 15 kursi dan terbelakang 33 kursi maka berapa kapasitas kursi pada bioskop tersebut?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
n &amp;= 10 \\
a &amp;= 15 \\
U_n &amp;= U_{10} = 33 \\
b &amp;= \frac{33-15}{10-1} \\
 &amp;= \frac{18}{9} \\
 &amp;= 2 \\

S_{10} &amp;= \frac{n}{2}(a+U_n) \\
 &amp;= \frac{10}{2}(15+33) \\
 &amp;= 5(48) \\
 &amp;= 240 \\

\text{jadi kapasitas kursi pada bioskop adalah 240 kursi } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>h91d34b2kwm3ul9tn9fxvm2chxnfovf</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>122508</id>
      <parentid>122507</parentid>
      <timestamp>2026-11-12T01:10:40Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rumus istimewa */</comment>
      <origin>122508</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8349" sha1="9usa6i2plysr9e5v6v0qbqr7n5rkoju" xml:space="preserve">== Rumus barisan dan deret aritmatika ==
&lt;math&gt;
\begin{align}
U_n &amp;= a + (n - 1)b \\
S_n &amp;= \frac{n (2a + (n-1)b}{2} \\
b &amp;= U_n - U_{n-1} \\
U_n &amp;= S_n - S_{n-1} \\
U_t &amp;= \frac{U_1 + U_n}{2} \\
b &amp;= \frac{U_n - U_k}{n - k} \\
\text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
 
keterangan:
: a/U&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;: suku pertama
: n: banyaknya suku ke-n
: b: beda suku
: Ut: suku tengah
: Un: suku ke-n
: Sn: jumlah suku ke-n

; rataan
:&lt;math&gt;R = \frac{a_1+a_2+a_3+ \dots + a_n}{n}&lt;/math&gt;

; suku dan beda baru
:&lt;math&gt;n_b = n + (n-1)x&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;b_b = \frac{b}{x+1}&lt;/math&gt;

: rasio kedua suku barisan dan deret
: dari barisan (Un) ke deret (Sn):&lt;math&gt;\frac{n+1}{2}&lt;/math&gt;
: dari deret (Sn) ke barisan (Un):2n-1

; barisan dan deret bertingkat
;cara 1
&lt;math&gt;
\begin{align}
U_n &amp;= a + \frac{(n - 1)b}{1!} + \frac{(n - 1)(n-2)c}{2!} + \dots \\
S_n &amp;= \frac{an}{1!} + \frac{n(n-1)b}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)c}{3!} + \dots \\
\end{align}
&lt;/math&gt;

;cara 2
*&lt;math&gt;a_n = an^2 + bn + c&lt;/math&gt; (tingkat 2)
*&lt;math&gt;a_n = an^3 + bn^2 + cn + d&lt;/math&gt; (tingkat 3)

== Rumus istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan !! Suku ke n !! Jumlah suku ke n
|-
| Bilangan asli || 1 + 2 + 3 + 4 + …. + (n-1) + n || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)}{2}&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan asli persegi panjang || &lt;math&gt;1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + \dots + n(n+1)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan asli segitiga || &lt;math&gt;1 + 3 + 6 + 10 + \dots + \frac{n(n+1)}{2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan asli balok || &lt;math&gt;1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + 4 \cdot 5 \cdot 6 + \dots + n(n+1)(n+2)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}&lt;/math&gt;
|-
| Kuadrat bilangan asli || &lt;math&gt;1 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dots + (n-1)^2 + n^2&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}&lt;/math&gt;
|-
| Kubik bilangan asli || &lt;math&gt;1 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + \dots + (n-1)^3 + n^3&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = (\frac{n(n+1)}{2})^2&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan ganjil || 1 + 3 + 5 + 7 + …. + 2n + (2n-1) || &lt;math&gt;S_n = n^2&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan genap || 2 + 4 + 6 + 8 +  … + 2n-2 + 2n || &lt;math&gt;S_n = n(n+1)&lt;/math&gt;
|}

* &lt;math&gt;\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^n} = 1-\frac{1}{2^n}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} = \frac{4}{5}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}&lt;/math&gt; (deret teleskop)
* &lt;math&gt;\frac{1}{6 \times 10} + \frac{1}{10 \times 14} + \frac{1}{14 \times 18} + \frac{1}{18 \times 22} = \frac{1}{6 \times (6+4)} + \frac{1}{10 \times (10+4)} + \frac{1}{14 \times (14+4)} + \frac{1}{18 \times (18+4)} = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{6+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{10} - \frac{1}{10+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{14} - \frac{1}{14+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{18} - \frac{1}{18+4}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{10} + \frac{1}{10} - \frac{1}{14} + \frac{1}{14} - \frac{1}{18} + \frac{1}{18} - \frac{1}{22}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{22}) = \frac{1}{33}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{n \times (n+k)} = \frac{1}{k}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k})&lt;/math&gt; (deret teleskop)
* &lt;math&gt;\frac{2+1}{1 \times 2} - \frac{3+2}{2 \times 3} + \frac{4+3}{3 \times 4} - \frac{5+4}{4 \times 5} = (1 + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) - (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{2+1}{1 \times 2} - \frac{3+2}{2 \times 3} + \frac{4+3}{3 \times 4} - \frac{5+4}{4 \times 5} + \frac{6+5}{5 \times 6} = (1 + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) - (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{6}) = 1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} - \dots + \frac{1}{(n-1) \times n} = \frac{n \pm 1}{n}&lt;/math&gt; (deret teleskop) [+:genap ; -:ganjil]
* &lt;math&gt;\frac{(n+1)+n}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n} \pm \frac{1}{n+1}&lt;/math&gt; (deret teleskop) [+:genap ; -:ganjil]
* &lt;math&gt;1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \frac{1}{1+2+3+4} + \dots + \frac{1}{1+2+3+4+ \dots } = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \dots + \frac{1}{10+ \dots } = \frac{2}{2} + \frac{2}{6} + \frac{2}{12} + \frac{2}{20} + \dots + \frac{2}{n \cdot (n+1)} = \frac{2}{1 \cdot 2} + \frac{2}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 4} + \frac{2}{4 \cdot 5} + \dots + \frac{2}{n \cdot (n+1)} = 2(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n \cdot (n+1)}) = 2(1 - \frac{1}{n+1})&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{6}{1 \times 4 \times 7} + \frac{6}{4 \times 7 \times 10} + \frac{6}{7 \times 10 \times 13} + \dots + \frac{6}{94 \times 97 \times 100} = \frac{1}{1 \times 4} - \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{4 \times 7} - \frac{1}{7 \times 10} + \frac{1}{7 \times 10} - \frac{1}{10 \times 13} + \dots + \frac{1}{94 \times 97} - \frac{1}{97 \times 100} = \frac{1}{1 \times 4} - \frac{1}{97 \times 100} = \frac{1}{4} - \frac{1}{9700} = \frac{2425-1}{9700} = \frac{2424}{9700} = \frac{606}{2425}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{c-a}{a \times b \times c} = \frac{1}{a \times b} - \frac{1}{b \times c}&lt;/math&gt; (a, b dan c adalah bilangan yang berurutan dengan selisih tetap pada tingkat pertama)
* n x n! = (n+1)! - n!
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} = (1 - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} - \frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{5}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} - \dots - \frac{1}{(n-1) \times n} = \frac{1}{n}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} = \sqrt{5} - 1&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{6}} = \sqrt{6} - 1&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n-1} + \sqrt{n}} = \sqrt{n} - 1&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;a \frac{b}{c} + aa \frac{b}{c} + aaa \frac{b}{c} + \dots + \text{ (banyaknya n kali pada a) } \frac{b}{c} = 1234 \dots \text{ (sesuai n kali)} \times a + \frac{b}{c} \times n&lt;/math&gt;
* 1 + 11 + 111 = 123 x 1 = 123
* 2 + 22 + 222 = 123 x 2 = 246
* 3 + 33 + 333 = 123 x 3 = 369
* 7&lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt; + 77&lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt; + 777&lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt; = 123 x 7 + &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt; x 3 = 862.5
* 1 + 11 + 111 + 1111 = 1234 x 1 = 1234
* 2 + 22 + 222 + 2222 = 1234 x 2 = 2468
* 3 + 33 + 333 + 3333 = 1234 x 3 = 3702
* 7&lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt; + 77&lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt; + 777&lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt; + 7777&lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt; = 1234 x 7 + &lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt; x 4 = 8641
* &lt;math&gt;a,b + a,bb + a,bbb + \dots + a,bbbbb \dot \text{ (banyaknya n kali pada a serta m kali pada b) } = a \times m + \dots \text{ (sesuai n kali)}4321 \times b&lt;/math&gt; (hasil belakang koma sesuai n kali)
* 0,5 + 0,55 + 0,555 + 0,5555 = 4321 x 5 = 2,1605
* 2,4 + 2,44 + 2,444 + 2,4444 + 2,44444 = 2 x 5 + 54321 x 4 = 10 + 2,17284 = 12,17284
* &lt;math&gt;\frac{1}{4} + \frac{11}{44} + \frac{111}{444} = \frac{1}{4} \times 3 = \frac{3}{4}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{3} + \frac{11}{33} + \frac{111}{333} + \dots + \frac{111.111}{333.333} = \frac{1}{3} \times 6 = 2&lt;/math&gt;

