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{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni
| avanzamento = 0%
}}
== Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA==
IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard.
==1^==
data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math> ; la derivata:
<math>
\begin{align}
y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt]
y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt]
&= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt]
&= x\sec^2 x
\end{align}
</math>
==2^==
data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> la derivata:
<math>
\begin{aligned}
\textbf{Calcolare la derivata della funzione }&
f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}.
\\[1em]
\textbf{1. Scrittura come potenza}
\\
f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{1/2}.
\\[1em]
\textbf{2. Applicazione della regola della catena}
\\
f'(x)=
\frac12
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-1/2}
\cdot
\frac{d}{dx}
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right).
\\[1em]
\textbf{3. Derivata del rapporto}
\\
\frac{d}{dx}
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)
=
\frac{
(1-\sin x)\cos x
-
(1+\sin x)(-\cos x)
}{
(1-\sin x)^2
}.
\\[1em]
\textbf{4. Semplificazione del numeratore}
\\
(1-\sin x)\cos x
+
(1+\sin x)\cos x
=
\cos x
\left[(1-\sin x)+(1+\sin x)\right]
=
2\cos x.
\\[1em]
\textbf{Quindi}
\\
\frac{d}{dx}
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)
=
\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2}.
\\[1em]
\textbf{5. Sostituzione nella formula della catena}
\\
f'(x)
=
\frac12
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-1/2}
\cdot
\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2}.
\\[1em]
\textbf{6. Eliminazione del fattore }2
\\
f'(x)
=
\frac{\cos x}{(1-\sin x)^2}
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-1/2}.
\\[1em]
\textbf{7. Trasformazione della potenza negativa}
\\
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-1/2}
=
\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}.
\\[1em]
\textbf{8. Risultato}
\\
f'(x)
=
\frac{\cos x}{(1-\sin x)^2}
\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}.
\\[1em]
\textbf{9. Forma equivalente}
\\
f'(x)
=
\frac{\cos x}
{(1-\sin x)^{3/2}\sqrt{1+\sin x}}.
\\[1em]
\textbf{10. Ulteriore semplificazione}
\\
(1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x.
\\
Pertanto
\\
(1-\sin x)^{3/2}\sqrt{1+\sin x}
=
(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}
=
(1-\sin x)|\cos x|.
\\[1em]
\textbf{Se }\cos x>0\textbf{,}
\\
f'(x)
=
\frac{1}{1-\sin x}.
\\[1em]
\textbf{Se }\cos x<0\textbf{,}
\\
f'(x)
=
-\frac{1}{1-\sin x}.
\\[1em]
\textbf{Forma generale valida ovunque la funzione sia derivabile}
\\
\boxed{
f'(x)=
\frac{\cos x}{(1-\sin x)^2}
\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}
}
\end{aligned}
</math>
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{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni
| avanzamento = 0%
}}
== Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA==
IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard.
==1^==
data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math> ; la derivata:
<math>
\begin{align}
y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt]
y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt]
&= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt]
&= x\sec^2 x
\end{align}
</math>
==2^==
data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> la derivata:
x)=
\frac12
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-1/2}
\cdot
\frac{d}{dx}
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right).
\\[1em]
\textbf{3. Derivata del rapporto}
\\
\frac{d}{dx}
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)
=
\frac{
(1-\sin x)\cos x
-
(1+\sin x)(-\cos x)
}{
(1-\sin x)^2
}.
\\[1em]
\textbf{4. Semplificazione del numeratore}
\\
(1-\sin x)\cos x
+
(1+\sin x)\cos x
=
\cos x
\left[(1-\sin x)+(1+\sin x)\right]
=
2\cos x.
\\[1em]
\textbf{Quindi}
\\
\frac{d}{dx}
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)
=
\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2}.
\\[1em]
\textbf{5. Sostituzione nella formula della catena}
\\
f'(x)
=
\frac12
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-1/2}
\cdot
\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2}.
\\[1em]
\textbf{6. Eliminazione del fattore }2
\\
f'(x)
=
\frac{\cos x}{(1-\sin x)^2}
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-1/2}.
\\[1em]
\textbf{7. Trasformazione della potenza negativa}
\\
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-1/2}
=
\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}.
\\[1em]
\textbf{8. Risultato}
\\
f'(x)
=
\frac{\cos x}{(1-\sin x)^2}
\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}.
\\[1em]
\textbf{9. Forma equivalente}
\\
f'(x)
=
\frac{\cos x}
{(1-\sin x)^{3/2}\sqrt{1+\sin x}}.
\\[1em]
\textbf{10. Ulteriore semplificazione}
\\
(1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x.
