Wikibooks itwikibooks https://it.wikibooks.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.8 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikibooks Discussioni Wikibooks File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Progetto Discussioni progetto Ripiano Discussioni ripiano TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 2 5293 499460 499456 2026-06-26T15:21:48Z Pasquale.Carelli 528 499460 wikitext text/x-wiki {{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. --> {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Linea di trasmissione |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Linea_di_trasmissione |CapitoloSuccessivo=Il vettore di Poynting |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Il_vettore_di_Poynting }} {{fisica classica}} [[File:Electromagneticwave3D.gif|thumb|left|Le onde elettromagnetiche possono essere immaginate come onde trasversali auto-propaganti di campi elettrici e magnetici. Questa animazione 3D mostra un'onda piana a polarizzazione lineare che si propaga da sinistra a destra. I campi elettrico e magnetico in un'onda di questo tipo sono in fase tra loro, raggiungendo minimi e massimi contemporaneamente.]] Nei capitoli precedenti abbiamo incontrato diversi tipi di onde: le onde sonore, che si propagano come compressioni e rarefazioni in un mezzo materiale; le onde del mare, in cui l’acqua oscilla attorno alla posizione di equilibrio; la corda vibrante, in cui la tensione del mezzo fornisce la forza di richiamo; e le onde sulle linee di trasmissione, descritte da variazioni accoppiate di tensione e corrente. In tutti questi casi l’onda consiste in una perturbazione che si propaga, mentre le particelle del mezzo oscillano localmente senza trasporto netto di materia. Le onde elettromagnetiche rappresentano un passo ulteriore: sono onde che non richiedono alcun mezzo materiale. Ciò che oscilla non è un corpo, né un fluido, né una grandezza elettrica legata a un conduttore, ma il campo elettrico e il campo magnetico stessi. La loro esistenza emerge direttamente dalle [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell|equazioni di Maxwell]] ed è una delle scoperte più profonde della fisica dell’Ottocento. [[w:James_Clerk_Maxwell|Maxwell]] comprese che un campo elettrico variabile nel tempo genera un campo magnetico (legge di Ampère‑Maxwell), e che un campo magnetico variabile genera a sua volta un campo elettrico (legge di Faraday). Questi due processi formano un accoppiamento dinamico: * variazioni di <math>\mathbf{E}</math> producono <math>\mathbf{B}</math>, * variazioni di <math>\mathbf{B}</math> producono <math>\mathbf{E}</math>. Da questo meccanismo nasce la possibilità di una perturbazione che si rigenera mentre avanza nello spazio: un’onda elettromagnetica. A differenza delle onde meccaniche, che richiedono un mezzo materiale in cui le particelle oscillano attorno alla loro posizione di equilibrio, le onde elettromagnetiche non hanno bisogno di alcun mezzo: sono oscillazioni auto‑sostenute del campo elettrico e magnetico nel vuoto. In entrambi i casi non vi è trasporto netto di materia, ma solo propagazione di una perturbazione. ==Dalle equazioni di Maxwell all'equazione delle onde== Nel vuoto, le equazioni di Maxwell assumono la forma: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,</math> :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. </math> Vogliamo mostrare che i campi <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> soddisfano un’equazione d’onda del tipo: :<math> \nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}, \qquad \nabla^2 \mathbf{B} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}, </math> dove <math>c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}</math>. ===Equazione delle onde per il campo elettrico=== Consideriamo il rotore del rotore di <math>\mathbf{E}</math>: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})</math> Usiamo l’identità vettoriale: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} </math> Nel vuoto vale <math>\nabla \cdot \mathbf{E}=0</math>, quindi: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= -\,\nabla^2 \mathbf{E}</math> D’altra parte, dalle equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> Prendiamo il rotore di entrambi i membri: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= \nabla \times \left(-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right)= -\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})</math> Ora sostituiamo <math>\nabla \times \mathbf{B}</math> dalla quarta equazione di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Otteniamo: :<math>-\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})= -\,\frac{\partial}{\partial t} \left(\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Ma abbiamo anche: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\,\nabla^2 \mathbf{E}</math> Eguagliando le due espressioni: :<math>-\,\nabla^2 \mathbf{E}= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}.</math> Eliminando il segno meno: :<math>\nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Definendo: :<math>c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}</math> si ottiene: :<math>\nabla^2 \mathbf{E}= \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> che è l’equazione delle onde per il campo elettrico. ===Equazione delle onde per il campo magnetico=== La dimostrazione per <math>\mathbf{B}</math> è del tutto analoga. Partiamo dall’identità vettoriale: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \nabla^2 \mathbf{B}</math> Sempre <math>\nabla \cdot \mathbf{B}=0</math>, quindi: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= -\,\nabla^2 \mathbf{B}</math> Dalle equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Prendiamo il rotore di entrambi i membri: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= \nabla \times \left(\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E}).</math> Ora sostituiamo <math>\nabla \times \mathbf{E}</math> dalla terza equazione di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> Otteniamo: :<math>\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E})= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}\left(-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right) = -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}. </math> Ma abbiamo anche: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= -\,\nabla^2 \mathbf{B}</math> Eguagliando: :<math>-\,\nabla^2 \mathbf{B}= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math> da cui: :<math>\nabla^2 \mathbf{B}= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}= \frac{1}{c2},\frac{\partial2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math> Questo mostra che le equazioni di Maxwell nel vuoto implicano l’esistenza di onde elettromagnetiche che si propagano con velocità 𝑐 , identificabile con la velocità della luce. t0ohwm1tqtr7w0j1lpcm3xfbt3f9aut 499461 499460 2026-06-26T16:04:36Z Pasquale.Carelli 528 499461 wikitext text/x-wiki {{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. --> {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Linea di trasmissione |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Linea_di_trasmissione |CapitoloSuccessivo=Il vettore di Poynting |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Il_vettore_di_Poynting }} {{fisica classica}} [[File:Electromagneticwave3D.gif|thumb|left|Le onde elettromagnetiche possono essere immaginate come onde trasversali auto-propaganti di campi elettrici e magnetici. Questa animazione 3D mostra un'onda piana a polarizzazione lineare che si propaga da sinistra a destra. I campi elettrico e magnetico in un'onda di questo tipo sono in fase tra loro, raggiungendo minimi e massimi contemporaneamente.]] Nei capitoli precedenti abbiamo incontrato diversi tipi di onde: le onde sonore, che si propagano come compressioni e rarefazioni in un mezzo materiale; le onde del mare, in cui l’acqua oscilla attorno alla posizione di equilibrio; la corda vibrante, in cui la tensione del mezzo fornisce la forza di richiamo; e le onde sulle linee di trasmissione, descritte da variazioni accoppiate di tensione e corrente. In tutti questi casi l’onda consiste in una perturbazione che si propaga, mentre le particelle del mezzo oscillano localmente senza trasporto netto di materia. Le onde elettromagnetiche rappresentano un passo ulteriore: sono onde che non richiedono alcun mezzo materiale. Ciò che oscilla non è un corpo, né un fluido, né una grandezza elettrica legata a un conduttore, ma il campo elettrico e il campo magnetico stessi. La loro esistenza emerge direttamente dalle [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell|equazioni di Maxwell]] ed è una delle scoperte più profonde della fisica dell’Ottocento. [[w:James_Clerk_Maxwell|Maxwell]] comprese che un campo elettrico variabile nel tempo genera un campo magnetico (legge di Ampère‑Maxwell), e che un campo magnetico variabile genera a sua volta un campo elettrico (legge di Faraday). Questi due processi formano un accoppiamento dinamico: * variazioni di <math>\mathbf{E}</math> producono <math>\mathbf{B}</math>, * variazioni di <math>\mathbf{B}</math> producono <math>\mathbf{E}</math>. Da questo meccanismo nasce la possibilità di una perturbazione che si rigenera mentre avanza nello spazio: un’onda elettromagnetica. A differenza delle onde meccaniche, che richiedono un mezzo materiale in cui le particelle oscillano attorno alla loro posizione di equilibrio, le onde elettromagnetiche non hanno bisogno di alcun mezzo: sono oscillazioni auto‑sostenute del campo elettrico e magnetico nel vuoto. In entrambi i casi non vi è trasporto netto di materia, ma solo propagazione di una perturbazione. ==Dalle equazioni di