; contoh soal
# Kursi pada gedung bioskop memiliki 10 baris, yang kapasitasnya membentuk barisan aritmatika. baris terdepan 15 kursi dan terbelakang 33 kursi maka berapa kapasitas kursi pada bioskop tersebut?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
n &amp;= 10 \\
a &amp;= 15 \\
U_n &amp;= U_{10} = 33 \\
b &amp;= \frac{33-15}{10-1} \\
 &amp;= \frac{18}{9} \\
 &amp;= 2 \\

S_{10} &amp;= \frac{n}{2}(a+U_n) \\
 &amp;= \frac{10}{2}(15+33) \\
 &amp;= 5(48) \\
 &amp;= 240 \\

\text{jadi kapasitas kursi pada bioskop adalah 240 kursi } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>9usa6i2plysr9e5v6v0qbqr7n5rkoju</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>122509</id>
      <parentid>122508</parentid>
      <timestamp>2026-11-12T01:21:14Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rumus istimewa */</comment>
      <origin>122509</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8324" sha1="7x4zi1ldz0tpnfyuyexvb8eszqcqgna" xml:space="preserve">== Rumus barisan dan deret aritmatika ==
&lt;math&gt;
\begin{align}
U_n &amp;= a + (n - 1)b \\
S_n &amp;= \frac{n (2a + (n-1)b}{2} \\
b &amp;= U_n - U_{n-1} \\
U_n &amp;= S_n - S_{n-1} \\
U_t &amp;= \frac{U_1 + U_n}{2} \\
b &amp;= \frac{U_n - U_k}{n - k} \\
\text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
 
keterangan:
: a/U&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;: suku pertama
: n: banyaknya suku ke-n
: b: beda suku
: Ut: suku tengah
: Un: suku ke-n
: Sn: jumlah suku ke-n

; rataan
:&lt;math&gt;R = \frac{a_1+a_2+a_3+ \dots + a_n}{n}&lt;/math&gt;

; suku dan beda baru
:&lt;math&gt;n_b = n + (n-1)x&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;b_b = \frac{b}{x+1}&lt;/math&gt;

: rasio kedua suku barisan dan deret
: dari barisan (Un) ke deret (Sn):&lt;math&gt;\frac{n+1}{2}&lt;/math&gt;
: dari deret (Sn) ke barisan (Un):2n-1

; barisan dan deret bertingkat
;cara 1
&lt;math&gt;
\begin{align}
U_n &amp;= a + \frac{(n - 1)b}{1!} + \frac{(n - 1)(n-2)c}{2!} + \dots \\
S_n &amp;= \frac{an}{1!} + \frac{n(n-1)b}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)c}{3!} + \dots \\
\end{align}
&lt;/math&gt;

;cara 2
*&lt;math&gt;a_n = an^2 + bn + c&lt;/math&gt; (tingkat 2)
*&lt;math&gt;a_n = an^3 + bn^2 + cn + d&lt;/math&gt; (tingkat 3)

== Rumus istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan !! Suku ke n !! Jumlah suku ke n
|-
| Bilangan asli || 1 + 2 + 3 + 4 + …. + (n-1) + n || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)}{2}&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan asli persegi panjang || &lt;math&gt;1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + \dots + n(n+1)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan asli segitiga || &lt;math&gt;1 + 3 + 6 + 10 + \dots + \frac{n(n+1)}{2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan asli balok || &lt;math&gt;1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + 4 \cdot 5 \cdot 6 + \dots + n(n+1)(n+2)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}&lt;/math&gt;
|-
| Kuadrat bilangan asli || &lt;math&gt;1 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dots + (n-1)^2 + n^2&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}&lt;/math&gt;
|-
| Kubik bilangan asli || &lt;math&gt;1 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + \dots + (n-1)^3 + n^3&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = (\frac{n(n+1)}{2})^2&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan ganjil || 1 + 3 + 5 + 7 + …. + 2n + (2n-1) || &lt;math&gt;S_n = n^2&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan genap || 2 + 4 + 6 + 8 +  … + 2n-2 + 2n || &lt;math&gt;S_n = n(n+1)&lt;/math&gt;
|}

* &lt;math&gt;\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^n} = 1-\frac{1}{2^n}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} = \frac{4}{5}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}&lt;/math&gt; (deret teleskop)
* &lt;math&gt;\frac{1}{6 \times 10} + \frac{1}{10 \times 14} + \frac{1}{14 \times 18} + \frac{1}{18 \times 22} = \frac{1}{6 \times (6+4)} + \frac{1}{10 \times (10+4)} + \frac{1}{14 \times (14+4)} + \frac{1}{18 \times (18+4)} = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{6+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{10} - \frac{1}{10+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{14} - \frac{1}{14+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{18} - \frac{1}{18+4}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{10} + \frac{1}{10} - \frac{1}{14} + \frac{1}{14} - \frac{1}{18} + \frac{1}{18} - \frac{1}{22}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{22}) = \frac{1}{33}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{n \times (n+k)} = \frac{1}{k}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k})&lt;/math&gt; (deret teleskop)
* &lt;math&gt;\frac{2+1}{1 \times 2} - \frac{3+2}{2 \times 3} + \frac{4+3}{3 \times 4} - \frac{5+4}{4 \times 5} = (1 + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) - (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{2+1}{1 \times 2} - \frac{3+2}{2 \times 3} + \frac{4+3}{3 \times 4} - \frac{5+4}{4 \times 5} + \frac{6+5}{5 \times 6} = (1 + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) - (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{6}) = 1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} - \dots + \frac{1}{(n-1) \times n} = \frac{n \pm 1}{n}&lt;/math&gt; (deret teleskop) [+:genap ; -:ganjil]
* &lt;math&gt;\frac{(n+1)+n}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}&lt;/math&gt; (deret teleskop)
* &lt;math&gt;1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \frac{1}{1+2+3+4} + \dots + \frac{1}{1+2+3+4+ \dots } = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \dots + \frac{1}{10+ \dots } = \frac{2}{2} + \frac{2}{6} + \frac{2}{12} + \frac{2}{20} + \dots + \frac{2}{n \cdot (n+1)} = \frac{2}{1 \cdot 2} + \frac{2}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 4} + \frac{2}{4 \cdot 5} + \dots + \frac{2}{n \cdot (n+1)} = 2(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n \cdot (n+1)}) = 2(1 - \frac{1}{n+1})&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{6}{1 \times 4 \times 7} + \frac{6}{4 \times 7 \times 10} + \frac{6}{7 \times 10 \times 13} + \dots + \frac{6}{94 \times 97 \times 100} = \frac{1}{1 \times 4} - \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{4 \times 7} - \frac{1}{7 \times 10} + \frac{1}{7 \times 10} - \frac{1}{10 \times 13} + \dots + \frac{1}{94 \times 97} - \frac{1}{97 \times 100} = \frac{1}{1 \times 4} - \frac{1}{97 \times 100} = \frac{1}{4} - \frac{1}{9700} = \frac{2425-1}{9700} = \frac{2424}{9700} = \frac{606}{2425}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{c-a}{a \times b \times c} = \frac{1}{a \times b} - \frac{1}{b \times c}&lt;/math&gt; (a, b dan c adalah bilangan yang berurutan dengan selisih tetap pada tingkat pertama)
* n x n! = (n+1)! - n!
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} = (1 - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} - \frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{5}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} - \dots - \frac{1}{(n-1) \times n} = \frac{1}{n}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} = \sqrt{5} - 1&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{6}} = \sqrt{6} - 1&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n-1} + \sqrt{n}} = \sqrt{n} - 1&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;a \frac{b}{c} + aa \frac{b}{c} + aaa \frac{b}{c} + \dots + \text{ (banyaknya n kali pada a) } \frac{b}{c} = 1234 \dots \text{ (sesuai n kali)} \times a + \frac{b}{c} \times n&lt;/math&gt;
* 1 + 11 + 111 = 123 x 1 = 123
* 2 + 22 + 222 = 123 x 2 = 246
* 3 + 33 + 333 = 123 x 3 = 369
* 7&lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt; + 77&lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt; + 777&lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt; = 123 x 7 + &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt; x 3 = 862.5
* 1 + 11 + 111 + 1111 = 1234 x 1 = 1234
* 2 + 22 + 222 + 2222 = 1234 x 2 = 2468
* 3 + 33 + 333 + 3333 = 1234 x 3 = 3702
* 7&lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt; + 77&lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt; + 777&lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt; + 7777&lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt; = 1234 x 7 + &lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt; x 4 = 8641
* &lt;math&gt;a,b + a,bb + a,bbb + \dots + a,bbbbb \dot \text{ (banyaknya n kali pada a serta m kali pada b) } = a \times m + \dots \text{ (sesuai n kali)}4321 \times b&lt;/math&gt; (hasil belakang koma sesuai n kali)
* 0,5 + 0,55 + 0,555 + 0,5555 = 4321 x 5 = 2,1605
* 2,4 + 2,44 + 2,444 + 2,4444 + 2,44444 = 2 x 5 + 54321 x 4 = 10 + 2,17284 = 12,17284
* &lt;math&gt;\frac{1}{4} + \frac{11}{44} + \frac{111}{444} = \frac{1}{4} \times 3 = \frac{3}{4}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{3} + \frac{11}{33} + \frac{111}{333} + \dots + \frac{111.111}{333.333} = \frac{1}{3} \times 6 = 2&lt;/math&gt;

