Wikibooks itwikibooks https://it.wikibooks.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.11 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikibooks Discussioni Wikibooks File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Progetto Discussioni progetto Ripiano Discussioni ripiano TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 0 2158 499978 498650 2026-07-19T13:53:34Z Hippias 18281 fix link 499978 wikitext text/x-wiki Libro di fisica open source, per gli esercizi vedere [[Esercizi di fisica con soluzioni]] ==Meccanica== * {{Modulo|Fisica classica/Cinematica|Cinematica del punto}} * {{Modulo|Fisica classica/Dinamica|Dinamica del punto}} * {{Modulo|Fisica classica/Energia e lavoro|Energia e lavoro}} * {{Modulo|Fisica classica/Moti relativi}} * {{Modulo|Fisica classica/Dinamica dei sistemi di punti materiali}} * {{Modulo|Fisica classica/Corpo rigido}} * {{Modulo|Fisica classica/Urti}} * {{Modulo|Fisica classica/Gravitazione}} ==Termodinamica== * {{Modulo|Fisica classica/Definizioni termodinamica|Definizioni della termodinamica}} * {{Modulo|Fisica classica/Calore}} * {{Modulo|Fisica classica/Trasformazioni termodinamiche}} * {{Modulo|Fisica classica/Gas ideali e reali|Gas perfetti e reali}} * {{Modulo|Fisica classica/Primo principio della termodinamica}} * {{Modulo|Fisica classica/Secondo principio della termodinamica}} * {{Modulo|Fisica classica/Entropia}} ==Elettromagnetismo== * {{Modulo|Fisica classica/Carica elettrica}} * {{Modulo|Fisica classica/Campi elettrici}} * {{Modulo|Fisica classica/Legge di Gauss}} * {{Modulo|Fisica classica/Potenziale elettrico}} * {{Modulo|Fisica classica/Conduttori}} * {{Modulo|Fisica classica/Dielettrici}} * {{Modulo|Fisica classica/Elettrodinamica}} * {{Modulo|Fisica classica/Le leggi di Kirchhoff}} * {{Modulo|Fisica classica/Campi magnetici}} * {{Modulo|Fisica classica/Leggi di Laplace}} * {{Modulo|Fisica classica/Legge di Ampère}} * {{Modulo|Fisica classica/Magnetismo della materia}} * {{Modulo|Fisica classica/Induzione e legge di Faraday}} * {{Modulo|Fisica classica/Correnti alternate}} * {{Modulo|Fisica classica/Equazioni di Maxwell}} ==Onde== * {{Modulo|Fisica classica/Proprietà generali delle onde}} * {{Modulo|Fisica classica/Suono}} * {{Modulo|Fisica classica/Corda vibrante}} * {{Modulo|Fisica classica/Onde del mare}} * {{Modulo|Fisica classica/Linea di trasmissione}} * {{Modulo|Fisica classica/Onde elettromagnetiche}} * {{Modulo|Fisica classica/Il vettore di Poynting}} * {{Modulo|Fisica classica/Campi elettromagnetici nei dielettrici}} * {{Modulo|Fisica classica/Campi elettromagnetici nei conduttori}} * {{Modulo|Fisica classica/Spettro delle onde elettromagnetiche}} ==Ottica== * {{Modulo|Fisica classica/La luce}} * {{Modulo|Fisica classica/Leggi dell'ottica geometrica}} * {{Modulo|Fisica classica/Lenti e specchi}} * {{Modulo|Fisica classica/Strumenti ottici}} * {{Modulo|Fisica classica/Polarizzazione}} * {{Modulo|Fisica classica/Ottica ondulatoria}} * {{Modulo|Fisica classica/Interferenza}} ==Relatività== * {{Modulo|Fisica classica/Relatività ristretta}} == Libri correlati == * [[Esercizi di fisica con soluzioni]] * [[Fisica per le superiori]] * [[Termodinamica]] * [[Chimica fisica]] {{Versione PDF|Fisica classica|Dimensioni: 6,3 MB}} [[Categoria:Fisica classica| ]] [[Categoria:Fisica]] [[Categoria:Formazione superiore]] [[Categoria:Dewey 530]] {{Alfabetico|F}} {{Avanzamento|75%|08 settembre 2016}} 4gt5oe3yjjfbj3nyu73xcavth85dnei 0 11022 499989 413375 2026-07-19T17:54:08Z Pasquale.Carelli 528 499989 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Campi elettromagnetici nei conduttori |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Campi_elettromagnetici_nei_conduttori |CapitoloSuccessivo=La luce |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/La_luce }} {{fisica classica}} [[Immagine:TheElectromagneticSpectrum.jpg|thumb|centre|800px|Spettro elettromagnetico]] Lo spettro delle onde elettromagnetiche, o semplicemente spettro, è l'intervallo di tutte le possibili radiazioni elettromagnetiche. La figura mostra l'intero intervallo di tali radiazioni, disposte dalle più brevi ed energetiche, i [[w:raggi gamma|raggi gamma]], alle più lunghe e meno energetiche, le onde radio. Secondo la descrizione quantistica della radiazione, a un'onda elettromagnetica è associato un valore preciso di energia, il quale dipende dalla frequenza di oscillazione dell'onda secondo la nota relazione di Planck: :<math>E = h \nu</math> dove <math>E</math> è l'energia, <math>h</math> è la [[w:Costante_di_Planck|costante di Planck]] e <math>\nu</math> è la frequenza dell'onda. Esiste un limite fisico teorico alle lunghezze d'onda possibili: il limite superiore è dettato dalle dimensioni dell'[[w:Universo osservabile|universo osservabile]], in quanto non possono propagarsi radiazioni con lunghezza d'onda maggiore di quest'ultimo; il limite inferiore è invece rappresentato dalla [[w:Lunghezza di Planck|lunghezza di Planck]] (<math>\ell_P \approx 1,6 \times 10^{-35}\text{ m}</math>), al di sotto della quale le attuali leggi della fisica e lo stesso concetto di spazio-tempo perdono di significato. {| align="center" border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" style="background:#FAFAFA; border:1px solid #CCC; border-collapse:collapse; text-align:center; font-family:sans-serif; font-size:90%" ! Tipo di radiazione elettromagnetica !! Frequenza !! Lunghezza d'onda |- | Onde radio (LF, MF, HF, VHF, UHF) || <math>30\text{ kHz} - 3\text{ GHz}</math> || <math>10\text{ km} - 10\text{ cm}</math> |- | Microonde || <math>3\text{ GHz} - 300\text{ GHz}</math> || <math>10\text{ cm} - 1\text{ mm}</math> |- | Infrarossi || <math>300\text{ GHz} - 428\text{ THz}</math> || <math>1\text{ mm} - 780\text{ nm}</math> |- | Luce visibile || <math>428\text{ THz} - 749\text{ THz}</math> || <math>780\text{ nm} - 380\text{ nm}</math> |- | Ultravioletti || <math>749\text{ THz} - 30\text{ PHz}</math> || <math>380\text{ nm} - 10\text{ nm}</math> |- | Raggi X || <math>30\text{ PHz} - 300\text{ EHz}</math> || <math>10\text{ nm} - 1\text{ pm}</math> |- | Raggi gamma || <math>> 300\text{ EHz}</math> || <math>< 1\text{ pm}</math> |} === Onde radio === [[File:Dipole xmting antenna animation 4 408x318x150ms.gif|left|thumb|upright=1.4|Animazione al rallentatore di un'antenna dipolare a mezza onda che irradia onde radio. Sono evidenziate le linee del campo elettrico. L'antenna al centro è costituita da due barre metalliche verticali a cui è applicata una corrente alternata generata da una sorgente (non mostrata). La tensione elettrica carica le due estremità dell'antenna alternativamente con polarità positiva ''(+)'' e negativa ''(−)''. Le linee chiuse del campo elettrico ''(linee nere)'' si distaccano dall'antenna e si propagano nello spazio alla velocità della luce, costituendo l'onda radio.]] Le radiazioni con frequenze inferiori a <math>3\text{ GHz}</math> vengono chiamate genericamente onde radio. Si tratta delle frequenze storicamente impiegate nelle telecomunicazioni tradizionali, come la radiofonia e la televisione, ma ampiamente sfruttate anche nelle moderne tecnologie della telefonia mobile e dei sistemi di comunicazione senza fili. La modalità di propagazione di queste onde dipende fortemente dalla loro frequenza: Le onde a frequenza più elevata, come le VHF e le UHF, si propagano in linea retta e attraversano l'atmosfera praticamente senza subire assorbimento. Per questa ragione, la comunicazione a terra è limitata dalla curvatura terrestre (propagazione in linea di vista) ed è ideale per ponti radio locali o comunicazioni satellitari. Le onde a frequenza inferiore, in particolare le HF, vengono invece riflesse dagli strati ionizzati dell'atmosfera (la [[w:Ionosfera|ionosfera]]). Questo fenomeno di riflessione permette alle onde di superare la curvatura della Terra rimbalzando tra la superficie terrestre e il cielo, consentendo ai radioamatori e alle emittenti internazionali di effettuare trasmissioni a lunghissima distanza, persino transoceaniche. Un principio fondamentale della fisica delle antenne stabilisce che le onde radio sono generate e captate in modo efficiente da [[w:Antenna|antenne]] le cui dimensioni geometriche siano dello stesso ordine di grandezza della lunghezza d'onda <math>\lambda</math> del segnale da emettere o ricevere (ad esempio, pari a <math>\lambda/2</math> o <math>\lambda/4</math>). Dal punto di vista della trasmissione dati, la massima quantità di informazione trasportabile da un'onda elettromagnetica nell'unità di tempo è proporzionale alla sua frequenza di oscillazione (poiché frequenze maggiori offrono una maggiore larghezza di banda). La transizione storica verso frequenze via via più alte rappresenta una tendenza naturale nello sviluppo delle telecomunicazioni, che ha tuttavia richiesto una crescente complessità tecnologica. Se infatti generare un segnale alternato di pochi <math>\text{kHz}</math> era un obiettivo facilmente raggiungibile fin dall'inizio del XX secolo con circuiti oscillanti rudimentali, la progettazione di dispositivi elettronici capaci di operare stabilmente nel regime dei \text{GHz} richiede semiconduttori e geometrie circuitali estremamente avanzate. === Microonde=== Anche se ufficialmente le microonde sono al di sopra dei 3 GHz, nel linguaggio comune frequenze superiori a 1 GHz vengono dette microonde. La differenza sostanziale tra le microonde e le onde radio è la maggior frequenza propria e quindi, un diverso meccanismo di interazione con la materia. Secondo la meccanica quantistica, infatti, onde elettromagnetiche a diversa frequenza (e quindi diversa energia), vengono assorbite eccitando diversi stati energetici del materiale attraverso cui passano. Le onde radio attraversano inalterate la maggior parte della materia perché la piccola energia da esse trasportate può eccitare soltanto gli spin nucleari, i cui stati energetici sono separati soltanto in presenza di campo magnetico. Le microonde invece eccitano gli stati rotazionali della materia: un tipico forno a microonde, che opera alla frequenza di 2.45 GHz, è in grado di fare ruotare le molecole d'acqua contenute all'interno dei cibi. Questa rotazione, smorzata dall'attrito col mezzo circostante, permette di riscaldare in modo efficiente gli alimenti. Le microonde hanno trovato come primo uso il campo militare, infatti il [[w:Radar|Radar]] è stata la prima grossa applicazione delle microonde. Non è un caso che il primo forno a microonde sia stato fabbricato nel 1947 proprio dalla Raytheon, una delle principali ditte che produce Radar. Alcune molecole atmosferiche, oltre all'acqua, possiedono frequenze di risonanza nella parte delle microonde a più alta frequenza: la propagazione delle microonde nell'atmosfera è quindi fortemente influenzata da tale fattore. Per questo gli enti che sfruttano le microonde per le telecomunicazioni civili, devono solitamente scegliere opportune frequenze dello spettro, dette "finestre", in modo che il segnale trasmesso non venga assorbito dall'atmosfera. La [[w:Microonde#Produzione|generazione di microonde]] era inizialmente ottenuta mediante [[w:Valvola_termoionica|valvole termoioniche]], tuttora utilizzati in applicazioni che richiedano elevata potenza di trasmissione. In realtà attualmente vi sono dispositivi attivi quali i [[w:magnetron|magnetron]] ed i [[w:Klystron|klystron]] che producono elevate potenze fino a frequenze di quasi 100 GHz. Inoltre per applicazioni di bassa potenza esistono vari tipi di dispositivi a stato solido. === Infrarosso === L'infrarosso trae il suo nome dal fatto che rappresenta le frequenze di valore minore a quella del rosso (ma superiore alle microonde). In realtà l'intervallo comprende radiazioni che hanno un comportamento molto differente. La parte vicina allo spettro visibile detta NIR (near infrared) ha un comportamento simile alla luce, mentre la parte bassa FIR (far infrared) ha un comportamento simile alle microonde. Mentre le microonde possono nella parte bassa dello spettro essere ancora prodotte da circuiti elettrici oscillanti, per l'infrarosso a frequenze più elevate ciò non è più possibile. L'energia trasportata dalle radiazioni infrarosse è in grado di eccitare gli stati vibrazionali della materia. Poiché questi sono particolarmente rilevanti nella materia allo stato solido, la maggior parte della radiazione infrarossa passa inalterata attraverso l'atmosfera, e soltanto una piccola parte di essa è assorbita dalle molecole atmosferiche. L'effetto serra è un caso particolare in cui la radiazione infrarossa emanata dagli oggetti al suolo, riscaldati dal sole, non riesce a sfuggire nello spazio perché vi è una concentrazione troppo elevata di determinate molecole in atmosfera, in particolare l'anidride carbonica. La sorgente più semplice e naturale di infrarossi sono i corpi caldi, infatti tutti i corpi emettono naturalmente onde elettromagnetiche con un spettro caratteristico che dipende essenzialmente dalla loro temperatura, la cosiddetta radiazione di [[w:Corpo nero|corpo nero]]. La curva di emissione a campana molto stretta che ha un'ampiezza massima ad una lunghezza d'onda: :<math>\lambda \approx \frac {2.9\cdot 10^{-3}}T\ </math> Dove <math>T\ </math> è la temperatura espressa in gradi K, mentre la lunghezza d'onda è data in m. Dalla formula appare chiaro come fino a quando le temperature sono comprese tra circa 5 K e 3000 K, tale ampiezza massima cade proprio nell'infrarosso. Infrarossi come la luce visibile possono essere prodotti ed assorbiti da fenomeni più squisitamente legati alla quantizzazione dei livelli energetici degli atomi. In genere tali fenomeni sono più caratteristici della parte dello spettro a più alta frequenza fino ai raggi X: ma alle frequenze degli infrarossi si hanno i primi salti energetici. Una particolarità degli infrarossi è che alcune sostanze che nel visibile appaiono scure come il [[w:Silicio|silicio]] o il [[w:Germanio|germanio]] sono per gran parte della banda infrarossa assolutamente trasparenti. Il coefficiente di assorbimento di tali materiali, [[w:Semiconduttore|semiconduttori]], varia di molti ordini di grandezza in un piccolissimo intervallo di frequenze che cade nella parte alta degli infrarossi, il cosiddetto vicino infrarosso (NIR). Per dare una idea 7 mm di Silicio dimezzano l'ampiezza di infrarossi di lunghezza d'onda di 1030 nm, per evere lo stesso effetto con onde di lunghezza d'onda di 826 nm sono sufficienti 0.0014 mm di Silicio, mentre a lunghezza d'onda di 620 nm (luce rossa visibile) sono sufficienti appena 70 nm di Silicio. La generazione di infrarossi nella regione NIR a spettro molto stretto viene fatta mediante dispositivi a stato solido quali i [[w:LED|LED]] ed i [[w:Laser|Laser]]. Secondo le conoscenze attuali non si conoscono effetti dannosi sul corpo umano delle radiazioni infrarossa di bassa intensità (come anche di ogni altra frequenza inferiore). L'unico effetto noto è l'assorbimento di tali radiazioni da parte di tessuti che si scaldano quindi solo grandi potenze producono effetti dannosi. Il fenomeno può avere effetti negativi per particolari organi come l'occhio: la cornea oculare è infatti un tessuto dotato di scarsissima irrorazione sanguigna. Pertanto non è in grado di dissipare efficacemente il calore che può essere trasmesso da una radiazione infrarossa ad elevata potenza come quella di un laser. L'esposizione frequente a sorgenti IR ad elevata potenza è infatti spesso correlata all'insorgenza di cataratta. === Luce visibile === La regione dello spettro con lunghezze d'onda compreso tra 760 nm, (rosso) e 380 nm (violetto) è l'unico intervallo di frequenze per cui l'occhio umano è sensibile. A radiazioni visibili di diversa lunghezza d'onda (e quindi frequenza) corrispondono tutti i diversi colori dell'arcobaleno. Vi è una quasi perfetta coincidenza tra la sensibilità dell'occhio umano e la radiazione emessa dal sole. Infatti la radiazione di corpo nero del sole è quella di un corpo alla temperatura di 5700 K, e tale temperatura ha un picco ad una lunghezza d'onda di 550 nm (il colore blu-verde dello spettro visibile). L'occhio umano ha la massima sensibilità a tale lunghezza d'onda e tale sensibilità diminuisce rapidamente sia per lunghezze d'onda più corte (violetto), sia per quelle più lunghe (rosso). La luce visibile è in grado di eccitare gli stati energetici elettronici. Se un oggetto è colorato ciò è dovuto essenzialmente al fatto che gli atomi o le molecole della superficie dell'oggetto possono assorbire una parte (certe lunghezze d'onda) della luce che li investe portando gli elettroni a livelli energetici più alti. Il colore specifico che l'oggetto assume dipende dal materiale superficiale ed è determinato dalle regole di addizione e sottrazione dei colori: è infatti la luce non assorbita che, rimbalzando sull'oggetto, arriva all'occhio umano che in seguito decodifica e assegna il colore all'oggetto. === Ultravioletto=== Nella parte successiva dello spettro vengono gli Ultravioletti indicati con l'acronimo UV. Le frequenze al di sopra del visibile manifestano molto chiaramente il carattere quantistico della radiazione elettromagnetica. La radiazione UV ha energia sufficiente a spezzare legami molecolari e ionizzare parzialmente gli atomi. Gli effetti dannosi sul corpo umano di tali radiazioni sono ben note in quanto tali radiazioni non solo provocano bruciature, ma possono causare danni irreparabili ai tessuti del corpo umano. Il sole emette, principalmente luce visibile, ma anche una certa quantità di UV. Gli UV rappresentano una percentuale minima della radiazione totale emessa dal sole; purtuttavia se non avessimo lo schermo naturale dell'atmosfera e dei gas come l'ozono, la quantità di radiazione che arriverebbe non sarebbe compatibile con la vita umana. Una parte della radiazione ultravioletta è essenziale in alcuni processi biologici, quale la produzione di Vitamina D. Inoltre viene utilizzata con successo in alcune terapie antibatteriche quali la sterilizzazione. Il coefficiente di assorbimento degli UV è molto grande per quasi tutti i materiali, ad esempio il vetro di buona qualità che è molto trasparente nel visibile negli UV è estremamente assorbente: lo spessore del parabrezza di una autovettura è sufficiente ad eliminare praticamente tutta la radiazione UV del sole. Solo il quarzo ha un coefficiente di assorbimento più piccolo per la parte dello spettro UV a più bassa frequenza. A lunghezze d'onda inferiori a 200 nm il quarzo, ma anche l'aria ( a causa dell'ossigeno presente) assorbe fortemente gli UV. Gli UV sono utilizzati molto nella microlettronica, proprio a causa della lunghezza d'onda estremamente piccola, ma trovano applicazioni anche in alcune tecniche diagnostiche. Gli UV nella parte bassa dello spettro (400-300 nm) sono prodotti mediante scariche in gas a bassa pressione in tubi di quarzo. Nella parte più alta dello spettro con tecniche simili ai raggi X. === Raggi X=== I raggi X sono stati scoperti solo alla fine del XIX secolo (differentemente dagli ultravioletti noti da un secolo prima). La ragione è che la loro produzione non è semplice. Infatti vengono principalmente prodotti bombardando dei bersagli metallici con elettroni di alta energia e quindi che viaggiano in un vuoto spinto. I raggi X prodotti dipendono sia dall'energia degli elettroni incidenti, ma anche dal bersaglio. Infatti la componente continua ha una intensità tanto maggiore quanto maggiore è il numero atomico ma l'energia dei raggi X non eccede quella degli elettroni incidenti. La componente continua è dovuta alla radiazione di decelerazione degli elettroni. Vi è inoltre una componente discreta è dovuta al fatto che nell'urto vengono strappati gli elettroni più profondi del bersaglio e nel ristabilirsi della condizione di equilibrio, transizione degli elettroni esterni nei livelli profondi liberati, vengono emessi raggi X con la frequenza corrispondente alla differenza di energia tra i due livelli. Quindi se usiamo Ferro riusciamo a produrre righe di raggi X tra 0.17 nm e 0.19 nm (4 righe), mentre se usiamo Molibdeno avremo raggi X tra 0.063 nm e 0.071 nm. Attualmente mediante radiazione di sincrotone si riescono a produrre con notevole intensità e controllabilità sia raggi X che radiazione UV. L'utilizzazione più importanti dei Raggi X, fin dalla loro scoperta, sono state in radiografia e cristallografia. In radiografia si sfrutta l'assorbimento diverso dei vari tessuti profondi del corpo umano. In cristallografia si sfrutta il fatto che i raggi X hanno una lunghezza d'onda paragonabile alla distanza tra gli atomi di un reticolo cristallino, e quindi l'immagine di diffrazione permette di conoscere la struttura atomica dei solidi. Il corpo umano è abbastanza trasparente ai raggi X, pur tuttavia nell'attraversare il corpo umano ionizzano gli atomi presenti danneggiando in maniera irreversibile anche i tessuti profondi. Sono quindi classificati tra le radiazioni ionizzanti dannose all'organismo. Il danno provocato dai raggi X è peggiore di quello degli UV in quanto agisce a maggiore profondità e i raggi X hanno una energia per fotone maggiore. Schermi metallici spessi sono una buona protezione per radiazioni di tale tipo. === Raggi gamma=== I raggi gamma rappresentano le lunghezze d'onda più brevi dello spettro delle onde elettromagnetiche. I raggi gamma sono prodotti da reazioni che avvengono all'interno del nucleo atomico. Vi è una parziale sovrapposizione tra raggi gamma e raggi X: in quanto i livelli energetici degli elettroni di atomi di grande numero atomico possono eccedere l'energie atomiche. Il potere penetrante dei raggi gamma è in genere molto maggiore di quello dei raggi X. Per questo per la protezione di tali radiazione si usano materiali ad alto peso atomico (tipo il piombo), tanto per dare una idea se 1 cm di Piombo dimezza i raggi gamma è necessario uno spessore di 6 cm di cemento per produrre lo stesso effetto. I raggi gamma vengono prodotti nel decadimento di isotopi radioattivi, non esistono altri metodi sulla terra per produrre tali radiazioni. Gli effetti sulla materia vivente dei raggi gamma sono molto peggiori dei raggi X a parità di intensità a causa della maggiore energia dei fotoni. Infatti la perdita di energia dei raggi gamma può avvenire in maniera più distruttiva per i tessuti che la semplice ionizzazione. Possono prodursi isotopi radioattivi, coppie di particelle ed elettroni secondari energetici mediante effetto Compton. [[Categoria:Fisica classica|Spettro delle onde elettromagnetiche]] 4zxpsjas5ft2qitlglsqjdktvd7mgmc 0 13268 499977 498097 2026-07-19T13:53:02Z Hippias 18281 fix link 499977 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Legge di Gauss |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Legge_di_Gauss |CapitoloSuccessivo=Conduttori |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Conduttori }} {{fisica classica}} ==Potenziale elettrico== [[Immagine:Two_points_connect_in_two_way.png|thumb|250px|left|Due diversi percorsi che connettono due punti dello spazio]] Estendendo il concetto di conservatività definito per le forze ai campi è facile mostrare come il campo elettrico generato da una carica puntiforme sia conservativo, cioè con riferimento alla figura a fianco, l'integrale di linea per andare da un punto a ad un punto b: :<math> \int_a^b \vec E\cdot d\vec l\ </math> non dipende dal percorso seguito, ma solo dagli estremi di integrazione. Questa è una conseguenza del fatto che la forza elettrica è [[w:Forza_centrale|centrale]] e a simmetria sferica. Quindi, analogamente all'energia potenziale, possiamo definire la '''differenza di potenziale elettrico''' (''d.d.p'') <math>V_b-V_a\ </math> presente tra i punti a e b: :<math> V_b-V_a=-\int_a^b \vec E\cdot d\vec l\ </math> ==Unità di misura ed ordini di grandezza== Le dimensioni fisiche del potenziale elettrico sono quelle del rapporto tra una energia e una carica elettrica. L'unita di misura nel [[w:Sistema_internazionale_di_unit%C3%A0_di_misura|Sistema Internazionale]] è detta [[w:Volt|volt]] ed equivale a [[w:Joule|joule]] diviso [[w:Coulomb|coulomb]], indicato con il simbolo <math>[V]=\frac {[Energia]}{[Carica]}=\frac {[J]}{[C]}\ </math> Di conseguenza l'unità di misura del campo elettrico, che ha le dimensioni di una forza divisa una carica, non è normalmente scritta come <math>N/C\ </math>, ma si preferisce indicarla in <math>V/m\ </math>. :<math>[E]=\frac {[Forza]}{[Carica]}=\frac {[V]}{[m]}\ </math> I campi elettrici sono estremamente difficili da misurare in quanto la presenza di materia li modifica sostanzialmente, anche se finora la trattazione fatta escludeva la presenza di materia. Campi elettrici dell'ordine di qualche <math>10^6\ V/m\ </math> nell'aria sono considerati campi molto intensi. Infatti con campi di questo ordine di grandezza l'aria cessa di essere un mezzo simile al vuoto e si comporta come un [[w:Plasma_%28fisica%29|plasma]]. I fulmini, l'effetto più appariscente dell'elettromagnetismo fin dagli albori della civiltà umana, sono una tipica manifestazione di tali campi intensi. Durante una giornata serena vi è naturalmente un campo elettrico la cui intensità al livello del mare è di circa un centinaio di V/m. Quindi un campo di questo ordine di grandezza presente naturalmente è considerato un campo elettrico di piccola intensità. Il potenziale elettrico è invece una grandezza che è entrata nell'uso comune, differenze di potenziale tra oggetti carichi isolati sono facilmente misurabili, tra frazioni di volt a centinaia di volt. Differenze di potenziali statiche di qualche nV sono invece estremamente difficili da misurare, mentre differenze di potenziale di molte centinaia di volt possono essere estremamente pericolose per la salute umana se applicate tra due differenti parti del corpo umano: in realtà la pericolosità è legata alla corrente, di cui parleremo nel seguito. La carica dell'elettrone di circa <math>1,6\times 10^{-19}\ C</math>, la minima carica possibile, indica chiaramente cosa sia una carica piccola. Il coulomb rappresenta una grossa carica se distribuita su volumi di qualche <math>m^3\ </math>, ma se invece consideriamo la carica contenuta in una media nuvola di pioggia, che ha dimensioni di qualche km, facilmente la carica accumulata è di qualche decina di C. Ma dato il volume in gioco la densità volumetrica di carica è di solito inferiore a <math>10^{-9}\ C/m^3\ </math>, la densità di carica presente nell'aria in una giornata serena è di appena un ordine di grandezza inferiore a tale grandezza. === Carica puntiforme=== Consideriamo, un caso particolare, il campo elettrico <math>\vec E\ </math> generato da una carica puntiforme <math>Q\ </math> posta nell'origine delle coordinate, come abbiamo visto vale: :<math>\vec E=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac Q{r^2}\hat r\ </math> Sostituendo, questa espressione, nella equazione precedente: :<math>V_b-V_a =-\int_a^b \vec E\cdot d\vec l =-\int_a^b |\vec E|\cdot |d\vec l|\cos \theta\ </math> dove <math>\theta\ </math> è l'angolo compreso tra i vettori <math>\vec E\ </math> e <math>d\vec l\ </math>. Il prodotto <math>dl\cos \theta\ </math>, rappresenta la proiezione lungo <math>r\ </math> di <math>dl\ </math>, quindi <math>dl\cos \theta=dr\ </math>: :<math>V_b-V_a =-\int_a^b |E|dr=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} Q\int_{r_b}^{r_a}\frac 1{r^2}dr= \frac 1{4\pi \varepsilon_o} Q\left[\frac 1{r_b} -\frac 1{r_a} \right]\ </math> Quindi: :<math>V_b=V_a+ \frac 1{4\pi \varepsilon_o} Q\left[\frac 1{r_b} -\frac 1{r_a} \right]\ </math> Se poniamo che all'infinito (<math>r_a=\infty\ </math>) <math>V_a=0\ </math> abbiamo che: :<math>V_b=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac Q{r_b}\ </math> Che all'infinito il potenziale sia nullo è una scelta arbitraria ma comoda, se cambiamo il nome di <math>r_b\ </math> in <math>r\ </math>: :<math>V(r)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac Qr \ </math> === Varie cariche puntiformi=== Se la distribuzione delle cariche è limitata nello spazio è sempre possibile assumere che il potenziale all'infinito sia nullo. Immaginando di avere <math>n\ </math> cariche <math>Q_i\ </math> disposte ciascuna nella posizione di raggio vettore <math>\overrightarrow{r}_i\ </math> (applicando il principio di sovrapposizione degli effetti) l'espressione del potenziale elettrico, nel punto individuato dal raggio vettore <math>\overrightarrow{r}\ </math>, diventa: :<math>V(\overrightarrow{r})= \frac 1{4\pi \varepsilon_o} \sum_{i=1}^n\frac{Q_i}{|\vec r- \vec {r_{i}}|}\ </math> Essendo <math>V\ </math> una funzione scalare, il calcolo del potenziale è molto più semplice da effettuare del campo elettrico. === Caso continuo=== I ragionamenti fatti si estendono al caso continuo, in particolare nel caso di distribuzione di cariche su una linea con densità lineare <math>\lambda\ </math> l'espressione del potenziale del punto posto nella posizione identificata da <math>\vec r\ </math> (assunto nullo il potenziale all'infinito) vale: :<math> V(\overrightarrow{r})= \frac 1{4\pi \varepsilon_o} \int_0^L \frac{ \lambda dl}{|\vec r-\vec {r_l}|}\ </math> Dove <math>\overrightarrow{r_l}\ </math> è il vettore posizione del generico elementino <math>dl\ </math>. Con ragionamento analogo nel caso distribuzione superficiale caratterizzata dalla densità superficiale <math>\sigma\ </math>: :<math>V (\overrightarrow{r})= \frac 1{4\pi \varepsilon_o} \int_S \frac{ \sigma ds}{|\vec r-\vec {r_s}|}\ </math> infine per una distribuzione volumetrica: :<math>V (\overrightarrow{r})= \frac 1{4\pi \varepsilon_o} \int_T \frac{ \rho d\tau}{|\vec r-\vec {r_{\tau}}|}\ </math> Queste relazioni sono analoghe alle equazioni ricavate per il campo elettrico. ===Dal potenziale elettrico al campo elettrico=== Quando abbiamo definito il potenziale elettrico siamo in realtà partiti dalla relazione infinitesima: :<math>dV =- \vec E\cdot d\vec l\ </math> Cioè la d.d.p. elettrico tra 2 punti, in coordinate cartesiane (x,y,z) e (x+dx,y+dy,z+dz), è pari all'opposto del prodotto scalare tra il campo elettrico e lo spostamento infinitesimo sulla traiettoria: :<math>dV=-E_xdx-E_ydy-E_zdz\ </math> Ma d'altro canto, secondo la definizione di differenziale, vale la relazione: :<math>dV=\frac {\partial V}{\partial x}dx+\frac {\partial V}{\partial y}dy+\frac {\partial V}{\partial z}dz\ </math> Quindi: :<math>E_x=-\frac {\partial V}{\partial x}\ </math>; :<math>E_y=-\frac {\partial V}{\partial y}\ </math>; :<math>E_z=-\frac {\partial V}{\partial z}\ </math>; In maniera sintetica viene anche scritto che il campo elettrico è il [[w:gradiente|gradiente]] del potenziale cambiato di segno: :<math>\vec E=-\vec {grad}V\ </math>; Anche ricordando che abbiamo definito <math>\vec {\nabla}</math> (detto ''Nabla'') come: :<math>\vec {\nabla}=(\frac {\partial }{\partial x},\frac {\partial }{\partial y},\frac {\partial }{\partial z})\ </math> Si ha che le equazioni precedenti si possono scrivere anche come: :<math>\vec E=-\vec {\nabla}V\ </math> ===Gradiente in coordinate polari=== [[File:Spheric_ds.png|thumb|250px|right|Coordinate sferiche]] Una linea in [[w:Sistema_di_riferimento#Il_sistema_sferico|coordinate polari]] cioè la congiungente i due punti in figura ha componenti <math> \vec {dl}=(dr, rd\theta, r\sin \theta d\phi)\ </math> come si ricava dalla figura. Cioè nelle tre direzioni <math>r,\theta, \ \phi\ </math>. In questo sistema di coordinate essendo <math>V(r,\theta,\phi)\ </math> il suo differenziale è: :<math>dV=\frac {\partial V}{\partial r}dr+\frac {\partial V}{\partial \theta}d\theta+\frac {\partial V}{\partial \phi}d\phi\ </math> Ma anche :<math>dV =- \vec E\cdot \vec {dl}=-E_rdr-E_{\theta} rd\theta-E_{\phi} r\sin \theta d\phi\ </math> Quindi in coordinate polari: :<math>E_r=-\frac {\partial V}{\partial r}\ </math> :<math>E_{\theta} =-\frac 1r\frac {\partial V}{\partial \theta}\ </math> :<math>E_{\phi} =-\frac 1{r\sin \theta}\frac {\partial V}{\partial \phi}\ </math> Quindi le componenti del gradiente, non solo per il potenziale elettrico ma per qualsiasi campo scalare, in coordinate polari sono: :<math>grad_r=\frac {\partial }{\partial r},\qquad grad_{\theta}=\frac 1r\frac {\partial }{\partial \theta},\qquad grad_{\phi}=\frac 1{r\sin \theta}\frac {\partial }{\partial \phi}\ </math> === Azione dei campi elettrici sulle cariche=== Una carica puntiforme di massa <math>m\ </math> e carica <math>q\ </math> posta in un campo elettrico segue la [[Fisica_classica/Dinamica#Seconda_legge_della_dinamica_.28detta_anche_II_legge_di_Newton.29|seconda legge della dinamica]] cioè: :<math>q\vec E=\vec F=m\vec a\ </math> In alcuni casi come nel caso di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#21._Tre_cariche_sui_vertici_di_un_quadrato| distribuzione discreta di cariche]] o in una continua [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/La_legge_di_Gauss#13._Un_corpo_di_massa_m_e_carico|con simmetria sferica]] tale equazione è utile per studiare la dinamica del sistema, ma più spesso si è interessati non tanto alla dinamica istantanea ma alla velocità iniziale e finale ed essendo le forze elettriche centrali è più facile utilizzare la [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Forze_conservative|conservazione dell'energia]] come ad esempio nel [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/La_legge_di_Gauss#17._Moto_in_nuvola_cilindrica|moto in una nuvola cilindrica]]. ==Il [[w:Dipolo_elettrico|dipolo elettrico]]== [[Image:Potenziale_dipolo_elettrico.png|thumb|250px|right|Un dipolo elettrico]] Si chiama dipolo elettrico un insieme di due cariche eguali e opposte:<math>+q\ </math> e <math>-q\ </math>, poste come nella figura a fianco a distanza <math>2a\ </math>. Un sistema di questo genere viene chiamato dipolo elettrico ed è caratterizzato dal suo momento di dipolo elettrico <math>\vec p\ </math>: :<math>\vec p=2q \vec a\ </math> Orientato dalla carica negativa a quella positiva. Il dipolo elettrico è tra le più semplici distribuzioni di cariche, solo la carica puntiforme è più semplice. Mentre in natura le cariche elementari non sono quasi mai isolate, in quanto la materia è neutra, esistono a livello elementare dipoli molecolari. Il calcolo del potenziale elettrico di un dipolo a distanza molto maggiore della separazione tra le cariche è una espressione molto utile. Il potenziale elettrico (supposta nulla la d.d.p. rispetto all'infinito) in un punto <math>P\ </math> distante <math>r\ </math> dall'asse del dipolo posto nell'origini delle coordinate lungo un asse cartesiano (vedi figura a fianco) vale: :<math>V(\vec r)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o}\left( \frac q{r_1}-\frac q{r_2}\right)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} q\frac {r_2-r_1}{r_1r_2}\ </math> Se <math>r_1\ </math> e <math>r_2\ </math> (moduli delle distanze) sono molto maggiori della distanza tra le cariche <math>2a\ </math>, e se indichiamo con <math>\theta\ </math> l'angolo formato tra l'asse del dipolo con la direzione <math>\vec r\ </math>, si può scrivere: :<math>r_2-r_1\approx 2a\cos \theta\ </math> ed anche: :<math>r_1r_2\approx r^2\ </math> Quindi possiamo riscrivere l'equazione precedente come: :<math>V(\vec r)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {2aq}{r^2}\cos \theta \ </math> Dalla definizione del momento di dipolo elettrico come vettore potremo scrivere in maniera compatta: :<math>V(\vec r)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {\vec p\cdot \vec r}{r^3}\ </math> Tale espressione è valida solo per punti a distanza grande rispetto alla separazione delle cariche, nei punti vicini bisogna usare l'espressione esatta. Nel caso particolare mostrato nella figura assunto come asse delle <math>z\ </math> la direzione del dipolo, in coordinate cartesiane, essendo <math>r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\ </math>, tale espressione diventa: <math>V=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {pz}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\ </math> [[Immagine:VFPt_dipole_electric.svg|thumb|300px|right|Linee del campo elettrico di un dipolo]] Da tale espressione esplicita è possibile calcolare le tre componenti del campo elettrico secondo i tre assi cartesiani, sempre nell'approssimazione di distanza grande rispetto alle dimensioni del dipolo stesso: :<math>E_x=-\frac {\partial V}{\partial x}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {3pzx}{r^5}\ </math> :<math>E_y=-\frac {\partial V}{\partial y}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {3pzy}{r^5}\ </math> :<math>E_z=-\frac {\partial V}{\partial z}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {p}{r^5}(3z^2-r^2)\ </math> Nella figura accanto sono mostrate le linee del campo elettrico di un dipolo. È possibile scrivere una espressione del campo elettrico in forma più generale che non dipende dall'avere orientato il dipolo secondo l'asse delle z: :<math>\vec E=\frac 1{4\pi \varepsilon_o r^5}\left[ 3(\vec p\cdot \vec r)\vec r-r^2\vec p\right]\ </math> ===Il dipolo elettrico in coordinate polari=== Se si sceglie l'asse delle z coincidente con la direzione del dipolo possiamo riscrivere il potenziale a grande distanza dal dipolo come: :<math>V(r,\theta,\phi)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {p\cos \theta}{r^2}\ </math> quindi in coordinate polari: :<math>E_r=-grad_rV=-\frac {\partial V}{\partial r}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {2p\cos \theta}{r^3}\ </math> :<math>E_{\theta}=- grad_{\theta}V=-\frac 1r\frac {\partial V }{\partial \theta}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {p\sin \theta}{r^3}\ </math> :<math>E_{\phi}=- grad_{\phi}V=-\frac 1{r\sin \theta}\frac {\partial V}{\partial \phi}\ </math> Quindi il campo in coordinate polari non ha componenti nella direzione zenitale (<math>\phi\ </math>). Due esercizi uno sulla [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#5. Dipoli_differenza_di_potenziale|differenza di potenziale di un dipolo]] e l'altro sul [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#9. Un_dipolo|campo elettrico]] possono servire a chiarire il concetto di dipolo. Infine anche distribuzioni continue come quella di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#18. Anello con distribuzione dipolare|un anello con distribuzione dipolare]] sono a grande distanza assimilabili a semplici dipoli. [[Immagine:Dipolo_en_campo_electrico_uniforme.png|thumb|350px|right|Forze agenti su un dipolo da parte di un campo elettrico uniforme]] === Azione dei campi elettrici sui dipoli elettrici=== Se si ha un dipolo elettrico rigido posto in un campo elettrico esterno e ne si vuole capire la dinamica, allora è necessario calcolare la forza risultante e il momento risultante. Se il campo elettrico è uniforme la risultante delle forze è chiaramente nulla in quanto la forza agente sulla carica positiva è esattamente eguale e contraria a quella agente sulla negativa. Mentre per quanto riguarda il momento in genere è diverso da 0. Se il dipolo ha un angolo <math>\theta\ </math> con la direzione del campo, sul sistema agirà una coppia di forze, data da due volte la forza per il braccio: :<math>|\tau| = 2|F|(a \sin \theta ) = 2a|F|\sin \theta \,\!</math> Il momento si è indicato con la notazione anglosassone <math>|\tau| \!</math>, per non generare confusione con grandezze che si studieranno nel magnetismo. Poiché <math>|F|=q|E|\,\!</math> e <math>|p|=(2a)(q)\,</math>, si ha che: :<math>|\tau| = 2aq|E |\sin \theta = pE\sin \theta \,</math> Per questa ragione un dipolo elettrico immerso in un campo esterno uniforme <math>\scriptstyle \vec E\ </math>, è soggetto a un momento che tende ad allinearlo alla direzione del campo: :<math>\vec {\tau}=\vec p \times \vec E</math> Si deve fare un lavoro (positivo o negativo) mediante una azione esterna per cambiare la direzione relativa del dipolo rispetto al campo esterno. Essendo il campo elettrico conservativo, posso associare a tale lavoro una energia potenziale U. Se <math>\theta \,\!</math> nella figura (a) ha il valore iniziale <math>{\theta }_0\,\!</math>, il lavoro necessario a ruotare il dipolo fino a un angolo <math>\theta \,\!</math> è: :<math>W=\int dW = -\int_{{\theta}_0}^{\theta} \tau d\theta =-\int_{{\theta}_0}^{\theta} pE\sin \theta d\theta = -pE\int_{{\theta}_0}^{\theta}\sin \theta d\theta=pE[\cos \theta - \cos {\theta}_0]</math> Possiamo associare a tale lavoro (che dipende solo dall'angolo tra il campo e il dipolo) una energia potenziale <math>\Delta U\!</math> che è pari per definizione: :<math>\Delta U=-W=-pE[\cos \theta - \cos {\theta}_0]\ </math> Se si assume che l'energia potenziale è nulla per <math>{\theta }_0 \,\!</math>=90º: la scelta corrisponde ad assumere che il potenziale minimo si ha con il dipolo allineato nel verso e nella direzione del campo e il massimo quando è allineato nella direzione del campo, ma con verso opposto. Si ha quindi che: :<math>U = -pE\cos \theta \,\!</math> O in forma vettoriale: :<math>U = -\vec p\cdot \vec E \ </math> La cosiddetta [[w:Carta_elettronica|carta elettronica]] utilizza la proprietà dei dipoli elettrici per orientare sullo schermo delle minuscole sferette che sono dei dipoli elettrici colorati di nero nell'elettrodo positivo e di bianco in quello negativo: tale tecnica a partire dal 1996 è utilizzata negli [[w:E-book|''e-book'']]. Se il campo elettrico non è uniforme la dinamica è chiaramente più complicata in quanto la risultante delle forze non è più nulla a meno che il dipolo sia orientato nella direzione in cui il campo elettrico non varia. Ma chiaramente questa non è una situazione di equilibrio in quanto il momento sarà massimo in tale posizione e farà ruotare il dipolo allineandolo alle linee del campo. Si tratta in genere di un sistema rigido soggetto contemporaneamente a una forza risultante esterna e a un momento quindi la dinamica è quella di un [[Fisica_classica/Corpo_rigido#Moto_rototraslatorio| moto rototraslatorio]]. Si semplifica il comportamento dinamico se si assume che l'allineamento del dipolo con le linee del campo (dovuto al momento delle forze) avviene più rapidamente rispetto al moto di trascinamento (dovuto alla variazione spaziale del campo elettrico). In questo caso vi sarà un moto di trascinamento, in quanto se viene assunto come asse delle <math>x\ </math> la direzione locale del campo elettrico su cui si è allineato il dipolo e viene scelta l'origine sul centro del dipolo, la posizione della carica negativa sarà <math>-a\ </math> e quella della positiva <math>a\ </math>. La risultante della forza sarà quindi: :<math>F_x=qE_x(a)-qE_x(-a)\ </math> Se la variazione di <math>E_x\ </math> non è troppo brusca: :<math>E_x(-a)\approx E_x(0)-\frac {\partial E_x}{\partial x}|_{x=0}a\ </math> :<math>E_x(a)\approx E_x(0)+\frac {\partial E_x}{\partial x}|_{x=0}a\ </math> Quindi: :<math>F_x\approx 2qa\frac {\partial E_x}{\partial x}|_{x=0}=p\frac {\partial E_x}{\partial x}\ </math> Cioè i dipoli sono trascinati nella regione dove più intenso è il campo elettrico. Tale forza di trascinamento viene utilizzata nelle macchine fotocopiatrici dove intensi campi elettrici trascinano il toner (dipoli) sulla carta e poi mediante un trattamento termico sono fissati su di essa. Un esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#15. Due_dipoli|due dipoli]] che agiscono uno sull'altro possono chiarire meglio il ragionamento. == Energia potenziale elettrica== In condizioni statiche, l'intera energia del sistema di cariche esiste solo come energia potenziale. Tale energia è il lavoro richiesto per formare una certa distribuzione di cariche. Se possiedo semplicemente due cariche <math>q_1\ </math> e <math>q_2\ </math> e proviamo ad avvicinarle alla distanza <math>r_{12}\ </math> a partire da una distanza infinita, la differenza di energia potenziale posseduta dal sistema, nella condizione finale rispetto alla condizione iniziale è evidentemente: <math>U=\frac 1{4\pi \epsilon_o}\frac {q_1q_2}{r_{12}}\ </math> Si può estendere il ragionamento a un sistema di <math>n\ </math> cariche <math>q_i\ </math> poste a distanza reciproca <math>r_{ij}\ </math>. Per tale sistema l'energia totale é, per semplice estensione del caso precedente eguale a: <math>U=\frac 12 \frac 1{4\pi \epsilon_o}\sum_{\overset{\scriptstyle i=1} {\scriptstyle i\neq j}}^n\sum_{j=1}^n \frac {q_iq_j}{r_{ij}}\ </math> dove il termine 1/2 è stato introdotto per eliminare le coppie che sarebbero state contate due volte considerate, se vengono scambiati ''i'' e ''j''. Separando le due [[w:Serie|sommatorie]] si ha che: <math>U = \frac 12 \frac 1{4\pi \epsilon_o}\sum_{\overset{\scriptstyle i=1} {\scriptstyle i\neq j}}^nq_i\sum_{j=1}^n \frac {q_j}{r_{ij}}= \frac {1}{2} \sum_{i = 1}^{n} q_i \cdot V_i</math> Dove <math>V_i\ </math> è il potenziale generato dalle n-1 cariche nella posizione dove è posizionata la carica i, cioè: <math>V_i=\frac 1{4\pi \epsilon_o}\sum_{\overset{\scriptstyle j=1} {\scriptstyle j\neq i}}^n \frac {q_j}{r_{ij}}\ </math> Nel caso di distribuzioni continue di carica si ha: <math>U= \int_\tau \frac{1}{2} \rho V \operatorname{d}\tau</math> con <math>\rho(x,y,z)\,\!