Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.9 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 2 34010 284647 284646 2026-06-30T12:32:25Z ~2026-31655-25 46663 /* Calcolatore della serie di Fourier - Processo di approssimazione - */ 284647 wikitext text/x-wiki Gli algoritmi di Fourier: ==Calcolatore della DFT - Discrete Fourier Transform - == L'integrale di Fourier, o trasformata di Fourier consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio un impulso di sinusoidi, mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ). Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per un impulso casuale, si deve computare il modulo dello spettro, secondo algoritmi elaborati. La descrizione dettagliata di questo processo è disponibile al link sotto indicato: [[https://drive.google.com/file/d/1pSijIuZv19a51fsfhWneDYHCFTQRtA99/view?usp=drive_link]Il testo] Dopo la lettura del testo si può scaricare un file zip contenente l'eseguibile di calcolo che sviluppa la macchina: [[https://drive.google.com/file/d/1-k2c8-IbCR0EW-doQud90RPj7di8JBTy/view?usp=drive_link]File zip] ==Calcolatore della serie di Fourier - Processo di approssimazione -== Si definisce serie di Fourier di una funzione <math>f \in L^2(T)</math> a quadrato sommabile la rappresentazione della funzione per mezzo di una [[combinazione lineare]] dei vettori di base <math>u_n</math> del sistema ortonormale trigonometrico:<ref name=def>{{Cita|Rudin|p. 91}}.</ref> :<math>\sum_{n=-\infty}^\infty f_n u_n = \sum_{n=-\infty}^\infty f_n e^{int}.</math> I coefficienti della combinazione sono quindi la [[proiezione (geometria)|proiezione]] della funzione sui vettori di base stessi :<math>f_n = \frac{\langle f,u_n \rangle}{\| u_n \|^2} = \langle f,u_n \rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)e^{-int}\, \mathrm dt</math> e sono detti ''coefficienti di Fourier''. Le somme parziali della serie di Fourier sono ottenute troncando la serie in modo simmetrico :<math>S_N (t) = \sum_{n=-N}^N f_n e^{int}, \qquad N=0,1,2 \dots.</math> La serie di Fourier di una funzione può essere espressa in diverse forme matematicamente equivalenti: rettangolare, complessa e polare. [[https://drive.google.com/file/d/1TtaZhhpyibxs3R015-NK4wRKtTmD7pHc/view?usp=drive_link]Il testo] [[https://drive.google.com/file/d/1iZKAS6q3-SloGjOpVeGwxP2y4eQMUkkU/view?usp=drive_link]Al file zip] 1) <math> y = \int_{}^{} \ x \ \ dx \ \ </math> 2) <math> y = \int_{}^{} \ 2 x \ \ dx \ \ </math> 3) <math> y = \int_{}^{} \ x^2 \ \ dx \ \ </math> 4) <math> y = \int_{}^{} \ ( 3x + 1 ) \ \ dx \ \ </math> 5) <math> y = \int_{}^{} \ x^3 \ \ dx \ \ </math> 6) <math> y = \int_{}^{} \ {\sqrt{x}} \ \ dx \ \ </math> 7) <math> y = \int_{}^{} \ 1/x \ \ dx \ \ </math> 8) <math> y = \int_{}^{} \ e^x\ \ dx \ \ </math> 9) <math> y = \int_{}^{} sin \ x \ \ dx \ \ </math> 10) <math> y = \int_{}^{} cos \ x \ \ dx \ \ </math> 11) <math> y = \int_{}^{} \ x \ e^x\ \ dx \ \ </math> 12) <math> y = \int_{}^{} \ln x\ \ dx \ \ </math> 13) <math> y = \int_{}^{} x \ sin \ x \ \ dx \ \ </math> 14) <math> y = \int_{}^{} x \ cos \ x \ \ dx \ \ </math> 15) <math> y = \int_{}^{} \ 1 / ( 1 + x^2 ) \ \ dx \ \ </math> 16) <math> y = \int_{}^{} \ e^{2x} \ \ dx \ \ </math> 17) <math> y = \int_{}^{} \ x^2 \ e^x\ \ dx \ \ </math> 18) <math> y = \int_{}^{} sin^2 \ x \ \ dx \ \ </math> 19) <math> y = \int_{}^{} cos^2 \ x \ \ dx \ \ </math> 20) <math> y = \int_{}^{} \ (ln \ x)^2\ \ dx \ \ </math> i3f1l0cx90i9nzf1he53isoy280ceov 284648 284647 2026-06-30T12:37:28Z ~2026-31655-25 46663 /* Calcolatore della serie di Fourier - Processo di approssimazione - */ 284648 wikitext text/x-wiki Gli algoritmi di Fourier: ==Calcolatore della DFT - Discrete Fourier Transform - == L'integrale di Fourier, o trasformata di Fourier consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio un impulso di sinusoidi, mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ). Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per un impulso casuale, si deve computare il modulo dello spettro, secondo algoritmi elaborati. La descrizione dettagliata di questo processo è disponibile al link sotto indicato: [[https://drive.google.com/file/d/1pSijIuZv19a51fsfhWneDYHCFTQRtA99/view?usp=drive_link]Il testo] Dopo la lettura del testo si può scaricare un file zip contenente l'eseguibile di calcolo che sviluppa la macchina: [[https://drive.google.com/file/d/1-k2c8-IbCR0EW-doQud90RPj7di8JBTy/view?usp=drive_link]File zip] ==Calcolatore della serie di Fourier - Processo di approssimazione -== [[https://drive.google.com/file/d/1TtaZhhpyibxs3R015-NK4wRKtTmD7pHc/view?usp=drive_link]Il testo] [[https://drive.google.com/file/d/1iZKAS6q3-SloGjOpVeGwxP2y4eQMUkkU/view?usp=drive_link]Al file zip] 1) <math> y = \int_{}^{} \ x \ \ dx \ \ </math> 2) <math> y = \int_{}^{} \ 2 x \ \ dx \ \ </math> 3) <math> y = \int_{}^{} \ x^2 \ \ dx \ \ </math> 4) <math> y = \int_{}^{} \ ( 3x + 1 ) \ \ dx \ \ </math> 5) <math> y = \int_{}^{} \ x^3 \ \ dx \ \ </math> 6) <math> y = \int_{}^{} \ {\sqrt{x}} \ \ dx \ \ </math> 7) <math> y = \int_{}^{} \ 1/x \ \ dx \ \ </math> 8) <math> y = \int_{}^{} \ e^x\ \ dx \ \ </math> 9) <math> y = \int_{}^{} sin \ x \ \ dx \ \ </math> 10) <math> y = \int_{}^{} cos \ x \ \ dx \ \ </math> 11) <math> y = \int_{}^{} \ x \ e^x\ \ dx \ \ </math> 12) <math> y = \int_{}^{} \ln x\ \ dx \ \ </math> 13) <math> y = \int_{}^{} x \ sin \ x \ \ dx \ \ </math> 14) <math> y = \int_{}^{} x \ cos \ x \ \ dx \ \ </math> 15) <math> y = \int_{}^{} \ 1 / ( 1 + x^2 ) \ \ dx \ \ </math> 16) <math> y = \int_{}^{} \ e^{2x} \ \ dx \ \ </math> 17) <math> y = \int_{}^{} \ x^2 \ e^x\ \ dx \ \ </math> 18) <math> y = \int_{}^{} sin^2 \ x \ \ dx \ \ </math> 19) <math> y = \int_{}^{} cos^2 \ x \ \ dx \ \ </math> 20) <math> y = \int_{}^{} \ (ln \ x)^2\ \ dx \ \ </math> 28fzv0fjudfi6i8fnvn4u45vthrg0iv 284649 284648 2026-06-30T12:41:40Z ~2026-31655-25 46663 /* Calcolatore della serie di Fourier - Processo di approssimazione - */ 284649 wikitext text/x-wiki Gli algoritmi di Fourier: ==Calcolatore della DFT - Discrete Fourier Transform - == L'integrale di Fourier, o trasformata di Fourier consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio un impulso di sinusoidi, mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ). Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per un impulso casuale, si deve computare il modulo dello spettro, secondo algoritmi elaborati. La descrizione dettagliata di questo processo è disponibile al link sotto indicato: [[https://drive.google.com/file/d/1pSijIuZv19a51fsfhWneDYHCFTQRtA99/view?usp=drive_link]Il testo] Dopo la lettura del testo si può scaricare un file zip contenente l'eseguibile di calcolo che sviluppa la macchina: [[https://drive.google.com/file/d/1-k2c8-IbCR0EW-doQud90RPj7di8JBTy/view?usp=drive_link]File zip] ==Calcolatore della serie di Fourier - Processo di approssimazione -== -Processo di approssimazione per la determinazione dello spettro dei segnali periodici- ==La serie di Fourier con il supporto delle figure== Prima di descrivere il calcolatore della serie di Fourier, al quale è dedicato il paragrafo successivo, esaminiamo l'algoritmo omonimo mostrato in figura 1 :<math> \begin{align} F(x) &= a_0+\sum_{n=1}^\infin\left( a_n \cos nx + b_n \sin nx \right) \\ &\begin{cases} a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)dx \\ a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)\cos nx\ dx \\ b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)\sin nx\ dx \end{cases} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 1) \end{align} </math> questo consente, per via esclusivamente analitica, lo studio dei fenomeni periodici funzioni del tempo per il computo del loro spettro in frequenza, spettro espresso in figura 1 con il simbolo <math> F(x)</math> ( dove <math> x = 2 \cdot \pi \cdot f \cdot t )</math>. Generalmente la funzione <math> F(x)</math> è espressa con il simbolo <math> G(\omega)</math>. Un esempio di segnale periodico <math> f(t)</math>, onda rettangolare, espresso matematicamente è mostrato in figura 2a :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} \qquad\qquad 2a) </math> il cui andamento è tracciato in figura 2b [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2b]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2b,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Se dell'onda periodica da analizzare non si conosce la legge <math> f(t)</math>, come ad esempio per la curva di figura 4: [[File:trf4.jpg|thumb|left|400px|figura 4]] {{clear}} la serie di Fourier non è applicabile; è sostituibile, con buona approssimazione, dall'algoritmo di figura 5 che prevede la determinazione dello spettro mediante l'elaborazione dei coefficienti <math> An'</math> e <math> Bn' </math> da <math> n </math> campioni di <math> f(t) </math> , messi a calcolo, rilevati da grafici o da presentazioni su oscilloscopio: :<math>C'_n = A'_0 + \sum_{n=1}^{n=k}A'_n \cos (n 2 \pi f_0 t) + B'_n \sin (n 2 \pi f_0 t) \qquad\qquad\qquad 5)</math> Si osservi che: *Con il simbolo <math> C'n </math> s'intende l'ampiezza della n esima riga dello spettro di frequenza. * I coefficienti di figura 5 sono indicati con <math> A'n </math> e <math> B'n</math> per distinguerli da quelli diversi di figura 1. * <math> A'o, A'n, B'n </math> sono determinati con processo numerico iterativo implementando nel programma di calcolo le funzioni esposte in figura 5a dove, ad esempio, <math> 20 </math> campioni del periodo in analisi sono riportati, in apposita memoria del P.C, con i simboli <math> a(1).....a(20) </math> . :<math> \begin{align} & A'_0 = \frac{1}{2\pi} \left[ 0,5a(1) + a(2) + a(3) + \dots + a(19) + 0,5a(20) \right] \frac{2\pi}{19} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 5a) \\ & A'_n = \frac{1}{\pi} \left[ 0,5a(1)\cos(nwt_1) + a(2)\cos(nwt_2) + \dots + 0,5a(20)\cos(nwt_{20}) \right] \frac{2\pi}{19} \\ & B'_n = \frac{1}{\pi} \left[ 0,5a(1)\sin(nwt_1) + a(2)\sin(nwt_2) + \dots + 0,5a(20)\sin(nwt_{20}) \right] \frac{2\pi}{19} \\ & C'_n = \left({A'_n}^2 + {B'_n}^2\right)^\frac{1}{2} \end{align} </math> * Il modulo della <math> n </math> esima riga dello spettro è indicato da <math> C'n</math> ; nel calcolatore l valori <math> C'n </math> sono valutati senza l'addizione di <math> A'o </math> che viene calcolato separatamente. Vedremo di seguito, in dettaglio, l'impiego degli algoritmi di figure 5 e 5a contestualmente all'esame del pannello operativo del calcolatore. == Il pannello operativo del calcolatore == Il pannello operativo, mostrato in figura 6, è generato da un file eseguibile disponibile all'indirizzo: [http://www.sonar-info.info/wikifourier/seriefourier.html wikiFourier ] oppure [https://github.com/2021dtc/prova20/archive/main.zip seriefourier] Il file esguibile consente il calcolo e la presentazione grafica dello spettro dell'onda da analizzare. [[File:tfr6.jpg|thumb|left|1000px|figura 6]] {{clear}} In figura 6, con una serie di numeri in rosso, sono distinte le 5 sezioni funzionali: '''Sezione 1 (Variabili di calcolo)''' La sezione contiene il pulsante ingresso variabili e 4 textbox nelle quali inserire i seguenti dati: *Durata del periodo dell'onda da analizzare espressa con <math> T </math> in secondi. *Il numero <math> m = n </math> dei campioni da prelevare dal periodo dell'onda da analizzare. *Il numero <math> k </math> delle righe dello spettro che si vogliono calcolare. *L'incremento di calcolo <math> dm </math> dal quale dipendono sia la precisione che il tempo calcolo. Al lancio del programma la sezione è impostata, in via preliminare, con i valori: <math> T = 0.01 \ S </math>; <math> \quad m = n = 20 </math>; <math>\quad k = 10 </math>; <math> \quad dm = 0.01</math> . '''Sezione 2: (Campioni nel periodo)''' La sezione contiene: *Un label, a sinistra, che indica il numero progressivo dei campioni ricavati dal periodo da analizzare e un textbox, a destra, per l'inserzione delle ampiezze dei diversi campioni. *Un pulsante "Ingresso campioni" per l'inserzione progressiva dei valori sopra citati;il pulsante presenta colore verde nella fase d'introduzione campioni, cambia colore in arancio una volta che i campioni dell'onda sono pari al valore impostato di <math> m = n </math> *Un pulsante " Azzeramento memorie" per la ripetizione, se necessario, dell'inserzione dati. '''Sezione 3: ( Presentazione spettro)''' La sezione contiene: *Il pulsante "Calcolo dello spettro" per l'avvio del programma di calcolo per la presentazione grafica del modulo delle righe dello spettro tracciate come visione indicativa dello stesso. *Un listato numerico delle frequenze e relative ampiezze normalizzate delle righe dello spettro. L'azione di questo comando provoca inoltre il tracciamento del periodo dell'onda inserito a campioni nella sezione 2 per un controllo della correttezza del suo profilo. '''Sezione 4: (Listato valori calcolati)''' Nel listato compaiono: *Le <math> n </math> coppie calcolate nella forma, ad esempio per una generica <math> 3^a </math> coppia, <math> F = 1300 \ Hz</math> <math> \ C'3 = 0.65432 </math> ; ciascuna coppia definisce una riga dello spettro sia in frequenza che in ampiezza normalizzata. *In alto, sopra il listato, il valore calcolato di <math>C'o</math> ( componente continua dell'onda ove sia presente ) '''Sezione 5: (Area di presentazione grafici)''' I grafici sono tracciati a solo scopo illustrativo dato che i valori che li generano sono già contenuti nei listati della sezione 4. *In alto lo spettro dell'onda con le <math> m = n </math> righe messe a calcolo; le ascisse del tracciato non sono calibrate in frequenza *In basso il profilo del periodo dell'onda definito con tanti punti quanti sono gli <math> m = n </math> campioni messi a calcolo; le ascisse del tracciato non sono calibrate in tempo. ==Primo esempio di calcolo della serie di Fourier con controllo analitico== Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda rettangolare, si avvale di un riscontro analitico in quanto lo spettro dell'onda in esame è definito dalla caratteristica serie di figura 7 che servirà come controllo dati elaborati dal calcolatore: :<math>y=\frac{4}{\pi}E\left(\cos x - \frac{1}{3}\cos 3x + \frac{1}{5}\cos 5x - \frac{1}{7} \cos 7x + \dots \right) \qquad\qquad\qquad 7)</math> Come si vede la serie analitica è formata soltanto da addendi dispari i cui coefficienti, espressi con frazioni, sono gli analoghi dei termini <math> Cn </math> elaborati dal calcolatore. Utilizziamo sempre i valori preliminari assegnati al calcolatore al momento dell'avvio, come mostra la figura 8 della sezione 1. [[File:tfr8.jpg|thumb|left|300px|figura 8]] {{clear}} Quindi pigiamo il pulsante "Ingresso variabili". Impostiamo nella sezione 2, premendo " Ingresso campioni" (pulsante arancione), per lo spettro di un'onda rettangolare quale quella riportata in figura 2b, la seguente sequenza di campioni: <math>1;1;1;1;1;1;1;1;1;1; -1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1 </math> relativa ad un periodo dell'onda sopra citata fino a quando il pulsante stesso diventa arancione. Dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 9 che i grafici di figura 10 [[File:tfr9.jpg|thumb|left|600px|figura 9]] {{clear}} La lista indica righe multiple di <math> 1000 \ Hz </math> dato che, essendo <math>T = 0.001 \ S </math>, la frequenza è <math>f = 1 / 0.001</math> = <math>1000 \ Hz </math>. [[File:tfr10.jpg|thumb|left|300px|figura 10]] {{clear}} Procediamo ora al controllo della lista di figura 9 impostando una tabella che riporta, tanto le ampiezze calcolate con l'espressione dello spettro teorico espresso in figura 7, che quelle del listato di figura 9: :{| class="wikitable" |- ! Righe> ! C'₁ ! C'₂ ! C'₃ ! C'₄ ! C'₅ ! C'₆ |- ! Con il calcolatore | 1,0000 | 0,0012 | 0,3333 | 0,0012 | 0,2000 | 0,0012 |- ! Per via analitica | 1,0000 | 0 | 0,3333 | 0 | 0,2000 | 0 |} Come si vede in tabella di tavolo i valori di <math>C'n </math> per <math> n </math> dispari, praticamente coincidono, per <math> n </math> pari il calcolatore commette un errore presentando ampiezze pari a <math>0.002 </math> invece che <math> 0 </math> come da processo analitico. Gli errori si riducono ripetendo il computo con un passo di calcolo inferiore a <math>dm = 0.01 </math>, ad esempio <math>dm = 0.001</math>; naturalmente il processo di calcolo richiede un tempo superiore di sviluppo. ==Secondo esempio: calcolo della serie di Fourier con controllo analitico== Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda a dente di sega, si avvale di un riscontro analitico in quanto lo spettro dell'onda in esame è definito dalla caratteristica serie di figura 11 che servirà come controllo dei dati elaborati dal calcolatore: :<math>y=\frac{2}{\pi}E\left(\sin x - \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{3}\sin 3x - \frac{1}{4} \sin 4x + \dots \right) \qquad\qquad\qquad 11)</math> Come si vede la serie analitica è formata da addendi pari e dispari i cui coefficienti, espressi con frazioni, sono gli analoghi dei termini <math>Cn</math> elaborati dal calcolatore. Utilizziamo sempre i valori di base assegnati al calcolatore al momento dell'avvio, come mostra la figura 12 della sezione 1. [[File:tfr8.jpg|thumb|left|600px|figura 12]] {{clear}} quindi pigiamo il pulsante "Ingresso variabili". Impostiamo nella sezione 2, premendo " Ingresso campioni" ( pulsante giallo ), i campioni d'ampiezza di un'onda a dente di sega quale quella riportata in figura 13 [[File:tfr13.jpg|thumb|left|300px|figura 13]] {{clear}} la seguente sequenza di campioni: <math> -1;-0.9;-0.8;-0.7;-0.6;-0.5;-0.4;-0.3;-0.2; 0.1;0;0.1;0.2;0.3;0.4;0.5;0.6;0.7:0.8:0.9 </math> relativa ad un periodo <math>T</math> dell'onda sopra citata fino a quando il pulsante stesso diventa arancione. Dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 14 che i grafici di figura 15: [[File:tfr14.jpg|thumb|left|600px|figura 14]] {{clear}} La lista indica righe multiple di <math>1000 Hz </math> dato che, essendo <math>T = 0.001 \ S </math>, <math>f = 1/ 0.001 </math>= <math>1000 \ Hz</math>. [[File:tfr15.jpg|thumb|left|300px|figura 15]] {{clear}} Procediamo ora al controllo della lista di figura 14 impostando una tabella che riporta, tanto le ampiezze dello spettro teorico espresso in figura 11 che quelle della lista nella figura citata: :{| class="wikitable" |- ! Righe> ! C'₁ ! C'₂ ! C'₃ ! C'₄ ! C'₅ ! C'₆ |- ! Con il calcolatore | 1,0000 | 0,5001 | 0,3335 | 0,2501 | 0,2001 | 0,1667 |- ! Per via analitica | 1,0000 | 0,5000 | 0,3333 | 0,2500 | 0,2000 | 0,1666 |} Come si vede in tabella di tavolo i valori di <math> C' </math> da calcolatore sono quasi coincidenti con dagli analoghi analitici; l'errore massimo è dell'ordine del <math>2 </math> per mille. == Terzo esempio: calcolo della serie di Fourier di un'onda generica == Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda generica, non si avvale alcun riscontro analitico. Il tracciato dell'onda sia quello riportato in figura 16: [[File:trf16.jpg|thumb|left|300px|figura 16]] {{clear}} Si esegue la campionatura di un periodo con 21 campioni così come mostrato in figura 17: [[File:trf17.jpg|thumb|left|300px|figura 17]] {{clear}} Si compila, in tavola, la lista delle ampiezze dei campioni ricavandola da rilievi geometrici su figura 17: :{| class="wikitable" |- ! periodo ! ampiezza |- | t₀ | 0,00 |- | t₁ | 0,40 |- | t₂ | 0,64 |- | t₃ | 0,75 |- | t₄ | 0,85 |- | t₅ | 0,99 |- | t₆ | 1,04 |- | t₇ | 0,86 |- | t₈ | 0,53 |- | t₉ | 0,21 |- | t₁₀ | 0,00 |- | t₁₁ | -0,02 |- | t₁₂ | -0,17 |- | t₁₃ | -0,38 |- | t₁₄ | -0,47 |- | t₁₅ | -0,40 |- | t₁₆ | -0,28 |- | t₁₇ | -0,26 |- | t₁₈ | -0,29 |- | t₁₉ | -0,22 |- | t₂₀ | -0,00 |} I dati di tavola s'inseriscono progressivamente in sezione 2 pigiando il pulsante "Ingresso campioni". Dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 19 che i grafici di figura 20: [[File:trf19.jpg|thumb|left|300px|figura 19]] {{clear}} La lista indica righe multiple di <math>1000 \ Hz</math> dato che, essendo <math> T = 0.001 \ S </math>, <math>\quad f = 1/ 0.001 </math> = <math> 1000 \ Hz. </math> [[File:trf20.jpg|thumb|left|300px|figura 20]] {{clear}} == Quarto esempio: calcolo della serie di Fourier di un'onda precostruita== Per un controllo ulteriore del calcolatore analizziamo un'onda precostruita che è caratterizzata dalla presenza della sola <math> 4^a </math> armonica di ampiezza <math>C'4 = 0.3333.