Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.48.0-wmf.4 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 0 12358 288327 223622 2026-11-11T12:14:56Z ~2026-59778-40 47049 288327 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Italiano nelle scuole superiori 1}} [[Immagine:DanteFresco.jpg|right|thumb|200px|''[[w:Dante Alighieri|Dante Alighieri]]'' ([[w:Andrea del Castagno|Andrea del Castagno]], ''[[w:Ciclo degli uomini e donne illustri|Ciclo degli uomini e donne illustri]]'')]] <nowiki>"Il dolce stil novo va riportato, nella cultura, al sentimento che i poeti ebbero di una nuova poesia: sentimento vago, non ragionato pensiero. Va considerato come un'aura letteraria alimentata da una cultura sensibilissima ed eletta a forme elaborate ed eleganti, in una ispirazione meditata che ricerca la più intima voce dell'Amore, e cioè il senso riposto che sotto le parole è celato".</nowiki><ref>{{cita libro|autore=Francesco Flora|titolo=Storia della letteratura italiana|anno=1958|editore=Mondadori|città=Milano|pp=62-63|volume=1|ISBN=}}</ref> Tra la fine del XIII secolo e i primi anni del successivo nasce il [[W:Stilnovismo|Dolce Stil Novo]], un movimento [[W:Poesia|poetico]] che, accentuando la tematica amorosa della lirica cortese, la conduce ad una maturazione molto raffinata. Nato a [[W:Bologna|Bologna]] e in seguito fiorito a Firenze, esso diventa presto sinonimo di alta cultura filosofica e questo, come giustifica Sansoni<ref>Mario Sansone, ''Storia della letteratura italiana'', Principato, Milano, 1960, pag. 38</ref>, "''... spiega perciò come i giovani poeti della nuova scuola guardassero con disprezzo, più che ai siciliani, ai rimatori del gruppo toscano, che accusavano di avere in qualche modo imborghesita la poesia e di mancare di schiettezza e raffinatezza stilistica''". Il nome della nuova "scuola" si trae da Dante. Così afferma Natalino Sapegno<ref>Natalino Sapegno, ''Compendio di Storia della letteratura italiana'', vol. I, ''Dalle origini alla fine del quattrocento'', La Nuova Italia, Firenze, 1956, pag. 79</ref> "È noto che Dante, incontrando, in un balzo del suo Purgatorio, il rimatore Bonagiunta Orbicciani, mentre ci offre il nome (da noi per convenzione ormai antica adottato) della scuola o gruppo letterario cui egli appartiene, definisce poi questo "dolce stil novo" uno scrivere quando Amore spira". Infatti nel XXIV [[W:Canto (metrica)|canto]] del [[W:Purgatorio|Purgatorio]] Bonagiunta Orbicciani di Lucca si rivolge a [[W:Dante|Dante]] chiedendogli se si trattasse proprio di <div align="center"> ''colui che fuore'' ''Trasse le nuove rime, cominciando'' ''"Donne ch'avete intelletto d'amore"''</div> e Dante gli risponde senza dire il suo nome ma così definendosi: <div align="center"> ''Io mi son un che, quando'' ''Amor mi ispira, noto; e a quel modo'' ''Ch'è ditta dentro, vo significando''</div> ed è a questo punto che Bonagiunta risponde: <div align="center"> ''O frate, issa vegg'io... il nodo'' ''Che il Notaro e Guittone e me ritenne'' ''Di qua dal dolce stil novo ch'ì odo''<ref>da il ''Purgatorio'', in Dante Alighieri, ''La Divina Commedia'', Sansoni, Firenze, 1905, pag. 466</ref>.</div> I poeti del "Dolce Stil Novo" fanno dell'amore il momento centrale della vita dello spirito e possiedono un linguaggio più ricco e articolato di quello dei poeti delle scuole precedenti. La loro dottrina "''toglieva all'amore ogni residuo terreno e riusciva a farne non un mezzo, ma il mezzo per ascendere alla più alta comprensione di Dio''"<ref>Mario Sansone, ''Storia della letteratura italiana'', Principato, Milano, 1960, pag. 39</ref>. L'iniziatore di questa scuola fu il bolognese Guido Guinizelli e tra gli altri poeti, soprattutto toscani, si ricordano i grandi come Guido Cavalcanti, Dante stesso, Cino da Pistoia e i minori come Lapo Gianni, Gianni Alfani, Dino Frescobaldi. ==== Guido Guinizzelli ==== {{vedi anche|w:Guido Guinizzelli}} Considerato il fondatore del "dolce stil novo", di Guido Guinizzelli non si hanno dati anagrafici certi. Egli viene riconosciuto da alcuni nel ghibellino Guido di Guinizzello nato a Bologna tra il 1230 e il 1240, da altri con un certo Guido Guinizello, un podestà di [[W:Castelfranco Emilia|Castelfranco Emilia]]. Egli ci ha lasciato, con la canzone ''[[W:Al cor gentil rempaira sempre amore|Al cor gentil rempaira sempre amore]]'', quello che deve considerarsi il manifesto del "dolce stil novo" dove viene messa in evidenza l'identità tra il cuore nobile e l'amore e come la gentilezza stia nelle qualità dell'animo e non nel sangue. Egli riprende poi con accenti sublimi il concetto del paragone tra la donna e l'angelo, già valorizzato da Guittone d'Arezzo e da altri poeti precedenti. ==== Guido Cavalcanti ==== {{vedi anche|w:Guido Cavalcanti}} Nato a Firenze da una delle [[W:Guelfi Bianchi e Neri|famiglie guelfe di parte bianca]] tra le più potenti della città, Guido Cavalcanti venne descritto dai suoi contemporanei ''"come cavaliere disdegnoso e solitario, tutto volto alla meditazione filosofica e quasi certamente seguace dell'[[w:averroismo|averroismo]]"''<ref>Mario Sansone, ''op. cit''. pag. 40</ref>.<br /> Fu amico di Dante Alighieri, che a lui dedicò la [[W:Vita Nova|Vita Nova]], e partecipò attivamente alla vita politica fiorentina sostenendo i Cerchi contro i Donati. Mandato in esilio a [[W:Sarzana|Sarzana]] il 24 giugno 1300 ritornò l'anno stesso in patria dove la morte lo colse alla fine di agosto del medesimo anno. La canzone più famosa di Cavalcanti fu la teorica "''Donna mi prega perch'io voglio dire''", nella quale il poeta tratta dell'amore dandone una interpretazione di carattere [[W:Averroè|averroista]], come sostiene Mario Sansone<ref>Mario Sansone, ''op. cit.'', pag. 40</ref>, l'amore è per il Cavalcanti un ''"processo dell'intelligenza che dalla "veduta forma" della donna estrae l'idea della bellezza, già posseduta in potenza, e se ne compenetra"''<ref>Natalino Sapegno, ''Compendio di Storia della letteratura italiana. Dalle origini alla fine del Quattrocento'', La Nuova Italia, Firenze, 1956, pag. 85</ref> e non è, come per il Guinizelli, beatificante ma estremamente terreno e dà più dolori che gioie. == Dino Frescobaldi == ; [[S:Rime (Dino Frescobaldi)|Rime]] * [[S:Rime (Dino Frescobaldi)/Un sol penser che mi ven ne la mente|Un sol penser che mi ven ne la mente]] * [[S:Rime (Dino Frescobaldi)/Poscia che dir conviemmi ciò ch'io sento|Poscia che dir conviemmi ciò ch'io sento]] * [[S:Rime (Dino Frescobaldi)/Voi che piangete nello stato amaro|Voi che piangete nello stato amaro]] * [[S:Rime (Dino Frescobaldi)/Per gir verso la spera, la finice|Per gir verso la spera, la finice]] * [[S:Rime (Dino Frescobaldi)/Morte avversara, poi ch'io son contento|Morte avversara, poi ch'io son contento]] * [[S:Rime (Dino Frescobaldi)/Donna, dagli occhi tuoi par che si mova|Donna, dagli occhi tuoi par che si mova]] * [[S:Rime (Dino Frescobaldi)/Amor, se tu se' vago di costei|Amor, se tu se' vago di costei]] * [[S:Rime (Dino Frescobaldi)/Tanta è l'angoscia ch'i' nel cor mi trovo|Tanta è l'angoscia ch'i' nel cor mi trovo]] * [[S:Rime (Dino Frescobaldi)/Un'alta stella di nova bellezza|Un'alta stella di nova bellezza]] * [[S:Rime (Dino Frescobaldi)/Quest'è la giovanetta ch'Amor guida|Quest'è la giovanetta ch'Amor guida]] * [[S:Rime (Dino Frescobaldi)/Poscia ch'io veggio l'anima partita|Poscia ch'io veggio l'anima partita]] * [[S:Rime (Dino Frescobaldi)/Al vostro dir, che d'amor mi favella|Al vostro dir, che d'amor mi favella]] * [[S:Rime (Dino Frescobaldi)/Giovane, che così leggiadramente|Giovane, che così leggiadramente]] * [[S:Rime (Dino Frescobaldi)/Questa altissima stella, che si vede|Questa altissima stella, che si vede]] * [[S:Rime (Dino Frescobaldi)/Per tanto pianger quanto li occhi fanno|Per tanto pianger quanto li occhi fanno]] * [[S:Rime (Dino Frescobaldi)/No spero di trovar giammai pietate|No spero di trovar giammai pietate]] * [[S:Rime (Dino Frescobaldi)/In quella parte ove luce la stella|In quella parte ove luce la stella]] * [[S:Rime (Dino Frescobaldi)/La foga di quell'arco, che s'aperse|La foga di quell'arco, che s'aperse]] * [[S:Rime (Dino Frescobaldi)/Deh, giovanetta! de' begli occhi tuoi|Deh, giovanetta! de' begli occhi tuoi]] * [[S:Rime (Dino Frescobaldi)/Quant'e' nel meo lamentar sento doglia|Quant'e' nel meo lamentar sento doglia]] * [[S:Rime (Dino Frescobaldi)/L'alma mia trist'è seguitando 'l core|L'alma mia trist'è seguitando 'l core]] == Gianni Alfani == * [[S:Rime (Alfani)/Guato una donna dov'io la scontrai|Guato una donna dov'io la scontrai]] * [[S:Rime (Alfani)/Donne, la donna mia ha d'un disdegno]] * [[S:Rime (Alfani)/Quanto più mi disdegni, più mi piac]] * [[S:Rime (Alfani)/Ballatetta dolente]] * [[S:Rime (Alfani)/De la mia donna vo' cantar con voi]] * [[S:Rime (Alfani)/Se quella donna ched i' tegno a mente]] * [[S:Rime (Alfani)/Guido, quel Gianni ch'a te fu l'altrieri]] == Lapo Gianni == * [[S:Amore, i' prego la tua nobiltade]] == Cino da Pistoia == * [[S:Io fu' 'n su l'alto e 'n sul beato monte]] * [[S:A Guido Cavalcanti]] == Note == <references/> == Altri progetti == {{ip}} szdljz7wfdrkcsjrj7al7oqd926cgxn 2 32658 288335 288320 2026-11-11T15:24:22Z Funzioni di correlazione 24136 288335 wikitext text/x-wiki In [[analisi complessa]], il '''residuo''' di una [[funzione olomorfa]] <math>f(z)</math> in una [[singolarità isolata]] <math>z_0</math> è un [[numero complesso]] che descrive il comportamento dell'[[integrale di linea]] della funzione lungo un percorso chiuso attorno alla singolarità. == Definizione == Se una funzione <math>f(z)</math> è olomorfa in un intorno bucato del punto <math>z_0</math>, essa ammette uno sviluppo in [[serie di Laurent]] della forma: <math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (z - z_0)^n = \dots + \frac{a_{-2}}{(z-z_0)^2} + \frac{a_{-1}}{z-z_0} + a_0 + a_1(z-z_0) + \dots</math> Il '''residuo''' di <math>f(z)</math> nel punto <math>z_0</math>, indicato comunemente con <math>\text{Res}(f, z_0)</math> oppure <math>\text{Res}(f(z), z_0)</math>, è definito come il coefficiente <math>a_{-1}</math> della potenza <math>(z - z_0)^{-1}</math>: <math>\text{Res}(f, z_0) = a_{-1}</math> == Relazione con gli integrali di linea == Il residuo gioca un ruolo centrale nel calcolo degli integrali lungo curve chiuse. Sia <math>\gamma</math> una curva chiusa semplice orientata positivamente (in senso antiorario) che racchiude al suo interno la sola singolarità <math>z_0</math>. Integrando termine a termine lo sviluppo di Laurent lungo <math>\gamma</math>, per la proprietà di ortogonalità delle potenze complesse si ha: <math>\oint_\gamma (z - z_0)^n \, dz = \begin{cases} 2\pi i & \text{se } n = -1 \\ 0 & \text{se } n \neq -1 \end{cases}</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie si annullano eccetto quello corrispondente a <math>n = -1</math>: <math>\oint_\gamma f(z) \, dz = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n \oint_\gamma (z - z_0)^n \, dz = 2\pi i \cdot a_{-1} = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, z_0)</math> Questo risultato è alla base del [[teorema dei residui]], che estende il calcolo a percorsi contenenti molteplici singolarità: <math>\oint_\gamma f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^N \text{Res}(f, z_k)</math> dove <math>z_1, z_2, \dots, z_N</math> sono le singolarità isolate contenute all'interno della regione delimitata da <math>\gamma</math>. == Calcolo del residuo == Per calcolare il residuo in un punto di singolarità non è sempre necessario determinare l'intero sviluppo di Laurent. Esistono formule dirette a seconda della natura del punto singolare: === Polo semplice === Se <math>z_0</math> è un polo di ordine 1 (polo semplice), il residuo è dato da: <math>\text{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)</math> Se la funzione si presenta nella forma di rapporto <math>f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}</math> con <math>P(z_0) \neq 0</math>, <math>Q(z_0) = 0</math> e <math>Q'(z_0) \neq 0</math>, il residuo vale: <math>\text{Res}(f, z_0) = \frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}</math> === Polo di ordine m === Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m > 1</math>, il residuo si calcola tramite la formula: <math>\text{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - z_0)^m f(z) \right]</math> === Singolarità essenziale === Se <math>z_0</math> è una singolarità essenziale, la parte principale della serie di Laurent contiene infiniti termini negativi. In questo caso il residuo si determina trovando direttamente lo sviluppo in serie della funzione. gggggggggggggggggggggggggggggggvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn '''4.4 Testo del 4° esercizio''' Sia da calcolare l'integrale di linea nel piano complesso: :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz</math> Calcolare il seguente integrale complesso: con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo la linea la funzione ( z^4 ) / ( z + 2 ) dove = |z| = 4''' IA risponde: === Enunciato della Formula Integrale di Cauchy === Se <math>f(z)</math> è una funzione olomorfa all'interno e sul bordo di una curva semplice e chiusa <math>C</math> orientata positivamente, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora vale la relazione: :<math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> === Svolgimento e analisi dei parametri === 1. '''Identificazione del dominio e del cammino di integrazione:''' La curva di integrazione è la circonferenza <math>C</math> definita da <math>|z| = 4</math>, centrata nell'origine con raggio <math>R = 4</math>. 2. '''Scelta della funzione olomorfa:''' Poniamo <math>f(z) = z^4</math>. La funzione è un polinomio ed è pertanto intera (olomorfa su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>). 3. '''Individuazione della singolarità:''' Riscrivendo il denominatore nella forma <math>z - z_0</math>, si ottiene: :<math>z + 2 = z - (-2)</math> Quindi la singolarità si trova nel punto <math>z_0 = -2</math>. 4. '''Verifica della posizione del punto:''' Calcoliamo il modulo di <math>z_0</math>: :<math>|z_0| = |-2| = 2 < 4</math> Poiché il modulo è minore del raggio del cammino d'integrazione, il punto <math>z_0 = -2</math> appartiene al dominio interno racchiuso dalla curva <math>|z| = 4</math>. === Calcolo finale === Applichiamo la Formula Integrale di Cauchy: 1. Valutiamo <math>f(z)</math> nel punto <math>z_0 = -2</math>: :<math>f(-2) = (-2)^4 = 16</math> 2. Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: :<math>\oint_{|z|=4} \frac{z^4}{z - (-2)} \, dz = 2\pi i \cdot f(-2) = 2\pi i \cdot 16 = 32\pi i</math> === Risultato === :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz = 32\pi i</math> kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk = Rappresentazione integrale di Cauchy = La '''rappresentazione integrale di Cauchy''' è un importante teorema dell'analisi complessa. Esso permette di determinare il valore di una funzione olomorfa in un punto interno a una curva chiusa, conoscendo i valori della funzione lungo la curva stessa. == 1. Enunciato del teorema == Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e tutto il suo interno. Sia inoltre <math>z_0</math> un punto interno alla curva. La formula integrale di Cauchy afferma che: <math> f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz </math> In modo equivalente, si può scrivere: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> La curva <math>\gamma</math> deve essere orientata positivamente, cioè percorsa in senso antiorario. Il significato del teorema è che il valore della funzione in un punto interno alla curva può essere calcolato mediante un integrale di linea lungo il bordo della regione considerata. == 2. Significato dei simboli == * <math>f(z)</math>: funzione complessa olomorfa. * <math>z</math>: variabile complessa. * <math>z_0</math>: punto interno alla curva. * <math>\gamma</math>: curva chiusa semplice. * <math>i</math>: unità immaginaria, con <math>i^2=-1</math>. * <math>\oint_\gamma</math>: integrale curvilineo lungo una curva chiusa. == 3. Condizioni per applicare il teorema == Per applicare la rappresentazione integrale di Cauchy devono essere rispettate le seguenti condizioni: # La funzione <math>f(z)</math> deve essere olomorfa all'interno della curva e sul suo bordo. # La curva <math>\gamma</math> deve essere chiusa e semplice. # Il punto <math>z_0</math> deve essere interno alla curva. # La curva deve essere orientata positivamente, cioè in senso antiorario. Se tutte queste condizioni sono soddisfatte, è possibile applicare direttamente la formula integrale di Cauchy. == 4. Esercizi svolti == Schema riassuntivo per la risoluzione degli esercizi: Per risolvere un integrale mediante la rappresentazione integrale di Cauchy è utile seguire sempre questi passaggi: # Individuare la funzione <math>f(z)</math> presente al numeratore dell'integrale. # Individuare il punto <math>z_0</math> annullando il denominatore <math>z-z_0</math>. # Verificare che la funzione sia olomorfa all'interno e sul bordo della curva. # Verificare che il punto <math>z_0</math> sia interno alla curva. # Applicare la formula integrale di Cauchy: '''4.1 Testo del 1° esercizio''' Calcolare il seguente integrale complesso: <math> I=\oint_{|z|=2}\frac{z^2+1}{z-1}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione ( z^2 + 1 ) / ( z -1 ) dove R = |2| è la circonferena unitaria''' IA risponde: La curva è una circonferenza con centro nell'origine e raggio uguale a <math>2</math>, percorsa in senso antiorario. *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontiamo l'integrale assegnato con la formula generale di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Dal confronto ricaviamo: <math> f(z)=z^2+1 </math> e: <math> z_0=1 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Dobbiamo verificare che il punto <math>z_0=1</math> sia interno alla circonferenza di raggio <math>2</math>. Calcoliamo il modulo: <math> |z_0|=|1|=1 </math> Poiché: <math> 1<2 </math> il punto <math>z_0=1</math> è interno alla circonferenza. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni per applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula === Utilizziamo la formula integrale: <math> I=2\pi i f(z_0) </math> Sostituiamo il valore del punto: <math> I=2\pi i f(1) </math> Calcoliamo il valore della funzione nel punto <math>z=1</math>: <math> f(1)=1^2+1 </math> <math> f(1)=1+1=2 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: <math> I=2\pi i\cdot 2 </math> Quindi: <math> {I=4\pi i} </math> Risultato finale: <math> {I=4\pi i} </math> ''' 4.2 Secondo esercizio ''' Calcolare il seguente integrale: <math> I=\oint_{|z|=3}\frac{e^z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione e^z / (z - 2) dove R = |3| è la circonferena unitaria''' IA risponde: *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontando l'integrale con la formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> individuiamo: <math> f(z)=e^z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione esponenziale complessa <math>e^z</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>3</math>. Verifichiamo che il punto <math>z_0=2</math> sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<3 </math> il punto è interno alla curva. Possiamo quindi applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula Scriviamo: <math> I=2\pi i f(2) </math> Poiché: <math> f(z)=e^z </math> si ha: <math> f(2)=e^2 </math> *Passaggio 4: risultato finale Sostituendo nella formula: <math> I=2\pi i e^2 </math> Pertanto: <math> {I=2\pi i e^2} </math> ''' 4.3 Terzo esercizio ''' Calcolare: <math> I=\oint_{|z|=4}\frac{z^3+2z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione (z^3 + 2z) / (z - 2) dove |z| = 4 è la circonferena unitaria''' *Passaggio 1: individuazione della funzione Dal confronto con la formula di Cauchy ricaviamo: <math> f(z)=z^3+2z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione è un polinomio, quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>4</math>. Verifichiamo che il punto sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<4 </math> il punto è interno alla circonferenza. *Passaggio 3: applicazione della formula Applichiamo la rappresentazione integrale di Cauchy: <math> I=2\pi i f(2) </math> Calcoliamo il valore della funzione: <math> f(2)=2^3+2\cdot 2 </math> <math> f(2)=8+4 </math> <math> f(2)=12 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore nella formula: <math> I=2\pi i\cdot 12 </math> Otteniamo: <math> {I=24\pi i} </math> *Risultato finale: <math> {I=24\pi i} </math> <math> I=2\pi i f(z_0) </math> # Calcolare il valore della funzione nel punto individuato. # Moltiplicare il risultato per <math>2\pi i</math>. == 5. Osservazione importante == La rappresentazione integrale di Cauchy può essere applicata soltanto quando il punto <math>z_0</math> si trova all'interno della curva e la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa nella regione considerata. Se il punto è esterno alla curva, non è possibile applicare direttamente la formula nella forma indicata. La formula integrale di Cauchy costituisce inoltre la base per la formula integrale di Cauchy per le derivate, che permette di calcolare le derivate di una funzione olomorfa attraverso integrali lungo curve chiuse. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx = Teorema integrale di Cauchy generalizzato = Il '''teorema integrale di Cauchy generalizzato''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso permette di calcolare gli integrali curvilinei di funzioni complesse olomorfe lungo curve chiuse, anche quando il dominio di definizione della funzione presenta delle regioni escluse o dei buchi. La sua importanza consiste nel fatto che consente di trasformare un problema di integrazione lungo una curva in un risultato matematico che dipende dalle proprietà analitiche della funzione e dalla struttura del dominio. In particolare, il teorema stabilisce che, sotto opportune condizioni, l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo. == 1. Significato intuitivo == Per comprendere il teorema è necessario considerare una funzione complessa: <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove: <math>z=x+iy</math> e dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> rappresentano rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione. Una funzione olomorfa è una funzione complessa derivabile in senso complesso in ogni punto del dominio considerato. Il teorema classico di Cauchy afferma che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In formula: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=0</math> Il teorema generalizzato permette di estendere questo ragionamento anche a domini non semplicemente connessi, cioè domini che presentano uno o più buchi. In questi casi è necessario considerare tutte le curve che delimitano il dominio, rispettando il loro orientamento. == 2. Enunciato del teorema == Sia <math>D</math> un dominio limitato del piano complesso, il cui bordo è costituito da una curva esterna <math>\gamma_0</math> e da un numero finito di curve interne: <math>\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n</math> Si supponga che la funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa in un aperto contenente la chiusura del dominio e che tutte le curve siano regolari a tratti. Il teorema integrale di Cauchy generalizzato afferma che: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz-\sum_{k=1}^{n}\oint_{\gamma_k}f(z)\,dz=0</math> dove tutte le curve sono considerate con orientamento antiorario. La formula può essere scritta anche nella forma: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz=\sum_{k=1}^{n}\oint_{\gamma_k}f(z)\,dz</math> Questa relazione significa che l'integrale lungo il bordo esterno è uguale alla somma degli integrali lungo i bordi interni, quando questi ultimi vengono percorsi matematicamente in senso antiorario. Se invece si considera il bordo completo del dominio con il suo orientamento positivo, la curva esterna viene percorsa in senso antiorario e le curve interne in senso orario. In questo caso si ottiene: <math>\oint_{\partial D}f(z)\,dz=0</math> Questa è la formulazione generalizzata del teorema integrale di Cauchy. == 3. Condizioni necessarie == Per applicare correttamente il teorema devono essere rispettate alcune condizioni: * La funzione deve essere olomorfa nel dominio considerato. * La funzione deve essere definita anche in un intorno delle curve di integrazione. * Le curve devono essere chiuse e regolari a tratti. * Il dominio può essere semplicemente connesso oppure presentare un numero finito di buchi. * Le curve interne ed esterne devono essere orientate correttamente. La condizione fondamentale è che la funzione non presenti singolarità all'interno del dominio considerato né sulle curve di integrazione. Se una funzione presenta una singolarità all'interno di un contorno, non è possibile applicare direttamente il teorema nella sua forma nulla a tutto il dominio. In questo caso occorre escludere la singolarità dal dominio oppure utilizzare altri risultati, come il teorema dei residui. == 4. Quali problemi è in grado di risolvere == Il teorema generalizzato di Cauchy permette di risolvere diverse tipologie di problemi matematici. === 4.1 Calcolo di integrali complessi lungo curve chiuse === Consente di stabilire immediatamente che un integrale è nullo quando la funzione è olomorfa in tutto il dominio racchiuso dalla curva. Per esempio: <math>\oint_{|z|=2}z^3\,dz</math> Poiché la funzione: <math>f(z)=z^3</math> è intera, cioè olomorfa in tutto il piano complesso, si ottiene: <math>{\oint_{|z|=2}z^3\,dz=0}</math> === 4.2 Calcolo di integrali in domini con buchi === Il teorema permette di studiare integrali in domini che presentano regioni escluse. Ad esempio, si consideri un dominio delimitato da una circonferenza esterna e da una circonferenza interna. Se la funzione è olomorfa nella regione compresa tra le due circonferenze, allora: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz-\oint_{\gamma_1}f(z)\,dz=0</math> Da cui: <math>{\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz=\oint_{\gamma_1}f(z)\,dz}</math> Questo risultato permette di sostituire una curva di integrazione con un'altra curva che circonda la stessa regione esclusa. === 4.3 Trasformazione di integrali difficili in integrali più semplici === Se due curve racchiudono la stessa singolarità e la funzione è olomorfa nella regione compresa tra esse, i rispettivi integrali sono uguali, purché entrambe siano orientate nello stesso verso. Questo permette di scegliere la curva più semplice da utilizzare per il calcolo. === 4.4 Studio delle singolarità === Il teorema permette di capire quando un integrale non può essere considerato nullo a causa della presenza di una singolarità. Quando la funzione non è olomorfa in un punto interno alla curva, è necessario studiare la natura della singolarità. Per questo scopo si utilizzano anche il teorema dei residui e le formule integrali di Cauchy. == 5. Differenza tra il teorema classico e quello generalizzato == Il teorema classico di Cauchy riguarda principalmente domini semplicemente connessi, nei quali ogni curva chiusa può essere deformata continuamente fino a un punto senza uscire dal dominio. La sua conclusione è: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=0</math> Il teorema generalizzato permette invece di considerare domini non semplicemente connessi, cioè domini che presentano uno o più buchi. In questo caso: <math>\oint_{\partial D}f(z)\,dz=0</math> dove il bordo comprende sia la curva esterna sia tutte le curve interne, orientate correttamente. La differenza fondamentale è quindi che il teorema generalizzato tiene conto della struttura geometrica del dominio e dei suoi bordi interni. == 6. Conclusione == Il teorema integrale di Cauchy generalizzato rappresenta uno strumento fondamentale dell'analisi complessa perché consente di studiare integrali curvilinei in domini che possono presentare uno o più buchi. Il suo principio fondamentale è che, se una funzione è olomorfa in un dominio, l'integrale lungo il bordo completo del dominio, orientato positivamente, è uguale a zero. La sua utilità consiste soprattutto nella possibilità di: * Dimostrare che determinati integrali complessi sono nulli. * Trasformare integrali lungo curve complesse in integrali lungo curve più semplici. * Studiare domini non semplicemente connessi. * Separare il contributo delle diverse regioni escluse. * Preparare il calcolo degli integrali mediante il teorema dei residui. Il teorema costituisce quindi uno strumento essenziale per lo studio delle funzioni olomorfe, delle singolarità e degli integrali complessi. == 7. Esempi di calcolo == ===7.1 Esempio completo=== Risolvere <math>I=\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz</math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrale lungo circonferenza la funzione 1/z dove R = |z| è la circonferena unitaria''' IA risponde: Si consideri la funzione: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> Si voglia calcolare l'integrale lungo una circonferenza di raggio <math>R</math> centrata nell'origine: <math>I=\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz</math> La funzione presenta una singolarità nell'origine, quindi non è olomorfa all'interno dell'intera circonferenza. Non si può pertanto applicare direttamente il teorema classico di Cauchy. Si procede escludendo l'origine dal dominio. Si considera una circonferenza interna di raggio <math>r</math>, con: <math> 0 < r < R </math> La regione compresa tra le due circonferenze è un dominio nel quale la funzione è olomorfa. Applicando il teorema generalizzato: <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz-\oint_{|z|=r}\frac{1}{z}\,dz=0</math> Pertanto: <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz=\oint_{|z|=r}\frac{1}{z}\,dz</math> L'integrale è quindi indipendente dal raggio della circonferenza. Per calcolarlo si sceglie la parametrizzazione: <math>z(t)=r e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando: <math>z'(t)=ir e^{it}</math> Quindi: <math>dz=ir e^{it}\,dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{1}{r e^{it}}ir e^{it}\,dt</math> Semplificando: <math>I=i\int_0^{2\pi}dt</math> Integrando: <math>I=i[t]_0^{2\pi}</math> Si ottiene: <math>{I=2\pi i}</math> Il risultato dimostra che l'integrale non è nullo perché la funzione presenta una singolarità nell'origine. === 7.2 Esempio con due singolarità === Risolvere <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz</math> dove <math>f(z)=\frac{1}{(z-a)(z-b)}</math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare la funzione f(z) = 1/ [ (z-a) (z-b) ]''' '''lungo una curva chiusa gamma''' IA risponde: Si consideri la funzione: <math>f(z)=\frac{1}{(z-a)(z-b)}</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono due punti distinti. Si supponga che entrambi i punti siano interni a una curva chiusa <math>\gamma</math> e che la funzione sia olomorfa nella regione esterna a due piccoli dischi che circondano separatamente le singolarità. Il teorema generalizzato permette di scrivere: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=\oint_{\gamma_a}f(z)\,dz+\oint_{\gamma_b}f(z)\,dz</math> dove le due curve interne sono orientate in senso antiorario. Per calcolare il primo integrale si può utilizzare la formula integrale di Cauchy: <math>\oint_{\gamma_a}\frac{1}{(z-a)(z-b)}\,dz=\frac{1}{a-b}\oint_{\gamma_a}\frac{1}{z-a}\,dz</math> Pertanto: <math>\oint_{\gamma_a}f(z)\,dz=\frac{2\pi i}{a-b}</math> Analogamente: <math>\oint_{\gamma_b}f(z)\,dz=\frac{2\pi i}{b-a}</math> Sommando: <math>I=\frac{2\pi i}{a-b}+\frac{2\pi i}{b-a}</math> Poiché: <math>\frac{1}{b-a}=-\frac{1}{a-b}</math> si ottiene: <math>{I=0}</math> Questo esempio dimostra che due singolarità possono produrre contributi integrali che si annullano reciprocamente. CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria: <math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. ==XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX== == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di 5 esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro C) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con \theta = 2: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> 31cwmnn8ktbqq0bcirlyzbejmasloeh 288336 288335 2026-11-12T06:34:53Z Funzioni di correlazione 24136 288336 wikitext text/x-wiki == Definizione intuitiva == In analisi complessa, il '''residuo''' di una funzione analitica (o olomorfa) in un punto singolare isolato <math>z_0</math> è un numero complesso che misura il comportamento "anomalo" della funzione attorno a quel punto. Mentre l'integrale di una funzione analitica lungo un percorso chiuso è sempre zero (per il [[teorema integrale di Cauchy]]), la presenza di una singolarità all'interno del percorso impedisce all'integrale di annullarsi. Il residuo cattura esattamente l'unico termine della funzione che sopravvive all'integrazione lungo una curva chiusa attorno a <math>z_0</math>, permettendo di trasformare complicati calcoli integrali in semplici operazioni algebriche tramite il [[teorema dei residui]]. == Definizione formale (Serie di Laurent) == Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un disco forato <math>0 < |z - z_0| < R</math>. In questa regione, la funzione può essere sviluppata in [[serie di Laurent]] centrata in <math>z_0</math>: <math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (z - z_0)^n = \dots + \frac{a_{-2}}{(z - z_0)^2} + \frac{a_{-1}}{z - z_0} + a_0 + a_1(z - z_0) + a_2(z - z_0)^2 + \dots</math> Il '''residuo''' di <math>f</math> in <math>z_0</math>, indicato con <math>\operatorname{Res}(f, z_0)</math>, è definito come il coefficiente <math>a_{-1}</math> del termine <math>(z - z_0)^{-1}</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = a_{-1}</math> Dal punto di vista integrale, questo valore equivale a: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} f(z) \, dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice percorsa in senso antiorario che racchiude <math>z_0</math> e nessuna altra singolarità. == Perché conta solo il coefficiente <math>a_{-1}</math>? == Integrando termine a termine la serie di Laurent lungo una circonferenza <math>\gamma</math> di raggio <math>r</math> centrata in <math>z_0</math> (parametrizzata come <math>z(t) = z_0 + r e^{it}</math> con <math>t \in [0, 2\pi]</math>), si osserva che: * Per ogni <math>n \neq -1</math>, la funzione <math>(z - z_0)^n</math> ammette una primitiva univoca nel dominio forato, pari a <math>\frac{(z - z_0)^{n+1}}{n+1}</math>. Poiché la curva <math>\gamma</math> è chiusa, l'integrale di tutti questi termini è nullo: :<math>\oint_{\gamma} (z - z_0)^n \, dz = 0 \quad (\text{per } n \neq -1)</math> * Per <math>n = -1</math>, la primitiva sarebbe il logaritmo complesso, che è una funzione polidroma. Svolgendo il calcolo diretto con <math>dz = i r e^{it} \, dt</math> si ottiene: :<math>\oint_{\gamma} \frac{1}{z - z_0} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{i r e^{it}}{r e^{it}} \, dt = \int_{0}^{2\pi} i \, dt = 2\pi i</math> Moltiplicando questo risultato per il coefficiente <math>a_{-1}</math>, l'intero integrale della serie si riduce a <math>2\pi i \cdot a_{-1}</math>. == Percorso di calcolo dei residui == A seconda del tipo di singolarità isolata in <math>z_0</math>, si seguono diverse procedure per calcolare <math>\operatorname{Res}(f, z_0)</math>. === 1. Singolarità eliminabile === Se <math>\lim_{z \to z_0} f(z)</math> esiste ed è finito, la parte singolare della serie di Laurent è assente (<math>a_n = 0</math> per ogni <math>n < 0</math>). Pertanto: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = 0</math> === 2. Polo semplice (ordine <math>m = 1</math>) === Se <math>z_0</math> è un [[polo (analisi complessa)|polo]] di ordine 1, la serie inizia dal termine <math>n = -1</math>. Moltiplicando <math>f(z)</math> per <math>(z - z_0)</math> si isola il coefficiente <math>a_{-1}</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)</math> '''Caso particolare (rapporto di due funzioni):''' Se <math>f(z) = \frac{g(z)}{h(z)}</math>, dove <math>g</math> e <math>h</math> sono olomorfe in <math>z_0</math> con <math>g(z_0) \neq 0</math>, <math>h(z_0) = 0</math> e <math>h'(z_0) \neq 0</math>, si applica la regola di de l'Hôpital: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{g(z_0)}{h'(z_0)}</math> === 3. Polo di ordine <math>m > 1</math> === Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, la serie di Laurent ha la forma: <math>f(z) = \frac{a_{-m}}{(z - z_0)^m} + \dots + \frac{a_{-1}}{z - z_0} + a_0 + \dots</math> Per estrarre <math>a_{-1}</math> si segue questo percorso algebrico: # Si moltiplica la funzione per <math>(z - z_0)^m</math> per eliminare il denominatore: #:<math>(z - z_0)^m f(z) = a_{-m} + a_{-m+1}(z - z_0) + \dots + a_{-1}(z - z_0)^{m-1} + a_0(z - z_0)^m + \dots</math> # Si deriva l'espressione <math>m - 1</math> volte rispetto a <math>z</math> per annullare i termini precedenti ad <math>a_{-1}</math> e portare quest'ultimo a grado zero, moltiplicato per <math>(m - 1)!</math>: #:<math>\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - z_0)^m f(z) \right] = (m - 1)! \, a_{-1} + m! \, a_0 (z - z_0) + \dots</math> # Si passa al limite per <math>z \to z_0</math> e si divide per <math>(m - 1)!</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(m - 1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - z_0)^m f(z) \right]</math> === 4. Singolarità essenziale === Se <math>z_0</math> è una [[singolarità essenziale]], la serie di Laurent ha infiniti termini con esponente negativo e non esistono formule con limiti o derivate. L'unico percorso è determinare esplicitamente lo sviluppo in serie (ad esempio tramite noti [[sviluppo in serie di Taylor|sviluppi di Taylor]] o sostituendo variabili) e leggere direttamente il coefficiente <math>a_{-1}</math>. '''Esempio:''' Per <math>f(z) = e^{1/z}</math> in <math>z_0 = 0</math>, sostituendo <math>w = 1/z</math> nello sviluppo dell'esponenziale si ottiene: <math>e^{1/z} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n! \, z^n} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2! \, z^2} + \frac{1}{3! \, z^3} + \dots</math> Il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math> è <math>1</math>, quindi <math>\operatorname{Res}(e^{1/z}, 0) = 1</math>. === 5. Residuo all'infinito === Per studiare il comportamento di <math>f(z)</math> per <math>|z| \to \infty</math>, si effettua il cambio di variabile <math>z = \frac{1}{w}</math>, considerando l'orientamento opposto della curva attorno all'infinito (da cui il segno meno): <math>\operatorname{Res}(f, \infty) = -\operatorname{Res}\left( \frac{1}{w^2} f\left(\frac{1}{w}\right), 0 \right)</math> == Esempio completo di calcolo == Calcolare i residui di <math>f(z) = \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2}</math> nelle sue singolarità finite. # '''Individuazione delle singolarità:''' Il denominatore si annulla in <math>z_1 = 1</math> (polo semplice, <math>m = 1</math>) e in <math>z_2 = 2</math> (polo doppio, <math>m = 2</math>). # '''Calcolo in <math>z_1 = 1</math> (polo semplice):''' #:<math>\operatorname{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z - 1) \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2} = \lim_{z \to 1} \frac{z + 1}{(z - 2)^2} = \frac{1 + 1}{(1 - 2)^2} = \frac{2}{1} = 2</math> # '''Calcolo in <math>z_2 = 2</math> (polo doppio):''' Si applica la formula con <math>m = 2</math> (quindi <math>(m - 1)! = 1! = 1</math> e derivata prima): #:<math>\operatorname{Res}(f, 2) = \frac{1}{1!} \lim_{z \to 2} \frac{d}{dz} \left[ (z - 2)^2 \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2} \right] = \lim_{z \to 2} \frac{d}{dz} \left( \frac{z + 1}{z - 1} \right)</math> #:Calcolando la derivata del quoziente: #:<math>\frac{d}{dz} \left( \frac{z + 1}{z - 1} \right) = \frac{1 \cdot (z - 1) - (z + 1) \cdot 1}{(z - 1)^2} = \frac{-2}{(z - 1)^2}</math> #:Passando al limite per <math>z \to 2</math>: #:<math>\operatorname{Res}(f, 2) = \lim_{z \to 2} \frac{-2}{(z - 1)^2} = \frac{-2}{(2 - 1)^2} = -2</math> == Collegamenti interni == * [[Analisi complessa]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema dei residui]] * [[Singolarità isolata]] gggggggggggggggggggggggggggggggvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn '''4.4 Testo del 4° esercizio''' Sia da calcolare l'integrale di linea nel piano complesso: :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz</math> Calcolare il seguente integrale complesso: con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo la linea la funzione ( z^4 ) / ( z + 2 ) dove = |z| = 4''' IA risponde: === Enunciato della Formula Integrale di Cauchy === Se <math>f(z)</math> è una funzione olomorfa all'interno e sul bordo di una curva semplice e chiusa <math>C</math> orientata positivamente, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora vale la relazione: :<math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> === Svolgimento e analisi dei parametri === 1. '''Identificazione del dominio e del cammino di integrazione:''' La curva di integrazione è la circonferenza <math>C</math> definita da <math>|z| = 4</math>, centrata nell'origine con raggio <math>R = 4</math>. 2. '''Scelta della funzione olomorfa:''' Poniamo <math>f(z) = z^4</math>. La funzione è un polinomio ed è pertanto intera (olomorfa su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>). 3. '''Individuazione della singolarità:''' Riscrivendo il denominatore nella forma <math>z - z_0</math>, si ottiene: :<math>z + 2 = z - (-2)</math> Quindi la singolarità si trova nel punto <math>z_0 = -2</math>. 4. '''Verifica della posizione del punto:''' Calcoliamo il modulo di <math>z_0</math>: :<math>|z_0| = |-2| = 2 < 4</math> Poiché il modulo è minore del raggio del cammino d'integrazione, il punto <math>z_0 = -2</math> appartiene al dominio interno racchiuso dalla curva <math>|z| = 4</math>. === Calcolo finale === Applichiamo la Formula Integrale di Cauchy: 1. Valutiamo <math>f(z)</math> nel punto <math>z_0 = -2</math>: :<math>f(-2) = (-2)^4 = 16</math> 2. Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: :<math>\oint_{|z|=4} \frac{z^4}{z - (-2)} \, dz = 2\pi i \cdot f(-2) = 2\pi i \cdot 16 = 32\pi i</math> === Risultato === :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz = 32\pi i</math> kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk = Rappresentazione integrale di Cauchy = La '''rappresentazione integrale di Cauchy''' è un importante teorema dell'analisi complessa. Esso permette di determinare il valore di una funzione olomorfa in un punto interno a una curva chiusa, conoscendo i valori della funzione lungo la curva stessa. == 1. Enunciato del teorema == Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e tutto il suo interno. Sia inoltre <math>z_0</math> un punto interno alla curva. La formula integrale di Cauchy afferma che: <math> f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz </math> In modo equivalente, si può scrivere: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> La curva <math>\gamma</math> deve essere orientata positivamente, cioè percorsa in senso antiorario. Il significato del teorema è che il valore della funzione in un punto interno alla curva può essere calcolato mediante un integrale di linea lungo il bordo della regione considerata. == 2. Significato dei simboli == * <math>f(z)</math>: funzione complessa olomorfa. * <math>z</math>: variabile complessa. * <math>z_0</math>: punto interno alla curva. * <math>\gamma</math>: curva chiusa semplice. * <math>i</math>: unità immaginaria, con <math>i^2=-1</math>. * <math>\oint_\gamma</math>: integrale curvilineo lungo una curva chiusa. == 3. Condizioni per applicare il teorema == Per applicare la rappresentazione integrale di Cauchy devono essere rispettate le seguenti condizioni: # La funzione <math>f(z)</math> deve essere olomorfa all'interno della curva e sul suo bordo. # La curva <math>\gamma</math> deve essere chiusa e semplice. # Il punto <math>z_0</math> deve essere interno alla curva. # La curva deve essere orientata positivamente, cioè in senso antiorario. Se tutte queste condizioni sono soddisfatte, è possibile applicare direttamente la formula integrale di Cauchy. == 4. Esercizi svolti == Schema riassuntivo per la risoluzione degli esercizi: Per risolvere un integrale mediante la rappresentazione integrale di Cauchy è utile seguire sempre questi passaggi: # Individuare la funzione <math>f(z)</math> presente al numeratore dell'integrale. # Individuare il punto <math>z_0</math> annullando il denominatore <math>z-z_0</math>. # Verificare che la funzione sia olomorfa all'interno e sul bordo della curva. # Verificare che il punto <math>z_0</math> sia interno alla curva. # Applicare la formula integrale di Cauchy: '''4.1 Testo del 1° esercizio''' Calcolare il seguente integrale complesso: <math> I=\oint_{|z|=2}\frac{z^2+1}{z-1}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione ( z^2 + 1 ) / ( z -1 ) dove R = |2| è la circonferena unitaria''' IA risponde: La curva è una circonferenza con centro nell'origine e raggio uguale a <math>2</math>, percorsa in senso antiorario. *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontiamo l'integrale assegnato con la formula generale di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Dal confronto ricaviamo: <math> f(z)=z^2+1 </math> e: <math> z_0=1 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Dobbiamo verificare che il punto <math>z_0=1</math> sia interno alla circonferenza di raggio <math>2</math>. Calcoliamo il modulo: <math> |z_0|=|1|=1 </math> Poiché: <math> 1<2 </math> il punto <math>z_0=1</math> è interno alla circonferenza. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni per applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula === Utilizziamo la formula integrale: <math> I=2\pi i f(z_0) </math> Sostituiamo il valore del punto: <math> I=2\pi i f(1) </math> Calcoliamo il valore della funzione nel punto <math>z=1</math>: <math> f(1)=1^2+1 </math> <math> f(1)=1+1=2 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: <math> I=2\pi i\cdot 2 </math> Quindi: <math> {I=4\pi i} </math> Risultato finale: <math> {I=4\pi i} </math> ''' 4.2 Secondo esercizio ''' Calcolare il seguente integrale: <math> I=\oint_{|z|=3}\frac{e^z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione e^z / (z - 2) dove R = |3| è la circonferena unitaria''' IA risponde: *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontando l'integrale con la formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> individuiamo: <math> f(z)=e^z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione esponenziale complessa <math>e^z</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>3</math>. Verifichiamo che il punto <math>z_0=2</math> sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<3 </math> il punto è interno alla curva. Possiamo quindi applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula Scriviamo: <math> I=2\pi i f(2) </math> Poiché: <math> f(z)=e^z </math> si ha: <math> f(2)=e^2 </math> *Passaggio 4: risultato finale Sostituendo nella formula: <math> I=2\pi i e^2 </math> Pertanto: <math> {I=2\pi i e^2} </math> ''' 4.3 Terzo esercizio ''' Calcolare: <math> I=\oint_{|z|=4}\frac{z^3+2z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione (z^3 + 2z) / (z - 2) dove |z| = 4 è la circonferena unitaria''' *Passaggio 1: individuazione della funzione Dal confronto con la formula di Cauchy ricaviamo: <math> f(z)=z^3+2z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione è un polinomio, quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>4</math>. Verifichiamo che il punto sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<4 </math> il punto è interno alla circonferenza. *Passaggio 3: applicazione della formula Applichiamo la rappresentazione integrale di Cauchy: <math> I=2\pi i f(2) </math> Calcoliamo il valore della funzione: <math> f(2)=2^3+2\cdot 2 </math> <math> f(2)=8+4 </math> <math> f(2)=12 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore nella formula: <math> I=2\pi i\cdot 12 </math> Otteniamo: <math> {I=24\pi i} </math> *Risultato finale: <math> {I=24\pi i} </math> <math> I=2\pi i f(z_0) </math> # Calcolare il valore della funzione nel punto individuato. # Moltiplicare il risultato per <math>2\pi i</math>. == 5. Osservazione importante == La rappresentazione integrale di Cauchy può essere applicata soltanto quando il punto <math>z_0</math> si trova all'interno della curva e la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa nella regione considerata. Se il punto è esterno alla curva, non è possibile applicare direttamente la formula nella forma indicata. La formula integrale di Cauchy costituisce inoltre la base per la formula integrale di Cauchy per le derivate, che permette di calcolare le derivate di una funzione olomorfa attraverso integrali lungo curve chiuse. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx = Teorema integrale di Cauchy generalizzato = Il '''teorema integrale di Cauchy generalizzato''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso permette di calcolare gli integrali curvilinei di funzioni complesse olomorfe lungo curve chiuse, anche quando il dominio di definizione della funzione presenta delle regioni escluse o dei buchi. La sua importanza consiste nel fatto che consente di trasformare un problema di integrazione lungo una curva in un risultato matematico che dipende dalle proprietà analitiche della funzione e dalla struttura del dominio. In particolare, il teorema stabilisce che, sotto opportune condizioni, l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo. == 1. Significato intuitivo == Per comprendere il teorema è necessario considerare una funzione complessa: <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove: <math>z=x+iy</math> e dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> rappresentano rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione. Una funzione olomorfa è una funzione complessa derivabile in senso complesso in ogni punto del dominio considerato. Il teorema classico di Cauchy afferma che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In formula: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=0</math> Il teorema generalizzato permette di estendere questo ragionamento anche a domini non semplicemente connessi, cioè domini che presentano uno o più buchi. In questi casi è necessario considerare tutte le curve che delimitano il dominio, rispettando il loro orientamento. == 2. Enunciato del teorema == Sia <math>D</math> un dominio limitato del piano complesso, il cui bordo è costituito da una curva esterna <math>\gamma_0</math> e da un numero finito di curve interne: <math>\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n</math> Si supponga che la funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa in un aperto contenente la chiusura del dominio e che tutte le curve siano regolari a tratti. Il teorema integrale di Cauchy generalizzato afferma che: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz-\sum_{k=1}^{n}\oint_{\gamma_k}f(z)\,dz=0</math> dove tutte le curve sono considerate con orientamento antiorario. La formula può essere scritta anche nella forma: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz=\sum_{k=1}^{n}\oint_{\gamma_k}f(z)\,dz</math> Questa relazione significa che l'integrale lungo il bordo esterno è uguale alla somma degli integrali lungo i bordi interni, quando questi ultimi vengono percorsi matematicamente in senso antiorario. Se invece si considera il bordo completo del dominio con il suo orientamento positivo, la curva esterna viene percorsa in senso antiorario e le curve interne in senso orario. In questo caso si ottiene: <math>\oint_{\partial D}f(z)\,dz=0</math> Questa è la formulazione generalizzata del teorema integrale di Cauchy. == 3. Condizioni necessarie == Per applicare correttamente il teorema devono essere rispettate alcune condizioni: * La funzione deve essere olomorfa nel dominio considerato. * La funzione deve essere definita anche in un intorno delle curve di integrazione. * Le curve devono essere chiuse e regolari a tratti. * Il dominio può essere semplicemente connesso oppure presentare un numero finito di buchi. * Le curve interne ed esterne devono essere orientate correttamente. La condizione fondamentale è che la funzione non presenti singolarità all'interno del dominio considerato né sulle curve di integrazione. Se una funzione presenta una singolarità all'interno di un contorno, non è possibile applicare direttamente il teorema nella sua forma nulla a tutto il dominio. In questo caso occorre escludere la singolarità dal dominio oppure utilizzare altri risultati, come il teorema dei residui. == 4. Quali problemi è in grado di risolvere == Il teorema generalizzato di Cauchy permette di risolvere diverse tipologie di problemi matematici. === 4.1 Calcolo di integrali complessi lungo curve chiuse === Consente di stabilire immediatamente che un integrale è nullo quando la funzione è olomorfa in tutto il dominio racchiuso dalla curva. Per esempio: <math>\oint_{|z|=2}z^3\,dz</math> Poiché la funzione: <math>f(z)=z^3</math> è intera, cioè olomorfa in tutto il piano complesso, si ottiene: <math>{\oint_{|z|=2}z^3\,dz=0}</math> === 4.2 Calcolo di integrali in domini con buchi === Il teorema permette di studiare integrali in domini che presentano regioni escluse. Ad esempio, si consideri un dominio delimitato da una circonferenza esterna e da una circonferenza interna. Se la funzione è olomorfa nella regione compresa tra le due circonferenze, allora: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz-\oint_{\gamma_1}f(z)\,dz=0</math> Da cui: <math>{\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz=\oint_{\gamma_1}f(z)\,dz}</math> Questo risultato permette di sostituire una curva di integrazione con un'altra curva che circonda la stessa regione esclusa. === 4.3 Trasformazione di integrali difficili in integrali più semplici === Se due curve racchiudono la stessa singolarità e la funzione è olomorfa nella regione compresa tra esse, i rispettivi integrali sono uguali, purché entrambe siano orientate nello stesso verso. Questo permette di scegliere la curva più semplice da utilizzare per il calcolo. === 4.4 Studio delle singolarità === Il teorema permette di capire quando un integrale non può essere considerato nullo a causa della presenza di una singolarità. Quando la funzione non è olomorfa in un punto interno alla curva, è necessario studiare la natura della singolarità. Per questo scopo si utilizzano anche il teorema dei residui e le formule integrali di Cauchy. == 5. Differenza tra il teorema classico e quello generalizzato == Il teorema classico di Cauchy riguarda principalmente domini semplicemente connessi, nei quali ogni curva chiusa può essere deformata continuamente fino a un punto senza uscire dal dominio. La sua conclusione è: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=0</math> Il teorema generalizzato permette invece di considerare domini non semplicemente connessi, cioè domini che presentano uno o più buchi. In questo caso: <math>\oint_{\partial D}f(z)\,dz=0</math> dove il bordo comprende sia la curva esterna sia tutte le curve interne, orientate correttamente. La differenza fondamentale è quindi che il teorema generalizzato tiene conto della struttura geometrica del dominio e dei suoi bordi interni. == 6. Conclusione == Il teorema integrale di Cauchy generalizzato rappresenta uno strumento fondamentale dell'analisi complessa perché consente di studiare integrali curvilinei in domini che possono presentare uno o più buchi. Il suo principio fondamentale è che, se una funzione è olomorfa in un dominio, l'integrale lungo il bordo completo del dominio, orientato positivamente, è uguale a zero. La sua utilità consiste soprattutto nella possibilità di: * Dimostrare che determinati integrali complessi sono nulli. * Trasformare integrali lungo curve complesse in integrali lungo curve più semplici. * Studiare domini non semplicemente connessi. * Separare il contributo delle diverse regioni escluse. * Preparare il calcolo degli integrali mediante il teorema dei residui. Il teorema costituisce quindi uno strumento essenziale per lo studio delle funzioni olomorfe, delle singolarità e degli integrali complessi. == 7. Esempi di calcolo == ===7.1 Esempio completo=== Risolvere <math>I=\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz</math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrale lungo circonferenza la funzione 1/z dove R = |z| è la circonferena unitaria''' IA risponde: Si consideri la funzione: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> Si voglia calcolare l'integrale lungo una circonferenza di raggio <math>R</math> centrata nell'origine: <math>I=\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz</math> La funzione presenta una singolarità nell'origine, quindi non è olomorfa all'interno dell'intera circonferenza. Non si può pertanto applicare direttamente il teorema classico di Cauchy. Si procede escludendo l'origine dal dominio. Si considera una circonferenza interna di raggio <math>r</math>, con: <math> 0 < r < R </math> La regione compresa tra le due circonferenze è un dominio nel quale la funzione è olomorfa. Applicando il teorema generalizzato: <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz-\oint_{|z|=r}\frac{1}{z}\,dz=0</math> Pertanto: <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz=\oint_{|z|=r}\frac{1}{z}\,dz</math> L'integrale è quindi indipendente dal raggio della circonferenza. Per calcolarlo si sceglie la parametrizzazione: <math>z(t)=r e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando: <math>z'(t)=ir e^{it}</math> Quindi: <math>dz=ir e^{it}\,dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{1}{r e^{it}}ir e^{it}\,dt</math> Semplificando: <math>I=i\int_0^{2\pi}dt</math> Integrando: <math>I=i[t]_0^{2\pi}</math> Si ottiene: <math>{I=2\pi i}</math> Il risultato dimostra che l'integrale non è nullo perché la funzione presenta una singolarità nell'origine. === 7.2 Esempio con due singolarità === Risolvere <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz</math> dove <math>f(z)=\frac{1}{(z-a)(z-b)}</math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare la funzione f(z) = 1/ [ (z-a) (z-b) ]''' '''lungo una curva chiusa gamma''' IA risponde: Si consideri la funzione: <math>f(z)=\frac{1}{(z-a)(z-b)}</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono due punti distinti. Si supponga che entrambi i punti siano interni a una curva chiusa <math>\gamma</math> e che la funzione sia olomorfa nella regione esterna a due piccoli dischi che circondano separatamente le singolarità. Il teorema generalizzato permette di scrivere: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=\oint_{\gamma_a}f(z)\,dz+\oint_{\gamma_b}f(z)\,dz</math> dove le due curve interne sono orientate in senso antiorario. Per calcolare il primo integrale si può utilizzare la formula integrale di Cauchy: <math>\oint_{\gamma_a}\frac{1}{(z-a)(z-b)}\,dz=\frac{1}{a-b}\oint_{\gamma_a}\frac{1}{z-a}\,dz</math> Pertanto: <math>\oint_{\gamma_a}f(z)\,dz=\frac{2\pi i}{a-b}</math> Analogamente: <math>\oint_{\gamma_b}f(z)\,dz=\frac{2\pi i}{b-a}</math> Sommando: <math>I=\frac{2\pi i}{a-b}+\frac{2\pi i}{b-a}</math> Poiché: <math>\frac{1}{b-a}=-\frac{1}{a-b}</math> si ottiene: <math>{I=0}</math> Questo esempio dimostra che due singolarità possono produrre contributi integrali che si annullano reciprocamente. CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria: <math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. ==XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX== == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di 5 esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro C) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con \theta = 2: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> n7omc8a50tlr9vs803f57ehmz8csvyh 288337 288336 2026-11-12T06:48:00Z Funzioni di correlazione 24136 /* Definizione intuitiva */ 288337 wikitext text/x-wiki == Definizione intuitiva == In analisi complessa, il '''residuo''' di una funzione analitica (o olomorfa) in un punto singolare isolato <math>z_0</math> è un numero complesso che misura il comportamento "anomalo" della funzione attorno a quel punto. Mentre l'integrale di una funzione analitica lungo un percorso chiuso è sempre zero (per il [[teorema integrale di Cauchy]]), la presenza di una singolarità all'interno del percorso impedisce all'integrale di annullarsi. Il residuo cattura esattamente l'unico termine della funzione che sopravvive all'integrazione lungo una curva chiusa attorno a <math>z_0</math>, permettendo di trasformare complicati calcoli integrali in semplici operazioni algebriche tramite il [[teorema dei residui]]. == A cosa servono i residui (Utilità pratica) == Il calcolo dei residui non è un mero esercizio astratto di analisi complessa, ma uno strumento di importanza capitale in matematica e fisica per diversi motivi: 1. **Risoluzione di integrali definiti complessi:** Molti integrali definiti reali (spesso trigonometrici o impropri da meno infinito a più infinito) che appaiono impossibili da risolvere con i normali metodi di integrazione di analisi uno o due, possono essere risolti in modo incredibilmente rapido ed elegante applicando il [[teorema dei residui]] nel piano complesso. 2. **Studio dei sistemi dinamici e della stabilità:** Nell'ingegneria e nella teoria dei controlli automatici, la posizione dei poli e il calcolo dei residui legati alla trasformata di Laplace inversa permettono di studiare la risposta temporale dei sistemi dinamici e di stabilirne la stabilità. 3. **Elaborazione dei segnali:** Nella teoria dei segnali, l'analisi complessa e i residui sono impiegati per analizzare la risposta in frequenza dei filtri digitali e analogici attraverso la trasformata Zeta e la trasformata di Laplace. 4. **Fisica teorica e meccanica quantistica:** Vengono ampiamente utilizzati nella teoria quantistica dei campi e nella meccanica statistica per valutare integrali complessi di Feynman e funzioni di propagazione. == Definizione formale (Serie di Laurent) == Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un disco forato <math>0 < |z - z_0| < R</math>. In questa regione, la funzione può essere sviluppata in [[serie di Laurent]] centrata in <math>z_0</math>: <math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (z - z_0)^n = \dots + \frac{a_{-2}}{(z - z_0)^2} + \frac{a_{-1}}{z - z_0} + a_0 + a_1(z - z_0) + a_2(z - z_0)^2 + \dots</math> Il '''residuo''' di <math>f</math> in <math>z_0</math>, indicato con <math>\operatorname{Res}(f, z_0)</math>, è definito come il coefficiente <math>a_{-1}</math> del termine <math>(z - z_0)^{-1}</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = a_{-1}</math> Dal punto di vista integrale, questo valore equivale a: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} f(z) \, dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice percorsa in senso antiorario che racchiude <math>z_0</math> e nessuna altra singolarità. == Perché conta solo il coefficiente <math>a_{-1}</math>? == Integrando termine a termine la serie di Laurent lungo una circonferenza <math>\gamma</math> di raggio <math>r</math> centrata in <math>z_0</math> (parametrizzata come <math>z(t) = z_0 + r e^{it}</math> con <math>t \in [0, 2\pi]</math>), si osserva che: * Per ogni <math>n \neq -1</math>, la funzione <math>(z - z_0)^n</math> ammette una primitiva univoca nel dominio forato, pari a <math>\frac{(z - z_0)^{n+1}}{n+1}</math>. Poiché la curva <math>\gamma</math> è chiusa, l'integrale di tutti questi termini è nullo: :<math>\oint_{\gamma} (z - z_0)^n \, dz = 0 \quad (\text{per } n \neq -1)</math> * Per <math>n = -1</math>, la primitiva sarebbe il logaritmo complesso, che è una funzione polidroma. Svolgendo il calcolo diretto con <math>dz = i r e^{it} \, dt</math> si ottiene: :<math>\oint_{\gamma} \frac{1}{z - z_0} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{i r e^{it}}{r e^{it}} \, dt = \int_{0}^{2\pi} i \, dt = 2\pi i</math> Moltiplicando questo risultato per il coefficiente <math>a_{-1}</math>, l'intero integrale della serie si riduce a <math>2\pi i \cdot a_{-1}</math>. == Percorso di calcolo dei residui == A seconda del tipo di singolarità isolata in <math>z_0</math>, si seguono diverse procedure per calcolare <math>\operatorname{Res}(f, z_0)</math>. === 1. Singolarità eliminabile === Se <math>\lim_{z \to z_0} f(z)</math> esiste ed è finito, la parte singolare della serie di Laurent è assente (<math>a_n = 0</math> per ogni <math>n < 0</math>). Pertanto: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = 0</math> === 2. Polo semplice (ordine <math>m = 1</math>) === Se <math>z_0</math> è un [[polo (analisi complessa)|polo]] di ordine 1, la serie inizia dal termine <math>n = -1</math>. Moltiplicando <math>f(z)</math> per <math>(z - z_0)</math> si isola il coefficiente <math>a_{-1}</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)</math> '''Caso particolare (rapporto di due funzioni):''' Se <math>f(z) = \frac{g(z)}{h(z)}</math>, dove <math>g</math> e <math>h</math> sono olomorfe in <math>z_0</math> con <math>g(z_0) \neq 0</math>, <math>h(z_0) = 0</math> e <math>h'(z_0) \neq 0</math>, si applica la regola di de l'Hôpital: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{g(z_0)}{h'(z_0)}</math> === 3. Polo di ordine <math>m > 1</math> === Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, la serie di Laurent ha la forma: <math>f(z) = \frac{a_{-m}}{(z - z_0)^m} + \dots + \frac{a_{-1}}{z - z_0} + a_0 + \dots</math> Per estrarre <math>a_{-1}</math> si segue questo percorso algebrico: # Si moltiplica la funzione per <math>(z - z_0)^m</math> per eliminare il denominatore: #:<math>(z - z_0)^m f(z) = a_{-m} + a_{-m+1}(z - z_0) + \dots + a_{-1}(z - z_0)^{m-1} + a_0(z - z_0)^m + \dots</math> # Si deriva l'espressione <math>m - 1</math> volte rispetto a <math>z</math> per annullare i termini precedenti ad <math>a_{-1}</math> e portare quest'ultimo a grado zero, moltiplicato per <math>(m - 1)!</math>: #:<math>\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - z_0)^m f(z) \right] = (m - 1)! \, a_{-1} + m! \, a_0 (z - z_0) + \dots</math> # Si passa al limite per <math>z \to z_0</math> e si divide per <math>(m - 1)!</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(m - 1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - z_0)^m f(z) \right]</math> === 4. Singolarità essenziale === Se <math>z_0</math> è una [[singolarità essenziale]], la serie di Laurent ha infiniti termini con esponente negativo e non esistono formule con limiti o derivate. L'unico percorso è determinare esplicitamente lo sviluppo in serie (ad esempio tramite noti [[sviluppo in serie di Taylor|sviluppi di Taylor]] o sostituendo variabili) e leggere direttamente il coefficiente <math>a_{-1}</math>. '''Esempio:''' Per <math>f(z) = e^{1/z}</math> in <math>z_0 = 0</math>, sostituendo <math>w = 1/z</math> nello sviluppo dell'esponenziale si ottiene: <math>e^{1/z} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n! \, z^n} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2! \, z^2} + \frac{1}{3! \, z^3} + \dots</math> Il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math> è <math>1</math>, quindi <math>\operatorname{Res}(e^{1/z}, 0) = 1</math>. === 5. Residuo all'infinito === Per studiare il comportamento di <math>f(z)</math> per <math>|z| \to \infty</math>, si effettua il cambio di variabile <math>z = \frac{1}{w}</math>, considerando l'orientamento opposto della curva attorno all'infinito (da cui il segno meno): <math>\operatorname{Res}(f, \infty) = -\operatorname{Res}\left( \frac{1}{w^2} f\left(\frac{1}{w}\right), 0 \right)</math> == Esempio completo di calcolo == Calcolare i residui di <math>f(z) = \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2}</math> nelle sue singolarità finite. # '''Individuazione delle singolarità:''' Il denominatore si annulla in <math>z_1 = 1</math> (polo semplice, <math>m = 1</math>) e in <math>z_2 = 2</math> (polo doppio, <math>m = 2</math>). # '''Calcolo in <math>z_1 = 1</math> (polo semplice):''' #:<math>\operatorname{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z - 1) \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2} = \lim_{z \to 1} \frac{z + 1}{(z - 2)^2} = \frac{1 + 1}{(1 - 2)^2} = \frac{2}{1} = 2</math> # '''Calcolo in <math>z_2 = 2</math> (polo doppio):''' Si applica la formula con <math>m = 2</math> (quindi <math>(m - 1)! = 1! = 1</math> e derivata prima): #:<math>\operatorname{Res}(f, 2) = \frac{1}{1!} \lim_{z \to 2} \frac{d}{dz} \left[ (z - 2)^2 \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2} \right] = \lim_{z \to 2} \frac{d}{dz} \left( \frac{z + 1}{z - 1} \right)</math> #:Calcolando la derivata del quoziente: #:<math>\frac{d}{dz} \left( \frac{z + 1}{z - 1} \right) = \frac{1 \cdot (z - 1) - (z + 1) \cdot 1}{(z - 1)^2} = \frac{-2}{(z - 1)^2}</math> #:Passando al limite per <math>z \to 2</math>: #:<math>\operatorname{Res}(f, 2) = \lim_{z \to 2} \frac{-2}{(z - 1)^2} = \frac{-2}{(2 - 1)^2} = -2</math> == Collegamenti interni == * [[Analisi complessa]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema dei residui]] * [[Singolarità isolata]] gggggggggggggggggggggggggggggggvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn '''4.4 Testo del 4° esercizio''' Sia da calcolare l'integrale di linea nel piano complesso: :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz</math> Calcolare il seguente integrale complesso: con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo la linea la funzione ( z^4 ) / ( z + 2 ) dove = |z| = 4''' IA risponde: === Enunciato della Formula Integrale di Cauchy === Se <math>f(z)</math> è una funzione olomorfa all'interno e sul bordo di una curva semplice e chiusa <math>C</math> orientata positivamente, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora vale la relazione: :<math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> === Svolgimento e analisi dei parametri === 1. '''Identificazione del dominio e del cammino di integrazione:''' La curva di integrazione è la circonferenza <math>C</math> definita da <math>|z| = 4</math>, centrata nell'origine con raggio <math>R = 4</math>. 2. '''Scelta della funzione olomorfa:''' Poniamo <math>f(z) = z^4</math>. La funzione è un polinomio ed è pertanto intera (olomorfa su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>). 3. '''Individuazione della singolarità:''' Riscrivendo il denominatore nella forma <math>z - z_0</math>, si ottiene: :<math>z + 2 = z - (-2)</math> Quindi la singolarità si trova nel punto <math>z_0 = -2</math>. 4. '''Verifica della posizione del punto:''' Calcoliamo il modulo di <math>z_0</math>: :<math>|z_0| = |-2| = 2 < 4</math> Poiché il modulo è minore del raggio del cammino d'integrazione, il punto <math>z_0 = -2</math> appartiene al dominio interno racchiuso dalla curva <math>|z| = 4</math>. === Calcolo finale === Applichiamo la Formula Integrale di Cauchy: 1. Valutiamo <math>f(z)</math> nel punto <math>z_0 = -2</math>: :<math>f(-2) = (-2)^4 = 16</math> 2. Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: :<math>\oint_{|z|=4} \frac{z^4}{z - (-2)} \, dz = 2\pi i \cdot f(-2) = 2\pi i \cdot 16 = 32\pi i</math> === Risultato === :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz = 32\pi i</math> kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk = Rappresentazione integrale di Cauchy = La '''rappresentazione integrale di Cauchy''' è un importante teorema dell'analisi complessa. Esso permette di determinare il valore di una funzione olomorfa in un punto interno a una curva chiusa, conoscendo i valori della funzione lungo la curva stessa. == 1. Enunciato del teorema == Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e tutto il suo interno. Sia inoltre <math>z_0</math> un punto interno alla curva. La formula integrale di Cauchy afferma che: <math> f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz </math> In modo equivalente, si può scrivere: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> La curva <math>\gamma</math> deve essere orientata positivamente, cioè percorsa in senso antiorario. Il significato del teorema è che il valore della funzione in un punto interno alla curva può essere calcolato mediante un integrale di linea lungo il bordo della regione considerata. == 2. Significato dei simboli == * <math>f(z)</math>: funzione complessa olomorfa. * <math>z</math>: variabile complessa. * <math>z_0</math>: punto interno alla curva. * <math>\gamma</math>: curva chiusa semplice. * <math>i</math>: unità immaginaria, con <math>i^2=-1</math>. * <math>\oint_\gamma</math>: integrale curvilineo lungo una curva chiusa. == 3. Condizioni per applicare il teorema == Per applicare la rappresentazione integrale di Cauchy devono essere rispettate le seguenti condizioni: # La funzione <math>f(z)</math> deve essere olomorfa all'interno della curva e sul suo bordo. # La curva <math>\gamma</math> deve essere chiusa e semplice. # Il punto <math>z_0</math> deve essere interno alla curva. # La curva deve essere orientata positivamente, cioè in senso antiorario. Se tutte queste condizioni sono soddisfatte, è possibile applicare direttamente la formula integrale di Cauchy. == 4. Esercizi svolti == Schema riassuntivo per la risoluzione degli esercizi: Per risolvere un integrale mediante la rappresentazione integrale di Cauchy è utile seguire sempre questi passaggi: # Individuare la funzione <math>f(z)</math> presente al numeratore dell'integrale. # Individuare il punto <math>z_0</math> annullando il denominatore <math>z-z_0</math>. # Verificare che la funzione sia olomorfa all'interno e sul bordo della curva. # Verificare che il punto <math>z_0</math> sia interno alla curva. # Applicare la formula integrale di Cauchy: '''4.1 Testo del 1° esercizio''' Calcolare il seguente integrale complesso: <math> I=\oint_{|z|=2}\frac{z^2+1}{z-1}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione ( z^2 + 1 ) / ( z -1 ) dove R = |2| è la circonferena unitaria''' IA risponde: La curva è una circonferenza con centro nell'origine e raggio uguale a <math>2</math>, percorsa in senso antiorario. *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontiamo l'integrale assegnato con la formula generale di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Dal confronto ricaviamo: <math> f(z)=z^2+1 </math> e: <math> z_0=1 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Dobbiamo verificare che il punto <math>z_0=1</math> sia interno alla circonferenza di raggio <math>2</math>. Calcoliamo il modulo: <math> |z_0|=|1|=1 </math> Poiché: <math> 1<2 </math> il punto <math>z_0=1</math> è interno alla circonferenza. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni per applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula === Utilizziamo la formula integrale: <math> I=2\pi i f(z_0) </math> Sostituiamo il valore del punto: <math> I=2\pi i f(1) </math> Calcoliamo il valore della funzione nel punto <math>z=1</math>: <math> f(1)=1^2+1 </math> <math> f(1)=1+1=2 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: <math> I=2\pi i\cdot 2 </math> Quindi: <math> {I=4\pi i} </math> Risultato finale: <math> {I=4\pi i} </math> ''' 4.2 Secondo esercizio ''' Calcolare il seguente integrale: <math> I=\oint_{|z|=3}\frac{e^z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione e^z / (z - 2) dove R = |3| è la circonferena unitaria''' IA risponde: *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontando l'integrale con la formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> individuiamo: <math> f(z)=e^z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione esponenziale complessa <math>e^z</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>3</math>. Verifichiamo che il punto <math>z_0=2</math> sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<3 </math> il punto è interno alla curva. Possiamo quindi applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula Scriviamo: <math> I=2\pi i f(2) </math> Poiché: <math> f(z)=e^z </math> si ha: <math> f(2)=e^2 </math> *Passaggio 4: risultato finale Sostituendo nella formula: <math> I=2\pi i e^2 </math> Pertanto: <math> {I=2\pi i e^2} </math> ''' 4.3 Terzo esercizio ''' Calcolare: <math> I=\oint_{|z|=4}\frac{z^3+2z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione (z^3 + 2z) / (z - 2) dove |z| = 4 è la circonferena unitaria''' *Passaggio 1: individuazione della funzione Dal confronto con la formula di Cauchy ricaviamo: <math> f(z)=z^3+2z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione è un polinomio, quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>4</math>. Verifichiamo che il punto sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<4 </math> il punto è interno alla circonferenza. *Passaggio 3: applicazione della formula Applichiamo la rappresentazione integrale di Cauchy: <math> I=2\pi i f(2) </math> Calcoliamo il valore della funzione: <math> f(2)=2^3+2\cdot 2 </math> <math> f(2)=8+4 </math> <math> f(2)=12 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore nella formula: <math> I=2\pi i\cdot 12 </math> Otteniamo: <math> {I=24\pi i} </math> *Risultato finale: <math> {I=24\pi i} </math> <math> I=2\pi i f(z_0) </math> # Calcolare il valore della funzione nel punto individuato. # Moltiplicare il risultato per <math>2\pi i</math>. == 5. Osservazione importante == La rappresentazione integrale di Cauchy può essere applicata soltanto quando il punto <math>z_0</math> si trova all'interno della curva e la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa nella regione considerata. Se il punto è esterno alla curva, non è possibile applicare direttamente la formula nella forma indicata. La formula integrale di Cauchy costituisce inoltre la base per la formula integrale di Cauchy per le derivate, che permette di calcolare le derivate di una funzione olomorfa attraverso integrali lungo curve chiuse. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx = Teorema integrale di Cauchy generalizzato = Il '''teorema integrale di Cauchy generalizzato''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso permette di calcolare gli integrali curvilinei di funzioni complesse olomorfe lungo curve chiuse, anche quando il dominio di definizione della funzione presenta delle regioni escluse o dei buchi. La sua importanza consiste nel fatto che consente di trasformare un problema di integrazione lungo una curva in un risultato matematico che dipende dalle proprietà analitiche della funzione e dalla struttura del dominio. In particolare, il teorema stabilisce che, sotto opportune condizioni, l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo. == 1. Significato intuitivo == Per comprendere il teorema è necessario considerare una funzione complessa: <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove: <math>z=x+iy</math> e dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> rappresentano rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione. Una funzione olomorfa è una funzione complessa derivabile in senso complesso in ogni punto del dominio considerato. Il teorema classico di Cauchy afferma che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In formula: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=0</math> Il teorema generalizzato permette di estendere questo ragionamento anche a domini non semplicemente connessi, cioè domini che presentano uno o più buchi. In questi casi è necessario considerare tutte le curve che delimitano il dominio, rispettando il loro orientamento. == 2. Enunciato del teorema == Sia <math>D</math> un dominio limitato del piano complesso, il cui bordo è costituito da una curva esterna <math>\gamma_0</math> e da un numero finito di curve interne: <math>\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n</math> Si supponga che la funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa in un aperto contenente la chiusura del dominio e che tutte le curve siano regolari a tratti. Il teorema integrale di Cauchy generalizzato afferma che: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz-\sum_{k=1}^{n}\oint_{\gamma_k}f(z)\,dz=0</math> dove tutte le curve sono considerate con orientamento antiorario. La formula può essere scritta anche nella forma: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz=\sum_{k=1}^{n}\oint_{\gamma_k}f(z)\,dz</math> Questa relazione significa che l'integrale lungo il bordo esterno è uguale alla somma degli integrali lungo i bordi interni, quando questi ultimi vengono percorsi matematicamente in senso antiorario. Se invece si considera il bordo completo del dominio con il suo orientamento positivo, la curva esterna viene percorsa in senso antiorario e le curve interne in senso orario. In questo caso si ottiene: <math>\oint_{\partial D}f(z)\,dz=0</math> Questa è la formulazione generalizzata del teorema integrale di Cauchy. == 3. Condizioni necessarie == Per applicare correttamente il teorema devono essere rispettate alcune condizioni: * La funzione deve essere olomorfa nel dominio considerato. * La funzione deve essere definita anche in un intorno delle curve di integrazione. * Le curve devono essere chiuse e regolari a tratti. * Il dominio può essere semplicemente connesso oppure presentare un numero finito di buchi. * Le curve interne ed esterne devono essere orientate correttamente. La condizione fondamentale è che la funzione non presenti singolarità all'interno del dominio considerato né sulle curve di integrazione. Se una funzione presenta una singolarità all'interno di un contorno, non è possibile applicare direttamente il teorema nella sua forma nulla a tutto il dominio. In questo caso occorre escludere la singolarità dal dominio oppure utilizzare altri risultati, come il teorema dei residui. == 4. Quali problemi è in grado di risolvere == Il teorema generalizzato di Cauchy permette di risolvere diverse tipologie di problemi matematici. === 4.1 Calcolo di integrali complessi lungo curve chiuse === Consente di stabilire immediatamente che un integrale è nullo quando la funzione è olomorfa in tutto il dominio racchiuso dalla curva. Per esempio: <math>\oint_{|z|=2}z^3\,dz</math> Poiché la funzione: <math>f(z)=z^3</math> è intera, cioè olomorfa in tutto il piano complesso, si ottiene: <math>{\oint_{|z|=2}z^3\,dz=0}</math> === 4.2 Calcolo di integrali in domini con buchi === Il teorema permette di studiare integrali in domini che presentano regioni escluse. Ad esempio, si consideri un dominio delimitato da una circonferenza esterna e da una circonferenza interna. Se la funzione è olomorfa nella regione compresa tra le due circonferenze, allora: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz-\oint_{\gamma_1}f(z)\,dz=0</math> Da cui: <math>{\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz=\oint_{\gamma_1}f(z)\,dz}</math> Questo risultato permette di sostituire una curva di integrazione con un'altra curva che circonda la stessa regione esclusa. === 4.3 Trasformazione di integrali difficili in integrali più semplici === Se due curve racchiudono la stessa singolarità e la funzione è olomorfa nella regione compresa tra esse, i rispettivi integrali sono uguali, purché entrambe siano orientate nello stesso verso. Questo permette di scegliere la curva più semplice da utilizzare per il calcolo. === 4.4 Studio delle singolarità === Il teorema permette di capire quando un integrale non può essere considerato nullo a causa della presenza di una singolarità. Quando la funzione non è olomorfa in un punto interno alla curva, è necessario studiare la natura della singolarità. Per questo scopo si utilizzano anche il teorema dei residui e le formule integrali di Cauchy. == 5. Differenza tra il teorema classico e quello generalizzato == Il teorema classico di Cauchy riguarda principalmente domini semplicemente connessi, nei quali ogni curva chiusa può essere deformata continuamente fino a un punto senza uscire dal dominio. La sua conclusione è: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=0</math> Il teorema generalizzato permette invece di considerare domini non semplicemente connessi, cioè domini che presentano uno o più buchi. In questo caso: <math>\oint_{\partial D}f(z)\,dz=0</math> dove il bordo comprende sia la curva esterna sia tutte le curve interne, orientate correttamente. La differenza fondamentale è quindi che il teorema generalizzato tiene conto della struttura geometrica del dominio e dei suoi bordi interni. == 6. Conclusione == Il teorema integrale di Cauchy generalizzato rappresenta uno strumento fondamentale dell'analisi complessa perché consente di studiare integrali curvilinei in domini che possono presentare uno o più buchi. Il suo principio fondamentale è che, se una funzione è olomorfa in un dominio, l'integrale lungo il bordo completo del dominio, orientato positivamente, è uguale a zero. La sua utilità consiste soprattutto nella possibilità di: * Dimostrare che determinati integrali complessi sono nulli. * Trasformare integrali lungo curve complesse in integrali lungo curve più semplici. * Studiare domini non semplicemente connessi. * Separare il contributo delle diverse regioni escluse. * Preparare il calcolo degli integrali mediante il teorema dei residui. Il teorema costituisce quindi uno strumento essenziale per lo studio delle funzioni olomorfe, delle singolarità e degli integrali complessi. == 7. Esempi di calcolo == ===7.1 Esempio completo=== Risolvere <math>I=\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz</math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrale lungo circonferenza la funzione 1/z dove R = |z| è la circonferena unitaria''' IA risponde: Si consideri la funzione: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> Si voglia calcolare l'integrale lungo una circonferenza di raggio <math>R</math> centrata nell'origine: <math>I=\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz</math> La funzione presenta una singolarità nell'origine, quindi non è olomorfa all'interno dell'intera circonferenza. Non si può pertanto applicare direttamente il teorema classico di Cauchy. Si procede escludendo l'origine dal dominio. Si considera una circonferenza interna di raggio <math>r</math>, con: <math> 0 < r < R </math> La regione compresa tra le due circonferenze è un dominio nel quale la funzione è olomorfa. Applicando il teorema generalizzato: <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz-\oint_{|z|=r}\frac{1}{z}\,dz=0</math> Pertanto: <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz=\oint_{|z|=r}\frac{1}{z}\,dz</math> L'integrale è quindi indipendente dal raggio della circonferenza. Per calcolarlo si sceglie la parametrizzazione: <math>z(t)=r e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando: <math>z'(t)=ir e^{it}</math> Quindi: <math>dz=ir e^{it}\,dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{1}{r e^{it}}ir e^{it}\,dt</math> Semplificando: <math>I=i\int_0^{2\pi}dt</math> Integrando: <math>I=i[t]_0^{2\pi}</math> Si ottiene: <math>{I=2\pi i}</math> Il risultato dimostra che l'integrale non è nullo perché la funzione presenta una singolarità nell'origine. === 7.2 Esempio con due singolarità === Risolvere <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz</math> dove <math>f(z)=\frac{1}{(z-a)(z-b)}</math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare la funzione f(z) = 1/ [ (z-a) (z-b) ]''' '''lungo una curva chiusa gamma''' IA risponde: Si consideri la funzione: <math>f(z)=\frac{1}{(z-a)(z-b)}</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono due punti distinti. Si supponga che entrambi i punti siano interni a una curva chiusa <math>\gamma</math> e che la funzione sia olomorfa nella regione esterna a due piccoli dischi che circondano separatamente le singolarità. Il teorema generalizzato permette di scrivere: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=\oint_{\gamma_a}f(z)\,dz+\oint_{\gamma_b}f(z)\,dz</math> dove le due curve interne sono orientate in senso antiorario. Per calcolare il primo integrale si può utilizzare la formula integrale di Cauchy: <math>\oint_{\gamma_a}\frac{1}{(z-a)(z-b)}\,dz=\frac{1}{a-b}\oint_{\gamma_a}\frac{1}{z-a}\,dz</math> Pertanto: <math>\oint_{\gamma_a}f(z)\,dz=\frac{2\pi i}{a-b}</math> Analogamente: <math>\oint_{\gamma_b}f(z)\,dz=\frac{2\pi i}{b-a}</math> Sommando: <math>I=\frac{2\pi i}{a-b}+\frac{2\pi i}{b-a}</math> Poiché: <math>\frac{1}{b-a}=-\frac{1}{a-b}</math> si ottiene: <math>{I=0}</math> Questo esempio dimostra che due singolarità possono produrre contributi integrali che si annullano reciprocamente. CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria: <math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. ==XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX== == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di 5 esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro C) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con \theta = 2: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> g1qcgrsp4dzjh955kbm3trkfaz95bo0 288338 288337 2026-11-12T07:00:20Z Funzioni di correlazione 24136 288338 wikitext text/x-wiki == Definizione intuitiva == In analisi complessa, il '''residuo''' di una funzione analitica (o olomorfa) in un punto singolare isolato <math>z_0</math> è un numero complesso che misura il comportamento "anomalo" della funzione attorno a quel punto. Mentre l'integrale di una funzione analitica lungo un percorso chiuso è sempre zero (per il [[teorema integrale di Cauchy]]), la presenza di una singolarità all'interno del percorso impedisce all'integrale di annullarsi. Il residuo cattura esattamente l'unico termine della funzione che sopravvive all'integrazione lungo una curva chiusa attorno a <math>z_0</math>, permettendo di trasformare complicati calcoli integrali in semplici operazioni algebriche tramite il [[teorema dei residui]]. == A cosa servono i residui (Utilità pratica) == Il calcolo dei residui non è un mero esercizio astratto di analisi complessa, ma uno strumento di importanza capitale in matematica e fisica per diversi motivi: 1. **Risoluzione di integrali definiti complessi:** Molti integrali definiti reali (spesso trigonometrici o impropri da meno infinito a più infinito) che appaiono impossibili da risolvere con i normali metodi di integrazione di analisi uno o due, possono essere risolti in modo incredibilmente rapido ed elegante applicando il [[teorema dei residui]] nel piano complesso. 2. **Studio dei sistemi dinamici e della stabilità:** Nell'ingegneria e nella teoria dei controlli automatici, la posizione dei poli e il calcolo dei residui legati alla trasformata di Laplace inversa permettono di studiare la risposta temporale dei sistemi dinamici e di stabilirne la stabilità. 3. **Elaborazione dei segnali:** Nella teoria dei segnali, l'analisi complessa e i residui sono impiegati per analizzare la risposta in frequenza dei filtri digitali e analogici attraverso la trasformata Zeta e la trasformata di Laplace. 4. **Fisica teorica e meccanica quantistica:** Vengono ampiamente utilizzati nella teoria quantistica dei campi e nella meccanica statistica per valutare integrali complessi di Feynman e funzioni di propagazione. == Definizione formale (Serie di Laurent) == Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un disco forato <math>0 < |z - z_0| < R</math>. In questa regione, la funzione può essere sviluppata in [[serie di Laurent]] centrata in <math>z_0</math>: <math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (z - z_0)^n = \dots + \frac{a_{-2}}{(z - z_0)^2} + \frac{a_{-1}}{z - z_0} + a_0 + a_1(z - z_0) + a_2(z - z_0)^2 + \dots</math> Il '''residuo''' di <math>f</math> in <math>z_0</math>, indicato con <math>\operatorname{Res}(f, z_0)</math>, è definito come il coefficiente <math>a_{-1}</math> del termine <math>(z - z_0)^{-1}</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = a_{-1}</math> Dal punto di vista integrale, questo valore equivale a: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} f(z) \, dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice percorsa in senso antiorario che racchiude <math>z_0</math> e nessuna altra singolarità. == Perché conta solo il coefficiente <math>a_{-1}</math>? == Integrando termine a termine la serie di Laurent lungo una circonferenza <math>\gamma</math> di raggio <math>r</math> centrata in <math>z_0</math> (parametrizzata come <math>z(t) = z_0 + r e^{it}</math> con <math>t \in [0, 2\pi]</math>), si osserva che: * Per ogni <math>n \neq -1</math>, la funzione <math>(z - z_0)^n</math> ammette una primitiva univoca nel dominio forato, pari a <math>\frac{(z - z_0)^{n+1}}{n+1}</math>. Poiché la curva <math>\gamma</math> è chiusa, l'integrale di tutti questi termini è nullo: :<math>\oint_{\gamma} (z - z_0)^n \, dz = 0 \quad (\text{per } n \neq -1)</math> * Per <math>n = -1</math>, la primitiva sarebbe il logaritmo complesso, che è una funzione polidroma. Svolgendo il calcolo diretto con <math>dz = i r e^{it} \, dt</math> si ottiene: :<math>\oint_{\gamma} \frac{1}{z - z_0} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{i r e^{it}}{r e^{it}} \, dt = \int_{0}^{2\pi} i \, dt = 2\pi i</math> Moltiplicando questo risultato per il coefficiente <math>a_{-1}</math>, l'intero integrale della serie si riduce a <math>2\pi i \cdot a_{-1}</math>. == Percorso di calcolo dei residui == A seconda del tipo di singolarità isolata in <math>z_0</math>, si seguono diverse procedure per calcolare <math>\operatorname{Res}(f, z_0)</math>. === 1. Singolarità eliminabile === Se <math>\lim_{z \to z_0} f(z)</math> esiste ed è finito, la parte singolare della serie di Laurent è assente (<math>a_n = 0</math> per ogni <math>n < 0</math>). Pertanto: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = 0</math> === 2. Polo semplice (ordine <math>m = 1</math>) === Se <math>z_0</math> è un [[polo (analisi complessa)|polo]] di ordine 1, la serie inizia dal termine <math>n = -1</math>. Moltiplicando <math>f(z)</math> per <math>(z - z_0)</math> si isola il coefficiente <math>a_{-1}</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)</math> '''Caso particolare (rapporto di due funzioni):''' Se <math>f(z) = \frac{g(z)}{h(z)}</math>, dove <math>g</math> e <math>h</math> sono olomorfe in <math>z_0</math> con <math>g(z_0) \neq 0</math>, <math>h(z_0) = 0</math> e <math>h'(z_0) \neq 0</math>, si applica la regola di de l'Hôpital: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{g(z_0)}{h'(z_0)}</math> === 3. Polo di ordine <math>m > 1</math> === Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, la serie di Laurent ha la forma: <math>f(z) = \frac{a_{-m}}{(z - z_0)^m} + \dots + \frac{a_{-1}}{z - z_0} + a_0 + \dots</math> Per estrarre <math>a_{-1}</math> si segue questo percorso algebrico: # Si moltiplica la funzione per <math>(z - z_0)^m</math> per eliminare il denominatore: #:<math>(z - z_0)^m f(z) = a_{-m} + a_{-m+1}(z - z_0) + \dots + a_{-1}(z - z_0)^{m-1} + a_0(z - z_0)^m + \dots</math> # Si deriva l'espressione <math>m - 1</math> volte rispetto a <math>z</math> per annullare i termini precedenti ad <math>a_{-1}</math> e portare quest'ultimo a grado zero, moltiplicato per <math>(m - 1)!</math>: #:<math>\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - z_0)^m f(z) \right] = (m - 1)! \, a_{-1} + m! \, a_0 (z - z_0) + \dots</math> # Si passa al limite per <math>z \to z_0</math> e si divide per <math>(m - 1)!