\\
Pertanto
\\
(1-\sin x)^{3/2}\sqrt{1+\sin x}
=
(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}
=
(1-\sin x)|\cos x|.
\\[1em]
\textbf{Se }\cos x>0\textbf{,}
\\
f'(x)
=
\frac{1}{1-\sin x}.
\\[1em]
\textbf{Se }\cos x<0\textbf{,}
\\
f'(x)
=
-\frac{1}{1-\sin x}.
\\[1em]
\textbf{Forma generale valida ovunque la funzione sia derivabile}
\\
\boxed{
f'(x)=
\frac{\cos x}{(1-\sin x)^2}
\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}
}
\end{aligned}
</math>
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{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni
| avanzamento = 0%
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== Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA==
IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard.
==1^==
data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math> ; la derivata:
<math>
\begin{align}
y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt]
y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt]
&= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt]
&= x\sec^2 x
\end{align}
</math>
==2^==
data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> la derivata:
<math>
\frac{d}{dx}
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right).
\\[1em]
\textbf{3. Derivata del rapporto}
\\
\frac{d}{dx}
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)
=
\frac{
(1-\sin x)\cos x
-
(1+\sin x)(-\cos x)
}{
(1-\sin x)^2
}.
\\[1em]
\textbf{4. Semplificazione del numeratore}
\\
(1-\sin x)\cos x
+
(1+\sin x)\cos x
=
\cos x
\left[(1-\sin x)+(1+\sin x)\right]
=
2\cos x.
\\[1em]
\textbf{Quindi}
\\
\frac{d}{dx}
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)
=
\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2}.
\\[1em]
\textbf{5. Sostituzione nella formula della catena}
\\
f'(x)
=
\frac12
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-1/2}
\cdot
\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2}.
\\[1em]
\textbf{6. Eliminazione del fattore }2
\\
f'(x)
=
\frac{\cos x}{(1-\sin x)^2}
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-1/2}.
\\[1em]
\textbf{7. Trasformazione della potenza negativa}
\\
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-1/2}
=
\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}.
\\[1em]
\textbf{8. Risultato}
\\
f'(x)
=
\frac{\cos x}{(1-\sin x)^2}
\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}.
\\[1em]
\textbf{9. Forma equivalente}
\\
f'(x)
=
\frac{\cos x}
{(1-\sin x)^{3/2}\sqrt{1+\sin x}}.
\\[1em]
\textbf{10. Ulteriore semplificazione}
\\
(1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x.
\\
Pertanto
\\
(1-\sin x)^{3/2}\sqrt{1+\sin x}
=
(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}
=
(1-\sin x)|\cos x|.
\\[1em]
\textbf{Se }\cos x>0\textbf{,}
\\
f'(x)
=
\frac{1}{1-\sin x}.
\\[1em]
\textbf{Se }\cos x<0\textbf{,}
\\
f'(x)
=
-\frac{1}{1-\sin x}.
\\[1em]
\textbf{Forma generale valida ovunque la funzione sia derivabile}
\\
\boxed{
f'(x)=
\frac{\cos x}{(1-\sin x)^2}
\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}
}
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{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni
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== Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA==
IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard.
==1^==
data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math> ; la derivata:
<math>
\begin{align}
y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt]
y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt]
&= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt]
&= x\sec^2 x
\end{align}
</math>
==2^==
data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> la derivata:
La funzione è
[
y=\ln(\cos x)+x\tan x.
]
Calcoliamo la derivata passo per passo.
### 1. Derivata di (\ln(\cos x))
Usiamo la regola della derivata del logaritmo:
[
\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}.
]
Con (u=\cos x), si ha (u'=-\sin x). Quindi:
[
\frac{d}{dx}\ln(\cos x)
=\frac{-\sin x}{\cos x}
=-\tan x.
]
### 2. Derivata di (x\tan x)
Applichiamo la regola del prodotto:
[
\frac{d}{dx}(x\tan x)
=1\cdot\tan x+x\cdot\sec^2x
=\tan x+x\sec^2x.
]
### 3. Somma delle derivate
[
y'
=-\tan x+\tan x+x\sec^2x.
]
I termini (-\tan x) e (+\tan x) si annullano:
[
\boxed{y'=x\sec^2x.}
]
Quindi il risultato finale è
[
\boxed{\frac{d}{dx}\left[\ln(\cos x)+x\tan x\right]=x\sec^2x.}
]
Il calcolo che hai riportato è corretto.
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{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni
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== Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA==
IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard.
