Wikibooks jawikibooks https://ja.wikibooks.org/wiki/%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8 MediaWiki 1.47.0-wmf.1 first-letter メディア 特別 トーク 利用者 利用者・トーク Wikibooks Wikibooks・トーク ファイル ファイル・トーク MediaWiki MediaWiki・トーク テンプレート テンプレート・トーク ヘルプ ヘルプ・トーク カテゴリ カテゴリ・トーク Transwiki Transwiki‐ノート TimedText TimedText talk モジュール モジュール・トーク Event Event talk 4 48 299358 283060 2026-05-09T12:21:09Z Shokupan 23730 /* 関連プロジェクト */ ウィキニュース（閉鎖）をウィキファンクションズに変更 299358 wikitext text/x-wiki [[Category:ウィキブックス|こみゆにていほたる]] __NOTOC__ <div id="main" style="display:flex; flex:1; flex-wrap:wrap"> <div id="pane1" style="flex:1 20em; background:#ffeeff; border:#ff9999 1px solid; padding:1ex 1em; margin: 1px; border-radius: 3px;"> == 作業する人を募集中 == * [[特別:Newpages|新しいページ]] * [[特別:Wantedpages|投稿が望まれているページ]] * [[Wikibooks:執筆依頼]] * [[Wikibooks:プロジェクト文書の整備]] * [[Wikibooks:ウィキプロジェクト]] * [[Wikibooks:スタブ]] * [[:カテゴリ:スタブ|Category:スタブ]] </div><!-- end #pane1 --> <div id="pane2" style="flex:1 20em; background:#eeffee; 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よって、両辺を積分すると、 <math>F(x)-G(x) = C</math> となり、F(x)とG(x)には定数だけの差しかないことが確かめられた。 よって、 <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx</math> は定数だけのちがいを含んで成り立つ式である。 より一般に、不定積分が絡む等式は定数分の差を含めて成り立つというのが通例である。) <math>\int af(x) dx = a \int f(x) dx</math> についても両辺を微分すると、 左辺=右辺= a f(x) が従う。 よって、 <math>\int af dx = a\int f dx</math> が成り立つことが分る。 関数 <math>f(x)</math> の原始関数を <math>F(x)</math> とすると <math>\int_a^b f(x) \, = F(b)-F(a) = -(F(a)-F(b)) = -\int_b^af(x)\, dx</math> である。 <math>\int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx = (F(c) - F(a)) + (F(b) - F(c)) = F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx</math> === 置換積分法 === 関数の原始関数を求める手段として、 積分変数を別の変数で置き換えて積分を行なう手段が知られている。 これを置換積分法と呼ぶ。 <math>\int f(g(x)) dg(x) = \int f(g(x)) g'(x) dx</math> 導出 <math>\int f(g(x)) dg(x) =F(g(x))</math>を<math>x</math>について微分すると、 <math>F'(g(x)) = f(g(x))g'(x)</math> 再び<math>x</math>について積分すると、 <math>\int f(g(x)) dg(x) = \int f(g(x)) g'(x) dx</math> また、特に *<math>\int f(ax+b) dx = \frac{1}{a} \int f(ax+b) d(ax+b)</math> *<math>\int \{f(x)\}^n f'(x) dx = \frac{1}{n+1} \{f(x)\}^{n+1} + C (n \ne -1)</math> *<math>\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log | f(x) | + C</math> 例えば、<math>\int (ax+b)^2 dx</math>を考える。 <math>t = ax+b</math>と置く。 この両辺を微分すると <math>dt = adx</math> が成り立つことを考慮すると、 {| |- |<math>\int t^2 \frac {dt} a</math> |<math>=\frac{ t^3} {3a} + C</math> |- | |<math>=\frac{ (ax+b)^3} {3a} + C</math> |} となることがわかる。 実際この式をxで微分すると <math> (ax+b)^2 </math> と一致することが分る。 置換積分を使わずに計算することも出来る。 {| |- |<math>\int (ax+b)^2 dx</math> |<math>=\int (a^2x^2+2abx +b^2) dx</math> |- | |<math>= \frac {a^2} 3 x^3 +abx^2 +b^2x + C'</math> |- | |<math>= \frac {a^2} 3 x^3 +abx^2 +b^2x + \frac {b^3} {3a} +C</math> |} (<math>C'=\frac {b^3} {3a} +C</math>と置き換えた。) <math>=\frac{ (ax+b)^3} {3a} + C</math> となり確かに一致する。 === 部分積分法 === 関数の積の積分を行なうときある関数の微分だけを取りだして積分すると、うまく積分できる場合がある。関数 <math>g(x)</math> の原始関数を <math>G(x)</math> とすると <math>\int f(x) g(x) \, dx = f(x) G(x) - \int f'(x) G(x) \, dx</math> 導出 積の微分法より <math>\{f(x)G(x)\}' = f'(x)G(x) + f(x)g(x)</math> である。これを移項して <math>f(x)g(x) = \{f(x)G(x)\}' - f'(x)G(x)</math> である。両辺をxで積分して <math>\int f(x) g(x) \, dx = f(x) G(x) - \int f'(x) G(x) \, dx</math> が得られる。 例えば、 {| |- |<math>\int x (ax+b)^3 dx</math> |<math>=\int x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)' dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \int (x)' \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \int (x)' \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \int \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \frac {(ax+b)^5} {20a^2} </math> |} 部分積分を <math>n</math> 回行うと、 <math>\begin{align} \int f(x) g(x) \, dx &= f(x) g^{(-1)}(x) - \int f'(x) g^{(-1)}(x) \, dx \\ &= f(x) g^{(-1)}(x) -f'(x) g^{(-2)}(x) + \int f''(x) g^{(-2)}(x) \, dx \\ &= f(x) g^{(-1)}(x) - f'(x) g^{(-2)}(x) + f''(x) g^{(-3)}(x) + \cdots + (-1)^n \int f^{(n)}(x) g^{(-n)}(x) \, dx \end{align}</math> となる。 ここで、<math>g^{(-1)}(x)</math> は <math>g(x)</math> の不定積分の任意の一つ。<math>g^{(-2)}(x)</math> は <math>g^{(-1)}(x)</math> の不定積分の任意の一つ。... <math>g^{(-n)}(x)</math> は <math>g^{(-n+1)}(x)</math> の不定積分の任意の一つというように定める。このように、積分記号で何回も不定積分を計算するのはやや面倒なので、次のような表を作ってみると計算しやすい。 {|class="wikitable" style="background: #ffffff; text-align: center;" |+ !符号 !微分 !積分 |- |<math>+</math> |<Math>f(x)</math> |<Math>g(x)</math> |- |<math>-</math> |<Math>f'(x)</math> |<Math>g^{(-1)}(x)</math> |- |<math>+</math> |<Math>f''(x)</math> |<Math>g^{(-2)}(x)</math> |- |<math>-</math> |<Math>f^{(3)}(x)</math> |<Math>g^{(-3)}(x)</math> |- |<math>\cdots</math> |<Math>\cdots</math> |<Math>\cdots</math> |- |<math>(-)^n</math> |<Math>f^{(n)}(x)</math> |<Math>g^{(-n)}(x)</math> |} この表から、部分積分を <math>n</math> 回行った結果は、 一行目の符号 × 一行目の微分 × 二行目の積分 + 二行目の符号 × 二行目の微分 × 三行目の積分 + ... + <math>\int</math> n行目の符号 × n行目の微分 × n行目の積分 dx と求まる。n行目の微分 が 0 であった場合は、最後の積分は消えて、不定積分は 一行目の符号 × 一行目の微分 × 二行目の積分 + 二行目の符号 × 二行目の微分 × 三行目の積分 + ... + n-1行目の符号 × n-1行目の微分 × n行目の積分 + C となる。 この方法は俗に'''瞬間部分積分法'''と呼ばれており、部分積分を複数回繰り返す際の計算を非常に簡略化できるため、受験数学では重宝されるテクニックの一つである。記述で用いる場合、上の表をそのまま記述するよりも、「部分積分を繰り返し用いると」という文言の後に瞬間部分積分で求めた結果を記述するのが無難である。 === いろいろな関数の積分=== ==== 多項式関数の積分 ==== <math>n \ne -1</math>のとき、<math>\left(\frac{1}{n+1} x^{n+1}\right)'=x^n</math>なので、 <math>\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C</math> <math>n = -1</math>のとき、<math>(\log |x| )' = \frac{1}{x} = x^{-1}</math>なので、 <math>\int x^{-1} dx = \int \frac {1}{x} dx = \log |x| + C</math> が成り立つ。 ==== 三角関数の積分 ==== *<math>(\sin x )' = \cos x</math> *<math>(\cos x )' = -\sin x</math> *<math>(\tan x )' = \frac{1}{\cos^2 x}</math> が成り立つことを考慮すると、 *<math>\int \cos x dx= \sin x + C</math> *<math>\int \sin x dx = - \cos x + C</math> *<math>\int \frac{1}{\cos^2 x } dx = \tan x + C</math> となることが分る。 <math>\int \tan x dx</math>は、置換積分法を使って {| |- |<math>\int \tan x dx</math> |<math>=\int \frac{\sin x}{\cos x} dx</math> |- | |<math>=\int \frac{-(\cos x)'}{\cos x} dx</math> |- | |<math>= - \int \frac{(\cos x)'}{\cos x} dx</math> |- | |<math>= - \log | \cos x | + C</math> |} :　 :なお同様に、<math>\frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}</math>　であるので、<math>\int \frac{1}{\tan x} dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx =\int \frac{(\sin x)'}{\sin x} dx = \log \left|\sin x\right| + C</math> :　 より一般に有理関数 <math>R(x,y)</math> に対して、<math>\int R(\sin\theta,\cos\theta) \,d\theta</math> について考える。 <math>t = \tan \frac{\theta}{2}</math> とおく。 <math>\tan^2\frac{\theta}{2} + 1 = \frac{1}{\cos^2\frac{\theta}{2}}</math> よって <math>\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1}{1+t^2}</math>である。<math>\frac{dt}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2\cos^2\frac{\theta}{2}} = \frac{1}{2}(t^2+1)</math> であり、<math>\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2} - 1 = \frac{1-t^2}{1+t^2}</math> かつ <math>\sin\theta = \tan\theta\cos\theta = \frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}\cos\theta = \frac{2t}{1+t^2}</math> である。よって <math>\int R(\sin\theta,\cos\theta) \,d\theta = \int R\left(\frac{2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t^2}\right) \, \frac{2dt}{1+t^2}</math> と有理関数の積分にもち込める。 幾何学的は、この変換は単位円上の点 <math>P(\cos \theta, \sin \theta)</math>と点 <math>A(-1,0)</math> を結ぶ直線の勾配 <math>t</math> で変換したものである。実際円周角の定理より <math>\angle xAP = \frac 1 2 \angle xOP = \frac \theta 2</math>より <math>t = \tan \frac{\theta} 2.</math> 被積分関数の周期が <math>\pi</math> の場合は、被積分関数は <math>\sin 2\theta,\cos 2 \theta</math> の有理関数なので、 <math>t = \tan\theta</math> と置換すると計算が楽である。被積分関数が <math>\sin^2\theta,\cos^2\theta,\sin\theta\cos\theta</math> の有理関数となるときもこの範疇に属する。<math>t = \tan\theta</math> と置換したとき、<math>\cos^2\theta = \frac{1}{1+\tan^2\theta}=\frac{1}{1+t^2}</math>, <math>\sin^2\theta = \tan^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{t^2}{1+t^2}</math> , <math>\sin\theta \cos\theta = \pm\sqrt{\sin^2\theta \cos^2\theta} = \frac{t}{1+t^2}</math> (<math>\sin\theta \cos\theta</math> と <math>\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}</math> の正負は一致するため), <math>d \theta = \frac {dt}{1 + t^2}</math> となる。 例　<math>\int\frac{1}{\sin x \cos x}dx</math> は <math>t = \tan x</math> と置換すると、<math>\int \frac {1}{\sin x \cos x}dx = \int \frac {1+t^2}{t} \frac { dt}{1+t^2} = \ln|\tan x| + C. </math> <math>t = \tan \frac{\theta}{2}</math> と置換してしまうと、<math>\int \frac{1}{\sin x \cos x}\,dx = \int \frac {1+t^2}{t(1-t^2)}\,dt = \ln \left|\frac{t}{1-t^2}\right| + C' = \ln|\tan x| + C </math> と計算量が少し増える。 ==== 指数・対数関数の積分 ==== 指数関数について <math>(e^x )' = e^x</math> が成り立つことを用いると、 <math>\int e^x dx = e^x + C</math> が得られる。 また、 <math>\left(\frac{a^x}{\ln a}\right)' = a^x</math> なので、 <math>\int a^x \, dx=\frac{a^x}{\ln a}</math> である。 また、<math>\log |x|</math>の 原始関数も求めることが出来る。 {| |<math>\int \log |x| dx </math> |<math>=\int (x)' \log |x| dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -\int x (\log |x|)' dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -\int x \frac 1 x dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -\int dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -x + C</math> |} となる。 有理関数 <math>R(x)</math> に対して、積分 <math>\int R(e^x) \, dx</math> は <math>t = e^x</math> すると <math>\frac{dt}{dx} = e^x = t</math> より <math>\int R(e^x) \, dx = \int R(t) \frac{dt}{t}.</math> ==== 二次無理関数の積分（発展） ==== 有理関数 <math>R(x,y)</math> に対して、積分 <math>\int R(x,\sqrt{ax^2 + bx + c}) \, dx</math> について考えよう。平方根の中身は平方完成することによって、<math>\sqrt{p^2-x^2},\sqrt{x^2+p^2},\sqrt{x^2-p^2}</math>のいずれかの形になる。それぞれの場合について、<math>x = p\sin \theta,x = p\tan\theta,x = \frac{p}{\cos \theta}</math> と変数変換すると三角関数の積分に帰着する。 また、<math>y^2 = ax^2 +bx + c</math> は二次曲線で、特に <math>a>0</math> のときは双曲線となる（<math>y^2 -a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{-b^2 + 4ac}{4a}</math>より<ref>右辺が0のとき双曲線とはならないが、このときは簡単に平方根を外すことが出来るので考える必要はない。</ref>）。このとき、<math>y=\pm \sqrt a x + t</math> すなわち <math>t = \mp \sqrt a x + \sqrt{ax^2 + bx + c}</math> と変換するとうまく計算できる（符号はどちらを選択しても良い）。幾何学的には、双曲線の漸近線に平行で切片が <math>t</math> の直線 <math>y=\pm \sqrt a x + t</math> と双曲線のただ一つの交点 <math>(x,y)</math> を変数 <math>t</math> で表したものである。 例 <math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} </math> は <math>t = x + \sqrt{ x^2-1}</math> と置換すると、<math>\frac 1 t = x - \sqrt{x^2-1}</math> なので、<math>t + \frac 1 t = 2x</math> すなわち <math>2dx = \left(1 - \frac 1 {t^2}\right)dt</math> また、 <math>t - \frac 1 t = 2\sqrt{x^2-1}</math>.なので、<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} = \int \frac{1-\frac{1}{t^2}}{t-\frac 1 t}dt = \int \frac{dt}{t} = \ln |x + \sqrt{x^2-1}| + C </math> である。 ところで、この変換は双曲線 <math>y^2 = x^2 - 1</math> と直線 <math>y = -x + t</math> のただ一つの交点による変換であった。その交点を方程式を解いて <math>t</math> で表すと、<math>x = \frac 1 2 \left(t + \frac 1 t\right), \, y =\frac 1 2 \left(t - \frac 1 t\right)</math> を得る。これは双曲線の媒介変数表示の一つである。また、 <math>t \rightarrow e^t</math> とすると、<math>x = \frac{e^t + e^{ -t} }{2} = \cosh t, \, y = \frac{e^t - e^{-t}}{2} = \sinh t.</math> これは <math>x > 0</math> の部分の双曲線の媒介変数表示である。最右辺は双曲線関数と呼ばれ、三角関数と似た性質を持つ。関数名の <math>\mathrm{h}</math> はhyperbolaに由来する。例えば、双曲線の方程式より得られる <math>\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1</math> は <math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1</math> とよく似ている。例示の不定積分は <math>x = \cosh t</math> と置換しても解くことが出来るが、ほとんど同じことなので省略する。 == 定積分 == 定積分について、不定積分と同じように以下が成り立つ。 '''定積分の置換積分法''' <math>\alpha < \beta</math>のとき、開区間<math>[\alpha, \beta]</math>で微分可能な関数<math>x=g(t)</math>に対し、<math>a=g(\alpha), b=g(\beta)</math>ならば<math>\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t)) g'(t) \, dt </math> '''定積分の部分積分法''' <math>\int_{a}^{b} f(x) g'(x) \, dx = \left[ f(x) g(x) \right]^{a}_{b} - \int_{a}^{b} f'(x) g(x) \, dx </math> *問題 **以下の定積分を求めよ(Hint：5, 6は漸化式を利用する) **#<math>\int_{0}^{1} |e^x - \frac{3}{2}| \, dx</math> **#<math>\int_{1}^{0} \frac{x-2}{(3-x)^2} \, dx</math> **#<math>\int_{-5}^{5} x \sqrt{x^2-9} \, dx</math> **#<math>\int_{3}^{7} x \log (x^2 - 2) \, dx </math> **#<math>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx</math> **#<math>\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx</math> === 特殊な定積分 === ==== 円 ==== <math>a < b</math> とする。積分 <math>\int_a ^b \sqrt{(x-a)(b-x)}\, dx</math> は <math>y = \sqrt{(x-a)(b-x)}</math> とすると、<math>\left(x-\frac{a+b}{2} \right) + y^2 = \left(\frac{a-b}{2} \right)^2</math> より、被積分関数 <math>y</math> は中心 <math>\frac{a+b}{2}</math> で半径 <math>\frac{b-a}{2}</math>の円周の上半分であり、積分区間もその両端なので、積分の値は半円の面積に等しく、<math>\int_a ^b \sqrt{(x-a)(b-x)} \, dx = \frac{\pi}{2}\left(\frac{b-a}{2}\right)^2</math> である。 ==== King Property ==== 一般に、関数 <math>f(a-x)</math> のグラフは関数 <math>f(x)</math> のグラフを直線 <math>x = \frac a 2</math> で対称移動したものである。 従って、連続関数 <math>f(x)</math> を区間 <math>\left[\frac{a+b}{2},b\right]</math> で積分した値 <math>\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, dx</math> と、連続関数 <math>f(a+b-x)</math> を区間 <math>\left[a,\frac{a+b}{2}\right]</math> で積分した値 <math>\int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(a+b-x)\, dx</math> は等しい： :<math>\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(a+b-x) \, dx.</math> この等式は単に、 <math>x \to a+b-x</math> の変数変換によっても導出できる。 この等式より、 <math>\int_a^b f(x) \, dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(x)\, dx +\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} [f(x) + f(a+b-x)] \, dx </math> が導かれる。 この公式は、<math>f(x) + f(a+b-x)</math> が簡単な形になる定積分で役に立つ。 例えば、<math>\begin{align}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left[\frac{\sin x}{\sin x + \cos x} +\frac{\sin (\frac{\pi}{2}-x)}{\sin (\frac{\pi}{2}-x) + \cos (\frac{\pi}{2}-x)}\right]\, dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left[\frac{\sin x}{\sin x + \cos x} +\frac{\cos x}{\cos x + \sin x}\right]\, dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}dx = \frac{\pi}{4}.\end{align} </math> King Property の応用例は <math>\int_{-1}^{1} \frac{x^2}{1+e^x} \, dx = \frac 1 3</math> , <math>\int_0^{\frac \pi 4} \ln(1+\tan x)\, dx = \frac \pi 8 \log 2</math> , <math>\int_0^{\frac \pi 2} \log (\sin x) \, dx = -\frac{\pi}{2}\log 2</math>, <math>\int_0^{2\pi} \cos^2\left(\frac{\pi\tan{x}}{2+2\tan{x}}\right)dx=\frac{\pi}{2}</math> などがある。計算してみよ。 === 定積分と不等式 === 一般に、連続関数について次のことが成り立つ。 :開区間<math>[a, b]</math>において<math>f(x) \leqq g(x)</math>ならば、<math>\int_{a}^{b} f(x) \, dx \leqq \int_{a}^{b} g(x) \, dx</math> :等号成立条件は開区間<math>[a, b]</math>において恒等的に<math>f(x) = g(x)</math>であること。 *例題 :調和級数の第n部分和が<math>\log(n+1)</math>より大きいことを証明せよ。 *解答 自然数kに対して<math>k \leqq x \leqq k+1</math>のとき<math>\frac{1}{k} \geqq \frac{1}{x}</math>であり、等号は常には成り立たないので<math>\int_{k}^{k+1} \frac{dx}{k} > \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{x}</math>である。故に<math>\sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{k} > \sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{x}</math>。 このとき、（左辺）<math>= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \int_{k}^{k+1} dx = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math>より左辺は調和級数の第n部分和であり、(右辺)<math>= \sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{x} = \int_{1}^{n+1} \frac{dx}{x} = \left[ \log(x) \right]_{1}^{n+1} = \log(n+1) - \log(1) = \log(n+1)</math>なので、題意は示された。 ===発展：広義積分=== '''広義積分'''とは、通常の定積分の範囲を超えて積分区間が無限であったり被積分関数が積分区間内で'''特異点'''（値が定義されなかったり微分不可能だったり不連続であったりする点）を持つ場合に、極限を用いて定義される定積分である。 定積分<math>\int_a^b f(x) \, dx</math>において、<math>b \to \infty</math>の極限を<math>\int_a^\infty f(x) \, dx</math>、<math>a \to -\infty</math>の極限を<math>\int_{-\infty}^b f(x) \, dx</math>のように表す。 例えば、<math>\int_0^\infty e^{-x} dx</math>は以下のように計算できる。 :<math>\int_0^\infty e^{-x} dx</math> :<math>=\lim_{b \to \infty} \int_0^b e^{-x} dx</math> :<math>=\lim_{b \to \infty} [-e^{-x}]_0^b </math> :<math>=\lim_{b \to \infty} (-\frac{1}{e^b} + 1)</math> :<math>=1</math> 但し、極限操作の前に定積分を計算してよいのは以下の場合に限られる。 :被積分関数が連続（定積分可能） :積分区間の内部に特異点が存在しない（特異点が端点のみ） :求めたい積分が（条件）収束する（発散しない） 積分区間の上端が正の無限大で下端が負の無限大のとき、広義積分は以下のように計算される。 :<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{a \to -\infty} \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx</math> 決して<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{A \to \infty} \int_{-A}^A f(x) \, dx</math>（対称極限）のように計算してはならない。 例えば、<math>\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{1+x^2} \, dx</math>は発散するが、対称極限のように計算すると<math>\lim_{A \to \infty} \int_{-A}^{A} \frac{x}{1+x^2} \, dx = 0</math>という誤った結果を得る。 この例のように、非積分関数が奇関数であっても<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx=0</math>は一般には成り立たない。あくまでも、'''上端と下端を独立に考えて極限を取る'''ことに注意が必要である。 例えば、以下が成り立つ。 :<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}</math> これは'''ガウス積分'''と呼ばれる有名な結果である。 この値の導出には重積分やヤコビ行列といった大学範囲の数学が良く用いられるが、一応は高校数学のみで証明可能である。後述の演習問題を参照。 この結果は[[高等学校数学B/確率分布と統計的な推測#正規分布|正規分布の確率密度関数]]の導出に用いられる。 :元となる関数は<math>y=e^{-x^2}</math>。 :平均値<math>\mu</math>を軸に持ってくる平行移動をして<math>y=e^{-(x-\mu)^2}</math>。 :分布の広さ（ばらつきの大きさ）を標準偏差<math>\sigma</math>に合わせるため<math>\mu \pm \sigma</math>で極値をとるように変形して<math>y=e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}</math> :ガウス積分の結果より<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \, dx = \sqrt{2\pi}\sigma</math>。 :確率密度関数は<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx=1</math>を満たすので、元の関数を<math>\sqrt{2\pi}\sigma</math>（定数）で割って<math>y=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}</math>。 :これは正規分布の特徴を適切に表すため、確率密度関数として適当である。 他に、<math>\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x^2) \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} \cos(x^2) \, dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}</math>（'''フレネル積分'''）が有名な結果である。なお、この積分は不定積分を[[w:初等関数]]で表すことができない。 広義積分の応用例として、'''フーリエ変換'''や'''ラプラス変換'''が存在する。 :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi):=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-2\pi{i}\xi{x}}dx</math> :<math>\text{ℒ}[f(x)](s):=\int_0^\infty f(x)e^{-sx}dx</math> これらは物理的には信号処理や制御工学に応用されているほか、数学では関数解析学と呼ばれる分野にも関わる概念である。 '''演習問題1''' 次の不定積分を求めよ。 :(1)<math>\int \tan xdx</math> :(2)<math>\int \frac{1}{\cos ^2x}dx</math> :(3)<math>\int \log xdx</math> :(4)<math>\int x\log xdx</math> :(5)<math>\int x^2\log xdx</math> :(6)<math>\int x^3\log xdx</math> :(7)<math>\int x\sin xdx</math> :(8)<math>\int x^2\sin xdx</math> :(9)<math>\int x^2e^xdx</math> :(10)<math>\int \frac{dx}{\sin x}</math> :(11)<math>\int \frac{dx}{\cos x}</math> {{解答}} :(1)<math>-\log |\cos x|+C</math> :(2)<math>\tan x+C</math> :(3)<math>x\log x-x+C</math> :(4)<math>\frac{x^2\log x}{2}-\frac{x^2}{4}+C</math> :(5)<math>\frac{x^3\log x}{3}-\frac{x^3}{9}+C</math> :(6)<math>\frac{x^4\log x}{4}-\frac{x^4}{16}+C</math> :(7)<math>\sin x-x\cos x+C</math> :(8)<math>2x\sin x+(2-x^2)\cos x+C</math> :(9)<math>(x^2-2x+2)e^x+C</math> :(10) <math> t = \tan\frac x 2 </math> と置換すると、 <math> \begin{align} \int \frac{dx}{\sin x} &= \int \frac{1+t^2}{2t}\frac{2dt}{1+t^2}\\ &= \int \frac{dt}{t}\\ &= \log |t| + C\\ &= \log \left|\tan\frac x 2 \right| + C. \end{align}</math> 別解 <math>\begin{align} \int \frac{dx}{\sin x} &= \int \frac{dx}{2\sin\frac x 2 \cos \frac x 2}\\ &= \int \frac{\cos\frac x 2 dx}{2\sin\frac x 2 \cos^2 \frac x 2}\\ &= \int \frac{(\tan \frac x 2)'dx}{\tan \frac x 2}\\ &= \log \left|\tan\frac x 2 \right| + C. \end{align}</math> <math>\begin{align} \int \frac{dx}{\sin x} &= \int \frac{\sin x}{\sin^2 x} dx\\ &= \int \frac{\sin x}{1- \cos^2 x} dx\\ &= \frac 1 2 \int \frac{\sin x}{1 - \cos x} dx + \frac 1 2 \int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx\\ &= \frac 1 2 \int \frac{(1 - \cos x)'}{1 - \cos x} dx - \frac 1 2 \int \frac{(1 + \cos x)'}{1 + \cos x} dx\\ &= \frac 1 2 \log \left|\frac{1-\cos x}{1+\cos x} \right| + C \\ &= \frac 1 2 \log \frac{1-\cos x}{1 + \cos x} + C. \end{align}</math> ちなみに、半角の公式より <math>\log \left|\tan\frac x 2 \right| = \frac 1 2 \log \left|\frac{\sin^2 \frac x 2}{\cos^2 \frac x 2}\right| = \frac 1 2 \log \frac{1-\cos x}{1 + \cos x} </math> が成り立つ。 :(11) <math> \begin{align} \int \frac{dx}{\cos x} &= \int \frac{dx}{\sin(x + \frac \pi 2)}\\ &= \log \left|\tan\left(\frac x 2 + \frac \pi 4 \right) \right| + C. \end{align}</math> 別解 <math> t = \tan\frac x 2 </math> と置換すると、 <math> \begin{align} \int \frac{dx}{\cos x} &= \int \frac{1+t^2}{1-t^2} \frac{2dt}{1+t^2}\\ &= \int \frac{2dt}{1-t^2}\\ &= \int \frac{dt}{1+t} + \int \frac{dt}{1-t}\\ &= \log \left|\frac{1+t}{1-t}\right| + C\\ &= \log \left|\frac{1+\tan\frac x 2}{1-\tan\frac x 2}\right| + C.\\ \Big( &= \log \left|\tan\left(\frac x 2 + \frac \pi 4\right) \right| + C \Big) \end{align}</math> なお、部分分数分解について、 <math>f(t) = \frac{2}{1-t^2} = \frac{A}{1+t} + \frac{B}{1-t}</math> とすると、 <math>A = \lim_{t\to -1}(1+t)f(t) = \lim_{t\to -1} \frac{2(1+t)}{1-t^2} = \lim_{t\to -1} \frac{2}{1-t} = 1</math>, <math>B = \lim_{t\to 1}(1-t)f(t) = \lim_{t\to 1} \frac{2(1-t)}{1-t^2} = \lim_{t\to 1} \frac{2}{1+t} = 1</math> より係数が求まる。 別解2 <math>\begin{align} \int \frac{dx}{\cos x} &= \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx\\ &= \int \frac{\cos x}{1- \sin^2 x} dx\\ &= \frac 1 2 \int \frac{\cos x}{1 - \sin x} dx + \frac 1 2 \int \frac{\cos x}{1 + \sin x} dx\\ &= -\frac 1 2 \int \frac{(1 - \sin x)'}{1 - \sin x} dx + \frac 1 2 \int \frac{(1 + \sin x)'}{1 + \sin x} dx\\ &= \frac 1 2 \log \left|\frac{1+\sin x}{1 - \sin x} \right| + C \\ &= \frac 1 2 \log \frac{1+\sin x}{1 - \sin x} + C. \end{align}</math> これも、 <math>\log \left|\tan\left(\frac x 2 + \frac \pi 4\right) \right| = \frac 1 2 \log \frac{1-\cos (x + \frac \pi 2)}{1 + \cos(x + \frac \pi 2)} = \frac 1 2 \log \frac{1+\sin x}{1 -\sin x} </math> である。 {{証明終わり}} ==積分の応用== === 面積 === ある関数f(x)の原始関数を求める演算は f(x)とx軸にはさまれた領域の面積を求める演算に等しい。 このことを用いて ある関数によって作られた領域の面積を求めることが出来る。 [[画像:Integral_x%5E2_0-1.png|right|x^2の0から1までの積分]] 例えば、 <math> \int _0 ^1 x^2 dx = \frac 1 3 </math> は、放物線<math> y = x^2</math>について <math>0 < x < 1</math>の範囲でかこまれる面積に等しい。 '''面積(Ⅰ)''' 曲線<math>y=f(x)</math>と2直線<math>x=a, x=b</math>及びx軸で囲まれた領域の面積は、 閉区間<math>[a, b]</math>で常に<math>f(x) \geqq 0</math>のとき<math>S = \int_{a}^{b} f(x) dx</math> 閉区間<math>[a, b]</math>で常に<math>f(x) \leqq 0</math>のとき<math>S = -\int_{a}^{b} f(x) dx </math> 厳密な証明は既に数学Ⅱで扱った。 2曲線で囲まれた領域の面積についても、同様である。 '''面積(Ⅱ)''' 2曲線<math>y=f(x), y=g(x)</math>と2直線<math>x=a, x=b</math>で囲まれた領域の面積は、 閉区間<math>[a, b]</math>で常に<math>f(x) \geqq g(x)</math>のとき<math>S = \int_{a}^{b} \{ f(x) - g(x) \} dx</math> y軸まわりで考えた場合も同様である。 '''面積(Ⅲ)''' 2曲線<math>x=h(y), x=i(y)</math>と2直線<math>y=c, y=d</math>で囲まれた領域の面積は、 閉区間<math>[c, d]</math>で常に<math>h(y) \geqq i(y)</math>のとき<math>S = \int_{c}^{d} \{ h(y) - i(y) \} dy</math> 媒介変数表示された曲線の場合、xとyの好きな方で面積の式を考えてパラメータに関する式へと置換積分すれば良い。 {{コラム|ガウス＝グリーンの定理| '''ガウス＝グリーンの定理'''という以下のような公式が存在する。 :閉曲面Sで囲まれた空間の領域をV、曲面の外向き法線の方向余弦を（l, m, n）、微分可能な関数をf, g, hとするとき、<math>\int_{V} (\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} + \frac{\partial h}{\partial z}) dV = \int_{S} (fl+gm+hn) dS </math> この定理を高校レベルの求積で使えるように調整すると、以下のようになる。 :曲線<math>\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases}</math>について、<math>[a, b]</math>の範囲でtの増加とともに点<math>P(f(t), g(t))</math>がxy平面上を原点中心に反時計回りに動くときに線分<math>OP</math>が通過する領域の面積は、<math>\int_{a}^{b} \frac{1}{2} \{ x g'(t) - y f'(t) \} dt</math> この定理を用いると、通常の積分で面積を求めるよりも遙かに計算量が少なくて済む。 もちろん記述では使えないが、答えのみ書けば良い場合や検算用のツールとしては非常に役立つ。 }} ; '''発展：極座標系における面積''' [[高等学校数学C/平面上の曲線#極座標|極座標系]]においても、直交座標系と同様に微積分を考えることができる。ここでは、その一例として極方程式で表された曲線における面積について扱う。 '''面積(Ⅳ)''' 曲線<math>r=r(\theta)</math>と2直線<math>\theta = \alpha, \theta = \beta</math>で囲まれた部分の面積は、 <math>S = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2} \{ r(\theta) \}^2 d\theta</math> *証明 基本的には直交座標の場合と同様である。 :曲線<math>r=r(\theta)</math>と2直線<math>\theta = \alpha, \theta = \tau</math>で囲まれた部分の面積を<math>S(\tau)</math>とおく。 :<math>\Delta \tau > 0</math>として<math>\tau + \Delta \tau</math>の場合を考える。 :閉区間<math>[\tau, \tau + \Delta \tau]</math>における<math>r(\theta)</math>の最小値を<math>m</math>、最大値を<math>M</math>とおくと、微小な扇形の面積を考えることにより<math>\frac{1}{2}m^2\Delta \tau \leqq S(\tau + \Delta \tau) - S(\tau) \leqq \frac{1}{2} M^2 \Delta \tau</math>が得られる。 :上の不等式の各辺を<math>\Delta \tau</math>で割ると、<math>\frac{1}{2}m^2 \leqq \frac{S(\tau + \Delta \tau) - S(\tau)}{\Delta \tau} \leqq \frac{1}{2}M^2</math> :<math>\Delta \tau \to 0</math>の極限を考えると、 ::<math>r(\tau)</math>は連続関数なので<math>\frac{1}{2} m^2 \to \frac{1}{2} \{ r(\tau) \}^2, \frac{1}{2} M^2 \to \frac{1}{2} \{ r(\tau) \}^2</math> ::微分の定義より<math>\frac{S(\tau + \Delta \tau) - S(\tau)}{\Delta \tau} \to S'(\tau)</math> :よってはさみうちの原理より<math>S'(\tau) = \frac{1}{2} \{ r(\tau) \}^2</math> :これにて示された。 この公式は、'''<math>\theta</math>が偏角である場合のみ用いることができる'''。もし<math>\theta</math>が偏角ではない場合、<math>\theta</math>と偏角<math>\phi</math>の関係を求めて置換積分する必要がある。 ; '''楕円の面積''' '''楕円の面積''' 楕円<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>の面積は、 <math>S=\pi ab</math> *導出 楕円<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>を<math>y</math>について解くと :<math>y=\pm\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}</math> となる。そのうち<math>y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}</math>は半楕円（楕円の上半分）を示している。その半楕円の面積を2倍したものが楕円の面積''S''となるので :<math>S=2\int _{-a} ^a \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2} = \frac{2b}{a}\int _{-a} ^a \sqrt{a^2-x^2} = \frac{2b}{a} \times \frac{\pi a^2}{2} = \pi ab</math> となる。 === 体積 === ある立体<math>V_0</math>の<math>x = t</math>における断面積が有限な値で、その値が <math>t</math>の関数<math>S(t)</math>となるとき、この立体を平面<math>x = a</math>，<math>x = b</math>（ただし、<math>a < b</math>）で切り取った領域の体積は、底面積<math>S(t)</math>に極めて小さい高さ<math>dt</math><ref>なお、この時、<math>dt</math>が<math>S(t)</math>に対して積分区間で常に鉛直方向の関係にあることが保証されていなければならない。</ref>の積<math>S(t) \, dt</math>の区間<math>[a,b]</math>における累積であるので、以下の式で表すことができる。 :<math> V = \int_a^{b} S(t) \, dt</math> （例1） :<math>O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C(1,0,2)</math>である三角錐を考える。 :この三角錐を平面<math>x=t (0\leqq t \leqq 1)</math>で切断すると、断面の三角形の各座標は<math>A_t(t,0,0), B_t(t,t,0), C_t(t,0,2t)</math>となる。この時、<math>\triangle{A_t B_t C_t}</math>の面積<math>S(t)=t^2</math>となる。 :これを、区間<math>[0,1]</math>で積分すると、 :<math> V = \int_0^{1} S(t) \, dt = \int_0^{1} t^2 \, dt = \left[ \frac{t^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}</math>となる<ref>三角錐<math>O-ABC</math>は、<math>\triangle{ABC}</math>を底面（<math>S=1</math>）とし、<math>OA</math>を高さ（<math>1</math>）とする三角錐なので、体積は、<math>\frac{1}{3}</math>となり、正しい。</ref>。 （例2） :設問 :#<math>O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C(1,1,0), D(0,0,1), E(1,0,1), F(0,1,1), G(1,1,1)</math>である立方体を想定。 :#平面<math>x=t (0\leqq t \leqq 1)</math>で切断し、<math>\square{O_t A_t B_t C_t}</math>を得る。 :#線分<math>O_t A_t , A_t B_t , B_t C_t , C_t O_t </math>に、各々点<math>O_t, A_t, B_t, C_t</math>から、長さ<math>t</math>である点<math>H_t, I_t, J_t, K_t</math>をとり、<math>\square{H_t I_t J_t K_t}</math>を<math>S_t</math>とする。 :#<math>t</math>を区間<math>[0,1]</math>で変化させた時、<math>S_t</math>が通過する部分の体積<math>V</math>を求めよ。なお、<math>S_t</math>が正方形である証明は省略してよい。 :解答 :#<math>S_t</math>の1辺の長さを<math>l</math>とおくと、<math>l^2 = t^2 + (1-t)^2 = 2t^2 - 2t + 1</math> :#<math>S_t</math>の面積<math>S(t)</math>は<math>l^2</math>であるから、<math>S(t) = 2t^2 - 2t + 1</math> :#これを、区間<math>[0,1]</math>で積分すると、 :#<math> V = \int_0^{1} S(t) \, dt = \int_0^{1} (2t^2 - 2t + 1) \, dt = \left[ \frac{2t^3}{3} - t^2 +t \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}</math>となる。 ; '''回転体の体積''' <math>y= f(x) (a \le x \le b )</math> で与えられる曲線をx軸の回りに回転させて作られる立体の体積Vは、 <math>V = \int _a ^b \pi \{ f(x) \}^2 dx</math> で与えられる。 導出 立体をx軸に垂直であり、x=cを満たす面とx=c+hを満たす面で切ると（hは小さな 定数）、その切断面で挟まれた立体は半径 f(c)の円と半径 f(c+h)の円 ではさまれた立体となる。 しかし、hが極めて小さいとき、この図形は半径f(c),高さhの円柱で 近似できる。 よってこの2つの面に関して、得られた図形の体積は <math> h \times \pi (f(c) )^2 </math> となる。 これを<math>a<c<b</math>満たす全てのcについて足し合わせると、 <math> S = \int _a ^b \pi ( f(x))^2 dx </math> が得られる。 同様に、<math>x = g(y) (c \le x \le d )</math>で与えられる曲線をy軸の回りに回転させて作られる立体の体積Vは、 :<math>V = \int _c ^d \pi \{ g(y) \}^2 dy</math> で与えられる。 例えば、 <math> y= x^2 ~(0<x<1) </math> をx軸の回りに回転させて得られる図形の体積は、 :図形の絵? <math> S = \int_0^1 \pi (x^2)^2 dx </math> <math> =\pi \int_0^1 x^4 dx </math> <math> =\frac {\pi} 5 </math> となる。 ;球の体積 球の体積<math>V=\frac{4}{3}\pi r^3</math>の導出 半径''r''の球は半円<math>y=\sqrt{r^2-x^2}</math>を''x''軸の周りに回転させてつくることができる。 :<math>V=\pi \int_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}^2 dx=\pi \int_{-r}^r (r^2-x^2) dx= \frac{4}{3}\pi r^3</math> また体積を''r''で微分すると球の表面積<math>S=4\pi r^2</math>が得られる。 ; 補：バームクーヘン積分 上記の回転体の公式の導出では「円盤の面積を積分」しているが、「円筒の側面積」を積分しても同様の結果が得られる。この考え方を'''バームクーヘン積分（円筒分割積分）'''と呼ぶ。 バームクーヘン積分による回転体の体積の公式 曲線<math>y=f(x)</math>とx軸、直線<math>x=a, x=b</math>に囲まれた部分をx軸周りに一回転した立体の体積は、 <math>V = 2\pi \int_{a}^{b} x f(x) dx</math> *導出 :閉区間<math>[x, x + \Delta x](\Delta x > 0)</math>においてx軸と曲線<math>y=f(x)</math>で挟まれた領域をy軸周りに一回転してできる立体の体積を<math>\Delta V</math>とし、同区間におけるf(x)の最小値をm、最大値をMとおく。 :このとき、<math>\pi \{(x + \Delta x)^2 - x^2 \}m \leqq \Delta V \leqq \pi \{(x + \Delta x)^2 - x^2 \}M</math> :変形すると<math>\pi(2x + \Delta x)m \leqq \frac{\Delta V}{\Delta x} \leqq \pi (2x + \Delta x)M</math> :<math>\lim_{\Delta x \to + 0} m = \lim_{\Delta x \to + 0} M = f(x)</math>なのではさみうちの原理より<math>\lim_{\Delta x \to + 0} \frac{\Delta V}{\Delta x} = 2 \pi x f(x)</math> :<math>\therefore \frac{dV}{dx} = 2 \pi x f(x)</math> :<math>\Delta x < 0</math>でも同様。 :この微分方程式を解く（詳細は[[高等学校理数数学#微分方程式|こちら]]）と、 ::<math>dV = 2 \pi x f(x) dx</math> ::<math>\int dV = \int 2 \pi x f(x) dx</math> ::<math>V = 2 \pi \int x f(x) dx + C</math>（Cは積分定数） :閉区間<math>[a, b]</math>で定積分を考えると、<math>V = 2 \pi \int_{a}^{b} x f(x) dx</math>となる。 記述問題で用いる場合、念のため上のように証明しておくと良い。 ; 補：パップス・ギュルダンの定理 図形Aを、図形Aと交わらない直線の周りに一回転してできる立体の体積は、V=（Aの重心が描く円の円周長）×（Aの面積）で求まる。 この定理は大学入試においては非常に有名な裏技であり知っておいて損はないが、記述で用いると完全にアウトである。この定理を用いるのは、選択肢形式の問題かどうしても記述の白紙解答を避けたい場合のみに限ろう。（もっとも、重心がわかる図形で出題されるのはごく稀だが。） {{コラム|一般の軸を中心とした回転体の体積の求め方| 一般に空間中の直線Lの周りの回転体（'''斜軸回転体'''）の体積は、回転軸Lに垂直な平面で回転体を切った断面積を考えて求めることができる。 ここでは、回転前の図形が座標平面上に存在する場合を扱う。 ; '''例題''' xy平面において<math>L:y=x, C:y=x^2</math>で囲まれた部分を, 直線Lの周りに一回転してできる立体の体積を求めよ。 解答） :曲線C上の点<math>P(x, x^2)</math>から直線Lに下ろした垂線の足を<math>H(t, t)</math>とし、直線L上に点<math>Q(x, x)</math>をとる。 :与えられた条件より<math>0 \leqq x \leqq 1</math>である。 :このとき<math>\overline{PH} = \frac{|x-x^2|}{\sqrt{2}} = \frac{x-x^2}{\sqrt{2}} (\because 0 \leqq x \leqq 1 \implies x \geqq x^2)</math>より、 :<math>t = \overline{OH} = \overline{OQ} - \overline{HQ} = \overline{OQ} - \overline{PH} = \sqrt{2}x - \frac{x-x^2}{\sqrt{2}} = \frac{x+x^2}{\sqrt{2}}</math> :<math>\therefore dt = \frac{1+2x}{\sqrt{2}} dx</math> :tの積分範囲は0→√2なので、xの積分範囲は0→1である。 :故に、<math>V = \pi \int_{0}^{\sqrt{2}} \overline{PH}^2 dt = \pi \int_{0}^{1} (\frac{x-x^2}{\sqrt{2}})^2 \cdot \frac{1+2x}{\sqrt{2}} dx</math> :<math>= \frac{\pi}{2 \sqrt{2}} \int_{0}^{1} (2x^5-3x^4+x^2) dx = \frac{\sqrt{2} \pi}{4} [ \frac{1}{3} x^6 - \frac{3}{5} x^5 + \frac{1}{3} x^3 ]_{0}^{1} = \frac{\sqrt{2} \pi}{60}</math> この解答を簡潔に纏めると、直線Lをt軸と見做してt軸についての回転体の式を立て、それをx軸についての回転体の式へと置換積分している。 斜軸回転体の体積を求める方法は他にもあるので、簡潔に纏める。 ①傘型分割積分 上の例題で考えると、長さ<math>\overline{PQ}</math>、微小幅<math>\Delta x</math>の部分をLの周りに一回転すると、傘型状の図形（円錐の側面）になる。 その面積（正確には微小体積）を積分すると回転体の体積が出てくる。この考え方を'''傘型分割積分'''という。不足なく論理展開を記述できれば、入試でこの考え方を用いても減点される可能性は低いだろう。 この過程を一般化すると、以下の公式を導くことができる。 :曲線<math>y=f(x)</math>と直線<math>mx+n, x=a, x=b</math>で囲まれた部分を直線<math>y=mx+n</math>の周りで一回転した体積は、 :<math>V = \pi \cos \theta \int_{a}^{b} \{ f(x) - (mx+n) \}^2 dx</math> :ただし、<math>\tan \theta = m</math>（回転軸がx軸となす角がθである） この公式は完全に裏技なので、記述問題では（証明なしに）使用しない方が無難である。 ②回転移動の利用 図形全体を回転移動することにより、回転軸をx軸（もしくはy軸）に重ねることで、強引に回転体の公式に代入する方法。 回転移動には[[高等学校数学C/複素数平面#回転移動|複素数平面の知識]]、[[高等学校数学C/数学的な表現の工夫#一次変換|行列の知識]]のどちらを用いても良い。 この方法では、回転後の図形の方程式が媒介変数表示で出現する場合がある。その場合、回転体の公式を媒介変数についての積分へと置換積分すれば良い。 }} === 曲線の長さと運動の道のり === ==== 曲線の長さ ==== 曲線<math>\begin{cases} x=f(t) \\ y=g(t) \end{cases}</math>の長さを考える。 :<math>f(t), g(t)</math>とも2階微分可能（第一次導関数が連続）とする。 :<math>a \leqq t \leqq b</math>として閉区間<math>[a, t]</math>における曲線の長さを<math>s(t)</math>とおく。 :<math>t</math>の増分<math>\Delta t</math>が十分小さいとき、<math>\Delta s \fallingdotseq \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}</math>より<math>\frac{\Delta s}{\Delta t} = \sqrt{(\frac{\Delta x}{\Delta t})^2 + (\frac{\Delta y}{\Delta t})^2}</math> :<math>\Delta t \to 0</math>のとき、<math>\frac{ds}{dt} = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}</math> :この微分方程式を解くと、 ::<math>ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> ::<math>\int ds = \int \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> ::<math>s = \int \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt + C</math>（Cは積分定数） :ここで<math>s(t)</math>の定義より<math>s(b) - s(a) = \int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> よって、以下のようになる。 曲線の長さ(Ⅰ) 曲線<math>\begin{cases} x=f(t) \\ y=g(t) \end{cases}</math>の閉区間<math>[a, b]</math>における長さLは、 <math>L = \int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> 曲線の式が<math>y=f(x)</math>で与えられている場合、<math>\begin{cases} x=t \\ y=f(t) \end{cases}</math>と考えて上の公式に代入すると、以下のようになる。 曲線の長さ(Ⅱ) 曲線<math>y=f(x)</math>の閉区間<math>[a, b]</math>における長さLは、 <math>L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}dt</math> ==== 速度と道のり ==== [[高等学校数学III/微分法#速度と加速度|微分法で学んだ]]ように、数直線上を運動する点Pの時刻tにおける位置,速度がそれぞれ<math>x(t), v(t)</math>で与えられるとき、<math>v(t) = \frac{d}{dt} x(t)</math>という関係式が成り立った。微分と積分は逆演算の関係にあるので、<math>x(t) = \int v(t) dt + C</math>(Cは積分定数)という関係も成り立つ。このとき、積分定数Cは初期位置<math>x_0</math>を表す。 点Pが<math>t=a</math>から<math>t=b</math>まで運動するとき、位置の変化量は<math>x(b) - x(a) = \int_{a}^{b} v(t) dt</math>で与えられる。すなわち<math>x(b) = x(a) + \int_{a}^{b} v(t) dt</math>であり、<math>x(a)</math>が初期位置<math>x_0</math>を表すことが確かめられた。 また、上の場合において道のりは<math>\int_{a}^{b} |v(t)| dt</math>と計算できる。位置の変化量と道のりが一致するのは、恒等的に<math>x(t) \geqq 0</math>が成り立つ場合のみである。 平面上の運動も同様である。 なお、加速度は位置の二階微分なので、加速度を二階積分すれば位置が求まる。よって、時刻tにおける加速度が<math>a(t) = a</math>であるときの位置は、<math>x(t) = \int \! \int a(t) dt \; dt = \int (at + v_0) dt = \frac{1}{2}at^2 + v_0 t + x_0</math>である。([[高等学校物理基礎/力学#等加速度直線運動|等加速度直線運動]]の式) {{コラム|ベクトル関数|変数tの値を決めるとベクトルA(t)の値が一意に定まるとき、A(t)をtの'''[[解析学基礎/ベクトル解析#ベクトル関数|ベクトル関数]]'''という。基本ベクトルを用いると、ベクトル関数は基本ベクトルのスカラー倍の足し算に分解することができる。このとき、基本ベクトルにかかる係数をベクトル関数の'''成分'''という。ベクトル関数の定義より、成分はtの関数になる。 つまり、'''ベクトル関数に関する微積分はその成分をそれぞれ微分/積分すれば良い'''ということがわかる。 例えば、速度を表すベクトル関数<math>\vec{v}(t) = \begin{pmatrix} 2t \\ 3t^2-1 \end{pmatrix}</math>があったとして、初期位置<math>\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>とすると時刻tにおける位置は<math>\vec{x}(t) = \int \vec{v}(t) dt = \begin{pmatrix} \int (2t) dt \\ \int (3t^2-1) dt \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t^2 \\ t^3-t \end{pmatrix}</math>、時刻tにおける加速度は<math>\vec{a}(t) = \frac{d}{dt} \vec{v}(t) = \begin{pmatrix} \frac{d}{dt}(2t) \\ \frac{d}{dt}(3t^2-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6t \end{pmatrix}</math>というベクトル関数になる。また、<math>t=0</math>から<math>t=2</math>まで運動したときの位置の変化量ベクトルは<math>\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{pmatrix} = \int_{0}^{2} \vec{v}(t) dt = \begin{pmatrix} \int_{0}^{2} (2t) dt \\ \int_{0}^{2} (3t^2-1) dt \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \left[ t^2 \right]_{0}^{2} \\ \left[ t^3-t \right]_{0}^{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}</math>と求まる 。 すなわち、速度・加速度・位置・道のり等に関する問題はベクトル関数の微積分を計算する問題であると言える。 }} == 区分求積法 == これまでに学んだように、積分は微分の逆演算であると同時に、座標平面上での面積計算でもある。この項では、座標平面上の面積計算の方法の一つである区分求積法、および積分法との関連について学ぶ。 [[File:Riemann Integration 1.png|thumb|300px|面積計算]] 右図のようなある曲線<math>y=f(x)</math>がある。単純のため、ここではつねに<math>f(x)>0</math>であるものとして考える。この曲線と、''x''軸、および直線<math>x = a, x = b (a < b)</math>によって囲まれる領域の面積''S''を求める。この面積は[[#面積]]の項で学んだように、 : <math>S = \int_a^b f(x)dx</math> と積分法を用いて計算することができた。では、これをもう少し原始的な方法で近似的に求めることを考えてみよう。 曲線を含む図形の面積を求めることは簡単ではないが、例えば三角形や長方形、台形などの直線で囲まれた図形の面積を求めることは難しくない。そこで、下図のようにy=f(x)を棒グラフで近似し、長方形の面積の和を計算することで、求めたい面積''S''に近い値を求めることができる。左下のように棒グラフの幅が大きいと誤差も大きいが、棒グラフの幅を狭くすればするほど、すなわち分割数を多くするほど、徐々に求めたい面積の値に近づけることができる。そこで、この区間[''a'',''b'']を''n''等分し、その時の長方形の面積の総和を求め、その後で<math>n \to \infty</math>の極限を考えることにする。このようにして、区間を細かく等分割し、長方形の面積の総和を求めることにより図形の面積を求める方法を、'''区分求積法'''と呼ぶ。 :[[File:Riemann Integration 4.png|350px|棒グラフによる近似]][[File:Riemann Integration 5.png|350px|さらに細かな棒グラフによる近似]] [[File:Integral numericky obd.svg|thumb|左側で近似]][[File:Somme-superiori.png|thumb|右側で近似]] <math>y=f(x)</math>を棒グラフで近似するとき、右図のように、長方形の左上の頂点を曲線上に取る方法と、右上の頂点を曲線上に取る方法がある。どちらの方法でも、分割数を大きくすればいずれ求めたい面積に近づくが、まずは左上の頂点を曲線上に取る方法で考えることにする。 ここでは面積を求めたい区間を、単純のため[0, 1]とする。区間[0, 1]を''n''等分するとき、それぞれの長方形の左端のx座標は、 :<math>0, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \cdots, \frac{n-1}{n}</math> となる。ここで、一般に第''k''番目の長方形について考えることにする。ただし、いちばん左側の長方形を第0番目とし、いちばん右側の長方形を第''n''-1番目とする。第''k''番目の長方形の左端のx座標は<math>\frac{k}{n}</math>であるから、この長方形の高さは<math>f\left(\frac{k}{n}\right)</math>となり、また長方形の幅は<math>\frac{1}{n}</math>である。そのため、この長方形の面積<math>s_k</math>は、 :<math>s_k = \frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)</math> となる。したがって、これらの長方形の面積の総和<math>S_n</math>は、 :<math>S_n = \sum_{k = 0}^{n-1} s_k = \frac{1}{n}\sum_{k = 0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)</math> この<math>S_n</math>は、区間[0, 1]を''n''等分した時の長方形の面積の総和であるが、''n''を大きくすればするほど、次第にもとの面積に近づいていく。したがって、<math>n\to\infty</math>の極限を考え、 :<math>S = \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)</math> となる。このようにして、求めたい面積を計算することができる。さらに、ここでこの区間の面積が積分法により計算できたことから、 :<math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1f(x)dx</math> が成り立つ。また、長方形の右上の頂点を曲線上に取る場合は、同様にして :<math>S = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1f(x)dx</math> となる。 区分求積法を計算するとき、'''シグマの範囲の有限個のズレは無視して良い'''。nを無限大に飛ばした極限を考えるとき、有限個あるズレの値は全て0に収束するからである。<br> つまり、l, mを自然数として<math>\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=l}^{n-m} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1f(x)dx</math>である。 区分求積法は、より一般には次の式で表される。 :<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=l}^{n-m} f(x_k) \Delta x</math> :ただし、<math>\Delta x = \frac{b-a}{n}, x_k = a + k\Delta x</math> 証明は先ほどと同様である。<br> 大学においては、積分の定義を微分の逆演算ではなく、この式の右辺のような和('''リーマン和'''という)の極限とする場合がある。数学Ⅱで扱った微分積分学の基本定理は、リーマン和(面積計算)と原始関数(微分の逆演算)という二つの概念を結びつけている定理であると言える。 なお、<math>\lim_{n \to \infty} \sum_{k=an+l}^{bn-m} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_{a}^{b} f(x) dx</math>が成り立つ。 '''演習問題2''' :次の極限値を求めよ。 :(1) <math>\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} </math> :(2) <math>\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2+k^2} </math> :(3) <math>\lim_{n\to\infty} \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n}</math><ref group="ヒント">対数を取る</ref> {{解答}} (1) <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} &= \lim_{n\to\infty} \frac 1 n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac k n} \\ &= \int_0^1 \frac{dx}{1+x}\\ &= [\log(1+x)]_0^1\\ &= \log 2. \end{align} </math> ちなみに、この結果は交代調和級数 <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac 1 2 + \frac 1 3 - \frac 1 4 + \cdots</math> の値を求めることに利用できる。実際 <math> \begin{align} \sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} &= 1 - \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} \\ &= 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n} - 2\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2n}\right) \\ &= 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n} - \left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}\right) \\ &= \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+1} + \cdots + \frac{1}{n+n} \\ &= \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} \end{align} </math> より、 <math> \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} = \log 2 </math> となる。また、 <math> \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n+1} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} + \frac{1}{2n+1}\right) = \log 2. </math> 従って、<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \log 2 </math> を得る。 (2) <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2+k^2} &= \lim_{n\to\infty} \frac 1 n \sum_{k=1}^{n} \frac{\frac{k}{n}}{1+\frac{k^2}{n^2}}\\ &= \int_0^1 \frac{xdx}{1+x^2}\\ &= \left[\frac 1 2 \log(1+x^2)\right]_0^1\\ &= \frac 1 2 \log 2. \end{align}</math> (3) <math>\begin{align} \log \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \frac 1 n \log\left\{\left(\frac{n+1}{n}\right)\left(\frac{n+2}{n}\right)\cdots \left(\frac{n+2}{n}\right) \right\} \\ &= \frac 1 n \sum_{k=1}^n \log\left(1+\frac{k}{n}\right) \end{align}</math> となるから、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty}\log \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \int_0^1 \log(1+x)dx\\ &= [(1+x)\log(1+x)-(1+x)]_0^1\\ &= 2\log 2 - 1. \end{align}</math> したがって、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \frac 4 e. \end{align}</math> {{証明終わり}} == 演習問題 == * [[高等学校数学III 積分法/演習問題|不定積分44題]] * [[/演習問題]] '''演習問題3''' 第一問、第二問は基本問題である。第三問から第六問はやや難しい。 '''第一問（ウォリスの積分）''' :<math>n</math> は非負整数とし、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\sin^n x \, dx</math> とする。 :(1) <math>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x \, dx</math> を示せ。 :(2) <math>I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}\quad (n \ge 2)</math> を示せ。 :(3) <math>I_n</math> を求めよ。 '''第二問（ベータ関数の特殊値）''' :<math>m,n</math> は非負整数、<math>\alpha,\beta</math> は <math>\beta > \alpha</math> なる実数とし、<math>I_{m,n} = \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^m(\beta - x)^n \, dx</math> とする。 :(1) <math>I_{m,n} = \frac{n}{m+1} I_{m+1,n-1} \quad (n\ge 1) </math> を示せ。 :(2) <math>I_{m,n}</math> を求めよ。 :(3) <math>\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m+1}\theta \cos^{2n+1}\theta d\theta </math> を求めよ。 '''第三問（ウォリスの公式）''' :非負整数 <math>n</math> に対し、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\sin^n x \, dx</math> とする。必要に応じて第一問の結果を用いてよい。 :(1) <math>1 < \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} < \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}}</math> を示せ。 :(2) <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdots \frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} </math> を求めよ。 :(3) <math> I_{2n}I_{2n+1} </math> を求めよ。 :(4) <math> \lim_{n \to \infty} \sqrt n I_{2n+1} </math> を求めよ。 :(5) <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} </math> を求めよ。 '''第四問（スターリングの近似）''' :数列 <math>\{a_n\}</math> を <math>a_n = \frac{n!}{n^{n+1/2}e^{-n}} </math> で定める。必要に応じて第三問の結果を用いてよい。 :(1) 整数 <math>k > 1</math> について <math> \log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} < \int_{k-1}^k \log x \, dx < \log k - \frac{1}{2k} </math> が成り立つことを示せ。 :(2) 正の整数 <math>n</math> について <math> - \frac{1}{4n} < \sum_{k=n+1}^{2n} \log k - \left(2n+\frac 1 2\right)\log 2n + \left(n+\frac 1 2\right)\log n + n < 0 </math> が成り立つことを示せ。 :(3) <math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} </math> を求めよ。 :(4) <math> \lim_{n\to \infty}a_n </math> を求めよ。 '''第五問（バーゼル問題）''' :非負整数 <math>n</math> に対し、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\cos^n x \, dx,\, J_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}x^2 \cos^n x \, dx</math> とする。 :(1) <math> n > 0</math> について <math>I_{2n} = n(2n-1)J_{2n-2} - 2n^2 J_{2n}</math> が成り立つことを示せ。 :(2) <math> 0 \le x \le \frac \pi 2</math> について、<math> \frac{2}{\pi}x \le \sin x</math> が成り立つことを示せ。 :(3) <math>J_{2n} \le \frac{\pi^2 I_{2n}}{8(n+1)}</math> を示せ。 :(4) <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} </math> を求めよ。 '''第六問（ガウス積分）''' :非負整数 <math>n</math> に対し、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\cos^n x </math> とする。必要に応じて第三問の結果を用いて良い。 :(1) <math> x > 0 </math> のとき、<math> 1-x^2 < e^{-x^2} < \frac{1}{1+x^2} </math> が成り立つことを示せ。 :(2) <math> \frac \pi 4 < \theta_0 < \frac \pi 2 </math> とする。正の整数 <math>n </math> について <math> \int_0^1 (1-x^2)^n dx < \int_0^{\tan\theta_0} e^{-nx^2}dx < \int_0^{\tan \theta_0} \frac{1}{(1+x^2)^n} dx </math> を示せ。 :(3) <math> \sqrt n I_{2n+1} < \int_0^\infty e^{-x^2}dx < \sqrt n I_{2n-2} </math> を示せ。ただし、<math>\int_0^\infty e^{-x^2}dx = \lim_{a \to \infty} \int_0^a e^{-x^2}dx </math> である。 :(4) <math> \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx </math> を求めよ。 '''解答''' {{解答|第一問}} (1) <math> t = \frac \pi 2 - x </math> と変数変換すると、<math> \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n x dx = \int_{\frac \pi 2}^0 \sin^n\left(\frac \pi 2 - t\right)(-dt) = \int_0^{\frac \pi 2} \cos^n t dt </math> となる。 (2) <math> \begin{align} \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n x dx &= \left[-\sin^{n-1}x \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + (n-1)\int_0^{\frac \pi 2} \sin^{n-2} x \cos^2 x dx \\ &= (n-1)\left(\int_0^{\frac \pi 2} \sin^{n-2} x dx - \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n x dx \right)\\ \end{align} </math> 従って、<math>I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}</math> となる。 (3) <math> I_0 = \int_0^{\frac \pi 2} dx = \frac \pi 2,\, I_1 = \int_0^{\frac \pi 2} \sin x dx = 1. </math> よって、<math> n </math> が偶数のときは <math> \begin{align} I_n &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 1 2 I_0 \\ &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 1 2 \frac \pi 2. \end{align} </math> <math> n </math> が奇数のときは、 <math> \begin{align} I_n &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 2 3 I_1 \\ &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 2 3 \end{align} </math> となる。 {{証明終わり}} {{解答|第二問}} (1) <math>\begin{align} \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^m(\beta - x)^n \, dx &= \left[\frac{1}{m+1}(x-\alpha)^{m+1}(\beta-x)^n\right]_\alpha^\beta + \int_\alpha^\beta\frac{n}{m+1}(x-\alpha)^{m+1}(\beta-x)^{n-1}dx\\ &= \frac{n}{m+1}\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^{m+1}(\beta-x)^{n-1}dx. \end{align} </math> (2) <math>\begin{align} I_{m,n} &= \frac{n}{m+1}I_{m+1,n-1} \\ &= \cdots \\ &= \frac{n}{m+1} \frac{n-1}{m+2} \cdots \frac{1}{m+n} I_{m+n,0} \\ &= \frac{m!n!}{(m+n)!}I_{m+n,0} \end{align} </math> ここで、 <math>I_{m+n,0} = \int_\alpha^\beta(x-\alpha)^{m+n} dx = \frac{(\beta-\alpha)^{m+n+1}}{m+n+1} </math> となる。よって、 <math>I_{m,n} = \frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1} </math> を得る。 (3) <math>t = \sin^2\theta </math> と変数変換すると、 <math>dt = 2\sin\theta\cos\theta d\theta </math> より、 <math>\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m+1}\theta \cos^{2n+1}\theta d\theta = \frac 1 2 \int_0^1 t^m (1-t)^n dt = \frac{m!n!}{2(m+n+1)!}. </math> {{証明終わり}} {{解答|第三問}} (1) <math>0 < x < \frac \pi 2 </math> のとき、<math>0 < \sin x < 1 </math> だから、<math>\sin^{2n+1} x < \sin^{2n} x < \sin^{2n-1} x </math> となる。これを積分して、<math>I_{2n+1} < I_{2n} < I_{2n-1} </math> を得る。よって、<math>1 < \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} < \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}}</math> である。 (2) 第一問(1)より、 <math>\begin{align} \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} &= \frac{2n-1}{2n}\frac{2n-3}{2n-2} \cdots \frac 1 2 \frac \pi 2 \times \frac{2n+1}{2n}\frac{2n-1}{2n-2} \cdots \frac 3 2\\ &= \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4} \cdots \frac{(2n-1)(2n+1)}{2n \cdot 2n} \frac \pi 2 \end{align}</math> となる。また、<math>\frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}} = \frac{2n+1}{2n} = 1 + \frac{1}{2n} </math> となるから、(1) より、 <math>1 < \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} < \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}} = 1 + \frac{1}{2n} </math> を得る。これより、<math>\lim_{n\to\infty} \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = 1 </math> となるから、<math> \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdots \frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} = \frac \pi 2 </math> を得る。 (3) 第一問(3)より、<math>I_{2n} I_{2n+1} = \frac{1}{2n+1} \frac{\pi}{2} </math> である。 (4) <math>\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = \frac{I_{2n}I_{2n+1}}{I_{2n+1}^2} = \frac{1}{2n+1}\frac \pi 2 I_{2n+1}^{-2} </math> である。<math>\sqrt{2n+1} I_{2n+1} = \sqrt{\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\frac{\pi}{2}} </math> より、<math>\lim_{n\to\infty} \sqrt{2n+1} I_{2n+1} = \lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\frac{\pi}{2}} = \sqrt{\frac{\pi}{2}} </math> となる。また、 <math>\begin{align} \frac{\sqrt \pi}{2} &= \lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{2n+1}{2}} I_{2n+1}\\ &= \lim_{n\to\infty} \sqrt{n}\sqrt{1+\frac{1}{2n}} I_{2n+1}\\ &= \lim_{n\to\infty} \sqrt{n}I_{2n+1} \end{align} </math> となるから、<math>\lim_{n\to\infty} \sqrt{n}I_{2n+1} = \frac{\sqrt \pi}{2} </math> を得る。 (5) <math>\begin{align} I_{2n+1} &= \frac{2n}{2n+1}\frac{2n-2}{2n-1}\cdots \frac 2 3\\ &= \frac{\{2n(2n-2)\cdots 2\}^2}{(2n+1)!}\\ &= \frac{(2^n n!)^2}{(2n+1)!} \end{align} </math> より、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \sqrt{n}I_{2n+1} &= \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt n}{2n+1} \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!}\\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2\sqrt n + \frac{1}{\sqrt n}} \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!}\\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2\sqrt n} \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!} \end{align} </math> となるから、 <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} = \sqrt \pi </math> を得る。 '''解説''' <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdots \frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} = \frac \pi 2 </math> はウォリスの公式と呼ばれる。整数の乗除のみで円周率が計算されるという点で興味深いが、収束はとても遅く実用的ではない。例えば、<math>\pi > 3.05</math> を証明するためには <math>n=8</math> まで計算しなくてはならない<ref><math>2\cdot \frac{2\cdot 2}{1\cdot 3} \cdots \frac{16\cdot 16}{15\cdot 17} =</math> 213084064972800/69850115960625 = 2147483648/703956825 = 3.05058...</ref>。また <math>\pi > 3.14</math> を示すには <math>n=493</math> まで計算する必要がある。ちなみに単調増加性は <math>\frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{1-\frac{1}{(2n)^2}} > 1</math> から従う。 また、<math> \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} = \sqrt \pi </math> もウォリスの公式と呼ばれる。これはスターリングの公式やガウス積分を証明するために必要となる。 {{証明終わり}} {{解答|第四問}} (1) [[ファイル:Bounding_the_Integral_of_log_x_with_Trapezoids.svg|サムネイル|log x の台形近似]] <math>\log x </math> は上に狭義凸な関数だから、<math>\int_{k-1}^k \log x \, dx</math> は、直線 <math>x = k-1,\,x=k</math> と <math>y = \log x</math> の2つの交点を結んだ線分と <math>x</math> 軸、直線 <math>x = k-1,k</math> によって切り取られる台形（図の青の領域）の面積よりも大きい。台形の面積は、<math>\frac 1 2 \{\log k + \log(k-1)\} = \log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\}</math> である。また、 <math>\int_{k-1}^k \log x \, dx</math> は、<math>y = \log x</math> の任意の接線と <math>x</math> 軸、直線 <math>x = k-1,k </math> によって切り取られる台形（図のピンクの領域）の面積よりも小さい。特に <math>x = k</math> で接線を引くと、その傾きは <math>\frac 1 k</math> だから、接線と直線 <math>x = k-1</math> の交点の <math>y</math> 座標は <math>\log k - \frac 1 k</math> である。よって、この台形の面積は <math>\log k - \frac{1}{2k} </math> となる。従って、 <math> \log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} < \int_{k-1}^k \log x \, dx < \log k - \frac{1}{2k} </math> を得る。 (2) <math>\log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} < \int_{k-1}^k \log x \, dx </math> より、<math>\log k < \int_{k-1}^k \log x \, dx + \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} </math> となる。よって、 <math>\begin{align} \sum_{k=n+1}^{2n} \log k &< \int_n^{2n} \log x \, dx + \frac 1 2 (\log 2n - \log n) \\ &= \left[x\log x - x\right]_n^{2n} + \frac 1 2 (\log 2n - \log n) \\ &= \left(2n + \frac 1 2\right)\log 2n - \left(n + \frac 1 2 \right) \log n - n \end{align} </math> となる。また、<math>\log k > \int_{k-1}^k \log x \, dx + \frac{1}{2k} </math> より、 <math>\begin{align} \sum_{k=n+1}^{2n} \log k &> \int_n^{2n} \log x \, dx + \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{2k} \\ &= \left[x\log x - x\right]_n^{2n} + \frac 1 2 \left(\frac{1}{2n} - \frac{1}{n} + \sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k}\right) \\ \end{align}</math> となる。ここで、<math>\frac 1 x </math> は <math>x > 0 </math> で単調減少だから、 <math>\sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k} > \int_n^{2n} \frac{dx}{x} = \log 2n - \log n </math> となる。従って、 <math>\begin{align} \sum_{k=n+1}^{2n} \log k &> \left(2n + \frac 1 2\right)\log 2n - \left(n + \frac 1 2 \right) \log n - n - \frac{1}{4n} \\ \end{align}</math> を得る。 (3) <math>\begin{align} \log \frac{a_{2n}}{a_n} &= \log a_{2n} - \log{a_n}\\ &= \log (2n)! - \left(2n + \frac 1 2 \right) \log 2n + 2n - \log n! + \left(n + \frac 1 2 \right)\log n - n\\ &= \sum_{k=n+1}^{2k}\log k - \left(2n + \frac 1 2 \right) \log 2n + \left(n + \frac 1 2 \right)\log n + n \end{align}</math> であるから、(2) より <math>-\frac{1}{4n} < \log \frac{a_{2n}}{a_n} < 0</math> となる。従って、 <math>\lim_{n\to\infty} \log \frac{a_{2n}}{a_n} = 0</math> あるいは、 <math>\lim_{n\to\infty} \frac{a_{2n}}{a_n} = 1 </math> を得る。 (4) <math>\begin{align} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} &= \frac{2^{2n}}{\sqrt n} \left(\frac{n!}{n^{n+\frac 1 2}e^{-n}}\right)^2 \frac{(2n)^{2n+\frac 1 2}e^{-2n}}{(2n)!} \frac{\left(n^{n+\frac 1 2}e^{-n}\right)^2}{(2n)^{2n+\frac 1 2}e^{-2n}}\\ &= \frac{1}{\sqrt 2} \frac{a_n^2}{a_{2n}} \end{align}</math> であるから、 <math>\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \sqrt 2 \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} \frac{a_{2n}}{a_n} = \sqrt{2\pi} </math> を得る。 '''解説''' (1)は凹関数の定積分の値を台形で評価する問題である。このような台形近似の問題は難関大ではよく見られる。 (4) から <math>\lim_{n\to\infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi} n^{n+1/2}e^{-n}} = 1</math> を得る。これは、<math>n</math> が大きいとき階乗を <math>n! \approx \sqrt{2\pi} n^{n+\frac 1 2} e^{-n}</math> と近似できることを意味する。これがスターリングの近似である。 本問は<math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} </math>を求めてから <math> \lim_{n\to \infty}a_n </math> を求めさせているためやや遠回りに思うかもしれない。数列 <math>\{a_n\}</math> が0以外の実数に収束することを既知とすれば <math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} = \frac{\lim_{n\to \infty}a_{2n}}{\lim_{n\to \infty}a_n} = 1 </math> となることはすぐに分かる。しかし、数列が収束することの条件について高校では詳しく扱わないため、厳密に <math> \lim_{n\to \infty}a_n </math> を求めるためには <math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} </math> を経由する必要がある。一般に、下に有界な単調減少数列は収束するということが知られている<ref>詳しくは [[解析学基礎/実数]]を参照</ref>。これを認めれば、数列 <math>\{a_n\}</math> が収束することは、次のように証明することができる。 <math>\log k > \int_{k-1}^k \log x \, dx + \frac{1}{2k} </math> より、 <math>\begin{align} \log n ! &= \sum_{k=2}^n \log k \\ &> \int_{1}^n \log x \, dx + \frac 1 2 \sum_{k=2}^n\frac{1}{k}\\ &> n\log n - n + 1 + \frac 1 2 \int_{2}^{n+1}\frac{dx}{x}\\ &= n\log n - n + 1 + \frac 1 2 \{\log(n+1) - \log 2\} \end{align} </math> <math>\begin{align} \log a_n &= \log n! - \left(n + \frac 1 2\right)\log n + n \\ &> \frac 1 2 \{\log(n+1) - \log n \} + 1 - \frac 1 2 \log 2\\ &> 1 - \frac 1 2 \log 2 \end{align} </math> となるから、<math> a_n > \frac e \sqrt{2} </math> より下に有界である。 また、 <math> \begin{align} \log \frac{a_{n+1}}{a_n} &= \log(n+1) - \left(n + \frac 3 2\right)\log(n+1) + n+1 + \left(n+\frac 1 2\right)\log n - n\\ &= \frac 1 2 \{\log(n+1)+\log n\} - \int_n^{n+1} \log x dx\\ &< 0 \end{align} </math> から、<math> a_{n+1} < a_n. </math> すなわち単調減少であるから、<math>\{a_n\}</math> は収束する。 {{証明終わり}} {{解答|スターリングの近似の応用}} スターリングの近似は階乗を含む極限の問題に応用できる。例えば、演習問題2の(2)は、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{\sqrt{2\pi}(2n)^{2n+1/2}e^{-2n}}{\sqrt{2\pi}n^{n+1/2}e^{-n}n^n}\right)^\frac{1}{n}\\ &= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{2^{2n + 1/2}}{e^{n}}\right)^\frac{1}{n}\\ &= \frac 4 e. \end{align}</math> また、スターリングの近似から二項分布の極限が正規分布に収束することが証明できる。 二項分布の確率分布は、 <math>P(X=k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k} </math> である。スターリングの近似より、 <math>\begin{align} \frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k} &\approx \frac{\sqrt{2\pi}n^{n+\frac 1 2}e^{-n}}{\sqrt{2\pi}k^{k+\frac 1 2}e^{-k}\sqrt{2\pi}(n-k)^{n-k+\frac 1 2}e^{-(n-k)}}p^kq^{n-k}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} \sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} \end{align}</math> となる。ここで、<math>\lim_{n\to\infty} \frac k n = p </math> であるから、 <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} = \lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{1}{n\frac k n (1-\frac k n)}} = \frac{1}{\sqrt{npq}}</math> となる。 次に、<math>\log (1+x) \approx x - \frac 1 2 x^2 </math> の近似式を使うと、 <math>\begin{align}\log \left(\frac{np}{k}\right)^k &= k\log \left(1 - \frac{k-np}{k}\right) \\ &\approx -(k-np) - \frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{k} \end{align}</math> <math>\begin{align}\log \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} &= (n-k)\log \left(1 - \frac{n-k-nq}{n-k}\right) \\ &\approx -(n-k-nq) - \frac 1 2 \frac{(n-k-nq)^2}{n-k} \\ &= -(np-k) - \frac 1 2 \frac{(np-k)^2}{n-k}\end{align}</math> となる。さらに、 <math>\begin{align}\log \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} &\approx -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{k}-\frac 1 2 \frac{(np-k)^2}{n-k}\\ &= -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{npq} \left(\frac{npq}{k} + \frac{npq}{n-k}\right)\\ &\approx -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{npq} \left(\frac{pq}{p} + \frac{pq}{1-p}\right)\\ &= -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{npq} \end{align}</math> となる。最終的に、 <math>P(X=k) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}} e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}</math> を得る。これは、平均 <math>\mu = np</math> 分散 <math>\sigma^2 = npq</math> の正規分布である。 {{証明終わり}} {{解答|第五問}} (1) <math>\begin{align} I_{2n} &= \int_0^{\frac \pi 2} \cos^{2n}x dx \\ &= \left[x\cos^{2n}x\right]_0^{\frac \pi 2} + 2n\int_0^{\frac \pi 2} x\sin x \cos^{2n-1}x dx\\ &= 2n \left[\frac 1 2 x^2 \sin x \cos^{2n-1}x\right]_0^{\frac \pi 2} - n\int_0^{\frac \pi 2} x^2 \{\cos^{2n}x - (2n-1)\sin^2 x \cos^{2n-2}x \} dx \\ &= - n\int_0^{\frac \pi 2} x^2 \{\cos^{2n}x - (2n-1)(1-\cos^2 x) \cos^{2n-2}x \} dx \\ &= n(2n-1)J_{2n-2} -2n^2 J_{2n}. \end{align} </math> (2) <math> 0 \le x \le \frac \pi 2</math> で <math>\sin x</math> は上に凸であるから、<math> \frac{2}{\pi}x \le \sin x</math> となる。 (3) <math> \begin{align} J_{2n} &= \int_0^{\frac \pi 2} x^2 \cos^{2n}x dx \le \frac{\pi^2}{4} \int_0^{\frac \pi 2} \sin^2 x \cos^{2n} x dx \\ &= \frac{\pi^2}{4} (I_{2n} - I_{2n+2}) \\ &= \frac{\pi^2}{4} \frac{I_{2n}}{2n+2} \end{align} </math> となる。ただし、最後の行への変形で第一問(2)の漸化式を使った。 (4) (1) より、 <math> \begin{align} \frac{1}{n^2} &= \frac{(2n-1)J_{2n-2}}{n I_{2n}} - \frac{2J_{2n}}{I_{2n}}\\ &= \frac{2J_{2n-2}}{I_{2n-2}} - \frac{2J_{2n}}{I_{2n}} \end{align} </math> となる。ただし、最後の行への変形で第一問(2)の漸化式を使った。 よって、 <math> \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} = \sum_{k=1}^n \left(\frac{2J_{2k-2}}{I_{2k-2}} - \frac{2J_{2k}}{I_{2k}}\right) = \frac{2J_{0}}{I_{0}} - \frac{2J_{2n}}{I_{2n}} </math> となる。ここで、<math>J_0 = \int_0^{\frac \pi 2} x^2 dx = \frac{\pi^3}{24},\, I_0 = \frac \pi 2</math> より、<math>\frac{2J_{0}}{I_{0}} = \frac{\pi^2}{6}. </math> また、<math> 0 < \frac{J_{2n}}{I_{2n}} \le \frac{\pi^2}{8(n+1)} </math> より、<math>\lim_{n\to\infty}\frac{J_{2n}}{I_{2n}} = 0 </math> となるから、<math> \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} </math> を得る。 '''解説''' 本問は Daniel Daners. (2012). A Short Elementary Proof of Σ 1/k² = π²/6. ''Mathematics Magazine'', ''85''(5), 361–364. https://doi.org/10.4169/math.mag.85.5.361 を参考にした。 <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}</math> はゼータ関数と呼ばれるもので、数論において重要な関数である。この問題から <math>\zeta(2) =\frac{\pi^2}{6}</math> である。また、<math>\zeta(1) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math> は調和級数であるため発散する。 <math>s</math> が実数のとき、<math>s > 1</math> で <math>\zeta(s)</math> は収束することを示すことができる。実際、<math>\frac{1}{n^s} < \int_{n-1}^n \frac{dx}{x^s}</math> となるから、<math>\sum_{n=2}^m \frac{1}{n^s} < \int_1^m \frac{dx}{x^s} = \frac{1}{s-1}(1-m^{1-s}) < \frac{1}{s-1}</math> であるから上界を持つ。また、各項は正であるため <math>\sum_{n=1}^m \frac{1}{n^s}</math> は単調増加である。従って、 <math>\zeta(s)</math> は <math>s > 1</math> のとき収束する。 <math>s < 1</math> のとき、<math>\frac{1}{n} < \frac{1}{n^s}</math> から、<math>\sum_{n=1}^m \frac{1}{n} < \sum_{n=1}^m \frac{1}{n^s}</math> となるため発散する。 解析接続という手法を用いることでゼータ関数の定義域を <math>s=1</math> を除く複素数にまで拡張することができる。 {{証明終わり}} {{解答|第六問}} (1) <math>f(x) = e^x - x - 1</math> とすると、<math>f'(x) = e^x - 1 ,\, f''(x) = e^x</math> だから、<math>f(x) </math> は上に狭義凸な関数で最小値は <math>f(0) = 0</math> である。従って、<math>x \neq 0</math> のとき <math>e^x > x + 1</math> である。よって、<math>e^{-x^2} > 1-x^2.</math> また、<math>e^{-x} < \frac{1}{1+x}</math> に <math>x^2</math> を代入して <math>e^{-x^2} < \frac{1}{1+x^2}</math> を得る。 (2) (1) より、<math>(1-x^2)^n < e^{-nx^2} </math> であるから、積分して <math>\int_0^1 (1-x^2)^n dx < \int_0^1 e^{-nx^2} dx </math> を得る。同様に、<math>e^{-nx^2} < \frac{1}{(1+x^2)^n}</math> を積分して <math>\int_0^{\tan \theta_0}e^{-nx^2} dx < \int_0^{\tan\theta_0}\frac{1}{(1+x^2)^n}dx</math> を得る。<math> \frac \pi 4 < \theta_0 < \frac \pi 2 </math> より、<math>1 < \tan\theta_0</math> である。また、<math>e^{-nx^2} > 0</math> から <math>\int_0^{1}e^{-nx^2} dx < \int_0^{\tan \theta_0}e^{-nx^2} dx </math> となる。したがって、 <math> \int_0^1 (1-x^2)^n dx < \int_0^{\tan\theta_0} e^{-nx^2}dx < \int_0^{\tan \theta_0} \frac{1}{(1+x^2)^n} dx </math> である。 (3) <math>x = \sin \theta</math> と変数変換して、 <math>\begin{align} \int_0^1 (1-x^2)^n dx &= \int_0^{\frac \pi 2} (1-\sin^2\theta)^n \cos\theta d\theta\\ &= \int_0^{\frac \pi 2} \cos^{2n+1}\theta d\theta\\ &= I_{2n+1} \end{align} </math> となる。また、<math>x = \tan\theta</math> と変数変換して、 <math>\begin{align} \int_0^{\tan \theta_0} \frac{dx}{(1+x^2)^n} &= \int_0^{\theta_0} \cos^{2n}\theta \frac{d\theta}{\cos^2\theta}\\ &= \int_0^{\theta_0} \cos^{2n-2}\theta d\theta \end{align} </math> となる。 <math>x \to \frac x \sqrt n </math> と変数変換すると、<math>\int_0^{\tan \theta_0} e^{-nx^2}dx = \frac 1 \sqrt n \int_0^{\frac{\tan\theta_0}{\sqrt n}} e^{-x^2}dx </math> となる。よって、 <math> \sqrt n I_{2n+1} < \int_0^{\frac{\tan\theta_0}{\sqrt n}} e^{-x^2}dx < \sqrt n \int_0^{\theta_0} \cos^{2n-2}\theta d\theta </math> となる。ここで、<math> \theta_0 \to \frac \pi 2 - 0</math> の極限を取ると <math> \lim_{\theta_0 \to \frac \pi 2 - 0}\int_0^{\frac{\tan\theta_0}{\sqrt n}} e^{-x^2}dx = \lim_{a \to \infty}\int_0^{a} e^{-x^2}dx = \int_0^\infty e^{-x^2}dx </math> となるから <math> \sqrt n I_{2n+1} < \int_0^\infty e^{-x^2}dx < \sqrt n I_{2n-2} </math> を得る。 (4) 第三問より、<math>\lim_{n\to\infty} \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}} = 1 </math>, <math>\lim_{n\to\infty} \sqrt n I_{2n+1} = \frac{\sqrt \pi}{2} </math> であるから、 <math>\lim_{n\to\infty} \sqrt n I_{2n-2} = \lim_{m\to\infty} \sqrt n \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\frac{I_{2n}}{I_{2n-1}}\frac{I_{2n-1}}{I_{2n-2}}I_{2n-2} = \frac{\sqrt \pi}{2} </math> となる。よって、 <math>\int_0^{\infty} e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt \pi}{2}. </math> 被積分関数は偶関数だから、 <math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt \pi </math> を得る。 '''解説''' (4) で <math>x \to \sqrt a x</math> （<math>a</math> は正の実数）と変換すると、<math> \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} </math> を得る。これを使うと正規分布の確率密度関数が<math> \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx = 1 </math> と正規化されていることが分かる。また、 <math> \begin{align} \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx &= [xe^{-ax^2}]_{-\infty}^{\infty} + \int_{-\infty}^\infty 2ax^2 e^{-ax^2}dx\\ &= \int_{-\infty}^\infty 2ax^2 e^{-ax^2}dx \end{align} </math> より、<math> \int_{-\infty}^\infty x^2 e^{-ax^2}dx = \frac 1 2 \sqrt{\frac{\pi}{a^3}} </math> を得る。よって、正規分布の分散は <math> \begin{align} V[X] &= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^2 e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty x^2 e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}dx\\ &= \sigma^2 \end{align} </math> となる。 {{証明終わり}} == 脚注 == <references/> <references group="ヒント"/> {{DEFAULTSORT:こうとうかつこうすうかくIII せきふんほう}} [[Category:高等学校数学III|せきふんほう]] [[カテゴリ:積分法]] 5c7nw3wxh1ewcmpbqfc2trlv8gtarbr 299377 299376 2026-05-10T09:29:46Z Tomzo 248 [[Special:Contributions/Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[User talk:Tkkn46tkkn46|会話]]) による編集を取り消し、Tomzo による直前の版へ差し戻す 298950 wikitext text/x-wiki {{pathnav|高等学校の学習|高等学校数学|高等学校数学III|pagename=積分法|frame=1|small=1}} ここでは、数学IIの[[高等学校数学II/微分・積分の考え|微分・積分の考え]]で学んだ積分の性質についてより詳しく扱う。また、三角関数や指数・対数関数などの関数の積分についても学習する。 [[高等学校数学]]の全ての分野を学んだ後に学習に取り組んでほしい。 == 不定積分 == === 積分の基本的な性質 === 積分法について <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx ,</math> <math>\int af(x) dx = a \int f(x) dx</math>(aは定数) が成り立つ。 導出 <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx</math> の両辺を微分すると、 左辺 =右辺 = <math> f + g</math> が従う。 よって、 <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx</math> の両辺は一致する。 (実際には2つの関数の導関数が一致するとき、 それらの関数には定数だけのちがいがある。 仮に、F(x)とG(x)が共通の導関数h(x)を持ったとする。 このとき、 <math>(F(x)-G(x) )' = h(x)- h(x) = 0</math> となるが、0の原始関数は定数Cであることが分かる。 よって、両辺を積分すると、 <math>F(x)-G(x) = C</math> となり、F(x)とG(x)には定数だけの差しかないことが確かめられた。 よって、 <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx</math> は定数だけのちがいを含んで成り立つ式である。 より一般に、不定積分が絡む等式は定数分の差を含めて成り立つというのが通例である。) <math>\int af(x) dx = a \int f(x) dx</math> についても両辺を微分すると、 左辺=右辺= a f(x) が従う。 よって、 <math>\int af dx = a\int f dx</math> が成り立つことが分る。 関数 <math>f(x)</math> の原始関数を <math>F(x)</math> とすると <math>\int_a^b f(x) \, = F(b)-F(a) = -(F(a)-F(b)) = -\int_b^af(x)\, dx</math> である。 <math>\int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx = (F(c) - F(a)) + (F(b) - F(c)) = F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx</math> === 置換積分法 === 関数の原始関数を求める手段として、 積分変数を別の変数で置き換えて積分を行なう手段が知られている。 これを置換積分と呼ぶ。 <math>\int f(g(x)) dg(x) = \int f(g(x)) g'(x) dx</math> 導出 <math>\int f(g(x)) dg(x) =F(g(x))</math>を<math>x</math>について微分すると、 <math>F'(g(x)) = f(g(x))g'(x)</math> 再び<math>x</math>について積分すると、 <math>\int f(g(x)) dg(x) = \int f(g(x)) g'(x) dx</math> また、特に *<math>\int f(ax+b) dx = \frac{1}{a} \int f(ax+b) d(ax+b)</math> *<math>\int \{f(x)\}^n f'(x) dx = \frac{1}{n+1} \{f(x)\}^{n+1} + C (n \ne -1)</math> *<math>\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log | f(x) | + C</math> 例えば、<math>\int (ax+b)^2 dx</math>を考える。 <math>t = ax+b</math>と置く。 この両辺を微分すると <math>dt = adx</math> が成り立つことを考慮すると、 {| |- |<math>\int t^2 \frac {dt} a</math> |<math>=\frac{ t^3} {3a} + C</math> |- | |<math>=\frac{ (ax+b)^3} {3a} + C</math> |} となることがわかる。 実際この式をxで微分すると <math> (ax+b)^2 </math> と一致することが分る。 置換積分を使わずに計算することも出来る。 {| |- |<math>\int (ax+b)^2 dx</math> |<math>=\int (a^2x^2+2abx +b^2) dx</math> |- | |<math>= \frac {a^2} 3 x^3 +abx^2 +b^2x + C'</math> |- | |<math>= \frac {a^2} 3 x^3 +abx^2 +b^2x + \frac {b^3} {3a} +C</math> |} (<math>C'=\frac {b^3} {3a} +C</math>と置き換えた。) <math>=\frac{ (ax+b)^3} {3a} + C</math> となり確かに一致する。 === 部分積分法 === 関数の積の積分を行なうときある関数の微分だけを取りだして積分すると、うまく積分できる場合がある。関数 <math>g(x)</math> の原始関数を <math>G(x)</math> とすると <math>\int f(x) g(x) \, dx = f(x) G(x) - \int f'(x) G(x) \, dx</math> 導出 積の微分法より <math>\{f(x)G(x)\}' = f'(x)G(x) + f(x)g(x)</math> である。これを移項して <math>f(x)g(x) = \{f(x)G(x)\}' - f'(x)G(x)</math> である。両辺をxで積分して <math>\int f(x) g(x) \, dx = f(x) G(x) - \int f'(x) G(x) \, dx</math> が得られる。 例えば、 {| |- |<math>\int x (ax+b)^3 dx</math> |<math>=\int x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)' dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \int (x)' \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \int (x)' \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \int \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \frac {(ax+b)^5} {20a^2} </math> |} 部分積分を <math>n</math> 回行うと、 <math>\begin{align} \int f(x) g(x) \, dx &= f(x) g^{(-1)}(x) - \int f'(x) g^{(-1)}(x) \, dx \\ &= f(x) g^{(-1)}(x) -f'(x) g^{(-2)}(x) + \int f''(x) g^{(-2)}(x) \, dx \\ &= f(x) g^{(-1)}(x) - f'(x) g^{(-2)}(x) + f''(x) g^{(-3)}(x) + \cdots + (-1)^n \int f^{(n)}(x) g^{(-n)}(x) \, dx \end{align}</math> となる。 ここで、<math>g^{(-1)}(x)</math> は <math>g(x)</math> の不定積分の任意の一つ。<math>g^{(-2)}(x)</math> は <math>g^{(-1)}(x)</math> の不定積分の任意の一つ。... <math>g^{(-n)}(x)</math> は <math>g^{(-n+1)}(x)</math> の不定積分の任意の一つというように定める。このように、積分記号で何回も不定積分を計算するのはやや面倒なので、次のような表を作ってみると計算しやすい。 {|class="wikitable" style="background: #ffffff; text-align: center;" |+ !符号 !微分 !積分 |- |<math>+</math> |<Math>f(x)</math> |<Math>g(x)</math> |- |<math>-</math> |<Math>f'(x)</math> |<Math>g^{(-1)}(x)</math> |- |<math>+</math> |<Math>f''(x)</math> |<Math>g^{(-2)}(x)</math> |- |<math>-</math> |<Math>f^{(3)}(x)</math> |<Math>g^{(-3)}(x)</math> |- |<math>\cdots</math> |<Math>\cdots</math> |<Math>\cdots</math> |- |<math>(-)^n</math> |<Math>f^{(n)}(x)</math> |<Math>g^{(-n)}(x)</math> |} この表から、部分積分を <math>n</math> 回行った結果は、 一行目の符号 × 一行目の微分 × 二行目の積分 + 二行目の符号 × 二行目の微分 × 三行目の積分 + ... + <math>\int</math> n行目の符号 × n行目の微分 × n行目の積分 dx と求まる。n行目の微分 が 0 であった場合は、最後の積分は消えて、不定積分は 一行目の符号 × 一行目の微分 × 二行目の積分 + 二行目の符号 × 二行目の微分 × 三行目の積分 + ... + n-1行目の符号 × n-1行目の微分 × n行目の積分 + C となる。 この方法は俗に'''瞬間部分積分法'''と呼ばれており、部分積分を複数回繰り返す際の計算を非常に簡略化できるため、受験数学では重宝されるテクニックの一つである。記述で用いる場合、上の表をそのまま記述するよりも、「部分積分を繰り返し用いると」という文言の後に瞬間部分積分で求めた結果を記述するのが無難である。 === いろいろな関数の積分=== ==== 多項式関数の積分 ==== <math>n \ne -1</math>のとき、<math>\left(\frac{1}{n+1} x^{n+1}\right)'=x^n</math>なので、 <math>\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C</math> <math>n = -1</math>のとき、<math>(\log |x| )' = \frac{1}{x} = x^{-1}</math>なので、 <math>\int x^{-1} dx = \int \frac {1}{x} dx = \log |x| + C</math> が成り立つ。 ==== 三角関数の積分 ==== *<math>(\sin x )' = \cos x</math> *<math>(\cos x )' = -\sin x</math> *<math>(\tan x )' = \frac{1}{\cos^2 x}</math> が成り立つことを考慮すると、 *<math>\int \cos x dx= \sin x + C</math> *<math>\int \sin x dx = - \cos x + C</math> *<math>\int \frac{1}{\cos^2 x } dx = \tan x + C</math> となることが分る。 <math>\int \tan x dx</math>は、置換積分法を使って {| |- |<math>\int \tan x dx</math> |<math>=\int \frac{\sin x}{\cos x} dx</math> |- | |<math>=\int \frac{-(\cos x)'}{\cos x} dx</math> |- | |<math>= - \int \frac{(\cos x)'}{\cos x} dx</math> |- | |<math>= - \log | \cos x | + C</math> |} :　 :なお同様に、<math>\frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}</math>　であるので、<math>\int \frac{1}{\tan x} dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx =\int \frac{(\sin x)'}{\sin x} dx = \log \left|\sin x\right| + C</math> :　 より一般に有理関数 <math>R(x,y)</math> に対して、<math>\int R(\sin\theta,\cos\theta) \,d\theta</math> について考える。 <math>t = \tan \frac{\theta}{2}</math> とおく。 <math>\tan^2\frac{\theta}{2} + 1 = \frac{1}{\cos^2\frac{\theta}{2}}</math> よって <math>\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1}{1+t^2}</math>である。<math>\frac{dt}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2\cos^2\frac{\theta}{2}} = \frac{1}{2}(t^2+1)</math> であり、<math>\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2} - 1 = \frac{1-t^2}{1+t^2}</math> かつ <math>\sin\theta = \tan\theta\cos\theta = \frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}\cos\theta = \frac{2t}{1+t^2}</math> である。よって <math>\int R(\sin\theta,\cos\theta) \,d\theta = \int R\left(\frac{2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t^2}\right) \, \frac{2dt}{1+t^2}</math> と有理関数の積分にもち込める。 幾何学的は、この変換は単位円上の点 <math>P(\cos \theta, \sin \theta)</math>と点 <math>A(-1,0)</math> を結ぶ直線の勾配 <math>t</math> で変換したものである。実際円周角の定理より <math>\angle xAP = \frac 1 2 \angle xOP = \frac \theta 2</math>より <math>t = \tan \frac{\theta} 2.</math> 被積分関数の周期が <math>\pi</math> の場合は、被積分関数は <math>\sin 2\theta,\cos 2 \theta</math> の有理関数なので、 <math>t = \tan\theta</math> と置換すると計算が楽である。被積分関数が <math>\sin^2\theta,\cos^2\theta,\sin\theta\cos\theta</math> の有理関数となるときもこの範疇に属する。<math>t = \tan\theta</math> と置換したとき、<math>\cos^2\theta = \frac{1}{1+\tan^2\theta}=\frac{1}{1+t^2}</math>, <math>\sin^2\theta = \tan^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{t^2}{1+t^2}</math> , <math>\sin\theta \cos\theta = \pm\sqrt{\sin^2\theta \cos^2\theta} = \frac{t}{1+t^2}</math> (<math>\sin\theta \cos\theta</math> と <math>\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}</math> の正負は一致するため), <math>d \theta = \frac {dt}{1 + t^2}</math> となる。 例　<math>\int\frac{1}{\sin x \cos x}dx</math> は <math>t = \tan x</math> と置換すると、<math>\int \frac {1}{\sin x \cos x}dx = \int \frac {1+t^2}{t} \frac { dt}{1+t^2} = \ln|\tan x| + C. </math> <math>t = \tan \frac{\theta}{2}</math> と置換してしまうと、<math>\int \frac{1}{\sin x \cos x}\,dx = \int \frac {1+t^2}{t(1-t^2)}\,dt = \ln \left|\frac{t}{1-t^2}\right| + C' = \ln|\tan x| + C </math> と計算量が少し増える。 ==== 指数・対数関数の積分 ==== 指数関数について <math>(e^x )' = e^x</math> が成り立つことを用いると、 <math>\int e^x dx = e^x + C</math> が得られる。 また、 <math>\left(\frac{a^x}{\ln a}\right)' = a^x</math> なので、 <math>\int a^x \, dx=\frac{a^x}{\ln a}</math> である。 また、<math>\log |x|</math>の 原始関数も求めることが出来る。 {| |<math>\int \log |x| dx </math> |<math>=\int (x)' \log |x| dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -\int x (\log |x|)' dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -\int x \frac 1 x dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -\int dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -x + C</math> |} となる。 有理関数 <math>R(x)</math> に対して、積分 <math>\int R(e^x) \, dx</math> は <math>t = e^x</math> すると <math>\frac{dt}{dx} = e^x = t</math> より <math>\int R(e^x) \, dx = \int R(t) \frac{dt}{t}.</math> ==== 二次無理関数の積分（発展） ==== 有理関数 <math>R(x,y)</math> に対して、積分 <math>\int R(x,\sqrt{ax^2 + bx + c}) \, dx</math> について考えよう。平方根の中身は平方完成することによって、<math>\sqrt{p^2-x^2},\sqrt{x^2+p^2},\sqrt{x^2-p^2}</math>のいずれかの形になる。それぞれの場合について、<math>x = p\sin \theta,x = p\tan\theta,x = \frac{p}{\cos \theta}</math> と変数変換すると三角関数の積分に帰着する。 また、<math>y^2 = ax^2 +bx + c</math> は二次曲線で、特に <math>a>0</math> のときは双曲線となる（<math>y^2 -a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{-b^2 + 4ac}{4a}</math>より<ref>右辺が0のとき双曲線とはならないが、このときは簡単に平方根を外すことが出来るので考える必要はない。</ref>）。このとき、<math>y=\pm \sqrt a x + t</math> すなわち <math>t = \mp \sqrt a x + \sqrt{ax^2 + bx + c}</math> と変換するとうまく計算できる（符号はどちらを選択しても良い）。幾何学的には、双曲線の漸近線に平行で切片が <math>t</math> の直線 <math>y=\pm \sqrt a x + t</math> と双曲線のただ一つの交点 <math>(x,y)</math> を変数 <math>t</math> で表したものである。 例 <math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} </math> は <math>t = x + \sqrt{ x^2-1}</math> と置換すると、<math>\frac 1 t = x - \sqrt{x^2-1}</math> なので、<math>t + \frac 1 t = 2x</math> すなわち <math>2dx = \left(1 - \frac 1 {t^2}\right)dt</math> また、 <math>t - \frac 1 t = 2\sqrt{x^2-1}</math>.なので、<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} = \int \frac{1-\frac{1}{t^2}}{t-\frac 1 t}dt = \int \frac{dt}{t} = \ln |x + \sqrt{x^2-1}| + C </math> である。 ところで、この変換は双曲線 <math>y^2 = x^2 - 1</math> と直線 <math>y = -x + t</math> のただ一つの交点による変換であった。その交点を方程式を解いて <math>t</math> で表すと、<math>x = \frac 1 2 \left(t + \frac 1 t\right), \, y =\frac 1 2 \left(t - \frac 1 t\right)</math> を得る。これは双曲線の媒介変数表示の一つである。また、 <math>t \rightarrow e^t</math> とすると、<math>x = \frac{e^t + e^{ -t} }{2} = \cosh t, \, y = \frac{e^t - e^{-t}}{2} = \sinh t.</math> これは <math>x > 0</math> の部分の双曲線の媒介変数表示である。最右辺は双曲線関数と呼ばれ、三角関数と似た性質を持つ。関数名の <math>\mathrm{h}</math> はhyperbolaに由来する。例えば、双曲線の方程式より得られる <math>\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1</math> は <math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1</math> とよく似ている。例示の不定積分は <math>x = \cosh t</math> と置換しても解くことが出来るが、ほとんど同じことなので省略する。 == 定積分 == 定積分について、不定積分と同じように以下が成り立つ。 '''定積分の置換積分法''' <math>\alpha < \beta</math>のとき、開区間<math>[\alpha, \beta]</math>で微分可能な関数<math>x=g(t)</math>に対し、<math>a=g(\alpha), b=g(\beta)</math>ならば<math>\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t)) g'(t) \, dt </math> '''定積分の部分積分法''' <math>\int_{a}^{b} f(x) g'(x) \, dx = \left[ f(x) g(x) \right]^{a}_{b} - \int_{a}^{b} f'(x) g(x) \, dx </math> *問題 **以下の定積分を求めよ(Hint：5, 6は漸化式を利用する) **#<math>\int_{0}^{1} |e^x - \frac{3}{2}| \, dx</math> **#<math>\int_{1}^{0} \frac{x-2}{(3-x)^2} \, dx</math> **#<math>\int_{-5}^{5} x \sqrt{x^2-9} \, dx</math> **#<math>\int_{3}^{7} x \log (x^2 - 2) \, dx </math> **#<math>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx</math> **#<math>\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx</math> === 特殊な定積分 === ==== 円 ==== <math>a < b</math> とする。積分 <math>\int_a ^b \sqrt{(x-a)(b-x)}\, dx</math> は <math>y = \sqrt{(x-a)(b-x)}</math> とすると、<math>\left(x-\frac{a+b}{2} \right) + y^2 = \left(\frac{a-b}{2} \right)^2</math> より、被積分関数 <math>y</math> は中心 <math>\frac{a+b}{2}</math> で半径 <math>\frac{b-a}{2}</math>の円周の上半分であり、積分区間もその両端なので、積分の値は半円の面積に等しく、<math>\int_a ^b \sqrt{(x-a)(b-x)} \, dx = \frac{\pi}{2}\left(\frac{b-a}{2}\right)^2</math> である。 ==== King Property ==== 一般に、関数 <math>f(a-x)</math> のグラフは関数 <math>f(x)</math> のグラフを直線 <math>x = \frac a 2</math> で対称移動したものである。 従って、連続関数 <math>f(x)</math> を区間 <math>\left[\frac{a+b}{2},b\right]</math> で積分した値 <math>\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, dx</math> と、連続関数 <math>f(a+b-x)</math> を区間 <math>\left[a,\frac{a+b}{2}\right]</math> で積分した値 <math>\int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(a+b-x)\, dx</math> は等しい： :<math>\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(a+b-x) \, dx.</math> この等式は単に、 <math>x \to a+b-x</math> の変数変換によっても導出できる。 この等式より、 <math>\int_a^b f(x) \, dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(x)\, dx +\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} [f(x) + f(a+b-x)] \, dx </math> が導かれる。 この公式は、<math>f(x) + f(a+b-x)</math> が簡単な形になる定積分で役に立つ。 例えば、<math>\begin{align}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left[\frac{\sin x}{\sin x + \cos x} +\frac{\sin (\frac{\pi}{2}-x)}{\sin (\frac{\pi}{2}-x) + \cos (\frac{\pi}{2}-x)}\right]\, dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left[\frac{\sin x}{\sin x + \cos x} +\frac{\cos x}{\cos x + \sin x}\right]\, dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}dx = \frac{\pi}{4}.\end{align} </math> King Property の応用例は <math>\int_{-1}^{1} \frac{x^2}{1+e^x} \, dx = \frac 1 3</math> , <math>\int_0^{\frac \pi 4} \ln(1+\tan x)\, dx = \frac \pi 8 \log 2</math> , <math>\int_0^{\frac \pi 2} \log (\sin x) \, dx = -\frac{\pi}{2}\log 2</math>, <math>\int_0^{2\pi} \cos^2\left(\frac{\pi\tan{x}}{2+2\tan{x}}\right)dx=\frac{\pi}{2}</math> などがある。計算してみよ。 === 定積分と不等式 === 一般に、連続関数について次のことが成り立つ。 :開区間<math>[a, b]</math>において<math>f(x) \leqq g(x)</math>ならば、<math>\int_{a}^{b} f(x) \, dx \leqq \int_{a}^{b} g(x) \, dx</math> :等号成立条件は開区間<math>[a, b]</math>において恒等的に<math>f(x) = g(x)</math>であること。 *例題 :調和級数の第n部分和が<math>\log(n+1)</math>より大きいことを証明せよ。 *解答 自然数kに対して<math>k \leqq x \leqq k+1</math>のとき<math>\frac{1}{k} \geqq \frac{1}{x}</math>であり、等号は常には成り立たないので<math>\int_{k}^{k+1} \frac{dx}{k} > \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{x}</math>である。故に<math>\sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{k} > \sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{x}</math>。 このとき、（左辺）<math>= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \int_{k}^{k+1} dx = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math>より左辺は調和級数の第n部分和であり、(右辺)<math>= \sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{x} = \int_{1}^{n+1} \frac{dx}{x} = \left[ \log(x) \right]_{1}^{n+1} = \log(n+1) - \log(1) = \log(n+1)</math>なので、題意は示された。 ===発展：広義積分=== '''広義積分'''とは、通常の定積分の範囲を超えて積分区間が無限であったり被積分関数が積分区間内で'''特異点'''（値が定義されなかったり微分不可能だったり不連続であったりする点）を持つ場合に、極限を用いて定義される定積分である。 定積分<math>\int_a^b f(x) \, dx</math>において、<math>b \to \infty</math>の極限を<math>\int_a^\infty f(x) \, dx</math>、<math>a \to -\infty</math>の極限を<math>\int_{-\infty}^b f(x) \, dx</math>のように表す。 例えば、<math>\int_0^\infty e^{-x} dx</math>は以下のように計算できる。 :<math>\int_0^\infty e^{-x} dx</math> :<math>=\lim_{b \to \infty} \int_0^b e^{-x} dx</math> :<math>=\lim_{b \to \infty} [-e^{-x}]_0^b </math> :<math>=\lim_{b \to \infty} (-\frac{1}{e^b} + 1)</math> :<math>=1</math> 但し、極限操作の前に定積分を計算してよいのは以下の場合に限られる。 :被積分関数が連続（定積分可能） :積分区間の内部に特異点が存在しない（特異点が端点のみ） :求めたい積分が（条件）収束する（発散しない） 積分区間の上端が正の無限大で下端が負の無限大のとき、広義積分は以下のように計算される。 :<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{a \to -\infty} \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx</math> 決して<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{A \to \infty} \int_{-A}^A f(x) \, dx</math>（対称極限）のように計算してはならない。 例えば、<math>\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{1+x^2} \, dx</math>は発散するが、対称極限のように計算すると<math>\lim_{A \to \infty} \int_{-A}^{A} \frac{x}{1+x^2} \, dx = 0</math>という誤った結果を得る。 この例のように、非積分関数が奇関数であっても<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx=0</math>は一般には成り立たない。あくまでも、'''上端と下端を独立に考えて極限を取る'''ことに注意が必要である。 例えば、以下が成り立つ。 :<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}</math> これは'''ガウス積分'''と呼ばれる有名な結果である。 この値の導出には重積分やヤコビ行列といった大学範囲の数学が良く用いられるが、一応は高校数学のみで証明可能である。後述の演習問題を参照。 この結果は[[高等学校数学B/確率分布と統計的な推測#正規分布|正規分布の確率密度関数]]の導出に用いられる。 :元となる関数は<math>y=e^{-x^2}</math>。 :平均値<math>\mu</math>を軸に持ってくる平行移動をして<math>y=e^{-(x-\mu)^2}</math>。 :分布の広さ（ばらつきの大きさ）を標準偏差<math>\sigma</math>に合わせるため<math>\mu \pm \sigma</math>で極値をとるように変形して<math>y=e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}</math> :ガウス積分の結果より<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \, dx = \sqrt{2\pi}\sigma</math>。 :確率密度関数は<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx=1</math>を満たすので、元の関数を<math>\sqrt{2\pi}\sigma</math>（定数）で割って<math>y=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}</math>。 :これは正規分布の特徴を適切に表すため、確率密度関数として適当である。 他に、<math>\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x^2) \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} \cos(x^2) \, dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}</math>（'''フレネル積分'''）が有名な結果である。なお、この積分は不定積分を[[w:初等関数]]で表すことができない。 広義積分の応用例として、'''フーリエ変換'''や'''ラプラス変換'''が存在する。 :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi):=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-2\pi{i}\xi{x}}dx</math> :<math>\text{ℒ}[f(x)](s):=\int_0^\infty f(x)e^{-sx}dx</math> これらは物理的には信号処理や制御工学に応用されているほか、数学では関数解析学と呼ばれる分野にも関わる概念である。 '''演習問題1''' 次の不定積分を求めよ。 :(1)<math>\int \tan xdx</math> :(2)<math>\int \frac{1}{\cos ^2x}dx</math> :(3)<math>\int \log xdx</math> :(4)<math>\int x\log xdx</math> :(5)<math>\int x^2\log xdx</math> :(6)<math>\int x^3\log xdx</math> :(7)<math>\int x\sin xdx</math> :(8)<math>\int x^2\sin xdx</math> :(9)<math>\int x^2e^xdx</math> :(10)<math>\int \frac{dx}{\sin x}</math> :(11)<math>\int \frac{dx}{\cos x}</math> {{解答}} :(1)<math>-\log |\cos x|+C</math> :(2)<math>\tan x+C</math> :(3)<math>x\log x-x+C</math> :(4)<math>\frac{x^2\log x}{2}-\frac{x^2}{4}+C</math> :(5)<math>\frac{x^3\log x}{3}-\frac{x^3}{9}+C</math> :(6)<math>\frac{x^4\log x}{4}-\frac{x^4}{16}+C</math> :(7)<math>\sin x-x\cos x+C</math> :(8)<math>2x\sin x+(2-x^2)\cos x+C</math> :(9)<math>(x^2-2x+2)e^x+C</math> :(10) <math> t = \tan\frac x 2 </math> と置換すると、 <math> \begin{align} \int \frac{dx}{\sin x} &= \int \frac{1+t^2}{2t}\frac{2dt}{1+t^2}\\ &= \int \frac{dt}{t}\\ &= \log |t| + C\\ &= \log \left|\tan\frac x 2 \right| + C. \end{align}</math> 別解 <math>\begin{align} \int \frac{dx}{\sin x} &= \int \frac{dx}{2\sin\frac x 2 \cos \frac x 2}\\ &= \int \frac{\cos\frac x 2 dx}{2\sin\frac x 2 \cos^2 \frac x 2}\\ &= \int \frac{(\tan \frac x 2)'dx}{\tan \frac x 2}\\ &= \log \left|\tan\frac x 2 \right| + C. \end{align}</math> <math>\begin{align} \int \frac{dx}{\sin x} &= \int \frac{\sin x}{\sin^2 x} dx\\ &= \int \frac{\sin x}{1- \cos^2 x} dx\\ &= \frac 1 2 \int \frac{\sin x}{1 - \cos x} dx + \frac 1 2 \int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx\\ &= \frac 1 2 \int \frac{(1 - \cos x)'}{1 - \cos x} dx - \frac 1 2 \int \frac{(1 + \cos x)'}{1 + \cos x} dx\\ &= \frac 1 2 \log \left|\frac{1-\cos x}{1+\cos x} \right| + C \\ &= \frac 1 2 \log \frac{1-\cos x}{1 + \cos x} + C. \end{align}</math> ちなみに、半角の公式より <math>\log \left|\tan\frac x 2 \right| = \frac 1 2 \log \left|\frac{\sin^2 \frac x 2}{\cos^2 \frac x 2}\right| = \frac 1 2 \log \frac{1-\cos x}{1 + \cos x} </math> が成り立つ。 :(11) <math> \begin{align} \int \frac{dx}{\cos x} &= \int \frac{dx}{\sin(x + \frac \pi 2)}\\ &= \log \left|\tan\left(\frac x 2 + \frac \pi 4 \right) \right| + C. \end{align}</math> 別解 <math> t = \tan\frac x 2 </math> と置換すると、 <math> \begin{align} \int \frac{dx}{\cos x} &= \int \frac{1+t^2}{1-t^2} \frac{2dt}{1+t^2}\\ &= \int \frac{2dt}{1-t^2}\\ &= \int \frac{dt}{1+t} + \int \frac{dt}{1-t}\\ &= \log \left|\frac{1+t}{1-t}\right| + C\\ &= \log \left|\frac{1+\tan\frac x 2}{1-\tan\frac x 2}\right| + C.\\ \Big( &= \log \left|\tan\left(\frac x 2 + \frac \pi 4\right) \right| + C \Big) \end{align}</math> なお、部分分数分解について、 <math>f(t) = \frac{2}{1-t^2} = \frac{A}{1+t} + \frac{B}{1-t}</math> とすると、 <math>A = \lim_{t\to -1}(1+t)f(t) = \lim_{t\to -1} \frac{2(1+t)}{1-t^2} = \lim_{t\to -1} \frac{2}{1-t} = 1</math>, <math>B = \lim_{t\to 1}(1-t)f(t) = \lim_{t\to 1} \frac{2(1-t)}{1-t^2} = \lim_{t\to 1} \frac{2}{1+t} = 1</math> より係数が求まる。 別解2 <math>\begin{align} \int \frac{dx}{\cos x} &= \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx\\ &= \int \frac{\cos x}{1- \sin^2 x} dx\\ &= \frac 1 2 \int \frac{\cos x}{1 - \sin x} dx + \frac 1 2 \int \frac{\cos x}{1 + \sin x} dx\\ &= -\frac 1 2 \int \frac{(1 - \sin x)'}{1 - \sin x} dx + \frac 1 2 \int \frac{(1 + \sin x)'}{1 + \sin x} dx\\ &= \frac 1 2 \log \left|\frac{1+\sin x}{1 - \sin x} \right| + C \\ &= \frac 1 2 \log \frac{1+\sin x}{1 - \sin x} + C. \end{align}</math> これも、 <math>\log \left|\tan\left(\frac x 2 + \frac \pi 4\right) \right| = \frac 1 2 \log \frac{1-\cos (x + \frac \pi 2)}{1 + \cos(x + \frac \pi 2)} = \frac 1 2 \log \frac{1+\sin x}{1 -\sin x} </math> である。 {{証明終わり}} ==積分の応用== === 面積 === ある関数f(x)の原始関数を求める演算は f(x)とx軸にはさまれた領域の面積を求める演算に等しい。 このことを用いて ある関数によって作られた領域の面積を求めることが出来る。 [[画像:Integral_x%5E2_0-1.png|right|x^2の0から1までの積分]] 例えば、 <math> \int _0 ^1 x^2 dx = \frac 1 3 </math> は、放物線<math> y = x^2</math>について <math>0 < x < 1</math>の範囲でかこまれる面積に等しい。 '''面積(Ⅰ)''' 曲線<math>y=f(x)</math>と2直線<math>x=a, x=b</math>及びx軸で囲まれた領域の面積は、 閉区間<math>[a, b]</math>で常に<math>f(x) \geqq 0</math>のとき<math>S = \int_{a}^{b} f(x) dx</math> 閉区間<math>[a, b]</math>で常に<math>f(x) \leqq 0</math>のとき<math>S = -\int_{a}^{b} f(x) dx </math> 厳密な証明は既に数学Ⅱで扱った。 2曲線で囲まれた領域の面積についても、同様である。 '''面積(Ⅱ)''' 2曲線<math>y=f(x), y=g(x)</math>と2直線<math>x=a, x=b</math>で囲まれた領域の面積は、 閉区間<math>[a, b]</math>で常に<math>f(x) \geqq g(x)</math>のとき<math>S = \int_{a}^{b} \{ f(x) - g(x) \} dx</math> y軸まわりで考えた場合も同様である。 '''面積(Ⅲ)''' 2曲線<math>x=h(y), x=i(y)</math>と2直線<math>y=c, y=d</math>で囲まれた領域の面積は、 閉区間<math>[c, d]</math>で常に<math>h(y) \geqq i(y)</math>のとき<math>S = \int_{c}^{d} \{ h(y) - i(y) \} dy</math> 媒介変数表示された曲線の場合、xとyの好きな方で面積の式を考えてパラメータに関する式へと置換積分すれば良い。 {{コラム|ガウス＝グリーンの定理| '''ガウス＝グリーンの定理'''という以下のような公式が存在する。 :閉曲面Sで囲まれた空間の領域をV、曲面の外向き法線の方向余弦を（l, m, n）、微分可能な関数をf, g, hとするとき、<math>\int_{V} (\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} + \frac{\partial h}{\partial z}) dV = \int_{S} (fl+gm+hn) dS </math> この定理を高校レベルの求積で使えるように調整すると、以下のようになる。 :曲線<math>\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases}</math>について、<math>[a, b]</math>の範囲でtの増加とともに点<math>P(f(t), g(t))</math>がxy平面上を原点中心に反時計回りに動くときに線分<math>OP</math>が通過する領域の面積は、<math>\int_{a}^{b} \frac{1}{2} \{ x g'(t) - y f'(t) \} dt</math> この定理を用いると、通常の積分で面積を求めるよりも遙かに計算量が少なくて済む。 もちろん記述では使えないが、答えのみ書けば良い場合や検算用のツールとしては非常に役立つ。 }} ; '''発展：極座標系における面積''' [[高等学校数学C/平面上の曲線#極座標|極座標系]]においても、直交座標系と同様に微積分を考えることができる。ここでは、その一例として極方程式で表された曲線における面積について扱う。 '''面積(Ⅳ)''' 曲線<math>r=r(\theta)</math>と2直線<math>\theta = \alpha, \theta = \beta</math>で囲まれた部分の面積は、 <math>S = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2} \{ r(\theta) \}^2 d\theta</math> *証明 基本的には直交座標の場合と同様である。 :曲線<math>r=r(\theta)</math>と2直線<math>\theta = \alpha, \theta = \tau</math>で囲まれた部分の面積を<math>S(\tau)</math>とおく。 :<math>\Delta \tau > 0</math>として<math>\tau + \Delta \tau</math>の場合を考える。 :閉区間<math>[\tau, \tau + \Delta \tau]</math>における<math>r(\theta)</math>の最小値を<math>m</math>、最大値を<math>M</math>とおくと、微小な扇形の面積を考えることにより<math>\frac{1}{2}m^2\Delta \tau \leqq S(\tau + \Delta \tau) - S(\tau) \leqq \frac{1}{2} M^2 \Delta \tau</math>が得られる。 :上の不等式の各辺を<math>\Delta \tau</math>で割ると、<math>\frac{1}{2}m^2 \leqq \frac{S(\tau + \Delta \tau) - S(\tau)}{\Delta \tau} \leqq \frac{1}{2}M^2</math> :<math>\Delta \tau \to 0</math>の極限を考えると、 ::<math>r(\tau)</math>は連続関数なので<math>\frac{1}{2} m^2 \to \frac{1}{2} \{ r(\tau) \}^2, \frac{1}{2} M^2 \to \frac{1}{2} \{ r(\tau) \}^2</math> ::微分の定義より<math>\frac{S(\tau + \Delta \tau) - S(\tau)}{\Delta \tau} \to S'(\tau)</math> :よってはさみうちの原理より<math>S'(\tau) = \frac{1}{2} \{ r(\tau) \}^2</math> :これにて示された。 この公式は、'''<math>\theta</math>が偏角である場合のみ用いることができる'''。もし<math>\theta</math>が偏角ではない場合、<math>\theta</math>と偏角<math>\phi</math>の関係を求めて置換積分する必要がある。 ; '''楕円の面積''' '''楕円の面積''' 楕円<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>の面積は、 <math>S=\pi ab</math> *導出 楕円<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>を<math>y</math>について解くと :<math>y=\pm\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}</math> となる。そのうち<math>y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}</math>は半楕円（楕円の上半分）を示している。その半楕円の面積を2倍したものが楕円の面積''S''となるので :<math>S=2\int _{-a} ^a \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2} = \frac{2b}{a}\int _{-a} ^a \sqrt{a^2-x^2} = \frac{2b}{a} \times \frac{\pi a^2}{2} = \pi ab</math> となる。 === 体積 === ある立体<math>V_0</math>の<math>x = t</math>における断面積が有限な値で、その値が <math>t</math>の関数<math>S(t)</math>となるとき、この立体を平面<math>x = a</math>，<math>x = b</math>（ただし、<math>a < b</math>）で切り取った領域の体積は、底面積<math>S(t)</math>に極めて小さい高さ<math>dt</math><ref>なお、この時、<math>dt</math>が<math>S(t)</math>に対して積分区間で常に鉛直方向の関係にあることが保証されていなければならない。</ref>の積<math>S(t) \, dt</math>の区間<math>[a,b]</math>における累積であるので、以下の式で表すことができる。 :<math> V = \int_a^{b} S(t) \, dt</math> （例1） :<math>O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C(1,0,2)</math>である三角錐を考える。 :この三角錐を平面<math>x=t (0\leqq t \leqq 1)</math>で切断すると、断面の三角形の各座標は<math>A_t(t,0,0), B_t(t,t,0), C_t(t,0,2t)</math>となる。この時、<math>\triangle{A_t B_t C_t}</math>の面積<math>S(t)=t^2</math>となる。 :これを、区間<math>[0,1]</math>で積分すると、 :<math> V = \int_0^{1} S(t) \, dt = \int_0^{1} t^2 \, dt = \left[ \frac{t^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}</math>となる<ref>三角錐<math>O-ABC</math>は、<math>\triangle{ABC}</math>を底面（<math>S=1</math>）とし、<math>OA</math>を高さ（<math>1</math>）とする三角錐なので、体積は、<math>\frac{1}{3}</math>となり、正しい。</ref>。 （例2） :設問 :#<math>O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C(1,1,0), D(0,0,1), E(1,0,1), F(0,1,1), G(1,1,1)</math>である立方体を想定。 :#平面<math>x=t (0\leqq t \leqq 1)</math>で切断し、<math>\square{O_t A_t B_t C_t}</math>を得る。 :#線分<math>O_t A_t , A_t B_t , B_t C_t , C_t O_t </math>に、各々点<math>O_t, A_t, B_t, C_t</math>から、長さ<math>t</math>である点<math>H_t, I_t, J_t, K_t</math>をとり、<math>\square{H_t I_t J_t K_t}</math>を<math>S_t</math>とする。 :#<math>t</math>を区間<math>[0,1]</math>で変化させた時、<math>S_t</math>が通過する部分の体積<math>V</math>を求めよ。なお、<math>S_t</math>が正方形である証明は省略してよい。 :解答 :#<math>S_t</math>の1辺の長さを<math>l</math>とおくと、<math>l^2 = t^2 + (1-t)^2 = 2t^2 - 2t + 1</math> :#<math>S_t</math>の面積<math>S(t)</math>は<math>l^2</math>であるから、<math>S(t) = 2t^2 - 2t + 1</math> :#これを、区間<math>[0,1]</math>で積分すると、 :#<math> V = \int_0^{1} S(t) \, dt = \int_0^{1} (2t^2 - 2t + 1) \, dt = \left[ \frac{2t^3}{3} - t^2 +t \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}</math>となる。 ; '''回転体の体積''' <math>y= f(x) (a \le x \le b )</math> で与えられる曲線をx軸の回りに回転させて作られる立体の体積Vは、 <math>V = \int _a ^b \pi \{ f(x) \}^2 dx</math> で与えられる。 導出 立体をx軸に垂直であり、x=cを満たす面とx=c+hを満たす面で切ると（hは小さな 定数）、その切断面で挟まれた立体は半径 f(c)の円と半径 f(c+h)の円 ではさまれた立体となる。 しかし、hが極めて小さいとき、この図形は半径f(c),高さhの円柱で 近似できる。 よってこの2つの面に関して、得られた図形の体積は <math> h \times \pi (f(c) )^2 </math> となる。 これを<math>a<c<b</math>満たす全てのcについて足し合わせると、 <math> S = \int _a ^b \pi ( f(x))^2 dx </math> が得られる。 同様に、<math>x = g(y) (c \le x \le d )</math>で与えられる曲線をy軸の回りに回転させて作られる立体の体積Vは、 :<math>V = \int _c ^d \pi \{ g(y) \}^2 dy</math> で与えられる。 例えば、 <math> y= x^2 ~(0<x<1) </math> をx軸の回りに回転させて得られる図形の体積は、 :図形の絵? <math> S = \int_0^1 \pi (x^2)^2 dx </math> <math> =\pi \int_0^1 x^4 dx </math> <math> =\frac {\pi} 5 </math> となる。 ;球の体積 球の体積<math>V=\frac{4}{3}\pi r^3</math>の導出 半径''r''の球は半円<math>y=\sqrt{r^2-x^2}</math>を''x''軸の周りに回転させてつくることができる。 :<math>V=\pi \int_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}^2 dx=\pi \int_{-r}^r (r^2-x^2) dx= \frac{4}{3}\pi r^3</math> また体積を''r''で微分すると球の表面積<math>S=4\pi r^2</math>が得られる。 ; 補：バームクーヘン積分 上記の回転体の公式の導出では「円盤の面積を積分」しているが、「円筒の側面積」を積分しても同様の結果が得られる。この考え方を'''バームクーヘン積分（円筒分割積分）'''と呼ぶ。 バームクーヘン積分による回転体の体積の公式 曲線<math>y=f(x)</math>とx軸、直線<math>x=a, x=b</math>に囲まれた部分をx軸周りに一回転した立体の体積は、 <math>V = 2\pi \int_{a}^{b} x f(x) dx</math> *導出 :閉区間<math>[x, x + \Delta x](\Delta x > 0)</math>においてx軸と曲線<math>y=f(x)</math>で挟まれた領域をy軸周りに一回転してできる立体の体積を<math>\Delta V</math>とし、同区間におけるf(x)の最小値をm、最大値をMとおく。 :このとき、<math>\pi \{(x + \Delta x)^2 - x^2 \}m \leqq \Delta V \leqq \pi \{(x + \Delta x)^2 - x^2 \}M</math> :変形すると<math>\pi(2x + \Delta x)m \leqq \frac{\Delta V}{\Delta x} \leqq \pi (2x + \Delta x)M</math> :<math>\lim_{\Delta x \to + 0} m = \lim_{\Delta x \to + 0} M = f(x)</math>なのではさみうちの原理より<math>\lim_{\Delta x \to + 0} \frac{\Delta V}{\Delta x} = 2 \pi x f(x)</math> :<math>\therefore \frac{dV}{dx} = 2 \pi x f(x)</math> :<math>\Delta x < 0</math>でも同様。 :この微分方程式を解く（詳細は[[高等学校理数数学#微分方程式|こちら]]）と、 ::<math>dV = 2 \pi x f(x) dx</math> ::<math>\int dV = \int 2 \pi x f(x) dx</math> ::<math>V = 2 \pi \int x f(x) dx + C</math>（Cは積分定数） :閉区間<math>[a, b]</math>で定積分を考えると、<math>V = 2 \pi \int_{a}^{b} x f(x) dx</math>となる。 記述問題で用いる場合、念のため上のように証明しておくと良い。 ; 補：パップス・ギュルダンの定理 図形Aを、図形Aと交わらない直線の周りに一回転してできる立体の体積は、V=（Aの重心が描く円の円周長）×（Aの面積）で求まる。 この定理は大学入試においては非常に有名な裏技であり知っておいて損はないが、記述で用いると完全にアウトである。この定理を用いるのは、選択肢形式の問題かどうしても記述の白紙解答を避けたい場合のみに限ろう。（もっとも、重心がわかる図形で出題されるのはごく稀だが。） {{コラム|一般の軸を中心とした回転体の体積の求め方| 一般に空間中の直線Lの周りの回転体（'''斜軸回転体'''）の体積は、回転軸Lに垂直な平面で回転体を切った断面積を考えて求めることができる。 ここでは、回転前の図形が座標平面上に存在する場合を扱う。 ; '''例題''' xy平面において<math>L:y=x, C:y=x^2</math>で囲まれた部分を, 直線Lの周りに一回転してできる立体の体積を求めよ。 解答） :曲線C上の点<math>P(x, x^2)</math>から直線Lに下ろした垂線の足を<math>H(t, t)</math>とし、直線L上に点<math>Q(x, x)</math>をとる。 :与えられた条件より<math>0 \leqq x \leqq 1</math>である。 :このとき<math>\overline{PH} = \frac{|x-x^2|}{\sqrt{2}} = \frac{x-x^2}{\sqrt{2}} (\because 0 \leqq x \leqq 1 \implies x \geqq x^2)</math>より、 :<math>t = \overline{OH} = \overline{OQ} - \overline{HQ} = \overline{OQ} - \overline{PH} = \sqrt{2}x - \frac{x-x^2}{\sqrt{2}} = \frac{x+x^2}{\sqrt{2}}</math> :<math>\therefore dt = \frac{1+2x}{\sqrt{2}} dx</math> :tの積分範囲は0→√2なので、xの積分範囲は0→1である。 :故に、<math>V = \pi \int_{0}^{\sqrt{2}} \overline{PH}^2 dt = \pi \int_{0}^{1} (\frac{x-x^2}{\sqrt{2}})^2 \cdot \frac{1+2x}{\sqrt{2}} dx</math> :<math>= \frac{\pi}{2 \sqrt{2}} \int_{0}^{1} (2x^5-3x^4+x^2) dx = \frac{\sqrt{2} \pi}{4} [ \frac{1}{3} x^6 - \frac{3}{5} x^5 + \frac{1}{3} x^3 ]_{0}^{1} = \frac{\sqrt{2} \pi}{60}</math> この解答を簡潔に纏めると、直線Lをt軸と見做してt軸についての回転体の式を立て、それをx軸についての回転体の式へと置換積分している。 斜軸回転体の体積を求める方法は他にもあるので、簡潔に纏める。 ①傘型分割積分 上の例題で考えると、長さ<math>\overline{PQ}</math>、微小幅<math>\Delta x</math>の部分をLの周りに一回転すると、傘型状の図形（円錐の側面）になる。 その面積（正確には微小体積）を積分すると回転体の体積が出てくる。この考え方を'''傘型分割積分'''という。不足なく論理展開を記述できれば、入試でこの考え方を用いても減点される可能性は低いだろう。 この過程を一般化すると、以下の公式を導くことができる。 :曲線<math>y=f(x)</math>と直線<math>mx+n, x=a, x=b</math>で囲まれた部分を直線<math>y=mx+n</math>の周りで一回転した体積は、 :<math>V = \pi \cos \theta \int_{a}^{b} \{ f(x) - (mx+n) \}^2 dx</math> :ただし、<math>\tan \theta = m</math>（回転軸がx軸となす角がθである） この公式は完全に裏技なので、記述問題では（証明なしに）使用しない方が無難である。 ②回転移動の利用 図形全体を回転移動することにより、回転軸をx軸（もしくはy軸）に重ねることで、強引に回転体の公式に代入する方法。 回転移動には[[高等学校数学C/複素数平面#回転移動|複素数平面の知識]]、[[高等学校数学C/数学的な表現の工夫#一次変換|行列の知識]]のどちらを用いても良い。 この方法では、回転後の図形の方程式が媒介変数表示で出現する場合がある。その場合、回転体の公式を媒介変数についての積分へと置換積分すれば良い。 }} === 曲線の長さと運動の道のり === ==== 曲線の長さ ==== 曲線<math>\begin{cases} x=f(t) \\ y=g(t) \end{cases}</math>の長さを考える。 :<math>f(t), g(t)</math>とも2階微分可能（第一次導関数が連続）とする。 :<math>a \leqq t \leqq b</math>として閉区間<math>[a, t]</math>における曲線の長さを<math>s(t)</math>とおく。 :<math>t</math>の増分<math>\Delta t</math>が十分小さいとき、<math>\Delta s \fallingdotseq \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}</math>より<math>\frac{\Delta s}{\Delta t} = \sqrt{(\frac{\Delta x}{\Delta t})^2 + (\frac{\Delta y}{\Delta t})^2}</math> :<math>\Delta t \to 0</math>のとき、<math>\frac{ds}{dt} = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}</math> :この微分方程式を解くと、 ::<math>ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> ::<math>\int ds = \int \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> ::<math>s = \int \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt + C</math>（Cは積分定数） :ここで<math>s(t)</math>の定義より<math>s(b) - s(a) = \int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> よって、以下のようになる。 曲線の長さ(Ⅰ) 曲線<math>\begin{cases} x=f(t) \\ y=g(t) \end{cases}</math>の閉区間<math>[a, b]</math>における長さLは、 <math>L = \int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> 曲線の式が<math>y=f(x)</math>で与えられている場合、<math>\begin{cases} x=t \\ y=f(t) \end{cases}</math>と考えて上の公式に代入すると、以下のようになる。 