; contoh soal
# Kursi pada gedung bioskop memiliki 10 baris, yang kapasitasnya membentuk barisan aritmatika. baris terdepan 15 kursi dan terbelakang 33 kursi maka berapa kapasitas kursi pada bioskop tersebut?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
n &amp;= 10 \\
a &amp;= 15 \\
U_n &amp;= U_{10} = 33 \\
b &amp;= \frac{33-15}{10-1} \\
 &amp;= \frac{18}{9} \\
 &amp;= 2 \\

S_{10} &amp;= \frac{n}{2}(a+U_n) \\
 &amp;= \frac{10}{2}(15+33) \\
 &amp;= 5(48) \\
 &amp;= 240 \\

\text{jadi kapasitas kursi pada bioskop adalah 240 kursi } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>7x4zi1ldz0tpnfyuyexvb8eszqcqgna</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>122510</id>
      <parentid>122509</parentid>
      <timestamp>2026-11-12T04:41:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rumus istimewa */</comment>
      <origin>122510</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8324" sha1="07h79z7ddudnzj81g6otgkmi7s50h2n" xml:space="preserve">== Rumus barisan dan deret aritmatika ==
&lt;math&gt;
\begin{align}
U_n &amp;= a + (n - 1)b \\
S_n &amp;= \frac{n (2a + (n-1)b}{2} \\
b &amp;= U_n - U_{n-1} \\
U_n &amp;= S_n - S_{n-1} \\
U_t &amp;= \frac{U_1 + U_n}{2} \\
b &amp;= \frac{U_n - U_k}{n - k} \\
\text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
 
keterangan:
: a/U&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;: suku pertama
: n: banyaknya suku ke-n
: b: beda suku
: Ut: suku tengah
: Un: suku ke-n
: Sn: jumlah suku ke-n

; rataan
:&lt;math&gt;R = \frac{a_1+a_2+a_3+ \dots + a_n}{n}&lt;/math&gt;

; suku dan beda baru
:&lt;math&gt;n_b = n + (n-1)x&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;b_b = \frac{b}{x+1}&lt;/math&gt;

: rasio kedua suku barisan dan deret
: dari barisan (Un) ke deret (Sn):&lt;math&gt;\frac{n+1}{2}&lt;/math&gt;
: dari deret (Sn) ke barisan (Un):2n-1

; barisan dan deret bertingkat
;cara 1
&lt;math&gt;
\begin{align}
U_n &amp;= a + \frac{(n - 1)b}{1!} + \frac{(n - 1)(n-2)c}{2!} + \dots \\
S_n &amp;= \frac{an}{1!} + \frac{n(n-1)b}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)c}{3!} + \dots \\
\end{align}
&lt;/math&gt;

;cara 2
*&lt;math&gt;a_n = an^2 + bn + c&lt;/math&gt; (tingkat 2)
*&lt;math&gt;a_n = an^3 + bn^2 + cn + d&lt;/math&gt; (tingkat 3)

== Rumus istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan !! Suku ke n !! Jumlah suku ke n
|-
| Bilangan asli || 1 + 2 + 3 + 4 + …. + (n-1) + n || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)}{2}&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan asli persegi panjang || &lt;math&gt;1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + \dots + n(n+1)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan asli segitiga || &lt;math&gt;1 + 3 + 6 + 10 + \dots + \frac{n(n+1)}{2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan asli balok || &lt;math&gt;1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + 4 \cdot 5 \cdot 6 + \dots + n(n+1)(n+2)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}&lt;/math&gt;
|-
| Kuadrat bilangan asli || &lt;math&gt;1 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dots + (n-1)^2 + n^2&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}&lt;/math&gt;
|-
| Kubik bilangan asli || &lt;math&gt;1 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + \dots + (n-1)^3 + n^3&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;S_n = (\frac{n(n+1)}{2})^2&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan ganjil || 1 + 3 + 5 + 7 + …. + 2n + (2n-1) || &lt;math&gt;S_n = n^2&lt;/math&gt;
|-
| Bilangan genap || 2 + 4 + 6 + 8 +  … + 2n-2 + 2n || &lt;math&gt;S_n = n(n+1)&lt;/math&gt;
|}

