Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.48.0-wmf.3 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 2 32658 288055 287960 2026-11-05T07:20:52Z Funzioni di correlazione 24136 Pagina sostituita con ' L'analisi deterministica comprende i metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche determinate definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno,...' 288055 wikitext text/x-wiki L'analisi deterministica comprende i metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche determinate definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} laqzvr5ya1rjrac5usk7ljpfen6xbsv 288056 288055 2026-11-05T07:26:14Z Funzioni di correlazione 24136 288056 wikitext text/x-wiki == La serie di FOURIER== L'analisi deterministica comprende i metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche determinate definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> == L'integrale di FOURIER== Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} 7a6vd2pwmipkfjk0d5g4xuffiygdc9l 288057 288056 2026-11-05T07:28:17Z Funzioni di correlazione 24136 Pagina svuotata 288057 wikitext text/x-wiki phoiac9h4m842xq45sp7s6u21eteeq1 288058 288057 2026-11-05T07:30:00Z Funzioni di correlazione 24136 288058 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Analisi deterministica | avanzamento = 100% }} L'analisi deterministica comprende i metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche determinate definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} 38srwlnazsqohh9gi9oiegjp38cpv0p 288059 288058 2026-11-05T07:33:37Z Funzioni di correlazione 24136 288059 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche determinate definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} gvji0430nucjgsaqmzowcvb7e7qhon7 288060 288059 2026-11-05T07:35:47Z Funzioni di correlazione 24136 /* Prefazione */ 288060 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione''' delle funzioni periodiche determinate definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} dm3o0bn2lifotxm5bl64h33tl59ce0t 288061 288060 2026-11-05T07:38:49Z Funzioni di correlazione 24136 /* Prefazione */ 288061 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} 5palwvwlg83a9b3dspt9pssz6pll527 288062 288061 2026-11-05T07:41:54Z Funzioni di correlazione 24136 288062 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} == L'integrale di Fourier== iweq4ut9z2l0k5yv17flbdsxsay9glg 288063 288062 2026-11-05T07:44:01Z Funzioni di correlazione 24136 288063 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} == L'integrale di Fourier== {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Analisi deterministica | avanzamento = 100% }} L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con l'integrale di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza dell'integrale di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. ==L'aspetto tecnico== L'integrale di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo dell'integrale di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine <ref> una lezione di questo corso sarà dedicata al sistema di calcolo citato.</ref>su P.C. secondo quanto indicato in figura 4: [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} L'integrale di Fourier computato con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] ==L'aspetto matematico== Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e l'integrale di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite l'integrale di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta l'integrale di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra l'integrale di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. ==Note== <references/> h1mfnb7me1ntasvr8nr9hezlktvc90h 288064 288063 2026-11-05T07:47:15Z Funzioni di correlazione 24136 /* L'aspetto tecnico */ 288064 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} == L'integrale di Fourier== {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Analisi deterministica | avanzamento = 100% }} L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con l'integrale di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza dell'integrale di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. '''L'aspetto tecnico''' L'integrale di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo dell'integrale di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine <ref> una lezione di questo corso sarà dedicata al sistema di calcolo citato.</ref>su P.C. secondo quanto indicato in figura 4: [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} L'integrale di Fourier computato con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] ==L'aspetto matematico== Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e l'integrale di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite l'integrale di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta l'integrale di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra l'integrale di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. ==Note== <references/> bekklwtfdhydj83w318n4jchawpp4wi 288065 288064 2026-11-05T07:48:50Z Funzioni di correlazione 24136 /* L'aspetto matematico */ 288065 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} == L'integrale di Fourier== {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Analisi deterministica | avanzamento = 100% }} L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con l'integrale di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza dell'integrale di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. '''L'aspetto tecnico''' L'integrale di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo dell'integrale di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine <ref> una lezione di questo corso sarà dedicata al sistema di calcolo citato.</ref>su P.C. secondo quanto indicato in figura 4: [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} L'integrale di Fourier computato con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] '''L'aspetto matematico''' Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e l'integrale di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite l'integrale di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta l'integrale di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra l'integrale di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. ==Note== <references/> 99tp3l6mdobsym98b64ncferwfd8tya 288066 288065 2026-11-05T07:49:51Z Funzioni di correlazione 24136 /* Note */ 288066 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} == L'integrale di Fourier== {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Analisi deterministica | avanzamento = 100% }} L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con l'integrale di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza dell'integrale di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. '''L'aspetto tecnico''' L'integrale di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo dell'integrale di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine <ref> una lezione di questo corso sarà dedicata al sistema di calcolo citato.