Maxwell all'equazione delle onde== Nel vuoto, le equazioni di Maxwell assumono la forma: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,</math> :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. </math> Vogliamo mostrare che i campi <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> soddisfano un’equazione d’onda del tipo: :<math> \nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}, \qquad \nabla^2 \mathbf{B} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}, </math> dove <math>c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}</math>. ===Equazione delle onde per il campo elettrico=== Consideriamo il rotore del rotore di <math>\mathbf{E}</math>: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})</math> Usiamo l’identità vettoriale: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} </math> Nel vuoto vale <math>\nabla \cdot \mathbf{E}=0</math>, quindi: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= -\,\nabla^2 \mathbf{E}</math> D’altra parte, dalle equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> Prendiamo il rotore di entrambi i membri: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= \nabla \times \left(-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right)= -\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})</math> Ora sostituiamo <math>\nabla \times \mathbf{B}</math> dalla quarta equazione di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Otteniamo: :<math>-\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})= -\,\frac{\partial}{\partial t} \left(\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Ma abbiamo anche: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\,\nabla^2 \mathbf{E}</math> Eguagliando le due espressioni: :<math>-\,\nabla^2 \mathbf{E}= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}.</math> Eliminando il segno meno: :<math>\nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Definendo: :<math>c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}</math> si ottiene: :<math>\nabla^2 \mathbf{E}= \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> che è l’equazione delle onde per il campo elettrico. ===Equazione delle onde per il campo magnetico=== La dimostrazione per <math>\mathbf{B}</math> è del tutto analoga. Partiamo dall’identità vettoriale: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \nabla^2 \mathbf{B}</math> Sempre <math>\nabla \cdot \mathbf{B}=0</math>, quindi: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= -\,\nabla^2 \mathbf{B}</math> Dalle equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Prendiamo il rotore di entrambi i membri: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= \nabla \times \left(\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E}).</math> Ora sostituiamo <math>\nabla \times \mathbf{E}</math> dalla terza equazione di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> Otteniamo: :<math>\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E})= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}\left(-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right) = -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}. </math> Ma abbiamo anche: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= -\,\nabla^2 \mathbf{B}</math> Eguagliando: :<math>-\,\nabla^2 \mathbf{B}= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math> da cui: :<math>\nabla^2 \mathbf{B}= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}= \frac{1}{c2},\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math> Questo mostra che le equazioni di Maxwell nel vuoto implicano l’esistenza di onde elettromagnetiche che si propagano con velocità <math>c</math>, identificabile con la velocità della luce. ==Onda piana elettromagnetica nel vuoto== Consideriamo una soluzione d’onda piana delle equazioni d’onda per i campi elettrico e magnetico nel vuoto. Supponiamo che l’onda si propaghi lungo l’asse <math>x</math>. ===Ipotesi di propagazione e forma d’onda=== Assumiamo che i campi dipendano solo da <math>x</math> e da <math>t</math>: :<math>\mathbf{E} = \mathbf{E}(x,t), \qquad \mathbf{B} = \mathbf{B}(x,t)</math> Una soluzione d’onda piana armonica può essere scritta come: :<math>\mathbf{E}(x,t) = \mathbf{E}_0 \cos(kx - \omega t + \varphi_E)</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = \mathbf{B}_0 \cos(kx - \omega t + \varphi_B)</math> dove <math>k</math> è il numero d’onda, <math>\omega</math> la pulsazione, <math>\mathbf{E}_0</math> e <math>\mathbf{B}_0</math> sono vettori costanti (ampiezze), e <math>\varphi_E</math>, <math>\varphi_B</math> sono fasi iniziali. Per una onda piana nel vuoto, le equazioni di Maxwell impongono che: * la direzione di propagazione sia lungo <math>\hat{\mathbf{x}}</math> (deriva dall'ipotesi iniziale), * i campi siano trasversali, cioè ortogonali alla direzione di propagazione. {{Cassetto| titolo=Dimostrazione trasversalità del campo elettromagnetico| testo= Assumiamo che i campi dipendano solo da <math>x</math> e dal tempo <math>t</math>: :<math>\mathbf{E} = \mathbf{E}(x,t), \qquad \mathbf{B} = \mathbf{B}(x,t)</math> Scriviamo esplicitamente le componenti: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_x(x,t)\,\hat{\mathbf{x}} + E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}} </math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_x(x,t)\,\hat{\mathbf{x}} + B_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + B_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}. </math> Nel vuoto valgono le equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math> :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Calcoliamo la divergenza di <math>\mathbf{E}</math>. Poiché i campi dipendono solo da <math>x</math>: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E}= \frac{\partial E_x}{\partial x}</math> dato che <math>E_y</math> ed <math>E_z</math> non dipendono da <math>y</math> e <math>z</math>. La condizione <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math> implica quindi: :<math>\frac{\partial E_x}{\partial x} = 0</math> Questo significa che <math>E_x</math> è indipendente da <math>x</math>. Se vogliamo descrivere un’onda piana che si propaga lungo <math>x</math>, la dipendenza spaziale deve essere del tipo <math>\cos(kx - \omega t)</math> o <math>\sin(kx - \omega t)</math>. Una componente costante <math>E_x</math> non rappresenta un’onda, ma un campo uniforme. Per una soluzione d’onda piana pura, imponiamo quindi: :<math>E_x(x,t) = 0</math> I campi sono quindi trasversali: non hanno componente lungo <math>\hat{\mathbf{x}}</math>. Lo stesso ragionamento vale per <math>\mathbf{B}</math>: :<math>\nabla \cdot \mathbf{B}= \frac{\partial B_x}{\partial x} = 0\quad \Rightarrow \quad B_x(x,t) \text{ costante}</math> Anche qui, una componente costante non rappresenta un’onda. Per una soluzione d’onda piana nel vuoto si pone: :<math>B_x(x,t) = 0</math> Abbiamo quindi mostrato che, per un’onda piana che dipende solo da <math>x</math> e <math>t</math>, le componenti lungo la direzione di propagazione devono essere nulle: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + B_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}.</math> La condizione <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math> nel vuoto esprime l’assenza di cariche elettriche: non ci sono sorgenti o pozzi del campo elettrico. Per un’onda piana che si propaga lungo <math>x</math>, questo vincolo elimina la possibilità di una componente longitudinale variabile nel tempo. Rimane solo la parte trasversale, che oscilla ortogonalmente alla direzione di propagazione. }} 8t6yvxv738syvu7tq6l7hs83uaorma8 499462 499461 2026-06-26T17:33:16Z Pasquale.Carelli 528 499462 wikitext text/x-wiki {{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. --> {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Linea di trasmissione |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Linea_di_trasmissione |CapitoloSuccessivo=Il vettore di Poynting |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Il_vettore_di_Poynting }} {{fisica classica}} [[File:Electromagneticwave3D.gif|thumb|left|Le onde elettromagnetiche possono essere immaginate come onde trasversali auto-propaganti di campi elettrici e magnetici. Questa animazione 3D mostra un'onda piana a polarizzazione lineare che si propaga da sinistra a destra. I campi elettrico e magnetico in un'onda di questo tipo sono in fase tra loro, raggiungendo minimi e massimi contemporaneamente.]] Nei capitoli precedenti abbiamo incontrato diversi tipi di onde: le onde sonore, che si propagano come compressioni e rarefazioni in un mezzo materiale; le onde del mare, in cui l’acqua oscilla attorno alla posizione di equilibrio; la corda vibrante, in cui la tensione del mezzo fornisce la forza di richiamo; e le onde sulle linee di trasmissione, descritte da variazioni accoppiate di tensione e corrente. In tutti questi casi l’onda consiste in una perturbazione che si propaga, mentre le particelle del mezzo oscillano localmente senza trasporto netto di materia. Le onde elettromagnetiche rappresentano un passo ulteriore: sono onde che non richiedono alcun mezzo materiale. Ciò che oscilla non è un corpo, né un fluido, né una grandezza elettrica legata a un conduttore, ma il campo elettrico e il campo magnetico stessi. La loro esistenza emerge direttamente dalle [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell|equazioni di Maxwell]] ed è una delle scoperte più profonde della fisica dell’Ottocento. [[w:James_Clerk_Maxwell|Maxwell]] comprese che un campo elettrico variabile nel tempo genera un campo magnetico (legge di Ampère‑Maxwell), e che un campo magnetico variabile genera a sua volta un campo elettrico (legge di Faraday). Questi due processi formano un accoppiamento dinamico: * variazioni di <math>\mathbf{E}</math> producono <math>\mathbf{B}</math>, * variazioni di <math>\mathbf{B}</math> producono <math>\mathbf{E}</math>. Da questo meccanismo nasce la possibilità di una perturbazione che si rigenera mentre avanza nello spazio: un’onda elettromagnetica. A differenza delle onde meccaniche, che richiedono un mezzo materiale in cui le particelle oscillano attorno alla loro posizione di equilibrio, le onde elettromagnetiche non hanno bisogno di alcun mezzo: sono oscillazioni auto‑sostenute del campo elettrico e magnetico nel vuoto. In entrambi i casi non vi è trasporto netto di materia, ma solo propagazione di una perturbazione. ==Dalle equazioni di Maxwell all'equazione delle onde== Nel vuoto, le equazioni di Maxwell assumono la forma: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,</math> :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. </math> Vogliamo mostrare che i campi <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> soddisfano un’equazione d’onda del tipo: :<math> \nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}, \qquad \nabla^2 \mathbf{B} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}, </math> dove <math>c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}</math>. ===Equazione delle onde per il campo elettrico=== Consideriamo il rotore del rotore di <math>\mathbf{E}</math>: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})</math> Usiamo l’identità vettoriale: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} </math> Nel vuoto vale <math>\nabla \cdot \mathbf{E}=0</math>, quindi: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= -\,\nabla^2 \mathbf{E}</math> D’altra parte, dalle equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> Prendiamo il rotore di entrambi i membri: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= \nabla \times \left(-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right)= -\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})</math> Ora sostituiamo <math>\nabla \times \mathbf{B}</math> dalla quarta equazione di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Otteniamo: :<math>-\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})= -\,\frac{\partial}{\partial t} \left(\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Ma abbiamo anche: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\,\nabla^2 \mathbf{E}</math> Eguagliando le due espressioni: :<math>-\,\nabla^2 \mathbf{E}= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}.</math> Eliminando il segno meno: :<math>\nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Definendo: :<math>c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}</math> si ottiene: :<math>\nabla^2 \mathbf{E}= \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> che è l’equazione delle onde per il campo elettrico. ===Equazione delle onde per il campo magnetico=== La dimostrazione per <math>\mathbf{B}</math> è del tutto analoga. Partiamo dall’identità vettoriale: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \nabla^2 \mathbf{B}</math> Sempre <math>\nabla \cdot \mathbf{B}=0</math>, quindi: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= -\,\nabla^2 \mathbf{B}</math> Dalle equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Prendiamo il rotore di entrambi i membri: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= \nabla \times \left(\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E}).</math> Ora sostituiamo <math>\nabla \times \mathbf{E}</math> dalla terza equazione di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> Otteniamo: :<math>\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E})= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}\left(-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right) = -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}. </math> Ma abbiamo anche: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= -\,\nabla^2 \mathbf{B}</math> Eguagliando: :<math>-\,\nabla^2 \mathbf{B}= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math> da cui: :<math>\nabla^2 \mathbf{B}= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}= \frac{1}{c2},\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math> Questo mostra che le equazioni di Maxwell nel vuoto implicano l’esistenza di onde elettromagnetiche che si propagano con velocità <math>c</math>, identificabile con la velocità della luce. ==Onda piana elettromagnetica nel vuoto== Consideriamo una soluzione d’onda piana delle equazioni d’onda per i campi elettrico e magnetico nel vuoto. Supponiamo che l’onda si propaghi lungo l’asse <math>x</math>. ===Ipotesi di propagazione e forma d’onda=== Assumiamo che i campi dipendano solo da <math>x</math> e da <math>t</math>: :<math>\mathbf{E} = \mathbf{E}(x,t), \qquad \mathbf{B} = \mathbf{B}(x,t)</math> Una soluzione d’onda piana armonica può essere scritta come: :<math>\mathbf{E}(x,t) = \mathbf{E}_0 \cos(kx - \omega t + \varphi_E)</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = \mathbf{B}_0 \cos(kx - \omega t + \varphi_B)</math> dove <math>k</math> è il numero d’onda, <math>\omega</math> la pulsazione, <math>\mathbf{E}_0</math> e <math>\mathbf{B}_0</math> sono vettori costanti (ampiezze), e <math>\varphi_E</math>, <math>\varphi_B</math> sono fasi iniziali. Per una onda piana nel vuoto, le equazioni di Maxwell impongono che: * la direzione di propagazione sia lungo <math>\hat{\mathbf{x}}</math> (deriva dall'ipotesi iniziale), * i campi siano trasversali, cioè ortogonali alla direzione di propagazione. {{Cassetto| titolo=Dimostrazione trasversalità del campo elettromagnetico| testo= Assumiamo che i campi dipendano solo da <math>x</math> e dal tempo <math>t</math>: :<math>\mathbf{E} = \mathbf{E}(x,t), \qquad \mathbf{B} = \mathbf{B}(x,t)</math> Scriviamo esplicitamente le componenti: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_x(x,t)\,\hat{\mathbf{x}} + E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}} </math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_x(x,t)\,\hat{\mathbf{x}} + B_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + B_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}. </math> Nel vuoto valgono le equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math> :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Calcoliamo la divergenza di <math>\mathbf{E}</math>. Poiché i campi dipendono solo da <math>x</math>: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E}= \frac{\partial E_x}{\partial x}</math> dato che <math>E_y</math> ed <math>E_z</math> non dipendono da <math>y</math> e <math>z</math>. La condizione <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math> implica quindi: :<math>\frac{\partial E_x}{\partial x} = 0</math> Questo significa che <math>E_x</math> è indipendente da <math>x</math>. Se vogliamo descrivere un’onda piana che si propaga lungo <math>x</math>, la dipendenza spaziale deve essere del tipo <math>\cos(kx - \omega t)</math> o <math>\sin(kx - \omega t)</math>. Una componente costante <math>E_x</math> non rappresenta un’onda, ma un campo uniforme. Per una soluzione d’onda piana pura, imponiamo quindi: :<math>E_x(x,t) = 0</math> I campi sono quindi trasversali: non hanno componente lungo <math>\hat{\mathbf{x}}</math>. Lo stesso ragionamento vale per <math>\mathbf{B}</math>: :<math>\nabla \cdot \mathbf{B}= \frac{\partial B_x}{\partial x} = 0\quad \Rightarrow \quad B_x(x,t) \text{ costante}</math> Anche qui, una componente costante non rappresenta un’onda. Per una soluzione d’onda piana nel vuoto si pone: :<math>B_x(x,t) = 0</math> Abbiamo quindi mostrato che, per un’onda piana che dipende solo da <math>x</math> e <math>t</math>, le componenti lungo la direzione di propagazione devono essere nulle: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + B_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}.</math> La condizione <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math> nel vuoto esprime l’assenza di cariche elettriche: non ci sono sorgenti o pozzi del campo elettrico. Per un’onda piana che si propaga lungo <math>x</math>, questo vincolo elimina la possibilità di una componente longitudinale variabile nel tempo. Rimane solo la parte trasversale, che oscilla ortogonalmente alla direzione di propagazione. Questo dimostra che le onde elettromagnetiche piane nel vuoto sono intrinsecamente trasversali: i campi oscillano solo nelle direzioni ortogonali alla direzione di propagazione. }} Possiamo quindi scegliere, ad esempio: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}.</math> In questa configurazione, l’onda si propaga lungo <math>x</math>, il campo elettrico è diretto lungo <math>y</math>, il campo magnetico lungo <math>z</math>, e i tre vettori sono mutuamente ortogonali. ===Equazione d’onda e relazione dispersione=== L’equazione d’onda per <math>\mathbf{E}</math> nel vuoto è: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2},\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Nel caso in cui <math>\mathbf{E}</math> dipenda solo da <math>x</math> e <math>t</math>, il [[w:Laplaciano_vettoriale|laplaciano]] si riduce a: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial x^2}.