Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.48.0-wmf.3 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 0 26325 288234 273422 2026-11-08T09:49:38Z CommonsDelinker 53 Replacing Mikola_II.jpg with [[File:Nicholas_II,_Russian_Emperor.jpg]] (by [[:c:User:CommonsDelinker|CommonsDelinker]] because: [[:c:COM:FR|File renamed]]: [[:c:COM:FR#FR3|Criterion 3]] (obvious error)). 288234 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Storia contemporanea|materia2=Storia dell'Europa orientale}} [[File:Arcade de l'état-major, colonne alexandrine, palais d'hiver, album russe de Lisinka Poirel.jpg|thumb|Veduta di San Pietroburgo (dal 1914 Pietrogrado) in un'immagine del primo Ottocento. La capitale, prima ancora d'essere un porto, era sede della corte e soprattutto centro della burocrazia imperiale; costruita con sforzi immani sfidando un contesto idrogeologico proibitivo, col suo stile volutamente occidentale si contrapponeva anche visivamente alle tradizioni della Russia antica.]] La '''rivoluzione russa''' è un avvenimento molto importante nella [[Corso:storia|storia]] della Russia e del mondo. Si svolge nel 1917, in due fasi. A «febbraio» la monarchia zarista è rovesciata da manifestazioni e scioperi nella capitale Pietrogrado. Mentre continua la guerra colla [[Germania (scuola media)|Germania]], nel corso della primavera e dell'estate, il potere è conteso fra il governo provvisorio (formato prevalentemente da borghesi <!-- impreciso -->) e il ''soviet'' (consiglio) di Pietrogrado (formato da operai e soldati <!-- impreciso -->), in cui si rafforza progressivamente l'influenza del partito bolscevico<!-- non è un partito, ma l'ala sinistra dei socialdemocratici -->. Nell' «ottobre», con un colpo di stato contro il governo provvisorio, i bolscevichi s'impadroniscono del potere. Adotteranno rapidamente provvedimenti <!--drastici--> tesi a instaurare un nuovo ordine economico e politico in Russia<!--e nei paesi allora soggetti all'ex impero russo-->. Da questa rivoluzione nascerà, nel 1922, l'Unione sovietica. Nel 1917 i russi usavano il calendario giuliano, in ritardo di 13 giorni su quello gregoriano vigente nell'Europa occidentale. Per questo la ''rivoluzione di febbraio'' (calendario russo) ebbe luogo in marzo (calendario gregoriano). In questa lezione le date indicate sono quelle del calendario gregoriano; tuttavia si sono mantenuti i nomi universalmente noti delle due rivoluzioni, quella ''di febbraio'' e quella ''d'ottobre''. ==Cause della rivoluzione== ===Premessa=== [[File:Nezhgostitsy.jpg|thumb|Un esempio particolarmente prestigioso di dimora padronale nelle campagne russe; anche se solitamente erano più modeste, erano spesso di stile neoclassico. La casa padronale rappresentava un mondo estraneo, in forte contrasto colle tradizioni locali, isolata com'era nelle campagne.]] La Russia, per motivi geografici, e di conseguenza economici, sociali e politici, ha una storia distinta da quella dell'Europa occidentale, con aspetti del tutto originali e strettamente legati fra loro ai quali, in questa lezione, possiamo solo accennare di sfuggita. L'elemento più vistoso di questa particolarità, nel 1917, sembra essere il regime autocratico, appena temperato da un parlamentarismo recente (dal 1906) e già sostanzialmente fallito (la Duma viene sciolta più volte da Nicola II nel giro di pochi anni). In realtà la struttura della società russa, e ciascuna delle classi di cui si compone, presenta particolarità uniche in Europa, il che comporta mentalità e aspirazioni profondamente diverse da quelle delle apparentemente omologhe classi sociali in occidente. Il regime autocratico si mantiene solido fino al 1905, e sostanzialmente fino al 1914; non è stato seriamente minacciato dai tempi della rivolta di Pugačëv nel Settecento. Perciò si è parlato di «crisi dell'autorità» per gli anni immediatamente precedenti alla rivoluzione. La Russia non ha conosciuto né il feudalesimo né lo sviluppo d'una borghesia urbana. ====I contadini==== [[File:Seeing off a recruit (Repin).jpg|thumb|''Partenza del coscritto'', di Ilja Repin. Il servizio militare era una delle imposizioni che aggravavano la condizione dei contadini, sottraendo braccia al lavoro. ]] La stragrande maggioranza della popolazione vive nelle campagne. Il contadino russo (''mužik'') è tradizionalmente dedito a un'agricoltura estensiva (dati gli spazî illimitati) e tecnicamente arretrata, con uno stile di vita sostanzialmente autarchico: non sente il bisogno di un'autorità o di una vita sociale che vada oltre il villaggio (e quindi nemmeno della città). Già precedentemente costretto a mantenere le classi agiate e lo stato, a partire dalle riforme di Pietro I il contadino viene legato stabilmente dalla nascita alla terra che coltiva (servitù della gleba), che viene assegnata a una crescente classe di servizio (''dvorjane'', cosiddetti nobili), allo scopo di mantenere una burocrazia numerosa e un costoso esercito. Dopo la sconfitta nella Guerra di Crimea, Alessandro II abolisce la servitù della gleba, col consenso della nobiltà (che, essendo istruita e guardando a occidente, sente quell'istituzione come obsoleta). La riforma tanto attesa delude le aspettative: la terra assegnata ai contadini deve essere riscattata, sia pure sotto forma di crediti concessi dallo stato, e l'incremento demografico degli ultimi decenni dell'Ottocento contribuisce a impoverire la popolazione rurale. Il rancore secolare verso le classi abbienti (compresi quei contadini che hanno tratto profitto dalla nuova situazione divenendo a loro volta proprietari benestanti, i cosiddetti ''kulaki'') si trasforma per molti in odio feroce: un'opinione diffusa è che ancora una volta i nobili avrebbero impedito allo zar di dare le terre ai contadini. ====La nobiltà==== [[File:Au service des Tsars - inv. ЭPЖ-2379 - Attaque du carré des décabristes par le régiment des gardes à cheval le 14 décembre 1825.jpg|thumb|Repressione della rivolta dei decabristi: le guardie a cavallo caricano il quadrato dei ribelli. I decabristi (così chiamati per i fatti del dicembre 1825) erano giovani militari, di famiglia nobile e di idee progressiste; il fallimento della sommossa (sull'onda dei moti di quel decennio in Ispagna e in Italia) e la conseguente dura repressione segnarono sia il regno di Nicola I, sia soprattutto quella nobiltà che si vedeva come la parte più avanzata del paese.]] I nobili, dal canto loro, sono stati creati come classe dalle riforme di Pietro I (assorbendo anche famiglie dell'antica aristocrazia): dapprima obbligati a entrare nell'esercito e nella burocrazia, e ricompensati colla distribuzione di terre (complete di villaggi e contadini, le cosiddette ''anime''), nel corso del Settecento vengono liberati dal servizio obbligatorio e diventano proprietarî terrieri, a volte ricchi, a volte no, ma comunque percepiti come sfruttatori dalla popolazione rurale. Vengono spinti sempre più ad adottare uno stile di vita occidentale e a istruirsi, e dalla vita culturale che si sviluppa fra Settecento e Ottocento (soprattutto letteratura) derivano un'autocoscienza e uno spirito critico (di stampo occidentale ma con caratteri di forte originalità) che avranno un forte impatto sulle generazioni successive. Il dibattito, pur represso dal potere centrale (in particolar modo sotto Nicola I), movendo da premesse letterarie e filosofiche (idealismo, naturalismo, positivismo) ruota sempre più attorno ai problemi sociali, e quindi politici, della Russia. Da qui l'attesa di riforme e una pluralità di correnti ideologiche, talora originali (panslavismo), ma più tipicamente d'impronta occidentale (socialismo); nel contesto che ci interessa va ricordato almeno Michail Aleksandrovič Bakunin, per l'importante contributo al pensiero anarchico. Alcuni di questi nobili dissidenti (''intelligencija'') dalla propaganda clandestina e dalla cospirazione passeranno al terrorismo; fra i molti attentati, a innescare un'ondata reazionaria fu soprattutto quello di cui cadde vittima lo stesso Alessandro II. Anche gli ideologi e attivisti del Novecento saranno spesso di famiglia nobile, in grado se necessario di mantenersi all'esilio: fra questi lo stesso Lenin e altri socialdemocratici. ====La borghesia==== Una borghesia imprenditoriale stentò per lungo tempo ad affermarsi in Russia, a causa soprattutto della pesante ingerenza dello stato in tutti i campi dell'economia; si può parlare di una grande borghesia negli ultimi decenni dell'Ottocento, ma non aveva ancora una chiara identità di classe (le tradizioni degli antichi mercanti erano estranee al capitalismo moderno, mentre le tendenze più innovatrici si confondevano colle istanze della nobiltà più illuminata). (La mancanza di un solido sistema capitalistico nel paese avrebbe costituito un problema ideologico per i socialisti, in quanto era in contraddizione con la dottrina marxista; difatti anche il proletariato urbano era ancora poco numeroso). Anche una piccola borghesia di professionisti e impiegati si affermò solo nel secondo Ottocento (una parte erano figli dei preti di campagna, i ''popi'', figure di scarsissimo prestigio), quando fu possibile per un pubblico meno ristretto accedere all'istruzione superiore. (Un esempio è lo scrittore Čechov, un medico di modeste origini). Tramite le università e le riviste anche costoro potevano seguire il dibattito culturale e radicalizzarsi, ma a differenza dei nobili dovevano guadagnarsi da vivere e più difficilmente godevano di appoggi influenti. ====Lo zar e il suo governo==== Il regime autocratico degli