曲線の長さ(Ⅱ) 曲線<math>y=f(x)</math>の閉区間<math>[a, b]</math>における長さLは、 <math>L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}dt</math> ==== 速度と道のり ==== [[高等学校数学III/微分法#速度と加速度|微分法で学んだ]]ように、数直線上を運動する点Pの時刻tにおける位置,速度がそれぞれ<math>x(t), v(t)</math>で与えられるとき、<math>v(t) = \frac{d}{dt} x(t)</math>という関係式が成り立った。微分と積分は逆演算の関係にあるので、<math>x(t) = \int v(t) dt + C</math>(Cは積分定数)という関係も成り立つ。このとき、積分定数Cは初期位置<math>x_0</math>を表す。 点Pが<math>t=a</math>から<math>t=b</math>まで運動するとき、位置の変化量は<math>x(b) - x(a) = \int_{a}^{b} v(t) dt</math>で与えられる。すなわち<math>x(b) = x(a) + \int_{a}^{b} v(t) dt</math>であり、<math>x(a)</math>が初期位置<math>x_0</math>を表すことが確かめられた。 また、上の場合において道のりは<math>\int_{a}^{b} |v(t)| dt</math>と計算できる。位置の変化量と道のりが一致するのは、恒等的に<math>x(t) \geqq 0</math>が成り立つ場合のみである。 平面上の運動も同様である。 なお、加速度は位置の二階微分なので、加速度を二階積分すれば位置が求まる。よって、時刻tにおける加速度が<math>a(t) = a</math>であるときの位置は、<math>x(t) = \int \! \int a(t) dt \; dt = \int (at + v_0) dt = \frac{1}{2}at^2 + v_0 t + x_0</math>である。([[高等学校物理基礎/力学#等加速度直線運動|等加速度直線運動]]の式) {{コラム|ベクトル関数|変数tの値を決めるとベクトルA(t)の値が一意に定まるとき、A(t)をtの'''[[解析学基礎/ベクトル解析#ベクトル関数|ベクトル関数]]'''という。基本ベクトルを用いると、ベクトル関数は基本ベクトルのスカラー倍の足し算に分解することができる。このとき、基本ベクトルにかかる係数をベクトル関数の'''成分'''という。ベクトル関数の定義より、成分はtの関数になる。 つまり、'''ベクトル関数に関する微積分はその成分をそれぞれ微分/積分すれば良い'''ということがわかる。 例えば、速度を表すベクトル関数<math>\vec{v}(t) = \begin{pmatrix} 2t \\ 3t^2-1 \end{pmatrix}</math>があったとして、初期位置<math>\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>とすると時刻tにおける位置は<math>\vec{x}(t) = \int \vec{v}(t) dt = \begin{pmatrix} \int (2t) dt \\ \int (3t^2-1) dt \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t^2 \\ t^3-t \end{pmatrix}</math>、時刻tにおける加速度は<math>\vec{a}(t) = \frac{d}{dt} \vec{v}(t) = \begin{pmatrix} \frac{d}{dt}(2t) \\ \frac{d}{dt}(3t^2-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6t \end{pmatrix}</math>というベクトル関数になる。また、<math>t=0</math>から<math>t=2</math>まで運動したときの位置の変化量ベクトルは<math>\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{pmatrix} = \int_{0}^{2} \vec{v}(t) dt = \begin{pmatrix} \int_{0}^{2} (2t) dt \\ \int_{0}^{2} (3t^2-1) dt \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \left[ t^2 \right]_{0}^{2} \\ \left[ t^3-t \right]_{0}^{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}</math>と求まる 。 すなわち、速度・加速度・位置・道のり等に関する問題はベクトル関数の微積分を計算する問題であると言える。 }} == 区分求積法 == これまでに学んだように、積分は微分の逆演算であると同時に、座標平面上での面積計算でもある。この項では、座標平面上の面積計算の方法の一つである区分求積法、および積分法との関連について学ぶ。 [[File:Riemann Integration 1.png|thumb|300px|面積計算]] 右図のようなある曲線<math>y=f(x)</math>がある。単純のため、ここではつねに<math>f(x)>0</math>であるものとして考える。この曲線と、''x''軸、および直線<math>x = a, x = b (a < b)</math>によって囲まれる領域の面積''S''を求める。この面積は[[#面積]]の項で学んだように、 : <math>S = \int_a^b f(x)dx</math> と積分法を用いて計算することができた。では、これをもう少し原始的な方法で近似的に求めることを考えてみよう。 曲線を含む図形の面積を求めることは簡単ではないが、例えば三角形や長方形、台形などの直線で囲まれた図形の面積を求めることは難しくない。そこで、下図のようにy=f(x)を棒グラフで近似し、長方形の面積の和を計算することで、求めたい面積''S''に近い値を求めることができる。左下のように棒グラフの幅が大きいと誤差も大きいが、棒グラフの幅を狭くすればするほど、すなわち分割数を多くするほど、徐々に求めたい面積の値に近づけることができる。そこで、この区間[''a'',''b'']を''n''等分し、その時の長方形の面積の総和を求め、その後で<math>n \to \infty</math>の極限を考えることにする。このようにして、区間を細かく等分割し、長方形の面積の総和を求めることにより図形の面積を求める方法を、'''区分求積法'''と呼ぶ。 :[[File:Riemann Integration 4.png|350px|棒グラフによる近似]][[File:Riemann Integration 5.png|350px|さらに細かな棒グラフによる近似]] [[File:Integral numericky obd.svg|thumb|左側で近似]][[File:Somme-superiori.png|thumb|右側で近似]] <math>y=f(x)</math>を棒グラフで近似するとき、右図のように、長方形の左上の頂点を曲線上に取る方法と、右上の頂点を曲線上に取る方法がある。どちらの方法でも、分割数を大きくすればいずれ求めたい面積に近づくが、まずは左上の頂点を曲線上に取る方法で考えることにする。 ここでは面積を求めたい区間を、単純のため[0, 1]とする。区間[0, 1]を''n''等分するとき、それぞれの長方形の左端のx座標は、 :<math>0, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \cdots, \frac{n-1}{n}</math> となる。ここで、一般に第''k''番目の長方形について考えることにする。ただし、いちばん左側の長方形を第0番目とし、いちばん右側の長方形を第''n''-1番目とする。第''k''番目の長方形の左端のx座標は<math>\frac{k}{n}</math>であるから、この長方形の高さは<math>f\left(\frac{k}{n}\right)</math>となり、また長方形の幅は<math>\frac{1}{n}</math>である。そのため、この長方形の面積<math>s_k</math>は、 :<math>s_k = \frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)</math> となる。したがって、これらの長方形の面積の総和<math>S_n</math>は、 :<math>S_n = \sum_{k = 0}^{n-1} s_k = \frac{1}{n}\sum_{k = 0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)</math> この<math>S_n</math>は、区間[0, 1]を''n''等分した時の長方形の面積の総和であるが、''n''を大きくすればするほど、次第にもとの面積に近づいていく。したがって、<math>n\to\infty</math>の極限を考え、 :<math>S = \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)</math> となる。このようにして、求めたい面積を計算することができる。さらに、ここでこの区間の面積が積分法により計算できたことから、 :<math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1f(x)dx</math> が成り立つ。また、長方形の右上の頂点を曲線上に取る場合は、同様にして :<math>S = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1f(x)dx</math> となる。 区分求積法を計算するとき、'''シグマの範囲の有限個のズレは無視して良い'''。nを無限大に飛ばした極限を考えるとき、有限個あるズレの値は全て0に収束するからである。<br> つまり、l, mを自然数として<math>\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=l}^{n-m} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1f(x)dx</math>である。 区分求積法は、より一般には次の式で表される。 :<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=l}^{n-m} f(x_k) \Delta x</math> :ただし、<math>\Delta x = \frac{b-a}{n}, x_k = a + k\Delta x</math> 証明は先ほどと同様である。<br> 大学においては、積分の定義を微分の逆演算ではなく、この式の右辺のような和('''リーマン和'''という)の極限とする場合がある。数学Ⅱで扱った微分積分学の基本定理は、リーマン和(面積計算)と原始関数(微分の逆演算)という二つの概念を結びつけている定理であると言える。 なお、<math>\lim_{n \to \infty} \sum_{k=an+l}^{bn-m} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_{a}^{b} f(x) dx</math>が成り立つ。 '''演習問題2''' :次の極限値を求めよ。 :(1) <math>\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} </math> :(2) <math>\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2+k^2} </math> :(3) <math>\lim_{n\to\infty} \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n}</math><ref group="ヒント">対数を取る</ref> {{解答}} (1) <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} &= \lim_{n\to\infty} \frac 1 n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac k n} \\ &= \int_0^1 \frac{dx}{1+x}\\ &= [\log(1+x)]_0^1\\ &= \log 2. \end{align} </math> ちなみに、この結果は交代調和級数 <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac 1 2 + \frac 1 3 - \frac 1 4 + \cdots</math> の値を求めることに利用できる。実際 <math> \begin{align} \sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} &= 1 - \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} \\ &= 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n} - 2\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2n}\right) \\ &= 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n} - \left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}\right) \\ &= \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+1} + \cdots + \frac{1}{n+n} \\ &= \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} \end{align} </math> より、 <math> \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} = \log 2 </math> となる。また、 <math> \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n+1} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} + \frac{1}{2n+1}\right) = \log 2. </math> 従って、<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \log 2 </math> を得る。 (2) <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2+k^2} &= \lim_{n\to\infty} \frac 1 n \sum_{k=1}^{n} \frac{\frac{k}{n}}{1+\frac{k^2}{n^2}}\\ &= \int_0^1 \frac{xdx}{1+x^2}\\ &= \left[\frac 1 2 \log(1+x^2)\right]_0^1\\ &= \frac 1 2 \log 2. \end{align}</math> (3) <math>\begin{align} \log \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \frac 1 n \log\left\{\left(\frac{n+1}{n}\right)\left(\frac{n+2}{n}\right)\cdots \left(\frac{n+2}{n}\right) \right\} \\ &= \frac 1 n \sum_{k=1}^n \log\left(1+\frac{k}{n}\right) \end{align}</math> となるから、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty}\log \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \int_0^1 \log(1+x)dx\\ &= [(1+x)\log(1+x)-(1+x)]_0^1\\ &= 2\log 2 - 1. \end{align}</math> したがって、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \frac 4 e. \end{align}</math> {{証明終わり}} == 演習問題 == * [[高等学校数学III 積分法/演習問題|不定積分44題]] * [[/演習問題]] '''演習問題3''' 第一問、第二問は基本問題である。第三問から第六問はやや難しい。 '''第一問（ウォリスの積分）''' :<math>n</math> は非負整数とし、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\sin^n x \, dx</math> とする。 :(1) <math>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x \, dx</math> を示せ。 :(2) <math>I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}\quad (n \ge 2)</math> を示せ。 :(3) <math>I_n</math> を求めよ。 '''第二問（ベータ関数の特殊値）''' :<math>m,n</math> は非負整数、<math>\alpha,\beta</math> は <math>\beta > \alpha</math> なる実数とし、<math>I_{m,n} = \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^m(\beta - x)^n \, dx</math> とする。 :(1) <math>I_{m,n} = \frac{n}{m+1} I_{m+1,n-1} \quad (n\ge 1) </math> を示せ。 :(2) <math>I_{m,n}</math> を求めよ。 :(3) <math>\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m+1}\theta \cos^{2n+1}\theta d\theta </math> を求めよ。 '''第三問（ウォリスの公式）''' :非負整数 <math>n</math> に対し、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\sin^n x \, dx</math> とする。必要に応じて第一問の結果を用いてよい。 :(1) <math>1 < \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} < \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}}</math> を示せ。 :(2) <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdots \frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} </math> を求めよ。 :(3) <math> I_{2n}I_{2n+1} </math> を求めよ。 :(4) <math> \lim_{n \to \infty} \sqrt n I_{2n+1} </math> を求めよ。 :(5) <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} </math> を求めよ。 '''第四問（スターリングの近似）''' :数列 <math>\{a_n\}</math> を <math>a_n = \frac{n!}{n^{n+1/2}e^{-n}} </math> で定める。必要に応じて第三問の結果を用いてよい。 :(1) 整数 <math>k > 1</math> について <math> \log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} < \int_{k-1}^k \log x \, dx < \log k - \frac{1}{2k} </math> が成り立つことを示せ。 :(2) 正の整数 <math>n</math> について <math> - \frac{1}{4n} < \sum_{k=n+1}^{2n} \log k - \left(2n+\frac 1 2\right)\log 2n + \left(n+\frac 1 2\right)\log n + n < 0 </math> が成り立つことを示せ。 :(3) <math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} </math> を求めよ。 :(4) <math> \lim_{n\to \infty}a_n </math> を求めよ。 '''第五問（バーゼル問題）''' :非負整数 <math>n</math> に対し、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\cos^n x \, dx,\, J_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}x^2 \cos^n x \, dx</math> とする。 :(1) <math> n > 0</math> について <math>I_{2n} = n(2n-1)J_{2n-2} - 2n^2 J_{2n}</math> が成り立つことを示せ。 :(2) <math> 0 \le x \le \frac \pi 2</math> について、<math> \frac{2}{\pi}x \le \sin x</math> が成り立つことを示せ。 :(3) <math>J_{2n} \le \frac{\pi^2 I_{2n}}{8(n+1)}</math> を示せ。 :(4) <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} </math> を求めよ。 '''第六問（ガウス積分）''' :非負整数 <math>n</math> に対し、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\cos^n x </math> とする。必要に応じて第三問の結果を用いて良い。 :(1) <math> x > 0 </math> のとき、<math> 1-x^2 < e^{-x^2} < \frac{1}{1+x^2} </math> が成り立つことを示せ。 :(2) <math> \frac \pi 4 < \theta_0 < \frac \pi 2 </math> とする。正の整数 <math>n </math> について <math> \int_0^1 (1-x^2)^n dx < \int_0^{\tan\theta_0} e^{-nx^2}dx < \int_0^{\tan \theta_0} \frac{1}{(1+x^2)^n} dx </math> を示せ。 :(3) <math> \sqrt n I_{2n+1} < \int_0^\infty e^{-x^2}dx < \sqrt n I_{2n-2} </math> を示せ。ただし、<math>\int_0^\infty e^{-x^2}dx = \lim_{a \to \infty} \int_0^a e^{-x^2}dx </math> である。 :(4) <math> \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx </math> を求めよ。 '''解答''' {{解答|第一問}} (1) <math> t = \frac \pi 2 - x </math> と変数変換すると、<math> \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n x dx = \int_{\frac \pi 2}^0 \sin^n\left(\frac \pi 2 - t\right)(-dt) = \int_0^{\frac \pi 2} \cos^n t dt </math> となる。 (2) <math> \begin{align} \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n x dx &= \left[-\sin^{n-1}x \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + (n-1)\int_0^{\frac \pi 2} \sin^{n-2} x \cos^2 x dx \\ &= (n-1)\left(\int_0^{\frac \pi 2} \sin^{n-2} x dx - \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n x dx \right)\\ \end{align} </math> 従って、<math>I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}</math> となる。 (3) <math> I_0 = \int_0^{\frac \pi 2} dx = \frac \pi 2,\, I_1 = \int_0^{\frac \pi 2} \sin x dx = 1. </math> よって、<math> n </math> が偶数のときは <math> \begin{align} I_n &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 1 2 I_0 \\ &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 1 2 \frac \pi 2. \end{align} </math> <math> n </math> が奇数のときは、 <math> \begin{align} I_n &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 2 3 I_1 \\ &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 2 3 \end{align} </math> となる。 {{証明終わり}} {{解答|第二問}} (1) <math>\begin{align} \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^m(\beta - x)^n \, dx &= \left[\frac{1}{m+1}(x-\alpha)^{m+1}(\beta-x)^n\right]_\alpha^\beta + \int_\alpha^\beta\frac{n}{m+1}(x-\alpha)^{m+1}(\beta-x)^{n-1}dx\\ &= \frac{n}{m+1}\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^{m+1}(\beta-x)^{n-1}dx. \end{align} </math> (2) <math>\begin{align} I_{m,n} &= \frac{n}{m+1}I_{m+1,n-1} \\ &= \cdots \\ &= \frac{n}{m+1} \frac{n-1}{m+2} \cdots \frac{1}{m+n} I_{m+n,0} \\ &= \frac{m!n!}{(m+n)!}I_{m+n,0} \end{align} </math> ここで、 <math>I_{m+n,0} = \int_\alpha^\beta(x-\alpha)^{m+n} dx = \frac{(\beta-\alpha)^{m+n+1}}{m+n+1} </math> となる。よって、 <math>I_{m,n} = \frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1} </math> を得る。 (3) <math>t = \sin^2\theta </math> と変数変換すると、 <math>dt = 2\sin\theta\cos\theta d\theta </math> より、 <math>\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m+1}\theta \cos^{2n+1}\theta d\theta = \frac 1 2 \int_0^1 t^m (1-t)^n dt = \frac{m!n!}{2(m+n+1)!}. </math> {{証明終わり}} {{解答|第三問}} (1) <math>0 < x < \frac \pi 2 </math> のとき、<math>0 < \sin x < 1 </math> だから、<math>\sin^{2n+1} x < \sin^{2n} x < \sin^{2n-1} x </math> となる。これを積分して、<math>I_{2n+1} < I_{2n} < I_{2n-1} </math> を得る。よって、<math>1 < \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} < \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}}</math> である。 (2) 第一問(1)より、 <math>\begin{align} \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} &= \frac{2n-1}{2n}\frac{2n-3}{2n-2} \cdots \frac 1 2 \frac \pi 2 \times \frac{2n+1}{2n}\frac{2n-1}{2n-2} \cdots \frac 3 2\\ &= \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4} \cdots \frac{(2n-1)(2n+1)}{2n \cdot 2n} \frac \pi 2 \end{align}</math> となる。また、<math>\frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}} = \frac{2n+1}{2n} = 1 + \frac{1}{2n} </math> となるから、(1) より、 <math>1 < \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} < \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}} = 1 + \frac{1}{2n} </math> を得る。これより、<math>\lim_{n\to\infty} \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = 1 </math> となるから、<math> \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdots \frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} = \frac \pi 2 </math> を得る。 (3) 第一問(3)より、<math>I_{2n} I_{2n+1} = \frac{1}{2n+1} \frac{\pi}{2} </math> である。 (4) <math>\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = \frac{I_{2n}I_{2n+1}}{I_{2n+1}^2} = \frac{1}{2n+1}\frac \pi 2 I_{2n+1}^{-2} </math> である。<math>\sqrt{2n+1} I_{2n+1} = \sqrt{\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\frac{\pi}{2}} </math> より、<math>\lim_{n\to\infty} \sqrt{2n+1} I_{2n+1} = \lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\frac{\pi}{2}} = \sqrt{\frac{\pi}{2}} </math> となる。また、 <math>\begin{align} \frac{\sqrt \pi}{2} &= \lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{2n+1}{2}} I_{2n+1}\\ &= \lim_{n\to\infty} \sqrt{n}\sqrt{1+\frac{1}{2n}} I_{2n+1}\\ &= \lim_{n\to\infty} \sqrt{n}I_{2n+1} \end{align} </math> となるから、<math>\lim_{n\to\infty} \sqrt{n}I_{2n+1} = \frac{\sqrt \pi}{2} </math> を得る。 (5) <math>\begin{align} I_{2n+1} &= \frac{2n}{2n+1}\frac{2n-2}{2n-1}\cdots \frac 2 3\\ &= \frac{\{2n(2n-2)\cdots 2\}^2}{(2n+1)!}\\ &= \frac{(2^n n!)^2}{(2n+1)!} \end{align} </math> より、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \sqrt{n}I_{2n+1} &= \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt n}{2n+1} \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!}\\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2\sqrt n + \frac{1}{\sqrt n}} \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!}\\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2\sqrt n} \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!} \end{align} </math> となるから、 <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} = \sqrt \pi </math> を得る。 '''解説''' <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdots \frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} = \frac \pi 2 </math> はウォリスの公式と呼ばれる。整数の乗除のみで円周率が計算されるという点で興味深いが、収束はとても遅く実用的ではない。例えば、<math>\pi > 3.05</math> を証明するためには <math>n=8</math> まで計算しなくてはならない<ref><math>2\cdot \frac{2\cdot 2}{1\cdot 3} \cdots \frac{16\cdot 16}{15\cdot 17} =</math> 213084064972800/69850115960625 = 2147483648/703956825 = 3.05058...</ref>。また <math>\pi > 3.14</math> を示すには <math>n=493</math> まで計算する必要がある。ちなみに単調増加性は <math>\frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{1-\frac{1}{(2n)^2}} > 1</math> から従う。 また、<math> \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} = \sqrt \pi </math> もウォリスの公式と呼ばれる。これはスターリングの公式やガウス積分を証明するために必要となる。 {{証明終わり}} {{解答|第四問}} (1) [[ファイル:Bounding_the_Integral_of_log_x_with_Trapezoids.svg|サムネイル|log x の台形近似]] <math>\log x </math> は上に狭義凸な関数だから、<math>\int_{k-1}^k \log x \, dx</math> は、直線 <math>x = k-1,\,x=k</math> と <math>y = \log x</math> の2つの交点を結んだ線分と <math>x</math> 軸、直線 <math>x = k-1,k</math> によって切り取られる台形（図の青の領域）の面積よりも大きい。台形の面積は、<math>\frac 1 2 \{\log k + \log(k-1)\} = \log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\}</math> である。また、 <math>\int_{k-1}^k \log x \, dx</math> は、<math>y = \log x</math> の任意の接線と <math>x</math> 軸、直線 <math>x = k-1,k </math> によって切り取られる台形（図のピンクの領域）の面積よりも小さい。特に <math>x = k</math> で接線を引くと、その傾きは <math>\frac 1 k</math> だから、接線と直線 <math>x = k-1</math> の交点の <math>y</math> 座標は <math>\log k - \frac 1 k</math> である。よって、この台形の面積は <math>\log k - \frac{1}{2k} </math> となる。従って、 <math> \log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} < \int_{k-1}^k \log x \, dx < \log k - \frac{1}{2k} </math> を得る。 (2) <math>\log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} < \int_{k-1}^k \log x \, dx </math> より、<math>\log k < \int_{k-1}^k \log x \, dx + \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} </math> となる。よって、 <math>\begin{align} \sum_{k=n+1}^{2n} \log k &< \int_n^{2n} \log x \, dx + \frac 1 2 (\log 2n - \log n) \\ &= \left[x\log x - x\right]_n^{2n} + \frac 1 2 (\log 2n - \log n) \\ &= \left(2n + \frac 1 2\right)\log 2n - \left(n + \frac 1 2 \right) \log n - n \end{align} </math> となる。また、<math>\log k > \int_{k-1}^k \log x \, dx + \frac{1}{2k} </math> より、 <math>\begin{align} \sum_{k=n+1}^{2n} \log k &> \int_n^{2n} \log x \, dx + \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{2k} \\ &= \left[x\log x - x\right]_n^{2n} + \frac 1 2 \left(\frac{1}{2n} - \frac{1}{n} + \sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k}\right) \\ \end{align}</math> となる。ここで、<math>\frac 1 x </math> は <math>x > 0 </math> で単調減少だから、 <math>\sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k} > \int_n^{2n} \frac{dx}{x} = \log 2n - \log n </math> となる。従って、 <math>\begin{align} \sum_{k=n+1}^{2n} \log k &> \left(2n + \frac 1 2\right)\log 2n - \left(n + \frac 1 2 \right) \log n - n - \frac{1}{4n} \\ \end{align}</math> を得る。 (3) <math>\begin{align} \log \frac{a_{2n}}{a_n} &= \log a_{2n} - \log{a_n}\\ &= \log (2n)! - \left(2n + \frac 1 2 \right) \log 2n + 2n - \log n! + \left(n + \frac 1 2 \right)\log n - n\\ &= \sum_{k=n+1}^{2k}\log k - \left(2n + \frac 1 2 \right) \log 2n + \left(n + \frac 1 2 \right)\log n + n \end{align}</math> であるから、(2) より <math>-\frac{1}{4n} < \log \frac{a_{2n}}{a_n} < 0</math> となる。従って、 <math>\lim_{n\to\infty} \log \frac{a_{2n}}{a_n} = 0</math> あるいは、 <math>\lim_{n\to\infty} \frac{a_{2n}}{a_n} = 1 </math> を得る。 (4) <math>\begin{align} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} &= \frac{2^{2n}}{\sqrt n} \left(\frac{n!}{n^{n+\frac 1 2}e^{-n}}\right)^2 \frac{(2n)^{2n+\frac 1 2}e^{-2n}}{(2n)!} \frac{\left(n^{n+\frac 1 2}e^{-n}\right)^2}{(2n)^{2n+\frac 1 2}e^{-2n}}\\ &= \frac{1}{\sqrt 2} \frac{a_n^2}{a_{2n}} \end{align}</math> であるから、 <math>\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \sqrt 2 \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} \frac{a_{2n}}{a_n} = \sqrt{2\pi} </math> を得る。 '''解説''' (1)は凹関数の定積分の値を台形で評価する問題である。このような台形近似の問題は難関大ではよく見られる。 (4) から <math>\lim_{n\to\infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi} n^{n+1/2}e^{-n}} = 1</math> を得る。これは、<math>n</math> が大きいとき階乗を <math>n! \approx \sqrt{2\pi} n^{n+\frac 1 2} e^{-n}</math> と近似できることを意味する。これがスターリングの近似である。 本問は<math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} </math>を求めてから <math> \lim_{n\to \infty}a_n </math> を求めさせているためやや遠回りに思うかもしれない。数列 <math>\{a_n\}</math> が0以外の実数に収束することを既知とすれば <math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} = \frac{\lim_{n\to \infty}a_{2n}}{\lim_{n\to \infty}a_n} = 1 </math> となることはすぐに分かる。しかし、数列が収束することの条件について高校では詳しく扱わないため、厳密に <math> \lim_{n\to \infty}a_n </math> を求めるためには <math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} </math> を経由する必要がある。一般に、下に有界な単調減少数列は収束するということが知られている<ref>詳しくは [[解析学基礎/実数]]を参照</ref>。これを認めれば、数列 <math>\{a_n\}</math> が収束することは、次のように証明することができる。 <math>\log k > \int_{k-1}^k \log x \, dx + \frac{1}{2k} </math> より、 <math>\begin{align} \log n ! &= \sum_{k=2}^n \log k \\ &> \int_{1}^n \log x \, dx + \frac 1 2 \sum_{k=2}^n\frac{1}{k}\\ &> n\log n - n + 1 + \frac 1 2 \int_{2}^{n+1}\frac{dx}{x}\\ &= n\log n - n + 1 + \frac 1 2 \{\log(n+1) - \log 2\} \end{align} </math> <math>\begin{align} \log a_n &= \log n! - \left(n + \frac 1 2\right)\log n + n \\ &> \frac 1 2 \{\log(n+1) - \log n \} + 1 - \frac 1 2 \log 2\\ &> 1 - \frac 1 2 \log 2 \end{align} </math> となるから、<math> a_n > \frac e \sqrt{2} </math> より下に有界である。 また、 <math> \begin{align} \log \frac{a_{n+1}}{a_n} &= \log(n+1) - \left(n + \frac 3 2\right)\log(n+1) + n+1 + \left(n+\frac 1 2\right)\log n - n\\ &= \frac 1 2 \{\log(n+1)+\log n\} - \int_n^{n+1} \log x dx\\ &< 0 \end{align} </math> から、<math> a_{n+1} < a_n. </math> すなわち単調減少であるから、<math>\{a_n\}</math> は収束する。 {{証明終わり}} {{解答|スターリングの近似の応用}} スターリングの近似は階乗を含む極限の問題に応用できる。例えば、演習問題2の(2)は、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{\sqrt{2\pi}(2n)^{2n+1/2}e^{-2n}}{\sqrt{2\pi}n^{n+1/2}e^{-n}n^n}\right)^\frac{1}{n}\\ &= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{2^{2n + 1/2}}{e^{n}}\right)^\frac{1}{n}\\ &= \frac 4 e. \end{align}</math> また、スターリングの近似から二項分布の極限が正規分布に収束することが証明できる。 二項分布の確率分布は、 <math>P(X=k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k} </math> である。スターリングの近似より、 <math>\begin{align} \frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k} &\approx \frac{\sqrt{2\pi}n^{n+\frac 1 2}e^{-n}}{\sqrt{2\pi}k^{k+\frac 1 2}e^{-k}\sqrt{2\pi}(n-k)^{n-k+\frac 1 2}e^{-(n-k)}}p^kq^{n-k}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} \sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} \end{align}</math> となる。ここで、<math>\lim_{n\to\infty} \frac k n = p </math> であるから、 <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} = \lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{1}{n\frac k n (1-\frac k n)}} = \frac{1}{\sqrt{npq}}</math> となる。 次に、<math>\log (1+x) \approx x - \frac 1 2 x^2 </math> の近似式を使うと、 <math>\begin{align}\log \left(\frac{np}{k}\right)^k &= k\log \left(1 - \frac{k-np}{k}\right) \\ &\approx -(k-np) - \frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{k} \end{align}</math> <math>\begin{align}\log \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} &= (n-k)\log \left(1 - \frac{n-k-nq}{n-k}\right) \\ &\approx -(n-k-nq) - \frac 1 2 \frac{(n-k-nq)^2}{n-k} \\ &= -(np-k) - \frac 1 2 \frac{(np-k)^2}{n-k}\end{align}</math> となる。さらに、 <math>\begin{align}\log \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} &\approx -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{k}-\frac 1 2 \frac{(np-k)^2}{n-k}\\ &= -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{npq} \left(\frac{npq}{k} + \frac{npq}{n-k}\right)\\ &\approx -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{npq} \left(\frac{pq}{p} + \frac{pq}{1-p}\right)\\ &= -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{npq} \end{align}</math> となる。最終的に、 <math>P(X=k) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}} e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}</math> を得る。これは、平均 <math>\mu = np</math> 分散 <math>\sigma^2 = npq</math> の正規分布である。 {{証明終わり}} {{解答|第五問}} (1) <math>\begin{align} I_{2n} &= \int_0^{\frac \pi 2} \cos^{2n}x dx \\ &= \left[x\cos^{2n}x\right]_0^{\frac \pi 2} + 2n\int_0^{\frac \pi 2} x\sin x \cos^{2n-1}x dx\\ &= 2n \left[\frac 1 2 x^2 \sin x \cos^{2n-1}x\right]_0^{\frac \pi 2} - n\int_0^{\frac \pi 2} x^2 \{\cos^{2n}x - (2n-1)\sin^2 x \cos^{2n-2}x \} dx \\ &= - n\int_0^{\frac \pi 2} x^2 \{\cos^{2n}x - (2n-1)(1-\cos^2 x) \cos^{2n-2}x \} dx \\ &= n(2n-1)J_{2n-2} -2n^2 J_{2n}. \end{align} </math> (2) <math> 0 \le x \le \frac \pi 2</math> で <math>\sin x</math> は上に凸であるから、<math> \frac{2}{\pi}x \le \sin x</math> となる。 (3) <math> \begin{align} J_{2n} &= \int_0^{\frac \pi 2} x^2 \cos^{2n}x dx \le \frac{\pi^2}{4} \int_0^{\frac \pi 2} \sin^2 x \cos^{2n} x dx \\ &= \frac{\pi^2}{4} (I_{2n} - I_{2n+2}) \\ &= \frac{\pi^2}{4} \frac{I_{2n}}{2n+2} \end{align} </math> となる。ただし、最後の行への変形で第一問(2)の漸化式を使った。 (4) (1) より、 <math> \begin{align} \frac{1}{n^2} &= \frac{(2n-1)J_{2n-2}}{n I_{2n}} - \frac{2J_{2n}}{I_{2n}}\\ &= \frac{2J_{2n-2}}{I_{2n-2}} - \frac{2J_{2n}}{I_{2n}} \end{align} </math> となる。ただし、最後の行への変形で第一問(2)の漸化式を使った。 よって、 <math> \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} = \sum_{k=1}^n \left(\frac{2J_{2k-2}}{I_{2k-2}} - \frac{2J_{2k}}{I_{2k}}\right) = \frac{2J_{0}}{I_{0}} - \frac{2J_{2n}}{I_{2n}} </math> となる。ここで、<math>J_0 = \int_0^{\frac \pi 2} x^2 dx = \frac{\pi^3}{24},\, I_0 = \frac \pi 2</math> より、<math>\frac{2J_{0}}{I_{0}} = \frac{\pi^2}{6}. </math> また、<math> 0 < \frac{J_{2n}}{I_{2n}} \le \frac{\pi^2}{8(n+1)} </math> より、<math>\lim_{n\to\infty}\frac{J_{2n}}{I_{2n}} = 0 </math> となるから、<math> \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} </math> を得る。 '''解説''' 本問は Daniel Daners. (2012). A Short Elementary Proof of Σ 1/k² = π²/6. ''Mathematics Magazine'', ''85''(5), 361–364. https://doi.org/10.4169/math.mag.85.5.361 を参考にした。 <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}</math> はゼータ関数と呼ばれるもので、数論において重要な関数である。この問題から <math>\zeta(2) =\frac{\pi^2}{6}</math> である。また、<math>\zeta(1) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math> は調和級数であるため発散する。 <math>s</math> が実数のとき、<math>s > 1</math> で <math>\zeta(s)</math> は収束することを示すことができる。実際、<math>\frac{1}{n^s} < \int_{n-1}^n \frac{dx}{x^s}</math> となるから、<math>\sum_{n=2}^m \frac{1}{n^s} < \int_1^m \frac{dx}{x^s} = \frac{1}{s-1}(1-m^{1-s}) < \frac{1}{s-1}</math> であるから上界を持つ。また、各項は正であるため <math>\sum_{n=1}^m \frac{1}{n^s}</math> は単調増加である。従って、 <math>\zeta(s)</math> は <math>s > 1</math> のとき収束する。 <math>s < 1</math> のとき、<math>\frac{1}{n} < \frac{1}{n^s}</math> から、<math>\sum_{n=1}^m \frac{1}{n} < \sum_{n=1}^m \frac{1}{n^s}</math> となるため発散する。 解析接続という手法を用いることでゼータ関数の定義域を <math>s=1</math> を除く複素数にまで拡張することができる。 {{証明終わり}} {{解答|第六問}} (1) <math>f(x) = e^x - x - 1</math> とすると、<math>f'(x) = e^x - 1 ,\, f''(x) = e^x</math> だから、<math>f(x) </math> は上に狭義凸な関数で最小値は <math>f(0) = 0</math> である。従って、<math>x \neq 0</math> のとき <math>e^x > x + 1</math> である。よって、<math>e^{-x^2} > 1-x^2.</math> また、<math>e^{-x} < \frac{1}{1+x}</math> に <math>x^2</math> を代入して <math>e^{-x^2} < \frac{1}{1+x^2}</math> を得る。 (2) (1) より、<math>(1-x^2)^n < e^{-nx^2} </math> であるから、積分して <math>\int_0^1 (1-x^2)^n dx < \int_0^1 e^{-nx^2} dx </math> を得る。同様に、<math>e^{-nx^2} < \frac{1}{(1+x^2)^n}</math> を積分して <math>\int_0^{\tan \theta_0}e^{-nx^2} dx < \int_0^{\tan\theta_0}\frac{1}{(1+x^2)^n}dx</math> を得る。<math> \frac \pi 4 < \theta_0 < \frac \pi 2 </math> より、<math>1 < \tan\theta_0</math> である。また、<math>e^{-nx^2} > 0</math> から <math>\int_0^{1}e^{-nx^2} dx < \int_0^{\tan \theta_0}e^{-nx^2} dx </math> となる。したがって、 <math> \int_0^1 (1-x^2)^n dx < \int_0^{\tan\theta_0} e^{-nx^2}dx < \int_0^{\tan \theta_0} \frac{1}{(1+x^2)^n} dx </math> である。 (3) <math>x = \sin \theta</math> と変数変換して、 <math>\begin{align} \int_0^1 (1-x^2)^n dx &= \int_0^{\frac \pi 2} (1-\sin^2\theta)^n \cos\theta d\theta\\ &= \int_0^{\frac \pi 2} \cos^{2n+1}\theta d\theta\\ &= I_{2n+1} \end{align} </math> となる。また、<math>x = \tan\theta</math> と変数変換して、 <math>\begin{align} \int_0^{\tan \theta_0} \frac{dx}{(1+x^2)^n} &= \int_0^{\theta_0} \cos^{2n}\theta \frac{d\theta}{\cos^2\theta}\\ &= \int_0^{\theta_0} \cos^{2n-2}\theta d\theta \end{align} </math> となる。 <math>x \to \frac x \sqrt n </math> と変数変換すると、<math>\int_0^{\tan \theta_0} e^{-nx^2}dx = \frac 1 \sqrt n \int_0^{\frac{\tan\theta_0}{\sqrt n}} e^{-x^2}dx </math> となる。よって、 <math> \sqrt n I_{2n+1} < \int_0^{\frac{\tan\theta_0}{\sqrt n}} e^{-x^2}dx < \sqrt n \int_0^{\theta_0} \cos^{2n-2}\theta d\theta </math> となる。ここで、<math> \theta_0 \to \frac \pi 2 - 0</math> の極限を取ると <math> \lim_{\theta_0 \to \frac \pi 2 - 0}\int_0^{\frac{\tan\theta_0}{\sqrt n}} e^{-x^2}dx = \lim_{a \to \infty}\int_0^{a} e^{-x^2}dx = \int_0^\infty e^{-x^2}dx </math> となるから <math> \sqrt n I_{2n+1} < \int_0^\infty e^{-x^2}dx < \sqrt n I_{2n-2} </math> を得る。 (4) 第三問より、<math>\lim_{n\to\infty} \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}} = 1 </math>, <math>\lim_{n\to\infty} \sqrt n I_{2n+1} = \frac{\sqrt \pi}{2} </math> であるから、 <math>\lim_{n\to\infty} \sqrt n I_{2n-2} = \lim_{m\to\infty} \sqrt n \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\frac{I_{2n}}{I_{2n-1}}\frac{I_{2n-1}}{I_{2n-2}}I_{2n-2} = \frac{\sqrt \pi}{2} </math> となる。よって、 <math>\int_0^{\infty} e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt \pi}{2}. </math> 被積分関数は偶関数だから、 <math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt \pi </math> を得る。 '''解説''' (4) で <math>x \to \sqrt a x</math> （<math>a</math> は正の実数）と変換すると、<math> \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} </math> を得る。これを使うと正規分布の確率密度関数が<math> \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx = 1 </math> と正規化されていることが分かる。また、 <math> \begin{align} \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx &= [xe^{-ax^2}]_{-\infty}^{\infty} + \int_{-\infty}^\infty 2ax^2 e^{-ax^2}dx\\ &= \int_{-\infty}^\infty 2ax^2 e^{-ax^2}dx \end{align} </math> より、<math> \int_{-\infty}^\infty x^2 e^{-ax^2}dx = \frac 1 2 \sqrt{\frac{\pi}{a^3}} </math> を得る。よって、正規分布の分散は <math> \begin{align} V[X] &= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^2 e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty x^2 e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}dx\\ &= \sigma^2 \end{align} </math> となる。 {{証明終わり}} == 脚注 == <references/> <references group="ヒント"/> {{DEFAULTSORT:こうとうかつこうすうかくIII せきふんほう}} [[Category:高等学校数学III|せきふんほう]] [[カテゴリ:積分法]] sei9j9f3qoiabvi6y1c8tenppvl12lm 0 1946 299359 299353 2026-05-09T12:23:36Z Nermer314 62933 299359 wikitext text/x-wiki == 電子と光 == === 電子の発見と測定 === ==== 陰極線 ==== [[File:12. Тлеечко празнење.ogv|thumb|400x400px|真空放電の実験動画|中央]] 図のように両極に電極を封入したガラス管に高電圧を加えるとき、内部の気体を抜いていくと管全体が内部気体特有の発光を示す。このような稀薄気体による放電を'''真空放電'''という。最近は減りつつあるが、蛍光灯は真空のガラス管に少量の水銀蒸気を入れて真空放電を起こすことにより、水銀から紫外線を発生させて蛍光塗料を光らせている。 [[File:Crookes tube two views.jpg|thumb|陰極線は左端の陰極から右に進み、管壁にぶつかって蛍光を発させる。また、十字状の物体に遮られることも確認できる。|261x261ピクセル]] 1858年、ドイツのプリュッカーは真空放電の実験の中で、ガラス管内の真空度を増すとあるとき管内の光が消えて正極側の管壁が蛍光を発することを発見した。これを受けて、1874年にイギリスのクルックスが「負極から出た何かが正極に向かって進んで管壁にぶつかることによって蛍光する」というアイディアを提唱した。ここで、正極・負極をそれぞれ'''陽極'''・'''陰極'''、陰極から出る何かを'''陰極線'''と名づけた。 その後、さまざまな実験により陰極線の性質が解明された。 *写真フィルムを感光する *蛍光物質に当てると発光を示す *物体に遮られ、その後ろに影を作る *電場や磁場に、負電荷と同様の影響を受ける *これらの性質は陰極の金属の種類や管内の気体の種類に依存しない これらを総合すると、「陰極線は負電荷を持つある特定の粒子の流れで、その粒子はすべての金属に含まれる」という仮説が立つ。 この粒子の正体を調べるために、次のような実験が行われた。 ==== トムソンの実験 ==== 1897年、イギリスのトムソンは陰極線が電場や磁場でどのように曲げられるかを詳しく調べた。 真空中に間隔d、長さlの平行平板電極a, bを上から順に置き、電極面に平行に、電極間に向けて左から速さvで質量m、電荷-eの荷電粒子を入射する。電極の右端から距離Lだけ離れたところに蛍光物質を塗ったスクリーンを置いて粒子の到達地点を記録する。電子の入射方向にx軸をとり、電極の左端を通りスクリーンに平行な直線をy軸とする。また、表から裏の向きにz軸をとる。粒子の質量mは非常に小さい値と考えられるので、重力の影響は無視する。 まず、極板間にy軸の負の向きに大きさVの電圧をかける。このとき、極板間の電場は一様になるので、電場の強さは<math>E = \frac{V}{d}</math>と求まる。粒子は負電荷なので電場の向きと逆、すなわちy軸の正の向きに電場からの力を受け、その大きさは<math>F = |-e| E = \frac{eV}{d}</math>である。よって粒子の加速度は運動方程式より<math>a = \frac{eV}{md}</math>と求まる。 このとき、x軸方向は等速直線運動、y軸方向は等加速度運動をするので、xy平面上では放物運動をすると見做せる。x軸方向で考えると、速さvでlだけ移動する時間は、きはじの法則より<math>t_1 = \frac{l}{v}</math>である。y軸方向で考えると、粒子が電極を抜ける瞬間のy座標は<math>y_1 = \frac{1}{2} at^2_1 = \frac{el^2V}{2mdv^2}</math>と求まる。 電極を抜けた粒子は等速直線運動を行うので、粒子が電極を抜けてからスクリーンに到達する時間はx軸方向で考えると<math>t_2 = \frac{L}{v}</math>である。y軸方向は位置<math>y_1</math>に達したときの速度で等速運動をするので、<math>v_y = at_1 = \frac{elV}{mdv}</math> である。よって、電極を通過した後のy方向の移動距離は<math>y_2 = v_y t_2 = \frac{elLV}{mdv^2}</math>と求まる。スクリーンに到達したときの粒子のy座標は<math>y_0 = y_1 + y_1 = \frac{el^2V}{2mdv^2} + \frac{elLV}{mdv^2} = \frac{el(l+2L)V}{2mdv^2}</math>である。 次に、電極間にだけz軸の正方向に一様な磁場を加える。入射した粒子が直進するように磁場を調整すると、粒子が電場から受けるクーロン力と磁場から受けるローレンツ力が釣り合うので、磁束密度の大きさについて力の釣り合いの式より<math>B = \frac{V}{vd}</math>が成り立つ。よって<math>y_0 = \frac{el(l+2L)B}{2mv}</math>である。 これらを総合すると、<math>y_0 = \frac{e}{m} \times \frac{l(l+2L)B}{2v} </math>より<math>\frac{e}{m} = \frac{2y_0v}{l(l+2L)B} = \frac{2y_0E}{l(l+2L)B^2} = \frac{y_0V}{l(\frac{l}{2}+L)dB^2}</math>と求まる。 この<math>\frac{e}{m}</math>を荷電粒子の'''比電荷'''という。当時、最終的に求まった式に含まれる定数はすべて測定可能だったので、比電荷の値を求めることができた。具体的には、<math>\frac{e}{m} \fallingdotseq 1.75882001076 \times 10^{11}</math> C/kgである。 この比電荷は陰極に用いる金属や管内の気体の種類に依存しないので、物質の中には負電荷を持った粒子が共通に含まれることが証明された。この粒子は'''電子'''と名付けられた。現在では、この電子が電気の正体であると判っている。 なお、電子の具体的な質量や電気量の測定は1909年のミリカンの実験を待つことになる。 ==== ミリカンの実験 ==== ミリカンの実験とは、霧吹きなどで作成した油滴の微小な飛沫に、X線やラジウムなどで帯電させる。そして、外部から電場を印加する。すると、油滴の重力（下向き）のほかに、電場による静電気力（上向きになるように電極板を設置する）が働くので、釣り合って静止する状態になった時の電場から、電荷の値を確かめる実験である。 油滴の質量をm、電気量を-q、電場の強さをE、重力加速度をgとすると、油滴に働く重力とクーロン力が釣り合っているので、<math>mg = |-q|E</math>である。 電場の強さを0にすると、油滴は自由落下運動を始めるが、空気抵抗によって終端速度vで落下するようになる。このとき、油滴に働く重力と空気抵抗力が釣り合っているので、空気抵抗の比例定数をkとして<math>mg = kv</math>が成り立つ。 総合して、<math>q = \frac{kv}{E}</math>を得る。 この実験を繰り返したときに算出・測定される電荷の値が全て 1.6×10^-6 Cの整数倍になったので、電子1個の電荷が 1.6×10^-19 Cだと分かった。 なお、この 1.6×10^-19 Cのことを'''電気素量'''という。 現在では、電気素量は <math>e = 1.602 \, 176 \, 634 \times 10^{-19} \, \mathrm C</math> と定義されている。 この値と先ほどの比電荷の値から、電子の質量は<math>m \fallingdotseq 9.1093837015 \times 10^{-30} </math> kgと求まる。 {{コラム|ミリカン以前の電気素量の測定| ラボアジエなどの電気分解の実験により、金属の電気分解の実験の時に発生する気体が帯電していることは古くから知られていた。実験物理学者タウンゼントは、発生した気体のモル数と静電誘導などによって発生した電荷の合計を測定することにより、電子1個あたりの電荷（電気素量）を概算した。 現代の電子の電荷と桁が同じくらいの精度で、タウンゼントは電気素量の測定値を得た。 }} === 光の粒子性 === ==== 光電効果 ==== [[File:Photoelectric effect diagram no label.svg|thumb|300px|電子の運動エネルギーの最大値と、光の振動数との関係]] 負の電荷に帯電させてある金属板に、紫外線を当てると、電子が飛び出してくることがある。また、放電実験用の負極に電子を当てると、電子が飛び出してくることがある。この現象を、'''光電効果'''という。1887年、ヘルツによって、光電効果が発見された。レーナルトによって、光電効果の特徴が明らかになった。 当てる光の振動数が、一定の高さ以上だと、光電効果が起きる。この振動数を'''限界振動数'''といい、これより低周波数の光では、光電効果が起こらない。また、限界振動数のときの波長を、'''限界波長'''という。 限界振動数は物質によって異なる。亜鉛板では紫外線でないと光電効果が起きないが、セシウムでは可視光でも光電効果が起きる。 光電効果とは、物質中（主に金属）の電子が光からエネルギーを受け取って外部に飛び出す現象のことである。 この飛び出した電子を'''光電子'''という。 光電効果には次のような特徴的な性質がある。 :* 光の振動数がある振動数（限界振動数）以上でないと起こらない。 :* 光電子の運動エネルギーの最大値は当てた光の振動数のみに依存し、光の強さには依存しない。 :* 単位時間あたりに飛び出す光電子数は、光の強さに比例する。 これらの性質のうち、1番目と2番目の性質は（それまでの）古典物理学では説明できない。 つまり、光を電磁波という波動の性質だけで捉えていては辻褄が合わないのである。 仮に電磁波の電場によって金属から電子が放出すると考えた場合、光の強さが大きくなるにつれ光波の振幅が大きくなるので、電場も大きくなるはずである。 しかし、実験結果によれば光電子の運動エネルギーは光の強さには依存しない。 よって光電効果は古典物理学では説明できない。 ===== アインシュタインの 光量子仮説 ===== 上述の矛盾（古典的な電磁波理論では、光電効果を説明できないこと）を解決するために、次のような'''光量子仮説'''がアインシュタインによって提唱された。 * 光は、光子の流れである。光子を、光量子ともいう。 * 光子1個の光エネルギー <math>E</math>は、光の振動数 <math>\nu </math> に比例する。 *:<math>E=h\nu</math> 比例定数 <math>h = 6.62607015 \times 10 ^{-34} \, \mathrm{J \cdot s}</math>を'''プランク定数'''という。 光電効果を起こすのに必要な最小エネルギーを'''仕事関数'''という。仕事関数の値は金属の種類によって異なる。 仕事関数を <math>W</math>とすると、光子の得る運動エネルギーの最大値 <math>K_0</math>について、次式が得られる。 :<math> K _0 = h \nu - W </math> (1.1) この式より、光電効果が起こる条件は <math>h \nu \geqq W</math> となる。これは <math>k_0 \geqq 0</math>に相当する。 これより、限界振動数 <math>\nu_0</math>について、<math>h\nu_0=W</math>が成り立つ。 この光量子仮説により、光電効果の1番目と2番目の性質を容易に矛盾なく説明できるようになった。波動は粒子のように振舞うのである。 なお、光電効果の3番目の性質から、ある場所の光の強さはその場所の単位面積と単位時間及び飛来する光子の数に比例することが分かる。 *エネルギーの単位 電子や光子一個のエネルギーは非常に小さいので、ジュール（J）をそのまま用いると使い勝手が悪い。そのため、新たにエネルギーの単位を設定する。 真空中において電子一個を1Vで加速するときに電子が得る運動エネルギーを'''電子ボルト'''（'''エレクトロンボルト'''）という（記号：eV）。<math>1 \mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19} \mathrm{J}</math>である。 例） *銅の仕事関数は4.65eV {{コラム|光波長の測定| そもそも、光波長はどうやって測定されたのだろうか。 現在では、例えば原子の発光スペクトルの波長測定なら、回折格子をプリズムとして使うことによって、波長ごとに分け、波長が測定されている。 可視光の波長の測定は回折格子によって測定するわけだが、ではその回折格子の細かい数百nm〜数千nm程度の間隔の格子溝をどうやって作るのか、という問題に行き着く。 歴史的には、下記のように、可視光の波長が測定されていった。 まず、1805年ごろの「ヤングの実験」で有名なヤングらの研究により、可視光の波長は、おおむね 100 nm（10^-7m） 〜 1000 nm 程度であることは、この頃から既に予想されていた。 その後、ドイツのレンズの研磨工だったフラウンホーファーが優れた回折格子を開発し、可視光の波長を精密に測定する事に成功した。フラウンホーファーは回折格子を作るために細い針金を用いた加工装置を製作し、その加工機で製作された回折格子を用いて光波長の測定を始めたのが研究の起こりである。1821年、フラウンホーファーは格子を130 本/cmも並べた回折格子を製作した。<ref>『現代総合科学教育大系　SOPHIA21　第7巻　運動とエネルギー』、講談社、発行：昭和59年4月21日第一刷発行発行</ref> また、1870年にはアメリカのラザフォードがスペキュラムという光の反射性の高い合金を用いた反射型の回折格子を製作し、これによって700 本/mmもの格子のある回折格子を製作した。 更にこの頃、送り螺子の潤滑のために水銀を使う水銀浮遊法が、研究開発で行われた。 後の時代、より高精度な波長測定が物理学者マイケルソンによって行われた。 干渉計を用いて反射鏡を精密螺子で細かく動かすことにより高精度な波長測定器を作り、この測定器によってカドミウムの赤色スペクトル線を測定した。測定波長は643.84696 nmだった。マイケルソンの測定方法では、赤色スペクトル光の波長を当時のメートル原器と比較することで測定した。<ref>川上親考ほか『新図詳エリア教科辞典　物理』、学研、発行：1994年3月10日新改訂版第一刷、P.244 および P.233</ref> このマイケルソンの制作した干渉計にも、水銀浮遊法の技術が取り入れられている<ref>クリス・エヴァンス 著、橋本洋・上野滋 共訳『精密の歴史』、大河出版、2001年11月28日 再版、185ページ</ref>。 更に螺子の技術革新で、弾力性のある材質で螺子を作ることによって誤差を均し高精度とする技術マートン・ナットが、イギリスの物理学者トーマス・ラルフ・マートンなどによって開発された。 なお、現代でも、研究用として干渉計を用いた波長測定器が用いられている。メートル原器は、マイケルソン当時は長さの基準だったが、1983年以降は標準には用いられていない。現在のメートルの定義は以下の通り。 ;メートルの定義 :真空中の光速 <math>c</math> を単位 m/s で表したときに、その数値を {{val|299792458}} と定めることによって定義される。 :ここで、秒はセシウム周波数 <math>\Delta \nu_{\mathrm{Cs}}</math> によって定義される。 }} ==== 光電効果の測定 ==== [[File:Cellule photoelectriqie.JPG|thumb|300px|光電効果の実験]] [[File:Caracteristique courant tension (frequence fixe).JPG|thumb|300px|電位と光電流の関係]] 右の実験図のように、光電管の陰極に限界振動数ν₀よりも振動数が大きい光を当てると、光電子が飛び出し陽極に流れ込む。このときの電流を'''光電流'''という。 光電流の測定結果は右のグラフのようになる。 陽極の電位が正であれば飛び出した光電子は全て陽極に流れこむため、電圧を高くしても光電流の大きさは一定である。 陽極の電位が0であっても、光電子は運動エネルギー<math>K_0</math>を持って飛び出すので、陽極に到達することができる。 陽極の電位を負にしてさらに下げると、光電子は電場から受けるクーロン力によって運動を妨げられ、ある電位 <math>-V_0</math>で陽極に到達する前に運動エネルギーが0になってしまう。このときの電圧 <math>V_0</math>を'''阻止電圧'''といい、<math>K_0 = eV_0</math>が成り立つ。 つまり、阻止電圧を測定すれば光電子の持つ運動エネルギー <math>K_0</math>を求めることができる。 このとき、光の振動数 <math>\nu</math>または光の波長 <math>\lambda</math>が判っていれば、<math>K_0 = h \nu - W = \frac{hc}{\lambda} - W</math>より金属の仕事関数 <math>W</math>も求めることができる。 ただし、陽極と陰極で金属の種類が異なるとき、これらの仕事関数の違いに伴い'''接触電位差'''が表れるため、それも考慮しなければならない。 なお、光電効果によってプランク定数を測定することもできる。 === X線 === ==== X線の発見 ==== [[File:Rotating anode x-ray tube (labeled).jpg|thumb|250px|X線管<br>陰極から出た陰極線を陽極に照射すると、X線が出る。]] [[File:Tube RX a fenetre laterale.png|thumb|X線管の原理]] レントゲンは、1895年、放電管を用いて陰極線の実験をしていたとき、放電管の近くに置いてあった写真乾板が感光している事に気付いた。 レントゲンは、陰極線が硝子に当たったとき、何か未知のものが放射されてると考え、これをX線と名づけた。 軈て、種々の実験によってX線は性質が明らかになった。 *磁場や電場で曲がらない。（この事から、X線は荷電粒子ではない事が分かる） *X線を照射された物質はイオンに電離する。（'''電離作用'''） *可視光線を通さない物質でも、X線なら透過できる場合がある。（医療診断に応用されている。） *蛍光物質を光らせる。 などの性質がある。 ==== X線の発生とスペクトル ==== 上のX線菅の図において、電流による発熱で陰極から放出された'''熱電子'''は高い電圧によって加速され、'''ターゲット'''（陽極）に衝突する。このとき、一個の電子の持つエネルギーの一部または全部がX線光子のエネルギーとなり、残りは陽極熱に変換される。 発生するX線のスペクトルは、ある最短の波長から始まってそれより長い波長を連続的に含む。これを'''連続X線'''という。 電子のエネルギーが全てX線光子のエネルギーに変わるとき、<math>E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}</math>よりX線の波長は最短となる。このときのX線の振動数をν₀、波長をλ₀、加速電圧をVとすると、電子の初速度が0のとき、<math>eV_0 = h\nu_0 = \frac{hc}{\lambda_0}</math>が成り立つ。すなわち、最短波長は<math>\lambda_0 = \frac{hc}{eV}</math>と求まる。 [[File:TubeSpectrum.jpg|thumb|240px|特性X線（K線）]] 右の図のように、連続X線の他に特定のエネルギーを持つX線が強く放射される場合があり、これを'''固有X線'''（'''特性X線'''）という。固有X線の波長はターゲットの材質で決まる。 {{-}} ==== X線の波動性 ==== 1912年、物理学者ラウエは、X線を単結晶に当てると、写真フィルムに図のような斑点の模様にあることを発見した。これを'''ラウエ斑点'''といい、結晶中の原子が回折格子の役割をしたことで発生した干渉現象である。 [[File:Bragg diffraction 2.svg|thumb|400px|ブラッグの条件]] 1912年、ブラッグは、反射が強めあう条件式を発見した。 この条件式 :<math>2d\sin\theta = n\lambda</math>(nは非負整数) を'''ブラッグの条件'''という。 上式のdは格子面の間隔の幅である。 これは結晶面での回折や屈折を無視した場合の式であり、実際にはもう少し複雑な式となる。 <!-- 2023年奈良女子大学後期日程などに電子波の屈折を考慮したブラッグ反射の問題が出題。今後、新傾向として注意すべし ＠2025/08/13 --> {{-}} ==== X線の粒子性 ==== * コンプトン効果 X線を物質に当てて散乱された後のX線を調べると、その中に元のX線の波長よりも長いものが含まれることがわかった。このように散乱X線の波長が伸びる現象は物理学者コンプトンによって解明されたので、'''コンプトン効果'''（'''コンプトン散乱'''）という。 [[File:Compton ex1.jpg||400px|thumb|right|コンプトンによる実験略図。なお、図中の「単結晶」は波長の測定用であり <ref>原島鮮『初等量子力学』（裳華房、2014年第40版、初版は1972年）</ref> 、「単結晶」の材質は方解石の結晶であり、散乱波長はブラッグ反射などを活用して測定する。（コンプトン本人の論文“The Spectrum of Scattered X-Rays”(May 9, 1923).に、方解石（calcite）を使っていることと、ブラッグ反射（Bragg ?）させている事が書かれている。）]] この現象は、X線を波と考えたのでは説明がつかない。（仮に波と考えた場合、散乱では波長が変化しないので散乱光の波長は入射X線と同じになるはず。） さて、波動の理論でコンプトン効果を説明できないなら、粒子の理論で説明をすれば良いだろう。 この当時、アインシュタインは光量子仮説に基づき、光子はエネルギー<math>E=h\nu</math>だけでなく、次の式で表される運動量 <math>p</math>も持つことを発見している。 <math>p=\frac{h\nu}{c}(=\frac{h\nu}{\nu \lambda}=\frac{h}{\lambda})</math> 物理学者コンプトンは、この発見を利用し、波長λのX線を、運動量<math>\frac{h}{\lambda}</math> とエネルギー<math>\frac{hc}{\lambda}</math>を持つ粒子（光子）の流れと考え、 X線の散乱を、この光子が物質中のある電子と完全弾性衝突をした結果と考えた。 :コンプトンはこの考えに基づき、光子と電子の間に運動量保存則及びエネルギー保存則が成り立つと仮定して計算して、実験結果と良く合う結果が得られることを発見した。 [[File:Compton effect illust.svg|thumb|400px|コンプトン効果<br>この図を見ると、あたかも真空中を漂う電子に電磁波を照射したように見えるが、そうではない。実際にコンプトンが行った実験は、石墨の炭素などの物質にX線を照射する実験である。図中の電子は、炭素などの分子が提供する電子である。<!-- コンプトン本人の論文に、このような感じの図が書かれており、それでこのような図が普及したものと思われる。-->]] 解法は、下記のとおり。 :エネルギー保存の式を立てる。 :運動量の保存の式を立てる。 ---- エネルギー保存の式 :<math>\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda '} + \frac{1}{2}mv^2 \qquad \qquad</math> (1.2a) 運動量保存の式 :x軸: <math> \frac{h}{\lambda} =\frac{h}{\lambda '} \cos \theta + mv \cos \phi \quad</math> (1.2b) :y軸: <math> 0 =\frac{h}{\lambda '} \sin \theta - mv \sin \phi \qquad</math>(1.2c) ---- この3つの式を連立し、<math>v</math>と<math>\phi</math>を消去して<math>\lambda,\lambda ',\theta</math>の関係式を求めればよい。 ⅰ）まず、式(1.2b),(1.2c)から<math>\phi</math>を消去する。<br> 式(1.2b)から :<math>(mv \cos \phi)^2 = (\frac{h}{\lambda}-\frac{h}{\lambda '} \cos \theta)^2 </math> 式(1.2c)から :<math>(mv \sin \phi)^2 = (-\frac{h}{\lambda '} \sin \theta)^2</math> この両式を加えると :<math>m^2 v^2 = (\frac{h}{\lambda}-\frac{h}{\lambda '} \cos \theta)^2+(-\frac{h}{\lambda '} \sin \theta)^2+\frac{h^2}{\lambda '^2}</math> この右辺を整頓すると、 :<math>m^2 v^2 =\frac{h^2}{\lambda^2}-2\frac{h^2}{\lambda \lambda '}\cos \theta +\frac{h^2}{\lambda '^2}\quad</math> (1.2d) を得る。 ⅱ）式(1.2d)を式(1.2e)に代入してvを消去する<br> 式(1.2a)の右辺の第2項を変形して式(1.2d)を代入する。 :<math>\frac{1}{2}mv^2 =\frac{1}{2m}m^2v^2 = \frac{1}{2m}\bigl(\frac{h^2}{\lambda^2}-2\frac{h^2}{\lambda \lambda '}\cos \theta\bigr)+\frac{h^2}{\lambda '^2}</math> これを式(1.2a)の右辺に代入すると :<math>\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda '} + \frac{1}{2m}\Bigl(\frac{h^2}{\lambda^2}-2\frac{h^2}{\lambda \lambda '}\cos \theta +\frac{h^2}{\lambda '^2}\Bigr)</math> 両辺を<math>hc</math>で割ると :<math>\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda '} + \frac{h}{2mc}\Bigl(\frac{1}{\lambda^2}-2\frac{1}{\lambda \lambda '}\cos \theta +\frac{1}{\lambda '^2}\Bigr)</math> (1.2e) を得る。 この式の右辺の第2項の括弧内を次のように変形する。 :<math>\frac{1}{\lambda^2}-2\frac{1}{\lambda \lambda '}\cos \theta +\frac{1}{\lambda '^2}=\bigl(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda'}\bigr)^2+\frac{2}{\lambda \lambda'}(1-\cos \theta)</math> この式を式(1.2e)の右辺第2項に代入すると :<math>\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda'} + \frac{h}{2mc} \left\{ \bigl(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda'}\bigr)^2+\frac{2}{\lambda \lambda'}(1-\cos \theta) \right\}</math> この式の右辺の第１項を移行し、式を変形すると :<math>\frac{\lambda'-\lambda}{\lambda\lambda '}= \frac{h}{2mc}\left\{ \bigl(\frac{\lambda'-\lambda}{\lambda \lambda'}\bigr)^2+\frac{2}{\lambda \lambda'}(1-\cos \theta) \right\}</math> 両辺に<math>\lambda \lambda'</math>を掛けると :<math>\lambda'-\lambda= \frac{h}{2mc}\left\{ \frac{(\lambda'-\lambda)^2}{\lambda \lambda'}+2(1-\cos \theta) \right\}</math> (1.2f) X線の散乱では、<math>\lambda'\fallingdotseq \lambda</math>なので :<math>\frac{(\lambda'-\lambda)^2}{\lambda \lambda'}</math>は、波長に比べて非常に小さい値になり無視できる。 故に式(1.2f)から :<math>\lambda'-\lambda \fallingdotseq \frac{h}{mc} (1-\cos \theta) \qquad</math> (1.2g) これで、所望の式が導出された。 ---- === 粒子の波動性 === ==== 物質波 ==== フランスのド・ブロイは、波と考えられてた光が粒子の性質を持つならば、電子も粒子としての性質だけでなく波動としての性質を持つだろうと考えた。 そして、電子だけでなく、一般の粒子に対しても、その考えを適用し、次の公式を提唱した。 :運動量 <math>p</math>の粒子は波動性をもち、その波長は次式で与えられる。 :<math>\lambda = \frac{h}{p} </math> これはド・ブロイによる仮説であったが、現在では正しいと認められている。 この波は、'''物質波'''と呼ばれる。'''ド・ブロイ波'''ともいう。 すなわち、光子や電子に限らず、あらゆる物質は粒子性と波動性を併せ持つといえる。 この物質波という説によると、電子線を物質に当てれば回折などの現象が起きるはずである。 1927年〜1928年にかけて、デビッソンとガーマーは、ニッケルなどの物質に電子線を当てる実験を行い、X線回折と同様に電子線でも回折が起きることを実証した。日本でも1928年に菊池正士が雲母片に電子線を当てる実験により回折が起きることを確認した。 電子線の波長は、高電圧をかけて電子を加速して速度を高めれば、物質波の波長はかなり小さくできるので、可視光の波長よりも小さくなる。 そのため、可視光では観測できなかった結晶構造が、電子波やX線などで観測できるようになった。生物学でウイルスが電子顕微鏡で観測できるようになったのも、電子の物質波が可視光よりも大幅に小さいからである。 === 粒子と波動の二重性 === *電子ビームによる波動性の干渉実験 [[Image:Egun.jpg|thumb|250px|right|ブラウン管の電子銃]] [[ファイル:double-slit.svg|thumb|right|350px|電子の二重スリットの干渉実験]] [[ファイル:Doubleslitexperiment_results_Tanamura_1.gif|thumb|left|250px|二重スリット実験の結果]] 電子銃は電子を放出する装置である。 電子銃をもちいて、1個ずつ電子を当てる実験を、二重スリットを使って実験すると、図のように、波動のように、電子の多く当たった場所と電子の少なく当たる場所との縞模様ができる。 {{-}} このように、電子にも粒子性と波動性があり、電子は粒子でありつつ、二重スリットに向かって電子を撃ち込むと干渉を起こすという波動性も持っている。 上述のような、さまざまな実験の結果から、すべての物質には、原子程度の大きさでは、波動性と粒子性の両方の性質をもつと考えられている。 このことを'''粒子と波動の二重性'''という。 {{コラム|電子顕微鏡| 光学顕微鏡（レンズを用いる顕微鏡）では、回折が起こることによって光の波長よりも小さな物体を見ることが非常に困難となる。'''分解能'''（2点を識別できる限界の距離）は10^-7m(100nm)程度である。 より高い分解能を得るため、光よりも波長が短い電子線を用いる'''電子顕微鏡'''が発明された。電子顕微鏡では、加速電圧を高くすることで高い分解能を得られる。ただし、電磁波によるレンズ作用を用いることによる'''収差'''（像の歪み）などの障碍から、現在の最高分解能は10^-10m(0.1nm)ほどに留まっている。 この分解能では、ウイルスどころか金属・酸素などの原子すらも観察することが可能であるが、中性子・陽子・電子などは小さすぎて観察できない。 }} 副読本：朝永振一郎『光子の裁判』1949年（朝永振一郎は1965年にノーベル物理学賞を受賞した物理学者だが、[[高等学校文学国語/化物の進化|寺田寅彦]]と同様に一般向けの書籍を多数執筆する文豪でもあった。この作品では、光子になぞらえた「波乃光子」という被告の裁判を舞台に、粒子と波動の二重性の不思議さを繙いている。） *不確定性関係 [[File:Bundesarchiv Bild183-R57262, Werner Heisenberg.jpg|thumb|物理学者ハイゼンベルグ <br>不確定性原理の主要な提唱者である。]] 電子などの量子の位置や運動量は確定してる訳ではなく、物理量を測定するとその状態に対応する確率分布に従った値が得られれる。位置と運動量について標準偏差を計算する事ができるが、位置の標準偏差と運動量について標準偏差の積は必ず <math> \frac{h}{4\pi} </math> 以上となる。このことを'''不確定性関係'''という。 {{-}} == 原子・原子核・素粒子 == ===原子=== 陰極線に関連する実験から、全ての原子に負の電荷を持つ電子が含まれると考えられたが、原子は電気的に中性なので正の電荷を帯びた部分が存在するはずである。 そこで、原子の構造について様々な説が登場した。 比電荷の測定を行ったトムソンは、一様に正に帯電した球の中を電子が運動しているというプラムプディングモデル（ブドウパンモデル）を提唱した。長岡半太郎は、フランスのジャン・ペランが提唱した、正電荷を持つ粒子の周りを電子が公転している土星型モデルを定量化して大幅に補強した。しかし、実際に採択されたのは以下のようなモデルだった。 [[File:Geiger-Marsden experiment expectation and result (Japanese).svg|right|400px|thumb|]] ドイツのガイガーとニュージーランドのマースデンは、α粒子を薄い金箔に当てる実験を行い、α粒子の散乱の様子を調べた。（なお、α粒子の正体はヘリウムの原子核。）その結果、ほとんどのα粒子は金箔を素通りするが、金箔中の一部の場所の近くを通ったα粒子だけが大幅に散乱する現象を発見した。 α粒子は電子の7000倍以上の質量を持つことから、電子の影響で大きく曲げられたとは考えにくい。そこで、原子内の狭い部分に集中した正電荷がα粒子に強い斥力を及ぼし、その部分が原子の質量の大部分を占めていると考えて計算を行い、実験結果をうまく説明することに成功した。 原子(10^-10)内の正電荷が集中した10^-15~10^-14程度の重い部分は'''原子核'''と名付けられた。 原子は、中心に原子核があり、そのまわりを電子が運動するというラザフォードモデルとよばれるモデルによって説明される。ラザフォードモデルは、土星型モデルを発展させたものとも言える。 *ラザフォードモデル 原子は、全体としては電気的に中性であり、負の電荷を有する'''電子'''を'''電子殻'''に持つ。 ここで、ミリカンの実験 による結果などから、電子の質量は水素イオンの質量の約1/1840程度しかないことが分かっている。 すなわち、原子は電子と陽イオンとが含まれるが、質量の大部分は陽イオンがもつことが分かる。 原子核の大きさは原子全体の1/10000程度であるため、'''原子の大部分は真空'''である。 原子核は、正の電荷をもつZ個の'''陽子'''と、電気的に中性な(A−Z)個の'''中性子'''からなる。 陽子と中性子の個数の合計を'''質量数'''という。 陽子と中性子の質量はほぼ等しいため、原子核の質量は、質量数Aにほぼ比例する。 ==== 統一原子質量単位 ==== 原子の質量は極めて小さいため、キログラム（kg）をそのまま用いるのは不便である。そこで、（同位体を除いて）118種類ある原子のうちどれかを基準として考えたい。ここで、他の様々な原子と化合できるため質量比較がしやすいこと、同位体¹³Cなどの存在比が極めて小さいことなどから、炭素原子を基準にするのが適当である。 ¹²C原子一個の質量を12と定義する単位系を'''統一原子質量単位'''という。単位はDa（'''ダルトン'''）であるが、廃止されたamu（'''アトミックマスユニット'''）を用いる人もいる。 [[高等学校化学基礎/物質量#原子量|化学基礎で原子量を習った]]が、原子質量単位は質量を表す単位なのに対し、原子量は質量そのものでなく質量比を表しているので単位はなく無次元である。混同しないように注意しよう。 ==== 水素原子のスペクトル ==== 高温の物体から発光される光には、どの（可視光の）色の波長（周波数）もあり、このような連続的な波長の光を連続スペクトルという。 いっぽう、ナトリウムや水素などの、特定の物質に電圧がかけられ放電したときに発光する波長は、特定の数本の波長しか含まれておらず、このようなスペクトルを輝線という。 パルマーは、水素原子の数本ある輝線の波長が、次の公式で表現できることに気づいた。 :<math>\lambda = 3.65 \times 10^{-7} \mathrm{m} \times \left( {n^2 \over n^2 - 4} \right).\quad(n=3,\ 4,\ 5,\ 6,\cdots\cdots)</math> (2.1) 上式中のmはメートル単位という意味。 その後、水素以外の原子や、可視光以外の領域についても、物理学者たちによって調べられ、次の公式へと、物理学者リュードベリによって、まとめられた。 :<math>\frac{1}{\lambda} =R \left( \frac{1}{m^2} -\frac{1}{n^2} \right).\ \left(\begin{array}{lcl}m =1,\ 2,\ 3,\cdots\cdots, \\ n = m+1,\ m+2,\ m+3,\cdots\cdots \end{array}\right)</math> (2.2) 上式のRは'''リュードベリ定数'''といい、<math>R=1.097373156815712 \times 10^7 \, \mathrm{/m}</math>である。 