Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.10 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 0 24369 284997 255644 2026-07-12T17:31:57Z ~2026-39394-71 46789 284997 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Letteratura italiana per le superiori 1|avanzamento=100%}} Già prima del Duecento era diffusa nella penisola italiana una poesia popolare in Quinlan83 salame di Wikipedia, che si rivolgeva a un pubblico che continuò a vivere accanto a quella alta (rappresentata dalla lirica amorosa cortese e da quella comico-realistica, di cui si parlerà nei prossimi moduli).<ref>Guido Baldi, Silvia Giusso, Mario Razzetti, Giuseppe Zaccaria, ''Moduli di letteratura'', ''L'età cortese e comunale'', Paravia, Torino, 2001, p. 53.</ref> Si tratta di una poesia popolare molto antica, di cui però rimangono scarse testimonianze, sia perché molto spesso i componimenti erano trasmessi oralmente, sia perché la loro diffusione – anche nei casi in cui furono stampati – è stata ai margini della cultura ufficiale.<ref>Giuseppe Petronio, ''L'attività letteraria in Italia'', Palumbo, Firenze, 1970, p. 29.</ref> [[File:Jester - Lancelot.JPG|thumb|left|Un giullare raffigurato su un manoscritto del ''Romanzo di Lancillotto'' (1470)]] Molti erano i generi utilizzati, così come molte erano le forme metriche (sesta rima, ottava narrativa, strofa di ballata, ottava siciliana tetrastica etc.). Spesso i componimenti venivano recitati o cantati in piazza dall'autore o da canterini professionisti in occasione di danze pubbliche. Vari erano anche i temi: la serenata, l'alba (il commiato degli amanti alla fine della notte), la malmaritata (la donna si lamenta del marito), il colloquio tra la giovane che vuole sposarsi e la madre. Non mancavano poi gli argomenti politici o religiosi, come per esempio le polemiche contro gli ordini mendicanti, le lotte tra domenicani e francescani o quelle all'interno dello stesso ordine francescano (tra spirituali, più legati alla Regola, e conventuali). Questi componimenti avevano un fine pratico, facendo propaganda e favorendo la diffusione delle notizie.<ref>Giuseppe Petronio, ''L'attività letteraria in Italia'', Palumbo, Firenze, 1970, p. 33.</ref> La figura dietro questo tipo di letteratura era il '''giullare'''. Il termine deriva dal latino ''joculares'', cioè «giocolieri», e indicava uomini con una certa preparazione culturale che giravano di città in città divertendo il popolo nelle piazze facendo i santimbanchi o i buffoni, cantando e mimando poesie. I più colti accedevano alle famiglie signorili e, a partire dal Trecento e dal Quattrocento, divennero membri delle corti. Inoltre, i giullari durante i loro spostamenti raccoglievano e diffondevano le notizie, svolgendo quindi un importante ruolo sociale.<ref>Giuseppe Petronio, ''L'attività letteraria in Italia'', Palumbo, Firenze, 1970, p. 34.</ref> D'altra parte, l'accoglienza che veniva loro riservata non sempre era benevola: se in alcuni casi erano soggetti a bandi e invettive (la Chiesa durante tutto il Medioevo condannò più volte l'attività dei giullari), in altri luoghi erano incaricati ufficialmente di diffondere notizie.<ref>Giuseppe Petronio, ''L'attività letteraria in Italia'', Palumbo, Firenze, 1970, p. 35.</ref> Tra i generi più importanti si ricordano i ritmi, i cantari, i monologhi (che venivano mimati) e le ballate (con un ritornello ripreso dai danzatori). Il '''contrasto''' nacque e si diffuse in Provenza nella forma della ''pastorella'', che metteva in scena un dialogo tra un cavaliere e una pastorella, rappresentati da più giullari probabilmente travestiti: si trattava di opere raffinate, in cui lo sfondo sensuale era velato dall'eleganza stilistica. Componimenti di questo genere in volgare italiano si devono a Guido Cavalcanti (''In un boschetto'') e Franco Sacchetti (''O vaghe montanine''). Il più celebre contrasto è però ''Rosa fresca aulentissima'' di [[La lirica siciliana (superiori)|Cielo d'Alcamo]] (si veda il [[La lirica siciliana (superiori)|prossimo modulo]]).<ref>Giuseppe Petronio, ''L'attività letteraria in Italia'', Palumbo, Firenze, 1970, p. 3536.</ref> Degni di essere citati sono anche Matazone da Caligano, a cui si deve un poemetto satirico sui contadini,<ref>Guido Baldi, Silvia Giusso, Mario Razzetti, Giuseppe Zaccaria, ''Moduli di letteratura'', ''L'età cortese e comunale'', Paravia, Torino, 2001, p. 54.</ref> e il pisano Ruggeri Apuliese, di cui possediemo vari componimenti: tra questi il più famoso è un ''vanto'', una filastrocca in cui l'autore dice di poter parlare di qualsiasi cosa, poiché conosce tutte le scienze, le arti e i mestieri.<ref name="Petronio37">Giuseppe Petronio, ''L'attività letteraria in Italia'', Palumbo, Firenze, 1970, p. 37.