</math> L'onda in oggetto, generata da un'apposita funzione matematica, è riportata in figura 21: [[File:trf21.jpg|thumb|left|300px|figura 21]] {{clear}} L'onda ha un periodo <math> T = 0.001 \ S </math> e quindi una frequenza di <math> 1000 \ Hz</math>; il periodo viene campionato con le stesse modalità relative al periodo dell'esercizio precedente; il risultato della campionatura è riportato in tavola: :{| class="wikitable" |- ! periodo ! ampiezza |- | t₀ | 0,00 |- | t₁ | 0,62 |- | t₂ | 0,78 |- | t₃ | 0,61 |- | t₄ | 0,63 |- | t₅ | 0,99 |- | t₆ | 1,26 |- | t₇ | 1,00 |- | t₈ | 0,39 |- | t₉ | -0,00 |- | t₁₀ | -0,00 |- | t₁₁ | 0,00 |- | t₁₂ | -0,38 |- | t₁₃ | -1,00 |- | t₁₄ | -1,26 |- | t₁₅ | -1,00 |- | t₁₆ | -0,63 |- | t₁₇ | -0,61 |- | t₁₈ | -0,78 |- | t₁₉ | -0,63 |- | t₂₀ | -0,00 |} Seguendo la procedura d'inserzione dati e campioni analoga a quella del paragrafo precedente, dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 23 che i grafici di figura 24: [[File:trf23.jpg|thumb|left|600px|figura 23]] {{clear}} [[File:trf24.jpg|thumb|left|300px|figura 24]] {{clear}} L'esame dei dati, sia numerici ( riga <math>C'4</math> ) che grafici evidenziano, come era nelle aspettative, la presenza di una riga a <math>4000 \ Hz </math> di ampiezza <math>C'4 = 0.3133</math>. Le righe a livello molto basso presenti in figura 23, non visibili in figura 24, sono dovute all'approssimazione dell’algoritmo di calcolo. ==Bibliografia== *G. Moretti, ''Analisi matematica-vol.II -parte II'',Hoepli, Milano 1953. *A. Papoulis, ''The Fourier integral and its applications''Mc Graw-Hill, New York 1962. *Edit: Milton Abramowitz ..''Handbook of mathematical functios'', USA 1970. * C. Del Turco, ''La matematica con il personal computer'', Editrice MODERNA La Spezia 1998. [[Categoria:Lezioni di Sistemi di calcolo automatico per il sonar]] [[Categoria:Calcolatori automatici per il sonar]] [[https://drive.google.com/file/d/1TtaZhhpyibxs3R015-NK4wRKtTmD7pHc/view?usp=drive_link]Il testo] [[https://drive.google.com/file/d/1iZKAS6q3-SloGjOpVeGwxP2y4eQMUkkU/view?usp=drive_link]Al file zip] 1) <math> y = \int_{}^{} \ x \ \ dx \ \ </math> 2) <math> y = \int_{}^{} \ 2 x \ \ dx \ \ </math> 3) <math> y = \int_{}^{} \ x^2 \ \ dx \ \ </math> 4) <math> y = \int_{}^{} \ ( 3x + 1 ) \ \ dx \ \ </math> 5) <math> y = \int_{}^{} \ x^3 \ \ dx \ \ </math> 6) <math> y = \int_{}^{} \ {\sqrt{x}} \ \ dx \ \ </math> 7) <math> y = \int_{}^{} \ 1/x \ \ dx \ \ </math> 8) <math> y = \int_{}^{} \ e^x\ \ dx \ \ </math> 9) <math> y = \int_{}^{} sin \ x \ \ dx \ \ </math> 10) <math> y = \int_{}^{} cos \ x \ \ dx \ \ </math> 11) <math> y = \int_{}^{} \ x \ e^x\ \ dx \ \ </math> 12) <math> y = \int_{}^{} \ln x\ \ dx \ \ </math> 13) <math> y = \int_{}^{} x \ sin \ x \ \ dx \ \ </math> 14) <math> y = \int_{}^{} x \ cos \ x \ \ dx \ \ </math> 15) <math> y = \int_{}^{} \ 1 / ( 1 + x^2 ) \ \ dx \ \ </math> 16) <math> y = \int_{}^{} \ e^{2x} \ \ dx \ \ </math> 17) <math> y = \int_{}^{} \ x^2 \ e^x\ \ dx \ \ </math> 18) <math> y = \int_{}^{} sin^2 \ x \ \ dx \ \ </math> 19) <math> y = \int_{}^{} cos^2 \ x \ \ dx \ \ </math> 20) <math> y = \int_{}^{} \ (ln \ x)^2\ \ dx \ \ </math> onjnps82bd0ac8pg06x25x5d8urqbsp 284650 284649 2026-06-30T12:45:54Z ~2026-31655-25 46663 /* Calcolatore della serie di Fourier - Processo di approssimazione - */ 284650 wikitext text/x-wiki Gli algoritmi di Fourier: ==Calcolatore della DFT - Discrete Fourier Transform - == L'integrale di Fourier, o trasformata di Fourier consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio un impulso di sinusoidi, mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ). Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per un impulso casuale, si deve computare il modulo dello spettro, secondo algoritmi elaborati. La descrizione dettagliata di questo processo è disponibile al link sotto indicato: [[https://drive.google.com/file/d/1pSijIuZv19a51fsfhWneDYHCFTQRtA99/view?usp=drive_link]Il testo] Dopo la lettura del testo si può scaricare un file zip contenente l'eseguibile di calcolo che sviluppa la macchina: [[https://drive.google.com/file/d/1-k2c8-IbCR0EW-doQud90RPj7di8JBTy/view?usp=drive_link]File zip] -Processo di approssimazione per la determinazione dello spettro dei segnali periodici- ==La serie di Fourier con il supporto delle figure== Prima di descrivere il calcolatore della serie di Fourier, al quale è dedicato il paragrafo successivo, esaminiamo l'algoritmo omonimo mostrato in figura 1 :<math> \begin{align} F(x) &= a_0+\sum_{n=1}^\infin\left( a_n \cos nx + b_n \sin nx \right) \\ &\begin{cases} a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)dx \\ a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)\cos nx\ dx \\ b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)\sin nx\ dx \end{cases} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 1) \end{align} </math> questo consente, per via esclusivamente analitica, lo studio dei fenomeni periodici funzioni del tempo per il computo del loro spettro in frequenza, spettro espresso in figura 1 con il simbolo <math> F(x)</math> ( dove <math> x = 2 \cdot \pi \cdot f \cdot t )</math>. Generalmente la funzione <math> F(x)</math> è espressa con il simbolo <math> G(\omega)</math>. Un esempio di segnale periodico <math> f(t)</math>, onda rettangolare, espresso matematicamente è mostrato in figura 2a :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} \qquad\qquad 2a) </math> il cui andamento è tracciato in figura 2b [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2b]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2b,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Se dell'onda periodica da analizzare non si conosce la legge <math> f(t)</math>, come ad esempio per la curva di figura 4: [[File:trf4.jpg|thumb|left|400px|figura 4]] {{clear}} la serie di Fourier non è applicabile; è sostituibile, con buona approssimazione, dall'algoritmo di figura 5 che prevede la determinazione dello spettro mediante l'elaborazione dei coefficienti <math> An'</math> e <math> Bn' </math> da <math> n </math> campioni di <math> f(t) </math> , messi a calcolo, rilevati da grafici o da presentazioni su oscilloscopio: :<math>C'_n = A'_0 + \sum_{n=1}^{n=k}A'_n \cos (n 2 \pi f_0 t) + B'_n \sin (n 2 \pi f_0 t) \qquad\qquad\qquad 5)</math> Si osservi che: *Con il simbolo <math> C'n </math> s'intende l'ampiezza della n esima riga dello spettro di frequenza. * I coefficienti di figura 5 sono indicati con <math> A'n </math> e <math> B'n</math> per distinguerli da quelli diversi di figura 1. * <math> A'o, A'n, B'n </math> sono determinati con processo numerico iterativo implementando nel programma di calcolo le funzioni esposte in figura 5a dove, ad esempio, <math> 20 </math> campioni del periodo in analisi sono riportati, in apposita memoria del P.C, con i simboli <math> a(1).....a(20) </math> . :<math> \begin{align} & A'_0 = \frac{1}{2\pi} \left[ 0,5a(1) + a(2) + a(3) + \dots + a(19) + 0,5a(20) \right] \frac{2\pi}{19} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 5a) \\ & A'_n = \frac{1}{\pi} \left[ 0,5a(1)\cos(nwt_1) + a(2)\cos(nwt_2) + \dots + 0,5a(20)\cos(nwt_{20}) \right] \frac{2\pi}{19} \\ & B'_n = \frac{1}{\pi} \left[ 0,5a(1)\sin(nwt_1) + a(2)\sin(nwt_2) + \dots + 0,5a(20)\sin(nwt_{20}) \right] \frac{2\pi}{19} \\ & C'_n = \left({A'_n}^2 + {B'_n}^2\right)^\frac{1}{2} \end{align} </math> * Il modulo della <math> n </math> esima riga dello spettro è indicato da <math> C'n</math> ; nel calcolatore l valori <math> C'n </math> sono valutati senza l'addizione di <math> A'o </math> che viene calcolato separatamente. Vedremo di seguito, in dettaglio, l'impiego degli algoritmi di figure 5 e 5a contestualmente all'esame del pannello operativo del calcolatore. == Il pannello operativo del calcolatore == Il pannello operativo, mostrato in figura 6, è generato da un file eseguibile disponibile all'indirizzo: [http://www.sonar-info.info/wikifourier/seriefourier.html wikiFourier ] oppure [https://github.com/2021dtc/prova20/archive/main.zip seriefourier] Il file esguibile consente il calcolo e la presentazione grafica dello spettro dell'onda da analizzare. [[File:tfr6.jpg|thumb|left|1000px|figura 6]] {{clear}} In figura 6, con una serie di numeri in rosso, sono distinte le 5 sezioni funzionali: '''Sezione 1 (Variabili di calcolo)''' La sezione contiene il pulsante ingresso variabili e 4 textbox nelle quali inserire i seguenti dati: *Durata del periodo dell'onda da analizzare espressa con <math> T </math> in secondi. *Il numero <math> m = n </math> dei campioni da prelevare dal periodo dell'onda da analizzare. *Il numero <math> k </math> delle righe dello spettro che si vogliono calcolare. *L'incremento di calcolo <math> dm </math> dal quale dipendono sia la precisione che il tempo calcolo. Al lancio del programma la sezione è impostata, in via preliminare, con i valori: <math> T = 0.01 \ S </math>; <math> \quad m = n = 20 </math>; <math>\quad k = 10 </math>; <math> \quad dm = 0.01</math> . '''Sezione 2: (Campioni nel periodo)''' La sezione contiene: *Un label, a sinistra, che indica il numero progressivo dei campioni ricavati dal periodo da analizzare e un textbox, a destra, per l'inserzione delle ampiezze dei diversi campioni. *Un pulsante "Ingresso campioni" per l'inserzione progressiva dei valori sopra citati;il pulsante presenta colore verde nella fase d'introduzione campioni, cambia colore in arancio una volta che i campioni dell'onda sono pari al valore impostato di <math> m = n </math> *Un pulsante " Azzeramento memorie" per la ripetizione, se necessario, dell'inserzione dati. '''Sezione 3: ( Presentazione spettro)''' La sezione contiene: *Il pulsante "Calcolo dello spettro" per l'avvio del programma di calcolo per la presentazione grafica del modulo delle righe dello spettro tracciate come visione indicativa dello stesso. *Un listato numerico delle frequenze e relative ampiezze normalizzate delle righe dello spettro. L'azione di questo comando provoca inoltre il tracciamento del periodo dell'onda inserito a campioni nella sezione 2 per un controllo della correttezza del suo profilo. '''Sezione 4: (Listato valori calcolati)''' Nel listato compaiono: *Le <math> n </math> coppie calcolate nella forma, ad esempio per una generica <math> 3^a </math> coppia, <math> F = 1300 \ Hz</math> <math> \ C'3 = 0.65432 </math> ; ciascuna coppia definisce una riga dello spettro sia in frequenza che in ampiezza normalizzata. *In alto, sopra il listato, il valore calcolato di <math>C'o</math> ( componente continua dell'onda ove sia presente ) '''Sezione 5: (Area di presentazione grafici)''' I grafici sono tracciati a solo scopo illustrativo dato che i valori che li generano sono già contenuti nei listati della sezione 4. *In alto lo spettro dell'onda con le <math> m = n </math> righe messe a calcolo; le ascisse del tracciato non sono calibrate in frequenza *In basso il profilo del periodo dell'onda definito con tanti punti quanti sono gli <math> m = n </math> campioni messi a calcolo; le ascisse del tracciato non sono calibrate in tempo. ==Primo esempio di calcolo della serie di Fourier con controllo analitico== Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda rettangolare, si avvale di un riscontro analitico in quanto lo spettro dell'onda in esame è definito dalla caratteristica serie di figura 7 che servirà come controllo dati elaborati dal calcolatore: :<math>y=\frac{4}{\pi}E\left(\cos x - \frac{1}{3}\cos 3x + \frac{1}{5}\cos 5x - \frac{1}{7} \cos 7x + \dots \right) \qquad\qquad\qquad 7)</math> Come si vede la serie analitica è formata soltanto da addendi dispari i cui coefficienti, espressi con frazioni, sono gli analoghi dei termini <math> Cn </math> elaborati dal calcolatore. Utilizziamo sempre i valori preliminari assegnati al calcolatore al momento dell'avvio, come mostra la figura 8 della sezione 1. [[File:tfr8.jpg|thumb|left|300px|figura 8]] {{clear}} Quindi pigiamo il pulsante "Ingresso variabili". Impostiamo nella sezione 2, premendo " Ingresso campioni" (pulsante arancione), per lo spettro di un'onda rettangolare quale quella riportata in figura 2b, la seguente sequenza di campioni: <math>1;1;1;1;1;1;1;1;1;1; -1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1 </math> relativa ad un periodo dell'onda sopra citata fino a quando il pulsante stesso diventa arancione. Dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 9 che i grafici di figura 10 [[File:tfr9.jpg|thumb|left|600px|figura 9]] {{clear}} La lista indica righe multiple di <math> 1000 \ Hz </math> dato che, essendo <math>T = 0.001 \ S </math>, la frequenza è <math>f = 1 / 0.001</math> = <math>1000 \ Hz </math>. [[File:tfr10.jpg|thumb|left|300px|figura 10]] {{clear}} Procediamo ora al controllo della lista di figura 9 impostando una tabella che riporta, tanto le ampiezze calcolate con l'espressione dello spettro teorico espresso in figura 7, che quelle del listato di figura 9: :{| class="wikitable" |- ! Righe> ! C'₁ ! C'₂ ! C'₃ ! C'₄ ! C'₅ ! C'₆ |- ! Con il calcolatore | 1,0000 | 0,0012 | 0,3333 | 0,0012 | 0,2000 | 0,0012 |- ! Per via analitica | 1,0000 | 0 | 0,3333 | 0 | 0,2000 | 0 |} Come si vede in tabella di tavolo i valori di <math>C'n </math> per <math> n </math> dispari, praticamente coincidono, per <math> n </math> pari il calcolatore commette un errore presentando ampiezze pari a <math>0.002 </math> invece che <math> 0 </math> come da processo analitico. Gli errori si riducono ripetendo il computo con un passo di calcolo inferiore a <math>dm = 0.01 </math>, ad esempio <math>dm = 0.001</math>; naturalmente il processo di calcolo richiede un tempo superiore di sviluppo. ==Secondo esempio: calcolo della serie di Fourier con controllo analitico== Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda a dente di sega, si avvale di un riscontro analitico in quanto lo spettro dell'onda in esame è definito dalla caratteristica serie di figura 11 che servirà come controllo dei dati elaborati dal calcolatore: :<math>y=\frac{2}{\pi}E\left(\sin x - \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{3}\sin 3x - \frac{1}{4} \sin 4x + \dots \right) \qquad\qquad\qquad 11)</math> Come si vede la serie analitica è formata da addendi pari e dispari i cui coefficienti, espressi con frazioni, sono gli analoghi dei termini <math>Cn</math> elaborati dal calcolatore. Utilizziamo sempre i valori di base assegnati al calcolatore al momento dell'avvio, come mostra la figura 12 della sezione 1. [[File:tfr8.jpg|thumb|left|600px|figura 12]] {{clear}} quindi pigiamo il pulsante "Ingresso variabili". Impostiamo nella sezione 2, premendo " Ingresso campioni" ( pulsante giallo ), i campioni d'ampiezza di un'onda a dente di sega quale quella riportata in figura 13 [[File:tfr13.jpg|thumb|left|300px|figura 13]] {{clear}} la seguente sequenza di campioni: <math> -1;-0.9;-0.8;-0.7;-0.6;-0.5;-0.4;-0.3;-0.2; 0.1;0;0.1;0.2;0.3;0.4;0.5;0.6;0.7:0.8:0.9 </math> relativa ad un periodo <math>T</math> dell'onda sopra citata fino a quando il pulsante stesso diventa arancione. Dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 14 che i grafici di figura 15: [[File:tfr14.jpg|thumb|left|600px|figura 14]] {{clear}} La lista indica righe multiple di <math>1000 Hz </math> dato che, essendo <math>T = 0.001 \ S </math>, <math>f = 1/ 0.001 </math>= <math>1000 \ Hz</math>. [[File:tfr15.jpg|thumb|left|300px|figura 15]] {{clear}} Procediamo ora al controllo della lista di figura 14 impostando una tabella che riporta, tanto le ampiezze dello spettro teorico espresso in figura 11 che quelle della lista nella figura citata: :{| class="wikitable" |- ! Righe> ! C'₁ ! C'₂ ! C'₃ ! C'₄ ! C'₅ ! C'₆ |- ! Con il calcolatore | 1,0000 | 0,5001 | 0,3335 | 0,2501 | 0,2001 | 0,1667 |- ! Per via analitica | 1,0000 | 0,5000 | 0,3333 | 0,2500 | 0,2000 | 0,1666 |} Come si vede in tabella di tavolo i valori di <math> C' </math> da calcolatore sono quasi coincidenti con dagli analoghi analitici; l'errore massimo è dell'ordine del <math>2 </math> per mille. == Terzo esempio: calcolo della serie di Fourier di un'onda generica == Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda generica, non si avvale alcun riscontro analitico. Il tracciato dell'onda sia quello riportato in figura 16: [[File:trf16.jpg|thumb|left|300px|figura 16]] {{clear}} Si esegue la campionatura di un periodo con 21 campioni così come mostrato in figura 17: [[File:trf17.jpg|thumb|left|300px|figura 17]] {{clear}} Si compila, in tavola, la lista delle ampiezze dei campioni ricavandola da rilievi geometrici su figura 17: :{| class="wikitable" |- ! periodo ! ampiezza |- | t₀ | 0,00 |- | t₁ | 0,40 |- | t₂ | 0,64 |- | t₃ | 0,75 |- | t₄ | 0,85 |- | t₅ | 0,99 |- | t₆ | 1,04 |- | t₇ | 0,86 |- | t₈ | 0,53 |- | t₉ | 0,21 |- | t₁₀ | 0,00 |- | t₁₁ | -0,02 |- | t₁₂ | -0,17 |- | t₁₃ | -0,38 |- | t₁₄ | -0,47 |- | t₁₅ | -0,40 |- | t₁₆ | -0,28 |- | t₁₇ | -0,26 |- | t₁₈ | -0,29 |- | t₁₉ | -0,22 |- | t₂₀ | -0,00 |} I dati di tavola s'inseriscono progressivamente in sezione 2 pigiando il pulsante "Ingresso campioni". Dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 19 che i grafici di figura 20: [[File:trf19.jpg|thumb|left|300px|figura 19]] {{clear}} La lista indica righe multiple di <math>1000 \ Hz</math> dato che, essendo <math> T = 0.001 \ S </math>, <math>\quad f = 1/ 0.001 </math> = <math> 1000 \ Hz. </math> [[File:trf20.jpg|thumb|left|300px|figura 20]] {{clear}} == Quarto esempio: calcolo della serie di Fourier di un'onda precostruita== Per un controllo ulteriore del calcolatore analizziamo un'onda precostruita che è caratterizzata dalla presenza della sola <math> 4^a </math> armonica di ampiezza <math>C'4 = 0.3333.</math> L'onda in oggetto, generata da un'apposita funzione matematica, è riportata in figura 21: [[File:trf21.jpg|thumb|left|300px|figura 21]] {{clear}} L'onda ha un periodo <math> T = 0.001 \ S </math> e quindi una frequenza di <math> 1000 \ Hz</math>; il periodo viene campionato con le stesse modalità relative al periodo dell'esercizio precedente; il risultato della campionatura è riportato in tavola: :{| class="wikitable" |- ! periodo ! ampiezza |- | t₀ | 0,00 |- | t₁ | 0,62 |- | t₂ | 0,78 |- | t₃ | 0,61 |- | t₄ | 0,63 |- | t₅ | 0,99 |- | t₆ | 1,26 |- | t₇ | 1,00 |- | t₈ | 0,39 |- | t₉ | -0,00 |- | t₁₀ | -0,00 |- | t₁₁ | 0,00 |- | t₁₂ | -0,38 |- | t₁₃ | -1,00 |- | t₁₄ | -1,26 |- | t₁₅ | -1,00 |- | t₁₆ | -0,63 |- | t₁₇ | -0,61 |- | t₁₈ | -0,78 |- | t₁₉ | -0,63 |- | t₂₀ | -0,00 |} Seguendo la procedura d'inserzione dati e campioni analoga a quella del paragrafo precedente, dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 23 che i grafici di figura 24: [[File:trf23.jpg|thumb|left|600px|figura 23]] {{clear}} [[File:trf24.jpg|thumb|left|300px|figura 24]] {{clear}} L'esame dei dati, sia numerici ( riga <math>C'4</math> ) che grafici evidenziano, come era nelle aspettative, la presenza di una riga a <math>4000 \ Hz </math> di ampiezza <math>C'4 = 0.3133</math>. Le righe a livello molto basso presenti in figura 23, non visibili in figura 24, sono dovute all'approssimazione dell’algoritmo di calcolo. ==Bibliografia== *G. Moretti, ''Analisi matematica-vol.II -parte II'',Hoepli, Milano 1953. *A. Papoulis, ''The Fourier integral and its applications''Mc Graw-Hill, New York 1962. *Edit: Milton Abramowitz ..''Handbook of mathematical functios'', USA 1970. * C. Del Turco, ''La matematica con il personal computer'', Editrice MODERNA La Spezia 1998. [[Categoria:Lezioni di Sistemi di calcolo automatico per il sonar]] [[Categoria:Calcolatori automatici per il sonar]] [[https://drive.google.com/file/d/1TtaZhhpyibxs3R015-NK4wRKtTmD7pHc/view?usp=drive_link]Il testo] [[https://drive.google.com/file/d/1iZKAS6q3-SloGjOpVeGwxP2y4eQMUkkU/view?usp=drive_link]Al file zip] 1) <math> y = \int_{}^{} \ x \ \ dx \ \ </math> 2) <math> y = \int_{}^{} \ 2 x \ \ dx \ \ </math> 3) <math> y = \int_{}^{} \ x^2 \ \ dx \ \ </math> 4) <math> y = \int_{}^{} \ ( 3x + 1 ) \ \ dx \ \ </math> 5) <math> y = \int_{}^{} \ x^3 \ \ dx \ \ </math> 6) <math> y = \int_{}^{} \ {\sqrt{x}} \ \ dx \ \ </math> 7) <math> y = \int_{}^{} \ 1/x \ \ dx \ \ </math> 8) <math> y = \int_{}^{} \ e^x\ \ dx \ \ </math> 9) <math> y = \int_{}^{} sin \ x \ \ dx \ \ </math> 10) <math> y = \int_{}^{} cos \ x \ \ dx \ \ </math> 11) <math> y = \int_{}^{} \ x \ e^x\ \ dx \ \ </math> 12) <math> y = \int_{}^{} \ln x\ \ dx \ \ </math> 13) <math> y = \int_{}^{} x \ sin \ x \ \ dx \ \ </math> 14) <math> y = \int_{}^{} x \ cos \ x \ \ dx \ \ </math> 15) <math> y = \int_{}^{} \ 1 / ( 1 + x^2 ) \ \ dx \ \ </math> 16) <math> y = \int_{}^{} \ e^{2x} \ \ dx \ \ </math> 17) <math> y = \int_{}^{} \ x^2 \ e^x\ \ dx \ \ </math> 18) <math> y = \int_{}^{} sin^2 \ x \ \ dx \ \ </math> 19) <math> y = \int_{}^{} cos^2 \ x \ \ dx \ \ </math> 20) <math> y = \int_{}^{} \ (ln \ x)^2\ \ dx \ \ </math> 2j5wvfhr1ws1c9inrzdxgrk2y7ds070 284651 284650 2026-06-30T12:46:38Z ~2026-31655-25 46663 /* La serie di Fourier con il supporto delle figure */ 284651 wikitext text/x-wiki Gli algoritmi di Fourier: ==Calcolatore della DFT - Discrete Fourier Transform - == L'integrale di Fourier, o trasformata di Fourier consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio un impulso di sinusoidi, mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ). Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per un impulso casuale, si deve computare il modulo dello spettro, secondo algoritmi elaborati. La descrizione dettagliata di questo processo è disponibile al link sotto indicato: [[https://drive.google.com/file/d/1pSijIuZv19a51fsfhWneDYHCFTQRtA99/view?usp=drive_link]Il testo] Dopo la lettura del testo si può scaricare un file zip contenente l'eseguibile di calcolo che sviluppa la macchina: [[https://drive.google.com/file/d/1-k2c8-IbCR0EW-doQud90RPj7di8JBTy/view?usp=drive_link]File zip] -Processo di approssimazione per la determinazione dello spettro dei segnali periodici- Prima di descrivere il calcolatore della serie di Fourier, al quale è dedicato il paragrafo successivo, esaminiamo l'algoritmo omonimo mostrato in figura 1 :<math> \begin{align} F(x) &= a_0+\sum_{n=1}^\infin\left( a_n \cos nx + b_n \sin nx \right) \\ &\begin{cases} a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)dx \\ a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)\cos nx\ dx \\ b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)\sin nx\ dx \end{cases} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 1) \end{align} </math> questo consente, per via esclusivamente analitica, lo studio dei fenomeni periodici funzioni del tempo per il computo del loro spettro in frequenza, spettro espresso in figura 1 con il simbolo <math> F(x)</math> ( dove <math> x = 2 \cdot \pi \cdot f \cdot t )</math>. Generalmente la funzione <math> F(x)</math> è espressa con il simbolo <math> G(\omega)</math>. Un esempio di segnale periodico <math> f(t)</math>, onda rettangolare, espresso matematicamente è mostrato in figura 2a :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} \qquad\qquad 2a) </math> il cui andamento è tracciato in figura 2b [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2b]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2b,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Se dell'onda periodica da analizzare non si conosce la legge <math> f(t)</math>, come ad esempio per la curva di figura 4: [[File:trf4.jpg|thumb|left|400px|figura 4]] {{clear}} la serie di Fourier non è applicabile; è sostituibile, con buona approssimazione, dall'algoritmo di figura 5 che prevede la determinazione dello spettro mediante l'elaborazione dei coefficienti <math> An'</math> e <math> Bn' </math> da <math> n </math> campioni di <math> f(t) </math> , messi a calcolo, rilevati da grafici o da presentazioni su oscilloscopio: :<math>C'_n = A'_0 + \sum_{n=1}^{n=k}A'_n \cos (n 2 \pi f_0 t) + B'_n \sin (n 2 \pi f_0 t) \qquad\qquad\qquad 5)</math> Si osservi che: *Con il simbolo <math> C'n </math> s'intende l'ampiezza della n esima riga dello spettro di frequenza. * I coefficienti di figura 5 sono indicati con <math> A'n </math> e <math> B'n</math> per distinguerli da quelli diversi di figura 1. * <math> A'o, A'n, B'n </math> sono determinati con processo numerico iterativo implementando nel programma di calcolo le funzioni esposte in figura 5a dove, ad esempio, <math> 20 </math> campioni del periodo in analisi sono riportati, in apposita memoria del P.C, con i simboli <math> a(1).....a(20) </math> . :<math> \begin{align} & A'_0 = \frac{1}{2\pi} \left[ 0,5a(1) + a(2) + a(3) + \dots + a(19) + 0,5a(20) \right] \frac{2\pi}{19} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 5a) \\ & A'_n = \frac{1}{\pi} \left[ 0,5a(1)\cos(nwt_1) + a(2)\cos(nwt_2) + \dots + 0,5a(20)\cos(nwt_{20}) \right] \frac{2\pi}{19} \\ & B'_n = \frac{1}{\pi} \left[ 0,5a(1)\sin(nwt_1) + a(2)\sin(nwt_2) + \dots + 0,5a(20)\sin(nwt_{20}) \right] \frac{2\pi}{19} \\ & C'_n = \left({A'_n}^2 + {B'_n}^2\right)^\frac{1}{2} \end{align} </math> * Il modulo della <math> n </math> esima riga dello spettro è indicato da <math> C'n</math> ; nel calcolatore l valori <math> C'n </math> sono valutati senza l'addizione di <math> A'o </math> che viene calcolato separatamente. Vedremo di seguito, in dettaglio, l'impiego degli algoritmi di figure 5 e 5a contestualmente all'esame del pannello operativo del calcolatore. == Il pannello operativo del calcolatore == Il pannello operativo, mostrato in figura 6, è generato da un file eseguibile disponibile all'indirizzo: [http://www.sonar-info.info/wikifourier/seriefourier.html wikiFourier ] oppure [https://github.com/2021dtc/prova20/archive/main.zip seriefourier] Il file esguibile consente il calcolo e la presentazione grafica dello spettro dell'onda da analizzare. [[File:tfr6.jpg|thumb|left|1000px|figura 6]] {{clear}} In figura 6, con una serie di numeri in rosso, sono distinte le 5 sezioni funzionali: '''Sezione 1 (Variabili di calcolo)''' La sezione contiene il pulsante ingresso variabili e 4 textbox nelle quali inserire i seguenti dati: *Durata del periodo dell'onda da analizzare espressa con <math> T </math> in secondi. *Il numero <math> m = n </math> dei campioni da prelevare dal periodo dell'onda da analizzare. *Il numero <math> k </math> delle righe dello spettro che si vogliono calcolare. *L'incremento di calcolo <math> dm </math> dal quale dipendono sia la precisione che il tempo calcolo. Al lancio del programma la sezione è impostata, in via preliminare, con i valori: <math> T = 0.01 \ S </math>; <math> \quad m = n = 20 </math>; <math>\quad k = 10 </math>; <math> \quad dm = 0.01</math> . '''Sezione 2: (Campioni nel periodo)''' La sezione contiene: *Un label, a sinistra, che indica il numero progressivo dei campioni ricavati dal periodo da analizzare e un textbox, a destra, per l'inserzione delle ampiezze dei diversi campioni. *Un pulsante "Ingresso campioni" per l'inserzione progressiva dei valori sopra citati;il pulsante presenta colore verde nella fase d'introduzione campioni, cambia colore in arancio una volta che i campioni dell'onda sono pari al valore impostato di <math> m = n </math> *Un pulsante " Azzeramento memorie" per la ripetizione, se necessario, dell'inserzione dati. '''Sezione 3: ( Presentazione spettro)''' La sezione contiene: *Il pulsante "Calcolo dello spettro" per l'avvio del programma di calcolo per la presentazione grafica del modulo delle righe dello spettro tracciate come visione indicativa dello stesso. *Un listato numerico delle frequenze e relative ampiezze normalizzate delle righe dello spettro. L'azione di questo comando provoca inoltre il tracciamento del periodo dell'onda inserito a campioni nella sezione 2 per un controllo della correttezza del suo profilo. '''Sezione 4: (Listato valori calcolati)''' Nel listato compaiono: *Le <math> n </math> coppie calcolate nella forma, ad esempio per una generica <math> 3^a </math> coppia, <math> F = 1300 \ Hz</math> <math> \ C'3 = 0.65432 </math> ; ciascuna coppia definisce una riga dello spettro sia in frequenza che in ampiezza normalizzata. *In alto, sopra il listato, il valore calcolato di <math>C'o</math> ( componente continua dell'onda ove sia presente ) '''Sezione 5: (Area di presentazione grafici)''' I grafici sono tracciati a solo scopo illustrativo dato che i valori che li generano sono già contenuti nei listati della sezione 4. *In alto lo spettro dell'onda con le <math> m = n </math> righe messe a calcolo; le ascisse del tracciato non sono calibrate in frequenza *In basso il profilo del periodo dell'onda definito con tanti punti quanti sono gli <math> m = n </math> campioni messi a calcolo; le ascisse del tracciato non sono calibrate in tempo. ==Primo esempio di calcolo della serie di Fourier con controllo analitico== Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda rettangolare, si avvale di un riscontro analitico in quanto lo spettro dell'onda in esame è definito dalla caratteristica serie di figura 7 che servirà come controllo dati elaborati dal calcolatore: :<math>y=\frac{4}{\pi}E\left(\cos x - \frac{1}{3}\cos 3x + \frac{1}{5}\cos 5x - \frac{1}{7} \cos 7x + \dots \right) \qquad\qquad\qquad 7)</math> Come si vede la serie analitica è formata soltanto da addendi dispari i cui coefficienti, espressi con frazioni, sono gli analoghi dei termini <math> Cn </math> elaborati dal calcolatore. Utilizziamo sempre i valori preliminari assegnati al calcolatore al momento dell'avvio, come mostra la figura 8 della sezione 1. [[File:tfr8.jpg|thumb|left|300px|figura 8]] {{clear}} Quindi pigiamo il pulsante "Ingresso variabili". Impostiamo nella sezione 2, premendo " Ingresso campioni" (pulsante arancione), per lo spettro di un'onda rettangolare quale quella riportata in figura 2b, la seguente sequenza di campioni: <math>1;1;1;1;1;1;1;1;1;1; -1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1 </math> relativa ad un periodo dell'onda sopra citata fino a quando il pulsante stesso diventa arancione. Dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 9 che i grafici di figura 10 [[File:tfr9.jpg|thumb|left|600px|figura 9]] {{clear}} La lista indica righe multiple di <math> 1000 \ Hz </math> dato che, essendo <math>T = 0.001 \ S </math>, la frequenza è <math>f = 1 / 0.001</math> = <math>1000 \ Hz </math>. [[File:tfr10.jpg|thumb|left|300px|figura 10]] {{clear}} Procediamo ora al controllo della lista di figura 9 impostando una tabella che riporta, tanto le ampiezze calcolate con l'espressione dello spettro teorico espresso in figura 7, che quelle del listato di figura 9: :{| class="wikitable" |- ! Righe> ! C'₁ ! C'₂ ! C'₃ ! C'₄ ! C'₅ ! C'₆ |- ! Con il calcolatore | 1,0000 | 0,0012 | 0,3333 | 0,0012 | 0,2000 | 0,0012 |- ! Per via analitica | 1,0000 | 0 | 0,3333 | 0 | 0,2000 | 0 |} Come si vede in tabella di tavolo i valori di <math>C'n </math> per <math> n </math> dispari, praticamente coincidono, per <math> n </math> pari il calcolatore commette un errore presentando ampiezze pari a <math>0.002 </math> invece che <math> 0 </math> come da processo analitico. Gli errori si riducono ripetendo il computo con un passo di calcolo inferiore a <math>dm = 0.01 </math>, ad esempio <math>dm = 0.001</math>; naturalmente il processo di calcolo richiede un tempo superiore di sviluppo. ==Secondo esempio: calcolo della serie di Fourier con controllo analitico== Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda a dente di sega, si avvale di un riscontro analitico in quanto lo spettro dell'onda in esame è definito dalla caratteristica serie di figura 11 che servirà come controllo dei dati elaborati dal calcolatore: :<math>y=\frac{2}{\pi}E\left(\sin x - \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{3}\sin 3x - \frac{1}{4} \sin 4x + \dots \right) \qquad\qquad\qquad 11)</math> Come si vede la serie analitica è formata da addendi pari e dispari i cui coefficienti, espressi con frazioni, sono gli analoghi dei termini <math>Cn</math> elaborati dal calcolatore. Utilizziamo sempre i valori di base assegnati al calcolatore al momento dell'avvio, come mostra la figura 12 della sezione 1. [[File:tfr8.jpg|thumb|left|600px|figura 12]] {{clear}} quindi pigiamo il pulsante "Ingresso variabili". Impostiamo nella sezione 2, premendo " Ingresso campioni" ( pulsante giallo ), i campioni d'ampiezza di un'onda a dente di sega quale quella riportata in figura 13 [[File:tfr13.jpg|thumb|left|300px|figura 13]] {{clear}} la seguente sequenza di campioni: <math> -1;-0.9;-0.8;-0.7;-0.6;-0.5;-0.4;-0.3;-0.2; 0.1;0;0.1;0.2;0.3;0.4;0.5;0.6;0.7:0.8:0.9 </math> relativa ad un periodo <math>T</math> dell'onda sopra citata fino a quando il pulsante stesso diventa arancione. Dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 14 che i grafici di figura 15: [[File:tfr14.jpg|thumb|left|600px|figura 14]] {{clear}} La lista indica righe multiple di <math>1000 Hz </math> dato che, essendo <math>T = 0.001 \ S </math>, <math>f = 1/ 0.001 </math>= <math>1000 \ Hz</math>. [[File:tfr15.jpg|thumb|left|300px|figura 15]] {{clear}} Procediamo ora al controllo della lista di figura 14 impostando una tabella che riporta, tanto le ampiezze dello spettro teorico espresso in figura 11 che quelle della lista nella figura citata: :{| class="wikitable" |- ! Righe> ! C'₁ ! C'₂ ! C'₃ ! C'₄ ! C'₅ ! C'₆ |- ! Con il calcolatore | 1,0000 | 0,5001 | 0,3335 | 0,2501 | 0,2001 | 0,1667 |- ! Per via analitica | 1,0000 | 0,5000 | 0,3333 | 0,2500 | 0,2000 | 0,1666 |} Come si vede in tabella di tavolo i valori di <math> C' </math> da calcolatore sono quasi coincidenti con dagli analoghi analitici; l'errore massimo è dell'ordine del <math>2 </math> per mille. == Terzo esempio: calcolo della serie di Fourier di un'onda generica == Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda generica, non si avvale alcun riscontro analitico. Il tracciato dell'onda sia quello riportato in figura 16: [[File:trf16.jpg|thumb|left|300px|figura 16]] {{clear}} Si esegue la campionatura di un periodo con 21 campioni così come mostrato in figura 17: [[File:trf17.jpg|thumb|left|300px|figura 17]] {{clear}} Si compila, in tavola, la lista delle ampiezze dei campioni ricavandola da rilievi geometrici su figura 17: :{| class="wikitable" |- ! periodo ! ampiezza |- | t₀ | 0,00 |- | t₁ | 0,40 |- | t₂ | 0,64 |- | t₃ | 0,75 |- | t₄ | 0,85 |- | t₅ | 0,99 |- | t₆ | 1,04 |- | t₇ | 0,86 |- | t₈ | 0,53 |- | t₉ | 0,21 |- | t₁₀ | 0,00 |- | t₁₁ | -0,02 |- | t₁₂ | -0,17 |- | t₁₃ | -0,38 |- | t₁₄ | -0,47 |- | t₁₅ | -0,40 |- | t₁₆ | -0,28 |- | t₁₇ | -0,26 |- | t₁₈ | -0,29 |- | t₁₉ | -0,22 |- | t₂₀ | -0,00 |} I dati di tavola s'inseriscono progressivamente in sezione 2 pigiando il pulsante "Ingresso campioni". Dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 19 che i grafici di figura 20: [[File:trf19.jpg|thumb|left|300px|figura 19]] {{clear}} La lista indica righe multiple di <math>1000 \ Hz</math> dato che, essendo <math> T = 0.001 \ S </math>, <math>\quad f = 1/ 0.001 </math> = <math> 1000 \ Hz. </math> [[File:trf20.jpg|thumb|left|300px|figura 20]] {{clear}} == Quarto esempio: calcolo della serie di Fourier di un'onda precostruita== Per un controllo ulteriore del calcolatore analizziamo un'onda precostruita che è caratterizzata dalla presenza della sola <math> 4^a </math> armonica di ampiezza <math>C'4 = 0.3333.</math> L'onda in oggetto, generata da un'apposita funzione matematica, è riportata in figura 21: [[File:trf21.jpg|thumb|left|300px|figura 21]] {{clear}} L'onda ha un periodo <math> T = 0.001 \ S </math> e quindi una frequenza di <math> 1000 \ Hz</math>; il periodo viene campionato con le stesse modalità relative al periodo dell'esercizio precedente; il risultato della campionatura è riportato in tavola: :{| class="wikitable" |- ! periodo ! ampiezza |- | t₀ | 0,00 |- | t₁ | 0,62 |- | t₂ | 0,78 |- | t₃ | 0,61 |- | t₄ | 0,63 |- | t₅ | 0,99 |- | t₆ | 1,26 |- | t₇ | 1,00 |- | t₈ | 0,39 |- | t₉ | -0,00 |- | t₁₀ | -0,00 |- | t₁₁ | 0,00 |- | t₁₂ | -0,38 |- | t₁₃ | -1,00 |- | t₁₄ | -1,26 |- | t₁₅ | -1,00 |- | t₁₆ | -0,63 |- | t₁₇ | -0,61 |- | t₁₈ | -0,78 |- | t₁₉ | -0,63 |- | t₂₀ | -0,00 |} Seguendo la procedura d'inserzione dati e campioni analoga a quella del paragrafo precedente, dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 23 che i grafici di figura 24: [[File:trf23.jpg|thumb|left|600px|figura 23]] {{clear}} [[File:trf24.jpg|thumb|left|300px|figura 24]] {{clear}} L'esame dei dati, sia numerici ( riga <math>C'4</math> ) che grafici evidenziano, come era nelle aspettative, la presenza di una riga a <math>4000 \ Hz </math> di ampiezza <math>C'4 = 0.3133</math>. Le righe a livello molto basso presenti in figura 23, non visibili in figura 24, sono dovute all'approssimazione dell’algoritmo di calcolo. ==Bibliografia== *G. Moretti, ''Analisi matematica-vol.II -parte II'',Hoepli, Milano 1953. *A. Papoulis, ''The Fourier integral and its applications''Mc Graw-Hill, New York 1962. *Edit: Milton Abramowitz ..''Handbook of mathematical functios'', USA 1970. * C. Del Turco, ''La matematica con il personal computer'', Editrice MODERNA La Spezia 1998. [[Categoria:Lezioni di Sistemi di calcolo automatico per il sonar]] [[Categoria:Calcolatori automatici per il sonar]] [[https://drive.google.com/file/d/1TtaZhhpyibxs3R015-NK4wRKtTmD7pHc/view?usp=drive_link]Il testo] [[https://drive.google.com/file/d/1iZKAS6q3-SloGjOpVeGwxP2y4eQMUkkU/view?usp=drive_link]Al file zip] 1) <math> y = \int_{}^{} \ x \ \ dx \ \ </math> 2) <math> y = \int_{}^{} \ 2 x \ \ dx \ \ </math> 3) <math> y = \int_{}^{} \ x^2 \ \ dx \ \ </math> 4) <math> y = \int_{}^{} \ ( 3x + 1 ) \ \ dx \ \ </math> 5) <math> y = \int_{}^{} \ x^3 \ \ dx \ \ </math> 6) <math> y = \int_{}^{} \ {\sqrt{x}} \ \ dx \ \ </math> 7) <math> y = \int_{}^{} \ 1/x \ \ dx \ \ </math> 8) <math> y = \int_{}^{} \ e^x\ \ dx \ \ </math> 9) <math> y = \int_{}^{} sin \ x \ \ dx \ \ </math> 10) <math> y = \int_{}^{} cos \ x \ \ dx \ \ </math> 11) <math> y = \int_{}^{} \ x \ e^x\ \ dx \ \ </math> 12) <math> y = \int_{}^{} \ln x\ \ dx \ \ </math> 13) <math> y = \int_{}^{} x \ sin \ x \ \ dx \ \ </math> 14) <math> y = \int_{}^{} x \ cos \ x \ \ dx \ \ </math> 15) <math> y = \int_{}^{} \ 1 / ( 1 + x^2 ) \ \ dx \ \ </math> 16) <math> y = \int_{}^{} \ e^{2x} \ \ dx \ \ </math> 17) <math> y = \int_{}^{} \ x^2 \ e^x\ \ dx \ \ </math> 18) <math> y = \int_{}^{} sin^2 \ x \ \ dx \ \ </math> 19) <math> y = \int_{}^{} cos^2 \ x \ \ dx \ \ </math> 20) <math> y = \int_{}^{} \ (ln \ x)^2\ \ dx \ \ </math> ez5o6mlukoa4il8iv2hgk6qehl229r0 284665 284651 2026-06-30T14:39:01Z ~2026-31655-25 46663 284665 wikitext text/x-wiki <MATH>\lim_{n \to \infty}x_n </math Gli algoritmi di Fourier: ==Calcolatore della DFT - Discrete Fourier Transform - == L'integrale di Fourier, o trasformata di Fourier consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio un impulso di sinusoidi, mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ). Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per un impulso casuale, si deve computare il modulo dello spettro, secondo algoritmi elaborati. La descrizione dettagliata di questo processo è disponibile al link sotto indicato: [[https://drive.google.com/file/d/1pSijIuZv19a51fsfhWneDYHCFTQRtA99/view?usp=drive_link]Il testo] Dopo la lettura del testo si può scaricare un file zip contenente l'eseguibile di calcolo che sviluppa la macchina: [[https://drive.google.com/file/d/1-k2c8-IbCR0EW-doQud90RPj7di8JBTy/view?usp=drive_link]File zip] -Processo di approssimazione per la determinazione dello spettro dei segnali periodici- Prima di descrivere il calcolatore della serie di Fourier, al quale è dedicato il paragrafo successivo, esaminiamo l'algoritmo omonimo mostrato in figura 1 :<math> \begin{align} F(x) &= a_0+\sum_{n=1}^\infin\left( a_n \cos nx + b_n \sin nx \right) \\ &\begin{cases} a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)dx \\ a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)\cos nx\ dx \\ b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)\sin nx\ dx \end{cases} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 1) \end{align} </math> questo consente, per via esclusivamente analitica, lo studio dei fenomeni periodici funzioni del tempo per il computo del loro spettro in frequenza, spettro espresso in figura 1 con il simbolo <math> F(x)</math> ( dove <math> x = 2 \cdot \pi \cdot f \cdot t )</math>. Generalmente la funzione <math> F(x)</math> è espressa con il simbolo <math> G(\omega)</math>. Un esempio di segnale periodico <math> f(t)</math>, onda rettangolare, espresso matematicamente è mostrato in figura 2a :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} \qquad\qquad 2a) </math> il cui andamento è tracciato in figura 2b [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2b]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2b,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Se dell'onda periodica da analizzare non si conosce la legge <math> f(t)</math>, come ad esempio per la curva di figura 4: [[File:trf4.jpg|thumb|left|400px|figura 4]] {{clear}} la serie di Fourier non è applicabile; è sostituibile, con buona approssimazione, dall'algoritmo di figura 5 che prevede la determinazione dello spettro mediante l'elaborazione dei coefficienti <math> An'</math> e <math> Bn' </math> da <math> n </math> campioni di <math> f(t) </math> , messi a calcolo, rilevati da grafici o da presentazioni su oscilloscopio: :<math>C'_n = A'_0 + \sum_{n=1}^{n=k}A'_n \cos (n 2 \pi f_0 t) + B'_n \sin (n 2 \pi f_0 t) \qquad\qquad\qquad 5)</math> Si osservi che: *Con il simbolo <math> C'n </math> s'intende l'ampiezza della n esima riga dello spettro di frequenza. * I coefficienti di figura 5 sono indicati con <math> A'n </math> e <math> B'n</math> per distinguerli da quelli diversi di figura 1. * <math> A'o, A'n, B'n </math> sono determinati con processo numerico iterativo implementando nel programma di calcolo le funzioni esposte in figura 5a dove, ad esempio, <math> 20 </math> campioni del periodo in analisi sono riportati, in apposita memoria del P.C, con i simboli <math> a(1).....a(20) </math> . :<math> \begin{align} & A'_0 = \frac{1}{2\pi} \left[ 0,5a(1) + a(2) + a(3) + \dots + a(19) + 0,5a(20) \right] \frac{2\pi}{19} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 5a) \\ & A'_n = \frac{1}{\pi} \left[ 0,5a(1)\cos(nwt_1) + a(2)\cos(nwt_2) + \dots + 0,5a(20)\cos(nwt_{20}) \right] \frac{2\pi}{19} \\ & B'_n = \frac{1}{\pi} \left[ 0,5a(1)\sin(nwt_1) + a(2)\sin(nwt_2) + \dots + 0,5a(20)\sin(nwt_{20}) \right] \frac{2\pi}{19} \\ & C'_n = \left({A'_n}^2 + {B'_n}^2\right)^\frac{1}{2} \end{align} </math> * Il modulo della <math> n </math> esima riga dello spettro è indicato da <math> C'n</math> ; nel calcolatore l valori <math> C'n </math> sono valutati senza l'addizione di <math> A'o </math> che viene calcolato separatamente. Vedremo di seguito, in dettaglio, l'impiego degli algoritmi di figure 5 e 5a contestualmente all'esame del pannello operativo del calcolatore. == Il pannello operativo del calcolatore == Il pannello operativo, mostrato in figura 6, è generato da un file eseguibile disponibile all'indirizzo: [http://www.sonar-info.info/wikifourier/seriefourier.html wikiFourier ] oppure [https://github.com/2021dtc/prova20/archive/main.zip seriefourier] Il file esguibile consente il calcolo e la presentazione grafica dello spettro dell'onda da analizzare. [[File:tfr6.jpg|thumb|left|1000px|figura 6]] {{clear}} In figura 6, con una serie di numeri in rosso, sono distinte le 5 sezioni funzionali: '''Sezione 1 (Variabili di calcolo)''' La sezione contiene il pulsante ingresso variabili e 4 textbox nelle quali inserire i seguenti dati: *Durata del periodo dell'onda da analizzare espressa con <math> T </math> in secondi. *Il numero <math> m = n </math> dei campioni da prelevare dal periodo dell'onda da analizzare. *Il numero <math> k </math> delle righe dello spettro che si vogliono calcolare. *L'incremento di calcolo <math> dm </math> dal quale dipendono sia la precisione che il tempo calcolo. Al lancio del programma la sezione è impostata, in via preliminare, con i valori: <math> T = 0.01 \ S </math>; <math> \quad m = n = 20 </math>; <math>\quad k = 10 </math>; <math> \quad dm = 0.01</math> . '''Sezione 2: (Campioni nel periodo)''' La sezione contiene: *Un label, a sinistra, che indica il numero progressivo dei campioni ricavati dal periodo da analizzare e un textbox, a destra, per l'inserzione delle ampiezze dei diversi campioni. *Un pulsante "Ingresso campioni" per l'inserzione progressiva dei valori sopra citati;il pulsante presenta colore verde nella fase d'introduzione campioni, cambia colore in arancio una volta che i campioni dell'onda sono pari al valore impostato di <math> m = n </math> *Un pulsante " Azzeramento memorie" per la ripetizione, se necessario, dell'inserzione dati. '''Sezione 3: ( Presentazione spettro)''' La sezione contiene: *Il pulsante "Calcolo dello spettro" per l'avvio del programma di calcolo per la presentazione grafica del modulo delle righe dello spettro tracciate come visione indicativa dello stesso. *Un listato numerico delle frequenze e relative ampiezze normalizzate delle righe dello spettro. L'azione di questo comando provoca inoltre il tracciamento del periodo dell'onda