Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.11 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 2 32649 285107 283986 2026-07-20T06:15:59Z Funzioni di correlazione 24136 Pagina sostituita con '== Introduzione alle Derivate di funzioni== Una chiara ed esaustiva spiegazione sul concetto di derivata di funzione è trattata su Wikiversiti all'indirizzo;' 285107 wikitext text/x-wiki == Introduzione alle Derivate di funzioni== Una chiara ed esaustiva spiegazione sul concetto di derivata di funzione è trattata su Wikiversiti all'indirizzo; lrpdltb2drg6gjiu6h9zd0lposx9olj 285108 285107 2026-07-20T06:19:03Z Funzioni di correlazione 24136 /* Introduzione alle Derivate di funzioni */ 285108 wikitext text/x-wiki == Introduzione alle Derivate di funzioni== Una chiara ed esaustiva spiegazione sul concetto di derivata di funzione è trattata su Wikiversiti all'indirizzo: mclwpdneglilun4k74r726sqnh8zszy 285109 285108 2026-07-20T06:22:06Z Funzioni di correlazione 24136 /* Introduzione alle Derivate di funzioni */ 285109 wikitext text/x-wiki == Introduzione alle Derivate di funzioni== Una chiara ed esaustiva spiegazione sul concetto di Derivata di funzione è trattata su Wikiversità all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Funzioni_derivabili_e_derivata_di_una_funzione] Sulle derivate di funzioni] nk0x54y0ya78m9ech1lytdsigykxqlv 285110 285109 2026-07-20T06:24:56Z Funzioni di correlazione 24136 /* Introduzione alle Derivate di funzioni */ 285110 wikitext text/x-wiki == Introduzione alle Derivate di funzioni== Una chiara ed esaustiva spiegazione sul concetto di Derivata di funzione è trattata su Wikiversità all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Funzioni_derivabili_e_derivata_di_una_funzione] Sulle derivate di funzioni] Spiegazione che inizia con: '''Diamo prima la definizione di derivata di una funzione, poi discutiamone il significato.''' gygnscf1ldu3xw1aekcw7du6ifvkf8d 285111 285110 2026-07-20T06:38:15Z Funzioni di correlazione 24136 /* Introduzione alle Derivate di funzioni */ 285111 wikitext text/x-wiki == Introduzione alle Derivate di funzioni== Una chiara ed esaustiva spiegazione sul concetto di Derivata di funzione è trattata su Wikiversità all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Funzioni_derivabili_e_derivata_di_una_funzione] Sulle derivate di funzioni] Spiegazione che inizia con: '''Diamo prima la definizione di derivata di una funzione, poi discutiamone il significato.''' 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Zwirner- CEDAM Padova''' jxzfzzdxu5trxfnwcai91fvcgx532bz 285117 285116 2026-07-20T06:48:39Z Funzioni di correlazione 24136 /* Introduzione alle Derivate di funzioni */ 285117 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Analisi matematica}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle derivate|corso1=}} == Introduzione alle derivate di funzioni== Una chiara ed esaustiva spiegazione sul concetto di Derivata di funzione è trattata su Wikiversità all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Funzioni_derivabili_e_derivata_di_una_funzione] Sulle derivate di funzioni] Spiegazione che inizia con: '''Diamo prima la definizione di derivata di una funzione, poi discutiamone il significato.''' Questa pagina illustra invece lo svolgimento dettagliato di una notevole serie di esercizi sul calcolo delle derivate. Lo sviluppo degli esercizi è ottenuto mediante richiesta d'operazione ad IA (Intelligenza Artificiale) controllando il risultato con gli esercizi proposti dal testo: '''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova''' lkoho3b2aptzedaa8tw99wrh294rxag 285118 285117 2026-07-20T06:53:32Z Funzioni di correlazione 24136 /* Introduzione alle derivate di funzioni */ 285118 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Analisi matematica}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle derivate|corso1=}} == Introduzione alle derivate di funzioni== Una chiara ed esaustiva spiegazione sul concetto di Derivata di funzione è trattata su Wikiversità all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Funzioni_derivabili_e_derivata_di_una_funzione] Sulle derivate di funzioni] Spiegazione che inizia con: '''Diamo prima la definizione di derivata di una funzione, poi discutiamone il significato.''' Questa pagina illustra invece lo svolgimento dettagliato di una notevole serie di esercizi sul calcolo delle derivate. Lo sviluppo degli esercizi è ottenuto mediante richiesta d'operazione ad IA (Intelligenza Artificiale) controllando il risultato con gli esercizi proposti dal testo: '''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova''' ==Esercizi di calcolo delle derivate secondo il rapporto incrementale== Il calcolo di ogni singola funzione è preceduto da una tabella che raccoglie una serie di funzioni elementari. qdc09swjiwnafjk6u8r0reb9j2ul0lj 285119 285118 2026-07-20T06:55:56Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizi di calcolo delle derivate secondo il rapporto incrementale */ 285119 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Analisi matematica}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle derivate|corso1=}} == Introduzione alle derivate di funzioni== Una chiara ed esaustiva spiegazione sul concetto di Derivata di funzione è trattata su Wikiversità all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Funzioni_derivabili_e_derivata_di_una_funzione] Sulle derivate di funzioni] Spiegazione che inizia con: '''Diamo prima la definizione di derivata di una funzione, poi discutiamone il significato.''' Questa pagina illustra invece lo svolgimento dettagliato di una notevole serie di esercizi sul calcolo delle derivate. Lo sviluppo degli esercizi è ottenuto mediante richiesta d'operazione ad IA (Intelligenza Artificiale) controllando il risultato con gli esercizi proposti dal testo: '''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova''' ==Esercizi di calcolo delle derivate secondo il rapporto incrementale== Il calcolo di ogni singola funzione è preceduto da una tabella che raccoglie una serie di funzioni elementari. ==Sulle derivate delle funzioni trascendenti in base al rapporto incrementale e con gli algoritmi standard.== ==Prima delle derivate un elenco delle funzioni trascendenti== [[https://drive.google.com/file/d/1cSCiu82mF26ZRJYYiZ98snZt2fZafxrl/view?usp=drive_link]Elenco da IA] ==Elenco delle funzioni trigonometriche e loro derivate== Come ausilio ai processi di calcolo l'elenco delle derivate delle funzioni trigonometriche elementari: [[https://drive.google.com/file/d/1kcaMmfCZOUHznBR0vngdBob5rEU-6oNg/view?usp=drive_link] Elenco da IA] ==Esempio di calcolo della derivata di una funzione trigonometrica in base al rapporto incrementale== Calcolare <math>{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\tan(z)}</math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia in IA la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = Tan x usando il rapporto incrementale''' (formulazione domanda con metodo misto: discorsivo e basic) 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1Zvklg9SN6p90L3JFyLuXFveWZ4cz2s2H/view?usp=drive_link]Soluzione secondo IA] ==Derivata di una funzione con le regole classiche== Data <math>f(x) = (x^2 + 1)\,e^{3x}\,\sin(x)</math> Sequenza di lavoro per il computo della derivata: Si copia in IA la seguente scrittura in grassetto: '''Calcoliamo la derivata di y = Tan x con le regole standard di derivazione''' (formulazione discorsiva e basic) La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/17lH7sg71Gp7bFsJ2v2q5HYLmXlnKUtnr/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco delle funzioni ciclometriche e loro derivate== Come ausilio ai processi di calcolo l'elenco delle derivate delle funzioni ciclometriche elementari: <math> \begin{aligned} &\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arccot}x=-\frac{1}{1+x^2}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \end{aligned} </math> ==Funzioni ciclometriche: calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale== Calcolo derivata di <math> y = \arcsin \ x </math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = arcsin x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1BP5KGnomazWW9X7SAUmiDIrE49Bn5qJc/view?usp=drive_link]] ==Elenco delle funzioni iperboliche e le loro derivate== <math>\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math> <math>\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}</math> <math>\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}</math> <math>\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x}</math> <math>\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}</math> <math>\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x}</math> <math>\frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x</math> <math>\frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x</math> <math>\frac{d}{dx}\tanh x = \operatorname{sech}^2 x</math> <math>\frac{d}{dx}\coth x = -\operatorname{csch}^2 x</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{sech} x = -\operatorname{sech} x\,\tanh x</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{csch} x = -\operatorname{csch} x\,\coth x</math> ==Funzioni iperboliche: calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale== La funzione da integrare: <math> y = arctanh(x) </math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = arctanh (x) usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere:]] [[https://drive.google.com/file/d/1v6jyC--EMJS9zBmHqqXK-5yQHHahlmMT/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco delle funzioni iperboliche inverse e le loro derivate== <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1-x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcoth} x = \frac{1}{1-x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arsech} x = -\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcsch} x = -\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}</math> ==Funzioni iperboliche inverse : calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale== Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = artanh x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1K_ftEaH5cDqt7CiPezFuQncFsnQkKPNZ/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco delle funzioni logaritmiche e loro derivate== * Logaritmo naturale: <math>\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}, \qquad x>0</math> * Logaritmo in base <math>a</math>: <math>\frac{d}{dx}\log_a(x)=\frac{1}{x\ln(a)}, \qquad a>0,\ a\neq1,\ x>0</math> * Logaritmo di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\ln(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)}, \qquad f(x)>0</math> * Logaritmo in base <math>a</math> di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\log_a(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)\ln(a)}, \qquad a>0,\ a\neq1,\ f(x)>0</math> * Logaritmo del valore assoluto: <math>\frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x}, \qquad x\neq0</math> * Logaritmo del valore assoluto di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\ln|f(x)|=\frac{f'(x)}{f(x)}, \qquad f(x)\neq0</math> ==Calcolo della derivata di una funzione logaritmica== sequenza di lavoro: Data la funzione: <math> y = \ln x </math> 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = ln (x) usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1YymCq7gNrt5TeSKMd_NXaU5UyKVnjFfB/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco funzioni esponenziali e loro derivate== * <math>f(x)=e^x</math> → <math>f'(x)=e^x</math> * <math>f(x)=e^{ax}</math> → <math>f'(x)=ae^{ax}</math> * <math>f(x)=e^{g(x)}</math> → <math>f'(x)=g'(x)e^{g(x)}</math> * <math>f(x)=a^x,\quad a>0,\ a\neq1</math> → <math>f'(x)=a^x\ln(a)</math> * <math>f(x)=a^{g(x)}</math> → <math>f'(x)=a^{g(x)}\ln(a)\,g'(x)</math> * <math>f(x)=x^x,\quad x>0</math> → <math>f'(x)=x^x(\ln x+1)</math> * <math>f(x)=x^a</math> → <math>f'(x)=ax^{a-1}</math> * <math>f(x)=g(x)^{h(x)}</math> → <math>f'(x)=g(x)^{h(x)}\left(h'(x)\ln(g(x))+h(x)\frac{g'(x)}{g(x)}\right)</math> ==Calcolo derivata funzione esponenziale con il rapporto incrementale== Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = e^x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1F02HpzFzyEb3AzUBzNJeiLRIVkocxWYG/view?usp=drive_link]Risposta] ==Calcolo della derivta di una funzione d'esempio con le regole standad == <math> \text{Sia } f(x)=x^3+2x^2-5x+7. </math> <math> \text{Calcoliamo la derivata applicando le regole standard di derivazione.