Wikibooks itwikibooks https://it.wikibooks.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.8 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikibooks Discussioni Wikibooks File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Progetto Discussioni progetto Ripiano Discussioni ripiano TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 2 5293 499481 499465 2026-06-27T16:59:10Z Pasquale.Carelli 528 499481 wikitext text/x-wiki {{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. --> {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Linea di trasmissione |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Linea_di_trasmissione |CapitoloSuccessivo=Il vettore di Poynting |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Il_vettore_di_Poynting }} {{fisica classica}} [[File:Electromagneticwave3D.gif|thumb|left|Le onde elettromagnetiche possono essere immaginate come onde trasversali auto-propaganti di campi elettrici e magnetici. Questa animazione 3D mostra un'onda piana a polarizzazione lineare che si propaga da sinistra a destra. I campi elettrico e magnetico in un'onda di questo tipo sono in fase tra loro, raggiungendo minimi e massimi contemporaneamente.]] Nei capitoli precedenti abbiamo incontrato diversi tipi di onde: le onde sonore, che si propagano come compressioni e rarefazioni in un mezzo materiale; le onde del mare, in cui l’acqua oscilla attorno alla posizione di equilibrio; la corda vibrante, in cui la tensione del mezzo fornisce la forza di richiamo; e le onde sulle linee di trasmissione, descritte da variazioni accoppiate di tensione e corrente. In tutti questi casi l’onda consiste in una perturbazione che si propaga, mentre le particelle del mezzo oscillano localmente senza trasporto netto di materia. Le onde elettromagnetiche rappresentano un passo ulteriore: sono onde che non richiedono alcun mezzo materiale. Ciò che oscilla non è un corpo, né un fluido, né una grandezza elettrica legata a un conduttore, ma il campo elettrico e il campo magnetico stessi. La loro esistenza emerge direttamente dalle [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell|equazioni di Maxwell]] ed è una delle scoperte più profonde della fisica dell’Ottocento. [[w:James_Clerk_Maxwell|Maxwell]] comprese che un campo elettrico variabile nel tempo genera un campo magnetico (legge di Ampère‑Maxwell), e che un campo magnetico variabile genera a sua volta un campo elettrico (legge di Faraday). Questi due processi formano un accoppiamento dinamico: * variazioni di <math>\mathbf{E}</math> producono <math>\mathbf{B}</math>, * variazioni di <math>\mathbf{B}</math> producono <math>\mathbf{E}</math>. Da questo meccanismo nasce la possibilità di una perturbazione che si rigenera mentre avanza nello spazio: un’onda elettromagnetica. A differenza delle onde meccaniche, che richiedono un mezzo materiale in cui le particelle oscillano attorno alla loro posizione di equilibrio, le onde elettromagnetiche non hanno bisogno di alcun mezzo: sono oscillazioni auto‑sostenute del campo elettrico e magnetico nel vuoto. In entrambi i casi non vi è trasporto netto di materia, ma solo propagazione di una perturbazione. ==Dalle equazioni di Maxwell all'equazione delle onde== Nel vuoto, le equazioni di Maxwell assumono la forma: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,</math> :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. </math> Vogliamo mostrare che i campi <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> soddisfano un’equazione d’onda del tipo: :<math> \nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}, \qquad \nabla^2 \mathbf{B} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}, </math> dove <math>c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}</math>. ===Equazione delle onde per il campo elettrico=== Consideriamo il rotore del rotore di <math>\mathbf{E}</math>: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})</math> Usiamo l’identità vettoriale: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} </math> Nel vuoto vale <math>\nabla \cdot \mathbf{E}=0</math>, quindi: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= -\,\nabla^2 \mathbf{E}</math> D’altra parte, dalle equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> Prendiamo il rotore di entrambi i membri: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= \nabla \times \left(-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right)= -\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})</math> Ora sostituiamo <math>\nabla \times \mathbf{B}</math> dalla quarta equazione di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Otteniamo: :<math>-\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})= -\,\frac{\partial}{\partial t} \left(\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Ma abbiamo anche: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\,\nabla^2 \mathbf{E}</math> Eguagliando le due espressioni: :<math>-\,\nabla^2 \mathbf{E}= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}.</math> Eliminando il segno meno: :<math>\nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Definendo: :<math>c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}</math> si ottiene: :<math>\nabla^2 \mathbf{E}= \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> che è l’equazione delle onde per il campo elettrico. ===Equazione delle onde per il campo magnetico=== La dimostrazione per <math>\mathbf{B}</math> è del tutto analoga. Partiamo dall’identità vettoriale: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \nabla^2 \mathbf{B}</math> Sempre <math>\nabla \cdot \mathbf{B}=0</math>, quindi: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= -\,\nabla^2 \mathbf{B}</math> Dalle equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Prendiamo il rotore di entrambi i membri: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= \nabla \times \left(\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E}).</math> Ora sostituiamo <math>\nabla \times \mathbf{E}</math> dalla terza equazione di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> Otteniamo: :<math>\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E})= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}\left(-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right) = -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}. </math> Ma abbiamo anche: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= -\,\nabla^2 \mathbf{B}</math> Eguagliando: :<math>-\,\nabla^2 \mathbf{B}= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math> da cui: :<math>\nabla^2 \mathbf{B}= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}= \frac{1}{c2},\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math> Questo mostra che le equazioni di Maxwell nel vuoto implicano l’esistenza di onde elettromagnetiche che si propagano con velocità <math>c</math>, identificabile con la velocità della luce. ==Onda piana elettromagnetica nel vuoto== Consideriamo una soluzione d’onda piana delle equazioni d’onda per i campi elettrico e magnetico nel vuoto. Supponiamo che l’onda si propaghi lungo l’asse <math>x</math>. ===Ipotesi di propagazione e forma d’onda=== Assumiamo che i campi dipendano solo da <math>x</math> e da <math>t</math>: :<math>\mathbf{E} = \mathbf{E}(x,t), \qquad \mathbf{B} = \mathbf{B}(x,t)</math> Una soluzione d’onda piana armonica può essere scritta come: :<math>\mathbf{E}(x,t) = \mathbf{E}_0 \cos(kx - \omega t + \varphi_E)</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = \mathbf{B}_0 \cos(kx - \omega t + \varphi_B)</math> dove <math>k</math> è il numero d’onda, <math>\omega</math> la pulsazione, <math>\mathbf{E}_0</math> e <math>\mathbf{B}_0</math> sono vettori costanti (ampiezze), e <math>\varphi_E</math>, <math>\varphi_B</math> sono fasi iniziali. Per una onda piana nel vuoto, le equazioni di Maxwell impongono che: * la direzione di propagazione sia lungo <math>\hat{\mathbf{x}}</math> (deriva dall'ipotesi iniziale), * i campi siano trasversali, cioè ortogonali alla direzione di propagazione. {{Cassetto| titolo=Dimostrazione trasversalità del campo elettromagnetico| testo= Assumiamo che i campi dipendano solo da <math>x</math> e dal tempo <math>t</math>: :<math>\mathbf{E} = \mathbf{E}(x,t), \qquad \mathbf{B} = \mathbf{B}(x,t)</math> Scriviamo esplicitamente le componenti: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_x(x,t)\,\hat{\mathbf{x}} + E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}} </math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_x(x,t)\,\hat{\mathbf{x}} + B_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + B_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}. </math> Nel vuoto valgono le equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math> :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Calcoliamo la divergenza di <math>\mathbf{E}</math>. Poiché i campi dipendono solo da <math>x</math>: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E}= \frac{\partial E_x}{\partial x}</math> dato che <math>E_y</math> ed <math>E_z</math> non dipendono da <math>y</math> e <math>z</math>. La condizione <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math> implica quindi: :<math>\frac{\partial E_x}{\partial x} = 0</math> Questo significa che <math>E_x</math> è indipendente da <math>x</math>. Se vogliamo descrivere un’onda piana che si propaga lungo <math>x</math>, la dipendenza spaziale deve essere del tipo <math>\cos(kx - \omega t)</math> o <math>\sin(kx - \omega t)</math>. Una componente costante <math>E_x</math> non rappresenta un’onda, ma un campo uniforme. Per una soluzione d’onda piana pura, imponiamo quindi: :<math>E_x(x,t) = 0</math> I campi sono quindi trasversali: non hanno componente lungo <math>\hat{\mathbf{x}}</math>. Lo stesso ragionamento vale per <math>\mathbf{B}</math>: :<math>\nabla \cdot \mathbf{B}= \frac{\partial B_x}{\partial x} = 0\quad \Rightarrow \quad B_x(x,t) \text{ costante}</math> Anche qui, una componente costante non rappresenta un’onda. Per una soluzione d’onda piana nel vuoto si pone: :<math>B_x(x,t) = 0</math> Abbiamo quindi mostrato che, per un’onda piana che dipende solo da <math>x</math> e <math>t</math>, le componenti lungo la direzione di propagazione devono essere nulle: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + B_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}.</math> La condizione <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math> nel vuoto esprime l’assenza di cariche elettriche: non ci sono sorgenti o pozzi del campo elettrico. Per un’onda piana che si propaga lungo <math>x</math>, questo vincolo elimina la possibilità di una componente longitudinale variabile nel tempo. Rimane solo la parte trasversale, che oscilla ortogonalmente alla direzione di propagazione. Questo dimostra che le onde elettromagnetiche piane nel vuoto sono intrinsecamente trasversali: i campi oscillano solo nelle direzioni ortogonali alla direzione di propagazione. }} Possiamo quindi scegliere, ad esempio: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}.</math> In questa configurazione, l’onda si propaga lungo <math>x</math>, il campo elettrico è diretto lungo <math>y</math>, il campo magnetico lungo <math>z</math>, e i tre vettori sono mutuamente ortogonali. ===Equazione d’onda e relazione dispersione=== L’equazione d’onda per <math>\mathbf{E}</math> nel vuoto è: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2},\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Nel caso in cui <math>\mathbf{E}</math> dipenda solo da <math>x</math> e <math>t</math>, il [[w:Laplaciano_vettoriale|laplaciano]] si riduce a: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial x^2}.</math> Per la componente lungo <math>\hat{\mathbf{y}}</math>: :<math>E_y(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)</math> si ha: :<math>\frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}= -k^2 E_0 \cos(kx - \omega t)</math> :<math>\frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2}= -\omega^2 E_0 \cos(kx - \omega t)</math> Inserendo nell’equazione d’onda: :<math>-k^2 E_0 \cos(kx - \omega t)= \frac{1}{c^2}\left[-\omega^2 E_0 \cos(kx - \omega t)\right]</math> da cui: :<math>k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}</math> Questa è la relazione di dispersione per l’onda piana nel vuoto. In termini di lunghezza d’onda <math>\lambda</math> e frequenza <math>\nu</math>: :<math>k = \frac{2\pi}{\lambda}, \qquad \omega = 2\pi \nu</math> e la relazione <math>\omega = c k</math> implica: :<math>c = \lambda \nu</math> Lo stesso ragionamento vale per <math>\mathbf{B}</math>, che soddisfa la stessa equazione d’onda. ===Relazione tra <math>E_0</math> e <math>B_0</math>=== Le equazioni di Maxwell impongono inoltre: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math> Per l’onda piana scelta: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> si ha: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E}= \frac{\partial E_y}{\partial y} = 0</math> poiché <math>E_y</math> non dipende da <math>y</math>. Analogamente per <math>\mathbf{B}</math>. Questo conferma che i campi sono trasversali: non hanno componenti lungo la direzione di propagazione. Usando la [[Fisica_classica/Induzione_e_legge_di_Faraday|legge di Faraday]]: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> per l'onda piana considerata si ottiene la relazione tra le ampiezze. Il rotore di <math>\mathbf{E}</math> è: :<math>\nabla \times \mathbf{E}= \left(\frac{\partial E_y}{\partial x}\right)\hat{\mathbf{z}} = -k E_0 \sin(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La derivata temporale di <math>\mathbf{B}</math> è: :<math>\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}= -\omega B_0 \sin(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La legge di Faraday richiede: :<math>\nabla \times \mathbf{E}= -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\quad \Rightarrow \quad -k E_0 \sin(kx - \omega t)= -\left[-\omega B_0 \sin(kx - \omega t)\right]</math> cioè: :<math>-k E_0 = \omega B_0</math> Usando la relazione <math>\omega = c k</math>, si ottiene: :<math>E_0 = c\,B_0</math> Questa è una proprietà fondamentale dell’onda elettromagnetica piana nel vuoto: l’ampiezza del campo elettrico è pari alla velocità di propagazione <math>c</math> moltiplicata per l’ampiezza del campo magnetico. ==Polarizzazione delle onde elettromagnetiche== Una volta stabilito che, nel vuoto, un’onda elettromagnetica piana è trasversale, cioè i campi <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> oscillano in direzioni perpendicolari alla direzione di propagazione, rimane da descrivere come avviene questa oscillazione. La direzione in cui oscilla il campo elettrico definisce la polarizzazione dell’onda. Consideriamo un’onda che si propaga lungo l’asse <math>x</math>. Allora il campo elettrico ha solo componenti trasversali: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La forma temporale e spaziale dell’oscillazione determina il tipo di polarizzazione. ===Polarizzazione lineare=== Si ha polarizzazione lineare quando il campo elettrico oscilla sempre lungo una stessa direzione fissa nel piano trasversale. Per esempio: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> In questo caso il vettore <math>\mathbf{E}</math> rimane sempre parallelo a <math>\hat{\mathbf{y}}</math> Analogamente si può avere polarizzazione lineare lungo una qualunque direzione del piano <math>yz</math>, In generale: :<math>\mathbf{E}(x,t) =\left(E_{0y}\,\hat{\mathbf{y}} + E_{0z}\,\hat{\mathbf{z}}\right)\cos(kx - \omega t) </math> con <math>E_{0y}</math> e <math>E_{0z}</math> costanti, rappresenta una polarizzazione lineare lungo la direzione del vettore costante <math>\mathbf{E}_0</math>. ===Polarizzazione circolare=== Si ha polarizzazione circolare quando le componenti trasversali del campo elettrico hanno la stessa ampiezza, ma sono sfasate di <math>\pi/2</math> Esempio: :<math>E_y(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)</math> :<math>E_z(x,t) = E_0 \sin(kx - \omega t)</math> In questo caso, per un punto fissato nello spazio, il vettore <math>\mathbf{E}</math> ruota con velocità angolare <math>\omega</math> descrivendo una circonferenza nel piano <math>yz</math>. La rotazione può essere destrorsa o sinistrorsa a seconda del segno dello sfasamento. ===Polarizzazione ellittica=== La polarizzazione ellittica è il caso più generale: le componenti trasversali hanno ampiezze diverse e/o uno sfasamento arbitrario. Esempio: :<math>E_y(x,t) = E_{0y} \cos(kx - \omega t)</math> :<math>E_z(x,t) = E_{0z} \cos(kx - \omega t + \delta)</math> Per un punto fissato nello spazio, il vettore <math>\mathbf{E}</math> descrive un’ellisse nel piano trasversale. La polarizzazione lineare e quella circolare sono casi particolari della polarizzazione ellittica: * lineare: <math>\delta=0\quad o \quad \pi</math> * circolare: <math>E_{0y}=E_{0z}</math> e <math>\delta=\pm \pi/2</math> ===Rappresentazione complessa=== È spesso utile rappresentare l’onda tramite fasori: :<math>\mathbf{E}(x,t) = \Re\left\{\mathbf{E}_0\, e^{i(kx - \omega t)}\right\}</math> dove <math>\mathbf{E}_0</math> è un vettore complesso che contiene ampiezze e fasi delle componenti trasversali. La forma di <math>\mathbf{E}_0</math> determina immediatamente il tipo di polarizzazione. ==Struttura vettoriale dell’onda elettromagnetica piana== Una volta ricavate l’equazione d’onda, la soluzione piana e la trasversalità dei campi, è utile riassumere la struttura vettoriale dell’onda elettromagnetica nel vuoto. Questa struttura emerge direttamente dalle equazioni di Maxwell e descrive in modo compatto le relazioni geometriche tra i campi. Per un’onda piana che si propaga con vettore d’onda <math>\mathbf{k}</math>, i campi elettrico e magnetico soddisfano: :<math>\mathbf{k} \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad\mathbf{k} \cdot \mathbf{B} = 0</math> Queste relazioni, già ottenute dalla condizione di divergenza nulla, riassumono la trasversalità: i campi oscillano in direzioni perpendicolari alla direzione di propagazione. Inoltre, dalle equazioni di Maxwell segue che: :<math>\mathbf{E} \cdot \mathbf{B} = 0</math> I tre vettori <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{B}</math> e <math>\mathbf{k}</math> sono quindi mutuamente ortogonali. Dalla forma piana delle equazioni di Maxwell si ottiene la relazione compatta: :<math>\mathbf{B} = \frac{1}{\omega}\,\mathbf{k} \times \mathbf{E}.</math> Questa espressione riassume in un’unica formula: * l’ortogonalità tra <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math>, * la direzione di <math>\mathbf{B}</math> come prodotto vettoriale, * la fase comune dei due campi, * la relazione tra ampiezze (già dimostrata): :<math>B_0 = \frac{E_0}{c}</math> La direzione di propagazione dell’onda è determinata dal prodotto vettoriale: :<math>\mathbf{k} \propto \mathbf{E} \times \mathbf{B}.</math> Questa relazione è puramente geometrica, qui serve solo a mostrare che la terna (<math>\mathbf{E}</math>,<math>\mathbf{B}</math>,<math>\mathbf{k}</math>) è una terna destrorsa. ==[[w:Spettro_elettromagnetico|Spettro elettromagnetico]]== [[File:EM Spectrum Properties it.svg|1000px|center]] Le onde elettromagnetiche possono avere frequenze e lunghezze d’onda estremamente diverse tra loro. L’insieme di tutte le possibili frequenze costituisce lo spettro elettromagnetico. Poiché nel vuoto vale la relazione: :<math>c = \lambda\, \nu</math> una frequenza più alta corrisponde a una lunghezza d’onda più corta, e viceversa. Lo spettro elettromagnetico è continuo: non esistono “salti” tra una regione e l’altra. Le suddivisioni che seguono sono convenzionali e basate su modalità di produzione, rivelazione e applicazioni. ===Onde radio (RF)=== Le onde radio comprendono le frequenze più basse dello spettro e sono generate da correnti elettriche oscillanti in antenne di grandi dimensioni. La loro lunghezza d’onda molto elevata permette di coprire grandi distanze e di diffrangere attorno agli ostacoli, rendendole ideali per comunicazioni terrestri e marittime. Sono utilizzate in radiofonia, televisione, telecomunicazioni, radiolocalizzazione e radioastronomia. La loro produzione e rivelazione è relativamente semplice, motivo per cui sono state le prime onde elettromagnetiche sfruttate tecnologicamente. ===[[w:Microonde|Microonde]]=== Le microonde hanno lunghezze d’onda comprese tra decine di centimetri e pochi millimetri. Per le grandi potenze si impiegano sorgenti a vuoto come i [[w:Magnetron|magnetron]], robusti ed efficienti, utilizzati nei radar e nei forni a microonde; per le basse potenze si usano invece oscillatori a stato solido, più compatti e stabili. Le microonde sono fondamentali nelle comunicazioni satellitari, nei collegamenti punto‑punto, nei sistemi radar e in molte applicazioni industriali e scientifiche. La loro interazione selettiva con l’acqua le rende utili per il riscaldamento dielettrico. ==[[w:Infrarosso|Infrarosso]] (IR)== Le radiazioni infrarosse sono emesse da qualunque corpo caldo: la sorgente più comune è infatti la radiazione termica, che cresce con la temperatura secondo la [[w:Legge_di_Planck|legge di Planck]]. Anche le transizioni vibrazionali delle molecole producono infrarosso, motivo per cui questa regione dello spettro è fondamentale in spettroscopia. Gli infrarossi trovano impiego nella termografia, nelle telecomunicazioni in fibra ottica, nei telecomandi e nell’astronomia IR, che permette di osservare oggetti freddi o oscurati dalla polvere interstellare. Pur invisibili, sono tra le radiazioni più presenti nella vita quotidiana. ===[[w:Spettro_visibile|Luce visibile]]=== La luce visibile è la stretta porzione dello spettro percepita dall’occhio umano, compresa tra circa 400 e 700 nm. È prodotta principalmente da transizioni elettroniche negli atomi e nelle molecole, come avviene nelle lampade, nei LED e nelle stelle. La luce visibile è fondamentale per l’osservazione del mondo naturale e per la maggior parte delle tecnologie ottiche: lenti, microscopi, telescopi, fibre ottiche e strumenti di misura. Nonostante rappresenti una piccola parte dello spettro, è quella più studiata nella storia della fisica. ===[[w:Ultravioletto|Ultravioletto]]=== La radiazione ultravioletta ha lunghezze d’onda più corte del visibile ed è prodotta da transizioni elettroniche ad alta energia, scariche elettriche e sorgenti termiche molto calde. L’UV è in grado di ionizzare alcune molecole e di rompere legami chimici, motivo per cui è utilizzato nella sterilizzazione e nella disinfezione. Nell’atmosfera terrestre viene in gran parte assorbito dallo strato di [[w:Ozono|ozono]], proteggendo gli organismi viventi. In laboratorio e in astronomia l’UV è uno strumento prezioso per studiare materiali e plasmi ad alta energia. ===[[w:Raggi_X|Raggi X]]=== I raggi X sono generati principalmente dal frenamento di elettroni ad alta energia (''[[w:Bremsstrahlung|bremsstrahlung]]'') o da transizioni elettroniche profonde negli atomi. La loro capacità di attraversare materiali opachi li rende indispensabili nella diagnostica medica, nella tomografia computerizzata e nella cristallografia a raggi X, che permette di determinare la struttura dei cristalli e delle molecole complesse. In astronomia, i raggi X rivelano fenomeni estremi come buchi neri, stelle di neutroni e gas ad altissima temperatura. ===[[w:Raggi_gamma|Raggi gamma]]=== I raggi gamma sono le radiazioni più energetiche dello spettro e sono prodotti da processi nucleari, decadimenti radioattivi e fenomeni astrofisici estremi come supernovae e lampi gamma. La loro elevata energia permette di penetrare profondamente nella materia, rendendoli utili nella medicina nucleare, nella radioterapia e nella sterilizzazione di materiali. In astrofisica forniscono informazioni uniche sugli eventi più violenti dell’universo. La loro rivelazione richiede strumenti altamente specializzati. [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} 7qmgni21nrtam0wjqtqhxe7zvay8w2k 499483 499481 2026-06-27T19:22:57Z Pasquale.Carelli 528 499483 wikitext text/x-wiki {{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. --> {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Linea di trasmissione |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Linea_di_trasmissione |CapitoloSuccessivo=Il vettore di Poynting |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Il_vettore_di_Poynting }} {{fisica classica}} [[File:Electromagneticwave3D.gif|thumb|left|Le onde elettromagnetiche possono essere immaginate come onde trasversali auto-propaganti di campi elettrici e magnetici. Questa animazione 3D mostra un'onda piana a polarizzazione lineare che si propaga da sinistra a destra. I campi elettrico e magnetico in un'onda di questo tipo sono in fase tra loro, raggiungendo minimi e massimi contemporaneamente.]] Nei capitoli precedenti abbiamo incontrato diversi tipi di onde: le onde sonore, che si propagano come compressioni e rarefazioni in un mezzo materiale; le onde del mare, in cui l’acqua oscilla attorno alla posizione di equilibrio; la corda vibrante, in cui la tensione del mezzo fornisce la forza di richiamo; e le onde sulle linee di trasmissione, descritte da variazioni accoppiate di tensione e corrente. In tutti questi casi l’onda consiste in una perturbazione che si propaga, mentre le particelle del mezzo oscillano localmente senza trasporto netto di materia. Le onde elettromagnetiche rappresentano un passo ulteriore: sono onde che non richiedono alcun mezzo materiale. Ciò che oscilla non è un corpo, né un fluido, né una grandezza elettrica legata a un conduttore, ma il campo elettrico e il campo magnetico stessi. La loro esistenza emerge direttamente dalle [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell|equazioni di Maxwell]] ed è una delle scoperte più profonde della fisica dell’Ottocento. [[w:James_Clerk_Maxwell|Maxwell]] comprese che un campo elettrico variabile nel tempo genera un campo magnetico (legge di Ampère‑Maxwell), e che un campo magnetico variabile genera a sua volta un campo elettrico (legge di Faraday). Questi due processi formano un accoppiamento dinamico: * variazioni di <math>\mathbf{E}</math> producono <math>\mathbf{B}</math>, * variazioni di <math>\mathbf{B}</math> producono <math>\mathbf{E}</math>. Da questo meccanismo nasce la possibilità di una perturbazione che si rigenera mentre avanza nello spazio: un’onda elettromagnetica. A differenza delle onde meccaniche, che richiedono un mezzo materiale in cui le particelle oscillano attorno alla loro posizione di equilibrio, le onde elettromagnetiche non hanno bisogno di alcun mezzo: sono oscillazioni auto‑sostenute del campo elettrico e magnetico nel vuoto. In entrambi i casi non vi è trasporto netto di materia, ma solo propagazione di una perturbazione. ==Dalle equazioni di Maxwell all'equazione delle onde== Nel vuoto, le equazioni di Maxwell assumono la forma: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,</math> :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. </math> Vogliamo mostrare che i campi <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> soddisfano un’equazione d’onda del tipo: :<math> \nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}, \qquad \nabla^2 \mathbf{B} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}, </math> dove <math>c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}</math>. ===Equazione delle onde per il campo elettrico=== Consideriamo il rotore del rotore di <math>\mathbf{E}</math>: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})</math> Usiamo l’identità vettoriale: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} </math> Nel vuoto vale <math>\nabla \cdot \mathbf{E}=0</math>, quindi: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= -\,\nabla^2 \mathbf{E}</math> D’altra parte, dalle equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> Prendiamo il rotore di entrambi i membri: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= \nabla \times \left(-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right)= -\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})</math> Ora sostituiamo <math>\nabla \times \mathbf{B}</math> dalla quarta equazione di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Otteniamo: :<math>-\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})= -\,\frac{\partial}{\partial t} \left(\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Ma abbiamo anche: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\,\nabla^2 \mathbf{E}</math> Eguagliando le due espressioni: :<math>-\,\nabla^2 \mathbf{E}= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}.</math> Eliminando il segno meno: :<math>\nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Definendo: :<math>c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}</math> si ottiene: :<math>\nabla^2 \mathbf{E}= \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> che è l’equazione delle onde per il campo elettrico. ===Equazione delle onde per il campo magnetico=== La dimostrazione per <math>\mathbf{B}</math> è del tutto analoga. Partiamo dall’identità vettoriale: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \nabla^2 \mathbf{B}</math> Sempre <math>\nabla \cdot \mathbf{B}=0</math>, quindi: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= -\,\nabla^2 \mathbf{B}</math> Dalle equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Prendiamo il rotore di entrambi i membri: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= \nabla \times \left(\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E}).</math> Ora sostituiamo <math>\nabla \times \mathbf{E}</math> dalla terza equazione di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> Otteniamo: :<math>\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E})= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}\left(-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right) = -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}. </math> Ma abbiamo anche: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= -\,\nabla^2 \mathbf{B}</math> Eguagliando: :<math>-\,\nabla^2 \mathbf{B}= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math> da cui: :<math>\nabla^2 \mathbf{B}= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}= \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math> Questo mostra che le equazioni di Maxwell nel vuoto implicano l’esistenza di onde elettromagnetiche che si propagano con velocità <math>c</math>, identificabile con la velocità della luce. ==Onda piana elettromagnetica nel vuoto== Consideriamo una soluzione d’onda piana delle equazioni d’onda per i campi elettrico e magnetico nel vuoto. Supponiamo che l’onda si propaghi lungo l’asse <math>x</math>. ===Ipotesi di propagazione e forma d’onda=== Assumiamo che i campi dipendano solo da <math>x</math> e da <math>t</math>: :<math>\mathbf{E} = \mathbf{E}(x,t), \qquad \mathbf{B} = \mathbf{B}(x,t)</math> Una soluzione d’onda piana armonica può essere scritta come: :<math>\mathbf{E}(x,t) = \mathbf{E}_0 \cos(kx - \omega t + \varphi_E)</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = \mathbf{B}_0 \cos(kx - \omega t + \varphi_B)</math> dove <math>k</math> è il numero d’onda, <math>\omega</math> la pulsazione, <math>\mathbf{E}_0</math> e <math>\mathbf{B}_0</math> sono vettori costanti (ampiezze), e <math>\varphi_E</math>, <math>\varphi_B</math> sono fasi iniziali. Per una onda piana nel vuoto, le equazioni di Maxwell impongono che: * la direzione di propagazione sia lungo <math>\hat{\mathbf{x}}</math> (deriva dall'ipotesi iniziale), * i campi siano trasversali, cioè ortogonali alla direzione di propagazione. {{Cassetto| titolo=Dimostrazione trasversalità del campo elettromagnetico| testo= Assumiamo che i campi dipendano solo da <math>x</math> e dal tempo <math>t</math>: :<math>\mathbf{E} = \mathbf{E}(x,t), \qquad \mathbf{B} = \mathbf{B}(x,t)</math> Scriviamo esplicitamente le componenti: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_x(x,t)\,\hat{\mathbf{x}} + E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}} </math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_x(x,t)\,\hat{\mathbf{x}} + B_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + B_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}. </math> Nel vuoto valgono le equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math> :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Calcoliamo la divergenza di <math>\mathbf{E}</math>. Poiché i campi dipendono solo da <math>x</math>: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E}= \frac{\partial E_x}{\partial x}</math> dato che <math>E_y</math> ed <math>E_z</math> non dipendono da <math>y</math> e <math>z</math>. La condizione <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math> implica quindi: :<math>\frac{\partial E_x}{\partial x} = 0</math> Questo significa che <math>E_x</math> è indipendente da <math>x</math>. Se vogliamo descrivere un’onda piana che si propaga lungo <math>x</math>, la dipendenza spaziale deve essere del tipo <math>\cos(kx - \omega t)</math> o <math>\sin(kx - \omega t)</math>. Una componente costante <math>E_x</math> non rappresenta un’onda, ma un campo uniforme. Per una soluzione d’onda piana pura, imponiamo quindi: :<math>E_x(x,t) = 0</math> I campi sono quindi trasversali: non hanno componente lungo <math>\hat{\mathbf{x}}</math>. Lo stesso ragionamento vale per <math>\mathbf{B}</math>: :<math>\nabla \cdot \mathbf{B}= \frac{\partial B_x}{\partial x} = 0\quad \Rightarrow \quad B_x(x,t) \text{ costante}</math> Anche qui, una componente costante non rappresenta un’onda. Per una soluzione d’onda piana nel vuoto si pone: :<math>B_x(x,t) = 0</math> Abbiamo quindi mostrato che, per un’onda piana che dipende solo da <math>x</math> e <math>t</math>, le componenti lungo la direzione di propagazione devono essere nulle: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + B_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}.</math> La condizione <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math> nel vuoto esprime l’assenza di cariche elettriche: non ci sono sorgenti o pozzi del campo elettrico. Per un’onda piana che si propaga lungo <math>x</math>, questo vincolo elimina la possibilità di una componente longitudinale variabile nel tempo. Rimane solo la parte trasversale, che oscilla ortogonalmente alla direzione di propagazione. Questo dimostra che le onde elettromagnetiche piane nel vuoto sono intrinsecamente trasversali: i campi oscillano solo nelle direzioni ortogonali alla direzione di propagazione. }} Possiamo quindi scegliere, ad esempio: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}.</math> In questa configurazione, l’onda si propaga lungo <math>x</math>, il campo elettrico è diretto lungo <math>y</math>, il campo magnetico lungo <math>z</math>, e i tre vettori sono mutuamente ortogonali. ===Equazione d’onda e relazione dispersione=== L’equazione d’onda per <math>\mathbf{E}</math> nel vuoto è: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Nel caso in cui <math>\mathbf{E}</math> dipenda solo da <math>x</math> e <math>t</math>, il [[w:Laplaciano_vettoriale|laplaciano]] si riduce a: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial x^2}.</math> Per la componente lungo <math>\hat{\mathbf{y}}</math>: :<math>E_y(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)</math> si ha: :<math>\frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}= -k^2 E_0 \cos(kx - \omega t)</math> :<math>\frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2}= -\omega^2 E_0 \cos(kx - \omega t)</math> Inserendo nell’equazione d’onda: :<math>-k^2 E_0 \cos(kx - \omega t)= \frac{1}{c^2}\left[-\omega^2 E_0 \cos(kx - \omega t)\right]</math> da cui: :<math>k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}</math> Questa è la relazione di dispersione per l’onda piana nel vuoto. In termini di lunghezza d’onda <math>\lambda</math> e frequenza <math>\nu</math>: :<math>k = \frac{2\pi}{\lambda}, \qquad \omega = 2\pi \nu</math> e la relazione <math>\omega = c k</math> implica: :<math>c = \lambda \nu</math> Lo stesso ragionamento vale per <math>\mathbf{B}</math>, che soddisfa la stessa equazione d’onda. ===Relazione tra <math>E_0</math> e <math>B_0</math>=== Le equazioni di Maxwell impongono inoltre: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math> Per l’onda piana scelta: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> si ha: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E}= \frac{\partial E_y}{\partial y} = 0</math> poiché <math>E_y</math> non dipende da <math>y</math>. Analogamente per <math>\mathbf{B}</math>. Questo conferma che i campi sono trasversali: non hanno componenti lungo la direzione di propagazione. Usando la [[Fisica_classica/Induzione_e_legge_di_Faraday|legge di Faraday]]: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> per l'onda piana considerata si ottiene la relazione tra le ampiezze. Il rotore di <math>\mathbf{E}</math> è: :<math>\nabla \times \mathbf{E}= \left(\frac{\partial E_y}{\partial x}\right)\hat{\mathbf{z}} = -k E_0 \sin(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La derivata temporale di <math>\mathbf{B}</math> è: :<math>\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}= -\omega B_0 \sin(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La legge di Faraday richiede: :<math>\nabla \times \mathbf{E}= -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\quad \Rightarrow \quad -k E_0 \sin(kx - \omega t)= -\left[-\omega B_0 \sin(kx - \omega t)\right]</math> cioè: :<math>-k E_0 = \omega B_0</math> Usando la relazione <math>\omega = c k</math>, si ottiene: :<math>E_0 = c\,B_0</math> Questa è una proprietà fondamentale dell’onda elettromagnetica piana nel vuoto: l’ampiezza del campo elettrico è pari alla velocità di propagazione <math>c</math> moltiplicata per l’ampiezza del campo magnetico. ==Polarizzazione delle onde elettromagnetiche== Una volta stabilito che, nel vuoto, un’onda elettromagnetica piana è trasversale, cioè i campi <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> oscillano in direzioni perpendicolari alla direzione di propagazione, rimane da descrivere come avviene questa oscillazione. La direzione in cui oscilla il campo elettrico definisce la polarizzazione dell’onda. Consideriamo un’onda che si propaga lungo l’asse <math>x</math>. Allora il campo elettrico ha solo componenti trasversali: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La forma temporale e spaziale dell’oscillazione determina il tipo di polarizzazione. ===Polarizzazione lineare=== Si ha polarizzazione lineare quando il campo elettrico oscilla sempre lungo una stessa direzione fissa nel piano trasversale. Per esempio: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> In questo caso il vettore <math>\mathbf{E}</math> rimane sempre parallelo a <math>\hat{\mathbf{y}}</math> Analogamente si può avere polarizzazione lineare lungo una qualunque direzione del piano <math>yz</math>, In generale: :<math>\mathbf{E}(x,t) =\left(E_{0y}\,\hat{\mathbf{y}} + E_{0z}\,\hat{\mathbf{z}}\right)\cos(kx - \omega t) </math> con <math>E_{0y}</math> e <math>E_{0z}</math> costanti, rappresenta una polarizzazione lineare lungo la direzione del vettore costante <math>\mathbf{E}_0</math>. ===Polarizzazione circolare=== Si ha polarizzazione circolare quando le componenti trasversali del campo elettrico hanno la stessa ampiezza, ma sono sfasate di <math>\pi/2</math> Esempio: :<math>E_y(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)</math> :<math>E_z(x,t) = E_0 \sin(kx - \omega t)</math> In questo caso, per un punto fissato nello spazio, il vettore <math>\mathbf{E}</math> ruota con velocità angolare <math>\omega</math> descrivendo una circonferenza nel piano <math>yz</math>. La rotazione può essere destrorsa o sinistrorsa a seconda del segno dello sfasamento. ===Polarizzazione ellittica=== La polarizzazione ellittica è il caso più generale: le componenti trasversali hanno ampiezze diverse e/o uno sfasamento arbitrario. Esempio: :<math>E_y(x,t) = E_{0y} \cos(kx - \omega t)</math> :<math>E_z(x,t) = E_{0z} \cos(kx - \omega t + \delta)</math> Per un punto fissato nello spazio, il vettore <math>\mathbf{E}</math> descrive un’ellisse nel piano trasversale. La polarizzazione lineare e quella circolare sono casi particolari della polarizzazione ellittica: * lineare: <math>\delta=0\quad o \quad \pi</math> * circolare: <math>E_{0y}=E_{0z}</math> e <math>\delta=\pm \pi/2</math> ===Rappresentazione complessa=== È spesso utile rappresentare l’onda tramite fasori: :<math>\mathbf{E}(x,t) = \Re\left\{\mathbf{E}_0\, e^{i(kx - \omega t)}\right\}</math> dove <math>\mathbf{E}_0</math> è un vettore complesso che contiene ampiezze e fasi delle componenti trasversali. La forma di <math>\mathbf{E}_0</math> determina immediatamente il tipo di polarizzazione. ==Struttura vettoriale dell’onda elettromagnetica piana== Una volta ricavate l’equazione d’onda, la soluzione piana e la trasversalità dei campi, è utile riassumere la struttura vettoriale dell’onda elettromagnetica nel vuoto. Questa struttura emerge direttamente dalle equazioni di Maxwell e descrive in modo compatto le relazioni geometriche tra i campi. Per un’onda piana che si propaga con vettore d’onda <math>\mathbf{k}</math>, i campi elettrico e magnetico soddisfano: :<math>\mathbf{k} \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad\mathbf{k} \cdot \mathbf{B} = 0</math> Queste relazioni, già ottenute dalla condizione di divergenza nulla, riassumono la trasversalità: i campi oscillano in direzioni perpendicolari alla direzione di propagazione. Inoltre, dalle equazioni di Maxwell segue che: :<math>\mathbf{E} \cdot \mathbf{B} = 0</math> I tre vettori <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{B}</math> e <math>\mathbf{k}</math> sono quindi mutuamente ortogonali. Dalla forma piana delle equazioni di Maxwell si ottiene la relazione compatta: :<math>\mathbf{B} = \frac{1}{\omega}\,\mathbf{k} \times \mathbf{E}.