Wikibooks jawikibooks https://ja.wikibooks.org/wiki/%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8 MediaWiki 1.47.0-wmf.2 first-letter メディア 特別 トーク 利用者 利用者・トーク Wikibooks Wikibooks・トーク ファイル ファイル・トーク MediaWiki MediaWiki・トーク テンプレート テンプレート・トーク ヘルプ ヘルプ・トーク カテゴリ カテゴリ・トーク Transwiki Transwiki‐ノート TimedText TimedText talk モジュール モジュール・トーク Event Event talk 4 758 299477 293650 2026-05-12T18:40:23Z なまえみてい 90434 [[template:ショートカット]]の仕様変更に伴う 299477 wikitext text/x-wiki :<small>''以下の文章のいくつかのリンクは、先行の姉妹プロジェクト・[[w:|ウィキペディア]]のページを参照しています。''</small> <div style="border:1px solid #A3B1BF; padding:.5em 1em 1em; background-color:light-dark(#fff,#223); color:inherit; margin-top:.8em;"> ==[[File:Notification-icon-Wikipedia-logo.svg|90px|frameless|class=skin-invert-image]]　'''ウィキブックスへようこそ！'''== {{ショートカット|WB:WELCOME}} こんにちは。[[w:ウィキブックス|ウィキブックス]]へようこそ。ウィキブックスは Wiki-textbooks を略した名称で、インターネット上で共同して[[w:教科書|教科書]]や[[w:参考書|参考書]]などを執筆するプロジェクトです。あなたを含めて誰でも、どの記事でもそれを読んで勉強の役に立てることができます。また、ページの端にある「このページを編集」というリンクをクリックすれば、記事を執筆・編集することができます。これまでにない新しい教科書・参考書を企画・作成することもできます。 このプロジェクトで作成される本の[[w:Wikipedia:著作権|著作権]]は、[[w:GNU Free Documentation License|GNU Free Documentation License]]に基づいています。これは記事の自由な利用を永久に保証するためのものです。この価値ある、自由な知的資源の利用やプロジェクトへの貢献をあなたも楽しんでくださることを願っています。 もし、ウィキブックスの執筆にご参加頂けるならば是非、ユーザーアカウントの取得をお願いします。 </div> == ウィキブックスを読む == 読むのは簡単です。[[メインページ]]に行って、興味のある本を見つけたら読んでみてください。またどのページでも、検索ボックスから本を検索になれます。 何かを読んでみて気に入ったり質問があったりすれば、そのページのノートにコメントしてみては如何でしょう。まずは「ノート」と書かれたタブをクリックしてノートのページに入り、そのページの「編集」タブをクリックすればコメントすることができるようになります。私たちは、少しでもよい反応があることを大切に思っています。 もし私たちが揃えていない本があったり、あなたが求めている本が見つからないときには、すぐ[[Wikibooks:ヘルプデスク|司書に尋ねる]]か、[[Wikibooks:執筆依頼|リクエスト]]にその題目を加えてください。 == ウィキブックスへの投稿・協力 == 大勢の普通の人（あなたもそういう人のひとりかも知れません）がこのプロジェクトを支えています。博士号取得者や大学院生や、その他のいろいろな専門家もこのプロジェクトには多く参加していますが、参加に特別な資格はいりません。ウィキブックスは誰にでも参加できるプロジェクトなので、ウィキブックスの本の質は低いのではないか、と思うかも知れません。しかし、誰にでも開かれていることで、おそらく多くの記事はより多くの改訂を受けることにより、誤りやわかりにくい記述が訂正され、質が向上していくことが見込まれます。 どれでもお好みの記事を選んで、あなたも参加してみてください！ どの記事でも直接編集することができます。編集方法については、[[{{ns:4}}:編集の仕方|編集の仕方]]を参照してください。[[{{ns:4}}:サンドボックス|サンドボックス]]で試し書きができるので、記事を編集するのに抵抗がある方や使い心地を知りたい方はそちらで試してください。 何か提案やコメントや質問があれば、それぞれの記事に付属の[[w:Wikipedia:ノートページ|ノート]]に書き込んでください。記事を編集するためにユーザー登録したり、[[w:Wikipedia:ログインの仕方|ログイン]]したりする必要はありません。但し、登録することで、他のユーザーとの連絡が楽になり、日本時間を表示できるなど、このウェブサイトで提供されている機能をより活用できるようになります。 この教科書・参考書を開発するにあたって、効率的に作業をするため、ウィキブックスの参加者コミュニティーは[[{{ns:4}}:基本方針とガイドライン|基本方針とガイドライン]]を策定しました。我々は[[{{ns:4}}:中立的な観点|中立的な観点]]から記事を書くべきだ、という強い方針を持っています。激しい論争の的になっているような事柄についての記事であっても、それは特定の意見を表明するための場として利用されるべきではなく、偏りなく情報を提供するべきだ、というものです。 また、このプロジェクトは教科書・参考書を作成することを目的としています。論争のための場ではないので、様々な事柄に関する議論は主に記事の内容を改善することに絞って下さい。他にも、[[{{SITENAME}}:ウィキブックスは何でないか|ウィキブックスは何でないか]]に説明があります。 ウィキブックスではいつでも新しい参加者を歓迎しています。そして[[w:Wikipedia:ページの編集は大胆に|記事を編集、執筆する時には大胆に]]振る舞うことが奨励されています。全ての記事は他の参加者によってもチェックを受けますので、ミスをすることをあまり心配し過ぎないで下さい。このプロジェクトには、フレンドリーで、経験豊富な[[特別:Listusers|利用者]]が大勢関わっていて、[[特別:Recentchanges|最近更新したページ]]などを通じて編集の動向を見守っています。質問があれば、[[Wikibooks:談話室|談話室]]へ行って尋ねてみてください。 == 新規参加者にとって参考になるページ == ページ名に「{{SITENAME}}:」とつくものは、ウィキブックスのプロジェクトそのものに関するページです。その中でも新規参加者にとって役に立つと思われるページをリストしておきます。 * '''[[{{SITENAME}}:ガイドブック]]'''：ここよりももう少し詳しく概要を説明しています。（[[w:Wikipedia:ガイドブック|Wikipedia:ガイドブック]]） * [[Help:目次]]：編集・執筆に関するヘルプ、新しい記事の始め方、その他多くのトピックについてのリンク集。（[[w:Wikipedia:ヘルプ|Wikipedia:ヘルプ]]） * [[{{SITENAME}}:FAQ]]：ウィキブックスのよくある質問集。（[[w:Wikipedia:FAQ|Wikipedia:FAQ]]：ウィキペディアのよくある質問集） * [[{{SITENAME}}:基本方針とガイドライン]]：ウィキブックスの基本方針が書かれています。 * [[{{SITENAME}}:ウィキブックスで起こしがちな間違い]]：ウィキブックスは何でないか。（[[w:Wikipedia:ウィキペディアで起こしがちな間違い|Wikipedia:ウィキペディアで起こしがちな間違い]]） * [[w:Wikipedia:議論が白熱しても冷静に|Wikipedia:議論が白熱しても冷静に]]：他の参加者と上手にコミュニケーションをとりましょう。 * [[{{SITENAME}}:日本語版ユーザーグループ]]: [[{{SITENAME}}:談話室|談話室]]をはじめ、他の参加者とコミュニケーションをとる手段を案内しています。（[[w:Wikipedia:日本語版ユーザーグループ|Wikipedia:日本語版ユーザーグループ]]） * [[{{SITENAME}}:よくある批判への回答]]：ウィキブックスの活動について疑問をもったら、まずここを覗いてみましょう。（[[w:Wikipedia:よくある批判への回答|Wikipedia:よくある批判への回答]]） * [[{{SITENAME}}:スタイルマニュアル]]：ウィキブックスを教科書・参考書らしく見せるための書き方について。 * [[{{SITENAME}}:プロジェクト関連文書]]：ウィキブックス内にあるさまざまな文書のリストです。 * '''[[{{SITENAME}}:コミュニティ・ポータル]]''': 各種文書へのリンク集のほか、記事の書き方のヒントや最近のウィキブックスの動きについての案内がかかれています。 [[Category:ウィキブックス|ういきふくすへようこそ]] qbu04k6ksmdddszx5g6ih6owdqmwfkq 12 900 299483 293651 2026-05-12T18:49:57Z なまえみてい 90434 [[template:ショートカット]]の仕様変更に伴う 299483 wikitext text/x-wiki {{ショートカット|H:C|H:HELP}} ウィキブックスでは、読者の協力によって書かれている教科書・参考書を公開しています。下に挙げるヘルプページでは、ウィキブックスについてのご案内、執筆・参加方法について記しています。 === ウィキブックスについて === * [[Wikibooks:ウィキブックスについて|ウィキブックスについて]] * [[Wikibooks:ウィキブックスへようこそ|ウィキブックスへようこそ]] * [[Wikibooks:FAQ|よくある質問と回答集]] === ウィキブックスのご利用方法 === * [[Help:ウィキブックスを探検するには|ウィキブックスを探検するには]] * [[w:Help:検索|書籍検索の仕方]] ([[:en:Help:Searching|en]]) * [[w:Help:関連ページの更新状況|関連ページの更新状況]] ([[:en:Help:Related changes|en]]) * [[w:Help:ノートページ|ノートページの使い方]] ([[:en:Help:Talk page|en]]) * [[w:Help:ログイン|ログインするには]] ([[:en:Help:Logging in|en]]) * [[w:Help:個人設定|個人設定のヘルプ]] ([[:en:Help:Preferences|en]]) === 執筆される方へ === * [[Wikibooks:新しいページの作り方|新しいページの作り方]] * [[Wikibooks:編集の仕方|編集の仕方]] - ウィキブックスの執筆を開始される前にご一読ください。 ** [[w:Help:表の作り方|表の作り方]] ([[:en:Help:Tables|en]]) ** [[m:ヘルプ:数式の書き方|TeX 記述法]] * [[Wikibooks:サンドボックス|サンドボックス]] - 編集や執筆の練習のためにご利用いただけます。 * [[Help:新たな書籍の作成|新しい書籍の作り方]] * [[ヘルプ:ウィキブックスとウィキペディアの違い|ウィキブックスとウィキペディアの違い]] * [[w:Wikipedia:ページの改名|ページ名の変更の仕方]] ([[:en:Help:Moving a page|en]]) * [[w:Wikipedia:リダイレクト|リダイレクトを使うには]] ([[:en:Help:Redirect|en]]) * [[w:Help:以前の版にページを戻す方法|リバート・以前の版への差し戻し]] ([[:en:Wikibooks:Reverting|en]]) * [[ヘルプ:ページを削除する|ページを削除する]] ([[:en:Wikibooks:Deleting pages|en]]) * グラフィックスのチュートリアル ([[:en:w:Wikipedia:Graphics tutorials|enwp]]) * [[w:Help:音声・動画の作成と利用|音声ファイルの挿入方法]] * [[Wikibooks:基本方針とガイドライン|基本方針とガイドライン]] ** [[w:Wikipedia:画像利用の方針|画像利用の方針]] ([[:en:Wikibooks:Media|en]]) * [[ヘルプ:ウィキブックスの用語集|ウィキブックスの用語集]] ([[w:Wikipedia:ウィキペディア用語集|wp]], [[:en:Help:Glossary|en]]) * [[Wikibooks:過去ログ化のガイドライン|過去ログ化のガイドライン]] * [[Wikibooks:インポート]] - Wikipediaなど他プロジェクトのページを利用したい場合にお読みください。'''即時削除'''のおそれがあります。 === 連絡先 === * [[:en:Wikibooks:Contact us]] * [[Wikibooks:談話室|談話室]]では、[[Wikibooks:ヘルプ|ヘルプ]]にない質問を受け付けています。 * [[Wikibooks:ヘルプデスク|ヘルプデスク]] *IRCチャット'''[irc://irc.freenode.net/#wikibooks-ja wikibooks-ja]'''もご利用になれます。([[Wikipedia:チャット|チャット]]について) * [[w:Wikipedia:メーリングリスト|メーリングリスト]]: ウィキブックス日本語版は Wikija-l（ウィキペディア日本語版で使用中のもの）を間借りします。 * バグの報告 ([[w:Wikipedia:バグの報告|wp]]) * [[特別:Listusers|登録ユーザー一覧]] * [[meta:メインページ|メタウィキメディア]](メタウィキ)は全プロジェクトの補助的プロジェクトです。 [[Category:ヘルプ|もくし]] ke4j8oykae9koizs813e8gtlugf0nbu 10 1468 299481 297357 2026-05-12T18:44:45Z なまえみてい 90434 [[template:ショートカット]]の仕様変更に伴う 299481 wikitext text/x-wiki {{Proposed}}{{ショートカット|WB:AFD|WB:RFD|WB:VFD}} ''このページに書き込まれた内容はカット&amp;ペーストなどにより、GFDL に厳密に即さない扱いをされる場合があります。'' ページの削除には管理者の機能を使用します。削除を依頼する際には[[Wikibooks:削除の方針]]を確認してください。一部の依頼では[[Wikibooks:即時削除]]・[[Wikibooks:削除されたページの復帰]]等が関係するかもしれません。削除されたページの復帰依頼も、こちらで受け付けます。 また、現在、[[Wikibooks:削除依頼]]が度重なる荒らし投稿に伴い半保護されています。匿名利用者や自動承認されていない利用者の方は一旦[[Wikibooks:談話室]]を通して依頼を提出してください。 [[wikijunior:メインページ|ウィキジュニア]]のページの削除依頼についてもこのページで行って下さい。 == 手順 == === 審議 === 削除が必要と思われるページがある場合、利用者の間で審議する機会を設けるために当該ページへのリンクをリストします。リストされた削除対象のページの冒頭には、ここで審議が行われていることを案内する定型文を挿入してください。定型文は '''<nowiki>{{sakujo|このページ({{FULLPAGENAME}})での節名|削除依頼提出理由が書かれているページ}}</nowiki>''' によって挿入することができます(詳しくは[[テンプレート:Sakujo]]を参照することが推奨されます)。 リストされた案件の処理について合意を形成してください。可読性を確保するため、依頼やコメントは以下に定める書式に従ってください。 ==== 書式 ==== 基本的には以下の形式でリストしてください。ただし必要により多少変則的な形式を許容することがあります。 === [[<i>対象ページ名</i>]] - [[{{ns:talk}}:<i>対象ページ名</i>|{{ns:talk}}]] === <i>削除依頼とその理由</i> --<nowiki>~~~~</nowiki> * （削除）<i>削除を望む意見とその理由</i> --<nowiki>~~~~</nowiki> * （存続）<i>存続を望む意見とその理由</i> --<nowiki>~~~~</nowiki> * （コメント）<i>はっきりと削除や存続の意思を表明しない意見</i> --<nowiki>~~~~</nowiki> ** （対処）<i>管理者による削除などの対処報告</i> --<nowiki>~~~~</nowiki> ** （終了）<i>そのまま存続、ページの移動などでの終了宣言</i> --<nowiki>~~~~</nowiki> 可読性を上げるため、インデントを用いたりリストの階層を深くしたりしないでください。また、終了・対処の宣言は一段下げて下さい。復帰の依頼についてもこれに準じます。 === 対処 === 削除が適当であると判断された場合には管理者によって削除されます。削除されたページへのリンクは解除しておいてください。削除されたページは[[特別:Log/delete]]に記録されます（MediaWiki1.3 以前の削除履歴は[[wikibooks:削除記録]]に記録されています）。 ノートページに削除に関する情報・議論などが存在する場合は、それに関する議論をサブページとして'''移動'''し保存してください（削除前と削除後の履歴が混じらないように、コピー&ペーストやカット&ペーストでなく必ず移動機能を使用してください）。元のノートページには削除があったこととサブページ化した議論への案内を書き込んでください。これは削除に関する議論の保存と、削除後改めてページが作られた際に混乱や誤解が起きることを防ぐ目的で行います。 === ログ化 === 審議が終了した案件は、適宜ログ化してください。基本的には要約欄に案件名を明示して対象となる議論を単純に除去します。必要と思われる場合は当該ページのノートのサブページとしてカット&ペーストによるログ化を行ってください（この場合も要約欄に案件名を明示して取り除きます）。 削除以外の方法が適当であると判断された場合には、同様の依頼を避けるため最低一週間は議論をリストしておいてください。 {{main|Wikibooks:削除依頼/過去ログ}} === 注意事項 === * 削除依頼する場合には'''[[Wikibooks:削除の方針|方針]]に沿った依頼理由'''を必ず添えてください。 ** 方針にない理由で削除を望むなら、まず削除の方針の改定を提起してください（→[[Wikibooks‐ノート:削除の方針]]）。 * 削除に関して意見を述べる場合には冒頭に（削除）・（存続）・（コメント）の表明を忘れないでください。[[:Template:AFD]]でアイコンを利用することもできます。 * 依頼・意見には必ず <nowiki>~~~~</nowiki> による署名（時間付き署名）をしてください。署名なき（あるいは IP による）依頼・意見は無効票あるいは単なるコメントとして扱われることがあります。 * このページでは他案件の議論を圧迫することを防ぐ目的から、削除（あるいは復帰）の是非のみに絞って賛否の表明をすることを求めます。削除に関して詳細な検証などが必要である、または削除そのもの以外の問題に関する議論がある、などの場合は当該ページのノートを使用してください。 ** 同様の理由からコメントへのコメントも極力避け、必要であれば当該発言者のノートページへ移動してください。 __TOC__ <noinclude> [[Category:ウィキブックスのテンプレート|さ]] </noinclude> cskrw34r41kv2b4kp7exzao4cps7x5u 0 1524 299467 299394 2026-05-12T15:05:51Z Nermer314 62933 299467 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|自然科学|物理学|frame=1|small=1}} {{sisterlinks | b = 量子力学 | commons = Quantum physics | commonscat = Quantum mechanics | d = Q944 }} {| style="float:right" |- |{{Wikipedia|量子力学|量子力学}} |- |{{Wikiversity|Topic:量子力学|量子力学}} |} {{stub}} == 量子力学とは == * [[量子力学/量子力学とは]] == 量子力学の発展 == * [[量子力学/量子力学の発展]] <!-- == 古典および量子統計力学 == === デュロン＝プティの法則 === [[w:結晶|結晶]]を成す物質の[[w:内部エネルギー|内部エネルギー]]および[[w:熱容量|熱容量]]を求めよう。議論を簡単にするため、[[w:結晶構造|結晶構造]]の単位である[[w:単位胞|単位胞]] 1 つをとり、これを 1 つの[[w:分子|分子]]と見なす。このような取り扱いは結晶の具体的構造によらない普遍的な性質を議論する上で重要である。結晶を構成する分子は互いに[[w:相互作用|相互作用]]するが、最も主要な効果を及ぼすのは最近接格子点上の分子であり、より遠距離にある分子同士の相互作用はそれらの間に存在する分子同士の相互作用として含めることができる。ここまでで扱うべき問題はかなり簡素になったが、結晶分子の運動がそれほど激しいものでない場合には（気体分子運動論の考えを援用すれば、この状況は結晶内部の[[w:温度|温度]]が極めて低いことに相当する）、各分子は固定された平衡点近傍を振動していると見なすことができる。この場合、分子 1 つ 1 つの運動は独立なものとして取り扱うことができ、平衡点近傍で運動する分子 1 個の周りの[[w:ポテンシャル|ポテンシャルエネルギー]]は <math>U</math> は、その平衡点を原点として以下のように表すことができる。 :<math>U=\frac{1}{2}k_x x^2 + \frac{1}{2}k_y y^2 + \frac{1}{2}k_z z^2</math> 分子の周りのポテンシャルは <math>x, y, z</math> の 3 成分に対応する 3 つの[[w:自由度|自由度]]を持っている。 また分子の[[w:運動エネルギー|運動エネルギー]] <math>K</math> は :<math>K=\frac{1}{2}mv_x^2 + \frac{1}{2}mv_y^2 + \frac{1}{2}mv_z^2</math> となって <math>v_x, v_y, v_z</math> の 3 つの速度成分に対応する 3 つの自由度を持っている。これらの運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和は今、熱振動をする分子 1 個が持つ全エネルギーに対応し、分子のエネルギーの自由度は合わせて 6 と数えることができる。なぜならこのエネルギーは 3 次元空間上を運動する粒子の位置と速度の 6 つの独立変数 <math>x, y, z, v_x, v_y, v_z</math> によって決定されるからである。 古典的な統計力学において、[[w:熱力学的平衡|平衡状態]]では[[w:エネルギー等配分の法則|エネルギー等分配の法則]]が成り立つことから、独立に振動する結晶分子からなる系について、自由度 1 つにつき <math>kT/2</math> のエネルギーが分配され、系全体のエネルギー <math>E</math> との間に :<math>E = N\times 6 \times \frac{kT}{2} = 3NkT</math> という関係が成り立つ。ここで <math>N</math> は結晶内部に含まれる結晶分子の数であり、また <math>k \simeq 1.38\times 10^{-23}~\mathrm{[J/K]}</math> は[[w:ボルツマン定数|ボルツマン定数]]、<math>T</math> は[[w:熱力学温度|熱力学温度]]である（以下、温度とは熱力学温度のことを指すとする）。ボルツマン定数 <math>k</math> と[[w:アヴォガドロ定数|アヴォガドロ定数]] <math>N_\mathrm{A}</math> の積は[[w:気体定数|気体定数]] <math>R</math> を与える。 :<math>k =\frac{R}{N_\mathrm{A}}.</math> 結晶分子の個数 <math>N</math> をアヴォガドロ定数を用いて[[w:物質量|物質量]] <math>n = N/N_\mathrm{A}</math> に置き換えれば、上述の関係は気体定数を使って以下のように書き直すことができる。 :<math>E = 3NkT = 3nN_\mathrm{A}\frac{R}{N_\mathrm{A}}T = 3nRT.</math> 気体定数を用いた形式では分子数が現れず、代わりに物質量という量が定義されることに注意しよう。ボルツマン定数を基本定数とする立場では単なる置き換えに過ぎないが、気体定数を基本定数とする場合、ボルツマン定数を用いた形式を与えるには分子の存在をあからさまに認める必要がある。 結晶の[[w:比熱容量|1モル当たりの熱容量]] <math>C</math> は、温度変化に対するエネルギーの増減の割合を全体の物質量で割ったものに相当するから、 :<math>C = \frac{1}{n}\frac{\partial E}{\partial T} = 3R</math> となる。これは常温 (<math>T \sim 300 ~\mathrm{[K]}</math>) での結晶の比熱の測定値に一致する。この比熱は温度依存性がなく、常温の固体のモル比熱がほとんど一定であることを示す。固体のモル比熱が常温で一定の値を取るという法則は'''[[w:デュロン＝プティの法則|デュロン＝プティの法則]]''' (Dulong-Petit law) と呼ばれる。デュロンとプティはこの法則が多くの物質について良い精度で成り立つことを実験的に発見した人物である。 デュロン＝プティの法則が成り立つような系について、常温より遥かに低温の領域においても比熱が一定であることが予想されるが、実験により低温領域では比熱は 0 に収束することを示唆する結果が得られており、低温領域での比熱の温度依存性および比熱の値はデュロン＝プティの法則から外れることが知られている。 === 低温での固体の比熱 === 仮に振動数が <math>\nu</math> の[[w:調和振動子|調和振動子]]のエネルギーは <math>h\nu</math> の整数倍 <math>nh\nu</math> しか取れないとする（ただし <math>n</math> は負でないとする）。結晶内部の <math>N</math> 個の分子をそれぞれ振動数 <math>\nu</math> の調和振動子と見なせることを仮定し、全部で <math>3N</math> の自由度を持つ 1 次元調和振動子の集まりとする。 そうすると、断熱理想気体でも各分子のエネルギーが衝突などにより変動するように（気体全体の全エネルギーは一定）、固体の各振動子のエネルギーも <math>0, h\nu, 2h\nu, 3h\nu,\dots</math> という飛び飛びの値を移り変わっているとする。 そして <math>3N</math> 個の振動子のエネルギーの平均値は、仮に下記のように「ボルツマン因子を使って計算できるはず」だと仮定する（※ ボルツマン因子について分からなければ、記事『[[高等学校化学Ⅱ/化学反応の速さ]]』の[[w:反応速度論|反応速度論]]での説明（高校～大学初級レベル）、または記事『[[統計力学I ミクロカノニカル集合]]』の[[w:スターリングの公式|スターリングの公式]]を用いた統計力学モデルによる説明（大学中級～）を参照。統計力学的には他にも、ラグランジュの未定乗数法を用いてボルツマン因子の導入を行う方法もある）。 1個の振動子がエネルギー <math>\varepsilon_n = nh\nu</math> をとる[[w:確率|確率]]を <math>\operatorname{Pr}(n)</math> とし、この確率がボルツマン因子に比例するとする。 :<math>\operatorname{Pr}(n) = \frac{1}{Z}e^{-\frac{\varepsilon_n}{kT}} = \frac{1}{Z}e^{-\frac{nh\nu}{kT}}</math> この関数が通常の意味の確率であるためには、すべてのエネルギー状態についての和が 1 に規格化されている必要があるため、比例係数の <math>Z</math> は、 :<math>Z = \sum_{m=0}^{\infty} e^{-\frac{\varepsilon_m}{kT}} = \sum_{m=0}^{\infty} e^{-\frac{mh\nu}{kT}}</math> とならなければならない（なお、このZのような量子統計計算の規格化のための関数のことを「分配係数」または「状態和」という）。このとき確率 <math>\operatorname{Pr}(n)</math> は :<math>\operatorname{Pr}(n) = \frac{\exp\left(-\frac{nh\nu}{kT}\right)}{\sum_{m=0}^{\infty} \exp\left(-\frac{mh\nu}{kT}\right)}</math> となる（<math>\exp(\cdot)</math> は[[w:指数関数|指数関数]]）。エネルギーの期待値 <math>\langle\varepsilon\rangle</math> は、 :<math>\begin{align} \langle\varepsilon\rangle &= \sum_{n=0}^{\infty} \left\{\varepsilon_n\operatorname{Pr}(n)\right\} \\ &=\sum_{n=0}^{\infty} \left\{nh\nu \left(\frac{\exp\left(-\frac{nh\nu}{kT}\right)}{\sum_{m=0}^{\infty} \exp\left(-\frac{mh\nu}{kT}\right)}\right) \right\}\\ &=\frac{1}{\sum_{m=0}^{\infty} \exp\left(-\frac{mh\nu}{kT}\right)} \sum_{n=0}^{\infty} \left\{nh\nu\exp\left(-\frac{nh\nu}{kT}\right)\right\} \end{align}</math> と表すことができる。ここでボルツマン定数と温度の積の逆数を <math>\beta = (kT)^{-1}</math> とし（これは[[w:逆温度|逆温度]]と呼ばれる）、エネルギーの期待値を逆温度 <math>\beta</math> に関する微分を用いて表せば、 :<math>Z(\beta) = \sum_{m=0}^{\infty} \exp\left(-\frac{\varepsilon_m}{kT}\right) = \sum_{m=0}^{\infty} \exp\left(-\frac{mh\nu}{kT}\right)</math> より、 :<math>\begin{align} \langle\varepsilon\rangle &= -\frac{1}{Z(\beta)}\frac{d}{d\beta}Z(\beta)\\ &=-\frac{d}{d\beta}\ln Z(\beta) \end{align}</math> を得る。ここで具体的に右辺の対数を計算すれば、[[w:等比数列|等比級数]]の和の公式を用いて、 :<math>\begin{align} Z(\beta) &= \sum_{m=0}^{\infty}\left(e^{-\beta h\nu}\right)^n\\ &= \left(1 - e^{-\beta h\nu}\right)^{-1} \end{align}</math> と書き直せるから、結局エネルギーの期待値は :<math>\begin{align} \langle\varepsilon\rangle &= \frac{d}{d\beta}\ln \left(1 - e^{-\beta h\nu}\right)\\ &= h\nu\frac{e^{-\beta h\nu}}{1 - e^{-\beta h\nu}}\\ &= \frac{h\nu}{e^{\beta h\nu} - 1} \end{align}</math> と表すことができる。 === プランク分布 === 前節で得た調和振動子のエネルギーの期待値について、調和振動子のエネルギー量子 <math>h\nu</math> に掛かる関数 :<math>\frac{1}{e^{\beta h\nu} - 1}</math> を'''プランク分布'''と呼ぶ。温度がエネルギー量子の大きさに比べて充分小さい場合、<math>kT \ll h\nu</math> より <math>1 \ll \beta h\nu</math> という関係が成り立ち、プランク分布は、 :<math>\frac{1}{e^{\beta h\nu} - 1} \approx e^{-\beta h\nu}</math> という形に漸近する。 このプランク分布を利用して、結晶内部の比熱を得ることを考える。結晶を独立な調和振動子の集まりと見なす最も簡単な場合について、結晶全体の内部エネルギーがそれぞれの調和振動子のエネルギー期待値の和にほとんど等しいことから、 :<math>E = 3\langle\varepsilon\rangle = 3N\frac{h\nu}{e^{\beta h\nu} - 1}</math> と表すことができる。この場合、結晶分子に対する比熱容量は、 :<math>c = \frac{1}{N}\frac{dE}{dT} = \frac{1}{N}\frac{d\beta}{dT}\frac{dE}{d\beta} = 3k(\beta h\nu)^2\frac{e^{\beta h\nu}}{(e^{\beta h\nu} - 1)^2}</math> となる。この比熱の低温領域での振る舞いは、 :<math>c = 3k(\beta h\nu)^2\frac{e^{\beta h\nu}}{(e^{\beta h\nu} - 1)^2} = 3k\frac{(\beta h\nu)^2}{e^{\beta h\nu}} \to 0</math> であり、0 へ収束するという点で低温領域における固体比熱の振る舞いと合致する。高温領域において（ここでいう高温とは調和振動子のエネルギー量子に対してであり、固体の融点温度に比べれば依然低温である）、比熱は :<math>c = 3ke^{\beta h\nu}\left(\frac{\beta h\nu}{e^{\beta h\nu} - 1}\right)^2 \to 3k</math> となる。高温領域の比熱について、分子比熱 <math>c</math> を定積モル比熱 <math>C</math> に直すと、 :<math>C = N_\mathrm{A}c \to 3N_\mathrm{A}k = 3R</math> となり、これはデュロン＝プティの法則に一致する。つまり、エネルギーの量子化という手順を踏むことで低温領域の温度依存性を再現しつつ、常温ではデュロン＝プティの法則に漸近するような分布を得られたことになる。 --> == ヒルベルト空間 == 量子力学における状態はあるヒルベルト空間の元で表される。ヒルベルト空間とは完備な複素数係数の内積空間である。ヒルベルト空間を <math>\mathcal H</math> とし、その元を <math>|\psi\rangle</math> と記す。この記法はブラケット記法と呼ばれる。 ここで、ある状態<math>|i\rangle</math>と、それと異なる状態<math>|j\rangle</math>を取る。ただし、これらの状態はハミルトニアン演算子の、互いに異なった固有値を持つ固有ベクトルであるとする。ここで、ハミルトニアンの固有値は必ず実数でなければならないことが分かる。なぜなら、そうでないときにはエネルギーが虚数になるような量子論的状態が存在することになってしまうからである。一般に、複素数の行列要素を持っており、しかもその固有値が実数になる行列の種類として、エルミート行列があげられる（エルミート行列については[[物理数学I]]を参照）。ここでは、ハミルトニアンはエルミート行列で与えられるものとする。一般に量子論の演算子は通常エルミート演算子である。 更に、あるエルミート行列に対してその行列は必ず対角化され、その固有ベクトルは互いに直交することが知られている。この結果を用いると、エルミート演算子であるハミルトニアンの固有ベクトルである<math>|i\rangle</math>と<math>|j\rangle</math>は、互いに直交することが知られる。更に、それぞれの状態の長さを適切に変更することで、任意の状態<math>|i\rangle</math>,<math>|j\rangle</math>についてこれらの内積を<math>\delta _{ij}</math>とすることが出来る。<math>\delta _{ij}</math>については、[[物理数学I]]を参照。ここで、状態の長さを調整することを量子状態の規格化と呼ぶ。ただし、慣習的に状態<math>|i\rangle</math>,<math>|j\rangle</math>の内積は<math>\langle i|j\rangle</math>のように書くことが多い。この記法を用いると、任意の<math>|i\rangle</math>,<math>|j\rangle</math>に対して、 :<math>\langle i|j\rangle = \delta={ij} </math> が成り立つ。ここで、ある状態<math>|i></math>とそれに対応する波動関数f(x)の関係を、 :<math> f(x) = \langle x|i\rangle </math> で取る。ここで、<math>|x></math>は対応する粒子がちょうどxで表わされる点にある状態である。この記法は、関数空間の内積の定義と、上で述べた量子論的状態の内積の定義を整合的にすることが分かる。このことを述べるためにまず、関数空間の内積について説明する。ここでは、一般的に波動関数がある複素関数であるとして考える。関数空間の性質によるとある元f(x),g(x)を関数空間の元としたとき、ある積分<math>\int</math>が存在して、 :<math> \int f^* (x) g(x) dx </math> を元f(x),g(x)の内積と呼ぶ。ここで、xについての積分の範囲は、 <math>-\infty <x<\infty</math>とする。ただし、無限大のポテンシャルがある場合のように、波動関数が0となる範囲については積分しなくてもよい。このときには積分範囲はより狭い範囲になるのである。ここで、上の記法を用いると :<math> \int f^* (x) g(x) dx = \int dx \langle i|x\rangle \langle x|j \rangle </math> :<math> = \langle i|j\rangle = \delta _{ij} </math> となる。ここで、 :<math> \int dx \langle i|x\rangle \langle x|j\rangle </math> についてはまず、 <math>\langle i|x \rangle \langle x|j\rangle </math>は、任意のxについてもともと<math>|j\rangle</math>の状態にあった粒子が、xで表わされる点を通過して<math>|i\rangle</math>の状態に変化することを表わしている。ここで、上では全てのxについてその結果を足し合わせているので、結局、その結果は、<math>|j\rangle</math>の状態にあった粒子が、<math>|i\rangle</math>の状態に変化すること方法の全てをつくしていると考えるのである。上で得た :<math> \int |x\rangle \langle x| = 1 </math> のような表式はベクトルの完全性と呼ばれ、このあと頻繁にでてくる性質である。特に、エルミート演算子に対しては対応する固有ベクトルが完全性の要請を満たすことが知られており、あるエルミート演算子の固有ベクトル<math>|i></math>に対して、 :<math> \Sigma _i |i\rangle \langle i| = 1 </math> が知られている。しかし、特に対応するベクトルが無限個あるときにはこの性質の数学的な証明は難しい場合が多い。 さて、上のことから分かる通り、 :<math> \int f^* (x) g(x) dx = \langle i|j \rangle = \delta _{ij} </math> となって、量子論的ベクトルの正規化と対応させるために、波動関数の長さも、1つに定める必要があることが分かる。この条件は全ての波動関数<math>\psi(x)</math>に対して、 :<math> \int |\psi(x)|^2 dx =1 </math> とすることで満たされる。このことを波動関数の正規化と呼ぶ。 ここまでで粒子がどの状態にいるのかを指定する方法が分かった。それぞれのエネルギーの固有状態は<math>|i\rangle</math>などの表示で表わされ、それらの量はどれも対応する波動関数を持つのである。ただし、これらの量はどれも正規化されていなければならない。次に粒子がある状態にいるときに、粒子が実際にどの位置にいるのかを知る方法を考える。ここでいう位置とは古典的な座標の意味であり、 あるエネルギー固有値を持った状態にいる粒子が古典的に見たときにはどの位置で発見されるのかという意味である。仮に対応するエネルギーの固有状態が偶然位置の演算子に対しても固有ベクトルとなっていたとすると、その状態は位置の演算子に対してただ1つの値を持つため、その状態にある粒子が発見される位置は決定している。一方、仮に対応するエネルギーの固有状態が位置の演算子に対して固有ベクトルとなっていなかったとすると、そのときにその粒子は様々な位置で発見されるように思える。実際実験的な結果はそのとおりであり、ある位置の固有状態でない状態にあるときその物体は位置の演算子が値を取り得る位置全体で見つかる確率がある。そして、実際にどの位置にあるかは実際に観測をしてみるまでは、知ることが出来ないのである。このことは全く不思議な結果であるが、例えば量子論的なヤングの実験などにおいてこの結果は確かに確認されているのである。 ここで、あるエネルギーの固有状態<math>|i\rangle</math>からある位置に発見されてその位置にあることが確定している状態に移行する過程は、対応する位置をxとすると、 :<math> \langle x|i\rangle </math> で与えられることが予想される。しかし、この値はちょうどある固有状態に対応する波動関数f(x)であった。 :<math> \langle x|i \rangle = f(x) </math> このことから、波動関数f(x)は対応するエネルギーの固有状態にある粒子がある場所xに発見される位置に見つかる過程について関係していることがわかる。実際には更に、この量の絶対値を2乗した量が、ちょうどこの対応する状態にある粒子がその位置に見つかる確率となっているのである。 :<math> P(x) = |f(x)|^2 </math> しかし、この量はちょうど :<math> \int dx |f(x)|^2 = P(x) =1 </math> として、波動関数の正規化を行なった量に対応するが、このことはP(x)を確率を表わす量として扱うための条件とも適合しているのである。 *問題例 **問題 波動関数f(x)が、 :<math> f(x) = \frac 1 {{}^4\sqrt \pi} e^{-x^2/2 } </math> で与えられるとする。このとき、ある点xで粒子が発見される確率を計算せよ。また、この波動関数が正しく正規化されていることを示せ。 **解答 ある点xで粒子が発見される確率P(x)について、 :<math> P(x) = |f(x)|^2 </math> が成り立つことを用いればよい。よって、 :<math> P(x) = |f(x)|^2 =\frac 1 {\sqrt \pi} e^{-x^2 } </math> が得られる。更に、ガウス積分を用いて :<math> \int _{-\infty }^{\infty} e^{-x^2} = \sqrt \pi </math> を用いると、 :<math> \int dx P(x) = 1 </math> が得られ、正しい正規化がなされていることが分かる。ガウス積分については [[物理数学I]]を参照。 実際にはある状態<math>|a></math>からある状態<math>|b></math>に移行する確率が :<math> |\langle b|a\rangle|^2 </math> で与えられることはあるエネルギーの固有状態がある位置に移行する場合だけにとどまらず、より広い場合にあてはまる。特に上の場合について :<math> \langle b|a\rangle </math> をaからbへの確率振幅と呼ぶ。波動関数は対応するエネルギーの固有状態からある位置で表わされる状態への確率振幅といえる。 ここで、あるエネルギーの固有状態<math>|i\rangle</math>と、対応する波動関数f(x)に対して :<math> \langle i|x|i \rangle = \int dx x |f(x)|^2 </math> がどのような意味を持つかを考える。ここで、<math>|f(x)|^2</math>が、対応する粒子がxで見つかる確率を表わしていることを考えると、上の式はxの期待値を表わす式そのものである。そのため、<math>\langle i|x|i \rangle</math>のようなx演算子の対角成分は、対応する状態に粒子が存在するときの粒子が見つかる位置の期待値となることが分かる。一方、位置演算子の非対角成分はそれほど簡単な解釈は持っていない。ただし、これらの量は量子力学的な摂動などでよく使われる。詳しくは[[量子力学II]]を参照。 == シュレーディンガー方程式 == 古典力学と量子力学との間の関係は、幾何光学と波動光学の間の関係に類似していると言うことができる。波動光学について簡単に復習すると、<math>f</math> を <math>\boldsymbol E</math> あるいは <math>\boldsymbol B</math> の任意の成分とすると、 <math>f = a e^{i\varphi}</math> と書くことができる。ここで、<math>a</math> は振幅であり、<math>\varphi</math> はアイコナールと呼ばれる量である。波動光学から幾何光学への移行は、波長 <math>\lambda</math> が0に近づく極限として定義される。<math>\lambda</math> は <math>\varphi</math> が <math>2\pi</math> だけ変化する距離に等しいため、<math>\varphi</math> が十分大きい量とすると幾何光学へ移行できる。十分微小な空間領域と時間領域に対して一次の項まで <math>\varphi = \varphi_0 + \boldsymbol r \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial \boldsymbol r} + t \frac{\partial \varphi}{\partial t}</math> と近似する。このとき、 <math>f = a e^{i\left(\varphi_0 + \boldsymbol r \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial \boldsymbol r} + t \frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)}</math> となる。また、微小な空間領域と時間領域に対しては平面波として考えることができるから、 <math>f = a e^{i(\boldsymbol k \cdot \boldsymbol r - \omega t + \alpha)}</math> となる。両者の対応関係から <math>\boldsymbol k = \frac{\partial \varphi}{\partial \boldsymbol r},\, \omega = -\frac{\partial \varphi}{\partial t}</math> を得る。これを <math>\boldsymbol k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}</math> に代入すると、 <math>(\nabla \varphi)^2 = \frac{\omega^2}{c^2} </math> を得る。これはアイコナール方程式と呼ばれる幾何光学の基礎方程式である。アイコナール方程式はハミルトン・ヤコビ方程式と同じ形式である。簡約された作用を <math>S_0 = \varphi</math> としてハミルトン・ヤコビ方程式を書けば、 <math>\frac{(\nabla \varphi)^2}{2m} + V = E</math> となる。 <math>\frac{\omega^2}{c^2} = 2m (E-V)</math> とするとアイコナール方程式に一致する。ここで、 <math>S_0 = \varphi </math> であるから、最小作用の原理より、実現される光線は <math>\varphi</math> が最小となる経路である。 さて、幾何光学ではアイコナール <math>\varphi</math> が最小となる経路が実現されるのに対して、古典力学では作用 <math>S</math> が最小となる経路が実現される。波動力学では <math>f = a e^{i \varphi}</math> という量が存在したから、量子力学では <math>\Psi = a e^{i \frac S \hbar}</math> という関係にある量が存在すると考えることができる。ここで、<math>\hbar</math> はディラック定数と呼ばれるもので、指数の肩を無次元化するために導入した。古典力学では <math>\boldsymbol p = \frac{\partial S}{\partial \boldsymbol r},\, H = - \frac{\partial S}{\partial t}</math> となるから、 <math>\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac i \hbar \frac{\partial S}{\partial t}\Psi ,\, \frac{\partial \Psi}{\partial \boldsymbol r}= \frac i \hbar \frac{\partial S}{\partial \boldsymbol r}\Psi </math> より、 <math>i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} = H\Psi ,\, -i\hbar\nabla \Psi = \boldsymbol p \Psi </math> を得る。<math>H = \frac{\boldsymbol p^2}{2m} + V </math> に代入すれば、 <math>i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\triangle + V\right)\Psi </math> を得る。これがシュレーディンガー(Schrödinger)方程式である。運動量演算子とハミルトン演算子を <math>\hat \boldsymbol p = - i \hbar \nabla</math> <math>\hat H = \frac{\hat \boldsymbol p^2}{2m} + V(\boldsymbol r) = -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle + V(\boldsymbol r) </math> で定義すると、 シュレーディンガー方程式を、 :<math> i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial{t}} = \hat H \Psi </math> と書くことができる。 <math>\Psi(\boldsymbol r, t) = f(t) \psi(\boldsymbol r)</math> と変数分離できたと仮定すると、 <math> i \hbar \frac 1 f \frac{df}{d{t}} = \frac 1 \psi \hat H \psi = E </math> (定数) となる。 <math>\frac{df}{dt} = \frac{-iE}{\hbar}f </math> はだたちに積分できて、 <math>f(t) = e^{\frac{-iEt}{\hbar}} </math> を得る。また、 <math>\hat H \psi = E \psi </math> となる。これを時間に依存しないシュレーディンガー方程式という。 == 波動関数 == 波動関数 <math>\Psi</math> の意味は <math>|\Psi(\boldsymbol r, t)|^2 dV</math> が位置 <math>\boldsymbol r</math> で時間 <math>t</math> の微小体積 <math>dV </math> の中に粒子が存在する確率であると解釈される。<math>\rho = |\Psi|^2</math> を確率密度とする。このとき、 <math>\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2 &= \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial t} + \frac{\partial \Psi^*}{\partial t}\Psi\\ &= \frac{1}{i\hbar}(\Psi^*\hat H \Psi - \Psi \hat H \Psi^*)\\ &= -\frac{\hbar}{2mi}(\Psi^*\triangle \Psi - \Psi \triangle \Psi^*)\\ &= -\frac{\hbar}{2mi}\nabla(\Psi^*\nabla \Psi - \Psi \nabla \Psi^*) \end{align}</math> となる。従って、<math>\boldsymbol j = \frac{\hbar}{2mi}(\Psi^*\nabla \Psi - \Psi \nabla \Psi^*) </math> を確率流密度と定義すると連続の式 <math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol j = 0</math> が成り立つ。 == 演算子 == ここからはある物理的な定数を持つことが量子力学的にどのような意味を持つかについて考える。物理的な定数とは例えば、ある物体の持つ位置や運動量のことである。古典力学ではある物体の物理的な状態は位置、運動量などを指定することによって得ることが出来、これらの間に特別な関係は無かった。これらはそれぞれの値を適当に取ってもよい量であったのである。 量子力学的にもある物体の物理的状態を定める量は存在しており、そのような量を定めることで物体がどのような状態にあるかを指定することが出来る。問題なのは、ある場合においてこれらの間に特殊な関係があらわれ、それらの量を任意に選ぶことが出来なくなることである。重要な例として、ある物体の位置と運動量は同時に定めることが出来ない。 ここで、ある物理的な状態の全てが数え上げられたとしてこれらの状態全体で張られるベクトルを取る。通常、ある物体が持つ物理的な状態は無数のエネルギーを持ち、このような操作は不可能に思える。実際このことは量子力学の発展の初期に大きな数学的な問題となった。しかし、現在ではベクトルの内積の取り方などを工夫することで、この様な作業が実際可能であることが示されている。詳しくは[[w:ヒルベルト空間]]などを参照。 このように全ての物理的状態が数え上げられたとするとき、それらの状態はあるエネルギーを持った状態として存在する。例えば、ある状態<math>\psi _1</math>がエネルギー<math>E _1</math>を持っていたとする。数学的にはこの様な状態はある行列<math>\hat H</math>を用いて :<math> \hat H \psi _1 = E _1 \psi _1 </math> と表わせる。ここで、<math>\hat H</math>は、全ての数え上げられた物理的な状態を1つの基底として持つような行列として考えられている。更に<math>\hat H</math>は、それぞれの物理的状態に対して対角化されており、 :<math> \psi _1, \psi _2,\psi _3, \cdots </math> などの全ての物理的状態に対して対応するエネルギー<math>E _1</math>,<math>E _2</math>,<math>E _3</math>などを返すものとする。 このような行列<math>\hat H</math>は、実際にあるエネルギーを持つ状態としては、古典的な考え方と変化することは無い。なぜなら、<math>\hat H</math>は、古典的に考えてある力学系の中に存在する物体が持つと考えられるエネルギー値を全て持っているものと考えることが出来るからである。 このため、仮に全ての量子的状態がエネルギーという量だけで特定されるのならば、ある力学系が取り得るエネルギーを全て定めることが量子的状態を全て求めることになる。ここまでの議論をより数学的な用語を用いてまとめると、出て来た量で<math>\hat H</math>は全ての物理的な状態によって張られた行列であり物理的な状態を表わす<math>\psi</math>は、<math>\hat H</math>がかかることによってE倍されるようなベクトルであるので、<math>\hat H</math>の固有ベクトルであると考えられる。このときエネルギーEは、固有値方程式 :<math> \hat H \psi = E \psi </math> の固有値である。 演算子 <math>\hat A , \hat B</math> について交換関係を <math>[\hat A,\hat B] = \hat A\hat B - \hat B \hat A</math> で定める。例えば、 <math>[\hat x_i,\hat p_j]f = -i\hbar x_i \frac{\partial f}{\partial x_j} + i \hbar \frac{\partial }{\partial x_j}(x_i f) = i \hbar \delta_{ij}f</math> より、 <math>[\hat x_i,\hat p_j] = i \hbar \delta_{ij}</math> となる。また、 <math>[\hat x_i,\hat x_j] = 0, \, [\hat p_i,\hat p_j] = 0 </math> が成り立つ。 解析力学では、<math>\{x_i,p_j\} = \delta_{ij}</math> であることから、古典力学と量子力学の間には、 <math>[\hat A, \hat B] \longleftrightarrow i\hbar \{A,B\}</math> の関係があることが予想できる。 == 一次元量子系 == === 井戸型ポテンシャル === 1次元井戸型ポテンシャル : <math>V(x) = \begin{cases} \infty \quad (x<0)\\ 0\quad (0 \le x \le a)\\ \infty\quad (a<x) \end{cases}</math> を考える。このときのシュレーディンガー方程式は :<math>E\psi(x) =-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)</math> となる。このとき<math>V(x)=\infty</math>の領域<math>(x<0,a<x)</math>では粒子は侵入不可なので、この領域における波動関数は<math>\psi(x)=0</math>となる。波動関数<math>\psi(x)</math>は<math>x=0,x=a</math>でそれぞれ連続なので、<math>\psi(0)=\psi(a)=0</math>となる。<math>0 \le x \le a</math>におけるシュレーディンガー方程式は、 :<math>E\psi(x) =-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^2}</math> :<math>\psi''(x) + k^2 \psi(x) = 0</math>　　<math>\left(k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}\right)</math>とした。 :となるから、 :<math>\psi(x)=A\sin (kx+\delta)</math> <math>\psi(0)=0</math> より <math>\delta=0</math> である。 <math>\psi(a)=0</math> より、<math>\sin ka = 0</math> より、<math>ka = n\pi \quad (n=1,2,\cdots)</math> で、エネルギー準位は <math>E_n = \frac{\pi^2 \hbar^2 n^2}{2ma^2}</math> となる。波動関数を、<math>\int_0^{a}(\psi(x))^2 dx = 1</math>となるように規格化すると、 :<math>A=\sqrt{\frac{2}{a}}</math> となり :<math>\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi x}{a}</math> を得る。 === 有限の場合 === 次に、ポテンシャルの深さが有限 <math>V(x) = \begin{cases} V_0 \quad (x<0)\\ 0\quad (0 \le x \le a)\\ V_0\quad (a<x) \end{cases}</math> で <math>0<E < V_0 </math> の場合を考える。井戸の外側でのシュレーディンガー方程式は <math>\psi''(x) + \kappa^2 \psi(x) = 0</math>　　<math>\left(\kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}\right)</math> となるから、<math>x \le 0</math> で <math>\psi(x) = ae^{\kappa x}</math> となり、<math>x \ge a</math> で <math>\psi(x) = be^{-\kappa x}</math> となる。また、<math>0 \le x \le a</math> で <math>\psi(x) = c\sin(kx+\delta)</math> となる。<math>\psi,\psi'</math> は連続で井戸の外では0にはならないから <math>\frac{\psi'}{\psi}</math> も連続で、 <math>\frac{\psi'}{\psi} = \kappa \quad (x \le 0)</math> <math>\frac{\psi'}{\psi} = -\kappa \quad (x \ge a) </math> となるから、 <math>k \cot \delta = \kappa,k \cot (ka+\delta) = -\kappa </math> を得る。ここで、 <math>\kappa = k \sqrt{\frac{2mV_0}{k^2\hbar^2}-1},\,\cot x = \sqrt{\frac{1}{\sin^2x}-1} </math> を使うと、 <math>\sin\delta = -\sin(ka+\delta) = \frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_0}} </math> となるから、 <math>ka = n \pi - 2 \arcsin \frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_0}} \quad(n=1,2,\cdots) </math> を得る。この超越方程式を <math>k</math> について解くことでエネルギー準位が分かる<ref><math>\arcsin \frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_0}} = \arcsin\frac{k}{\sqrt{\kappa^2+k^2}}=\arctan\frac{k}{\kappa}</math> と変形して両辺の正接を取ると、奇数の <math>n</math> に対して <math>\eta=\xi\tan\xi.</math> 偶数の <math>n</math> に対して <math>\xi=-\eta\cot\eta</math> を得る。ここで、<math>\xi = \frac{ka}{2},\eta = \frac{\kappa a}{2}</math> である。これと <math>\xi^2 +\eta^2 = \frac{mV_0 a^2}{2\hbar^2}</math> の交点を求めることに帰着される。</ref>。<math>V_0\to\infty </math> とすると無限に深い井戸型ポテンシャルと同じ <math>ka = n\pi </math> に帰着する。 超越方程式の解 <math>k</math> の厳密解を求めることは容易ではないが、固有状態の数は正確にわかる。<math>k</math> は正であり、<math>\arcsin \frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_0}}</math> が定義されるため <math>k</math> の最大値は <math>\frac{\sqrt{2mV_0}}{\hbar}</math> である。また、方程式の右辺は各 <math>n</math> について <math>n\pi > n\pi - 2 \arcsin \frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_0}} \ge (n-1)\pi </math> であり、単調減少である。したがって、<math>ka</math> と交わる回数が固有状態の数であるから、 <math>(n-1)\pi \le \frac{\sqrt{2mV_0}}{\hbar}a < n \pi</math> であるとき、<math>n</math> 個の固有状態が存在する。 === 階段型ポテンシャル === 1次元階段型ポテンシャル : <math>V(x)=\begin{cases} 0 \quad (x<0)\\ V_0 \quad (0 \leq x) \end{cases}</math> に入射波 <math>e^{ik_1x}</math> が左から向かってくる場合を考える。<math>E > V_0</math> の場合で、 : <math> k_1=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar}} </math> : <math> k_2=\sqrt{\frac{2m(E-V_0)}{\hbar}} </math> とする。波動関数は : <math>\psi(x)=\begin{cases} e^{ik_1x} + A e^{-ik_1x} \quad (x<0)\\ Be^{ik_2x}\quad (0 \leq x) \end{cases}</math> 波動関数が<math>x=0</math>で滑らかである条件から定数を定める。 : <math>1+A=B</math> : <math>k_1(1-A)=k_2B</math> より、 : <math>A = \frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}</math> : <math> B=\frac{2k_1}{k_1+k_2} </math> === 土手型ポテンシャル === 1次元土手型ポテンシャル : <math>V(x)=\begin{cases} 0 \quad (x<0)\\ V_0 \quad (0 \leq x \le a)\\ 0\quad (x>a) \end{cases}</math> に入射波 <math>e^{ik_1x}</math> が左から向かってくる場合を考える。ただし、<math>E > V_0</math> で : <math> k_1=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar}} </math> : <math> k_2=\sqrt{\frac{2m(E-V_0)}{\hbar}} </math> とする。波動関数は : <math>\psi(x)=\begin{cases} e^{ik_1x} + A e^{-ik_1x} \quad (x<0)\\ Be^{ik_2x} + B'e^{ik_2x}\quad (0 \le x \le x)\\ Ce^{ik_1x} \quad (x > a) \end{cases}</math> 波動関数が<math>x=0,a</math>で滑らかである条件から : <math>1+A=B+B',1-A=\frac{k_2}{k_1}(B-B')</math> : <math>Be^{ik_2x}+B'e^{-ik_2a}=Ce^{ik_1a},Be^{ik_2x}-B'e^{-ik_2a}=\frac{k_1}{k_2}Ce^{ik_1a}</math> となる。後半の2式より、 <math>B = \left(1+\frac{k_1}{k_2}\right)\frac C 2e^{i(k_1-k_2)a}</math> <math>B' = \left(1-\frac{k_1}{k_2}\right)\frac C 2 e^{i(k_1+k_2)a}</math> となる。前半の2式から <math>2 = \left(1+\frac{k_2}{k_1}\right)B + \left(1-\frac{k_2}{k_1}\right)B'</math> となるから、 <math>C = \frac{2k_1k_2e^{-ik_1a}}{2k_1k_2\cos k_2a - i(k_1^2+k_2^2)\sin k_2a}</math> となる。したがって、透過係数は <math>T = |C|^2 = \frac{4k_1^2k_2^2}{4k_1^2k_2^2+(k_1^2-k_2^2)^2\sin^2 k_2a}</math> となる。<math>E < V_0</math> のときは <math>k_2</math> は純虚数となるから、<math>k_2 = i\kappa_2</math> と置いて、 <math>T = \frac{4k_1^2\kappa_2^2}{4k_1^2\kappa_2^2+(k_1^2+\kappa_2^2)^2\sinh^2 \kappa_2a}</math> を得る。 === 調和振動子 === ハミルトニアンが <math>\hat H = \frac{\hat p^2}{2m} + \frac 1 2 m \omega^2 x^2</math> で与えられる系を考える。シュレーディンガー方程式は <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + \left(\frac 1 2 m \omega^2 x^2 - E\right)\psi = 0</math> となる。無次元の変数 <math>\xi = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x</math> を導入すると、 <math>\frac{d^2\psi}{d\xi^2} + \left(\frac{2E}{\hbar \omega}- \xi^2\right)\psi = 0</math> となる。ここで、<math>\xi \to \infty</math> では <math>\frac{d^2\psi}{d\xi^2} = \xi^2\psi</math> と振る舞うため、漸近的に <math>\psi \sim e^{\pm \frac{\xi^2}{2}}</math> となる。波動関数は <math>\xi \to \infty</math> で有限でなくてはならないため、<math>\psi \thicksim e^{-\frac{\xi^2}{2}}</math> である。そこで、 <math>\psi = H(\xi) e^{-\frac{\xi^2}{2}}</math> と置き、<math>H(\xi)</math> に対する微分方程式を求めると、 <math>\frac{d^2H}{d\xi^2} - 2\xi \frac{dH}{d\xi} + 2n H = 0</math> となる。ここで、<math>2n = \frac{2E}{\hbar \omega} - 1</math> である。微分方程式の冪級数解 <math>H = \sum_{k=0}^\infty a_k \xi^k</math> を仮定すると、 <math>\sum_{k=2}^\infty a_k k (k-1) \xi^{k-2} - 2\sum_{k=0}^\infty a_k k \xi^k + 2n \sum_{k=0}^\infty a_k \xi^k = 0</math> <math>\sum_{k=0}^\infty[ a_{k+2} (k+2) (k+1) - 2 a_k k + 2n a_k ]\xi^k = 0</math> すなわち、 <math>a_{k+2} = - \frac{2(n-k)}{(k+1)(k+2)}a_k</math> となる。<math>n</math> が非負整数ではないときは、<math>H</math> は無限級数で、漸近的に <math>\frac{a_{k+2}}{a_k} \sim \frac 2 k </math> となるから、 <math>H \propto \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \xi^{2k} = e^{\xi^2}</math> よって、<math>\psi \propto e^{\frac{\xi^2}{2}}</math> となり発散してしまう。<math>n</math> が非負整数であるなら級数は途中で打ち切られるから、<math>H</math> は多項式となる。 <math>k = n - 2l</math> と置くと、係数の関係は <math>a_{n-2l} = - \frac{(n-2l+1)(n-2l+2)}{4l}a_{n-2(l-1)}</math> となるから、 <math>a_{n-2l} = (-1)^l \frac{(n-2l+1)(n-2l+2)(n-2l+3)(n-2l+4)\cdots n}{4^l l(l-1)\cdots 1}a_{n} = \frac{(-1)^l n!}{4^l l! (n-2l)!}a_n</math> <math>\begin{align} H(x) &= \sum_{k=0}^{[\frac n 2]} a_{n-2k} x^{n-2k}\\ &= a_n n!\sum_{k=0}^{[\frac n 2]} \frac{(-1)^k}{2^{2k} k! (n-2k)!} x^{n-2k}\\ \end{align}</math> となる。ここで <math>a_n = 2^n </math> としたものをエルミート多項式 <math>H_n(x) = a_n \sum_{k=0}^{[\frac n 2]} \frac{(-1)^k}{k! (n-2k)!} (2x)^{n-2k}</math> とする。 エネルギー準位は、 <math>E_n = \left(n + \frac 1 2 \right)\hbar \omega</math> となる。 === 生成消滅演算子 === 生成演算子と消滅演算子をそれぞれ、 <math>\hat a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \hat x - \frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\hat p </math> <math>\hat a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \hat x + \frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\hat p </math> で定義する。数演算子を <math>\hat n = \hat a^\dagger \hat a</math> で定義する。簡単な計算から、 <math>[\hat a, \hat a^\dagger] = 1 </math> <math>[\hat n, \hat a^\dagger] = \hat a^\dagger </math> <math>[\hat n, \hat a] = -\hat a </math> が分かる。 状態 <math>|n\rangle </math> を <math>\hat n </math> の固有状態 <math>\hat n |n\rangle = n |n\rangle </math> で定義する。 <math>\langle n| \hat n|n\rangle = ||\hat a |n\rangle||^2 \ge 0 </math> より、<math>n \ge 0 </math> である。 <math>\begin{align} \hat n \hat a |n\rangle &= (\hat a \hat n - \hat a)|n\rangle \\ &= (n-1) \hat a |n\rangle \end{align}</math> より、<math>\hat a |n\rangle </math> は固有値 <math>n-1 </math> に属する固有状態であり、 <math>\hat a|n\rangle = c_n |n-1\rangle</math> と書ける。 <math>\begin{align} \langle n | \hat n |n\rangle &= \langle n | \hat a^\dagger \hat a | n \rangle\\ &= c_n^2 \langle n-1 | n-1 \rangle\\ &= c_n^2\\ &= n \end{align}</math> より、<math>c_n = \sqrt n</math> である。 <math>\hat a|n\rangle = \sqrt n |n-1\rangle</math> となるが、 <math>n</math> が整数でないならば <math>\hat a</math> を繰り返し適用することにより負の固有値 <math>n</math> を持つ状態が作れてしまう。<math>n</math> が整数ならば <math>\hat a |0\rangle = 0</math> より、負の固有状態は作れないことになり <math>n \ge 0</math> の条件に矛盾しない。また、基底状態が <math>|0\rangle</math> で与えられることも分かる。 同様に、 <math>\begin{align} \hat n \hat a^\dagger |n\rangle &= (\hat a^\dagger \hat n + \hat a^\dagger)|n\rangle \\ &= (n + 1) \hat a^\dagger|n\rangle \end{align}</math> となる。<math>\hat a^\dagger |n\rangle </math> は固有値 <math>n+1 </math> に属する固有状態であり、 <math>\hat a^\dagger|n\rangle = c_n |n+1\rangle</math> と書ける。 <math>\begin{align} \langle n | \hat a^\dagger \hat a | n \rangle &= \langle n | \hat a \hat a^\dagger - 1 | n \rangle\\ &= c_n^2 \langle n+1 | n+1 \rangle - \langle n | n \rangle\\ &= c_n^2 - 1\\ &= n \end{align}</math> より、<math>c_n = \sqrt{n+1} </math> である。従って、 <math>\hat a^\dagger | n \rangle = \sqrt {n+1} | n+1 \rangle </math> を得る。基底状態 <math>|0\rangle </math> は <math>\hat a |0\rangle = 0</math> より波動関数は <math>\left(x + \frac{\hbar}{m\omega} \frac{d}{dx}\right)\psi_0(x) = 0</math> となるから、これを解いて <math>\psi_0(x) = C e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}</math>となる。規格化は <math>\int |\psi_0|^2 dx = |C|^2 \int e^{-\frac{m\omega}{\hbar}x^2}dx = |C^2| \sqrt{\frac{\hbar \pi}{m\omega}} = 1</math> より、<math>C = \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}}</math> となる。また、 <math>|n \rangle = \frac{1}{\sqrt n} \hat a^\dagger |n-1\rangle = \frac{1}{\sqrt{n!}} (\hat a^\dagger)^n |0\rangle </math> となるから、<math>\xi = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x</math> と変数変換すると、 <math>\psi_n = \frac{1}{\sqrt{n!}} (\hat a^\dagger)^n \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} e^{-\frac{\xi^2}{2}} </math> となる。ここで、 <math>\begin{align} \hat a^\dagger &= \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}x - \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} \frac{d}{dx}\\ &= \frac{1}{\sqrt 2}\left(\xi - \frac{d}{d\xi}\right)\\ &= -\frac{1}{\sqrt 2} e^{\frac 1 2 \xi^2}\frac{d}{d\xi}e^{-\frac 1 2 \xi^2} \end{align} </math> となるから <math>\begin{align} \psi_n &= \frac{(-1)^n}{\sqrt{2^n n!}} \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} e^{\frac 1 2 \xi^2}\frac{d^n}{d\xi^n} e^{-\xi^2}\\ &= \frac{(-1)^n}{\sqrt{2^n n!}} \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} \left(e^{\xi^2}\frac{d^n}{d\xi^n} e^{-\xi^2}\right)e^{-\frac 1 2 \xi^2}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} H_n(\xi) e^{-\frac 1 2 \xi^2}\\ \end{align} </math> を得る。 == 角運動量 == 軌道角運動量演算子 <math>\hat L_i</math> を <math>\hat L_i = \varepsilon_{ijk} x_j \hat p_k</math> で定義する。すなわち <math>\hat L_x = y \hat p_z - z \hat p_y,\, \hat L_y = z \hat p_x - x \hat p_z,\,\hat L_z = x \hat p_y - y \hat p_x</math> である。 <math>\begin{align} {}[\hat L_i, x_j] &= \varepsilon_{ikl}[x_k \hat p_l , x_j] \\ &= \varepsilon_{ikl}x_k[\hat p_l , x_j] + \varepsilon_{ikl}[x_k, x_j]\hat p_l \\ &= i\hbar\varepsilon_{ijk}x_k \end{align}</math> を得る。 <math>\begin{align} {}[\hat L_i, \hat p_j] &= \varepsilon_{ikl}[x_k \hat p_l , \hat p_j] \\ &= \varepsilon_{ikl}x_k[\hat p_l , \hat p_j] + \varepsilon_{ikl}[x_k, \hat p_j]\hat p_l \\ &= i\hbar\varepsilon_{ijk}\hat p_k \end{align}</math> を得る。 <math>\begin{align} {}[\hat L_i, \hat L_j] &= \varepsilon_{jkl} [\hat L_i, x_k \hat p_l] \\ &= \varepsilon_{jkl} x_k[\hat L_i, \hat p_l] + \varepsilon_{jkl} [\hat L_i, x_k]\hat p_l \\ &= i\hbar\varepsilon_{jkl}\varepsilon_{ilm} x_k\hat p_m + i\hbar\varepsilon_{jkl} \varepsilon_{ikm}x_m\hat p_l\\ &= i\hbar(-\delta_{ij}x_{k}\hat p_k + x_i \hat p_j +\delta_{ij} x_l \hat p_l - x_j \hat p_i)\\ &= i\hbar(x_i \hat p_j - x_j \hat p_i)\\ &= i\hbar \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}x_l \hat p_m\\ &= i\hbar \varepsilon_{ijk} \hat L_k \end{align}</math> を得る<ref>これらは古典力学における <math>\{L_i, q_j\}= \varepsilon_{ijk}q_k, \{L_i, p_j\}= \varepsilon_{ijk}p_k, \{L_i, L_j\}= \varepsilon_{ijk}L_k</math> に対応する。このことは <math>\{q_i,p_j\}=\delta_{ij},\{q_i,q_j\}=0,\{p_i,p_j\}=0</math> によりここでやったのと全く同じ計算で示される。あるいは、<math>[\hat A, \hat B] \longleftrightarrow i\hbar \{A,B\} </math> の対応原理からもわかる。</ref>。 角運動量演算子の二乗を <math>\hat{{\boldsymbol L}^2} = \hat{L_x^2} +\hat{L_y^2} +\hat{L_z^2}</math> で定義する。このとき、<math>[\hat{{\boldsymbol L}^2},\hat L_i] = 0</math> である。実際、 <math>\begin{align} {}[\hat{{\boldsymbol L}^2},\hat L_i] &= [\hat{L_j^2},\hat L_i]\\ &= \hat L_j [\hat L_j, \hat L_i] + [\hat L_j, \hat L_i]\hat L_j\\ &= i\hbar (\varepsilon_{ijk}\hat L_j \hat L_k + \varepsilon_{ijk}\hat L_k \hat L_j)\\ &= i\hbar (\varepsilon_{ijk}\hat L_j \hat L_k - \varepsilon_{ikj}\hat L_k \hat L_j)\\ &=0 \end{align}</math> である。 昇降演算子を <math>\hat L_\pm = \hat L_x \pm i\hat L_y</math> で定義する。 <math>\begin{align} {}[\hat L_z, \hat L_\pm] &= [\hat L_z, \hat L_x] \pm i[\hat L_z, \hat L_y]\\ &= i\hbar \hat L_y \pm \hbar \hat L_x\\ &= \pm \hbar \hat L_\pm \end{align} </math> となる。また、 <math>\begin{align} \hat L_- \hat L_+ &= (\hat L_x - i \hat L_y)(\hat L_x + i \hat L_y)\\ &= \hat{L_x^2} + \hat{L_y^2} + i(\hat L_x \hat L_y - \hat L_y \hat L_x)\\ &= \hat{L_x^2} + \hat{L_y^2} - \hbar \hat L_z \end{align} </math> より、<math>\hat{{\boldsymbol L}^2} = \hat L_- \hat L_+ +\hat{L_z^2} + \hbar \hat L_z </math> を得る。簡単のために、<math>\hbar\hat l_i = \hat L_i,\, \hat{{\boldsymbol l}^2} = \hat{l_x^2} +\hat{l_y^2} +\hat{l_z^2} </math> を定義しよう。このとき <math>[\hat{{\boldsymbol l}^2},\hat l_z] = 0</math> が成立するから、同時対角化可能で規格化された固有状態 <math>|\lambda,m \rangle </math> を <math>\hat{{\boldsymbol l}^2}|\lambda,m \rangle = \lambda |\lambda,m \rangle, \, \hat l_z|\lambda,m \rangle = m |\lambda,m \rangle </math> とする。 <math>\langle \lambda,m| \hat{{\boldsymbol l}^2} - \hat{l_z^2} |\lambda,m\rangle = \langle \lambda,m| \hat{l_x^2} + \hat{l_y^2} |\lambda,m\rangle \ge 0 </math> ここで、<math>\langle \lambda,m| \hat{{\boldsymbol l}^2} - \hat{l_z^2} |\lambda,m\rangle = (\lambda - m^2) \langle \lambda,m|\lambda,m\rangle = \lambda - m^2 </math> より <math>\lambda \ge m^2 </math> を得る。従って、<math>m </math> には最大値と最小値があり、最大値を <math>l </math> とすると、対称性より最小値は <math>-l </math> で与えられる。 <math>\begin{align} \hat l_z \hat l_{\pm}|\lambda, m \rangle &= (\hat l_\pm \hat l_z + [\hat l_z, \hat l_{\pm}])|\lambda, m \rangle\\ &= (\hat l_\pm \hat l_z \pm \hat l_\pm)|\lambda, m \rangle\\ &= (m \pm 1 )\hat l_\pm |\lambda, m \rangle \end{align} </math> より、<math>\hat l_\pm |\lambda, m \rangle </math> は固有値が <math>m\pm1 </math> である <math>\hat l_z </math> の固有状態となる。従って <math>\hat l_\pm |\lambda, m \rangle \propto |\lambda, m \pm 1\rangle </math> とかける。<math>m = l </math> の場合は、固有値が <math>l+1 </math> の状態は存在しないから、 <math>\hat l_+ |\lambda, l\rangle = 0 </math> となる。従って <math>\hat l_-\hat l_+ |\lambda, l\rangle = (\hat{{\boldsymbol l}^2} - \hat{l_z^2} - \hat l_z)|\lambda, l\rangle = (\lambda - l^2 - l)|\lambda, l\rangle = 0 </math> より、<math>\lambda = l(l+1) </math> を得る。今後は <math>\lambda </math> の代わりに <math>l </math> を用いて <math>|l,m \rangle </math> と書くことにする。<math>\hat l_\pm |l, m \rangle = C^\pm_{lm}|l, m \pm 1\rangle </math> とすると <math>\begin{align} \langle l, m |\hat l_-\hat l_+ |l, m \rangle &= \langle l, m |\hat l_+^\dagger\hat l_+ |l, m \rangle\\ &= |C^+_{lm}|^2\langle l, m+1 |l, m+1 \rangle\\ &= |C^+_{lm}|^2 \end{align}</math> となる。また、 <math>\begin{align} \langle l, m |\hat l_-\hat l_+ |l, m \rangle &= \langle l, m |\hat{{\boldsymbol l}^2} - \hat{l_z^2} - \hat l_z|l, m \rangle\\ &= l(l+1)-m(m+1) \\ &= (l-m)(l+m+1) \end{align} </math> より <math>\hat l_+ |l, m \rangle = \sqrt{(l-m)(l+m+1)}|l, m+ 1\rangle </math> を得る。<math>\langle l, m+ 1|\hat l_+ |l, m \rangle = \sqrt{(l-m)(l+m+1)} </math> のエルミート共役を取って、 <math>\langle l, m|\hat l_- |l, m+1 \rangle = \sqrt{(l-m)(l+m+1)} </math> あるいは、 <math>\langle l, m-1|\hat l_- |l, m \rangle = \sqrt{(l+m)(l-m+1)} </math> を得る。 次に、角運動量演算子を極座標で表す表式を求めよう。球座標と直交座標の関係 <math>x = r\sin\theta\cos\varphi,y = r\sin\theta\sin\varphi,z = r\cos\theta</math> の関係から、 <math>\frac{\partial}{\partial \theta} = r\cos\theta\cos\varphi\frac{\partial}{\partial x}+r\cos\theta\sin\varphi\frac{\partial}{\partial y}-r\sin\theta\frac{\partial}{\partial z}</math> <math>\frac{\partial}{\partial \varphi} = -r\sin\theta\sin\varphi\frac{\partial}{\partial x}+r\sin\theta\cos\varphi\frac{\partial}{\partial y}</math> となるから、 <math>\begin{align} i\sin\varphi\frac{\partial}{\partial\theta} + i\cot\theta\cos\varphi\frac{\partial}{\partial \varphi} &= iz\frac{\partial}{\partial y}-iy\frac{\partial}{\partial z}\\ &= \hat l_x \end{align} </math> <math>\begin{align} i\cos\varphi\frac{\partial}{\partial\theta} + i\cot\theta\sin\varphi\frac{\partial}{\partial \varphi} &= -iz\frac{\partial}{\partial x}+ix\frac{\partial}{\partial z}\\ &= \hat l_y \end{align} </math> <math>\begin{align} -i\frac{\partial}{\partial \varphi} &= iy\frac{\partial}{\partial x}-ix\frac{\partial}{\partial y}\\ &= \hat l_z \end{align} </math> を得る。また、 <math>\hat l_{\pm} = e^{\pm i \varphi}\left(\pm\frac{\partial}{\partial\theta}+i\cot\theta\frac{\partial}{\partial\varphi}\right) </math> となる。また、 <math>\begin{align} \hat l^2 &= \hat l_- \hat l_+ + \hat l_z^2 + \hat l_z\\ &= - \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)-\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} \end{align}</math> を得る。これはラプラシアンの角度部分である。 <math>\begin{align} \triangle &= \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\\ &=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial}{\partial r}\right) -\frac{\hat l^2 }{r^2} \end{align}</math> == 水素原子 == ポテンシャル <math>V(r) = - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Ze^2}{r}</math> での電子の運動を考えよう。シュレーディンガー方程式は <math>\triangle \psi + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(r))\psi = 0</math> となる。 <math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial \psi}{\partial r}\right) -\frac{1}{r^2}\hat l^2 \psi + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(r))\psi = 0</math> で <math>\psi = R(r)Y(\theta,\varphi)</math> と変数分離すると、 <math>\frac 1 R \frac{d}{d r}\left(r^2 \frac{d R}{d r}\right) + \frac{2m r^2}{\hbar^2}(E-V(r)) = \frac 1 Y \hat l^2 Y = \mu</math> となる。ここで、<math>\hat l^2 Y = \mu Y</math> は非負整数 <math>l</math> が存在して <math>\mu = l(l+1)</math> とかけるときのみ発散しない解が存在して、<math>Y</math> は球面調和関数 <math>Y_{l}^{m}(\theta, \phi)=(-1)^{(m+|m|)/2}\sqrt{ \frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!} \,} \,P_l^{|m|}(\cos\theta)\,e^{im\phi}</math> となる。ここで、<math>m</math> は角運動量の <math>z</math> 成分の固有値であり、 <math>m=-l,-l+1,\cdots,l</math> をとる。 <math>R</math> についての微分方程式 <math>\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{dR}{dr}\right) -\frac{l(l+1)}{r^2}R + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(r))R = 0</math> は、簡単のために <math>m = e = 4 \pi \varepsilon_0 = \hbar = 1</math> となる原子単位系を採用すると、 <math>R'' + \frac 2 r R' -\frac{l(l+1)}{r^2}R + 2\left(E+\frac{Z}{r}\right)R = 0</math> となる。ここで、<math>n = \frac{Z}{\sqrt{-2E}},\, \rho = \frac{2Z}{n}r</math> と変数変換すると、 <math>R'' + \frac 2 \rho R' + \left(-\frac 1 4 + \frac n \rho - \frac{l(l+1)}{\rho^2}\right)R = 0</math> となる。ここで <math>'</math> は <math>\rho</math> に対する微分である。 <math>\rho \ll 1</math> で <math>R \propto \rho^s</math> と仮定すると、 <math>\frac{1}{\rho^2}\frac{d}{d\rho}\left(\rho^2 \frac{dR}{d\rho}\right) -\frac{l(l+1)}{\rho^2}R = 0</math> より、<math>s(s+1) = l(l+1)</math> を得る。<math>s = l, -l-1</math> となるが、<math>R \propto \rho^{-l-1}</math> は <math>\rho = 0</math> で発散するため <math>R \propto \rho^{l}</math> である。また、<math>\rho \to \infty</math> では <math>R'' -\frac 1 4 R = 0</math> より、<math>R \propto e^{-\frac \rho 2}</math> となる。従って、 <math>R = \rho^l e^{-\frac \rho 2}w(\rho)</math> として、<math>w</math> に対する微分方程式を求めると、 <math>\rho w'' + (2l + 2 - \rho)w' + (n - l - 1)w = 0</math> を得る。これは、一般化されたラゲール多項式 <math>L^{(\alpha)}_n(\rho) = \frac{(\alpha+1)_n}{n!}F(-n,\alpha+1;\rho)</math> が微分方程式 <math>\rho L'' + (\alpha + 1 - \rho)L' + nL = 0</math> の解であるから、 <math>w = L^{(2l+1)}_{n-l-1}(\rho)</math> と書くことができる。 エネルギー準位は <math>n</math> の定義より、 <math>E_n = -\frac{Z^2}{2n^2}</math> となる。国際単位系で書くと<ref>原子単位系でのエネルギーの単位は <math>m, e, 4 \pi \varepsilon_0, \hbar</math> からエネルギーの次元を持つ量を作ると <math>E_h = \frac{me^4}{(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2} = \alpha^2 mc^2</math> となる。ここで、<math>\alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar c} \approx \frac{1}{137}</math> は微細構造定数である。</ref>、 <math>E_n = -\frac{me^4Z^2}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2n^2}</math> となる。 == 不確定性関係 == <math>\hat A, \hat B</math> をエルミート演算子とする。ある状態 <math>|\psi \rangle</math> についての演算子の期待値を <math>\langle \hat A \rangle = \langle \psi |\hat A |\psi\rangle</math> と書く。分散は <math>\sigma(A)^2 = \langle \hat A^2 \rangle - \langle \hat A \rangle ^2</math> て定義される。このとき、 <math>\sigma(A) \sigma (B) \ge \frac 1 2 |\langle [\hat A,\hat B]\rangle |</math> が成り立つ。これを不確定性関係という。ただし正確にはロバートソンの不等式<ref>紛らわしいが、ハイゼンベルクの不確定性原理は位置の測定により系が擾乱されて運動量が変化するため、位置の誤差と運動量の擾乱を同時に小さくすることができないという主張である。これは定性的には正しいがその不等式は正しくない。この考えを定量的に示したのが小澤の不等式である。また、ここでいう不確定性関係（ロバートソンの不等式）は量子状態の測定値の分散の間の関係であり、測定による擾乱は考慮していない。</ref>である。<math>\lambda</math>を実数として、演算子 <math>\hat C = \hat A + i\lambda \hat B</math> を定義する。このとき、 <math>\langle \psi |\hat C^\dagger \hat C| \psi \rangle = || \hat C | \psi \rangle ||^2 \ge 0</math> となる。また、 <math>\langle \hat C^\dagger \hat C \rangle = \langle \hat A^2 \rangle + \lambda^2 \langle \hat B^2 \rangle + i\lambda \langle [\hat A, \hat B] \rangle \ge 0 </math> を得る。これを <math>\lambda</math> についての条件と見て、判別式を考えると <math>\sqrt{\langle \hat A^2\rangle\langle \hat B^2\rangle} \ge \frac 1 2 |\langle [\hat A,\hat B]\rangle |</math> を得る。<math>\hat A \to \hat A - \langle \hat A \rangle ,\hat B \to \hat B - \langle \hat B \rangle</math> と置き換えると、不確定性関係 <math>\sigma(A) \sigma (B) \ge \frac 1 2 |\langle [\hat A,\hat B]\rangle |</math> を得る。特に、<math> [\hat x,\hat p] = i\hbar </math> より <math>\sigma(x) \sigma(p) \ge \frac \hbar 2</math> となる。 '''例''' 調和振動子のエネルギー固有状態 <math>| n \rangle</math> についての不確定性を計算する。 <math>\begin{align} \hat x &= \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\hat a + \hat a^\dagger),\\ \hat p &= -i\sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}}(\hat a - \hat a^\dagger) \end{align}</math> であるから、 <math>\langle \hat x \rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\langle n|(\hat a + \hat a^\dagger)|n\rangle = 0</math> となる。同様に<math>\langle \hat p \rangle = 0</math>である。また、 <math>\langle \hat x^2 \rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} \langle n|(\hat a + \hat a^\dagger)^2|n\rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} \langle n|(\hat a\hat a^\dagger + \hat a^\dagger\hat a)|n\rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} (2n+1)</math> <math>\langle \hat p^2 \rangle = -\frac{m\hbar \omega}{2} \langle n|(\hat a + \hat a^\dagger)^2|n\rangle = -\frac{m\hbar \omega}{2} \langle n|(-\hat a\hat a^\dagger - \hat a^\dagger\hat a)|n\rangle = \frac{m\hbar \omega}{2} (2n+1) </math> より、 <math>\sigma(x) = \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}(n+1/2)},\sigma(p) = \sqrt{m\hbar\omega (n+1/2)} </math> となり、 <math>\sigma(x) \sigma(p) = \hbar(n+1/2) </math> を得る。従って、不確定性関係が成り立つことを直接示すことができた。 '''例2''' 複素数 <math>\alpha</math> に対して、状態 <math>|\alpha\rangle</math> を <math>|\alpha\rangle = e^{-\frac 1 2 |\alpha|^2}\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle</math> で定義する。簡単な計算から、 <math>\hat a |\alpha\rangle = \alpha|\alpha\rangle ,\, \langle \alpha | \alpha \rangle = 1</math> が成り立つことから、<math>|\alpha\rangle</math> は消滅演算子の固有状態で、規格化されていることがわかる。この状態をコヒーレント状態という。<math>|\alpha\rangle</math> の不確定性を求めよう。前と同じように計算すると、 <math>\langle \hat x \rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\langle \alpha|(\hat a + \hat a^\dagger)|\alpha\rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\alpha+\alpha^*)</math> <math>\langle \hat p \rangle = -i\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}}\langle \alpha|(\hat a - \hat a^\dagger)|\alpha\rangle = -i\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}}(\alpha-\alpha^*)</math> <math>\langle \hat x^2 \rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} \langle \alpha|(\hat a + \hat a^\dagger)^2|\alpha\rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} \langle \alpha|(\hat a^2 + \hat a^{\dagger 2} + 2\hat a^\dagger\hat a + 1 )|\alpha\rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} (\alpha^2 + \alpha^{*2} + 2\alpha^*\alpha + 1)</math> <math>\langle \hat p^2 \rangle = -\frac{m\hbar\omega}{2} \langle \alpha|(\hat a - \hat a^\dagger)^2|\alpha\rangle = -\frac{m\hbar\omega}{2} \langle \alpha|(\hat a^2 + \hat a^{\dagger 2} - 2\hat a^\dagger\hat a - 1 )|\alpha\rangle = -\frac{m\hbar\omega}{2} (\alpha^2 + \alpha^{*2} - 2\alpha^*\alpha - 1)</math> となる。従って、 <math>\sigma(x) = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}},\sigma(p) = \sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}} </math> <math>\sigma(x) \sigma(p) = \frac{\hbar}{2} </math> となる。すなわち、コヒーレント状態は不確定性が最小となる状態である。 == エーレンフェストの定理 == 演算子 <math>\hat A</math> に対してその時間微分の演算子 <math>\frac{d\hat A}{dt}</math> を定義したい。これは、 <math>\frac{d\langle \hat A \rangle}{dt} = \left\langle \frac{d \hat A}{dt} \right\rangle</math> となるように定義するのがいいだろう。 <math>\begin{align} \frac{d\langle \hat A \rangle}{dt} &= \frac{d}{dt}\int \psi^* \hat A \psi dx \\ &= \int \left(\frac{\partial \psi^*}{\partial t} \hat A \psi + \psi^* \frac{\partial \hat A}{\partial t} \psi + \psi^* \hat A \frac{\partial \psi}{\partial t}\right) dx \\ &= \int \left(-\frac{1}{i\hbar}\hat H \psi^* \hat A \psi + \psi^* \frac{\partial \hat A}{\partial t} \psi + \frac{1}{i \hbar}\psi^* \hat A \hat H \psi\right) dx \\ &= \int \left(-\frac{1}{i\hbar}\psi^* \hat H \hat A \psi + \psi^* \frac{\partial \hat A}{\partial t} \psi + \frac{1}{i \hbar}\psi^* \hat A \hat H \psi\right) dx \\ &= \int \left(\psi^* \frac{\partial \hat A}{\partial t} \psi + \frac{1}{i \hbar}\psi^* [\hat A, \hat H] \psi\right) dx \\ \end{align}</math> となる。