zar (titolo tradizionale, quello ufficiale era ''imperator'' fin dal Settecento) si fondava su una poderosa macchina burocratica asservita al potere assoluto (ben più radicale, in teoria, dell'assolutismo occidentale, ma temperata dall'inefficienza dell'amministrazione, notoriamente corrotta). I sovrani oscillavano fra una linea liberale (per favorire il progresso del paese, per esempio Alessandro II) e una severamente reazionaria (per mantenere il controllo, anche in seguito a eventi traumatici: Nicola I, Alessandro III, e, con qualche incertezza, Nicola II; nei casi di Caterina II e Alessandro I, si può osservare come una politica di apertura, coerente colla loro formazione illuministica, cedette il passo alla delusione e alla chiusura). In particolare sotto Alessandro III, il sistema repressivo aveva assunto le caratteristiche di uno stato di polizia, paragonabile a un regime totalitario; Nicola II ne mantenne l'impostazione e il clima di sospetto, in un contesto mutato e con una condotta più incerta. Fra l'altro la sconfitta militare del 1905 e la contestuale rivoluzione avevano indebolito ulteriormente il prestigio della monarchia. Bisogna aggiungere che nemmeno la Chiesa era in grado di mantenere la coesione sociale: il suo prestigio era assai modesto e nel corso dei secoli era stata asservita agli zar, fino a diventare, dal primo Settecento, uno dei rami dell'amministrazione imperiale (il patriarca era sostituito da un organo collegiale presieduto da un laico). ===Dal 1905 al 1917=== <!--Allo stato, la sezione tratta delle cause scatenanti immediate. Manca una trattazione delle cause profonde.--> [[File:Nicholas II, Russian Emperor.jpg|thumb|L'imperatore Nicola II.]] Fino al 1917 la [[Russia (scuola media)|Russia]] è governata dallo zar Nicola II. È un imperatore che regna in modo autoritario (lo zarismo è un regime autocratico). In seguito alla rivoluzione del 1905, Nicola II è costretto a creare una ''Duma'', parlamento che dovrebbe rappresentare il popolo russo. Ma la cattiva volontà <!--timore, diffidenza, chiusura; fare un riquadro sull'autocrazia--> e del suo governo evita un funzionamento accettabile del sistema rappresentativo<!--la Duma fu sciolta tre o quattro volte--> La guerra e la partenza dello zar per il fronte lasciano il governo in mano alla zarina Aleksandra Fëdorovna. È circondata da un piccolo gruppo di reazionari che gravitano attorno all'influente Rasputin<!--spiegare--> (assassinato da alcuni nobili nel dicembre 1916). Dall'agosto 1914 la Russia è coinvolta nella Prima guerra mondiale a fianco dei britannici e dei francesi, contro la [[Germania (scula media)|Germania]] e l'Austria-Ungheria. L'industria russa si è sviluppata da poco e la sua produzione è insufficiente ad affrontare una guerra in cui le forniture hanno un ruolo notevole. La lunghezza delle retrovie e la scarsità dei mezzi di trasporto rendono assai difficile rifornire l'esercito. Lo stato maggiore russo, guidato dallo zar, non è all'altezza del suo compito. La Russia stenta a resistere ai tedeschi. In mancanza dell'equipaggiamento idoneo, e nonostante il sacrificio dei soldati, le offensive dei russi falliscono. Al principio dell'inverno 1916-1917 la situazione militare si aggrava. Le perdite russe (morti e prigionieri) sono ingenti, i soldati sono stanchi di combattere una guerra che non comprendono. Anche lontano dal fronte la situazione è molto difficile. Nelle campagne, private della manodopera e degli animali da tiro mobilizzati nell'esercito, la produzione agricola cala. Le condizioni materiali dei contadini, già difficili prima della guerra, si aggravano. L'approvvigionamento delle città è compromesso. Nelle officine, in particolare in quelle della capitale Pietrogrado (San Pietroburgo<!--spiegare-->), gli operai d'ambo i sessi sono inquadrati militarmente per massimizzare la produzione. Dopo una giornata di lavoro lunga e faticosa, impiegano ore nei negozi sforniti a procurarsi gli alimenti e un secchio di carbone, mentre la temperatura all'aperto s'avvicina spesso ai 40° sotto zero. Al principio del 1917 il governo e la popolazione si trovano in gravi difficoltà. ==La rivoluzione di febbraio== [[File:Демострация работниц Путиловского завода в первый день Февральской революции 1917.jpg|thumb|Manifestazione di operaie della Putilov nel primo giorno della rivoluzione di febbraio]] L'8 marzo 1917, a Pietrogrado (capitale della Russia ma anche polo industriale), ha luogo uno sciopero con manifestazioni operaie. Nell'arco di tre giorni i disordini crescono. Il governo, incerto sulla lealtà dei soldati ammassati in città e privo del sostegno della classe politica e degli stessi nobili, non reagisce. Il momento decisivo si ha quando, il 12 marzo, parte della guarnigione di Pietrogrado si schiera coi manifestanti. Il governo imperiale, definitivamente esautorato, è disciolto; lo sostituisce un comitato provvisorio di deputati della Duma<!-- spiegare meglio-->. Lo stesso giorno gli operai scesi in piazza, i soldati ribelli e membri dei diversi partiti socialisti costituiscono il soviet degli operai e dei soldati di Pietrogrado<!--nome ufficiale?-->. Il soviet delibera d'incaricarsi degli approvvigionamenti, d'assumere il comando della guarnigione e di distaccare propri rappresentanti a fianco dei funzionarî del governo provvisorio in seno ai varî organi dello stato. Di fatto a Pietrogrado coesistono due poteri centrali. Il 15 marzo lo zar abdica in favore del fratello, il granduca<ref>Il titolo di granduca era dei principi<!-- precisare--> della famiglia imperiale.</ref> Michele, che rifiuta<!--, su pressione del procuratore generale Kerenskij, accetta a condizione che la corona gli venga offerta da un'assemblea costituente-->. Il giorno stesso si forma il governo provvisorio, composto da ministri scelti fra i deputati dei partiti borghesi<!--moderati-->. Il governo provvisorio concede immediatamente le libertà politiche fondamentali (di riunione, di stampa...) e di convocare un'assemblea costituente incaricata di stabilire un nuovo ordinamento. ==Da febbraio a ottobre== <!-- aggiungere informazioni sul governo provvisorio --> ===La guerra continua=== La guerra contro gli imperi centrali continua. L'esercito russo ha quasi tredici milioni di soldati. Fino ad aprile gli ammutinamenti al fronte avvengono di rado; i reparti di riserva nelle retrovie sono più irrequieti. Nel corso della primavera l'agitazione si diffonde in tutto l'esercito. I soldati, riuniti nei soviet, sempre più spesso mettono in discussione gli ordini degli ufficiali, una parte dei quali è di famiglia nobile. L'approvvigionamento di viveri è difficile (in attesa del nuovo raccolto); nelle industrie e nei collegamenti si diffonde la disorganizzazione dovuta agli scioperi che rallentano le forniture militari. L'offensiva lanciata ai primi di luglio è un fallimento sanguinoso. I soldati cominciano a disertare (più di {{formatnum:200000}} da luglio a novembre). Ritornano nei loro villaggi d'origine, mentre circolano voci di una prossima ridistribuzione delle terre<!--spiegare meglio-->. Sulla via del ritorno si riforniscono a spese degli abitanti e contribuiscono ai disordini. ===I disordini nelle campagne=== Nelle campagne la situazione cambia diverse volte fra il marzo e il novembre 1917. La primavera è caratterizzata da sommosse violente nelle regioni del medio Volga. Le proprietà dei nobili e dei contadini benestanti (i ''kulaki'') vengono saccheggiate; si ritorna alla gestione comunitaria delle terre<!--in realtà questa era stata introdotta già dalle riforme di Alessandro II; a partire dal 17 si tende piuttosto a un esproprio generalizzato-->. In Ucraina invece, dove molti contadini sono benestanti e dove i cosacchi reprimono tempestivamente i disordini, la primavera è più calma<!--controllare, precisare-->. I lavori agricoli dell'estate tengono occupati i contadini; ma il ritorno progressivo dei disertori nei villaggi dà maggior vigore alla richiesta di ridistribuire le terre di proprietà dei nobili e dei ''kulaki''. I moti contadini riprendono nel medio Volga e anche in Ucraina<!-- e nel resto del paese?-->. L'approvvigionamento delle città diventa difficile. <!--manca una parte sull'ideologia anarchica del contadino e sulla diffusione di idee rivoluzionarie fra i soldati al fronte--> ===Organizzazione dei soviet=== <!--Il capoverso che segue è gravemente impreciso--> La rivoluzione si diffonde in tutto il paese<!--quando??--> e i notabili, che amministravano in nome dello zar, vengono destituiti o lasciano i loro incarichi<!--verificare, sembra una semplificazione assai grossolana-->. Nelle città e nei villaggi, quando giunge la notizia della rivoluzione nella capitale, si costituiscono i soviet. Sono consigli di operai, contadini e soldati <!--più o meno--> eletti che si organizzano per gestire le imprese e per sostituire le amministrazioni venute meno<!--questo passo è molto impreciso-->. Ben presto i soviet si occupano anche di politica, il che costringe la Duma a tener conto dei loro pareri<!--verificare-->.__INDEX__ <!--manca una parte sul ruolo degli intellettuali, in parte nobili come Lenin, nella diffusione del socialismo--> All'interno dei soviet si confrontano diverse correnti politiche, tutte di ambito socialista. Ben presto i socialisti rivoluzionari, un partito molto influente nelle campagne<!--verificare; in quali strati della popolazione?-->, e i menscevichi, socialdemocratici moderati la cui influenza è forte fra operai e impiegati, assumono la guida dei soviet<!--dove? di quali?