この公式の<math>m=1, 2, 3</math>をそれぞれ'''ライマン/パルマー/パッシェン 系列'''という。 ==== 量子論と原子の構造 ==== [[File:Stationary wave Quantum rule in atom.svg|thumb|300px|原子内の定常波]] ラザフォードの原子模型に従えば、電子は、まるで惑星の公転のように原子核を中心とする円軌道の上を一定の速度で運動する。 円運動する質点は加速度をもつので、このモデルの電子は加速度運動を続けることになる。 ところが古典電磁気学で、加速度運動を行う電荷は電磁波を放出してエネルギーを失うという法則が既に発見されていた。 この法則によれば、原子核の周りを回る電子は電磁波を放出し続け、エネルギーを絶えず減らしていく。それにつれ電子は原子核に向けて落下していくため、原子核との距離を小さくしながら原子核の周りを回転し、やがて原子核に衝突してしまう。円軌道の上を安定的に運動することは不可能なのである。 デンマークのボーアはラザフォードの原子模型の深刻な矛盾を克服し、さらに水素原子の放出する線スペクトルについても説明できる原子模型を作るため、 プランクの提唱したエネルギー量子化の考えとアインシュタインの光量子論を取り入れた大胆な仮説を立てた(1913年）。 *仮説1：量子条件 原子核を中心とする半径 <math>r</math>の円軌道を速さ <math>v</math>で回転する電子の軌道角運動量<math>rp=mrv</math>は<math>\frac{h}{2\pi}</math>の正整数倍しかとりえない，すなわち :<math>mrv=n\frac{h}{2\pi} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\cdots\cdots)</math> (2.3) を満たさねばならない（角運動量の量子化）。この状態を'''定常状態'''、この条件を'''量子条件'''という。 :このボーアの式の正整数nを'''量子数'''という。 後年(1924年）、ド・ブロイは、物質粒子は波動性を持ち、その波（物質波）は、波長 :<math>\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}</math> をもつと提唱した。また，(2.3)を変形すると :<math>2\pi r=n\frac{h}{mv}=n\lambda</math>. これらは電子の軌道一周の長さが電子の物質波の波長の正整数倍のとき，電子波は定常波になることを示している。 :これは、円軌道上に定常波ができるための条件と同じである。 *仮説2：振動数条件 電子はある決まった飛び飛びのエネルギーしか持たない。このとびとびのエネルギー値を'''エネルギー準位'''という。 :電子がエネルギー順位を<math>E'</math>から<math>E(<E')</math>に遷移する（エネルギーを失う)ときには、<math>E'-E=h\nu</math>できまる振動数<math>\nu</math>の一個の光子を放出し、 :逆にエネルギー準位 Eの電子が外部からエネルギー<math>h\nu = E'-E</math>を得ると、エネルギー準位E'に遷移する。 ==== エネルギー準位 ==== [[File:Circular-motion-electron-in-atom jp.svg|thumb|400px|水素原子内での電子の円運動]] 水素原子において、電子軌道上にある電子のエネルギーを求めたいが、そのためには水素原子の半径を求める必要がある。 量子数<math>n</math>のとき水素の電子が原子核<math>H^+</math>を中心とする半径<math>r_n</math>の円軌道上を一定の速度<math>v_n</math>で運動しているとすれば、円運動方程式は :<math> m \frac{v^2_n}{r_n} = k_0 \frac {e^2}{r^2} </math> で表される。 一方、電子が定常波の条件を満たす必要があるので、前項の式（１）から、 :<math> v_n = \frac {nh}{2 \pi m r } \qquad \qquad (2)</math> である。 この<math>v</math>を先ほどの円運動の式に代入して整頓すれば :<math> r_n = \frac {h^2}{4 \pi ^2 k_0 me^2} n^2\qquad \qquad (3)</math>（<math>n=1, 2, 3\cdots</math>） になる。こうして、水素原子の電子の軌道半径が求まる。 <math>n=1</math>のときの半径 <math>r_1</math>を'''ボーア半径'''という。 原子の世界でも、運動エネルギーKと位置エネルギーUの和が、エネルギーである。 位置エネルギーUは、この水素の電子の場合なら、静電気エネルギーを求めれば充分であり、電位の式によって求められて、 :<math> U = - k_0 \frac {e^2}{r}</math> となる。 運動エネルギーKは、<math> K = \frac{1}{2}mv^2</math>なので :<math> E = K+U = \frac{1}{2}mv{}^2 - k_0 \frac {e^2}{r}</math> 上式の右辺第一項に、 :円運動方程式<math> m \frac{v^2}{r} = k_0 \frac {e^2}{r^2} </math>の両辺にｒを掛けた <math> m v^2 = k_0 \frac {e^2}{r} </math>を代入すれば、 :<math>E(= E_n )= K+U = \frac{1}{2} k_0 \frac {e^2}{r}- k_0 \frac {e^2}{r} = - \frac{k_0e^2}{2r} </math> となる。 さらに、これに電子の軌道半径<math>r=r_n</math>として式(3)を代入すれば、 :<math>E_n = -\frac{2\pi ^2 k_0{}^2 me^4} {h^2} \frac{1}{n^2} \quad (n=1,2,3,,,) \qquad \qquad (4)</math> となる。これが水素原子のエネルギー準位である。 エネルギー準位の公式をよく見ると、エネルギーが連続的ではなく離散的な負の値をとることが判る。 <math>n=1</math>のとき、エネルギーが最低なので安定である。よって、電子は通常、<math>n=1</math>の状態であり、なろうとする。これを'''基底状態'''、<math>n=2, 3, \cdots</math>のときを'''{{ruby|励起|れいき}}状態'''という。 {{コラム|[[高校化学 無機化学まとめ#炎色反応|炎色反応]]の原理| 高温の炎中にある種の金属粉末や金属化合物を置くと、試料が熱エネルギーによって解離し原子化される。それぞれの原子は熱エネルギーによって電子が励起され、外側に存在する高エネルギーの電子軌道へと移動する。励起された電子が安定な基底状態に戻ろうとする際に、余分なエネルギーを電磁波として放出する。電磁波の周波数が、ちょうど可視光線の範囲に入る場合が有る。このとき、炎色反応として肉眼で観察できる。 なお、原子の電子軌道のエネルギーは連続した値ではなく飛び飛びの値であるため、励起された電子が基底状態に戻る際に放出されるエネルギーも連続した値ではない。このため、炎色反応として放出された光は連続スペクトルではなく輝線スペクトルを示す。また、元素によっても電子軌道のエネルギーはある程度決まるため、元素によって特徴的な輝線スペクトルを示す。これが、炎色反応を示す元素の種類により、炎色反応によって放出される光の色が決まる理由である。 }} なお、 :<math> -\frac{2\pi ^2 k_0{}^2 me^4} {h^2}</math>に諸定数の値を入れて計算すると :ほぼ<math> - \frac{13.6}{n^2} \ \ \mathrm{eV}</math>となるので、 :水素原子のエネルギー準位は :<math>E_n \fallingdotseq -\frac{13.6}{n^2} \, \mathrm{eV}</math>と書ける。 :<math>E_1 \fallingdotseq 13.6 \, \mathrm{eV}</math>は水素のイオン化エネルギーの値に等しく、実験値によく一致することが判った。 ;補：水素原子のスペクトルの経験式の理論的導出 水素原子の発する光のスペクトルの実測値を表すリュードベリの経験式については既に説明した。 ボーアの水素原子モデルに基づいて得られたエネルギー準位と振動数条件を用いれば、この式が以下のように理論的に導出できる。 任意の正整数<math>m, n \; (n>m)</math>を考える。 振動数条件により電子がエネルギー準位<math>E_n</math>から、低いエネルギー準位<math>E_m</math>に遷移するときに1個放出する光子の振動数は<math>\nu=\frac{E_n-E_m}{h}</math>である。 この光子の波長λは <math>\frac{1}{\lambda} = \frac{E_n-E_m}{ch}</math> で与えられるので、右辺のエネルギー準位に式（４）を代入すると :<math>\frac{1}{\lambda} = \frac{2\pi ^2 k_0{}^2 me^4} {ch^3}(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}) \qquad \qquad (5)</math> が得られる。 <math>\mathbf{R} := \frac{2\pi ^2 k_0{}^2 me^4} {ch^3}</math> でリュードベリ定数を定義すると、式(5)は :<math>\frac{1}{\lambda} = {\bf R}(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}) \qquad \qquad (5')</math> Rの定義式中の諸定数に値をいれて計算すると :<math>{\bf R} = 1.097373156815712\times 10^7 \rm{ /m} \qquad \qquad \qquad (6)</math> 驚くべきことに、リュードベリの経験式が、見事に導出できたのである。 これは、ボーアの仮説の妥当性を示すものと言えよう。 なお、実際の特性スペクトルの波長は、原子内部の電子の影響により若干摺れる。そういった内部電子の補正を考慮した、より精度の高い式として「[[w:モーズリーの公式]]」というのが知られている。歴史的には先にモーズリーの式が発見され、後からモーズリーとは別に独立に研究されていた上述のようなボーアやラザフォードの理論を用いると、モーズリーの公式もうまく説明できるという事が物理学者コッセルによって発見された<ref>山本義隆『原子・原子核・原子力』、岩波書店、2015年3月24日 第1刷、140ページ</ref>。モーズリーの公式については、大学の量子化学などの教科書に記載があるだろう。 ;フランク・ヘルツの実験 [図] ドイツのフランクとヘルツは、気体放電での電子の働きを調べるため、水銀蒸気を封入した図のような装置で実験を行った。 フィラメントFから飛び出す電子を、Fと網目状のグリッドGとの間に加える電圧Vで加速する。Gの後ろに電極Pを置き、Pに到達した電子の数を電流計で調べる。GP間にはFG間と逆向きに僅かな電圧（0.5V程度）を加え、電子がGに到達しても運動エネルギーが0に近ければPに到達できなくした。FG間の電圧を上げながらPに到達する電子の数を調べ、[グラフ]のような実験結果を得た。 [グラフ] 電子の数は電圧の増加とともに増すが、4.5~5V付近をピークに減少し、再び増加する。その後、約4.9Vの間隔で同様の増減を繰り返す。また、4.9eVに相当する波長のスペクトルも発生していた。 ボーアは、この実験結果を「4.9eVは水銀原子の基底状態と励起状態のエネルギーの差であり、電子の運動エネルギーが加速電圧で4.9eVに達した時に水銀原子が励起して電子が運動エネルギーを失う」と説明した。 その後、FG間から波長2.537×10^-7(4.9eVのエネルギーに相当)の紫外線が発生していることが確認された。これは、励起された水銀原子が基底状態に戻る時にそのエネルギー準位の差に相当する波長の光子を放出して生じたものと考えられ、原子には離散的な値のエネルギー準位が存在するというボーアの仮説が実験で裏付けられた。 なお、固有X線の発生原理もエネルギー準位で説明することができる。 === 原子核 === ==== 原子核の構造 ==== 原子核は、陽子と中性子からできている。二つを総称して'''核子'''という。 陽子は正電荷をもち、中性子は電荷をもたない。 原子核の陽子同士はクーロン力によって反撥し合うが、陽子と中性子を結ぶ'''核力'''がクーロン力よりも強いため、それが核子同士を繫ぎ止めている。 なお、原子番号の低い元素において、陽子と中性子の個数はほぼ同数である場合が多い。例えば、酸素や窒素では陽子・中性子ともに同数である。一方、元素番号の高い元素ほど、陽子よりも中性子が多い。例えばウラン235は中性子数が陽子数の1.5倍である。これには核力の性質が関係していると考えられている<ref>山本義隆『原子・原子核・原子力』、岩波書店、2015年3月24日 第1刷、190ページ</ref>。 陽子と中性子の数の和は'''質量数'''と呼ばれる。 元素の原子核の陽子の数は、その元素の周期表の'''原子番号'''である。 質量数が<math>A</math>の原子核は非常に強い核力のために、小さな球体状の空間の中に固まっており、その半径ｒは、 <math>1.2 \sim 1.4\times 10^{-15} \sqrt[3]{A}</math> であることが知られている。 ==== 同位体 ==== 同じ元素でも、中性子の数が異なる原子がある。これらを互いに'''同位体'''（'''アイソトープ'''）という。例えば、水素に対する重水素・三重水素、酸素に対するオゾンなどがそうである。水素の原子核は陽子1つであり、重水素(D)の原子核を'''重陽子'''、三重水素(T)の原子核を'''三重陽子'''という。また、重水素からなる水分子<chem>D2O</chem>を'''重水'''という。 一般に、同じ元素であれば同位体でも化学的性質は同一であるが、物理的性質は大きく異なる場合がある。 原子の質量は、イオン化した原子を加速して電場・磁場が軌道にもたらす影響を調べることで求められる。 トムソンは、電場と磁場を加えた空間にイオンを入射させ、比電荷の同じイオンがスクリーン上の同じ放物線上に集まるような装置を制作した。これにより、ネオンの同位体が発見された。 トムソンの研究室にいたイギリスのアストンは、トムソンの装置を基にイオンの速さにかかわらず比電荷が同じであればスクリーン上の一点に集まるような装置（'''質量分析器'''）を製作した。この装置により多くの同位体が発見され、それらの質量と存在比も精密に測定された。 ==== 放射能と放射線 ==== 元素の中には、'''放射線'''を出す性質をもつものがあり、この性質を'''放射能'''という。 また、放射能をもつ物質は'''放射性物質'''といわれる。放射能を持つ同位体を'''放射性同位体'''という。 放射線には3種類存在し、それぞれ'''α線'''、'''β線'''、'''γ線'''という。 α崩壊は、親原子核からα粒子が放射される現象である。α粒子の正体はヘリウム原子核である。α崩壊後、親原子核の質量数は4小さくなり、原子番号は2小さくなる。 β崩壊は、親原子核の中性子が陽子と電子に変化することで、電子が放射される現象である。なお、放出された電子はβ粒子ともよばれる。β崩壊後、親原子核の質量数は変化しないが、原子番号は1増加する。 γ線は、α崩壊またはβ崩壊直後の励起状態にある原子核が、よりエネルギーの低い状態に遷移するときに放射される（かつてはγ崩壊と呼んだが、原子核が崩壊していないので用語廃止された）。γ線の正体は光子で、X線より波長の短い電磁波である。 α崩壊やβ崩壊によってもとの原子核の数は徐々に減っていくが、これらの崩壊は原子核の種類ごとに決まった一定の確率で起きるので、崩壊によってもとの原子核の数が減る速度は原子核の個数に比例して変化する。しかし、崩壊によってもとの原子核の数が半減するのにかかる時間は、原子核の種類だけによってきまる。そこで、この時間のことをその原子核の '''半減期''' と呼ぶ。崩壊によって原子核の個数がどれだけになるかは、この半減期を用いて記述することができる。原子核の最初の個数を<math>N_0</math>、原子核の半減期を<math>T</math>、時刻<math>t</math>での原子核の個数を<math>N(t)</math>とすると、 :<math>N(t)=N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}</math> が成り立つ。 放射線に関しては様々な単位が用いられる。 かつてはキュリー、エルグ、ラド、レントゲン、レムなどの単位が用いられていたが、現在ではSI単位系に沿って以下の単位が用いられる。（ただし、現在でも前述の単位を用いる場合がある） {| class="wikitable" |+ 放射線のSI系列単位 |- ! 物理量 !! 単位 !! 記号 !! 説明 |- |放射能の強さ||ベクレル||Bq||原子核が毎秒一個の割合で崩壊するときの放射能の強さを1Bqとする。 |- |照射線量||クーロン毎キログラム||C/Kg||放射線の照射によって0℃、1013hPaの空気1cm³あたりに3.335641×10⁻¹⁰ C（1 {{ruby|esu|静電単位}}）のイオン電荷が発生したときの放射線の総量を2.58<u>0</u>×10⁻⁴ C/kg(1 {{ruby|R|レントゲン}})と定義する。 |- |吸収線量||グレイ||Gy||1Kgの物質が放射線の吸収と共に1Jのエネルギーを得たときの吸収線量を1Gyとする。 |- |線量当量||シーベルト||Sv||吸収線量に、放射線の種類ごとに定められた人体の障害の受けやすさを表す線質係数（修正係数）を掛けたもの。例えば等価線量を求めたいなら放射線荷重係数を掛け、実効線量を求めたいならさらに組織荷重係数を掛ける。 |- |線量率||シーベルト毎時||Sv/h||単位時間あたりに受ける放射線の量 |} ちなみに、1キュリーは37GBq(37ギガベクレル、370億ベクレル)に等しい。 生体が放射能を受けることを'''被曝'''という。※'''「被爆」表記は意味が違うので絶対用いないように'''。 放射線は電離作用を持つので生物細胞に影響を及ぼし、遺伝子を破壊することで癌を発症させたり奇形を発生させたりする。被曝量が大きい場合には急性の障碍を引き起こすこともある。この影響を最小限にするには、放射線源から離れる、浴びる時間を短くする、鉛で放射線を遮るなどの対策が必須である。一方で、自然界には放射線がありふれている。普段の生活では食事による内部被曝や宇宙線による被曝などで年間2.4mSvほどの放射線を自然界から受けている。これらは被曝量が少ないため人体に害はない。また、放射線は非破壊検査、癌治療、レントゲン撮影、農作物の品種改良などの分野で応用されている。 手塚治虫は、自著『火の鳥』の「未来編」にて栽培促進に利用される放射線と、そこにおける事故を描いている。1967年の時点で既に放射線の産業利用の可能性と事故が起こったときの重大性を読み取っていたのである。 なお、福島原発事故の処理水放出が取り沙汰されているが、あれは国際基準よりも厳しい基準で安全性を確認してから放出しているため、一部が騒いでいるような汚染ではない。 ===== 発展：半減期公式の導出 ===== 原子核の崩壊速度は、原子核の個数に比例すると述べた。実は、上に述べた公式はこの情報だけから純粋に数学的に導き出すことができるものである。発展的な数学を用いるが、興味のある読者のためにその概要を記しておく。 原子核の個数と崩壊速度の間の比例定数は原子核の種類によって決まる。この定数をその原子核の'''崩壊定数'''という。崩壊定数が<math>\lambda</math>の原子核の時刻<math>t</math>での個数を<math>N(t)</math>とすると、その変化速度、すなわち<math>N(t)</math>の時間微分は、 :<math>\frac{d}{dt} N(t) = -\lambda N(t)</math> で表される。このような、ある関数とその微分との関係を表した式を微分方程式といい、微分方程式を満たすような関数を求めることを、微分方程式を解くという。変数分離法によりこの微分方程式を解くと、 :<math>\frac{dN(t)}{N(t)}=-\lambda dt</math> :<math>\int \frac{dN(t)}{N(t)}=-\lambda \int dt</math> :<math>\log |N(t)|= -\lambda t + C</math>（<math>C</math>は積分定数） よって :<math>N(t) = e^{-\lambda t + C} = e^{C} e^{-\lambda t} \qquad</math><small>※<math>N(t)\geqq0</math>より絶対値記号は無視してよい。</small> ここで<math>e^{C}</math>は積分定数の値によって定まる初期値なので、原子核の初期個数<math>N_0</math>とみてよい。 :<math>\therefore N(t)= N_0 e^{-\lambda t}</math>・・・(*) 半減期<math>T</math>は<math>N(t)=\frac{1}{2}N_0</math>なる<math>t</math>のことなので、式(*)より :<math>\frac{1}{2}N_0 = N_0 e^{-\lambda T}</math> :<math>\frac{1}{2}=e^{-\lambda T}</math> :<math>-\log 2 = -\lambda T</math> :<math>T=\frac{\log 2}{\lambda}</math> よって :<math>N(t)=N_0 e^{-\lambda t}=N_0 (e^{-\log 2})^{\frac{t}{T}}=N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}</math> が得られる。 ==== 原子核反応 ==== [[File:Cloud chamber ani bionerd.gif|thumb|right|300px|霧箱の実験。陽子は電荷（正電荷）をもっているため、霧箱でも観測することができる。 （※ この画像は、陽子の観測実験ではない。）<br>霧箱（蒸気の充満した装置）を使うことで、何らかの粒子が通過したとき蒸気が凝集するので、粒子の軌跡が可視化されるのである（飛行機雲と同じ原理）。磁場を加えた場合の、軌跡の曲率等などから、比電荷までも予想できる。]] * 陽子の発見 ラザフォードは、窒素ガスを密閉した箱にα線源があると、正電荷をもった粒子が発生することを発見した。 この正電荷の粒子が、陽子である。つまり、ラザフォードは陽子を発見した。 同時に、酸素も発生することを発見し、その理由は窒素が酸素に変換されたからであり、つまり、原子核が変わる反応も発見した。 これらのことを式にまとめると、 :<math>_{\ 7}^{14} \mathrm{N} + {}_{2}^{4} \mathrm{He} \rightarrow {}_{\ 8}^{17} \mathrm{O} + {}_{1}^{1} \mathrm{H} </math> である。 このように、ある元素の原子が、別の元素の原子に変わる反応のことを '''原子核反応'''（'''核反応'''）という。また、上のような反応式を'''核反応式'''という。 化学反応では原子の種類が変わらずその組合せが変わるだけであったが、核反応では別の種類の原子が生まれる。 正電荷を持つ二つの原子核の間には電磁気力により斥力が働く。核反応は、2つの原子核がこの斥力に打ち克って核力が働く近距離に近づいた時に初めて起こる。そのため、核反応を起こすには大きな運動エネルギーが必要であり、そのためにサイクロトロン・ベータトロン等の加速器が用いられる。 一般に、核反応では'''反応の前後で質量数の和と電気量の和は保存される'''ことがわかっている。 {{コラム|霧箱| 霧箱は、種類にもよるが、普通、エタノールまたはアルゴンの気体が封入される<ref>山本義隆『原子・原子核・原子力』、岩波書店、2015年3月24日 第1刷発行、P80</ref>。 霧箱のような実験装置の用途として、陽子の実験の用途のほか、原子核反応の回数を観測する目的でも使うことが出来る。放射線の測定器のガイガーカウンターの原理も、霧箱と類似している。放射線測定器であるガイガー・ミュラー管には気体（アルゴンやエチレンガスなどの不活性な気体）が封入されている。霧箱のように気気体を封入した測定管に、高電圧をかけた電気極板を追加することで、放射線を捉えるようにしたものがガイガー管である[https://www.agc.a.u-tokyo.ac.jp/radioecology/pdf/190930_radioecology_supplement2.pdf]。物理学者ガイガーは、このような測定器を開発し、さらに原子核反応によって生成されるヘリウム分子を集めて気体として封入し、当時としては最高水準の精度でアボガドロ定数を測定する事に成功した<ref>山本義隆『原子・原子核・原子力』、岩波書店、2015年3月24日 第1刷発行、P81</ref>。これは、プランクの熱輻射の理論から算出されたものや、物理学者ベランがブラウン運動から求めたものに匹敵する精度であった<ref>山本義隆『原子・原子核・原子力』、岩波書店、2015年3月24日 第1刷発行、P82</ref>。<br /> }} * 中性子の発見 ラザフォードは1920年頃に既に陽子と同じ質量で電気的に中性な粒子の存在を予言していた。1930年、ドイツのボーテがポロニウムから放出されるα線をベリリウムに当てると透過力の強い放射線が出ることを発見し、翌年にキュリー夫妻がこれをパラフィン（[[高校化学 脂肪族炭化水素#アルカン|アルカン]]のうち炭素数が20以上のもの。水素を多く含む。）に当てると陽子が飛び出すことを発見した。夫妻は放射線をγ線と考えてコンプトン効果で説明しようと試みたが、非現実的な仮定を余儀なくされて頓挫した。イギリスのチャドウィックはこの放射線をヘリウムや窒素に当て、これを電荷を持たず陽子とほぼ等しい質量の粒子の粒子線と考えると辻褄があうことを示し、1932年に論文を提出した。この粒子は中性子、放射線は中性子線と名付けられた。 *質量とエネルギーの等価性 原子核は、それを構成する核子である陽子と中性子が自由であるときの質量の和より、小さい質量をもつ。この減った質量を、'''質量欠損'''と呼ぶ。 質量数A、原子番号Zの原子核の質量欠損<math>\Delta m</math>を、式で書けば, 原子核の質量をｍ、陽子と中性子の質量をそれぞれ<math>m_p,\ m_n</math>としたとき、 :<math>\Delta m = m_{p}Z+m_{n}(A-Z)- m</math>である。<br /> なお、原子にもよるが、一般に質量欠損の大きさは、1%程度<ref>[https://kotobank.jp/word/%E8%B3%AA%E9%87%8F%E6%AC%A0%E6%90%8D-74242 コトバンク『日本大百科全書(ニッポニカ)の解説』（坂東弘治、元場俊雄）など ]</ref>である。 陽子と中性子が核力によって結合すると、その結合エネルギーに等しいエネルギーのガンマ線が放出される。アインシュタインの[[特殊相対性理論]]によれば、質量mとエネルギーEには、 : <math>E=m c^2</math> という関係がある。 エネルギーと質量の等価性によれば、陽子と中性子が結合したときに放出されるγ線のエネルギーに等価な質量が減ることになるが、これが原子核の質量欠損である。{{コラム|原子レベルの質量の測定法| [[File:Mass spectrometer schematics.png|thumb|right|質量分析器の模式図。試料導入部およびイオン源（左下）、分析部（左上、磁場偏向型）、イオン検出部（右上）、データ処理部（右中）からなる。]] そもそも、どうやって原子や分子の質量を精度よく測定するか？ 一般に原子レベルの質量測定法として精密科学でよく知られるものとして、右図のような、磁場によって荷電粒子を曲げる方式のものがある。このような磁場とローレンツ力を用いた方式による質量測定は一般に、「磁場偏向型」といわれる。 このような装置により、磁場や電化の大きさは実験的に決定できるので、曲率が質量の関数になるので、つまり半径から質量が逆算できる。 測定対象の元素材料が中性の原子であっても、その原子が固体なら、それに電子ビームを当てて、電子によって弾き飛ばされた材料が帯電してイオン化しているので、それから、上記のような磁場による質量測定が可能になる。 なお、同位体の存在やその質量も、このころ、このような装置で発見された。 原子質量がいくつもの元素で測定できるので、派生的に、化学の理論で分かる原子番号Zと原子量A及び原子の質量の測定値MをもとにZ,AからMを求めるワイツゼッカーの公式が作成された。 また、レインウォーターらにより原子半径の予想値なども算出されていった。 }} このことから、陽子と中性子がバラバラに存在する時よりも、纏まって原子核を構成しているときの方がエネルギーが質量欠損分<math>\Delta mc^2</math>だけ小さいことがわかる。逆に、原子核をバラバラの核子にするには<math>\Delta mc^2</math>のエネルギーを与える必要がある。この意味で、<math>\Delta mc^2</math>を'''結合エネルギー'''という。化学で扱った[[高校化学 化学反応とエンタルピー#ヘスの法則|結合エンタルピー]]は原子と分子の話であったが、こちらは核子と原子核の話である。 質量数Aは核子の数なので、核子一つあたりの結合エネルギーは<math>\frac{\Delta mc^2}{A}</math>と表される。これの値は軽い原子核の領域で急激に増大し、鉄が最も最大となる。故に、'''核反応においては鉄が最も安定'''な元素である。 *核エネルギーと核分裂 核反応では、原子核の質量の和が反応の前後で変化する。質量和が減少する場合、その差が'''核エネルギー'''となる。このとき、結合エネルギーの和は増大し、核エネルギーは結合エネルギー和の変化量に等しい。一回の化学反応で解放されるエネルギーは数eV程度であるのに対し、一回の核反応で解放されるエネルギーは数MeVを超える。例えば、リチウム7と水素が衝突してヘリウム2つになる核反応では、1.68×10¹²Jという厖大なエネルギーが発生する。これは石油40トンを燃やして得られるエネルギーに相当する。 ドイツのハーンとシュトラスマンは、ウランに中性子を照射したときの反応性生物の中に、ウランとほぼ半分の質量を持つバリウム141などの原子核が含まれることを発見した。このように、一つの原子核がいくつかの原子核に分かれる反応を'''核分裂'''という。ウランのように質量数が多い原子核は、一つの原子核でいるよりも二つの原子核に分裂した方がエネルギー的に安定である。これが核分裂の起こる原因である。 核分裂は歴史的には原子爆弾に利用された。日本は原子爆弾を実戦使用された唯一の国である。 現代では、核分裂は'''原子力発電所'''で使用されている。 ウラン235やプルトニウム239を'''核燃料'''とし、熱運動する気体分子と同程度の速さの中性子を衝突させると様々な壊れ方の核分裂が起こる。このとき、いずれの場合も200MeV程度のエネルギーが解放され、2、3個の速い中性子が出る。この速い中性子を'''減速材'''（水や重水など）に衝突させて減速することで、別の核燃料に衝突させやすくする。このようにして次々に核分裂が起こることを'''連鎖反応'''という。原子力発電は、核分裂で発生した熱エネルギーでタービンを回して発電している。中性子を吸収する'''制御棒'''を用いることで核分裂が爆発的に起こらない且つ停止しないように制御している。連鎖反応が持続的に保たれる条件がちょうど満たされるとき、「原子炉は'''臨界'''にある」という。臨界状態では中性子数は一定に保たれる。原子炉の稼働は臨界点の近くで行われている。少ない燃料では中性子が核反応することなく散逸するので、臨界にあるための核燃料の量に下限があり、これを'''臨界量'''という。 原子力発電は、発電量は他の方式に比べて圧倒的であるが、安全対策や放射性廃棄物の処理などの問題がある。 2011年の東日本大震災では地震そのものには余裕で耐えたものの、津波により電源がロストしたことで炉心の冷却機能が失われて'''炉心融解'''（'''メルトダウン'''）が起こり、爆発とともに莫大な量の放射性物質が散布される、という事故が発生した。原子力発電の稼働にあたっては、このような重大事故に対する厳重かつ多重の安全対策が必須である。（[[w:福島第一原子力発電所事故]]も参照。） また、核分裂により生じる放射性元素の中には半減期が数百万年にも及ぶものが含まれ、これらの処理をどのように行うかも重要な課題である。 なお、原子力発電には'''沸騰水型'''と'''加圧水型'''の2種類がある。 *核融合 必要があれば[[高等学校地学]]も参照。 恒星では原子核同士が衝突することで質量数の大きな原子核が生まれている。このように、より大きな質量数の大きな原子核ができる反応を'''核融合反応'''という。 軽い原子核が核融合を起こすとき、結合エネルギーが増加し、その差のエネルギーが解放される。 太陽の中では、4個の水素原子核(陽子)から幾つかの段階を経て1個のヘリウム原子核が生成されている。このとき、約27MeVのエネルギーが解放される。 太陽は水素と核融合により生じるヘリウムから構成されており、水素が尽きると寿命を迎える。しかし、太陽よりも質量の大きな星ではヘリウムも核融合反応を起こして炭素が生成される。中心温度が15億Kを越えていれば炭素も核融合反応を起こしてネオンが生成し、その後は十分な質量があればネオン→酸素→珪素→鉄と核融合反応が進行する。鉄はこれ以上核融合反応を起こさないのである時点で恒星は寿命を迎え、超新星爆発を起こす。このとき、さらなる反応によりニッケル・金などのさらに重い元素が生成される。 初期の宇宙には水素・ヘリウム・リチウムあたりの軽い元素しか存在しなかったと推定され、長い年月で様々な恒星で核融合反応が進行することによって他の元素が十分量生成されてきたと考えられている。 核融合は核分裂とほぼ同時代に発見されたが、連続的に発生させるには数億℃の環境が必要であることから、当初はあまり注目されなかった。 核融合反応自体は短時間ながらも地上で起こすことに成功している。例えば、原子爆弾の進化系である水素爆弾は、原子爆弾の爆発により生まれる膨大な熱エネルギーを利用して核融合反応を起こすことによって原爆の威力を更に高めている。史上最強の水素爆弾ツァーリ・ボンバの爆発では、2.1×10¹⁷Jものエネルギーが放出されたとされている。 現在では、核融合発電の実用化が盛んに研究されている。核融合発電は核分裂を利用した従来の原子力発電に比べて圧倒的に安全でコストパフォーマンスも良いが、核融合反応の安定的な持続に未だ成功していないので、お目にかかれるのはまだ先である。 ===素粒子=== 素粒子は物質を構成する最小単位である。現在素粒子として17種類が発見されている。素粒子には、クォーク、レプトン、ゲージ粒子、ヒッグス粒子がある。陽子や中性子はクォークから構成されている。電子は素粒子である。 素粒子には、同じ質量や寿命を持つが、電荷の符号が異なる粒子が存在する。例えば、電子には、電荷が <math>e</math> の陽電子が存在する。[[ファイル:Standard_Model_of_Elementary_Particles-ja.svg|中央|フレームなし|300x300ピクセル]] ==== クォーク ==== 陽子や中性子はアップクォークとダウンクォークと呼ばれるクォークから構成される。クォークは6種類あり、それぞれ3世代に分類される。アップクォークとダウンクォークは第一世代に分類され、アップクォークとダウンクォークに性質が似ているが質量がそれよりも重いクォークが存在する。第二世代には、チャームクォークとストレンジクォーク、第三世代にはトップクォークとボトムクォークが存在する。 アップ、チャーム、トップクォークは電荷 <math>\frac{2}{3}e</math> を持ち、ダウン、ストレンジ、ボトムクォークは電荷 <math>-\frac{1}{3}e</math> をもつ。 {| class="wikitable" |+ クォーク |- ! 電荷 !! 第1世代 !! 第2世代 !! 第3世代 |- ! <math>\frac{2}{3}e</math> | アップ (u) | チャーム (c) | トップ (t) |- ! <math>-\frac{1}{3}e</math> | ダウン (d) | ストレンジ (s) | ボトム (b) |- |} === ハドロン === クォークは、必ず複合粒子を形成し、単独で取り出すことができないと考えられている。これをクォークの閉じ込めという。クォーク間に働く力は量子色力学により説明される。量子色力学によれば、それぞれのクォークには三種類の異なる色荷を持つ異なる状態が存在する。三種類の色荷は光の三原色になぞらえて赤、青、緑と名前がついている。クォークの反粒子の色荷は反赤、反青、反緑である。クォークによる複合粒子は、色荷の合計が白である必要がある。 クォークの複合粒子を'''ハドロン（強粒子）'''という。ハドロンには、3つのクォークからなる'''バリオン（重粒子）'''と、2つのクォークからなる中間子（メソン）がある。歴史的にはハドロンを素粒子に含めた時代もあり、その時は素粒子が数百種類を数えていた。現在ではハドロンを素粒子に含めない。 バリオンの重要な例には陽子と中性子がある。陽子は uud で構成され、中性子は udd で構成される。 電荷は :中性子　<math>\frac{2}{3}e - \frac{1}{3}e - \frac{1}{3}e=0</math> :陽子　<math>\frac{2}{3}e + \frac{2}{3}e - \frac{1}{3}e=e</math> となる。 [[ファイル:量子色力学-01.svg|リンク=https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:%E9%87%8F%E5%AD%90%E8%89%B2%E5%8A%9B%E5%AD%A6-01.svg|中央|サムネイル|陽子や中性子の色荷は、赤＋青＋緑＝白である。]] メソンは、2つのクォークからなる複合粒子である。色荷を考えると、クォークと反クォークで構成される必要がある。なぜなら、クォークの色荷、赤、青、緑から2つを選んでも白色になることはなく、複合粒子を構成できない。クォークと反クォークからは、赤＋反赤＝白のようになるから、複合粒子を形成することができる。 メソンの重要な例には <math>\pi</math> 中間子がある。電荷により <math>\pi^+, \pi^-,\pi^0</math> の三種類があり、原子核の中の核子を結合させる核力を担っている。それぞれ <math>\pi^+=u\bar d, \pi^-=\bar u d,\pi^0 = \frac{u \bar u - d \bar d}{\sqrt 2}</math> で構成される。 ==== レプトン ==== 電子は素粒子である。電子に似た性質を持つが質量が電子よりも重い粒子として、ミュー粒子、タウ粒子が確認されている。ミュー粒子は電子の200倍、タウ粒子は電子の3500倍の質量を持つ。 また、ニュートリノと呼ばれる粒子が存在する。ニュートリノは物質とはほとんど反応しないため、検出が難しい。電子ニュートリノ、ミューニュートリノ、タウニュートリノが存在する。スーパーカミオカンデでの実験からニュートリノには質量があることが知られているが、その値は非常に小さい。 {| class="wikitable" |+レプトン !電荷 |第一世代 |第二世代 |第三世代 |- ! <math>-e</math> | 電子 (e^ー ) | μ粒子 (''μ''^ー ) | τ粒子 (''τ''^ー ) |- !0 | 電子ニュートリノ（''ν''_e ） | μニュートリノ（''ν''_''μ'' ） | τニュートリノ（''ν''_''τ'' ） |} ==== 4つの力 ==== 自然界に働くすべての力は4つの力に分類することができる。電磁気力、強い力、弱い力、重力である。 例えば、机の上の物体に働く抗力や摩擦力などは原子の周りの電子による反発力で説明できるから、電磁気力を起源とする。電磁気力は光子によって媒介される力である。 強い力はグルーオンによって媒介される。強い力はクォークを閉じ込め複合粒子を形成したり、核力の起源となる。強い力は量子色力学によって説明される。 弱い力は、W粒子とZ粒子により媒介され、主にベータ崩壊を引き起こす。W粒子とZ粒子をまとめてウィークボソンという。弱い力はワインバーグ・サラム理論によって、電磁気力と統一的に説明される。電磁気力と弱い力を統一した力を電弱力という。 重力を媒介する素粒子を重力子というが、まだ発見されていない。 グルーオンのように、力を媒介する粒子のことを'''ゲージ粒子'''という。 {| class="wikitable" style="float: right; text-align: center; margin: 2pt;" |+ 4つの力とゲージ粒子 |- ! 力の種類 ! ゲージ粒子 ! 相対的強さ ! 到達距離 ! 力の源 |- ! 電磁気力 | 光子（フォトン）<br>（電磁場を量子化したもの） |10^-2 |∞ |電荷 |- ! 強い力<br>（クォークを引き付けあう力のこと。） | グルーオン |1(基準) |10^-15m |色荷 |- ! 弱い力<br>（β崩壊を司る力のこと） | ウィークボソン(W粒子、Z粒子) |10^-5 |10^-17m |弱荷 |- ! 万有引力（重力）<br> | 重力子（グラビトン）<br>（未発見） |'''10^-38''' |∞ |質量 |- |} ==== ヒッグス粒子 ==== ヒッグス場という場は真空において対称性を破ることになる。これを'''自発的対称性の破れ'''という。このときに現れる粒子がヒッグス粒子である。また、ヒッグス場が対称性を破ることによりウィークボソンが質量を獲得する。このことをヒッグス機構という。また、クォークや電子、μ粒子、τ粒子の質量はヒッグス場によって与えられる。 ちなみに、強い力を説明する量子色力学と電弱力を説明するワインバーグ・サラム理論は、ヤン・ミルズ理論の特殊な場合である。ヤン・ミルズ理論においては、力を媒介する粒子はそのままでは質量を持つことができない。そのため、ウィークボソンの質量を説明するためにヒッグス機構が必要となる。また、ヒッグス機構においても、残った対称性のために光子は質量を持たない。 ==== 反物質 ==== 素粒子には反粒子が存在するから、複合粒子には、構成する素粒子が反粒子となった粒子が存在する。例えば、陽子 <math>p = uud</math> には反陽子 <math>\bar p = \bar u \bar u \bar d</math> が存在する。中性子にも、反中性子 <math>\bar n = \bar u \bar d \bar d</math> が存在する。反粒子で構成された物質を'''反物質'''という。 粒子と反粒子が衝突すると、衝突前のエネルギーと同じエネルギーを持つ光子が2つ以上放出されて消滅する。この現象を'''対消滅'''という。 逆に、光子から粒子と反粒子が生成されることを'''対生成'''という。対生成は光子が近くの原子核と作用する必要がある。 現在の宇宙においては反物質は少量しか存在しないが、宇宙の黎明期には物質と同程度存在し、対消滅によってその殆どが消えたと考えられている。あるいは、宇宙の未知の領域に反物質のみで構成された領域も存在するという仮説が立っている。 （発展）病院などで使われる陽電子断層撮像法（PET）は、β⁺崩壊によって陽電子を放出する ¹⁸F などを含む化合物を体内に取り込み、 発生した陽電子が電子と対消滅して発生するγ線を観測することによって、体内を調べる技術である。 ==== スピン ==== 電子や陽子や中性子などは、スピンという磁石のような性質をもっている。磁石にN極とS極があるように、スピンにも、2種類の向きがある。スピンのこの2種類の向きは、上向きスピンと下向きスピンがある。 全ての分子は電子や陽子や中性子を含むのに、多くの物質があまり磁性を持たないのは、反対符号のスピンをもつ電子が結合しあうことでスピンが打ち消しあうからである。 物質に静磁場を加えつつ高周波電磁波を加えると、原子核のスピンによって、電磁波が発生する。この電磁波を観測するのが、核磁気共鳴法（NMR、nuclear magnetic resonance）の原理である。 医療で用いられるMRI（magnetic resonance imaging）は、核磁気共鳴法を利用して人体内部を観測する機器である。 素粒子も、通常はスピンをもつ。 μ粒子のスピンという性質による磁気と、μ粒子の透過性の高さを利用して、物質内部の磁場の観測方法として既に研究されており、このような観測技術をμオンスピン回転という。超伝導体の内部の観測などにも、μオンスピン回転による観測が研究されている。 ==== 発展：力の統一 ==== 現代物理学において、自然界に存在する力はすべて電磁気力・弱い力・強い力・重力の4つに統一されている。 これらの力は宇宙誕生時は一つの力だったと考えられており、現在この4つの力をさらに統一しようとする試みが行われている。 電磁気力と弱い力を統一する'''電弱統一理論'''は既に完成しており、ワインバーグ＝サラム理論の名で1979年にノーベル物理学賞を受賞している。電弱統一理論は、ヒッグス粒子の発見によって理論が裏付けられた。強い力と電弱統一理論を統一する'''大統一理論'''は未完成ではあるものの、裏付けとなる現象の観測待ちとなっている。 3つの力と重力を統一する'''超大統一理論'''は'''万物の理論'''と呼ばれ、さまざまなアプローチで構築が進められているが、ある一つの大きな問題が存在する。 それは、'''重力は他の力に比べて圧倒的に弱い'''という事実である。日常生活で考えてみると、磁石で鉄をくっつけられることから「巨大な地球の重力がかなり小さい磁石の電磁気力に負けている」と気がつくことができる。 重力が弱い理由はいくつか考えられているが、その中でも有名なものは「'''重力子が他の素粒子が到達することのできない次元方向に拡散しているため'''」という仮説である。これは素粒子を質点でなく大きさをもつ一次元の弦（あるいは二次元以上の膜）とみなし、素粒子の種類の違いを振動の仕方の違いに対応させる'''超弦理論'''という理論の研究の中で生まれた仮説である。素粒子の種類の違いを表現するには我々の住む三次元空間では振動方向が足りないことから、「この世界は本当はもっと高次元な空間である」との仮説が生まれ、その中で唱えられ始めた。超弦理論の一つであるM理論では、「この世界は十次元空間と一次元時間の十一次元時空間であり、余剰次元は小さく丸まっている（コンパクト仮説）」という方向で理論が構築されている。なぜ重力子のみが余剰次元方向に拡散できるかについては、「他の素粒子は開いた弦でありこの三次元空間に張り付いているが、重力子は閉じた弦であって空間に縛られない」という仮説が立っている。 この仮説では重力のみが弱い理由を合理的に説明できているが、重力子が未だ未発見であること、光子すらも届かない余剰次元空間の存在を確認する手段がないことが難点である。 とりあえず、万物の理論として2024年現在最も有力視されている理論がM理論である。これ以上の深入りは避ける。 ==== 発展：コバルト60のベータ崩壊と弱い力 ==== コバルト60を極低温に冷却し、磁場をかけて多数のコバルト原子の電子殻の孤立電子スピンの方向をそろえた状態で、コバルト60がベータ崩壊して発生するベータ粒子の出る方向を調べる実験が行われた。 実験の結果、コバルト60がベータ崩壊してベータ粒子の出てくる方向は、コバルト60のスピンの磁気の方向と逆の方向に多く放出されているのが観測された。これは、崩壊の確率が異なっており、ベータ崩壊の対称性が破れていることになる。このような実験事実により、弱い力は空間反転に対して非対称である。このことをパリティ対称性の破れという。 そこで、空間反転と同時に、粒子を反粒子に変える変換に対する対称性、CP対称性は保たれると考えられたが、これもK中間子に関する実験によりCP対称性は破られることが分かった。 小林益川理論は、CP対称性の破れを説明するためにはクォークが3世代以上存在する必要があることを証明した。 さらに、C変換、P変換と同時に、時間を反転させる操作に対する対称性、CPT対称性が考えられた。現在では、CPT対称性は成り立つと考えられている。 == 脚注・参考文献など == [[Category:高等学校教育|物ふつり2けんしとけんしかく]] [[Category:物理学|高ふつり2けんしとけんしかく]] [[Category:物理学教育|高ふつり2けんしとけんしかく]] [[Category:高等学校理科 物理II|けんしとけんしかく]] 3fl0xi1xpwzonpdl8337hy0zki5hhkf 299360 299359 2026-05-09T17:07:05Z Nermer314 62933 299360 wikitext text/x-wiki == 電子と光 == === 電子の発見と測定 === ==== 陰極線 ==== [[File:12. Тлеечко празнење.ogv|thumb|400x400px|真空放電の実験動画|中央]] 図のように両極に電極を封入したガラス管に高電圧を加えるとき、内部の気体を抜いていくと管全体が内部気体特有の発光を示す。このような稀薄気体による放電を'''真空放電'''という。最近は減りつつあるが、蛍光灯は真空のガラス管に少量の水銀蒸気を入れて真空放電を起こすことにより、水銀から紫外線を発生させて蛍光塗料を光らせている。 [[File:Crookes tube two views.jpg|thumb|陰極線は左端の陰極から右に進み、管壁にぶつかって蛍光を発させる。また、十字状の物体に遮られることも確認できる。|261x261ピクセル]] 1858年、ドイツのプリュッカーは真空放電の実験の中で、ガラス管内の真空度を増すとあるとき管内の光が消えて正極側の管壁が蛍光を発することを発見した。これを受けて、1874年にイギリスのクルックスが「負極から出た何かが正極に向かって進んで管壁にぶつかることによって蛍光する」というアイディアを提唱した。ここで、正極・負極をそれぞれ'''陽極'''・'''陰極'''、陰極から出る何かを'''陰極線'''と名づけた。 その後、さまざまな実験により陰極線の性質が解明された。 *写真フィルムを感光する *蛍光物質に当てると発光を示す *物体に遮られ、その後ろに影を作る *電場や磁場に、負電荷と同様の影響を受ける *これらの性質は陰極の金属の種類や管内の気体の種類に依存しない これらを総合すると、「陰極線は負電荷を持つある特定の粒子の流れで、その粒子はすべての金属に含まれる」という仮説が立つ。 この粒子の正体を調べるために、次のような実験が行われた。 ==== トムソンの実験 ==== 1897年、イギリスのトムソンは陰極線が電場や磁場でどのように曲げられるかを詳しく調べた。 真空中に間隔d、長さlの平行平板電極a, bを上から順に置き、電極面に平行に、電極間に向けて左から速さvで質量m、電荷-eの荷電粒子を入射する。電極の右端から距離Lだけ離れたところに蛍光物質を塗ったスクリーンを置いて粒子の到達地点を記録する。電子の入射方向にx軸をとり、電極の左端を通りスクリーンに平行な直線をy軸とする。また、表から裏の向きにz軸をとる。粒子の質量mは非常に小さい値と考えられるので、重力の影響は無視する。 まず、極板間にy軸の負の向きに大きさVの電圧をかける。このとき、極板間の電場は一様になるので、電場の強さは<math>E = \frac{V}{d}</math>と求まる。粒子は負電荷なので電場の向きと逆、すなわちy軸の正の向きに電場からの力を受け、その大きさは<math>F = |-e| E = \frac{eV}{d}</math>である。よって粒子の加速度は運動方程式より<math>a = \frac{eV}{md}</math>と求まる。 このとき、x軸方向は等速直線運動、y軸方向は等加速度運動をするので、xy平面上では放物運動をすると見做せる。x軸方向で考えると、速さvでlだけ移動する時間は、きはじの法則より<math>t_1 = \frac{l}{v}</math>である。y軸方向で考えると、粒子が電極を抜ける瞬間のy座標は<math>y_1 = \frac{1}{2} at^2_1 = \frac{el^2V}{2mdv^2}</math>と求まる。 電極を抜けた粒子は等速直線運動を行うので、粒子が電極を抜けてからスクリーンに到達する時間はx軸方向で考えると<math>t_2 = \frac{L}{v}</math>である。y軸方向は位置<math>y_1</math>に達したときの速度で等速運動をするので、<math>v_y = at_1 = \frac{elV}{mdv}</math> である。よって、電極を通過した後のy方向の移動距離は<math>y_2 = v_y t_2 = \frac{elLV}{mdv^2}</math>と求まる。スクリーンに到達したときの粒子のy座標は<math>y_0 = y_1 + y_1 = \frac{el^2V}{2mdv^2} + \frac{elLV}{mdv^2} = \frac{el(l+2L)V}{2mdv^2}</math>である。 次に、電極間にだけz軸の正方向に一様な磁場を加える。入射した粒子が直進するように磁場を調整すると、粒子が電場から受けるクーロン力と磁場から受けるローレンツ力が釣り合うので、磁束密度の大きさについて力の釣り合いの式より<math>B = \frac{V}{vd}</math>が成り立つ。よって<math>y_0 = \frac{el(l+2L)B}{2mv}</math>である。 これらを総合すると、<math>y_0 = \frac{e}{m} \times \frac{l(l+2L)B}{2v} </math>より<math>\frac{e}{m} = \frac{2y_0v}{l(l+2L)B} = \frac{2y_0E}{l(l+2L)B^2} = \frac{y_0V}{l(\frac{l}{2}+L)dB^2}</math>と求まる。 この<math>\frac{e}{m}</math>を荷電粒子の'''比電荷'''という。当時、最終的に求まった式に含まれる定数はすべて測定可能だったので、比電荷の値を求めることができた。具体的には、<math>\frac{e}{m} \fallingdotseq 1.75882001076 \times 10^{11}</math> C/kgである。 この比電荷は陰極に用いる金属や管内の気体の種類に依存しないので、物質の中には負電荷を持った粒子が共通に含まれることが証明された。この粒子は'''電子'''と名付けられた。現在では、この電子が電気の正体であると判っている。 なお、電子の具体的な質量や電気量の測定は1909年のミリカンの実験を待つことになる。 ==== ミリカンの実験 ==== ミリカンの実験とは、霧吹きなどで作成した油滴の微小な飛沫に、X線やラジウムなどで帯電させる。そして、外部から電場を印加する。すると、油滴の重力（下向き）のほかに、電場による静電気力（上向きになるように電極板を設置する）が働くので、釣り合って静止する状態になった時の電場から、電荷の値を確かめる実験である。 油滴の質量をm、電気量を-q、電場の強さをE、重力加速度をgとすると、油滴に働く重力とクーロン力が釣り合っているので、<math>mg = |-q|E</math>である。 電場の強さを0にすると、油滴は自由落下運動を始めるが、空気抵抗によって終端速度vで落下するようになる。このとき、油滴に働く重力と空気抵抗力が釣り合っているので、空気抵抗の比例定数をkとして<math>mg = kv</math>が成り立つ。 総合して、<math>q = \frac{kv}{E}</math>を得る。 この実験を繰り返したときに算出・測定される電荷の値が全て 1.6×10^-6 Cの整数倍になったので、電子1個の電荷が 1.6×10^-19 Cだと分かった。 なお、この 1.6×10^-19 Cのことを'''電気素量'''という。 現在では、電気素量は <math>e = 1.602 \, 176 \, 634 \times 10^{-19} \, \mathrm C</math> と定義されている。 この値と先ほどの比電荷の値から、電子の質量は<math>m \fallingdotseq 9.1093837015 \times 10^{-30} </math> kgと求まる。 {{コラム|ミリカン以前の電気素量の測定| ラボアジエなどの電気分解の実験により、金属の電気分解の実験の時に発生する気体が帯電していることは古くから知られていた。実験物理学者タウンゼントは、発生した気体のモル数と静電誘導などによって発生した電荷の合計を測定することにより、電子1個あたりの電荷（電気素量）を概算した。 現代の電子の電荷と桁が同じくらいの精度で、タウンゼントは電気素量の測定値を得た。 }} === 光の粒子性 === ==== 光電効果 ==== [[File:Photoelectric effect diagram no label.svg|thumb|300px|電子の運動エネルギーの最大値と、光の振動数との関係]] 負の電荷に帯電させてある金属板に、紫外線を当てると、電子が飛び出してくることがある。また、放電実験用の負極に電子を当てると、電子が飛び出してくることがある。この現象を、'''光電効果'''という。1887年、ヘルツによって、光電効果が発見された。レーナルトによって、光電効果の特徴が明らかになった。 当てる光の振動数が、一定の高さ以上だと、光電効果が起きる。この振動数を'''限界振動数'''といい、これより低周波数の光では、光電効果が起こらない。また、限界振動数のときの波長を、'''限界波長'''という。 限界振動数は物質によって異なる。亜鉛板では紫外線でないと光電効果が起きないが、セシウムでは可視光でも光電効果が起きる。 光電効果とは、物質中（主に金属）の電子が光からエネルギーを受け取って外部に飛び出す現象のことである。 この飛び出した電子を'''光電子'''という。 光電効果には次のような特徴的な性質がある。 :* 光の振動数がある振動数（限界振動数）以上でないと起こらない。 :* 光電子の運動エネルギーの最大値は当てた光の振動数のみに依存し、光の強さには依存しない。 :* 単位時間あたりに飛び出す光電子数は、光の強さに比例する。 これらの性質のうち、1番目と2番目の性質は（それまでの）古典物理学では説明できない。 つまり、光を電磁波という波動の性質だけで捉えていては辻褄が合わないのである。 仮に電磁波の電場によって金属から電子が放出すると考えた場合、光の強さが大きくなるにつれ光波の振幅が大きくなるので、電場も大きくなるはずである。 しかし、実験結果によれば光電子の運動エネルギーは光の強さには依存しない。 よって光電効果は古典物理学では説明できない。 ===== アインシュタインの 光量子仮説 ===== 上述の矛盾（古典的な電磁波理論では、光電効果を説明できないこと）を解決するために、次のような'''光量子仮説'''がアインシュタインによって提唱された。 * 光は、光子の流れである。光子を、光量子ともいう。 * 光子1個の光エネルギー <math>E</math>は、光の振動数 <math>\nu </math> に比例する。 *:<math>E=h\nu</math> 比例定数 <math>h = 6.62607015 \times 10 ^{-34} \, \mathrm{J \cdot s}</math>を'''プランク定数'''という。 光電効果を起こすのに必要な最小エネルギーを'''仕事関数'''という。仕事関数の値は金属の種類によって異なる。 仕事関数を <math>W</math>とすると、光子の得る運動エネルギーの最大値 <math>K_0</math>について、次式が得られる。 :<math> K _0 = h \nu - W </math> (1.1) この式より、光電効果が起こる条件は <math>h \nu \geqq W</math> となる。これは <math>k_0 \geqq 0</math>に相当する。 これより、限界振動数 <math>\nu_0</math>について、<math>h\nu_0=W</math>が成り立つ。 この光量子仮説により、光電効果の1番目と2番目の性質を容易に矛盾なく説明できるようになった。波動は粒子のように振舞うのである。 なお、光電効果の3番目の性質から、ある場所の光の強さはその場所の単位面積と単位時間及び飛来する光子の数に比例することが分かる。 *エネルギーの単位 電子や光子一個のエネルギーは非常に小さいので、ジュール（J）をそのまま用いると使い勝手が悪い。そのため、新たにエネルギーの単位を設定する。 真空中において電子一個を1Vで加速するときに電子が得る運動エネルギーを'''電子ボルト'''（'''エレクトロンボルト'''）という（記号：eV）。<math>1 \mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19} \mathrm{J}</math>である。 例） *銅の仕事関数は4.65eV {{コラム|光波長の測定| そもそも、光波長はどうやって測定されたのだろうか。 現在では、例えば原子の発光スペクトルの波長測定なら、回折格子をプリズムとして使うことによって、波長ごとに分け、波長が測定されている。 可視光の波長の測定は回折格子によって測定するわけだが、ではその回折格子の細かい数百nm〜数千nm程度の間隔の格子溝をどうやって作るのか、という問題に行き着く。 歴史的には、下記のように、可視光の波長が測定されていった。 まず、1805年ごろの「ヤングの実験」で有名なヤングらの研究により、可視光の波長は、おおむね 100 nm（10^-7m） 〜 1000 nm 程度であることは、この頃から既に予想されていた。 その後、ドイツのレンズの研磨工だったフラウンホーファーが優れた回折格子を開発し、可視光の波長を精密に測定する事に成功した。フラウンホーファーは回折格子を作るために細い針金を用いた加工装置を製作し、その加工機で製作された回折格子を用いて光波長の測定を始めたのが研究の起こりである。1821年、フラウンホーファーは格子を130 本/cmも並べた回折格子を製作した。<ref>『現代総合科学教育大系　SOPHIA21　第7巻　運動とエネルギー』、講談社、発行：昭和59年4月21日第一刷発行発行</ref> また、1870年にはアメリカのラザフォードがスペキュラムという光の反射性の高い合金を用いた反射型の回折格子を製作し、これによって700 本/mmもの格子のある回折格子を製作した。 更にこの頃、送り螺子の潤滑のために水銀を使う水銀浮遊法が、研究開発で行われた。 後の時代、より高精度な波長測定が物理学者マイケルソンによって行われた。 干渉計を用いて反射鏡を精密螺子で細かく動かすことにより高精度な波長測定器を作り、この測定器によってカドミウムの赤色スペクトル線を測定した。測定波長は643.84696 nmだった。マイケルソンの測定方法では、赤色スペクトル光の波長を当時のメートル原器と比較することで測定した。<ref>川上親考ほか『新図詳エリア教科辞典　物理』、学研、発行：1994年3月10日新改訂版第一刷、P.244 および P.233</ref> このマイケルソンの制作した干渉計にも、水銀浮遊法の技術が取り入れられている<ref>クリス・エヴァンス 著、橋本洋・上野滋 共訳『精密の歴史』、大河出版、2001年11月28日 再版、185ページ</ref>。 更に螺子の技術革新で、弾力性のある材質で螺子を作ることによって誤差を均し高精度とする技術マートン・ナットが、イギリスの物理学者トーマス・ラルフ・マートンなどによって開発された。 なお、現代でも、研究用として干渉計を用いた波長測定器が用いられている。メートル原器は、マイケルソン当時は長さの基準だったが、1983年以降は標準には用いられていない。現在のメートルの定義は以下の通り。 ;メートルの定義 :真空中の光速 <math>c</math> を単位 m/s で表したときに、その数値を {{val|299792458}} と定めることによって定義される。 :ここで、秒はセシウム周波数 <math>\Delta \nu_{\mathrm{Cs}}</math> によって定義される。 }} ==== 光電効果の測定 ==== [[File:Cellule photoelectriqie.JPG|thumb|300px|光電効果の実験]] [[File:Caracteristique courant tension (frequence fixe).JPG|thumb|300px|電位と光電流の関係]] 右の実験図のように、光電管の陰極に限界振動数ν₀よりも振動数が大きい光を当てると、光電子が飛び出し陽極に流れ込む。このときの電流を'''光電流'''という。 光電流の測定結果は右のグラフのようになる。 陽極の電位が正であれば飛び出した光電子は全て陽極に流れこむため、電圧を高くしても光電流の大きさは一定である。 陽極の電位が0であっても、光電子は運動エネルギー<math>K_0</math>を持って飛び出すので、陽極に到達することができる。 陽極の電位を負にしてさらに下げると、光電子は電場から受けるクーロン力によって運動を妨げられ、ある電位 <math>-V_0</math>で陽極に到達する前に運動エネルギーが0になってしまう。このときの電圧 <math>V_0</math>を'''阻止電圧'''といい、<math>K_0 = eV_0</math>が成り立つ。 つまり、阻止電圧を測定すれば光電子の持つ運動エネルギー <math>K_0</math>を求めることができる。 このとき、光の振動数 <math>\nu</math>または光の波長 <math>\lambda</math>が判っていれば、<math>K_0 = h \nu - W = \frac{hc}{\lambda} - W</math>より金属の仕事関数 <math>W</math>も求めることができる。 ただし、陽極と陰極で金属の種類が異なるとき、これらの仕事関数の違いに伴い'''接触電位差'''が表れるため、それも考慮しなければならない。 なお、光電効果によってプランク定数を測定することもできる。 === X線 === ==== X線の発見 ==== [[File:Rotating anode x-ray tube (labeled).jpg|thumb|250px|X線管<br>陰極から出た陰極線を陽極に照射すると、X線が出る。]] [[File:Tube RX a fenetre laterale.png|thumb|X線管の原理]] レントゲンは、1895年、放電管を用いて陰極線の実験をしていたとき、放電管の近くに置いてあった写真乾板が感光している事に気付いた。 レントゲンは、陰極線が硝子に当たったとき、何か未知のものが放射されてると考え、これをX線と名づけた。 軈て、種々の実験によってX線は性質が明らかになった。 *磁場や電場で曲がらない。（この事から、X線は荷電粒子ではない事が分かる） *X線を照射された物質はイオンに電離する。（'''電離作用'''） *可視光線を通さない物質でも、X線なら透過できる場合がある。（医療診断に応用されている。） *蛍光物質を光らせる。 などの性質がある。 ==== X線の発生とスペクトル ==== 上のX線菅の図において、電流による発熱で陰極から放出された'''熱電子'''は高い電圧によって加速され、'''ターゲット'''（陽極）に衝突する。このとき、一個の電子の持つエネルギーの一部または全部がX線光子のエネルギーとなり、残りは陽極熱に変換される。 発生するX線のスペクトルは、ある最短の波長から始まってそれより長い波長を連続的に含む。これを'''連続X線'''という。 電子のエネルギーが全てX線光子のエネルギーに変わるとき、<math>E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}</math>よりX線の波長は最短となる。このときのX線の振動数をν₀、波長をλ₀、加速電圧をVとすると、電子の初速度が0のとき、<math>eV_0 = h\nu_0 = \frac{hc}{\lambda_0}</math>が成り立つ。すなわち、最短波長は<math>\lambda_0 = \frac{hc}{eV}</math>と求まる。 [[File:TubeSpectrum.jpg|thumb|240px|特性X線（K線）]] 右の図のように、連続X線の他に特定のエネルギーを持つX線が強く放射される場合があり、これを'''固有X線'''（'''特性X線'''）という。固有X線の波長はターゲットの材質で決まる。 {{-}} ==== X線の波動性 ==== 1912年、物理学者ラウエは、X線を単結晶に当てると、写真フィルムに図のような斑点の模様にあることを発見した。これを'''ラウエ斑点'''といい、結晶中の原子が回折格子の役割をしたことで発生した干渉現象である。 [[File:Bragg diffraction 2.svg|thumb|400px|ブラッグの条件]] 1912年、ブラッグは、反射が強めあう条件式を発見した。 この条件式 :<math>2d\sin\theta = n\lambda</math>(nは非負整数) を'''ブラッグの条件'''という。 上式のdは格子面の間隔の幅である。 これは結晶面での回折や屈折を無視した場合の式であり、実際にはもう少し複雑な式となる。 <!-- 2023年奈良女子大学後期日程などに電子波の屈折を考慮したブラッグ反射の問題が出題。今後、新傾向として注意すべし ＠2025/08/13 --> {{-}} ==== X線の粒子性 ==== * コンプトン効果 X線を物質に当てて散乱された後のX線を調べると、その中に元のX線の波長よりも長いものが含まれることがわかった。このように散乱X線の波長が伸びる現象は物理学者コンプトンによって解明されたので、'''コンプトン効果'''（'''コンプトン散乱'''）という。 [[File:Compton ex1.jpg||400px|thumb|right|コンプトンによる実験略図。なお、図中の「単結晶」は波長の測定用であり <ref>原島鮮『初等量子力学』（裳華房、2014年第40版、初版は1972年）</ref> 、「単結晶」の材質は方解石の結晶であり、散乱波長はブラッグ反射などを活用して測定する。（コンプトン本人の論文“The Spectrum of Scattered X-Rays”(May 9, 1923).に、方解石（calcite）を使っていることと、ブラッグ反射（Bragg ?）させている事が書かれている。）]] この現象は、X線を波と考えたのでは説明がつかない。（仮に波と考えた場合、散乱では波長が変化しないので散乱光の波長は入射X線と同じになるはず。） さて、波動の理論でコンプトン効果を説明できないなら、粒子の理論で説明をすれば良いだろう。 この当時、アインシュタインは光量子仮説に基づき、光子はエネルギー<math>E=h\nu</math>だけでなく、次の式で表される運動量 <math>p</math>も持つことを発見している。 <math>p=\frac{h\nu}{c}(=\frac{h\nu}{\nu \lambda}=\frac{h}{\lambda})</math> 物理学者コンプトンは、この発見を利用し、波長λのX線を、運動量<math>\frac{h}{\lambda}</math> とエネルギー<math>\frac{hc}{\lambda}</math>を持つ粒子（光子）の流れと考え、 X線の散乱を、この光子が物質中のある電子と完全弾性衝突をした結果と考えた。 :コンプトンはこの考えに基づき、光子と電子の間に運動量保存則及びエネルギー保存則が成り立つと仮定して計算して、実験結果と良く合う結果が得られることを発見した。 [[File:Compton effect illust.svg|thumb|400px|コンプトン効果<br>この図を見ると、あたかも真空中を漂う電子に電磁波を照射したように見えるが、そうではない。実際にコンプトンが行った実験は、石墨の炭素などの物質にX線を照射する実験である。図中の電子は、炭素などの分子が提供する電子である。<!-- コンプトン本人の論文に、このような感じの図が書かれており、それでこのような図が普及したものと思われる。-->]] 解法は、下記のとおり。 :エネルギー保存の式を立てる。 :運動量の保存の式を立てる。 ---- エネルギー保存の式 :<math>\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda '} + \frac{1}{2}mv^2 \qquad \qquad</math> (1.2a) 運動量保存の式 :x軸: <math> \frac{h}{\lambda} =\frac{h}{\lambda '} \cos \theta + mv \cos \phi \quad</math> (1.2b) :y軸: <math> 0 =\frac{h}{\lambda '} \sin \theta - mv \sin \phi \qquad</math>(1.2c) ---- この3つの式を連立し、<math>v</math>と<math>\phi</math>を消去して<math>\lambda,\lambda ',\theta</math>の関係式を求めればよい。 ⅰ）まず、式(1.2b),(1.2c)から<math>\phi</math>を消去する。<br> 式(1.2b)から :<math>(mv \cos \phi)^2 = (\frac{h}{\lambda}-\frac{h}{\lambda '} \cos \theta)^2 </math> 式(1.2c)から :<math>(mv \sin \phi)^2 = (-\frac{h}{\lambda '} \sin \theta)^2</math> この両式を加えると :<math>m^2 v^2 = (\frac{h}{\lambda}-\frac{h}{\lambda '} \cos \theta)^2+(-\frac{h}{\lambda '} \sin \theta)^2+\frac{h^2}{\lambda '^2}</math> この右辺を整頓すると、 :<math>m^2 v^2 =\frac{h^2}{\lambda^2}-2\frac{h^2}{\lambda \lambda '}\cos \theta +\frac{h^2}{\lambda '^2}\quad</math> (1.2d) を得る。 ⅱ）式(1.2d)を式(1.2e)に代入してvを消去する<br> 式(1.2a)の右辺の第2項を変形して式(1.2d)を代入する。 :<math>\frac{1}{2}mv^2 =\frac{1}{2m}m^2v^2 = \frac{1}{2m}\bigl(\frac{h^2}{\lambda^2}-2\frac{h^2}{\lambda \lambda '}\cos \theta\bigr)+\frac{h^2}{\lambda '^2}</math> これを式(1.2a)の右辺に代入すると :<math>\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda '} + \frac{1}{2m}\Bigl(\frac{h^2}{\lambda^2}-2\frac{h^2}{\lambda \lambda '}\cos \theta +\frac{h^2}{\lambda '^2}\Bigr)</math> 両辺を<math>hc</math>で割ると :<math>\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda '} + \frac{h}{2mc}\Bigl(\frac{1}{\lambda^2}-2\frac{1}{\lambda \lambda '}\cos \theta +\frac{1}{\lambda '^2}\Bigr)</math> (1.2e) を得る。 この式の右辺の第2項の括弧内を次のように変形する。 :<math>\frac{1}{\lambda^2}-2\frac{1}{\lambda \lambda '}\cos \theta +\frac{1}{\lambda '^2}=\bigl(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda'}\bigr)^2+\frac{2}{\lambda \lambda'}(1-\cos \theta)</math> この式を式(1.2e)の右辺第2項に代入すると :<math>\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda'} + \frac{h}{2mc} \left\{ \bigl(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda'}\bigr)^2+\frac{2}{\lambda \lambda'}(1-\cos \theta) \right\}</math> この式の右辺の第１項を移行し、式を変形すると :<math>\frac{\lambda'-\lambda}{\lambda\lambda '}= \frac{h}{2mc}\left\{ \bigl(\frac{\lambda'-\lambda}{\lambda \lambda'}\bigr)^2+\frac{2}{\lambda \lambda'}(1-\cos \theta) \right\}</math> 両辺に<math>\lambda \lambda'</math>を掛けると :<math>\lambda'-\lambda= \frac{h}{2mc}\left\{ \frac{(\lambda'-\lambda)^2}{\lambda \lambda'}+2(1-\cos \theta) \right\}</math> (1.2f) X線の散乱では、<math>\lambda'\fallingdotseq \lambda</math>なので :<math>\frac{(\lambda'-\lambda)^2}{\lambda \lambda'}</math>は、波長に比べて非常に小さい値になり無視できる。 故に式(1.2f)から :<math>\lambda'-\lambda \fallingdotseq \frac{h}{mc} (1-\cos \theta) \qquad</math> (1.2g) これで、所望の式が導出された。 ---- === 粒子の波動性 === ==== 物質波 ==== フランスのド・ブロイは、波と考えられてた光が粒子の性質を持つならば、電子も粒子としての性質だけでなく波動としての性質を持つだろうと考えた。 そして、電子だけでなく、一般の粒子に対しても、その考えを適用し、次の公式を提唱した。 :運動量 <math>p</math>の粒子は波動性をもち、その波長は次式で与えられる。 :<math>\lambda = \frac{h}{p} </math> これはド・ブロイによる仮説であったが、現在では正しいと認められている。 この波は、'''物質波'''と呼ばれる。'''ド・ブロイ波'''ともいう。 すなわち、光子や電子に限らず、あらゆる物質は粒子性と波動性を併せ持つといえる。 この物質波という説によると、電子線を物質に当てれば回折などの現象が起きるはずである。 1927年〜1928年にかけて、デビッソンとガーマーは、ニッケルなどの物質に電子線を当てる実験を行い、X線回折と同様に電子線でも回折が起きることを実証した。日本でも1928年に菊池正士が雲母片に電子線を当てる実験により回折が起きることを確認した。 電子線の波長は、高電圧をかけて電子を加速して速度を高めれば、物質波の波長はかなり小さくできるので、可視光の波長よりも小さくなる。 そのため、可視光では観測できなかった結晶構造が、電子波やX線などで観測できるようになった。生物学でウイルスが電子顕微鏡で観測できるようになったのも、電子の物質波が可視光よりも大幅に小さいからである。 === 粒子と波動の二重性 === *電子ビームによる波動性の干渉実験 [[Image:Egun.jpg|thumb|250px|right|ブラウン管の電子銃]] [[ファイル:double-slit.svg|thumb|right|350px|電子の二重スリットの干渉実験]] [[ファイル:Doubleslitexperiment_results_Tanamura_1.gif|thumb|left|250px|二重スリット実験の結果]] 電子銃は電子を放出する装置である。 電子銃をもちいて、1個ずつ電子を当てる実験を、二重スリットを使って実験すると、図のように、波動のように、電子の多く当たった場所と電子の少なく当たる場所との縞模様ができる。 {{-}} このように、電子にも粒子性と波動性があり、電子は粒子でありつつ、二重スリットに向かって電子を撃ち込むと干渉を起こすという波動性も持っている。 上述のような、さまざまな実験の結果から、すべての物質には、原子程度の大きさでは、波動性と粒子性の両方の性質をもつと考えられている。 このことを'''粒子と波動の二重性'''という。 {{コラム|電子顕微鏡| 光学顕微鏡（レンズを用いる顕微鏡）では、回折が起こることによって光の波長よりも小さな物体を見ることが非常に困難となる。'''分解能'''（2点を識別できる限界の距離）は10^-7m(100nm)程度である。 より高い分解能を得るため、光よりも波長が短い電子線を用いる'''電子顕微鏡'''が発明された。電子顕微鏡では、加速電圧を高くすることで高い分解能を得られる。ただし、電磁波によるレンズ作用を用いることによる'''収差'''（像の歪み）などの障碍から、現在の最高分解能は10^-10m(0.1nm)ほどに留まっている。 この分解能では、ウイルスどころか金属・酸素などの原子すらも観察することが可能であるが、中性子・陽子・電子などは小さすぎて観察できない。 }} 副読本：朝永振一郎『光子の裁判』1949年（朝永振一郎は1965年にノーベル物理学賞を受賞した物理学者だが、[[高等学校文学国語/化物の進化|寺田寅彦]]と同様に一般向けの書籍を多数執筆する文豪でもあった。この作品では、光子になぞらえた「波乃光子」という被告の裁判を舞台に、粒子と波動の二重性の不思議さを繙いている。） *不確定性関係 [[File:Bundesarchiv Bild183-R57262, Werner Heisenberg.jpg|thumb|物理学者ハイゼンベルグ <br>不確定性原理の主要な提唱者である。]] 電子などの量子の位置や運動量は確定してる訳ではなく、物理量を測定するとその状態に対応する確率分布に従った値が得られれる。位置と運動量について標準偏差を計算する事ができるが、位置の標準偏差と運動量について標準偏差の積は必ず <math> \frac{h}{4\pi} </math> 以上となる。このことを'''不確定性関係'''という。 {{-}} == 原子・原子核・素粒子 == ===原子=== 陰極線に関連する実験から、全ての原子に負の電荷を持つ電子が含まれると考えられたが、原子は電気的に中性なので正の電荷を帯びた部分が存在するはずである。 そこで、原子の構造について様々な説が登場した。 比電荷の測定を行ったトムソンは、一様に正に帯電した球の中を電子が運動しているというプラムプディングモデル（ブドウパンモデル）を提唱した。長岡半太郎は、フランスのジャン・ペランが提唱した、正電荷を持つ粒子の周りを電子が公転している土星型モデルを定量化して大幅に補強した。しかし、実際に採択されたのは以下のようなモデルだった。 [[File:Geiger-Marsden experiment expectation and result (Japanese).svg|right|400px|thumb|]] ドイツのガイガーとニュージーランドのマースデンは、α粒子を薄い金箔に当てる実験を行い、α粒子の散乱の様子を調べた。（なお、α粒子の正体はヘリウムの原子核。）その結果、ほとんどのα粒子は金箔を素通りするが、金箔中の一部の場所の近くを通ったα粒子だけが大幅に散乱する現象を発見した。 α粒子は電子の7000倍以上の質量を持つことから、電子の影響で大きく曲げられたとは考えにくい。そこで、原子内の狭い部分に集中した正電荷がα粒子に強い斥力を及ぼし、その部分が原子の質量の大部分を占めていると考えて計算を行い、実験結果をうまく説明することに成功した。 原子(10^-10)内の正電荷が集中した10^-15~10^-14程度の重い部分は'''原子核'''と名付けられた。 原子は、中心に原子核があり、そのまわりを電子が運動するというラザフォードモデルとよばれるモデルによって説明される。ラザフォードモデルは、土星型モデルを発展させたものとも言える。 *ラザフォードモデル 原子は、全体としては電気的に中性であり、負の電荷を有する'''電子'''を'''電子殻'''に持つ。 ここで、ミリカンの実験 による結果などから、電子の質量は水素イオンの質量の約1/1840程度しかないことが分かっている。 すなわち、原子は電子と陽イオンとが含まれるが、質量の大部分は陽イオンがもつことが分かる。 原子核の大きさは原子全体の1/10000程度であるため、'''原子の大部分は真空'''である。 原子核は、正の電荷をもつZ個の'''陽子'''と、電気的に中性な(A−Z)個の'''中性子'''からなる。 陽子と中性子の個数の合計を'''質量数'''という。 陽子と中性子の質量はほぼ等しいため、原子核の質量は、質量数Aにほぼ比例する。 ==== 統一原子質量単位 ==== 原子の質量は極めて小さいため、キログラム（kg）をそのまま用いるのは不便である。そこで、（同位体を除いて）118種類ある原子のうちどれかを基準として考えたい。ここで、他の様々な原子と化合できるため質量比較がしやすいこと、同位体¹³Cなどの存在比が極めて小さいことなどから、炭素原子を基準にするのが適当である。 ¹²C原子一個の質量を12と定義する単位系を'''統一原子質量単位'''という。単位はDa（'''ダルトン'''）であるが、廃止されたamu（'''アトミックマスユニット'''）を用いる人もいる。 [[高等学校化学基礎/物質量#原子量|化学基礎で原子量を習った]]が、原子質量単位は質量を表す単位なのに対し、原子量は質量そのものでなく質量比を表しているので単位はなく無次元である。混同しないように注意しよう。 ==== 水素原子のスペクトル ==== 高温の物体から発光される光には、どの（可視光の）色の波長（周波数）もあり、このような連続的な波長の光を連続スペクトルという。 いっぽう、ナトリウムや水素などの、特定の物質に電圧がかけられ放電したときに発光する波長は、特定の数本の波長しか含まれておらず、このようなスペクトルを輝線という。 パルマーは、水素原子の数本ある輝線の波長が、次の公式で表現できることに気づいた。 :<math>\lambda = 3.65 \times 10^{-7} \mathrm{m} \times \left( {n^2 \over n^2 - 4} \right).\quad(n=3,\ 4,\ 5,\ 6,\cdots\cdots)</math> (2.1) 上式中のmはメートル単位という意味。 その後、水素以外の原子や、可視光以外の領域についても、物理学者たちによって調べられ、次の公式へと、物理学者リュードベリによって、まとめられた。 :<math>\frac{1}{\lambda} =R \left( \frac{1}{m^2} -\frac{1}{n^2} \right).\ \left(\begin{array}{lcl}m =1,\ 2,\ 3,\cdots\cdots, \\ n = m+1,\ m+2,\ m+3,\cdots\cdots \end{array}\right)</math> (2.2) 上式のRは'''リュードベリ定数'''といい、<math>R=1.097373156815712 \times 10^7 \, \mathrm{/m}</math>である。 この公式の<math>m=1, 2, 3</math>をそれぞれ'''ライマン/パルマー/パッシェン 系列'''という。 ==== 量子論と原子の構造 ==== [[File:Stationary wave Quantum rule in atom.svg|thumb|300px|原子内の定常波]] ラザフォードの原子模型に従えば、電子は、まるで惑星の公転のように原子核を中心とする円軌道の上を一定の速度で運動する。 円運動する質点は加速度をもつので、このモデルの電子は加速度運動を続けることになる。 ところが古典電磁気学で、加速度運動を行う電荷は電磁波を放出してエネルギーを失うという法則が既に発見されていた。 この法則によれば、原子核の周りを回る電子は電磁波を放出し続け、エネルギーを絶えず減らしていく。それにつれ電子は原子核に向けて落下していくため、原子核との距離を小さくしながら原子核の周りを回転し、やがて原子核に衝突してしまう。円軌道の上を安定的に運動することは不可能なのである。 デンマークのボーアはラザフォードの原子模型の深刻な矛盾を克服し、さらに水素原子の放出する線スペクトルについても説明できる原子模型を作るため、 プランクの提唱したエネルギー量子化の考えとアインシュタインの光量子論を取り入れた大胆な仮説を立てた(1913年）。 *仮説1：量子条件 原子核を中心とする半径 <math>r</math>の円軌道を速さ <math>v</math>で回転する電子の軌道角運動量<math>rp=mrv</math>は<math>\frac{h}{2\pi}</math>の正整数倍しかとりえない，すなわち :<math>mrv=n\frac{h}{2\pi} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\cdots\cdots)</math> (2.3) を満たさねばならない（角運動量の量子化）。この状態を'''定常状態'''、この条件を'''量子条件'''という。 :このボーアの式の正整数nを'''量子数'''という。 後年(1924年）、ド・ブロイは、物質粒子は波動性を持ち、その波（物質波）は、波長 :<math>\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}</math> をもつと提唱した。また，(2.3)を変形すると :<math>2\pi r=n\frac{h}{mv}=n\lambda</math>. これらは電子の軌道一周の長さが電子の物質波の波長の正整数倍のとき，電子波は定常波になることを示している。 :これは、円軌道上に定常波ができるための条件と同じである。 *仮説2：振動数条件 電子はある決まった飛び飛びのエネルギーしか持たない。このとびとびのエネルギー値を'''エネルギー準位'''という。 :電子がエネルギー順位を<math>E'</math>から<math>E(<E')</math>に遷移する（エネルギーを失う)ときには、<math>E'-E=h\nu</math>できまる振動数<math>\nu</math>の一個の光子を放出し、 :逆にエネルギー準位 Eの電子が外部からエネルギー<math>h\nu = E'-E</math>を得ると、エネルギー準位E'に遷移する。 ==== エネルギー準位 ==== [[File:Circular-motion-electron-in-atom jp.svg|thumb|400px|水素原子内での電子の円運動]] 水素原子において、電子軌道上にある電子のエネルギーを求めたいが、そのためには水素原子の半径を求める必要がある。 量子数<math>n</math>のとき水素の電子が原子核<math>H^+</math>を中心とする半径<math>r_n</math>の円軌道上を一定の速度<math>v_n</math>で運動しているとすれば、円運動方程式は :<math> m \frac{v^2_n}{r_n} = k_0 \frac {e^2}{r^2} </math> で表される。 一方、電子が定常波の条件を満たす必要があるので、前項の式（１）から、 :<math> v_n = \frac {nh}{2 \pi m r } \qquad \qquad (2)</math> である。 この<math>v</math>を先ほどの円運動の式に代入して整頓すれば :<math> r_n = \frac {h^2}{4 \pi ^2 k_0 me^2} n^2\qquad \qquad (3)</math>（<math>n=1, 2, 3\cdots</math>） になる。こうして、水素原子の電子の軌道半径が求まる。 <math>n=1</math>のときの半径 <math>r_1</math>を'''ボーア半径'''という。 原子の世界でも、運動エネルギーKと位置エネルギーUの和が、エネルギーである。 位置エネルギーUは、この水素の電子の場合なら、静電気エネルギーを求めれば充分であり、電位の式によって求められて、 :<math> U = - k_0 \frac {e^2}{r}</math> となる。 運動エネルギーKは、<math> K = \frac{1}{2}mv^2</math>なので :<math> E = K+U = \frac{1}{2}mv{}^2 - k_0 \frac {e^2}{r}</math> 上式の右辺第一項に、 :円運動方程式<math> m \frac{v^2}{r} = k_0 \frac {e^2}{r^2} </math>の両辺にｒを掛けた <math> m v^2 = k_0 \frac {e^2}{r} </math>を代入すれば、 :<math>E(= E_n )= K+U = \frac{1}{2} k_0 \frac {e^2}{r}- k_0 \frac {e^2}{r} = - \frac{k_0e^2}{2r} </math> となる。 さらに、これに電子の軌道半径<math>r=r_n</math>として式(3)を代入すれば、 :<math>E_n = -\frac{2\pi ^2 k_0{}^2 me^4} {h^2} \frac{1}{n^2} \quad (n=1,2,3,,,) \qquad \qquad (4)</math> となる。これが水素原子のエネルギー準位である。 エネルギー準位の公式をよく見ると、エネルギーが連続的ではなく離散的な負の値をとることが判る。 <math>n=1</math>のとき、エネルギーが最低なので安定である。よって、電子は通常、<math>n=1</math>の状態であり、なろうとする。これを'''基底状態'''、<math>n=2, 3, \cdots</math>のときを'''{{ruby|励起|れいき}}状態'''という。 {{コラム|[[高校化学 無機化学まとめ#炎色反応|炎色反応]]の原理| 高温の炎中にある種の金属粉末や金属化合物を置くと、試料が熱エネルギーによって解離し原子化される。それぞれの原子は熱エネルギーによって電子が励起され、外側に存在する高エネルギーの電子軌道へと移動する。励起された電子が安定な基底状態に戻ろうとする際に、余分なエネルギーを電磁波として放出する。電磁波の周波数が、ちょうど可視光線の範囲に入る場合が有る。このとき、炎色反応として肉眼で観察できる。 なお、原子の電子軌道のエネルギーは連続した値ではなく飛び飛びの値であるため、励起された電子が基底状態に戻る際に放出されるエネルギーも連続した値ではない。このため、炎色反応として放出された光は連続スペクトルではなく輝線スペクトルを示す。また、元素によっても電子軌道のエネルギーはある程度決まるため、元素によって特徴的な輝線スペクトルを示す。これが、炎色反応を示す元素の種類により、炎色反応によって放出される光の色が決まる理由である。 }} なお、 :<math> -\frac{2\pi ^2 k_0{}^2 me^4} {h^2}</math>に諸定数の値を入れて計算すると :ほぼ<math> - \frac{13.6}{n^2} \ \ \mathrm{eV}</math>となるので、 :水素原子のエネルギー準位は :<math>E_n \fallingdotseq -\frac{13.6}{n^2} \, \mathrm{eV}</math>と書ける。 :<math>E_1 \fallingdotseq 13.6 \, \mathrm{eV}</math>は水素のイオン化エネルギーの値に等しく、実験値によく一致することが判った。 ;補：水素原子のスペクトルの経験式の理論的導出 水素原子の発する光のスペクトルの実測値を表すリュードベリの経験式については既に説明した。 ボーアの水素原子モデルに基づいて得られたエネルギー準位と振動数条件を用いれば、この式が以下のように理論的に導出できる。 任意の正整数<math>m, n \; (n>m)</math>を考える。 振動数条件により電子がエネルギー準位<math>E_n</math>から、低いエネルギー準位<math>E_m</math>に遷移するときに1個放出する光子の振動数は<math>\nu=\frac{E_n-E_m}{h}</math>である。 この光子の波長λは <math>\frac{1}{\lambda} = \frac{E_n-E_m}{ch}</math> で与えられるので、右辺のエネルギー準位に式（４）を代入すると :<math>\frac{1}{\lambda} = \frac{2\pi ^2 k_0{}^2 me^4} {ch^3}(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}) \qquad \qquad (5)</math> が得られる。 <math>\mathbf{R} := \frac{2\pi ^2 k_0{}^2 me^4} {ch^3}</math> でリュードベリ定数を定義すると、式(5)は :<math>\frac{1}{\lambda} = {\bf R}(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}) \qquad \qquad (5')</math> Rの定義式中の諸定数に値をいれて計算すると :<math>{\bf R} = 1.097373156815712\times 10^7 \rm{ /m} \qquad \qquad \qquad (6)</math> 驚くべきことに、リュードベリの経験式が、見事に導出できたのである。 これは、ボーアの仮説の妥当性を示すものと言えよう。 なお、実際の特性スペクトルの波長は、原子内部の電子の影響により若干摺れる。そういった内部電子の補正を考慮した、より精度の高い式として「[[w:モーズリーの公式]]」というのが知られている。歴史的には先にモーズリーの式が発見され、後からモーズリーとは別に独立に研究されていた上述のようなボーアやラザフォードの理論を用いると、モーズリーの公式もうまく説明できるという事が物理学者コッセルによって発見された<ref>山本義隆『原子・原子核・原子力』、岩波書店、2015年3月24日 第1刷、140ページ</ref>。モーズリーの公式については、大学の量子化学などの教科書に記載があるだろう。 ;フランク・ヘルツの実験 [[File:FranckHertzHgTube.jpg|thumb|right|upright=0.5|実験装置。Cは陰極でヒータで加熱し熱電子を放出させる。Gはグリッド。Aは陽極。]] ドイツのフランクとヘルツは、気体放電での電子の働きを調べるため、水銀蒸気を封入した図のような装置で実験を行った。 フィラメントCから飛び出す電子を、Cと網目状のグリッドGとの間に加える電圧Vで加速する。Gの後ろに電極Aを置き、Aに到達した電子の数を電流計で調べる。GA間にはCG間と逆向きに僅かな電圧（0.5V程度）を加え、電子がGに到達しても運動エネルギーが0に近ければAに到達できなくした。CG間の電圧を上げながらAに到達する電子の数を調べ、[グラフ]のような実験結果を得た。 [[File:Franck-Hertz en.svg|thumb|center|縦軸が電流で横軸が電圧。]] 電子の数は電圧の増加とともに増すが、4.5~5V付近をピークに減少し、再び増加する。その後、約4.9Vの間隔で同様の増減を繰り返す。また、4.9eVに相当する波長のスペクトルも発生していた。 ボーアは、この実験結果を「4.9eVは水銀原子の基底状態と励起状態のエネルギーの差であり、電子の運動エネルギーが加速電圧で4.9eVに達した時に水銀原子が励起して電子が運動エネルギーを失う」と説明した。 その後、FG間から波長2.537×10^-7(4.9eVのエネルギーに相当)の紫外線が発生していることが確認された。これは、励起された水銀原子が基底状態に戻る時にそのエネルギー準位の差に相当する波長の光子を放出して生じたものと考えられ、原子には離散的な値のエネルギー準位が存在するというボーアの仮説が実験で裏付けられた。 なお、固有X線の発生原理もエネルギー準位で説明することができる。 === 原子核 === ==== 原子核の構造 ==== 原子核は、陽子と中性子からできている。二つを総称して'''核子'''という。 陽子は正電荷をもち、中性子は電荷をもたない。 原子核の陽子同士はクーロン力によって反撥し合うが、陽子と中性子を結ぶ'''核力'''がクーロン力よりも強いため、それが核子同士を繫ぎ止めている。 なお、原子番号の低い元素において、陽子と中性子の個数はほぼ同数である場合が多い。例えば、酸素や窒素では陽子・中性子ともに同数である。一方、元素番号の高い元素ほど、陽子よりも中性子が多い。例えばウラン235は中性子数が陽子数の1.5倍である。これには核力の性質が関係していると考えられている<ref>山本義隆『原子・原子核・原子力』、岩波書店、2015年3月24日 第1刷、190ページ</ref>。 陽子と中性子の数の和は'''質量数'''と呼ばれる。 元素の原子核の陽子の数は、その元素の周期表の'''原子番号'''である。 質量数が<math>A</math>の原子核は非常に強い核力のために、小さな球体状の空間の中に固まっており、その半径ｒは、 <math>1.2 \sim 1.4\times 10^{-15} \sqrt[3]{A}</math> であることが知られている。 ==== 同位体 ==== 同じ元素でも、中性子の数が異なる原子がある。これらを互いに'''同位体'''（'''アイソトープ'''）という。例えば、水素に対する重水素・三重水素、酸素に対するオゾンなどがそうである。水素の原子核は陽子1つであり、重水素(D)の原子核を'''重陽子'''、三重水素(T)の原子核を'''三重陽子'''という。また、重水素からなる水分子<chem>D2O</chem>を'''重水'''という。 一般に、同じ元素であれば同位体でも化学的性質は同一であるが、物理的性質は大きく異なる場合がある。 原子の質量は、イオン化した原子を加速して電場・磁場が軌道にもたらす影響を調べることで求められる。 トムソンは、電場と磁場を加えた空間にイオンを入射させ、比電荷の同じイオンがスクリーン上の同じ放物線上に集まるような装置を制作した。これにより、ネオンの同位体が発見された。 トムソンの研究室にいたイギリスのアストンは、トムソンの装置を基にイオンの速さにかかわらず比電荷が同じであればスクリーン上の一点に集まるような装置（'''質量分析器'''）を製作した。この装置により多くの同位体が発見され、それらの質量と存在比も精密に測定された。 ==== 放射能と放射線 ==== 元素の中には、'''放射線'''を出す性質をもつものがあり、この性質を'''放射能'''という。 また、放射能をもつ物質は'''放射性物質'''といわれる。放射能を持つ同位体を'''放射性同位体'''という。 放射線には3種類存在し、それぞれ'''α線'''、'''β線'''、'''γ線'''という。 α崩壊は、親原子核からα粒子が放射される現象である。α粒子の正体はヘリウム原子核である。α崩壊後、親原子核の質量数は4小さくなり、原子番号は2小さくなる。 β崩壊は、親原子核の中性子が陽子と電子に変化することで、電子が放射される現象である。なお、放出された電子はβ粒子ともよばれる。β崩壊後、親原子核の質量数は変化しないが、原子番号は1増加する。 γ線は、α崩壊またはβ崩壊直後の励起状態にある原子核が、よりエネルギーの低い状態に遷移するときに放射される（かつてはγ崩壊と呼んだが、原子核が崩壊していないので用語廃止された）。γ線の正体は光子で、X線より波長の短い電磁波である。 α崩壊やβ崩壊によってもとの原子核の数は徐々に減っていくが、これらの崩壊は原子核の種類ごとに決まった一定の確率で起きるので、崩壊によってもとの原子核の数が減る速度は原子核の個数に比例して変化する。しかし、崩壊によってもとの原子核の数が半減するのにかかる時間は、原子核の種類だけによってきまる。そこで、この時間のことをその原子核の '''半減期''' と呼ぶ。崩壊によって原子核の個数がどれだけになるかは、この半減期を用いて記述することができる。原子核の最初の個数を<math>N_0</math>、原子核の半減期を<math>T</math>、時刻<math>t</math>での原子核の個数を<math>N(t)</math>とすると、 :<math>N(t)=N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}</math> が成り立つ。 放射線に関しては様々な単位が用いられる。 かつてはキュリー、エルグ、ラド、レントゲン、レムなどの単位が用いられていたが、現在ではSI単位系に沿って以下の単位が用いられる。（ただし、現在でも前述の単位を用いる場合がある） {| class="wikitable" |+ 放射線のSI系列単位 |- ! 物理量 !! 単位 !! 記号 !! 説明 |- |放射能の強さ||ベクレル||Bq||原子核が毎秒一個の割合で崩壊するときの放射能の強さを1Bqとする。 |- |照射線量||クーロン毎キログラム||C/Kg||放射線の照射によって0℃、1013hPaの空気1cm³あたりに3.335641×10⁻¹⁰ C（1 {{ruby|esu|静電単位}}）のイオン電荷が発生したときの放射線の総量を2.58<u>0</u>×10⁻⁴ C/kg(1 {{ruby|R|レントゲン}})と定義する。 |- |吸収線量||グレイ||Gy||1Kgの物質が放射線の吸収と共に1Jのエネルギーを得たときの吸収線量を1Gyとする。 |- |線量当量||シーベルト||Sv||吸収線量に、放射線の種類ごとに定められた人体の障害の受けやすさを表す線質係数（修正係数）を掛けたもの。例えば等価線量を求めたいなら放射線荷重係数を掛け、実効線量を求めたいならさらに組織荷重係数を掛ける。 |- |線量率||シーベルト毎時||Sv/h||単位時間あたりに受ける放射線の量 |} ちなみに、1キュリーは37GBq(37ギガベクレル、370億ベクレル)に等しい。 