</math> Per la componente lungo <math>\hat{\mathbf{y}}</math>: :<math>E_y(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)</math> si ha: :<math>\frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}= -k^2 E_0 \cos(kx - \omega t)</math> :<math>\frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2}= -\omega^2 E_0 \cos(kx - \omega t)</math> Inserendo nell’equazione d’onda: :<math>-k^2 E_0 \cos(kx - \omega t)= \frac{1}{c^2}\left[-\omega^2 E_0 \cos(kx - \omega t)\right]</math> da cui: :<math>k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}</math> Questa è la relazione di dispersione per l’onda piana nel vuoto. In termini di lunghezza d’onda <math>\lambda</math> e frequenza <math>\nu</math>: :<math>k = \frac{2\pi}{\lambda}, \qquad \omega = 2\pi \nu</math> e la relazione <math>\omega = c k</math> implica: :<math>c = \lambda \nu</math> Lo stesso ragionamento vale per <math>\mathbf{B}</math>, che soddisfa la stessa equazione d’onda. ===Relazione tra <math>E_0</math> e <math>B_0</math>=== Le equazioni di Maxwell impongono inoltre: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math> Per l’onda piana scelta: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> si ha: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E}= \frac{\partial E_y}{\partial y} = 0</math> poiché <math>E_y</math> non dipende da <math>y</math>. Analogamente per <math>\mathbf{B}</math>. Questo conferma che i campi sono trasversali: non hanno componenti lungo la direzione di propagazione. Usando la [[Fisica_classica/Induzione_e_legge_di_Faraday|legge di Faraday]]: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> per l'onda piana considerata si ottiene la relazione tra le ampiezze. Il rotore di <math>\mathbf{E}</math> è: :<math>\nabla \times \mathbf{E}= \left(\frac{\partial E_y}{\partial x}\right)\hat{\mathbf{z}} = -k E_0 \sin(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La derivata temporale di <math>\mathbf{B}</math> è: :<math>\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}= -\omega B_0 \sin(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La legge di Faraday richiede: :<math>\nabla \times \mathbf{E}= -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\quad \Rightarrow \quad -k E_0 \sin(kx - \omega t)= -\left[-\omega B_0 \sin(kx - \omega t)\right]</math> cioè: :<math>-k E_0 = \omega B_0</math> Usando la relazione <math>\omega = c k</math>, si ottiene: :<math>E_0 = c\,B_0</math> Questa è una proprietà fondamentale dell’onda elettromagnetica piana nel vuoto: l’ampiezza del campo elettrico è pari alla velocità di propagazione <math>c</math> moltiplicata per l’ampiezza del campo magnetico. 0kqye8dtti7jftb5ga0m5lo5140n05g 499463 499462 2026-06-26T18:06:44Z Pasquale.Carelli 528 499463 wikitext text/x-wiki {{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. --> {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Linea di trasmissione |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Linea_di_trasmissione |CapitoloSuccessivo=Il vettore di Poynting |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Il_vettore_di_Poynting }} {{fisica classica}} [[File:Electromagneticwave3D.gif|thumb|left|Le onde elettromagnetiche possono essere immaginate come onde trasversali auto-propaganti di campi elettrici e magnetici. Questa animazione 3D mostra un'onda piana a polarizzazione lineare che si propaga da sinistra a destra. I campi elettrico e magnetico in un'onda di questo tipo sono in fase tra loro, raggiungendo minimi e massimi contemporaneamente.]] Nei capitoli precedenti abbiamo incontrato diversi tipi di onde: le onde sonore, che si propagano come compressioni e rarefazioni in un mezzo materiale; le onde del mare, in cui l’acqua oscilla attorno alla posizione di equilibrio; la corda vibrante, in cui la tensione del mezzo fornisce la forza di richiamo; e le onde sulle linee di trasmissione, descritte da variazioni accoppiate di tensione e corrente. In tutti questi casi l’onda consiste in una perturbazione che si propaga, mentre le particelle del mezzo oscillano localmente senza trasporto netto di materia. Le onde elettromagnetiche rappresentano un passo ulteriore: sono onde che non richiedono alcun mezzo materiale. Ciò che oscilla non è un corpo, né un fluido, né una grandezza elettrica legata a un conduttore, ma il campo elettrico e il campo magnetico stessi. La loro esistenza emerge direttamente dalle [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell|equazioni di Maxwell]] ed è una delle scoperte più profonde della fisica dell’Ottocento. [[w:James_Clerk_Maxwell|Maxwell]] comprese che un campo elettrico variabile nel tempo genera un campo magnetico (legge di Ampère‑Maxwell), e che un campo magnetico variabile genera a sua volta un campo elettrico (legge di Faraday). Questi due processi formano un accoppiamento dinamico: * variazioni di <math>\mathbf{E}</math> producono <math>\mathbf{B}</math>, * variazioni di <math>\mathbf{B}</math> producono <math>\mathbf{E}</math>. Da questo meccanismo nasce la possibilità di una perturbazione che si rigenera mentre avanza nello spazio: un’onda elettromagnetica. A differenza delle onde meccaniche, che richiedono un mezzo materiale in cui le particelle oscillano attorno alla loro posizione di equilibrio, le onde elettromagnetiche non hanno bisogno di alcun mezzo: sono oscillazioni auto‑sostenute del campo elettrico e magnetico nel vuoto. In entrambi i casi non vi è trasporto netto di materia, ma solo propagazione di una perturbazione. ==Dalle equazioni di Maxwell all'equazione delle onde== Nel vuoto, le equazioni di Maxwell assumono la forma: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,</math> :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. </math> Vogliamo mostrare che i campi <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> soddisfano un’equazione d’onda del tipo: :<math> \nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}, \qquad \nabla^2 \mathbf{B} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}, </math> dove <math>c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}</math>. ===Equazione delle onde per il campo elettrico=== Consideriamo il rotore del rotore di <math>\mathbf{E}</math>: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})</math> Usiamo l’identità vettoriale: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} </math> Nel vuoto vale <math>\nabla \cdot \mathbf{E}=0</math>, quindi: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= -\,\nabla^2 \mathbf{E}</math> D’altra parte, dalle equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> Prendiamo il rotore di entrambi i membri: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= \nabla \times \left(-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right)= -\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})</math> Ora sostituiamo <math>\nabla \times \mathbf{B}</math> dalla quarta equazione di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Otteniamo: :<math>-\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})= -\,\frac{\partial}{\partial t} \left(\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Ma abbiamo anche: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\,\nabla^2 \mathbf{E}</math> Eguagliando le due espressioni: :<math>-\,\nabla^2 \mathbf{E}= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}.</math> Eliminando il segno meno: :<math>\nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Definendo: :<math>c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}</math> si ottiene: :<math>\nabla^2 \mathbf{E}= \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> che è l’equazione delle onde per il campo elettrico. ===Equazione delle onde per il campo magnetico=== La dimostrazione per <math>\mathbf{B}</math> è del tutto analoga. Partiamo dall’identità vettoriale: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \nabla^2 \mathbf{B}</math> Sempre <math>\nabla \cdot \mathbf{B}=0</math>, quindi: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= -\,\nabla^2 \mathbf{B}</math> Dalle equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Prendiamo il rotore di entrambi i membri: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= \nabla \times \left(\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E}).</math> Ora sostituiamo <math>\nabla \times \mathbf{E}</math> dalla terza equazione di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> Otteniamo: :<math>\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E})= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}\left(-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right) = -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}. </math> Ma abbiamo anche: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= -\,\nabla^2 \mathbf{B}</math> Eguagliando: :<math>-\,\nabla^2 \mathbf{B}= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math> da cui: :<math>\nabla^2 \mathbf{B}= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}= \frac{1}{c2},\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math> Questo mostra che le equazioni di Maxwell nel vuoto implicano l’esistenza di onde elettromagnetiche che si propagano con velocità <math>c</math>, identificabile con la velocità della luce. ==Onda piana elettromagnetica nel vuoto== Consideriamo una soluzione d’onda piana delle equazioni d’onda per i campi elettrico e magnetico nel vuoto. Supponiamo che l’onda si propaghi lungo l’asse <math>x</math>. ===Ipotesi di propagazione e forma d’onda=== Assumiamo che i campi dipendano solo da <math>x</math> e da <math>t</math>: :<math>\mathbf{E} = \mathbf{E}(x,t), \qquad \mathbf{B} = \mathbf{B}(x,t)</math> Una soluzione d’onda piana armonica può essere scritta come: :<math>\mathbf{E}(x,t) = \mathbf{E}_0 \cos(kx - \omega t + \varphi_E)</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = \mathbf{B}_0 \cos(kx - \omega t + \varphi_B)</math> dove <math>k</math> è il numero d’onda, <math>\omega</math> la pulsazione, <math>\mathbf{E}_0</math> e <math>\mathbf{B}_0</math> sono vettori costanti (ampiezze), e <math>\varphi_E</math>, <math>\varphi_B</math> sono fasi iniziali. Per una onda piana nel vuoto, le equazioni di Maxwell impongono che: * la direzione di propagazione sia lungo <math>\hat{\mathbf{x}}</math> (deriva dall'ipotesi iniziale), * i campi siano trasversali, cioè ortogonali alla direzione di