-->. Sono in gran parte socialisti moderati, preoccupati da rischio d'una rivoluzione violenta, che auspicano un'intesa colla borghesia<!--meglio: colle classi abbienti--> per instaurare un regime democratico. Perseguono anche uno sviluppo economico basato su una distribuzione più equa delle terre e sulla crescita dell'industria, che porterebbe a un incremento degli operai, il cui numero è ancora molto scarso. I bolscevichi, in minoranza fra i socialdemocratici, poco presenti nelle fabbriche e privi dei loro capi esiliati all'estero, sono più radicali e favorevoli a cambiamenti profondi. Rifiutano di venire a patti colla borghesia<!--come sopra-->. Il loro programma è di sopprimere la proprietà privata delle terre e delle imprese industriali, bancarie e commerciali. Sono anche favorevoli alla fine della guerra. <!--verificare tutto attentamente e precisare dove necessario--> ===Il ritorno di Lenin=== [[File:Lenin 1919-03-18.jpg|thumb|right|Lenin durante un discorso nel 1919]] [[File:Tesi di aprile Lenin.gif|thumb|Minuta delle ''Tesi di aprile'' di Lenin]] Nell'aprile del 1917 Lenin, capo dei bolscevichi esiliato in Svizzera, ritorna in Russia, seguito da altri bolscevichi influenti. <!--il suo ritorno fu agevolato dai tedeschi; al primo impatto i bolscevichi lo accolsero con scetticismo--> Lenin pubblica le ''Tesi d'aprile'', che espongono le sue idee. Si oppone al governo provvisorio e sostiene che solo il potere esclusivo dei soviet sia in grado di salvaguardare le conquiste della rivoluzione. Auspica l'esproprio e la spartizione delle terre da parte dei contadini, il passaggio immediato a una repubblica fondata sui soviet e il boicottaggio del governo provvisorio (ossia il rifiuto di appoggiarlo). I bolscevichi si danno da fare per ottenere l'adesione della maggior parte degli operai, in particolare di quelli del soviet di Pietrogrado. Ai primi di giugno, sfruttando gli errori del governo provvisorio e la politica antioperaia degli industriali, vi riescono. <!-- formulare meglio e precisare--> <!--inserire titolo--> Nelle città la situazione, difficile fin dal febbraio, si aggrava. Il rifornimento di alimenti è gravemente insufficiente. In primavera i prezzi raddoppiano; i prodotti non più disponibili in commercio sono venduti al mercato nero a prezzi altissimi. Il governo provvisorio ordina requisizioni nelle campagne, dove i contadini sono presi dal panico.<!--precisare meglio--> Questi provvedimenti spesso sono inefficaci perché manca il personale per metterle in atto<!--verificare se davvero l'amministrazione pubblica già non avesse personale, come sostiene qui e altrove fr.vikidia-->. Si diffonde la disoccupazione. In mancanza di forniture regolari di energia e materie prime, gli industriali ricorrono al «licenziamento per cause tecniche».<!--verificare se questa espressione risulti dalle fonti--> Di fronte alle rivendicazioni salariali o di riduzione degli orarî di lavoro a otto ore, gli industriali ricorrono alla serrata. Gli agitatori, già attivi negli scioperi e nelle manifestazioni di marzo, sono ricercati dalle autorità. Vengono licenziati anche dipendenti moderati<!-- verificare e precisare-->. Gli operai poco alla volta giungono alla conclusione di dover assumere la gestione delle imprese; così si avvicinano ai bolscevichi. <!--manca un riferimento agli intellettuali e all'influsso della mentalità contadina--> Il partito, composto fino a ora soprattutto da intellettuali, cresce notevolmente. Nel luglio 1917 ha {{formatnum:200000}} aderenti. Alcuni bolscevichi si armano e si addestrano clandestinamente, formando la guardia rossa.<!--ampliare sul ruolo dei militari a Pietrogrado --> ===I tentati colpi di stato=== Nel luglio del 1917, contro il parere di Lenin, il soviet di Pietrogrado provoca un'insurrezione. Il governo provvisorio, presieduto da Kerenskij, un socialista moderato, riesce a reprimerla coll'appoggio dei soldati che il governo aveva schierato nei dintorni della capitale. Lenin è costretto a fuggire nella vicina Finlandia. Nel settembre successivo, il tentato colpo di stato del generale Kornilov fallisce grazie all'intervento armato delle guardie rosse<!--in realtà fallì per la resistenza dei ferrovieri. Vero è che Kerenskij liberò i bolscevichi imprigionati e chiese il loro intervento in difesa del governo-->. Il governo perde il controllo degli eventi. I bolscevichi si organizzano per prendere il potere con un colpo di stato. ==Il colpo di stato bolscevico: la rivoluzione d'ottobre== Nell'ottobre, Lenin e Trockij ritengono giunto il momento di porre fine alla diarchia fra governo provvisorio e soviet. I dibattiti all'interno del comitato centrale bolscevico, affinché questo organizzi un'insurrezione armata e prenda il potere, sono accesi, poiché alcuni sostengono che si debba attendere e agire di concerto con altri gruppi rivoluzionarî. Ma Lenin e Trockij prevalgono e, dopo aver resistito, il comitato approva e predispone l'insurrezione, prevista per il 7 novembre, subito prima del II congresso dei soviet. [[File:Last guards of winter palace women batallion of death.JPG|thumb|Difensori del Palazzo d'inverno, fra cui vi era il «battaglione della morte», formato da donne.]] L'insurrezione scoppia nella notte dal 6 al 7 novembre (24 e 25 ottobre secondo il calendario vigente all'epoca in Russia). Viene creato un comitato militare rivoluzionario, guidato da Trockij e composto da operai armati, soldati e marinai, che prende il controllo dei punti strategici della città, come la centrale telefonica, le stazioni, i numerosi ponti e il Palazzo d'inverno, sede del governo provvisorio. Una nave viene inviata in appoggio al colpo di stato dai marinai del vicino porto militare di Kronštadt. Gli avvenimenti si susseguono quasi senza resistenza: i bolscevichi riescono a impadronirsi dei centri governativi senza resistenza, prima di lanciare l'assalto finale al Palazzo d'inverno. Quest'ultimo, difeso da un migliaio di soldati, cede dopo un attacco confuso, nel corso del quale militari e guardie rosse sparano in aria, causando sei morti. Uno degli avvenimenti più importanti del XX secolo si svolge senza particolari difficoltà. ==Primi provvedimenti rivoluzionarî== I bolscevichi, perseguitati fino al giorno prima (i loro giornali erano soppressi, alcuni dei loro capi in prigione), sono oramai padroni della capitale. L'indomani, 7 novembre, Trockij annuncia ufficialmente lo scioglimento del governo provvisorio, in occasione dell'apertura del congresso panrusso dei soviet dei deputati operai e contadini (vi sono stati eletti 649 delegati, di cui 390 bolscevichi). Nelle poche ore seguenti, alcuni decreti avrebbero gettato le basi dell'ordinamento rivoluzionario. ;Decreto sulla pace: Per prima cosa, Lenin annuncia l'abolizione della diplomazia segreta e la proposta, a tutti i paesi in guerra, d'avviare dei colloquî «in vista d'una pace equa e democratica, immediata, senza annessioni e senza indennità». Solo la Germania accetta. Il 15 dicembre, a Brest-Litovsk (oggi in Bielorussia al confine polacco), viene firmato un armistizio russo-tedesco<!-- a condizioni gravissime per la Russia--> e si avviano i negoziati di pace. ;Decreto sulla terra: «La grande proprietà fondiaria è abolita immediatamente senza alcuna indennità» e i soviet dei contadini sono liberi di farne ciò che reputano opportuno (collettivizzazione della terra o spartizione fra i contadini)<!--precisare-->. Di fatto il decreto regolarizza la situazione esistente, dato che i contadini fin dall'estate hanno occupato in massa le grandi proprietà.<!--non ancora tutte e non ancora dappertutto.--> I proprietarî espropriati, ma anche quei contadini che non condividono le azioni dei soviet rurali, fuggono dalle campagne e spesso vengono uccisi. ;Altri provvedimenti: Si procede alla nazionalizzazione delle banche, al controllo degli operai sulla produzione, alla creazione d'un milizia operaia, alla concedere sovranità, uguaglianza e autodeterminazione a tutti i popoli della Russia<!--verificare-->, alla soppressione di tutti i privilegi, concessi sia dallo stato sia dalla Chiesa, alla separazione della Chiesa ortodossa dallo stato<!--precisare-->, all'introduzione del calendario gregoriano al posto di quello giuliano. Gli avvenimenti messi in moto dalla rivoluzione continuano: coloro che sono stati espropriati, ma anche molti altri, delusi dalla rivoluzione<!--o contrarî alla stessa-->, cominciano a ribellarsi ai soviet. È il principio d'una guerra civile che durerà fino al 1921 e farà numerose vittime: da 5,8 a 8,8 milioni di morti (da aggiungere alle perdite dovute alla Prima guerra mondiale<!