</math> densità di carica e <math>\operatorname{d}\tau=\operatorname{d}x\operatorname{d}y\operatorname{d}z</math> volume infinitesimo. Nell'esempio seguente non viene usata la formula precedente, ma viene fatto un ragionamento fisico. === Caso di una sfera uniformemente carica=== Immaginiamo di voler costruire una sfera uniformemente carica di raggio <math>R\ </math> e carica totale <math>Q\ </math>. Immaginiamo di assemblarla successivamente aggiungendo via via dei gusci sferici infinitesimi di volume <math>d\tau =4\pi r^2 dr\ </math>. Il processo di costruzione ha inizio con la sfera di raggio <math>r=0\ </math> e finisce con la sfera di raggio <math>R\ </math>. La densità di carica vale ovviamente: <math>\rho=\frac {3Q}{4\pi R^3} </math> Quindi quando la sfera ha un raggio <math>r\ </math> con <math>0\le r \le R</math> il lavoro necessario ad aggiungere un guscio di spessore infinitesimo <math>dr\ </math> vale: <math>dU=V_r\rho d\tau\ </math> Dove <math>V_r\ </math> è la differenza di potenziale tra la superficie della sfera e l'infinito quando il suo raggio vale <math>r\ </math>: <math>V_r=\frac {\rho \frac 43 \pi r^3}{4\pi \varepsilon_o r}=\frac {\rho r^2}{3 \epsilon_o }\ </math> Esplicitando l'eq. 2: <math>dU=\frac {\rho^2 4\pi r^4 dr}{3 \varepsilon_o}</math> Quindi integrando l'ultima espressione tra 0 e R si ha: <math>U=\int_0^R \frac {\rho^2 4\pi r^4 dr}{3 \varepsilon_o} =\frac {\rho^2 4\pi R^5}{15 \varepsilon_o}=\frac {3Q^2}{20\pi \varepsilon_o R} \ </math> Un esempio con [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#20._Goccia_d.27olio|una goccia d'olio]] carica che si spezza può chiarire meglio questi concetti. ===Energia associata al campo elettrostatico=== Consideriamo una distribuzione finita di carica, nel volume <math>T\ </math> che genera quindi nello spazio un campo elettrico a cui posso associare un potenziale elettrico. L'energia elettrostatica totale del sistema vale (formula precedente): <math>U= \int_T \frac{1}{2} \rho V \operatorname{d}\tau</math> Applicando teorema di [[Fisica_classica/Legge_di_Gauss#Il teorema di Gauss in forma differenziale|Gauss in forma differenziale]] <math>U= \int_T \frac{1}{2} \varepsilon_o \left( \vec \nabla \cdot \vec E\right) V \operatorname{d}\tau\ </math> Poiché: <math> \vec \nabla \cdot \left( \vec EV \right)=\left( \vec \nabla \cdot \vec E \right) V+ \vec E \cdot \vec \nabla V\ </math> da cui: <math>\left( \vec \nabla \cdot \vec E\right) V=\vec \nabla \cdot \left( \vec EV \right)- \vec E \cdot \vec \nabla V\ </math> quindi: <math> U= \int_T \frac{1}{2} \varepsilon_o\left[ \vec \nabla \cdot \left( \vec EV \right)-\vec E \cdot \vec \nabla V\right]\operatorname{d}\tau \ </math> Usando la formula inversa dal potenziale elettrico al campo: <math> U= \frac 12 \varepsilon_o \int_T \vec \nabla \cdot \left( \vec EV \right)\operatorname{d}\tau+\frac{1}{2} \varepsilon_o \int_T E^2\operatorname{d}\tau \ </math> Estendendo l'integrale a tutto lo spazio, quindi una sfera di raggio infinito, il primo termine per il [[w:Teorema_della_divergenza|teorema della divergenza]] diventa il flusso del prodotto del campo elettrico che va con <math>1/R^2\ </math> e del potenziale <math>V\ </math> come <math>1/R\ </math> (Entrambi decrescono più velocemente se la carica netta è nulla). Poiché l'integrale superficiate di una sfera va come <math>R^2\ </math> si ha che il primo termine si annulla, quindi rimane solo il secondo termine: <math> U= \frac{1}{2} \varepsilon_o \int_{Spazio} E^2\operatorname{d}\tau \ </math> Quindi <math> \frac{1}{2} \varepsilon_o E^2\ </math> è l'energia per unità di volume del campo elettrostatico. ==Conservatività del campo elettrostatico== A causa della conservatività del campo elettrostatico abbiamo che <math>\int_a^b \vec E\cdot d\vec l\ </math> è indipendente dal percorso che seguiamo per andare da <math>a \ </math> a <math>b \ </math>. Se in particolare <math>a \ </math> coincide con <math>b \ </math>, cioè il cammino è una linea chiusa si ha che: <math>\oint_l \vec E\cdot d\vec l=0\ </math> Cioè la circuitazione del campo elettrostatico lungo una linea chiusa è identicamente nullo. Tale proprietà è una proprietà integrale cioè riguarda una porzione macroscopica in cui tale campo è definito, ma vale qualunque sia la linea chiusa che noi consideriamo. Il prodotto vettoriale di <math>\vec \nabla\ </math> con il generico vettore <math>\vec A\ </math> viene chiamato rotore: <math>rot \vec A=\vec \nabla \times \vec A=\left ( \begin{matrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ \frac {\partial}{\partial x}& \frac {\partial}{\partial y}& \frac {\partial}{\partial z}\\ A_x&A_y&A_z \end{matrix} \right) =\left( \frac {\partial A_z}{\partial y}-\frac {\partial A_y}{\partial z} \right) \vec i +\left( \frac {\partial A_x}{\partial z}-\frac {\partial A_z}{\partial x}\right) \vec j +\left( \frac {\partial A_y}{\partial x}-\frac {\partial A_x}{\partial y}\right) \vec k</math> Il rotore di un campo vettoriale dà una misura dei vortici presenti nel campo stesso. Se abbiamo un corpo rigido che ruota con velocità angolare costante <math>\omega\ </math> attorno a un asse, il rotore del campo delle velocità istantanee è un vettore diretto lungo l'asse di rotazione con intensità <math>2\omega\ </math>. Mentre se lo stesso oggetto si muove di moto traslatorio il vettore del campo vettoriale velocità è nullo, Si dimostra analiticamente, [[w:Teorema_di_Stokes|Teorema di Stokes]] che la circuitazione di un generico vettore <math>\vec A\ </math> attraverso una linea chiusa <math>L\ </math> che delimita una superficie aperta <math>S\ </math> vale esattamente: <math> \oint \vec A\cdot \vec {dl}=\int_Srot \vec A\cdot \vec {ds} \ </math> Questa equazione permette di trasformare un integrale di linea in uno di superficie. Nel caso specifico della circuitazione del campo elettrostatico: <math>\oint_l \vec E\cdot d\vec l=\int_S\vec \nabla \times \vec E=0\ </math> Dove <math>S\ </math> è una qualsiasi superficie aperta che ha come contorno la linea <math>l\ </math>. Ma poiché l'ultima identità vale qualsiasi sia la superficie <math>S\ </math>, per verificare tale condizione occorre che l'integrando sia identicamente nullo: <math>\vec \nabla \times \vec E=0\ </math> Questa è la relazione locale del campo elettrostatico. ==Le equazioni di Poisson e Laplace== Le due equazioni di Maxwell in forma locale che descrivono il comportamento del campo elettrico sono quindi: :<math>\nabla \cdot \vec E = {\rho \over \varepsilon_0} </math> :<math> \nabla \times \vec E =0</math> dove la seconda equazione, per il fatto che il [[w:Rotore (matematica)|rotore]] del [[w:gradiente|gradiente]] è nullo, può essere scritta come: :<math>\vec E = - \nabla V(\vec r) </math> In altre parole, il campo elettrico è definito come il gradiente di una funzione scalare <math>V(\vec r)</math>. Trovare <math>V(\vec r)</math> è il modo usuale per trovare il potenziale elettrico a partire da una data distribuzione di cariche. Essendo il potenziale elettrico una funzione scalare è molto più semplice avere a che fare con una funzione scalare, piuttosto che con una vettoriale come il campo elettrico. Sostituendo l'espressione del campo elettrico nella prima delle due equazioni di Maxwell sopra citate si ottiene l'[[w:Equazione_di_Poisson|equazione di Poisson]], che ha la forma: :<math>{\nabla}^2 V(\vec r) = - {\rho \over \varepsilon_0}</math> In particolare in coordinate cartesiane assume la forma: :<math>{\nabla}^2 V= \frac {\partial^2 V}{\partial x^2}+\frac {\partial^2 V}{\partial y^2}+\frac {\partial^2 V}{\partial z^2}=- {\rho \over \varepsilon_0}</math> Se la regione di spazio considerata non ha sorgenti, cioè per <math>\rho =0</math>, l'equazione di Poisson si riduce all'[[w:Equazione_di_Laplace|equazione di Laplace]]: :<math>{\nabla}^2 V(\vec r) = 0</math> In genere in elettrostatica si determina la soluzione dell'equazione di Laplace in una regione in cui non siano presenti cariche e di conseguenza si trova la soluzione dell'equazione di Poisson. === Unicità della soluzione dell'equazione di Poisson=== Il teorema di unicità per l'equazione di Poisson afferma che se si conoscono i valori di <math>V(\vec r)</math> sul [[w:Frontiera_(topologia)|contorno di una certa regione]], la soluzione dell'equazione di Poisson esiste. Di conseguenza anche il campo elettrico è univocamente determinato. Immaginiamo di avere una regione di spazio in cui la densità di carica è nota e continua ed è delimitata dalla superficie di contorno <math>S</math> al volume <math>T\ </math> in cui il potenziale vale <math>f_S</math>. Il teorema afferma che esiste un'unica soluzione. La dimostrazione si fa per assurdo immaginando che vi siano invece due soluzioni diverse: <math>f_1</math> e <math>f_2</math> che entrambe assumono il valore <math>f_S</math> sulla superficie. :<math>{\nabla}^2 f_1 = - {\rho \over \varepsilon_0}\qquad f_1=f_S \ su\ S</math> :<math>{\nabla}^2 f_2 = - {\rho \over \varepsilon_0}\qquad f_2=f_S \ su\ S</math> Se definisco: :<math>f=f_2-f_1</math> :<math>{\nabla}^2 f={\nabla}^2 (f_2-f_1)=0 \qquad f=0 \ su\ S</math> Quindi la funzione <math>f</math> soddisfa l'equazione di Laplace, ma dobbiamo dimostrare che è anche identicamente nulla. Per il [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell#Teorema_della_divergenza|teorema della divergenza]] possiamo trasformare l'integrale di volume della quantità nel flusso attraverso la superficie di contorno <math>S\ </math>, dove la funzione <math>f\equiv 0\ </math>: :<math>\int_{T}\vec \nabla \cdot (f\vec \nabla f)d\tau=\int_Sf\vec \nabla f\cdot \vec{dS}=0\ </math> Ma il primo termine può anche svilupparsi: :<math>\int_{T}\vec \nabla \cdot (f\vec \nabla f)d\tau=\int_{T}f{\nabla}^2 fd\tau+\int_{T}(\vec \nabla f)^2d\tau</math> il primo termine dello sviluppo è nullo in quanto <math>{\nabla}^2 f=0</math> (per l'equazione di Laplace). Quindi si ha che in tutto il dominio. Quindi in definitiva si ha che: :<math>\int_{T}(\vec \nabla f)^2d\tau=0</math> La funzione integranda è continua (come la densità di carica), non è mai negativa (essendo un quadrato) e quindi perché l'integrale nella regione <math>T\ </math> sia nullo occorre che anche <math>\vec \nabla f =0</math> in tutto il <math>T </math> che ha come contorno la regione <math>S </math>, quindi che la funzione <math>f </math> debba essere una costante nel volume e contemporaneamente nulla sul contorno deve essere nulla dappertutto. Quindi le due funzioni <math>f_1</math> e <math>f_2</math> sono identiche (a meno di una costante, ma il potenziale è definito a meno di una costante: quindi come si voleva dimostrare la soluzione è unica). ==Bibliografia== * {{cita libro | cognome= Mencuccini | nome= Corrado | autore2= Vittorio Silvestrini | titolo= Fisica II | editore= Liguori | città= | ed= 3 | anno= 1999 | id= ISBN 978-88-207-1633-2 }} [[Fisica_classica/Conduttori| Argomento seguente: Conduttori]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} oc5mxuqwqqph5e8v06py7r7riuuurcc 0 24814 499990 499322 2026-07-19T20:06:25Z Ptolemaios 19075 499990 wikitext text/x-wiki {{greco antico}} {{Avanzamento|100%|23 ottobre 2011}} La prima coniungazione dei verbi greci è detta in "-ω" (dall'uscita della prima persona singolare del presente) o anche ''tematica'' perché interpone una vocale tematica fra la radice e le desinenze. ==Caratteristiche== Nella forma attiva: * la vocale tematica si presenta come ο ου ω davanti a ν (anche se questa è poi caduta) e μ, mentre si presenta come ε ει η davanti a dentale (σ e τ); * le desinenze principali (tipiche del presente indicativo e congiuntivo) della coniugazione tematica sono: singolare I, II, III pers., -ω, -ς, [-], duale II e III pers. -τον, -τον, plurale I, II, III pers., -μεν, -τε, -ουσι(ν); * La terminazione della prima singolare è costituita dalla sola vocale tematica con allungamento apofonico; * la desinenza della III pers. plur. viene da *λύ-ο-ντι(ν) > *λύ-ο-νσι(ν) > *λύ-ō-σι(ν) > λύουσι(ν); τ si assibila in σ che a sua volta provoca caduta di ν e allungamento di compenso, con ν efelcistico finale<ref>Questo ν compare soltanto prima di una parola che inizia per vocale per evitare lo iato e prima di una pausa.</ref>. * le desinenze secondarie (tipiche dell'ottativo) sono: singolare I, II, III pers., -μι/-ν<ref>-ν applicabile solo, ed eventualmente come variante, ai verbi contratti.</ref>, -ς, [-], duale II e III pers. -τον, -την, plurale, I, II, III pers., -μεν, -τε, -ν; * la caratteristica del congiuntivo è la vocale tematica allungata (ο ου ω > ω, ε > η). La prima singolare, non avendo terminazione, porta solo la vocale tematica che, essendo già allungata, non subisce modifiche; * il suffisso dell'ottativo tematico è -οι(ε)- (desinenze atipiche: prima persona singolare -μι, presa a prestito dai verbi atematici, in sostituzione dell'antica desinenza -ν, divenuta poco riconoscibile); * l'imperativo manca delle prime persone, nella seconda singolare ha la vocale tematica -ε (come il vocativo singolare maschile), ha le seconde persone duali e plurali con le stesse desinenze dell'indicativo; le terze persone di tutti e tre i numeri sono caratterizzate dall'elemento τω: -τω, -των, -ντων. Nella forma medio-passiva: * la vocale tematica, il suffisso del congiuntivo, il suffisso dell'ottativo sono gli stessi che si trovano nella forma attiva; * le desinenze principali (tipiche del presente indicativo e congiuntivo), della coniugazione tematica, sono: ''singolare'' I, II, III pers. -μαι, -ῃ/ει (< *ε.σαι)<ref>Inizialmente solo -ῃ (normale esito della contrazione) per indicativo e congiuntivo, poi dal IV sec. a.C. circa talvolta mutato solo all'indicativo in -ει per distinguerlo dal congiuntivo; ει può infatti essere considerato una forma "abbreviata" di ῃ, che invece ha la vocale lunga η caratteristica del congiuntivo.</ref>, -ται, duale II e III pers. -σθον, -σθον, plurale, I, II, III pers., -μεθα<ref>Esiste anche una terminazione di seconda persona duale, -μεθον, di uso rarissimo (attestata 5 volte in tutto). Si tratta di una creazione greca nata dall'unione della terminazione plurale -μεθα con il duale -σθον.</ref>, -σθε, -νται; * le desinenze secondarie (tipiche del presente ottativo) sono: singolare I, II, III pers., -μην, -ο, (<*σο) -το, duale II e III pers. -σθον, -σθην, plurale, I, II, III pers., -μεθα, -σθε, -ντο; * l'imperativo, sempre mancante delle prime persone, ha le stesse desinenze dell'indicativo nelle seconde persone singolare duale e plurale -ου (<*ε.σο), -σθον, -σθε; le terze persone di tutti e tre i numeri sono caratterizzate dall'elemento σθω: -σθω, -σθων, -σθων. * le desinenze -σαι, -σο della seconda singolare fanno cadere il sigma intervocalico provocando contrazione con le vocali tematiche (*-ε.σαι > *-ε.αι > -ῃ/-ει, *-ε.σο > *-ε.ο > -ου); solo nell'ottativo -σο si appoggia al suffisso modale senza contrarsi (*-οι.σο > -οιο). ==Paradigma del presente tematico attivo e mediopassivo== Fatte queste premesse, il paradigma tipico dei modi finiti del presente di un verbo in '''-ω''' si coniuga secondo l'esempio del verbo '''{{polytonic| λύω}}''', "sciogliere": ===Attivo=== {| {{prettytable}} ! ! ''Indicativo'' || ''Congiuntivo'' || ''Ottativo'' || ''Imperativo'' |- !1º ''singolare'' | {{polytonic| λύω}}|| {{polytonic| λύω}}|| {{polytonic| λύοιμι}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !''2º singolare'' | {{polytonic| λύεις}}|| {{polytonic| λύῃς}}|| {{polytonic| λύοις}}|| {{polytonic| λῦε}} |- !''3º singolare'' | {{polytonic| λύει}}|| {{polytonic| λύῃ}}|| {{polytonic| λύοι}}|| {{polytonic|λυέτω}} |- !''2º duale'' | {{polytonic| λύετον}}|| {{polytonic| λύητον}}|| {{polytonic| λύοιτον}}|| {{polytonic| λύετον}} |- !''3º duale'' | {{polytonic| λύετον}}|| {{polytonic| λύητον}}|| {{polytonic| λυοίτην}}|| {{polytonic|λυέτων}} |- !''1º plurale'' | {{polytonic| λύομεν}}||{{polytonic| λύωμεν}} ||{{polytonic| λύοιμεν}} ||<div style="text-align:center">-</div> |- !''2º plurale'' | {{polytonic| λύετε}}|| {{polytonic| λύητε}}|| {{polytonic| λύοιτε}}|| {{polytonic| λύετε}} |- !''3º plurale'' | {{polytonic| λύουσι(ν)}}|| {{polytonic| λύωσι(ν)}}|| {{polytonic| λύοιεν}}|| {{polytonic | λυόντων }}/{{polytonic | λυέτωσαν}} |} Il participio e l'infinito hanno le seguenti forme: {| {{prettytable}} ! ''Infinito'' || ''participio'' |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|λύειν}} || {{polytonic| <small>''masch.''</small> λύων <small>''femm.''</small> λύουσα <small>''neu.''</small> λῦον}} |} ===Mediopassivo=== {| {{prettytable}} ! ! ''Indicativo'' || ''Congiuntivo'' || ''Ottativo'' || ''Imperativo'' |- !1º ''singolare'' | {{polytonic|λύομαι}}|| {{polytonic|λύωμαι}}|| {{polytonic|λυοίμην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !''2º singolare'' | {{polytonic|λύῃ (< *λύεσαι)}} <small>oppure</small> {{polytonic|λύει}}||{{polytonic|λύῃ (< *λύησαι)}}||{{polytonic|λύοιο (< *λύοισο)}}||{{polytonic|λύου (< *λύεσο)}} |- !''3º singolare'' | {{polytonic|λύεται}}|| {{polytonic|λύηται}}|| {{polytonic|λύοιτο}}|| {{polytonic|λυέσθω}} |- !''2º duale'' | {{polytonic|λύεσθον}}|| {{polytonic|λύησθον}}|| {{polytonic|λύοισθον}}|| {{polytonic|λύεσθον}} |- !''3º duale'' | {{polytonic|λύεσθον}}|| {{polytonic|λύησθον}}|| {{polytonic|λυοίσθην}}|| {{polytonic|λυέσθων}} |- !''1º plurale'' | {{polytonic|λυόμεθα}}||{{polytonic|λυώμεθα}} ||{{polytonic|λυοίμεθα}} ||<div style="text-align:center">-</div> |- !''2º plurale'' | {{polytonic|λύεσθε}}|| {{polytonic|λύησθε}}|| {{polytonic|λύοισθε}}|| {{polytonic|λύεσθε}} |- !''3º plurale'' | {{polytonic|λύονται}}|| {{polytonic|λύωνται}}|| {{polytonic|λύοιντο}}|| {{polytonic|λυέσθων / λυέσθωσαν}} |} Il participio e l'infinito mediopassivi hanno le seguenti forme: {| {{prettytable}} ! ''Infinito'' || ''participio'' |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|λύεσθαι}} || {{polytonic| <small>''masch.''</small> λυόμενος <small>''femm.''</small> {{polytonic|λυομένη}} <small>''neu.''</small> {{polytonic|λυόμενον}} |} ==Usi dei modi finiti del presente== * L'indicativo del presente del verbo greco è equivalente al nostro presente o a una perifrasi formata dal verbo "stare" + il gerundio; solo l'indicativo ha sempre effettiva valenza di tempo presente, gli altri modi esprimono solo l'aspetto durativo. * Il congiuntivo greco corrisponde per lo più al congiuntivo italiano; * l'ottativo corrisponde al condizionale, ma talvolta anche al congiuntivo, o a perifrasi col verbo ''volere'' e ''potere'' * l'imperativo presente greco è usato in tutto e per tutto come quello italiano. ==Verbi composti== Esistono inoltre alcuni verbi composti da preposizioni proprie ed altri verbi. Le preposizioni, seguite dai verbi, possono subire dei cambiamenti: *se la preposizione termina per vocale e il verbo inizia per consonante, non ci saranno modifiche; nei verbi inizianti per ῥ-, questa si raddoppia. Es. κατα-λαμβάνω, κατα-ρρίπτω. *se la preposizione termina per vocale e il verbo inizia per vocale si elide l'ultima vocale della preposizione, a meno che questa non sia ἀμφί o περί, che non la elidono, oppure πρό, che può fonderla con una successiva ε dando come risultato ου; inoltre, se il verbo presenta spirito aspro, la consonante della preposizione si trasforma nell'aspirata corrispondente. Es. κατ-αινέω; καθ-αιρέω. *se la preposizione termina per consonante e il verbo inizia per vocale, non ci saranno modifiche (tranne ἐκ che diventa ἐξ). Es. ἐν-άγω, ἐξ-άγω. *se la preposizione termina per consonante e il verbo inizia per consonante ci saranno alcune modifiche: **le preposizioni terminanti in -ν cambiano la nasale in μ davanti a labiale (π, β, φ) e, graficamente, in γ nasale davanti a gutturale (κ, γ, χ). Es. ἐμ-βάλλω, συγ-γίγνομαι. **inoltre nella preposizione συν il ν si modifica in σ davanti a σ, cade davanti a σ + consonante e diventa ρ davanti a ρ. Es. συσ-σείω, συ-στέλλω, συ-ρρίπτω. **la preposizione ἐκ rimane tale. ==Note== <references/> snqii24usxzm4h87v06dhas5r6cmpeg 499991 499990 2026-07-19T20:10:25Z Ptolemaios 19075 /* Caratteristiche */ 499991 wikitext text/x-wiki {{greco antico}} {{Avanzamento|100%|23 ottobre 2011}} La prima coniungazione dei verbi greci è detta in "-ω" (dall'uscita della prima persona singolare del presente) o anche ''tematica'' perché interpone una vocale tematica fra la radice e le desinenze. ==Caratteristiche== Nella forma attiva: * la vocale tematica si presenta come ο ου ω davanti a ν (anche se questa è poi caduta) e μ, mentre si presenta come ε ει η davanti a dentale (σ e τ); * le desinenze principali (tipiche del presente indicativo e congiuntivo) della coniugazione tematica sono: singolare I, II, III pers., -ω, -ς, [-], duale II e III pers. -τον, -τον, plurale I, II, III pers., -μεν, -τε, -ουσι(ν); * La terminazione della prima singolare è costituita dalla sola vocale tematica con allungamento apofonico; * la desinenza della III pers. plur. viene da *λύ-ο-ντι(ν) > *λύ-ο-νσι(ν) > *λύ-ō-σι(ν) > λύουσι(ν); τ davanti a vocale palatale si assibila in σ<ref>[ti] → [t͡si] → [si].