inserito a campioni nella sezione 2 per un controllo della correttezza del suo profilo. '''Sezione 4: (Listato valori calcolati)''' Nel listato compaiono: *Le <math> n </math> coppie calcolate nella forma, ad esempio per una generica <math> 3^a </math> coppia, <math> F = 1300 \ Hz</math> <math> \ C'3 = 0.65432 </math> ; ciascuna coppia definisce una riga dello spettro sia in frequenza che in ampiezza normalizzata. *In alto, sopra il listato, il valore calcolato di <math>C'o</math> ( componente continua dell'onda ove sia presente ) '''Sezione 5: (Area di presentazione grafici)''' I grafici sono tracciati a solo scopo illustrativo dato che i valori che li generano sono già contenuti nei listati della sezione 4. *In alto lo spettro dell'onda con le <math> m = n </math> righe messe a calcolo; le ascisse del tracciato non sono calibrate in frequenza *In basso il profilo del periodo dell'onda definito con tanti punti quanti sono gli <math> m = n </math> campioni messi a calcolo; le ascisse del tracciato non sono calibrate in tempo. ==Primo esempio di calcolo della serie di Fourier con controllo analitico== Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda rettangolare, si avvale di un riscontro analitico in quanto lo spettro dell'onda in esame è definito dalla caratteristica serie di figura 7 che servirà come controllo dati elaborati dal calcolatore: :<math>y=\frac{4}{\pi}E\left(\cos x - \frac{1}{3}\cos 3x + \frac{1}{5}\cos 5x - \frac{1}{7} \cos 7x + \dots \right) \qquad\qquad\qquad 7)</math> Come si vede la serie analitica è formata soltanto da addendi dispari i cui coefficienti, espressi con frazioni, sono gli analoghi dei termini <math> Cn </math> elaborati dal calcolatore. Utilizziamo sempre i valori preliminari assegnati al calcolatore al momento dell'avvio, come mostra la figura 8 della sezione 1. [[File:tfr8.jpg|thumb|left|300px|figura 8]] {{clear}} Quindi pigiamo il pulsante "Ingresso variabili". Impostiamo nella sezione 2, premendo " Ingresso campioni" (pulsante arancione), per lo spettro di un'onda rettangolare quale quella riportata in figura 2b, la seguente sequenza di campioni: <math>1;1;1;1;1;1;1;1;1;1; -1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1 </math> relativa ad un periodo dell'onda sopra citata fino a quando il pulsante stesso diventa arancione. Dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 9 che i grafici di figura 10 [[File:tfr9.jpg|thumb|left|600px|figura 9]] {{clear}} La lista indica righe multiple di <math> 1000 \ Hz </math> dato che, essendo <math>T = 0.001 \ S </math>, la frequenza è <math>f = 1 / 0.001</math> = <math>1000 \ Hz </math>. [[File:tfr10.jpg|thumb|left|300px|figura 10]] {{clear}} Procediamo ora al controllo della lista di figura 9 impostando una tabella che riporta, tanto le ampiezze calcolate con l'espressione dello spettro teorico espresso in figura 7, che quelle del listato di figura 9: :{| class="wikitable" |- ! Righe> ! C'₁ ! C'₂ ! C'₃ ! C'₄ ! C'₅ ! C'₆ |- ! Con il calcolatore | 1,0000 | 0,0012 | 0,3333 | 0,0012 | 0,2000 | 0,0012 |- ! Per via analitica | 1,0000 | 0 | 0,3333 | 0 | 0,2000 | 0 |} Come si vede in tabella di tavolo i valori di <math>C'n </math> per <math> n </math> dispari, praticamente coincidono, per <math> n </math> pari il calcolatore commette un errore presentando ampiezze pari a <math>0.002 </math> invece che <math> 0 </math> come da processo analitico. Gli errori si riducono ripetendo il computo con un passo di calcolo inferiore a <math>dm = 0.01 </math>, ad esempio <math>dm = 0.001</math>; naturalmente il processo di calcolo richiede un tempo superiore di sviluppo. ==Secondo esempio: calcolo della serie di Fourier con controllo analitico== Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda a dente di sega, si avvale di un riscontro analitico in quanto lo spettro dell'onda in esame è definito dalla caratteristica serie di figura 11 che servirà come controllo dei dati elaborati dal calcolatore: :<math>y=\frac{2}{\pi}E\left(\sin x - \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{3}\sin 3x - \frac{1}{4} \sin 4x + \dots \right) \qquad\qquad\qquad 11)</math> Come si vede la serie analitica è formata da addendi pari e dispari i cui coefficienti, espressi con frazioni, sono gli analoghi dei termini <math>Cn</math> elaborati dal calcolatore. Utilizziamo sempre i valori di base assegnati al calcolatore al momento dell'avvio, come mostra la figura 12 della sezione 1. [[File:tfr8.jpg|thumb|left|600px|figura 12]] {{clear}} quindi pigiamo il pulsante "Ingresso variabili". Impostiamo nella sezione 2, premendo " Ingresso campioni" ( pulsante giallo ), i campioni d'ampiezza di un'onda a dente di sega quale quella riportata in figura 13 [[File:tfr13.jpg|thumb|left|300px|figura 13]] {{clear}} la seguente sequenza di campioni: <math> -1;-0.9;-0.8;-0.7;-0.6;-0.5;-0.4;-0.3;-0.2; 0.1;0;0.1;0.2;0.3;0.4;0.5;0.6;0.7:0.8:0.9 </math> relativa ad un periodo <math>T</math> dell'onda sopra citata fino a quando il pulsante stesso diventa arancione. Dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 14 che i grafici di figura 15: [[File:tfr14.jpg|thumb|left|600px|figura 14]] {{clear}} La lista indica righe multiple di <math>1000 Hz </math> dato che, essendo <math>T = 0.001 \ S </math>, <math>f = 1/ 0.001 </math>= <math>1000 \ Hz</math>. [[File:tfr15.jpg|thumb|left|300px|figura 15]] {{clear}} Procediamo ora al controllo della lista di figura 14 impostando una tabella che riporta, tanto le ampiezze dello spettro teorico espresso in figura 11 che quelle della lista nella figura citata: :{| class="wikitable" |- ! Righe> ! C'₁ ! C'₂ ! C'₃ ! C'₄ ! C'₅ ! C'₆ |- ! Con il calcolatore | 1,0000 | 0,5001 | 0,3335 | 0,2501 | 0,2001 | 0,1667 |- ! Per via analitica | 1,0000 | 0,5000 | 0,3333 | 0,2500 | 0,2000 | 0,1666 |} Come si vede in tabella di tavolo i valori di <math> C' </math> da calcolatore sono quasi coincidenti con dagli analoghi analitici; l'errore massimo è dell'ordine del <math>2 </math> per mille. == Terzo esempio: calcolo della serie di Fourier di un'onda generica == Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda generica, non si avvale alcun riscontro analitico. Il tracciato dell'onda sia quello riportato in figura 16: [[File:trf16.jpg|thumb|left|300px|figura 16]] {{clear}} Si esegue la campionatura di un periodo con 21 campioni così come mostrato in figura 17: [[File:trf17.jpg|thumb|left|300px|figura 17]] {{clear}} Si compila, in tavola, la lista delle ampiezze dei campioni ricavandola da rilievi geometrici su figura 17: :{| class="wikitable" |- ! periodo ! ampiezza |- | t₀ | 0,00 |- | t₁ | 0,40 |- | t₂ | 0,64 |- | t₃ | 0,75 |- | t₄ | 0,85 |- | t₅ | 0,99 |- | t₆ | 1,04 |- | t₇ | 0,86 |- | t₈ | 0,53 |- | t₉ | 0,21 |- | t₁₀ | 0,00 |- | t₁₁ | -0,02 |- | t₁₂ | -0,17 |- | t₁₃ | -0,38 |- | t₁₄ | -0,47 |- | t₁₅ | -0,40 |- | t₁₆ | -0,28 |- | t₁₇ | -0,26 |- | t₁₈ | -0,29 |- | t₁₉ | -0,22 |- | t₂₀ | -0,00 |} I dati di tavola s'inseriscono progressivamente in sezione 2 pigiando il pulsante "Ingresso campioni". Dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 19 che i grafici di figura 20: [[File:trf19.jpg|thumb|left|300px|figura 19]] {{clear}} La lista indica righe multiple di <math>1000 \ Hz</math> dato che, essendo <math> T = 0.001 \ S </math>, <math>\quad f = 1/ 0.001 </math> = <math> 1000 \ Hz. </math> [[File:trf20.jpg|thumb|left|300px|figura 20]] {{clear}} == Quarto esempio: calcolo della serie di Fourier di un'onda precostruita== Per un controllo ulteriore del calcolatore analizziamo un'onda precostruita che è caratterizzata dalla presenza della sola <math> 4^a </math> armonica di ampiezza <math>C'4 = 0.3333.</math> L'onda in oggetto, generata da un'apposita funzione matematica, è riportata in figura 21: [[File:trf21.jpg|thumb|left|300px|figura 21]] {{clear}} L'onda ha un periodo <math> T = 0.001 \ S </math> e quindi una frequenza di <math> 1000 \ Hz</math>; il periodo viene campionato con le stesse modalità relative al periodo dell'esercizio precedente; il risultato della campionatura è riportato in tavola: :{| class="wikitable" |- ! periodo ! ampiezza |- | t₀ | 0,00 |- | t₁ | 0,62 |- | t₂ | 0,78 |- | t₃ | 0,61 |- | t₄ | 0,63 |- | t₅ | 0,99 |- | t₆ | 1,26 |- | t₇ | 1,00 |- | t₈ | 0,39 |- | t₉ | -0,00 |- | t₁₀ | -0,00 |- | t₁₁ | 0,00 |- | t₁₂ | -0,38 |- | t₁₃ | -1,00 |- | t₁₄ | -1,26 |- | t₁₅ | -1,00 |- | t₁₆ | -0,63 |- | t₁₇ | -0,61 |- | t₁₈ | -0,78 |- | t₁₉ | -0,63 |- | t₂₀ | -0,00 |} Seguendo la procedura d'inserzione dati e campioni analoga a quella del paragrafo precedente, dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 23 che i grafici di figura 24: [[File:trf23.jpg|thumb|left|600px|figura 23]] {{clear}} [[File:trf24.jpg|thumb|left|300px|figura 24]] {{clear}} L'esame dei dati, sia numerici ( riga <math>C'4</math> ) che grafici evidenziano, come era nelle aspettative, la presenza di una riga a <math>4000 \ Hz </math> di ampiezza <math>C'4 = 0.3133</math>. Le righe a livello molto basso presenti in figura 23, non visibili in figura 24, sono dovute all'approssimazione dell’algoritmo di calcolo. ==Bibliografia== *G. Moretti, ''Analisi matematica-vol.II -parte II'',Hoepli, Milano 1953. *A. Papoulis, ''The Fourier integral and its applications''Mc Graw-Hill, New York 1962. *Edit: Milton Abramowitz ..''Handbook of mathematical functios'', USA 1970. * C. Del Turco, ''La matematica con il personal computer'', Editrice MODERNA La Spezia 1998. [[Categoria:Lezioni di Sistemi di calcolo automatico per il sonar]] [[Categoria:Calcolatori automatici per il sonar]] [[https://drive.google.com/file/d/1TtaZhhpyibxs3R015-NK4wRKtTmD7pHc/view?usp=drive_link]Il testo] [[https://drive.google.com/file/d/1iZKAS6q3-SloGjOpVeGwxP2y4eQMUkkU/view?usp=drive_link]Al file zip] 1) <math> y = \int_{}^{} \ x \ \ dx \ \ </math> 2) <math> y = \int_{}^{} \ 2 x \ \ dx \ \ </math> 3) <math> y = \int_{}^{} \ x^2 \ \ dx \ \ </math> 4) <math> y = \int_{}^{} \ ( 3x + 1 ) \ \ dx \ \ </math> 5) <math> y = \int_{}^{} \ x^3 \ \ dx \ \ </math> 6) <math> y = \int_{}^{} \ {\sqrt{x}} \ \ dx \ \ </math> 7) <math> y = \int_{}^{} \ 1/x \ \ dx \ \ </math> 8) <math> y = \int_{}^{} \ e^x\ \ dx \ \ </math> 9) <math> y = \int_{}^{} sin \ x \ \ dx \ \ </math> 10) <math> y = \int_{}^{} cos \ x \ \ dx \ \ </math> 11) <math> y = \int_{}^{} \ x \ e^x\ \ dx \ \ </math> 12) <math> y = \int_{}^{} \ln x\ \ dx \ \ </math> 13) <math> y = \int_{}^{} x \ sin \ x \ \ dx \ \ </math> 14) 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'''''Prerequisiti di base''''' Per una migliore comprensione degli argomenti esposti durante il corso si consiglia la consultazione dei testi: *Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova *Trigonometria piana" T. Vardanega- Soc. ed. Intern Torino *Handbook of mathematical function- M. Abramoswit - A. Stegun - (Dover 1964) *La correlazione : testo liberamente scaricabile:[ht tp://www.sonar-info.info/p5/5pagina.html con il link]: * Analisi matematica 1°/2°/3° vol.- G. Moretti Hoepli *The Fourier integral and its applications - A. Papoulis, Mc Graw-Hill, New York *La matematica con il Personal Computer- C. DelTurco- La Moderna La Spezia |base= '''''Il corso è costituito da un'introduzione e 11 materie di matematica:''''' *[[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] *[[Algebra con IA]] * [[Geometria piana]] * [[Applicazioni di geometria analitica]] * [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] * [[Le derivate: elenchi e calcoli]] * [[Integrali definiti]] * [[Integrali indefiniti]] * [[Le funzioni di correlazione]] * [[Polinomi di mascheramento]] * [[Cenni sulle equazioni differenziali]] * [[Calcolatore della serie di fourier]] }} 8kv93blcndyv9mgpd0bjk1pvz6e9z50 284653 284652 2026-06-30T12:52:22Z ~2026-31655-25 46663 284653 wikitext text/x-wiki {{Corso|7 |banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= Il corso, a livello scuole medie superiori, si propone due obiettivi: * Trasmettere una conoscenza di base sulle tecniche d'impiego dell'INTELLIGENZA ARTIFICIALE per l'apprendimento della matematica. * Mostrare una numerosa serie di applicazioni tecniche per i calcoli al Personal Computer sia con l'intelligenza artificiale sia con elaboratori sviluppati come file.exe . '''''Prerequisiti di base''''' Per una migliore comprensione degli argomenti esposti durante il corso si consiglia la consultazione dei testi: *Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova *Trigonometria piana" T. Vardanega- Soc. ed. Intern Torino *Handbook of mathematical function- M. Abramoswit - A. Stegun - (Dover 1964) *La correlazione : testo liberamente scaricabile:[ht tp://www.sonar-info.info/p5/5pagina.html con il link]: * Analisi matematica 1°/2°/3° vol.- G. Moretti Hoepli *The Fourier integral and its applications - A. Papoulis, Mc Graw-Hill, New York *La matematica con il Personal Computer- C. DelTurco- La Moderna La Spezia |base= '''''Il corso è costituito da un'introduzione e 11 materie di matematica:''''' *[[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] *[[Algebra con IA]] * [[Geometria piana]] * [[Applicazioni di geometria analitica]] * [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] * [[Le derivate: elenchi e calcoli]] * [[Integrali definiti]] * [[Integrali indefiniti]] * [[Le funzioni di correlazione]] * [[Polinomi di mascheramento]] * [[Cenni sulle equazioni differenziali]] * [[Calcolatore della serie di fourier]] }} bj67fdgalz2uoaklsoks7i3op1qqkae 284654 284653 2026-06-30T12:54:04Z ~2026-31655-25 46663 284654 wikitext text/x-wiki {{Corso|7 |banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= Il corso, a livello scuole medie superiori, si propone due obiettivi: * Trasmettere una conoscenza di base sulle tecniche d'impiego dell'INTELLIGENZA ARTIFICIALE per l'apprendimento della matematica. * Mostrare una numerosa serie di applicazioni tecniche per i calcoli al Personal Computer sia con l'intelligenza artificiale sia con elaboratori sviluppati come file.exe . '''''Prerequisiti di base''''' Per una migliore comprensione degli argomenti esposti durante il corso si consiglia la consultazione dei testi: *Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova *Trigonometria piana" T. Vardanega- Soc. ed. Intern Torino *Handbook of mathematical function- M. Abramoswit - A. Stegun - (Dover 1964) *La correlazione : testo liberamente scaricabile:[ht tp://www.sonar-info.info/p5/5pagina.html con il link]: * Analisi matematica 1°/2°/3° vol.- G. Moretti Hoepli *The Fourier integral and its applications - A. Papoulis, Mc Graw-Hill, New York *La matematica con il Personal Computer- C. DelTurco- La Moderna La Spezia |base= '''''Il corso è costituito da un'introduzione e 11 materie di matematica:''''' *[[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] *[[Algebra con IA]] * [[Geometria piana]] * [[Applicazioni di geometria analitica]] * [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] * [[Le derivate: elenchi e calcoli]] * [[Integrali definiti]] * [[Integrali indefiniti]] * [[Le funzioni di correlazione]] * [[Polinomi di mascheramento]] * [[Cenni sulle equazioni differenziali]] * [[Calcolatore serie di fourier]] }} roo7bxne0x5mzsfen0xbb09t4e7tgy2 284655 284654 2026-06-30T13:00:08Z ~2026-31655-25 46663 284655 wikitext text/x-wiki {{Corso|7 |banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= Il corso, a livello scuole medie superiori, si propone due obiettivi: * Trasmettere una conoscenza di base sulle tecniche d'impiego dell'INTELLIGENZA ARTIFICIALE per l'apprendimento della matematica. * Mostrare una numerosa serie di applicazioni tecniche per i calcoli al Personal Computer sia con l'intelligenza artificiale sia con elaboratori sviluppati come file.exe . '''''Prerequisiti di base''''' Per una migliore comprensione degli argomenti esposti durante il corso si consiglia la consultazione dei testi: *Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova *Trigonometria piana" T. Vardanega- Soc. ed. Intern Torino *Handbook of mathematical function- M. Abramoswit - A. Stegun - (Dover 1964) *La correlazione : testo liberamente scaricabile:[ht tp://www.sonar-info.info/p5/5pagina.html con il link]: * Analisi matematica 1°/2°/3° vol.- G. Moretti Hoepli *The Fourier integral and its applications - A. Papoulis, Mc Graw-Hill, New York *La matematica con il Personal Computer- C. DelTurco- La Moderna La Spezia |base= '''''Il corso è costituito da un'introduzione e 11 materie di matematica:''''' *[[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] *[[Algebra con IA]] * [[Geometria piana]] * [[Applicazioni di geometria analitica]] * [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] * [[Le derivate: elenchi e calcoli]] * [[Integrali definiti]] * [[Integrali indefiniti]] * [[Le funzioni di correlazione]] * [[Polinomi di mascheramento]] * [[Cenni sulle equazioni differenziali]] * [[Calcolatore serie di Fourier]] }} l8xngcsv4b2xnvxbhanmvb34husw2vd 284656 284655 2026-06-30T13:06:29Z ~2026-31655-25 46663 284656 wikitext text/x-wiki {{Corso|7 |banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= Il corso, a livello scuole medie superiori, si propone due obiettivi: * Trasmettere una conoscenza di base sulle tecniche d'impiego dell'INTELLIGENZA ARTIFICIALE per l'apprendimento della matematica. * Mostrare una numerosa serie di applicazioni tecniche per i calcoli al Personal Computer sia con l'intelligenza artificiale sia con elaboratori sviluppati come file.exe . '''''Prerequisiti di base''''' Per una migliore comprensione degli argomenti esposti durante il corso si consiglia la consultazione dei testi: *Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova *Trigonometria piana" T. Vardanega- Soc. ed. Intern Torino *Handbook of mathematical function- M. Abramoswit - A. Stegun - (Dover 1964) *La correlazione : testo liberamente scaricabile:[ht tp://www.sonar-info.info/p5/5pagina.html con il link]: * Analisi matematica 1°/2°/3° vol.- G. Moretti Hoepli *The Fourier integral and its applications - A. Papoulis, Mc Graw-Hill, New York *La matematica con il Personal Computer- C. DelTurco- La Moderna La Spezia |base= '''''Il corso è costituito da un'introduzione e 11 materie di matematica:''''' *[[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] *[[Algebra con IA]] * [[Geometria piana]] * [[Applicazioni di geometria analitica]] * [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] * [[Le derivate: elenchi e calcoli]] * [[Integrali definiti]] * [[Integrali indefiniti]] * [[Le funzioni di correlazione]] * [[Polinomi di mascheramento]] * [[Cenni sulle equazioni differenziali]] * [[Calcolatore della serie di Fourier]] }} pv46bnrpbq064v96e6td9wyi9s5ortr 284659 284656 2026-06-30T13:14:09Z ~2026-31655-25 46663 284659 wikitext text/x-wiki {{Corso|7 |banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= Il corso, a livello scuole medie superiori, si propone due obiettivi: * Trasmettere una conoscenza di base sulle tecniche d'impiego dell'INTELLIGENZA ARTIFICIALE per l'apprendimento della matematica. * Mostrare una numerosa serie di applicazioni tecniche per i calcoli al Personal Computer sia con l'intelligenza artificiale sia con elaboratori sviluppati come file.exe . '''''Prerequisiti di base''''' Per una migliore comprensione degli argomenti esposti durante il corso si consiglia la consultazione dei testi: *Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova *Trigonometria piana" T. Vardanega- Soc. ed. Intern Torino *Handbook of mathematical function- M. Abramoswit - A. Stegun - (Dover 1964) *La correlazione : testo liberamente scaricabile:[ht tp://www.sonar-info.info/p5/5pagina.html con il link]: * Analisi matematica 1°/2°/3° vol.- G. Moretti Hoepli *The Fourier integral and its applications - A. Papoulis, Mc Graw-Hill, New York *La matematica con il Personal Computer- C. DelTurco- La Moderna La Spezia |base= '''''Il corso è costituito da un'introduzione e 11 materie di matematica:''''' *[[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] *[[Algebra con IA]] * [[Geometria piana]] * [[Applicazioni di geometria analitica]] * [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] * [[Le derivate: elenchi e calcoli]] * [[Integrali definiti]] * [[Integrali indefiniti]] * [[Calcolatore della serie di Fourier]] * [[Le funzioni di correlazione]] * [[Polinomi di mascheramento]] * [[Cenni sulle equazioni differenziali]] }} th9rnft2w42abp36h75ocb05calx0x9 284661 284659 2026-06-30T13:37:52Z ~2026-31655-25 46663 284661 wikitext text/x-wiki {{Corso|7 |banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= Il corso, a livello scuole medie superiori, si propone due obiettivi: * Trasmettere una conoscenza di base sulle tecniche d'impiego dell'INTELLIGENZA ARTIFICIALE per l'apprendimento della matematica. * Mostrare una numerosa serie di applicazioni tecniche per i calcoli al Personal Computer sia con l'intelligenza artificiale sia con elaboratori sviluppati come file.exe . '''''Prerequisiti di base''''' Per una migliore comprensione degli argomenti esposti durante il corso si consiglia la consultazione dei testi: *Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova *Trigonometria piana" T. Vardanega- Soc. ed. Intern Torino *Handbook of mathematical function- M. Abramoswit - A. Stegun - (Dover 1964) *La correlazione : testo liberamente scaricabile:[ht tp://www.sonar-info.info/p5/5pagina.html con il link]: * Analisi matematica 1°/2°/3° vol.