Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.11 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 2 34010 285062 285045 2026-07-15T07:12:32Z ~2026-31655-25 46663 285062 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 0% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. ==1^== data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math>; Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^== data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^== Sia la funzione: <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math> Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^== La funzione è: <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math> Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^== La funzione è: ```text ==5^ - Derivata di <math>\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> ==6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> `` ==8== = Calcolo della derivata Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math> Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> ejrfeent08q1crurjq83k5ynxm6la33 285063 285062 2026-07-15T07:14:31Z ~2026-31655-25 46663 /* 8 */ 285063 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 0% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. ==1^== data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math>; Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^== data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^== Sia la funzione: <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math> Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^== La funzione è: <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math> Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^== La funzione è: ```text ==5^ - Derivata di <math>\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> ==6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> `` ==7^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> hlaljyoolndfzp0ucd1o9rj6jjk08ls 285064 285063 2026-07-15T07:22:54Z NDG 45851 Annullate le modifiche di [[Special:Contributions/~2026-31655-25|~2026-31655-25]] ([[User talk:~2026-31655-25|discussione]]), riportata alla versione precedente di [[User:Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] 273544 wikitext text/x-wiki ==Direttività in acustica subacquea== L'introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche del [[sonar]] è impostata in queste sezioni in modo semplice, discorsivo e per immagini. La caratteristica di direttività di un sistema acustico indica come varia la sensibilità di ricezione con il variare della direzione di provenienza dell'onda sonora. Se la sensibilità è la massima possibile in una direzione e diminuisce molto rapidamente con il variare di essa si dice che la base ricevente ha una buona direttività, cioè presenta una direzione preferenziale d'ascolto. La direttività di un gruppo di sensori ( [http://www.sonar-info.info/p2/s2ridotta.pdf Idrofoni] ) ottenuta sommando i contributi di tensione generati dai singoli [[idrofono|idrofoni]] opportunamente ritardati, è governata da leggi matematiche che consentono di calcolare l'andamento della loro somma in funzione di diverse variabili. In questa pagina tratteremo l'argomento in semplici termini grafico discorsivi rimandando il lettore alle voci specialistiche per l'analisi delle direttività in termini matematici. === Disegni di massima e fotografie di un sistema acustico ricevente=== Nella figura è mostrata in pianta la composizione di un sistema acustico ricevente per sottomarino disposto secondo il profilo dello scafo <ref>Il diametro dei sensori non è in scala con le dimensioni del sottomarino, se lo fosse apparirebbero dei punti.</ref> di un sottomarino, questa geometria è detta a "Base conforme": [[File:conformesauro.jpg|thumb|left|300px|Sistema acustico - Base conforme vista in pianta ]] [[File:idrofonoipd70.jpg|thumb|right|150px| Idrofono a stecca del sonar IPD70S]] {{clear}} Fotografia di un singolo idrofono <ref> Le dimensioni di questo manufatto sono: Lunghezza 80 cm circa, diametro 5 cm circa </ref> fa parte dell'insieme della figura precedente. La disposizione degli idrofoni nel settore di prua del sottomarino, vista in prospettiva, <ref>La lunghezza totale della base, per sottomarini classe Sauro, era di 16 m circa. </ref>, è mostrata in figura: [[File:basetoti.jpg|thumb|right|250px|right|Prospetto base idrofonica]] [[File:sauro13dyc.jpg|thumb|upright=2|left|250px|Silhouette indicativa collocazione base conforme sottomarino Sauro]] La stessa disposizione della figura precedente è mostrata nel contesto dello scafo del sottomarino nella silhouette in figura: {{clear}} Ed in ultima una fotografia che mostra una parte del sistema acustico<ref> Porzione di base acustica messa in vista dopo la rimozione di una sezione del falso scafo.