* &lt;math&gt;\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^n} = 1-\frac{1}{2^n}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} = \frac{4}{5}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}&lt;/math&gt; (deret teleskop)
* &lt;math&gt;\frac{1}{6 \times 10} + \frac{1}{10 \times 14} + \frac{1}{14 \times 18} + \frac{1}{18 \times 22} = \frac{1}{6 \times (6+4)} + \frac{1}{10 \times (10+4)} + \frac{1}{14 \times (14+4)} + \frac{1}{18 \times (18+4)} = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{6+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{10} - \frac{1}{10+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{14} - \frac{1}{14+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{18} - \frac{1}{18+4}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{10} + \frac{1}{10} - \frac{1}{14} + \frac{1}{14} - \frac{1}{18} + \frac{1}{18} - \frac{1}{22}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{22}) = \frac{1}{33}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{n \times (n+k)} = \frac{1}{k}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k})&lt;/math&gt; (deret teleskop)
* &lt;math&gt;\frac{2+1}{1 \times 2} - \frac{3+2}{2 \times 3} + \frac{4+3}{3 \times 4} - \frac{5+4}{4 \times 5} = (1 + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) - (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{2+1}{1 \times 2} - \frac{3+2}{2 \times 3} + \frac{4+3}{3 \times 4} - \frac{5+4}{4 \times 5} + \frac{6+5}{5 \times 6} = (1 + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) - (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{6}) = 1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{(n+1)+n}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}&lt;/math&gt; (deret teleskop)
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} - \dots + \frac{1}{(n-1) \times n} = \frac{n \pm 1}{n}&lt;/math&gt; (deret teleskop) [+:genap ; -:ganjil]
* &lt;math&gt;1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \frac{1}{1+2+3+4} + \dots + \frac{1}{1+2+3+4+ \dots } = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \dots + \frac{1}{10+ \dots } = \frac{2}{2} + \frac{2}{6} + \frac{2}{12} + \frac{2}{20} + \dots + \frac{2}{n \cdot (n+1)} = \frac{2}{1 \cdot 2} + \frac{2}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 4} + \frac{2}{4 \cdot 5} + \dots + \frac{2}{n \cdot (n+1)} = 2(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n \cdot (n+1)}) = 2(1 - \frac{1}{n+1})&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{6}{1 \times 4 \times 7} + \frac{6}{4 \times 7 \times 10} + \frac{6}{7 \times 10 \times 13} + \dots + \frac{6}{94 \times 97 \times 100} = \frac{1}{1 \times 4} - \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{4 \times 7} - \frac{1}{7 \times 10} + \frac{1}{7 \times 10} - \frac{1}{10 \times 13} + \dots + \frac{1}{94 \times 97} - \frac{1}{97 \times 100} = \frac{1}{1 \times 4} - \frac{1}{97 \times 100} = \frac{1}{4} - \frac{1}{9700} = \frac{2425-1}{9700} = \frac{2424}{9700} = \frac{606}{2425}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{c-a}{a \times b \times c} = \frac{1}{a \times b} - \frac{1}{b \times c}&lt;/math&gt; (a, b dan c adalah bilangan yang berurutan dengan selisih tetap pada tingkat pertama)
* n x n! = (n+1)! - n!
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} = (1 - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} - \frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{5}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} - \dots - \frac{1}{(n-1) \times n} = \frac{1}{n}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} = \sqrt{5} - 1&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{6}} = \sqrt{6} - 1&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n-1} + \sqrt{n}} = \sqrt{n} - 1&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;a \frac{b}{c} + aa \frac{b}{c} + aaa \frac{b}{c} + \dots + \text{ (banyaknya n kali pada a) } \frac{b}{c} = 1234 \dots \text{ (sesuai n kali)} \times a + \frac{b}{c} \times n&lt;/math&gt;
* 1 + 11 + 111 = 123 x 1 = 123
* 2 + 22 + 222 = 123 x 2 = 246
* 3 + 33 + 333 = 123 x 3 = 369
* 7&lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt; + 77&lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt; + 777&lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt; = 123 x 7 + &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt; x 3 = 862.5
* 1 + 11 + 111 + 1111 = 1234 x 1 = 1234
* 2 + 22 + 222 + 2222 = 1234 x 2 = 2468
* 3 + 33 + 333 + 3333 = 1234 x 3 = 3702
* 7&lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt; + 77&lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt; + 777&lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt; + 7777&lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt; = 1234 x 7 + &lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt; x 4 = 8641
* &lt;math&gt;a,b + a,bb + a,bbb + \dots + a,bbbbb \dot \text{ (banyaknya n kali pada a serta m kali pada b) } = a \times m + \dots \text{ (sesuai n kali)}4321 \times b&lt;/math&gt; (hasil belakang koma sesuai n kali)
* 0,5 + 0,55 + 0,555 + 0,5555 = 4321 x 5 = 2,1605
* 2,4 + 2,44 + 2,444 + 2,4444 + 2,44444 = 2 x 5 + 54321 x 4 = 10 + 2,17284 = 12,17284
* &lt;math&gt;\frac{1}{4} + \frac{11}{44} + \frac{111}{444} = \frac{1}{4} \times 3 = \frac{3}{4}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{1}{3} + \frac{11}{33} + \frac{111}{333} + \dots + \frac{111.111}{333.333} = \frac{1}{3} \times 6 = 2&lt;/math&gt;

; contoh soal
# Kursi pada gedung bioskop memiliki 10 baris, yang kapasitasnya membentuk barisan aritmatika. baris terdepan 15 kursi dan terbelakang 33 kursi maka berapa kapasitas kursi pada bioskop tersebut?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
n &amp;= 10 \\
a &amp;= 15 \\
U_n &amp;= U_{10} = 33 \\
b &amp;= \frac{33-15}{10-1} \\
 &amp;= \frac{18}{9} \\
 &amp;= 2 \\

S_{10} &amp;= \frac{n}{2}(a+U_n) \\
 &amp;= \frac{10}{2}(15+33) \\
 &amp;= 5(48) \\
 &amp;= 240 \\

\text{jadi kapasitas kursi pada bioskop adalah 240 kursi } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>07h79z7ddudnzj81g6otgkmi7s50h2n</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Rangkuman SKI</title>
    <ns>0</ns>
    <id>29091</id>
    <revision>
      <id>122502</id>
      <timestamp>2026-11-11T15:10:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Adi Cipta11</username>
        <id>44211</id>
      </contributor>
      <comment>Perbaiki teks miring dan bisa buat belajar</comment>
      <origin>122502</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="6968" sha1="3dghvxd2y4mastpna91glq7un5xhczi" xml:space="preserve">Sistem bermadzhab adalah metode, jalan (''manhaj''), atau instrumen ilmiah yang digunakan oleh seorang mujtahid dalam menggali, merumuskan, dan menetapkan hukum Islam (''istinbat hukum'') dari sumber utamanya, yaitu Al-Qur'an dan Hadis. Dalam tradisi intelektual Islam, khususnya Ahlussunnah wal Jamaah (Aswaja), bermadzhab bukan berarti meninggalkan Al-Qur'an dan Hadis, melainkan sebuah keniscayaan metodologis agar umat Islam dapat memahami ajaran agama secara komprehensif, terstruktur, dan terhindar dari kesalahan penafsiran subjektif. 

'''Daftar Isi'''

# Pengertian dan Urgensi Bermadzhab
# Pokok - Pokok ajaran Madzhab dalam Nahdlatul Ulama
# Referensi


'''Pengertian dan Urgensi Bermadzhab'''

Secara etimologis, kata ''madzhab'' berasal dari bahasa Arab yang berarti &quot;jalan&quot; atau &quot;tempat yang dilalui&quot;. Secara istilah, madzhab adalah seperangkat hukum atau pendapat hukum dari seorang imam mujtahid yang dipilih dan dirumuskan melalui metode ijtihad tertentu.

Pengambilan hukum secara langsung dari Al-Qur'an dan Hadis tanpa melalui metode ilmiah, perangkat keilmuan yang memadai, serta standar objektivitas yang jelas berisiko menimbulkan penafsiran yang keliru. Oleh karena itu, sistem bermadzhab hadir sebagai instrumen penjaga keakuratan ilmiah guna mencegah penyimpangan pemahaman terhadap ajaran Islam.

Terdapat beberapa alasan mendasar mengapa sistem bermadzhab sangat penting dalam struktur keagamaan umat Islam: 

# '''Sarana memahami umat islam:''' Madzhab merupakan metodologi yang disusun oleh para imam mujtahid untuk menjelaskan hukum Islam di tengah pluralitas pendapat, sehingga ajaran Islam dapat disebarkan, dikembangkan, dan diamalkan dengan mudah oleh masyarakat awam.
# '''Menjamin kemurnian agama:''' Melalui sistem madzhab, warisan keilmuan Islam diwariskan secara sistematis dari satu generasi ke generasi berikutnya secara terstruktur. 
# '''Mengurangi perbedaan pendapat yang destruktif:''' Bermadzhab berfungsi membatasi meluasnya perpecahan akibat perbedaan pendapat yang tidak beretika, sehingga umat tidak mudah saling mengkafirkan atau membid'ahkan dalam masalah ijtihadiyyah.


'''Pokok - Pokok Ajaran Madzhab dalam Nahdlatul Ulama'''

Organisasi sosial keagamaan Nahdlatul Ulama (NU) menjadikan paham Ahlussunnah wal Jamaah sebagai dasar corak keagamaannya. Kerangka berpikir ini mencakup tiga aspek utama agama Islam, yaitu akidah, syariat (''fikih''), dan akhlak (''tasawuf''). 

'''Madzhab Aswaja di bidang Akidah'''

Dalam bidang akidah, Nahdlatul Ulama mengikuti corak teologi yang dipelopori oleh dua tokoh utama pengusung metode moderat (''at-tawassuth)'', yaitu Imam Abu Hasan al-Asy'ari dan Imam Abu Mansur al-Maturidi.

• '''Imam Abu Hasan Al-Asy'ari (260 H/874 M - 324 H/936 M):''' Lahir di Basrah, Irak, beliau merupakan keturunan sahabat Nabi, Abu Musa al-Asy'ari. Pada mulanya, beliau adalah pengikut mazhab Mu'tazilah hingga usia 40 tahun sebelum akhirnya keluar dan mendeklarasikan kembali akidah Salafus Salih yang berbasis pada Al-Qur'an, Hadis, dan akal sehat secara proporsional. Pemikirannya tertuang dalam karya-karya besar seperti ''Maqalat Al-islamiyyin'' dan ''Al-Ibanah 'an Ushul al-Diyanah''

• '''Imam Abu Mansur al-Maturidi (w 333H/944 M):''' Lahir di Maturid, dekat Samarkand (Uzbekistan). Beliau berasal dari kalangan pengikut mazhab Hanafi dan memfokuskan pemikirannya pada pembelaan akidah Islam dari berbagai aliran ekstrem seperti Qaramithah dan Batiniyah melalui pendekatan rasional-filosofis yang seimbang dengan nash. Karya utamanya meliputi ''Kitab al-Tauhid'' dan ''ta'wilat Ahl Al-Sunnah''

Pendekatan akidah kedua tokoh ini menitikberatkan pada keseimbangan antara dalil ''naqli'' (nash) dan dalil ''aqli'' (rasio), di mana akal difungsikan sebagai pendukung pemahaman terhadap teks tanpa mendominasinya secara berlebihan. 