} </math> <math> \frac{d}{dx}\left(x^3+2x^2-5x+7\right) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(7) </math> <math> = 3x^2 + 2\cdot2x - 5\cdot1 + 0 </math> <math> = 3x^2+4x-5. </math> <math> {f'(x)=3x^2+4x-5} </math> mqjxietpgrdbl7vylm5usi0wguqzmsc 285120 285119 2026-07-20T07:06:39Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizi di calcolo delle derivate secondo il rapporto incrementale */ 285120 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Analisi matematica}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle derivate|corso1=}} == Introduzione alle derivate di funzioni== Una chiara ed esaustiva spiegazione sul concetto di Derivata di funzione è trattata su Wikiversità all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Funzioni_derivabili_e_derivata_di_una_funzione] Sulle derivate di funzioni] Spiegazione che inizia con: '''Diamo prima la definizione di derivata di una funzione, poi discutiamone il significato.''' Questa pagina illustra invece lo svolgimento dettagliato di una notevole serie di esercizi sul calcolo delle derivate. Lo sviluppo degli esercizi è ottenuto mediante richiesta d'operazione ad IA (Intelligenza Artificiale) controllando il risultato con gli esercizi proposti dal testo: '''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova''' ==Sulle derivate delle funzioni trascendenti in base al rapporto incrementale e con gli algoritmi standard.== ==Prima delle derivate un elenco delle funzioni trascendenti== [[https://drive.google.com/file/d/1cSCiu82mF26ZRJYYiZ98snZt2fZafxrl/view?usp=drive_link]Elenco da IA] ==Elenco delle funzioni trigonometriche e loro derivate== Come ausilio ai processi di calcolo l'elenco delle derivate delle funzioni trigonometriche elementari: [[https://drive.google.com/file/d/1kcaMmfCZOUHznBR0vngdBob5rEU-6oNg/view?usp=drive_link] Elenco da IA] ==Esempio di calcolo della derivata di una funzione trigonometrica in base al rapporto incrementale== Calcolare <math>{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\tan(z)}</math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia in IA la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = Tan x usando il rapporto incrementale''' (formulazione domanda con metodo misto: discorsivo e basic) 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1Zvklg9SN6p90L3JFyLuXFveWZ4cz2s2H/view?usp=drive_link]Soluzione secondo IA] ==Derivata di una funzione con le regole classiche== Data <math>f(x) = (x^2 + 1)\,e^{3x}\,\sin(x)</math> Sequenza di lavoro per il computo della derivata: Si copia in IA la seguente scrittura in grassetto: '''Calcoliamo la derivata di y = Tan x con le regole standard di derivazione''' (formulazione discorsiva e basic) La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/17lH7sg71Gp7bFsJ2v2q5HYLmXlnKUtnr/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco delle funzioni ciclometriche e loro derivate== Come ausilio ai processi di calcolo l'elenco delle derivate delle funzioni ciclometriche elementari: <math> \begin{aligned} &\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arccot}x=-\frac{1}{1+x^2}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \end{aligned} </math> ==Funzioni ciclometriche: calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale== Calcolo derivata di <math> y = \arcsin \ x </math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = arcsin x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1BP5KGnomazWW9X7SAUmiDIrE49Bn5qJc/view?usp=drive_link]] ==Elenco delle funzioni iperboliche e le loro derivate== <math>\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math> <math>\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}</math> <math>\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}</math> <math>\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x}</math> <math>\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}</math> <math>\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x}</math> <math>\frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x</math> <math>\frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x</math> <math>\frac{d}{dx}\tanh x = \operatorname{sech}^2 x</math> <math>\frac{d}{dx}\coth x = -\operatorname{csch}^2 x</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{sech} x = -\operatorname{sech} x\,\tanh x</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{csch} x = -\operatorname{csch} x\,\coth x</math> ==Funzioni iperboliche: calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale== La funzione da integrare: <math> y = arctanh(x) </math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = arctanh (x) usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere:]] [[https://drive.google.com/file/d/1v6jyC--EMJS9zBmHqqXK-5yQHHahlmMT/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco delle funzioni iperboliche inverse e le loro derivate== <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1-x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcoth} x = \frac{1}{1-x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arsech} x = -\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcsch} x = -\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}</math> ==Funzioni iperboliche inverse : calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale== Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = artanh x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1K_ftEaH5cDqt7CiPezFuQncFsnQkKPNZ/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco delle funzioni logaritmiche e loro derivate== * Logaritmo naturale: <math>\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}, \qquad x>0</math> * Logaritmo in base <math>a</math>: <math>\frac{d}{dx}\log_a(x)=\frac{1}{x\ln(a)}, \qquad a>0,\ a\neq1,\ x>0</math> * Logaritmo di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\ln(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)}, \qquad f(x)>0</math> * Logaritmo in base <math>a</math> di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\log_a(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)\ln(a)}, \qquad a>0,\ a\neq1,\ f(x)>0</math> * Logaritmo del valore assoluto: <math>\frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x}, \qquad x\neq0</math> * Logaritmo del valore assoluto di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\ln|f(x)|=\frac{f'(x)}{f(x)}, \qquad f(x)\neq0</math> ==Calcolo della derivata di una funzione logaritmica== sequenza di lavoro: Data la funzione: <math> y = \ln x </math> 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = ln (x) usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1YymCq7gNrt5TeSKMd_NXaU5UyKVnjFfB/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco funzioni esponenziali e loro derivate== * <math>f(x)=e^x</math> → <math>f'(x)=e^x</math> * <math>f(x)=e^{ax}</math> → <math>f'(x)=ae^{ax}</math> * <math>f(x)=e^{g(x)}</math> → <math>f'(x)=g'(x)e^{g(x)}</math> * <math>f(x)=a^x,\quad a>0,\ a\neq1</math> → <math>f'(x)=a^x\ln(a)</math> * <math>f(x)=a^{g(x)}</math> → <math>f'(x)=a^{g(x)}\ln(a)\,g'(x)</math> * <math>f(x)=x^x,\quad x>0</math> → <math>f'(x)=x^x(\ln x+1)</math> * <math>f(x)=x^a</math> → <math>f'(x)=ax^{a-1}</math> * <math>f(x)=g(x)^{h(x)}</math> → <math>f'(x)=g(x)^{h(x)}\left(h'(x)\ln(g(x))+h(x)\frac{g'(x)}{g(x)}\right)</math> ==Calcolo derivata funzione esponenziale con il rapporto incrementale== Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = e^x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1F02HpzFzyEb3AzUBzNJeiLRIVkocxWYG/view?usp=drive_link]Risposta] ==Calcolo della derivta di una funzione d'esempio con le regole standad == <math> \text{Sia } f(x)=x^3+2x^2-5x+7. </math> <math> \text{Calcoliamo la derivata applicando le regole standard di derivazione.} </math> <math> \frac{d}{dx}\left(x^3+2x^2-5x+7\right) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(7) </math> <math> = 3x^2 + 2\cdot2x - 5\cdot1 + 0 </math> <math> = 3x^2+4x-5. </math> <math> {f'(x)=3x^2+4x-5} </math> 4nocolqaj3n6ejpbq9ynblrt22g0cv2 285121 285120 2026-07-20T08:53:52Z Funzioni di correlazione 24136 /* Prima delle derivate un elenco delle funzioni trascendenti */ 285121 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Analisi matematica}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle derivate|corso1=}} == Introduzione alle derivate di funzioni== Una chiara ed esaustiva spiegazione sul concetto di Derivata di funzione è trattata su Wikiversità all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Funzioni_derivabili_e_derivata_di_una_funzione] Sulle derivate di funzioni] Spiegazione che inizia con: '''Diamo prima la definizione di derivata di una funzione, poi discutiamone il significato.''' Questa pagina illustra invece lo svolgimento dettagliato di una notevole serie di esercizi sul calcolo delle derivate. Lo sviluppo degli esercizi è ottenuto mediante richiesta d'operazione ad IA (Intelligenza Artificiale) controllando il risultato con gli esercizi proposti dal testo: '''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova''' ==Sulle derivate delle funzioni trascendenti in base al rapporto incrementale e con gli algoritmi standard.== ==Prima delle derivate un elenco delle funzioni trascendenti== Di seguito trovi un testo in formato **grezzo per Wikipedia**, pronto per il copia-incolla. Ogni espressione matematica è racchiusa tra i tag `<math>...