生体が放射能を受けることを'''被曝'''という。※'''「被爆」表記は意味が違うので絶対用いないように'''。 放射線は電離作用を持つので生物細胞に影響を及ぼし、遺伝子を破壊することで癌を発症させたり奇形を発生させたりする。被曝量が大きい場合には急性の障碍を引き起こすこともある。この影響を最小限にするには、放射線源から離れる、浴びる時間を短くする、鉛で放射線を遮るなどの対策が必須である。一方で、自然界には放射線がありふれている。普段の生活では食事による内部被曝や宇宙線による被曝などで年間2.4mSvほどの放射線を自然界から受けている。これらは被曝量が少ないため人体に害はない。また、放射線は非破壊検査、癌治療、レントゲン撮影、農作物の品種改良などの分野で応用されている。 手塚治虫は、自著『火の鳥』の「未来編」にて栽培促進に利用される放射線と、そこにおける事故を描いている。1967年の時点で既に放射線の産業利用の可能性と事故が起こったときの重大性を読み取っていたのである。 なお、福島原発事故の処理水放出が取り沙汰されているが、あれは国際基準よりも厳しい基準で安全性を確認してから放出しているため、一部が騒いでいるような汚染ではない。 ===== 発展：半減期公式の導出 ===== 原子核の崩壊速度は、原子核の個数に比例すると述べた。実は、上に述べた公式はこの情報だけから純粋に数学的に導き出すことができるものである。発展的な数学を用いるが、興味のある読者のためにその概要を記しておく。 原子核の個数と崩壊速度の間の比例定数は原子核の種類によって決まる。この定数をその原子核の'''崩壊定数'''という。崩壊定数が<math>\lambda</math>の原子核の時刻<math>t</math>での個数を<math>N(t)</math>とすると、その変化速度、すなわち<math>N(t)</math>の時間微分は、 :<math>\frac{d}{dt} N(t) = -\lambda N(t)</math> で表される。このような、ある関数とその微分との関係を表した式を微分方程式といい、微分方程式を満たすような関数を求めることを、微分方程式を解くという。変数分離法によりこの微分方程式を解くと、 :<math>\frac{dN(t)}{N(t)}=-\lambda dt</math> :<math>\int \frac{dN(t)}{N(t)}=-\lambda \int dt</math> :<math>\log |N(t)|= -\lambda t + C</math>（<math>C</math>は積分定数） よって :<math>N(t) = e^{-\lambda t + C} = e^{C} e^{-\lambda t} \qquad</math><small>※<math>N(t)\geqq0</math>より絶対値記号は無視してよい。</small> ここで<math>e^{C}</math>は積分定数の値によって定まる初期値なので、原子核の初期個数<math>N_0</math>とみてよい。 :<math>\therefore N(t)= N_0 e^{-\lambda t}</math>・・・(*) 半減期<math>T</math>は<math>N(t)=\frac{1}{2}N_0</math>なる<math>t</math>のことなので、式(*)より :<math>\frac{1}{2}N_0 = N_0 e^{-\lambda T}</math> :<math>\frac{1}{2}=e^{-\lambda T}</math> :<math>-\log 2 = -\lambda T</math> :<math>T=\frac{\log 2}{\lambda}</math> よって :<math>N(t)=N_0 e^{-\lambda t}=N_0 (e^{-\log 2})^{\frac{t}{T}}=N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}</math> が得られる。 ==== 原子核反応 ==== [[File:Cloud chamber ani bionerd.gif|thumb|right|300px|霧箱の実験。陽子は電荷（正電荷）をもっているため、霧箱でも観測することができる。 （※ この画像は、陽子の観測実験ではない。）<br>霧箱（蒸気の充満した装置）を使うことで、何らかの粒子が通過したとき蒸気が凝集するので、粒子の軌跡が可視化されるのである（飛行機雲と同じ原理）。磁場を加えた場合の、軌跡の曲率等などから、比電荷までも予想できる。]] * 陽子の発見 ラザフォードは、窒素ガスを密閉した箱にα線源があると、正電荷をもった粒子が発生することを発見した。 この正電荷の粒子が、陽子である。つまり、ラザフォードは陽子を発見した。 同時に、酸素も発生することを発見し、その理由は窒素が酸素に変換されたからであり、つまり、原子核が変わる反応も発見した。 これらのことを式にまとめると、 :<math>_{\ 7}^{14} \mathrm{N} + {}_{2}^{4} \mathrm{He} \rightarrow {}_{\ 8}^{17} \mathrm{O} + {}_{1}^{1} \mathrm{H} </math> である。 このように、ある元素の原子が、別の元素の原子に変わる反応のことを '''原子核反応'''（'''核反応'''）という。また、上のような反応式を'''核反応式'''という。 化学反応では原子の種類が変わらずその組合せが変わるだけであったが、核反応では別の種類の原子が生まれる。 正電荷を持つ二つの原子核の間には電磁気力により斥力が働く。核反応は、2つの原子核がこの斥力に打ち克って核力が働く近距離に近づいた時に初めて起こる。そのため、核反応を起こすには大きな運動エネルギーが必要であり、そのためにサイクロトロン・ベータトロン等の加速器が用いられる。 一般に、核反応では'''反応の前後で質量数の和と電気量の和は保存される'''ことがわかっている。 {{コラム|霧箱| 霧箱は、種類にもよるが、普通、エタノールまたはアルゴンの気体が封入される<ref>山本義隆『原子・原子核・原子力』、岩波書店、2015年3月24日 第1刷発行、P80</ref>。 霧箱のような実験装置の用途として、陽子の実験の用途のほか、原子核反応の回数を観測する目的でも使うことが出来る。放射線の測定器のガイガーカウンターの原理も、霧箱と類似している。放射線測定器であるガイガー・ミュラー管には気体（アルゴンやエチレンガスなどの不活性な気体）が封入されている。霧箱のように気気体を封入した測定管に、高電圧をかけた電気極板を追加することで、放射線を捉えるようにしたものがガイガー管である[https://www.agc.a.u-tokyo.ac.jp/radioecology/pdf/190930_radioecology_supplement2.pdf]。物理学者ガイガーは、このような測定器を開発し、さらに原子核反応によって生成されるヘリウム分子を集めて気体として封入し、当時としては最高水準の精度でアボガドロ定数を測定する事に成功した<ref>山本義隆『原子・原子核・原子力』、岩波書店、2015年3月24日 第1刷発行、P81</ref>。これは、プランクの熱輻射の理論から算出されたものや、物理学者ベランがブラウン運動から求めたものに匹敵する精度であった<ref>山本義隆『原子・原子核・原子力』、岩波書店、2015年3月24日 第1刷発行、P82</ref>。<br /> }} * 中性子の発見 ラザフォードは1920年頃に既に陽子と同じ質量で電気的に中性な粒子の存在を予言していた。1930年、ドイツのボーテがポロニウムから放出されるα線をベリリウムに当てると透過力の強い放射線が出ることを発見し、翌年にキュリー夫妻がこれをパラフィン（[[高校化学 脂肪族炭化水素#アルカン|アルカン]]のうち炭素数が20以上のもの。水素を多く含む。）に当てると陽子が飛び出すことを発見した。夫妻は放射線をγ線と考えてコンプトン効果で説明しようと試みたが、非現実的な仮定を余儀なくされて頓挫した。イギリスのチャドウィックはこの放射線をヘリウムや窒素に当て、これを電荷を持たず陽子とほぼ等しい質量の粒子の粒子線と考えると辻褄があうことを示し、1932年に論文を提出した。この粒子は中性子、放射線は中性子線と名付けられた。 *質量とエネルギーの等価性 原子核は、それを構成する核子である陽子と中性子が自由であるときの質量の和より、小さい質量をもつ。この減った質量を、'''質量欠損'''と呼ぶ。 質量数A、原子番号Zの原子核の質量欠損<math>\Delta m</math>を、式で書けば, 原子核の質量をｍ、陽子と中性子の質量をそれぞれ<math>m_p,\ m_n</math>としたとき、 :<math>\Delta m = m_{p}Z+m_{n}(A-Z)- m</math>である。<br /> なお、原子にもよるが、一般に質量欠損の大きさは、1%程度<ref>[https://kotobank.jp/word/%E8%B3%AA%E9%87%8F%E6%AC%A0%E6%90%8D-74242 コトバンク『日本大百科全書(ニッポニカ)の解説』（坂東弘治、元場俊雄）など ]</ref>である。 陽子と中性子が核力によって結合すると、その結合エネルギーに等しいエネルギーのガンマ線が放出される。アインシュタインの[[特殊相対性理論]]によれば、質量mとエネルギーEには、 : <math>E=m c^2</math> という関係がある。 エネルギーと質量の等価性によれば、陽子と中性子が結合したときに放出されるγ線のエネルギーに等価な質量が減ることになるが、これが原子核の質量欠損である。{{コラム|原子レベルの質量の測定法| [[File:Mass spectrometer schematics.png|thumb|right|質量分析器の模式図。試料導入部およびイオン源（左下）、分析部（左上、磁場偏向型）、イオン検出部（右上）、データ処理部（右中）からなる。]] そもそも、どうやって原子や分子の質量を精度よく測定するか？ 一般に原子レベルの質量測定法として精密科学でよく知られるものとして、右図のような、磁場によって荷電粒子を曲げる方式のものがある。このような磁場とローレンツ力を用いた方式による質量測定は一般に、「磁場偏向型」といわれる。 このような装置により、磁場や電化の大きさは実験的に決定できるので、曲率が質量の関数になるので、つまり半径から質量が逆算できる。 測定対象の元素材料が中性の原子であっても、その原子が固体なら、それに電子ビームを当てて、電子によって弾き飛ばされた材料が帯電してイオン化しているので、それから、上記のような磁場による質量測定が可能になる。 なお、同位体の存在やその質量も、このころ、このような装置で発見された。 原子質量がいくつもの元素で測定できるので、派生的に、化学の理論で分かる原子番号Zと原子量A及び原子の質量の測定値MをもとにZ,AからMを求めるワイツゼッカーの公式が作成された。 また、レインウォーターらにより原子半径の予想値なども算出されていった。 }} このことから、陽子と中性子がバラバラに存在する時よりも、纏まって原子核を構成しているときの方がエネルギーが質量欠損分<math>\Delta mc^2</math>だけ小さいことがわかる。逆に、原子核をバラバラの核子にするには<math>\Delta mc^2</math>のエネルギーを与える必要がある。この意味で、<math>\Delta mc^2</math>を'''結合エネルギー'''という。化学で扱った[[高校化学 化学反応とエンタルピー#ヘスの法則|結合エンタルピー]]は原子と分子の話であったが、こちらは核子と原子核の話である。 質量数Aは核子の数なので、核子一つあたりの結合エネルギーは<math>\frac{\Delta mc^2}{A}</math>と表される。これの値は軽い原子核の領域で急激に増大し、鉄が最も最大となる。故に、'''核反応においては鉄が最も安定'''な元素である。 *核エネルギーと核分裂 核反応では、原子核の質量の和が反応の前後で変化する。質量和が減少する場合、その差が'''核エネルギー'''となる。このとき、結合エネルギーの和は増大し、核エネルギーは結合エネルギー和の変化量に等しい。一回の化学反応で解放されるエネルギーは数eV程度であるのに対し、一回の核反応で解放されるエネルギーは数MeVを超える。例えば、リチウム7と水素が衝突してヘリウム2つになる核反応では、1.68×10¹²Jという厖大なエネルギーが発生する。これは石油40トンを燃やして得られるエネルギーに相当する。 ドイツのハーンとシュトラスマンは、ウランに中性子を照射したときの反応性生物の中に、ウランとほぼ半分の質量を持つバリウム141などの原子核が含まれることを発見した。このように、一つの原子核がいくつかの原子核に分かれる反応を'''核分裂'''という。ウランのように質量数が多い原子核は、一つの原子核でいるよりも二つの原子核に分裂した方がエネルギー的に安定である。これが核分裂の起こる原因である。 核分裂は歴史的には原子爆弾に利用された。日本は原子爆弾を実戦使用された唯一の国である。 現代では、核分裂は'''原子力発電所'''で使用されている。 ウラン235やプルトニウム239を'''核燃料'''とし、熱運動する気体分子と同程度の速さの中性子を衝突させると様々な壊れ方の核分裂が起こる。このとき、いずれの場合も200MeV程度のエネルギーが解放され、2、3個の速い中性子が出る。この速い中性子を'''減速材'''（水や重水など）に衝突させて減速することで、別の核燃料に衝突させやすくする。このようにして次々に核分裂が起こることを'''連鎖反応'''という。原子力発電は、核分裂で発生した熱エネルギーでタービンを回して発電している。中性子を吸収する'''制御棒'''を用いることで核分裂が爆発的に起こらない且つ停止しないように制御している。連鎖反応が持続的に保たれる条件がちょうど満たされるとき、「原子炉は'''臨界'''にある」という。臨界状態では中性子数は一定に保たれる。原子炉の稼働は臨界点の近くで行われている。少ない燃料では中性子が核反応することなく散逸するので、臨界にあるための核燃料の量に下限があり、これを'''臨界量'''という。 原子力発電は、発電量は他の方式に比べて圧倒的であるが、安全対策や放射性廃棄物の処理などの問題がある。 2011年の東日本大震災では地震そのものには余裕で耐えたものの、津波により電源がロストしたことで炉心の冷却機能が失われて'''炉心融解'''（'''メルトダウン'''）が起こり、爆発とともに莫大な量の放射性物質が散布される、という事故が発生した。原子力発電の稼働にあたっては、このような重大事故に対する厳重かつ多重の安全対策が必須である。（[[w:福島第一原子力発電所事故]]も参照。） また、核分裂により生じる放射性元素の中には半減期が数百万年にも及ぶものが含まれ、これらの処理をどのように行うかも重要な課題である。 なお、原子力発電には'''沸騰水型'''と'''加圧水型'''の2種類がある。 *核融合 必要があれば[[高等学校地学]]も参照。 恒星では原子核同士が衝突することで質量数の大きな原子核が生まれている。このように、より大きな質量数の大きな原子核ができる反応を'''核融合反応'''という。 軽い原子核が核融合を起こすとき、結合エネルギーが増加し、その差のエネルギーが解放される。 太陽の中では、4個の水素原子核(陽子)から幾つかの段階を経て1個のヘリウム原子核が生成されている。このとき、約27MeVのエネルギーが解放される。 太陽は水素と核融合により生じるヘリウムから構成されており、水素が尽きると寿命を迎える。しかし、太陽よりも質量の大きな星ではヘリウムも核融合反応を起こして炭素が生成される。中心温度が15億Kを越えていれば炭素も核融合反応を起こしてネオンが生成し、その後は十分な質量があればネオン→酸素→珪素→鉄と核融合反応が進行する。鉄はこれ以上核融合反応を起こさないのである時点で恒星は寿命を迎え、超新星爆発を起こす。このとき、さらなる反応によりニッケル・金などのさらに重い元素が生成される。 初期の宇宙には水素・ヘリウム・リチウムあたりの軽い元素しか存在しなかったと推定され、長い年月で様々な恒星で核融合反応が進行することによって他の元素が十分量生成されてきたと考えられている。 核融合は核分裂とほぼ同時代に発見されたが、連続的に発生させるには数億℃の環境が必要であることから、当初はあまり注目されなかった。 核融合反応自体は短時間ながらも地上で起こすことに成功している。例えば、原子爆弾の進化系である水素爆弾は、原子爆弾の爆発により生まれる膨大な熱エネルギーを利用して核融合反応を起こすことによって原爆の威力を更に高めている。史上最強の水素爆弾ツァーリ・ボンバの爆発では、2.1×10¹⁷Jものエネルギーが放出されたとされている。 現在では、核融合発電の実用化が盛んに研究されている。核融合発電は核分裂を利用した従来の原子力発電に比べて圧倒的に安全でコストパフォーマンスも良いが、核融合反応の安定的な持続に未だ成功していないので、お目にかかれるのはまだ先である。 ===素粒子=== 素粒子は物質を構成する最小単位である。現在素粒子として17種類が発見されている。素粒子には、クォーク、レプトン、ゲージ粒子、ヒッグス粒子がある。陽子や中性子はクォークから構成されている。電子は素粒子である。 素粒子には、同じ質量や寿命を持つが、電荷の符号が異なる粒子が存在する。例えば、電子には、電荷が <math>e</math> の陽電子が存在する。[[ファイル:Standard_Model_of_Elementary_Particles-ja.svg|中央|フレームなし|300x300ピクセル]] ==== クォーク ==== 陽子や中性子はアップクォークとダウンクォークと呼ばれるクォークから構成される。クォークは6種類あり、それぞれ3世代に分類される。アップクォークとダウンクォークは第一世代に分類され、アップクォークとダウンクォークに性質が似ているが質量がそれよりも重いクォークが存在する。第二世代には、チャームクォークとストレンジクォーク、第三世代にはトップクォークとボトムクォークが存在する。 アップ、チャーム、トップクォークは電荷 <math>\frac{2}{3}e</math> を持ち、ダウン、ストレンジ、ボトムクォークは電荷 <math>-\frac{1}{3}e</math> をもつ。 {| class="wikitable" |+ クォーク |- ! 電荷 !! 第1世代 !! 第2世代 !! 第3世代 |- ! <math>\frac{2}{3}e</math> | アップ (u) | チャーム (c) | トップ (t) |- ! <math>-\frac{1}{3}e</math> | ダウン (d) | ストレンジ (s) | ボトム (b) |- |} === ハドロン === クォークは、必ず複合粒子を形成し、単独で取り出すことができないと考えられている。これをクォークの閉じ込めという。クォーク間に働く力は量子色力学により説明される。量子色力学によれば、それぞれのクォークには三種類の異なる色荷を持つ異なる状態が存在する。三種類の色荷は光の三原色になぞらえて赤、青、緑と名前がついている。クォークの反粒子の色荷は反赤、反青、反緑である。クォークによる複合粒子は、色荷の合計が白である必要がある。 クォークの複合粒子を'''ハドロン（強粒子）'''という。ハドロンには、3つのクォークからなる'''バリオン（重粒子）'''と、2つのクォークからなる中間子（メソン）がある。歴史的にはハドロンを素粒子に含めた時代もあり、その時は素粒子が数百種類を数えていた。現在ではハドロンを素粒子に含めない。 バリオンの重要な例には陽子と中性子がある。陽子は uud で構成され、中性子は udd で構成される。 電荷は :中性子　<math>\frac{2}{3}e - \frac{1}{3}e - \frac{1}{3}e=0</math> :陽子　<math>\frac{2}{3}e + \frac{2}{3}e - \frac{1}{3}e=e</math> となる。 [[ファイル:量子色力学-01.svg|リンク=https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:%E9%87%8F%E5%AD%90%E8%89%B2%E5%8A%9B%E5%AD%A6-01.svg|中央|サムネイル|陽子や中性子の色荷は、赤＋青＋緑＝白である。]] メソンは、2つのクォークからなる複合粒子である。色荷を考えると、クォークと反クォークで構成される必要がある。なぜなら、クォークの色荷、赤、青、緑から2つを選んでも白色になることはなく、複合粒子を構成できない。クォークと反クォークからは、赤＋反赤＝白のようになるから、複合粒子を形成することができる。 メソンの重要な例には <math>\pi</math> 中間子がある。電荷により <math>\pi^+, \pi^-,\pi^0</math> の三種類があり、原子核の中の核子を結合させる核力を担っている。それぞれ <math>\pi^+=u\bar d, \pi^-=\bar u d,\pi^0 = \frac{u \bar u - d \bar d}{\sqrt 2}</math> で構成される。 ==== レプトン ==== 電子は素粒子である。電子に似た性質を持つが質量が電子よりも重い粒子として、ミュー粒子、タウ粒子が確認されている。ミュー粒子は電子の200倍、タウ粒子は電子の3500倍の質量を持つ。 また、ニュートリノと呼ばれる粒子が存在する。ニュートリノは物質とはほとんど反応しないため、検出が難しい。電子ニュートリノ、ミューニュートリノ、タウニュートリノが存在する。スーパーカミオカンデでの実験からニュートリノには質量があることが知られているが、その値は非常に小さい。 {| class="wikitable" |+レプトン !電荷 |第一世代 |第二世代 |第三世代 |- ! <math>-e</math> | 電子 (e^ー ) | μ粒子 (''μ''^ー ) | τ粒子 (''τ''^ー ) |- !0 | 電子ニュートリノ（''ν''_e ） | μニュートリノ（''ν''_''μ'' ） | τニュートリノ（''ν''_''τ'' ） |} ==== 4つの力 ==== 自然界に働くすべての力は4つの力に分類することができる。電磁気力、強い力、弱い力、重力である。 例えば、机の上の物体に働く抗力や摩擦力などは原子の周りの電子による反発力で説明できるから、電磁気力を起源とする。電磁気力は光子によって媒介される力である。 強い力はグルーオンによって媒介される。強い力はクォークを閉じ込め複合粒子を形成したり、核力の起源となる。強い力は量子色力学によって説明される。 弱い力は、W粒子とZ粒子により媒介され、主にベータ崩壊を引き起こす。W粒子とZ粒子をまとめてウィークボソンという。弱い力はワインバーグ・サラム理論によって、電磁気力と統一的に説明される。電磁気力と弱い力を統一した力を電弱力という。 重力を媒介する素粒子を重力子というが、まだ発見されていない。 グルーオンのように、力を媒介する粒子のことを'''ゲージ粒子'''という。 {| class="wikitable" style="float: right; text-align: center; margin: 2pt;" |+ 4つの力とゲージ粒子 |- ! 力の種類 ! ゲージ粒子 ! 相対的強さ ! 到達距離 ! 力の源 |- ! 電磁気力 | 光子（フォトン）<br>（電磁場を量子化したもの） |10^-2 |∞ |電荷 |- ! 強い力<br>（クォークを引き付けあう力のこと。） | グルーオン |1(基準) |10^-15m |色荷 |- ! 弱い力<br>（β崩壊を司る力のこと） | ウィークボソン(W粒子、Z粒子) |10^-5 |10^-17m |弱荷 |- ! 万有引力（重力）<br> | 重力子（グラビトン）<br>（未発見） |'''10^-38''' |∞ |質量 |- |} ==== ヒッグス粒子 ==== ヒッグス場という場は真空において対称性を破ることになる。これを'''自発的対称性の破れ'''という。このときに現れる粒子がヒッグス粒子である。また、ヒッグス場が対称性を破ることによりウィークボソンが質量を獲得する。このことをヒッグス機構という。また、クォークや電子、μ粒子、τ粒子の質量はヒッグス場によって与えられる。 ちなみに、強い力を説明する量子色力学と電弱力を説明するワインバーグ・サラム理論は、ヤン・ミルズ理論の特殊な場合である。ヤン・ミルズ理論においては、力を媒介する粒子はそのままでは質量を持つことができない。そのため、ウィークボソンの質量を説明するためにヒッグス機構が必要となる。また、ヒッグス機構においても、残った対称性のために光子は質量を持たない。 ==== 反物質 ==== 素粒子には反粒子が存在するから、複合粒子には、構成する素粒子が反粒子となった粒子が存在する。例えば、陽子 <math>p = uud</math> には反陽子 <math>\bar p = \bar u \bar u \bar d</math> が存在する。中性子にも、反中性子 <math>\bar n = \bar u \bar d \bar d</math> が存在する。反粒子で構成された物質を'''反物質'''という。 粒子と反粒子が衝突すると、衝突前のエネルギーと同じエネルギーを持つ光子が2つ以上放出されて消滅する。この現象を'''対消滅'''という。 逆に、光子から粒子と反粒子が生成されることを'''対生成'''という。対生成は光子が近くの原子核と作用する必要がある。 現在の宇宙においては反物質は少量しか存在しないが、宇宙の黎明期には物質と同程度存在し、対消滅によってその殆どが消えたと考えられている。あるいは、宇宙の未知の領域に反物質のみで構成された領域も存在するという仮説が立っている。 （発展）病院などで使われる陽電子断層撮像法（PET）は、β⁺崩壊によって陽電子を放出する ¹⁸F などを含む化合物を体内に取り込み、 発生した陽電子が電子と対消滅して発生するγ線を観測することによって、体内を調べる技術である。 ==== スピン ==== 電子や陽子や中性子などは、スピンという磁石のような性質をもっている。磁石にN極とS極があるように、スピンにも、2種類の向きがある。スピンのこの2種類の向きは、上向きスピンと下向きスピンがある。 全ての分子は電子や陽子や中性子を含むのに、多くの物質があまり磁性を持たないのは、反対符号のスピンをもつ電子が結合しあうことでスピンが打ち消しあうからである。 物質に静磁場を加えつつ高周波電磁波を加えると、原子核のスピンによって、電磁波が発生する。この電磁波を観測するのが、核磁気共鳴法（NMR、nuclear magnetic resonance）の原理である。 医療で用いられるMRI（magnetic resonance imaging）は、核磁気共鳴法を利用して人体内部を観測する機器である。 素粒子も、通常はスピンをもつ。 μ粒子のスピンという性質による磁気と、μ粒子の透過性の高さを利用して、物質内部の磁場の観測方法として既に研究されており、このような観測技術をμオンスピン回転という。超伝導体の内部の観測などにも、μオンスピン回転による観測が研究されている。 ==== 発展：力の統一 ==== 現代物理学において、自然界に存在する力はすべて電磁気力・弱い力・強い力・重力の4つに統一されている。 これらの力は宇宙誕生時は一つの力だったと考えられており、現在この4つの力をさらに統一しようとする試みが行われている。 電磁気力と弱い力を統一する'''電弱統一理論'''は既に完成しており、ワインバーグ＝サラム理論の名で1979年にノーベル物理学賞を受賞している。電弱統一理論は、ヒッグス粒子の発見によって理論が裏付けられた。強い力と電弱統一理論を統一する'''大統一理論'''は未完成ではあるものの、裏付けとなる現象の観測待ちとなっている。 3つの力と重力を統一する'''超大統一理論'''は'''万物の理論'''と呼ばれ、さまざまなアプローチで構築が進められているが、ある一つの大きな問題が存在する。 それは、'''重力は他の力に比べて圧倒的に弱い'''という事実である。日常生活で考えてみると、磁石で鉄をくっつけられることから「巨大な地球の重力がかなり小さい磁石の電磁気力に負けている」と気がつくことができる。 重力が弱い理由はいくつか考えられているが、その中でも有名なものは「'''重力子が他の素粒子が到達することのできない次元方向に拡散しているため'''」という仮説である。これは素粒子を質点でなく大きさをもつ一次元の弦（あるいは二次元以上の膜）とみなし、素粒子の種類の違いを振動の仕方の違いに対応させる'''超弦理論'''という理論の研究の中で生まれた仮説である。素粒子の種類の違いを表現するには我々の住む三次元空間では振動方向が足りないことから、「この世界は本当はもっと高次元な空間である」との仮説が生まれ、その中で唱えられ始めた。超弦理論の一つであるM理論では、「この世界は十次元空間と一次元時間の十一次元時空間であり、余剰次元は小さく丸まっている（コンパクト仮説）」という方向で理論が構築されている。なぜ重力子のみが余剰次元方向に拡散できるかについては、「他の素粒子は開いた弦でありこの三次元空間に張り付いているが、重力子は閉じた弦であって空間に縛られない」という仮説が立っている。 この仮説では重力のみが弱い理由を合理的に説明できているが、重力子が未だ未発見であること、光子すらも届かない余剰次元空間の存在を確認する手段がないことが難点である。 とりあえず、万物の理論として2024年現在最も有力視されている理論がM理論である。これ以上の深入りは避ける。 ==== 発展：コバルト60のベータ崩壊と弱い力 ==== コバルト60を極低温に冷却し、磁場をかけて多数のコバルト原子の電子殻の孤立電子スピンの方向をそろえた状態で、コバルト60がベータ崩壊して発生するベータ粒子の出る方向を調べる実験が行われた。 実験の結果、コバルト60がベータ崩壊してベータ粒子の出てくる方向は、コバルト60のスピンの磁気の方向と逆の方向に多く放出されているのが観測された。これは、崩壊の確率が異なっており、ベータ崩壊の対称性が破れていることになる。このような実験事実により、弱い力は空間反転に対して非対称である。このことをパリティ対称性の破れという。 そこで、空間反転と同時に、粒子を反粒子に変える変換に対する対称性、CP対称性は保たれると考えられたが、これもK中間子に関する実験によりCP対称性は破られることが分かった。 小林益川理論は、CP対称性の破れを説明するためにはクォークが3世代以上存在する必要があることを証明した。 さらに、C変換、P変換と同時に、時間を反転させる操作に対する対称性、CPT対称性が考えられた。現在では、CPT対称性は成り立つと考えられている。 == 脚注・参考文献など == [[Category:高等学校教育|物ふつり2けんしとけんしかく]] [[Category:物理学|高ふつり2けんしとけんしかく]] [[Category:物理学教育|高ふつり2けんしとけんしかく]] [[Category:高等学校理科 物理II|けんしとけんしかく]] h6jcbmgln5qg1xbakvusth6eg5tjy0l 299368 299360 2026-05-10T04:39:49Z Nermer314 62933 299368 wikitext text/x-wiki == 電子と光 == === 電子の発見と測定 === ==== 陰極線 ==== [[File:12. Тлеечко празнење.ogv|thumb|400x400px|真空放電の実験動画|中央]] 図のように両極に電極を封入したガラス管に高電圧を加えるとき、内部の気体を抜いていくと管全体が内部気体特有の発光を示す。このような稀薄気体による放電を'''真空放電'''という。最近は減りつつあるが、蛍光灯は真空のガラス管に少量の水銀蒸気を入れて真空放電を起こすことにより、水銀から紫外線を発生させて蛍光塗料を光らせている。 1858年、ドイツのプリュッカーは真空放電の実験の中で、ガラス管内の真空度を増すとあるとき管内の光が消えて正極側の管壁が蛍光を発することを発見した。これを受けて、1874年にイギリスのクルックスが「負極から出た何かが正極に向かって進んで管壁にぶつかることによって蛍光する」というアイディアを提唱した。ここで、正極・負極をそれぞれ'''陽極'''・'''陰極'''、陰極から出る何かを'''陰極線'''と名づけた。 <gallery widths="150"> File:Katódsugarak mágneses mezőben(1).jpg|クルックス管。陰極は右側にある。陽極は下部にある。 File:Katódsugarak mágneses mezőben(2).jpg|陰極線は、陰極から飛び出て進み、管壁にぶつかって蛍光を発させる。十字状の物体と同じ形の影が出来ることから陰極線が物体に遮られることも確認できる。 File:Katódsugarak mágneses mezőben(3).jpg|U字磁石を配置して平行な磁場を与えると、陰極線は上に曲げられる。 File:Katódsugarak mágneses mezőben(4).jpg|今度はU字磁石を逆に配置して平行な磁場を与えると、陰極線は下に曲げられる。 </gallery> その後、さまざまな実験により陰極線の性質が解明された。 *写真フィルムを感光する *蛍光物質に当てると発光を示す *物体に遮られ、その後ろに影を作る *電場や磁場に、負電荷と同様の影響を受ける *これらの性質は陰極の金属の種類や管内の気体の種類に依存しない これらを総合すると、「陰極線は負電荷を持つある特定の粒子の流れで、その粒子はすべての金属に含まれる」という仮説が立つ。 この粒子の正体を調べるために、次のような実験が行われた。 ==== トムソンの実験 ==== 1897年、イギリスのトムソンは陰極線が電場や磁場でどのように曲げられるかを詳しく調べた。 真空中に間隔d、長さlの平行平板電極a, bを上から順に置き、電極面に平行に、電極間に向けて左から速さvで質量m、電荷-eの荷電粒子を入射する。電極の右端から距離Lだけ離れたところに蛍光物質を塗ったスクリーンを置いて粒子の到達地点を記録する。電子の入射方向にx軸をとり、電極の左端を通りスクリーンに平行な直線をy軸とする。また、表から裏の向きにz軸をとる。粒子の質量mは非常に小さい値と考えられるので、重力の影響は無視する。 まず、極板間にy軸の負の向きに大きさVの電圧をかける。このとき、極板間の電場は一様になるので、電場の強さは<math>E = \frac{V}{d}</math>と求まる。粒子は負電荷なので電場の向きと逆、すなわちy軸の正の向きに電場からの力を受け、その大きさは<math>F = |-e| E = \frac{eV}{d}</math>である。よって粒子の加速度は運動方程式より<math>a = \frac{eV}{md}</math>と求まる。 このとき、x軸方向は等速直線運動、y軸方向は等加速度運動をするので、xy平面上では放物運動をすると見做せる。x軸方向で考えると、速さvでlだけ移動する時間は、きはじの法則より<math>t_1 = \frac{l}{v}</math>である。y軸方向で考えると、粒子が電極を抜ける瞬間のy座標は<math>y_1 = \frac{1}{2} at^2_1 = \frac{el^2V}{2mdv^2}</math>と求まる。 電極を抜けた粒子は等速直線運動を行うので、粒子が電極を抜けてからスクリーンに到達する時間はx軸方向で考えると<math>t_2 = \frac{L}{v}</math>である。y軸方向は位置<math>y_1</math>に達したときの速度で等速運動をするので、<math>v_y = at_1 = \frac{elV}{mdv}</math> である。よって、電極を通過した後のy方向の移動距離は<math>y_2 = v_y t_2 = \frac{elLV}{mdv^2}</math>と求まる。スクリーンに到達したときの粒子のy座標は<math>y_0 = y_1 + y_1 = \frac{el^2V}{2mdv^2} + \frac{elLV}{mdv^2} = \frac{el(l+2L)V}{2mdv^2}</math>である。 次に、電極間にだけz軸の正方向に一様な磁場を加える。入射した粒子が直進するように磁場を調整すると、粒子が電場から受けるクーロン力と磁場から受けるローレンツ力が釣り合うので、磁束密度の大きさについて力の釣り合いの式より<math>B = \frac{V}{vd}</math>が成り立つ。よって<math>y_0 = \frac{el(l+2L)B}{2mv}</math>である。 これらを総合すると、<math>y_0 = \frac{e}{m} \times \frac{l(l+2L)B}{2v} </math>より<math>\frac{e}{m} = \frac{2y_0v}{l(l+2L)B} = \frac{2y_0E}{l(l+2L)B^2} = \frac{y_0V}{l(\frac{l}{2}+L)dB^2}</math>と求まる。 この<math>\frac{e}{m}</math>を荷電粒子の'''比電荷'''という。当時、最終的に求まった式に含まれる定数はすべて測定可能だったので、比電荷の値を求めることができた。具体的には、<math>\frac{e}{m} \fallingdotseq 1.75882001076 \times 10^{11}</math> C/kgである。 この比電荷は陰極に用いる金属や管内の気体の種類に依存しないので、物質の中には負電荷を持った粒子が共通に含まれることが証明された。この粒子は'''電子'''と名付けられた。現在では、この電子が電気の正体であると判っている。 なお、電子の具体的な質量や電気量の測定は1909年のミリカンの実験を待つことになる。 ==== ミリカンの実験 ==== ミリカンの実験とは、霧吹きなどで作成した油滴の微小な飛沫に、X線やラジウムなどで帯電させる。そして、外部から電場を印加する。すると、油滴の重力（下向き）のほかに、電場による静電気力（上向きになるように電極板を設置する）が働くので、釣り合って静止する状態になった時の電場から、電荷の値を確かめる実験である。 油滴の質量をm、電気量を-q、電場の強さをE、重力加速度をgとすると、油滴に働く重力とクーロン力が釣り合っているので、<math>mg = |-q|E</math>である。 電場の強さを0にすると、油滴は自由落下運動を始めるが、空気抵抗によって終端速度vで落下するようになる。このとき、油滴に働く重力と空気抵抗力が釣り合っているので、空気抵抗の比例定数をkとして<math>mg = kv</math>が成り立つ。 総合して、<math>q = \frac{kv}{E}</math>を得る。 この実験を繰り返したときに算出・測定される電荷の値が全て 1.6×10^-6 Cの整数倍になったので、電子1個の電荷が 1.6×10^-19 Cだと分かった。 なお、この 1.6×10^-19 Cのことを'''電気素量'''という。 現在では、電気素量は <math>e = 1.602 \, 176 \, 634 \times 10^{-19} \, \mathrm C</math> と定義されている。 この値と先ほどの比電荷の値から、電子の質量は<math>m \fallingdotseq 9.1093837015 \times 10^{-30} </math> kgと求まる。 {{コラム|ミリカン以前の電気素量の測定| ラボアジエなどの電気分解の実験により、金属の電気分解の実験の時に発生する気体が帯電していることは古くから知られていた。実験物理学者タウンゼントは、発生した気体のモル数と静電誘導などによって発生した電荷の合計を測定することにより、電子1個あたりの電荷（電気素量）を概算した。 現代の電子の電荷と桁が同じくらいの精度で、タウンゼントは電気素量の測定値を得た。 }} === 光の粒子性 === ==== 光電効果 ==== [[File:Photoelectric effect diagram no label.svg|thumb|300px|電子の運動エネルギーの最大値と、光の振動数との関係]] 負の電荷に帯電させてある金属板に、紫外線を当てると、電子が飛び出してくることがある。また、放電実験用の負極に電子を当てると、電子が飛び出してくることがある。この現象を、'''光電効果'''という。1887年、ヘルツによって、光電効果が発見された。レーナルトによって、光電効果の特徴が明らかになった。 当てる光の振動数が、一定の高さ以上だと、光電効果が起きる。この振動数を'''限界振動数'''といい、これより低周波数の光では、光電効果が起こらない。また、限界振動数のときの波長を、'''限界波長'''という。 限界振動数は物質によって異なる。亜鉛板では紫外線でないと光電効果が起きないが、セシウムでは可視光でも光電効果が起きる。 光電効果とは、物質中（主に金属）の電子が光からエネルギーを受け取って外部に飛び出す現象のことである。 この飛び出した電子を'''光電子'''という。 光電効果には次のような特徴的な性質がある。 :* 光の振動数がある振動数（限界振動数）以上でないと起こらない。 :* 光電子の運動エネルギーの最大値は当てた光の振動数のみに依存し、光の強さには依存しない。 :* 単位時間あたりに飛び出す光電子数は、光の強さに比例する。 これらの性質のうち、1番目と2番目の性質は（それまでの）古典物理学では説明できない。 つまり、光を電磁波という波動の性質だけで捉えていては辻褄が合わないのである。 仮に電磁波の電場によって金属から電子が放出すると考えた場合、光の強さが大きくなるにつれ光波の振幅が大きくなるので、電場も大きくなるはずである。 しかし、実験結果によれば光電子の運動エネルギーは光の強さには依存しない。 よって光電効果は古典物理学では説明できない。 ===== アインシュタインの 光量子仮説 ===== 上述の矛盾（古典的な電磁波理論では、光電効果を説明できないこと）を解決するために、次のような'''光量子仮説'''がアインシュタインによって提唱された。 * 光は、光子の流れである。光子を、光量子ともいう。 * 光子1個の光エネルギー <math>E</math>は、光の振動数 <math>\nu </math> に比例する。 *:<math>E=h\nu</math> 比例定数 <math>h = 6.62607015 \times 10 ^{-34} \, \mathrm{J \cdot s}</math>を'''プランク定数'''という。 光電効果を起こすのに必要な最小エネルギーを'''仕事関数'''という。仕事関数の値は金属の種類によって異なる。 仕事関数を <math>W</math>とすると、光子の得る運動エネルギーの最大値 <math>K_0</math>について、次式が得られる。 :<math> K _0 = h \nu - W </math> (1.1) この式より、光電効果が起こる条件は <math>h \nu \geqq W</math> となる。これは <math>k_0 \geqq 0</math>に相当する。 これより、限界振動数 <math>\nu_0</math>について、<math>h\nu_0=W</math>が成り立つ。 この光量子仮説により、光電効果の1番目と2番目の性質を容易に矛盾なく説明できるようになった。波動は粒子のように振舞うのである。 なお、光電効果の3番目の性質から、ある場所の光の強さはその場所の単位面積と単位時間及び飛来する光子の数に比例することが分かる。 *エネルギーの単位 電子や光子一個のエネルギーは非常に小さいので、ジュール（J）をそのまま用いると使い勝手が悪い。そのため、新たにエネルギーの単位を設定する。 真空中において電子一個を1Vで加速するときに電子が得る運動エネルギーを'''電子ボルト'''（'''エレクトロンボルト'''）という（記号：eV）。<math>1 \mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19} \mathrm{J}</math>である。 例） *銅の仕事関数は4.65eV {{コラム|光波長の測定| そもそも、光波長はどうやって測定されたのだろうか。 現在では、例えば原子の発光スペクトルの波長測定なら、回折格子をプリズムとして使うことによって、波長ごとに分け、波長が測定されている。 可視光の波長の測定は回折格子によって測定するわけだが、ではその回折格子の細かい数百nm〜数千nm程度の間隔の格子溝をどうやって作るのか、という問題に行き着く。 歴史的には、下記のように、可視光の波長が測定されていった。 まず、1805年ごろの「ヤングの実験」で有名なヤングらの研究により、可視光の波長は、おおむね 100 nm（10^-7m） 〜 1000 nm 程度であることは、この頃から既に予想されていた。 その後、ドイツのレンズの研磨工だったフラウンホーファーが優れた回折格子を開発し、可視光の波長を精密に測定する事に成功した。フラウンホーファーは回折格子を作るために細い針金を用いた加工装置を製作し、その加工機で製作された回折格子を用いて光波長の測定を始めたのが研究の起こりである。1821年、フラウンホーファーは格子を130 本/cmも並べた回折格子を製作した。<ref>『現代総合科学教育大系　SOPHIA21　第7巻　運動とエネルギー』、講談社、発行：昭和59年4月21日第一刷発行発行</ref> また、1870年にはアメリカのラザフォードがスペキュラムという光の反射性の高い合金を用いた反射型の回折格子を製作し、これによって700 本/mmもの格子のある回折格子を製作した。 更にこの頃、送り螺子の潤滑のために水銀を使う水銀浮遊法が、研究開発で行われた。 後の時代、より高精度な波長測定が物理学者マイケルソンによって行われた。 干渉計を用いて反射鏡を精密螺子で細かく動かすことにより高精度な波長測定器を作り、この測定器によってカドミウムの赤色スペクトル線を測定した。測定波長は643.84696 nmだった。マイケルソンの測定方法では、赤色スペクトル光の波長を当時のメートル原器と比較することで測定した。<ref>川上親考ほか『新図詳エリア教科辞典　物理』、学研、発行：1994年3月10日新改訂版第一刷、P.244 および P.233</ref> このマイケルソンの制作した干渉計にも、水銀浮遊法の技術が取り入れられている<ref>クリス・エヴァンス 著、橋本洋・上野滋 共訳『精密の歴史』、大河出版、2001年11月28日 再版、185ページ</ref>。 更に螺子の技術革新で、弾力性のある材質で螺子を作ることによって誤差を均し高精度とする技術マートン・ナットが、イギリスの物理学者トーマス・ラルフ・マートンなどによって開発された。 なお、現代でも、研究用として干渉計を用いた波長測定器が用いられている。メートル原器は、マイケルソン当時は長さの基準だったが、1983年以降は標準には用いられていない。現在のメートルの定義は以下の通り。 ;メートルの定義 :真空中の光速 <math>c</math> を単位 m/s で表したときに、その数値を {{val|299792458}} と定めることによって定義される。 :ここで、秒はセシウム周波数 <math>\Delta \nu_{\mathrm{Cs}}</math> によって定義される。 }} ==== 光電効果の測定 ==== [[File:Cellule photoelectriqie.JPG|thumb|300px|光電効果の実験]] [[File:Caracteristique courant tension (frequence fixe).JPG|thumb|300px|電位と光電流の関係]] 右の実験図のように、光電管の陰極に限界振動数ν₀よりも振動数が大きい光を当てると、光電子が飛び出し陽極に流れ込む。このときの電流を'''光電流'''という。 光電流の測定結果は右のグラフのようになる。 陽極の電位が正であれば飛び出した光電子は全て陽極に流れこむため、電圧を高くしても光電流の大きさは一定である。 陽極の電位が0であっても、光電子は運動エネルギー<math>K_0</math>を持って飛び出すので、陽極に到達することができる。 陽極の電位を負にしてさらに下げると、光電子は電場から受けるクーロン力によって運動を妨げられ、ある電位 <math>-V_0</math>で陽極に到達する前に運動エネルギーが0になってしまう。このときの電圧 <math>V_0</math>を'''阻止電圧'''といい、<math>K_0 = eV_0</math>が成り立つ。 つまり、阻止電圧を測定すれば光電子の持つ運動エネルギー <math>K_0</math>を求めることができる。 このとき、光の振動数 <math>\nu</math>または光の波長 <math>\lambda</math>が判っていれば、<math>K_0 = h \nu - W = \frac{hc}{\lambda} - W</math>より金属の仕事関数 <math>W</math>も求めることができる。 ただし、陽極と陰極で金属の種類が異なるとき、これらの仕事関数の違いに伴い'''接触電位差'''が表れるため、それも考慮しなければならない。 なお、光電効果によってプランク定数を測定することもできる。 === X線 === ==== X線の発見 ==== [[File:Rotating anode x-ray tube (labeled).jpg|thumb|250px|X線管<br>陰極から出た陰極線を陽極に照射すると、X線が出る。]] [[File:Tube RX a fenetre laterale.png|thumb|X線管の原理]] レントゲンは、1895年、放電管を用いて陰極線の実験をしていたとき、放電管の近くに置いてあった写真乾板が感光している事に気付いた。 レントゲンは、陰極線が硝子に当たったとき、何か未知のものが放射されてると考え、これをX線と名づけた。 軈て、種々の実験によってX線は性質が明らかになった。 *磁場や電場で曲がらない。（この事から、X線は荷電粒子ではない事が分かる） *X線を照射された物質はイオンに電離する。（'''電離作用'''） *可視光線を通さない物質でも、X線なら透過できる場合がある。（医療診断に応用されている。） *蛍光物質を光らせる。 などの性質がある。 ==== X線の発生とスペクトル ==== 上のX線菅の図において、電流による発熱で陰極から放出された'''熱電子'''は高い電圧によって加速され、'''ターゲット'''（陽極）に衝突する。このとき、一個の電子の持つエネルギーの一部または全部がX線光子のエネルギーとなり、残りは陽極熱に変換される。 発生するX線のスペクトルは、ある最短の波長から始まってそれより長い波長を連続的に含む。これを'''連続X線'''という。 電子のエネルギーが全てX線光子のエネルギーに変わるとき、<math>E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}</math>よりX線の波長は最短となる。このときのX線の振動数をν₀、波長をλ₀、加速電圧をVとすると、電子の初速度が0のとき、<math>eV_0 = h\nu_0 = \frac{hc}{\lambda_0}</math>が成り立つ。すなわち、最短波長は<math>\lambda_0 = \frac{hc}{eV}</math>と求まる。 [[File:TubeSpectrum.jpg|thumb|240px|特性X線（K線）]] 右の図のように、連続X線の他に特定のエネルギーを持つX線が強く放射される場合があり、これを'''固有X線'''（'''特性X線'''）という。固有X線の波長はターゲットの材質で決まる。 {{-}} ==== X線の波動性 ==== 1912年、物理学者ラウエは、X線を単結晶に当てると、写真フィルムに図のような斑点の模様にあることを発見した。これを'''ラウエ斑点'''といい、結晶中の原子が回折格子の役割をしたことで発生した干渉現象である。 [[File:Bragg diffraction 2.svg|thumb|400px|ブラッグの条件]] 1912年、ブラッグは、反射が強めあう条件式を発見した。 この条件式 :<math>2d\sin\theta = n\lambda</math>(nは非負整数) を'''ブラッグの条件'''という。 上式のdは格子面の間隔の幅である。 これは結晶面での回折や屈折を無視した場合の式であり、実際にはもう少し複雑な式となる。 <!-- 2023年奈良女子大学後期日程などに電子波の屈折を考慮したブラッグ反射の問題が出題。今後、新傾向として注意すべし ＠2025/08/13 --> {{-}} ==== X線の粒子性 ==== * コンプトン効果 X線を物質に当てて散乱された後のX線を調べると、その中に元のX線の波長よりも長いものが含まれることがわかった。このように散乱X線の波長が伸びる現象は物理学者コンプトンによって解明されたので、'''コンプトン効果'''（'''コンプトン散乱'''）という。 [[File:Compton ex1.jpg||400px|thumb|right|コンプトンによる実験略図。なお、図中の「単結晶」は波長の測定用であり <ref>原島鮮『初等量子力学』（裳華房、2014年第40版、初版は1972年）</ref> 、「単結晶」の材質は方解石の結晶であり、散乱波長はブラッグ反射などを活用して測定する。（コンプトン本人の論文“The Spectrum of Scattered X-Rays”(May 9, 1923).に、方解石（calcite）を使っていることと、ブラッグ反射（Bragg ?）させている事が書かれている。）]] この現象は、X線を波と考えたのでは説明がつかない。（仮に波と考えた場合、散乱では波長が変化しないので散乱光の波長は入射X線と同じになるはず。） さて、波動の理論でコンプトン効果を説明できないなら、粒子の理論で説明をすれば良いだろう。 この当時、アインシュタインは光量子仮説に基づき、光子はエネルギー<math>E=h\nu</math>だけでなく、次の式で表される運動量 <math>p</math>も持つことを発見している。 <math>p=\frac{h\nu}{c}(=\frac{h\nu}{\nu \lambda}=\frac{h}{\lambda})</math> 物理学者コンプトンは、この発見を利用し、波長λのX線を、運動量<math>\frac{h}{\lambda}</math> とエネルギー<math>\frac{hc}{\lambda}</math>を持つ粒子（光子）の流れと考え、 X線の散乱を、この光子が物質中のある電子と完全弾性衝突をした結果と考えた。 :コンプトンはこの考えに基づき、光子と電子の間に運動量保存則及びエネルギー保存則が成り立つと仮定して計算して、実験結果と良く合う結果が得られることを発見した。 [[File:Compton effect illust.svg|thumb|400px|コンプトン効果<br>この図を見ると、あたかも真空中を漂う電子に電磁波を照射したように見えるが、そうではない。実際にコンプトンが行った実験は、石墨の炭素などの物質にX線を照射する実験である。図中の電子は、炭素などの分子が提供する電子である。<!-- コンプトン本人の論文に、このような感じの図が書かれており、それでこのような図が普及したものと思われる。-->]] 解法は、下記のとおり。 :エネルギー保存の式を立てる。 :運動量の保存の式を立てる。 ---- エネルギー保存の式 :<math>\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda '} + \frac{1}{2}mv^2 \qquad \qquad</math> (1.2a) 運動量保存の式 :x軸: <math> \frac{h}{\lambda} =\frac{h}{\lambda '} \cos \theta + mv \cos \phi \quad</math> (1.2b) :y軸: <math> 0 =\frac{h}{\lambda '} \sin \theta - mv \sin \phi \qquad</math>(1.2c) ---- この3つの式を連立し、<math>v</math>と<math>\phi</math>を消去して<math>\lambda,\lambda ',\theta</math>の関係式を求めればよい。 ⅰ）まず、式(1.2b),(1.2c)から<math>\phi</math>を消去する。<br> 式(1.2b)から :<math>(mv \cos \phi)^2 = (\frac{h}{\lambda}-\frac{h}{\lambda '} \cos \theta)^2 </math> 式(1.2c)から :<math>(mv \sin \phi)^2 = (-\frac{h}{\lambda '} \sin \theta)^2</math> この両式を加えると :<math>m^2 v^2 = (\frac{h}{\lambda}-\frac{h}{\lambda '} \cos \theta)^2+(-\frac{h}{\lambda '} \sin \theta)^2+\frac{h^2}{\lambda '^2}</math> この右辺を整頓すると、 :<math>m^2 v^2 =\frac{h^2}{\lambda^2}-2\frac{h^2}{\lambda \lambda '}\cos \theta +\frac{h^2}{\lambda '^2}\quad</math> (1.2d) を得る。 ⅱ）式(1.2d)を式(1.2e)に代入してvを消去する<br> 式(1.2a)の右辺の第2項を変形して式(1.2d)を代入する。 :<math>\frac{1}{2}mv^2 =\frac{1}{2m}m^2v^2 = \frac{1}{2m}\bigl(\frac{h^2}{\lambda^2}-2\frac{h^2}{\lambda \lambda '}\cos \theta\bigr)+\frac{h^2}{\lambda '^2}</math> これを式(1.2a)の右辺に代入すると :<math>\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda '} + \frac{1}{2m}\Bigl(\frac{h^2}{\lambda^2}-2\frac{h^2}{\lambda \lambda '}\cos \theta +\frac{h^2}{\lambda '^2}\Bigr)</math> 両辺を<math>hc</math>で割ると :<math>\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda '} + \frac{h}{2mc}\Bigl(\frac{1}{\lambda^2}-2\frac{1}{\lambda \lambda '}\cos \theta +\frac{1}{\lambda '^2}\Bigr)</math> (1.2e) を得る。 この式の右辺の第2項の括弧内を次のように変形する。 :<math>\frac{1}{\lambda^2}-2\frac{1}{\lambda \lambda '}\cos \theta +\frac{1}{\lambda '^2}=\bigl(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda'}\bigr)^2+\frac{2}{\lambda \lambda'}(1-\cos \theta)</math> この式を式(1.2e)の右辺第2項に代入すると :<math>\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda'} + \frac{h}{2mc} \left\{ \bigl(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda'}\bigr)^2+\frac{2}{\lambda \lambda'}(1-\cos \theta) \right\}</math> この式の右辺の第１項を移行し、式を変形すると :<math>\frac{\lambda'-\lambda}{\lambda\lambda '}= \frac{h}{2mc}\left\{ \bigl(\frac{\lambda'-\lambda}{\lambda \lambda'}\bigr)^2+\frac{2}{\lambda \lambda'}(1-\cos \theta) \right\}</math> 両辺に<math>\lambda \lambda'</math>を掛けると :<math>\lambda'-\lambda= \frac{h}{2mc}\left\{ \frac{(\lambda'-\lambda)^2}{\lambda \lambda'}+2(1-\cos \theta) \right\}</math> (1.2f) X線の散乱では、<math>\lambda'\fallingdotseq \lambda</math>なので :<math>\frac{(\lambda'-\lambda)^2}{\lambda \lambda'}</math>は、波長に比べて非常に小さい値になり無視できる。 故に式(1.2f)から :<math>\lambda'-\lambda \fallingdotseq \frac{h}{mc} (1-\cos \theta) \qquad</math> (1.2g) これで、所望の式が導出された。 ---- === 粒子の波動性 === ==== 物質波 ==== フランスのド・ブロイは、波と考えられてた光が粒子の性質を持つならば、電子も粒子としての性質だけでなく波動としての性質を持つだろうと考えた。 そして、電子だけでなく、一般の粒子に対しても、その考えを適用し、次の公式を提唱した。 :運動量 <math>p</math>の粒子は波動性をもち、その波長は次式で与えられる。 :<math>\lambda = \frac{h}{p} </math> これはド・ブロイによる仮説であったが、現在では正しいと認められている。 この波は、'''物質波'''と呼ばれる。'''ド・ブロイ波'''ともいう。 すなわち、光子や電子に限らず、あらゆる物質は粒子性と波動性を併せ持つといえる。 この物質波という説によると、電子線を物質に当てれば回折などの現象が起きるはずである。 1927年〜1928年にかけて、デビッソンとガーマーは、ニッケルなどの物質に電子線を当てる実験を行い、X線回折と同様に電子線でも回折が起きることを実証した。日本でも1928年に菊池正士が雲母片に電子線を当てる実験により回折が起きることを確認した。 電子線の波長は、高電圧をかけて電子を加速して速度を高めれば、物質波の波長はかなり小さくできるので、可視光の波長よりも小さくなる。 そのため、可視光では観測できなかった結晶構造が、電子波やX線などで観測できるようになった。生物学でウイルスが電子顕微鏡で観測できるようになったのも、電子の物質波が可視光よりも大幅に小さいからである。 === 粒子と波動の二重性 === *電子ビームによる波動性の干渉実験 [[Image:Egun.jpg|thumb|250px|right|ブラウン管の電子銃]] [[ファイル:double-slit.svg|thumb|right|350px|電子の二重スリットの干渉実験]] [[ファイル:Doubleslitexperiment_results_Tanamura_1.gif|thumb|left|250px|二重スリット実験の結果]] 電子銃は電子を放出する装置である。 電子銃をもちいて、1個ずつ電子を当てる実験を、二重スリットを使って実験すると、図のように、波動のように、電子の多く当たった場所と電子の少なく当たる場所との縞模様ができる。 {{-}} このように、電子にも粒子性と波動性があり、電子は粒子でありつつ、二重スリットに向かって電子を撃ち込むと干渉を起こすという波動性も持っている。 上述のような、さまざまな実験の結果から、すべての物質には、原子程度の大きさでは、波動性と粒子性の両方の性質をもつと考えられている。 このことを'''粒子と波動の二重性'''という。 {{コラム|電子顕微鏡| 光学顕微鏡（レンズを用いる顕微鏡）では、回折が起こることによって光の波長よりも小さな物体を見ることが非常に困難となる。'''分解能'''（2点を識別できる限界の距離）は10^-7m(100nm)程度である。 より高い分解能を得るため、光よりも波長が短い電子線を用いる'''電子顕微鏡'''が発明された。電子顕微鏡では、加速電圧を高くすることで高い分解能を得られる。ただし、電磁波によるレンズ作用を用いることによる'''収差'''（像の歪み）などの障碍から、現在の最高分解能は10^-10m(0.1nm)ほどに留まっている。 この分解能では、ウイルスどころか金属・酸素などの原子すらも観察することが可能であるが、中性子・陽子・電子などは小さすぎて観察できない。 }} 副読本：朝永振一郎『光子の裁判』1949年（朝永振一郎は1965年にノーベル物理学賞を受賞した物理学者だが、[[高等学校文学国語/化物の進化|寺田寅彦]]と同様に一般向けの書籍を多数執筆する文豪でもあった。この作品では、光子になぞらえた「波乃光子」という被告の裁判を舞台に、粒子と波動の二重性の不思議さを繙いている。） *不確定性関係 [[File:Bundesarchiv Bild183-R57262, Werner Heisenberg.jpg|thumb|物理学者ハイゼンベルグ <br>不確定性原理の主要な提唱者である。]] 電子などの量子の位置や運動量は確定してる訳ではなく、物理量を測定するとその状態に対応する確率分布に従った値が得られれる。位置と運動量について標準偏差を計算する事ができるが、位置の標準偏差と運動量について標準偏差の積は必ず <math> \frac{h}{4\pi} </math> 以上となる。このことを'''不確定性関係'''という。 {{-}} == 原子・原子核・素粒子 == ===原子=== 陰極線に関連する実験から、全ての原子に負の電荷を持つ電子が含まれると考えられたが、原子は電気的に中性なので正の電荷を帯びた部分が存在するはずである。 そこで、原子の構造について様々な説が登場した。 比電荷の測定を行ったトムソンは、一様に正に帯電した球の中を電子が運動しているというプラムプディングモデル（ブドウパンモデル）を提唱した。長岡半太郎は、フランスのジャン・ペランが提唱した、正電荷を持つ粒子の周りを電子が公転している土星型モデルを定量化して大幅に補強した。しかし、実際に採択されたのは以下のようなモデルだった。 [[File:Geiger-Marsden experiment expectation and result (Japanese).svg|right|400px|thumb|]] ドイツのガイガーとニュージーランドのマースデンは、α粒子を薄い金箔に当てる実験を行い、α粒子の散乱の様子を調べた。（なお、α粒子の正体はヘリウムの原子核。）その結果、ほとんどのα粒子は金箔を素通りするが、金箔中の一部の場所の近くを通ったα粒子だけが大幅に散乱する現象を発見した。 α粒子は電子の7000倍以上の質量を持つことから、電子の影響で大きく曲げられたとは考えにくい。そこで、原子内の狭い部分に集中した正電荷がα粒子に強い斥力を及ぼし、その部分が原子の質量の大部分を占めていると考えて計算を行い、実験結果をうまく説明することに成功した。 原子(10^-10)内の正電荷が集中した10^-15~10^-14程度の重い部分は'''原子核'''と名付けられた。 原子は、中心に原子核があり、そのまわりを電子が運動するというラザフォードモデルとよばれるモデルによって説明される。ラザフォードモデルは、土星型モデルを発展させたものとも言える。 *ラザフォードモデル 原子は、全体としては電気的に中性であり、負の電荷を有する'''電子'''を'''電子殻'''に持つ。 ここで、ミリカンの実験 による結果などから、電子の質量は水素イオンの質量の約1/1840程度しかないことが分かっている。 すなわち、原子は電子と陽イオンとが含まれるが、質量の大部分は陽イオンがもつことが分かる。 原子核の大きさは原子全体の1/10000程度であるため、'''原子の大部分は真空'''である。 原子核は、正の電荷をもつZ個の'''陽子'''と、電気的に中性な(A−Z)個の'''中性子'''からなる。 陽子と中性子の個数の合計を'''質量数'''という。 陽子と中性子の質量はほぼ等しいため、原子核の質量は、質量数Aにほぼ比例する。 ==== 統一原子質量単位 ==== 原子の質量は極めて小さいため、キログラム（kg）をそのまま用いるのは不便である。そこで、（同位体を除いて）118種類ある原子のうちどれかを基準として考えたい。ここで、他の様々な原子と化合できるため質量比較がしやすいこと、同位体¹³Cなどの存在比が極めて小さいことなどから、炭素原子を基準にするのが適当である。 ¹²C原子一個の質量を12と定義する単位系を'''統一原子質量単位'''という。単位はDa（'''ダルトン'''）であるが、廃止されたamu（'''アトミックマスユニット'''）を用いる人もいる。 [[高等学校化学基礎/物質量#原子量|化学基礎で原子量を習った]]が、原子質量単位は質量を表す単位なのに対し、原子量は質量そのものでなく質量比を表しているので単位はなく無次元である。混同しないように注意しよう。 ==== 水素原子のスペクトル ==== 高温の物体から発光される光には、どの（可視光の）色の波長（周波数）もあり、このような連続的な波長の光を連続スペクトルという。 いっぽう、ナトリウムや水素などの、特定の物質に電圧がかけられ放電したときに発光する波長は、特定の数本の波長しか含まれておらず、このようなスペクトルを輝線という。 パルマーは、水素原子の数本ある輝線の波長が、次の公式で表現できることに気づいた。 :<math>\lambda = 3.65 \times 10^{-7} \mathrm{m} \times \left( {n^2 \over n^2 - 4} \right).\quad(n=3,\ 4,\ 5,\ 6,\cdots\cdots)</math> (2.1) 上式中のmはメートル単位という意味。 その後、水素以外の原子や、可視光以外の領域についても、物理学者たちによって調べられ、次の公式へと、物理学者リュードベリによって、まとめられた。 :<math>\frac{1}{\lambda} =R \left( \frac{1}{m^2} -\frac{1}{n^2} \right).\ \left(\begin{array}{lcl}m =1,\ 2,\ 3,\cdots\cdots, \\ n = m+1,\ m+2,\ m+3,\cdots\cdots \end{array}\right)</math> (2.2) 上式のRは'''リュードベリ定数'''といい、<math>R=1.097373156815712 \times 10^7 \, \mathrm{/m}</math>である。 この公式の<math>m=1, 2, 3</math>をそれぞれ'''ライマン/パルマー/パッシェン 系列'''という。 ==== 量子論と原子の構造 ==== [[File:Stationary wave Quantum rule in atom.svg|thumb|300px|原子内の定常波]] ラザフォードの原子模型に従えば、電子は、まるで惑星の公転のように原子核を中心とする円軌道の上を一定の速度で運動する。 円運動する質点は加速度をもつので、このモデルの電子は加速度運動を続けることになる。 ところが古典電磁気学で、加速度運動を行う電荷は電磁波を放出してエネルギーを失うという法則が既に発見されていた。 この法則によれば、原子核の周りを回る電子は電磁波を放出し続け、エネルギーを絶えず減らしていく。それにつれ電子は原子核に向けて落下していくため、原子核との距離を小さくしながら原子核の周りを回転し、やがて原子核に衝突してしまう。円軌道の上を安定的に運動することは不可能なのである。 デンマークのボーアはラザフォードの原子模型の深刻な矛盾を克服し、さらに水素原子の放出する線スペクトルについても説明できる原子模型を作るため、 プランクの提唱したエネルギー量子化の考えとアインシュタインの光量子論を取り入れた大胆な仮説を立てた(1913年）。 *仮説1：量子条件 原子核を中心とする半径 <math>r</math>の円軌道を速さ <math>v</math>で回転する電子の軌道角運動量<math>rp=mrv</math>は<math>\frac{h}{2\pi}</math>の正整数倍しかとりえない，すなわち :<math>mrv=n\frac{h}{2\pi} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\cdots\cdots)</math> (2.3) を満たさねばならない（角運動量の量子化）。この状態を'''定常状態'''、この条件を'''量子条件'''という。 :このボーアの式の正整数nを'''量子数'''という。 後年(1924年）、ド・ブロイは、物質粒子は波動性を持ち、その波（物質波）は、波長 :<math>\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}</math> をもつと提唱した。また，(2.3)を変形すると :<math>2\pi r=n\frac{h}{mv}=n\lambda</math>. これらは電子の軌道一周の長さが電子の物質波の波長の正整数倍のとき，電子波は定常波になることを示している。 :これは、円軌道上に定常波ができるための条件と同じである。 *仮説2：振動数条件 電子はある決まった飛び飛びのエネルギーしか持たない。このとびとびのエネルギー値を'''エネルギー準位'''という。 :電子がエネルギー順位を<math>E'</math>から<math>E(<E')</math>に遷移する（エネルギーを失う)ときには、<math>E'-E=h\nu</math>できまる振動数<math>\nu</math>の一個の光子を放出し、 :逆にエネルギー準位 Eの電子が外部からエネルギー<math>h\nu = E'-E</math>を得ると、エネルギー準位E'に遷移する。 ==== エネルギー準位 ==== [[File:Circular-motion-electron-in-atom jp.svg|thumb|400px|水素原子内での電子の円運動]] 水素原子において、電子軌道上にある電子のエネルギーを求めたいが、そのためには水素原子の半径を求める必要がある。 量子数<math>n</math>のとき水素の電子が原子核<math>H^+</math>を中心とする半径<math>r_n</math>の円軌道上を一定の速度<math>v_n</math>で運動しているとすれば、円運動方程式は :<math> m \frac{v^2_n}{r_n} = k_0 \frac {e^2}{r^2} </math> で表される。 一方、電子が定常波の条件を満たす必要があるので、前項の式（１）から、 :<math> v_n = \frac {nh}{2 \pi m r } \qquad \qquad (2)</math> である。 この<math>v</math>を先ほどの円運動の式に代入して整頓すれば :<math> r_n = \frac {h^2}{4 \pi ^2 k_0 me^2} n^2\qquad \qquad (3)</math>（<math>n=1, 2, 3\cdots</math>） になる。こうして、水素原子の電子の軌道半径が求まる。 <math>n=1</math>のときの半径 <math>r_1</math>を'''ボーア半径'''という。 原子の世界でも、運動エネルギーKと位置エネルギーUの和が、エネルギーである。 位置エネルギーUは、この水素の電子の場合なら、静電気エネルギーを求めれば充分であり、電位の式によって求められて、 :<math> U = - k_0 \frac {e^2}{r}</math> となる。 運動エネルギーKは、<math> K = \frac{1}{2}mv^2</math>なので :<math> E = K+U = \frac{1}{2}mv{}^2 - k_0 \frac {e^2}{r}</math> 上式の右辺第一項に、 :円運動方程式<math> m \frac{v^2}{r} = k_0 \frac {e^2}{r^2} </math>の両辺にｒを掛けた <math> m v^2 = k_0 \frac {e^2}{r} </math>を代入すれば、 :<math>E(= E_n )= K+U = \frac{1}{2} k_0 \frac {e^2}{r}- k_0 \frac {e^2}{r} = - \frac{k_0e^2}{2r} </math> となる。 さらに、これに電子の軌道半径<math>r=r_n</math>として式(3)を代入すれば、 :<math>E_n = -\frac{2\pi ^2 k_0{}^2 me^4} {h^2} \frac{1}{n^2} \quad (n=1,2,3,,,) \qquad \qquad (4)</math> となる。これが水素原子のエネルギー準位である。 エネルギー準位の公式をよく見ると、エネルギーが連続的ではなく離散的な負の値をとることが判る。 <math>n=1</math>のとき、エネルギーが最低なので安定である。よって、電子は通常、<math>n=1</math>の状態であり、なろうとする。これを'''基底状態'''、<math>n=2, 3, \cdots</math>のときを'''{{ruby|励起|れいき}}状態'''という。 {{コラム|[[高校化学 無機化学まとめ#炎色反応|炎色反応]]の原理| 高温の炎中にある種の金属粉末や金属化合物を置くと、試料が熱エネルギーによって解離し原子化される。それぞれの原子は熱エネルギーによって電子が励起され、外側に存在する高エネルギーの電子軌道へと移動する。励起された電子が安定な基底状態に戻ろうとする際に、余分なエネルギーを電磁波として放出する。電磁波の周波数が、ちょうど可視光線の範囲に入る場合が有る。このとき、炎色反応として肉眼で観察できる。 なお、原子の電子軌道のエネルギーは連続した値ではなく飛び飛びの値であるため、励起された電子が基底状態に戻る際に放出されるエネルギーも連続した値ではない。このため、炎色反応として放出された光は連続スペクトルではなく輝線スペクトルを示す。また、元素によっても電子軌道のエネルギーはある程度決まるため、元素によって特徴的な輝線スペクトルを示す。これが、炎色反応を示す元素の種類により、炎色反応によって放出される光の色が決まる理由である。 }} なお、 :<math> -\frac{2\pi ^2 k_0{}^2 me^4} {h^2}</math>に諸定数の値を入れて計算すると :ほぼ<math> - \frac{13.6}{n^2} \ \ \mathrm{eV}</math>となるので、 :水素原子のエネルギー準位は :<math>E_n \fallingdotseq -\frac{13.6}{n^2} \, \mathrm{eV}</math>と書ける。 :<math>E_1 \fallingdotseq 13.6 \, \mathrm{eV}</math>は水素のイオン化エネルギーの値に等しく、実験値によく一致することが判った。 ;補：水素原子のスペクトルの経験式の理論的導出 水素原子の発する光のスペクトルの実測値を表すリュードベリの経験式については既に説明した。 ボーアの水素原子モデルに基づいて得られたエネルギー準位と振動数条件を用いれば、この式が以下のように理論的に導出できる。 任意の正整数<math>m, n \; (n>m)</math>を考える。 振動数条件により電子がエネルギー準位<math>E_n</math>から、低いエネルギー準位<math>E_m</math>に遷移するときに1個放出する光子の振動数は<math>\nu=\frac{E_n-E_m}{h}</math>である。 この光子の波長λは <math>\frac{1}{\lambda} = \frac{E_n-E_m}{ch}</math> で与えられるので、右辺のエネルギー準位に式（４）を代入すると :<math>\frac{1}{\lambda} = \frac{2\pi ^2 k_0{}^2 me^4} {ch^3}(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}) \qquad \qquad (5)</math> が得られる。 <math>\mathbf{R} := \frac{2\pi ^2 k_0{}^2 me^4} {ch^3}</math> でリュードベリ定数を定義すると、式(5)は :<math>\frac{1}{\lambda} = {\bf R}(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}) \qquad \qquad (5')</math> Rの定義式中の諸定数に値をいれて計算すると :<math>{\bf R} = 1.097373156815712\times 10^7 \rm{ /m} \qquad \qquad \qquad (6)</math> 驚くべきことに、リュードベリの経験式が、見事に導出できたのである。 これは、ボーアの仮説の妥当性を示すものと言えよう。 なお、実際の特性スペクトルの波長は、原子内部の電子の影響により若干摺れる。そういった内部電子の補正を考慮した、より精度の高い式として「[[w:モーズリーの公式]]」というのが知られている。歴史的には先にモーズリーの式が発見され、後からモーズリーとは別に独立に研究されていた上述のようなボーアやラザフォードの理論を用いると、モーズリーの公式もうまく説明できるという事が物理学者コッセルによって発見された<ref>山本義隆『原子・原子核・原子力』、岩波書店、2015年3月24日 第1刷、140ページ</ref>。モーズリーの公式については、大学の量子化学などの教科書に記載があるだろう。 ;フランク・ヘルツの実験 [[File:FranckHertzHgTube.jpg|thumb|right|upright=0.5|実験装置。Cは陰極でヒータで加熱し熱電子を放出させる。Gはグリッド。Aは陽極。]] ドイツのフランクとヘルツは、気体放電での電子の働きを調べるため、水銀蒸気を封入した図のような装置で実験を行った。 フィラメントCから飛び出す電子を、Cと網目状のグリッドGとの間に加える電圧Vで加速する。Gの後ろに電極Aを置き、Aに到達した電子の数を電流計で調べる。GA間にはCG間と逆向きに僅かな電圧（0.5V程度）を加え、電子がGに到達しても運動エネルギーが0に近ければAに到達できなくした。CG間の電圧を上げながらAに到達する電子の数を調べ、[グラフ]のような実験結果を得た。 [[File:Franck-Hertz en.svg|thumb|center|縦軸が電流で横軸が電圧。]] 電子の数は電圧の増加とともに増すが、4.5~5V付近をピークに減少し、再び増加する。その後、約4.9Vの間隔で同様の増減を繰り返す。また、4.9eVに相当する波長のスペクトルも発生していた。 ボーアは、この実験結果を「4.9eVは水銀原子の基底状態と励起状態のエネルギーの差であり、電子の運動エネルギーが加速電圧で4.9eVに達した時に水銀原子が励起して電子が運動エネルギーを失う」と説明した。 その後、FG間から波長2.537×10^-7(4.9eVのエネルギーに相当)の紫外線が発生していることが確認された。これは、励起された水銀原子が基底状態に戻る時にそのエネルギー準位の差に相当する波長の光子を放出して生じたものと考えられ、原子には離散的な値のエネルギー準位が存在するというボーアの仮説が実験で裏付けられた。 なお、固有X線の発生原理もエネルギー準位で説明することができる。 === 原子核 === ==== 原子核の構造 ==== 原子核は、陽子と中性子からできている。二つを総称して'''核子'''という。 陽子は正電荷をもち、中性子は電荷をもたない。 原子核の陽子同士はクーロン力によって反撥し合うが、陽子と中性子を結ぶ'''核力'''がクーロン力よりも強いため、それが核子同士を繫ぎ止めている。 なお、原子番号の低い元素において、陽子と中性子の個数はほぼ同数である場合が多い。例えば、酸素や窒素では陽子・中性子ともに同数である。一方、元素番号の高い元素ほど、陽子よりも中性子が多い。例えばウラン235は中性子数が陽子数の1.5倍である。これには核力の性質が関係していると考えられている<ref>山本義隆『原子・原子核・原子力』、岩波書店、2015年3月24日 第1刷、190ページ</ref>。 陽子と中性子の数の和は'''質量数'''と呼ばれる。 元素の原子核の陽子の数は、その元素の周期表の'''原子番号'''である。 質量数が<math>A</math>の原子核は非常に強い核力のために、小さな球体状の空間の中に固まっており、その半径ｒは、 <math>1.2 \sim 1.4\times 10^{-15} \sqrt[3]{A}</math> であることが知られている。 ==== 同位体 ==== 同じ元素でも、中性子の数が異なる原子がある。これらを互いに'''同位体'''（'''アイソトープ'''）という。例えば、水素に対する重水素・三重水素、酸素に対するオゾンなどがそうである。水素の原子核は陽子1つであり、重水素(D)の原子核を'''重陽子'''、三重水素(T)の原子核を'''三重陽子'''という。また、重水素からなる水分子<chem>D2O</chem>を'''重水'''という。 一般に、同じ元素であれば同位体でも化学的性質は同一であるが、物理的性質は大きく異なる場合がある。 原子の質量は、イオン化した原子を加速して電場・磁場が軌道にもたらす影響を調べることで求められる。 トムソンは、電場と磁場を加えた空間にイオンを入射させ、比電荷の同じイオンがスクリーン上の同じ放物線上に集まるような装置を制作した。これにより、ネオンの同位体が発見された。 トムソンの研究室にいたイギリスのアストンは、トムソンの装置を基にイオンの速さにかかわらず比電荷が同じであればスクリーン上の一点に集まるような装置（'''質量分析器'''）を製作した。この装置により多くの同位体が発見され、それらの質量と存在比も精密に測定された。 ==== 放射能と放射線 ==== 元素の中には、'''放射線'''を出す性質をもつものがあり、この性質を'''放射能'''という。 また、放射能をもつ物質は'''放射性物質'''といわれる。放射能を持つ同位体を'''放射性同位体'''という。 放射線には3種類存在し、それぞれ'''α線'''、'''β線'''、'''γ線'''という。 α崩壊は、親原子核からα粒子が放射される現象である。α粒子の正体はヘリウム原子核である。α崩壊後、親原子核の質量数は4小さくなり、原子番号は2小さくなる。 β崩壊は、親原子核の中性子が陽子と電子に変化することで、電子が放射される現象である。なお、放出された電子はβ粒子ともよばれる。β崩壊後、親原子核の質量数は変化しないが、原子番号は1増加する。 γ線は、α崩壊またはβ崩壊直後の励起状態にある原子核が、よりエネルギーの低い状態に遷移するときに放射される（かつてはγ崩壊と呼んだが、原子核が崩壊していないので用語廃止された）。γ線の正体は光子で、X線より波長の短い電磁波である。 α崩壊やβ崩壊によってもとの原子核の数は徐々に減っていくが、これらの崩壊は原子核の種類ごとに決まった一定の確率で起きるので、崩壊によってもとの原子核の数が減る速度は原子核の個数に比例して変化する。しかし、崩壊によってもとの原子核の数が半減するのにかかる時間は、原子核の種類だけによってきまる。そこで、この時間のことをその原子核の '''半減期''' と呼ぶ。崩壊によって原子核の個数がどれだけになるかは、この半減期を用いて記述することができる。原子核の最初の個数を<math>N_0</math>、原子核の半減期を<math>T</math>、時刻<math>t</math>での原子核の個数を<math>N(t)</math>とすると、 :<math>N(t)=N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}</math> が成り立つ。 放射線に関しては様々な単位が用いられる。 かつてはキュリー、エルグ、ラド、レントゲン、レムなどの単位が用いられていたが、現在ではSI単位系に沿って以下の単位が用いられる。（ただし、現在でも前述の単位を用いる場合がある） {| class="wikitable" |+ 放射線のSI系列単位 |- ! 物理量 !! 単位 !! 記号 !! 説明 |- |放射能の強さ||ベクレル||Bq||原子核が毎秒一個の割合で崩壊するときの放射能の強さを1Bqとする。 |- |照射線量||クーロン毎キログラム||C/Kg||放射線の照射によって0℃、1013hPaの空気1cm³あたりに3.335641×10⁻¹⁰ C（1 {{ruby|esu|静電単位}}）のイオン電荷が発生したときの放射線の総量を2.58<u>0</u>×10⁻⁴ C/kg(1 {{ruby|R|レントゲン}})と定義する。 |- |吸収線量||グレイ||Gy||1Kgの物質が放射線の吸収と共に1Jのエネルギーを得たときの吸収線量を1Gyとする。 |- |線量当量||シーベルト||Sv||吸収線量に、放射線の種類ごとに定められた人体の障害の受けやすさを表す線質係数（修正係数）を掛けたもの。例えば等価線量を求めたいなら放射線荷重係数を掛け、実効線量を求めたいならさらに組織荷重係数を掛ける。 |- |線量率||シーベルト毎時||Sv/h||単位時間あたりに受ける放射線の量 |} ちなみに、1キュリーは37GBq(37ギガベクレル、370億ベクレル)に等しい。 生体が放射能を受けることを'''被曝'''という。※'''「被爆」表記は意味が違うので絶対用いないように'''。 放射線は電離作用を持つので生物細胞に影響を及ぼし、遺伝子を破壊することで癌を発症させたり奇形を発生させたりする。被曝量が大きい場合には急性の障碍を引き起こすこともある。この影響を最小限にするには、放射線源から離れる、浴びる時間を短くする、鉛で放射線を遮るなどの対策が必須である。一方で、自然界には放射線がありふれている。普段の生活では食事による内部被曝や宇宙線による被曝などで年間2.4mSvほどの放射線を自然界から受けている。これらは被曝量が少ないため人体に害はない。また、放射線は非破壊検査、癌治療、レントゲン撮影、農作物の品種改良などの分野で応用されている。 手塚治虫は、自著『火の鳥』の「未来編」にて栽培促進に利用される放射線と、そこにおける事故を描いている。1967年の時点で既に放射線の産業利用の可能性と事故が起こったときの重大性を読み取っていたのである。 なお、福島原発事故の処理水放出が取り沙汰されているが、あれは国際基準よりも厳しい基準で安全性を確認してから放出しているため、一部が騒いでいるような汚染ではない。 ===== 発展：半減期公式の導出 ===== 原子核の崩壊速度は、原子核の個数に比例すると述べた。実は、上に述べた公式はこの情報だけから純粋に数学的に導き出すことができるものである。発展的な数学を用いるが、興味のある読者のためにその概要を記しておく。 原子核の個数と崩壊速度の間の比例定数は原子核の種類によって決まる。この定数をその原子核の'''崩壊定数'''という。崩壊定数が<math>\lambda</math>の原子核の時刻<math>t</math>での個数を<math>N(t)</math>とすると、その変化速度、すなわち<math>N(t)</math>の時間微分は、 :<math>\frac{d}{dt} N(t) = -\lambda N(t)</math> で表される。このような、ある関数とその微分との関係を表した式を微分方程式といい、微分方程式を満たすような関数を求めることを、微分方程式を解くという。変数分離法によりこの微分方程式を解くと、 :<math>\frac{dN(t)}{N(t)}=-\lambda dt</math> :<math>\int \frac{dN(t)}{N(t)}=-\lambda \int dt</math> :<math>\log |N(t)|= -\lambda t + C</math>（<math>C</math>は積分定数） よって :<math>N(t) = e^{-\lambda t + C} = e^{C} e^{-\lambda t} \qquad</math><small>※<math>N(t)\geqq0</math>より絶対値記号は無視してよい。</small> ここで<math>e^{C}</math>は積分定数の値によって定まる初期値なので、原子核の初期個数<math>N_0</math>とみてよい。 :<math>\therefore N(t)= N_0 e^{-\lambda t}</math>・・・(*) 半減期<math>T</math>は<math>N(t)=\frac{1}{2}N_0</math>なる<math>t</math>のことなので、式(*)より :<math>\frac{1}{2}N_0 = N_0 e^{-\lambda T}</math> :<math>\frac{1}{2}=e^{-\lambda T}</math> :<math>-\log 2 = -\lambda T</math> :<math>T=\frac{\log 2}{\lambda}</math> よって :<math>N(t)=N_0 e^{-\lambda t}=N_0 (e^{-\log 2})^{\frac{t}{T}}=N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}</math> が得られる。 ==== 原子核反応 ==== [[File:Cloud chamber ani bionerd.gif|thumb|right|300px|霧箱の実験。陽子は電荷（正電荷）をもっているため、霧箱でも観測することができる。 （※ この画像は、陽子の観測実験ではない。）<br>霧箱（蒸気の充満した装置）を使うことで、何らかの粒子が通過したとき蒸気が凝集するので、粒子の軌跡が可視化されるのである（飛行機雲と同じ原理）。磁場を加えた場合の、軌跡の曲率等などから、比電荷までも予想できる。]] * 陽子の発見 ラザフォードは、窒素ガスを密閉した箱にα線源があると、正電荷をもった粒子が発生することを発見した。 この正電荷の粒子が、陽子である。つまり、ラザフォードは陽子を発見した。 同時に、酸素も発生することを発見し、その理由は窒素が酸素に変換されたからであり、つまり、原子核が変わる反応も発見した。 これらのことを式にまとめると、 :<math>_{\ 7}^{14} \mathrm{N} + {}_{2}^{4} \mathrm{He} \rightarrow {}_{\ 8}^{17} \mathrm{O} + {}_{1}^{1} \mathrm{H} </math> である。 このように、ある元素の原子が、別の元素の原子に変わる反応のことを '''原子核反応'''（'''核反応'''）という。また、上のような反応式を'''核反応式'''という。 化学反応では原子の種類が変わらずその組合せが変わるだけであったが、核反応では別の種類の原子が生まれる。 正電荷を持つ二つの原子核の間には電磁気力により斥力が働く。核反応は、2つの原子核がこの斥力に打ち克って核力が働く近距離に近づいた時に初めて起こる。そのため、核反応を起こすには大きな運動エネルギーが必要であり、そのためにサイクロトロン・ベータトロン等の加速器が用いられる。 一般に、核反応では'''反応の前後で質量数の和と電気量の和は保存される'''ことがわかっている。 {{コラム|霧箱| 霧箱は、種類にもよるが、普通、エタノールまたはアルゴンの気体が封入される<ref>山本義隆『原子・原子核・原子力』、岩波書店、2015年3月24日 第1刷発行、P80</ref>。 霧箱のような実験装置の用途として、陽子の実験の用途のほか、原子核反応の回数を観測する目的でも使うことが出来る。放射線の測定器のガイガーカウンターの原理も、霧箱と類似している。放射線測定器であるガイガー・ミュラー管には気体（アルゴンやエチレンガスなどの不活性な気体）が封入されている。霧箱のように気気体を封入した測定管に、高電圧をかけた電気極板を追加することで、放射線を捉えるようにしたものがガイガー管である[https://www.agc.a.u-tokyo.ac.jp/radioecology/pdf/190930_radioecology_supplement2.pdf]。物理学者ガイガーは、このような測定器を開発し、さらに原子核反応によって生成されるヘリウム分子を集めて気体として封入し、当時としては最高水準の精度でアボガドロ定数を測定する事に成功した<ref>山本義隆『原子・原子核・原子力』、岩波書店、2015年3月24日 第1刷発行、P81</ref>。これは、プランクの熱輻射の理論から算出されたものや、物理学者ベランがブラウン運動から求めたものに匹敵する精度であった<ref>山本義隆『原子・原子核・原子力』、岩波書店、2015年3月24日 第1刷発行、P82</ref>。<br /> }} * 中性子の発見 ラザフォードは1920年頃に既に陽子と同じ質量で電気的に中性な粒子の存在を予言していた。1930年、ドイツのボーテがポロニウムから放出されるα線をベリリウムに当てると透過力の強い放射線が出ることを発見し、翌年にキュリー夫妻がこれをパラフィン（[[高校化学 脂肪族炭化水素#アルカン|アルカン]]のうち炭素数が20以上のもの。水素を多く含む。）に当てると陽子が飛び出すことを発見した。夫妻は放射線をγ線と考えてコンプトン効果で説明しようと試みたが、非現実的な仮定を余儀なくされて頓挫した。イギリスのチャドウィックはこの放射線をヘリウムや窒素に当て、これを電荷を持たず陽子とほぼ等しい質量の粒子の粒子線と考えると辻褄があうことを示し、1932年に論文を提出した。この粒子は中性子、放射線は中性子線と名付けられた。 *質量とエネルギーの等価性 原子核は、それを構成する核子である陽子と中性子が自由であるときの質量の和より、小さい質量をもつ。この減った質量を、'''質量欠損'''と呼ぶ。 質量数A、原子番号Zの原子核の質量欠損<math>\Delta m</math>を、式で書けば, 原子核の質量をｍ、陽子と中性子の質量をそれぞれ<math>m_p,\ m_n</math>としたとき、 :<math>\Delta m = m_{p}Z+m_{n}(A-Z)- m</math>である。<br /> なお、原子にもよるが、一般に質量欠損の大きさは、1%程度<ref>[https://kotobank.jp/word/%E8%B3%AA%E9%87%8F%E6%AC%A0%E6%90%8D-74242 コトバンク『日本大百科全書(ニッポニカ)の解説』（坂東弘治、元場俊雄）など ]</ref>である。 陽子と中性子が核力によって結合すると、その結合エネルギーに等しいエネルギーのガンマ線が放出される。アインシュタインの[[特殊相対性理論]]によれば、質量mとエネルギーEには、 : <math>E=m c^2</math> という関係がある。 エネルギーと質量の等価性によれば、陽子と中性子が結合したときに放出されるγ線のエネルギーに等価な質量が減ることになるが、これが原子核の質量欠損である。{{コラム|原子レベルの質量の測定法| [[File:Mass spectrometer schematics.png|thumb|right|質量分析器の模式図。試料導入部およびイオン源（左下）、分析部（左上、磁場偏向型）、イオン検出部（右上）、データ処理部（右中）からなる。]] そもそも、どうやって原子や分子の質量を精度よく測定するか？ 一般に原子レベルの質量測定法として精密科学でよく知られるものとして、右図のような、磁場によって荷電粒子を曲げる方式のものがある。このような磁場とローレンツ力を用いた方式による質量測定は一般に、「磁場偏向型」といわれる。 このような装置により、磁場や電化の大きさは実験的に決定できるので、曲率が質量の関数になるので、つまり半径から質量が逆算できる。 測定対象の元素材料が中性の原子であっても、その原子が固体なら、それに電子ビームを当てて、電子によって弾き飛ばされた材料が帯電してイオン化しているので、それから、上記のような磁場による質量測定が可能になる。 なお、同位体の存在やその質量も、このころ、このような装置で発見された。 原子質量がいくつもの元素で測定できるので、派生的に、化学の理論で分かる原子番号Zと原子量A及び原子の質量の測定値MをもとにZ,AからMを求めるワイツゼッカーの公式が作成された。 また、レインウォーターらにより原子半径の予想値なども算出されていった。 }} このことから、陽子と中性子がバラバラに存在する時よりも、纏まって原子核を構成しているときの方がエネルギーが質量欠損分<math>\Delta mc^2</math>だけ小さいことがわかる。逆に、原子核をバラバラの核子にするには<math>\Delta mc^2</math>のエネルギーを与える必要がある。この意味で、<math>\Delta mc^2</math>を'''結合エネルギー'''という。化学で扱った[[高校化学 化学反応とエンタルピー#ヘスの法則|結合エンタルピー]]は原子と分子の話であったが、こちらは核子と原子核の話である。 質量数Aは核子の数なので、核子一つあたりの結合エネルギーは<math>\frac{\Delta mc^2}{A}</math>と表される。これの値は軽い原子核の領域で急激に増大し、鉄が最も最大となる。故に、'''核反応においては鉄が最も安定'''な元素である。 *核エネルギーと核分裂 核反応では、原子核の質量の和が反応の前後で変化する。質量和が減少する場合、その差が'''核エネルギー'''となる。このとき、結合エネルギーの和は増大し、核エネルギーは結合エネルギー和の変化量に等しい。一回の化学反応で解放されるエネルギーは数eV程度であるのに対し、一回の核反応で解放されるエネルギーは数MeVを超える。例えば、リチウム7と水素が衝突してヘリウム2つになる核反応では、1.68×10¹²Jという厖大なエネルギーが発生する。これは石油40トンを燃やして得られるエネルギーに相当する。 ドイツのハーンとシュトラスマンは、ウランに中性子を照射したときの反応性生物の中に、ウランとほぼ半分の質量を持つバリウム141などの原子核が含まれることを発見した。このように、一つの原子核がいくつかの原子核に分かれる反応を'''核分裂'''という。ウランのように質量数が多い原子核は、一つの原子核でいるよりも二つの原子核に分裂した方がエネルギー的に安定である。これが核分裂の起こる原因である。 核分裂は歴史的には原子爆弾に利用された。日本は原子爆弾を実戦使用された唯一の国である。 現代では、核分裂は'''原子力発電所'''で使用されている。 ウラン235やプルトニウム239を'''核燃料'''とし、熱運動する気体分子と同程度の速さの中性子を衝突させると様々な壊れ方の核分裂が起こる。このとき、いずれの場合も200MeV程度のエネルギーが解放され、2、3個の速い中性子が出る。この速い中性子を'''減速材'''（水や重水など）に衝突させて減速することで、別の核燃料に衝突させやすくする。このようにして次々に核分裂が起こることを'''連鎖反応'''という。原子力発電は、核分裂で発生した熱エネルギーでタービンを回して発電している。中性子を吸収する'''制御棒'''を用いることで核分裂が爆発的に起こらない且つ停止しないように制御している。連鎖反応が持続的に保たれる条件がちょうど満たされるとき、「原子炉は'''臨界'''にある」という。臨界状態では中性子数は一定に保たれる。原子炉の稼働は臨界点の近くで行われている。少ない燃料では中性子が核反応することなく散逸するので、臨界にあるための核燃料の量に下限があり、これを'''臨界量'''という。 原子力発電は、発電量は他の方式に比べて圧倒的であるが、安全対策や放射性廃棄物の処理などの問題がある。 2011年の東日本大震災では地震そのものには余裕で耐えたものの、津波により電源がロストしたことで炉心の冷却機能が失われて'''炉心融解'''（'''メルトダウン'''）が起こり、爆発とともに莫大な量の放射性物質が散布される、という事故が発生した。原子力発電の稼働にあたっては、このような重大事故に対する厳重かつ多重の安全対策が必須である。（[[w:福島第一原子力発電所事故]]も参照。） また、核分裂により生じる放射性元素の中には半減期が数百万年にも及ぶものが含まれ、これらの処理をどのように行うかも重要な課題である。 なお、原子力発電には'''沸騰水型'''と'''加圧水型'''の2種類がある。 *核融合 必要があれば[[高等学校地学]]も参照。 恒星では原子核同士が衝突することで質量数の大きな原子核が生まれている。このように、より大きな質量数の大きな原子核ができる反応を'''核融合反応'''という。 軽い原子核が核融合を起こすとき、結合エネルギーが増加し、その差のエネルギーが解放される。 太陽の中では、4個の水素原子核(陽子)から幾つかの段階を経て1個のヘリウム原子核が生成されている。このとき、約27MeVのエネルギーが解放される。 太陽は水素と核融合により生じるヘリウムから構成されており、水素が尽きると寿命を迎える。しかし、太陽よりも質量の大きな星ではヘリウムも核融合反応を起こして炭素が生成される。中心温度が15億Kを越えていれば炭素も核融合反応を起こしてネオンが生成し、その後は十分な質量があればネオン→酸素→珪素→鉄と核融合反応が進行する。鉄はこれ以上核融合反応を起こさないのである時点で恒星は寿命を迎え、超新星爆発を起こす。このとき、さらなる反応によりニッケル・金などのさらに重い元素が生成される。 初期の宇宙には水素・ヘリウム・リチウムあたりの軽い元素しか存在しなかったと推定され、長い年月で様々な恒星で核融合反応が進行することによって他の元素が十分量生成されてきたと考えられている。 核融合は核分裂とほぼ同時代に発見されたが、連続的に発生させるには数億℃の環境が必要であることから、当初はあまり注目されなかった。 核融合反応自体は短時間ながらも地上で起こすことに成功している。例えば、原子爆弾の進化系である水素爆弾は、原子爆弾の爆発により生まれる膨大な熱エネルギーを利用して核融合反応を起こすことによって原爆の威力を更に高めている。史上最強の水素爆弾ツァーリ・ボンバの爆発では、2.1×10¹⁷Jものエネルギーが放出されたとされている。 現在では、核融合発電の実用化が盛んに研究されている。核融合発電は核分裂を利用した従来の原子力発電に比べて圧倒的に安全でコストパフォーマンスも良いが、核融合反応の安定的な持続に未だ成功していないので、お目にかかれるのはまだ先である。 ===素粒子=== 素粒子は物質を構成する最小単位である。現在素粒子として17種類が発見されている。素粒子には、クォーク、レプトン、ゲージ粒子、ヒッグス粒子がある。陽子や中性子はクォークから構成されている。電子は素粒子である。 素粒子には、同じ質量や寿命を持つが、電荷の符号が異なる粒子が存在する。例えば、電子には、電荷が <math>e</math> の陽電子が存在する。[[ファイル:Standard_Model_of_Elementary_Particles-ja.svg|中央|フレームなし|300x300ピクセル]] ==== クォーク ==== 陽子や中性子はアップクォークとダウンクォークと呼ばれるクォークから構成される。クォークは6種類あり、それぞれ3世代に分類される。アップクォークとダウンクォークは第一世代に分類され、アップクォークとダウンクォークに性質が似ているが質量がそれよりも重いクォークが存在する。第二世代には、チャームクォークとストレンジクォーク、第三世代にはトップクォークとボトムクォークが存在する。 