</ref>su P.C. secondo quanto indicato in figura 4: [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} L'integrale di Fourier computato con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] '''L'aspetto matematico''' Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e l'integrale di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite l'integrale di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta l'integrale di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra l'integrale di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. 1zmqjhaw45t7jjik01yke58se1amif0 288067 288066 2026-11-05T07:51:14Z Funzioni di correlazione 24136 /* L'integrale di Fourier */ 288067 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} == L'integrale di Fourier== L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con l'integrale di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza dell'integrale di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. '''L'aspetto tecnico''' L'integrale di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo dell'integrale di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine <ref> una lezione di questo corso sarà dedicata al sistema di calcolo citato.</ref>su P.C. secondo quanto indicato in figura 4: [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} L'integrale di Fourier computato con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] '''L'aspetto matematico''' Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e l'integrale di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite l'integrale di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta l'integrale di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra l'integrale di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. l81zsyawmkaazhzg2o278k5m5y5qwmt 0 37855 288068 2026-11-05T08:09:13Z Funzioni di correlazione 24136 Creata pagina con " =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazi..." 288068 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} == L'integrale di Fourier== L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con l'integrale di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza dell'integrale di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. '''L'aspetto tecnico''' L'integrale di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo dell'integrale di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine <ref> una lezione di questo corso sarà dedicata al sistema di calcolo citato.</ref>su P.C. secondo quanto indicato in figura 4: [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} L'integrale di Fourier computato con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] '''L'aspetto matematico''' Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e l'integrale di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite l'integrale di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta l'integrale di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra l'integrale di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. l81zsyawmkaazhzg2o278k5m5y5qwmt 288069 288068 2026-11-05T08:13:21Z Funzioni di correlazione 24136 288069 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} == L'integrale di Fourier== L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con l'integrale di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza dell'integrale di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. '''L'aspetto tecnico''' L'integrale di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo dell'integrale di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine <ref> una lezione di questo corso sarà dedicata al sistema di calcolo citato.</ref>su P.C. secondo quanto indicato in figura 4: [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} L'integrale di Fourier computato con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] '''L'aspetto matematico''' Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e l'integrale di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite l'integrale di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta l'integrale di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra l'integrale di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. 7vuired7surip0y65jpe5z60d69ik0d 288070 288069 2026-11-05T08:24:39Z Funzioni di correlazione 24136 /* L'integrale di Fourier */ 288070 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} == L'integrale di Fourier== L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con l'integrale di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza dell'integrale di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. '''L'aspetto tecnico''' L'integrale di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo dell'integrale di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine. [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} L'integrale di Fourier computato con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] '''L'aspetto matematico''' Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e l'integrale di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite l'integrale di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta l'integrale di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra l'integrale di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. tju2er1o7wxmkyjv97un9fos6iz32h1 288071 288070 2026-11-05T08:26:58Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/288070|288070]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 288071 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} == L'integrale di Fourier== L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con l'integrale di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza dell'integrale di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. '''L'aspetto tecnico''' L'integrale di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo dell'integrale di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine <ref> una lezione di questo corso sarà dedicata al sistema di calcolo citato.</ref>su P.C. secondo quanto indicato in figura 4: [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} L'integrale di Fourier computato con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] '''L'aspetto matematico''' Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e l'integrale di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite l'integrale di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta l'integrale di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra l'integrale di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. 