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~2026-31655-25
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/* Equazione differenziale non lineare */
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wikitext
text/x-wiki
Con la tex scrivere con tag <math> da copiare la derivata di ( log(cosx)+x tang x)
Con relativa soluzione
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== Equazione differenziale non lineare ==
Si consideri la seguente equazione differenziale:
<math>
\frac{d^2y}{dx^2}+3\frac{dy}{dx}+2y=e^{-x}
</math>
Si tratta di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti.
=== Soluzione dell'equazione omogenea ===
L'equazione omogenea associata è
<math>
\frac{d^2y}{dx^2}+3\frac{dy}{dx}+2y=0.
</math>
Si assume una soluzione della forma
<math>
y=e^{rx}.
</math>
Sostituendo nell'equazione si ottiene
<math>
r^2+3r+2=0.
</math>
La fattorizzazione fornisce
<math>
(r+1)(r+2)=0.
</math>
Le radici caratteristiche sono
<math>
r_1=-1,\qquad r_2=-2.
</math>
Pertanto la soluzione generale dell'equazione omogenea è
<math>
y_h=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}.
</math>
=== Ricerca di una soluzione particolare ===
Poiché il termine noto è
<math>
e^{-x},
</math>
ed è già presente nella soluzione omogenea, si cerca una soluzione particolare della forma
<math>
y_p=Ax e^{-x}.
</math>
Si calcola la derivata prima
<math>
\frac{dy_p}{dx}=A e^{-x}-Ax e^{-x}
=A(1-x)e^{-x}.
</math>
La derivata seconda è
<math>
\frac{d^2y_p}{dx^2}
=A(x-2)e^{-x}.
</math>
Sostituendo nell'equazione differenziale si ottiene
<math>
A(x-2)e^{-x}
+3A(1-x)e^{-x}
+2Ax e^{-x}
=e^{-x}.
</math>
Raccogliendo il fattore comune
<math>
e^{-x}
</math>
si ha
<math>
A[(x-2)+3(1-x)+2x]e^{-x}=e^{-x}.
</math>
Poiché
<math>
(x-2)+3(1-x)+2x=1,
</math>
segue che
<math>
Ae^{-x}=e^{-x},
</math>
da cui
<math>
A=1.
</math>
La soluzione particolare risulta quindi
<math>
y_p=xe^{-x}.
</math>
=== Soluzione generale ===
La soluzione completa dell'equazione differenziale è
<math>
y(x)=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}+xe^{-x}.
</math>
=== Verifica ===
Calcolando le derivate
<math>
y'=-C_1e^{-x}-2C_2e^{-2x}+(1-x)e^{-x},
</math>
<math>
y''=C_1e^{-x}+4C_2e^{-2x}+(x-2)e^{-x},
</math>
e sostituendo nell'equazione
<math>
y''+3y'+2y,
</math>
si ottiene
<math>
e^{-x},
</math>
che coincide con il termine noto. Pertanto la soluzione è corretta.
=== Risultato finale ===
<math>
{y(x)=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}+xe^{-x}}
</math>
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284891
2026-07-08T11:18:33Z
~2026-31655-25
46663
284892
wikitext
text/x-wiki
<math>
f(x)=\log(\cos x)+x\tan x
</math>
<math>
f'(x)=-(\tan x)+\tan x+x\sec^2x=x\sec^2x
</math><math>
f(x)=\log(\cos x)+x\tan x
</math>
<math>
f'(x)=-(\tan x)+\tan x+x\sec^2x=x\sec^2x
</math><math>
f(x)=\log(\cos x)+x\tan x
</math>
<math>
f'(x)=-(\tan x)+\tan x+x\sec^2x=x\sec^2x
</math><math>
f(x)=\log(\cos x)+x\tan x
</math>
<math>
f'(x)=-(\tan x)+\tan x+x\sec^2x=x\sec^2x
</math><math>
f(x)=\log(\cos x)+x\tan x
</math>
<math>
f'(x)=-(\tan x)+\tan x+x\sec^2x=x\sec^2x
</math><math>
f(x)=\log(\cos x)+x\tan x
</math>
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f'(x)=-(\tan x)+\tan x+x\sec^2x=x\sec^2x
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f(x)=\log(\cos x)+x\tan x
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f'(x)=-(\tan x)+\tan x+x\sec^2x=x\sec^2x
</math><math>
f(x)=\log(\cos x)+x\tan x
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f'(x)=-(\tan x)+\tan x+x\sec^2x=x\sec^2x