</math> Questa espressione riassume in un’unica formula: * l’ortogonalità tra <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math>, * la direzione di <math>\mathbf{B}</math> come prodotto vettoriale, * la fase comune dei due campi, * la relazione tra ampiezze (già dimostrata): :<math>B_0 = \frac{E_0}{c}</math> La direzione di propagazione dell’onda è determinata dal prodotto vettoriale: :<math>\mathbf{k} \propto \mathbf{E} \times \mathbf{B}.</math> Questa relazione è puramente geometrica, qui serve solo a mostrare che la terna (<math>\mathbf{E}</math>,<math>\mathbf{B}</math>,<math>\mathbf{k}</math>) è una terna destrorsa. ==Onde elettromagnetiche sferiche== Quando la sorgente elettromagnetica è localizzata in una regione di spazio molto piccola rispetto alla distanza dal punto di osservazione, la soluzione dell’equazione delle onde assume forma sferica. In questo caso, l’onda si propaga radialmente e le superfici a fase costante sono sfere concentriche. Nel vuoto, il campo elettrico soddisfa l’equazione: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0 </math> Una soluzione a simmetria sferica dipende solo dalla distanza <math>r</math> dalla sorgente: :<math>\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \mathbf{\hat{r}}\, E(r,t)</math> {{Cassetto| titolo=Dimostrazione della soluzione a simmetria sferica del campo elettromagnetico| testo= Nel vuoto, il campo elettrico soddisfa l’equazione: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0</math> Consideriamo una soluzione a simmetria sferica, in cui il campo dipende solo dalla distanza <math>r</math> dalla sorgente. Per semplicità, supponiamo che il campo sia radialmente diretto: :<math>\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \hat{\mathbf{r}}\, E(r,t)</math> dove <math>E(r,t)</math> è una funzione scalare. In questo caso, il Laplaciano del campo si riduce al Laplaciano della funzione scalare <math>E(r,t)</math> in coordinate sferiche. Per una funzione che dipende solo da <math>r</math>, il Laplaciano è: :<math>\nabla^2 E(r,t) = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right)</math> Sostituendo nell’equazione d’onda si ottiene: :<math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right)- \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} = 0</math> Ora introduciamo la funzione: :<math>u(r,t) = r\,E(r,t)</math> Calcoliamo le derivate rispetto a <math>r</math>: :<math>\frac{\partial u}{\partial r} = E + r\,\frac{\partial E}{\partial r}</math> :<math>\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}= \frac{\partial E}{\partial r}+\frac{\partial}{\partial r} \left( r\,\frac{\partial E}{\partial r} \right)= \frac{\partial E}{\partial r}+\frac{\partial E}{\partial r}+ r\,\frac{\partial^2 E}{\partial r^2}= 2\,\frac{\partial E}{\partial r}+r\,\frac{\partial^2 E}{\partial r^2}</math> D’altra parte: :<math>\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right)= 2r\,\frac{\partial E}{\partial r}+r^2\frac{\partial^2 E}{\partial r^2}</math> Confrontando le due espressioni, si vede che: :<math>\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}= \frac{1}{r}\,\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right)</math> Quindi: :<math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right) = \frac{1}{r}\,\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}</math> Sostituendo nell’equazione d’onda: :<math>\frac{1}{r}\,\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} = 0</math> Ma <math>E = u/r</math>, quindi: :<math>\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}= \frac{1}{r}\,\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}</math> L’equazione diventa: :<math>\frac{1}{r}\,\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}-\frac{1}{c^2}\frac{1}{r}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0</math> Moltiplicando per <math>r</math>: :<math>\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0</math> cioè: :<math>\frac{\partial^2}{\partial r^2}(rE)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}(rE) = 0 . </math> Questa è una equazione d’onda unidimensionale per la funzione <math>u(r,t)=rE(r,t)</math>, lungo la coordinata radiale <math>r</math>. }} Sostituendo nell’equazione d’onda si ottiene l’equazione radiale: :<math>\frac{\partial^2}{\partial r^2}(rE) - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}(rE) = 0</math> La quantità <math>u(r,t)=rE(r,t)</math> soddisfa quindi una normale equazione d’onda 1D. La soluzione generale è: :<math>E(r,t) = \frac{1}{r}\, f(r - ct) + \frac{1}{r}\, g(r + ct)</math> Per un’onda uscente (nessuna sorgente all’infinito), vi è una sola soluzione che ha senso fisico: :<math>E(r,t) = \frac{1}{r}\ f(r - ct)</math> Per una sorgente che oscilla sinusoidalmente a frequenza <math>\omega</math>, la soluzione assume la forma: :<math>E(r,t) = \frac{E_0}{r}\, \cos(kr - \omega t)</math> dove <math>k=\omega/c</math>. Il campo magnetico associato è perpendicolare a <math>\mathbf{E}</math> e alla direzione radiale: :<math>B(r,t) = \frac{E_0}{c\,r}\, \cos(kr - \omega t) </math> ===Caratteristiche delle onde sferiche=== * Decadimento come 1/r: L’ampiezza diminuisce con la distanza perché l’energia si distribuisce su superfici sferiche di area <math>4\pi r^2</math>. * Fronti d’onda sferici: La fase <math>kr - \omega t = \text{costante}</math> descrive sfere concentriche. * Campo trasversale: Anche nel caso sferico, <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> restano perpendicolari tra loro e alla direzione di propagazione. * Regione di campo lontano (''far field''): A distanze molto grandi dalla sorgente, l’onda sferica si approssima localmente a un’onda piana. ==[[w:Spettro_elettromagnetico|Spettro elettromagnetico]]== [[File:EM Spectrum Properties it.svg|1000px|center]] Le onde elettromagnetiche possono avere frequenze e lunghezze d’onda estremamente diverse tra loro. L’insieme di tutte le possibili frequenze costituisce lo spettro elettromagnetico. Poiché nel vuoto vale la relazione: :<math>c = \lambda\, \nu</math> una frequenza più alta corrisponde a una lunghezza d’onda più corta, e viceversa. Lo spettro elettromagnetico è continuo: non esistono “salti” tra una regione e l’altra. Le suddivisioni che seguono sono convenzionali e basate su modalità di produzione, rivelazione e applicazioni. ===Onde radio (RF)=== Le onde radio comprendono le frequenze più basse dello spettro e sono generate da correnti elettriche oscillanti in antenne di grandi dimensioni. La loro lunghezza d’onda molto elevata permette di coprire grandi distanze e di diffrangere attorno agli ostacoli, rendendole ideali per comunicazioni terrestri e marittime. Sono utilizzate in radiofonia, televisione, telecomunicazioni, radiolocalizzazione e radioastronomia. La loro produzione e rivelazione è relativamente semplice, motivo per cui sono state le prime onde elettromagnetiche sfruttate tecnologicamente. ===[[w:Microonde|Microonde]]=== Le microonde hanno lunghezze d’onda comprese tra decine di centimetri e pochi millimetri. Per le grandi potenze si impiegano sorgenti a vuoto come i [[w:Magnetron|magnetron]], robusti ed efficienti, utilizzati nei radar e nei forni a microonde; per le basse potenze si usano invece oscillatori a stato solido, più compatti e stabili. Le microonde sono fondamentali nelle comunicazioni satellitari, nei collegamenti punto‑punto, nei sistemi radar e in molte applicazioni industriali e scientifiche. La loro interazione selettiva con l’acqua le rende utili per il riscaldamento dielettrico. ==[[w:Infrarosso|Infrarosso]] (IR)== Le radiazioni infrarosse sono emesse da qualunque corpo caldo: la sorgente più comune è infatti la radiazione termica, che cresce con la temperatura secondo la [[w:Legge_di_Planck|legge di Planck]]. Anche le transizioni vibrazionali delle molecole producono infrarosso, motivo per cui questa regione dello spettro è fondamentale in spettroscopia. Gli infrarossi trovano impiego nella termografia, nelle telecomunicazioni in fibra ottica, nei telecomandi e nell’astronomia IR, che permette di osservare oggetti freddi o oscurati dalla polvere interstellare. Pur invisibili, sono tra le radiazioni più presenti nella vita quotidiana. ===[[w:Spettro_visibile|Luce visibile]]=== La luce visibile è la stretta porzione dello spettro percepita dall’occhio umano, compresa tra circa 400 e 700 nm. È prodotta principalmente da transizioni elettroniche negli atomi e nelle molecole, come avviene nelle lampade, nei LED e nelle stelle. La luce visibile è fondamentale per l’osservazione del mondo naturale e per la maggior parte delle tecnologie ottiche: lenti, microscopi, telescopi, fibre ottiche e strumenti di misura. Nonostante rappresenti una piccola parte dello spettro, è quella più studiata nella storia della fisica. ===[[w:Ultravioletto|Ultravioletto]]=== La radiazione ultravioletta ha lunghezze d’onda più corte del visibile ed è prodotta da transizioni elettroniche ad alta energia, scariche elettriche e sorgenti termiche molto calde. L’UV è in grado di ionizzare alcune molecole e di rompere legami chimici, motivo per cui è utilizzato nella sterilizzazione e nella disinfezione. Nell’atmosfera terrestre viene in gran parte assorbito dallo strato di [[w:Ozono|ozono]], proteggendo gli organismi viventi. In laboratorio e in astronomia l’UV è uno strumento prezioso per studiare materiali e plasmi ad alta energia. ===[[w:Raggi_X|Raggi X]]=== I raggi X sono generati principalmente dal frenamento di elettroni ad alta energia (''[[w:Bremsstrahlung|bremsstrahlung]]'') o da transizioni elettroniche profonde negli atomi. La loro capacità di attraversare materiali opachi li rende indispensabili nella diagnostica medica, nella tomografia computerizzata e nella cristallografia a raggi X, che permette di determinare la struttura dei cristalli e delle molecole complesse. In astronomia, i raggi X rivelano fenomeni estremi come buchi neri, stelle di neutroni e gas ad altissima temperatura. ===[[w:Raggi_gamma|Raggi gamma]]=== I raggi gamma sono le radiazioni più energetiche dello spettro e sono prodotti da processi nucleari, decadimenti radioattivi e fenomeni astrofisici estremi come supernovae e lampi gamma. La loro elevata energia permette di penetrare profondamente nella materia, rendendoli utili nella medicina nucleare, nella radioterapia e nella sterilizzazione di materiali. In astrofisica forniscono informazioni uniche sugli eventi più violenti dell’universo. La loro rivelazione richiede strumenti altamente specializzati. [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} jxf1fm2fsix4s9pprltlqhkbpfkmzv8 499485 499483 2026-06-27T19:52:17Z Pasquale.Carelli 528 499485 wikitext text/x-wiki {{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. --> {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Linea di trasmissione |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Linea_di_trasmissione |CapitoloSuccessivo=Il vettore di Poynting |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Il_vettore_di_Poynting }} {{fisica classica}} Nei capitoli precedenti abbiamo incontrato diversi tipi di onde: le onde sonore, che si propagano come compressioni e rarefazioni in un mezzo materiale; le onde del mare, in cui l’acqua oscilla attorno alla posizione di equilibrio; la corda vibrante, in cui la tensione del mezzo fornisce la forza di richiamo; e le onde sulle linee di trasmissione, descritte da variazioni accoppiate di tensione e corrente. In tutti questi casi l’onda consiste in una perturbazione che si propaga, mentre le particelle del mezzo oscillano localmente senza trasporto netto di materia. Le onde elettromagnetiche rappresentano un passo ulteriore: sono onde che non richiedono alcun mezzo materiale. Ciò che oscilla non è un corpo, né un fluido, né una grandezza elettrica legata a un conduttore, ma il campo elettrico e il campo magnetico stessi. La loro esistenza emerge direttamente dalle [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell|equazioni di Maxwell]] ed è una delle scoperte più profonde della fisica dell’Ottocento. [[w:James_Clerk_Maxwell|Maxwell]] comprese che un campo elettrico variabile nel tempo genera un campo magnetico (legge di Ampère‑Maxwell), e che un campo magnetico variabile genera a sua volta un campo elettrico (legge di Faraday). Questi due processi formano un accoppiamento dinamico: * variazioni di <math>\mathbf{E}</math> producono <math>\mathbf{B}</math>, * variazioni di <math>\mathbf{B}</math> producono <math>\mathbf{E}</math>. Da questo meccanismo nasce la possibilità di una perturbazione che si rigenera mentre avanza nello spazio: un’onda elettromagnetica. A differenza delle onde meccaniche, che richiedono un mezzo materiale in cui le particelle oscillano attorno alla loro posizione di equilibrio, le onde elettromagnetiche non hanno bisogno di alcun mezzo: sono oscillazioni auto‑sostenute del campo elettrico e magnetico nel vuoto. In entrambi i casi non vi è trasporto netto di materia, ma solo propagazione di una perturbazione. ==Dalle equazioni di Maxwell all'equazione delle onde== Nel vuoto, le equazioni di Maxwell assumono la forma: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,</math> :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. </math> Vogliamo mostrare che i campi <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> soddisfano un’equazione d’onda del tipo: :<math> \nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}, \qquad \nabla^2 \mathbf{B} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}, </math> dove <math>c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}</math>. ===Equazione delle onde per il campo elettrico=== Consideriamo il rotore del rotore di <math>\mathbf{E}</math>: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})</math> Usiamo l’identità vettoriale: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} </math> Nel vuoto vale <math>\nabla \cdot \mathbf{E}=0</math>, quindi: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= -\,\nabla^2 \mathbf{E}</math> D’altra parte, dalle equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> Prendiamo il rotore di entrambi i membri: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= \nabla \times \left(-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right)= -\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})</math> Ora sostituiamo <math>\nabla \times \mathbf{B}</math> dalla quarta equazione di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Otteniamo: :<math>-\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})= -\,\frac{\partial}{\partial t} \left(\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Ma abbiamo anche: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\,\nabla^2 \mathbf{E}</math> Eguagliando le due espressioni: :<math>-\,\nabla^2 \mathbf{E}= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}.</math> Eliminando il segno meno: :<math>\nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Definendo: :<math>c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}</math> si ottiene: :<math>\nabla^2 \mathbf{E}= \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> che è l’equazione delle onde per il campo elettrico. ===Equazione delle onde per il campo magnetico=== La dimostrazione per <math>\mathbf{B}</math> è del tutto analoga. Partiamo dall’identità vettoriale: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \nabla^2 \mathbf{B}</math> Sempre <math>\nabla \cdot \mathbf{B}=0</math>, quindi: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= -\,\nabla^2 \mathbf{B}</math> Dalle equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Prendiamo il rotore di entrambi i membri: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= \nabla \times \left(\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E}).</math> Ora sostituiamo <math>\nabla \times \mathbf{E}</math> dalla terza equazione di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> Otteniamo: :<math>\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E})= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}\left(-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right) = -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}. </math> Ma abbiamo anche: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= -\,\nabla^2 \mathbf{B}</math> Eguagliando: :<math>-\,\nabla^2 \mathbf{B}= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math> da cui: :<math>\nabla^2 \mathbf{B}= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}= \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math> Questo mostra che le equazioni di Maxwell nel vuoto implicano l’esistenza di onde elettromagnetiche che si propagano con velocità <math>c</math>, identificabile con la velocità della luce. ==Onda piana elettromagnetica nel vuoto== Consideriamo una soluzione d’onda piana delle equazioni d’onda per i campi elettrico e magnetico nel vuoto. Supponiamo che l’onda si propaghi lungo l’asse <math>x</math>. ===Ipotesi di propagazione e forma d’onda=== Assumiamo che i campi dipendano solo da <math>x</math> e da <math>t</math>: :<math>\mathbf{E} = \mathbf{E}(x,t), \qquad \mathbf{B} = \mathbf{B}(x,t)</math> Una soluzione d’onda piana armonica può essere scritta come: :<math>\mathbf{E}(x,t) = \mathbf{E}_0 \cos(kx - \omega t + \varphi_E)</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = \mathbf{B}_0 \cos(kx - \omega t + \varphi_B)</math> dove <math>k</math> è il numero d’onda, <math>\omega</math> la pulsazione, <math>\mathbf{E}_0</math> e <math>\mathbf{B}_0</math> sono vettori costanti (ampiezze), e <math>\varphi_E</math>, <math>\varphi_B</math> sono fasi iniziali. Per una onda piana nel vuoto, le equazioni di Maxwell impongono che: * la direzione di propagazione sia lungo <math>\hat{\mathbf{x}}</math> (deriva dall'ipotesi iniziale), * i campi siano trasversali, cioè ortogonali alla direzione di propagazione. {{Cassetto| titolo=Dimostrazione trasversalità del campo elettromagnetico| testo= Assumiamo che i campi dipendano solo da <math>x</math> e dal tempo <math>t</math>: :<math>\mathbf{E} = \mathbf{E}(x,t), \qquad \mathbf{B} = \mathbf{B}(x,t)</math> Scriviamo esplicitamente le componenti: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_x(x,t)\,\hat{\mathbf{x}} + E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}} </math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_x(x,t)\,\hat{\mathbf{x}} + B_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + B_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}. </math> Nel vuoto valgono le equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math> :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Calcoliamo la divergenza di <math>\mathbf{E}</math>. Poiché i campi dipendono solo da <math>x</math>: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E}= \frac{\partial E_x}{\partial x}</math> dato che <math>E_y</math> ed <math>E_z</math> non dipendono da <math>y</math> e <math>z</math>. La condizione <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math> implica quindi: :<math>\frac{\partial E_x}{\partial x} = 0</math> Questo significa che <math>E_x</math> è indipendente da <math>x</math>. Se vogliamo descrivere un’onda piana che si propaga lungo <math>x</math>, la dipendenza spaziale deve essere del tipo <math>\cos(kx - \omega t)</math> o <math>\sin(kx - \omega t)</math>. Una componente costante <math>E_x</math> non rappresenta un’onda, ma un campo uniforme. Per una soluzione d’onda piana pura, imponiamo quindi: :<math>E_x(x,t) = 0</math> I campi sono quindi trasversali: non hanno componente lungo <math>\hat{\mathbf{x}}</math>. Lo stesso ragionamento vale per <math>\mathbf{B}</math>: :<math>\nabla \cdot \mathbf{B}= \frac{\partial B_x}{\partial x} = 0\quad \Rightarrow \quad B_x(x,t) \text{ costante}</math> Anche qui, una componente costante non rappresenta un’onda. Per una soluzione d’onda piana nel vuoto si pone: :<math>B_x(x,t) = 0</math> Abbiamo quindi mostrato che, per un’onda piana che dipende solo da <math>x</math> e <math>t</math>, le componenti lungo la direzione di propagazione devono essere nulle: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + B_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}.</math> La condizione <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math> nel vuoto esprime l’assenza di cariche elettriche: non ci sono sorgenti o pozzi del campo elettrico. Per un’onda piana che si propaga lungo <math>x</math>, questo vincolo elimina la possibilità di una componente longitudinale variabile nel tempo. Rimane solo la parte trasversale, che oscilla ortogonalmente alla direzione di propagazione. Questo dimostra che le onde elettromagnetiche piane nel vuoto sono intrinsecamente trasversali: i campi oscillano solo nelle direzioni ortogonali alla direzione di propagazione. }} Possiamo quindi scegliere, ad esempio: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}.</math> In questa configurazione, l’onda si propaga lungo <math>x</math>, il campo elettrico è diretto lungo <math>y</math>, il campo magnetico lungo <math>z</math>, e i tre vettori sono mutuamente ortogonali. ===Equazione d’onda e relazione dispersione=== L’equazione d’onda per <math>\mathbf{E}</math> nel vuoto è: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Nel caso in cui <math>\mathbf{E}</math> dipenda solo da <math>x</math> e <math>t</math>, il [[w:Laplaciano_vettoriale|laplaciano]] si riduce a: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial x^2}.</math> Per la componente lungo <math>\hat{\mathbf{y}}</math>: :<math>E_y(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)</math> si ha: :<math>\frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}= -k^2 E_0 \cos(kx - \omega t)</math> :<math>\frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2}= -\omega^2 E_0 \cos(kx - \omega t)</math> Inserendo nell’equazione d’onda: :<math>-k^2 E_0 \cos(kx - \omega t)= \frac{1}{c^2}\left[-\omega^2 E_0 \cos(kx - \omega t)\right]</math> da cui: :<math>k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}</math> Questa è la relazione di dispersione per l’onda piana nel vuoto. In termini di lunghezza d’onda <math>\lambda</math> e frequenza <math>\nu</math>: :<math>k = \frac{2\pi}{\lambda}, \qquad \omega = 2\pi \nu</math> e la relazione <math>\omega = c k</math> implica: :<math>c = \lambda \nu</math> Lo stesso ragionamento vale per <math>\mathbf{B}</math>, che soddisfa la stessa equazione d’onda. ===Relazione tra <math>E_0</math> e <math>B_0</math>=== Le equazioni di Maxwell impongono inoltre: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math> Per l’onda piana scelta: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> si ha: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E}= \frac{\partial E_y}{\partial y} = 0</math> poiché <math>E_y</math> non dipende da <math>y</math>. Analogamente per <math>\mathbf{B}</math>. Questo conferma che i campi sono trasversali: non hanno componenti lungo la direzione di propagazione. Usando la [[Fisica_classica/Induzione_e_legge_di_Faraday|legge di Faraday]]: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> per l'onda piana considerata si ottiene la relazione tra le ampiezze. Il rotore di <math>\mathbf{E}</math> è: :<math>\nabla \times \mathbf{E}= \left(\frac{\partial E_y}{\partial x}\right)\hat{\mathbf{z}} = -k E_0 \sin(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La derivata temporale di <math>\mathbf{B}</math> è: :<math>\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}= -\omega B_0 \sin(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La legge di Faraday richiede: :<math>\nabla \times \mathbf{E}= -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\quad \Rightarrow \quad -k E_0 \sin(kx - \omega t)= -\left[-\omega B_0 \sin(kx - \omega t)\right]</math> cioè: :<math>-k E_0 = \omega B_0</math> Usando la relazione <math>\omega = c k</math>, si ottiene: :<math>E_0 = c\,B_0</math> Questa è una proprietà fondamentale dell’onda elettromagnetica piana nel vuoto: l’ampiezza del campo elettrico è pari alla velocità di propagazione <math>c</math> moltiplicata per l’ampiezza del campo magnetico. ==Polarizzazione delle onde elettromagnetiche== Una volta stabilito che, nel vuoto, un’onda elettromagnetica piana è trasversale, cioè i campi <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> oscillano in direzioni perpendicolari alla direzione di propagazione, rimane da descrivere come avviene questa oscillazione. La direzione in cui oscilla il campo elettrico definisce la polarizzazione dell’onda. Consideriamo un’onda che si propaga lungo l’asse <math>x</math>. Allora il campo elettrico ha solo componenti trasversali: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La forma temporale e spaziale dell’oscillazione determina il tipo di polarizzazione. ===Polarizzazione lineare=== [[File:Electromagneticwave3D.gif|thumb|left|Le onde elettromagnetiche possono essere immaginate come onde trasversali auto-propaganti di campi elettrici e magnetici. Questa animazione 3D mostra un'onda piana a polarizzazione lineare che si propaga da sinistra a destra. I campi elettrico e magnetico in un'onda di questo tipo sono in fase tra loro, raggiungendo minimi e massimi contemporaneamente.]] Si ha polarizzazione lineare quando il campo elettrico oscilla sempre lungo una stessa direzione fissa nel piano trasversale. Per esempio: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> In questo caso il vettore <math>\mathbf{E}</math> rimane sempre parallelo a <math>\hat{\mathbf{y}}</math> Analogamente si può avere polarizzazione lineare lungo una qualunque direzione del piano <math>yz</math>, In generale: :<math>\mathbf{E}(x,t) =\left(E_{0y}\,\hat{\mathbf{y}} + E_{0z}\,\hat{\mathbf{z}}\right)\cos(kx - \omega t) </math> con <math>E_{0y}</math> e <math>E_{0z}</math> costanti, rappresenta una polarizzazione lineare lungo la direzione del vettore costante <math>\mathbf{E}_0</math>. ===Polarizzazione circolare=== [[File:Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light Left.Hand.Animation.305x190.255Colors.gif|Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light Left.Hand.Animation.305x190.255Colors|thumb|right|Rappresentazione del vettore campo elettrico per un'onda elettromagnetica polarizzata circolarmente]] Si ha polarizzazione circolare quando le componenti trasversali del campo elettrico hanno la stessa ampiezza, ma sono sfasate di <math>\pi/2</math> Esempio: :<math>E_y(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)</math> :<math>E_z(x,t) = E_0 \sin(kx - \omega t)</math> In questo caso, per un punto fissato nello spazio, il vettore <math>\mathbf{E}</math> ruota con velocità angolare <math>\omega</math> descrivendo una circonferenza nel piano <math>yz</math>. La rotazione può essere destrorsa o sinistrorsa a seconda del segno dello sfasamento. ===Polarizzazione ellittica=== La polarizzazione ellittica è il caso più generale: le componenti trasversali hanno ampiezze diverse e/o uno sfasamento arbitrario. Esempio: :<math>E_y(x,t) = E_{0y} \cos(kx - \omega t)</math> :<math>E_z(x,t) = E_{0z} \cos(kx - \omega t + \delta)</math> Per un punto fissato nello spazio, il vettore <math>\mathbf{E}</math> descrive un’ellisse nel piano trasversale. La polarizzazione lineare e quella circolare sono casi particolari della polarizzazione ellittica: * lineare: <math>\delta=0\quad o \quad \pi</math> * circolare: <math>E_{0y}=E_{0z}</math> e <math>\delta=\pm \pi/2</math> ===Rappresentazione complessa=== È spesso utile rappresentare l’onda tramite fasori: :<math>\mathbf{E}(x,t) = \Re\left\{\mathbf{E}_0\, e^{i(kx - \omega t)}\right\}</math> dove <math>\mathbf{E}_0</math> è un vettore complesso che contiene ampiezze e fasi delle componenti trasversali. La forma di <math>\mathbf{E}_0</math> determina immediatamente il tipo di polarizzazione. ==Struttura vettoriale dell’onda elettromagnetica piana== Una volta ricavate l’equazione d’onda, la soluzione piana e la trasversalità dei campi, è utile riassumere la struttura vettoriale dell’onda elettromagnetica nel vuoto. Questa struttura emerge direttamente dalle equazioni di Maxwell e descrive in modo compatto le relazioni geometriche tra i campi. Per un’onda piana che si propaga con vettore d’onda <math>\mathbf{k}</math>, i campi elettrico e magnetico soddisfano: :<math>\mathbf{k} \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad\mathbf{k} \cdot \mathbf{B} = 0</math> Queste relazioni, già ottenute dalla condizione di divergenza nulla, riassumono la trasversalità: i campi oscillano in direzioni perpendicolari alla direzione di propagazione. Inoltre, dalle equazioni di Maxwell segue che: :<math>\mathbf{E} \cdot \mathbf{B} = 0</math> I tre vettori <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{B}</math> e <math>\mathbf{k}</math> sono quindi mutuamente ortogonali. Dalla forma piana delle equazioni di Maxwell si ottiene la relazione compatta: :<math>\mathbf{B} = \frac{1}{\omega}\,\mathbf{k} \times \mathbf{E}.</math> Questa espressione riassume in un’unica formula: * l’ortogonalità tra <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math>, * la direzione di <math>\mathbf{B}</math> come prodotto vettoriale, * la fase comune dei due campi, * la relazione tra ampiezze (già dimostrata): :<math>B_0 = \frac{E_0}{c}</math> La direzione di propagazione dell’onda è determinata dal prodotto vettoriale: :<math>\mathbf{k} \propto \mathbf{E} \times \mathbf{B}.</math> Questa relazione è puramente geometrica, qui serve solo a mostrare che la terna (<math>\mathbf{E}</math>,<math>\mathbf{B}</math>,<math>\mathbf{k}</math>) è una terna destrorsa. ==Onde elettromagnetiche sferiche== Quando la sorgente elettromagnetica è localizzata in una regione di spazio molto piccola rispetto alla distanza dal punto di osservazione, la soluzione dell’equazione delle onde assume forma sferica. In questo caso, l’onda si propaga radialmente e le superfici a fase costante sono sfere concentriche. Nel vuoto, il campo elettrico soddisfa l’equazione: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0 </math> Una soluzione a simmetria sferica dipende solo dalla distanza <math>r</math> dalla sorgente: :<math>\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \mathbf{\hat{r}}\, E(r,t)</math> {{Cassetto| titolo=Dimostrazione della soluzione a simmetria sferica del campo elettromagnetico| testo= Nel vuoto, il campo elettrico soddisfa l’equazione: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0</math> Consideriamo una soluzione a simmetria sferica, in cui il campo dipende solo dalla distanza <math>r</math> dalla sorgente. Per semplicità, supponiamo che il campo sia radialmente diretto: :<math>\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \hat{\mathbf{r}}\, E(r,t)</math> dove <math>E(r,t)</math> è una funzione scalare. In questo caso, il Laplaciano del campo si riduce al Laplaciano della funzione scalare <math>E(r,t)</math> in coordinate sferiche. Per una funzione che dipende solo da <math>r</math>, il Laplaciano è: :<math>\nabla^2 E(r,t) = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right)</math> Sostituendo nell’equazione d’onda si ottiene: :<math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right)- \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} = 0</math> Ora introduciamo la funzione: :<math>u(r,t) = r\,E(r,t)</math> Calcoliamo le derivate rispetto a <math>r</math>: :<math>\frac{\partial u}{\partial r} = E + r\,\frac{\partial E}{\partial r}</math> :<math>\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}= \frac{\partial E}{\partial r}+\frac{\partial}{\partial r} \left( r\,\frac{\partial E}{\partial r} \right)= \frac{\partial E}{\partial r}+\frac{\partial E}{\partial r}+ r\,\frac{\partial^2 E}{\partial r^2}= 2\,\frac{\partial E}{\partial r}+r\,\frac{\partial^2 E}{\partial r^2}</math> D’altra parte: :<math>\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right)= 2r\,\frac{\partial E}{\partial r}+r^2\frac{\partial^2 E}{\partial r^2}</math> Confrontando le due espressioni, si vede che: :<math>\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}= \frac{1}{r}\,\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right)</math> Quindi: :<math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right) = \frac{1}{r}\,\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}</math> Sostituendo nell’equazione d’onda: :<math>\frac{1}{r}\,\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} = 0</math> Ma <math>E = u/r</math>, quindi: :<math>\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}= \frac{1}{r}\,\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}</math> L’equazione diventa: :<math>\frac{1}{r}\,\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}-\frac{1}{c^2}\frac{1}{r}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0</math> Moltiplicando per <math>r</math>: :<math>\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0</math> cioè: :<math>\frac{\partial^2}{\partial r^2}(rE)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}(rE) = 0 . </math> Questa è una equazione d’onda unidimensionale per la funzione <math>u(r,t)=rE(r,t)</math>, lungo la coordinata radiale <math>r</math>. }} Sostituendo nell’equazione d’onda si ottiene l’equazione radiale: :<math>\frac{\partial^2}{\partial r^2}(rE) - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}(rE) = 0</math> La quantità <math>u(r,t)=rE(r,t)</math> soddisfa quindi una normale equazione d’onda 1D. La soluzione generale è: :<math>E(r,t) = \frac{1}{r}\, f(r - ct) + \frac{1}{r}\, g(r + ct)</math> Per un’onda uscente (nessuna sorgente all’infinito), vi è una sola soluzione che ha senso fisico: :<math>E(r,t) = \frac{1}{r}\ f(r - ct)</math> Per una sorgente che oscilla sinusoidalmente a frequenza <math>\omega</math>, la soluzione assume la forma: :<math>E(r,t) = \frac{E_0}{r}\, \cos(kr - \omega t)</math> dove <math>k=\omega/c</math>. Il campo magnetico associato è perpendicolare a <math>\mathbf{E}</math> e alla direzione radiale: :<math>B(r,t) = \frac{E_0}{c\,r}\, \cos(kr - \omega t) </math> ===Caratteristiche delle onde sferiche=== * Decadimento come 1/r: L’ampiezza diminuisce con la distanza perché l’energia si distribuisce su superfici sferiche di area <math>4\pi r^2</math>. * Fronti d’onda sferici: La fase <math>kr - \omega t = \text{costante}</math> descrive sfere concentriche. * Campo trasversale: Anche nel caso sferico, <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> restano perpendicolari tra loro e alla direzione di propagazione. * Regione di campo lontano (''far field''): A distanze molto grandi dalla sorgente, l’onda sferica si approssima localmente a un’onda piana. ==[[w:Spettro_elettromagnetico|Spettro elettromagnetico]]== [[File:EM Spectrum Properties it.svg|1000px|center]] Le onde elettromagnetiche possono avere frequenze e lunghezze d’onda estremamente diverse tra loro. L’insieme di tutte le possibili frequenze costituisce lo spettro elettromagnetico. Poiché nel vuoto vale la relazione: :<math>c = \lambda\, \nu</math> una frequenza più alta corrisponde a una lunghezza d’onda più corta, e viceversa. Lo spettro elettromagnetico è continuo: non esistono “salti” tra una regione e l’altra. Le suddivisioni che seguono sono convenzionali e basate su modalità di produzione, rivelazione e applicazioni. ===Onde radio (RF)=== Le onde radio comprendono le frequenze più basse dello spettro e sono generate da correnti elettriche oscillanti in antenne di grandi dimensioni. La loro lunghezza d’onda molto elevata permette di coprire grandi distanze e di diffrangere attorno agli ostacoli, rendendole ideali per comunicazioni terrestri e marittime. Sono utilizzate in radiofonia, televisione, telecomunicazioni, radiolocalizzazione e radioastronomia. La loro produzione e rivelazione è relativamente semplice, motivo per cui sono state le prime onde elettromagnetiche sfruttate tecnologicamente. ===[[w:Microonde|Microonde]]=== Le microonde hanno lunghezze d’onda comprese tra decine di centimetri e pochi millimetri. Per le grandi potenze si impiegano sorgenti a vuoto come i [[w:Magnetron|magnetron]], robusti ed efficienti, utilizzati nei radar e nei forni a microonde; per le basse potenze si usano invece oscillatori a stato solido, più compatti e stabili. Le microonde sono fondamentali nelle comunicazioni satellitari, nei collegamenti punto‑punto, nei sistemi radar e in molte applicazioni industriali e scientifiche. La loro interazione selettiva con l’acqua le rende utili per il riscaldamento dielettrico. ==[[w:Infrarosso|Infrarosso]] (IR)== Le radiazioni infrarosse sono emesse da qualunque corpo caldo: la sorgente più comune è infatti la radiazione termica, che cresce con la temperatura secondo la [[w:Legge_di_Planck|legge di Planck]]. Anche le transizioni vibrazionali delle molecole producono infrarosso, motivo per cui questa regione dello spettro è fondamentale in spettroscopia. Gli infrarossi trovano impiego nella termografia, nelle telecomunicazioni in fibra ottica, nei telecomandi e nell’astronomia IR, che permette di osservare oggetti freddi o oscurati dalla polvere interstellare. Pur invisibili, sono tra le radiazioni più presenti nella vita quotidiana. ===[[w:Spettro_visibile|Luce visibile]]=== La luce visibile è la stretta porzione dello spettro percepita dall’occhio umano, compresa tra circa 400 e 700 nm. È prodotta principalmente da transizioni elettroniche negli atomi e nelle molecole, come avviene nelle lampade, nei LED e nelle stelle. La luce visibile è fondamentale per l’osservazione del mondo naturale e per la maggior parte delle tecnologie ottiche: lenti, microscopi, telescopi, fibre ottiche e strumenti di misura. Nonostante rappresenti una piccola parte dello spettro, è quella più studiata nella storia della fisica. ===[[w:Ultravioletto|Ultravioletto]]=== La radiazione ultravioletta ha lunghezze d’onda più corte del visibile ed è prodotta da transizioni elettroniche ad alta energia, scariche elettriche e sorgenti termiche molto calde. L’UV è in grado di ionizzare alcune molecole e di rompere legami chimici, motivo per cui è utilizzato nella sterilizzazione e nella disinfezione. Nell’atmosfera terrestre viene in gran parte assorbito dallo strato di [[w:Ozono|ozono]], proteggendo gli organismi viventi. In laboratorio e in astronomia l’UV è uno strumento prezioso per studiare materiali e plasmi ad alta energia. ===[[w:Raggi_X|Raggi X]]=== I raggi X sono generati principalmente dal frenamento di elettroni ad alta energia (''[[w:Bremsstrahlung|bremsstrahlung]]'') o da transizioni elettroniche profonde negli atomi. La loro capacità di attraversare materiali opachi li rende indispensabili nella diagnostica medica, nella tomografia computerizzata e nella cristallografia a raggi X, che permette di determinare la struttura dei cristalli e delle molecole complesse. In astronomia, i raggi X rivelano fenomeni estremi come buchi neri, stelle di neutroni e gas ad altissima temperatura. ===[[w:Raggi_gamma|Raggi gamma]]=== I raggi gamma sono le radiazioni più energetiche dello spettro e sono prodotti da processi nucleari, decadimenti radioattivi e fenomeni astrofisici estremi come supernovae e lampi gamma. La loro elevata energia permette di penetrare profondamente nella materia, rendendoli utili nella medicina nucleare, nella radioterapia e nella sterilizzazione di materiali. In astrofisica forniscono informazioni uniche sugli eventi più violenti dell’universo. La loro rivelazione richiede strumenti altamente specializzati. [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} nqocfhmfig6swv9gebanqemzltcscqf 499486 499485 2026-06-27T19:54:58Z Pasquale.Carelli 528 /* Onde radio (RF) */ aggiunta animazione 499486 wikitext text/x-wiki {{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. --> {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Linea di trasmissione |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Linea_di_trasmissione |CapitoloSuccessivo=Il vettore di Poynting |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Il_vettore_di_Poynting }} {{fisica classica}} Nei capitoli precedenti abbiamo incontrato diversi tipi di onde: le onde sonore, che si propagano come compressioni e rarefazioni in un mezzo materiale; le onde del mare, in cui l’acqua oscilla attorno alla posizione di equilibrio; la corda vibrante, in cui la tensione del mezzo fornisce la forza di richiamo; e le onde sulle linee di trasmissione, descritte da variazioni accoppiate di tensione e corrente. In tutti questi casi l’onda consiste in una perturbazione che si propaga, mentre le particelle del mezzo oscillano localmente senza trasporto netto di materia. Le onde elettromagnetiche rappresentano un passo ulteriore: sono onde che non richiedono alcun mezzo materiale. Ciò che oscilla non è un corpo, né un fluido, né una grandezza elettrica legata a un conduttore, ma il campo elettrico e il campo magnetico stessi. La loro esistenza emerge direttamente dalle [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell|equazioni di Maxwell]] ed è una delle scoperte più profonde della fisica dell’Ottocento. [[w:James_Clerk_Maxwell|Maxwell]] comprese che un campo elettrico variabile nel tempo genera un campo magnetico (legge di Ampère‑Maxwell), e che un campo magnetico variabile genera a sua volta un campo elettrico (legge di Faraday). Questi due processi formano un accoppiamento dinamico: * variazioni di <math>\mathbf{E}</math> producono <math>\mathbf{B}</math>, * variazioni di <math>\mathbf{B}</math> producono <math>\mathbf{E}</math>. Da questo meccanismo nasce la possibilità di una perturbazione che si rigenera mentre avanza nello spazio: un’onda elettromagnetica. A differenza delle onde meccaniche, che richiedono un mezzo materiale in cui le particelle oscillano attorno alla loro posizione di equilibrio, le onde elettromagnetiche non hanno bisogno di alcun mezzo: sono oscillazioni auto‑sostenute del campo elettrico e magnetico nel vuoto. In entrambi i casi non vi è trasporto netto di materia, ma solo propagazione di una perturbazione. ==Dalle equazioni di Maxwell all'equazione delle onde== Nel vuoto, le equazioni di Maxwell assumono la forma: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,</math> :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. </math> Vogliamo mostrare che i campi <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> soddisfano un’equazione d’onda del tipo: :<math> \nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}, \qquad \nabla^2 \mathbf{B} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}, </math> dove <math>c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}</math>. ===Equazione delle onde per il campo elettrico=== Consideriamo il rotore del rotore di <math>\mathbf{E}</math>: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})</math> Usiamo l’identità vettoriale: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} </math> Nel vuoto vale <math>\nabla \cdot \mathbf{E}=0</math>, quindi: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= -\,\nabla^2 \mathbf{E}</math> D’altra parte, dalle equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> Prendiamo il rotore di entrambi i membri: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= \nabla \times \left(-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right)= -\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})</math> Ora sostituiamo <math>\nabla \times \mathbf{B}</math> dalla quarta equazione di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Otteniamo: :<math>-\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})= -\,\frac{\partial}{\partial t} \left(\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Ma abbiamo anche: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\,\nabla^2 \mathbf{E}</math> Eguagliando le due espressioni: :<math>-\,\nabla^2 \mathbf{E}= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}.