7vuired7surip0y65jpe5z60d69ik0d 288072 288071 2026-11-05T08:30:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* L'integrale di Fourier */ 288072 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} == L'integrale di Fourier== L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con l'integrale di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza dell'integrale di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. '''L'aspetto tecnico''' L'integrale di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo dell'integrale di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine. [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} L'integrale di Fourier computato con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] '''L'aspetto matematico''' Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e l'integrale di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite l'integrale di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta l'integrale di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra l'integrale di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. 3i7pc2k05mssp7h4l5l80w9d6y1ny4g 288073 288072 2026-11-05T08:43:16Z Funzioni di correlazione 24136 288073 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} == L'integrale di Fourier== L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con l'integrale di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza dell'integrale di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. '''L'aspetto tecnico''' L'integrale di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo dell'integrale di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine. [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} L'integrale di Fourier computato con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] '''L'aspetto matematico''' Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e l'integrale di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite l'integrale di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta l'integrale di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra l'integrale di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. [[Categoria: sonar]] d2hye3l90z7j1bgveolbvht8b793dft 288074 288073 2026-11-05T09:10:58Z Funzioni di correlazione 24136 288074 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} '''Routine di calcolo automatico''' All'indirizzo sotto specificato l'accesso ad una routine per la soluzione grafica della serie di Fourier == L'integrale di Fourier== L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con l'integrale di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza dell'integrale di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. '''L'aspetto tecnico''' L'integrale di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo dell'integrale di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine. [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} L'integrale di Fourier computato con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] '''L'aspetto matematico''' Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e l'integrale di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite l'integrale di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta l'integrale di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra l'integrale di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. [[Categoria: sonar]] d4xucni46208ogqyde34q0wuhor80jf 288075 288074 2026-11-05T09:17:21Z Funzioni di correlazione 24136 /* La serie di Fourier */ 288075 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} '''Routine di calcolo automatico''' All'indirizzo sotto specificato l'accesso ad una routine per la soluzione grafica della serie di Fourier https://it.wikiversity.org/wiki/Calcolatore_della_serie_di_Fourier == L'integrale di Fourier== L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con l'integrale di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza dell'integrale di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. '''L'aspetto tecnico''' L'integrale di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo dell'integrale di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine. [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} L'integrale di Fourier computato con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] '''L'aspetto matematico''' Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e l'integrale di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite l'integrale di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta l'integrale di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra l'integrale di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. [[Categoria: sonar]] 3jk8ac7720rz67epeq3yy67t9ojb2vx 288076 288075 2026-11-05T09:23:27Z Funzioni di correlazione 24136 /* La serie di Fourier */ 288076 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} '''Routine di calcolo automatico per la serie ''' All'indirizzo sotto indicato l'accesso ad una routine per la soluzione grafica della serie di Fourier: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Calcolatore_della_serie_di_Fourier]Calcolatore automatico] == L'integrale di Fourier== L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con l'integrale di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza dell'integrale di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. '''L'aspetto tecnico''' L'integrale di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo dell'integrale di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine. [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} L'integrale di Fourier computato con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] '''L'aspetto matematico''' Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e l'integrale di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite l'integrale di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta l'integrale di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra l'integrale di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. [[Categoria: sonar]] lq8vdyv14ess60e7d8qtx0mplaiutul 288077 288076 2026-11-05T09:25:03Z Funzioni di correlazione 24136 /* La serie di Fourier */ 288077 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} '''Routine di calcolo automatico per la serie di Fourier''' All'indirizzo sotto indicato l'accesso ad una routine per la soluzione grafica della serie di Fourier: [https://it.wikiversity.org/wiki/Calcolatore_della_serie_di_Fourier]Calcolatore automatico] == L'integrale