propagazione. {{Cassetto| titolo=Dimostrazione trasversalità del campo elettromagnetico| testo= Assumiamo che i campi dipendano solo da <math>x</math> e dal tempo <math>t</math>: :<math>\mathbf{E} = \mathbf{E}(x,t), \qquad \mathbf{B} = \mathbf{B}(x,t)</math> Scriviamo esplicitamente le componenti: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_x(x,t)\,\hat{\mathbf{x}} + E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}} </math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_x(x,t)\,\hat{\mathbf{x}} + B_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + B_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}. </math> Nel vuoto valgono le equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math> :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Calcoliamo la divergenza di <math>\mathbf{E}</math>. Poiché i campi dipendono solo da <math>x</math>: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E}= \frac{\partial E_x}{\partial x}</math> dato che <math>E_y</math> ed <math>E_z</math> non dipendono da <math>y</math> e <math>z</math>. La condizione <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math> implica quindi: :<math>\frac{\partial E_x}{\partial x} = 0</math> Questo significa che <math>E_x</math> è indipendente da <math>x</math>. Se vogliamo descrivere un’onda piana che si propaga lungo <math>x</math>, la dipendenza spaziale deve essere del tipo <math>\cos(kx - \omega t)</math> o <math>\sin(kx - \omega t)</math>. Una componente costante <math>E_x</math> non rappresenta un’onda, ma un campo uniforme. Per una soluzione d’onda piana pura, imponiamo quindi: :<math>E_x(x,t) = 0</math> I campi sono quindi trasversali: non hanno componente lungo <math>\hat{\mathbf{x}}</math>. Lo stesso ragionamento vale per <math>\mathbf{B}</math>: :<math>\nabla \cdot \mathbf{B}= \frac{\partial B_x}{\partial x} = 0\quad \Rightarrow \quad B_x(x,t) \text{ costante}</math> Anche qui, una componente costante non rappresenta un’onda. Per una soluzione d’onda piana nel vuoto si pone: :<math>B_x(x,t) = 0</math> Abbiamo quindi mostrato che, per un’onda piana che dipende solo da <math>x</math> e <math>t</math>, le componenti lungo la direzione di propagazione devono essere nulle: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + B_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}.</math> La condizione <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math> nel vuoto esprime l’assenza di cariche elettriche: non ci sono sorgenti o pozzi del campo elettrico. Per un’onda piana che si propaga lungo <math>x</math>, questo vincolo elimina la possibilità di una componente longitudinale variabile nel tempo. Rimane solo la parte trasversale, che oscilla ortogonalmente alla direzione di propagazione. Questo dimostra che le onde elettromagnetiche piane nel vuoto sono intrinsecamente trasversali: i campi oscillano solo nelle direzioni ortogonali alla direzione di propagazione. }} Possiamo quindi scegliere, ad esempio: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}.</math> In questa configurazione, l’onda si propaga lungo <math>x</math>, il campo elettrico è diretto lungo <math>y</math>, il campo magnetico lungo <math>z</math>, e i tre vettori sono mutuamente ortogonali. ===Equazione d’onda e relazione dispersione=== L’equazione d’onda per <math>\mathbf{E}</math> nel vuoto è: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2},\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Nel caso in cui <math>\mathbf{E}</math> dipenda solo da <math>x</math> e <math>t</math>, il [[w:Laplaciano_vettoriale|laplaciano]] si riduce a: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial x^2}.</math> Per la componente lungo <math>\hat{\mathbf{y}}</math>: :<math>E_y(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)</math> si ha: :<math>\frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}= -k^2 E_0 \cos(kx - \omega t)</math> :<math>\frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2}= -\omega^2 E_0 \cos(kx - \omega t)</math> Inserendo nell’equazione d’onda: :<math>-k^2 E_0 \cos(kx - \omega t)= \frac{1}{c^2}\left[-\omega^2 E_0 \cos(kx - \omega t)\right]</math> da cui: :<math>k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}</math> Questa è la relazione di dispersione per l’onda piana nel vuoto. In termini di lunghezza d’onda <math>\lambda</math> e frequenza <math>\nu</math>: :<math>k = \frac{2\pi}{\lambda}, \qquad \omega = 2\pi \nu</math> e la relazione <math>\omega = c k</math> implica: :<math>c = \lambda \nu</math> Lo stesso ragionamento vale per <math>\mathbf{B}</math>, che soddisfa la stessa equazione d’onda. ===Relazione tra <math>E_0</math> e <math>B_0</math>=== Le equazioni di Maxwell impongono inoltre: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math> Per l’onda piana scelta: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> si ha: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E}= \frac{\partial E_y}{\partial y} = 0</math> poiché <math>E_y</math> non dipende da <math>y</math>. Analogamente per <math>\mathbf{B}</math>. Questo conferma che i campi sono trasversali: non hanno componenti lungo la direzione di propagazione. Usando la [[Fisica_classica/Induzione_e_legge_di_Faraday|legge di Faraday]]: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> per l'onda piana considerata si ottiene la relazione tra le ampiezze. Il rotore di <math>\mathbf{E}</math> è: :<math>\nabla \times \mathbf{E}= \left(\frac{\partial E_y}{\partial x}\right)\hat{\mathbf{z}} = -k E_0 \sin(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La derivata temporale di <math>\mathbf{B}</math> è: :<math>\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}= -\omega B_0 \sin(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La legge di Faraday richiede: :<math>\nabla \times \mathbf{E}= -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\quad \Rightarrow \quad -k E_0 \sin(kx - \omega t)= -\left[-\omega B_0 \sin(kx - \omega t)\right]</math> cioè: :<math>-k E_0 = \omega B_0</math> Usando la relazione <math>\omega = c k</math>, si ottiene: :<math>E_0 = c\,B_0</math> Questa è una proprietà fondamentale dell’onda elettromagnetica piana nel vuoto: l’ampiezza del campo elettrico è pari alla velocità di propagazione <math>c</math> moltiplicata per l’ampiezza del campo magnetico. ==Polarizzazione delle onde elettromagnetiche== Una volta stabilito che, nel vuoto, un’onda elettromagnetica piana è trasversale, cioè i campi <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> oscillano in direzioni perpendicolari alla direzione di propagazione, rimane da descrivere come avviene questa oscillazione. La direzione in cui oscilla il campo elettrico definisce la polarizzazione dell’onda. Consideriamo un’onda che si propaga lungo l’asse <math>x</math>. Allora il campo elettrico ha solo componenti trasversali: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La forma temporale e spaziale dell’oscillazione determina il tipo di polarizzazione. ===Polarizzazione lineare=== Si ha polarizzazione lineare quando il campo elettrico oscilla sempre lungo una stessa direzione fissa nel piano trasversale. Per esempio: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> In questo caso il vettore <math>\mathbf{E}</math> rimane sempre parallelo a <math>\hat{\mathbf{y}}</math> Analogamente si può avere polarizzazione lineare lungo una qualunque direzione del piano <math>yz</math>, In generale: :<math>\mathbf{E}(x,t) =\left(E_{0y}\,\hat{\mathbf{y}} + E_{0z}\,\hat{\mathbf{z}}\right)\cos(kx - \omega t) </math> con <math>E_{0y}</math> e <math>E_{0z}</math> costanti, rappresenta una polarizzazione lineare lungo la direzione del vettore costante <math>\mathbf{E}_0</math>. ===Polarizzazione circolare=== Si ha polarizzazione circolare quando le componenti trasversali del campo elettrico hanno la stessa ampiezza, ma sono sfasate di <math>\pi/2</math> Esempio: :<math>E_y(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)</math> :<math>E_z(x,t) = E_0 \sin(kx - \omega t)</math> In questo caso, per un punto fissato nello spazio, il vettore <math>\mathbf{E}</math> ruota con velocità angolare <math>\omega</math> descrivendo una circonferenza nel piano <math>yz</math>. La rotazione può essere destrorsa o sinistrorsa a seconda del segno dello sfasamento. ===Polarizzazione ellittica=== La polarizzazione ellittica è il caso più generale: le componenti trasversali hanno ampiezze diverse e/o uno sfasamento arbitrario. Esempio: :<math>E_y(x,t) = E_{0y} \cos(kx - \omega t)</math> :<math>E_z(x,t) = E_{0z} \cos(kx - \omega t + \delta)</math> Per un punto fissato nello spazio, il vettore <math>\mathbf{E}</math> descrive un’ellisse nel piano trasversale. La polarizzazione lineare e quella circolare sono casi particolari della polarizzazione ellittica: * lineare: <math>\delta=0\quad o \quad \pi</math> * circolare: <math>E_{0y}=E_{0z}</math> e <math>\delta=\pm \pi/2</math> pzrxx4evmn2e7tvg1mbe3vnq4knz00o 499465 499463 2026-06-26T20:59:51Z Pasquale.Carelli 528 499465 wikitext text/x-wiki {{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. --> {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Linea di trasmissione |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Linea_di_trasmissione |CapitoloSuccessivo=Il vettore di Poynting |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Il_vettore_di_Poynting }} {{fisica classica}} [[File:Electromagneticwave3D.gif|thumb|left|Le onde elettromagnetiche possono essere immaginate come onde trasversali auto-propaganti di campi elettrici e magnetici. Questa animazione 3D mostra un'onda piana a polarizzazione lineare che si propaga da sinistra a destra. I campi elettrico e magnetico in un'onda di questo tipo sono in fase tra loro, raggiungendo minimi e massimi contemporaneamente.]] Nei