'''Madzhab Aswaja di Bidang Fikih'''

Dalam bidang syariat atau fikih, Nahdlatul Ulama merujuk pada empat mazhab besar yang kepribadian, integritas, dan metodologinya telah diakui secara luas dalam sejarah Islam, yaitu: 

# '''Madzhab Hanafi:''' Dipelopori oleh Imam Abu Hanifah (w. 150 H / 769 M) yang lahir di Kufah, Irak. Beliau dikenal dengan pendekatan rasionalnya yang mengutamakan ''qiyas'' (analogi) dan istihsan (kebijakan hukum) ketika nash tidak ditemukan secara eksplisit. Mazhab ini banyak dianut di Asia Selatan, Asia Tengah, Turki, dan sebagian Indonesia.
# '''Madzhab Maliki:''' Dipelopori oleh Imam Malik bin Anas (w. 179 H / 795 M) di Madinah. Beliau sangat mengedepankan tradisi dan praktik amal penduduk Madinah (''amal ahli al-Madinah'') sebagai representasi sunnah yang otentik. Kitab monumentalnya adalah ''Al-Muwatha''&lt;nowiki/&gt;'. Mazhab ini banyak berkembang di Afrika Utara, Maroko, Libya, dan Andalusia.
# '''Madzhab Syafi'i:''' Dipelopori oleh Imam Muhammad bin Idris asy-Syafi'i (w. 204 H / 820 M). Beliau dikenal sebagai perintis ilmu ushul fikih berkat karyanya, ''ar- Risalah'', yang memadukan secara harmonis antara tradisi ahli hadis di Hijaz dan ahli raky di Irak. Mazhab Syafi'i menjadi mazhab mayoritas yang dianut di Mesir, Asia Tenggara (termasuk Indonesia dan Malaysia), serta sebagian Afrika Timur.
# '''Madzhab Hambali:''' Dipelopori oleh Imam Ahmad bin Hanbal (w. 241 H / 855 M) di Baghdad. Beliau dikenal sebagai seorang ahli hadis yang sangat teguh memegang keautentikan nash serta bersikap sangat hati-hati terhadap penggunaan ''qiyas'' tanpa bukti kuat. Karya monumentalnya adalah ''Musnad Ahmad''. Mazhab ini banyak dianut di kawasan Semenanjung Arab. 

Keempat imam mujtahid ini memiliki hubungan keilmuan yang erat, saling menghormati, serta diakui kapasitas keilmuannya secara mutlak (''mujtahid mutlaq-mustaqil).''


'''Madzhab Aswaja bidang Tasawuf/Akhlak'''

Dalam bidang tasawuf atau akhlak, Nahdlatul Ulama menerima ajaran tasawuf yang tetap berlandaskan pada koridor akidah dan syariat Islam (''tasawuf sunni''). Tokoh utama yang menjadi rujukan meliputi: 

• '''Imam Al-Ghazali (450 H - 505 H/1058 - 1111 M):''' Tokoh asal Thus, Khurasan (Iran), yang berhasil mengintegrasikan antara dimensi syariat, hakikat, kalam, dan tasawuf. Karya agungnya, ''Ihya'&lt;nowiki/&gt;'' '''Ulum al-Din'', menjadi rujukan utama dunia Islam dalam menyeimbangkan kesalehan ritual dan spiritual.

• '''Imam Junaid al-Baghdadi (w. 298 H/910 M):''' Dijuluki sebagai ''Sayyid ath-Thaifah'' (pemimpin golongan sufi). Beliau menegaskan bahwa tasawuf sejati harus senantiasa terikat dengan Al-Qur'an dan Sunnah, serta menolak keras paham ekstrem atau ''hulul'' (penyatuan makhluk dengan Tuhan) yang menyimpang dari ajaran Islam. 

Penerapan ajaran tasawuf ini bertujuan untuk membentuk manusia yang memiliki keseimbangan antara kesalehan individu (ketekunan beribadah kepada Allah SWT) dan kesalehan sosial (''al-ta'awun'' / tolong-menolong, ''al-tarahum'' / kasih sayang, serta ''al-tanashuh'' / saling menasihati dalam kebaikan). 


'''Referensi:''' 

• Dokumen Modul KeAswajaan Dan Sistem Bermadzhab Nahdlatul Ulama</text>
      <sha1>3dghvxd2y4mastpna91glq7un5xhczi</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>122503</id>
      <parentid>122502</parentid>
      <timestamp>2026-11-11T15:11:47Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Adi Cipta11</username>
        <id>44211</id>
      </contributor>
      <comment>/* */ Perbaiki teks miring dan bisa terbuka buat belajar</comment>
      <origin>122503</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7024" sha1="0qb71k4ib32a8w07ty9xq8idt17iocl" xml:space="preserve">{{db-a7|help=off}}
'''Sistem Bermadzhab dalam Islam'''

Sistem bermadzhab adalah metode, jalan (''manhaj''), atau instrumen ilmiah yang digunakan oleh seorang mujtahid dalam menggali, merumuskan, dan menetapkan hukum Islam (''istinbat hukum'') dari sumber utamanya, yaitu Al-Qur'an dan Hadis. Dalam tradisi intelektual Islam, khususnya Ahlussunnah wal Jamaah (Aswaja), bermadzhab bukan berarti meninggalkan Al-Qur'an dan Hadis, melainkan sebuah keniscayaan metodologis agar umat Islam dapat memahami ajaran agama secara komprehensif, terstruktur, dan terhindar dari kesalahan penafsiran subjektif. 

'''Daftar Isi'''

# Pengertian dan Urgensi Bermadzhab
# Pokok - Pokok ajaran Madzhab dalam Nahdlatul Ulama
# Referensi


'''Pengertian dan Urgensi Bermadzhab'''

Secara etimologis, kata ''madzhab'' berasal dari bahasa Arab yang berarti &quot;jalan&quot; atau &quot;tempat yang dilalui&quot;. Secara istilah, madzhab adalah seperangkat hukum atau pendapat hukum dari seorang imam mujtahid yang dipilih dan dirumuskan melalui metode ijtihad tertentu.

Pengambilan hukum secara langsung dari Al-Qur'an dan Hadis tanpa melalui metode ilmiah, perangkat keilmuan yang memadai, serta standar objektivitas yang jelas berisiko menimbulkan penafsiran yang keliru. Oleh karena itu, sistem bermadzhab hadir sebagai instrumen penjaga keakuratan ilmiah guna mencegah penyimpangan pemahaman terhadap ajaran Islam.

Terdapat beberapa alasan mendasar mengapa sistem bermadzhab sangat penting dalam struktur keagamaan umat Islam: 

# '''Sarana memahami umat islam:''' Madzhab merupakan metodologi yang disusun oleh para imam mujtahid untuk menjelaskan hukum Islam di tengah pluralitas pendapat, sehingga ajaran Islam dapat disebarkan, dikembangkan, dan diamalkan dengan mudah oleh masyarakat awam.
# '''Menjamin kemurnian agama:''' Melalui sistem madzhab, warisan keilmuan Islam diwariskan secara sistematis dari satu generasi ke generasi berikutnya secara terstruktur. 
# '''Mengurangi perbedaan pendapat yang destruktif:''' Bermadzhab berfungsi membatasi meluasnya perpecahan akibat perbedaan pendapat yang tidak beretika, sehingga umat tidak mudah saling mengkafirkan atau membid'ahkan dalam masalah ijtihadiyyah.


'''Pokok - Pokok Ajaran Madzhab dalam Nahdlatul Ulama'''

Organisasi sosial keagamaan Nahdlatul Ulama (NU) menjadikan paham Ahlussunnah wal Jamaah sebagai dasar corak keagamaannya. Kerangka berpikir ini mencakup tiga aspek utama agama Islam, yaitu akidah, syariat (''fikih''), dan akhlak (''tasawuf''). 