==1^==
data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math> ; la derivata:
<math>
\begin{align}
y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt]
y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt]
&= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt]
&= x\sec^2 x
\end{align}
</math>
==2^==
data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> la derivata:
<math display="block">...</math>).
f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}
u(x)=\frac{1+\sin x}{1-\sin x}
f'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}
u'(x)=\frac{(1-\sin x)\cos x-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2}
u'(x)=\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2}
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}}\cdot\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2}
f'(x)=\frac{\cos x}{(1-\sin x)^2\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}}
Forma equivalente:
f'(x)=\frac{\cos x}{(1-\sin x)^{3/2}\sqrt{1+\sin x}}
Usando l'identità
\cos^2 x=(1-\sin x)(1+\sin x)
si ottiene
(1-\sin x)^{3/2}\sqrt{1+\sin x}=(1-\sin x)\,|\cos x|
e quindi
f'(x)=\frac{\cos x}{(1-\sin x)\,|\cos x|}
ossia
f'(x)=\frac{\operatorname{sgn}(\cos x)}{1-\sin x}
che è la forma valida su tutto il dominio della funzione.
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{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni
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== Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA==
IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard.
==1^==
data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math> ; la derivata:
<math>
\begin{align}
y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt]
y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt]
&= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt]
&= x\sec^2 x
\end{align}
</math>
==2^==
data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> la derivata:
<math>
f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}
u(x)=\frac{1+\sin x}{1-\sin x}
f'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}
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u'(x)=\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2}
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}}\cdot\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2}
f'(x)=\frac{\cos x}{(1-\sin x)^2\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}}
Forma equivalente:
f'(x)=\frac{\cos x}{(1-\sin x)^{3/2}\sqrt{1+\sin x}}
Usando l'identità
\cos^2 x=(1-\sin x)(1+\sin x)
si ottiene
(1-\sin x)^{3/2}\sqrt{1+\sin x}=(1-\sin x)\,|\cos x|
e quindi
f'(x)=\frac{\cos x}{(1-\sin x)\,|\cos x|}
ossia
f'(x)=\frac{\operatorname{sgn}(\cos x)}{1-\sin x}
che è la forma valida su tutto il dominio della funzione.
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{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni
| avanzamento = 0%
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== Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA==
IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard.
==1^==
data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math> ; la derivata:
<math>
\begin{align}
y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt]
y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt]
&= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt]
&= x\sec^2 x
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</math>
==2^==
data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> la derivata:
<math>
u(x)=\frac{1+\sin x}{1-\sin x}
</math>
f'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}
u'(x)=\frac{(1-\sin x)\cos x-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2}
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Forma equivalente:
f'(x)=\frac{\cos x}{(1-\sin x)^{3/2}\sqrt{1+\sin x}}
Usando l'identità
\cos^2 x=(1-\sin x)(1+\sin x)
si ottiene
(1-\sin x)^{3/2}\sqrt{1+\sin x}=(1-\sin x)\,|\cos x|
e quindi
f'(x)=\frac{\cos x}{(1-\sin x)\,|\cos x|}
ossia
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che è la forma valida su tutto il dominio della funzione.
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{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni
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== Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA==
IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard.
==1^==
data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math> ; la derivata:
<math>
\begin{align}
y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt]
y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt]
&= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt]
&= x\sec^2 x
\end{align}
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==2^==
data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> la derivata:
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u(x)=\frac{1+\sin x}{1-\sin x}
</math>
<math>
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<math>u'(x)=\frac{(1-\sin x)\cos x-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2}
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<math>f'(x)=\frac{\cos x}{(1-\sin x)^2\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}}
Forma equivalente:
<math>f'(x)=\frac{\cos x}{(1-\sin x)^{3/2}\sqrt{1+\sin x}}
Usando l'identità
<math>\cos^2 x=(1-\sin x)(1+\sin x)
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ossia
<math>f'(x)=\frac{\operatorname{sgn}(\cos x)}{1-\sin x}
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{{Risorsa
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== Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA==
IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard.
==1^==
data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math> ; la derivata:
<math>
\begin{align}
y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt]
y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt]
&= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt]
&= x\sec^2 x
\end{align}
</math>
==2^==
data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> la derivata:
<math>
u(x)=\frac{1+\sin x}{1-\sin x}
</math>
<math>
f'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}</math>
<math>u'(x)=\frac{(1-\sin x)\cos x-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2}
</math>
<math>u'(x)=\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2}
</math>
<math>f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}}\cdot\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2}
</math>
<math>f'(x)=\frac{\cos x}{(1-\sin x)^2\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}}
</math>
Forma equivalente:
<math>f'(x)=\frac{\cos x}{(1-\sin x)^{3/2}\sqrt{1+\sin x}}
Usando l'identità
<math>\cos^2 x=(1-\sin x)(1+\sin x)
</math>
si ottiene
<math>(1-\sin x)^{3/2}\sqrt{1+\sin x}=(1-\sin x)\,|\cos x|
</math>
e quindi
<math>f'(x)=\frac{\cos x}{(1-\sin x)\,|\cos x|}
</math>
ossia
<math>f'(x)=\frac{\operatorname{sgn}(\cos x)}{1-\sin x}
</math>
che è la forma valida su tutto il dominio della funzione.