</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(m - 1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - z_0)^m f(z) \right]</math> === 4. Singolarità essenziale === Se <math>z_0</math> è una [[singolarità essenziale]], la serie di Laurent ha infiniti termini con esponente negativo e non esistono formule con limiti o derivate. L'unico percorso è determinare esplicitamente lo sviluppo in serie (ad esempio tramite noti [[sviluppo in serie di Taylor|sviluppi di Taylor]] o sostituendo variabili) e leggere direttamente il coefficiente <math>a_{-1}</math>. '''Esempio:''' Per <math>f(z) = e^{1/z}</math> in <math>z_0 = 0</math>, sostituendo <math>w = 1/z</math> nello sviluppo dell'esponenziale si ottiene: <math>e^{1/z} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n! \, z^n} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2! \, z^2} + \frac{1}{3! \, z^3} + \dots</math> Il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math> è <math>1</math>, quindi <math>\operatorname{Res}(e^{1/z}, 0) = 1</math>. === 5. Residuo all'infinito === Per studiare il comportamento di <math>f(z)</math> per <math>|z| \to \infty</math>, si effettua il cambio di variabile <math>z = \frac{1}{w}</math>, considerando l'orientamento opposto della curva attorno all'infinito (da cui il segno meno): <math>\operatorname{Res}(f, \infty) = -\operatorname{Res}\left( \frac{1}{w^2} f\left(\frac{1}{w}\right), 0 \right)</math> == Esempio completo di calcolo == Calcolare i residui di <math>f(z) = \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2}</math> nelle sue singolarità finite. # '''Individuazione delle singolarità:''' Il denominatore si annulla in <math>z_1 = 1</math> (polo semplice, <math>m = 1</math>) e in <math>z_2 = 2</math> (polo doppio, <math>m = 2</math>). # '''Calcolo in <math>z_1 = 1</math> (polo semplice):''' #:<math>\operatorname{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z - 1) \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2} = \lim_{z \to 1} \frac{z + 1}{(z - 2)^2} = \frac{1 + 1}{(1 - 2)^2} = \frac{2}{1} = 2</math> # '''Calcolo in <math>z_2 = 2</math> (polo doppio):''' Si applica la formula con <math>m = 2</math> (quindi <math>(m - 1)! = 1! = 1</math> e derivata prima): #:<math>\operatorname{Res}(f, 2) = \frac{1}{1!} \lim_{z \to 2} \frac{d}{dz} \left[ (z - 2)^2 \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2} \right] = \lim_{z \to 2} \frac{d}{dz} \left( \frac{z + 1}{z - 1} \right)</math> #:Calcolando la derivata del quoziente: #:<math>\frac{d}{dz} \left( \frac{z + 1}{z - 1} \right) = \frac{1 \cdot (z - 1) - (z + 1) \cdot 1}{(z - 1)^2} = \frac{-2}{(z - 1)^2}</math> #:Passando al limite per <math>z \to 2</math>: #:<math>\operatorname{Res}(f, 2) = \lim_{z \to 2} \frac{-2}{(z - 1)^2} = \frac{-2}{(2 - 1)^2} = -2</math> Mostra impiego teoria residui su <math>f(z) = \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2}</math>   Per IA sito richiamarlo scrivendo: Riprendiamo il progetto del sito storico USEA. Ho preparato il PDF della pagina P132».   gggggggggggggggggggggggggggggggvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn '''4.4 Testo del 4° esercizio''' Sia da calcolare l'integrale di linea nel piano complesso: :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz</math> Calcolare il seguente integrale complesso: con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo la linea la funzione ( z^4 ) / ( z + 2 ) dove = |z| = 4''' IA risponde: === Enunciato della Formula Integrale di Cauchy === Se <math>f(z)</math> è una funzione olomorfa all'interno e sul bordo di una curva semplice e chiusa <math>C</math> orientata positivamente, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora vale la relazione: :<math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> === Svolgimento e analisi dei parametri === 1. '''Identificazione del dominio e del cammino di integrazione:''' La curva di integrazione è la circonferenza <math>C</math> definita da <math>|z| = 4</math>, centrata nell'origine con raggio <math>R = 4</math>. 2. '''Scelta della funzione olomorfa:''' Poniamo <math>f(z) = z^4</math>. La funzione è un polinomio ed è pertanto intera (olomorfa su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>). 3. '''Individuazione della singolarità:''' Riscrivendo il denominatore nella forma <math>z - z_0</math>, si ottiene: :<math>z + 2 = z - (-2)</math> Quindi la singolarità si trova nel punto <math>z_0 = -2</math>. 4. '''Verifica della posizione del punto:''' Calcoliamo il modulo di <math>z_0</math>: :<math>|z_0| = |-2| = 2 < 4</math> Poiché il modulo è minore del raggio del cammino d'integrazione, il punto <math>z_0 = -2</math> appartiene al dominio interno racchiuso dalla curva <math>|z| = 4</math>. === Calcolo finale === Applichiamo la Formula Integrale di Cauchy: 1. Valutiamo <math>f(z)</math> nel punto <math>z_0 = -2</math>: :<math>f(-2) = (-2)^4 = 16</math> 2. Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: :<math>\oint_{|z|=4} \frac{z^4}{z - (-2)} \, dz = 2\pi i \cdot f(-2) = 2\pi i \cdot 16 = 32\pi i</math> === Risultato === :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz = 32\pi i</math> kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk = Rappresentazione integrale di Cauchy = La '''rappresentazione integrale di Cauchy''' è un importante teorema dell'analisi complessa. Esso permette di determinare il valore di una funzione olomorfa in un punto interno a una curva chiusa, conoscendo i valori della funzione lungo la curva stessa. == 1. Enunciato del teorema == Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e tutto il suo interno. Sia inoltre <math>z_0</math> un punto interno alla curva. La formula integrale di Cauchy afferma che: <math> f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz </math> In modo equivalente, si può scrivere: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> La curva <math>\gamma</math> deve essere orientata positivamente, cioè percorsa in senso antiorario. Il significato del teorema è che il valore della funzione in un punto interno alla curva può essere calcolato mediante un integrale di linea lungo il bordo della regione considerata. == 2. Significato dei simboli == * <math>f(z)</math>: funzione complessa olomorfa. * <math>z</math>: variabile complessa. * <math>z_0</math>: punto interno alla curva. * <math>\gamma</math>: curva chiusa semplice. * <math>i</math>: unità immaginaria, con <math>i^2=-1</math>. * <math>\oint_\gamma</math>: integrale curvilineo lungo una curva chiusa. == 3. Condizioni per applicare il teorema == Per applicare la rappresentazione integrale di Cauchy devono essere rispettate le seguenti condizioni: # La funzione <math>f(z)</math> deve essere olomorfa all'interno della curva e sul suo bordo. # La curva <math>\gamma</math> deve essere chiusa e semplice. # Il punto <math>z_0</math> deve essere interno alla curva. # La curva deve essere orientata positivamente, cioè in senso antiorario. Se tutte queste condizioni sono soddisfatte, è possibile applicare direttamente la formula integrale di Cauchy. == 4. Esercizi svolti == Schema riassuntivo per la risoluzione degli esercizi: Per risolvere un integrale mediante la rappresentazione integrale di Cauchy è utile seguire sempre questi passaggi: # Individuare la funzione <math>f(z)</math> presente al numeratore dell'integrale. # Individuare il punto <math>z_0</math> annullando il denominatore <math>z-z_0</math>. # Verificare che la funzione sia olomorfa all'interno e sul bordo della curva. # Verificare che il punto <math>z_0</math> sia interno alla curva. # Applicare la formula integrale di Cauchy: '''4.1 Testo del 1° esercizio''' Calcolare il seguente integrale complesso: <math> I=\oint_{|z|=2}\frac{z^2+1}{z-1}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione ( z^2 + 1 ) / ( z -1 ) dove R = |2| è la circonferena unitaria''' IA risponde: La curva è una circonferenza con centro nell'origine e raggio uguale a <math>2</math>, percorsa in senso antiorario. *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontiamo l'integrale assegnato con la formula generale di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Dal confronto ricaviamo: <math> f(z)=z^2+1 </math> e: <math> z_0=1 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Dobbiamo verificare che il punto <math>z_0=1</math> sia interno alla circonferenza di raggio <math>2</math>. Calcoliamo il modulo: <math> |z_0|=|1|=1 </math> Poiché: <math> 1<2 </math> il punto <math>z_0=1</math> è interno alla circonferenza. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni per applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula === Utilizziamo la formula integrale: <math> I=2\pi i f(z_0) </math> Sostituiamo il valore del punto: <math> I=2\pi i f(1) </math> Calcoliamo il valore della funzione nel punto <math>z=1</math>: <math> f(1)=1^2+1 </math> <math> f(1)=1+1=2 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: <math> I=2\pi i\cdot 2 </math> Quindi: <math> {I=4\pi i} </math> Risultato finale: <math> {I=4\pi i} </math> ''' 4.2 Secondo esercizio ''' Calcolare il seguente integrale: <math> I=\oint_{|z|=3}\frac{e^z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione e^z / (z - 2) dove R = |3| è la circonferena unitaria''' IA risponde: *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontando l'integrale con la formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> individuiamo: <math> f(z)=e^z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione esponenziale complessa <math>e^z</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>3</math>. Verifichiamo che il punto <math>z_0=2</math> sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<3 </math> il punto è interno alla curva. Possiamo quindi applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula Scriviamo: <math> I=2\pi i f(2) </math> Poiché: <math> f(z)=e^z </math> si ha: <math> f(2)=e^2 </math> *Passaggio 4: risultato finale Sostituendo nella formula: <math> I=2\pi i e^2 </math> Pertanto: <math> {I=2\pi i e^2} </math> ''' 4.3 Terzo esercizio ''' Calcolare: <math> I=\oint_{|z|=4}\frac{z^3+2z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione (z^3 + 2z) / (z - 2) dove |z| = 4 è la circonferena unitaria''' *Passaggio 1: individuazione della funzione Dal confronto con la formula di Cauchy ricaviamo: <math> f(z)=z^3+2z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione è un polinomio, quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>4</math>. Verifichiamo che il punto sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<4 </math> il punto è interno alla circonferenza. *Passaggio 3: applicazione della formula Applichiamo la rappresentazione integrale di Cauchy: <math> I=2\pi i f(2) </math> Calcoliamo il valore della funzione: <math> f(2)=2^3+2\cdot 2 </math> <math> f(2)=8+4 </math> <math> f(2)=12 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore nella formula: <math> I=2\pi i\cdot 12 </math> Otteniamo: <math> {I=24\pi i} </math> *Risultato finale: <math> {I=24\pi i} </math> <math> I=2\pi i f(z_0) </math> # Calcolare il valore della funzione nel punto individuato. # Moltiplicare il risultato per <math>2\pi i</math>. == 5. Osservazione importante == La rappresentazione integrale di Cauchy può essere applicata soltanto quando il punto <math>z_0</math> si trova all'interno della curva e la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa nella regione considerata. Se il punto è esterno alla curva, non è possibile applicare direttamente la formula nella forma indicata. La formula integrale di Cauchy costituisce inoltre la base per la formula integrale di Cauchy per le derivate, che permette di calcolare le derivate di una funzione olomorfa attraverso integrali lungo curve chiuse. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx = Teorema integrale di Cauchy generalizzato = Il '''teorema integrale di Cauchy generalizzato''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso permette di calcolare gli integrali curvilinei di funzioni complesse olomorfe lungo curve chiuse, anche quando il dominio di definizione della funzione presenta delle regioni escluse o dei buchi. La sua importanza consiste nel fatto che consente di trasformare un problema di integrazione lungo una curva in un risultato matematico che dipende dalle proprietà analitiche della funzione e dalla struttura del dominio. In particolare, il teorema stabilisce che, sotto opportune condizioni, l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo. == 1. Significato intuitivo == Per comprendere il teorema è necessario considerare una funzione complessa: <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove: <math>z=x+iy</math> e dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> rappresentano rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione. Una funzione olomorfa è una funzione complessa derivabile in senso complesso in ogni punto del dominio considerato. Il teorema classico di Cauchy afferma che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In formula: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=0</math> Il teorema generalizzato permette di estendere questo ragionamento anche a domini non semplicemente connessi, cioè domini che presentano uno o più buchi. In questi casi è necessario considerare tutte le curve che delimitano il dominio, rispettando il loro orientamento. == 2. Enunciato del teorema == Sia <math>D</math> un dominio limitato del piano complesso, il cui bordo è costituito da una curva esterna <math>\gamma_0</math> e da un numero finito di curve interne: <math>\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n</math> Si supponga che la funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa in un aperto contenente la chiusura del dominio e che tutte le curve siano regolari a tratti. Il teorema integrale di Cauchy generalizzato afferma che: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz-\sum_{k=1}^{n}\oint_{\gamma_k}f(z)\,dz=0</math> dove tutte le curve sono considerate con orientamento antiorario. La formula può essere scritta anche nella forma: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz=\sum_{k=1}^{n}\oint_{\gamma_k}f(z)\,dz</math> Questa relazione significa che l'integrale lungo il bordo esterno è uguale alla somma degli integrali lungo i bordi interni, quando questi ultimi vengono percorsi matematicamente in senso antiorario. Se invece si considera il bordo completo del dominio con il suo orientamento positivo, la curva esterna viene percorsa in senso antiorario e le curve interne in senso orario. In questo caso si ottiene: <math>\oint_{\partial D}f(z)\,dz=0</math> Questa è la formulazione generalizzata del teorema integrale di Cauchy. == 3. Condizioni necessarie == Per applicare correttamente il teorema devono essere rispettate alcune condizioni: * La funzione deve essere olomorfa nel dominio considerato. * La funzione deve essere definita anche in un intorno delle curve di integrazione. * Le curve devono essere chiuse e regolari a tratti. * Il dominio può essere semplicemente connesso oppure presentare un numero finito di buchi. * Le curve interne ed esterne devono essere orientate correttamente. La condizione fondamentale è che la funzione non presenti singolarità all'interno del dominio considerato né sulle curve di integrazione. Se una funzione presenta una singolarità all'interno di un contorno, non è possibile applicare direttamente il teorema nella sua forma nulla a tutto il dominio. In questo caso occorre escludere la singolarità dal dominio oppure utilizzare altri risultati, come il teorema dei residui. == 4. Quali problemi è in grado di risolvere == Il teorema generalizzato di Cauchy permette di risolvere diverse tipologie di problemi matematici. === 4.1 Calcolo di integrali complessi lungo curve chiuse === Consente di stabilire immediatamente che un integrale è nullo quando la funzione è olomorfa in tutto il dominio racchiuso dalla curva. Per esempio: <math>\oint_{|z|=2}z^3\,dz</math> Poiché la funzione: <math>f(z)=z^3</math> è intera, cioè olomorfa in tutto il piano complesso, si ottiene: <math>{\oint_{|z|=2}z^3\,dz=0}</math> === 4.2 Calcolo di integrali in domini con buchi === Il teorema permette di studiare integrali in domini che presentano regioni escluse. Ad esempio, si consideri un dominio delimitato da una circonferenza esterna e da una circonferenza interna. Se la funzione è olomorfa nella regione compresa tra le due circonferenze, allora: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz-\oint_{\gamma_1}f(z)\,dz=0</math> Da cui: <math>{\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz=\oint_{\gamma_1}f(z)\,dz}</math> Questo risultato permette di sostituire una curva di integrazione con un'altra curva che circonda la stessa regione esclusa. === 4.3 Trasformazione di integrali difficili in integrali più semplici === Se due curve racchiudono la stessa singolarità e la funzione è olomorfa nella regione compresa tra esse, i rispettivi integrali sono uguali, purché entrambe siano orientate nello stesso verso. Questo permette di scegliere la curva più semplice da utilizzare per il calcolo. === 4.4 Studio delle singolarità === Il teorema permette di capire quando un integrale non può essere considerato nullo a causa della presenza di una singolarità. Quando la funzione non è olomorfa in un punto interno alla curva, è necessario studiare la natura della singolarità. Per questo scopo si utilizzano anche il teorema dei residui e le formule integrali di Cauchy. == 5. Differenza tra il teorema classico e quello generalizzato == Il teorema classico di Cauchy riguarda principalmente domini semplicemente connessi, nei quali ogni curva chiusa può essere deformata continuamente fino a un punto senza uscire dal dominio. La sua conclusione è: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=0</math> Il teorema generalizzato permette invece di considerare domini non semplicemente connessi, cioè domini che presentano uno o più buchi. In questo caso: <math>\oint_{\partial D}f(z)\,dz=0</math> dove il bordo comprende sia la curva esterna sia tutte le curve interne, orientate correttamente. La differenza fondamentale è quindi che il teorema generalizzato tiene conto della struttura geometrica del dominio e dei suoi bordi interni. == 6. Conclusione == Il teorema integrale di Cauchy generalizzato rappresenta uno strumento fondamentale dell'analisi complessa perché consente di studiare integrali curvilinei in domini che possono presentare uno o più buchi. Il suo principio fondamentale è che, se una funzione è olomorfa in un dominio, l'integrale lungo il bordo completo del dominio, orientato positivamente, è uguale a zero. La sua utilità consiste soprattutto nella possibilità di: * Dimostrare che determinati integrali complessi sono nulli. * Trasformare integrali lungo curve complesse in integrali lungo curve più semplici. * Studiare domini non semplicemente connessi. * Separare il contributo delle diverse regioni escluse. * Preparare il calcolo degli integrali mediante il teorema dei residui. Il teorema costituisce quindi uno strumento essenziale per lo studio delle funzioni olomorfe, delle singolarità e degli integrali complessi. == 7. Esempi di calcolo == ===7.1 Esempio completo=== Risolvere <math>I=\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz</math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrale lungo circonferenza la funzione 1/z dove R = |z| è la circonferena unitaria''' IA risponde: Si consideri la funzione: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> Si voglia calcolare l'integrale lungo una circonferenza di raggio <math>R</math> centrata nell'origine: <math>I=\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz</math> La funzione presenta una singolarità nell'origine, quindi non è olomorfa all'interno dell'intera circonferenza. Non si può pertanto applicare direttamente il teorema classico di Cauchy. Si procede escludendo l'origine dal dominio. Si considera una circonferenza interna di raggio <math>r</math>, con: <math> 0 < r < R </math> La regione compresa tra le due circonferenze è un dominio nel quale la funzione è olomorfa. Applicando il teorema generalizzato: <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz-\oint_{|z|=r}\frac{1}{z}\,dz=0</math> Pertanto: <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz=\oint_{|z|=r}\frac{1}{z}\,dz</math> L'integrale è quindi indipendente dal raggio della circonferenza. Per calcolarlo si sceglie la parametrizzazione: <math>z(t)=r e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando: <math>z'(t)=ir e^{it}</math> Quindi: <math>dz=ir e^{it}\,dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{1}{r e^{it}}ir e^{it}\,dt</math> Semplificando: <math>I=i\int_0^{2\pi}dt</math> Integrando: <math>I=i[t]_0^{2\pi}</math> Si ottiene: <math>{I=2\pi i}</math> Il risultato dimostra che l'integrale non è nullo perché la funzione presenta una singolarità nell'origine. === 7.2 Esempio con due singolarità === Risolvere <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz</math> dove <math>f(z)=\frac{1}{(z-a)(z-b)}</math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare la funzione f(z) = 1/ [ (z-a) (z-b) ]''' '''lungo una curva chiusa gamma''' IA risponde: Si consideri la funzione: <math>f(z)=\frac{1}{(z-a)(z-b)}</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono due punti distinti. Si supponga che entrambi i punti siano interni a una curva chiusa <math>\gamma</math> e che la funzione sia olomorfa nella regione esterna a due piccoli dischi che circondano separatamente le singolarità. Il teorema generalizzato permette di scrivere: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=\oint_{\gamma_a}f(z)\,dz+\oint_{\gamma_b}f(z)\,dz</math> dove le due curve interne sono orientate in senso antiorario. Per calcolare il primo integrale si può utilizzare la formula integrale di Cauchy: <math>\oint_{\gamma_a}\frac{1}{(z-a)(z-b)}\,dz=\frac{1}{a-b}\oint_{\gamma_a}\frac{1}{z-a}\,dz</math> Pertanto: <math>\oint_{\gamma_a}f(z)\,dz=\frac{2\pi i}{a-b}</math> Analogamente: <math>\oint_{\gamma_b}f(z)\,dz=\frac{2\pi i}{b-a}</math> Sommando: <math>I=\frac{2\pi i}{a-b}+\frac{2\pi i}{b-a}</math> Poiché: <math>\frac{1}{b-a}=-\frac{1}{a-b}</math> si ottiene: <math>{I=0}</math> Questo esempio dimostra che due singolarità possono produrre contributi integrali che si annullano reciprocamente. CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria: <math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. ==XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX== == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di 5 esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro C) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con \theta = 2: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> atc8ariiczukom3lefg9evc7s0fbv13 288339 288338 2026-11-12T07:08:52Z Funzioni di correlazione 24136 288339 wikitext text/x-wiki == Applicazione del teorema dei residui == Sia data la funzione di variabile complessa: <math>f(z) = \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2}</math> Vogliamo determinare le singolarità della funzione, i relativi residui e applicare il teorema dei residui per calcolarne l'integrale lungo una linea chiusa <math>\gamma</math>. === Individuazione delle singolarità === I punti di singolarità di <math>f(z)</math> si ottengono annullando il denominatore: <math>(z - 1)(z - 2)^2 = 0</math> Troviamo due poli: * <math>z = 1</math> è un polo semplice (di ordine 1). * <math>z = 2</math> è un polo di ordine 2. === Calcolo dei residui === ==== Residuo nel polo <math>z = 1</math> ==== Essendo <math>z = 1</math> un polo semplice, il residuo si calcola come: <math>\text{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z - 1)f(z)</math> Sostituendo l'espressione di <math>f(z)</math>: <math>\text{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z - 1) \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2} = \lim_{z \to 1} \frac{z + 1}{(z - 2)^2}</math> Valutando il limite: <math>\text{Res}(f, 1) = \frac{1 + 1}{(1 - 2)^2} = \frac{2}{(-1)^2} = 2</math> ==== Residuo nel polo <math>z = 2</math> ==== Essendo <math>z = 2</math> un polo di ordine <math>m = 2</math>, il residuo si calcola con la formula per i poli di ordine superiore: <math>\text{Res}(f, 2) = \frac{1}{(2-1)!} \lim_{z \to 2} \frac{d}{dz} \left[ (z - 2)^2 f(z) \right]</math> Semplificando l'espressione all'interno del limite: <math>(z - 2)^2 f(z) = (z - 2)^2 \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2} = \frac{z + 1}{z - 1}</math> Calcoliamo la derivata prima rispetto a <math>z</math> usando la regola del quoziente: <math>\frac{d}{dz} \left[ \frac{z + 1}{z - 1} \right] = \frac{1 \cdot (z - 1) - (z + 1) \cdot 1}{(z - 1)^2} = \frac{z - 1 - z - 1}{(z - 1)^2} = \frac{-2}{(z - 1)^2}</math> Passiamo ora al limite per <math>z \to 2</math>: <math>\text{Res}(f, 2) = \lim_{z \to 2} \frac{-2}{(z - 1)^2} = \frac{-2}{(2 - 1)^2} = \frac{-2}{1^2} = -2</math> === Applicazione del teorema dei residui === Il teorema dei residui afferma che, data una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> orientata in senso antiorario che circonda un insieme di singolarità, l'integrale di linea di <math>f(z)</math> lungo <math>\gamma</math> è dato da: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k} \text{Res}(f, z_k)</math> A seconda di quale dominio racchiuda la curva <math>\gamma</math>, si possono presentare tre casi principali: 1. Se <math>\gamma</math> racchiude **solo il polo <math>z = 1</math>**: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, 1) = 2\pi i \cdot 2 = 4\pi i</math> 2. Se <math>\gamma</math> racchiude **solo il polo <math>z = 2</math>**: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, 2) = 2\pi i \cdot (-2) = -4\pi i</math> 3. Se <math>\gamma</math> racchiude **entrambi i poli**: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \left[ \text{Res}(f, 1) + \text{Res}(f, 2) \right] = 2\pi i \left[ 2 + (-2) \right] = 0</math> ttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt == Definizione intuitiva == In analisi complessa, il '''residuo''' di una funzione analitica (o olomorfa) in un punto singolare isolato <math>z_0</math> è un numero complesso che misura il comportamento "anomalo" della funzione attorno a quel punto. Mentre l'integrale di una funzione analitica lungo un percorso chiuso è sempre zero (per il [[teorema integrale di Cauchy]]), la presenza di una singolarità all'interno del percorso impedisce all'integrale di annullarsi. Il residuo cattura esattamente l'unico termine della funzione che sopravvive all'integrazione lungo una curva chiusa attorno a <math>z_0</math>, permettendo di trasformare complicati calcoli integrali in semplici operazioni algebriche tramite il [[teorema dei residui]]. == A cosa servono i residui (Utilità pratica) == Il calcolo dei residui non è un mero esercizio astratto di analisi complessa, ma uno strumento di importanza capitale in matematica e fisica per diversi motivi: 1. **Risoluzione di integrali definiti complessi:** Molti integrali definiti reali (spesso trigonometrici o impropri da meno infinito a più infinito) che appaiono impossibili da risolvere con i normali metodi di integrazione di analisi uno o due, possono essere risolti in modo incredibilmente rapido ed elegante applicando il [[teorema dei residui]] nel piano complesso. 2. **Studio dei sistemi dinamici e della stabilità:** Nell'ingegneria e nella teoria dei controlli automatici, la posizione dei poli e il calcolo dei residui legati alla trasformata di Laplace inversa permettono di studiare la risposta temporale dei sistemi dinamici e di stabilirne la stabilità. 3. **Elaborazione dei segnali:** Nella teoria dei segnali, l'analisi complessa e i residui sono impiegati per analizzare la risposta in frequenza dei filtri digitali e analogici attraverso la trasformata Zeta e la trasformata di Laplace. 4. **Fisica teorica e meccanica quantistica:** Vengono ampiamente utilizzati nella teoria quantistica dei campi e nella meccanica statistica per valutare integrali complessi di Feynman e funzioni di propagazione. == Definizione formale (Serie di Laurent) == Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un disco forato <math>0 < |z - z_0| < R</math>. In questa regione, la funzione può essere sviluppata in [[serie di Laurent]] centrata in <math>z_0</math>: <math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (z - z_0)^n = \dots + \frac{a_{-2}}{(z - z_0)^2} + \frac{a_{-1}}{z - z_0} + a_0 + a_1(z - z_0) + a_2(z - z_0)^2 + \dots</math> Il '''residuo''' di <math>f</math> in <math>z_0</math>, indicato con <math>\operatorname{Res}(f, z_0)</math>, è definito come il coefficiente <math>a_{-1}</math> del termine <math>(z - z_0)^{-1}</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = a_{-1}</math> Dal punto di vista integrale, questo valore equivale a: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} f(z) \, dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice percorsa in senso antiorario che racchiude <math>z_0</math> e nessuna altra singolarità. == Perché conta solo il coefficiente <math>a_{-1}</math>? == Integrando termine a termine la serie di Laurent lungo una circonferenza <math>\gamma</math> di raggio <math>r</math> centrata in <math>z_0</math> (parametrizzata come <math>z(t) = z_0 + r e^{it}</math> con <math>t \in [0, 2\pi]</math>), si osserva che: * Per ogni <math>n \neq -1</math>, la funzione <math>(z - z_0)^n</math> ammette una primitiva univoca nel dominio forato, pari a <math>\frac{(z - z_0)^{n+1}}{n+1}</math>. Poiché la curva <math>\gamma</math> è chiusa, l'integrale di tutti questi termini è nullo: :<math>\oint_{\gamma} (z - z_0)^n \, dz = 0 \quad (\text{per } n \neq -1)</math> * Per <math>n = -1</math>, la primitiva sarebbe il logaritmo complesso, che è una funzione polidroma. Svolgendo il calcolo diretto con <math>dz = i r e^{it} \, dt</math> si ottiene: :<math>\oint_{\gamma} \frac{1}{z - z_0} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{i r e^{it}}{r e^{it}} \, dt = \int_{0}^{2\pi} i \, dt = 2\pi i</math> Moltiplicando questo risultato per il coefficiente <math>a_{-1}</math>, l'intero integrale della serie si riduce a <math>2\pi i \cdot a_{-1}</math>. == Percorso di calcolo dei residui == A seconda del tipo di singolarità isolata in <math>z_0</math>, si seguono diverse procedure per calcolare <math>\operatorname{Res}(f, z_0)</math>. === 1. Singolarità eliminabile === Se <math>\lim_{z \to z_0} f(z)</math> esiste ed è finito, la parte singolare della serie di Laurent è assente (<math>a_n = 0</math> per ogni <math>n < 0</math>). Pertanto: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = 0</math> === 2. Polo semplice (ordine <math>m = 1</math>) === Se <math>z_0</math> è un [[polo (analisi complessa)|polo]] di ordine 1, la serie inizia dal termine <math>n = -1</math>. Moltiplicando <math>f(z)</math> per <math>(z - z_0)</math> si isola il coefficiente <math>a_{-1}</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)</math> '''Caso particolare (rapporto di due funzioni):''' Se <math>f(z) = \frac{g(z)}{h(z)}</math>, dove <math>g</math> e <math>h</math> sono olomorfe in <math>z_0</math> con <math>g(z_0) \neq 0</math>, <math>h(z_0) = 0</math> e <math>h'(z_0) \neq 0</math>, si applica la regola di de l'Hôpital: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{g(z_0)}{h'(z_0)}</math> === 3. Polo di ordine <math>m > 1</math> === Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, la serie di Laurent ha la forma: <math>f(z) = \frac{a_{-m}}{(z - z_0)^m} + \dots + \frac{a_{-1}}{z - z_0} + a_0 + \dots</math> Per estrarre <math>a_{-1}</math> si segue questo percorso algebrico: # Si moltiplica la funzione per <math>(z - z_0)^m</math> per eliminare il denominatore: #:<math>(z - z_0)^m f(z) = a_{-m} + a_{-m+1}(z - z_0) + \dots + a_{-1}(z - z_0)^{m-1} + a_0(z - z_0)^m + \dots</math> # Si deriva l'espressione <math>m - 1</math> volte rispetto a <math>z</math> per annullare i termini precedenti ad <math>a_{-1}</math> e portare quest'ultimo a grado zero, moltiplicato per <math>(m - 1)!</math>: #:<math>\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - z_0)^m f(z) \right] = (m - 1)! \, a_{-1} + m! \, a_0 (z - z_0) + \dots</math> # Si passa al limite per <math>z \to z_0</math> e si divide per <math>(m - 1)!</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(m - 1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - z_0)^m f(z) \right]</math> === 4. Singolarità essenziale === Se <math>z_0</math> è una [[singolarità essenziale]], la serie di Laurent ha infiniti termini con esponente negativo e non esistono formule con limiti o derivate. L'unico percorso è determinare esplicitamente lo sviluppo in serie (ad esempio tramite noti [[sviluppo in serie di Taylor|sviluppi di Taylor]] o sostituendo variabili) e leggere direttamente il coefficiente <math>a_{-1}</math>. '''Esempio:''' Per <math>f(z) = e^{1/z}</math> in <math>z_0 = 0</math>, sostituendo <math>w = 1/z</math> nello sviluppo dell'esponenziale si ottiene: <math>e^{1/z} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n! \, z^n} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2! \, z^2} + \frac{1}{3! \, z^3} + \dots</math> Il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math> è <math>1</math>, quindi <math>\operatorname{Res}(e^{1/z}, 0) = 1</math>. === 5. Residuo all'infinito === Per studiare il comportamento di <math>f(z)</math> per <math>|z| \to \infty</math>, si effettua il cambio di variabile <math>z = \frac{1}{w}</math>, considerando l'orientamento opposto della curva attorno all'infinito (da cui il segno meno): <math>\operatorname{Res}(f, \infty) = -\operatorname{Res}\left( \frac{1}{w^2} f\left(\frac{1}{w}\right), 0 \right)</math> == Esempio completo di calcolo == Calcolare i residui di <math>f(z) = \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2}</math> nelle sue singolarità finite. # '''Individuazione delle singolarità:''' Il denominatore si annulla in <math>z_1 = 1</math> (polo semplice, <math>m = 1</math>) e in <math>z_2 = 2</math> (polo doppio, <math>m = 2</math>). # '''Calcolo in <math>z_1 = 1</math> (polo semplice):''' #:<math>\operatorname{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z - 1) \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2} = \lim_{z \to 1} \frac{z + 1}{(z - 2)^2} = \frac{1 + 1}{(1 - 2)^2} = \frac{2}{1} = 2</math> # '''Calcolo in <math>z_2 = 2</math> (polo doppio):''' Si applica la formula con <math>m = 2</math> (quindi <math>(m - 1)! = 1! = 1</math> e derivata prima): #:<math>\operatorname{Res}(f, 2) = \frac{1}{1!} \lim_{z \to 2} \frac{d}{dz} \left[ (z - 2)^2 \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2} \right] = \lim_{z \to 2} \frac{d}{dz} \left( \frac{z + 1}{z - 1} \right)</math> #:Calcolando la derivata del quoziente: #:<math>\frac{d}{dz} \left( \frac{z + 1}{z - 1} \right) = \frac{1 \cdot (z - 1) - (z + 1) \cdot 1}{(z - 1)^2} = \frac{-2}{(z - 1)^2}</math> #:Passando al limite per <math>z \to 2</math>: #:<math>\operatorname{Res}(f, 2) = \lim_{z \to 2} \frac{-2}{(z - 1)^2} = \frac{-2}{(2 - 1)^2} = -2</math> Mostra impiego teoria residui su <math>f(z) = \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2}</math>   Per IA sito richiamarlo scrivendo: Riprendiamo il progetto del sito storico USEA. Ho preparato il PDF della pagina P132».   gggggggggggggggggggggggggggggggvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn '''4.4 Testo del 4° esercizio''' Sia da calcolare l'integrale di linea nel piano complesso: :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz</math> Calcolare il seguente integrale complesso: con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo la linea la funzione ( z^4 ) / ( z + 2 ) dove = |z| = 4''' IA risponde: === Enunciato della Formula Integrale di Cauchy === Se <math>f(z)</math> è una funzione olomorfa all'interno e sul bordo di una curva semplice e chiusa <math>C</math> orientata positivamente, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora vale la relazione: :<math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> === Svolgimento e analisi dei parametri === 1. '''Identificazione del dominio e del cammino di integrazione:''' La curva di integrazione è la circonferenza <math>C</math> definita da <math>|z| = 4</math>, centrata nell'origine con raggio <math>R = 4</math>. 2. '''Scelta della funzione olomorfa:''' Poniamo <math>f(z) = z^4</math>. La funzione è un polinomio ed è pertanto intera (olomorfa su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>). 3. '''Individuazione della singolarità:''' Riscrivendo il denominatore nella forma <math>z - z_0</math>, si ottiene: :<math>z + 2 = z - (-2)</math> Quindi la singolarità si trova nel punto <math>z_0 = -2</math>. 4. '''Verifica della posizione del punto:''' Calcoliamo il modulo di <math>z_0</math>: :<math>|z_0| = |-2| = 2 < 4</math> Poiché il modulo è minore del raggio del cammino d'integrazione, il punto <math>z_0 = -2</math> appartiene al dominio interno racchiuso dalla curva <math>|z| = 4</math>. === Calcolo finale === Applichiamo la Formula Integrale di Cauchy: 1. Valutiamo <math>f(z)</math> nel punto <math>z_0 = -2</math>: :<math>f(-2) = (-2)^4 = 16</math> 2. Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: :<math>\oint_{|z|=4} \frac{z^4}{z - (-2)} \, dz = 2\pi i \cdot f(-2) = 2\pi i \cdot 16 = 32\pi i</math> === Risultato === :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz = 32\pi i</math> kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk = Rappresentazione integrale di Cauchy = La '''rappresentazione integrale di Cauchy''' è un importante teorema dell'analisi complessa. Esso permette di determinare il valore di una funzione olomorfa in un punto interno a una curva chiusa, conoscendo i valori della funzione lungo la curva stessa. == 1. Enunciato del teorema == Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e tutto il suo interno. Sia inoltre <math>z_0</math> un punto interno alla curva. La formula integrale di Cauchy afferma che: <math> f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz </math> In modo equivalente, si può scrivere: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> La curva <math>\gamma</math> deve essere orientata positivamente, cioè percorsa in senso antiorario. Il significato del teorema è che il valore della funzione in un punto interno alla curva può essere calcolato mediante un integrale di linea lungo il bordo della regione considerata. == 2. Significato dei simboli == * <math>f(z)</math>: funzione complessa olomorfa. * <math>z</math>: variabile complessa. * <math>z_0</math>: punto interno alla curva. * <math>\gamma</math>: curva chiusa semplice. * <math>i</math>: unità immaginaria, con <math>i^2=-1</math>. * <math>\oint_\gamma</math>: integrale curvilineo lungo una curva chiusa. == 3. Condizioni per applicare il teorema == Per applicare la rappresentazione integrale di Cauchy devono essere rispettate le seguenti condizioni: # La funzione <math>f(z)</math> deve essere olomorfa all'interno della curva e sul suo bordo. # La curva <math>\gamma</math> deve essere chiusa e semplice. # Il punto <math>z_0</math> deve essere interno alla curva. # La curva deve essere orientata positivamente, cioè in senso antiorario. Se tutte queste condizioni sono soddisfatte, è possibile applicare direttamente la formula integrale di Cauchy. == 4. Esercizi svolti == Schema riassuntivo per la risoluzione degli esercizi: Per risolvere un integrale mediante la rappresentazione integrale di Cauchy è utile seguire sempre questi passaggi: # Individuare la funzione <math>f(z)</math> presente al numeratore dell'integrale. # Individuare il punto <math>z_0</math> annullando il denominatore <math>z-z_0</math>. # Verificare che la funzione sia olomorfa all'interno e sul bordo della curva. # Verificare che il punto <math>z_0</math> sia interno alla curva. # Applicare la formula integrale di Cauchy: '''4.1 Testo del 1° esercizio''' Calcolare il seguente integrale complesso: <math> I=\oint_{|z|=2}\frac{z^2+1}{z-1}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione ( z^2 + 1 ) / ( z -1 ) dove R = |2| è la circonferena unitaria''' IA risponde: La curva è una circonferenza con centro nell'origine e raggio uguale a <math>2</math>, percorsa in senso antiorario. *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontiamo l'integrale assegnato con la formula generale di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Dal confronto ricaviamo: <math> f(z)=z^2+1 </math> e: <math> z_0=1 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Dobbiamo verificare che il punto <math>z_0=1</math> sia interno alla circonferenza di raggio <math>2</math>. Calcoliamo il modulo: <math> |z_0|=|1|=1 </math> Poiché: <math> 1<2 </math> il punto <math>z_0=1</math> è interno alla circonferenza. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni per applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula === Utilizziamo la formula integrale: <math> I=2\pi i f(z_0) </math> Sostituiamo il valore del punto: <math> I=2\pi i f(1) </math> Calcoliamo il valore della funzione nel punto <math>z=1</math>: <math> f(1)=1^2+1 </math> <math> f(1)=1+1=2 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: <math> I=2\pi i\cdot 2 </math> Quindi: <math> {I=4\pi i} </math> Risultato finale: <math> {I=4\pi i} </math> ''' 4.2 Secondo esercizio ''' Calcolare il seguente integrale: <math> I=\oint_{|z|=3}\frac{e^z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione e^z / (z - 2) dove R = |3| è la circonferena unitaria''' IA risponde: *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontando l'integrale con la formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> individuiamo: <math> f(z)=e^z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione esponenziale complessa <math>e^z</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>3</math>. Verifichiamo che il punto <math>z_0=2</math> sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<3 </math> il punto è interno alla curva. Possiamo quindi applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula Scriviamo: <math> I=2\pi i f(2) </math> Poiché: <math> f(z)=e^z </math> si ha: <math> f(2)=e^2 </math> *Passaggio 4: risultato finale Sostituendo nella formula: <math> I=2\pi i e^2 </math> Pertanto: <math> {I=2\pi i e^2} </math> ''' 4.3 Terzo esercizio ''' Calcolare: <math> I=\oint_{|z|=4}\frac{z^3+2z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione (z^3 + 2z) / (z - 2) dove |z| = 4 è la circonferena unitaria''' *Passaggio 1: individuazione della funzione Dal confronto con la formula di Cauchy ricaviamo: <math> f(z)=z^3+2z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione è un polinomio, quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>4</math>. Verifichiamo che il punto sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<4 </math> il punto è interno alla circonferenza. *Passaggio 3: applicazione della formula Applichiamo la rappresentazione integrale di Cauchy: <math> I=2\pi i f(2) </math> Calcoliamo il valore della funzione: <math> f(2)=2^3+2\cdot 2 </math> <math> f(2)=8+4 </math> <math> f(2)=12 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore nella formula: <math> I=2\pi i\cdot 12 </math> Otteniamo: <math> {I=24\pi i} </math> *Risultato finale: <math> {I=24\pi i} </math> <math> I=2\pi i f(z_0) </math> # Calcolare il valore della funzione nel punto individuato. # Moltiplicare il risultato per <math>2\pi i</math>. == 5. Osservazione importante == La rappresentazione integrale di Cauchy può essere applicata soltanto quando il punto <math>z_0</math> si trova all'interno della curva e la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa nella regione considerata. Se il punto è esterno alla curva, non è possibile applicare direttamente la formula nella forma indicata. La formula integrale di Cauchy costituisce inoltre la base per la formula integrale di Cauchy per le derivate, che permette di calcolare le derivate di una funzione olomorfa attraverso integrali lungo curve chiuse. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx = Teorema integrale di Cauchy generalizzato = Il '''teorema integrale di Cauchy generalizzato''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso permette di calcolare gli integrali curvilinei di funzioni complesse olomorfe lungo curve chiuse, anche quando il dominio di definizione della funzione presenta delle regioni escluse o dei buchi. La sua importanza consiste nel fatto che consente di trasformare un problema di integrazione lungo una curva in un risultato matematico che dipende dalle proprietà analitiche della funzione e dalla struttura del dominio. In particolare, il teorema stabilisce che, sotto opportune condizioni, l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo. == 1. Significato intuitivo == Per comprendere il teorema è necessario considerare una funzione complessa: <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove: <math>z=x+iy</math> e dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> rappresentano rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione. Una funzione olomorfa è una funzione complessa derivabile in senso complesso in ogni punto del dominio considerato. Il teorema classico di Cauchy afferma che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In formula: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=0</math> Il teorema generalizzato permette di estendere questo ragionamento anche a domini non semplicemente connessi, cioè domini che presentano uno o più buchi. In questi casi è necessario considerare tutte le curve che delimitano il dominio, rispettando il loro orientamento. == 2. Enunciato del teorema == Sia <math>D</math> un dominio limitato del piano complesso, il cui bordo è costituito da una curva esterna <math>\gamma_0</math> e da un numero finito di curve interne: <math>\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n</math> Si supponga che la funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa in un aperto contenente la chiusura del dominio e che tutte le curve siano regolari a tratti. Il teorema integrale di Cauchy generalizzato afferma che: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz-\sum_{k=1}^{n}\oint_{\gamma_k}f(z)\,dz=0</math> dove tutte le curve sono considerate con orientamento antiorario. La formula può essere scritta anche nella forma: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz=\sum_{k=1}^{n}\oint_{\gamma_k}f(z)\,dz</math> Questa relazione significa che l'integrale lungo il bordo esterno è uguale alla somma degli integrali lungo i bordi interni, quando questi ultimi vengono percorsi matematicamente in senso antiorario. Se invece si considera il bordo completo del dominio con il suo orientamento positivo, la curva esterna viene percorsa in senso antiorario e le curve interne in senso orario. In questo caso si ottiene: <math>\oint_{\partial D}f(z)\,dz=0</math> Questa è la formulazione generalizzata del teorema integrale di Cauchy. == 3. Condizioni necessarie == Per applicare correttamente il teorema devono essere rispettate alcune condizioni: * La funzione deve essere olomorfa nel dominio considerato. * La funzione deve essere definita anche in un intorno delle curve di integrazione. * Le curve devono essere chiuse e regolari a tratti. * Il dominio può essere semplicemente connesso oppure presentare un numero finito di buchi. * Le curve interne ed esterne devono essere orientate correttamente. La condizione fondamentale è che la funzione non presenti singolarità all'interno del dominio considerato né sulle curve di integrazione. Se una funzione presenta una singolarità all'interno di un contorno, non è possibile applicare direttamente il teorema nella sua forma nulla a tutto il dominio. In questo caso occorre escludere la singolarità dal dominio oppure utilizzare altri risultati, come il teorema dei residui. == 4. Quali problemi è in grado di risolvere == Il teorema generalizzato di Cauchy permette di risolvere diverse tipologie di problemi matematici. === 4.1 Calcolo di integrali complessi lungo curve chiuse === Consente di stabilire immediatamente che un integrale è nullo quando la funzione è olomorfa in tutto il dominio racchiuso dalla curva. Per esempio: <math>\oint_{|z|=2}z^3\,dz</math> Poiché la funzione: <math>f(z)=z^3</math> è intera, cioè olomorfa in tutto il piano complesso, si ottiene: <math>{\oint_{|z|=2}z^3\,dz=0}</math> === 4.2 Calcolo di integrali in domini con buchi === Il teorema permette di studiare integrali in domini che presentano regioni escluse. Ad esempio, si consideri un dominio delimitato da una circonferenza esterna e da una circonferenza interna. Se la funzione è olomorfa nella regione compresa tra le due circonferenze, allora: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz-\oint_{\gamma_1}f(z)\,dz=0</math> Da cui: <math>{\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz=\oint_{\gamma_1}f(z)\,dz}</math> Questo risultato permette di sostituire una curva di integrazione con un'altra curva che circonda la stessa regione esclusa. === 4.3 Trasformazione di integrali difficili in integrali più semplici === Se due curve racchiudono la stessa singolarità e la funzione è olomorfa nella regione compresa tra esse, i rispettivi integrali sono uguali, purché entrambe siano orientate nello stesso verso. Questo permette di scegliere la curva più semplice da utilizzare per il calcolo. === 4.4 Studio delle singolarità === Il teorema permette di capire quando un integrale non può essere considerato nullo a causa della presenza di una singolarità. Quando la funzione non è olomorfa in un punto interno alla curva, è necessario studiare la natura della singolarità. Per questo scopo si utilizzano anche il teorema dei residui e le formule integrali di Cauchy. == 5. Differenza tra il teorema classico e quello generalizzato == Il teorema classico di Cauchy riguarda principalmente domini semplicemente connessi, nei quali ogni curva chiusa può essere deformata continuamente fino a un punto senza uscire dal dominio. La sua conclusione è: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=0</math> Il teorema generalizzato permette invece di considerare domini non semplicemente connessi, cioè domini che presentano uno o più buchi. In questo caso: <math>\oint_{\partial D}f(z)\,dz=0</math> dove il bordo comprende sia la curva esterna sia tutte le curve interne, orientate correttamente. La differenza fondamentale è quindi che il teorema generalizzato tiene conto della struttura geometrica del dominio e dei suoi bordi interni. == 6. Conclusione == Il teorema integrale di Cauchy generalizzato rappresenta uno strumento fondamentale dell'analisi complessa perché consente di studiare integrali curvilinei in domini che possono presentare uno o più buchi. Il suo principio fondamentale è che, se una funzione è olomorfa in un dominio, l'integrale lungo il bordo completo del dominio, orientato positivamente, è uguale a zero. La sua utilità consiste soprattutto nella possibilità di: * Dimostrare che determinati integrali complessi sono nulli. * Trasformare integrali lungo curve complesse in integrali lungo curve più semplici. * Studiare domini non semplicemente connessi. * Separare il contributo delle diverse regioni escluse. * Preparare il calcolo degli integrali mediante il teorema dei residui. Il teorema costituisce quindi uno strumento essenziale per lo studio delle funzioni olomorfe, delle singolarità e degli integrali complessi. == 7. Esempi di calcolo == ===7.1 Esempio completo=== Risolvere <math>I=\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz</math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrale lungo circonferenza la funzione 1/z dove R = |z| è la circonferena unitaria''' IA risponde: Si consideri la funzione: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> Si voglia calcolare l'integrale lungo una circonferenza di raggio <math>R</math> centrata nell'origine: <math>I=\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz</math> La funzione presenta una singolarità nell'origine, quindi non è olomorfa all'interno dell'intera circonferenza. Non si può pertanto applicare direttamente il teorema classico di Cauchy. Si procede escludendo l'origine dal dominio. Si considera una circonferenza interna di raggio <math>r</math>, con: <math> 0 < r < R </math> La regione compresa tra le due circonferenze è un dominio nel quale la funzione è olomorfa. Applicando il teorema generalizzato: <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz-\oint_{|z|=r}\frac{1}{z}\,dz=0</math> Pertanto: <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz=\oint_{|z|=r}\frac{1}{z}\,dz</math> L'integrale è quindi indipendente dal raggio della circonferenza. Per calcolarlo si sceglie la parametrizzazione: <math>z(t)=r e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando: <math>z'(t)=ir e^{it}</math> Quindi: <math>dz=ir e^{it}\,dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{1}{r e^{it}}ir e^{it}\,dt</math> Semplificando: <math>I=i\int_0^{2\pi}dt</math> Integrando: <math>I=i[t]_0^{2\pi}</math> Si ottiene: <math>{I=2\pi i}</math> Il risultato dimostra che l'integrale non è nullo perché la funzione presenta una singolarità nell'origine. === 7.2 Esempio con due singolarità === Risolvere <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz</math> dove <math>f(z)=\frac{1}{(z-a)(z-b)}</math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare la funzione f(z) = 1/ [ (z-a) (z-b) ]''' '''lungo una curva chiusa gamma''' IA risponde: Si consideri la funzione: <math>f(z)=\frac{1}{(z-a)(z-b)}</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono due punti distinti. Si supponga che entrambi i punti siano interni a una curva chiusa <math>\gamma</math> e che la funzione sia olomorfa nella regione esterna a due piccoli dischi che circondano separatamente le singolarità. Il teorema generalizzato permette di scrivere: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=\oint_{\gamma_a}f(z)\,dz+\oint_{\gamma_b}f(z)\,dz</math> dove le due curve interne sono orientate in senso antiorario. Per calcolare il primo integrale si può utilizzare la formula integrale di Cauchy: <math>\oint_{\gamma_a}\frac{1}{(z-a)(z-b)}\,dz=\frac{1}{a-b}\oint_{\gamma_a}\frac{1}{z-a}\,dz</math> Pertanto: <math>\oint_{\gamma_a}f(z)\,dz=\frac{2\pi i}{a-b}</math> Analogamente: <math>\oint_{\gamma_b}f(z)\,dz=\frac{2\pi i}{b-a}</math> Sommando: <math>I=\frac{2\pi i}{a-b}+\frac{2\pi i}{b-a}</math> Poiché: <math>\frac{1}{b-a}=-\frac{1}{a-b}</math> si ottiene: <math>{I=0}</math> Questo esempio dimostra che due singolarità possono produrre contributi integrali che si annullano reciprocamente. CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria: <math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. ==XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX== == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di 5 esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro C) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con \theta = 2: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> dznsz87pde17wcyihwhsbkzv5n3lagt 288340 288339 2026-11-12T07:11:58Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esempio completo di calcolo */ 288340 wikitext text/x-wiki == Applicazione del teorema dei residui == Sia data la funzione di variabile complessa: <math>f(z) = \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2}</math> Vogliamo determinare le singolarità della funzione, i relativi residui e applicare il teorema dei residui per calcolarne l'integrale lungo una linea chiusa <math>\gamma</math>. === Individuazione delle singolarità === I punti di singolarità di <math>f(z)</math> si ottengono annullando il denominatore: <math>(z - 1)(z - 2)^2 = 0</math> Troviamo due poli: * <math>z = 1</math> è un polo semplice (di ordine 1). * <math>z = 2</math> è un polo di ordine 2. === Calcolo dei residui === ==== Residuo nel polo <math>z = 1</math> ==== Essendo <math>z = 1</math> un polo semplice, il residuo si calcola come: <math>\text{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z - 1)f(z)</math> Sostituendo l'espressione di <math>f(z)</math>: <math>\text{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z - 1) \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2} = \lim_{z \to 1} \frac{z + 1}{(z - 2)^2}</math> Valutando il limite: <math>\text{Res}(f, 1) = \frac{1 + 1}{(1 - 2)^2} = \frac{2}{(-1)^2} = 2</math> ==== Residuo nel polo <math>z = 2</math> ==== Essendo <math>z = 2</math> un polo di ordine <math>m = 2</math>, il residuo si calcola con la formula per i poli di ordine superiore: <math>\text{Res}(f, 2) = \frac{1}{(2-1)!} \lim_{z \to 2} \frac{d}{dz} \left[ (z - 2)^2 f(z) \right]</math> Semplificando l'espressione all'interno del limite: <math>(z - 2)^2 f(z) = (z - 2)^2 \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2} = \frac{z + 1}{z - 1}</math> Calcoliamo la derivata prima rispetto a <math>z</math> usando la regola del quoziente: <math>\frac{d}{dz} \left[ \frac{z + 1}{z - 1} \right] = \frac{1 \cdot (z - 1) - (z + 1) \cdot 1}{(z - 1)^2} = \frac{z - 1 - z - 1}{(z - 1)^2} = \frac{-2}{(z - 1)^2}</math> Passiamo ora al limite per <math>z \to 2</math>: <math>\text{Res}(f, 2) = \lim_{z \to 2} \frac{-2}{(z - 1)^2} = \frac{-2}{(2 - 1)^2} = \frac{-2}{1^2} = -2</math> === Applicazione del teorema dei residui === Il teorema dei residui afferma che, data una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> orientata in senso antiorario che circonda un insieme di singolarità, l'integrale di linea di <math>f(z)</math> lungo <math>\gamma</math> è dato da: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k} \text{Res}(f, z_k)</math> A seconda di quale dominio racchiuda la curva <math>\gamma</math>, si possono presentare tre casi principali: 1. Se <math>\gamma</math> racchiude **solo il polo <math>z = 1</math>**: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, 1) = 2\pi i \cdot 2 = 4\pi i</math> 2. Se <math>\gamma</math> racchiude **solo il polo <math>z = 2</math>**: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, 2) = 2\pi i \cdot (-2) = -4\pi i</math> 3. Se <math>\gamma</math> racchiude **entrambi i poli**: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \left[ \text{Res}(f, 1) + \text{Res}(f, 2) \right] = 2\pi i \left[ 2 + (-2) \right] = 0</math> ttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt == Definizione intuitiva == In analisi complessa, il '''residuo''' di una funzione analitica (o olomorfa) in un punto singolare isolato <math>z_0</math> è un numero complesso che misura il comportamento "anomalo" della funzione attorno a quel punto. Mentre l'integrale di una funzione analitica lungo un percorso chiuso è sempre zero (per il [[teorema integrale di Cauchy]]), la presenza di una singolarità all'interno del percorso impedisce all'integrale di annullarsi. Il residuo cattura esattamente l'unico termine della funzione che sopravvive all'integrazione lungo una curva chiusa attorno a <math>z_0</math>, permettendo di trasformare complicati calcoli integrali in semplici operazioni algebriche tramite il [[teorema dei residui]]. == A cosa servono i residui (Utilità pratica) == Il calcolo dei residui non è un mero esercizio astratto di analisi complessa, ma uno strumento di importanza capitale in matematica e fisica per diversi motivi: 1. **Risoluzione di integrali definiti complessi:** Molti integrali definiti reali (spesso trigonometrici o impropri da meno infinito a più infinito) che appaiono impossibili da risolvere con i normali metodi di integrazione di analisi uno o due, possono essere risolti in modo incredibilmente rapido ed elegante applicando il [[teorema dei residui]] nel piano complesso. 2. **Studio dei sistemi dinamici e della stabilità:** Nell'ingegneria e nella teoria dei controlli automatici, la posizione dei poli e il calcolo dei residui legati alla trasformata di Laplace inversa permettono di studiare la risposta temporale dei sistemi dinamici e di stabilirne la stabilità. 3. **Elaborazione dei segnali:** Nella teoria dei segnali, l'analisi complessa e i residui sono impiegati per analizzare la risposta in frequenza dei filtri digitali e analogici attraverso la trasformata Zeta e la trasformata di Laplace. 4. **Fisica teorica e meccanica quantistica:** Vengono ampiamente utilizzati nella teoria quantistica dei campi e nella meccanica statistica per valutare integrali complessi di Feynman e funzioni di propagazione. == Definizione formale (Serie di Laurent) == Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un disco forato <math>0 < |z - z_0| < R</math>. In questa regione, la funzione può essere sviluppata in [[serie di Laurent]] centrata in <math>z_0</math>: <math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (z - z_0)^n = \dots + \frac{a_{-2}}{(z - z_0)^2} + \frac{a_{-1}}{z - z_0} + a_0 + a_1(z - z_0) + a_2(z - z_0)^2 + \dots</math> Il '''residuo''' di <math>f</math> in <math>z_0</math>, indicato con <math>\operatorname{Res}(f, z_0)</math>, è definito come il coefficiente <math>a_{-1}</math> del termine <math>(z - z_0)^{-1}</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = a_{-1}</math> Dal punto di vista integrale, questo valore equivale a: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} f(z) \, dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice percorsa in senso antiorario che racchiude <math>z_0</math> e nessuna altra singolarità. == Perché conta solo il coefficiente <math>a_{-1}</math>? == Integrando termine a termine la serie di Laurent lungo una circonferenza <math>\gamma</math> di raggio <math>r</math> centrata in <math>z_0</math> (parametrizzata come <math>z(t) = z_0 + r e^{it}</math> con <math>t \in [0, 2\pi]</math>), si osserva che: * Per ogni <math>n \neq -1</math>, la funzione <math>(z - z_0)^n</math> ammette una primitiva univoca nel dominio forato, pari a <math>\frac{(z - z_0)^{n+1}}{n+1}</math>. Poiché la curva <math>\gamma</math> è chiusa, l'integrale di tutti questi termini è nullo: :<math>\oint_{\gamma} (z - z_0)^n \, dz = 0 \quad (\text{per } n \neq -1)</math> * Per <math>n = -1</math>, la primitiva sarebbe il logaritmo complesso, che è una funzione polidroma. Svolgendo il calcolo diretto con <math>dz = i r e^{it} \, dt</math> si ottiene: :<math>\oint_{\gamma} \frac{1}{z - z_0} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{i r e^{it}}{r e^{it}} \, dt = \int_{0}^{2\pi} i \, dt = 2\pi i</math> Moltiplicando questo risultato per il coefficiente <math>a_{-1}</math>, l'intero integrale della serie si riduce a <math>2\pi i \cdot a_{-1}</math>. == Percorso di calcolo dei residui == A seconda del tipo di singolarità isolata in <math>z_0</math>, si seguono diverse procedure per calcolare <math>\operatorname{Res}(f, z_0)</math>. === 1. Singolarità eliminabile === Se <math>\lim_{z \to z_0} f(z)</math> esiste ed è finito, la parte singolare della serie di Laurent è assente (<math>a_n = 0</math> per ogni <math>n < 0</math>). Pertanto: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = 0</math> === 2. Polo semplice (ordine <math>m = 1</math>) === Se <math>z_0</math> è un [[polo (analisi complessa)|polo]] di ordine 1, la serie inizia dal termine <math>n = -1</math>. Moltiplicando <math>f(z)</math> per <math>(z - z_0)</math> si isola il coefficiente <math>a_{-1}</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)</math> '''Caso particolare (rapporto di due funzioni):''' Se <math>f(z) = \frac{g(z)}{h(z)}</math>, dove <math>g</math> e <math>h</math> sono olomorfe in <math>z_0</math> con <math>g(z_0) \neq 0</math>, <math>h(z_0) = 0</math> e <math>h'(z_0) \neq 0</math>, si applica la regola di de l'Hôpital: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{g(z_0)}{h'(z_0)}</math> === 3. Polo di ordine <math>m > 1</math> === Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, la serie di Laurent ha la forma: <math>f(z) = \frac{a_{-m}}{(z - z_0)^m} + \dots + \frac{a_{-1}}{z - z_0} + a_0 + \dots</math> Per estrarre <math>a_{-1}</math> si segue questo percorso algebrico: # Si moltiplica la funzione per <math>(z - z_0)^m</math> per eliminare il denominatore: #:<math>(z - z_0)^m f(z) = a_{-m} + a_{-m+1}(z - z_0) + \dots + a_{-1}(z - z_0)^{m-1} + a_0(z - z_0)^m + \dots</math> # Si deriva l'espressione <math>m - 1</math> volte rispetto a <math>z</math> per annullare i termini precedenti ad <math>a_{-1}</math> e portare quest'ultimo a grado zero, moltiplicato per <math>(m - 1)!</math>: #:<math>\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - z_0)^m f(z) \right] = (m - 1)! \, a_{-1} + m! \, a_0 (z - z_0) + \dots</math> # Si passa al limite per <math>z \to z_0</math> e si divide per <math>(m - 1)!</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(m - 1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - z_0)^m f(z) \right]</math> === 4. Singolarità essenziale === Se <math>z_0</math> è una [[singolarità essenziale]], la serie di Laurent ha infiniti termini con esponente negativo e non esistono formule con limiti o derivate. L'unico percorso è determinare esplicitamente lo sviluppo in serie (ad esempio tramite noti [[sviluppo in serie di Taylor|sviluppi di Taylor]] o sostituendo variabili) e leggere direttamente il coefficiente <math>a_{-1}</math>. '''Esempio:''' Per <math>f(z) = e^{1/z}</math> in <math>z_0 = 0</math>, sostituendo <math>w = 1/z</math> nello sviluppo dell'esponenziale si ottiene: <math>e^{1/z} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n! \, z^n} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2! \, z^2} + \frac{1}{3! \, z^3} + \dots</math> Il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math> è <math>1</math>, quindi <math>\operatorname{Res}(e^{1/z}, 0) = 1</math>. === 5. Residuo all'infinito === Per studiare il comportamento di <math>f(z)</math> per <math>|z| \to \infty</math>, si effettua il cambio di variabile <math>z = \frac{1}{w}</math>, considerando l'orientamento opposto della curva attorno all'infinito (da cui il segno meno): <math>\operatorname{Res}(f, \infty) = -\operatorname{Res}\left( \frac{1}{w^2} f\left(\frac{1}{w}\right), 0 \right)</math>   == Applicazione del teorema dei residui == Sia data la funzione di variabile complessa: <math>f(z) = \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2}</math> Vogliamo determinare le singolarità della funzione, i relativi residui e applicare il teorema dei residui per calcolarne l'integrale lungo una linea chiusa <math>\gamma</math>. === Individuazione delle singolarità === I punti di singolarità di <math>f(z)</math> si ottengono annullando il denominatore: <math>(z - 1)(z - 2)^2 = 0</math> Troviamo due poli: * <math>z = 1</math> è un polo semplice (di ordine 1). * <math>z = 2</math> è un polo di ordine 2. === Calcolo dei residui === ==== Residuo nel polo <math>z = 1</math> ==== Essendo <math>z = 1</math> un polo semplice, il residuo si calcola come: <math>\text{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z - 1)f(z)</math> Sostituendo l'espressione di <math>f(z)</math>: <math>\text{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z - 1) \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2} = \lim_{z \to 1} \frac{z + 1}{(z - 2)^2}</math> Valutando il limite: <math>\text{Res}(f, 1) = \frac{1 + 1}{(1 - 2)^2} = \frac{2}{(-1)^2} = 2</math> ==== Residuo nel polo <math>z = 2</math> ==== Essendo <math>z = 2</math> un polo di ordine <math>m = 2</math>, il residuo si calcola con la formula per i poli di ordine superiore: <math>\text{Res}(f, 2) = \frac{1}{(2-1)!} \lim_{z \to 2} \frac{d}{dz} \left[ (z - 2)^2 f(z) \right]</math> Semplificando l'espressione all'interno del limite: <math>(z - 2)^2 f(z) = (z - 2)^2 \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2} = \frac{z + 1}{z - 1}</math> Calcoliamo la derivata prima rispetto a <math>z</math> usando la regola del quoziente: <math>\frac{d}{dz} \left[ \frac{z + 1}{z - 1} \right] = \frac{1 \cdot (z - 1) - (z + 1) \cdot 1}{(z - 1)^2} = \frac{z - 1 - z - 1}{(z - 1)^2} = \frac{-2}{(z - 1)^2}</math> Passiamo ora al limite per <math>z \to 2</math>: <math>\text{Res}(f, 2) = \lim_{z \to 2} \frac{-2}{(z - 1)^2} = \frac{-2}{(2 - 1)^2} = \frac{-2}{1^2} = -2</math> === Applicazione del teorema dei residui === Il teorema dei residui afferma che, data una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> orientata in senso antiorario che circonda un insieme di singolarità, l'integrale di linea di <math>f(z)</math> lungo <math>\gamma</math> è dato da: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k} \text{Res}(f, z_k)</math> A seconda di quale dominio racchiuda la curva <math>\gamma</math>, si possono presentare tre casi principali: 1. Se <math>\gamma</math> racchiude **solo il polo <math>z = 1</math>**: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, 1) = 2\pi i \cdot 2 = 4\pi i</math> 2. Se <math>\gamma</math> racchiude **solo il polo <math>z = 2</math>**: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, 2) = 2\pi i \cdot (-2) = -4\pi i</math> 3. Se <math>\gamma</math> racchiude **entrambi i poli**: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \left[ \text{Res}(f, 1) + \text{Res}(f, 2) \right] = 2\pi i \left[ 2 + (-2) \right] = 0</math> ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc   gggggggggggggggggggggggggggggggvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn '''4.4 Testo del 4° esercizio''' Sia da calcolare l'integrale di linea nel piano complesso: :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz</math> Calcolare il seguente integrale complesso: con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo la linea la funzione ( z^4 ) / ( z + 2 ) dove = |z| = 4''' IA risponde: === Enunciato della Formula Integrale di Cauchy === Se <math>f(z)</math> è una funzione olomorfa all'interno e sul bordo di una curva semplice e chiusa <math>C</math> orientata positivamente, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora vale la relazione: :<math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> === Svolgimento e analisi dei parametri === 1. '''Identificazione del dominio e del cammino di integrazione:''' La curva di integrazione è la circonferenza <math>C</math> definita da <math>|z| = 4</math>, centrata nell'origine con raggio <math>R = 4</math>. 2. '''Scelta della funzione olomorfa:''' Poniamo <math>f(z) = z^4</math>. La funzione è un polinomio ed è pertanto intera (olomorfa su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>). 3. '''Individuazione della singolarità:''' Riscrivendo il denominatore nella forma <math>z - z_0</math>, si ottiene: :<math>z + 2 = z - (-2)</math> Quindi la singolarità si trova nel punto <math>z_0 = -2</math>. 4. '''Verifica della posizione del punto:''' Calcoliamo il modulo di <math>z_0</math>: :<math>|z_0| = |-2| = 2 < 4</math> Poiché il modulo è minore del raggio del cammino d'integrazione, il punto <math>z_0 = -2</math> appartiene al dominio interno racchiuso dalla curva <math>|z| = 4</math>. === Calcolo finale === Applichiamo la Formula Integrale di Cauchy: 1. Valutiamo <math>f(z)</math> nel punto <math>z_0 = -2</math>: :<math>f(-2) = (-2)^4 = 16</math> 2. Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: :<math>\oint_{|z|=4} \frac{z^4}{z - (-2)} \, dz = 2\pi i \cdot f(-2) = 2\pi i \cdot 16 = 32\pi i</math> === Risultato === :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz = 32\pi i</math> kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk = Rappresentazione integrale di Cauchy = La '''rappresentazione integrale di Cauchy''' è un importante teorema dell'analisi complessa. Esso permette di determinare il valore di una funzione olomorfa in un punto interno a una curva chiusa, conoscendo i valori della funzione lungo la curva stessa. == 1. Enunciato del teorema == Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e tutto il suo interno. Sia inoltre <math>z_0</math> un punto interno alla curva. La formula integrale di Cauchy afferma che: <math> f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz </math> In modo equivalente, si può scrivere: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> La curva <math>\gamma</math> deve essere orientata positivamente, cioè percorsa in senso antiorario. Il significato del teorema è che il valore della funzione in un punto interno alla curva può essere calcolato mediante un integrale di linea lungo il bordo della regione considerata. == 2. Significato dei simboli == * <math>f(z)</math>: funzione complessa olomorfa. * <math>z</math>: variabile complessa. * <math>z_0</math>: punto interno alla curva. * <math>\gamma</math>: curva chiusa semplice. * <math>i</math>: unità immaginaria, con <math>i^2=-1</math>. * <math>\oint_\gamma</math>: integrale curvilineo lungo una curva chiusa. == 3. Condizioni per applicare il teorema == Per applicare la rappresentazione integrale di Cauchy devono essere rispettate le seguenti condizioni: # La funzione <math>f(z)</math> deve essere olomorfa all'interno della curva e sul suo bordo. # La curva <math>\gamma</math> deve essere chiusa e semplice. # Il punto <math>z_0</math> deve essere interno alla curva. # La curva deve essere orientata positivamente, cioè in senso antiorario. Se tutte queste condizioni sono soddisfatte, è possibile applicare direttamente la formula integrale di Cauchy. == 4. Esercizi svolti == Schema riassuntivo per la risoluzione degli esercizi: Per risolvere un integrale mediante la rappresentazione integrale di Cauchy è utile seguire sempre questi passaggi: # Individuare la funzione <math>f(z)</math> presente al numeratore dell'integrale. # Individuare il punto <math>z_0</math> annullando il denominatore <math>z-z_0</math>. # Verificare che la funzione sia olomorfa all'interno e sul bordo della curva. # Verificare che il punto <math>z_0</math> sia interno alla curva. # Applicare la formula integrale di Cauchy: '''4.1 Testo del 1° esercizio''' Calcolare il seguente integrale complesso: <math> I=\oint_{|z|=2}\frac{z^2+1}{z-1}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione ( z^2 + 1 ) / ( z -1 ) dove R = |2| è la circonferena unitaria''' IA risponde: La curva è una circonferenza con centro nell'origine e raggio uguale a <math>2</math>, percorsa in senso antiorario. *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontiamo l'integrale assegnato con la formula generale di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Dal confronto ricaviamo: <math> f(z)=z^2+1 </math> e: <math> z_0=1 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Dobbiamo verificare che il punto <math>z_0=1</math> sia interno alla circonferenza di raggio <math>2</math>. Calcoliamo il modulo: <math> |z_0|=|1|=1 </math> Poiché: <math> 1<2 </math> il punto <math>z_0=1</math> è interno alla circonferenza. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni per applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula === Utilizziamo la formula integrale: <math> I=2\pi i f(z_0) </math> Sostituiamo il valore del punto: <math> I=2\pi i f(1) </math> Calcoliamo il valore della funzione nel punto <math>z=1</math>: <math> f(1)=1^2+1 </math> <math> f(1)=1+1=2 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: <math> I=2\pi i\cdot 2 </math> Quindi: <math> {I=4\pi i} </math> Risultato finale: <math> {I=4\pi i} </math> ''' 4.2 Secondo esercizio ''' Calcolare il seguente integrale: <math> I=\oint_{|z|=3}\frac{e^z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione e^z / (z - 2) dove R = |3| è la circonferena unitaria''' IA risponde: *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontando l'integrale con la formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> individuiamo: <math> f(z)=e^z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione esponenziale complessa <math>e^z</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>3</math>. Verifichiamo che il punto <math>z_0=2</math> sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<3 </math> il punto è interno alla curva. Possiamo quindi applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula Scriviamo: <math> I=2\pi i f(2) </math> Poiché: <math> f(z)=e^z </math> si ha: <math> f(2)=e^2 </math> *Passaggio 4: risultato finale Sostituendo nella formula: <math> I=2\pi i e^2 </math> Pertanto: <math> {I=2\pi i e^2} </math> ''' 4.3 Terzo esercizio ''' Calcolare: <math> I=\oint_{|z|=4}\frac{z^3+2z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione (z^3 + 2z) / (z - 2) dove |z| = 4 è la circonferena unitaria''' *Passaggio 1: individuazione della funzione Dal confronto con la formula di Cauchy ricaviamo: <math> f(z)=z^3+2z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione è un polinomio, quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>4</math>. Verifichiamo che il punto sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<4 </math> il punto è interno alla circonferenza. *Passaggio 3: applicazione della formula Applichiamo la rappresentazione integrale di Cauchy: <math> I=2\pi i f(2) </math> Calcoliamo il valore della funzione: <math> f(2)=2^3+2\cdot 2 </math> <math> f(2)=8+4 </math> <math> f(2)=12 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore nella formula: <math> I=2\pi i\cdot 12 </math> Otteniamo: <math> {I=24\pi i} </math> *Risultato finale: <math> {I=24\pi i} </math> <math> I=2\pi i f(z_0) </math> # Calcolare il valore della funzione nel punto individuato. # Moltiplicare il risultato per <math>2\pi i</math>. == 5. Osservazione importante == La rappresentazione integrale di Cauchy può essere applicata soltanto quando il punto <math>z_0</math> si trova all'interno della curva e la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa nella regione considerata. Se il punto è esterno alla curva, non è possibile applicare direttamente la formula nella forma indicata. La formula integrale di Cauchy costituisce inoltre la base per la formula integrale di Cauchy per le derivate, che permette di calcolare le derivate di una funzione olomorfa attraverso integrali lungo curve chiuse. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx = Teorema integrale di Cauchy generalizzato = Il '''teorema integrale di Cauchy generalizzato''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso permette di calcolare gli integrali curvilinei di funzioni complesse olomorfe lungo curve chiuse, anche quando il dominio di definizione della funzione presenta delle regioni escluse o dei buchi. La sua importanza consiste nel fatto che consente di trasformare un problema di integrazione lungo una curva in un risultato matematico che dipende dalle proprietà analitiche della funzione e dalla struttura del dominio. In particolare, il teorema stabilisce che, sotto opportune condizioni, l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo. == 1. Significato intuitivo == Per comprendere il teorema è necessario considerare una funzione complessa: <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove: <math>z=x+iy</math> e dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> rappresentano rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione. Una funzione olomorfa è una funzione complessa derivabile in senso complesso in ogni punto del dominio considerato. Il teorema classico di Cauchy afferma che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In formula: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=0</math> Il teorema generalizzato permette di estendere questo ragionamento anche a domini non semplicemente connessi, cioè domini che presentano uno o più buchi. In questi casi è necessario considerare tutte le curve che delimitano il dominio, rispettando il loro orientamento. == 2. Enunciato del teorema == Sia <math>D</math> un dominio limitato del piano complesso, il cui bordo è costituito da una curva esterna <math>\gamma_0</math> e da un numero finito di curve interne: <math>\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n</math> Si supponga che la funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa in un aperto contenente la chiusura del dominio e che tutte le curve siano regolari a tratti. Il teorema integrale di Cauchy generalizzato afferma che: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz-\sum_{k=1}^{n}\oint_{\gamma_k}f(z)\,dz=0</math> dove tutte le curve sono considerate con orientamento antiorario. La formula può essere scritta anche nella forma: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz=\sum_{k=1}^{n}\oint_{\gamma_k}f(z)\,dz</math> Questa relazione significa che l'integrale lungo il bordo esterno è uguale alla somma degli integrali lungo i bordi interni, quando questi ultimi vengono percorsi matematicamente in senso antiorario. Se invece si considera il bordo completo del dominio con il suo orientamento positivo, la curva esterna viene percorsa in senso antiorario e le curve interne in senso orario. In questo caso si ottiene: <math>\oint_{\partial D}f(z)\,dz=0</math> Questa è la formulazione generalizzata del teorema integrale di Cauchy. == 3. Condizioni necessarie == Per applicare correttamente il teorema devono essere rispettate alcune condizioni: * La funzione deve essere olomorfa nel dominio considerato. * La funzione deve essere definita anche in un intorno delle curve di integrazione. * Le curve devono essere chiuse e regolari a tratti. * Il dominio può essere semplicemente connesso oppure presentare un numero finito di buchi. * Le curve interne ed esterne devono essere orientate correttamente. La condizione fondamentale è che la funzione non presenti singolarità all'interno del dominio considerato né sulle curve di integrazione. Se una funzione presenta una singolarità all'interno di un contorno, non è possibile applicare direttamente il teorema nella sua forma nulla a tutto il dominio. In questo caso occorre escludere la singolarità dal dominio oppure utilizzare altri risultati, come il teorema dei residui. == 4. Quali problemi è in grado di risolvere == Il teorema generalizzato di Cauchy permette di risolvere diverse tipologie di problemi matematici. === 4.1 Calcolo di integrali complessi lungo curve chiuse === Consente di stabilire immediatamente che un integrale è nullo quando la funzione è olomorfa in tutto il dominio racchiuso dalla curva. Per esempio: <math>\oint_{|z|=2}z^3\,dz</math> Poiché la funzione: <math>f(z)=z^3</math> è intera, cioè olomorfa in tutto il piano complesso, si ottiene: <math>{\oint_{|z|=2}z^3\,dz=0}</math> === 4.2 Calcolo di integrali in domini con buchi === Il teorema permette di studiare integrali in domini che presentano regioni escluse. Ad esempio, si consideri un dominio delimitato da una circonferenza esterna e da una circonferenza interna. Se la funzione è olomorfa nella regione compresa tra le due circonferenze, allora: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz-\oint_{\gamma_1}f(z)\,dz=0</math> Da cui: <math>{\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz=\oint_{\gamma_1}f(z)\,dz}</math> Questo risultato permette di sostituire una curva di integrazione con un'altra curva che circonda la stessa regione esclusa. === 4.3 Trasformazione di integrali difficili in integrali più semplici === Se due curve racchiudono la stessa singolarità e la funzione è olomorfa nella regione compresa tra esse, i rispettivi integrali sono uguali, purché entrambe siano orientate nello stesso verso. Questo permette di scegliere la curva più semplice da utilizzare per il calcolo. === 4.4 Studio delle singolarità === Il teorema permette di capire quando un integrale non può essere considerato nullo a causa della presenza di una singolarità. Quando la funzione non è olomorfa in un punto interno alla curva, è necessario studiare la natura della singolarità. Per questo scopo si utilizzano anche il teorema dei residui e le formule integrali di Cauchy. == 5. Differenza tra il teorema classico e quello generalizzato == Il teorema classico di Cauchy riguarda principalmente domini semplicemente connessi, nei quali ogni curva chiusa può essere deformata continuamente fino a un punto senza uscire dal dominio. La sua conclusione è: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=0</math> Il teorema generalizzato permette invece di considerare domini non semplicemente connessi, cioè domini che presentano uno o più buchi. In questo caso: <math>\oint_{\partial D}f(z)\,dz=0</math> dove il bordo comprende sia la curva esterna sia tutte le curve interne, orientate correttamente. La differenza fondamentale è quindi che il teorema generalizzato tiene conto della struttura geometrica del dominio e dei suoi bordi interni. == 6. Conclusione == Il teorema integrale di Cauchy generalizzato rappresenta uno strumento fondamentale dell'analisi complessa perché consente di studiare integrali curvilinei in domini che possono presentare uno o più buchi. Il suo principio fondamentale è che, se una funzione è olomorfa in un dominio, l'integrale lungo il bordo completo del dominio, orientato positivamente, è uguale a zero. La sua utilità consiste soprattutto nella possibilità di: * Dimostrare che determinati integrali complessi sono nulli. * Trasformare integrali lungo curve complesse in integrali lungo curve più semplici. * Studiare domini non semplicemente connessi. * Separare il contributo delle diverse regioni escluse. * Preparare il calcolo degli integrali mediante il teorema dei residui. Il teorema costituisce quindi uno strumento essenziale per lo studio delle funzioni olomorfe, delle singolarità e degli integrali complessi. == 7. Esempi di calcolo == ===7.1 Esempio completo=== Risolvere <math>I=\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz</math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrale lungo circonferenza la funzione 1/z dove R = |z| è la circonferena unitaria''' IA risponde: Si consideri la funzione: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> Si voglia calcolare l'integrale lungo una circonferenza di raggio <math>R</math> centrata nell'origine: <math>I=\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz</math> La funzione presenta una singolarità nell'origine, quindi non è olomorfa all'interno dell'intera circonferenza. Non si può pertanto applicare direttamente il teorema classico di Cauchy. Si procede escludendo l'origine dal dominio. Si considera una circonferenza interna di raggio <math>r</math>, con: <math> 0 < r < R </math> La regione compresa tra le due circonferenze è un dominio nel quale la funzione è olomorfa. Applicando il teorema generalizzato: <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz-\oint_{|z|=r}\frac{1}{z}\,dz=0</math> Pertanto: <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz=\oint_{|z|=r}\frac{1}{z}\,dz</math> L'integrale è quindi indipendente dal raggio della circonferenza. Per calcolarlo si sceglie la parametrizzazione: <math>z(t)=r e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando: <math>z'(t)=ir e^{it}</math> Quindi: <math>dz=ir e^{it}\,dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{1}{r e^{it}}ir e^{it}\,dt</math> Semplificando: <math>I=i\int_0^{2\pi}dt</math> Integrando: <math>I=i[t]_0^{2\pi}</math> Si ottiene: <math>{I=2\pi i}</math> Il risultato dimostra che l'integrale non è nullo perché la funzione presenta una singolarità nell'origine. === 7.2 Esempio con due singolarità === Risolvere <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz</math> dove <math>f(z)=\frac{1}{(z-a)(z-b)}</math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare la funzione f(z) = 1/ [ (z-a) (z-b) ]''' '''lungo una curva chiusa gamma''' IA risponde: Si consideri la funzione: <math>f(z)=\frac{1}{(z-a)(z-b)}</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono due punti distinti. Si supponga che entrambi i punti siano interni a una curva chiusa <math>\gamma</math> e che la funzione sia olomorfa nella regione esterna a due piccoli dischi che circondano separatamente le singolarità. Il teorema generalizzato permette di scrivere: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=\oint_{\gamma_a}f(z)\,dz+\oint_{\gamma_b}f(z)\,dz</math> dove le due curve interne sono orientate in senso antiorario. Per calcolare il primo integrale si può utilizzare la formula integrale di Cauchy: <math>\oint_{\gamma_a}\frac{1}{(z-a)(z-b)}\,dz=\frac{1}{a-b}\oint_{\gamma_a}\frac{1}{z-a}\,dz</math> Pertanto: <math>\oint_{\gamma_a}f(z)\,dz=\frac{2\pi i}{a-b}</math> Analogamente: <math>\oint_{\gamma_b}f(z)\,dz=\frac{2\pi i}{b-a}</math> Sommando: <math>I=\frac{2\pi i}{a-b}+\frac{2\pi i}{b-a}</math> Poiché: <math>\frac{1}{b-a}=-\frac{1}{a-b}</math> si ottiene: <math>{I=0}</math> Questo esempio dimostra che due singolarità possono produrre contributi integrali che si annullano reciprocamente. CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria: <math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. ==XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX== == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di 5 esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro C) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con \theta = 2: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> ah9voqoqyhqlmvr4r2rf2vx2ybix7zf 288341 288340 2026-11-12T07:15:36Z Funzioni di correlazione 24136 288341 wikitext text/x-wiki == Definizione intuitiva == In analisi complessa, il '''residuo''' di una funzione analitica (o olomorfa) in un punto singolare isolato <math>z_0</math> è un numero complesso che misura il comportamento "anomalo" della funzione attorno a quel punto. Mentre l'integrale di una funzione analitica lungo un percorso chiuso è sempre zero (per il [[teorema integrale di Cauchy]]), la presenza di una singolarità all'interno del percorso impedisce all'integrale di annullarsi. Il residuo cattura esattamente l'unico termine della funzione che sopravvive all'integrazione lungo una curva chiusa attorno a <math>z_0</math>, permettendo di trasformare complicati calcoli integrali in semplici operazioni algebriche tramite il [[teorema dei residui]]. == A cosa servono i residui (Utilità pratica) == Il calcolo dei residui non è un mero esercizio astratto di analisi complessa, ma uno strumento di importanza capitale in matematica e fisica per diversi motivi: 1. **Risoluzione di integrali definiti complessi:** Molti integrali definiti reali (spesso trigonometrici o impropri da meno infinito a più infinito) che appaiono impossibili da risolvere con i normali metodi di integrazione di analisi uno o due, possono essere risolti in modo incredibilmente rapido ed elegante applicando il [[teorema dei residui]] nel piano complesso. 2. **Studio dei sistemi dinamici e della stabilità:** Nell'ingegneria e nella teoria dei controlli automatici, la posizione dei poli e il calcolo dei residui legati alla trasformata di Laplace inversa permettono di studiare la risposta temporale dei sistemi dinamici e di stabilirne la stabilità. 3. **Elaborazione dei segnali:** Nella teoria dei segnali, l'analisi complessa e i residui sono impiegati per analizzare la risposta in frequenza dei filtri digitali e analogici attraverso la trasformata Zeta e la trasformata di Laplace. 4. **Fisica teorica e meccanica quantistica:** Vengono ampiamente utilizzati nella teoria quantistica dei campi e nella meccanica statistica per valutare integrali complessi di Feynman e funzioni di propagazione. == Definizione formale (Serie di Laurent) == Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un disco forato <math>0 < |z - z_0| < R</math>. In questa regione, la funzione può essere sviluppata in [[serie di Laurent]] centrata in <math>z_0</math>: <math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (z - z_0)^n = \dots + \frac{a_{-2}}{(z - z_0)^2} + \frac{a_{-1}}{z - z_0} + a_0 + a_1(z - z_0) + a_2(z - z_0)^2 + \dots</math> Il '''residuo''' di <math>f</math> in <math>z_0</math>, indicato con <math>\operatorname{Res}(f, z_0)</math>, è definito come il coefficiente <math>a_{-1}</math> del termine <math>(z - z_0)^{-1}</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = a_{-1}</math> Dal punto di vista integrale, questo valore equivale a: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} f(z) \, dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice percorsa in senso antiorario che racchiude <math>z_0</math> e nessuna altra singolarità. == Perché conta solo il coefficiente <math>a_{-1}</math>? == Integrando termine a termine la serie di Laurent lungo una circonferenza <math>\gamma</math> di raggio <math>r</math> centrata in <math>z_0</math> (parametrizzata come <math>z(t) = z_0 + r e^{it}</math> con <math>t \in [0, 2\pi]</math>), si osserva che: * Per ogni <math>n \neq -1</math>, la funzione <math>(z - z_0)^n</math> ammette una primitiva univoca nel dominio forato, pari a <math>\frac{(z - z_0)^{n+1}}{n+1}</math>. Poiché la curva <math>\gamma</math> è chiusa, l'integrale di tutti questi termini è nullo: :<math>\oint_{\gamma} (z - z_0)^n \, dz = 0 \quad (\text{per } n \neq -1)</math> * Per <math>n = -1</math>, la primitiva sarebbe il logaritmo complesso, che è una funzione polidroma. Svolgendo il calcolo diretto con <math>dz = i r e^{it} \, dt</math> si ottiene: :<math>\oint_{\gamma} \frac{1}{z - z_0} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{i r e^{it}}{r e^{it}} \, dt = \int_{0}^{2\pi} i \, dt = 2\pi i</math> Moltiplicando questo risultato per il coefficiente <math>a_{-1}</math>, l'intero integrale della serie si riduce a <math>2\pi i \cdot a_{-1}</math>. == Percorso di calcolo dei residui == A seconda del tipo di singolarità isolata in <math>z_0</math>, si seguono diverse procedure per calcolare <math>\operatorname{Res}(f, z_0)</math>. === 1. Singolarità eliminabile === Se <math>\lim_{z \to z_0} f(z)</math> esiste ed è finito, la parte singolare della serie di Laurent è assente (<math>a_n = 0</math> per ogni <math>n < 0</math>). Pertanto: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = 0</math> === 2. Polo semplice (ordine <math>m = 1</math>) === Se <math>z_0</math> è un [[polo (analisi complessa)|polo]] di ordine 1, la serie inizia dal termine <math>n = -1</math>. Moltiplicando <math>f(z)</math> per <math>(z - z_0)</math> si isola il coefficiente <math>a_{-1}</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)</math> '''Caso particolare (rapporto di due funzioni):''' Se <math>f(z) = \frac{g(z)}{h(z)}</math>, dove <math>g</math> e <math>h</math> sono olomorfe in <math>z_0</math> con <math>g(z_0) \neq 0</math>, <math>h(z_0) = 0</math> e <math>h'(z_0) \neq 0</math>, si applica la regola di de l'Hôpital: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{g(z_0)}{h'(z_0)}</math> === 3. Polo di ordine <math>m > 1</math> === Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, la serie di Laurent ha la forma: <math>f(z) = \frac{a_{-m}}{(z - z_0)^m} + \dots + \frac{a_{-1}}{z - z_0} + a_0 + \dots</math> Per estrarre <math>a_{-1}</math> si segue questo percorso algebrico: # Si moltiplica la funzione per <math>(z - z_0)^m</math> per eliminare il denominatore: #:<math>(z - z_0)^m f(z) = a_{-m} + a_{-m+1}(z - z_0) + \dots + a_{-1}(z - z_0)^{m-1} + a_0(z - z_0)^m + \dots</math> # Si deriva l'espressione <math>m - 1</math> volte rispetto a <math>z</math> per annullare i termini precedenti ad <math>a_{-1}</math> e portare quest'ultimo a grado zero, moltiplicato per <math>(m - 1)!</math>: #:<math>\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - z_0)^m f(z) \right] = (m - 1)! \, a_{-1} + m! \, a_0 (z - z_0) + \dots</math> # Si passa al limite per <math>z \to z_0</math> e si divide per <math>(m - 1)!</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(m - 1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - z_0)^m f(z) \right]</math> === 4. Singolarità essenziale === Se <math>z_0</math> è una [[singolarità essenziale]], la serie di Laurent ha infiniti termini con esponente negativo e non esistono formule con limiti o derivate. L'unico percorso è determinare esplicitamente lo sviluppo in serie (ad esempio tramite noti [[sviluppo in serie di Taylor|sviluppi di Taylor]] o sostituendo variabili) e leggere direttamente il coefficiente <math>a_{-1}</math>. '''Esempio:''' Per <math>f(z) = e^{1/z}</math> in <math>z_0 = 0</math>, sostituendo <math>w = 1/z</math> nello sviluppo dell'esponenziale si ottiene: <math>e^{1/z} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n! \, z^n} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2! \, z^2} + \frac{1}{3! \, z^3} + \dots</math> Il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math> è <math>1</math>, quindi <math>\operatorname{Res}(e^{1/z}, 0) = 1</math>. === 5. Residuo all'infinito === Per studiare il comportamento di <math>f(z)</math> per <math>|z| \to \infty</math>, si effettua il cambio di variabile <math>z = \frac{1}{w}</math>, considerando l'orientamento opposto della curva attorno all'infinito (da cui il segno meno): <math>\operatorname{Res}(f, \infty) = -\operatorname{Res}\left( \frac{1}{w^2} f\left(\frac{1}{w}\right), 0 \right)</math>   == Applicazione del teorema dei residui == Sia data la funzione di variabile complessa: <math>f(z) = \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2}</math> Vogliamo determinare le singolarità della funzione, i relativi residui e applicare il teorema dei residui per calcolarne l'integrale lungo una linea chiusa <math>\gamma</math>. === Individuazione delle singolarità === I punti di singolarità di <math>f(z)</math> si ottengono annullando il denominatore: <math>(z - 1)(z - 2)^2 = 0</math> Troviamo due poli: * <math>z = 1</math> è un polo semplice (di ordine 1). * <math>z = 2</math> è un polo di ordine 2. === Calcolo dei residui === ==== Residuo nel polo <math>z = 1</math> ==== Essendo <math>z = 1</math> un polo semplice, il residuo si calcola come: <math>\text{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z - 1)f(z)</math> Sostituendo l'espressione di <math>f(z)</math>: <math>\text{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z - 1) \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2} = \lim_{z \to 1} \frac{z + 1}{(z - 2)^2}</math> Valutando il limite: <math>\text{Res}(f, 1) = \frac{1 + 1}{(1 - 2)^2} = \frac{2}{(-1)^2} = 2</math> ==== Residuo nel polo <math>z = 2</math> ==== Essendo <math>z = 2</math> un polo di ordine <math>m = 2</math>, il residuo si calcola con la formula per i poli di ordine superiore: <math>\text{Res}(f, 2) = \frac{1}{(2-1)!