</ref> montato sullo scafo resistente del sottomarino: [[File:idroscafodtc.jpg|thumb|left|upright=1.8|300px|Vista di porzione di base conforme del sottomarino Toti]] {{clear}} === Geometria di ricezione del sistema acustico === [[File:00xdtc.jpg|thumb|right|400px|Supporto base acustica con diagramma polare]] Quando il suono emesso dal bersaglio colpisce la base acustica del sonar si può considerare la geometria di figura: Nella geometria si osserva: *Un tracciato polare chiuso dalla parte bassa con una banda nera, banda che rappresenta la schermatura dello scafo nei confronti dello schieramento dei sensori; questi possono ricevere, in via teorica, soltanto i suoni che provengono dalla parte superiore della banda nera. *Un bersaglio "B", posto in alto, ed il rumore da esso generato tracciato idealmente come una riga gialla che unisce il bersaglio stesso con la base acustica. *Un insieme di puntini neri che rappresentano il rumore del mare che avvolge tutto lo scafo del sottomarino. *Sulla destra, a memoria della struttura vera della base acustica, la fotografia già mostrata in precedenza. ===Composizione della direttività di una base idrofonica=== Per comprendere al meglio come la direttività di una base acustica, esaminata nel piano orizzontale, dipenda, oltre ad altri fattori, dal numero degli idrofoni impiegati nel processo di ricezione dei rumori emessi dai bersagli esaminiamo le diverse soluzioni ottenibili partendo dalla figura dell'ultima sezione. ====Direttività con 2 idrofoni==== [[File:7xdtc.jpg|thumb|left|400px|Curva di direttività base acustica con solo 2 idrofoni (andamento indicativo)]] Consideriamo la base acustica formata da 2 soli idrofoni <ref>Le figure riportate nel testo sono realizzate tramite un file.exe che consente la variazione del numero degli idrofoni e la fase successiva del calcolo indicativo delle curve di direttività </ref> idrofoni, la figura precedente assumerà un nuovo profilo nel quale si evidenzia in rosso un semicerchio a rappresentare che il settore di mare che viene ascoltato in eguale modo interessa tutti 180° prospicienti alla base acustica. Ciò significa che il rumore del bersaglio è ricevuto al massimo livello ma anche il rumore del mare viene captato sui 180° al massimo livello; questa condizione penalizza di fatto la ricezione del rumore emesso dal bersaglio che viene coperto dal rumore del mare ====Direttività con 4 idrofoni==== [[File:8xdtc.jpg|thumb|right|400px|Curva di direttività base acustica con 4 idrofoni (andamento indicativo)]] In virtù del miglioramento della caratteristica di direttività della base acustica con l'incremento del numero degli idrofoni vediamo quale vantaggio si ha portando questi da 2 a 4. La figura mostra che l'ampiezza della curva rossa si riduce nei settori distanti dalla direzione del bersaglio e il rumore del mare ,in tali settori, è meno sentito. L'arco rosso si chiude sensibilmente agli estremi del grafico; questo a vantaggio del rapporto tra il segnale emesso dal bersaglio e il rumore del mare. ====Direttività con 8 idrofoni==== [[File:9xdtc.jpg|thumb|left|400px|Curva di direttività base acustica con 8 idrofoni (andamento indicativo)]] Proseguendo con l'incremento del numero degli idrofoni si computa la direttività per 8 sensori ottenendo il nuovo grafico che mostra una sensibile riduzione d'ampiezza del tracciato rosso nei settori distanti dal segnale (segmento giallo): {{Clear}} ====Direttività con 16 idrofoni==== [[File:10xdtc.jpg|thumb|right|400px|Curva di direttività base acustica con 16 idrofoni (andamento indicativo)]] Incrementando ulteriormente il numero degli idrofoni, da 8 a 16 si osserva una progressiva riduzione dell'ampiezza dell'arco rosso comprendente la direzione del bersaglio, secondo le due figure successive con conseguente abbattimento del rumore del mare in costanza d'ampiezza del segnale del bersaglio sotteso sempre al valore massimo dell'arco rosso. {{Clear}} ====Direttività con 32 idrofoni==== [[File:11xdtc.jpg|thumb|left|400px|Curva di direttività base acustica con 32 idrofoni (andamento indicativo)]] Indicativamente è mostrata in figura la curva polare della direttività della base corredata con 32 idrofoni. {{Clear}} ===Osservazioni=== [[File:dtclobodtc.jpg|thumb|rght|200px |Lobo di direttività in 3D]] Le operazioni eseguite non cancellano completamente il rumore del mare visto che la riga gialla del segnale è contornata sempre, nell'ambito del tracciato rosso, dal rumore del mare anche se di modesta intensità. Nelle ultime due figure si evidenziano, alla base dei diagrammi rossi, dei piccoli lobi della direttività detti "lobi secondari", questi incrementano di poco il rumore del mare ma, in alcuni casi particolari, possono generare ambiguità nella determinazione della