'''Madzhab Aswaja di bidang Akidah'''

Dalam bidang akidah, Nahdlatul Ulama mengikuti corak teologi yang dipelopori oleh dua tokoh utama pengusung metode moderat (''at-tawassuth)'', yaitu Imam Abu Hasan al-Asy'ari dan Imam Abu Mansur al-Maturidi.

• '''Imam Abu Hasan Al-Asy'ari (260 H/874 M - 324 H/936 M):''' Lahir di Basrah, Irak, beliau merupakan keturunan sahabat Nabi, Abu Musa al-Asy'ari. Pada mulanya, beliau adalah pengikut mazhab Mu'tazilah hingga usia 40 tahun sebelum akhirnya keluar dan mendeklarasikan kembali akidah Salafus Salih yang berbasis pada Al-Qur'an, Hadis, dan akal sehat secara proporsional. Pemikirannya tertuang dalam karya-karya besar seperti ''Maqalat Al-islamiyyin'' dan ''Al-Ibanah 'an Ushul al-Diyanah''

• '''Imam Abu Mansur al-Maturidi (w 333H/944 M):''' Lahir di Maturid, dekat Samarkand (Uzbekistan). Beliau berasal dari kalangan pengikut mazhab Hanafi dan memfokuskan pemikirannya pada pembelaan akidah Islam dari berbagai aliran ekstrem seperti Qaramithah dan Batiniyah melalui pendekatan rasional-filosofis yang seimbang dengan nash. Karya utamanya meliputi ''Kitab al-Tauhid'' dan ''ta'wilat Ahl Al-Sunnah''

Pendekatan akidah kedua tokoh ini menitikberatkan pada keseimbangan antara dalil ''naqli'' (nash) dan dalil ''aqli'' (rasio), di mana akal difungsikan sebagai pendukung pemahaman terhadap teks tanpa mendominasinya secara berlebihan. 

'''Madzhab Aswaja di Bidang Fikih'''

Dalam bidang syariat atau fikih, Nahdlatul Ulama merujuk pada empat mazhab besar yang kepribadian, integritas, dan metodologinya telah diakui secara luas dalam sejarah Islam, yaitu: 

# '''Madzhab Hanafi:''' Dipelopori oleh Imam Abu Hanifah (w. 150 H / 769 M) yang lahir di Kufah, Irak. Beliau dikenal dengan pendekatan rasionalnya yang mengutamakan ''qiyas'' (analogi) dan istihsan (kebijakan hukum) ketika nash tidak ditemukan secara eksplisit. Mazhab ini banyak dianut di Asia Selatan, Asia Tengah, Turki, dan sebagian Indonesia.
# '''Madzhab Maliki:''' Dipelopori oleh Imam Malik bin Anas (w. 179 H / 795 M) di Madinah. Beliau sangat mengedepankan tradisi dan praktik amal penduduk Madinah (''amal ahli al-Madinah'') sebagai representasi sunnah yang otentik. Kitab monumentalnya adalah ''Al-Muwatha''&lt;nowiki/&gt;'. Mazhab ini banyak berkembang di Afrika Utara, Maroko, Libya, dan Andalusia.
# '''Madzhab Syafi'i:''' Dipelopori oleh Imam Muhammad bin Idris asy-Syafi'i (w. 204 H / 820 M). Beliau dikenal sebagai perintis ilmu ushul fikih berkat karyanya, ''ar- Risalah'', yang memadukan secara harmonis antara tradisi ahli hadis di Hijaz dan ahli raky di Irak. Mazhab Syafi'i menjadi mazhab mayoritas yang dianut di Mesir, Asia Tenggara (termasuk Indonesia dan Malaysia), serta sebagian Afrika Timur.
# '''Madzhab Hambali:''' Dipelopori oleh Imam Ahmad bin Hanbal (w. 241 H / 855 M) di Baghdad. Beliau dikenal sebagai seorang ahli hadis yang sangat teguh memegang keautentikan nash serta bersikap sangat hati-hati terhadap penggunaan ''qiyas'' tanpa bukti kuat. Karya monumentalnya adalah ''Musnad Ahmad''. Mazhab ini banyak dianut di kawasan Semenanjung Arab. 

Keempat imam mujtahid ini memiliki hubungan keilmuan yang erat, saling menghormati, serta diakui kapasitas keilmuannya secara mutlak (''mujtahid mutlaq-mustaqil).''


'''Madzhab Aswaja bidang Tasawuf/Akhlak'''

Dalam bidang tasawuf atau akhlak, Nahdlatul Ulama menerima ajaran tasawuf yang tetap berlandaskan pada koridor akidah dan syariat Islam (''tasawuf sunni''). Tokoh utama yang menjadi rujukan meliputi: 

• '''Imam Al-Ghazali (450 H - 505 H/1058 - 1111 M):''' Tokoh asal Thus, Khurasan (Iran), yang berhasil mengintegrasikan antara dimensi syariat, hakikat, kalam, dan tasawuf. Karya agungnya, ''Ihya'&lt;nowiki/&gt;'' '''Ulum al-Din'', menjadi rujukan utama dunia Islam dalam menyeimbangkan kesalehan ritual dan spiritual.

• '''Imam Junaid al-Baghdadi (w. 298 H/910 M):''' Dijuluki sebagai ''Sayyid ath-Thaifah'' (pemimpin golongan sufi). Beliau menegaskan bahwa tasawuf sejati harus senantiasa terikat dengan Al-Qur'an dan Sunnah, serta menolak keras paham ekstrem atau ''hulul'' (penyatuan makhluk dengan Tuhan) yang menyimpang dari ajaran Islam. 

Penerapan ajaran tasawuf ini bertujuan untuk membentuk manusia yang memiliki keseimbangan antara kesalehan individu (ketekunan beribadah kepada Allah SWT) dan kesalehan sosial (''al-ta'awun'' / tolong-menolong, ''al-tarahum'' / kasih sayang, serta ''al-tanashuh'' / saling menasihati dalam kebaikan). 


'''Referensi:''' 

• Dokumen Modul KeAswajaan Dan Sistem Bermadzhab Nahdlatul Ulama</text>
      <sha1>0qb71k4ib32a8w07ty9xq8idt17iocl</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>122504</id>
      <parentid>122503</parentid>
      <timestamp>2026-11-11T15:13:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Adi Cipta11</username>
        <id>44211</id>
      </contributor>
      <comment>/* */ Perbaiki teks miring dan bisa terbuka buat belajar</comment>
      <origin>122504</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7005" sha1="ms11fndetdpi69cc29xh6isnlspwvqj" xml:space="preserve">'''Sistem Bermadzhab dalam Islam'''

Sistem bermadzhab adalah metode, jalan (''manhaj''), atau instrumen ilmiah yang digunakan oleh seorang mujtahid dalam menggali, merumuskan, dan menetapkan hukum Islam (''istinbat hukum'') dari sumber utamanya, yaitu Al-Qur'an dan Hadis. Dalam tradisi intelektual Islam, khususnya Ahlussunnah wal Jamaah (Aswaja), bermadzhab bukan berarti meninggalkan Al-Qur'an dan Hadis, melainkan sebuah keniscayaan metodologis agar umat Islam dapat memahami ajaran agama secara komprehensif, terstruktur, dan terhindar dari kesalahan penafsiran subjektif. 

'''Daftar Isi'''

# Pengertian dan Urgensi Bermadzhab
# Pokok - Pokok ajaran Madzhab dalam Nahdlatul Ulama
# Referensi


'''Pengertian dan Urgensi Bermadzhab'''

Secara etimologis, kata ''madzhab'' berasal dari bahasa Arab yang berarti &quot;jalan&quot; atau &quot;tempat yang dilalui&quot;. Secara istilah, madzhab adalah seperangkat hukum atau pendapat hukum dari seorang imam mujtahid yang dipilih dan dirumuskan melalui metode ijtihad tertentu.

Pengambilan hukum secara langsung dari Al-Qur'an dan Hadis tanpa melalui metode ilmiah, perangkat keilmuan yang memadai, serta standar objektivitas yang jelas berisiko menimbulkan penafsiran yang keliru. Oleh karena itu, sistem bermadzhab hadir sebagai instrumen penjaga keakuratan ilmiah guna mencegah penyimpangan pemahaman terhadap ajaran Islam.