} \lim_{z \to 2} \frac{d}{dz} \left[ (z - 2)^2 f(z) \right]</math> Semplificando l'espressione all'interno del limite: <math>(z - 2)^2 f(z) = (z - 2)^2 \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2} = \frac{z + 1}{z - 1}</math> Calcoliamo la derivata prima rispetto a <math>z</math> usando la regola del quoziente: <math>\frac{d}{dz} \left[ \frac{z + 1}{z - 1} \right] = \frac{1 \cdot (z - 1) - (z + 1) \cdot 1}{(z - 1)^2} = \frac{z - 1 - z - 1}{(z - 1)^2} = \frac{-2}{(z - 1)^2}</math> Passiamo ora al limite per <math>z \to 2</math>: <math>\text{Res}(f, 2) = \lim_{z \to 2} \frac{-2}{(z - 1)^2} = \frac{-2}{(2 - 1)^2} = \frac{-2}{1^2} = -2</math> === Applicazione del teorema dei residui === Il teorema dei residui afferma che, data una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> orientata in senso antiorario che circonda un insieme di singolarità, l'integrale di linea di <math>f(z)</math> lungo <math>\gamma</math> è dato da: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k} \text{Res}(f, z_k)</math> A seconda di quale dominio racchiuda la curva <math>\gamma</math>, si possono presentare tre casi principali: 1. Se <math>\gamma</math> racchiude **solo il polo <math>z = 1</math>**: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, 1) = 2\pi i \cdot 2 = 4\pi i</math> 2. Se <math>\gamma</math> racchiude **solo il polo <math>z = 2</math>**: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, 2) = 2\pi i \cdot (-2) = -4\pi i</math> 3. Se <math>\gamma</math> racchiude **entrambi i poli**: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \left[ \text{Res}(f, 1) + \text{Res}(f, 2) \right] = 2\pi i \left[ 2 + (-2) \right] = 0</math> ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc   gggggggggggggggggggggggggggggggvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn '''4.4 Testo del 4° esercizio''' Sia da calcolare l'integrale di linea nel piano complesso: :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz</math> Calcolare il seguente integrale complesso: con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo la linea la funzione ( z^4 ) / ( z + 2 ) dove = |z| = 4''' IA risponde: === Enunciato della Formula Integrale di Cauchy === Se <math>f(z)</math> è una funzione olomorfa all'interno e sul bordo di una curva semplice e chiusa <math>C</math> orientata positivamente, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora vale la relazione: :<math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> === Svolgimento e analisi dei parametri === 1. '''Identificazione del dominio e del cammino di integrazione:''' La curva di integrazione è la circonferenza <math>C</math> definita da <math>|z| = 4</math>, centrata nell'origine con raggio <math>R = 4</math>. 2. '''Scelta della funzione olomorfa:''' Poniamo <math>f(z) = z^4</math>. La funzione è un polinomio ed è pertanto intera (olomorfa su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>). 3. '''Individuazione della singolarità:''' Riscrivendo il denominatore nella forma <math>z - z_0</math>, si ottiene: :<math>z + 2 = z - (-2)</math> Quindi la singolarità si trova nel punto <math>z_0 = -2</math>. 4. '''Verifica della posizione del punto:''' Calcoliamo il modulo di <math>z_0</math>: :<math>|z_0| = |-2| = 2 < 4</math> Poiché il modulo è minore del raggio del cammino d'integrazione, il punto <math>z_0 = -2</math> appartiene al dominio interno racchiuso dalla curva <math>|z| = 4</math>. === Calcolo finale === Applichiamo la Formula Integrale di Cauchy: 1. Valutiamo <math>f(z)</math> nel punto <math>z_0 = -2</math>: :<math>f(-2) = (-2)^4 = 16</math> 2. Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: :<math>\oint_{|z|=4} \frac{z^4}{z - (-2)} \, dz = 2\pi i \cdot f(-2) = 2\pi i \cdot 16 = 32\pi i</math> === Risultato === :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz = 32\pi i</math> kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk = Rappresentazione integrale di Cauchy = La '''rappresentazione integrale di Cauchy''' è un importante teorema dell'analisi complessa. Esso permette di determinare il valore di una funzione olomorfa in un punto interno a una curva chiusa, conoscendo i valori della funzione lungo la curva stessa. == 1. Enunciato del teorema == Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e tutto il suo interno. Sia inoltre <math>z_0</math> un punto interno alla curva. La formula integrale di Cauchy afferma che: <math> f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz </math> In modo equivalente, si può scrivere: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> La curva <math>\gamma</math> deve essere orientata positivamente, cioè percorsa in senso antiorario. Il significato del teorema è che il valore della funzione in un punto interno alla curva può essere calcolato mediante un integrale di linea lungo il bordo della regione considerata. == 2. Significato dei simboli == * <math>f(z)</math>: funzione complessa olomorfa. * <math>z</math>: variabile complessa. * <math>z_0</math>: punto interno alla curva. * <math>\gamma</math>: curva chiusa semplice. * <math>i</math>: unità immaginaria, con <math>i^2=-1</math>. * <math>\oint_\gamma</math>: integrale curvilineo lungo una curva chiusa. == 3. Condizioni per applicare il teorema == Per applicare la rappresentazione integrale di Cauchy devono essere rispettate le seguenti condizioni: # La funzione <math>f(z)</math> deve essere olomorfa all'interno della curva e sul suo bordo. # La curva <math>\gamma</math> deve essere chiusa e semplice. # Il punto <math>z_0</math> deve essere interno alla curva. # La curva deve essere orientata positivamente, cioè in senso antiorario. Se tutte queste condizioni sono soddisfatte, è possibile applicare direttamente la formula integrale di Cauchy. == 4. Esercizi svolti == Schema riassuntivo per la risoluzione degli esercizi: Per risolvere un integrale mediante la rappresentazione integrale di Cauchy è utile seguire sempre questi passaggi: # Individuare la funzione <math>f(z)</math> presente al numeratore dell'integrale. # Individuare il punto <math>z_0</math> annullando il denominatore <math>z-z_0</math>. # Verificare che la funzione sia olomorfa all'interno e sul bordo della curva. # Verificare che il punto <math>z_0</math> sia interno alla curva. # Applicare la formula integrale di Cauchy: '''4.1 Testo del 1° esercizio''' Calcolare il seguente integrale complesso: <math> I=\oint_{|z|=2}\frac{z^2+1}{z-1}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione ( z^2 + 1 ) / ( z -1 ) dove R = |2| è la circonferena unitaria''' IA risponde: La curva è una circonferenza con centro nell'origine e raggio uguale a <math>2</math>, percorsa in senso antiorario. *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontiamo l'integrale assegnato con la formula generale di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Dal confronto ricaviamo: <math> f(z)=z^2+1 </math> e: <math> z_0=1 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Dobbiamo verificare che il punto <math>z_0=1</math> sia interno alla circonferenza di raggio <math>2</math>. Calcoliamo il modulo: <math> |z_0|=|1|=1 </math> Poiché: <math> 1<2 </math> il punto <math>z_0=1</math> è interno alla circonferenza. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni per applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula === Utilizziamo la formula integrale: <math> I=2\pi i f(z_0) </math> Sostituiamo il valore del punto: <math> I=2\pi i f(1) </math> Calcoliamo il valore della funzione nel punto <math>z=1</math>: <math> f(1)=1^2+1 </math> <math> f(1)=1+1=2 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: <math> I=2\pi i\cdot 2 </math> Quindi: <math> {I=4\pi i} </math> Risultato finale: <math> {I=4\pi i} </math> ''' 4.2 Secondo esercizio ''' Calcolare il seguente integrale: <math> I=\oint_{|z|=3}\frac{e^z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione e^z / (z - 2) dove R = |3| è la circonferena unitaria''' IA risponde: *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontando l'integrale con la formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> individuiamo: <math> f(z)=e^z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione esponenziale complessa <math>e^z</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>3</math>. Verifichiamo che il punto <math>z_0=2</math> sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<3 </math> il punto è interno alla curva. Possiamo quindi applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula Scriviamo: <math> I=2\pi i f(2) </math> Poiché: <math> f(z)=e^z </math> si ha: <math> f(2)=e^2 </math> *Passaggio 4: risultato finale Sostituendo nella formula: <math> I=2\pi i e^2 </math> Pertanto: <math> {I=2\pi i e^2} </math> ''' 4.3 Terzo esercizio ''' Calcolare: <math> I=\oint_{|z|=4}\frac{z^3+2z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione (z^3 + 2z) / (z - 2) dove |z| = 4 è la circonferena unitaria''' *Passaggio 1: individuazione della funzione Dal confronto con la formula di Cauchy ricaviamo: <math> f(z)=z^3+2z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione è un polinomio, quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>4</math>. Verifichiamo che il punto sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<4 </math> il punto è interno alla circonferenza. *Passaggio 3: applicazione della formula Applichiamo la rappresentazione integrale di Cauchy: <math> I=2\pi i f(2) </math> Calcoliamo il valore della funzione: <math> f(2)=2^3+2\cdot 2 </math> <math> f(2)=8+4 </math> <math> f(2)=12 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore nella formula: <math> I=2\pi i\cdot 12 </math> Otteniamo: <math> {I=24\pi i} </math> *Risultato finale: <math> {I=24\pi i} </math> <math> I=2\pi i f(z_0) </math> # Calcolare il valore della funzione nel punto individuato. # Moltiplicare il risultato per <math>2\pi i</math>. == 5. Osservazione importante == La rappresentazione integrale di Cauchy può essere applicata soltanto quando il punto <math>z_0</math> si trova all'interno della curva e la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa nella regione considerata. Se il punto è esterno alla curva, non è possibile applicare direttamente la formula nella forma indicata. La formula integrale di Cauchy costituisce inoltre la base per la formula integrale di Cauchy per le derivate, che permette di calcolare le derivate di una funzione olomorfa attraverso integrali lungo curve chiuse. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx = Teorema integrale di Cauchy generalizzato = Il '''teorema integrale di Cauchy generalizzato''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso permette di calcolare gli integrali curvilinei di funzioni complesse olomorfe lungo curve chiuse, anche quando il dominio di definizione della funzione presenta delle regioni escluse o dei buchi. La sua importanza consiste nel fatto che consente di trasformare un problema di integrazione lungo una curva in un risultato matematico che dipende dalle proprietà analitiche della funzione e dalla struttura del dominio. In particolare, il teorema stabilisce che, sotto opportune condizioni, l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo. == 1. Significato intuitivo == Per comprendere il teorema è necessario considerare una funzione complessa: <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove: <math>z=x+iy</math> e dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> rappresentano rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione. Una funzione olomorfa è una funzione complessa derivabile in senso complesso in ogni punto del dominio considerato. Il teorema classico di Cauchy afferma che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In formula: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=0</math> Il teorema generalizzato permette di estendere questo ragionamento anche a domini non semplicemente connessi, cioè domini che presentano uno o più buchi. In questi casi è necessario considerare tutte le curve che delimitano il dominio, rispettando il loro orientamento. == 2. Enunciato del teorema == Sia <math>D</math> un dominio limitato del piano complesso, il cui bordo è costituito da una curva esterna <math>\gamma_0</math> e da un numero finito di curve interne: <math>\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n</math> Si supponga che la funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa in un aperto contenente la chiusura del dominio e che tutte le curve siano regolari a tratti. Il teorema integrale di Cauchy generalizzato afferma che: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz-\sum_{k=1}^{n}\oint_{\gamma_k}f(z)\,dz=0</math> dove tutte le curve sono considerate con orientamento antiorario. La formula può essere scritta anche nella forma: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz=\sum_{k=1}^{n}\oint_{\gamma_k}f(z)\,dz</math> Questa relazione significa che l'integrale lungo il bordo esterno è uguale alla somma degli integrali lungo i bordi interni, quando questi ultimi vengono percorsi matematicamente in senso antiorario. Se invece si considera il bordo completo del dominio con il suo orientamento positivo, la curva esterna viene percorsa in senso antiorario e le curve interne in senso orario. In questo caso si ottiene: <math>\oint_{\partial D}f(z)\,dz=0</math> Questa è la formulazione generalizzata del teorema integrale di Cauchy. == 3. Condizioni necessarie == Per applicare correttamente il teorema devono essere rispettate alcune condizioni: * La funzione deve essere olomorfa nel dominio considerato. * La funzione deve essere definita anche in un intorno delle curve di integrazione. * Le curve devono essere chiuse e regolari a tratti. * Il dominio può essere semplicemente connesso oppure presentare un numero finito di buchi. * Le curve interne ed esterne devono essere orientate correttamente. La condizione fondamentale è che la funzione non presenti singolarità all'interno del dominio considerato né sulle curve di integrazione. Se una funzione presenta una singolarità all'interno di un contorno, non è possibile applicare direttamente il teorema nella sua forma nulla a tutto il dominio. In questo caso occorre escludere la singolarità dal dominio oppure utilizzare altri risultati, come il teorema dei residui. == 4. Quali problemi è in grado di risolvere == Il teorema generalizzato di Cauchy permette di risolvere diverse tipologie di problemi matematici. === 4.1 Calcolo di integrali complessi lungo curve chiuse === Consente di stabilire immediatamente che un integrale è nullo quando la funzione è olomorfa in tutto il dominio racchiuso dalla curva. Per esempio: <math>\oint_{|z|=2}z^3\,dz</math> Poiché la funzione: <math>f(z)=z^3</math> è intera, cioè olomorfa in tutto il piano complesso, si ottiene: <math>{\oint_{|z|=2}z^3\,dz=0}</math> === 4.2 Calcolo di integrali in domini con buchi === Il teorema permette di studiare integrali in domini che presentano regioni escluse. Ad esempio, si consideri un dominio delimitato da una circonferenza esterna e da una circonferenza interna. Se la funzione è olomorfa nella regione compresa tra le due circonferenze, allora: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz-\oint_{\gamma_1}f(z)\,dz=0</math> Da cui: <math>{\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz=\oint_{\gamma_1}f(z)\,dz}</math> Questo risultato permette di sostituire una curva di integrazione con un'altra curva che circonda la stessa regione esclusa. === 4.3 Trasformazione di integrali difficili in integrali più semplici === Se due curve racchiudono la stessa singolarità e la funzione è olomorfa nella regione compresa tra esse, i rispettivi integrali sono uguali, purché entrambe siano orientate nello stesso verso. Questo permette di scegliere la curva più semplice da utilizzare per il calcolo. === 4.4 Studio delle singolarità === Il teorema permette di capire quando un integrale non può essere considerato nullo a causa della presenza di una singolarità. Quando la funzione non è olomorfa in un punto interno alla curva, è necessario studiare la natura della singolarità. Per questo scopo si utilizzano anche il teorema dei residui e le formule integrali di Cauchy. == 5. Differenza tra il teorema classico e quello generalizzato == Il teorema classico di Cauchy riguarda principalmente domini semplicemente connessi, nei quali ogni curva chiusa può essere deformata continuamente fino a un punto senza uscire dal dominio. La sua conclusione è: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=0</math> Il teorema generalizzato permette invece di considerare domini non semplicemente connessi, cioè domini che presentano uno o più buchi. In questo caso: <math>\oint_{\partial D}f(z)\,dz=0</math> dove il bordo comprende sia la curva esterna sia tutte le curve interne, orientate correttamente. La differenza fondamentale è quindi che il teorema generalizzato tiene conto della struttura geometrica del dominio e dei suoi bordi interni. == 6. Conclusione == Il teorema integrale di Cauchy generalizzato rappresenta uno strumento fondamentale dell'analisi complessa perché consente di studiare integrali curvilinei in domini che possono presentare uno o più buchi. Il suo principio fondamentale è che, se una funzione è olomorfa in un dominio, l'integrale lungo il bordo completo del dominio, orientato positivamente, è uguale a zero. La sua utilità consiste soprattutto nella possibilità di: * Dimostrare che determinati integrali complessi sono nulli. * Trasformare integrali lungo curve complesse in integrali lungo curve più semplici. * Studiare domini non semplicemente connessi. * Separare il contributo delle diverse regioni escluse. * Preparare il calcolo degli integrali mediante il teorema dei residui. Il teorema costituisce quindi uno strumento essenziale per lo studio delle funzioni olomorfe, delle singolarità e degli integrali complessi. == 7. Esempi di calcolo == ===7.1 Esempio completo=== Risolvere <math>I=\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz</math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrale lungo circonferenza la funzione 1/z dove R = |z| è la circonferena unitaria''' IA risponde: Si consideri la funzione: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> Si voglia calcolare l'integrale lungo una circonferenza di raggio <math>R</math> centrata nell'origine: <math>I=\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz</math> La funzione presenta una singolarità nell'origine, quindi non è olomorfa all'interno dell'intera circonferenza. Non si può pertanto applicare direttamente il teorema classico di Cauchy. Si procede escludendo l'origine dal dominio. Si considera una circonferenza interna di raggio <math>r</math>, con: <math> 0 < r < R </math> La regione compresa tra le due circonferenze è un dominio nel quale la funzione è olomorfa. Applicando il teorema generalizzato: <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz-\oint_{|z|=r}\frac{1}{z}\,dz=0</math> Pertanto: <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz=\oint_{|z|=r}\frac{1}{z}\,dz</math> L'integrale è quindi indipendente dal raggio della circonferenza. Per calcolarlo si sceglie la parametrizzazione: <math>z(t)=r e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando: <math>z'(t)=ir e^{it}</math> Quindi: <math>dz=ir e^{it}\,dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{1}{r e^{it}}ir e^{it}\,dt</math> Semplificando: <math>I=i\int_0^{2\pi}dt</math> Integrando: <math>I=i[t]_0^{2\pi}</math> Si ottiene: <math>{I=2\pi i}</math> Il risultato dimostra che l'integrale non è nullo perché la funzione presenta una singolarità nell'origine. === 7.2 Esempio con due singolarità === Risolvere <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz</math> dove <math>f(z)=\frac{1}{(z-a)(z-b)}</math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare la funzione f(z) = 1/ [ (z-a) (z-b) ]''' '''lungo una curva chiusa gamma''' IA risponde: Si consideri la funzione: <math>f(z)=\frac{1}{(z-a)(z-b)}</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono due punti distinti. Si supponga che entrambi i punti siano interni a una curva chiusa <math>\gamma</math> e che la funzione sia olomorfa nella regione esterna a due piccoli dischi che circondano separatamente le singolarità. Il teorema generalizzato permette di scrivere: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=\oint_{\gamma_a}f(z)\,dz+\oint_{\gamma_b}f(z)\,dz</math> dove le due curve interne sono orientate in senso antiorario. Per calcolare il primo integrale si può utilizzare la formula integrale di Cauchy: <math>\oint_{\gamma_a}\frac{1}{(z-a)(z-b)}\,dz=\frac{1}{a-b}\oint_{\gamma_a}\frac{1}{z-a}\,dz</math> Pertanto: <math>\oint_{\gamma_a}f(z)\,dz=\frac{2\pi i}{a-b}</math> Analogamente: <math>\oint_{\gamma_b}f(z)\,dz=\frac{2\pi i}{b-a}</math> Sommando: <math>I=\frac{2\pi i}{a-b}+\frac{2\pi i}{b-a}</math> Poiché: <math>\frac{1}{b-a}=-\frac{1}{a-b}</math> si ottiene: <math>{I=0}</math> Questo esempio dimostra che due singolarità possono produrre contributi integrali che si annullano reciprocamente. CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria: <math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. ==XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX== == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di 5 esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro C) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con \theta = 2: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> 2lneyvhxfxgsc213q1chfwxfnh1l7pn 288342 288341 2026-11-12T07:16:37Z Funzioni di correlazione 24136 /* Definizione intuitiva */ 288342 wikitext text/x-wiki == Residui di una funzione . definizione intuitiva == In analisi complessa, il '''residuo''' di una funzione analitica (o olomorfa) in un punto singolare isolato <math>z_0</math> è un numero complesso che misura il comportamento "anomalo" della funzione attorno a quel punto. Mentre l'integrale di una funzione analitica lungo un percorso chiuso è sempre zero (per il [[teorema integrale di Cauchy]]), la presenza di una singolarità all'interno del percorso impedisce all'integrale di annullarsi. Il residuo cattura esattamente l'unico termine della funzione che sopravvive all'integrazione lungo una curva chiusa attorno a <math>z_0</math>, permettendo di trasformare complicati calcoli integrali in semplici operazioni algebriche tramite il [[teorema dei residui]]. == A cosa servono i residui (Utilità pratica) == Il calcolo dei residui non è un mero esercizio astratto di analisi complessa, ma uno strumento di importanza capitale in matematica e fisica per diversi motivi: 1. **Risoluzione di integrali definiti complessi:** Molti integrali definiti reali (spesso trigonometrici o impropri da meno infinito a più infinito) che appaiono impossibili da risolvere con i normali metodi di integrazione di analisi uno o due, possono essere risolti in modo incredibilmente rapido ed elegante applicando il [[teorema dei residui]] nel piano complesso. 2. **Studio dei sistemi dinamici e della stabilità:** Nell'ingegneria e nella teoria dei controlli automatici, la posizione dei poli e il calcolo dei residui legati alla trasformata di Laplace inversa permettono di studiare la risposta temporale dei sistemi dinamici e di stabilirne la stabilità. 3. **Elaborazione dei segnali:** Nella teoria dei segnali, l'analisi complessa e i residui sono impiegati per analizzare la risposta in frequenza dei filtri digitali e analogici attraverso la trasformata Zeta e la trasformata di Laplace. 4. **Fisica teorica e meccanica quantistica:** Vengono ampiamente utilizzati nella teoria quantistica dei campi e nella meccanica statistica per valutare integrali complessi di Feynman e funzioni di propagazione. == Definizione formale (Serie di Laurent) == Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un disco forato <math>0 < |z - z_0| < R</math>. In questa regione, la funzione può essere sviluppata in [[serie di Laurent]] centrata in <math>z_0</math>: <math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (z - z_0)^n = \dots + \frac{a_{-2}}{(z - z_0)^2} + \frac{a_{-1}}{z - z_0} + a_0 + a_1(z - z_0) + a_2(z - z_0)^2 + \dots</math> Il '''residuo''' di <math>f</math> in <math>z_0</math>, indicato con <math>\operatorname{Res}(f, z_0)</math>, è definito come il coefficiente <math>a_{-1}</math> del termine <math>(z - z_0)^{-1}</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = a_{-1}</math> Dal punto di vista integrale, questo valore equivale a: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} f(z) \, dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice percorsa in senso antiorario che racchiude <math>z_0</math> e nessuna altra singolarità. == Perché conta solo il coefficiente <math>a_{-1}</math>? == Integrando termine a termine la serie di Laurent lungo una circonferenza <math>\gamma</math> di raggio <math>r</math> centrata in <math>z_0</math> (parametrizzata come <math>z(t) = z_0 + r e^{it}</math> con <math>t \in [0, 2\pi]</math>), si osserva che: * Per ogni <math>n \neq -1</math>, la funzione <math>(z - z_0)^n</math> ammette una primitiva univoca nel dominio forato, pari a <math>\frac{(z - z_0)^{n+1}}{n+1}</math>. Poiché la curva <math>\gamma</math> è chiusa, l'integrale di tutti questi termini è nullo: :<math>\oint_{\gamma} (z - z_0)^n \, dz = 0 \quad (\text{per } n \neq -1)</math> * Per <math>n = -1</math>, la primitiva sarebbe il logaritmo complesso, che è una funzione polidroma. Svolgendo il calcolo diretto con <math>dz = i r e^{it} \, dt</math> si ottiene: :<math>\oint_{\gamma} \frac{1}{z - z_0} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{i r e^{it}}{r e^{it}} \, dt = \int_{0}^{2\pi} i \, dt = 2\pi i</math> Moltiplicando questo risultato per il coefficiente <math>a_{-1}</math>, l'intero integrale della serie si riduce a <math>2\pi i \cdot a_{-1}</math>. == Percorso di calcolo dei residui == A seconda del tipo di singolarità isolata in <math>z_0</math>, si seguono diverse procedure per calcolare <math>\operatorname{Res}(f, z_0)</math>. === 1. Singolarità eliminabile === Se <math>\lim_{z \to z_0} f(z)</math> esiste ed è finito, la parte singolare della serie di Laurent è assente (<math>a_n = 0</math> per ogni <math>n < 0</math>). Pertanto: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = 0</math> === 2. Polo semplice (ordine <math>m = 1</math>) === Se <math>z_0</math> è un [[polo (analisi complessa)|polo]] di ordine 1, la serie inizia dal termine <math>n = -1</math>. Moltiplicando <math>f(z)</math> per <math>(z - z_0)</math> si isola il coefficiente <math>a_{-1}</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)</math> '''Caso particolare (rapporto di due funzioni):''' Se <math>f(z) = \frac{g(z)}{h(z)}</math>, dove <math>g</math> e <math>h</math> sono olomorfe in <math>z_0</math> con <math>g(z_0) \neq 0</math>, <math>h(z_0) = 0</math> e <math>h'(z_0) \neq 0</math>, si applica la regola di de l'Hôpital: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{g(z_0)}{h'(z_0)}</math> === 3. Polo di ordine <math>m > 1</math> === Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, la serie di Laurent ha la forma: <math>f(z) = \frac{a_{-m}}{(z - z_0)^m} + \dots + \frac{a_{-1}}{z - z_0} + a_0 + \dots</math> Per estrarre <math>a_{-1}</math> si segue questo percorso algebrico: # Si moltiplica la funzione per <math>(z - z_0)^m</math> per eliminare il denominatore: #:<math>(z - z_0)^m f(z) = a_{-m} + a_{-m+1}(z - z_0) + \dots + a_{-1}(z - z_0)^{m-1} + a_0(z - z_0)^m + \dots</math> # Si deriva l'espressione <math>m - 1</math> volte rispetto a <math>z</math> per annullare i termini precedenti ad <math>a_{-1}</math> e portare quest'ultimo a grado zero, moltiplicato per <math>(m - 1)!</math>: #:<math>\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - z_0)^m f(z) \right] = (m - 1)! \, a_{-1} + m! \, a_0 (z - z_0) + \dots</math> # Si passa al limite per <math>z \to z_0</math> e si divide per <math>(m - 1)!</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(m - 1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - z_0)^m f(z) \right]</math> === 4. Singolarità essenziale === Se <math>z_0</math> è una [[singolarità essenziale]], la serie di Laurent ha infiniti termini con esponente negativo e non esistono formule con limiti o derivate. L'unico percorso è determinare esplicitamente lo sviluppo in serie (ad esempio tramite noti [[sviluppo in serie di Taylor|sviluppi di Taylor]] o sostituendo variabili) e leggere direttamente il coefficiente <math>a_{-1}</math>. '''Esempio:''' Per <math>f(z) = e^{1/z}</math> in <math>z_0 = 0</math>, sostituendo <math>w = 1/z</math> nello sviluppo dell'esponenziale si ottiene: <math>e^{1/z} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n! \, z^n} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2! \, z^2} + \frac{1}{3! \, z^3} + \dots</math> Il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math> è <math>1</math>, quindi <math>\operatorname{Res}(e^{1/z}, 0) = 1</math>. === 5. Residuo all'infinito === Per studiare il comportamento di <math>f(z)</math> per <math>|z| \to \infty</math>, si effettua il cambio di variabile <math>z = \frac{1}{w}</math>, considerando l'orientamento opposto della curva attorno all'infinito (da cui il segno meno): <math>\operatorname{Res}(f, \infty) = -\operatorname{Res}\left( \frac{1}{w^2} f\left(\frac{1}{w}\right), 0 \right)</math>   == Applicazione del teorema dei residui == Sia data la funzione di variabile complessa: <math>f(z) = \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2}</math> Vogliamo determinare le singolarità della funzione, i relativi residui e applicare il teorema dei residui per calcolarne l'integrale lungo una linea chiusa <math>\gamma</math>. === Individuazione delle singolarità === I punti di singolarità di <math>f(z)</math> si ottengono annullando il denominatore: <math>(z - 1)(z - 2)^2 = 0</math> Troviamo due poli: * <math>z = 1</math> è un polo semplice (di ordine 1). * <math>z = 2</math> è un polo di ordine 2. === Calcolo dei residui === ==== Residuo nel polo <math>z = 1</math> ==== Essendo <math>z = 1</math> un polo semplice, il residuo si calcola come: <math>\text{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z - 1)f(z)</math> Sostituendo l'espressione di <math>f(z)</math>: <math>\text{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z - 1) \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2} = \lim_{z \to 1} \frac{z + 1}{(z - 2)^2}</math> Valutando il limite: <math>\text{Res}(f, 1) = \frac{1 + 1}{(1 - 2)^2} = \frac{2}{(-1)^2} = 2</math> ==== Residuo nel polo <math>z = 2</math> ==== Essendo <math>z = 2</math> un polo di ordine <math>m = 2</math>, il residuo si calcola con la formula per i poli di ordine superiore: <math>\text{Res}(f, 2) = \frac{1}{(2-1)!} \lim_{z \to 2} \frac{d}{dz} \left[ (z - 2)^2 f(z) \right]</math> Semplificando l'espressione all'interno del limite: <math>(z - 2)^2 f(z) = (z - 2)^2 \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2} = \frac{z + 1}{z - 1}</math> Calcoliamo la derivata prima rispetto a <math>z</math> usando la regola del quoziente: <math>\frac{d}{dz} \left[ \frac{z + 1}{z - 1} \right] = \frac{1 \cdot (z - 1) - (z + 1) \cdot 1}{(z - 1)^2} = \frac{z - 1 - z - 1}{(z - 1)^2} = \frac{-2}{(z - 1)^2}</math> Passiamo ora al limite per <math>z \to 2</math>: <math>\text{Res}(f, 2) = \lim_{z \to 2} \frac{-2}{(z - 1)^2} = \frac{-2}{(2 - 1)^2} = \frac{-2}{1^2} = -2</math> === Applicazione del teorema dei residui === Il teorema dei residui afferma che, data una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> orientata in senso antiorario che circonda un insieme di singolarità, l'integrale di linea di <math>f(z)</math> lungo <math>\gamma</math> è dato da: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k} \text{Res}(f, z_k)</math> A seconda di quale dominio racchiuda la curva <math>\gamma</math>, si possono presentare tre casi principali: 1. Se <math>\gamma</math> racchiude **solo il polo <math>z = 1</math>**: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, 1) = 2\pi i \cdot 2 = 4\pi i</math> 2. Se <math>\gamma</math> racchiude **solo il polo <math>z = 2</math>**: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, 2) = 2\pi i \cdot (-2) = -4\pi i</math> 3. Se <math>\gamma</math> racchiude **entrambi i poli**: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \left[ \text{Res}(f, 1) + \text{Res}(f, 2) \right] = 2\pi i \left[ 2 + (-2) \right] = 0</math> ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc   gggggggggggggggggggggggggggggggvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn '''4.4 Testo del 4° esercizio''' Sia da calcolare l'integrale di linea nel piano complesso: :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz</math> Calcolare il seguente integrale complesso: con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo la linea la funzione ( z^4 ) / ( z + 2 ) dove = |z| = 4''' IA risponde: === Enunciato della Formula Integrale di Cauchy === Se <math>f(z)</math> è una funzione olomorfa all'interno e sul bordo di una curva semplice e chiusa <math>C</math> orientata positivamente, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora vale la relazione: :<math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> === Svolgimento e analisi dei parametri === 1. '''Identificazione del dominio e del cammino di integrazione:''' La curva di integrazione è la circonferenza <math>C</math> definita da <math>|z| = 4</math>, centrata nell'origine con raggio <math>R = 4</math>. 2. '''Scelta della funzione olomorfa:''' Poniamo <math>f(z) = z^4</math>. La funzione è un polinomio ed è pertanto intera (olomorfa su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>). 3. '''Individuazione della singolarità:''' Riscrivendo il denominatore nella forma <math>z - z_0</math>, si ottiene: :<math>z + 2 = z - (-2)</math> Quindi la singolarità si trova nel punto <math>z_0 = -2</math>. 4. '''Verifica della posizione del punto:''' Calcoliamo il modulo di <math>z_0</math>: :<math>|z_0| = |-2| = 2 < 4</math> Poiché il modulo è minore del raggio del cammino d'integrazione, il punto <math>z_0 = -2</math> appartiene al dominio interno racchiuso dalla curva <math>|z| = 4</math>. === Calcolo finale === Applichiamo la Formula Integrale di Cauchy: 1. Valutiamo <math>f(z)</math> nel punto <math>z_0 = -2</math>: :<math>f(-2) = (-2)^4 = 16</math> 2. Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: :<math>\oint_{|z|=4} \frac{z^4}{z - (-2)} \, dz = 2\pi i \cdot f(-2) = 2\pi i \cdot 16 = 32\pi i</math> === Risultato === :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz = 32\pi i</math> kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk = Rappresentazione integrale di Cauchy = La '''rappresentazione integrale di Cauchy''' è un importante teorema dell'analisi complessa. Esso permette di determinare il valore di una funzione olomorfa in un punto interno a una curva chiusa, conoscendo i valori della funzione lungo la curva stessa. == 1. Enunciato del teorema == Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e tutto il suo interno. Sia inoltre <math>z_0</math> un punto interno alla curva. La formula integrale di Cauchy afferma che: <math> f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz </math> In modo equivalente, si può scrivere: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> La curva <math>\gamma</math> deve essere orientata positivamente, cioè percorsa in senso antiorario. Il significato del teorema è che il valore della funzione in un punto interno alla curva può essere calcolato mediante un integrale di linea lungo il bordo della regione considerata. == 2. Significato dei simboli == * <math>f(z)</math>: funzione complessa olomorfa. * <math>z</math>: variabile complessa. * <math>z_0</math>: punto interno alla curva. * <math>\gamma</math>: curva chiusa semplice. * <math>i</math>: unità immaginaria, con <math>i^2=-1</math>. * <math>\oint_\gamma</math>: integrale curvilineo lungo una curva chiusa. == 3. Condizioni per applicare il teorema == Per applicare la rappresentazione integrale di Cauchy devono essere rispettate le seguenti condizioni: # La funzione <math>f(z)</math> deve essere olomorfa all'interno della curva e sul suo bordo. # La curva <math>\gamma</math> deve essere chiusa e semplice. # Il punto <math>z_0</math> deve essere interno alla curva. # La curva deve essere orientata positivamente, cioè in senso antiorario. Se tutte queste condizioni sono soddisfatte, è possibile applicare direttamente la formula integrale di Cauchy. == 4. Esercizi svolti == Schema riassuntivo per la risoluzione degli esercizi: Per risolvere un integrale mediante la rappresentazione integrale di Cauchy è utile seguire sempre questi passaggi: # Individuare la funzione <math>f(z)</math> presente al numeratore dell'integrale. # Individuare il punto <math>z_0</math> annullando il denominatore <math>z-z_0</math>. # Verificare che la funzione sia olomorfa all'interno e sul bordo della curva. # Verificare che il punto <math>z_0</math> sia interno alla curva. # Applicare la formula integrale di Cauchy: '''4.1 Testo del 1° esercizio''' Calcolare il seguente integrale complesso: <math> I=\oint_{|z|=2}\frac{z^2+1}{z-1}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione ( z^2 + 1 ) / ( z -1 ) dove R = |2| è la circonferena unitaria''' IA risponde: La curva è una circonferenza con centro nell'origine e raggio uguale a <math>2</math>, percorsa in senso antiorario. *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontiamo l'integrale assegnato con la formula generale di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Dal confronto ricaviamo: <math> f(z)=z^2+1 </math> e: <math> z_0=1 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Dobbiamo verificare che il punto <math>z_0=1</math> sia interno alla circonferenza di raggio <math>2</math>. Calcoliamo il modulo: <math> |z_0|=|1|=1 </math> Poiché: <math> 1<2 </math> il punto <math>z_0=1</math> è interno alla circonferenza. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni per applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula === Utilizziamo la formula integrale: <math> I=2\pi i f(z_0) </math> Sostituiamo il valore del punto: <math> I=2\pi i f(1) </math> Calcoliamo il valore della funzione nel punto <math>z=1</math>: <math> f(1)=1^2+1 </math> <math> f(1)=1+1=2 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: <math> I=2\pi i\cdot 2 </math> Quindi: <math> {I=4\pi i} </math> Risultato finale: <math> {I=4\pi i} </math> ''' 4.2 Secondo esercizio ''' Calcolare il seguente integrale: <math> I=\oint_{|z|=3}\frac{e^z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione e^z / (z - 2) dove R = |3| è la circonferena unitaria''' IA risponde: *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontando l'integrale con la formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> individuiamo: <math> f(z)=e^z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione esponenziale complessa <math>e^z</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>3</math>. Verifichiamo che il punto <math>z_0=2</math> sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<3 </math> il punto è interno alla curva. Possiamo quindi applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula Scriviamo: <math> I=2\pi i f(2) </math> Poiché: <math> f(z)=e^z </math> si ha: <math> f(2)=e^2 </math> *Passaggio 4: risultato finale Sostituendo nella formula: <math> I=2\pi i e^2 </math> Pertanto: <math> {I=2\pi i e^2} </math> ''' 4.3 Terzo esercizio ''' Calcolare: <math> I=\oint_{|z|=4}\frac{z^3+2z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione (z^3 + 2z) / (z - 2) dove |z| = 4 è la circonferena unitaria''' *Passaggio 1: individuazione della funzione Dal confronto con la formula di Cauchy ricaviamo: <math> f(z)=z^3+2z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione è un polinomio, quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>4</math>. Verifichiamo che il punto sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<4 </math> il punto è interno alla circonferenza. *Passaggio 3: applicazione della formula Applichiamo la rappresentazione integrale di Cauchy: <math> I=2\pi i f(2) </math> Calcoliamo il valore della funzione: <math> f(2)=2^3+2\cdot 2 </math> <math> f(2)=8+4 </math> <math> f(2)=12 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore nella formula: <math> I=2\pi i\cdot 12 </math> Otteniamo: <math> {I=24\pi i} </math> *Risultato finale: <math> {I=24\pi i} </math> <math> I=2\pi i f(z_0) </math> # Calcolare il valore della funzione nel punto individuato. # Moltiplicare il risultato per <math>2\pi i</math>. == 5. Osservazione importante == La rappresentazione integrale di Cauchy può essere applicata soltanto quando il punto <math>z_0</math> si trova all'interno della curva e la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa nella regione considerata. Se il punto è esterno alla curva, non è possibile applicare direttamente la formula nella forma indicata. La formula integrale di Cauchy costituisce inoltre la base per la formula integrale di Cauchy per le derivate, che permette di calcolare le derivate di una funzione olomorfa attraverso integrali lungo curve chiuse. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx = Teorema integrale di Cauchy generalizzato = Il '''teorema integrale di Cauchy generalizzato''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso permette di calcolare gli integrali curvilinei di funzioni complesse olomorfe lungo curve chiuse, anche quando il dominio di definizione della funzione presenta delle regioni escluse o dei buchi. La sua importanza consiste nel fatto che consente di trasformare un problema di integrazione lungo una curva in un risultato matematico che dipende dalle proprietà analitiche della funzione e dalla struttura del dominio. In particolare, il teorema stabilisce che, sotto opportune condizioni, l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo. == 1. Significato intuitivo == Per comprendere il teorema è necessario considerare una funzione complessa: <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove: <math>z=x+iy</math> e dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> rappresentano rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione. Una funzione olomorfa è una funzione complessa derivabile in senso complesso in ogni punto del dominio considerato. Il teorema classico di Cauchy afferma che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In formula: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=0</math> Il teorema generalizzato permette di estendere questo ragionamento anche a domini non semplicemente connessi, cioè domini che presentano uno o più buchi. In questi casi è necessario considerare tutte le curve che delimitano il dominio, rispettando il loro orientamento. == 2. Enunciato del teorema == Sia <math>D</math> un dominio limitato del piano complesso, il cui bordo è costituito da una curva esterna <math>\gamma_0</math> e da un numero finito di curve interne: <math>\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n</math> Si supponga che la funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa in un aperto contenente la chiusura del dominio e che tutte le curve siano regolari a tratti. Il teorema integrale di Cauchy generalizzato afferma che: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz-\sum_{k=1}^{n}\oint_{\gamma_k}f(z)\,dz=0</math> dove tutte le curve sono considerate con orientamento antiorario. La formula può essere scritta anche nella forma: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz=\sum_{k=1}^{n}\oint_{\gamma_k}f(z)\,dz</math> Questa relazione significa che l'integrale lungo il bordo esterno è uguale alla somma degli integrali lungo i bordi interni, quando questi ultimi vengono percorsi matematicamente in senso antiorario. Se invece si considera il bordo completo del dominio con il suo orientamento positivo, la curva esterna viene percorsa in senso antiorario e le curve interne in senso orario. In questo caso si ottiene: <math>\oint_{\partial D}f(z)\,dz=0</math> Questa è la formulazione generalizzata del teorema integrale di Cauchy. == 3. Condizioni necessarie == Per applicare correttamente il teorema devono essere rispettate alcune condizioni: * La funzione deve essere olomorfa nel dominio considerato. * La funzione deve essere definita anche in un intorno delle curve di integrazione. * Le curve devono essere chiuse e regolari a tratti. * Il dominio può essere semplicemente connesso oppure presentare un numero finito di buchi. * Le curve interne ed esterne devono essere orientate correttamente. La condizione fondamentale è che la funzione non presenti singolarità all'interno del dominio considerato né sulle curve di integrazione. Se una funzione presenta una singolarità all'interno di un contorno, non è possibile applicare direttamente il teorema nella sua forma nulla a tutto il dominio. In questo caso occorre escludere la singolarità dal dominio oppure utilizzare altri risultati, come il teorema dei residui. == 4. Quali problemi è in grado di risolvere == Il teorema generalizzato di Cauchy permette di risolvere diverse tipologie di problemi matematici. === 4.1 Calcolo di integrali complessi lungo curve chiuse === Consente di stabilire immediatamente che un integrale è nullo quando la funzione è olomorfa in tutto il dominio racchiuso dalla curva. Per esempio: <math>\oint_{|z|=2}z^3\,dz</math> Poiché la funzione: <math>f(z)=z^3</math> è intera, cioè olomorfa in tutto il piano complesso, si ottiene: <math>{\oint_{|z|=2}z^3\,dz=0}</math> === 4.2 Calcolo di integrali in domini con buchi === Il teorema permette di studiare integrali in domini che presentano regioni escluse. Ad esempio, si consideri un dominio delimitato da una circonferenza esterna e da una circonferenza interna. Se la funzione è olomorfa nella regione compresa tra le due circonferenze, allora: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz-\oint_{\gamma_1}f(z)\,dz=0</math> Da cui: <math>{\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz=\oint_{\gamma_1}f(z)\,dz}</math> Questo risultato permette di sostituire una curva di integrazione con un'altra curva che circonda la stessa regione esclusa. === 4.3 Trasformazione di integrali difficili in integrali più semplici === Se due curve racchiudono la stessa singolarità e la funzione è olomorfa nella regione compresa tra esse, i rispettivi integrali sono uguali, purché entrambe siano orientate nello stesso verso. Questo permette di scegliere la curva più semplice da utilizzare per il calcolo. === 4.4 Studio delle singolarità === Il teorema permette di capire quando un integrale non può essere considerato nullo a causa della presenza di una singolarità. Quando la funzione non è olomorfa in un punto interno alla curva, è necessario studiare la natura della singolarità. Per questo scopo si utilizzano anche il teorema dei residui e le formule integrali di Cauchy. == 5. Differenza tra il teorema classico e quello generalizzato == Il teorema classico di Cauchy riguarda principalmente domini semplicemente connessi, nei quali ogni curva chiusa può essere deformata continuamente fino a un punto senza uscire dal dominio. La sua conclusione è: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=0</math> Il teorema generalizzato permette invece di considerare domini non semplicemente connessi, cioè domini che presentano uno o più buchi. In questo caso: <math>\oint_{\partial D}f(z)\,dz=0</math> dove il bordo comprende sia la curva esterna sia tutte le curve interne, orientate correttamente. La differenza fondamentale è quindi che il teorema generalizzato tiene conto della struttura geometrica del dominio e dei suoi bordi interni. == 6. Conclusione == Il teorema integrale di Cauchy generalizzato rappresenta uno strumento fondamentale dell'analisi complessa perché consente di studiare integrali curvilinei in domini che possono presentare uno o più buchi. Il suo principio fondamentale è che, se una funzione è olomorfa in un dominio, l'integrale lungo il bordo completo del dominio, orientato positivamente, è uguale a zero. La sua utilità consiste soprattutto nella possibilità di: * Dimostrare che determinati integrali complessi sono nulli. * Trasformare integrali lungo curve complesse in integrali lungo curve più semplici. * Studiare domini non semplicemente connessi. * Separare il contributo delle diverse regioni escluse. * Preparare il calcolo degli integrali mediante il teorema dei residui. Il teorema costituisce quindi uno strumento essenziale per lo studio delle funzioni olomorfe, delle singolarità e degli integrali complessi. == 7. Esempi di calcolo == ===7.1 Esempio completo=== Risolvere <math>I=\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz</math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrale lungo circonferenza la funzione 1/z dove R = |z| è la circonferena unitaria''' IA risponde: Si consideri la funzione: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> Si voglia calcolare l'integrale lungo una circonferenza di raggio <math>R</math> centrata nell'origine: <math>I=\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz</math> La funzione presenta una singolarità nell'origine, quindi non è olomorfa all'interno dell'intera circonferenza. Non si può pertanto applicare direttamente il teorema classico di Cauchy. Si procede escludendo l'origine dal dominio. Si considera una circonferenza interna di raggio <math>r</math>, con: <math> 0 < r < R </math> La regione compresa tra le due circonferenze è un dominio nel quale la funzione è olomorfa. Applicando il teorema generalizzato: <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz-\oint_{|z|=r}\frac{1}{z}\,dz=0</math> Pertanto: <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz=\oint_{|z|=r}\frac{1}{z}\,dz</math> L'integrale è quindi indipendente dal raggio della circonferenza. Per calcolarlo si sceglie la parametrizzazione: <math>z(t)=r e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando: <math>z'(t)=ir e^{it}</math> Quindi: <math>dz=ir e^{it}\,dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{1}{r e^{it}}ir e^{it}\,dt</math> Semplificando: <math>I=i\int_0^{2\pi}dt</math> Integrando: <math>I=i[t]_0^{2\pi}</math> Si ottiene: <math>{I=2\pi i}</math> Il risultato dimostra che l'integrale non è nullo perché la funzione presenta una singolarità nell'origine. === 7.2 Esempio con due singolarità === Risolvere <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz</math> dove <math>f(z)=\frac{1}{(z-a)(z-b)}</math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare la funzione f(z) = 1/ [ (z-a) (z-b) ]''' '''lungo una curva chiusa gamma''' IA risponde: Si consideri la funzione: <math>f(z)=\frac{1}{(z-a)(z-b)}</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono due punti distinti. Si supponga che entrambi i punti siano interni a una curva chiusa <math>\gamma</math> e che la funzione sia olomorfa nella regione esterna a due piccoli dischi che circondano separatamente le singolarità. Il teorema generalizzato permette di scrivere: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=\oint_{\gamma_a}f(z)\,dz+\oint_{\gamma_b}f(z)\,dz</math> dove le due curve interne sono orientate in senso antiorario. Per calcolare il primo integrale si può utilizzare la formula integrale di Cauchy: <math>\oint_{\gamma_a}\frac{1}{(z-a)(z-b)}\,dz=\frac{1}{a-b}\oint_{\gamma_a}\frac{1}{z-a}\,dz</math> Pertanto: <math>\oint_{\gamma_a}f(z)\,dz=\frac{2\pi i}{a-b}</math> Analogamente: <math>\oint_{\gamma_b}f(z)\,dz=\frac{2\pi i}{b-a}</math> Sommando: <math>I=\frac{2\pi i}{a-b}+\frac{2\pi i}{b-a}</math> Poiché: <math>\frac{1}{b-a}=-\frac{1}{a-b}</math> si ottiene: <math>{I=0}</math> Questo esempio dimostra che due singolarità possono produrre contributi integrali che si annullano reciprocamente. CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria: <math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. ==XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX== == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di 5 esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro C) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con \theta = 2: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> eemvzi6z4h91kctpzigsrt4nhqdvhp5 288343 288342 2026-11-12T07:17:04Z Funzioni di correlazione 24136 /* Residui di una funzione . definizione intuitiva */ 288343 wikitext text/x-wiki == Residui di una funzione - definizione intuitiva -== In analisi complessa, il '''residuo''' di una funzione analitica (o olomorfa) in un punto singolare isolato <math>z_0</math> è un numero complesso che misura il comportamento "anomalo" della funzione attorno a quel punto. Mentre l'integrale di una funzione analitica lungo un percorso chiuso è sempre zero (per il [[teorema integrale di Cauchy]]), la presenza di una singolarità all'interno del percorso impedisce all'integrale di annullarsi. Il residuo cattura esattamente l'unico termine della funzione che sopravvive all'integrazione lungo una curva chiusa attorno a <math>z_0</math>, permettendo di trasformare complicati calcoli integrali in semplici operazioni algebriche tramite il [[teorema dei residui]]. == A cosa servono i residui (Utilità pratica) == Il calcolo dei residui non è un mero esercizio astratto di analisi complessa, ma uno strumento di importanza capitale in matematica e fisica per diversi motivi: 1. **Risoluzione di integrali definiti complessi:** Molti integrali definiti reali (spesso trigonometrici o impropri da meno infinito a più infinito) che appaiono impossibili da risolvere con i normali metodi di integrazione di analisi uno o due, possono essere risolti in modo incredibilmente rapido ed elegante applicando il [[teorema dei residui]] nel piano complesso. 