アップ、チャーム、トップクォークは電荷 <math>\frac{2}{3}e</math> を持ち、ダウン、ストレンジ、ボトムクォークは電荷 <math>-\frac{1}{3}e</math> をもつ。 {| class="wikitable" |+ クォーク |- ! 電荷 !! 第1世代 !! 第2世代 !! 第3世代 |- ! <math>\frac{2}{3}e</math> | アップ (u) | チャーム (c) | トップ (t) |- ! <math>-\frac{1}{3}e</math> | ダウン (d) | ストレンジ (s) | ボトム (b) |- |} === ハドロン === クォークは、必ず複合粒子を形成し、単独で取り出すことができないと考えられている。これをクォークの閉じ込めという。クォーク間に働く力は量子色力学により説明される。量子色力学によれば、それぞれのクォークには三種類の異なる色荷を持つ異なる状態が存在する。三種類の色荷は光の三原色になぞらえて赤、青、緑と名前がついている。クォークの反粒子の色荷は反赤、反青、反緑である。クォークによる複合粒子は、色荷の合計が白である必要がある。 クォークの複合粒子を'''ハドロン（強粒子）'''という。ハドロンには、3つのクォークからなる'''バリオン（重粒子）'''と、2つのクォークからなる中間子（メソン）がある。歴史的にはハドロンを素粒子に含めた時代もあり、その時は素粒子が数百種類を数えていた。現在ではハドロンを素粒子に含めない。 バリオンの重要な例には陽子と中性子がある。陽子は uud で構成され、中性子は udd で構成される。 電荷は :中性子　<math>\frac{2}{3}e - \frac{1}{3}e - \frac{1}{3}e=0</math> :陽子　<math>\frac{2}{3}e + \frac{2}{3}e - \frac{1}{3}e=e</math> となる。 [[ファイル:量子色力学-01.svg|リンク=https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:%E9%87%8F%E5%AD%90%E8%89%B2%E5%8A%9B%E5%AD%A6-01.svg|中央|サムネイル|陽子や中性子の色荷は、赤＋青＋緑＝白である。]] メソンは、2つのクォークからなる複合粒子である。色荷を考えると、クォークと反クォークで構成される必要がある。なぜなら、クォークの色荷、赤、青、緑から2つを選んでも白色になることはなく、複合粒子を構成できない。クォークと反クォークからは、赤＋反赤＝白のようになるから、複合粒子を形成することができる。 メソンの重要な例には <math>\pi</math> 中間子がある。電荷により <math>\pi^+, \pi^-,\pi^0</math> の三種類があり、原子核の中の核子を結合させる核力を担っている。それぞれ <math>\pi^+=u\bar d, \pi^-=\bar u d,\pi^0 = \frac{u \bar u - d \bar d}{\sqrt 2}</math> で構成される。 ==== レプトン ==== 電子は素粒子である。電子に似た性質を持つが質量が電子よりも重い粒子として、ミュー粒子、タウ粒子が確認されている。ミュー粒子は電子の200倍、タウ粒子は電子の3500倍の質量を持つ。 また、ニュートリノと呼ばれる粒子が存在する。ニュートリノは物質とはほとんど反応しないため、検出が難しい。電子ニュートリノ、ミューニュートリノ、タウニュートリノが存在する。スーパーカミオカンデでの実験からニュートリノには質量があることが知られているが、その値は非常に小さい。 {| class="wikitable" |+レプトン !電荷 |第一世代 |第二世代 |第三世代 |- ! <math>-e</math> | 電子 (e^ー ) | μ粒子 (''μ''^ー ) | τ粒子 (''τ''^ー ) |- !0 | 電子ニュートリノ（''ν''_e ） | μニュートリノ（''ν''_''μ'' ） | τニュートリノ（''ν''_''τ'' ） |} ==== 4つの力 ==== 自然界に働くすべての力は4つの力に分類することができる。電磁気力、強い力、弱い力、重力である。 例えば、机の上の物体に働く抗力や摩擦力などは原子の周りの電子による反発力で説明できるから、電磁気力を起源とする。電磁気力は光子によって媒介される力である。 強い力はグルーオンによって媒介される。強い力はクォークを閉じ込め複合粒子を形成したり、核力の起源となる。強い力は量子色力学によって説明される。 弱い力は、W粒子とZ粒子により媒介され、主にベータ崩壊を引き起こす。W粒子とZ粒子をまとめてウィークボソンという。弱い力はワインバーグ・サラム理論によって、電磁気力と統一的に説明される。電磁気力と弱い力を統一した力を電弱力という。 重力を媒介する素粒子を重力子というが、まだ発見されていない。 グルーオンのように、力を媒介する粒子のことを'''ゲージ粒子'''という。 {| class="wikitable" style="float: right; text-align: center; margin: 2pt;" |+ 4つの力とゲージ粒子 |- ! 力の種類 ! ゲージ粒子 ! 相対的強さ ! 到達距離 ! 力の源 |- ! 電磁気力 | 光子（フォトン）<br>（電磁場を量子化したもの） |10^-2 |∞ |電荷 |- ! 強い力<br>（クォークを引き付けあう力のこと。） | グルーオン |1(基準) |10^-15m |色荷 |- ! 弱い力<br>（β崩壊を司る力のこと） | ウィークボソン(W粒子、Z粒子) |10^-5 |10^-17m |弱荷 |- ! 万有引力（重力）<br> | 重力子（グラビトン）<br>（未発見） |'''10^-38''' |∞ |質量 |- |} ==== ヒッグス粒子 ==== ヒッグス場という場は真空において対称性を破ることになる。これを'''自発的対称性の破れ'''という。このときに現れる粒子がヒッグス粒子である。また、ヒッグス場が対称性を破ることによりウィークボソンが質量を獲得する。このことをヒッグス機構という。また、クォークや電子、μ粒子、τ粒子の質量はヒッグス場によって与えられる。 ちなみに、強い力を説明する量子色力学と電弱力を説明するワインバーグ・サラム理論は、ヤン・ミルズ理論の特殊な場合である。ヤン・ミルズ理論においては、力を媒介する粒子はそのままでは質量を持つことができない。そのため、ウィークボソンの質量を説明するためにヒッグス機構が必要となる。また、ヒッグス機構においても、残った対称性のために光子は質量を持たない。 ==== 反物質 ==== 素粒子には反粒子が存在するから、複合粒子には、構成する素粒子が反粒子となった粒子が存在する。例えば、陽子 <math>p = uud</math> には反陽子 <math>\bar p = \bar u \bar u \bar d</math> が存在する。中性子にも、反中性子 <math>\bar n = \bar u \bar d \bar d</math> が存在する。反粒子で構成された物質を'''反物質'''という。 粒子と反粒子が衝突すると、衝突前のエネルギーと同じエネルギーを持つ光子が2つ以上放出されて消滅する。この現象を'''対消滅'''という。 逆に、光子から粒子と反粒子が生成されることを'''対生成'''という。対生成は光子が近くの原子核と作用する必要がある。 現在の宇宙においては反物質は少量しか存在しないが、宇宙の黎明期には物質と同程度存在し、対消滅によってその殆どが消えたと考えられている。あるいは、宇宙の未知の領域に反物質のみで構成された領域も存在するという仮説が立っている。 （発展）病院などで使われる陽電子断層撮像法（PET）は、β⁺崩壊によって陽電子を放出する ¹⁸F などを含む化合物を体内に取り込み、 発生した陽電子が電子と対消滅して発生するγ線を観測することによって、体内を調べる技術である。 ==== スピン ==== 電子や陽子や中性子などは、スピンという磁石のような性質をもっている。磁石にN極とS極があるように、スピンにも、2種類の向きがある。スピンのこの2種類の向きは、上向きスピンと下向きスピンがある。 全ての分子は電子や陽子や中性子を含むのに、多くの物質があまり磁性を持たないのは、反対符号のスピンをもつ電子が結合しあうことでスピンが打ち消しあうからである。 物質に静磁場を加えつつ高周波電磁波を加えると、原子核のスピンによって、電磁波が発生する。この電磁波を観測するのが、核磁気共鳴法（NMR、nuclear magnetic resonance）の原理である。 医療で用いられるMRI（magnetic resonance imaging）は、核磁気共鳴法を利用して人体内部を観測する機器である。 素粒子も、通常はスピンをもつ。 μ粒子のスピンという性質による磁気と、μ粒子の透過性の高さを利用して、物質内部の磁場の観測方法として既に研究されており、このような観測技術をμオンスピン回転という。超伝導体の内部の観測などにも、μオンスピン回転による観測が研究されている。 ==== 発展：力の統一 ==== 現代物理学において、自然界に存在する力はすべて電磁気力・弱い力・強い力・重力の4つに統一されている。 これらの力は宇宙誕生時は一つの力だったと考えられており、現在この4つの力をさらに統一しようとする試みが行われている。 電磁気力と弱い力を統一する'''電弱統一理論'''は既に完成しており、ワインバーグ＝サラム理論の名で1979年にノーベル物理学賞を受賞している。電弱統一理論は、ヒッグス粒子の発見によって理論が裏付けられた。強い力と電弱統一理論を統一する'''大統一理論'''は未完成ではあるものの、裏付けとなる現象の観測待ちとなっている。 3つの力と重力を統一する'''超大統一理論'''は'''万物の理論'''と呼ばれ、さまざまなアプローチで構築が進められているが、ある一つの大きな問題が存在する。 それは、'''重力は他の力に比べて圧倒的に弱い'''という事実である。日常生活で考えてみると、磁石で鉄をくっつけられることから「巨大な地球の重力がかなり小さい磁石の電磁気力に負けている」と気がつくことができる。 重力が弱い理由はいくつか考えられているが、その中でも有名なものは「'''重力子が他の素粒子が到達することのできない次元方向に拡散しているため'''」という仮説である。これは素粒子を質点でなく大きさをもつ一次元の弦（あるいは二次元以上の膜）とみなし、素粒子の種類の違いを振動の仕方の違いに対応させる'''超弦理論'''という理論の研究の中で生まれた仮説である。素粒子の種類の違いを表現するには我々の住む三次元空間では振動方向が足りないことから、「この世界は本当はもっと高次元な空間である」との仮説が生まれ、その中で唱えられ始めた。超弦理論の一つであるM理論では、「この世界は十次元空間と一次元時間の十一次元時空間であり、余剰次元は小さく丸まっている（コンパクト仮説）」という方向で理論が構築されている。なぜ重力子のみが余剰次元方向に拡散できるかについては、「他の素粒子は開いた弦でありこの三次元空間に張り付いているが、重力子は閉じた弦であって空間に縛られない」という仮説が立っている。 この仮説では重力のみが弱い理由を合理的に説明できているが、重力子が未だ未発見であること、光子すらも届かない余剰次元空間の存在を確認する手段がないことが難点である。 とりあえず、万物の理論として2024年現在最も有力視されている理論がM理論である。これ以上の深入りは避ける。 ==== 発展：コバルト60のベータ崩壊と弱い力 ==== コバルト60を極低温に冷却し、磁場をかけて多数のコバルト原子の電子殻の孤立電子スピンの方向をそろえた状態で、コバルト60がベータ崩壊して発生するベータ粒子の出る方向を調べる実験が行われた。 実験の結果、コバルト60がベータ崩壊してベータ粒子の出てくる方向は、コバルト60のスピンの磁気の方向と逆の方向に多く放出されているのが観測された。これは、崩壊の確率が異なっており、ベータ崩壊の対称性が破れていることになる。このような実験事実により、弱い力は空間反転に対して非対称である。このことをパリティ対称性の破れという。 そこで、空間反転と同時に、粒子を反粒子に変える変換に対する対称性、CP対称性は保たれると考えられたが、これもK中間子に関する実験によりCP対称性は破られることが分かった。 小林益川理論は、CP対称性の破れを説明するためにはクォークが3世代以上存在する必要があることを証明した。 さらに、C変換、P変換と同時に、時間を反転させる操作に対する対称性、CPT対称性が考えられた。現在では、CPT対称性は成り立つと考えられている。 == 脚注・参考文献など == [[Category:高等学校教育|物ふつり2けんしとけんしかく]] [[Category:物理学|高ふつり2けんしとけんしかく]] [[Category:物理学教育|高ふつり2けんしとけんしかく]] [[Category:高等学校理科 物理II|けんしとけんしかく]] 80jjfahiq106c1g11yvmoojr02j0rz4 0 3240 299380 299290 2026-05-10T11:52:36Z AkiR27User 90873 キャナルズ追加 299380 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|ゲーム|frame=1}} ここでは、カードゲームの一種としての[[w:トランプ|トランプ]]およびトランプゲームについて解説します。なお、ここで掲載しているルールは一例にすぎず、様々なルールがあります。一部のゲームを除き「公式ルール」は存在しないので、自由にオリジナルルールなどを作ってもよいでしょう。 == トランプに関する基本知識 == * [[トランプ/基本知識|トランプの基本知識]] * [[トランプ/マナー・エチケット|トランプのマナー・エチケット]] * [[トランプ/トランプ教科書|トランプ教科書]] * [[トランプゲームの分類]] == トランプゲーム == [[File:Hand_of_traditional_British_playing_cards.jpg|thumb|right|トランプ]] [[File:Card magic.jpg|thumb|right|トランプでマジックをする様子]] * 1人用 ** [[トランプ/クロンダイク|クロンダイク]] ** [[トランプ/スパイダーソリティア|スパイダーソリティア]]（[[w:スパイダー (トランプゲーム)|ウィキペディア]]） ** [[トランプ/フリーセル|フリーセル]]（[[w:フリーセル|ウィキペディア]]） ** [[トランプ/トランプタワー]]（[[w:トランプタワー|ウィキペディア]]） ** [[クロック]] * 2人用 ** [[トランプ/スピード|スピード]] ** [[トランプ/ジンラミー|ジンラミー]] ** [[トランプ/15点|15点]] ** [[トランプ/クリスプ|クリスプ]] ** [[トランプ/ジャーマンホイスト|ジャーマンホイスト]] ** [[トランプ/スコパ|スコパ]] ** [[トランプ/キャナルズ|キャナルズ]] * 3人以上 ** [[トランプ/ババ抜き|ババ抜き]] ** [[トランプ/ジジ抜き|ジジ抜き]] ** [[トランプ/オールドメイド|オールドメイド]] ** [[トランプ/七並べ|七並べ]] ** [[トランプ/神経衰弱|神経衰弱]] ** [[トランプ/戦争|戦争]] ** [[トランプ/ページワン|ページワン]] ** [[トランプ/うすのろ|うすのろ]] ** [[トランプ/ダウト|ダウト]] ** [[トランプ/ぶたのしっぽ|ぶたのしっぽ]] ** [[トランプ/たこ焼き|たこ焼き]] ** [[トランプ/アメリカンページワン|アメリカンページワン]] ** [[トランプ/セブンブリッジ|セブンブリッジ]] ** [[トランプ/ハーツ|ハーツ]] ** [[トランプ/ノー・カード|ノー・カード]] ** [[トランプ/フォア・ジャックス|フォア・ジャックス]] ** [[トランプ/29|29]] ** [[トランプ/51|51]] ** 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[[トランプ/オー・ヘル|オー・ヘル]] ** ([[トランプ/アップ・アンド・ダウン・ザ・リバー|アップ・アンド・ダウン・ザ・リバー]]）※地域によってはオー・ヘルの別名 ** [[トランプ/チェイス・ザ・エース|チェイス・ザ・エース]] ** [[トランプ/マフィア|マフィア]] ** [[トランプ/クレイジーエイト|クレイジーエイト]] ** [[トランプ/シェリフ|シェリフ]] ** [[トランプ/芋ほり|芋掘り]] ** [[トランプ/ラミー500|ラミー500]]([[トランプ/500ラミー|500ラミー]]) ** [[トランプ/スペード|スペード]] ** [[トランプ/マオ|マオ]] ** [[トランプ/スラム|スラム]] ** [[トランプ/ナーツ|ナーツ]] ** [[トランプ/エジプシャン・ウォー|エジプシャン・ウォー]] ** [[トランプ/ビガー・マイ・ネイバー|ビガー・マイ・ネイバー]] ** [[トランプ/クオドリベット|クオドリベット]] ** [[トランプ/プレジレント|プレジレント]] ** [[トランプ/10|10]] ** [[トランプ/24ゲーム|24ゲーム]] == 関連項目 == * [[w:トランプ|Wikipedia:トランプ]] * [[花札]] * [[麻雀]] {{stub}} {{DEFAULTSORT:とらんふ}} [[Category:ゲーム]] [[Category:カードゲーム]] [[Category:トランプ|*]] [[Category:書庫]] qqs2qcrcsxcigz0di6os6tt574tgow0 0 19174 299371 295747 2026-05-10T07:05:48Z Bvwdi 89765 アイヌ民族　表記を改善 299371 wikitext text/x-wiki == 地図 == [[ファイル:Hokkaidomap-jp.png|thumb|600px|北海道地図]] {{clear}} == 気候 == 北海道は、日本列島の北部に位置するため国内のその他の地域とは異なり梅雨がない。気候は冷帯（亜寒帯）である。冬は長く、11月ごろから雪が降り始める。夏の期間は冬の期間に比べると短いが、最近では30度を超える日も多くなってきている。 家の窓を二重窓にして冬の厳しい寒さを防いでいる。道路では、電熱線や温熱パイプで凍結をふせぐ'''ロード ヒーティング'''も発達している。 [[File:Ryuhyoh 01.jpg|250px|thumb|left|北海道の流氷（りゅうひょう）]] オホーツク海の流氷（りゅうひょう）が冬に見られる。北海道の北東の海岸がオホーツク海側の海岸であり、1月ごろから3月ごろまで、流氷が見られる。 [[File:US Navy 080208-N-1083F-001 Members of the U.S. 7th Fleet Band perform in the snow during the annual Sapporo Snow Festival.jpg|250px|thumb|right|さっぽろ雪まつりの様子。]] 北海道では冬には雪が多く降るため、札幌市（さっぽろし）では毎年、さっぽろ雪まつりが冬の2月ごろに行われている。 {{Clear}} == 農業など == 北海道は我が国の農地の約四分の一を占め、日本の'''食料倉庫'''とも呼ばれる。大規模な農家が多く、専業農家の数も多い。農業にコンバインなどの大型の機械を用い、大規模な酪農を行うことで日本の食糧供給を支えている。 * 西部 <span style="font-size: large;">石狩平野</span>（いしかり へいや）など北海道の西部では稲作がさかん。 これは、東部と比べて西部では夏の気温が高くなるためである。 北海道の南部から中部に、南北に長く伸びる <span style="font-size: large;">日高山脈</span>（ひだか さんみゃく） があり、この山脈の東西で大きく気候が異なる。冬の降雪量は西部（日本海側）で多いが、夏は東部（太平洋側）の方が冷涼である。 米はもともと熱帯の作物なので北海道では育たなかった。近現代の北海道の米は、品種改良により寒くても育つように改良された米である。また、北海道に広がる泥炭地層はのちに'''客土'''によって改良され、農業に適するようになった。 北海道中部の上川（かみかわ）盆地や富良野（ふらの）盆地などの盆地では夏の間気温が高くなり、十分に日射もあるため、稲作が行われている。 * 東部 [[File:Tokachi plain 01.jpg|280px|thumb|十勝平野（とかち へいや）。大規模な農園が広がる。]] 北海道東部では、あまり夏の気温が上がらない。これはオホーツク海上空にあるオホーツク海気団が冷たく湿った空気を送り込むためである。したがって霧が発生することも多く、日照量は少ない傾向にある。 稲作や畑作などに適さない場所では、かわりに畜産や酪農などが行われている。 北海道の東部、主に十勝平野などでは、畑作や畜産や酪農がさかんである。 <span style="font-size: large;">十勝平野</span>（とかち へいや）は、気候がやや冷たいのと火山灰地が広がることから、あまり米づくりに向かず、かわりに畑作や酪農がさかんに行われている。 北海道の畑作物は、じゃがいも、てんさい、たまねぎ、かぼちゃ、にんじん、だいず、あずき などである。 北海道が日本１位の生産量を誇る農産物も多く、だいず、たまねぎ、かぼちゃ、てんさい、あずき、にんじん は、北海道が生産量日本第１位である。（「てんさい」とは砂糖大根のこと。甜菜（てんさい）。根を搾ってその汁を煮詰めると砂糖がとれる。） 甜菜は全国の生産量の100%を占める。 このほか、北海道中部にある夕張（ゆうばり）ではメロン栽培が有名。北海道中部にある富良野（ふらの）ではラベンダー栽培が有名。 [[File:Konsen_Plateau.JPG|right|thumb|300px|根釧台地（こんせんだいち）]] <span style="font-size: large;">根釧台地</span>（こんせんだいち）は冷涼な気候で、火山灰の土壌であるローム層が広がっている。 そのため、農産物の栽培には不向きであり、かわりに酪農や畜産が行われている。根釧台地の酪農では、バターやチーズ、牛乳などを生産している。 根釧台地の火山灰土は、阿寒岳（あかんだけ）や摩周（ましゅう）などからの火山灰である。 根釧台地の開発は、農作物が栽培しづらく開発が遅れたため、第二次世界大戦後になって開発が行われ、酪農などがさかんになった。 1950年代から「パイロットファーム」事業や、1970年代の新酪農村（しん らくのうそん）などで、根釧台地での酪農の開発がさかんになって大きな酪農地帯に発展したが、その後の貿易の自由化などで乳製品などの価格が落ちて、あまり利益があがっていない。 北海道の酪農は、消費地の本州から遠いこともあり、バター、チーズなどの乳製品の生産が発達したが、現代では冷凍輸送の発達もあり、牛乳なども多く生産している。 == アイヌ民族 == [[ファイル:AinuGroup.JPG|thumb|300px|アイヌ]] 北海道には、「'''アイヌ'''」と言われる先住民族がいる。江戸時代以前の日本では、アイヌ民族のことを「蝦夷」（えぞ、えみし）と言っていた。北海道は蝦夷地（えぞち）と言われていた。 なお、「アイヌ」という特定の１つの民族がいたわけでは無く、何種類かの先住民族がいて、それら先住民族をまとめた言葉が「アイヌ」である。 明治時代に北海道は大日本帝国の領土として一方的に組みこまれ、北海道の開拓が本格的に始まった。そのため、それ以前の自然が失われてしまった。現在の北海道でみられる田畑などの多くは、開拓後のものであり、森林を伐採して切り開いたものである。明治の開拓以前は、原野や森林が多くあった。 アイヌ民族は狩猟で生計をたてており、農耕の習慣が無かった。 明治のはじめごろに、<span style="font-size: large;">開拓使</span>（かいたくし）という役所が置かれた。 ロシアなどに対抗する警備の役割を兼ねて、日本の兵士に農業をさせる<span style="font-size: large;">屯田兵</span>（とんでんへい）が多く、北海道（道央以北・以東）に置かれた。 このようにして、北海道の原野は農地などに開拓され、北海道は農業がさかんになった。 明治時代に日本の農学校に赴任（ふにん）したお雇い外国人のクラークも、農学校の教師であった。 * 地名に見られるアイヌ語の名ごり 地名に、アイヌの名残が多く見られる。たとえば「札幌」は「サッポロベ」が由来。 :札幌（さっぽろ） ← サッポロベ　（乾いた大きな川） :苫小牧（とまこまい） ← トーマコマイ　（沼のある川） :小樽（おたる） ← オタルナイ　（砂だらけの川） :歌志内（うたしない） ← オタウシナイ　（砂の多い川） :稚内（わっかない） ← ヤムワツカナイ　（冷たい水の川） :富良野（ふらの） ← フラヌイ（においがするところ）　※　硫黄のにおい :知床（しれとこ） ← シレトク　（大地の突き出たところ）　※　半島 :帯広（おびひろ）オペレペレケブ　（いくつも分かれている川）　 :登別（のぼりべつ）←ヌブルベ　（水の色の濃い川）　 :根室（ねむろ） ← ニムオロ　（樹木がしげる所） :えりも ← エンルム　（つきでた所。岬） :室蘭 （むろらん）← モルラン　（小さい坂） :釧路（くしろ） ← クシル　（超える道） :石狩川 （いしかりがわ）← イシカラベ　（曲がりくねった川） :夕張（ゆうばり） ← ユーパロ（鉱泉の湧き出る所） :利尻（りしり） ← リイシリ　（高い島） 明治政府が、あまりアイヌの文化の保護に熱心では無く、同化政策に力を入れていたこともあり、アイヌの文化が衰退してしまっており、アイヌは少数民族になっている。第二次世界大戦後は、政府はアイヌ文化を保護する方針へと変えた。 == 自然 == [[ファイル:Kushiro marshland of winter Hokkaido,JAPAN.jpg|250px|thumb|left|釧路湿原（くしろ しつげん）。細岡展望台より冬の湿原を見る（2006年2月）]] [[File:Grus japonensis in flight at Akan International Crane Center.jpg|thumb|タンチョウ（2007年）]] [[File:140829 Ichiko of Shiretoko Goko Lakes Hokkaido Japan01s5.jpg|250px|thumb|left|知床半島（しれとこはんとう）の知床五湖（しれとこごこ）と知床連山（しれとこれんざん）。]] 知床半島は日本の三つの自然遺産のうちの一つであり、手つかずの自然が残っている。 <span style="font-size: large;">釧路湿原</span>（くしろ しつげん）などの湿地も多く、タンチョウヅルなどの水鳥（みずどり）などの飛来する場所にもなっており、<span style="font-size: large;">ラムサール条約</span>の区域内である。 ラムサール条約とは、水鳥の生息地の湿地を保護するための国際条約である。 タンチョウは、特別天然記念物である。 釧路湿原は国立公園になっている。 他にもラムサール条約に指定された湿地が北海道には多くある。 {{clear}} == 火山 == [[File:有珠山.jpg|250px|thumb|left|有珠山（うすざん）]] [[File:130922 Lake Toya Toyako Hokkaido Japan03s3.jpg|thumb|250px|洞爺湖（とうやこ）]] 火山も多く、<span style="font-size: large;">有珠山</span>（うすざん）や周辺の山々は噴火することも多い。 <span style="font-size: large;">洞爺湖</span>（とうやこ）は、有珠山の活動によって出来た'''カルデラ'''に水がたまってできた。このようにカルデラに水がたまって出来た湖を<span style="font-size: large;">カルデラ湖</span>（カルデラこ）という。 北海道には、他にもカルデラ湖がいくつかあり、たとえば東部には阿寒湖（あかんこ）や摩周湖（ましゅうこ）や屈斜路湖（くっしゃろこ）がある。 なお、洞爺湖や有珠山周辺は、ユネスコ世界ジオパークに認定されている。 有珠山の周辺地域では、防災マップ（'''ハザードマップ'''）も作られている。これは過去に複数回災害が起こったためであり、災害への対策をすることが、被害を減らす上で重要である。 有珠山は資源としても利用されている。例えば、洞爺湖の近くに温泉（洞爺湖温泉）があり、重要な観光資源となっている。有珠山は、ほぼ30年ごとに噴火すると言われている。最近では1910年、1944年、1977年、2000年に噴火している。 [[File:130922 Showa-shinzan Sobetsu Hokkaido Japan01s3.jpg|thumb|昭和新山（しょうわ しんざん）]] 有珠山の近くにある <span style="font-size: large;">昭和新山</span>（しょうわ しんざん） は、第二次大戦の末期1944年（昭和19年）に出来た。 == 人口 == 札幌市（さっぽろし）に人口が集中している。札幌市の人口は190万人ほどであり、北海道の人口の約3分の1が集中している。札幌は政令指定都市であり、さらに日本全国のうち4つほどしかない「地方中枢都市」になっている。 :※ 「政令指定都市」とは、基本的には人口50万人以上の都市である。なので、札幌のように、地方中枢都市は、同時に政令指定都市でもあるのが普通（2024年の時点では、日本の4つの地方中枢都市はすべて、政令指定都市でもある）。 :※ 地方中枢都市に、関東地方や、名古屋の周辺（中部地方）、京都・大阪はふくまれない。これらの地域は「地方」ではなく三大都市圏という扱い。 札幌市の町並みは、道が京都市のように碁盤（ごばん）の目（め）状に区画されている。これは明治政府が計画して都市が作られたからであり、明治時代に開拓使という役所が置かれた場所も、札幌市である。 == 水産業 == 漁獲量が全国１位の海産物はさけ、ます、かに、ほたてがある。 1970年以前は、ロシアやアラスカ沿岸（アメリカ合衆国）、ベーリング海で、日本の漁船が漁をする北洋漁業で、 すけとうだら などを取るのが盛んだった。1970年代の排他的経済水域の設定で、北洋漁業がおとろえ、漁獲量が大きく減少した。 近年では、養殖に重点がおかれ、 ほたて や こんぶ などの養殖、栽培漁業などの「育てる漁業」に力を入れている。 水産加工業もさかんでかまぼこや缶詰食品などが生産されている。 根室や釧路は、ロシアとの水産貿易の拠点である。このためロシアの漁船も根室や釧路に立ち寄る。根室や釧路の街中には、ロシア語の標識もある。 == 工業 == <span style="font-size: large;">室蘭</span>市（むろらん し）で<span style="font-size: large;">製鉄業</span>。<span style="font-size: large;">苫小牧</span>市（とまこまい し）で<span style="font-size: large;">製紙</span>工業。室蘭、苫小牧ともに、場所は北海道の南西部の太平洋側にある。 * 炭鉱都市（たんこう とし） かつて、北海道に<span style="font-size: large;">石狩炭田</span>（いしかり たんでん）など、かつて石炭の炭田があり、さかえたが、第二次世界大戦後に衰退した。夕張（ゆうばり）などは、かつて炭鉱都市（たんこう とし）として、さかえていた。 夕張市は、第二次世界大戦後にエネルギー革命によって石炭産業が衰えて、財政が悪化した。そのため夕張市は観光を振興したり、「夕張メロン」などの特産品を作ったりして町おこしをしたが、人口の減少は続き、今も夕張市の財政は苦しいままだ。 [[Category:中学校地理|にほんのしよちいき ほつかいとうちほう]] [[カテゴリ:北海道]] b58my7tbtj9maklw9a716fmkgeweqac 0 21728 299370 296810 2026-05-10T06:59:13Z Bvwdi 89765 北海道　表記を改善 299370 wikitext text/x-wiki == 北海道および沖縄 == === 北海道 === [[Image:KaitakushiSapporoHonchosha1873-restoration.jpg|thumb|left|復元された、1873-1879年の開拓使本庁舎 。（北海道開拓の村）。]] [[Image:Flag of Hokkaido Development Commission.svg|thumb|right|開拓使の旗（通称「北辰旗」、現在の北海道旗は、このデザインを基にしている）]] 1869年（明治2年）に、政府は蝦夷地（えぞち）を「'''北海道'''」（ほっかいどう）と改めた。 また、'''開拓使'''（かいたくし）という役所を置いた。開拓史は官営工場の運営や、鉱山の開発などを行い、また北海道の開拓のため、日本各地から移住者をつのって、北海道に移住させた。 北海道の開発に伴い、先住民のアイヌは従来の土地を失った。また、政府はアイヌに対して同化政策を行い、アイヌの風習の多くは否定されていった。アイヌの人びとは、日本語の使用や、日本風の姓名を名乗ることを義務づけられました。 :※ 「同化政策」とは、文化や民族などの異なる支配地域の勢力に対して、支配者側の文化や制度と一体化させようとする政策。支配されている側は、従来の文化の一部を捨て去る事になる。 北海道での農地の開墾・開拓のついでに防備の仕事をする'''屯田兵'''（とんでんへい）として、士族を北海道（道央以北・以東）に移住させた。 [[File:William S. Clark.jpg|thumb|150px|left|クラーク。「少年よ、大志をいだけ」（Boys, be ambitious）の格言で有名。札幌農学校の初代教頭を勤めた。]] [[Image:Kiyotaka Kuroda formal.jpg|120px|thumb|right|黒田清隆（くろだ きよたか）。開拓使の長官。この黒田の開拓時代に、クラークを日本に招きいれた。]] '''札幌農学校'''（さっぽろ のうがっこう、今の北海道大学）を設立し、（いわゆる「お雇い外国人」の）'''クラーク'''の指導の下、北海道の農業にアメリカ式の農業を取り入れた。しかし、北海道以外では、アメリカ式の農法は、あまり取り入れられなかった。 樺太については、 1875年にロシアとの間で、'''樺太・千島交換条約'''（からふと・ちしま こうかんじょうやく）が結ばれ、樺太はロシア領と決定し、千島は日本領と決定した。 {{コラム|※ 参考| :（※ 検定教科書にもある） 1899年、政府は、アイヌの生活などを保護する名目で、「北海道旧土人保護法」（ほっかいどう きゅうどじん ほごほう）（※ 法律名）を制定した。（※ 注意: 旧来の「土人保護法」ではなく、「旧土人」（アイヌのこと）の「保護法」のこと。） そして政府は、農業を希望するアイヌ人に、農地を与えた（※ 参考文献: 清水書院、自由社など）。また、契約に不慣れなアイヌ人を守るために、相続以外の土地の取引を、この法律（北海道旧土人保護法）で禁止した（※ 参考文献: 東京書籍のコラムの欄外の表、自由社など）。 また、アイヌの人々だけが通う学校もできた。 第二次大戦後、日本全体の社会保障や福祉政策が整備され、農地改革などにより（※ 自由社の教科書）、アイヌに対する特別な施策は行われなくなった（※ 参考文献: 東京書籍、自由社など）。 1997年、アイヌ文化振興法が制定された。アイヌ語やアイヌ舞踊の伝統が振興されることとなった。また、アイヌ文化振興法の制定にともない、北海道旧土人保護法は廃止された。 2008年、日本の衆参両議院で、「アイヌ民族を先住民族とすることを求める決議」が全会一致（ぜんかいいっち）で採択（さいたく）された。 }} {{コラム|（※ 範囲外: ） アイヌ語は禁止されていない| :※ ときどき世間では、入墨などの風習の禁止令と、日本語教育の強制が混同され、『アイヌ語禁止令』のような法令があったと誤解する人がいるので、気をつけよう。 ネットなどをみると、しばしば、「明治時代、アイヌ語が禁止された」という俗説がある。 しかし、それを裏付けるような「アイヌ語禁止令」みたいなものの存在は知られていない。 :※ たとえば、ネットで「アイヌ語禁止令」とグーグル検索しても、西暦何年にそれが出されたとか、一切、検索結果には出ません。 もちろん明治時代、一般のアイヌの子供には日本語の学習は強制されました。（なお、そもそも伝統的なアイヌ語に文字が無い。「アイヌ文字」と言うのは無い。） むしろ、明治時代になると、和人の言語学者がアイヌ語を研究対象にし始めます。金田一京助（言語学者）などのアイヌ語研究も有名です。[[w:金田一京助]] 現代では、一部の人権団体・公共団体みたいな組織や、書籍などを出している評論家が、「アイヌ語禁止令」とか著作内で言ってたりしますが、しかしその禁止令は歴史学的には知られていません。 :※ ただし、当時は本州ですら、方言を軽視していた時代だったので（今とは違い、一般大衆における言語文化の保護の観点は薄かった）、結果的にアイヌ語への差別が存在していた可能性はありうる。 なお、歴史文書などで確認されている、同化政策によりアイヌが禁止された出来事は、 :農耕をさせるための狩猟の制限のほか、 :文明開化の観点から、女性の入れ墨、男性の耳輪（イヤリング）、病気の家を焼くこと、酋長の妾（めかけ）の人数の制限（※ 妾とは愛人、正妻でない第二・第三の妻のこと）、 などです。（※ 検定落ちだが、自由社（教科書出版社）の検定不合格本が、女性の入れ墨禁止令、男性の耳輪、酋長の妾の制限、などに触れている。）自由社だ けでなく、日本学術会議の論文 [https://www.scj.go.jp/ja/info/kohyo/pdf/kohyo-21-h133-1.pdf 『報告 アイヌ政策のあり方と国民的理解』、3ページ目]などにも同様の、アイヌの風習の禁止令の記載がある。 }} {{コラム|（※ 範囲外: ）アイヌ語の衰退の経緯| アイヌ語の衰退について、近年の研究によると、じつはアイヌ語が急速に衰退した時期は、大正･昭和戦前の時代から、らしいという学説もある。明治時代は、学校では教えられないものの、北海道のアイヌ社会ではアイヌ語が存続していたらしい。（※ 参考文献: ネット上のPDF論文: 『アイヌ民族の文化復興と教育に関する研究 言語復興と歴史教育におけるエンパワーメント』40ページ目。リンクすると何故かwikiがエラーになるので、非リンク。） どうやら結局のところ、少数民族の言語というのは、単にその言語を話す権利を与えるだけでは不十分のようである。少数民族の文化は、積極的に保護をしないと、少数民族の言語は経済的な事情などにより急速に淘汰されてしまい消失してしまいやすい、という、歴史的にたびたび見られる現象のようである。 たとえば経済政策において、自由放任が必ずしも労働者の保護につながらないので適切な規制が必要な場合もあるように、どうやらアイヌ語も明治政府～昭和の過剰な自由放任によって、アイヌ語が衰退してしまったような側面もあるようである。 似たような事は、少数民族といった異民族の文化だけにかぎらず、一国内の一つの民族内の少数派の文化でも、少数派の文化は経済的な事情により淘汰されてしまい衰退・消失･途絶などをしてしまう現象は、よく起きる現象である。（※ 参考 [https://core.ac.uk/download/pdf/267919218.pdf 『アイヌ語の衰退と復興に関する一考察』]） }} {{-}} ---- === 沖縄 === [[File:King Sho Tai.jpg|thumb|尚泰（しょうたい）。　最後の琉球国王になった。]] 1871年に、清と日本国との間で、'''日清修好条規'''（にっしん しゅうこうじょうき）が結ばれ、国交が開かれた。 琉球（りゅうきゅう）は、江戸時代には薩摩藩に事実上は支配されていた。しかし、形式的には、琉球は清にも朝貢する外交を行っていた。 このため、琉球や台湾の所属の問題で、日本政府は清と、たびたび対立していた。 :なお台湾に流れ着いた琉球の人々が、台湾で先住民に殺害される事件が置き、これを口実に日本政府は1874年に'''台湾出兵'''（たいわん しゅっぺい）をした。清から賠償金を取った。 廃藩置県（1871年）のあと、1872年に政府は琉球藩（りゅうきゅうはん）を置いた。廃藩置県の方針に従い、1879年に琉球の藩を廃止し、沖縄県を設置した。これを'''琉球処分'''（りゅうきゅうしょぶん）という。 学校教育をすぐに導入したが、租税制度などの行政はすぐには変えなかった。 1895年には尖閣諸島（せんかくしょとう）も日本領として編入することを閣議決定しました。 <!-- 指導要領の改訂で尖閣についても扱うことになった。尖閣諸島や竹島などの領土問題については、検定教科書では日露戦争の終了後あたりの時代で扱う（検定教科書に換算すると第180ページ目あたり）。東京書籍などのデジタルパンフレットで確認。 また、本文で扱っているが、コラム的に単元を分けて領土問題を紹介。ただし、紹介内容は、竹島のあしか漁とか、そういうの。 （おそらく、下記の事情によると思われます。） :領土問題よりも先に、日露戦争や日韓併合などを先に教える必要があるので、検定教科書ではあえてコラム的な内容（あしか漁）を先に紹介。 :軍事的な問題については、第2次大戦後の冷戦の知識が無いと、現代の領土問題が詳しくは分からないので、避けている。 :外交的な配慮。 --> {{-}} == その他の地域 == 1876年ごろ、日本政府は、小笠原諸島は日本領であると宣言し、。国際的社会は、日本の小笠原所有を認めたので、日本領となりました。 1905年、島根県の竹島（たけしま）も正式に日本領へ編入することを閣議決定しました。 {{clear}} [[カテゴリ:中学校歴史|めいしにほんのほつかいとうとおきなわ]] [[カテゴリ:明治時代]] [[カテゴリ:北海道]] [[カテゴリ:沖縄県]] 8mf0h0wwx495ejgscfgemr9n5ao9iy0 0 31715 299361 297509 2026-05-10T01:19:37Z Tomzo 248 /* 複素数 */ 299361 wikitext text/x-wiki == 数の性質 == === 数の体系 === [[File:Venn Diagram of Numbers Expanded.svg|thumb|400px|数の体系]] *'''[[#自然数・整数|自然数]]'''（Natural (numbers 以下略す); 集合論的な記号<math>\mathbb{N}</math>） *:<math>1</math>から、<math>1</math>ずつ足しあげていった数（一般に初等数学では<math>0</math>を含まない）。物を数え上げる数。 *::例:<math>\{ 1, 2, 3, 4, 5, \cdots \}</math> *:*'''素数''' *:*:<math>1</math>より大きい自然数で、正の約数（因数）が<math>1</math>と自分自身のみであるもの。 *:*::例:<math>\{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17\cdots \}</math> *:*合成数 *:*:素数ではない自然数。 *:*::例:<math>\{ 4=2^2, 6=2 \cdot 3, 8=2^3, 9=3^2, 10=2 \cdot 5, 12=2^2 \cdot 3, 14=2 \cdot 7, 15=3 \cdot 5, 16=2^4\cdots \}</math> *:*:::*<span id="累乗"/>'''累乗'''（{{ruby|冪乗|べきじょう}}） *:*:::*:同じ数を掛け合わせる演算を'''累乗'''（または{{ruby|冪乗|べきじょう}}）といい、数<math>a</math>を数<math>n</math>個掛け合わせたものを「<math>a</math>の<math>n</math>乗」と表現し、「<math>a^n</math>」と表記する（このとき、数<math>a</math>を'''{{ruby|底|てい}}'''、数<math>n</math>を（冪）'''{{ruby|指数|しすう}}'''、演算の結果を'''{{ruby|冪|べき}}'''という）。数式で表すと以下のとおりである。 *:*:::*::<math>a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n\text{ 個}}</math>　　例.<math>4=2^2, 8=2^3, 9=3^2, 16=2^4</math> *:*:::*:なお、「<math>a^2</math>」を「<math>a</math>の{{ruby|自乗|じじょう}}」・「<math>a</math>の{{ruby|平方|へいほう}}」、「<math>a^3</math>」を「<math>a</math>の{{ruby|立方|りっぽう}}」とも言う。 *'''[[#自然数・整数|整数]]'''（Integers 記号<math>\mathbb{Z}</math>） *:自然数、<math>0</math>および自然数に<math>-1</math>をかけた数。 *::例:<math>\{\cdots , -2, -1, 0, 1, 2, 3, \cdots \}</math> *'''[[#有理数・分数|有理数]]'''（Rational 記号<math>\mathbb{Q}</math>） *:整数である <math>a, b</math>（ただし、<math>ab \neq 0</math>）について、<math>\frac{a}{b}</math>で表す数。<math>b=1</math>の時、整数となるので、整数は有理数の[[#部分集合|部分集合]]である。 *::例:<math>\{\cdots ,-\frac{3}{2}, \cdots ,-1, \cdots ,-\frac{1}{3}, \cdots ,0, \cdots ,\frac{5}{7}, \cdots ,1, \cdots ,\frac{7}{5}, \cdots \}</math> *:整数<math>a, b</math>（ただし、<math>b \neq 0</math>）で <math>a =\pm 1, b = \pm 1</math>または、<math>a, b</math>が[[#互いに素|互いに素]]である場合、分数<math>\frac{a}{b}</math>を'''既約分数'''という。 *:<math>a < b</math>であるとき、有理数である<math>\frac{a}{b}</math>は、小数の表現を用いて<math>\frac{a}{b} = 0.c_1 c_2 c_3 \dots c_k \dots</math>となるが、この場合、<math>\frac{a}{b} = 0.c_1 \dots c_k</math>のように小数点以下の数字の並びが有限である[[#有限小数|有限小数]]か、<math>\frac{a}{b} = 0.\underbrace{c_1 \dots c_k}_{} \underbrace{c_1 \dots c_k}_{} \underbrace{c_1 \dots c_k}_{} c_1 \dots</math>のように小数点以下の数字の並びが繰り返される[[#循環小数|循環小数]]のいずれかとなる。 *'''実数'''（Real 記号<math>\mathbb{R}</math>） *:数直線上に表される数 *::例:<math>\{\cdots ,-2\sqrt{3}, \cdots ,-\frac{3}{2}, \cdots ,-1, \cdots ,-\frac{\sqrt{2}}{2}, \cdots ,-\frac{1}{3}, \cdots ,0, \cdots ,\frac{5}{7}, \cdots ,1, \cdots ,\frac{7}{5}, \cdots ,e, \cdots ,\pi, \cdots ,\pi + e, \cdots \}</math> *:*'''[[#無理数|無理数]]'''（Irrational 記号<math>\mathbb{I}</math>） *:*:有理数ではない実数をいう。 *:*::→無理数はさらに[[#代数的数と超越数|代数的数と超越数]]に分けられる。 *:*:無理数の小数点以下の数字の並びは循環せず無限に続く[[#非循環小数|非循環小数]]となる。 *:*::*'''累乗根'''（{{ruby|冪根|べきこん}}） *:*::**[[#累乗|累乗（冪乗）]]とは逆の演算で、累乗すると与えられた数になる数を累乗根（{{ruby|冪根|べきこん}}）という。ある数<math>a</math>を<math>n</math>乗したものが<math>x</math>となる式は<math>a^n=x</math>と書き表されるが、この時、<math>x</math>の値は<math>x=\sqrt[n]{a}</math>と書き表され、これを「'''<math>a</math> の <math>n</math>乗根'''」と呼ぶ。すなわち、<math>\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a</math>である。なお、<math>n</math> は'''指数''' と呼ばれ、記号 <math>\sqrt{}</math> は'''根号''' と呼ばれる。また、根号の中に書かれた数 <math>a</math> は時に'''被開平数''' と呼ばれる。 *:*::**特に、<math>\sqrt[2]{a}</math> は、<math>\sqrt{a}</math> と記され、「<math>a</math>の{{ruby|平方根|へいほうこん}}」または「ルート<math>a</math>」と呼ぶ。また、<math>\sqrt[3]{a}</math> を「<math>a</math>の{{ruby|立方根|りっぽうこん}}」とも言う。 *:*::**ある有理数 <math>a</math> が分母・分子ともに整数の<math>n</math>乗でないとき、<math>x=\sqrt[n]{a}</math> は有理数ではなく無理数となる（[[/証明#n乗根|証明]]）。 *:*::**:（有名問題）<math>\sqrt{2}</math> が無理数であることを証明せよ。[→[[/証明#平方根|証明]]] *:*:無理数と有理数の和は無理数である（[[/証明#無理数と有理数の和|証明]]）。 *:*::この事象から、以下の事象を導くことができる。 *:*::*[[#無理数の相等条件|無理数の相等条件]] *:*::*有理数 <math>a,b</math> がともに有理数の平方数でないならば <math>\sqrt{a} \pm \sqrt{b}</math> は無理数である（[[/証明#平方根同士の和|証明]]）。 *'''[[#複素数|複素数]]'''（Complex 記号<math>\mathbb{C}</math>） *:実数である<math>p, q</math>について、<math>i^2 = -1</math>という性質を持つ'''虚数単位'''<math>i</math>を用いて、<math>p+qi</math>という形で表される数。<math>p</math>を実部、<math>q</math>を虚部といい、虚部<math>q=0</math>の時、実数となるので、実数は複素数の部分集合である。また、虚部<math>q \neq 0</math>の時、<math>p+qi</math>をを虚数（imaginary）といい、特に<math>p=0</math>の時の<math>qi</math>を純虚数という。 *::→虚数単位を含む複素数も[[#代数的数と超越数|代数的数と超越数]]に分けることができる。 :　 :<span id="代数的数と超越数"/>※（参考）代数的数と超越数 ::方程式:<math>x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_k x^k + \cdots + a_0 = 0</math>（<math>n</math> は正の整数、各 <math>a_k</math> は有理数）の解となる数を代数的数と言い、そうでない数を超越数という。 ::*代数的数の例 ::**有理数:　<math>\because</math><math>\frac{a}{b}</math>は、<math>bx - a = 0</math>の解。 ::**根号を含む無理数: ::**:例 ::**::<math>\sqrt{2}</math>は、<math>x^2 - 2 = 0</math>の解のひとつ。 ::**::<math>\sqrt{3}-\sqrt{2}</math>は、<math>x^4 - 10 x^2 +1 = 0</math>の解のひとつ。 ::**::<math>\sqrt[3]{2-\sqrt{2}}</math>は、<math>x^6 - 4 x^3 +2 = 0</math>の解のひとつ。 ::**実部・虚部が共に有理数である複素数: ::**:有理数である<math>a, b</math>について、<math>a+bi</math>という形で複素数が表されているとき、<math>a+bi</math>は、方程式<math>x^2 - 2ax +a^2 + b^2 = 0</math>の解のひとつである。 ::*超越数の例 - 多くは証明されているが、未証明のものも多い。 ::**円周率:<math>\pi</math>、[[高等学校数学III/微分法#ネイピア数|自然対数の底（ネイピア数）]]:<math>e</math> ::**<math>2^{\sqrt{3}}</math>など<math>a</math>を有理数、<math>b</math>を無理数とした時の、<math>a^b</math>。 ::**<math>\ln 3</math>など<math>x</math>を代数的数とした時の、<math>\ln x</math>。また、<math>\log_2 3</math>など。 ::**<math>x</math>を代数的数とした時の、<math>sin{x}</math>,<math>\cos{x}</math>（弧度法）。 ::***なお、度数法の場合、<math>x</math>を<math>x= 1^\circ</math>など、度数付きの有理数とした時、<math>sin{x}</math>,<math>\cos{x}</math>は代数的数となる。 === 記数法 === ==== n進法 ==== :<math>0</math>と<math>1</math>を含む<math>1</math>ずつ足しあげていった<math>n</math>個の数<math>\{ 0, 1, 2, \cdots n-2, n-1 \}</math>で表記し、最大の数<math>n-1</math>に<math>1</math>が足されると、次の桁の<math>1</math>として表記する記数法をn進法といい、この時のnを基数という。数字の列<math>abc</math>がn進法による表記（n進数）であることを表すのに、<math>(abc)_n</math>と表記することもある。 ::5進法（0,1,2,3,4 を使った記数法）の計算例 ::*<math>(4)_5 + (1)_5 = (10)_5</math> ::*<math>(43)_5 + (3)_5 = (101)_5</math> :一般に使用されるのは10進法であり、「ダース」などの単位に12進法、時計などに60進法の名残が見られるが一般知識として知っておけばよく、計算などを熟知しておく必要はない。ただし、2進法、8進法、16進法はコンピュータの計算等で利用されているので後述する。 :*n進法で、<math>(a_3 a_2 a_1 a_0)_n</math>と記された数の大きさは、<math>a_3 n^3 + a_2 n^2 + a_1 n + a_0</math>である。 :*n進法への変換 :*:<math>A</math>を<math>n</math>で割った商を<math>Q_1</math>、余りを<math>R_1</math>とする。さらに、<math>Q_1</math>を<math>n</math>で割った商を<math>Q_2</math>、余り<math>R_2</math>と順々に除算を繰り返し、<math>n \geq Q_k</math>となった段階でこの操作を止めて、<math>Q_k R_k \cdots R_2 R_1</math>と並べた数の列が、<math>A</math>のn進法の表記となる。 :*::例1:430 (10進法表記)を、8進法で表示する。 :*:::<math>430 \div 8 </math>:<math>Q_1 = 53</math>,<math>R_1 = 6</math> : <math>Q_1 > 8</math>であるから、<math>Q_1</math>をさらに<math>8</math>で割る。 :*:::→<math>Q_1 \div 8 = 53 \div 8</math>:<math>Q_2 = 6</math>,<math>R_2 = 5</math> : <math>Q_2 \leq 8</math>であるから、<math>A = Q_2 R_2 R_1 = (656)_8</math> :*::例2:430 (10進法表記)を、12進法（10をa、11をbで表す）で表示する。 :*:::<math>430 \div 12 </math>:<math>Q_1 = 35</math>,<math>R_1 = 10</math>→<math>(a)_{12}</math> : <math>Q_1 > 12</math>であるから、<math>Q_1</math>をさらに<math>12</math>で割る。 :*:::→<math>Q_1 \div 12 = 35 \div 12</math>:<math>Q_2 = 2</math>,<math>R_2 = 11</math>→<math>(b)_{12}</math> : <math>Q_2 \leq 12</math>であるから、<math>A = Q_2 R_2 R_1 = (2ba)_{12}</math> ==== 小数 ==== :n進法において、<math>0 < p < 1</math>の量を表すのに、1より小さい数であることを意味する点「小数点」をおいて、基数である<math>n</math>で割った数に応じて、小数点の右に並べる記数法。 :*n進法で、<math>(0.a_1 a_2 a_3)_n</math>と記された数の大きさは、<math>\frac{a_1}{n} + \frac{a_2}{n^2} + \frac{a_3}{n^3}</math>である。 ;有限小数と無限小数 :有限桁の数字で表せる小数を有限小数と呼び、有限桁で表せない小数を無限小数と呼ぶ。 :*<span id="有限小数"/>有限小数 :*:分数<math>\frac{a}{b}</math>（ただし、<math>ab \neq 0, a \neq kb</math>(<math>k</math>は整数)）において、<math>n</math>進法で表示する時、<math>b</math>のすべての素因数が、基数<math>n</math>の素因数に含まれる時、<math>\frac{a}{b}</math>は有限小数となる。これは逆も成立するので必要十分条件である。（→[[初等数学公式集/数と集合・論理/証明#小数|証明]]） :*::例）10進法で表示する時、有限小数となるのは、分母が、<math>2^k5^l (k \geq 0, l \geq 0)</math>の時である。 :*無限小数 :*:<span id="非循環小数"/>無限小数には、ある数字列が無限に繰り返される'''循環小数'''と、そうではない'''非循環小数'''に分類される。無限連続は、表示最終桁に続け<math>\ldots</math>や<math>\cdots</math>等を付して表示される。 :*:<span id="循環小数"/>循環小数で繰り返される部分を循環節といい、記法の一つとして、循環節の始点と終点（1個の数字の場合、その数字のみ）をドットで示す方法がある。 :*::例）10進法表記で :*:::<math>\frac{1}{3} = 0.33333 \ldots = 0.\dot{3}</math> :*:::<math>\frac{1}{7} = 0.1428571428571428 \ldots = 0.\dot{1}4285\dot{7}</math> :*:::<math>\frac{9}{14} = 0.6428571428571428 \ldots = 0.6\dot{4}2857\dot{1}</math> :*:循環小数は、循環節の桁数<math>m</math>分、<math>10^m</math>を掛けて左にシフトし、それから元の数を引くことにより、分数として表記される。 :*::例）上記例示式 :*:::<math>a = 0.33333 \ldots </math>（式1）,<math>10 a = 3.33333 \ldots </math>（式2）→式2-式1 : <math>9 a = 3, a =\frac{3}{9}=\frac{1}{3}</math> :*:::<math>b = 0.1428571428571428 \ldots </math>（式1）,<math>10^6 b = 1000000 b = 142857.14285714 \ldots </math>（式2） :*::::→式2-式1 : <math>999999 b = 142857, b =\frac{142857}{999999} =\frac{3^3\cdot 11\cdot 13\cdot 37}{3^3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 37}=\frac{1}{7}</math> :*:::<math>c = 0.6428571428571428 \ldots </math>（式1）,<math>10^6 c = 1000000 c = 642857.14285714 \ldots </math>（式2） :*::::→式2-式1 : <math>999999 c = 642856.5, c =\frac{642856.5 \cdot 2}{999999 \cdot 2} =\frac{1285713}{2\cdot 3^3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 37} =\frac{3^5\cdot 11\cdot 13\cdot 37}{2\cdot 3^3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 37}=\frac{9}{14}</math> :*n進法の小数の変換 :*;n進法から10進法へ :*:*有限小数の場合 :*:*:<math>(0.a_1 a_2 a_3)_n</math>と記された数の大きさは、<math>\frac{a_1}{n} + \frac{a_2}{n^2} + \frac{a_3}{n^3}</math>であるので、これを計算する。 :*:*::　 :*:*::例1.<math>(0.101)_2 = \frac{1}{2} + \frac{0}{2^2} + \frac{1}{2^3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} = 0.5 + 0.125 = 0.625</math> :*:*::　 :*:*::例2.<math>(0.234)_5 = \frac{2}{5} + \frac{3}{5^2} + \frac{4}{5^3} = \frac{2}{5} + \frac{3}{25} + \frac{3}{125} = 0.4 + 0.12 + 0.032 = 0.552</math> :*:*::　 :*:*::例3.<math>(0.121)_3 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{1}{3^3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{1}{27} = \frac{1 \cdot 9 + 2 \cdot 3 + 1}{27} = \frac{16}{27} = 0.\dot{5}9\dot{2}</math>、 3進法は、分母が、<math>2^k5^l</math>ではないので、循環小数となる。 :*:*::　 :*:*循環小数の場合 :*:*:<math>(0.\dot{a_1} a_2 \dot{a_3})_n</math>について、循環節の桁数<math>m</math>分、左にシフトし（基数<math>n</math>の時、<math>n^m</math>を掛ける）、それから元の数を引いて計算する。 :*:*::例4. <math>(0.\dot{1} 0 \dot{1})_2</math> を10進法の小数で表す。 :*:*:::<math>(0.\dot{1} 0 \dot{1})_2 = k</math>-① とおいて、3桁ずらすために両辺に<math>(1000)_2</math>をかけ、<math>(1000)_2 k = (101.\dot{1} 0 \dot{1})_2</math>-②を得る。 :*:*:::②-①: <math>(1000 - 1)_2 k = (111)_2 k = (101)_2</math> :*:*::: <math> (111)_2 = 7, (101)_2 = 5</math>であるから、<math>7k=5, k=\frac{5}{7} = 0.\dot{7}1428\dot{5}</math> :*:*::　 :*;10進法からn進法へ :*::<math>(0.a_1 a_2 a_3)_n = \frac{a}{n} + \frac{a_2}{n^2} + \frac{a_3}{n^3}</math>に関し、n倍し小数点を超過部分を小数点の右におき、それを除いた数を再びn倍し小数点超過部分をその数の右におくという手順を繰り返す。 :*:::　 :*:::例5.<math>0.625</math>を2進数にする。（上記例1.の逆の操作） :*::::①<math>0.625 \times 2 = \underline{1}.25</math>→②<math>0.25 \times 2 = \underline{0}.5</math>→③<math>0.5 \times 2 = \underline{1}.0</math> :*::::①②③の下線の数を小数点以下順に並べる。→ <math>(0.101)_2</math> :*:::　 :*:::例6.<math>0.552</math>を5進数にする。（上記例2.の逆の操作） :*::::①<math>0.552 \times 5 = \underline{2}.76</math>→②<math>0.76 \times 5 = \underline{3}.8</math>→③<math>0.8 \times 5 = \underline{4}.0</math> :*::::①②③の下線の数を小数点以下順に並べる。→ <math>(0.234)_5</math> :*:::　 :*:::例7.<math>0.\dot{5}9\dot{2}</math>を3進数にする。（上記例3.の逆の操作） :*::::①<math>0.592592\ldots \times 3 = \underline{1}.777\ldots</math>→②<math>0.777\ldots \times 3 = \underline{2}.333\ldots</math>→③<math>0.333\ldots \times 3 = \underline{1}.0</math> :*::::①②③の下線の数を小数点以下順に並べる。→ <math>(0.121)_3</math> :*:::　 :*:::例8.<math>0.\dot{7}1428\dot{5}</math>を2進数にする。（上記例4.の逆の操作） :*::::①<math>0.714285714285\ldots \times 2 = \underline{1}.42857142\ldots</math>→②<math>0.42857142\ldots \times 2 = \underline{0}.857142857\ldots</math>→③<math>0.857142857\ldots \times 2 = \underline{1}.714285\ldots</math>→④:①と同じ :*::::①②③の下線の数を小数点以下順に並べる。→ <math>(\dot{1} 0 \dot{1})_2</math> === 自然数・整数 === *自然数を構成する素数を'''素因数'''といい、素数の積の形で表すことを'''素因数分解'''という。 *:<math>8</math>の素因数は、<math>8=2^3</math>なので<math>2</math>のみの1個、<math>10</math>の素因数は、<math>10=2 \cdot 5</math>なので<math>2</math>と<math>5</math>の2個、<math>12</math>の素因数は、<math>12=2^2 \cdot 3</math>なので<math>2</math>と<math>3</math>の2個。 **自然数<math>N</math>が相異なる素数<math>a_1,a_2,a_3,\cdots,a_k</math>を用いて<math>N=a_1^{p_1} \cdot a_2^{p_2} \cdot a_3^{p_3} \cdots a_k^{p_k}</math>と素因数分解されるとき、 **:<math>N</math>の約数の個数は<math>(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)\cdots(p_k+1)</math> **:また、その約数の総和は<math>(1+a_1+ \cdots +a_1^{p_1})(1+a_2+ \cdots +a_2^{p_2}) \cdots (1+a_k+ \cdots +a_k^{p_k}) </math>=<math>\frac{1-a_1^{p_1 + 1}}{1-a_1}\frac{1-a_2^{p_2 + 1}}{1-a_2} \cdots \frac{1-a_k^{p_k + 1}}{1-a_k} </math> *複数の数について、共通する約数を'''公約数'''という。複数ある公約数のうち最も大きいものを'''最大公約数'''（Greatest Common Measure;GCM, gcm）という。これら複数の数について、素因数を有さない状態を（最大公約数が<math>1</math>である状態）、<span id="互いに素"/>'''互いに素'''という。 *複数の数について、共通する倍数を'''公倍数'''という。複数ある公倍数のうち最も小さいものを'''最小公倍数'''（Least Common Multiple;LCM, lcm）という。 * 自然数<math>Q</math>,<math>N</math>に対し、1以上<math>Q</math>以下の<math>N</math>の倍数の個数。: *:<math>\left\lfloor \frac{Q}{N} \right\rfloor</math>　ただし、<math>\lfloor x\rfloor</math>は<math>x</math>以下最大の整数を表す。 ** 自然数<math>P</math>,<math>Q</math>,<math>N</math>に対し、<math>P</math>以上<math>Q</math>以下の<math>N</math>の倍数の個数 **:<math>\left\lfloor\frac{Q}{N}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{(P-1)}{N}\right\rfloor</math> * 自然数<math>a</math>,<math>b</math>について、それらの最大公約数を''g''、最小公倍数を''l''とすると、以下の関係が成り立つ。: *:<math>ab = lg</math> * 奇数の和: *:<math>1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2</math> ==== 不定方程式 ==== :整数解をもつ整数係数の代数方程式を不定方程式（変数の次数により<math>n</math>次不定方程式）といい、その整数の求めることを不定方程式を解くという。未知数よりも条件式が少ないなどの場合、整数解が無限に存在して定まらないことがあるので，不定ということばが用いられている。初等数学においては、基本的に1次不定方程式をさす。 :*以下、<math>a,b,c</math>を整数とする。 :**<math>a,b</math>を互いに素とするとき、1次不定方程式<math>ax + by = 0</math>を満たす整数解: :**:<math>x = bk , y = -ak</math>　（<math>k</math>は整数） :**<math>ax+by = 1</math>が整数解<math>(x,y)</math>を持つ。<math>\iff</math><math>a,b</math>は互いに素。 :**:以下、必要十分条件であることを証明する。 :**:#<span id="対偶利用例1"/>命題「<math>ax+by = 1</math>が整数解<math>(x,y)</math>を持つ。<math>\implies</math><math>a,b</math>は互いに素。」が真である証明 :**:#:[[#条件命題と逆・裏・対偶|対偶]]である命題「<math>a,b</math>が1ではない公約数<math>c</math>を有する。<math>\implies</math><math>ax+by = 1</math>の解<math>(x,y)</math> の <math>x,y</math>がともに整数となることはない。」は真であるので、元の命題も真である。 :**:#::<math>\because</math> <math>a,b</math>が1ではない公約数<math>c</math>を有するならば、<math>a=a'c,b=b'c</math>とおくことができ、 :**:#:::この時、<math>ax+by = 1</math>は、<math>a'cx+b'cy = c(a'x+b'y) = 1</math>となり、<math>a'x+b'y = \frac{1}{c}</math>となる。 :**:#:::方程式<math>a'x+b'y = \frac{1}{c}</math>において、<math>a',b'</math>はともに整数であるので、<math>x,y</math>はともに整数となることはない。 :**:#命題「<math>a,b</math>は互いに素。<math>\implies</math><math>ax+by = 1</math>が整数解<math>(x,y)</math>を持つ。」が真である証明 :**:#:<math>a</math>に<math>1</math>から<math>b-1</math>までかけた積<math>(a, 2a, \cdots ka \cdots a(b-2), a(b-1))</math> を<math>b</math>で割った余りは全て異なっている（※）。したがって、<math>a</math>との積を<math>b</math>で割った余りが<math>1</math>となる整数<math>m</math>が必ず存在し、<math>am-1</math>は<math>b</math>の倍数であるので<math>am-1=bn</math>という等式が成立する。これを変形すると<math>am-bn=1</math>となり、方程式<math>ax+by = 1</math>について、<math>x=m, y=-n</math>という整数解を得られる。 :**:#::※の証明 - 背理法を用いる。 :**:#::#<math>a</math>に<math>1</math>から<math>b-1</math>までかけた積<math>(a, 2a, \cdots ka \cdots a(b-2), a(b-1))</math>を<math>b</math>で割った余りに重複するもの<math>r</math>が存在すると仮定する。 :**:#::#重複する積を<math>ja,ka (1 \le j<k \le b)</math>とすると、<math>ja=mb+r,ka=nb+r</math> となり、差をとると<math>(k-j)a=(n-m)b</math> が成立する。 :**:#::#<math>(k-j)a=(n-m)b</math> について、これが成り立つ時、<math>a,b</math>は互いに素であるため、<math> k-j </math> は<math> b </math> の倍数となるが、<math>1 \le k-j < b</math>であるため、そのような<math> k-j </math> は存在せず仮定と矛盾する。 :**:#::#したがって、<math>a</math>に<math>1</math>から<math>b-1</math>までかけた積を<math>b</math>で割った余りは全て異なる。 :**<math>ax+by = c</math>が整数解<math>(x,y)</math>を持つ。<math>\iff</math><math>c</math>は<math>\gcd(a,b)</math>の整数倍数。 :**:以下、必要十分条件であることを証明する。 :**:#命題「<math>ax+by = c</math>が整数解<math>(x,y)</math>を持つ。<math>\implies</math><math>c</math>は<math>\gcd(a,b)</math>の整数倍数。」が真である証明 :**:#:<math>a,b</math>は、<math>\gcd(a,b)</math>の倍数であるので、<math>x,y</math>が共に整数ならば<math>ax+by</math>も<math>\gcd(a,b)</math>の倍数となる。 :**:#命題「<math>c</math>は<math>\gcd(a,b)</math>の整数倍数。<math>\implies</math><math>ax+by = c</math>が整数解<math>(x,y)</math>を持つ。」が真である証明 :**:#:<math>a=p\gcd(a,b), b=q\gcd(a,b)</math>とおくことができ、このとき、<math>p,q</math>は互いに素である。 :**:#:<math>p,q</math>は互いに素であれば、<math>pm+qn = 1</math>となる整数の組<math>(m,n)</math>が存在する。 :**:#:<math>pm+qn = 1</math>に<math>\gcd(a,b)</math>をかけて、（左辺）<math>=p\gcd(a,b)m+q\gcd(a,b)n =am+bn</math>、（右辺）<math>=\gcd(a,b) =c</math>であって、<math>ax+by = c</math>は、整数解<math>(m,n)</math>を持つ。 ==== 整数の合同 ==== {{wikipedia|整数の合同}} <math>n</math> が <math>2</math> 以上の整数として、<math>a</math>を <math>n</math> で割った剰余が <math>b</math> を <math>n</math> で割った剰余と等しいときに、「二つの整数<math>a, b</math>が'''法 <math>n</math> に関して合同'''である」といい、以下の記号で示す。 : <math>a \equiv b (\mathrm{mod}. n) </math> :　 :'''代数的性質''' :* <math>n</math>を法とすると<math>a \equiv b</math> ならば任意の整数 <math>c</math>に対して :*#<math>a \pm c \equiv b \pm c</math> :*#: したがって、<math>a \equiv b</math> ならば<math>a-b \equiv 0</math> :*#<math>ac \equiv bc</math> :*#:逆の命題「<math>ac \equiv bc</math> ならば、<math>a \equiv b</math>・・・(*)」は、常に成立するものではない。 :*#::<math>ac \equiv bc</math> ならば、<math>ac-bc \equiv (a-b) c \equiv 0</math> :*#:::<math>(a-b) c \equiv 0</math>は、以下の3式のいずれかが成り立つ時に成立しており、一意に命題(*)は真とはならない。 :*#::::①<math>a-b \equiv 0</math> :*#::::②<math>c \equiv 0</math> :*#::::③<math>(a-b) c \equiv 0 \land a-b \not\equiv 0 \land c \not\equiv 0</math> :*#:したがって、<math>ac \equiv bc</math>かつ<math>c</math>と<math>n</math>が互いに素ならば、<math>a \equiv b</math> :*#<math>a^c \equiv b^c</math>(ただし、<math>c>0</math>) :　 :* [[高等学校数学II/式と証明・高次方程式|二項定理]]より、 :*: <math>(a + b)^m \equiv b^m (\mathrm{mod}. a) </math> :*: <math>(a + b)^m \equiv a^m (\mathrm{mod}. b) </math> :*::特に、<math>(ma + 1)^n \equiv 1 (\mathrm{mod}. a) </math> :　 :'''フェルマーの小定理'''（詳細は、[[高等学校数学A/数学と人間の活動#発展：合同式]]及び[[初等整数論/フェルマーの小定理]]参照） {{wikipedia|フェルマーの小定理}} :* <math>p</math>を素数とし、<math>a</math>を<math>p</math>の倍数でない整数（ <math>a</math>と<math>p</math>は互いに素）とするときに、 :*:<math>a^{p-1} \equiv 1 (\mathrm{mod}. p) </math>　<math>\therefore</math> <math>a^p \equiv a (\mathrm{mod}. p) </math> === 有理数・分数 === * 加比の理 *: <math>\frac{a}{b} = \frac{c}{d}</math>　ならば、 <math>\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d} = \frac{ma+nc}{mb+nd}</math>　(<math>m,n</math>は、<math>mb+nd \neq 0</math>である任意の実数) *: <math>\frac{a}{b} < \frac{c}{d}</math>　ならば、 <math>\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} \left(= \frac{ma+nc}{mb+nd}\right) < \frac{c}{d}</math>　　(<math>m,n</math>は、<math>mb+nd \neq 0</math>である任意の実数) * <math>\frac{1}{(x+a)(x+b)} = \frac{1}{b-a}\left(\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x+b}\right) </math><math>(a\not=b) </math> * <math>\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} </math> === 実数 === ==== 無理数 ==== * <span id="無理数の相等条件"/>無理数の相等条件（cf.[[#複素数の相等条件|複素数の相等条件]]） *:<math>a, b, c, d</math>を有理数、<math>\alpha</math>を無理数とする時。 *::<math>a + b\alpha = c + d\alpha</math> ならば、<math>a = c, b = d</math> *::特に、<math>a + b\alpha = 0</math> ならば、<math>a = b = 0</math> ===== 累乗根 ===== *'''二重根号'''（<math>a, b</math> は有理数、なお、減算を意識して<math>a > b</math>としておく） **基本形 **:<math>\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{ ( \sqrt{a} \pm \sqrt{b} )^2 } = \sqrt{ a + b \pm 2\sqrt{ab} }</math> **一般形 **:<math>\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{ \frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \pm \sqrt{ \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}</math> **:*導出法は、[[初等数学公式集/数と集合・論理/証明#二重根号|別ページ]]参照。高校数学では、一見して分かる単純な基本形での出題となり、また、[[初等数学公式集/初等代数#解と係数の関係|解と係数の関係]]を利用し2次方程式を立てて数値を得ることができるので、そのままの形で一般形を記憶する必要はない。 **:*なお、一般式から二重根号を外せる条件は、<math>a^2 > b</math>かつ<math>a^2 - b</math> が平方数であることがわかる。 *'''平方根の値''' *:試験等において、平方根の値を用いる問題が出題されることがあるが、通常は「<math>\sqrt{2}</math> は <math>1.414</math> として小数点第3位まで求めよ」などの形で与えられていることが一般的であるので、各々の値を暗記しておく必要は全くないが、各々の値のイメージを持っていると、回答の方向性が想像できる場合もあるので暗記法を参考として掲載する。 <small><div style="margin:0 2em 0 4em"> {| class="wikitable" style="width:75%" |（参考）'''暗記法''' - <math>\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}</math>を覚えていれば、その他は単純な掛け算として導くことができる。 :<math>\sqrt{2} \fallingdotseq 1.41421356 \cdots</math>　一夜一夜に人見ごろ［ひとよひとよにひとみごろ］ :<math>\sqrt{3} \fallingdotseq 1.7320508 \cdots</math>　人並みにおごれや［ひとなみにおごれや］ :<math>\sqrt{5} \fallingdotseq 2.2360679 \cdots</math>　富士山麓オーム鳴く［ふじさんろくおーむなく］ :<math>\sqrt{6} \fallingdotseq 2.44949 \cdots</math>　似よよくよく［によよくよく］（<math>\sqrt{2}(\fallingdotseq 1.414) \times \sqrt{3}(\fallingdotseq 1.732)</math>） :<math>\sqrt{7} \fallingdotseq 2.64575 \cdots</math>　菜に虫いない［なにむしいない］ :<math>\sqrt{8} \fallingdotseq 2.828427 \cdots</math>　庭には呼ぶな［にわにはよぶな］（<math>\sqrt{2}(\fallingdotseq 1.414) \times 2</math>） :<math>\sqrt{10} \fallingdotseq 3.16228 \cdots</math>　人麿は三色に並ぶや［ひとまろはみいろにならぶや］（<math>\sqrt{2}(\fallingdotseq 1.414) \times \sqrt{5}(\fallingdotseq 2.236)</math>） |}</div></small> === 複素数 === * 複素数の基本 *: 以下において<math>a, b, c, d, e, f</math>は実数。 ** <span id="複素数の相等条件"/>複素数の相等条件（cf.[[#無理数の相等条件|無理数の相等条件]]） **:<math>a + bi = c + di</math> ならば、<math>a = c, b = d</math> **:特に、<math>a + bi = 0</math> ならば、<math>a = b = 0</math> **:*実数でない複素数<math>z = e + fi \; (f \neq 0)</math>　について、以下の関係が成立する。 **:*:<math>a + bz = c + dz</math> ならば、<math>a = c, b = d</math> **:*:特に、<math>a + bz = 0</math> ならば、<math>a = b = 0</math> ** 複素数の絶対値 **:複素数<math> z = a + bi</math> の絶対値の定義;<math> |z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> ** 複素数の四則計算 **:複素数<math> z_1 = a + bi, z_2 = c + di</math>として、 **:*加減算 **:*:<math> z_1 \pm z_2 = \left( a \pm c \right)+ \left( b \pm d \right)i</math> **:*乗算 **:*:<math> z_1\cdot z_2 = \left( a + bi \right) \left( c + di \right) = \left( ac + bdi^2 \right) + \left( ad + bc \right)i = \left( ac - bd \right) + \left( ad + bc \right)i </math> **:*除算 **:*:<math> \frac{z_1}{z_2} = \frac{ a + bi }{ c + di} = \frac{ (a + bi)(c - di) }{ (c + di)(c - di)} = \frac{ (ac + bd) - (ad - bc)i }{c^2 + d^2}</math> ** 共役複素数 **:複素数<math> z = a + bi</math> の共役複素数の定義;<math> \overline{z} = a - bi</math> **::<math> z + \overline{z} = 2a</math> (実数) **::<math> z\cdot\overline{z} = a^2 + b^2</math> (実数)<math> = |z|^2</math> ** 複素数の逆数 **:複素数<math> z = a + bi</math> の逆数;<math> \frac{1}{z} = \frac{1}{a + bi} = \frac{ a - bi }{a^2 + b^2} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> **::特に、<math>a^2 + b^2 = 1</math>である時、<math> \frac{1}{z} = \overline{z}</math> * 1の立方根 *: <math>x^3 = 1</math> を解くと、<math>x^3 -1 =(x-1)(x^2 + x + 1) = 0</math>より、<math>x = 1, \frac{-1 \pm { \sqrt{3} i}}{2}</math>、虚数解のいずれかを<math>\omega</math>とおくと、以下の関係が成立している。 *:*<math>\omega</math>でない方の虚数解は、<math>\omega</math>の共役複素数<math> \overline{\omega}</math>であり、1の立方根は<math>( 1, \omega, \overline{\omega})</math> と表せ、以下の関係がある。 *:**<math>\omega + \overline{\omega} = -1</math> *:**<math>\omega \overline{\omega} = 1</math> *:**<math> | \omega| = | \overline{\omega}| = 1</math> *:**<math>\omega^2 = \overline{\omega}</math>　（<math>\because \; 1 + \omega + \omega^2 = 0</math> であるから、<math>\omega^2 = -1 -\omega = \overline{\omega}</math>） *:　 *:*<math> \omega^k = \left\{ \begin{array}{ll} 1 \; ( k = 3 n )\\ \omega \; ( k = 3 n + 1 )\\ \overline{\omega} \; ( k = 3 n + 2 ) \end{array} \right.</math> *:*::（ただし、<math>n</math> は整数） *:　 ** -1の立方根 **: <math>x^3 = -1</math> を解くと、<math>x^3 +1 =(x+1)(x^2 - x + 1) = 0</math>より、<math>x = -1, \frac{1 \pm { \sqrt{3} i}}{2}</math>、虚数解のいずれかを<math>\phi</math>とおくと、以下の関係が成立している。 *:*<math>\phi</math>でない方の虚数解は、<math>\phi</math>の共役複素数<math> \overline{\phi}</math>であり、-1の立方根は<math>( -1, \phi, \overline{\phi})</math> と表せ、以下の関係がある。 *:**<math>\phi + \overline{\phi} = 1</math> *:**<math>\phi \overline{\phi} = 1</math> *:**<math> | \phi| = | \overline{\phi}| = 1</math> *:*<math>1 - \phi + \phi^2 = 0</math> であるから、<math>\phi^2 = -1 + \phi = - \overline{\phi}</math> *:　 *:*<math> \phi^k = \left\{ \begin{array}{ll} 1 \; ( k = 6 n )\\ \phi \; ( k = 6 n + 1 )\\ -\overline{\phi} \; ( k = 6 n + 2 )\\ -1 \; ( k = 6 n + 3)\\ -\phi \; ( k = 6 n + 4 )\\ \overline{\phi} \; ( k = 6 n + 5 ) \end{array} \right.</math> *:*::（ただし、<math>n</math> は整数） *:　 *:*なお、<math>\omega</math> の片方を<math>\omega_1 = \frac{-1 - { \sqrt{3} i}}{2}</math> とした時、<math>\phi</math> の片方を<math>\phi_1 = -\frac{-1 - { \sqrt{3} i}}{2}=-\omega_1</math> と表すことができ、このとき、<math>\omega</math> のもう片方の虚数解について、<math>\omega_2 = \frac{-1 + { \sqrt{3} i}}{2}</math> に対して、<math>\phi_2 = -\frac{-1 + { \sqrt{3} i}}{2}=-\omega_2</math> という関係になっている。 *:　 ** 1の6乗根 **: <math>x^6 = 1</math> を解くと、 **: <math>x^6 -1 =(x^3 -1)(x^3 +1) =(x-1)(x^2 + x + 1)(x+1)(x^2 - x + 1) = 0</math>より、上記の記号<math>\omega,\phi</math>を用いて、 **: 1の6乗根は<math>( 1, -1, \omega, \overline{\omega}, \phi, \overline{\phi})</math> と表せる。 *:　 * 複素数のべき乗：（[[ド・モアブルの定理]]） *:<math>(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos ( n \theta) + i \sin (n \theta)</math> **1の<math>n</math>乗根 **:<math>z^n = 1</math>の解を、<math>z_k (k=0, 1, 2, \cdots , n-1)</math>とすると、 **:: <math>z_k = \cos \left( \frac{2\pi k}{n}\right) + i \sin \left( \frac{2\pi k}{n}\right)</math> **複素数<math> z = a + bi</math> の累乗 **:<math>(a + bi)^k = (\sqrt{a^2 + b^2})^k ( \cos k \theta + i \sin k \theta) </math> **::ただし、<math>\cos \theta = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \sin \theta = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}</math> *:　 * <math>\displaystyle e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta </math>　（[[オイラーの公式]]） ** <math>\displaystyle e^{\pi i} = -1 </math>　（オイラーの公式において、<math>\theta = \pi</math> とした時の式） == 集合 == === 集合の記号と表現方法 === *集合と要素 *:ある条件を満たすものの集まりを'''集合'''、集合をつくっている各々を、その集合の'''要素'''または'''元'''という。 *:*ある<math>a</math>が集合<math>A</math>の要素である時、<math>a \in A</math>と表す。 *:*ある<math>b</math>が集合<math>A</math>の要素でない時、<math>b \notin A</math>と表す。 *:集合を表現するには、集合を構成する要素を列挙する方法（外延的表記・名簿式表記）と、要素の性質を記述する方法（内包的表記）がある。 *:*[表記例]偶数である、10以下の自然数の集合<math>A</math> *:**集合を構成する要素を列挙する方法（外延的表記・名簿式表記） *:**:<math>A = \{ 2, 4 , 6 ,8, 10 \}</math> *:**要素の性質を記述する方法（内包的表記）- 表記法が一意に決められているものではない。 *:**:<math>A = \{x \mid x</math>は、10以下の偶数である自然数<math>\}</math><math>= \{x \mid x=2n \land n < 5 \land n \in \mathbb{N} \}</math><math>= \{2n \mid n \in \mathbb{N} \land n < 5 \}</math> *:**:*集合でよく使われる記号 *:**:**<math>\mathbb{N}</math>: 自然数全体の集合 *:**:**<math>\mathbb{Z}</math>: 整数全体の集合 *:**:**<math>\mathbb{Q}</math>: 有理数全体の集合 *:**:**<math>\mathbb{R}</math>: 実数全体の集合 *:**:**<math>\mathbb{C}</math>: 複素数全体の集合 *;<span id="部分集合"/>部分集合 *:[[File:Venn A subset B.svg|thumb|150px|集合Aは集合Bの部分集合である]] *:*集合<math>A, B</math>に関して、<math>x \in A</math>である全ての要素<math>x</math>（これを、しばしば<math>\forall x</math>と表す）について、<math>x \in B</math>が成立する時、<math>A</math>は<math>B</math>に含まれる（<math>B</math>は<math>A</math>を含む）といい、<math>A \subset B</math>と表記する。集合<math>A, B</math>がこの関係にある時、<math>A</math>は<math>B</math>の'''部分集合'''であるという。 *:*集合<math>A, B</math>に関して、<math>x \in A</math>である全ての要素<math>x</math>について<math>x \in B</math>が成立し、<math>y \in B</math>である全ての要素<math>y</math>について<math>y \in A</math>が成立する時、<math>A</math>と<math>B</math>は等しい、または'''相等'''であるといい、<math>A = B</math>と表記する。 *:*集合<math>A, B</math>に関して、<math>x \in A</math>である全ての要素<math>x</math>について<math>x \in B</math>が成立しているが、<math>y \in B</math>である要素<math>y</math>の一部（これを、しばしば<math>\exists y</math>と表す）について<math>y \notin A</math>である時、<math>A</math>は<math>B</math>の'''真部分集合'''であるといい、<math>A \subsetneq</math>（または<math>\subsetneqq</math>） <math>B</math>と表記する。 {{-}} *;全体集合と補集合 *:[[file:Universal set and complement.svg|thumb|150px|全体集合と補集合]] *:*集合を考察するにあたって、各々の集合が真部分集合となり大枠の集合を全体集合という。全体集合は、しばしば、<math>U</math>と表記される。 *:*:例.「偶数」を取り扱う時、「偶数」の前提である「整数」が全体集合となる。 *:*<span id="補集合"/>ある全体集合<math>U</math>にあって、その部分集合<math>A</math>に関して、<math>U</math>の要素であって、<math>A</math>の要素でないものの全体の集まりを<math>A</math>の補集合といい、<math>\overline{A}</math>（または、<math>A^c</math>など）で表す。 *:*:例.「整数」において、「奇数」は「偶数」の補集合である。 *:*:{{-}} *;交わり（共通部分）、結び（和集合）、空集合 *:[[file:Algebra1 ins fig011 inter.svg|thumb|150px|交わり（共通部分）]] *:*<span id="共通部分"/>交わり（共通部分） *:*:集合<math>A, B</math>に関して、<math>x \in A</math>かつ<math>x \in B</math>をみたす<math>x</math>の集合を'''交わり'''（'''共通部分'''）といい、<math>A \cap B</math>と表記する。 *:*:{{-}} *:[[file:Algebra1 ins fig007 uni.svg|thumb|150px|結び（和集合）]] *:*<span id="和集合"/>結び（和集合） *:*:集合<math>A, B</math>に関して、<math>x \in A</math>または<math>x \in B</math>をみたす<math>x</math>の集合を'''結び'''（'''和集合'''）といい、<math>A \cup B</math>と表記する。 *:*:{{-}} *:[[file:IntersecciónABvacia.svg|thumb|150px|空集合の例]] *:*空集合 *:*:要素が1つもない集合を空集合といい、<math>\emptyset</math>または<math>\varnothing</math>で表す（<math>\phi</math>[ファイ]ではない）。 *:*:*集合<math>A, B</math>に関して、共通部分となる要素が存在しない時、<math>A \cap B</math>の集合は、<math>\emptyset</math>となる（右図参照）。 *:*:{{-}} === 集合の演算 === *演算規則 **交換法則 **:<math>A \cap B=B \cap A</math> **:<math>A \cup B=B \cup A</math> **結合法則 **:<math>A \cap B \cap C=(A \cap B) \cap C=A \cap (B \cap C)</math> **:<math>A \cup B \cup C=(A \cup B) \cup C=A \cup (B \cup C)</math> **分配法則 **:<math>A \cap (B \cup C)=(A \cap B) \cup (A \cap C)</math> **:<math>A \cup (B \cap C)=(A \cup B) \cap (A \cup C)</math> *二重否定 *:<math>\overline{\overline{A}}=A</math> *ド・モルガンの法則 *:<math>\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}</math> *:<math>\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}</math> *集合の要素の個数 *:<math>n(A \cup B)=n(A) + n(B) - n(A \cap B) </math> *:<math>n(A \cup B \cup C)=n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)</math> == 論理 == :正しいか正しくないかを明確に判定できる文章や数式を'''命題'''という。 :*命題が正しい場合、その命題は'''真'''であり、正しくない場合、その命題は'''偽'''である、という。 :*命題を成立させない具体的な例を'''反例'''といい、反例が1個でも存在する命題は偽である。 :*単純命題と複合命題 :**単純命題 :**:これ以上命題として分割できない記述 :**:*厳密な定義は初等数学としては難しいので、以下に記述する付加要素のない命題と理解することで足りる<ref>単純には「1つの主語に対して 1つの平常文である（否定や疑問ではない）述語が帰属する」ことがらと理解して良い。「彼は（主語）、日本人です（述語）」は命題の典型であるし、「<math>x=1</math>」という命題では、「<math>x</math>」が主語であり、「<math>=1</math>（1に等しい）」が述語となる</ref>。 :**複合命題 :**:命題<ref>単純命題には限らない。複合命題をさらに複合させる場合もある。</ref><math>A</math>や<math>B</math>に操作を加えた記述。上記の集合論と関係が深い。また、これらの操作を意味する記号（<math>\lnot</math>,<math>\land</math>,<math>\lor</math>,<math>\Rightarrow</math>など）で表した式を'''論理式'''という。 :**:論理式の演算は、<math>\lnot A</math>を<math>\overline{A}</math>、<math>\land</math>,を<math>\cap</math>、<math>\lor</math>を<math>\cup</math>とした[[#集合の演算|集合の演算]]に相等しい。 :**#'''否定''' :**#:命題<math>A</math>「ではない」ことをいい、<math>\lnot A</math>または<math>\overline{A}</math>で表す。[[#補集合|補集合]]を参照。 :**#::例)命題<math>A</math>:<math>x=1</math>に対し、否定命題<math>\lnot A</math>:<math>x \neq 1</math> :**#:「否定」によって、命題の真偽は逆転する。すなわち、命題<math>A</math>が真であれば、<math>\lnot A</math>は偽となり、偽であれば真となる。 :**#::例)命題<math>A</math>「彼は日本人である」が真であれば、否定命題<math>\lnot A</math>「彼は日本人ではない」は偽となる。 :**#'''連言・論理積'''<ref name="論理">論理学等における用語。</ref> :**#:命題<math>A</math>「かつ」<math>B</math>であることをいい、<math>A \land B</math>で表す。[[#共通部分|共通部分]]を参照。 :**#::例)命題<math>A</math>:<math>x</math>が2の倍数、命題<math>B</math>:<math>x</math>が3の倍数である時、命題<math>A \land B</math>:<math>x</math>は2と3の公倍数（6の倍数） :**#:命題<math>A</math>「かつ」命題<math>B</math>がともに真であるときのみ、連言命題<math>A \land B</math>は真となり、その他は偽となる。 :**#::例)「命題<math>A</math>:<math>x</math>が2の倍数」が真であり、かつ「命題<math>B</math>:<math>x</math>が3の倍数」が真である時のみ、「命題<math>A \land B</math>:<math>x</math>は6の倍数」は真となる。 :**#'''選言・論理和'''<ref name="論理"/> :**#:命題<math>A</math>「または」<math>B</math>であることをいい、<math>A \lor B</math>で表す。[[#和集合|和集合]]を参照。 :**#::例)命題<math>A</math>:<math>x</math>が2の倍数、命題<math>B</math>:<math>x</math>が3の倍数である時、命題<math>A \lor B</math>:<math>x</math>は2の倍数または3の倍数のいずれか :**#:命題<math>A</math>「または」命題<math>B</math>のいずれかが真であるとき、連言命題<math>A \land B</math>は真となり、その他（命題<math>A</math>・命題<math>B</math>のいずれも偽であるとき）は偽となる。 :**#::例)「命題<math>A</math>:<math>x=1</math>」が真である、または「命題<math>B</math>:<math>x=2</math>」が真である時、「命題<math>A \land B</math>:<math>(x-1)(x-2)=0</math>」は真となる。 :**#仮定と結論（条件文、含意<ref name="論理"/>、論理包含[→[[w:論理包含|wikipedia参照]]]<ref name="論理"/>） :**#:「もし」命題<math>A</math>「ならば」<math>B</math>である関係をいい、<math>A \Rightarrow B</math>で表す。初等数学で命題という場合、ほとんどはこの形態（条件命題）のものを指す。 :**#:初等数学では<math>A \Rightarrow B</math>の命題<math>A</math>を「仮定（前件<ref name="論理"/>）」、命題<math>B</math>を「結論（後件<ref name="論理"/>）」などという。 :**#:;<math>A \Rightarrow B</math>の真偽 :**#::「<math>A</math>ならば<math>B</math>である」関係は、即ち、「（<math>A</math>であってかつ<math>B</math>でない）ことはない」と言い換えることができる。 :**#::これを、論理式で表すと、 :**#:::<math>A \Rightarrow B</math><math>\equiv</math><math>\lnot (A \land \lnot B )</math><math>\equiv</math><math>\lnot A \lor B</math> :**#::となる。 :**全称命題と存在命題（特称命題、単称命題） :**#ある集合<math>X</math>に属する要素<math>x</math>が、すべて命題<math>A</math>を満たすことを、全称命題といい、<math>\forall x \in X , A</math>などと表記する。 :**#ある集合<math>X</math>に属する要素<math>x</math>のうち、命題<math>A</math>を満たすものがあることを、存在命題（特称命題、単称命題）といい、<math>\exists x \in X , A</math>などと表記する。 === 必要条件・十分条件・必要十分条件 === *<math>A \Rightarrow B</math>が真である時、「<math>B</math>である」ことを「<math>A</math>である」ことの'''必要条件'''、「<math>A</math>である」ことを「<math>B</math>である」ことの'''十分条件'''という。 *<math>A \Rightarrow B</math>が真であり、かつ、<math>B \Rightarrow A</math>が真である時、命題<math>A</math>、<math>B</math>は互いに必要条件・十分条件の関係となり、これを'''必要十分条件'''または'''同値'''の関係にあるという。 === 条件命題と逆・裏・対偶 === :<math>A \Rightarrow B</math>の関係に対して、 :*<math>B \Rightarrow A</math>を'''逆'''、 :*<math>\lnot A \Rightarrow \lnot B</math>を'''裏'''、 :*<math>\lnot B \Rightarrow \lnot A</math>を'''対偶''' :という。'''逆'''と'''裏'''は、'''対偶'''の関係にある。 ::例）条件命題を（<math>x</math>は式:<math>x=1</math>を満たす。） <math>\Rightarrow</math> （<math>x</math>は<math>x^2=1</math>を満たす。）とした時、 ::*逆:（<math>x</math>は式:<math>x^2=1</math>を満たす。） <math>\Rightarrow</math> （<math>x</math>は<math>x=1</math>を満たす。） ::*裏:（<math>x</math>は式:<math>x \neq 1</math>を満たす。） <math>\Rightarrow</math> （<math>x</math>は<math>x^2 \neq 1</math>を満たす。） ::*対偶:（<math>x</math>は式:<math>x^2 \neq 1</math>を満たす。） <math>\Rightarrow</math> （<math>x</math>は<math>x \neq 1</math>を満たす。） :::となる。 :例に示されるように、ある命題が真の時であっても、'''逆'''と'''裏'''が真であるとは限らない（所与の命題に真偽を一致させない）。 :*上記の例において、逆の命題は必要条件に、裏の命題は十分条件に、<math>x=-1</math>を欠いている。 :*:この様に、条件命題<math>A \Rightarrow B</math>を成立させないケースを'''反例'''という。 :一方、ある命題が真の時、'''対偶'''は常に真である（所与の命題に真偽を一致させる）。 :以上の性質は、論理式の演算で証明される。 ::<math>A \Rightarrow B</math><math>\equiv</math><math>\lnot A \lor B</math>(※) ::*逆 ::*:<math>B \Rightarrow A</math><math>\equiv</math><math>\lnot (B \land \lnot A)</math><math>\equiv</math><math>\lnot B \lor A</math><math>\equiv</math><math>A \lor \lnot B</math>:※と不一致 ::*裏 ::*:<math>\lnot A \Rightarrow \lnot B</math><math>\equiv</math><math>\lnot (\lnot A \land \lnot (\lnot B))</math><math>\equiv</math><math>\lnot (\lnot A \land B)</math><math>\equiv</math><math>A \lor \lnot B</math>:※と不一致 ::*対偶 ::*:<math>\lnot B \Rightarrow \lnot A</math><math>\equiv</math><math>\lnot (\lnot B \land \lnot (\lnot A))</math><math>\equiv</math><math>\lnot (\lnot B \land A)</math><math>\equiv</math><math>B \lor \lnot A</math><math>\equiv</math><math>\lnot A \lor B</math>:※と一致 === 証明 === :命題<math>p \Rightarrow q</math>において、既知の定理，すなわち正しいことがすでに証明されている命題<math>A</math>を基礎にして，仮定<math>q</math>の真偽を論理的に導くことを証明という。 :証明の方法には、直接証明法と間接証明法がある。 #'''直接証明法'''　命題<math>p \Rightarrow q</math>そのものが真であることを証明する方法 #'''間接証明法''' ##<span id="背理法"/>背理法 ##:命題<math>p</math>を証明するのに代えて、<math>p</math>ではない（<math>\lnot p</math>）と仮定して、その仮定（前提）から得られた結論が仮定と矛盾することを導き、<math>p</math>が真であることを証明する方法。 ##:*有名例題 ##:*#[[初等整数論/素数#定理_1.11|「素数が無限に存在する」ことの証明]] ##:*#:命題「素数が有限個である（=最大値の素数が存在する）」と仮定し矛盾を導く。 ##:*#[[/証明#平方根|<math>\sqrt{2}</math> が無理数であることの証明]] ##:*#:命題「<math>\sqrt{2}</math> は有理数である（=<math>\sqrt{2}</math>を既約分数<math>\frac{q}{r}</math>で表すことができる）」と仮定し矛盾を導く。 ##<span id="対偶法"/>対偶法 ##:命題<math>p \Rightarrow q</math>が真であることを証明するのに代えて、対偶命題<math>\lnot q \Rightarrow \lnot p</math>が真であることを証明する方法。 ##:*利用例 ##:*#[[#対偶利用例1|命題「<math>ax+by = 1</math>が整数解<math>(x,y)</math>を持つ。<math>\implies</math><math>a,b</math>は互いに素。」が真である証明]] ##:*#*対偶となる命題「『<math>a,b</math>は互いに素』の否定<math>\implies</math>『<math>ax+by = 1</math>が整数解<math>(x,y)</math>を持つ』の否定」 ##:*#*:→「<math>a,b</math>が1ではない公約数<math>c</math>を有する。<math>\implies</math><math>ax+by = 1</math>の解<math>(x,y)</math> の <math>x,y</math>がともに整数となることはない。」を証明する。 ##<span id="転換法"/>転換法 ##:命題<math>p</math>が重複のない下位の命題<math>\{ p_1, p_2, \cdots p_n \}</math>、<math>n</math>個で構成されており、命題<math>q</math>が重複のないの下位の命題<math>\{ q_1, q_2, \cdots q_n \}</math>、<math>n</math>個によって構成される時、条件命題<math>p_1 \Rightarrow q_1, p_2 \Rightarrow q, \cdots p_n \Rightarrow q_n</math>が全て真であるならば、<math>p \Rightarrow q</math>が真であると言え、逆の命題<math>q \Rightarrow p</math>も真となる。 ==脚注== <references/> {{DEFAULTSORT:しよとうすうかくこうしきしゆう 03しゆうこうろんり}} [[Category:普通教育]] [[Category:数学教育]] [[Category:初等数学公式集|しゆうこうろんり]] kmjy7cnz6gn8ybguk7ahdulcysh2l5k 299362 299361 2026-05-10T02:41:00Z Tomzo 248 /* 複素数 */ 299362 wikitext text/x-wiki == 数の性質 == === 数の体系 === [[File:Venn Diagram of Numbers Expanded.svg|thumb|400px|数の体系]] *'''[[#自然数・整数|自然数]]'''（Natural (numbers 以下略す); 集合論的な記号<math>\mathbb{N}</math>） *:<math>1</math>から、<math>1</math>ずつ足しあげていった数（一般に初等数学では<math>0</math>を含まない）。物を数え上げる数。 *::例:<math>\{ 1, 2, 3, 4, 5, \cdots \}</math> *:*'''素数''' *:*:<math>1</math>より大きい自然数で、正の約数（因数）が<math>1</math>と自分自身のみであるもの。 *:*::例:<math>\{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17\cdots \}</math> *:*合成数 *:*:素数ではない自然数。 *:*::例:<math>\{ 4=2^2, 6=2 \cdot 3, 8=2^3, 9=3^2, 10=2 \cdot 5, 12=2^2 \cdot 3, 14=2 \cdot 7, 15=3 \cdot 5, 16=2^4\cdots \}</math> *:*:::*<span id="累乗"/>'''累乗'''（{{ruby|冪乗|べきじょう}}） *:*:::*:同じ数を掛け合わせる演算を'''累乗'''（または{{ruby|冪乗|べきじょう}}）といい、数<math>a</math>を数<math>n</math>個掛け合わせたものを「<math>a</math>の<math>n</math>乗」と表現し、「<math>a^n</math>」と表記する（このとき、数<math>a</math>を'''{{ruby|底|てい}}'''、数<math>n</math>を（冪）'''{{ruby|指数|しすう}}'''、演算の結果を'''{{ruby|冪|べき}}'''という）。数式で表すと以下のとおりである。 *:*:::*::<math>a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n\text{ 個}}</math>　　例.<math>4=2^2, 8=2^3, 9=3^2, 16=2^4</math> *:*:::*:なお、「<math>a^2</math>」を「<math>a</math>の{{ruby|自乗|じじょう}}」・「<math>a</math>の{{ruby|平方|へいほう}}」、「<math>a^3</math>」を「<math>a</math>の{{ruby|立方|りっぽう}}」とも言う。 *'''[[#自然数・整数|整数]]'''（Integers 記号<math>\mathbb{Z}</math>） *:自然数、<math>0</math>および自然数に<math>-1</math>をかけた数。 *::例:<math>\{\cdots , -2, -1, 0, 1, 2, 3, \cdots \}</math> *'''[[#有理数・分数|有理数]]'''（Rational 記号<math>\mathbb{Q}</math>） *:整数である <math>a, b</math>（ただし、<math>ab \neq 0</math>）について、<math>\frac{a}{b}</math>で表す数。<math>b=1</math>の時、整数となるので、整数は有理数の[[#部分集合|部分集合]]である。 *::例:<math>\{\cdots ,-\frac{3}{2}, \cdots ,-1, \cdots ,-\frac{1}{3}, \cdots ,0, \cdots ,\frac{5}{7}, \cdots ,1, \cdots ,\frac{7}{5}, \cdots \}</math> *:整数<math>a, b</math>（ただし、<math>b \neq 0</math>）で <math>a =\pm 1, b = \pm 1</math>または、<math>a, b</math>が[[#互いに素|互いに素]]である場合、分数<math>\frac{a}{b}</math>を'''既約分数'''という。 *:<math>a < b</math>であるとき、有理数である<math>\frac{a}{b}</math>は、小数の表現を用いて<math>\frac{a}{b} = 0.c_1 c_2 c_3 \dots c_k \dots</math>となるが、この場合、<math>\frac{a}{b} = 0.c_1 \dots c_k</math>のように小数点以下の数字の並びが有限である[[#有限小数|有限小数]]か、<math>\frac{a}{b} = 0.\underbrace{c_1 \dots c_k}_{} \underbrace{c_1 \dots c_k}_{} \underbrace{c_1 \dots c_k}_{} c_1 \dots</math>のように小数点以下の数字の並びが繰り返される[[#循環小数|循環小数]]のいずれかとなる。 *'''実数'''（Real 記号<math>\mathbb{R}</math>） *:数直線上に表される数 *::例:<math>\{\cdots ,-2\sqrt{3}, \cdots ,-\frac{3}{2}, \cdots ,-1, \cdots ,-\frac{\sqrt{2}}{2}, \cdots ,-\frac{1}{3}, \cdots ,0, \cdots ,\frac{5}{7}, \cdots ,1, \cdots ,\frac{7}{5}, \cdots ,e, \cdots ,\pi, \cdots ,\pi + e, \cdots \}</math> *:*'''[[#無理数|無理数]]'''（Irrational 記号<math>\mathbb{I}</math>） *:*:有理数ではない実数をいう。 *:*::→無理数はさらに[[#代数的数と超越数|代数的数と超越数]]に分けられる。 *:*:無理数の小数点以下の数字の並びは循環せず無限に続く[[#非循環小数|非循環小数]]となる。 *:*::*'''累乗根'''（{{ruby|冪根|べきこん}}） *:*::**[[#累乗|累乗（冪乗）]]とは逆の演算で、累乗すると与えられた数になる数を累乗根（{{ruby|冪根|べきこん}}）という。ある数<math>a</math>を<math>n</math>乗したものが<math>x</math>となる式は<math>a^n=x</math>と書き表されるが、この時、<math>x</math>の値は<math>x=\sqrt[n]{a}</math>と書き表され、これを「'''<math>a</math> の <math>n</math>乗根'''」と呼ぶ。すなわち、<math>\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a</math>である。なお、<math>n</math> は'''指数''' と呼ばれ、記号 <math>\sqrt{}</math> は'''根号''' と呼ばれる。また、根号の中に書かれた数 <math>a</math> は時に'''被開平数''' と呼ばれる。 *:*::**特に、<math>\sqrt[2]{a}</math> は、<math>\sqrt{a}</math> と記され、「<math>a</math>の{{ruby|平方根|へいほうこん}}」または「ルート<math>a</math>」と呼ぶ。また、<math>\sqrt[3]{a}</math> を「<math>a</math>の{{ruby|立方根|りっぽうこん}}」とも言う。 *:*::**ある有理数 <math>a</math> が分母・分子ともに整数の<math>n</math>乗でないとき、<math>x=\sqrt[n]{a}</math> は有理数ではなく無理数となる（[[/証明#n乗根|証明]]）。 *:*::**:（有名問題）<math>\sqrt{2}</math> が無理数であることを証明せよ。[→[[/証明#平方根|証明]]] *:*:無理数と有理数の和は無理数である（[[/証明#無理数と有理数の和|証明]]）。 *:*::この事象から、以下の事象を導くことができる。 *:*::*[[#無理数の相等条件|無理数の相等条件]] *:*::*有理数 <math>a,b</math> がともに有理数の平方数でないならば <math>\sqrt{a} \pm \sqrt{b}</math> は無理数である（[[/証明#平方根同士の和|証明]]）。 *'''[[#複素数|複素数]]'''（Complex 記号<math>\mathbb{C}</math>） *:実数である<math>p, q</math>について、<math>i^2 = -1</math>という性質を持つ'''虚数単位'''<math>i</math>を用いて、<math>p+qi</math>という形で表される数。<math>p</math>を実部、<math>q</math>を虚部といい、虚部<math>q=0</math>の時、実数となるので、実数は複素数の部分集合である。また、虚部<math>q \neq 0</math>の時、<math>p+qi</math>をを虚数（imaginary）といい、特に<math>p=0</math>の時の<math>qi</math>を純虚数という。 *::→虚数単位を含む複素数も[[#代数的数と超越数|代数的数と超越数]]に分けることができる。 :　 :<span id="代数的数と超越数"/>※（参考）代数的数と超越数 ::方程式:<math>x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_k x^k + \cdots + a_0 = 0</math>（<math>n</math> は正の整数、各 <math>a_k</math> は有理数）の解となる数を代数的数と言い、そうでない数を超越数という。 ::*代数的数の例 ::**有理数:　<math>\because</math><math>\frac{a}{b}</math>は、<math>bx - a = 0</math>の解。 ::**根号を含む無理数: ::**:例 ::**::<math>\sqrt{2}</math>は、<math>x^2 - 2 = 0</math>の解のひとつ。 ::**::<math>\sqrt{3}-\sqrt{2}</math>は、<math>x^4 - 10 x^2 +1 = 0</math>の解のひとつ。 ::**::<math>\sqrt[3]{2-\sqrt{2}}</math>は、<math>x^6 - 4 x^3 +2 = 0</math>の解のひとつ。 ::**実部・虚部が共に有理数である複素数: ::**:有理数である<math>a, b</math>について、<math>a+bi</math>という形で複素数が表されているとき、<math>a+bi</math>は、方程式<math>x^2 - 2ax +a^2 + b^2 = 0</math>の解のひとつである。 ::*超越数の例 - 多くは証明されているが、未証明のものも多い。 ::**円周率:<math>\pi</math>、[[高等学校数学III/微分法#ネイピア数|自然対数の底（ネイピア数）]]:<math>e</math> ::**<math>2^{\sqrt{3}}</math>など<math>a</math>を有理数、<math>b</math>を無理数とした時の、<math>a^b</math>。 ::**<math>\ln 3</math>など<math>x</math>を代数的数とした時の、<math>\ln x</math>。また、<math>\log_2 3</math>など。 ::**<math>x</math>を代数的数とした時の、<math>sin{x}</math>,<math>\cos{x}</math>（弧度法）。 ::***なお、度数法の場合、<math>x</math>を<math>x= 1^\circ</math>など、度数付きの有理数とした時、<math>sin{x}</math>,<math>\cos{x}</math>は代数的数となる。 === 記数法 === ==== n進法 ==== :<math>0</math>と<math>1</math>を含む<math>1</math>ずつ足しあげていった<math>n</math>個の数<math>\{ 0, 1, 2, \cdots n-2, n-1 \}</math>で表記し、最大の数<math>n-1</math>に<math>1</math>が足されると、次の桁の<math>1</math>として表記する記数法をn進法といい、この時のnを基数という。数字の列<math>abc</math>がn進法による表記（n進数）であることを表すのに、<math>(abc)_n</math>と表記することもある。 ::5進法（0,1,2,3,4 を使った記数法）の計算例 ::*<math>(4)_5 + (1)_5 = (10)_5</math> ::*<math>(43)_5 + (3)_5 = (101)_5</math> :一般に使用されるのは10進法であり、「ダース」などの単位に12進法、時計などに60進法の名残が見られるが一般知識として知っておけばよく、計算などを熟知しておく必要はない。ただし、2進法、8進法、16進法はコンピュータの計算等で利用されているので後述する。 :*n進法で、<math>(a_3 a_2 a_1 a_0)_n</math>と記された数の大きさは、<math>a_3 n^3 + a_2 n^2 + a_1 n + a_0</math>である。 :*n進法への変換 :*:<math>A</math>を<math>n</math>で割った商を<math>Q_1</math>、余りを<math>R_1</math>とする。さらに、<math>Q_1</math>を<math>n</math>で割った商を<math>Q_2</math>、余り<math>R_2</math>と順々に除算を繰り返し、<math>n \geq Q_k</math>となった段階でこの操作を止めて、<math>Q_k R_k \cdots R_2 R_1</math>と並べた数の列が、<math>A</math>のn進法の表記となる。 :*::例1:430 (10進法表記)を、8進法で表示する。 :*:::<math>430 \div 8 </math>:<math>Q_1 = 53</math>,<math>R_1 = 6</math> : <math>Q_1 > 8</math>であるから、<math>Q_1</math>をさらに<math>8</math>で割る。 :*:::→<math>Q_1 \div 8 = 53 \div 8</math>:<math>Q_2 = 6</math>,<math>R_2 = 5</math> : <math>Q_2 \leq 8</math>であるから、<math>A = Q_2 R_2 R_1 = (656)_8</math> :*::例2:430 (10進法表記)を、12進法（10をa、11をbで表す）で表示する。 :*:::<math>430 \div 12 </math>:<math>Q_1 = 35</math>,<math>R_1 = 10</math>→<math>(a)_{12}</math> : <math>Q_1 > 12</math>であるから、<math>Q_1</math>をさらに<math>12</math>で割る。 :*:::→<math>Q_1 \div 12 = 35 \div 12</math>:<math>Q_2 = 2</math>,<math>R_2 = 11</math>→<math>(b)_{12}</math> : <math>Q_2 \leq 12</math>であるから、<math>A = Q_2 R_2 R_1 = (2ba)_{12}</math> ==== 小数 ==== :n進法において、<math>0 < p < 1</math>の量を表すのに、1より小さい数であることを意味する点「小数点」をおいて、基数である<math>n</math>で割った数に応じて、小数点の右に並べる記数法。 :*n進法で、<math>(0.a_1 a_2 a_3)_n</math>と記された数の大きさは、<math>\frac{a_1}{n} + \frac{a_2}{n^2} + \frac{a_3}{n^3}</math>である。 ;有限小数と無限小数 :有限桁の数字で表せる小数を有限小数と呼び、有限桁で表せない小数を無限小数と呼ぶ。 :*<span id="有限小数"/>有限小数 :*:分数<math>\frac{a}{b}</math>（ただし、<math>ab \neq 0, a \neq kb</math>(<math>k</math>は整数)）において、<math>n</math>進法で表示する時、<math>b</math>のすべての素因数が、基数<math>n</math>の素因数に含まれる時、<math>\frac{a}{b}</math>は有限小数となる。これは逆も成立するので必要十分条件である。（→[[初等数学公式集/数と集合・論理/証明#小数|証明]]） :*::例）10進法で表示する時、有限小数となるのは、分母が、<math>2^k5^l (k \geq 0, l \geq 0)</math>の時である。 :*無限小数 :*:<span id="非循環小数"/>無限小数には、ある数字列が無限に繰り返される'''循環小数'''と、そうではない'''非循環小数'''に分類される。無限連続は、表示最終桁に続け<math>\ldots</math>や<math>\cdots</math>等を付して表示される。 :*:<span id="循環小数"/>循環小数で繰り返される部分を循環節といい、記法の一つとして、循環節の始点と終点（1個の数字の場合、その数字のみ）をドットで示す方法がある。 :*::例）10進法表記で :*:::<math>\frac{1}{3} = 0.33333 \ldots = 0.\dot{3}</math> :*:::<math>\frac{1}{7} = 0.1428571428571428 \ldots = 0.\dot{1}4285\dot{7}</math> :*:::<math>\frac{9}{14} = 0.6428571428571428 \ldots = 0.6\dot{4}2857\dot{1}</math> :*:循環小数は、循環節の桁数<math>m</math>分、<math>10^m</math>を掛けて左にシフトし、それから元の数を引くことにより、分数として表記される。 :*::例）上記例示式 :*:::<math>a = 0.33333 \ldots </math>（式1）,<math>10 a = 3.33333 \ldots </math>（式2）→式2-式1 : <math>9 a = 3, a =\frac{3}{9}=\frac{1}{3}</math> :*:::<math>b = 0.1428571428571428 \ldots </math>（式1）,<math>10^6 b = 1000000 b = 142857.14285714 \ldots </math>（式2） :*::::→式2-式1 : <math>999999 b = 142857, b =\frac{142857}{999999} =\frac{3^3\cdot 11\cdot 13\cdot 37}{3^3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 37}=\frac{1}{7}</math> :*:::<math>c = 0.6428571428571428 \ldots </math>（式1）,<math>10^6 c = 1000000 c = 642857.14285714 \ldots </math>（式2） :*::::→式2-式1 : <math>999999 c = 642856.5, c =\frac{642856.5 \cdot 2}{999999 \cdot 2} =\frac{1285713}{2\cdot 3^3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 37} =\frac{3^5\cdot 11\cdot 13\cdot 37}{2\cdot 3^3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 37}=\frac{9}{14}</math> :*n進法の小数の変換 :*;n進法から10進法へ :*:*有限小数の場合 :*:*:<math>(0.a_1 a_2 a_3)_n</math>と記された数の大きさは、<math>\frac{a_1}{n} + \frac{a_2}{n^2} + \frac{a_3}{n^3}</math>であるので、これを計算する。 :*:*::　 :*:*::例1.<math>(0.101)_2 = \frac{1}{2} + \frac{0}{2^2} + \frac{1}{2^3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} = 0.5 + 0.125 = 0.625</math> :*:*::　 :*:*::例2.<math>(0.234)_5 = \frac{2}{5} + \frac{3}{5^2} + \frac{4}{5^3} = \frac{2}{5} + \frac{3}{25} + \frac{3}{125} = 0.4 + 0.12 + 0.032 = 0.552</math> :*:*::　 :*:*::例3.<math>(0.121)_3 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{1}{3^3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{1}{27} = \frac{1 \cdot 9 + 2 \cdot 3 + 1}{27} = \frac{16}{27} = 0.\dot{5}9\dot{2}</math>、 3進法は、分母が、<math>2^k5^l</math>ではないので、循環小数となる。 :*:*::　 :*:*循環小数の場合 :*:*:<math>(0.\dot{a_1} a_2 \dot{a_3})_n</math>について、循環節の桁数<math>m</math>分、左にシフトし（基数<math>n</math>の時、<math>n^m</math>を掛ける）、それから元の数を引いて計算する。 :*:*::例4. <math>(0.\dot{1} 0 \dot{1})_2</math> を10進法の小数で表す。 :*:*:::<math>(0.\dot{1} 0 \dot{1})_2 = k</math>-① とおいて、3桁ずらすために両辺に<math>(1000)_2</math>をかけ、<math>(1000)_2 k = (101.\dot{1} 0 \dot{1})_2</math>-②を得る。 :*:*:::②-①: <math>(1000 - 1)_2 k = (111)_2 k = (101)_2</math> :*:*::: <math> (111)_2 = 7, (101)_2 = 5</math>であるから、<math>7k=5, k=\frac{5}{7} = 0.\dot{7}1428\dot{5}</math> :*:*::　 :*;10進法からn進法へ :*::<math>(0.a_1 a_2 a_3)_n = \frac{a}{n} + \frac{a_2}{n^2} + \frac{a_3}{n^3}</math>に関し、n倍し小数点を超過部分を小数点の右におき、それを除いた数を再びn倍し小数点超過部分をその数の右におくという手順を繰り返す。 :*:::　 :*:::例5.<math>0.625</math>を2進数にする。（上記例1.の逆の操作） :*::::①<math>0.625 \times 2 = \underline{1}.25</math>→②<math>0.25 \times 2 = \underline{0}.5</math>→③<math>0.5 \times 2 = \underline{1}.0</math> :*::::①②③の下線の数を小数点以下順に並べる。→ <math>(0.101)_2</math> :*:::　 :*:::例6.<math>0.552</math>を5進数にする。（上記例2.の逆の操作） :*::::①<math>0.552 \times 5 = \underline{2}.76</math>→②<math>0.76 \times 5 = \underline{3}.8</math>→③<math>0.8 \times 5 = \underline{4}.0</math> :*::::①②③の下線の数を小数点以下順に並べる。→ <math>(0.234)_5</math> :*:::　 :*:::例7.<math>0.\dot{5}9\dot{2}</math>を3進数にする。（上記例3.の逆の操作） :*::::①<math>0.592592\ldots \times 3 = \underline{1}.777\ldots</math>→②<math>0.777\ldots \times 3 = \underline{2}.333\ldots</math>→③<math>0.333\ldots \times 3 = \underline{1}.0</math> :*::::①②③の下線の数を小数点以下順に並べる。→ <math>(0.121)_3</math> :*:::　 :*:::例8.<math>0.\dot{7}1428\dot{5}</math>を2進数にする。（上記例4.の逆の操作） :*::::①<math>0.714285714285\ldots \times 2 = \underline{1}.42857142\ldots</math>→②<math>0.42857142\ldots \times 2 = \underline{0}.857142857\ldots</math>→③<math>0.857142857\ldots \times 2 = \underline{1}.714285\ldots</math>→④:①と同じ :*::::①②③の下線の数を小数点以下順に並べる。→ <math>(\dot{1} 0 \dot{1})_2</math> === 自然数・整数 === *自然数を構成する素数を'''素因数'''といい、素数の積の形で表すことを'''素因数分解'''という。 *:<math>8</math>の素因数は、<math>8=2^3</math>なので<math>2</math>のみの1個、<math>10</math>の素因数は、<math>10=2 \cdot 5</math>なので<math>2</math>と<math>5</math>の2個、<math>12</math>の素因数は、<math>12=2^2 \cdot 3</math>なので<math>2</math>と<math>3</math>の2個。 **自然数<math>N</math>が相異なる素数<math>a_1,a_2,a_3,\cdots,a_k</math>を用いて<math>N=a_1^{p_1} \cdot a_2^{p_2} \cdot a_3^{p_3} \cdots a_k^{p_k}</math>と素因数分解されるとき、 **:<math>N</math>の約数の個数は<math>(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)\cdots(p_k+1)</math> **:また、その約数の総和は<math>(1+a_1+ \cdots +a_1^{p_1})(1+a_2+ \cdots +a_2^{p_2}) \cdots (1+a_k+ \cdots +a_k^{p_k}) </math>=<math>\frac{1-a_1^{p_1 + 1}}{1-a_1}\frac{1-a_2^{p_2 + 1}}{1-a_2} \cdots \frac{1-a_k^{p_k + 1}}{1-a_k} </math> *複数の数について、共通する約数を'''公約数'''という。複数ある公約数のうち最も大きいものを'''最大公約数'''（Greatest Common Measure;GCM, gcm）という。これら複数の数について、素因数を有さない状態を（最大公約数が<math>1</math>である状態）、<span id="互いに素"/>'''互いに素'''という。 *複数の数について、共通する倍数を'''公倍数'''という。複数ある公倍数のうち最も小さいものを'''最小公倍数'''（Least Common Multiple;LCM, lcm）という。 * 自然数<math>Q</math>,<math>N</math>に対し、1以上<math>Q</math>以下の<math>N</math>の倍数の個数。: *:<math>\left\lfloor \frac{Q}{N} \right\rfloor</math>　ただし、<math>\lfloor x\rfloor</math>は<math>x</math>以下最大の整数を表す。 ** 自然数<math>P</math>,<math>Q</math>,<math>N</math>に対し、<math>P</math>以上<math>Q</math>以下の<math>N</math>の倍数の個数 **:<math>\left\lfloor\frac{Q}{N}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{(P-1)}{N}\right\rfloor</math> * 自然数<math>a</math>,<math>b</math>について、それらの最大公約数を''g''、最小公倍数を''l''とすると、以下の関係が成り立つ。: *:<math>ab = lg</math> * 奇数の和: *:<math>1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2</math> ==== 不定方程式 ==== :整数解をもつ整数係数の代数方程式を不定方程式（変数の次数により<math>n</math>次不定方程式）といい、その整数の求めることを不定方程式を解くという。未知数よりも条件式が少ないなどの場合、整数解が無限に存在して定まらないことがあるので，不定ということばが用いられている。初等数学においては、基本的に1次不定方程式をさす。 :*以下、<math>a,b,c</math>を整数とする。 :**<math>a,b</math>を互いに素とするとき、1次不定方程式<math>ax + by = 0</math>を満たす整数解: :**:<math>x = bk , y = -ak</math>　（<math>k</math>は整数） :**<math>ax+by = 1</math>が整数解<math>(x,y)</math>を持つ。<math>\iff</math><math>a,b</math>は互いに素。 :**:以下、必要十分条件であることを証明する。 :**:#<span id="対偶利用例1"/>命題「<math>ax+by = 1</math>が整数解<math>(x,y)</math>を持つ。<math>\implies</math><math>a,b</math>は互いに素。」が真である証明 :**:#:[[#条件命題と逆・裏・対偶|対偶]]である命題「<math>a,b</math>が1ではない公約数<math>c</math>を有する。<math>\implies</math><math>ax+by = 1</math>の解<math>(x,y)</math> の <math>x,y</math>がともに整数となることはない。」は真であるので、元の命題も真である。 :**:#::<math>\because</math> <math>a,b</math>が1ではない公約数<math>c</math>を有するならば、<math>a=a'c,b=b'c</math>とおくことができ、 :**:#:::この時、<math>ax+by = 1</math>は、<math>a'cx+b'cy = c(a'x+b'y) = 1</math>となり、<math>a'x+b'y = \frac{1}{c}</math>となる。 :**:#:::方程式<math>a'x+b'y = \frac{1}{c}</math>において、<math>a',b'</math>はともに整数であるので、<math>x,y</math>はともに整数となることはない。 :**:#命題「<math>a,b</math>は互いに素。<math>\implies</math><math>ax+by = 1</math>が整数解<math>(x,y)</math>を持つ。」が真である証明 :**:#:<math>a</math>に<math>1</math>から<math>b-1</math>までかけた積<math>(a, 2a, \cdots ka \cdots a(b-2), a(b-1))</math> を<math>b</math>で割った余りは全て異なっている（※）。したがって、<math>a</math>との積を<math>b</math>で割った余りが<math>1</math>となる整数<math>m</math>が必ず存在し、<math>am-1</math>は<math>b</math>の倍数であるので<math>am-1=bn</math>という等式が成立する。これを変形すると<math>am-bn=1</math>となり、方程式<math>ax+by = 1</math>について、<math>x=m, y=-n</math>という整数解を得られる。 :**:#::※の証明 - 背理法を用いる。 :**:#::#<math>a</math>に<math>1</math>から<math>b-1</math>までかけた積<math>(a, 2a, \cdots ka \cdots a(b-2), a(b-1))</math>を<math>b</math>で割った余りに重複するもの<math>r</math>が存在すると仮定する。 :**:#::#重複する積を<math>ja,ka (1 \le j<k \le b)</math>とすると、<math>ja=mb+r,ka=nb+r</math> となり、差をとると<math>(k-j)a=(n-m)b</math> が成立する。 :**:#::#<math>(k-j)a=(n-m)b</math> について、これが成り立つ時、<math>a,b</math>は互いに素であるため、<math> k-j </math> は<math> b </math> の倍数となるが、<math>1 \le k-j < b</math>であるため、そのような<math> k-j </math> は存在せず仮定と矛盾する。 :**:#::#したがって、<math>a</math>に<math>1</math>から<math>b-1</math>までかけた積を<math>b</math>で割った余りは全て異なる。 :**<math>ax+by = c</math>が整数解<math>(x,y)</math>を持つ。<math>\iff</math><math>c</math>は<math>\gcd(a,b)</math>の整数倍数。 :**:以下、必要十分条件であることを証明する。 :**:#命題「<math>ax+by = c</math>が整数解<math>(x,y)</math>を持つ。<math>\implies</math><math>c</math>は<math>\gcd(a,b)</math>の整数倍数。」が真である証明 :**:#:<math>a,b</math>は、<math>\gcd(a,b)</math>の倍数であるので、<math>x,y</math>が共に整数ならば<math>ax+by</math>も<math>\gcd(a,b)</math>の倍数となる。 :**:#命題「<math>c</math>は<math>\gcd(a,b)</math>の整数倍数。<math>\implies</math><math>ax+by = c</math>が整数解<math>(x,y)</math>を持つ。」が真である証明 :**:#:<math>a=p\gcd(a,b), b=q\gcd(a,b)</math>とおくことができ、このとき、<math>p,q</math>は互いに素である。 :**:#:<math>p,q</math>は互いに素であれば、<math>pm+qn = 1</math>となる整数の組<math>(m,n)</math>が存在する。 :**:#:<math>pm+qn = 1</math>に<math>\gcd(a,b)</math>をかけて、（左辺）<math>=p\gcd(a,b)m+q\gcd(a,b)n =am+bn</math>、（右辺）<math>=\gcd(a,b) =c</math>であって、<math>ax+by = c</math>は、整数解<math>(m,n)</math>を持つ。 ==== 整数の合同 ==== {{wikipedia|整数の合同}} <math>n</math> が <math>2</math> 以上の整数として、<math>a</math>を <math>n</math> で割った剰余が <math>b</math> を <math>n</math> で割った剰余と等しいときに、「二つの整数<math>a, b</math>が'''法 <math>n</math> に関して合同'''である」といい、以下の記号で示す。 : <math>a \equiv b (\mathrm{mod}. n) </math> :　 :'''代数的性質''' :* <math>n</math>を法とすると<math>a \equiv b</math> ならば任意の整数 <math>c</math>に対して :*#<math>a \pm c \equiv b \pm c</math> :*#: したがって、<math>a \equiv b</math> ならば<math>a-b \equiv 0</math> :*#<math>ac \equiv bc</math> :*#:逆の命題「<math>ac \equiv bc</math> ならば、<math>a \equiv b</math>・・・(*)」は、常に成立するものではない。 :*#::<math>ac \equiv bc</math> ならば、<math>ac-bc \equiv (a-b) c \equiv 0</math> :*#:::<math>(a-b) c \equiv 0</math>は、以下の3式のいずれかが成り立つ時に成立しており、一意に命題(*)は真とはならない。 :*#::::①<math>a-b \equiv 0</math> :*#::::②<math>c \equiv 0</math> :*#::::③<math>(a-b) c \equiv 0 \land a-b \not\equiv 0 \land c \not\equiv 0</math> :*#:したがって、<math>ac \equiv bc</math>かつ<math>c</math>と<math>n</math>が互いに素ならば、<math>a \equiv b</math> :*#<math>a^c \equiv b^c</math>(ただし、<math>c>0</math>) :　 :* [[高等学校数学II/式と証明・高次方程式|二項定理]]より、 :*: <math>(a + b)^m \equiv b^m (\mathrm{mod}. a) </math> :*: <math>(a + b)^m \equiv a^m (\mathrm{mod}. b) </math> :*::特に、<math>(ma + 1)^n \equiv 1 (\mathrm{mod}. a) </math> :　 :'''フェルマーの小定理'''（詳細は、[[高等学校数学A/数学と人間の活動#発展：合同式]]及び[[初等整数論/フェルマーの小定理]]参照） {{wikipedia|フェルマーの小定理}} :* <math>p</math>を素数とし、<math>a</math>を<math>p</math>の倍数でない整数（ <math>a</math>と<math>p</math>は互いに素）とするときに、 :*:<math>a^{p-1} \equiv 1 (\mathrm{mod}. p) </math>　<math>\therefore</math> <math>a^p \equiv a (\mathrm{mod}. p) </math> === 有理数・分数 === * 加比の理 *: <math>\frac{a}{b} = \frac{c}{d}</math>　ならば、 <math>\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d} = \frac{ma+nc}{mb+nd}</math>　(<math>m,n</math>は、<math>mb+nd \neq 0</math>である任意の実数) *: <math>\frac{a}{b} < \frac{c}{d}</math>　ならば、 <math>\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} \left(= \frac{ma+nc}{mb+nd}\right) < \frac{c}{d}</math>　　(<math>m,n</math>は、<math>mb+nd \neq 0</math>である任意の実数) * <math>\frac{1}{(x+a)(x+b)} = \frac{1}{b-a}\left(\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x+b}\right) </math><math>(a\not=b) </math> * <math>\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} </math> === 実数 === ==== 無理数 ==== * <span id="無理数の相等条件"/>無理数の相等条件（cf.[[#複素数の相等条件|複素数の相等条件]]） *:<math>a, b, c, d</math>を有理数、<math>\alpha</math>を無理数とする時。 *::<math>a + b\alpha = c + d\alpha</math> ならば、<math>a = c, b = d</math> *::特に、<math>a + b\alpha = 0</math> ならば、<math>a = b = 0</math> ===== 累乗根 ===== *'''二重根号'''（<math>a, b</math> は有理数、なお、減算を意識して<math>a > b</math>としておく） **基本形 **:<math>\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{ ( \sqrt{a} \pm \sqrt{b} )^2 } = \sqrt{ a + b \pm 2\sqrt{ab} }</math> **一般形 **:<math>\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{ \frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \pm \sqrt{ \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}</math> **:*導出法は、[[初等数学公式集/数と集合・論理/証明#二重根号|別ページ]]参照。高校数学では、一見して分かる単純な基本形での出題となり、また、[[初等数学公式集/初等代数#解と係数の関係|解と係数の関係]]を利用し2次方程式を立てて数値を得ることができるので、そのままの形で一般形を記憶する必要はない。 **:*なお、一般式から二重根号を外せる条件は、<math>a^2 > b</math>かつ<math>a^2 - b</math> が平方数であることがわかる。 *'''平方根の値''' *:試験等において、平方根の値を用いる問題が出題されることがあるが、通常は「<math>\sqrt{2}</math> は <math>1.414</math> として小数点第3位まで求めよ」などの形で与えられていることが一般的であるので、各々の値を暗記しておく必要は全くないが、各々の値のイメージを持っていると、回答の方向性が想像できる場合もあるので暗記法を参考として掲載する。 <small><div style="margin:0 2em 0 4em"> {| class="wikitable" style="width:75%" |（参考）'''暗記法''' - <math>\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}</math>を覚えていれば、その他は単純な掛け算として導くことができる。 :<math>\sqrt{2} \fallingdotseq 1.41421356 \cdots</math>　一夜一夜に人見ごろ［ひとよひとよにひとみごろ］ :<math>\sqrt{3} \fallingdotseq 1.7320508 \cdots</math>　人並みにおごれや［ひとなみにおごれや］ :<math>\sqrt{5} \fallingdotseq 2.2360679 \cdots</math>　富士山麓オーム鳴く［ふじさんろくおーむなく］ :<math>\sqrt{6} \fallingdotseq 2.44949 \cdots</math>　似よよくよく［によよくよく］（<math>\sqrt{2}(\fallingdotseq 1.414) \times \sqrt{3}(\fallingdotseq 1.732)</math>） :<math>\sqrt{7} \fallingdotseq 2.64575 \cdots</math>　菜に虫いない［なにむしいない］ :<math>\sqrt{8} \fallingdotseq 2.828427 \cdots</math>　庭には呼ぶな［にわにはよぶな］（<math>\sqrt{2}(\fallingdotseq 1.414) \times 2</math>） :<math>\sqrt{10} \fallingdotseq 3.16228 \cdots</math>　人麿は三色に並ぶや［ひとまろはみいろにならぶや］（<math>\sqrt{2}(\fallingdotseq 1.414) \times \sqrt{5}(\fallingdotseq 2.236)</math>） |}</div></small> === 複素数 === * 複素数の基本 *: 以下において<math>a, b, c, d, e, f</math>は実数。 ** <span id="複素数の相等条件"/>複素数の相等条件（cf.[[#無理数の相等条件|無理数の相等条件]]） **:<math>a + bi = c + di</math> ならば、<math>a = c, b = d</math> **:特に、<math>a + bi = 0</math> ならば、<math>a = b = 0</math> **:*実数でない複素数<math>z = e + fi \; (f \neq 0)</math>　について、以下の関係が成立する。 **:*:<math>a + bz = c + dz</math> ならば、<math>a = c, b = d</math> **:*:特に、<math>a + bz = 0</math> ならば、<math>a = b = 0</math> ** 複素数の絶対値 **:複素数<math> z = a + bi</math> の絶対値の定義;<math> |z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> ** 複素数の四則計算 **:複素数<math> z_1 = a + bi, z_2 = c + di</math>として、 **:*加減算 **:*:<math> z_1 \pm z_2 = \left( a \pm c \right)+ \left( b \pm d \right)i</math> **:*乗算 **:*:<math> z_1\cdot z_2 = \left( a + bi \right) \left( c + di \right) = \left( ac + bdi^2 \right) + \left( ad + bc \right)i = \left( ac - bd \right) + \left( ad + bc \right)i </math> **:*除算 **:*:<math> \frac{z_1}{z_2} = \frac{ a + bi }{ c + di} = \frac{ (a + bi)(c - di) }{ (c + di)(c - di)} = \frac{ (ac + bd) - (ad - bc)i }{c^2 + d^2}</math> ** 共役複素数 **:複素数<math> z = a + bi</math> の共役複素数の定義;<math> \overline{z} = a - bi</math> **::<math> z + \overline{z} = 2a</math> (実数) **::<math> z\cdot\overline{z} = a^2 + b^2</math> (実数)<math> = |z|^2</math> ** 複素数の逆数 **:複素数<math> z = a + bi</math> の逆数;<math> \frac{1}{z} = \frac{1}{a + bi} = \frac{ a - bi }{a^2 + b^2} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> **::特に、<math>a^2 + b^2 = 1</math>である時、<math> \frac{1}{z} = \overline{z}</math> * 1の立方根 *: <math>x^3 = 1</math> を解くと、<math>x^3 -1 =(x-1)(x^2 + x + 1) = 0</math>より、<math>x = 1, \frac{-1 \pm { \sqrt{3} i}}{2}</math>、虚数解のいずれかを<math>\omega</math>とおくと、以下の関係が成立している。 *:*<math>\omega</math>でない方の虚数解は、<math>\omega</math>の共役複素数<math> \overline{\omega}</math>であり、1の立方根は<math>( 1, \omega, \overline{\omega})</math> と表せ、以下の関係がある。 *:**<math>\omega + \overline{\omega} = -1</math> *:**<math>\omega \overline{\omega} = 1</math> *:**<math> | \omega| = | \overline{\omega}| = 1</math> *:**<math>\omega^2 = \overline{\omega}</math>　（<math>\because \; 1 + \omega + \omega^2 = 0</math> であるから、<math>\omega^2 = -1 -\omega = \overline{\omega}</math>） *:　 *:*<math> \omega^k = \left\{ \begin{array}{ll} 1 \; ( k = 3 n )\\ \omega \; ( k = 3 n + 1 )\\ \overline{\omega} \; ( k = 3 n + 2 ) \end{array} \right.</math> *:*::（ただし、<math>n</math> は整数） *:　 ** -1の立方根 **: <math>x^3 = -1</math> を解くと、<math>x^3 +1 =(x+1)(x^2 - x + 1) = 0</math>より、<math>x = -1, \frac{1 \pm { \sqrt{3} i}}{2}</math>、虚数解のいずれかを<math>\phi</math>とおくと、以下の関係が成立している。 *:*<math>\phi</math>でない方の虚数解は、<math>\phi</math>の共役複素数<math> \overline{\phi}</math>であり、-1の立方根は<math>( -1, \phi, \overline{\phi})</math> と表せ、以下の関係がある。 *:**<math>\phi + \overline{\phi} = 1</math> *:**<math>\phi \overline{\phi} = 1</math> *:**<math> | \phi| = | \overline{\phi}| = 1</math> *:*<math>1 - \phi + \phi^2 = 0</math> であるから、<math>\phi^2 = -1 + \phi = - \overline{\phi}</math> *:　 *:*<math> \phi^k = \left\{ \begin{array}{ll} 1 \; ( k = 6 n )\\ \phi \; ( k = 6 n + 1 )\\ -\overline{\phi} \; ( k = 6 n + 2 )\\ -1 \; ( k = 6 n + 3)\\ -\phi \; ( k = 6 n + 4 )\\ \overline{\phi} \; ( k = 6 n + 5 ) \end{array} \right.</math> *:*::（ただし、<math>n</math> は整数） *:　 *:*なお、<math>\omega</math> の片方を<math>\omega_1 = \frac{-1 - { \sqrt{3} i}}{2}</math> とした時、<math>\phi</math> の片方を<math>\phi_1 = -\frac{-1 - { \sqrt{3} i}}{2}=-\omega_1</math> と表すことができ、このとき、<math>\omega</math> のもう片方の虚数解について、<math>\omega_2 = \frac{-1 + { \sqrt{3} i}}{2}</math> に対して、<math>\phi_2 = -\frac{-1 + { \sqrt{3} i}}{2}=-\omega_2</math> という関係になっている。 *:　 ** 1の6乗根 **: <math>x^6 = 1</math> を解くと、 **: <math>x^6 -1 =(x^3 -1)(x^3 +1) =(x-1)(x^2 + x + 1)(x+1)(x^2 - x + 1) = 0</math>より、上記の記号<math>\omega,\phi</math>を用いて、 **: 1の6乗根は<math>( 1, -1, \omega, \overline{\omega}, \phi, \overline{\phi})=( \pm 1, \pm \omega, \pm \overline{\omega})</math> と表せる。 *:　 * 複素数のべき乗：（[[ド・モアブルの定理]]） *:<math>(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos ( n \theta) + i \sin (n \theta)</math> **1の<math>n</math>乗根 **:<math>z^n = 1</math>の解を、<math>z_k (k=0, 1, 2, \cdots , n-1)</math>とすると、 **:: <math>z_k = \cos \left( \frac{2\pi k}{n}\right) + i \sin \left( \frac{2\pi k}{n}\right)</math> **複素数<math> z = a + bi</math> の累乗 **:<math>(a + bi)^k = (\sqrt{a^2 + b^2})^k ( \cos k \theta + i \sin k \theta) </math> **::ただし、<math>\cos \theta = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \sin \theta = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}</math> *:　 * <math>\displaystyle e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta </math>　（[[オイラーの公式]]） ** <math>\displaystyle e^{\pi i} = -1 </math>　（オイラーの公式において、<math>\theta = \pi</math> とした時の式） == 集合 == === 集合の記号と表現方法 === *集合と要素 *:ある条件を満たすものの集まりを'''集合'''、集合をつくっている各々を、その集合の'''要素'''または'''元'''という。 *:*ある<math>a</math>が集合<math>A</math>の要素である時、<math>a \in A</math>と表す。 *:*ある<math>b</math>が集合<math>A</math>の要素でない時、<math>b \notin A</math>と表す。 *:集合を表現するには、集合を構成する要素を列挙する方法（外延的表記・名簿式表記）と、要素の性質を記述する方法（内包的表記）がある。 *:*[表記例]偶数である、10以下の自然数の集合<math>A</math> *:**集合を構成する要素を列挙する方法（外延的表記・名簿式表記） *:**:<math>A = \{ 2, 4 , 6 ,8, 10 \}</math> *:**要素の性質を記述する方法（内包的表記）- 表記法が一意に決められているものではない。 *:**:<math>A = \{x \mid x</math>は、10以下の偶数である自然数<math>\}</math><math>= \{x \mid x=2n \land n < 5 \land n \in \mathbb{N} \}</math><math>= \{2n \mid n \in \mathbb{N} \land n < 5 \}</math> *:**:*集合でよく使われる記号 *:**:**<math>\mathbb{N}</math>: 自然数全体の集合 *:**:**<math>\mathbb{Z}</math>: 整数全体の集合 *:**:**<math>\mathbb{Q}</math>: 有理数全体の集合 *:**:**<math>\mathbb{R}</math>: 実数全体の集合 *:**:**<math>\mathbb{C}</math>: 複素数全体の集合 *;<span id="部分集合"/>部分集合 *:[[File:Venn A subset B.svg|thumb|150px|集合Aは集合Bの部分集合である]] *:*集合<math>A, B</math>に関して、<math>x \in A</math>である全ての要素<math>x</math>（これを、しばしば<math>\forall x</math>と表す）について、<math>x \in B</math>が成立する時、<math>A</math>は<math>B</math>に含まれる（<math>B</math>は<math>A</math>を含む）といい、<math>A \subset B</math>と表記する。集合<math>A, B</math>がこの関係にある時、<math>A</math>は<math>B</math>の'''部分集合'''であるという。 *:*集合<math>A, B</math>に関して、<math>x \in A</math>である全ての要素<math>x</math>について<math>x \in B</math>が成立し、<math>y \in B</math>である全ての要素<math>y</math>について<math>y \in A</math>が成立する時、<math>A</math>と<math>B</math>は等しい、または'''相等'''であるといい、<math>A = B</math>と表記する。 *:*集合<math>A, B</math>に関して、<math>x \in A</math>である全ての要素<math>x</math>について<math>x \in B</math>が成立しているが、<math>y \in B</math>である要素<math>y</math>の一部（これを、しばしば<math>\exists y</math>と表す）について<math>y \notin A</math>である時、<math>A</math>は<math>B</math>の'''真部分集合'''であるといい、<math>A \subsetneq</math>（または<math>\subsetneqq</math>） <math>B</math>と表記する。 {{-}} *;全体集合と補集合 *:[[file:Universal set and complement.svg|thumb|150px|全体集合と補集合]] *:*集合を考察するにあたって、各々の集合が真部分集合となり大枠の集合を全体集合という。全体集合は、しばしば、<math>U</math>と表記される。 *:*:例.「偶数」を取り扱う時、「偶数」の前提である「整数」が全体集合となる。 *:*<span id="補集合"/>ある全体集合<math>U</math>にあって、その部分集合<math>A</math>に関して、<math>U</math>の要素であって、<math>A</math>の要素でないものの全体の集まりを<math>A</math>の補集合といい、<math>\overline{A}</math>（または、<math>A^c</math>など）で表す。 *:*:例.「整数」において、「奇数」は「偶数」の補集合である。 *:*:{{-}} *;交わり（共通部分）、結び（和集合）、空集合 *:[[file:Algebra1 ins fig011 inter.svg|thumb|150px|交わり（共通部分）]] *:*<span id="共通部分"/>交わり（共通部分） *:*:集合<math>A, B</math>に関して、<math>x \in A</math>かつ<math>x \in B</math>をみたす<math>x</math>の集合を'''交わり'''（'''共通部分'''）といい、<math>A \cap B</math>と表記する。 *:*:{{-}} *:[[file:Algebra1 ins fig007 uni.svg|thumb|150px|結び（和集合）]] *:*<span id="和集合"/>結び（和集合） *:*:集合<math>A, B</math>に関して、<math>x \in A</math>または<math>x \in B</math>をみたす<math>x</math>の集合を'''結び'''（'''和集合'''）といい、<math>A \cup B</math>と表記する。 *:*:{{-}} *:[[file:IntersecciónABvacia.svg|thumb|150px|空集合の例]] *:*空集合 *:*:要素が1つもない集合を空集合といい、<math>\emptyset</math>または<math>\varnothing</math>で表す（<math>\phi</math>[ファイ]ではない）。 *:*:*集合<math>A, B</math>に関して、共通部分となる要素が存在しない時、<math>A \cap B</math>の集合は、<math>\emptyset</math>となる（右図参照）。 *:*:{{-}} === 集合の演算 === *演算規則 **交換法則 **:<math>A \cap B=B \cap A</math> **:<math>A \cup B=B \cup A</math> **結合法則 **:<math>A \cap B \cap C=(A \cap B) \cap C=A \cap (B \cap C)</math> **:<math>A \cup B \cup C=(A \cup B) \cup C=A \cup (B \cup C)</math> **分配法則 **:<math>A \cap (B \cup C)=(A \cap B) \cup (A \cap C)</math> **:<math>A \cup (B \cap C)=(A \cup B) \cap (A \cup C)</math> *二重否定 *:<math>\overline{\overline{A}}=A</math> *ド・モルガンの法則 *:<math>\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}</math> *:<math>\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}</math> *集合の要素の個数 *:<math>n(A \cup B)=n(A) + n(B) - n(A \cap B) </math> *:<math>n(A \cup B \cup C)=n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)</math> == 論理 == :正しいか正しくないかを明確に判定できる文章や数式を'''命題'''という。 :*命題が正しい場合、その命題は'''真'''であり、正しくない場合、その命題は'''偽'''である、という。 :*命題を成立させない具体的な例を'''反例'''といい、反例が1個でも存在する命題は偽である。 :*単純命題と複合命題 :**単純命題 :**:これ以上命題として分割できない記述 :**:*厳密な定義は初等数学としては難しいので、以下に記述する付加要素のない命題と理解することで足りる<ref>単純には「1つの主語に対して 1つの平常文である（否定や疑問ではない）述語が帰属する」ことがらと理解して良い。「彼は（主語）、日本人です（述語）」は命題の典型であるし、「<math>x=1</math>」という命題では、「<math>x</math>」が主語であり、「<math>=1</math>（1に等しい）」が述語となる</ref>。 :**複合命題 :**:命題<ref>単純命題には限らない。複合命題をさらに複合させる場合もある。</ref><math>A</math>や<math>B</math>に操作を加えた記述。上記の集合論と関係が深い。また、これらの操作を意味する記号（<math>\lnot</math>,<math>\land</math>,<math>\lor</math>,<math>\Rightarrow</math>など）で表した式を'''論理式'''という。 :**:論理式の演算は、<math>\lnot A</math>を<math>\overline{A}</math>、<math>\land</math>,を<math>\cap</math>、<math>\lor</math>を<math>\cup</math>とした[[#集合の演算|集合の演算]]に相等しい。 :**#'''否定''' :**#:命題<math>A</math>「ではない」ことをいい、<math>\lnot A</math>または<math>\overline{A}</math>で表す。[[#補集合|補集合]]を参照。 :**#::例)命題<math>A</math>:<math>x=1</math>に対し、否定命題<math>\lnot A</math>:<math>x \neq 1</math> :**#:「否定」によって、命題の真偽は逆転する。すなわち、命題<math>A</math>が真であれば、<math>\lnot A</math>は偽となり、偽であれば真となる。 :**#::例)命題<math>A</math>「彼は日本人である」が真であれば、否定命題<math>\lnot A</math>「彼は日本人ではない」は偽となる。 :**#'''連言・論理積'''<ref name="論理">論理学等における用語。</ref> :**#:命題<math>A</math>「かつ」<math>B</math>であることをいい、<math>A \land B</math>で表す。[[#共通部分|共通部分]]を参照。 :**#::例)命題<math>A</math>:<math>x</math>が2の倍数、命題<math>B</math>:<math>x</math>が3の倍数である時、命題<math>A \land B</math>:<math>x</math>は2と3の公倍数（6の倍数） :**#:命題<math>A</math>「かつ」命題<math>B</math>がともに真であるときのみ、連言命題<math>A \land B</math>は真となり、その他は偽となる。 :**#::例)「命題<math>A</math>:<math>x</math>が2の倍数」が真であり、かつ「命題<math>B</math>:<math>x</math>が3の倍数」が真である時のみ、「命題<math>A \land B</math>:<math>x</math>は6の倍数」は真となる。 :**#'''選言・論理和'''<ref name="論理"/> :**#:命題<math>A</math>「または」<math>B</math>であることをいい、<math>A \lor B</math>で表す。[[#和集合|和集合]]を参照。 :**#::例)命題<math>A</math>:<math>x</math>が2の倍数、命題<math>B</math>:<math>x</math>が3の倍数である時、命題<math>A \lor B</math>:<math>x</math>は2の倍数または3の倍数のいずれか :**#:命題<math>A</math>「または」命題<math>B</math>のいずれかが真であるとき、連言命題<math>A \land B</math>は真となり、その他（命題<math>A</math>・命題<math>B</math>のいずれも偽であるとき）は偽となる。 :**#::例)「命題<math>A</math>:<math>x=1</math>」が真である、または「命題<math>B</math>:<math>x=2</math>」が真である時、「命題<math>A \land B</math>:<math>(x-1)(x-2)=0</math>」は真となる。 :**#仮定と結論（条件文、含意<ref name="論理"/>、論理包含[→[[w:論理包含|wikipedia参照]]]<ref name="論理"/>） :**#:「もし」命題<math>A</math>「ならば」<math>B</math>である関係をいい、<math>A \Rightarrow B</math>で表す。初等数学で命題という場合、ほとんどはこの形態（条件命題）のものを指す。 :**#:初等数学では<math>A \Rightarrow B</math>の命題<math>A</math>を「仮定（前件<ref name="論理"/>）」、命題<math>B</math>を「結論（後件<ref name="論理"/>）」などという。 :**#:;<math>A \Rightarrow B</math>の真偽 :**#::「<math>A</math>ならば<math>B</math>である」関係は、即ち、「（<math>A</math>であってかつ<math>B</math>でない）ことはない」と言い換えることができる。 :**#::これを、論理式で表すと、 :**#:::<math>A \Rightarrow B</math><math>\equiv</math><math>\lnot (A \land \lnot B )</math><math>\equiv</math><math>\lnot A \lor B</math> :**#::となる。 :**全称命題と存在命題（特称命題、単称命題） :**#ある集合<math>X</math>に属する要素<math>x</math>が、すべて命題<math>A</math>を満たすことを、全称命題といい、<math>\forall x \in X , A</math>などと表記する。 :**#ある集合<math>X</math>に属する要素<math>x</math>のうち、命題<math>A</math>を満たすものがあることを、存在命題（特称命題、単称命題）といい、<math>\exists x \in X , A</math>などと表記する。 === 必要条件・十分条件・必要十分条件 === *<math>A \Rightarrow B</math>が真である時、「<math>B</math>である」ことを「<math>A</math>である」ことの'''必要条件'''、「<math>A</math>である」ことを「<math>B</math>である」ことの'''十分条件'''という。 *<math>A \Rightarrow B</math>が真であり、かつ、<math>B \Rightarrow A</math>が真である時、命題<math>A</math>、<math>B</math>は互いに必要条件・十分条件の関係となり、これを'''必要十分条件'''または'''同値'''の関係にあるという。 === 条件命題と逆・裏・対偶 === :<math>A \Rightarrow B</math>の関係に対して、 :*<math>B \Rightarrow A</math>を'''逆'''、 :*<math>\lnot A \Rightarrow \lnot B</math>を'''裏'''、 :*<math>\lnot B \Rightarrow \lnot A</math>を'''対偶''' :という。'''逆'''と'''裏'''は、'''対偶'''の関係にある。 ::例）条件命題を（<math>x</math>は式:<math>x=1</math>を満たす。） <math>\Rightarrow</math> （<math>x</math>は<math>x^2=1</math>を満たす。）とした時、 ::*逆:（<math>x</math>は式:<math>x^2=1</math>を満たす。） <math>\Rightarrow</math> （<math>x</math>は<math>x=1</math>を満たす。） ::*裏:（<math>x</math>は式:<math>x \neq 1</math>を満たす。） <math>\Rightarrow</math> （<math>x</math>は<math>x^2 \neq 1</math>を満たす。） ::*対偶:（<math>x</math>は式:<math>x^2 \neq 1</math>を満たす。） <math>\Rightarrow</math> （<math>x</math>は<math>x \neq 1</math>を満たす。） :::となる。 :例に示されるように、ある命題が真の時であっても、'''逆'''と'''裏'''が真であるとは限らない（所与の命題に真偽を一致させない）。 :*上記の例において、逆の命題は必要条件に、裏の命題は十分条件に、<math>x=-1</math>を欠いている。 :*:この様に、条件命題<math>A \Rightarrow B</math>を成立させないケースを'''反例'''という。 :一方、ある命題が真の時、'''対偶'''は常に真である（所与の命題に真偽を一致させる）。 :以上の性質は、論理式の演算で証明される。 ::<math>A \Rightarrow B</math><math>\equiv</math><math>\lnot A \lor B</math>(※) ::*逆 ::*:<math>B \Rightarrow A</math><math>\equiv</math><math>\lnot (B \land \lnot A)</math><math>\equiv</math><math>\lnot B \lor A</math><math>\equiv</math><math>A \lor \lnot B</math>:※と不一致 ::*裏 ::*:<math>\lnot A \Rightarrow \lnot B</math><math>\equiv</math><math>\lnot (\lnot A \land \lnot (\lnot B))</math><math>\equiv</math><math>\lnot (\lnot A \land B)</math><math>\equiv</math><math>A \lor \lnot B</math>:※と不一致 ::*対偶 ::*:<math>\lnot B \Rightarrow \lnot A</math><math>\equiv</math><math>\lnot (\lnot B \land \lnot (\lnot A))</math><math>\equiv</math><math>\lnot (\lnot B \land A)</math><math>\equiv</math><math>B \lor \lnot A</math><math>\equiv</math><math>\lnot A \lor B</math>:※と一致 === 証明 === :命題<math>p \Rightarrow q</math>において、既知の定理，すなわち正しいことがすでに証明されている命題<math>A</math>を基礎にして，仮定<math>q</math>の真偽を論理的に導くことを証明という。 :証明の方法には、直接証明法と間接証明法がある。 #'''直接証明法'''　命題<math>p \Rightarrow q</math>そのものが真であることを証明する方法 #'''間接証明法''' ##<span id="背理法"/>背理法 ##:命題<math>p</math>を証明するのに代えて、<math>p</math>ではない（<math>\lnot p</math>）と仮定して、その仮定（前提）から得られた結論が仮定と矛盾することを導き、<math>p</math>が真であることを証明する方法。 ##:*有名例題 ##:*#[[初等整数論/素数#定理_1.11|「素数が無限に存在する」ことの証明]] ##:*#:命題「素数が有限個である（=最大値の素数が存在する）」と仮定し矛盾を導く。 ##:*#[[/証明#平方根|<math>\sqrt{2}</math> が無理数であることの証明]] ##:*#:命題「<math>\sqrt{2}</math> は有理数である（=<math>\sqrt{2}</math>を既約分数<math>\frac{q}{r}</math>で表すことができる）」と仮定し矛盾を導く。 ##<span id="対偶法"/>対偶法 ##:命題<math>p \Rightarrow q</math>が真であることを証明するのに代えて、対偶命題<math>\lnot q \Rightarrow \lnot p</math>が真であることを証明する方法。 ##:*利用例 ##:*#[[#対偶利用例1|命題「<math>ax+by = 1</math>が整数解<math>(x,y)</math>を持つ。<math>\implies</math><math>a,b</math>は互いに素。」が真である証明]] ##:*#*対偶となる命題「『<math>a,b</math>は互いに素』の否定<math>\implies</math>『<math>ax+by = 1</math>が整数解<math>(x,y)</math>を持つ』の否定」 ##:*#*:→「<math>a,b</math>が1ではない公約数<math>c</math>を有する。<math>\implies</math><math>ax+by = 1</math>の解<math>(x,y)</math> の <math>x,y</math>がともに整数となることはない。」を証明する。 ##<span id="転換法"/>転換法 ##:命題<math>p</math>が重複のない下位の命題<math>\{ p_1, p_2, \cdots p_n \}</math>、<math>n</math>個で構成されており、命題<math>q</math>が重複のないの下位の命題<math>\{ q_1, q_2, \cdots q_n \}</math>、<math>n</math>個によって構成される時、条件命題<math>p_1 \Rightarrow q_1, p_2 \Rightarrow q, \cdots p_n \Rightarrow q_n</math>が全て真であるならば、<math>p \Rightarrow q</math>が真であると言え、逆の命題<math>q \Rightarrow p</math>も真となる。 ==脚注== <references/> {{DEFAULTSORT:しよとうすうかくこうしきしゆう 03しゆうこうろんり}} [[Category:普通教育]] [[Category:数学教育]] [[Category:初等数学公式集|しゆうこうろんり]] tmb1xses3b4ghtjtj5iu5h6bp9s9iw5 0 33499 299373 295748 2026-05-10T07:09:25Z Bvwdi 89765 北海道と沖縄　表記を改善 299373 wikitext text/x-wiki {{Nav}} {{Pathnav|メインページ|小学校・中学校・高等学校の学習|小学校の学習|小学校社会|6学年|歴史編|frame=1}} {| class="wikitable" style="width:100%" |+ この章の概要 |<!--黒船来航から倒幕、明治政府成立までー幕末から明治時代初期　(ケ) 黒船の来航，廃藩置県や四民平等などの改革，文明開化などを手掛かりに，我が国が明治維新を機に欧米の文化を取り入れつつ近代化を進めたことを理解すること。--> ★時代区分:幕末、明治維新、明治時代前期</br> ★取り扱う年代:1853年（ペリー来航）から1889年（大日本帝国憲法の発布）まで ; 黒船来航と江戸幕府の終わり : 日本が鎖国をしている間、ヨーロッパやそれを受けたアメリカ大陸では大きな社会変革が起こっていました。「'''産業革命'''」です。産業革命によって、石炭を使って大量の製鉄ができ、蒸気機関によって大きな力を得て、蒸気機関車や蒸気船といった、大量かつ高速輸送が可能となりました。欧米各国は、産業革命で巨大になった経済力を背景に世界中に船を出すなどして、製品の{{ruby|市場|しじょう}}を求めるようになりました。 : 1853年'''アメリカ合衆国'''（米国）の提督'''ペリー'''が4隻の蒸気船（'''黒船'''）を引き連れ、浦賀に来航し日本に開国を要求しました。幕府は大混乱の中、翌年の再来日をうけ、米国の船舶が港湾を利用することなどを認める'''日米和親条約'''を結び、その後、米国以外のヨーロッパ各国とも同様の条約を結び、1639年以来の鎖国は解かれました。欧米各国はさらに日本との貿易の条件などに関する通商条約の締結を求めます。日本国内では天皇が治める国であって（尊皇）外国人を入れるべきではない（攘夷）という考え（'''尊王攘夷'''）が全国的に起こり、幕府の動きがこれに反するものとして対立し、大老'''井伊直弼'''はこれを弾圧しました。井伊直弼は'''通商条約'''締結を強行しますが、尊王攘夷派に暗殺されます。日本は長い間他の国と外交をすることがなかったので、国際法の知識に乏しく、この時に結ばれた通商条約は、「'''治外法権'''」があって、「'''関税自主権'''」を認められない日本にとって不平等な条約でした。'''長州藩'''と'''薩摩藩'''は尊皇攘夷の代表でしたが、欧米諸国に日本は大きく遅れており、それに追いつくには、「攘夷」ではなく積極的に外国に学ぶことであり、幕府の仕組みではうまくいかないと考えて、同盟して（薩長同盟）、幕府をうちたおすこと（倒幕）に方針を変えました。1867年第15代将軍'''徳川慶喜'''は、征夷大将軍を辞任し（'''{{ruby|大政奉還|たいせいほうかん}}'''）、江戸城は、薩摩の西郷隆盛らの率いる新政府に明け渡されました。こうして、江戸幕府は終わり、武士の世の中が終わります。 ; 明治維新と文明開化 : 幕府が倒れた後、薩摩藩の'''西郷隆盛'''、'''大久保利通'''、長州藩の'''木戸孝允'''らの働きによって'''明治天皇'''を中心とした新政府がつくられました（'''王政復古'''）。明治天皇の名による'''五箇条の御誓文'''が発布され新政府の方針がしめされ、様々な改革に取り組みます。元号が「'''明治'''」に改められたことをうけて、この改革を「'''{{ruby|明治維新|めいじいしん}}'''」といいます。新政府は幕府だけでなく、藩も廃止し、政府が全国を直接治める形に変えました（'''廃藩置県'''）。また、'''四民平等'''をうたって、武士の特権を否定しました。新政府は、法律・裁判・軍隊・警察・経済・金融・税制・工業・鉄道・海運・郵便・電信・学校・暦など数多い分野で、欧米を模範にした改革を行いました。 : これらの改革によって、たとえば、布地が安く手に入るようになったり、蒸気機関車で短時間で遠くまで移動できるようになるなど人々の生活は大きく便利に変わりました（'''文明開化'''）。また、身分制をなくしたので、生まれた家に関わらず、個人の努力によって政治をはじめとする社会のあらゆる分野にかかわることができるようになりました。このような社会にあった「自由」や「平等」など「権利」「人権」といった欧米の考え方が'''福沢諭吉'''などにより紹介されました。 |} == 黒船来航と江戸幕府の終わり == === 世界の変化1 - 産業革命 === [[File:Maquina vapor Watt ETSIIM.jpg|thumb|250px|ワットの蒸気機関、最初は炭鉱の水の排出に使われました。]] [[File:First passenger railway 1830.jpg|thumb|250px|スティーブンソンが実用化した蒸気機関車]] :日本が鎖国をしている間、ヨーロッパやそれを受けたアメリカ大陸では大きな社会変革が起こっていました。 :[[小学校社会/6学年/歴史編/戦乱の世の中と日本の統一-戦国時代・安土桃山時代#宗教改革|17世紀のヨーロッパは各地で大きな戦争が起き]]、そこでは、多くの銃や大砲が使われました。銃や大砲は鉄でできていますから、作るのに大量の鉄が必要となりました。このころまでは、鉄を作るために木炭を使っていたためヨーロッパの国々の森林の伐採が進みました。イギリスでは国内の森林のほとんどが伐採され、木炭は輸入に頼るしかなくなりました。イギリスは、石炭が豊富に取れる国だったので木炭の代わりに石炭を使う工夫にとりくみました<ref>石炭には、イオウやリンが多く含まれていて、製鉄に使うと鉄がもろくなるので、そのまま使うことはできませんでした。</ref>。そうして、18世紀初頭に、石炭を蒸し焼きにしたコークスが発明され、製鉄に石炭が使われるようになります。 :コークスの発明で、大量の製鉄が可能になりましたが、同時に大量の石炭を採掘しなければならなくなりました。石炭は地下資源なので掘りすすめると、地下水が大量に出て、さらに進むことができなくなります。これを解決するのに、'''蒸気機関'''が開発されました。水を温めて蒸気にすると水の体積に比べて何倍も{{ruby|膨張|ぼうちょう}}します、逆に、冷やすと水に戻りますので{{ruby|収縮|しゅうしゅく}}します。この膨張と収縮を交互に行うことで、水を温める熱を運動に変えるのが蒸気機関です。炭鉱では、蒸気機関でポンプを動かし水を汲み出しました。特に1776年ジェームズ・ワットが開発した蒸気機関は、小型で強力なもので、それ以降の蒸気機関の元となりました。 :ワットの蒸気機関は石炭を燃やすだけで大きな力を得ることができ、当時、おこりつつあった'''{{ruby|繊維|せんい}}工業'''の生産力を爆発的に向上させました。繊維工業には、大きく分けて、細かい繊維をまとめて糸にする工程({{ruby|紡績|ぼうせき}})と、糸を縦横に組み合わせて布にする工程({{ruby|織布|しょくふ}})があります。紡績には、細かい繊維をくるくるとより合わせて長い糸を作る作業があり、また、織布には横に交互に張った縦糸に横糸を通して力をかけてまとめるという作業があります。これらの作業は、もともと人力でやっていたため、大量の生産は期待できませんでした。一部には水車を使った水力も使われていましたが、工場の立地が限られるという難点がありました。この動力源として、ともに蒸気機関が用いられるようになったのです。 :また、蒸気機関を動力とした乗り物が開発されました。19世紀の初頭には、蒸気機関を船の動力とした'''蒸気船'''がアメリカ人ロバート・フルトンによって、'''蒸気機関車'''を使った'''鉄道'''<ref>なぜ、「鉄道」だったかを考えてみましょう。車輪をつけた乗り物は、でこぼこ道を走るのは大変ですし、スピードを出せません。でこぼこ道をならして舗装しなければなりませんが、これを、いつも維持しておくのは大変です。そこで、車輪がとおる場所だけ、でこぼこでないようにすればいいと考えたのです。