di Fourier== L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con l'integrale di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza dell'integrale di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. '''L'aspetto tecnico''' L'integrale di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo dell'integrale di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine. [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} L'integrale di Fourier computato con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] '''L'aspetto matematico''' Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e l'integrale di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite l'integrale di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta l'integrale di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra l'integrale di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. [[Categoria: sonar]] iy7ejaahjopte2hflpmjaefwj47jj97 288078 288077 2026-11-05T09:26:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* La serie di Fourier */ 288078 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} '''Routine di calcolo automatico per la serie di Fourier''' All'indirizzo sotto indicato l'accesso ad una routine per la soluzione grafica della serie di Fourier: [https://it.wikiversity.org/wiki/Calcolatore_della_serie_di_Fourier]Calcolatore della serie] == L'integrale di Fourier== L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con l'integrale di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza dell'integrale di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. '''L'aspetto tecnico''' L'integrale di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo dell'integrale di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine. [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} L'integrale di Fourier computato con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] '''L'aspetto matematico''' Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e l'integrale di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite l'integrale di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta l'integrale di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra l'integrale di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. [[Categoria: sonar]] j36aymbqkvunk2kjyqrby187b6168id 288079 288078 2026-11-05T09:28:46Z Funzioni di correlazione 24136 288079 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} '''Routine di calcolo automatico per la serie di Fourier''' All'indirizzo sotto indicato l'accesso ad una routine per la soluzione numerica e grafica della serie di Fourier: [https://it.wikiversity.org/wiki/Calcolatore_della_serie_di_Fourier]Calcolatore della serie] == L'integrale di Fourier== L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con l'integrale di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza dell'integrale di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. '''L'aspetto tecnico''' L'integrale di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo dell'integrale di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine. [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} L'integrale di Fourier computato con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] '''L'aspetto matematico''' Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e l'integrale di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite l'integrale di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta l'integrale di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra l'integrale di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. [[Categoria: sonar]] qp27r4lnch3lptlx4ipsulj3t3sd1cm 288080 288079 2026-11-05T09:32:51Z Funzioni di correlazione 24136 /* L'integrale di Fourier */ 288080 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} '''Routine di calcolo automatico per la serie di Fourier''' All'indirizzo sotto indicato l'accesso ad una routine per la soluzione numerica e grafica della serie di Fourier: [https://it.wikiversity.org/wiki/Calcolatore_della_serie_di_Fourier]Calcolatore della serie] == L'integrale di Fourier== L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con l'integrale di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza dell'integrale di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. '''L'aspetto tecnico''' L'integrale di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo dell'integrale di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine. [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} L'integrale di Fourier computato con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] '''L'aspetto matematico''' Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e l'integrale di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite l'integrale di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta l'integrale di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra l'integrale di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. '''Routine di calcolo automatico per l'integrale di Fourier''' All'indirizzo sotto indicato l'accesso ad una routine per la soluzione numerica e grafica dell'integrale di Fourier: [[Categoria: sonar]] tvl209de80zt5txgk9w5cgydanvg5rt 288081 288080 2026-11-05T09:37:25Z Funzioni di correlazione 24136 /* L'integrale di Fourier */ 288081 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} '''Routine di calcolo automatico per la serie di Fourier''' All'indirizzo sotto indicato l'accesso ad una routine per la soluzione numerica e grafica della serie di Fourier: [https://it.wikiversity.org/wiki/Calcolatore_della_serie_di_Fourier]Calcolatore della serie] == L'integrale di Fourier== L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con l'integrale di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza dell'integrale di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. '''L'aspetto tecnico''' L'integrale di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo dell'integrale di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine. [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} L'integrale di Fourier computato con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] '''L'aspetto matematico''' Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e l'integrale di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite l'integrale di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta l'integrale di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra l'integrale di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. '''Routine di calcolo automatico per l'integrale di Fourier''' All'indirizzo sotto indicato l'accesso ad una routine per la soluzione numerica e grafica dell'integrale di Fourier: [https://it.wikiversity.org/wiki/Calcolatore_della_trasformata_di_Fourier] [[Categoria: sonar]] 02absa7mrjhmmqz9uyjf8ri3fv8b4l0 288082 288081 2026-11-05T09:52:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* L'integrale di Fourier */ 288082 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} '''Routine di calcolo automatico per la serie di Fourier''' All'indirizzo sotto indicato l'accesso ad una routine per la soluzione numerica e grafica della serie di Fourier: [https://it.wikiversity.org/wiki/Calcolatore_della_serie_di_Fourier]Calcolatore della serie] == La trasformata di Fourier== L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con la trasformata di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza dell'integrale di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. '''L'aspetto tecnico''' L'integrale di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo dell'integrale di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine. [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} L'integrale di Fourier computato con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] '''L'aspetto matematico''' Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e l'integrale di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite l'integrale di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta l'integrale di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra l'integrale di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. '''Routine di calcolo automatico per la trasformata di Fourier''' All'indirizzo sotto indicato l'accesso ad una routine per la soluzione numerica e grafica della trasformmata di Fourier: [https://it.wikiversity.org/wiki/Calcolatore_della_trasformata_di_Fourier]La trasformata] [[Categoria: sonar]] 2wwp2z8ofmmommlgkvedrgotjy7ezts 288083 288082 2026-11-05T09:58:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* La trasformata di Fourier */ 288083 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} '''Routine di calcolo automatico per la serie di Fourier''' All'indirizzo sotto indicato l'accesso ad una routine per la soluzione numerica e grafica della serie di Fourier: [https://it.wikiversity.org/wiki/Calcolatore_della_serie_di_Fourier]Calcolatore della serie] == La trasformata di Fourier== L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con la trasformata di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza dell'integrale di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. '''L'aspetto tecnico''' La trasformata di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo dell'integrale di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine. [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} La trasformata di Fourier computata con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] '''L'aspetto matematico''' Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e la tyrasformata di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite la rasformata di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta l'integrale di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra l'integrale di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. '''Routine di calcolo automatico per la trasformata di Fourier''' All'indirizzo sotto indicato l'accesso ad una routine per la soluzione numerica e grafica della trasformmata di Fourier: [https://it.wikiversity.org/wiki/Calcolatore_della_trasformata_di_Fourier]La trasformata] [[Categoria: sonar]] lmkzs4y9njfjuwe794gipqx6wjz3ej4 288084 288083 2026-11-05T09:59:29Z Funzioni di correlazione 24136 /* La trasformata di Fourier */ 288084 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} '''Routine di calcolo automatico per la serie di Fourier''' All'indirizzo sotto indicato l'accesso ad una routine per la soluzione numerica e grafica della serie di Fourier: [https://it.wikiversity.org/wiki/Calcolatore_della_serie_di_Fourier]Calcolatore della serie] == La trasformata di Fourier== L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con la trasformata di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza della trasformata di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. '''L'aspetto tecnico''' La trasformata di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo dell'integrale di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine. [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} La trasformata di Fourier computata con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] '''L'aspetto matematico''' Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e la tyrasformata di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite la rasformata di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta l'integrale di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra l'integrale di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. '''Routine di calcolo automatico per la trasformata di Fourier''' All'indirizzo sotto indicato l'accesso ad una routine per la soluzione numerica e grafica della trasformmata di Fourier: [https://it.wikiversity.org/wiki/Calcolatore_della_trasformata_di_Fourier]La trasformata] [[Categoria: sonar]] t15wd6lpxksmepjw9rv8aiie7w7ck2k 288085 288084 2026-11-05T10:02:16Z Funzioni di correlazione 24136 /* La trasformata di Fourier */ 288085 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} '''Routine di calcolo automatico per la serie di Fourier''' All'indirizzo sotto indicato l'accesso ad una routine per la soluzione numerica e grafica della serie di Fourier: [https://it.wikiversity.org/wiki/Calcolatore_della_serie_di_Fourier]Calcolatore della serie] == La trasformata di Fourier== L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con la trasformata di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza della trasformata di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. '''L'aspetto tecnico''' La trasformata di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo della trasformata di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine. [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} La trasformata di Fourier computata con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] '''L'aspetto matematico''' Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e la tyrasformata di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite la rasformata di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta l'integrale di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra l'integrale di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. '''Routine di calcolo automatico per la trasformata di Fourier''' All'indirizzo sotto indicato l'accesso ad una routine per la soluzione numerica e grafica della trasformmata di Fourier: [https://it.wikiversity.org/wiki/Calcolatore_della_trasformata_di_Fourier]La