</math> Eliminando il segno meno: :<math>\nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Definendo: :<math>c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}</math> si ottiene: :<math>\nabla^2 \mathbf{E}= \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> che è l’equazione delle onde per il campo elettrico. ===Equazione delle onde per il campo magnetico=== La dimostrazione per <math>\mathbf{B}</math> è del tutto analoga. Partiamo dall’identità vettoriale: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \nabla^2 \mathbf{B}</math> Sempre <math>\nabla \cdot \mathbf{B}=0</math>, quindi: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= -\,\nabla^2 \mathbf{B}</math> Dalle equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Prendiamo il rotore di entrambi i membri: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= \nabla \times \left(\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E}).</math> Ora sostituiamo <math>\nabla \times \mathbf{E}</math> dalla terza equazione di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> Otteniamo: :<math>\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E})= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}\left(-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right) = -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}. </math> Ma abbiamo anche: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= -\,\nabla^2 \mathbf{B}</math> Eguagliando: :<math>-\,\nabla^2 \mathbf{B}= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math> da cui: :<math>\nabla^2 \mathbf{B}= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}= \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math> Questo mostra che le equazioni di Maxwell nel vuoto implicano l’esistenza di onde elettromagnetiche che si propagano con velocità <math>c</math>, identificabile con la velocità della luce. ==Onda piana elettromagnetica nel vuoto== Consideriamo una soluzione d’onda piana delle equazioni d’onda per i campi elettrico e magnetico nel vuoto. Supponiamo che l’onda si propaghi lungo l’asse <math>x</math>. ===Ipotesi di propagazione e forma d’onda=== Assumiamo che i campi dipendano solo da <math>x</math> e da <math>t</math>: :<math>\mathbf{E} = \mathbf{E}(x,t), \qquad \mathbf{B} = \mathbf{B}(x,t)</math> Una soluzione d’onda piana armonica può essere scritta come: :<math>\mathbf{E}(x,t) = \mathbf{E}_0 \cos(kx - \omega t + \varphi_E)</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = \mathbf{B}_0 \cos(kx - \omega t + \varphi_B)</math> dove <math>k</math> è il numero d’onda, <math>\omega</math> la pulsazione, <math>\mathbf{E}_0</math> e <math>\mathbf{B}_0</math> sono vettori costanti (ampiezze), e <math>\varphi_E</math>, <math>\varphi_B</math> sono fasi iniziali. Per una onda piana nel vuoto, le equazioni di Maxwell impongono che: * la direzione di propagazione sia lungo <math>\hat{\mathbf{x}}</math> (deriva dall'ipotesi iniziale), * i campi siano trasversali, cioè ortogonali alla direzione di propagazione. {{Cassetto| titolo=Dimostrazione trasversalità del campo elettromagnetico| testo= Assumiamo che i campi dipendano solo da <math>x</math> e dal tempo <math>t</math>: :<math>\mathbf{E} = \mathbf{E}(x,t), \qquad \mathbf{B} = \mathbf{B}(x,t)</math> Scriviamo esplicitamente le componenti: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_x(x,t)\,\hat{\mathbf{x}} + E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}} </math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_x(x,t)\,\hat{\mathbf{x}} + B_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + B_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}. </math> Nel vuoto valgono le equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math> :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Calcoliamo la divergenza di <math>\mathbf{E}</math>. Poiché i campi dipendono solo da <math>x</math>: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E}= \frac{\partial E_x}{\partial x}</math> dato che <math>E_y</math> ed <math>E_z</math> non dipendono da <math>y</math> e <math>z</math>. La condizione <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math> implica quindi: :<math>\frac{\partial E_x}{\partial x} = 0</math> Questo significa che <math>E_x</math> è indipendente da <math>x</math>. Se vogliamo descrivere un’onda piana che si propaga lungo <math>x</math>, la dipendenza spaziale deve essere del tipo <math>\cos(kx - \omega t)</math> o <math>\sin(kx - \omega t)</math>. Una componente costante <math>E_x</math> non rappresenta un’onda, ma un campo uniforme. Per una soluzione d’onda piana pura, imponiamo quindi: :<math>E_x(x,t) = 0</math> I campi sono quindi trasversali: non hanno componente lungo <math>\hat{\mathbf{x}}</math>. Lo stesso ragionamento vale per <math>\mathbf{B}</math>: :<math>\nabla \cdot \mathbf{B}= \frac{\partial B_x}{\partial x} = 0\quad \Rightarrow \quad B_x(x,t) \text{ costante}</math> Anche qui, una componente costante non rappresenta un’onda. Per una soluzione d’onda piana nel vuoto si pone: :<math>B_x(x,t) = 0</math> Abbiamo quindi mostrato che, per un’onda piana che dipende solo da <math>x</math> e <math>t</math>, le componenti lungo la direzione di propagazione devono essere nulle: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + B_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}.</math> La condizione <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math> nel vuoto esprime l’assenza di cariche elettriche: non ci sono sorgenti o pozzi del campo elettrico. Per un’onda piana che si propaga lungo <math>x</math>, questo vincolo elimina la possibilità di una componente longitudinale variabile nel tempo. Rimane solo la parte trasversale, che oscilla ortogonalmente alla direzione di propagazione. Questo dimostra che le onde elettromagnetiche piane nel vuoto sono intrinsecamente trasversali: i campi oscillano solo nelle direzioni ortogonali alla direzione di propagazione. }} Possiamo quindi scegliere, ad esempio: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}.</math> In questa configurazione, l’onda si propaga lungo <math>x</math>, il campo elettrico è diretto lungo <math>y</math>, il campo magnetico lungo <math>z</math>, e i tre vettori sono mutuamente ortogonali. ===Equazione d’onda e relazione dispersione=== L’equazione d’onda per <math>\mathbf{E}</math> nel vuoto è: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Nel caso in cui <math>\mathbf{E}</math> dipenda solo da <math>x</math> e <math>t</math>, il [[w:Laplaciano_vettoriale|laplaciano]] si riduce a: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial x^2}.</math> Per la componente lungo <math>\hat{\mathbf{y}}</math>: :<math>E_y(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)</math> si ha: :<math>\frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}= -k^2 E_0 \cos(kx - \omega t)</math> :<math>\frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2}= -\omega^2 E_0 \cos(kx - \omega t)</math> Inserendo nell’equazione d’onda: :<math>-k^2 E_0 \cos(kx - \omega t)= \frac{1}{c^2}\left[-\omega^2 E_0 \cos(kx - \omega t)\right]</math> da cui: :<math>k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}</math> Questa è la relazione di dispersione per l’onda piana nel vuoto. In termini di lunghezza d’onda <math>\lambda</math> e frequenza <math>\nu</math>: :<math>k = \frac{2\pi}{\lambda}, \qquad \omega = 2\pi \nu</math> e la relazione <math>\omega = c k</math> implica: :<math>c = \lambda \nu</math> Lo stesso ragionamento vale per <math>\mathbf{B}</math>, che soddisfa la stessa equazione d’onda. ===Relazione tra <math>E_0</math> e <math>B_0</math>=== Le equazioni di Maxwell impongono inoltre: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math> Per l’onda piana scelta: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> si ha: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E}= \frac{\partial E_y}{\partial y} = 0</math> poiché <math>E_y</math> non dipende da <math>y</math>. Analogamente per <math>\mathbf{B}</math>. Questo conferma che i campi sono trasversali: non hanno componenti lungo la direzione di propagazione. Usando la [[Fisica_classica/Induzione_e_legge_di_Faraday|legge di Faraday]]: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> per l'onda piana considerata si ottiene la relazione tra le ampiezze. Il rotore di <math>\mathbf{E}</math> è: :<math>\nabla \times \mathbf{E}= \left(\frac{\partial E_y}{\partial x}\right)\hat{\mathbf{z}} = -k E_0 \sin(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La derivata temporale di <math>\mathbf{B}</math> è: :<math>\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}= -\omega B_0 \sin(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La legge di Faraday richiede: :<math>\nabla \times \mathbf{E}= -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\quad \Rightarrow \quad -k E_0 \sin(kx - \omega t)= -\left[-\omega B_0 \sin(kx - \omega t)\right]</math> cioè: :<math>-k E_0 = \omega B_0</math> Usando la relazione <math>\omega = c k</math>, si ottiene: :<math>E_0 = c\,B_0</math> Questa è una proprietà fondamentale dell’onda elettromagnetica piana nel vuoto: l’ampiezza del campo elettrico è pari alla velocità di propagazione <math>c</math> moltiplicata per l’ampiezza del campo magnetico. ==Polarizzazione delle onde elettromagnetiche== Una volta stabilito che, nel vuoto, un’onda elettromagnetica piana è trasversale, cioè i campi <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> oscillano in direzioni perpendicolari alla direzione di propagazione, rimane da descrivere come avviene questa oscillazione. La direzione in cui oscilla il campo elettrico definisce la polarizzazione dell’onda. Consideriamo un’onda che si propaga lungo l’asse <math>x</math>. Allora il campo elettrico ha solo componenti trasversali: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La forma temporale e spaziale dell’oscillazione determina il tipo di polarizzazione. ===Polarizzazione lineare=== [[File:Electromagneticwave3D.gif|thumb|left|Le onde elettromagnetiche possono essere immaginate come onde trasversali auto-propaganti di campi elettrici e magnetici. Questa animazione 3D mostra un'onda piana a polarizzazione lineare che si propaga da sinistra a destra. I campi elettrico e magnetico in un'onda di questo tipo sono in fase tra loro, raggiungendo minimi e massimi contemporaneamente.]] Si ha polarizzazione lineare quando il campo elettrico oscilla sempre lungo una stessa direzione fissa nel piano trasversale. Per esempio: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> In questo caso il vettore <math>\mathbf{E}</math> rimane sempre parallelo a <math>\hat{\mathbf{y}}</math> Analogamente si può avere polarizzazione lineare lungo una qualunque direzione del piano <math>yz</math>, In generale: :<math>\mathbf{E}(x,t) =\left(E_{0y}\,\hat{\mathbf{y}} + E_{0z}\,\hat{\mathbf{z}}\right)\cos(kx - \omega t) </math> con <math>E_{0y}</math> e <math>E_{0z}</math> costanti, rappresenta una polarizzazione lineare lungo la direzione del vettore costante <math>\mathbf{E}_0</math>. ===Polarizzazione circolare=== [[File:Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light Left.Hand.Animation.305x190.255Colors.gif|Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light Left.Hand.Animation.305x190.255Colors|thumb|right|Rappresentazione del vettore campo elettrico per un'onda elettromagnetica polarizzata circolarmente]] Si ha polarizzazione circolare quando le componenti trasversali del campo elettrico hanno la stessa ampiezza, ma sono sfasate di <math>\pi/2</math> Esempio: :<math>E_y(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)</math> :<math>E_z(x,t) = E_0 \sin(kx - \omega t)</math> In questo caso, per un punto fissato nello spazio, il vettore <math>\mathbf{E}</math> ruota con velocità angolare <math>\omega</math> descrivendo una circonferenza nel piano <math>yz</math>. La rotazione può essere destrorsa o sinistrorsa a seconda del segno dello sfasamento. ===Polarizzazione ellittica=== La polarizzazione ellittica è il caso più generale: le componenti trasversali hanno ampiezze diverse e/o uno sfasamento arbitrario. Esempio: :<math>E_y(x,t) = E_{0y} \cos(kx - \omega t)</math> :<math>E_z(x,t) = E_{0z} \cos(kx - \omega t + \delta)</math> Per un punto fissato nello spazio, il vettore <math>\mathbf{E}</math> descrive un’ellisse nel piano trasversale. La polarizzazione lineare e quella circolare sono casi particolari della polarizzazione ellittica: * lineare: <math>\delta=0\quad o \quad \pi</math> * circolare: <math>E_{0y}=E_{0z}</math> e <math>\delta=\pm \pi/2</math> ===Rappresentazione complessa=== È spesso utile rappresentare l’onda tramite fasori: :<math>\mathbf{E}(x,t) = \Re\left\{\mathbf{E}_0\, e^{i(kx - \omega t)}\right\}</math> dove <math>\mathbf{E}_0</math> è un vettore complesso che contiene ampiezze e fasi delle componenti trasversali. La forma di <math>\mathbf{E}_0</math> determina immediatamente il tipo di polarizzazione. ==Struttura vettoriale dell’onda elettromagnetica piana== Una volta ricavate l’equazione d’onda, la soluzione piana e la trasversalità dei campi, è utile riassumere la struttura vettoriale dell’onda elettromagnetica nel vuoto. Questa struttura emerge direttamente dalle equazioni di Maxwell e descrive in modo compatto le relazioni geometriche tra i campi. Per un’onda piana che si propaga con vettore d’onda <math>\mathbf{k}</math>, i campi elettrico e magnetico soddisfano: :<math>\mathbf{k} \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad\mathbf{k} \cdot \mathbf{B} = 0</math> Queste relazioni, già ottenute dalla condizione di divergenza nulla, riassumono la trasversalità: i campi oscillano in direzioni perpendicolari alla direzione di propagazione. Inoltre, dalle equazioni di Maxwell segue che: :<math>\mathbf{E} \cdot \mathbf{B} = 0</math> I tre vettori <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{B}</math> e <math>\mathbf{k}</math> sono quindi mutuamente ortogonali. Dalla forma piana delle equazioni di Maxwell si ottiene la relazione compatta: :<math>\mathbf{B} = \frac{1}{\omega}\,\mathbf{k} \times \mathbf{E}.</math> Questa espressione riassume in un’unica formula: * l’ortogonalità tra <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math>, * la direzione di <math>\mathbf{B}</math> come prodotto vettoriale, * la fase comune dei due campi, * la relazione tra ampiezze (già dimostrata): :<math>B_0 = \frac{E_0}{c}</math> La direzione di propagazione dell’onda è determinata dal prodotto vettoriale: :<math>\mathbf{k} \propto \mathbf{E} \times \mathbf{B}.</math> Questa relazione è puramente geometrica, qui serve solo a mostrare che la terna (<math>\mathbf{E}</math>,<math>\mathbf{B}</math>,<math>\mathbf{k}</math>) è una terna destrorsa. ==Onde elettromagnetiche sferiche== Quando la sorgente elettromagnetica è localizzata in una regione di spazio molto piccola rispetto alla distanza dal punto di osservazione, la soluzione dell’equazione delle onde assume forma sferica. In questo caso, l’onda si propaga radialmente e le superfici a fase costante sono sfere concentriche. Nel vuoto, il campo elettrico soddisfa l’equazione: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0 </math> Una soluzione a simmetria sferica dipende solo dalla distanza <math>r</math> dalla sorgente: :<math>\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \mathbf{\hat{r}}\, E(r,t)</math> {{Cassetto| titolo=Dimostrazione della soluzione a simmetria sferica del campo elettromagnetico| testo= Nel vuoto, il campo elettrico soddisfa l’equazione: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0</math> Consideriamo una soluzione a simmetria sferica, in cui il campo dipende solo dalla distanza <math>r</math> dalla sorgente. Per semplicità, supponiamo che il campo sia radialmente diretto: :<math>\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \hat{\mathbf{r}}\, E(r,t)</math> dove <math>E(r,t)</math> è una funzione scalare. In questo caso, il Laplaciano del campo si riduce al Laplaciano della funzione scalare <math>E(r,t)</math> in coordinate sferiche. Per una funzione che dipende solo da <math>r</math>, il Laplaciano è: :<math>\nabla^2 E(r,t) = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right)</math> Sostituendo nell’equazione d’onda si ottiene: :<math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right)- \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} = 0</math> Ora introduciamo la funzione: :<math>u(r,t) = r\,E(r,t)</math> Calcoliamo le derivate rispetto a <math>r</math>: :<math>\frac{\partial u}{\partial r} = E + r\,\frac{\partial E}{\partial r}</math> :<math>\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}= \frac{\partial E}{\partial r}+\frac{\partial}{\partial r} \left( r\,\frac{\partial E}{\partial r} \right)= \frac{\partial E}{\partial r}+\frac{\partial E}{\partial r}+ r\,\frac{\partial^2 E}{\partial r^2}= 2\,\frac{\partial E}{\partial r}+r\,\frac{\partial^2 E}{\partial r^2}</math> D’altra parte: :<math>\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right)= 2r\,\frac{\partial E}{\partial r}+r^2\frac{\partial^2 E}{\partial r^2}</math> Confrontando le due espressioni, si vede che: :<math>\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}= \frac{1}{r}\,\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right)</math> Quindi: :<math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right) = \frac{1}{r}\,\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}</math> Sostituendo nell’equazione d’onda: :<math>\frac{1}{r}\,\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} = 0</math> Ma <math>E = u/r</math>, quindi: :<math>\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}= \frac{1}{r}\,\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}</math> L’equazione diventa: :<math>\frac{1}{r}\,\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}-\frac{1}{c^2}\frac{1}{r}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0</math> Moltiplicando per <math>r</math>: :<math>\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0</math> cioè: :<math>\frac{\partial^2}{\partial r^2}(rE)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}(rE) = 0 . </math> Questa è una equazione d’onda unidimensionale per la funzione <math>u(r,t)=rE(r,t)</math>, lungo la coordinata radiale <math>r</math>. }} Sostituendo nell’equazione d’onda si ottiene l’equazione radiale: :<math>\frac{\partial^2}{\partial r^2}(rE) - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}(rE) = 0</math> La quantità <math>u(r,t)=rE(r,t)</math> soddisfa quindi una normale equazione d’onda 1D. La soluzione generale è: :<math>E(r,t) = \frac{1}{r}\, f(r - ct) + \frac{1}{r}\, g(r + ct)</math> Per un’onda uscente (nessuna sorgente all’infinito), vi è una sola soluzione che ha senso fisico: :<math>E(r,t) = \frac{1}{r}\ f(r - ct)</math> Per una sorgente che oscilla sinusoidalmente a frequenza <math>\omega</math>, la soluzione assume la forma: :<math>E(r,t) = \frac{E_0}{r}\, \cos(kr - \omega t)</math> dove <math>k=\omega/c</math>. Il campo magnetico associato è perpendicolare a <math>\mathbf{E}</math> e alla direzione radiale: :<math>B(r,t) = \frac{E_0}{c\,r}\, \cos(kr - \omega t) </math> ===Caratteristiche delle onde sferiche=== * Decadimento come 1/r: L’ampiezza diminuisce con la distanza perché l’energia si distribuisce su superfici sferiche di area <math>4\pi r^2</math>. * Fronti d’onda sferici: La fase <math>kr - \omega t = \text{costante}</math> descrive sfere concentriche. * Campo trasversale: Anche nel caso sferico, <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> restano perpendicolari tra loro e alla direzione di propagazione. * Regione di campo lontano (''far field''): A distanze molto grandi dalla sorgente, l’onda sferica si approssima localmente a un’onda piana. ==[[w:Spettro_elettromagnetico|Spettro elettromagnetico]]== [[File:EM Spectrum Properties it.svg|1000px|center]] Le onde elettromagnetiche possono avere frequenze e lunghezze d’onda estremamente diverse tra loro. L’insieme di tutte le possibili frequenze costituisce lo spettro elettromagnetico. Poiché nel vuoto vale la relazione: :<math>c = \lambda\, \nu</math> una frequenza più alta corrisponde a una lunghezza d’onda più corta, e viceversa. Lo spettro elettromagnetico è continuo: non esistono “salti” tra una regione e l’altra. Le suddivisioni che seguono sono convenzionali e basate su modalità di produzione, rivelazione e applicazioni. ===Onde radio (RF)=== [[File:Dipole xmting antenna animation 4 408x318x150ms.gif|thumb|upright=1.2|Diagramma animato di una antenna a dipolo che irradia onde radio]] Le onde radio comprendono le frequenze più basse dello spettro e sono generate da correnti elettriche oscillanti in antenne di grandi dimensioni. La loro lunghezza d’onda molto elevata permette di coprire grandi distanze e di diffrangere attorno agli ostacoli, rendendole ideali per comunicazioni terrestri e marittime. Sono utilizzate in radiofonia, televisione, telecomunicazioni, radiolocalizzazione e radioastronomia. La loro produzione e rivelazione è relativamente semplice, motivo per cui sono state le prime onde elettromagnetiche sfruttate tecnologicamente. ===[[w:Microonde|Microonde]]=== Le microonde hanno lunghezze d’onda comprese tra decine di centimetri e pochi millimetri. Per le grandi potenze si impiegano sorgenti a vuoto come i [[w:Magnetron|magnetron]], robusti ed efficienti, utilizzati nei radar e nei forni a microonde; per le basse potenze si usano invece oscillatori a stato solido, più compatti e stabili. Le microonde sono fondamentali nelle comunicazioni satellitari, nei collegamenti punto‑punto, nei sistemi radar e in molte applicazioni industriali e scientifiche. La loro interazione selettiva con l’acqua le rende utili per il riscaldamento dielettrico. ==[[w:Infrarosso|Infrarosso]] (IR)== Le radiazioni infrarosse sono emesse da qualunque corpo caldo: la sorgente più comune è infatti la radiazione termica, che cresce con la temperatura secondo la [[w:Legge_di_Planck|legge di Planck]]. Anche le transizioni vibrazionali delle molecole producono infrarosso, motivo per cui questa regione dello spettro è fondamentale in spettroscopia. Gli infrarossi trovano impiego nella termografia, nelle telecomunicazioni in fibra ottica, nei telecomandi e nell’astronomia IR, che permette di osservare oggetti freddi o oscurati dalla polvere interstellare. Pur invisibili, sono tra le radiazioni più presenti nella vita quotidiana. ===[[w:Spettro_visibile|Luce visibile]]=== La luce visibile è la stretta porzione dello spettro percepita dall’occhio umano, compresa tra circa 400 e 700 nm. È prodotta principalmente da transizioni elettroniche negli atomi e nelle molecole, come avviene nelle lampade, nei LED e nelle stelle. La luce visibile è fondamentale per l’osservazione del mondo naturale e per la maggior parte delle tecnologie ottiche: lenti, microscopi, telescopi, fibre ottiche e strumenti di misura. Nonostante rappresenti una piccola parte dello spettro, è quella più studiata nella storia della fisica. ===[[w:Ultravioletto|Ultravioletto]]=== La radiazione ultravioletta ha lunghezze d’onda più corte del visibile ed è prodotta da transizioni elettroniche ad alta energia, scariche elettriche e sorgenti termiche molto calde. L’UV è in grado di ionizzare alcune molecole e di rompere legami chimici, motivo per cui è utilizzato nella sterilizzazione e nella disinfezione. Nell’atmosfera terrestre viene in gran parte assorbito dallo strato di [[w:Ozono|ozono]], proteggendo gli organismi viventi. In laboratorio e in astronomia l’UV è uno strumento prezioso per studiare materiali e plasmi ad alta energia. ===[[w:Raggi_X|Raggi X]]=== I raggi X sono generati principalmente dal frenamento di elettroni ad alta energia (''[[w:Bremsstrahlung|bremsstrahlung]]'') o da transizioni elettroniche profonde negli atomi. La loro capacità di attraversare materiali opachi li rende indispensabili nella diagnostica medica, nella tomografia computerizzata e nella cristallografia a raggi X, che permette di determinare la struttura dei cristalli e delle molecole complesse. In astronomia, i raggi X rivelano fenomeni estremi come buchi neri, stelle di neutroni e gas ad altissima temperatura. ===[[w:Raggi_gamma|Raggi gamma]]=== I raggi gamma sono le radiazioni più energetiche dello spettro e sono prodotti da processi nucleari, decadimenti radioattivi e fenomeni astrofisici estremi come supernovae e lampi gamma. La loro elevata energia permette di penetrare profondamente nella materia, rendendoli utili nella medicina nucleare, nella radioterapia e nella sterilizzazione di materiali. In astrofisica forniscono informazioni uniche sugli eventi più violenti dell’universo. La loro rivelazione richiede strumenti altamente specializzati. [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} enbp42hnvnk9e3jwiqyl7p3r2oni4i6 499488 499486 2026-06-27T20:15:23Z Pasquale.Carelli 528 /* Infrarosso (IR) */ 499488 wikitext text/x-wiki {{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. --> {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Linea di trasmissione |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Linea_di_trasmissione |CapitoloSuccessivo=Il vettore di Poynting |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Il_vettore_di_Poynting }} {{fisica classica}} Nei capitoli precedenti abbiamo incontrato diversi tipi di onde: le onde sonore, che si propagano come compressioni e rarefazioni in un mezzo materiale; le onde del mare, in cui l’acqua oscilla attorno alla posizione di equilibrio; la corda vibrante, in cui la tensione del mezzo fornisce la forza di richiamo; e le onde sulle linee di trasmissione, descritte da variazioni accoppiate di tensione e corrente. In tutti questi casi l’onda consiste in una perturbazione che si propaga, mentre le particelle del mezzo oscillano localmente senza trasporto netto di materia. Le onde elettromagnetiche rappresentano un passo ulteriore: sono onde che non richiedono alcun mezzo materiale. Ciò che oscilla non è un corpo, né un fluido, né una grandezza elettrica legata a un conduttore, ma il campo elettrico e il campo magnetico stessi. La loro esistenza emerge direttamente dalle [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell|equazioni di Maxwell]] ed è una delle scoperte più profonde della fisica dell’Ottocento. [[w:James_Clerk_Maxwell|Maxwell]] comprese che un campo elettrico variabile nel tempo genera un campo magnetico (legge di Ampère‑Maxwell), e che un campo magnetico variabile genera a sua volta un campo elettrico (legge di Faraday). Questi due processi formano un accoppiamento dinamico: * variazioni di <math>\mathbf{E}</math> producono <math>\mathbf{B}</math>, * variazioni di <math>\mathbf{B}</math> producono <math>\mathbf{E}</math>. Da questo meccanismo nasce la possibilità di una perturbazione che si rigenera mentre avanza nello spazio: un’onda elettromagnetica. A differenza delle onde meccaniche, che richiedono un mezzo materiale in cui le particelle oscillano attorno alla loro posizione di equilibrio, le onde elettromagnetiche non hanno bisogno di alcun mezzo: sono oscillazioni auto‑sostenute del campo elettrico e magnetico nel vuoto. In entrambi i casi non vi è trasporto netto di materia, ma solo propagazione di una perturbazione. ==Dalle equazioni di Maxwell all'equazione delle onde== Nel vuoto, le equazioni di Maxwell assumono la forma: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,</math> :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. </math> Vogliamo mostrare che i campi <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> soddisfano un’equazione d’onda del tipo: :<math> \nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}, \qquad \nabla^2 \mathbf{B} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}, </math> dove <math>c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}</math>. ===Equazione delle onde per il campo elettrico=== Consideriamo il rotore del rotore di <math>\mathbf{E}</math>: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})</math> Usiamo l’identità vettoriale: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} </math> Nel vuoto vale <math>\nabla \cdot \mathbf{E}=0</math>, quindi: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= -\,\nabla^2 \mathbf{E}</math> D’altra parte, dalle equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> Prendiamo il rotore di entrambi i membri: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= \nabla \times \left(-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right)= -\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})</math> Ora sostituiamo <math>\nabla \times \mathbf{B}</math> dalla quarta equazione di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Otteniamo: :<math>-\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})= -\,\frac{\partial}{\partial t} \left(\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Ma abbiamo anche: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\,\nabla^2 \mathbf{E}</math> Eguagliando le due espressioni: :<math>-\,\nabla^2 \mathbf{E}= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}.</math> Eliminando il segno meno: :<math>\nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Definendo: :<math>c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}</math> si ottiene: :<math>\nabla^2 \mathbf{E}= \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> che è l’equazione delle onde per il campo elettrico. ===Equazione delle onde per il campo magnetico=== La dimostrazione per <math>\mathbf{B}</math> è del tutto analoga. Partiamo dall’identità vettoriale: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \nabla^2 \mathbf{B}</math> Sempre <math>\nabla \cdot \mathbf{B}=0</math>, quindi: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= -\,\nabla^2 \mathbf{B}</math> Dalle equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Prendiamo il rotore di entrambi i membri: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= \nabla \times \left(\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E}).</math> Ora sostituiamo <math>\nabla \times \mathbf{E}</math> dalla terza equazione di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> Otteniamo: :<math>\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E})= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}\left(-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right) = -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}. </math> Ma abbiamo anche: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= -\,\nabla^2 \mathbf{B}</math> Eguagliando: :<math>-\,\nabla^2 \mathbf{B}= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math> da cui: :<math>\nabla^2 \mathbf{B}= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}= \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math> Questo mostra che le equazioni di Maxwell nel vuoto implicano l’esistenza di onde elettromagnetiche che si propagano con velocità <math>c</math>, identificabile con la velocità della luce. ==Onda piana elettromagnetica nel vuoto== Consideriamo una soluzione d’onda piana delle equazioni d’onda per i campi elettrico e magnetico nel vuoto. Supponiamo che l’onda si propaghi lungo l’asse <math>x</math>. ===Ipotesi di propagazione e forma d’onda=== Assumiamo che i campi dipendano solo da <math>x</math> e da <math>t</math>: :<math>\mathbf{E} = \mathbf{E}(x,t), \qquad \mathbf{B} = \mathbf{B}(x,t)</math> Una soluzione d’onda piana armonica può essere scritta come: :<math>\mathbf{E}(x,t) = \mathbf{E}_0 \cos(kx - \omega t + \varphi_E)</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = \mathbf{B}_0 \cos(kx - \omega t + \varphi_B)</math> dove <math>k</math> è il numero d’onda, <math>\omega</math> la pulsazione, <math>\mathbf{E}_0</math> e <math>\mathbf{B}_0</math> sono vettori costanti (ampiezze), e <math>\varphi_E</math>, <math>\varphi_B</math> sono fasi iniziali. Per una onda piana nel vuoto, le equazioni di Maxwell impongono che: * la direzione di propagazione sia lungo <math>\hat{\mathbf{x}}</math> (deriva dall'ipotesi iniziale), * i campi siano trasversali, cioè ortogonali alla direzione di propagazione. {{Cassetto| titolo=Dimostrazione trasversalità del campo elettromagnetico| testo= Assumiamo che i campi dipendano solo da <math>x</math> e dal tempo <math>t</math>: :<math>\mathbf{E} = \mathbf{E}(x,t), \qquad \mathbf{B} = \mathbf{B}(x,t)</math> Scriviamo esplicitamente le componenti: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_x(x,t)\,\hat{\mathbf{x}} + E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}} </math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_x(x,t)\,\hat{\mathbf{x}} + B_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + B_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}. </math> Nel vuoto valgono le equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math> :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Calcoliamo la divergenza di <math>\mathbf{E}</math>. Poiché i campi dipendono solo da <math>x</math>: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E}= \frac{\partial E_x}{\partial x}</math> dato che <math>E_y</math> ed <math>E_z</math> non dipendono da <math>y</math> e <math>z</math>. La condizione <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math> implica quindi: :<math>\frac{\partial E_x}{\partial x} = 0</math> Questo significa che <math>E_x</math> è indipendente da <math>x</math>. Se vogliamo descrivere un’onda piana che si propaga lungo <math>x</math>, la dipendenza spaziale deve essere del tipo <math>\cos(kx - \omega t)</math> o <math>\sin(kx - \omega t)</math>. Una componente costante <math>E_x</math> non rappresenta un’onda, ma un campo uniforme. Per una soluzione d’onda piana pura, imponiamo quindi: :<math>E_x(x,t) = 0</math> I campi sono quindi trasversali: non hanno componente lungo <math>\hat{\mathbf{x}}</math>. Lo stesso ragionamento vale per <math>\mathbf{B}</math>: :<math>\nabla \cdot \mathbf{B}= \frac{\partial B_x}{\partial x} = 0\quad \Rightarrow \quad B_x(x,t) \text{ costante}</math> Anche qui, una componente costante non rappresenta un’onda. Per una soluzione d’onda piana nel vuoto si pone: :<math>B_x(x,t) = 0</math> Abbiamo quindi mostrato che, per un’onda piana che dipende solo da <math>x</math> e <math>t</math>, le componenti lungo la direzione di propagazione devono essere nulle: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + B_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}.</math> La condizione <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math> nel vuoto esprime l’assenza di cariche elettriche: non ci sono sorgenti o pozzi del campo elettrico. Per un’onda piana che si propaga lungo <math>x</math>, questo vincolo elimina la possibilità di una componente longitudinale variabile nel tempo. Rimane solo la parte trasversale, che oscilla ortogonalmente alla direzione di propagazione. Questo dimostra che le onde elettromagnetiche piane nel vuoto sono intrinsecamente trasversali: i campi oscillano solo nelle direzioni ortogonali alla direzione di propagazione. }} Possiamo quindi scegliere, ad esempio: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}.</math> In questa configurazione, l’onda si propaga lungo <math>x</math>, il campo elettrico è diretto lungo <math>y</math>, il campo magnetico lungo <math>z</math>, e i tre vettori sono mutuamente ortogonali. ===Equazione d’onda e relazione dispersione=== L’equazione d’onda per <math>\mathbf{E}</math> nel vuoto è: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Nel caso in cui <math>\mathbf{E}</math> dipenda solo da <math>x</math> e <math>t</math>, il [[w:Laplaciano_vettoriale|laplaciano]] si riduce a: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial x^2}.</math> Per la componente lungo <math>\hat{\mathbf{y}}</math>: :<math>E_y(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)</math> si ha: :<math>\frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}= -k^2 E_0 \cos(kx - \omega t)</math> :<math>\frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2}= -\omega^2 E_0 \cos(kx - \omega t)</math> Inserendo nell’equazione d’onda: :<math>-k^2 E_0 \cos(kx - \omega t)= \frac{1}{c^2}\left[-\omega^2 E_0 \cos(kx - \omega t)\right]</math> da cui: :<math>k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}</math> Questa è la relazione di dispersione per l’onda piana nel vuoto. In termini di lunghezza d’onda <math>\lambda</math> e frequenza <math>\nu</math>: :<math>k = \frac{2\pi}{\lambda}, \qquad \omega = 2\pi \nu</math> e la relazione <math>\omega = c k</math> implica: :<math>c = \lambda \nu</math> Lo stesso ragionamento vale per <math>\mathbf{B}</math>, che soddisfa la stessa equazione d’onda. ===Relazione tra <math>E_0</math> e <math>B_0</math>=== Le equazioni di Maxwell impongono inoltre: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math> Per l’onda piana scelta: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> si ha: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E}= \frac{\partial E_y}{\partial y} = 0</math> poiché <math>E_y</math> non dipende da <math>y</math>. Analogamente per <math>\mathbf{B}</math>. Questo conferma che i campi sono trasversali: non hanno componenti lungo la direzione di propagazione. Usando la [[Fisica_classica/Induzione_e_legge_di_Faraday|legge di Faraday]]: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> per l'onda piana considerata si ottiene la relazione tra le ampiezze. Il rotore di <math>\mathbf{E}</math> è: :<math>\nabla \times \mathbf{E}= \left(\frac{\partial E_y}{\partial x}\right)\hat{\mathbf{z}} = -k E_0 \sin(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La derivata temporale di <math>\mathbf{B}</math> è: :<math>\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}= -\omega B_0 \sin(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La legge di Faraday richiede: :<math>\nabla \times \mathbf{E}= -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\quad \Rightarrow \quad -k E_0 \sin(kx - \omega t)= -\left[-\omega B_0 \sin(kx - \omega t)\right]</math> cioè: :<math>-k E_0 = \omega B_0</math> Usando la relazione <math>\omega = c k</math>, si ottiene: :<math>E_0 = c\,B_0</math> Questa è una proprietà fondamentale dell’onda elettromagnetica piana nel vuoto: l’ampiezza del campo elettrico è pari alla velocità di propagazione <math>c</math> moltiplicata per l’ampiezza del campo magnetico. ==Polarizzazione delle onde elettromagnetiche== Una volta stabilito che, nel vuoto, un’onda elettromagnetica piana è trasversale, cioè i campi <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> oscillano in direzioni perpendicolari alla direzione di propagazione, rimane da descrivere come avviene questa oscillazione. La direzione in cui oscilla il campo elettrico definisce la polarizzazione dell’onda. Consideriamo un’onda che si propaga lungo l’asse <math>x</math>. Allora il campo elettrico ha solo componenti trasversali: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La forma temporale e spaziale dell’oscillazione determina il tipo di polarizzazione. ===Polarizzazione lineare=== [[File:Electromagneticwave3D.gif|thumb|left|Le onde elettromagnetiche possono essere immaginate come onde trasversali auto-propaganti di campi elettrici e magnetici. Questa animazione 3D mostra un'onda piana a polarizzazione lineare che si propaga da sinistra a destra. I campi elettrico e magnetico in un'onda di questo tipo sono in fase tra loro, raggiungendo minimi e massimi contemporaneamente.]] Si ha polarizzazione lineare quando il campo elettrico oscilla sempre lungo una stessa direzione fissa nel piano trasversale. Per esempio: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> In questo caso il vettore <math>\mathbf{E}</math> rimane sempre parallelo a <math>\hat{\mathbf{y}}</math> Analogamente si può avere polarizzazione lineare lungo una qualunque direzione del piano <math>yz</math>, In generale: :<math>\mathbf{E}(x,t) =\left(E_{0y}\,\hat{\mathbf{y}} + E_{0z}\,\hat{\mathbf{z}}\right)\cos(kx - \omega t) </math> con <math>E_{0y}</math> e <math>E_{0z}</math> costanti, rappresenta una polarizzazione lineare lungo la direzione del vettore costante <math>\mathbf{E}_0</math>. ===Polarizzazione circolare=== [[File:Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light Left.Hand.Animation.305x190.255Colors.gif|Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light Left.Hand.Animation.305x190.255Colors|thumb|right|Rappresentazione del vettore campo elettrico per un'onda elettromagnetica polarizzata circolarmente]] Si ha polarizzazione circolare quando le componenti trasversali del campo elettrico hanno la stessa ampiezza, ma sono sfasate di <math>\pi/2</math> Esempio: :<math>E_y(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)</math> :<math>E_z(x,t) = E_0 \sin(kx - \omega t)</math> In questo caso, per un punto fissato nello spazio, il vettore <math>\mathbf{E}</math> ruota con velocità angolare <math>\omega</math> descrivendo una circonferenza nel piano <math>yz</math>. La rotazione può essere destrorsa o sinistrorsa a seconda del segno dello sfasamento. ===Polarizzazione ellittica=== La polarizzazione ellittica è il caso più generale: le componenti trasversali hanno ampiezze diverse e/o uno sfasamento arbitrario. Esempio: :<math>E_y(x,t) = E_{0y} \cos(kx - \omega t)</math> :<math>E_z(x,t) = E_{0z} \cos(kx - \omega t + \delta)</math> Per un punto fissato nello spazio, il vettore <math>\mathbf{E}</math> descrive un’ellisse nel piano trasversale. La polarizzazione lineare e quella circolare sono casi particolari della polarizzazione ellittica: * lineare: <math>\delta=0\quad o \quad \pi</math> * circolare: <math>E_{0y}=E_{0z}</math> e <math>\delta=\pm \pi/2</math> ===Rappresentazione complessa=== È spesso utile rappresentare l’onda tramite fasori: :<math>\mathbf{E}(x,t) = \Re\left\{\mathbf{E}_0\, e^{i(kx - \omega t)}\right\}</math> dove <math>\mathbf{E}_0</math> è un vettore complesso che contiene ampiezze e fasi delle componenti trasversali. La forma di <math>\mathbf{E}_0</math> determina immediatamente il tipo di polarizzazione. ==Struttura vettoriale dell’onda elettromagnetica piana== Una volta ricavate l’equazione d’onda, la soluzione piana e la trasversalità dei campi, è utile riassumere la struttura vettoriale dell’onda elettromagnetica nel vuoto. Questa struttura emerge direttamente dalle equazioni di Maxwell e descrive in modo compatto le relazioni geometriche tra i campi. Per un’onda piana che si propaga con vettore d’onda <math>\mathbf{k}</math>, i campi elettrico e magnetico soddisfano: :<math>\mathbf{k} \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad\mathbf{k} \cdot \mathbf{B} = 0</math> Queste relazioni, già ottenute dalla condizione di divergenza nulla, riassumono la trasversalità: i campi oscillano in direzioni perpendicolari alla direzione di propagazione. Inoltre, dalle equazioni di Maxwell segue che: :<math>\mathbf{E} \cdot \mathbf{B} = 0</math> I tre vettori <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{B}</math> e <math>\mathbf{k}</math> sono quindi mutuamente ortogonali. Dalla forma piana delle equazioni di Maxwell si ottiene la relazione compatta: :<math>\mathbf{B} = \frac{1}{\omega}\,\mathbf{k} \times \mathbf{E}.