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/* 2^ */
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{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni
| avanzamento = 0%
}}
== Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA==
IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard.
==1^==
data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math> ; la derivata:
<math>
\begin{align}
y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt]
y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt]
&= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt]
&= x\sec^2 x
\end{align}
</math>
==2^==
data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> la derivata:
<math>
u(x)=\frac{1+\sin x}{1-\sin x}
</math>
<math>
f'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}</math>
<math>u'(x)=\frac{(1-\sin x)\cos x-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2}
</math>
<math>u'(x)=\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2}
</math>
<math>f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}}\cdot\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2}
</math>
<math>f'(x)=\frac{\cos x}{(1-\sin x)^2\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}}
</math>
Forma equivalente:
<math>f'(x)=\frac{\cos x}{(1-\sin x)^{3/2}\sqrt{1+\sin x}}
</math>
Usando l'identità
<math>\cos^2 x=(1-\sin x)(1+\sin x)
</math>
si ottiene
<math>(1-\sin x)^{3/2}\sqrt{1+\sin x}=(1-\sin x)\,|\cos x|
</math>
e quindi
<math>f'(x)=\frac{\cos x}{(1-\sin x)\,|\cos x|}
</math>
ossia
<math>f'(x)=\frac{\operatorname{sgn}(\cos x)}{1-\sin x}
</math>
che è la forma valida su tutto il dominio della funzione.
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{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni
| avanzamento = 0%
}}
== Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA==
IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard.
==1^==
data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math> ; la derivata:
<math>
\begin{align}
y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt]
y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt]
&= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt]
&= x\sec^2 x
\end{align}
</math>
==2^==
data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> la derivata:
<math>
\begin{aligned}
&\textbf{Funzione:}\\[4pt]
&y=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}
=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12}
\\[10pt]
&\textbf{Derivata:}\\[4pt]
&y'=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}
\cdot
\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)
\\[10pt]
&\textbf{Derivata del quoziente:}\\[4pt]
&\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)
=
\frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}
{(1-\sin x)^2}
\\[10pt]
&=
\frac{\cos x\bigl[(1-\sin x)+(1+\sin x)\bigr]}
{(1-\sin x)^2}
\\[10pt]
&=
\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2}
\\[10pt]
&\textbf{Sostituzione:}\\[4pt]
&y'
=
\frac12
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}
\cdot
\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2}
\\[10pt]
&=
\frac{\cos x}
{(1-\sin x)^2
\sqrt{\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}}}
\\[10pt]
&=
\frac{\cos x}
{(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}}
\\[10pt]
&\textbf{Poiché}\\[4pt]
&(1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x,
\\[10pt]
&\boxed{
y'
=
\frac{\cos x}
{(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}}
}
\\[10pt]
&\textbf{Se }\cos x>0,\ \sqrt{\cos^2x}=\cos x,\ \text{quindi}
\\[6pt]
&\boxed{
y'=\frac{1}{1-\sin x}
}
\\[10pt]
&\textbf{Forma generale (valida senza assumere il segno di }\cos x\textbf{):}
\\[6pt]
&\boxed{
y'
=
\frac{\cos x}
{(1-\sin x)\,|\cos x|}
}
=
\frac{\operatorname{sgn}(\cos x)}
{1-\sin x}.
\end{aligned}
</math>
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{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni
| avanzamento = 0%
}}
== Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA==
IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard.
==1^==
data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math> ; la derivata:
<math>
\begin{align}
y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt]
y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt]
&= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt]
&= x\sec^2 x
\end{align}
</math>
==2^==
data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> la derivata:
<math>
\begin{aligned}
&\textbf{Funzione:}\\[4pt]
&y=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}
=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12}
\\[10pt]</math>
&\textbf{Derivata:}\\[4pt]
&y'=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}
\cdot
\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)
\\[10pt]
&\textbf{Derivata del quoziente:}\\[4pt]
&\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)
=
\frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}
{(1-\sin x)^2}
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&=
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\\[10pt]
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\\[10pt]
&\textbf{Sostituzione:}\\[4pt]
&y'
=
\frac12
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}
\cdot
\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2}
\\[10pt]
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\frac{\cos x}
{(1-\sin x)^2
\sqrt{\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}}}
\\[10pt]
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\frac{\cos x}
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\\[10pt]
&\textbf{Poiché}\\[4pt]
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\\[10pt]
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y'
=
\frac{\cos x}
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}
\\[10pt]
&\textbf{Se }\cos x>0,\ \sqrt{\cos^2x}=\cos x,\ \text{quindi}
\\[6pt]
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\\[10pt]
&\textbf{Forma generale (valida senza assumere il segno di }\cos x\textbf{):}
\\[6pt]
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{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni
| avanzamento = 0%
}}
== Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA==
IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard.