trasformata] [[Categoria: sonar]] 4uf3h623vc5mcbcxur0dj6qz729r8kt 288086 288085 2026-11-05T10:08:38Z Funzioni di correlazione 24136 Funzioni di correlazione ha spostato la pagina [[Analisi deterministica - La serie e l'integrale di Fourier]] a [[Analisi deterministica - La serie e la trasformata di Fourier]]: Titolo errato 288085 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} '''Routine di calcolo automatico per la serie di Fourier''' All'indirizzo sotto indicato l'accesso ad una routine per la soluzione numerica e grafica della serie di Fourier: [https://it.wikiversity.org/wiki/Calcolatore_della_serie_di_Fourier]Calcolatore della serie] == La trasformata di Fourier== L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con la trasformata di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza della trasformata di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. '''L'aspetto tecnico''' La trasformata di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo della trasformata di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine. [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} La trasformata di Fourier computata con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] '''L'aspetto matematico''' Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e la tyrasformata di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite la rasformata di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta l'integrale di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra l'integrale di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. '''Routine di calcolo automatico per la trasformata di Fourier''' All'indirizzo sotto indicato l'accesso ad una routine per la soluzione numerica e grafica della trasformmata di Fourier: [https://it.wikiversity.org/wiki/Calcolatore_della_trasformata_di_Fourier]La trasformata] [[Categoria: sonar]] 4uf3h623vc5mcbcxur0dj6qz729r8kt 288088 288086 2026-11-05T10:15:35Z Funzioni di correlazione 24136 /* La trasformata di Fourier */ 288088 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} '''Routine di calcolo automatico per la serie di Fourier''' All'indirizzo sotto indicato l'accesso ad una routine per la soluzione numerica e grafica della serie di Fourier: [https://it.wikiversity.org/wiki/Calcolatore_della_serie_di_Fourier]Calcolatore della serie] == La trasformata di Fourier== L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con la trasformata di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza della trasformata di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. '''L'aspetto tecnico''' La trasformata di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo della trasformata di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine. [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} La trasformata di Fourier computata con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] '''L'aspetto matematico''' Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e la tyrasformata di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite la rasformata di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta l'integrale di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra la trasformata di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. '''Routine di calcolo automatico per la trasformata di Fourier''' All'indirizzo sotto indicato l'accesso ad una routine per la soluzione numerica e grafica della trasformmata di Fourier: [https://it.wikiversity.org/wiki/Calcolatore_della_trasformata_di_Fourier]La trasformata] [[Categoria: sonar]] rklwtqxle3b4of5m8rclvuz9t6f2qrf 288089 288088 2026-11-05T10:20:10Z Funzioni di correlazione 24136 /* La trasformata di Fourier */ 288089 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} '''Routine di calcolo automatico per la serie di Fourier''' All'indirizzo sotto indicato l'accesso ad una routine per la soluzione numerica e grafica della serie di Fourier: [https://it.wikiversity.org/wiki/Calcolatore_della_serie_di_Fourier]Calcolatore della serie] == La trasformata di Fourier== L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con la trasformata di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza della trasformata di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. '''L'aspetto tecnico''' La trasformata di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo della trasformata di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine. [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} La trasformata di Fourier computata con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] '''L'aspetto matematico''' Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e la tyrasformata di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite la rasformata di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta la trasformata di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra la trasformata di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. '''Routine di calcolo automatico per la trasformata di Fourier''' All'indirizzo sotto indicato l'accesso ad una routine per la soluzione numerica e grafica della trasformmata di Fourier: [https://it.wikiversity.org/wiki/Calcolatore_della_trasformata_di_Fourier]La trasformata] [[Categoria: sonar]] nf9cg5qsm9n1mdqv917hb39c2oy214q 288090 288089 2026-11-05T10:26:54Z Funzioni di correlazione 24136 288090 wikitext text/x-wiki =Prefazione= L'analisi deterministica comprende i '''metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche ed impusive determinate''' definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo. In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio: [[File:Analogicodigitalex.JPG|thumb|left|400px|figura 01]] {{clear}} Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi. Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza. Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni. La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare. == La serie di Fourier== Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione. Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo <math> f (t) </math>, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni: *A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -<math> \infty </math> a +<math> \infty </math> Si possono distinguere due casi: il segnale è periodico di periodo <math> T</math>; il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo <math> 0-T</math> e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo <math> T = \infty </math>. *B) l'energia della funzione nel periodo <math> T </math> sia finita, ovvero :<math> \int_{0}^{T} f(t)^2 \, dt < \infty </math> (ove con <math>T </math> si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica). *C) la funzione <math> f(t) </math> sia integrabile, cioè: :<math> \int_{0}^{T} f(t) \, dt < \infty </math> *D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili Quando sono soddisfatte queste condizioni la <math>f (t) </math> è esprimibile come '''somma d'infinite componenti frequenziali''' nella forma: :<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n\cos(n \ \omega \ t)+b_n\sin(n \ \omega \ t)\right] \ \ \ </math> 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di <math>f(t)</math> dove: <math> \omega = 2 \ \pi \cdot f</math> è la pulsazione angolare. <math> a_n \ e \ b_n </math> sono i coefficienti della serie e <math> a_0 </math>, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni: <math> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) </math> :<math> \begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt \\ b_n &=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t) \sin ( \omega \ n \ t) \, \mathrm dt\end{align}</math> Per le funzioni pari compaiono solo i coseni: :<math> \begin{align} a_0&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\, \mathrm dt \\ a_n &= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\cos (\omega \ n \ t)\, \mathrm dt \\ b_n&=0 \end{align}</math> mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni: :<math> \begin{align} a_0 &=a_n=0 \\ b_n&= \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t)\sin (\omega \ n \ t) \ \mathrm dt \end{align} </math> '''Osservazioni''' La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico <math> f(t)</math> sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno. Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2). ===Esempi d'applicazione della serie di Fourier=== '''Primo esempio''' Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo <math> T </math>, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1 [[File:D2dtcxx.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} \sin (2\pi f_0 t) : & \text{da} \ T= 0 \ \ \ a \ \ \ T=1/2 \\ 0: & \text{da} \ T=1/2 \ \ \ a \ \ T \end{cases} </math> La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata: <math> f(t) \approx (E / \pi) \cdot [ 1 + ( \pi / 2 ) \cdot \cos \ x \ + \ (2/3) \cdot \cos \ 2 \ x - \ (2/15) \cdot \cos \ 4 \ x + \ (2/35) \cdot \cos \ 6 \ x] . . . .</math> dove <math> x = (2\pi f_0 t) \ \ </math> ed <math> \ \ E = \ \ </math> ampiezza di picco di <math> f(t) </math> Il primo addendo della serie non dipende da <math> (2\pi f_0 t) \ \ </math> essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo. '''Secondo esempio''' Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico <math> f(t)</math> del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni: :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} </math> il cui andamento è tracciato in figura 2 [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga. '''Terzo esempio''' In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di <math>220 \ Hz </math>: [[File:Triangle-td and fd.png|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} '''Routine di calcolo automatico per la serie di Fourier''' All'indirizzo sotto indicato l'accesso ad una routine per la soluzione numerica e grafica della serie di Fourier: [https://it.wikiversity.org/wiki/Calcolatore_della_serie_di_Fourier]Calcolatore della serie] == La trasformata di Fourier== L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con la trasformata di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01: [[File: Vettoreimpulsodtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 01]] {{clear}} Per comprendere meglio l'importanza della trasformata di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico. '''L'aspetto tecnico''' La trasformata di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. L'algoritmo della trasformata di Fourier, mostrato di seguito, :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 2]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine. [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 4]] {{clear}} La trasformata di Fourier computata con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Studio_dell%27_impulso_d%27emissione_per_testa_acustica_di_vettore_subacqueo_tracciabile Applicazione dell'integrale di Fourier.]] '''L'aspetto matematico''' Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e la tyrasformata di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite la rasformata di Fourier. [[File: vettore1dtcx.jpg|thumb|left|600px|figura 6]] {{clear}} Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso. La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase. Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo <math> T. </math> Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da: :<math>D_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2 }^{+ T/2 } f(t) \cdot e ^ { - j \ n \ \omega ' \ t } dt</math> Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione <math> F( \omega ) </math> e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta la trasformata di Fourier: :<math> F( \omega ) = \lim_{T\rightarrow \infty} D_n </math> <math> = \int_{- \infty }^{+ \infty } f(t) \cdot e ^ { - j \ \omega \ t } dt \ \ \ \ </math> 1) dove <math> \omega </math> sostituisce <math> n \ \omega ' </math>. La 1) mostra la trasformata di Fourier come trasformazione di una funzione <math> f(t) </math>, nel dominio del tempo, in una funzione <math> F ( \omega ) </math>.nel dominio della frequenza essendo <math> \omega = 2 \cdot \pi \cdot f </math>. Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2): <math> f(t) = (1 / 2 \pi) \int_{- \infty }^{+ \infty } F( \omega ) \cdot e ^ { j \ \omega \ t } d \omega \ \ \ \ </math> 2). Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; <math> F ( \omega )</math> rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di <math>f (t)</math> essendo l'integrale 1) esteso da <math>- \infty \ a \ + \infty </math>. Le funzioni <math>f (t) \ e \ F ( \omega ) </math> si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione: <math>f (t) \leftrightarrows F ( \omega )</math>. '''Routine di calcolo automatico per la trasformata di Fourier''' All'indirizzo sotto indicato l'accesso ad una routine per la soluzione numerica e grafica della trasformmata di Fourier: [https://it.wikiversity.org/wiki/Calcolatore_della_trasformata_di_Fourier]La trasformata] [[Categoria: sonar]] j1cjhhh9pjc1wwwq5mggcvny5vdwcvr 0 37856 288087 2026-11-05T10:08:38Z Funzioni di correlazione 24136 Funzioni di correlazione ha spostato la pagina [[Analisi deterministica - La serie e l'integrale di Fourier]] a [[Analisi deterministica - La serie e la trasformata di Fourier]]: Titolo errato 288087 wikitext text/x-wiki #RINVIA [[Analisi deterministica - La serie e la trasformata di Fourier]] 0nak48a7ywz0invs4if2f01v005pgzk