これが、 <math>\left\langle \frac{d \hat A}{dt} \right\rangle = \int \psi^* \frac{d \hat A}{dt} \psi dx</math> に等しいのだから、 <math>\frac{d \hat A}{dt} = \frac{\partial \hat A}{\partial t} + \frac{1}{i \hbar} [\hat A, \hat H] </math> となる。位置演算子 <math>\hat \boldsymbol r </math> の一階と二階の時間微分 <math>\hat \boldsymbol v , \, \hat \boldsymbol a </math> を作ってみよう。 <math>\hat \boldsymbol v = \frac{1}{i\hbar}(\hat \boldsymbol r \hat H - \hat H \hat \boldsymbol r ) = -\frac{i\hbar}{2m}(\boldsymbol r \triangle - \triangle \boldsymbol r) = -\frac{i\hbar}{m}\nabla </math> となる。また、 <math>\hat \boldsymbol a = \frac{1}{i\hbar}(\hat \boldsymbol v \hat H - \hat H \hat \boldsymbol v) = -\frac{1}{m}(\nabla V - V\nabla) = - \frac 1 m \nabla V </math> となる。よって、 <math>m \hat \boldsymbol a = - \nabla V </math> あるいは、 <math>m \frac{d^2 \langle\hat x\rangle}{dt^2} = - \langle \nabla V \rangle </math> を得る。これをエーレンフェストの定理という。 == エルミート多項式の性質 == エルミート多項式の母関数を求めよう。 <math>\begin{align} \sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)}{n!}t^n &= \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^{[\frac n 2]} \frac{(-1)^k}{ k! (n-2k)!} (2x)^{n-2k}t^n\\ \end{align}</math> となる。ここで、<math>\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^{[\frac n 2]}</math> は <math>n - 2k \ge 0</math> を満たすすべての非負整数 <math>n,k</math> についての和である。そこで、<math>l = n - 2k</math> とし、<math>l</math> を0から∞まで走らせ、各 <math>l</math> について <math>k</math> を+1するごとに <math>n</math> に2を足すことにすると、 <math>l</math> が一定のまま <math>k</math> は0から∞まで走らせることができる。従って、総和は、 <math>\begin{align} \sum_{l=0}^\infty\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{ k! l!} (2x)^{l}t^{l+2k} &= \sum_{l=0}^\infty\frac{(2xt)^l}{l!} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-t^2)^k}{k!}\\ &= e^{2xt-t^2} \end{align}</math> となる。また、 <math>\begin{align} H_n(x) &= \frac{d^n}{dt^n}e^{2xt-t^2}|_{t=0}\\ &= e^{x^2} \frac{d^n}{dt^n}e^{(x-t)^2}|_{t=0}\\ &= e^{x^2} \frac{d^n}{d(-s)^n}e^{-s^2}|_{s=x}\\ &= (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2} \\ \end{align} </math> より、ロドリゲスの公式を得る。途中で、 <math>s=x-t </math> とした。 == WKB近似 == エネルギーが一定のとき作用は <math>S = S_0 - Et </math> であるから、波動関数の準古典近似は <math>\Psi = ae^{\frac i \hbar S} = ae^{\frac{-iEt}{\hbar}}e^{\frac i \hbar S_0}</math> となる。そこで、<math>\psi = a e^{\frac i \hbar S_0} </math> をシュレーディンガー方程式に代入して <math>\hbar </math> の0次と1次について計算すると<ref><math>\left(\frac{-\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V \right)\psi \approx \left(\frac{1}{2m}\left(\frac{dS_0}{dx}\right)^2a-\frac{i\hbar}{2m}\frac{d^2S_0}{dx^2}a -\frac{i\hbar}{m}\frac{dS_0}{dx}\frac{da}{dx} + Va\right)e^{\frac i \hbar S_0} </math> となる。</ref>、 <math>\frac{1}{2m} \left(\frac{dS_0}{dx}\right)^2 + V(x) = E </math> <math>\frac{1}{2m} a\frac{d^2S_0}{dx^2} + \frac 1 m \frac{dS_0}{dx}\frac{da}{dx} = 0 </math> を得る。第一式を解くと、 <math>S_0 = \pm \int \sqrt{2m(E-V(x))}dx =: \pm\int pdx </math> となる。第二式は <math>2ma </math> を掛けると <math>\frac{d}{dx}\left(a^2\frac{dS_0}{dx}\right) = 0 </math> と変形されるから、<math>C </math> を定数として <math>a = \frac{C}{\sqrt p} </math> を得る。よって波動関数は <math>\psi(x) = \frac{C_1}{\sqrt p} e^{\frac i \hbar \int pdx} + \frac{C_2}{\sqrt p} e^{-\frac i \hbar \int pdx} </math> となる。<math> E < V(x) </math> の領域では <math>p </math> は純虚数となるから <math>p = i \tilde p </math> と置いて <math>\psi(x) = \frac{C'_1}{\sqrt \tilde p} e^{\frac 1 \hbar \int \tilde p dx} + \frac{C'_2}{\sqrt \tilde p} e^{-\frac 1 \hbar \int \tilde p dx} </math> となる。 <math> E < V(x) </math> の領域は古典的には存在できない領域であるが、量子力学的には指数関数的に減衰するものの透過することが可能である。<math>x</math> 軸正の方向に移動する粒子を考えよう。転回点を <math>x_1 < x_2 </math> とするとき、波動関数は <math> E < V(x) </math> の領域では <math>\psi(x) \sim \exp\left(-\frac 1 \hbar \int_{x_1}^x \tilde p dx\right) </math> で減衰する。従って、ポテンシャル障壁を抜ける透過係数は <math>T \sim \exp\left(-\frac 2 \hbar \int_{x_1}^{x_2} \tilde p dx\right) </math> で与えられる。 '''例''' WKB近似の応用として、アルファ崩壊について考えてみよう。アルファ粒子は原子核の内部では核力により <math>-V_0</math> のポテンシャルで束縛されおり、原子核の外部ではクーロン力を受けるとする。ポテンシャルは <math>V(r)=\begin{cases} -V_0 \quad (r<r_1)\\ \frac{\alpha}{r} \quad (r > r_1) \end{cases}</math> で与えられる。<math>r_1</math> は原子核の半径である。転回点 <math>r_2</math> は <math>E = \frac{\alpha}{r_2} </math> となる。透過係数は <math>T = \exp\left(-\frac 2 \hbar \int_{r_1}^{r_2} \sqrt{2m\left(\frac{\alpha}{r}-E\right)} dr\right) </math> である。ここで、<math>r = r_1 \cos^2\theta </math> と変換して積分すると <math>\begin{align} \int_{r_1}^{r_2} \sqrt{2m\left(\frac{\alpha}{r}-E\right)} dr &= 2\sqrt{2mE}r_2\int_{0}^{\cos^{-1}\sqrt{\frac{r_1}{r_2}}} \sin^2\theta d\theta \\ &= \sqrt{2mE}r_2\left(\cos^{-1}\sqrt{\frac{r_1}{r_2}} - \sqrt{\frac{r_1}{r_2}\left(1-\frac{r_1}{r_2}\right)}\right) \end{align} </math> となる。従って <math>T = \exp\left\{-\frac{2\alpha\sqrt{2m}}{\hbar \sqrt E} \left(\cos^{-1}\sqrt{\frac{r_1}{r_2}} - \sqrt{\frac{r_1}{r_2}\left(1-\frac{r_1}{r_2}\right)}\right)\right\}</math> を得る。<math>r_1 \ll r_2</math> とすると <math>T = \exp\left(-\frac{\pi\alpha\sqrt{2m}}{\hbar \sqrt E}\right)</math> となる。 == スピン == 電子などの素粒子には粒子に固有の角運動量が存在する。これをスピンという。<math>\hbar</math> を単位として測ったスピン演算子を <math>\hat s_i \; (i=x,y,z)</math> とする。これは角運動量演算子と同じ交換関係 <math>[\hat s_i, \hat s_j] = i\varepsilon_{ijk} \hat s_k </math> を満たす。[[量子力学#角運動量]]では、軌道角運動量の交換関係を求めてから後は、その交換関係しか使っていない。すなわち、[[量子力学#角運動量]]で求めたことはスピン演算子でも有効である。つまり、<math>\hat s_z</math> の固有値には最大値が存在し、その最大値を <math>s</math> とする。このとき、<math>s_z = -s,-s+1,\cdots,s-1,s</math> の <math>2s+1</math> 個のスピン状態が存在する。<math>2s+1</math> は自然数であるから、<math>s = 0, \frac 1 2, 1, \frac 3 2, \cdots</math> の値を取ることができる。 スピン <math>s=\frac 1 2</math> の場合を考える。<math>\hat s_z</math> の固有状態には <math>s_z = \pm \frac 1 2</math> の二通りがある。それぞれの固有状態を <math>\left|\frac 1 2\right\rangle,\left|-\frac 1 2\right\rangle</math> とする。 <math>\hat s_z \left|\frac 1 2\right\rangle = \frac 1 2 \left|\frac 1 2\right\rangle,\, \hat s_z \left|-\frac 1 2\right\rangle = -\frac 1 2 \left|-\frac 1 2\right\rangle</math> である。したがって、<math>\left|\frac 1 2\right\rangle = \binom{1}{0},\left|-\frac 1 2\right\rangle = \binom{0}{1}</math> と行列表示するとき、<math>\hat s_z</math> の行列表示は <math>\hat s_z = \begin{pmatrix} \frac 1 2 & 0 \\ 0 & -\frac 1 2 \end{pmatrix}</math> となる。また、 <math>\hat s_+ \left|-\frac 1 2\right\rangle = \left|\frac 1 2\right\rangle,\, \hat s_- \left|\frac 1 2\right\rangle = \left|-\frac 1 2\right\rangle</math> より、 <math>\hat s_+ = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\hat s_- = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} </math> となる。よって、 <math>\hat s_x =\frac 1 2 (\hat s_++\hat s_-) = \frac 1 2 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} </math> <math>\hat s_y =\frac{1}{2i}(\hat s_+-\hat s_-) = \frac 1 2 \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} </math> となる。ここで、<math>\hat s_i = \frac 1 2 \sigma_i</math> となる行列 <math>\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math> をパウリ行列と定義する。 == 角運動量の合成 == *[[量子力学/角運動量の合成|角運動量の合成]] == 時間に依存しない摂動論 == ハミルトニアン <math>\hat H_0</math> は完全に解かれていて <math>\hat H_0 |\psi_n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)}|\psi_n^{(0)}\rangle</math> とする。規格化されていて縮退はないとする。<math>\lambda</math> を小さい量として摂動ハミルトニアン <math>\hat H = \hat H_0 + \lambda \hat V</math> を考える。目標はシュレーディンガー方程式 <math>\hat H |\psi_n\rangle = E_n |\psi_n\rangle </math> を摂動的に解くことである。 <math>|\psi_n\rangle = |\psi_n^{(0)}\rangle + \lambda |\psi_n^{(1)}\rangle + \lambda^2 |\psi_n^{(2)}\rangle + \cdots</math> <math>E_n = E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots</math> と <math>\lambda</math> の冪で展開する。二次まででシュレーディンガー方程式に代入すると、 <math>(\hat H_0 + \lambda \hat V)(|\psi_n^{(0)}\rangle + \lambda |\psi_n^{(1)}\rangle + \lambda^2 |\psi_n^{(2)}\rangle) = (E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)}) (|\psi_n^{(0)}\rangle + \lambda |\psi_n^{(1)}\rangle + \lambda^2 |\psi_n^{(2)}\rangle) </math> 一次の方程式は <math>\hat H_0 |\psi_n^{(1)}\rangle + \hat V |\psi_n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)} |\psi_n^{(1)}\rangle + E_n^{(1)}|\psi_n^{(0)}\rangle </math> となる。二次は <math>\hat H_0 |\psi_n^{(2)}\rangle + \hat V |\psi_n^{(1)}\rangle = E_n^{(0)} |\psi_n^{(2)}\rangle + E_n^{(1)} |\psi_n^{(1)}\rangle + E_n^{(2)}|\psi_n^{(0)}\rangle </math> となる。まずは一次の近似について考える。 <math>|\psi_n^{(1)}\rangle = \sum_k c^{(1)}_k|\psi_k^{(0)}\rangle </math> と展開して、 <math>\sum_k E^{(0)}_k c^{(1)}_k|\psi_k^{(0)}\rangle + \hat V |\psi_n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)} \sum_k c^{(1)}_k|\psi_k^{(0)}\rangle + E_n^{(1)}|\psi_n^{(0)}\rangle </math> <math>\langle \psi_m^{(0)}| </math> を左からかけると、 <math>E^{(0)}_m c^{(1)}_m + \langle \psi_m^{(0)}| \hat V |\psi_n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)} c^{(1)}_m + E_n^{(1)}\langle \psi_m^{(0)}| \psi_n^{(0)}\rangle </math> となる。<math>m = n </math> とすると、 <math>E_n^{(1)} = \langle \psi_n^{(0)}| \hat V |\psi_n^{(0)}\rangle </math> を得る。<math>m \neq n </math> のときは、 <math>c_m^{(1)} = \frac{\langle \psi_m^{(0)}| \hat V |\psi_n^{(0)}\rangle}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}} </math> となる。<math>c_n^{(1)} </math> は決定できないが、<math>c_n^{(1)}=0 </math> とする。 次に二次の摂動に移ろう。同じように、 <math>|\psi_n^{(2)}\rangle = \sum_k c^{(2)}_k|\psi_k^{(0)}\rangle </math> と展開して二次の方程式に <math>\langle \psi_m^{(0)}| </math> を左からかけると、 <math>E^{(0)}_m c_m^{(2)} + \sum_{k} c_k^{(1)} \langle \psi_m^{(0)}|\hat V |\psi_k^{(0)}\rangle = E_n^{(0)} c_m^{(2)} + E_n^{(1)} c_m^{(1)} + E_n^{(2)}\langle \psi_m^{(0)}|\psi_n^{(0)}\rangle</math> となる。<math>m=n</math> とすると、 <math>E_n^{(2)} = \sum_{k} c_k^{(1)} \langle \psi_n^{(0)}|\hat V |\psi_k^{(0)}\rangle = \sum_{k\neq n} \frac{|\langle \psi_n^{(0)}|\hat V |\psi_k^{(0)}\rangle|^2}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}}</math> となる。 '''演習問題''' 調和振動子について摂動ハミルトニアンが <math>\hat V_1 = \alpha \hat x^3</math> であるときにエネルギーの一次と二次の摂動を求めよ。また、摂動ハミルトニアンが <math>\hat V_2 = \beta \hat x^4</math> であるときのエネルギーの一次の摂動を求めよ。 '''解答''' <math>\begin{align} \hat x &= \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\hat a + \hat a^\dagger),\\ \hat p &= -i\sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}}(\hat a - \hat a^\dagger) \end{align}</math> より、 <math>E_n^{(1)} = \langle n|\alpha \hat x^3|n\rangle = \alpha \left(\frac{\hbar}{2m\omega}\right)^{\frac 3 2}\langle n|(a + a^\dagger)^3|n\rangle</math> である。演算子を展開して交換関係 <math>a a^\dagger = a^\dagger a + 1</math> を使って消滅演算子を右側に来るようにすると、 <math>(a + a^\dagger)^3 = a^{\dagger 3} + 3 a^{\dagger 2}a + 3 a^\dagger a^2 + a^3 + 3 a^\dagger + 3 a</math> となる。更に整理すると、 <math>(a + a^\dagger)^3 = a^{\dagger 3} + 3 a^\dagger a a^\dagger + 3 a a^\dagger a + a^3</math> となる。これには、<math>n \to n \pm 1, n \pm 3</math> の遷移に対応する演算子しか含まれていないから、 <math>\langle n|(a + a^\dagger)^3|n\rangle = 0, \quad E_n^{(1)} = 0</math> となる。次に、二次の摂動エネルギーを求める。行列要素を求めると、 <math>\begin{align} &\langle n+3 | a^{\dagger 3}|n \rangle = \sqrt{(n+1)(n+2)(n+3)},\quad \langle n+1 | 3a^\dagger a a^\dagger |n \rangle =3(n+1)^{\frac 3 2}\\ &\langle n-1 | 3a a^\dagger a|n \rangle = 3n^{\frac 3 2},\quad \langle n-3 | a^3 |n \rangle = \sqrt{n(n-1)(n-2)} \end{align}</math> であり、これ以外の行列要素は0である。従って、 <math>E_n^{(2)} = \sum_{k=n \pm 1,n\pm 3} \frac{|\langle n|\alpha\hat x^3 |k\rangle|^2}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} = -\frac{\alpha^2\hbar^2}{8m^3\omega^4}(30n^2+30n+11)</math> となる。 次に、摂動ハミルトニアンが <math>\hat V_2 = \beta \hat x^4</math> で与えられる場合を計算しよう。同じように<math>\langle n | (a+a^\dagger)^4|n\rangle </math> の値が必要になるが、展開したときに生成演算子と消滅演算子が同数だけある項のみが一般に0とは異なる値を与える<ref>例えば、<math>a a a a^\dagger </math> のような項は <math>aaaa^\dagger |n\rangle \propto |n-2\rangle</math> となるため <math>\langle n |</math> で挟んだときに消える。</ref>。そのような項は <math>{}_4\mathrm{C}_{2}</math> 通り <math>\begin{align} &a^\dagger a^\dagger a a\\ &a^\dagger a a^\dagger a = a^\dagger a^\dagger a a + a^\dagger a\\ &a^\dagger a a a^\dagger = a^\dagger a a^\dagger a + a^\dagger a = a^\dagger a^\dagger a a + 2 a^\dagger a\\ &a a^\dagger a^\dagger a = a^\dagger a a^\dagger a + a^\dagger a = a^\dagger a^\dagger a a + 2 a^\dagger a\\ &a a^\dagger a a^\dagger = a a^\dagger a^\dagger a + a a^\dagger = a^\dagger a^\dagger a a + 3 a^\dagger a + 1\\ &a a a^\dagger a^\dagger = a a^\dagger a a^\dagger + a a^\dagger = a^\dagger a^\dagger a a + 3 a^\dagger a + 3\\ \end{align}</math> である。その和は、<math>6 a^\dagger a^\dagger a a + 12 a^\dagger a + 3</math> となる。従って、 <math>\langle n | (a+a^\dagger)^4|n\rangle = \langle n |(6 a^\dagger a^\dagger a a + 12 a^\dagger a + 3)|n\rangle = 6n^2 + 6n + 3 </math> を得る。よって、 <math>E_n^{(1)} = \frac{\beta\hbar^2}{4m^2\omega^2}(6n^2+6n+3)</math> となる。 === 永年方程式 === 縮退がある場合の摂動を考える。<math> E_n^{(0)}</math> に属する固有状態が <math>|\psi_{n,\alpha}^{(0)}\rangle</math> であるとする。前節と同じように <math>|\psi_{n}\rangle = \sum_\alpha c_{n,\alpha}^{(0)} |\psi_{n,\alpha}^{(0)}\rangle </math> と展開する。これを一次までで切ったシュレーディンガー方程式 <math>(\hat H_0 + \lambda \hat V)|\psi_n\rangle = (E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)})|\psi_n\rangle</math> に代入して <math>\langle \psi^{(0)}_{n,\beta}|</math> を左からかけると、 <math>\sum_\alpha (\langle \psi^{(0)}_{n,\beta}|\hat V |\psi^{(0)}_{n,\alpha}\rangle - E^{(1)}_n\delta_{\alpha\beta})c^{(0)}_{n,\alpha} = 0</math> を得る。これが、すべての <math>c^{(0)}_{n,\alpha}</math> が0とはならない解が存在するためには、 <math>\det (\langle \psi^{(0)}_{n,\beta}|\hat V |\psi^{(0)}_{n,\alpha}\rangle - E^{(1)}_n\delta_{\alpha\beta}) = 0</math> でなくてはならない。これを永年方程式という。 == 部分波 == 自由粒子のシュレーディンガー方程式の解を極座標で考えてみよう。シュレーディンガー方程式は <math>(\triangle + k^2)\psi(r,\theta,\varphi) = 0</math> となる。ここで、<math>k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}</math> である。これはヘルムホルツ方程式である。<math>\psi(r,\theta,\varphi) = R(r)Y(\theta,\varphi)</math> を変数分離すると <math>\frac{1}{R}\left(\frac{d}{d r}\left(r^2\frac{d R}{d r}\right) + r^2 k^2 R\right) = \frac 1 Y \hat \boldsymbol l^2 Y = l(l+1)</math> より、 <math>\hat \boldsymbol l^2 Y = l(l+1)Y</math> <math>\frac{1}{r^2}\frac{d}{d r}\left(r^2\frac{d R}{d r}\right) + \left(k^2-\frac{l(l+1)}{r^2}\right) R = 0</math> を得る。<math>Y</math> は球面調和関数で <math>l</math> は軌道角運動量であることがわかる。動径関数は <math>R(r) = \frac{X(kr)}{\sqrt{kr}}</math> と置くと、 <math>\frac{d^2}{dr^2}X(kr) + \frac 1 r \frac{d}{dr}X(kr) + \left(k^2-\frac{(l+1/2)^2}{r^2}\right) X(kr) = 0</math> を得る。これは <math>l+ \frac 1 2</math> 次のベッセルの微分方程式であるから、<math>X(kr) = A J_{l+1/2}(kr) + BN_{l+1/2}(kr)</math> となる。球ベッセル関数 <math>j_l(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{l+1/2}(x),\, n_l(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} N_{l+1/2}(x)</math> を使うと、 <math>R(r) = a_{lm} j_l(kr) + b_{lm} n_l(kr)</math> となる。最終的にヘルムホルツ方程式の解は、 <math>\psi(r,\theta,\varphi) = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l (a_{lm} j_l(kr) + b_{lm} n_l(kr)) Y_{lm}(\theta,\varphi) </math> となる。この式のそれぞれの項は確定した角運動量 <math>l</math> と角運動量の <math>z</math> 成分 <math>m</math> を持つ波動関数である。このように角運動量の固有状態で展開することを部分波展開という。 === 平面波の部分波展開 === 平面波 <math>e^{ikz}</math> はヘルムホルツ方程式を満たす。すなわち、 <math>e^{ikz} = e^{ikr\cos\theta} = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l (a_{lm} j_l(kr) + b_{lm} n_l(kr)) Y_{lm}(\theta,\varphi) </math> の形に変形することができる。まず、<math>r=0</math> で有限だから、<math>b_{lm}=0</math> である。また、左辺は <math>\varphi</math> に依存しないから、<math>m=0</math> である。よって、 <math>e^{ikr\cos\theta} = \sum_{l=0}^\infty a_l j_l(kr) P_l(\cos\theta) </math> となる<ref>ここでは <math>Y_{lm}(\theta,\varphi) \propto P^{|m|}_l(\cos\theta) e^{im\varphi}</math> だけで十分である。規格化因子は重要ではないから、係数に吸収させた。</ref>。ここで、<math>x\to 0</math> で漸近的に <math> j_l(x) \to \frac{x^l}{(2l+1)!!}\left(1-\frac{x^2}{2(2l+3)}+\cdots\right)</math> となる。実際、 <math> J_{l+1/2}(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!\Gamma(l+k+3/2)}\left(\frac x 2\right)^{2k+l+1/2} \to \frac{1}{\Gamma(l+3/2)}\left(\frac x 2\right)^{l+1/2}</math> より、 <math> j_l(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{l+1/2}(x) \to \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\frac{2^{l+1}}{(2l+1)!!\sqrt{\pi}}\left(\frac x 2\right)^{l+1/2} = \frac{x^l}{(2l+1)!!}</math> となる。また、<math> P_l(\cos\theta) </math> の最高次 <math>\cos^l\theta</math> の係数は、<math>\frac{(2l)!!}{l!}</math> である<ref>[[物理数学II/特殊関数#Legendre 多項式]]を見よ</ref>から、 <math>\sum_{l=0}^\infty a_l j_l(kr) P_l(\cos\theta) \to \sum_{l=0}^\infty a_l \frac{(kr\cos\theta)^l}{(2l+1)l!}</math> となる。また、 <math>e^{ikr\cos\theta} = \sum_{l=0}^\infty \frac{(ikr\cos\theta)^l}{l!}</math> より、<math> a_l = (2l+1)i^l </math> を得る。したがって、 <math>e^{ikr\cos\theta} = \sum_{l=0}^\infty (2l+1)i^l j_l(kr) P_l(\cos\theta) </math> を得る。 == 散乱 == 平面波 <math>e^{ikz}</math> がポテンシャル <math>V(r)</math> に入射されて、散乱された波動関数は <math>r\to\infty</math> のところで、<math>f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r}</math> の球面波の形をしている。波動関数は <math>r\to\infty</math> で <math>\psi \to e^{ikz} + f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r} </math> に漸近する。<math>r\to\infty</math> ではポテンシャルの影響はなく自由粒子と仮定していいから、<math>\psi</math> はヘルムホルツ方程式の解に漸近する。入射波とポテンシャルは <math>\varphi</math> には依存しないから <math>m=0</math> である。したがって、 <math>\psi \to \sum_{l=0}^\infty (a_{l} j_l(kr) + b_{l} n_l(kr)) P_l(\cos\theta) </math> と展開される。さらに、<math>r\to\infty </math> で <math>\begin{align} j_l(kr) &\to \frac{1}{kr}\sin\left(kr-\frac{l\pi}{2}\right),\\ n_l(kr) &\to -\frac{1}{kr}\cos\left(kr-\frac{l\pi}{2}\right) \end{align}</math> となることを使うと、 <math>\psi = \frac{1}{kr}\sum_{l=0}^\infty c_l\sin\left(kr-\frac{l\pi}{2}+\delta_l\right) P_l(\cos\theta) </math> となる。ここで <math>\delta_l</math> は位相のずれという。入射波 <math>e^{ikr\cos\theta} </math> も同じように部分波展開して、球面ベッセル関数の漸近形を使うと、 <math>\psi - e^{ikr\cos\theta} = \frac{1}{2ikr}\sum_{l=0}^\infty [c_l(e^{i\delta_l}i^{-l}e^{ikr}-e^{-i\delta_l}i^{l}e^{-ikr})P_l(\cos\theta) - (2l+1)i^l(i^{-l}e^{ikr}-i^le^{-ikr})P_l(\cos\theta)]</math> となる。<math>\psi - e^{ikr\cos\theta} </math> は外向きの散乱波である。したがって、内向き球面波の <math>\frac{e^{-ikr}}{r} </math> の部分の係数は0である必要がある。このことから <math>c_l </math> が決定できて、 <math>c_l = (2l+1)i^le^{i\delta_l} </math> となる。これを代入すると、 <math>\psi - e^{ikr\cos\theta} = \frac{e^{ikr}}{2ikr}\sum_{l=0}^\infty (2l+1)(e^{2i\delta_l}-1)P_l(\cos\theta)</math> を得る。すなわち、散乱振幅は <math>f(\theta) = \frac{1}{2ik}\sum_{l=0}^\infty (2l+1)(e^{2i\delta_l}-1)P_l(\cos\theta)</math> である。散乱断面積は <math>\begin{align} \sigma &= 2\pi \int_0^\pi |f(\theta)|^2\sin\theta d\theta\\ &= 2\pi\sum_{l=0}^\infty \int_0^\pi \frac{4k^2}{(2l+1)^2}|e^{2i\delta_l}-1|^2P_l(\cos\theta)^2\sin\theta d\theta\\ &= \frac{4\pi}{k^2}\sum_{l=0}^\infty (2l+1)\sin^2\delta_l \end{align}</math> となる。また、 <math>\operatorname{Im}f(0) = \frac{2l+1}{k}\sum_{l=0}^\infty \sin^2\delta_l</math> より、 <math>\sigma = \frac{4\pi}{k}\operatorname{Im}f(0) </math> を得る。これを光学定理という。 == ボルン近似 == ポテンシャル <math>V </math> が十分小さいときの散乱問題を考えよう。入射波を <math>\psi^{(0)} = e^{i\boldsymbol k \cdot \boldsymbol r}</math> 、散乱波 <math>\psi^{(1)}</math> は <math>V</math> と同次の量とする。 <math>\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \triangle + V\right)(\psi^{(0)} + \psi^{(1)}) = E(\psi^{(0)} + \psi^{(1)})</math> について、二次の微小量 <math>V\psi^{(1)}</math> を無視すると、 <math>-\frac{\hbar^2}{2m} \triangle \psi^{(1)} + V\psi^{(0)} = E \psi^{(1)}</math> <math>\triangle \psi^{(1)} + k^2 \psi^{(1)} = \frac{2m}{\hbar^2} V\psi^{(0)} = \frac{2m}{\hbar^2} V e^{i\boldsymbol k \cdot \boldsymbol r}</math> となる。ここで、 <math>-\frac{\hbar^2}{2m} \triangle \psi^{(0)} = E\psi^{(0)}</math> が成り立つことを使った。 この方程式の解は、<math>R = |\boldsymbol r - \boldsymbol r'|</math> として <math>\begin{align}\psi^{(1)}(\boldsymbol r) &= -\frac{m}{2\pi \hbar^2}\int V(\boldsymbol r') \psi^{(0)}(\boldsymbol r') e^{ikR} \frac{d^3\boldsymbol r'}{R}\\ &=-\frac{m}{2\pi \hbar^2}\int V(\boldsymbol r') e^{i(\boldsymbol k \cdot \boldsymbol r + kR)} \frac{d^3\boldsymbol r'}{R} \end{align} </math> となる。<math>r \gg r' </math> のときは <math>R = |\boldsymbol r - \boldsymbol r'| \approx r - \boldsymbol r' \cdot \boldsymbol n</math> となる。ここで、<math>\boldsymbol n </math> は <math>\boldsymbol r </math> 方向の単位ベクトルである。さらに、 <math>\frac 1 R \approx \frac 1 r </math> とする。そうすると、 <math>\psi^{(1)}(\boldsymbol r) =-\frac{m}{2\pi \hbar^2}\frac{e^{ikr}}{r}\int V(\boldsymbol r') e^{i(\boldsymbol k - \boldsymbol k')\cdot \boldsymbol r'} d^3\boldsymbol r' </math> を得る。ただし、<math>\boldsymbol k' = k \boldsymbol n </math> とした。最終的に散乱振幅は <math>f=-\frac{m}{2\pi \hbar^2}\int V(\boldsymbol r) e^{-i\boldsymbol q\cdot \boldsymbol r} d^3\boldsymbol r </math> で与えられる。<math>\boldsymbol q = \boldsymbol k' - \boldsymbol k </math> で <math>q= 2k \sin \frac{\theta}{2} </math> となる。微分散乱断面積は <math>\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{m^2}{4\pi^2 \hbar^4}\left|\int V(\boldsymbol r) e^{-i\boldsymbol q\cdot \boldsymbol r} d^3\boldsymbol r\right|^2 </math> となる。 球対称ポテンシャル <math>V(r) </math> の場合は、積分を実行すると、 <math>\begin{align} \int V(\boldsymbol r) e^{-i\boldsymbol q\cdot \boldsymbol r} d^3\boldsymbol r &= \int_0^\infty dr \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^\pi d\theta r^2 \sin\theta V(r) e^{-iqr\cos\theta}\\ &= 2\pi \int_0^\infty dr \, r^2 \left[\frac{1}{iqr}e^{-iqr\cos\theta}\right]_0^\pi \\ &=\frac{4\pi}{q}\int_0^\infty rV(r) \sin qr dr \end{align} </math> となるから、 <math>f=-\frac{2m}{\hbar^2 q}\int_0^\infty rV(r) \sin qr dr </math> となる。 例として湯川ポテンシャル <math>V(r) = \frac{\alpha}{r} e^{-\mu r} </math> の場合の微分散乱断面積を計算しよう。 <math>\begin{align} \int_0^\infty rV(r) \sin qr dr &= \int_0^\infty \alpha e^{-\mu r} \sin qr dr \\ &= \alpha \operatorname{Im} \int_0^\infty e^{-\mu r} e^{iqr} dr\\ &= \alpha \operatorname{Im} \left[\frac{e^{(-\mu + iq)r}}{qi-\mu} \right]_0^\infty \\ &= \alpha \operatorname{Im} \frac{1}{\mu- iq} = \frac{\alpha q}{\mu^2 + q^2} \end{align} </math> となる。したがって、 <math>\frac{d\sigma}{d\Omega}= \frac{4m^2}{\hbar^4} \frac{\alpha^2}{(\mu^2+q^2)^2} </math> となる。散乱断面積は <math>q^2 = 2k^2(1-\cos\theta) </math> より、 <math>\begin{align} \sigma &= 2\pi \int_0^\pi \frac{4 m^2 \alpha^2}{\hbar^4} \frac{\sin\theta d\theta}{(\mu^2 + 2k^2(1-\cos\theta))^2}\\ &= \frac{8\pi m^2 \alpha^2}{\hbar^4}\int_0^2 \frac{dx}{(\mu^2 + 2k^2 x)^2}\\ &= \frac{8\pi m^2 \alpha^2}{\hbar^4} \left[\frac{-1}{2k^2}\frac{1}{(\mu^2 + 2k^2 x)}\right]_0^2\\ &= \frac{16\pi m^2 \alpha^2}{\hbar^4}\frac{1}{\mu^2(\mu^2 + 4k^2)} \end{align} </math> となる。途中で <math>x=1-\cos\theta </math> とした。 また、<math>\mu \to 0 </math> とするとポテンシャルはクーロンポテンシャルとなり、 <math>\frac{d\sigma}{d\Omega}= \frac{4m^2 \alpha^2}{\hbar^4 q^4} = \left(\frac{m\alpha}{2\hbar^2 k^2}\right)^2 \frac{1}{\sin^4\frac \theta 2} </math> となる。これは、古典力学でのラザフォード散乱に一致する。{{stub}} {{DEFAULTSORT:りようしりきかく}} [[Category:量子力学|*]] {{NDC|423}} <references /> 7bquauvf2q2x19cxuoicdm72ipd3zek 299468 299467 2026-05-12T15:18:24Z Tomzo 248 299468 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|自然科学|物理学|frame=1|small=1}} {{sisterlinks | b = 量子力学 | commons = Quantum physics | commonscat = Quantum mechanics | d = Q944 }} {| style="float:right" |- |{{Wikipedia|量子力学|量子力学}} |- |{{Wikiversity|Topic:量子力学|量子力学}} |} == 量子力学とは == * [[量子力学/量子力学とは]] == 量子力学の発展 == * [[量子力学/量子力学の発展]] <!-- == 古典および量子統計力学 == === デュロン＝プティの法則 === [[w:結晶|結晶]]を成す物質の[[w:内部エネルギー|内部エネルギー]]および[[w:熱容量|熱容量]]を求めよう。議論を簡単にするため、[[w:結晶構造|結晶構造]]の単位である[[w:単位胞|単位胞]] 1 つをとり、これを 1 つの[[w:分子|分子]]と見なす。このような取り扱いは結晶の具体的構造によらない普遍的な性質を議論する上で重要である。結晶を構成する分子は互いに[[w:相互作用|相互作用]]するが、最も主要な効果を及ぼすのは最近接格子点上の分子であり、より遠距離にある分子同士の相互作用はそれらの間に存在する分子同士の相互作用として含めることができる。ここまでで扱うべき問題はかなり簡素になったが、結晶分子の運動がそれほど激しいものでない場合には（気体分子運動論の考えを援用すれば、この状況は結晶内部の[[w:温度|温度]]が極めて低いことに相当する）、各分子は固定された平衡点近傍を振動していると見なすことができる。この場合、分子 1 つ 1 つの運動は独立なものとして取り扱うことができ、平衡点近傍で運動する分子 1 個の周りの[[w:ポテンシャル|ポテンシャルエネルギー]]は <math>U</math> は、その平衡点を原点として以下のように表すことができる。 :<math>U=\frac{1}{2}k_x x^2 + \frac{1}{2}k_y y^2 + \frac{1}{2}k_z z^2</math> 分子の周りのポテンシャルは <math>x, y, z</math> の 3 成分に対応する 3 つの[[w:自由度|自由度]]を持っている。 また分子の[[w:運動エネルギー|運動エネルギー]] <math>K</math> は :<math>K=\frac{1}{2}mv_x^2 + \frac{1}{2}mv_y^2 + \frac{1}{2}mv_z^2</math> となって <math>v_x, v_y, v_z</math> の 3 つの速度成分に対応する 3 つの自由度を持っている。これらの運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和は今、熱振動をする分子 1 個が持つ全エネルギーに対応し、分子のエネルギーの自由度は合わせて 6 と数えることができる。なぜならこのエネルギーは 3 次元空間上を運動する粒子の位置と速度の 6 つの独立変数 <math>x, y, z, v_x, v_y, v_z</math> によって決定されるからである。 古典的な統計力学において、[[w:熱力学的平衡|平衡状態]]では[[w:エネルギー等配分の法則|エネルギー等分配の法則]]が成り立つことから、独立に振動する結晶分子からなる系について、自由度 1 つにつき <math>kT/2</math> のエネルギーが分配され、系全体のエネルギー <math>E</math> との間に :<math>E = N\times 6 \times \frac{kT}{2} = 3NkT</math> という関係が成り立つ。ここで <math>N</math> は結晶内部に含まれる結晶分子の数であり、また <math>k \simeq 1.38\times 10^{-23}~\mathrm{[J/K]}</math> は[[w:ボルツマン定数|ボルツマン定数]]、<math>T</math> は[[w:熱力学温度|熱力学温度]]である（以下、温度とは熱力学温度のことを指すとする）。ボルツマン定数 <math>k</math> と[[w:アヴォガドロ定数|アヴォガドロ定数]] <math>N_\mathrm{A}</math> の積は[[w:気体定数|気体定数]] <math>R</math> を与える。 :<math>k =\frac{R}{N_\mathrm{A}}.</math> 結晶分子の個数 <math>N</math> をアヴォガドロ定数を用いて[[w:物質量|物質量]] <math>n = N/N_\mathrm{A}</math> に置き換えれば、上述の関係は気体定数を使って以下のように書き直すことができる。 :<math>E = 3NkT = 3nN_\mathrm{A}\frac{R}{N_\mathrm{A}}T = 3nRT.</math> 気体定数を用いた形式では分子数が現れず、代わりに物質量という量が定義されることに注意しよう。ボルツマン定数を基本定数とする立場では単なる置き換えに過ぎないが、気体定数を基本定数とする場合、ボルツマン定数を用いた形式を与えるには分子の存在をあからさまに認める必要がある。 結晶の[[w:比熱容量|1モル当たりの熱容量]] <math>C</math> は、温度変化に対するエネルギーの増減の割合を全体の物質量で割ったものに相当するから、 :<math>C = \frac{1}{n}\frac{\partial E}{\partial T} = 3R</math> となる。これは常温 (<math>T \sim 300 ~\mathrm{[K]}</math>) での結晶の比熱の測定値に一致する。この比熱は温度依存性がなく、常温の固体のモル比熱がほとんど一定であることを示す。固体のモル比熱が常温で一定の値を取るという法則は'''[[w:デュロン＝プティの法則|デュロン＝プティの法則]]''' (Dulong-Petit law) と呼ばれる。デュロンとプティはこの法則が多くの物質について良い精度で成り立つことを実験的に発見した人物である。 デュロン＝プティの法則が成り立つような系について、常温より遥かに低温の領域においても比熱が一定であることが予想されるが、実験により低温領域では比熱は 0 に収束することを示唆する結果が得られており、低温領域での比熱の温度依存性および比熱の値はデュロン＝プティの法則から外れることが知られている。 === 低温での固体の比熱 === 仮に振動数が <math>\nu</math> の[[w:調和振動子|調和振動子]]のエネルギーは <math>h\nu</math> の整数倍 <math>nh\nu</math> しか取れないとする（ただし <math>n</math> は負でないとする）。結晶内部の <math>N</math> 個の分子をそれぞれ振動数 <math>\nu</math> の調和振動子と見なせることを仮定し、全部で <math>3N</math> の自由度を持つ 1 次元調和振動子の集まりとする。 そうすると、断熱理想気体でも各分子のエネルギーが衝突などにより変動するように（気体全体の全エネルギーは一定）、固体の各振動子のエネルギーも <math>0, h\nu, 2h\nu, 3h\nu,\dots</math> という飛び飛びの値を移り変わっているとする。 そして <math>3N</math> 個の振動子のエネルギーの平均値は、仮に下記のように「ボルツマン因子を使って計算できるはず」だと仮定する（※ ボルツマン因子について分からなければ、記事『[[高等学校化学Ⅱ/化学反応の速さ]]』の[[w:反応速度論|反応速度論]]での説明（高校～大学初級レベル）、または記事『[[統計力学I ミクロカノニカル集合]]』の[[w:スターリングの公式|スターリングの公式]]を用いた統計力学モデルによる説明（大学中級～）を参照。統計力学的には他にも、ラグランジュの未定乗数法を用いてボルツマン因子の導入を行う方法もある）。 1個の振動子がエネルギー <math>\varepsilon_n = nh\nu</math> をとる[[w:確率|確率]]を <math>\operatorname{Pr}(n)</math> とし、この確率がボルツマン因子に比例するとする。 :<math>\operatorname{Pr}(n) = \frac{1}{Z}e^{-\frac{\varepsilon_n}{kT}} = \frac{1}{Z}e^{-\frac{nh\nu}{kT}}</math> この関数が通常の意味の確率であるためには、すべてのエネルギー状態についての和が 1 に規格化されている必要があるため、比例係数の <math>Z</math> は、 :<math>Z = \sum_{m=0}^{\infty} e^{-\frac{\varepsilon_m}{kT}} = \sum_{m=0}^{\infty} e^{-\frac{mh\nu}{kT}}</math> とならなければならない（なお、このZのような量子統計計算の規格化のための関数のことを「分配係数」または「状態和」という）。このとき確率 <math>\operatorname{Pr}(n)</math> は :<math>\operatorname{Pr}(n) = \frac{\exp\left(-\frac{nh\nu}{kT}\right)}{\sum_{m=0}^{\infty} \exp\left(-\frac{mh\nu}{kT}\right)}</math> となる（<math>\exp(\cdot)</math> は[[w:指数関数|指数関数]]）。エネルギーの期待値 <math>\langle\varepsilon\rangle</math> は、 :<math>\begin{align} \langle\varepsilon\rangle &= \sum_{n=0}^{\infty} \left\{\varepsilon_n\operatorname{Pr}(n)\right\} \\ &=\sum_{n=0}^{\infty} \left\{nh\nu \left(\frac{\exp\left(-\frac{nh\nu}{kT}\right)}{\sum_{m=0}^{\infty} \exp\left(-\frac{mh\nu}{kT}\right)}\right) \right\}\\ &=\frac{1}{\sum_{m=0}^{\infty} \exp\left(-\frac{mh\nu}{kT}\right)} \sum_{n=0}^{\infty} \left\{nh\nu\exp\left(-\frac{nh\nu}{kT}\right)\right\} \end{align}</math> と表すことができる。ここでボルツマン定数と温度の積の逆数を <math>\beta = (kT)^{-1}</math> とし（これは[[w:逆温度|逆温度]]と呼ばれる）、エネルギーの期待値を逆温度 <math>\beta</math> に関する微分を用いて表せば、 :<math>Z(\beta) = \sum_{m=0}^{\infty} \exp\left(-\frac{\varepsilon_m}{kT}\right) = \sum_{m=0}^{\infty} \exp\left(-\frac{mh\nu}{kT}\right)</math> より、 :<math>\begin{align} \langle\varepsilon\rangle &= -\frac{1}{Z(\beta)}\frac{d}{d\beta}Z(\beta)\\ &=-\frac{d}{d\beta}\ln Z(\beta) \end{align}</math> を得る。ここで具体的に右辺の対数を計算すれば、[[w:等比数列|等比級数]]の和の公式を用いて、 :<math>\begin{align} Z(\beta) &= \sum_{m=0}^{\infty}\left(e^{-\beta h\nu}\right)^n\\ &= \left(1 - e^{-\beta h\nu}\right)^{-1} \end{align}</math> と書き直せるから、結局エネルギーの期待値は :<math>\begin{align} \langle\varepsilon\rangle &= \frac{d}{d\beta}\ln \left(1 - e^{-\beta h\nu}\right)\\ &= h\nu\frac{e^{-\beta h\nu}}{1 - e^{-\beta h\nu}}\\ &= \frac{h\nu}{e^{\beta h\nu} - 1} \end{align}</math> と表すことができる。 === プランク分布 === 前節で得た調和振動子のエネルギーの期待値について、調和振動子のエネルギー量子 <math>h\nu</math> に掛かる関数 :<math>\frac{1}{e^{\beta h\nu} - 1}</math> を'''プランク分布'''と呼ぶ。温度がエネルギー量子の大きさに比べて充分小さい場合、<math>kT \ll h\nu</math> より <math>1 \ll \beta h\nu</math> という関係が成り立ち、プランク分布は、 :<math>\frac{1}{e^{\beta h\nu} - 1} \approx e^{-\beta h\nu}</math> という形に漸近する。 このプランク分布を利用して、結晶内部の比熱を得ることを考える。結晶を独立な調和振動子の集まりと見なす最も簡単な場合について、結晶全体の内部エネルギーがそれぞれの調和振動子のエネルギー期待値の和にほとんど等しいことから、 :<math>E = 3\langle\varepsilon\rangle = 3N\frac{h\nu}{e^{\beta h\nu} - 1}</math> と表すことができる。この場合、結晶分子に対する比熱容量は、 :<math>c = \frac{1}{N}\frac{dE}{dT} = \frac{1}{N}\frac{d\beta}{dT}\frac{dE}{d\beta} = 3k(\beta h\nu)^2\frac{e^{\beta h\nu}}{(e^{\beta h\nu} - 1)^2}</math> となる。この比熱の低温領域での振る舞いは、 :<math>c = 3k(\beta h\nu)^2\frac{e^{\beta h\nu}}{(e^{\beta h\nu} - 1)^2} = 3k\frac{(\beta h\nu)^2}{e^{\beta h\nu}} \to 0</math> であり、0 へ収束するという点で低温領域における固体比熱の振る舞いと合致する。高温領域において（ここでいう高温とは調和振動子のエネルギー量子に対してであり、固体の融点温度に比べれば依然低温である）、比熱は :<math>c = 3ke^{\beta h\nu}\left(\frac{\beta h\nu}{e^{\beta h\nu} - 1}\right)^2 \to 3k</math> となる。高温領域の比熱について、分子比熱 <math>c</math> を定積モル比熱 <math>C</math> に直すと、 :<math>C = N_\mathrm{A}c \to 3N_\mathrm{A}k = 3R</math> となり、これはデュロン＝プティの法則に一致する。つまり、エネルギーの量子化という手順を踏むことで低温領域の温度依存性を再現しつつ、常温ではデュロン＝プティの法則に漸近するような分布を得られたことになる。 --> == ヒルベルト空間 == 量子力学における状態はあるヒルベルト空間の元で表される。ヒルベルト空間とは完備な複素数係数の内積空間である。ヒルベルト空間を <math>\mathcal H</math> とし、その元を <math>|\psi\rangle</math> と記す。この記法はブラケット記法と呼ばれる。 ここで、ある状態<math>|i\rangle</math>と、それと異なる状態<math>|j\rangle</math>を取る。ただし、これらの状態はハミルトニアン演算子の、互いに異なった固有値を持つ固有ベクトルであるとする。ここで、ハミルトニアンの固有値は必ず実数でなければならないことが分かる。なぜなら、そうでないときにはエネルギーが虚数になるような量子論的状態が存在することになってしまうからである。一般に、複素数の行列要素を持っており、しかもその固有値が実数になる行列の種類として、エルミート行列があげられる（エルミート行列については[[物理数学I]]を参照）。ここでは、ハミルトニアンはエルミート行列で与えられるものとする。一般に量子論の演算子は通常エルミート演算子である。 更に、あるエルミート行列に対してその行列は必ず対角化され、その固有ベクトルは互いに直交することが知られている。この結果を用いると、エルミート演算子であるハミルトニアンの固有ベクトルである<math>|i\rangle</math>と<math>|j\rangle</math>は、互いに直交することが知られる。更に、それぞれの状態の長さを適切に変更することで、任意の状態<math>|i\rangle</math>,<math>|j\rangle</math>についてこれらの内積を<math>\delta _{ij}</math>とすることが出来る。<math>\delta _{ij}</math>については、[[物理数学I]]を参照。ここで、状態の長さを調整することを量子状態の規格化と呼ぶ。ただし、慣習的に状態<math>|i\rangle</math>,<math>|j\rangle</math>の内積は<math>\langle i|j\rangle</math>のように書くことが多い。この記法を用いると、任意の<math>|i\rangle</math>,<math>|j\rangle</math>に対して、 :<math>\langle i|j\rangle = \delta={ij} </math> が成り立つ。ここで、ある状態<math>|i></math>とそれに対応する波動関数f(x)の関係を、 :<math> f(x) = \langle x|i\rangle </math> で取る。ここで、<math>|x></math>は対応する粒子がちょうどxで表わされる点にある状態である。この記法は、関数空間の内積の定義と、上で述べた量子論的状態の内積の定義を整合的にすることが分かる。このことを述べるためにまず、関数空間の内積について説明する。ここでは、一般的に波動関数がある複素関数であるとして考える。関数空間の性質によるとある元f(x),g(x)を関数空間の元としたとき、ある積分<math>\int</math>が存在して、 :<math> \int f^* (x) g(x) dx </math> を元f(x),g(x)の内積と呼ぶ。ここで、xについての積分の範囲は、 <math>-\infty <x<\infty</math>とする。ただし、無限大のポテンシャルがある場合のように、波動関数が0となる範囲については積分しなくてもよい。このときには積分範囲はより狭い範囲になるのである。ここで、上の記法を用いると :<math> \int f^* (x) g(x) dx = \int dx \langle i|x\rangle \langle x|j \rangle </math> :<math> = \langle i|j\rangle = \delta _{ij} </math> となる。ここで、 :<math> \int dx \langle i|x\rangle \langle x|j\rangle </math> についてはまず、 <math>\langle i|x \rangle \langle x|j\rangle </math>は、任意のxについてもともと<math>|j\rangle</math>の状態にあった粒子が、xで表わされる点を通過して<math>|i\rangle</math>の状態に変化することを表わしている。ここで、上では全てのxについてその結果を足し合わせているので、結局、その結果は、<math>|j\rangle</math>の状態にあった粒子が、<math>|i\rangle</math>の状態に変化すること方法の全てをつくしていると考えるのである。上で得た :<math> \int |x\rangle \langle x| = 1 </math> のような表式はベクトルの完全性と呼ばれ、このあと頻繁にでてくる性質である。特に、エルミート演算子に対しては対応する固有ベクトルが完全性の要請を満たすことが知られており、あるエルミート演算子の固有ベクトル<math>|i></math>に対して、 :<math> \Sigma _i |i\rangle \langle i| = 1 </math> が知られている。しかし、特に対応するベクトルが無限個あるときにはこの性質の数学的な証明は難しい場合が多い。 さて、上のことから分かる通り、 :<math> \int f^* (x) g(x) dx = \langle i|j \rangle = \delta _{ij} </math> となって、量子論的ベクトルの正規化と対応させるために、波動関数の長さも、1つに定める必要があることが分かる。この条件は全ての波動関数<math>\psi(x)</math>に対して、 :<math> \int |\psi(x)|^2 dx =1 </math> とすることで満たされる。このことを波動関数の正規化と呼ぶ。 ここまでで粒子がどの状態にいるのかを指定する方法が分かった。それぞれのエネルギーの固有状態は<math>|i\rangle</math>などの表示で表わされ、それらの量はどれも対応する波動関数を持つのである。ただし、これらの量はどれも正規化されていなければならない。次に粒子がある状態にいるときに、粒子が実際にどの位置にいるのかを知る方法を考える。ここでいう位置とは古典的な座標の意味であり、 あるエネルギー固有値を持った状態にいる粒子が古典的に見たときにはどの位置で発見されるのかという意味である。仮に対応するエネルギーの固有状態が偶然位置の演算子に対しても固有ベクトルとなっていたとすると、その状態は位置の演算子に対してただ1つの値を持つため、その状態にある粒子が発見される位置は決定している。一方、仮に対応するエネルギーの固有状態が位置の演算子に対して固有ベクトルとなっていなかったとすると、そのときにその粒子は様々な位置で発見されるように思える。実際実験的な結果はそのとおりであり、ある位置の固有状態でない状態にあるときその物体は位置の演算子が値を取り得る位置全体で見つかる確率がある。そして、実際にどの位置にあるかは実際に観測をしてみるまでは、知ることが出来ないのである。このことは全く不思議な結果であるが、例えば量子論的なヤングの実験などにおいてこの結果は確かに確認されているのである。 ここで、あるエネルギーの固有状態<math>|i\rangle</math>からある位置に発見されてその位置にあることが確定している状態に移行する過程は、対応する位置をxとすると、 :<math> \langle x|i\rangle </math> で与えられることが予想される。しかし、この値はちょうどある固有状態に対応する波動関数f(x)であった。 :<math> \langle x|i \rangle = f(x) </math> このことから、波動関数f(x)は対応するエネルギーの固有状態にある粒子がある場所xに発見される位置に見つかる過程について関係していることがわかる。実際には更に、この量の絶対値を2乗した量が、ちょうどこの対応する状態にある粒子がその位置に見つかる確率となっているのである。 :<math> P(x) = |f(x)|^2 </math> しかし、この量はちょうど :<math> \int dx |f(x)|^2 = P(x) =1 </math> として、波動関数の正規化を行なった量に対応するが、このことはP(x)を確率を表わす量として扱うための条件とも適合しているのである。 *問題例 **問題 波動関数f(x)が、 :<math> f(x) = \frac 1 {{}^4\sqrt \pi} e^{-x^2/2 } </math> で与えられるとする。このとき、ある点xで粒子が発見される確率を計算せよ。また、この波動関数が正しく正規化されていることを示せ。 **解答 ある点xで粒子が発見される確率P(x)について、 :<math> P(x) = |f(x)|^2 </math> が成り立つことを用いればよい。よって、 :<math> P(x) = |f(x)|^2 =\frac 1 {\sqrt \pi} e^{-x^2 } </math> が得られる。更に、ガウス積分を用いて :<math> \int _{-\infty }^{\infty} e^{-x^2} = \sqrt \pi </math> を用いると、 :<math> \int dx P(x) = 1 </math> が得られ、正しい正規化がなされていることが分かる。ガウス積分については [[物理数学I]]を参照。 実際にはある状態<math>|a></math>からある状態<math>|b></math>に移行する確率が :<math> |\langle b|a\rangle|^2 </math> で与えられることはあるエネルギーの固有状態がある位置に移行する場合だけにとどまらず、より広い場合にあてはまる。特に上の場合について :<math> \langle b|a\rangle </math> をaからbへの確率振幅と呼ぶ。波動関数は対応するエネルギーの固有状態からある位置で表わされる状態への確率振幅といえる。 ここで、あるエネルギーの固有状態<math>|i\rangle</math>と、対応する波動関数f(x)に対して :<math> \langle i|x|i \rangle = \int dx x |f(x)|^2 </math> がどのような意味を持つかを考える。ここで、<math>|f(x)|^2</math>が、対応する粒子がxで見つかる確率を表わしていることを考えると、上の式はxの期待値を表わす式そのものである。そのため、<math>\langle i|x|i \rangle</math>のようなx演算子の対角成分は、対応する状態に粒子が存在するときの粒子が見つかる位置の期待値となることが分かる。一方、位置演算子の非対角成分はそれほど簡単な解釈は持っていない。ただし、これらの量は量子力学的な摂動などでよく使われる。詳しくは[[量子力学II]]を参照。 == シュレーディンガー方程式 == 古典力学と量子力学との間の関係は、幾何光学と波動光学の間の関係に類似していると言うことができる。波動光学について簡単に復習すると、<math>f</math> を <math>\boldsymbol E</math> あるいは <math>\boldsymbol B</math> の任意の成分とすると、 <math>f = a e^{i\varphi}</math> と書くことができる。ここで、<math>a</math> は振幅であり、<math>\varphi</math> はアイコナールと呼ばれる量である。波動光学から幾何光学への移行は、波長 <math>\lambda</math> が0に近づく極限として定義される。<math>\lambda</math> は <math>\varphi</math> が <math>2\pi</math> だけ変化する距離に等しいため、<math>\varphi</math> が十分大きい量とすると幾何光学へ移行できる。十分微小な空間領域と時間領域に対して一次の項まで <math>\varphi = \varphi_0 + \boldsymbol r \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial \boldsymbol r} + t \frac{\partial \varphi}{\partial t}</math> と近似する。このとき、 <math>f = a e^{i\left(\varphi_0 + \boldsymbol r \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial \boldsymbol r} + t \frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)}</math> となる。また、微小な空間領域と時間領域に対しては平面波として考えることができるから、 <math>f = a e^{i(\boldsymbol k \cdot \boldsymbol r - \omega t + \alpha)}</math> となる。両者の対応関係から <math>\boldsymbol k = \frac{\partial \varphi}{\partial \boldsymbol r},\, \omega = -\frac{\partial \varphi}{\partial t}</math> を得る。これを <math>\boldsymbol k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}</math> に代入すると、 <math>(\nabla \varphi)^2 = \frac{\omega^2}{c^2} </math> を得る。これはアイコナール方程式と呼ばれる幾何光学の基礎方程式である。アイコナール方程式はハミルトン・ヤコビ方程式と同じ形式である。簡約された作用を <math>S_0 = \varphi</math> としてハミルトン・ヤコビ方程式を書けば、 <math>\frac{(\nabla \varphi)^2}{2m} + V = E</math> となる。 <math>\frac{\omega^2}{c^2} = 2m (E-V)</math> とするとアイコナール方程式に一致する。ここで、 <math>S_0 = \varphi </math> であるから、最小作用の原理より、実現される光線は <math>\varphi</math> が最小となる経路である。 さて、幾何光学ではアイコナール <math>\varphi</math> が最小となる経路が実現されるのに対して、古典力学では作用 <math>S</math> が最小となる経路が実現される。波動力学では <math>f = a e^{i \varphi}</math> という量が存在したから、量子力学では <math>\Psi = a e^{i \frac S \hbar}</math> という関係にある量が存在すると考えることができる。ここで、<math>\hbar</math> はディラック定数と呼ばれるもので、指数の肩を無次元化するために導入した。古典力学では <math>\boldsymbol p = \frac{\partial S}{\partial \boldsymbol r},\, H = - \frac{\partial S}{\partial t}</math> となるから、 <math>\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac i \hbar \frac{\partial S}{\partial t}\Psi ,\, \frac{\partial \Psi}{\partial \boldsymbol r}= \frac i \hbar \frac{\partial S}{\partial \boldsymbol r}\Psi </math> より、 <math>i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} = H\Psi ,\, -i\hbar\nabla \Psi = \boldsymbol p \Psi </math> を得る。<math>H = \frac{\boldsymbol p^2}{2m} + V </math> に代入すれば、 <math>i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\triangle + V\right)\Psi </math> を得る。これがシュレーディンガー(Schrödinger)方程式である。運動量演算子とハミルトン演算子を <math>\hat \boldsymbol p = - i \hbar \nabla</math> <math>\hat H = \frac{\hat \boldsymbol p^2}{2m} + V(\boldsymbol r) = -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle + V(\boldsymbol r) </math> で定義すると、 シュレーディンガー方程式を、 :<math> i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial{t}} = \hat H \Psi </math> と書くことができる。 <math>\Psi(\boldsymbol r, t) = f(t) \psi(\boldsymbol r)</math> と変数分離できたと仮定すると、 <math> i \hbar \frac 1 f \frac{df}{d{t}} = \frac 1 \psi \hat H \psi = E </math> (定数) となる。 <math>\frac{df}{dt} = \frac{-iE}{\hbar}f </math> はだたちに積分できて、 <math>f(t) = e^{\frac{-iEt}{\hbar}} </math> を得る。また、 <math>\hat H \psi = E \psi </math> となる。これを時間に依存しないシュレーディンガー方程式という。 == 波動関数 == 波動関数 <math>\Psi</math> の意味は <math>|\Psi(\boldsymbol r, t)|^2 dV</math> が位置 <math>\boldsymbol r</math> で時間 <math>t</math> の微小体積 <math>dV </math> の中に粒子が存在する確率であると解釈される。<math>\rho = |\Psi|^2</math> を確率密度とする。このとき、 <math>\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2 &= \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial t} + \frac{\partial \Psi^*}{\partial t}\Psi\\ &= \frac{1}{i\hbar}(\Psi^*\hat H \Psi - \Psi \hat H \Psi^*)\\ &= -\frac{\hbar}{2mi}(\Psi^*\triangle \Psi - \Psi \triangle \Psi^*)\\ &= -\frac{\hbar}{2mi}\nabla(\Psi^*\nabla \Psi - \Psi \nabla \Psi^*) \end{align}</math> となる。従って、<math>\boldsymbol j = \frac{\hbar}{2mi}(\Psi^*\nabla \Psi - \Psi \nabla \Psi^*) </math> を確率流密度と定義すると連続の式 <math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol j = 0</math> が成り立つ。 == 演算子 == ここからはある物理的な定数を持つことが量子力学的にどのような意味を持つかについて考える。物理的な定数とは例えば、ある物体の持つ位置や運動量のことである。古典力学ではある物体の物理的な状態は位置、運動量などを指定することによって得ることが出来、これらの間に特別な関係は無かった。これらはそれぞれの値を適当に取ってもよい量であったのである。 量子力学的にもある物体の物理的状態を定める量は存在しており、そのような量を定めることで物体がどのような状態にあるかを指定することが出来る。問題なのは、ある場合においてこれらの間に特殊な関係があらわれ、それらの量を任意に選ぶことが出来なくなることである。重要な例として、ある物体の位置と運動量は同時に定めることが出来ない。 ここで、ある物理的な状態の全てが数え上げられたとしてこれらの状態全体で張られるベクトルを取る。通常、ある物体が持つ物理的な状態は無数のエネルギーを持ち、このような操作は不可能に思える。実際このことは量子力学の発展の初期に大きな数学的な問題となった。しかし、現在ではベクトルの内積の取り方などを工夫することで、この様な作業が実際可能であることが示されている。詳しくは[[w:ヒルベルト空間]]などを参照。 このように全ての物理的状態が数え上げられたとするとき、それらの状態はあるエネルギーを持った状態として存在する。例えば、ある状態<math>\psi _1</math>がエネルギー<math>E _1</math>を持っていたとする。数学的にはこの様な状態はある行列<math>\hat H</math>を用いて :<math> \hat H \psi _1 = E _1 \psi _1 </math> と表わせる。ここで、<math>\hat H</math>は、全ての数え上げられた物理的な状態を1つの基底として持つような行列として考えられている。更に<math>\hat H</math>は、それぞれの物理的状態に対して対角化されており、 :<math> \psi _1, \psi _2,\psi _3, \cdots </math> などの全ての物理的状態に対して対応するエネルギー<math>E _1</math>,<math>E _2</math>,<math>E _3</math>などを返すものとする。 このような行列<math>\hat H</math>は、実際にあるエネルギーを持つ状態としては、古典的な考え方と変化することは無い。なぜなら、<math>\hat H</math>は、古典的に考えてある力学系の中に存在する物体が持つと考えられるエネルギー値を全て持っているものと考えることが出来るからである。 このため、仮に全ての量子的状態がエネルギーという量だけで特定されるのならば、ある力学系が取り得るエネルギーを全て定めることが量子的状態を全て求めることになる。ここまでの議論をより数学的な用語を用いてまとめると、出て来た量で<math>\hat H</math>は全ての物理的な状態によって張られた行列であり物理的な状態を表わす<math>\psi</math>は、<math>\hat H</math>がかかることによってE倍されるようなベクトルであるので、<math>\hat H</math>の固有ベクトルであると考えられる。このときエネルギーEは、固有値方程式 :<math> \hat H \psi = E \psi </math> の固有値である。 演算子 <math>\hat A , \hat B</math> について交換関係を <math>[\hat A,\hat B] = \hat A\hat B - \hat B \hat A</math> で定める。例えば、 <math>[\hat x_i,\hat p_j]f = -i\hbar x_i \frac{\partial f}{\partial x_j} + i \hbar \frac{\partial }{\partial x_j}(x_i f) = i \hbar \delta_{ij}f</math> より、 <math>[\hat x_i,\hat p_j] = i \hbar \delta_{ij}</math> となる。また、 <math>[\hat x_i,\hat x_j] = 0, \, [\hat p_i,\hat p_j] = 0 </math> が成り立つ。 解析力学では、<math>\{x_i,p_j\} = \delta_{ij}</math> であることから、古典力学と量子力学の間には、 <math>[\hat A, \hat B] \longleftrightarrow i\hbar \{A,B\}</math> の関係があることが予想できる。 == 一次元量子系 == === 井戸型ポテンシャル === 1次元井戸型ポテンシャル : <math>V(x) = \begin{cases} \infty \quad (x<0)\\ 0\quad (0 \le x \le a)\\ \infty\quad (a<x) \end{cases}</math> を考える。このときのシュレーディンガー方程式は :<math>E\psi(x) =-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)</math> となる。このとき<math>V(x)=\infty</math>の領域<math>(x<0,a<x)</math>では粒子は侵入不可なので、この領域における波動関数は<math>\psi(x)=0</math>となる。波動関数<math>\psi(x)</math>は<math>x=0,x=a</math>でそれぞれ連続なので、<math>\psi(0)=\psi(a)=0</math>となる。<math>0 \le x \le a</math>におけるシュレーディンガー方程式は、 :<math>E\psi(x) =-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^2}</math> :<math>\psi''(x) + k^2 \psi(x) = 0</math>　　<math>\left(k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}\right)</math>とした。 :となるから、 :<math>\psi(x)=A\sin (kx+\delta)</math> <math>\psi(0)=0</math> より <math>\delta=0</math> である。 <math>\psi(a)=0</math> より、<math>\sin ka = 0</math> より、<math>ka = n\pi \quad (n=1,2,\cdots)</math> で、エネルギー準位は <math>E_n = \frac{\pi^2 \hbar^2 n^2}{2ma^2}</math> となる。波動関数を、<math>\int_0^{a}(\psi(x))^2 dx = 1</math>となるように規格化すると、 :<math>A=\sqrt{\frac{2}{a}}</math> となり :<math>\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi x}{a}</math> を得る。 === 有限の場合 === 次に、ポテンシャルの深さが有限 <math>V(x) = \begin{cases} V_0 \quad (x<0)\\ 0\quad (0 \le x \le a)\\ V_0\quad (a<x) \end{cases}</math> で <math>0<E < V_0 </math> の場合を考える。井戸の外側でのシュレーディンガー方程式は <math>\psi''(x) + \kappa^2 \psi(x) = 0</math>　　<math>\left(\kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}\right)</math> となるから、<math>x \le 0</math> で <math>\psi(x) = ae^{\kappa x}</math> となり、<math>x \ge a</math> で <math>\psi(x) = be^{-\kappa x}</math> となる。また、<math>0 \le x \le a</math> で <math>\psi(x) = c\sin(kx+\delta)</math> となる。<math>\psi,\psi'</math> は連続で井戸の外では0にはならないから <math>\frac{\psi'}{\psi}</math> も連続で、 <math>\frac{\psi'}{\psi} = \kappa \quad (x \le 0)</math> <math>\frac{\psi'}{\psi} = -\kappa \quad (x \ge a) </math> となるから、 <math>k \cot \delta = \kappa,k \cot (ka+\delta) = -\kappa </math> を得る。ここで、 <math>\kappa = k \sqrt{\frac{2mV_0}{k^2\hbar^2}-1},\,\cot x = \sqrt{\frac{1}{\sin^2x}-1} </math> を使うと、 <math>\sin\delta = -\sin(ka+\delta) = \frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_0}} </math> となるから、 <math>ka = n \pi - 2 \arcsin \frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_0}} \quad(n=1,2,\cdots) </math> を得る。この超越方程式を <math>k</math> について解くことでエネルギー準位が分かる<ref><math>\arcsin \frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_0}} = \arcsin\frac{k}{\sqrt{\kappa^2+k^2}}=\arctan\frac{k}{\kappa}</math> と変形して両辺の正接を取ると、奇数の <math>n</math> に対して <math>\eta=\xi\tan\xi.</math> 偶数の <math>n</math> に対して <math>\xi=-\eta\cot\eta</math> を得る。ここで、<math>\xi = \frac{ka}{2},\eta = \frac{\kappa a}{2}</math> である。これと <math>\xi^2 +\eta^2 = \frac{mV_0 a^2}{2\hbar^2}</math> の交点を求めることに帰着される。</ref>。<math>V_0\to\infty </math> とすると無限に深い井戸型ポテンシャルと同じ <math>ka = n\pi </math> に帰着する。 超越方程式の解 <math>k</math> の厳密解を求めることは容易ではないが、固有状態の数は正確にわかる。<math>k</math> は正であり、<math>\arcsin \frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_0}}</math> が定義されるため <math>k</math> の最大値は <math>\frac{\sqrt{2mV_0}}{\hbar}</math> である。また、方程式の右辺は各 <math>n</math> について <math>n\pi > n\pi - 2 \arcsin \frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_0}} \ge (n-1)\pi </math> であり、単調減少である。したがって、<math>ka</math> と交わる回数が固有状態の数であるから、 <math>(n-1)\pi \le \frac{\sqrt{2mV_0}}{\hbar}a < n \pi</math> であるとき、<math>n</math> 個の固有状態が存在する。 === 階段型ポテンシャル === 1次元階段型ポテンシャル : <math>V(x)=\begin{cases} 0 \quad (x<0)\\ V_0 \quad (0 \leq x) \end{cases}</math> に入射波 <math>e^{ik_1x}</math> が左から向かってくる場合を考える。<math>E > V_0</math> の場合で、 : <math> k_1=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar}} </math> : <math> k_2=\sqrt{\frac{2m(E-V_0)}{\hbar}} </math> とする。波動関数は : <math>\psi(x)=\begin{cases} e^{ik_1x} + A e^{-ik_1x} \quad (x<0)\\ Be^{ik_2x}\quad (0 \leq x) \end{cases}</math> 波動関数が<math>x=0</math>で滑らかである条件から定数を定める。 : <math>1+A=B</math> : <math>k_1(1-A)=k_2B</math> より、 : <math>A = \frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}</math> : <math> B=\frac{2k_1}{k_1+k_2} </math> === 土手型ポテンシャル === 1次元土手型ポテンシャル : <math>V(x)=\begin{cases} 0 \quad (x<0)\\ V_0 \quad (0 \leq x \le a)\\ 0\quad (x>a) \end{cases}</math> に入射波 <math>e^{ik_1x}</math> が左から向かってくる場合を考える。ただし、<math>E > V_0</math> で : <math> k_1=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar}} </math> : <math> k_2=\sqrt{\frac{2m(E-V_0)}{\hbar}} </math> とする。波動関数は : <math>\psi(x)=\begin{cases} e^{ik_1x} + A e^{-ik_1x} \quad (x<0)\\ Be^{ik_2x} + B'e^{ik_2x}\quad (0 \le x \le x)\\ Ce^{ik_1x} \quad (x > a) \end{cases}</math> 波動関数が<math>x=0,a</math>で滑らかである条件から : <math>1+A=B+B',1-A=\frac{k_2}{k_1}(B-B')</math> : <math>Be^{ik_2x}+B'e^{-ik_2a}=Ce^{ik_1a},Be^{ik_2x}-B'e^{-ik_2a}=\frac{k_1}{k_2}Ce^{ik_1a}</math> となる。後半の2式より、 <math>B = \left(1+\frac{k_1}{k_2}\right)\frac C 2e^{i(k_1-k_2)a}</math> <math>B' = \left(1-\frac{k_1}{k_2}\right)\frac C 2 e^{i(k_1+k_2)a}</math> となる。前半の2式から <math>2 = \left(1+\frac{k_2}{k_1}\right)B + \left(1-\frac{k_2}{k_1}\right)B'</math> となるから、 <math>C = \frac{2k_1k_2e^{-ik_1a}}{2k_1k_2\cos k_2a - i(k_1^2+k_2^2)\sin k_2a}</math> となる。したがって、透過係数は <math>T = |C|^2 = \frac{4k_1^2k_2^2}{4k_1^2k_2^2+(k_1^2-k_2^2)^2\sin^2 k_2a}</math> となる。<math>E < V_0</math> のときは <math>k_2</math> は純虚数となるから、<math>k_2 = i\kappa_2</math> と置いて、 <math>T = \frac{4k_1^2\kappa_2^2}{4k_1^2\kappa_2^2+(k_1^2+\kappa_2^2)^2\sinh^2 \kappa_2a}</math> を得る。 === 調和振動子 === ハミルトニアンが <math>\hat H = \frac{\hat p^2}{2m} + \frac 1 2 m \omega^2 x^2</math> で与えられる系を考える。シュレーディンガー方程式は <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + \left(\frac 1 2 m \omega^2 x^2 - E\right)\psi = 0</math> となる。無次元の変数 <math>\xi = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x</math> を導入すると、 <math>\frac{d^2\psi}{d\xi^2} + \left(\frac{2E}{\hbar \omega}- \xi^2\right)\psi = 0</math> となる。ここで、<math>\xi \to \infty</math> では <math>\frac{d^2\psi}{d\xi^2} = \xi^2\psi</math> と振る舞うため、漸近的に <math>\psi \sim e^{\pm \frac{\xi^2}{2}}</math> となる。波動関数は <math>\xi \to \infty</math> で有限でなくてはならないため、<math>\psi \thicksim e^{-\frac{\xi^2}{2}}</math> である。そこで、 <math>\psi = H(\xi) e^{-\frac{\xi^2}{2}}</math> と置き、<math>H(\xi)</math> に対する微分方程式を求めると、 <math>\frac{d^2H}{d\xi^2} - 2\xi \frac{dH}{d\xi} + 2n H = 0</math> となる。ここで、<math>2n = \frac{2E}{\hbar \omega} - 1</math> である。微分方程式の冪級数解 <math>H = \sum_{k=0}^\infty a_k \xi^k</math> を仮定すると、 <math>\sum_{k=2}^\infty a_k k (k-1) \xi^{k-2} - 2\sum_{k=0}^\infty a_k k \xi^k + 2n \sum_{k=0}^\infty a_k \xi^k = 0</math> <math>\sum_{k=0}^\infty[ a_{k+2} (k+2) (k+1) - 2 a_k k + 2n a_k ]\xi^k = 0</math> すなわち、 <math>a_{k+2} = - \frac{2(n-k)}{(k+1)(k+2)}a_k</math> となる。<math>n</math> が非負整数ではないときは、<math>H</math> は無限級数で、漸近的に <math>\frac{a_{k+2}}{a_k} \sim \frac 2 k </math> となるから、 <math>H \propto \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \xi^{2k} = e^{\xi^2}</math> よって、<math>\psi \propto e^{\frac{\xi^2}{2}}</math> となり発散してしまう。<math>n</math> が非負整数であるなら級数は途中で打ち切られるから、<math>H</math> は多項式となる。 <math>k = n - 2l</math> と置くと、係数の関係は <math>a_{n-2l} = - \frac{(n-2l+1)(n-2l+2)}{4l}a_{n-2(l-1)}</math> となるから、 <math>a_{n-2l} = (-1)^l \frac{(n-2l+1)(n-2l+2)(n-2l+3)(n-2l+4)\cdots n}{4^l l(l-1)\cdots 1}a_{n} = \frac{(-1)^l n!}{4^l l! (n-2l)!}a_n</math> <math>\begin{align} H(x) &= \sum_{k=0}^{[\frac n 2]} a_{n-2k} x^{n-2k}\\ &= a_n n!\sum_{k=0}^{[\frac n 2]} \frac{(-1)^k}{2^{2k} k! (n-2k)!} x^{n-2k}\\ \end{align}</math> となる。ここで <math>a_n = 2^n </math> としたものをエルミート多項式 <math>H_n(x) = a_n \sum_{k=0}^{[\frac n 2]} \frac{(-1)^k}{k! (n-2k)!} (2x)^{n-2k}</math> とする。 エネルギー準位は、 <math>E_n = \left(n + \frac 1 2 \right)\hbar \omega</math> となる。 === 生成消滅演算子 === 生成演算子と消滅演算子をそれぞれ、 <math>\hat a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \hat x - \frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\hat p </math> <math>\hat a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \hat x + \frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\hat p </math> で定義する。数演算子を <math>\hat n = \hat a^\dagger \hat a</math> で定義する。簡単な計算から、 <math>[\hat a, \hat a^\dagger] = 1 </math> <math>[\hat n, \hat a^\dagger] = \hat a^\dagger </math> <math>[\hat n, \hat a] = -\hat a </math> が分かる。 状態 <math>|n\rangle </math> を <math>\hat n </math> の固有状態 <math>\hat n |n\rangle = n |n\rangle </math> で定義する。 <math>\langle n| \hat n|n\rangle = ||\hat a |n\rangle||^2 \ge 0 </math> より、<math>n \ge 0 </math> である。 <math>\begin{align} \hat n \hat a |n\rangle &= (\hat a \hat n - \hat a)|n\rangle \\ &= (n-1) \hat a |n\rangle \end{align}</math> より、<math>\hat a |n\rangle </math> は固有値 <math>n-1 </math> に属する固有状態であり、 <math>\hat a|n\rangle = c_n |n-1\rangle</math> と書ける。 <math>\begin{align} \langle n | \hat n |n\rangle &= \langle n | \hat a^\dagger \hat a | n \rangle\\ &= c_n^2 \langle n-1 | n-1 \rangle\\ &= c_n^2\\ &= n \end{align}</math> より、<math>c_n = \sqrt n</math> である。 <math>\hat a|n\rangle = \sqrt n |n-1\rangle</math> となるが、 <math>n</math> が整数でないならば <math>\hat a</math> を繰り返し適用することにより負の固有値 <math>n</math> を持つ状態が作れてしまう。<math>n</math> が整数ならば <math>\hat a |0\rangle = 0</math> より、負の固有状態は作れないことになり <math>n \ge 0</math> の条件に矛盾しない。また、基底状態が <math>|0\rangle</math> で与えられることも分かる。 同様に、 <math>\begin{align} \hat n \hat a^\dagger |n\rangle &= (\hat a^\dagger \hat n + \hat a^\dagger)|n\rangle \\ &= (n + 1) \hat a^\dagger|n\rangle \end{align}</math> となる。<math>\hat a^\dagger |n\rangle </math> は固有値 <math>n+1 </math> に属する固有状態であり、 <math>\hat a^\dagger|n\rangle = c_n |n+1\rangle</math> と書ける。 <math>\begin{align} \langle n | \hat a^\dagger \hat a | n \rangle &= \langle n | \hat a \hat a^\dagger - 1 | n \rangle\\ &= c_n^2 \langle n+1 | n+1 \rangle - \langle n | n \rangle\\ &= c_n^2 - 1\\ &= n \end{align}</math> より、<math>c_n = \sqrt{n+1} </math> である。従って、 <math>\hat a^\dagger | n \rangle = \sqrt {n+1} | n+1 \rangle </math> を得る。基底状態 <math>|0\rangle </math> は <math>\hat a |0\rangle = 0</math> より波動関数は <math>\left(x + \frac{\hbar}{m\omega} \frac{d}{dx}\right)\psi_0(x) = 0</math> となるから、これを解いて <math>\psi_0(x) = C e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}</math>となる。規格化は <math>\int |\psi_0|^2 dx = |C|^2 \int e^{-\frac{m\omega}{\hbar}x^2}dx = |C^2| \sqrt{\frac{\hbar \pi}{m\omega}} = 1</math> より、<math>C = \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}}</math> となる。また、 <math>|n \rangle = \frac{1}{\sqrt n} \hat a^\dagger |n-1\rangle = \frac{1}{\sqrt{n!}} (\hat a^\dagger)^n |0\rangle </math> となるから、<math>\xi = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x</math> と変数変換すると、 <math>\psi_n = \frac{1}{\sqrt{n!}} (\hat a^\dagger)^n \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} e^{-\frac{\xi^2}{2}} </math> となる。ここで、 <math>\begin{align} \hat a^\dagger &= \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}x - \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} \frac{d}{dx}\\ &= \frac{1}{\sqrt 2}\left(\xi - \frac{d}{d\xi}\right)\\ &= -\frac{1}{\sqrt 2} e^{\frac 1 2 \xi^2}\frac{d}{d\xi}e^{-\frac 1 2 \xi^2} \end{align} </math> となるから <math>\begin{align} \psi_n &= \frac{(-1)^n}{\sqrt{2^n n!}} \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} e^{\frac 1 2 \xi^2}\frac{d^n}{d\xi^n} e^{-\xi^2}\\ &= \frac{(-1)^n}{\sqrt{2^n n!}} \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} \left(e^{\xi^2}\frac{d^n}{d\xi^n} e^{-\xi^2}\right)e^{-\frac 1 2 \xi^2}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} H_n(\xi) e^{-\frac 1 2 \xi^2}\\ \end{align} </math> を得る。 == 角運動量 == 軌道角運動量演算子 <math>\hat L_i</math> を <math>\hat L_i = \varepsilon_{ijk} x_j \hat p_k</math> で定義する。すなわち <math>\hat L_x = y \hat p_z - z \hat p_y,\, \hat L_y = z \hat p_x - x \hat p_z,\,\hat L_z = x \hat p_y - y \hat p_x</math> である。 <math>\begin{align} {}[\hat L_i, x_j] &= \varepsilon_{ikl}[x_k \hat p_l , x_j] \\ &= \varepsilon_{ikl}x_k[\hat p_l , x_j] + \varepsilon_{ikl}[x_k, x_j]\hat p_l \\ &= i\hbar\varepsilon_{ijk}x_k \end{align}</math> を得る。 <math>\begin{align} {}[\hat L_i, \hat p_j] &= \varepsilon_{ikl}[x_k \hat p_l , \hat p_j] \\ &= \varepsilon_{ikl}x_k[\hat p_l , \hat p_j] + \varepsilon_{ikl}[x_k, \hat p_j]\hat p_l \\ &= i\hbar\varepsilon_{ijk}\hat p_k \end{align}</math> を得る。 <math>\begin{align} {}[\hat L_i, \hat L_j] &= \varepsilon_{jkl} [\hat L_i, x_k \hat p_l] \\ &= \varepsilon_{jkl} x_k[\hat L_i, \hat p_l] + \varepsilon_{jkl} [\hat L_i, x_k]\hat p_l \\ &= i\hbar\varepsilon_{jkl}\varepsilon_{ilm} x_k\hat p_m + i\hbar\varepsilon_{jkl} \varepsilon_{ikm}x_m\hat p_l\\ &= i\hbar(-\delta_{ij}x_{k}\hat p_k + x_i \hat p_j +\delta_{ij} x_l \hat p_l - x_j \hat p_i)\\ &= i\hbar(x_i \hat p_j - x_j \hat p_i)\\ &= i\hbar \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}x_l \hat p_m\\ &= i\hbar \varepsilon_{ijk} \hat L_k \end{align}</math> を得る<ref>これらは古典力学における <math>\{L_i, q_j\}= \varepsilon_{ijk}q_k, \{L_i, p_j\}= \varepsilon_{ijk}p_k, \{L_i, L_j\}= \varepsilon_{ijk}L_k</math> に対応する。このことは <math>\{q_i,p_j\}=\delta_{ij},\{q_i,q_j\}=0,\{p_i,p_j\}=0</math> によりここでやったのと全く同じ計算で示される。あるいは、<math>[\hat A, \hat B] \longleftrightarrow i\hbar \{A,B\} </math> の対応原理からもわかる。</ref>。 角運動量演算子の二乗を <math>\hat{{\boldsymbol L}^2} = \hat{L_x^2} +\hat{L_y^2} +\hat{L_z^2}</math> で定義する。