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f(x)=\log(\cos x)+x\tan x
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f'(x)=-(\tan x)+\tan x+x\sec^2x=x\sec^2x
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f(x)=\log(\cos x)+x\tan x
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f'(x)=-(\tan x)+\tan x+x\sec^2x=x\sec^2x
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f(x)=\log(\cos x)+x\tan x
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f'(x)=-(\tan x)+\tan x+x\sec^2x=x\sec^2x
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f'(x)=-(\tan x)+\tan x+x\sec^2x=x\sec^2x
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f(x)=\log(\cos x)+x\tan x
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<math>
f'(x)=-(\tan x)+\tan x+x\sec^2x=x\sec^2x
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f(x)=\log(\cos x)+x\tan x
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<math>
f'(x)=-(\tan x)+\tan x+x\sec^2x=x\sec^2x
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f(x)=\log(\cos x)+x\tan x
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f'(x)=-(\tan x)+\tan x+x\sec^2x=x\sec^2x
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f(x)=\log(\cos x)+x\tan x
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<math>
f'(x)=-(\tan x)+\tan x+x\sec^2x=x\sec^2x
</math><math>
f(x)=\log(\cos x)+x\tan x
</math>
<math>
f'(x)=-(\tan x)+\tan x+x\sec^2x=x\sec^2x
</math>
== Equazione differenziale non lineare ==
Si consideri la seguente equazione differenziale:
<math>
\frac{d^2y}{dx^2}+3\frac{dy}{dx}+2y=e^{-x}
</math>
Si tratta di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti.
=== Soluzione dell'equazione omogenea ===
L'equazione omogenea associata è
<math>
\frac{d^2y}{dx^2}+3\frac{dy}{dx}+2y=0.
</math>
Si assume una soluzione della forma
<math>
y=e^{rx}.
</math>
Sostituendo nell'equazione si ottiene
<math>
r^2+3r+2=0.
</math>
La fattorizzazione fornisce
<math>
(r+1)(r+2)=0.
</math>
Le radici caratteristiche sono
<math>
r_1=-1,\qquad r_2=-2.
</math>
Pertanto la soluzione generale dell'equazione omogenea è
<math>
y_h=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}.
</math>
=== Ricerca di una soluzione particolare ===
Poiché il termine noto è
<math>
e^{-x},
</math>
ed è già presente nella soluzione omogenea, si cerca una soluzione particolare della forma
<math>
y_p=Ax e^{-x}.
</math>
Si calcola la derivata prima
<math>
\frac{dy_p}{dx}=A e^{-x}-Ax e^{-x}
=A(1-x)e^{-x}.
</math>
La derivata seconda è
<math>
\frac{d^2y_p}{dx^2}
=A(x-2)e^{-x}.
</math>
Sostituendo nell'equazione differenziale si ottiene
<math>
A(x-2)e^{-x}
+3A(1-x)e^{-x}
+2Ax e^{-x}
=e^{-x}.
</math>
Raccogliendo il fattore comune
<math>
e^{-x}
</math>
si ha
<math>
A[(x-2)+3(1-x)+2x]e^{-x}=e^{-x}.
</math>
Poiché
<math>
(x-2)+3(1-x)+2x=1,
</math>
segue che
<math>
Ae^{-x}=e^{-x},
</math>
da cui
<math>
A=1.
</math>
La soluzione particolare risulta quindi
<math>
y_p=xe^{-x}.
</math>
=== Soluzione generale ===
La soluzione completa dell'equazione differenziale è
<math>
y(x)=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}+xe^{-x}.
</math>
=== Verifica ===
Calcolando le derivate
<math>
y'=-C_1e^{-x}-2C_2e^{-2x}+(1-x)e^{-x},
</math>
<math>
y''=C_1e^{-x}+4C_2e^{-2x}+(x-2)e^{-x},
</math>
e sostituendo nell'equazione
<math>
y''+3y'+2y,
</math>
si ottiene
<math>
e^{-x},
</math>
che coincide con il termine noto. Pertanto la soluzione è corretta.
=== Risultato finale ===
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