</math> Questa espressione riassume in un’unica formula: * l’ortogonalità tra <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math>, * la direzione di <math>\mathbf{B}</math> come prodotto vettoriale, * la fase comune dei due campi, * la relazione tra ampiezze (già dimostrata): :<math>B_0 = \frac{E_0}{c}</math> La direzione di propagazione dell’onda è determinata dal prodotto vettoriale: :<math>\mathbf{k} \propto \mathbf{E} \times \mathbf{B}.</math> Questa relazione è puramente geometrica, qui serve solo a mostrare che la terna (<math>\mathbf{E}</math>,<math>\mathbf{B}</math>,<math>\mathbf{k}</math>) è una terna destrorsa. ==Onde elettromagnetiche sferiche== Quando la sorgente elettromagnetica è localizzata in una regione di spazio molto piccola rispetto alla distanza dal punto di osservazione, la soluzione dell’equazione delle onde assume forma sferica. In questo caso, l’onda si propaga radialmente e le superfici a fase costante sono sfere concentriche. Nel vuoto, il campo elettrico soddisfa l’equazione: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0 </math> Una soluzione a simmetria sferica dipende solo dalla distanza <math>r</math> dalla sorgente: :<math>\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \mathbf{\hat{r}}\, E(r,t)</math> {{Cassetto| titolo=Dimostrazione della soluzione a simmetria sferica del campo elettromagnetico| testo= Nel vuoto, il campo elettrico soddisfa l’equazione: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0</math> Consideriamo una soluzione a simmetria sferica, in cui il campo dipende solo dalla distanza <math>r</math> dalla sorgente. Per semplicità, supponiamo che il campo sia radialmente diretto: :<math>\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \hat{\mathbf{r}}\, E(r,t)</math> dove <math>E(r,t)</math> è una funzione scalare. In questo caso, il Laplaciano del campo si riduce al Laplaciano della funzione scalare <math>E(r,t)</math> in coordinate sferiche. Per una funzione che dipende solo da <math>r</math>, il Laplaciano è: :<math>\nabla^2 E(r,t) = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right)</math> Sostituendo nell’equazione d’onda si ottiene: :<math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right)- \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} = 0</math> Ora introduciamo la funzione: :<math>u(r,t) = r\,E(r,t)</math> Calcoliamo le derivate rispetto a <math>r</math>: :<math>\frac{\partial u}{\partial r} = E + r\,\frac{\partial E}{\partial r}</math> :<math>\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}= \frac{\partial E}{\partial r}+\frac{\partial}{\partial r} \left( r\,\frac{\partial E}{\partial r} \right)= \frac{\partial E}{\partial r}+\frac{\partial E}{\partial r}+ r\,\frac{\partial^2 E}{\partial r^2}= 2\,\frac{\partial E}{\partial r}+r\,\frac{\partial^2 E}{\partial r^2}</math> D’altra parte: :<math>\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right)= 2r\,\frac{\partial E}{\partial r}+r^2\frac{\partial^2 E}{\partial r^2}</math> Confrontando le due espressioni, si vede che: :<math>\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}= \frac{1}{r}\,\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right)</math> Quindi: :<math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right) = \frac{1}{r}\,\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}</math> Sostituendo nell’equazione d’onda: :<math>\frac{1}{r}\,\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} = 0</math> Ma <math>E = u/r</math>, quindi: :<math>\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}= \frac{1}{r}\,\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}</math> L’equazione diventa: :<math>\frac{1}{r}\,\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}-\frac{1}{c^2}\frac{1}{r}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0</math> Moltiplicando per <math>r</math>: :<math>\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0</math> cioè: :<math>\frac{\partial^2}{\partial r^2}(rE)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}(rE) = 0 . </math> Questa è una equazione d’onda unidimensionale per la funzione <math>u(r,t)=rE(r,t)</math>, lungo la coordinata radiale <math>r</math>. }} Sostituendo nell’equazione d’onda si ottiene l’equazione radiale: :<math>\frac{\partial^2}{\partial r^2}(rE) - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}(rE) = 0</math> La quantità <math>u(r,t)=rE(r,t)</math> soddisfa quindi una normale equazione d’onda 1D. La soluzione generale è: :<math>E(r,t) = \frac{1}{r}\, f(r - ct) + \frac{1}{r}\, g(r + ct)</math> Per un’onda uscente (nessuna sorgente all’infinito), vi è una sola soluzione che ha senso fisico: :<math>E(r,t) = \frac{1}{r}\ f(r - ct)</math> Per una sorgente che oscilla sinusoidalmente a frequenza <math>\omega</math>, la soluzione assume la forma: :<math>E(r,t) = \frac{E_0}{r}\, \cos(kr - \omega t)</math> dove <math>k=\omega/c</math>. Il campo magnetico associato è perpendicolare a <math>\mathbf{E}</math> e alla direzione radiale: :<math>B(r,t) = \frac{E_0}{c\,r}\, \cos(kr - \omega t) </math> ===Caratteristiche delle onde sferiche=== * Decadimento come 1/r: L’ampiezza diminuisce con la distanza perché l’energia si distribuisce su superfici sferiche di area <math>4\pi r^2</math>. * Fronti d’onda sferici: La fase <math>kr - \omega t = \text{costante}</math> descrive sfere concentriche. * Campo trasversale: Anche nel caso sferico, <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> restano perpendicolari tra loro e alla direzione di propagazione. * Regione di campo lontano (''far field''): A distanze molto grandi dalla sorgente, l’onda sferica si approssima localmente a un’onda piana. ==[[w:Spettro_elettromagnetico|Spettro elettromagnetico]]== [[File:EM Spectrum Properties it.svg|1000px|center]] Le onde elettromagnetiche possono avere frequenze e lunghezze d’onda estremamente diverse tra loro. L’insieme di tutte le possibili frequenze costituisce lo spettro elettromagnetico. Poiché nel vuoto vale la relazione: :<math>c = \lambda\, \nu</math> una frequenza più alta corrisponde a una lunghezza d’onda più corta, e viceversa. Lo spettro elettromagnetico è continuo: non esistono “salti” tra una regione e l’altra. Le suddivisioni che seguono sono convenzionali e basate su modalità di produzione, rivelazione e applicazioni. ===Onde radio (RF)=== [[File:Dipole xmting antenna animation 4 408x318x150ms.gif|thumb|upright=1.2|Diagramma animato di una antenna a dipolo che irradia onde radio]] Le onde radio comprendono le frequenze più basse dello spettro e sono generate da correnti elettriche oscillanti in antenne di grandi dimensioni. La loro lunghezza d’onda molto elevata permette di coprire grandi distanze e di diffrangere attorno agli ostacoli, rendendole ideali per comunicazioni terrestri e marittime. Sono utilizzate in radiofonia, televisione, telecomunicazioni, radiolocalizzazione e radioastronomia. La loro produzione e rivelazione è relativamente semplice, motivo per cui sono state le prime onde elettromagnetiche sfruttate tecnologicamente. ===[[w:Microonde|Microonde]]=== Le microonde hanno lunghezze d’onda comprese tra decine di centimetri e pochi millimetri. Per le grandi potenze si impiegano sorgenti a vuoto come i [[w:Magnetron|magnetron]], robusti ed efficienti, utilizzati nei radar e nei forni a microonde; per le basse potenze si usano invece oscillatori a stato solido, più compatti e stabili. Le microonde sono fondamentali nelle comunicazioni satellitari, nei collegamenti punto‑punto, nei sistemi radar e in molte applicazioni industriali e scientifiche. La loro interazione selettiva con l’acqua le rende utili per il riscaldamento dielettrico. ===[[w:Infrarosso|Infrarosso]] (IR)=== [[File:Ir girl.png|thumb|left|Una immagine all'infrarosso con [[w:Falsi_colori|falsi colori]] di due persone dovuta alla emissione della temperatura corporea]] Le radiazioni infrarosse sono emesse da qualunque corpo caldo: la sorgente più comune è infatti la radiazione termica, che cresce con la temperatura secondo la [[w:Legge_di_Planck|legge di Planck]]. Anche le transizioni vibrazionali delle molecole producono infrarosso, motivo per cui questa regione dello spettro è fondamentale in spettroscopia. Gli infrarossi trovano impiego nella termografia, nelle telecomunicazioni in fibra ottica, nei telecomandi e nell’astronomia IR, che permette di osservare oggetti freddi o oscurati dalla polvere interstellare. Pur invisibili, sono tra le radiazioni più presenti nella vita quotidiana. ===[[w:Spettro_visibile|Luce visibile]]=== La luce visibile è la stretta porzione dello spettro percepita dall’occhio umano, compresa tra circa 400 e 700 nm. È prodotta principalmente da transizioni elettroniche negli atomi e nelle molecole, come avviene nelle lampade, nei LED e nelle stelle. La luce visibile è fondamentale per l’osservazione del mondo naturale e per la maggior parte delle tecnologie ottiche: lenti, microscopi, telescopi, fibre ottiche e strumenti di misura. Nonostante rappresenti una piccola parte dello spettro, è quella più studiata nella storia della fisica. ===[[w:Ultravioletto|Ultravioletto]]=== [[File:GALEX-NGC247.jpg|thumb|right|Immagine all'ultravioletto della galassia NGC247]] La radiazione ultravioletta ha lunghezze d’onda più corte del visibile ed è prodotta da transizioni elettroniche ad alta energia, scariche elettriche e sorgenti termiche molto calde. L’UV è in grado di ionizzare alcune molecole e di rompere legami chimici, motivo per cui è utilizzato nella sterilizzazione e nella disinfezione. Nell’atmosfera terrestre viene in gran parte assorbito dallo strato di [[w:Ozono|ozono]], proteggendo gli organismi viventi. In laboratorio e in astronomia l’UV è uno strumento prezioso per studiare materiali e plasmi ad alta energia. ===[[w:Raggi_X|Raggi X]]=== I raggi X sono generati principalmente dal frenamento di elettroni ad alta energia (''[[w:Bremsstrahlung|bremsstrahlung]]'') o da transizioni elettroniche profonde negli atomi. La loro capacità di attraversare materiali opachi li rende indispensabili nella diagnostica medica, nella tomografia computerizzata e nella cristallografia a raggi X, che permette di determinare la struttura dei cristalli e delle molecole complesse. In astronomia, i raggi X rivelano fenomeni estremi come buchi neri, stelle di neutroni e gas ad altissima temperatura. ===[[w:Raggi_gamma|Raggi gamma]]=== I raggi gamma sono le radiazioni più energetiche dello spettro e sono prodotti da processi nucleari, decadimenti radioattivi e fenomeni astrofisici estremi come supernovae e lampi gamma. La loro elevata energia permette di penetrare profondamente nella materia, rendendoli utili nella medicina nucleare, nella radioterapia e nella sterilizzazione di materiali. In astrofisica forniscono informazioni uniche sugli eventi più violenti dell’universo. La loro rivelazione richiede strumenti altamente specializzati. [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} rev62pvj0yymtvay0vqwcf0otzwewh6 499490 499488 2026-06-28T08:18:30Z Pasquale.Carelli 528 Pagina sostituita con '{{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. 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Coulomb]], [[w:Hans_Christian_Oersted|H. Oersted]], [[w:Andre_Marie_Ampere|A. Ampère]], [[w:Joseph_Henry|J. Henry]] e [[w:Micheal_Faraday|M. Faraday]]. Una prima sintesi dell'elettromagnetismo è dovuta a [[w:Carl_Gauss|C. Gauss]] che, enunciando i due teoremi che rappresentano le prime due equazioni di Maxwell, mise per primo le basi per la teoria completa dell'elettromagnetismo che verrà descritta nel seguito. I Teoremi stabiliscono come da una parte le cariche sono le sorgenti del campo elettrico e dell'altra che le correnti elettriche sono le sorgenti del campo magnetico. Il lavoro di sintesi sull'elettromagnetismo è dovuto a [[w:James_Clerk_Maxwell|J. Maxwell]] che negli anni tra il 1860 ed il 1870 sviluppò una formulazione completa dell'elettromagnetismo comprendente tutte le leggi studiate. Vi è da aggiungere che le leggi dell'elettromagnetismo così sviluppate, che qui saranno descritte nella loro formulazione moderna, sono in disaccordo con il principio di [[w:Relativit%C3%A0_galileiana|relatività galileiana]] e solo la [[w:Relativit%C3%A0_ristretta|relatività ristretta]] di [[w:Albert_Einstein|A. Einstein]] ha permesso di risolvere tale incongruenza riformulando il principio di relatività. Notiamo infatti che le equazioni di Maxwell conservano la loro validità anche in relatività ristretta, quindi è la relatività galileiana che risulta inadeguata a descrivere il mondo fisico, se si considera il valore finito della velocità della luce. Se non viene specificato diversamente la trattazione è riferita al caso del vuoto, la presenza di materia rende necessaria una trattazione più articolata. == Equazioni di Maxwell in forma Integrale== I campi elettrici e magnetici hanno molte differenze, ma presentano anche notevoli somiglianze dal punto di vista matematico. Se si sceglie una superficie chiusa arbitraria dello spazio <math>S\ </math>, la legge di Gauss applicata al campo elettrico e magnetico comporta che: {{Equazione|eq=<math>\int_S \vec E \cdot d \vec S=\frac Q{\varepsilon_o}\ </math>|id=1}} L'equivalente per il campo di induzione magnetica: {{Equazione|eq=<math>\int_S \vec B \cdot d \vec S=0\ </math>|id=2}} Queste due equazioni integrali rappresentano una chiara manifestazione di simmetria dei due campi in assenza di cariche elettriche. Infatti se si è in una regione di spazio dove non è presente la carica elettrica le due equazioni formalmente sono equivalenti. Tale simmetria è apparentemente mancante tra la legge di Faraday e di Ampère. Infatti la legge di Faraday afferma che la derivata temporale del flusso magnetico attraverso una superficie aperta <math>S\ </math> delimitata con una linea chiusa <math>L\ </math> è pari alla circuitazione (cambiata di segno) di un campo elettromotore indotto nel circuito <math>L\ </math>, matematicamente;: {{Equazione|eq=<math>\oint_L \vec E \cdot d \vec l=-\frac {\partial }{\partial t}\int_S \vec B \cdot d \vec S\ </math>|id=3}} La legge di Ampère, invece afferma semplicemente che la circuitazione del campo magnetico attraverso un cammino chiuso <math>L\ </math> è proporzionale alla corrente totale concatenata ad <math>L\ </math>, (cioè la corrente totale che attraversa la superficie <math>S\ </math> di cui <math>L\ </math> è la frontiera): {{Equazione|eq=<math>\oint_L \vec B \cdot d \vec l=\mu_o i\ </math>|id=4}} Mentre il campo elettromotore della legge di Faraday è legato alla variazione nel tempo del campo magnetico. Nella legge di Ampère vi è un legame tra campi magnetici e correnti elettriche stazionarie senza l'intervento di campi elettrici variabili nel tempo. La asimmetria è evidente ed è dovuta alla incompletezza della eq.4, che quindi non ha valore generale. Le eq.1 e eq.2 sono state rappresentate matematicamente nella forma data, dopo che molti esperimenti di Fisica avevano evidenziato il contenuto delle equazioni stesse. La formulazione precisa della legge che deve essere sostituita alla eq.4 per renderla completa è dovuta [[w:James_Clerk_Maxwell|J. Maxwell]] che la formulò nella metà dell'800, tale legge verrà verificata sperimentalmente solo molti anni dopo. Il termine aggiuntivo mancante rende simmetriche le eq. 3 e eq.4 (nella forma completa). Infatti la forma completa della legge di Ampère contiene il fatto che la variazione del flusso del campo elettrico concatenato genera un campo magnetico. Rimane una asimmetria dovuta alla assenza di monopoli magnetici, se ci fossero i [[w:Monopolo_magnetico|monopoli magnetici]] le eq. 1 e 2 sarebbero simili. Ma anche le leggi di Faraday e di Ampère (eq. 3 e 4). == La corrente di spostamento== [[Image:Deplacement_current.png|thumb|left|300px|Fig. 1- Rappresentazione schematica di un circuito attraversato da una corrente variabile i(t) nel tempo e di una linea chiusa nello spazio <math>L\ </math>. Contemporaneamente la carica sulle armature del condensatore varia nel tempo generando un campo elettrico variabile ]] Completiamo il termine mancante al teorema di Ampère (eq. 4). Ci basiamo su un semplice esperimento, ''gedanken'' (pensato in tedesco), che potrebbe essere eseguito ai nostri giorni. Consideriamo un semplice condensatore a piatti circolari piani e paralleli (di superficie <math>S\ </math> e distanza <math>d\ </math> tra le armature). Immaginiamo il condensatore inizialmente scarico e che venga caricato in una maniera qualsiasi, ma possiamo affermare in forma generale che una corrente <math>i(t)\ </math> attraverserà i fili elettrici che connettono le armature. Consideriamo la linea chiusa <math>L\ </math> mostrata nella figura a fianco. Tale cammino chiuso può delimitare una superficie <math>S_1\ </math> che attraversa il filo dove scorre una corrente <math>i(t)\ </math> o una altra superficie <math>S_2\ </math> che passa attraverso le armature del condensatore: unica regione di spazio in cui durante la carica del condensatore è presente un campo elettrico variabile nel tempo <math>\vec E(t)\ </math> (se l'induzione tra le armature del condensatore è completa). Se eseguiamo l'integrale di linea di <math>\vec B\ </math> lungo la linea <math>L\ </math> se tale linea comprende la superficie <math>S_1\ </math> avremo che: :<math>\oint_L \vec B \cdot d \vec l=\mu_o i(t) </math> Mentre se la linea delimita la superficie <math>S_2\ </math> il secondo membro sarebbe identicamente nullo. Questa è una chiara contraddizione che dipende dall'avere trascurato la quantità <math>i_{sp}\ </math>, detta '''corrente di spostamento''', tra le armature del condensatore: :<math>i_{sp}=\varepsilon_o \int_{S_2} \frac {\partial \vec E(t)}{\partial t} \cdot \vec {dS}=\varepsilon_o \frac {\partial }{\partial t}\Phi (E)\ </math> dove <math>\Phi (E)\ </math> è il flusso elettrico che attraversa la generica superficie <math>S_i\ </math> delimitata dalla linea <math>L\ </math>. Da una semplice analisi dimensionale appare che tale quantità, non solo ha le dimensioni di una corrente, ma coincide istante per istante con la corrente <math>i(t)\ </math>. Infatti la carica istantanea sulle armature del condensatore vale: <math>Q(t)=\varepsilon_o \frac Sd V(t)=\varepsilon_o \frac Sd |E(t)|d=\varepsilon_o S |E(t)| \ </math> Ma la sua derivata nel tempo è pari alla corrente <math>i(t)\ </math> che carica il condensatore: <math>i(t)=\varepsilon_o \frac {\partial |E(t)|}{\partial t} S\ </math> Il teorema di Ampère in forma completa si scrive: {{Equazione|eq=<math> \oint_L \vec B \cdot d \vec l=\mu_o i +\mu_o \varepsilon_o \frac {\partial }{\partial t}\Phi (E)= \mu_o i +\frac 1{c^2} \frac {\partial }{\partial t}\Phi (E) \ </math>|id=5}} Quindi campi elettrici variabili nel tempo producono campi magnetici, analogamente a quanto succede tra campi magnetici variabili nel tempo e campi elettrici. Notiamo come si sia sostituita a <math>\mu_o \varepsilon_o\ </math> l'inverso della velocità della luce nel vuoto al quadrato <math>1/c^2\ </math>. La corrente di spostamento non è una astrazione matematica, ma una realtà fisica. Infatti tornando all'esempio di prima tra le armature del condensatore durante il processo di carica si forma un campo magnetico coassiale con il condensatore cilindrico, ma di intensità in genere così piccola da essere con difficoltà misurabile, per questo la corrente di spostamento è stata prevista teoricamente prima di essere stata misurata sperimentalmente, al contrario delle altre proprietà dell'elettromagnetismo che sono state messe in evidenza prima sperimentalmente e poi inquadrate in equazioni matematiche. La corrente di spostamento, qui introdotta in un caso particolare da una condizione di continuità sulle correnti elettriche in circuiti interrotti da condensatori, ha un significato fisico più generale, ed esprime il fatto che campi elettrici variabili nel tempo generano campi magnetici. ==L'operatore Nabla== Se definiamo con <math>\vec \nabla\ </math> il seguente operatore vettoriale: <math>\vec \nabla=\left(\frac {\partial}{\partial x}\vec i+ \frac {\partial}{\partial y}\vec j+\frac {\partial}{\partial z}\vec k \right)\ </math> Dato un campo vettoriale generico <math>\vec A\ </math>: <math>\vec A=A_x\vec i+A_y\vec j+A_z\vec k\ </math> Il prodotto scalare di <math>\vec \nabla\ </math> con tale generico campo vettoriale viene chiamata divergenza: <math>div \vec A=\vec \nabla \cdot \vec A=\frac {\partial A_x}{\partial x}+ \frac {\partial A_y}{\partial y}+\frac {\partial A_z}{\partial z} \ </math> La divergenza di un campo vettoriale è uno scalare che misura in qualche maniera la variazione spaziale del campo stesso. == Teorema della divergenza== Dimostriamo analiticamente che per il flusso di un campo vettoriale <math>\vec A\ </math> attraverso una superficie chiusa <math>S\ </math> che delimita un volume <math>T\ </math> vale la seguente eguaglianza: {{Equazione|eq=<math> \int_S\vec A\cdot \vec {ds}=\int_T div \vec A\ d\tau \ </math>|id=6}} Tale relazione permette di trasformare un integrale di superficie in un integrale di volume e va sotto il nome di '''Teorema della divergenza'''. [[Image:Dimostrazione_teorema_della_divergenza.png|thumb|300px|Fig. 2- Un parallelepipedo infinitesimo dello spazio reale in cui vi è un campo vettoriale derivabile <math>\vec A\ </math> ]] '''''Dimostrazione''''': Consideriamo un campo vettoriale <math>\vec A(x,y,z)\ </math>, definito in una regione di spazio all'interno del quale le componenti di <math>\vec A\ </math> sono derivabili rispetto alle variabili <math>x,y,z\ </math>. Calcoliamo il flusso di <math>\vec A\ </math> uscente da un volume infinitesimo: un parallelepipedo di dimensioni lineari <math>dx,dy,dz\ </math>. Detto <math>\vec A_o\ </math> il campo al centro del parallelepipedo. Il flusso dalle facce ortogonali all'asse delle <math>x\ </math> del campo valgono, a meno di infinitesimi di ordine superiore: <math> d\Phi_{ABHE}=-\left(A_{ox}-\left. \frac {\partial A_x}{\partial x}\right|_o\frac {dx}2\right)dydz \ </math> <math>d\Phi_{CDGF}=\left(A_{ox}+\left. \frac {\partial A_x}{\partial x}\right|_o\frac {dx}2\right)dydz \ </math> Quindi: <math> d\Phi_{ABHE}+d\Phi_{CDGF}=\left.\frac {\partial A_x}{\partial x}\right|_o d\tau \ </math> Dove si è definito <math>d\tau =dxdydz\ </math> il volume del parallelepipedo infinitesimo. In maniera analoga si trova che i contributi al flusso attraverso le facce ortogonali agli assi <math>y\ </math> e <math>z\ </math>. In maniera che il flusso totale attraverso le sei facce del parallelepipedo valgono: <math> d\Phi=\left(\frac {\partial A_x}{\partial x}+\frac {\partial A_y}{\partial y}+\frac {\partial A_z}{\partial z}\right)d\tau \ </math> Avendo omesso il pedice <math>o\ </math>. Con la definizione di divergenza si può scrivere in maniera più compatta: <math> d\Phi=div \vec A dxdydz \ </math> L'espressione del flusso uscente attraverso le facce del parallelepipedo infinitesimo. A partire da tale relazione, si ricava facilmente, per semplice integrazione, il flusso uscente attraverso la superficie <math>S\ </math> che racchiude un volume finito <math>\tau \ </math>. Va infatti osservato che la somma dei flussi elementari <math>d\Phi\ </math> dà contributo nullo per tutte le superfici elementari interne ed <math>S\ </math>, ognuna delle quali è attraversata due volte, ma in versi opposti, quando si calcola il flusso uscente da due volumi contigui. Integrando, si ottiene quindi: <math>\Phi_S(\vec A)=\int_S\vec \nabla \cdot \vec A\cdot \vec {dS}=\int_{\tau} \vec \nabla \cdot \vec A d\tau \ </math> L'espressione algebrica del teorema della divergenza che afferma che il flusso un vettore <math>\vec A\ </math> attraverso una superficie chiusa <math>S\ </math> è pari all'integrale della divergenza del vettore <math>\vec A\ </math> calcolato nel volume <math>\tau\ </math> racchiuso da <math>S\ </math>. Notiamo come la divergenza sia un operatore differenziale che applicato al campo vettoriale <math>\vec A\ </math> lo trasformi in uno scalare. ==Applicazione del teorema della divergenza ai campi elettrici== Applichiamo il teorema della divergenza ai campi elettrici. Per quanto riguarda i campi elettrici qualsiasi sia la superficie <math>S\ </math> che delimita una regione di spazio si ha che : <math> \int_{\tau} \vec \nabla \cdot \vec E d\tau=\frac 1{\varepsilon_o}\int_{\tau}\rho (x,y,z)d\tau \ </math> Poiché l'identità tra gli integrali vale qualsiasi sia la superficie chiusa di integrazione <math>S\ </math>, l'equazione deve valere qualsiasi sia il volume di integrazione, tale condizione implica da un punto di vista matematico che gli integrandi siano eguali da cui segue che, localmente, omettendo la dipendenza esplicita dalle coordinate spaziali: {{Equazione|eq=<math> \vec \nabla \cdot \vec E=\frac 1{\varepsilon_o}\rho \ </math>|id=7}} Tale equazione costituisce la prima equazione di Maxwell. Questa equazione è sostanzialmente equivalente alla legge di Gauss, dalla quale è stata dedotta nell'ipotesi che valga il teorema della divergenza. Questo comporta che per potere passare dalla notazione integrale a quella differenziale il campo elettrico <math>\vec E\ </math> sia derivabile in ogni punto della regione di spazio considerata: ipotesi aggiuntiva rispetto al teorema di Gauss. ==Applicazione del teorema della divergenza ai campi magnetici== Applichiamo il teorema della divergenza ai campi magnetici. Consideriamo quindi una generica superficie <math>S\ </math> che delimita una regione di spazio <math>\tau\ </math>, per quanto riguarda l'induzione magnetica vale sempre la eq.2 e quindi applicando il teorema della divergenza si ha che: <math>\int_{\tau} \vec \nabla \cdot \vec B d\tau=0 \ </math> Per essere tale integrale nullo qualsiasi sia la regione di spazio <math>\tau\ </math> deve essere nullo l'integrando segue quindi che : {{Equazione|eq=<math>\vec \nabla \cdot \vec B =0</math>|id=8}} Tale equazione esprime il forma locale il fatto che non vi sono i monopoli magnetici. ==Il teorema di Stokes== Il prodotto vettoriale di <math>\vec \nabla\ </math> con il generico vettore <math>\vec A\ </math> viene chiamato rotore: <math>rot \vec A=\vec \nabla \times \vec A=\left ( \begin{matrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ \frac {\partial}{\partial x}& \frac {\partial}{\partial y}& \frac {\partial}{\partial z}\\ A_x&A_y&A_z \end{matrix} \right) =\left( \frac {\partial A_z}{\partial y}-\frac {\partial A_y}{\partial z} \right) \vec i +\left( \frac {\partial A_x}{\partial z}-\frac {\partial A_z}{\partial x}\right) \vec j +\left( \frac {\partial A_y}{\partial x}-\frac {\partial A_x}{\partial y}\right) \vec k</math> Il rotore di un campo vettoriale dà una misura dei vortici presenti nel campo stesso. Per esempio se il campo vettoriale è dato dal vettore velocità delle particelle di fluido in un condotto, la presenza di vortici determina un rotore non nullo del vettore velocità. Si dimostra analiticamente che la circuitazione di un generico vettore <math>\vec A\ </math> attraverso una linea chiusa <math>L\ </math> che delimita una superficie aperta <math>S\ </math> valga esattamente: <math> \oint \vec A\cdot \vec {dl}=\int_Srot \vec A\cdot \vec {ds} \ </math> (9) Questa equazione permette di trasformare un integrale di linea in uno di superficie. == Legge di Faraday e di Ampère in forma locale mediante il teorema di Stokes== Per quanto riguarda l'equazione di Faraday eq.3 può essere scritta come: :<math>\oint_L \vec E \cdot d \vec l=-\frac {d}{dt}\int_S\vec B\cdot \vec {ds}</math> Dove <math>L\ </math> è la linea che delimita la superficie <math>S\ </math>. Applicando a questa equazione la eq.9 si ha: :<math>\int_Srot \vec E\cdot \vec {ds} =-\frac {d}{dt}\int_S\vec B\cdot \vec {ds}</math> Se la superficie <math>S\ </math> non varia nel tempo: :<math> \int_S\left( rot \vec E+\frac {d\vec B}{dt}\right) \cdot \vec {ds}=0</math> Per essere nullo tale integrale indipendentemente dalla superficie di integrazione <math>S\ </math>, deve essere nullo l'integrando: {{Equazione|eq=<math>rot \vec E=-\frac {d\vec B}{dt}</math>|id=10}} Questa è l'espressione della legge di Faraday in forma locale. Infine dalla equazione di Ampère (eq.5) scritta in maniera generale, definendo la corrente come flusso della densità di corrente <math>\vec J\ </math> : :<math>\oint_L \vec B \cdot d \vec l= \mu_o \int_S \vec J\cdot \vec{ds} +\frac 1{c^2}\int_S \frac {\vec {dE}}{dt}\cdot \vec {ds}</math> Ma il primo termine può essere riscritto mediante la equazione di Stokes (eq.9): :<math> \int_Srot \vec B\cdot \vec {ds} =\mu_o \int_S \vec J\cdot \vec{ds} +\frac 1{c^2} \int_S \frac {\vec {dE}}{dt}\cdot \vec {ds} </math> Quindi: :<math> \int_S \left(rot \vec B-\mu_o \vec J -\frac 1{c^2} \frac {\vec {dE}}{dt} \right)\cdot \vec {ds}=0 </math> Per essere nullo tale integrale indipendentemente dalla superficie di integrazione <math>S\ </math>, deve essere nullo l'integrando, da cui: {{Equazione|eq=<math> rot \vec B=\mu_o \vec J+\frac 1{c^2} \frac {\vec {dE}}{dt} </math>|id=11}} Questa è l'espressione della legge di Ampère in forma locale. ==Equazioni di Maxwell in forma differenziale== Le equazioni 7, 8, 10 ed 11 rappresentano le equazioni di Maxwell in forma locale o differenziale, e sono qui ripetute per completezza: {{Equazione|eq=<math> \vec \nabla \cdot \vec E=\frac 1{\varepsilon_o}\rho </math>|id=7}} {{Equazione|eq=<math>\vec \nabla \cdot \vec B =0</math>|id=8}} {{Equazione|eq=<math>\vec \nabla \times \vec E=-\frac {\partial \vec B}{\partial t}</math>|id=10}} {{Equazione|eq=<math> \vec \nabla \times \vec B=\mu_o \vec J+\frac 1{c^2} \frac {\partial \vec E}{\partial t} </math>|id=11}} Queste equazioni contengono tutte le proprietà dell'elettromagnetismo se accoppiate alla espressione della [[w:Forza_di_Lorentz|Forza di Lorentz]]: {{Equazione|eq=<math>\vec F = q (\vec E+\vec v \times \vec B)\ </math>|id=12}} e all'[[w:Equazione_di_continuit%C3%A0|equazione di continuità]] della carica: {{Equazione|eq=<math>\int_S \vec J \cdot \operatorname d \vec S = - \frac {\partial Q}{\partial t}\ </math>|id=13}} [[Fisica_classica/Propriet%C3%A0_generali_delle_onde| Argomento seguente: Proprietà generali delle onde]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} 6odtm7laq1cqp64diduq6l88tlkoep4 0 10623 499484 499458 2026-06-27T19:31:28Z Pasquale.Carelli 528 /* Modi di propagazione nelle linee di trasmissione */ direzione campo x non z 499484 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Onde del mare |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Onde_del_mare |CapitoloSuccessivo=Onde elettromagnetiche |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Onde_elettromagnetiche }} {{fisica classica}} =Linee di trasmissione= Nello studio dell'elettromagnetismo stazionario o quasi-stazionario, la teoria dei circuiti a parametri concentrati (governata dalle [[Fisica_classica/Le_leggi_di_Kirchhoff|leggi di Kirchhoff]]) rappresenta uno strumento formale straordinariamente potente e semplificato. In questo regime, si assume che i segnali elettrici si propaghino istantaneamente lungo i conduttori. Dal punto di vista fisico, ciò equivale a considerare la velocità della luce <math>c</math> come idealmente infinita. Tuttavia, quando le frequenze in gioco diventano molto elevate o le estensioni geometriche del sistema sono considerevoli, questa approssimazione crolla. Per comprendere la necessità di un nuovo formalismo, analizziamo i limiti fisici intrinseci della teoria dei circuiti. Il fattore cruciale che determina il passaggio dal regime a parametri concentrati a quello a parametri distribuiti è il rapporto tra la dimensione fisica caratteristica del sistema (ad esempio, la lunghezza <math>l</math> di una coppia di fili conduttori) e la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> del segnale che vi propaga. Ricordando la relazione fondamentale che lega la lunghezza d'onda alla frequenza <math>\nu</math> e alla velocità di propagazione nel mezzo <math>v</math>: :<math>\lambda = \frac{v}{\nu}</math> diventa evidente che all'aumentare della frequenza <math>\nu</math>, la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> diminuisce proporzionalmente. * Regime a parametri concentrati (<math>l \ll \lambda</math>): Se la lunghezza del circuito è una frazione trascurabile della lunghezza d'onda (tipicamente <math>l < 0.1\lambda</math>), la variazione spaziale della tensione e della corrente lungo i fili di collegamento è del tutto irrilevante. In ogni istante <math>t</math>, la corrente che entra in un capo del filo è identica a quella che esce dall'altro capo. Le leggi di Kirchhoff sono pienamente valide. * Regime a parametri distribuiti (<math>l \gtrsim 0.1\lambda</math>): Quando la lunghezza d'onda diventa paragonabile o inferiore alle dimensioni del circuito, il tempo impiegato dal segnale per percorrere il conduttore non è più trascurabile. La tensione e la corrente non dipendono più soltanto dal tempo <math>t</math>, ma variano esplicitamente da punto a punto lungo il conduttore in funzione della coordinata spaziale <math>x</math>. Un filo elettrico non può più essere considerato un nodo equipotenziale ideale, ma diventa a tutti gli effetti un mezzo di propagazione ondosa, ovvero una '''linea di trasmissione'''. ===Limite delle leggi di Kirchhoff=== Per visualizzare il fenomeno, consideriamo un generatore di segnali sinusoidali ad altissima frequenza collegato a un carico tramite una linea bifilare lunga <math>l</math>. Se la frequenza è tale per cui <math>l = \lambda/2</math>, nel momento esatto in cui il generatore si trova al suo massimo di potenziale positivo, all'altro capo della linea (sul carico) il segnale potrebbe trovarsi in controfase, ovvero al suo minimo negativo. La variazione spaziale del campo elettrico e del campo magnetico nel tempo genera fenomeni di induzione locale che non possono essere trascurati. La legge di Kirchhoff delle tensioni, che discende direttamente dalla natura conservativa del campo elettrostatico: :<math>\oint \vec{E} \cdot d\vec{r} = 0</math> non è più applicabile nella sua forma circuitale elementare, poiché i flussi di campo magnetico concatenati con le maglie del circuito non sono nulli. Analogamente, la capacità parassita tra i conduttori fa sì che parte della corrente ''sfugga'' da un filo all'altro prima di raggiungere il carico, violando la legge di Kirchhoff delle correnti per i nodi ideali. ===L'analogia meccanica=== Questo passaggio concettuale è perfettamente analogo a quanto già studiato per i sistemi meccanici. Nel caso statico o per oscillazioni lentissime, un'asta rigida ideale trasmette una forza applicata a un'estremità istantaneamente all'altra estremità (modello a parametri concentrati). Se però l'asta è molto lunga e la forza varia rapidamente, l'estremità opposta non si muove in sincrono; l'eccitazione si propaga invece sotto forma di un'onda elastica di compressione attraverso il mezzo, governata dalla densità e dall'elasticità del materiale (parametri distribuiti). Nelle linee di trasmissione assisteremo allo stesso identico fenomeno: la perturbazione elettrica non si manifesta istantaneamente ovunque, ma si propaga lungo la linea sotto forma di un'onda di tensione e di corrente guidata dalle proprietà geometriche e dielettriche dei conduttori. ==Il modello a parametri distribuiti== [[File:Line model Heaviside.svg|thumb|500px|left|Il modello a elementi distribuiti applicato a una linea di trasmissione.]] Per superare i limiti della teoria dei circuiti tradizionali senza dover ricorrere immediatamente alla complessità tridimensionale delle equazioni di Maxwell, si adotta il modello a [[w:Parametri_distribuiti|parametri distribuiti]] (sviluppato storicamente da [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]]) In questo modello, la linea di trasmissione non è più considerata come una coppia di conduttori ideali a potenziale uniforme, ma viene idealmente suddivisa in una cascata infinita di tratti infinitesimi di lunghezza <math>\delta x</math>. Ciascun tratto <math>\delta x</math> si comporta come un piccolo circuito a parametri concentrati, le cui proprietà elettriche sono descritte da quattro elementi d'onda proporzionali alla lunghezza del segmento: * <math>\delta R</math>: Resistenza del tratto infinitesimo (in <math>\Omega</math>), che tiene conto delle perdite per effetto Joule nei conduttori. * <math>\delta L</math>: Induttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{H}</math>), che quantifica l'energia magnetica immagazzinata nello spazio circostante i conduttori. * <math>\delta C</math>: Capacità del tratto infinitesimo (in <math>\text{F}</math>), che descrive l'effetto capacitivo e l'energia elettrica immagazzinata tra i due conduttori. * <math>\delta G</math>: Conduttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{S}</math>), che modella le correnti di fuga che attraversano il mezzo isolante (dielettrico) interposto. Ciascuno di questi parametri è legato alle costanti lineari (per unità di lunghezza) dalle relazioni <math>\delta R = R' \delta x</math>, <math>\delta L = L' \delta x</math>, <math>\delta C = C' \delta x</math> e <math>\delta G = G' \delta x</math>. Consideriamo un segmento di linea compreso tra la coordinata spaziale <math>x</math> e la coordinata <math>x + \delta x</math>. Sia <math>V(x,t)</math> la tensione tra i due conduttori all'ingresso del segmento e <math>I(x,t)</math> la corrente che fluisce nel conduttore superiore. All'uscita del segmento, ovvero alla coordinata <math>x+\delta x</math>, la tensione e la corrente avranno subito una variazione infinitesima, diventando rispettivamente: :<math>V(x+\delta x, t) = V(x,t) + \frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x</math> :<math>I(x+\delta x, t) = I(x,t) + \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x</math> Applicando la legge di Ohm estesa e la legge di Faraday al ramo serie del circuito, la caduta di tensione ai capi della resistenza <math>\delta R</math> e dell'induttanza <math>\delta L</math> è pari alla differenza tra la tensione di ingresso e quella di uscita: :<math>V(x,t) - V(x+\delta x,t) = \delta R \cdot I(x,t) + \delta L \cdot \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Sostituendo l'espressione di <math>V(x+\delta x,t)</math> e la definizione dei parametri lineari in funzione di <math>\delta x</math> si ottiene: :<math>-\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x = (R' \delta x) I(x,t) + (L' \delta x) \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Dividendo ambo i membri per la lunghezza infinitesima <math>\delta x</math>, ricaviamo la prima equazione differenziale: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -R' I(x,t) - L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(1)}</math> In modo del tutto analogo, applichiamo la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo in parallelo. La corrente uscente dal segmento differisce da quella entrante a causa della quota che ''sfugge'' attraverso la conduttanza <math>\delta G</math> e la capacità <math>\delta C</math>: :<math>I(x,t) - I(x+\delta x,t) = \delta G \cdot V(x+\delta x,t) + \delta C \cdot \frac{\partial V(x+\delta x,t)}{\partial