direzione del bersaglio. E' importante osservare che i diagrammi rossi, che definiscono la direttività della base, sono tracciati nel piano orizzontale. I grafici rappresentano di fatto una sezione, in tale piano, del solido che mostra la direttività in tutto lo spazio subacqueo: ==Note== <references/> [[Categoria: Sonar]] == Bibliografia == * {{Cita libro|nome= Christopher |cognome= Coleman |anno= 2004 |titolo= An Introduction to Radio Frequency Engineering |capitolo= Basic Concepts |editore= Cambridge University Press |città= | isbn = 0-521-83481-3 }} * {{cita libro|autore= Soc.USEA|titolo=Monografia apparato ecoidrofonico IP70 - Vol.I |editore= Archivio Arsenale Militare La Spezia |anno=1971 | cid= Monografia sonar IP70}} *{{Cita libro|autore=Giuseppe Pazienza|titolo=Fondamenti della localizzazione marina|città=La Spezia|editore=Studio grafico Restani|anno=1970|cid=Pazienza}} *{{Cita libro|autore=C. Del Turco|titolo=Sonar- Principi - Tecnologie – Applicazioni| editore=Tip. Moderna La Spezia|anno=1992|cid=Del Turco}} == Voci correlate == * [[Antenna direzionale]] == Collegamenti esterni == * {{Collegamenti esterni}} {{Antenne}} {{Portale|elettronica|telematica}} [[Categoria:sonar]] ibatl1y0pzfa0rwlg9n877f715jlm1x 285074 285064 2026-07-15T08:34:18Z ~2026-31655-25 46663 Annullata la modifica [[Special:Diff/285064|285064]] di [[Special:Contributions/NDG|NDG]] ([[User talk:NDG|discussione]]) 285074 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 0% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. ==1^== data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math>; Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^== data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^== Sia la funzione: <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math> Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^== La funzione è: <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math> Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^== La funzione è: ```text ==5^ - Derivata di <math>\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> ==6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> `` ==7^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> hlaljyoolndfzp0ucd1o9rj6jjk08ls 0 37636 285065 285061 2026-07-15T07:26:24Z ~2026-31655-25 46663 285065 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 25% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> 9d5mtpxi9ytbpoo5ho1s87qa5ccwbrd 285066 285065 2026-07-15T07:32:13Z ~2026-31655-25 46663 /* 1^ f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x */ 285066 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 25% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> .... ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> dkkii4g6izdm6pyiofs3i7mhtuwgbv2 285067 285066 2026-07-15T07:44:12Z ~2026-31655-25 46663 /* 1^ f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x */ 285067 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 25% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: .... ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> hmgda8ruq7uijqr9qimrhy4ho91929j 285068 285067 2026-07-15T07:45:15Z ~2026-31655-25 46663 /* 2^ f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} */ 285068 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 25% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: .... ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> .... ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> qs2d2snkrwjwrooxg5s9j9mp6o26hkl 285069 285068 2026-07-15T07:47:51Z ~2026-31655-25 46663 /* 1^ f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x */ 285069 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 25% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: .... .... ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> edvp1iwrbdsg54ux1y70phygulhjn2a 285070 285069 2026-07-15T07:48:34Z ~2026-31655-25 46663 /* Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA */ 285070 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 25% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> bes2240tsk0alwt6rycq20ne4eba4kb 285071 285070 2026-07-15T07:50:13Z ~2026-31655-25 46663 /* 1^ f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x */ 285071 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 25% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> 47vmw6ftdwa6my59b7mdxcmhvze71mg 285072 285071 2026-07-15T08:17:39Z ~2026-31655-25 46663 285072 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 25% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> sjrwjsf19bvkvjpkvfi8li13rgw5di9 285073 285072 2026-07-15T08:25:18Z ~2026-31655-25 46663 285073 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 25% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> lvyryrskgsxzbm7x0q5gz363tl9kgkv