- G. Moretti Hoepli *The Fourier integral and its applications - A. Papoulis, Mc Graw-Hill, New York *La matematica con il Personal Computer- C. DelTurco- La Moderna La Spezia |base= '''''Il corso è costituito da un'introduzione e 11 materie di matematica:''''' *[[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] *[[Algebra con IA]] * [[Geometria piana]] * [[Applicazioni di geometria analitica]] * [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] * [[Le derivate: elenchi e calcoli]] * [[Integrali definiti]] * [[Integrali indefiniti]] *[[Calcolatore della trasformata di Fourier]] * [[Calcolatore della serie di Fourier]] * [[Le funzioni di correlazione]] * [[Polinomi di mascheramento]] * [[Cenni sulle equazioni differenziali]] }} aow3oj9u6zsmr20hjf4cqtia63k5zgz 284664 284661 2026-06-30T13:52:01Z ~2026-31655-25 46663 284664 wikitext text/x-wiki {{Corso|7 |banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= Il corso, a livello scuole medie superiori, si propone due obiettivi: * Trasmettere una conoscenza di base sulle tecniche d'impiego dell'INTELLIGENZA ARTIFICIALE per l'apprendimento della matematica. * Mostrare una numerosa serie di applicazioni tecniche per i calcoli al Personal Computer sia con l'intelligenza artificiale sia con elaboratori sviluppati come file.exe . '''''Prerequisiti di base''''' Per una migliore comprensione degli argomenti esposti durante il corso si consiglia la consultazione dei testi: *Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova *Trigonometria piana" T. Vardanega- Soc. ed. Intern Torino *Handbook of mathematical function- M. Abramoswit - A. Stegun - (Dover 1964) *La correlazione : testo liberamente scaricabile:[ht tp://www.sonar-info.info/p5/5pagina.html con il link]: * Analisi matematica 1°/2°/3° vol.- G. Moretti Hoepli *The Fourier integral and its applications - A. Papoulis, Mc Graw-Hill, New York *La matematica con il Personal Computer- C. DelTurco- La Moderna La Spezia |base= '''''Il corso è costituito da un'introduzione e 11 materie di matematica:''''' *[[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] *[[Algebra con IA]] * [[Geometria piana]] * [[Applicazioni di geometria analitica]] * [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] * [[Le derivate: elenchi e calcoli]] * [[Integrali definiti]] * [[Integrali indefiniti]] *[[Calcolatore della trasformata di Fourier]] * [[Calcolatore della serie di Fourier]] * [[Le funzioni di correlazione]] * [[Cenni sulle equazioni differenziali]] }} 8rvnpgbtqfxkd0fuujf7ljq2hcb9row 0 37623 284685 284321 2026-07-01T06:58:33Z ~2026-31655-25 46663 284685 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Calcolo limiti di funzioni | avanzamento = 10% }} ==Esempio di calcolo del limite di funzioni con IA e il basic== Calcola limite di y per x tendente a 5 di <math>y = \left( \frac {x-5} { {\sqrt{x}} - {\sqrt{5}} } \right) </math> trascriviamo la funzione in Basic ottenendo: y =(x-5)/(sqr x - 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{\sqrt{5}} } \right) </math> trascriviamo la funzione in una stringa discorsiva e in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 5 di y =(x-5)/(sqr x -sqr 5''' da inserire come stringa su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1CFTgnexVX2e0OH7A1X39oI9G8oy8GZOF/view?usp=drive_link]Suluzione ==Calcolo del imite di una funzione razionale intera== <math>\lim_{x \to 2} (3x+1)</math> inseriamo la funzione direttamente su IA scrivendo: '''calcola limite per x tendente a 2 di y = 3 x + 1 ''' da inserire come stringa su IA ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1zNJ8gwGXtX_cIytxO9ntW2ca04kzDqss/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limiti di funzioni razionale fratte== ==Limiti delle funzioni elementari== ==Limite della funzione logaritmica== ==Limite della funzione esponenziale== ==Limite per una delle funzioni trigonometriche== ==Limite per una delle funzioni ciclometriche == 4pk4jjgymfvpapikze9h21rgbq38y7e 284697 284696 2026-07-01T09:02:04Z ~2026-31655-25 46663 /* Calcolo del imite di una funzione razionale intera */ 284697 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Calcolo limiti di funzioni | avanzamento = 10% }} ==Esempio di calcolo del limite di una funzione trascendente con IA e il basic== Calcola limite di y per x tendente a 5 di <math>y = \left( \frac {x-5} { {\sqrt{x}} - {\sqrt{5}} } \right) </math> trascriviamo la funzione in una stringa discorsiva e in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 5 di y =(x-5)/(sqr x -sqr 5''' da inserire come stringa su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1CFTgnexVX2e0OH7A1X39oI9G8oy8GZOF/view?usp=drive_link]Suluzione ==Calcolo del imite di una funzione razionale intera== <math>\lim_{x \to 2} (3x+1)</math> inseriamo la funzione direttamente su IA scrivendo: '''calcola limite per x tendente a 2 di y = 3 x + 1 ''' da inserire come stringa su IA ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1zNJ8gwGXtX_cIytxO9ntW2ca04kzDqss/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limiti di funzioni razionale fratte== ==Limiti delle funzioni elementari== ==Limite della funzione logaritmica== ==Limite della funzione esponenziale== ==Limite per una delle funzioni trigonometriche== ==Limite per una delle funzioni ciclometriche == 9reubz7a3nnr86ut06nzi72rwkhb53t 284698 284697 2026-07-01T09:02:29Z ~2026-31655-25 46663 /* Calcolo del imite di una funzione razionale intera */ 284698 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Calcolo limiti di funzioni | avanzamento = 10% }} ==Esempio di calcolo del limite di una funzione trascendente con IA e il basic== Calcola limite di y per x tendente a 5 di <math>y = \left( \frac {x-5} { {\sqrt{x}} - {\sqrt{5}} } \right) </math> trascriviamo la funzione in una stringa discorsiva e in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 5 di y =(x-5)/(sqr x -sqr 5''' da inserire come stringa su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1CFTgnexVX2e0OH7A1X39oI9G8oy8GZOF/view?usp=drive_link]Suluzione ==Calcolo del imite di una funzione razionale intera== <math>\lim_{x \to 2} (3x+1)</math> inseriamo la funzione direttamente su IA scrivendo: '''calcola limite per x tendente a 2 di y = 3 x + 1 ''' da inserire come stringa su IA ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1zNJ8gwGXtX_cIytxO9ntW2ca04kzDqss/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limiti di funzioni razionale fratte== ==Limiti delle funzioni elementari== ==Limite della funzione logaritmica== ==Limite della funzione esponenziale== ==Limite per una delle funzioni trigonometriche== ==Limite per una delle funzioni ciclometriche == s7arq1s0283oc5ves8is2n94asikvgs 284699 284698 2026-07-01T09:06:38Z ~2026-31655-25 46663 /* Limiti di funzioni razionale fratte */ 284699 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Calcolo limiti di funzioni | avanzamento = 10% }} ==Esempio di calcolo del limite di una funzione trascendente con IA e il basic== Calcola limite di y per x tendente a 5 di <math>y = \left( \frac {x-5} { {\sqrt{x}} - {\sqrt{5}} } \right) </math> trascriviamo la funzione in una stringa discorsiva e in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 5 di y =(x-5)/(sqr x -sqr 5''' da inserire come stringa su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1CFTgnexVX2e0OH7A1X39oI9G8oy8GZOF/view?usp=drive_link]Suluzione ==Calcolo del imite di una funzione razionale intera== <math>\lim_{x \to 2} (3x+1)</math> inseriamo la funzione direttamente su IA scrivendo: '''calcola limite per x tendente a 2 di y = 3 x + 1 ''' da inserire come stringa su IA ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1zNJ8gwGXtX_cIytxO9ntW2ca04kzDqss/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limiti di funzioni razionale fratte== Con IA si calcoli il limite della funzione razionale fratta per x tendente a 2. trascriviamo la funzione in una stringa in qBasic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 2 di y = (x^2 - 4) / ( x^2 - 3 * x + 2 )''' da inserire come stringa su AI ottenendo il risultato: ==Limiti delle funzioni elementari== ==Limite della funzione logaritmica== ==Limite della funzione esponenziale== ==Limite per una delle funzioni trigonometriche== ==Limite per una delle funzioni ciclometriche == hu556f1xy4vq0lonxxl4l41td9pirp4 284700 284699 2026-07-01T09:09:57Z ~2026-31655-25 46663 /* Limiti di funzioni razionale fratte */ 284700 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Calcolo limiti di funzioni | avanzamento = 10% }} ==Esempio di calcolo del limite di una funzione trascendente con IA e il basic== Calcola limite di y per x tendente a 5 di <math>y = \left( \frac {x-5} { {\sqrt{x}} - {\sqrt{5}} } \right) </math> trascriviamo la funzione in una stringa discorsiva e in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 5 di y =(x-5)/(sqr x -sqr 5''' da inserire come stringa su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1CFTgnexVX2e0OH7A1X39oI9G8oy8GZOF/view?usp=drive_link]Suluzione ==Calcolo del imite di una funzione razionale intera== <math>\lim_{x \to 2} (3x+1)</math> inseriamo la funzione direttamente su IA scrivendo: '''calcola limite per x tendente a 2 di y = 3 x + 1 ''' da inserire come stringa su IA ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1zNJ8gwGXtX_cIytxO9ntW2ca04kzDqss/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limiti di funzioni razionale fratte== Con IA si calcoli il limite della funzione razionale fratta per x tendente a 2. <math>\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}</math> trascriviamo la funzione in una stringa in qBasic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 2 di y = (x^2 - 4) / ( x^2 - 3 * x + 2 )''' da inserire come stringa su AI ottenendo il risultato: ==Limiti delle funzioni elementari== ==Limite della funzione logaritmica== ==Limite della funzione esponenziale== ==Limite per una delle funzioni trigonometriche== ==Limite per una delle funzioni ciclometriche == bo5wwml1smcgn24gryaibqwssl8kln0 284701 284700 2026-07-01T09:16:46Z ~2026-31655-25 46663 /* Limiti di funzioni razionale fratte */ 284701 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Calcolo limiti di funzioni | avanzamento = 10% }} ==Esempio di calcolo del limite di una funzione trascendente con IA e il basic== Calcola limite di y per x tendente a 5 di <math>y = \left( \frac {x-5} { {\sqrt{x}} - {\sqrt{5}} } \right) </math> trascriviamo la funzione in una stringa discorsiva e in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 5 di y =(x-5)/(sqr x -sqr 5''' da inserire come stringa su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1CFTgnexVX2e0OH7A1X39oI9G8oy8GZOF/view?usp=drive_link]Suluzione ==Calcolo del imite di una funzione razionale intera== <math>\lim_{x \to 2} (3x+1)</math> inseriamo la funzione direttamente su IA scrivendo: '''calcola limite per x tendente a 2 di y = 3 x + 1 ''' da inserire come stringa su IA ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1zNJ8gwGXtX_cIytxO9ntW2ca04kzDqss/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limiti di funzioni razionale fratte== Con IA si calcoli il limite della funzione razionale fratta per x tendente a 2. <math>\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}</math> trascriviamo la funzione in una stringa in qBasic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 2 di y = (x^2 - 4) / ( x^2 - 3 * x + 2 )''' da inserire come stringa su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1_m1TabgrS4AxzS0e7gDpVzyZvhnf68P3/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limiti delle funzioni elementari== ==Limite della funzione logaritmica== ==Limite della funzione esponenziale== ==Limite per una delle funzioni trigonometriche== ==Limite per una delle funzioni ciclometriche == fz4aazkwfavxhvmipdctph3jogqdbwu 284702 284701 2026-07-01T09:18:34Z ~2026-31655-25 46663 /* Limiti di funzioni razionale fratte */ 284702 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Calcolo limiti di funzioni | avanzamento = 10% }} ==Esempio di calcolo del limite di una funzione trascendente con IA e il basic== Calcola limite di y per x tendente a 5 di <math>y = \left( \frac {x-5} { {\sqrt{x}} - {\sqrt{5}} } \right) </math> trascriviamo la funzione in una stringa discorsiva e in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 5 di y =(x-5)/(sqr x -sqr 5''' da inserire come stringa su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1CFTgnexVX2e0OH7A1X39oI9G8oy8GZOF/view?usp=drive_link]Suluzione ==Calcolo del imite di una funzione razionale intera== <math>\lim_{x \to 2} (3x+1)</math> inseriamo la funzione direttamente su IA scrivendo: '''calcola limite per x tendente a 2 di y = 3 x + 1 ''' da inserire come stringa su IA ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1zNJ8gwGXtX_cIytxO9ntW2ca04kzDqss/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limiti di funzioni razionale fratte== Con IA si calcoli il limite della funzione razionale fratta per x tendente a 2. <math>\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}</math> trascriviamo la funzione in una stringa in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 2 di y = (x^2 - 4) / ( x^2 - 3 * x + 2 )''' da inserire come stringa su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1_m1TabgrS4AxzS0e7gDpVzyZvhnf68P3/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limiti delle funzioni elementari== ==Limite della funzione logaritmica== ==Limite della funzione esponenziale== ==Limite per una delle funzioni trigonometriche== ==Limite per una delle funzioni ciclometriche == 8d7j8701oeb0ihzwkqxe2spczlx9co1 0 37629 284657 2026-06-30T13:07:05Z ~2026-31655-25 46663 Creata pagina con " {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sistemi di calcolo automatico per il sonar | avanzamento = 100% }} -Processo di approssimazione per la determinazione dello spettro dei segnali periodici- ==La serie di Fourier con il supporto delle figure== Prima di descrivere il calcolatore della serie di Fourier, al quale è dedicato il paragrafo successivo, esaminiamo l'algoritmo omonimo mostrato in figura 1 :<math> \begin{align} F(x) &= a_0+\sum_{n=1}^\infin\left( a_n..." 284657 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sistemi di calcolo automatico per il sonar | avanzamento = 100% }} -Processo di approssimazione per la determinazione dello spettro dei segnali periodici- ==La serie di Fourier con il supporto delle figure== Prima di descrivere il calcolatore della serie di Fourier, al quale è dedicato il paragrafo successivo, esaminiamo l'algoritmo omonimo mostrato in figura 1 :<math> \begin{align} F(x) &= a_0+\sum_{n=1}^\infin\left( a_n \cos nx + b_n \sin nx \right) \\ &\begin{cases} a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)dx \\ a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)\cos nx\ dx \\ b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)\sin nx\ dx \end{cases} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 1) \end{align} </math> questo consente, per via esclusivamente analitica, lo studio dei fenomeni periodici funzioni del tempo per il computo del loro spettro in frequenza, spettro espresso in figura 1 con il simbolo <math> F(x)</math> ( dove <math> x = 2 \cdot \pi \cdot f \cdot t )</math>. Generalmente la funzione <math> F(x)</math> è espressa con il simbolo <math> G(\omega)</math>. Un esempio di segnale periodico <math> f(t)</math>, onda rettangolare, espresso matematicamente è mostrato in figura 2a :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} \qquad\qquad 2a) </math> il cui andamento è tracciato in figura 2b [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2b]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2b,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Se dell'onda periodica da analizzare non si conosce la legge <math> f(t)</math>, come ad esempio per la curva di figura 4: [[File:trf4.jpg|thumb|left|400px|figura 4]] {{clear}} la serie di Fourier non è applicabile; è sostituibile, con buona approssimazione, dall'algoritmo di figura 5 che prevede la determinazione dello spettro mediante l'elaborazione dei coefficienti <math> An'</math> e <math> Bn' </math> da <math> n </math> campioni di <math> f(t) </math> , messi a calcolo, rilevati da grafici o da presentazioni su oscilloscopio: :<math>C'_n = A'_0 + \sum_{n=1}^{n=k}A'_n \cos (n 2 \pi f_0 t) + B'_n \sin (n 2 \pi f_0 t) \qquad\qquad\qquad 5)</math> Si osservi che: *Con il simbolo <math> C'n </math> s'intende l'ampiezza della n esima riga dello spettro di frequenza. * I coefficienti di figura 5 sono indicati con <math> A'n </math> e <math> B'n</math> per distinguerli da quelli diversi di figura 1. * <math> A'o, A'n, B'n </math> sono determinati con processo numerico iterativo implementando nel programma di calcolo le funzioni esposte in figura 5a dove, ad esempio, <math> 20 </math> campioni del periodo in analisi sono riportati, in apposita memoria del P.C, con i simboli <math> a(1).....a(20) </math> . :<math> \begin{align} & A'_0 = \frac{1}{2\pi} \left[ 0,5a(1) + a(2) + a(3) + \dots + a(19) + 0,5a(20) \right] \frac{2\pi}{19} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 5a) \\ & A'_n = \frac{1}{\pi} \left[ 0,5a(1)\cos(nwt_1) + a(2)\cos(nwt_2) + \dots + 0,5a(20)\cos(nwt_{20}) \right] \frac{2\pi}{19} \\ & B'_n = \frac{1}{\pi} \left[ 0,5a(1)\sin(nwt_1) + a(2)\sin(nwt_2) + \dots + 0,5a(20)\sin(nwt_{20}) \right] \frac{2\pi}{19} \\ & C'_n = \left({A'_n}^2 + {B'_n}^2\right)^\frac{1}{2} \end{align} </math> * Il modulo della <math> n </math> esima riga dello spettro è indicato da <math> C'n</math> ; nel calcolatore l valori <math> C'n </math> sono valutati senza l'addizione di <math> A'o </math> che viene calcolato separatamente. Vedremo di seguito, in dettaglio, l'impiego degli algoritmi di figure 5 e 5a contestualmente all'esame del pannello operativo del calcolatore. == Il pannello operativo del calcolatore == Il pannello operativo, mostrato in figura 6, è generato da un file eseguibile disponibile all'indirizzo: [http://www.sonar-info.info/wikifourier/seriefourier.html wikiFourier ] oppure [https://github.com/2021dtc/prova20/archive/main.zip seriefourier] Il file esguibile consente il calcolo e la presentazione grafica dello spettro dell'onda da analizzare. [[File:tfr6.jpg|thumb|left|1000px|figura 6]] {{clear}} In figura 6, con una serie di numeri in rosso, sono distinte le 5 sezioni funzionali: '''Sezione 1 (Variabili di calcolo)''' La sezione contiene il pulsante ingresso variabili e 4 textbox nelle quali inserire i seguenti dati: *Durata del periodo dell'onda da analizzare espressa con <math> T </math> in secondi. *Il numero <math> m = n </math> dei campioni da prelevare dal periodo dell'onda da analizzare. *Il numero <math> k </math> delle righe dello spettro che si vogliono calcolare. *L'incremento di calcolo <math> dm </math> dal quale dipendono sia la precisione che il tempo calcolo. Al lancio del programma la sezione è impostata, in via preliminare, con i valori: <math> T = 0.01 \ S </math>; <math> \quad m = n = 20 </math>; <math>\quad k = 10 </math>; <math> \quad dm = 0.01</math> . '''Sezione 2: (Campioni nel periodo)''' La sezione contiene: *Un label, a sinistra, che indica il numero progressivo dei campioni ricavati dal periodo da analizzare e un textbox, a destra, per l'inserzione delle ampiezze dei diversi campioni. *Un pulsante "Ingresso campioni" per l'inserzione progressiva dei valori sopra citati;il pulsante presenta colore verde nella fase d'introduzione campioni, cambia colore in arancio una volta che i campioni dell'onda sono pari al valore impostato di <math> m = n </math> *Un pulsante " Azzeramento memorie" per la ripetizione, se necessario, dell'inserzione dati. '''Sezione 3: ( Presentazione spettro)''' La sezione contiene: *Il pulsante "Calcolo dello spettro" per l'avvio del programma di calcolo per la presentazione grafica del modulo delle righe dello spettro tracciate come visione indicativa dello stesso. *Un listato numerico delle frequenze e relative ampiezze normalizzate delle righe dello spettro. L'azione di questo comando provoca inoltre il tracciamento del periodo dell'onda inserito a campioni nella sezione 2 per un controllo della correttezza del suo profilo. '''Sezione 4: (Listato valori calcolati)''' Nel listato compaiono: *Le <math> n </math> coppie calcolate nella forma, ad esempio per una generica <math> 3^a </math> coppia, <math> F = 1300 \ Hz</math> <math> \ C'3 = 0.65432 </math> ; ciascuna coppia definisce una riga dello spettro sia in frequenza che in ampiezza normalizzata. *In alto, sopra il listato, il valore calcolato di <math>C'o</math> ( componente continua dell'onda ove sia presente ) '''Sezione 5: (Area di presentazione grafici)''' I grafici sono tracciati a solo scopo illustrativo dato che i valori che li generano sono già contenuti nei listati della sezione 4. *In alto lo spettro dell'onda con le <math> m = n </math> righe messe a calcolo; le ascisse del tracciato non sono calibrate in frequenza *In basso il profilo del periodo dell'onda definito con tanti punti quanti sono gli <math> m = n </math> campioni messi a calcolo; le ascisse del tracciato non sono calibrate in tempo. ==Primo esempio di calcolo della serie di Fourier con controllo analitico== Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda rettangolare, si avvale di un riscontro analitico in quanto lo spettro dell'onda in esame è definito dalla caratteristica serie di figura 7 che servirà come controllo dati elaborati dal calcolatore: :<math>y=\frac{4}{\pi}E\left(\cos x - \frac{1}{3}\cos 3x + \frac{1}{5}\cos 5x - \frac{1}{7} \cos 7x + \dots \right) \qquad\qquad\qquad 7)</math> Come si vede la serie analitica è formata soltanto da addendi dispari i cui coefficienti, espressi con frazioni, sono gli analoghi dei termini <math> Cn </math> elaborati dal calcolatore. Utilizziamo sempre i valori preliminari assegnati al calcolatore al momento dell'avvio, come mostra la figura 8 della sezione 1. [[File:tfr8.jpg|thumb|left|300px|figura 8]] {{clear}} Quindi pigiamo il pulsante "Ingresso variabili". Impostiamo nella sezione 2, premendo " Ingresso campioni" (pulsante arancione), per lo spettro di un'onda rettangolare quale quella riportata in figura 2b, la seguente sequenza di campioni: <math>1;1;1;1;1;1;1;1;1;1; -1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1 </math> relativa ad un periodo dell'onda sopra citata fino a quando il pulsante stesso diventa arancione. Dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 9 che i grafici di figura 10 [[File:tfr9.jpg|thumb|left|600px|figura 9]] {{clear}} La lista indica righe multiple di <math> 1000 \ Hz </math> dato che, essendo <math>T = 0.001 \ S </math>, la frequenza è <math>f = 1 / 0.001</math> = <math>1000 \ Hz </math>. [[File:tfr10.jpg|thumb|left|300px|figura 10]] {{clear}} Procediamo ora al controllo della lista di figura 9 impostando una tabella che riporta, tanto le ampiezze calcolate con l'espressione dello spettro teorico espresso in figura 7, che quelle del listato di figura 9: :{| class="wikitable" |- ! Righe> ! C'₁ ! C'₂ ! C'₃ ! C'₄ ! C'₅ ! C'₆ |- ! Con il calcolatore | 1,0000 | 0,0012 | 0,3333 | 0,0012 | 0,2000 | 0,0012 |- ! Per via analitica | 1,0000 | 0 | 0,3333 | 0 | 0,2000 | 0 |} Come si vede in tabella di tavolo i valori di <math>C'n </math> per <math> n </math> dispari, praticamente coincidono, per <math> n </math> pari il calcolatore commette un errore presentando ampiezze pari a <math>0.002 </math> invece che <math> 0 </math> come da processo analitico. Gli errori si riducono ripetendo il computo con un passo di calcolo inferiore a <math>dm = 0.01 </math>, ad esempio <math>dm = 0.001</math>; naturalmente il processo di calcolo richiede un tempo superiore di sviluppo. ==Secondo esempio: calcolo della serie di Fourier con controllo analitico== Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda a dente di sega, si avvale di un riscontro analitico in quanto lo spettro dell'onda in esame è definito dalla caratteristica serie di figura 11 che servirà come controllo dei dati elaborati dal calcolatore: :<math>y=\frac{2}{\pi}E\left(\sin x - \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{3}\sin 3x - \frac{1}{4} \sin 4x + \dots \right) \qquad\qquad\qquad 11)</math> Come si vede la serie analitica è formata da addendi pari e dispari i cui coefficienti, espressi con frazioni, sono gli analoghi dei termini <math>Cn</math> elaborati dal calcolatore. Utilizziamo sempre i valori di base assegnati al calcolatore al momento dell'avvio, come mostra la figura 12 della sezione 1. [[File:tfr8.jpg|thumb|left|600px|figura 12]] {{clear}} quindi pigiamo il pulsante "Ingresso variabili". Impostiamo nella sezione 2, premendo " Ingresso campioni" ( pulsante giallo ), i campioni d'ampiezza di un'onda a dente di sega quale quella riportata in figura 13 [[File:tfr13.jpg|thumb|left|300px|figura 13]] {{clear}} la seguente sequenza di campioni: <math> -1;-0.9;-0.8;-0.7;-0.6;-0.5;-0.4;-0.3;-0.2; 0.1;0;0.1;0.2;0.3;0.4;0.5;0.6;0.7:0.8:0.9 </math> relativa ad un periodo <math>T</math> dell'onda sopra citata fino a quando il pulsante stesso diventa arancione. Dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 14 che i grafici di figura 15: [[File:tfr14.jpg|thumb|left|600px|figura 14]] {{clear}} La lista indica righe multiple di <math>1000 Hz </math> dato che, essendo <math>T = 0.001 \ S </math>, <math>f = 1/ 0.001 </math>= <math>1000 \ Hz</math>. [[File:tfr15.jpg|thumb|left|300px|figura 15]] {{clear}} Procediamo ora al controllo della lista di figura 14 impostando una tabella che riporta, tanto le ampiezze dello spettro teorico espresso in figura 11 che quelle della lista nella figura citata: :{| class="wikitable" |- ! Righe> ! C'₁ ! C'₂ ! C'₃ ! C'₄ ! C'₅ ! C'₆ |- ! Con il calcolatore | 1,0000 | 0,5001 | 0,3335 | 0,2501 | 0,2001 | 0,1667 |- ! Per via analitica | 1,0000 | 0,5000 | 0,3333 | 0,2500 | 0,2000 | 0,1666 |} Come si vede in tabella di tavolo i valori di <math> C' </math> da calcolatore sono quasi coincidenti con dagli analoghi analitici; l'errore massimo è dell'ordine del <math>2 </math> per mille. == Terzo esempio: calcolo della serie di Fourier di un'onda generica == Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda generica, non si avvale alcun riscontro analitico. Il tracciato dell'onda sia quello riportato in figura 16: [[File:trf16.jpg|thumb|left|300px|figura 16]] {{clear}} Si esegue la campionatura di un periodo con 21 campioni così come mostrato in figura 17: [[File:trf17.jpg|thumb|left|300px|figura 17]] {{clear}} Si compila, in tavola, la lista delle ampiezze dei campioni ricavandola da rilievi geometrici su figura 17: :{| class="wikitable" |- ! periodo ! ampiezza |- | t₀ | 0,00 |- | t₁ | 0,40 |- | t₂ | 0,64 |- | t₃ | 0,75 |- | t₄ | 0,85 |- | t₅ | 0,99 |- | t₆ | 1,04 |- | t₇ | 0,86 |- | t₈ | 0,53 |- | t₉ | 0,21 |- | t₁₀ | 0,00 |- | t₁₁ | -0,02 |- | t₁₂ | -0,17 |- | t₁₃ | -0,38 |- | t₁₄ | -0,47 |- | t₁₅ | -0,40 |- | t₁₆ | -0,28 |- | t₁₇ | -0,26 |- | t₁₈ | -0,29 |- | t₁₉ | -0,22 |- | t₂₀ | -0,00 |} I dati di tavola s'inseriscono progressivamente in sezione 2 pigiando il pulsante "Ingresso campioni". Dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 19 che i grafici di figura 20: [[File:trf19.jpg|thumb|left|300px|figura 19]] {{clear}} La lista indica righe multiple di <math>1000 \ Hz</math> dato che, essendo <math> T = 0.001 \ S </math>, <math>\quad f = 1/ 0.001 </math> = <math> 1000 \ Hz. </math> [[File:trf20.jpg|thumb|left|300px|figura 20]] {{clear}} == Quarto esempio: calcolo della serie di Fourier di un'onda precostruita== Per un controllo ulteriore del calcolatore analizziamo un'onda precostruita che è caratterizzata dalla presenza della sola <math> 4^a </math> armonica di ampiezza <math>C'4 = 0.3333.</math> L'onda in oggetto, generata da un'apposita funzione matematica, è riportata in figura 21: [[File:trf21.jpg|thumb|left|300px|figura 21]] {{clear}} L'onda ha un periodo <math> T = 0.001 \ S </math> e quindi una frequenza di <math> 1000 \ Hz</math>; il periodo viene campionato con le stesse modalità relative al periodo dell'esercizio precedente; il risultato della campionatura è riportato in tavola: :{| class="wikitable" |- ! periodo ! ampiezza |- | t₀ | 0,00 |- | t₁ | 0,62 |- | t₂ | 0,78 |- | t₃ | 0,61 |- | t₄ | 0,63 |- | t₅ | 0,99 |- | t₆ | 1,26 |- | t₇ | 1,00 |- | t₈ | 0,39 |- | t₉ | -0,00 |- | t₁₀ | -0,00 |- | t₁₁ | 0,00 |- | t₁₂ | -0,38 |- | t₁₃ | -1,00 |- | t₁₄ | -1,26 |- | t₁₅ | -1,00 |- | t₁₆ | -0,63 |- | t₁₇ | -0,61 |- | t₁₈ | -0,78 |- | t₁₉ | -0,63 |- | t₂₀ | -0,00 |} Seguendo la procedura d'inserzione dati e campioni analoga a quella del paragrafo precedente, dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 23 che i grafici di figura 24: [[File:trf23.jpg|thumb|left|600px|figura 23]] {{clear}} [[File:trf24.jpg|thumb|left|300px|figura 24]] {{clear}} L'esame dei dati, sia numerici ( riga <math>C'4</math> ) che grafici evidenziano, come era nelle aspettative, la presenza di una riga a <math>4000 \ Hz </math> di ampiezza <math>C'4 = 0.3133</math>. Le righe a livello molto basso presenti in figura 23, non visibili in figura 24, sono dovute all'approssimazione dell’algoritmo di calcolo. ==Bibliografia== *G. Moretti, ''Analisi matematica-vol.II -parte II'',Hoepli, Milano 1953. *A. Papoulis, ''The Fourier integral and its applications''Mc Graw-Hill, New York 1962. *Edit: Milton Abramowitz ..''Handbook of mathematical functios'', USA 1970. * C. Del Turco, ''La matematica con il personal computer'', Editrice MODERNA La Spezia 1998. [[Categoria:Lezioni di Sistemi di calcolo automatico per il sonar]] [[Categoria:Calcolatori automatici per il sonar]] jlnyxmgcdbghiw63hzrg6u3js485i5e 284658 284657 2026-06-30T13:10:06Z ~2026-31655-25 46663 284658 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Corso | avanzamento = 100% }} -Processo di approssimazione per la determinazione dello spettro dei segnali periodici- ==La serie di Fourier con il supporto delle figure== Prima di descrivere il calcolatore della serie di Fourier, al quale è dedicato il paragrafo successivo, esaminiamo l'algoritmo omonimo mostrato in figura 1 :<math> \begin{align} F(x) &= a_0+\sum_{n=1}^\infin\left( a_n \cos nx + b_n \sin nx \right) \\ &\begin{cases} a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)dx \\ a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)\cos nx\ dx \\ b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)\sin nx\ dx \end{cases} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 1) \end{align} </math> questo consente, per via esclusivamente analitica, lo studio dei fenomeni periodici funzioni del tempo per il computo del loro spettro in frequenza, spettro espresso in figura 1 con il simbolo <math> F(x)</math> ( dove <math> x = 2 \cdot \pi \cdot f \cdot t )</math>. Generalmente la funzione <math> F(x)</math> è espressa con il simbolo <math> G(\omega)</math>. Un esempio di segnale periodico <math> f(t)</math>, onda rettangolare, espresso matematicamente è mostrato in figura 2a :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} \qquad\qquad 2a) </math> il cui andamento è tracciato in figura 2b [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2b]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2b,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Se dell'onda periodica da analizzare non si conosce la legge <math> f(t)</math>, come ad esempio per la curva di figura 4: [[File:trf4.jpg|thumb|left|400px|figura 4]] {{clear}} la serie di Fourier non è applicabile; è sostituibile, con buona approssimazione, dall'algoritmo di figura 5 che prevede la determinazione dello spettro mediante l'elaborazione dei coefficienti <math> An'</math> e <math> Bn' </math> da <math> n </math> campioni di <math> f(t) </math> , messi a calcolo, rilevati da grafici o da presentazioni su oscilloscopio: :<math>C'_n = A'_0 + \sum_{n=1}^{n=k}A'_n \cos (n 2 \pi f_0 t) + B'_n \sin (n 2 \pi f_0 t) \qquad\qquad\qquad 5)</math> Si osservi che: *Con il simbolo <math> C'n </math> s'intende l'ampiezza della n esima riga dello spettro di frequenza. * I coefficienti di figura 5 sono indicati con <math> A'n </math> e <math> B'n</math> per distinguerli da quelli diversi di figura 1. * <math> A'o, A'n, B'n </math> sono determinati con processo numerico iterativo implementando nel programma di calcolo le funzioni esposte in figura 5a dove, ad esempio, <math> 20 </math> campioni del periodo in analisi sono riportati, in apposita memoria del P.C, con i simboli <math> a(1).....a(20) </math> . :<math> \begin{align} & A'_0 = \frac{1}{2\pi} \left[ 0,5a(1) + a(2) + a(3) + \dots + a(19) + 0,5a(20) \right] \frac{2\pi}{19} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 5a) \\ & A'_n = \frac{1}{\pi} \left[ 0,5a(1)\cos(nwt_1) + a(2)\cos(nwt_2) + \dots + 0,5a(20)\cos(nwt_{20}) \right] \frac{2\pi}{19} \\ & B'_n = \frac{1}{\pi} \left[ 0,5a(1)\sin(nwt_1) + a(2)\sin(nwt_2) + \dots + 0,5a(20)\sin(nwt_{20}) \right] \frac{2\pi}{19} \\ & C'_n = \left({A'_n}^2 + {B'_n}^2\right)^\frac{1}{2} \end{align} </math> * Il modulo della <math> n </math> esima riga dello spettro è indicato da <math> C'n</math> ; nel calcolatore l valori <math> C'n </math> sono valutati senza l'addizione di <math> A'o </math> che viene calcolato separatamente. Vedremo di seguito, in dettaglio, l'impiego degli algoritmi di figure 5 e 5a contestualmente all'esame del pannello operativo del calcolatore. == Il pannello operativo del calcolatore == Il pannello operativo, mostrato in figura 6, è generato da un file eseguibile disponibile all'indirizzo: [http://www.sonar-info.info/wikifourier/seriefourier.html wikiFourier ] oppure [https://github.com/2021dtc/prova20/archive/main.zip seriefourier] Il file esguibile consente il calcolo e la presentazione grafica dello spettro dell'onda da analizzare. [[File:tfr6.jpg|thumb|left|1000px|figura 6]] {{clear}} In figura 6, con una serie di numeri in rosso, sono distinte le 5 sezioni funzionali: '''Sezione 1 (Variabili di calcolo)''' La sezione contiene il pulsante ingresso variabili e 4 textbox nelle quali inserire i seguenti dati: *Durata del periodo dell'onda da analizzare espressa con <math> T </math> in secondi. *Il numero <math> m = n </math> dei campioni da prelevare dal periodo dell'onda da analizzare. *Il numero <math> k </math> delle righe dello spettro che si vogliono calcolare. *L'incremento di calcolo <math> dm </math> dal quale dipendono sia la precisione che il tempo calcolo. Al lancio del programma la sezione è impostata, in via preliminare, con i valori: <math> T = 0.01 \ S </math>; <math> \quad m = n = 20 </math>; <math>\quad k = 10 </math>; <math> \quad dm = 0.01</math> . '''Sezione 2: (Campioni nel periodo)''' La sezione contiene: *Un label, a sinistra, che indica il numero progressivo dei campioni ricavati dal periodo da analizzare e un textbox, a destra, per l'inserzione delle ampiezze dei diversi campioni. *Un pulsante "Ingresso campioni" per l'inserzione progressiva dei valori sopra citati;il pulsante presenta colore verde nella fase d'introduzione campioni, cambia colore in arancio una volta che i campioni dell'onda sono pari al valore impostato di <math> m = n </math> *Un pulsante " Azzeramento memorie" per la ripetizione, se necessario, dell'inserzione dati. '''Sezione 3: ( Presentazione spettro)''' La sezione contiene: *Il pulsante "Calcolo dello spettro" per l'avvio del programma di calcolo per la presentazione grafica del modulo delle righe dello spettro tracciate come visione indicativa dello stesso. *Un listato numerico delle frequenze e relative ampiezze normalizzate delle righe dello spettro. L'azione di questo comando provoca inoltre il tracciamento del periodo dell'onda inserito a campioni nella sezione 2 per un controllo della correttezza del suo profilo. '''Sezione 4: (Listato valori calcolati)''' Nel listato compaiono: *Le <math> n </math> coppie calcolate nella forma, ad esempio per una generica <math> 3^a </math> coppia, <math> F = 1300 \ Hz</math> <math> \ C'3 = 0.65432 </math> ; ciascuna coppia definisce una riga dello spettro sia in frequenza che in ampiezza normalizzata. *In alto, sopra il listato, il valore calcolato di <math>C'o</math> ( componente continua dell'onda ove sia presente ) '''Sezione 5: (Area di presentazione grafici)''' I grafici sono tracciati a solo scopo illustrativo dato che i valori che li generano sono già contenuti nei listati della sezione 4. *In alto lo spettro dell'onda con le <math> m = n </math> righe messe a calcolo; le ascisse del tracciato non sono calibrate in frequenza *In basso il profilo del periodo dell'onda definito con tanti punti quanti sono gli <math> m = n </math> campioni messi a calcolo; le ascisse del tracciato non sono calibrate in tempo. ==Primo esempio di calcolo della serie di Fourier con controllo analitico== Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda rettangolare, si avvale di un riscontro analitico in quanto lo spettro dell'onda in esame è definito dalla caratteristica serie di figura 7 che servirà come controllo dati elaborati dal calcolatore: :<math>y=\frac{4}{\pi}E\left(\cos x - \frac{1}{3}\cos 3x + \frac{1}{5}\cos 5x - \frac{1}{7} \cos 7x + \dots \right) \qquad\qquad\qquad 7)</math> Come si vede la serie analitica è formata soltanto da addendi dispari i cui coefficienti, espressi con frazioni, sono gli analoghi dei termini <math> Cn </math> elaborati dal calcolatore. Utilizziamo sempre i valori preliminari assegnati al calcolatore al momento dell'avvio, come mostra la figura 8 della sezione 1. [[File:tfr8.jpg|thumb|left|300px|figura 8]] {{clear}} Quindi pigiamo il pulsante "Ingresso variabili". Impostiamo nella sezione 2, premendo " Ingresso campioni" (pulsante arancione), per lo spettro di un'onda rettangolare quale quella riportata in figura 2b, la seguente sequenza di campioni: <math>1;1;1;1;1;1;1;1;1;1; -1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1 </math> relativa ad un periodo dell'onda sopra citata fino a quando il pulsante stesso diventa arancione. Dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 9 che i grafici di figura 10 [[File:tfr9.jpg|thumb|left|600px|figura 9]] {{clear}} La lista indica righe multiple di <math> 1000 \ Hz </math> dato che, essendo <math>T = 0.001 \ S </math>, la frequenza è <math>f = 1 / 0.001</math> = <math>1000 \ Hz </math>. [[File:tfr10.jpg|thumb|left|300px|figura 10]] {{clear}} Procediamo ora al controllo della lista di figura 9 impostando una tabella che riporta, tanto le ampiezze calcolate con l'espressione dello spettro teorico espresso in figura 7, che quelle del listato di figura 9: :{| class="wikitable" |- ! Righe> ! C'₁ ! C'₂ ! C'₃ ! C'₄ ! C'₅ ! C'₆ |- ! Con il calcolatore | 1,0000 | 0,0012 | 0,3333 | 0,0012 | 0,2000 | 0,0012 |- ! Per via analitica | 1,0000 | 0 | 0,3333 | 0 | 0,2000 | 0 |} Come si vede in tabella di tavolo i valori di <math>C'n </math> per <math> n </math> dispari, praticamente coincidono, per <math> n </math> pari il calcolatore commette un errore presentando ampiezze pari a <math>0.002 </math> invece che <math> 0 </math> come da processo analitico. Gli errori si riducono ripetendo il computo con un passo di calcolo inferiore a <math>dm = 0.01 </math>, ad esempio <math>dm = 0.001</math>; naturalmente il processo di calcolo richiede un tempo superiore di sviluppo. ==Secondo esempio: calcolo della serie di Fourier con controllo analitico== Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda a dente di sega, si avvale di un riscontro analitico in quanto lo spettro dell'onda in esame è definito dalla caratteristica serie di figura 11 che servirà come controllo dei dati elaborati dal calcolatore: :<math>y=\frac{2}{\pi}E\left(\sin x - \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{3}\sin 3x - \frac{1}{4} \sin 4x + \dots \right) \qquad\qquad\qquad 11)</math> Come si vede la serie analitica è formata da addendi pari e dispari i cui coefficienti, espressi con frazioni, sono gli analoghi dei termini <math>Cn</math> elaborati dal calcolatore. Utilizziamo sempre i valori di base assegnati al calcolatore al momento dell'avvio, come mostra la figura 12 della sezione 1. [[File:tfr8.jpg|thumb|left|600px|figura 12]] {{clear}} quindi pigiamo il pulsante "Ingresso variabili". Impostiamo nella sezione 2, premendo " Ingresso campioni" ( pulsante giallo ), i campioni d'ampiezza di un'onda a dente di sega quale quella riportata in figura 13 [[File:tfr13.jpg|thumb|left|300px|figura 13]] {{clear}} la seguente sequenza di campioni: <math> -1;-0.9;-0.8;-0.7;-0.6;-0.5;-0.4;-0.3;-0.2; 0.1;0;0.1;0.2;0.3;0.4;0.5;0.6;0.7:0.8:0.9 </math> relativa ad un periodo <math>T</math> dell'onda sopra citata fino a quando il pulsante stesso diventa arancione. Dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 14 che i grafici di figura 15: [[File:tfr14.jpg|thumb|left|600px|figura 14]] {{clear}} La lista indica righe multiple di <math>1000 Hz </math> dato che, essendo <math>T = 0.001 \ S </math>, <math>f = 1/ 0.001 </math>= <math>1000 \ Hz</math>. [[File:tfr15.jpg|thumb|left|300px|figura 15]] {{clear}} Procediamo ora al controllo della lista di figura 14 impostando una tabella che riporta, tanto le ampiezze dello spettro teorico espresso in figura 11 che quelle della lista nella figura citata: :{| class="wikitable" |- ! Righe> ! C'₁ ! C'₂ ! C'₃ ! C'₄ ! C'₅ ! C'₆ |- ! Con il calcolatore | 1,0000 | 0,5001 | 0,3335 | 0,2501 | 0,2001 | 0,1667 |- ! Per via analitica | 1,0000 | 0,5000 | 0,3333 | 0,2500 | 0,2000 | 0,1666 |} Come si vede in tabella di tavolo i valori di <math> C' </math> da calcolatore sono quasi coincidenti con dagli analoghi analitici; l'errore massimo è dell'ordine del <math>2 </math> per mille. == Terzo esempio: calcolo della serie di Fourier di un'onda generica == Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda generica, non si avvale alcun riscontro analitico. Il tracciato dell'onda sia quello riportato in figura 16: [[File:trf16.jpg|thumb|left|300px|figura 16]] {{clear}} Si esegue la campionatura di un periodo con 21 campioni così come mostrato in figura 17: [[File:trf17.jpg|thumb|left|300px|figura 17]] {{clear}} Si compila, in tavola, la lista delle ampiezze dei campioni ricavandola da rilievi geometrici su figura 17: :{| class="wikitable" |- ! periodo ! ampiezza |- | t₀ | 0,00 |- | t₁ | 0,40 |- | t₂ | 0,64 |- | t₃ | 0,75 |- | t₄ | 0,85 |- | t₅ | 0,99 |- | t₆ | 1,04 |- | t₇ | 0,86 |- | t₈ | 0,53 |- | t₉ | 0,21 |- | t₁₀ | 0,00 |- | t₁₁ | -0,02 |- | t₁₂ | -0,17 |- | t₁₃ | -0,38 |- | t₁₄ | -0,47 |- | t₁₅ | -0,40 |- | t₁₆ | -0,28 |- | t₁₇ | -0,26 |- | t₁₈ | -0,29 |- | t₁₉ | -0,22 |- | t₂₀ | -0,00 |} I dati di tavola s'inseriscono progressivamente in sezione 2 pigiando il pulsante "Ingresso campioni". Dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 19 che i grafici di figura 20: [[File:trf19.jpg|thumb|left|300px|figura 19]] {{clear}} La lista indica righe multiple di <math>1000 \ Hz</math> dato che, essendo <math> T = 0.001 \ S </math>, <math>\quad f = 1/ 0.001 </math> = <math> 1000 \ Hz. </math> [[File:trf20.jpg|thumb|left|300px|figura 20]] {{clear}} == Quarto esempio: calcolo della serie di Fourier di un'onda precostruita== Per un controllo ulteriore del calcolatore analizziamo un'onda precostruita che è caratterizzata dalla presenza della sola <math> 4^a </math> armonica di ampiezza <math>C'4 = 0.3333.