capitoli precedenti abbiamo incontrato diversi tipi di onde: le onde sonore, che si propagano come compressioni e rarefazioni in un mezzo materiale; le onde del mare, in cui l’acqua oscilla attorno alla posizione di equilibrio; la corda vibrante, in cui la tensione del mezzo fornisce la forza di richiamo; e le onde sulle linee di trasmissione, descritte da variazioni accoppiate di tensione e corrente. In tutti questi casi l’onda consiste in una perturbazione che si propaga, mentre le particelle del mezzo oscillano localmente senza trasporto netto di materia. Le onde elettromagnetiche rappresentano un passo ulteriore: sono onde che non richiedono alcun mezzo materiale. Ciò che oscilla non è un corpo, né un fluido, né una grandezza elettrica legata a un conduttore, ma il campo elettrico e il campo magnetico stessi. La loro esistenza emerge direttamente dalle [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell|equazioni di Maxwell]] ed è una delle scoperte più profonde della fisica dell’Ottocento. [[w:James_Clerk_Maxwell|Maxwell]] comprese che un campo elettrico variabile nel tempo genera un campo magnetico (legge di Ampère‑Maxwell), e che un campo magnetico variabile genera a sua volta un campo elettrico (legge di Faraday). Questi due processi formano un accoppiamento dinamico: * variazioni di <math>\mathbf{E}</math> producono <math>\mathbf{B}</math>, * variazioni di <math>\mathbf{B}</math> producono <math>\mathbf{E}</math>. Da questo meccanismo nasce la possibilità di una perturbazione che si rigenera mentre avanza nello spazio: un’onda elettromagnetica. A differenza delle onde meccaniche, che richiedono un mezzo materiale in cui le particelle oscillano attorno alla loro posizione di equilibrio, le onde elettromagnetiche non hanno bisogno di alcun mezzo: sono oscillazioni auto‑sostenute del campo elettrico e magnetico nel vuoto. In entrambi i casi non vi è trasporto netto di materia, ma solo propagazione di una perturbazione. ==Dalle equazioni di Maxwell all'equazione delle onde== Nel vuoto, le equazioni di Maxwell assumono la forma: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,</math> :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. </math> Vogliamo mostrare che i campi <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> soddisfano un’equazione d’onda del tipo: :<math> \nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}, \qquad \nabla^2 \mathbf{B} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}, </math> dove <math>c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}</math>. ===Equazione delle onde per il campo elettrico=== Consideriamo il rotore del rotore di <math>\mathbf{E}</math>: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})</math> Usiamo l’identità vettoriale: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} </math> Nel vuoto vale <math>\nabla \cdot \mathbf{E}=0</math>, quindi: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= -\,\nabla^2 \mathbf{E}</math> D’altra parte, dalle equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> Prendiamo il rotore di entrambi i membri: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= \nabla \times \left(-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right)= -\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})</math> Ora sostituiamo <math>\nabla \times \mathbf{B}</math> dalla quarta equazione di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Otteniamo: :<math>-\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})= -\,\frac{\partial}{\partial t} \left(\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Ma abbiamo anche: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\,\nabla^2 \mathbf{E}</math> Eguagliando le due espressioni: :<math>-\,\nabla^2 \mathbf{E}= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}.</math> Eliminando il segno meno: :<math>\nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Definendo: :<math>c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}</math> si ottiene: :<math>\nabla^2 \mathbf{E}= \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> che è l’equazione delle onde per il campo elettrico. ===Equazione delle onde per il campo magnetico=== La dimostrazione per <math>\mathbf{B}</math> è del tutto analoga. Partiamo dall’identità vettoriale: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \nabla^2 \mathbf{B}</math> Sempre <math>\nabla \cdot \mathbf{B}=0</math>, quindi: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= -\,\nabla^2 \mathbf{B}</math> Dalle equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Prendiamo il rotore di entrambi i membri: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= \nabla \times \left(\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E}).</math> Ora sostituiamo <math>\nabla \times \mathbf{E}</math> dalla terza equazione di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> Otteniamo: :<math>\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E})= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}\left(-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right) = -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}. </math> Ma abbiamo anche: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= -\,\nabla^2 \mathbf{B}</math> Eguagliando: :<math>-\,\nabla^2 \mathbf{B}= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math> da cui: :<math>\nabla^2 \mathbf{B}= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}= \frac{1}{c2},\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math> Questo mostra che le equazioni di Maxwell nel vuoto implicano l’esistenza di onde elettromagnetiche che si propagano con velocità <math>c</math>, identificabile con la velocità della luce. ==Onda piana elettromagnetica nel vuoto== Consideriamo una soluzione d’onda piana delle equazioni d’onda per i campi elettrico e magnetico nel vuoto. Supponiamo che l’onda si propaghi lungo l’asse <math>x</math>. ===Ipotesi di propagazione e forma d’onda=== Assumiamo che i campi dipendano solo da <math>x</math> e da <math>t</math>: :<math>\mathbf{E} = \mathbf{E}(x,t), \qquad \mathbf{B} = \mathbf{B}(x,t)</math> Una soluzione d’onda piana armonica può essere scritta come: :<math>\mathbf{E}(x,t) = \mathbf{E}_0 \cos(kx - \omega t + \varphi_E)</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = \mathbf{B}_0 \cos(kx - \omega t + \varphi_B)</math> dove <math>k</math> è il numero d’onda, <math>\omega</math> la pulsazione, <math>\mathbf{E}_0</math> e <math>\mathbf{B}_0</math> sono vettori costanti (ampiezze), e <math>\varphi_E</math>, <math>\varphi_B</math> sono fasi iniziali. Per una onda piana nel vuoto, le equazioni di Maxwell impongono che: * la direzione di propagazione sia lungo <math>\hat{\mathbf{x}}</math> (deriva dall'ipotesi iniziale), * i campi siano trasversali, cioè ortogonali alla direzione di propagazione. {{Cassetto| titolo=Dimostrazione trasversalità del campo elettromagnetico| testo= Assumiamo che i campi dipendano solo da <math>x</math> e dal tempo <math>t</math>: :<math>\mathbf{E} = \mathbf{E}(x,t), \qquad \mathbf{B} = \mathbf{B}(x,t)</math> Scriviamo esplicitamente le componenti: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_x(x,t)\,\hat{\mathbf{x}} + E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}} </math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_x(x,t)\,\hat{\mathbf{x}} + B_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + B_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}. </math> Nel vuoto valgono le equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math> :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Calcoliamo la divergenza di <math>\mathbf{E}</math>. Poiché i campi dipendono solo da <math>x</math>: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E}= \frac{\partial E_x}{\partial x}</math> dato che <math>E_y</math> ed <math>E_z</math> non dipendono da <math>y</math> e <math>z</math>. La condizione <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math> implica quindi: :<math>\frac{\partial E_x}{\partial x} = 0</math> Questo significa che <math>E_x</math> è indipendente da <math>x</math>. Se vogliamo descrivere un’onda piana che si propaga lungo <math>x</math>, la dipendenza spaziale deve essere del tipo <math>\cos(kx - \omega t)</math> o <math>\sin(kx - \omega t)</math>. Una componente costante <math>E_x</math> non rappresenta un’onda, ma un campo uniforme. Per una soluzione d’onda piana pura, imponiamo quindi: :<math>E_x(x,t) = 0</math> I campi sono quindi trasversali: non hanno componente lungo <math>\hat{\mathbf{x}}</math>. Lo stesso ragionamento vale per <math>\mathbf{B}</math>: :<math>\nabla \cdot \mathbf{B}= \frac{\partial B_x}{\partial x} = 0\quad \Rightarrow \quad B_x(x,t) \text{ costante}</math> Anche qui, una componente costante non rappresenta un’onda. Per una soluzione d’onda piana nel vuoto si pone: :<math>B_x(x,t) = 0</math> Abbiamo quindi mostrato che, per un’onda piana che dipende solo da <math>x</math> e <math>t</math>, le componenti lungo la direzione di propagazione devono essere nulle: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + B_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}.</math> La condizione <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math> nel vuoto esprime l’assenza di cariche elettriche: non ci sono sorgenti o pozzi del campo elettrico. Per un’onda piana che si propaga lungo <math>x</math>, questo vincolo elimina la possibilità di una componente longitudinale variabile nel tempo. Rimane solo la parte trasversale, che oscilla ortogonalmente alla direzione di propagazione. Questo dimostra che le onde elettromagnetiche piane nel vuoto sono intrinsecamente trasversali: i campi oscillano solo nelle direzioni ortogonali alla direzione di propagazione. }} Possiamo quindi scegliere, ad esempio: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}.