t}</math> Poiché le variazioni del secondo ordine (come <math>\delta x \cdot \delta x</math>) sono trascurabili nel limite per <math>\delta x \to 0</math>, possiamo approssimare <math>V(x+\delta x,t) \approx V(x,t)</math>. Esprimendo nuovamente i parametri in funzione di <math>\delta x</math> si ha: :<math>-\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x = (G' \delta x) V(x,t) + (C' \delta x) \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}</math> Semplificando il termine <math>\delta x</math>, otteniamo la seconda equazione fondamentale: :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -G' V(x,t) - C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(2)}</math> Il sistema costituito dalle equazioni (1) e (2) prende il nome di [[w:Equazioni_dei_telegrafisti|equazioni dei telegrafisti]]. Si tratta di un sistema di due equazioni differenziali lineari alle derivate parziali del primo ordine, accoppiate: la variazione spaziale della tensione dipende dall'andamento temporale della corrente, e viceversa. Questo sistema costituisce la base matematica fondamentale per lo studio di qualunque fenomeno di propagazione guidata. Nel prossimo paragrafo vedremo come, analizzando il caso ideale di una linea priva di perdite (<math>\delta R = 0</math> e <math>\delta G = 0</math>), questo sistema si riduca alla celebre [[w:Equazione_delle_onde|equazione delle onde]] di D'Alembert, formalizzando matematicamente la natura ondosa dei segnali elettrici. ==Linea non dissipativa== Nelle applicazioni pratiche ad alta frequenza (come i segnali a radiofrequenza o le linee digitali veloci), le perdite nei conduttori e nel dielettrico sono spesso così piccole da poter essere trascurate in prima approssimazione. Analizziamo quindi il caso ideale di una linea senza perdite, ponendo: :<math>R' = 0 \implies \delta R = 0</math> :<math>G' = 0 \implies \delta G = 0</math> Sotto queste ipotesi, le equazioni dei telegrafisti si semplificano notevolmente, riducendosi a: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(3)}</math> :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(4)}</math> Per disaccoppiare il sistema e ottenere un'equazione contenente la sola variabile tensione <math>V(x,t)</math>, deriviamo la (3) rispetto alla coordinata spaziale <math>x</math>: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x \partial t}</math> Ipotizzando che le funzioni siano sufficientemente regolari da consentire l'inversione dell'ordine delle derivate parziali ([[w:Teorema_di_Schwarz|Teorema di Schwarz]]), possiamo scrivere: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \right)</math> Sostituendo l'espressione della derivata spaziale della corrente fornita dalla (4) dentro questa equazione, otteniamo: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \right)</math> Sviluppando i segni e portando fuori le costanti lineari, si giunge all'equazione delle onde di D'Alembert per la tensione: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(5)}</math> Procedendo in modo del tutto analogo (derivando la (4) rispetto a <math>x</math> e sostituendovi la (3)), si ottiene la medesima equazione differenziale strutturale per la corrente lungo la linea: :<math>\frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(6)}</math> L'equazione di D'Alembert ha la forma generale <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}</math>, dove <math>v</math> rappresenta la velocità di propagazione dell'onda. Confrontando questa forma standard con le equazioni (5) e (6), identifichiamo immediatamente la velocità dell'onda elettrica lungo i conduttori: :<math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> Questo risultato ha una profonda valenza fisica. Esattamente come la velocità delle onde sulla corda vibrante dipende dai parametri meccanici del mezzo (<math>v = \sqrt{T/\mu}</math>), la velocità del segnale elettrico dipende esclusivamente dai parametri geometrici e magnetoelettrici distribuiti della linea. Se calcolata per geometrie standard come il cavo coassiale o la linea bifilare, questa velocità coincide perfettamente con la velocità della luce nel mezzo dielettrico interposto: :<math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}}</math> In virtù del teorema di D'Alembert, la soluzione generale per la tensione si esprime come sovrapposizione di due onde viaggianti in direzioni opposte: un'onda progressiva <math>V^+(x - vt)</math> (che si muove verso le x crescenti) e un'onda regressiva <math>V^-(x + vt)</math> (che si muove verso le <math>x</math> decrescenti): :<math>V(x,t) = V^+(x - vt) + V^-(x + vt)</math> Per trovare il legame con la corrente, sostituiamo questa soluzione nell'equazione di partenza (3). Integrando nello spazio, si dimostra che anche la corrente è formata da una componente progressiva e una regressiva, legate alla tensione da una costante di proporzionalità che ha le dimensioni di una resistenza: :<math>I(x,t) = \frac{V^+(x - vt)}{Z_0} - \frac{V^-(x + vt)}{Z_0}</math> Il segno meno riflette il fatto che l'onda regressiva trasporta energia nella direzione opposta (<math>-x</math>). La costante d'proporzionalità <math>Z_0</math> prende il nome di impedenza caratteristica della linea: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}}</math> L'impedenza caratteristica non è una resistenza dissipativa (la linea è termicamente ideale e non consuma energia), ma rappresenta il rapporto intrinseco tra il campo elettrico e il campo magnetico che guidano l'onda. Essa dipende unicamente dalla geometria dei conduttori e dalla natura del dielettrico. ===Fenomeni di riflessione=== Fino ad ora abbiamo ipotizzato che la linea di trasmissione avesse una lunghezza infinita, permettendo all'onda progressiva di viaggiare indefinitamente senza ostacoli. Nella realtà, ogni linea ha una lunghezza finita <math>l</math> e termina su un dispositivo generico (un'antenna, un oscilloscopio, un circuito integrato) che dal punto di vista elettrico può essere modellato come un'impedenza di carico <math>Z_L</math> posta alla coordinata <math>x = l</math>. L'incontro tra l'onda guidata e il carico rappresenta una vera e propria discontinuità fisica. Per determinare cosa accade all'interfaccia, dobbiamo imporre le condizioni al contorno dettate dalla legge di Ohm locale sul carico. Alla fine della linea (<math>x = l</math>), il rapporto tra la tensione totale <math>V(l,t)</math> e la corrente totale <math>I(l,t)</math> deve essere tassativamente vincolato al valore dell'impedenza di carico: :<math>\frac{V(l,t)}{I(l,t)} = Z_L</math> Sostituendo in questa relazione le soluzioni generali precedentemente ricavate per la linea ideale (composte dalla sovrapposizione di onda progressiva e regressiva), otteniamo: :<math>\frac{V^+(l) + V^-(l)}{\frac{V^+(l)}{Z_0} - \frac{V^-(l)}{Z_0}} = Z_L</math> Per semplicità di calcolo, e senza perdere di generalità, possiamo traslare l'origine del sistema di riferimento ponendo il carico esattamente in <math>x = 0</math>. L'equazione si semplifica in: :<math>\frac{V^+ + V^-}{\frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0}} = Z_L</math> Risolvendo rispetto all'ampiezza dell'onda riflessa <math>V^-</math>, si ottiene il legame diretto con l'onda incidente <math>V^+</math>: :<math>V^+ + V^- = Z_L \left( \frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0} \right)</math> :<math>V^- \left( 1 + \frac{Z_L}{Z_0} \right) = V^+ \left( \frac{Z_L}{Z_0} - 1 \right)</math> Definiamo coefficiente di riflessione della tensione (indicato con la lettera greca <math>\Gamma</math>) il rapporto tra l'ampiezza dell'onda riflessa (regressiva) e quella dell'onda incidente (progressiva): :<math>\Gamma = \frac{V^-}{V^+} = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}</math> Questa equazione ha una rilevanza straordinaria in fisica classica: è strutturalmente identica ai [[w:Leggi_di_Fresnel|leggi di Fresnel]] per la riflessione della luce all'interfaccia tra due mezzi con indice di rifrazione differente, o al coefficiente di riflessione di un'onda acustica in un tubo che cambia sezione. ====Casi Limite==== Il valore di <math>\Gamma</math> è un numero reale (o complesso, se il carico presenta componenti reattive come induttanze o capacità) compreso tra -1 e +1. Analizziamo i tre casi fisici fondamentali: * Linea adattata (<math>Z_L = Z_0</math>): Se il carico è perfettamente identico all'impedenza caratteristica della linea, il numeratore si annulla: :<math>\Gamma = 0 \implies V^- = 0</math> Non vi è alcuna onda riflessa. Il carico assorbe tutta l'energia trasportata dall'onda incidente, comportandosi esattamente come se la linea continuasse all'infinito. Questo è l'obiettivo fondamentale della progettazione nei sistemi di trasmissione. * Linea in circuito aperto (<math>Z_L \to \infty</math>): Se la linea si interrompe bruscamente senza alcun collegamento: :<math>\Gamma = \lim_{Z_L \to \infty} \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} = +1 \implies V^- = V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente con la stessa polarità (in fase). La sovrapposizione sul fondo linea raddoppia la tensione totale (<math>V_{tot} = 2V^+</math>), mentre la corrente si annulla. * Linea in cortocircuito (<math>Z_L = 0</math>): Se i due conduttori vengono cortocircuitati al termine: :<math>\Gamma = \frac{0 - Z_0}{0 + Z_0} = -1 \implies V^- = -V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente ma invertita di fase (in controfase). La tensione totale sul cortocircuito si annulla (<math>V_{tot} = 0</math>), mentre la corrente totale raddoppia. ====Onde Stazionarie==== Quando <math>\Gamma \neq 0</math>, la sovrapposizione spaziale dell'onda progressiva e dell'onda regressiva sinusoidale genera un fenomeno di interferenza. Nei casi di riflessione totale (<math>\Gamma = \pm 1</math>), l'energia non fluisce più verso il carico, ma rimane intrappolata sotto forma di oscillazione locale. Prende così forma l'onda stazionaria, caratterizzata da punti nello spazio in cui l'oscillazione è costantemente massima (ventri) e punti in cui è costantemente nulla (nodi), distanziati tra loro in funzione della lunghezza d'onda <math>\lambda</math>. Questo comportamento è sperimentalmente e matematicamente speculare alle onde stazionarie acustiche nelle canne d'organo o alle onde stazionarie meccaniche su una corda di violino vincolata agli estremi. Per quantificare la bontà dell'adattamento di una linea si introduce il [[w:Rapporto_di_onda_stazionaria|Rapporto di Onda Stazionaria]] (ROS), spesso indicato con l'acronimo inglese VSWR (''Voltage Standing Wave Ratio''), definito come il rapporto tra la tensione massima e la tensione minima misurabili lungo la linea: :<math>\text{ROS} = \frac{V_{max}}{V_{min}} = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|}</math> Un valore di <math>\text{ROS} = 1</math> indica una linea perfettamente adattata, mentre un <math>\text{ROS} \to \infty</math> descrive una condizione di riflessione totale. ==LINEE DISSIPATIVE== Nella maggior parte delle applicazioni reali, i segnali che viaggiano su una linea di trasmissione sono di tipo sinusoidale o possono essere decomposti in componenti sinusoidali tramite l'analisi di Fourier. Inoltre, per quanto una linea possa essere ben progettata, i conduttori presentano sempre una resistenza non nulla (<math>R' \neq 0</math>) e i dielettrici mostrano imperfezioni nell'isolamento (<math>G' \neq 0</math>). Per studiare questo scenario generale, è conveniente abbandonare le funzioni generiche nel dominio del tempo e adottare il formalismo dei fasori complessi. ====Il formalismo dei fasori==== Ipotizziamo che la tensione e la corrente varino nel tempo in modo puramente sinusoidale con una pulsazione <math>\omega = 2\pi \nu</math>. Possiamo esprimere le grandezze reali come parte reale di una grandezza complessa: :<math>V(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}(x) e^{j\omega t} \right]</math> :<math>I(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{I}(x) e^{j\omega t} \right]</math> dove <math>\tilde{V}(x)</math> e <math>\tilde{I}(x)</math> sono i fasori complessi che racchiudono le informazioni su ampiezza e fase del segnale in funzione della sola posizione <math>x</math>, e <math>j</math> è l'unità immaginaria. Ricordando che la derivazione rispetto al tempo nel dominio dei fasori equivale a una moltiplicazione per <math>j\omega</math> (<math>\frac{\partial}{\partial t} \to j\omega</math>), le equazioni dei telegrafisti (1) e (2) si trasformano in un sistema di equazioni differenziali ordinarie: :<math>\frac{d \tilde{V}(x)}{d x} = -(R' + j\omega L') \tilde{I}(x) \qquad \text{(7)}</math> :<math>\frac{d \tilde{I}(x)}{d x} = -(G' + j\omega C') \tilde{V}(x) \qquad \text{(8)}</math> Le quantità tra parentesi rappresentano rispettivamente l'impedenza longitudinale complessa <math>Z' = R' + j\omega L'</math> e l'ammettenza trasversale complessa <math>Y' = G' + j\omega C' </math>per unità di lunghezza. ===Costante di propagazione complessa=== Derivando la (7) rispetto a x e sostituendovi la (8), disaccoppiamo nuovamente le equazioni otteniamo: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = (R' + j\omega L')(G' + j\omega C') \tilde{V}(x)</math> Definiamo la costante di propagazione complessa :<math>\gamma</math> come: :<math>\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{(R' + j\omega L')(G' + j\omega C')}</math> L'equazione differenziale assume così la forma compatta: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = \gamma^2 \tilde{V}(x) \qquad \text{(9)}</math> La soluzione generale di questa equazione lineare del secondo ordine è espressa tramite esponenziali complessi: :<math>\tilde{V}(x) = \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} + \tilde{V}^- e^{+\gamma x} = \tilde{V}^+ e^{-\alpha x}e^{-j\beta x} + \tilde{V}^- e^{+\alpha x}e^{j\beta x}</math> Moltiplicando nuovamente per il fattore temporale <math>e^{j\omega t}</math> per tornare nel dominio del tempo, l'onda progressiva assume la forma: :<math>V^+(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}^+ e^{-\alpha x} e^{j(\omega t - \beta x)} \right] = |\tilde{V}^+| e^{-\alpha x} \cos(\omega t - \beta x + \phi^+)</math> Dall'analisi di questa soluzione emerge chiaramente il significato fisico delle due componenti di <math>\gamma</math>: * <math>\alpha</math>: Costante di attenuazione (misurata in [[w:Neper|<math>\text{Np/m}</math>]] o [[w:Decibel|<math>\text{dB/m}</math>]]). Rappresenta lo smorzamento esponenziale che l'onda subisce lungo il suo cammino a causa delle perdite dissipative (<math>R'</math> e <math>G'</math>). L'energia elettromagnetica viene progressivamente convertita in calore. * <math>\beta</math>: Costante di fase (misurata in <math>\text{rad/m}</math>). Determina la periodicità spaziale dell'onda e corrisponde al numero d'onda <math>k</math> delle onde meccaniche. È legata alla lunghezza d'onda dalla relazione <math>\beta = \frac{2\pi}{\lambda}</math>. ===Impedenza caratteristica complessa=== Sostituendo la soluzione della tensione nella (7), ricaviamo il fasore della corrente: :<math>\tilde{I}(x) = \frac{\gamma}{R' + j\omega L'} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right) = \frac{1}{Z_0} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right)</math> In presenza di perdite, l'impedenza caratteristica Z_0 diventa una grandezza complessa: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{R' + j\omega L'}{G' + j\omega C'}}</math> Questo implica che, a differenza delle linee ideali, nelle linee con perdite l'onda di tensione e l'onda di corrente non sono più perfettamente in fase tra loro, ma presentano uno sfasamento intrinseco introdotto dalla natura reattiva e dissipativa del mezzo. {{Cassetto| titolo=Dimostrazione del valore della impedenza caratteristica per una linea dissipativa| testo= Per una linea uniforme dissipativa con parametri per unità di lunghezza <math>L'</math> (induttanza) e <math>C'</math> (capacità), <math>R' </math> (resistenza), <math>G'0</math> (conduttanza), in regime sinusoidale (fasori) le equazioni dei telegrafisti sono: :<math>\frac{dV(x)}{dx} = -(R' + j\omega L')\, I(x)</math> :<math>\frac{dI(x)}{dx} = -(G' + j\omega C')\, V(x)</math> Derivo la prima rispetto a <math>x</math>: :<math>\frac{d^2 V(z)}{dx^2} = -(R' + j\omega L')\, \frac{dI(x)}{dx}</math> Sostituisco <math>\dfrac{dI}{dx}</math> dalla seconda: :<math>\frac{dI(x)}{dx} = -(G' + j\omega C')\, V(x)</math> quindi: :<math>\frac{d^2 V(x)}{dz^x} = (R' + j\omega L')(G' + j\omega C')\, V(x)</math> Definisco la costante di propagazione complessa: :<math>\gamma^2 = (R' + j\omega L')(G' + j\omega C')</math> Allora: :<math>\frac{d^2 V(x)}{dx^2} = \gamma^2 V(x)</math> Le soluzioni sono esponenziali: :<math>V(x) = V^+ e^{-\gamma x} + V^- e^{+\gamma x}</math> In modo del tutto analogo, derivando la seconda equazione e sostituendo la prima, si ottiene: :<math>\frac{d^2 I(x)}{dx^2} = \gamma^2 I(x)</math> con soluzione: :<math>I(x) = I^+ e^{-\gamma x} + I^- e^{+\gamma x}</math> Per definire l’impedenza caratteristica, considero l’onda che si propaga in una direzione (ad esempio verso <math>+x</math>): :<math>V(x) = V^+ e^{-\gamma x}</math> :<math>I(x) = I^+ e^{-\gamma x}</math> Per questa onda il rapporto <math>V/I</math> è costante: :<math>Z_0 = \frac{V(x)}{I(x)} = \frac{V+}{I+}</math> Riprendo la prima equazione: :<math>\frac{dV(x)}{dx} = -(R' + j\omega L') I(x)</math> Sostituisco le espressioni dell’onda diretta: :<math>\frac{d}{dx}\bigl(V^+ e^{-\gamma x}\bigr) = -(R' + j\omega L')\, I^+ e^{-\gamma x}</math> La derivata a sinistra è: :<math>-\,\gamma V^+ e^{-\gamma x} = -(R' + j\omega L')\, I^+ e^{-\gamma x}</math> Elimino il fattore comune <math>e^{-\gamma x}</math> e il segno <math>-</math>: :<math>\gamma V^+ = (R' + j\omega L')\, I^+</math> Da cui: :<math>\frac{V+}{I+} = \frac{R' + j\omega L'}{\gamma}</math> cioè: :<math>Z_0 = \frac{R' + j\omega L'}{\gamma}</math> Dalla definizione: :<math>\gamma^2 = (R' + j\omega L')(G' + j\omega C')</math> posso scrivere: :<math>\gamma = \sqrt{(R' + j\omega L')(G' + j\omega C')}</math> Allora: :<math>Z_0 = \frac{R' + j\omega L'}{\gamma} = \frac{R' + j\omega L'}{\sqrt{(R' + j\omega L')(G' + j\omega C')}}</math> Raccolgo <math>R' + j\omega L'</math> sotto radice: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{R' + j\omega L'}{G' + j\omega C'}}</math> come volevasi dimostrare. Nel caso limite non dissipativo (<math>R'=0</math>, <math>G'=0</math>) si ha che: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}}</math> }} ====Il Fenomeno della Distorsione e la Condizione di Heaviside==== In una linea generica con perdite , sia <math>\alpha</math> che la velocità di fase <math>v_f = \frac{\omega}{\beta}</math> dipendono in modo non lineare dalla frequenza <math>\omega</math>. Se un segnale impulsivo complesso (composto da molte armoniche a frequenze diverse, come un segnale telegrafico o digitale) viene immesso nella linea, succedono due cose: # Le frequenze più alte possono attenuarsi più rapidamente di quelle basse (distorsione di ampiezza). # Le diverse componenti armoniche viaggiano a velocità differenti, disperdendosi nello spazio e nel tempo (distorsione di fase o dispersione). Nel 1887, [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]] intuì che era possibile annullare completamente la distorsione di fase bilanciando artificialmente i parametri della linea. Imponendo la celebre condizione di Heaviside: :<math>\frac{R'}{L'} = \frac{G'}{C'}</math> la costante di propagazione si semplifica analiticamente, portando a: :<math>\alpha = \sqrt{R'G'}</math> :<math>\beta = \omega \sqrt{L'C'}</math> In questo caso speciale, l'attenuazione <math>\alpha</math> diventa indipendente dalla frequenza e la velocità di fase <math>v_f = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> costante per tutte le armoniche. Il segnale si attenua in ampiezza man mano che viaggia, ma mantiene perfettamente inalterata la sua forma geometrica originale, risolvendo il problema che affliggeva le prime comunicazioni telegrafiche sottomarine transatlantiche. ==Modi di propagazione nelle linee di trasmissione== Nelle strutture guidanti (linee di trasmissione e guide d’onda) le soluzioni delle equazioni di Maxwell possono essere classificate in tre famiglie fondamentali: TEM, TE e TM. La classificazione dipende dalla presenza o assenza di componenti longitudinali dei campi rispetto alla direzione di propagazione (<math>x</math>). ===Modo TEM (''[[w:en:Transverse_mode|Transverse Electromagnetic Mode]]'')=== * [<math>E_x = 0, \qquad B_x = 0</math>.] Sia il campo elettrico sia il campo magnetico sono interamente trasversi. * La distribuzione dei campi nella sezione trasversale è la stessa dell’elettrostatica e della magnetostatica. La velocità di propagazione è: <math>v = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}</math> * Richiede almeno due conduttori (cavo coassiale, linea bifilare, stripline). Una guida d’onda cava non può supportarlo. * È il modo che permette la descrizione circuitale tramite le equazioni dei telegrafisti. ===Modo TE (Transverse Electric)=== * Definizione: [ Modo TE (''Transverse Electric'') * [ <math>E_x = 0, \qquad B_x \neq 0</math>. ] Il campo elettrico è interamente trasverso; il campo magnetico ha una componente longitudinale. * Tipico delle guide d’onda metalliche (rettangolari, circolari). Non può esistere in una linea a due conduttori ideale. * Ha una frequenza di taglio: sotto una certa frequenza il modo non può propagarsi. * La distribuzione dei campi è determinata dalle condizioni al contorno sui conduttori. ===Modo TM (''Transverse Magnetic'')=== * [ <math>E_x \neq 0, \qquad B_x = 0</math>. ] Il campo magnetico è interamente trasverso; il campo elettrico ha una componente longitudinale. * Anche questo è tipico delle guide d’onda cave. Come il TE, non può esistere in una linea a due conduttori in regime ideale. * Anch’esso presenta una frequenza di taglio e una struttura dei campi determinata dalla geometria della guida ==Geometrie comuni delle linee di trasmissioni== Per tradurre il formalismo matematico astratto dei parametri distribuiti in valori numerici reali, è necessario analizzare la geometria specifica dei conduttori e le proprietà del mezzo dielettrico che li separa. In questo paragrafo calcoliamo e confrontiamo le costanti lineari <math>L'</math> e <math>C'</math>, e la conseguente impedenza caratteristica <math>Z_0</math>, per le varie configurazioni utilizzate. In tutti i casi, ipotizzeremo che la linea sia immersa in un dielettrico omogeneo privo di perdite, caratterizzato da una [[w:Permittività_elettrica|permittività elettrica]] <math>\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r</math> e da una [[w:Permeabilità_magnetica|permeabilità magnetica]] <math>\mu = \mu_0 \mu_r</math> (nella quasi totalità dei casi pratici, <math>\mu_r \approx 1</math>). ===1. Il [[w:Cavo_coassiale|cavo coassiale]]=== [[File:RG-59.jpg|thumb|upright=1.4|Cavo coassiale [[w:RG-59|RG-59]] <br />'''A''': guaina esterna di plastica<br />'''B''': calza di rame intrecciata <br />'''C''': isolante dielettrico interno<br />'''D''': anima]] Il cavo coassiale è costituito da un conduttore cilindrico interno (anima) di raggio <math>a</math> e da un conduttore cilindrico cavo esterno (calza) di raggio interno <math>b</math>, disposti coassialmente. Questa geometria ha il grande vantaggio di confinare completamente i campi elettrici e magnetici all'interno del cavo, annullando l'irraggiamento esterno e proteggendo il segnale dalle interferenze elettromagnetiche ambientali. Applicando il [[Fisica_classica/Legge_di_Gauss#Simmetria_cilindrica|teorema di Gauss]] per ricavare il campo elettrico <math>\vec{E}</math> e integrando la differenza di potenziale tra i due conduttori, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{2\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{b}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Applicando la [[Fisica_classica/Legge_di_Ampère#Campo_di_un_cavo_coassia|lelegge di Ampère]] per determinare il campo magnetico <math>\vec{B}</math> nell'intercapedine e calcolando il flusso concatenato per unità di lunghezza, si ottiene l'induttanza lineare (trascurando l'induttanza interna ai conduttori ad alta frequenza per [[w:Effetto_pelle|effetto pelle]]): :<math>L' = \frac{\mu}{2\pi} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Moltiplicando e dividendo questi due parametri, otteniamo le costanti secondarie della linea: * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}</math> (che, come dimostrato precedentemente, è indipendente dalla geometria <math>a</math> e <math>b</math>). * Impedenza caratteristica: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{b}{a}\right)</math> Nel vuoto o in aria (<math>\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = \eta_0 \approx 377 \Omega</math>), la formula si riduce numericamente a: :<math>Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \Omega</math> ===2. La [[w:en:Twin-lead|Linea bifilare]]=== [[file:Electronics Technician - Volume 7 - Figure 3-10.jpg|thumb|Pezzo di una linea bifilare da <math>300\ \Omega</math>]] La linea bifilare (o piattina) è composta da due conduttori cilindrici paralleli identici, ciascuno di raggio <math>a</math>, i cui assi sono separati da una distanza <math>D</math>. Questa configurazione viene utilizzata quando è richiesta una linea bilanciata (ad esempio nelle vecchie piattine d'antenna TV o nei doppini telefonici). Si assume l'approssimazione in cui la distanza sia molto maggiore del raggio dei fili (<math>D \gg a</math>). Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti per i campi generati da due fili indefiniti uniformemente carichi, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{D}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Sfruttando l'analogia o integrando il flusso del campo magnetico generato dalle due correnti opposte nello spazio compreso tra i conduttori, si ottiene l'induttanza lineare: :<math>L' = \frac{\mu}{\pi} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Anche in questo caso, il prodotto <math>L'C'</math> porta alla medesima velocità di propagazione delle onde piane nel mezzo (<math>v = 1/\sqrt{\mu\varepsilon}</math>). L'impedenza caratteristica assume invece la forma: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{D}{a}\right)</math> In aria o vuoto, la formula si approssima a: :<math>Z_0 \approx \frac{120}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \Omega</math> ===3. Linee Planari (''[[w:Linea_a_microstriscia|microstrip]]'', ''[[w:Linea_a_striscia|stripline]]'' e [[w:en:Coplanar_waveguide|linee complanari]])=== Con l'avvento dei [[w:Circuito_integrato|circuiti integrati]] e dei [[w:Circuito_stampato|circuiti stampati]] (PCB) a radiofrequenza, le geometrie cilindriche tradizionali (come il cavo coassiale) sono diventate impraticabili per i collegamenti a corto raggio. Si utilizzano quindi le linee planari, in cui i conduttori sono realizzati come sottili strisce metalliche piane (tecnologicamente chiamate piste o trace) depositate su un substrato dielettrico isolante. A differenza del cavo coassiale, le espressioni analitiche esatte per <math>L'</math> e <math>C'</math> in queste strutture non sono ricavabili in modo elementare tramite le sole leggi di Gauss e Ampère, poiché i campi elettromagnetici non sono confinati in una geometria perfettamente simmetrica. Si ricorre quindi a soluzioni numeriche o a formule empiriche altamente accurate. ====''[[w:Linea_a_microstriscia|Microstrip]]''==== [[File:microstrip geometry.svg|thumb|Sezione di una linea a microstrip. Il conduttore (A) è separato dal piano di massa (D) dal substrato dielettrico (C); il dielettrico superiore (B) può essere aria o materiale plastico.]] La ''microstrip'' è la geometria planare più comune. Consiste in una striscia conduttrice di larghezza <math>W</math> e spessore trascurabile, depositata sulla faccia superiore di un substrato dielettrico (di spessore <math>h</math> e permittività <math>\varepsilon_r</math>). La faccia inferiore del substrato è interamente ricoperta da un piano metallico continuo, detto piano di massa (''ground plane''). Poiché la parte superiore della striscia è a contatto con l'aria (<math>\varepsilon_r = 1</math>) e la parte inferiore è a contatto con il dielettrico, il campo elettromagnetico viaggia in un mezzo misto. Si introduce quindi una permissività elettrica efficace <math>\varepsilon_{eff}</math> (con <math>1 < \varepsilon_{eff} < \varepsilon_r</math>). * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}}</math> * Impedenza caratteristica (approssimazione per strisce larghe, <math>W/h \gg 1</math>): :<math>Z_0 \approx \frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}} \frac{1}{\frac{W}{h} + 1.393 + 0.667 \ln\left(\frac{W}{h} + 1.444\right)}\ \Omega</math> ====''[[w:Linea_a_striscia|Stripline]]''==== [[File:stripline geometry.svg|thumb|left|200px|Diagramma della sezione trasversale della ''stripline''. Il conduttore centrale (A) è inserito tra i piani di massa (B e D). La struttura è supportata dal dielettrico (C).]] La ''stripline'' è l'evoluzione schermata della microstrip. In questo caso, la striscia conduttrice di larghezza <math>W</math> è completamente immersa (annegata) all'interno del dielettrico, racchiusa a sandwich tra due piani di massa paralleli (uno inferiore e uno superiore, non necessariamente equidistanziati come appare in figura). Il vantaggio principale della ''stripline'' rispetto alla ''microstrip'' è che il mezzo è totalmente omogeneo: il campo è confinato e non risente dell'aria esterna, annullando la distorsione di fase introdotta dai mezzi misti. * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}</math> (coincide esattamente con quella delle onde libere nel mezzo). * Impedenza caratteristica (per strisce strette): :<math> Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left( \frac{4b}{\pi W \cdot 0.67} \right)\ \Omega:</math> dove <math>b</math> è la distanza tra i piani di massa. ====[[w:en:Coplanar_waveguide|linee complanari]]==== [[File:Cross Section of Coplanar Waveguide Transmission Line.png|thumb|Sezione di una linea di trasmisione complanare]] La guida d'onda complanare prevede che la striscia di segnale (larga W) e i due piani di massa laterali siano depositati sullo stesso identico piano (la stessa faccia del dielettrico), separati da una fessura (slot) di larghezza s. Questa struttura è di fondamentale importanza nei [[w:en:Monolithic_microwave_integrated_circuit|circuiti integrati monolitici a microonde]] (MMIC) e nei dispositivi a semiconduttore, poiché consente di connettere componenti in parallelo (verso massa) praticando saldature direttamente sulla superficie del chip, senza dover perforare il substrato dielettrico con dei fori passanti (''via-holes'') {| {{prettytable}} |+'''Tipi di linee e modi di propagazione''' ! Geometria || Tipo di campo || Confinamento || Principale applicazione |- | Cavo coassiale|| TEM puro|| Totale || Cablaggi, Strumentazione |- | Linea bifilare|| TEM puro || Parziale|| Telecomunicazioni |- | ''Microstrip'' || quasi TEM|| Parziale|| Circuiti stampati |- | ''Stripline'' || TEM puro|| Totale || circuiti digitali ultrarapidi |- | Complanare || quasi TEM || Superficiale|| circuiti integrati alle microonde |- |} [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} 2eojrsmti56ndatizljyh18y5hjvuxz 0 10626 499489 414503 2026-06-28T08:16:03Z Pasquale.Carelli 528 499489 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Linea di trasmissione |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Linea_di_trasmissione |CapitoloSuccessivo=Il vettore di Poynting |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Il_vettore_di_Poynting }} {{fisica classica}} Nei capitoli precedenti abbiamo incontrato diversi tipi di onde: le onde sonore, che si propagano come compressioni e rarefazioni in un mezzo materiale; le onde del mare, in cui l’acqua oscilla attorno alla posizione di equilibrio; la corda vibrante, in cui la tensione del mezzo fornisce la forza di richiamo; e le onde sulle linee di trasmissione, descritte da variazioni accoppiate di tensione e corrente. In tutti questi casi l’onda consiste in una perturbazione che si propaga, mentre le particelle del mezzo oscillano localmente senza trasporto netto di materia. Le onde elettromagnetiche rappresentano un passo ulteriore: sono onde che non richiedono alcun mezzo materiale. Ciò che oscilla non è un corpo, né un fluido, né una grandezza elettrica legata a un conduttore, ma il campo elettrico e il campo magnetico stessi. La loro esistenza emerge direttamente dalle [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell|equazioni di Maxwell]] ed è una delle scoperte più profonde della fisica dell’Ottocento. [[w:James_Clerk_Maxwell|Maxwell]] comprese che un campo elettrico variabile nel tempo genera un campo magnetico (legge di Ampère‑Maxwell), e che un campo magnetico variabile genera a sua volta un campo elettrico (legge di Faraday). Questi due processi formano un accoppiamento dinamico: * variazioni di <math>\mathbf{E}</math> producono <math>\mathbf{B}</math>, * variazioni di <math>\mathbf{B}</math> producono <math>\mathbf{E}</math>. Da questo meccanismo nasce la possibilità di una perturbazione che si rigenera mentre avanza nello spazio: un’onda elettromagnetica. A differenza delle onde meccaniche, che richiedono un mezzo materiale in cui le particelle oscillano attorno alla loro posizione di equilibrio, le onde elettromagnetiche non hanno bisogno di alcun mezzo: sono oscillazioni auto‑sostenute del campo elettrico e magnetico nel vuoto. In entrambi i casi non vi è trasporto netto di materia, ma solo propagazione di una perturbazione. ==Dalle equazioni di Maxwell all'equazione delle onde== Nel vuoto, le equazioni di Maxwell assumono la forma: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,</math> :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. </math> Vogliamo mostrare che i campi <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> soddisfano un’equazione d’onda del tipo: :<math> \nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}, \qquad \nabla^2 \mathbf{B} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}, </math> dove <math>c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}</math>. ===Equazione delle onde per il campo elettrico=== Consideriamo il rotore del rotore di <math>\mathbf{E}</math>: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})</math> Usiamo l’identità vettoriale: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} </math> Nel vuoto vale <math>\nabla \cdot \mathbf{E}=0</math>, quindi: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= -\,\nabla^2 \mathbf{E}</math> D’altra parte, dalle equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> Prendiamo il rotore di entrambi i membri: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= \nabla \times \left(-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right)= -\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})</math> Ora sostituiamo <math>\nabla \times \mathbf{B}</math> dalla quarta equazione di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Otteniamo: :<math>-\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})= -\,\frac{\partial}{\partial t} \left(\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Ma abbiamo anche: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\,\nabla^2 \mathbf{E}</math> Eguagliando le due espressioni: :<math>-\,\nabla^2 \mathbf{E}= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}.</math> Eliminando il segno meno: :<math>\nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Definendo: :<math>c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}</math> si ottiene: :<math>\nabla^2 \mathbf{E}= \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> che è l’equazione delle onde per il campo elettrico. ===Equazione delle onde per il campo magnetico=== La dimostrazione per <math>\mathbf{B}</math> è del tutto analoga. Partiamo dall’identità vettoriale: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \nabla^2 \mathbf{B}</math> Sempre <math>\nabla \cdot \mathbf{B}=0</math>, quindi: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= -\,\nabla^2 \mathbf{B}</math> Dalle equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Prendiamo il rotore di entrambi i membri: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= \nabla \times \left(\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E}).</math> Ora sostituiamo <math>\nabla \times \mathbf{E}</math> dalla terza equazione di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> Otteniamo: :<math>\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E})= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}\left(-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right) = -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}. </math> Ma abbiamo anche: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= -\,\nabla^2 \mathbf{B}</math> Eguagliando: :<math>-\,\nabla^2 \mathbf{B}= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math> da cui: :<math>\nabla^2 \mathbf{B}= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}= \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math> Questo mostra che le equazioni di Maxwell nel vuoto implicano l’esistenza di onde elettromagnetiche che si propagano con velocità <math>c</math>, identificabile con la velocità della luce. ==Onda piana elettromagnetica nel vuoto== Consideriamo una soluzione d’onda piana delle equazioni d’onda per i campi elettrico e magnetico nel vuoto. Supponiamo che l’onda si propaghi lungo l’asse <math>x</math>. ===Ipotesi di propagazione e forma d’onda=== Assumiamo che i campi dipendano solo da <math>x</math> e da <math>t</math>: :<math>\mathbf{E} = \mathbf{E}(x,t), \qquad \mathbf{B} = \mathbf{B}(x,t)</math> Una soluzione d’onda piana armonica può essere scritta come: :<math>\mathbf{E}(x,t) = \mathbf{E}_0 \cos(kx - \omega t + \varphi_E)</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = \mathbf{B}_0 \cos(kx - \omega t + \varphi_B)</math> dove <math>k</math> è il numero d’onda, <math>\omega</math> la pulsazione, <math>\mathbf{E}_0</math> e <math>\mathbf{B}_0</math> sono vettori costanti (ampiezze), e <math>\varphi_E</math>, <math>\varphi_B</math> sono fasi iniziali. Per una onda piana nel vuoto, le equazioni di Maxwell impongono che: * la direzione di propagazione sia lungo <math>\hat{\mathbf{x}}</math> (deriva dall'ipotesi iniziale), * i campi siano trasversali, cioè ortogonali alla direzione di propagazione. {{Cassetto| titolo=Dimostrazione trasversalità del campo elettromagnetico| testo= Assumiamo che i campi dipendano solo da <math>x</math> e dal tempo <math>t</math>: :<math>\mathbf{E} = \mathbf{E}(x,t), \qquad \mathbf{B} = \mathbf{B}(x,t)</math> Scriviamo esplicitamente le componenti: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_x(x,t)\,\hat{\mathbf{x}} + E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}} </math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_x(x,t)\,\hat{\mathbf{x}} + B_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + B_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}. </math> Nel vuoto valgono le equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math> :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Calcoliamo la divergenza di <math>\mathbf{E}</math>. Poiché i campi dipendono solo da <math>x</math>: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E}= \frac{\partial E_x}{\partial x}</math> dato che <math>E_y</math> ed <math>E_z</math> non dipendono da <math>y</math> e <math>z</math>. La condizione <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math> implica quindi: :<math>\frac{\partial E_x}{\partial x} = 0</math> Questo significa che <math>E_x</math> è indipendente da <math>x</math>. Se vogliamo descrivere un’onda piana che si propaga lungo <math>x</math>, la dipendenza spaziale deve essere del tipo <math>\cos(kx - \omega t)</math> o <math>\sin(kx - \omega t)</math>. Una componente costante <math>E_x</math> non rappresenta un’onda, ma un campo uniforme. Per una soluzione d’onda piana pura, imponiamo quindi: :<math>E_x(x,t) = 0</math> I campi sono quindi trasversali: non hanno componente lungo <math>\hat{\mathbf{x}}</math>. Lo stesso ragionamento vale per <math>\mathbf{B}</math>: :<math>\nabla \cdot \mathbf{B}= \frac{\partial B_x}{\partial x} = 0\quad \Rightarrow \quad B_x(x,t) \text{ costante}</math> Anche qui, una componente costante non rappresenta un’onda. Per una soluzione d’onda piana nel vuoto si pone: :<math>B_x(x,t) = 0</math> Abbiamo quindi mostrato che, per un’onda piana che dipende solo da <math>x</math> e <math>t</math>, le componenti lungo la direzione di propagazione devono essere nulle: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + B_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}.</math> La condizione <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math> nel vuoto esprime l’assenza di cariche elettriche: non ci sono sorgenti o pozzi del campo elettrico. Per un’onda piana che si propaga lungo <math>x</math>, questo vincolo elimina la possibilità di una componente longitudinale variabile nel tempo. Rimane solo la parte trasversale, che oscilla ortogonalmente alla direzione di propagazione. Questo dimostra che le onde elettromagnetiche piane nel vuoto sono intrinsecamente trasversali: i campi oscillano solo nelle direzioni ortogonali alla direzione di propagazione. }} Possiamo quindi scegliere, ad esempio: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}.</math> In questa configurazione, l’onda si propaga lungo <math>x</math>, il campo elettrico è diretto lungo <math>y</math>, il campo magnetico lungo <math>z</math>, e i tre vettori sono mutuamente ortogonali. ===Equazione d’onda e relazione dispersione=== L’equazione d’onda per <math>\mathbf{E}</math> nel vuoto è: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Nel caso in cui <math>\mathbf{E}</math> dipenda solo da <math>x</math> e <math>t</math>, il [[w:Laplaciano_vettoriale|laplaciano]] si riduce a: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial x^2}.