このとき、<math>[\hat{{\boldsymbol L}^2},\hat L_i] = 0</math> である。実際、 <math>\begin{align} {}[\hat{{\boldsymbol L}^2},\hat L_i] &= [\hat{L_j^2},\hat L_i]\\ &= \hat L_j [\hat L_j, \hat L_i] + [\hat L_j, \hat L_i]\hat L_j\\ &= i\hbar (\varepsilon_{ijk}\hat L_j \hat L_k + \varepsilon_{ijk}\hat L_k \hat L_j)\\ &= i\hbar (\varepsilon_{ijk}\hat L_j \hat L_k - \varepsilon_{ikj}\hat L_k \hat L_j)\\ &=0 \end{align}</math> である。 昇降演算子を <math>\hat L_\pm = \hat L_x \pm i\hat L_y</math> で定義する。 <math>\begin{align} {}[\hat L_z, \hat L_\pm] &= [\hat L_z, \hat L_x] \pm i[\hat L_z, \hat L_y]\\ &= i\hbar \hat L_y \pm \hbar \hat L_x\\ &= \pm \hbar \hat L_\pm \end{align} </math> となる。また、 <math>\begin{align} \hat L_- \hat L_+ &= (\hat L_x - i \hat L_y)(\hat L_x + i \hat L_y)\\ &= \hat{L_x^2} + \hat{L_y^2} + i(\hat L_x \hat L_y - \hat L_y \hat L_x)\\ &= \hat{L_x^2} + \hat{L_y^2} - \hbar \hat L_z \end{align} </math> より、<math>\hat{{\boldsymbol L}^2} = \hat L_- \hat L_+ +\hat{L_z^2} + \hbar \hat L_z </math> を得る。簡単のために、<math>\hbar\hat l_i = \hat L_i,\, \hat{{\boldsymbol l}^2} = \hat{l_x^2} +\hat{l_y^2} +\hat{l_z^2} </math> を定義しよう。このとき <math>[\hat{{\boldsymbol l}^2},\hat l_z] = 0</math> が成立するから、同時対角化可能で規格化された固有状態 <math>|\lambda,m \rangle </math> を <math>\hat{{\boldsymbol l}^2}|\lambda,m \rangle = \lambda |\lambda,m \rangle, \, \hat l_z|\lambda,m \rangle = m |\lambda,m \rangle </math> とする。 <math>\langle \lambda,m| \hat{{\boldsymbol l}^2} - \hat{l_z^2} |\lambda,m\rangle = \langle \lambda,m| \hat{l_x^2} + \hat{l_y^2} |\lambda,m\rangle \ge 0 </math> ここで、<math>\langle \lambda,m| \hat{{\boldsymbol l}^2} - \hat{l_z^2} |\lambda,m\rangle = (\lambda - m^2) \langle \lambda,m|\lambda,m\rangle = \lambda - m^2 </math> より <math>\lambda \ge m^2 </math> を得る。従って、<math>m </math> には最大値と最小値があり、最大値を <math>l </math> とすると、対称性より最小値は <math>-l </math> で与えられる。 <math>\begin{align} \hat l_z \hat l_{\pm}|\lambda, m \rangle &= (\hat l_\pm \hat l_z + [\hat l_z, \hat l_{\pm}])|\lambda, m \rangle\\ &= (\hat l_\pm \hat l_z \pm \hat l_\pm)|\lambda, m \rangle\\ &= (m \pm 1 )\hat l_\pm |\lambda, m \rangle \end{align} </math> より、<math>\hat l_\pm |\lambda, m \rangle </math> は固有値が <math>m\pm1 </math> である <math>\hat l_z </math> の固有状態となる。従って <math>\hat l_\pm |\lambda, m \rangle \propto |\lambda, m \pm 1\rangle </math> とかける。<math>m = l </math> の場合は、固有値が <math>l+1 </math> の状態は存在しないから、 <math>\hat l_+ |\lambda, l\rangle = 0 </math> となる。従って <math>\hat l_-\hat l_+ |\lambda, l\rangle = (\hat{{\boldsymbol l}^2} - \hat{l_z^2} - \hat l_z)|\lambda, l\rangle = (\lambda - l^2 - l)|\lambda, l\rangle = 0 </math> より、<math>\lambda = l(l+1) </math> を得る。今後は <math>\lambda </math> の代わりに <math>l </math> を用いて <math>|l,m \rangle </math> と書くことにする。<math>\hat l_\pm |l, m \rangle = C^\pm_{lm}|l, m \pm 1\rangle </math> とすると <math>\begin{align} \langle l, m |\hat l_-\hat l_+ |l, m \rangle &= \langle l, m |\hat l_+^\dagger\hat l_+ |l, m \rangle\\ &= |C^+_{lm}|^2\langle l, m+1 |l, m+1 \rangle\\ &= |C^+_{lm}|^2 \end{align}</math> となる。また、 <math>\begin{align} \langle l, m |\hat l_-\hat l_+ |l, m \rangle &= \langle l, m |\hat{{\boldsymbol l}^2} - \hat{l_z^2} - \hat l_z|l, m \rangle\\ &= l(l+1)-m(m+1) \\ &= (l-m)(l+m+1) \end{align} </math> より <math>\hat l_+ |l, m \rangle = \sqrt{(l-m)(l+m+1)}|l, m+ 1\rangle </math> を得る。<math>\langle l, m+ 1|\hat l_+ |l, m \rangle = \sqrt{(l-m)(l+m+1)} </math> のエルミート共役を取って、 <math>\langle l, m|\hat l_- |l, m+1 \rangle = \sqrt{(l-m)(l+m+1)} </math> あるいは、 <math>\langle l, m-1|\hat l_- |l, m \rangle = \sqrt{(l+m)(l-m+1)} </math> を得る。 次に、角運動量演算子を極座標で表す表式を求めよう。球座標と直交座標の関係 <math>x = r\sin\theta\cos\varphi,y = r\sin\theta\sin\varphi,z = r\cos\theta</math> の関係から、 <math>\frac{\partial}{\partial \theta} = r\cos\theta\cos\varphi\frac{\partial}{\partial x}+r\cos\theta\sin\varphi\frac{\partial}{\partial y}-r\sin\theta\frac{\partial}{\partial z}</math> <math>\frac{\partial}{\partial \varphi} = -r\sin\theta\sin\varphi\frac{\partial}{\partial x}+r\sin\theta\cos\varphi\frac{\partial}{\partial y}</math> となるから、 <math>\begin{align} i\sin\varphi\frac{\partial}{\partial\theta} + i\cot\theta\cos\varphi\frac{\partial}{\partial \varphi} &= iz\frac{\partial}{\partial y}-iy\frac{\partial}{\partial z}\\ &= \hat l_x \end{align} </math> <math>\begin{align} i\cos\varphi\frac{\partial}{\partial\theta} + i\cot\theta\sin\varphi\frac{\partial}{\partial \varphi} &= -iz\frac{\partial}{\partial x}+ix\frac{\partial}{\partial z}\\ &= \hat l_y \end{align} </math> <math>\begin{align} -i\frac{\partial}{\partial \varphi} &= iy\frac{\partial}{\partial x}-ix\frac{\partial}{\partial y}\\ &= \hat l_z \end{align} </math> を得る。また、 <math>\hat l_{\pm} = e^{\pm i \varphi}\left(\pm\frac{\partial}{\partial\theta}+i\cot\theta\frac{\partial}{\partial\varphi}\right) </math> となる。また、 <math>\begin{align} \hat l^2 &= \hat l_- \hat l_+ + \hat l_z^2 + \hat l_z\\ &= - \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)-\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} \end{align}</math> を得る。これはラプラシアンの角度部分である。 <math>\begin{align} \triangle &= \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\\ &=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial}{\partial r}\right) -\frac{\hat l^2 }{r^2} \end{align}</math> == 水素原子 == ポテンシャル <math>V(r) = - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Ze^2}{r}</math> での電子の運動を考えよう。シュレーディンガー方程式は <math>\triangle \psi + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(r))\psi = 0</math> となる。 <math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial \psi}{\partial r}\right) -\frac{1}{r^2}\hat l^2 \psi + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(r))\psi = 0</math> で <math>\psi = R(r)Y(\theta,\varphi)</math> と変数分離すると、 <math>\frac 1 R \frac{d}{d r}\left(r^2 \frac{d R}{d r}\right) + \frac{2m r^2}{\hbar^2}(E-V(r)) = \frac 1 Y \hat l^2 Y = \mu</math> となる。ここで、<math>\hat l^2 Y = \mu Y</math> は非負整数 <math>l</math> が存在して <math>\mu = l(l+1)</math> とかけるときのみ発散しない解が存在して、<math>Y</math> は球面調和関数 <math>Y_{l}^{m}(\theta, \phi)=(-1)^{(m+|m|)/2}\sqrt{ \frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!} \,} \,P_l^{|m|}(\cos\theta)\,e^{im\phi}</math> となる。ここで、<math>m</math> は角運動量の <math>z</math> 成分の固有値であり、 <math>m=-l,-l+1,\cdots,l</math> をとる。 <math>R</math> についての微分方程式 <math>\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{dR}{dr}\right) -\frac{l(l+1)}{r^2}R + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(r))R = 0</math> は、簡単のために <math>m = e = 4 \pi \varepsilon_0 = \hbar = 1</math> となる原子単位系を採用すると、 <math>R'' + \frac 2 r R' -\frac{l(l+1)}{r^2}R + 2\left(E+\frac{Z}{r}\right)R = 0</math> となる。ここで、<math>n = \frac{Z}{\sqrt{-2E}},\, \rho = \frac{2Z}{n}r</math> と変数変換すると、 <math>R'' + \frac 2 \rho R' + \left(-\frac 1 4 + \frac n \rho - \frac{l(l+1)}{\rho^2}\right)R = 0</math> となる。ここで <math>'</math> は <math>\rho</math> に対する微分である。 <math>\rho \ll 1</math> で <math>R \propto \rho^s</math> と仮定すると、 <math>\frac{1}{\rho^2}\frac{d}{d\rho}\left(\rho^2 \frac{dR}{d\rho}\right) -\frac{l(l+1)}{\rho^2}R = 0</math> より、<math>s(s+1) = l(l+1)</math> を得る。<math>s = l, -l-1</math> となるが、<math>R \propto \rho^{-l-1}</math> は <math>\rho = 0</math> で発散するため <math>R \propto \rho^{l}</math> である。また、<math>\rho \to \infty</math> では <math>R'' -\frac 1 4 R = 0</math> より、<math>R \propto e^{-\frac \rho 2}</math> となる。従って、 <math>R = \rho^l e^{-\frac \rho 2}w(\rho)</math> として、<math>w</math> に対する微分方程式を求めると、 <math>\rho w'' + (2l + 2 - \rho)w' + (n - l - 1)w = 0</math> を得る。これは、一般化されたラゲール多項式 <math>L^{(\alpha)}_n(\rho) = \frac{(\alpha+1)_n}{n!}F(-n,\alpha+1;\rho)</math> が微分方程式 <math>\rho L'' + (\alpha + 1 - \rho)L' + nL = 0</math> の解であるから、 <math>w = L^{(2l+1)}_{n-l-1}(\rho)</math> と書くことができる。 エネルギー準位は <math>n</math> の定義より、 <math>E_n = -\frac{Z^2}{2n^2}</math> となる。国際単位系で書くと<ref>原子単位系でのエネルギーの単位は <math>m, e, 4 \pi \varepsilon_0, \hbar</math> からエネルギーの次元を持つ量を作ると <math>E_h = \frac{me^4}{(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2} = \alpha^2 mc^2</math> となる。ここで、<math>\alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar c} \approx \frac{1}{137}</math> は微細構造定数である。</ref>、 <math>E_n = -\frac{me^4Z^2}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2n^2}</math> となる。 == 不確定性関係 == <math>\hat A, \hat B</math> をエルミート演算子とする。ある状態 <math>|\psi \rangle</math> についての演算子の期待値を <math>\langle \hat A \rangle = \langle \psi |\hat A |\psi\rangle</math> と書く。分散は <math>\sigma(A)^2 = \langle \hat A^2 \rangle - \langle \hat A \rangle ^2</math> て定義される。このとき、 <math>\sigma(A) \sigma (B) \ge \frac 1 2 |\langle [\hat A,\hat B]\rangle |</math> が成り立つ。これを不確定性関係という。ただし正確にはロバートソンの不等式<ref>紛らわしいが、ハイゼンベルクの不確定性原理は位置の測定により系が擾乱されて運動量が変化するため、位置の誤差と運動量の擾乱を同時に小さくすることができないという主張である。これは定性的には正しいがその不等式は正しくない。この考えを定量的に示したのが小澤の不等式である。また、ここでいう不確定性関係（ロバートソンの不等式）は量子状態の測定値の分散の間の関係であり、測定による擾乱は考慮していない。</ref>である。<math>\lambda</math>を実数として、演算子 <math>\hat C = \hat A + i\lambda \hat B</math> を定義する。このとき、 <math>\langle \psi |\hat C^\dagger \hat C| \psi \rangle = || \hat C | \psi \rangle ||^2 \ge 0</math> となる。また、 <math>\langle \hat C^\dagger \hat C \rangle = \langle \hat A^2 \rangle + \lambda^2 \langle \hat B^2 \rangle + i\lambda \langle [\hat A, \hat B] \rangle \ge 0 </math> を得る。これを <math>\lambda</math> についての条件と見て、判別式を考えると <math>\sqrt{\langle \hat A^2\rangle\langle \hat B^2\rangle} \ge \frac 1 2 |\langle [\hat A,\hat B]\rangle |</math> を得る。<math>\hat A \to \hat A - \langle \hat A \rangle ,\hat B \to \hat B - \langle \hat B \rangle</math> と置き換えると、不確定性関係 <math>\sigma(A) \sigma (B) \ge \frac 1 2 |\langle [\hat A,\hat B]\rangle |</math> を得る。特に、<math> [\hat x,\hat p] = i\hbar </math> より <math>\sigma(x) \sigma(p) \ge \frac \hbar 2</math> となる。 '''例''' 調和振動子のエネルギー固有状態 <math>| n \rangle</math> についての不確定性を計算する。 <math>\begin{align} \hat x &= \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\hat a + \hat a^\dagger),\\ \hat p &= -i\sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}}(\hat a - \hat a^\dagger) \end{align}</math> であるから、 <math>\langle \hat x \rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\langle n|(\hat a + \hat a^\dagger)|n\rangle = 0</math> となる。同様に<math>\langle \hat p \rangle = 0</math>である。また、 <math>\langle \hat x^2 \rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} \langle n|(\hat a + \hat a^\dagger)^2|n\rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} \langle n|(\hat a\hat a^\dagger + \hat a^\dagger\hat a)|n\rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} (2n+1)</math> <math>\langle \hat p^2 \rangle = -\frac{m\hbar \omega}{2} \langle n|(\hat a + \hat a^\dagger)^2|n\rangle = -\frac{m\hbar \omega}{2} \langle n|(-\hat a\hat a^\dagger - \hat a^\dagger\hat a)|n\rangle = \frac{m\hbar \omega}{2} (2n+1) </math> より、 <math>\sigma(x) = \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}(n+1/2)},\sigma(p) = \sqrt{m\hbar\omega (n+1/2)} </math> となり、 <math>\sigma(x) \sigma(p) = \hbar(n+1/2) </math> を得る。従って、不確定性関係が成り立つことを直接示すことができた。 '''例2''' 複素数 <math>\alpha</math> に対して、状態 <math>|\alpha\rangle</math> を <math>|\alpha\rangle = e^{-\frac 1 2 |\alpha|^2}\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle</math> で定義する。簡単な計算から、 <math>\hat a |\alpha\rangle = \alpha|\alpha\rangle ,\, \langle \alpha | \alpha \rangle = 1</math> が成り立つことから、<math>|\alpha\rangle</math> は消滅演算子の固有状態で、規格化されていることがわかる。この状態をコヒーレント状態という。<math>|\alpha\rangle</math> の不確定性を求めよう。前と同じように計算すると、 <math>\langle \hat x \rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\langle \alpha|(\hat a + \hat a^\dagger)|\alpha\rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\alpha+\alpha^*)</math> <math>\langle \hat p \rangle = -i\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}}\langle \alpha|(\hat a - \hat a^\dagger)|\alpha\rangle = -i\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}}(\alpha-\alpha^*)</math> <math>\langle \hat x^2 \rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} \langle \alpha|(\hat a + \hat a^\dagger)^2|\alpha\rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} \langle \alpha|(\hat a^2 + \hat a^{\dagger 2} + 2\hat a^\dagger\hat a + 1 )|\alpha\rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} (\alpha^2 + \alpha^{*2} + 2\alpha^*\alpha + 1)</math> <math>\langle \hat p^2 \rangle = -\frac{m\hbar\omega}{2} \langle \alpha|(\hat a - \hat a^\dagger)^2|\alpha\rangle = -\frac{m\hbar\omega}{2} \langle \alpha|(\hat a^2 + \hat a^{\dagger 2} - 2\hat a^\dagger\hat a - 1 )|\alpha\rangle = -\frac{m\hbar\omega}{2} (\alpha^2 + \alpha^{*2} - 2\alpha^*\alpha - 1)</math> となる。従って、 <math>\sigma(x) = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}},\sigma(p) = \sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}} </math> <math>\sigma(x) \sigma(p) = \frac{\hbar}{2} </math> となる。すなわち、コヒーレント状態は不確定性が最小となる状態である。 == エーレンフェストの定理 == 演算子 <math>\hat A</math> に対してその時間微分の演算子 <math>\frac{d\hat A}{dt}</math> を定義したい。これは、 <math>\frac{d\langle \hat A \rangle}{dt} = \left\langle \frac{d \hat A}{dt} \right\rangle</math> となるように定義するのがいいだろう。 <math>\begin{align} \frac{d\langle \hat A \rangle}{dt} &= \frac{d}{dt}\int \psi^* \hat A \psi dx \\ &= \int \left(\frac{\partial \psi^*}{\partial t} \hat A \psi + \psi^* \frac{\partial \hat A}{\partial t} \psi + \psi^* \hat A \frac{\partial \psi}{\partial t}\right) dx \\ &= \int \left(-\frac{1}{i\hbar}\hat H \psi^* \hat A \psi + \psi^* \frac{\partial \hat A}{\partial t} \psi + \frac{1}{i \hbar}\psi^* \hat A \hat H \psi\right) dx \\ &= \int \left(-\frac{1}{i\hbar}\psi^* \hat H \hat A \psi + \psi^* \frac{\partial \hat A}{\partial t} \psi + \frac{1}{i \hbar}\psi^* \hat A \hat H \psi\right) dx \\ &= \int \left(\psi^* \frac{\partial \hat A}{\partial t} \psi + \frac{1}{i \hbar}\psi^* [\hat A, \hat H] \psi\right) dx \\ \end{align}</math> となる。これが、 <math>\left\langle \frac{d \hat A}{dt} \right\rangle = \int \psi^* \frac{d \hat A}{dt} \psi dx</math> に等しいのだから、 <math>\frac{d \hat A}{dt} = \frac{\partial \hat A}{\partial t} + \frac{1}{i \hbar} [\hat A, \hat H] </math> となる。位置演算子 <math>\hat \boldsymbol r </math> の一階と二階の時間微分 <math>\hat \boldsymbol v , \, \hat \boldsymbol a </math> を作ってみよう。 <math>\hat \boldsymbol v = \frac{1}{i\hbar}(\hat \boldsymbol r \hat H - \hat H \hat \boldsymbol r ) = -\frac{i\hbar}{2m}(\boldsymbol r \triangle - \triangle \boldsymbol r) = -\frac{i\hbar}{m}\nabla </math> となる。また、 <math>\hat \boldsymbol a = \frac{1}{i\hbar}(\hat \boldsymbol v \hat H - \hat H \hat \boldsymbol v) = -\frac{1}{m}(\nabla V - V\nabla) = - \frac 1 m \nabla V </math> となる。よって、 <math>m \hat \boldsymbol a = - \nabla V </math> あるいは、 <math>m \frac{d^2 \langle\hat x\rangle}{dt^2} = - \langle \nabla V \rangle </math> を得る。これをエーレンフェストの定理という。 == エルミート多項式の性質 == エルミート多項式の母関数を求めよう。 <math>\begin{align} \sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)}{n!}t^n &= \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^{[\frac n 2]} \frac{(-1)^k}{ k! (n-2k)!} (2x)^{n-2k}t^n\\ \end{align}</math> となる。ここで、<math>\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^{[\frac n 2]}</math> は <math>n - 2k \ge 0</math> を満たすすべての非負整数 <math>n,k</math> についての和である。そこで、<math>l = n - 2k</math> とし、<math>l</math> を0から∞まで走らせ、各 <math>l</math> について <math>k</math> を+1するごとに <math>n</math> に2を足すことにすると、 <math>l</math> が一定のまま <math>k</math> は0から∞まで走らせることができる。従って、総和は、 <math>\begin{align} \sum_{l=0}^\infty\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{ k! l!} (2x)^{l}t^{l+2k} &= \sum_{l=0}^\infty\frac{(2xt)^l}{l!} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-t^2)^k}{k!}\\ &= e^{2xt-t^2} \end{align}</math> となる。また、 <math>\begin{align} H_n(x) &= \frac{d^n}{dt^n}e^{2xt-t^2}|_{t=0}\\ &= e^{x^2} \frac{d^n}{dt^n}e^{(x-t)^2}|_{t=0}\\ &= e^{x^2} \frac{d^n}{d(-s)^n}e^{-s^2}|_{s=x}\\ &= (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2} \\ \end{align} </math> より、ロドリゲスの公式を得る。途中で、 <math>s=x-t </math> とした。 == WKB近似 == エネルギーが一定のとき作用は <math>S = S_0 - Et </math> であるから、波動関数の準古典近似は <math>\Psi = ae^{\frac i \hbar S} = ae^{\frac{-iEt}{\hbar}}e^{\frac i \hbar S_0}</math> となる。そこで、<math>\psi = a e^{\frac i \hbar S_0} </math> をシュレーディンガー方程式に代入して <math>\hbar </math> の0次と1次について計算すると<ref><math>\left(\frac{-\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V \right)\psi \approx \left(\frac{1}{2m}\left(\frac{dS_0}{dx}\right)^2a-\frac{i\hbar}{2m}\frac{d^2S_0}{dx^2}a -\frac{i\hbar}{m}\frac{dS_0}{dx}\frac{da}{dx} + Va\right)e^{\frac i \hbar S_0} </math> となる。</ref>、 <math>\frac{1}{2m} \left(\frac{dS_0}{dx}\right)^2 + V(x) = E </math> <math>\frac{1}{2m} a\frac{d^2S_0}{dx^2} + \frac 1 m \frac{dS_0}{dx}\frac{da}{dx} = 0 </math> を得る。第一式を解くと、 <math>S_0 = \pm \int \sqrt{2m(E-V(x))}dx =: \pm\int pdx </math> となる。第二式は <math>2ma </math> を掛けると <math>\frac{d}{dx}\left(a^2\frac{dS_0}{dx}\right) = 0 </math> と変形されるから、<math>C </math> を定数として <math>a = \frac{C}{\sqrt p} </math> を得る。よって波動関数は <math>\psi(x) = \frac{C_1}{\sqrt p} e^{\frac i \hbar \int pdx} + \frac{C_2}{\sqrt p} e^{-\frac i \hbar \int pdx} </math> となる。<math> E < V(x) </math> の領域では <math>p </math> は純虚数となるから <math>p = i \tilde p </math> と置いて <math>\psi(x) = \frac{C'_1}{\sqrt \tilde p} e^{\frac 1 \hbar \int \tilde p dx} + \frac{C'_2}{\sqrt \tilde p} e^{-\frac 1 \hbar \int \tilde p dx} </math> となる。 <math> E < V(x) </math> の領域は古典的には存在できない領域であるが、量子力学的には指数関数的に減衰するものの透過することが可能である。<math>x</math> 軸正の方向に移動する粒子を考えよう。転回点を <math>x_1 < x_2 </math> とするとき、波動関数は <math> E < V(x) </math> の領域では <math>\psi(x) \sim \exp\left(-\frac 1 \hbar \int_{x_1}^x \tilde p dx\right) </math> で減衰する。従って、ポテンシャル障壁を抜ける透過係数は <math>T \sim \exp\left(-\frac 2 \hbar \int_{x_1}^{x_2} \tilde p dx\right) </math> で与えられる。 '''例''' WKB近似の応用として、アルファ崩壊について考えてみよう。アルファ粒子は原子核の内部では核力により <math>-V_0</math> のポテンシャルで束縛されおり、原子核の外部ではクーロン力を受けるとする。ポテンシャルは <math>V(r)=\begin{cases} -V_0 \quad (r<r_1)\\ \frac{\alpha}{r} \quad (r > r_1) \end{cases}</math> で与えられる。<math>r_1</math> は原子核の半径である。転回点 <math>r_2</math> は <math>E = \frac{\alpha}{r_2} </math> となる。透過係数は <math>T = \exp\left(-\frac 2 \hbar \int_{r_1}^{r_2} \sqrt{2m\left(\frac{\alpha}{r}-E\right)} dr\right) </math> である。ここで、<math>r = r_1 \cos^2\theta </math> と変換して積分すると <math>\begin{align} \int_{r_1}^{r_2} \sqrt{2m\left(\frac{\alpha}{r}-E\right)} dr &= 2\sqrt{2mE}r_2\int_{0}^{\cos^{-1}\sqrt{\frac{r_1}{r_2}}} \sin^2\theta d\theta \\ &= \sqrt{2mE}r_2\left(\cos^{-1}\sqrt{\frac{r_1}{r_2}} - \sqrt{\frac{r_1}{r_2}\left(1-\frac{r_1}{r_2}\right)}\right) \end{align} </math> となる。従って <math>T = \exp\left\{-\frac{2\alpha\sqrt{2m}}{\hbar \sqrt E} \left(\cos^{-1}\sqrt{\frac{r_1}{r_2}} - \sqrt{\frac{r_1}{r_2}\left(1-\frac{r_1}{r_2}\right)}\right)\right\}</math> を得る。<math>r_1 \ll r_2</math> とすると <math>T = \exp\left(-\frac{\pi\alpha\sqrt{2m}}{\hbar \sqrt E}\right)</math> となる。 == スピン == 電子などの素粒子には粒子に固有の角運動量が存在する。これをスピンという。<math>\hbar</math> を単位として測ったスピン演算子を <math>\hat s_i \; (i=x,y,z)</math> とする。これは角運動量演算子と同じ交換関係 <math>[\hat s_i, \hat s_j] = i\varepsilon_{ijk} \hat s_k </math> を満たす。[[量子力学#角運動量]]では、軌道角運動量の交換関係を求めてから後は、その交換関係しか使っていない。すなわち、[[量子力学#角運動量]]で求めたことはスピン演算子でも有効である。つまり、<math>\hat s_z</math> の固有値には最大値が存在し、その最大値を <math>s</math> とする。このとき、<math>s_z = -s,-s+1,\cdots,s-1,s</math> の <math>2s+1</math> 個のスピン状態が存在する。<math>2s+1</math> は自然数であるから、<math>s = 0, \frac 1 2, 1, \frac 3 2, \cdots</math> の値を取ることができる。 スピン <math>s=\frac 1 2</math> の場合を考える。<math>\hat s_z</math> の固有状態には <math>s_z = \pm \frac 1 2</math> の二通りがある。それぞれの固有状態を <math>\left|\frac 1 2\right\rangle,\left|-\frac 1 2\right\rangle</math> とする。 <math>\hat s_z \left|\frac 1 2\right\rangle = \frac 1 2 \left|\frac 1 2\right\rangle,\, \hat s_z \left|-\frac 1 2\right\rangle = -\frac 1 2 \left|-\frac 1 2\right\rangle</math> である。したがって、<math>\left|\frac 1 2\right\rangle = \binom{1}{0},\left|-\frac 1 2\right\rangle = \binom{0}{1}</math> と行列表示するとき、<math>\hat s_z</math> の行列表示は <math>\hat s_z = \begin{pmatrix} \frac 1 2 & 0 \\ 0 & -\frac 1 2 \end{pmatrix}</math> となる。また、 <math>\hat s_+ \left|-\frac 1 2\right\rangle = \left|\frac 1 2\right\rangle,\, \hat s_- \left|\frac 1 2\right\rangle = \left|-\frac 1 2\right\rangle</math> より、 <math>\hat s_+ = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\hat s_- = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} </math> となる。よって、 <math>\hat s_x =\frac 1 2 (\hat s_++\hat s_-) = \frac 1 2 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} </math> <math>\hat s_y =\frac{1}{2i}(\hat s_+-\hat s_-) = \frac 1 2 \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} </math> となる。ここで、<math>\hat s_i = \frac 1 2 \sigma_i</math> となる行列 <math>\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math> をパウリ行列と定義する。 == 角運動量の合成 == *[[量子力学/角運動量の合成|角運動量の合成]] == 時間に依存しない摂動論 == ハミルトニアン <math>\hat H_0</math> は完全に解かれていて <math>\hat H_0 |\psi_n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)}|\psi_n^{(0)}\rangle</math> とする。規格化されていて縮退はないとする。<math>\lambda</math> を小さい量として摂動ハミルトニアン <math>\hat H = \hat H_0 + \lambda \hat V</math> を考える。目標はシュレーディンガー方程式 <math>\hat H |\psi_n\rangle = E_n |\psi_n\rangle </math> を摂動的に解くことである。 <math>|\psi_n\rangle = |\psi_n^{(0)}\rangle + \lambda |\psi_n^{(1)}\rangle + \lambda^2 |\psi_n^{(2)}\rangle + \cdots</math> <math>E_n = E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots</math> と <math>\lambda</math> の冪で展開する。二次まででシュレーディンガー方程式に代入すると、 <math>(\hat H_0 + \lambda \hat V)(|\psi_n^{(0)}\rangle + \lambda |\psi_n^{(1)}\rangle + \lambda^2 |\psi_n^{(2)}\rangle) = (E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)}) (|\psi_n^{(0)}\rangle + \lambda |\psi_n^{(1)}\rangle + \lambda^2 |\psi_n^{(2)}\rangle) </math> 一次の方程式は <math>\hat H_0 |\psi_n^{(1)}\rangle + \hat V |\psi_n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)} |\psi_n^{(1)}\rangle + E_n^{(1)}|\psi_n^{(0)}\rangle </math> となる。二次は <math>\hat H_0 |\psi_n^{(2)}\rangle + \hat V |\psi_n^{(1)}\rangle = E_n^{(0)} |\psi_n^{(2)}\rangle + E_n^{(1)} |\psi_n^{(1)}\rangle + E_n^{(2)}|\psi_n^{(0)}\rangle </math> となる。まずは一次の近似について考える。 <math>|\psi_n^{(1)}\rangle = \sum_k c^{(1)}_k|\psi_k^{(0)}\rangle </math> と展開して、 <math>\sum_k E^{(0)}_k c^{(1)}_k|\psi_k^{(0)}\rangle + \hat V |\psi_n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)} \sum_k c^{(1)}_k|\psi_k^{(0)}\rangle + E_n^{(1)}|\psi_n^{(0)}\rangle </math> <math>\langle \psi_m^{(0)}| </math> を左からかけると、 <math>E^{(0)}_m c^{(1)}_m + \langle \psi_m^{(0)}| \hat V |\psi_n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)} c^{(1)}_m + E_n^{(1)}\langle \psi_m^{(0)}| \psi_n^{(0)}\rangle </math> となる。<math>m = n </math> とすると、 <math>E_n^{(1)} = \langle \psi_n^{(0)}| \hat V |\psi_n^{(0)}\rangle </math> を得る。<math>m \neq n </math> のときは、 <math>c_m^{(1)} = \frac{\langle \psi_m^{(0)}| \hat V |\psi_n^{(0)}\rangle}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}} </math> となる。<math>c_n^{(1)} </math> は決定できないが、<math>c_n^{(1)}=0 </math> とする。 次に二次の摂動に移ろう。同じように、 <math>|\psi_n^{(2)}\rangle = \sum_k c^{(2)}_k|\psi_k^{(0)}\rangle </math> と展開して二次の方程式に <math>\langle \psi_m^{(0)}| </math> を左からかけると、 <math>E^{(0)}_m c_m^{(2)} + \sum_{k} c_k^{(1)} \langle \psi_m^{(0)}|\hat V |\psi_k^{(0)}\rangle = E_n^{(0)} c_m^{(2)} + E_n^{(1)} c_m^{(1)} + E_n^{(2)}\langle \psi_m^{(0)}|\psi_n^{(0)}\rangle</math> となる。<math>m=n</math> とすると、 <math>E_n^{(2)} = \sum_{k} c_k^{(1)} \langle \psi_n^{(0)}|\hat V |\psi_k^{(0)}\rangle = \sum_{k\neq n} \frac{|\langle \psi_n^{(0)}|\hat V |\psi_k^{(0)}\rangle|^2}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}}</math> となる。 '''演習問題''' 調和振動子について摂動ハミルトニアンが <math>\hat V_1 = \alpha \hat x^3</math> であるときにエネルギーの一次と二次の摂動を求めよ。また、摂動ハミルトニアンが <math>\hat V_2 = \beta \hat x^4</math> であるときのエネルギーの一次の摂動を求めよ。 '''解答''' <math>\begin{align} \hat x &= \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\hat a + \hat a^\dagger),\\ \hat p &= -i\sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}}(\hat a - \hat a^\dagger) \end{align}</math> より、 <math>E_n^{(1)} = \langle n|\alpha \hat x^3|n\rangle = \alpha \left(\frac{\hbar}{2m\omega}\right)^{\frac 3 2}\langle n|(a + a^\dagger)^3|n\rangle</math> である。演算子を展開して交換関係 <math>a a^\dagger = a^\dagger a + 1</math> を使って消滅演算子を右側に来るようにすると、 <math>(a + a^\dagger)^3 = a^{\dagger 3} + 3 a^{\dagger 2}a + 3 a^\dagger a^2 + a^3 + 3 a^\dagger + 3 a</math> となる。更に整理すると、 <math>(a + a^\dagger)^3 = a^{\dagger 3} + 3 a^\dagger a a^\dagger + 3 a a^\dagger a + a^3</math> となる。これには、<math>n \to n \pm 1, n \pm 3</math> の遷移に対応する演算子しか含まれていないから、 <math>\langle n|(a + a^\dagger)^3|n\rangle = 0, \quad E_n^{(1)} = 0</math> となる。次に、二次の摂動エネルギーを求める。行列要素を求めると、 <math>\begin{align} &\langle n+3 | a^{\dagger 3}|n \rangle = \sqrt{(n+1)(n+2)(n+3)},\quad \langle n+1 | 3a^\dagger a a^\dagger |n \rangle =3(n+1)^{\frac 3 2}\\ &\langle n-1 | 3a a^\dagger a|n \rangle = 3n^{\frac 3 2},\quad \langle n-3 | a^3 |n \rangle = \sqrt{n(n-1)(n-2)} \end{align}</math> であり、これ以外の行列要素は0である。従って、 <math>E_n^{(2)} = \sum_{k=n \pm 1,n\pm 3} \frac{|\langle n|\alpha\hat x^3 |k\rangle|^2}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} = -\frac{\alpha^2\hbar^2}{8m^3\omega^4}(30n^2+30n+11)</math> となる。 次に、摂動ハミルトニアンが <math>\hat V_2 = \beta \hat x^4</math> で与えられる場合を計算しよう。同じように<math>\langle n | (a+a^\dagger)^4|n\rangle </math> の値が必要になるが、展開したときに生成演算子と消滅演算子が同数だけある項のみが一般に0とは異なる値を与える<ref>例えば、<math>a a a a^\dagger </math> のような項は <math>aaaa^\dagger |n\rangle \propto |n-2\rangle</math> となるため <math>\langle n |</math> で挟んだときに消える。</ref>。そのような項は <math>{}_4\mathrm{C}_{2}</math> 通り <math>\begin{align} &a^\dagger a^\dagger a a\\ &a^\dagger a a^\dagger a = a^\dagger a^\dagger a a + a^\dagger a\\ &a^\dagger a a a^\dagger = a^\dagger a a^\dagger a + a^\dagger a = a^\dagger a^\dagger a a + 2 a^\dagger a\\ &a a^\dagger a^\dagger a = a^\dagger a a^\dagger a + a^\dagger a = a^\dagger a^\dagger a a + 2 a^\dagger a\\ &a a^\dagger a a^\dagger = a a^\dagger a^\dagger a + a a^\dagger = a^\dagger a^\dagger a a + 3 a^\dagger a + 1\\ &a a a^\dagger a^\dagger = a a^\dagger a a^\dagger + a a^\dagger = a^\dagger a^\dagger a a + 3 a^\dagger a + 3\\ \end{align}</math> である。その和は、<math>6 a^\dagger a^\dagger a a + 12 a^\dagger a + 3</math> となる。従って、 <math>\langle n | (a+a^\dagger)^4|n\rangle = \langle n |(6 a^\dagger a^\dagger a a + 12 a^\dagger a + 3)|n\rangle = 6n^2 + 6n + 3 </math> を得る。よって、 <math>E_n^{(1)} = \frac{\beta\hbar^2}{4m^2\omega^2}(6n^2+6n+3)</math> となる。 === 永年方程式 === 縮退がある場合の摂動を考える。<math> E_n^{(0)}</math> に属する固有状態が <math>|\psi_{n,\alpha}^{(0)}\rangle</math> であるとする。前節と同じように <math>|\psi_{n}\rangle = \sum_\alpha c_{n,\alpha}^{(0)} |\psi_{n,\alpha}^{(0)}\rangle </math> と展開する。これを一次までで切ったシュレーディンガー方程式 <math>(\hat H_0 + \lambda \hat V)|\psi_n\rangle = (E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)})|\psi_n\rangle</math> に代入して <math>\langle \psi^{(0)}_{n,\beta}|</math> を左からかけると、 <math>\sum_\alpha (\langle \psi^{(0)}_{n,\beta}|\hat V |\psi^{(0)}_{n,\alpha}\rangle - E^{(1)}_n\delta_{\alpha\beta})c^{(0)}_{n,\alpha} = 0</math> を得る。これが、すべての <math>c^{(0)}_{n,\alpha}</math> が0とはならない解が存在するためには、 <math>\det (\langle \psi^{(0)}_{n,\beta}|\hat V |\psi^{(0)}_{n,\alpha}\rangle - E^{(1)}_n\delta_{\alpha\beta}) = 0</math> でなくてはならない。これを永年方程式という。 == 部分波 == 自由粒子のシュレーディンガー方程式の解を極座標で考えてみよう。シュレーディンガー方程式は <math>(\triangle + k^2)\psi(r,\theta,\varphi) = 0</math> となる。ここで、<math>k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}</math> である。これはヘルムホルツ方程式である。<math>\psi(r,\theta,\varphi) = R(r)Y(\theta,\varphi)</math> を変数分離すると <math>\frac{1}{R}\left(\frac{d}{d r}\left(r^2\frac{d R}{d r}\right) + r^2 k^2 R\right) = \frac 1 Y \hat \boldsymbol l^2 Y = l(l+1)</math> より、 <math>\hat \boldsymbol l^2 Y = l(l+1)Y</math> <math>\frac{1}{r^2}\frac{d}{d r}\left(r^2\frac{d R}{d r}\right) + \left(k^2-\frac{l(l+1)}{r^2}\right) R = 0</math> を得る。<math>Y</math> は球面調和関数で <math>l</math> は軌道角運動量であることがわかる。動径関数は <math>R(r) = \frac{X(kr)}{\sqrt{kr}}</math> と置くと、 <math>\frac{d^2}{dr^2}X(kr) + \frac 1 r \frac{d}{dr}X(kr) + \left(k^2-\frac{(l+1/2)^2}{r^2}\right) X(kr) = 0</math> を得る。これは <math>l+ \frac 1 2</math> 次のベッセルの微分方程式であるから、<math>X(kr) = A J_{l+1/2}(kr) + BN_{l+1/2}(kr)</math> となる。球ベッセル関数 <math>j_l(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{l+1/2}(x),\, n_l(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} N_{l+1/2}(x)</math> を使うと、 <math>R(r) = a_{lm} j_l(kr) + b_{lm} n_l(kr)</math> となる。最終的にヘルムホルツ方程式の解は、 <math>\psi(r,\theta,\varphi) = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l (a_{lm} j_l(kr) + b_{lm} n_l(kr)) Y_{lm}(\theta,\varphi) </math> となる。この式のそれぞれの項は確定した角運動量 <math>l</math> と角運動量の <math>z</math> 成分 <math>m</math> を持つ波動関数である。このように角運動量の固有状態で展開することを部分波展開という。 === 平面波の部分波展開 === 平面波 <math>e^{ikz}</math> はヘルムホルツ方程式を満たす。すなわち、 <math>e^{ikz} = e^{ikr\cos\theta} = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l (a_{lm} j_l(kr) + b_{lm} n_l(kr)) Y_{lm}(\theta,\varphi) </math> の形に変形することができる。まず、<math>r=0</math> で有限だから、<math>b_{lm}=0</math> である。また、左辺は <math>\varphi</math> に依存しないから、<math>m=0</math> である。よって、 <math>e^{ikr\cos\theta} = \sum_{l=0}^\infty a_l j_l(kr) P_l(\cos\theta) </math> となる<ref>ここでは <math>Y_{lm}(\theta,\varphi) \propto P^{|m|}_l(\cos\theta) e^{im\varphi}</math> だけで十分である。規格化因子は重要ではないから、係数に吸収させた。</ref>。ここで、<math>x\to 0</math> で漸近的に <math> j_l(x) \to \frac{x^l}{(2l+1)!!}\left(1-\frac{x^2}{2(2l+3)}+\cdots\right)</math> となる。実際、 <math> J_{l+1/2}(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!\Gamma(l+k+3/2)}\left(\frac x 2\right)^{2k+l+1/2} \to \frac{1}{\Gamma(l+3/2)}\left(\frac x 2\right)^{l+1/2}</math> より、 <math> j_l(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{l+1/2}(x) \to \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\frac{2^{l+1}}{(2l+1)!!\sqrt{\pi}}\left(\frac x 2\right)^{l+1/2} = \frac{x^l}{(2l+1)!!}</math> となる。また、<math> P_l(\cos\theta) </math> の最高次 <math>\cos^l\theta</math> の係数は、<math>\frac{(2l)!!}{l!}</math> である<ref>[[物理数学II/特殊関数#Legendre 多項式]]を見よ</ref>から、 <math>\sum_{l=0}^\infty a_l j_l(kr) P_l(\cos\theta) \to \sum_{l=0}^\infty a_l \frac{(kr\cos\theta)^l}{(2l+1)l!}</math> となる。また、 <math>e^{ikr\cos\theta} = \sum_{l=0}^\infty \frac{(ikr\cos\theta)^l}{l!}</math> より、<math> a_l = (2l+1)i^l </math> を得る。したがって、 <math>e^{ikr\cos\theta} = \sum_{l=0}^\infty (2l+1)i^l j_l(kr) P_l(\cos\theta) </math> を得る。 == 散乱 == 平面波 <math>e^{ikz}</math> がポテンシャル <math>V(r)</math> に入射されて、散乱された波動関数は <math>r\to\infty</math> のところで、<math>f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r}</math> の球面波の形をしている。波動関数は <math>r\to\infty</math> で <math>\psi \to e^{ikz} + f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r} </math> に漸近する。<math>r\to\infty</math> ではポテンシャルの影響はなく自由粒子と仮定していいから、<math>\psi</math> はヘルムホルツ方程式の解に漸近する。入射波とポテンシャルは <math>\varphi</math> には依存しないから <math>m=0</math> である。したがって、 <math>\psi \to \sum_{l=0}^\infty (a_{l} j_l(kr) + b_{l} n_l(kr)) P_l(\cos\theta) </math> と展開される。さらに、<math>r\to\infty </math> で <math>\begin{align} j_l(kr) &\to \frac{1}{kr}\sin\left(kr-\frac{l\pi}{2}\right),\\ n_l(kr) &\to -\frac{1}{kr}\cos\left(kr-\frac{l\pi}{2}\right) \end{align}</math> となることを使うと、 <math>\psi = \frac{1}{kr}\sum_{l=0}^\infty c_l\sin\left(kr-\frac{l\pi}{2}+\delta_l\right) P_l(\cos\theta) </math> となる。ここで <math>\delta_l</math> は位相のずれという。入射波 <math>e^{ikr\cos\theta} </math> も同じように部分波展開して、球面ベッセル関数の漸近形を使うと、 <math>\psi - e^{ikr\cos\theta} = \frac{1}{2ikr}\sum_{l=0}^\infty [c_l(e^{i\delta_l}i^{-l}e^{ikr}-e^{-i\delta_l}i^{l}e^{-ikr})P_l(\cos\theta) - (2l+1)i^l(i^{-l}e^{ikr}-i^le^{-ikr})P_l(\cos\theta)]</math> となる。<math>\psi - e^{ikr\cos\theta} </math> は外向きの散乱波である。したがって、内向き球面波の <math>\frac{e^{-ikr}}{r} </math> の部分の係数は0である必要がある。このことから <math>c_l </math> が決定できて、 <math>c_l = (2l+1)i^le^{i\delta_l} </math> となる。これを代入すると、 <math>\psi - e^{ikr\cos\theta} = \frac{e^{ikr}}{2ikr}\sum_{l=0}^\infty (2l+1)(e^{2i\delta_l}-1)P_l(\cos\theta)</math> を得る。すなわち、散乱振幅は <math>f(\theta) = \frac{1}{2ik}\sum_{l=0}^\infty (2l+1)(e^{2i\delta_l}-1)P_l(\cos\theta)</math> である。散乱断面積は <math>\begin{align} \sigma &= 2\pi \int_0^\pi |f(\theta)|^2\sin\theta d\theta\\ &= 2\pi\sum_{l=0}^\infty \int_0^\pi \frac{4k^2}{(2l+1)^2}|e^{2i\delta_l}-1|^2P_l(\cos\theta)^2\sin\theta d\theta\\ &= \frac{4\pi}{k^2}\sum_{l=0}^\infty (2l+1)\sin^2\delta_l \end{align}</math> となる。また、 <math>\operatorname{Im}f(0) = \frac{2l+1}{k}\sum_{l=0}^\infty \sin^2\delta_l</math> より、 <math>\sigma = \frac{4\pi}{k}\operatorname{Im}f(0) </math> を得る。これを光学定理という。 == ボルン近似 == ポテンシャル <math>V </math> が十分小さいときの散乱問題を考えよう。入射波を <math>\psi^{(0)} = e^{i\boldsymbol k \cdot \boldsymbol r}</math> 、散乱波 <math>\psi^{(1)}</math> は <math>V</math> と同次の量とする。 <math>\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \triangle + V\right)(\psi^{(0)} + \psi^{(1)}) = E(\psi^{(0)} + \psi^{(1)})</math> について、二次の微小量 <math>V\psi^{(1)}</math> を無視すると、 <math>-\frac{\hbar^2}{2m} \triangle \psi^{(1)} + V\psi^{(0)} = E \psi^{(1)}</math> <math>\triangle \psi^{(1)} + k^2 \psi^{(1)} = \frac{2m}{\hbar^2} V\psi^{(0)} = \frac{2m}{\hbar^2} V e^{i\boldsymbol k \cdot \boldsymbol r}</math> となる。ここで、 <math>-\frac{\hbar^2}{2m} \triangle \psi^{(0)} = E\psi^{(0)}</math> が成り立つことを使った。 この方程式の解は、<math>R = |\boldsymbol r - \boldsymbol r'|</math> として <math>\begin{align}\psi^{(1)}(\boldsymbol r) &= -\frac{m}{2\pi \hbar^2}\int V(\boldsymbol r') \psi^{(0)}(\boldsymbol r') e^{ikR} \frac{d^3\boldsymbol r'}{R}\\ &=-\frac{m}{2\pi \hbar^2}\int V(\boldsymbol r') e^{i(\boldsymbol k \cdot \boldsymbol r + kR)} \frac{d^3\boldsymbol r'}{R} \end{align} </math> となる。<math>r \gg r' </math> のときは <math>R = |\boldsymbol r - \boldsymbol r'| \approx r - \boldsymbol r' \cdot \boldsymbol n</math> となる。ここで、<math>\boldsymbol n </math> は <math>\boldsymbol r </math> 方向の単位ベクトルである。さらに、 <math>\frac 1 R \approx \frac 1 r </math> とする。そうすると、 <math>\psi^{(1)}(\boldsymbol r) =-\frac{m}{2\pi \hbar^2}\frac{e^{ikr}}{r}\int V(\boldsymbol r') e^{i(\boldsymbol k - \boldsymbol k')\cdot \boldsymbol r'} d^3\boldsymbol r' </math> を得る。ただし、<math>\boldsymbol k' = k \boldsymbol n </math> とした。最終的に散乱振幅は <math>f=-\frac{m}{2\pi \hbar^2}\int V(\boldsymbol r) e^{-i\boldsymbol q\cdot \boldsymbol r} d^3\boldsymbol r </math> で与えられる。<math>\boldsymbol q = \boldsymbol k' - \boldsymbol k </math> で <math>q= 2k \sin \frac{\theta}{2} </math> となる。微分散乱断面積は <math>\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{m^2}{4\pi^2 \hbar^4}\left|\int V(\boldsymbol r) e^{-i\boldsymbol q\cdot \boldsymbol r} d^3\boldsymbol r\right|^2 </math> となる。 球対称ポテンシャル <math>V(r) </math> の場合は、積分を実行すると、 <math>\begin{align} \int V(\boldsymbol r) e^{-i\boldsymbol q\cdot \boldsymbol r} d^3\boldsymbol r &= \int_0^\infty dr \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^\pi d\theta r^2 \sin\theta V(r) e^{-iqr\cos\theta}\\ &= 2\pi \int_0^\infty dr \, r^2 \left[\frac{1}{iqr}e^{-iqr\cos\theta}\right]_0^\pi \\ &=\frac{4\pi}{q}\int_0^\infty rV(r) \sin qr dr \end{align} </math> となるから、 <math>f=-\frac{2m}{\hbar^2 q}\int_0^\infty rV(r) \sin qr dr </math> となる。 例として湯川ポテンシャル <math>V(r) = \frac{\alpha}{r} e^{-\mu r} </math> の場合の微分散乱断面積を計算しよう。 <math>\begin{align} \int_0^\infty rV(r) \sin qr dr &= \int_0^\infty \alpha e^{-\mu r} \sin qr dr \\ &= \alpha \operatorname{Im} \int_0^\infty e^{-\mu r} e^{iqr} dr\\ &= \alpha \operatorname{Im} \left[\frac{e^{(-\mu + iq)r}}{qi-\mu} \right]_0^\infty \\ &= \alpha \operatorname{Im} \frac{1}{\mu- iq} = \frac{\alpha q}{\mu^2 + q^2} \end{align} </math> となる。したがって、 <math>\frac{d\sigma}{d\Omega}= \frac{4m^2}{\hbar^4} \frac{\alpha^2}{(\mu^2+q^2)^2} </math> となる。散乱断面積は <math>q^2 = 2k^2(1-\cos\theta) </math> より、 <math>\begin{align} \sigma &= 2\pi \int_0^\pi \frac{4 m^2 \alpha^2}{\hbar^4} \frac{\sin\theta d\theta}{(\mu^2 + 2k^2(1-\cos\theta))^2}\\ &= \frac{8\pi m^2 \alpha^2}{\hbar^4}\int_0^2 \frac{dx}{(\mu^2 + 2k^2 x)^2}\\ &= \frac{8\pi m^2 \alpha^2}{\hbar^4} \left[\frac{-1}{2k^2}\frac{1}{(\mu^2 + 2k^2 x)}\right]_0^2\\ &= \frac{16\pi m^2 \alpha^2}{\hbar^4}\frac{1}{\mu^2(\mu^2 + 4k^2)} \end{align} </math> となる。途中で <math>x=1-\cos\theta </math> とした。 また、<math>\mu \to 0 </math> とするとポテンシャルはクーロンポテンシャルとなり、 <math>\frac{d\sigma}{d\Omega}= \frac{4m^2 \alpha^2}{\hbar^4 q^4} = \left(\frac{m\alpha}{2\hbar^2 k^2}\right)^2 \frac{1}{\sin^4\frac \theta 2} </math> となる。これは、古典力学でのラザフォード散乱に一致する。 ==脚注== <references /> {{stub}} {{DEFAULTSORT:りようしりきかく}} [[Category:量子力学|*]] {{NDC|423}} 2o1ee73p2x7k1tr7yq3i43s0mh14dic 12 1868 299484 293693 2026-05-12T18:50:22Z なまえみてい 90434 [[template:ショートカット]]の仕様変更に伴う 299484 wikitext text/x-wiki {{ショートカット|H:NEW}} == 新たな書籍の作成 == [[Help:新たな書籍の作成|新たな書籍の作成]]では、新しく書籍を作ろうとお考えの方へいくつかのお知らせをしています。作成を始められる前にご一読ください。 == 作成すべきですか == * 古典などの文書の原文を投稿する先は[[s:ウィキソース|ウィキソース]]です。もしウィキブックスに原文を投稿した場合、'''削除'''される場合があります。 * ウィキブックスはどなたでも編集して頂いて構いません。ただし、投稿された文章はどなたかに変更されたり場合によっては削除されたりします。 == 既にありませんか == * 新たに書籍を作成されるより、既存の書籍に項目を加える方が容易だと思います。 * [[Wikibooks:蔵書一覧|蔵書一覧]]や[[メインページ]]から類似した書籍が無いかご確認ください。 == ビシバシ執筆を == このページで案内する全ての事柄に同意して頂ければ、どんどん新たな書籍を作成されて構いません。 書籍と各ページの名前については[[Wikibooks:ページ名の付け方]]をご覧ください。また、新たな書籍が他の利用者や読者からも見られるよう、既存のページからリンクを張ってください。特に、全ての書籍へリンクする[[Wikibooks:蔵書一覧|蔵書一覧]]には必ず追加してください。蔵書一覧は分野別に書籍を掲載していますが、どの分野に書籍を追加したら良いかお分かりにならなければ[[Wikibooks:談話室]]でお気軽にご質問ください。誰かが答えます。 == 関連項目 == * [[Wikibooks:編集の仕方|編集の仕方]] * [[Wikibooks:新しいページの作り方|新しいページの作り方]] [[Category:ウィキブックス|あらたなしよせきのさくせい]] [[Category:ヘルプ|あらたなしょせきのさくせい]] jl07zlzo7mkyy3esqlohdvh4qg8ewsw 0 1933 299491 299377 2026-05-12T23:57:57Z ~2026-28564-08 91445 299491 wikitext text/x-wiki {{pathnav|高等学校の学習|高等学校数学|高等学校数学III|pagename=積分法|frame=1|small=1}} ここでは、数学IIの[[高等学校数学II/微分・積分の考え|微分・積分の考え]]で学んだ積分の性質についてより詳しく扱う。また、三角関数や指数・対数関数などの関数の積分についても学習する。 [[高等学校数学]]の全ての分野を学んだ後に学習に取り組んでほしい。 == 不定積分 == === 積分の基本的な性質 === 積分法について <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx ,</math> <math>\int af(x) dx = a \int f(x) dx</math>(aは定数) が成り立つ。 導出 <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx</math> の両辺を微分すると、 左辺 =右辺 = <math> f + g</math> が従う。 よって、 <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx</math> の両辺は一致する。 (実際には2つの関数の導関数が一致するとき、 それらの関数には定数だけのちがいがある。 仮に、F(x)とG(x)が共通の導関数h(x)を持ったとする。 このとき、 <math>(F(x)-G(x) )' = h(x)- h(x) = 0</math> となるが、0の原始関数は定数Cであることが分かる。 よって、両辺を積分すると、 <math>F(x)-G(x) = C</math> となり、F(x)とG(x)には定数だけの差しかないことが確かめられた。 よって、 <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx</math> は定数だけのちがいを含んで成り立つ式である。 より一般に、不定積分が絡む等式は定数分の差を含めて成り立つというのが通例である。) <math>\int af(x) dx = a \int f(x) dx</math> についても両辺を微分すると、 左辺=右辺= a f(x) が従う。 よって、 <math>\int af dx = a\int f dx</math> が成り立つことが分る。 関数 <math>f(x)</math> の原始関数を <math>F(x)</math> とすると <math>\int_a^b f(x) \, = F(b)-F(a) = -(F(a)-F(b)) = -\int_b^af(x)\, dx</math> である。 <math>\int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx = (F(c) - F(a)) + (F(b) - F(c)) = F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx</math> === 置換積分法 === 関数の原始関数を求める手段として、 積分変数を別の変数で置き換えて積分を行なう手段が知られている。 これを置換積分と呼ぶ。 <math>\int f(g(x)) dg(x) = \int f(g(x)) g'(x) dx</math> 導出 <math>\int f(g(x)) dg(x) =F(g(x))</math>を<math>x</math>について微分すると、 <math>F'(g(x)) = f(g(x))g'(x)</math> 再び<math>x</math>について積分すると、 <math>\int f(g(x)) dg(x) = \int f(g(x)) g'(x) dx</math> また、特に *<math>\int f(ax+b) dx = \frac{1}{a} \int f(ax+b) d(ax+b)</math> *<math>\int \{f(x)\}^n f'(x) dx = \frac{1}{n+1} \{f(x)\}^{n+1} + C (n \ne -1)</math> *<math>\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log | f(x) | + C</math> 例えば、<math>\int (ax+b)^2 dx</math>を考える。 <math>t = ax+b</math>と置く。 この両辺を微分すると <math>dt = adx</math> が成り立つことを考慮すると、 {| |- |<math>\int t^2 \frac {dt} a</math> |<math>=\frac{ t^3} {3a} + C</math> |- | |<math>=\frac{ (ax+b)^3} {3a} + C</math> |} となることがわかる。 実際この式をxで微分すると <math> (ax+b)^2 </math> と一致することが分る。 置換積分を使わずに計算することも出来る。 {| |- |<math>\int (ax+b)^2 dx</math> |<math>=\int (a^2x^2+2abx +b^2) dx</math> |- | |<math>= \frac {a^2} 3 x^3 +abx^2 +b^2x + C'</math> |- | |<math>= \frac {a^2} 3 x^3 +abx^2 +b^2x + \frac {b^3} {3a} +C</math> |} (<math>C'=\frac {b^3} {3a} +C</math>と置き換えた。) <math>=\frac{ (ax+b)^3} {3a} + C</math> となり確かに一致する。 === 部分積分法 === 関数の積の積分を行なうときある関数の微分だけを取りだして積分すると、うまく積分できる場合がある。関数 <math>g(x)</math> の原始関数を <math>G(x)</math> とすると <math>\int f(x) g(x) \, dx = f(x) G(x) - \int f'(x) G(x) \, dx</math> 導出 積の微分法より <math>\{f(x)G(x)\}' = f'(x)G(x) + f(x)g(x)</math> である。これを移項して <math>f(x)g(x) = \{f(x)G(x)\}' - f'(x)G(x)</math> である。両辺をxで積分して <math>\int f(x) g(x) \, dx = f(x) G(x) - \int f'(x) G(x) \, dx</math> が得られる。 例えば、 {| |- |<math>\int x (ax+b)^3 dx</math> |<math>=\int x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)' dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \int (x)' \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \int (x)' \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \int \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \frac {(ax+b)^5} {20a^2} </math> |} 部分積分を <math>n</math> 回行うと、 <math>\begin{align} \int f(x) g(x) \, dx &= f(x) g^{(-1)}(x) - \int f'(x) g^{(-1)}(x) \, dx \\ &= f(x) g^{(-1)}(x) -f'(x) g^{(-2)}(x) + \int f''(x) g^{(-2)}(x) \, dx \\ &= f(x) g^{(-1)}(x) - f'(x) g^{(-2)}(x) + f''(x) g^{(-3)}(x) + \cdots + (-1)^n \int f^{(n)}(x) g^{(-n)}(x) \, dx \end{align}</math> となる。 ここで、<math>g^{(-1)}(x)</math> は <math>g(x)</math> の不定積分の任意の一つ。<math>g^{(-2)}(x)</math> は <math>g^{(-1)}(x)</math> の不定積分の任意の一つ。... <math>g^{(-n)}(x)</math> は <math>g^{(-n+1)}(x)</math> の不定積分の任意の一つというように定める。このように、積分記号で何回も不定積分を計算するのはやや面倒なので、次のような表を作ってみると計算しやすい。 {|class="wikitable" style="background: #ffffff; text-align: center;" |+ !符号 !微分 !積分 |- |<math>+</math> |<Math>f(x)</math> |<Math>g(x)</math> |- |<math>-</math> |<Math>f'(x)</math> |<Math>g^{(-1)}(x)</math> |- |<math>+</math> |<Math>f''(x)</math> |<Math>g^{(-2)}(x)</math> |- |<math>-</math> |<Math>f^{(3)}(x)</math> |<Math>g^{(-3)}(x)</math> |- |<math>\cdots</math> |<Math>\cdots</math> |<Math>\cdots</math> |- |<math>(-)^n</math> |<Math>f^{(n)}(x)</math> |<Math>g^{(-n)}(x)</math> |} この表から、部分積分を <math>n</math> 回行った結果は、 一行目の符号 × 一行目の微分 × 二行目の積分 + 二行目の符号 × 二行目の微分 × 三行目の積分 + ... + <math>\int</math> n行目の符号 × n行目の微分 × n行目の積分 dx と求まる。n行目の微分 が 0 であった場合は、最後の積分は消えて、不定積分は 一行目の符号 × 一行目の微分 × 二行目の積分 + 二行目の符号 × 二行目の微分 × 三行目の積分 + ... + n-1行目の符号 × n-1行目の微分 × n行目の積分 + C となる。 この方法は俗に'''瞬間部分積分法'''と呼ばれており、部分積分を複数回繰り返す際の計算を非常に簡略化できるため、受験数学では重宝されるテクニックの一つである。記述で用いる場合、上の表をそのまま記述するよりも、「部分積分を繰り返し用いると」という文言の後に瞬間部分積分で求めた結果を記述するのが無難である。 === いろいろな関数の積分=== ==== 多項式関数の積分 ==== <math>n \ne -1</math>のとき、<math>\left(\frac{1}{n+1} x^{n+1}\right)'=x^n</math>なので、 <math>\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C</math> <math>n = -1</math>のとき、<math>(\log |x| )' = \frac{1}{x} = x^{-1}</math>なので、 <math>\int x^{-1} dx = \int \frac {1}{x} dx = \log |x| + C</math> が成り立つ。 ==== 三角関数の積分 ==== *<math>(\sin x )' = \cos x</math> *<math>(\cos x )' = -\sin x</math> *<math>(\tan x )' = \frac{1}{\cos^2 x}</math> が成り立つことを考慮すると、 *<math>\int \cos x dx= \sin x + C</math> *<math>\int \sin x dx = - \cos x + C</math> *<math>\int \frac{1}{\cos^2 x } dx = \tan x + C</math> となることが分る。 <math>\int \tan x dx</math>は、置換積分法を使って {| |- |<math>\int \tan x dx</math> |<math>=\int \frac{\sin x}{\cos x} dx</math> |- | |<math>=\int \frac{-(\cos x)'}{\cos x} dx</math> |- | |<math>= - \int \frac{(\cos x)'}{\cos x} dx</math> |- | |<math>= - \log | \cos x | + C</math> |} :　 :なお同様に、<math>\frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}</math>　であるので、<math>\int \frac{1}{\tan x} dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx =\int \frac{(\sin x)'}{\sin x} dx = \log \left|\sin x\right| + C</math> :　 より一般に有理関数 <math>R(x,y)</math> に対して、<math>\int R(\sin\theta,\cos\theta) \,d\theta</math> について考える。 <math>t = \tan \frac{\theta}{2}</math> とおく。 <math>\tan^2\frac{\theta}{2} + 1 = \frac{1}{\cos^2\frac{\theta}{2}}</math> よって <math>\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1}{1+t^2}</math>である。<math>\frac{dt}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2\cos^2\frac{\theta}{2}} = \frac{1}{2}(t^2+1)</math> であり、<math>\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2} - 1 = \frac{1-t^2}{1+t^2}</math> かつ <math>\sin\theta = \tan\theta\cos\theta = \frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}\cos\theta = \frac{2t}{1+t^2}</math> である。よって <math>\int R(\sin\theta,\cos\theta) \,d\theta = \int R\left(\frac{2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t^2}\right) \, \frac{2dt}{1+t^2}</math> と有理関数の積分にもち込める。 幾何学的は、この変換は単位円上の点 <math>P(\cos \theta, \sin \theta)</math>と点 <math>A(-1,0)</math> を結ぶ直線の勾配 <math>t</math> で変換したものである。実際円周角の定理より <math>\angle xAP = \frac 1 2 \angle xOP = \frac \theta 2</math>より <math>t = \tan \frac{\theta} 2.</math> 被積分関数の周期が <math>\pi</math> の場合は、被積分関数は <math>\sin 2\theta,\cos 2 \theta</math> の有理関数なので、 <math>t = \tan\theta</math> と置換すると計算が楽である。被積分関数が <math>\sin^2\theta,\cos^2\theta,\sin\theta\cos\theta</math> の有理関数となるときもこの範疇に属する。<math>t = \tan\theta</math> と置換したとき、<math>\cos^2\theta = \frac{1}{1+\tan^2\theta}=\frac{1}{1+t^2}</math>, <math>\sin^2\theta = \tan^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{t^2}{1+t^2}</math> , <math>\sin\theta \cos\theta = \pm\sqrt{\sin^2\theta \cos^2\theta} = \frac{t}{1+t^2}</math> (<math>\sin\theta \cos\theta</math> と <math>\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}</math> の正負は一致するため), <math>d \theta = \frac {dt}{1 + t^2}</math> となる。 例　<math>\int\frac{1}{\sin x \cos x}dx</math> は <math>t = \tan x</math> と置換すると、<math>\int \frac {1}{\sin x \cos x}dx = \int \frac {1+t^2}{t} \frac { dt}{1+t^2} = \ln|\tan x| + C. </math> <math>t = \tan \frac{\theta}{2}</math> と置換してしまうと、<math>\int \frac{1}{\sin x \cos x}\,dx = \int \frac {1+t^2}{t(1-t^2)}\,dt = \ln \left|\frac{t}{1-t^2}\right| + C' = \ln|\tan x| + C </math> と計算量が少し増える。 ==== 指数・対数関数の積分 ==== 指数関数について <math>(e^x )' = e^x</math> が成り立つことを用いると、 <math>\int e^x dx = e^x + C</math> が得られる。 また、 <math>\left(\frac{a^x}{\ln a}\right)' = a^x</math> なので、 <math>\int a^x \, dx=\frac{a^x}{\ln a}</math> である。 また、<math>\log |x|</math>の 原始関数も求めることが出来る。 {| |<math>\int \log |x| dx </math> |<math>=\int (x)' \log |x| dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -\int x (\log |x|)' dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -\int x \frac 1 x dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -\int dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -x + C</math> |} となる。 有理関数 <math>R(x)</math> に対して、積分 <math>\int R(e^x) \, dx</math> は <math>t = e^x</math> すると <math>\frac{dt}{dx} = e^x = t</math> より <math>\int R(e^x) \, dx = \int R(t) \frac{dt}{t}.</math> ==== 二次無理関数の積分（発展） ==== 有理関数 <math>R(x,y)</math> に対して、積分 <math>\int R(x,\sqrt{ax^2 + bx + c}) \, dx</math> について考えよう。平方根の中身は平方完成することによって、<math>\sqrt{p^2-x^2},\sqrt{x^2+p^2},\sqrt{x^2-p^2}</math>のいずれかの形になる。それぞれの場合について、<math>x = p\sin \theta,x = p\tan\theta,x = \frac{p}{\cos \theta}</math> と変数変換すると三角関数の積分に帰着する。 また、<math>y^2 = ax^2 +bx + c</math> は二次曲線で、特に <math>a>0</math> のときは双曲線となる（<math>y^2 -a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{-b^2 + 4ac}{4a}</math>より<ref>右辺が0のとき双曲線とはならないが、このときは簡単に平方根を外すことが出来るので考える必要はない。</ref>）。このとき、<math>y=\pm \sqrt a x + t</math> すなわち <math>t = \mp \sqrt a x + \sqrt{ax^2 + bx + c}</math> と変換するとうまく計算できる（符号はどちらを選択しても良い）。幾何学的には、双曲線の漸近線に平行で切片が <math>t</math> の直線 <math>y=\pm \sqrt a x + t</math> と双曲線のただ一つの交点 <math>(x,y)</math> を変数 <math>t</math> で表したものである。 例 <math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} </math> は <math>t = x + \sqrt{ x^2-1}</math> と置換すると、<math>\frac 1 t = x - \sqrt{x^2-1}</math> なので、<math>t + \frac 1 t = 2x</math> すなわち <math>2dx = \left(1 - \frac 1 {t^2}\right)dt</math> また、 <math>t - \frac 1 t = 2\sqrt{x^2-1}</math>.なので、<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} = \int \frac{1-\frac{1}{t^2}}{t-\frac 1 t}dt = \int \frac{dt}{t} = \ln |x + \sqrt{x^2-1}| + C </math> である。 ところで、この変換は双曲線 <math>y^2 = x^2 - 1</math> と直線 <math>y = -x + t</math> のただ一つの交点による変換であった。その交点を方程式を解いて <math>t</math> で表すと、<math>x = \frac 1 2 \left(t + \frac 1 t\right), \, y =\frac 1 2 \left(t - \frac 1 t\right)</math> を得る。これは双曲線の媒介変数表示の一つである。また、 <math>t \rightarrow e^t</math> とすると、<math>x = \frac{e^t + e^{ -t} }{2} = \cosh t, \, y = \frac{e^t - e^{-t}}{2} = \sinh t.</math> これは <math>x > 0</math> の部分の双曲線の媒介変数表示である。最右辺は双曲線関数と呼ばれ、三角関数と似た性質を持つ。関数名の <math>\mathrm{h}</math> はhyperbolaに由来する。例えば、双曲線の方程式より得られる <math>\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1</math> は <math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1</math> とよく似ている。例示の不定積分は <math>x = \cosh t</math> と置換しても解くことが出来るが、ほとんど同じことなので省略する。 == 定積分 == 定積分について、不定積分と同じように以下が成り立つ。 '''定積分の置換積分法''' <math>\alpha < \beta</math>のとき、閉区間<math>[\alpha, \beta]</math>で微分可能な関数<math>x=g(t)</math>に対し、<math>a=g(\alpha), b=g(\beta)</math>ならば<math>\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t)) g'(t) \, dt </math> '''定積分の部分積分法''' <math>\int_{a}^{b} f(x) g'(x) \, dx = \left[ f(x) g(x) \right]^{a}_{b} - \int_{a}^{b} f'(x) g(x) \, dx </math> *問題 **以下の定積分を求めよ(Hint：5, 6は漸化式を利用する) **#<math>\int_{0}^{1} |e^x - \frac{3}{2}| \, dx</math> **#<math>\int_{1}^{0} \frac{x-2}{(3-x)^2} \, dx</math> **#<math>\int_{-5}^{5} x \sqrt{x^2-9} \, dx</math> **#<math>\int_{3}^{7} x \log (x^2 - 2) \, dx </math> **#<math>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx</math> **#<math>\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx</math> === 特殊な定積分 === ==== 円 ==== <math>a < b</math> とする。積分 <math>\int_a ^b \sqrt{(x-a)(b-x)}\, dx</math> は <math>y = \sqrt{(x-a)(b-x)}</math> とすると、<math>\left(x-\frac{a+b}{2} \right) + y^2 = \left(\frac{a-b}{2} \right)^2</math> より、被積分関数 <math>y</math> は中心 <math>\frac{a+b}{2}</math> で半径 <math>\frac{b-a}{2}</math>の円周の上半分であり、積分区間もその両端なので、積分の値は半円の面積に等しく、<math>\int_a ^b \sqrt{(x-a)(b-x)} \, dx = \frac{\pi}{2}\left(\frac{b-a}{2}\right)^2</math> である。 ==== King Property ==== 一般に、関数 <math>f(a-x)</math> のグラフは関数 <math>f(x)</math> のグラフを直線 <math>x = \frac a 2</math> で対称移動したものである。 従って、連続関数 <math>f(x)</math> を区間 <math>\left[\frac{a+b}{2},b\right]</math> で積分した値 <math>\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, dx</math> と、連続関数 <math>f(a+b-x)</math> を区間 <math>\left[a,\frac{a+b}{2}\right]</math> で積分した値 <math>\int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(a+b-x)\, dx</math> は等しい： :<math>\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(a+b-x) \, dx.</math> この等式は単に、 <math>x \to a+b-x</math> の変数変換によっても導出できる。 この等式より、 <math>\int_a^b f(x) \, dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(x)\, dx +\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} [f(x) + f(a+b-x)] \, dx </math> が導かれる。 この公式は、<math>f(x) + f(a+b-x)</math> が簡単な形になる定積分で役に立つ。 例えば、<math>\begin{align}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left[\frac{\sin x}{\sin x + \cos x} +\frac{\sin (\frac{\pi}{2}-x)}{\sin (\frac{\pi}{2}-x) + \cos (\frac{\pi}{2}-x)}\right]\, dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left[\frac{\sin x}{\sin x + \cos x} +\frac{\cos x}{\cos x + \sin x}\right]\, dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}dx = \frac{\pi}{4}.\end{align} </math> King Property の応用例は <math>\int_{-1}^{1} \frac{x^2}{1+e^x} \, dx = \frac 1 3</math> , <math>\int_0^{\frac \pi 4} \ln(1+\tan x)\, dx = \frac \pi 8 \log 2</math> , <math>\int_0^{\frac \pi 2} \log (\sin x) \, dx = -\frac{\pi}{2}\log 2</math>, <math>\int_0^{2\pi} \cos^2\left(\frac{\pi\tan{x}}{2+2\tan{x}}\right)dx=\frac{\pi}{2}</math> などがある。計算してみよ。 === 定積分と不等式 === 一般に、連続関数について次のことが成り立つ。 :閉区間<math>[a, b]</math>において<math>f(x) \leqq g(x)</math>ならば、<math>\int_{a}^{b} f(x) \, dx \leqq \int_{a}^{b} g(x) \, dx</math> :等号成立条件は閉区間<math>[a, b]</math>において恒等的に<math>f(x) = g(x)</math>であること。 *例題 :調和級数の第n部分和が<math>\log(n+1)</math>より大きいことを証明せよ。 *解答 自然数kに対して<math>k \leqq x \leqq k+1</math>のとき<math>\frac{1}{k} \geqq \frac{1}{x}</math>であり、等号は常には成り立たないので<math>\int_{k}^{k+1} \frac{dx}{k} > \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{x}</math>である。故に<math>\sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{k} > \sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{x}</math>。 このとき、（左辺）<math>= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \int_{k}^{k+1} dx = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math>より左辺は調和級数の第n部分和であり、(右辺)<math>= \sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{x} = \int_{1}^{n+1} \frac{dx}{x} = \left[ \log(x) \right]_{1}^{n+1} = \log(n+1) - \log(1) = \log(n+1)</math>なので、題意は示された。 ===発展：広義積分=== '''広義積分'''とは、通常の定積分の範囲を超えて積分区間が無限であったり被積分関数が積分区間内で'''特異点'''（値が定義されなかったり微分不可能だったり不連続であったりする点）を持つ場合に、極限を用いて定義される定積分である。 定積分<math>\int_a^b f(x) \, dx</math>において、<math>b \to \infty</math>の極限を<math>\int_a^\infty f(x) \, dx</math>、<math>a \to -\infty</math>の極限を<math>\int_{-\infty}^b f(x) \, dx</math>のように表す。 例えば、<math>\int_0^\infty e^{-x} dx</math>は以下のように計算できる。 :<math>\int_0^\infty e^{-x} dx</math> :<math>=\lim_{b \to \infty} \int_0^b e^{-x} dx</math> :<math>=\lim_{b \to \infty} [-e^{-x}]_0^b </math> :<math>=\lim_{b \to \infty} (-\frac{1}{e^b} + 1)</math> :<math>=1</math> 但し、極限操作の前に定積分を計算してよいのは以下の場合に限られる。 :被積分関数が連続（定積分可能） :積分区間の内部に特異点が存在しない（特異点が端点のみ） :求めたい積分が（条件）収束する（発散しない） 積分区間の上端が正の無限大で下端が負の無限大のとき、広義積分は以下のように計算される。 :<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{a \to -\infty} \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx</math> 決して<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{A \to \infty} \int_{-A}^A f(x) \, dx</math>（対称極限）のように計算してはならない^※。 例えば、<math>\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{1+x^2} \, dx</math>は発散するが、対称極限のように計算すると<math>\lim_{A \to \infty} \int_{-A}^{A} \frac{x}{1+x^2} \, dx = 0</math>という誤った結果を得る。 この例のように、非積分関数が奇関数であっても<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx=0</math>は一般には成り立たない。あくまでも、'''上端と下端を独立に考えて極限を取る'''ことに注意が必要である。 ※広義積分を対称極限として計算した値を'''コーシー主値'''という。物理系への応用では通常の広義積分でなくコーシー主値を採用する場面もある。 例えば、以下が成り立つ。 :<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}</math> これは'''ガウス積分'''と呼ばれる有名な結果である。 この値の導出には重積分やヤコビ行列といった大学範囲の数学が良く用いられるが、一応は高校数学のみで証明可能である。後述の演習問題を参照。 この結果は[[高等学校数学B/確率分布と統計的な推測#正規分布|正規分布の確率密度関数]]の導出に用いられる。 :元となる関数は<math>y=e^{-x^2}</math>。 :平均値<math>\mu</math>を軸に持ってくる平行移動をして<math>y=e^{-(x-\mu)^2}</math>。 :分布の広さ（ばらつきの大きさ）を標準偏差<math>\sigma</math>に合わせるため<math>\mu \pm \sigma</math>で極値をとるように変形して<math>y=e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}</math> :ガウス積分の結果より<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \, dx = \sqrt{2\pi}\sigma</math>。 :確率密度関数は<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx=1</math>を満たすので、元の関数を<math>\sqrt{2\pi}\sigma</math>（定数）で割って<math>y=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}</math>。 :これは正規分布の特徴を適切に表すため、確率密度関数として適当である。 他に、<math>\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x^2) \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} \cos(x^2) \, dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}</math>（'''フレネル積分'''）が有名な結果である。なお、この積分は不定積分を[[w:初等関数]]で表すことができない。 広義積分の応用例として、'''フーリエ変換'''や'''ラプラス変換'''が存在する。 :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi):=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-2\pi{i}\xi{x}}dx</math> :<math>\text{ℒ}[f(x)](s):=\int_0^\infty f(x)e^{-sx}dx</math> これらは物理的には信号処理や制御工学に応用されているほか、数学では関数解析学と呼ばれる分野にも関わる概念である。 '''演習問題1''' 次の不定積分を求めよ。 :(1)<math>\int \tan xdx</math> :(2)<math>\int \frac{1}{\cos ^2x}dx</math> :(3)<math>\int \log xdx</math> :(4)<math>\int x\log xdx</math> :(5)<math>\int x^2\log xdx</math> :(6)<math>\int x^3\log xdx</math> :(7)<math>\int x\sin xdx</math> :(8)<math>\int x^2\sin xdx</math> :(9)<math>\int x^2e^xdx</math> :(10)<math>\int \frac{dx}{\sin x}</math> :(11)<math>\int \frac{dx}{\cos x}</math> {{解答}} :(1)<math>-\log |\cos x|+C</math> :(2)<math>\tan x+C</math> :(3)<math>x\log x-x+C</math> :(4)<math>\frac{x^2\log x}{2}-\frac{x^2}{4}+C</math> :(5)<math>\frac{x^3\log x}{3}-\frac{x^3}{9}+C</math> :(6)<math>\frac{x^4\log x}{4}-\frac{x^4}{16}+C</math> :(7)<math>\sin x-x\cos x+C</math> :(8)<math>2x\sin x+(2-x^2)\cos x+C</math> :(9)<math>(x^2-2x+2)e^x+C</math> :(10) <math> t = \tan\frac x 2 </math> と置換すると、 <math> \begin{align} \int \frac{dx}{\sin x} &= \int \frac{1+t^2}{2t}\frac{2dt}{1+t^2}\\ &= \int \frac{dt}{t}\\ &= \log |t| + C\\ &= \log \left|\tan\frac x 2 \right| + C. \end{align}</math> 別解 <math>\begin{align} \int \frac{dx}{\sin x} &= \int \frac{dx}{2\sin\frac x 2 \cos \frac x 2}\\ &= \int \frac{\cos\frac x 2 dx}{2\sin\frac x 2 \cos^2 \frac x 2}\\ &= \int \frac{(\tan \frac x 2)'dx}{\tan \frac x 2}\\ &= \log \left|\tan\frac x 2 \right| + C. \end{align}</math> <math>\begin{align} \int \frac{dx}{\sin x} &= \int \frac{\sin x}{\sin^2 x} dx\\ &= \int \frac{\sin x}{1- \cos^2 x} dx\\ &= \frac 1 2 \int \frac{\sin x}{1 - \cos x} dx + \frac 1 2 \int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx\\ &= \frac 1 2 \int \frac{(1 - \cos x)'}{1 - \cos x} dx - \frac 1 2 \int \frac{(1 + \cos x)'}{1 + \cos x} dx\\ &= \frac 1 2 \log \left|\frac{1-\cos x}{1+\cos x} \right| + C \\ &= \frac 1 2 \log \frac{1-\cos x}{1 + \cos x} + C. \end{align}</math> ちなみに、半角の公式より <math>\log \left|\tan\frac x 2 \right| = \frac 1 2 \log \left|\frac{\sin^2 \frac x 2}{\cos^2 \frac x 2}\right| = \frac 1 2 \log \frac{1-\cos x}{1 + \cos x} </math> が成り立つ。 :(11) <math> \begin{align} \int \frac{dx}{\cos x} &= \int \frac{dx}{\sin(x + \frac \pi 2)}\\ &= \log \left|\tan\left(\frac x 2 + \frac \pi 4 \right) \right| + C. \end{align}</math> 別解 <math> t = \tan\frac x 2 </math> と置換すると、 <math> \begin{align} \int \frac{dx}{\cos x} &= \int \frac{1+t^2}{1-t^2} \frac{2dt}{1+t^2}\\ &= \int \frac{2dt}{1-t^2}\\ &= \int \frac{dt}{1+t} + \int \frac{dt}{1-t}\\ &= \log \left|\frac{1+t}{1-t}\right| + C\\ &= \log \left|\frac{1+\tan\frac x 2}{1-\tan\frac x 2}\right| + C.\\ \Big( &= \log \left|\tan\left(\frac x 2 + \frac \pi 4\right) \right| + C \Big) \end{align}</math> なお、部分分数分解について、 <math>f(t) = \frac{2}{1-t^2} = \frac{A}{1+t} + \frac{B}{1-t}</math> とすると、 <math>A = \lim_{t\to -1}(1+t)f(t) = \lim_{t\to -1} \frac{2(1+t)}{1-t^2} = \lim_{t\to -1} \frac{2}{1-t} = 1</math>, <math>B = \lim_{t\to 1}(1-t)f(t) = \lim_{t\to 1} \frac{2(1-t)}{1-t^2} = \lim_{t\to 1} \frac{2}{1+t} = 1</math> より係数が求まる。 別解2 <math>\begin{align} \int \frac{dx}{\cos x} &= \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx\\ &= \int \frac{\cos x}{1- \sin^2 x} dx\\ &= \frac 1 2 \int \frac{\cos x}{1 - \sin x} dx + \frac 1 2 \int \frac{\cos x}{1 + \sin x} dx\\ &= -\frac 1 2 \int \frac{(1 - \sin x)'}{1 - \sin x} dx + \frac 1 2 \int \frac{(1 + \sin x)'}{1 + \sin x} dx\\ &= \frac 1 2 \log \left|\frac{1+\sin x}{1 - \sin x} \right| + C \\ &= \frac 1 2 \log \frac{1+\sin x}{1 - \sin x} + C. \end{align}</math> これも、 <math>\log \left|\tan\left(\frac x 2 + \frac \pi 4\right) \right| = \frac 1 2 \log \frac{1-\cos (x + \frac \pi 2)}{1 + \cos(x + \frac \pi 2)} = \frac 1 2 \log \frac{1+\sin x}{1 -\sin x} </math> である。 {{証明終わり}} ==積分の応用== === 面積 === ある関数f(x)の原始関数を求める演算は f(x)とx軸にはさまれた領域の面積を求める演算に等しい。 このことを用いて ある関数によって作られた領域の面積を求めることが出来る。 [[画像:Integral_x%5E2_0-1.png|right|x^2の0から1までの積分]] 例えば、 <math> \int _0 ^1 x^2 dx = \frac 1 3 </math> は、放物線<math> y = x^2</math>について <math>0 < x < 1</math>の範囲でかこまれる面積に等しい。 '''面積(Ⅰ)''' 曲線<math>y=f(x)</math>と2直線<math>x=a, x=b</math>及びx軸で囲まれた領域の面積は、 閉区間<math>[a, b]</math>で常に<math>f(x) \geqq 0</math>のとき<math>S = \int_{a}^{b} f(x) dx</math> 閉区間<math>[a, b]</math>で常に<math>f(x) \leqq 0</math>のとき<math>S = -\int_{a}^{b} f(x) dx </math> 厳密な証明は既に数学Ⅱで扱った。 2曲線で囲まれた領域の面積についても、同様である。 '''面積(Ⅱ)''' 2曲線<math>y=f(x), y=g(x)</math>と2直線<math>x=a, x=b</math>で囲まれた領域の面積は、 閉区間<math>[a, b]</math>で常に<math>f(x) \geqq g(x)</math>のとき<math>S = \int_{a}^{b} \{ f(x) - g(x) \} dx</math> y軸まわりで考えた場合も同様である。 '''面積(Ⅲ)''' 2曲線<math>x=h(y), x=i(y)</math>と2直線<math>y=c, y=d</math>で囲まれた領域の面積は、 閉区間<math>[c, d]</math>で常に<math>h(y) \geqq i(y)</math>のとき<math>S = \int_{c}^{d} \{ h(y) - i(y) \} dy</math> 媒介変数表示された曲線の場合、xとyの好きな方で面積の式を考えてパラメータに関する式へと置換積分すれば良い。 {{コラム|ガウス＝グリーンの定理| '''ガウス＝グリーンの定理'''という以下のような公式が存在する。 :閉曲面Sで囲まれた空間の領域をV、曲面の外向き法線の方向余弦を（l, m, n）、微分可能な関数をf, g, hとするとき、<math>\int_{V} (\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} + \frac{\partial h}{\partial z}) dV = \int_{S} (fl+gm+hn) dS </math> この定理を高校レベルの求積で使えるように調整すると、以下のようになる。 :曲線<math>\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases}</math>について、<math>[a, b]</math>の範囲でtの増加とともに点<math>P(f(t), g(t))</math>がxy平面上を原点中心に反時計回りに動くときに線分<math>OP</math>が通過する領域の面積は、<math>\int_{a}^{b} \frac{1}{2} \{ x g'(t) - y f'(t) \} dt</math> この定理を用いると、通常の積分で面積を求めるよりも遙かに計算量が少なくて済む。 もちろん記述では使えないが、答えのみ書けば良い場合や検算用のツールとしては非常に役立つ。 }} ; '''発展：極座標系における面積''' [[高等学校数学C/平面上の曲線#極座標|極座標系]]においても、直交座標系と同様に微積分を考えることができる。ここでは、その一例として極方程式で表された曲線における面積について扱う。 '''面積(Ⅳ)''' 曲線<math>r=r(\theta)</math>と2直線<math>\theta = \alpha, \theta = \beta</math>で囲まれた部分の面積は、 <math>S = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2} \{ r(\theta) \}^2 d\theta</math> *証明 基本的には直交座標の場合と同様である。 :曲線<math>r=r(\theta)</math>と2直線<math>\theta = \alpha, \theta = \tau</math>で囲まれた部分の面積を<math>S(\tau)</math>とおく。 :<math>\Delta \tau > 0</math>として<math>\tau + \Delta \tau</math>の場合を考える。 :閉区間<math>[\tau, \tau + \Delta \tau]</math>における<math>r(\theta)</math>の最小値を<math>m</math>、最大値を<math>M</math>とおくと、微小な扇形の面積を考えることにより<math>\frac{1}{2}m^2\Delta \tau \leqq S(\tau + \Delta \tau) - S(\tau) \leqq \frac{1}{2} M^2 \Delta \tau</math>が得られる。 :上の不等式の各辺を<math>\Delta \tau</math>で割ると、<math>\frac{1}{2}m^2 \leqq \frac{S(\tau + \Delta \tau) - S(\tau)}{\Delta \tau} \leqq \frac{1}{2}M^2</math> :<math>\Delta \tau \to 0</math>の極限を考えると、 ::<math>r(\tau)</math>は連続関数なので<math>\frac{1}{2} m^2 \to \frac{1}{2} \{ r(\tau) \}^2, \frac{1}{2} M^2 \to \frac{1}{2} \{ r(\tau) \}^2</math> ::微分の定義より<math>\frac{S(\tau + \Delta \tau) - S(\tau)}{\Delta \tau} \to S'(\tau)</math> :よってはさみうちの原理より<math>S'(\tau) = \frac{1}{2} \{ r(\tau) \}^2</math> :これにて示された。 この公式は、'''<math>\theta</math>が偏角である場合のみ用いることができる'''。もし<math>\theta</math>が偏角ではない場合、<math>\theta</math>と偏角<math>\phi</math>の関係を求めて置換積分する必要がある。 ; '''楕円の面積''' '''楕円の面積''' 楕円<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>の面積は、 <math>S=\pi ab</math> *導出 楕円<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>を<math>y</math>について解くと :<math>y=\pm\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}</math> となる。そのうち<math>y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}</math>は半楕円（楕円の上半分）を示している。その半楕円の面積を2倍したものが楕円の面積''S''となるので :<math>S=2\int _{-a} ^a \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2} = \frac{2b}{a}\int _{-a} ^a \sqrt{a^2-x^2} = \frac{2b}{a} \times \frac{\pi a^2}{2} = \pi ab</math> となる。 === 体積 === ある立体<math>V_0</math>の<math>x = t</math>における断面積が有限な値で、その値が <math>t</math>の関数<math>S(t)</math>となるとき、この立体を平面<math>x = a</math>，<math>x = b</math>（ただし、<math>a < b</math>）で切り取った領域の体積は、底面積<math>S(t)</math>に極めて小さい高さ<math>dt</math><ref>なお、この時、<math>dt</math>が<math>S(t)</math>に対して積分区間で常に鉛直方向の関係にあることが保証されていなければならない。</ref>の積<math>S(t) \, dt</math>の区間<math>[a,b]</math>における累積であるので、以下の式で表すことができる。 :<math> V = \int_a^{b} S(t) \, dt</math> （例1） :<math>O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C(1,0,2)</math>である三角錐を考える。 :この三角錐を平面<math>x=t (0\leqq t \leqq 1)</math>で切断すると、断面の三角形の各座標は<math>A_t(t,0,0), B_t(t,t,0), C_t(t,0,2t)</math>となる。この時、<math>\triangle{A_t B_t C_t}</math>の面積<math>S(t)=t^2</math>となる。 :これを、区間<math>[0,1]</math>で積分すると、 :<math> V = \int_0^{1} S(t) \, dt = \int_0^{1} t^2 \, dt = \left[ \frac{t^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}</math>となる<ref>三角錐<math>O-ABC</math>は、<math>\triangle{ABC}</math>を底面（<math>S=1</math>）とし、<math>OA</math>を高さ（<math>1</math>）とする三角錐なので、体積は、<math>\frac{1}{3}</math>となり、正しい。</ref>。 （例2） :設問 :#<math>O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C(1,1,0), D(0,0,1), E(1,0,1), F(0,1,1), G(1,1,1)</math>である立方体を想定。 :#平面<math>x=t (0\leqq t \leqq 1)</math>で切断し、<math>\square{O_t A_t B_t C_t}</math>を得る。 :#線分<math>O_t A_t , A_t B_t , B_t C_t , C_t O_t </math>に、各々点<math>O_t, A_t, B_t, C_t</math>から、長さ<math>t</math>である点<math>H_t, I_t, J_t, K_t</math>をとり、<math>\square{H_t I_t J_t K_t}</math>を<math>S_t</math>とする。 :#<math>t</math>を区間<math>[0,1]</math>で変化させた時、<math>S_t</math>が通過する部分の体積<math>V</math>を求めよ。なお、<math>S_t</math>が正方形である証明は省略してよい。 :解答 :#<math>S_t</math>の1辺の長さを<math>l</math>とおくと、<math>l^2 = t^2 + (1-t)^2 = 2t^2 - 2t + 1</math> :#<math>S_t</math>の面積<math>S(t)</math>は<math>l^2</math>であるから、<math>S(t) = 2t^2 - 2t + 1</math> :#これを、区間<math>[0,1]</math>で積分すると、 :#<math> V = \int_0^{1} S(t) \, dt = \int_0^{1} (2t^2 - 2t + 1) \, dt = \left[ \frac{2t^3}{3} - t^2 +t \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}</math>となる。 ; '''回転体の体積''' <math>y= f(x) (a \le x \le b )</math> で与えられる曲線をx軸の回りに回転させて作られる立体の体積Vは、 <math>V = \int _a ^b \pi \{ f(x) \}^2 dx</math> で与えられる。 導出 立体をx軸に垂直であり、x=cを満たす面とx=c+hを満たす面で切ると（hは小さな 定数）、その切断面で挟まれた立体は半径 f(c)の円と半径 f(c+h)の円 ではさまれた立体となる。 しかし、hが極めて小さいとき、この図形は半径f(c),高さhの円柱で 近似できる。 よってこの2つの面に関して、得られた図形の体積は <math> h \times \pi (f(c) )^2 </math> となる。 これを<math>a<c<b</math>満たす全てのcについて足し合わせると、 <math> S = \int _a ^b \pi ( f(x))^2 dx </math> が得られる。 同様に、<math>x = g(y) (c \le x \le d )</math>で与えられる曲線をy軸の回りに回転させて作られる立体の体積Vは、 :<math>V = \int _c ^d \pi \{ g(y) \}^2 dy</math> で与えられる。 例えば、 <math> y= x^2 ~(0<x<1) </math> をx軸の回りに回転させて得られる図形の体積は、 :図形の絵? <math> S = \int_0^1 \pi (x^2)^2 dx </math> <math> =\pi \int_0^1 x^4 dx </math> <math> =\frac {\pi} 5 </math> となる。 ;球の体積 球の体積<math>V=\frac{4}{3}\pi r^3</math>の導出 半径''r''の球は半円<math>y=\sqrt{r^2-x^2}</math>を''x''軸の周りに回転させてつくることができる。 :<math>V=\pi \int_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}^2 dx=\pi \int_{-r}^r (r^2-x^2) dx= \frac{4}{3}\pi r^3</math> また体積を''r''で微分すると球の表面積<math>S=4\pi r^2</math>が得られる。 ; 補：バームクーヘン積分 上記の回転体の公式の導出では「円盤の面積を積分」しているが、「円筒の側面積」を積分しても同様の結果が得られる。この考え方を'''バームクーヘン積分（円筒分割積分）'''と呼ぶ。 バームクーヘン積分による回転体の体積の公式 曲線<math>y=f(x)</math>とx軸、直線<math>x=a, x=b</math>に囲まれた部分をx軸周りに一回転した立体の体積は、 <math>V = 2\pi \int_{a}^{b} x f(x) dx</math> *導出 :閉区間<math>[x, x + \Delta x](\Delta x > 0)</math>においてx軸と曲線<math>y=f(x)</math>で挟まれた領域をy軸周りに一回転してできる立体の体積を<math>\Delta V</math>とし、同区間におけるf(x)の最小値をm、最大値をMとおく。 :このとき、<math>\pi \{(x + \Delta x)^2 - x^2 \}m \leqq \Delta V \leqq \pi \{(x + \Delta x)^2 - x^2 \}M</math> :変形すると<math>\pi(2x + \Delta x)m \leqq \frac{\Delta V}{\Delta x} \leqq \pi (2x + \Delta x)M</math> :<math>\lim_{\Delta x \to + 0} m = \lim_{\Delta x \to + 0} M = f(x)</math>なのではさみうちの原理より<math>\lim_{\Delta x \to + 0} \frac{\Delta V}{\Delta x} = 2 \pi x f(x)</math> :<math>\therefore \frac{dV}{dx} = 2 \pi x f(x)</math> :<math>\Delta x < 0</math>でも同様。 :この微分方程式を解く（詳細は[[高等学校理数数学#微分方程式|こちら]]）と、 ::<math>dV = 2 \pi x f(x) dx</math> ::<math>\int dV = \int 2 \pi x f(x) dx</math> ::<math>V = 2 \pi \int x f(x) dx + C</math>（Cは積分定数） :閉区間<math>[a, b]</math>で定積分を考えると、<math>V = 2 \pi \int_{a}^{b} x f(x) dx</math>となる。 記述問題で用いる場合、念のため上のように証明しておくと良い。 ; 補：パップス・ギュルダンの定理 図形Aを、図形Aと交わらない直線の周りに一回転してできる立体の体積は、V=（Aの重心が描く円の円周長）×（Aの面積）で求まる。 この定理は大学入試においては非常に有名な裏技であり知っておいて損はないが、記述で用いると完全にアウトである。この定理を用いるのは、選択肢形式の問題かどうしても記述の白紙解答を避けたい場合のみに限ろう。（もっとも、重心がわかる図形で出題されるのはごく稀だが。） {{コラム|一般の軸を中心とした回転体の体積の求め方| 一般に空間中の直線Lの周りの回転体（'''斜軸回転体'''）の体積は、回転軸Lに垂直な平面で回転体を切った断面積を考えて求めることができる。 ここでは、回転前の図形が座標平面上に存在する場合を扱う。 ; '''例題''' xy平面において<math>L:y=x, C:y=x^2</math>で囲まれた部分を, 直線Lの周りに一回転してできる立体の体積を求めよ。 解答） :曲線C上の点<math>P(x, x^2)</math>から直線Lに下ろした垂線の足を<math>H(t, t)</math>とし、直線L上に点<math>Q(x, x)</math>をとる。 :与えられた条件より<math>0 \leqq x \leqq 1</math>である。 :このとき<math>\overline{PH} = \frac{|x-x^2|}{\sqrt{2}} = \frac{x-x^2}{\sqrt{2}} (\because 0 \leqq x \leqq 1 \implies x \geqq x^2)</math>より、 :<math>t = \overline{OH} = \overline{OQ} - \overline{HQ} = \overline{OQ} - \overline{PH} = \sqrt{2}x - \frac{x-x^2}{\sqrt{2}} = \frac{x+x^2}{\sqrt{2}}</math> :<math>\therefore dt = \frac{1+2x}{\sqrt{2}} dx</math> :tの積分範囲は0→√2なので、xの積分範囲は0→1である。 :故に、<math>V = \pi \int_{0}^{\sqrt{2}} \overline{PH}^2 dt = \pi \int_{0}^{1} (\frac{x-x^2}{\sqrt{2}})^2 \cdot \frac{1+2x}{\sqrt{2}} dx</math> :<math>= \frac{\pi}{2 \sqrt{2}} \int_{0}^{1} (2x^5-3x^4+x^2) dx = \frac{\sqrt{2} \pi}{4} [ \frac{1}{3} x^6 - \frac{3}{5} x^5 + \frac{1}{3} x^3 ]_{0}^{1} = \frac{\sqrt{2} \pi}{60}</math> この解答を簡潔に纏めると、直線Lをt軸と見做してt軸についての回転体の式を立て、それをx軸についての回転体の式へと置換積分している。 斜軸回転体の体積を求める方法は他にもあるので、簡潔に纏める。 ①傘型分割積分 上の例題で考えると、長さ<math>\overline{PQ}</math>、微小幅<math>\Delta x</math>の部分をLの周りに一回転すると、傘型状の図形（円錐の側面）になる。 その面積（正確には微小体積）を積分すると回転体の体積が出てくる。この考え方を'''傘型分割積分'''という。不足なく論理展開を記述できれば、入試でこの考え方を用いても減点される可能性は低いだろう。 この過程を一般化すると、以下の公式を導くことができる。 :曲線<math>y=f(x)</math>と直線<math>mx+n, x=a, x=b</math>で囲まれた部分を直線<math>y=mx+n</math>の周りで一回転した体積は、 :<math>V = \pi \cos \theta \int_{a}^{b} \{ f(x) - (mx+n) \}^2 dx</math> :ただし、<math>\tan \theta = m</math>（回転軸がx軸となす角がθである） この公式は完全に裏技なので、記述問題では（証明なしに）使用しない方が無難である。 ②回転移動の利用 図形全体を回転移動することにより、回転軸をx軸（もしくはy軸）に重ねることで、強引に回転体の公式に代入する方法。 回転移動には[[高等学校数学C/複素数平面#回転移動|複素数平面の知識]]、[[高等学校数学C/数学的な表現の工夫#一次変換|行列の知識]]のどちらを用いても良い。 この方法では、回転後の図形の方程式が媒介変数表示で出現する場合がある。その場合、回転体の公式を媒介変数についての積分へと置換積分すれば良い。 }} === 曲線の長さと運動の道のり === ==== 曲線の長さ ==== 曲線<math>\begin{cases} x=f(t) \\ y=g(t) \end{cases}</math>の長さを考える。 :<math>f(t), g(t)</math>とも2階微分可能（第一次導関数が連続）とする。 :<math>a \leqq t \leqq b</math>として閉区間<math>[a, t]</math>における曲線の長さを<math>s(t)</math>とおく。 :<math>t</math>の増分<math>\Delta t</math>が十分小さいとき、<math>\Delta s \fallingdotseq \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}</math>より<math>\frac{\Delta s}{\Delta t} = \sqrt{(\frac{\Delta x}{\Delta t})^2 + (\frac{\Delta y}{\Delta t})^2}</math> :<math>\Delta t \to 0</math>のとき、<math>\frac{ds}{dt} = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}</math> :この微分方程式を解くと、 ::<math>ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> ::<math>\int ds = \int \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> ::<math>s = \int \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt + C</math>（Cは積分定数） :ここで<math>s(t)</math>の定義より<math>s(b) - s(a) = \int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> よって、以下のようになる。 曲線の長さ(Ⅰ) 曲線<math>\begin{cases} x=f(t) \\ y=g(t) \end{cases}</math>の閉区間<math>[a, b]</math>における長さLは、 <math>L = \int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> 曲線の式が<math>y=f(x)</math>で与えられている場合、<math>\begin{cases} x=t \\ y=f(t) \end{cases}</math>と考えて上の公式に代入すると、以下のようになる。 曲線の長さ(Ⅱ) 曲線<math>y=f(x)</math>の閉区間<math>[a, b]</math>における長さLは、 <math>L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}dt</math> ==== 速度と道のり ==== [[高等学校数学III/微分法#速度と加速度|微分法で学んだ]]ように、数直線上を運動する点Pの時刻tにおける位置,速度がそれぞれ<math>x(t), v(t)</math>で与えられるとき、<math>v(t) = \frac{d}{dt} x(t)</math>という関係式が成り立った。微分と積分は逆演算の関係にあるので、<math>x(t) = \int v(t) dt + C</math>(Cは積分定数)という関係も成り立つ。このとき、積分定数Cは初期位置<math>x_0</math>を表す。 点Pが<math>t=a</math>から<math>t=b</math>まで運動するとき、位置の変化量は<math>x(b) - x(a) = \int_{a}^{b} v(t) dt</math>で与えられる。すなわち<math>x(b) = x(a) + \int_{a}^{b} v(t) dt</math>であり、<math>x(a)</math>が初期位置<math>x_0</math>を表すことが確かめられた。 また、上の場合において道のりは<math>\int_{a}^{b} |v(t)| dt</math>と計算できる。位置の変化量と道のりが一致するのは、恒等的に<math>x(t) \geqq 0</math>が成り立つ場合のみである。 平面上の運動も同様である。 なお、加速度は位置の二階微分なので、加速度を二階積分すれば位置が求まる。よって、時刻tにおける加速度が<math>a(t) = a</math>であるときの位置は、<math>x(t) = \int \! \int a(t) dt \; dt = \int (at + v_0) dt = \frac{1}{2}at^2 + v_0 t + x_0</math>である。([[高等学校物理基礎/力学#等加速度直線運動|等加速度直線運動]]の式) {{コラム|ベクトル関数|変数tの値を決めるとベクトルA(t)の値が一意に定まるとき、A(t)をtの'''[[解析学基礎/ベクトル解析#ベクトル関数|ベクトル関数]]'''という。基本ベクトルを用いると、ベクトル関数は基本ベクトルのスカラー倍の足し算に分解することができる。このとき、基本ベクトルにかかる係数をベクトル関数の'''成分'''という。ベクトル関数の定義より、成分はtの関数になる。 つまり、'''ベクトル関数に関する微積分はその成分をそれぞれ微分/積分すれば良い'''ということがわかる。 例えば、速度を表すベクトル関数<math>\vec{v}(t) = \begin{pmatrix} 2t \\ 3t^2-1 \end{pmatrix}</math>があったとして、初期位置<math>\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>とすると時刻tにおける位置は<math>\vec{x}(t) = \int \vec{v}(t) dt = \begin{pmatrix} \int (2t) dt \\ \int (3t^2-1) dt \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t^2 \\ t^3-t \end{pmatrix}</math>、時刻tにおける加速度は<math>\vec{a}(t) = \frac{d}{dt} \vec{v}(t) = \begin{pmatrix} \frac{d}{dt}(2t) \\ \frac{d}{dt}(3t^2-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6t \end{pmatrix}</math>というベクトル関数になる。また、<math>t=0</math>から<math>t=2</math>まで運動したときの位置の変化量ベクトルは<math>\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{pmatrix} = \int_{0}^{2} \vec{v}(t) dt = \begin{pmatrix} \int_{0}^{2} (2t) dt \\ \int_{0}^{2} (3t^2-1) dt \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \left[ t^2 \right]_{0}^{2} \\ \left[ t^3-t \right]_{0}^{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}</math>と求まる 。 すなわち、速度・加速度・位置・道のり等に関する問題はベクトル関数の微積分を計算する問題であると言える。 }} == 区分求積法 == これまでに学んだように、積分は微分の逆演算であると同時に、座標平面上での面積計算でもある。この項では、座標平面上の面積計算の方法の一つである区分求積法、および積分法との関連について学ぶ。 [[File:Riemann Integration 1.png|thumb|300px|面積計算]] 右図のようなある曲線<math>y=f(x)</math>がある。単純のため、ここではつねに<math>f(x)>0</math>であるものとして考える。この曲線と、''x''軸、および直線<math>x = a, x = b (a < b)</math>によって囲まれる領域の面積''S''を求める。この面積は[[#面積]]の項で学んだように、 : <math>S = \int_a^b f(x)dx</math> と積分法を用いて計算することができた。では、これをもう少し原始的な方法で近似的に求めることを考えてみよう。 曲線を含む図形の面積を求めることは簡単ではないが、例えば三角形や長方形、台形などの直線で囲まれた図形の面積を求めることは難しくない。そこで、下図のようにy=f(x)を棒グラフで近似し、長方形の面積の和を計算することで、求めたい面積''S''に近い値を求めることができる。左下のように棒グラフの幅が大きいと誤差も大きいが、棒グラフの幅を狭くすればするほど、すなわち分割数を多くするほど、徐々に求めたい面積の値に近づけることができる。そこで、この区間[''a'',''b'']を''n''等分し、その時の長方形の面積の総和を求め、その後で<math>n \to \infty</math>の極限を考えることにする。このようにして、区間を細かく等分割し、長方形の面積の総和を求めることにより図形の面積を求める方法を、'''区分求積法'''と呼ぶ。 :[[File:Riemann Integration 4.png|350px|棒グラフによる近似]][[File:Riemann Integration 5.png|350px|さらに細かな棒グラフによる近似]] [[File:Integral numericky obd.svg|thumb|左側で近似]][[File:Somme-superiori.png|thumb|右側で近似]] <math>y=f(x)</math>を棒グラフで近似するとき、右図のように、長方形の左上の頂点を曲線上に取る方法と、右上の頂点を曲線上に取る方法がある。どちらの方法でも、分割数を大きくすればいずれ求めたい面積に近づくが、まずは左上の頂点を曲線上に取る方法で考えることにする。 ここでは面積を求めたい区間を、単純のため[0, 1]とする。区間[0, 1]を''n''等分するとき、それぞれの長方形の左端のx座標は、 :<math>0, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \cdots, \frac{n-1}{n}</math> となる。ここで、一般に第''k''番目の長方形について考えることにする。ただし、いちばん左側の長方形を第0番目とし、いちばん右側の長方形を第''n''-1番目とする。第''k''番目の長方形の左端のx座標は<math>\frac{k}{n}</math>であるから、この長方形の高さは<math>f\left(\frac{k}{n}\right)</math>となり、また長方形の幅は<math>\frac{1}{n}</math>である。そのため、この長方形の面積<math>s_k</math>は、 :<math>s_k = \frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)</math> となる。したがって、これらの長方形の面積の総和<math>S_n</math>は、 :<math>S_n = \sum_{k = 0}^{n-1} s_k = \frac{1}{n}\sum_{k = 0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)</math> この<math>S_n</math>は、区間[0, 1]を''n''等分した時の長方形の面積の総和であるが、''n''を大きくすればするほど、次第にもとの面積に近づいていく。したがって、<math>n\to\infty</math>の極限を考え、 :<math>S = \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)</math> となる。このようにして、求めたい面積を計算することができる。さらに、ここでこの区間の面積が積分法により計算できたことから、 :<math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1f(x)dx</math> が成り立つ。また、長方形の右上の頂点を曲線上に取る場合は、同様にして :<math>S = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1f(x)dx</math> となる。 区分求積法を計算するとき、'''シグマの範囲の有限個のズレは無視して良い'''。nを無限大に飛ばした極限を考えるとき、有限個あるズレの値は全て0に収束するからである。<br> つまり、l, mを自然数として<math>\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=l}^{n-m} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1f(x)dx</math>である。 区分求積法は、より一般には次の式で表される。 :<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=l}^{n-m} f(x_k) \Delta x</math> :ただし、<math>\Delta x = \frac{b-a}{n}, x_k = a + k\Delta x</math> 証明は先ほどと同様である。<br> 大学においては、積分の定義を微分の逆演算ではなく、この式の右辺のような和('''リーマン和'''という)の極限とする場合がある。数学Ⅱで扱った微分積分学の基本定理は、リーマン和(面積計算)と原始関数(微分の逆演算)という二つの概念を結びつけている定理であると言える。 なお、<math>\lim_{n \to \infty} \sum_{k=an+l}^{bn-m} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_{a}^{b} f(x) dx</math>が成り立つ。 '''演習問題2''' :次の極限値を求めよ。 :(1) <math>\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} </math> :(2) <math>\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2+k^2} </math> :(3) <math>\lim_{n\to\infty} \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n}</math><ref group="ヒント">対数を取る</ref> {{解答}} (1) <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} &= \lim_{n\to\infty} \frac 1 n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac k n} \\ &= \int_0^1 \frac{dx}{1+x}\\ &= [\log(1+x)]_0^1\\ &= \log 2. \end{align} </math> ちなみに、この結果は交代調和級数 <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac 1 2 + \frac 1 3 - \frac 1 4 + \cdots</math> の値を求めることに利用できる。実際 <math> \begin{align} \sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} &= 1 - \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} \\ &= 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n} - 2\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2n}\right) \\ &= 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n} - \left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}\right) \\ &= \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+1} + \cdots + \frac{1}{n+n} \\ &= \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} \end{align} </math> より、 <math> \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} = \log 2 </math> となる。また、 <math> \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n+1} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} + \frac{1}{2n+1}\right) = \log 2. </math> 従って、<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \log 2 </math> を得る。 (2) <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2+k^2} &= \lim_{n\to\infty} \frac 1 n \sum_{k=1}^{n} \frac{\frac{k}{n}}{1+\frac{k^2}{n^2}}\\ &= \int_0^1 \frac{xdx}{1+x^2}\\ &= \left[\frac 1 2 \log(1+x^2)\right]_0^1\\ &= \frac 1 2 \log 2. \end{align}</math> (3) <math>\begin{align} \log \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \frac 1 n \log\left\{\left(\frac{n+1}{n}\right)\left(\frac{n+2}{n}\right)\cdots \left(\frac{n+2}{n}\right) \right\} \\ &= \frac 1 n \sum_{k=1}^n \log\left(1+\frac{k}{n}\right) \end{align}</math> となるから、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty}\log \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \int_0^1 \log(1+x)dx\\ &= [(1+x)\log(1+x)-(1+x)]_0^1\\ &= 2\log 2 - 1. \end{align}</math> したがって、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \frac 4 e. \end{align}</math> {{証明終わり}} == 演習問題 == * [[高等学校数学III 積分法/演習問題|不定積分44題]] * [[/演習問題]] '''演習問題3''' 第一問、第二問は基本問題である。第三問から第六問はやや難しい。 '''第一問（ウォリスの積分）''' :<math>n</math> は非負整数とし、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\sin^n x \, dx</math> とする。 :(1) <math>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x \, dx</math> を示せ。 :(2) <math>I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}\quad (n \ge 2)</math> を示せ。 :(3) <math>I_n</math> を求めよ。 '''第二問（ベータ関数の特殊値）''' :<math>m,n</math> は非負整数、<math>\alpha,\beta</math> は <math>\beta > \alpha</math> なる実数とし、<math>I_{m,n} = \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^m(\beta - x)^n \, dx</math> とする。 :(1) <math>I_{m,n} = \frac{n}{m+1} I_{m+1,n-1} \quad (n\ge 1) </math> を示せ。 :(2) <math>I_{m,n}</math> を求めよ。 :(3) <math>\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m+1}\theta \cos^{2n+1}\theta d\theta </math> を求めよ。 '''第三問（ウォリスの公式）''' :非負整数 <math>n</math> に対し、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\sin^n x \, dx</math> とする。必要に応じて第一問の結果を用いてよい。 :(1) <math>1 < \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} < \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}}</math> を示せ。 :(2) <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdots \frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} </math> を求めよ。 :(3) <math> I_{2n}I_{2n+1} </math> を求めよ。 :(4) <math> \lim_{n \to \infty} \sqrt n I_{2n+1} </math> を求めよ。 :(5) <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} </math> を求めよ。 '''第四問（スターリングの近似）''' :数列 <math>\{a_n\}</math> を <math>a_n = \frac{n!}{n^{n+1/2}e^{-n}} </math> で定める。必要に応じて第三問の結果を用いてよい。 :(1) 整数 <math>k > 1</math> について <math> \log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} < \int_{k-1}^k \log x \, dx < \log k - \frac{1}{2k} </math> が成り立つことを示せ。 :(2) 正の整数 <math>n</math> について <math> - \frac{1}{4n} < \sum_{k=n+1}^{2n} \log k - \left(2n+\frac 1 2\right)\log 2n + \left(n+\frac 1 2\right)\log n + n < 0 </math> が成り立つことを示せ。 :(3) <math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} </math> を求めよ。 :(4) <math> \lim_{n\to \infty}a_n </math> を求めよ。 '''第五問（バーゼル問題）''' :非負整数 <math>n</math> に対し、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\cos^n x \, dx,\, J_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}x^2 \cos^n x \, dx</math> とする。 :(1) <math> n > 0</math> について <math>I_{2n} = n(2n-1)J_{2n-2} - 2n^2 J_{2n}</math> が成り立つことを示せ。 :(2) <math> 0 \le x \le \frac \pi 2</math> について、<math> \frac{2}{\pi}x \le \sin x</math> が成り立つことを示せ。 :(3) <math>J_{2n} \le \frac{\pi^2 I_{2n}}{8(n+1)}</math> を示せ。 :(4) <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} </math> を求めよ。 '''第六問（ガウス積分）''' :非負整数 <math>n</math> に対し、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\cos^n x </math> とする。必要に応じて第三問の結果を用いて良い。 :(1) <math> x > 0 </math> のとき、<math> 1-x^2 < e^{-x^2} < \frac{1}{1+x^2} </math> が成り立つことを示せ。 :(2) <math> \frac \pi 4 < \theta_0 < \frac \pi 2 </math> とする。正の整数 <math>n </math> について <math> \int_0^1 (1-x^2)^n dx < \int_0^{\tan\theta_0} e^{-nx^2}dx < \int_0^{\tan \theta_0} \frac{1}{(1+x^2)^n} dx </math> を示せ。 :(3) <math> \sqrt n I_{2n+1} < \int_0^\infty e^{-x^2}dx < \sqrt n I_{2n-2} </math> を示せ。ただし、<math>\int_0^\infty e^{-x^2}dx = \lim_{a \to \infty} \int_0^a e^{-x^2}dx </math> である。 :(4) <math> \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx </math> を求めよ。 '''解答''' {{解答|第一問}} (1) <math> t = \frac \pi 2 - x </math> と変数変換すると、<math> \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n x dx = \int_{\frac \pi 2}^0 \sin^n\left(\frac \pi 2 - t\right)(-dt) = \int_0^{\frac \pi 2} \cos^n t dt </math> となる。 (2) <math> \begin{align} \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n x dx &= \left[-\sin^{n-1}x \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + (n-1)\int_0^{\frac \pi 2} \sin^{n-2} x \cos^2 x dx \\ &= (n-1)\left(\int_0^{\frac \pi 2} \sin^{n-2} x dx - \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n x dx \right)\\ \end{align} </math> 従って、<math>I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}</math> となる。 (3) <math> I_0 = \int_0^{\frac \pi 2} dx = \frac \pi 2,\, I_1 = \int_0^{\frac \pi 2} \sin x dx = 1. </math> よって、<math> n </math> が偶数のときは <math> \begin{align} I_n &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 1 2 I_0 \\ &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 1 2 \frac \pi 2. \end{align} </math> <math> n </math> が奇数のときは、 <math> \begin{align} I_n &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 2 3 I_1 \\ &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 2 3 \end{align} </math> となる。 {{証明終わり}} {{解答|第二問}} (1) <math>\begin{align} \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^m(\beta - x)^n \, dx &= \left[\frac{1}{m+1}(x-\alpha)^{m+1}(\beta-x)^n\right]_\alpha^\beta + \int_\alpha^\beta\frac{n}{m+1}(x-\alpha)^{m+1}(\beta-x)^{n-1}dx\\ &= \frac{n}{m+1}\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^{m+1}(\beta-x)^{n-1}dx. \end{align} </math> (2) <math>\begin{align} I_{m,n} &= \frac{n}{m+1}I_{m+1,n-1} \\ &= \cdots \\ &= \frac{n}{m+1} \frac{n-1}{m+2} \cdots \frac{1}{m+n} I_{m+n,0} \\ &= \frac{m!n!}{(m+n)!}I_{m+n,0} \end{align} </math> ここで、 <math>I_{m+n,0} = \int_\alpha^\beta(x-\alpha)^{m+n} dx = \frac{(\beta-\alpha)^{m+n+1}}{m+n+1} </math> となる。よって、 <math>I_{m,n} = \frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1} </math> を得る。 (3) <math>t = \sin^2\theta </math> と変数変換すると、 <math>dt = 2\sin\theta\cos\theta d\theta </math> より、 <math>\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m+1}\theta \cos^{2n+1}\theta d\theta = \frac 1 2 \int_0^1 t^m (1-t)^n dt = \frac{m!n!}{2(m+n+1)!}. </math> {{証明終わり}} {{解答|第三問}} (1) <math>0 < x < \frac \pi 2 </math> のとき、<math>0 < \sin x < 1 </math> だから、<math>\sin^{2n+1} x < \sin^{2n} x < \sin^{2n-1} x </math> となる。これを積分して、<math>I_{2n+1} < I_{2n} < I_{2n-1} </math> を得る。よって、<math>1 < \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} < \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}}</math> である。 (2) 第一問(1)より、 <math>\begin{align} \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} &= \frac{2n-1}{2n}\frac{2n-3}{2n-2} \cdots \frac 1 2 \frac \pi 2 \times \frac{2n+1}{2n}\frac{2n-1}{2n-2} \cdots \frac 3 2\\ &= \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4} \cdots \frac{(2n-1)(2n+1)}{2n \cdot 2n} \frac \pi 2 \end{align}</math> となる。また、<math>\frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}} = \frac{2n+1}{2n} = 1 + \frac{1}{2n} </math> となるから、(1) より、 <math>1 < \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} < \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}} = 1 + \frac{1}{2n} </math> を得る。これより、<math>\lim_{n\to\infty} \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = 1 </math> となるから、<math> \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdots \frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} = \frac \pi 2 </math> を得る。 (3) 第一問(3)より、<math>I_{2n} I_{2n+1} = \frac{1}{2n+1} \frac{\pi}{2} </math> である。 (4) <math>\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = \frac{I_{2n}I_{2n+1}}{I_{2n+1}^2} = \frac{1}{2n+1}\frac \pi 2 I_{2n+1}^{-2} </math> である。<math>\sqrt{2n+1} I_{2n+1} = \sqrt{\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\frac{\pi}{2}} </math> より、<math>\lim_{n\to\infty} \sqrt{2n+1} I_{2n+1} = \lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\frac{\pi}{2}} = \sqrt{\frac{\pi}{2}} </math> となる。また、 <math>\begin{align} \frac{\sqrt \pi}{2} &= \lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{2n+1}{2}} I_{2n+1}\\ &= \lim_{n\to\infty} \sqrt{n}\sqrt{1+\frac{1}{2n}} I_{2n+1}\\ &= \lim_{n\to\infty} \sqrt{n}I_{2n+1} \end{align} </math> となるから、<math>\lim_{n\to\infty} \sqrt{n}I_{2n+1} = \frac{\sqrt \pi}{2} </math> を得る。 (5) <math>\begin{align} I_{2n+1} &= \frac{2n}{2n+1}\frac{2n-2}{2n-1}\cdots \frac 2 3\\ &= \frac{\{2n(2n-2)\cdots 2\}^2}{(2n+1)!}\\ &= \frac{(2^n n!)^2}{(2n+1)!} \end{align} </math> より、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \sqrt{n}I_{2n+1} &= \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt n}{2n+1} \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!}\\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2\sqrt n + \frac{1}{\sqrt n}} \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!}\\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2\sqrt n} \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!} \end{align} </math> となるから、 <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} = \sqrt \pi </math> を得る。 '''解説''' <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdots \frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} = \frac \pi 2 </math> はウォリスの公式と呼ばれる。整数の乗除のみで円周率が計算されるという点で興味深いが、収束はとても遅く実用的ではない。例えば、<math>\pi > 3.05</math> を証明するためには <math>n=8</math> まで計算しなくてはならない<ref><math>2\cdot \frac{2\cdot 2}{1\cdot 3} \cdots \frac{16\cdot 16}{15\cdot 17} =</math> 213084064972800/69850115960625 = 2147483648/703956825 = 3.05058...</ref>。また <math>\pi > 3.14</math> を示すには <math>n=493</math> まで計算する必要がある。ちなみに単調増加性は <math>\frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{1-\frac{1}{(2n)^2}} > 1</math> から従う。 また、<math> \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} = \sqrt \pi </math> もウォリスの公式と呼ばれる。これはスターリングの公式やガウス積分を証明するために必要となる。 {{証明終わり}} {{解答|第四問}} (1) [[ファイル:Bounding_the_Integral_of_log_x_with_Trapezoids.svg|サムネイル|log x の台形近似]] <math>\log x </math> は上に狭義凸な関数だから、<math>\int_{k-1}^k \log x \, dx</math> は、直線 <math>x = k-1,\,x=k</math> と <math>y = \log x</math> の2つの交点を結んだ線分と <math>x</math> 軸、直線 <math>x = k-1,k</math> によって切り取られる台形（図の青の領域）の面積よりも大きい。台形の面積は、<math>\frac 1 2 \{\log k + \log(k-1)\} = \log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\}</math> である。また、 <math>\int_{k-1}^k \log x \, dx</math> は、<math>y = \log x</math> の任意の接線と <math>x</math> 軸、直線 <math>x = k-1,k </math> によって切り取られる台形（図のピンクの領域）の面積よりも小さい。特に <math>x = k</math> で接線を引くと、その傾きは <math>\frac 1 k</math> だから、接線と直線 <math>x = k-1</math> の交点の <math>y</math> 座標は <math>\log k - \frac 1 k</math> である。よって、この台形の面積は <math>\log k - \frac{1}{2k} </math> となる。従って、 <math> \log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} < \int_{k-1}^k \log x \, dx < \log k - \frac{1}{2k} </math> を得る。 (2) <math>\log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} < \int_{k-1}^k \log x \, dx </math> より、<math>\log k < \int_{k-1}^k \log x \, dx + \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} </math> となる。よって、 <math>\begin{align} \sum_{k=n+1}^{2n} \log k &< \int_n^{2n} \log x \, dx + \frac 1 2 (\log 2n - \log n) \\ &= \left[x\log x - x\right]_n^{2n} + \frac 1 2 (\log 2n - \log n) \\ &= \left(2n + \frac 1 2\right)\log 2n - \left(n + \frac 1 2 \right) \log n - n \end{align} </math> となる。また、<math>\log k > \int_{k-1}^k \log x \, dx + \frac{1}{2k} </math> より、 <math>\begin{align} \sum_{k=n+1}^{2n} \log k &> \int_n^{2n} \log x \, dx + \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{2k} \\ &= \left[x\log x - x\right]_n^{2n} + \frac 1 2 \left(\frac{1}{2n} - \frac{1}{n} + \sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k}\right) \\ \end{align}</math> となる。ここで、<math>\frac 1 x </math> は <math>x > 0 </math> で単調減少だから、 <math>\sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k} > \int_n^{2n} \frac{dx}{x} = \log 2n - \log n </math> となる。従って、 <math>\begin{align} \sum_{k=n+1}^{2n} \log k &> \left(2n + \frac 1 2\right)\log 2n - \left(n + \frac 1 2 \right) \log n - n - \frac{1}{4n} \\ \end{align}</math> を得る。 (3) <math>\begin{align} \log \frac{a_{2n}}{a_n} &= \log a_{2n} - \log{a_n}\\ &= \log (2n)! - \left(2n + \frac 1 2 \right) \log 2n + 2n - \log n! + \left(n + \frac 1 2 \right)\log n - n\\ &= \sum_{k=n+1}^{2k}\log k - \left(2n + \frac 1 2 \right) \log 2n + \left(n + \frac 1 2 \right)\log n + n \end{align}</math> であるから、(2) より <math>-\frac{1}{4n} < \log \frac{a_{2n}}{a_n} < 0</math> となる。従って、 <math>\lim_{n\to\infty} \log \frac{a_{2n}}{a_n} = 0</math> あるいは、 <math>\lim_{n\to\infty} \frac{a_{2n}}{a_n} = 1 </math> を得る。 (4) <math>\begin{align} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} &= \frac{2^{2n}}{\sqrt n} \left(\frac{n!}{n^{n+\frac 1 2}e^{-n}}\right)^2 \frac{(2n)^{2n+\frac 1 2}e^{-2n}}{(2n)!} \frac{\left(n^{n+\frac 1 2}e^{-n}\right)^2}{(2n)^{2n+\frac 1 2}e^{-2n}}\\ &= \frac{1}{\sqrt 2} \frac{a_n^2}{a_{2n}} \end{align}</math> であるから、 <math>\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \sqrt 2 \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} \frac{a_{2n}}{a_n} = \sqrt{2\pi} </math> を得る。 '''解説''' (1)は凹関数の定積分の値を台形で評価する問題である。このような台形近似の問題は難関大ではよく見られる。 (4) から <math>\lim_{n\to\infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi} n^{n+1/2}e^{-n}} = 1</math> を得る。これは、<math>n</math> が大きいとき階乗を <math>n! \approx \sqrt{2\pi} n^{n+\frac 1 2} e^{-n}</math> と近似できることを意味する。これがスターリングの近似である。 本問は<math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} </math>を求めてから <math> \lim_{n\to \infty}a_n </math> を求めさせているためやや遠回りに思うかもしれない。数列 <math>\{a_n\}</math> が0以外の実数に収束することを既知とすれば <math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} = \frac{\lim_{n\to \infty}a_{2n}}{\lim_{n\to \infty}a_n} = 1 </math> となることはすぐに分かる。しかし、数列が収束することの条件について高校では詳しく扱わないため、厳密に <math> \lim_{n\to \infty}a_n </math> を求めるためには <math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} </math> を経由する必要がある。一般に、下に有界な単調減少数列は収束するということが知られている<ref>詳しくは [[解析学基礎/実数]]を参照</ref>。これを認めれば、数列 <math>\{a_n\}</math> が収束することは、次のように証明することができる。 <math>\log k > \int_{k-1}^k \log x \, dx + \frac{1}{2k} </math> より、 <math>\begin{align} \log n ! &= \sum_{k=2}^n \log k \\ &> \int_{1}^n \log x \, dx + \frac 1 2 \sum_{k=2}^n\frac{1}{k}\\ &> n\log n - n + 1 + \frac 1 2 \int_{2}^{n+1}\frac{dx}{x}\\ &= n\log n - n + 1 + \frac 1 2 \{\log(n+1) - \log 2\} \end{align} </math> <math>\begin{align} \log a_n &= \log n! - \left(n + \frac 1 2\right)\log n + n \\ &> \frac 1 2 \{\log(n+1) - \log n \} + 1 - \frac 1 2 \log 2\\ &> 1 - \frac 1 2 \log 2 \end{align} </math> となるから、<math> a_n > \frac e \sqrt{2} </math> より下に有界である。 また、 <math> \begin{align} \log \frac{a_{n+1}}{a_n} &= \log(n+1) - \left(n + \frac 3 2\right)\log(n+1) + n+1 + \left(n+\frac 1 2\right)\log n - n\\ &= \frac 1 2 \{\log(n+1)+\log n\} - \int_n^{n+1} \log x dx\\ &< 0 \end{align} </math> から、<math> a_{n+1} < a_n. </math> すなわち単調減少であるから、<math>\{a_n\}</math> は収束する。 {{証明終わり}} {{解答|スターリングの近似の応用}} スターリングの近似は階乗を含む極限の問題に応用できる。例えば、演習問題2の(2)は、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{\sqrt{2\pi}(2n)^{2n+1/2}e^{-2n}}{\sqrt{2\pi}n^{n+1/2}e^{-n}n^n}\right)^\frac{1}{n}\\ &= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{2^{2n + 1/2}}{e^{n}}\right)^\frac{1}{n}\\ &= \frac 4 e. \end{align}</math> また、スターリングの近似から二項分布の極限が正規分布に収束することが証明できる。 二項分布の確率分布は、 <math>P(X=k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k} </math> である。スターリングの近似より、 <math>\begin{align} \frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k} &\approx \frac{\sqrt{2\pi}n^{n+\frac 1 2}e^{-n}}{\sqrt{2\pi}k^{k+\frac 1 2}e^{-k}\sqrt{2\pi}(n-k)^{n-k+\frac 1 2}e^{-(n-k)}}p^kq^{n-k}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} \sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} \end{align}</math> となる。ここで、<math>\lim_{n\to\infty} \frac k n = p </math> であるから、 <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} = \lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{1}{n\frac k n (1-\frac k n)}} = \frac{1}{\sqrt{npq}}</math> となる。 次に、<math>\log (1+x) \approx x - \frac 1 2 x^2 </math> の近似式を使うと、 <math>\begin{align}\log \left(\frac{np}{k}\right)^k &= k\log \left(1 - \frac{k-np}{k}\right) \\ &\approx -(k-np) - \frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{k} \end{align}</math> <math>\begin{align}\log \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} &= (n-k)\log \left(1 - \frac{n-k-nq}{n-k}\right) \\ &\approx -(n-k-nq) - \frac 1 2 \frac{(n-k-nq)^2}{n-k} \\ &= -(np-k) - \frac 1 2 \frac{(np-k)^2}{n-k}\end{align}</math> となる。さらに、 <math>\begin{align}\log \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} &\approx -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{k}-\frac 1 2 \frac{(np-k)^2}{n-k}\\ &= -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{npq} \left(\frac{npq}{k} + \frac{npq}{n-k}\right)\\ &\approx -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{npq} \left(\frac{pq}{p} + \frac{pq}{1-p}\right)\\ &= -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{npq} \end{align}</math> となる。最終的に、 <math>P(X=k) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}} e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}</math> を得る。これは、平均 <math>\mu = np</math> 分散 <math>\sigma^2 = npq</math> の正規分布である。 {{証明終わり}} {{解答|第五問}} (1) <math>\begin{align} I_{2n} &= \int_0^{\frac \pi 2} \cos^{2n}x dx \\ &= \left[x\cos^{2n}x\right]_0^{\frac \pi 2} + 2n\int_0^{\frac \pi 2} x\sin x \cos^{2n-1}x dx\\ &= 2n \left[\frac 1 2 x^2 \sin x \cos^{2n-1}x\right]_0^{\frac \pi 2} - n\int_0^{\frac \pi 2} x^2 \{\cos^{2n}x - (2n-1)\sin^2 x \cos^{2n-2}x \} dx \\ &= - n\int_0^{\frac \pi 2} x^2 \{\cos^{2n}x - (2n-1)(1-\cos^2 x) \cos^{2n-2}x \} dx \\ &= n(2n-1)J_{2n-2} -2n^2 J_{2n}. \end{align} </math> (2) <math> 0 \le x \le \frac \pi 2</math> で <math>\sin x</math> は上に凸であるから、<math> \frac{2}{\pi}x \le \sin x</math> となる。 (3) <math> \begin{align} J_{2n} &= \int_0^{\frac \pi 2} x^2 \cos^{2n}x dx \le \frac{\pi^2}{4} \int_0^{\frac \pi 2} \sin^2 x \cos^{2n} x dx \\ &= \frac{\pi^2}{4} (I_{2n} - I_{2n+2}) \\ &= \frac{\pi^2}{4} \frac{I_{2n}}{2n+2} \end{align} </math> となる。ただし、最後の行への変形で第一問(2)の漸化式を使った。 (4) (1) より、 <math> \begin{align} \frac{1}{n^2} &= \frac{(2n-1)J_{2n-2}}{n I_{2n}} - \frac{2J_{2n}}{I_{2n}}\\ &= \frac{2J_{2n-2}}{I_{2n-2}} - \frac{2J_{2n}}{I_{2n}} \end{align} </math> となる。ただし、最後の行への変形で第一問(2)の漸化式を使った。 よって、 <math> \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} = \sum_{k=1}^n \left(\frac{2J_{2k-2}}{I_{2k-2}} - \frac{2J_{2k}}{I_{2k}}\right) = \frac{2J_{0}}{I_{0}} - \frac{2J_{2n}}{I_{2n}} </math> となる。ここで、<math>J_0 = \int_0^{\frac \pi 2} x^2 dx = \frac{\pi^3}{24},\, I_0 = \frac \pi 2</math> より、<math>\frac{2J_{0}}{I_{0}} = \frac{\pi^2}{6}. </math> また、<math> 0 < \frac{J_{2n}}{I_{2n}} \le \frac{\pi^2}{8(n+1)} </math> より、<math>\lim_{n\to\infty}\frac{J_{2n}}{I_{2n}} = 0 </math> となるから、<math> \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} </math> を得る。 '''解説''' 本問は Daniel Daners. (2012). A Short Elementary Proof of Σ 1/k² = π²/6. ''Mathematics Magazine'', ''85''(5), 361–364. https://doi.org/10.4169/math.mag.85.5.361 を参考にした。 <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}</math> はゼータ関数と呼ばれるもので、数論において重要な関数である。この問題から <math>\zeta(2) =\frac{\pi^2}{6}</math> である。また、<math>\zeta(1) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math> は調和級数であるため発散する。 <math>s</math> が実数のとき、<math>s > 1</math> で <math>\zeta(s)</math> は収束することを示すことができる。実際、<math>\frac{1}{n^s} < \int_{n-1}^n \frac{dx}{x^s}</math> となるから、<math>\sum_{n=2}^m \frac{1}{n^s} < \int_1^m \frac{dx}{x^s} = \frac{1}{s-1}(1-m^{1-s}) < \frac{1}{s-1}</math> であるから上界を持つ。また、各項は正であるため <math>\sum_{n=1}^m \frac{1}{n^s}</math> は単調増加である。従って、 <math>\zeta(s)</math> は <math>s > 1</math> のとき収束する。 <math>s < 1</math> のとき、<math>\frac{1}{n} < \frac{1}{n^s}</math> から、<math>\sum_{n=1}^m \frac{1}{n} < \sum_{n=1}^m \frac{1}{n^s}</math> となるため発散する。 解析接続という手法を用いることでゼータ関数の定義域を <math>s=1</math> を除く複素数にまで拡張することができる。 {{証明終わり}} {{解答|第六問}} (1) <math>f(x) = e^x - x - 1</math> とすると、<math>f'(x) = e^x - 1 ,\, f''(x) = e^x</math> だから、<math>f(x) </math> は上に狭義凸な関数で最小値は <math>f(0) = 0</math> である。従って、<math>x \neq 0</math> のとき <math>e^x > x + 1</math> である。よって、<math>e^{-x^2} > 1-x^2.</math> また、<math>e^{-x} < \frac{1}{1+x}</math> に <math>x^2</math> を代入して <math>e^{-x^2} < \frac{1}{1+x^2}</math> を得る。 (2) (1) より、<math>(1-x^2)^n < e^{-nx^2} </math> であるから、積分して <math>\int_0^1 (1-x^2)^n dx < \int_0^1 e^{-nx^2} dx </math> を得る。同様に、<math>e^{-nx^2} < \frac{1}{(1+x^2)^n}</math> を積分して <math>\int_0^{\tan \theta_0}e^{-nx^2} dx < \int_0^{\tan\theta_0}\frac{1}{(1+x^2)^n}dx</math> を得る。<math> \frac \pi 4 < \theta_0 < \frac \pi 2 </math> より、<math>1 < \tan\theta_0</math> である。また、<math>e^{-nx^2} > 0</math> から <math>\int_0^{1}e^{-nx^2} dx < \int_0^{\tan \theta_0}e^{-nx^2} dx </math> となる。したがって、 <math> \int_0^1 (1-x^2)^n dx < \int_0^{\tan\theta_0} e^{-nx^2}dx < \int_0^{\tan \theta_0} \frac{1}{(1+x^2)^n} dx </math> である。 (3) <math>x = \sin \theta</math> と変数変換して、 <math>\begin{align} \int_0^1 (1-x^2)^n dx &= \int_0^{\frac \pi 2} (1-\sin^2\theta)^n \cos\theta d\theta\\ &= \int_0^{\frac \pi 2} \cos^{2n+1}\theta d\theta\\ &= I_{2n+1} \end{align} </math> となる。また、<math>x = \tan\theta</math> と変数変換して、 <math>\begin{align} \int_0^{\tan \theta_0} \frac{dx}{(1+x^2)^n} &= \int_0^{\theta_0} \cos^{2n}\theta \frac{d\theta}{\cos^2\theta}\\ &= \int_0^{\theta_0} \cos^{2n-2}\theta d\theta \end{align} </math> となる。 <math>x \to \frac x \sqrt n </math> と変数変換すると、<math>\int_0^{\tan \theta_0} e^{-nx^2}dx = \frac 1 \sqrt n \int_0^{\frac{\tan\theta_0}{\sqrt n}} e^{-x^2}dx </math> となる。よって、 <math> \sqrt n I_{2n+1} < \int_0^{\frac{\tan\theta_0}{\sqrt n}} e^{-x^2}dx < \sqrt n \int_0^{\theta_0} \cos^{2n-2}\theta d\theta </math> となる。ここで、<math> \theta_0 \to \frac \pi 2 - 0</math> の極限を取ると <math> \lim_{\theta_0 \to \frac \pi 2 - 0}\int_0^{\frac{\tan\theta_0}{\sqrt n}} e^{-x^2}dx = \lim_{a \to \infty}\int_0^{a} e^{-x^2}dx = \int_0^\infty e^{-x^2}dx </math> となるから <math> \sqrt n I_{2n+1} < \int_0^\infty e^{-x^2}dx < \sqrt n I_{2n-2} </math> を得る。 (4) 第三問より、<math>\lim_{n\to\infty} \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}} = 1 </math>, <math>\lim_{n\to\infty} \sqrt n I_{2n+1} = \frac{\sqrt \pi}{2} </math> であるから、 <math>\lim_{n\to\infty} \sqrt n I_{2n-2} = \lim_{m\to\infty} \sqrt n \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\frac{I_{2n}}{I_{2n-1}}\frac{I_{2n-1}}{I_{2n-2}}I_{2n-2} = \frac{\sqrt \pi}{2} </math> となる。よって、 <math>\int_0^{\infty} e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt \pi}{2}. </math> 被積分関数は偶関数だから、 <math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt \pi </math> を得る。 '''解説''' (4) で <math>x \to \sqrt a x</math> （<math>a</math> は正の実数）と変換すると、<math> \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} </math> を得る。これを使うと正規分布の確率密度関数が<math> \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx = 1 </math> と正規化されていることが分かる。また、 <math> \begin{align} \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx &= [xe^{-ax^2}]_{-\infty}^{\infty} + \int_{-\infty}^\infty 2ax^2 e^{-ax^2}dx\\ &= \int_{-\infty}^\infty 2ax^2 e^{-ax^2}dx \end{align} </math> より、<math> \int_{-\infty}^\infty x^2 e^{-ax^2}dx = \frac 1 2 \sqrt{\frac{\pi}{a^3}} </math> を得る。よって、正規分布の分散は <math> \begin{align} V[X] &= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^2 e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty x^2 e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}dx\\ &= \sigma^2 \end{align} </math> となる。 {{証明終わり}} == 脚注 == <references/> <references group="ヒント"/> {{DEFAULTSORT:こうとうかつこうすうかくIII せきふんほう}} [[Category:高等学校数学III|せきふんほう]] [[カテゴリ:積分法]] tt95zaewomgxkteu9moo98m8xtufz8x 299494 299491 2026-05-13T01:50:11Z ~2026-28564-08 91445 /* 体積 */ 299494 wikitext text/x-wiki {{pathnav|高等学校の学習|高等学校数学|高等学校数学III|pagename=積分法|frame=1|small=1}} ここでは、数学IIの[[高等学校数学II/微分・積分の考え|微分・積分の考え]]で学んだ積分の性質についてより詳しく扱う。また、三角関数や指数・対数関数などの関数の積分についても学習する。 [[高等学校数学]]の全ての分野を学んだ後に学習に取り組んでほしい。 == 不定積分 == === 積分の基本的な性質 === 積分法について <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx ,</math> <math>\int af(x) dx = a \int f(x) dx</math>(aは定数) が成り立つ。 導出 <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx</math> の両辺を微分すると、 左辺 =右辺 = <math> f + g</math> が従う。 よって、 <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx</math> の両辺は一致する。 (実際には2つの関数の導関数が一致するとき、 それらの関数には定数だけのちがいがある。 仮に、F(x)とG(x)が共通の導関数h(x)を持ったとする。 このとき、 <math>(F(x)-G(x) )' = h(x)- h(x) = 0</math> となるが、0の原始関数は定数Cであることが分かる。 よって、両辺を積分すると、 <math>F(x)-G(x) = C</math> となり、F(x)とG(x)には定数だけの差しかないことが確かめられた。 よって、 <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx</math> は定数だけのちがいを含んで成り立つ式である。 より一般に、不定積分が絡む等式は定数分の差を含めて成り立つというのが通例である。) <math>\int af(x) dx = a \int f(x) dx</math> についても両辺を微分すると、 左辺=右辺= a f(x) が従う。 よって、 <math>\int af dx = a\int f dx</math> が成り立つことが分る。 関数 <math>f(x)</math> の原始関数を <math>F(x)</math> とすると <math>\int_a^b f(x) \, = F(b)-F(a) = -(F(a)-F(b)) = -\int_b^af(x)\, dx</math> である。 <math>\int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx = (F(c) - F(a)) + (F(b) - F(c)) = F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx</math> === 置換積分法 === 関数の原始関数を求める手段として、 積分変数を別の変数で置き換えて積分を行なう手段が知られている。 これを置換積分と呼ぶ。 <math>\int f(g(x)) dg(x) = \int f(g(x)) g'(x) dx</math> 導出 <math>\int f(g(x)) dg(x) =F(g(x))</math>を<math>x</math>について微分すると、 <math>F'(g(x)) = f(g(x))g'(x)</math> 再び<math>x</math>について積分すると、 <math>\int f(g(x)) dg(x) = \int f(g(x)) g'(x) dx</math> また、特に *<math>\int f(ax+b) dx = \frac{1}{a} \int f(ax+b) d(ax+b)</math> *<math>\int \{f(x)\}^n f'(x) dx = \frac{1}{n+1} \{f(x)\}^{n+1} + C (n \ne -1)</math> *<math>\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log | f(x) | + C</math> 例えば、<math>\int (ax+b)^2 dx</math>を考える。 <math>t = ax+b</math>と置く。 この両辺を微分すると <math>dt = adx</math> が成り立つことを考慮すると、 {| |- |<math>\int t^2 \frac {dt} a</math> |<math>=\frac{ t^3} {3a} + C</math> |- | |<math>=\frac{ (ax+b)^3} {3a} + C</math> |} となることがわかる。 実際この式をxで微分すると <math> (ax+b)^2 </math> と一致することが分る。 置換積分を使わずに計算することも出来る。 {| |- |<math>\int (ax+b)^2 dx</math> |<math>=\int (a^2x^2+2abx +b^2) dx</math> |- | |<math>= \frac {a^2} 3 x^3 +abx^2 +b^2x + C'</math> |- | |<math>= \frac {a^2} 3 x^3 +abx^2 +b^2x + \frac {b^3} {3a} +C</math> |} (<math>C'=\frac {b^3} {3a} +C</math>と置き換えた。) <math>=\frac{ (ax+b)^3} {3a} + C</math> となり確かに一致する。 === 部分積分法 === 関数の積の積分を行なうときある関数の微分だけを取りだして積分すると、うまく積分できる場合がある。関数 <math>g(x)</math> の原始関数を <math>G(x)</math> とすると <math>\int f(x) g(x) \, dx = f(x) G(x) - \int f'(x) G(x) \, dx</math> 導出 積の微分法より <math>\{f(x)G(x)\}' = f'(x)G(x) + f(x)g(x)</math> である。これを移項して <math>f(x)g(x) = \{f(x)G(x)\}' - f'(x)G(x)</math> である。両辺をxで積分して <math>\int f(x) g(x) \, dx = f(x) G(x) - \int f'(x) G(x) \, dx</math> が得られる。 例えば、 {| |- |<math>\int x (ax+b)^3 dx</math> |<math>=\int x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)' dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \int (x)' \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \int (x)' \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \int \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \frac {(ax+b)^5} {20a^2} </math> |} 部分積分を <math>n</math> 回行うと、 <math>\begin{align} \int f(x) g(x) \, dx &= f(x) g^{(-1)}(x) - \int f'(x) g^{(-1)}(x) \, dx \\ &= f(x) g^{(-1)}(x) -f'(x) g^{(-2)}(x) + \int f''(x) g^{(-2)}(x) \, dx \\ &= f(x) g^{(-1)}(x) - f'(x) g^{(-2)}(x) + f''(x) g^{(-3)}(x) + \cdots + (-1)^n \int f^{(n)}(x) g^{(-n)}(x) \, dx \end{align}</math> となる。 ここで、<math>g^{(-1)}(x)</math> は <math>g(x)</math> の不定積分の任意の一つ。<math>g^{(-2)}(x)</math> は <math>g^{(-1)}(x)</math> の不定積分の任意の一つ。... <math>g^{(-n)}(x)</math> は <math>g^{(-n+1)}(x)</math> の不定積分の任意の一つというように定める。このように、積分記号で何回も不定積分を計算するのはやや面倒なので、次のような表を作ってみると計算しやすい。 {|class="wikitable" style="background: #ffffff; text-align: center;" |+ !符号 !微分 !積分 |- |<math>+</math> |<Math>f(x)</math> |<Math>g(x)</math> |- |<math>-</math> |<Math>f'(x)</math> |<Math>g^{(-1)}(x)</math> |- |<math>+</math> |<Math>f''(x)</math> |<Math>g^{(-2)}(x)</math> |- |<math>-</math> |<Math>f^{(3)}(x)</math> |<Math>g^{(-3)}(x)</math> |- |<math>\cdots</math> |<Math>\cdots</math> |<Math>\cdots</math> |- |<math>(-)^n</math> |<Math>f^{(n)}(x)</math> |<Math>g^{(-n)}(x)</math> |} この表から、部分積分を <math>n</math> 回行った結果は、 一行目の符号 × 一行目の微分 × 二行目の積分 + 二行目の符号 × 二行目の微分 × 三行目の積分 + ... + <math>\int</math> n行目の符号 × n行目の微分 × n行目の積分 dx と求まる。n行目の微分 が 0 であった場合は、最後の積分は消えて、不定積分は 一行目の符号 × 一行目の微分 × 二行目の積分 + 二行目の符号 × 二行目の微分 × 三行目の積分 + ... + n-1行目の符号 × n-1行目の微分 × n行目の積分 + C となる。 この方法は俗に'''瞬間部分積分法'''と呼ばれており、部分積分を複数回繰り返す際の計算を非常に簡略化できるため、受験数学では重宝されるテクニックの一つである。記述で用いる場合、上の表をそのまま記述するよりも、「部分積分を繰り返し用いると」という文言の後に瞬間部分積分で求めた結果を記述するのが無難である。 === いろいろな関数の積分=== ==== 多項式関数の積分 ==== <math>n \ne -1</math>のとき、<math>\left(\frac{1}{n+1} x^{n+1}\right)'=x^n</math>なので、 <math>\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C</math> <math>n = -1</math>のとき、<math>(\log |x| )' = \frac{1}{x} = x^{-1}</math>なので、 <math>\int x^{-1} dx = \int \frac {1}{x} dx = \log |x| + C</math> が成り立つ。 ==== 三角関数の積分 ==== *<math>(\sin x )' = \cos x</math> *<math>(\cos x )' = -\sin x</math> *<math>(\tan x )' = \frac{1}{\cos^2 x}</math> が成り立つことを考慮すると、 *<math>\int \cos x dx= \sin x + C</math> *<math>\int \sin x dx = - \cos x + C</math> *<math>\int \frac{1}{\cos^2 x } dx = \tan x + C</math> となることが分る。 <math>\int \tan x dx</math>は、置換積分法を使って {| |- |<math>\int \tan x dx</math> |<math>=\int \frac{\sin x}{\cos x} dx</math> |- | |<math>=\int \frac{-(\cos x)'}{\cos x} dx</math> |- | |<math>= - \int \frac{(\cos x)'}{\cos x} dx</math> |- | |<math>= - \log | \cos x | + C</math> |} :　 :なお同様に、<math>\frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}</math>　であるので、<math>\int \frac{1}{\tan x} dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx =\int \frac{(\sin x)'}{\sin x} dx = \log \left|\sin x\right| + C</math> :　 より一般に有理関数 <math>R(x,y)</math> に対して、<math>\int R(\sin\theta,\cos\theta) \,d\theta</math> について考える。 <math>t = \tan \frac{\theta}{2}</math> とおく。 <math>\tan^2\frac{\theta}{2} + 1 = \frac{1}{\cos^2\frac{\theta}{2}}</math> よって <math>\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1}{1+t^2}</math>である。<math>\frac{dt}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2\cos^2\frac{\theta}{2}} = \frac{1}{2}(t^2+1)</math> であり、<math>\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2} - 1 = \frac{1-t^2}{1+t^2}</math> かつ <math>\sin\theta = \tan\theta\cos\theta = \frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}\cos\theta = \frac{2t}{1+t^2}</math> である。よって <math>\int R(\sin\theta,\cos\theta) \,d\theta = \int R\left(\frac{2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t^2}\right) \, \frac{2dt}{1+t^2}</math> と有理関数の積分にもち込める。 幾何学的は、この変換は単位円上の点 <math>P(\cos \theta, \sin \theta)</math>と点 <math>A(-1,0)</math> を結ぶ直線の勾配 <math>t</math> で変換したものである。