Terdapat beberapa alasan mendasar mengapa sistem bermadzhab sangat penting dalam struktur keagamaan umat Islam: 

# '''Sarana memahami umat islam:''' Madzhab merupakan metodologi yang disusun oleh para imam mujtahid untuk menjelaskan hukum Islam di tengah pluralitas pendapat, sehingga ajaran Islam dapat disebarkan, dikembangkan, dan diamalkan dengan mudah oleh masyarakat awam.
# '''Menjamin kemurnian agama:''' Melalui sistem madzhab, warisan keilmuan Islam diwariskan secara sistematis dari satu generasi ke generasi berikutnya secara terstruktur. 
# '''Mengurangi perbedaan pendapat yang destruktif:''' Bermadzhab berfungsi membatasi meluasnya perpecahan akibat perbedaan pendapat yang tidak beretika, sehingga umat tidak mudah saling mengkafirkan atau membid'ahkan dalam masalah ijtihadiyyah.


'''Pokok - Pokok Ajaran Madzhab dalam Nahdlatul Ulama'''

Organisasi sosial keagamaan Nahdlatul Ulama (NU) menjadikan paham Ahlussunnah wal Jamaah sebagai dasar corak keagamaannya. Kerangka berpikir ini mencakup tiga aspek utama agama Islam, yaitu akidah, syariat (''fikih''), dan akhlak (''tasawuf''). 

'''Madzhab Aswaja di bidang Akidah'''

Dalam bidang akidah, Nahdlatul Ulama mengikuti corak teologi yang dipelopori oleh dua tokoh utama pengusung metode moderat (''at-tawassuth)'', yaitu Imam Abu Hasan al-Asy'ari dan Imam Abu Mansur al-Maturidi.

• '''Imam Abu Hasan Al-Asy'ari (260 H/874 M - 324 H/936 M):''' Lahir di Basrah, Irak, beliau merupakan keturunan sahabat Nabi, Abu Musa al-Asy'ari. Pada mulanya, beliau adalah pengikut mazhab Mu'tazilah hingga usia 40 tahun sebelum akhirnya keluar dan mendeklarasikan kembali akidah Salafus Salih yang berbasis pada Al-Qur'an, Hadis, dan akal sehat secara proporsional. Pemikirannya tertuang dalam karya-karya besar seperti ''Maqalat Al-islamiyyin'' dan ''Al-Ibanah 'an Ushul al-Diyanah''

• '''Imam Abu Mansur al-Maturidi (w 333H/944 M):''' Lahir di Maturid, dekat Samarkand (Uzbekistan). Beliau berasal dari kalangan pengikut mazhab Hanafi dan memfokuskan pemikirannya pada pembelaan akidah Islam dari berbagai aliran ekstrem seperti Qaramithah dan Batiniyah melalui pendekatan rasional-filosofis yang seimbang dengan nash. Karya utamanya meliputi ''Kitab al-Tauhid'' dan ''ta'wilat Ahl Al-Sunnah''

Pendekatan akidah kedua tokoh ini menitikberatkan pada keseimbangan antara dalil ''naqli'' (nash) dan dalil ''aqli'' (rasio), di mana akal difungsikan sebagai pendukung pemahaman terhadap teks tanpa mendominasinya secara berlebihan. 

'''Madzhab Aswaja di Bidang Fikih'''

Dalam bidang syariat atau fikih, Nahdlatul Ulama merujuk pada empat mazhab besar yang kepribadian, integritas, dan metodologinya telah diakui secara luas dalam sejarah Islam, yaitu: 

# '''Madzhab Hanafi:''' Dipelopori oleh Imam Abu Hanifah (w. 150 H / 769 M) yang lahir di Kufah, Irak. Beliau dikenal dengan pendekatan rasionalnya yang mengutamakan ''qiyas'' (analogi) dan istihsan (kebijakan hukum) ketika nash tidak ditemukan secara eksplisit. Mazhab ini banyak dianut di Asia Selatan, Asia Tengah, Turki, dan sebagian Indonesia.
# '''Madzhab Maliki:''' Dipelopori oleh Imam Malik bin Anas (w. 179 H / 795 M) di Madinah. Beliau sangat mengedepankan tradisi dan praktik amal penduduk Madinah (''amal ahli al-Madinah'') sebagai representasi sunnah yang otentik. Kitab monumentalnya adalah ''Al-Muwatha''&lt;nowiki/&gt;'. Mazhab ini banyak berkembang di Afrika Utara, Maroko, Libya, dan Andalusia.
# '''Madzhab Syafi'i:''' Dipelopori oleh Imam Muhammad bin Idris asy-Syafi'i (w. 204 H / 820 M). Beliau dikenal sebagai perintis ilmu ushul fikih berkat karyanya, ''ar- Risalah'', yang memadukan secara harmonis antara tradisi ahli hadis di Hijaz dan ahli raky di Irak. Mazhab Syafi'i menjadi mazhab mayoritas yang dianut di Mesir, Asia Tenggara (termasuk Indonesia dan Malaysia), serta sebagian Afrika Timur.
# '''Madzhab Hambali:''' Dipelopori oleh Imam Ahmad bin Hanbal (w. 241 H / 855 M) di Baghdad. Beliau dikenal sebagai seorang ahli hadis yang sangat teguh memegang keautentikan nash serta bersikap sangat hati-hati terhadap penggunaan ''qiyas'' tanpa bukti kuat. Karya monumentalnya adalah ''Musnad Ahmad''. Mazhab ini banyak dianut di kawasan Semenanjung Arab. 

Keempat imam mujtahid ini memiliki hubungan keilmuan yang erat, saling menghormati, serta diakui kapasitas keilmuannya secara mutlak (''mujtahid mutlaq-mustaqil).''


'''Madzhab Aswaja bidang Tasawuf/Akhlak'''

Dalam bidang tasawuf atau akhlak, Nahdlatul Ulama menerima ajaran tasawuf yang tetap berlandaskan pada koridor akidah dan syariat Islam (''tasawuf sunni''). Tokoh utama yang menjadi rujukan meliputi: 

• '''Imam Al-Ghazali (450 H - 505 H/1058 - 1111 M):''' Tokoh asal Thus, Khurasan (Iran), yang berhasil mengintegrasikan antara dimensi syariat, hakikat, kalam, dan tasawuf. Karya agungnya, ''Ihya'&lt;nowiki/&gt;'' '''Ulum al-Din'', menjadi rujukan utama dunia Islam dalam menyeimbangkan kesalehan ritual dan spiritual.

• '''Imam Junaid al-Baghdadi (w. 298 H/910 M):''' Dijuluki sebagai ''Sayyid ath-Thaifah'' (pemimpin golongan sufi). Beliau menegaskan bahwa tasawuf sejati harus senantiasa terikat dengan Al-Qur'an dan Sunnah, serta menolak keras paham ekstrem atau ''hulul'' (penyatuan makhluk dengan Tuhan) yang menyimpang dari ajaran Islam. 

Penerapan ajaran tasawuf ini bertujuan untuk membentuk manusia yang memiliki keseimbangan antara kesalehan individu (ketekunan beribadah kepada Allah SWT) dan kesalehan sosial (''al-ta'awun'' / tolong-menolong, ''al-tarahum'' / kasih sayang, serta ''al-tanashuh'' / saling menasihati dalam kebaikan). 


'''Referensi:''' 

• Dokumen Modul KeAswajaan Dan Sistem Bermadzhab Nahdlatul Ulama</text>
      <sha1>ms11fndetdpi69cc29xh6isnlspwvqj</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>122505</id>
      <parentid>122504</parentid>
      <timestamp>2026-11-11T15:16:02Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Adi Cipta11</username>
        <id>44211</id>
      </contributor>
      <comment>/* */ Perbaiki teks miring dan bisa terbuka buat belajar</comment>
      <origin>122505</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7004" sha1="73cty53akegm1pfqf2rxfencqan8m0o" xml:space="preserve">'''Sistem Bermadzhab dalam Islam'''

Sistem bermadzhab adalah metode, jalan (''manhaj''), atau instrumen ilmiah yang digunakan oleh seorang mujtahid dalam menggali, merumuskan, dan menetapkan hukum Islam (''istinbat hukum'') dari sumber utamanya, yaitu Al-Qur'an dan Hadis. Dalam tradisi intelektual Islam, khususnya Ahlussunnah wal Jamaah (Aswaja), bermadzhab bukan berarti meninggalkan Al-Qur'an dan Hadis, melainkan sebuah keniscayaan metodologis agar umat Islam dapat memahami ajaran agama secara komprehensif, terstruktur, dan terhindar dari kesalahan penafsiran subjektif. 