2. **Studio dei sistemi dinamici e della stabilità:** Nell'ingegneria e nella teoria dei controlli automatici, la posizione dei poli e il calcolo dei residui legati alla trasformata di Laplace inversa permettono di studiare la risposta temporale dei sistemi dinamici e di stabilirne la stabilità. 3. **Elaborazione dei segnali:** Nella teoria dei segnali, l'analisi complessa e i residui sono impiegati per analizzare la risposta in frequenza dei filtri digitali e analogici attraverso la trasformata Zeta e la trasformata di Laplace. 4. **Fisica teorica e meccanica quantistica:** Vengono ampiamente utilizzati nella teoria quantistica dei campi e nella meccanica statistica per valutare integrali complessi di Feynman e funzioni di propagazione. == Definizione formale (Serie di Laurent) == Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un disco forato <math>0 < |z - z_0| < R</math>. In questa regione, la funzione può essere sviluppata in [[serie di Laurent]] centrata in <math>z_0</math>: <math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (z - z_0)^n = \dots + \frac{a_{-2}}{(z - z_0)^2} + \frac{a_{-1}}{z - z_0} + a_0 + a_1(z - z_0) + a_2(z - z_0)^2 + \dots</math> Il '''residuo''' di <math>f</math> in <math>z_0</math>, indicato con <math>\operatorname{Res}(f, z_0)</math>, è definito come il coefficiente <math>a_{-1}</math> del termine <math>(z - z_0)^{-1}</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = a_{-1}</math> Dal punto di vista integrale, questo valore equivale a: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} f(z) \, dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice percorsa in senso antiorario che racchiude <math>z_0</math> e nessuna altra singolarità. == Perché conta solo il coefficiente <math>a_{-1}</math>? == Integrando termine a termine la serie di Laurent lungo una circonferenza <math>\gamma</math> di raggio <math>r</math> centrata in <math>z_0</math> (parametrizzata come <math>z(t) = z_0 + r e^{it}</math> con <math>t \in [0, 2\pi]</math>), si osserva che: * Per ogni <math>n \neq -1</math>, la funzione <math>(z - z_0)^n</math> ammette una primitiva univoca nel dominio forato, pari a <math>\frac{(z - z_0)^{n+1}}{n+1}</math>. Poiché la curva <math>\gamma</math> è chiusa, l'integrale di tutti questi termini è nullo: :<math>\oint_{\gamma} (z - z_0)^n \, dz = 0 \quad (\text{per } n \neq -1)</math> * Per <math>n = -1</math>, la primitiva sarebbe il logaritmo complesso, che è una funzione polidroma. Svolgendo il calcolo diretto con <math>dz = i r e^{it} \, dt</math> si ottiene: :<math>\oint_{\gamma} \frac{1}{z - z_0} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{i r e^{it}}{r e^{it}} \, dt = \int_{0}^{2\pi} i \, dt = 2\pi i</math> Moltiplicando questo risultato per il coefficiente <math>a_{-1}</math>, l'intero integrale della serie si riduce a <math>2\pi i \cdot a_{-1}</math>. == Percorso di calcolo dei residui == A seconda del tipo di singolarità isolata in <math>z_0</math>, si seguono diverse procedure per calcolare <math>\operatorname{Res}(f, z_0)</math>. === 1. Singolarità eliminabile === Se <math>\lim_{z \to z_0} f(z)</math> esiste ed è finito, la parte singolare della serie di Laurent è assente (<math>a_n = 0</math> per ogni <math>n < 0</math>). Pertanto: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = 0</math> === 2. Polo semplice (ordine <math>m = 1</math>) === Se <math>z_0</math> è un [[polo (analisi complessa)|polo]] di ordine 1, la serie inizia dal termine <math>n = -1</math>. Moltiplicando <math>f(z)</math> per <math>(z - z_0)</math> si isola il coefficiente <math>a_{-1}</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)</math> '''Caso particolare (rapporto di due funzioni):''' Se <math>f(z) = \frac{g(z)}{h(z)}</math>, dove <math>g</math> e <math>h</math> sono olomorfe in <math>z_0</math> con <math>g(z_0) \neq 0</math>, <math>h(z_0) = 0</math> e <math>h'(z_0) \neq 0</math>, si applica la regola di de l'Hôpital: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{g(z_0)}{h'(z_0)}</math> === 3. Polo di ordine <math>m > 1</math> === Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, la serie di Laurent ha la forma: <math>f(z) = \frac{a_{-m}}{(z - z_0)^m} + \dots + \frac{a_{-1}}{z - z_0} + a_0 + \dots</math> Per estrarre <math>a_{-1}</math> si segue questo percorso algebrico: # Si moltiplica la funzione per <math>(z - z_0)^m</math> per eliminare il denominatore: #:<math>(z - z_0)^m f(z) = a_{-m} + a_{-m+1}(z - z_0) + \dots + a_{-1}(z - z_0)^{m-1} + a_0(z - z_0)^m + \dots</math> # Si deriva l'espressione <math>m - 1</math> volte rispetto a <math>z</math> per annullare i termini precedenti ad <math>a_{-1}</math> e portare quest'ultimo a grado zero, moltiplicato per <math>(m - 1)!</math>: #:<math>\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - z_0)^m f(z) \right] = (m - 1)! \, a_{-1} + m! \, a_0 (z - z_0) + \dots</math> # Si passa al limite per <math>z \to z_0</math> e si divide per <math>(m - 1)!</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(m - 1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - z_0)^m f(z) \right]</math> === 4. Singolarità essenziale === Se <math>z_0</math> è una [[singolarità essenziale]], la serie di Laurent ha infiniti termini con esponente negativo e non esistono formule con limiti o derivate. L'unico percorso è determinare esplicitamente lo sviluppo in serie (ad esempio tramite noti [[sviluppo in serie di Taylor|sviluppi di Taylor]] o sostituendo variabili) e leggere direttamente il coefficiente <math>a_{-1}</math>. '''Esempio:''' Per <math>f(z) = e^{1/z}</math> in <math>z_0 = 0</math>, sostituendo <math>w = 1/z</math> nello sviluppo dell'esponenziale si ottiene: <math>e^{1/z} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n! \, z^n} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2! \, z^2} + \frac{1}{3! \, z^3} + \dots</math> Il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math> è <math>1</math>, quindi <math>\operatorname{Res}(e^{1/z}, 0) = 1</math>. === 5. Residuo all'infinito === Per studiare il comportamento di <math>f(z)</math> per <math>|z| \to \infty</math>, si effettua il cambio di variabile <math>z = \frac{1}{w}</math>, considerando l'orientamento opposto della curva attorno all'infinito (da cui il segno meno): <math>\operatorname{Res}(f, \infty) = -\operatorname{Res}\left( \frac{1}{w^2} f\left(\frac{1}{w}\right), 0 \right)</math>   == Applicazione del teorema dei residui == Sia data la funzione di variabile complessa: <math>f(z) = \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2}</math> Vogliamo determinare le singolarità della funzione, i relativi residui e applicare il teorema dei residui per calcolarne l'integrale lungo una linea chiusa <math>\gamma</math>. === Individuazione delle singolarità === I punti di singolarità di <math>f(z)</math> si ottengono annullando il denominatore: <math>(z - 1)(z - 2)^2 = 0</math> Troviamo due poli: * <math>z = 1</math> è un polo semplice (di ordine 1). * <math>z = 2</math> è un polo di ordine 2. === Calcolo dei residui === ==== Residuo nel polo <math>z = 1</math> ==== Essendo <math>z = 1</math> un polo semplice, il residuo si calcola come: <math>\text{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z - 1)f(z)</math> Sostituendo l'espressione di <math>f(z)</math>: <math>\text{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z - 1) \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2} = \lim_{z \to 1} \frac{z + 1}{(z - 2)^2}</math> Valutando il limite: <math>\text{Res}(f, 1) = \frac{1 + 1}{(1 - 2)^2} = \frac{2}{(-1)^2} = 2</math> ==== Residuo nel polo <math>z = 2</math> ==== Essendo <math>z = 2</math> un polo di ordine <math>m = 2</math>, il residuo si calcola con la formula per i poli di ordine superiore: <math>\text{Res}(f, 2) = \frac{1}{(2-1)!} \lim_{z \to 2} \frac{d}{dz} \left[ (z - 2)^2 f(z) \right]</math> Semplificando l'espressione all'interno del limite: <math>(z - 2)^2 f(z) = (z - 2)^2 \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2} = \frac{z + 1}{z - 1}</math> Calcoliamo la derivata prima rispetto a <math>z</math> usando la regola del quoziente: <math>\frac{d}{dz} \left[ \frac{z + 1}{z - 1} \right] = \frac{1 \cdot (z - 1) - (z + 1) \cdot 1}{(z - 1)^2} = \frac{z - 1 - z - 1}{(z - 1)^2} = \frac{-2}{(z - 1)^2}</math> Passiamo ora al limite per <math>z \to 2</math>: <math>\text{Res}(f, 2) = \lim_{z \to 2} \frac{-2}{(z - 1)^2} = \frac{-2}{(2 - 1)^2} = \frac{-2}{1^2} = -2</math> === Applicazione del teorema dei residui === Il teorema dei residui afferma che, data una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> orientata in senso antiorario che circonda un insieme di singolarità, l'integrale di linea di <math>f(z)</math> lungo <math>\gamma</math> è dato da: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k} \text{Res}(f, z_k)</math> A seconda di quale dominio racchiuda la curva <math>\gamma</math>, si possono presentare tre casi principali: 1. Se <math>\gamma</math> racchiude **solo il polo <math>z = 1</math>**: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, 1) = 2\pi i \cdot 2 = 4\pi i</math> 2. Se <math>\gamma</math> racchiude **solo il polo <math>z = 2</math>**: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, 2) = 2\pi i \cdot (-2) = -4\pi i</math> 3. Se <math>\gamma</math> racchiude **entrambi i poli**: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \left[ \text{Res}(f, 1) + \text{Res}(f, 2) \right] = 2\pi i \left[ 2 + (-2) \right] = 0</math> ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc   gggggggggggggggggggggggggggggggvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn '''4.4 Testo del 4° esercizio''' Sia da calcolare l'integrale di linea nel piano complesso: :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz</math> Calcolare il seguente integrale complesso: con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo la linea la funzione ( z^4 ) / ( z + 2 ) dove = |z| = 4''' IA risponde: === Enunciato della Formula Integrale di Cauchy === Se <math>f(z)</math> è una funzione olomorfa all'interno e sul bordo di una curva semplice e chiusa <math>C</math> orientata positivamente, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora vale la relazione: :<math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> === Svolgimento e analisi dei parametri === 1. '''Identificazione del dominio e del cammino di integrazione:''' La curva di integrazione è la circonferenza <math>C</math> definita da <math>|z| = 4</math>, centrata nell'origine con raggio <math>R = 4</math>. 2. '''Scelta della funzione olomorfa:''' Poniamo <math>f(z) = z^4</math>. La funzione è un polinomio ed è pertanto intera (olomorfa su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>). 3. '''Individuazione della singolarità:''' Riscrivendo il denominatore nella forma <math>z - z_0</math>, si ottiene: :<math>z + 2 = z - (-2)</math> Quindi la singolarità si trova nel punto <math>z_0 = -2</math>. 4. '''Verifica della posizione del punto:''' Calcoliamo il modulo di <math>z_0</math>: :<math>|z_0| = |-2| = 2 < 4</math> Poiché il modulo è minore del raggio del cammino d'integrazione, il punto <math>z_0 = -2</math> appartiene al dominio interno racchiuso dalla curva <math>|z| = 4</math>. === Calcolo finale === Applichiamo la Formula Integrale di Cauchy: 1. Valutiamo <math>f(z)</math> nel punto <math>z_0 = -2</math>: :<math>f(-2) = (-2)^4 = 16</math> 2. Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: :<math>\oint_{|z|=4} \frac{z^4}{z - (-2)} \, dz = 2\pi i \cdot f(-2) = 2\pi i \cdot 16 = 32\pi i</math> === Risultato === :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz = 32\pi i</math> kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk = Rappresentazione integrale di Cauchy = La '''rappresentazione integrale di Cauchy''' è un importante teorema dell'analisi complessa. Esso permette di determinare il valore di una funzione olomorfa in un punto interno a una curva chiusa, conoscendo i valori della funzione lungo la curva stessa. == 1. Enunciato del teorema == Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e tutto il suo interno. Sia inoltre <math>z_0</math> un punto interno alla curva. La formula integrale di Cauchy afferma che: <math> f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz </math> In modo equivalente, si può scrivere: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> La curva <math>\gamma</math> deve essere orientata positivamente, cioè percorsa in senso antiorario. Il significato del teorema è che il valore della funzione in un punto interno alla curva può essere calcolato mediante un integrale di linea lungo il bordo della regione considerata. == 2. Significato dei simboli == * <math>f(z)</math>: funzione complessa olomorfa. * <math>z</math>: variabile complessa. * <math>z_0</math>: punto interno alla curva. * <math>\gamma</math>: curva chiusa semplice. * <math>i</math>: unità immaginaria, con <math>i^2=-1</math>. * <math>\oint_\gamma</math>: integrale curvilineo lungo una curva chiusa. == 3. Condizioni per applicare il teorema == Per applicare la rappresentazione integrale di Cauchy devono essere rispettate le seguenti condizioni: # La funzione <math>f(z)</math> deve essere olomorfa all'interno della curva e sul suo bordo. # La curva <math>\gamma</math> deve essere chiusa e semplice. # Il punto <math>z_0</math> deve essere interno alla curva. # La curva deve essere orientata positivamente, cioè in senso antiorario. Se tutte queste condizioni sono soddisfatte, è possibile applicare direttamente la formula integrale di Cauchy. == 4. Esercizi svolti == Schema riassuntivo per la risoluzione degli esercizi: Per risolvere un integrale mediante la rappresentazione integrale di Cauchy è utile seguire sempre questi passaggi: # Individuare la funzione <math>f(z)</math> presente al numeratore dell'integrale. # Individuare il punto <math>z_0</math> annullando il denominatore <math>z-z_0</math>. # Verificare che la funzione sia olomorfa all'interno e sul bordo della curva. # Verificare che il punto <math>z_0</math> sia interno alla curva. # Applicare la formula integrale di Cauchy: '''4.1 Testo del 1° esercizio''' Calcolare il seguente integrale complesso: <math> I=\oint_{|z|=2}\frac{z^2+1}{z-1}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione ( z^2 + 1 ) / ( z -1 ) dove R = |2| è la circonferena unitaria''' IA risponde: La curva è una circonferenza con centro nell'origine e raggio uguale a <math>2</math>, percorsa in senso antiorario. *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontiamo l'integrale assegnato con la formula generale di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Dal confronto ricaviamo: <math> f(z)=z^2+1 </math> e: <math> z_0=1 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Dobbiamo verificare che il punto <math>z_0=1</math> sia interno alla circonferenza di raggio <math>2</math>. Calcoliamo il modulo: <math> |z_0|=|1|=1 </math> Poiché: <math> 1<2 </math> il punto <math>z_0=1</math> è interno alla circonferenza. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni per applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula === Utilizziamo la formula integrale: <math> I=2\pi i f(z_0) </math> Sostituiamo il valore del punto: <math> I=2\pi i f(1) </math> Calcoliamo il valore della funzione nel punto <math>z=1</math>: <math> f(1)=1^2+1 </math> <math> f(1)=1+1=2 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: <math> I=2\pi i\cdot 2 </math> Quindi: <math> {I=4\pi i} </math> Risultato finale: <math> {I=4\pi i} </math> ''' 4.2 Secondo esercizio ''' Calcolare il seguente integrale: <math> I=\oint_{|z|=3}\frac{e^z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione e^z / (z - 2) dove R = |3| è la circonferena unitaria''' IA risponde: *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontando l'integrale con la formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> individuiamo: <math> f(z)=e^z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione esponenziale complessa <math>e^z</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>3</math>. Verifichiamo che il punto <math>z_0=2</math> sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<3 </math> il punto è interno alla curva. Possiamo quindi applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula Scriviamo: <math> I=2\pi i f(2) </math> Poiché: <math> f(z)=e^z </math> si ha: <math> f(2)=e^2 </math> *Passaggio 4: risultato finale Sostituendo nella formula: <math> I=2\pi i e^2 </math> Pertanto: <math> {I=2\pi i e^2} </math> ''' 4.3 Terzo esercizio ''' Calcolare: <math> I=\oint_{|z|=4}\frac{z^3+2z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione (z^3 + 2z) / (z - 2) dove |z| = 4 è la circonferena unitaria''' *Passaggio 1: individuazione della funzione Dal confronto con la formula di Cauchy ricaviamo: <math> f(z)=z^3+2z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione è un polinomio, quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>4</math>. Verifichiamo che il punto sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<4 </math> il punto è interno alla circonferenza. *Passaggio 3: applicazione della formula Applichiamo la rappresentazione integrale di Cauchy: <math> I=2\pi i f(2) </math> Calcoliamo il valore della funzione: <math> f(2)=2^3+2\cdot 2 </math> <math> f(2)=8+4 </math> <math> f(2)=12 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore nella formula: <math> I=2\pi i\cdot 12 </math> Otteniamo: <math> {I=24\pi i} </math> *Risultato finale: <math> {I=24\pi i} </math> <math> I=2\pi i f(z_0) </math> # Calcolare il valore della funzione nel punto individuato. # Moltiplicare il risultato per <math>2\pi i</math>. == 5. Osservazione importante == La rappresentazione integrale di Cauchy può essere applicata soltanto quando il punto <math>z_0</math> si trova all'interno della curva e la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa nella regione considerata. Se il punto è esterno alla curva, non è possibile applicare direttamente la formula nella forma indicata. La formula integrale di Cauchy costituisce inoltre la base per la formula integrale di Cauchy per le derivate, che permette di calcolare le derivate di una funzione olomorfa attraverso integrali lungo curve chiuse. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx = Teorema integrale di Cauchy generalizzato = Il '''teorema integrale di Cauchy generalizzato''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso permette di calcolare gli integrali curvilinei di funzioni complesse olomorfe lungo curve chiuse, anche quando il dominio di definizione della funzione presenta delle regioni escluse o dei buchi. La sua importanza consiste nel fatto che consente di trasformare un problema di integrazione lungo una curva in un risultato matematico che dipende dalle proprietà analitiche della funzione e dalla struttura del dominio. In particolare, il teorema stabilisce che, sotto opportune condizioni, l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo. == 1. Significato intuitivo == Per comprendere il teorema è necessario considerare una funzione complessa: <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove: <math>z=x+iy</math> e dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> rappresentano rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione. Una funzione olomorfa è una funzione complessa derivabile in senso complesso in ogni punto del dominio considerato. Il teorema classico di Cauchy afferma che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In formula: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=0</math> Il teorema generalizzato permette di estendere questo ragionamento anche a domini non semplicemente connessi, cioè domini che presentano uno o più buchi. In questi casi è necessario considerare tutte le curve che delimitano il dominio, rispettando il loro orientamento. == 2. Enunciato del teorema == Sia <math>D</math> un dominio limitato del piano complesso, il cui bordo è costituito da una curva esterna <math>\gamma_0</math> e da un numero finito di curve interne: <math>\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n</math> Si supponga che la funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa in un aperto contenente la chiusura del dominio e che tutte le curve siano regolari a tratti. Il teorema integrale di Cauchy generalizzato afferma che: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz-\sum_{k=1}^{n}\oint_{\gamma_k}f(z)\,dz=0</math> dove tutte le curve sono considerate con orientamento antiorario. La formula può essere scritta anche nella forma: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz=\sum_{k=1}^{n}\oint_{\gamma_k}f(z)\,dz</math> Questa relazione significa che l'integrale lungo il bordo esterno è uguale alla somma degli integrali lungo i bordi interni, quando questi ultimi vengono percorsi matematicamente in senso antiorario. Se invece si considera il bordo completo del dominio con il suo orientamento positivo, la curva esterna viene percorsa in senso antiorario e le curve interne in senso orario. In questo caso si ottiene: <math>\oint_{\partial D}f(z)\,dz=0</math> Questa è la formulazione generalizzata del teorema integrale di Cauchy. == 3. Condizioni necessarie == Per applicare correttamente il teorema devono essere rispettate alcune condizioni: * La funzione deve essere olomorfa nel dominio considerato. * La funzione deve essere definita anche in un intorno delle curve di integrazione. * Le curve devono essere chiuse e regolari a tratti. * Il dominio può essere semplicemente connesso oppure presentare un numero finito di buchi. * Le curve interne ed esterne devono essere orientate correttamente. La condizione fondamentale è che la funzione non presenti singolarità all'interno del dominio considerato né sulle curve di integrazione. Se una funzione presenta una singolarità all'interno di un contorno, non è possibile applicare direttamente il teorema nella sua forma nulla a tutto il dominio. In questo caso occorre escludere la singolarità dal dominio oppure utilizzare altri risultati, come il teorema dei residui. == 4. Quali problemi è in grado di risolvere == Il teorema generalizzato di Cauchy permette di risolvere diverse tipologie di problemi matematici. === 4.1 Calcolo di integrali complessi lungo curve chiuse === Consente di stabilire immediatamente che un integrale è nullo quando la funzione è olomorfa in tutto il dominio racchiuso dalla curva. Per esempio: <math>\oint_{|z|=2}z^3\,dz</math> Poiché la funzione: <math>f(z)=z^3</math> è intera, cioè olomorfa in tutto il piano complesso, si ottiene: <math>{\oint_{|z|=2}z^3\,dz=0}</math> === 4.2 Calcolo di integrali in domini con buchi === Il teorema permette di studiare integrali in domini che presentano regioni escluse. Ad esempio, si consideri un dominio delimitato da una circonferenza esterna e da una circonferenza interna. Se la funzione è olomorfa nella regione compresa tra le due circonferenze, allora: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz-\oint_{\gamma_1}f(z)\,dz=0</math> Da cui: <math>{\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz=\oint_{\gamma_1}f(z)\,dz}</math> Questo risultato permette di sostituire una curva di integrazione con un'altra curva che circonda la stessa regione esclusa. === 4.3 Trasformazione di integrali difficili in integrali più semplici === Se due curve racchiudono la stessa singolarità e la funzione è olomorfa nella regione compresa tra esse, i rispettivi integrali sono uguali, purché entrambe siano orientate nello stesso verso. Questo permette di scegliere la curva più semplice da utilizzare per il calcolo. === 4.4 Studio delle singolarità === Il teorema permette di capire quando un integrale non può essere considerato nullo a causa della presenza di una singolarità. Quando la funzione non è olomorfa in un punto interno alla curva, è necessario studiare la natura della singolarità. Per questo scopo si utilizzano anche il teorema dei residui e le formule integrali di Cauchy. == 5. Differenza tra il teorema classico e quello generalizzato == Il teorema classico di Cauchy riguarda principalmente domini semplicemente connessi, nei quali ogni curva chiusa può essere deformata continuamente fino a un punto senza uscire dal dominio. La sua conclusione è: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=0</math> Il teorema generalizzato permette invece di considerare domini non semplicemente connessi, cioè domini che presentano uno o più buchi. In questo caso: <math>\oint_{\partial D}f(z)\,dz=0</math> dove il bordo comprende sia la curva esterna sia tutte le curve interne, orientate correttamente. La differenza fondamentale è quindi che il teorema generalizzato tiene conto della struttura geometrica del dominio e dei suoi bordi interni. == 6. Conclusione == Il teorema integrale di Cauchy generalizzato rappresenta uno strumento fondamentale dell'analisi complessa perché consente di studiare integrali curvilinei in domini che possono presentare uno o più buchi. Il suo principio fondamentale è che, se una funzione è olomorfa in un dominio, l'integrale lungo il bordo completo del dominio, orientato positivamente, è uguale a zero. La sua utilità consiste soprattutto nella possibilità di: * Dimostrare che determinati integrali complessi sono nulli. * Trasformare integrali lungo curve complesse in integrali lungo curve più semplici. * Studiare domini non semplicemente connessi. * Separare il contributo delle diverse regioni escluse. * Preparare il calcolo degli integrali mediante il teorema dei residui. Il teorema costituisce quindi uno strumento essenziale per lo studio delle funzioni olomorfe, delle singolarità e degli integrali complessi. == 7. Esempi di calcolo == ===7.1 Esempio completo=== Risolvere <math>I=\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz</math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrale lungo circonferenza la funzione 1/z dove R = |z| è la circonferena unitaria''' IA risponde: Si consideri la funzione: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> Si voglia calcolare l'integrale lungo una circonferenza di raggio <math>R</math> centrata nell'origine: <math>I=\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz</math> La funzione presenta una singolarità nell'origine, quindi non è olomorfa all'interno dell'intera circonferenza. Non si può pertanto applicare direttamente il teorema classico di Cauchy. Si procede escludendo l'origine dal dominio. Si considera una circonferenza interna di raggio <math>r</math>, con: <math> 0 < r < R </math> La regione compresa tra le due circonferenze è un dominio nel quale la funzione è olomorfa. Applicando il teorema generalizzato: <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz-\oint_{|z|=r}\frac{1}{z}\,dz=0</math> Pertanto: <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz=\oint_{|z|=r}\frac{1}{z}\,dz</math> L'integrale è quindi indipendente dal raggio della circonferenza. Per calcolarlo si sceglie la parametrizzazione: <math>z(t)=r e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando: <math>z'(t)=ir e^{it}</math> Quindi: <math>dz=ir e^{it}\,dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{1}{r e^{it}}ir e^{it}\,dt</math> Semplificando: <math>I=i\int_0^{2\pi}dt</math> Integrando: <math>I=i[t]_0^{2\pi}</math> Si ottiene: <math>{I=2\pi i}</math> Il risultato dimostra che l'integrale non è nullo perché la funzione presenta una singolarità nell'origine. === 7.2 Esempio con due singolarità === Risolvere <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz</math> dove <math>f(z)=\frac{1}{(z-a)(z-b)}</math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare la funzione f(z) = 1/ [ (z-a) (z-b) ]''' '''lungo una curva chiusa gamma''' IA risponde: Si consideri la funzione: <math>f(z)=\frac{1}{(z-a)(z-b)}</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono due punti distinti. Si supponga che entrambi i punti siano interni a una curva chiusa <math>\gamma</math> e che la funzione sia olomorfa nella regione esterna a due piccoli dischi che circondano separatamente le singolarità. Il teorema generalizzato permette di scrivere: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=\oint_{\gamma_a}f(z)\,dz+\oint_{\gamma_b}f(z)\,dz</math> dove le due curve interne sono orientate in senso antiorario. Per calcolare il primo integrale si può utilizzare la formula integrale di Cauchy: <math>\oint_{\gamma_a}\frac{1}{(z-a)(z-b)}\,dz=\frac{1}{a-b}\oint_{\gamma_a}\frac{1}{z-a}\,dz</math> Pertanto: <math>\oint_{\gamma_a}f(z)\,dz=\frac{2\pi i}{a-b}</math> Analogamente: <math>\oint_{\gamma_b}f(z)\,dz=\frac{2\pi i}{b-a}</math> Sommando: <math>I=\frac{2\pi i}{a-b}+\frac{2\pi i}{b-a}</math> Poiché: <math>\frac{1}{b-a}=-\frac{1}{a-b}</math> si ottiene: <math>{I=0}</math> Questo esempio dimostra che due singolarità possono produrre contributi integrali che si annullano reciprocamente. CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria: <math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. ==XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX== == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di 5 esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro C) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con \theta = 2: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> alfr7caxsynssomqgqsn99dbmsl96pt 288344 288343 2026-11-12T07:18:06Z Funzioni di correlazione 24136 /* Definizione formale (Serie di Laurent) */ 288344 wikitext text/x-wiki == Residui di una funzione - definizione intuitiva -== In analisi complessa, il '''residuo''' di una funzione analitica (o olomorfa) in un punto singolare isolato <math>z_0</math> è un numero complesso che misura il comportamento "anomalo" della funzione attorno a quel punto. Mentre l'integrale di una funzione analitica lungo un percorso chiuso è sempre zero (per il [[teorema integrale di Cauchy]]), la presenza di una singolarità all'interno del percorso impedisce all'integrale di annullarsi. Il residuo cattura esattamente l'unico termine della funzione che sopravvive all'integrazione lungo una curva chiusa attorno a <math>z_0</math>, permettendo di trasformare complicati calcoli integrali in semplici operazioni algebriche tramite il [[teorema dei residui]]. == A cosa servono i residui (Utilità pratica) == Il calcolo dei residui non è un mero esercizio astratto di analisi complessa, ma uno strumento di importanza capitale in matematica e fisica per diversi motivi: 1. **Risoluzione di integrali definiti complessi:** Molti integrali definiti reali (spesso trigonometrici o impropri da meno infinito a più infinito) che appaiono impossibili da risolvere con i normali metodi di integrazione di analisi uno o due, possono essere risolti in modo incredibilmente rapido ed elegante applicando il [[teorema dei residui]] nel piano complesso. 2. **Studio dei sistemi dinamici e della stabilità:** Nell'ingegneria e nella teoria dei controlli automatici, la posizione dei poli e il calcolo dei residui legati alla trasformata di Laplace inversa permettono di studiare la risposta temporale dei sistemi dinamici e di stabilirne la stabilità. 3. **Elaborazione dei segnali:** Nella teoria dei segnali, l'analisi complessa e i residui sono impiegati per analizzare la risposta in frequenza dei filtri digitali e analogici attraverso la trasformata Zeta e la trasformata di Laplace. 4. **Fisica teorica e meccanica quantistica:** Vengono ampiamente utilizzati nella teoria quantistica dei campi e nella meccanica statistica per valutare integrali complessi di Feynman e funzioni di propagazione. == Definizione formale dei residui (Serie di Laurent) == Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un disco forato <math>0 < |z - z_0| < R</math>. In questa regione, la funzione può essere sviluppata in [[serie di Laurent]] centrata in <math>z_0</math>: <math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (z - z_0)^n = \dots + \frac{a_{-2}}{(z - z_0)^2} + \frac{a_{-1}}{z - z_0} + a_0 + a_1(z - z_0) + a_2(z - z_0)^2 + \dots</math> Il '''residuo''' di <math>f</math> in <math>z_0</math>, indicato con <math>\operatorname{Res}(f, z_0)</math>, è definito come il coefficiente <math>a_{-1}</math> del termine <math>(z - z_0)^{-1}</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = a_{-1}</math> Dal punto di vista integrale, questo valore equivale a: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} f(z) \, dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice percorsa in senso antiorario che racchiude <math>z_0</math> e nessuna altra singolarità. == Perché conta solo il coefficiente <math>a_{-1}</math>? == Integrando termine a termine la serie di Laurent lungo una circonferenza <math>\gamma</math> di raggio <math>r</math> centrata in <math>z_0</math> (parametrizzata come <math>z(t) = z_0 + r e^{it}</math> con <math>t \in [0, 2\pi]</math>), si osserva che: * Per ogni <math>n \neq -1</math>, la funzione <math>(z - z_0)^n</math> ammette una primitiva univoca nel dominio forato, pari a <math>\frac{(z - z_0)^{n+1}}{n+1}</math>. Poiché la curva <math>\gamma</math> è chiusa, l'integrale di tutti questi termini è nullo: :<math>\oint_{\gamma} (z - z_0)^n \, dz = 0 \quad (\text{per } n \neq -1)</math> * Per <math>n = -1</math>, la primitiva sarebbe il logaritmo complesso, che è una funzione polidroma. Svolgendo il calcolo diretto con <math>dz = i r e^{it} \, dt</math> si ottiene: :<math>\oint_{\gamma} \frac{1}{z - z_0} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{i r e^{it}}{r e^{it}} \, dt = \int_{0}^{2\pi} i \, dt = 2\pi i</math> Moltiplicando questo risultato per il coefficiente <math>a_{-1}</math>, l'intero integrale della serie si riduce a <math>2\pi i \cdot a_{-1}</math>. == Percorso di calcolo dei residui == A seconda del tipo di singolarità isolata in <math>z_0</math>, si seguono diverse procedure per calcolare <math>\operatorname{Res}(f, z_0)</math>. === 1. Singolarità eliminabile === Se <math>\lim_{z \to z_0} f(z)</math> esiste ed è finito, la parte singolare della serie di Laurent è assente (<math>a_n = 0</math> per ogni <math>n < 0</math>). Pertanto: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = 0</math> === 2. Polo semplice (ordine <math>m = 1</math>) === Se <math>z_0</math> è un [[polo (analisi complessa)|polo]] di ordine 1, la serie inizia dal termine <math>n = -1</math>. Moltiplicando <math>f(z)</math> per <math>(z - z_0)</math> si isola il coefficiente <math>a_{-1}</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)</math> '''Caso particolare (rapporto di due funzioni):''' Se <math>f(z) = \frac{g(z)}{h(z)}</math>, dove <math>g</math> e <math>h</math> sono olomorfe in <math>z_0</math> con <math>g(z_0) \neq 0</math>, <math>h(z_0) = 0</math> e <math>h'(z_0) \neq 0</math>, si applica la regola di de l'Hôpital: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{g(z_0)}{h'(z_0)}</math> === 3. Polo di ordine <math>m > 1</math> === Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, la serie di Laurent ha la forma: <math>f(z) = \frac{a_{-m}}{(z - z_0)^m} + \dots + \frac{a_{-1}}{z - z_0} + a_0 + \dots</math> Per estrarre <math>a_{-1}</math> si segue questo percorso algebrico: # Si moltiplica la funzione per <math>(z - z_0)^m</math> per eliminare il denominatore: #:<math>(z - z_0)^m f(z) = a_{-m} + a_{-m+1}(z - z_0) + \dots + a_{-1}(z - z_0)^{m-1} + a_0(z - z_0)^m + \dots</math> # Si deriva l'espressione <math>m - 1</math> volte rispetto a <math>z</math> per annullare i termini precedenti ad <math>a_{-1}</math> e portare quest'ultimo a grado zero, moltiplicato per <math>(m - 1)!</math>: #:<math>\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - z_0)^m f(z) \right] = (m - 1)! \, a_{-1} + m! \, a_0 (z - z_0) + \dots</math> # Si passa al limite per <math>z \to z_0</math> e si divide per <math>(m - 1)!</math>: <math>\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(m - 1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - z_0)^m f(z) \right]</math> === 4. Singolarità essenziale === Se <math>z_0</math> è una [[singolarità essenziale]], la serie di Laurent ha infiniti termini con esponente negativo e non esistono formule con limiti o derivate. L'unico percorso è determinare esplicitamente lo sviluppo in serie (ad esempio tramite noti [[sviluppo in serie di Taylor|sviluppi di Taylor]] o sostituendo variabili) e leggere direttamente il coefficiente <math>a_{-1}</math>. '''Esempio:''' Per <math>f(z) = e^{1/z}</math> in <math>z_0 = 0</math>, sostituendo <math>w = 1/z</math> nello sviluppo dell'esponenziale si ottiene: <math>e^{1/z} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n! \, z^n} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2! \, z^2} + \frac{1}{3! \, z^3} + \dots</math> Il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math> è <math>1</math>, quindi <math>\operatorname{Res}(e^{1/z}, 0) = 1</math>. === 5. Residuo all'infinito === Per studiare il comportamento di <math>f(z)</math> per <math>|z| \to \infty</math>, si effettua il cambio di variabile <math>z = \frac{1}{w}</math>, considerando l'orientamento opposto della curva attorno all'infinito (da cui il segno meno): <math>\operatorname{Res}(f, \infty) = -\operatorname{Res}\left( \frac{1}{w^2} f\left(\frac{1}{w}\right), 0 \right)</math>   == Applicazione del teorema dei residui == Sia data la funzione di variabile complessa: <math>f(z) = \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2}</math> Vogliamo determinare le singolarità della funzione, i relativi residui e applicare il teorema dei residui per calcolarne l'integrale lungo una linea chiusa <math>\gamma</math>. === Individuazione delle singolarità === I punti di singolarità di <math>f(z)</math> si ottengono annullando il denominatore: <math>(z - 1)(z - 2)^2 = 0</math> Troviamo due poli: * <math>z = 1</math> è un polo semplice (di ordine 1). * <math>z = 2</math> è un polo di ordine 2. === Calcolo dei residui === ==== Residuo nel polo <math>z = 1</math> ==== Essendo <math>z = 1</math> un polo semplice, il residuo si calcola come: <math>\text{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z - 1)f(z)</math> Sostituendo l'espressione di <math>f(z)</math>: <math>\text{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z - 1) \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2} = \lim_{z \to 1} \frac{z + 1}{(z - 2)^2}</math> Valutando il limite: <math>\text{Res}(f, 1) = \frac{1 + 1}{(1 - 2)^2} = \frac{2}{(-1)^2} = 2</math> ==== Residuo nel polo <math>z = 2</math> ==== Essendo <math>z = 2</math> un polo di ordine <math>m = 2</math>, il residuo si calcola con la formula per i poli di ordine superiore: <math>\text{Res}(f, 2) = \frac{1}{(2-1)!} \lim_{z \to 2} \frac{d}{dz} \left[ (z - 2)^2 f(z) \right]</math> Semplificando l'espressione all'interno del limite: <math>(z - 2)^2 f(z) = (z - 2)^2 \frac{z + 1}{(z - 1)(z - 2)^2} = \frac{z + 1}{z - 1}</math> Calcoliamo la derivata prima rispetto a <math>z</math> usando la regola del quoziente: <math>\frac{d}{dz} \left[ \frac{z + 1}{z - 1} \right] = \frac{1 \cdot (z - 1) - (z + 1) \cdot 1}{(z - 1)^2} = \frac{z - 1 - z - 1}{(z - 1)^2} = \frac{-2}{(z - 1)^2}</math> Passiamo ora al limite per <math>z \to 2</math>: <math>\text{Res}(f, 2) = \lim_{z \to 2} \frac{-2}{(z - 1)^2} = \frac{-2}{(2 - 1)^2} = \frac{-2}{1^2} = -2</math> === Applicazione del teorema dei residui === Il teorema dei residui afferma che, data una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> orientata in senso antiorario che circonda un insieme di singolarità, l'integrale di linea di <math>f(z)</math> lungo <math>\gamma</math> è dato da: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k} \text{Res}(f, z_k)</math> A seconda di quale dominio racchiuda la curva <math>\gamma</math>, si possono presentare tre casi principali: 1. Se <math>\gamma</math> racchiude **solo il polo <math>z = 1</math>**: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, 1) = 2\pi i \cdot 2 = 4\pi i</math> 2. Se <math>\gamma</math> racchiude **solo il polo <math>z = 2</math>**: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, 2) = 2\pi i \cdot (-2) = -4\pi i</math> 3. Se <math>\gamma</math> racchiude **entrambi i poli**: <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \left[ \text{Res}(f, 1) + \text{Res}(f, 2) \right] = 2\pi i \left[ 2 + (-2) \right] = 0</math> ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc   gggggggggggggggggggggggggggggggvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn '''4.4 Testo del 4° esercizio''' Sia da calcolare l'integrale di linea nel piano complesso: :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz</math> Calcolare il seguente integrale complesso: con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo la linea la funzione ( z^4 ) / ( z + 2 ) dove = |z| = 4''' IA risponde: === Enunciato della Formula Integrale di Cauchy === Se <math>f(z)</math> è una funzione olomorfa all'interno e sul bordo di una curva semplice e chiusa <math>C</math> orientata positivamente, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora vale la relazione: :<math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> === Svolgimento e analisi dei parametri === 1. '''Identificazione del dominio e del cammino di integrazione:''' La curva di integrazione è la circonferenza <math>C</math> definita da <math>|z| = 4</math>, centrata nell'origine con raggio <math>R = 4</math>. 2. '''Scelta della funzione olomorfa:''' Poniamo <math>f(z) = z^4</math>. La funzione è un polinomio ed è pertanto intera (olomorfa su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>). 3. '''Individuazione della singolarità:''' Riscrivendo il denominatore nella forma <math>z - z_0</math>, si ottiene: :<math>z + 2 = z - (-2)</math> Quindi la singolarità si trova nel punto <math>z_0 = -2</math>. 4. '''Verifica della posizione del punto:''' Calcoliamo il modulo di <math>z_0</math>: :<math>|z_0| = |-2| = 2 < 4</math> Poiché il modulo è minore del raggio del cammino d'integrazione, il punto <math>z_0 = -2</math> appartiene al dominio interno racchiuso dalla curva <math>|z| = 4</math>. === Calcolo finale === Applichiamo la Formula Integrale di Cauchy: 1. Valutiamo <math>f(z)</math> nel punto <math>z_0 = -2</math>: :<math>f(-2) = (-2)^4 = 16</math> 2. Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: :<math>\oint_{|z|=4} \frac{z^4}{z - (-2)} \, dz = 2\pi i \cdot f(-2) = 2\pi i \cdot 16 = 32\pi i</math> === Risultato === :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz = 32\pi i</math> kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk = Rappresentazione integrale di Cauchy = La '''rappresentazione integrale di Cauchy''' è un importante teorema dell'analisi complessa. Esso permette di determinare il valore di una funzione olomorfa in un punto interno a una curva chiusa, conoscendo i valori della funzione lungo la curva stessa. == 1. Enunciato del teorema == Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e tutto il suo interno. Sia inoltre <math>z_0</math> un punto interno alla curva. La formula integrale di Cauchy afferma che: <math> f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz </math> In modo equivalente, si può scrivere: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> La curva <math>\gamma</math> deve essere orientata positivamente, cioè percorsa in senso antiorario. Il significato del teorema è che il valore della funzione in un punto interno alla curva può essere calcolato mediante un integrale di linea lungo il bordo della regione considerata. == 2. Significato dei simboli == * <math>f(z)</math>: funzione complessa olomorfa. * <math>z</math>: variabile complessa. * <math>z_0</math>: punto interno alla curva. * <math>\gamma</math>: curva chiusa semplice. * <math>i</math>: unità immaginaria, con <math>i^2=-1</math>. * <math>\oint_\gamma</math>: integrale curvilineo lungo una curva chiusa. == 3. Condizioni per applicare il teorema == Per applicare la rappresentazione integrale di Cauchy devono essere rispettate le seguenti condizioni: # La funzione <math>f(z)</math> deve essere olomorfa all'interno della curva e sul suo bordo. # La curva <math>\gamma</math> deve essere chiusa e semplice. # Il punto <math>z_0</math> deve essere interno alla curva. # La curva deve essere orientata positivamente, cioè in senso antiorario. Se tutte queste condizioni sono soddisfatte, è possibile applicare direttamente la formula integrale di Cauchy. == 4. Esercizi svolti == Schema riassuntivo per la risoluzione degli esercizi: Per risolvere un integrale mediante la rappresentazione integrale di Cauchy è utile seguire sempre questi passaggi: # Individuare la funzione <math>f(z)</math> presente al numeratore dell'integrale. # Individuare il punto <math>z_0</math> annullando il denominatore <math>z-z_0</math>. # Verificare che la funzione sia olomorfa all'interno e sul bordo della curva. # Verificare che il punto <math>z_0</math> sia interno alla curva. # Applicare la formula integrale di Cauchy: '''4.1 Testo del 1° esercizio''' Calcolare il seguente integrale complesso: <math> I=\oint_{|z|=2}\frac{z^2+1}{z-1}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione ( z^2 + 1 ) / ( z -1 ) dove R = |2| è la circonferena unitaria''' IA risponde: La curva è una circonferenza con centro nell'origine e raggio uguale a <math>2</math>, percorsa in senso antiorario. *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontiamo l'integrale assegnato con la formula generale di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Dal confronto ricaviamo: <math> f(z)=z^2+1 </math> e: <math> z_0=1 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Dobbiamo verificare che il punto <math>z_0=1</math> sia interno alla circonferenza di raggio <math>2</math>. Calcoliamo il modulo: <math> |z_0|=|1|=1 </math> Poiché: <math> 1<2 </math> il punto <math>z_0=1</math> è interno alla circonferenza. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni per applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula === Utilizziamo la formula integrale: <math> I=2\pi i f(z_0) </math> Sostituiamo il valore del punto: <math> I=2\pi i f(1) </math> Calcoliamo il valore della funzione nel punto <math>z=1</math>: <math> f(1)=1^2+1 </math> <math> f(1)=1+1=2 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: <math> I=2\pi i\cdot 2 </math> Quindi: <math> {I=4\pi i} </math> Risultato finale: <math> {I=4\pi i} </math> ''' 4.2 Secondo esercizio ''' Calcolare il seguente integrale: <math> I=\oint_{|z|=3}\frac{e^z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione e^z / (z - 2) dove R = |3| è la circonferena unitaria''' IA risponde: *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontando l'integrale con la formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> individuiamo: <math> f(z)=e^z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione esponenziale complessa <math>e^z</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>3</math>. Verifichiamo che il punto <math>z_0=2</math> sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<3 </math> il punto è interno alla curva. Possiamo quindi applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula Scriviamo: <math> I=2\pi i f(2) </math> Poiché: <math> f(z)=e^z </math> si ha: <math> f(2)=e^2 </math> *Passaggio 4: risultato finale Sostituendo nella formula: <math> I=2\pi i e^2 </math> Pertanto: <math> {I=2\pi i e^2} </math> ''' 4.3 Terzo esercizio ''' Calcolare: <math> I=\oint_{|z|=4}\frac{z^3+2z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione (z^3 + 2z) / (z - 2) dove |z| = 4 è la circonferena unitaria''' *Passaggio 1: individuazione della funzione Dal confronto con la formula di Cauchy ricaviamo: <math> f(z)=z^3+2z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione è un polinomio, quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>4</math>. Verifichiamo che il punto sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<4 </math> il punto è interno alla circonferenza. *Passaggio 3: applicazione della formula Applichiamo la rappresentazione integrale di Cauchy: <math> I=2\pi i f(2) </math> Calcoliamo il valore della funzione: <math> f(2)=2^3+2\cdot 2 </math> <math> f(2)=8+4 </math> <math> f(2)=12 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore nella formula: <math> I=2\pi i\cdot 12 </math> Otteniamo: <math> {I=24\pi i} </math> *Risultato finale: <math> {I=24\pi i} </math> <math> I=2\pi i f(z_0) </math> # Calcolare il valore della funzione nel punto individuato. # Moltiplicare il risultato per <math>2\pi i</math>. == 5. Osservazione importante == La rappresentazione integrale di Cauchy può essere applicata soltanto quando il punto <math>z_0</math> si trova all'interno della curva e la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa nella regione considerata. Se il punto è esterno alla curva, non è possibile applicare direttamente la formula nella forma indicata. La formula integrale di Cauchy costituisce inoltre la base per la formula integrale di Cauchy per le derivate, che permette di calcolare le derivate di una funzione olomorfa attraverso integrali lungo curve chiuse. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx = Teorema integrale di Cauchy generalizzato = Il '''teorema integrale di Cauchy generalizzato''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso permette di calcolare gli integrali curvilinei di funzioni complesse olomorfe lungo curve chiuse, anche quando il dominio di definizione della funzione presenta delle regioni escluse o dei buchi. La sua importanza consiste nel fatto che consente di trasformare un problema di integrazione lungo una curva in un risultato matematico che dipende dalle proprietà analitiche della funzione e dalla struttura del dominio. In particolare, il teorema stabilisce che, sotto opportune condizioni, l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo. == 1. Significato intuitivo == Per comprendere il teorema è necessario considerare una funzione complessa: <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove: <math>z=x+iy</math> e dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> rappresentano rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione. Una funzione olomorfa è una funzione complessa derivabile in senso complesso in ogni punto del dominio considerato. Il teorema classico di Cauchy afferma che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In formula: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=0</math> Il teorema generalizzato permette di estendere questo ragionamento anche a domini non semplicemente connessi, cioè domini che presentano uno o più buchi. In questi casi è necessario considerare tutte le curve che delimitano il dominio, rispettando il loro orientamento. == 2. Enunciato del teorema == Sia <math>D</math> un dominio limitato del piano complesso, il cui bordo è costituito da una curva esterna <math>\gamma_0</math> e da un numero finito di curve interne: <math>\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n</math> Si supponga che la funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa in un aperto contenente la chiusura del dominio e che tutte le curve siano regolari a tratti. Il teorema integrale di Cauchy generalizzato afferma che: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz-\sum_{k=1}^{n}\oint_{\gamma_k}f(z)\,dz=0</math> dove tutte le curve sono considerate con orientamento antiorario. La formula può essere scritta anche nella forma: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz=\sum_{k=1}^{n}\oint_{\gamma_k}f(z)\,dz</math> Questa relazione significa che l'integrale lungo il bordo esterno è uguale alla somma degli integrali lungo i bordi interni, quando questi ultimi vengono percorsi matematicamente in senso antiorario. Se invece si considera il bordo completo del dominio con il suo orientamento positivo, la curva esterna viene percorsa in senso antiorario e le curve interne in senso orario. In questo caso si ottiene: <math>\oint_{\partial D}f(z)\,dz=0</math> Questa è la formulazione generalizzata del teorema integrale di Cauchy. == 3. Condizioni necessarie == Per applicare correttamente il teorema devono essere rispettate alcune condizioni: * La funzione deve essere olomorfa nel dominio considerato. * La funzione deve essere definita anche in un intorno delle curve di integrazione. * Le curve devono essere chiuse e regolari a tratti. * Il dominio può essere semplicemente connesso oppure presentare un numero finito di buchi. * Le curve interne ed esterne devono essere orientate correttamente. La condizione fondamentale è che la funzione non presenti singolarità all'interno del dominio considerato né sulle curve di integrazione. Se una funzione presenta una singolarità all'interno di un contorno, non è possibile applicare direttamente il teorema nella sua forma nulla a tutto il dominio. In questo caso occorre escludere la singolarità dal dominio oppure utilizzare altri risultati, come il teorema dei residui. == 4. Quali problemi è in grado di risolvere == Il teorema generalizzato di Cauchy permette di risolvere diverse tipologie di problemi matematici. === 4.1 Calcolo di integrali complessi lungo curve chiuse === Consente di stabilire immediatamente che un integrale è nullo quando la funzione è olomorfa in tutto il dominio racchiuso dalla curva. Per esempio: <math>\oint_{|z|=2}z^3\,dz</math> Poiché la funzione: <math>f(z)=z^3</math> è intera, cioè olomorfa in tutto il piano complesso, si ottiene: <math>{\oint_{|z|=2}z^3\,dz=0}</math> === 4.2 Calcolo di integrali in domini con buchi === Il teorema permette di studiare integrali in domini che presentano regioni escluse. Ad esempio, si consideri un dominio delimitato da una circonferenza esterna e da una circonferenza interna. Se la funzione è olomorfa nella regione compresa tra le due circonferenze, allora: <math>\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz-\oint_{\gamma_1}f(z)\,dz=0</math> Da cui: <math>{\oint_{\gamma_0}f(z)\,dz=\oint_{\gamma_1}f(z)\,dz}</math> Questo risultato permette di sostituire una curva di integrazione con un'altra curva che circonda la stessa regione esclusa. === 4.3 Trasformazione di integrali difficili in integrali più semplici === Se due curve racchiudono la stessa singolarità e la funzione è olomorfa nella regione compresa tra esse, i rispettivi integrali sono uguali, purché entrambe siano orientate nello stesso verso. Questo permette di scegliere la curva più semplice da utilizzare per il calcolo. === 4.4 Studio delle singolarità === Il teorema permette di capire quando un integrale non può essere considerato nullo a causa della presenza di una singolarità. Quando la funzione non è olomorfa in un punto interno alla curva, è necessario studiare la natura della singolarità. Per questo scopo si utilizzano anche il teorema dei residui e le formule integrali di Cauchy. == 5. Differenza tra il teorema classico e quello generalizzato == Il teorema classico di Cauchy riguarda principalmente domini semplicemente connessi, nei quali ogni curva chiusa può essere deformata continuamente fino a un punto senza uscire dal dominio. La sua conclusione è: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=0</math> Il teorema generalizzato permette invece di considerare domini non semplicemente connessi, cioè domini che presentano uno o più buchi. In questo caso: <math>\oint_{\partial D}f(z)\,dz=0</math> dove il bordo comprende sia la curva esterna sia tutte le curve interne, orientate correttamente. La differenza fondamentale è quindi che il teorema generalizzato tiene conto della struttura geometrica del dominio e dei suoi bordi interni. == 6. Conclusione == Il teorema integrale di Cauchy generalizzato rappresenta uno strumento fondamentale dell'analisi complessa perché consente di studiare integrali curvilinei in domini che possono presentare uno o più buchi. Il suo principio fondamentale è che, se una funzione è olomorfa in un dominio, l'integrale lungo il bordo completo del dominio, orientato positivamente, è uguale a zero. La sua utilità consiste soprattutto nella possibilità di: * Dimostrare che determinati integrali complessi sono nulli. * Trasformare integrali lungo curve complesse in integrali lungo curve più semplici. * Studiare domini non semplicemente connessi. * Separare il contributo delle diverse regioni escluse. * Preparare il calcolo degli integrali mediante il teorema dei residui. Il teorema costituisce quindi uno strumento essenziale per lo studio delle funzioni olomorfe, delle singolarità e degli integrali complessi. == 7. Esempi di calcolo == ===7.1 Esempio completo=== Risolvere <math>I=\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz</math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrale lungo circonferenza la funzione 1/z dove R = |z| è la circonferena unitaria''' IA risponde: Si consideri la funzione: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> Si voglia calcolare l'integrale lungo una circonferenza di raggio <math>R</math> centrata nell'origine: <math>I=\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz</math> La funzione presenta una singolarità nell'origine, quindi non è olomorfa all'interno dell'intera circonferenza. Non si può pertanto applicare direttamente il teorema classico di Cauchy. Si procede escludendo l'origine dal dominio. Si considera una circonferenza interna di raggio <math>r</math>, con: <math> 0 < r < R </math> La regione compresa tra le due circonferenze è un dominio nel quale la funzione è olomorfa. Applicando il teorema generalizzato: <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz-\oint_{|z|=r}\frac{1}{z}\,dz=0</math> Pertanto: <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz=\oint_{|z|=r}\frac{1}{z}\,dz</math> L'integrale è quindi indipendente dal raggio della circonferenza. Per calcolarlo si sceglie la parametrizzazione: <math>z(t)=r e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando: <math>z'(t)=ir e^{it}</math> Quindi: <math>dz=ir e^{it}\,dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{1}{r e^{it}}ir e^{it}\,dt</math> Semplificando: <math>I=i\int_0^{2\pi}dt</math> Integrando: <math>I=i[t]_0^{2\pi}</math> Si ottiene: <math>{I=2\pi i}</math> Il risultato dimostra che l'integrale non è nullo perché la funzione presenta una singolarità nell'origine. === 7.2 Esempio con due singolarità === Risolvere <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz</math> dove <math>f(z)=\frac{1}{(z-a)(z-b)}</math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare la funzione f(z) = 1/ [ (z-a) (z-b) ]''' '''lungo una curva chiusa gamma''' IA risponde: Si consideri la funzione: <math>f(z)=\frac{1}{(z-a)(z-b)}</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono due punti distinti. Si supponga che entrambi i punti siano interni a una curva chiusa <math>\gamma</math> e che la funzione sia olomorfa nella regione esterna a due piccoli dischi che circondano separatamente le singolarità. Il teorema generalizzato permette di scrivere: <math>\oint_{\gamma}f(z)\,dz=\oint_{\gamma_a}f(z)\,dz+\oint_{\gamma_b}f(z)\,dz</math> dove le due curve interne sono orientate in senso antiorario. Per calcolare il primo integrale si può utilizzare la formula integrale di Cauchy: <math>\oint_{\gamma_a}\frac{1}{(z-a)(z-b)}\,dz=\frac{1}{a-b}\oint_{\gamma_a}\frac{1}{z-a}\,dz</math> Pertanto: <math>\oint_{\gamma_a}f(z)\,dz=\frac{2\pi i}{a-b}</math> Analogamente: <math>\oint_{\gamma_b}f(z)\,dz=\frac{2\pi i}{b-a}</math> Sommando: <math>I=\frac{2\pi i}{a-b}+\frac{2\pi i}{b-a}</math> Poiché: <math>\frac{1}{b-a}=-\frac{1}{a-b}</math> si ottiene: <math>{I=0}</math> Questo esempio dimostra che due singolarità possono produrre contributi integrali che si annullano reciprocamente. CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC '''Teorema integrale di Cauchy''' == Introduzione == Il '''teorema integrale di Cauchy''' è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Esso stabilisce che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, purché siano soddisfatte determinate condizioni sul dominio. Questo risultato permette di calcolare numerosi integrali complessi senza ricorrere alla parametrizzazione della curva e al calcolo diretto. == Enunciato del teorema == Sia <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un dominio aperto e semplicemente connesso e sia <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia inoltre <math>\gamma</math> una curva chiusa, regolare a tratti, contenuta in <math>\Omega</math>. Allora: <math>{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}</math> === Significato delle ipotesi === Per applicare il teorema occorre verificare che: # La funzione <math>f(z)</math> sia olomorfa nel dominio considerato. # La curva e la regione racchiusa siano contenute nel dominio. # Il dominio sia semplicemente connesso, cioè non presenti fori. # La curva sia chiusa e regolare a tratti. '''Attenzione:''' la presenza di una singolarità all'interno della curva impedisce, in generale, di applicare direttamente il teorema. == Applicazione del teorema == Per calcolare un integrale mediante il teorema integrale di Cauchy si procede nel seguente modo: # Si individua la funzione integranda. # Si determinano gli eventuali punti di singolarità. # Si verifica se tali punti si trovano all'interno o sul contorno della curva. # Si controlla che la funzione sia olomorfa nella regione interessata. # Se tutte le ipotesi sono soddisfatte, si conclude che l'integrale è nullo. == Esercizi svolti == === Esercizio 1 - Integrale di un polinomio lungo una circonferenza === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma (z^2+3z+2)\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria: <math>z=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2+3z+2</math> Essendo un polinomio, è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva delimita il disco unitario, che è un dominio semplicemente connesso. Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy. Pertanto: <math>{\oint_\gamma(z^2+3z+2)\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt</math> Sostituendo: <math> I=\int_0^{2\pi}(e^{2it}+3e^{it}+2)ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+3e^{2it}+2e^{it})\,dt </math> Integrando: <math> I=\left[\frac{e^{3it}}{3}+\frac{3e^{2it}}{2}+2e^{it}\right]_0^{2\pi} </math> Poiché <math>e^{2\pi ik}=1</math> per ogni intero <math>k</math>, il valore agli estremi coincide. Quindi: <math>{I=0}</math> === Esercizio 2 - Integrale di z^2 sulla circonferenza unitaria === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_\gamma z^2\,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione: <math>f(z)=z^2</math> essendo un polinomio, è olomorfa su tutto <math>\mathbb{C}</math>. La curva delimita il disco unitario, che è semplicemente connesso. Per il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_\gamma z^2\,dz=0}</math> '''Verifica mediante parametrizzazione''' Poniamo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> e: <math>dz=ie^{it}\,dt</math> L'integrale diventa: <math> I=\int_0^{2\pi}e^{2it}ie^{it}\,dt </math> <math> I=i\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt </math> Integrando: <math> I=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi} </math> <math>I=\frac13(1-1)=0</math> Pertanto: <math>{I=0}</math> === Esercizio 3 - Funzione razionale con singolarità esterne alla curva === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=1</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' Consideriamo la funzione: <math>f(z)=\frac{e^z}{z^2+9}</math> Le singolarità si ottengono annullando il denominatore: <math>z^2+9=0</math> da cui: <math>z_1=3i,\qquad z_2=-3i</math> I rispettivi moduli sono: <math>|3i|=|-3i|=3</math> Poiché il raggio della circonferenza è uguale a 1, entrambe le singolarità sono esterne alla regione delimitata da <math>C</math>. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sul contorno della circonferenza. Applicando il teorema integrale di Cauchy: <math>{\oint_C\frac{e^z}{z^2+9}\,dz=0}</math> === Esercizio 4 - Applicazione della formula integrale di Cauchy === '''Problema''' Calcolare: <math>\oint_C\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza: <math>|z|=2</math> percorsa in senso antiorario. '''Soluzione''' La funzione presenta una singolarità nel punto: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> la singolarità si trova all'interno della curva. Non è quindi possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. Si utilizza invece la '''formula integrale di Cauchy''': <math> \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Poniamo: <math>f(z)=e^{2z},\qquad z_0=i</math> La funzione <math>e^{2z}</math> è intera, quindi olomorfa in tutto il piano complesso. Applicando la formula: <math>I=2\pi i f(i)</math> <math>I=2\pi i e^{2i}</math> Utilizzando la formula di Eulero: <math>e^{2i}=\cos(2)+i\sin(2)</math> si ottiene: <math> I=2\pi i[\cos(2)+i\sin(2)] </math> Sviluppando: <math> I=2\pi i\cos(2)-2\pi\sin(2) </math> '''Risultato finale:''' <math>{I=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)}</math> == Confronto tra teorema integrale e formula integrale di Cauchy == Consideriamo i seguenti integrali: <math> I_1=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2+9}\,dz </math> <math> I_2=\oint_{|z|=2}\frac{e^{2z}}{z-i}\,dz </math> Per il primo integrale, le singolarità sono: <math>z=\pm 3i</math> Entrambe esterne alla circonferenza unitaria. Pertanto: <math>{I_1=0}</math> Per il secondo integrale, la singolarità è: <math>z_0=i</math> Poiché: <math>|i|=1<2</math> essa si trova all'interno della circonferenza. Applicando la formula integrale di Cauchy: <math>I_2=2\pi i e^{2i}</math> Quindi: <math> {I_2=-2\pi\sin(2)+2\pi i\cos(2)} </math> == Osservazioni conclusive == Gli esercizi mostrano due situazioni fondamentali: * '''Nessuna singolarità all'interno della curva:''' se la funzione è olomorfa nel dominio racchiuso dalla curva e sono soddisfatte le altre ipotesi del teorema, l'integrale è nullo. * '''Singolarità all'interno della curva:''' non è possibile applicare direttamente il teorema integrale di Cauchy. In presenza di una singolarità semplice del tipo <math>1/(z-z_0)</math>, si può utilizzare la formula integrale di Cauchy, purché la funzione al numeratore sia olomorfa nel dominio. La distinzione tra questi due risultati è essenziale per risolvere correttamente gli integrali complessi. == Nota: il teorema del valor medio di Cauchy == Il teorema del valor medio di Cauchy per funzioni reali è un risultato distinto dal teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. Siano: <math>f(x)=x^2,\qquad g(x)=x</math> nell'intervallo <math>[1,2]</math>. Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>. Il teorema del valor medio di Cauchy garantisce l'esistenza di un punto <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math> [f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c) </math> Calcoliamo le derivate: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Sostituendo: <math>(4-1)\cdot1=(2-1)\cdot2c</math> <math>3=2c</math> Da cui: <math>{c=\frac32}</math> Poiché <math>\frac32\in(1,2)</math>, il teorema è verificato. '''Nota:''' questo risultato non deve essere confuso con il teorema integrale di Cauchy dell'analisi complessa. ==XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX== == Teorema integrale di Cauchy == ''' Definizione ''' Il teorema integrale di Cauchy è uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. Stabilisce che, se una funzione è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è uguale a zero. In altre parole, se una funzione è derivabile nel senso complesso in tutta la regione delimitata da una curva chiusa, il suo integrale lungo tale curva è nullo. ''' Teorema di Cauchy ed enunciato''' Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> un insieme aperto semplicemente connesso e sia <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> una funzione olomorfa in <math>\Omega</math>. Sia <math>\gamma : [a, b] \to \Omega</math> una curva chiusa e regolare a tratti (oppure una curva rettificabile semplice chiusa). Allora l'integrale di linea di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è nullo: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ''' A cosa serve ''' Il teorema integrale di Cauchy permette di: - Semplificare il calcolo degli integrali complessi. - Dimostrare che alcuni integrali lungo curve chiuse sono uguali a zero. - Stabilire se una funzione può essere integrata applicando il teorema. - Costituire la base per altri risultati dell'analisi complessa, come la formula integrale di Cauchy. == Esercizi svolti secondo il Teorema Integrale di Cauchy== Si propongono ad IA una serie di 5 esercizi di calcolo del teorema integrale di Cauchy, gli esercizi riguardano il calcolo degli integrali complessi mediante il teorema citato. ==1° Esercizio == Enunciato del problema nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo '''f(x) = x^2, g(x) = x, x in[1,2]''' '''Le funzioni sono continue in <math>[1,2]</math> e derivabili in <math>(1,2)</math>.''' IA risponde: Essendo: <math>f'(x)=2x,\qquad g'(x)=1</math> Per il teorema di Cauchy esiste <math>c\in(1,2)</math> tale che: <math>[f(2)-f(1)]g'(c)=[g(2)-g(1)]f'(c)</math> Sostituendo i valori: <math>(4-1)\cdot 1=(2-1)\cdot 2c</math> <math>3=2c</math> <math>c=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\frac{3}{2}\in(1,2)</math>, il teorema di Cauchy è verificato. ==2° Esercizio == === Enunciato del problema === Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Si vuole calcolare l'integrale di linea lungo una curva chiusa e semplice <math>\gamma</math> della funzione reale/complessa:''' '''f(z) = z^2 + 3z + 2''' '''dove la curva <math>\gamma</math> è il cerchio unitario sul piano complesso orientato in senso antiorario, espresso parametricamente da:''' '''gamma(t) = e^{it} con t \in [0, 2\pi]''' IA risponde: === Soluzione tramite il Teorema Integrale di Cauchy === ==== 1. Verifica delle ipotesi ==== 1. La funzione <math>f(z) = z^2 + 3z + 2</math> è un polinomio. 2. Tutti i polinomi sono funzioni intere, ovvero sono [[funzione olomorfa|olomorfe]] su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. 3. La curva <math>\gamma</math> è una curva chiusa semplice e regolare a tratti. 4. Poiché <math>f(z)</math> è olomorfa in tutto <math>\mathbb{C}</math>, essa è olomorfa all'interno e sul bordo del dominio racchiuso da <math>\gamma</math>. ==== 2. Applicazione del teorema ==== Poiché tutte le ipotesi del teorema integrale di Cauchy sono soddisfatte, il valore dell'integrale è immediatamente: :<math>\oint_{\gamma} (z^2 + 3z + 2) \, dz = 0</math> === Verifica esplicita (Calcolo Diretto) === Per verificare il risultato, calcoliamo l'integrale di linea direttamente tramite parametrizzazione. Dalla parametrizzazione <math>z = e^{it}</math>, si ha che il differenziale è: :<math>dz = i e^{it} \, dt</math> Sostituendo <math>z</math> e <math>dz</math> nell'integrale: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( (e^{it})^2 + 3e^{it} + 2 \right) \cdot (i e^{it}) \, dt</math> Sviluppiamo il prodotto integrandolo: :<math>= \int_{0}^{2\pi} \left( e^{2it} + 3e^{it} + 2 \right) i e^{it} \, dt</math> :<math>= i \int_{0}^{2\pi} \left( e^{3it} + 3e^{2it} + 2e^{it} \right) \, dt</math> Calcoliamo le primitive termine a termine: :<math>= i \left[ \frac{e^{3it}}{3i} + \frac{3e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} \right]_{0}^{2\pi}</math> Semplificando l'unità immaginaria <math>i</math>: :<math>= \left[ \frac{e^{3it}}{3} + \frac{3e^{2it}}{2} + 2e^{it} \right]_{0}^{2\pi}</math> Valutando negli estremi dell'intervallo <math>t = 2\pi</math> e <math>t = 0</math>, ricordando che <math>e^{i 2\pi k} = 1</math> per ogni intero <math>k</math>: * Per <math>t = 2\pi</math>: :<math>\frac{e^{6\pi i}}{3} + \frac{3e^{4\pi i}}{2} + 2e^{2\pi i} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> * Per <math>t = 0</math>: :<math>\frac{e^{0}}{3} + \frac{3e^{0}}{2} + 2e^{0} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2</math> Sottraendo il valore in <math>t=0</math> dal valore in <math>t=2\pi</math>: :<math>\left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 0</math> Il calcolo diretto conferma che: :<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> ==3° Esercizio== ===Enunciato del problema=== Nel periodo in gassetto da copiare su IA: '''Calcolare il seguente integrale complesso:''' ''' Integrale di z^2 su di un cerchio ''' = <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> '''dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. IA risponde: La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> Il teorema integrale di Cauchy afferma che, se una funzione complessa è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora il suo integrale lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio è nullo. === Enunciato === Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>. Per ogni curva chiusa regolare a tratti <math>\gamma</math> contenuta in <math>D</math>, vale: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> === Esempio pratico === Calcolare il seguente integrale complesso: <math>\oint_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. La circonferenza è descritta dall'equazione: <math>|z|=1</math> La funzione integranda è: <math>f(z)=z^2</math> === 1. Verifica delle condizioni del teorema === La funzione <math>f(z)=z^2</math> è un polinomio complesso. Tutti i polinomi sono funzioni olomorfe in tutto il piano complesso. Pertanto: <math>f(z)\in H(\mathbb{C})</math> La regione interna alla circonferenza è il disco unitario: <math>D={z\in\mathbb{C}:|z|<1}</math> Il disco è semplicemente connesso e la funzione è olomorfa al suo interno e sul contorno. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni del teorema integrale di Cauchy. === 2. Applicazione diretta del teorema === Poiché la funzione è olomorfa all'interno e sul contorno della curva chiusa, il teorema di Cauchy permette di scrivere direttamente: <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> Sostituendo la funzione scelta: <math>\oint_\gamma z^2,dz=0</math> === 3. Verifica mediante parametrizzazione === È possibile verificare il risultato anche attraverso il calcolo diretto dell'integrale. Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: <math>z(t)=e^{it}</math> con: <math>0\leq t\leq 2\pi</math> La derivata rispetto al parametro è: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Quindi il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2,dz=\int_0^{2\pi}(e^{it})^2ie^{it},dt</math> Semplificando: <math>=i\int_0^{2\pi}e^{3it},dt</math> Calcoliamo la primitiva: <math>=i\left[\frac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}</math> Semplificando: <math>=\frac{1}{3}\left[e^{3it}\right]_0^{2\pi}</math> Applicando gli estremi: <math>=\frac{1}{3}(e^{6\pi i}-e^0)</math> Poiché: <math>e^{6\pi i}=1</math> e: <math>e^0=1</math> si ottiene: <math>=\frac{1}{3}(1-1)=0</math> === 4. Risultato finale === Il risultato dell'integrale è: <math>{\oint_\gamma z^2,dz=0}</math> Il calcolo diretto conferma quindi il risultato ottenuto mediante il teorema integrale di Cauchy. === Significato matematico dell'esempio === Questo esempio dimostra che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo quando sono soddisfatte le ipotesi del teorema. La proprietà fondamentale è che una funzione olomorfa ammette localmente una primitiva e, in un dominio semplicemente connesso, ammette una primitiva globale. Di conseguenza, l'integrale lungo una curva chiusa non dipende dal percorso e risulta uguale a zero. Il teorema integrale di Cauchy costituisce uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa. == 4° Esercizio: Applicazione diretta (Risultato Zero) == Testo in grasseto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale complesso su circonferenza di : e^z / (z^2 + 9) = <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz</math>''' '''dove C è la circonferenza di equazione |z| = 1 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' La funzione integranda è <math>f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 9}</math>. I punti in cui il denominatore si annulla (punti di singolarità) sono: <math>z^2 + 9 = 0 \implies z = \pm 3i</math> # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino di integrazione C è la circonferenza centrata nell'origine con raggio R = 1 (|z| = 1). Le singolarità si trovano a una distanza dall'origine pari a: <math>|3i| = 3 \quad \text{e} \quad |-3i| = 3</math> Poiché 3 > 1, entrambe le singolarità (z = 3i e z = -3i) si trovano all'esterno del cerchio delimitato da C. # '''Applicare il Teorema Integrale di Cauchy:''' L'esponenziale e^z è una funzione intera (olomorfa ovunque nel piano complesso), poiché non vi sono singolarità della funzione integranda all'interno o sul bordo della curva C, per il '''Teorema Integrale di Cauchy''' l'integrale è nullo: <math>\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == Il periodo in grassetto da copiare su IA: '''Calcolare l'integrale di : e^(2 z) / ( z - i) su di una circonferenza C''' = <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz</math> '''dove C è la circonferenza |z| = 2 percorsa in senso antiorario.''' La risposta di IA: # '''Individuare le singolarità:''' Il denominatore si annulla in z_0 = i. # '''Verificare la posizione rispetto al cammino <math>C</math>:''' Il cammino C ha raggio R = 2. La singolarità z_0 = i ha modulo: <math>|i| = 1 < 2</math> Quindi il punto z_0 = i si trova '''all'interno''' della circonferenza C. Non possiamo usare direttamente il teorema a zero, ma dobbiamo usare la '''Formula Integrale di Cauchy''': <math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> # '''Identificare <math>f(z)</math> e calcolare il valore:''' Dalla frazione identifichiamo: * <math>f(z) = e^{2z}</math> (che è olomorfa ovunque, quindi anche dentro C) * <math>z_0 = i</math> # '''Calcolare l'integrale:''' Applicando la formula: <math>\oint_C \frac{e^{2z}}{z - i} \, dz = 2\pi i \cdot f(i) = 2\pi i \cdot e^{2i}</math> # '''Semplificare il risultato (usando Eulero):''' Ricordando la formula di Eulero <math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>, per l'esponenziale complesso con \theta = 2: <math>e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)</math> Sostituendo otteniamo: <math>2\pi i \big(\cos(2) + i\sin(2)\big) = 2\pi i \cos(2) - 2\pi \sin(2)</math> forma algebrica: <math>\mathbf{-2\pi \sin(2) + i \, 2\pi \cos(2)}</math> ti5w679rk5ab8r8asbtiycw1ueyi52l 0 37860 288328 288315 2026-11-11T14:16:16Z Funzioni di correlazione 24136 288328 wikitext text/x-wiki = Rappresentazione integrale di Cauchy = La '''rappresentazione integrale di Cauchy''' è un importante teorema dell'analisi complessa. Esso permette di determinare il valore di una funzione olomorfa in un punto interno a una curva chiusa, conoscendo i valori della funzione lungo la curva stessa. == 1. Enunciato del teorema == Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e tutto il suo interno. Sia inoltre <math>z_0</math> un punto interno alla curva. La formula integrale di Cauchy afferma che: <math> f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz </math> In modo equivalente, si può scrivere: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> La curva <math>\gamma</math> deve essere orientata positivamente, cioè percorsa in senso antiorario. Il significato del teorema è che il valore della funzione in un punto interno alla curva può essere calcolato mediante un integrale di linea lungo il bordo della regione considerata. == 2. Significato dei simboli == * <math>f(z)</math>: funzione complessa olomorfa. * <math>z</math>: variabile complessa. * <math>z_0</math>: punto interno alla curva. * <math>\gamma</math>: curva chiusa semplice. * <math>i</math>: unità immaginaria, con <math>i^2=-1</math>. * <math>\oint_\gamma</math>: integrale curvilineo lungo una curva chiusa. == 3. Condizioni per applicare il teorema == Per applicare la rappresentazione integrale di Cauchy devono essere rispettate le seguenti condizioni: # La funzione <math>f(z)</math> deve essere olomorfa all'interno della curva e sul suo bordo. # La curva <math>\gamma</math> deve essere chiusa e semplice. # Il punto <math>z_0</math> deve essere interno alla curva. # La curva deve essere orientata positivamente, cioè in senso antiorario. Se tutte queste condizioni sono soddisfatte, è possibile applicare direttamente la formula integrale di Cauchy. == 4. Esercizi svolti == Schema riassuntivo per la risoluzione degli esercizi: Per risolvere un integrale mediante la rappresentazione integrale di Cauchy è utile seguire sempre questi passaggi: # Individuare la funzione <math>f(z)</math> presente al numeratore dell'integrale. # Individuare il punto <math>z_0</math> annullando il denominatore <math>z-z_0</math>. # Verificare che la funzione sia olomorfa all'interno e sul bordo della curva. # Verificare che il punto <math>z_0</math> sia interno alla curva. # Applicare la formula integrale di Cauchy: '''4.1 Testo del 1° esercizio''' Calcolare il seguente integrale complesso: <math> I=\oint_{|z|=2}\frac{z^2+1}{z-1}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione ( z^2 + 1 ) / ( z -1 ) dove R = |2| è la circonferena unitaria''' IA risponde: La curva è una circonferenza con centro nell'origine e raggio uguale a <math>2</math>, percorsa in senso antiorario. *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontiamo l'integrale assegnato con la formula generale di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Dal confronto ricaviamo: <math> f(z)=z^2+1 </math> e: <math> z_0=1 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Dobbiamo verificare che il punto <math>z_0=1</math> sia interno alla circonferenza di raggio <math>2</math>. Calcoliamo il modulo: <math> |z_0|=|1|=1 </math> Poiché: <math> 1<2 </math> il punto <math>z_0=1</math> è interno alla circonferenza. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni per applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula === Utilizziamo la formula integrale: <math> I=2\pi i f(z_0) </math> Sostituiamo il valore del punto: <math> I=2\pi i f(1) </math> Calcoliamo il valore della funzione nel punto <math>z=1</math>: <math> f(1)=1^2+1 </math> <math> f(1)=1+1=2 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: <math> I=2\pi i\cdot 2 </math> Quindi: <math> {I=4\pi i} </math> Risultato finale: <math> {I=4\pi i} </math> ''' 4.2 Secondo esercizio ''' Calcolare il seguente integrale: <math> I=\oint_{|z|=3}\frac{e^z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione e^z / (z - 2) dove R = |3| è la circonferena unitaria''' IA risponde: *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontando l'integrale con la formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> individuiamo: <math> f(z)=e^z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione esponenziale complessa <math>e^z</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>3</math>. Verifichiamo che il punto <math>z_0=2</math> sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<3 </math> il punto è interno alla curva. Possiamo quindi applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula Scriviamo: <math> I=2\pi i f(2) </math> Poiché: <math> f(z)=e^z </math> si ha: <math> f(2)=e^2 </math> *Passaggio 4: risultato finale Sostituendo nella formula: <math> I=2\pi i e^2 </math> Pertanto: <math> {I=2\pi i e^2} </math> ''' 4.3 Terzo esercizio ''' Calcolare: <math> I=\oint_{|z|=4}\frac{z^3+2z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione (z^3 + 2z) / (z - 2) dove |z| = 4 è la circonferena unitaria''' *Passaggio 1: individuazione della funzione Dal confronto con la formula di Cauchy ricaviamo: <math> f(z)=z^3+2z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione è un polinomio, quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>4</math>. Verifichiamo che il punto sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<4 </math> il punto è interno alla circonferenza. *Passaggio 3: applicazione della formula Applichiamo la rappresentazione integrale di Cauchy: <math> I=2\pi i f(2) </math> Calcoliamo il valore della funzione: <math> f(2)=2^3+2\cdot 2 </math> <math> f(2)=8+4 </math> <math> f(2)=12 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore nella formula: <math> I=2\pi i\cdot 12 </math> Otteniamo: <math> {I=24\pi i} </math> *Risultato finale: <math> {I=24\pi i} </math> <math> I=2\pi i f(z_0) </math> # Calcolare il valore della funzione nel punto individuato. # Moltiplicare il risultato per <math>2\pi i</math>. '''4.4 Testo del 4° esercizio''' Sia da calcolare l'integrale di linea nel piano complesso: :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz</math> Calcolare il seguente integrale complesso: con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo la linea la funzione ( z^4 ) / ( z + 2 ) dove = |z| = 4''' IA risponde: === Enunciato della Formula Integrale di Cauchy === Se <math>f(z)</math> è una funzione olomorfa all'interno e sul bordo di una curva semplice e chiusa <math>C</math> orientata positivamente, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora vale la relazione: :<math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> === Svolgimento e analisi dei parametri === 1. '''Identificazione del dominio e del cammino di integrazione:''' La curva di integrazione è la circonferenza <math>C</math> definita da <math>|z| = 4</math>, centrata nell'origine con raggio <math>R = 4</math>. 2. '''Scelta della funzione olomorfa:''' Poniamo <math>f(z) = z^4</math>. La funzione è un polinomio ed è pertanto intera (olomorfa su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>). 3. '''Individuazione della singolarità:''' Riscrivendo il denominatore nella forma <math>z - z_0</math>, si ottiene: :<math>z + 2 = z - (-2)</math> Quindi la singolarità si trova nel punto <math>z_0 = -2</math>. 4. '''Verifica della posizione del punto:''' Calcoliamo il modulo di <math>z_0</math>: :<math>|z_0| = |-2| = 2 < 4</math> Poiché il modulo è minore del raggio del cammino d'integrazione, il punto <math>z_0 = -2</math> appartiene al dominio interno racchiuso dalla curva <math>|z| = 4</math>. === Calcolo finale === Applichiamo la Formula Integrale di Cauchy: 1. Valutiamo <math>f(z)</math> nel punto <math>z_0 = -2</math>: :<math>f(-2) = (-2)^4 = 16</math> 2. Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: :<math>\oint_{|z|=4} \frac{z^4}{z - (-2)} \, dz = 2\pi i \cdot f(-2) = 2\pi i \cdot 16 = 32\pi i</math> === Risultato === :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz = 32\pi i</math> == 5. Osservazione importante == La rappresentazione integrale di Cauchy può essere applicata soltanto quando il punto <math>z_0</math> si trova all'interno della curva e la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa nella regione considerata. Se il punto è esterno alla curva, non è possibile applicare direttamente la formula nella forma indicata. La formula integrale di Cauchy costituisce inoltre la base per la formula integrale di Cauchy per le derivate, che permette di calcolare le derivate di una funzione olomorfa attraverso integrali lungo curve chiuse. joym9b6opt2e06vn2a7p9b7q7kh2wob 288329 288328 2026-11-11T14:20:29Z Funzioni di correlazione 24136 /* Svolgimento e analisi dei parametri */ 288329 wikitext text/x-wiki = Rappresentazione integrale di Cauchy = La '''rappresentazione integrale di Cauchy''' è un importante teorema dell'analisi complessa. Esso permette di determinare il valore di una funzione olomorfa in un punto interno a una curva chiusa, conoscendo i valori della funzione lungo la curva stessa. == 1. Enunciato del teorema == Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e tutto il suo interno. Sia inoltre <math>z_0</math> un punto interno alla curva. La formula integrale di Cauchy afferma che: <math> f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz </math> In modo equivalente, si può scrivere: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> La curva <math>\gamma</math> deve essere orientata positivamente, cioè percorsa in senso antiorario. Il significato del teorema è che il valore della funzione in un punto interno alla curva può essere calcolato mediante un integrale di linea lungo il bordo della regione considerata. == 2. Significato dei simboli == * <math>f(z)</math>: funzione complessa olomorfa. * <math>z</math>: variabile complessa. * <math>z_0</math>: punto interno alla curva. * <math>\gamma</math>: curva chiusa semplice. * <math>i</math>: unità immaginaria, con <math>i^2=-1</math>. * <math>\oint_\gamma</math>: integrale curvilineo lungo una curva chiusa. == 3. Condizioni per applicare il teorema == Per applicare la rappresentazione integrale di Cauchy devono essere rispettate le seguenti condizioni: # La funzione <math>f(z)</math> deve essere olomorfa all'interno della curva e sul suo bordo. # La curva <math>\gamma</math> deve essere chiusa e semplice. # Il punto <math>z_0</math> deve essere interno alla curva. # La curva deve essere orientata positivamente, cioè in senso antiorario. Se tutte queste condizioni sono soddisfatte, è possibile applicare direttamente la formula integrale di Cauchy. == 4. Esercizi svolti == Schema riassuntivo per la risoluzione degli esercizi: Per risolvere un integrale mediante la rappresentazione integrale di Cauchy è utile seguire sempre questi passaggi: # Individuare la funzione <math>f(z)</math> presente al numeratore dell'integrale. # Individuare il punto <math>z_0</math> annullando il denominatore <math>z-z_0</math>. # Verificare che la funzione sia olomorfa all'interno e sul bordo della curva. # Verificare che il punto <math>z_0</math> sia interno alla curva. # Applicare la formula integrale di Cauchy: '''4.1 Testo del 1° esercizio''' Calcolare il seguente integrale complesso: <math> I=\oint_{|z|=2}\frac{z^2+1}{z-1}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione ( z^2 + 1 ) / ( z -1 ) dove R = |2| è la circonferena unitaria''' IA risponde: La curva è una circonferenza con centro nell'origine e raggio uguale a <math>2</math>, percorsa in senso antiorario. *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontiamo l'integrale assegnato con la formula generale di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Dal confronto ricaviamo: <math> f(z)=z^2+1 </math> e: <math> z_0=1 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Dobbiamo verificare che il punto <math>z_0=1</math> sia interno alla circonferenza di raggio <math>2</math>. Calcoliamo il modulo: <math> |z_0|=|1|=1 </math> Poiché: <math> 1<2 </math> il punto <math>z_0=1</math> è interno alla circonferenza. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni per applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula === Utilizziamo la formula integrale: <math> I=2\pi i f(z_0) </math> Sostituiamo il valore del punto: <math> I=2\pi i f(1) </math> Calcoliamo il valore della funzione nel punto <math>z=1</math>: <math> f(1)=1^2+1 </math> <math> f(1)=1+1=2 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: <math> I=2\pi i\cdot 2 </math> Quindi: <math> {I=4\pi i} </math> Risultato finale: <math> {I=4\pi i} </math> ''' 4.2 Secondo esercizio ''' Calcolare il seguente integrale: <math> I=\oint_{|z|=3}\frac{e^z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione e^z / (z - 2) dove R = |3| è la circonferena unitaria''' IA risponde: *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontando l'integrale con la formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> individuiamo: <math> f(z)=e^z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione esponenziale complessa <math>e^z</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>3</math>. Verifichiamo che il punto <math>z_0=2</math> sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<3 </math> il punto è interno alla curva. Possiamo quindi applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula Scriviamo: <math> I=2\pi i f(2) </math> Poiché: <math> f(z)=e^z </math> si ha: <math> f(2)=e^2 </math> *Passaggio 4: risultato finale Sostituendo nella formula: <math> I=2\pi i e^2 </math> Pertanto: <math> {I=2\pi i e^2} </math> ''' 4.3 Terzo esercizio ''' Calcolare: <math> I=\oint_{|z|=4}\frac{z^3+2z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione (z^3 + 2z) / (z - 2) dove |z| = 4 è la circonferena unitaria''' *Passaggio 1: individuazione della funzione Dal confronto con la formula di Cauchy ricaviamo: <math> f(z)=z^3+2z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione è un polinomio, quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>4</math>. Verifichiamo che il punto sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<4 </math> il punto è interno alla circonferenza. *Passaggio 3: applicazione della formula Applichiamo la rappresentazione integrale di Cauchy: <math> I=2\pi i f(2) </math> Calcoliamo il valore della funzione: <math> f(2)=2^3+2\cdot 2 </math> <math> f(2)=8+4 </math> <math> f(2)=12 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore nella formula: <math> I=2\pi i\cdot 12 </math> Otteniamo: <math> {I=24\pi i} </math> *Risultato finale: <math> {I=24\pi i} </math> <math> I=2\pi i f(z_0) </math> # Calcolare il valore della funzione nel punto individuato. # Moltiplicare il risultato per <math>2\pi i</math>. '''4.4 Testo del 4° esercizio''' Sia da calcolare l'integrale di linea nel piano complesso: :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz</math> Calcolare il seguente integrale complesso: con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo la linea la funzione ( z^4 ) / ( z + 2 ) dove = |z| = 4''' IA risponde: === Enunciato della Formula Integrale di Cauchy === Se <math>f(z)</math> è una funzione olomorfa all'interno e sul bordo di una curva semplice e chiusa <math>C</math> orientata positivamente, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora vale la relazione: :<math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> *Svolgimento e analisi dei parametri 1. '''Identificazione del dominio e del cammino di integrazione:''' La curva di integrazione è la circonferenza <math>C</math> definita da <math>|z| = 4</math>, centrata nell'origine con raggio <math>R = 4</math>. 2. '''Scelta della funzione olomorfa:''' Poniamo <math>f(z) = z^4</math>. La funzione è un polinomio ed è pertanto intera (olomorfa su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>). 3. '''Individuazione della singolarità:''' Riscrivendo il denominatore nella forma <math>z - z_0</math>, si ottiene: :<math>z + 2 = z - (-2)</math> Quindi la singolarità si trova nel punto <math>z_0 = -2</math>. 4. '''Verifica della posizione del punto:''' Calcoliamo il modulo di <math>z_0</math>: :<math>|z_0| = |-2| = 2 < 4</math> Poiché il modulo è minore del raggio del cammino d'integrazione, il punto <math>z_0 = -2</math> appartiene al dominio interno racchiuso dalla curva <math>|z| = 4</math>. === Calcolo finale === Applichiamo la Formula Integrale di Cauchy: 1. Valutiamo <math>f(z)</math> nel punto <math>z_0 = -2</math>: :<math>f(-2) = (-2)^4 = 16</math> 2. Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: :<math>\oint_{|z|=4} \frac{z^4}{z - (-2)} \, dz = 2\pi i \cdot f(-2) = 2\pi i \cdot 16 = 32\pi i</math> === Risultato === :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz = 32\pi i</math> == 5. Osservazione importante == La rappresentazione integrale di Cauchy può essere applicata soltanto quando il punto <math>z_0</math> si trova all'interno della curva e la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa nella regione considerata. Se il punto è esterno alla curva, non è possibile applicare direttamente la formula nella forma indicata. La formula integrale di Cauchy costituisce inoltre la base per la formula integrale di Cauchy per le derivate, che permette di calcolare le derivate di una funzione olomorfa attraverso integrali lungo curve chiuse. d03sngxg7fqqw3nq9aiowoxh2qh9gtt 288330 288329 2026-11-11T14:21:43Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo finale */ 288330 wikitext text/x-wiki = Rappresentazione integrale di Cauchy = La '''rappresentazione integrale di Cauchy''' è un importante teorema dell'analisi complessa. Esso permette di determinare il valore di una funzione olomorfa in un punto interno a una curva chiusa, conoscendo i valori della funzione lungo la curva stessa. == 1. Enunciato del teorema == Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e tutto il suo interno. Sia inoltre <math>z_0</math> un punto interno alla curva. La formula integrale di Cauchy afferma che: <math> f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz </math> In modo equivalente, si può scrivere: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> La curva <math>\gamma</math> deve essere orientata positivamente, cioè percorsa in senso antiorario. Il significato del teorema è che il valore della funzione in un punto interno alla curva può essere calcolato mediante un integrale di linea lungo il bordo della regione considerata. == 2. Significato dei simboli == * <math>f(z)</math>: funzione complessa olomorfa. * <math>z</math>: variabile complessa. * <math>z_0</math>: punto interno alla curva. * <math>\gamma</math>: curva chiusa semplice. * <math>i</math>: unità immaginaria, con <math>i^2=-1</math>. * <math>\oint_\gamma</math>: integrale curvilineo lungo una curva chiusa. == 3. Condizioni per applicare il teorema == Per applicare la rappresentazione integrale di Cauchy devono essere rispettate le seguenti condizioni: # La funzione <math>f(z)</math> deve essere olomorfa all'interno della curva e sul suo bordo. # La curva <math>\gamma</math> deve essere chiusa e semplice. # Il punto <math>z_0</math> deve essere interno alla curva. # La curva deve essere orientata positivamente, cioè in senso antiorario. Se tutte queste condizioni sono soddisfatte, è possibile applicare direttamente la formula integrale di Cauchy. == 4. Esercizi svolti == Schema riassuntivo per la risoluzione degli esercizi: Per risolvere un integrale mediante la rappresentazione integrale di Cauchy è utile seguire sempre questi passaggi: # Individuare la funzione <math>f(z)</math> presente al numeratore dell'integrale. # Individuare il punto <math>z_0</math> annullando il denominatore <math>z-z_0</math>. # Verificare che la funzione sia olomorfa all'interno e sul bordo della curva. # Verificare che il punto <math>z_0</math> sia interno alla curva. # Applicare la formula integrale di Cauchy: '''4.1 Testo del 1° esercizio''' Calcolare il seguente integrale complesso: <math> I=\oint_{|z|=2}\frac{z^2+1}{z-1}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione ( z^2 + 1 ) / ( z -1 ) dove R = |2| è la circonferena unitaria''' IA risponde: La curva è una circonferenza con centro nell'origine e raggio uguale a <math>2</math>, percorsa in senso antiorario. *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontiamo l'integrale assegnato con la formula generale di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Dal confronto ricaviamo: <math> f(z)=z^2+1 </math> e: <math> z_0=1 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Dobbiamo verificare che il punto <math>z_0=1</math> sia interno alla circonferenza di raggio <math>2</math>. Calcoliamo il modulo: <math> |z_0|=|1|=1 </math> Poiché: <math> 1<2 </math> il punto <math>z_0=1</math> è interno alla circonferenza. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni per applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula === Utilizziamo la formula integrale: <math> I=2\pi i f(z_0) </math> Sostituiamo il valore del punto: <math> I=2\pi i f(1) </math> Calcoliamo il valore della funzione nel punto <math>z=1</math>: <math> f(1)=1^2+1 </math> <math> f(1)=1+1=2 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: <math> I=2\pi i\cdot 2 </math> Quindi: <math> {I=4\pi i} </math> Risultato finale: <math> {I=4\pi i} </math> ''' 4.2 Secondo esercizio ''' Calcolare il seguente integrale: <math> I=\oint_{|z|=3}\frac{e^z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione e^z / (z - 2) dove R = |3| è la circonferena unitaria''' IA risponde: *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontando l'integrale con la formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> individuiamo: <math> f(z)=e^z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione esponenziale complessa <math>e^z</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>3</math>. Verifichiamo che il punto <math>z_0=2</math> sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<3 </math> il punto è interno alla curva. Possiamo quindi applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula Scriviamo: <math> I=2\pi i f(2) </math> Poiché: <math> f(z)=e^z </math> si ha: <math> f(2)=e^2 </math> *Passaggio 4: risultato finale Sostituendo nella formula: <math> I=2\pi i e^2 </math> Pertanto: <math> {I=2\pi i e^2} </math> ''' 4.3 Terzo esercizio ''' Calcolare: <math> I=\oint_{|z|=4}\frac{z^3+2z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione (z^3 + 2z) / (z - 2) dove |z| = 4 è la circonferena unitaria''' *Passaggio 1: individuazione della funzione Dal confronto con la formula di Cauchy ricaviamo: <math> f(z)=z^3+2z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione è un polinomio, quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>4</math>. Verifichiamo che il punto sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<4 </math> il punto è interno alla circonferenza. *Passaggio 3: applicazione della formula Applichiamo la rappresentazione integrale di Cauchy: <math> I=2\pi i f(2) </math> Calcoliamo il valore della funzione: <math> f(2)=2^3+2\cdot 2 </math> <math> f(2)=8+4 </math> <math> f(2)=12 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore nella formula: <math> I=2\pi i\cdot 12 </math> Otteniamo: <math> {I=24\pi i} </math> *Risultato finale: <math> {I=24\pi i} </math> <math> I=2\pi i f(z_0) </math> # Calcolare il valore della funzione nel punto individuato. # Moltiplicare il risultato per <math>2\pi i</math>. '''4.4 Testo del 4° esercizio''' Sia da calcolare l'integrale di linea nel piano complesso: :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz</math> Calcolare il seguente integrale complesso: con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo la linea la funzione ( z^4 ) / ( z + 2 ) dove = |z| = 4''' IA risponde: === Enunciato della Formula Integrale di Cauchy === Se <math>f(z)</math> è una funzione olomorfa all'interno e sul bordo di una curva semplice e chiusa <math>C</math> orientata positivamente, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora vale la relazione: :<math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> *Svolgimento e analisi dei parametri 1. '''Identificazione del dominio e del cammino di integrazione:''' La curva di integrazione è la circonferenza <math>C</math> definita da <math>|z| = 4</math>, centrata nell'origine con raggio <math>R = 4</math>. 2. '''Scelta della funzione olomorfa:''' Poniamo <math>f(z) = z^4</math>. La funzione è un polinomio ed è pertanto intera (olomorfa su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>). 3. '''Individuazione della singolarità:''' Riscrivendo il denominatore nella forma <math>z - z_0</math>, si ottiene: :<math>z + 2 = z - (-2)</math> Quindi la singolarità si trova nel punto <math>z_0 = -2</math>. 4. '''Verifica della posizione del punto:''' Calcoliamo il modulo di <math>z_0</math>: :<math>|z_0| = |-2| = 2 < 4</math> Poiché il modulo è minore del raggio del cammino d'integrazione, il punto <math>z_0 = -2</math> appartiene al dominio interno racchiuso dalla curva <math>|z| = 4</math>. === Calcolo finale === Applichiamo la Formula Integrale di Cauchy: 1. Valutiamo <math>f(z)</math> nel punto <math>z_0 = -2</math>: :<math>f(-2) = (-2)^4 = 16</math> 2. Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: :<math>\oint_{|z|=4} \frac{z^4}{z - (-2)} \, dz = 2\pi i \cdot f(-2) = 2\pi i \cdot 16 = 32\pi i</math> === Risultato === :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz = 32\pi i</math> == 5. Osservazione importante == La rappresentazione integrale di Cauchy può essere applicata soltanto quando il punto <math>z_0</math> si trova all'interno della curva e la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa nella regione considerata. Se il punto è esterno alla curva, non è possibile applicare direttamente la formula nella forma indicata. La formula integrale di Cauchy costituisce inoltre la base per la formula integrale di Cauchy per le derivate, che permette di calcolare le derivate di una funzione olomorfa attraverso integrali lungo curve chiuse. 22zkjvm0v7ebv2q9qejpwt330pjovmm 288331 288330 2026-11-11T14:24:55Z Funzioni di correlazione 24136 /* Enunciato della Formula Integrale di Cauchy */ 288331 wikitext text/x-wiki = Rappresentazione integrale di Cauchy = La '''rappresentazione integrale di Cauchy''' è un importante teorema dell'analisi complessa. Esso permette di determinare il valore di una funzione olomorfa in un punto interno a una curva chiusa, conoscendo i valori della funzione lungo la curva stessa. == 1. Enunciato del teorema == Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e tutto il suo interno. Sia inoltre <math>z_0</math> un punto interno alla curva. La formula integrale di Cauchy afferma che: <math> f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz </math> In modo equivalente, si può scrivere: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> La curva <math>\gamma</math> deve essere orientata positivamente, cioè percorsa in senso antiorario. Il significato del teorema è che il valore della funzione in un punto interno alla curva può essere calcolato mediante un integrale di linea lungo il bordo della regione considerata. == 2. Significato dei simboli == * <math>f(z)</math>: funzione complessa olomorfa. * <math>z</math>: variabile complessa. * <math>z_0</math>: punto interno alla curva. * <math>\gamma</math>: curva chiusa semplice. * <math>i</math>: unità immaginaria, con <math>i^2=-1</math>. * <math>\oint_\gamma</math>: integrale curvilineo lungo una curva chiusa. == 3. Condizioni per applicare il teorema == Per applicare la rappresentazione integrale di Cauchy devono essere rispettate le seguenti condizioni: # La funzione <math>f(z)</math> deve essere olomorfa all'interno della curva e sul suo bordo. # La curva <math>\gamma</math> deve essere chiusa e semplice. # Il punto <math>z_0</math> deve essere interno alla curva. # La curva deve essere orientata positivamente, cioè in senso antiorario. Se tutte queste condizioni sono soddisfatte, è possibile applicare direttamente la formula integrale di Cauchy. == 4. Esercizi svolti == Schema riassuntivo per la risoluzione degli esercizi: Per risolvere un integrale mediante la rappresentazione integrale di Cauchy è utile seguire sempre questi passaggi: # Individuare la funzione <math>f(z)</math> presente al numeratore dell'integrale. # Individuare il punto <math>z_0</math> annullando il denominatore <math>z-z_0</math>. # Verificare che la funzione sia olomorfa all'interno e sul bordo della curva. # Verificare che il punto <math>z_0</math> sia interno alla curva. # Applicare la formula integrale di Cauchy: '''4.1 Testo del 1° esercizio''' Calcolare il seguente integrale complesso: <math> I=\oint_{|z|=2}\frac{z^2+1}{z-1}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione ( z^2 + 1 ) / ( z -1 ) dove R = |2| è la circonferena unitaria''' IA risponde: La curva è una circonferenza con centro nell'origine e raggio uguale a <math>2</math>, percorsa in senso antiorario. *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontiamo l'integrale assegnato con la formula generale di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Dal confronto ricaviamo: <math> f(z)=z^2+1 </math> e: <math> z_0=1 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Dobbiamo verificare che il punto <math>z_0=1</math> sia interno alla circonferenza di raggio <math>2</math>. Calcoliamo il modulo: <math> |z_0|=|1|=1 </math> Poiché: <math> 1<2 </math> il punto <math>z_0=1</math> è interno alla circonferenza. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni per applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula === Utilizziamo la formula integrale: <math> I=2\pi i f(z_0) </math> Sostituiamo il valore del punto: <math> I=2\pi i f(1) </math> Calcoliamo il valore della funzione nel punto <math>z=1</math>: <math> f(1)=1^2+1 </math> <math> f(1)=1+1=2 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: <math> I=2\pi i\cdot 2 </math> Quindi: <math> {I=4\pi i} </math> Risultato finale: <math> {I=4\pi i} </math> ''' 4.2 Secondo esercizio ''' Calcolare il seguente integrale: <math> I=\oint_{|z|=3}\frac{e^z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione e^z / (z - 2) dove R = |3| è la circonferena unitaria''' IA risponde: *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontando l'integrale con la formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> individuiamo: <math> f(z)=e^z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione esponenziale complessa <math>e^z</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>3</math>. Verifichiamo che il punto <math>z_0=2</math> sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<3 </math> il punto è interno alla curva. Possiamo quindi applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula Scriviamo: <math> I=2\pi i f(2) </math> Poiché: <math> f(z)=e^z </math> si ha: <math> f(2)=e^2 </math> *Passaggio 4: risultato finale Sostituendo nella formula: <math> I=2\pi i e^2 </math> Pertanto: <math> {I=2\pi i e^2} </math> ''' 4.3 Terzo esercizio ''' Calcolare: <math> I=\oint_{|z|=4}\frac{z^3+2z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione (z^3 + 2z) / (z - 2) dove |z| = 4 è la circonferena unitaria''' *Passaggio 1: individuazione della funzione Dal confronto con la formula di Cauchy ricaviamo: <math> f(z)=z^3+2z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione è un polinomio, quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>4</math>. Verifichiamo che il punto sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<4 </math> il punto è interno alla circonferenza. *Passaggio 3: applicazione della formula Applichiamo la rappresentazione integrale di Cauchy: <math> I=2\pi i f(2) </math> Calcoliamo il valore della funzione: <math> f(2)=2^3+2\cdot 2 </math> <math> f(2)=8+4 </math> <math> f(2)=12 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore nella formula: <math> I=2\pi i\cdot 12 </math> Otteniamo: <math> {I=24\pi i} </math> *Risultato finale: <math> {I=24\pi i} </math> <math> I=2\pi i f(z_0) </math> # Calcolare il valore della funzione nel punto individuato. # Moltiplicare il risultato per <math>2\pi i</math>. '''4.4 Testo del 4° esercizio''' Sia da calcolare l'integrale di linea nel piano complesso: :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz</math> Calcolare il seguente integrale complesso: con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo la linea la funzione ( z^4 ) / ( z + 2 ) dove = |z| = 4''' IA risponde: Enunciato della Formula Integrale di Cauchy Se <math>f(z)</math> è una funzione olomorfa all'interno e sul bordo di una curva semplice e chiusa <math>C</math> orientata positivamente, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora vale la relazione: :<math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> *Svolgimento e analisi dei parametri 1. Identificazione del dominio e del cammino di integrazione: La curva di integrazione è la circonferenza <math>C</math> definita da <math>|z| = 4</math>, centrata nell'origine con raggio <math>R = 4</math>. 2. Scelta della funzione olomorfa: Poniamo <math>f(z) = z^4</math>. La funzione è un polinomio ed è pertanto intera (olomorfa su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>). 3. Individuazione della singolarità: Riscrivendo il denominatore nella forma <math>z - z_0</math>, si ottiene: :<math>z + 2 = z - (-2)</math> Quindi la singolarità si trova nel punto <math>z_0 = -2</math>. 4. Verifica della posizione del punto: Calcoliamo il modulo di <math>z_0</math>: :<math>|z_0| = |-2| = 2 < 4</math> Poiché il modulo è minore del raggio del cammino d'integrazione, il punto <math>z_0 = -2</math> appartiene al dominio interno racchiuso dalla curva <math>|z| = 4</math>. === Calcolo finale === Applichiamo la Formula Integrale di Cauchy: 1. Valutiamo <math>f(z)</math> nel punto <math>z_0 = -2</math>: :<math>f(-2) = (-2)^4 = 16</math> 2. Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: :<math>\oint_{|z|=4} \frac{z^4}{z - (-2)} \, dz = 2\pi i \cdot f(-2) = 2\pi i \cdot 16 = 32\pi i</math> === Risultato === :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz = 32\pi i</math> == 5. Osservazione importante == La rappresentazione integrale di Cauchy può essere applicata soltanto quando il punto <math>z_0</math> si trova all'interno della curva e la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa nella regione considerata. Se il punto è esterno alla curva, non è possibile applicare direttamente la formula nella forma indicata. La formula integrale di Cauchy costituisce inoltre la base per la formula integrale di Cauchy per le derivate, che permette di calcolare le derivate di una funzione olomorfa attraverso integrali lungo curve chiuse. 9jzabozkzamg3yx4qji2g6ktphd5lqf 288332 288331 2026-11-11T14:25:57Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo finale */ 288332 wikitext text/x-wiki = Rappresentazione integrale di Cauchy = La '''rappresentazione integrale di Cauchy''' è un importante teorema dell'analisi complessa. Esso permette di determinare il valore di una funzione olomorfa in un punto interno a una curva chiusa, conoscendo i valori della funzione lungo la curva stessa. == 1. Enunciato del teorema == Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e tutto il suo interno. Sia inoltre <math>z_0</math> un punto interno alla curva. La formula integrale di Cauchy afferma che: <math> f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz </math> In modo equivalente, si può scrivere: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> La curva <math>\gamma</math> deve essere orientata positivamente, cioè percorsa in senso antiorario. Il significato del teorema è che il valore della funzione in un punto interno alla curva può essere calcolato mediante un integrale di linea lungo il bordo della regione considerata. == 2. Significato dei simboli == * <math>f(z)</math>: funzione complessa olomorfa. * <math>z</math>: variabile complessa. * <math>z_0</math>: punto interno alla curva. * <math>\gamma</math>: curva chiusa semplice. * <math>i</math>: unità immaginaria, con <math>i^2=-1</math>. * <math>\oint_\gamma</math>: integrale curvilineo lungo una curva chiusa. == 3. Condizioni per applicare il teorema == Per applicare la rappresentazione integrale di Cauchy devono essere rispettate le seguenti condizioni: # La funzione <math>f(z)</math> deve essere olomorfa all'interno della curva e sul suo bordo. # La curva <math>\gamma</math> deve essere chiusa e semplice. # Il punto <math>z_0</math> deve essere interno alla curva. # La curva deve essere orientata positivamente, cioè in senso antiorario. Se tutte queste condizioni sono soddisfatte, è possibile applicare direttamente la formula integrale di Cauchy. == 4. Esercizi svolti == Schema riassuntivo per la risoluzione degli esercizi: Per risolvere un integrale mediante la rappresentazione integrale di Cauchy è utile seguire sempre questi passaggi: # Individuare la funzione <math>f(z)</math> presente al numeratore dell'integrale. # Individuare il punto <math>z_0</math> annullando il denominatore <math>z-z_0</math>. # Verificare che la funzione sia olomorfa all'interno e sul bordo della curva. # Verificare che il punto <math>z_0</math> sia interno alla curva. # Applicare la formula integrale di Cauchy: '''4.1 Testo del 1° esercizio''' Calcolare il seguente integrale complesso: <math> I=\oint_{|z|=2}\frac{z^2+1}{z-1}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione ( z^2 + 1 ) / ( z -1 ) dove R = |2| è la circonferena unitaria''' IA risponde: La curva è una circonferenza con centro nell'origine e raggio uguale a <math>2</math>, percorsa in senso antiorario. *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontiamo l'integrale assegnato con la formula generale di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Dal confronto ricaviamo: <math> f(z)=z^2+1 </math> e: <math> z_0=1 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Dobbiamo verificare che il punto <math>z_0=1</math> sia interno alla circonferenza di raggio <math>2</math>. Calcoliamo il modulo: <math> |z_0|=|1|=1 </math> Poiché: <math> 1<2 </math> il punto <math>z_0=1</math> è interno alla circonferenza. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni per applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula === Utilizziamo la formula integrale: <math> I=2\pi i f(z_0) </math> Sostituiamo il valore del punto: <math> I=2\pi i f(1) </math> Calcoliamo il valore della funzione nel punto <math>z=1</math>: <math> f(1)=1^2+1 </math> <math> f(1)=1+1=2 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: <math> I=2\pi i\cdot 2 </math> Quindi: <math> {I=4\pi i} </math> Risultato finale: <math> {I=4\pi i} </math> ''' 4.2 Secondo esercizio ''' Calcolare il seguente integrale: <math> I=\oint_{|z|=3}\frac{e^z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione e^z / (z - 2) dove R = |3| è la circonferena unitaria''' IA risponde: *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontando l'integrale con la formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> individuiamo: <math> f(z)=e^z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione esponenziale complessa <math>e^z</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>3</math>. Verifichiamo che il punto <math>z_0=2</math> sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<3 </math> il punto è interno alla curva. Possiamo quindi applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula Scriviamo: <math> I=2\pi i f(2) </math> Poiché: <math> f(z)=e^z </math> si ha: <math> f(2)=e^2 </math> *Passaggio 4: risultato finale Sostituendo nella formula: <math> I=2\pi i e^2 </math> Pertanto: <math> {I=2\pi i e^2} </math> ''' 4.3 Terzo esercizio ''' Calcolare: <math> I=\oint_{|z|=4}\frac{z^3+2z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione (z^3 + 2z) / (z - 2) dove |z| = 4 è la circonferena unitaria''' *Passaggio 1: individuazione della funzione Dal confronto con la formula di Cauchy ricaviamo: <math> f(z)=z^3+2z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione è un polinomio, quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>4</math>. Verifichiamo che il punto sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<4 </math> il punto è interno alla circonferenza. *Passaggio 3: applicazione della formula Applichiamo la rappresentazione integrale di Cauchy: <math> I=2\pi i f(2) </math> Calcoliamo il valore della funzione: <math> f(2)=2^3+2\cdot 2 </math> <math> f(2)=8+4 </math> <math> f(2)=12 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore nella formula: <math> I=2\pi i\cdot 12 </math> Otteniamo: <math> {I=24\pi i} </math> *Risultato finale: <math> {I=24\pi i} </math> <math> I=2\pi i f(z_0) </math> # Calcolare il valore della funzione nel punto individuato. # Moltiplicare il risultato per <math>2\pi i</math>. '''4.4 Testo del 4° esercizio''' Sia da calcolare l'integrale di linea nel piano complesso: :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz</math> Calcolare il seguente integrale complesso: con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo la linea la funzione ( z^4 ) / ( z + 2 ) dove = |z| = 4''' IA risponde: Enunciato della Formula Integrale di Cauchy Se <math>f(z)</math> è una funzione olomorfa all'interno e sul bordo di una curva semplice e chiusa <math>C</math> orientata positivamente, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora vale la relazione: :<math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> *Svolgimento e analisi dei parametri 1. Identificazione del dominio e del cammino di integrazione: La curva di integrazione è la circonferenza <math>C</math> definita da <math>|z| = 4</math>, centrata nell'origine con raggio <math>R = 4</math>. 2. Scelta della funzione olomorfa: Poniamo <math>f(z) = z^4</math>. La funzione è un polinomio ed è pertanto intera (olomorfa su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>). 3. Individuazione della singolarità: Riscrivendo il denominatore nella forma <math>z - z_0</math>, si ottiene: :<math>z + 2 = z - (-2)</math> Quindi la singolarità si trova nel punto <math>z_0 = -2</math>. 4. Verifica della posizione del punto: Calcoliamo il modulo di <math>z_0</math>: :<math>|z_0| = |-2| = 2 < 4</math> Poiché il modulo è minore del raggio del cammino d'integrazione, il punto <math>z_0 = -2</math> appartiene al dominio interno racchiuso dalla curva <math>|z| = 4</math>. Calcolo finale Applichiamo la Formula Integrale di Cauchy: 1. Valutiamo <math>f(z)</math> nel punto <math>z_0 = -2</math>: :<math>f(-2) = (-2)^4 = 16</math> 2. Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: :<math>\oint_{|z|=4} \frac{z^4}{z - (-2)} \, dz = 2\pi i \cdot f(-2) = 2\pi i \cdot 16 = 32\pi i</math> === Risultato === :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz = 32\pi i</math> == 5. Osservazione importante == La rappresentazione integrale di Cauchy può essere applicata soltanto quando il punto <math>z_0</math> si trova all'interno della curva e la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa nella regione considerata. Se il punto è esterno alla curva, non è possibile applicare direttamente la formula nella forma indicata. La formula integrale di Cauchy costituisce inoltre la base per la formula integrale di Cauchy per le derivate, che permette di calcolare le derivate di una funzione olomorfa attraverso integrali lungo curve chiuse. 3fyugx89il7rk9n70fcgehjh46mw59z 288333 288332 2026-11-11T14:27:28Z Funzioni di correlazione 24136 /* Risultato */ 288333 wikitext text/x-wiki = Rappresentazione integrale di Cauchy = La '''rappresentazione integrale di Cauchy''' è un importante teorema dell'analisi complessa. Esso permette di determinare il valore di una funzione olomorfa in un punto interno a una curva chiusa, conoscendo i valori della funzione lungo la curva stessa. == 1. Enunciato del teorema == Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e tutto il suo interno. Sia inoltre <math>z_0</math> un punto interno alla curva. La formula integrale di Cauchy afferma che: <math> f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz </math> In modo equivalente, si può scrivere: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> La curva <math>\gamma</math> deve essere orientata positivamente, cioè percorsa in senso antiorario. Il significato del teorema è che il valore della funzione in un punto interno alla curva può essere calcolato mediante un integrale di linea lungo il bordo della regione considerata. == 2. Significato dei simboli == * <math>f(z)</math>: funzione complessa olomorfa. * <math>z</math>: variabile complessa. * <math>z_0</math>: punto interno alla curva. * <math>\gamma</math>: curva chiusa semplice. * <math>i</math>: unità immaginaria, con <math>i^2=-1</math>. * <math>\oint_\gamma</math>: integrale curvilineo lungo una curva chiusa. == 3. Condizioni per applicare il teorema == Per applicare la rappresentazione integrale di Cauchy devono essere rispettate le seguenti condizioni: # La funzione <math>f(z)</math> deve essere olomorfa all'interno della curva e sul suo bordo. # La curva <math>\gamma</math> deve essere chiusa e semplice. # Il punto <math>z_0</math> deve essere interno alla curva. # La curva deve essere orientata positivamente, cioè in senso antiorario. Se tutte queste condizioni sono soddisfatte, è possibile applicare direttamente la formula integrale di Cauchy. == 4. Esercizi svolti == Schema riassuntivo per la risoluzione degli esercizi: Per risolvere un integrale mediante la rappresentazione integrale di Cauchy è utile seguire sempre questi passaggi: # Individuare la funzione <math>f(z)</math> presente al numeratore dell'integrale. # Individuare il punto <math>z_0</math> annullando il denominatore <math>z-z_0</math>. # Verificare che la funzione sia olomorfa all'interno e sul bordo della curva. # Verificare che il punto <math>z_0</math> sia interno alla curva. # Applicare la formula integrale di Cauchy: '''4.1 Testo del 1° esercizio''' Calcolare il seguente integrale complesso: <math> I=\oint_{|z|=2}\frac{z^2+1}{z-1}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione ( z^2 + 1 ) / ( z -1 ) dove R = |2| è la circonferena unitaria''' IA risponde: La curva è una circonferenza con centro nell'origine e raggio uguale a <math>2</math>, percorsa in senso antiorario. *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontiamo l'integrale assegnato con la formula generale di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Dal confronto ricaviamo: <math> f(z)=z^2+1 </math> e: <math> z_0=1 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Dobbiamo verificare che il punto <math>z_0=1</math> sia interno alla circonferenza di raggio <math>2</math>. Calcoliamo il modulo: <math> |z_0|=|1|=1 </math> Poiché: <math> 1<2 </math> il punto <math>z_0=1</math> è interno alla circonferenza. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni per applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula === Utilizziamo la formula integrale: <math> I=2\pi i f(z_0) </math> Sostituiamo il valore del punto: <math> I=2\pi i f(1) </math> Calcoliamo il valore della funzione nel punto <math>z=1</math>: <math> f(1)=1^2+1 </math> <math> f(1)=1+1=2 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: <math> I=2\pi i\cdot 2 </math> Quindi: <math> {I=4\pi i} </math> Risultato finale: <math> {I=4\pi i} </math> ''' 4.2 Secondo esercizio ''' Calcolare il seguente integrale: <math> I=\oint_{|z|=3}\frac{e^z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione e^z / (z - 2) dove R = |3| è la circonferena unitaria''' IA risponde: *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontando l'integrale con la formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> individuiamo: <math> f(z)=e^z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione esponenziale complessa <math>e^z</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>3</math>. Verifichiamo che il punto <math>z_0=2</math> sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<3 </math> il punto è interno alla curva. Possiamo quindi applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula Scriviamo: <math> I=2\pi i f(2) </math> Poiché: <math> f(z)=e^z </math> si ha: <math> f(2)=e^2 </math> *Passaggio 4: risultato finale Sostituendo nella formula: <math> I=2\pi i e^2 </math> Pertanto: <math> {I=2\pi i e^2} </math> ''' 4.3 Terzo esercizio ''' Calcolare: <math> I=\oint_{|z|=4}\frac{z^3+2z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione (z^3 + 2z) / (z - 2) dove |z| = 4 è la circonferena unitaria''' *Passaggio 1: individuazione della funzione Dal confronto con la formula di Cauchy ricaviamo: <math> f(z)=z^3+2z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione è un polinomio, quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>4</math>. Verifichiamo che il punto sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<4 </math> il punto è interno alla circonferenza. *Passaggio 3: applicazione della formula Applichiamo la rappresentazione integrale di Cauchy: <math> I=2\pi i f(2) </math> Calcoliamo il valore della funzione: <math> f(2)=2^3+2\cdot 2 </math> <math> f(2)=8+4 </math> <math> f(2)=12 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore nella formula: <math> I=2\pi i\cdot 12 </math> Otteniamo: <math> {I=24\pi i} </math> *Risultato finale: <math> {I=24\pi i} </math> <math> I=2\pi i f(z_0) </math> # Calcolare il valore della funzione nel punto individuato. # Moltiplicare il risultato per <math>2\pi i</math>. '''4.4 Testo del 4° esercizio''' Sia da calcolare l'integrale di linea nel piano complesso: :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz</math> Calcolare il seguente integrale complesso: con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo la linea la funzione ( z^4 ) / ( z + 2 ) dove = |z| = 4''' IA risponde: Enunciato della Formula Integrale di Cauchy Se <math>f(z)</math> è una funzione olomorfa all'interno e sul bordo di una curva semplice e chiusa <math>C</math> orientata positivamente, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora vale la relazione: :<math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> *Svolgimento e analisi dei parametri 1. Identificazione del dominio e del cammino di integrazione: La curva di integrazione è la circonferenza <math>C</math> definita da <math>|z| = 4</math>, centrata nell'origine con raggio <math>R = 4</math>. 2. Scelta della funzione olomorfa: Poniamo <math>f(z) = z^4</math>. La funzione è un polinomio ed è pertanto intera (olomorfa su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>). 3. Individuazione della singolarità: Riscrivendo il denominatore nella forma <math>z - z_0</math>, si ottiene: :<math>z + 2 = z - (-2)</math> Quindi la singolarità si trova nel punto <math>z_0 = -2</math>. 4. Verifica della posizione del punto: Calcoliamo il modulo di <math>z_0</math>: :<math>|z_0| = |-2| = 2 < 4</math> Poiché il modulo è minore del raggio del cammino d'integrazione, il punto <math>z_0 = -2</math> appartiene al dominio interno racchiuso dalla curva <math>|z| = 4</math>. Calcolo finale Applichiamo la Formula Integrale di Cauchy: 1. Valutiamo <math>f(z)</math> nel punto <math>z_0 = -2</math>: :<math>f(-2) = (-2)^4 = 16</math> 2. Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: :<math>\oint_{|z|=4} \frac{z^4}{z - (-2)} \, dz = 2\pi i \cdot f(-2) = 2\pi i \cdot 16 = 32\pi i</math> Risultato :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz = 32\pi i</math> == 5. Osservazione importante == La rappresentazione integrale di Cauchy può essere applicata soltanto quando il punto <math>z_0</math> si trova all'interno della curva e la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa nella regione considerata. Se il punto è esterno alla curva, non è possibile applicare direttamente la formula nella forma indicata. La formula integrale di Cauchy costituisce inoltre la base per la formula integrale di Cauchy per le derivate, che permette di calcolare le derivate di una funzione olomorfa attraverso integrali lungo curve chiuse. ixlrry0n5q9zj18d05ncwf1jzgwieb4 288334 288333 2026-11-11T15:01:49Z Funzioni di correlazione 24136 /* Rappresentazione integrale di Cauchy */ 288334 wikitext text/x-wiki La '''rappresentazione integrale di Cauchy''' è un importante teorema dell'analisi complessa. Esso permette di determinare il valore di una funzione olomorfa in un punto interno a una curva chiusa, conoscendo i valori della funzione lungo la curva stessa. == 1. Enunciato del teorema == Sia <math>f(z)</math> una funzione olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e tutto il suo interno. Sia inoltre <math>z_0</math> un punto interno alla curva. La formula integrale di Cauchy afferma che: <math> f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz </math> In modo equivalente, si può scrivere: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> La curva <math>\gamma</math> deve essere orientata positivamente, cioè percorsa in senso antiorario. Il significato del teorema è che il valore della funzione in un punto interno alla curva può essere calcolato mediante un integrale di linea lungo il bordo della regione considerata. == 2. Significato dei simboli == * <math>f(z)</math>: funzione complessa olomorfa. * <math>z</math>: variabile complessa. * <math>z_0</math>: punto interno alla curva. * <math>\gamma</math>: curva chiusa semplice. * <math>i</math>: unità immaginaria, con <math>i^2=-1</math>. * <math>\oint_\gamma</math>: integrale curvilineo lungo una curva chiusa. == 3. Condizioni per applicare il teorema == Per applicare la rappresentazione integrale di Cauchy devono essere rispettate le seguenti condizioni: # La funzione <math>f(z)</math> deve essere olomorfa all'interno della curva e sul suo bordo. # La curva <math>\gamma</math> deve essere chiusa e semplice. # Il punto <math>z_0</math> deve essere interno alla curva. # La curva deve essere orientata positivamente, cioè in senso antiorario. Se tutte queste condizioni sono soddisfatte, è possibile applicare direttamente la formula integrale di Cauchy. == 4. Esercizi svolti == Schema riassuntivo per la risoluzione degli esercizi: Per risolvere un integrale mediante la rappresentazione integrale di Cauchy è utile seguire sempre questi passaggi: # Individuare la funzione <math>f(z)</math> presente al numeratore dell'integrale. # Individuare il punto <math>z_0</math> annullando il denominatore <math>z-z_0</math>. # Verificare che la funzione sia olomorfa all'interno e sul bordo della curva. # Verificare che il punto <math>z_0</math> sia interno alla curva. # Applicare la formula integrale di Cauchy: '''4.1 Testo del 1° esercizio''' Calcolare il seguente integrale complesso: <math> I=\oint_{|z|=2}\frac{z^2+1}{z-1}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione ( z^2 + 1 ) / ( z -1 ) dove R = |2| è la circonferena unitaria''' IA risponde: La curva è una circonferenza con centro nell'origine e raggio uguale a <math>2</math>, percorsa in senso antiorario. *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontiamo l'integrale assegnato con la formula generale di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> Dal confronto ricaviamo: <math> f(z)=z^2+1 </math> e: <math> z_0=1 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Dobbiamo verificare che il punto <math>z_0=1</math> sia interno alla circonferenza di raggio <math>2</math>. Calcoliamo il modulo: <math> |z_0|=|1|=1 </math> Poiché: <math> 1<2 </math> il punto <math>z_0=1</math> è interno alla circonferenza. Sono quindi soddisfatte tutte le condizioni per applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula === Utilizziamo la formula integrale: <math> I=2\pi i f(z_0) </math> Sostituiamo il valore del punto: <math> I=2\pi i f(1) </math> Calcoliamo il valore della funzione nel punto <math>z=1</math>: <math> f(1)=1^2+1 </math> <math> f(1)=1+1=2 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: <math> I=2\pi i\cdot 2 </math> Quindi: <math> {I=4\pi i} </math> Risultato finale: <math> {I=4\pi i} </math> ''' 4.2 Secondo esercizio ''' Calcolare il seguente integrale: <math> I=\oint_{|z|=3}\frac{e^z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione e^z / (z - 2) dove R = |3| è la circonferena unitaria''' IA risponde: *Passaggio 1: individuazione della funzione Confrontando l'integrale con la formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) </math> individuiamo: <math> f(z)=e^z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione esponenziale complessa <math>e^z</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>3</math>. Verifichiamo che il punto <math>z_0=2</math> sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<3 </math> il punto è interno alla curva. Possiamo quindi applicare il teorema di Cauchy. *Passaggio 3: applicazione della formula Scriviamo: <math> I=2\pi i f(2) </math> Poiché: <math> f(z)=e^z </math> si ha: <math> f(2)=e^2 </math> *Passaggio 4: risultato finale Sostituendo nella formula: <math> I=2\pi i e^2 </math> Pertanto: <math> {I=2\pi i e^2} </math> ''' 4.3 Terzo esercizio ''' Calcolare: <math> I=\oint_{|z|=4}\frac{z^3+2z}{z-2}\,dz </math> con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo circonferenza la funzione (z^3 + 2z) / (z - 2) dove |z| = 4 è la circonferena unitaria''' *Passaggio 1: individuazione della funzione Dal confronto con la formula di Cauchy ricaviamo: <math> f(z)=z^3+2z </math> e: <math> z_0=2 </math> *Passaggio 2: verifica delle condizioni La funzione è un polinomio, quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. La curva è una circonferenza di raggio <math>4</math>. Verifichiamo che il punto sia interno: <math> |z_0|=|2|=2 </math> Poiché: <math> 2<4 </math> il punto è interno alla circonferenza. *Passaggio 3: applicazione della formula Applichiamo la rappresentazione integrale di Cauchy: <math> I=2\pi i f(2) </math> Calcoliamo il valore della funzione: <math> f(2)=2^3+2\cdot 2 </math> <math> f(2)=8+4 </math> <math> f(2)=12 </math> *Passaggio 4: calcolo del risultato Sostituiamo il valore nella formula: <math> I=2\pi i\cdot 12 </math> Otteniamo: <math> {I=24\pi i} </math> *Risultato finale: <math> {I=24\pi i} </math> <math> I=2\pi i f(z_0) </math> # Calcolare il valore della funzione nel punto individuato. # Moltiplicare il risultato per <math>2\pi i</math>. '''4.4 Testo del 4° esercizio''' Sia da calcolare l'integrale di linea nel piano complesso: :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz</math> Calcolare il seguente integrale complesso: con copia incolla su IA del seguente testo in grassetto: '''integrare lungo la linea la funzione ( z^4 ) / ( z + 2 ) dove = |z| = 4''' IA risponde: Enunciato della Formula Integrale di Cauchy Se <math>f(z)</math> è una funzione olomorfa all'interno e sul bordo di una curva semplice e chiusa <math>C</math> orientata positivamente, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora vale la relazione: :<math>\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> *Svolgimento e analisi dei parametri 1. Identificazione del dominio e del cammino di integrazione: La curva di integrazione è la circonferenza <math>C</math> definita da <math>|z| = 4</math>, centrata nell'origine con raggio <math>R = 4</math>. 2. Scelta della funzione olomorfa: Poniamo <math>f(z) = z^4</math>. La funzione è un polinomio ed è pertanto intera (olomorfa su tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>). 3. Individuazione della singolarità: Riscrivendo il denominatore nella forma <math>z - z_0</math>, si ottiene: :<math>z + 2 = z - (-2)</math> Quindi la singolarità si trova nel punto <math>z_0 = -2</math>. 4. Verifica della posizione del punto: Calcoliamo il modulo di <math>z_0</math>: :<math>|z_0| = |-2| = 2 < 4</math> Poiché il modulo è minore del raggio del cammino d'integrazione, il punto <math>z_0 = -2</math> appartiene al dominio interno racchiuso dalla curva <math>|z| = 4</math>. Calcolo finale Applichiamo la Formula Integrale di Cauchy: 1. Valutiamo <math>f(z)</math> nel punto <math>z_0 = -2</math>: :<math>f(-2) = (-2)^4 = 16</math> 2. Sostituiamo il valore ottenuto nell'integrale: :<math>\oint_{|z|=4} \frac{z^4}{z - (-2)} \, dz = 2\pi i \cdot f(-2) = 2\pi i \cdot 16 = 32\pi i</math> Risultato :<math>\oint_{|z| = 4} \frac{z^4}{z + 2} \, dz = 32\pi i</math> == 5. Osservazione importante == La rappresentazione integrale di Cauchy può essere applicata soltanto quando il punto <math>z_0</math> si trova all'interno della curva e la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa nella regione considerata. Se il punto è esterno alla curva, non è possibile applicare direttamente la formula nella forma indicata. La formula integrale di Cauchy costituisce inoltre la base per la formula integrale di Cauchy per le derivate, che permette di calcolare le derivate di una funzione olomorfa attraverso integrali lungo curve chiuse. hld2p2j0xhg9qr94pzvsw4foqi8n5i8