</ref> che a sua volta provoca caduta di ν e allungamento di compenso, con ν efelcistico finale<ref>Questo ν compare soltanto prima di una parola che inizia per vocale per evitare lo iato e prima di una pausa.</ref>. * le desinenze secondarie (tipiche dell'ottativo) sono: singolare I, II, III pers., -μι/-ν<ref>-ν applicabile solo, ed eventualmente come variante, ai verbi contratti.</ref>, -ς, [-], duale II e III pers. -τον, -την, plurale, I, II, III pers., -μεν, -τε, -ν; * la caratteristica del congiuntivo è la vocale tematica allungata (ο ου ω > ω, ε > η). La prima singolare, non avendo terminazione, porta solo la vocale tematica che, essendo già allungata, non subisce modifiche; * il suffisso dell'ottativo tematico è -οι(ε)- (desinenze atipiche: prima persona singolare -μι, presa a prestito dai verbi atematici, in sostituzione dell'antica desinenza -ν, divenuta poco riconoscibile); * l'imperativo manca delle prime persone, nella seconda singolare ha la vocale tematica -ε (come il vocativo singolare maschile), ha le seconde persone duali e plurali con le stesse desinenze dell'indicativo; le terze persone di tutti e tre i numeri sono caratterizzate dall'elemento τω: -τω, -των, -ντων. Nella forma medio-passiva: * la vocale tematica, il suffisso del congiuntivo, il suffisso dell'ottativo sono gli stessi che si trovano nella forma attiva; * le desinenze principali (tipiche del presente indicativo e congiuntivo), della coniugazione tematica, sono: ''singolare'' I, II, III pers. -μαι, -ῃ/ει (< *ε.σαι)<ref>Inizialmente solo -ῃ (normale esito della contrazione) per indicativo e congiuntivo, poi dal IV sec. a.C. circa talvolta mutato solo all'indicativo in -ει per distinguerlo dal congiuntivo; ει può infatti essere considerato una forma "abbreviata" di ῃ, che invece ha la vocale lunga η caratteristica del congiuntivo.</ref>, -ται, duale II e III pers. -σθον, -σθον, plurale, I, II, III pers., -μεθα<ref>Esiste anche una terminazione di seconda persona duale, -μεθον, di uso rarissimo (attestata 5 volte in tutto). Si tratta di una creazione greca nata dall'unione della terminazione plurale -μεθα con il duale -σθον.</ref>, -σθε, -νται; * le desinenze secondarie (tipiche del presente ottativo) sono: singolare I, II, III pers., -μην, -ο, (<*σο) -το, duale II e III pers. -σθον, -σθην, plurale, I, II, III pers., -μεθα, -σθε, -ντο; * l'imperativo, sempre mancante delle prime persone, ha le stesse desinenze dell'indicativo nelle seconde persone singolare duale e plurale -ου (<*ε.σο), -σθον, -σθε; le terze persone di tutti e tre i numeri sono caratterizzate dall'elemento σθω: -σθω, -σθων, -σθων. * le desinenze -σαι, -σο della seconda singolare fanno cadere il sigma intervocalico provocando contrazione con le vocali tematiche (*-ε.σαι > *-ε.αι > -ῃ/-ει, *-ε.σο > *-ε.ο > -ου); solo nell'ottativo -σο si appoggia al suffisso modale senza contrarsi (*-οι.σο > -οιο). ==Paradigma del presente tematico attivo e mediopassivo== Fatte queste premesse, il paradigma tipico dei modi finiti del presente di un verbo in '''-ω''' si coniuga secondo l'esempio del verbo '''{{polytonic| λύω}}''', "sciogliere": ===Attivo=== {| {{prettytable}} ! ! ''Indicativo'' || ''Congiuntivo'' || ''Ottativo'' || ''Imperativo'' |- !1º ''singolare'' | {{polytonic| λύω}}|| {{polytonic| λύω}}|| {{polytonic| λύοιμι}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !''2º singolare'' | {{polytonic| λύεις}}|| {{polytonic| λύῃς}}|| {{polytonic| λύοις}}|| {{polytonic| λῦε}} |- !''3º singolare'' | {{polytonic| λύει}}|| {{polytonic| λύῃ}}|| {{polytonic| λύοι}}|| {{polytonic|λυέτω}} |- !''2º duale'' | {{polytonic| λύετον}}|| {{polytonic| λύητον}}|| {{polytonic| λύοιτον}}|| {{polytonic| λύετον}} |- !''3º duale'' | {{polytonic| λύετον}}|| {{polytonic| λύητον}}|| {{polytonic| λυοίτην}}|| {{polytonic|λυέτων}} |- !''1º plurale'' | {{polytonic| λύομεν}}||{{polytonic| λύωμεν}} ||{{polytonic| λύοιμεν}} ||<div style="text-align:center">-</div> |- !''2º plurale'' | {{polytonic| λύετε}}|| {{polytonic| λύητε}}|| {{polytonic| λύοιτε}}|| {{polytonic| λύετε}} |- !''3º plurale'' | {{polytonic| λύουσι(ν)}}|| {{polytonic| λύωσι(ν)}}|| {{polytonic| λύοιεν}}|| {{polytonic | λυόντων }}/{{polytonic | λυέτωσαν}} |} Il participio e l'infinito hanno le seguenti forme: {| {{prettytable}} ! 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''Indicativo'' || ''Congiuntivo'' || ''Ottativo'' || ''Imperativo'' |- !1º ''singolare'' | {{polytonic|λύομαι}}|| {{polytonic|λύωμαι}}|| {{polytonic|λυοίμην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !''2º singolare'' | {{polytonic|λύῃ (< *λύεσαι)}} <small>oppure</small> {{polytonic|λύει}}||{{polytonic|λύῃ (< *λύησαι)}}||{{polytonic|λύοιο (< *λύοισο)}}||{{polytonic|λύου (< *λύεσο)}} |- !''3º singolare'' | {{polytonic|λύεται}}|| {{polytonic|λύηται}}|| {{polytonic|λύοιτο}}|| {{polytonic|λυέσθω}} |- !''2º duale'' | {{polytonic|λύεσθον}}|| {{polytonic|λύησθον}}|| {{polytonic|λύοισθον}}|| {{polytonic|λύεσθον}} |- !''3º duale'' | {{polytonic|λύεσθον}}|| {{polytonic|λύησθον}}|| {{polytonic|λυοίσθην}}|| {{polytonic|λυέσθων}} |- !''1º plurale'' | {{polytonic|λυόμεθα}}||{{polytonic|λυώμεθα}} ||{{polytonic|λυοίμεθα}} ||<div style="text-align:center">-</div> |- !''2º plurale'' | {{polytonic|λύεσθε}}|| {{polytonic|λύησθε}}|| {{polytonic|λύοισθε}}|| {{polytonic|λύεσθε}} |- !''3º plurale'' | {{polytonic|λύονται}}|| {{polytonic|λύωνται}}|| {{polytonic|λύοιντο}}|| {{polytonic|λυέσθων / λυέσθωσαν}} |} Il participio e l'infinito mediopassivi hanno le seguenti forme: {| {{prettytable}} ! ''Infinito'' || ''participio'' |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|λύεσθαι}} || {{polytonic| <small>''masch.''</small> λυόμενος <small>''femm.''</small> {{polytonic|λυομένη}} <small>''neu.''</small> {{polytonic|λυόμενον}} |} ==Usi dei modi finiti del presente== * L'indicativo del presente del verbo greco è equivalente al nostro presente o a una perifrasi formata dal verbo "stare" + il gerundio; solo l'indicativo ha sempre effettiva valenza di tempo presente, gli altri modi esprimono solo l'aspetto durativo. * Il congiuntivo greco corrisponde per lo più al congiuntivo italiano; * l'ottativo corrisponde al condizionale, ma talvolta anche al congiuntivo, o a perifrasi col verbo ''volere'' e ''potere'' * l'imperativo presente greco è usato in tutto e per tutto come quello italiano. ==Verbi composti== Esistono inoltre alcuni verbi composti da preposizioni proprie ed altri verbi. Le preposizioni, seguite dai verbi, possono subire dei cambiamenti: *se la preposizione termina per vocale e il verbo inizia per consonante, non ci saranno modifiche; nei verbi inizianti per ῥ-, questa si raddoppia. Es. κατα-λαμβάνω, κατα-ρρίπτω. *se la preposizione termina per vocale e il verbo inizia per vocale si elide l'ultima vocale della preposizione, a meno che questa non sia ἀμφί o περί, che non la elidono, oppure πρό, che può fonderla con una successiva ε dando come risultato ου; inoltre, se il verbo presenta spirito aspro, la consonante della preposizione si trasforma nell'aspirata corrispondente. Es. κατ-αινέω; καθ-αιρέω. *se la preposizione termina per consonante e il verbo inizia per vocale, non ci saranno modifiche (tranne ἐκ che diventa ἐξ). Es. ἐν-άγω, ἐξ-άγω. *se la preposizione termina per consonante e il verbo inizia per consonante ci saranno alcune modifiche: **le preposizioni terminanti in -ν cambiano la nasale in μ davanti a labiale (π, β, φ) e, graficamente, in γ nasale davanti a gutturale (κ, γ, χ). Es. ἐμ-βάλλω, συγ-γίγνομαι. **inoltre nella preposizione συν il ν si modifica in σ davanti a σ, cade davanti a σ + consonante e diventa ρ davanti a ρ. Es. συσ-σείω, συ-στέλλω, συ-ρρίπτω. **la preposizione ἐκ rimane tale. ==Note== <references/> lkzxhcpdblgan85903u6ev196pgozoe 4 28731 499980 440627 2026-07-19T13:54:37Z Hippias 18281 fix link 499980 wikitext text/x-wiki {{Raccolta_salvata}} :[[Fisica classica/Copertina| ]] == Fisica classica == ;Fisica classica :[[Fisica classica]] ;Meccanica :[[Fisica classica/Cinematica|Cinematica del punto]] :[[Fisica classica/Dinamica|Dinamica del punto]] :[[Fisica classica/Moti relativi|Moti relativi]] :[[Fisica classica/Dinamica dei sistemi di punti materiali|Dinamica dei sistemi di punti materiali]] :[[Fisica classica/Gravitazione|Gravitazione]] :[[Fisica classica/Corpo rigido|Dinamica del corpo rigido]] :[[Fisica classica/Urti|Urti]] :[[Fisica classica/Gravitazione|Gravitazione]] ;Termodinamica :[[Fisica classica/Definizioni termodinamica|Definizioni della termodinamica]] :[[Fisica classica/Calore|Calore]] :[[Fisica classica/Trasformazioni termodinamiche|Trasformazioni termodinamiche]] :[[Fisica classica/Gas ideali e reali|Gas perfetti e reali]] :[[Fisica classica/Primo principio della termodinamica|Primo principio della termodinamica]] :[[Fisica classica/Secondo principio della termodinamica|Secondo principio della termodinamica]] :[[Fisica classica/Entropia|Entropia]] ;Elettromagnetismo :[[Fisica classica/Carica elettrica|Carica elettrica]] :[[Fisica classica/Campi elettrici|Campi elettrici]] :[[Fisica classica/Legge di Gauss|Legge di Gauss]] :[[Fisica classica/Potenziale elettrico|Potenziale elettrico]] :[[Fisica classica/Conduttori|Conduttori]] :[[Fisica classica/Dielettrici|Dielettrici]] :[[Fisica classica/Elettrodinamica|Elettrodinamica]] :[[Fisica classica/Le leggi di Kirchhoff|Le leggi di Kirchhoff]] :[[Fisica classica/Campi magnetici|Campi magnetici]] :[[Fisica classica/Leggi di Laplace|Leggi di Laplace]] :[[Fisica classica/Legge di Ampère|Legge di Ampère]] :[[Fisica classica/Magnetismo della materia|Magnetismo della materia]] :[[Fisica classica/Induzione e legge di Faraday|Induzione e legge di Faraday]] :[[Fisica classica/Correnti alternate|Correnti alternate]] :[[Fisica classica/Equazioni di Maxwell|Equazioni di Maxwell]] ;Onde :[[Fisica classica/Proprietà generali delle onde|Proprietà generali delle onde]] :[[Fisica classica/Suono|Suono]] :[[Fisica classica/Corda vibrante|Corda vibrante]] :[[Fisica classica/Onde del mare|Onde del mare]] :[[Fisica classica/Linea di trasmissione|Linea di trasmissione]] :[[Fisica classica/Onde elettromagnetiche|Onde elettromagnetiche]] :[[Fisica classica/Il vettore di Poynting|Il vettore di Poynting]] :[[Fisica classica/Campi elettromagnetici nei dielettrici|Campi elettromagnetici nei dielettrici]] :[[Fisica classica/Campi elettromagnetici nei conduttori|Campi elettromagnetici nei conduttori]] :[[Fisica classica/Spettro delle onde elettromagnetiche|Spettro delle onde elettromagnetiche]] ;Ottica :[[Fisica classica/La luce|La luce]] :[[Fisica classica/Leggi dell'ottica geometrica|Leggi dell'ottica geometrica]] :[[Fisica classica/Lenti e specchi|Lenti e specchi]] :[[Fisica classica/Strumenti ottici|Strumenti ottici]] :[[Fisica classica/Polarizzazione|Polarizzazione]] :[[Fisica classica/Ottica ondulatoria|Ottica ondulatoria]] :[[Fisica classica/Interferenza|Interferenza]] ;Relatività :[[Fisica classica/Relatività ristretta|Relatività ristretta]] [[Categoria:Raccolte|Fisica classica]] rpku0l0mr7ya77p9qtcxvjzroipkeus 0 32112 499976 498776 2026-07-19T13:52:32Z Hippias 18281 fix 499976 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Corpo rigido |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Corpo_rigido |CapitoloSuccessivo=Gravitazione |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Gravitazione }} {{fisica classica}} I fenomeni di urto sono una categoria speciale di interazione tra due o più corpi. Questi fenomeni comprendono diversi casi, ma come regola generale sono caratterizzati da una forza o un momento della forza che si esercita tra i corpi in un tempo molto breve rispetto ai tempi caratteristici in cui cambia lo stato dinamico del sistema complessivo. =Urti tra punti materiali= In questo caso è possibile trascurare ogni forza esterna al sistema, in quanto durante l'urto la forza è così intensa che ogni forza esterna al sistema è trascurabile, ma non è necessario che le forze impulsive dell'urto siano forze di contatto. Consideriamo due punti materiali 1 e 2 con velocità iniziale (prima dell'urto) <math>\vec v_{10}</math> e <math>\vec v_{20}</math> e con velocità finale (dopo l'urto) <math>\vec v_{1f}</math> e <math>\vec v_{2f}</math>. L'assenza di forze esterne durante l'urto implica la conservazione della quantità di moto: :<math>m_1\vec v_{10}+m_2\vec v_{20}=m_1\vec v_{1f}+m_2\vec v_{2f}\ </math> Al contrario della conservazione della quantità di moto in genere non vale la conservazione dell'energia in quanto le forze impulsive che agiscono durante l'urto possono essere non conservative. Questo implica che l'energia cinetica totale del sistema possa variare. Infatti seppure l'energia totale del sistema sia data dalla somma della energia cinetica e dell'energia potenziale (dovuta alle forze esterne) durante la breve durata dell'urto potendosi trascurare le forze esterne anche la variazione della loro energia potenziale è trascurabile. Quindi solo l'energia cinetica non si conserva. In ogni caso ricordando il secondo [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Teoremi_di_König|teorema di König]] solo l'energia cinetica rispetto al centro di massa può essere dissipata in quanto la dissipazione è provocata da forze interne. Le forze dissipative vengono chiamate anelastiche per distinguerle dalle forze tipicamente conservative elastiche. == Urto completamente anelastico == [[File:inelastischer_stoß.gif|400px]] In un urto di questo genere l'energia cinetica rispetto al centro di massa viene dissipata nella deformazione permanente dei due corpi. Nell'urto '''completamente anelastico''' i due corpi proseguono insieme nel loro moto con la velocità che aveva inizialmente il centro di massa <math>\vec v_{CM}\ </math>: :<math>m_1\vec v_{10}+m_2\vec v_{20}=(m_1+m_2)\vec v_{CM}\ </math> Quindi: :<math>\vec v_{CM}=\frac {m_1\vec v_{10}+m_2\vec v_{20}}{m_1+m_2}\ </math> L'energia cinetica prima dell'urto vale: :<math>E_{k0}=\frac 12 m_1v_{10}^2+\frac 12 m_2v_{20}^2\ </math> mentre :<math>E_{kf}=\frac 12 (m_1+m_2)v_{CM}^2\ </math> Sempre minore di quella iniziale. Nel caso particolare mostrato nella animazione in alto che le masse sono equali e che il corpo 2 è inizialmente fermo, dalla conservazione della quantità di moto segue che la velocità del centro di massa (che non cambia nell'urto) è la metà della velocità della massa e che l'energia cinetica totale del sistema si dimezza. In generale nell'urto totalmente anelastico tra un oggetto in moto (<math>m_1</math>, <math>\vec v</math>) ed uno (<math>m_2</math>) inizialmente fermo: :<math>\vec v_{CM}=\frac {m_1}{m_1+m_2}\vec v\ </math> :<math>E_{k0}=\frac 12 m_1v^2\ </math> :<math>E_{kf}=\frac 12 \frac {m_1^2}{m_1+m_2}v^2\ </math> :<math>\frac {E_{kf}}{E_{k0}}=\frac {m_1}{m_1+m_2}\ </math> Quindi più grande è la massa <math>m_2\ </math> rispetto alla massa <math>m_1\ </math> maggiore sarà l'energia dissipata. Nel [[w:Pendolo_balistico|pendolo balistico]] il proiettile si conficca in un oggetto di grande massa perdendo quasi totalmente la sua energia cinetica e quindi permette una facile misura della velocità iniziale dei proiettili. == Sistema di riferimento del centro di massa== Tranne il caso dell'urto completamente anelastico, negli altri casi è opportuno considerare cosa succede nel [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Sistema di riferimento del centro di massa|sistema di riferimento del centro di massa]]. Cioè un sistema di riferimento che ha origine nel centro di massa, non ruotante. Il sistema di riferimento di partenza viene chiamato sistema di laboratorio, che non necessariamente è un sistema di riferimento inerziale, in quanto anche le forze apparenti eventualmente presenti, durante l'urto sono trascurabili rispetto alle forze impulsive. Poiché per definizione la velocità del centro di massa è pari a: :<math>\vec v_{CM}=\frac {m_1\vec v_{10}+m_2\vec v_{20}}{m_1+m_2}\ </math> Quindi la velocità dei due punti materiali rispetto alla velocità del centro di massa è: :<math>\vec v_{10}^'=\vec v_{10}-\vec v_{CM}\ </math> :<math>\vec v_{20}^'=\vec v_{20}-\vec v_{CM}\ </math> Se moltiplichiamo la prima per <math>m_1\ </math> e la seconda per <math>m_2\ </math> otteniamo le quantità di moto dei due punti materiali nel sistema del centro di massa: :<math>m_1\vec v_{10}^'=m_1\left(\vec v_{10}-\frac {m_1\vec v_{10}+m_2\vec v_{20}}{m_1+m_2}\right)=\frac {m_1m_2}{m_1+m_2}(\vec v_{10}-\vec v_{20})\ </math> :<math>m_2\vec v_{20}^'=m_2\left(\vec v_{20}-\frac {m_1\vec v_{10}+m_2\vec v_{20}}{m_1+m_2}\right)=\frac {m_1m_2}{m_1+m_2}(\vec v_{20}-\vec v_{10})\ </math> Quindi nel sistema del centro di massa le due quantità di moto sono eguali ed opposte. La cosa è vera sia prima che dopo l'urto e indipendentemente dal fatto che l'energia cinetica si conservi o meno. Quindi un osservatore posto sul centro di massa osserva che i due punti materiali si scontrano con la stessa quantità di moto apparente. Notiamo che in ogni caso la velocità del centro di massa non cambia nell'urto. L'energia cinetica iniziale rispetto al centro di massa, l'unica che può cambiare nell'urto, si può esprimere quindi in funzione della velocità iniziale di una sola massa in quanto: :<math>\vec v_{20}^'=-\vec v_{10}^'\frac {m_1}{m_2}\ </math> :<math>E_{k0}^{\ '}=\frac 12m_1v_{10}^{'2}+\frac 12m_2v_{20}^{'2}= \frac 12m_1v_{10}^{'2}(1+m_1/m_2)\ </math> Analogamente quella finale: :<math>E_{kf}^{\ '}= \frac 12m_1v_{1f}^{'2}(1+m_1/m_2)\ </math> == Urto elastico == [[File:Elastischer_stoß3.gif|400px]] Un urto si dice '''elastico''' quando l'energia cinetica rispetto al centro di massa viene conservata nell'urto cioè: :<math>E_{kf}^{\ '}=E_{k0}^{\ '}\ </math> e quindi: :<math>v_{1f}^{'2}=v_{10}^{'2}\ </math> ma anche: :<math>v_{2f}^{'2}=v_{20}^{'2}\ </math> Nel caso tridimensionale o bidimensionale queste equazioni non bastano a determinare le velocità finali delle particelle che urtano, e bisogna specificare in qualche maniera altre informazioni sulla velocità dopo l'urto per determinare lo stato finale del sistema. Infatti nel caso tridimensionale le velocità finali sono in totale sei incognite e le equazioni che abbiamo sono solo quattro (conservazione della quantità di moto e conservazione dell'energia). Lo stesso anche nel caso bidimensionale in cui le velocità finali sono in totale quattro incognite e le equazioni che abbiamo sono solo tre (conservazione della quantità di moto e conservazione dell'energia). Solo nel caso unidimensionale il problema è risolvibile senza condizioni aggiuntive, tranne il fatto ovvio che, nel sistema del centro di massa le velocità debbono invertirsi nell'urto: :<math>v_{1f}^'=-v_{10}^'\ </math> :<math>v_{2f}^'=-v_{20}'\ </math> Queste equazioni si traducono nel sistema di laboratorio in: :<math>\begin{align}v_{1f}&=v_{1f}^'+v_{CM}=-v_{10}^'+v_{CM}=-(v_{10}-v_{CM})+v_{CM}=-v_{10}+2v_{CM}=\\ &=-v_{10}+2\frac {m_1v_{10}+m_2v_{20}}{m_1+m_2}=\frac {(m_1-m_2)v_{10}+2m_2v_{20}}{m_1+m_2} \end{align}\ </math> :<math>\begin{align}v_{2f}&=v_{2f}^'+v_{CM}=-v_{20}^'+v_{CM}=-(v_{20}-v_{CM})+v_{CM}=-v_{20}+2v_{CM}=\\ &=-v_{20}+2\frac {m_1v_{10}+m_2v_{20}}{m_1+m_2}=\frac {(m_2-m_1)v_{20}+2m_1v_{10}}{m_1+m_2} \end{align}\ </math> == Urto anelastico == [[Image:Bouncing ball strobe edit.jpg|thumb|right|350px|Una palla che rimbalza al suolo, l'immagine ottenuta con [[w:Luce_stroboscopica|luce stroboscopica]] a 25 immagini al secondo. Ogni urto è anelastico e quindi l'energia viene parzialmente dissipata ad ogni urto con il suolo. Trascurando l'attrito dell'aria, la radice quadrata della altezza massima tra due urti successivi è il coefficiente di restituzione.]] Questo è il caso più comune in cui l'energia cinetica rispetto al centro di massa viene conservata solo in parte cioè: :<math>E_{kf}^{\ '}=e^2 E_{k0}^{\ '}\ </math> Dove la costante adimensionale <math>e\,\!