その車輪が通る部分だけ丈夫なもので作っておけば、道全体を常に整備しておく必要はありません。これが、鉄路（レール）の考え方です。この背景には、コークスにより、鉄が安く大量に手に入るようになったことがあります。</ref>がジョージ・スチーブンソンによってイギリスで実用化されました。 :こうして、鉄や、繊維や布といった工業製品を大量に製造し、それを鉄道や蒸気船で大量・安価かつ高速に輸送することが可能になりました。これを、「'''産業革命'''」と言います。産業革命は、イギリスにはじまって、ヨーロッパ各国、大西洋を越えてアメリカでもおこりました<ref>同じ時期に、ヨーロッパやアメリカ大陸では、身分に関係なく人々が国の政治に参加するという、もうひとつの大きな社会変革が起こっていました。この変革については、[[小学校社会/6学年/歴史編/国際社会に進み出す日本-明治時代後半から大正時代#世界の変化2 - 市民革命|次の章]]でお話しします。</ref>。 :<u><span id="帝国主義"/>欧米各国は、産業革命で経済力が大きくなりましたが、さらにそれを大きくするため、国内で生産する工業製品の{{ruby|市場|しじょう}}と原材料となる農産物や鉱物資源を欧米諸国の外に求めるようになりました。国外の市場や原材料を確保する方法の一つとして、アジアやアフリカの多くの国や地域が、工業化が進んだイギリスやフランスといったヨーロッパの一部の国の植民地となりました。</u> :例えば、インドは、綿花の産地で、手作業で綿花からとった{{ruby|綿|わた}}をつむいで、{{ruby|木綿|もめん}}を作り、綿織物を自分たちのために作っていました。ところが、イギリスは、インドから綿花を輸入して、紡績工場で木綿を生産し、それを使って綿織物を機械織機を使って大量の綿織物を生産しました。こうして、インドにはイギリスからの安く良質な綿製品が流れ込み、国内の綿工業は衰退する一方で、輸入などにあたっての資金はイギリスから貸し付けられたため、イギリスの影響力が極めて強い状態になっていました。そうして、1857年の反乱がきっかけとなって、イギリスの植民地となりました。また、中国（清）からは、大量の茶を輸入していたのですが、代わりに清に輸出するものがなく、麻薬であるアヘンを密かに売っていました。そのため、1840年イギリスは清と戦争（'''アヘン戦争'''<span id="アヘン戦争"/>）になり、香港を領土としたりしていました。この状況は、日本にも伝わり、一部の人たちはヨーロッパ各国に対して警戒するようになっていました。 <div style="margin:0 2em 0 4em"> {| class="wikitable" style="width:100%" |'''【脱線 - 覚えなくてもいい話】<span id="電気"/>「電気」の研究<small> :「産業革命」の中心となったものは、鉄鋼・蒸気機関・紡績・織機などですが、同時に、これと並行して「電気」も研究されていました。 :「電気」は、はじめ、「ある種のものをこすると、軽いゴミとかが集まったりしたり、たまに、ビリッと痛みを感じる」くらいの経験から研究がなされるようになります。この時こすったものはコハク（琥珀）でした。コハクはギリシア語でエレクトロンと言います。そこから、このこすった時のモヤモヤした物を「エレクトリクス」と呼ぶこととし、それが、後に英語のelectricity(エレクトリシティ; 電気)となります。17世紀に入って、こすって「静電気」を作り出すことができる機械を作ったり、そのビリビリする目に見えないものは、金属を通して移動をして、加工をほどこしたガラス瓶にためられることがわかりました。1776年に[[小学校社会/6学年/歴史編/江戸時代の文化-江戸時代Ⅱ#平賀源内|平賀源内]]が組み立てた「エレキテル」もこのような機械の一つです。ただ、そのビリビリは何かの役に立つかは全くわかりませんでした。数少ない例外の一つが、アメリカのベンジャミン・フランクリンの話で、1752年、フランクリンは{{ruby|雷|かみなり}}は、このビリビリの一種だと考え、実際に{{ruby|凧|たこ}}を使った実験をし、雷がビリビリの一種であることを証明して、{{ruby|避雷針|ひらいしん}}を発明したことです。 :18世紀から19世紀にかけて、イタリアのボルタが、静電気のようにこすってではなく、化学変化から連続して電気を取り出せるようになりました。「電池」が発明されたのです。 :このことで、安定して電気を得ることができるようになり、さまざまな実験ができるようになりました。その実験の中から、電気が磁気（磁石の力）と関係することがわかって、1825年電磁石が発明されます。そして、1831年ファラデーが電気と磁気と運動の関係を発見します。この発見は後にモーターと発電機の発明につながります。 :モーターと発電機の発明はもう少し後の時代になりますので、少し見方を変えます。電磁石の発明は、電気と運動を関連づけることになります。つまり、電気が通ると電磁石が磁力を持って鉄などを引きつけます、電気を切るとそれは離れます。<span id="電信"/>電気は遠いところでもほぼ同時に動きを伝えることができます。つまり、手元のスイッチのオン/オフを遠いところでほぼ同時に知ることができ、そして、いくつかのオン/オフのタイミングで文字を伝えるということができるということです。これが、「電信」の仕組みで、1830年代から40年代にかけて実用化しました。はじめて、電気が人の生活の役に立った例でしょう<ref>ボルタが電池を発明した直後の1805年フランスで電気メッキの実験が成功していました。しかし、この事実は隠されていたため、これと関係なく1839年にイギリスとロシアで発見され翌年特許が取られて実用化しました。</ref><ref>なお、モーターが実用化になるのは1860年代、電球と電話が発明されるのは1870年代です。</ref>。 : :電気は、「目には見えないけれども、ものをこすると何かビリビリするものができる」とわかってから、何の役にも立たなかったのに、科学者たちは興味を持ち続け約200年の時をへて、ようやく、人の暮らしの役に立ちました。それから電気を使ったさまざまな発明がなされ、皆さんの生活に欠かせないものになっていることは、よく知っているかと思います。興味を持って研究していくことの大切さがよくわかる話ですね。 </small> |}</div> {{-}} === 黒船来航と開国 === [[ファイル:Commodore-Perry-Visit-Kanagawa-1854.jpg|thumb|250px|黒船来航]] :欧米で産業革命にともなう変化が起こっている中で、鎖国をしている日本に対しても、イギリスやロシアから鎖国をやめるよう何度か使者が来ましたが、幕府はこれを許しませんでした。 :このようななか、<span id="黒船来航">1853年7月8日'''アメリカ合衆国'''<ref>アメリカ合衆国は、1772年イギリスから独立した新しい国ですが、1846年に北米大陸西岸までが国土となり、太平洋へ進出しました。このころの米国の太平洋への関心事は油を取るための捕鯨でした。日本には、捕鯨船の寄港地（遠洋航海での水・食料・たき木などを手に入れる港）を期待していました。</ref>（米国）の提督'''[[小学校社会/6学年/歴史編/人物事典#マシュー・ペリー|ペリー]]'''が4隻の蒸気船（'''黒船'''）を引き連れ、{{ruby|浦賀|うらが}}に来航し日本に開国を要求しました。 :ペリーは、それまでの各国の対応とちがい、東京湾を北上したり空砲を発射したりするなど、幕府に対して強硬に接し、翌年の返事を約束させて、7月17日浦賀から去りました。 :幕府では大混乱となり<ref>ペリーが浦賀から去った10日後の7月27日、病床にあった第12代将軍家慶が死去、将軍後継者の家定は病弱でこの混乱を抑えられる人ではありませんでした。</ref>、幕府内だけでは対応ができず、8月5日、老中筆頭の{{ruby|阿部正弘|あべまさひろ}}は、広く各大名から旗本、さらには庶民に至るまで、幕政に加わらない人々にも外交についての意見を求めました。これは江戸幕府が始まって以来初めてのことでした。しかしながら、良案は出ない一方で大名などに、幕府に意見をしても良いという風潮が生まれました。 :ペリーは、返事を翌年にするとの約束のところ、日本での混乱を聞きつけ半年後の1854年2月13日に再び浦賀に現れました。幕府はペリーと交渉し、<span id="開国">3月31日米国の船舶が港湾を利用することなどを認める'''{{ruby|日米和親条約|にちべいわしんじょうやく}}'''を結びました。その後、米国以外のヨーロッパ各国とも同様の条約を結び、1639年以来の鎖国は解かれました（'''開国'''）。 :アメリカは、外交官[[小学校社会/6学年/歴史編/人物事典#ハリス|ハリス]]を公使として日本に送り、そのほかのヨーロッパ諸国もこれにならって外交官を駐留させ、貿易の条件などに関する通商条約の締結を求めてきました。日本国内では天皇が治める国であって（{{ruby|尊皇|そんのう}}）外国人を入れるべきではない（{{ruby|攘夷|じょうい}}）という考え（'''尊王攘夷'''）が全国的に起こり、幕府の動きがこれに反するものとして対立し、大老'''{{ruby|井伊直弼|いいなおすけ}}'''はこれを弾圧しました（'''{{ruby|安政|あんせい}}の{{ruby|大獄|たいごく}}'''<span id="安政の大獄">）。<span id="通商条約">井伊直弼は1858年アメリカとの間で'''{{ruby|日米修好通商条約|にちべいしゅうこうつうしょうじょうやく}}'''、イギリス・フランス・オランダ・ロシアとの間で同様の'''通商条約'''の締結を強行しますが、翌年尊王攘夷派に暗殺されます（'''{{ruby|桜田門外|さくらだもんがい}}の{{ruby|変|へん}}'''）。日本は長い間他の国と外交をすることがなかったので、国際法の知識に乏しく、この時に結ばれた通商条約は、「'''{{ruby|治外法権|ちがいほうけん}}'''<ref><span id="治外法権">外国人が犯罪を犯した時に、その国の法律と裁判所ではなくて、犯罪を犯した外国人の本国の法律で、その国に駐在する本国の役人（{{ruby|領事|りょうじ}}）により裁判がなされる権利をいいます。「{{ruby|領事裁判権|りょうじさいばんけん}}」ともいいます。加害者側の国の法律で、加害者側の裁判所が裁くのですから、被害者側から見て不公平な判決がなされる、または、そう見えるおそれがあります。</ref>」があって、「'''{{ruby|関税自主権|かんぜいじしゅけん}}'''<ref><span id="関税自主権">{{ruby|関税|かんぜい}}とは、輸入する時に輸入国がかける税金です。主に、国外から安い品物が入ってくると、国内の産業が成り立たなくなるため、国内産業の保護の目的でかけられます。普通は、輸入国は自由に関税をかけたり、その税率を決めたりできるのですが、この通商条約により、自由に決めることができなくなっていました。</ref>」を認められない日本にとって不平等な条約でした。 === 江戸幕府の終わり === :もともと、江戸幕府では、外様大名は幕府の政治に口を出すことはできなかったのですが、開国にあたって、意見を求めたことと、その後幕府が騒動をおさめられなかったことから、各地の大名の中には、幕府の政治に参加しようとしたり、幕府の政治を批判するものも見られるようになりました。また、開国と条約締結にあたって、幕府は朝廷（天皇）の許可を求めたため<ref>江戸幕府の仕組みとして、このような場合に、朝廷に許可を求める必要はなかったし、実際求めませんでした。形式的に許可が必要な時には、幕府は朝廷を強制して許可を出させていました。開国にあたって幕府は、自分で決められないところを朝廷に責任を移した結果、このようになりました。</ref>、「尊皇攘夷」を唱え、幕府の開国や条約改正に反対する各地の武士などが京都に集まっていました。 :'''長州藩'''<ref>長門国と周防国（現在の山口県）を領有する、毛利家を藩主とする藩です。</ref>には、'''[[小学校社会/6学年/歴史編/人物事典#吉田松陰|{{ruby|吉田松陰|よしだしょういん}}]]'''という思想家が現れ、'''{{ruby|松下村塾|しょうかそんじゅく}}'''を開いて長州藩の若者に尊王攘夷を説きました。松蔭は、[[#安政の大獄|安政の大獄]]で処刑されますが、'''[[小学校社会/6学年/歴史編/人物事典#高杉晋作|{{ruby|高杉晋作|たかすぎしんさく}}]]'''や[[小学校社会/6学年/歴史編/人物事典#木戸孝允|{{ruby|桂小五郎|かつらこごろう}}（後の'''{{ruby|木戸孝允|きどたかよし}}'''）]]らの弟子たちは京都などで尊皇攘夷の運動を繰り広げます。 :'''薩摩藩'''<ref>薩摩国と大隅国（現在の鹿児島県）と日向国（現在の宮崎県）の一部を領有する、島津家を藩主とする藩です。</ref>では、'''{{ruby|島津斉彬|しまづなりあきら}}'''という藩主が、海外の状況などを研究し<ref>斉彬は、もともと蘭学に興味を持つなど、知的好奇心が旺盛な人でしたが、黒船来航にあたっては、浦賀に来航する前、当時、[[小学校社会/6学年/歴史編/江戸幕府の成立と安定した社会-江戸時代Ⅰ#琉球王国|薩摩藩の強い影響下にあった琉球国]]に立ち寄るなどしていたため、幕府とは別の情報を得ていたと考えられます。</ref>、同じ尊皇攘夷でも、攘夷とは国として他国の支配を受けずに独立してやっていくことだと考え、それを成功させるには、国を強く豊かにさせる必要があると考えていました。その考えのもと、薩摩藩で、後に{{ruby|富国強兵|ふこくきょうへい}}や{{ruby|殖産興業|しょくさんこうぎょう}}と呼ばれるようになる政策に着手し、また幕府に働きかけて国政改革にも貢献しました。斉彬は1858年に亡くなりますが、'''[[小学校社会/6学年/歴史編/人物事典#西郷隆盛|{{ruby|西郷隆盛|さいごうたかもり}}]]'''や'''[[小学校社会/6学年/歴史編/人物事典#大久保利通|{{ruby|大久保利通|おおくぼとしみち}}]]'''ら家臣が、その思想を受け継ぎます。 :長州藩と薩摩藩は幕府との関係で敵対することもありましたが、1863年から1864年にかけて、それぞれヨーロッパの艦隊と戦い大きな被害を出すという共通の経験を経て<ref>この時、銃火器の差の大きさが痛感されました。日本では、まだ、安土桃山時代の火縄銃がそのまま使われていましたが、欧米では、射程が長く、命中度も高く、取り扱いが簡単な銃器が大量に存在していました。</ref>、欧米諸国に日本は大きく遅れており、それに追いつくには、西洋諸国との付き合いを避けるという「攘夷」ではなく積極的に外国に学ぶことが必要であると考えるようになりました。そうして、現在の幕府の仕組みではうまくいかないとして、同盟して（{{ruby|薩長同盟|さっちょうどうめい}}<ref>これを仲介したのが、[[小学校社会/6学年/歴史編/人物事典#坂本龍馬|{{ruby|坂本龍馬|さかもとりょうま}}]]と言われています。</ref>）、攘夷から幕府をうちたおすこと（{{ruby|倒幕|とうばく}}）に方針を変えました。 :[[File:Tokugawa yoshinobu.jpg|thumb|200px|第15代将軍徳川慶喜]] :開国や通商条約の締結にあたって、幕府がしっかりした方針を示せなかったことは、全国の大名に不安をもたらしました。開国に伴って海外の様子が伝わり、[[#帝国主義|イギリスやフランスが多くの国や地域を植民地にしていったこと]]も知られるようになり、このままでは日本も植民地にされてしまうということも恐れられるようになりました。また、開国に伴って各大名が近代兵器を海外から買い付けたことや、金が海外へ流出したこと<ref>日本には{{ruby|佐渡金山|さどきんざん}}など世界有数の金鉱山があって金を豊富に持っていました。一方で欧米諸国ではメキシコなどで銀が大量に採掘されていて、銀の価値は比較的低いものでした。その結果、日本では金と銀を1：5で交換していたのですが、欧米では1：15で交換していました。そこで、欧米の商人たちは、銀で日本の金を買って持ち出したため、日本から大量の金が国外に流出しました。そして、日本では金の価値が上がり、銀の価値は下がることとなります。[[小学校社会/6学年/歴史編/江戸時代の文化-江戸時代Ⅱ#両替商|江戸時代は、金も銀も通貨として使われていましたが、交換の割合は決まっていませんでした]]。銀は幕府の公共事業の報酬などに使われており、庶民もよく手にするものでしたが、その価値は下がり、他方、大名や大商人間の取引や一部の税の支払いは、金で決済されることが多かったのですが、金が上がったため、その調達の費用が増えました。</ref>で、物価が上がって庶民の暮らしは苦しくなり、世の中は騒然としました。このようになっても、幕府は諸大名をまとめられず、効果的な政策を行うこともできなくなっていました。 :このような中、1867年第15代将軍'''{{ruby|徳川慶喜|とくがわよしのぶ}}'''が、征夷大将軍を辞任し（'''{{ruby|大政奉還|たいせいほうかん}}'''）、260年以上続いた江戸幕府は終わりを告げます。慶喜は、大名が相談して政治を進めることを期待して、慶喜自身もそれに徳川家の代表として参加するつもりでしたが、西郷らは、天皇中心の政府（新政府）を作るために（'''{{ruby|王政復古|おうせいふっこ}}'''）、翌1868年、江戸幕府をはじめとして、明治政府に従わない大名を従えるため戦争を起こしました（'''{{ruby|戊辰戦争|ぼしんせんそう}}'''）<ref name="新政府">徳川家は、将軍職と無関係に約400万石の経済力を持っていました。天皇家と全ての公家を合わせても10万石、薩長を合わせても100万石程度なので、徳川家がある限り薩長が主導権を握ることはあり得ませんでした。また、幕藩体制は、徳川幕府が格段に強い権力と財力を持っていたとはいえ、基本的には、大名の連合であって、欧米諸国に追いつくためには、各々の大名が持つ財力を一つの政府にまとめる必要がありました。討幕に加えて、廃藩置県をして、全ての税金が政府に集まり仕組みが作られて初めて、鉄道や官営工場などの投資ができるようになったのです。</ref>。西郷らは、公家の[[小学校社会/6学年/歴史編/人物事典#岩倉具視|{{ruby|岩倉具視|いわくらともみ}}]]などを味方につけ、天皇の権威（{{ruby|錦|にしき}}の{{ruby|御旗|みはた}}）をもって、天皇の軍隊として幕府を攻めました。新政府軍は、薩摩藩及び長州藩を中心として、後に土佐藩<ref>土佐国（現在の高知県）を領有する、山内家を藩主とする藩です。坂本龍馬の出身地でもあります。</ref>や肥前藩（佐賀藩）<ref>肥前国東部（現在の佐賀県）を領有する、鍋島家を藩主とする藩です。</ref>が加わります。長州藩では、武士だけではなく、農民他庶民も軍に加わりました({{ruby|奇兵隊|きへいたい}})。この戦争で中心となった、薩摩・長州・土佐・肥前の4藩の出身者が、明治政府の中心（「{{ruby|薩長土肥|さっちょうどひ}}」）となります。 :新政府軍は、京都から東に進んで、江戸城を攻めようとしましたが、幕府を代表する'''[[小学校社会/6学年/歴史編/人物事典#勝海舟|{{ruby|勝海舟|かつかいしゅう}}]]'''が、西郷隆盛と交渉して、江戸城は新政府に明け渡されました。その後、東北北越地方の大名との戦いや、函館で旧幕臣らとの戦いがありましたが、新政府軍が勝利し、1869年5月戊辰戦争は終わります。 {{-}} == 明治維新と文明開化 == === 明治維新と武士の社会の終わり === [[File:Saigo Takamori.jpg|thumb|160px|西郷隆盛]] [[File:Toshimichi Okubo 4.jpg|thumb|160px|大久保利通]] [[File:KIDO TAKAYOSHI.jpg|thumb|160px|木戸孝允]] : こうして、'''[[小学校社会/6学年/歴史編/人物事典#西郷隆盛|西郷隆盛]]'''、'''[[小学校社会/6学年/歴史編/人物事典#大久保利通|大久保利通]]'''、'''[[小学校社会/6学年/歴史編/人物事典#木戸孝允|木戸孝允]]'''（この3人を「維新の三傑」と言います）らの働きによって'''[[小学校社会/6学年/歴史編/人物事典#明治天皇|{{ruby|明治天皇|めいじてんのう}}]]<ref>1868年[[小学校社会/6学年/歴史編/はじめに#元号|元号]]が明治に変わるときに、天皇ひとりについて一つの元号を用いることが定められました（{{ruby|一世一元|いっせいちげん}}）。「○○天皇」という呼び方は、その天皇が亡くなってからの呼び方です。明治以降の天皇には、「○○」の部分に在位した元号がきます。</ref>'''を中心とした新政府がつくられました。明治天皇の名による'''{{ruby|五箇条|ごかじょう}}の{{ruby|御誓文|ごせいもん}}'''が発布され新政府の方針がしめされ、様々な改革に取り組みます。元号が「'''明治'''」に改められたことをうけて、この改革を「'''{{ruby|明治維新|めいじいしん}}'''」といいます。 ::なお、これ以降は、日本の出来事については西暦と元号を並べて記述していきます。明治以降は、元号を10年区切り（大正は15年を一区切り）にしていくと時代の特徴が理解しやすいところがあるからです。 ::また、[[小学校社会/6学年/歴史編/天皇中心の国づくり-飛鳥時代から奈良時代#呼称|これまでの記述]]と違って、個人を姓のみであらわすことがあります。 :新政府は、[[小学校社会/6学年/歴史編/天皇中心の国づくり-飛鳥時代から奈良時代#律令制|律令制の仕組み]]を元にした{{ruby|太政官|だじょうかん}}という役所で政治を行い、日本中から広く優秀な人たちを集めましたが、討幕を主導した4藩（薩長土肥）の出身者がその中心を占めていました。<span id="藩閥政治"/>このような政治を{{ruby|藩閥|はんばつ}}政治と言います。各藩出身の主な政治家を以下にしめします。 :*薩摩藩 - 西郷隆盛、大久保利通、西郷{{ruby|従道|つぐみち}}、{{ruby|黒田清隆|くろだきよたか}}、{{ruby|松方正義|まつかたまさよし}} :*長州藩 - 木戸孝允、[[小学校社会/6学年/歴史編/人物事典#伊藤博文|{{ruby|伊藤博文|いとうひろぶみ}}]]、{{ruby|井上馨|いのうえかおる}}、{{ruby|山縣有朋|やまがたありとも}} :*土佐藩 - [[小学校社会/6学年/歴史編/人物事典#板垣退助|{{ruby|板垣退助|いたがきたいすけ}}]]、{{ruby|後藤象二郎|ごとうしょうじろう}} :*肥前藩 - {{ruby|江藤新平|えとうしんぺい}}、{{ruby|副島種臣|そえじまたねおみ}}、[[小学校社会/6学年/歴史編/人物事典#大隈重信|{{ruby|大隈重信|おおくましげのぶ}}]] :江戸幕府が滅びたのちも、徳川家の領地などは、「府」や「県」をおいて新政府がおさめることとなったのですが、そのほかの大名の領地はそのままで、大名が{{ruby|知藩事|ちはんじ}}<ref>名前は、すぐに、「藩知事」と改められます。</ref>と名を変えておさめていました。藩と府県は入り組んでおり行政には非効率でした。また、新政府直轄の府県は合わせても全国の4分の1程度で、新政府は改革の資金を得るのに苦労する一方で、各藩では財政が悪化し、廃藩を願い出るところもありました。 :こうしたことを受け、1871年（明治4年）新政府は幕府だけでなく、藩も廃止し、政府が全国を直接治める形に変えました（<span id="廃藩置県"/>'''{{ruby|廃藩置県|はいはんちけん}}'''）<ref name="新政府"/>。また、'''四民平等'''<span id="四民平等"/>をうたって、[[小学校社会/6学年/歴史編/江戸幕府の成立と安定した社会-江戸時代Ⅰ#武士と庶民|「名字帯刀」などの武士の特権]]を否定しました。廃藩置県によって、武士の世の中は完全に終わりました。 :「農工商」と言われていた庶民<ref>明治の戸籍においては「家」が単位となりました。戸籍に、もともと武士であった「家」は、「士族」とされ、その他、「農工商」の庶民の「家」は「平民」と書かれました。</ref>も、等しく姓をなのることができるようになり、同年制定の戸籍法に基づいて翌1872年（明治5年）近代的な戸籍<span id="戸籍制度"/>に記録されました。 :新政府は、[[#帝国主義|経済を発展させて軍事力の増強させなければ欧米諸国の植民地となる]]という危機感があり'''{{ruby|富国強兵|ふこくきょうへい}}'''を国の目標として、'''{{ruby|殖産興業|しょくさんこうぎょう}}'''<ref>経済を発展させるため、西洋諸国に対抗し、機械制工業、鉄道網整備、資本主義の育成により国家の近代化を推進する。</ref>をスローガンとして、法律・裁判・軍隊・警察・経済・金融・税制・工業・鉄道・海運・郵便・電信・学校・暦など数多い分野で、欧米を模範にした改革を行いました。 :[[File:Iwakura mission.jpg|thumb|280px|left|遣欧使節団<br/>左から木戸孝允、山口尚芳、岩倉具視、伊藤博文、大久保利通]]<span id="使節団"/> : :<span id="遣欧使節団"/>1871年（明治4年）から1873年（明治6年）にかけて、欧米の状況を学ぶため、岩倉具視、大久保利通、木戸孝允、伊藤博文らを含めた約100名（{{ruby|遣欧使節団|けんおうしせつだん}}、「岩倉使節団」ともいいます）が送られました。この使節団の帰国後、大久保利通や伊藤博文を中心に、改革が急速に進みました。<span id="留学"/>また、この使節団には、[[小学校社会/6学年/歴史編/人物事典#中江兆民|中江兆民]]他多くの留学生が随行し、施設団が帰国後も各国に残って欧米の学問を学びました。留学生には5人の女性も含まれ、その中の1人[[小学校社会/6学年/歴史編/人物事典#津田梅子|津田梅子]]はまだ満6歳でした。 :さらに、欧米から高い科学技術を学ぶため、政府は、多額の予算を使って多くの外国人を指導者としてやとい入れました。この外国人たちを'''お{{ruby|雇|やと}}い外国人'''といいます<span id="お雇い外国人"/>。 :　 :以下に、この時期にどのような改革が行われたかを列挙します。 :;軍隊 ::天皇は、臣下に武士がいなかったため、明治4年（1871年）、薩摩・長州・土佐の各藩から、天皇警護の名目で兵が集められ、'''{{ruby|御親兵|ごしんぺい}}'''と名づけられました。 ::同年の廃藩置県で武力を持った藩は消滅し、政府だけが軍事力を持つことになります。四民平等によって、武士は世襲の職業ではなくなり、また、軍人を志願するものだけでは、兵隊として数が全く足りないため、全国民の男子から兵士を集めるようにしました（{{ruby|徴兵制|ちょうへいせい}}<span id="徴兵制"/>）。 ::1872年（明治5年）に太政官は徴兵{{ruby|告諭|こくゆ}}という法律を出し、翌1873年(明治6年）に徴兵令が施行されました。徴兵には、新たに導入された戸籍が用いられました。 ::徴兵令は、士族のプライドを傷つけるものであり<ref>後に起こる、[[#士族の反乱|士族の反乱]]の原因の一つとなります。</ref>、逆に平民にとっては、命をかけて戦うというのは思ってもいなかったことで、多くの国民には不安と不満を持ってむかえられました。 ::徴兵された兵士は、日本で6ヶ所に設けられた{{ruby|鎮台|ちんだい}}<span id="鎮台"/>に集められ、厳しい訓練と教育を受けます。そうして、後に述べる西南戦争などにあっても、元武士である士族に対しても戦える近代的軍隊に育ちました。 :;<span id="殖産興業"/>経済・金融 ::江戸時代には、貨幣を使って経済を回す仕組み（{{ruby|貨幣経済|かへいけいざい}}<span id="貨幣経済"/>）はできあがっていましたが経済の中心はやはり米であり、また、貨幣も、[[小学校社会/6学年/歴史編/江戸時代の文化-江戸時代Ⅱ#江戸時代の文化#両替商|金（小判、分金）・銀（板銀、分銀）・銭（寛永通宝 など）がばらばらに流通する複雑な仕組み]]でした。この頃の欧米諸国は、お金の価値を{{ruby|金|きん}}の価値とする仕組み({{ruby|金本位制|きんほんいせい}})となって、単純で明確なお金の流れが確立し、経済の流れに勢いをつけていました。日本も1871年（明治4年）、新貨条例を制定し、通貨単位を「両」から「圓（円）」に切り替えて本位貨幣を金貨とし、金本位制度を採用することにしました。 ::金貨は重量があり、また、そのまま流通させると、傷がついたりしてすり減るおそれがあります。そこで、金貨を預かって代わりに紙の「預かり証」を発行する工夫がなされました。「預かり証」は、預けているところに持っていけば金貨と代えてもらえるので、金貨と同じようにお金として利用できます。この金貨を預かるところが「{{ruby|銀行|ぎんこう}}」です。そして、預かり証が「{{ruby|紙幣|しへい}}」です。銀行は、預かるため安全な金庫を持っていますから、金貨だけではなく、すぐには使わない紙幣も預かるようになります。預かって金庫の中にしまっておいても、預けていた人が大勢いれば、預けていた人が一斉に全部引き出すことはめったに起こりませんから、預かっているお金を貸し付けに使ったりできます。こうして銀行の仕組みができて、新しい事業を起こす元手を得る方法が新たに加わりました。 ::1872年（明治5年）このような役割を果たす銀行についての国立銀行条例を政府は制定しました。そして、翌1872年（明治5年）、国立銀行条例の制定にかかわった'''[[小学校社会/6学年/歴史編/人物事典#渋沢栄一|{{ruby|渋沢栄一|しぶさわえいいち}}]]'''が日本最初の銀行である第一国立銀行を設立しました。また、渋沢は、第一国立銀行を、多くの人から資金を集める{{ruby|株式会社|かぶしきがいしゃ}}の仕組みを日本で初めて使って設立しました。また、株式会社が資金を集めるために発行する株式を取引する{{ruby|証券取引所|しょうけんとりひきじょ}}も、渋沢が作ったものです。 :;税制 ::[[#貨幣経済|貨幣経済の仕組み]]を作り上げたとはいっても、当時の日本で最大の産業はやはり稲作であり、税収はそれに頼らざるを得ませんでした。 ::しかし、江戸時代同様、[[小学校社会/6学年/歴史編/江戸時代の文化-江戸時代Ⅱ#米問屋|収穫した米を年貢として徴税する方法では、米の輸送や保管に費用がかかり、また、米の相場に税収が左右される]]など、国の財政を計画的に運営するには適当ではないため、1873年（明治6年）、土地の収穫量などを参考に地価を決め、それを証明する証書（{{ruby|地券|ちけん}}）を発行し、地価に対する一定割合（当初3％、後に2.5％）を現金で納税する方式を取り入れました。これを、{{ruby|地租|ちそ}}改正といいます。 ::地租改正は、同時に、[[小学校社会/6学年/歴史編/江戸幕府の成立と安定した社会-江戸時代Ⅰ#田畑永代売買禁止令|江戸時代は禁止されていた農地の売買]]を公に認めることとなりました。 :;工業 ::明治政府は、欧米諸国に追いつくよう、蒸気機関などの動力や、織機などの機械を使った工業をおこす必要がありました。そこで、政府が出資して、近代的工場('''{{ruby|官営模範|かんえいもはん}}工場''')を作りました。 ::1872年（明治5年）群馬県にカイコの{{ruby|繭|まゆ}}から{{ruby|生糸|きいと}}を作る{{ruby|富岡製糸場|とみおかせいしじょう}}<ref>2014年世界遺産に登録されています。</ref>が作られ、1873年（明治6年）頃に深川セメント製造所など多くの官営模範工場ができました。<span id="ビール工場">1876年には札幌に[[#開拓使|{{ruby|開拓使|かいたくし}}]]{{ruby|麦酒醸造所|ばくしゅじょうぞうじょ}}というビール工場までできます。 ::これらの、官営模範工場は、民間で新たに作る工場のモデルとなり、やがて、民間だけで経営ができるようになると民間の資本家に売却されました。 [[File:First steam train leaving Yokohama.jpg|thumb|250px|浮世絵に描かれた開業当初の鉄道（横浜）]] :;鉄道等交通機関 ::;鉄道 :::1872年（明治5年）、日本初の鉄道路線である新橋駅 - 横浜駅間が、正式に開業しました。西日本では、明治7年（1874年）に大阪駅 - 神戸駅間が開通し、明治10年（1877年）に京都駅まで延伸しました。 :::鉄道は、当時開拓中であった北海道で、開拓推進のため、本土の各地域にさきがけて、1880年（明治13年）小樽 - 札幌間で開業しました。 :::<span id="北海道鉄道"/>明治10年代は、西南戦争の影響もあり、政府は資金不足で鉄道建設の進みは遅くなりましたが、徐々に路線は伸びてゆき、1889年（明治22年）、東京大阪間を結ぶ東海道本線が開通しました。 ::;市街地の交通 [[ファイル:JapaneseRickshaw.jpg|サムネイル|人力車（1897年）]] :::東京など市街地では、1870年（明治3年）発明された'''人力車'''が、{{ruby|駕籠|かご}}に代わって、人々の近距離の移動の手段となりました。人力車が普及するためには、市街地においても道路が整備される<ref>いわゆる{{ruby|舗装|ほそう}}です。現在のようにコンクリートやアスファルトをつかったものばかりではありませんが、でこぼこ道を平らにならし、つき固める必要もありましたし、雨が降って水がたまったり泥だらけのぬかるみにならないようにしなければなりませんでした。また、人力車などがすれちがえるように幅を確保する必要もありました</ref>必要があります。 :::また、1882年（明治15年）道路にレールを引いて、その上を走る'''鉄道馬車'''が運行を開始し市内大量輸送交通のさきがけとなります。 ::;海運 :::江戸時代は、[[小学校社会/6学年/歴史編/江戸時代の文化-江戸時代Ⅱ#廻船問屋|千石船]]を使って海上輸送がなされていましたが、開国後、欧米資本の船会社が最新の蒸気船を使って定期航路を開き、それまでの[[小学校社会/6学年/歴史編/江戸時代の文化-江戸時代Ⅱ#廻船問屋|廻船問屋]]を圧倒し、海運業は独占されるおそれがありました。政府は、1872年（明治5年） 日本国郵便蒸気船会社を設立し、政府予算で蒸気船を購入し定期的な海上運送を開始します。1875年（明治8年） {{ruby|岩崎弥太郎|いわさきやたろう}}率いる三菱商会が、事業を引き継ぎ外資に頼らない海上運送ができるようになりました。 {{-}} :;郵便 ::[[File:Maeshima.JPG|thumb|120px|前島密の肖像を使った1円切手]] ::1871年（明治4年）、郵便に関わる太政官布告が交付され、郵便制度が施行されました。この時、最初の郵便切手が発行されました。郵便役所はさらに横浜、神戸、長崎、函館、新潟と全国展開が図られ、江戸時代に地域のまとめ役だった名主に自宅を郵便取扱所（後に郵便局となります）とすることを要請、1873年（明治6年）に全国約1100箇所の名主が郵便取扱所となることを引き受けたことから、郵便制度は全国に拡大しました。 ::郵便制度を作り上げたのは、もともと幕臣であった{{ruby|前島密|まえじまひそか}}で、現代でもよく使う「切手」、「為替」、「葉書」などの言葉は、彼の考案によると言われています。前島密は「日本郵便の父」と言われ、その肖像は、1円切手に採用されています。 :;電信 ::1869年（明治2年）に横浜燈台役所と横浜裁判所の間に電信回線が敷設、1870年1月（明治2年12月<ref>この頃はまだ、[[#暦|暦は変更されていない]]ため、西暦と元号の月が1か月程度ずれます。</ref>）には、東京・横浜間で電信による電報の取り扱いが始まりました。1880年（明治13年）頃には大都市間、1890年（明治23年）頃には全国の県庁所在地が電信でつながりました。 ::1871年（明治4年）にはロシアのウラジオストクから長崎へ海底ケーブルが敷設され、シベリア経由でヨーロッパ、さらには大西洋横断電信ケーブルを経て米国とも通信が可能となりました。1873年（明治6年）には東京と長崎間に回線がひかれたので、東京から海外との通信が可能になりました。 :;学校教育<span id="学校"/> ::1872年（明治5年）、日本最初の近代的学校制度を定めた教育法令である{{ruby|学制|がくせい}}が出されました。全国を学区に分け、それぞれに大学校・中学校・小学校<ref name="教育">教育の段階は、おおむね初等教育・中等教育・高等教育に分類されます。初等教育は今も昔も小学校で教えられる教育です。中等教育は明治から戦前にかけては中学校の領域でした。ですから、学制における中学校は、現在の中学校と高等学校（高校）にあたります。高等教育は現在の大学以上にあたる教育機関で取り扱われる教育です。戦前においては、大学と「高等学校（高校）」で教授されていました。当時の中学校や高等学校は現在のものと区別して、旧制中学や旧制高校といいます。</ref>を設置することを計画し、身分や性別に区別なく、国民全てが学校教育を受けられることを目指しました。 ::;高等教育<ref name="教育"/> :::1877年（明治10年）、もともと、徳川幕府が近代化政策のために設置し、明治政府が引き継いだ開成学校と東京医学校を統合し、近代的な総合大学である'''東京大学'''<ref name="大学">東京大学は帝国大学・東京帝国大学をへて、現在の東京大学となります。1897年に京都帝国大学が設立されるまで、原則として「学位（大学教育を修了したという国際的な証明）」を授与できる唯一の大学でした。その例外として、札幌農学校においては、農学に関する学位が授与できるというものでした。</ref>が発足します。また、開拓に力を入れた北海道には、1876年（明治9年）に農業技術に関して大学に相当する<span id="札幌農学校">'''札幌農学校'''<ref name="大学"/>を設立しています<ref>札幌農学校は、現在の北海道大学の母体となります。</ref>。そこでは、[[#お雇い外国人|多くの外国人が雇われ]]、欧米の進んだ科学技術を、若者たちに教えました。札幌農学校で農業を指導したウィリアム・クラーク<ref>クラーク博士として知られ、「少年よ大志を抱け」という言葉で有名です。</ref>などが有名です。 :::民間においても、1868年（慶応4年）[[小学校社会/6学年/歴史編/人物事典#福澤諭吉|{{ruby|福沢諭吉|ふくざわゆきち}}]]が政府にさきがけて近代的な高等教育の場である'''慶應義塾'''<ref>のちの慶應義塾大学。</ref>を設立し、それ以後、1875年（明治8年）{{ruby|新島襄|にいじまじょう}}が'''同志社'''英学校<ref>のちの同志社大学。</ref>、1882年（明治15年）[[小学校社会/6学年/歴史編/人物事典#大隈重信|{{ruby|大隈重信|おおくましげのぶ}}]]が'''東京専門学校'''<ref>のちの早稲田大学。</ref>を設立するなどして、官学とはやや異なった見方から、新しい社会へ人材を送り出していきました。 ::;女子教育 :::学制において、小学校は男女の別なく学ぶことができました。しかし、中等教育以上については整備が遅れ、1872年（明治5年）に東京神田に官立東京女学校が設立され、女子中等教育の方法をさぐった後、1882年（明治15年）に'''東京女子{{ruby|師範|しはん}}学校'''<ref name="女子師範">現在のお茶の水女子大学。「東京女子師範学校」は初等教育・中等教育に関する女性の教師を育成する機関で、それに、研究的な要素を加え高等教育にいたったのが「女子高等師範学校」です。</ref>{{ruby|附属|ふぞく}}高等女学校<ref>のちのお茶の水女子大学附属中学校・高等学校。</ref>が設立、女子中等教育のモデルとなり各地に高等女学校や女学校が建てられました<ref>なお、戦前は男女にかかわらず、小学校を卒業すると働きはじめることが一般的で、中等教育を受けることができる児童は少数でした。</ref>。小学校も1年生や2年生では同じ教室で学びましたが、3年生以上となると教室が別になり、中等教育は、（旧制）中学校と女学校といった学校も別になりました。 :::女子の高等教育はさらに遅れます。1890年（明治23年）に、官立で'''女子高等師範学校'''<ref name="女子師範"/>が日本最初の女子高等教育機関として設立。同年、'''女子学院'''が高等科を設置<ref>のちに東京女子大学に吸収されます。</ref>、1900年（明治33年）[[#留学|岩倉使節団の留学]]から帰国した[[小学校社会/6学年/歴史編/人物事典#津田梅子|津田梅子]]により'''女子英学塾'''<ref>のちの津田塾大学。</ref>が、1901年（明治34年）'''日本女子大学校'''<ref>のちの日本女子大学。</ref>が設立され、ようやく、女性の高等教育の環境も整備され始めました<ref>当時は、女性は10代後半で結婚するのが当然とされていた時代でしたから、高等教育を受ける人たちはごくまれな存在でした。</ref>。 :;暦<span id="暦"/> ::明治5年12月2日（1872年12月31日）をもって太陰太陽暦（天保暦）を廃止し、翌日を明治6年（1873年）1月1日として欧米諸国で用いている太陽暦（グレゴリオ暦）にしました。それまで使っていた暦は、今は「{{ruby|旧暦|きゅうれき}}」と呼ばれています。 ==== 士族の反乱 ==== :[[#廃藩置県|廃藩置県]]によって藩がなくなったので、武士であったひとたちは、定期的な収入も失い、自分で慣れない商売を始めるなど（そして、それに失敗する例も数多くあり、「武士の商法」として、{{ruby|嘲笑|ちょうしょう}}されました）、新たな苦労を負うことになりました。また、戸籍の上では「士族」として、「平民」とは、区別されていましたが、特に優遇されることもありませんでした。多くの士族が新政府の政策に失望し、特に倒幕に加わった藩の士族は、中央で活躍するかつての同輩たちに不満を抱きました。 :このような中、1873年（明治6年）、[[#遣欧使節団|遣欧使節]]の帰国後、朝鮮との外交問題（<span id="征韓論"/>{{ruby|征韓論|せいかんろん}}<ref>それまで、国交のあった江戸幕府が明治政府に代わって、朝鮮王朝に使いを出したところ、幕府時代とやり方が違うとの理由で、受け取りを断られ、日朝の関係が険悪になりました。一部の人たちは朝鮮に軍を送ろうと強硬な姿勢を見せるなどする中、西郷は、自分を朝鮮に派遣するよう朝議にかけました。これは、西郷を朝鮮に送ることで、そこで殺され、それを理由に、朝鮮に軍を送ることができるとの考えからだと言われています。しかし、岩倉や大久保は、日本政府にそのような戦ができる余裕はないと主張し、勝海舟は朝鮮に軍が送れるほどの船がないと、強く反対しました。</ref>）で、西郷と大久保が対立し、議論に敗れた西郷、板垣、後藤、江藤、副島は政府から離れ故郷に戻りました。 :1874年（明治7年）に江藤が故郷の佐賀県でおしたてられて反乱をおこしましたが（佐賀の乱）、政府によって鎮圧されました。 :続いて、1876年（明治9年）には熊本県で{{ruby|神風連|じんぷうれん}}の乱、それを受けるように福岡県で{{ruby|秋月|あきづき}}藩士宮崎車之助を中心とする秋月の乱、10月には山口県で{{ruby|前原一誠|まえばらいっせい}}らによる{{ruby|萩|はぎ}}の乱など反乱が続き、それぞれ鎮圧されました。 [[File:Battle of Tabaruzaka Nishiki-e.jpg|thumb|350px|西南戦争で最も激しい戦いとされる田原坂の戦いを描いた錦絵]] :これらの反乱は、すべて、倒幕の中心またはそれに協力した藩の士族によるものです。 :そして、1877年（明治10年）には旧薩摩藩の士族が中心になり西郷隆盛を大将にして、日本国内では歴史上最大規模の内戦となる'''{{ruby|西南戦争|せいなんせんそう}}'''が勃発しました。西郷等の軍は北上して、[[#鎮台|鎮台]]のおかれていた熊本を攻めますが、鎮台の兵士が熊本城にこもり、西郷軍の足止めをしているうちに、大久保利通が主導する政府は東京や大阪から大量の兵士を移動させ{{ruby|田原坂|たばるざか}}の戦いで西郷軍を打ち負かします。残った西郷軍は南九州各地を転々とし、最後に、西郷隆盛が鹿児島の城山で自決して、西南戦争は鎮圧されます。なお、この翌年、大久保利通は不平士族に暗殺されました。 :薩摩藩は、江戸時代から武を尊ぶことで有名で、戊辰戦争でも活躍し、日本最強と言われていたところ、多くは元々武士ではなかった兵士の政府軍に圧倒的に敗北したのですから、これ以後、政府に対する不満は、武力に訴えるものではなく、{{ruby|自由民権|じゆうみんけん}}運動など政治活動によるものとなっていきます。 ==== 北海道と沖縄 ==== :[[小学校社会/6学年/歴史編/江戸幕府の成立と安定した社会-江戸時代Ⅰ#江戸時代の北海道と沖縄|江戸時代、北海道と沖縄は、一部を除いて、幕府と藩という江戸時代の政治の仕組みとは別に取り扱われていました。]]明治になって、この二つの地域も日本の一部として他の地域同様に取り扱われるようになりました。 ;北海道 :ヨーロッパの一国であるロシアは、17世紀東に兵を進め、ユーラシア大陸北部のシベリアを領土としました。シベリアは、ロシアの中心部からは遠く、また、農業に適していない土地だったので、開発はなかなか進みませんでしたが、18世紀後半あたりからロシア船舶の航海がさかんになり、日本人としばしば接触するようになりました。その頃から日本でも、北海道沿岸でとれるニシンなどを肥料に用いるようになり、北海道でも農業に代えた経済的な価値が発見され、本土からの商人の行き来がさかんになってきます。例えば、{{ruby|函館|はこだて}}市は、そのような商人が江戸時代に開いた街です。また、太平洋側まで領土を広げ、さらに、南下しようとするロシアに対抗して、幕府はこの地域の調査を始めます。{{ruby|間宮林蔵|まみやりんぞう}}は{{ruby|樺太島|からふととう}}（サハリン）を調査し、それが島であることを発見しました<ref>樺太の領有はロシアとの間で争われていて、大陸の一部であると、日本の領有は認めにくいものでした。</ref>。幕末、開国に合わせ箱館（函館）に箱館奉行がおかれています。 :明治になって、政府は北海道をロシアに近く、また、未開発の土地などが豊富にある<ref>北海道が江戸時代初めには認知されていながら、開発が全く進んでいなかったのは、石高制などの基本である稲作に適していなかったからです。明治初期においても、北海道での稲作は難しいものでした。しかし、食生活の変化や鉄道・汽船といった輸送設備が整備されることで、商品作物としてじゃがいも・たまねぎ・小麦・てん菜・ホップ・トウモロコシ・リンゴなどが農業生産の対象となり、また、西洋食の習慣や毛織物が浸透してくると牧畜も成立し、北海道の広大な土地は農業の地として魅力的なものになりました。明治政府は、海外から農業技術の指導者を招くなどして、農業創業・農地開拓を推進しました。なお、稲作については、その後の地道な品種改良などの努力によって、現在では、都道府県別のコメの収穫高で、新潟県と1位2位を争う生産地域となっています。</ref>重要な土地と考え、<span id="開拓使">'''{{ruby|開拓使|かいたくし}}'''(通称:北海道開拓使)をおいて北海道の開拓を進めます。北海道（道央以北・以東）には、兵士として警備・防衛につきつつ普段は農業をいとなむ{{ruby|屯田兵|とんでんへい}}がおかれました。また、戊辰戦争で敗北した藩からの移住なども見られました。明治政府も、{{ruby|札幌|さっぽろ}}・{{ruby|小樽|おたる}}など都市の建設、[[#北海道鉄道|鉄道の導入]]、学校([[#札幌農学校|札幌農学校]])や[[#ビール工場|工場]]の建設などについて、本土に優先して予算を配分した例も少なくありません。 ;沖縄 :[[小学校社会/6学年/歴史編/江戸幕府の成立と安定した社会-江戸時代Ⅰ#琉球王国|沖縄は琉球王国がおさめる国]]でしたが、薩摩藩が強い力を持って支配し、同時に清国に朝貢を行う国、つまり、清国の属国でもありました。 :明治になって、琉球王国がどこに属するかが清国との間で問題になりました。1872年（明治5年）、明治政府は、琉球国を「藩」のひとつとして認め<ref>前年に「[[#廃藩置県|廃藩置県]]」がなされているので、異例の処理です。</ref>、日本国の一部と諸外国に宣言しました。1875年（明治8年）、明治政府は「琉球処分」を決定し、清国との間の独自外交を禁じ、本土の法制などに従うよう琉球藩政府に要求しました。このような明治政府の対応に、琉球藩内で抵抗がありましたが、1879年（明治12年）、琉球藩は廃止され<ref>旧琉球国王は、各藩の藩主同様、[[小学校社会/6学年/歴史編/国際社会に進み出す日本-明治時代後半から大正時代#華族|華族]]となって、東京に住むことが強制されました。</ref>、沖縄県がおかれました。 === 文明開化 === :これらの改革によって、たとえば、布地が安く手に入るようになったり、蒸気機関車で短時間で遠くまで移動できるようになるなど人々の生活は大きく便利に変わりました（'''文明開化'''）。 :[[File:Tomomi Iwakura 3.jpg|thumb|160px|遣欧使節団途中で、まげを切った岩倉具視。[[#使節団|使節団出発の時]]と比べてみてください。]] :1871年（明治4年）「{{ruby|断髪令|だんぱつれい}}」が出され、それまで、身分によって髪型（{{ruby|髷|まげ}}、「ちょんまげ」はまげの一種です）が決まっていましたが、どのような髪型をしても良いことになり、ほとんどの人がまげを切りました。当時、まげを切ったばかりの髪型を「ザンギリ{{ruby|頭|あたま}}」と言われていました。庶民の間では、「''ザンギリ頭をたたいてみれば文明開化の音がする''」などと言われ、生活が変わったことの実感として受け取られました。 :欧米人が数多く訪問したり、居住したりするようになり、牛肉や豚肉などの肉食の習慣や牛乳を飲むなどの新しい食習慣が少しずつ広がりました<ref>肉食は、仏教の教えから嫌われていたと言われていますが、魚やニワトリは普段の生活でも食べており（ただし、ニワトリも一種の高級な食材であったため、めったに食べることはできないものでした）、ウサギやイノシシなどの野生の獣は食べていたので、仏教の影響というよりはよりも、牛や豚といった食料用の家畜を飼う習慣や家畜を解体して食材にする習慣があまりなかったという理由の方が大きいと思われます。来日した外国人のために、家畜を飼ってそれを料理にする仕組みが整えられたため、それを利用し、一般の日本人も食べるようになったという側面も大きいでしょう。また、軍隊で体格をよくするという目的で肉食がすすめられたという点も見逃せません。</ref>。 :衣服も江戸時代は身分によって決められていました。明治になって、その制限は無くなりました。すぐに、全て洋服に変わったわけではありませんが<ref>これは、和装（和服）から洋装（洋服）に変わることが、一般の人々として{{ruby|抵抗|ていこう}}があったというよりも、当時は、現代と比べて衣服というものは大変高価なもので、買いかえる機会が、かなり少なかったからだと思われます。</ref>、機械工場で生産する布地は、和服の反物より安く入手できたので徐々にデザインも洋装にちかづいていきました。 :開国に伴って、キリスト教の宣教師も来日するようになりました。江戸幕府は禁教令をそのままにして、日本人がキリスト教徒になる事を禁じていました。明治政府も最初はそれを引き継ぎましたが、外国人達の強い抗議があって1873年（明治6年）以降、キリスト教を含めた宗教の布教や信者になることについて一切の制限がなくなりました。 :一方で、仏教寺院は、[[小学校社会/6学年/歴史編/江戸幕府の成立と安定した社会-江戸時代Ⅰ#寺請制度|寺請制度]]で住民の役所の役割も果たしていましたが、[[#戸籍制度|戸籍制度]]がこれに代わったため、住民との公的なつながりは無くなりました。さらに、新政府ができた当時は、尊皇攘夷思想の影響から神道が重要視され<ref>江戸時代までは、神道は仏教の一部であるとの考え（神仏習合）が有力で、僧が神官を兼ねていたり、大きな神社には{{ruby|神宮寺|じんぐうじ}}といった寺が併設されたりしていました。明治政府は、これを仏教と神道に分け寺か神社のいずれかにするよう命じました（神仏分離）。このため多くの寺が、神社となりました。</ref>、また、仏教は古臭い伝統であるとの意識から、多くの寺が壊されたりものが持ち出されたりしました（{{ruby|廃仏毀釈|はいぶつきしゃく}}）。<span id="国家神道"/>明治政府の中には、尊皇攘夷の影響を強く受けた政治家なども多く、天皇を中心とした神道を、国の宗教（国教）としようとする動きもありました。しかし、もうその当時、欧米の先進国では人々の信教の自由は重要なもので宗教的なものを政治に関係させないという考え方が一般的になっていたので、欧米の国を見習った国づくりをする人たちには受け入れられませんでした。ただ、皇室の祖先である[[小学校社会/6学年/歴史編/歴史の始まり/「くにづくり」についての日本神話#2|{{ruby|天照大神|あまてらすおおみかみ}}（アマテラス）]]をまつった{{ruby|伊勢|いせ}}神宮を頂点とする各地の神社は、国民が尊敬するものとして政府が管理するものとなり、大規模な神社は国の施設として営まれました（{{ruby|国家神道|こっかしんとう}}）。 :学校制度の定着は、{{ruby|識字率|しきじりつ}}(文字を読める能力)を高めることになり、また、欧米から伝わった'''活版印刷'''によって、新聞や出版物が大量で安価に人々の元に届くようになります。このことで、欧米の新しい思想が普及するようになることの他に、小説などの文学が娯楽として定着するようになりました<ref>言葉づかいも、日本で共通のものになるよう、工夫が進められてもいます。</ref>。 :また、演劇の世界では、[[小学校社会/6学年/歴史編/江戸時代の文化-江戸時代Ⅱ#歌舞伎|歌舞伎のように男性だけが舞台に立てるという制限]]がなくなり、女性も同様に舞台に立つという'''新劇'''が生まれました。 ;社会思想<span id="社会思想"/> :身分制をなくしたので、生まれた家に関わらず、個人の努力によって政治をはじめとする社会のあらゆる分野にかかわることができるようになりました。このような社会にあった「自由」や「平等」など「権利」「人権」といった欧米の考え方が'''[[小学校社会/6学年/歴史編/人物事典#福澤諭吉|{{ruby|福沢諭吉|ふくざわゆきち}}]]'''などにより紹介されました。 :福沢諭吉は、著書『学問のすすめ』の中で「天は人の上に人を造らず、人の下に人を造らず」と、生まれながらの平等を説いて、努力次第で社会の重要な地位に就くことができること（立身出世）を主張しました。これらの考えは、[[#学校|学校教育制度の整備]]や新聞や出版物の普及もあわせて、だんだん社会に浸透し、努力をすることで社会的立場を向上さすることができることが理解されるのと同時に社会のさまざまな層から社会参加を求める声が上がってきました。 == 脚注 == 以下は学習の参考ですので覚える必要はありません。<small> <references/></small> ---- {{前後 |type=章 |[[小学校社会/6学年/歴史編]] |[[小学校社会/6学年/歴史編/歴史の流れをつかもう|日本の歴史の流れ]] |[[小学校社会/6学年/歴史編/江戸時代の文化-江戸時代Ⅱ|江戸時代の文化-江戸時代Ⅱ]] |[[小学校社会/6学年/歴史編/国際社会に進み出す日本-明治時代後半から大正時代|国際社会に進み出す日本-明治時代後半から大正時代]] }} [[Category:社会|しようかつこうしやかい6]] [[Category:小学校社会|6ねん]] [[Category:小学校社会 歴史|#11]] n7bdwlkmk0zpqlrsbc0y0hhpb99du5f 0 35589 299372 295750 2026-05-10T07:08:34Z Bvwdi 89765 日本の村落形態　表記を改善 299372 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理探究]]>村落と都市 本ユニットでは、集落はどうして出来てきたのかを解説します。 == 集落の成り立ち == === 集落の立地条件 === 　人々が一定の場所に集まり、居住しながら社会的な生活をする空間を'''集落'''といいます。集落は'''村落'''と'''都市'''の２つに区分されます。 {| class="wikitable" !職業分布 |- |　村落では、人口が少なく人口・家屋密度も低く、農業や漁業などの第１次産業従事者が大多数を占めています。反対に、都市では、人口が多く人口・家屋密度も高く、製造業などの第２次産業や商業・サービス業などの第３次産業の従事者が大多数を占めています。 |} 　世界各地の様々な村落は、いずれも居住村落の機能のための家屋だけでなく、生業や社会生活のための施設をも含んでいます。農業を営む場合には、家畜・農機具・飼料・肥料・収穫物などを納めたり、作業をしたりする畜舎や納屋、倉や中庭などが必要です。また、生活や共同作業のために共同体（コミュニティ）が形成され、祭りなどの行事も行われます。このため、寺社・教会・集会所なども重要な施設です。住居やこれらの施設のほか、それぞれの農業経営に合わせた区画の農地や、そこへの道路や用水路なども整備されなければなりません。 　漁業を中心とする村落では、港や船着き場を中心にして多くの住居が密集しています。こうした漁村や、林業を生業の中心とする山村でも、自家で消費するための自給的な農業を行っており、乏しい平地に小規模な農地が見られます。 ==== 自然条件 ==== [[ファイル:Kiso Three Rivers and Nōbi Plain from Mount Tado.jpg|代替文=輪中集落|サムネイル|木曽川・長良川・揖斐川が合流する濃尾平野では、水害を防ぐために周囲を提防で囲んだ集落がつくられ、輪中集落とよばれてきました。]] 　現在、集落はどこにでもみられるように思われますが、歴史的にみると、一定の規則性をもって特定の場所に立地してきました。村落は、生活や農業・漁業などの仕事の場となるため、立地は自然条件に大きく左右されます。まず、<u>生活には水が欠かせないため、立地に選ばれるのは川や泉のほとりがほとんど</u>でした。河川下流部の海岸付近、山麓部、扇状地の扇端部に集落がみられるのも水が得やすいためです。さらに、生活環境としては高低差の少ない方が適しているため、平坦地に人口が密集するようになりました。一方、<u>低地では、水害を避けるために自然堤防や盛り土をした土地</u>などが選ばれます。濃尾平野の'''輪中集落'''などは、周囲に堤防を作って水害を克服してきました。また、農業には気候条件も欠かせないため、村落は、<u>極度に乾燥した地域や寒冷な地域を避けてつくられています</u>。世界に目を向けると、北半球の温帯の山間地では、<u>日射量の多い南向きの日なた斜面に立地した集落</u>もみられます。一方、砂漠やその周辺部の乾燥地域では、外来河川の付近や、地下水が豊富に得られる'''オアシス'''などに早くから集落が発達しました。ヨーロッパの場合、人口分布の粗密は、農耕活動に深く関わってきたオーク林の北限である北緯６０度を境としています。 {| class="wikitable" !オーク林 |- |　落葉広葉樹のナラ類の樹林をいいます。落葉が腐植層をつくり、やや肥沃な褐色森林土壌が発達します。オーク材は建築材や家具に利用されます。 |} ==== 社会条件 ==== 　人や物の交流が活発になるにつれて、集落の立地には、社会条件が強く影響するようになりました。例えば、物資の交易点となる山地と平野とが接する場所や、主要交通路沿い、重要な道路の交わるところなどには、数多くの集落が発達しました。関東平野の周辺部にみられる'''谷口集落'''は、その典型です。 　内陸アジアの遊牧地域と農耕地域とが接する場所の近くにも、両者の交易によって発達した集落がみられます。外敵や疫病から身を守るため、丘陵や高台に発達した'''丘上集落'''も見られます。さらに、ヨーロッパのように水上交通の発達した地域では、河川の合流点や河口部などに大規模な集落が発達しました。 　やがて農業や漁業を主とする集落だけでなく、商業や政治などの新たな機能をもった集落も発達するようになりました。これらの集落は、周辺の地域への影響力を次第に強めるようになり、多くの人口を抱える中心集落に成長していきました。多くの集落は、一般に、これらの自然条件と社会条件が組み合わさって立地しています。 === 村落の形態と機能 === 　村落は、家屋の分布形態によって、大きく'''集村'''と'''散村'''とに分けられます。歴史の古い地域では、田植えや稲刈りなどの共同作業が多いため、村落共同体のまとまりで居住するのが適していました。そうした人々が家屋を密集させて居住するようになった村落を集村といいます。中でも不規則な塊となって並ぶ'''塊村'''が自然に出来上がりました。 ==== 集村 ==== 　ヨーロッパの村落形態はほとんど平野部を中心とした集村です。家族を養うための農地面積が小さくて済み、地形的な制約もあまりないからです。中世以降の開拓地域では、村落は道路を基準として計画的につくられたため、家屋は道路や水路に沿って分布しました。こうした集村を'''路村'''とよびます。路村の背後に細長い帯状の耕地が均等に割りあてられています。ドイツやポーランドの森林地域に発達した'''林地村'''は、路村の一類型です。 　'''広場村'''や'''円村（環村）'''とよばれる集村では、外側に家屋を配置して村の中心に広場をつくり、そこに教会や共同牧場などを設けました。治安が悪くなった時には、防御の機能も果たしました。防御の機能をもっていた村落としては、ほかに中国の'''囲郭村'''などにみられます。 ===== 日本の村落形態 ===== 　日本の村落をみると、山地や丘陵の麓、盆地の周縁、沖積地の微高地などに集村（塊村）がよく分布しています。中世後期から近世初期にかけて、稲作用の農業用水の管理や'''環濠集落'''のように侵入する外敵への防御などが必要になり、集まって住んだ結果です。一方、地形や道路に沿って列状に並ぶ集落を'''列状村'''といいます。列状村のうち、街道沿いに並ぶ集落を街村、道路に沿って農家などが並ぶ集落を路村ともよびます。例えば、海岸平野に平行する海岸砂丘・浜堤や、河川沿いの自然堤防には起伏に沿って集落が並びます。寺社への参詣路沿いや街道沿いには門前町や宿場町がみられます。江戸時代、武蔵野の台地などに開拓された新田集落や、明治時代、北海道（道央以北・以東）の警備と開拓を目的として設置された'''屯田兵村'''には、道路沿いに短冊状に農家と耕地が並ぶ形態も見られます。 {| class="wikitable" !新田集落 |- |　用水の開削や開発技術の発達などを背景に、近世に入り計画的に建設された集落です。台地・砂丘などのほか、浅海・湖沼などの干拓地に分布します。ヨーロッパにも、日本の新田集落に発生の経緯や形態がよく似た林地村や湿地村があります。ドイツ北部やイギリスなどに多く分布しています。 |} ==== 散村 ==== 　農家が１戸ずつ分散して居住する村落は、散村とよばれます。散村は、開発の歴史が比較的新しく、農業の経営規模の大きいところによく見られます。各農家の周りに耕地を集めやすい利点があり、どの農家も耕地までの距離が近いため、日頃の耕作や収穫に便利です。散村は、アメリカ合衆国やカナダの土地分割制度（'''タウンシップ制'''）によって土地区画がなされた地域や、オーストラリアの小麦栽培地域、北海道の開拓地などのように、計画的に区画された農地が広がる地域によくみられます。また、散村は、北ヨーロッパやイタリア北部、アルプス地域などにみられます。近代に入ってからの'''囲い込み運動'''や、政策による農地の整理統合によって出来ました。特に山間部の冷涼な地域では、地形的な制約もあって穀物栽培が出来ず家畜飼育に依存していたため、散村や、数戸の家屋からなる小村が適していました。 　本州以南の日本でも、最近まで砺波平野や出雲平野、大井川扇状地などで典型的な散村がみられました。しかし、ヨーロッパのように政策で大規模に進められた散村に比べ、日本の散村は、小規模に進められ、今ではそこにも市街地化の波が押し寄せてきています。 === 村落共同体の変容 === 　村落に居住する人々は、伝統的に土地とのつながりが強く、一般に村落とその周辺の限られた範囲の中でよく日常生活を過ごします。また、主に何世代にもわたってそこに住み続けてきた人々によって構成されているため、住民相互の結びつきが強く、長い時間をかけて緊密な村落共同体が形成されてきました。しかし、近年、その変化が激しくなっています。例えば、日本の農村や山村では、これまで伝統的な村祭りや冠婚葬祭、農作業などを通じて、人々はお互いに協力し合ってきました。第二次世界大戦後の高度経済成長期から、都市部での雇用の機会を求めて村を離れる若者が相次ぎました。その結果、都市周辺部の丘陵地や農地は切り開かれ、住宅やビルが建ち並ぶようになりました。この現象を村落の'''都市化'''といいます。さらに、若者が逃げた村落では極端な人口減少（過疎化）と高齢化を招きました。現在、大都市から遠く離れた山間の地域では、人口の５０％以上が６５歳以上の高齢者によって構成される農村や山村も珍しくありません。このような村落では、共同体としての機能の維持が困難となっており、村自体の存続も限界に達しているといわれています。 　伝統的な村落の人口流出や住民の高齢化は、日本と同様に、パリ盆地南部の円村がみられる地域など、ヨーロッパの村落でも起きています。そこでは、農村の伝統的な景観が大きく変化し、中世以来続いてきた共同体のしくみの急激な崩壊も進んでいます。 　このように、第１次産業従事者が暮らす村落と第２次・第３次産業従事者が集中して居住する都市との区別は難しくなっています。 == 都市の成り立ち == === 都市の発達と形態 === ==== 都市がもつ機能と都市化 ==== 　人々は、なぜ都市に集まるのでしょうか。多くの都市には、各種の専門店やデパート、ホテル、銀行などが見られます。また、役所や学校のほか、博物館・美術館・ホールなども多数あります。このような都市施設は、商業・政治・教育・娯楽などの拠点となり、その都市に住んでいる人々だけでなく、周囲の村落や近くのより小さな都市に住んでいる人々もよく利用します。都市がもっている、このような'''財'''と'''サービス'''を提供する役割を'''中心地機能（都市機能）'''といいます。 　多くの都市とその周辺とは鉄道や道路で結ばれ、電車やバスなどの公共交通機関が整備され、発達しています。都市は、財が移動し、人々が交流する'''結節点'''ともなっています。多数の労働者が集まってモノを生産する機能をもつ都市もあります。規模の大きな都市には、大企業の本社や支社などの管理機能が集中し、これらに関連する情報サービス業や生産者サービス業も集積します。様々な機能を併せ持った都市は、'''複合都市'''となります。 　人々は、このような機能に従事するために、あるいは多種多様なサービスを求めて都市に集まります。こうして'''都市化'''が一層進みます。 ==== 歴史的背景 ==== 　都市の成立は古代まで遡ります。ギリシャの都市国家（ポリス）はアクロポリスとよばれる丘を中心に発達し、メソポタミアのバビロン、中国の長安（現在の西安）、日本の平城京や平安京は、宮殿を中心に計画的に建設された都市でした。古代の都市は、政治を執り行う神殿や王宮などを中心にもつ、'''政治機能'''の強い都市でした。 　しかし、広く発達するのは、ヨーロッパなどで交易が盛んになり'''交易都市'''があらわれた中世以降です。こうした都市には、外敵の侵入を防ぐために周囲を高い城壁で取り囲んだ'''城郭都市'''に起源を持ちます。 　また、市民は商業や手工業などの経済力を背景に領主や国王から自治権を獲得しました。その結果、'''商業機能'''を中心とした都市が発達しました。ブレーメンやハンブルクやベネチアはその代表例です。 　近代になって産業革命が波及すると、炭田や港湾周辺に工業を中心とする都市が生まれ、多くの労働者が集住するようになりました。さらに関連産業も集まり、様々な機能をもった大都市に成長しました。 　このような都市発達の経緯は、日本でも同じようにみられます。城郭は、初期には防御に有利な山地や台地の先端部に作られましたが、戦国時代を過ぎると交易に便利な河口や河川沿いの平地に築かれるようになりました。特に、江戸時代に入って社会が安定すると、'''城下町'''や'''港町'''が発展しました。日本の都道府県庁所在地は、行政や経済の拠点となっていた城下町から発展しています。 {| class="wikitable" !産業革命期の都市の分布 |- |　ヨーロッパでは産業革命期以降に、工業化と結びついた大きな都市が発達しましたが、イギリスのバーミンガムやドイツのルール地域の都市などのように、多くは炭田近くに立地しました。 |- !港町の発展 |- |　港町として開発され、その後大きく発展した例としては、青森や新潟があげられます。 |} ==== 都市の機能 ==== 　私達が住む都市は、一般に行政・文化・生産・消費・交通などの様々な都市機能を備えています。フランスのニースは、近くのカンヌやモナコなどと並んで、世界有数の'''観光保養都市'''として知られており、ヨーロッパをはじめとして世界各地から多くの人々が訪れます。観光保養都市は、観光や避暑・避寒を目的としています。日本では軽井沢が当てはまります。 　また、エルサレムはユダヤ教・キリスト教・イスラームの聖地です。宗教に関わる機能が卓越した'''宗教都市'''として、世界中の信者の信仰を集めています。計画的な市街地をもつブラジリアやキャンベラは、首都・行政機能を集める目的で建設された'''政治都市'''です。フランクフルトやニューヨークは、世界的規模の'''商業・金融都市'''として知られています。オックスフォードやハイデルベルクは、大学や研究機関を中心とした'''学術都市'''として知られています。 　さらに、江戸時代からの繊維産業地域にある愛知県豊田市は、繊維関連産業で蓄積してきた技術を自動車産業に応用し、世界的規模の自動車'''工業都市'''として発展しました。しかし、都市は発展すればするほど様々な機能を併せ持ちますので、現在では、一つの機能のみが優れている都市はあまりありません。 ==== 都市の形態 ==== 　都市は、道路網の形態によっても分類出来ます。北京やニューヨークの街は'''直交路型'''で、アジアの古代都市や新大陸などによくみられます。パリやモスクワなどは、１５００年代から１８００年代にかけて'''放射環状路型'''に発展した都市で、道路網が集中する中心点に宮殿や記念碑などをおき、首都としての威厳と美観を優先した構造になっています。西アジアや北アフリカに多くみられる迷路型は、外敵の侵入を防ぐとともに、強い日射しを遮る効果があります。このほか、ワシントンＤ．Ｃ．のような'''放射直交路型'''もみられます。一般的に、多くの都市は、村落に比べると計画的につくられています。 　こうした道路網は平面的ですが、垂直的にも、都市の発展形態には様々な違いがみられます。ヨーロッパでは、旧市街などの中心部に低い建物が密集し、高層ビルは郊外に建てられています。歴史的景観を重視するため、都心部での高層ビルの建設が制限されているからです。一方、北アメリカでは都市の歴史が新しいため、都心部では高層ビルの開発が進んでいるのに対して、郊外には一戸建ての住宅や低階層の建物があります。 === 都市の拡大と都市圏 === ==== 都市の拡大 ==== 　都市は絶えず拡大しています。例えば、パリは１０世紀頃にセーヌ川の中洲であるシテ島を中心に発達し、１２世紀には城壁が築かれ、ヨーロッパの代表的な中世都市となりました。その後、城壁の修復・建築を繰り返し、１９世紀初めには、市街は現在の６つのターミナル駅に囲まれる区域にまで拡大しました。さらに１９世紀半ばには市街の外側に新たに城壁（現在の高速道路環状線）が築かれ、人口も１００万に達しました。現在、さらに周辺に新しい市街地が広がっています。 ==== 大都市圏の機能 ==== [[ファイル:中心業務地区.jpg|右|フレームなし|309x309ピクセル]] 　大都市圏の中心部（'''都心'''）は、交通機関や情報通信網が集中し、都市圏の中枢となっています。ここには、政府・行政機関などの官公庁街や金融業、大企業・多国籍企業の本社や支社などが集中します。これは'''中心業務地区（ＣＢＤ）'''とよばれ、ニューヨークのマンハッタンやロンドンのシティなどが典型的な例です。中心業務地区（ＣＢＤ）の特徴は次の通りです。 * 都心にある地価は高いので、ビルの高層化が進み、そこには企業のオフィスが数多く入っています。特に南北アメリカやオーストラリアの都市などでは超高層ビルが集中します。地下施設の開発も盛んで、ショッピングセンターや駐車場など、土地の垂直的な利用が行われています。 * ヨーロッパの都市では、都心でも歴史的な市街の保存に努めているため、高層ビルはむしろ都心の縁辺に多く見られます。 * ブランド品を扱う高級専門店街やデパート、ホテルなどの施設は、ＣＢＤに混在するか隣接するように立地します。 * 郊外からの交通の便がよいため、仕事と生活の場を切り離す'''職住分離'''が進んでおり、昼間人口が夜間人口を上回っています。 * 中心業務地区の周辺部には、小売・卸売業地区、住宅地区、工業地区などが発展し、合わせて一つのまとまりをつくるようになります。 　都心と外縁の新しい住宅・工業地域の中間に位置する古くからの市街地は、住宅や商店・工場などの様々な都市機能がよく混在したままになっています。アメリカでは、低所得層の人々や高齢者、外国人労働者などの居住地となっているところも見られます。 　また、都心の周辺部には、郊外へ向かう鉄道のターミナルを中心にして商業・娯楽施設の集中した'''副都心'''や'''新都心'''が発達します。東京の渋谷、池袋、大阪の天王寺、埼玉県さいたま市などがその例です。ロンドンやパリでも同様の例が見られます。 　このような地区ごとに分かれる機能の違いは、'''都市の内部構造'''とよばれます。その特徴は、これまで同心円構造デル、扇形構造モデル、多核心構造モデルなどによって説明されてきました。しかし、実際には、地形や河川などの自然環境のほかに、地価や交通網にも左右されるため、それらが入り交じった複雑な構造になっています。 ==== 都市圏とその拡大 ==== 　都市が発達するにつれて、市街が拡大し、周辺地域の都市化も進みました。大都市の周辺では、大都市へ通勤する人々が住む住宅都市（'''ベッドタウン'''）がつくられ、移転した工場や大学、研究所などを中心として新しい都市も形成されました。日本では大阪府の千里ニュータウン、東京都の多摩ニュータウンのような住宅都市や、筑波研究学園都市、関西文化学術研究都市などが典型的な例です。このように大都市の周辺に立地し、大都市の機能の一部を担う都市は'''衛星都市'''とよばれます。 ==== 大都市圏の形成 ==== 　大都市に成長した都市は、周辺地域に工業製品やサービスを提供します。一方、周辺地域は都市に農産物を供給したり、通勤・通学者を送り込みます。こうして、日常生活の上で都市機能を通じて都市と密接な関係をもち、都市を中心に日常生活や生産活動が一体となる地域が形成されます。その範囲を'''都市圏'''とよびます。 　都市圏の範囲は中心となる都市の人口規模と密接に関係します。大きな都市ほど政治・経済・文化の中心となる機能が集中するため、周辺地域に及ぼす影響力は強くなり、都市圏も広くなります。こうした大都市を'''メトロポリス（巨大都市）'''とよび、パリ・東京・ジャカルタなどが挙げられます。また、行政上の市域を越えて周辺地域を合わせた都市圏の範囲を'''大都市圏（メトロポリタンエリア）'''といいます。これに対して、連続する多くの都市が、交通網や情報通信網などによって、広範囲に一つのまとまりとして密接につながった'''メガロポリス（巨帯都市）'''も現れました。代表例として、アメリカ北東岸地域や日本の東海道メガロポリスがあげられます。 　さらに、経済・社会のグローバル化の中で、人や物・情報・資金などの国際流動も活発になり、ニューヨークやロンドン・香港などは、国際金融市場や多国籍企業などが集中する'''世界都市（グローバルシティ）'''として発展しています。 === 都市システムの形成と国際化 === ==== 中枢管理機能と都市 ==== 　日本や世界の国々の行政機関は、それぞれの管轄地域の行政の中心として機能するだけでなく、国・県・市町村、あるいは連邦・州・市町村などといった行政組織によって、相互に連絡・指示がされています。企業の本社・支社・支店・営業所なども、企業内での情報・指令を伝える'''ネットワーク'''を形成しています。これらの各組織は、大量の情報を収集・記録するとともに、加工して新たな情報をつくり出し、発信していきます。各種のデータを収集し、経営方針やその実施のための方策を決定して連絡する機能を'''中枢管理機能'''といい、関係する地域の政治・経済や社会生活に重要な影響を与えます。 　都市には、それぞれの規模に応じて多くの中枢管理機能が集積しています。現代のように情報社会となり、経済の世界的な結びつきが強くなると、その役割は極めて大きくなります。 ==== 階層性をもつ都市～都市システム～ ==== 　中枢管理機能を担う都市は、情報・指令のネットワークの中枢となります。一方、出先機関や支店がおかれる中小の都市では、情報・指令の発信よりも受信機能に重点をおく傾向があります。大小様々な規模の都市は、政治的・経済的な機能を通じて、上位から下位へと相互に階層的関係で結びついています。このような都市間にみられる相互の関係を'''都市システム'''といいます。 ==== 多様な都市システムと首位都市 ==== 　イギリスやフランスでは、中枢管理機能の首都への集中度は日本よりさらに大きく、'''一極集中型'''を示します。一方、ドイツでは、逆に中枢管理機能が多くの都市に分散する'''多極分散型'''を示します。アメリカでは、中枢管理機能の集中の度合いとしてはニューヨークの首位は変わらないものの、ロサンゼルスなどほかの都市の比重が増大しており、全体としては分散する傾向が見られます。 　都市の発達は、都市を人口規模の順に並べてみるとよくわかります。一般的に、都市の発達の歴史が古い国ほど、人口規模が１位の都市と２位以下との隔たりは大きくありません。これに対して、第２次世界大戦後に植民地から独立した国々では、首都など優先的に資本が投下された都市に、政治・経済・文化などの中枢機能が集中しています。さらに、農村から職を求めて人口が流入するため、２位以下の都市との差が非常に大きくなります。このような都市を'''首位都市（プライメートシティ）'''といいます。 === 都市問題 === 　２０世紀後半以降の世界の大都市の人口増加をみると、パリやニューヨークのように早くから都市化の進んだ都市より、発展途上国の都市の方が急速に増加しています。そのため、'''社会基盤（インフラ、インフラストラクチャー）'''の整備が追いつかず、居住環境が劣悪なまま改善されていません。 {| class="wikitable" !社会基盤（インフラ、インフラストラクチャー） |- |　道路・住宅・鉄道・電気・ガス・文教施設・病院など、公共性の高い産業や生活の基礎となる社会施設や設備をいいます。この整備状況をみれば、都市の発展度や成長度が分かります。 |} ==== 発展途上国の都市問題 ==== ===== スラムの形成 ===== [[ファイル:Office Towers and Favela - Rio de Janeiro - Brazil.jpg|サムネイル|リオデジャネイロのスラム]] 　発展途上国の大都市では、都市の内部や鉄道・主要道路沿いなどに'''スラム（不良住宅街）'''が形成されており、市街地の拡大に伴って都市周辺部にも増えてきています。政府機関や商業施設が集まる近代的な都心部のすぐそばに、劣悪な居住環境のスラムが広がる都市もあります。スラムの中には、水道や電気が不法に引かれ、下水処理の設備も整っていない場所もあります。そのため水質汚濁を招き、熱帯の地域では感染症もよく発生します。 　スラム居住者のほとんどは、農村部での貧困に耐えかねて都市部に出てきた人々です。彼らは、農業の大規模化や機械化、都市部への産業の集中などによって土地や仕事を失い、農村から押し出されてきた農民やその家族が主体となっています。しかし、都市に移り住んでも定職に就ける人々はわずかで、露天商や修理業などの'''インフォーマルセクター'''とよばれる部門で働き、生活を支えている人もいます。この部門で働く人々の中には、'''ホームレス'''や親・親戚などによって養育・保護されずに路上で集団生活する'''ストリートチルドレン'''なども含まれています。また、生計を立てられない者の中には、生活苦から逃れるため、密輸や麻薬取引などといった犯罪に手を染めていく場合もみられます。 {| class="wikitable" !インフォーマルセクター |- |　小規模な小売業・サービス業・製造業などのうち、正式な雇用契約や社会保障がないような労働環境での経済活動をいいます。露天商のほか、自転車タクシーの運転手、路上の職人や修理業者、廃品回収業者など様々な仕事があります。一般に収入は低く、税金も納めていません。日本のブラック企業や零細企業と同じような意味合いです。 |} ===== 発展途上国の都市問題解決 ===== 　発展途上国では、都市環境や生活・居住環境などについての様々な都市問題を抱えていますが、その解決には莫大な費用と長い時間を必要としています。また、一般に発展途上国の都市問題は、いくつかの課題が複合的に関連している場合が少なくありません。現在では、大都市を中心に、都市内の道路整備や公共交通機関の充実化、上下水道の敷設、安定した電力の供給など、都市の基盤整備が進められています。低所得者層向けに安価な住宅を建設して、スラムの住民やホームレスなどに提供しています。 　しかし発展途上国の中には、インフレや諸外国からの債務の増加など不安定な経済状況に苦しんでおり、その対策が十分に進められていない国もあります。このため、先進国に都市基盤整備の協力を求めている国もあります。これに対して、例えばＮＧＯなどの手による住宅建設や、ストリートチルドレンのための学校づくりなども行われるようになってきています。 ==== 先進国の都市問題 ==== ===== 都市環境の悪化 ===== 　先進国の大都市では、第２次産業に比べて、第３次産業に携わる人々の割合が高く、そこに住む人々は医療・福祉・教育・娯楽などといった様々なサービスを受けれます。しかし、活発な都市活動によって、ごみや建設現場・工場からの産業廃棄物、病院などからの医療廃棄物などが大量に排出され、その処理には不法投棄の問題も含めて、多額の費用と労力がかけられています。また、上下水道の整備や市街地の照明、住宅やオフィスの冷暖房、道路や鉄道などの交通網の整備・維持、インターネットや携帯電話などといった情報・通信網の拡充にも、石油や電力などのエネルギーのほか、莫大な費用を必要とします。さらに、こうした大量のエネルギー消費が、大気汚染や都心部における気温上昇など、都市環境の悪化や環境負荷の増大に多く関係しています。このような問題は、一つの都市では解決出来ず、広域的な地域の課題として取り組まなくてはなりません。 ===== インナーシティ問題 ===== 　アメリカ合衆国やヨーロッパなどの大都市の中には、都心部やその周辺の古くからの市街地にあたる地域で、インナーシティ問題が顕在化しているところもみられます。早くから市街化した地域は、道路が狭く建物やライフラインなどの社会基盤の老朽化が進んでいます。そのため、低所得者や移民・高齢者などが都心部に取り残されやすく、地区の財政悪化や、地域コミュニティの崩壊、治安の悪化などが社会問題になっています。 {| class="wikitable" !ライフライン |- |　一般に電気・ガス・水道・食料などの輸送ルートをいいます。英語の意味は、生命線を表します。 |} 　しかし、いくつかの都市では、老朽化した住宅や工場・操車場などの施設を取り壊して再開発を行っています。その跡地に新しい商業施設や高級な高層住宅が建設され、比較的豊かな人々が流入するジェントリフィケーションとよばれる現象がみられます。 {| class="wikitable" !ジェントリフィケーションの短所 |- |　地価や家賃が上昇して、これまで住んでいた人が出て行かざるを得なくなり、従来のコミュニティが失われる例もみられます。 |} ===== 先進国の都市問題解決への取り組み ===== 　先進国の大都市では、都心地域の空洞化や極度の機能集中といった都市問題を解消するため、様々な再開発が行われています。例えば、パリ郊外のラ・デファンス地区では、都市機能の一部を担う副都心が形成されており、そこには高層のオフィスビルや高級アパート、ショッピングセンターなどがあります。また、ヨーロッパの大都市では、都心地域に残る伝統的な建物を、かつての雰囲気を残しながら再開発している例が少なくありません。一方、都心地域で供給が過剰ぎみとなったオフィスビルを改装し、住宅として利用する試みも行われており、利便性を求める人々に注目されています。ロンドンのテムズ川やパリのセーヌ川の周辺、日本の港湾都市などでは、'''ウォーターフロント開発'''が進められています。このように再開発された地域は、海外からも観光客を集める人気スポットとなっているところがあります。 {| class="wikitable" !ウォーターフロント開発 |- |　物流や産業構造の変化などによって使われなくなった、水辺の倉庫街や工場跡などの広大な土地に、住宅やショッピングセンター、娯楽施設などを建設する開発をいいます。日本では、東京湾岸の台場、汐留、横浜のみなとみらい２１、幕張新都心などがその典型となっています。 |} 　しかし近年では、人口の集中に応じた市街地の拡大やインフラの整備を一方的に進めるのではなく、周囲の環境や資源・エネルギーの消費に配慮し、公共サービスの効率性をより高めた都市の建設を意味する'''サスティナブルシティ（持続可能な都市）'''や'''エコシティ（環境共生都市）'''の実現を目指す考え方がヨーロッパや日本で模索されています。交通渋滞や排ガスによる大気汚染の緩和に向けては、'''パークアンドライド'''や'''ロードプライシング制度'''が取り入れられています。パークアンドライドは、自宅から自動車やバイクで郊外にある公共交通機関の駅近くまで行き、それらを駐車させたあと、鉄道やバスで通勤や買い物など、自分の目的地に向かう交通システムです。この仕組みは、ドイツのフライブルクやフランスのストラスブールなどで取り入れられています。これに対して、ロードプライシング制度は、平日の日中、官庁街やオフィス街、観光地や商業施設などが集まる都心部に乗り入れる自動車に課金するもので、ロンドンやストックホルム、オスロのほか、シンガポールなどでも取り入れられています。さらに、大量のごみや廃棄物の処理については、リサイクルやリユースの仕組みをつくり、その量を減らす努力が続けられています。 ==== 日本の都市・居住問題 ==== ===== 都市の地域格差 ===== 　現在では、都市と農村の間ばかりではなく、大都市と地方都市との間にも地域格差が目立っています。一般に、地方の中小都市では、大都市に比べて雇用の機会が少なく、労働人口の大幅な伸びは期待出来ないため、大都市に出て行く若者が増えて高齢化も進んでいます。人口の減少と高齢化は、同時に経済活動の停滞を招き、かつて賑わいをみせた駅前や街並み全体が寂れる事態も起きています。地方都市の商店街の中には、昼間からシャッターが閉められ、営業をしていない店も少なくありません。 ===== 人口の集中と居住 ===== 　日本の大都市で生活する人々の多くは、都市・居住問題、面積が小さいわりに価格の高い家をもち、また通勤時間も比較的長い場所に住んでいます。東京・名古屋・京阪神の三大都市圏に人口が集中するようになったのは、特に高度経済成長期以降です。それに伴い、大都市では住宅不足の状態が続き、地価も次第に高騰していきました。また、市街地が周辺部へと急速に拡大し、郊外では無秩序な開発が行われた結果、'''スプロール現象'''もみられました。一方、高層のオフィス街や官庁街が分布する都心地域では、居住する人の数が郊外に比べて急激に少なくなり、空洞化が進行する'''ドーナツ化現象'''もみられるようになりました。 　一方、高度経済成長期に開発・建設された大阪府の千里ニュータウンや東京都の多摩ニュータウンなどでは、居住者の高齢化が急速に進んでいますが、近年は建物や傾斜地のバリアフリー化、老人福祉施設の建設などの対策が進められています。 [[カテゴリ:高等学校教育|地]] fg0ouv3quji5g96fk7b89akxisbjjii 0 38470 299369 263171 2026-05-10T05:47:29Z Tomzo 248 /* 違憲審査の技術 */ 299369 wikitext text/x-wiki {{wikipedia|憲法訴訟}} {{wikipedia|違憲立法審査権}} ==憲法訴訟（違憲審査）の性格== ==違憲審査の対象== ===国家行為の形式=== ===統治行為論=== {{wikipedia|統治行為論}} :「憲法の三権分立の制度の下においても、司法権の行使についておのずからある限度の制約は免れないのであつて、あらゆる国家行為が無制限に司法審査の対象となるものと即断すべきではなく、直接国家統治の基本に関する高度に政治性のある国家行為（統治行為、政治問題）の如きは、たとえそれが法律上の争訟となり、これに対する有効無効の判断が法律上可能である場合であつても、かかる国家行為は裁判所の審査権の外にあり、その判断は主権者たる国民に対して政治責任を負う政府、国会等の判断に任され、最終的には国民の政治判断に委ねられている<ref>内閣総理大臣による衆議院解散の効力に関する裁判所の審査権限に関して判断した[[日本国憲法第7条#統治行為論|最高裁昭和35年6月8日判決]]を引用する[[日本国憲法第47条#衆参同日選挙|名古屋高等裁判所昭和62年3月25日判決]]より。</ref>」ため司法判断を回避するという論理。 ====統治行為であるか否かの判断==== :学説はさまざまであるが、概ね、以下の区分がなされる。 :#政治部門（国会、内閣）に閉じた行為 :##国会・内閣の組織運営に関する基本事項 :##:例.議院による議員の懲罰、議院の議事手続 :##政治部門の相互作用に関する事項 :##:例.衆議院の解散 :##政治部門の政治的・裁量的判断に委ねられた事項 :##:例.国務大臣の任免、国務大臣の訴追に関する内閣総理大臣の同意 :#国家全体の運命に関する重要事項 :#:外交や国防問題 :#:多額の予算を割り当てた政策 :これらのうち、1.に関する事項は基本的に政治部門における自律の問題であって（1.-2.も議院内閣制においては一体のものと解される）、殊更に「統治行為」として弁別し司法の謙抑性を言うまでもないことである。統治行為論の主眼は、2.に属する行為についてどの水準で「政治問題」か否かを線引きするところにある。 ===立法手続き=== ==違憲審査の技術== :憲法に基づく判断は、違憲判断であれば、たとえ法律であっても無効にできるほど強い効力を持ち、逆に、合憲判断であればその政策などに「お墨付き」を与えることとなりかねない。この権能を国民によって選ばれたと言い難い裁判官が揮うことが民主主義の本旨に適うかは疑念が残るところである（しかしながら、司法判断は高い専門的能力を要するものであるため、その能力の有無を選挙等の手続きに委ねるのには適していない）。したがって、憲法に基づいて立法機能や行政機能を評価することについては、裁判所は相当に謙抑的であることが求められる。また、軽々に憲法判断をすることによって「伝家の宝刀」である憲法判断の価値を低下させることを避けるとの配慮もある。さらに憲法判断をする場合においても、その対象となる法令や行政行為について判断の範囲を全面的にするのではなく、具体的な適用局面などを限り、判断解釈等の範囲の拡大を抑制するなどの傾向も見られる。 ===憲法判断の回避=== :憲法判断が求められるものの多くは行政機関を被告とする行政訴訟であるが、まず、原告に[[当事者適格]]や[[訴えの利益]]がないと判定できるのであれば訴えを却下するなどし、逆に、法令適用や被告側の防御根拠の喪失を認めることにより憲法を援用せずとも原告側の主張を認めることができるのであれば、判決において憲法解釈をことさらに行うことはない。 ===主張適格=== ===合憲限定解釈=== ===適用違憲=== ===一部の意味の違憲=== ===立法の不作為=== {{wikipedia|立法の不作為}} {{-}} ===特殊な違憲判断=== ====合理的期間論==== ====事情判決の法理==== {{wikipedia|事情判決}} :行政処分や裁決が違法だった時、裁判所はこれを取り消すのが原則だが、「取り消すと著しく公益を害する（公共の福祉に適合しない）事情がある場合」には、<u>処分又は裁決が違法であることを宣言したうえで</u>取り消し請求を棄却できるといういわゆる「事情判決」の制度が[[行政事件訴訟法第31条]]に定められている。 :最高裁判所は、これを「一般的な法の基本原則」として、[[日本国憲法第44条#一票の格差違憲1|衆議院選挙区一票の格差に関する昭和51年04月14日]]において、選挙区における一票の格差が違憲状態であることを宣言した上で、総選挙自身の取り消し請求については棄却した。 :なお、「違憲状態であること」により、損害が発生している場合にその損害賠償請求権を否定するものではない。 ====将来効・不遡及効果==== ===合憲判決の方法=== ====黙示的合憲判断==== ====合憲判断の範囲==== ===憲法判例の変更=== ==違憲判決の効果== ==脚注== <references/> [[Category:憲法|けんほうそしよう]] {{stub|law}} 0qlj0iqveq3tl8i5kk8hg2afe56x65t 2 47561 299379 299306 2026-05-10T11:51:37Z AkiR27User 90873 299379 wikitext text/x-wiki AkiR27Userです。主に趣味の'''[[トランプ|トランプゲーム]]'''に関したページを作成・編集を行っています。初心者で拙いところもありますが、どうぞよろしくお願いします。 作成・編集ページに関して気になることや、ご指摘がありましたら、ぜひ[[利用者・トーク:AkiR27User|'''トークページ''']]までお願いします。今後の改善に役立てたいと思います。 == '''作成・編集ページ''' == ※5/6時点 '''編集''' * [[トランプ]] * [[トランプ/クロンダイク|クロンダイク]] * [[トランプ/スピード|スピード]] * [[トランプ/ジンラミー|ジンラミー]] * [[トランプ/15点|15点]] * [[トランプ/ババ抜き|ババ抜き]] * [[トランプ/七並べ|七並べ]] * [[トランプ/神経衰弱|神経衰弱]] * [[トランプ/戦争|戦争]] * [[トランプ/ページワン|ページワン]] * [[トランプ/うすのろ|うすのろ]] * [[トランプ/ダウト|ダウト]] * [[トランプ/ぶたのしっぽ|ぶたのしっぽ]] * [[トランプ/たこ焼き|たこ焼き]] * [[トランプ/アメリカンページワン|アメリカンページワン]] * 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2026/05/02：アカウント作成から2ヶ月…まだテンプレートの作り方が分かりません…何方か教えていただけますと幸いです。 2024/05/07：ついに500回編集達成…！。これからもよろしくお願いします！ == '''概要''' == 2026/03/03：アカウント作成&初編集 2026/03/04：10回編集達成 2026/03/20：100回編集達成 2026/05/07：500回編集達成 == '''謝罪''' == ※2026/03/24の活動休止宣言について、混乱を招いてしまい申し訳ありません。気持ちが落ち着いたため、編集を続けることにしました。今後は軽率な宣言を控え、落ち着いて活動していきます。 謝罪ページ知らぬ間に削除していました…申し訳ございません。 == '''お知らせ''' == <s>2026/04/18：トランプゲームに関する沢山のページに、私が新しく作ったカテゴリ[3人以上で遊べるトランプゲーム]を追加します。編集履歴(あるのかはわかりませんが…)の同じ時間帯に編集したことが沢山出てくると思いますが、荒らしではないということをご了承ください。</s> <s>すみません。また新しいカテゴリを作成しましたのでよろしくお願いいたします。</s> 完了しました。 clzzqril6xt5p790bi2yelt8jhos6yb 0 48063 299363 2026-05-10T02:49:18Z Tomato TTS 91419 ページの作成:「以下に朝鮮語での主な自己紹介(자기소개、自己紹介)を挙げる。 * 제 이름은 ~입니다. - 私の名前は～です(フォーマル)。 * 내 이름은 ~이에요. - 私の名前は～です。 * ~이에요. - ～です(親しげな言い方)。 * ~살입니다. - ～歳です。 * 학생입니다. - 学生です。 * ~에서 왔습니다. - ～から来ました。 * ~ 출신입니다. - ～出身です。 * ~인입니다. - ～人です…」 299363 wikitext text/x-wiki 以下に朝鮮語での主な自己紹介(자기소개、自己紹介)を挙げる。 * 제 이름은 ~입니다. - 私の名前は～です(フォーマル)。 * 내 이름은 ~이에요. - 私の名前は～です。 * ~이에요. - ～です(親しげな言い方)。 * ~살입니다. - ～歳です。 * 학생입니다. - 学生です。 * ~에서 왔습니다. - ～から来ました。 * ~ 출신입니다. - ～出身です。 * ~인입니다. - ～人です。 * ~ 사람입니다. - ～人です(上とほとんど同じ、直訳で「～の人です。」)。 * ~에 살고 있습니다 - ～に住んでいます。 * 취미는 ~입니다. - 趣味は～です。 * 잘 부탁드립니다. - どうぞよろしくお願いします。 it4rh57h513s8ddd6e84jwb5m3fp1re 0 48064 299364 2026-05-10T02:57:59Z Tomato TTS 91419 ページの作成:「'''北海道方言'''は[[w:北海道|北海道]]における日本語の方言の事で、主に東北方言を基盤とし、全国からの移住者が持ち寄った言葉や、西日本方言の影響を受けて発展した方言です。大部分は標準語とアクセントなどに類似点が多くありますが、語彙などの一部は標準語にないものも存在します。 北海道方言には内陸部方言と海岸部方言があります。…」 299364 wikitext text/x-wiki '''北海道方言'''は[[w:北海道|北海道]]における日本語の方言の事で、主に東北方言を基盤とし、全国からの移住者が持ち寄った言葉や、西日本方言の影響を受けて発展した方言です。大部分は標準語とアクセントなどに類似点が多くありますが、語彙などの一部は標準語にないものも存在します。 北海道方言には内陸部方言と海岸部方言があります。 # 解説について 共通語の文法の知識を前提とし、例文、アクセント、共通語訳等を交えながら解説しました。 # 目次 [語彙] [[カテゴリ:北海道方言|*]] {{stub}} me1p6hq6plviugyhyxjbfkhkmkpbwcy 299365 299364 2026-05-10T02:58:31Z Tomato TTS 91419 299365 wikitext text/x-wiki '''北海道方言'''は[[w:北海道|北海道]]における日本語の方言の事で、主に東北方言を基盤とし、全国からの移住者が持ち寄った言葉や、西日本方言の影響を受けて発展した方言です。大部分は標準語とアクセントなどに類似点が多くありますが、語彙などの一部は標準語にないものも存在します。 北海道方言には内陸部方言と海岸部方言があります。 ==解説について== 共通語の文法の知識を前提とし、例文、アクセント、共通語訳等を交えながら解説しました。 ==目次== [[語彙]] [[カテゴリ:北海道方言|*]] {{stub}} g23v3l1vc638hc948q1z8r7ylhf87dt 299366 299365 2026-05-10T02:58:51Z Tomato TTS 91419 299366 wikitext text/x-wiki '''北海道方言'''は[[w:北海道|北海道]]における日本語の方言の事で、主に東北方言を基盤とし、全国からの移住者が持ち寄った言葉や、西日本方言の影響を受けて発展した方言です。大部分は標準語とアクセントなどに類似点が多くありますが、語彙などの一部は標準語にないものも存在します。 北海道方言には内陸部方言と海岸部方言があります。 ==解説について== 共通語の文法の知識を前提とし、例文、アクセント、共通語訳等を交えながら解説しました。 ==目次== [[/語彙|語彙]] [[カテゴリ:北海道方言|*]] {{stub}} 9rbxqsqgxvcj23tovtkh6xh1yyzfagv 0 48065 299367 2026-05-10T04:24:23Z Tomato TTS 91419 ページの作成:「ここでは、北海道方言で特に常用される語彙を載せます。 ==概要== 北海道方言では、様々な地方からの影響を受けているため、他地方と共通する語彙も多いと言われています。 ==語彙一覧== ===名詞=== * 青看(あおかん) - 道路標識。青看板の略であり、現在では道外でも通じる場合がある。ただし、性的な意味での誤解を生む可能性があるため、使用す…」 299367 wikitext text/x-wiki ここでは、北海道方言で特に常用される語彙を載せます。 ==概要== 北海道方言では、様々な地方からの影響を受けているため、他地方と共通する語彙も多いと言われています。 ==語彙一覧== ===名詞=== * 青看(あおかん) - 道路標識。青看板の略であり、現在では道外でも通じる場合がある。ただし、性的な意味での誤解を生む可能性があるため、使用する際は注意が必要である。 * 青たん(あお―) - あざ。 * 上靴(うわぐつ) - 上履き。学校などの教育機関でも、学級通信や時間割などでも使用される。 * おっちゃんこ - 正座。動詞では「座る」を意味する。 * おやき - [[w:今川焼き|今川焼き]]や大判焼き。青森県でも使用される。長野県の[w:おやき|おやき]とは全く関係がない。 * 外地(がいち) - 北海道の事。対義語は内地(ないち)。 * ガス - 霧。峠に霧がかかる時に「ガスがかかっている」のように使う。 * かすべ - エイ。カスベの干物でエイの干物。 * 汽車(きしゃ) - 汽車に限らず列車･電車等全般を指す。 * サビオ - 絆創膏。商品名から。和歌山県や広島県、新潟県佐渡島でもこう呼ばれている。 * ザンギ - 鶏の唐揚げ。詳しくは[[w:唐揚げ#ザンギ|唐揚げ#ザンギ]]を参照。 * 自学(じがく) - 自動車教習所。自動車学校の略。 * じぶき - 地吹雪。 * じょっぴん - 鍵。「じょっぴんかく」で鍵をかけるを意味する。 * たら銭(たらせん) - 小銭、またはお釣りの事。だら銭、じゃら銭とも。 * つっぺ - 戸等を固定するための棒、または鼻血が出た時に詰めるティシュ･ちり紙。 * とうきび - トウモロコシ。函館では「とうきみ」とも。 * 内地(ないち) - 本州等日本本土の事。沖縄県でも使用する。対義語は外地(がいち)。 * なすび - 茄子。 * ばくりっこ - 交換。ばくる(「交換する」の動詞)+接尾語の「っこ」がついた物。 * ぶたじる - 豚汁(とんじる)の事だが、現在では北海道でも「とんじる」を使用する者も多い。 ==動詞== * あつくなる - 頭にくる。 * うるかす - ふやかす、水に浸す。 * おだつ - 調子に乗る。「おだてる」が由来であったり、所構わず男性器をおったてることが由来などがあるが、詳細は不明。 * おっちゃんこ - 座る。名詞では正座を意味する。 * かっちゃく - 引っ掻く。 * がめる - 函館周辺で「盗む」を意味する。それ以外の地域では「ぎる」を使用する。 * かる - (鍵を)かける、閉める、詰める。「じょっぴんかく」で鍵をかけるを意味する。 * ぎる - 盗む。函館周辺では「がめる」を使用する。 * くっちゃべる - ずっと喋る、ひたすら喋る。 * こちょばす - くすぐる。「こちょば(し)い」でくすぐったいを意味する。 * しくる - 失敗する。「しくった」の形でよく使用される。 * 凍れる(しばれる) - 凍る、冷え切る。近年では「寒い」の用法で使用される。 * ちょす - いじる、触る。 * なげる - 捨てる。関西方言の「ほかす(放かす)」と同じで「投げる」から。 * 入る - (TV･ラジオ等で)番組が放送される。放送が受信される。 * ばくる - 交換する。 * はっちゃく - 無我夢中になる。「はっちゃきこく」で「無我夢中で」。[[w:北海道テレビ放送|HTB北海道テレビ]]の[[w:onちゃん|onちゃん]]おはよう体操の歌の歌詞にもある。 * よしかかる(よっかかる) - 寄りかかる。 ==その他== * [[w:岩見沢市|岩見沢市]] - 北海道中部の市、[[w:空知総合振興局|空知総合振興局]]の所在地。北海道方言では発音が「ゆわみざわ」や「ぃやみざわ」となる。 81zpp9twbxsq05juw8wcl6e5d34uagn 0 48066 299378 2026-05-10T11:50:33Z AkiR27User 90873 キャナルズのルールをまとめました 299378 wikitext text/x-wiki キャナルズ(Canals)は、2人用のトランプゲームです。A~10の40枚を使用し、10ラウンドを通して得点を競います。各ラウンドでは同時にカードを提示し、数の大きいカードを出したプレイヤーが得点を獲得する、心理戦と手札管理が中心となるゲームです。 == 所要 == '''概要''' * トランプ1組からA〜10の40枚を使用します。J/Q/Kは使用しません。 * 2人専用ゲームです。 * スート(♠♥♦♣)は区別しません。 * Aが最弱で、10が最強です。 ** 強さ(弱い順):A,2,3,4,5,6,7,8,9,10 '''準備''' * カード40枚をよくシャッフルし、各プレイヤーに10 枚ずつ配ります。 * 残り20枚は使用しませんし、見てもいけません '''目的''' * 10ラウンドの勝負を行い、各ラウンドの得点を合計し、より多くの点数を獲得すること == ゲーム == '''ラウンド進行''' * 各ラウンドで、2人は同時に1枚のカードを裏向きで出します。 # カードを選び、裏向きにして真ん中に出します。 # 同時にオープン(裏向きを表向きに)します。 # 自分のカードと相手のカードを見比べ、数字が大きい方が勝ちです。 # 勝った側がポイントを獲得します '''ポイントの決まり方''' * ラウンド番号がそのままポイントになります。 ** 1ラウンド目→1点 ** 2ラウンド目→2点 ** ……………… ** 10ラウンド目→10点(最重要) 後半ほど得点が大きく、特に第8〜10ラウンドが勝敗に大きく影響します。 == 勝利条件 == 合計ポイントが高いプレイヤーの勝利です。 {{デフォルトソート:きやなるす}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:2人専用のトランプゲーム]] __インデックス__ [[カテゴリ:心理戦・ブラフ系]] kvcu81pr7h6k6rlbhpit790ppjq28z4