</math>`. ```wiki = Elenco delle funzioni trigonometriche e loro derivate = == Seno == Funzione: <math>y=\sin x</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> Dimostrazione: <math>y=\sin x</math> <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}</math> Usando la formula di addizione: <math>\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h</math> Sostituendo: <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}</math> Separando: <math>\frac{dy}{dx}=\sin x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}</math> Poiché <math>\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0</math> e <math>\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1</math> segue <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> ---- == Coseno == Funzione: <math>y=\cos x</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> Dimostrazione: <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}</math> Usando <math>\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h</math> si ottiene <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h}</math> Separando <math>\frac{dy}{dx}=\cos x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}</math> Applicando i limiti fondamentali <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> ---- == Tangente == Funzione: <math>y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x=\frac{1}{\cos^2x}</math> Dimostrazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Applicando la regola del quoziente <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2}</math> con <math>u=\sin x</math> <math>v=\cos x</math> si ha <math>u'=\cos x</math> <math>v'=-\sin x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\tan x= \frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}</math> Usando <math>\sin^2x+\cos^2x=1</math> segue <math>\frac{d}{dx}\tan x=\frac1{\cos^2x}=\sec^2x</math> ---- == Cotangente == Funzione: <math>y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x=-\frac1{\sin^2x}</math> Dimostrazione: <math>\frac{d}{dx}\cot x= \frac{(-\sin x)\sin x-\cos^2x}{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x= -\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x= -\frac1{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x</math> ---- == Secante == Funzione: <math>y=\sec x=\frac1{\cos x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> Dimostrazione: <math>y=(\cos x)^{-1}</math> Applicando la regola della potenza <math>\frac{dy}{dx} =-1(\cos x)^{-2}(-\sin x)</math> <math>\frac{dy}{dx} =\frac{\sin x}{\cos^2x}</math> Scrivendo <math>\frac1{\cos x}=\sec x</math> e <math>\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x</math> segue <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> ---- == Cosecante == Funzione: <math>y=\csc x=\frac1{\sin x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> Dimostrazione: <math>y=(\sin x)^{-1}</math> Applicando la regola della potenza <math>\frac{dy}{dx} =-1(\sin x)^{-2}\cos x</math> <math>\frac{dy}{dx} =-\frac{\cos x}{\sin^2x}</math> Poiché <math>\frac1{\sin x}=\csc x</math> e <math>\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x</math> segue <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> ---- == Tabella riassuntiva == {| class="wikitable" ! Funzione ! Derivata |- | <math>\sin x</math> | <math>\cos x</math> |- | <math>\cos x</math> | <math>-\sin x</math> |- | <math>\tan x</math> | <math>\sec^2x</math> |- | <math>\cot x</math> | <math>-\csc^2x</math> |- | <math>\sec x</math> | <math>\sec x\tan x</math> |- | <math>\csc x</math> | <math>-\csc x\cot x</math> |} ``` Questo testo è già nel formato wiki, con tutte le formule racchiuse nei tag `<math>...</math>` e con il percorso di calcolo completo per ciascuna delle sei funzioni trigonometriche principali. ==Elenco delle funzioni trigonometriche e loro derivate== Come ausilio ai processi di calcolo l'elenco delle derivate delle funzioni trigonometriche elementari: [[https://drive.google.com/file/d/1kcaMmfCZOUHznBR0vngdBob5rEU-6oNg/view?usp=drive_link] Elenco da IA] ==Esempio di calcolo della derivata di una funzione trigonometrica in base al rapporto incrementale== Calcolare <math>{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\tan(z)}</math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia in IA la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = Tan x usando il rapporto incrementale''' (formulazione domanda con metodo misto: discorsivo e basic) 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1Zvklg9SN6p90L3JFyLuXFveWZ4cz2s2H/view?usp=drive_link]Soluzione secondo IA] ==Derivata di una funzione con le regole classiche== Data <math>f(x) = (x^2 + 1)\,e^{3x}\,\sin(x)</math> Sequenza di lavoro per il computo della derivata: Si copia in IA la seguente scrittura in grassetto: '''Calcoliamo la derivata di y = Tan x con le regole standard di derivazione''' (formulazione discorsiva e basic) La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/17lH7sg71Gp7bFsJ2v2q5HYLmXlnKUtnr/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco delle funzioni ciclometriche e loro derivate== Come ausilio ai processi di calcolo l'elenco delle derivate delle funzioni ciclometriche elementari: <math> \begin{aligned} &\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arccot}x=-\frac{1}{1+x^2}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \end{aligned} </math> ==Funzioni ciclometriche: calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale== Calcolo derivata di <math> y = \arcsin \ x </math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = arcsin x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1BP5KGnomazWW9X7SAUmiDIrE49Bn5qJc/view?usp=drive_link]] ==Elenco delle funzioni iperboliche e le loro derivate== <math>\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math> <math>\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}</math> <math>\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}</math> <math>\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x}</math> <math>\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}</math> <math>\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x}</math> <math>\frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x</math> <math>\frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x</math> <math>\frac{d}{dx}\tanh x = \operatorname{sech}^2 x</math> <math>\frac{d}{dx}\coth x = -\operatorname{csch}^2 x</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{sech} x = -\operatorname{sech} x\,\tanh x</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{csch} x = -\operatorname{csch} x\,\coth x</math> ==Funzioni iperboliche: calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale== La funzione da integrare: <math> y = arctanh(x) </math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = arctanh (x) usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere:]] [[https://drive.google.com/file/d/1v6jyC--EMJS9zBmHqqXK-5yQHHahlmMT/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco delle funzioni iperboliche inverse e le loro derivate== <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1-x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcoth} x = \frac{1}{1-x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arsech} x = -\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcsch} x = -\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}</math> ==Funzioni iperboliche inverse : calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale== Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = artanh x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1K_ftEaH5cDqt7CiPezFuQncFsnQkKPNZ/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco delle funzioni logaritmiche e loro derivate== * Logaritmo naturale: <math>\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}, \qquad x>0</math> * Logaritmo in base <math>a</math>: <math>\frac{d}{dx}\log_a(x)=\frac{1}{x\ln(a)}, \qquad a>0,\ a\neq1,\ x>0</math> * Logaritmo di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\ln(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)}, \qquad f(x)>0</math> * Logaritmo in base <math>a</math> di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\log_a(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)\ln(a)}, \qquad a>0,\ a\neq1,\ f(x)>0</math> * Logaritmo del valore assoluto: <math>\frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x}, \qquad x\neq0</math> * Logaritmo del valore assoluto di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\ln|f(x)|=\frac{f'(x)}{f(x)}, \qquad f(x)\neq0</math> ==Calcolo della derivata di una funzione logaritmica== sequenza di lavoro: Data la funzione: <math> y = \ln x </math> 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = ln (x) usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1YymCq7gNrt5TeSKMd_NXaU5UyKVnjFfB/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco funzioni esponenziali e loro derivate== * <math>f(x)=e^x</math> → <math>f'(x)=e^x</math> * <math>f(x)=e^{ax}</math> → <math>f'(x)=ae^{ax}</math> * <math>f(x)=e^{g(x)}</math> → <math>f'(x)=g'(x)e^{g(x)}</math> * <math>f(x)=a^x,\quad a>0,\ a\neq1</math> → <math>f'(x)=a^x\ln(a)</math> * <math>f(x)=a^{g(x)}</math> → <math>f'(x)=a^{g(x)}\ln(a)\,g'(x)</math> * <math>f(x)=x^x,\quad x>0</math> → <math>f'(x)=x^x(\ln x+1)</math> * <math>f(x)=x^a</math> → <math>f'(x)=ax^{a-1}</math> * <math>f(x)=g(x)^{h(x)}</math> → <math>f'(x)=g(x)^{h(x)}\left(h'(x)\ln(g(x))+h(x)\frac{g'(x)}{g(x)}\right)</math> ==Calcolo derivata funzione esponenziale con il rapporto incrementale== Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = e^x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1F02HpzFzyEb3AzUBzNJeiLRIVkocxWYG/view?usp=drive_link]Risposta] ==Calcolo della derivta di una funzione d'esempio con le regole standad == <math> \text{Sia } f(x)=x^3+2x^2-5x+7. </math> <math> \text{Calcoliamo la derivata applicando le regole standard di derivazione.} </math> <math> \frac{d}{dx}\left(x^3+2x^2-5x+7\right) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(7) </math> <math> = 3x^2 + 2\cdot2x - 5\cdot1 + 0 </math> <math> = 3x^2+4x-5. </math> <math> {f'(x)=3x^2+4x-5} </math> 0mwj6vqxigzpgtkzgw07r9vh8uzhduo 285122 285121 2026-07-20T08:55:50Z Funzioni di correlazione 24136 /* Prima delle derivate un elenco delle funzioni trascendenti */ 285122 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Analisi matematica}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle derivate|corso1=}} == Introduzione alle derivate di funzioni== Una chiara ed esaustiva spiegazione sul concetto di Derivata di funzione è trattata su Wikiversità all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Funzioni_derivabili_e_derivata_di_una_funzione] Sulle derivate di funzioni] Spiegazione che inizia con: '''Diamo prima la definizione di derivata di una funzione, poi discutiamone il significato.''' Questa pagina illustra invece lo svolgimento dettagliato di una notevole serie di esercizi sul calcolo delle derivate. Lo sviluppo degli esercizi è ottenuto mediante richiesta d'operazione ad IA (Intelligenza Artificiale) controllando il risultato con gli esercizi proposti dal testo: '''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova''' ==Sulle derivate delle funzioni trascendenti in base al rapporto incrementale e con gli algoritmi standard.== ==Prima delle derivate un elenco delle funzioni trascendenti== Di seguito trovi un testo in formato **grezzo per Wikipedia**, pronto per il copia-incolla. Ogni espressione matematica è racchiusa tra i tag `<math>...