</math> viene detta coefficiente di restituzione ed è compresa tra 0 ed 1. Cioè vale 1 per urto elastico e 0 per urto completamente anelastico. In realtà il coefficiente di restituzione è pari al rapporto del modulo delle quantità di moto dopo e prima dell'urto nel sistema di riferimento del centro di massa : :<math>e=\frac {|p_{1f}^'|}{|p_{10}^'|}=\frac {|p_{2f}^'|}{|p_{20}^'|}\ </math> Di conseguenza si ha che nel caso unidimensionale: :<math>v_{1f}^'=-ev_{10}^'\ </math> :<math>v_{2f}^'=-ev_{20}'\ </math> Nel sistema di laboratorio: :<math>\begin{align}v_{1f}&=v_{1f}^'+v_{CM}=-ev_{10}^'+v_{CM}=-e(v_{10}-v_{CM})+v_{CM}=-ev_{10}+(1+e)v_{CM}=\\ &=-ev_{10}+(1+e)\frac {m_1v_{10}+m_2v_{20}}{m_1+m_2}=\frac {(m_1-em_2)v_{10}+(1+e)m_2v_{20}}{m_1+m_2} \end{align}\ </math> :<math>v_{2f}=\frac {(m_2-em_1)v_{20}+(1+e)m_1v_{10}}{m_1+m_2} \ </math> Notare come le due espressioni precedenti che valgono nel caso unidimensionale. Nel caso di e=0 cioè urto completamente anelastico diventano: :<math>v_{1f}=v_{2f}=\frac {m_2v_{20}+m_1v_{10}}{m_1+m_2}=v_{CM}\ </math> Mentre nel caso di e=1 si riducono alle formule viste nel caso dell'urto elastico. =Urto tra punti materiali e corpi rigidi= Consideriamo per semplicità che il problema sia possibile trattarlo in maniera unidimensionale, ed il corpo rigido è fermo prima dell'urto, mentre il punto materiale ha una velocità iniziale <math>v_o\ </math>. Vi sono vari casi possibili. Usiamo il simbolo <math>M\ </math> per la massa del corpo rigido ed <math>m\ </math> per quella del punto materiale. ==Urto completamente anelastico e corpo rigido vincolato== Questo è il caso più semplice, caso tipico di un proiettile che si conficca su un corpo rigido a distanza <math>h\ </math> dal vincolo. Il moto finale è un moto rotatorio con velocità angolare <math>\omega\ </math> del sistema complessivo attorno al vincolo. Definiamo <math>I_o\ </math> il momento di inerzia attorno al vincolo del corpo rigido per l'asse normale al piano formato dalla retta di impatto e il vincolo. Se <math>v_o\ </math> è la velocità iniziale del punto materiale di massa <math>m\ </math>. Nel caso che il punto materiale si muova prima dell'urto con direzione perpendicolare alla congiungente il punto di impatto e il vincolo, dalla conservazione del momento angolare rispetto al vincolo segue che: :<math>\vec L_{o}=\vec L_{f}\ </math> Dove <math>|\vec L_{o}|=mv_oh\ </math> e definita <math>\omega\ </math> la velocità angolare subito dopo l'impatto: :<math>|\vec L_{f}|=I_o\omega+mv_fh=I_o\omega+m\omega h^2\ </math> Il punto materiale conficcatosi a distanza <math>h\ </math> dal vincolo ha una velocità pari a <math>v_f=\omega h\ </math>. Quindi sostituendo le espressioni del momento angolare rispetto al vincolo nella legge di conservazione: :<math>mv_oh=I_o\omega+m\omega h^2\ </math> Di conseguenza la velocità angolare vale: :<math>\omega=\frac {v_o/h}{1+I_o/(mh^2)}\ </math> La variazione della quantità di moto del punto materiale vale: :<math>\Delta P_m=m\omega h-mv_o=mv_o\left(\frac 1{1+I_o/(mh^2)}-1\right)=-\frac {v_oI_o/h^2}{1+I_o/(mh^2)}\ </math> La variazione della quantità di moto del corpo rigido: :<math>\Delta P_M=Mv_{CM}=M\omega r_{OC}=\frac {Mv_or_{OC}/h}{1+I_o/(mh^2)}\ </math> Avendo indicato con <math>r_{OC}\ </math> la distanza tra centro di massa e vincolo e avendo sostituito ad <math>\omega\ </math> l'espressione calcolata prima. Possiamo quindi trovare l'impulso <math>J_v\ </math> che al momento dell'impatto il vincolo deve fornire al corpo rigido: :<math>J_v=\Delta P_m+\Delta P_M\ </math> :<math>J_v=-\frac {v_oI_o/h^2}{1+I_o/(mh^2)}+\frac {Mv_or_{OC}/h}{1+I_o/(mh^2)}=\left(Mr_{OC}-\frac {I_o}h\right)\frac {v_o/h}{1+I_o/(mh^2)}= \left(Mr_{OC}-\frac {I_o}h\right)\omega\ </math> Si nota come l'espressione dentro la parentesi tonda possa cambiare di segno passando da valori di <math>h\ </math> piccoli a grandi e in particolare il punto di impatto in cui: . :<math>Mr_{OC}-\frac {I_o}{h_s}=0\quad \Rightarrow h_s=\frac {I_o}{Mr_{OC}}\ </math> Viene chiamato ''sweet spot'': la sua posizione non dipende dal fatto che l'urto sia completamente anelastico o elastico. La posizione di tale punto è importante negli attrezzi di molti sport nel quale si riceve e si rilancia un oggetto quali il tennis o il baseball. L'energia dissipata nell'urto è pari a: :<math>E_{ko}-E_{kf}=\frac 12mv_o^2-\frac 12I_o\omega^2+m(\omega h)^2=\frac 12mv_o^2\left(1-\frac 1{1+I_o/(mh^2)}\right)=\frac 12mv_o^2\frac {I_o/(mh^2)}{1+I_o/(mh^2)}\ </math> ==Urto elastico e corpo rigido vincolato== Qui il corpo rigido è vincolato e viene urtato da un punto materiale, che dopo l'urto rimbalza elasticamente senza dissipare energia. Il moto che ne deriva è un moto rotatorio attorno al vincolo, ma bisogna seguire anche il moto del punto materiale dopo l'urto. Chiamiamo <math>h\ </math> la distanza tra la retta di impatto ed il centro di massa. Il punto materiale dopo l'urto ha una velocità <math>v_f\ </math>. In questo caso si conservano sia l'energia che il momento angolare, usando in parte le stesse notazioni del caso precedente: :<math>\vec L_{o}=\vec L_{f}\ </math> :<math>E_{ko}=E_{kf}\ </math> Che si traducono in: :<math>mv_oh=mv_1h+I_c\omega\ </math> :<math>\frac 12mv_o^2=\frac 12mv_f^2+\frac 12 I_o\omega^2\ </math> Questo sistema di secondo grado ha sia le soluzioni banali: <math>v_f=v_o\ </math>,<math>\omega=0\ </math> cioè non vi è urto!, che quelle cercate, con passaggi matematici non riportati si trova che sono: :<math>\omega=\frac {2mv_oh}{mh^2+I_o}\ </math> :<math>v_f=v_o\frac {mh^2/I_o-1}{mh^2/I_o+1}\ </math> La velocità finale del punto materiale può essere nella stessa direzione iniziale se <math>mh^2>1 \ </math> (cioè se la massa del punto materiale è grande e la distanza di impatto è grande), mentre se il punto materiale ha una piccola massa rimbalza indietro. Notiamo che la reazione vincolare ha una espressione simile al caso completamente anelastico: :<math>J_v=\Delta P_m+\Delta P_M\ </math> :<math>J_v=m(v_o-v_f)+M\omega r_{OC}\ </math> Dalla conservazione del momento angolare si ha che <math>m(v_o-v_f)=-(I_o\omega)/h\ </math>, quindi: :<math>J_v=-\frac {I_o\omega}h+M\omega r_{OC}=\omega\left(Mr_{OC}-\frac {I_o}h\right)\ </math> Notiamo che seppure sembra la stessa espressione del caso anelastico, il valore di <math>\omega \ </math> è diverso. Ma la posizione dello ''sweet spot'' è la stessa: :<math>h_s=\frac {I_o}{Mr_{OC}}\ </math> ==Urto completamente anelastico e corpo rigido non vincolato== E' il caso in cui non vi è nessun vincolo sul corpo rigido su cui si conficca un oggetto andandogli ad urtare contro, il moto che ne consegue è rototraslazionale. In questo caso essendo il corpo non vincolato il polo da considerare è il centro di massa, che però non è il centro di massa del corpo rigido, in quanto la presenza dell'oggetto conficcato ne altera la posizione iniziale, ponendosi il centro di massa nuovo ad una distanza <math>r_c \ </math> dal centro di massa del corpo rigido urtato, in una posizione tra l'originario centro di massa ed la retta di impatto: :<math>r_c=\frac {mh}{m+M}\ </math> Se quindi il momento di inerzia del corpo rigido per l'asse passante per il centro di massa del corpo rigido prima dell'urto, asse normale al piano formato dalla retta di impatto e il centro di massa era <math>I_c\ </math>, per il teorema di [[Fisica_classica/Corpo_rigido#Teorema_di_Huygens-Steiner|Huygens-Steiner]] diventa: :<math>I_o=I_c+Mr_c^2\ </math> In questo caso si conservano sia la quantità di moto che il momento angolare. Per la conservazione della quantità di moto: :<math>mv_o=(M+m)v_f\ </math> Quindi la velocità con cui trasla: :<math>v_f=\frac {mv_o}{m+M}\ </math> Mentre per la conservazione del momento angolare, rispetto al centro di massa del sistema: :<math>mv_o(h-r_c)=I_o\omega+m\omega (h-r_c)^2=I_c\omega+Mr_c^2\omega+m\omega (h-r_c)^2\ </math> :<math>\omega=\frac {mv_o(h-r_c)}{I_c+Mr_c^2+m (h-r_c)^2}\ </math> L'energia cinetica finale è data da: :<math>E_{kf}=\frac 12 I_o\omega^2+\frac 12 (M+m)v_f^2+m\omega^2 (h-r_c)^2\ </math> ==Urto completamente elastico e corpo rigido non vincolato== In questo caso il moto che ne deriva è rototraslatorio ed i parametri finali sono tre: la velocità angolare (<math>\omega\ </math> ), la velocità del centro di massa del corpo rigido (<math>v_C\ </math> ) e quella finale del punto materiale (<math>v_1\ </math> ). Il polo è il centro di massa e il momento di inerzia del corpo rigido per l'asse passante per il centro di massa normale al piano formato con la retta di impatto è <math>I_c\ </math>. In questo si conserva la quantità di moto: :<math>mv_o=mv_1+Mv_C\ </math> L'energia: :<math>\frac 12mv_o^2=\frac 12 mv_1^2+\frac 12 Mv_C^2+\frac 12 I_c\omega^2\ </math> Il momento angolare rispetto al centro di massa: :<math>mv_oh=mv_1h+I_o\omega\ </math> Le soluzioni di questo sistema di equazioni sono: :<math>\omega=\frac {2Mhmv_o}{Mmh^2+mI_o+MI_o}\ </math> :<math>v_C=\frac {2I_omv_o}{Mmh^2+mI_o+MI_o}\ </math> :<math>v_1=v_o\frac {Mmh^2+mI_o-MI_o}{Mmh^2+mI_o+MI_o}\ </math> Dall'ultima è chiaro come il punto materiale rimbalzi indietro se la sua massa è abbastanza più piccola della massa del corpo rigido. ==[[w:Pendolo_balistico|Pendolo balistico]]== [[Image:Ballistic pendulum.svg|thumb|300px|Pendolo balistico]] Il pendolo balistico è un esempio classico di urto: un proiettile di massa <math>m_1\ </math> di velocità ignota <math>v\ </math> viene sparato contro un corpo rigido di massa <math>m_2\ </math> appeso con un filo inestensibile ad un supporto fisso. Il proiettile si conficca nel punto di impatto con un urto completamente anelastico. Si conserva la quantità di moto del sistema, detta <math>V\ </math> la velocità di insieme del proiettile più corpo rigido dopo l'urto: :<math>m_1v=(m_1+m_2)V\ </math> Mentre la velocità <math>V\ </math> non è facilmente misurabile, l'altezza massima che viene raggiunta dopo è facilmente misurabile. Infatti per la conservazione dell'energia, dopo l'urto, la velocità di insieme si ricava dalla massima quota <math>h\ </math> raggiunta eguagliando energia cinetica (subito dopo l'urto) e l'energia potenziale alla massima quota: :<math>\frac 12(m_1+m_2)V^2=(m_1+m_2)gh\ </math> da cui: :<math>V=\sqrt{2gh}\ </math> Quindi, sostituendo a ritroso nell'equazione della conservazione della quantità di moto nell'urto, si riesce a conoscere la velocità iniziale del proiettile: :<math>v=\frac {m_1+m_2}{m_1}\sqrt{2gh}\ </math> Questo metodo è usato in balistica per misura la velocità dei proiettili da cui il nome. ==Bibliografia== * {{cita libro||P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci|Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica)|2007|Edises|ISBN 978-88-7959-418-9|ed=2}} [[Fisica_classica/Gravitazione| Argomento seguente: Gravitazione]] [[Categoria:Fisica classica|Urti]] {{Avanzamento|100%|}} i18aagfj04160naw6ykw0dunuislx7w 0 34638 499988 499761 2026-07-19T16:42:50Z Momimariani1962 41308 499988 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} Le disposizioni foniche attualmente presenti in questo libro sono '''5057'''. == Per il lettore == Ciascun organo a canne è uno strumento a sé, con una propria dignità indissolubilmente legata alla sua unicità. Non troveremo mai un organo uguale ad un altro, neppure nei rarissimi casi di strumenti costruiti in serie: avranno sempre qualcosa che li distinguerà fra di loro. Come poter, dunque, descrivere uno strumento unico, in maniera tale che, senza suonarlo o ascoltarlo, sia possibile capire come è fatto? Grazie alla sua disposizione fonica: essa è l'elenco dei registri che compongono lo strumento, riportati in base alla loro appartenenza alle varie "divisioni" (manuale/i ed eventualmente pedale). Pertanto si tratta di un elemento fondamentale, l'unica vera grande ed esaustiva descrizione dello strumento, dal momento che un organo si differenzia da un altro fondamentalmente per i registri che ha. Questo wikilibro si prefigge il compito di racchiudere al suo interno le disposizioni foniche di organi del presente e del passato, raggruppate in base alla loro collocazione all'interno di edifici che, per sviluppi culturali ed esigenze liturgiche, sono per la maggior parte destinati al culto. La presente opera si rivolge, dunque, non solo allo studioso di organaria ed organologia, ma anche al curioso che vuol sapere come è fatto l'organo della chiesa tot, all'appassionato, all'organista che ha l'esigenza di conoscere le caratteristiche di un tal organo, a chiunque, in poche parole, sia interessato all'argomento. == Per il contributore == Chiunque voglia contribuire all'edificazione del presente wikilibro, è il benvenuto, ed è pregato di seguire, per amor di uniformità, lo schema che può vedere nelle pagine già presenti. Sono tuttavia doverose alcune raccomandazioni tecniche. Una volta inserite una o più disposizioni foniche, il contributore è pregato di aggiornare il numero all'inizio di questa pagina. === Dei titoli === I titoli delle singole pagine seguono sempre questo schema: Stato/Regione (o altra divisione amministrativa analoga)/Provincia (o altra divisione amministrativa analoga)/Comune/Località (che può essere anche il comune stesso, comunque si ripete) - Edificio Ad esempio: Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Milano/Milano - Cattedrale di Santa Maria Nascente Nei nomi delle chiese, si scrive solo: ''Chiesa di...'', oppure ''Santuario di...'', oppure ''Basilica di...'', ''Cattedrale di...'' o ''Cattedrale metropolitana di...'', non ''Basilica Cattedrale Primaziale Metropolitana Santuario Protoecclesia di...''. Sono altresì bandite le abbreviazioni (come ad esempio ''S.'' al posto di ''Santo/Santa/Sacro''). Se in un edificio ci sono più organi, vanno tutti nella stessa pagina. Le singole pagine non sono per organo, ma per edificio. === Delle tabelle riassuntive === Le tabelle riassuntive a inizio pagina, seguono questo schema: * '''Costruttore:''' [nome e] cognome del costruttore/ditta costruttrice con, in caso, tra parentesi e in corsivo, il numero d'opera * '''Anno:''' anno di costruzione (in caso, in nota, data dell'inaugurazione) * '''Restauri/modifiche:''' elenco: nome di chi ha fatto il restauro e, tra parentesi, anno e tipologia di intervento * '''Registri:''' numero dei registri (in caso di registri spezzati, ciascuno vale 1 e non 1/2) * '''Canne:''' numero di canne * '''Trasmissione:''' meccanica/pneumatico-tubolare/elettrica/elettronica/ecc. nel caso di mista, si scrive mista e poi si specifica tra parentesi * '''Consolle:''' tipologia della consolle (a finestra, mobile/fissa indipendente, appoggiata, rivolta, ecc.) e posizione (al centro del coro, al centro della parete anteriore della cassa, su apposita cantoria, ecc.) * '''Tastiere:''' n° di tastiere e di note ed estensione tra parentesi * '''Pedaliera:''' tipologia di pedaliera (a leggio, dritta, concava, concavo-radiale), n° di note ed estensione tra parentesi * '''Collocazione:''' n° dei corpi, posizione dei corpi. Esempio: * '''Costruttore:''' Pinco Pallino (''Opus 100'') * '''Anno:''' 2019-2020 * '''Restauri/modifiche:''' Tizio Caio (2102, restauro conservativo), Sempronio (2156, modifiche e ampliamento) * '''Registri:''' 36 * '''Canne:''' 3.562 * '''Trasmissione:''' mista (meccanica per i manuali e il pedale, elettronica per i registri) * '''Consolle:''' a finestra, al centro della parete anteriore della cassa * '''Tastiere:''' 3 di 56 note (''Do<small>1</small>''-''Sol<small>5</small>'') * '''Pedaliera:''' concavo-radiale di 30 note (''Do<small>1</small>''-''Fa<small>3</small>'') * '''Collocazione:''' in due corpi contrapposti, sulla cantoria in controfacciata Nel caso di ottave scavezze: * '''Tastiera:''' 1 di 50 note con prima ottava scavezza (''Do<small>1</small>''-''Fa<small>5</small>'', Bassi/Soprani ''Do#<small>3</small>''/''Re<small>3</small>'') * '''Pedaliera:''' a leggio di 18 note con prima ottava scavezza (''Do<small>1</small>''-''Sol#<small>2</small>''), priva di registri propri e costantemente unita al manuale Non sono ammesse abbreviazioni, come ad esempio i nomi degli organari. === Delle disposizioni foniche === * I nomi delle divisioni vengono scritti nel seguente modo: '''I - ''Grand'Organo'''''; quello del pedale così: '''Pedale'''; * il nome della seconda o terza tastiera si riporta semplicemente, dopo il numero ordinale romano, come '''''Espressivo''''' e non come Recitativo, essendo un'impropria italianizzazione del francese ''Récit''; * nel caso di aggettivi dopo il nome del manuale, essi sono riportati con la prima lettera minuscola (ad esempio: '''VI - ''Organo antico aperto'''''); * qualora i registri, sulla consolle, siano raggruppati per Concerto e Ripieno (ad esempio come avviene per la maggior parte degli organi ottocenteschi italiani), si segua questo schema ([[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Toscana/Provincia di Siena/Montalcino/Montisi - Chiesa delle Sante Flora e Lucilla|qui un esempio]]) e, nel caso di più manuali, si premetta sempre il numero e il nome (ad esempio: '''I - Organo eco ''Concerto'''''); * all'interno di ogni divisione vi sono due colonne, divise da doppia stanghetta verticale (<code><nowiki>||</nowiki></code>), che rispettivamente, da sinistra a destra, sono: 1) nome del registro con eventualmente indicato il numero di file, 2) altezza del registro in piedi con eventualmente specificata l'appartenenza ai soli Bassi o ai soli Soprani (esempio: <code><nowiki>Ripieno 5 file || 2' Soprani</nowiki></code>); * tutti i nomi registri sono scritti con la prima lettera maiuscola, mentre le parole seguenti devono iniziare con la minuscola (ad esempio: ''Ripieno acuto 5 file'' e '''non''' ''Ripieno Acuto 5 File''), ad eccezione delle disposizioni in tedesco o nelle lingue che richiedono la maiuscola anche per tutti i sostantivi - nel caso non sia possibile reperire l'altezza in piedi delle mutazioni composte, si sposta il numero di file nel campo dell'altezza in piedi (esempio: <code><nowiki>Ripieno || 5 file</nowiki></code>); * le mutazioni sono scritte con il numero intero separato da quello frazionario tramite un punto, così: ''5.1/3<nowiki>'</nowiki>''; qualora l'altezza sia solo frazionaria, si omette lo ''0.'' iniziale, così: ''1/4<nowiki>'</nowiki>'' e '''non''' ''0.1/4<nowiki>'</nowiki>''; * nel caso di mutazioni composte, l'altezza in piedi è riportata solo relativamente alla prima fila, ad eccezione di quelle a due file (per non occupare troppo spazio) - qualora le altezze delle file successive presentino delle anomalie, si inseriscono in nota. * i registri ad ancia sono scritti in rosso quando sono riportati così sulla consolle; * non si inserisce il numero ordinale davanti a ciascun registro; * non si riportano le unioni e gli accoppiamenti, né gli annullatori; * il Tremolo si riporta all'interno di ciascuna divisione; * gli accessori (ad esempio: Uccelliera, Zampogna ecc.) si riportano nel seguente modo prima della disposizione fonica: '''Accessori''': ''Uccelliera''; ''Zampogna''; * non sono ammesse abbreviazioni. Quindi, in poche parole, questa disposizione '''non''' va bene (mettiamo che sulla consolle i registri ad ancia siano scritti '''in nero'''): {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Prima tastiera - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Ottava || 4' |- |XV || 2' |- |XIX || 1.1/3' |- |XXII || 1' |- |Ripieno Acuto 3 File || 0.1/2' |- |Flauto a Camino || 8' |- |Sesquialtera 2 File || 2.2/3'-1.3/5' |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba</span> || <span style="color:#8b0000;">8' bassi</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba</span> || <span style="color:#8b0000;">8' soprani</span> |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Seconda tastiera - ''Espressivo''''' ---- |- |Bordone || 8' |- |Viola di Gamba || 8' |- |Flauto a Cuspide || 4' |- |Nazardo || 2.2/3' |- |Ottavino || 2' |- |Decimino || 1.1/3' |- |Pienino 3 File || 1'-0.2/3'-0.1/2' |- |Voce Celeste 2 File || 8' |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba Armonica</span> ||<span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Contrabbasso || 16' |- |Bordone || 16' |- |Basso || 8' |- |Ottava || 4' |- |<span style="color:#8b0000;">Trombone</span> || <span style="color:#8b0000;">16'</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba Bassa</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |} |} Questa, invece, va bene: {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Ottava || 4' |- |XV || 2' |- |XIX || 1.1/3' |- |XXII || 1' |- |Ripieno acuto 3 file || 1/2' |- |Flauto a camino || 8' |- |Sesquialtera 2 file || 2.2/3'-1.3/5' |- |Tromba || 8' Bassi |- |Tromba || 8' Soprani |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Espressivo''''' ---- |- |Bordone || 8' |- |Viola di gamba || 8' |- |Flauto a cuspide || 4' |- |Nazardo || 2.2/3' |- |Ottavino || 2' |- |Decimino || 1.3/5' |- |Pienino 3 file || 1' |- |Voce celeste 2 file || 8' |- |Tromba armonica || 8' |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Contrabbasso || 16' |- |Bordone || 16' |- |Basso || 8' |- |Ottava || 4' |- |Trombone || 16' |- |Tromba bassa || 8' |- |} |} == Libri correlati == * {{libro|Organo a canne}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne| ]] [[Categoria:Musica]] [[Categoria:Dewey 786]] {{alfabetico|D}} {{Avanzamento|0%|9 giugno 2020}} sp7wo7rnutoriofwjtotn8uyw320ipe 0 35151 499992 491544 2026-07-19T20:45:46Z VoceUmana7 51633 499992 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} Disposizioni foniche della città metropolitana di Bari raggruppate per comune: * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Puglia/Città metropolitana di Bari/Bari|Bari]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Puglia/Città metropolitana di Bari/Acquaviva delle Fonti|Acquaviva delle Fonti]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Puglia/Città metropolitana di Bari/Adelfia|Adelfia]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Puglia/Città metropolitana di Bari/Altamura|Altamura]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Puglia/Città metropolitana di Bari/Bitonto|Bitonto]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Puglia/Città metropolitana di Bari/Capurso|Capurso]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Puglia/Città metropolitana di Bari/Cassano delle Murge|Cassano delle Murge]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Puglia/Città metropolitana di Bari/Conversano|Conversano]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Puglia/Città metropolitana di Bari/Fasano|Fasano]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Puglia/Città metropolitana di Bari/Gravina in Puglia|Gravina in Puglia]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Puglia/Città metropolitana di Bari/Modugno|Modugno]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Puglia/Città metropolitana di Bari/Mola di Bari|Mola di Bari]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Puglia/Città