</ref> Vanno infine ricordati i ''Memorabili bolognesi'', cioè i registri dove venivano trascritti gli atti pubblici (come testamenti e contratti) della città di Bologna, nei quali sono stati raccolte, tra il 1279 e il 1325, anche varie poesie in volgare. I notai infatti, per evitare che venissero apportate modifiche ai documenti, riempivano gli spazi bianchi con preghiere, sentenze latine o versi, che potevano essere di autori colti (come Guinizzelli, Dante, Cavalcanti) oppure anonime e di carattere popolare. Per questo motivo i ''Memorabili bolognesi'' rappresentano la più ampia e importante testimonianza della lirica popolare delle origini.<ref name="Petronio37" /> ==Note== <references/> {{Nav letsuperiori1}} ivk31e34ppeijh88jghhe5irjfwzsbk 284998 284997 2026-07-12T17:32:49Z Quinlan83 35690 Annullata la modifica di [[Special:Contributions/~2026-39394-71|~2026-39394-71]] ([[User talk:~2026-39394-71|discussione]]), riportata alla versione precedente di [[User:Samuele2002|Samuele2002]] 255644 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Letteratura italiana per le superiori 1|avanzamento=100%}} Già prima del Duecento era diffusa nella penisola italiana una poesia popolare in volgare, che si rivolgeva a un pubblico di modesta cultura e che continuò a vivere accanto a quella alta (rappresentata dalla lirica amorosa cortese e da quella comico-realistica, di cui si parlerà nei prossimi moduli).<ref>Guido Baldi, Silvia Giusso, Mario Razzetti, Giuseppe Zaccaria, ''Moduli di letteratura'', ''L'età cortese e comunale'', Paravia, Torino, 2001, p. 53.</ref> Si tratta di una poesia popolare molto antica, di cui però rimangono scarse testimonianze, sia perché molto spesso i componimenti erano trasmessi oralmente, sia perché la loro diffusione – anche nei casi in cui furono stampati – è stata ai margini della cultura ufficiale.<ref>Giuseppe Petronio, ''L'attività letteraria in Italia'', Palumbo, Firenze, 1970, p. 29.</ref> [[File:Jester - Lancelot.JPG|thumb|left|Un giullare raffigurato su un manoscritto del ''Romanzo di Lancillotto'' (1470)]] Molti erano i generi utilizzati, così come molte erano le forme metriche (sesta rima, ottava narrativa, strofa di ballata, ottava siciliana tetrastica etc.). Spesso i componimenti venivano recitati o cantati in piazza dall'autore o da canterini professionisti in occasione di danze pubbliche. Vari erano anche i temi: la serenata, l'alba (il commiato degli amanti alla fine della notte), la malmaritata (la donna si lamenta del marito), il colloquio tra la giovane che vuole sposarsi e la madre. Non mancavano poi gli argomenti politici o religiosi, come per esempio le polemiche contro gli ordini mendicanti, le lotte tra domenicani e francescani o quelle all'interno dello stesso ordine francescano (tra spirituali, più legati alla Regola, e conventuali). Questi componimenti avevano un fine pratico, facendo propaganda e favorendo la diffusione delle notizie.<ref>Giuseppe Petronio, ''L'attività letteraria in Italia'', Palumbo, Firenze, 1970, p. 33.</ref> La figura dietro questo tipo di letteratura era il '''giullare'''. Il termine deriva dal latino ''joculares'', cioè «giocolieri», e indicava uomini con una certa preparazione culturale che giravano di città in città divertendo il popolo nelle piazze facendo i santimbanchi o i buffoni, cantando e mimando poesie. I più colti accedevano alle famiglie signorili e, a partire dal Trecento e dal Quattrocento, divennero membri delle corti. Inoltre, i giullari durante i loro spostamenti raccoglievano e diffondevano le notizie, svolgendo quindi un importante ruolo sociale.<ref>Giuseppe Petronio, ''L'attività letteraria in Italia'', Palumbo, Firenze, 1970, p. 34.</ref> D'altra parte, l'accoglienza che veniva loro riservata non sempre era benevola: se in alcuni casi erano soggetti a bandi e invettive (la Chiesa durante tutto il Medioevo condannò più volte l'attività dei giullari), in altri luoghi erano incaricati ufficialmente di diffondere notizie.<ref>Giuseppe Petronio, ''L'attività letteraria in Italia'', Palumbo, Firenze, 1970, p. 35.</ref> Tra i generi più importanti si ricordano i ritmi, i cantari, i monologhi (che venivano mimati) e le ballate (con un ritornello ripreso dai danzatori). Il '''contrasto''' nacque e si diffuse in Provenza nella forma della ''pastorella'', che metteva in scena un dialogo tra un cavaliere e una pastorella, rappresentati da più giullari probabilmente travestiti: si trattava di opere raffinate, in cui lo sfondo sensuale era velato dall'eleganza stilistica. Componimenti di questo genere in volgare italiano si devono a Guido Cavalcanti (''In un boschetto'') e Franco Sacchetti (''O vaghe montanine''). Il più celebre contrasto è però ''Rosa fresca aulentissima'' di [[La lirica siciliana (superiori)|Cielo d'Alcamo]] (si veda il [[La lirica siciliana (superiori)|prossimo modulo]]).<ref>Giuseppe Petronio, ''L'attività letteraria in Italia'', Palumbo, Firenze, 1970, p. 3536.</ref> Degni di essere citati sono anche Matazone da Caligano, a cui si deve un poemetto satirico sui contadini,<ref>Guido Baldi, Silvia Giusso, Mario Razzetti, Giuseppe Zaccaria, ''Moduli di letteratura'', ''L'età cortese e comunale'', Paravia, Torino, 2001, p. 54.