'''Daftar Isi'''

# Pengertian dan Urgensi Bermadzhab
# Pokok - Pokok ajaran Madzhab dalam Nahdlatul Ulama
# Referensi


'''Pengertian dan Urgensi Bermadzhab'''

Secara etimologis, kata ''madzhab'' berasal dari bahasa Arab yang berarti &quot;jalan&quot; atau &quot;tempat yang dilalui&quot;. Secara istilah, madzhab adalah seperangkat hukum atau pendapat hukum dari seorang imam mujtahid yang dipilih dan dirumuskan melalui metode ijtihad tertentu.

Pengambilan hukum secara langsung dari Al-Qur'an dan Hadis tanpa melalui metode ilmiah, perangkat keilmuan yang memadai, serta standar objektivitas yang jelas berisiko menimbulkan penafsiran yang keliru. Oleh karena itu, sistem bermadzhab hadir sebagai instrumen penjaga keakuratan ilmiah guna mencegah penyimpangan pemahaman terhadap ajaran Islam.

Terdapat beberapa alasan mendasar mengapa sistem bermadzhab sangat penting dalam struktur keagamaan umat Islam: 

# '''Sarana memahami umat islam:''' Madzhab merupakan metodologi yang disusun oleh para imam mujtahid untuk menjelaskan hukum Islam di tengah pluralitas pendapat, sehingga ajaran Islam dapat disebarkan, dikembangkan, dan diamalkan dengan mudah oleh masyarakat awam.
# '''Menjamin kemurnian agama:''' Melalui sistem madzhab, warisan keilmuan Islam diwariskan secara sistematis dari satu generasi ke generasi berikutnya secara terstruktur. 
# '''Mengurangi perbedaan pendapat yang destruktif:''' Bermadzhab berfungsi membatasi meluasnya perpecahan akibat perbedaan pendapat yang tidak beretika, sehingga umat tidak mudah saling mengkafirkan atau membid'ahkan dalam masalah ijtihadiyyah.


'''Pokok - Pokok Ajaran Madzhab dalam Nahdlatul Ulama'''

Organisasi sosial keagamaan Nahdlatul Ulama (NU) menjadikan paham Ahlussunnah wal Jamaah sebagai dasar corak keagamaannya. Kerangka berpikir ini mencakup tiga aspek utama agama Islam, yaitu akidah, syariat (''fikih''), dan akhlak (''tasawuf''). 

'''Madzhab Aswaja di bidang Akidah'''

Dalam bidang akidah, Nahdlatul Ulama mengikuti corak teologi yang dipelopori oleh dua tokoh utama pengusung metode moderat (''at-tawassuth)'', yaitu Imam Abu Hasan al-Asy'ari dan Imam Abu Mansur al-Maturidi.

• '''Imam Abu Hasan Al-Asy'ari (260 H/874 M - 324 H/936 M):''' Lahir di Basrah, Irak, beliau merupakan keturunan sahabat Nabi, Abu Musa al-Asy'ari. Pada mulanya, beliau adalah pengikut mazhab Mu'tazilah hingga usia 40 tahun sebelum akhirnya keluar dan mendeklarasikan kembali akidah Salafus Salih yang berbasis pada Al-Qur'an, Hadis, dan akal sehat secara proporsional. Pemikirannya tertuang dalam karya-karya besar seperti ''Maqalat Al-islamiyyin'' dan ''Al-Ibanah 'an Ushul al-Diyanah''

• '''Imam Abu Mansur al-Maturidi (w 333H/944 M):''' Lahir di Maturid, dekat Samarkand (Uzbekistan). Beliau berasal dari kalangan pengikut mazhab Hanafi dan memfokuskan pemikirannya pada pembelaan akidah Islam dari berbagai aliran ekstrem seperti Qaramithah dan Batiniyah melalui pendekatan rasional-filosofis yang seimbang dengan nash. Karya utamanya meliputi ''Kitab al-Tauhid'' dan ''ta'wilat Ahl Al-Sunnah''

Pendekatan akidah kedua tokoh ini menitikberatkan pada keseimbangan antara dalil ''naqli'' (nash) dan dalil ''aqli'' (rasio), di mana akal difungsikan sebagai pendukung pemahaman terhadap teks tanpa mendominasinya secara berlebihan. 

'''Madzhab Aswaja di Bidang Fikih'''

Dalam bidang syariat atau fikih, Nahdlatul Ulama merujuk pada empat mazhab besar yang kepribadian, integritas, dan metodologinya telah diakui secara luas dalam sejarah Islam, yaitu: 

# '''Madzhab Hanafi:''' Dipelopori oleh Imam Abu Hanifah (w. 150 H / 769 M) yang lahir di Kufah, Irak. Beliau dikenal dengan pendekatan rasionalnya yang mengutamakan ''qiyas'' (analogi) dan istihsan (kebijakan hukum) ketika nash tidak ditemukan secara eksplisit. Mazhab ini banyak dianut di Asia Selatan, Asia Tengah, Turki, dan sebagian Indonesia.
# '''Madzhab Maliki:''' Dipelopori oleh Imam Malik bin Anas (w. 179 H / 795 M) di Madinah. Beliau sangat mengedepankan tradisi dan praktik amal penduduk Madinah (''amal ahli al-Madinah'') sebagai representasi sunnah yang otentik. Kitab monumentalnya adalah ''Al-Muwatha''&lt;nowiki/&gt;'. Mazhab ini banyak berkembang di Afrika Utara, Maroko, Libya, dan Andalusia.
# '''Madzhab Syafi'i:''' Dipelopori oleh Imam Muhammad bin Idris asy-Syafi'i (w. 204 H / 820 M). Beliau dikenal sebagai perintis ilmu ushul fikih berkat karyanya, ''ar- Risalah'', yang memadukan secara harmonis antara tradisi ahli hadis di Hijaz dan ahli raky di Irak. Mazhab Syafi'i menjadi mazhab mayoritas yang dianut di Mesir, Asia Tenggara (termasuk Indonesia dan Malaysia), serta sebagian Afrika Timur.
# '''Madzhab Hambali:''' Dipelopori oleh Imam Ahmad bin Hanbal (w. 241 H / 855 M) di Baghdad. Beliau dikenal sebagai seorang ahli hadis yang sangat teguh memegang keautentikan nash serta bersikap sangat hati-hati terhadap penggunaan ''qiyas'' tanpa bukti kuat. Karya monumentalnya adalah ''Musnad Ahmad''. Mazhab ini banyak dianut di kawasan Semenanjung Arab. 

Keempat imam mujtahid ini memiliki hubungan keilmuan yang erat, saling menghormati, serta diakui kapasitas keilmuannya secara mutlak (''mujtahid mutlaq-mustaqil).''


'''Madzhab Aswaja bidang Tasawuf/Akhlak'''

Dalam bidang tasawuf atau akhlak, Nahdlatul Ulama menerima ajaran tasawuf yang tetap berlandaskan pada koridor akidah dan syariat Islam (''tasawuf sunni''). Tokoh utama yang menjadi rujukan meliputi: 

• '''Imam Al-Ghazali (450 H - 505 H/1058 - 1111 M):''' Tokoh asal Thus, Khurasan (Iran), yang berhasil mengintegrasikan antara dimensi syariat, hakikat, kalam, dan tasawuf. Karya agungnya, ''Ihya'&lt;nowiki/&gt;'' ''Ulum al-Din'', menjadi rujukan utama dunia Islam dalam menyeimbangkan kesalehan ritual dan spiritual.

• '''Imam Junaid al-Baghdadi (w. 298 H/910 M):''' Dijuluki sebagai ''Sayyid ath-Thaifah'' (pemimpin golongan sufi). Beliau menegaskan bahwa tasawuf sejati harus senantiasa terikat dengan Al-Qur'an dan Sunnah, serta menolak keras paham ekstrem atau ''hulul'' (penyatuan makhluk dengan Tuhan) yang menyimpang dari ajaran Islam. 

Penerapan ajaran tasawuf ini bertujuan untuk membentuk manusia yang memiliki keseimbangan antara kesalehan individu (ketekunan beribadah kepada Allah SWT) dan kesalehan sosial (''al-ta'awun'' / tolong-menolong, ''al-tarahum'' / kasih sayang, serta ''al-tanashuh'' / saling menasihati dalam kebaikan). 


'''Referensi:''' 

• Dokumen Modul KeAswajaan Dan Sistem Bermadzhab Nahdlatul Ulama</text>
      <sha1>73cty53akegm1pfqf2rxfencqan8m0o</sha1>
    </revision>
  </page>
</mediawiki>