</math> Per la componente lungo <math>\hat{\mathbf{y}}</math>: :<math>E_y(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)</math> si ha: :<math>\frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}= -k^2 E_0 \cos(kx - \omega t)</math> :<math>\frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2}= -\omega^2 E_0 \cos(kx - \omega t)</math> Inserendo nell’equazione d’onda: :<math>-k^2 E_0 \cos(kx - \omega t)= \frac{1}{c^2}\left[-\omega^2 E_0 \cos(kx - \omega t)\right]</math> da cui: :<math>k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}</math> Questa è la relazione di dispersione per l’onda piana nel vuoto. In termini di lunghezza d’onda <math>\lambda</math> e frequenza <math>\nu</math>: :<math>k = \frac{2\pi}{\lambda}, \qquad \omega = 2\pi \nu</math> e la relazione <math>\omega = c k</math> implica: :<math>c = \lambda \nu</math> Lo stesso ragionamento vale per <math>\mathbf{B}</math>, che soddisfa la stessa equazione d’onda. ===Relazione tra <math>E_0</math> e <math>B_0</math>=== Le equazioni di Maxwell impongono inoltre: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math> Per l’onda piana scelta: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> si ha: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E}= \frac{\partial E_y}{\partial y} = 0</math> poiché <math>E_y</math> non dipende da <math>y</math>. Analogamente per <math>\mathbf{B}</math>. Questo conferma che i campi sono trasversali: non hanno componenti lungo la direzione di propagazione. Usando la [[Fisica_classica/Induzione_e_legge_di_Faraday|legge di Faraday]]: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> per l'onda piana considerata si ottiene la relazione tra le ampiezze. Il rotore di <math>\mathbf{E}</math> è: :<math>\nabla \times \mathbf{E}= \left(\frac{\partial E_y}{\partial x}\right)\hat{\mathbf{z}} = -k E_0 \sin(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La derivata temporale di <math>\mathbf{B}</math> è: :<math>\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}= -\omega B_0 \sin(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La legge di Faraday richiede: :<math>\nabla \times \mathbf{E}= -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\quad \Rightarrow \quad -k E_0 \sin(kx - \omega t)= -\left[-\omega B_0 \sin(kx - \omega t)\right]</math> cioè: :<math>-k E_0 = \omega B_0</math> Usando la relazione <math>\omega = c k</math>, si ottiene: :<math>E_0 = c\,B_0</math> Questa è una proprietà fondamentale dell’onda elettromagnetica piana nel vuoto: l’ampiezza del campo elettrico è pari alla velocità di propagazione <math>c</math> moltiplicata per l’ampiezza del campo magnetico. ==Polarizzazione delle onde elettromagnetiche== Una volta stabilito che, nel vuoto, un’onda elettromagnetica piana è trasversale, cioè i campi <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> oscillano in direzioni perpendicolari alla direzione di propagazione, rimane da descrivere come avviene questa oscillazione. La direzione in cui oscilla il campo elettrico definisce la polarizzazione dell’onda. Consideriamo un’onda che si propaga lungo l’asse <math>x</math>. Allora il campo elettrico ha solo componenti trasversali: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La forma temporale e spaziale dell’oscillazione determina il tipo di polarizzazione. ===Polarizzazione lineare=== [[File:Electromagneticwave3D.gif|thumb|left|Le onde elettromagnetiche possono essere immaginate come onde trasversali auto-propaganti di campi elettrici e magnetici. Questa animazione 3D mostra un'onda piana a polarizzazione lineare che si propaga da sinistra a destra. I campi elettrico e magnetico in un'onda di questo tipo sono in fase tra loro, raggiungendo minimi e massimi contemporaneamente.]] Si ha polarizzazione lineare quando il campo elettrico oscilla sempre lungo una stessa direzione fissa nel piano trasversale. Per esempio: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> In questo caso il vettore <math>\mathbf{E}</math> rimane sempre parallelo a <math>\hat{\mathbf{y}}</math> Analogamente si può avere polarizzazione lineare lungo una qualunque direzione del piano <math>yz</math>, In generale: :<math>\mathbf{E}(x,t) =\left(E_{0y}\,\hat{\mathbf{y}} + E_{0z}\,\hat{\mathbf{z}}\right)\cos(kx - \omega t) </math> con <math>E_{0y}</math> e <math>E_{0z}</math> costanti, rappresenta una polarizzazione lineare lungo la direzione del vettore costante <math>\mathbf{E}_0</math>. ===Polarizzazione circolare=== [[File:Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light Left.Hand.Animation.305x190.255Colors.gif|Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light Left.Hand.Animation.305x190.255Colors|thumb|right|Rappresentazione del vettore campo elettrico per un'onda elettromagnetica polarizzata circolarmente]] Si ha polarizzazione circolare quando le componenti trasversali del campo elettrico hanno la stessa ampiezza, ma sono sfasate di <math>\pi/2</math> Esempio: :<math>E_y(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)</math> :<math>E_z(x,t) = E_0 \sin(kx - \omega t)</math> In questo caso, per un punto fissato nello spazio, il vettore <math>\mathbf{E}</math> ruota con velocità angolare <math>\omega</math> descrivendo una circonferenza nel piano <math>yz</math>. La rotazione può essere destrorsa o sinistrorsa a seconda del segno dello sfasamento. ===Polarizzazione ellittica=== La polarizzazione ellittica è il caso più generale: le componenti trasversali hanno ampiezze diverse e/o uno sfasamento arbitrario. Esempio: :<math>E_y(x,t) = E_{0y} \cos(kx - \omega t)</math> :<math>E_z(x,t) = E_{0z} \cos(kx - \omega t + \delta)</math> Per un punto fissato nello spazio, il vettore <math>\mathbf{E}</math> descrive un’ellisse nel piano trasversale. La polarizzazione lineare e quella circolare sono casi particolari della polarizzazione ellittica: * lineare: <math>\delta=0\quad o \quad \pi</math> * circolare: <math>E_{0y}=E_{0z}</math> e <math>\delta=\pm \pi/2</math> ===Rappresentazione complessa=== È spesso utile rappresentare l’onda tramite fasori: :<math>\mathbf{E}(x,t) = \Re\left\{\mathbf{E}_0\, e^{i(kx - \omega t)}\right\}</math> dove <math>\mathbf{E}_0</math> è un vettore complesso che contiene ampiezze e fasi delle componenti trasversali. La forma di <math>\mathbf{E}_0</math> determina immediatamente il tipo di polarizzazione. ==Struttura vettoriale dell’onda elettromagnetica piana== Una volta ricavate l’equazione d’onda, la soluzione piana e la trasversalità dei campi, è utile riassumere la struttura vettoriale dell’onda elettromagnetica nel vuoto. Questa struttura emerge direttamente dalle equazioni di Maxwell e descrive in modo compatto le relazioni geometriche tra i campi. Per un’onda piana che si propaga con vettore d’onda <math>\mathbf{k}</math>, i campi elettrico e magnetico soddisfano: :<math>\mathbf{k} \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad\mathbf{k} \cdot \mathbf{B} = 0</math> Queste relazioni, già ottenute dalla condizione di divergenza nulla, riassumono la trasversalità: i campi oscillano in direzioni perpendicolari alla direzione di propagazione. Inoltre, dalle equazioni di Maxwell segue che: :<math>\mathbf{E} \cdot \mathbf{B} = 0</math> I tre vettori <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{B}</math> e <math>\mathbf{k}</math> sono quindi mutuamente ortogonali. Dalla forma piana delle equazioni di Maxwell si ottiene la relazione compatta: :<math>\mathbf{B} = \frac{1}{\omega}\,\mathbf{k} \times \mathbf{E}.</math> Questa espressione riassume in un’unica formula: * l’ortogonalità tra <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math>, * la direzione di <math>\mathbf{B}</math> come prodotto vettoriale, * la fase comune dei due campi, * la relazione tra ampiezze (già dimostrata): :<math>B_0 = \frac{E_0}{c}</math> La direzione di propagazione dell’onda è determinata dal prodotto vettoriale: :<math>\mathbf{k} \propto \mathbf{E} \times \mathbf{B}.</math> Questa relazione è puramente geometrica, qui serve solo a mostrare che la terna (<math>\mathbf{E}</math>,<math>\mathbf{B}</math>,<math>\mathbf{k}</math>) è una terna destrorsa. ==Onde elettromagnetiche sferiche== Quando la sorgente elettromagnetica è localizzata in una regione di spazio molto piccola rispetto alla distanza dal punto di osservazione, la soluzione dell’equazione delle onde assume forma sferica. In questo caso, l’onda si propaga radialmente e le superfici a fase costante sono sfere concentriche. Nel vuoto, il campo elettrico soddisfa l’equazione: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0 </math> Una soluzione a simmetria sferica dipende solo dalla distanza <math>r</math> dalla sorgente: :<math>\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \mathbf{\hat{r}}\, E(r,t)</math> {{Cassetto| titolo=Dimostrazione della soluzione a simmetria sferica del campo elettromagnetico| testo= Nel vuoto, il campo elettrico soddisfa l’equazione: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0</math> Consideriamo una soluzione a simmetria sferica, in cui il campo dipende solo dalla distanza <math>r</math> dalla sorgente. Per semplicità, supponiamo che il campo sia radialmente diretto: :<math>\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \hat{\mathbf{r}}\, E(r,t)</math> dove <math>E(r,t)</math> è una funzione scalare. In questo caso, il Laplaciano del campo si riduce al Laplaciano della funzione scalare <math>E(r,t)</math> in coordinate sferiche. Per una funzione che dipende solo da <math>r</math>, il Laplaciano è: :<math>\nabla^2 E(r,t) = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right)</math> Sostituendo nell’equazione d’onda si ottiene: :<math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right)- \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} = 0</math> Ora introduciamo la funzione: :<math>u(r,t) = r\,E(r,t)</math> Calcoliamo le derivate rispetto a <math>r</math>: :<math>\frac{\partial u}{\partial r} = E + r\,\frac{\partial E}{\partial r}</math> :<math>\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}= \frac{\partial E}{\partial r}+\frac{\partial}{\partial r} \left( r\,\frac{\partial E}{\partial r} \right)= \frac{\partial E}{\partial r}+\frac{\partial E}{\partial r}+ r\,\frac{\partial^2 E}{\partial r^2}= 2\,\frac{\partial E}{\partial r}+r\,\frac{\partial^2 E}{\partial r^2}</math> D’altra parte: :<math>\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right)= 2r\,\frac{\partial E}{\partial r}+r^2\frac{\partial^2 E}{\partial r^2}</math> Confrontando le due espressioni, si vede che: :<math>\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}= \frac{1}{r}\,\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right)</math> Quindi: :<math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right) = \frac{1}{r}\,\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}</math> Sostituendo nell’equazione d’onda: :<math>\frac{1}{r}\,\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} = 0</math> Ma <math>E = u/r</math>, quindi: :<math>\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}= \frac{1}{r}\,\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}</math> L’equazione diventa: :<math>\frac{1}{r}\,\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}-\frac{1}{c^2}\frac{1}{r}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0</math> Moltiplicando per <math>r</math>: :<math>\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0</math> cioè: :<math>\frac{\partial^2}{\partial r^2}(rE)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}(rE) = 0 . </math> Questa è una equazione d’onda unidimensionale per la funzione <math>u(r,t)=rE(r,t)</math>, lungo la coordinata radiale <math>r</math>. }} Sostituendo nell’equazione d’onda si ottiene l’equazione radiale: :<math>\frac{\partial^2}{\partial r^2}(rE) - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}(rE) = 0</math> La quantità <math>u(r,t)=rE(r,t)</math> soddisfa quindi una normale equazione d’onda 1D. La soluzione generale è: :<math>E(r,t) = \frac{1}{r}\, f(r - ct) + \frac{1}{r}\, g(r + ct)</math> Per un’onda uscente (nessuna sorgente all’infinito), vi è una sola soluzione che ha senso fisico: :<math>E(r,t) = \frac{1}{r}\ f(r - ct)</math> Per una sorgente che oscilla sinusoidalmente a frequenza <math>\omega</math>, la soluzione assume la forma: :<math>E(r,t) = \frac{E_0}{r}\, \cos(kr - \omega t)</math> dove <math>k=\omega/c</math>. Il campo magnetico associato è perpendicolare a <math>\mathbf{E}</math> e alla direzione radiale: :<math>B(r,t) = \frac{E_0}{c\,r}\, \cos(kr - \omega t) </math> ===Caratteristiche delle onde sferiche=== * Decadimento come 1/r: L’ampiezza diminuisce con la distanza perché l’energia si distribuisce su superfici sferiche di area <math>4\pi r^2</math>. * Fronti d’onda sferici: La fase <math>kr - \omega t = \text{costante}</math> descrive sfere concentriche. * Campo trasversale: Anche nel caso sferico, <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> restano perpendicolari tra loro e alla direzione di propagazione. * Regione di campo lontano (''far field''): A distanze molto grandi dalla sorgente, l’onda sferica si approssima localmente a un’onda piana. ==[[w:Spettro_elettromagnetico|Spettro elettromagnetico]]== [[File:EM Spectrum Properties it.svg|1000px|center]] Le onde elettromagnetiche possono avere frequenze e lunghezze d’onda estremamente diverse tra loro. L’insieme di tutte le possibili frequenze costituisce lo spettro elettromagnetico. Poiché nel vuoto vale la relazione: :<math>c = \lambda\, \nu</math> una frequenza più alta corrisponde a una lunghezza d’onda più corta, e viceversa. Lo spettro elettromagnetico è continuo: non esistono “salti” tra una regione e l’altra. Le suddivisioni che seguono sono convenzionali e basate su modalità di produzione, rivelazione e applicazioni. ===Onde radio (RF)=== [[File:Dipole xmting antenna animation 4 408x318x150ms.gif|thumb|upright=1.2|Diagramma animato di una antenna a dipolo che irradia onde radio]] Le onde radio comprendono le frequenze più basse dello spettro e sono generate da correnti elettriche oscillanti in antenne di grandi dimensioni. La loro lunghezza d’onda molto elevata permette di coprire grandi distanze e di diffrangere attorno agli ostacoli, rendendole ideali per comunicazioni terrestri e marittime. Sono utilizzate in radiofonia, televisione, telecomunicazioni, radiolocalizzazione e radioastronomia. La loro produzione e rivelazione è relativamente semplice, motivo per cui sono state le prime onde elettromagnetiche sfruttate tecnologicamente. ===[[w:Microonde|Microonde]]=== Le microonde hanno lunghezze d’onda comprese tra decine di centimetri e pochi millimetri. Per le grandi potenze si impiegano sorgenti a vuoto come i [[w:Magnetron|magnetron]], robusti ed efficienti, utilizzati nei radar e nei forni a microonde; per le basse potenze si usano invece oscillatori a stato solido, più compatti e stabili. Le microonde sono fondamentali nelle comunicazioni satellitari, nei collegamenti punto‑punto, nei sistemi radar e in molte applicazioni industriali e scientifiche. La loro interazione selettiva con l’acqua le rende utili per il riscaldamento dielettrico. ===[[w:Infrarosso|Infrarosso]] (IR)=== [[File:Ir girl.png|thumb|left|Una immagine all'infrarosso con [[w:Falsi_colori|falsi colori]] di due persone dovuta alla emissione della temperatura corporea]] Le radiazioni infrarosse sono emesse da qualunque corpo caldo: la sorgente più comune è infatti la radiazione termica, che cresce con la temperatura secondo la [[w:Legge_di_Planck|legge di Planck]]. Anche le transizioni vibrazionali delle molecole producono infrarosso, motivo per cui questa regione dello spettro è fondamentale in spettroscopia. Gli infrarossi trovano impiego nella termografia, nelle telecomunicazioni in fibra ottica, nei telecomandi e nell’astronomia IR, che permette di osservare oggetti freddi o oscurati dalla polvere interstellare. Pur invisibili, sono tra le radiazioni più presenti nella vita quotidiana. ===[[w:Spettro_visibile|Luce visibile]]=== La luce visibile è la stretta porzione dello spettro percepita dall’occhio umano, compresa tra circa 400 e 700 nm. È prodotta principalmente da transizioni elettroniche negli atomi e nelle molecole, come avviene nelle lampade, nei LED e nelle stelle. La luce visibile è fondamentale per l’osservazione del mondo naturale e per la maggior parte delle tecnologie ottiche: lenti, microscopi, telescopi, fibre ottiche e strumenti di misura. Nonostante rappresenti una piccola parte dello spettro, è quella più studiata nella storia della fisica. ===[[w:Ultravioletto|Ultravioletto]]=== [[File:GALEX-NGC247.jpg|thumb|right|Immagine all'ultravioletto della galassia NGC247]] La radiazione ultravioletta ha lunghezze d’onda più corte del visibile ed è prodotta da transizioni elettroniche ad alta energia, scariche elettriche e sorgenti termiche molto calde. L’UV è in grado di ionizzare alcune molecole e di rompere legami chimici, motivo per cui è utilizzato nella sterilizzazione e nella disinfezione. Nell’atmosfera terrestre viene in gran parte assorbito dallo strato di [[w:Ozono|ozono]], proteggendo gli organismi viventi. In laboratorio e in astronomia l’UV è uno strumento prezioso per studiare materiali e plasmi ad alta energia. ===[[w:Raggi_X|Raggi X]]=== I raggi X sono generati principalmente dal frenamento di elettroni ad alta energia (''[[w:Bremsstrahlung|bremsstrahlung]]'') o da transizioni elettroniche profonde negli atomi. La loro capacità di attraversare materiali opachi li rende indispensabili nella diagnostica medica, nella tomografia computerizzata e nella cristallografia a raggi X, che permette di determinare la struttura dei cristalli e delle molecole complesse. In astronomia, i raggi X rivelano fenomeni estremi come buchi neri, stelle di neutroni e gas ad altissima temperatura. ===[[w:Raggi_gamma|Raggi gamma]]=== I raggi gamma sono le radiazioni più energetiche dello spettro e sono prodotti da processi nucleari, decadimenti radioattivi e fenomeni astrofisici estremi come supernovae e lampi gamma. La loro elevata energia permette di penetrare profondamente nella materia, rendendoli utili nella medicina nucleare, nella radioterapia e nella sterilizzazione di materiali. In astrofisica forniscono informazioni uniche sugli eventi più violenti dell’universo. La loro rivelazione richiede strumenti altamente specializzati. [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} f8zyxjrn80fdik0yfcivfyjkfqk7xrt 499491 499489 2026-06-28T09:43:17Z Pasquale.Carelli 528 precisazione sull'uso del grassetto 499491 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Linea di trasmissione |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Linea_di_trasmissione |CapitoloSuccessivo=Il vettore di Poynting |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Il_vettore_di_Poynting }} {{fisica classica}} Nei capitoli precedenti abbiamo incontrato diversi tipi di onde: le onde sonore, che si propagano come compressioni e rarefazioni in un mezzo materiale; le onde del mare, in cui l’acqua oscilla attorno alla posizione di equilibrio; la corda vibrante, in cui la tensione del mezzo fornisce la forza di richiamo; e le onde sulle linee di trasmissione, descritte da variazioni accoppiate di tensione e corrente. In tutti questi casi l’onda consiste in una perturbazione che si propaga, mentre le particelle del mezzo oscillano localmente senza trasporto netto di materia. Le onde elettromagnetiche rappresentano un passo ulteriore: sono onde che non richiedono alcun mezzo materiale. Ciò che oscilla non è un corpo, né un fluido, né una grandezza elettrica legata a un conduttore, ma il campo elettrico e il campo magnetico stessi. La loro esistenza emerge direttamente dalle [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell|equazioni di Maxwell]] ed è una delle scoperte più profonde della fisica dell’Ottocento. [[w:James_Clerk_Maxwell|Maxwell]] comprese che un campo elettrico variabile nel tempo genera un campo magnetico (legge di Ampère‑Maxwell), e che un campo magnetico variabile genera a sua volta un campo elettrico (legge di Faraday). Questi due processi formano un accoppiamento dinamico: * variazioni di <math>\mathbf{E}</math> producono <math>\mathbf{B}</math>, * variazioni di <math>\mathbf{B}</math> producono <math>\mathbf{E}</math>. Da questo meccanismo nasce la possibilità di una perturbazione che si rigenera mentre avanza nello spazio: un’onda elettromagnetica. In questo capitolo le grandezze vettoriali sono indicate con il grassetto. A differenza delle onde meccaniche, che richiedono un mezzo materiale in cui le particelle oscillano attorno alla loro posizione di equilibrio, le onde elettromagnetiche non hanno bisogno di alcun mezzo: sono oscillazioni auto‑sostenute del campo elettrico e magnetico nel vuoto. In entrambi i casi non vi è trasporto netto di materia, ma solo propagazione di una perturbazione. ==Dalle equazioni di Maxwell all'equazione delle onde== Nel vuoto, le equazioni di Maxwell assumono la forma: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,</math> :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. </math> Vogliamo mostrare che i campi <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> soddisfano un’equazione d’onda del tipo: :<math> \nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}, \qquad \nabla^2 \mathbf{B} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}, </math> dove <math>c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}</math>. ===Equazione delle onde per il campo elettrico=== Consideriamo il rotore del rotore di <math>\mathbf{E}</math>: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})</math> Usiamo l’identità vettoriale: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} </math> Nel vuoto vale <math>\nabla \cdot \mathbf{E}=0</math>, quindi: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= -\,\nabla^2 \mathbf{E}</math> D’altra parte, dalle equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> Prendiamo il rotore di entrambi i membri: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})= \nabla \times \left(-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right)= -\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})</math> Ora sostituiamo <math>\nabla \times \mathbf{B}</math> dalla quarta equazione di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Otteniamo: :<math>-\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})= -\,\frac{\partial}{\partial t} \left(\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Ma abbiamo anche: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\,\nabla^2 \mathbf{E}</math> Eguagliando le due espressioni: :<math>-\,\nabla^2 \mathbf{E}= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}.</math> Eliminando il segno meno: :<math>\nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Definendo: :<math>c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}</math> si ottiene: :<math>\nabla^2 \mathbf{E}= \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> che è l’equazione delle onde per il campo elettrico. ===Equazione delle onde per il campo magnetico=== La dimostrazione per <math>\mathbf{B}</math> è del tutto analoga. Partiamo dall’identità vettoriale: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \nabla^2 \mathbf{B}</math> Sempre <math>\nabla \cdot \mathbf{B}=0</math>, quindi: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= -\,\nabla^2 \mathbf{B}</math> Dalle equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Prendiamo il rotore di entrambi i membri: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= \nabla \times \left(\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E}).</math> Ora sostituiamo <math>\nabla \times \mathbf{E}</math> dalla terza equazione di Maxwell: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> Otteniamo: :<math>\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E})= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}\left(-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right) = -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}. </math> Ma abbiamo anche: :<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})= -\,\nabla^2 \mathbf{B}</math> Eguagliando: :<math>-\,\nabla^2 \mathbf{B}= -\,\mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math> da cui: :<math>\nabla^2 \mathbf{B}= \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}= \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math> Questo mostra che le equazioni di Maxwell nel vuoto implicano l’esistenza di onde elettromagnetiche che si propagano con velocità <math>c</math>, identificabile con la velocità della luce. ==Onda piana elettromagnetica nel vuoto== Consideriamo una soluzione d’onda piana delle equazioni d’onda per i campi elettrico e magnetico nel vuoto. Supponiamo che l’onda si propaghi lungo l’asse <math>x</math>. ===Ipotesi di propagazione e forma d’onda=== Assumiamo che i campi dipendano solo da <math>x</math> e da <math>t</math>: :<math>\mathbf{E} = \mathbf{E}(x,t), \qquad \mathbf{B} = \mathbf{B}(x,t)</math> Una soluzione d’onda piana armonica può essere scritta come: :<math>\mathbf{E}(x,t) = \mathbf{E}_0 \cos(kx - \omega t + \varphi_E)</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = \mathbf{B}_0 \cos(kx - \omega t + \varphi_B)</math> dove <math>k</math> è il numero d’onda, <math>\omega</math> la pulsazione, <math>\mathbf{E}_0</math> e <math>\mathbf{B}_0</math> sono vettori costanti (ampiezze), e <math>\varphi_E</math>, <math>\varphi_B</math> sono fasi iniziali. Per una onda piana nel vuoto, le equazioni di Maxwell impongono che: * la direzione di propagazione sia lungo <math>\hat{\mathbf{x}}</math> (deriva dall'ipotesi iniziale), * i campi siano trasversali, cioè ortogonali alla direzione di propagazione. {{Cassetto| titolo=Dimostrazione trasversalità del campo elettromagnetico| testo= Assumiamo che i campi dipendano solo da <math>x</math> e dal tempo <math>t</math>: :<math>\mathbf{E} = \mathbf{E}(x,t), \qquad \mathbf{B} = \mathbf{B}(x,t)</math> Scriviamo esplicitamente le componenti: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_x(x,t)\,\hat{\mathbf{x}} + E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}} </math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_x(x,t)\,\hat{\mathbf{x}} + B_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + B_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}. </math> Nel vuoto valgono le equazioni di Maxwell: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math> :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> Calcoliamo la divergenza di <math>\mathbf{E}</math>. Poiché i campi dipendono solo da <math>x</math>: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E}= \frac{\partial E_x}{\partial x}</math> dato che <math>E_y</math> ed <math>E_z</math> non dipendono da <math>y</math> e <math>z</math>. La condizione <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math> implica quindi: :<math>\frac{\partial E_x}{\partial x} = 0</math> Questo significa che <math>E_x</math> è indipendente da <math>x</math>. Se vogliamo descrivere un’onda piana che si propaga lungo <math>x</math>, la dipendenza spaziale deve essere del tipo <math>\cos(kx - \omega t)</math> o <math>\sin(kx - \omega t)</math>. Una componente costante <math>E_x</math> non rappresenta un’onda, ma un campo uniforme. Per una soluzione d’onda piana pura, imponiamo quindi: :<math>E_x(x,t) = 0</math> I campi sono quindi trasversali: non hanno componente lungo <math>\hat{\mathbf{x}}</math>. Lo stesso ragionamento vale per <math>\mathbf{B}</math>: :<math>\nabla \cdot \mathbf{B}= \frac{\partial B_x}{\partial x} = 0\quad \Rightarrow \quad B_x(x,t) \text{ costante}</math> Anche qui, una componente costante non rappresenta un’onda. Per una soluzione d’onda piana nel vuoto si pone: :<math>B_x(x,t) = 0</math> Abbiamo quindi mostrato che, per un’onda piana che dipende solo da <math>x</math> e <math>t</math>, le componenti lungo la direzione di propagazione devono essere nulle: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + B_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}.</math> La condizione <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math> nel vuoto esprime l’assenza di cariche elettriche: non ci sono sorgenti o pozzi del campo elettrico. Per un’onda piana che si propaga lungo <math>x</math>, questo vincolo elimina la possibilità di una componente longitudinale variabile nel tempo. Rimane solo la parte trasversale, che oscilla ortogonalmente alla direzione di propagazione. Questo dimostra che le onde elettromagnetiche piane nel vuoto sono intrinsecamente trasversali: i campi oscillano solo nelle direzioni ortogonali alla direzione di propagazione. }} Possiamo quindi scegliere, ad esempio: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> :<math>\mathbf{B}(x,t) = B_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}.</math> In questa configurazione, l’onda si propaga lungo <math>x</math>, il campo elettrico è diretto lungo <math>y</math>, il campo magnetico lungo <math>z</math>, e i tre vettori sono mutuamente ortogonali. ===Equazione d’onda e relazione dispersione=== L’equazione d’onda per <math>\mathbf{E}</math> nel vuoto è: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> Nel caso in cui <math>\mathbf{E}</math> dipenda solo da <math>x</math> e <math>t</math>, il [[w:Laplaciano_vettoriale|laplaciano]] si riduce a: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial x^2}.</math> Per la componente lungo <math>\hat{\mathbf{y}}</math>: :<math>E_y(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)</math> si ha: :<math>\frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}= -k^2 E_0 \cos(kx - \omega t)</math> :<math>\frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2}= -\omega^2 E_0 \cos(kx - \omega t)</math> Inserendo nell’equazione d’onda: :<math>-k^2 E_0 \cos(kx - \omega t)= \frac{1}{c^2}\left[-\omega^2 E_0 \cos(kx - \omega t)\right]</math> da cui: :<math>k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}</math> Questa è la relazione di dispersione per l’onda piana nel vuoto. In termini di lunghezza d’onda <math>\lambda</math> e frequenza <math>\nu</math>: :<math>k = \frac{2\pi}{\lambda}, \qquad \omega = 2\pi \nu</math> e la relazione <math>\omega = c k</math> implica: :<math>c = \lambda \nu</math> Lo stesso ragionamento vale per <math>\mathbf{B}</math>, che soddisfa la stessa equazione d’onda. ===Relazione tra <math>E_0</math> e <math>B_0</math>=== Le equazioni di Maxwell impongono inoltre: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math> Per l’onda piana scelta: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> si ha: :<math>\nabla \cdot \mathbf{E}= \frac{\partial E_y}{\partial y} = 0</math> poiché <math>E_y</math> non dipende da <math>y</math>. Analogamente per <math>\mathbf{B}</math>. Questo conferma che i campi sono trasversali: non hanno componenti lungo la direzione di propagazione. Usando la [[Fisica_classica/Induzione_e_legge_di_Faraday|legge di Faraday]]: :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> per l'onda piana considerata si ottiene la relazione tra le ampiezze. Il rotore di <math>\mathbf{E}</math> è: :<math>\nabla \times \mathbf{E}= \left(\frac{\partial E_y}{\partial x}\right)\hat{\mathbf{z}} = -k E_0 \sin(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La derivata temporale di <math>\mathbf{B}</math> è: :<math>\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}= -\omega B_0 \sin(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La legge di Faraday richiede: :<math>\nabla \times \mathbf{E}= -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\quad \Rightarrow \quad -k E_0 \sin(kx - \omega t)= -\left[-\omega B_0 \sin(kx - \omega t)\right]</math> cioè: :<math>-k E_0 = \omega B_0</math> Usando la relazione <math>\omega = c k</math>, si ottiene: :<math>E_0 = c\,B_0</math> Questa è una proprietà fondamentale dell’onda elettromagnetica piana nel vuoto: l’ampiezza del campo elettrico è pari alla velocità di propagazione <math>c</math> moltiplicata per l’ampiezza del campo magnetico. ==Polarizzazione delle onde elettromagnetiche== Una volta stabilito che, nel vuoto, un’onda elettromagnetica piana è trasversale, cioè i campi <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> oscillano in direzioni perpendicolari alla direzione di propagazione, rimane da descrivere come avviene questa oscillazione. La direzione in cui oscilla il campo elettrico definisce la polarizzazione dell’onda. Consideriamo un’onda che si propaga lungo l’asse <math>x</math>. Allora il campo elettrico ha solo componenti trasversali: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_y(x,t)\,\hat{\mathbf{y}} + E_z(x,t)\,\hat{\mathbf{z}}</math> La forma temporale e spaziale dell’oscillazione determina il tipo di polarizzazione. ===Polarizzazione lineare=== [[File:Electromagneticwave3D.gif|thumb|left|Le onde elettromagnetiche possono essere immaginate come onde trasversali auto-propaganti di campi elettrici e magnetici. Questa animazione 3D mostra un'onda piana a polarizzazione lineare che si propaga da sinistra a destra. I campi elettrico e magnetico in un'onda di questo tipo sono in fase tra loro, raggiungendo minimi e massimi contemporaneamente.]] Si ha polarizzazione lineare quando il campo elettrico oscilla sempre lungo una stessa direzione fissa nel piano trasversale. Per esempio: :<math>\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)\,\hat{\mathbf{y}}</math> In questo caso il vettore <math>\mathbf{E}</math> rimane sempre parallelo a <math>\hat{\mathbf{y}}</math> Analogamente si può avere polarizzazione lineare lungo una qualunque direzione del piano <math>yz</math>, In generale: :<math>\mathbf{E}(x,t) =\left(E_{0y}\,\hat{\mathbf{y}} + E_{0z}\,\hat{\mathbf{z}}\right)\cos(kx - \omega t) </math> con <math>E_{0y}</math> e <math>E_{0z}</math> costanti, rappresenta una polarizzazione lineare lungo la direzione del vettore costante <math>\mathbf{E}_0</math>. ===Polarizzazione circolare=== [[File:Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light Left.Hand.Animation.305x190.255Colors.gif|Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light Left.Hand.Animation.305x190.255Colors|thumb|right|Rappresentazione del vettore campo elettrico per un'onda elettromagnetica polarizzata circolarmente]] Si ha polarizzazione circolare quando le componenti trasversali del campo elettrico hanno la stessa ampiezza, ma sono sfasate di <math>\pi/2</math> Esempio: :<math>E_y(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t)</math> :<math>E_z(x,t) = E_0 \sin(kx - \omega t)</math> In questo caso, per un punto fissato nello spazio, il vettore <math>\mathbf{E}</math> ruota con velocità angolare <math>\omega</math> descrivendo una circonferenza nel piano <math>yz</math>. La rotazione può essere destrorsa o sinistrorsa a seconda del segno dello sfasamento. ===Polarizzazione ellittica=== La polarizzazione ellittica è il caso più generale: le componenti trasversali hanno ampiezze diverse e/o uno sfasamento arbitrario. Esempio: :<math>E_y(x,t) = E_{0y} \cos(kx - \omega t)</math> :<math>E_z(x,t) = E_{0z} \cos(kx - \omega t + \delta)</math> Per un punto fissato nello spazio, il vettore <math>\mathbf{E}</math> descrive un’ellisse nel piano trasversale. La polarizzazione lineare e quella circolare sono casi particolari della polarizzazione ellittica: * lineare: <math>\delta=0\quad o \quad \pi</math> * circolare: <math>E_{0y}=E_{0z}</math> e <math>\delta=\pm \pi/2</math> ===Rappresentazione complessa=== È spesso utile rappresentare l’onda tramite fasori: :<math>\mathbf{E}(x,t) = \Re\left\{\mathbf{E}_0\, e^{i(kx - \omega t)}\right\}</math> dove <math>\mathbf{E}_0</math> è un vettore complesso che contiene ampiezze e fasi delle componenti trasversali. La forma di <math>\mathbf{E}_0</math> determina immediatamente il tipo di polarizzazione. ==Struttura vettoriale dell’onda elettromagnetica piana== Una volta ricavate l’equazione d’onda, la soluzione piana e la trasversalità dei campi, è utile riassumere la struttura vettoriale dell’onda elettromagnetica nel vuoto. Questa struttura emerge direttamente dalle equazioni di Maxwell e descrive in modo compatto le relazioni geometriche tra i campi. Per un’onda piana che si propaga con vettore d’onda <math>\mathbf{k}</math>, i campi elettrico e magnetico soddisfano: :<math>\mathbf{k} \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad\mathbf{k} \cdot \mathbf{B} = 0</math> Queste relazioni, già ottenute dalla condizione di divergenza nulla, riassumono la trasversalità: i campi oscillano in direzioni perpendicolari alla direzione di propagazione. Inoltre, dalle equazioni di Maxwell segue che: :<math>\mathbf{E} \cdot \mathbf{B} = 0</math> I tre vettori <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{B}</math> e <math>\mathbf{k}</math> sono quindi mutuamente ortogonali. Dalla forma piana delle equazioni di Maxwell si ottiene la relazione compatta: :<math>\mathbf{B} = \frac{1}{\omega}\,\mathbf{k} \times \mathbf{E}.</math> Questa espressione riassume in un’unica formula: * l’ortogonalità tra <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math>, * la direzione di <math>\mathbf{B}</math> come prodotto vettoriale, * la fase comune dei due campi, * la relazione tra ampiezze (già dimostrata): :<math>B_0 = \frac{E_0}{c}</math> La direzione di propagazione dell’onda è determinata dal prodotto vettoriale: :<math>\mathbf{k} \propto \mathbf{E} \times \mathbf{B}.