</math> In questa configurazione, l’onda si propaga lungo <math>x</math>, il campo elettrico è diretto lungo <math>y</math>, il campo magnetico lungo <math>z</math>, e i tre vettori sono mutuamente ortogonali. ===Equazione d’onda e relazione dispersione=== L’equazione d’onda per <math>\mathbf{E}</math> nel vuoto è: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2},\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Nel caso in cui <math>\mathbf{E}</math> dipenda solo da <math>x</math> e <math>t</math>, il [[w:Laplaciano_vettoriale|laplaciano]] si riduce a: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial x^2}.</math> Per la componente lungo <math>\hat{\mathbf{y}}</math>: :<math>E_y(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)</math> si ha: :<math>\frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}= -k^2 E_0 \cos(kx - \omega t)</math> :<math>\frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2}= -\omega^2 E_0 \cos(kx - \omega t)</math> Inserendo nell’equazione d’onda: :<math>-k^2 E_0 \cos(kx - \omega t)= \frac{1}{c^2}\left[-\omega^2 E_0 \cos(kx - \omega t)\right]</math> da cui: :<math>k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}</math> Questa è la relazione di dispersione per l’onda piana nel vuoto. In termini di lunghezza d’onda <math>\lambda</math> e frequenza <math>\nu</math>: :<math>k = \frac{2\pi}{\lambda}, \qquad \omega = 2\pi \nu</math> e la relazione <math>\omega = c k</math> implica: :<math>c = \lambda \nu</math> Lo stesso ragionamento vale per <math>\mathbf{B}</math>, che soddisfa la stessa equazione d’onda. ===Relazione tra <math>E_0</math> e <math>B_0</math>=== Le equazioni di Maxwell impongono inoltre: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math> Per l’onda piana scelta: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> si ha: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E}= \frac{\partial E_y}{\partial y} = 0</math> poiché <math>E_y</math> non dipende da <math>y</math>. Analogamente per <math>\mathbf{B}</math>. Questo conferma che i campi sono trasversali: non hanno componenti lungo la direzione di propagazione. Usando la [[Fisica_classica/Induzione_e_legge_di_Faraday|legge di Faraday]]: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> per l'onda piana considerata si ottiene la relazione tra le ampiezze. Il rotore di <math>\mathbf{E}</math> è: :<math>\nabla \times \mathbf{E}= \left(\frac{\partial E_y}{\partial x}\right)\hat{\mathbf{z}} = -k E_0 \sin(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La derivata temporale di <math>\mathbf{B}</math> è: :<math>\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}= -\omega B_0 \sin(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La legge di Faraday richiede: :<math>\nabla \times \mathbf{E}= -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\quad \Rightarrow \quad -k E_0 \sin(kx - \omega t)= -\left[-\omega B_0 \sin(kx - \omega t)\right]</math> cioè: :<math>-k E_0 = \omega B_0</math> Usando la relazione <math>\omega = c k</math>, si ottiene: :<math>E_0 = c\,B_0</math> Questa è una proprietà fondamentale dell’onda elettromagnetica piana nel vuoto: l’ampiezza del campo elettrico è pari alla velocità di propagazione <math>c</math> moltiplicata per l’ampiezza del campo magnetico. ==Polarizzazione delle onde elettromagnetiche== Una volta stabilito che, nel vuoto, un’onda elettromagnetica piana è trasversale, cioè i campi <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> oscillano in direzioni perpendicolari alla direzione di propagazione, rimane da descrivere come avviene questa oscillazione. La direzione in cui oscilla il campo elettrico definisce la polarizzazione dell’onda. Consideriamo un’onda che si propaga lungo l’asse <math>x</math>. Allora il campo elettrico ha solo componenti trasversali: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La forma temporale e spaziale dell’oscillazione determina il tipo di polarizzazione. ===Polarizzazione lineare=== Si ha polarizzazione lineare quando il campo elettrico oscilla sempre lungo una stessa direzione fissa nel piano trasversale. Per esempio: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> In questo caso il vettore <math>\mathbf{E}</math> rimane sempre parallelo a <math>\hat{\mathbf{y}}</math> Analogamente si può avere polarizzazione lineare lungo una qualunque direzione del piano <math>yz</math>, In generale: :<math>\mathbf{E}(x,t) =\left(E_{0y}\,\hat{\mathbf{y}} + E_{0z}\,\hat{\mathbf{z}}\right)\cos(kx - \omega t) </math> con <math>E_{0y}</math> e <math>E_{0z}</math> costanti, rappresenta una polarizzazione lineare lungo la direzione del vettore costante <math>\mathbf{E}_0</math>. ===Polarizzazione circolare=== Si ha polarizzazione circolare quando le componenti trasversali del campo elettrico hanno la stessa ampiezza, ma sono sfasate di <math>\pi/2</math> Esempio: :<math>E_y(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)</math> :<math>E_z(x,t) = E_0 \sin(kx - \omega t)</math> In questo caso, per un punto fissato nello spazio, il vettore <math>\mathbf{E}</math> ruota con velocità angolare <math>\omega</math> descrivendo una circonferenza nel piano <math>yz</math>. La rotazione può essere destrorsa o sinistrorsa a seconda del segno dello sfasamento. ===Polarizzazione ellittica=== La polarizzazione ellittica è il caso più generale: le componenti trasversali hanno ampiezze diverse e/o uno sfasamento arbitrario. Esempio: :<math>E_y(x,t) = E_{0y} \cos(kx - \omega t)</math> :<math>E_z(x,t) = E_{0z} \cos(kx - \omega t + \delta)</math> Per un punto fissato nello spazio, il vettore <math>\mathbf{E}</math> descrive un’ellisse nel piano trasversale. La polarizzazione lineare e quella circolare sono casi particolari della polarizzazione ellittica: * lineare: <math>\delta=0\quad o \quad \pi</math> * circolare: <math>E_{0y}=E_{0z}</math> e <math>\delta=\pm \pi/2</math> ===Rappresentazione complessa=== È spesso utile rappresentare l’onda tramite fasori: :<math>\mathbf{E}(x,t) = \Re\left\{\mathbf{E}_0\, e^{i(kx - \omega t)}\right\}</math> dove <math>\mathbf{E}_0</math> è un vettore complesso che contiene ampiezze e fasi delle componenti trasversali. La forma di <math>\mathbf{E}_0</math> determina immediatamente il tipo di polarizzazione. ==Struttura vettoriale dell’onda elettromagnetica piana== Una volta ricavate l’equazione d’onda, la soluzione piana e la trasversalità dei campi, è utile riassumere la struttura vettoriale dell’onda elettromagnetica nel vuoto. Questa struttura emerge direttamente dalle equazioni di Maxwell e descrive in modo compatto le relazioni geometriche tra i campi. Per un’onda piana che si propaga con vettore d’onda <math>\mathbf{k}</math>, i campi elettrico e magnetico soddisfano: :<math>\mathbf{k} \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad\mathbf{k} \cdot \mathbf{B} = 0</math> Queste relazioni, già ottenute dalla condizione di divergenza nulla, riassumono la trasversalità: i campi oscillano in direzioni perpendicolari alla direzione di propagazione. Inoltre, dalle equazioni di Maxwell segue che: :<math>\mathbf{E} \cdot \mathbf{B} = 0</math> I tre vettori <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{B}</math> e <math>\mathbf{k}</math> sono quindi mutuamente ortogonali. Dalla forma piana delle equazioni di Maxwell si ottiene la relazione compatta: :<math>\mathbf{B} = \frac{1}{\omega}\,\mathbf{k} \times \mathbf{E}.</math> Questa espressione riassume in un’unica formula: * l’ortogonalità tra <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math>, * la direzione di <math>\mathbf{B}</math> come prodotto vettoriale, * la fase comune dei due campi, * la relazione tra ampiezze (già dimostrata): :<math>B_0 = \frac{E_0}{c}</math> La direzione di propagazione dell’onda è determinata dal prodotto vettoriale: :<math>\mathbf{k} \propto \mathbf{E} \times \mathbf{B}.</math> Questa relazione è puramente geometrica, qui serve solo a mostrare che la terna (<math>\mathbf{E}</math>,<math>\mathbf{B}</math>,<math>\mathbf{k}</math>) è una terna destrorsa. ==[[w:Spettro_elettromagnetico|Spettro elettromagnetico]]== [[File:EM Spectrum Properties it.svg|1000px|center]] Le onde elettromagnetiche possono avere frequenze e lunghezze d’onda estremamente diverse tra loro. L’insieme di tutte le possibili frequenze costituisce lo spettro elettromagnetico. Poiché nel vuoto vale la relazione: :<math>c = \lambda\, \nu</math> una frequenza più alta corrisponde a una lunghezza d’onda più corta, e viceversa. Lo spettro elettromagnetico è continuo: non esistono “salti” tra una regione e l’altra. Le suddivisioni che seguono sono convenzionali e basate su modalità di produzione, rivelazione e applicazioni. ===Onde radio (RF)=== Le onde radio comprendono le frequenze più basse dello spettro e sono generate da correnti elettriche oscillanti in antenne di grandi dimensioni. La loro lunghezza d’onda molto elevata permette di coprire grandi distanze e di diffrangere attorno agli ostacoli, rendendole ideali per comunicazioni terrestri e marittime. Sono utilizzate in radiofonia, televisione, telecomunicazioni, radiolocalizzazione e radioastronomia. La loro produzione e rivelazione è relativamente semplice, motivo per cui sono state le prime onde elettromagnetiche sfruttate tecnologicamente. ===[[w:Microonde|Microonde]]=== Le microonde hanno lunghezze d’onda comprese tra decine di centimetri e pochi millimetri. Per le grandi potenze si impiegano sorgenti a vuoto come i [[w:Magnetron|magnetron]], robusti ed efficienti, utilizzati nei radar e nei forni a microonde; per le basse potenze si usano invece oscillatori a stato solido, più compatti e stabili. Le microonde sono fondamentali nelle comunicazioni satellitari, nei