metropolitana di Bari/Molfetta|Molfetta]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Puglia/Città metropolitana di Bari/Monopoli|Monopoli]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Puglia/Città metropolitana di Bari/Noci|Noci]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Puglia/Città metropolitana di Bari/Noicattaro|Noicattaro]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Puglia/Città metropolitana di Bari/Putignano|Putignano]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Puglia/Città metropolitana di Bari/Toritto|Toritto]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Puglia/Città metropolitana di Bari/Triggiano|Triggiano]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Puglia/Città metropolitana di Bari/Valenzano|Valenzano]] {{Avanzamento|60%|7 aprile 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] or22sra71rm77ut1q7xjxizczbuofh9 0 36403 499981 478780 2026-07-19T15:54:56Z Momimariani1962 41308 499981 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} Disposizioni foniche della [[w:Provincia di Monza e della Brianza|provincia di Monza e della Brianza]] raggruppate per comune: * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Monza e della Brianza/Monza|Monza]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Monza e della Brianza/Arcore|Arcore]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Monza e della Brianza/Carate Brianza|Carate Brianza]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Monza e della Brianza/Carnate|Carnate]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Monza e della Brianza/Concorezzo|Concorezzo]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Monza e della Brianza/Desio|Desio]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Monza e della Brianza/Lazzate|Lazzate]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Monza e della Brianza/Lissone|Lissone]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Monza e della Brianza/Renate|Renate]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Monza e della Brianza/Seregno|Seregno]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Monza e della Brianza/Villasanta|Villasanta]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Monza e della Brianza/Vimercate|Vimercate]] {{Avanzamento|100%|19 luglio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] ad7a00g92k1acc2ckfnfrqgozyhliha 0 37047 499979 441211 2026-07-19T13:54:07Z Hippias 18281 fix link 499979 wikitext text/x-wiki {{Esercizi di fisica con soluzioni}} == Esercizi == === 1. Due sfere unite === [[Immagine:Sfere ruotanti.png|150px|right]] Determinare il momento di inerzia di due sfere piene di massa <math>M\ </math> e raggio <math>R\ </math>, unite sulla superficie esterna, attorno ad un asse normale al congiungente i loro centri e passante per il punto di contatto. <span class="noprint">[[#1. Due sfere unite_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> === 2. Pendolo fisico === Un pendolo fisico è costituito da un'asta sottile rigida ed omogenea di lunghezza <math>L\ </math> e massa <math>m\ </math> che ruota intorno al suo estremo <math>O\ </math>. Sull'asta è collocata ad una distanza <math>a\ </math> dall'estremo <math>O\ </math> un corpo puntiforme di massa <math>M=5m\ </math>. Si determini: a) il periodo delle piccole oscillazioni se <math>M\ </math> si trova in <math>a=L/2\ </math>; b) il periodo delle piccole oscillazioni se la massa <math>M\ </math> viene spostata da un estremo all'altro. (Dati: <math>L=1\ m</math>) <span class="noprint">[[#2. Pendolo fisico_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> === 3. Freno su disco === Un disco omogeneo di massa <math>M\ </math> e raggio <math>R\ </math> ruota liberamente attorno al proprio asse con velocità angolare <math>\omega_o\ </math>. Sul disco viene azionato per un tempo <math>T\ </math> un freno elettromagnetico che genera una coppia frenante di momento meccanico <math>|M_f|=-b\omega\ </math>, dove <math>\omega\ </math> è la velocità angolare istantanea. Determinare: a) la velocità angolare del disco dopo l'azione del freno; b) l'energia dissipata dal freno (dati <math>M=10\ kg</math>, <math>R=20\ cm</math>, <math>b=0.2\ Nms/rad</math>, <math>T=1\ s</math>, <math>\omega_o=10\ rad/s</math>) <span class="noprint">[[#3. Freno su disco_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> === 4. Anello in discesa === Un anello viene lasciato, con velocità iniziale nulla, sulla cima di un piano inclinato scabro con un angolo <math>\alpha\ </math> rispetto alla direzione orizzontale. Determinare: a) se il moto dell'anello possa essere di puro rotolamento; b) la velocità dell'anello dopo che il suo centro si è spostato di <math>s\ </math> (Dati del problema <math>\alpha=50^o\ </math>, <math>\mu_s=0.5\ </math>, <math>\mu_d=0.5\ </math>, <math>s=3\ m</math>) <span class="noprint">[[#4. Anello_in_discesa_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> === 5. Carrucola con due masse === Ad una carrucola di raggio <math>r\ </math> e momento di inerzia <math>I\ </math> rispetto al piano verticale in cui giace la carrucola e passante per il suo centro sono sospese tramite un filo inestensibile due masse <math>m_1\ </math> ed <math>m_2\ </math>. Calcolare: a) l'accelerazione delle masse; b) le tensioni dei fili; c) il tempo impiegato dalla carrucola, partendo dal sistema fermo, a fare un giro. (dati del problema <math>I=1\ kgm^2\ </math>, <math>r=0.4\ m</math>, <math>m_1=3\ kg</math>, <math>m_2=2\ kg\ </math>) <span class="noprint">[[#5. Carrucola con due masse_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===6. Disco in discesa=== Un disco di raggio <math>r\ </math> e massa <math>m\ </math> scende srotolando un filo, che non slitta rispetto al bordo del disco. Quando arriva nel punto più basso, si è srotolato tutto il filo ed è diminuita la quota del centro del disco di <math>h_0\ </math>. Determinare: a) la massima velocità angolare; b) la tensione del filo nel punto più basso; c) la tensione del filo durante la discesa (o salita a ritroso). (Dati del problema <math>m=0.3\ kg\ </math>, <math>r=10\ cm\ </math>, <math>h_0=1\ m\ </math> ipotizzare che il filo nel punto più basso rimane in tiro.) <span class="noprint">[[#6. Disco in discesa_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> === 7. Sfera in discesa === Una sfera di massa <math>m\ </math> e raggio <math>r\ </math> viene lasciata con velocità iniziale nulla su un piano inclinato con un angolo <math>\alpha\ </math> rispetto alla direzione orizzontale. Determinare: a) se il moto sia di puro rotolamento; b) la velocità del centro della sfera dopo un giro. (Dati del problema <math>m=1\ kg\ </math>, <math>r=10\ cm\ </math>, <math>\alpha=30^o\ </math>, <math>\mu_s=\mu_d=0.4\ </math>) <span class="noprint">[[#7. Sfera in discesa_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> === 8. Boccia === Una boccia (una sfera omogenea) di massa <math>m\ </math> e raggio <math>r\ </math>, viene lanciata tangenzialmente ad un piano orizzontale. Quando entra in contatto con il piano ha una velocità <math>v_o\ </math>, ma senza alcuna rotazione. A causa dell'attrito (<math>\mu_d\ </math> coefficiente d'attrito dinamico), dopo un certo tempo <math>t_x\ </math> essa inizia un moto di puro rotolamento. Determinare: a) Il tempo <math>t_x\ </math>; b) l'energia dissipata dall'attrito (tra quando tocca il piano e quando incomincia a compiere un moto di puro rotolamento); c) lo spazio percorso dalla sfera prima di iniziare il moto di puro rotolamento. (dati del problema <math>m=500\ g\ </math>, <math>r=10\ cm\ </math>, <math>\mu_d=0.5\ </math>, <math>v_0=2\ m/s\ </math>, l'attrito volvente viene trascurato) <span class="noprint">[[#8. Boccia_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> === 9. Disco pieno === Ad un disco pieno massa <math>m\ </math> e raggio <math>r\ </math>, che ha un coefficiente di attrito statico <math>\mu_s\ </math> con il piano orizzontale su cui è poggiato, è applicata una coppia di momento <math>M\ </math>. E' il moto di puro rotolamento? Quale è la accelerazione del centro di massa? (dati <math>m=5\ kg\ </math>, <math>r=0.2\ m\ </math>, <math>\mu_s=0.3\ </math>, <math>M=4\ Nm\ </math>) <span class="noprint">[[#9. Disco pieno_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> === 10. Biliardo === Una sfera omogenea di massa <math>m\ </math> e raggio <math>r\ </math>, è posta su un piano orizzontale scabro di coefficiente di attrito dinamico <math>\mu_d\ </math>; inizialmente la sfera è in quiete. Viene applicato un impulso parallelo al piano orizzontale <math>|J|\ </math>, appartenente al piano verticale che passa per il centro della sfera e la cui retta d'azione passa ad un'altezza <math>1.2r\ </math> dal piano orizzontale. E' praticamente una palla da biliardo colpita dalla stecca sopra al centro. Determinare: a) La velocità angolare iniziale della sfera; b) Dopo quanto tempo il moto diventa di puro rotolamento. (dati del problema <math>m=500\ g\ </math>, <math>r=10\ cm\ </math>, <math>\mu_d=0.4\ </math>, <math>|J|=5\ Ns\ </math>) <span class="noprint">[[#10. Biliardo_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> === 11. Attrito volvente === Una sfera di raggio <math>r\ </math> ha un coefficiente di attrito volvente <math>h\ </math>. Quale è la pendenza minima del piano inclinato, su cui è poggiata, per potere rotolare spontaneamente? (dati <math>r=0.2\ m\ </math>, <math>h=50\ \mu m\ </math>) <span class="noprint">[[#11. Attrito volvente_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> === 12. Ruota === [[Immagine:Es7p55.png|350px|right]] Una ruota è composta da due dischi metallici sottili concentrici omogenei di raggio <math>R_1=5\ cm\ </math> ed <math>R_2=30\ cm\ </math>. La ruota è in posizione verticale su di un piano orizzontale. Sul disco di raggio inferiore è arrotolato un filo inestensibile e di massa trascurabile a cui si applica una forza <math>F=10\ N\ </math> costante e parallela al piano orizzontale. Si misura che il filo si srotola completamente una volta che la ruota ha compiuto <math>n=10\ </math> giri completi dalla posizione iniziale nella quale la sua velocità era nulla. Sapendo che il disco di raggio minore <math>R_1\ </math> ha massa <math>M_1=0.1\ kg\ </math>, che quello di raggio maggiore <math>R_2\ </math> ha massa <math>M_2=5\ kg\ </math>. Si determini nell’ipotesi di moto di puro rotolamento: a) il valore della velocità angolare <math>\omega\ </math> della ruota una volta che il filo si è completamente srotolato; b) il valore del momento frenante costante da applicare alla ruota se si vuole arrestarla in un tempo pari a <math>\Delta t=30\ s\ </math> una volta raggiunta la velocità angolare <math>\omega \ </math> trovata nel rispondere alla precedente domanda. <span class="noprint">[[#12. Ruota_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> === 13. Puleggia === [[Immagine:Es7p9.png|350px|right]] Su un piano orizzontale è posta una massa <math>m_1=10\ kg\ </math>. Essa viene messa in movimento tramite un filo che si avvolge sulla gola di una puleggia di raggio <math>r_1=20\ cm\ </math>. La puleggia è messa in rotazione dalla discesa, sotto l'azione della forza peso di una massa <math>M_2=4\ kg\ </math>, a cui è collegata da un filo avvolto su una gola di raggio <math>R_2=50\ cm\ </math> (della stessa puleggia), coassiale e rigidamente fissata alla precedente. Il momento di inerzia dell'insieme delle due pulegge vale <math>I=6\ kgm^2\ </math>. Calcolare in assenza di attrito: a) Le velocità di <math>M_2\ </math> ed <math>m_1\ </math> dopo che è scesa di una quota <math>h=1\ m\ </math>; b) Le tensioni dei due fili durante il moto; c) quale sarebbe la velocità della massa <math>M_2\ </math> nel caso in cui esistesse tra <math>m_1\ </math> ed il piano un coefficiente di attrito <math>\mu=0.25\ </math>. <span class="noprint">[[#13. Puleggia_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===14. Ruota motrice=== Una coppia motrice <math>M=1.6\ Nm\ </math> viene applicata sul mozzo di una ruota approssimabile come un disco pieno. La ruota ha massa <math>m=3\ kg\ </math> e raggio <math>r=20\ cm\ </math> e giace su un piano orizzontale. Il punto di contatto ha un coefficiente di attrito statico <math>\mu_s=0.3\ </math>. Determinare: a) la forza di attrito tra ruota e piano; b) la distanza percorsa a partire da fermo in un tempo <math>t_1=15\ s\ </math>; c) la massima coppia motrice applicabile <math>M_{max}\ </math>. <span class="noprint">[[#14. Ruota motrice_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===15. Puleggia con due gole=== [[Immagine:Es7p53.png|200px|right]] Un argano è schematizzabile come una ruota con due gole che ruota senza attrito sul suo asse. Un carico di massa <math>m_c=100\ kg\ </math> è collegato, tramite una fune inestensibile, al raggio interno <math>R_1=40\ cm\ </math> dell'argano di momento di inerzia <math>I=10\ kgm^2\ </math>. Sulla gola esterna, di raggio <math>R_2=80\ cm\ </math> dell'argano agisce attraverso un'altra fune una forza <math>F=500\ N\ </math> (orizzontale). Supponendo di poter trascurare la massa dei due cavi e che gli stessi abbiano moto senza strisciamento lungo le gole, calcolare: a) la accelerazione; b) la tensione che agisce sulla fune verticale; c) la potenza media sviluppata dalla forza se il carico viene sollevato di <math>h=3\ m\ </math>. <span class="noprint">[[#15. Puleggia con due gole_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===16. Cilindro pieno=== Un cilindro pieno ed omogeneo di raggio <math>R=15\ cm\ </math> e massa <math>M=2\ kg\ </math> viene posto in rotazione intorno al proprio asse orizzontale, con velocità angolare <math>\omega_o=40\ rad/s\ </math>. In seguito il cilindro viene appoggiato su una superficie orizzontale con coefficiente di attrito dinamico <math>\mu_d=0.25\ </math>. Nella prima fase il cilindro striscia sul piano, trascorso un tempo <math>t'\ </math> comincia il moto di puro rotolamento. Determinare: a) <math>t'\ </math>; b) la velocità del centro di massa al tempo <math>t'\ </math>; c) i giri fatti fino a <math>t'\ </math>; d) l'energia dissipata per attrito. <span class="noprint">[[#16. Cilindro pieno_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===17. Un tubo che rotola=== Un tubo di raggio interno <math>r_1=10\ cm\ </math> ed esterno <math>r_2=20\ cm\ </math>, lungo <math>\ell =5\ cm\ </math> e densità uniforme <math>\rho=2.7\ g/cm^3\ </math>, viene lasciato rotolare da fermo lungo una discesa (un piano inclinato con angolo <math>\theta =20^o\ </math> rispetto al piano orizzontale) da una altezza <math>h=3\ m\ </math>. Il tubo rotola con moto di puro rotolamento. Determinare : a) la massa del tubo; b) il momento di inerzia del tubo; c) la accelerazione nel moto in discesa; d) la accelerazione durante il moto in discesa se viene applicato anche un momento frenante di <math>M_f=5\ Nm\ </math>; e) il coefficiente di attrito minimo che permette il moto di rotolamento con il momento frenante. <span class="noprint">[[#17. Un tubo che rotola_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===18. Un disco su un piano inclinato=== Un disco di raggio <math>R=10\ cm</math>, massa <math>M=10\ kg\ </math> su un piano inclinato con angolo <math>\theta\ </math> rispetto alla direzione orizzontale a causa di una coppia <math>\tau\ </math> applicata sul disco, sale (<math>\theta<0\ </math>) lungo un piano inclinato o scende <math>\theta>0\ </math> . Determinare per <math>\tau=5\ Nm\ </math> in salita e per <math>\tau=2\ Nm\ </math> in discesa forza di attrito, accelerazione, accelerazione angolare. L'attrito statico tra piano inclinato e disco è di <math>\mu_s=0.5\ </math>, l'attrito dinamico è <math>\mu_d=0.48\ </math>. <span class="noprint">[[#18. Un disco su un piano inclinato_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===19. Automobile=== Una automobile di massa <math>M\ </math> è messa in moto in moto da un motore che esercita un momento <math>|\tau |\ </math> su ciascuna delle due ruote motrici. Le ruote hanno un raggio <math>R\ </math> ed un momento di inerzia <math>I_r\ </math>. Determinare la forza di attrito che agisce sulle due ruote motrici (la strada è piana) in fase di accelerazione della automobile. Immaginare che la forza peso si scarichi in maniera eguale sulle ruote. Il coefficiente di attrito statico tra ruote e strada vale <math>\mu_s=0.9\ </math>. la condizione sull'attrito statico tra le ruote e il suolo. A causa della forza di attrito viscoso <math>F_v=-bv^2\ </math> la macchina raggiunge una velocità di regime <math>v_0\ </math>, determinare la coppia sulle ruote motrici e la potenza del motore. (Dati del problema <math>\tau =250\ Nm\ </math>, <math>M=1000\ kg\ </math>, <math>R=0.3\ m\ </math>, <math>I_r=0.4\ kgm^2\ </math>, <math>v_0=170\ km/h\ </math>, <math>b=0.5\ kg/m\ </math> ) <span class="noprint">[[#19. Automobile_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===20. Due dischi=== [[Immagine:Dischipieni.png|300px|right]] I due dischi pieni indicati in Figura sono uniti sul bordo costituendo così un sistema rigido sospeso all'estremo <math>O\ </math> attorno a cui può ruotare senza attrito. I due dischi hanno stessa massa <math>m\ </math> e raggio <math>R\ </math> tale che il periodo delle piccole oscillazioni del sistema attorno al punto <math>O\ </math> vale <math>T\ </math>. Determinare a) il raggio dei dischi; b) il momento di inerzia totale del sistema dei due dischi rispetto ad <math>O\ </math>; c) la velocità massima dell’estremo inferiore se il sistema viene lasciato cadere con velocità iniziale nulla dalla posizione orizzontale (cioè con il punto di contatto tra i due dischi allineato orizzontalmente con il punto <math>O\ </math>). (dati del problema <math>m=700\ g\ </math>, <math>T=1.3\ s\ </math>) <span class="noprint">[[#20. Due dischi_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===21. yo-yo=== [[Immagine:Yoyo.gif|200px|right]] Uno yo-yo classico di momento di inerzia <math>I\ </math> e massa <math>m\ </math> è rappresentato in figura. Attorno all'asse centrale di raggio <math>r\ </math>, (molto minore del raggio esterno del giocattolo) è avvolto un filo di lunghezza <math>\ell\ </math> che è fissato ad una estremità in modo tale che mentre lo yo-yo scende verticalmente, il filo si svolge. Se lo yo-yo parte da fermo per <math>\ell=0\ </math> si determini: a) la accelerazione e la tensione del filo; b) l' energia cinetica rotazionale (assumendo che la rotazione avvenga attorno al centro di massa) e quella traslazionale alla fine della discesa; c) Al termine della fase di discesa lo yo-yo continua a ruotare nella medesima direzione riavvolgendo il filo. Assumendo che nell'inversione del moto venga dissipata tutta l’energia cinetica traslazionale, determinare l’altezza massima raggiunta). (dati del problema <math>m=130\ g</math>, <math>r=4.4\ mm\ </math>, <math>\ell=1.1\ m\ </math>, <math>I=1\cdot 10^{-4}\ kgm^2\ </math>) <span class="noprint">[[#21. yo-yo_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===22. Disco che lancia=== [[Immagine:Discochelancia.png|400px|right]] Una piattaforma (un disco) non vincolata di massa <math>m_p\ </math> e raggio <math>R\ </math> è in quiete su di un piano orizzontale liscio quando da un suo bordo un sistema meccanico spara un proiettile (un punto materiale) di massa <math>m_0\ </math> con velocità <math>v_0\ </math> diretta tangenzialmente al bordo della piattaforma (si veda la figura) parallelamente all'asse delle x. Ipotizzando il sistema meccanico di lancio come un punto materiale di massa <math>m_1\ </math> posto sul bordo della piattaforma, si chiede di determinare in assenza di attriti (per il sistema piattaforma più lanciatore): a) le coordinate del centro di massa, la distanza del lanciatore dal centro di massa ed il momento di inerzia dall'asse libero di rotazione; b) dopo il lancio determinare la velocità di traslazione del centro di massa del sistema e quella angolare in modulo direzione e verso impressa dal lancio del punto materiale; c) la velocità angolare della piattaforma nel caso in cui essa fosse vincolata a ruotare intorno al suo centro nelle stesse condizioni dinamiche indicate in precedenza. (Dati del problema: <math>R=5\ m\ </math>; <math>m_p=20\ kg\ </math>; <math>m_0=1\ kg\ </math>; <math>v_0=10\ m/s\ </math>, <math>m_1=5\ kg\ </math>) <span class="noprint">[[#22. Disco che lancia_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> == Soluzioni == === 1. Due sfere unite === <span class="noprint">[[#1. Due sfere unite|&rarr; Vai alla traccia]]</span> applicando il teorema di Huygens Steiner per una sfera: :<math>I_1=\frac 25MR^2+MR^2=\frac 75MR^2\ </math> Per il sistema: :<math>I=\frac {14}5MR^2\ </math> === 2. Pendolo fisico === <span class="noprint">[[#2. Pendolo fisico|&rarr; Vai alla traccia]]</span> a) Il momento di inerzia totale del sistema e la posizione del baricentro entrambi calcolati rispetto al punto O sono rispettivamente: :<math>I_1=I_a+I_M=\frac 1{3}mL^2+Ma^2=\frac {19}{12}mL^2\ </math> :<math>x_1=\frac {1/2mL+Ma}{m+M}=\frac L2\ </math> Quindi, la lunghezza ridotta del pendolo vale: :<math>l_{r1}=\frac {I_1}{x_1 6m}=\frac {19}{36}L=0.53L\ </math> Il periodo delle piccole oscillazioni vale: :<math>T_1=2\pi \sqrt{\frac {l_{r1}}{g}}=1.46\ s</math> b) Se <math>M\ </math> viene posto all'estremo opposto ad <math>O\ </math>: <math>I_2=\frac 1{3}mL^2+ML^2=\frac 13mL^2+5mL^2=\frac {16}{3}mL^2\ </math> <math>x_2=\frac {mL/2+ML}{m+M}=\frac {mL/2+5mL}{m+5m}=\frac {11}{12}L\ </math> Quindi, la lunghezza ridotta del pendolo vale: <math>l_{r2}=\frac {I_2}{x_2 6m}=\frac {32}{33}L=0.97L\ </math> Il periodo delle piccole oscillazioni vale: <math>T_2=2\pi \sqrt{\frac {l_{r2}}{g}}=1.98\ s\ </math> Mentre se <math>M\ </math> viene posto in <math>O\ </math>: <math>I_3=\frac 1{3}mL^2\ </math> <math>x_3=\frac {mL/2}{m+M}=\frac {1}{12}L\ </math> Quindi, la lunghezza ridotta del pendolo vale: <math>l_{r3}=\frac {I_3}{x_3 6m}=\frac 23 L\ </math> Il periodo delle piccole oscillazioni vale: <math>T_2=2\pi \sqrt{\frac {l_{r3}}{g}}=1.64\ s\ </math> === 3. Freno su disco === <span class="noprint">[[#3. Freno su disco|&rarr; Vai alla traccia]]</span> a) Il momento di inerzia del disco vale: :<math>I=\frac 12 MR^2=0.2\ kgm^2 </math> :La II equazione cardinale della dinamica: :<math>I\frac {d\omega}{dt}=-b\omega\ </math> La cui soluzione è: :<math>\omega(t)=\omega_o e^{-tb/I}\ </math> Essendo <math>I/b=1\ s</math>, quindi per <math>t=T=1\ s</math> si ha che: :<math>\omega(T)=\omega_o e^{-1}=3.7\ rad/s</math> b) L'energia dissipata è pari alla variazione di energia cinetica rotazionale: :<math>\Delta E_r=\frac 12 I\omega_o^2\left(1-e^{-2} \right)=8.6\ J</math> === 4. Anello in discesa === <span class="noprint">[[#4. Anello_in_discesa|&rarr; Vai alla traccia]]</span> a) L'equazioni cardinali sono: :<math>ma_{CM}=mg\sin \alpha -f\ </math> :<math>fr=I\frac {d\omega }{dt}\ </math> con <math>I=mr^2\ </math> essendo un anello e per avere puro rotolamento: :<math>\frac {d\omega }{dt}=\frac {a_{CM}}r\ </math> sostituendo nella seconda equazione cardinale: :<math>fr=mr^2\frac {a_{CM}}r\ </math> dalle due equazioni segue che: :<math>a_{CM}=\frac g2 \sin \alpha\ </math> :<math>f=\frac {mg}2 \sin \alpha\ </math> per avere puro rotolamento: :<math>\frac {mg}2 \sin \alpha\le \mu_smg\cos \alpha\ </math> :<math>\tan \alpha \le 2\mu_s\ </math> non essendo verificata il moto non è di puro rotolamento. b) :<math>a_{CM}=g\sin \alpha -\mu_d g \cos \alpha\ </math> essendo un moto accelerato uniforme: :<math>s=\frac 12 a_{CM}t^2\ </math> :<math>v=a_{CM}t\ </math> da cui: :<math>v=\sqrt {2sa_{CM}}=5.1\ m/s\ </math> === 5. Carrucola con due masse === <span class="noprint">[[#5. Carrucola con due masse|&rarr; Vai alla traccia]]</span> L'equazione del moto per la massa <math>1\ </math>: :<math>m_1g-T_1=m_1a\ </math> L'equazione del moto per la massa <math>2\ </math>, notare la stessa accelerazione (avendo scelto gli assi opposti): :<math>T_2-m_2g=m_2a\ </math> Mentre sulla carrucola agiscono i momenti: :<math>(T_1-T_2)r=I\frac {d\omega }{dt}\ </math> Da cui: :<math>T_1=m_1(g-a)\ </math> :<math>T_2=m_2(g+a)\ </math> :<math>(T_1-T_2)r^2=Ir\frac {d\omega }{dt}\ </math> In realtà se il filo non slitta: :<math>r\frac {d\omega }{dt}=a\ </math> a) Eliminando le tensioni dalle tre equazioni: :<math>(m_1-m_2)g-(m_1+m_2)a=\frac I{r^2}a\ </math> :<math>a=\frac {m_1-m_2}{m_1+m_2+I/r^2}g=0.87\ m/s^2\ </math> b) mentre in modulo: :<math>T_1=m_1(g-a)=26.7\ N</math> :<math>T_2=m_2(g+a)=21.3\ N</math> c) Essendo il moto delle masse uniforme accelerato, il tempo che impiega a fare una rotazione è: :<math>2\pi r=\frac 12 at^2\ </math> :<math>t=\sqrt{\frac {4\pi r}a}=2.4\ s</math> ===6. Disco in discesa=== <span class="noprint">[[#6. Disco in discesa|&rarr; Vai alla traccia]]</span> a) Il punto di contatto del disco con il filo nel tratto finale si trova alla stessa quota quindi la sua velocità rimane nulla. Rispetto a tale punto il moto è solo rotatorio. Ed il momento di inerzia vale: :<math>I_C=\frac 12 mr^2+ mr^2=\frac 32 mr^2\ </math> Quindi posso scrivere, che nel punto più basso l'energia è diventata solo rotazionale: :<math>mgh_o=\frac 12I_c\omega^2=\frac 34 mr^2\omega^2\ </math> :<math>gh_o=\frac 12I_c\omega^2=\frac 34 r^2\omega^2\ </math> :<math>\omega^2=\frac 43 \frac {gh_O}{r^2}\ </math> :<math>\omega=\sqrt{\frac {gh_0}3}\frac 2r=36\ rad/s\ </math> b) La velocità del CM vale nel punto più basso: :<math>v_{CM}=\omega r=3.6\ m/s\ </math> Quindi la tensione del filo deve essere tale che: :<math>m\frac {v_{CM}^2}r=T-mg\ </math> :<math>T=mg+m\frac {v_{CM}^2}r=42\ N\ </math> c) Lungo la discesa si ha che, proiettando lungo la direzione verticale e detta <math>T\ </math> la tensione del filo ed <math>a\ </math> la accelerazione del <math>CM\ </math>: :<math>-mg+T=ma\ </math> Mentre detto <math>I=mr^2/2\ </math> il momento di inerzia rispetto al <math>CM\ </math>, la forza peso ha braccio nullo: :<math>-Tr=I\frac {d\omega }{dt}\ </math> ma anche, non slittando il filo: :<math>a=-r\frac {d\omega }{dt}\ </math> Quindi, con semplici passaggi: :<math>T=\frac {mg}{1+mr^2/I}=\frac {mg}3=0.98\ N\ </math> ===7. Sfera in discesa=== <span class="noprint">[[#7. Sfera in discesa|&rarr; Vai alla traccia]]</span> Le equazioni cardinali sono: :<math>mg\sin \alpha -f=ma_{CM}\ </math> :<math>fr=I\frac {d\omega}{dt}\ </math> essendo: :<math>I=\frac 25 mr^2\ </math> :<math>a_{CM}=r\frac {d\omega}{dt}\ </math> sostituendo: :<math>a_{CM}=\frac 57 g\sin \alpha\ </math> :<math>f=\frac 27 mg\sin \alpha=1.4\ N\ </math> che è minore di: :<math>\mu_s mg\cos \alpha=3.4\ N\ </math> Quindi il moto è di puro rotolamento. In un giro la quota del centro di massa diminuisce di: :<math>h=2\pi r \sin \alpha\ </math> dovendosi conservare l'energia: :<math>mgh=\frac 12 mv^2+\frac 12 \frac 25 mr^2 \frac {v^2}{r^2}=\frac 7{10}mv^2\ </math> :<math>v=\sqrt {\frac {10}7 g2\pi r \sin \alpha }=2.1\ m/s\ </math> ===8. Boccia=== <span class="noprint">[[#8. Boccia|&rarr; Vai alla traccia]]</span> a) La equazione di Newton è: :<math>m\frac {dv}{dt}=-\mu_d mg\ </math> Che integrata (con la condizione iniziale): :<math>v=v_o-\mu_dgt\ </math> Definito: :<math>I_c=\frac 25 mr^2\ </math> La II equazione cardinale della dinamica rispetto assunto come polo il centro di massa: :<math>I_c\frac {d\omega }{dt}=-\mu_d mg r\ </math> :<math>\frac 25 mr^2\frac {d\omega }{dt}=-\mu_d mg r\ </math> Che integrata (con la condizione iniziale). ricordando che <math>\omega\ </math> è positivo se il verso è antiorario ed l'asse delle <math>x\ </math> sia scelto positivo nella direzione di <math>v_o\ </math>: :<math>\omega=-\mu_d g \frac {5}{2r}t\ </math> La condizione di puro rotolamento si ha quando: :<math>-\omega (t_x)r=v(t_x)\ </math> cioè: :<math>\mu_d g \frac {5t}{2r}t_xr=v_o-\mu_dgt_x\ </math> :<math>t_x=\frac 27 \frac {v_o}{\mu_d g}=0.117\ s\ </math> b) L'energia cinetica iniziale vale: :<math>E_{co}=\frac 12 mv_o^2=1\ J\ </math> mentre quella finale vale: :<math>E_{cf}=\frac 12mv^2(t_x)+\frac 12 I_c \omega^2(t_x)\ </math> essendo: <math>I_c=2\cdot 10^{-3}\ kgm^2\ </math>, <math>v(t_x)=1.43\ m/s\ </math> e <math>\omega(t_x)=-14.3\ rad/s\ </math> segue che: :<math>\frac 12mv^2(t_x)=0.51\ J\ </math> :<math>\frac 12 I_c \omega^2(t_x)=0.204\ J\ </math> Quindi: :<math>E_{cf}=0.714\ J\ </math> Quindi l'energia dissipata per attrito vale: :<math>E_{co}-E_{cf}=0.286\ J\ </math> c) Essendo un moto accelerato uniforme: :<math>s=v_ot-\frac 12 \mu_dgt_x^2\ </math> :<math>s(t_x)=v_ot_x-\frac 12 \mu_dgt_x^2=0.2\ m\ </math> ===9. Disco pieno=== <span class="noprint">[[#9. Disco pieno|&rarr; Vai alla traccia]]</span> Le equazioni cardinali sono: :<math>f=ma_{CM}\ </math> :<math>M-fr=I\frac {d\omega}{dt}\ </math> se: :<math>a_{CM}=-r\frac {d\omega}{dt}\ </math> :<math>f=\frac M{r(1+I/mr^2)}=13.3\ N\ </math> che deve essere minore di: :<math>\mu_smg=14.7\ N\ </math> quindi il moto è di puro rotolamento e: :<math>a_{CM}=\frac fm=2.66\ m/s^2\ </math> ===10. Biliardo=== <span class="noprint">[[#10. Biliardo|&rarr; Vai alla traccia]]</span> a) Nell'urto: :<math>mv_{CM}=|J|\ </math> da cui: :<math>v_{CM}=10\ m/s\ </math> Inoltre: :<math>I_c\omega_o=|J|(r-1.2r)\ </math> con <math>I_c=2/5mr^2\ </math> è il momento di inerzia della sfera. Quindi: :<math>\omega_o=-50\ rad/s\ </math> in senso orario (segno negativo) poiché l'urto avviene al di sopra del centro di massa (CM). b) Essendo :<math>-\omega_o r<v_{CM}\ </math> Il moto è rototraslatorio, con la rotazione in difetto rispetto alla traslazione. Quindi l'attrito ha una funzione frenante per la traslazione, ed esercita un momento propulsivo per la rotazione cioè l'equazione del moto del CM: :<math>m\frac {dv}{dt}=-\mu_d mg\ </math> che integrata: :<math>v=v_{CM}-\mu_dgt\ </math> Mentre la velocità angolare segue la legge: :<math>I_c\frac {d\omega }{dt}=-\mu_dmgr\ </math> che integrata: :<math>\omega =\omega_o -\frac 52 \frac {\mu_dg}rt\ </math> Si raggiunge la condizione di puro rotolamento quando: :<math>-\omega r= v\ </math> :<math>-\omega_o r+\frac 52 \mu_dgt^*=v_{CM}-\mu_dgt^*\ </math> :<math>t^*=\frac 27 \frac {v_{CM}+\omega_o r}{\mu_d g}=0.36\ s\ </math> ===11. Attrito volvente=== <span class="noprint">[[#11. Attrito volvente|&rarr; Vai alla traccia]]</span> Perché non si muova occorre che il momento della forza peso rispetto al punto di contatto: :<math>mg\sin \alpha r\ </math> sia minore del momento dell'attrito volvente: :<math>hmg\cos \alpha\ </math> Quindi: :<math>mg\sin \alpha r <hmg\cos \alpha\ </math> Da cui segue che al massimo l'angolo possa essere: :<math>\tan \alpha \approx \alpha <\frac hr=2.5\cdot 10^{-4} rad \approx 50''\ </math> === 12. Ruota === <span class="noprint">[[#12. Ruota|&rarr; Vai alla traccia]]</span> a) '''La prima parte si può risolvere o mediante la conservazione dell'energia:''' La forza <math>F\ </math>, di direzione parallela al piano orizzontale, agisce fino a che il filo è arrotolato attorno al disco di raggio minore. Lo spostamento della. ruota compiendo 10 giri vale: :<math>s=n2\pi R_2=18.8\ m\ </math> Quindi il lavoro fatto dalla forza è pari a: :<math>W_F=Fs=188.0\ J\ </math> Inoltre questa forza esercita un momento motore <math>W_m\ </math> rispetto al centro della ruota. Pertanto, a sua volta, il momento compie un lavoro fino a che la forza ha la possibilità di agire sulla ruota. Il lavoro dovuto al momento ha la seguente espressione: :<math>W_m=20\pi R_1F=31\ J\ </math> Quindi imponendo che: :<math>\frac 12\left[I_{tot}\omega^2+(M_1+M_2)v_{CM}^2\right]=W_F+W_m\ </math> :<math>\frac 12\left[\frac 12M_1R_1^2+\frac 12M_2R_2^2+M_1R_2^2+M_2R_2^2\right]\omega^2=W_F+W_m\ </math> dove si è posto: <math>I_{tot}=\frac 12 (M_1R_1^2+M_2R_2^2)\ </math> e <math>v_{CM}=\omega R_2\ </math> Quindi: :<math>\omega_1=\sqrt{\frac {2(W_F+W_m)}{\frac 12M_1R_1^2+\frac 12M_2R_2^2+M_1R_2^2+M_2R_2^2}}= 25.3\ rad/s\ </math> '''Mentre mediante la cinematica (detto f l'attrito), le equazioni cardinali sono:''' :<math>F-f=(M_1+M_2)a\ </math> :<math>FR_1+fR_2=I_{tot}\alpha\ </math> Essendo un moto di puro rotolamento <math>a=\alpha R_2\ </math>, quindi eliminando <math>f\ </math>: :<math>a=\frac {F(1+R_1/R_2)}{M_1+M_2+I_{tot}/R_2^2}=1.53\ m/s^2\ </math> :<math>\alpha=\frac a{R_2}=5.1\ rad/s^2\ </math> Poiché: :<math>\frac 12\alpha t_1^2=n2\pi\ </math> :<math>t_1=\sqrt{4n\pi/\alpha}=4.96\ s\ </math> :<math>\omega (t_1)=\alpha t_1=25.3\ rad/s\ </math> b) Essendo: :<math>I_{tot}=\frac 12 (M_1R_1^2+M_2R_2^2)=0.225\ kgm^2\ </math> se si vuole arrestare la ruota un tempo pari <math>\Delta t=30\ s\ </math>, applicando alla ruota un momento costante, si deve applicare un momento <math>M_f\ </math> che provochi una decelerazione <math>\alpha_d =-\omega_1/\Delta t\ </math>. Le equazioni cardinali diventano (l'attrito statico diventa frenante): :<math>-f=(M_1+M_2)a_d\ </math> Il momento della forza di attrito agisce in direzione opposta al momento frenante: :<math>M_f-fR_2=I_{tot}\alpha_d\ </math> Ma continuando ad essere il moto di puro rotolamento, deve essere: :<math>a_d=-\alpha_dR_2\ </math> segue che eliminando <math>f\ </math> dalle due equazioni cardinali: :<math>M_f=-R_2 \left(I_{tot}/R_2^2+M_1 + M_2\right)\frac {\omega_1 R_2}{\Delta t}=-0.58\ Nm\ </math> === 13. Puleggia === <span class="noprint">[[#13. Puleggia|&rarr; Vai alla traccia]]</span> a) Applicando la conservazione dell'energia, tra la quota più alta e quella più bassa: :<math>M_2gh=\frac 12 I\omega^2+\frac 12 M_2v_2^2+\frac 12 m_1v_1^2\ </math> Non slittando :<math>v_2=\omega R_2\ </math> :<math>v_1=\omega r_1\ </math> sostituendo: :<math>M_2gh=\frac 12 I\omega^2+\frac 12 M_2\omega^2R_2^2+\frac 12 m_1\omega^2r_1^2\ </math> da cui: :<math>\omega =\sqrt{\frac {2M_2gh}{I+M_2R_2^2+m_1r_1^2}}=3.3\ rad/s\ </math> :<math>v_2=\omega R_2=R_2\sqrt{\frac {2M_2gh}{I+M_2R_2^2+m_1r_1^2}}=1.6\ m/s\ </math> :<math>v_1=\omega r_1=0.65\ m/s\ </math> b) :<math>M_2g-T_2=M_2a_2\ </math> :<math>T_2R_2-T_1r_1=I\alpha\ </math> :<math>T_1=m_1a_1\ </math> Essendo: :<math>a_1=\frac {r_1}{R_2}a_2\ </math> Dall'ultima: :<math>a_2=\frac {T_1R_2}{m_1r_1}\ </math> Inoltre :<math>\alpha=\frac {a_2}{R_2}=\frac {T_1}{m_1r_1}\ </math> Le due rimanenti equazioni diventano: :<math>M_2g-T_2=\frac {M_2T_1R_2}{r_1m_1}\ </math> :<math>T_2R_2-T_1r_1=\frac {IT_1}{r_1m_1}\ </math> Da cui eliminando <math>T_2\ </math> (dividendo per <math>R_2\ </math> la seconda e sommandole): :<math>T_1=\frac {m_1M_2gr_1R_2}{ M_2R_2^2+m_1r_1^2+I}=5.3\ N\ </math> :<math>T_2=M_2g-\frac {T_1R_2M_2}{r_1m_1}=34\ N\ </math> c) Se l'energia non viene conservata: :<math>M_2gh=\frac 12 I\omega^2+\frac 12 M_2\omega^2R_2^2+\frac 12 m_1\omega^2r_1^2+\mu m_1g \frac {r_1}{R_2}h\ </math> da cui: :<math>\omega =\sqrt{\frac {2M_2gh-2\mu m_1g hr_1/R_2}{I+M_2R_2^2+mr_1^2}}\ </math> :<math>v_2=R_2\sqrt{\frac {2M_2gh-2\mu m_1g h r_1/R_2}{I+M_2R_2^2+m_1r_1^2}}=1.4\ m/s\ </math> ===14. Ruota motrice=== <span class="noprint">[[#14. Ruota motrice|&rarr; Vai alla traccia]]</span> a) La forza di attrito massimo vale; :<math>f_{max}=\mu_s mg=8.83\ N\ </math> La prima equazione cardinale sul piano: :<math>f=ma\ </math> Mentre se il momento è applicato in senso orario, la seconda equazione cardinale è: :<math>-M+fr=I\frac {d\omega }{dt}\ </math> Ipotizzando che valga la condizione di puro rotolamento e sostituendo la prima equazione cardinale: :<math>\frac {d\omega}{dt}=-\frac ar=-\frac f{mr}\ </math> Inoltre <math>I=1/2mr^2\ </math> quindi la II diventa: :<math>-M+fr=-\frac 12 mr^2\frac f{mr}\ </math> :<math>fr(1+1/2)=M\ </math> :<math>f=\frac M{r(1+1/2)}=5.3\ N\ </math> Inferiore alla forza di attrito massimo, quindi il moto è di puro rotolamento. b) L'accelerazione della ruota vale: :<math>a=\frac fm=1.8\ m/s^2\ </math> quindi essendo il moto accelerato uniforme. :<math>s=\frac 12at_1^2=200\ m\ </math> c) Imponendo che: :<math>f_{max}=\frac {M_{max}}{r(1+1/2)}\ </math> :<math>M_{max}=f_{max}r(1+1/2)=2.65\ Nm\ </math> ===15. Puleggia con due gole=== <span class="noprint">[[#15. Puleggia con due gole|&rarr; Vai alla traccia]]</span> a) Le due equazioni che rappresentano il moto dell'argano e del carico sono: :<math>FR_2-TR_1=I\alpha \ </math> :<math>T-m_cg=m_ca\ </math> Essendo <math>\alpha R_1=a\ </math>, dalla prima: :<math>F\frac {R_2}{R_1}-T=\frac I{R_1^2} a\ </math> Quindi sommandola all'altra equazione: :<math>F\frac {R_2}{R_1}-m_cg=(m_c+\frac I{R_1^2})a\ </math> :<math>a=\frac {FR_2/R_1-m_cg}{m_c+I/R_1^2}=0.123\ m/s^2\ </math> b) Di conseguenza: :<math>T=m_c(g+a)=992\ N\ </math> c) Il moto della massa <math>m_c\ </math> è uniformemente accelerato e il tempo di salita vale: :<math>h=\frac 12at_s^2\ </math> :<math>t_s=\sqrt{2h/a}=7\ s\ </math> Il lavoro fatto è pari a: :<math>W=Fh\frac {R_2}{R_1}=3000\ J\ </math> La potenza media: :<math>P_m=\frac {W}{t_s}=430\ W\ </math> === 16. Cilindro pieno === <span class="noprint">[[#16. Cilindro pieno|&rarr; Vai alla traccia]]</span> a) Il moto del centro di massa del cilindro è uniformemente accelerato con forza propulsiva data dall'attrito, per cui: :<math>a_{CM}=\mu_d g\ </math> Il moto quindi è uniformemente accelerato: :<math>v_{CM}=a_{CM}t\ </math> Contemporaneamente l'effetto dell'attrito è di applicare un momento frenante nel moto di rotazione, quindi l'accelerazione angolare vale: :<math>\alpha=-\mu_d Mg\frac RI\ </math> con <math>I=1/2MR^2\ </math> è il momento di inerzia del cilindro, quindi :<math>\alpha=\mu_d 2\frac gR=33\ rad/s^2\ </math> Quindi la velocità angolare: :<math>\omega=\omega_o-\alpha t\ </math> imponendo la condizione di puro rotolamento: :<math>\omega= \frac {v_{CM}}R\ </math> :<math>\omega_o-\mu_d 2\frac g{R} t'=\frac {\mu_d g t'}R\ </math> Da cui: :<math>t'=\frac {\omega_oR}{3\mu_d g}=0.82\ s\ </math> b) Quindi :<math>v_{CM}(t'))=a_{CM}t'=2\ m/s\ </math> c) L'angolo descritto è: :<math>\theta(t')=\omega_ot'-\mu_d \frac g{R} t'^2\ </math> Quindi il numero di giri è: :<math>N=\frac {\theta(t')}{2\pi}=3.46\ </math> d) L'energia iniziale vale: :<math>E_o=\frac 12I\omega_o^2=18\ J\ </math> :<math>E_f=\frac 12 I\omega^2+\frac 12 Mv_{CM}^2=\frac 34Mv_{CM}^2=6\ J\ </math> Quindi l'energia dissipata per attrito vale: :<math>\Delta E=E_o-E_f=12\ J\ </math> ===17. Un tubo che rotola=== <span class="noprint">[[#17. Un tubo che rotola|&rarr; Vai alla traccia]]</span> a) La massa totale è: :<math>m=\int_{r_1}^{r_2}\rho \ell 2\pi r dr=\rho\ell \pi(r_2^2-r_1^2)=12.7\ kg\ </math> b) :<math>I_z=\int_{r_1}^{r_2}\rho \ell 2\pi r^3dr=\frac {\rho\ell \pi}2(r_2^4-r_1^4)=0.318 \ kgm^2\ </math> c) Le equazioni cardinali del moto sono: :<math>ma=mg\sin \theta-f_a\ </math> :<math>I_z\alpha =f_ar_2\ </math> essendo il moto di puro rotolamento: :<math>r_2\alpha =a\ </math> Quindi la II equazione cardinale diventa: :<math>\frac {I_z a}{r_2^2}=f_a\ </math> Che sommata alla I equazione cardinale: :<math>ma+\frac {I_z a}{r_2^2}=mg\sin \theta\ </math> :<math>a=\frac {g\sin \theta}{1+I_z/mr_2^2}=2.06\ m/s^2\ </math> d) Se è presente un momento frenante l'equazioni cardinali diventano: :<math>ma=mg\sin \theta-f_a\ </math> :<math>I_z\alpha =f_ar_2-Mf\rightarrow \frac {I_z a}{r_2^2}=f_a-\frac {M_f}{r_2}\ </math> che sommate e risolte per <math>a\ </math>: :<math>a=\frac {g\sin \theta-M_f/(mr_2)}{1+I_z/mr_2^2}=0.86\ m/s^2\ </math> e) Essendo :<math>f_a=m(g\sin {\theta}-a)\ </math> Quindi se: :<math>f_a\le \mu_s mg\cos{\theta}\ </math> :<math>\mu_s\ge \frac {g\sin {\theta}-a}{g\cos{\theta}}=0.27\ </math> === 18. Un disco su un piano inclinato === <span class="noprint">[[#18. Un disco su un piano inclinato|&rarr; Vai alla traccia]]</span> Il momento di inerzia vale <math>I=\frac 12MR^2=0.05\ kgm^2\ </math>. Chiamiamo con <math>f_s\ </math> la forza di attrito, le equazioni cardinali sono: :<math>Ma=f_s+Mg\sin \theta\ </math> :<math>I\alpha=\tau-f_sR\ </math> Se la forza di attrito è minore in valore assoluto del valore critico che vale: :<math>f_{max}=\mu_s Mg\cos \theta\ </math> se il moto è di puro rotolamento le due equazioni cardinali sono collegate tra di loro, sostituendo nella seconda equazione <math>\alpha=a/R\ </math> diviene: :<math>I\frac aR=\tau-f_sR\ </math> Quindi si ha che: :<math>f_s=\frac {\tau MR/I-Mg\sin \theta}{1+MR^2/I}\ </math> :<math>a=\frac {\tau R/I-g\sin \theta}{1+MR^2/I}+g\sin \theta\ </math> :<math>\alpha=\frac {\tau R^2/I-gR\sin \theta}{1+MR^2/I}+gR\sin \theta\ </math> Mentre se non è verificata la condizione, le due equazioni restano indipendenti, la forza di attrito ha il valore di: :<math>|f_d|=Mg\cos \theta\ </math> {| class="wikitable" style="text-align:center;" !