</math>`. ```wiki = Elenco delle funzioni trigonometriche e loro derivate = == Seno == Funzione: <math>y=\sin x</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> Dimostrazione: <math>y=\sin x</math> <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}</math> Usando la formula di addizione: <math>\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h</math> Sostituendo: <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}</math> Separando: <math>\frac{dy}{dx}=\sin x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}</math> Poiché <math>\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0</math> e <math>\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1</math> segue <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> ---- == Coseno == Funzione: <math>y=\cos x</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> Dimostrazione: <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}</math> Usando <math>\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h</math> si ottiene <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h}</math> Separando <math>\frac{dy}{dx}=\cos x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}</math> Applicando i limiti fondamentali <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> ---- == Tangente == Funzione: <math>y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x=\frac{1}{\cos^2x}</math> Dimostrazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Applicando la regola del quoziente <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2}</math> con <math>u=\sin x</math> <math>v=\cos x</math> si ha <math>u'=\cos x</math> <math>v'=-\sin x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\tan x= \frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}</math> Usando <math>\sin^2x+\cos^2x=1</math> segue <math>\frac{d}{dx}\tan x=\frac1{\cos^2x}=\sec^2x</math> ---- == Cotangente == Funzione: <math>y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x=-\frac1{\sin^2x}</math> Dimostrazione: <math>\frac{d}{dx}\cot x= \frac{(-\sin x)\sin x-\cos^2x}{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x= -\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x= -\frac1{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x</math> ---- == Secante == Funzione: <math>y=\sec x=\frac1{\cos x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> Dimostrazione: <math>y=(\cos x)^{-1}</math> Applicando la regola della potenza <math>\frac{dy}{dx} =-1(\cos x)^{-2}(-\sin x)</math> <math>\frac{dy}{dx} =\frac{\sin x}{\cos^2x}</math> Scrivendo <math>\frac1{\cos x}=\sec x</math> e <math>\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x</math> segue <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> ---- == Cosecante == Funzione: <math>y=\csc x=\frac1{\sin x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> Dimostrazione: <math>y=(\sin x)^{-1}</math> Applicando la regola della potenza <math>\frac{dy}{dx} =-1(\sin x)^{-2}\cos x</math> <math>\frac{dy}{dx} =-\frac{\cos x}{\sin^2x}</math> Poiché <math>\frac1{\sin x}=\csc x</math> e <math>\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x</math> segue <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> ---- == Tabella riassuntiva == {| class="wikitable" ! Funzione ! Derivata |- | <math>\sin x</math> | <math>\cos x</math> |- | <math>\cos x</math> | <math>-\sin x</math> |- | <math>\tan x</math> | <math>\sec^2x</math> |- | <math>\cot x</math> | <math>-\csc^2x</math> |- | <math>\sec x</math> | <math>\sec x\tan x</math> |- | <math>\csc x</math> | <math>-\csc x\cot x</math> |} ``` Questo testo è già nel formato wiki, con tutte le formule racchiuse nei tag `<math>...</math>` e con il percorso di calcolo completo per ciascuna delle sei funzioni trigonometriche principali. = Elenco delle funzioni trigonometriche e loro derivate = == Seno == Funzione: <math>y=\sin x</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> Dimostrazione: <math>y=\sin x</math> <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}</math> Usando la formula di addizione: <math>\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h</math> Sostituendo: <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}</math> Separando: <math>\frac{dy}{dx}=\sin x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}</math> Poiché <math>\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0</math> e <math>\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1</math> segue <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> ---- == Coseno == Funzione: <math>y=\cos x</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> Dimostrazione: <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}</math> Usando <math>\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h</math> si ottiene <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h}</math> Separando <math>\frac{dy}{dx}=\cos x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}</math> Applicando i limiti fondamentali <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> ---- == Tangente == Funzione: <math>y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x=\frac{1}{\cos^2x}</math> Dimostrazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Applicando la regola del quoziente <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2}</math> con <math>u=\sin x</math> <math>v=\cos x</math> si ha <math>u'=\cos x</math> <math>v'=-\sin x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\tan x= \frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}</math> Usando <math>\sin^2x+\cos^2x=1</math> segue <math>\frac{d}{dx}\tan x=\frac1{\cos^2x}=\sec^2x</math> ---- == Cotangente == Funzione: <math>y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x=-\frac1{\sin^2x}</math> Dimostrazione: <math>\frac{d}{dx}\cot x= \frac{(-\sin x)\sin x-\cos^2x}{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x= -\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x= -\frac1{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x</math> ---- == Secante == Funzione: <math>y=\sec x=\frac1{\cos x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> Dimostrazione: <math>y=(\cos x)^{-1}</math> Applicando la regola della potenza <math>\frac{dy}{dx} =-1(\cos x)^{-2}(-\sin x)</math> <math>\frac{dy}{dx} =\frac{\sin x}{\cos^2x}</math> Scrivendo <math>\frac1{\cos x}=\sec x</math> e <math>\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x</math> segue <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> ---- == Cosecante == Funzione: <math>y=\csc x=\frac1{\sin x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> Dimostrazione: <math>y=(\sin x)^{-1}</math> Applicando la regola della potenza <math>\frac{dy}{dx} =-1(\sin x)^{-2}\cos x</math> <math>\frac{dy}{dx} =-\frac{\cos x}{\sin^2x}</math> Poiché <math>\frac1{\sin x}=\csc x</math> e <math>\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x</math> segue <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> ---- == Tabella riassuntiva == {| class="wikitable" ! Funzione ! Derivata |- | <math>\sin x</math> | <math>\cos x</math> |- | <math>\cos x</math> | <math>-\sin x</math> |- | <math>\tan x</math> | <math>\sec^2x</math> |- | <math>\cot x</math> | <math>-\csc^2x</math> |- | <math>\sec x</math> | <math>\sec x\tan x</math> |- | <math>\csc x</math> | <math>-\csc x\cot x</math> |} ``` Questo testo è già nel formato wiki, con tutte le formule racchiuse nei tag `<math>...</math>` e con il percorso di calcolo completo per ciascuna delle sei funzioni trigonometriche principali. ==Elenco delle funzioni trigonometriche e loro derivate== Come ausilio ai processi di calcolo l'elenco delle derivate delle funzioni trigonometriche elementari: [[https://drive.google.com/file/d/1kcaMmfCZOUHznBR0vngdBob5rEU-6oNg/view?usp=drive_link] Elenco da IA] ==Esempio di calcolo della derivata di una funzione trigonometrica in base al rapporto incrementale== Calcolare <math>{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\tan(z)}</math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia in IA la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = Tan x usando il rapporto incrementale''' (formulazione domanda con metodo misto: discorsivo e basic) 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1Zvklg9SN6p90L3JFyLuXFveWZ4cz2s2H/view?usp=drive_link]Soluzione secondo IA] ==Derivata di una funzione con le regole classiche== Data <math>f(x) = (x^2 + 1)\,e^{3x}\,\sin(x)</math> Sequenza di lavoro per il computo della derivata: Si copia in IA la seguente scrittura in grassetto: '''Calcoliamo la derivata di y = Tan x con le regole standard di derivazione''' (formulazione discorsiva e basic) La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/17lH7sg71Gp7bFsJ2v2q5HYLmXlnKUtnr/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco delle funzioni ciclometriche e loro derivate== Come ausilio ai processi di calcolo l'elenco delle derivate delle funzioni ciclometriche elementari: <math> \begin{aligned} &\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arccot}x=-\frac{1}{1+x^2}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \end{aligned} </math> ==Funzioni ciclometriche: calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale== Calcolo derivata di <math> y = \arcsin \ x </math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = arcsin x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1BP5KGnomazWW9X7SAUmiDIrE49Bn5qJc/view?usp=drive_link]] ==Elenco delle funzioni iperboliche e le loro derivate== <math>\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math> <math>\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}</math> <math>\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}</math> <math>\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x}</math> <math>\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}</math> <math>\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x}</math> <math>\frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x</math> <math>\frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x</math> <math>\frac{d}{dx}\tanh x = \operatorname{sech}^2 x</math> <math>\frac{d}{dx}\coth x = -\operatorname{csch}^2 x</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{sech} x = -\operatorname{sech} x\,\tanh x</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{csch} x = -\operatorname{csch} x\,\coth x</math> ==Funzioni iperboliche: calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale== La funzione da integrare: <math> y = arctanh(x) </math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = arctanh (x) usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere:]] [[https://drive.google.com/file/d/1v6jyC--EMJS9zBmHqqXK-5yQHHahlmMT/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco delle funzioni iperboliche inverse e le loro derivate== <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1-x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcoth} x = \frac{1}{1-x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arsech} x = -\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcsch} x = -\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}</math> ==Funzioni iperboliche inverse : calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale== Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = artanh x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1K_ftEaH5cDqt7CiPezFuQncFsnQkKPNZ/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco delle funzioni logaritmiche e loro derivate== * Logaritmo naturale: <math>\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}, \qquad x>0</math> * Logaritmo in base <math>a</math>: <math>\frac{d}{dx}\log_a(x)=\frac{1}{x\ln(a)}, \qquad a>0,\ a\neq1,\ x>0</math> * Logaritmo di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\ln(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)}, \qquad f(x)>0</math> * Logaritmo in base <math>a</math> di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\log_a(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)\ln(a)}, \qquad a>0,\ a\neq1,\ f(x)>0</math> * Logaritmo del valore assoluto: <math>\frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x}, \qquad x\neq0</math> * Logaritmo del valore assoluto di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\ln|f(x)|=\frac{f'(x)}{f(x)}, \qquad f(x)\neq0</math> ==Calcolo della derivata di una funzione logaritmica== sequenza di lavoro: Data la funzione: <math> y = \ln x </math> 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = ln (x) usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1YymCq7gNrt5TeSKMd_NXaU5UyKVnjFfB/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco funzioni esponenziali e loro derivate== * <math>f(x)=e^x</math> → <math>f'(x)=e^x</math> * <math>f(x)=e^{ax}</math> → <math>f'(x)=ae^{ax}</math> * <math>f(x)=e^{g(x)}</math> → <math>f'(x)=g'(x)e^{g(x)}</math> * <math>f(x)=a^x,\quad a>0,\ a\neq1</math> → <math>f'(x)=a^x\ln(a)</math> * <math>f(x)=a^{g(x)}</math> → <math>f'(x)=a^{g(x)}\ln(a)\,g'(x)</math> * <math>f(x)=x^x,\quad x>0</math> → <math>f'(x)=x^x(\ln x+1)</math> * <math>f(x)=x^a</math> → <math>f'(x)=ax^{a-1}</math> * <math>f(x)=g(x)^{h(x)}</math> → <math>f'(x)=g(x)^{h(x)}\left(h'(x)\ln(g(x))+h(x)\frac{g'(x)}{g(x)}\right)</math> ==Calcolo derivata funzione esponenziale con il rapporto incrementale== Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = e^x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1F02HpzFzyEb3AzUBzNJeiLRIVkocxWYG/view?usp=drive_link]Risposta] ==Calcolo della derivta di una funzione d'esempio con le regole standad == <math> \text{Sia } f(x)=x^3+2x^2-5x+7. </math> <math> \text{Calcoliamo la derivata applicando le regole standard di derivazione.} </math> <math> \frac{d}{dx}\left(x^3+2x^2-5x+7\right) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(7) </math> <math> = 3x^2 + 2\cdot2x - 5\cdot1 + 0 </math> <math> = 3x^2+4x-5. </math> <math> {f'(x)=3x^2+4x-5} </math> dcgecyu2ok5wx4ekiloy2541006idr1 285123 285122 2026-07-20T08:56:36Z Funzioni di correlazione 24136 /* Prima delle derivate un elenco delle funzioni trascendenti */ 285123 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Analisi matematica}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle derivate|corso1=}} == Introduzione alle derivate di funzioni== Una chiara ed esaustiva spiegazione sul concetto di Derivata di funzione è trattata su Wikiversità all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Funzioni_derivabili_e_derivata_di_una_funzione] Sulle derivate di funzioni] Spiegazione che inizia con: '''Diamo prima la definizione di derivata di una funzione, poi discutiamone il significato.''' Questa pagina illustra invece lo svolgimento dettagliato di una notevole serie di esercizi sul calcolo delle derivate. Lo sviluppo degli esercizi è ottenuto mediante richiesta d'operazione ad IA (Intelligenza Artificiale) controllando il risultato con gli esercizi proposti dal testo: '''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova''' ==Sulle derivate delle funzioni trascendenti in base al rapporto incrementale e con gli algoritmi standard.== ==Prima delle derivate un elenco delle funzioni trascendenti== Di seguito trovi un testo in formato **grezzo per Wikipedia**, pronto per il copia-incolla. Ogni espressione matematica è racchiusa tra i tag `<math>...</math>`. ```wiki = Elenco delle funzioni trigonometriche e loro derivate = == Seno == Funzione: <math>y=\sin x</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> Dimostrazione: <math>y=\sin x</math> <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}</math> Usando la formula di addizione: <math>\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h</math> Sostituendo: <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}</math> Separando: <math>\frac{dy}{dx}=\sin x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}</math> Poiché <math>\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0</math> e <math>\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1</math> segue <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> ---- == Coseno == Funzione: <math>y=\cos x</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> Dimostrazione: <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}</math> Usando <math>\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h</math> si ottiene <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h}</math> Separando <math>\frac{dy}{dx}=\cos x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}</math> Applicando i limiti fondamentali <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> ---- == Tangente == Funzione: <math>y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x=\frac{1}{\cos^2x}</math> Dimostrazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Applicando la regola del quoziente <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2}</math> con <math>u=\sin x</math> <math>v=\cos x</math> si ha <math>u'=\cos x</math> <math>v'=-\sin x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\tan x= \frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}</math> Usando <math>\sin^2x+\cos^2x=1</math> segue <math>\frac{d}{dx}\tan x=\frac1{\cos^2x}=\sec^2x</math> ---- == Cotangente == Funzione: <math>y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x=-\frac1{\sin^2x}</math> Dimostrazione: <math>\frac{d}{dx}\cot x= \frac{(-\sin x)\sin x-\cos^2x}{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x= -\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x= -\frac1{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x</math> ---- == Secante == Funzione: <math>y=\sec x=\frac1{\cos x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> Dimostrazione: <math>y=(\cos x)^{-1}</math> Applicando la regola della potenza <math>\frac{dy}{dx} =-1(\cos x)^{-2}(-\sin x)</math> <math>\frac{dy}{dx} =\frac{\sin x}{\cos^2x}</math> Scrivendo <math>\frac1{\cos x}=\sec x</math> e <math>\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x</math> segue <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> ---- == Cosecante == Funzione: <math>y=\csc x=\frac1{\sin x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> Dimostrazione: <math>y=(\sin x)^{-1}</math> Applicando la regola della potenza <math>\frac{dy}{dx} =-1(\sin x)^{-2}\cos x</math> <math>\frac{dy}{dx} =-\frac{\cos x}{\sin^2x}</math> Poiché <math>\frac1{\sin x}=\csc x</math> e <math>\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x</math> segue <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> ---- == Tabella riassuntiva == {| class="wikitable" ! Funzione ! Derivata |- | <math>\sin x</math> | <math>\cos x</math> |- | <math>\cos x</math> | <math>-\sin x</math> |- | <math>\tan x</math> | <math>\sec^2x</math> |- | <math>\cot x</math> | <math>-\csc^2x</math> |- | <math>\sec x</math> | <math>\sec x\tan x</math> |- | <math>\csc x</math> | <math>-\csc x\cot x</math> |} ``` Questo testo è già nel formato wiki, con tutte le formule racchiuse nei tag `<math>...</math>` e con il percorso di calcolo completo per ciascuna delle sei funzioni trigonometriche principali. = Elenco delle funzioni trigonometriche e loro derivate = == Seno == Funzione: <math>y=\sin x</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> Dimostrazione: <math>y=\sin x</math> <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}</math> Usando la formula di addizione: <math>\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h</math> Sostituendo: <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}</math> Separando: <math>\frac{dy}{dx}=\sin x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}</math> Poiché <math>\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0</math> e <math>\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1</math> segue <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> ---- == Coseno == Funzione: <math>y=\cos x</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> Dimostrazione: <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}</math> Usando <math>\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h</math> si ottiene <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h}</math> Separando <math>\frac{dy}{dx}=\cos x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}</math> Applicando i limiti fondamentali <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> ---- == Tangente == Funzione: <math>y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x=\frac{1}{\cos^2x}</math> Dimostrazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Applicando la regola del quoziente <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2}</math> con <math>u=\sin x</math> <math>v=\cos x</math> si ha <math>u'=\cos x</math> <math>v'=-\sin x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\tan x= \frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}</math> Usando <math>\sin^2x+\cos^2x=1</math> segue <math>\frac{d}{dx}\tan x=\frac1{\cos^2x}=\sec^2x</math> ---- == Cotangente == Funzione: <math>y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x=-\frac1{\sin^2x}</math> Dimostrazione: <math>\frac{d}{dx}\cot x= \frac{(-\sin x)\sin x-\cos^2x}{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x= -\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x= -\frac1{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x</math> ---- == Secante == Funzione: <math>y=\sec x=\frac1{\cos x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> Dimostrazione: <math>y=(\cos x)^{-1}</math> Applicando la regola della potenza <math>\frac{dy}{dx} =-1(\cos x)^{-2}(-\sin x)</math> <math>\frac{dy}{dx} =\frac{\sin x}{\cos^2x}</math> Scrivendo <math>\frac1{\cos x}=\sec x</math> e <math>\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x</math> segue <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> ---- == Cosecante == Funzione: <math>y=\csc x=\frac1{\sin x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> Dimostrazione: <math>y=(\sin x)^{-1}</math> Applicando la regola della potenza <math>\frac{dy}{dx} =-1(\sin x)^{-2}\cos x</math> <math>\frac{dy}{dx} =-\frac{\cos x}{\sin^2x}</math> Poiché <math>\frac1{\sin x}=\csc x</math> e <math>\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x</math> segue <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> ---- == Tabella riassuntiva == {| class="wikitable" ! Funzione ! Derivata |- | <math>\sin x</math> | <math>\cos x</math> |- | <math>\cos x</math> | <math>-\sin x</math> |- | <math>\tan x</math> | <math>\sec^2x</math> |- | <math>\cot x</math> | <math>-\csc^2x</math> |- | <math>\sec x</math> | <math>\sec x\tan x</math> |- | <math>\csc x</math> | <math>-\csc x\cot x</math> |} ``` Questo testo è già nel formato wiki, con tutte le formule racchiuse nei tag `<math>...