</math> Questa relazione è puramente geometrica, qui serve solo a mostrare che la terna (<math>\mathbf{E}</math>,<math>\mathbf{B}</math>,<math>\mathbf{k}</math>) è una terna destrorsa. ==Onde elettromagnetiche sferiche== Quando la sorgente elettromagnetica è localizzata in una regione di spazio molto piccola rispetto alla distanza dal punto di osservazione, la soluzione dell’equazione delle onde assume forma sferica. In questo caso, l’onda si propaga radialmente e le superfici a fase costante sono sfere concentriche. Nel vuoto, il campo elettrico soddisfa l’equazione: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0 </math> Una soluzione a simmetria sferica dipende solo dalla distanza <math>r</math> dalla sorgente: :<math>\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \mathbf{\hat{r}}\, E(r,t)</math> {{Cassetto| titolo=Dimostrazione della soluzione a simmetria sferica del campo elettromagnetico| testo= Nel vuoto, il campo elettrico soddisfa l’equazione: :<math>\nabla^2 \mathbf{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0</math> Consideriamo una soluzione a simmetria sferica, in cui il campo dipende solo dalla distanza <math>r</math> dalla sorgente. Per semplicità, supponiamo che il campo sia radialmente diretto: :<math>\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \hat{\mathbf{r}}\, E(r,t)</math> dove <math>E(r,t)</math> è una funzione scalare. In questo caso, il Laplaciano del campo si riduce al Laplaciano della funzione scalare <math>E(r,t)</math> in coordinate sferiche. Per una funzione che dipende solo da <math>r</math>, il Laplaciano è: :<math>\nabla^2 E(r,t) = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right)</math> Sostituendo nell’equazione d’onda si ottiene: :<math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right)- \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} = 0</math> Ora introduciamo la funzione: :<math>u(r,t) = r\,E(r,t)</math> Calcoliamo le derivate rispetto a <math>r</math>: :<math>\frac{\partial u}{\partial r} = E + r\,\frac{\partial E}{\partial r}</math> :<math>\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}= \frac{\partial E}{\partial r}+\frac{\partial}{\partial r} \left( r\,\frac{\partial E}{\partial r} \right)= \frac{\partial E}{\partial r}+\frac{\partial E}{\partial r}+ r\,\frac{\partial^2 E}{\partial r^2}= 2\,\frac{\partial E}{\partial r}+r\,\frac{\partial^2 E}{\partial r^2}</math> D’altra parte: :<math>\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right)= 2r\,\frac{\partial E}{\partial r}+r^2\frac{\partial^2 E}{\partial r^2}</math> Confrontando le due espressioni, si vede che: :<math>\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}= \frac{1}{r}\,\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right)</math> Quindi: :<math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial E}{\partial r} \right) = \frac{1}{r}\,\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}</math> Sostituendo nell’equazione d’onda: :<math>\frac{1}{r}\,\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} = 0</math> Ma <math>E = u/r</math>, quindi: :<math>\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}= \frac{1}{r}\,\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}</math> L’equazione diventa: :<math>\frac{1}{r}\,\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}-\frac{1}{c^2}\frac{1}{r}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0</math> Moltiplicando per <math>r</math>: :<math>\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0</math> cioè: :<math>\frac{\partial^2}{\partial r^2}(rE)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}(rE) = 0 . </math> Questa è una equazione d’onda unidimensionale per la funzione <math>u(r,t)=rE(r,t)</math>, lungo la coordinata radiale <math>r</math>. }} Sostituendo nell’equazione d’onda si ottiene l’equazione radiale: :<math>\frac{\partial^2}{\partial r^2}(rE) - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}(rE) = 0</math> La quantità <math>u(r,t)=rE(r,t)</math> soddisfa quindi una normale equazione d’onda 1D. La soluzione generale è: :<math>E(r,t) = \frac{1}{r}\, f(r - ct) + \frac{1}{r}\, g(r + ct)</math> Per un’onda uscente (nessuna sorgente all’infinito), vi è una sola soluzione che ha senso fisico: :<math>E(r,t) = \frac{1}{r}\ f(r - ct)</math> Per una sorgente che oscilla sinusoidalmente a frequenza <math>\omega</math>, la soluzione assume la forma: :<math>E(r,t) = \frac{E_0}{r}\, \cos(kr - \omega t)</math> dove <math>k=\omega/c</math>. Il campo magnetico associato è perpendicolare a <math>\mathbf{E}</math> e alla direzione radiale: :<math>B(r,t) = \frac{E_0}{c\,r}\, \cos(kr - \omega t) </math> ===Caratteristiche delle onde sferiche=== * Decadimento come 1/r: L’ampiezza diminuisce con la distanza perché l’energia si distribuisce su superfici sferiche di area <math>4\pi r^2</math>. * Fronti d’onda sferici: La fase <math>kr - \omega t = \text{costante}</math> descrive sfere concentriche. * Campo trasversale: Anche nel caso sferico, <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> restano perpendicolari tra loro e alla direzione di propagazione. * Regione di campo lontano (''far field''): A distanze molto grandi dalla sorgente, l’onda sferica si approssima localmente a un’onda piana. ==[[w:Spettro_elettromagnetico|Spettro elettromagnetico]]== [[File:EM Spectrum Properties it.svg|1000px|center]] Le onde elettromagnetiche possono avere frequenze e lunghezze d’onda estremamente diverse tra loro. L’insieme di tutte le possibili frequenze costituisce lo spettro elettromagnetico. Poiché nel vuoto vale la relazione: :<math>c = \lambda\, \nu</math> una frequenza più alta corrisponde a una lunghezza d’onda più corta, e viceversa. Lo spettro elettromagnetico è continuo: non esistono “salti” tra una regione e l’altra. Le suddivisioni che seguono sono convenzionali e basate su modalità di produzione, rivelazione e applicazioni. ===Onde radio (RF)=== [[File:Dipole xmting antenna animation 4 408x318x150ms.gif|thumb|upright=1.2|Diagramma animato di una antenna a dipolo che irradia onde radio]] Le onde radio comprendono le frequenze più basse dello spettro e sono generate da correnti elettriche oscillanti in antenne di grandi dimensioni. La loro lunghezza d’onda molto elevata permette di coprire grandi distanze e di diffrangere attorno agli ostacoli, rendendole ideali per comunicazioni terrestri e marittime. Sono utilizzate in radiofonia, televisione, telecomunicazioni, radiolocalizzazione e radioastronomia. La loro produzione e rivelazione è relativamente semplice, motivo per cui sono state le prime onde elettromagnetiche sfruttate tecnologicamente. ===[[w:Microonde|Microonde]]=== Le microonde hanno lunghezze d’onda comprese tra decine di centimetri e pochi millimetri. Per le grandi potenze si impiegano sorgenti a vuoto come i [[w:Magnetron|magnetron]], robusti ed efficienti, utilizzati nei radar e nei forni a microonde; per le basse potenze si usano invece oscillatori a stato solido, più compatti e stabili. Le microonde sono fondamentali nelle comunicazioni satellitari, nei collegamenti punto‑punto, nei sistemi radar e in molte applicazioni industriali e scientifiche. La loro interazione selettiva con l’acqua le rende utili per il riscaldamento dielettrico. ===[[w:Infrarosso|Infrarosso]] (IR)=== [[File:Ir girl.png|thumb|left|Una immagine all'infrarosso con [[w:Falsi_colori|falsi colori]] di due persone dovuta alla emissione della temperatura corporea]] Le radiazioni infrarosse sono emesse da qualunque corpo caldo: la sorgente più comune è infatti la radiazione termica, che cresce con la temperatura secondo la [[w:Legge_di_Planck|legge di Planck]]. Anche le transizioni vibrazionali delle molecole producono infrarosso, motivo per cui questa regione dello spettro è fondamentale in spettroscopia. Gli infrarossi trovano impiego nella termografia, nelle telecomunicazioni in fibra ottica, nei telecomandi e nell’astronomia IR, che permette di osservare oggetti freddi o oscurati dalla polvere interstellare. Pur invisibili, sono tra le radiazioni più presenti nella vita quotidiana. ===[[w:Spettro_visibile|Luce visibile]]=== La luce visibile è la stretta porzione dello spettro percepita dall’occhio umano, compresa tra circa 400 e 700 nm. È prodotta principalmente da transizioni elettroniche negli atomi e nelle molecole, come avviene nelle lampade, nei LED e nelle stelle. La luce visibile è fondamentale per l’osservazione del mondo naturale e per la maggior parte delle tecnologie ottiche: lenti, microscopi, telescopi, fibre ottiche e strumenti di misura. Nonostante rappresenti una piccola parte dello spettro, è quella più studiata nella storia della fisica. ===[[w:Ultravioletto|Ultravioletto]]=== [[File:GALEX-NGC247.jpg|thumb|right|Immagine all'ultravioletto della galassia NGC247]] La radiazione ultravioletta ha lunghezze d’onda più corte del visibile ed è prodotta da transizioni elettroniche ad alta energia, scariche elettriche e sorgenti termiche molto calde. L’UV è in grado di ionizzare alcune molecole e di rompere legami chimici, motivo per cui è utilizzato nella sterilizzazione e nella disinfezione. Nell’atmosfera terrestre viene in gran parte assorbito dallo strato di [[w:Ozono|ozono]], proteggendo gli organismi viventi. In laboratorio e in astronomia l’UV è uno strumento prezioso per studiare materiali e plasmi ad alta energia. ===[[w:Raggi_X|Raggi X]]=== I raggi X sono generati principalmente dal frenamento di elettroni ad alta energia (''[[w:Bremsstrahlung|bremsstrahlung]]'') o da transizioni elettroniche profonde negli atomi. La loro capacità di attraversare materiali opachi li rende indispensabili nella diagnostica medica, nella tomografia computerizzata e nella cristallografia a raggi X, che permette di determinare la struttura dei cristalli e delle molecole complesse. In astronomia, i raggi X rivelano fenomeni estremi come buchi neri, stelle di neutroni e gas ad altissima temperatura. ===[[w:Raggi_gamma|Raggi gamma]]=== I raggi gamma sono le radiazioni più energetiche dello spettro e sono prodotti da processi nucleari, decadimenti radioattivi e fenomeni astrofisici estremi come supernovae e lampi gamma. La loro elevata energia permette di penetrare profondamente nella materia, rendendoli utili nella medicina nucleare, nella radioterapia e nella sterilizzazione di materiali. In astrofisica forniscono informazioni uniche sugli eventi più violenti dell’universo. La loro rivelazione richiede strumenti altamente specializzati. [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} t73tnc7123lvtaqg679iyzves82aet1 0 38215 499467 496718 2026-06-27T12:38:26Z ~2026-37077-09 54521 /* */ 499467 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} [[File:8142292 orig.jpg|300px|centro]] * '''Anno:''' 2008-2011 * '''Costruttore:''' Barthélemy Formentelli<ref>sul frontalino delle tastiere é presenta la seguente iscrizione: OPUS CCLIII BART. ^HUS FORMENTELLI ME FECIT VERONÆ A.D. MMX</ref> * '''Restauri/modifiche:''' no * '''Registri:''' 33 * '''Canne:''' --- * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' a finestra, al centro della parete anteriore della cassa * '''Tastiere:''' 2 di 53 note (''Do¹''-''Fa⁵'', senza il ''Do#¹'', divisione Bassi/Soprani ''Do³''/''Do#³'') * '''Pedaliera:''' di 29 note (''Do¹''-''Fa³'', senza il ''Do#¹'') * '''Collocazione:''' in corpo unico, a pavimento alla destra del presbiterio * '''Accessori:''' ''Tremolo'' a pomello {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Positivo''''' ---- |- |Principale Tappato || 8 p. B. |- |Principale a Canella || 8 p. S. |- |Ottava || |- |Quintadecima || |- |Decimanona || |- |Vigesimaseconda || |- |Nazardo || |- |Cornetta<ref>intera</ref>|| |- |Cromorno || B. |- |Cromorno || S. |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || di 16 p. B. |- |Principale || di 16 p. S. |- |Principale || 8 p. B. |- |Principale || 8 p. S. |- |Ottava || |- |Duodecima || |- |Quintadecima || |- |Decimanona || |- |Vigesimaseconda || |- |Ripieno Acuto || |- |Flauto in Ottava || |- |Cornetto || tre file Soprani |- |Voce umana || Soprani |- |Trombe || 8 p. Bassi |- |Trombe || 8 p. Soprani |- |Tromboncini || bassi |- |Tromboncini || Soprani |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Contrabassi || di 16 p. |- |Ottave di Contr. || 8 p. |- |Quintadecima di Contr. || 4 p. |- |Trombone || 16 P. |- |Tromba || di 8 P. |- |Clairon<ref>4.</ref>|| |- |} |} == Note == <references/> == Collegamenti esterni == * {{cita web|url=http://www.organosandomenicorieti.it/formentelli/2011_smaria_goretti.pdf|titolo=Chiesa dei SS. Maria Goretti e Gregorio Barbarigo in Mestre – Venezia - Il nuovo organo «Formentelli»|sito=organosandomenicorieti.it|accesso=2 aprile 2016}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] {{Avanzamento|100%|2 aprile 2016}} 3k5iqxecx625qxkyuohmrsgrrrc5knp 499468 499467 2026-06-27T12:41:54Z ~2026-37077-09 54521 /* */ 499468 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} [[File:8142292 orig.jpg|300px|centro]] * '''Anno:''' 2008-2011 * '''Costruttore:''' Barthélemy Formentelli<ref>sul frontalino delle tastiere é presenta la seguente iscrizione: OPUS CCLIII BART. ^HUS FORMENTELLI ME FECIT VERONÆ A.D. MMX</ref> * '''Restauri/modifiche:''' no * '''Registri:''' 33 * '''Canne:''' --- * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' a finestra, al centro della parete anteriore della cassa * '''Tastiere:''' 2 di 53 note (''Do¹''-''Fa⁵'', senza ''Do#¹'', divisione Bassi/Soprani ''Do³''/''Do#³'') * '''Pedaliera:''' di 29 note (''Do¹''-''Fa³'', senza ''Do#¹'') * '''Collocazione:''' in corpo unico, a pavimento alla destra del presbiterio * '''Accessori:''' ''Tremolo'' a pomello {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Positivo''''' ---- |- |Principale Tappato 8 p. || B. |- |Principale a Canella 8 p. || S. |- |Ottava || |- |Quintadecima || |- |Decimanona || |- |Vigesimaseconda || |- |Nazardo || |- |Cornetta<ref>intera</ref>|| |- |Cromorno || B. |- |Cromorno || S. |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale di 16 p. || B. |- |Principale di 16 p. || S. |- |Principale 8 p. || B. |- |Principale 8 p. || S. |- |Ottava || |- |Duodecima || |- |Quintadecima || |- |Decimanona || |- |Vigesimaseconda || |- |Ripieno Acuto || |- |Flauto in Ottava || |- |Cornetto tre file || Soprani |- |Voce umana || Soprani |- |Trombe 8 p. || Bassi |- |Trombe 8 p. || Soprani |- |Tromboncini || bassi |- |Tromboncini || Soprani |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Contrabassi di 16 p. || |- |Ottave di Contr. 8 p. || |- |Quintadecima di Contr. 4 p. || |- |Trombone 16 P. || 16 P. |- |Tromba di 8 P. || |- |Clairon<ref>4.</ref>|| |- |} |} == Note == <references/> == Collegamenti esterni == * {{cita web|url=http://www.organosandomenicorieti.it/formentelli/2011_smaria_goretti.pdf|titolo=Chiesa dei SS. Maria Goretti e Gregorio Barbarigo in Mestre – Venezia - Il nuovo organo «Formentelli»|sito=organosandomenicorieti.it|accesso=2 aprile 2016}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] {{Avanzamento|100%|2 aprile 2016}} dfmyeo8dfo7ffpdk81rithm2bpkmibn 499469 499468 2026-06-27T12:42:49Z ~2026-37077-09 54521 /* */ 499469 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} [[File:8142292 orig.jpg|300px|centro]] * '''Anno:''' 2008-2011 * '''Costruttore:''' Barthélemy Formentelli<ref>sul frontalino delle tastiere é presenta la seguente iscrizione: OPUS CCLIII BART. ^HUS FORMENTELLI ME FECIT VERONÆ A.D. MMX</ref> * '''Restauri/modifiche:''' no * '''Registri:''' 33 * '''Canne:''' --- * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' a finestra, al centro della parete anteriore della cassa * '''Tastiere:''' 2 di 53 note (''Do¹''-''Fa⁵'', senza ''Do#¹'', divisione Bassi/Soprani ''Do³''/''Do#³'') * '''Pedaliera:''' di 29 note (''Do¹''-''Fa³'', senza ''Do#¹'') * '''Collocazione:''' in corpo unico, a pavimento alla destra del presbiterio * '''Accessori:''' ''Tremolo'' a pomello {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Positivo''''' ---- |- |Principale Tappato 8 p. || B. |- |Principale a Canella 8 p. || S. |- |Ottava || |- |Quintadecima || |- |Decimanona || |- |Vigesimaseconda || |- |Nazardo || |- |Cornetta<ref>intera</ref>|| |- |Cromorno || B. |- |Cromorno || S. |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale di 16 p. || B. |- |Principale di 16 p. || S. |- |Principale 8 p. || B. |- |Principale 8 p. || S. |- |Ottava || |- |Duodecima || |- |Quintadecima || |- |Decimanona || |- |Vigesimaseconda || |- |Ripieno Acuto || |- |Flauto in Ottava || |- |Cornetto tre file || Soprani |- |Voce umana || Soprani |- |Trombe 8 p. || Bassi |- |Trombe 8 p. || Soprani |- |Tromboncini || bassi |- |Tromboncini || Soprani |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | '''Pedale''' ---- |- |Contrabassi di 16 p. |- |Ottave di Contr. 8 p. |- |Quintadecima di Contr. 4 p. |- |Trombone 16 P. |- |Tromba di 8 P. |- |Clairon<ref>4.</ref> |- |} |} == Note == <references/> == Collegamenti esterni == * {{cita web|url=http://www.organosandomenicorieti.it/formentelli/2011_smaria_goretti.pdf|titolo=Chiesa dei SS. Maria Goretti e Gregorio Barbarigo in Mestre – Venezia - Il nuovo organo «Formentelli»|sito=organosandomenicorieti.it|accesso=2 aprile 2016}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] {{Avanzamento|100%|2 aprile 2016}} 8rp9lwa6qewhcua4p5m9hsk0uj5zfyi 10 45629 499475 415716 2026-06-27T16:02:20Z PattiDavide 54522 Le stem 499475 wikitext text/x-wiki {{Sommario V |titolo=Tecnologia |contenuto= '''Istruzioni iniziali''' * {{Modulo|Tecnologia/Regole_per_contribuire|Regole per contribuire}} * {{Modulo|Tecnologia/Istruzioni_template|Come usare il modello}} * {{Modulo|Tecnologia/Pagina_template|Modello da utilizzare}} * {{Modulo|Tecnologia/Apprendimento_attivo|Attività coinvolgenti}} '''Chiacchiere tra docenti...''' * {{Modulo|Tecnologia/Il mio concetto di "competenza"|Il mio concetto di "competenza"}} '''TECHBOOK''' '''Introduzione alla tecnologia''' * {{Modulo|Tecnologia/Che cos'è la tecnologia?}} * {{Modulo|Tecnologia/Le S.T.E.M.}} * {{Modulo|Tecnologia/Sistema_internazionale_misura|Il sistema internazionale di misura}} '''Risorse della terra''' * {{Modulo|Tecnologia/Risorse_materie_energia|Risorse, materie prime, energia}} :* {{Modulo|Tecnologia/Quiz fonti energetiche|Quiz: fonti energetiche}} * {{Modulo|Tecnologia/Sostenibilità|La sostenibilità}} * {{Modulo|Tecnologia/Riciclaggio|Il riciclaggio}} * {{Modulo|Tecnologia/Agenda_2030|L'agenda 2030}} '''Materiali''' * {{Modulo|Tecnologia/Proprietà_materiali|Le proprietà dei metalli}} * {{Modulo|Tecnologia/Legno|Il legno}} :* {{Modulo|Tecnologia/Quiz legno|Quiz: il legno}} * {{Modulo|Tecnologia/Carta|La carta}} * {{Modulo|Tecnologia/Vetro|Il vetro}} * {{Modulo|Tecnologia/Ceramica|I materiali ceramici}} :* {{Modulo|Tecnologia/Quiz ceramica|Quiz: i materiali ceramici}} * {{Modulo|Tecnologia/Leganti|I leganti e il cemento armato}} * {{Modulo|Tecnologia/Metalli|I metalli}} :* {{Modulo|Tecnologia/Quiz metalli|Quiz: i metalli}} * {{Modulo|Tecnologia/Siderurgia|La siderurgia}} * {{Modulo|Tecnologia/Acciaieria|L'acciaieria}} * {{Modulo|Tecnologia/Altri_metalli|Altri metalli: alluminio e rame}} * {{Modulo|Tecnologia/Industria_manifatturiera|L'industria manifatturiera}} '''Edilizia e territorio''' '''Agricoltura e alimentazione''' '''Energia''' * {{Modulo|Tecnologia/Le_macchine_semplici|Le macchine semplici}} * {{Modulo|Tecnologia/I_meccanismi|I meccanismi}} * {{Modulo|Tecnologia/I_motori_a_scoppio|I motori a scoppio}} * {{Modulo|Tecnologia/I_motori_a_turbina|I motori a turbina}} * {{Modulo|Tecnologia/Il_motore_a_razzo|Il motore a razzo}} '''Elettricità''' '''Informatica''' * {{Modulo|Tecnologia/Computer|Il computer}} :* {{Modulo|Tecnologia/Quiz_computer|Quiz: il computer}} * {{Modulo|Tecnologia/Internet_e_web|Internet e Web}} :* {{Modulo|Tecnologia/Quiz_netiquette|Quiz: Netiquette}} '''Coding e Robotica''' * {{Modulo|Tecnologia/Una proposta originale per la scuola secondaria di primo grado|Una proposta originale per la scuola secondaria di primo grado}} * {{Modulo|Tecnologia/Classe Prima|Classe Prima}} :* {{Modulo|Tecnologia/Programmare?|Programmare?}} * {{Modulo|Tecnologia/Classe Seconda|Classe Seconda}} * {{Modulo|Tecnologia/Classe Terza|Classe Terza}} '''DISEGNO TECNICO''' * {{Modulo|Tecnologia/Strumenti disegno|Strumenti da disegno: conoscerli e saperli utilizzare}} * {{Modulo|Tecnologia/Costruzioni geometriche | Le costruzioni geometriche}} * {{Modulo|Tecnologia/Proiezioni ortogonali | Le proiezioni ortogonali}} * {{Modulo|Tecnologia/Assonometrie| Le assonometrie}} * {{Modulo|Tecnologia/Indice delle tavole|Indice delle tavole}} }} <noinclude>[[Categoria:Tecnologia| ]] [[categoria:Template sommario|Tecnologia]]</noinclude> e9qpb5pswgcof5vxlbog6nt1mydjxr3 0 45636 499474 380795 2026-06-27T15:54:34Z PattiDavide 54522 Aggiunto presentazione PowerPoint 499474 wikitext text/x-wiki A cura del prof. Giovanni Cielo{{Tecnologia}} [[Categoria:Tecnologia|Che cos'è la tecnologia]] {{avanzamento|0%}} === Alla scoperta di... === Inizia da qui il tuo cammino all'interno di un mondo tutto da scoprire: la tecnologia. Si tratta di un mondo nel quale in realtà tutti noi viviamo perché se ci guardiamo attorno vediamo infiniti oggetti costruiti grazie all'uso della tecnologia ma proviamo a ragionare insieme: che cos'è la tecnologia, secondo voi? Con l'aiuto dell'insegnante avviate un nuovo [https://padlet.com/ Padlet] o una nuova presentazione PowerPoint dal titolo "''La tecnologia secondo la (inseriamo qui il nome della nostra classe)"'' e provate ad aggiungere le vostre risposte alla domanda proposta sopra. === Approfondisci la conoscenza === Se proviamo a dare una definizione di tecnologia, potremmo dire che ''la tecnologia è il complesso di metodi e procedure con i quali le conoscenze scientifiche trovano applicazione pratica nelle attività produttive''. Ma cerchiamo di capire bene cosa vogliano dire queste parole perché, in questa disciplina le parole assumono una grande importanza e bisogna imparare ad utilizzarle bene. Possiamo dire che si ha tecnologia ogni volta che l'uomo, utilizzando principalmente la sua intelligenza e la sua capacità di trarre insegnamento dalle esperienze del passato, riesce a modificare gli elementi che la natura gli offre a suo vantaggio realizzando oggetti o inventando modi di fare che migliorano il suo modo di vivere. Proviamo a fare degli esempi. Circa 10.000 anni fa l'uomo ha smesso di inseguire gli animali di cui si cibava perché ha scoperto che lavorando la terra è possibile ottenere del cibo. Ha dato in quel modo inizio all'agricoltura definendo metodi per arare la terra, seminare, raccogliere i frutti e procedure da seguire affinché tali metodi possano essere applicati correttamente (ad esempio ha stabilito l'ordine e i giusti tempi per arare, seminare e raccogliere). Tutto ciò ha dato la possibilità all'uomo di stabilirsi in un luogo fisso trasformandolo da nomade costretto ad inseguire le sue prede a stanziale e quindi migliorando la qualità della vita. Proprio all'avvento dell'agricoltura si fa risalire l'origine della tecnologia.[[File:Cronistoria Tecnologia.png|alt=Cronistoria della tecnologia|miniatura|Cronistoria della tecnologia]] [[File:Cronistoria Tecnologia.png|alt=Cronistoria della tecnologia|centro|miniatura|500x500px|Cronistoria della tecnologia]] <br />Appare chiaro come scienza e tecnologia siano state e sono tutt'ora strettamente collegate le une alle altre. Potremmo dire che viaggiano "a braccetto" perché l'una ha costantemente bisogno dell'altra e viceversa. Consideriamo ad esempio le scoperte scientifiche fatte sull'ottica delle [[w:Lente|lenti]] che hanno consentito la realizzazione di uno strumento tecnologico come il [[w:Microscopio|microscopio]] il quale, a sua volta, ha consentito agli scienziati di scoprire organismi non visibili ad occhio nudo come, ad esempio, le cellule, i batteri e i virus. La scoperta di questi organismi ha poi consentito alle aziende farmaceutiche di progettare farmaci per curare le infezioni e, così via dicendo, scienza e tecnologia avanzano di pari passo per migliorare le condizioni di vita dell'uomo. Naturalmente non mancano esempio in cui la tecnologia ha preceduto la scienza. Provate a pensare alla scoperta della ruota o alle tecniche di conservazione degli alimenti e altri in cui non si è ancora riusciti a trovare un'applicazione pratica alle scoperte scientifiche. Per molto tempo il progresso tecnologico è stato molto lento, almeno fino alla prima rivoluzione industriale quando l'invenzione delle macchina ha permesso all'uomo di passare da un'economia basata sull'agricoltura e l'artigianato ad una più moderna incentrata sulla produzione di beni realizzati nelle fabbriche. Le scoperte e le invenzioni tecnologiche fino ad allora si succedevano in tempi molto lunghi. Oggi invece assistiamo ad un progresso tecnologico decisamente più veloce. Basti pensare che nel giro di qualche anno la nostra vita si è vista rivoluzionare da apparecchi come la lavatrice, la radio, il telefono, la televisione, il computer, lo smartphone, i razzi che ci consentono perfino viaggi nello spazio. E tutto ciò, fino a poco più di un secolo fa non esisteva. Consulta il sito web [http://histography.io/ Histography], un progetto che raccoglie tutti gli avvenimenti storici in una timeline. Concentrati sulle invenzioni (filtra selezionando l'apposita voce dal menù a sinistra) e prova ad appuntare sul quaderno, per ogni secolo della storia dell'uomo, dalla nascita di Cristo in poi, quante invenzioni sono state fatte e individua il periodo più prospiquo in senso tecnologico. === Sviluppa le competenze === Dividi in due parti uguali un cartellone di cartoncino bristol 100x70. Disegna da una parte le principali invenzioni che hanno caratterizzato il secolo scorso e, per ciascuna di esse, aggiungi una breve descrizione, il nome del suo autore e la data in cui è stata inventata. Poi prova a immaginare nuove invenzioni che potrebbero realizzarsi nei prossimi 100 anni e disegnale dall'altra parte del cartellone con una breve descrizione e una data ipotetica. Aggiungi un tuo personale pensiero sul progresso tecnologico: cosa ne pensi? http://storiatecnologia.blogspot.com/2012/05/la-storia-delle-invenzioni.html === Diventa protagonista === ''E' il luogo ideale per proporre il compito di realtà, dove invitare i ragazzi a pensare, progettare e realizzare azioni e strumenti che possano migliorare l'ambiente che li circonda.'' === Verifica formativa === ''Quiz o proposte di uso di strumenti online'' [[Aiuto:Esercizi|Come realizzare test con autocorrezioni con wikibooks]]. Inserire i quiz in un modulo a parte. Vedi quelli esistenti nel sommario. === Guida del docente === ''Indicazioni per gestire l'attività in aula, risorse, etc..'' 49lklfo4qj29vtue1pjrxg4qgv0rv48 10 51612 499471 472984 2026-06-27T14:07:41Z Maupao70 20240 aggiunta voce di menu 499471 wikitext text/x-wiki {{Sommario V |titolo=La Digitale |larghezza=300px |contenuto= :'''{{modulo|La Digitale/Copertina}}''' # {{modulo|La Digitale/Strumento educativo digitale responsabile}} # {{modulo|La Digitale/Digiblur}} # {{modulo|La Digitale/Digiboard}} # {{modulo|La Digitale/Digibunch}} # {{modulo|La Digitale/Digibuzzer}} # {{modulo|La Digitale/Digicalc}} # {{modulo|La Digitale/Digicard}} # {{modulo|La Digitale/Digicode}} # {{modulo|La Digitale/Digicut}} # {{modulo|La Digitale/Digidesign}} # {{modulo|La Digitale/Digidoc}} # {{modulo|La Digitale/Digidrive}} # {{modulo|La Digitale/Digiface}} # {{modulo|La Digitale/Digiflashcards}} # {{modulo|La Digitale/Digilink}} # {{modulo|La Digitale/Digilock}} # {{modulo|La Digitale/Digimindmap}} # {{modulo|La Digitale/Digipad}} # {{modulo|La Digitale/Digipage}} # {{modulo|La Digitale/Digipdf}} # {{modulo|La Digitale/Digipen}} # {{modulo|La Digitale/Digiquiz}} # {{modulo|La Digitale/Digirecord}} # {{modulo|La Digitale/Digiread}} # {{modulo|La Digitale/Digiscreen}} # {{modulo|La Digitale/Digishare}} # {{modulo|La Digitale/Digislides}} # {{modulo|La Digitale/Digisteps}} # {{modulo|La Digitale/Digistorm}} # {{modulo|La Digitale/Digistrip}} # {{modulo|La Digitale/Digitools}} # {{modulo|La Digitale/Digitranscode}} # {{modulo|La Digitale/Digiview}} # {{modulo|La Digitale/Digiwords}} # {{modulo|La Digitale/Logimix}} # {{modulo|La Digitale/Logiquix}} # {{modulo|La Digitale/Mixap}} }}<includeonly>{{AutoCat}}</includeonly> <noinclude>[[Categoria:La Digitale| ]] [[categoria:Template sommario]]</noinclude> 8nybpe93pf2686565sweh1aodfj1bns 4 51801 499487 499288 2026-06-27T20:04:45Z Alexis Jazz 37143 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 499487 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. To get the data in CSV format, see wikitext. To customize this message or add categories, create [[/top]].}} I dati che seguono sono estratti da una copia ''cache'' del database, il cui ultimo aggiornamento risale al 2026-06-25T15:22:11Z. Un massimo di {{PLURAL:5000|un risultato è disponibile|5000 risultati è disponibile}} in cache. {| class="sortable wikitable" ! 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Pedia.pdf|''Wiki Is Not Only Pedia: an Overview on the Minor Projects'']], in ''[https://wikimedia.eventyay.com/talk/wikimania2025/talk/77PZYN/ Wikimania 2025]'', 07/08/2025, Nairobi. *Giacomo Alessandroni, [[c:File:Alessandroni Ada, Zangemann and me.pdf|''Ada, Zangemann and me: a brief love story'']], in ''FSFE Summer Meeting'', 29/06/2025, Berlino. *Giacomo Alessandroni, [[c:File:Alessandroni_2021_risorse_Wikimedia_apprendimento_tra_pari.pdf|''Non te lo dico, crittografia per ragazzi'']], in ''[https://moca.camp/speaker-talk/ Metro Olografix Camp]'', 15/09/2024, Teramo. *Giacomo Alessandroni, [[c:File:Alessandroni_2021_risorse_Wikimedia_apprendimento_tra_pari.pdf|''Le risorse Wikimedia per l'apprendimento tra pari'']], in ''Proceedings of the 8th Annual International Conference on Collaborative Knowledge Building Group'', pp. 61-63, 16/09/2021, Roma. *Giacomo Alessandroni, Cinzia Scardacchi, Annarita Rossi, [https://www.profiles.univpm.it/sites/www.profiles.univpm.it/files/profiles/newsletter/NL-IT-21.pdf ''6/19, Un'esperienza curricolare – verticale e territoriale – di peer education, in Urbino''], in ''Profiles, Buone Notizie dalle Scuole'', Marche Polytechnic University, pp. 22-26, febbraio 2020, vol. 2, Ancona. *Giacomo Alessandroni, [https://www.profiles.univpm.it/sites/www.profiles.univpm.it/files/profiles/newsletter/NL-IT-17.pdf ''Maestri di coding''], in ''Profiles, Buone Notizie dalle Scuole'', Marche Polytechnic University, pp. 2-3, dicembre 2017, vol. 17, Ancona. == Rassegna stampa == * ''[https://www.occhioallanotizia.it/seidiciannovesimi-quando-la-robotica-e-educativa/ Seidiciannovesimi: quando la robotica è educativa]'', FanoTV, 10 giugno 2026. * Ana Galan, ''[https://fsfe.org/news/nl/nl-202606.en.html From the stages: Ada, Digital Sovereignty, PIWO and more!]'', Free Software Foundation Europe Newsletter, 8 giugno 2026. * Simonetta Marfoglia, ''Gli studenti del Marconi spiegano ai più piccoli la “robotica educativa”'', Corriere Adriatico, p. 9, 3 giugno 2026. * Elio Giuliani, ''Notiziario locale'', Radio incontro, 29 maggio 2026. * Alfredo Pasquali, Morena Moretti, ''[https://www.radiocittafujiko.it/una-favola-tutta-no-copyright/ Una favola tutta no copyright]'', Radiocitta’fujiko, 21 gennaio 2026. * Alfredo Pasquali, Morena Moretti, ''[https://www.radiocittafujiko.it/laboratori-scolastici-per-capire-la-robotica/ Laboratori scolastici per capire la robotica]'', Radiocitta’fujiko, 19 novembre 2025. * Ana Galan, ''[https://fsfe.org/news/nl/nl-202506.it.html Refund4Freedom +++ Legal Corner +++ SFP, Citazione del mese]'', Free Software Foundation Europe Newsletter, 3 giugno 2025. * Elio Giuliani, ''Notiziario locale'', Radio incontro (min. 2' 07<nowiki>''</nowiki>), 30 maggio 2025. * ''Steam, studenti del liceo tutor dei piccoli alunni'', Corriere Adriatico, p. 8, 29 maggio 2025. * Simona Cannataro, [https://www.wikimedia.it/news/seidiciannovesimi-a-pesaro-i-ragazzi-insegnano-le-steam/ ''Seidiciannovesimi: a Pesaro i ragazzi insegnano le STEAM''], Wikimedia Italia, 27 maggio 2025. * Ana Galan, ''[https://fsfe.org/news/nl/nl-202505.it.html DMA +++ LLW 2025 +++ PMPC +++SFP From our Italian community 🇮🇹]'', Free Software Foundation Europe Newsletter, 6 maggio 2025. * Ana Galan, ''[https://fsfe.org/news/nl/nl-202504.en.html Thank you +++ DMA ++ SFP +++ Ada: From our Italian community!]'', Free Software Foundation Europe Newsletter, primo aprile 2025. * ''[https://www.viverepesaro.it/2024/04/11/geni-della-robotica-al-marconi-premiati-i-giovani-innovatori-nel-concorso-storie-di-alternanza-e-competenze/256186 Geni della robotica al Marconi: premiati i giovani innovatori nel concorso "Storie di alternanza e competenze"]'', Vivere Pesaro, 10 aprile 2024. * Alessio Zaffini, ''[https://www.ilrestodelcarlino.it/pesaro/cronaca/i-liceali-spiegano-la-robotica-agli-alunni-di-elementari-e-medie-48d2a687 I liceali spiegano la robotica agli alunni di elementari e medie]'', il Resto del Carlino, primo aprile 2024. *Premio regionale "Storie di alternanza e competenze 2023, VI edizione" ** Francesca Mazzetti, ''[https://www.youtube.com/watch?v=Ar5PqkubNV4&t=796s Premiazione della IV edizione del progetto "Storie di alternanza e competenze", Camera di commercio delle Marche]'' (min. 13<nowiki>' 20''</nowiki>), Rossini TV, 20 febbraio 2024. **Andrea Ferretti, [https://www.cronachepicene.it/2024/02/15/camera-marche-la-premiazione-di-storie-di-alternanza-e-competenze/446795/ ''Camera Marche, la premiazione di ”Storie di alternanza e competenze”''], Cronache Picene, 16 febbraio 2024. **Raimondo Montesi, [https://www.ilrestodelcarlino.it/ancona/cronaca/scuola-lavoro-le-storie-siamo-noi-in-vetrina-i-progetti-degli-studenti-00dffe2f ''"Scuola-lavoro, le storie siamo noi". In vetrina i progetti degli studenti''], il Resto del Carlino, p. 20, 16 febbraio 2024. **Lorenzo Sconocchini, [https://www.corriereadriatico.it/marche/scottarella_gemme_robot_studenti_scuola_aziende_camera_commercio_ultime_notizie-7937676.html ''Scottarella, gemme e robot: studenti tra scuola e aziende. La Camera di commercio premia i progetti raccontati nei video''], Corriere Adriatico, p. 4, 16 febbraio 2024. **Manuelita Scocco, [https://www.youtube.com/watch?v=m13GdeCEx-U&t=820s ''Concorso della Camera di commercio: "L'alternanza si racconta"''] (min. 13<nowiki>' 40''</nowiki>), TVRS, 16 febbraio 2024. **Giovanni Pasimeni, [https://www.youtube.com/watch?v=JGdoiSqtdbs Storie di Alternanza: premiati ad Ancona scuole e studenti], TG3 Marche, 16 febbraio 2024. **Teodora Stefanelli, [https://veratv.it/tg/id-1275/ancona---tornano-le-storie-di-alternanza--la-premiazione-di-camera-marche-per-gli-studenti ''Ancona - Tornano le "storie di alternanza": la premiazione di Camera Marche per gli studenti''], Vera TV, 15 febbraio 2024. **Chiara Poli, [https://www.picenooggi.it/2024/02/15/100324/camera-di-commercio-delle-marche-storie-di-alternanza-e-competenze-le-premiazioni-ad-ancona/ ''Camera di commercio delle Marche: Storie di alternanza e competenze, le premiazioni ad Ancona''], Piceno oggi, 15 febbraio 2024. **Agenzia ANSA, [https://www.ansa.it/sito/notizie/economia/unioncamere/2024/02/15/camera-marche-premia-studenti-per-storie-alternanza-e-competenze_f7fca2d1-a418-4148-b579-200d32865ba2.html ''Camera Marche premia studenti per Storie Alternanza e competenze''], ANSA, 15 febbraio 2024. **[https://www.centropagina.it/ancona/scuola-lavoro-ad-ancona-storie-alternanza-ecco-tutti-premiati/ ''Scuola-lavoro: ad Ancona i video degli studenti per “Storie di alternanza”: ecco tutti i premiati''], CentroPagina, 15 febbraio 2024. **[https://etvmarche.it/15/02/2024/le-storie-siamo-noi-esperienza-di-alternanza-scuola-lavoro-video/ ''“Le storie siamo noi”, esperienza di alternanza scuola lavoro''], ETV, Marche, 15 febbraio 2024. *Chiara De Marchi, ''[https://www.instagram.com/reel/CyxwA8cNB81/ Cosa abbiamo trovato al Maker Faire Rome?]'', Generazione STEM (min. 0<nowiki>', 48''</nowiki>), 24 ottobre, 2023. *Simone Aluigi, Diego Del Bianco, Riccardo Troiani, [https://www.ilrestodelcarlino.it/pesaro/cronaca/un-bicchiere-un-cucchiaio-occhi-mobili-e-motorino-cosi-abbiamo-costruito-il-nostro-robottino-9a44a81e ''Un bicchiere, un cucchiaio, occhi mobili e motorino Così abbiamo costruito il nostro robottino''], il Resto del Carlino, 13 aprile, 2023. *''[https://www.youtube.com/embed/MSCx4L24QrY Progetto "sei diciannovesimi" del Liceo Scientifico "Guglielmo Marconi" – la robotica è educativa]'', Tele 2000, 31 marzo 2023. *''[https://www.youtube.com/embed/fVegEkC3JTg?start=1177 Robotica: gli alunni del Marconi diventano divulgatori scientifici]'', Fano TV (min. 19', 37<nowiki>''</nowiki>), 31 marzo 2023. *''[https://drive.google.com/file/d/14_oe30d9zixsmYvxaCJRvXDeP3NdHdw8/view Seidiciannovesimi: il progetto che trasforma gli alunni del Marconi in divulgatori scientifici]'', Radio Incontro (min. 3' 10<nowiki>''</nowiki>), 30 marzo 2023. *''[https://www.viverepesaro.it/2023/03/22/gli-studenti-del-liceo-marconi-divulgatori-scientifici-insegnano-robotica-educativa-agli-alunni-delle-scuole-primarie-e-secondarie/52376/ Gli studenti del Liceo Marconi divulgatori scientifici, insegnano robotica educativa agli alunni delle scuole primarie e secondarie]'', Vivere Pesaro, 21 marzo 2023. * ''[https://www.nonsoloflaminia.it/index.php/2022/06/02/la-primavera-dellitis-mattei-di-urbino-tra-robotica-e-poesia/ La primavera dell’Itis “Mattei” di Urbino tra robotica e poesia]'', Non Solo Flaminia, 2 Giugno 2022. * ''[https://www.nonsoloflaminia.it/index.php/2021/09/15/conoscenza-collaborativa-itis-mattei-di-urbino-in-cattedra-alluniversita-la-sapienza-di-roma/ Conoscenza collaborativa: Itis “Mattei” di Urbino in cattedra all’Università La Sapienza di Roma]'', Non Solo Flaminia, 15 Settembre 2021. * Eugenio Gulini, ''[https://www.itisurbino.edu.it/pagine/corriere-adriatico-15092021 Itis Mattei vincitore del concorso Wikimedia]'', Corriere Adriatico, 15 settembre 2021. * ''[https://www.radioincontro.com/litis-mattei-di-urbino-vince-il-bando-wiki-imparare.html L’Itis “Mattei” di Urbino vince il bando Wiki-Imparare]'', Radio Incontro, 14 settembre 2021. * ''[http://www.ilducato.it/2021/09/14/urbino-itis-mattei-vincitore-del-concorso-wikimedia-italia/ Urbino: Itis “Mattei” vincitore del concorso Wikimedia Italia]'', Il Ducato, 14 settembre 2021. * Paolo Casagrande, ''[https://www.wikimedia.it/news/imparare-sui-progetti-wikimedia-i-primi-risultati/ Imparare sui progetti Wikimedia: i primi risultati]'', Wikimedia Italia, 3 agosto 2021. *Alice Possidente, ''[http://www.ilducato.it/2019/05/14/spiegare-il-coding-alle-elementari-gli-alunni-dellitis-mattei-in-cattedra/ Spiegare il coding alle elementari. Gli alunni dell’Itis Mattei in cattedra]'', Il Ducato, 14 maggio 2019. *Lara Ottaviani, ''[https://www.youtube.com/embed/BEzMiu9-JS8 Maestri di coding]'', Tele 2000, 8 maggio 2019. *Lara Ottaviani, ''Alunni diventano prof per insegnare il coding'', il Resto del Carlino, 7 maggio 2019, p. 18. *Eugenio Gulini, ''[https://drive.google.com/file/d/1E7r3VJ4pStRHbb-4GyodqPndybAgO_dt/view Saperi tecnologici, gli studenti insegnano ai bimbi]'', Corriere Adriatico, 6 maggio 2019, p. 9. *Dante Leopardi, ''[https://www.facebook.com/Ondaliberatv/posts/pfbid02nR8LTMUWkkj5jVomamSVVmahoz4yQruzby5GR7CBvV8HBqMjmzonMGwB6Suzr2T7l Maestri di coding: dai banchi alle cattedre]'', Ondalibera TV, 29 aprile 2019. *Dante Leopardi, ''[https://www.facebook.com/Ondaliberatv/videos/1285715058236848 Maestri di coding: laboratori da gust@re sul pensiero computazionale con gli studenti dell’ITIS “E. Mattei”, Urbino]'', Ondalibera TV, 29 aprile 2019. [[Categoria:Robotica unplugged|Bibliografia]] {{Avanzamento|100%|7 agosto 2023}} i41etavxzilzb45ad3vetfhjzeu0azo 0 59256 499482 498571 2026-06-27T17:34:17Z ~2026-37108-09 54523 /* Assegna il nome IUPAC alle seguenti molecole */ 499482 wikitext text/x-wiki {{Avanzamento|0%|8 febbraio 2026}} == Esercizi sulla nomenclatura degli alchini == === Assegna il nome IUPAC alle seguenti molecole === ==== Esercizio 1 ==== [[File:5-cloro-4,4-dimetilpent-2-ino.png|centro|senza_cornice]] ==== Esercizio 2 ==== [[File:2-bromo-3,7-dimetilnon-4-ino.png|centro|senza_cornice|272x272px]] ==== Esercizio 3 ==== [[File:3,8-dimetil-7-propilundec-5-ino.png|centro|senza_cornice]] ==== Esercizio 4 ==== [[File:1-epten-6-ino.png|centro|senza_cornice|266x266px]] ==== Esercizio 5 ==== [[File:2-bromo-3-etil-4-metil-1-epten-6-ino.png|centro|senza_cornice|275x275px]] ==== Esercizio 6 ==== [[File:2-bromo-4,5-dimetil-2-epten-6-ino.png|centro|senza_cornice|279x279px]] ==== Esercizio 7 ==== [[File:4-etil-2-eptino.png|centro|senza_cornice]] ==== Esercizio 8 ==== [[File:Ciclodecino.png|centro|senza_cornice]] ==== Esercizio 9 ==== [[File:3,6-dietil-4-ottino.png|centro|senza_cornice|274x274px]] ==== Esercizio 10 ==== [[File:3-metilbutino.png|centro|senza_cornice]] === Disegna la struttura delle seguenti molecole === '''11.''' 7-decen-2-ino '''12.''' 1-butino '''13.''' esen-3-ino '''14.''' 3-ottino '''15.''' 3-metil-1-esino '''16.''' ''(trans)'' 3-epten-1-ino '''17.''' 3-metil-1-butino '''18.''' 4,4-dimetil-2-pentino '''19.''' 4-metil-2-pentino '''20.''' 