==1^==
data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math> ; la derivata:
<math>
\begin{align}
y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt]
y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt]
&= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt]
&= x\sec^2 x
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</math>
==2^==
data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> la derivata:
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{{Risorsa
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== Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA==
IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard.
==1^==
data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math> ; la derivata:
<math>
\begin{align}
y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt]
y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt]
&= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt]
&= x\sec^2 x
\end{align}
</math>
==2^==
data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> la derivata:
Assumendo che **x sia espresso in radianti** (come di consueto in matematica):
La funzione è:
[
y=\sin(x)
]
Calcoli:
* Per (x=0.1):
[
y=\sin(0.1)\approx 0.0998334
]
* Per (x=0.3):
[
y=\sin(0.3)\approx 0.2955202
]
Quindi:
| (x) | (y=\sin(x)) |
| --: | ----------: |
| 0.1 | 0.0998334 |
| 0.3 | 0.2955202 |
Se invece intendevi **x in gradi**, i valori sono diversi:
* (\sin(0.1^\circ)\approx 0.0017453)
* (\sin(0.3^\circ)\approx 0.0052360)
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{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni
| avanzamento = 0%
}}
== Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA==
IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard.
==1^==
data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math> ; la derivata:
<math>
\begin{align}
y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt]
y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt]
&= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt]
&= x\sec^2 x
\end{align}
</math>
==2^==
data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> la derivata:
Assumendo che **x sia espresso in radianti** (come di consueto in matematica):
La funzione è:
<math>[
y=\sin(x)
]</math>
Calcoli:
<math>
* Per (x=0.1):
[
y=\sin(0.1)\approx 0.0998334
]
* Per (x=0.3):
[
y=\sin(0.3)\approx 0.2955202
]
Quindi:
| (x) | (y=\sin(x)) |
| --: | ----------: |
| 0.1 | 0.0998334 |
| 0.3 | 0.2955202 |
Se invece intendevi **x in gradi**, i valori sono diversi:
* (\sin(0.1^\circ)\approx 0.0017453)
* (\sin(0.3^\circ)\approx 0.0052360)
</math>
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{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni
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== Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA==
IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard.
==1^==
data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math> ; la derivata:
<math>
\begin{align}
y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt]
y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt]
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==2^==
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{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni
| avanzamento = 0%
}}
== Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA==
IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard.
==1^==
data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math> ; la derivata:
<math>
\begin{align}
y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt]
y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt]
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&= x\sec^2 x
\end{align}
</math>
==2^==
data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> la derivata:
Calcoliamo la derivata della funzione
[
y=\sqrt{\frac{\sin x+1}{\sin x-1}}.
]
### 1. Scriviamo la funzione come potenza
<math>[
y=\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right)^{1/2}.
]</math>
Applichiamo la regola della catena:
<math>[
y'=\frac12\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right)^{-1/2}\cdot
\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right).
]</math>
### 2. Deriviamo il rapporto
Poniamo
[
u=\sin x+1,\qquad v=\sin x-1.
]
Allora
[
u'=\cos x,\qquad v'=\cos x.
]
Con la regola del quoziente:
[
\left(\frac{u}{v}\right)'
=\frac{u'v-uv'}{v^2}
=\frac{\cos x(\sin x-1)-(\sin x+1)\cos x}{(\sin x-1)^2}.
]
Raccogliendo (\cos x):
[
=\frac{\cos x\left[(\sin x-1)-(\sin x+1)\right]}{(\sin x-1)^2}
=\frac{-2\cos x}{(\sin x-1)^2}.
]
### 3. Sostituiamo
[
y'
=\frac12\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right)^{-1/2}
\cdot
\frac{-2\cos x}{(\sin x-1)^2}.
]
I fattori (2) si semplificano:
[
y'
==
-\frac{\cos x}{(\sin x-1)^2}
\sqrt{\frac{\sin x-1}{\sin x+1}}.