--e a quelle delle violenze del 1917-->). ==Note== <references /> ==Fonti== Questa lezione è stata scritta modificando una libera traduzione della voce ''{{vk|fr:Spécial:Lien_permanent/996620|Révolution russe de 1917}}'' ({{vk|fr:Spécial:Lien_permanent/996620|versione 996620 del 27 ottobre 2017}}) di {{vk|fr:|Vikidia in francese}} pubblicata con licenza Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0. L'elenco degli autori è nella {{vk|fr:Spécial:History/Révolution russe de 1917|cronologia della pagina originale}}. ===Bibliografia commentata=== {{Cita libro|titolo = La Russia. Potere e società dal Medioevo alla dissoluzione dell'ancien régime,|autore = Richard Pipes|wkautore = w:en:Richard Pipes|editore = Leonardo|città = Milano|anno = 1992|annooriginale =1974|ISBN =88-355-0136-9}} {{Nav stocontemporanea}} e40h84g6k8t22j884tosicpd167wywq 2 32658 288176 288175 2026-11-07T15:40:16Z Funzioni di correlazione 24136 288176 wikitext text/x-wiki == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX == Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy (con funzioni esponenziali) == Il '''Teorema Integrale di Cauchy''' stabilisce che se una funzione $f(z)$ è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e su una curva chiusa semplice $C$ (e al suo interno), allora l'integrale della funzione lungo la curva è pari a zero: <math>\oint_C f(z) \, dz = 0</math> Negli esercizi di analisi complessa con le funzioni esponenziali, spesso si utilizza anche la sua estensione, la '''Formula Integrale di Cauchy''', per calcolare integrali in cui la funzione ha dei poli all'interno del cammino di integrazione. === Esercizio 1: Applicazione diretta (Risultato Zero) === '''Testo:''' Calcolare l'integrale complesso: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math> dove $C$ è la circonferenza di equazione $|z| = 1$ percorsa in senso antiorario. '''Svolgimento:''' # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione $C$ è la circonferenza centrata nell'origine con raggio $R = 1$ ($|z| = 1$). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché $3 > 1$, '''entrambe le singolarità ($z = 3i$ e $z = -3i$) si trovano all'esterno''' del cerchio delimitato da $C$. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale $e^z$ è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso). Poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva $C$, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> === Esercizio 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy === '''Testo:''' Calcolare l'integrale: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> dove $C$ è la circonferenza $|z| = 2$ percorsa in senso antiorario. '''Svolgimento:''' # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in $z_0 = i$. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino $C$ ha raggio $R = 2$. La singolarità $z_0 = i$ ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto $z_0 = i$ si trova '''all'interno''' della circonferenza $C$. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro $C$) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con $\theta = 2$: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> In forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> kfvu0tdn2nuqr4w70kmsv37wgd9y825 288177 288176 2026-11-07T15:41:52Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio 1: Applicazione diretta (Risultato Zero) */ 288177 wikitext text/x-wiki == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX == Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy (con funzioni esponenziali) == Il '''Teorema Integrale di Cauchy''' stabilisce che se una funzione $f(z)$ è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e su una curva chiusa semplice $C$ (e al suo interno), allora l'integrale della funzione lungo la curva è pari a zero: <math>\oint_C f(z) \, dz = 0</math> Negli esercizi di analisi complessa con le funzioni esponenziali, spesso si utilizza anche la sua estensione, la '''Formula Integrale di Cauchy''', per calcolare integrali in cui la funzione ha dei poli all'interno del cammino di integrazione. === Esercizio 1: Applicazione diretta (Risultato Zero) === '''Testo:''' Calcolare l'integrale complesso: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math> dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1$ percorsa in senso antiorario. '''Svolgimento:''' # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione $C$ è la circonferenza centrata nell'origine con raggio $R = 1$ ($|z| = 1$). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché $3 > 1$, '''entrambe le singolarità ($z = 3i$ e $z = -3i$) si trovano all'esterno''' del cerchio delimitato da $C$. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale $e^z$ è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso). Poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva $C$, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> === Esercizio 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy === '''Testo:''' Calcolare l'integrale: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> dove $C$ è la circonferenza $|z| = 2$ percorsa in senso antiorario. '''Svolgimento:''' # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in $z_0 = i$. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino $C$ ha raggio $R = 2$. La singolarità $z_0 = i$ ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto $z_0 = i$ si trova '''all'interno''' della circonferenza $C$. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro $C$) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con $\theta = 2$: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> In forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> bbp0q83p5o8ezpp6tklfl1cocjpxiey 288178 288177 2026-11-07T15:45:12Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio 1: Applicazione diretta (Risultato Zero) */ 288178 wikitext text/x-wiki == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX == Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy (con funzioni esponenziali) == Il '''Teorema Integrale di Cauchy''' stabilisce che se una funzione $f(z)$ è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e su una curva chiusa semplice $C$ (e al suo interno), allora l'integrale della funzione lungo la curva è pari a zero: <math>\oint_C f(z) \, dz = 0</math> Negli esercizi di analisi complessa con le funzioni esponenziali, spesso si utilizza anche la sua estensione, la '''Formula Integrale di Cauchy''', per calcolare integrali in cui la funzione ha dei poli all'interno del cammino di integrazione. === 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) === Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso:''' <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' '''Svolgimento:''' # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione $C$ è la circonferenza centrata nell'origine con raggio $R = 1$ ($|z| = 1$). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché $3 > 1$, '''entrambe le singolarità ($z = 3i$ e $z = -3i$) si trovano all'esterno''' del cerchio delimitato da $C$. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale $e^z$ è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso). Poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva $C$, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> === Esercizio 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy === '''Testo:''' Calcolare l'integrale: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> dove $C$ è la circonferenza $|z| = 2$ percorsa in senso antiorario. '''Svolgimento:''' # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in $z_0 = i$. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino $C$ ha raggio $R = 2$. La singolarità $z_0 = i$ ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto $z_0 = i$ si trova '''all'interno''' della circonferenza $C$. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro $C$) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con $\theta = 2$: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> In forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> l9bysrka5lioetkpbjst651a3e384xi 288179 288178 2026-11-07T15:47:10Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) */ 288179 wikitext text/x-wiki == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX == Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy (con funzioni esponenziali) == Il '''Teorema Integrale di Cauchy''' stabilisce che se una funzione $f(z)$ è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e su una curva chiusa semplice $C$ (e al suo interno), allora l'integrale della funzione lungo la curva è pari a zero: <math>\oint_C f(z) \, dz = 0</math> Negli esercizi di analisi complessa con le funzioni esponenziali, spesso si utilizza anche la sua estensione, la '''Formula Integrale di Cauchy''', per calcolare integrali in cui la funzione ha dei poli all'interno del cammino di integrazione. === 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) === Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso:''' <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione $C$ è la circonferenza centrata nell'origine con raggio $R = 1$ ($|z| = 1$). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché $3 > 1$, '''entrambe le singolarità ($z = 3i$ e $z = -3i$) si trovano all'esterno''' del cerchio delimitato da $C$. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale $e^z$ è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso). Poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva $C$, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> === Esercizio 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy === '''Testo:''' Calcolare l'integrale: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> dove $C$ è la circonferenza $|z| = 2$ percorsa in senso antiorario. '''Svolgimento:''' # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in $z_0 = i$. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino $C$ ha raggio $R = 2$. La singolarità $z_0 = i$ ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto $z_0 = i$ si trova '''all'interno''' della circonferenza $C$. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro $C$) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con $\theta = 2$: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> In forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> esdpviv37p2524pmp5s0cqdzlhgpd99 288180 288179 2026-11-07T15:48:28Z Funzioni di correlazione 24136 288180 wikitext text/x-wiki == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso:''' <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione $C$ è la circonferenza centrata nell'origine con raggio $R = 1$ ($|z| = 1$). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché $3 > 1$, '''entrambe le singolarità ($z = 3i$ e $z = -3i$) si trovano all'esterno''' del cerchio delimitato da $C$. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale $e^z$ è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso). Poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva $C$, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> === Esercizio 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy === '''Testo:''' Calcolare l'integrale: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> dove $C$ è la circonferenza $|z| = 2$ percorsa in senso antiorario. '''Svolgimento:''' # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in $z_0 = i$. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino $C$ ha raggio $R = 2$. La singolarità $z_0 = i$ ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto $z_0 = i$ si trova '''all'interno''' della circonferenza $C$. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro $C$) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con $\theta = 2$: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> In forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> mq2l497473mzwhx1c8ake3khnwg665r 288181 288180 2026-11-07T15:54:01Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) */ 288181 wikitext text/x-wiki == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione $C$ è la circonferenza centrata nell'origine con raggio $R = 1$ ($|z| = 1$). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché $3 > 1$, '''entrambe le singolarità ($z = 3i$ e $z = -3i$) si trovano all'esterno''' del cerchio delimitato da $C$. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale $e^z$ è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso). Poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva $C$, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> === Esercizio 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy === '''Testo:''' Calcolare l'integrale: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> dove $C$ è la circonferenza $|z| = 2$ percorsa in senso antiorario. '''Svolgimento:''' # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in $z_0 = i$. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino $C$ ha raggio $R = 2$. La singolarità $z_0 = i$ ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto $z_0 = i$ si trova '''all'interno''' della circonferenza $C$. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro $C$) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con $\theta = 2$: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> In forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> byvwp8b3t17i7go7u31pykj5bvl4lgp 288182 288181 2026-11-07T15:58:47Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) */ 288182 wikitext text/x-wiki == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, '''entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno''' del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso). Poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV === Esercizio 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy === '''Testo:''' Calcolare l'integrale: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> dove $C$ è la circonferenza $|z| = 2$ percorsa in senso antiorario. '''Svolgimento:''' # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in $z_0 = i$. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino $C$ ha raggio $R = 2$. La singolarità $z_0 = i$ ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto $z_0 = i$ si trova '''all'interno''' della circonferenza $C$. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro $C$) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con $\theta = 2$: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> In forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> 5g3r6njqcaup8wpsupkzir900mffujy 288183 288182 2026-11-07T16:01:05Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) */ 288183 wikitext text/x-wiki == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, '''entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno''' del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso). Poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV === Esercizio 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy === '''Testo:''' Calcolare l'integrale: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> dove $C$ è la circonferenza $|z| = 2$ percorsa in senso antiorario. '''Svolgimento:''' # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in $z_0 = i$. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino $C$ ha raggio $R = 2$. La singolarità $z_0 = i$ ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto $z_0 = i$ si trova '''all'interno''' della circonferenza $C$. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro $C$) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con $\theta = 2$: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> In forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> fejfmea409i1n7b9jamcpjwcohv495i 288184 288183 2026-11-07T16:03:11Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) */ 288184 wikitext text/x-wiki == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, '''entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno''' del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso). Poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV === Esercizio 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy === '''Testo:''' Calcolare l'integrale: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> dove $C$ è la circonferenza $|z| = 2$ percorsa in senso antiorario. '''Svolgimento:''' # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in $z_0 = i$. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino $C$ ha raggio $R = 2$. La singolarità $z_0 = i$ ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto $z_0 = i$ si trova '''all'interno''' della circonferenza $C$. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro $C$) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con $\theta = 2$: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> In forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> nj7358j7v9iph9ovvbipothyovnpys1 288185 288184 2026-11-07T16:05:01Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) */ 288185 wikitext text/x-wiki == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso). Poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV === Esercizio 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy === '''Testo:''' Calcolare l'integrale: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> dove $C$ è la circonferenza $|z| = 2$ percorsa in senso antiorario. '''Svolgimento:''' # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in $z_0 = i$. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino $C$ ha raggio $R = 2$. La singolarità $z_0 = i$ ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto $z_0 = i$ si trova '''all'interno''' della circonferenza $C$. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro $C$) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con $\theta = 2$: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> In forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> k5aoj22locghxd5nxsq48ht2i626s8f 288186 288185 2026-11-07T16:06:30Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) */ 288186 wikitext text/x-wiki == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso). Poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV === Esercizio 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy === '''Testo:''' Calcolare l'integrale: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> dove $C$ è la circonferenza $|z| = 2$ percorsa in senso antiorario. '''Svolgimento:''' # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in $z_0 = i$. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino $C$ ha raggio $R = 2$. La singolarità $z_0 = i$ ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto $z_0 = i$ si trova '''all'interno''' della circonferenza $C$. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro $C$) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con $\theta = 2$: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> In forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> nfa73ffpj8gjtin249la23hd3dt2dtu 288187 288186 2026-11-07T16:08:30Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) */ 288187 wikitext text/x-wiki == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV === Esercizio 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy === '''Testo:''' Calcolare l'integrale: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> dove $C$ è la circonferenza $|z| = 2$ percorsa in senso antiorario. '''Svolgimento:''' # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in $z_0 = i$. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino $C$ ha raggio $R = 2$. La singolarità $z_0 = i$ ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto $z_0 = i$ si trova '''all'interno''' della circonferenza $C$. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro $C$) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con $\theta = 2$: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> In forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> o4nlh1wc4j4nljscyyxq1jq8zhc7ywb 288188 288187 2026-11-07T16:09:40Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy */ 288188 wikitext text/x-wiki == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == '''Testo:''' Calcolare l'integrale: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> dove $C$ è la circonferenza $|z| = 2$ percorsa in senso antiorario. '''Svolgimento:''' # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in $z_0 = i$. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino $C$ ha raggio $R = 2$. La singolarità $z_0 = i$ ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto $z_0 = i$ si trova '''all'interno''' della circonferenza $C$. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro $C$) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con $\theta = 2$: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> In forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> 5txp7bap9ryij5qgc4fvzcildxsk05q 288189 288188 2026-11-07T16:12:53Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy */ 288189 wikitext text/x-wiki == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale:''' <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario. # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in $z_0 = i$. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino $C$ ha raggio $R = 2$. La singolarità $z_0 = i$ ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto $z_0 = i$ si trova '''all'interno''' della circonferenza $C$. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro $C$) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con $\theta = 2$: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> In forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> 12tgacqs5xzdjloxhf8gjf8vbq7gg57 288190 288189 2026-11-07T16:21:31Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy */ 288190 wikitext text/x-wiki == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - 1) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario. # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in $z_0 = i$. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino $C$ ha raggio $R = 2$. La singolarità $z_0 = i$ ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto $z_0 = i$ si trova '''all'interno''' della circonferenza $C$. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro $C$) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con $\theta = 2$: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> In forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> qr3ngqb8535hll97jjjic9vwqirmvn0 288191 288190 2026-11-07T16:24:00Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy */ 288191 wikitext text/x-wiki == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario. La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in $z_0 = i$. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino $C$ ha raggio $R = 2$. La singolarità $z_0 = i$ ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto $z_0 = i$ si trova '''all'interno''' della circonferenza $C$. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro $C$) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con $\theta = 2$: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> sksckazscfb8rpjha9v6xcdvysjo05z 288192 288191 2026-11-07T16:24:26Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) */ 288192 wikitext text/x-wiki == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario. La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in $z_0 = i$. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino $C$ ha raggio $R = 2$. La singolarità $z_0 = i$ ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto $z_0 = i$ si trova '''all'interno''' della circonferenza $C$. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro $C$) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con $\theta = 2$: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> lw84h0lb06p8ywi0lwk1l1332y2bsf7 288193 288192 2026-11-07T16:24:52Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy */ 288193 wikitext text/x-wiki == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario. La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in $z_0 = i$. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino $C$ ha raggio $R = 2$. La singolarità $z_0 = i$ ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto $z_0 = i$ si trova '''all'interno''' della circonferenza $C$. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro $C$) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con $\theta = 2$: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> 9lxr9muwga77oqq57fof2iop3f4as5i 288194 288193 2026-11-07T16:26:49Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy */ 288194 wikitext text/x-wiki == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario. La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro $C$) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con $\theta = 2$: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> f8qz93jko0huxk2rth8jwx0u4vh6p8x 288195 288194 2026-11-07T16:27:47Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy */ 288195 wikitext text/x-wiki == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro $C$) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con $\theta = 2$: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> 5mq0ld4xfojwkiwz00snsrbc1dkco7p 288196 288195 2026-11-07T16:29:48Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy */ 288196 wikitext text/x-wiki == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro C) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con \theta = 2: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> nnr1xoybg7oyudn4z8yiaf12o8may4t 288197 288196 2026-11-07T16:34:15Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy */ 288197 wikitext text/x-wiki == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di 5 esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro C) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con \theta = 2: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> bkbad5lizcqv8z08f2ik0x5wvoiyj3j 288199 288197 2026-11-07T17:01:23Z Funzioni di correlazione 24136 288199 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>\boxed{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria: <math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>\boxed{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>\boxed{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>\boxed{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>\boxed{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>\boxed{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>\boxed{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>\boxed{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> \boxed{I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>\boxed{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. ==XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX== == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di 5 esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro C) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con \theta = 2: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> 17p429zt9437m3u4skt3buwd27zytuk 288200 288199 2026-11-07T17:01:59Z Funzioni di correlazione 24136 /* Enunciato del teorema */ 288200 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria: <math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>\boxed{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>\boxed{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>\boxed{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>\boxed{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>\boxed{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>\boxed{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>\boxed{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> \boxed{I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>\boxed{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. ==XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX== == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di 5 esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro C) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con \theta = 2: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> fusckp39i2mcqmk6gr80je8wm2i5jqu 288201 288200 2026-11-07T17:03:02Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza */ 288201 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria: <math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>\boxed{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>\boxed{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>\boxed{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>\boxed{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>\boxed{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>\boxed{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> \boxed{I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>\boxed{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. ==XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX== == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di 5 esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro C) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con \theta = 2: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> fgd5kfi79jystf72ckgbk0z1li4zlfn 288202 288201 2026-11-07T17:03:49Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza */ 288202 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria: <math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>\boxed{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>\boxed{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>\boxed{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>\boxed{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>\boxed{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> \boxed{I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>\boxed{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. ==XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX== == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di 5 esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro C) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con \theta = 2: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> 6syakd09vh23voijcv7795uz6hwttj9 288203 288202 2026-11-07T17:04:37Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria */ 288203 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria: <math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>\boxed{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>\boxed{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>\boxed{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> \boxed{I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>\boxed{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. ==XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX== == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di 5 esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro C) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con \theta = 2: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> d10og6z147hnpmka3kxd8woyjop0570 288204 288203 2026-11-07T17:05:47Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva */ 288204 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria: <math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>\boxed{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>\boxed{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> \boxed{I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>\boxed{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. ==XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX== == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di 5 esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro C) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con \theta = 2: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> 9w1n6qve2y2a9g2kzblpoey2vq899ru 288205 288204 2026-11-07T17:07:41Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy */ 288205 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria: <math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>\boxed{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> \boxed{I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>\boxed{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. ==XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX== == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di 5 esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro C) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con \theta = 2: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> 274xxw38pfxhqsw2tim53nleprp9s8g 288206 288205 2026-11-07T17:08:24Z Funzioni di correlazione 24136 /* Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy */ 288206 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria: <math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> \boxed{I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>\boxed{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. ==XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX== == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di 5 esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro C) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con \theta = 2: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> awcn0317vz5axzdd0lghl4fjwzvvm7i 288207 288206 2026-11-07T17:09:44Z Funzioni di correlazione 24136 /* Nota: il teorema del valor medio di Cauchy */ 288207 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria: <math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> \boxed{I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. ==XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX== == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di 5 esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro C) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con \theta = 2: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> 8en54r6dppmfck6py3uv6j9e2fpa1g6 288208 288207 2026-11-07T17:10:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy */ 288208 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria: <math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. ==XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX== == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di 5 esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro C) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con \theta = 2: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> m7w1zrcg7z7nqqaqfdtx8yugpm9tiqt 0 37857 288198 2026-11-07T16:37:12Z Funzioni di correlazione 24136 Creata pagina con " == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è null..." 288198 wikitext text/x-wiki == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di 5 esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro C) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con \theta = 2: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> bkbad5lizcqv8z08f2ik0x5wvoiyj3j 288209 288198 2026-11-07T17:14:02Z Funzioni di correlazione 24136 288209 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria: <math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di 5 esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro C) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con \theta = 2: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> put6dgn2uyht1z9inn39fjwacf330r7 288210 288209 2026-11-07T17:15:01Z Funzioni di correlazione 24136 /* Teorema integrale di Cauchy */ 288210 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria: <math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di 5 esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro C) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con \theta = 2: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> 25jtqd1lqj662v2zndowg77c8ak8u4d 288211 288210 2026-11-07T17:16:31Z Funzioni di correlazione 24136 288211 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria: <math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. 19jeu59kkbpnq70k7m39c6l0hywtx44 288212 288211 2026-11-07T17:18:03Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza */ 288212 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria: <math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> percorsa in senso antiorario. '''IA risponde''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. chwa99cfllxgjzxoml4n7ygkixe315k 288213 288212 2026-11-08T07:15:29Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizi svolti */ 288213 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === Calcolare: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria: <math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> percorsa in senso antiorario. '''IA risponde''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. hfow0wagq4deu9v9pcofd9cy3xgx7uj 288214 288213 2026-11-08T07:23:28Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizi svolti */ 288214 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === Con copia e incolla su IA del seguente testo: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria: <math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> percorsa in senso antiorario. '''IA risponde''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. izksuqyc6qvfiy572xacucif6f47ogq 288215 288214 2026-11-08T07:31:40Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizi svolti */ 288215 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> Con copia e incolla su IA del seguente testo in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2 +3z +2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria:''' '''<math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math>''' '''percorsa in senso antiorario.''' '''IA risponde''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. ikj9ja43j8ue4vkib5rqjdyclvq4atg 288216 288215 2026-11-08T07:32:30Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza */ 288216 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> Con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2 +3z +2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria:''' '''<math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math>''' '''percorsa in senso antiorario.''' '''IA risponde''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. 