</math>` e con il percorso di calcolo completo per ciascuna delle sei funzioni trigonometriche principali. = Elenco delle funzioni trigonometriche e loro derivate = == Seno == Funzione: <math>y=\sin x</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> Dimostrazione: <math>y=\sin x</math> <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}</math> Usando la formula di addizione: <math>\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h</math> Sostituendo: <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}</math> Separando: <math>\frac{dy}{dx}=\sin x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}</math> Poiché <math>\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0</math> e <math>\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1</math> segue <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> ---- == Coseno == Funzione: <math>y=\cos x</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> Dimostrazione: <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}</math> Usando <math>\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h</math> si ottiene <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h}</math> Separando <math>\frac{dy}{dx}=\cos x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}</math> Applicando i limiti fondamentali <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> ---- == Tangente == Funzione: <math>y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x=\frac{1}{\cos^2x}</math> Dimostrazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Applicando la regola del quoziente <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2}</math> con <math>u=\sin x</math> <math>v=\cos x</math> si ha <math>u'=\cos x</math> <math>v'=-\sin x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\tan x= \frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}</math> Usando <math>\sin^2x+\cos^2x=1</math> segue <math>\frac{d}{dx}\tan x=\frac1{\cos^2x}=\sec^2x</math> ---- == Cotangente == Funzione: <math>y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x=-\frac1{\sin^2x}</math> Dimostrazione: <math>\frac{d}{dx}\cot x= \frac{(-\sin x)\sin x-\cos^2x}{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x= -\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x= -\frac1{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x</math> ---- == Secante == Funzione: <math>y=\sec x=\frac1{\cos x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> Dimostrazione: <math>y=(\cos x)^{-1}</math> Applicando la regola della potenza <math>\frac{dy}{dx} =-1(\cos x)^{-2}(-\sin x)</math> <math>\frac{dy}{dx} =\frac{\sin x}{\cos^2x}</math> Scrivendo <math>\frac1{\cos x}=\sec x</math> e <math>\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x</math> segue <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> ---- == Cosecante == Funzione: <math>y=\csc x=\frac1{\sin x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> Dimostrazione: <math>y=(\sin x)^{-1}</math> Applicando la regola della potenza <math>\frac{dy}{dx} =-1(\sin x)^{-2}\cos x</math> <math>\frac{dy}{dx} =-\frac{\cos x}{\sin^2x}</math> Poiché <math>\frac1{\sin x}=\csc x</math> e <math>\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x</math> segue <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> ---- == Tabella riassuntiva == {| class="wikitable" ! Funzione ! Derivata |- | <math>\sin x</math> | <math>\cos x</math> |- | <math>\cos x</math> | <math>-\sin x</math> |- | <math>\tan x</math> | <math>\sec^2x</math> |- | <math>\cot x</math> | <math>-\csc^2x</math> |- | <math>\sec x</math> | <math>\sec x\tan x</math> |- | <math>\csc x</math> | <math>-\csc x\cot x</math> |} ``` Questo testo è già nel formato wiki, con tutte le formule racchiuse nei tag `<math>...</math>` e con il percorso di calcolo completo per ciascuna delle sei funzioni trigonometriche principali. ==Elenco delle funzioni trigonometriche e loro derivate== Come ausilio ai processi di calcolo l'elenco delle derivate delle funzioni trigonometriche elementari: [[https://drive.google.com/file/d/1kcaMmfCZOUHznBR0vngdBob5rEU-6oNg/view?usp=drive_link] Elenco da IA] ==Esempio di calcolo della derivata di una funzione trigonometrica in base al rapporto incrementale== Calcolare <math>{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\tan(z)}</math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia in IA la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = Tan x usando il rapporto incrementale''' (formulazione domanda con metodo misto: discorsivo e basic) 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1Zvklg9SN6p90L3JFyLuXFveWZ4cz2s2H/view?usp=drive_link]Soluzione secondo IA] ==Derivata di una funzione con le regole classiche== Data <math>f(x) = (x^2 + 1)\,e^{3x}\,\sin(x)</math> Sequenza di lavoro per il computo della derivata: Si copia in IA la seguente scrittura in grassetto: '''Calcoliamo la derivata di y = Tan x con le regole standard di derivazione''' (formulazione discorsiva e basic) La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/17lH7sg71Gp7bFsJ2v2q5HYLmXlnKUtnr/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco delle funzioni ciclometriche e loro derivate== Come ausilio ai processi di calcolo l'elenco delle derivate delle funzioni ciclometriche elementari: <math> \begin{aligned} &\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arccot}x=-\frac{1}{1+x^2}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \end{aligned} </math> ==Funzioni ciclometriche: calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale== Calcolo derivata di <math> y = \arcsin \ x </math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = arcsin x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1BP5KGnomazWW9X7SAUmiDIrE49Bn5qJc/view?usp=drive_link]] ==Elenco delle funzioni iperboliche e le loro derivate== <math>\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math> <math>\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}</math> <math>\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}</math> <math>\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x}</math> <math>\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}</math> <math>\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x}</math> <math>\frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x</math> <math>\frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x</math> <math>\frac{d}{dx}\tanh x = \operatorname{sech}^2 x</math> <math>\frac{d}{dx}\coth x = -\operatorname{csch}^2 x</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{sech} x = -\operatorname{sech} x\,\tanh x</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{csch} x = -\operatorname{csch} x\,\coth x</math> ==Funzioni iperboliche: calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale== La funzione da integrare: <math> y = arctanh(x) </math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = arctanh (x) usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere:]] [[https://drive.google.com/file/d/1v6jyC--EMJS9zBmHqqXK-5yQHHahlmMT/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco delle funzioni iperboliche inverse e le loro derivate== <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1-x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcoth} x = \frac{1}{1-x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arsech} x = -\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcsch} x = -\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}</math> ==Funzioni iperboliche inverse : calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale== Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = artanh x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1K_ftEaH5cDqt7CiPezFuQncFsnQkKPNZ/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco delle funzioni logaritmiche e loro derivate== * Logaritmo naturale: <math>\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}, \qquad x>0</math> * Logaritmo in base <math>a</math>: <math>\frac{d}{dx}\log_a(x)=\frac{1}{x\ln(a)}, \qquad a>0,\ a\neq1,\ x>0</math> * Logaritmo di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\ln(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)}, \qquad f(x)>0</math> * Logaritmo in base <math>a</math> di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\log_a(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)\ln(a)}, \qquad a>0,\ a\neq1,\ f(x)>0</math> * Logaritmo del valore assoluto: <math>\frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x}, \qquad x\neq0</math> * Logaritmo del valore assoluto di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\ln|f(x)|=\frac{f'(x)}{f(x)}, \qquad f(x)\neq0</math> ==Calcolo della derivata di una funzione logaritmica== sequenza di lavoro: Data la funzione: <math> y = \ln x </math> 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = ln (x) usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1YymCq7gNrt5TeSKMd_NXaU5UyKVnjFfB/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco funzioni esponenziali e loro derivate== * <math>f(x)=e^x</math> → <math>f'(x)=e^x</math> * <math>f(x)=e^{ax}</math> → <math>f'(x)=ae^{ax}</math> * <math>f(x)=e^{g(x)}</math> → <math>f'(x)=g'(x)e^{g(x)}</math> * <math>f(x)=a^x,\quad a>0,\ a\neq1</math> → <math>f'(x)=a^x\ln(a)</math> * <math>f(x)=a^{g(x)}</math> → <math>f'(x)=a^{g(x)}\ln(a)\,g'(x)</math> * <math>f(x)=x^x,\quad x>0</math> → <math>f'(x)=x^x(\ln x+1)</math> * <math>f(x)=x^a</math> → <math>f'(x)=ax^{a-1}</math> * <math>f(x)=g(x)^{h(x)}</math> → <math>f'(x)=g(x)^{h(x)}\left(h'(x)\ln(g(x))+h(x)\frac{g'(x)}{g(x)}\right)</math> ==Calcolo derivata funzione esponenziale con il rapporto incrementale== Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = e^x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1F02HpzFzyEb3AzUBzNJeiLRIVkocxWYG/view?usp=drive_link]Risposta] ==Calcolo della derivta di una funzione d'esempio con le regole standad == <math> \text{Sia } f(x)=x^3+2x^2-5x+7. </math> <math> \text{Calcoliamo la derivata applicando le regole standard di derivazione.} </math> <math> \frac{d}{dx}\left(x^3+2x^2-5x+7\right) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(7) </math> <math> = 3x^2 + 2\cdot2x - 5\cdot1 + 0 </math> <math> = 3x^2+4x-5. </math> <math> {f'(x)=3x^2+4x-5} </math> 8shskong7jh783ak3q7mhyq9ke50mxy 285124 285123 2026-07-20T08:57:11Z Funzioni di correlazione 24136 /* Prima delle derivate un elenco delle funzioni trascendenti */ 285124 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Analisi matematica}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle derivate|corso1=}} == Introduzione alle derivate di funzioni== Una chiara ed esaustiva spiegazione sul concetto di Derivata di funzione è trattata su Wikiversità all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Funzioni_derivabili_e_derivata_di_una_funzione] Sulle derivate di funzioni] Spiegazione che inizia con: '''Diamo prima la definizione di derivata di una funzione, poi discutiamone il significato.''' Questa pagina illustra invece lo svolgimento dettagliato di una notevole serie di esercizi sul calcolo delle derivate. Lo sviluppo degli esercizi è ottenuto mediante richiesta d'operazione ad IA (Intelligenza Artificiale) controllando il risultato con gli esercizi proposti dal testo: '''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova''' ==Sulle derivate delle funzioni trascendenti in base al rapporto incrementale e con gli algoritmi standard.