]
### 4. Semplificazione
Poiché
[
(\sin x-1)^2=(1-\sin x)^2,
]
si può ottenere una forma più compatta:
[
\boxed{
y'=
-\frac{\cos x}
{(1-\sin x)^{3/2}\sqrt{1+\sin x}}
}
]
oppure, lasciando la radice nella forma iniziale,
[
\boxed{
y'=
-\frac{\cos x}{(\sin x-1)^2}
\sqrt{\frac{\sin x-1}{\sin x+1}}.
}
]
</math> Entrambe le espressioni sono equivalenti (nel dominio della funzione).
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text/x-wiki
{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni
| avanzamento = 0%
}}
== Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA==
IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard.
==1^==
data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math> ; la derivata:
<math>
\begin{align}
y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt]
y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt]
&= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt]
&= x\sec^2 x
\end{align}
</math>
==2^==
data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> la derivata:
calcoliamo
### 1. Scriviamo la funzione come potenza
<math>[
y=\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right)^{1/2}.
]</math>
Applichiamo la regola della catena:
<math>[
y'=\frac12\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right)^{-1/2}\cdot
\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right).
]</math>
### 2. Deriviamo il rapporto
Poniamo
<mah>[
u=\sin x+1,\qquad v=\sin x-1.
]</math>
Allora
<math>[
u'=\cos x,\qquad v'=\cos x.
]</math>
Con la regola del quoziente:
<math>[
\left(\frac{u}{v}\right)'
=\frac{u'v-uv'}{v^2}
=\frac{\cos x(\sin x-1)-(\sin x+1)\cos x}{(\sin x-1)^2}.
]</math>
Raccogliendo (\cos x):
[
=\frac{\cos x\left[(\sin x-1)-(\sin x+1)\right]}{(\sin x-1)^2}
=\frac{-2\cos x}{(\sin x-1)^2}.
]
### 3. Sostituiamo
[
y'
=\frac12\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right)^{-1/2}
\cdot
\frac{-2\cos x}{(\sin x-1)^2}.
]
I fattori (2) si semplificano:
[
y'
==
-\frac{\cos x}{(\sin x-1)^2}
\sqrt{\frac{\sin x-1}{\sin x+1}}.
]
### 4. Semplificazione
Poiché
[
(\sin x-1)^2=(1-\sin x)^2,
]
si può ottenere una forma più compatta:
[
\boxed{
y'=
-\frac{\cos x}
{(1-\sin x)^{3/2}\sqrt{1+\sin x}}
}
]
oppure, lasciando la radice nella forma iniziale,
[
\boxed{
y'=
-\frac{\cos x}{(\sin x-1)^2}
\sqrt{\frac{\sin x-1}{\sin x+1}}.
}
]
</math> Entrambe le espressioni sono equivalenti (nel dominio della funzione).
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{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni
| avanzamento = 0%
}}
== Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA==
IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard.
==1^==
data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math> ; la derivata:
<math>
\begin{align}
y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt]
y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt]
&= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt]
&= x\sec^2 x
\end{align}
</math>
==2^==
data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> la derivata:
calcoliamo
1. Scriviamo la funzione come potenza
<math>[
y=\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right)^{1/2}.
]</math>
Applichiamo la regola della catena:
<math>[
y'=\frac12\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right)^{-1/2}\cdot
\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right).
]</math>
### 2. Deriviamo il rapporto
Poniamo
<mah>[
u=\sin x+1,\qquad v=\sin x-1.
]</math>
Allora
<math>[
u'=\cos x,\qquad v'=\cos x.
]</math>
Con la regola del quoziente:
<math>[
\left(\frac{u}{v}\right)'
=\frac{u'v-uv'}{v^2}
=\frac{\cos x(\sin x-1)-(\sin x+1)\cos x}{(\sin x-1)^2}.
]</math>
Raccogliendo (\cos x):
[
=\frac{\cos x\left[(\sin x-1)-(\sin x+1)\right]}{(\sin x-1)^2}
=\frac{-2\cos x}{(\sin x-1)^2}.
]
### 3. Sostituiamo
[
y'
=\frac12\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right)^{-1/2}
\cdot
\frac{-2\cos x}{(\sin x-1)^2}.
]
I fattori (2) si semplificano:
[
y'
==
-\frac{\cos x}{(\sin x-1)^2}
\sqrt{\frac{\sin x-1}{\sin x+1}}.
]
### 4. Semplificazione
Poiché
[
(\sin x-1)^2=(1-\sin x)^2,
]
si può ottenere una forma più compatta:
[
\boxed{
y'=
-\frac{\cos x}
{(1-\sin x)^{3/2}\sqrt{1+\sin x}}
}
]
oppure, lasciando la radice nella forma iniziale,
[
\boxed{
y'=
-\frac{\cos x}{(\sin x-1)^2}
\sqrt{\frac{\sin x-1}{\sin x+1}}.