</math> L'onda in oggetto, generata da un'apposita funzione matematica, è riportata in figura 21: [[File:trf21.jpg|thumb|left|300px|figura 21]] {{clear}} L'onda ha un periodo <math> T = 0.001 \ S </math> e quindi una frequenza di <math> 1000 \ Hz</math>; il periodo viene campionato con le stesse modalità relative al periodo dell'esercizio precedente; il risultato della campionatura è riportato in tavola: :{| class="wikitable" |- ! periodo ! ampiezza |- | t₀ | 0,00 |- | t₁ | 0,62 |- | t₂ | 0,78 |- | t₃ | 0,61 |- | t₄ | 0,63 |- | t₅ | 0,99 |- | t₆ | 1,26 |- | t₇ | 1,00 |- | t₈ | 0,39 |- | t₉ | -0,00 |- | t₁₀ | -0,00 |- | t₁₁ | 0,00 |- | t₁₂ | -0,38 |- | t₁₃ | -1,00 |- | t₁₄ | -1,26 |- | t₁₅ | -1,00 |- | t₁₆ | -0,63 |- | t₁₇ | -0,61 |- | t₁₈ | -0,78 |- | t₁₉ | -0,63 |- | t₂₀ | -0,00 |} Seguendo la procedura d'inserzione dati e campioni analoga a quella del paragrafo precedente, dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 23 che i grafici di figura 24: [[File:trf23.jpg|thumb|left|600px|figura 23]] {{clear}} [[File:trf24.jpg|thumb|left|300px|figura 24]] {{clear}} L'esame dei dati, sia numerici ( riga <math>C'4</math> ) che grafici evidenziano, come era nelle aspettative, la presenza di una riga a <math>4000 \ Hz </math> di ampiezza <math>C'4 = 0.3133</math>. Le righe a livello molto basso presenti in figura 23, non visibili in figura 24, sono dovute all'approssimazione dell’algoritmo di calcolo. ==Bibliografia== *G. Moretti, ''Analisi matematica-vol.II -parte II'',Hoepli, Milano 1953. *A. Papoulis, ''The Fourier integral and its applications''Mc Graw-Hill, New York 1962. *Edit: Milton Abramowitz ..''Handbook of mathematical functios'', USA 1970. * C. Del Turco, ''La matematica con il personal computer'', Editrice MODERNA La Spezia 1998. [[Categoria:Lezioni di Sistemi di calcolo automatico per il sonar]] [[Categoria:Calcolatori automatici per il sonar]] 7fs7z68yskwjfgxrv07rkoyhp23rmof 284660 284658 2026-06-30T13:15:19Z ~2026-31655-25 46663 284660 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Calcolatore | avanzamento = 100% }} -Processo di approssimazione per la determinazione dello spettro dei segnali periodici- ==La serie di Fourier con il supporto delle figure== Prima di descrivere il calcolatore della serie di Fourier, al quale è dedicato il paragrafo successivo, esaminiamo l'algoritmo omonimo mostrato in figura 1 :<math> \begin{align} F(x) &= a_0+\sum_{n=1}^\infin\left( a_n \cos nx + b_n \sin nx \right) \\ &\begin{cases} a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)dx \\ a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)\cos nx\ dx \\ b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)\sin nx\ dx \end{cases} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 1) \end{align} </math> questo consente, per via esclusivamente analitica, lo studio dei fenomeni periodici funzioni del tempo per il computo del loro spettro in frequenza, spettro espresso in figura 1 con il simbolo <math> F(x)</math> ( dove <math> x = 2 \cdot \pi \cdot f \cdot t )</math>. Generalmente la funzione <math> F(x)</math> è espressa con il simbolo <math> G(\omega)</math>. Un esempio di segnale periodico <math> f(t)</math>, onda rettangolare, espresso matematicamente è mostrato in figura 2a :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} \qquad\qquad 2a) </math> il cui andamento è tracciato in figura 2b [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2b]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2b,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Se dell'onda periodica da analizzare non si conosce la legge <math> f(t)</math>, come ad esempio per la curva di figura 4: [[File:trf4.jpg|thumb|left|400px|figura 4]] {{clear}} la serie di Fourier non è applicabile; è sostituibile, con buona approssimazione, dall'algoritmo di figura 5 che prevede la determinazione dello spettro mediante l'elaborazione dei coefficienti <math> An'</math> e <math> Bn' </math> da <math> n </math> campioni di <math> f(t) </math> , messi a calcolo, rilevati da grafici o da presentazioni su oscilloscopio: :<math>C'_n = A'_0 + \sum_{n=1}^{n=k}A'_n \cos (n 2 \pi f_0 t) + B'_n \sin (n 2 \pi f_0 t) \qquad\qquad\qquad 5)</math> Si osservi che: *Con il simbolo <math> C'n </math> s'intende l'ampiezza della n esima riga dello spettro di frequenza. * I coefficienti di figura 5 sono indicati con <math> A'n </math> e <math> B'n</math> per distinguerli da quelli diversi di figura 1. * <math> A'o, A'n, B'n </math> sono determinati con processo numerico iterativo implementando nel programma di calcolo le funzioni esposte in figura 5a dove, ad esempio, <math> 20 </math> campioni del periodo in analisi sono riportati, in apposita memoria del P.C, con i simboli <math> a(1).....a(20) </math> . :<math> \begin{align} & A'_0 = \frac{1}{2\pi} \left[ 0,5a(1) + a(2) + a(3) + \dots + a(19) + 0,5a(20) \right] \frac{2\pi}{19} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 5a) \\ & A'_n = \frac{1}{\pi} \left[ 0,5a(1)\cos(nwt_1) + a(2)\cos(nwt_2) + \dots + 0,5a(20)\cos(nwt_{20}) \right] \frac{2\pi}{19} \\ & B'_n = \frac{1}{\pi} \left[ 0,5a(1)\sin(nwt_1) + a(2)\sin(nwt_2) + \dots + 0,5a(20)\sin(nwt_{20}) \right] \frac{2\pi}{19} \\ & C'_n = \left({A'_n}^2 + {B'_n}^2\right)^\frac{1}{2} \end{align} </math> * Il modulo della <math> n </math> esima riga dello spettro è indicato da <math> C'n</math> ; nel calcolatore l valori <math> C'n </math> sono valutati senza l'addizione di <math> A'o </math> che viene calcolato separatamente. Vedremo di seguito, in dettaglio, l'impiego degli algoritmi di figure 5 e 5a contestualmente all'esame del pannello operativo del calcolatore. == Il pannello operativo del calcolatore == Il pannello operativo, mostrato in figura 6, è generato da un file eseguibile disponibile all'indirizzo: [http://www.sonar-info.info/wikifourier/seriefourier.html wikiFourier ] oppure [https://github.com/2021dtc/prova20/archive/main.zip seriefourier] Il file esguibile consente il calcolo e la presentazione grafica dello spettro dell'onda da analizzare. [[File:tfr6.jpg|thumb|left|1000px|figura 6]] {{clear}} In figura 6, con una serie di numeri in rosso, sono distinte le 5 sezioni funzionali: '''Sezione 1 (Variabili di calcolo)''' La sezione contiene il pulsante ingresso variabili e 4 textbox nelle quali inserire i seguenti dati: *Durata del periodo dell'onda da analizzare espressa con <math> T </math> in secondi. *Il numero <math> m = n </math> dei campioni da prelevare dal periodo dell'onda da analizzare. *Il numero <math> k </math> delle righe dello spettro che si vogliono calcolare. *L'incremento di calcolo <math> dm </math> dal quale dipendono sia la precisione che il tempo calcolo. Al lancio del programma la sezione è impostata, in via preliminare, con i valori: <math> T = 0.01 \ S </math>; <math> \quad m = n = 20 </math>; <math>\quad k = 10 </math>; <math> \quad dm = 0.01</math> . '''Sezione 2: (Campioni nel periodo)''' La sezione contiene: *Un label, a sinistra, che indica il numero progressivo dei campioni ricavati dal periodo da analizzare e un textbox, a destra, per l'inserzione delle ampiezze dei diversi campioni. *Un pulsante "Ingresso campioni" per l'inserzione progressiva dei valori sopra citati;il pulsante presenta colore verde nella fase d'introduzione campioni, cambia colore in arancio una volta che i campioni dell'onda sono pari al valore impostato di <math> m = n </math> *Un pulsante " Azzeramento memorie" per la ripetizione, se necessario, dell'inserzione dati. '''Sezione 3: ( Presentazione spettro)''' La sezione contiene: *Il pulsante "Calcolo dello spettro" per l'avvio del programma di calcolo per la presentazione grafica del modulo delle righe dello spettro tracciate come visione indicativa dello stesso. *Un listato numerico delle frequenze e relative ampiezze normalizzate delle righe dello spettro. L'azione di questo comando provoca inoltre il tracciamento del periodo dell'onda inserito a campioni nella sezione 2 per un controllo della correttezza del suo profilo. '''Sezione 4: (Listato valori calcolati)''' Nel listato compaiono: *Le <math> n </math> coppie calcolate nella forma, ad esempio per una generica <math> 3^a </math> coppia, <math> F = 1300 \ Hz</math> <math> \ C'3 = 0.65432 </math> ; ciascuna coppia definisce una riga dello spettro sia in frequenza che in ampiezza normalizzata. *In alto, sopra il listato, il valore calcolato di <math>C'o</math> ( componente continua dell'onda ove sia presente ) '''Sezione 5: (Area di presentazione grafici)''' I grafici sono tracciati a solo scopo illustrativo dato che i valori che li generano sono già contenuti nei listati della sezione 4. *In alto lo spettro dell'onda con le <math> m = n </math> righe messe a calcolo; le ascisse del tracciato non sono calibrate in frequenza *In basso il profilo del periodo dell'onda definito con tanti punti quanti sono gli <math> m = n </math> campioni messi a calcolo; le ascisse del tracciato non sono calibrate in tempo. ==Primo esempio di calcolo della serie di Fourier con controllo analitico== Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda rettangolare, si avvale di un riscontro analitico in quanto lo spettro dell'onda in esame è definito dalla caratteristica serie di figura 7 che servirà come controllo dati elaborati dal calcolatore: :<math>y=\frac{4}{\pi}E\left(\cos x - \frac{1}{3}\cos 3x + \frac{1}{5}\cos 5x - \frac{1}{7} \cos 7x + \dots \right) \qquad\qquad\qquad 7)</math> Come si vede la serie analitica è formata soltanto da addendi dispari i cui coefficienti, espressi con frazioni, sono gli analoghi dei termini <math> Cn </math> elaborati dal calcolatore. Utilizziamo sempre i valori preliminari assegnati al calcolatore al momento dell'avvio, come mostra la figura 8 della sezione 1. [[File:tfr8.jpg|thumb|left|300px|figura 8]] {{clear}} Quindi pigiamo il pulsante "Ingresso variabili". Impostiamo nella sezione 2, premendo " Ingresso campioni" (pulsante arancione), per lo spettro di un'onda rettangolare quale quella riportata in figura 2b, la seguente sequenza di campioni: <math>1;1;1;1;1;1;1;1;1;1; -1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1 </math> relativa ad un periodo dell'onda sopra citata fino a quando il pulsante stesso diventa arancione. Dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 9 che i grafici di figura 10 [[File:tfr9.jpg|thumb|left|600px|figura 9]] {{clear}} La lista indica righe multiple di <math> 1000 \ Hz </math> dato che, essendo <math>T = 0.001 \ S </math>, la frequenza è <math>f = 1 / 0.001</math> = <math>1000 \ Hz </math>. [[File:tfr10.jpg|thumb|left|300px|figura 10]] {{clear}} Procediamo ora al controllo della lista di figura 9 impostando una tabella che riporta, tanto le ampiezze calcolate con l'espressione dello spettro teorico espresso in figura 7, che quelle del listato di figura 9: :{| class="wikitable" |- ! Righe> ! C'₁ ! C'₂ ! C'₃ ! C'₄ ! C'₅ ! C'₆ |- ! Con il calcolatore | 1,0000 | 0,0012 | 0,3333 | 0,0012 | 0,2000 | 0,0012 |- ! Per via analitica | 1,0000 | 0 | 0,3333 | 0 | 0,2000 | 0 |} Come si vede in tabella di tavolo i valori di <math>C'n </math> per <math> n </math> dispari, praticamente coincidono, per <math> n </math> pari il calcolatore commette un errore presentando ampiezze pari a <math>0.002 </math> invece che <math> 0 </math> come da processo analitico. Gli errori si riducono ripetendo il computo con un passo di calcolo inferiore a <math>dm = 0.01 </math>, ad esempio <math>dm = 0.001</math>; naturalmente il processo di calcolo richiede un tempo superiore di sviluppo. ==Secondo esempio: calcolo della serie di Fourier con controllo analitico== Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda a dente di sega, si avvale di un riscontro analitico in quanto lo spettro dell'onda in esame è definito dalla caratteristica serie di figura 11 che servirà come controllo dei dati elaborati dal calcolatore: :<math>y=\frac{2}{\pi}E\left(\sin x - \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{3}\sin 3x - \frac{1}{4} \sin 4x + \dots \right) \qquad\qquad\qquad 11)</math> Come si vede la serie analitica è formata da addendi pari e dispari i cui coefficienti, espressi con frazioni, sono gli analoghi dei termini <math>Cn</math> elaborati dal calcolatore. Utilizziamo sempre i valori di base assegnati al calcolatore al momento dell'avvio, come mostra la figura 12 della sezione 1. [[File:tfr8.jpg|thumb|left|600px|figura 12]] {{clear}} quindi pigiamo il pulsante "Ingresso variabili". Impostiamo nella sezione 2, premendo " Ingresso campioni" ( pulsante giallo ), i campioni d'ampiezza di un'onda a dente di sega quale quella riportata in figura 13 [[File:tfr13.jpg|thumb|left|300px|figura 13]] {{clear}} la seguente sequenza di campioni: <math> -1;-0.9;-0.8;-0.7;-0.6;-0.5;-0.4;-0.3;-0.2; 0.1;0;0.1;0.2;0.3;0.4;0.5;0.6;0.7:0.8:0.9 </math> relativa ad un periodo <math>T</math> dell'onda sopra citata fino a quando il pulsante stesso diventa arancione. Dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 14 che i grafici di figura 15: [[File:tfr14.jpg|thumb|left|600px|figura 14]] {{clear}} La lista indica righe multiple di <math>1000 Hz </math> dato che, essendo <math>T = 0.001 \ S </math>, <math>f = 1/ 0.001 </math>= <math>1000 \ Hz</math>. [[File:tfr15.jpg|thumb|left|300px|figura 15]] {{clear}} Procediamo ora al controllo della lista di figura 14 impostando una tabella che riporta, tanto le ampiezze dello spettro teorico espresso in figura 11 che quelle della lista nella figura citata: :{| class="wikitable" |- ! Righe> ! C'₁ ! C'₂ ! C'₃ ! C'₄ ! C'₅ ! C'₆ |- ! Con il calcolatore | 1,0000 | 0,5001 | 0,3335 | 0,2501 | 0,2001 | 0,1667 |- ! Per via analitica | 1,0000 | 0,5000 | 0,3333 | 0,2500 | 0,2000 | 0,1666 |} Come si vede in tabella di tavolo i valori di <math> C' </math> da calcolatore sono quasi coincidenti con dagli analoghi analitici; l'errore massimo è dell'ordine del <math>2 </math> per mille. == Terzo esempio: calcolo della serie di Fourier di un'onda generica == Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda generica, non si avvale alcun riscontro analitico. Il tracciato dell'onda sia quello riportato in figura 16: [[File:trf16.jpg|thumb|left|300px|figura 16]] {{clear}} Si esegue la campionatura di un periodo con 21 campioni così come mostrato in figura 17: [[File:trf17.jpg|thumb|left|300px|figura 17]] {{clear}} Si compila, in tavola, la lista delle ampiezze dei campioni ricavandola da rilievi geometrici su figura 17: :{| class="wikitable" |- ! periodo ! ampiezza |- | t₀ | 0,00 |- | t₁ | 0,40 |- | t₂ | 0,64 |- | t₃ | 0,75 |- | t₄ | 0,85 |- | t₅ | 0,99 |- | t₆ | 1,04 |- | t₇ | 0,86 |- | t₈ | 0,53 |- | t₉ | 0,21 |- | t₁₀ | 0,00 |- | t₁₁ | -0,02 |- | t₁₂ | -0,17 |- | t₁₃ | -0,38 |- | t₁₄ | -0,47 |- | t₁₅ | -0,40 |- | t₁₆ | -0,28 |- | t₁₇ | -0,26 |- | t₁₈ | -0,29 |- | t₁₉ | -0,22 |- | t₂₀ | -0,00 |} I dati di tavola s'inseriscono progressivamente in sezione 2 pigiando il pulsante "Ingresso campioni". Dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 19 che i grafici di figura 20: [[File:trf19.jpg|thumb|left|300px|figura 19]] {{clear}} La lista indica righe multiple di <math>1000 \ Hz</math> dato che, essendo <math> T = 0.001 \ S </math>, <math>\quad f = 1/ 0.001 </math> = <math> 1000 \ Hz. </math> [[File:trf20.jpg|thumb|left|300px|figura 20]] {{clear}} == Quarto esempio: calcolo della serie di Fourier di un'onda precostruita== Per un controllo ulteriore del calcolatore analizziamo un'onda precostruita che è caratterizzata dalla presenza della sola <math> 4^a </math> armonica di ampiezza <math>C'4 = 0.3333.</math> L'onda in oggetto, generata da un'apposita funzione matematica, è riportata in figura 21: [[File:trf21.jpg|thumb|left|300px|figura 21]] {{clear}} L'onda ha un periodo <math> T = 0.001 \ S </math> e quindi una frequenza di <math> 1000 \ Hz</math>; il periodo viene campionato con le stesse modalità relative al periodo dell'esercizio precedente; il risultato della campionatura è riportato in tavola: :{| class="wikitable" |- ! periodo ! ampiezza |- | t₀ | 0,00 |- | t₁ | 0,62 |- | t₂ | 0,78 |- | t₃ | 0,61 |- | t₄ | 0,63 |- | t₅ | 0,99 |- | t₆ | 1,26 |- | t₇ | 1,00 |- | t₈ | 0,39 |- | t₉ | -0,00 |- | t₁₀ | -0,00 |- | t₁₁ | 0,00 |- | t₁₂ | -0,38 |- | t₁₃ | -1,00 |- | t₁₄ | -1,26 |- | t₁₅ | -1,00 |- | t₁₆ | -0,63 |- | t₁₇ | -0,61 |- | t₁₈ | -0,78 |- | t₁₉ | -0,63 |- | t₂₀ | -0,00 |} Seguendo la procedura d'inserzione dati e campioni analoga a quella del paragrafo precedente, dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 23 che i grafici di figura 24: [[File:trf23.jpg|thumb|left|600px|figura 23]] {{clear}} [[File:trf24.jpg|thumb|left|300px|figura 24]] {{clear}} L'esame dei dati, sia numerici ( riga <math>C'4</math> ) che grafici evidenziano, come era nelle aspettative, la presenza di una riga a <math>4000 \ Hz </math> di ampiezza <math>C'4 = 0.3133</math>. Le righe a livello molto basso presenti in figura 23, non visibili in figura 24, sono dovute all'approssimazione dell’algoritmo di calcolo. ==Bibliografia== *G. Moretti, ''Analisi matematica-vol.II -parte II'',Hoepli, Milano 1953. *A. Papoulis, ''The Fourier integral and its applications''Mc Graw-Hill, New York 1962. *Edit: Milton Abramowitz ..''Handbook of mathematical functios'', USA 1970. * C. Del Turco, ''La matematica con il personal computer'', Editrice MODERNA La Spezia 1998. [[Categoria:Lezioni di Sistemi di calcolo automatico per il sonar]] [[Categoria:Calcolatori automatici per il sonar]] 8wtww9m4jlvjmiig82m3el2n61lbk2p 0 37630 284662 2026-06-30T13:38:16Z ~2026-31655-25 46663 Creata pagina con " {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sistemi di calcolo automatico per il sonar | avanzamento = 100% }} Il calcolatore della Trasformata Discreta di Fourier, (DFT), con algoritmi e figure. In questa lezione illustriamo un caratteristico file di calcolo in grado di computare e tracciare il modulo dello spettro di un impulso qualsiasi secondo l'algoritmo della DFT ( Discrete Fourier Transformer). Questa procedura è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella dete..." 284662 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sistemi di calcolo automatico per il sonar | avanzamento = 100% }} Il calcolatore della Trasformata Discreta di Fourier, (DFT), con algoritmi e figure. In questa lezione illustriamo un caratteristico file di calcolo in grado di computare e tracciare il modulo dello spettro di un impulso qualsiasi secondo l'algoritmo della DFT ( Discrete Fourier Transformer). Questa procedura è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. S'inizia con evidenziare l'algoritmo dell'integrale di Fourier dal quale la DFT discende. L'algoritmo dell'integrale di Fourier è mostrato nella figura seguente: :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 2. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 3. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 3]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 4: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} l'integrale di fourier non è applicabile; è sostituibile, con buona approssimazione, dall'algoritmo DFT ( Discrete Fourier Transform ) che computa il modulo dello spettro, secondo l'espressione di figura 5. :<math>\left\vert G(qf) \right\vert = \left[ \left( \sum_{p=1}^k S(p) \cos \left( \frac{2 \pi qp}{N} \right)^2 + \sum_{p=1}^k S(p) \sin \left( \frac{2 \pi qp}{N} \right)^2 \right) \right]^{\frac{1}{2}}</math> per un numero finito di campioni prelevati dall'impulso, mostrati in rosso in figura 6a: [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 6a]] {{clear}} La DFT computa un numero finito di valori del modulo della G(w) così come riportato in figura 6b: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 6b]] {{clear}} ==Esempio d'impostazione delle variabili di calcolo== Siano da determinare le variabili da mettere a calcolo per la costruzione del modulo dello spettro dell'impulso mostrato in figura 7 dal quale si dovranno ricavare un certo numero di campioni <math> k </math>; da <math> p1 </math> a <math> pk </math>. [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 7]] {{clear}} Le variabili da calcolare, sulla base dell'algoritmo di figura 5, sono: *<math>k = 2 \cdot T \cdot Fmax</math> numero dei campioni da prelevare dall'impulso *<math>N = 2 \cdot Fmax/DF</math> divisore nello sviluppo di calcolo *<math> q = Fmax/DF </math> numero dei campioni che rappresenteranno il modulo dello spettro Le caratteristiche temporali dell'impulso siano: <math>T/2 = 0.005 \ S</math>. quindi <math>T = 0.01 \ S.</math> Si voglia il campo di frequenza d'analisi compreso tra <math> 0 </math> e <math>1000 \ Hz</math>: quindi <math>Fmax = 1000 \ Hz</math> Si voglia una definizione d'analisi in frequenza a passi di <math> 25 \ Hz </math>, quindi <math> DF = 25 \ Hz </math> In base ai dati esposti si calcolano: Il numero dei campioni da prelevare dall'impulso: <math> k = 2 \cdot T \cdot Fmax </math > = <math> 2 \cdot 0.01 \ S. \cdot 1000 \ Hz = 20 </math> Il valore di <math> N:</math> <math> N = 2 \cdot</math> <math> Fmax/DF = 2 \cdot 1000 / 25 </math> = <math> 80 </math> Il numero dei campioni che rappresenteranno il modulo dello spettro: <math> q = Fmax/DF </math> = <math> 1000/25 = 40 </math> Da rilievi su figura 7 si annotano le ampiezze dei <math> k </math> valori dei campioni dell'impulso, da <math> p1 </math> a <math> p20 </math>, evidenziati con righe rosse; questi saranno inseriti a calcolo l'uno dopo l'altro. ==Il pannello operativo del calcolatore DFT== Al'avvio del file eseguibile [http://www.sonar-info.info/wikidft/DFT.html wikiDFT ] oppure [https://github.com/2021dtc/prova21/archive/main.zip DFT] sul P.C.si presenta il pannello operativo del calcolatore che riportiamin figura 8 con una serie di numeri in rosso per consentire l'identificazioni delle 5 sezioni funzionali: [[File: wtr9.jpg|thumb|left|500px|figura 8]] {{clear}} Sezione 1 (ingresso dati) : La sezione contiene 3 textbox nei quali inserire, l'una dopo l'altra, le seguenti variabili: *Durata dell'impulso da analizzare espressa con <math>T \ (S)</math> *Estremo della frequenza d'analisi espressa con <math> Fmax \ (Hz)</math> *Intervallo voluto tra due campioni dello spettro con <math> DF \ (Hz)</math> *Un pulsante " Dati a calcolo" per l'avvio delle computazioni *Due label per l'indicazione dei valori calcolati: <math>k </math>( numero dei campioni da ricavare dall'impulso) e <math>q </math>( numero dei campioni che definiranno il modulo dello spettro di frequenza) Al lancio del programma sono predisposti, in via provvisoria, i seguenti dati: <math>T = 0.01 \ S</math> ; <math> Fmax = 1000 \ Hz</math> ; <math> DF = 1\ Hz</math> *Sezione 2: (ingresso campioni impulso) La sezione contiene: *Un label, a sinistra, che indica il numero progressivo dei campioni dell'impulso da analizzare e un textbox, a destra, per l'inserzione delle ampiezze dei diversi campioni dell'impulso. *Un pulsante "Ingresso campioni" per l'inserzione progressiva dei valori sopra citati ed un pulsante " Azzeramento memorie" per la ripetizione, se necessario, dell'inserzione dati. Sezione 3: ( presentazione spettro) La sezione contiene: *Il pulsante "Calcolo e presentazione spettro normalizzato " per l'avvio del programma di calcolo e presentazione grafica del modulo della DFT. Sezione 4: ( reticolo cartesiano per il tracciamento del modulo dello spettro) *In ascisse, la frequenza d'analisi <math> Fmax</math> divisa in <math>40</math> intervalli, con label indicativo dell'entità di ciascun intervallo in <math> Hz/Div</math>. *In ordinate l'ampiezza dello spettro, in forma normalizzata in <math>20</math> intervalli da <math>0.05/Div.