== = Elenco delle funzioni trigonometriche e loro derivate = == Seno == Funzione: <math>y=\sin x</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> Dimostrazione: <math>y=\sin x</math> <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}</math> Usando la formula di addizione: <math>\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h</math> Sostituendo: <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}</math> Separando: <math>\frac{dy}{dx}=\sin x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}</math> Poiché <math>\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0</math> e <math>\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1</math> segue <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> ---- == Coseno == Funzione: <math>y=\cos x</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> Dimostrazione: <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}</math> Usando <math>\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h</math> si ottiene <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h}</math> Separando <math>\frac{dy}{dx}=\cos x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}</math> Applicando i limiti fondamentali <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> ---- == Tangente == Funzione: <math>y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x=\frac{1}{\cos^2x}</math> Dimostrazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Applicando la regola del quoziente <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2}</math> con <math>u=\sin x</math> <math>v=\cos x</math> si ha <math>u'=\cos x</math> <math>v'=-\sin x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\tan x= \frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}</math> Usando <math>\sin^2x+\cos^2x=1</math> segue <math>\frac{d}{dx}\tan x=\frac1{\cos^2x}=\sec^2x</math> ---- == Cotangente == Funzione: <math>y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x=-\frac1{\sin^2x}</math> Dimostrazione: <math>\frac{d}{dx}\cot x= \frac{(-\sin x)\sin x-\cos^2x}{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x= -\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x= -\frac1{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x</math> ---- == Secante == Funzione: <math>y=\sec x=\frac1{\cos x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> Dimostrazione: <math>y=(\cos x)^{-1}</math> Applicando la regola della potenza <math>\frac{dy}{dx} =-1(\cos x)^{-2}(-\sin x)</math> <math>\frac{dy}{dx} =\frac{\sin x}{\cos^2x}</math> Scrivendo <math>\frac1{\cos x}=\sec x</math> e <math>\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x</math> segue <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> ---- == Cosecante == Funzione: <math>y=\csc x=\frac1{\sin x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> Dimostrazione: <math>y=(\sin x)^{-1}</math> Applicando la regola della potenza <math>\frac{dy}{dx} =-1(\sin x)^{-2}\cos x</math> <math>\frac{dy}{dx} =-\frac{\cos x}{\sin^2x}</math> Poiché <math>\frac1{\sin x}=\csc x</math> e <math>\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x</math> segue <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> ---- == Tabella riassuntiva == {| class="wikitable" ! Funzione ! Derivata |- | <math>\sin x</math> | <math>\cos x</math> |- | <math>\cos x</math> | <math>-\sin x</math> |- | <math>\tan x</math> | <math>\sec^2x</math> |- | <math>\cot x</math> | <math>-\csc^2x</math> |- | <math>\sec x</math> | <math>\sec x\tan x</math> |- | <math>\csc x</math> | <math>-\csc x\cot x</math> |} ``` Questo testo è già nel formato wiki, con tutte le formule racchiuse nei tag `<math>...</math>` e con il percorso di calcolo completo per ciascuna delle sei funzioni trigonometriche principali. = Elenco delle funzioni trigonometriche e loro derivate = == Seno == Funzione: <math>y=\sin x</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> Dimostrazione: <math>y=\sin x</math> <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}</math> Usando la formula di addizione: <math>\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h</math> Sostituendo: <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}</math> Separando: <math>\frac{dy}{dx}=\sin x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}</math> Poiché <math>\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0</math> e <math>\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1</math> segue <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> ---- == Coseno == Funzione: <math>y=\cos x</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> Dimostrazione: <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}</math> Usando <math>\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h</math> si ottiene <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h}</math> Separando <math>\frac{dy}{dx}=\cos x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}</math> Applicando i limiti fondamentali <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> ---- == Tangente == Funzione: <math>y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x=\frac{1}{\cos^2x}</math> Dimostrazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Applicando la regola del quoziente <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2}</math> con <math>u=\sin x</math> <math>v=\cos x</math> si ha <math>u'=\cos x</math> <math>v'=-\sin x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\tan x= \frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}</math> Usando <math>\sin^2x+\cos^2x=1</math> segue <math>\frac{d}{dx}\tan x=\frac1{\cos^2x}=\sec^2x</math> ---- == Cotangente == Funzione: <math>y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x=-\frac1{\sin^2x}</math> Dimostrazione: <math>\frac{d}{dx}\cot x= \frac{(-\sin x)\sin x-\cos^2x}{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x= -\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x= -\frac1{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x</math> ---- == Secante == Funzione: <math>y=\sec x=\frac1{\cos x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> Dimostrazione: <math>y=(\cos x)^{-1}</math> Applicando la regola della potenza <math>\frac{dy}{dx} =-1(\cos x)^{-2}(-\sin x)</math> <math>\frac{dy}{dx} =\frac{\sin x}{\cos^2x}</math> Scrivendo <math>\frac1{\cos x}=\sec x</math> e <math>\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x</math> segue <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> ---- == Cosecante == Funzione: <math>y=\csc x=\frac1{\sin x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> Dimostrazione: <math>y=(\sin x)^{-1}</math> Applicando la regola della potenza <math>\frac{dy}{dx} =-1(\sin x)^{-2}\cos x</math> <math>\frac{dy}{dx} =-\frac{\cos x}{\sin^2x}</math> Poiché <math>\frac1{\sin x}=\csc x</math> e <math>\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x</math> segue <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> ---- == Tabella riassuntiva == {| class="wikitable" ! Funzione ! Derivata |- | <math>\sin x</math> | <math>\cos x</math> |- | <math>\cos x</math> | <math>-\sin x</math> |- | <math>\tan x</math> | <math>\sec^2x</math> |- | <math>\cot x</math> | <math>-\csc^2x</math> |- | <math>\sec x</math> | <math>\sec x\tan x</math> |- | <math>\csc x</math> | <math>-\csc x\cot x</math> |} ``` Questo testo è già nel formato wiki, con tutte le formule racchiuse nei tag `<math>...</math>` e con il percorso di calcolo completo per ciascuna delle sei funzioni trigonometriche principali. = Elenco delle funzioni trigonometriche e loro derivate = == Seno == Funzione: <math>y=\sin x</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> Dimostrazione: <math>y=\sin x</math> <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}</math> Usando la formula di addizione: <math>\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h</math> Sostituendo: <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}</math> Separando: <math>\frac{dy}{dx}=\sin x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}</math> Poiché <math>\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0</math> e <math>\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1</math> segue <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> ---- == Coseno == Funzione: <math>y=\cos x</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> Dimostrazione: <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}</math> Usando <math>\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h</math> si ottiene <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h}</math> Separando <math>\frac{dy}{dx}=\cos x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}</math> Applicando i limiti fondamentali <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> ---- == Tangente == Funzione: <math>y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x=\frac{1}{\cos^2x}</math> Dimostrazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Applicando la regola del quoziente <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2}</math> con <math>u=\sin x</math> <math>v=\cos x</math> si ha <math>u'=\cos x</math> <math>v'=-\sin x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\tan x= \frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}</math> Usando <math>\sin^2x+\cos^2x=1</math> segue <math>\frac{d}{dx}\tan x=\frac1{\cos^2x}=\sec^2x</math> ---- == Cotangente == Funzione: <math>y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x=-\frac1{\sin^2x}</math> Dimostrazione: <math>\frac{d}{dx}\cot x= \frac{(-\sin x)\sin x-\cos^2x}{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x= -\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x= -\frac1{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x</math> ---- == Secante == Funzione: <math>y=\sec x=\frac1{\cos x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> Dimostrazione: <math>y=(\cos x)^{-1}</math> Applicando la regola della potenza <math>\frac{dy}{dx} =-1(\cos x)^{-2}(-\sin x)</math> <math>\frac{dy}{dx} =\frac{\sin x}{\cos^2x}</math> Scrivendo <math>\frac1{\cos x}=\sec x</math> e <math>\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x</math> segue <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> ---- == Cosecante == Funzione: <math>y=\csc x=\frac1{\sin x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> Dimostrazione: <math>y=(\sin x)^{-1}</math> Applicando la regola della potenza <math>\frac{dy}{dx} =-1(\sin x)^{-2}\cos x</math> <math>\frac{dy}{dx} =-\frac{\cos x}{\sin^2x}</math> Poiché <math>\frac1{\sin x}=\csc x</math> e <math>\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x</math> segue <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> ---- == Tabella riassuntiva == {| class="wikitable" ! Funzione ! Derivata |- | <math>\sin x</math> | <math>\cos x</math> |- | <math>\cos x</math> | <math>-\sin x</math> |- | <math>\tan x</math> | <math>\sec^2x</math> |- | <math>\cot x</math> | <math>-\csc^2x</math> |- | <math>\sec x</math> | <math>\sec x\tan x</math> |- | <math>\csc x</math> | <math>-\csc x\cot x</math> |} ``` Questo testo è già nel formato wiki, con tutte le formule racchiuse nei tag `<math>...