}
]
</math> Entrambe le espressioni sono equivalenti (nel dominio della funzione).
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284947
2026-07-10T06:47:18Z
~2026-31655-25
46663
/* 2^ */
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wikitext
text/x-wiki
{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni
| avanzamento = 0%
}}
== Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA==
IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard.
==1^==
data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math> ; la derivata:
<math>
\begin{align}
y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt]
y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt]
&= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt]
&= x\sec^2 x
\end{align}
</math>
==2^==
data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> la derivata:
calcoliamo
1. Scriviamo la funzione come potenza
<math>[
y=\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right)^{1/2}.
]</math>
Applichiamo la regola della catena:
<math>[
y'=\frac12\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right)^{-1/2}\cdot
\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right).
]</math>
2. Deriviamo il rapporto
Poniamo
<mah>[
u=\sin x+1,\qquad v=\sin x-1.
]</math>
Allora
<math>[
u'=\cos x,\qquad v'=\cos x.
]</math>
Con la regola del quoziente:
<math>[
\left(\frac{u}{v}\right)'
=\frac{u'v-uv'}{v^2}
=\frac{\cos x(\sin x-1)-(\sin x+1)\cos x}{(\sin x-1)^2}.
]</math>
Raccogliendo <math>(\cos x):<
/math>
[
=\frac{\cos x\left[(\sin x-1)-(\sin x+1)\right]}{(\sin x-1)^2}
=\frac{-2\cos x}{(\sin x-1)^2}.
]</math>
3. Sostituiamo
[
y'
=\frac12\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right)^{-1/2}
\cdot
\frac{-2\cos x}{(\sin x-1)^2}.
]
I fattori (2) si semplificano:
[
y'
==
-\frac{\cos x}{(\sin x-1)^2}
\sqrt{\frac{\sin x-1}{\sin x+1}}.
]
### 4. Semplificazione
Poiché
[
(\sin x-1)^2=(1-\sin x)^2,
]
si può ottenere una forma più compatta:
[
\boxed{
y'=
-\frac{\cos x}
{(1-\sin x)^{3/2}\sqrt{1+\sin x}}
}
]
oppure, lasciando la radice nella forma iniziale,
[
\boxed{
y'=
-\frac{\cos x}{(\sin x-1)^2}
\sqrt{\frac{\sin x-1}{\sin x+1}}.
}
]
</math> Entrambe le espressioni sono equivalenti (nel dominio della funzione).
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/* 2^ */
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{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni
| avanzamento = 0%
}}
== Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA==
IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard.
==1^==
data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math> ; la derivata:
<math>
\begin{align}
y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt]
y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt]
&= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt]
&= x\sec^2 x
\end{align}
</math>
==2^==
data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> la derivata:
calcoliamo
1. Scriviamo la funzione come potenza
<math>[
y=\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right)^{1/2}.
]</math>
Applichiamo la regola della catena:
<math>[
y'=\frac12\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right)^{-1/2}\cdot
\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right).
]</math>
2. Deriviamo il rapporto
Poniamo
<math>[
u=\sin x+1,\qquad v=\sin x-1.
]</math>
Allora
<math>[
u'=\cos x,\qquad v'=\cos x.
]</math>
Con la regola del quoziente:
<math>[
\left(\frac{u}{v}\right)'
=\frac{u'v-uv'}{v^2}
=\frac{\cos x(\sin x-1)-(\sin x+1)\cos x}{(\sin x-1)^2}.
]</math>
Raccogliendo <math>(\cos x):<
/math>
[
=\frac{\cos x\left[(\sin x-1)-(\sin x+1)\right]}{(\sin x-1)^2}
=\frac{-2\cos x}{(\sin x-1)^2}.
]</math>
3. Sostituiamo
[
y'
=\frac12\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right)^{-1/2}
\cdot
\frac{-2\cos x}{(\sin x-1)^2}.
]
I fattori (2) si semplificano:
[
y'
==
-\frac{\cos x}{(\sin x-1)^2}
\sqrt{\frac{\sin x-1}{\sin x+1}}.
]
### 4. Semplificazione
Poiché
[
(\sin x-1)^2=(1-\sin x)^2,
]
si può ottenere una forma più compatta:
[
\boxed{
y'=
-\frac{\cos x}
{(1-\sin x)^{3/2}\sqrt{1+\sin x}}
}
]
oppure, lasciando la radice nella forma iniziale,
[
\boxed{
y'=
-\frac{\cos x}{(\sin x-1)^2}
\sqrt{\frac{\sin x-1}{\sin x+1}}.