1-etinil-2-metilciclopentano. == Soluzioni agli esercizi == === Assegna il nome IUPAC alle seguenti molecole === ==== Esercizio 1 ==== 5-cloro-4,4-dimetilpent-2-ino ==== Esercizio 2 ==== 2-bromo-3,7-dimetilnon-4-ino ==== Esercizio 3 ==== 3,8-dimetil-7-propilundec-5-ino ==== Esercizio 4 ==== ept-1-en-6-ino ==== Esercizio 5 ==== 2-bromo-3-etil-4-metilept-1-en-6-ino ==== Esercizio 6 ==== 2-bromo-4,5-dimetilept-2-en-6-ino ==== Esercizio 7 ==== 4-etil-2-eptino ==== Esercizio 8 ==== ciclodecino ==== Esercizio 9 ==== 3,6-dietil-4-ottino ==== Esercizio 10 ==== 3-metilbutino === Disegna la struttura delle seguenti molecole === ==== Esercizio 11 ==== [[File:7-decen-2-ino.png|centro|senza_cornice|314x314px]] ==== Esercizio 12 ==== [[File:1-butino.png|centro|senza_cornice|224x224px]] ==== Esercizio 13 ==== [[File:Esen-3-ino.png|centro|senza_cornice]] ==== Esercizio 14 ==== [[File:3-ottino.png|centro|senza_cornice]] ==== Esercizio 15 ==== [[File:3-metil-1-esino.png|centro|senza_cornice]] ==== Esercizio 16 ==== [[File:(Trans) 3-epten-1-ino.png|centro|senza_cornice]] ==== Esercizio 17 ==== [[File:3-metil-1-butino.png|centro|senza_cornice]] ==== Esercizio 18 ==== [[File:4,4-dimetil-2-pentino.png|centro|senza_cornice|308x308px]] ==== Esercizio 19 ==== [[File:4-metil-2-pentino.png|centro|senza_cornice|273x273px]] ==== Esercizio 20 ==== [[File:1-etinil-2-metilciclopentano.png|centro|senza_cornice]] == Esercizi sulle reazioni di alogenazione e idroalogenazione degli alchini == ==== Esercizio 21 ==== Indica il prodotto della seguente reazione [[File:Esercizio alchini.png|centro|senza_cornice|308x308px]] ==== Esercizio 22 ==== Quale dei seguenti composti si forma dalla reazione del pent-1-ino con un eccesso di Cl2? * a) 1,2-dicloropentano * b) 1,1,2,2-tetracloropentano * c) 2,2,3,3-tetracloropentano * d) 1,2,2,3-tetracloropentano '''Esercizio 23''' Completa le seguenti reazioni e scrivi i nomi IUPAC dei due prodotti ottenuti: [[File:ESERCIZI ALOGENAZIONE.png|centro|senza_cornice|338x338px]] ==== Esercizio 24 ==== Qual è il prodotto principale della reazione tra il 2-butino e un equivalente molare di HCl? * a) 2,2-diclorobutano * b) (''Z'')-2-clorobut-2-ene * c) (''E'')-2-clorobut-2-ene * d) 1-clorobut-2-ene ==== Esercizio 25 ==== Qual è il prodotto finale della reazione di un alchino terminale, come il propino, con un eccesso di bromo ''Br''2? * a) 2,2-dibromopropano * b) 1,1-dibromopropano * c) 1,2-dibromopropene * d) 1,1,2,2-tetrabromopropano ==== Esercizio 26 ==== Se fai reagire il propino (''CH''3​−''C''≡''CH'') con due equivalenti molari di bromo (''Br''2​), quanti legami pi-greco (''π'') dell'alchino vengono consumati in totale? Scrivi la formula di struttura del prodotto finale stazionario che si ottiene al termine del processo. ==== Esercizio 27 ==== Un chimico scrive la seguente equazione sul quaderno di laboratorio: [[File:ESERCIZI ALOGENAZIONE-2.png|centro|senza_cornice|658x658px]] Analizza l'equazione, individua i due errori commessi (uno riguarda il tipo di legame carbonio-carbonio e uno la stereochimica degli alogeni) e riscrivi la reazione corretta. ==== Esercizio 28 ==== Completa la seguente reazione indicando la geometria (''E'' oppure ''Z'') del prodotto: ''CH''3​−''C''≡''C''−''CH''3​+1 ''Br''2​→ ? ==== Esercizio 29 ==== Disegna la struttura e indica il nome IUPAC del prodotto formato in ciascuna delle reazioni elencate di seguito: [[File:ESERCIZI ALOGENAZIONE-4.2.png|centro|senza_cornice|299x299px]] ==== Esercizio 30 ==== Spiega (brevemente): cosa succede al legame π durante l’addizione di Br₂? ==== Esercizio 31 ==== L’idroalogenazione produce sempre un solo prodotto possibile. * vero * falso ==== Esercizio 32 ==== L’idrogeno si lega sempre al carbonio più ricco di idrogeni. * vero * falso ==== Esercizio 33 ==== Completa la reazione: ''HC''≡''CH''+''Br''2​→ ==== Esercizio 34 ==== Completa la seguente reazione indicando il prodotto principale: ''HC''≡''CH''+''HCl''→ Indica anche: * il tipo di prodotto ottenuto * se il triplo legame rimane o scompare ==== Esercizio 35 ==== Disegna la struttura e indica il nome IUPAC del prodotto formato in ciascuna delle reazioni elencate di seguito: [[File:ESERCIZI IDROALOGENAZIONE-2.png|centro|senza_cornice|358x358px]] ==== Esercizio 36 ==== Scrivi il nome IUPAC del prodotto principale ottenuto dalla reazione del 1-butino con 2 equivalenti HCl. Mostra i passaggi intermedi. ==== Esercizio 37 ==== Applica la regola di Markovnikov e completa la reazione tra propino e un equivalente di acido bromidrico: CH3​–C≡CH+1 HBr→… ==== Esercizio 38 ==== Scrivi il prodotto principale della seguente reazione secondo la regola di Markovnikov. ''CH''3​−''CH''2​−''C''≡''CH''+''HCl''→ ? ==== Esercizio 39 ==== Scrivi il prodotto finale dell’addizione di 2 moli di HBr al propino. CH₃–C≡CH + 2 HBr → ? Spiega quale regola si applica. ==== Esercizio 40 ==== Disegna la struttura e indica il nome IUPAC del prodotto formato in ciascuna delle reazioni elencate di seguito: [[File:ESERCIZI IDROALOGENAZIONE-3.png|centro|senza_cornice|327x327px]] == Soluzioni reazioni di alogenazione e idroalogenazione == ==== Esercizio 21 ==== '''d)''' (1,1,2,2-tetrabromopropano) ==== Esercizio 22 ==== '''b) 1,1,2,2-tetracloropentano''' ==== Esercizio 23 ==== '''''a)''' CH''3−''C''≡''C''−''CH''3+1''Cl''2→ '''(E)-2,3-diclorobut-2-ene''' '''b)''' ''CH''3−''CH''2−''C''≡''CH''+2''Br''2→ '''1,1,2,2-tetrabromobutano''' ==== Esercizio 24 ==== '''b) (Z)-2-clorobut-2-ene''' ==== Esercizio 25 ==== '''d) 1,1,2,2-tetrabromopropano''' ==== Esercizio 26 ==== * Nella reazione vengono consumati in totale 2 legami pi-greco (π). * Formula di struttura del prodotto finale (1,1,2,2-tetrabromopropano): ''CHBr''2−''CBr''2−''CH''3 ==== Esercizio 27 ==== * '''Errori identificati nel meccanismo grafico proposto:''' *# ''Errore di legame:'' Il prodotto presenta un legame singolo C-C (CHBr-CHBr), ma l'aggiunta di solo 1 equivalente di Br2 deve consumare un solo legame π, lasciando un '''doppio legame''' ($=C). *# ''Errore di stereochimica:'' L'alogenazione di un alchino con 1 equivalente avviene tramite ''anti''-addizione. I due atomi di bromo devono trovarsi in posizione '''trans (E)''' l'uno rispetto all'altro. * '''Equazione corretta:''' ''CH''3−''C''≡''C''−''CH''3+1''Br''2→(E)-2,3-dibromobut-2-ene ==== Esercizio 28 ==== * '''Prodotto:''' ''(E)''-2,3-dibromobut-2-ene * L'addizione di ''Br''2​ è di tipo '''anti''' (i due atomi di bromo si attaccano da lati opposti). Per questo motivo, nel prodotto finale i due atomi di bromo si trovano in posizione ''trans'' (isomero '''''E'''''). ==== Esercizio 29 ==== [[File:ESERCIZI ALOGENAZIONE-11.png|centro|senza_cornice|478x478px]] ==== '''Esercizio 30''' ==== * Durante l'addizione di Br2, gli elettroni del legame π dell'alchino attaccano la molecola di bromo, provocando l'espulsione di unost ione bromuro e la formazione di un intermedio ciclico a tre termini altamente instabile denominato '''ione bromonio ciclico'''. ==== Esercizio 31 ==== * '''Risposta:''' '''Falso''' ==== Esercizio 32 ==== * '''Risposta:''' '''Vero''' ==== Esercizio 33 ==== * Equazione: ''HC''≡''CH''+1''Br''2→ '''(E)-1,2-dibromoetene''' ==== Esercizio 34 ==== * Reazione: ''HC''≡''CH''+''HCl'''''→'''CH2=CH−Cl * Il tipo di prodotto ottenuto è un aloalchene (o alogenuro vinilico). Il triplo legame iniziale scompare per diventare un doppio legame. ==== Esercizio 35 ==== [[File:ESERCIZI ALOGENAZIONE-9.png|centro|senza_cornice|487x487px]] ==== Esercizio 36 ==== * '''Nome IUPAC finale:''' 2,2-diclorobutano * '''Passaggi della reazione:''' *# ''CH''3−''CH''2−''C''≡''CH''+1''HCl''→''CH''3−''Cl''2−''CCl''=''CH''2 (2-clorobut-1-ene) *# ''CH''3−''CH''2−''CCl''=''CH''2+1''HCl''→''CH''3−''CH''2−''CCl''2−''CH''3 (2,2-diclorobutano) ==== Esercizio 37 ==== * Equazione completa: ''CH''3−''C''≡''CH''+1''HBr''→'''CH3'''−'''CBr'''='''CH2''' * '''Nome IUPAC:''' 2-bromopropene ==== Esercizio 38 ==== * Prodotto principale: '''2-clorobut-1-ene''' * Equazione completa: ''CH''3−''CH''2−''C''≡''CH''+''HCl''→'''CH3'''−'''CH2'''−'''CCl'''='''CH2''' ==== Esercizio 39 ==== * Prodotto finale: '''2,2-dibromopropano''' (''CH''3−''CBr''2−''CH''3) * '''Regola applicata:''' Si applica la '''regola di Markovnikov'''. In entrambe le addizioni successive, l'idrogeno si lega al carbonio terminale (meno sostituito, C-1) per permettere la formazione del carbocatione intermedio più stabile sul carbonio interno (C-2), stabilizzato anche per risonanza dall'alogeno nella seconda fase. ==== Esercizio 40 ==== [[File:ESERCIZI ALOGENAZIONE-10.png|centro|senza_cornice|392x392px]] == Esercizi sull'idratazione degli alchini == ==== Esercizio 1 ==== Completa le seguenti equazioni di reazione scrivendo il prodotto organico ottenuto: : a) CH≡CH + H₂O → (H₂SO₄/HgSO₄) → : b) CH₃–C≡CH + H₂O → (H₂SO₄/HgSO₄) → : c) CH₃–C≡C–CH₃ + H₂O → (H₂SO₄/HgSO₄) → : d) CH₃CH₂–C≡CH + H₂O → (H₂SO₄/HgSO₄) → ==== Esercizio 2 ==== [[File:1-pentino, Esercizio 2 Idratazione.png|centro|137x137px]] Scrivi il nome IUPAC del prodotto che si ottiene dall’idratazione acida dell’alchino rappresentato. ==== Esercizio 3 ==== Spiega perché l’idratazione dell’acetilene (CH≡CH) produce acetaldeide e non un chetone, mentre l’idratazione del propino (CH₃–C≡CH) produce un chetone. ==== Esercizio 4 ==== Dall’idratazione acida del propino, l’atomo di ossigeno si lega al carbonio interno (C-2) o al carbonio terminale (C-1)? Rispondi applicando in modo diretto la regola di Markovnikov. ==== Esercizio 5 ==== Durante la reazione di idratazione del propino, prima di ottenere il chetone finale, si forma un intermedio instabile che contiene contemporaneamente un doppio legame (C=C) e un gruppo ossidrile (–OH). Come si chiama questa specifica classe di composti? Scrivi la sua formula di struttura. ==== Esercizio 6 ==== Spiega che cos’è la tautomeria cheto-enolica e perché è indispensabile per comprendere il prodotto finale dell’idratazione degli alchini. ==== Esercizio 7 ==== [[File:2-pentanone, Esercizio 7 Chimica organica.png|centro|216x216px]] Risali all’alchino o agli alchini di partenza che potrebbero dare il composto carbonilico rappresentato per idratazione acida (H₂SO₄/HgSO₄, H₂O). Indica le condizioni di reazione. ==== Esercizio 8 ==== Nella seguente equazione è stato commesso un errore. Individua l’errore, spiega perché è sbagliato e scrivi l’equazione corretta: : CH₃–C≡CH + H₂O → (H₂SO₄/HgSO₄) → CH₃–CH₂–CHO ==== Esercizio 9 ==== Per far avvenire l’idratazione di un alchino non basta usare l’acqua, ma è necessario aggiungere l’acido solforico (H₂SO₄) e il solfato mercurico (HgSO₄). Spiega brevemente qual è la funzione chimica di queste due sostanze all’interno della reazione. ==== Esercizio 10 ==== [[File:3-esino, Esercizio 10 Chimica organica.png|centro|175x175px]] Spiega perché dall’idratazione acida dell’alchino rappresentato si ottiene un unico prodotto, e scrivi la sua formula di struttura. ==== Esercizio 11 ==== Uno studente afferma: «Dall’idratazione di qualsiasi alchino si ottiene sempre e solo un chetone». Sei d’accordo? Argomenta la risposta portando almeno due esempi a supporto della tua posizione. ==== Esercizio 12 ==== Indica, per ciascuno dei seguenti alchini, se il prodotto di idratazione acida è un’aldeide o un chetone, e motiva la risposta in base alla struttura dell’alchino: : a) 1-butino : b) 2-butino : c) 1-pentino : d) 2-pentino ==== Esercizio 13 ==== Spiega perché la forma enolica che si forma come intermedio nell’idratazione degli alchini è termodinamicamente meno stabile della corrispondente forma chetonica. ==== Esercizio 14 ==== [[File:Prop-1-en-2-olo.png|centro|135x135px]] Identifica la specie chimica rappresentata nell’immagine e descrivi il ruolo che svolge nel meccanismo di idratazione dell’alchino. ==== Esercizio 15 ==== Un chimico vuole sintetizzare il butanone (CH₃–CO–CH₂–CH₃) a partire da un alchino. Quale alchino deve scegliere come reagente di partenza? Descrivi le condizioni di reazione necessarie. ==== Esercizio 16 ==== Spiega, con riferimento alla regola di Markovnikov, perché nell’idratazione di un alchino terminale il gruppo ossidrile (–OH) si lega preferenzialmente al carbonio interno del triplo legame e non a quello terminale. ==== Esercizio 17 ==== Nella seguente equazione è stato commesso un errore. Individua l’errore, spiega perché è sbagliato e scrivi l’equazione corretta: : CH₃–C≡C–CH₃ + H₂O → (H₂SO₄/HgSO₄) → CH₃–CH(OH)–CH=CH₂ ==== Esercizio 18 ==== [[File:1-butyne, 2-butyne.png|centro|253x253px]] Confronta i prodotti di idratazione acida dei due alchini rappresentati. Spiega le analogie e le differenze nei prodotti ottenuti. ==== Esercizio 19 ==== Prevedi quanti prodotti di idratazione acida distinti si possono ottenere da ciascuno dei seguenti alchini, e scrivi le loro formule di struttura: : a) 2-butino : b) 2-pentino : c) 3-esino : d) 4-ottino ==== Esercizio 20 ==== Quando si esegue l’idratazione acida di un qualsiasi alchino terminale (con più di due atomi di carbonio), il gruppo carbonilico (C=O) del chetone finale si forma sempre sul carbonio interno in posizione 2 della catena e mai sul carbonio terminale in posizione 1. Spiega il motivo di questa selettività. ====== Esercizio 21 ====== Disegna la struttura del prodotto principale che si forma quando il '''1-esino''' viene trattato con H₂O / H₂SO₄ in presenza di HgSO₄. [[File:1-esino.png|centro|senza_cornice|181x181px]] === Soluzioni === ==== Esercizio 1 ==== * a) <chem>CH#CH + H2O ->[H2SO4/HgSO4] CH3-CHO</chem> ''(acetaldeide o etanale)'' * b) <chem>CH3-C#CH + H2O ->[H2SO4/HgSO4] CH3-CO-CH3</chem> ''(acetone o propanone)'' * c) <chem>CH3-C#C-CH3 + H2O ->[H2SO4/HgSO4] CH3-CO-CH2-CH3</chem> ''(butanone)'' * d) <chem>CH3CH2-C#CH + H2O ->[H2SO4/HgSO4] CH3-CH2-CO-CH3</chem> ''(butanone)'' ==== Esercizio 2 ==== Il nome IUPAC del prodotto ottenuto dall'idratazione del 1-pentino è pentan-2-one. L'idratazione acida segue la regola di Markovnikov: l'ossigeno si lega al carbonio interno C-2, generando un metilchetone. ==== Esercizio 3 ==== L'acetilene (etino) possiede solo due atomi di carbonio (<chem>CH#CH</chem>). Quando l'acqua si addiziona al triplo legame, l'intermedio enolico che si forma è l'etanolo (<chem>CH2=CH-OH</chem>). La successiva tautomeria sposta l'idrogeno su un carbonio e l'ossigeno sull'altro, portando necessariamente a un gruppo carbonilico terminale (<chem>-CHO</chem>), cioè all'acetaldeide (un'aldeide). Nel propino (<chem>CH3-C#CH</chem>), il triplo legame coinvolge un carbonio terminale e uno interno; la regola di Markovnikov impone che l'ossigeno si leghi al carbonio interno (C-2), generando un gruppo carbonilico affiancato da due atomi di carbonio (<chem>C-CO-C</chem>), che definisce la struttura di un chetone (il propanone). ==== Esercizio 4 ==== L'atomo di ossigeno si lega al carbonio interno (C-2). Secondo la regola di Markovnikov, in una reazione di addizione elettrofila l'idrogeno dell'acqua si addiziona al carbonio del triplo legame che lega già il maggior numero di idrogeni (il carbonio terminale C-1, che ne ha uno), mentre il gruppo ossidrile <chem>-OH</chem> (e di conseguenza l'atomo di ossigeno finale) si lega al carbonio più sostituito (il carbonio interno C-2, che non ha idrogeni). ==== Esercizio 5 ==== Questa specifica classe di composti prende il nome di enolo (dall'unione di ''-en'' per il doppio legame e ''-olo'' per il gruppo alcolico). La formula di struttura dell'intermedio enolico del propino è il prop-1-en-2-olo: :<chem>CH2=C(OH)-CH3</chem> ==== Esercizio 6 ==== La tautomeria cheto-enolica è una forma particolare di isomeria di struttura (nello specifico, una tautomeria) in cui un enolo e un chetone (o aldeide) si interconvertono rapidamente l'uno nell'altro mediante lo spostamento di un atomo di idrogeno (un protone) e di un doppio legame. È indispensabile per comprendere il prodotto finale perché l'idratazione diretta del triplo legame produce inizialmente un enolo, il quale è un composto altamente instabile. Senza la tautomeria, che riarrangia la molecola nella sua forma carbonilica stabile (<chem>C=O</chem>), non si potrebbe spiegare perché il prodotto isolato al termine della reazione sia un chetone o un'aldeide e non un alcol insaturo. ==== Esercizio 7 ==== Gli alchini di partenza che possono dare il pentan-2-one (<chem>CH3-CO-CH2-CH2-CH3</chem>) sono due: # 1-pentino (<chem>CH3-CH2-CH2-C#CH</chem>) - per addizione secondo Markovnikov sul C-2. # 2-pentino (<chem>CH3-CH2-C#C-CH3</chem>) - alchino asimmetrico che per idratazione fornisce una miscela di pentan-2-one e pentan-3-one. * Condizioni di reazione: Acqua (<chem>H2O</chem>), in presenza di acido solforico (<chem>H2SO4</chem>) come catalizzatore acido e solfato mercurico (<chem>HgSO4</chem>) come co-catalizzatore. ==== Esercizio 8 ==== * L'errore: Il prodotto scritto nell'equazione è un'aldeide (il propanale, <chem>CH3-CH2-CHO</chem>). * Perché è sbagliato: L'idratazione del propino è una reazione regioselettiva che segue la regola di Markovnikov. L'ossigeno deve legarsi al carbonio interno (C-2) e non a quello terminale (C-1). Di conseguenza, si deve ottenere un chetone (l'acetone) e non un'aldeide. * Equazione corretta: :<chem>CH3-C#CH + H2O ->[H2SO4/HgSO4] CH3-CO-CH3</chem> ==== Esercizio 9 ==== * Acido solforico (<chem>H2SO4</chem>): Fornisce gli ioni idrogeno (<chem>H+</chem>) necessari per iniziare l'addizione elettrofila, fungendo da catalizzatore acido. * Solfato mercurico (<chem>HgSO4</chem>): Lo ione mercurico (<chem>Hg^2+</chem>) agisce come un potente catalizzatore coordinandosi con gli elettroni <chem>\pi</chem> del triplo legame dell'alchino. Questo rende il triplo legame molto più elettrofilo e suscettibile all'attacco nucleofilo da parte dell'acqua, velocizzando una reazione che altrimenti sarebbe estremamente lenta (poiché i carbocationi vinilici intermedi sono molto instabili). ==== Esercizio 10 ==== Si ottiene un unico prodotto perché il 3-esino è un alchino interno perfettamente simmetrico. Entrambi i carboni del triplo legame (C-3 e C-4) hanno lo stesso grado di sostituzione e sono chimicamente equivalenti. Che l'ossigeno si leghi al C-3 o al C-4, la molecola risultante, numerata secondo le regole IUPAC a partire dall'estremità più vicina al gruppo carbonilico, è sempre la stessa. * Formula di struttura del prodotto (esan-3-one): :<chem>CH3-CH2-CO-CH2-CH2-CH3</chem> ==== Esercizio 11 ==== No, non si è d'accordo. L'affermazione dello studente è errata poiché esiste un'eccezione fondamentale nella reazione di idratazione acida, oltre alla possibilità di usare reazioni diverse per gli alchini terminali. * Esempio 1 (Idratazione acida dell'acetilene): L'idratazione in condizioni acide dell'acetilene (<chem>CH#CH</chem>) produce l'acetaldeide (un'aldeide) e non un chetone, poiché la molecola ha solo due atomi di carbonio. * Esempio 2 (Idroborazione-ossidazione): Se si cambia la metodica di idratazione utilizzando l'idroborazione-ossidazione (condizioni anti-Markovnikov) su un qualsiasi alchino terminale, come il propino, si ottiene sistematicamente un'aldeide (in questo caso, il propanale). ==== Esercizio 12 ==== * a) 1-butino: Chetone (butanone). È un alchino terminale; secondo la regola di Markovnikov l'ossigeno si lega al C-2 interno. * b) 2-butino: Chetone (butanone). È un alchino interno simmetrico; l'attacco su uno dei due carboni interni genera il gruppo carbonilico in mezzo alla catena. * c) 1-pentino: Chetone (pentan-2-one). È un alchino terminale; l'ossigeno si posiziona sul carbonio interno più sostituito (C-2). * d) 2-pentino: Chetone (miscela di pentan-2-one e pentan-3-one). È un alchino interno; l'ossigeno si lega a uno dei due carboni interni del triplo legame, generando in ogni caso strutture chetoniche. ==== Esercizio 13 ==== La forma chetonica è termodinamicamente favorita ed è nettamente più stabile rispetto alla forma enolica principalmente a causa delle energie dei legami coinvolti. Il legame doppio carbonio-ossigeno (<chem>C=O</chem>) del chetone è un legame estremamente forte e stabile, la cui energia di legame è nettamente superiore rispetto alla combinazione di un doppio legame carbonio-carbonio (<chem>C=C</chem>) e un legame singolo carbonio-ossigeno (<chem>C-O</chem>) presenti nell'enolo. Il sistema evolve spontaneamente verso la configurazione a minore contenuto energetico. ==== Esercizio 14 ==== * Se l'immagine mostra un carbocatione vinilico (<chem>R-C^+=CH2</chem>): Si tratta dell'intermedio elettrofilo altamente instabile che si forma nella prima tappa dopo l'attacco del protone <chem>H+</chem>. Il suo ruolo è quello di subire l'attacco nucleofilo da parte dell'acqua per formare il legame carbonio-ossigeno. * Se l'immagine mostra un enolo (<chem>R-C(OH)=CH2</chem>): Si tratta dell'intermedio neutro. Svolge il ruolo di precursore diretto del prodotto finale: attraverso la tautomeria cheto-enolica si converte nel rispettivo isomero carbonilico stabile. ==== Esercizio 15 ==== * Alchino di partenza: Il chimico può scegliere indifferentemente il 1-butino (<chem>CH3-CH2-C#CH</chem>) oppure il 2-butino (<chem>CH3-C#C-CH3</chem>). In entrambi i casi, l'idratazione acida guiderà la formazione del gruppo <chem>C=O</chem> sul secondo carbonio della catena a 4 atomi, producendo butanone puro. * Condizioni di reazione: Trattamento dell'alchino con acqua (<chem>H2O</chem>), acido solforico (<chem>H2SO4</chem>) e solfato mercurico (<chem>HgSO4</chem>) a caldo. ==== Esercizio 16 ==== Nell'idratazione acida, il primo stadio prevede l'addizione di un protone (<chem>H+</chem>) al triplo legame per generare un carbocatione. Se il protone si lega al carbonio terminale, si forma un carbocatione vinilico secondario sul carbonio interno (<chem>R-C^+=CH2</chem>). Se il protone si legasse al carbonio interno, si formerebbe un carbocatione vinilico primario sul carbonio terminale (<chem>R-CH=CH^+</chem>). I carbocationi secondari sono molto più stabili di quelli primari grazie all'effetto induttivo stabilizzante dei gruppi alchilici circostanti. Di conseguenza, l'acqua (nucleofilo) attacca esclusivamente il carbonio interno più stabile, legando lì il gruppo <chem>-OH</chem>. ==== Esercizio 17 ==== * L'errore: Il prodotto riportato è un alcol insaturo (un enolo, nello specifico il but-3-en-2-olo modificato). * Perché è sbagliato: Gli enoli sono intermedi instabili che non possono essere il prodotto finale della reazione. Non appena l'acqua si addiziona al 2-butino si forma il but-2-en-2-olo, il quale subisce immediatamente una tautomeria cheto-enolica per trasformarsi nel chetone saturo isomero più stabile (il butanone). * Equazione corretta: :<chem>CH3-C#C-CH3 + H2O ->[H2SO4/HgSO4] CH3-CO-CH2-CH3</chem> ==== Esercizio 18 ==== * Analogie: Entrambi gli alchini, pur avendo il triplo legame in posizioni diverse della catena, producono per idratazione acida lo stesso identico ed unico prodotto finale, ovvero il butanone (<chem>CH3-CO-CH2-CH3</chem>). * Differenze nel percorso: Nel 1-butino la reazione è regioselettiva guidata dalla regola di Markovnikov (l'ossigeno va sul C-2 perché è il carbonio interno più sostituito). Nel 2-butino la reazione non necessita di regioselettività poiché la molecola è simmetrica: l'attacco sul C-2 o sul C-3 produce strutturalmente la stessa identica molecola. ==== Esercizio 19 ==== * a) 2-butino: 1 prodotto (<chem>CH3-CO-CH2-CH3</chem>, butanone). È simmetrico. * b) 2-pentino: 2 prodotti distinti in miscela. Essendo un alchino interno asimmetrico, l'idratazione produce sia il ''pentan-2-one'' (<chem>CH3-CO-CH2-CH2-CH3</chem>) sia il ''pentan-3-one'' (<chem>CH3-CH2-CO-CH2-CH3</chem>). * c) 3-esino: 1 prodotto (<chem>CH3-CH2-CO-CH2-CH2-CH3</chem>, esan-3-one). È simmetrico. * d) 4-ottino: 1 prodotto (<chem>CH3-CH2-CH2-CO-CH2-CH2-CH2-CH3</chem>, ottan-4-one). È simmetrico. ==== Esercizio 20 ==== Questa selettività è determinata dalla stabilità dell'intermedio di reazione. L'idratazione acida inizia con il legame di un protone (<chem>H+</chem>) al triplo legame. Per minimizzare l'energia, il protone si fissa sul carbonio terminale (C-1) in modo da lasciare la carica positiva sul carbonio interno (C-2), generando un carbocatione vinilico secondario, nettamente più stabile di un eventuale carbocatione primario sul C-1. Quando l'acqua attacca questo carbocatione, introduce il gruppo ossidrilico (<chem>-OH</chem>) esclusivamente sul carbonio 2. Poiché la tautomeria cheto-enolica converte il legame <chem>C-OH</chem> in un legame carbonilico <chem>C=O</chem> mantenendo l'ossigeno sullo stesso atomo di carbonio, il gruppo funzionale del chetone si ritroverà bloccato stabilmente in posizione 2. == Esercizi sull'idrogenazione (riduzione) degli alchini == === Esercizio 81 === testo ...[[File:Big red line.jpg|centro]] Parte 1 – Idrogenazione completa degli alchini ad alcani Esercizio 1 Scrivi il prodotto della reazione tra etino e H₂/Pd. Soluzione: CH≡CH + 2 H₂ → CH₃−CH₃ Prodotto: etano. ⸻ Esercizio 2 Quale reagente permette di trasformare il 2-butino in butano? Soluzione: H₂ in presenza di Pd, Pt oppure Ni. ⸻ Esercizio 3 Quante moli di H₂ servono per idrogenare completamente un alchino? Soluzione: 2 equivalenti di H₂. ⸻ Esercizio 4 Completa la reazione: CH₃−C≡C−CH₃ + H₂/Pt → Soluzione: CH₃−CH₂−CH₂−CH₃ [[File:2-butyne reacts with 2 H2 and Pt% 2CPd or Ni to give butane.svg|2-butyne_reacts_with_2_H2_and_Pt%_2CPd_or_Ni_to_give_butane]] ⸻ Esercizio 5 Quale alcano si ottiene dall’1-pentino mediante idrogenazione completa? Soluzione: Pentano. ⸻ Esercizio 6 Quale catalizzatore viene spesso disperso su carbone attivo? Soluzione: Pd/C (palladio su carbone). ⸻ Esercizio 7 Perché l’alchene intermedio non viene isolato nell’idrogenazione completa? Soluzione: Perché Pt, Pd e Ni catalizzano rapidamente anche la seconda addizione di H₂. ⸻ Esercizio 8 Trasforma il 3-esino in alcano. Soluzione: CH₃CH₂−C≡C−CH₂CH₃ + 2H₂/Ni → esano. ⸻ Esercizio 9 Quale prodotto si ottiene dall’idrogenazione completa del propino? Soluzione: Propano. ⸻ Esercizio 10 Qual è il ruolo del nichel Raney? Soluzione: Agisce come catalizzatore per l’idrogenazione. ⸻ Parte 2 – Riduzione parziale con catalizzatore di Lindlar Esercizio 11 Quale prodotto si ottiene dal 2-butino con H₂/Lindlar? Soluzione: cis-2-butene. [[File:2-butyne reacts with H2 and Lindlar's catalyst to give cis-2-butene.svg|2-butyne_reacts_with_H2_and_Lindlar's_catalyst_to_give_cis-2-butene]] ⸻ Esercizio 12 Che tipo di addizione avviene con il catalizzatore di Lindlar? Soluzione: Addizione syn. [[File:Hydrogenation Heterogenic V.1.svg|Hydrogenation_Heterogenic_V.1]] ⸻ Esercizio 13 Quale stereoisomero si ottiene usando Lindlar? Soluzione: L’alchene cis. ⸻ Esercizio 14 Completa: CH₃−C≡C−CH₃ + H₂/Lindlar → Soluzione: cis-CH₃−CH=CH−CH₃ [[File:2-butyne reacts with H2 and Lindlar's catalyst to give cis-2-butene.svg|2-butyne_reacts_with_H2_and_Lindlar's_catalyst_to_give_cis-2-butene]] ⸻ Esercizio 15 Quale reagente impedisce la completa riduzione ad alcano nel catalizzatore di Lindlar? Soluzione: La chinolina. ⸻ Esercizio 16 Qual è il metallo principale del catalizzatore di Lindlar? Soluzione: Palladio. ⸻ Esercizio 17 Che funzione ha l’acetato di piombo nel catalizzatore di Lindlar? Soluzione: Avvelena il catalizzatore diminuendone l’attività. ⸻ Esercizio 18 Quale prodotto si ottiene dall’1-esino con H₂/Lindlar? Soluzione: 1-esene. ⸻ Esercizio 19 Trasforma il 3-esino in un alchene cis. Soluzione: 3-esino + H₂/Lindlar → cis-3-esene. [[File:Dipoli doppi legami.jpg|Dipoli_doppi_legami]] ⸻ Esercizio 20 Perché gli idrogeni vengono aggiunti dallo stesso lato? Soluzione: Perché la reazione avviene sulla superficie del catalizzatore metallico. ⸻ Parte 3 – Riduzione con Na/NH₃ o Li/NH₃ Esercizio 21 Quale prodotto si ottiene dal 2-butino con Na/NH₃(l)? Soluzione: trans-2-butene. [[File:Alkynes_Lindlar_vs_dissolving-metal.png|alt=Alkynes_Lindlar_vs_dissolving-metal|centro|375x375px]] ⸻ Esercizio 22 Che tipo di addizione avviene nella riduzione con sodio in ammoniaca? Soluzione: Addizione anti. ⸻ Esercizio 23 Quale stereoisomero si forma? Soluzione: L’alchene trans. ⸻ Esercizio 24 Completa: CH₃−C≡C−CH₃ + Na/NH₃ → Soluzione: trans-CH₃−CH=CH−CH₃ [[File:1-butene is less stable than cis-2-butene is less stable than trans-2-butene.svg|1-butene_is_less_stable_than_cis-2-butene_is_less_stable_than_trans-2-butene]] [[File:Alkyne reduction.svg|400px]] ⸻ Esercizio 25 Quale metallo può sostituire il sodio? Soluzione: Litio. ⸻ Esercizio 26 Come si chiama questa reazione? Soluzione: Riduzione con metallo disciolto. ⸻ Esercizio 27 Quale intermedio si forma dopo il primo trasferimento elettronico? Soluzione: Un radicale anionico. [[File:Radical Anion Formation V.1.svg|Radical_Anion_Formation_V.1]] ⸻ Esercizio 28 Da dove proviene il protone nella protonazione? Soluzione: Dall’ammoniaca liquida. ⸻ Esercizio 29 Quale prodotto si ottiene dall’1-pentino con Na/NH₃(l)? Soluzione: 1-pentene. ⸻ Esercizio 30 Perché il prodotto trans è favorito? Soluzione: Per il minore ingombro sterico. ⸻ Parte 4 – Meccanismo e teoria Esercizio 31 Definisci “radicale anionico”. Soluzione: Specie chimica con una carica negativa e un elettrone spaiato. ⸻ Esercizio 32 Quale specie si forma dopo la seconda donazione elettronica? Soluzione: Un anione vinilico. ⸻ Esercizio 33 Qual è l’ibridazione dei carboni in un alchino? Soluzione: sp. ⸻ Esercizio 34 Quale legame π è più debole in un triplo legame? Soluzione: Il secondo legame π. ⸻ Esercizio 35 Perché gli alchini liberano più calore nell’idrogenazione rispetto agli alcheni? Soluzione: Perché sono meno stabili termodinamicamente. [[File:Energy diagram showing relative heats of hydrogenation of trans-2-butene (-27.6 kcal% 3Amol)% 2C cis-2-butene (-28.6 kcal% 3Amol) and 1-butene (-30.3 kcal% 3Amol).svg|400px]] [[File:Butane-energy.jpg|Butane-energy]] ⸻ Esercizio 36 Quale legame è più forte: singolo, doppio o triplo? Soluzione: Triplo > doppio > singolo. ⸻ Esercizio 37 Quanti legami π sono presenti in un triplo legame? Soluzione: Due. ⸻ Esercizio 38 Quale differenza energetica rappresenta la forza del secondo legame π? Soluzione: Circa 54 kcal/mol. ⸻ Esercizio 39 Quale prodotto si ottiene dal 2-pentino con Lindlar? Soluzione: cis-2-pentene. ⸻ Esercizio 40 Quale prodotto si ottiene dal 2-pentino con Na/NH₃(l)? Soluzione: trans-2-pentene == Esempi di fonti == * LibreTexts Chemistry: [https://chem.libretexts.org/Bookshelves/Organic_Chemistry/Organic_Chemistry_(Morsch_et_al.) Organic Chemistry (Morsch et al.)] * Openstax: [https://openstax.org/books/organic-chemistry/pages/9-additional-problems esercizi1] - [https://openstax.org/books/organic-chemistry/pages/chapter-9 soluzioni1] * [https://www.chemistrysteps.com/ Chemistry Steps]: alla fine di ogni capitoletto ci sono esercizi a cui ispirarsi (non ci sono le soluzioni) * [https://app.molview.com/ MolView]: per disegnare molecole organiche gle7z9ut5eu07s3q2xooxs6gx1wat4x 0 60579 499478 499174 2026-06-27T16:40:29Z ~2026-37077-09 54521 /* */ 499478 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} * '''Costruttore:''' Gaetano Callido, Op. 400 * '''Anno:''' 1803 * '''Restauri/modifiche:''' Bazzani (1876), Bazzani (1899)<ref>sul vecchio frontalino é presente il seguente cartiglio: Cajetani Callido Ven. Opus <u>CCCC</u> <small>AN. MDCCCIII.</small> Bazzani Ven. ejusd. success. Restaur. <small>AN. MDCCCLXXVI.</small> Restaur. ab eodem Fabbr. <small>MDCCCXCIX</small></ref>, Renzo Bazzani (1951), Giorgio Carli (1993)<ref>sul frontalino della tastiera é presente la seguente iscrizione: G. CALLIDO 1803 G. CARLI 1993</ref> * '''Registri:''' 23 * '''Canne:''' --- * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' a finestra, al centro della parete anteriore della cassa * '''Tastiere:''' 1 di 50 note con prima ottava scavezza (''Do<small>1</small>''-''Fa<small>5</small>'', divisione Bassi/Soprani ''Do#<small>3</small>''/''Re<small>3</small>'') * '''Pedaliera:''' a leggio di 18 note con prima ottava scavezza (''Do<small>1</small>''-''Sol#<small>2</small>'' ''+ Tamburo'') costantemente unita alla tastiera * '''Collocazione:''' in cantoria, in controfacciata * '''Accessori:''' ''Tiratutti'' a manovella {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Colonna di sinistra - ''Ripieno''''' ---- |- |Principale |Bassi |- |Principale |Sop. |- |Ottava |- |Quinta decima |- |Decima nona |- |Vigesima seconda |- |Vigesima sesta |- |Vigesima nona |- |Trigesima terza<ref>''Do<small>1</small>-Fa<small>2</small>''</ref> |- |Trigesima sesta<ref>''Do<small>1</small>-Do<small>2</small>''</ref> |- |Contrabassi<ref>16', al pedale, 12 note reali, unito al successivo, cromatici bitonali</ref> |- |8^o Contrabassi<ref>8', al pedale, 12 note reali, unito al precedente</ref> |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Colonna di destra - ''Concerto''''' ---- |- |Voce umana<ref name=":0">soprani</ref>|| |- |Flauto in 8^o |Bassi |- |Flauto in 8^o |Sop. |- |Flauto in 12^o |Bassi |- |Flauto in 12^o |Sop. |- |Cornetta<ref name=":0" /> |- |Viola<ref>4'</ref> |Sop. |- |Viola |Bassi |- |Tromboncini |Bassi |- |Tromboncini |Sop. |- |Tromboni<ref>8', al pedale, 12 note reali, in legno</ref> | |- |} |} == Note == <references/> == Altri progetti == {{interprogetto|w=Chiesa di San Pantalon|preposizione=sulla|etichetta=Chiesa di San Pantalon}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] 9im6jk67wgwbcyg1s5v0pqzqn3yqbb6 499480 499478 2026-06-27T16:57:15Z ~2026-37077-09 54521 /* */ 499480 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} * '''Costruttore:''' Gaetano Callido, Op. 400 * '''Anno:''' 1803 * '''Restauri/modifiche:''' Bazzani (1876), Bazzani (1899)<ref>sul vecchio frontalino é presente il seguente cartiglio: Cajetani Callido Ven. Opus <u>CCCC</u> <small>AN. MDCCCIII.</small> Bazzani Ven. ejusd. success. Restaur. <small>AN. MDCCCLXXVI.</small> Restaur. ab eodem Fabbr. <small>MDCCCXCIX</small></ref>, Renzo Bazzani (1951), Giorgio Carli (1993)<ref>sul frontalino della tastiera é presente la seguente iscrizione: G. CALLIDO 1803 G. CARLI 1993</ref> * '''Registri:''' 23 * '''Canne:''' --- * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' a finestra, al centro della parete anteriore della cassa * '''Tastiere:''' 1 di 50 note con prima ottava scavezza (''Do<small>1</small>''-''Fa<small>5</small>'', divisione Bassi/Soprani ''Do#<small>3</small>''/''Re<small>3</small>'') * '''Pedaliera:''' a leggio di 18 note con prima ottava scavezza (''Do<small>1</small>''-''Sol#<small>2</small>'' ''+ Tamburo'') costantemente unita alla tastiera * '''Collocazione:''' in cantoria, in controfacciata * '''Accessori:''' ''Tiratutti'' a manovella {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Colonna di sinistra - ''Ripieno''''' ---- |- |Principale |Bassi |- |Principale |Sop. |- |Ottava |- |Quinta decima |- |Decima nona |- |Vigesima seconda |- |Vigesima sesta |- |Vigesima nona |- |Trigesima terza<ref>''Do<small>1</small>-Fa<small>2</small>''</ref> |- |Trigesima sesta<ref>''Do<small>1</small>-Do<small>2</small>''</ref> |- |Contrabassi<ref>16', al pedale, 12 note reali, unito al successivo, cromatici bitonali</ref> |- |8^a Contrabassi<ref>8', al pedale, 12 note reali, unito al precedente</ref> |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Colonna di destra - ''Concerto''''' ---- |- |Voce umana<ref name=":0">soprani</ref>|| |- |Flauto 8^a |Bassi |- |Flauto 8^a |Sop. |- |Flauto 12^a |Bassi |- |Flauto 12^a |Sop. |- |Cornetta<ref name=":0" /> |- |Viola<ref>4'</ref> |Sop. |- |Viola |Bassi |- |Tromboncini |Bassi |- |Tromboncini |Sop. |- |Tromboni<ref>8', al pedale, 12 note reali, in legno</ref> | |- |} |} == Note == <references/> == Altri progetti == {{interprogetto|w=Chiesa di San Pantalon|preposizione=sulla|etichetta=Chiesa di San Pantalon}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] 3gvhju0d0aibei3dep79b0m8wm9cuff 0 60637 499472 2026-06-27T15:02:19Z Maupao70 20240 presentazione dello strumento 499472 wikitext text/x-wiki {{La Digitale}} {{Avanzamento|50%|27 giugno 2026}} Con '''Mixap'''<ref>{{Cita web|url=https://mixap.ladigitale.dev/|titolo=Il servizio Mixap offerto da La Digitale}}</ref> si possono creare attività didattiche che possono integrare la ''' realtà aumentata''' L'applicazione può funzionare anche senza Internet e su tutti i tipi di dispositivi: tablet, smartphone e computer. Questo strumento è il frutto di un progetto di ricerca<ref>{{Cita web|url=https://mixap-lium.univ-lemans.fr|titolo=Il sito del progetto di ricerca MIXAP}}</ref> condotto da insegnanti e animatori di Canopé<ref>{{Cita web|url=https://www.reseau-canope.fr/|titolo=Il sito di Canopé, l'ente che offre formazione alle scuole francesi</ref>, una struttura a supporto delle scuole francesi per quanto riguarda le iniziative legate al digitale e alla formazione. ==Le attività== Con MIXAP si possono creare 4 tipologie di attività: * Aumento di un'immagine: possibilità di far comparire immagini, video e testi su risorse usate in classe (per esempio: aggiungere informazioni supplementari sulla pagina di un libro, un file di esercizi o del materiale professionale). * Convalidare un'immagine: chiedere agli studenti di trovare un'immagine in un tempo prestabilito (per esempio con attività di cerca e trova, in autonomia, sugli animali nascoscosti in un quadro del maestro). * Associare 2 immagini: chiedere agli studenti di trovare 2 immagini associate (per esempio: trovare la carta "A" che corrisponde all'immagine dell'albero, la risposta che corrisponde ad un'equazione matematica o anche la molecola che corrisponde ad una formula chimica). * Sovrapporre dei livello: sovrapporre livelli di informazioni su una immagine (per esempio: vedere le correzioni di un testo a cloze, vedere il sistema muscolare o circolatorio di un corpo umano, o l'evoluzione di una pianta di una città su 1000 anni). Queste attività possono essere raggruppate in diversi modi: * Gruppi di attività da fare senza un ordine prestabilito (per esempio: scoprire informazioni su tutti i personaggi dipinti su di un affresco). * Percorsi di attività da fare in un ordine prestabilito (per esempio: guida, passo passo, per aiutare gli studenti a usare un stampante 3D). MIXAP può essere usato senza creare un account e gratuitamente. I docenti possono creare le attività didattiche personalizzate e con il materiale già presente nella classe. MIXAP può essere usato per aumentare una grande varietà di supporto come file di esercizi, mappe, disegni, poster, oggetti, sculture, edifici o anche affreschi all'aperto. I docenti possono condividere i lavori, sia ai propri studenti, in modalità lettura, sia a colleghi, in modalità modifica. Può essere usato dalla scuola dell'infanzia fino alla formazione professionale. L'interfaccia è talmente semplice che le attività possono essere create direttamente dagli studenti, a partire dall'età di 10 anni. È uno strumento che può anche essere usato dai musei, dagli uffici del turismo per visite interattive o anche da artisti che vogliono creare delle opere interattive. == Note == <references /> ==Collegamenti esterni== * {{fr}}[https://ladigitale.dev/blog/mixap-un-outil-pour-creer-des-activites-en-realite-augmentee Presentazione di Mixap sul sito La Digitale] * {{fr}}[https://mixap-lium.univ-lemans.fr Il sito del progetto MIXAP] * [https://mixap.univ-lemans.fr L'istanza MIXAP del progetto] [[Categoria:La Digitale|Mixap]] 2vjskrbvdogoxmq6sp3v7gceoby26p9 499473 499472 2026-06-27T15:05:23Z Maupao70 20240 /* Le attività */ fix 499473 wikitext text/x-wiki {{La Digitale}} {{Avanzamento|50%|27 giugno 2026}} Con '''Mixap'''<ref>{{Cita web|url=https://mixap.ladigitale.dev/|titolo=Il servizio Mixap offerto da La Digitale}}</ref> si possono creare attività didattiche che possono integrare la ''' realtà aumentata''' L'applicazione può funzionare anche senza Internet e su tutti i tipi di dispositivi: tablet, smartphone e computer. Questo strumento è il frutto di un progetto di ricerca<ref>{{Cita web|url=https://mixap-lium.univ-lemans.fr|titolo=Il sito del progetto di ricerca MIXAP}}</ref> condotto da insegnanti e animatori di Canopé<ref>{{Cita web|url=https://www.reseau-canope.fr/|titolo=Il sito di Canopé, l'ente che offre formazione alle scuole francesi</ref>, una struttura a supporto delle scuole francesi per quanto riguarda le iniziative legate al digitale e alla formazione. ==Le attività== Con MIXAP si possono creare 4 tipologie di attività: * Aumento di un'immagine: possibilità di far comparire immagini, video e testi su risorse usate in classe (per esempio: aggiungere informazioni supplementari sulla pagina di un libro, un file di esercizi o del materiale professionale). * Convalidare un'immagine: chiedere agli studenti di trovare un'immagine in un tempo prestabilito (per esempio con attività di cerca e trova, in autonomia, sugli animali nascosti in un quadro del maestro). * Associare 2 immagini: chiedere agli studenti di trovare 2 immagini associate (per esempio: trovare la carta "A" che corrisponde all'immagine dell'albero, la risposta che corrisponde alla risoluzione di un'equazione matematica o anche la molecola che corrisponde ad una formula chimica). * Sovrapporre dei livello: sovrapporre livelli di informazioni su un'immagine (per esempio: vedere le correzioni di un testo a cloze, vedere il sistema muscolare o circolatorio di un corpo umano, o l'evoluzione di una pianta di una città nell'arco di 1000 anni). Queste attività possono essere raggruppate in diversi modi: * Gruppi di attività da fare liberamente, senza un ordine prestabilito (per esempio: scoprire informazioni su tutti i personaggi dipinti su di un affresco). * Percorsi di attività da fare con un ordine prestabilito (per esempio: una guida, passo passo, per aiutare gli studenti a usare un stampante 3D). MIXAP può essere usato senza creare un account e gratuitamente. I docenti possono creare le attività didattiche personalizzate e con il materiale già presente nella classe. MIXAP può essere usato per aumentare una grande varietà di supporti come file di esercizi, mappe, disegni, poster, oggetti, sculture, edifici o anche affreschi all'aperto. I docenti possono condividere i lavori, sia con i propri studenti, in modalità lettura, sia con i colleghi, in modalità modifica. Può essere usato dalla scuola dell'infanzia fino alla formazione professionale. L'interfaccia è talmente semplice che le attività possono essere create direttamente dagli studenti, a partire dall'età di 10 anni. È uno strumento che può anche essere usato da musei o da uffici del turismo per visite interattive o anche da artisti che vogliono creare delle opere interattive. == Note == <references /> ==Collegamenti esterni== * {{fr}}[https://ladigitale.dev/blog/mixap-un-outil-pour-creer-des-activites-en-realite-augmentee Presentazione di Mixap sul sito La Digitale] * {{fr}}[https://mixap-lium.univ-lemans.fr Il sito del progetto MIXAP] * [https://mixap.univ-lemans.fr L'istanza MIXAP del progetto] [[Categoria:La Digitale|Mixap]] e7pbdhqakih9wqtidx832brug2kdoll 0 60638 499476 2026-06-27T16:15:39Z PattiDavide 54522 Nuova pagina: {{Tecnologia}} [[Categoria:Tecnologia|Pagina template]] {{avanzamento|100%}} A cura del prof. Davide Patti === Alla scoperta delle discipline S.T.E.M. === Parola chiave: STEM ''Immagina di entrare in un laboratorio pieno di oggetti curiosi: robot che si muovono, ponti costruiti con cannucce, tablet che misurano il rumore, esperimenti che fanno “frizzare”. Questo mondo si chiama STEM, e oggi iniziamo a esplorarlo insieme.'' === Approfondisci la conoscenza === Parola... 499476 wikitext text/x-wiki {{Tecnologia}} [[Categoria:Tecnologia|Pagina template]] {{avanzamento|100%}} A cura del prof. Davide Patti === Alla scoperta delle discipline S.T.E.M. === Parola chiave: STEM ''Immagina di entrare in un laboratorio pieno di oggetti curiosi: robot che si muovono, ponti costruiti con cannucce, tablet che misurano il rumore, esperimenti che fanno “frizzare”. Questo mondo si chiama STEM, e oggi iniziamo a esplorarlo insieme.'' === Approfondisci la conoscenza === Parola chiave: '''Responsabilità''' Le STEM sono l’insieme delle discipline Science, Technology, Engineering, Mathematics. Indicano un approccio integrato allo studio della realtà basato su osservazione, sperimentazione, progettazione e modellizzazione === Sviluppa le competenze === Parola chiave: '''Competenza''' ''Proposte attività laboratoriali, per sperimentare le conoscenze acquisite, stimolare la collaborazione, imparare e approfondire con attività pratiche gli argomenti finora visti solo da un punto di vista teorico (learn by doing).'' === Diventa protagonista === Parola chiave: '''Animazione e Servizio''' ''E' il luogo ideale per proporre il compito di realtà, dove invitare i ragazzi a pensare, progettare e realizzare azioni e strumenti che possano migliorare l'ambiente che li circonda.'' === Verifica formativa === ''Quiz o proposte di uso di strumenti online'' [[Aiuto:Esercizi|Come realizzare test con autocorrezioni con wikibooks]]. È meglio inserire i quiz su apposito modulo. Quando creato dal nuovo, nominare il modulo secondo la regola di quelli già esistenti '''Quiz_''qualcosa''''' ==== Quiz ==== Test di prova <quiz display="simple"> {Domanda a scelta multipla |type="()"} + risposta giusta - distrattore 1 - distrattore 2 </quiz> === Guida del docente === ''Indicazioni per gestire l'attività in aula, risorse, etc..'' 8v82y7vlenuj47d80asgnho30stof5g 499477 499476 2026-06-27T16:17:32Z PattiDavide 54522 /* Alla scoperta delle discipline S.T.E.M. */ 499477 wikitext text/x-wiki {{Tecnologia}} [[Categoria:Tecnologia|Pagina template]] {{avanzamento|100%}} A cura del prof. Davide Patti === Alla scoperta delle discipline S.T.E.M. === Parola chiave: STEM Immagina di entrare in un laboratorio pieno di oggetti curiosi: robot che si muovono, ponti costruiti con cannucce, tablet che misurano il rumore, esperimenti che fanno “frizzare”. Questo mondo si chiama STEM, e oggi iniziamo a esplorarlo insieme. === Approfondisci la conoscenza === Parola chiave: '''Responsabilità''' Le STEM sono l’insieme delle discipline Science, Technology, Engineering, Mathematics. Indicano un approccio integrato allo studio della realtà basato su osservazione, sperimentazione, progettazione e modellizzazione === Sviluppa le competenze === Parola chiave: '''Competenza''' ''Proposte attività laboratoriali, per sperimentare le conoscenze acquisite, stimolare la collaborazione, imparare e approfondire con attività pratiche gli argomenti finora visti solo da un punto di vista teorico (learn by doing).'' === Diventa protagonista === Parola chiave: '''Animazione e Servizio''' ''E' il luogo ideale per proporre il compito di realtà, dove invitare i ragazzi a pensare, progettare e realizzare azioni e strumenti che possano migliorare l'ambiente che li circonda.'' === Verifica formativa === ''Quiz o proposte di uso di strumenti online'' [[Aiuto:Esercizi|Come realizzare test con autocorrezioni con wikibooks]]. È meglio inserire i quiz su apposito modulo. Quando creato dal nuovo, nominare il modulo secondo la regola di quelli già esistenti '''Quiz_''qualcosa''''' ==== Quiz ==== Test di prova <quiz display="simple"> {Domanda a scelta multipla |type="()"} + risposta giusta - distrattore 1 - distrattore 2 </quiz> === Guida del docente === ''Indicazioni per gestire l'attività in aula, risorse, etc..'' 80l5p8w5z09kz915imtrauv2h7gzk5c