9pls0k3fmt39nb12iywkbyzt2ibwth3 288217 288216 2026-11-08T07:32:47Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza */ 288217 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> Con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2 +3z +2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria:''' '''<math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math>''' '''percorsa in senso antiorario.''' '''IA risponde''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. lwqrawvmt1bvdd13avanxwpldsb3ms6 288218 288217 2026-11-08T07:38:20Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza */ 288218 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> Con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2 +3z +2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria:''' '''z=e^{it}, 0 < = t < = 2 pigreco '''percorsa in senso antiorario.''' '''IA risponde''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. scultelbnpidorqdkty281p5xvldx1r 288219 288218 2026-11-08T07:39:01Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizi svolti */ 288219 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2 +3z +2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria:''' '''z=e^{it}, 0 < = t < = 2 pigreco '''percorsa in senso antiorario.''' '''IA risponde''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. e514sx7aeva7loqkzgxe18pbrbjmn1h 288220 288219 2026-11-08T07:42:12Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza */ 288220 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2 +3z +2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria:''' '''z=e^{it}, 0 < = t < = 2 pigreco '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. bmakll1v62c16g3l3y0qxad7gbb7p13 288221 288220 2026-11-08T07:42:39Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza */ 288221 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2 +3z +2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria:''' '''z=e^{it}, 0 < = t < = 2 pigreco '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. c22vpswvd6quyx8kzjjcr3i2ewxwi20 288222 288221 2026-11-08T07:46:47Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria */ 288222 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2 +3z +2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria:''' '''z=e^{it}, 0 < = t < = 2 pigreco '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === risolvere: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. 5iumfdl4rgkta4rkri47jzhbwlu50eg 288223 288222 2026-11-08T07:53:04Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizi svolti */ 288223 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2 +3z +2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria:''' '''z=e^{it}, 0 < = t < = 2 pigreco '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2)\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria:''' '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. b01ezkji6118wdeuyue1jkyv101x22l 288224 288223 2026-11-08T07:53:41Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria */ 288224 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2 +3z +2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria:''' '''z=e^{it}, 0 < = t < = 2 pigreco '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2)\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria:''' '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. 6ibogn83nd33vlgbk4vfts9g0d6y07t 288225 288224 2026-11-08T07:55:53Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria */ 288225 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2 +3z +2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria:''' '''z=e^{it}, 0 < = t < = 2 pigreco '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2)\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria''' '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: La funzione <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. e71fk8mdq1qw9vmqec6pczpm7pybt8e 288226 288225 2026-11-08T07:59:13Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva */ 288226 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2 +3z +2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria:''' '''z=e^{it}, 0 < = t < = 2 pigreco '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2)\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria''' '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: La funzione <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. s0aw1fhnh7zntlpismboy7xq03qobn4 288227 288226 2026-11-08T08:02:14Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva */ 288227 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2 +3z +2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria:''' '''z=e^{it}, 0 < = t < = 2 pigreco '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2)\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria''' '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: La funzione <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di ccccc''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria''' '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. mzap01r6bwcyitra6jo3l1arybcbdgx 288228 288227 2026-11-08T08:05:43Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva */ 288228 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2 +3z +2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria:''' '''z=e^{it}, 0 < = t < = 2 pigreco '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2)\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria''' '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: La funzione <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di e^z / (z^2 + 9 )''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria''' '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. jnw39mv0k34g1wqy04y3ewqar2c1opm 288229 288228 2026-11-08T08:08:11Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva */ 288229 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2 +3z +2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria:''' '''z=e^{it}, 0 < = t < = 2 pigreco '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2)\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria''' '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: La funzione <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di e^z / (z^2 + 9 )''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria''' '''percorsa in senso antiorario, |z|=1''' IA risponde: Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. rnzd4kn5soh1tcj46ky7029civau5nh 288230 288229 2026-11-08T08:09:32Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy */ 288230 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2 +3z +2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria:''' '''z=e^{it}, 0 < = t < = 2 pigreco '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2)\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria''' '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: La funzione <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di e^z / (z^2 + 9 )''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria''' '''percorsa in senso antiorario, |z|=1''' IA risponde: Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. 7tf6hvumcgraxgjpval7s2b6jhjju9c 288231 288230 2026-11-08T08:11:30Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy */ 288231 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2 +3z +2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria:''' '''z=e^{it}, 0 < = t < = 2 pigreco '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2)\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria''' '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: La funzione <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di e^z / (z^2 + 9 )''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria''' '''percorsa in senso antiorario, |z|=1''' IA risponde: Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> ddddddddddddddddddddddddddddddddddd con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: Integrale lungo circonferenza di e^z / (z^2 + 9 ) dove gamma è la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario, |z|=2 dddddddddddddddddddddddd dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. 7l0hysbotujq7wq6pq456wizd92anfh 288232 288231 2026-11-08T08:15:03Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy */ 288232 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2 +3z +2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria:''' '''z=e^{it}, 0 < = t < = 2 pigreco '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2)\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria''' '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: La funzione <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di e^z / (z^2 + 9 )''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria''' '''percorsa in senso antiorario, |z|=1''' IA risponde: Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> ddddddddddddddddddddddddddddddddddd con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di e^(2z) / (z - i )''' '''dove C è la circonferenza unitaria''' '''percorsa in senso antiorario, |z|=2''' IA risponde: La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. l7sihsih0b4p6xqsm37ltwpmootag65 288233 288232 2026-11-08T08:16:00Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy */ 288233 wikitext text/x-wiki '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2 +3z +2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria:''' '''z=e^{it}, 0 < = t < = 2 pigreco '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === risolvere: <math>\oint_\gamma (z^2)\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di z^2''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria''' '''percorsa in senso antiorario.''' IA risponde: La funzione <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di e^z / (z^2 + 9 )''' '''dove gamma è la circonferenza unitaria''' '''percorsa in senso antiorario, |z|=1''' IA risponde: Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> con copia e incolla su IA del seguente testo grassetto in linguaggio misto e basic: '''Integrale lungo circonferenza di e^(2z) / (z - i )''' '''dove C è la circonferenza unitaria''' '''percorsa in senso antiorario, |z|=2''' IA risponde: La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. ajnvzrzdm3gu30vyfexw8gxdkhctlju