}
]
</math> Entrambe le espressioni sono equivalenti (nel dominio della funzione).
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{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni
| avanzamento = 0%
}}
== Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA==
IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard.
==1^==
data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math> ; la derivata:
<math>
\begin{align}
y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt]
y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt]
&= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt]
&= x\sec^2 x
\end{align}
</math>
==2^==
data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> la derivata:
calcoliamo
1. Scriviamo la funzione come potenza
<math>[
y=\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right)^{1/2}.
]</math>
Applichiamo la regola della catena:
<math>[
y'=\frac12\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right)^{-1/2}\cdot
\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right).
]</math>
2. Deriviamo il rapporto
Poniamo
<math>[
u=\sin x+1,\qquad v=\sin x-1.
]</math>
Allora
<math>[
u'=\cos x,\qquad v'=\cos x.
]</math>
Con la regola del quoziente:
<math>[
\left(\frac{u}{v}\right)'
=\frac{u'v-uv'}{v^2}
=\frac{\cos x(\sin x-1)-(\sin x+1)\cos x}{(\sin x-1)^2}.
]</math>
Raccogliendo <math>(\cos x):<
/math>
[
=\frac{\cos x\left[(\sin x-1)-(\sin x+1)\right]}{(\sin x-1)^2}
=\frac{-2\cos x}{(\sin x-1)^2}.
]</math>
3. Sostituiamo
<math>
[
y'
=\frac12\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right)^{-1/2}
\cdot
\frac{-2\cos x}{(\sin x-1)^2}.
]</math>
I fattori (2) si semplificano:
[
y'
==
-\frac{\cos x}{(\sin x-1)^2}
\sqrt{\frac{\sin x-1}{\sin x+1}}.
]
### 4. Semplificazione
Poiché
[
(\sin x-1)^2=(1-\sin x)^2,
]
si può ottenere una forma più compatta:
[
\boxed{
y'=
-\frac{\cos x}
{(1-\sin x)^{3/2}\sqrt{1+\sin x}}
}
]
oppure, lasciando la radice nella forma iniziale,
[
\boxed{
y'=
-\frac{\cos x}{(\sin x-1)^2}
\sqrt{\frac{\sin x-1}{\sin x+1}}.
}
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</math> Entrambe le espressioni sono equivalenti (nel dominio della funzione).
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{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni
| avanzamento = 0%
}}
== Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA==
IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard.
==1^==
data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math> ; la derivata:
<math>
\begin{align}
y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt]
y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt]
&= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt]
&= x\sec^2 x
\end{align}
</math>
==2^==
data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> la derivata:
calcoliamo
1. Scriviamo la funzione come potenza
<math>[
y=\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right)^{1/2}.
]</math>
Applichiamo la regola della catena:
<math>[
y'=\frac12\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right)^{-1/2}\cdot
\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right).
]</math>
2. Deriviamo il rapporto
Poniamo
<math>[
u=\sin x+1,\qquad v=\sin x-1.
]</math>
Allora
<math>[
u'=\cos x,\qquad v'=\cos x.
]</math>
Con la regola del quoziente:
<math>[
\left(\frac{u}{v}\right)'
=\frac{u'v-uv'}{v^2}
=\frac{\cos x(\sin x-1)-(\sin x+1)\cos x}{(\sin x-1)^2}.
]</math>
Raccogliendo <math>(\cos x):</math>
<math>[
=\frac{\cos x\left[(\sin x-1)-(\sin x+1)\right]}{(\sin x-1)^2}
=\frac{-2\cos x}{(\sin x-1)^2}.
]</math>
3. Sostituiamo
<math>
[
y'
=\frac12\left(\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\right)^{-1/2}
\cdot
\frac{-2\cos x}{(\sin x-1)^2}.
]</math>
I fattori (2) si semplificano:
[
y'
==
-\frac{\cos x}{(\sin x-1)^2}
\sqrt{\frac{\sin x-1}{\sin x+1}}.
]
### 4. Semplificazione
Poiché
[
(\sin x-1)^2=(1-\sin x)^2,
]
si può ottenere una forma più compatta:
[
\boxed{
y'=
-\frac{\cos x}
{(1-\sin x)^{3/2}\sqrt{1+\sin x}}
}
]
oppure, lasciando la radice nella forma iniziale,
[
\boxed{
y'=
-\frac{\cos x}{(\sin x-1)^2}
\sqrt{\frac{\sin x-1}{\sin x+1}}.
}
]
</math> Entrambe le espressioni sono equivalenti (nel dominio della funzione).
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