</math>` e con il percorso di calcolo completo per ciascuna delle sei funzioni trigonometriche principali. ==Elenco delle funzioni trigonometriche e loro derivate== Come ausilio ai processi di calcolo l'elenco delle derivate delle funzioni trigonometriche elementari: [[https://drive.google.com/file/d/1kcaMmfCZOUHznBR0vngdBob5rEU-6oNg/view?usp=drive_link] Elenco da IA] ==Esempio di calcolo della derivata di una funzione trigonometrica in base al rapporto incrementale== Calcolare <math>{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\tan(z)}</math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia in IA la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = Tan x usando il rapporto incrementale''' (formulazione domanda con metodo misto: discorsivo e basic) 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1Zvklg9SN6p90L3JFyLuXFveWZ4cz2s2H/view?usp=drive_link]Soluzione secondo IA] ==Derivata di una funzione con le regole classiche== Data <math>f(x) = (x^2 + 1)\,e^{3x}\,\sin(x)</math> Sequenza di lavoro per il computo della derivata: Si copia in IA la seguente scrittura in grassetto: '''Calcoliamo la derivata di y = Tan x con le regole standard di derivazione''' (formulazione discorsiva e basic) La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/17lH7sg71Gp7bFsJ2v2q5HYLmXlnKUtnr/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco delle funzioni ciclometriche e loro derivate== Come ausilio ai processi di calcolo l'elenco delle derivate delle funzioni ciclometriche elementari: <math> \begin{aligned} &\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arccot}x=-\frac{1}{1+x^2}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \end{aligned} </math> ==Funzioni ciclometriche: calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale== Calcolo derivata di <math> y = \arcsin \ x </math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = arcsin x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1BP5KGnomazWW9X7SAUmiDIrE49Bn5qJc/view?usp=drive_link]] ==Elenco delle funzioni iperboliche e le loro derivate== <math>\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math> <math>\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}</math> <math>\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}</math> <math>\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x}</math> <math>\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}</math> <math>\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x}</math> <math>\frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x</math> <math>\frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x</math> <math>\frac{d}{dx}\tanh x = \operatorname{sech}^2 x</math> <math>\frac{d}{dx}\coth x = -\operatorname{csch}^2 x</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{sech} x = -\operatorname{sech} x\,\tanh x</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{csch} x = -\operatorname{csch} x\,\coth x</math> ==Funzioni iperboliche: calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale== La funzione da integrare: <math> y = arctanh(x) </math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = arctanh (x) usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere:]] [[https://drive.google.com/file/d/1v6jyC--EMJS9zBmHqqXK-5yQHHahlmMT/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco delle funzioni iperboliche inverse e le loro derivate== <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1-x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcoth} x = \frac{1}{1-x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arsech} x = -\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcsch} x = -\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}</math> ==Funzioni iperboliche inverse : calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale== Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = artanh x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1K_ftEaH5cDqt7CiPezFuQncFsnQkKPNZ/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco delle funzioni logaritmiche e loro derivate== * Logaritmo naturale: <math>\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}, \qquad x>0</math> * Logaritmo in base <math>a</math>: <math>\frac{d}{dx}\log_a(x)=\frac{1}{x\ln(a)}, \qquad a>0,\ a\neq1,\ x>0</math> * Logaritmo di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\ln(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)}, \qquad f(x)>0</math> * Logaritmo in base <math>a</math> di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\log_a(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)\ln(a)}, \qquad a>0,\ a\neq1,\ f(x)>0</math> * Logaritmo del valore assoluto: <math>\frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x}, \qquad x\neq0</math> * Logaritmo del valore assoluto di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\ln|f(x)|=\frac{f'(x)}{f(x)}, \qquad f(x)\neq0</math> ==Calcolo della derivata di una funzione logaritmica== sequenza di lavoro: Data la funzione: <math> y = \ln x </math> 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = ln (x) usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1YymCq7gNrt5TeSKMd_NXaU5UyKVnjFfB/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco funzioni esponenziali e loro derivate== * <math>f(x)=e^x</math> → <math>f'(x)=e^x</math> * <math>f(x)=e^{ax}</math> → <math>f'(x)=ae^{ax}</math> * <math>f(x)=e^{g(x)}</math> → <math>f'(x)=g'(x)e^{g(x)}</math> * <math>f(x)=a^x,\quad a>0,\ a\neq1</math> → <math>f'(x)=a^x\ln(a)</math> * <math>f(x)=a^{g(x)}</math> → <math>f'(x)=a^{g(x)}\ln(a)\,g'(x)</math> * <math>f(x)=x^x,\quad x>0</math> → <math>f'(x)=x^x(\ln x+1)</math> * <math>f(x)=x^a</math> → <math>f'(x)=ax^{a-1}</math> * <math>f(x)=g(x)^{h(x)}</math> → <math>f'(x)=g(x)^{h(x)}\left(h'(x)\ln(g(x))+h(x)\frac{g'(x)}{g(x)}\right)</math> ==Calcolo derivata funzione esponenziale con il rapporto incrementale== Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = e^x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1F02HpzFzyEb3AzUBzNJeiLRIVkocxWYG/view?usp=drive_link]Risposta] ==Calcolo della derivta di una funzione d'esempio con le regole standad == <math> \text{Sia } f(x)=x^3+2x^2-5x+7. </math> <math> \text{Calcoliamo la derivata applicando le regole standard di derivazione.} </math> <math> \frac{d}{dx}\left(x^3+2x^2-5x+7\right) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(7) </math> <math> = 3x^2 + 2\cdot2x - 5\cdot1 + 0 </math> <math> = 3x^2+4x-5. </math> <math> {f'(x)=3x^2+4x-5} </math> ru7mm2npf7nbxdkysc66yq4rgffxj3s 285125 285124 2026-07-20T09:01:26Z Funzioni di correlazione 24136 285125 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Analisi matematica}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle derivate|corso1=}} == Introduzione alle derivate di funzioni== Una chiara ed esaustiva spiegazione sul concetto di Derivata di funzione è trattata su Wikiversità all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Funzioni_derivabili_e_derivata_di_una_funzione] Sulle derivate di funzioni] Spiegazione che inizia con: '''Diamo prima la definizione di derivata di una funzione, poi discutiamone il significato.''' Questa pagina illustra invece lo svolgimento dettagliato di una notevole serie di esercizi sul calcolo delle derivate. Lo sviluppo degli esercizi è ottenuto mediante richiesta d'operazione ad IA (Intelligenza Artificiale) controllando il risultato con gli esercizi proposti dal testo: '''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova''' ==Sulle derivate delle funzioni trascendenti in base al rapporto incrementale e con gli algoritmi standard.== = Elenco delle funzioni trigonometriche e loro derivate = == Seno == Funzione: <math>y=\sin x</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> Dimostrazione: <math>y=\sin x</math> <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}</math> Usando la formula di addizione: <math>\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h</math> Sostituendo: <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}</math> Separando: <math>\frac{dy}{dx}=\sin x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}</math> Poiché <math>\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0</math> e <math>\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1</math> segue <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> ---- == Coseno == Funzione: <math>y=\cos x</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> Dimostrazione: <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}</math> Usando <math>\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h</math> si ottiene <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h}</math> Separando <math>\frac{dy}{dx}=\cos x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}</math> Applicando i limiti fondamentali <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> ---- == Tangente == Funzione: <math>y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x=\frac{1}{\cos^2x}</math> Dimostrazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Applicando la regola del quoziente <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2}</math> con <math>u=\sin x</math> <math>v=\cos x</math> si ha <math>u'=\cos x</math> <math>v'=-\sin x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\tan x= \frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}</math> Usando <math>\sin^2x+\cos^2x=1</math> segue <math>\frac{d}{dx}\tan x=\frac1{\cos^2x}=\sec^2x</math> ---- == Cotangente == Funzione: <math>y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x=-\frac1{\sin^2x}</math> Dimostrazione: <math>\frac{d}{dx}\cot x= \frac{(-\sin x)\sin x-\cos^2x}{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x= -\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x= -\frac1{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x</math> ---- == Secante == Funzione: <math>y=\sec x=\frac1{\cos x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> Dimostrazione: <math>y=(\cos x)^{-1}</math> Applicando la regola della potenza <math>\frac{dy}{dx} =-1(\cos x)^{-2}(-\sin x)</math> <math>\frac{dy}{dx} =\frac{\sin x}{\cos^2x}</math> Scrivendo <math>\frac1{\cos x}=\sec x</math> e <math>\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x</math> segue <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> ---- == Cosecante == Funzione: <math>y=\csc x=\frac1{\sin x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> Dimostrazione: <math>y=(\sin x)^{-1}</math> Applicando la regola della potenza <math>\frac{dy}{dx} =-1(\sin x)^{-2}\cos x</math> <math>\frac{dy}{dx} =-\frac{\cos x}{\sin^2x}</math> Poiché <math>\frac1{\sin x}=\csc x</math> e <math>\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x</math> segue <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> ---- == Tabella riassuntiva == {| class="wikitable" ! Funzione ! Derivata |- | <math>\sin x</math> | <math>\cos x</math> |- | <math>\cos x</math> | <math>-\sin x</math> |- | <math>\tan x</math> | <math>\sec^2x</math> |- | <math>\cot x</math> | <math>-\csc^2x</math> |- | <math>\sec x</math> | <math>\sec x\tan x</math> |- | <math>\csc x</math> | <math>-\csc x\cot x</math> |} ``` fq2lkcxknv5106ob2smnd7t38ssgfdy