</ref> e il pisano Ruggeri Apuliese, di cui possediemo vari componimenti: tra questi il più famoso è un ''vanto'', una filastrocca in cui l'autore dice di poter parlare di qualsiasi cosa, poiché conosce tutte le scienze, le arti e i mestieri.<ref name="Petronio37">Giuseppe Petronio, ''L'attività letteraria in Italia'', Palumbo, Firenze, 1970, p. 37.</ref> Vanno infine ricordati i ''Memorabili bolognesi'', cioè i registri dove venivano trascritti gli atti pubblici (come testamenti e contratti) della città di Bologna, nei quali sono stati raccolte, tra il 1279 e il 1325, anche varie poesie in volgare. I notai infatti, per evitare che venissero apportate modifiche ai documenti, riempivano gli spazi bianchi con preghiere, sentenze latine o versi, che potevano essere di autori colti (come Guinizzelli, Dante, Cavalcanti) oppure anonime e di carattere popolare. Per questo motivo i ''Memorabili bolognesi'' rappresentano la più ampia e importante testimonianza della lirica popolare delle origini.<ref name="Petronio37" /> ==Note== <references/> {{Nav letsuperiori1}} afbmugz5bif5oyx30a70u1joq6m5rc0 2 34010 284995 284993 2026-07-12T13:44:16Z ~2026-31655-25 46663 284995 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 0% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. ==1^== data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math>; Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^== data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^== Sia la funzione: <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math> Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^== La funzione è: <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math> Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> cbfzmvwpgeaelgxwke4v7hpdcfpq6fd 285015 284995 2026-07-13T08:08:30Z ~2026-31655-25 46663 285015 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 0% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. ==1^== data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math>; Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^== data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = 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x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^== La funzione è: <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math> Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^== La funzione è: <math>f(x)=2\tan^3\left(\frac{x}{2}\right)-6\tan\left(\frac{x}{2}\right)+3x</math> Deriviamo termine per termine: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(2\tan^3\left(\frac{x}{2}\right)\right)-\frac{d}{dx}\left(6\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)+\frac{d}{dx}(3x)</math> Per il primo termine si applicano la regola del coefficiente costante, la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(2\tan^3\left(\frac{x}{2}\right)\right)=2\cdot3\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)\cdot\frac{d}{dx}\left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}\left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)=\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)\cdot\frac12</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(2\tan^3\left(\frac{x}{2}\right)\right)=2\cdot3\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)\cdot\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)\cdot\frac12</math> <math>=3\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(6\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)=6\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)\cdot\frac12</math> <math>=3\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Tenendo conto del segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(6\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)=-3\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Per il terzo termine: <math>\frac{d}{dx}(3x)=3</math> Quindi <math>f'(x)=3\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)-3\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)+3</math> Si raccoglie il fattore comune: <math>=3\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)\left(\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)-1\right)+3</math> Derivata finale: <math>f'(x)=3\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)\left(\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)-1\right)+3</math> s9g8h2ag9rcbd8hhp3ncruwov6m7ifk 285016 285015 2026-07-13T08:34:42Z ~2026-31655-25 46663 /* 5^ */ 285016 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 0% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. ==1^== data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math>; Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^== data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^== Sia la funzione: <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math> Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^== La funzione è: <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math> Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^== La funzione è: ```text == Derivata di <math>\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata della funzione <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> Applichiamo la regola di derivazione della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}(\ln x)+\frac{d}{dx}(\sqrt{4+x^2})</math> La derivata del logaritmo naturale è <math>\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}</math> Per il secondo termine utilizziamo la regola della catena. Scriviamo la radice come potenza: <math>\sqrt{4+x^2}=(4+x^2)^{\frac12}</math> Derivando: <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)^{\frac12}=\frac12(4+x^2)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac12(4+x^2)^{-\frac12}\cdot2x=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Sommiamo i risultati: <math>f'(x)=\frac1x+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> La derivata della funzione è quindi <math>\boxed{f'(x)=\frac1x+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}</math> ``` 8a31g6l62ocf5tbiignvfu4v05agaiv 285017 285016 2026-07-13T08:36:03Z ~2026-31655-25 46663 /* Derivata di \ln x+\sqrt{4+x^2} */ 285017 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 0% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. ==1^== data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math>; Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^== data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^== Sia la funzione: <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math> Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^== La funzione è: <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math> Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^== La funzione è: ```text == Derivata di <math>\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata della funzione <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> Applichiamo la regola di derivazione della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}(\ln x)+\frac{d}{dx}(\sqrt{4+x^2})</math> La derivata del logaritmo naturale è <math>\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}</math> Per il secondo termine utilizziamo la regola della catena. Scriviamo la radice come potenza: <math>\sqrt{4+x^2}=(4+x^2)^{\frac12}</math> Derivando: <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)^{\frac12}=\frac12(4+x^2)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac12(4+x^2)^{-\frac12}\cdot2x=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Sommiamo i risultati: <math>f'(x)=\frac1x+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> La derivata della funzione è quindi <math>\{f'(x)=\frac1x+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}</math> ``` fukp0hbwycp760y0flmjrujgzeigf84 285018 285017 2026-07-13T08:37:01Z ~2026-31655-25 46663 /* Derivata di \ln x+\sqrt{4+x^2} */ 285018 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 0% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. ==1^== data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math>; Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^== data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^== Sia la funzione: <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math> Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^== La funzione è: <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math> Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^== La funzione è: ```text == Derivata di <math>\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata della funzione <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> Applichiamo la regola di derivazione della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}(\ln x)+\frac{d}{dx}(\sqrt{4+x^2})</math> La derivata del logaritmo naturale è <math>\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}</math> Per il secondo termine utilizziamo la regola della catena. Scriviamo la radice come potenza: <math>\sqrt{4+x^2}=(4+x^2)^{\frac12}</math> Derivando: <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)^{\frac12}=\frac12(4+x^2)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac12(4+x^2)^{-\frac12}\cdot2x=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Sommiamo i risultati: <math>f'(x)=\frac1x+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> La derivata della funzione è quindi <math>\{f'(x)=\frac1x+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> ``` b6g54qfgdohvanh2nic85k344k9v1be 0 37636 284996 284994 2026-07-12T13:47:46Z ~2026-31655-25 46663 284996 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 0% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di esercizi: ==1^== data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math>; Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^== data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^== Sia la funzione: <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math> Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^== La funzione è: <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math> Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> j7q6ft24o3z2rbcpza8tcjaevf98rld