collegamenti punto‑punto, nei sistemi radar e in molte applicazioni industriali e scientifiche. La loro interazione selettiva con l’acqua le rende utili per il riscaldamento dielettrico. ==[[w:Infrarosso|Infrarosso]] (IR)== Le radiazioni infrarosse sono emesse da qualunque corpo caldo: la sorgente più comune è infatti la radiazione termica, che cresce con la temperatura secondo la [[w:Legge_di_Planck|legge di Planck]]. Anche le transizioni vibrazionali delle molecole producono infrarosso, motivo per cui questa regione dello spettro è fondamentale in spettroscopia. Gli infrarossi trovano impiego nella termografia, nelle telecomunicazioni in fibra ottica, nei telecomandi e nell’astronomia IR, che permette di osservare oggetti freddi o oscurati dalla polvere interstellare. Pur invisibili, sono tra le radiazioni più presenti nella vita quotidiana. ===[[w:Spettro_visibile|Luce visibile]]=== La luce visibile è la stretta porzione dello spettro percepita dall’occhio umano, compresa tra circa 400 e 700 nm. È prodotta principalmente da transizioni elettroniche negli atomi e nelle molecole, come avviene nelle lampade, nei LED e nelle stelle. La luce visibile è fondamentale per l’osservazione del mondo naturale e per la maggior parte delle tecnologie ottiche: lenti, microscopi, telescopi, fibre ottiche e strumenti di misura. Nonostante rappresenti una piccola parte dello spettro, è quella più studiata nella storia della fisica. ===[[w:Ultravioletto|Ultravioletto]]=== La radiazione ultravioletta ha lunghezze d’onda più corte del visibile ed è prodotta da transizioni elettroniche ad alta energia, scariche elettriche e sorgenti termiche molto calde. L’UV è in grado di ionizzare alcune molecole e di rompere legami chimici, motivo per cui è utilizzato nella sterilizzazione e nella disinfezione. Nell’atmosfera terrestre viene in gran parte assorbito dallo strato di [[w:Ozono|ozono]], proteggendo gli organismi viventi. In laboratorio e in astronomia l’UV è uno strumento prezioso per studiare materiali e plasmi ad alta energia. ===[[w:Raggi_X|Raggi X]]=== I raggi X sono generati principalmente dal frenamento di elettroni ad alta energia (''[[w:Bremsstrahlung|bremsstrahlung]]'') o da transizioni elettroniche profonde negli atomi. La loro capacità di attraversare materiali opachi li rende indispensabili nella diagnostica medica, nella tomografia computerizzata e nella cristallografia a raggi X, che permette di determinare la struttura dei cristalli e delle molecole complesse. In astronomia, i raggi X rivelano fenomeni estremi come buchi neri, stelle di neutroni e gas ad altissima temperatura. ===[[w:Raggi_gamma|Raggi gamma]]=== I raggi gamma sono le radiazioni più energetiche dello spettro e sono prodotti da processi nucleari, decadimenti radioattivi e fenomeni astrofisici estremi come supernovae e lampi gamma. La loro elevata energia permette di penetrare profondamente nella materia, rendendoli utili nella medicina nucleare, nella radioterapia e nella sterilizzazione di materiali. In astrofisica forniscono informazioni uniche sugli eventi più violenti dell’universo. La loro rivelazione richiede strumenti altamente specializzati. aq1goy7vnoo1tx225lr3av77dmt83tr 0 45449 499464 442335 2026-06-26T20:34:33Z ~2026-36883-00 54519 /* Note */ non risulta che Morgante sia professore incardinato 499464 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} == Organo maggiore == * '''Costruttore:''' Francesco Consoli * '''Anno:''' 1922 * '''Restauri/modifiche:''' La Frescobalda (1983), Vegezzi Bossi (2005) * '''Registri:''' 30 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' pneumatico-tubolare * '''Tastiere:''' 2 di 58 note (''Do<small>1</small>''-''La<small>5</small>'') * '''Pedaliera:''' dritta di 30 note (''Do<small>1</small>''-''Mi<small>3</small>'') * '''Collocazione:''' in corpo unico, su cantoria in controfacciata {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Pieno acuto 4 file || 1/3' |- |Pieno grave 4 file || 1.1/3' |- |Decimaquinta || 2' |- |Duodecima || 2.2/3' |- |Ottava dolce || 4' |- |Ottava forte || 4' |- |Principale || 8' |- |Principale || 16' |- |Flauto armonico || 4' |- |Flauto || 8' |- |Voce Umana || 8' |- |Gamba || 8' |- |Dulciana || 8' |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Espressivo''''' ---- |- |Regale || 8' |- |<span style="color:#8b0000;">Oboe</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |Concerto di viole || 8' |- |Viola celeste || 8' |- |Viola da gamba || 8' |- |Bordone || 8' |- |Flauto ottaviante || 4' |- |Flautino || 2' |- |Principalino || 8' |- |Ottavina || 4' |- |Pienino |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Contrabbasso || 16' |- |Violone || 16' |- |Subbasso || 16' |- |Ottava || 8' |- |Violoncello || 8' |- |} |} == Organo della cappella della Madonna della Madia == * '''Costruttore:''' Pietro De Simone junior * '''Anno:''' 1762 * '''Restauri/modifiche:''' Claudio Anselmi Tamburini (''Opus 21'', 1986)<ref>Restauro filologico diretto da Domenico Morgante</ref> * '''Registri:''' 7 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Tastiere:''' 1 di 45 note con prima ottava scavezza (''Do<small>1</small>''-''Do<small>5</small>'') * '''Pedaliera:''' scavezza a leggio di 8 note (''Do<small>1</small>''-''Si<small>1</small>''), priva di registri propri e costantemente unita al manuale<ref>Ricostruita nel 1986</ref> * '''Collocazione:''' in corpo unico mobile (organo positivo), a pavimento lungo la parete sinistra della Cappella * '''Accessori:''' ''Tiratutti del ripieno'' a pomello * '''Note:''' costruito per la chiesa di S. Teresa di Monopoli, fu spostato agli inizi dell'Ottocento nell'Oratorio dell'Arciconfraternita del SS.mo Sacramento in Cattedrale (la sede attuale) in seguito alla soppressione del Convento dei Teresiani. {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Colonna di sinistra - ''Ripieno''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Ottava || 4' |- |XV || 2' |- |XIX || 1.1/3' |- |XXII || 1' |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Colonna di destra - ''Concerto''''' ---- |- |Voce umana || 8'<ref>da ''Do<small>3</small>''.</ref> |- |Flauto in XII || 2.2/3' |- |} |} == Note == <references/> == Bibliografia == * {{cita libro|autore=Domenico Morgante|titolo=La musica in Puglia tra rinascite e rivoluzioni|città=Bari|editore=Fondazione Niccolò Piccinni|anno=1991|isbn=no}} == Altri progetti == {{ip|preposizione=sulla|etichetta=concattedrale di Maria Santissima della Madia a Monopoli}} == Collegamenti esterni == * {{cita web|url=https://organibaresi.jimdofree.com/tutti/diocesi-conversano-monopoli/monopoli/|titolo=Monopoli|sito=organibaresi.jimdofree.com|accesso=27 ottobre 2020}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne|Monopoli - Cattedrale di Maria Santissima della Madia]] lj3ugb689hjrnvkkealdun4b3yb14ta 0 60622 499466 499430 2026-06-27T07:42:02Z ~2026-36712-05 54517 499466 wikitext text/x-wiki {{Progetti GLAM della Biblioteca Centrale "Guglielmo Marconi" del CNR}} '''Marta Arosio, Giorgia Migliorelli, Maria Adelaide Ranchino, Sara Santorsa''' Il contributo presenta i progetti GLAM-Wikimedia della Biblioteca Centrale “G. Marconi” del CNR, finalizzati alla valorizzazione e disseminazione open access del patrimonio scientifico, storico e culturale dell’Ente attraverso le piattaforme Wikimedia. La Biblioteca Centrale, istituita nel 1927 grazie al conferimento al CNR del deposito legale delle pubblicazioni tecnico-scientifiche italiane, conserva oggi un patrimonio di circa un milione di volumi e rappresenta un punto di riferimento nazionale per la documentazione scientifica. Il progetto GLAM si basa su attività di digitalizzazione, metadatazione e pubblicazione online di materiali specialistici fino ad oggi consultabili solo in sede, con l’obiettivo di favorire accessibilità, riuso e diffusione della conoscenza. Particolare rilievo assume la valorizzazione del patrimonio cartografico del CNR, con la pubblicazione open access dell’“''Atlas of Isoseismal Maps of Italian Earthquakes''”, del “''Catalogo dei terremoti italiani dall’anno 1000 al 1980”'' e dello “''Structural Model of Italy''”. Il progetto integra, inoltre, strumenti di linked open data attraverso Wikidata, promuovendo interoperabilità e identificazione stabile delle risorse digitali. Fondamentale è anche la dimensione educativa e divulgativa: i laboratori realizzati con le scuole hanno portato alla produzione di un Wikibook dedicato alla cartografia digitale e alla disseminazione partecipata della ricerca.  In tale contesto, assume un ruolo centrale anche la collaborazione con l’università, in particolare con il Corso di Laurea magistrale in Archivistica e Biblioteconomia della Sapienza Università di Roma, attraverso il coinvolgimento di tirocinanti impegnate nelle attività di selezione, studio, digitalizzazione e metadatazione dei materiali. L’esperienza dimostra come il dialogo tra biblioteca, ricerca e formazione accademica rappresenti un elemento fondamentale per la costruzione di competenze transdisciplinari legate alle digital humanities, all’open science e alla valorizzazione del patrimonio culturale digitale. L’esperienza si estende inoltre ai temi dell’accessibilità, con il progetto GLAM ISTC dedicato ai materiali sulla Lingua dei Segni Italiana, e alla valorizzazione musicale attraverso la collaborazione con la Biblioteca del Conservatorio Santa Cecilia. Il progetto si configura così come un modello integrato di open science, inclusione e valorizzazione del patrimonio culturale digitale. {{Avanzamento|50%|25 giugno 2026}} [[Categoria:Progetti GLAM della Biblioteca Centrale "Guglielmo Marconi" del CNR|Progetti GLAM della Biblioteca Centrale del CNR: dalla digitalizzazione al Wikibook]] 4pm38g2s169do2hpq5xlt37kfh0e8cm