</math> Il grafico dello spettro, rappresentando l'ampiezza del modulo, sarà sempre positivo. Sezione 5: (funzioni di controllo) Con due pulsanti distinti è possibile tracciare, ai fini del controllo dei calcoli, il modulo dello spettro di due impulsi caratteristici: *Impulso rettangolare (ottenuto da calcolo per via analitica) *Impulso triangolare (ottenuto da calcolo per via analitica) Questa sezione è utile per prendere confidenza, come vedremo, con il sistema di calcolo. ==Primo esempio di calcolo: DFT di un impulso rettangolare con controllo analitico== Per iniziare è utile l'utilizzo dei valori di base assegnati al calcolatore al momento dell'avvio, come mostra la figura 9 della sezione 1; con questi valori calcoleremo lo spettro di un impulso rettangoare: [[File: wtr10.jpg|thumb|left|600px|figura 9]] {{clear}} per : <math> T = 0.01 \ S.</math> - <math>Fmax = 1000 \ Hz </math> - <math> DF = 1 \ Hz </math>, dopo la pressione del pulsante "dati a calcolo", si ha : <math> k = 20 ; q = 1000 </math>; dal calcolo emerge che sono necessari <math> k = 20 </math> campioni dell'impulso Quindi: ampiezza <math> E = 1 </math>, durata <math> T = 0.01 \ S.</math>, <math> k = 20</math>. I campioni dell'impulso, tutti uguali ad <math> 1 </math>, sono inseriti in sezione 2 digitando nel textbox il primo di ampiezza <math> 1 </math> e di seguito, lasciando tale valore inalterato, premendo il pulsante "ingresso campioni" , s'inseriscono tutti gli altri 19 fino a quando il pulsante citato diventa rosso; vedi figura 10 [[File: wtr11.jpg|thumb|left|600px|figura 10]] {{clear}} Con la successiva pressione del pulsante di sezione 3, si ha la presentazione del modulo dello spettro come riportato in figura 11 con traccia in colore viola: [[File: wtr12.jpg|thumb|left|300px|figura 11]] {{clear}} Per controllare la correttezza del processo DFT che ha portato allo spettro di figura 12 si può agire sulla sezione 5; pulsante " Controllo per impulso rettangolare" che consente, per la via puramente analitica mostrata in figura 12, [[File: wtr14a.jpg|thumb|left|300px|figura 12]] {{clear}} il tracciamento di una nuova curva di colore verde che, se il processo DFT svolto sarà corretto, si dovrà sovrapporre, con buona approssimazione, alla curva viola così come mostra figura 13: [[File: wtr13.jpg|thumb|left|300px|figura 13]] {{clear}} ==Secondo esempio di calcolo: DFT di un impulso triangolare con controllo analitico== Utilizziamo sempre i valori di base assegnati al calcolatore al momento dell'avvio, come mostra la figura 9 della sezione 1, impostiamo in questo esempio il calcolo dello spettro di un impulso triangolare: [[File: wtr10.jpg|thumb|left|600px|figura 9]] {{clear}} per : <math>T = 0.01 \ S.</math> - <math> Fmax = 1000 \ Hz </math> - <math> DF = 1 \ Hz</math>, dopo la pressione del pulsante "dati a calcolo", si ha :<math> k = 20</math> ;<math> q = 1000</math> . L'impulso triangolare che vogliamo analizzare, della durata <math>T = 0.01 \ S.</math> ha un profilo definito dalla seguente sequenza di <math> 20</math> valori: <math> 0.1; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9; 1; 0.9; 0.8; 0.7; 0.6; 0.5; 0.4; 0.3; 0.2; 0.1; 0 </math> i campioni sono inseriti in sezione 2 digitando nel textbox il primo di ampiezza <math>0.1</math> ed in successione tutta la sequenza sopra scritta premendo il pulsante "ingresso campioni" fino a quando il pulsante citato diventa rosso. Con la successiva pressione del pulsante di sezione 3, si ha la presentazione del modulo dello spettro come riportato in figura 14 con traccia in color viola: [[File: wtr16.jpg|thumb|left|300px|figura 14]] {{clear}} Per controllare la correttezza del processo DFT che ha portato allo spettro di figura 14 si può agire sulla sezione 5; pulsante " Controllo per impulso triangolare" che consente, per la via puramente analitica mostrata in figura 15, [[File: wtr17.jpg|thumb|left|300px|figura 15]] {{clear}} il tracciamento di una nuova curva di colore verde che, se il processo DFT svolto sarà corretto, si dovrà sovrapporre alla curva viola così come mostra figura 16: [[File: wtr18.jpg|thumb|left|300px|figura 16]] {{clear}} ==Terzo esempio di calcolo: DFT senza controllo analitico== Sia dato l'impulso di figura 17, di forma non codificata, del quale valutare lo spettro di frequenza mediante DFT: [[File: wtr19.jpg|thumb|left|300px|figura 17]] {{clear}} I dati relativi all'impulso siano: Durata:<math> T = 0.0125 \ S.</math> Ampiezza massima:<math> E = 1</math> Massima frequenza voluta nella DFT: <math> Fmax = 1000 \ Hz</math> Intervallo tra i campioni dello spettro:<math> DF = 2 \ Hz </math> I valori calcolati di k e q sono riportati nella sezione 1, di figura 18: [[File: wtr20.jpg|thumb|left|400px|figura 18]] {{clear}} Dal calcolo emerge che sono necessari <math>k = 25 </math> campioni dell'impulso; questi, ricavati da figura 17 sono mostrati in figura 19: :{| class="wikitable" style="text-align:center;" |- | '''p''' || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17 || 18 || 19 || 20 || 21 || 22 || 23 || 24 || 25 |- | '''S(p)''' || 0,10 || 0,14 || 0,20 || 0,27 || 0,36 || 0,46 || 0,56 || 0,67 || 0,77 || 0,86 || 0,93 || 0,98 || 1,00 || 0,98 || 0,93 || 0,86 || 0,77 || 0,67 || 0,56 || 0,46 || 0,36 || 0,27 || 0,20 || 0,14 || 0,10 |} Questi valori, messi a calcolo nella sezione 2, portano al modulo dello spettro di figura 20: [[File: wtr22.jpg|thumb|left|300px|figura 20]] {{clear}} ==Esempio di calcolo: DFT per impulso di segnale sinusoidale== Nel caso in cui l'impulso contenga una componente sinusoidale: <math>A\cdot Cos(6,28 \cdot fo \cdot t) </math>, come mostrato in figura 21 [[File: wtr22a.jpg|thumb|left|300px|figura 21]] {{clear}} il processo di calcolo della DFT è simile a quelli in precedenza illustrati salvo il fatto che la massima ampiezza dello spettro non sarà per <math>f = 0</math> ma per <math>f = fo </math> come mostra figura 21. Consideriamo ora un impulso del tipo riportato in figura 21 che abbia le seguenti caratteristiche: Durata: <math> T = 0.01 \ S.</math> Frequenza all'interno dell'impulso: <math>fo = 400 \ Hz</math> Frequenza massima dello spettro voluto:<math> Fmax = 1000 \ Hz </math> Intervallo tra i campioni dello spettro: <math>DF = 2 \ Hz </math> Nella sezione 1, per <math> T = 0.01 \ S</math>, <math>Fmax = 1000 \ Hz</math><math> DF = 2 \ Hz</math>, si ha <math> k = 20</math>: I <math> 20 </math> campioni richiesti si ottengono dalla funzione: :<math>Y = A \cdot Cos(6.28 \cdot fo \cdot t)</math> dove <math>A = 1</math>, <math>fo = 400 \ Hz</math>, <math>t = 0.5 \ mS</math>/campione così come mostra la tabella: :{| class="wikitable" style="text-align:right;" |- | 1,000 |- | 0,309 |- | -0,808 |- | -0,810 |- | 0,306 |- | 0,999 |- | 0,312 |- | -0,806 |- | -0,812 |- | 0,303 |- | 0,999 |- | 0,315 |- | -0,804 |- | -0,813 |- | 0,300 |- | 0,999 |- | 0,318 |- | -0,802 |- | -0,815 |- | 0,297 |} Lo spettro dell'impulso, calcolato tra <math> F = 0 </math> e <math> Fmax = 1000 \ Hz </math> si presenta come in figura 23 con il massimo in corrispondenza della frequenza <math> Fo = 400 \ Hz </math>: [[File: wtr25.jpg|thumb|left|300px|figura 23]] {{clear}} ==Bibliografia== *G. Moretti, ''Analisi matematica-vol.II -parte II'',Hoepli, Milano 1953. *A. Papoulis, ''The Fourier integral and its applications''Mc Graw-Hill, New York 1962. *Edit: Milton Abramowitz ..''Handbook of mathematical functios'', USA 1970. * C. Del Turco, ''La matematica con il personal computer'', Editrice MODERNA La Spezia 1998. <!-- [[Categoria:Lezioni di Sistemi di localizzazione subacquea]]--> [[Categoria:Calcolatori automatici per il sonar]] cmzhh0mn4thbzgjqhyong5lq6pe92se 284663 284662 2026-06-30T13:39:44Z ~2026-31655-25 46663 284663 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Calcolatore trasformata di Fourier | avanzamento = 100% }} Il calcolatore della Trasformata Discreta di Fourier, (DFT), con algoritmi e figure. In questa lezione illustriamo un caratteristico file di calcolo in grado di computare e tracciare il modulo dello spettro di un impulso qualsiasi secondo l'algoritmo della DFT ( Discrete Fourier Transformer). Questa procedura è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. S'inizia con evidenziare l'algoritmo dell'integrale di Fourier dal quale la DFT discende. L'algoritmo dell'integrale di Fourier è mostrato nella figura seguente: :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 2. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 3. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 3]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 4: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} l'integrale di fourier non è applicabile; è sostituibile, con buona approssimazione, dall'algoritmo DFT ( Discrete Fourier Transform ) che computa il modulo dello spettro, secondo l'espressione di figura 5. :<math>\left\vert G(qf) \right\vert = \left[ \left( \sum_{p=1}^k S(p) \cos \left( \frac{2 \pi qp}{N} \right)^2 + \sum_{p=1}^k S(p) \sin \left( \frac{2 \pi qp}{N} \right)^2 \right) \right]^{\frac{1}{2}}</math> per un numero finito di campioni prelevati dall'impulso, mostrati in rosso in figura 6a: [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 6a]] {{clear}} La DFT computa un numero finito di valori del modulo della G(w) così come riportato in figura 6b: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 6b]] {{clear}} ==Esempio d'impostazione delle variabili di calcolo== Siano da determinare le variabili da mettere a calcolo per la costruzione del modulo dello spettro dell'impulso mostrato in figura 7 dal quale si dovranno ricavare un certo numero di campioni <math> k </math>; da <math> p1 </math> a <math> pk </math>. [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 7]] {{clear}} Le variabili da calcolare, sulla base dell'algoritmo di figura 5, sono: *<math>k = 2 \cdot T \cdot Fmax</math> numero dei campioni da prelevare dall'impulso *<math>N = 2 \cdot Fmax/DF</math> divisore nello sviluppo di calcolo *<math> q = Fmax/DF </math> numero dei campioni che rappresenteranno il modulo dello spettro Le caratteristiche temporali dell'impulso siano: <math>T/2 = 0.005 \ S</math>. quindi <math>T = 0.01 \ S.</math> Si voglia il campo di frequenza d'analisi compreso tra <math> 0 </math> e <math>1000 \ Hz</math>: quindi <math>Fmax = 1000 \ Hz</math> Si voglia una definizione d'analisi in frequenza a passi di <math> 25 \ Hz </math>, quindi <math> DF = 25 \ Hz </math> In base ai dati esposti si calcolano: Il numero dei campioni da prelevare dall'impulso: <math> k = 2 \cdot T \cdot Fmax </math > = <math> 2 \cdot 0.01 \ S. \cdot 1000 \ Hz = 20 </math> Il valore di <math> N:</math> <math> N = 2 \cdot</math> <math> Fmax/DF = 2 \cdot 1000 / 25 </math> = <math> 80 </math> Il numero dei campioni che rappresenteranno il modulo dello spettro: <math> q = Fmax/DF </math> = <math> 1000/25 = 40 </math> Da rilievi su figura 7 si annotano le ampiezze dei <math> k </math> valori dei campioni dell'impulso, da <math> p1 </math> a <math> p20 </math>, evidenziati con righe rosse; questi saranno inseriti a calcolo l'uno dopo l'altro. ==Il pannello operativo del calcolatore DFT== Al'avvio del file eseguibile [http://www.sonar-info.info/wikidft/DFT.html wikiDFT ] oppure [https://github.com/2021dtc/prova21/archive/main.zip DFT] sul P.C.si presenta il pannello operativo del calcolatore che riportiamin figura 8 con una serie di numeri in rosso per consentire l'identificazioni delle 5 sezioni funzionali: [[File: wtr9.jpg|thumb|left|500px|figura 8]] {{clear}} Sezione 1 (ingresso dati) : La sezione contiene 3 textbox nei quali inserire, l'una dopo l'altra, le seguenti variabili: *Durata dell'impulso da analizzare espressa con <math>T \ (S)</math> *Estremo della frequenza d'analisi espressa con <math> Fmax \ (Hz)</math> *Intervallo voluto tra due campioni dello spettro con <math> DF \ (Hz)</math> *Un pulsante " Dati a calcolo" per l'avvio delle computazioni *Due label per l'indicazione dei valori calcolati: <math>k </math>( numero dei campioni da ricavare dall'impulso) e <math>q </math>( numero dei campioni che definiranno il modulo dello spettro di frequenza) Al lancio del programma sono predisposti, in via provvisoria, i seguenti dati: <math>T = 0.01 \ S</math> ; <math> Fmax = 1000 \ Hz</math> ; <math> DF = 1\ Hz</math> *Sezione 2: (ingresso campioni impulso) La sezione contiene: *Un label, a sinistra, che indica il numero progressivo dei campioni dell'impulso da analizzare e un textbox, a destra, per l'inserzione delle ampiezze dei diversi campioni dell'impulso. *Un pulsante "Ingresso campioni" per l'inserzione progressiva dei valori sopra citati ed un pulsante " Azzeramento memorie" per la ripetizione, se necessario, dell'inserzione dati. Sezione 3: ( presentazione spettro) La sezione contiene: *Il pulsante "Calcolo e presentazione spettro normalizzato " per l'avvio del programma di calcolo e presentazione grafica del modulo della DFT. Sezione 4: ( reticolo cartesiano per il tracciamento del modulo dello spettro) *In ascisse, la frequenza d'analisi <math> Fmax</math> divisa in <math>40</math> intervalli, con label indicativo dell'entità di ciascun intervallo in <math> Hz/Div</math>. *In ordinate l'ampiezza dello spettro, in forma normalizzata in <math>20</math> intervalli da <math>0.05/Div.</math> Il grafico dello spettro, rappresentando l'ampiezza del modulo, sarà sempre positivo. Sezione 5: (funzioni di controllo) Con due pulsanti distinti è possibile tracciare, ai fini del controllo dei calcoli, il modulo dello spettro di due impulsi caratteristici: *Impulso rettangolare (ottenuto da calcolo per via analitica) *Impulso triangolare (ottenuto da calcolo per via analitica) Questa sezione è utile per prendere confidenza, come vedremo, con il sistema di calcolo. ==Primo esempio di calcolo: DFT di un impulso rettangolare con controllo analitico== Per iniziare è utile l'utilizzo dei valori di base assegnati al calcolatore al momento dell'avvio, come mostra la figura 9 della sezione 1; con questi valori calcoleremo lo spettro di un impulso rettangoare: [[File: wtr10.jpg|thumb|left|600px|figura 9]] {{clear}} per : <math> T = 0.01 \ S.</math> - <math>Fmax = 1000 \ Hz </math> - <math> DF = 1 \ Hz </math>, dopo la pressione del pulsante "dati a calcolo", si ha : <math> k = 20 ; q = 1000 </math>; dal calcolo emerge che sono necessari <math> k = 20 </math> campioni dell'impulso Quindi: ampiezza <math> E = 1 </math>, durata <math> T = 0.01 \ S.</math>, <math> k = 20</math>. I campioni dell'impulso, tutti uguali ad <math> 1 </math>, sono inseriti in sezione 2 digitando nel textbox il primo di ampiezza <math> 1 </math> e di seguito, lasciando tale valore inalterato, premendo il pulsante "ingresso campioni" , s'inseriscono tutti gli altri 19 fino a quando il pulsante citato diventa rosso; vedi figura 10 [[File: wtr11.jpg|thumb|left|600px|figura 10]] {{clear}} Con la successiva pressione del pulsante di sezione 3, si ha la presentazione del modulo dello spettro come riportato in figura 11 con traccia in colore viola: [[File: wtr12.jpg|thumb|left|300px|figura 11]] {{clear}} Per controllare la correttezza del processo DFT che ha portato allo spettro di figura 12 si può agire sulla sezione 5; pulsante " Controllo per impulso rettangolare" che consente, per la via puramente analitica mostrata in figura 12, [[File: wtr14a.jpg|thumb|left|300px|figura 12]] {{clear}} il tracciamento di una nuova curva di colore verde che, se il processo DFT svolto sarà corretto, si dovrà sovrapporre, con buona approssimazione, alla curva viola così come mostra figura 13: [[File: wtr13.jpg|thumb|left|300px|figura 13]] {{clear}} ==Secondo esempio di calcolo: DFT di un impulso triangolare con controllo analitico== Utilizziamo sempre i valori di base assegnati al calcolatore al momento dell'avvio, come mostra la figura 9 della sezione 1, impostiamo in questo esempio il calcolo dello spettro di un impulso triangolare: [[File: wtr10.jpg|thumb|left|600px|figura 9]] {{clear}} per : <math>T = 0.01 \ S.</math> - <math> Fmax = 1000 \ Hz </math> - <math> DF = 1 \ Hz</math>, dopo la pressione del pulsante "dati a calcolo", si ha :<math> k = 20</math> ;<math> q = 1000</math> . L'impulso triangolare che vogliamo analizzare, della durata <math>T = 0.01 \ S.</math> ha un profilo definito dalla seguente sequenza di <math> 20</math> valori: <math> 0.1; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9; 1; 0.9; 0.8; 0.7; 0.6; 0.5; 0.4; 0.3; 0.2; 0.1; 0 </math> i campioni sono inseriti in sezione 2 digitando nel textbox il primo di ampiezza <math>0.1</math> ed in successione tutta la sequenza sopra scritta premendo il pulsante "ingresso campioni" fino a quando il pulsante citato diventa rosso. Con la successiva pressione del pulsante di sezione 3, si ha la presentazione del modulo dello spettro come riportato in figura 14 con traccia in color viola: [[File: wtr16.jpg|thumb|left|300px|figura 14]] {{clear}} Per controllare la correttezza del processo DFT che ha portato allo spettro di figura 14 si può agire sulla sezione 5; pulsante " Controllo per impulso triangolare" che consente, per la via puramente analitica mostrata in figura 15, [[File: wtr17.jpg|thumb|left|300px|figura 15]] {{clear}} il tracciamento di una nuova curva di colore verde che, se il processo DFT svolto sarà corretto, si dovrà sovrapporre alla curva viola così come mostra figura 16: [[File: wtr18.jpg|thumb|left|300px|figura 16]] {{clear}} ==Terzo esempio di calcolo: DFT senza controllo analitico== Sia dato l'impulso di figura 17, di forma non codificata, del quale valutare lo spettro di frequenza mediante DFT: [[File: wtr19.jpg|thumb|left|300px|figura 17]] {{clear}} I dati relativi all'impulso siano: Durata:<math> T = 0.0125 \ S.</math> Ampiezza massima:<math> E = 1</math> Massima frequenza voluta nella DFT: <math> Fmax = 1000 \ Hz</math> Intervallo tra i campioni dello spettro:<math> DF = 2 \ Hz </math> I valori calcolati di k e q sono riportati nella sezione 1, di figura 18: [[File: wtr20.jpg|thumb|left|400px|figura 18]] {{clear}} Dal calcolo emerge che sono necessari <math>k = 25 </math> campioni dell'impulso; questi, ricavati da figura 17 sono mostrati in figura 19: :{| class="wikitable" style="text-align:center;" |- | '''p''' || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17 || 18 || 19 || 20 || 21 || 22 || 23 || 24 || 25 |- | '''S(p)''' || 0,10 || 0,14 || 0,20 || 0,27 || 0,36 || 0,46 || 0,56 || 0,67 || 0,77 || 0,86 || 0,93 || 0,98 || 1,00 || 0,98 || 0,93 || 0,86 || 0,77 || 0,67 || 0,56 || 0,46 || 0,36 || 0,27 || 0,20 || 0,14 || 0,10 |} Questi valori, messi a calcolo nella sezione 2, portano al modulo dello spettro di figura 20: [[File: wtr22.jpg|thumb|left|300px|figura 20]] {{clear}} ==Esempio di calcolo: DFT per impulso di segnale sinusoidale== Nel caso in cui l'impulso contenga una componente sinusoidale: <math>A\cdot Cos(6,28 \cdot fo \cdot t) </math>, come mostrato in figura 21 [[File: wtr22a.jpg|thumb|left|300px|figura 21]] {{clear}} il processo di calcolo della DFT è simile a quelli in precedenza illustrati salvo il fatto che la massima ampiezza dello spettro non sarà per <math>f = 0</math> ma per <math>f = fo </math> come mostra figura 21. Consideriamo ora un impulso del tipo riportato in figura 21 che abbia le seguenti caratteristiche: Durata: <math> T = 0.01 \ S.</math> Frequenza all'interno dell'impulso: <math>fo = 400 \ Hz</math> Frequenza massima dello spettro voluto:<math> Fmax = 1000 \ Hz </math> Intervallo tra i campioni dello spettro: <math>DF = 2 \ Hz </math> Nella sezione 1, per <math> T = 0.01 \ S</math>, <math>Fmax = 1000 \ Hz</math><math> DF = 2 \ Hz</math>, si ha <math> k = 20</math>: I <math> 20 </math> campioni richiesti si ottengono dalla funzione: :<math>Y = A \cdot Cos(6.28 \cdot fo \cdot t)</math> dove <math>A = 1</math>, <math>fo = 400 \ Hz</math>, <math>t = 0.5 \ mS</math>/campione così come mostra la tabella: :{| class="wikitable" style="text-align:right;" |- | 1,000 |- | 0,309 |- | -0,808 |- | -0,810 |- | 0,306 |- | 0,999 |- | 0,312 |- | -0,806 |- | -0,812 |- | 0,303 |- | 0,999 |- | 0,315 |- | -0,804 |- | -0,813 |- | 0,300 |- | 0,999 |- | 0,318 |- | -0,802 |- | -0,815 |- | 0,297 |} Lo spettro dell'impulso, calcolato tra <math> F = 0 </math> e <math> Fmax = 1000 \ Hz </math> si presenta come in figura 23 con il massimo in corrispondenza della frequenza <math> Fo = 400 \ Hz </math>: [[File: wtr25.jpg|thumb|left|300px|figura 23]] {{clear}} ==Bibliografia== *G. Moretti, ''Analisi matematica-vol.II -parte II'',Hoepli, Milano 1953. *A. Papoulis, ''The Fourier integral and its applications''Mc Graw-Hill, New York 1962. *Edit: Milton Abramowitz ..''Handbook of mathematical functios'', USA 1970. * C. Del Turco, ''La matematica con il personal computer'', Editrice MODERNA La Spezia 1998. <!-- [[Categoria:Lezioni di Sistemi di localizzazione subacquea]]--> [[Categoria:Calcolatori automatici per il sonar]] 3wkjwdxgyvjlsqby6bl385417e9b6gq