<math>\theta\ ^o </math> !! <math>\tau\ (Nm)\ </math> !! <math>f_{max}\ (N\ )\ </math> !! <math>f_s\ (N\ )\ </math>!! <math>f_d\ (N\ )\ </math> !! <math>a\ (m/s^2\ )\ </math> !! <math>\alpha\ (rad/s^2\ )\ </math> !! <math>Mg\sin \theta\ (N)\ </math> |- |style="text-align:center"|0|| 1 ||49||6.7||47||0.67||6.7||0 |- |style="text-align:center"|0|| 5 ||49||33||47||3.3||33||0 |- |style="text-align:center"|0|| 10 ||49||66||47||4.9||105||0 |- |style="text-align:center"|-10||5||48||39||46||2.2||22||-17 |- |style="text-align:center"|-20||5||46||44.5||44||0.88||8.8||-33 |- |style="text-align:center"|-25||5||44||47||43||0.12||14||-41 |- |style="text-align:center"|-30||5||42||50||41||-0.8||18.5||-49 |- |style="text-align:center"|0||2||49||13.3||47||1.3||13||0 |- |style="text-align:center"|20||2||46||2.11||44||3.6||36||41 |- |style="text-align:center"|30||2||42||-3||41||4.6||46||49 |- |} ===19. Automobile=== <span class="noprint">[[#19. Automobile|&rarr; Vai alla traccia]]</span> Per la prima parte del moto. Detta <math>f_{am}\ </math> la forza motrice di ciascuna ruota motrice e <math>f_{ar}\ </math> la forza di attrito delle due ruote non motrici. :<math>Ma_C=2f_{am}-2f_{ar}\ </math> Se si indica come crescente la direzione verso cui si muove la macchina, <math>\tau=250\ Nm\ </math> le altre due equazioni cardinali riferite alle ruote motrici e non sono: :<math>I_r\alpha_m =\tau -f_{am}R\ </math> :<math>I_r\alpha_r =f_{ar}R\ </math> ma essendo: :<math>\alpha_r=\frac {a_c}R\ </math> ed anche: :<math>\alpha_m=\frac {a_c}R\ </math> e quindi: :<math>f_{am}=\frac {\tau}R-\frac {I_ra_C}{R^2}\ </math> Quindi sostituendo, tali espressioni, nella prima equazione: :<math>Ma_c=\frac {2\tau}R-\frac {2I_ra_C}{R^2}-\frac {2I_ra_C}{R^2}\ </math> :<math>a_c\left( M+\frac {4I_r}{R^2} \right)=\frac {2\tau }R\ </math> Detta: :<math>M_e=M+\frac {4I_r}{R^2}=1018\ kg\ </math> Segue che: :<math>a_c=\frac {2\tau }{M_eR}=1.64\ m/s^2\ </math> :<math>f_{ar}=\frac {I_ra_C}{R^2}=7.3\ N\ </math> mentre: :<math>f_{am}=-\frac {\tau}R+f_{ar}=826\ N\ </math> Quindi entrambe molto minori di <math>\mu_sMg/4=2205\ N\ </math> La <math>f_{ar}\ </math> è trascurabile per cui possiamo scrivere che quando la macchina viaggia a velocità costante <math>v_0\ </math> si ha che: :<math>2f_{am}-bv_0^2=0\ </math> cioè: :<math>f_{am}=bv_0^2/2=550\ N</math> Contemporaneamente la velocità angolare delle ruote è pari a: :<math>\omega_0=v_0/R=157\ rad/s</math> Inoltre dovendo essere costante tale velocità angolare: :<math>\tau -f_{am}R=0\ </math> cioè: :<math>\tau =f_{am}R=165\ Nm\ </math> Per cui la potenza erogata dal motore è: :<math>P =\tau \omega=51\ kW</math> ===20. Due dischi=== <span class="noprint">[[#20. Due dischi|&rarr; Vai alla traccia]]</span> a) Il momento di inerzia del I disco rispetto ad <math>O\ </math> (usando il teorema di Huygens-Steiner): :<math>I_1=\frac 12mR^2+mR^2=\frac 32mR^2\ </math> Il momento di inerzia del II disco rispetto ad <math>O\ </math> : :<math>I_2=\frac 12mR^2+m(3R)^2=\frac {19}2mR^2\ </math> Quindi il momento di inerzia totale vale: :<math>I=11mR^2\ </math> Il sistema costituisce un [[Fisica_classica/Corpo_rigido#Pendolo_composto|pendolo fisico]] con il centro di massa nel punto di contatto tra i dischi quindi <math>h=2R\ </math>, quindi il periodo delle piccole oscillazioni vale: :<math>T=2\pi \sqrt{\frac {I}{2mgh}}=2\pi \sqrt{\frac {11R}{4g}}\ </math> :<math>R=\left( \frac T{2\pi }\right)^2 \frac {4g}{11}=0.15\ m\ </math> b) Quindi: :<math>I=11mR^2=0.18\ kg m^2\ </math> c) Mentre dalla conservazione della energia: :<math>2mg2R=\frac 12I\omega^2=\frac {11}2mR^2\omega^2\ </math> :<math>8g=11R\omega^2\ </math> :<math>\omega =\sqrt{\frac {16g}{11R}}=6.8\ rad/s\ </math> :<math>v_e=\omega 4 R=4.06\ m/s\ </math> ===21. yo-yo=== <span class="noprint">[[#21. yo-yo|&rarr; Vai alla traccia]]</span> a) Le equazioni cardinali della meccanica si riducono in questo caso a: :<math>ma=mg-T\quad \Rightarrow T=m(g-a)\ </math> assunta la direzione verso il basso positiva :<math>Tr=I\alpha \quad\Rightarrow T=\frac {I\alpha}r\ </math> Dove <math>T\ </math> è la tensione del filo ed <math>\alpha\ </math> la accelerazione angolare. Eliminando da queste equazioni <math>T\ </math>: :<math>m(g-a)=\frac {I\alpha}r\ </math> Ma poiché il cordino è fissato <math>r\alpha =a\ </math>, quindi l'ultima equazione diviene: :<math>m(g-a)=\frac {Ia}{r^2}\quad\Rightarrow a=\frac g{1+I/mr^2}=0.24\ m/s^2\ </math> la tensione del filo è: :<math>T=m(g-a)=1.24\ N\ </math> b) Chiamando <math>\ell\ </math> la lunghezza del filo, applicando la conservazione dell’energia meccanica tra lo stato iniziale a velocità nulla e lo stato finale di massima elongazione dello yo-yo si ha: :<math>mg\ell =\frac 12 I\omega^2+\frac 12 mv_{CM}^2 \rightarrow \omega=\sqrt{\frac{2mgl}{I+mr^2}}=165.4\ rad/s\ </math> Si è utilizzato <math>\omega =v_{CM} / r\ </math>, con <math>r\ </math> il raggio della puleggia attorno alla quale si arrotola il filo. Di conseguenza <math>v_{CM}=0.73\ m/s\ </math>. Quindi l'energia rotazionale è: :<math>E_r=\frac 12 I\omega^2=1.37\ J\ </math> Quindi l'energia cinetica traslazionale è: :<math>E_t=\frac 12 mv_{CM}^2=0.034\ J\ </math> La somma delle due energie è pari a quella potenziale iniziale: :<math>E_p=mgh=1.4\ J\ </math> c) Viene dissipata tutta l'energia traslazionale e dalla trasformazione della energia rotazionale in energia potenziale: :<math>mg\ell'=E_r\ </math> :<math>\ell'=E_r/(mg)=1.07\ m\ </math> ===22. Disco che lancia=== <span class="noprint">[[#22. Disco che lancia|&rarr; Vai alla traccia]]</span> a) Una volta effettuato il lancio del punto materiale di massa <math>m_0\ </math>, assumendo come zero dell’asse delle ordinate il centro della piattaforma circolare, la coordinata del centro di massa del sistema vale :<math>x_{CM}=0\qquad y_{CM}=\frac {m_1R}{m_p+m_1}=1\ m\ </math> la distanza del lanciatore dal centro di massa: :<math>d_1=R-y_{CM}=4\ m\ </math> La piattaforma ha un momento di inerzia rispetto all'asse libero di rotazione: :<math>I_p=\frac 12m_pR^2+m_py_{CM}^2=270\ kgm^2\ </math> Quindi il sistema ha un momento di inerzia: :<math>I_{CM}=I_p+m_1d_1^2=350\ kgm^2\ </math> b) Applicando la conservazione della quantità di moto la velocità di trascinamento del sistema: :<math>0=m_0v_0+(m_p+m_1)v_p\longrightarrow v_p=-\frac {m_0v_0}{m_p+m_1}=-0.4 m/s\ </math> lungo l'asse delle x. Mentre dalla conservazione del momento angolare: :<math>0=I_{CM}\omega_p-m_0d_1v_0\longrightarrow \omega_p=\frac {m_0d_1v_0}{I_{CM}}=0.114\ rad/s\ </math> Il vettore velocità angolare è perpendicolare al piano del disco e uscente da esso. c) Nel caso in cui la piattaforma fosse vincolata a ruotare intorno al suo centro, il momento d’inerzia del sistema vale: :<math>I'_{CM}=\frac 12m_pR^2+m_1R^2=375\ kgm^2\ </math> Vale solo la conservazione del momento angolare: :<math>0=I'_{CM}\omega_p-m_0Rv_0\longrightarrow \omega'_p=\frac {m_0Rv_0}{I'_{CM}}=0.133\ rad/s\ </math> [[Categoria:Esercizi di fisica con soluzioni|Dinamica corpi rigidi]] {{Avanzamento|100%}} a0xksrha7umt15qosxrccyaa0i5uda1 0 44049 499998 492607 2026-07-20T10:20:31Z VoceUmana7 51633 499998 wikitext text/x-wiki {{disposizioni foniche di organi a canne}} * '''Costruttore:''' Padre Francesco Lo Pinto da Castel di Lucio * '''Anno:''' 1862 * '''Restauri/modifiche:''' Restauro anno 2000 * '''Registri:''' 7 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' a finestra * '''Tastiere:''' 1 di 50 tasti (''Do¹''-''Fa⁵'') con prima ottava corta * '''Pedaliera:''' 8 tasti (''Do¹''-''Si¹'') sempre uniti alla tastiera * '''Collocazione:''' organo positivo {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I ''' ---- |- |Principale |- |Bordone |- |Ottava |- |Ottavino |- |Ripieno |- |Basso |- |Zampogna <ref> Il registro di zampogna è composto da una canna, con ancia incapsulata, provvista di 5 fori e da quattro canne di bordone (nota fissa).</ref> |- |} |} == Note == <references/> Quasi tutti i registri sono costruiti con canne palustri. == Bibliografia == * {{cita libro|autore=Sergio Ingoglia, Anna Tschinke|titolo=La voce degli angeli - organi antichi|città=Palermo|editore=Regione siciliana, Assessorato dei beni culturali e dell’identità siciliana, Dipartimento dei beni culturali e dell’identità siciliana|anno=2015|isbn=978-88-6164-281-2|p=52}} {{Avanzamento|100%|21 settembre 2019}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] 4cmyr98uqhalktpczdv0z0nis8i6plu 0 54771 499984 453453 2026-07-19T16:01:02Z EmausBot 31897 Sistemo i reindirizzamenti doppi da [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Sardegna/Provincia di Sassari/Sassari/Sassari - Chiesa di San Francesco d'Assisi]] a [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Sardegna/Città metropolitana di Sassari/Sassari/Sassari - Chiesa di San Francesco d'Assisi]] 499984 wikitext text/x-wiki #RINVIA [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Sardegna/Città metropolitana di Sassari/Sassari/Sassari - Chiesa di San Francesco d'Assisi]] 8sxx030j3tdik1k2onofxuzjq0s67mv 0 60664 499983 499548 2026-07-19T16:00:52Z EmausBot 31897 Sistemo i reindirizzamenti doppi da [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Sardegna/Provincia di Cagliari/Dolianova/Dolianova - Chiesa di San Biagio]] a [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Sardegna/Città metropolitana di Cagliari/Dolianova/Dolianova - Chiesa di San Biagio]] 499983 wikitext text/x-wiki #RINVIA [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Sardegna/Città metropolitana di Cagliari/Dolianova/Dolianova - Chiesa di San Biagio]] ciqqv7zj41o0q1n8g6a2xvj21z1xdqt 0 60721 499986 499862 2026-07-19T16:01:22Z EmausBot 31897 Sistemo i reindirizzamenti doppi da [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Sardegna/Città metropolitana di Sassari/Tempio Pausania/Tempio Pausania - Cattedrale di San Pietro]] a [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Sardegna/Provincia della Gallura Nord-Est Sardegna/Tempio Pausania/Tempio Pausania - Cattedrale di San Pietro]] 499986 wikitext text/x-wiki #RINVIA [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Sardegna/Provincia della Gallura Nord-Est Sardegna/Tempio Pausania/Tempio Pausania - Cattedrale di San Pietro]] srun9keda5rvy62h7yvls83buy15zlm 0 60728 499985 499882 2026-07-19T16:01:12Z EmausBot 31897 Sistemo i reindirizzamenti doppi da [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Sardegna/Città metropolitana di Sassari/Tempio Pausania]] a [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Sardegna/Provincia della Gallura Nord-Est Sardegna/Tempio Pausania]] 499985 wikitext text/x-wiki #RINVIA [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Sardegna/Provincia della Gallura Nord-Est Sardegna/Tempio Pausania]] eixe3vtwzvz37j4hwpagg46z1svv7wz 0 60761 499982 2026-07-19T15:58:28Z Momimariani1962 41308 Nuova pagina: {{disposizioni foniche di organi a canne}} Disposizioni foniche del comune di [[w:Renate|Renate]] raggruppate per edificio: == Capoluogo == * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Monza e della Brianza/Renate/Renate - Chiesa dei Santi Donato e Carpoforo|Chiesa dei Santi Donato e Carpoforo]] {{Avanzamento|100%|19 luglio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne|Renate]] 499982 wikitext text/x-wiki {{disposizioni foniche di organi a canne}} Disposizioni foniche del comune di [[w:Renate|Renate]] raggruppate per edificio: == Capoluogo == * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Monza e della Brianza/Renate/Renate - Chiesa dei Santi Donato e Carpoforo|Chiesa dei Santi Donato e Carpoforo]] {{Avanzamento|100%|19 luglio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne|Renate]] j8qcqubih5nuhy5daxc402ybasxyp7s 0 60762 499987 2026-07-19T16:42:30Z Momimariani1962 41308 Nuova pagina: {{Disposizioni foniche di organi a canne}} * '''Costruttore:''' G. Bianchi (?) * '''Anno:''' XIX secolo * '''Restauri/modifiche:''' ? * '''Registri:''' 31 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' a finestra, al centro del corpo fonico * '''Tastiere:''' 2 di 58 note (''Do¹''-''La⁵'') * '''Pedaliera:''' parallela piana di 20 note (''Do¹''-''Sol²'') * '''Collocazione:''' in corpo unico, sulla cantoria in con... 499987 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} * '''Costruttore:''' G. Bianchi (?) * '''Anno:''' XIX secolo * '''Restauri/modifiche:''' ? * '''Registri:''' 31 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' a finestra, al centro del corpo fonico * '''Tastiere:''' 2 di 58 note (''Do¹''-''La⁵'') * '''Pedaliera:''' parallela piana di 20 note (''Do¹''-''Sol²'') * '''Collocazione:''' in corpo unico, sulla cantoria in controfacciata {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Colonna di sinistra''' ---- |- |Principale basso || 8' |- |Principale soprano || 8' |- |Ottava bassa || 4' |- |Ottava soprana || 4' |- |Celeste bassa || 8' |- |Celeste soprana || 8' |- |Viola bassa || 8' |- |Viola soprana || 8' |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Colonna di destra - ''Interna''''' ---- |- |Accoppia tasto |- |Flauto soprano || 8' |- |Flauto basso || 8' |- |Viola soprana || 8' |- |Viola bassa || 8' |- |Dolce soprano || 8' |- |Dolce basso || 8' |- |Flauto soprano || 2' (?) |- |Flauto || 4' |- |Voce Umana |- |Basso dolce || 8' (pedale) |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Colonna di destra - ''Esterna''''' ---- |- |Principale basso || 16' |- |Principale soprano || 16' |- |Principale basso || 8' |- |Principale soprano || 8' |- |Ottava bassa || 4' |- |Ottava soprana || 4' |- |Decimaquinta |- |Ripieno |- |Ripieno |- |Ripieno |- |Ripieno |- |Contrabasso || 16' (pedale) |- |illegibile |- |} |} {{Avanzamento|100%|19 luglio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] 845yzs2nspa7gfuybvkqinh66nrfnar 0 60763 499993 2026-07-19T20:47:02Z VoceUmana7 51633 Nuova pagina: {{Disposizioni foniche di organi a canne}} Disposizioni foniche del comune di [[w:Altamura|Altamura]] raggruppate per edificio. == Capoluogo == * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Puglia/Città metropolitana di Bari/Altamura/Altamura - Cattedrale di Santa Maria Assunta|Cattedrale di Santa Maria Assunta]] {{Avanzamento|25%|19 luglio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] 499993 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} Disposizioni foniche del comune di [[w:Altamura|Altamura]] raggruppate per edificio. == Capoluogo == * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Puglia/Città metropolitana di Bari/Altamura/Altamura - Cattedrale di Santa Maria Assunta|Cattedrale di Santa Maria Assunta]] {{Avanzamento|25%|19 luglio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] rnfvp33dp9alfn9934xw3dw0nyzk5wp 0 60764 499994 2026-07-19T21:08:14Z VoceUmana7 51633 Nuova pagina: [[File:Cathedral of Altamura 5118.jpg|400px|centro]] == Organo Vegezzi-Bossi == * '''Costruttore:''' Vegezzi-Bossi * '''Anno:''' 1880 * '''Restauri/modifiche:''' Francesco Zanin (restauro, 2023) * '''Registri:''' ? * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' a finestra, al centro del corpo dell'organo * '''Tastiere:''' 2 di 61 note (''Do¹''-''Do⁶'') * '''Pedaliera:''' piana-parallela di ? note * '''Collocazione:''' in corpo unico... 499994 wikitext text/x-wiki [[File:Cathedral of Altamura 5118.jpg|400px|centro]] == Organo Vegezzi-Bossi == * '''Costruttore:''' Vegezzi-Bossi * '''Anno:''' 1880 * '''Restauri/modifiche:''' Francesco Zanin (restauro, 2023) * '''Registri:''' ? * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' a finestra, al centro del corpo dell'organo * '''Tastiere:''' 2 di 61 note (''Do¹''-''Do⁶'') * '''Pedaliera:''' piana-parallela di ? note * '''Collocazione:''' in corpo unico, sulla cantoria nella navata a destra {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Sinistra - ''Colonna esterna''''' ---- |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Sinistra - ''Colonna interna''''' ---- |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Destra - ''Colonna interna''''' ---- |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Destra - ''Colonna esterna''''' ---- |- |} |} == Organo Baldassarre == * '''Costruttore:''' Fratelli Baldassarre * '''Anno:''' 1860 * '''Restauri/modifiche:''' ? * '''Registri:''' ? * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' ? * '''Consolle:''' ? * '''Tastiere:''' ? * '''Pedaliera:''' ? * '''Collocazione:''' in corpo unico, sulla cantoria nella navata a sinistra {{Disposizioni foniche di organi a canne}} == Altri progetti == {{interprogetto|w=Cattedrale di Santa Maria Assunta (Altamura)|w_preposizione=sulla|w_etichetta=Cattedrale di Santa Maria Assunta ad Altamura}} {{Avanzamento|10%|19 luglio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] ssnz0qe0o3hjdsja8zolatv2lggetxp 499995 499994 2026-07-19T21:47:47Z VoceUmana7 51633 /* Organo Vegezzi-Bossi */ 499995 wikitext text/x-wiki [[File:Cathedral of Altamura 5118.jpg|400px|centro]] == Organo Vegezzi-Bossi == * '''Costruttore:''' Vegezzi-Bossi * '''Anno:''' 1880 * '''Restauri/modifiche:''' Francesco Zanin (restauro, 2023) * '''Registri:''' ? * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' a finestra, al centro del corpo dell'organo * '''Tastiere:''' 2 di 61 note (''Do¹''-''Do⁶'') * '''Pedaliera:''' piana-parallela di ? note * '''Accessori:''' ? * '''Collocazione:''' in corpo unico, sulla cantoria nella navata a destra {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Sinistra - ''Colonna esterna''''' ---- |- |Principale ||8' Bassi |- |Principale ||8' Soprani |- |Ottava ||Bassi |- |Ottava ||Soprani |- |Decima Quinta |- |Decima Nona |- |Vigesima Seconda |- |Due di Ripieno |- |Voce Umana |- |? ||Soprani |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Sinistra - ''Colonna interna''''' ---- |- |Fagotto Reale ||Bassi |- |Trombe ||8' Soprani |- |Cornamusa |- |Violoncello ||Bassi |- |Violoncello ||Soprani |- |Viola ||Bassi |- |? |- |? |- |? |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Destra - ''Colonna interna''''' ---- |- |Campanelli |- |Terza Mano |- |Cornetto a 3 canne |- |Fagotto Reale ||Bassi |- |Tromba in 8' ||Soprani |- |Clarone ||Bassi |- |Corno inglese |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Destra - ''Colonna esterna''''' ---- |- |Principale ||16' Bassi |- |Principale ||16' Soprani |- |Principale ||8' Bassi |- |Principale ||8' Soprani |- |Principale II ||8' Bassi |- |Principale II ||8' Soprani |- |Ottava ||Bassi |- |Ottava ||Soprani |- |Dulciana ||Bassi |- |Duodecima ||Bassi |- |Duodecima ||Soprani |- |Decima Quinta |- |Decima Nona |- |Vigesima Seconda |- |Due di Ripieno |- |Due di Ripieno |- |Due di Ripieno |- |Due di Ripieno |- |Due di Ripieno |- |Ripieno |- |Contrabbassi |- |Contrabbassi in ? |- |Bassi di Armonia |- |Unione tastiere |- |? |- |} |} == Organo Baldassarre == * '''Costruttore:''' Fratelli Baldassarre * '''Anno:''' 1860 * '''Restauri/modifiche:''' ? * '''Registri:''' ? * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' ? * '''Consolle:''' ? * '''Tastiere:''' ? * '''Pedaliera:''' ? * '''Collocazione:''' in corpo unico, sulla cantoria nella navata a sinistra {{Disposizioni foniche di organi a canne}} == Altri progetti == {{interprogetto|w=Cattedrale di Santa Maria Assunta (Altamura)|w_preposizione=sulla|w_etichetta=Cattedrale di Santa Maria Assunta ad Altamura}} {{Avanzamento|10%|19 luglio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] e5tlcwh6qbc1elwgazgryahtb5v4a65 499996 499995 2026-07-19T22:04:55Z VoceUmana7 51633 499996 wikitext text/x-wiki [[File:Cathedral of Altamura 5118.jpg|400px|centro]] == Organo Vegezzi-Bossi == * '''Costruttore:''' Vegezzi-Bossi * '''Anno:''' 1880 * '''Restauri/modifiche:''' Francesco Zanin (restauro, 2023) * '''Registri:''' ? * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' a finestra, al centro del corpo dell'organo * '''Tastiere:''' 2 di 61 note (''Do¹''-''Do⁶'') * '''Pedaliera:''' piana-parallela di ? note * '''Accessori:''' ? * '''Collocazione:''' in corpo unico, sulla cantoria nella navata a destra {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Sinistra - ''Colonna esterna''''' ---- |- |Principale ||8' Bassi |- |Principale ||8' Soprani |- |Ottava ||Bassi |- |Ottava ||Soprani |- |Decima Quinta |- |Decima Nona |- |Vigesima Seconda |- |Due di Ripieno |- |Voce Umana |- |? ||Soprani |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Sinistra - ''Colonna interna''''' ---- |- |Fagotto Reale ||Bassi |- |Trombe ||8' Soprani |- |Cornamusa |- |Violoncello ||Bassi |- |Violoncello ||Soprani |- |Viola ||Bassi |- |? |- |? |- |? |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Destra - ''Colonna interna''''' ---- |- |Campanelli |- |Terza Mano |- |Cornetto a 3 canne |- |Fagotto Reale ||Bassi |- |Tromba in 8' ||Soprani |- |Clarone ||Bassi |- |Corno inglese |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Destra - ''Colonna esterna''''' ---- |- |Principale ||16' Bassi |- |Principale ||16' Soprani |- |Principale ||8' Bassi |- |Principale ||8' Soprani |- |Principale II ||8' Bassi |- |Principale II ||8' Soprani |- |Ottava ||Bassi |- |Ottava ||Soprani |- |Dulciana ||Bassi |- |Duodecima ||Bassi |- |Duodecima ||Soprani |- |Decima Quinta |- |Decima Nona |- |Vigesima Seconda |- |Due di Ripieno |- |Due di Ripieno |- |Due di Ripieno |- |Due di Ripieno |- |Due di Ripieno |- |Ripieno |- |Contrabbassi |- |Contrabbassi in ? |- |Bassi di Armonia |- |Unione tastiere |- |? |- |} |} == Organo Baldassarre == * '''Costruttore:''' Fratelli Baldassarre * '''Anno:''' 1860 * '''Restauri/modifiche:''' ? * '''Registri:''' ? * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' ? * '''Consolle:''' ? * '''Tastiere:''' ? * '''Pedaliera:''' ? * '''Collocazione:''' in corpo unico, sulla cantoria nella navata a sinistra {{Disposizioni foniche di organi a canne}} == Altri progetti == {{interprogetto|w=Cattedrale di Santa Maria Assunta (Altamura)|w_preposizione=sulla|w_etichetta=Cattedrale di Santa Maria Assunta ad Altamura}} {{Avanzamento|40%|19 luglio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] 64b8ni32mrx4ktapo7i8ipt2qcna7kk 499997 499996 2026-07-19T22:45:51Z VoceUmana7 51633 499997 wikitext text/x-wiki [[File:Cathedral of Altamura 5118.jpg|400px|centro]] == Organo Vegezzi-Bossi == * '''Costruttore:''' Vegezzi-Bossi * '''Anno:''' 1880 * '''Restauri/modifiche:''' Francesco Zanin (restauro, 2023) * '''Registri:''' ? * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' a finestra, al centro del corpo dell'organo * '''Tastiere:''' 2 di 61 note (''Do¹''-''Do⁶'') * '''Pedaliera:''' piana-parallela di 21 note (''Do¹''-''Sol#²'') * '''Accessori:''' ? * '''Collocazione:''' in corpo unico, sulla cantoria nella navata destra {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Sinistra - ''Colonna esterna''''' ---- |- |Principale ||8' Bassi |- |Principale ||8' Soprani |- |Ottava ||Bassi |- |Ottava ||Soprani |- |Decima Quinta |- |Decima Nona |- |Vigesima Seconda |- |Due di Ripieno |- |Voce Umana |- |? ||Soprani |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Sinistra - ''Colonna interna''''' ---- |- |Fagotto Reale ||Bassi |- |Trombe ||8' Soprani |- |Cornamusa |- |Violoncello ||Bassi |- |Violoncello ||Soprani |- |Viola ||Bassi |- |? |- |? |- |? |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Destra - ''Colonna interna''''' ---- |- |Campanelli |- |Terza Mano |- |Cornetto a 3 canne |- |Fagotto Reale ||Bassi |- |Tromba in 8' ||Soprani |- |Clarone ||Bassi |- |Corno inglese |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |? |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Destra - ''Colonna esterna''''' ---- |- |Principale ||16' Bassi |- |Principale ||16' Soprani |- |Principale ||8' Bassi |- |Principale ||8' Soprani |- |Principale II ||8' Bassi |- |Principale II ||8' Soprani |- |Ottava ||Bassi |- |Ottava ||Soprani |- |Dulciana ||Bassi |- |Duodecima ||Bassi |- |Duodecima ||Soprani |- |Decima Quinta |- |Decima Nona |- |Vigesima Seconda |- |Due di Ripieno |- |Due di Ripieno |- |Due di Ripieno |- |Due di Ripieno |- |Due di Ripieno |- |Ripieno |- |Contrabbassi |- |Contrabbassi in ? |- |Bassi di Armonia |- |Unione tastiere |- |? |- |} |} == Organo Baldassarre == * '''Costruttore:''' Fratelli Baldassarre * '''Anno:''' 1860 * '''Restauri/modifiche:''' ? * '''Registri:''' ? * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' ? * '''Consolle:''' ? * '''Tastiere:''' ? * '''Pedaliera:''' ? * '''Collocazione:''' in corpo unico, sulla cantoria nella navata sinistra {{Disposizioni foniche di organi a canne}} == Altri progetti == {{interprogetto|w=Cattedrale di Santa Maria Assunta (Altamura)|w_preposizione=sulla|w_etichetta=Cattedrale di Santa Maria Assunta ad Altamura}} {{Avanzamento|40%|19 luglio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] tsf7u3ks7h5x4b9p8jw432xh7gwd9r1