実際円周角の定理より <math>\angle xAP = \frac 1 2 \angle xOP = \frac \theta 2</math>より <math>t = \tan \frac{\theta} 2.</math> 被積分関数の周期が <math>\pi</math> の場合は、被積分関数は <math>\sin 2\theta,\cos 2 \theta</math> の有理関数なので、 <math>t = \tan\theta</math> と置換すると計算が楽である。被積分関数が <math>\sin^2\theta,\cos^2\theta,\sin\theta\cos\theta</math> の有理関数となるときもこの範疇に属する。<math>t = \tan\theta</math> と置換したとき、<math>\cos^2\theta = \frac{1}{1+\tan^2\theta}=\frac{1}{1+t^2}</math>, <math>\sin^2\theta = \tan^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{t^2}{1+t^2}</math> , <math>\sin\theta \cos\theta = \pm\sqrt{\sin^2\theta \cos^2\theta} = \frac{t}{1+t^2}</math> (<math>\sin\theta \cos\theta</math> と <math>\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}</math> の正負は一致するため), <math>d \theta = \frac {dt}{1 + t^2}</math> となる。 例　<math>\int\frac{1}{\sin x \cos x}dx</math> は <math>t = \tan x</math> と置換すると、<math>\int \frac {1}{\sin x \cos x}dx = \int \frac {1+t^2}{t} \frac { dt}{1+t^2} = \ln|\tan x| + C. </math> <math>t = \tan \frac{\theta}{2}</math> と置換してしまうと、<math>\int \frac{1}{\sin x \cos x}\,dx = \int \frac {1+t^2}{t(1-t^2)}\,dt = \ln \left|\frac{t}{1-t^2}\right| + C' = \ln|\tan x| + C </math> と計算量が少し増える。 ==== 指数・対数関数の積分 ==== 指数関数について <math>(e^x )' = e^x</math> が成り立つことを用いると、 <math>\int e^x dx = e^x + C</math> が得られる。 また、 <math>\left(\frac{a^x}{\ln a}\right)' = a^x</math> なので、 <math>\int a^x \, dx=\frac{a^x}{\ln a}</math> である。 また、<math>\log |x|</math>の 原始関数も求めることが出来る。 {| |<math>\int \log |x| dx </math> |<math>=\int (x)' \log |x| dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -\int x (\log |x|)' dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -\int x \frac 1 x dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -\int dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -x + C</math> |} となる。 有理関数 <math>R(x)</math> に対して、積分 <math>\int R(e^x) \, dx</math> は <math>t = e^x</math> すると <math>\frac{dt}{dx} = e^x = t</math> より <math>\int R(e^x) \, dx = \int R(t) \frac{dt}{t}.</math> ==== 二次無理関数の積分（発展） ==== 有理関数 <math>R(x,y)</math> に対して、積分 <math>\int R(x,\sqrt{ax^2 + bx + c}) \, dx</math> について考えよう。平方根の中身は平方完成することによって、<math>\sqrt{p^2-x^2},\sqrt{x^2+p^2},\sqrt{x^2-p^2}</math>のいずれかの形になる。それぞれの場合について、<math>x = p\sin \theta,x = p\tan\theta,x = \frac{p}{\cos \theta}</math> と変数変換すると三角関数の積分に帰着する。 また、<math>y^2 = ax^2 +bx + c</math> は二次曲線で、特に <math>a>0</math> のときは双曲線となる（<math>y^2 -a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{-b^2 + 4ac}{4a}</math>より<ref>右辺が0のとき双曲線とはならないが、このときは簡単に平方根を外すことが出来るので考える必要はない。</ref>）。このとき、<math>y=\pm \sqrt a x + t</math> すなわち <math>t = \mp \sqrt a x + \sqrt{ax^2 + bx + c}</math> と変換するとうまく計算できる（符号はどちらを選択しても良い）。幾何学的には、双曲線の漸近線に平行で切片が <math>t</math> の直線 <math>y=\pm \sqrt a x + t</math> と双曲線のただ一つの交点 <math>(x,y)</math> を変数 <math>t</math> で表したものである。 例 <math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} </math> は <math>t = x + \sqrt{ x^2-1}</math> と置換すると、<math>\frac 1 t = x - \sqrt{x^2-1}</math> なので、<math>t + \frac 1 t = 2x</math> すなわち <math>2dx = \left(1 - \frac 1 {t^2}\right)dt</math> また、 <math>t - \frac 1 t = 2\sqrt{x^2-1}</math>.なので、<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} = \int \frac{1-\frac{1}{t^2}}{t-\frac 1 t}dt = \int \frac{dt}{t} = \ln |x + \sqrt{x^2-1}| + C </math> である。 ところで、この変換は双曲線 <math>y^2 = x^2 - 1</math> と直線 <math>y = -x + t</math> のただ一つの交点による変換であった。その交点を方程式を解いて <math>t</math> で表すと、<math>x = \frac 1 2 \left(t + \frac 1 t\right), \, y =\frac 1 2 \left(t - \frac 1 t\right)</math> を得る。これは双曲線の媒介変数表示の一つである。また、 <math>t \rightarrow e^t</math> とすると、<math>x = \frac{e^t + e^{ -t} }{2} = \cosh t, \, y = \frac{e^t - e^{-t}}{2} = \sinh t.</math> これは <math>x > 0</math> の部分の双曲線の媒介変数表示である。最右辺は双曲線関数と呼ばれ、三角関数と似た性質を持つ。関数名の <math>\mathrm{h}</math> はhyperbolaに由来する。例えば、双曲線の方程式より得られる <math>\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1</math> は <math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1</math> とよく似ている。例示の不定積分は <math>x = \cosh t</math> と置換しても解くことが出来るが、ほとんど同じことなので省略する。 == 定積分 == 定積分について、不定積分と同じように以下が成り立つ。 '''定積分の置換積分法''' <math>\alpha < \beta</math>のとき、閉区間<math>[\alpha, \beta]</math>で微分可能な関数<math>x=g(t)</math>に対し、<math>a=g(\alpha), b=g(\beta)</math>ならば<math>\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t)) g'(t) \, dt </math> '''定積分の部分積分法''' <math>\int_{a}^{b} f(x) g'(x) \, dx = \left[ f(x) g(x) \right]^{a}_{b} - \int_{a}^{b} f'(x) g(x) \, dx </math> *問題 **以下の定積分を求めよ(Hint：5, 6は漸化式を利用する) **#<math>\int_{0}^{1} |e^x - \frac{3}{2}| \, dx</math> **#<math>\int_{1}^{0} \frac{x-2}{(3-x)^2} \, dx</math> **#<math>\int_{-5}^{5} x \sqrt{x^2-9} \, dx</math> **#<math>\int_{3}^{7} x \log (x^2 - 2) \, dx </math> **#<math>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx</math> **#<math>\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx</math> === 特殊な定積分 === ==== 円 ==== <math>a < b</math> とする。積分 <math>\int_a ^b \sqrt{(x-a)(b-x)}\, dx</math> は <math>y = \sqrt{(x-a)(b-x)}</math> とすると、<math>\left(x-\frac{a+b}{2} \right) + y^2 = \left(\frac{a-b}{2} \right)^2</math> より、被積分関数 <math>y</math> は中心 <math>\frac{a+b}{2}</math> で半径 <math>\frac{b-a}{2}</math>の円周の上半分であり、積分区間もその両端なので、積分の値は半円の面積に等しく、<math>\int_a ^b \sqrt{(x-a)(b-x)} \, dx = \frac{\pi}{2}\left(\frac{b-a}{2}\right)^2</math> である。 ==== King Property ==== 一般に、関数 <math>f(a-x)</math> のグラフは関数 <math>f(x)</math> のグラフを直線 <math>x = \frac a 2</math> で対称移動したものである。 従って、連続関数 <math>f(x)</math> を区間 <math>\left[\frac{a+b}{2},b\right]</math> で積分した値 <math>\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, dx</math> と、連続関数 <math>f(a+b-x)</math> を区間 <math>\left[a,\frac{a+b}{2}\right]</math> で積分した値 <math>\int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(a+b-x)\, dx</math> は等しい： :<math>\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(a+b-x) \, dx.</math> この等式は単に、 <math>x \to a+b-x</math> の変数変換によっても導出できる。 この等式より、 <math>\int_a^b f(x) \, dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(x)\, dx +\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} [f(x) + f(a+b-x)] \, dx </math> が導かれる。 この公式は、<math>f(x) + f(a+b-x)</math> が簡単な形になる定積分で役に立つ。 例えば、<math>\begin{align}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left[\frac{\sin x}{\sin x + \cos x} +\frac{\sin (\frac{\pi}{2}-x)}{\sin (\frac{\pi}{2}-x) + \cos (\frac{\pi}{2}-x)}\right]\, dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left[\frac{\sin x}{\sin x + \cos x} +\frac{\cos x}{\cos x + \sin x}\right]\, dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}dx = \frac{\pi}{4}.\end{align} </math> King Property の応用例は <math>\int_{-1}^{1} \frac{x^2}{1+e^x} \, dx = \frac 1 3</math> , <math>\int_0^{\frac \pi 4} \ln(1+\tan x)\, dx = \frac \pi 8 \log 2</math> , <math>\int_0^{\frac \pi 2} \log (\sin x) \, dx = -\frac{\pi}{2}\log 2</math>, <math>\int_0^{2\pi} \cos^2\left(\frac{\pi\tan{x}}{2+2\tan{x}}\right)dx=\frac{\pi}{2}</math> などがある。計算してみよ。 === 定積分と不等式 === 一般に、連続関数について次のことが成り立つ。 :閉区間<math>[a, b]</math>において<math>f(x) \leqq g(x)</math>ならば、<math>\int_{a}^{b} f(x) \, dx \leqq \int_{a}^{b} g(x) \, dx</math> :等号成立条件は閉区間<math>[a, b]</math>において恒等的に<math>f(x) = g(x)</math>であること。 *例題 :調和級数の第n部分和が<math>\log(n+1)</math>より大きいことを証明せよ。 *解答 自然数kに対して<math>k \leqq x \leqq k+1</math>のとき<math>\frac{1}{k} \geqq \frac{1}{x}</math>であり、等号は常には成り立たないので<math>\int_{k}^{k+1} \frac{dx}{k} > \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{x}</math>である。故に<math>\sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{k} > \sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{x}</math>。 このとき、（左辺）<math>= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \int_{k}^{k+1} dx = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math>より左辺は調和級数の第n部分和であり、(右辺)<math>= \sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{x} = \int_{1}^{n+1} \frac{dx}{x} = \left[ \log(x) \right]_{1}^{n+1} = \log(n+1) - \log(1) = \log(n+1)</math>なので、題意は示された。 ===発展：広義積分=== '''広義積分'''とは、通常の定積分の範囲を超えて積分区間が無限であったり被積分関数が積分区間内で'''特異点'''（値が定義されなかったり微分不可能だったり不連続であったりする点）を持つ場合に、極限を用いて定義される定積分である。 定積分<math>\int_a^b f(x) \, dx</math>において、<math>b \to \infty</math>の極限を<math>\int_a^\infty f(x) \, dx</math>、<math>a \to -\infty</math>の極限を<math>\int_{-\infty}^b f(x) \, dx</math>のように表す。 例えば、<math>\int_0^\infty e^{-x} dx</math>は以下のように計算できる。 :<math>\int_0^\infty e^{-x} dx</math> :<math>=\lim_{b \to \infty} \int_0^b e^{-x} dx</math> :<math>=\lim_{b \to \infty} [-e^{-x}]_0^b </math> :<math>=\lim_{b \to \infty} (-\frac{1}{e^b} + 1)</math> :<math>=1</math> 但し、極限操作の前に定積分を計算してよいのは以下の場合に限られる。 :被積分関数が連続（定積分可能） :積分区間の内部に特異点が存在しない（特異点が端点のみ） :求めたい積分が（条件）収束する（発散しない） 積分区間の上端が正の無限大で下端が負の無限大のとき、広義積分は以下のように計算される。 :<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{a \to -\infty} \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx</math> 決して<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{A \to \infty} \int_{-A}^A f(x) \, dx</math>（対称極限）のように計算してはならない^※。 例えば、<math>\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{1+x^2} \, dx</math>は発散するが、対称極限のように計算すると<math>\lim_{A \to \infty} \int_{-A}^{A} \frac{x}{1+x^2} \, dx = 0</math>という誤った結果を得る。 この例のように、非積分関数が奇関数であっても<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx=0</math>は一般には成り立たない。あくまでも、'''上端と下端を独立に考えて極限を取る'''ことに注意が必要である。 ※広義積分を対称極限として計算した値を'''コーシー主値'''という。物理系への応用では通常の広義積分でなくコーシー主値を採用する場面もある。 例えば、以下が成り立つ。 :<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}</math> これは'''ガウス積分'''と呼ばれる有名な結果である。 この値の導出には重積分やヤコビ行列といった大学範囲の数学が良く用いられるが、一応は高校数学のみで証明可能である。後述の演習問題を参照。 この結果は[[高等学校数学B/確率分布と統計的な推測#正規分布|正規分布の確率密度関数]]の導出に用いられる。 :元となる関数は<math>y=e^{-x^2}</math>。 :平均値<math>\mu</math>を軸に持ってくる平行移動をして<math>y=e^{-(x-\mu)^2}</math>。 :分布の広さ（ばらつきの大きさ）を標準偏差<math>\sigma</math>に合わせるため<math>\mu \pm \sigma</math>で極値をとるように変形して<math>y=e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}</math> :ガウス積分の結果より<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \, dx = \sqrt{2\pi}\sigma</math>。 :確率密度関数は<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx=1</math>を満たすので、元の関数を<math>\sqrt{2\pi}\sigma</math>（定数）で割って<math>y=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}</math>。 :これは正規分布の特徴を適切に表すため、確率密度関数として適当である。 他に、<math>\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x^2) \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} \cos(x^2) \, dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}</math>（'''フレネル積分'''）が有名な結果である。なお、この積分は不定積分を[[w:初等関数]]で表すことができない。 広義積分の応用例として、'''フーリエ変換'''や'''ラプラス変換'''が存在する。 :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi):=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-2\pi{i}\xi{x}}dx</math> :<math>\text{ℒ}[f(x)](s):=\int_0^\infty f(x)e^{-sx}dx</math> これらは物理的には信号処理や制御工学に応用されているほか、数学では関数解析学と呼ばれる分野にも関わる概念である。 '''演習問題1''' 次の不定積分を求めよ。 :(1)<math>\int \tan xdx</math> :(2)<math>\int \frac{1}{\cos ^2x}dx</math> :(3)<math>\int \log xdx</math> :(4)<math>\int x\log xdx</math> :(5)<math>\int x^2\log xdx</math> :(6)<math>\int x^3\log xdx</math> :(7)<math>\int x\sin xdx</math> :(8)<math>\int x^2\sin xdx</math> :(9)<math>\int x^2e^xdx</math> :(10)<math>\int \frac{dx}{\sin x}</math> :(11)<math>\int \frac{dx}{\cos x}</math> {{解答}} :(1)<math>-\log |\cos x|+C</math> :(2)<math>\tan x+C</math> :(3)<math>x\log x-x+C</math> :(4)<math>\frac{x^2\log x}{2}-\frac{x^2}{4}+C</math> :(5)<math>\frac{x^3\log x}{3}-\frac{x^3}{9}+C</math> :(6)<math>\frac{x^4\log x}{4}-\frac{x^4}{16}+C</math> :(7)<math>\sin x-x\cos x+C</math> :(8)<math>2x\sin x+(2-x^2)\cos x+C</math> :(9)<math>(x^2-2x+2)e^x+C</math> :(10) <math> t = \tan\frac x 2 </math> と置換すると、 <math> \begin{align} \int \frac{dx}{\sin x} &= \int \frac{1+t^2}{2t}\frac{2dt}{1+t^2}\\ &= \int \frac{dt}{t}\\ &= \log |t| + C\\ &= \log \left|\tan\frac x 2 \right| + C. \end{align}</math> 別解 <math>\begin{align} \int \frac{dx}{\sin x} &= \int \frac{dx}{2\sin\frac x 2 \cos \frac x 2}\\ &= \int \frac{\cos\frac x 2 dx}{2\sin\frac x 2 \cos^2 \frac x 2}\\ &= \int \frac{(\tan \frac x 2)'dx}{\tan \frac x 2}\\ &= \log \left|\tan\frac x 2 \right| + C. \end{align}</math> <math>\begin{align} \int \frac{dx}{\sin x} &= \int \frac{\sin x}{\sin^2 x} dx\\ &= \int \frac{\sin x}{1- \cos^2 x} dx\\ &= \frac 1 2 \int \frac{\sin x}{1 - \cos x} dx + \frac 1 2 \int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx\\ &= \frac 1 2 \int \frac{(1 - \cos x)'}{1 - \cos x} dx - \frac 1 2 \int \frac{(1 + \cos x)'}{1 + \cos x} dx\\ &= \frac 1 2 \log \left|\frac{1-\cos x}{1+\cos x} \right| + C \\ &= \frac 1 2 \log \frac{1-\cos x}{1 + \cos x} + C. \end{align}</math> ちなみに、半角の公式より <math>\log \left|\tan\frac x 2 \right| = \frac 1 2 \log \left|\frac{\sin^2 \frac x 2}{\cos^2 \frac x 2}\right| = \frac 1 2 \log \frac{1-\cos x}{1 + \cos x} </math> が成り立つ。 :(11) <math> \begin{align} \int \frac{dx}{\cos x} &= \int \frac{dx}{\sin(x + \frac \pi 2)}\\ &= \log \left|\tan\left(\frac x 2 + \frac \pi 4 \right) \right| + C. \end{align}</math> 別解 <math> t = \tan\frac x 2 </math> と置換すると、 <math> \begin{align} \int \frac{dx}{\cos x} &= \int \frac{1+t^2}{1-t^2} \frac{2dt}{1+t^2}\\ &= \int \frac{2dt}{1-t^2}\\ &= \int \frac{dt}{1+t} + \int \frac{dt}{1-t}\\ &= \log \left|\frac{1+t}{1-t}\right| + C\\ &= \log \left|\frac{1+\tan\frac x 2}{1-\tan\frac x 2}\right| + C.\\ \Big( &= \log \left|\tan\left(\frac x 2 + \frac \pi 4\right) \right| + C \Big) \end{align}</math> なお、部分分数分解について、 <math>f(t) = \frac{2}{1-t^2} = \frac{A}{1+t} + \frac{B}{1-t}</math> とすると、 <math>A = \lim_{t\to -1}(1+t)f(t) = \lim_{t\to -1} \frac{2(1+t)}{1-t^2} = \lim_{t\to -1} \frac{2}{1-t} = 1</math>, <math>B = \lim_{t\to 1}(1-t)f(t) = \lim_{t\to 1} \frac{2(1-t)}{1-t^2} = \lim_{t\to 1} \frac{2}{1+t} = 1</math> より係数が求まる。 別解2 <math>\begin{align} \int \frac{dx}{\cos x} &= \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx\\ &= \int \frac{\cos x}{1- \sin^2 x} dx\\ &= \frac 1 2 \int \frac{\cos x}{1 - \sin x} dx + \frac 1 2 \int \frac{\cos x}{1 + \sin x} dx\\ &= -\frac 1 2 \int \frac{(1 - \sin x)'}{1 - \sin x} dx + \frac 1 2 \int \frac{(1 + \sin x)'}{1 + \sin x} dx\\ &= \frac 1 2 \log \left|\frac{1+\sin x}{1 - \sin x} \right| + C \\ &= \frac 1 2 \log \frac{1+\sin x}{1 - \sin x} + C. \end{align}</math> これも、 <math>\log \left|\tan\left(\frac x 2 + \frac \pi 4\right) \right| = \frac 1 2 \log \frac{1-\cos (x + \frac \pi 2)}{1 + \cos(x + \frac \pi 2)} = \frac 1 2 \log \frac{1+\sin x}{1 -\sin x} </math> である。 {{証明終わり}} ==積分の応用== === 面積 === ある関数f(x)の原始関数を求める演算は f(x)とx軸にはさまれた領域の面積を求める演算に等しい。 このことを用いて ある関数によって作られた領域の面積を求めることが出来る。 [[画像:Integral_x%5E2_0-1.png|right|x^2の0から1までの積分]] 例えば、 <math> \int _0 ^1 x^2 dx = \frac 1 3 </math> は、放物線<math> y = x^2</math>について <math>0 < x < 1</math>の範囲でかこまれる面積に等しい。 '''面積(Ⅰ)''' 曲線<math>y=f(x)</math>と2直線<math>x=a, x=b</math>及びx軸で囲まれた領域の面積は、 閉区間<math>[a, b]</math>で常に<math>f(x) \geqq 0</math>のとき<math>S = \int_{a}^{b} f(x) dx</math> 閉区間<math>[a, b]</math>で常に<math>f(x) \leqq 0</math>のとき<math>S = -\int_{a}^{b} f(x) dx </math> 厳密な証明は既に数学Ⅱで扱った。 2曲線で囲まれた領域の面積についても、同様である。 '''面積(Ⅱ)''' 2曲線<math>y=f(x), y=g(x)</math>と2直線<math>x=a, x=b</math>で囲まれた領域の面積は、 閉区間<math>[a, b]</math>で常に<math>f(x) \geqq g(x)</math>のとき<math>S = \int_{a}^{b} \{ f(x) - g(x) \} dx</math> y軸まわりで考えた場合も同様である。 '''面積(Ⅲ)''' 2曲線<math>x=h(y), x=i(y)</math>と2直線<math>y=c, y=d</math>で囲まれた領域の面積は、 閉区間<math>[c, d]</math>で常に<math>h(y) \geqq i(y)</math>のとき<math>S = \int_{c}^{d} \{ h(y) - i(y) \} dy</math> 媒介変数表示された曲線の場合、xとyの好きな方で面積の式を考えてパラメータに関する式へと置換積分すれば良い。 {{コラム|ガウス＝グリーンの定理| '''ガウス＝グリーンの定理'''という以下のような公式が存在する。 :閉曲面Sで囲まれた空間の領域をV、曲面の外向き法線の方向余弦を（l, m, n）、微分可能な関数をf, g, hとするとき、<math>\int_{V} (\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} + \frac{\partial h}{\partial z}) dV = \int_{S} (fl+gm+hn) dS </math> この定理を高校レベルの求積で使えるように調整すると、以下のようになる。 :曲線<math>\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases}</math>について、<math>[a, b]</math>の範囲でtの増加とともに点<math>P(f(t), g(t))</math>がxy平面上を原点中心に反時計回りに動くときに線分<math>OP</math>が通過する領域の面積は、<math>\int_{a}^{b} \frac{1}{2} \{ x g'(t) - y f'(t) \} dt</math> この定理を用いると、通常の積分で面積を求めるよりも遙かに計算量が少なくて済む。 もちろん記述では使えないが、答えのみ書けば良い場合や検算用のツールとしては非常に役立つ。 }} ; '''発展：極座標系における面積''' [[高等学校数学C/平面上の曲線#極座標|極座標系]]においても、直交座標系と同様に微積分を考えることができる。ここでは、その一例として極方程式で表された曲線における面積について扱う。 '''面積(Ⅳ)''' 曲線<math>r=r(\theta)</math>と2直線<math>\theta = \alpha, \theta = \beta</math>で囲まれた部分の面積は、 <math>S = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2} \{ r(\theta) \}^2 d\theta</math> *証明 基本的には直交座標の場合と同様である。 :曲線<math>r=r(\theta)</math>と2直線<math>\theta = \alpha, \theta = \tau</math>で囲まれた部分の面積を<math>S(\tau)</math>とおく。 :<math>\Delta \tau > 0</math>として<math>\tau + \Delta \tau</math>の場合を考える。 :閉区間<math>[\tau, \tau + \Delta \tau]</math>における<math>r(\theta)</math>の最小値を<math>m</math>、最大値を<math>M</math>とおくと、微小な扇形の面積を考えることにより<math>\frac{1}{2}m^2\Delta \tau \leqq S(\tau + \Delta \tau) - S(\tau) \leqq \frac{1}{2} M^2 \Delta \tau</math>が得られる。 :上の不等式の各辺を<math>\Delta \tau</math>で割ると、<math>\frac{1}{2}m^2 \leqq \frac{S(\tau + \Delta \tau) - S(\tau)}{\Delta \tau} \leqq \frac{1}{2}M^2</math> :<math>\Delta \tau \to 0</math>の極限を考えると、 ::<math>r(\tau)</math>は連続関数なので<math>\frac{1}{2} m^2 \to \frac{1}{2} \{ r(\tau) \}^2, \frac{1}{2} M^2 \to \frac{1}{2} \{ r(\tau) \}^2</math> ::微分の定義より<math>\frac{S(\tau + \Delta \tau) - S(\tau)}{\Delta \tau} \to S'(\tau)</math> :よってはさみうちの原理より<math>S'(\tau) = \frac{1}{2} \{ r(\tau) \}^2</math> :これにて示された。 この公式は、'''<math>\theta</math>が偏角である場合のみ用いることができる'''。もし<math>\theta</math>が偏角ではない場合、<math>\theta</math>と偏角<math>\phi</math>の関係を求めて置換積分する必要がある。 ; '''楕円の面積''' '''楕円の面積''' 楕円<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>の面積は、 <math>S=\pi ab</math> *導出 楕円<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>を<math>y</math>について解くと :<math>y=\pm\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}</math> となる。そのうち<math>y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}</math>は半楕円（楕円の上半分）を示している。その半楕円の面積を2倍したものが楕円の面積''S''となるので :<math>S=2\int _{-a} ^a \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2} = \frac{2b}{a}\int _{-a} ^a \sqrt{a^2-x^2} = \frac{2b}{a} \times \frac{\pi a^2}{2} = \pi ab</math> となる。 === 体積 === ある立体<math>V_0</math>の<math>x = t</math>における断面積が有限な値で、その値が <math>t</math>の関数<math>S(t)</math>となるとき、この立体を平面<math>x = a</math>，<math>x = b</math>（ただし、<math>a < b</math>）で切り取った領域の体積は、底面積<math>S(t)</math>に極めて小さい高さ<math>dt</math><ref>なお、この時、<math>dt</math>が<math>S(t)</math>に対して積分区間で常に鉛直方向の関係にあることが保証されていなければならない。</ref>の積<math>S(t) \, dt</math>の区間<math>[a,b]</math>における累積であるので、以下の式で表すことができる。 :<math> V = \int_a^{b} S(t) \, dt</math> （例1） :<math>O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C(1,0,2)</math>である三角錐を考える。 :この三角錐を平面<math>x=t (0\leqq t \leqq 1)</math>で切断すると、断面の三角形の各座標は<math>A_t(t,0,0), B_t(t,t,0), C_t(t,0,2t)</math>となる。この時、<math>\triangle{A_t B_t C_t}</math>の面積<math>S(t)=t^2</math>となる。 :これを、区間<math>[0,1]</math>で積分すると、 :<math> V = \int_0^{1} S(t) \, dt = \int_0^{1} t^2 \, dt = \left[ \frac{t^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}</math>となる<ref>三角錐<math>O-ABC</math>は、<math>\triangle{ABC}</math>を底面（<math>S=1</math>）とし、<math>OA</math>を高さ（<math>1</math>）とする三角錐なので、体積は、<math>\frac{1}{3}</math>となり、正しい。</ref>。 （例2） :設問 :#<math>O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C(1,1,0), D(0,0,1), E(1,0,1), F(0,1,1), G(1,1,1)</math>である立方体を想定。 :#平面<math>x=t (0\leqq t \leqq 1)</math>で切断し、<math>\square{O_t A_t B_t C_t}</math>を得る。 :#線分<math>O_t A_t , A_t B_t , B_t C_t , C_t O_t </math>に、各々点<math>O_t, A_t, B_t, C_t</math>から、長さ<math>t</math>である点<math>H_t, I_t, J_t, K_t</math>をとり、<math>\square{H_t I_t J_t K_t}</math>を<math>S_t</math>とする。 :#<math>t</math>を区間<math>[0,1]</math>で変化させた時、<math>S_t</math>が通過する部分の体積<math>V</math>を求めよ。なお、<math>S_t</math>が正方形である証明は省略してよい。 :解答 :#<math>S_t</math>の1辺の長さを<math>l</math>とおくと、<math>l^2 = t^2 + (1-t)^2 = 2t^2 - 2t + 1</math> :#<math>S_t</math>の面積<math>S(t)</math>は<math>l^2</math>であるから、<math>S(t) = 2t^2 - 2t + 1</math> :#これを、区間<math>[0,1]</math>で積分すると、 :#<math> V = \int_0^{1} S(t) \, dt = \int_0^{1} (2t^2 - 2t + 1) \, dt = \left[ \frac{2t^3}{3} - t^2 +t \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}</math>となる。 ; '''回転体の体積''' <math>y= f(x) (a \le x \le b )</math> で与えられる曲線をx軸の回りに回転させて作られる立体の体積Vは、 <math>V = \int _a ^b \pi \{ f(x) \}^2 dx</math> で与えられる。 導出 立体をx軸に垂直であり、x=cを満たす面とx=c+hを満たす面で切ると（hは小さな 定数）、その切断面で挟まれた立体は半径 f(c)の円と半径 f(c+h)の円 ではさまれた立体となる。 しかし、hが極めて小さいとき、この図形は半径f(c),高さhの円柱で 近似できる。 よってこの2つの面に関して、得られた図形の体積は <math> h \times \pi (f(c) )^2 </math> となる。 これを<math>a<c<b</math>満たす全てのcについて足し合わせると、 <math> S = \int _a ^b \pi ( f(x))^2 dx </math> が得られる。 同様に、<math>x = g(y) (c \le x \le d )</math>で与えられる曲線をy軸の回りに回転させて作られる立体の体積Vは、 :<math>V = \int _c ^d \pi \{ g(y) \}^2 dy</math> で与えられる。 例えば、 <math> y= x^2 ~(0<x<1) </math> をx軸の回りに回転させて得られる図形の体積は、 :図形の絵? <math> S = \int_0^1 \pi (x^2)^2 dx </math> <math> =\pi \int_0^1 x^4 dx </math> <math> =\frac {\pi} 5 </math> となる。 ;球の体積 球の体積<math>V=\frac{4}{3}\pi r^3</math>の導出 半径''r''の球は半円<math>y=\sqrt{r^2-x^2}</math>を''x''軸の周りに回転させてつくることができる。 :<math>V=\pi \int_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}^2 dx=\pi \int_{-r}^r (r^2-x^2) dx= \frac{4}{3}\pi r^3</math> また体積を''r''で微分すると球の表面積<math>S=4\pi r^2</math>が得られる。 ; 補：バームクーヘン積分 上記の回転体の公式の導出では「円盤の面積を積分」しているが、「円筒の側面積」を積分しても同様の結果が得られる。この考え方を'''バームクーヘン積分（円筒分割積分）'''と呼ぶ。 バームクーヘン積分による回転体の体積の公式 曲線<math>y=f(x)</math>とx軸、直線<math>x=a, x=b</math>に囲まれた部分をx軸周りに一回転した立体の体積は、 <math>V = 2\pi \int_{a}^{b} x f(x) dx</math> *導出 :閉区間<math>[x, x + \Delta x](\Delta x > 0)</math>においてx軸と曲線<math>y=f(x)</math>で挟まれた領域をy軸周りに一回転してできる立体の体積を<math>\Delta V</math>とし、同区間におけるf(x)の最小値をm、最大値をMとおく。 :このとき、<math>\pi \{(x + \Delta x)^2 - x^2 \}m \leqq \Delta V \leqq \pi \{(x + \Delta x)^2 - x^2 \}M</math> :変形すると<math>\pi(2x + \Delta x)m \leqq \frac{\Delta V}{\Delta x} \leqq \pi (2x + \Delta x)M</math> :<math>\lim_{\Delta x \to + 0} m = \lim_{\Delta x \to + 0} M = f(x)</math>なのではさみうちの原理より<math>\lim_{\Delta x \to + 0} \frac{\Delta V}{\Delta x} = 2 \pi x f(x)</math> :<math>\therefore \frac{dV}{dx} = 2 \pi x f(x)</math> :<math>\Delta x < 0</math>でも同様。 :この微分方程式を解く（詳細は[[高等学校理数数学#微分方程式|こちら]]）と、 ::<math>dV = 2 \pi x f(x) dx</math> ::<math>\int dV = \int 2 \pi x f(x) dx</math> ::<math>V = 2 \pi \int x f(x) dx + C</math>（Cは積分定数） :閉区間<math>[a, b]</math>で定積分を考えると、<math>V = 2 \pi \int_{a}^{b} x f(x) dx</math>となる。 記述問題で用いる場合、念のため上のように証明しておくと良い。 ; 補：パップス・ギュルダンの定理 図形Aを、図形Aと交わらない直線の周りに一回転してできる立体の体積は、V=（Aの重心が描く円の円周長）×（Aの面積）で求まる。 この定理は大学入試においては非常に有名な裏技であり知っておいて損はないが、記述で用いると完全にアウトである。この定理を用いるのは、選択肢形式の問題かどうしても記述の白紙解答を避けたい場合のみに限ろう。（もっとも、重心がわかる図形で出題されるのはごく稀だが。） {{コラム|一般の軸を中心とした回転体の体積の求め方| 一般に空間中の直線Lの周りの回転体（'''斜軸回転体'''）の体積は、回転軸Lに垂直な平面で回転体を切った断面積を考えて求めることができる。 ここでは、回転前の図形が座標平面上に存在する場合を扱う。 ; '''例題''' xy平面において<math>L:y=x, C:y=x^2</math>で囲まれた部分を, 直線Lの周りに一回転してできる立体の体積を求めよ。 解答） :曲線C上の点<math>\mathrm{P}(x, x^2)</math>から直線Lに下ろした垂線の足を<math>\mathrm{H}(t, t)</math>とし、直線L上に点<math>\mathrm{Q}(x, x)</math>をとる。 :与えられた条件より<math>0 \leqq x \leqq 1</math>である。 :このとき<math>\overline{\mathrm{PH}} = \frac{|x-x^2|}{\sqrt{2}} = \frac{x-x^2}{\sqrt{2}} (\because 0 \leqq x \leqq 1 \implies x \geqq x^2)</math>より、 :<math>t = \overline{\mathrm{OH}} = \overline{\mathrm{OQ}} - \overline{\mathrm{HQ}} = \overline{\mathrm{OQ}} - \overline{\mathrm{PH}} = \sqrt{2}x - \frac{x-x^2}{\sqrt{2}} = \frac{x+x^2}{\sqrt{2}}</math> :<math>\therefore dt = \frac{1+2x}{\sqrt{2}} dx</math> :tの積分範囲は0→√2なので、xの積分範囲は0→1である。 :故に、<math>V = \pi \int_{0}^{\sqrt{2}} \overline{\mathrm{PH}}^2 dt = \pi \int_{0}^{1} \left(\frac{x-x^2}{\sqrt{2}}\right)^2 \cdot \frac{1+2x}{\sqrt{2}} dx</math> :<math>= \frac{\pi}{2 \sqrt{2}} \int_{0}^{1} (2x^5-3x^4+x^2) dx = \frac{\sqrt{2} \pi}{4} \left[ \frac{1}{3} x^6 - \frac{3}{5} x^5 + \frac{1}{3} x^3 \right]_{0}^{1} </math> :<math>= \frac{\sqrt{2} \pi}{60}</math> この解答を簡潔に纏めると、直線Lをt軸と見做してt軸についての回転体の式を立て、それをx軸についての回転体の式へと置換積分している。 斜軸回転体の体積を求める方法は他にもあるので、簡潔に纏める。 ①傘型分割積分 上の例題で考えると、長さ<math>\overline{\mathrm{PQ}}</math>、微小幅<math>\Delta x</math>の部分をLの周りに一回転すると、傘型状の図形（円錐の側面）になる。 その面積（正確には微小体積）を積分すると回転体の体積が出てくる。この考え方を'''傘型分割積分'''という。不足なく論理展開を記述できれば、入試でこの考え方を用いても減点される可能性は低いだろう。 この過程を一般化すると、以下の公式を導くことができる。 :曲線<math>y=f(x)</math>と直線<math>mx+n, x=a, x=b</math>で囲まれた部分を直線<math>y=mx+n</math>の周りで一回転した体積は、 :<math>V = \pi \cos \theta \int_{a}^{b} \{ f(x) - (mx+n) \}^2 dx</math> :ただし、<math>\tan \theta = m</math>（回転軸がx軸となす角がθである） この公式は完全に裏技なので、記述問題では（証明なしに）使用しない方が無難である。 例題の別解1) :傘型分割積分の公式より<math>V=\pi\cos\frac{\pi}{4} \int_0^1 (x^2-x)^2dx=\frac{\pi}{\sqrt{2}} \int_0^1 (x^4-2x^3+x^2)dx </math> :<math>= \frac{\pi}{\sqrt{2}} \left[ \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)</math> :<math>=\frac{\pi}{30\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\pi}{60}</math> ②回転移動の利用 図形全体を回転移動することにより、回転軸をx軸（もしくはy軸）に重ねることで、強引に回転体の公式に代入する方法。 回転移動には[[高等学校数学C/複素数平面#回転移動|複素数平面の知識]]、[[高等学校数学C/数学的な表現の工夫#一次変換|行列の知識]]のどちらを用いても良い。 この方法では、回転後の図形の方程式が媒介変数表示で出現する場合がある。その場合、回転体の公式を媒介変数についての積分へと置換積分すれば良い。 例題の別解2-1) :<math>y=f(x)</math>を原点中心に<math>\theta</math>回転した図形の方程式は<math>-x\sin\theta+y\cos\theta=f(x\cos\theta+y\sin\theta)</math>なので、 :<math>-\frac{\pi}{4}</math>回転してLをx軸に重ねるとCの方程式は :<math>\frac{y-x}{\sqrt{2}}=\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)^2</math> :<math>\begin{cases}s=x+y \\ t=x-y \end{cases}</math>と置換すると<math>t=\frac{s^2}{\sqrt{2}}</math>であり、 :上下の和と差を考えて<math>\begin{cases} 2x=s+t \\ 2t= s-t \end{cases}</math> :よって媒介変数表示は :<math>\begin{cases} x=\frac{s+\frac{s^2}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{\sqrt{2}s+s^2}{2\sqrt{2}} \\ y= \frac{s-\frac{s^2}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{\sqrt{2}s-s^2}{2\sqrt{2}} \end{cases}</math> :交点<math>(1,1)</math>は<math>(0, \sqrt{2})</math>に移るので :<math>V=\pi\int_0^\sqrt{2} y^2dx=\pi\int_0^\sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}s-s^2}{2\sqrt{2}}\right)^2 \frac{d}{ds}\left(\frac{\sqrt{2}s+s^2}{2\sqrt{2}}\right)ds</math> :<math>=\frac{\pi}{16}\int_0^\sqrt{2} (s^4-2\sqrt{2}s^3+2s^2)(\sqrt{2}s+1)ds</math> :<math>=\frac{\pi}{16}\int_0^\sqrt{2} (\sqrt{2}s^5-3s^4+2s^2)ds</math> :<math>=\frac{\pi}{16}\left[\frac{\sqrt{2}}{6}s^6-\frac{3}{5}s^5+\frac{2}{3}s^3\right]_0^\sqrt{2}</math> :<math>=\frac{\pi}{16}\left(\frac{4\sqrt{2}}{3}-\frac{12\sqrt{2}}{5}+\frac{4\sqrt{2}}{3}\right)</math> :<math>=\frac{\sqrt{2}\pi}{4}(\frac{10}{15}-\frac{9}{15})</math> :<math>=\frac{\sqrt{2}\pi}{60}</math> 例題の別解2-2) :<math>C</math>上の点<math>(t, t^2)</math>を<math>-\frac{\pi}{4}</math>回転した点を<math>X, Y</math>とする。 :<math>\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(-\frac{\pi}{4}) & -\sin(-\frac{\pi}{4}) \\ \sin(-\frac{\pi}{4}) & \cos(-\frac{\pi}{4}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ t^2 \end{pmatrix}</math> :<math>=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} t \\ t^2 \end{pmatrix}</math> :<math>=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} t^2+t \\ t^2-t \end{pmatrix}</math> :交点<math>(1,1)</math>は<math>(0, \sqrt{2})</math>に移るので :<math>V=\pi\int_0^\sqrt{2} Y^2 dX=\pi\int_0^1 \left( \frac{t^2-t}{\sqrt{2}} \right)^2 \frac{d}{dt}\left(\frac{t^2+t}{\sqrt{2}}\right) dt</math> :<math>=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\int_0^1 (t^4-2t^3+t^2)(2t+1)dt</math> :<math>=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\int_0^1 (2t^5-3t^4+t^2)dt</math> :<math>=\frac{\sqrt{2}\pi}{4}\left[ \frac{1}{3}t^6-\frac{3}{5}t^5+\frac{1}{3}t^3 \right]_0^1</math> :<math>=\frac{\sqrt{2}\pi}{4}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{3}{5}\right)</math> :<math>=\frac{\sqrt{2}\pi}{60}</math> }} === 曲線の長さと運動の道のり === ==== 曲線の長さ ==== 曲線<math>\begin{cases} x=f(t) \\ y=g(t) \end{cases}</math>の長さを考える。 :<math>f(t), g(t)</math>とも2階微分可能（第一次導関数が連続）とする。 :<math>a \leqq t \leqq b</math>として閉区間<math>[a, t]</math>における曲線の長さを<math>s(t)</math>とおく。 :<math>t</math>の増分<math>\Delta t</math>が十分小さいとき、<math>\Delta s \fallingdotseq \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}</math>より<math>\frac{\Delta s}{\Delta t} = \sqrt{(\frac{\Delta x}{\Delta t})^2 + (\frac{\Delta y}{\Delta t})^2}</math> :<math>\Delta t \to 0</math>のとき、<math>\frac{ds}{dt} = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}</math> :この微分方程式を解くと、 ::<math>ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> ::<math>\int ds = \int \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> ::<math>s = \int \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt + C</math>（Cは積分定数） :ここで<math>s(t)</math>の定義より<math>s(b) - s(a) = \int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> よって、以下のようになる。 曲線の長さ(Ⅰ) 曲線<math>\begin{cases} x=f(t) \\ y=g(t) \end{cases}</math>の閉区間<math>[a, b]</math>における長さLは、 <math>L = \int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> 曲線の式が<math>y=f(x)</math>で与えられている場合、<math>\begin{cases} x=t \\ y=f(t) \end{cases}</math>と考えて上の公式に代入すると、以下のようになる。 曲線の長さ(Ⅱ) 曲線<math>y=f(x)</math>の閉区間<math>[a, b]</math>における長さLは、 <math>L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}dt</math> ==== 速度と道のり ==== [[高等学校数学III/微分法#速度と加速度|微分法で学んだ]]ように、数直線上を運動する点Pの時刻tにおける位置,速度がそれぞれ<math>x(t), v(t)</math>で与えられるとき、<math>v(t) = \frac{d}{dt} x(t)</math>という関係式が成り立った。微分と積分は逆演算の関係にあるので、<math>x(t) = \int v(t) dt + C</math>(Cは積分定数)という関係も成り立つ。このとき、積分定数Cは初期位置<math>x_0</math>を表す。 点Pが<math>t=a</math>から<math>t=b</math>まで運動するとき、位置の変化量は<math>x(b) - x(a) = \int_{a}^{b} v(t) dt</math>で与えられる。すなわち<math>x(b) = x(a) + \int_{a}^{b} v(t) dt</math>であり、<math>x(a)</math>が初期位置<math>x_0</math>を表すことが確かめられた。 また、上の場合において道のりは<math>\int_{a}^{b} |v(t)| dt</math>と計算できる。位置の変化量と道のりが一致するのは、恒等的に<math>x(t) \geqq 0</math>が成り立つ場合のみである。 平面上の運動も同様である。 なお、加速度は位置の二階微分なので、加速度を二階積分すれば位置が求まる。よって、時刻tにおける加速度が<math>a(t) = a</math>であるときの位置は、<math>x(t) = \int \! \int a(t) dt \; dt = \int (at + v_0) dt = \frac{1}{2}at^2 + v_0 t + x_0</math>である。([[高等学校物理基礎/力学#等加速度直線運動|等加速度直線運動]]の式) {{コラム|ベクトル関数|変数tの値を決めるとベクトルA(t)の値が一意に定まるとき、A(t)をtの'''[[解析学基礎/ベクトル解析#ベクトル関数|ベクトル関数]]'''という。基本ベクトルを用いると、ベクトル関数は基本ベクトルのスカラー倍の足し算に分解することができる。このとき、基本ベクトルにかかる係数をベクトル関数の'''成分'''という。ベクトル関数の定義より、成分はtの関数になる。 つまり、'''ベクトル関数に関する微積分はその成分をそれぞれ微分/積分すれば良い'''ということがわかる。 例えば、速度を表すベクトル関数<math>\vec{v}(t) = \begin{pmatrix} 2t \\ 3t^2-1 \end{pmatrix}</math>があったとして、初期位置<math>\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>とすると時刻tにおける位置は<math>\vec{x}(t) = \int \vec{v}(t) dt = \begin{pmatrix} \int (2t) dt \\ \int (3t^2-1) dt \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t^2 \\ t^3-t \end{pmatrix}</math>、時刻tにおける加速度は<math>\vec{a}(t) = \frac{d}{dt} \vec{v}(t) = \begin{pmatrix} \frac{d}{dt}(2t) \\ \frac{d}{dt}(3t^2-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6t \end{pmatrix}</math>というベクトル関数になる。また、<math>t=0</math>から<math>t=2</math>まで運動したときの位置の変化量ベクトルは<math>\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{pmatrix} = \int_{0}^{2} \vec{v}(t) dt = \begin{pmatrix} \int_{0}^{2} (2t) dt \\ \int_{0}^{2} (3t^2-1) dt \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \left[ t^2 \right]_{0}^{2} \\ \left[ t^3-t \right]_{0}^{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}</math>と求まる 。 すなわち、速度・加速度・位置・道のり等に関する問題はベクトル関数の微積分を計算する問題であると言える。 }} == 区分求積法 == これまでに学んだように、積分は微分の逆演算であると同時に、座標平面上での面積計算でもある。この項では、座標平面上の面積計算の方法の一つである区分求積法、および積分法との関連について学ぶ。 [[File:Riemann Integration 1.png|thumb|300px|面積計算]] 右図のようなある曲線<math>y=f(x)</math>がある。単純のため、ここではつねに<math>f(x)>0</math>であるものとして考える。この曲線と、''x''軸、および直線<math>x = a, x = b (a < b)</math>によって囲まれる領域の面積''S''を求める。この面積は[[#面積]]の項で学んだように、 : <math>S = \int_a^b f(x)dx</math> と積分法を用いて計算することができた。では、これをもう少し原始的な方法で近似的に求めることを考えてみよう。 曲線を含む図形の面積を求めることは簡単ではないが、例えば三角形や長方形、台形などの直線で囲まれた図形の面積を求めることは難しくない。そこで、下図のようにy=f(x)を棒グラフで近似し、長方形の面積の和を計算することで、求めたい面積''S''に近い値を求めることができる。左下のように棒グラフの幅が大きいと誤差も大きいが、棒グラフの幅を狭くすればするほど、すなわち分割数を多くするほど、徐々に求めたい面積の値に近づけることができる。そこで、この区間[''a'',''b'']を''n''等分し、その時の長方形の面積の総和を求め、その後で<math>n \to \infty</math>の極限を考えることにする。このようにして、区間を細かく等分割し、長方形の面積の総和を求めることにより図形の面積を求める方法を、'''区分求積法'''と呼ぶ。 :[[File:Riemann Integration 4.png|350px|棒グラフによる近似]][[File:Riemann Integration 5.png|350px|さらに細かな棒グラフによる近似]] [[File:Integral numericky obd.svg|thumb|左側で近似]][[File:Somme-superiori.png|thumb|右側で近似]] <math>y=f(x)</math>を棒グラフで近似するとき、右図のように、長方形の左上の頂点を曲線上に取る方法と、右上の頂点を曲線上に取る方法がある。どちらの方法でも、分割数を大きくすればいずれ求めたい面積に近づくが、まずは左上の頂点を曲線上に取る方法で考えることにする。 ここでは面積を求めたい区間を、単純のため[0, 1]とする。区間[0, 1]を''n''等分するとき、それぞれの長方形の左端のx座標は、 :<math>0, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \cdots, \frac{n-1}{n}</math> となる。ここで、一般に第''k''番目の長方形について考えることにする。ただし、いちばん左側の長方形を第0番目とし、いちばん右側の長方形を第''n''-1番目とする。第''k''番目の長方形の左端のx座標は<math>\frac{k}{n}</math>であるから、この長方形の高さは<math>f\left(\frac{k}{n}\right)</math>となり、また長方形の幅は<math>\frac{1}{n}</math>である。そのため、この長方形の面積<math>s_k</math>は、 :<math>s_k = \frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)</math> となる。したがって、これらの長方形の面積の総和<math>S_n</math>は、 :<math>S_n = \sum_{k = 0}^{n-1} s_k = \frac{1}{n}\sum_{k = 0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)</math> この<math>S_n</math>は、区間[0, 1]を''n''等分した時の長方形の面積の総和であるが、''n''を大きくすればするほど、次第にもとの面積に近づいていく。したがって、<math>n\to\infty</math>の極限を考え、 :<math>S = \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)</math> となる。このようにして、求めたい面積を計算することができる。さらに、ここでこの区間の面積が積分法により計算できたことから、 :<math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1f(x)dx</math> が成り立つ。また、長方形の右上の頂点を曲線上に取る場合は、同様にして :<math>S = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1f(x)dx</math> となる。 区分求積法を計算するとき、'''シグマの範囲の有限個のズレは無視して良い'''。nを無限大に飛ばした極限を考えるとき、有限個あるズレの値は全て0に収束するからである。<br> つまり、l, mを自然数として<math>\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=l}^{n-m} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1f(x)dx</math>である。 区分求積法は、より一般には次の式で表される。 :<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=l}^{n-m} f(x_k) \Delta x</math> :ただし、<math>\Delta x = \frac{b-a}{n}, x_k = a + k\Delta x</math> 証明は先ほどと同様である。<br> 大学においては、積分の定義を微分の逆演算ではなく、この式の右辺のような和('''リーマン和'''という)の極限とする場合がある。数学Ⅱで扱った微分積分学の基本定理は、リーマン和(面積計算)と原始関数(微分の逆演算)という二つの概念を結びつけている定理であると言える。 なお、<math>\lim_{n \to \infty} \sum_{k=an+l}^{bn-m} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_{a}^{b} f(x) dx</math>が成り立つ。 '''演習問題2''' :次の極限値を求めよ。 :(1) <math>\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} </math> :(2) <math>\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2+k^2} </math> :(3) <math>\lim_{n\to\infty} \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n}</math><ref group="ヒント">対数を取る</ref> {{解答}} (1) <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} &= \lim_{n\to\infty} \frac 1 n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac k n} \\ &= \int_0^1 \frac{dx}{1+x}\\ &= [\log(1+x)]_0^1\\ &= \log 2. \end{align} </math> ちなみに、この結果は交代調和級数 <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac 1 2 + \frac 1 3 - \frac 1 4 + \cdots</math> の値を求めることに利用できる。実際 <math> \begin{align} \sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} &= 1 - \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} \\ &= 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n} - 2\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2n}\right) \\ &= 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n} - \left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}\right) \\ &= \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+1} + \cdots + \frac{1}{n+n} \\ &= \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} \end{align} </math> より、 <math> \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} = \log 2 </math> となる。また、 <math> \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n+1} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} + \frac{1}{2n+1}\right) = \log 2. </math> 従って、<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \log 2 </math> を得る。 (2) <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2+k^2} &= \lim_{n\to\infty} \frac 1 n \sum_{k=1}^{n} \frac{\frac{k}{n}}{1+\frac{k^2}{n^2}}\\ &= \int_0^1 \frac{xdx}{1+x^2}\\ &= \left[\frac 1 2 \log(1+x^2)\right]_0^1\\ &= \frac 1 2 \log 2. \end{align}</math> (3) <math>\begin{align} \log \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \frac 1 n \log\left\{\left(\frac{n+1}{n}\right)\left(\frac{n+2}{n}\right)\cdots \left(\frac{n+2}{n}\right) \right\} \\ &= \frac 1 n \sum_{k=1}^n \log\left(1+\frac{k}{n}\right) \end{align}</math> となるから、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty}\log \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \int_0^1 \log(1+x)dx\\ &= [(1+x)\log(1+x)-(1+x)]_0^1\\ &= 2\log 2 - 1. \end{align}</math> したがって、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \frac 4 e. \end{align}</math> {{証明終わり}} == 演習問題 == * [[高等学校数学III 積分法/演習問題|不定積分44題]] * [[/演習問題]] '''演習問題3''' 第一問、第二問は基本問題である。第三問から第六問はやや難しい。 '''第一問（ウォリスの積分）''' :<math>n</math> は非負整数とし、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\sin^n x \, dx</math> とする。 :(1) <math>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x \, dx</math> を示せ。 :(2) <math>I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}\quad (n \ge 2)</math> を示せ。 :(3) <math>I_n</math> を求めよ。 '''第二問（ベータ関数の特殊値）''' :<math>m,n</math> は非負整数、<math>\alpha,\beta</math> は <math>\beta > \alpha</math> なる実数とし、<math>I_{m,n} = \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^m(\beta - x)^n \, dx</math> とする。 :(1) <math>I_{m,n} = \frac{n}{m+1} I_{m+1,n-1} \quad (n\ge 1) </math> を示せ。 :(2) <math>I_{m,n}</math> を求めよ。 :(3) <math>\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m+1}\theta \cos^{2n+1}\theta d\theta </math> を求めよ。 '''第三問（ウォリスの公式）''' :非負整数 <math>n</math> に対し、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\sin^n x \, dx</math> とする。必要に応じて第一問の結果を用いてよい。 :(1) <math>1 < \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} < \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}}</math> を示せ。 :(2) <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdots \frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} </math> を求めよ。 :(3) <math> I_{2n}I_{2n+1} </math> を求めよ。 :(4) <math> \lim_{n \to \infty} \sqrt n I_{2n+1} </math> を求めよ。 :(5) <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} </math> を求めよ。 '''第四問（スターリングの近似）''' :数列 <math>\{a_n\}</math> を <math>a_n = \frac{n!}{n^{n+1/2}e^{-n}} </math> で定める。必要に応じて第三問の結果を用いてよい。 :(1) 整数 <math>k > 1</math> について <math> \log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} < \int_{k-1}^k \log x \, dx < \log k - \frac{1}{2k} </math> が成り立つことを示せ。 :(2) 正の整数 <math>n</math> について <math> - \frac{1}{4n} < \sum_{k=n+1}^{2n} \log k - \left(2n+\frac 1 2\right)\log 2n + \left(n+\frac 1 2\right)\log n + n < 0 </math> が成り立つことを示せ。 :(3) <math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} </math> を求めよ。 :(4) <math> \lim_{n\to \infty}a_n </math> を求めよ。 '''第五問（バーゼル問題）''' :非負整数 <math>n</math> に対し、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\cos^n x \, dx,\, J_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}x^2 \cos^n x \, dx</math> とする。 :(1) <math> n > 0</math> について <math>I_{2n} = n(2n-1)J_{2n-2} - 2n^2 J_{2n}</math> が成り立つことを示せ。 :(2) <math> 0 \le x \le \frac \pi 2</math> について、<math> \frac{2}{\pi}x \le \sin x</math> が成り立つことを示せ。 :(3) <math>J_{2n} \le \frac{\pi^2 I_{2n}}{8(n+1)}</math> を示せ。 :(4) <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} </math> を求めよ。 '''第六問（ガウス積分）''' :非負整数 <math>n</math> に対し、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\cos^n x </math> とする。必要に応じて第三問の結果を用いて良い。 :(1) <math> x > 0 </math> のとき、<math> 1-x^2 < e^{-x^2} < \frac{1}{1+x^2} </math> が成り立つことを示せ。 :(2) <math> \frac \pi 4 < \theta_0 < \frac \pi 2 </math> とする。正の整数 <math>n </math> について <math> \int_0^1 (1-x^2)^n dx < \int_0^{\tan\theta_0} e^{-nx^2}dx < \int_0^{\tan \theta_0} \frac{1}{(1+x^2)^n} dx </math> を示せ。 :(3) <math> \sqrt n I_{2n+1} < \int_0^\infty e^{-x^2}dx < \sqrt n I_{2n-2} </math> を示せ。ただし、<math>\int_0^\infty e^{-x^2}dx = \lim_{a \to \infty} \int_0^a e^{-x^2}dx </math> である。 :(4) <math> \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx </math> を求めよ。 '''解答''' {{解答|第一問}} (1) <math> t = \frac \pi 2 - x </math> と変数変換すると、<math> \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n x dx = \int_{\frac \pi 2}^0 \sin^n\left(\frac \pi 2 - t\right)(-dt) = \int_0^{\frac \pi 2} \cos^n t dt </math> となる。 (2) <math> \begin{align} \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n x dx &= \left[-\sin^{n-1}x \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + (n-1)\int_0^{\frac \pi 2} \sin^{n-2} x \cos^2 x dx \\ &= (n-1)\left(\int_0^{\frac \pi 2} \sin^{n-2} x dx - \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n x dx \right)\\ \end{align} </math> 従って、<math>I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}</math> となる。 (3) <math> I_0 = \int_0^{\frac \pi 2} dx = \frac \pi 2,\, I_1 = \int_0^{\frac \pi 2} \sin x dx = 1. </math> よって、<math> n </math> が偶数のときは <math> \begin{align} I_n &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 1 2 I_0 \\ &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 1 2 \frac \pi 2. \end{align} </math> <math> n </math> が奇数のときは、 <math> \begin{align} I_n &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 2 3 I_1 \\ &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 2 3 \end{align} </math> となる。 {{証明終わり}} {{解答|第二問}} (1) <math>\begin{align} \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^m(\beta - x)^n \, dx &= \left[\frac{1}{m+1}(x-\alpha)^{m+1}(\beta-x)^n\right]_\alpha^\beta + \int_\alpha^\beta\frac{n}{m+1}(x-\alpha)^{m+1}(\beta-x)^{n-1}dx\\ &= \frac{n}{m+1}\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^{m+1}(\beta-x)^{n-1}dx. \end{align} </math> (2) <math>\begin{align} I_{m,n} &= \frac{n}{m+1}I_{m+1,n-1} \\ &= \cdots \\ &= \frac{n}{m+1} \frac{n-1}{m+2} \cdots \frac{1}{m+n} I_{m+n,0} \\ &= \frac{m!n!}{(m+n)!}I_{m+n,0} \end{align} </math> ここで、 <math>I_{m+n,0} = \int_\alpha^\beta(x-\alpha)^{m+n} dx = \frac{(\beta-\alpha)^{m+n+1}}{m+n+1} </math> となる。よって、 <math>I_{m,n} = \frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1} </math> を得る。 (3) <math>t = \sin^2\theta </math> と変数変換すると、 <math>dt = 2\sin\theta\cos\theta d\theta </math> より、 <math>\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m+1}\theta \cos^{2n+1}\theta d\theta = \frac 1 2 \int_0^1 t^m (1-t)^n dt = \frac{m!n!}{2(m+n+1)!}. </math> {{証明終わり}} {{解答|第三問}} (1) <math>0 < x < \frac \pi 2 </math> のとき、<math>0 < \sin x < 1 </math> だから、<math>\sin^{2n+1} x < \sin^{2n} x < \sin^{2n-1} x </math> となる。これを積分して、<math>I_{2n+1} < I_{2n} < I_{2n-1} </math> を得る。よって、<math>1 < \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} < \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}}</math> である。 (2) 第一問(1)より、 <math>\begin{align} \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} &= \frac{2n-1}{2n}\frac{2n-3}{2n-2} \cdots \frac 1 2 \frac \pi 2 \times \frac{2n+1}{2n}\frac{2n-1}{2n-2} \cdots \frac 3 2\\ &= \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4} \cdots \frac{(2n-1)(2n+1)}{2n \cdot 2n} \frac \pi 2 \end{align}</math> となる。また、<math>\frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}} = \frac{2n+1}{2n} = 1 + \frac{1}{2n} </math> となるから、(1) より、 <math>1 < \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} < \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}} = 1 + \frac{1}{2n} </math> を得る。これより、<math>\lim_{n\to\infty} \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = 1 </math> となるから、<math> \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdots \frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} = \frac \pi 2 </math> を得る。 (3) 第一問(3)より、<math>I_{2n} I_{2n+1} = \frac{1}{2n+1} \frac{\pi}{2} </math> である。 (4) <math>\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = \frac{I_{2n}I_{2n+1}}{I_{2n+1}^2} = \frac{1}{2n+1}\frac \pi 2 I_{2n+1}^{-2} </math> である。<math>\sqrt{2n+1} I_{2n+1} = \sqrt{\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\frac{\pi}{2}} </math> より、<math>\lim_{n\to\infty} \sqrt{2n+1} I_{2n+1} = \lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\frac{\pi}{2}} = \sqrt{\frac{\pi}{2}} </math> となる。また、 <math>\begin{align} \frac{\sqrt \pi}{2} &= \lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{2n+1}{2}} I_{2n+1}\\ &= \lim_{n\to\infty} \sqrt{n}\sqrt{1+\frac{1}{2n}} I_{2n+1}\\ &= \lim_{n\to\infty} \sqrt{n}I_{2n+1} \end{align} </math> となるから、<math>\lim_{n\to\infty} \sqrt{n}I_{2n+1} = \frac{\sqrt \pi}{2} </math> を得る。 (5) <math>\begin{align} I_{2n+1} &= \frac{2n}{2n+1}\frac{2n-2}{2n-1}\cdots \frac 2 3\\ &= \frac{\{2n(2n-2)\cdots 2\}^2}{(2n+1)!}\\ &= \frac{(2^n n!)^2}{(2n+1)!} \end{align} </math> より、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \sqrt{n}I_{2n+1} &= \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt n}{2n+1} \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!}\\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2\sqrt n + \frac{1}{\sqrt n}} \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!}\\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2\sqrt n} \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!} \end{align} </math> となるから、 <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} = \sqrt \pi </math> を得る。 '''解説''' <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdots \frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} = \frac \pi 2 </math> はウォリスの公式と呼ばれる。整数の乗除のみで円周率が計算されるという点で興味深いが、収束はとても遅く実用的ではない。例えば、<math>\pi > 3.05</math> を証明するためには <math>n=8</math> まで計算しなくてはならない<ref><math>2\cdot \frac{2\cdot 2}{1\cdot 3} \cdots \frac{16\cdot 16}{15\cdot 17} =</math> 213084064972800/69850115960625 = 2147483648/703956825 = 3.05058...</ref>。また <math>\pi > 3.14</math> を示すには <math>n=493</math> まで計算する必要がある。ちなみに単調増加性は <math>\frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{1-\frac{1}{(2n)^2}} > 1</math> から従う。 また、<math> \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} = \sqrt \pi </math> もウォリスの公式と呼ばれる。これはスターリングの公式やガウス積分を証明するために必要となる。 {{証明終わり}} {{解答|第四問}} (1) [[ファイル:Bounding_the_Integral_of_log_x_with_Trapezoids.svg|サムネイル|log x の台形近似]] <math>\log x </math> は上に狭義凸な関数だから、<math>\int_{k-1}^k \log x \, dx</math> は、直線 <math>x = k-1,\,x=k</math> と <math>y = \log x</math> の2つの交点を結んだ線分と <math>x</math> 軸、直線 <math>x = k-1,k</math> によって切り取られる台形（図の青の領域）の面積よりも大きい。台形の面積は、<math>\frac 1 2 \{\log k + \log(k-1)\} = \log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\}</math> である。また、 <math>\int_{k-1}^k \log x \, dx</math> は、<math>y = \log x</math> の任意の接線と <math>x</math> 軸、直線 <math>x = k-1,k </math> によって切り取られる台形（図のピンクの領域）の面積よりも小さい。特に <math>x = k</math> で接線を引くと、その傾きは <math>\frac 1 k</math> だから、接線と直線 <math>x = k-1</math> の交点の <math>y</math> 座標は <math>\log k - \frac 1 k</math> である。よって、この台形の面積は <math>\log k - \frac{1}{2k} </math> となる。従って、 <math> \log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} < \int_{k-1}^k \log x \, dx < \log k - \frac{1}{2k} </math> を得る。 (2) <math>\log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} < \int_{k-1}^k \log x \, dx </math> より、<math>\log k < \int_{k-1}^k \log x \, dx + \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} </math> となる。よって、 <math>\begin{align} \sum_{k=n+1}^{2n} \log k &< \int_n^{2n} \log x \, dx + \frac 1 2 (\log 2n - \log n) \\ &= \left[x\log x - x\right]_n^{2n} + \frac 1 2 (\log 2n - \log n) \\ &= \left(2n + \frac 1 2\right)\log 2n - \left(n + \frac 1 2 \right) \log n - n \end{align} </math> となる。また、<math>\log k > \int_{k-1}^k \log x \, dx + \frac{1}{2k} </math> より、 <math>\begin{align} \sum_{k=n+1}^{2n} \log k &> \int_n^{2n} \log x \, dx + \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{2k} \\ &= \left[x\log x - x\right]_n^{2n} + \frac 1 2 \left(\frac{1}{2n} - \frac{1}{n} + \sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k}\right) \\ \end{align}</math> となる。ここで、<math>\frac 1 x </math> は <math>x > 0 </math> で単調減少だから、 <math>\sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k} > \int_n^{2n} \frac{dx}{x} = \log 2n - \log n </math> となる。従って、 <math>\begin{align} \sum_{k=n+1}^{2n} \log k &> \left(2n + \frac 1 2\right)\log 2n - \left(n + \frac 1 2 \right) \log n - n - \frac{1}{4n} \\ \end{align}</math> を得る。 (3) <math>\begin{align} \log \frac{a_{2n}}{a_n} &= \log a_{2n} - \log{a_n}\\ &= \log (2n)! - \left(2n + \frac 1 2 \right) \log 2n + 2n - \log n! + \left(n + \frac 1 2 \right)\log n - n\\ &= \sum_{k=n+1}^{2k}\log k - \left(2n + \frac 1 2 \right) \log 2n + \left(n + \frac 1 2 \right)\log n + n \end{align}</math> であるから、(2) より <math>-\frac{1}{4n} < \log \frac{a_{2n}}{a_n} < 0</math> となる。従って、 <math>\lim_{n\to\infty} \log \frac{a_{2n}}{a_n} = 0</math> あるいは、 <math>\lim_{n\to\infty} \frac{a_{2n}}{a_n} = 1 </math> を得る。 (4) <math>\begin{align} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} &= \frac{2^{2n}}{\sqrt n} \left(\frac{n!}{n^{n+\frac 1 2}e^{-n}}\right)^2 \frac{(2n)^{2n+\frac 1 2}e^{-2n}}{(2n)!} \frac{\left(n^{n+\frac 1 2}e^{-n}\right)^2}{(2n)^{2n+\frac 1 2}e^{-2n}}\\ &= \frac{1}{\sqrt 2} \frac{a_n^2}{a_{2n}} \end{align}</math> であるから、 <math>\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \sqrt 2 \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} \frac{a_{2n}}{a_n} = \sqrt{2\pi} </math> を得る。 '''解説''' (1)は凹関数の定積分の値を台形で評価する問題である。このような台形近似の問題は難関大ではよく見られる。 (4) から <math>\lim_{n\to\infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi} n^{n+1/2}e^{-n}} = 1</math> を得る。これは、<math>n</math> が大きいとき階乗を <math>n! \approx \sqrt{2\pi} n^{n+\frac 1 2} e^{-n}</math> と近似できることを意味する。これがスターリングの近似である。 本問は<math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} </math>を求めてから <math> \lim_{n\to \infty}a_n </math> を求めさせているためやや遠回りに思うかもしれない。数列 <math>\{a_n\}</math> が0以外の実数に収束することを既知とすれば <math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} = \frac{\lim_{n\to \infty}a_{2n}}{\lim_{n\to \infty}a_n} = 1 </math> となることはすぐに分かる。しかし、数列が収束することの条件について高校では詳しく扱わないため、厳密に <math> \lim_{n\to \infty}a_n </math> を求めるためには <math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} </math> を経由する必要がある。一般に、下に有界な単調減少数列は収束するということが知られている<ref>詳しくは [[解析学基礎/実数]]を参照</ref>。これを認めれば、数列 <math>\{a_n\}</math> が収束することは、次のように証明することができる。 <math>\log k > \int_{k-1}^k \log x \, dx + \frac{1}{2k} </math> より、 <math>\begin{align} \log n ! &= \sum_{k=2}^n \log k \\ &> \int_{1}^n \log x \, dx + \frac 1 2 \sum_{k=2}^n\frac{1}{k}\\ &> n\log n - n + 1 + \frac 1 2 \int_{2}^{n+1}\frac{dx}{x}\\ &= n\log n - n + 1 + \frac 1 2 \{\log(n+1) - \log 2\} \end{align} </math> <math>\begin{align} \log a_n &= \log n! - \left(n + \frac 1 2\right)\log n + n \\ &> \frac 1 2 \{\log(n+1) - \log n \} + 1 - \frac 1 2 \log 2\\ &> 1 - \frac 1 2 \log 2 \end{align} </math> となるから、<math> a_n > \frac e \sqrt{2} </math> より下に有界である。 また、 <math> \begin{align} \log \frac{a_{n+1}}{a_n} &= \log(n+1) - \left(n + \frac 3 2\right)\log(n+1) + n+1 + \left(n+\frac 1 2\right)\log n - n\\ &= \frac 1 2 \{\log(n+1)+\log n\} - \int_n^{n+1} \log x dx\\ &< 0 \end{align} </math> から、<math> a_{n+1} < a_n. </math> すなわち単調減少であるから、<math>\{a_n\}</math> は収束する。 {{証明終わり}} {{解答|スターリングの近似の応用}} スターリングの近似は階乗を含む極限の問題に応用できる。例えば、演習問題2の(2)は、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{\sqrt{2\pi}(2n)^{2n+1/2}e^{-2n}}{\sqrt{2\pi}n^{n+1/2}e^{-n}n^n}\right)^\frac{1}{n}\\ &= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{2^{2n + 1/2}}{e^{n}}\right)^\frac{1}{n}\\ &= \frac 4 e. \end{align}</math> また、スターリングの近似から二項分布の極限が正規分布に収束することが証明できる。 二項分布の確率分布は、 <math>P(X=k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k} </math> である。スターリングの近似より、 <math>\begin{align} \frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k} &\approx \frac{\sqrt{2\pi}n^{n+\frac 1 2}e^{-n}}{\sqrt{2\pi}k^{k+\frac 1 2}e^{-k}\sqrt{2\pi}(n-k)^{n-k+\frac 1 2}e^{-(n-k)}}p^kq^{n-k}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} \sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} \end{align}</math> となる。ここで、<math>\lim_{n\to\infty} \frac k n = p </math> であるから、 <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} = \lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{1}{n\frac k n (1-\frac k n)}} = \frac{1}{\sqrt{npq}}</math> となる。 次に、<math>\log (1+x) \approx x - \frac 1 2 x^2 </math> の近似式を使うと、 <math>\begin{align}\log \left(\frac{np}{k}\right)^k &= k\log \left(1 - \frac{k-np}{k}\right) \\ &\approx -(k-np) - \frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{k} \end{align}</math> <math>\begin{align}\log \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} &= (n-k)\log \left(1 - \frac{n-k-nq}{n-k}\right) \\ &\approx -(n-k-nq) - \frac 1 2 \frac{(n-k-nq)^2}{n-k} \\ &= -(np-k) - \frac 1 2 \frac{(np-k)^2}{n-k}\end{align}</math> となる。さらに、 <math>\begin{align}\log \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} &\approx -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{k}-\frac 1 2 \frac{(np-k)^2}{n-k}\\ &= -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{npq} \left(\frac{npq}{k} + \frac{npq}{n-k}\right)\\ &\approx -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{npq} \left(\frac{pq}{p} + \frac{pq}{1-p}\right)\\ &= -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{npq} \end{align}</math> となる。最終的に、 <math>P(X=k) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}} e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}</math> を得る。これは、平均 <math>\mu = np</math> 分散 <math>\sigma^2 = npq</math> の正規分布である。 {{証明終わり}} {{解答|第五問}} (1) <math>\begin{align} I_{2n} &= \int_0^{\frac \pi 2} \cos^{2n}x dx \\ &= \left[x\cos^{2n}x\right]_0^{\frac \pi 2} + 2n\int_0^{\frac \pi 2} x\sin x \cos^{2n-1}x dx\\ &= 2n \left[\frac 1 2 x^2 \sin x \cos^{2n-1}x\right]_0^{\frac \pi 2} - n\int_0^{\frac \pi 2} x^2 \{\cos^{2n}x - (2n-1)\sin^2 x \cos^{2n-2}x \} dx \\ &= - n\int_0^{\frac \pi 2} x^2 \{\cos^{2n}x - (2n-1)(1-\cos^2 x) \cos^{2n-2}x \} dx \\ &= n(2n-1)J_{2n-2} -2n^2 J_{2n}. \end{align} </math> (2) <math> 0 \le x \le \frac \pi 2</math> で <math>\sin x</math> は上に凸であるから、<math> \frac{2}{\pi}x \le \sin x</math> となる。 (3) <math> \begin{align} J_{2n} &= \int_0^{\frac \pi 2} x^2 \cos^{2n}x dx \le \frac{\pi^2}{4} \int_0^{\frac \pi 2} \sin^2 x \cos^{2n} x dx \\ &= \frac{\pi^2}{4} (I_{2n} - I_{2n+2}) \\ &= \frac{\pi^2}{4} \frac{I_{2n}}{2n+2} \end{align} </math> となる。ただし、最後の行への変形で第一問(2)の漸化式を使った。 (4) (1) より、 <math> \begin{align} \frac{1}{n^2} &= \frac{(2n-1)J_{2n-2}}{n I_{2n}} - \frac{2J_{2n}}{I_{2n}}\\ &= \frac{2J_{2n-2}}{I_{2n-2}} - \frac{2J_{2n}}{I_{2n}} \end{align} </math> となる。ただし、最後の行への変形で第一問(2)の漸化式を使った。 よって、 <math> \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} = \sum_{k=1}^n \left(\frac{2J_{2k-2}}{I_{2k-2}} - \frac{2J_{2k}}{I_{2k}}\right) = \frac{2J_{0}}{I_{0}} - \frac{2J_{2n}}{I_{2n}} </math> となる。ここで、<math>J_0 = \int_0^{\frac \pi 2} x^2 dx = \frac{\pi^3}{24},\, I_0 = \frac \pi 2</math> より、<math>\frac{2J_{0}}{I_{0}} = \frac{\pi^2}{6}. </math> また、<math> 0 < \frac{J_{2n}}{I_{2n}} \le \frac{\pi^2}{8(n+1)} </math> より、<math>\lim_{n\to\infty}\frac{J_{2n}}{I_{2n}} = 0 </math> となるから、<math> \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} </math> を得る。 '''解説''' 本問は Daniel Daners. (2012). A Short Elementary Proof of Σ 1/k² = π²/6. ''Mathematics Magazine'', ''85''(5), 361–364. https://doi.org/10.4169/math.mag.85.5.361 を参考にした。 <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}</math> はゼータ関数と呼ばれるもので、数論において重要な関数である。この問題から <math>\zeta(2) =\frac{\pi^2}{6}</math> である。また、<math>\zeta(1) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math> は調和級数であるため発散する。 <math>s</math> が実数のとき、<math>s > 1</math> で <math>\zeta(s)</math> は収束することを示すことができる。実際、<math>\frac{1}{n^s} < \int_{n-1}^n \frac{dx}{x^s}</math> となるから、<math>\sum_{n=2}^m \frac{1}{n^s} < \int_1^m \frac{dx}{x^s} = \frac{1}{s-1}(1-m^{1-s}) < \frac{1}{s-1}</math> であるから上界を持つ。また、各項は正であるため <math>\sum_{n=1}^m \frac{1}{n^s}</math> は単調増加である。従って、 <math>\zeta(s)</math> は <math>s > 1</math> のとき収束する。 <math>s < 1</math> のとき、<math>\frac{1}{n} < \frac{1}{n^s}</math> から、<math>\sum_{n=1}^m \frac{1}{n} < \sum_{n=1}^m \frac{1}{n^s}</math> となるため発散する。 解析接続という手法を用いることでゼータ関数の定義域を <math>s=1</math> を除く複素数にまで拡張することができる。 {{証明終わり}} {{解答|第六問}} (1) <math>f(x) = e^x - x - 1</math> とすると、<math>f'(x) = e^x - 1 ,\, f''(x) = e^x</math> だから、<math>f(x) </math> は上に狭義凸な関数で最小値は <math>f(0) = 0</math> である。従って、<math>x \neq 0</math> のとき <math>e^x > x + 1</math> である。よって、<math>e^{-x^2} > 1-x^2.</math> また、<math>e^{-x} < \frac{1}{1+x}</math> に <math>x^2</math> を代入して <math>e^{-x^2} < \frac{1}{1+x^2}</math> を得る。 (2) (1) より、<math>(1-x^2)^n < e^{-nx^2} </math> であるから、積分して <math>\int_0^1 (1-x^2)^n dx < \int_0^1 e^{-nx^2} dx </math> を得る。同様に、<math>e^{-nx^2} < \frac{1}{(1+x^2)^n}</math> を積分して <math>\int_0^{\tan \theta_0}e^{-nx^2} dx < \int_0^{\tan\theta_0}\frac{1}{(1+x^2)^n}dx</math> を得る。<math> \frac \pi 4 < \theta_0 < \frac \pi 2 </math> より、<math>1 < \tan\theta_0</math> である。また、<math>e^{-nx^2} > 0</math> から <math>\int_0^{1}e^{-nx^2} dx < \int_0^{\tan \theta_0}e^{-nx^2} dx </math> となる。したがって、 <math> \int_0^1 (1-x^2)^n dx < \int_0^{\tan\theta_0} e^{-nx^2}dx < \int_0^{\tan \theta_0} \frac{1}{(1+x^2)^n} dx </math> である。 (3) <math>x = \sin \theta</math> と変数変換して、 <math>\begin{align} \int_0^1 (1-x^2)^n dx &= \int_0^{\frac \pi 2} (1-\sin^2\theta)^n \cos\theta d\theta\\ &= \int_0^{\frac \pi 2} \cos^{2n+1}\theta d\theta\\ &= I_{2n+1} \end{align} </math> となる。また、<math>x = \tan\theta</math> と変数変換して、 <math>\begin{align} \int_0^{\tan \theta_0} \frac{dx}{(1+x^2)^n} &= \int_0^{\theta_0} \cos^{2n}\theta \frac{d\theta}{\cos^2\theta}\\ &= \int_0^{\theta_0} \cos^{2n-2}\theta d\theta \end{align} </math> となる。 <math>x \to \frac x \sqrt n </math> と変数変換すると、<math>\int_0^{\tan \theta_0} e^{-nx^2}dx = \frac 1 \sqrt n \int_0^{\frac{\tan\theta_0}{\sqrt n}} e^{-x^2}dx </math> となる。よって、 <math> \sqrt n I_{2n+1} < \int_0^{\frac{\tan\theta_0}{\sqrt n}} e^{-x^2}dx < \sqrt n \int_0^{\theta_0} \cos^{2n-2}\theta d\theta </math> となる。ここで、<math> \theta_0 \to \frac \pi 2 - 0</math> の極限を取ると <math> \lim_{\theta_0 \to \frac \pi 2 - 0}\int_0^{\frac{\tan\theta_0}{\sqrt n}} e^{-x^2}dx = \lim_{a \to \infty}\int_0^{a} e^{-x^2}dx = \int_0^\infty e^{-x^2}dx </math> となるから <math> \sqrt n I_{2n+1} < \int_0^\infty e^{-x^2}dx < \sqrt n I_{2n-2} </math> を得る。 (4) 第三問より、<math>\lim_{n\to\infty} \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}} = 1 </math>, <math>\lim_{n\to\infty} \sqrt n I_{2n+1} = \frac{\sqrt \pi}{2} </math> であるから、 <math>\lim_{n\to\infty} \sqrt n I_{2n-2} = \lim_{m\to\infty} \sqrt n \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\frac{I_{2n}}{I_{2n-1}}\frac{I_{2n-1}}{I_{2n-2}}I_{2n-2} = \frac{\sqrt \pi}{2} </math> となる。よって、 <math>\int_0^{\infty} e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt \pi}{2}. </math> 被積分関数は偶関数だから、 <math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt \pi </math> を得る。 '''解説''' (4) で <math>x \to \sqrt a x</math> （<math>a</math> は正の実数）と変換すると、<math> \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} </math> を得る。これを使うと正規分布の確率密度関数が<math> \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx = 1 </math> と正規化されていることが分かる。また、 <math> \begin{align} \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx &= [xe^{-ax^2}]_{-\infty}^{\infty} + \int_{-\infty}^\infty 2ax^2 e^{-ax^2}dx\\ &= \int_{-\infty}^\infty 2ax^2 e^{-ax^2}dx \end{align} </math> より、<math> \int_{-\infty}^\infty x^2 e^{-ax^2}dx = \frac 1 2 \sqrt{\frac{\pi}{a^3}} </math> を得る。よって、正規分布の分散は <math> \begin{align} V[X] &= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^2 e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty x^2 e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}dx\\ &= \sigma^2 \end{align} </math> となる。 {{証明終わり}} == 脚注 == <references/> <references group="ヒント"/> {{DEFAULTSORT:こうとうかつこうすうかくIII せきふんほう}} [[Category:高等学校数学III|せきふんほう]] [[カテゴリ:積分法]] 2jat8onvj4subjij7soba4xta9yfh3d 4 3883 299472 258849 2026-05-12T17:59:09Z なまえみてい 90434 [[special:diff/299470|この変更]]に伴う変更, ce 299472 wikitext text/x-wiki {{ショートカット|[[WB:SC]]<br />[[WB:WB]]}} <!--これはウィキの特長の裏返しとして存在する特性であり、日本語版においては特に致命的な問題ですが、-->ウィキブックスの各ページは非常にURLが長く複雑になる傾向にあり、ウィキ内部では簡単にリンクが作成できるものの、メール、印刷物、プレスリリースなどでウィキブックス内の特定ページを告知するとき、時として不便が生じます。<!--またそのような場合の他にも、特によく使うページであるのに、名前が長くてアクセスするときに不便な項目もあるでしょう。--> このため、ウィキブックスに存在する一般的な機能である[[w:Wikipedia:リダイレクト|リダイレクト]]を利用して、広く必要とされる場合に限って、[[w:ショートカット|ショートカット]]用のURLを作成することがあります。この項目名は「'''WB:'''」あるいは「'''Wikibooks:'''」で始まりアルファベット数文字で構成されるページ名で、<code><nowiki>https://ja.wikibooks.org/wiki/WB:***</nowiki></code>という非常にわかりやすいURLでアクセスすることが可能になります。このショートカットについては、[[Wikibooks:記事名の付け方|記事名の付け方]]の例外となります。また、「WB:」はMediaWikiの扱いとしては、通常の記事と同じ名前空間となります。 ただしショートカットは私的な理由（例えば自分のメールマガジンでウィキブックスの項目を紹介したい、など）には使われるべきではありません。基本的にWikibooks:名前空間に対して、次の場合に作成することが主に認められます。 * 特に公的にプレスリリースを出すとき、紹介するページのURLが提示困難なほど長い、あるいは日本語を含む場合 * 利用頻度の高いページであり、そのページの冒頭でショートカット名を掲載した上でショートカットを作成する場合 作成すべきか悩む場合は、[[Wikibooks・トーク:ショートカット|このページのノート]]で相談してください。また、不必要なショートカットについては<!-- [[Wikibooks:リダイレクトの削除依頼]] -->[[Wikibooks:削除依頼]]（ショートカット: [[WB:AFD]]）で提示することで削除されます。ショートカットを作成したときには下のリストに加えた上で、ショートカット先に次の掲示を行ってください。 <pre>{{ショートカット|WB:**}}</pre> このテンプレートの使い方の詳細については[[テンプレート:ショートカット|こちら]]をご覧ください。 == 現在存在するショートカット == ''[[:en:Wikibooks:WB|英語版]]または[[w:Wikipedia:ショートカット|ウィキペディア日本語版]]に既に存在するショートカットについては、名称を合わせて作成するようにします。そうすることで言語やプロジェクトを越えて同一のショートカットを用いて同一のページへ到達できます。'' <div class="editsection" style="float:right;margin-left:5px;">&#91;[[/リスト|{{int:edit}}]]&#93;</div> {{/リスト}} * [[Special:Prefixindex/WB:]] {{DEFAULTSORT:しよおとかつと}} [[Category:ウィキブックス]] js4dpnn7mzs7wo9wmte1jm2h6ykmdcf 299476 299472 2026-05-12T18:38:11Z なまえみてい 90434 ショートカットの 299476 wikitext text/x-wiki {{ショートカット|WB:SC|WB:WB}} <!--これはウィキの特長の裏返しとして存在する特性であり、日本語版においては特に致命的な問題ですが、-->ウィキブックスの各ページは非常にURLが長く複雑になる傾向にあり、ウィキ内部では簡単にリンクが作成できるものの、メール、印刷物、プレスリリースなどでウィキブックス内の特定ページを告知するとき、時として不便が生じます。<!--またそのような場合の他にも、特によく使うページであるのに、名前が長くてアクセスするときに不便な項目もあるでしょう。--> このため、ウィキブックスに存在する一般的な機能である[[w:Wikipedia:リダイレクト|リダイレクト]]を利用して、広く必要とされる場合に限って、[[w:ショートカット|ショートカット]]用のURLを作成することがあります。この項目名は「'''WB:'''」あるいは「'''Wikibooks:'''」で始まりアルファベット数文字で構成されるページ名で、<code><nowiki>https://ja.wikibooks.org/wiki/WB:***</nowiki></code>という非常にわかりやすいURLでアクセスすることが可能になります。このショートカットについては、[[Wikibooks:記事名の付け方|記事名の付け方]]の例外となります。また、「WB:」はMediaWikiの扱いとしては、通常の記事と同じ名前空間となります。 ただしショートカットは私的な理由（例えば自分のメールマガジンでウィキブックスの項目を紹介したい、など）には使われるべきではありません。基本的にWikibooks:名前空間に対して、次の場合に作成することが主に認められます。 * 特に公的にプレスリリースを出すとき、紹介するページのURLが提示困難なほど長い、あるいは日本語を含む場合 * 利用頻度の高いページであり、そのページの冒頭でショートカット名を掲載した上でショートカットを作成する場合 作成すべきか悩む場合は、[[Wikibooks・トーク:ショートカット|このページのノート]]で相談してください。また、不必要なショートカットについては<!-- [[Wikibooks:リダイレクトの削除依頼]] -->[[Wikibooks:削除依頼]]（ショートカット: [[WB:AFD]]）で提示することで削除されます。ショートカットを作成したときには下のリストに加えた上で、ショートカット先に次の掲示を行ってください。 <pre>{{ショートカット|WB:**}}</pre> このテンプレートの使い方の詳細については[[テンプレート:ショートカット|こちら]]をご覧ください。 == 現在存在するショートカット == ''[[:en:Wikibooks:WB|英語版]]または[[w:Wikipedia:ショートカット|ウィキペディア日本語版]]に既に存在するショートカットについては、名称を合わせて作成するようにします。そうすることで言語やプロジェクトを越えて同一のショートカットを用いて同一のページへ到達できます。'' <div class="editsection" style="float:right;margin-left:5px;">&#91;[[/リスト|{{int:edit}}]]&#93;</div> {{/リスト}} * [[Special:Prefixindex/WB:]] {{DEFAULTSORT:しよおとかつと}} [[Category:ウィキブックス]] sknv9ew2gdibnh3tyq3dsyhvpywqm7g 10 4273 299474 252264 2026-05-12T18:24:37Z なまえみてい 90434 [[special:diff/299470|この変更]]及び[[special:diff/299473|この変更]]に伴う 299474 wikitext text/x-wiki <div style="padding:5px; background-color:#77F3; color: inherit"> {{ショートカット|WB:RR|WB:VP}} ウィキブックスにお越しの皆様、談話室へようこそ！ここはウィキブックス日本語版についての様々な事柄について、皆様と一緒に話し合う場です。ウィキブックスの使い方についてのちょっとした質問や意見交換から運営や方針、新たなアイディア、技術的な質問まで、幅広くご活用ください。 ウィキペディアにおける[[w:Wikipedia:井戸端|井戸端]]に相当します。時には[[w:Wikipedia:井戸端|Wikipedia:井戸端]]やその過去ログが役に立つ場合もあります。また、現在[[Wikibooks:削除依頼]]が度重なる荒らし投稿に伴い半保護されています。匿名利用者や自動承認された利用者の方は、一旦ここを通した上で依頼を提出してください。 以下のようなことは、それぞれ適切なところで質問すると良いでしょう。 * 告知はこのページの[[Wikibooks:談話室#告知|告知]]にてお願いします。 * 本がどこに置いてあるのかわからない、どこを探したらいいかなどは、[[Wikibooks:ヘルプデスク|ヘルプデスク]]の方でお尋ね下さい。 * 個別の記事についての意見や質問は、その記事の[[w:Wikipedia:ノートページ|ノート]]に書いて下さい。 <!--「ノート」タブ（画面上方にある）か、外装によってはツールバー（たいてい画面左側にある）の「このページのノート」をクリックすればその記事のノートを見たり編集したりすることができます。--> * ウィキブッキアンと直接の対話をご希望の場合は、[[w:Wikipedia:利用者ページ|利用者ページ]]やウィキメールをご利用ください。 * バグの報告などは[[w:wikipedia:バグの報告|バグの報告]]へお願いします。 * [[Wikibooks:管理者|管理者]]や[[w:Wikipedia:ビューロクラット|ビューロクラット]]のみが行える作業について依頼がありましたら、[[Wikibooks:管理者伝言板]]へ記入してください。 以下はここに書きこむ場合の注意事項です。 * 新しい議題を持ち上げるときは、節を使用してください（例：<nowiki>== 議題 ==</nowiki>）。 * 新しい議題の節は、ページの一番下に作成してください。 * 自分の意見を述べた場合、文章の最後に署名をしてください（<nowiki>「~~~~」もしくは「~~~」</nowiki>と入力）。 *終わった議論は{{[[Template:済み|済み]]}}を付与して、分かるようにしましょう。 <div align="center" class="plainlinks">'''[{{fullurl:Wikibooks:談話室|action=edit&section=new}} <span class="mh-notice__button mw-ui-button mw-ui-progressive">新しい議題を作成</span>]'''</div></div><includeonly>[[Category:ウィキブックス|たんわしつ]] __NEWSECTIONLINK__</includeonly><noinclude> [[Category:ウィキブックスのテンプレート|S]]</noinclude> 8ixqmyvfb3h45b9dk7y2vvs4g9kl2py 0 5355 299469 227974 2026-05-12T16:33:55Z Tomzo 248 299469 wikitext text/x-wiki [[法学]]＞[[民事法]]＞[[民法]]＞[[コンメンタール民法]]＞[[第1編 総則 (コンメンタール民法)]] ==条文== （単独行為の無権代理） ;第118条 : [[単独行為]]については、その行為の時において、相手方が、代理人と称する者が代理権を有しないで行為をすることに同意し、又はその代理権を争わなかったときに限り、[[#※|第113条から前条までの規定]]を準用する。代理権を有しない者に対しその同意を得て単独行為をしたときも、同様とする。 ==解説== 遺言など相手方のいない単独行為の無権代理については、行為の相手方の保護を考慮する必要がないため、絶対的無効と解されている。 相手方のある単独行為の無権代理については、例えば、権限のない者が本人のために第三者に対して催告・通知をしたことに関して、後日、本人の追認があればその催告・通知等が有効となることとするのは、本人のためには有利ではあるが、不測の関係者である無権代理人の登場により相手方には不利となって、不公平な結果を生ずる。したがって、原則として、やはり絶対的無効と解されている。 しかしながら、①相手方がその行為の当時、行為者に代理権がなくいわゆる無権代理人であることを知って、その行為をなすことに同意した場合、及び②代理権の有無にかかわらず、相手方が代理権の存在・有効性を争わなかった場合、相手方は無権代理人が単独行為をなすことを承諾しているものと同一視できるため保護の必要はなく、契約における無権代理に関する規定が準用できる。 以上は、前段に定める能動代理の場合であるが、相手方が無権代理人の同意を得て、無権代理人に対して単独行為をなした場合（受動代理）も同様となる。 ==参照条文== <span id="※"></span> *[[民法第113条]]（[[無権代理]]） *[[民法第114条]]（無権代理の相手方の催告権） *[[民法第115条]]（無権代理の相手方の取消権） *[[民法第116条]]（無権代理行為の追認） *[[民法第117条]]（無権代理人の責任） ==関連条文== ==参考文献== *[[w:我妻栄|我妻栄]]『新訂民法総則（民法講義1）』（岩波書店、1965年）383頁 *[[w:四宮和夫|四宮和夫]]『民法総則（第4版補正版）』（法律学講座双書）（弘文堂、1996年）254頁 ==判例== ---- {{前後 |[[コンメンタール民法|民法]] |[[第1編 総則 (コンメンタール民法)|第1編 総則]]<br> [[第1編 総則 (コンメンタール民法)#5|第5章 法律行為]]<br> [[第1編 総則 (コンメンタール民法)#5-3|第3節 代理]] |[[民法第117条]]<br>（無権代理人の責任） |[[民法第119条]]<br>（無効な行為の追認） }} {{stub|law}} [[category:民法|118]] 2potgscdb527eawx78orgiuds6v88dq 0 5893 299495 295558 2026-05-13T05:24:32Z Tomzo 248 299495 wikitext text/x-wiki [[法学]]＞[[民事法]]＞[[商法]]＞[[コンメンタール会社法]]＞[[第2編第2章 株式 (コンメンタール会社法)]] ==条文== （[[公開会社]]における募集事項の決定の特則） ;第201条 # [[会社法第199条|第199条第3項]]に規定する場合を除き、公開会社における[[会社法第199条|同条第2項の規定]]の適用については、同項中「[[株主総会]]」とあるのは、「[[取締役会]]」とする。この場合においては、[[会社法第200条|前条の規定]]は、適用しない。 # 前項の規定により読み替えて適用する[[会社法第199条|第199条第2項]]の取締役会の決議によって募集事項を定める場合において、市場価格のある株式を引き受ける者の募集をするときは、[[会社法第199条|同条第1項第2号]]に掲げる事項に代えて、公正な価額による払込みを実現するために適当な払込金額の決定の方法を定めることができる。 # 公開会社は、第1項の規定により読み替えて適用する[[会社法第199条|第199条第2項]]の取締役会の決議によって募集事項を定めたときは、[[会社法第199条|同条第1項第4号]]の期日（同号の期間を定めた場合にあっては、その期間の初日）の2週間前までに、株主に対し、当該募集事項（前項の規定により払込金額の決定の方法を定めた場合にあっては、その方法を含む。以下この節において同じ。）を通知しなければならない。 # 前項の規定による通知は、[[公告]]をもってこれに代えることができる。 # 第3項の規定は、株式会社が募集事項について同項に規定する期日の2週間前までに[[金融商品取引法第4条|金融商品取引法第4条第1項から第3項まで]]の届出をしている場合その他の株主の保護に欠けるおそれがないものとして法務省令で定める場合には、適用しない。 ==解説== :公開会社が、増資・自己株式（金庫株）の処分にあたって、引受者を募集する場合（公募）は、[[会社法第199条|第199条]]第2項に定める株主総会の決議（特別決議;[[会社法第309条|第309条]]）を要さず、取締役会の決議で足りる。これは、市場によって価格が形成されており、株主が不当に不利となるおそれが少なく、株主も発行会社が自ら資本政策として決定ができることを理解して投資行動を起こしていることが前提となっている。 ==参照条文== *[[会社法第202条]]（株主に株式の割当てを受ける権利を与える場合） *第5項「法務省令で定める場合」 *:[[会社法施行規則第40条]]（募集事項の通知を要しない場合） ==判例== #[https://www.courts.go.jp/hanrei/54869/detail2/index.html 新株発行無効請求](最高裁判決 昭和36年03月31日) [[商法第280条ノ2]] #;有効な取締役会の決議を経ない新株発行の効力。 #:株式会社を代表する権限のある取締役が新株を発行した以上、これにつき有効な取締役会の決議がなくても、右新株の発行は有効である。 #:*改正商法（株式会社法）はいわゆる授権資本制を採用し、会社成立后の株式の発行を定款変更の一場合とせず、その発行権限を取締役会に委ねており、新株発行の効力発生のためには、発行決定株式総数の引受及び払込を必要とせず、払込期日までに引受及び払込のあつた部分だけで有効に新株の発行をなし得るものとしている（第280条ノ2）等の点から考えると、改正法にあつては、新株の発行は株式会社の組織に関することとはいえ、むしろこれを会社の業務執行に準ずるものとして取扱つているものと解するのが相当である。 #:*取締役会の決議は会社内部の意思決定であつて、株式申込人には右決議の存否は容易に知り得べからざるものである。 ---- {{前後 |[[コンメンタール会社法|会社法]] |[[第2編 株式会社 (コンメンタール会社法)|第2編 株式会社]]<br> [[第2編第2章 株式 (コンメンタール会社法)|第2章 株式]]<br> [[第2編第2章 株式 (コンメンタール会社法)#8|第8節 募集株式の発行等]] |[[会社法第200条]]<br>（募集事項の決定の委任） |[[会社法第202条]]<br>（株主に株式の割当てを受ける権利を与える場合） }} {{stub|law}} [[category:会社法|201]] c05kl1oavgl70xam6lhqi00kb1jz9mc 0 6185 299499 232281 2026-05-13T10:41:39Z Tomzo 248 299499 wikitext text/x-wiki [[法学]]＞[[民事法]]＞[[商法]]＞[[会社法]]＞[[コンメンタール会社法]]＞[[第2編 株式会社 (コンメンタール会社法)|第2編 株式会社]]＞[[第2編第2章 株式 (コンメンタール会社法)|第2編第2章 株式]] ==条文== （募集株式の申込み及び割当てに関する特則） ;第205条 # 前二条【[[会社法第203条|第203条]]、[[会社法第204条|第204条]]】の規定は、[[募集株式]]を引き受けようとする者がその総数の引受けを行う契約を締結する場合には、適用しない。 # 前項に規定する場合において、募集株式が譲渡制限株式であるときは、株式会社は、株主総会（取締役会設置会社にあっては、取締役会）の決議によって、同項の契約の承認を受けなければならない。ただし、定款に別段の定めがある場合は、この限りでない。 # [[会社法第202条の2|第202条の2第1項後段の規定]]による同項各号に掲げる事項についての定めがある場合には、定款又は株主総会の決議による[[会社法第361条|第361条第1項第3号]]に掲げる事項についての定めに係る取締役（取締役であった者を含む。）以外の者は、[[会社法第203条|第203条第2項]]の申込みをし、又は第1項の契約を締結することができない。 # 前項に規定する場合における[[会社法第204条|前条第3項]]並びに[[会社法第206条の2|第206条の2第1項、第3項及び第4項]]の規定の適用については、[[会社法第204条|前条第3項]]及び[[会社法第206条の2|第206条の2第1項]]中「[[会社法第199条|第199条第1項第4号]]の期日（同号の期間を定めた場合にあっては、その期間の初日）」とあり、[[会社法第206条の2|同条第3項]]中「同項に規定する期日」とあり、並びに[[会社法第206条の2|同条第4項]]中「第1項に規定する期日」とあるのは、「割当日」とする。 # 指名委員会等設置会社における第3項の規定の適用については、同項中「定款又は株主総会の決議による[[会社法第361条|第361条第1項第3号]]に掲げる事項についての定め」とあるのは「報酬委員会による[[会社法第409条|第409条第3項第3号]]に定める事項についての決定」と、「取締役」とあるのは「執行役又は取締役」とする。 ===改正経緯=== 2019年改正にて、3項以下を新設。 ==解説== 募集株式発行時の申込み及び割当てに関して、募集相手を特定する場合の特則を定める。 ===引受=== 本条第1項及び第2項は、募集株式を発行する際、契約によりその「総数」を特定の者に引き受けさせる場合（総数引受契約）の特則を定める。 通常、株式発行には個別の「申込み」と会社による「割当て」の手続きが必要だが、信頼できる特定の引受人と一括で契約する場合は、これらの手続きを省略できる（本条第1項）。これにより、会社は多数の申込者を管理する事務負担を削減でき、確実な資金調達が可能となる。 #アンダーライティングとの関係 #:市場で大規模な資金調達を行う際、証券会社等が転売目的で全株式を一括で引き受ける「買取引受（アンダーライティング）」が行われる。この際、実務上は本条の「総数引受契約」の形態が利用される。 #機動的な発行のためのセット利用（[[会社法第202条の2|第202条の2]]との併用） #:本条による手続簡略化に加え、第202条の2（募集事項の決定の委任）を併用することで、さらに機動性が高まる。 #:*第202条の2： 市場価格の変動に合わせ、発行価格等の決定を直前に取締役に委任する。 #:*本条： 決定した条件で、アンダーライターと即座に総数引受契約を締結し、割当手続きを省略する。 #:この2つの条文が組み合わさることで、上場企業の機動的なファイナンスが実現している。 ===役員報酬としての発行=== 本条第3項以下は、役員報酬として募集株式を発行する場合、役員以外の引き受けはないため、それ以外の申し込みや引き受け契約を排除することを定める。 ==関連条文== *[[会社法第203条]]（募集株式の申込み） *[[会社法第204条]]（募集株式の割当て） *[[会社法第207条]]（金銭以外の財産の出資） *[[会社法第211条]]（引受けの無効又は取消しの制限） *[[社債、株式等の振替に関する法律第150条]]（株式の発行に関する会社法の特例） ==参照条文== *[[商業登記法第56条]]（募集株式の発行による変更の登記） ==関係条文== *[[会社法第244条]]（募集新株予約権の申込み及び割当てに関する特則） ==判例== ==脚注== <references/> ---- {{前後 |[[コンメンタール会社法|会社法]] |[[第2編 株式会社 (コンメンタール会社法)|第2編 株式会社]]<br> [[第2編第2章 株式 (コンメンタール会社法)|第2章 株式]]<br> [[第2編第2章 株式 (コンメンタール会社法)#8|第8節 募集株式の発行等]] |[[会社法第204条]]<br>（募集株式の割当て） |[[会社法第206条]]<br>（募集株式の引受け） }} {{stub|law}} [[category:会社法|205]] [[category:会社法 2019年改正|205]] bho4bb54zk0p3m0bf3zq2daqo0yci7w 4 7323 299478 33126 2026-05-12T18:41:59Z なまえみてい 90434 [[template:ショートカット]]の仕様変更に伴う 299478 wikitext text/x-wiki <table style="width: 99%;"><tr> <td style="background:#ddffdd; border-top:double 3px #88ff88; border-bottom:double 3px #88ff88; padding:5px; text-align: center;"><span lang="en">The top category of the Babel system is:</span> '''[[:Category:言語別の利用者]]'''.</td></tr></table> {{ショートカット|WB:BBL|WB:BABEL}} '''バベル''' ('''Babel''') とは、'''利用者言語テンプレート''' ('''User language templates''') を使って、ある言語を話す人への連絡を簡単にすることで、多言語でのコミュニケーションを補助するシステムです。このアイデアは[[commons:Commons:バベル|ウィキメディア・コモンズ]]で発案され、[[w:Wikipedia:バベル|ウィキペディア]]や[[m:Meta:Babel templates|メタウィキ]]などの姉妹プロジェクトにも普及しました。参加するためには、バベル・テンプレートをあなたの利用者ページに次の説明に従って追加してください。 == 利用方法 == {{Babel|ja|en-1}} *'''<nowiki>{{Babel| </nowiki>'''で始めてください。 *次に以下のコードのうち一つを話せる言語のそれぞれについて書きます。言語を複数書く場合は、それぞれを「|」で分けてください。ここでの '''xx''' は、それぞれの言語の「言語コード」です。下に言語コードの一覧表があります。 **'''xx-1''' は、初級です。その言語版のウィキブックスやウィキペディアなどで基本操作が出来ることを表します（記事を読んで理解し、自分の母語で文章を書く資料として使うことができます。また、単純なものなら質問や回答もできます）。 **'''xx-2''' は、中級です。その言語で書かれた記事の一部を修正でき、ノートページでの議論に加わることができることを表します。 **'''xx-3''' は、上級です。高度な知識を持ち、その言語に堪能であることを表します（その言語で新たに記事を書くことができます。細かい間違いならするかもしれませんが、記事を書くことに困難は感じません）。 **'''xx-4'''は、'準母語'レベルです。母語話者に匹敵するほどよくその言語を理解していることを表します。 **'''xx''' もしあなたがその言語の母語話者であるなら、このコードを使ってください。 *最後に、 '''}}''' を追加して括弧を閉じて終わりです。 従って、例えば、 '''<nowiki>{{Babel|ja|en-1}}</nowiki>''' とすると右上のようになり、基本的な英語の知識を持つ日本語母語話者であることを表します。 '''<nowiki>{{Babel|sv|en-3|fr-2|es-1}}</nowiki>''' は、英語の高度な知識、中程度のフランス語の知識、基本的なスペイン語の知識を持つスウェーデン語の母語話者を表します。 言語をひとつだけ表示するには、次のように '''<nowiki>{{User xx}}</nowiki>''' の形式を使うこともできます（以下の例は '''<nowiki>{{User ja}}</nowiki>''' ）。 {{User ja}} （この部分に文字を置きたくない場合は <code><nowiki>{{subst:-}}</nowiki></code> を後に置きます。例: '''<nowiki>{{User ja}}{{subst:-}}</nowiki>''' ） <br style="clear:both" /> これらのテンプレートを使うと、あなたの利用者ページは、その言語全般のカテゴリと、理解のレベルと関連したカテゴリに追加されます。 ある言語を話せる人を見つけるためには、[[:Category:言語別の利用者|言語別の利用者]]のカテゴリから、リンクをたどってください。ほとんどの言語には、下記のように2文字か3文字のコードが [[w:ISO 639|ISO 639]] により付与されていますが、より包括的なガイドとしては [[m:List of Wikipedias]] や [[w:ウィキペディアの一覧]] を見てください。レベルを表すためコードの後に数字が付くことはテンプレートと同じですが、カテゴリーではテンプレートと異なり母語のレベルのカテゴリには '''-N''' が付きます。数字の付かない形は、その言語話者全体のカテゴリを表しているからです。 == 一覧 == 以下は言語コード、話者カテゴリ、バベルテンプレートの一覧表です。言語名（和名）がリンクならば[[語学]]教科書へのリンク、「(WP)」はウィキペディアへのリンクです。 もしあなたが以下の言語を使えるなら、宜しければその言語の語学教科書作りにご協力をお願いします。 {| class="wikitable sortable" |- ! style="font-weight: normal" | コード ! 本名 ! 和名 ! class="unsortable" | 話者カテゴリ ! class="unsortable" | テンプレート {{Babels|ain|Aynu itak}} {{Babels|als}} {{Babels|ang}} {{Babels|ar|dir=rtl}} {{Babels|bg}} {{Babels|bn}} {{Babels|bs}} {{Babels|ca}} {{Babels|cs}} {{Babels|cy}} {{Babels|da}} {{Babels|de}} {{Babels|el}} {{Babels|en}} {{Babels|eo}} {{Babels|es}} {{Babels|et}} {{Babels|fa|dir=rtl}} {{Babels|fi}} {{Babels|fr}} {{Babels|gl}} {{Babels|he|dir=rtl}} {{Babels|hi}} {{Babels|hr}} {{Babels|hu}} {{Babels|hy}} {{Babels|ia}} {{Babels|id}} {{Babels|ie}} {{Babels|is}} {{Babels|it}} {{Babels|ja}} {{Babels|jbo}} {{Babels|jv}} {{Babels|ka}} {{Babels|km}} {{Babels|ko}} {{Babels|la}} {{Babels|lt}} {{Babels|mk}} {{Babels|ml}} {{Babels|mr}} {{Babels|nl}} {{Babels|nn|{{#language:nn}}|{{#ifexist:ノルウェー語|[[ノルウェー語]]|ノルウェー語}}（{{#ifexist:ニーノシュク|[[ニーノシュク]]|ニーノシュク}}） {{Wp|ニーノシュク}}}} {{Babels|no|{{#language:no}}|{{#ifexist:ノルウェー語|[[ノルウェー語]]|ノルウェー語}}（{{#ifexist:ブークモール|[[ブークモール]]|ブークモール}}） {{Wp|ブークモール}}}} {{Babels|oc}} {{Babels|pl}} {{Babels|pt}} {{Babels|ro}} {{Babels|ru}} {{Babels|simple|{{#language:simple}}|{{simple/ja}} {{Wp|シンプル英語版ウィキペディア}}}} {{Babels|sk}} {{Babels|sl}} {{Babels|sq}} {{Babels|sr}} {{Babels|sv}} {{Babels|ta}} {{Babels|te}} {{Babels|th}} {{Babels|tr}} {{Babels|uk}} {{Babels|vi}} {{Babels|zh}} |} [[Category:ウィキブックス|はへる]] [[Category:バベル|*]] [[ca:Viquillibres:Babel]] [[da:Wikibooks:Babel]] [[de:Wikibooks:Babel]] [[en:Wikibooks:Babel]] [[fr:Modèle:Boîte Babel]] [[hu:Segítség/Bábel]] [[it:Wikibooks:Babel]] [[pt:Wikibooks:Babel]] [[tr:Vikikitap:Babil]] itdm693reihdyfy7uobnnyburthjfr5 10 7327 299471 93067 2026-05-12T17:47:41Z なまえみてい 90434 [[special:diff/299470|この変更]]に伴う変更 299471 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{テンプレート文書呼出}}</includeonly><noinclude>{{テンプレート文書直接表示}}</noinclude> <!-- 以下でテンプレートの解説を編集してください --> == これは何? == プロジェクト文書の先頭に[[Wikibooks:ショートカット|ショートカット]]を表示するためのテンプレートです。 ただし、方針文書、ガイドライン文書、またはそれらの草案には、専用のテンプレートを使用してください。 == 使い方 == 例えば、[[Wikibooks:バベル]] へのショートカットとして [[WB:BBL]] と [[WB:BABEL]] がある場合、[[Wikibooks:バベル]] の冒頭に、以下のように書きます。 <pre>{{ショートカット|WB:BBL<br>WB:BABEL}}</pre> == 関連 == * [[Wikibooks:ショートカット]] * [[Template:Policy]] - 方針文書用 * [[Template:Guideline]] - ガイドライン文書用 * [[Template:Proposed]] - 方針またはガイドラインの草案用 <includeonly> <!-- カテゴリは以下に追加してください --> {{DEFAULTSORT:しよおとかつと}} [[Category:ウィキブックスのテンプレート]] <!-- 言語間リンクは当ページやテンプレートに追加せず WikiData に追加してください --> <!-- ADD INTERWIKIS TO WIKIDATA, NEITHER THIS PAGE NOR THE TEMPLATE --> </includeonly> axj7wpia7rv3sx0cowcv2ctensfqc37 299475 299471 2026-05-12T18:37:15Z なまえみてい 90434 [[special:diff/299473|この変更]]に伴う 299475 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{テンプレート文書呼出}}</includeonly><noinclude>{{テンプレート文書直接表示}}</noinclude> <!-- 以下でテンプレートの解説を編集してください --> == これは何? == プロジェクト文書の先頭に[[Wikibooks:ショートカット|ショートカット]]を表示するためのテンプレートです。 ただし、方針文書、ガイドライン文書、またはそれらの草案には、専用のテンプレートを使用してください。 == 使い方 == 例えば、[[Wikibooks:バベル]] へのショートカットとして [[WB:BBL]] がある場合、[[Wikibooks:バベル]] の冒頭に、以下のように書きます。 <pre>{{ショートカット|WB:BBL}}</pre> また、[[Wikibooks:バベル]] へのショートカットとして [[WB:BBL]] と [[WB:BABEL]] がある場合、[[Wikibooks:バベル]] の冒頭に、以下のように書きます。 <pre>{{ショートカット|WB:BBL|WB:BABEL}}</pre> 同様に最大4つまでショートカットを追加できます。 == 関連 == * [[Wikibooks:ショートカット]] * [[Template:Policy]] - 方針文書用 * [[Template:Guideline]] - ガイドライン文書用 * [[Template:Proposed]] - 方針またはガイドラインの草案用 <includeonly> <!-- カテゴリは以下に追加してください --> {{DEFAULTSORT:しよおとかつと}} [[Category:ウィキブックスのテンプレート]] <!-- 言語間リンクは当ページやテンプレートに追加せず WikiData に追加してください --> <!-- ADD INTERWIKIS TO WIKIDATA, NEITHER THIS PAGE NOR THE TEMPLATE --> </includeonly> 3s1mmyy0gh88ro7pkqrommqblkilczf 10 7328 299470 73162 2026-05-12T17:41:07Z なまえみてい 90434 Wikipediaと同様に[[ ]]を使わずにリンクを作成できるように変更 299470 wikitext text/x-wiki <onlyinclude><div style="float:right; margin:0.5em 0 0.5em 0.5em; border:1px dashed blue; padding:0.3em; background:white; font-size:smaller; text-align:center; clear:right" id="shortcut">'''[[Wikibooks:ショートカット|ショートカット]]'''<br />[[{{{1}}}]]</div></onlyinclude> <br style="clear:both" /> {{{{FULLPAGENAME}}/doc}} <!-- Add Categories and Interwikis to the /doc subpage, NOT HERE! --> achuam5u1jg7xkqq2dzr42putyrxg9v 299473 299470 2026-05-12T18:21:06Z なまえみてい 90434 Wikipediaと同様に複数のショートカットへの対応。最大４つまで対応 (簡単に増減できます)。なお、wikipediaとは違うアップローチ方法をとっています。 299473 wikitext text/x-wiki <onlyinclude><div style="float:right; margin:0.5em 0 0.5em 0.5em; border:1px dashed blue; padding:0.3em; background:white; font-size:smaller; text-align:center; clear:right" id="shortcut">'''[[Wikibooks:ショートカット|ショートカット]]'''<br />[[{{{1}}}]]{{#if:{{{2|}}}|<br>[[{{{2}}}]]}}{{#if:{{{3|}}}|<br>[[{{{3}}}]]}}{{#if:{{{4|}}}|<br>[[{{{4}}}]]}}</div></onlyinclude> <br style="clear:both" /> {{{{FULLPAGENAME}}/doc}} <!-- Add Categories and Interwikis to the /doc subpage, NOT HERE! --> nx4uwwipv2lf96301x0v6700tjvvyq7 4 8036 299479 161344 2026-05-12T18:42:29Z なまえみてい 90434 [[template:ショートカット]]の仕様変更に伴う 299479 wikitext text/x-wiki {| style="background-color:#ffffe6; border:1px solid #fc6;margin-bottom:1em;" |- |サンドボックスは、[[Wikibooks:編集の仕方|ウィキブックスでの編集や執筆]]をするための練習・実験などに利用するページとして設けられました。各項目の編集ページにあるプレビュー機能を利用すれば同様の練習ができますが、サンドボックスも積極的にご活用下さい。なお、より大規模に練習をしたい方は[[testwiki:Main Page|TestWikipedia]]に書きこむとよいでしょう。 プレビューしただけのものは掲載されませんし、履歴に残らないのに対して、サンドボックスに書き込んだものは[[特別:Recentchanges]]に掲載され、履歴にも残ります。これによってプレビューでは練習できないことも可能になります。 砂浜に書いた文字が波や満ち潮とともに消されるように、サンドボックスに書き込まれた内容は、時とともに消去されます(なお、過去のバージョンとして[{{fullurl:Wikibooks:サンドボックス|action=history}} 履歴]からたどることはできます)。 <span style="color:red;">なお、'''法令やエチケットなどに反するような内容、プライバシー侵害となるような書き込みはお控え下さい'''。悪質な場合は版指定削除となる恐れがあります。</span> |{{ショートカット|WB:SB}}[[Image:Crystal Clear app kedit.png|ここはサンドボックス(練習帳)です。]] |} ---- <includeonly> </includeonly> 0tgb62ztnm0agjjsge3ivubvd0495cb 4 8266 299480 223502 2026-05-12T18:43:17Z なまえみてい 90434 [[template:ショートカット]]の仕様変更に伴う 299480 wikitext text/x-wiki {{Proposed}} {{ショートカット|WB:RFI}} ウィキブックス日本語版の[[Wikibooks:管理者|管理者]]は、ウィキペディア日本語版等、いくつかのウィキメディアプロジェクトから記事を Transwiki する場合に、インポート機能（“[[{{ns:Special}}:Import|{{int:import}}]]” {{int:specialpage}}）を使用することができます。この機能では、記事とその編集履歴をコピーすることができます。 ウィキブッキアンのみなさんは、教科書コンテンツを作成する基礎にするためなど、さまざまな理由による記事のインポートを依頼することができます。必要な部分をウィキペディア等からコピーして編集するのではなく、こちらに依頼を提出してインポートをしてもらってください。管理者はできるだけ早くインポートを実行します。 他プロジェクト参加者の方、例えばウィキペディアンのみなさんも、百科事典より教科書にふさわしい記事などをウィキブックスへ移動するためにインポートを依頼することができます。 インポートした記事は、原則として [[{{ns:Special}}:PrefixIndex/Transwiki:|Transwiki]] 名前空間におかれます。インポート後の受け入れ作業として、ウィキブックスの体裁に合うよう編集し、適切な名前空間へ[[w:Help:ページの移動|移動]]する必要があります。管理者には、受け入れ作業を行う義務はありません。 すでにコピー・ペーストによって導入済みの記事を、改めてインポートした場合は、通常、それら二つの記事を履歴統合する必要があります。履歴統合が必要な場合は[[Wikibooks:管理者伝言板|管理者に要請]]してください。 ただし、インポートでは記事全体をコピーすることができますが、一部のセクションのみの移動はできません。これにはインポート後余分な記述を削ることで対応してください。また、極端に履歴の多い記事や外部からの転載を含む記事はインポートできない場合もあります。あらかじめご了承ください。 == 2023年 == === 分割提案のテンプレート === *[[w:Template:分割提案]] [[WB:ページの分割と統合#分割提案の告知]]にこのテンプレートを貼れという指示があるにもかかわらず、テンプレートが存在しないため、インポートを依頼します。お忙しいところすみません。--[[利用者:スタリオン箕浦|スタリオン箕浦]] <span style="font-family:Times"><small>([[利用者・トーク:スタリオン箕浦|会話]]/[[特別:投稿記録/スタリオン箕浦|投稿記録]]/[[特別:Log/スタリオン箕浦|ログ]]/[[特別:利用者権限/スタリオン箕浦|権限]]/[[特別:メール送信/スタリオン箕浦|メール]])</small></span> 2023年2月22日 (水) 02:10 (UTC) ==2020年 == === 修正依頼 === *[[w:Wikipedia:修正依頼]] 依頼理由は[[wikibooks:談話室#Wikibooks:査読依頼を作成しませんか？]]の一連の会話をご覧ください。特に後ろの方を。お手数お掛けしますが宜しくお願いします。ｰｰ[[利用者:令和少年|令和少年]] ([[利用者・トーク:令和少年|トーク]]) 2020年1月18日 (土) 08:21 (UTC) *(コメント・対処予告) 談話室の [[Special:PermaLink/156344#Wikibooks:査読依頼を作成しませんか？]] を拝見したところ、査読依頼の導入はさておき、本件インポートについては異論がなかったと理解します。皆さま、いかがでしょうか。一週間ほど待ってご異論がなければインポートしたいと思います。 --[[利用者:Kanjy|Kanjy]] ([[利用者・トーク:Kanjy|トーク]]) 2020年8月9日 (日) 12:02 (UTC) === インデント戻し === * [[w:Template:Outdent]] [[Wikibooks:インポート|インポート]]違反との指摘を受け、当該記事を削除依頼に提出中です（）。お手数おかけしますが、[[テンプレート:インデント戻し|違反記事]]の削除と共に、上記テンプレートをインポートして頂ければと思います。違反について、以後同様の問題が起きないよう注意致します。誠に申し訳ありませんでした。--[[利用者:雪津風明石|雪津風明石]] ([[利用者・トーク:雪津風明石|トーク]]) 2020年4月11日 (土) 15:17 (UTC) **（対処）まず，[[テンプレート:インデント戻し]]については管理者権限での即時削除で対応しました。続いて，該当のテンプレートですがインポート機能でTranswiki空間と呼ばれるエリアに取り込んでいます。なお，インポート機能のルール上，いったんTranswiki空間に取り込む形となっていますので，その点はご了承ください（Transwiki空間で整備を続け，公開できるレベルになれば移動機能でテンプレート空間に移動願います）。今日の取り込み記録をご覧いただければと思いますが，該当のテンプレート・解説の文面は他のテンプレートの機能も利用して作成されているため，できれば，依頼のあったテンプレートだけでなく，一緒にTranswiki空間に取り込まれた他のテンプレートとセットで整備していただければ幸いです。--[[利用者:かげろん|かげろん]] ([[利用者・トーク:かげろん|トーク]]) 2020年4月12日 (日) 09:26 (UTC) *** {{コメント2|感謝}}早急なご対応ありがとうございます。こちらも整備を進め、完成品としての公開を進めて参ります。--[[利用者:雪津風明石|雪津風明石]] ([[利用者・トーク:雪津風明石|トーク]]) 2020年4月12日 (日) 13:28 (UTC) === 「インデント戻し」に関連した追加依頼 === * [[w:Template:Bulleted/doc]] * [[w:Template:Template shortcut/doc]] 全て「/doc」関連なので緊急性、重要性共に高くはありませんが、よろしくお願いします。--[[利用者:雪津風明石|雪津風明石]] ([[利用者・トーク:雪津風明石|トーク]]) 2020年4月12日 (日) 16:03 (UTC) *{{コメント2|追加|追記}}[[テンプレート:Bulleted list]]が動作しないので[[w:モジュール:list]]もお願いします。 **（対処）お待たせしました。[[w:Template:Template shortcut/doc]]と[[w:モジュール:list]]をインポートしました（モジュールの方は，インポート機能では以前からTranswiki空間に取り込めないため，直接モジュール空間に取り込んでいます）。ただし，ご依頼のあった[[w:Template:Bulleted/doc]]に関しては，Wikipedia日本語版にページが存在しておらず取り込めませんでしたので，その旨，ご了承ください。--[[利用者:かげろん|かげろん]] ([[利用者・トーク:かげろん|トーク]]) 2020年5月16日 (土) 00:50 (UTC) === Anchorテンプレート関連 === * [[w:Template:Anchor]] * [[w:Template:Anchor/doc]] 現在作成中の[[Wikibooks:ウィキブックス用語集]]（下書き：[[利用者:雪津風明石/砂箱-呂]]）で使用します。それと、下記「インデント戻しに関連した追加依頼」もお願いします。{{利用者:雪津風明石/署名}}2020年5月4日 (月) 08:18 (UTC) *（対処）ご依頼のあったテンプレートと/docについて，インポートしました。なお，該当のテンプレートは他のテンプレートを使って作られている可能性がありますから，本依頼の件で同時にインポートされているものが必要になるかと思います。良ければそちらの方にも目を通していただければ幸いです。--[[利用者:かげろん|かげろん]] ([[利用者・トーク:かげろん|トーク]]) 2020年5月16日 (土) 00:54 (UTC) === [[w:Template:Cite 判例検索システム]] === * [[w:Template:Cite 判例検索システム]] ** [[w:Template:Cite 判例検索システム/doc]] 判例を出典に用いるために使用します。このテンプレートが読み込んでいるテンプレート及びモジュールはすでにjawbに存在しますので、このテンプレート及びdocで結構です。お手数をおかけしますが、よろしくお願いします。--{{User:ダーフレ/日本語}}2020年5月21日 (木) 04:42 (UTC) * （コメント）PDFリンクがなくても用は足りると思うのですが、やはりPDFへのリンクは必要とお思いですか。個人的にはわざわざテンプレートが必要な気がしないのですが、説明していただけますか。 --[[利用者:Kyube|kyube]] ([[利用者・トーク:Kyube|トーク]]) 2020年5月22日 (金) 14:15 (UTC) * (返信)ご確認いただきありがとうございます。PDFを使いたい、というよりかは「個人個人がそれぞれ書いた、出ている情報の種類やその順番もバラバラな出典」にならないよう、テンプレートを用いて仕様を統一するためです。また、より参加者の多いjawpで多用されている[[w:ハーバード方式|ハーバード方式]]を使用する(これは私の好みの話です)ため、同一の出典を1つに統合するためにも、テンプレートの使用が必要と考えます。--{{利用者:ダーフレ/日本語}}2020年5月22日 (金) 16:19 (UTC) == 2019年 == === Ambox関連 === *[[w:Template:Ambox]] *[[w:Template:Ambox/doc]] *[[w:Template:Copyrights]] *[[w:Template:現在編集中]] *[[w:Template:現在編集中/doc]] *[[w:Template:出典の明記]] *[[w:Template:出典の明記/doc]] *[[w:Template:分割提案]] いずれも[[Wikibooks:インポート]]違反なので即時削除後インポートしなおしていただければとおもいます。--[[利用者:新幹線|新幹線]] ([[利用者・トーク:新幹線|トーク]]) 2019年1月26日 (土) 04:46 (UTC) * (コメント・追加説明のお願い) ご依頼者 [[user:新幹線|新幹線]] さん、これらがインポート違反だったとのご指摘は、どういう理由だったのか、ご説明いただけませんでしょうか。これらがウィキペディアにあるのはウィキ違いであって当ウィキブックスへの移動（トランスウィキ、ウィキ間移動）が必要だったとは思えませんが。これらがウィキ間移動でなくウィキ間コピーであれば、インポートでなく、要約欄に出所表示してのコピーで問題なかったと思いますが、いかがでしょうか。非常に遅くなってのお願いで申し訳ありません。 --[[利用者:Kanjy|Kanjy]] ([[利用者・トーク:Kanjy|トーク]]) 2020年8月9日 (日) 12:02 (UTC) === コメントテンプレート === * [[w:Template:コメント2]] 上記の[[Wikibooks:インポート]]違反の一つを作成した者ですが、だからこそ己の間違いを改めてインポートをお願いさせていただきます。会話ページやノートページで使用されると考えています。[[テンプレート:CUU]]と似ている部分はありますが、目的、種類などはとても違いますのでよろしくお願いします。 -<span class="plainlinks">[[利用者:ダーフレ|峰浦景勝]]</span> <small>([[User talk:ダーフレ|会話]]</span> • <span title="ウィキペディア日本語版での投稿記録を表示します">[[Special:Contributions/ダーフレ|履歴]]</span> • <span title="他プロジェクトにある同名アカウントの統一ログイン状態を表示します">[[sulutil:ダーフレ|SUL1]]</span> • <span title="他プロジェクトにある同名アカウントの統一ログイン状態を表示します">[[特別:アカウント統一管理/ダーフレ|SUL2]]</span>・<span title="他プロジェクトにある同名アカウントの直近の投稿記録と被ブロック状態を表示します">[//tools.wmflabs.org/guc/index.php?user={{urlencode:ダーフレ}}&blocks=true&lang=ja 他P]</span></span>)</small></span> 2019年2月16日 (土) 10:37 (UTC) *（対処）依頼のあったテンプレートに用いられているモジュールと関連するモジュールは直接モジュール空間にインポートし，Template:コメント2は[[Transwiki:コメント2]]にインポートしました。適宜，Wikibooksで使えるよう手を入れていただき，テンプレート空間の方へ移動していただければと思います。なお，足らないモジュールやテンプレートがあれば，再度，インポート依頼の方にご依頼ください。--[[利用者:かげろん|かげろん]] ([[利用者・トーク:かげろん|トーク]]) 2019年2月17日 (日) 14:43 (UTC) ::対処ありがとうございました。整備中ですが、完成したらこちらでもご案内させていただきます。--<span class="plainlinks">[[利用者:ダーフレ|峰浦景勝]]</span> <small>([[User talk:ダーフレ|会話]]</span> • <span title="ウィキペディア日本語版での投稿記録を表示します">[[Special:Contributions/ダーフレ|履歴]]</span> • <span title="他プロジェクトにある同名アカウントの統一ログイン状態を表示します">[[sulutil:ダーフレ|SUL1]]</span> • <span title="他プロジェクトにある同名アカウントの統一ログイン状態を表示します">[[特別:アカウント統一管理/ダーフレ|SUL2]]</span>・<span title="他プロジェクトにある同名アカウントの直近の投稿記録と被ブロック状態を表示します">[//tools.wmflabs.org/guc/index.php?user={{urlencode:ダーフレ}}&blocks=true&lang=ja 他P]</span></span>)</small></span> 2019年2月18日 (月) 06:49 (UTC) :::{{コメント2|完了}}←<small>これが[[テンプレート:コメント2|完成品]]</small>完成しました。皆様のご協力の賜物でございます。これからもウィキブックスの発展をお祈りします。また、このTが有意義に活用されることも祈っております。ありがとうございました。--<span class="plainlinks">[[利用者:ダーフレ|峰浦景勝]]</span> <small>([[User talk:ダーフレ|会話]]</span> • <span title="ウィキペディア日本語版での投稿記録を表示します">[[Special:Contributions/ダーフレ|履歴]]</span> • <span title="他プロジェクトにある同名アカウントの統一ログイン状態を表示します">[[sulutil:ダーフレ|SUL1]]</span> • <span title="他プロジェクトにある同名アカウントの統一ログイン状態を表示します">[[特別:アカウント統一管理/ダーフレ|SUL2]]</span>・<span title="他プロジェクトにある同名アカウントの直近の投稿記録と被ブロック状態を表示します">[//tools.wmflabs.org/guc/index.php?user={{urlencode:ダーフレ}}&blocks=true&lang=ja 他P]</span></span>)</small></span> 2019年2月18日 (月) 11:19 (UTC) === Succession boxテンプレート - 取り消し === <s># [[w:Template:S-start]] # [[w:Template:S-end]] # [[w:Template:S-break]] # [[w:Template:S-bef]] # [[w:Template:S-aft]] # [[w:Template:Succession box]] 6.のTemplate:Succession boxを使用するために必要なのが1～5です。次のページへのリンクを貼るものになると思います。(例:[[日本史 江戸時代]]→[[日本史 戦前]])今まで一度前のページに戻りスクロールしてから次のページへのリンクを触れていたのに対しこれを使うとそのリンクに触れるだけで移動できるようになりとても便利です。よろしくお願いいたします。--<span class="plainlinks">[[利用者:ダーフレ|峰浦景勝]]</span> <small>([[User talk:ダーフレ|会話]]</span> • <span title="ウィキペディア日本語版での投稿記録を表示します">[[Special:Contributions/ダーフレ|履歴]]</span> • <span title="他プロジェクトにある同名アカウントの統一ログイン状態を表示します">[[sulutil:ダーフレ|SUL1]]</span> • <span title="他プロジェクトにある同名アカウントの統一ログイン状態を表示します">[[特別:アカウント統一管理/ダーフレ|SUL2]]</span>・<span title="他プロジェクトにある同名アカウントの直近の投稿記録と被ブロック状態を表示します">[//tools.wmflabs.org/guc/index.php?user={{urlencode:ダーフレ}}&blocks=true&lang=ja 他P]</span></span> ・ <span title="私のWikipediaでの会話ページ>[[W:利用者‐会話:ダーフレ|w:会話]])</span></small></span> 2019年2月27日 (水) 06:12 (UTC)</s> * (取り消し)[[テンプレート:先代次代2]]を知ったので取りやめます。--{{利用者:ダーフレ/日本語}}2019年6月13日 (木) 14:38 (UTC)_{【リンク修正--{{利用者:ダーフレ/日本語}}2019年6月13日 (木) 14:39 (UTC)】} === 出典明記に関するテンプレート === *[[w:Template:未検証]] *[[w:Template:独自研究]] *[[w:Template:信頼性要検証]] 以上のテンプレートをインポートしていただきますよう、お願いいたします。--[[利用者:椎楽|椎楽]] ([[利用者・トーク:椎楽|トーク]]) 2019年6月17日 (月) 14:54 (UTC) * (コメント・追加説明のお願い) ご依頼者 [[user:椎楽|椎楽]] さん、どのようなルール（方針やガイドライン）に基づいて、どのようなページに貼ることをお考えか、ご説明いただいて宜しいでしょうか。非常に遅くなってのお願いで申し訳ありません。 --[[利用者:Kanjy|Kanjy]] ([[利用者・トーク:Kanjy|トーク]]) 2020年8月9日 (日) 12:02 (UTC) === Bash_Shell_Scripting 関連 === *[[w:Bash_Shell_Scripting]] [[Wikibooks:インポート]]違反との指定がありましたので、削除しインポートしなおしたいのですが、どのようにすればよいかわかりません。どなたかどのように行うのかご教授いただけないでしょうか? もしくは、情報ソースを教えてください。またはどなたかが代りにしていただけると大変助かります。 -- Fu7mu4 (トーク) 2019年6月27日 (木) 14:54 (UTC) *（コメント）まず，こちらの[[Bash_Shell_Scripting]]の記事冒頭に<nowiki>{{即時削除|投稿者依頼}}</nowiki>を書いておいていただければなと思います。そうしていただければ，私を含めた管理者の手が空いている時に記事は即時削除という形で削除されます。その後で，Bash_Shell_Scriptingの記事をインポートすることになります（インポートは英語版のウィキブックスにある記事からですよね？）。そのうえで，インポートは直接記事がある空間へ取り込む形ではなく，「Transwiki:」が記事の前についたTranswiki空間と呼ばれる場所に取り込みます。記事の体裁や翻訳作業を終えてから，通常の記事へ移動していただければなと思います。--[[利用者:かげろん|かげろん]] ([[利用者・トーク:かげろん|トーク]]) 2019年6月27日 (木) 23:03 (UTC) *（対処）まず，日本語版の[[Bash_Shell_Scripting]]は投稿者依頼での即時削除としました。次に，英語版Wikibooksの[[en:Bash_Shell_Scripting]]をTranswiki空間へインポートしました。最近の更新をクリックして確認していただければ幸いです。なお，英語版のページの方では日本語版で使われていないテンプレートが多数ありましたので，そちらもまとめてTranswiki空間へインポートしています（[[Transwiki:Bash_Shell_Scripting]]などのように記事の前に「Transwiki:」が付いています）。適宜，翻訳作業などを進めて，移動操作で適切な空間へと移動していただければ幸いです。ひょっとしたら，一部のモジュールなどが抜けているかもしれません。もし，必要なモジュールなどが出てきましたら，インポート依頼を別途お出しいただければ幸いです。なお，わからないところがあれば，談話室などでお問い合わせいただければ，回答させていただきます。--[[利用者:かげろん|かげろん]] ([[利用者・トーク:かげろん|トーク]]) 2019年6月29日 (土) 00:19 (UTC) * 以下のテンプレートとモジュールの追加をお願いします。 *[[w:Template:Bash Shell Scripting/caution]] *[[w:Template:Bash Shell Scripting/tip]] *[[w:Template:Shelves]] *[[w:Template:Alphabetical]] *[[w:Template:Status]] また、モジュール If Emptyがありませんとエラーが表示されていますので追加をお願いします。 モジュール名の調べ方や依頼方法がよくわかっていないので、不備がありましたらご連絡ください。 -- Fu7mu4 (トーク) 2019年6月30日 (木) 14:54 (UTC) **（コメント）まず，先に1点返答させていただきます。テンプレート類は[[Transwiki:Bash Shell Scripting]]という形でTranswikiの空間に取り込んでいます。提示されたテンプレートに関しては，「w:Template:」の部分を「Transwiki:」に置き換えてみてください。[[Transwiki:Bash_Shell_Scripting]]と同じタイミングで取り込んだテンプレートの元データは表示されるはずです（テンプレートの空間に移動されていないので，テンプレートとしてはまだ機能しませんが……）。--[[利用者:かげろん|かげろん]] ([[利用者・トーク:かげろん|トーク]]) 2019年6月30日 (日) 03:49 (UTC) **（1件対処）「モジュール:If empty」については，日本語版Wikipediaからインポートを行いましたので，その旨報告させていただきます。--[[利用者:かげろん|かげろん]] ([[利用者・トーク:かげろん|トーク]]) 2019年6月30日 (日) 04:03 (UTC) ** 大変助かりました。テンプレートが正常に表示できました。 -- Fu7mu4 (トーク) 2019年6月30日 (木) 03:54 (UTC) === w:Help:テンプレート(およびその関連) === * [[w:Help:テンプレート]] * [[w:Help:テンプレートの説明文]] [https://ja.wikibooks.org/w/index.php?title=%E7%89%B9%E5%88%A5:%E5%AD%98%E5%9C%A8%E3%81%97%E3%81%AA%E3%81%84%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8%E3%81%B8%E3%81%AE%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%AF&limit=500&offset=0 こちら]をご参照の通り、[[特別:リンク元/ヘルプ:テンプレート|42個のリンク先]]にあるページです。他のヘルプと違い、jawpの同一ページで代用ができません。ですので、インポートを依頼します。なお、w:Help:テンプレートの説明文はインポート後 (他に良い時期や方法があればお知らせください) にw:Help:テンプレートに統合しようと思っております。--[[利用者:ダーフレ|Darfre]]([[利用者・トーク:ダーフレ|会話]]) 2019年8月5日 (月) 02:56 (UTC)<small>節レベル変更--{{利用者:ダーフレ/日本語}}2019年8月5日 (月) 02:57 (UTC)リンク消えてた--[[利用者:ダーフレ|Darfre]]([[利用者・トーク:ダーフレ|会話]]) 2019年8月5日 (月) 03:01 (UTC)</small> * (コメント・追加説明のお願い) ご依頼者 [[user:ダーフレ|ダーフレ]] さん、jawpの同一ページへのリンクでは代用できないのでしょうか。jawpの同一ページへのリンクではなく、当ウィキ内にページが必要なのでしょうか。その理由ををご説明いただけませんでしょうか。非常に遅くなってのお願いで申し訳ありません。 --[[利用者:Kanjy|Kanjy]] ([[利用者・トーク:Kanjy|トーク]]) 2020年8月9日 (日) 12:02 (UTC) :{{Cmt|取り下げ|取り下げと{{FlowMention|Kanjy|3=さんへの{{Cmt|返信}}}}}}今になってみれば、[[テンプレート:ソフトリダイレクト|ソフトリダイレクト]]で事足りるかなと存じます。どうやら(依頼をしたということすら忘れていましたので、動機ともなると…)この頃は「ソフトリダイレクト」というものを知らなかった、あるいはテンプレートの例をjawbのものにしたかったなどの理由が考えられますが、テンプレートの例はjawp側のテンプレートの挙動を知っていれば例を理解できます。特に定められていないようですので、依頼者の取り下げとして終了を依頼したいと思います。--{{利用者:ダーフレ/日本語}}2020年8月9日 (日) 15:21 (UTC) == 過去ログ == * [[Special:Permalink/128431|2018年分]] <small>(2017年分なし)</small> * [[Special:Permalink/103110|2016--2011年分]] * [[Special:Permalink/59192|2009--2010年分]] * [[Special:Permalink/36118|2008年分]] == 関連ページ == * [[Wikibooks:インポート]] （手順書） * [[Wikibooks:プロジェクト間の移動]] （Transwiki について） ** [[Wikibooks:プロジェクト間の移動/Import Log]] * [[Wikibooks:編集方針]] * [[{{ns:Special}}:Log/import]] （インポート記録） * [[{{ns:Special}}:PrefixIndex/Transwiki:]] （Transwiki 名前空間内の記事一覧） {{DEFAULTSORT:いんほおといらい}} [[カテゴリ:ウィキブックスのメンテナンス]] e80na8xfexkfpiyfzomd0toe2hh46mi 0 17207 299496 286658 2026-05-13T08:53:49Z ~2026-28913-18 91451 /* 三年 */ 299496 wikitext text/x-wiki 以下は人民教育出版社の小学校[[中国語]]教科書の常用漢字表である。総計2207字。 ==一年== １年生の漢字：350个 {| class="wikitable" |- ! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） !! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） !! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） |- | [[wikt:一|一]] || 一 || yī || [[wikt:二|二]] || 二 || èr || [[wikt:三|三]] || 三 || sān |- | [[wikt:四|四]] || 四 || sì || [[wikt:五|五]] || 五 || wǔ || [[wikt:六|六]] || 六 || liù |- | [[wikt:七|七]] || 七 || qī || [[wikt:八|八]] || 八 || bā || [[wikt:九|九]] || 九 || jiǔ |- | [[wikt:十|十]] || 十 || shí || [[wikt:百|百]] || 百 || bǎi || [[wikt:万|万]] || 萬 || wàn |- | [[wikt:木|木]] || 木 || mù || [[wikt:禾|禾]] || 禾 || hé || [[wikt:上|上]] || 上 || shàng |- | [[wikt:下|下]] || 下 || xià || [[wikt:左|左]] || 左 || zuǒ || [[wikt:右|右]] || 右 || yòu |- | [[wikt:土|土]] || 土 || tǔ || [[wikt:个|个]] || 個 || gè || [[wikt:入|入]] || 入 || rù |- | [[wikt:大|大]] || 大 || dà || [[wikt:天|天]] || 天 || tiān || [[wikt:人|人]] || 人 || rén |- | [[wikt:火|火]] || 火 || huǒ || [[wikt:文|文]] || 文 || wén || [[wikt:儿|儿]] || 兒 || ér |- | [[wikt:无|无]] || 無 || wú || [[wikt:口|口]] || 口 || kǒu || [[wikt:日|日]] || 日 || rì |- | [[wikt:中|中]] || 中 || zhōng || [[wikt:了|了]] || 了 瞭 || le / liǎo（了〔瞭〕解） || [[wikt:子|子]] || 子 || zǐ / zi |- | [[wikt:门|门]] || 門 || mén || [[wikt:月|月]] || 月 || yuè || [[wikt:不|不]] || 不 || bù |- | [[wikt:开|开]] || 開 || kāi || [[wikt:目|目]] || 目 || mù || [[wikt:耳|耳]] || 耳 || ěr |- | [[wikt:头|头]] || 頭 || tóu || [[wikt:米|米]] || 米 || mǐ || [[wikt:见|见]] || 見 || jiàn |- | [[wikt:白|白]] || 白 || bái || [[wikt:田|田]] || 田 || tián || [[wikt:电|电]] || 電 || diàn |- | [[wikt:也|也]] || 也 || yě || [[wikt:长|长]] || 長 || cháng（长〔長〕久） / zhǎng（成長） || [[wikt:山|山]] || 山 || shān |- | [[wikt:出|出]] || 出 || chū || [[wikt:飞|飞]] || 飛 || fēi || [[wikt:马|马]] || 馬 || mǎ |- | [[wikt:鸟|鸟]] || 鳥 || niǎo || [[wikt:云|云]] || 云 || yún || [[wikt:公|公]] || 公 || gōng |- | [[wikt:车|车]] || 車 || chē || [[wikt:牛|牛]] || 牛 || niú || [[wikt:羊|羊]] || 羊 || yáng |- | [[wikt:小|小]] || 小 || xiǎo || [[wikt:少|少]] || 少 || shǎo（多少） / shào（少女） || [[wikt:巾|巾]] || 巾 || jīn |- | [[wikt:牙|牙]] || 牙 || yá || [[wikt:尺|尺]] || 尺 || chǐ || [[wikt:毛|毛]] || 毛 || máo |- | [[wikt:卜|卜]] || 卜 蔔 || bǔ（预卜） / bo（萝卜〔蘿蔔〕） || [[wikt:又|又]] || 又 || yòu || [[wikt:心|心]] || 心 || xīn |- | [[wikt:风|风]] || 風 || fēng || [[wikt:力|力]] || 力 || lì || [[wikt:手|手]] || 手 || shǒu |- | [[wikt:水|水]] || 水 || shǔi || [[wikt:广|广]] || 廣 || guǎng || [[wikt:升|升]] || 升 || shēng |- | [[wikt:足|足]] || 足 || zú || [[wikt:走|走]] || 走 || zǒu || [[wikt:方|方]] || 方 || fāng |- | [[wikt:半|半]] || 半 || bàn || [[wikt:巴|巴]] || 巴 || bā || [[wikt:业|业]] || 業 || yè |- | [[wikt:本|本]] || 本 || běn || [[wikt:平|平]] || 平 || píng || [[wikt:书|书]] || 書 || shū |- | [[wikt:自|自]] || 自 || zì || [[wikt:己|己]] || 己 || jǐ || [[wikt:东|东]] || 東 || dōng |- | [[wikt:西|西]] || 西 || xī || [[wikt:回|回]] || 回 || húi || [[wikt:片|片]] || 片 || piàn |- | [[wikt:皮|皮]] || 皮 || pí || [[wikt:生|生]] || 生 || shēng || [[wikt:里|里]] || 里 裡 裏 || lǐ （里弄）/（这里〔這裡〕）/（里〔裏〕面） |- | [[wikt:果|果]] || 果 || guǒ || [[wikt:几|几]] || 幾 几 || jǐ || [[wikt:用|用]] || 用 || yòng |- | [[wikt:鱼|鱼]] || 魚 || yú || [[wikt:今|今]] || 今 || jīn || [[wikt:正|正]] || 正 || zhèng |- | [[wikt:雨|雨]] || 雨 || yǔ || [[wikt:两|两]] || 兩 || liǎng || [[wikt:瓜|瓜]] || 瓜 || guā |- | [[wikt:衣|衣]] || 衣 || yī || [[wikt:来|来]] || 來 || lái || [[wikt:年|年]] || 年 || nián |- | [[wikt:丁|丁]] || 丁 || dīng || [[wikt:齐|齐]] || 齊 || qí || [[wikt:冬|冬]] || 冬 || dōng |- | [[wikt:说|说]] || 說 || shuō || [[wikt:友|友]] || 友 || yǒu || [[wikt:话|话]] || 話 || huà |- | [[wikt:春|春]] || 春 || chūn || [[wikt:朋|朋]] || 朋 || péng || [[wikt:高|高]] || 高 || gāo |- | [[wikt:你|你]] || 你 || nǐ || [[wikt:红|红]] || 紅 || hóng || [[wikt:绿|绿]] || 綠 || lǜ |- | [[wikt:们|们]] || 們 || mén || [[wikt:花|花]] || 花 || huā || [[wikt:草|草]] || 草 || cǎo |- | [[wikt:爷|爷]] || 爺 || yé || [[wikt:亲|亲]] || 親 || qīn || [[wikt:节|节]] || 節 || jié |- | [[wikt:的|的]] || 的 || dě / de / dí（的确〔確〕） || [[wikt:岁|岁]] || 歲 || suì || [[wikt:行|行]] || 行 || xíng（出行） / háng（行家） |- | [[wikt:古|古]] || 古 || gǔ || [[wikt:处|处]] || 處 || chù || [[wikt:声|声]] || 聲 || shēng |- | [[wikt:知|知]] || 知 || zhī || [[wikt:多|多]] || 多 || duō || [[wikt:忙|忙]] || 忙 || máng |- | [[wikt:洗|洗]] || 洗 || xǐ || [[wikt:真|真]] || 真 || zhēn || [[wikt:认|认]] || 認 || rèn |- | [[wikt:父|父]] || 父 || fù || [[wikt:扫|扫]] || 掃 || sǎo || [[wikt:母|母]] || 母 || mǔ |- | [[wikt:爸|爸]] || 爸 || bà || [[wikt:写|写]] || 寫 || xiě || [[wikt:全|全]] || 全 || quán |- | [[wikt:完|完]] || 完 || wán || [[wikt:关|关]] || 關 || guān || [[wikt:家|家]] || 家 || jiā |- | [[wikt:看|看]] || 看 || kàn || [[wikt:笑|笑]] || 笑 || xiào || [[wikt:着|着]] || 著 || zhe（顺着〔順著〕） / zhuó（衣着〔著〕） / zháo（着〔著〕急） / zhāo（着数〔著數〕，同“招数〔數〕”） |- | [[wikt:兴|兴]] || 興 || xīng || [[wikt:画|画]] || 畫 || huà || [[wikt:会|会]] || 會 || huì（会议〔會議〕） / kuài（会计〔會計〕） |- | [[wikt:妈|妈]] || 媽 || mā || [[wikt:合|合]] || 合 || hé || [[wikt:奶|奶]] || 奶 || nǎi |- | [[wikt:放|放]] || 放 || fàng || [[wikt:午|午]] || 午 || wǔ || [[wikt:收|收]] || 收 || shōu |- | [[wikt:女|女]] || 女 || nǚ || [[wikt:气|气]] || 氣 || qì || [[wikt:太|太]] || 太 || tài |- | [[wikt:早|早]] || 早 || zǎo || [[wikt:去|去]] || 去 || qù || [[wikt:亮|亮]] || 亮 || liàng |- | [[wikt:和|和]] || 和 || hé（和平） / hè（附和） / huó（和面〔麵〕） / huò（和弄） / hú（和牌） || [[wikt:李|李]] || 李 || lǐ || [[wikt:语|语]] || 語 || yǔ |- | [[wikt:秀|秀]] || 秀 || xiù || [[wikt:千|千]] || 千 || qiān || [[wikt:香|香]] || 香 || xiāng |- | [[wikt:听|听]] || 聽 || tīng || [[wikt:远|远]] || 遠 || yuǎn || [[wikt:唱|唱]] || 唱 || chàng |- | [[wikt:定|定]] || 定 || dìng || [[wikt:连|连]] || 連 || lián || [[wikt:向|向]] || 向 || xiàng |- | [[wikt:以|以]] || 以 || yǐ || [[wikt:更|更]] || 更 || gèng（更加） / gēng（更新） || [[wikt:后|后]] || 後 后 || hòu |- | [[wikt:意|意]] || 意 || yì || [[wikt:主|主]] || 主 || zhǔ || [[wikt:总|总]] || 總 || zǒng |- | [[wikt:先|先]] || 先 || xiān || [[wikt:起|起]] || 起 || qǐ || [[wikt:干|干]] || 幹 乾 干 || gǎn（干〔幹〕活） / gān（干〔乾〕燥） |- | [[wikt:明|明]] || 明 || míng || [[wikt:赶|赶]] || 趕 || gǎn || [[wikt:净|净]] || 淨 || jìng |- | [[wikt:同|同]] || 同 || tóng || [[wikt:专|专]] || 專 || zhuān || [[wikt:工|工]] || 工 || gōng |- | [[wikt:才|才]] || 才 || cái || [[wikt:级|级]] || 級 || jí || [[wikt:队|队]] || 隊 || duì |- | [[wikt:蚂|蚂]] || 螞 || mǎ || [[wikt:蚁|蚁]] || 蟻 || yǐ || [[wikt:前|前]] || 前 || qián |- | [[wikt:房|房]] || 房 || fáng || [[wikt:空|空]] || 空 || kōng（空气〔氣〕） / kòng（空档〔檔〕） || [[wikt:网|网]] || 網 || wǎng |- | [[wikt:诗|诗]] || 詩 || shī || [[wikt:黄|黄]] || 黃 || huáng || [[wikt:林|林]] || 林 || lín |- | [[wikt:闭|闭]] || 閉 || bì || [[wikt:童|童]] || 童 || tóng || [[wikt:立|立]] || 立 || lì |- | [[wikt:是|是]] || 是 || shì || [[wikt:我|我]] || 我 || wǒ || [[wikt:朵|朵]] || 朵 || duǒ |- | [[wikt:叶|叶]] || 葉 || yè || [[wikt:美|美]] || 美 || měi || [[wikt:机|机]] || 機 || jī |- | [[wikt:她|她]] || 她 || tā || [[wikt:过|过]] || 過 || guò || [[wikt:他|他]] || 他 || tā |- | [[wikt:时|时]] || 時 || shí || [[wikt:送|送]] || 送 || sòng || [[wikt:让|让]] || 讓 || ràng |- | [[wikt:吗|吗]] || 嗎 嘛 || mā / mǎ / ma || [[wikt:往|往]] || 住 || wǎng || [[wikt:吧|吧]] || 吧 || bā / ba |- | [[wikt:得|得]] || 得 || dé / děi / de || [[wikt:虫|虫]] || 蟲 || chóng || [[wikt:很|很]] || 很 || hěn |- | [[wikt:河|河]] || 河 || hé || [[wikt:借|借]] || 借 || jiè || [[wikt:姐|姐]] || 姐 || jiě |- | [[wikt:呢|呢]] || 呢 || ne / ní（毛呢） || [[wikt:呀|呀]] || 呀 || yá / ya || [[wikt:哪|哪]] || 哪 || nǎ（哪里〔裡〕） / něi / na / né（哪吒） |- | [[wikt:谁|谁]] || 誰 || shúi（shéi） || [[wikt:凉|凉]] || 涼 || liáng || [[wikt:怕|怕]] || 怕 || pà |- | [[wikt:量|量]] || 量 || liáng / liàng（分量） || [[wikt:跟|跟]] || 跟 || gēn || [[wikt:最|最]] || 最 || zuì |- | [[wikt:园|园]] || 園 || yuán || [[wikt:脸|脸]] || 臉 || liǎn || [[wikt:因|因]] || 因 || yīn |- | [[wikt:阳|阳]] || 陽 || yáng || [[wikt:为|为]] || 為 || （作为〔為〕）wéi / （为〔為〕何）wèi || [[wikt:光|光]] || 光 || guāng |- | [[wikt:可|可]] || 可 || kě || [[wikt:法|法]] || 法 || fǎ || [[wikt:石|石]] || 石 || shí |- | [[wikt:找|找]] || 找 || zhǎo || [[wikt:办|办]] || 辦 || bàn || [[wikt:许|许]] || 許 || xǔ |- | [[wikt:别|别]] || 別 彆 || bié（离别〔離別〕） / biè（别〔彆〕扭） || [[wikt:那|那]] || 那 || nà（那里〔裡〕） / nǎ（同“哪”，中国大陆已不用） / nèi / nā || [[wikt:到|到]] || 到 || dào |- | [[wikt:都|都]] || 都 || dōu（都有） / dū（都市） || [[wikt:吓|吓]] || 嚇 || xià || [[wikt:叫|叫]] || 叫 || jiào |- | [[wikt:再|再]] || 再 || zài || [[wikt:做|做]] || 做 || zuò || [[wikt:象|象]] || 象 || xiàng |- | [[wikt:点|点]] || 點 || diǎn || [[wikt:像|像]] || 像 || xiàng || [[wikt:照|照]] || 照 || zhào |- | [[wikt:沙|沙]] || 沙 || shā || [[wikt:海|海]] || 海 || hǎi || [[wikt:桥|桥]] || 橋 || qiáo |- | [[wikt:军|军]] || 軍 || jūn || [[wikt:竹|竹]] || 竹 || zhú || [[wikt:苗|苗]] || 苗 || miáo |- | [[wikt:井|井]] || 井 || jǐng || [[wikt:面|面]] || 面 麵 || miàn（面容）/（面条〔麵條〕） || [[wikt:乡|乡]] || 鄉 || xiāng |- | [[wikt:忘|忘]] || 忘 || wàng || [[wikt:想|想]] || 想 || xiǎng || [[wikt:念|念]] || 念 || niàn |- | [[wikt:王|王]] || 王 || wáng（国王） / wàng（王天下，“王”作动词，意为“成为……的王”） || [[wikt:这|这]] || 這 || zhè || [[wikt:从|从]] || 從 || cóng（从来〔從來〕） / zòng（通“纵〔縱〕”） |- | [[wikt:进|进]] || 進 || jìn || [[wikt:边|边]] || 邊 || biān || [[wikt:道|道]] || 道 || dào |- | [[wikt:贝|贝]] || 貝 || bèi || [[wikt:男|男]] || 男 || nán || [[wikt:原|原]] || 原 || yuán |- | [[wikt:爱|爱]] || 愛 || ài || [[wikt:虾|虾]] || 蝦 || xiā || [[wikt:跑|跑]] || 跑 || pǎo |- | [[wikt:吹|吹]] || 吹 || chuī || [[wikt:乐|乐]] || 樂 || lè（快乐〔樂〕） / yuè（音乐〔樂〕） || [[wikt:地|地]] || 地 || dì（地方） / de（悄悄地……） |- | [[wikt:老|老]] || 老 || lǎo || [[wikt:快|快]] || 快 || kuài || [[wikt:师|师]] || 師 || shī |- | [[wikt:短|短]] || 短 || duǎn || [[wikt:淡|淡]] || 淡 || dàn || [[wikt:对|对]] || 對 || duì |- | [[wikt:热|热]] || 熱 || rè || [[wikt:冷|冷]] || 冷 || lěng || [[wikt:情|情]] || 情 || qíng |- | [[wikt:拉|拉]] || 拉 || lā || [[wikt:活|活]] || 活 || huó || [[wikt:把|把]] || 把 || bǎ |- | [[wikt:种|种]] || 種 || zhǒng（种〔種〕子） / zhòng（种〔種〕植） || [[wikt:给|给]] || 給 || gěi（拿给〔給〕） / jǐ（补给〔補給〕） || [[wikt:吃|吃]] || 吃 || chī |- | [[wikt:练|练]] || 練 || liàn || [[wikt:学|学]] || 學 || xué || [[wikt:习|习]] || 習 || xí |- | [[wikt:非|非]] || 非 || fēi || [[wikt:苦|苦]] || 苦 || kǔ || [[wikt:常|常]] || 常 || cháng |- | [[wikt:问|问]] || 問 || wèn || [[wikt:伴|伴]] || 伴 || bàn || [[wikt:间|间]] || 間 || jiān |- | [[wikt:共|共]] || 共 || gòng || [[wikt:伙|伙]] || 夥 伙 || huǒ（夥伴）/（伙食） || [[wikt:汽|汽]] || 汽 || qì |- | [[wikt:分|分]] || 分 || fēn（分别〔別〕） / fèn（分量） || [[wikt:要|要]] || 要 || （索要）yào / （要求）yāo || [[wikt:没|没]] || 沒 || méi（没〔沒〕有） / （吞没〔沒〕）mò |- | [[wikt:孩|孩]] || 孩 || hái || [[wikt:位|位]] || 位 || wèi || [[wikt:选|选]] || 選 || xuǎn |- | [[wikt:北|北]] || 北 || běi || [[wikt:湖|湖]] || 湖 || hú || [[wikt:南|南]] || 南 || nán |- | [[wikt:秋|秋]] || 秋 || qiū || [[wikt:江|江]] || 江 || jiāng || [[wikt:只|只]] || 只 隻 || zhī（船只〔隻〕） / zhǐ（只有） |- | [[wikt:帮|帮]] || 幫 || bāng || [[wikt:星|星]] || 星 || xīng || [[wikt:请|请]] || 請 || qǐng |- | [[wikt:雪|雪]] || 雪 || xuě || [[wikt:就|就]] || 就 || jiù || [[wikt:球|球]] || 球 || qiú |- | [[wikt:跳|跳]] || 跳 || tiào || [[wikt:玩|玩]] || 玩 || wán || [[wikt:桃|桃]] || 桃 || táo |- | [[wikt:树|树]] || 樹 || shù || [[wikt:刚|刚]] || 剛 || gāng || [[wikt:兰|兰]] || 蘭 || lán |- | [[wikt:座|座]] || 座 || zuò || [[wikt:各|各]] || 各 || gè（个别〔個別〕） / gě（自各儿，同“自个儿”） || [[wikt:带|带]] || 帶 || dài |- | [[wikt:坐|坐]] || 坐 || zuò || [[wikt:急|急]] || 急 || jí || [[wikt:名|名]] || 名 || míng |- | [[wikt:发|发]] || 發 髮 || fā（发达〔發達〕） / fà（头发〔頭髮〕） || [[wikt:成|成]] || 成 || chéng || [[wikt:动|动]] || 動 || dòng |- | [[wikt:晚|晚]] || 晚 || wǎn || [[wikt:新|新]] || 新 || xīn || [[wikt:有|有]] || 有 || yǒu |- | [[wikt:么|么]] || 么 幺 庅 麼 || me / mó / ma / yāo（老么〔幺〕） || [[wikt:在|在]] || 在 || zài || [[wikt:变|变]] || 變 || biàn |- | [[wikt:什|什]] || 什 || shén（什么） / shí（什锦〔錦〕） || [[wikt:条|条]] || 條 || tiáo |} ==二年== ２年生の漢字：649个 {| class="wikitable" |- ! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） !! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） !! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） |- | [[wikt:宜|宜]] || 宜 || yí || [[wikt:实|实]] || 實 || shí || [[wikt:色|色]] || 色 || sè |- | [[wikt:华|华]] || 華 || huá || [[wikt:谷|谷]] || 谷 || gǔ || [[wikt:金|金]] || 金 || jīn |- | [[wikt:尽|尽]] || 盡 || jìn || [[wikt:层|层]] || 層 || céng || [[wikt:丰|丰]] || 豐 || fēng |- | [[wikt:壮|壮]] || 壯 || zhuàng || [[wikt:波|波]] || 波 || bō || [[wikt:浪|浪]] || 浪 || làng |- | [[wikt:灯|灯]] || 燈 || dēng || [[wikt:作|作]] || 作 || zuò || [[wikt:字|字]] || 字 || zì |- | [[wikt:苹|苹]] || 蘋 || píng || [[wikt:丽|丽]] || 麗 || lì || [[wikt:劳|劳]] || 勞 || láo |- | [[wikt:尤|尤]] || 尤 || yóu || [[wikt:其|其]] || 其 || qí || [[wikt:区|区]] || 區 || qū |- | [[wikt:巨|巨]] || 巨 || jù || [[wikt:它|它]] || 它 || tā || [[wikt:安|安]] || 安 || ān |- | [[wikt:块|块]] || 塊 || kuài || [[wikt:站|站]] || 站 || zhàn || [[wikt:已|已]] || 已 || yǐ |- | [[wikt:甲|甲]] || 甲 || jiǎ || [[wikt:豆|豆]] || 豆 || dòu || [[wikt:识|识]] || 識 || shí |- | [[wikt:纷|纷]] || 紛 || fēn || [[wikt:经|经]] || 經 || jīng || [[wikt:如|如]] || 如 || rú |- | [[wikt:好|好]] || 好 || hǎo || [[wikt:娃|娃]] || 娃 || wá（娃子）/ wa（娃〔wá〕娃〔wa〕） || [[wikt:洼|洼]] || 窪 || wā |- | [[wikt:于|于]] || 於 || yú || [[wikt:首|首]] || 首 || shǒu || [[wikt:枝|枝]] || 枝 || zhī |- | [[wikt:枫|枫]] || 楓 || fēng || [[wikt:记|记]] || 記 || jì || [[wikt:刘|刘]] || 劉 || liú |- | [[wikt:胡|胡]] || 胡 || hú || [[wikt:戏|戏]] || 戲 || xì || [[wikt:棋|棋]] || 棋 || qí |- | [[wikt:钢|钢]] || 鋼 || gāng || [[wikt:观|观]] || 觀 || guān 观察 / guàn 道观 || [[wikt:弹|弹]] || 彈 || tán（弹〔彈〕性） / dàn（子弹〔彈〕） |- | [[wikt:琴|琴]] || 琴 || qín || [[wikt:养|养]] || 養 || yǎng || [[wikt:休|休]] || 休 || xiū |- | [[wikt:伸|伸]] || 伸 || shēn || [[wikt:甜|甜]] || 甜 || tián || [[wikt:歌|歌]] || 歌 || gē |- | [[wikt:院|院]] || 院 || yuàn || [[wikt:除|除]] || 除 || chú || [[wikt:息|息]] || 息 || xī |- | [[wikt:您|您]] || 您 || níng || [[wikt:牵|牵]] || 牽 || qiān || [[wikt:困|困]] || 困 || kùn |- | [[wikt:员|员]] || 員 || yuán || [[wikt:青|青]] || 青 || qīng || [[wikt:宁|宁]] || 寧 || níng |- | [[wikt:室|室]] || 室 || shī || [[wikt:样|样]] || 樣 || yàng || [[wikt:校|校]] || 校 || xiào / jiào |- | [[wikt:切|切]] || 切 || qiē || [[wikt:教|教]] || 教 || jiāo（教课） / jiào（教导） || [[wikt:响|响]] || 響 || xiǎng |- | [[wikt:班|班]] || 班 || bān || [[wikt:欠|欠]] || 欠 || qiàn || [[wikt:元|元]] || 元 || yuán |- | [[wikt:包|包]] || 包 || bāo || [[wikt:钟|钟]] || 鐘 || zhōng || [[wikt:叹|叹]] || 嘆 || tàn |- | [[wikt:哈|哈]] || 哈 || hā || [[wikt:迟|迟]] || 遲 || chí || [[wikt:闹|闹]] || 鬧 || nào |- | [[wikt:及|及]] || 及 || jí || [[wikt:身|身]] || 身 || shēn || [[wikt:仔|仔]] || 仔 || zǐ（仔细） / zǎi（猪仔〔崽〕） |- | [[wikt:细|细]] || 細 || xì || [[wikt:次|次]] || 次 || cì || [[wikt:外|外]] || 外 || wài |- | [[wikt:计|计]] || 計 || jì || [[wikt:怦|怦]] || 怦 || pēng || [[wikt:礼|礼]] || 禮 || lǐ |- | [[wikt:加|加]] || 加 || jiā || [[wikt:夕|夕]] || 夕 || xī || [[wikt:与|与]] || 與 || yǔ |- | [[wikt:川|川]] || 川 || chuān || [[wikt:州|州]] || 州 || zhōu || [[wikt:台|台]] || 臺 || tái |- | [[wikt:争|争]] || 爭 || zhēng || [[wikt:民|民]] || 民 || mín || [[wikt:族|族]] || 族 || zú |- | [[wikt:亿|亿]] || 億 || yì || [[wikt:洁|洁]] || 潔 || jié || [[wikt:欢|欢]] || 歡 || huān |- | [[wikt:祖|祖]] || 祖 || zǔ || [[wikt:旗|旗]] || 旗 || qí || [[wikt:帜|帜]] || 幟 || zhì |- | [[wikt:庆|庆]] || 慶 || qìng || [[wikt:曲|曲]] || 曲 || diǎn || [[wikt:央|央]] || 央 || yāng |- | [[wikt:交|交]] || 交 || jiāo || [[wikt:市|市]] || 市 || shì || [[wikt:旁|旁]] || 旁 || páng |- | [[wikt:优|优]] || 優 || yōu || [[wikt:阴|阴]] || 陰 || yīn || [[wikt:坛|坛]] || 壇 || tán |- | [[wikt:城|城]] || 城 || chéng || [[wikt:国|国]] || 國 || guó || [[wikt:图|图]] || 圖 || tú |- | [[wikt:申|申]] || 申 || shēn || [[wikt:匹|匹]] || 匹 || pǐ || [[wikt:互|互]] || 互 || hù |- | [[wikt:京|京]] || 京 || jīng || [[wikt:泪|泪]] || 淚 || lèi || [[wikt:洋|洋]] || 洋 || yáng |- | [[wikt:拥|拥]] || 擁 || yōng || [[wikt:抱|抱]] || 抱 || bào || [[wikt:相|相]] || 相 || xiāng |- | [[wikt:扬|扬]] || 揚 || yáng || [[wikt:讲|讲]] || 講 || jiǎng || [[wikt:打|打]] || 打 || dǎ（打击） / dá（一打〔十二〕） |- | [[wikt:指|指]] || 指 || zhǐ || [[wikt:接|接]] || 接 || jiē || [[wikt:惊|惊]] || 驚 || jīng |- | [[wikt:故|故]] || 故 || gù || [[wikt:侯|侯]] || 侯 || hóu || [[wikt:奇|奇]] || 奇 || qí |- | [[wikt:寸|寸]] || 寸 || cùn || [[wikt:落|落]] || 落 || luò || [[wikt:补|补]] || 補 || bǔ |- | [[wikt:拔|拔]] || 拔 || bá || [[wikt:功|功]] || 功 || gōng || [[wikt:助|助]] || 助 || zhù |- | [[wikt:取|取]] || 取 || qǔ || [[wikt:所|所]] || 所 || suǒ || [[wikt:信|信]] || 信 || xìn |- | [[wikt:沿|沿]] || 沿 || yán || [[wikt:拾|拾]] || 拾 || shí || [[wikt:际|际]] || 際 || jì |- | [[wikt:蛙|蛙]] || 蛙 || wā || [[wikt:错|错]] || 錯 || cuò || [[wikt:答|答]] || 答 || dá |- | [[wikt:还|还]] || 還 || hái（归还〔還〕） / huán（还〔還〕有） || [[wikt:言|言]] || 言 || yán || [[wikt:每|每]] || 每 || měi |- | [[wikt:治|治]] || 治 || zhì || [[wikt:棵|棵]] || 棵 || kē || [[wikt:挂|挂]] || 掛 || huà |- | [[wikt:哇|哇]] || 哇 || wā || [[wikt:怪|怪]] || 怪 || guài || [[wikt:慢|慢]] || 慢 || màn |- | [[wikt:怎|怎]] || 怎 || zěn || [[wikt:思|思]] || 思 || sī || [[wikt:穿|穿]] || 穿 || chuān |- | [[wikt:弯|弯]] || 彎 || wān || [[wikt:比|比]] || 比 || bǐ || [[wikt:服|服]] || 服 || fú |- | [[wikt:浅|浅]] || 淺 || qiǎn || [[wikt:漂|漂]] || 漂 || piāo（漂浮） / piǎo（漂白） / piào（漂亮） || [[wikt:啦|啦]] || 啦 || lā |- | [[wikt:啊|啊]] || 啊 || ā || [[wikt:夫|夫]] || 夫 || fū / fu || [[wikt:表|表]] || 表 || biǎo |- | [[wikt:示|示]] || 示 || shì || [[wikt:号|号]] || 號 || hào || [[wikt:汗|汗]] || 汗 || hàn（流汗） / hán（可〔kè〕汗） |- | [[wikt:伤|伤]] || 傷 || shāng || [[wikt:吸|吸]] || 吸 || xī || [[wikt:极|极]] || 極 || jí |- | [[wikt:串|串]] || 串 || chuàn || [[wikt:免|免]] || 免 || miǎn || [[wikt:告|告]] || 告 || gào |- | [[wikt:诉|诉]] || 訴 || sù || [[wikt:狐|狐]] || 狐 || hú || [[wikt:狸|狸]] || 狸 || lí |- | [[wikt:猴|猴]] || 猴 || góu || [[wikt:颗|颗]] || 顆 || kē || [[wikt:斤|斤]] || 斤 || jīn |- | [[wikt:折|折]] || 折 || zhé || [[wikt:挑|挑]] || 挑 || tiǎo || [[wikt:根|根]] || 根 || gēn |- | [[wikt:独|独]] || 獨 || dú || [[wikt:满|满]] || 滿 || mǎn || [[wikt:容|容]] || 容 || róng |- | [[wikt:易|易]] || 易 || yì || [[wikt:采|采]] || 採 || cǎi || [[wikt:背|背]] || 背 || bèi |- | [[wikt:板|板]] || 板 || bǎn || [[wikt:椅|椅]] || 椅 || yǐ || [[wikt:但|但]] || 但 || dàn |- | [[wikt:傍|傍]] || 傍 || páng || [[wikt:清|清]] || 清 || qīng || [[wikt:消|消]] || 消 || xiāo |- | [[wikt:由|由]] || 由 || yóu || [[wikt:术|术]] || 術 || shù || [[wikt:吐|吐]] || 吐 || tǔ |- | [[wikt:注|注]] || 注 || zhù || [[wikt:课|课]] || 課 || kè || [[wikt:铅|铅]] || 鉛 || qiān |- | [[wikt:笔|笔]] || 筆 || nǐ || [[wikt:桌|桌]] || 桌 || zhuō || [[wikt:景|景]] || 景 || jǐng |- | [[wikt:拿|拿]] || 拿 || ná || [[wikt:坏|坏]] || 壞 || huài || [[wikt:松|松]] || 松 || sōng |- | [[wikt:扎|扎]] || 扎 || zā（扎辫子） / zhā（驻扎） / zhá（挣扎） || [[wikt:抓|抓]] || 抓 || zhuā || [[wikt:祝|祝]] || 祝 || zhù |- | [[wikt:福|福]] || 福 || fú || [[wikt:句|句]] || 句 || jù || [[wikt:幸|幸]] || 幸 || xìng |- | [[wikt:之|之]] || 之 || zhī || [[wikt:令|令]] || 令 || lìng || [[wikt:布|布]] || 布 || bù |- | [[wikt:直|直]] || 直 || zhí || [[wikt:当|当]] || 當 || dāng（当面） / dàng（恰当） || [[wikt:第|第]] || 第 || dì |- | [[wikt:现|现]] || 現 || xiàn || [[wikt:期|期]] || 期 || qī || [[wikt:轮|轮]] || 輪 || lún |- | [[wikt:路|路]] || 路 || lù || [[wikt:丑|丑]] || 醜 || chǒu || [[wikt:永|永]] || 永 || yǒng |- | [[wikt:饥|饥]] || 飢 || jī || [[wikt:饱|饱]] || 飽 || bǎo || [[wikt:温|温]] || 溫 || wēn |- | [[wikt:贫|贫]] || 貧 || pín || [[wikt:富|富]] || 富 || fù || [[wikt:户|户]] || 戶 || hù |- | [[wikt:亚|亚]] || 亞 || yà || [[wikt:角|角]] || 角 || jiǎo（角落） / jué（角斗） || [[wikt:周|周]] || 周 || zhōu |- | [[wikt:床|床]] || 床 || chuáng || [[wikt:病|病]] || 病 || bìng || [[wikt:始|始]] || 始 || shǐ |- | [[wikt:张|张]] || 張 || zhāng || [[wikt:寻|寻]] || 尋 || xún || [[wikt:哭|哭]] || 哭 || kū |- | [[wikt:良|良]] || 良 || liáng || [[wikt:食|食]] || 食 || shí || [[wikt:双|双]] || 雙 || shuāng |- | [[wikt:体|体]] || 體 || tǐ || [[wikt:操|操]] || 操 || cāo || [[wikt:场|场]] || 場 || chǎng |- | [[wikt:份|份]] || 份 || fèn || [[wikt:粉|粉]] || 粉 || fěn || [[wikt:昨|昨]] || 昨 || zuó |- | [[wikt:晴|晴]] || 晴 || qíng || [[wikt:姑|姑]] || 姑 || gū || [[wikt:娘|娘]] || 娘 || niáng |- | [[wikt:妹|妹]] || 妹 || mèi || [[wikt:读|读]] || 讀 || dú || [[wikt:舟|舟]] || 舟 || zhōu |- | [[wikt:乘|乘]] || 乘 || chéng || [[wikt:音|音]] || 音 || yīn || [[wikt:客|客]] || 客 || kè |- | [[wikt:何|何]] || 何 || hé || [[wikt:汪|汪]] || 汪 || wāng || [[wikt:丛|丛]] || 叢 || cóng |- | [[wikt:牢|牢]] || 牢 || láo || [[wikt:拍|拍]] || 拍 || pāi || [[wikt:护|护]] || 護 || hù |- | [[wikt:保|保]] || 保 || bǎo || [[wikt:物|物]] || 物 || wù || [[wikt:鸡|鸡]] || 雞 || jī |- | [[wikt:猫|猫]] || 貓 || māo || [[wikt:羽|羽]] || 羽 || yǔ || [[wikt:领|领]] || 領 || lǐng |- | [[wikt:捉|捉]] || 捉 || zhuō || [[wikt:理|理]] || 理 || lǐ || [[wikt:跃|跃]] || 躍 || yuè |- | [[wikt:蹦|蹦]] || 蹦 || bèng || [[wikt:灵|灵]] || 靈 || líng || [[wikt:晨|晨]] || 晨 || chén |- | [[wikt:失|失]] || 失 || shī || [[wikt:觉|觉]] || 覺 || jué（感觉） / jiào（睡觉） || [[wikt:扔|扔]] || 扔 || rēn |- | [[wikt:掉|掉]] || 掉 || diào || [[wikt:眼|眼]] || 眼 || yǎn || [[wikt:睛|睛]] || 睛 || jīng |- | [[wikt:纸|纸]] || 紙 || zhǐ || [[wikt:船|船]] || 船 || chuán || [[wikt:久|久]] || 久 || jiǔ |- | [[wikt:乎|乎]] || 乎 || hū || [[wikt:至|至]] || 至 || zhì || [[wikt:死|死]] || 死 || sǐ |- | [[wikt:腰|腰]] || 腰 || yāo || [[wikt:捡|捡]] || 撿 || jiǎn || [[wikt:粒|粒]] || 粒 || lì |- | [[wikt:被|被]] || 被 || bèi || [[wikt:井|井]] || 井 || jǐng || [[wikt:夜|夜]] || 夜 || yè |- | [[wikt:喜|喜]] || 喜 || xǐ || [[wikt:重|重]] || 重 || chóng || [[wikt:味|味]] || 味 || wèi |- | [[wikt:轻|轻]] || 輕 || qīng || [[wikt:刻|刻]] || 刻 || kè || [[wikt:群|群]] || 群 || qún |- | [[wikt:卫|卫]] || 衛 || wèi || [[wikt:运|运]] || 運 || yùn || [[wikt:宇|宇]] || 宇 || yǔ |- | [[wikt:宙|宙]] || 宙 || zhòu || [[wikt:航|航]] || 航 || háng || [[wikt:舰|舰]] || 艦 || jiàn |- | [[wikt:冲|冲]] || 衝 || chōng || [[wikt:晒|晒]] || 曬 || shài || [[wikt:池|池]] || 池 || chí |- | [[wikt:浮|浮]] || 浮 || fú || [[wikt:灾|灾]] || 災 || zāi || [[wikt:害|害]] || 害 || hài |- | [[wikt:黑|黑]] || 黑 || hēi || [[wikt:器|器]] || 器 || qì || [[wikt:岸|岸]] || 岸 || àn |- | [[wikt:纹|纹]] || 紋 || wén || [[wikt:洞|洞]] || 洞 || dòng || [[wikt:影|影]] || 影 || yǐng |- | [[wikt:倒|倒]] || 倒 || dǎo（倒塌） / dào（倒立） || [[wikt:游|游]] || 遊 || yóu || [[wikt:圆|圆]] || 圓 || yuán |- | [[wikt:围|围]] || 圍 || wéi || [[wikt:杯|杯]] || 杯 || bēi || [[wikt:件|件]] || 件 || jiàn |- | [[wikt:住|住]] || 住 || zhù || [[wikt:须|须]] || 須 / 鬚 || xū（必须〔必須〕） /（胡须〔鬍鬚〕） || [[wikt:能|能]] || 能 || néng |- | [[wikt:飘|飘]] || 飄 || piāo || [[wikt:必|必]] || 必 || bì || [[wikt:事|事]] || 事 || shì |- | [[wikt:历|历]] || 歷 || lì || [[wikt:史|史]] || 史 || shǐ || [[wikt:灭|灭]] || 滅 || miè |- | [[wikt:克|克]] || 克 || kè || [[wikt:化|化]] || 化 || huà || [[wikt:代|代]] || 代 || dài |- | [[wikt:孙|孙]] || 孫 || sūn || [[wikt:植|植]] || 植 || zhí || [[wikt:厂|厂]] || 廠 || chǎng |- | [[wikt:产|产]] || 產 || chǎn || [[wikt:介|介]] || 介 || jiè || [[wikt:农|农]] || 農 || nóng |- | [[wikt:科|科]] || 科 || kē || [[wikt:技|技]] || 技 || jì || [[wikt:纺|纺]] || 紡 || fǎng |- | [[wikt:织|织]] || 織 || zhī || [[wikt:脱|脱]] || 脫 || tuō || [[wikt:冻|冻]] || 凍 || dòng |- | [[wikt:溪|溪]] || 溪 || xī || [[wikt:棉|棉]] || 棉 || mián || [[wikt:探|探]] || 探 || tàn |- | [[wikt:摇|摇]] || 搖 || yáo || [[wikt:野|野]] || 野 || yě || [[wikt:躲|躲]] || 躲 || duǒ |- | [[wikt:解|解]] || 解 || jiě || [[wikt:未|未]] || 未 || wèi || [[wikt:追|追]] || 追 || zhūi |- | [[wikt:店|店]] || 店 || diàn || [[wikt:枯|枯]] || 枯 || kū || [[wikt:徐|徐]] || 徐 || xú |- | [[wikt:烧|烧]] || 燒 || shāo || [[wikt:荣|荣]] || 榮 || róng || [[wikt:菜|菜]] || 菜 || cài |- | [[wikt:宿|宿]] || 宿 || sù || [[wikt:冈|冈]] || 岡 || gāng || [[wikt:世|世]] || 世 || shì |- | [[wikt:界|界]] || 界 || jǐ4 || [[wikt:轰|轰]] || 轟 || hōng || [[wikt:笋|笋]] || 筍 || sǔn |- | [[wikt:芽|芽]] || 芽 || yá || [[wikt:喊|喊]] || 喊 || hǎn || [[wikt:呼|呼]] || 呼 || hū |- | [[wikt:唤|唤]] || 喚 || huàn || [[wikt:弟|弟]] || 弟 || dì || [[wikt:哥|哥]] || 哥 || gē |- | [[wikt:骨|{{lang|zh|骨}}]] || 骨 || gǔ || [[wikt:抽|抽]] || 抽 || chōu || [[wikt:拐|拐]] || 拐 || guǎi |- | [[wikt:浇|浇]] || 澆 || jiāo || [[wikt:终|终]] || 終 || zhōng || [[wikt:静|静]] || 靜 || jìng |- | [[wikt:躺|躺]] || 躺 || tǎng || [[wikt:谢|谢]] || 謝 || xiè || [[wikt:渐|渐]] || 漸 || jiàn |- | [[wikt:微|微]] || 微 || wēi || [[wikt:瓦|瓦]] || 瓦 || wǎ || [[wikt:泉|泉]] || 泉 || quán |- | [[wikt:然|然]] || 然 || rán || [[wikt:结|结]] || 結 || jié || [[wikt:股|股]] || 股 || gǔ |- | [[wikt:脆|脆]] || 脆 || cùi || [[wikt:塔|塔]] || 塔 || tǎ || [[wikt:杜|杜]] || 杜 || dù |- | [[wikt:鹃|鹃]] || 鵑 || juān || [[wikt:冒|冒]] || 冒 || mào || [[wikt:雷|雷]] || 雷 || léi |- | [[wikt:迈|迈]] || 邁 || mài || [[wikt:迷|迷]] || 謎 || mí || [[wikt:迹|迹]] || 跡 || jì |- | [[wikt:叔|叔]] || 叔 || shū || [[wikt:锋|锋]] || 鋒 || fēng || [[wikt:滴|滴]] || 滴 || dī |- | [[wikt:洒|洒]] || 灑 || sǎ || [[wikt:泥|泥]] || 泥 || ní || [[wikt:泞|泞]] || 濘 || nìng |- | [[wikt:扑|扑]] || 撲 || pū || [[wikt:托|托]] || 託 || tuō || [[wikt:摸|摸]] || 摸 || mō |- | [[wikt:利|利]] || 利 || lì || [[wikt:铃|铃]] || 鈴 || líng || [[wikt:弱|弱]] || 弱 || ruò |- | [[wikt:末|末]] || 末 || mò || [[wikt:芬|芬]] || 芬 || fēn || [[wikt:芳|芳]] || 芳 || fāng |- | [[wikt:夏|夏]] || 夏 || xià || [[wikt:应|应]] || 應 || yìng || [[wikt:该|该]] || 該 || gāi |- | [[wikt:岛|岛]] || 島 || dǎo || [[wikt:展|展]] || 展 || zhǎn || [[wikt:建|建]] || 建 || jiàn |- | [[wikt:纱|纱]] || 紗 || shā || [[wikt:环|环]] || 環 || huán || [[wikt:绕|绕]] || 繞 || rào |- | [[wikt:胜|胜]] || 勝 || shèng || [[wikt:隐|隐]] || 隱 || yǐn || [[wikt:约|约]] || 約 || yuē |- | [[wikt:省|省]] || 省 || shěng（节省） / xǐng（反省） || [[wikt:茂|茂]] || 茂 || mào || [[wikt:盛|盛]] || 盛 || shèng |- | [[wikt:吾|吾]] || 吾 || wǔ || [[wikt:季|季]] || 季 || jì || [[wikt:留|留]] || 留 || liú |- | [[wikt:杏|杏]] || 杏 || xìng || [[wikt:密|密]] || 密 || mì || [[wikt:蜜|蜜]] || 蜜 || mì |- | [[wikt:坡|坡]] || 坡 || pō || [[wikt:搭|搭]] || 搭 || tā || [[wikt:摘|摘]] || 摘 || zhāi |- | [[wikt:钉|钉]] || 釘 || dīng || [[wikt:沟|沟]] || 溝 || gōu || [[wikt:龙|龙]] || 龍 || lóng |- | [[wikt:寿|寿]] || 壽 || shòu || [[wikt:泼|泼]] || 潑 || pō || [[wikt:敬|敬]] || 敬 || jìng |- | [[wikt:脚|脚]] || 腳 || jiǎo || [[wikt:凤|凤]] || 鳳 || fèng || [[wikt:束|束]] || 束 || shù |- | [[wikt:府|府]] || 府 || fǔ || [[wikt:夺|夺]] || 奪 || duó || [[wikt:扮|扮]] || 扮 || bàn |- | [[wikt:伟|伟]] || 偉 || wěi || [[wikt:够|够]] || 夠 || gòu || [[wikt:恩|恩]] || 恩 || ēn |- | [[wikt:柏|柏]] || 柏 || bǎi || [[wikt:特|特]] || 特 || tè || [[wikt:鲜|鲜]] || 鮮 || xiān（新鲜〔鮮〕） / xiǎn（朝鲜〔鮮〕） |- | [[wikt:度|度]] || 度 || dù || [[wikt:凰|凰]] || 凰 || huáng || [[wikt:勾|勾]] || 勾 || gōu |- | [[wikt:单|单]] || 單 || dān || [[wikt:宫|宫]] || 宮 || gōng || [[wikt:雄|雄]] || 雄 || xióng |- | [[wikt:烁|烁]] || 爍 || shuò || [[wikt:辉|辉]] || 輝 || huī || [[wikt:另|另]] || 另 || lìng |- | [[wikt:题|题]] || 題 || tí || [[wikt:漫|漫]] || 漫 || màn || [[wikt:哄|哄]] || 哄 || hǒng |- | [[wikt:骗|骗]] || 騙 || piàn || [[wikt:尔|尔]] || 爾 || ěr || [[wikt:仍|仍]] || 仍 || nǎi |- | [[wikt:便|便]] || 便 || biàn（方便） / pián（便宜） || [[wikt:票|票]] || 票 || piào || [[wikt:式|式]] || 式 || shì |- | [[wikt:且|且]] || 且 || qiě || [[wikt:煌|煌]] || 煌 || huáng || [[wikt:志|志]] || 志 || zhì |- | [[wikt:提|提]] || 提 || tí || [[wikt:朗|朗]] || 朗 || lǎng || [[wikt:喝|喝]] || 喝 || hē |- | [[wikt:刀|刀]] || 刀 || dāo || [[wikt:求|求]] || 求 || qiú || [[wikt:使|使]] || 使 || shǐ |- | [[wikt:英|英]] || 英 || yīng || [[wikt:整|整]] || 整 || zhěng || [[wikt:而|而]] || 而 || ér |- | [[wikt:丹|丹]] || 丹 || dān || [[wikt:乌|乌]] || 烏 || wū || [[wikt:显|显]] || 顯 || xiǎn |- | [[wikt:丝|丝]] || 絲 || sī || [[wikt:眨|眨]] || 眨 || zhá || [[wikt:陈|陈]] || 陳 || chén |- | [[wikt:斜|斜]] || 斜 || xié || [[wikt:含|含]] || 含 || hán || [[wikt:炉|炉]] || 爐 || lú |- | [[wikt:鸣|鸣]] || 鳴 || míng || [[wikt:银|银]] || 銀 || yín || [[wikt:泊|泊]] || 泊 || pó |- | [[wikt:柳|柳]] || 柳 || liǔ || [[wikt:艺|艺]] || 藝 || yì || [[wikt:忽|忽]] || 忽 || hū |- | [[wikt:杆|杆]] || 杆 || gǎn || [[wikt:涛|涛]] || 濤 || tāo || [[wikt:转|转]] || 轉 || zhuàn |- | [[wikt:吴|吴]] || 吳 || wú || [[wikt:窗|窗]] || 窗 || chuāng || [[wikt:岭|岭]] || 嶺 || lǐng |- | [[wikt:绝|绝]] || 絕 || jué || [[wikt:烟|烟]] || 煙 || yān || [[wikt:流|流]] || 流 || liú |- | [[wikt:垂|垂]] || 垂 || chúi || [[wikt:乱|乱]] || 亂 || luàn || [[wikt:压|压]] || 壓 || yā |- | [[wikt:越|越]] || 越 || yuè || [[wikt:彩|彩]] || 彩 || cǎi || [[wikt:蝉|蝉]] || 蟬 || chán |- | [[wikt:岩|岩]] || 岩 || yán || [[wikt:趴|趴]] || 趴 || pā || [[wikt:刨|刨]] || 刨 || páo |- | [[wikt:陆|陆]] || 陸 || lù || [[wikt:质|质]] || 質 || zhì || [[wikt:厚|厚]] || 厚 || hòu |- | [[wikt:沉|沉]] || 沉 || chén || [[wikt:逃|逃]] || 逃 || táo || [[wikt:阵|阵]] || 陣 || zhèn |- | [[wikt:虹|虹]] || 虹 || hóng || [[wikt:蜘|蜘]] || 蜘 || zhī || [[wikt:蛛|蛛]] || 蛛 || zhū |- | [[wikt:册|册]] || 冊 || cè || [[wikt:宝|宝]] || 寶 || bǎo || [[wikt:印|印]] || 印 || yìn |- | [[wikt:埋|埋]] || 埋 || mái || [[wikt:铁|铁]] || 鐵 || tiě || [[wikt:底|底]] || 底 || dì |- | [[wikt:导|导]] || 導 || dǎo || [[wikt:盏|盏]] || 盞 || zhǎn || [[wikt:稠|稠]] || 稠 || chóu |- | [[wikt:针|针]] || 針 || zhēn || [[wikt:稀|稀]] || 稀 || xī || [[wikt:碰|碰]] || 碰 || pèng |- | [[wikt:兄|兄]] || 兄 || xiōng || [[wikt:商|商]] || 商 || shāng || [[wikt:挤|挤]] || 擠 || jǐ |- | [[wikt:决|决]] || 決 || jué || [[wikt:钱|钱]] || 錢 || qián || [[wikt:批|批]] || 批 || pī |- | [[wikt:报|报]] || 報 || bào || [[wikt:破|破]] || 破 || pò || [[wikt:碎|碎]] || 碎 || sùi |- | [[wikt:滑|滑]] || 滑 || huá || [[wikt:继|继]] || 繼 || jì || [[wikt:续|续]] || 續 || xù |- | [[wikt:封|封]] || 封 || fēng || [[wikt:骄|骄]] || 驕 || jiāo || [[wikt:傲|傲]] || 傲 || ào |- | [[wikt:拎|拎]] || 拎 || līng || [[wikt:桶|桶]] || 桶 || tǒng || [[wikt:停|停]] || 停 || tíng |- | [[wikt:聪|聪]] || 聰 || cōng || [[wikt:胳|胳]] || 胳 || gē || [[wikt:膊|膊]] || 膊 || bó |- | [[wikt:甸|甸]] || 甸 || diàn || [[wikt:晃|晃]] || 晃 || huàng || [[wikt:荡|荡]] || 荡 || dàng |- | [[wikt:叭|叭]] || 叭 || bā || [[wikt:玲|玲]] || 玲 || líng || [[wikt:狗|狗]] || 狗 || gǒu |- | [[wikt:糟|糟]] || 糟 || zāo || [[wikt:梯|梯]] || 梯 || tī || [[wikt:楼|楼]] || 樓 || lóu |- | [[wikt:肯|肯]] || 肯 || kěn || [[wikt:脑|脑]] || 腦 || nǎo || [[wikt:筋|筋]] || 筋 || jīng |- | [[wikt:讶|讶]] || 訝 || yà || [[wikt:谈|谈]] || 談 || tán || [[wikt:望|望]] || 望 || wàng |- | [[wikt:算|算]] || 算 || suàn || [[wikt:此|此]] || 此 || cǐ || [[wikt:桩|桩]] || 樁 || zhuāng |- | [[wikt:肥|肥]] || 肥 || féi || [[wikt:灰|灰]] || 灰 || hūi || [[wikt:讨|讨]] || 討 || tǎo |- | [[wikt:厌|厌]] || 厭 || yàn || [[wikt:冰|冰]] || 冰 || bīng || [[wikt:蛋|蛋]] || 蛋 || dàn |- | [[wikt:壳|壳]] || 殻 / 殼 || ké（外壳） / qiào（地壳） || [[wikt:鸭|鸭]] || 鴨 || yā || [[wikt:欺|欺]] || 欺 || qī |- | [[wikt:负|负]] || 負 || fù || [[wikt:鹅|鹅]] || 鵝 || é || [[wikt:翅|翅]] || 翅 || chì |- | [[wikt:膀|膀]] || 膀 || bǎng || [[wikt:勺|勺]] || 勺 || sháo || [[wikt:斗|斗]] || 斗 || dòu |- | [[wikt:玉|玉]] || 玉 || yù || [[wikt:组|组]] || 組 || zǔ || [[wikt:珍|珍]] || 珍 || zhēn |- | [[wikt:珠|珠]] || 珠 || zhū || [[wikt:数|数]] || 數 || shù（数学） / shǔ（数落） || [[wikt:钻|钻]] || 鑽 || zuān（钻研） / zuàn（钻头） |- | [[wikt:研|研]] || 研 || yán || [[wikt:睡|睡]] || 睡 || shùi || [[wikt:距|距]] || 距 || jù |- | [[wikt:离|离]] || 離 || lí || [[wikt:油|油]] || 油 || yóu || [[wikt:检|检]] || 檢 || jiǎn |- | [[wikt:查|查]] || 査 || chá || [[wikt:团|团]] || 團 / 糰 || tuán （军团〔軍團〕） / （米团〔糰〕）|| [[wikt:斥|斥]] || 斥 || chì |- | [[wikt:责|责]] || 責 || zé || [[wikt:炎|炎]] || 炎 || yán || [[wikt:夸|夸]] || 誇 || kuā |- | [[wikt:奖|奖]] || 獎 || jiǎng || [[wikt:亡|亡]] || 亡 || wáng || [[wikt:肉|肉]] || 肉 || ròu |- | [[wikt:耐|耐]] || 耐 || nài || [[wikt:谜|谜]] || 謎 || mí || [[wikt:传|传]] || 傳 || chuán |- | [[wikt:染|染]] || 染 || rǎn || [[wikt:类|类]] || 類 || lèi || [[wikt:严|严]] || 嚴 || yán |- | [[wikt:寒|寒]] || 寒 || hán |} ==三年== ３年生の漢字：502个 {| class="wikitable" |- ! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） !! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） !! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） |- | [[wikt:坪|坪]] || 坪 || píng || [[wikt:坝|坝]] || 壩 || bà || [[wikt:戴|戴]] || 戴 || dài |- | [[wikt:招|招]] || 招 || zhāo || [[wikt:蝴|蝴]] || 蝴 || hú || [[wikt:蝶|蝶]] || 蝶 || dié |- | [[wikt:孔|孔]] || 孔 || kǒng || [[wikt:雀|雀]] || 雀 || qiǎo / què || [[wikt:舞|舞]] || 舞 || wǔ |- | [[wikt:铜|铜]] || 銅 || tóng || [[wikt:粗|粗]] || 粗 || cū || [[wikt:尾|尾]] || 尾 || wěi |- | [[wikt:要|要]] || 要 || yāo / yào || [[wikt:装|装]] || 裝 || zhuāng || [[wikt:劲|劲]] || 勁 || jìn |- | [[wikt:绒|绒]] || 羢 || róng || [[wikt:朝|朝]] || 朝 || cháo / zhāo || [[wikt:些|些]] || 些 || xiē |- | [[wikt:钓|钓]] || 釣 || diào || [[wikt:察|察]] || 察 || chá || [[wikt:瓣|瓣]] || 瓣 || bàn |- | [[wikt:拢|拢]] || 攏 || lǒng || [[wikt:掌|掌]] || 掌 || zhǎng || [[wikt:趣|趣]] || 趣 || qù |- | [[wikt:爬|爬]] || 爬 || pá || [[wikt:峰|峰]] || 峰 || fēng || [[wikt:顶|顶]] || 頂 || dǐng |- | [[wikt:似|似]] || 似 || sì || [[wikt:苍|苍]] || 蒼 || cāng || [[wikt:仰|仰]] || 仰 || yǎng |- | [[wikt:咱|咱]] || 咱 || zán || [[wikt:奋|奋]] || 奮 || fèn || [[wikt:辫|辫]] || 辮 || biàn |- | [[wikt:勇|勇]] || 勇 || yǒng || [[wikt:居|居]] || 居 || jū || [[wikt:郊|郊]] || 郊 || jiāo |- | [[wikt:散|散]] || 散 || sǎn / sàn || [[wikt:步|步]] || 步 || bù ||[[wikt:胸|胸]] || 胸 || xiōng |- | [[wikt:脯|脯]] || 脯 || fǔ / pú || [[wikt:渣|渣]] || 渣 || zhā || [[wikt:或|或]] || 或 || huò |- | [[wikt:者|者]] || 者 || zhě || [[wikt:敢|敢]] || 敢 || gǎn || [[wikt:惜|惜]] || 惜 || xī |- | [[wikt:低|低]]　|| 低 || dī || [[wikt:诚|诚]] || 誠 || chéng || [[wikt:基|基]] || 基 || jī |-ffddr | [[wikt:突|突]] || 突 || tū || [[wikt:按|按]] || 按 || àn || [[wikt:摆|摆]] || 擺 || bǎi |- | [[wikt:弄|弄]] || 弄 || nòng || [[wikt:准|准]] || 準 || zhǔn || [[wikt:备|备]] || 備 || bèi |- | [[wikt:侧|侧]] || 側 || cè || [[wikt:胶|胶]] || 膠 || jiāo || [[wikt:卷|卷]] || 捲 || juǎn / juàn |- | [[wikt:辆|辆]] || 輛 || liàng || [[wikt:秘|秘]] || 秘 || bì / mì || [[wikt:杂|杂]] || 雜 || zá |- | [[wikt:社|社]] || 社 || shè || [[wikt:著|著]] || 著 || zhù || [[wikt:藏|藏]] || 藏 || cáng |- | [[wikt:悄|悄]] || 悄 || qiǎo || [[wikt:闪|闪]] || 閃 || shǎn || [[wikt:坑|坑]] || 坑 || kěng |- | [[wikt:臣|臣]] || 臣 || chén || [[wikt:推|推]] || 推 || tuī || [[wikt:旅|旅]] || 旅 || lǚ |- | [[wikt:考|考]] || 攷 || kǎo || [[wikt:秦|秦]] || 秦 || qín || [[wikt:纪|纪]] || 紀 || jì / jǐ |- | [[wikt:遗|遗]] || 遺 || yí || [[wikt:究|究]] || 究 || jiū || [[wikt:震|震]] || 震 || zhèn |- | [[wikt:促|促]] || 促 || cù || [[wikt:深|深]] || 深 || shēn || [[wikt:忆|忆]] || 憶 || yì |- | [[wikt:异|异]] || 異 || yì || [[wikt:逢|逢]] || 逢 || féng || [[wikt:佳|佳]] || 佳 || jiā |- | [[wikt:倍|倍]] || 倍 || bèi || [[wikt:遥|遥]] || 遙 || yáo || [[wikt:遍|遍]] || 遍 || biàn |- | [[wikt:插|插]] || 插 || chā || [[wikt:精|精]] || 精 || jīng || [[wikt:希|希]] || 希 || xī |- | [[wikt:却|却]] || 卻 || què || [[wikt:依|依]] || 依 || yī || [[wikt:拼|拼]] || 拚 || pīn |- | [[wikt:命|命]] || 命 || mìng || [[wikt:奔|奔]] || 逩 || bēn / bèn || [[wikt:村|村]] || 邨 || cūn |- | [[wikt:抖|抖]] || 抖 || dǒu || [[wikt:丧|丧]] || 喪 || sāng / sàng || [[wikt:磨|磨]] || 磨 || mó / mò |- | [[wikt:坊|坊]] || 坊 || fāng / fáng || [[wikt:扇|扇]] || 搧 || shān / shàn || [[wikt:枚|枚]] || 枚 || méi |- | [[wikt:邮|邮]] || 郵 || yóu　|| [[wikt:爽|爽]] || 爽 || shuǎng || [[wikt:柿|柿]] || 柿 || shì |- | [[wikt:仙|仙]] || 僊 || xiān || [[wikt:梨|梨]] || 梨 || lí || [[wikt:菠|菠]] || 菠 || bō |- | [[wikt:萝|萝]] || 蘿 || luó || [[wikt:粮|粮]] || 糧 || liáng || [[wikt:紧|紧]] || 緊 || jǐn |- | [[wikt:杨|杨]] || 楊 || yáng || [[wikt:艳|艳]] || 艷 || yàn || [[wikt:内|内]] || 內 || nèi |- | [[wikt:梦|梦]] || 夢 || mèng || [[wikt:醒|醒]] || 醒 || xǐng || [[wikt:苏|苏]] || 蘇 || sū |- | [[wikt:湿|湿]] || 濕 || shī || [[wikt:娇|娇]] || 嬌 || jiāo || [[wikt:嫩|嫩]] || 嫩 || nèn |- | [[wikt:强|强]] || 強 / 彊 || jiàng / qiáng / qiǎng || [[wikt:适|适]] || 適 || shì || [[wikt:昆|昆]] || 昆 || kūn |- | [[wikt:播|播]] || 播 || bō || [[wikt:修|修]] || 修 || xiū || [[wikt:致|致]] || 致 || zhì |- | [[wikt:论|论]] || 論 || lún / lùn || [[wikt:试|试]] || 試 || shì || [[wikt:验|验]] || 驗 || yàn |- | [[wikt:袋|袋]] || 袋 || dài || [[wikt:证|证]] || 證 || zhèng || [[wikt:概|概]] || 概 || gài |- | [[wikt:减|减]] || 減 || jiǎn || [[wikt:阻|阻]] || 阻 || zǔ || [[wikt:测|测]] || 側 || cè |- | [[wikt:括|括]] || 括 || guā / kuò || [[wikt:确|确]] || 確 || què || [[wikt:误|误]] || 誤 || wù |- | [[wikt:途|途]] || 途 || tú || [[wikt:超|超]] || 超 || chāo || [[wikt:堂|堂]] || 堂 || táng |- | [[wikt:镜|镜]] || 鏡 || jìng || [[wikt:闲|闲]] || 閒 || xián || [[wikt:待|待]] || 待 || dāi / dài |- | [[wikt:阅|阅]] || 閱 || yuè || [[wikt:腿|腿]] || 腿 || tuǐ || [[wikt:随|随]] || 隨 || suí |- | [[wikt:调|调]] || 調 || diào / tiáo || [[wikt:简|简]] || 簡 || jiǎn || [[wikt:拜|拜]] || 拜 || bài |- | [[wikt:访|访]] || 訪 || fǎng || [[wikt:具|具]] || 具 || jù || [[wikt:闻|闻]] || 聞 || wén |- | [[wikt:尘|尘]] || 塵 || chén || [[wikt:仆|仆]] || 僕 || pū / pú || [[wikt:纳|纳]] || 納 || nà |- | [[wikt:闷|闷]] || 悶 || mēn / mèn || [[wikt:丘|丘]] || 丘 || qiū || [[wikt:迎|迎]] || 迎 || yíng |- | [[wikt:等|等]] || 等 || děng || [[wikt:止|止]] || 止 || zhǐ || [[wikt:境|境]] || 境 || jìng |- | [[wikt:授|授]] || 授 || shòu || [[wikt:品|品]] || 品 || pǐn || [[wikt:暗|暗]] || 闇 / 晻 || àn |- | [[wikt:降|降]] || 降 || jiàng / xiáng || [[wikt:丈|丈]] || 丈 || zhàng || [[wikt:肢|肢]] || 肢 || zhī |- | [[wikt:肌|肌]] || 肌 || jī || [[wikt:肤|肤]] || 膚 || fū || [[wikt:辽|辽]] || 遼 || liáo |- | [[wikt:阔|阔]] || 濶 || kuò || [[wikt:血|血]] || 血 || xiě / xuè || [[wikt:液|液]] || 液 || yè |- | [[wikt:滋|滋]] || 滋 || zī || [[wikt:润|润]] || 潤 || rùn || [[wikt:创|创]] || 創 || chuàng |- | [[wikt:造|造]] || 造 || zào || [[wikt:县|县]] || 縣 || xiàn || [[wikt:设|设]] || 設 || shè |- | [[wikt:参|参]] || 參 || cān || [[wikt:部|部]] || 部 || bù || [[wikt:横|横]] || 橫 || héng / hèng |- | [[wikt:跨|跨]] || 跨 || kuà || [[wikt:举|举]] || 舉 || jǔ || [[wikt:击|击]] || 擊 || jī |- | [[wikt:坚|坚]] || 堅 || jiān || [[wikt:固|固]] || 固 || gù || [[wikt:栏|栏]] || 欄 || lán |- || [[wikt:案|案]] || 案 || àn || [[wikt:爪|爪]] || 爪 || zhǎo || [[wikt:贵|贵]] || 貴 || guì |- | [[wikt:断|断]] || 斷 || duàn || [[wikt:楚|楚]] || 楚 || chǔ || [[wikt:孤|孤]] || 孤 || gū |- | [[wikt:帆|帆]] || 帆 || fān || [[wikt:蓝|蓝]] || 藍 || lán || [[wikt:懒|懒]] || 懶 || lǎn |- | [[wikt:披|披]] || 披 || pī || [[wikt:划|划]] || 划 / 劃 || huá / huà || [[wikt:威|威]] || 威 || wēi |- | [[wikt:武|武]] || 武 || wǔ || [[wikt:拣|拣]] || 揀 || jiǎn || [[wikt:颜|颜]] || 顏 || yán |- | [[wikt:形|形]] || 形 || xíng || [[wikt:状|状]] || 狀 || zhuàng || [[wikt:渔|渔]] || 漁 || yú |- | [[wikt:料|料]] || 料 || liào || [[wikt:辈|辈]] || 輩 || bèi || [[wikt:汇|汇]] || 匯 / 彙 || huì |- | [[wikt:欣|欣]] || 訢 || xīn || [[wikt:赏|赏]] || 賞 || shǎng || [[wikt:映|映]] || 映 || yìng |- | [[wikt:挡|挡]] || 擋 || dǎng || [[wikt:视|视]] || 視 || shì || [[wikt:线|线]] || 線 || xiàn |- | [[wikt:浸|浸]] || 浸 || jìn || [[wikt:献|献]] || 獻 || xiàn || [[wikt:药|药]] || 藥 || yào |- | [[wikt:村|村]] || 村 || cūn || [[wikt:软|软]] || 軟 || ruǎn || [[wikt:刮|刮]] || 刮 / 颳 || guā |- | [[wikt:舌|舌]] || 舌 || shé || [[wikt:矛|矛]] || 矛 || máo || [[wikt:盾|盾]] || 盾 || dùn |- | [[wikt:集|集]] || 集 || jí || [[wikt:持|持]] || 持 || chí || [[wikt:般|般]] || 般 || bān |- | [[wikt:架|架]] || 架 || jià || [[wikt:龟|龟]] || 龜 || guī / jūn / qiū || [[wikt:攻|攻]] || 攻 || gōng |- | [[wikt:炮|炮]] || 炮 || páo / bāo / pào || [[wikt:坦|坦]] || 坦 || tǎn || [[wikt:战|战]] || 戰 || zhàn |- | [[wikt:神|神]] || 神 || shén || [[wikt:兵|兵]] || 兵 || bīng || [[wikt:退|退]] || 退 || tuì |- | [[wikt:挖|挖]] || 挖 || wā || [[wikt:鞋|鞋]] || 鞋 || xié || [[wikt:斧|斧]] || 斧 || fǔ |- | [[wikt:锯|锯]] || 鋸 || jù || [[wikt:免|免]] || 免 || miǎn || [[wikt:屋|屋]] || 屋 || wū |- | [[wikt:抢|抢]] || 搶 || qiāng / qiǎng / chēng || [[wikt:难|难]] || 難 || nán / nàn / nuó || [[wikt:初|初]] || 初 || chū |- | [[wikt:管|管]] || 管 || guǎn || [[wikt:敌|敌]] || 敵 || dí || [[wikt:阶|阶]] || 階 || jiē |- | [[wikt:懂|懂]] || 懂 || dǒng || [[wikt:陶|陶]] || 陶 || táo || [[wikt:谦|谦]] || 謙 || qiān |- | [[wikt:虚|虚]] || 虛 || xū || [[wikt:嘴|嘴]] || 嘴 || zuǐ || [[wikt:恼|恼]] || 惱 || nǎo |- | [[wikt:怒|怒]] || 怒 || nù || [[wikt:吵|吵]] || 吵 || chǎo / chāo || [[wikt:感|感]] || 感 || gǎn |- | [[wikt:荒|荒]] || 荒 || huāng || [[wikt:捧|捧]] || 捧 || pěng || [[wikt:朴|朴]] || 樸 / 朴 || pǔ 〔樸〕 / pò / pō / piáo |- | [[wikt:素|素]] || 素 || sù || [[wikt:值|值]] || 值 || zhí || [[wikt:受|受]] || 受 || shòu |- | [[wikt:愿|愿]] || 願 || yuàn || [[wikt:姿|姿]] || 姿 || zī || [[wikt:势|势]] || 勢 || shì |- | [[wikt:投|投]] || 投 || tóu || [[wikt:况|况]] || 況 || kuàng || [[wikt:吞|吞]] || 吞 || tūn |- | [[wikt:烈|烈]] || 烈 || liè || [[wikt:绪|绪]] || 緒 || xù || [[wikt:述|述]] || 述 || shù |- | [[wikt:普|普]] || 普 || pǔ || [[wikt:通|通]] || 通 || tōng || [[wikt:鼓|鼓]] || 鼓 || gǔ |- | [[wikt:励|励]] || 勵 || lì || [[wikt:育|育]] || 育 || yù || [[wikt:瓶|瓶]] || 瓶 || píng |- | [[wikt:系|系]] || 系 / 係 / 繫 || xì / jì || [[wikt:绳|绳]] || 繩 || shéng || [[wikt:茶|茶]] || 茶 || chá |- | [[wikt:危|危]] || 危 || wēi || [[wikt:险|险]] || 險 || xiǎn || [[wikt:顺|顺]] || 順 || shùn |- | [[wikt:俩|俩]] || 倆 || liǎng / liǎ || [[wikt:索|索]] || 索 || suǒ || [[wikt:激|激]] || 激 || jī |- | [[wikt:堵|堵]] || 堵 || dǔ || [[wikt:获|获]] || 獲 / 穫 || huò || [[wikt:矛|矛]] || 矛 || máo |- | [[wikt:担|担]] || 擔 || dān / dàn / dǎn || [[wikt:宽|宽]] || 寬 || kuān || [[wikt:裕|裕]] || 裕 || yù |- | [[wikt:买|买]] || 買 || mǎi || [[wikt:猜|猜]] || 猜 || cāi || [[wikt:糖|糖]] || 糖 || táng |- | [[wikt:即|即]] || 即 || jí || [[wikt:卡|卡]] || 卡 || qiǎ / kǎ || [[wikt:盼|盼]] || 盼 || pàn |- | [[wikt:仁|仁]] || 仁 || rén || [[wikt:贴|贴]] || 貼 || tiē || [[wikt:筝|筝]] || 箏 || zhēng |- | [[wikt:鹰|鹰]] || 鷹 || yīng || [[wikt:端|端]] || 端 || duān || [[wikt:稳|稳]] || 穩 || wěn |- | [[wikt:嚷|嚷]] || 嚷 || rǎng / rāng || [[wikt:橘|橘]] || 橘 || jú || [[wikt:墨|墨]] || 墨 || mò |- | [[wikt:斑|斑]] || 斑 || bān || [[wikt:闹|闹]] || 鬧 || nào || [[wikt:宇|宇]] || 宇 || yǔ |- | [[wikt:宙|宙]] || 宙 || zhòu || [[wikt:荡|荡]] || 盪 / 蕩 || dàng || [[wikt:衬|衬]] || 襯 || chèn |- | [[wikt:赛|赛]] || ||sài || [[wikt:拨|拨]] || || || [[wikt:警|警]] || || |- | [[wikt:惕|惕]] || || || [[wikt:膝|膝]] || || || [[wikt:毫|毫]] || || |- | [[wikt:套|套]] || || || [[wikt:倾|倾]] || || || [[wikt:探|探]] || || |- | [[wikt:扎|扎]] || || || [[wikt:搂|搂]] || || || [[wikt:贯|贯]] || || |- | [[wikt:局|局]] || || || [[wikt:昼|昼]] || || || [[wikt:耘|耘]] || || |- | [[wikt:未|未]] || || || [[wikt:耕|耕]] || || || [[wikt:织|织]] || || |- | [[wikt:桑|桑]] || || || [[wikt:蓬|蓬]] || || || [[wikt:稚|稚]] || || |- | [[wikt:纶|纶]] || || || [[wikt:莓|莓]] || || || [[wikt:苔|苔]] || || |- | [[wikt:叮|叮]] || || || [[wikt:嘱|嘱]] || || || [[wikt:排|排]] || || |- | [[wikt:而|而]] || ||ér || [[wikt:幅|幅]] || || || [[wikt:却|却]] || || |- | [[wikt:哈|哈]] || || || [[wikt:审|审]] || || || [[wikt:肃|肃]] || || |- | [[wikt:晌|晌]] || || || [[wikt:悦|悦]] || || || [[wikt:悉|悉]] || || |- | [[wikt:诲|诲]] || || || [[wikt:例|例]] || || || [[wikt:芝|芝]] || || |- | [[wikt:卵|卵]] || || || [[wikt:匀|匀]] || || || [[wikt:寸|寸]] || || |- | [[wikt:呆|呆]] || || || [[wikt:增|增]] || || || [[wikt:隔|隔]] || || |- | [[wikt:壁|壁]] || || || [[wikt:搬|搬]] || || || [[wikt:烛|烛]] || || |- | [[wikt:慈|慈]] || || || [[wikt:肩|肩]] || || || [[wikt:捧|捧]] || || |- | [[wikt:匠|匠]] || || || [[wikt:伟|伟]] || || || [[wikt:砌|砌]] || || |- | [[wikt:跨|跨]] || || || [[wikt:创|创]] || || || [[wikt:既|既]] || || |- | [[wikt:毁|毁]] || || || [[wikt:固|固]] || || || [[wikt:且|且]] || || |- | [[wikt:案|案]] || || || [[wikt:智|智]] || || || [[wikt:慧|慧]] || || |- | [[wikt:登|登]] || || || [[wikt:阶|阶]] || || || [[wikt:厅|厅]] || || |- | [[wikt:礼|礼]] || || || [[wikt:席|席]] || || || [[wikt:灿|灿]] || || |- | [[wikt:烂|烂]] || || || [[wikt:党|党]] || || || [[wikt:描|描]] || || |- | [[wikt:敞|敞]] || || || [[wikt:椅|椅]] || || || [[wikt:议|议]] || || |- | [[wikt:宾|宾]] || || || [[wikt:翠|翠]] || || || [[wikt:秆|秆]] || || |- | [[wikt:绣|绣]] || || || [[wikt:腹|腹]] || || || [[wikt:赤|赤]] || || |- | [[wikt:衫|衫]] || || || [[wikt:疾|疾]] || || || [[wikt:泛|泛]] || || |- | [[wikt:泡|泡]] || || || [[wikt:脱|脱]] || || || [[wikt:锐|锐]] || || |- | [[wikt:晃|晃]] || || || [[wikt:饲|饲]] || || || [[wikt:贪|贪]] || || |- | [[wikt:狭|狭]] || || || [[wikt:桂|桂]] || || || [[wikt:刺|刺]] || || |- | [[wikt:软|软]] || || || [[wikt:触|触]] || || || [[wikt:滑|滑]] || || |- | [[wikt:唇|唇]] || || || [[wikt:汁|汁]] || || || [[wikt:津|津]] || || |- | [[wikt:腐|腐]] || || || [[wikt:虽|虽]] || || || [[wikt:味|味]] || || |- | [[wikt:亭|亭]] || || || [[wikt:移|移]] || || || [[wikt:泊|泊]] || || |- | [[wikt:愁|愁]] || || || [[wikt:旷|旷]] || || || [[wikt:萤|萤]] || || |- | [[wikt:簇|簇]] || || || [[wikt:烧|烧]] || || || [[wikt:喂|喂]] || || |- | [[wikt:盈|盈]] || || || [[wikt:寿|寿]] || || || [[wikt:合|合]] || || |- | [[wikt:茄|茄]] || || || [[wikt:跪|跪]] || || || [[wikt:猛|猛]] || || |- | [[wikt:庙|庙]] || || || [[wikt:蹲|蹲]] || || || [[wikt:镇|镇]] || || |- | [[wikt:须|须]] || || || [[wikt:揉|揉]] || || || [[wikt:挨|挨]] || || |- | [[wikt:挤|挤]] || || || [[wikt:之|之]] || || || [[wikt:莲|莲]] || || |- | [[wikt:胀|胀]] || || || [[wikt:姿|姿]] || || || [[wikt:仿|仿]] || || |- | [[wikt:裳|裳]] || || || [[wikt:翩|翩]] || || || [[wikt:随|随]] || || |- | [[wikt:涛|涛]] || || || [[wikt:依|依]] || || || [[wikt:否|否]] || || |- | [[wikt:窃|窃]] || || || [[wikt:私|私]] || || || [[wikt:汪|汪]] || || |- | [[wikt:类|类]] || || || [[wikt:镜|镜]] || || || [[wikt:煤|煤]] || || |- | [[wikt:属|属]] || || || [[wikt:珍|珍]] || || || [[wikt:诊|诊]] || || |- | [[wikt:职|职]] || || || [[wikt:扶|扶]] || || || [[wikt:除|除]] || || |- | [[wikt:疑|疑]] || || || [[wikt:效|效]] || || || [[wikt:缺|缺]] || || |- | [[wikt:况|况]] || || || [[wikt:编|编]] || || || [[wikt:尝|尝]] || 嘗 /  嚐|| cháng |- | [[wikt:传|传]] || || || [[wikt:延|延]] || || || [[wikt:庆|庆]] || 慶|| qìng |- | [[wikt:扬|扬]] || || || [[wikt:叠|叠]] || || || [[wikt:涌|涌]] || 涌|| yǒng |- | [[wikt:股|股]] || || || [[wikt:螺|螺]] || || || [[wikt:旋|旋]] || || |- | [[wikt:桨|桨]] || || || [[wikt:掠|掠]] || || || [[wikt:励|励]] || || |- | [[wikt:顾|顾]] || || || [[wikt:融|融]] || || || [[wikt:腾|腾]] || || |- | [[wikt:掩|掩]] || || || [[wikt:盗|盗]] || || || [[wikt:铛|铛]] || || |- | [[wikt:偷|偷]] || || || [[wikt:碰|碰]] || || || [[wikt:株|株]] || || |- | [[wikt:待|待]] || || || [[wikt:窜|窜]] || || || [[wikt:撞|撞]] || || |- | [[wikt:桩|桩]] || || || [[wikt:捡|捡]] || || || [[wikt:锄|锄]] || || |- | [[wikt:魏|魏]] || 魏|| wèi|| [[wikt:箭|箭]] || || || [[wikt:猎|猎]] || || |- | [[wikt:雁|雁]] || || || [[wikt:弦|弦]] || || || [[wikt:悲|悲]] || || |- | [[wikt:惨|惨]] || || || [[wikt:愈|愈]] || || || [[wikt:痛|痛]] || || |} ==四年== ４年生の漢字：366个 {| class="wikitable" |- ! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） !! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） !! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） |- | [[wikt:歇|歇]] || || || [[wikt:联|联]] || || || [[wikt:雕|雕]] || || |- | [[wikt:厘|厘]] || || || [[wikt:甚|甚]] || || || [[wikt:鼻|鼻]] || || |- | [[wikt:藏|藏]] || || || [[wikt:概|概]] || || || [[wikt:淘|淘]] || || |- | [[wikt:楚|楚]] || || || [[wikt:侵|侵]] || || || [[wikt:衅|衅]] || || |- | [[wikt:驻|驻]] || || || [[wikt:抗|抗]] || || || [[wikt:鲁|鲁]] || || |- | [[wikt:绍|绍]] || || || [[wikt:馆|馆]] || || || [[wikt:戒|戒]] || || |- | [[wikt:段|段]] || || || [[wikt:务|务]] || || || [[wikt:奔|奔]] || || |- | [[wikt:厉|厉]] || || || [[wikt:弛|弛]] || || || [[wikt:忧|忧]] || || |- | [[wikt:哀|哀]] || || || [[wikt:持|持]] || || || [[wikt:慰|慰]] || || |- | [[wikt:谜|谜]] || || || [[wikt:梭|梭]] || || || [[wikt:狂|狂]] || || |- | [[wikt:赢|赢]] || || || [[wikt:益|益]] || || || [[wikt:若|若]] || || |- | [[wikt:凳|凳]] || || || [[wikt:锅|锅]] || || || [[wikt:替|替]] || || |- | [[wikt:抄|抄]] || || || [[wikt:印|印]] || || || [[wikt:嗓|嗓]] || || |- | [[wikt:捆|捆]] || || || [[wikt:俯|俯]] || || || [[wikt:投|投]] || || |- | [[wikt:轰|轰]] || || || [[wikt:隆|隆]] || || || [[wikt:爆|爆]] || || |- | [[wikt:叨|叨]] || || || [[wikt:役|役]] || || || [[wikt:营|营]] || || |- | [[wikt:占|占]] || || || [[wikt:攻|攻]] || || || [[wikt:枪|枪]] || || |- | [[wikt:怒|怒]] || || || [[wikt:艰|艰]] || || || [[wikt:牺|牺]] || || |- | [[wikt:顽|顽]] || || || [[wikt:暴|暴]] || || || [[wikt:臂|臂]] || || |- | [[wikt:规|规]] || || || [[wikt:膛|膛]] || || || [[wikt:仇|仇]] || || |- | [[wikt:鹭|鹭]] || || || [[wikt:含|含]] || || || [[wikt:岭|岭]] || || |- | [[wikt:帝|帝]] || || || [[wikt:辞|辞]] || || || [[wikt:陵|陵]] || || |- | [[wikt:猿|猿]] || || || [[wikt:啼|啼]] || || || [[wikt:殿|殿]] || || |- | [[wikt:廊|廊]] || || || [[wikt:漆|漆]] || || || [[wikt:栏|栏]] || || |- | [[wikt:昆|昆]] || || || [[wikt:爽|爽]] || || || [[wikt:阁|阁]] || || |- | [[wikt:辉|辉]] || || || [[wikt:煌|煌]] || || || [[wikt:葱|葱]] || || |- | [[wikt:朱|朱]] || || || [[wikt:痕|痕]] || || || [[wikt:堤|堤]] || || |- | [[wikt:哄|哄]] || || || [[wikt:驾|驾]] || || || [[wikt:耀|耀]] || || |- | [[wikt:亩|亩]] || || || [[wikt:丈|丈]] || || || [[wikt:拇|拇]] || || |- | [[wikt:镰|镰]] || || || [[wikt:笋|笋]] || || || [[wikt:伏|伏]] || || |- | [[wikt:丘|丘]] || || || [[wikt:折|折]] || || || [[wikt:缝|缝]] || || |- | [[wikt:抚|抚]] || || || [[wikt:糖|糖]] || || || [[wikt:配|配]] || || |- | [[wikt:饮|饮]] || || || [[wikt:钟|钟]] || || || [[wikt:程|程]] || || |- | [[wikt:闯|闯]] || || || [[wikt:训|训]] || || || [[wikt:选|选]] || || |- | [[wikt:择|择]] || || || [[wikt:验|验]] || || || [[wikt:资|资]] || || |- | [[wikt:源|源]] || || || [[wikt:宋|宋]] || || || [[wikt:拴|拴]] || || |- | [[wikt:陷|陷]] || || || [[wikt:论|论]] || || || [[wikt:尚|尚]] || || |- | [[wikt:潜|潜]] || || || [[wikt:舱|舱]] || || || [[wikt:绳|绳]] || || |- | [[wikt:绑|绑]] || || || [[wikt:铲|铲]] || || || [[wikt:拖|拖]] || || |- | [[wikt:亚|亚]] || || || [[wikt:匣|匣]] || || || [[wikt:挖|挖]] || || |- | [[wikt:鞋|鞋]] || || || [[wikt:锯|锯]] || || || [[wikt:避|避]] || || |- | [[wikt:倍|倍]] || || || [[wikt:庐|庐]] || || || [[wikt:瀑|瀑]] || || |- | [[wikt:炉|炉]] || || || [[wikt:潮|潮]] || || || [[wikt:据|据]] || || |- | [[wikt:罩|罩]] || || || [[wikt:薄|薄]] || || || [[wikt:闷|闷]] || || |- | [[wikt:沸|沸]] || || || [[wikt:踮|踮]] || || || [[wikt:犹|犹]] || || |- | [[wikt:浩|浩]] || || || [[wikt:崩|崩]] || || || [[wikt:霎|霎]] || || |- | [[wikt:余|余]] || || || [[wikt:恢|恢]] || || || [[wikt:涨|涨]] || || |- | [[wikt:虎|虎]] || || || [[wikt:隙|隙]] || || || [[wikt:拂|拂]] || || |- | [[wikt:漾|漾]] || || || [[wikt:柄|柄]] || || || [[wikt:曲|曲]] || || |- | [[wikt:逐|逐]] || || || [[wikt:瞧|瞧]] || || || [[wikt:型|型]] || || |- | [[wikt:陈|陈]] || || || [[wikt:搏|搏]] || || || [[wikt:促|促]] || || |- | [[wikt:企|企]] || || || [[wikt:犯|犯]] || || || [[wikt:罪|罪]] || || |- | [[wikt:殊|殊]] || || || [[wikt:夹|夹]] || || || [[wikt:即|即]] || || |- | [[wikt:碎|碎]] || || || [[wikt:改|改]] || || || [[wikt:集|集]] || || |- | [[wikt:付|付]] || || || [[wikt:启|启]] || || || [[wikt:抛|抛]] || || |- | [[wikt:剧|剧]] || || || [[wikt:翼|翼]] || || || [[wikt:纵|纵]] || || |- | [[wikt:跃|跃]] || || || [[wikt:挣|挣]] || || || [[wikt:距|距]] || || |- | [[wikt:丧|丧]] || || || [[wikt:纽|纽]] || || || [[wikt:抉|抉]] || || |- | [[wikt:曾|曾]] || || || [[wikt:践|践]] || || || [[wikt:获|获]] || || |- | [[wikt:堡|堡]] || || || [[wikt:瘦|瘦]] || || || [[wikt:纠|纠]] || || |- | [[wikt:掏|掏]] || || || [[wikt:乞|乞]] || || || [[wikt:轧|轧]] || || |- | [[wikt:躺|躺]] || || || [[wikt:饥|饥]] || || || [[wikt:质|质]] || || |- | [[wikt:趵|趵]] || || || [[wikt:纯|纯]] || || || [[wikt:乏|乏]] || || |- | [[wikt:藻|藻]] || || || [[wikt:扁|扁]] || || || [[wikt:崇|崇]] || || |- | [[wikt:峻|峻]] || || || [[wikt:蜿|蜿]] || || || [[wikt:蜒|蜒]] || || |- | [[wikt:砖|砖]] || || || [[wikt:屯|屯]] || || || [[wikt:垒|垒]] || || |- | [[wikt:峭|峭]] || || || [[wikt:凝|凝]] || || || [[wikt:魄|魄]] || || |- | [[wikt:惠|惠]] || || || [[wikt:莺|莺]] || || || [[wikt:郭|郭]] || || |- | [[wikt:酒|酒]] || || || [[wikt:哺|哺]] || || || [[wikt:络|络]] || || |- | [[wikt:绎|绎]] || || || [[wikt:桶|桶]] || || || [[wikt:吱|吱]] || || |- | [[wikt:旬|旬]] || || || [[wikt:拐|拐]] || || || [[wikt:缸|缸]] || || |- | [[wikt:酬|酬]] || || || [[wikt:俺|俺]] || || || [[wikt:歉|歉]] || || |- | [[wikt:仅|仅]] || || || [[wikt:治|治]] || || || [[wikt:坦|坦]] || || |- | [[wikt:谓|谓]] || || || [[wikt:梯|梯]] || || || [[wikt:坚|坚]] || || |- | [[wikt:茏|茏]] || || || [[wikt:览|览]] || || || [[wikt:械|械]] || || |- | [[wikt:愧|愧]] || || || [[wikt:疚|疚]] || || || [[wikt:嫌|嫌]] || || |- | [[wikt:辛|辛]] || || || [[wikt:嗅|嗅]] || || || [[wikt:奈|奈]] || || |- | [[wikt:绒|绒]] || || || [[wikt:躯|躯]] || || || [[wikt:拯|拯]] || || |- | [[wikt:幼|幼]] || || || [[wikt:浑|浑]] || || || [[wikt:哑|哑]] || || |- | [[wikt:搏|搏]] || || || [[wikt:庞|庞]] || || || [[wikt:愣|愣]] || || |- | [[wikt:虑|虑]] || || || [[wikt:凭|凭]] || || || [[wikt:痒|痒]] || || |- | [[wikt:稿|稿]] || || || [[wikt:腔|腔]] || || || [[wikt:要|要]] || || |- | [[wikt:摔|摔]] || || || [[wikt:跌|跌]] || || || [[wikt:胆|胆]] || || |- | [[wikt:辟|辟]] || || || [[wikt:遭|遭]] || || || [[wikt:殃|殃]] || || |- | [[wikt:责|责]] || || || [[wikt:倔|倔]] || || || [[wikt:荒|荒]] || || |- | [[wikt:忍|忍]] || || || [[wikt:惫|惫]] || || || [[wikt:牵|牵]] || || |- | [[wikt:翘|翘]] || || || [[wikt:鬼|鬼]] || || || [[wikt:吻|吻]] || || |- | [[wikt:递|递]] || || || [[wikt:嘛|嘛]] || || || [[wikt:港|港]] || || |- | [[wikt:邦|邦]] || || || [[wikt:芜|芜]] || || || [[wikt:巫|巫]] || || |- | [[wikt:婆|婆]] || || || [[wikt:逼|逼]] || || || [[wikt:扮|扮]] || || |- | [[wikt:旱|旱]] || || || [[wikt:绸|绸]] || || || [[wikt:褂|褂]] || || |- | [[wikt:徒|徒]] || || || [[wikt:烦|烦]] || || || [[wikt:饶|饶]] || || |- | [[wikt:渠|渠]] || || || [[wikt:灌|灌]] || || || [[wikt:溉|溉]] || || |- | [[wikt:吩|吩]] || || || [[wikt:咐|咐]] || || || [[wikt:茅|茅]] || || |- | [[wikt:榨|榨]] || || || [[wikt:价|价]] || || || [[wikt:榴|榴]] || || |- | [[wikt:慕|慕]] || || || [[wikt:矮|矮]] || || || [[wikt:浙|浙]] || || |- | [[wikt:罗|罗]] || || || [[wikt:呈|呈]] || || || [[wikt:郁|郁]] || || |- | [[wikt:聚|聚]] || || || [[wikt:适|适]] || || || [[wikt:昏|昏]] || || |- | [[wikt:稍|稍]] || || || [[wikt:额|额]] || || || [[wikt:估|估]] || || |- | [[wikt:损|损]] || || || [[wikt:皇|皇]] || || || [[wikt:组|组]] || || |- | [[wikt:般|般]] || || || [[wikt:征|征]] || || || [[wikt:苏|苏]] || || |- | [[wikt:宏|宏]] || || || [[wikt:唐|唐]] || || || [[wikt:凡|凡]] || || |- | [[wikt:统|统]] || || || [[wikt:销|销]] || || || [[wikt:略|略]] || || |- | [[wikt:奉|奉]] || || || [[wikt:执|执]] || || || [[wikt:维|维]] || || |- | [[wikt:予|予]] || || || [[wikt:素|素]] || || || [[wikt:浸|浸]] || || |- | [[wikt:凯|凯]] || || || [[wikt:遗|遗]] || || || [[wikt:硕|硕]] || || |- | [[wikt:贡|贡]] || || || [[wikt:圣|圣]] || || || [[wikt:协|协]] || || |- | [[wikt:吁|吁]] || || || [[wikt:妻|妻]] || || || [[wikt:充|充]] || || |- | [[wikt:孟|孟]] || || || [[wikt:帆|帆]] || || || [[wikt:唯|唯]] || || |- | [[wikt:偶|偶]] || || || [[wikt:鬓|鬓]] || || || [[wikt:衰|衰]] || || |- | [[wikt:查|查]] || || || [[wikt:克|克]] || || || [[wikt:迫|迫]] || || |- | [[wikt:睫|睫]] || || || [[wikt:垫|垫]] || || || [[wikt:泣|泣]] || || |- | [[wikt:呜|呜]] || || || [[wikt:咽|咽]] || || || [[wikt:拳|拳]] || || |- | [[wikt:竭|竭]] || || || [[wikt:亿|亿]] || || || [[wikt:抵|抵]] || || |- | [[wikt:钢|钢]] || || || [[wikt:兽|兽]] || || || [[wikt:繁|繁]] || || |- | [[wikt:殖|殖]] || || || [[wikt:蔬|蔬]] || || || [[wikt:炭|炭]] || || |- | [[wikt:蒸|蒸]] || || || [[wikt:杀|杀]] || || || [[wikt:菌|菌]] || || |- | [[wikt:预|预]] || || || [[wikt:疗|疗]] || || || [[wikt:捷|捷]] || || |- | [[wikt:购|购]] || || || [[wikt:屏|屏]] || || || [[wikt:访|访]] || || |- | [[wikt:辅|辅]] || || || [[wikt:邮|邮]] || || || [[wikt:贺|贺]] || || |- | [[wikt:羡|羡]] || || || [[wikt:宜|宜]] || || || [[wikt:恋|恋]] || || |- | [[wikt:妙|妙]] || || |} ==五年== ５年生の漢字：320个 {| class="wikitable" |- ! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） !! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） !! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） |- | [[wikt:范|范]] [[wikt:刹|刹]] [[wikt:镶|镶]] |- | [[wikt:裹|裹]] [[wikt:泻|泻]] [[wikt:镀|镀]] |- | [[wikt:润|润]] [[wikt:杰|杰]] [[wikt:截|截]] |- | [[wikt:溢|溢]] [[wikt:则|则]] [[wikt:燃|燃]] |- | [[wikt:缘|缘]] [[wikt:溜|溜]] [[wikt:货|货]] |- | [[wikt:奏|奏]] [[wikt:衡|衡]] [[wikt:诵|诵]] |- | [[wikt:杖|杖]] [[wikt:超|超]] [[wikt:肌|肌]] |- | [[wikt:拘|拘]] [[wikt:耽|耽]] [[wikt:误|误]] |- | [[wikt:哲|哲]] [[wikt:仪|仪]] [[wikt:悼|悼]] |- | [[wikt:逝|逝]] [[wikt:餐|餐]] [[wikt:枣|枣]] |- | [[wikt:搞|搞]] [[wikt:冠|冠]] [[wikt:骂|骂]] |- | [[wikt:嚼|嚼]] [[wikt:悟|悟]] [[wikt:摊|摊]] |- | [[wikt:奥|奥]] [[wikt:咳|咳]] [[wikt:嗽|嗽]] |- | [[wikt:拄|拄]] [[wikt:槐|槐]] [[wikt:耐|耐]] |- | [[wikt:挽|挽]] [[wikt:饰|饰]] [[wikt:腮|腮]] |- | [[wikt:洲|洲]] [[wikt:陪|陪]] [[wikt:检|检]] |- | [[wikt:阅|阅]] [[wikt:矫|矫]] [[wikt:锁|锁]] |- | [[wikt:暂|暂]] [[wikt:糕|糕]] [[wikt:阻|阻]] |- | [[wikt:谊|谊]] [[wikt:捣|捣]] [[wikt:谣|谣]] |- | [[wikt:侦|侦]] [[wikt:混|混]] [[wikt:吵|吵]] |- | [[wikt:耗|耗]] [[wikt:嫂|嫂]] [[wikt:勒|勒]] |- | [[wikt:骏|骏]] [[wikt:限|限]] [[wikt:鞭|鞭]] |- | [[wikt:驰|驰]] [[wikt:蹄|蹄]] [[wikt:茶|茶]] |- | [[wikt:貌|貌]] [[wikt:杯|杯]] [[wikt:跤|跤]] |- | [[wikt:尼|尼]] [[wikt:艇|艇]] [[wikt:耸|耸]] |- | [[wikt:寂|寂]] [[wikt:梁|梁]] [[wikt:寇|寇]] |- | [[wikt:晋|晋]] [[wikt:挥|挥]] [[wikt:葛|葛]] |- | [[wikt:尸|尸]] [[wikt:悬|悬]] [[wikt:崖|崖]] |- | [[wikt:斩|斩]] [[wikt:磨|磨]] [[wikt:罢|罢]] |- | [[wikt:豪|豪]] [[wikt:屈|屈]] [[wikt:沃|沃]] |- | [[wikt:刘|刘]] [[wikt:龄|龄]] [[wikt:匪|匪]] |- | [[wikt:拒|拒]] [[wikt:醉|醉]] [[wikt:剂|剂]] |- | [[wikt:施|施]] [[wikt:哼|哼]] [[wikt:晕|晕]] |- | [[wikt:勉|勉]] [[wikt:堪|堪]] [[wikt:承|承]] |- | [[wikt:吟|吟]] [[wikt:残|残]] [[wikt:瑟|瑟]] |- | [[wikt:捏|捏]] [[wikt:扭|扭]] [[wikt:胯|胯]] |- | [[wikt:郑|郑]] [[wikt:拜|拜]] [[wikt:租|租]] [[wikt:允|允]] [[wikt:厨|厨]] [[wikt:颈|颈]] [[wikt:缚|缚]] [[wikt:稻|稻]] [[wikt:贼|贼]] [[wikt:畜|畜]] [[wikt:鲸|鲸]] [[wikt:肢|肢]] [[wikt:滤|滤]] [[wikt:吨|吨]] [[wikt:肺|肺]] [[wikt:判|判]] [[wikt:胎|胎]] [[wikt:宅|宅]] [[wikt:蔽|蔽]] [[wikt:弃|弃]] [[wikt:慎|慎]] [[wikt:址|址]] [[wikt:掘|掘]] [[wikt:搜|搜]] [[wikt:骤|骤]] [[wikt:糙|糙]] [[wikt:朴|朴]] [[wikt:燥|燥]] [[wikt:钳|钳]] [[wikt:嘻|嘻]] [[wikt:舀|舀]] [[wikt:掺|掺]] [[wikt:逗|逗]] [[wikt:棍|棍]] [[wikt:逮|逮]] [[wikt:萝|萝]] [[wikt:卜|卜]] [[wikt:筷|筷]] [[wikt:哗|哗]] [[wikt:哇|哇]] [[wikt:托|托]] [[wikt:批|批]] [[wikt:糟|糟]] [[wikt:蹋|蹋]] [[wikt:尔|尔]] [[wikt:肆|肆]] [[wikt:痰|痰]] [[wikt:核|核]] [[wikt:呻|呻]] [[wikt:究|究]] [[wikt:律|律]] [[wikt:俊|俊]] [[wikt:俏|俏]] [[wikt:拢|拢]] [[wikt:添|添]] [[wikt:沾|沾]] [[wikt:倦|倦]] [[wikt:谱|谱]] [[wikt:符|符]] [[wikt:塞|塞]] [[wikt:笠|笠]] [[wikt:蓑|蓑]] [[wikt:戈|戈]] [[wikt:晰|晰]] [[wikt:介|介]] [[wikt:疆|疆]] [[wikt:萎|萎]] [[wikt:汲|汲]] [[wikt:赖|赖]] [[wikt:旦|旦]] [[wikt:番|番]] [[wikt:锻|锻]] [[wikt:炼|炼]] [[wikt:雅|雅]] [[wikt:勃|勃]] [[wikt:艘|艘]] [[wikt:航|航]] [[wikt:桅|桅]] [[wikt:撕|撕]] [[wikt:唬|唬]] [[wikt:龇|龇]] [[wikt:咧|咧]] [[wikt:鸥|鸥]] [[wikt:瞄|瞄]] [[wikt:莱|莱]] [[wikt:茵|茵]] [[wikt:幽|幽]] [[wikt:券|券]] [[wikt:蜡|蜡]] [[wikt:瞎|瞎]] [[wikt:陌|陌]] [[wikt:盲|盲]] [[wikt:键|键]] [[wikt:粼|粼]] [[wikt:缕|缕]] [[wikt:恬|恬]] [[wikt:汹|汹]] [[wikt:录|录]] [[wikt:扣|扣]] [[wikt:潋|潋]] [[wikt:滟|滟]] [[wikt:亦|亦]] [[wikt:抹|抹]] [[wikt:置|置]] [[wikt:载|载]] [[wikt:循|循]] [[wikt:昙|昙]] [[wikt:秉|秉]] [[wikt:秧|秧]] [[wikt:砸|砸]] [[wikt:忌|忌]] [[wikt:膑|膑]] [[wikt:瞪|瞪]] [[wikt:惑|惑]] [[wikt:讥|讥]] [[wikt:讽|讽]] [[wikt:蔑|蔑]] [[wikt:序|序]] [[wikt:率|率]] [[wikt:瑜|瑜]] [[wikt:遣|遣]] [[wikt:渡|渡]] [[wikt:策|策]] [[wikt:滔|滔]] [[wikt:眺|眺]] [[wikt:幔|幔]] [[wikt:遮|遮]] [[wikt:苇|苇]] [[wikt:硫|硫]] [[wikt:磺|磺]] [[wikt:缆|缆]] [[wikt:盔|盔]] [[wikt:骼|骼]] [[wikt:椎|椎]] [[wikt:颌|颌]] [[wikt:趾|趾]] [[wikt:炙|炙]] [[wikt:烤|烤]] [[wikt:栎|栎]] [[wikt:羚|羚]] [[wikt:鸵|鸵]] [[wikt:椭|椭]] [[wikt:政|政]] [[wikt:瞬|瞬]] [[wikt:琥|琥]] [[wikt:珀|珀]] [[wikt:蝇|蝇]] [[wikt:脂|脂]] [[wikt:掸|掸]] [[wikt:拭|拭]] [[wikt:辣|辣]] [[wikt:渗|渗]] [[wikt:澎|澎]] [[wikt:湃|湃]] [[wikt:黏|黏]] [[wikt:测|测]] [[wikt:伍|伍]] [[wikt:坨|坨]] [[wikt:啸|啸]] [[wikt:劣|劣]] [[wikt:酷|酷]] [[wikt:袭|袭]] [[wikt:僵|僵]] [[wikt:倚|倚]] [[wikt:秃|秃]] [[wikt:塑|塑]] [[wikt:豹|豹]] [[wikt:覆|覆]] [[wikt:莹|莹]] [[wikt:援|援]] [[wikt:妄|妄]] [[wikt:诡|诡]] [[wikt:溃|溃]] [[wikt:扯|扯]] [[wikt:撤|撤]] [[wikt:瓢|瓢]] [[wikt:褐|褐]] [[wikt:聋|聋]] [[wikt:疯|疯]] [[wikt:委|委]] [[wikt:钧|钧]] [[wikt:召|召]] [[wikt:狈|狈]] [[wikt:赴|赴]] [[wikt:伦|伦]] [[wikt:典|典]] [[wikt:纳|纳]] [[wikt:喻|喻]] [[wikt:曼|曼]] [[wikt:庸|庸]] [[wikt:捅|捅]] [[wikt:刁|刁]] [[wikt:罚|罚]] [[wikt:释|释]] [[wikt:绪|绪]] [[wikt:漏|漏]] [[wikt:抑|抑]] [[wikt:榜|榜]] [[wikt:寄|寄]] [[wikt:噢|噢]] [[wikt:杈|杈]] [[wikt:监|监]] [[wikt:笛|笛]] [[wikt:嗡|嗡]] [[wikt:惧|惧]] [[wikt:凄|凄]] [[wikt:憋|憋]] [[wikt:惩|惩]] [[wikt:樱|樱]] [[wikt:狱|狱]] |} ==六年== ６年生の漢字：200个 [[wikt:厦|厦]] [[wikt:伐|伐]] [[wikt:综|综]] [[wikt:砚|砚]] [[wikt:锤|锤]] [[wikt:焚|焚]] [[wikt:协|协]] [[wikt:檐|檐]] [[wikt:汇|汇]] [[wikt:泽|泽]] [[wikt:宣|宣]] [[wikt:钮|钮]] [[wikt:徐|徐]] [[wikt:瞻|瞻]] [[wikt:帜|帜]] [[wikt:袖|袖]] [[wikt:挪|挪]] [[wikt:谋|谋]] [[wikt:辈|辈]] [[wikt:脉|脉]] [[wikt:漓|漓]] [[wikt:澜|澜]] [[wikt:瑕|瑕]] [[wikt:翡|翡]] [[wikt:峦|峦]] [[wikt:障|障]] [[wikt:筏|筏]] [[wikt:绵|绵]] [[wikt:凌|凌]] [[wikt:酿|酿]] [[wikt:剥|剥]] [[wikt:妥|妥]] [[wikt:帖|帖]] [[wikt:藉|藉]] [[wikt:偿|偿]] [[wikt:馋|馋]] [[wikt:媒|媒]] [[wikt:诞|诞]] [[wikt:埃|埃]] [[wikt:渺|渺]] [[wikt:矿|矿]] [[wikt:赐|赐]] [[wikt:慷|慷]] [[wikt:慨|慨]] [[wikt:滥|滥]] [[wikt:睹|睹]] [[wikt:礴|礴]] [[wikt:丸|丸]] [[wikt:岷|岷]] [[wikt:咨|咨]] [[wikt:询|询]] [[wikt:浏|浏]] [[wikt:碟|碟]] [[wikt:晖|晖]] [[wikt:迪|迪]] [[wikt:誉|誉]] [[wikt:篇|篇]] [[wikt:版|版]] [[wikt:皱|皱]] [[wikt:歧|歧]] [[wikt:谨|谨]] [[wikt:巢|巢]] [[wikt:梢|梢]] [[wikt:暇|暇]] [[wikt:茸|茸]] [[wikt:甸|甸]] [[wikt:屑|屑]] [[wikt:掷|掷]] [[wikt:俗|俗]] [[wikt:瑞|瑞]] [[wikt:兆|兆]] [[wikt:谚|谚]] [[wikt:枕|枕]] [[wikt:馒|馒]] [[wikt:柜|柜]] [[wikt:锈|锈]] [[wikt:摩|摩]] [[wikt:爹|爹]] [[wikt:袄|袄]] [[wikt:筒|筒]] [[wikt:揪|揪]] [[wikt:粥|粥]] [[wikt:吉|吉]] [[wikt:炕|炕]] [[wikt:叙|叙]] [[wikt:肤|肤]] [[wikt:签|签]] [[wikt:缩|缩]] [[wikt:脾|脾]] [[wikt:册|册]] [[wikt:熄|熄]] [[wikt:唉|唉]] [[wikt:欠|欠]] [[wikt:谅|谅]] [[wikt:俱|俱]] [[wikt:矣|矣]] [[wikt:曰|曰]] [[wikt:盂|盂]] [[wikt:沧|沧]] [[wikt:汤|汤]] [[wikt:阀|阀]] [[wikt:娱|娱]] [[wikt:僻|僻]] [[wikt:怖|怖]] [[wikt:宪|宪]] [[wikt:胖|胖]] [[wikt:刑|刑]] [[wikt:押|押]] [[wikt:舅|舅]] [[wikt:绞|绞]] [[wikt:彻|彻]] [[wikt:迁|迁]] [[wikt:鸿|鸿]] [[wikt:旺|旺]] [[wikt:标|标]] [[wikt:炊|炊]] [[wikt:葬|葬]] [[wikt:权|权]] [[wikt:溅|溅]] [[wikt:嘹|嘹]] [[wikt:魅|魅]] [[wikt:萍|萍]] [[wikt:敏|敏]] [[wikt:滨|滨]] [[wikt:拆|拆]] [[wikt:申|申]] [[wikt:挠|挠]] [[wikt:控|控]] [[wikt:嘲|嘲]] [[wikt:毅|毅]] [[wikt:扛|扛]] [[wikt:绘|绘]] [[wikt:桨|桨]] [[wikt:岔|岔]] [[wikt:竣|竣]] [[wikt:藐|藐]] [[wikt:蔡|蔡]] [[wikt:羹|羹]] [[wikt:煎|煎]] [[wikt:诸|诸]] [[wikt:妒|妒]] [[wikt:督|督]] [[wikt:寨|寨]] [[wikt:擂|擂]] [[wikt:呐|呐]] [[wikt:丞|丞]] [[wikt:璧|璧]] [[wikt:臣|臣]] [[wikt:诺|诺]] [[wikt:廉|廉]] [[wikt:颇|颇]] [[wikt:御|御]] [[wikt:侮|侮]] [[wikt:辱|辱]] [[wikt:袍|袍]] [[wikt:荆|荆]] [[wikt:祭|祭]] [[wikt:乃|乃]] [[wikt:涕|涕]] [[wikt:洛|洛]] [[wikt:碗|碗]] [[wikt:伶|伶]] [[wikt:俐|俐]] [[wikt:徘|徘]] [[wikt:徊|徊]] [[wikt:裸|裸]] [[wikt:兜|兜]] [[wikt:蜷|蜷]] [[wikt:焰|焰]] [[wikt:烘|烘]] [[wikt:哎|哎]] [[wikt:梗|梗]] [[wikt:填|填]] [[wikt:橱|橱]] [[wikt:烁|烁]] [[wikt:魂|魂]] [[wikt:搁|搁]] [[wikt:帐|帐]] [[wikt:怨|怨]] [[wikt:掀|掀]] [[wikt:寡|寡]] [[wikt:揍|揍]] [[wikt:魁|魁]] [[wikt:霉|霉]] [[wikt:勺|勺]] [[wikt:熬|熬]] [[wikt:鼎|鼎]] [[wikt:铸|铸]] [[wikt:铭|铭]] [[wikt:湛|湛]] [[wikt:昌|昌]] [[wikt:溶|溶]] [[wikt:构|构]] [[wikt:寓|寓]] [[wikt:矛|矛]] [[wikt:盾|盾]] [[wikt:誉|誉]] [[wikt:吾|吾]] [[wikt:履|履]] [[wikt:遂|遂]] [[category:中国語|しようよう]] dij5lg0wc7xyi243f3camrb7aayfyvi 299497 299496 2026-05-13T10:01:44Z Tomzo 248 [[Special:Contributions/~2026-28913-18|~2026-28913-18]] ([[User talk:~2026-28913-18|会話]]) による編集を取り消し、ねこすな による直前の版へ差し戻す 286658 wikitext text/x-wiki 以下は人民教育出版社の小学校[[中国語]]教科書の常用漢字表である。総計2207字。 ==一年== １年生の漢字：350个 {| class="wikitable" |- ! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） !! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） !! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） |- | [[wikt:一|一]] || 一 || yī || [[wikt:二|二]] || 二 || èr || [[wikt:三|三]] || 三 || sān |- | [[wikt:四|四]] || 四 || sì || [[wikt:五|五]] || 五 || wǔ || [[wikt:六|六]] || 六 || liù |- | [[wikt:七|七]] || 七 || qī || [[wikt:八|八]] || 八 || bā || [[wikt:九|九]] || 九 || jiǔ |- | [[wikt:十|十]] || 十 || shí || [[wikt:百|百]] || 百 || bǎi || [[wikt:万|万]] || 萬 || wàn |- | [[wikt:木|木]] || 木 || mù || [[wikt:禾|禾]] || 禾 || hé || [[wikt:上|上]] || 上 || shàng |- | [[wikt:下|下]] || 下 || xià || [[wikt:左|左]] || 左 || zuǒ || [[wikt:右|右]] || 右 || yòu |- | [[wikt:土|土]] || 土 || tǔ || [[wikt:个|个]] || 個 || gè || [[wikt:入|入]] || 入 || rù |- | [[wikt:大|大]] || 大 || dà || [[wikt:天|天]] || 天 || tiān || [[wikt:人|人]] || 人 || rén |- | [[wikt:火|火]] || 火 || huǒ || [[wikt:文|文]] || 文 || wén || [[wikt:儿|儿]] || 兒 || ér |- | [[wikt:无|无]] || 無 || wú || [[wikt:口|口]] || 口 || kǒu || [[wikt:日|日]] || 日 || rì |- | [[wikt:中|中]] || 中 || zhōng || [[wikt:了|了]] || 了 瞭 || le / liǎo（了〔瞭〕解） || [[wikt:子|子]] || 子 || zǐ / zi |- | [[wikt:门|门]] || 門 || mén || [[wikt:月|月]] || 月 || yuè || [[wikt:不|不]] || 不 || bù |- | [[wikt:开|开]] || 開 || kāi || [[wikt:目|目]] || 目 || mù || [[wikt:耳|耳]] || 耳 || ěr |- | [[wikt:头|头]] || 頭 || tóu || [[wikt:米|米]] || 米 || mǐ || [[wikt:见|见]] || 見 || jiàn |- | [[wikt:白|白]] || 白 || bái || [[wikt:田|田]] || 田 || tián || [[wikt:电|电]] || 電 || diàn |- | [[wikt:也|也]] || 也 || yě || [[wikt:长|长]] || 長 || cháng（长〔長〕久） / zhǎng（成長） || [[wikt:山|山]] || 山 || shān |- | [[wikt:出|出]] || 出 || chū || [[wikt:飞|飞]] || 飛 || fēi || [[wikt:马|马]] || 馬 || mǎ |- | [[wikt:鸟|鸟]] || 鳥 || niǎo || [[wikt:云|云]] || 云 || yún || [[wikt:公|公]] || 公 || gōng |- | [[wikt:车|车]] || 車 || chē || [[wikt:牛|牛]] || 牛 || niú || [[wikt:羊|羊]] || 羊 || yáng |- | [[wikt:小|小]] || 小 || xiǎo || [[wikt:少|少]] || 少 || shǎo（多少） / shào（少女） || [[wikt:巾|巾]] || 巾 || jīn |- | [[wikt:牙|牙]] || 牙 || yá || [[wikt:尺|尺]] || 尺 || chǐ || [[wikt:毛|毛]] || 毛 || máo |- | [[wikt:卜|卜]] || 卜 蔔 || bǔ（预卜） / bo（萝卜〔蘿蔔〕） || [[wikt:又|又]] || 又 || yòu || [[wikt:心|心]] || 心 || xīn |- | [[wikt:风|风]] || 風 || fēng || [[wikt:力|力]] || 力 || lì || [[wikt:手|手]] || 手 || shǒu |- | [[wikt:水|水]] || 水 || shǔi || [[wikt:广|广]] || 廣 || guǎng || [[wikt:升|升]] || 升 || shēng |- | [[wikt:足|足]] || 足 || zú || [[wikt:走|走]] || 走 || zǒu || [[wikt:方|方]] || 方 || fāng |- | [[wikt:半|半]] || 半 || bàn || [[wikt:巴|巴]] || 巴 || bā || [[wikt:业|业]] || 業 || yè |- | [[wikt:本|本]] || 本 || běn || [[wikt:平|平]] || 平 || píng || [[wikt:书|书]] || 書 || shū |- | [[wikt:自|自]] || 自 || zì || [[wikt:己|己]] || 己 || jǐ || [[wikt:东|东]] || 東 || dōng |- | [[wikt:西|西]] || 西 || xī || [[wikt:回|回]] || 回 || húi || [[wikt:片|片]] || 片 || piàn |- | [[wikt:皮|皮]] || 皮 || pí || [[wikt:生|生]] || 生 || shēng || [[wikt:里|里]] || 里 裡 裏 || lǐ （里弄）/（这里〔這裡〕）/（里〔裏〕面） |- | [[wikt:果|果]] || 果 || guǒ || [[wikt:几|几]] || 幾 几 || jǐ || [[wikt:用|用]] || 用 || yòng |- | [[wikt:鱼|鱼]] || 魚 || yú || [[wikt:今|今]] || 今 || jīn || [[wikt:正|正]] || 正 || zhèng |- | [[wikt:雨|雨]] || 雨 || yǔ || [[wikt:两|两]] || 兩 || liǎng || [[wikt:瓜|瓜]] || 瓜 || guā |- | [[wikt:衣|衣]] || 衣 || yī || [[wikt:来|来]] || 來 || lái || [[wikt:年|年]] || 年 || nián |- | [[wikt:丁|丁]] || 丁 || dīng || [[wikt:齐|齐]] || 齊 || qí || [[wikt:冬|冬]] || 冬 || dōng |- | [[wikt:说|说]] || 說 || shuō || [[wikt:友|友]] || 友 || yǒu || [[wikt:话|话]] || 話 || huà |- | [[wikt:春|春]] || 春 || chūn || [[wikt:朋|朋]] || 朋 || péng || [[wikt:高|高]] || 高 || gāo |- | [[wikt:你|你]] || 你 || nǐ || [[wikt:红|红]] || 紅 || hóng || [[wikt:绿|绿]] || 綠 || lǜ |- | [[wikt:们|们]] || 們 || mén || [[wikt:花|花]] || 花 || huā || [[wikt:草|草]] || 草 || cǎo |- | [[wikt:爷|爷]] || 爺 || yé || [[wikt:亲|亲]] || 親 || qīn || [[wikt:节|节]] || 節 || jié |- | [[wikt:的|的]] || 的 || dě / de / dí（的确〔確〕） || [[wikt:岁|岁]] || 歲 || suì || [[wikt:行|行]] || 行 || xíng（出行） / háng（行家） |- | [[wikt:古|古]] || 古 || gǔ || [[wikt:处|处]] || 處 || chù || [[wikt:声|声]] || 聲 || shēng |- | [[wikt:知|知]] || 知 || zhī || [[wikt:多|多]] || 多 || duō || [[wikt:忙|忙]] || 忙 || máng |- | [[wikt:洗|洗]] || 洗 || xǐ || [[wikt:真|真]] || 真 || zhēn || [[wikt:认|认]] || 認 || rèn |- | [[wikt:父|父]] || 父 || fù || [[wikt:扫|扫]] || 掃 || sǎo || [[wikt:母|母]] || 母 || mǔ |- | [[wikt:爸|爸]] || 爸 || bà || [[wikt:写|写]] || 寫 || xiě || [[wikt:全|全]] || 全 || quán |- | [[wikt:完|完]] || 完 || wán || [[wikt:关|关]] || 關 || guān || [[wikt:家|家]] || 家 || jiā |- | [[wikt:看|看]] || 看 || kàn || [[wikt:笑|笑]] || 笑 || xiào || [[wikt:着|着]] || 著 || zhe（顺着〔順著〕） / zhuó（衣着〔著〕） / zháo（着〔著〕急） / zhāo（着数〔著數〕，同“招数〔數〕”） |- | [[wikt:兴|兴]] || 興 || xīng || [[wikt:画|画]] || 畫 || huà || [[wikt:会|会]] || 會 || huì（会议〔會議〕） / kuài（会计〔會計〕） |- | [[wikt:妈|妈]] || 媽 || mā || [[wikt:合|合]] || 合 || hé || [[wikt:奶|奶]] || 奶 || nǎi |- | [[wikt:放|放]] || 放 || fàng || [[wikt:午|午]] || 午 || wǔ || [[wikt:收|收]] || 收 || shōu |- | [[wikt:女|女]] || 女 || nǚ || [[wikt:气|气]] || 氣 || qì || [[wikt:太|太]] || 太 || tài |- | [[wikt:早|早]] || 早 || zǎo || [[wikt:去|去]] || 去 || qù || [[wikt:亮|亮]] || 亮 || liàng |- | [[wikt:和|和]] || 和 || hé（和平） / hè（附和） / huó（和面〔麵〕） / huò（和弄） / hú（和牌） || [[wikt:李|李]] || 李 || lǐ || [[wikt:语|语]] || 語 || yǔ |- | [[wikt:秀|秀]] || 秀 || xiù || [[wikt:千|千]] || 千 || qiān || [[wikt:香|香]] || 香 || xiāng |- | [[wikt:听|听]] || 聽 || tīng || [[wikt:远|远]] || 遠 || yuǎn || [[wikt:唱|唱]] || 唱 || chàng |- | [[wikt:定|定]] || 定 || dìng || [[wikt:连|连]] || 連 || lián || [[wikt:向|向]] || 向 || xiàng |- | [[wikt:以|以]] || 以 || yǐ || [[wikt:更|更]] || 更 || gèng（更加） / gēng（更新） || [[wikt:后|后]] || 後 后 || hòu |- | [[wikt:意|意]] || 意 || yì || [[wikt:主|主]] || 主 || zhǔ || [[wikt:总|总]] || 總 || zǒng |- | [[wikt:先|先]] || 先 || xiān || [[wikt:起|起]] || 起 || qǐ || [[wikt:干|干]] || 幹 乾 干 || gǎn（干〔幹〕活） / gān（干〔乾〕燥） |- | [[wikt:明|明]] || 明 || míng || [[wikt:赶|赶]] || 趕 || gǎn || [[wikt:净|净]] || 淨 || jìng |- | [[wikt:同|同]] || 同 || tóng || [[wikt:专|专]] || 專 || zhuān || [[wikt:工|工]] || 工 || gōng |- | [[wikt:才|才]] || 才 || cái || [[wikt:级|级]] || 級 || jí || [[wikt:队|队]] || 隊 || duì |- | [[wikt:蚂|蚂]] || 螞 || mǎ || [[wikt:蚁|蚁]] || 蟻 || yǐ || [[wikt:前|前]] || 前 || qián |- | [[wikt:房|房]] || 房 || fáng || [[wikt:空|空]] || 空 || kōng（空气〔氣〕） / kòng（空档〔檔〕） || [[wikt:网|网]] || 網 || wǎng |- | [[wikt:诗|诗]] || 詩 || shī || [[wikt:黄|黄]] || 黃 || huáng || [[wikt:林|林]] || 林 || lín |- | [[wikt:闭|闭]] || 閉 || bì || [[wikt:童|童]] || 童 || tóng || [[wikt:立|立]] || 立 || lì |- | [[wikt:是|是]] || 是 || shì || [[wikt:我|我]] || 我 || wǒ || [[wikt:朵|朵]] || 朵 || duǒ |- | [[wikt:叶|叶]] || 葉 || yè || [[wikt:美|美]] || 美 || měi || [[wikt:机|机]] || 機 || jī |- | [[wikt:她|她]] || 她 || tā || [[wikt:过|过]] || 過 || guò || [[wikt:他|他]] || 他 || tā |- | [[wikt:时|时]] || 時 || shí || [[wikt:送|送]] || 送 || sòng || [[wikt:让|让]] || 讓 || ràng |- | [[wikt:吗|吗]] || 嗎 嘛 || mā / mǎ / ma || [[wikt:往|往]] || 住 || wǎng || [[wikt:吧|吧]] || 吧 || bā / ba |- | [[wikt:得|得]] || 得 || dé / děi / de || [[wikt:虫|虫]] || 蟲 || chóng || [[wikt:很|很]] || 很 || hěn |- | [[wikt:河|河]] || 河 || hé || [[wikt:借|借]] || 借 || jiè || [[wikt:姐|姐]] || 姐 || jiě |- | [[wikt:呢|呢]] || 呢 || ne / ní（毛呢） || [[wikt:呀|呀]] || 呀 || yá / ya || [[wikt:哪|哪]] || 哪 || nǎ（哪里〔裡〕） / něi / na / né（哪吒） |- | [[wikt:谁|谁]] || 誰 || shúi（shéi） || [[wikt:凉|凉]] || 涼 || liáng || [[wikt:怕|怕]] || 怕 || pà |- | [[wikt:量|量]] || 量 || liáng / liàng（分量） || [[wikt:跟|跟]] || 跟 || gēn || [[wikt:最|最]] || 最 || zuì |- | [[wikt:园|园]] || 園 || yuán || [[wikt:脸|脸]] || 臉 || liǎn || [[wikt:因|因]] || 因 || yīn |- | [[wikt:阳|阳]] || 陽 || yáng || [[wikt:为|为]] || 為 || （作为〔為〕）wéi / （为〔為〕何）wèi || [[wikt:光|光]] || 光 || guāng |- | [[wikt:可|可]] || 可 || kě || [[wikt:法|法]] || 法 || fǎ || [[wikt:石|石]] || 石 || shí |- | [[wikt:找|找]] || 找 || zhǎo || [[wikt:办|办]] || 辦 || bàn || [[wikt:许|许]] || 許 || xǔ |- | [[wikt:别|别]] || 別 彆 || bié（离别〔離別〕） / biè（别〔彆〕扭） || [[wikt:那|那]] || 那 || nà（那里〔裡〕） / nǎ（同“哪”，中国大陆已不用） / nèi / nā || [[wikt:到|到]] || 到 || dào |- | [[wikt:都|都]] || 都 || dōu（都有） / dū（都市） || [[wikt:吓|吓]] || 嚇 || xià || [[wikt:叫|叫]] || 叫 || jiào |- | [[wikt:再|再]] || 再 || zài || [[wikt:做|做]] || 做 || zuò || [[wikt:象|象]] || 象 || xiàng |- | [[wikt:点|点]] || 點 || diǎn || [[wikt:像|像]] || 像 || xiàng || [[wikt:照|照]] || 照 || zhào |- | [[wikt:沙|沙]] || 沙 || shā || [[wikt:海|海]] || 海 || hǎi || [[wikt:桥|桥]] || 橋 || qiáo |- | [[wikt:军|军]] || 軍 || jūn || [[wikt:竹|竹]] || 竹 || zhú || [[wikt:苗|苗]] || 苗 || miáo |- | [[wikt:井|井]] || 井 || jǐng || [[wikt:面|面]] || 面 麵 || miàn（面容）/（面条〔麵條〕） || [[wikt:乡|乡]] || 鄉 || xiāng |- | [[wikt:忘|忘]] || 忘 || wàng || [[wikt:想|想]] || 想 || xiǎng || [[wikt:念|念]] || 念 || niàn |- | [[wikt:王|王]] || 王 || wáng（国王） / wàng（王天下，“王”作动词，意为“成为……的王”） || [[wikt:这|这]] || 這 || zhè || [[wikt:从|从]] || 從 || cóng（从来〔從來〕） / zòng（通“纵〔縱〕”） |- | [[wikt:进|进]] || 進 || jìn || [[wikt:边|边]] || 邊 || biān || [[wikt:道|道]] || 道 || dào |- | [[wikt:贝|贝]] || 貝 || bèi || [[wikt:男|男]] || 男 || nán || [[wikt:原|原]] || 原 || yuán |- | [[wikt:爱|爱]] || 愛 || ài || [[wikt:虾|虾]] || 蝦 || xiā || [[wikt:跑|跑]] || 跑 || pǎo |- | [[wikt:吹|吹]] || 吹 || chuī || [[wikt:乐|乐]] || 樂 || lè（快乐〔樂〕） / yuè（音乐〔樂〕） || [[wikt:地|地]] || 地 || dì（地方） / de（悄悄地……） |- | [[wikt:老|老]] || 老 || lǎo || [[wikt:快|快]] || 快 || kuài || [[wikt:师|师]] || 師 || shī |- | [[wikt:短|短]] || 短 || duǎn || [[wikt:淡|淡]] || 淡 || dàn || [[wikt:对|对]] || 對 || duì |- | [[wikt:热|热]] || 熱 || rè || [[wikt:冷|冷]] || 冷 || lěng || [[wikt:情|情]] || 情 || qíng |- | [[wikt:拉|拉]] || 拉 || lā || [[wikt:活|活]] || 活 || huó || [[wikt:把|把]] || 把 || bǎ |- | [[wikt:种|种]] || 種 || zhǒng（种〔種〕子） / zhòng（种〔種〕植） || [[wikt:给|给]] || 給 || gěi（拿给〔給〕） / jǐ（补给〔補給〕） || [[wikt:吃|吃]] || 吃 || chī |- | [[wikt:练|练]] || 練 || liàn || [[wikt:学|学]] || 學 || xué || [[wikt:习|习]] || 習 || xí |- | [[wikt:非|非]] || 非 || fēi || [[wikt:苦|苦]] || 苦 || kǔ || [[wikt:常|常]] || 常 || cháng |- | [[wikt:问|问]] || 問 || wèn || [[wikt:伴|伴]] || 伴 || bàn || [[wikt:间|间]] || 間 || jiān |- | [[wikt:共|共]] || 共 || gòng || [[wikt:伙|伙]] || 夥 伙 || huǒ（夥伴）/（伙食） || [[wikt:汽|汽]] || 汽 || qì |- | [[wikt:分|分]] || 分 || fēn（分别〔別〕） / fèn（分量） || [[wikt:要|要]] || 要 || （索要）yào / （要求）yāo || [[wikt:没|没]] || 沒 || méi（没〔沒〕有） / （吞没〔沒〕）mò |- | [[wikt:孩|孩]] || 孩 || hái || [[wikt:位|位]] || 位 || wèi || [[wikt:选|选]] || 選 || xuǎn |- | [[wikt:北|北]] || 北 || běi || [[wikt:湖|湖]] || 湖 || hú || [[wikt:南|南]] || 南 || nán |- | [[wikt:秋|秋]] || 秋 || qiū || [[wikt:江|江]] || 江 || jiāng || [[wikt:只|只]] || 只 隻 || zhī（船只〔隻〕） / zhǐ（只有） |- | [[wikt:帮|帮]] || 幫 || bāng || [[wikt:星|星]] || 星 || xīng || [[wikt:请|请]] || 請 || qǐng |- | [[wikt:雪|雪]] || 雪 || xuě || [[wikt:就|就]] || 就 || jiù || [[wikt:球|球]] || 球 || qiú |- | [[wikt:跳|跳]] || 跳 || tiào || [[wikt:玩|玩]] || 玩 || wán || [[wikt:桃|桃]] || 桃 || táo |- | [[wikt:树|树]] || 樹 || shù || [[wikt:刚|刚]] || 剛 || gāng || [[wikt:兰|兰]] || 蘭 || lán |- | [[wikt:座|座]] || 座 || zuò || [[wikt:各|各]] || 各 || gè（个别〔個別〕） / gě（自各儿，同“自个儿”） || [[wikt:带|带]] || 帶 || dài |- | [[wikt:坐|坐]] || 坐 || zuò || [[wikt:急|急]] || 急 || jí || [[wikt:名|名]] || 名 || míng |- | [[wikt:发|发]] || 發 髮 || fā（发达〔發達〕） / fà（头发〔頭髮〕） || [[wikt:成|成]] || 成 || chéng || [[wikt:动|动]] || 動 || dòng |- | [[wikt:晚|晚]] || 晚 || wǎn || [[wikt:新|新]] || 新 || xīn || [[wikt:有|有]] || 有 || yǒu |- | [[wikt:么|么]] || 么 幺 庅 麼 || me / mó / ma / yāo（老么〔幺〕） || [[wikt:在|在]] || 在 || zài || [[wikt:变|变]] || 變 || biàn |- | [[wikt:什|什]] || 什 || shén（什么） / shí（什锦〔錦〕） || [[wikt:条|条]] || 條 || tiáo |} ==二年== ２年生の漢字：649个 {| class="wikitable" |- ! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） !! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） !! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） |- | [[wikt:宜|宜]] || 宜 || yí || [[wikt:实|实]] || 實 || shí || [[wikt:色|色]] || 色 || sè |- | [[wikt:华|华]] || 華 || huá || [[wikt:谷|谷]] || 谷 || gǔ || [[wikt:金|金]] || 金 || jīn |- | [[wikt:尽|尽]] || 盡 || jìn || [[wikt:层|层]] || 層 || céng || [[wikt:丰|丰]] || 豐 || fēng |- | [[wikt:壮|壮]] || 壯 || zhuàng || [[wikt:波|波]] || 波 || bō || [[wikt:浪|浪]] || 浪 || làng |- | [[wikt:灯|灯]] || 燈 || dēng || [[wikt:作|作]] || 作 || zuò || [[wikt:字|字]] || 字 || zì |- | [[wikt:苹|苹]] || 蘋 || píng || [[wikt:丽|丽]] || 麗 || lì || [[wikt:劳|劳]] || 勞 || láo |- | [[wikt:尤|尤]] || 尤 || yóu || [[wikt:其|其]] || 其 || qí || [[wikt:区|区]] || 區 || qū |- | [[wikt:巨|巨]] || 巨 || jù || [[wikt:它|它]] || 它 || tā || [[wikt:安|安]] || 安 || ān |- | [[wikt:块|块]] || 塊 || kuài || [[wikt:站|站]] || 站 || zhàn || [[wikt:已|已]] || 已 || yǐ |- | [[wikt:甲|甲]] || 甲 || jiǎ || [[wikt:豆|豆]] || 豆 || dòu || [[wikt:识|识]] || 識 || shí |- | [[wikt:纷|纷]] || 紛 || fēn || [[wikt:经|经]] || 經 || jīng || [[wikt:如|如]] || 如 || rú |- | [[wikt:好|好]] || 好 || hǎo || [[wikt:娃|娃]] || 娃 || wá（娃子）/ wa（娃〔wá〕娃〔wa〕） || [[wikt:洼|洼]] || 窪 || wā |- | [[wikt:于|于]] || 於 || yú || [[wikt:首|首]] || 首 || shǒu || [[wikt:枝|枝]] || 枝 || zhī |- | [[wikt:枫|枫]] || 楓 || fēng || [[wikt:记|记]] || 記 || jì || [[wikt:刘|刘]] || 劉 || liú |- | [[wikt:胡|胡]] || 胡 || hú || [[wikt:戏|戏]] || 戲 || xì || [[wikt:棋|棋]] || 棋 || qí |- | [[wikt:钢|钢]] || 鋼 || gāng || [[wikt:观|观]] || 觀 || guān 观察 / guàn 道观 || [[wikt:弹|弹]] || 彈 || tán（弹〔彈〕性） / dàn（子弹〔彈〕） |- | [[wikt:琴|琴]] || 琴 || qín || [[wikt:养|养]] || 養 || yǎng || [[wikt:休|休]] || 休 || xiū |- | [[wikt:伸|伸]] || 伸 || shēn || [[wikt:甜|甜]] || 甜 || tián || [[wikt:歌|歌]] || 歌 || gē |- | [[wikt:院|院]] || 院 || yuàn || [[wikt:除|除]] || 除 || chú || [[wikt:息|息]] || 息 || xī |- | [[wikt:您|您]] || 您 || níng || [[wikt:牵|牵]] || 牽 || qiān || [[wikt:困|困]] || 困 || kùn |- | [[wikt:员|员]] || 員 || yuán || [[wikt:青|青]] || 青 || qīng || [[wikt:宁|宁]] || 寧 || níng |- | [[wikt:室|室]] || 室 || shī || [[wikt:样|样]] || 樣 || yàng || [[wikt:校|校]] || 校 || xiào / jiào |- | [[wikt:切|切]] || 切 || qiē || [[wikt:教|教]] || 教 || jiāo（教课） / jiào（教导） || [[wikt:响|响]] || 響 || xiǎng |- | [[wikt:班|班]] || 班 || bān || [[wikt:欠|欠]] || 欠 || qiàn || [[wikt:元|元]] || 元 || yuán |- | [[wikt:包|包]] || 包 || bāo || [[wikt:钟|钟]] || 鐘 || zhōng || [[wikt:叹|叹]] || 嘆 || tàn |- | [[wikt:哈|哈]] || 哈 || hā || [[wikt:迟|迟]] || 遲 || chí || [[wikt:闹|闹]] || 鬧 || nào |- | [[wikt:及|及]] || 及 || jí || [[wikt:身|身]] || 身 || shēn || [[wikt:仔|仔]] || 仔 || zǐ（仔细） / zǎi（猪仔〔崽〕） |- | [[wikt:细|细]] || 細 || xì || [[wikt:次|次]] || 次 || cì || [[wikt:外|外]] || 外 || wài |- | [[wikt:计|计]] || 計 || jì || [[wikt:怦|怦]] || 怦 || pēng || [[wikt:礼|礼]] || 禮 || lǐ |- | [[wikt:加|加]] || 加 || jiā || [[wikt:夕|夕]] || 夕 || xī || [[wikt:与|与]] || 與 || yǔ |- | [[wikt:川|川]] || 川 || chuān || [[wikt:州|州]] || 州 || zhōu || [[wikt:台|台]] || 臺 || tái |- | [[wikt:争|争]] || 爭 || zhēng || [[wikt:民|民]] || 民 || mín || [[wikt:族|族]] || 族 || zú |- | [[wikt:亿|亿]] || 億 || yì || [[wikt:洁|洁]] || 潔 || jié || [[wikt:欢|欢]] || 歡 || huān |- | [[wikt:祖|祖]] || 祖 || zǔ || [[wikt:旗|旗]] || 旗 || qí || [[wikt:帜|帜]] || 幟 || zhì |- | [[wikt:庆|庆]] || 慶 || qìng || [[wikt:曲|曲]] || 曲 || diǎn || [[wikt:央|央]] || 央 || yāng |- | [[wikt:交|交]] || 交 || jiāo || [[wikt:市|市]] || 市 || shì || [[wikt:旁|旁]] || 旁 || páng |- | [[wikt:优|优]] || 優 || yōu || [[wikt:阴|阴]] || 陰 || yīn || [[wikt:坛|坛]] || 壇 || tán |- | [[wikt:城|城]] || 城 || chéng || [[wikt:国|国]] || 國 || guó || [[wikt:图|图]] || 圖 || tú |- | [[wikt:申|申]] || 申 || shēn || [[wikt:匹|匹]] || 匹 || pǐ || [[wikt:互|互]] || 互 || hù |- | [[wikt:京|京]] || 京 || jīng || [[wikt:泪|泪]] || 淚 || lèi || [[wikt:洋|洋]] || 洋 || yáng |- | [[wikt:拥|拥]] || 擁 || yōng || [[wikt:抱|抱]] || 抱 || bào || [[wikt:相|相]] || 相 || xiāng |- | [[wikt:扬|扬]] || 揚 || yáng || [[wikt:讲|讲]] || 講 || jiǎng || [[wikt:打|打]] || 打 || dǎ（打击） / dá（一打〔十二〕） |- | [[wikt:指|指]] || 指 || zhǐ || [[wikt:接|接]] || 接 || jiē || [[wikt:惊|惊]] || 驚 || jīng |- | [[wikt:故|故]] || 故 || gù || [[wikt:侯|侯]] || 侯 || hóu || [[wikt:奇|奇]] || 奇 || qí |- | [[wikt:寸|寸]] || 寸 || cùn || [[wikt:落|落]] || 落 || luò || [[wikt:补|补]] || 補 || bǔ |- | [[wikt:拔|拔]] || 拔 || bá || [[wikt:功|功]] || 功 || gōng || [[wikt:助|助]] || 助 || zhù |- | [[wikt:取|取]] || 取 || qǔ || [[wikt:所|所]] || 所 || suǒ || [[wikt:信|信]] || 信 || xìn |- | [[wikt:沿|沿]] || 沿 || yán || [[wikt:拾|拾]] || 拾 || shí || [[wikt:际|际]] || 際 || jì |- | [[wikt:蛙|蛙]] || 蛙 || wā || [[wikt:错|错]] || 錯 || cuò || [[wikt:答|答]] || 答 || dá |- | [[wikt:还|还]] || 還 || hái（归还〔還〕） / huán（还〔還〕有） || [[wikt:言|言]] || 言 || yán || [[wikt:每|每]] || 每 || měi |- | [[wikt:治|治]] || 治 || zhì || [[wikt:棵|棵]] || 棵 || kē || [[wikt:挂|挂]] || 掛 || huà |- | [[wikt:哇|哇]] || 哇 || wā || [[wikt:怪|怪]] || 怪 || guài || [[wikt:慢|慢]] || 慢 || màn |- | [[wikt:怎|怎]] || 怎 || zěn || [[wikt:思|思]] || 思 || sī || [[wikt:穿|穿]] || 穿 || chuān |- | [[wikt:弯|弯]] || 彎 || wān || [[wikt:比|比]] || 比 || bǐ || [[wikt:服|服]] || 服 || fú |- | [[wikt:浅|浅]] || 淺 || qiǎn || [[wikt:漂|漂]] || 漂 || piāo（漂浮） / piǎo（漂白） / piào（漂亮） || [[wikt:啦|啦]] || 啦 || lā |- | [[wikt:啊|啊]] || 啊 || ā || [[wikt:夫|夫]] || 夫 || fū / fu || [[wikt:表|表]] || 表 || biǎo |- | [[wikt:示|示]] || 示 || shì || [[wikt:号|号]] || 號 || hào || [[wikt:汗|汗]] || 汗 || hàn（流汗） / hán（可〔kè〕汗） |- | [[wikt:伤|伤]] || 傷 || shāng || [[wikt:吸|吸]] || 吸 || xī || [[wikt:极|极]] || 極 || jí |- | [[wikt:串|串]] || 串 || chuàn || [[wikt:免|免]] || 免 || miǎn || [[wikt:告|告]] || 告 || gào |- | [[wikt:诉|诉]] || 訴 || sù || [[wikt:狐|狐]] || 狐 || hú || [[wikt:狸|狸]] || 狸 || lí |- | [[wikt:猴|猴]] || 猴 || góu || [[wikt:颗|颗]] || 顆 || kē || [[wikt:斤|斤]] || 斤 || jīn |- | [[wikt:折|折]] || 折 || zhé || [[wikt:挑|挑]] || 挑 || tiǎo || [[wikt:根|根]] || 根 || gēn |- | [[wikt:独|独]] || 獨 || dú || [[wikt:满|满]] || 滿 || mǎn || [[wikt:容|容]] || 容 || róng |- | [[wikt:易|易]] || 易 || yì || [[wikt:采|采]] || 採 || cǎi || [[wikt:背|背]] || 背 || bèi |- | [[wikt:板|板]] || 板 || bǎn || [[wikt:椅|椅]] || 椅 || yǐ || [[wikt:但|但]] || 但 || dàn |- | [[wikt:傍|傍]] || 傍 || páng || [[wikt:清|清]] || 清 || qīng || [[wikt:消|消]] || 消 || xiāo |- | [[wikt:由|由]] || 由 || yóu || [[wikt:术|术]] || 術 || shù || [[wikt:吐|吐]] || 吐 || tǔ |- | [[wikt:注|注]] || 注 || zhù || [[wikt:课|课]] || 課 || kè || [[wikt:铅|铅]] || 鉛 || qiān |- | [[wikt:笔|笔]] || 筆 || nǐ || [[wikt:桌|桌]] || 桌 || zhuō || [[wikt:景|景]] || 景 || jǐng |- | [[wikt:拿|拿]] || 拿 || ná || [[wikt:坏|坏]] || 壞 || huài || [[wikt:松|松]] || 松 || sōng |- | [[wikt:扎|扎]] || 扎 || zā（扎辫子） / zhā（驻扎） / zhá（挣扎） || [[wikt:抓|抓]] || 抓 || zhuā || [[wikt:祝|祝]] || 祝 || zhù |- | [[wikt:福|福]] || 福 || fú || [[wikt:句|句]] || 句 || jù || [[wikt:幸|幸]] || 幸 || xìng |- | [[wikt:之|之]] || 之 || zhī || [[wikt:令|令]] || 令 || lìng || [[wikt:布|布]] || 布 || bù |- | [[wikt:直|直]] || 直 || zhí || [[wikt:当|当]] || 當 || dāng（当面） / dàng（恰当） || [[wikt:第|第]] || 第 || dì |- | [[wikt:现|现]] || 現 || xiàn || [[wikt:期|期]] || 期 || qī || [[wikt:轮|轮]] || 輪 || lún |- | [[wikt:路|路]] || 路 || lù || [[wikt:丑|丑]] || 醜 || chǒu || [[wikt:永|永]] || 永 || yǒng |- | [[wikt:饥|饥]] || 飢 || jī || [[wikt:饱|饱]] || 飽 || bǎo || [[wikt:温|温]] || 溫 || wēn |- | [[wikt:贫|贫]] || 貧 || pín || [[wikt:富|富]] || 富 || fù || [[wikt:户|户]] || 戶 || hù |- | [[wikt:亚|亚]] || 亞 || yà || [[wikt:角|角]] || 角 || jiǎo（角落） / jué（角斗） || [[wikt:周|周]] || 周 || zhōu |- | [[wikt:床|床]] || 床 || chuáng || [[wikt:病|病]] || 病 || bìng || [[wikt:始|始]] || 始 || shǐ |- | [[wikt:张|张]] || 張 || zhāng || [[wikt:寻|寻]] || 尋 || xún || [[wikt:哭|哭]] || 哭 || kū |- | [[wikt:良|良]] || 良 || liáng || [[wikt:食|食]] || 食 || shí || [[wikt:双|双]] || 雙 || shuāng |- | [[wikt:体|体]] || 體 || tǐ || [[wikt:操|操]] || 操 || cāo || [[wikt:场|场]] || 場 || chǎng |- | [[wikt:份|份]] || 份 || fèn || [[wikt:粉|粉]] || 粉 || fěn || [[wikt:昨|昨]] || 昨 || zuó |- | [[wikt:晴|晴]] || 晴 || qíng || [[wikt:姑|姑]] || 姑 || gū || [[wikt:娘|娘]] || 娘 || niáng |- | [[wikt:妹|妹]] || 妹 || mèi || [[wikt:读|读]] || 讀 || dú || [[wikt:舟|舟]] || 舟 || zhōu |- | [[wikt:乘|乘]] || 乘 || chéng || [[wikt:音|音]] || 音 || yīn || [[wikt:客|客]] || 客 || kè |- | [[wikt:何|何]] || 何 || hé || [[wikt:汪|汪]] || 汪 || wāng || [[wikt:丛|丛]] || 叢 || cóng |- | [[wikt:牢|牢]] || 牢 || láo || [[wikt:拍|拍]] || 拍 || pāi || [[wikt:护|护]] || 護 || hù |- | [[wikt:保|保]] || 保 || bǎo || [[wikt:物|物]] || 物 || wù || [[wikt:鸡|鸡]] || 雞 || jī |- | [[wikt:猫|猫]] || 貓 || māo || [[wikt:羽|羽]] || 羽 || yǔ || [[wikt:领|领]] || 領 || lǐng |- | [[wikt:捉|捉]] || 捉 || zhuō || [[wikt:理|理]] || 理 || lǐ || [[wikt:跃|跃]] || 躍 || yuè |- | [[wikt:蹦|蹦]] || 蹦 || bèng || [[wikt:灵|灵]] || 靈 || líng || [[wikt:晨|晨]] || 晨 || chén |- | [[wikt:失|失]] || 失 || shī || [[wikt:觉|觉]] || 覺 || jué（感觉） / jiào（睡觉） || [[wikt:扔|扔]] || 扔 || rēn |- | [[wikt:掉|掉]] || 掉 || diào || [[wikt:眼|眼]] || 眼 || yǎn || [[wikt:睛|睛]] || 睛 || jīng |- | [[wikt:纸|纸]] || 紙 || zhǐ || [[wikt:船|船]] || 船 || chuán || [[wikt:久|久]] || 久 || jiǔ |- | [[wikt:乎|乎]] || 乎 || hū || [[wikt:至|至]] || 至 || zhì || [[wikt:死|死]] || 死 || sǐ |- | [[wikt:腰|腰]] || 腰 || yāo || [[wikt:捡|捡]] || 撿 || jiǎn || [[wikt:粒|粒]] || 粒 || lì |- | [[wikt:被|被]] || 被 || bèi || [[wikt:井|井]] || 井 || jǐng || [[wikt:夜|夜]] || 夜 || yè |- | [[wikt:喜|喜]] || 喜 || xǐ || [[wikt:重|重]] || 重 || chóng || [[wikt:味|味]] || 味 || wèi |- | [[wikt:轻|轻]] || 輕 || qīng || [[wikt:刻|刻]] || 刻 || kè || [[wikt:群|群]] || 群 || qún |- | [[wikt:卫|卫]] || 衛 || wèi || [[wikt:运|运]] || 運 || yùn || [[wikt:宇|宇]] || 宇 || yǔ |- | [[wikt:宙|宙]] || 宙 || zhòu || [[wikt:航|航]] || 航 || háng || [[wikt:舰|舰]] || 艦 || jiàn |- | [[wikt:冲|冲]] || 衝 || chōng || [[wikt:晒|晒]] || 曬 || shài || [[wikt:池|池]] || 池 || chí |- | [[wikt:浮|浮]] || 浮 || fú || [[wikt:灾|灾]] || 災 || zāi || [[wikt:害|害]] || 害 || hài |- | [[wikt:黑|黑]] || 黑 || hēi || [[wikt:器|器]] || 器 || qì || [[wikt:岸|岸]] || 岸 || àn |- | [[wikt:纹|纹]] || 紋 || wén || [[wikt:洞|洞]] || 洞 || dòng || [[wikt:影|影]] || 影 || yǐng |- | [[wikt:倒|倒]] || 倒 || dǎo（倒塌） / dào（倒立） || [[wikt:游|游]] || 遊 || yóu || [[wikt:圆|圆]] || 圓 || yuán |- | [[wikt:围|围]] || 圍 || wéi || [[wikt:杯|杯]] || 杯 || bēi || [[wikt:件|件]] || 件 || jiàn |- | [[wikt:住|住]] || 住 || zhù || [[wikt:须|须]] || 須 / 鬚 || xū（必须〔必須〕） /（胡须〔鬍鬚〕） || [[wikt:能|能]] || 能 || néng |- | [[wikt:飘|飘]] || 飄 || piāo || [[wikt:必|必]] || 必 || bì || [[wikt:事|事]] || 事 || shì |- | [[wikt:历|历]] || 歷 || lì || [[wikt:史|史]] || 史 || shǐ || [[wikt:灭|灭]] || 滅 || miè |- | [[wikt:克|克]] || 克 || kè || [[wikt:化|化]] || 化 || huà || [[wikt:代|代]] || 代 || dài |- | [[wikt:孙|孙]] || 孫 || sūn || [[wikt:植|植]] || 植 || zhí || [[wikt:厂|厂]] || 廠 || chǎng |- | [[wikt:产|产]] || 產 || chǎn || [[wikt:介|介]] || 介 || jiè || [[wikt:农|农]] || 農 || nóng |- | [[wikt:科|科]] || 科 || kē || [[wikt:技|技]] || 技 || jì || [[wikt:纺|纺]] || 紡 || fǎng |- | [[wikt:织|织]] || 織 || zhī || [[wikt:脱|脱]] || 脫 || tuō || [[wikt:冻|冻]] || 凍 || dòng |- | [[wikt:溪|溪]] || 溪 || xī || [[wikt:棉|棉]] || 棉 || mián || [[wikt:探|探]] || 探 || tàn |- | [[wikt:摇|摇]] || 搖 || yáo || [[wikt:野|野]] || 野 || yě || [[wikt:躲|躲]] || 躲 || duǒ |- | [[wikt:解|解]] || 解 || jiě || [[wikt:未|未]] || 未 || wèi || [[wikt:追|追]] || 追 || zhūi |- | [[wikt:店|店]] || 店 || diàn || [[wikt:枯|枯]] || 枯 || kū || [[wikt:徐|徐]] || 徐 || xú |- | [[wikt:烧|烧]] || 燒 || shāo || [[wikt:荣|荣]] || 榮 || róng || [[wikt:菜|菜]] || 菜 || cài |- | [[wikt:宿|宿]] || 宿 || sù || [[wikt:冈|冈]] || 岡 || gāng || [[wikt:世|世]] || 世 || shì |- | [[wikt:界|界]] || 界 || jǐ4 || [[wikt:轰|轰]] || 轟 || hōng || [[wikt:笋|笋]] || 筍 || sǔn |- | [[wikt:芽|芽]] || 芽 || yá || [[wikt:喊|喊]] || 喊 || hǎn || [[wikt:呼|呼]] || 呼 || hū |- | [[wikt:唤|唤]] || 喚 || huàn || [[wikt:弟|弟]] || 弟 || dì || [[wikt:哥|哥]] || 哥 || gē |- | [[wikt:骨|{{lang|zh|骨}}]] || 骨 || gǔ || [[wikt:抽|抽]] || 抽 || chōu || [[wikt:拐|拐]] || 拐 || guǎi |- | [[wikt:浇|浇]] || 澆 || jiāo || [[wikt:终|终]] || 終 || zhōng || [[wikt:静|静]] || 靜 || jìng |- | [[wikt:躺|躺]] || 躺 || tǎng || [[wikt:谢|谢]] || 謝 || xiè || [[wikt:渐|渐]] || 漸 || jiàn |- | [[wikt:微|微]] || 微 || wēi || [[wikt:瓦|瓦]] || 瓦 || wǎ || [[wikt:泉|泉]] || 泉 || quán |- | [[wikt:然|然]] || 然 || rán || [[wikt:结|结]] || 結 || jié || [[wikt:股|股]] || 股 || gǔ |- | [[wikt:脆|脆]] || 脆 || cùi || [[wikt:塔|塔]] || 塔 || tǎ || [[wikt:杜|杜]] || 杜 || dù |- | [[wikt:鹃|鹃]] || 鵑 || juān || [[wikt:冒|冒]] || 冒 || mào || [[wikt:雷|雷]] || 雷 || léi |- | [[wikt:迈|迈]] || 邁 || mài || [[wikt:迷|迷]] || 謎 || mí || [[wikt:迹|迹]] || 跡 || jì |- | [[wikt:叔|叔]] || 叔 || shū || [[wikt:锋|锋]] || 鋒 || fēng || [[wikt:滴|滴]] || 滴 || dī |- | [[wikt:洒|洒]] || 灑 || sǎ || [[wikt:泥|泥]] || 泥 || ní || [[wikt:泞|泞]] || 濘 || nìng |- | [[wikt:扑|扑]] || 撲 || pū || [[wikt:托|托]] || 託 || tuō || [[wikt:摸|摸]] || 摸 || mō |- | [[wikt:利|利]] || 利 || lì || [[wikt:铃|铃]] || 鈴 || líng || [[wikt:弱|弱]] || 弱 || ruò |- | [[wikt:末|末]] || 末 || mò || [[wikt:芬|芬]] || 芬 || fēn || [[wikt:芳|芳]] || 芳 || fāng |- | [[wikt:夏|夏]] || 夏 || xià || [[wikt:应|应]] || 應 || yìng || [[wikt:该|该]] || 該 || gāi |- | [[wikt:岛|岛]] || 島 || dǎo || [[wikt:展|展]] || 展 || zhǎn || [[wikt:建|建]] || 建 || jiàn |- | [[wikt:纱|纱]] || 紗 || shā || [[wikt:环|环]] || 環 || huán || [[wikt:绕|绕]] || 繞 || rào |- | [[wikt:胜|胜]] || 勝 || shèng || [[wikt:隐|隐]] || 隱 || yǐn || [[wikt:约|约]] || 約 || yuē |- | [[wikt:省|省]] || 省 || shěng（节省） / xǐng（反省） || [[wikt:茂|茂]] || 茂 || mào || [[wikt:盛|盛]] || 盛 || shèng |- | [[wikt:吾|吾]] || 吾 || wǔ || [[wikt:季|季]] || 季 || jì || [[wikt:留|留]] || 留 || liú |- | [[wikt:杏|杏]] || 杏 || xìng || [[wikt:密|密]] || 密 || mì || [[wikt:蜜|蜜]] || 蜜 || mì |- | [[wikt:坡|坡]] || 坡 || pō || [[wikt:搭|搭]] || 搭 || tā || [[wikt:摘|摘]] || 摘 || zhāi |- | [[wikt:钉|钉]] || 釘 || dīng || [[wikt:沟|沟]] || 溝 || gōu || [[wikt:龙|龙]] || 龍 || lóng |- | [[wikt:寿|寿]] || 壽 || shòu || [[wikt:泼|泼]] || 潑 || pō || [[wikt:敬|敬]] || 敬 || jìng |- | [[wikt:脚|脚]] || 腳 || jiǎo || [[wikt:凤|凤]] || 鳳 || fèng || [[wikt:束|束]] || 束 || shù |- | [[wikt:府|府]] || 府 || fǔ || [[wikt:夺|夺]] || 奪 || duó || [[wikt:扮|扮]] || 扮 || bàn |- | [[wikt:伟|伟]] || 偉 || wěi || [[wikt:够|够]] || 夠 || gòu || [[wikt:恩|恩]] || 恩 || ēn |- | [[wikt:柏|柏]] || 柏 || bǎi || [[wikt:特|特]] || 特 || tè || [[wikt:鲜|鲜]] || 鮮 || xiān（新鲜〔鮮〕） / xiǎn（朝鲜〔鮮〕） |- | [[wikt:度|度]] || 度 || dù || [[wikt:凰|凰]] || 凰 || huáng || [[wikt:勾|勾]] || 勾 || gōu |- | [[wikt:单|单]] || 單 || dān || [[wikt:宫|宫]] || 宮 || gōng || [[wikt:雄|雄]] || 雄 || xióng |- | [[wikt:烁|烁]] || 爍 || shuò || [[wikt:辉|辉]] || 輝 || huī || [[wikt:另|另]] || 另 || lìng |- | [[wikt:题|题]] || 題 || tí || [[wikt:漫|漫]] || 漫 || màn || [[wikt:哄|哄]] || 哄 || hǒng |- | [[wikt:骗|骗]] || 騙 || piàn || [[wikt:尔|尔]] || 爾 || ěr || [[wikt:仍|仍]] || 仍 || nǎi |- | [[wikt:便|便]] || 便 || biàn（方便） / pián（便宜） || [[wikt:票|票]] || 票 || piào || [[wikt:式|式]] || 式 || shì |- | [[wikt:且|且]] || 且 || qiě || [[wikt:煌|煌]] || 煌 || huáng || [[wikt:志|志]] || 志 || zhì |- | [[wikt:提|提]] || 提 || tí || [[wikt:朗|朗]] || 朗 || lǎng || [[wikt:喝|喝]] || 喝 || hē |- | [[wikt:刀|刀]] || 刀 || dāo || [[wikt:求|求]] || 求 || qiú || [[wikt:使|使]] || 使 || shǐ |- | [[wikt:英|英]] || 英 || yīng || [[wikt:整|整]] || 整 || zhěng || [[wikt:而|而]] || 而 || ér |- | [[wikt:丹|丹]] || 丹 || dān || [[wikt:乌|乌]] || 烏 || wū || [[wikt:显|显]] || 顯 || xiǎn |- | [[wikt:丝|丝]] || 絲 || sī || [[wikt:眨|眨]] || 眨 || zhá || [[wikt:陈|陈]] || 陳 || chén |- | [[wikt:斜|斜]] || 斜 || xié || [[wikt:含|含]] || 含 || hán || [[wikt:炉|炉]] || 爐 || lú |- | [[wikt:鸣|鸣]] || 鳴 || míng || [[wikt:银|银]] || 銀 || yín || [[wikt:泊|泊]] || 泊 || pó |- | [[wikt:柳|柳]] || 柳 || liǔ || [[wikt:艺|艺]] || 藝 || yì || [[wikt:忽|忽]] || 忽 || hū |- | [[wikt:杆|杆]] || 杆 || gǎn || [[wikt:涛|涛]] || 濤 || tāo || [[wikt:转|转]] || 轉 || zhuàn |- | [[wikt:吴|吴]] || 吳 || wú || [[wikt:窗|窗]] || 窗 || chuāng || [[wikt:岭|岭]] || 嶺 || lǐng |- | [[wikt:绝|绝]] || 絕 || jué || [[wikt:烟|烟]] || 煙 || yān || [[wikt:流|流]] || 流 || liú |- | [[wikt:垂|垂]] || 垂 || chúi || [[wikt:乱|乱]] || 亂 || luàn || [[wikt:压|压]] || 壓 || yā |- | [[wikt:越|越]] || 越 || yuè || [[wikt:彩|彩]] || 彩 || cǎi || [[wikt:蝉|蝉]] || 蟬 || chán |- | [[wikt:岩|岩]] || 岩 || yán || [[wikt:趴|趴]] || 趴 || pā || [[wikt:刨|刨]] || 刨 || páo |- | [[wikt:陆|陆]] || 陸 || lù || [[wikt:质|质]] || 質 || zhì || [[wikt:厚|厚]] || 厚 || hòu |- | [[wikt:沉|沉]] || 沉 || chén || [[wikt:逃|逃]] || 逃 || táo || [[wikt:阵|阵]] || 陣 || zhèn |- | [[wikt:虹|虹]] || 虹 || hóng || [[wikt:蜘|蜘]] || 蜘 || zhī || [[wikt:蛛|蛛]] || 蛛 || zhū |- | [[wikt:册|册]] || 冊 || cè || [[wikt:宝|宝]] || 寶 || bǎo || [[wikt:印|印]] || 印 || yìn |- | [[wikt:埋|埋]] || 埋 || mái || [[wikt:铁|铁]] || 鐵 || tiě || [[wikt:底|底]] || 底 || dì |- | [[wikt:导|导]] || 導 || dǎo || [[wikt:盏|盏]] || 盞 || zhǎn || [[wikt:稠|稠]] || 稠 || chóu |- | [[wikt:针|针]] || 針 || zhēn || [[wikt:稀|稀]] || 稀 || xī || [[wikt:碰|碰]] || 碰 || pèng |- | [[wikt:兄|兄]] || 兄 || xiōng || [[wikt:商|商]] || 商 || shāng || [[wikt:挤|挤]] || 擠 || jǐ |- | [[wikt:决|决]] || 決 || jué || [[wikt:钱|钱]] || 錢 || qián || [[wikt:批|批]] || 批 || pī |- | [[wikt:报|报]] || 報 || bào || [[wikt:破|破]] || 破 || pò || [[wikt:碎|碎]] || 碎 || sùi |- | [[wikt:滑|滑]] || 滑 || huá || [[wikt:继|继]] || 繼 || jì || [[wikt:续|续]] || 續 || xù |- | [[wikt:封|封]] || 封 || fēng || [[wikt:骄|骄]] || 驕 || jiāo || [[wikt:傲|傲]] || 傲 || ào |- | [[wikt:拎|拎]] || 拎 || līng || [[wikt:桶|桶]] || 桶 || tǒng || [[wikt:停|停]] || 停 || tíng |- | [[wikt:聪|聪]] || 聰 || cōng || [[wikt:胳|胳]] || 胳 || gē || [[wikt:膊|膊]] || 膊 || bó |- | [[wikt:甸|甸]] || 甸 || diàn || [[wikt:晃|晃]] || 晃 || huàng || [[wikt:荡|荡]] || 荡 || dàng |- | [[wikt:叭|叭]] || 叭 || bā || [[wikt:玲|玲]] || 玲 || líng || [[wikt:狗|狗]] || 狗 || gǒu |- | [[wikt:糟|糟]] || 糟 || zāo || [[wikt:梯|梯]] || 梯 || tī || [[wikt:楼|楼]] || 樓 || lóu |- | [[wikt:肯|肯]] || 肯 || kěn || [[wikt:脑|脑]] || 腦 || nǎo || [[wikt:筋|筋]] || 筋 || jīng |- | [[wikt:讶|讶]] || 訝 || yà || [[wikt:谈|谈]] || 談 || tán || [[wikt:望|望]] || 望 || wàng |- | [[wikt:算|算]] || 算 || suàn || [[wikt:此|此]] || 此 || cǐ || [[wikt:桩|桩]] || 樁 || zhuāng |- | [[wikt:肥|肥]] || 肥 || féi || [[wikt:灰|灰]] || 灰 || hūi || [[wikt:讨|讨]] || 討 || tǎo |- | [[wikt:厌|厌]] || 厭 || yàn || [[wikt:冰|冰]] || 冰 || bīng || [[wikt:蛋|蛋]] || 蛋 || dàn |- | [[wikt:壳|壳]] || 殻 / 殼 || ké（外壳） / qiào（地壳） || [[wikt:鸭|鸭]] || 鴨 || yā || [[wikt:欺|欺]] || 欺 || qī |- | [[wikt:负|负]] || 負 || fù || [[wikt:鹅|鹅]] || 鵝 || é || [[wikt:翅|翅]] || 翅 || chì |- | [[wikt:膀|膀]] || 膀 || bǎng || [[wikt:勺|勺]] || 勺 || sháo || [[wikt:斗|斗]] || 斗 || dòu |- | [[wikt:玉|玉]] || 玉 || yù || [[wikt:组|组]] || 組 || zǔ || [[wikt:珍|珍]] || 珍 || zhēn |- | [[wikt:珠|珠]] || 珠 || zhū || [[wikt:数|数]] || 數 || shù（数学） / shǔ（数落） || [[wikt:钻|钻]] || 鑽 || zuān（钻研） / zuàn（钻头） |- | [[wikt:研|研]] || 研 || yán || [[wikt:睡|睡]] || 睡 || shùi || [[wikt:距|距]] || 距 || jù |- | [[wikt:离|离]] || 離 || lí || [[wikt:油|油]] || 油 || yóu || [[wikt:检|检]] || 檢 || jiǎn |- | [[wikt:查|查]] || 査 || chá || [[wikt:团|团]] || 團 / 糰 || tuán （军团〔軍團〕） / （米团〔糰〕）|| [[wikt:斥|斥]] || 斥 || chì |- | [[wikt:责|责]] || 責 || zé || [[wikt:炎|炎]] || 炎 || yán || [[wikt:夸|夸]] || 誇 || kuā |- | [[wikt:奖|奖]] || 獎 || jiǎng || [[wikt:亡|亡]] || 亡 || wáng || [[wikt:肉|肉]] || 肉 || ròu |- | [[wikt:耐|耐]] || 耐 || nài || [[wikt:谜|谜]] || 謎 || mí || [[wikt:传|传]] || 傳 || chuán |- | [[wikt:染|染]] || 染 || rǎn || [[wikt:类|类]] || 類 || lèi || [[wikt:严|严]] || 嚴 || yán |- | [[wikt:寒|寒]] || 寒 || hán |} ==三年== ３年生の漢字：502个 {| class="wikitable" |- ! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） !! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） !! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） |- | [[wikt:坪|坪]] || 坪 || píng || [[wikt:坝|坝]] || 壩 || bà || [[wikt:戴|戴]] || 戴 || dài |- | [[wikt:招|招]] || 招 || zhāo || [[wikt:蝴|蝴]] || 蝴 || hú || [[wikt:蝶|蝶]] || 蝶 || dié |- | [[wikt:孔|孔]] || 孔 || kǒng || [[wikt:雀|雀]] || 雀 || qiǎo / què || [[wikt:舞|舞]] || 舞 || wǔ |- | [[wikt:铜|铜]] || 銅 || tóng || [[wikt:粗|粗]] || 粗 || cū || [[wikt:尾|尾]] || 尾 || wěi |- | [[wikt:要|要]] || 要 || yāo / yào || [[wikt:装|装]] || 裝 || zhuāng || [[wikt:劲|劲]] || 勁 || jìn |- | [[wikt:绒|绒]] || 羢 || róng || [[wikt:朝|朝]] || 朝 || cháo / zhāo || [[wikt:些|些]] || 些 || xiē |- | [[wikt:钓|钓]] || 釣 || diào || [[wikt:察|察]] || 察 || chá || [[wikt:瓣|瓣]] || 瓣 || bàn |- | [[wikt:拢|拢]] || 攏 || lǒng || [[wikt:掌|掌]] || 掌 || zhǎng || [[wikt:趣|趣]] || 趣 || qù |- | [[wikt:爬|爬]] || 爬 || pá || [[wikt:峰|峰]] || 峰 || fēng || [[wikt:顶|顶]] || 頂 || dǐng |- | [[wikt:似|似]] || 似 || sì || [[wikt:苍|苍]] || 蒼 || cāng || [[wikt:仰|仰]] || 仰 || yǎng |- | [[wikt:咱|咱]] || 咱 || zán || [[wikt:奋|奋]] || 奮 || fèn || [[wikt:辫|辫]] || 辮 || biàn |- | [[wikt:勇|勇]] || 勇 || yǒng || [[wikt:居|居]] || 居 || jū || [[wikt:郊|郊]] || 郊 || jiāo |- | [[wikt:散|散]] || 散 || sǎn / sàn || [[wikt:步|步]] || 步 || bù ||[[wikt:胸|胸]] || 胸 || xiōng |- | [[wikt:脯|脯]] || 脯 || fǔ / pú || [[wikt:渣|渣]] || 渣 || zhā || [[wikt:或|或]] || 或 || huò |- | [[wikt:者|者]] || 者 || zhě || [[wikt:敢|敢]] || 敢 || gǎn || [[wikt:惜|惜]] || 惜 || xī |- | [[wikt:低|低]]　|| 低 || dī || [[wikt:诚|诚]] || 誠 || chéng || [[wikt:基|基]] || 基 || jī |- | [[wikt:突|突]] || 突 || tū || [[wikt:按|按]] || 按 || àn || [[wikt:摆|摆]] || 擺 || bǎi |- | [[wikt:弄|弄]] || 弄 || nòng || [[wikt:准|准]] || 準 || zhǔn || [[wikt:备|备]] || 備 || bèi |- | [[wikt:侧|侧]] || 側 || cè || [[wikt:胶|胶]] || 膠 || jiāo || [[wikt:卷|卷]] || 捲 || juǎn / juàn |- | [[wikt:辆|辆]] || 輛 || liàng || [[wikt:秘|秘]] || 秘 || bì / mì || [[wikt:杂|杂]] || 雜 || zá |- | [[wikt:社|社]] || 社 || shè || [[wikt:著|著]] || 著 || zhù || [[wikt:藏|藏]] || 藏 || cáng |- | [[wikt:悄|悄]] || 悄 || qiǎo || [[wikt:闪|闪]] || 閃 || shǎn || [[wikt:坑|坑]] || 坑 || kěng |- | [[wikt:臣|臣]] || 臣 || chén || [[wikt:推|推]] || 推 || tuī || [[wikt:旅|旅]] || 旅 || lǚ |- | [[wikt:考|考]] || 攷 || kǎo || [[wikt:秦|秦]] || 秦 || qín || [[wikt:纪|纪]] || 紀 || jì / jǐ |- | [[wikt:遗|遗]] || 遺 || yí || [[wikt:究|究]] || 究 || jiū || [[wikt:震|震]] || 震 || zhèn |- | [[wikt:促|促]] || 促 || cù || [[wikt:深|深]] || 深 || shēn || [[wikt:忆|忆]] || 憶 || yì |- | [[wikt:异|异]] || 異 || yì || [[wikt:逢|逢]] || 逢 || féng || [[wikt:佳|佳]] || 佳 || jiā |- | [[wikt:倍|倍]] || 倍 || bèi || [[wikt:遥|遥]] || 遙 || yáo || [[wikt:遍|遍]] || 遍 || biàn |- | [[wikt:插|插]] || 插 || chā || [[wikt:精|精]] || 精 || jīng || [[wikt:希|希]] || 希 || xī |- | [[wikt:却|却]] || 卻 || què || [[wikt:依|依]] || 依 || yī || [[wikt:拼|拼]] || 拚 || pīn |- | [[wikt:命|命]] || 命 || mìng || [[wikt:奔|奔]] || 逩 || bēn / bèn || [[wikt:村|村]] || 邨 || cūn |- | [[wikt:抖|抖]] || 抖 || dǒu || [[wikt:丧|丧]] || 喪 || sāng / sàng || [[wikt:磨|磨]] || 磨 || mó / mò |- | [[wikt:坊|坊]] || 坊 || fāng / fáng || [[wikt:扇|扇]] || 搧 || shān / shàn || [[wikt:枚|枚]] || 枚 || méi |- | [[wikt:邮|邮]] || 郵 || yóu　|| [[wikt:爽|爽]] || 爽 || shuǎng || [[wikt:柿|柿]] || 柿 || shì |- | [[wikt:仙|仙]] || 僊 || xiān || [[wikt:梨|梨]] || 梨 || lí || [[wikt:菠|菠]] || 菠 || bō |- | [[wikt:萝|萝]] || 蘿 || luó || [[wikt:粮|粮]] || 糧 || liáng || [[wikt:紧|紧]] || 緊 || jǐn |- | [[wikt:杨|杨]] || 楊 || yáng || [[wikt:艳|艳]] || 艷 || yàn || [[wikt:内|内]] || 內 || nèi |- | [[wikt:梦|梦]] || 夢 || mèng || [[wikt:醒|醒]] || 醒 || xǐng || [[wikt:苏|苏]] || 蘇 || sū |- | [[wikt:湿|湿]] || 濕 || shī || [[wikt:娇|娇]] || 嬌 || jiāo || [[wikt:嫩|嫩]] || 嫩 || nèn |- | [[wikt:强|强]] || 強 / 彊 || jiàng / qiáng / qiǎng || [[wikt:适|适]] || 適 || shì || [[wikt:昆|昆]] || 昆 || kūn |- | [[wikt:播|播]] || 播 || bō || [[wikt:修|修]] || 修 || xiū || [[wikt:致|致]] || 致 || zhì |- | [[wikt:论|论]] || 論 || lún / lùn || [[wikt:试|试]] || 試 || shì || [[wikt:验|验]] || 驗 || yàn |- | [[wikt:袋|袋]] || 袋 || dài || [[wikt:证|证]] || 證 || zhèng || [[wikt:概|概]] || 概 || gài |- | [[wikt:减|减]] || 減 || jiǎn || [[wikt:阻|阻]] || 阻 || zǔ || [[wikt:测|测]] || 側 || cè |- | [[wikt:括|括]] || 括 || guā / kuò || [[wikt:确|确]] || 確 || què || [[wikt:误|误]] || 誤 || wù |- | [[wikt:途|途]] || 途 || tú || [[wikt:超|超]] || 超 || chāo || [[wikt:堂|堂]] || 堂 || táng |- | [[wikt:镜|镜]] || 鏡 || jìng || [[wikt:闲|闲]] || 閒 || xián || [[wikt:待|待]] || 待 || dāi / dài |- | [[wikt:阅|阅]] || 閱 || yuè || [[wikt:腿|腿]] || 腿 || tuǐ || [[wikt:随|随]] || 隨 || suí |- | [[wikt:调|调]] || 調 || diào / tiáo || [[wikt:简|简]] || 簡 || jiǎn || [[wikt:拜|拜]] || 拜 || bài |- | [[wikt:访|访]] || 訪 || fǎng || [[wikt:具|具]] || 具 || jù || [[wikt:闻|闻]] || 聞 || wén |- | [[wikt:尘|尘]] || 塵 || chén || [[wikt:仆|仆]] || 僕 || pū / pú || [[wikt:纳|纳]] || 納 || nà |- | [[wikt:闷|闷]] || 悶 || mēn / mèn || [[wikt:丘|丘]] || 丘 || qiū || [[wikt:迎|迎]] || 迎 || yíng |- | [[wikt:等|等]] || 等 || děng || [[wikt:止|止]] || 止 || zhǐ || [[wikt:境|境]] || 境 || jìng |- | [[wikt:授|授]] || 授 || shòu || [[wikt:品|品]] || 品 || pǐn || [[wikt:暗|暗]] || 闇 / 晻 || àn |- | [[wikt:降|降]] || 降 || jiàng / xiáng || [[wikt:丈|丈]] || 丈 || zhàng || [[wikt:肢|肢]] || 肢 || zhī |- | [[wikt:肌|肌]] || 肌 || jī || [[wikt:肤|肤]] || 膚 || fū || [[wikt:辽|辽]] || 遼 || liáo |- | [[wikt:阔|阔]] || 濶 || kuò || [[wikt:血|血]] || 血 || xiě / xuè || [[wikt:液|液]] || 液 || yè |- | [[wikt:滋|滋]] || 滋 || zī || [[wikt:润|润]] || 潤 || rùn || [[wikt:创|创]] || 創 || chuàng |- | [[wikt:造|造]] || 造 || zào || [[wikt:县|县]] || 縣 || xiàn || [[wikt:设|设]] || 設 || shè |- | [[wikt:参|参]] || 參 || cān || [[wikt:部|部]] || 部 || bù || [[wikt:横|横]] || 橫 || héng / hèng |- | [[wikt:跨|跨]] || 跨 || kuà || [[wikt:举|举]] || 舉 || jǔ || [[wikt:击|击]] || 擊 || jī |- | [[wikt:坚|坚]] || 堅 || jiān || [[wikt:固|固]] || 固 || gù || [[wikt:栏|栏]] || 欄 || lán |- || [[wikt:案|案]] || 案 || àn || [[wikt:爪|爪]] || 爪 || zhǎo || [[wikt:贵|贵]] || 貴 || guì |- | [[wikt:断|断]] || 斷 || duàn || [[wikt:楚|楚]] || 楚 || chǔ || [[wikt:孤|孤]] || 孤 || gū |- | [[wikt:帆|帆]] || 帆 || fān || [[wikt:蓝|蓝]] || 藍 || lán || [[wikt:懒|懒]] || 懶 || lǎn |- | [[wikt:披|披]] || 披 || pī || [[wikt:划|划]] || 划 / 劃 || huá / huà || [[wikt:威|威]] || 威 || wēi |- | [[wikt:武|武]] || 武 || wǔ || [[wikt:拣|拣]] || 揀 || jiǎn || [[wikt:颜|颜]] || 顏 || yán |- | [[wikt:形|形]] || 形 || xíng || [[wikt:状|状]] || 狀 || zhuàng || [[wikt:渔|渔]] || 漁 || yú |- | [[wikt:料|料]] || 料 || liào || [[wikt:辈|辈]] || 輩 || bèi || [[wikt:汇|汇]] || 匯 / 彙 || huì |- | [[wikt:欣|欣]] || 訢 || xīn || [[wikt:赏|赏]] || 賞 || shǎng || [[wikt:映|映]] || 映 || yìng |- | [[wikt:挡|挡]] || 擋 || dǎng || [[wikt:视|视]] || 視 || shì || [[wikt:线|线]] || 線 || xiàn |- | [[wikt:浸|浸]] || 浸 || jìn || [[wikt:献|献]] || 獻 || xiàn || [[wikt:药|药]] || 藥 || yào |- | [[wikt:村|村]] || 村 || cūn || [[wikt:软|软]] || 軟 || ruǎn || [[wikt:刮|刮]] || 刮 / 颳 || guā |- | [[wikt:舌|舌]] || 舌 || shé || [[wikt:矛|矛]] || 矛 || máo || [[wikt:盾|盾]] || 盾 || dùn |- | [[wikt:集|集]] || 集 || jí || [[wikt:持|持]] || 持 || chí || [[wikt:般|般]] || 般 || bān |- | [[wikt:架|架]] || 架 || jià || [[wikt:龟|龟]] || 龜 || guī / jūn / qiū || [[wikt:攻|攻]] || 攻 || gōng |- | [[wikt:炮|炮]] || 炮 || páo / bāo / pào || [[wikt:坦|坦]] || 坦 || tǎn || [[wikt:战|战]] || 戰 || zhàn |- | [[wikt:神|神]] || 神 || shén || [[wikt:兵|兵]] || 兵 || bīng || [[wikt:退|退]] || 退 || tuì |- | [[wikt:挖|挖]] || 挖 || wā || [[wikt:鞋|鞋]] || 鞋 || xié || [[wikt:斧|斧]] || 斧 || fǔ |- | [[wikt:锯|锯]] || 鋸 || jù || [[wikt:免|免]] || 免 || miǎn || [[wikt:屋|屋]] || 屋 || wū |- | [[wikt:抢|抢]] || 搶 || qiāng / qiǎng / chēng || [[wikt:难|难]] || 難 || nán / nàn / nuó || [[wikt:初|初]] || 初 || chū |- | [[wikt:管|管]] || 管 || guǎn || [[wikt:敌|敌]] || 敵 || dí || [[wikt:阶|阶]] || 階 || jiē |- | [[wikt:懂|懂]] || 懂 || dǒng || [[wikt:陶|陶]] || 陶 || táo || [[wikt:谦|谦]] || 謙 || qiān |- | [[wikt:虚|虚]] || 虛 || xū || [[wikt:嘴|嘴]] || 嘴 || zuǐ || [[wikt:恼|恼]] || 惱 || nǎo |- | [[wikt:怒|怒]] || 怒 || nù || [[wikt:吵|吵]] || 吵 || chǎo / chāo || [[wikt:感|感]] || 感 || gǎn |- | [[wikt:荒|荒]] || 荒 || huāng || [[wikt:捧|捧]] || 捧 || pěng || [[wikt:朴|朴]] || 樸 / 朴 || pǔ 〔樸〕 / pò / pō / piáo |- | [[wikt:素|素]] || 素 || sù || [[wikt:值|值]] || 值 || zhí || [[wikt:受|受]] || 受 || shòu |- | [[wikt:愿|愿]] || 願 || yuàn || [[wikt:姿|姿]] || 姿 || zī || [[wikt:势|势]] || 勢 || shì |- | [[wikt:投|投]] || 投 || tóu || [[wikt:况|况]] || 況 || kuàng || [[wikt:吞|吞]] || 吞 || tūn |- | [[wikt:烈|烈]] || 烈 || liè || [[wikt:绪|绪]] || 緒 || xù || [[wikt:述|述]] || 述 || shù |- | [[wikt:普|普]] || 普 || pǔ || [[wikt:通|通]] || 通 || tōng || [[wikt:鼓|鼓]] || 鼓 || gǔ |- | [[wikt:励|励]] || 勵 || lì || [[wikt:育|育]] || 育 || yù || [[wikt:瓶|瓶]] || 瓶 || píng |- | [[wikt:系|系]] || 系 / 係 / 繫 || xì / jì || [[wikt:绳|绳]] || 繩 || shéng || [[wikt:茶|茶]] || 茶 || chá |- | [[wikt:危|危]] || 危 || wēi || [[wikt:险|险]] || 險 || xiǎn || [[wikt:顺|顺]] || 順 || shùn |- | [[wikt:俩|俩]] || 倆 || liǎng / liǎ || [[wikt:索|索]] || 索 || suǒ || [[wikt:激|激]] || 激 || jī |- | [[wikt:堵|堵]] || 堵 || dǔ || [[wikt:获|获]] || 獲 / 穫 || huò || [[wikt:矛|矛]] || 矛 || máo |- | [[wikt:担|担]] || 擔 || dān / dàn / dǎn || [[wikt:宽|宽]] || 寬 || kuān || [[wikt:裕|裕]] || 裕 || yù |- | [[wikt:买|买]] || 買 || mǎi || [[wikt:猜|猜]] || 猜 || cāi || [[wikt:糖|糖]] || 糖 || táng |- | [[wikt:即|即]] || 即 || jí || [[wikt:卡|卡]] || 卡 || qiǎ / kǎ || [[wikt:盼|盼]] || 盼 || pàn |- | [[wikt:仁|仁]] || 仁 || rén || [[wikt:贴|贴]] || 貼 || tiē || [[wikt:筝|筝]] || 箏 || zhēng |- | [[wikt:鹰|鹰]] || 鷹 || yīng || [[wikt:端|端]] || 端 || duān || [[wikt:稳|稳]] || 穩 || wěn |- | [[wikt:嚷|嚷]] || 嚷 || rǎng / rāng || [[wikt:橘|橘]] || 橘 || jú || [[wikt:墨|墨]] || 墨 || mò |- | [[wikt:斑|斑]] || 斑 || bān || [[wikt:闹|闹]] || 鬧 || nào || [[wikt:宇|宇]] || 宇 || yǔ |- | [[wikt:宙|宙]] || 宙 || zhòu || [[wikt:荡|荡]] || 盪 / 蕩 || dàng || [[wikt:衬|衬]] || 襯 || chèn |- | [[wikt:赛|赛]] || ||sài || [[wikt:拨|拨]] || || || [[wikt:警|警]] || || |- | [[wikt:惕|惕]] || || || [[wikt:膝|膝]] || || || [[wikt:毫|毫]] || || |- | [[wikt:套|套]] || || || [[wikt:倾|倾]] || || || [[wikt:探|探]] || || |- | [[wikt:扎|扎]] || || || [[wikt:搂|搂]] || || || [[wikt:贯|贯]] || || |- | [[wikt:局|局]] || || || [[wikt:昼|昼]] || || || [[wikt:耘|耘]] || || |- | [[wikt:未|未]] || || || [[wikt:耕|耕]] || || || [[wikt:织|织]] || || |- | [[wikt:桑|桑]] || || || [[wikt:蓬|蓬]] || || || [[wikt:稚|稚]] || || |- | [[wikt:纶|纶]] || || || [[wikt:莓|莓]] || || || [[wikt:苔|苔]] || || |- | [[wikt:叮|叮]] || || || [[wikt:嘱|嘱]] || || || [[wikt:排|排]] || || |- | [[wikt:而|而]] || ||ér || [[wikt:幅|幅]] || || || [[wikt:却|却]] || || |- | [[wikt:哈|哈]] || || || [[wikt:审|审]] || || || [[wikt:肃|肃]] || || |- | [[wikt:晌|晌]] || || || [[wikt:悦|悦]] || || || [[wikt:悉|悉]] || || |- | [[wikt:诲|诲]] || || || [[wikt:例|例]] || || || [[wikt:芝|芝]] || || |- | [[wikt:卵|卵]] || || || [[wikt:匀|匀]] || || || [[wikt:寸|寸]] || || |- | [[wikt:呆|呆]] || || || [[wikt:增|增]] || || || [[wikt:隔|隔]] || || |- | [[wikt:壁|壁]] || || || [[wikt:搬|搬]] || || || [[wikt:烛|烛]] || || |- | [[wikt:慈|慈]] || || || [[wikt:肩|肩]] || || || [[wikt:捧|捧]] || || |- | [[wikt:匠|匠]] || || || [[wikt:伟|伟]] || || || [[wikt:砌|砌]] || || |- | [[wikt:跨|跨]] || || || [[wikt:创|创]] || || || [[wikt:既|既]] || || |- | [[wikt:毁|毁]] || || || [[wikt:固|固]] || || || [[wikt:且|且]] || || |- | [[wikt:案|案]] || || || [[wikt:智|智]] || || || [[wikt:慧|慧]] || || |- | [[wikt:登|登]] || || || [[wikt:阶|阶]] || || || [[wikt:厅|厅]] || || |- | [[wikt:礼|礼]] || || || [[wikt:席|席]] || || || [[wikt:灿|灿]] || || |- | [[wikt:烂|烂]] || || || [[wikt:党|党]] || || || [[wikt:描|描]] || || |- | [[wikt:敞|敞]] || || || [[wikt:椅|椅]] || || || [[wikt:议|议]] || || |- | [[wikt:宾|宾]] || || || [[wikt:翠|翠]] || || || [[wikt:秆|秆]] || || |- | [[wikt:绣|绣]] || || || [[wikt:腹|腹]] || || || [[wikt:赤|赤]] || || |- | [[wikt:衫|衫]] || || || [[wikt:疾|疾]] || || || [[wikt:泛|泛]] || || |- | [[wikt:泡|泡]] || || || [[wikt:脱|脱]] || || || [[wikt:锐|锐]] || || |- | [[wikt:晃|晃]] || || || [[wikt:饲|饲]] || || || [[wikt:贪|贪]] || || |- | [[wikt:狭|狭]] || || || [[wikt:桂|桂]] || || || [[wikt:刺|刺]] || || |- | [[wikt:软|软]] || || || [[wikt:触|触]] || || || [[wikt:滑|滑]] || || |- | [[wikt:唇|唇]] || || || [[wikt:汁|汁]] || || || [[wikt:津|津]] || || |- | [[wikt:腐|腐]] || || || [[wikt:虽|虽]] || || || [[wikt:味|味]] || || |- | [[wikt:亭|亭]] || || || [[wikt:移|移]] || || || [[wikt:泊|泊]] || || |- | [[wikt:愁|愁]] || || || [[wikt:旷|旷]] || || || [[wikt:萤|萤]] || || |- | [[wikt:簇|簇]] || || || [[wikt:烧|烧]] || || || [[wikt:喂|喂]] || || |- | [[wikt:盈|盈]] || || || [[wikt:寿|寿]] || || || [[wikt:合|合]] || || |- | [[wikt:茄|茄]] || || || [[wikt:跪|跪]] || || || [[wikt:猛|猛]] || || |- | [[wikt:庙|庙]] || || || [[wikt:蹲|蹲]] || || || [[wikt:镇|镇]] || || |- | [[wikt:须|须]] || || || [[wikt:揉|揉]] || || || [[wikt:挨|挨]] || || |- | [[wikt:挤|挤]] || || || [[wikt:之|之]] || || || [[wikt:莲|莲]] || || |- | [[wikt:胀|胀]] || || || [[wikt:姿|姿]] || || || [[wikt:仿|仿]] || || |- | [[wikt:裳|裳]] || || || [[wikt:翩|翩]] || || || [[wikt:随|随]] || || |- | [[wikt:涛|涛]] || || || [[wikt:依|依]] || || || [[wikt:否|否]] || || |- | [[wikt:窃|窃]] || || || [[wikt:私|私]] || || || [[wikt:汪|汪]] || || |- | [[wikt:类|类]] || || || [[wikt:镜|镜]] || || || [[wikt:煤|煤]] || || |- | [[wikt:属|属]] || || || [[wikt:珍|珍]] || || || [[wikt:诊|诊]] || || |- | [[wikt:职|职]] || || || [[wikt:扶|扶]] || || || [[wikt:除|除]] || || |- | [[wikt:疑|疑]] || || || [[wikt:效|效]] || || || [[wikt:缺|缺]] || || |- | [[wikt:况|况]] || || || [[wikt:编|编]] || || || [[wikt:尝|尝]] || 嘗 /  嚐|| cháng |- | [[wikt:传|传]] || || || [[wikt:延|延]] || || || [[wikt:庆|庆]] || 慶|| qìng |- | [[wikt:扬|扬]] || || || [[wikt:叠|叠]] || || || [[wikt:涌|涌]] || 涌|| yǒng |- | [[wikt:股|股]] || || || [[wikt:螺|螺]] || || || [[wikt:旋|旋]] || || |- | [[wikt:桨|桨]] || || || [[wikt:掠|掠]] || || || [[wikt:励|励]] || || |- | [[wikt:顾|顾]] || || || [[wikt:融|融]] || || || [[wikt:腾|腾]] || || |- | [[wikt:掩|掩]] || || || [[wikt:盗|盗]] || || || [[wikt:铛|铛]] || || |- | [[wikt:偷|偷]] || || || [[wikt:碰|碰]] || || || [[wikt:株|株]] || || |- | [[wikt:待|待]] || || || [[wikt:窜|窜]] || || || [[wikt:撞|撞]] || || |- | [[wikt:桩|桩]] || || || [[wikt:捡|捡]] || || || [[wikt:锄|锄]] || || |- | [[wikt:魏|魏]] || 魏|| wèi|| [[wikt:箭|箭]] || || || [[wikt:猎|猎]] || || |- | [[wikt:雁|雁]] || || || [[wikt:弦|弦]] || || || [[wikt:悲|悲]] || || |- | [[wikt:惨|惨]] || || || [[wikt:愈|愈]] || || || [[wikt:痛|痛]] || || |} ==四年== ４年生の漢字：366个 {| class="wikitable" |- ! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） !! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） !! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） |- | [[wikt:歇|歇]] || || || [[wikt:联|联]] || || || [[wikt:雕|雕]] || || |- | [[wikt:厘|厘]] || || || [[wikt:甚|甚]] || || || [[wikt:鼻|鼻]] || || |- | [[wikt:藏|藏]] || || || [[wikt:概|概]] || || || [[wikt:淘|淘]] || || |- | [[wikt:楚|楚]] || || || [[wikt:侵|侵]] || || || [[wikt:衅|衅]] || || |- | [[wikt:驻|驻]] || || || [[wikt:抗|抗]] || || || [[wikt:鲁|鲁]] || || |- | [[wikt:绍|绍]] || || || [[wikt:馆|馆]] || || || [[wikt:戒|戒]] || || |- | [[wikt:段|段]] || || || [[wikt:务|务]] || || || [[wikt:奔|奔]] || || |- | [[wikt:厉|厉]] || || || [[wikt:弛|弛]] || || || [[wikt:忧|忧]] || || |- | [[wikt:哀|哀]] || || || [[wikt:持|持]] || || || [[wikt:慰|慰]] || || |- | [[wikt:谜|谜]] || || || [[wikt:梭|梭]] || || || [[wikt:狂|狂]] || || |- | [[wikt:赢|赢]] || || || [[wikt:益|益]] || || || [[wikt:若|若]] || || |- | [[wikt:凳|凳]] || || || [[wikt:锅|锅]] || || || [[wikt:替|替]] || || |- | [[wikt:抄|抄]] || || || [[wikt:印|印]] || || || [[wikt:嗓|嗓]] || || |- | [[wikt:捆|捆]] || || || [[wikt:俯|俯]] || || || [[wikt:投|投]] || || |- | [[wikt:轰|轰]] || || || [[wikt:隆|隆]] || || || [[wikt:爆|爆]] || || |- | [[wikt:叨|叨]] || || || [[wikt:役|役]] || || || [[wikt:营|营]] || || |- | [[wikt:占|占]] || || || [[wikt:攻|攻]] || || || [[wikt:枪|枪]] || || |- | [[wikt:怒|怒]] || || || [[wikt:艰|艰]] || || || [[wikt:牺|牺]] || || |- | [[wikt:顽|顽]] || || || [[wikt:暴|暴]] || || || [[wikt:臂|臂]] || || |- | [[wikt:规|规]] || || || [[wikt:膛|膛]] || || || [[wikt:仇|仇]] || || |- | [[wikt:鹭|鹭]] || || || [[wikt:含|含]] || || || [[wikt:岭|岭]] || || |- | [[wikt:帝|帝]] || || || [[wikt:辞|辞]] || || || [[wikt:陵|陵]] || || |- | [[wikt:猿|猿]] || || || [[wikt:啼|啼]] || || || [[wikt:殿|殿]] || || |- | [[wikt:廊|廊]] || || || [[wikt:漆|漆]] || || || [[wikt:栏|栏]] || || |- | [[wikt:昆|昆]] || || || [[wikt:爽|爽]] || || || [[wikt:阁|阁]] || || |- | [[wikt:辉|辉]] || || || [[wikt:煌|煌]] || || || [[wikt:葱|葱]] || || |- | [[wikt:朱|朱]] || || || [[wikt:痕|痕]] || || || [[wikt:堤|堤]] || || |- | [[wikt:哄|哄]] || || || [[wikt:驾|驾]] || || || [[wikt:耀|耀]] || || |- | [[wikt:亩|亩]] || || || [[wikt:丈|丈]] || || || [[wikt:拇|拇]] || || |- | [[wikt:镰|镰]] || || || [[wikt:笋|笋]] || || || [[wikt:伏|伏]] || || |- | [[wikt:丘|丘]] || || || [[wikt:折|折]] || || || [[wikt:缝|缝]] || || |- | [[wikt:抚|抚]] || || || [[wikt:糖|糖]] || || || [[wikt:配|配]] || || |- | [[wikt:饮|饮]] || || || [[wikt:钟|钟]] || || || [[wikt:程|程]] || || |- | [[wikt:闯|闯]] || || || [[wikt:训|训]] || || || [[wikt:选|选]] || || |- | [[wikt:择|择]] || || || [[wikt:验|验]] || || || [[wikt:资|资]] || || |- | [[wikt:源|源]] || || || [[wikt:宋|宋]] || || || [[wikt:拴|拴]] || || |- | [[wikt:陷|陷]] || || || [[wikt:论|论]] || || || [[wikt:尚|尚]] || || |- | [[wikt:潜|潜]] || || || [[wikt:舱|舱]] || || || [[wikt:绳|绳]] || || |- | [[wikt:绑|绑]] || || || [[wikt:铲|铲]] || || || [[wikt:拖|拖]] || || |- | [[wikt:亚|亚]] || || || [[wikt:匣|匣]] || || || [[wikt:挖|挖]] || || |- | [[wikt:鞋|鞋]] || || || [[wikt:锯|锯]] || || || [[wikt:避|避]] || || |- | [[wikt:倍|倍]] || || || [[wikt:庐|庐]] || || || [[wikt:瀑|瀑]] || || |- | [[wikt:炉|炉]] || || || [[wikt:潮|潮]] || || || [[wikt:据|据]] || || |- | [[wikt:罩|罩]] || || || [[wikt:薄|薄]] || || || [[wikt:闷|闷]] || || |- | [[wikt:沸|沸]] || || || [[wikt:踮|踮]] || || || [[wikt:犹|犹]] || || |- | [[wikt:浩|浩]] || || || [[wikt:崩|崩]] || || || [[wikt:霎|霎]] || || |- | [[wikt:余|余]] || || || [[wikt:恢|恢]] || || || [[wikt:涨|涨]] || || |- | [[wikt:虎|虎]] || || || [[wikt:隙|隙]] || || || [[wikt:拂|拂]] || || |- | [[wikt:漾|漾]] || || || [[wikt:柄|柄]] || || || [[wikt:曲|曲]] || || |- | [[wikt:逐|逐]] || || || [[wikt:瞧|瞧]] || || || [[wikt:型|型]] || || |- | [[wikt:陈|陈]] || || || [[wikt:搏|搏]] || || || [[wikt:促|促]] || || |- | [[wikt:企|企]] || || || [[wikt:犯|犯]] || || || [[wikt:罪|罪]] || || |- | [[wikt:殊|殊]] || || || [[wikt:夹|夹]] || || || [[wikt:即|即]] || || |- | [[wikt:碎|碎]] || || || [[wikt:改|改]] || || || [[wikt:集|集]] || || |- | [[wikt:付|付]] || || || [[wikt:启|启]] || || || [[wikt:抛|抛]] || || |- | [[wikt:剧|剧]] || || || [[wikt:翼|翼]] || || || [[wikt:纵|纵]] || || |- | [[wikt:跃|跃]] || || || [[wikt:挣|挣]] || || || [[wikt:距|距]] || || |- | [[wikt:丧|丧]] || || || [[wikt:纽|纽]] || || || [[wikt:抉|抉]] || || |- | [[wikt:曾|曾]] || || || [[wikt:践|践]] || || || [[wikt:获|获]] || || |- | [[wikt:堡|堡]] || || || [[wikt:瘦|瘦]] || || || [[wikt:纠|纠]] || || |- | [[wikt:掏|掏]] || || || [[wikt:乞|乞]] || || || [[wikt:轧|轧]] || || |- | [[wikt:躺|躺]] || || || [[wikt:饥|饥]] || || || [[wikt:质|质]] || || |- | [[wikt:趵|趵]] || || || [[wikt:纯|纯]] || || || [[wikt:乏|乏]] || || |- | [[wikt:藻|藻]] || || || [[wikt:扁|扁]] || || || [[wikt:崇|崇]] || || |- | [[wikt:峻|峻]] || || || [[wikt:蜿|蜿]] || || || [[wikt:蜒|蜒]] || || |- | [[wikt:砖|砖]] || || || [[wikt:屯|屯]] || || || [[wikt:垒|垒]] || || |- | [[wikt:峭|峭]] || || || [[wikt:凝|凝]] || || || [[wikt:魄|魄]] || || |- | [[wikt:惠|惠]] || || || [[wikt:莺|莺]] || || || [[wikt:郭|郭]] || || |- | [[wikt:酒|酒]] || || || [[wikt:哺|哺]] || || || [[wikt:络|络]] || || |- | [[wikt:绎|绎]] || || || [[wikt:桶|桶]] || || || [[wikt:吱|吱]] || || |- | [[wikt:旬|旬]] || || || [[wikt:拐|拐]] || || || [[wikt:缸|缸]] || || |- | [[wikt:酬|酬]] || || || [[wikt:俺|俺]] || || || [[wikt:歉|歉]] || || |- | [[wikt:仅|仅]] || || || [[wikt:治|治]] || || || [[wikt:坦|坦]] || || |- | [[wikt:谓|谓]] || || || [[wikt:梯|梯]] || || || [[wikt:坚|坚]] || || |- | [[wikt:茏|茏]] || || || [[wikt:览|览]] || || || [[wikt:械|械]] || || |- | [[wikt:愧|愧]] || || || [[wikt:疚|疚]] || || || [[wikt:嫌|嫌]] || || |- | [[wikt:辛|辛]] || || || [[wikt:嗅|嗅]] || || || [[wikt:奈|奈]] || || |- | [[wikt:绒|绒]] || || || [[wikt:躯|躯]] || || || [[wikt:拯|拯]] || || |- | [[wikt:幼|幼]] || || || [[wikt:浑|浑]] || || || [[wikt:哑|哑]] || || |- | [[wikt:搏|搏]] || || || [[wikt:庞|庞]] || || || [[wikt:愣|愣]] || || |- | [[wikt:虑|虑]] || || || [[wikt:凭|凭]] || || || [[wikt:痒|痒]] || || |- | [[wikt:稿|稿]] || || || [[wikt:腔|腔]] || || || [[wikt:要|要]] || || |- | [[wikt:摔|摔]] || || || [[wikt:跌|跌]] || || || [[wikt:胆|胆]] || || |- | [[wikt:辟|辟]] || || || [[wikt:遭|遭]] || || || [[wikt:殃|殃]] || || |- | [[wikt:责|责]] || || || [[wikt:倔|倔]] || || || [[wikt:荒|荒]] || || |- | [[wikt:忍|忍]] || || || [[wikt:惫|惫]] || || || [[wikt:牵|牵]] || || |- | [[wikt:翘|翘]] || || || [[wikt:鬼|鬼]] || || || [[wikt:吻|吻]] || || |- | [[wikt:递|递]] || || || [[wikt:嘛|嘛]] || || || [[wikt:港|港]] || || |- | [[wikt:邦|邦]] || || || [[wikt:芜|芜]] || || || [[wikt:巫|巫]] || || |- | [[wikt:婆|婆]] || || || [[wikt:逼|逼]] || || || [[wikt:扮|扮]] || || |- | [[wikt:旱|旱]] || || || [[wikt:绸|绸]] || || || [[wikt:褂|褂]] || || |- | [[wikt:徒|徒]] || || || [[wikt:烦|烦]] || || || [[wikt:饶|饶]] || || |- | [[wikt:渠|渠]] || || || [[wikt:灌|灌]] || || || [[wikt:溉|溉]] || || |- | [[wikt:吩|吩]] || || || [[wikt:咐|咐]] || || || [[wikt:茅|茅]] || || |- | [[wikt:榨|榨]] || || || [[wikt:价|价]] || || || [[wikt:榴|榴]] || || |- | [[wikt:慕|慕]] || || || [[wikt:矮|矮]] || || || [[wikt:浙|浙]] || || |- | [[wikt:罗|罗]] || || || [[wikt:呈|呈]] || || || [[wikt:郁|郁]] || || |- | [[wikt:聚|聚]] || || || [[wikt:适|适]] || || || [[wikt:昏|昏]] || || |- | [[wikt:稍|稍]] || || || [[wikt:额|额]] || || || [[wikt:估|估]] || || |- | [[wikt:损|损]] || || || [[wikt:皇|皇]] || || || [[wikt:组|组]] || || |- | [[wikt:般|般]] || || || [[wikt:征|征]] || || || [[wikt:苏|苏]] || || |- | [[wikt:宏|宏]] || || || [[wikt:唐|唐]] || || || [[wikt:凡|凡]] || || |- | [[wikt:统|统]] || || || [[wikt:销|销]] || || || [[wikt:略|略]] || || |- | [[wikt:奉|奉]] || || || [[wikt:执|执]] || || || [[wikt:维|维]] || || |- | [[wikt:予|予]] || || || [[wikt:素|素]] || || || [[wikt:浸|浸]] || || |- | [[wikt:凯|凯]] || || || [[wikt:遗|遗]] || || || [[wikt:硕|硕]] || || |- | [[wikt:贡|贡]] || || || [[wikt:圣|圣]] || || || [[wikt:协|协]] || || |- | [[wikt:吁|吁]] || || || [[wikt:妻|妻]] || || || [[wikt:充|充]] || || |- | [[wikt:孟|孟]] || || || [[wikt:帆|帆]] || || || [[wikt:唯|唯]] || || |- | [[wikt:偶|偶]] || || || [[wikt:鬓|鬓]] || || || [[wikt:衰|衰]] || || |- | [[wikt:查|查]] || || || [[wikt:克|克]] || || || [[wikt:迫|迫]] || || |- | [[wikt:睫|睫]] || || || [[wikt:垫|垫]] || || || [[wikt:泣|泣]] || || |- | [[wikt:呜|呜]] || || || [[wikt:咽|咽]] || || || [[wikt:拳|拳]] || || |- | [[wikt:竭|竭]] || || || [[wikt:亿|亿]] || || || [[wikt:抵|抵]] || || |- | [[wikt:钢|钢]] || || || [[wikt:兽|兽]] || || || [[wikt:繁|繁]] || || |- | [[wikt:殖|殖]] || || || [[wikt:蔬|蔬]] || || || [[wikt:炭|炭]] || || |- | [[wikt:蒸|蒸]] || || || [[wikt:杀|杀]] || || || [[wikt:菌|菌]] || || |- | [[wikt:预|预]] || || || [[wikt:疗|疗]] || || || [[wikt:捷|捷]] || || |- | [[wikt:购|购]] || || || [[wikt:屏|屏]] || || || [[wikt:访|访]] || || |- | [[wikt:辅|辅]] || || || [[wikt:邮|邮]] || || || [[wikt:贺|贺]] || || |- | [[wikt:羡|羡]] || || || [[wikt:宜|宜]] || || || [[wikt:恋|恋]] || || |- | [[wikt:妙|妙]] || || |} ==五年== ５年生の漢字：320个 {| class="wikitable" |- ! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） !! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） !! 漢字（简体） !! 繁体 !! 字音（例） |- | [[wikt:范|范]] [[wikt:刹|刹]] [[wikt:镶|镶]] |- | [[wikt:裹|裹]] [[wikt:泻|泻]] [[wikt:镀|镀]] |- | [[wikt:润|润]] [[wikt:杰|杰]] [[wikt:截|截]] |- | [[wikt:溢|溢]] [[wikt:则|则]] [[wikt:燃|燃]] |- | [[wikt:缘|缘]] [[wikt:溜|溜]] [[wikt:货|货]] |- | [[wikt:奏|奏]] [[wikt:衡|衡]] [[wikt:诵|诵]] |- | [[wikt:杖|杖]] [[wikt:超|超]] [[wikt:肌|肌]] |- | [[wikt:拘|拘]] [[wikt:耽|耽]] [[wikt:误|误]] |- | [[wikt:哲|哲]] [[wikt:仪|仪]] [[wikt:悼|悼]] |- | [[wikt:逝|逝]] [[wikt:餐|餐]] [[wikt:枣|枣]] |- | [[wikt:搞|搞]] [[wikt:冠|冠]] [[wikt:骂|骂]] |- | [[wikt:嚼|嚼]] [[wikt:悟|悟]] [[wikt:摊|摊]] |- | [[wikt:奥|奥]] [[wikt:咳|咳]] [[wikt:嗽|嗽]] |- | [[wikt:拄|拄]] [[wikt:槐|槐]] [[wikt:耐|耐]] |- | [[wikt:挽|挽]] [[wikt:饰|饰]] [[wikt:腮|腮]] |- | [[wikt:洲|洲]] [[wikt:陪|陪]] [[wikt:检|检]] |- | [[wikt:阅|阅]] [[wikt:矫|矫]] [[wikt:锁|锁]] |- | [[wikt:暂|暂]] [[wikt:糕|糕]] [[wikt:阻|阻]] |- | [[wikt:谊|谊]] [[wikt:捣|捣]] [[wikt:谣|谣]] |- | [[wikt:侦|侦]] [[wikt:混|混]] [[wikt:吵|吵]] |- | [[wikt:耗|耗]] [[wikt:嫂|嫂]] [[wikt:勒|勒]] |- | [[wikt:骏|骏]] [[wikt:限|限]] [[wikt:鞭|鞭]] |- | [[wikt:驰|驰]] [[wikt:蹄|蹄]] [[wikt:茶|茶]] |- | [[wikt:貌|貌]] [[wikt:杯|杯]] [[wikt:跤|跤]] |- | [[wikt:尼|尼]] [[wikt:艇|艇]] [[wikt:耸|耸]] |- | [[wikt:寂|寂]] [[wikt:梁|梁]] [[wikt:寇|寇]] |- | [[wikt:晋|晋]] [[wikt:挥|挥]] [[wikt:葛|葛]] |- | [[wikt:尸|尸]] [[wikt:悬|悬]] [[wikt:崖|崖]] |- | [[wikt:斩|斩]] [[wikt:磨|磨]] [[wikt:罢|罢]] |- | [[wikt:豪|豪]] [[wikt:屈|屈]] [[wikt:沃|沃]] |- | [[wikt:刘|刘]] [[wikt:龄|龄]] [[wikt:匪|匪]] |- | [[wikt:拒|拒]] [[wikt:醉|醉]] [[wikt:剂|剂]] |- | [[wikt:施|施]] [[wikt:哼|哼]] [[wikt:晕|晕]] |- | [[wikt:勉|勉]] [[wikt:堪|堪]] [[wikt:承|承]] |- | [[wikt:吟|吟]] [[wikt:残|残]] [[wikt:瑟|瑟]] |- | [[wikt:捏|捏]] [[wikt:扭|扭]] [[wikt:胯|胯]] |- | [[wikt:郑|郑]] [[wikt:拜|拜]] [[wikt:租|租]] [[wikt:允|允]] [[wikt:厨|厨]] [[wikt:颈|颈]] [[wikt:缚|缚]] [[wikt:稻|稻]] [[wikt:贼|贼]] [[wikt:畜|畜]] [[wikt:鲸|鲸]] [[wikt:肢|肢]] [[wikt:滤|滤]] [[wikt:吨|吨]] [[wikt:肺|肺]] [[wikt:判|判]] [[wikt:胎|胎]] [[wikt:宅|宅]] [[wikt:蔽|蔽]] [[wikt:弃|弃]] [[wikt:慎|慎]] [[wikt:址|址]] [[wikt:掘|掘]] [[wikt:搜|搜]] [[wikt:骤|骤]] [[wikt:糙|糙]] [[wikt:朴|朴]] [[wikt:燥|燥]] [[wikt:钳|钳]] [[wikt:嘻|嘻]] [[wikt:舀|舀]] [[wikt:掺|掺]] [[wikt:逗|逗]] [[wikt:棍|棍]] [[wikt:逮|逮]] [[wikt:萝|萝]] [[wikt:卜|卜]] [[wikt:筷|筷]] [[wikt:哗|哗]] [[wikt:哇|哇]] [[wikt:托|托]] [[wikt:批|批]] [[wikt:糟|糟]] [[wikt:蹋|蹋]] [[wikt:尔|尔]] [[wikt:肆|肆]] [[wikt:痰|痰]] [[wikt:核|核]] [[wikt:呻|呻]] [[wikt:究|究]] [[wikt:律|律]] [[wikt:俊|俊]] [[wikt:俏|俏]] [[wikt:拢|拢]] [[wikt:添|添]] [[wikt:沾|沾]] [[wikt:倦|倦]] [[wikt:谱|谱]] [[wikt:符|符]] [[wikt:塞|塞]] [[wikt:笠|笠]] [[wikt:蓑|蓑]] [[wikt:戈|戈]] [[wikt:晰|晰]] [[wikt:介|介]] [[wikt:疆|疆]] [[wikt:萎|萎]] [[wikt:汲|汲]] [[wikt:赖|赖]] [[wikt:旦|旦]] [[wikt:番|番]] [[wikt:锻|锻]] [[wikt:炼|炼]] [[wikt:雅|雅]] [[wikt:勃|勃]] [[wikt:艘|艘]] [[wikt:航|航]] [[wikt:桅|桅]] [[wikt:撕|撕]] [[wikt:唬|唬]] [[wikt:龇|龇]] [[wikt:咧|咧]] [[wikt:鸥|鸥]] [[wikt:瞄|瞄]] [[wikt:莱|莱]] [[wikt:茵|茵]] [[wikt:幽|幽]] [[wikt:券|券]] [[wikt:蜡|蜡]] [[wikt:瞎|瞎]] [[wikt:陌|陌]] [[wikt:盲|盲]] [[wikt:键|键]] [[wikt:粼|粼]] [[wikt:缕|缕]] [[wikt:恬|恬]] [[wikt:汹|汹]] [[wikt:录|录]] [[wikt:扣|扣]] [[wikt:潋|潋]] [[wikt:滟|滟]] [[wikt:亦|亦]] [[wikt:抹|抹]] [[wikt:置|置]] [[wikt:载|载]] [[wikt:循|循]] [[wikt:昙|昙]] [[wikt:秉|秉]] [[wikt:秧|秧]] [[wikt:砸|砸]] [[wikt:忌|忌]] [[wikt:膑|膑]] [[wikt:瞪|瞪]] [[wikt:惑|惑]] [[wikt:讥|讥]] [[wikt:讽|讽]] [[wikt:蔑|蔑]] [[wikt:序|序]] [[wikt:率|率]] [[wikt:瑜|瑜]] [[wikt:遣|遣]] [[wikt:渡|渡]] [[wikt:策|策]] [[wikt:滔|滔]] [[wikt:眺|眺]] [[wikt:幔|幔]] [[wikt:遮|遮]] [[wikt:苇|苇]] [[wikt:硫|硫]] [[wikt:磺|磺]] [[wikt:缆|缆]] [[wikt:盔|盔]] [[wikt:骼|骼]] [[wikt:椎|椎]] [[wikt:颌|颌]] [[wikt:趾|趾]] [[wikt:炙|炙]] [[wikt:烤|烤]] [[wikt:栎|栎]] [[wikt:羚|羚]] [[wikt:鸵|鸵]] [[wikt:椭|椭]] [[wikt:政|政]] [[wikt:瞬|瞬]] [[wikt:琥|琥]] [[wikt:珀|珀]] [[wikt:蝇|蝇]] [[wikt:脂|脂]] [[wikt:掸|掸]] [[wikt:拭|拭]] [[wikt:辣|辣]] [[wikt:渗|渗]] [[wikt:澎|澎]] [[wikt:湃|湃]] [[wikt:黏|黏]] [[wikt:测|测]] [[wikt:伍|伍]] [[wikt:坨|坨]] [[wikt:啸|啸]] [[wikt:劣|劣]] [[wikt:酷|酷]] [[wikt:袭|袭]] [[wikt:僵|僵]] [[wikt:倚|倚]] [[wikt:秃|秃]] [[wikt:塑|塑]] [[wikt:豹|豹]] [[wikt:覆|覆]] [[wikt:莹|莹]] [[wikt:援|援]] [[wikt:妄|妄]] [[wikt:诡|诡]] [[wikt:溃|溃]] [[wikt:扯|扯]] [[wikt:撤|撤]] [[wikt:瓢|瓢]] [[wikt:褐|褐]] [[wikt:聋|聋]] [[wikt:疯|疯]] [[wikt:委|委]] [[wikt:钧|钧]] [[wikt:召|召]] [[wikt:狈|狈]] [[wikt:赴|赴]] [[wikt:伦|伦]] [[wikt:典|典]] [[wikt:纳|纳]] [[wikt:喻|喻]] [[wikt:曼|曼]] [[wikt:庸|庸]] [[wikt:捅|捅]] [[wikt:刁|刁]] [[wikt:罚|罚]] [[wikt:释|释]] [[wikt:绪|绪]] [[wikt:漏|漏]] [[wikt:抑|抑]] [[wikt:榜|榜]] [[wikt:寄|寄]] [[wikt:噢|噢]] [[wikt:杈|杈]] [[wikt:监|监]] [[wikt:笛|笛]] [[wikt:嗡|嗡]] [[wikt:惧|惧]] [[wikt:凄|凄]] [[wikt:憋|憋]] [[wikt:惩|惩]] [[wikt:樱|樱]] [[wikt:狱|狱]] |} ==六年== ６年生の漢字：200个 [[wikt:厦|厦]] [[wikt:伐|伐]] [[wikt:综|综]] [[wikt:砚|砚]] [[wikt:锤|锤]] [[wikt:焚|焚]] [[wikt:协|协]] [[wikt:檐|檐]] [[wikt:汇|汇]] [[wikt:泽|泽]] [[wikt:宣|宣]] [[wikt:钮|钮]] [[wikt:徐|徐]] [[wikt:瞻|瞻]] [[wikt:帜|帜]] [[wikt:袖|袖]] [[wikt:挪|挪]] [[wikt:谋|谋]] [[wikt:辈|辈]] [[wikt:脉|脉]] [[wikt:漓|漓]] [[wikt:澜|澜]] [[wikt:瑕|瑕]] [[wikt:翡|翡]] [[wikt:峦|峦]] [[wikt:障|障]] [[wikt:筏|筏]] [[wikt:绵|绵]] [[wikt:凌|凌]] [[wikt:酿|酿]] [[wikt:剥|剥]] [[wikt:妥|妥]] [[wikt:帖|帖]] [[wikt:藉|藉]] [[wikt:偿|偿]] [[wikt:馋|馋]] [[wikt:媒|媒]] [[wikt:诞|诞]] [[wikt:埃|埃]] [[wikt:渺|渺]] [[wikt:矿|矿]] [[wikt:赐|赐]] [[wikt:慷|慷]] [[wikt:慨|慨]] [[wikt:滥|滥]] [[wikt:睹|睹]] [[wikt:礴|礴]] [[wikt:丸|丸]] [[wikt:岷|岷]] [[wikt:咨|咨]] [[wikt:询|询]] [[wikt:浏|浏]] [[wikt:碟|碟]] [[wikt:晖|晖]] [[wikt:迪|迪]] [[wikt:誉|誉]] [[wikt:篇|篇]] [[wikt:版|版]] [[wikt:皱|皱]] [[wikt:歧|歧]] [[wikt:谨|谨]] [[wikt:巢|巢]] [[wikt:梢|梢]] [[wikt:暇|暇]] [[wikt:茸|茸]] [[wikt:甸|甸]] [[wikt:屑|屑]] [[wikt:掷|掷]] [[wikt:俗|俗]] [[wikt:瑞|瑞]] [[wikt:兆|兆]] [[wikt:谚|谚]] [[wikt:枕|枕]] [[wikt:馒|馒]] [[wikt:柜|柜]] [[wikt:锈|锈]] [[wikt:摩|摩]] [[wikt:爹|爹]] [[wikt:袄|袄]] [[wikt:筒|筒]] [[wikt:揪|揪]] [[wikt:粥|粥]] [[wikt:吉|吉]] [[wikt:炕|炕]] [[wikt:叙|叙]] [[wikt:肤|肤]] [[wikt:签|签]] [[wikt:缩|缩]] [[wikt:脾|脾]] [[wikt:册|册]] [[wikt:熄|熄]] [[wikt:唉|唉]] [[wikt:欠|欠]] [[wikt:谅|谅]] [[wikt:俱|俱]] [[wikt:矣|矣]] [[wikt:曰|曰]] [[wikt:盂|盂]] [[wikt:沧|沧]] [[wikt:汤|汤]] [[wikt:阀|阀]] [[wikt:娱|娱]] [[wikt:僻|僻]] [[wikt:怖|怖]] [[wikt:宪|宪]] [[wikt:胖|胖]] [[wikt:刑|刑]] [[wikt:押|押]] [[wikt:舅|舅]] [[wikt:绞|绞]] [[wikt:彻|彻]] [[wikt:迁|迁]] [[wikt:鸿|鸿]] [[wikt:旺|旺]] [[wikt:标|标]] [[wikt:炊|炊]] [[wikt:葬|葬]] [[wikt:权|权]] [[wikt:溅|溅]] [[wikt:嘹|嘹]] [[wikt:魅|魅]] [[wikt:萍|萍]] [[wikt:敏|敏]] [[wikt:滨|滨]] [[wikt:拆|拆]] [[wikt:申|申]] [[wikt:挠|挠]] [[wikt:控|控]] [[wikt:嘲|嘲]] [[wikt:毅|毅]] [[wikt:扛|扛]] [[wikt:绘|绘]] [[wikt:桨|桨]] [[wikt:岔|岔]] [[wikt:竣|竣]] [[wikt:藐|藐]] [[wikt:蔡|蔡]] [[wikt:羹|羹]] [[wikt:煎|煎]] [[wikt:诸|诸]] [[wikt:妒|妒]] [[wikt:督|督]] [[wikt:寨|寨]] [[wikt:擂|擂]] [[wikt:呐|呐]] [[wikt:丞|丞]] [[wikt:璧|璧]] [[wikt:臣|臣]] [[wikt:诺|诺]] [[wikt:廉|廉]] [[wikt:颇|颇]] [[wikt:御|御]] [[wikt:侮|侮]] [[wikt:辱|辱]] [[wikt:袍|袍]] [[wikt:荆|荆]] [[wikt:祭|祭]] [[wikt:乃|乃]] [[wikt:涕|涕]] [[wikt:洛|洛]] [[wikt:碗|碗]] [[wikt:伶|伶]] [[wikt:俐|俐]] [[wikt:徘|徘]] [[wikt:徊|徊]] [[wikt:裸|裸]] [[wikt:兜|兜]] [[wikt:蜷|蜷]] [[wikt:焰|焰]] [[wikt:烘|烘]] [[wikt:哎|哎]] [[wikt:梗|梗]] [[wikt:填|填]] [[wikt:橱|橱]] [[wikt:烁|烁]] [[wikt:魂|魂]] [[wikt:搁|搁]] [[wikt:帐|帐]] [[wikt:怨|怨]] [[wikt:掀|掀]] [[wikt:寡|寡]] [[wikt:揍|揍]] [[wikt:魁|魁]] [[wikt:霉|霉]] [[wikt:勺|勺]] [[wikt:熬|熬]] [[wikt:鼎|鼎]] [[wikt:铸|铸]] [[wikt:铭|铭]] [[wikt:湛|湛]] [[wikt:昌|昌]] [[wikt:溶|溶]] [[wikt:构|构]] [[wikt:寓|寓]] [[wikt:矛|矛]] [[wikt:盾|盾]] [[wikt:誉|誉]] [[wikt:吾|吾]] [[wikt:履|履]] [[wikt:遂|遂]] [[category:中国語|しようよう]] fkf7mesgu3roa21rp3kqniolxx5hjas 0 18977 299489 294972 2026-05-12T23:24:41Z ~2026-28638-46 91444 299489 wikitext text/x-wiki ::公布：1889年（明治22年）2月11日<br> ::施行：1890年（明治23年）11月29日<br> == 第1章　天皇 == {| style="width:100%" |valign=top style="width:50%;text-indent:1em"| '''告文'''朕思うに、我が皇祖皇宗、国を始むること宏遠に、徳を樹つること深厚なり。我が臣民、よく忠によく孝に、億兆心を一にして、世々その美を成せるは、 これ我が国体の精華にして、教育の淵源もまた実にここに存す。 なんじ臣民、父母に孝に、兄弟に友に、夫婦相和し、朋友相信じ、 恭倹おのれを持し、博愛衆に及ぼし、学を修め業を習い、もって智能を啓発し徳器を成就し、進んで公益を広め世務を開き、常に国憲を重じ国法に従い、 一旦緩急あれば義勇公に奉じ、もって天壌無窮の皇運を扶翼すべし。 是のごときは、独り朕が忠良の臣民たるのみならず、 またもってなんじ祖先の遺風を顕彰するに足らん。 '''第1条'''　大日本帝国ハ万世一系（ばんせいいっけい）ノ天皇之（これ）ヲ統治（とうち）ス '''第2条'''　皇位（こうい）ハ皇室典範（こうしつてんぱん）ノ定ムル（さだむる）所ニ（ところに）依リ（より）皇男子孫（こうだんしそん）之ヲ継承（けいしょう）ス '''第3条'''　天皇ハ神聖（しんせい）ニシテ侵ス（おかす）ヘカラス（べからず） '''第4条'''　天皇ハ国ノ元首ニシテ統治権ヲ総攬（そうらん）シ此（こ）ノ憲法ノ条規（じょうき）ニ依リ之ヲ行フ（おこなう） '''第5条'''　天皇ハ帝国議会ノ協賛（きょうさん）ヲ以テ（もって）立法権ヲ行フ '''第6条'''　天皇ハ法律ヲ裁可（さいか）シ其ノ（その）公布（こうふ）及（および）執行（しっこう）ヲ命ス '''第7条'''　天皇ハ帝国議会ヲ召集シ其ノ開会閉会停会及衆議院ノ解散ヲ命ス '''第8条''' :1　天皇ハ公共（こうきょう）ノ安全ヲ保持シ又（また）ハ其ノ災厄（さいやく）ヲ避クル（さくる）為（ため）緊急ノ必要ニ由リ（より）帝国議会閉会ノ場合ニ於テ（おいて）法律ニ代ル（かわる）ヘキ勅令（ちょくれい）ヲ発ス :2　此ノ勅令ハ次ノ会期ニ於テ帝国議会ニ提出スヘシ（すべし）若（もし）議会ニ於テ承諾セサルトキハ政府ハ将来ニ向テ其ノ効力ヲ失フコトヲ公布スヘシ '''第9条'''　天皇ハ法律ヲ執行スル為ニ又ハ公共ノ安寧秩序（あんねいちつじょ）ヲ保持シ及臣民（しんみん）ノ幸福ヲ増進スル為ニ必要ナル命令ヲ発シ又ハ発セシム但シ（ただし）命令ヲ以テ法律ヲ変更スルコトヲ得ス '''第10条'''　天皇ハ行政（ぎょうせい）各部ノ官制及文武官（ぶんぶかん、もんぶかん）ノ俸給（ほうきゅう）ヲ定メ及文武官ヲ任免ス但シ此ノ憲法又ハ他ノ法律ニ特例ヲ掲ケタルモノハ各々（おのおの）其ノ条項ニ依ル '''第11条'''　天皇ハ陸海軍ヲ統帥（とうすい）ス '''第12条'''　天皇ハ陸海軍ノ編制及常備兵額（へいがく）ヲ定ム '''第13条'''　天皇ハ戦ヲ宣シ和ヲ講シ及諸般（しょはん）ノ条約ヲ締結（ていけつ）ス '''第14条''' :1　天皇ハ戒厳（かいげん）ヲ宣告（せんこく）ス :2　戒厳ノ要件及効力ハ法律ヲ以テ之ヲ定ム '''第15条'''　天皇ハ爵位（しゃくい）勲章（くんしょう）及其ノ他ノ栄典（えいてん）ヲ授与ス '''第16条'''　天皇ハ大赦（たいしゃ）特赦（とくしゃ）減刑（げんけい）及復権（ふっけん）ヲ命ス '''第17条''' :1　摂政（せっしょう）ヲ置クハ皇室典範ノ定ムル所ニ依ル :2　摂政ハ天皇ノ名ニ於テ大権ヲ行フ |valign=top style="width:5%;text-indent:1em"| |valign=top style="width:45%;text-indent:1em"| <big>現代語訳</big> '''第1条'''　大日本帝国は、万世一系の天皇が統治する。 '''第2条'''　皇位は、皇室典範の定めるところにより、皇男子孫が継承する。 '''第3条'''　天皇は、神聖であって、侵してはならない。 '''第4条'''　天皇は、国の元首であって、統治権を総攬し、この憲法の条規により、これを行う。 '''第5条'''　天皇は、帝国議会の協賛をもって、立法権を行う。 '''第6条'''　天皇は、法律を裁可し、その公布及び執行を命ずる。 '''第7条'''　天皇は、帝国議会を召集し、その開会、閉会、停会及び衆議院の解散を命ずる。 '''第8条''' :1　天皇は、公共の安全を保持し、又はその災厄を避けるため緊急の必要により、帝国議会閉会の場合において、法律に代わるべき勅令を発する。 :2　この勅令は、次の会期に帝国議会に提出しなければならない。もし、議会が承諾しないときは、政府は、将来に向かってその効力を失うことを公布しなければならない。 '''第9条'''　天皇は、法律を執行するために、又は公共の安寧秩序を保持し及び臣民の幸福を増進するために必要な命令を発し、又は発させる。ただし、命令で法律を変更することはできない。 '''第10条'''　天皇は、行政各部の官制及び文武官の俸給を定め、並びに文武官を任免する。ただし、この憲法又は他の法律に特例を掲げたものは、各々その条項による。 '''第11条'''　天皇は、陸海軍を統帥する。 '''第12条'''　天皇は、陸海軍の編制及び常備兵額を定める。 '''第13条'''　天皇は、宣戦し、講和し、及び諸般の条約を締結する。 '''第14条''' :1　天皇は、戒厳を宣告する。 :2　戒厳の要件及び効力は、法律で定める。 '''第15条'''　天皇は、爵位、勲章及びその他の栄典を授与する。 '''第16条'''　天皇は、大赦、特赦、減刑及び復権を命ずる。 '''第17条''' :1　摂政を置くことは、皇室典範の定めるところによる。 :2　摂政は、天皇の名で、大権を行う。 <div/> |} == 第2章　臣民権利義務 == {| style="width:100%" |valign=top style="width:50%;text-indent:1em"| '''第18条'''　日本臣民タルノ要件ハ法律ノ定ムル所ニ依ル '''第19条'''　日本臣民ハ法律命令ノ定ムル所ノ資格ニ応シ均ク（ひとしく）文武官ニ任セ（にんぜ）ラレ及其ノ他ノ公務ニ就ク（つく）コトヲ得（う） '''第20条'''　日本臣民ハ法律ノ定ムル所ニ従ヒ（したがい）兵役（へいえき）ノ義務ヲ有ス（ゆうす） '''第21条'''　日本臣民ハ法律ノ定ムル所ニ従ヒ納税（のうぜい）ノ義務ヲ有ス '''第22条'''　日本臣民ハ法律ノ範囲（はんい）内ニ於テ居住及移転ノ自由ヲ有ス '''第23条'''　日本臣民ハ法律ニ依ルニ非ス（あらず）シテ逮捕（たいほ）監禁（かんきん）審問（しんもん）処罰（しょばつ）ヲ受クルコトナシ '''第24条'''　日本臣民ハ法律ニ定メタル裁判官ノ裁判ヲ受クルノ権ヲ奪ハ（うばわ）ルルコトナシ '''第25条'''　日本臣民ハ法律ニ定メタル場合ヲ除ク外（ほか）其ノ許諾（きょだく）ナクシテ住所ニ侵入セラレ及捜索（そうさく）セラルルコトナシ '''第26条'''　日本臣民ハ法律ニ定メタル場合ヲ除ク外信書ノ秘密ヲ侵サルルコトナシ '''第27条''' :1　日本臣民ハ其ノ所有権ヲ侵サルルコトナシ :2　公益（こうえき）ノ為必要ナル処分ハ法律ノ定ムル所ニ依ル '''第28条'''　日本臣民ハ安寧秩序（あんねいちつじょ）ヲ妨ケス（さまたげず）及臣民タルノ義務ニ背カサル（そむかざる）限（かぎり）ニ於テ信教ノ自由ヲ有ス '''第29条'''　日本臣民ハ法律ノ範囲（はんい）内ニ於テ言論（げんろん）著作（ちょさく）印行（いんこう）集会及結社（けっしゃ）ノ自由ヲ有ス '''第30条'''　日本臣民ハ相当ノ敬礼（けいれい）ヲ守リ別ニ定ムル所ノ規程ニ従ヒ請願（せいがん）ヲ為ス（なす）コトヲ得 '''第31条'''　本章ニ掲ケタル条規ハ戦時又ハ国家事変ノ場合ニ於テ天皇大権（たいけん）ノ施行（しこう）ヲ妨クルコトナシ '''第32条'''　本章ニ掲ケ（かかげ）タル条規ハ陸海軍ノ法令又ハ紀律ニ牴触（ていしょく）セサルモノニ限リ軍人ニ準行（じゅんこう）ス |valign=top style="width:5%;text-indent:1em"| |valign=top style="width:45%;text-indent:1em"| '''第18条'''　日本臣民の要件は、法律の定めるところによる。 '''第19条'''　日本臣民は、法律及び命令の定める資格に応じ、等しく文武官に任ぜられ、及びその他の公務に就くことができる。 '''第20条'''　日本臣民は、法律の定めるところに従い、兵役の義務を有する。 '''第21条'''　日本臣民は、法律の定めるところに従い、納税の義務を有する。 '''第22条'''　日本臣民は、法律の範囲内において、居住及び移転の自由を有する。 '''第23条'''　日本臣民は、法律によらないで逮捕、監禁、審問又は処罰を受けることはない。 '''第24条'''　日本臣民は、法律に定めた裁判官の裁判を受ける権利を奪われることはない。 '''第25条'''　日本臣民は、法律に定めた場合を除いては、その許諾なく住所に侵入され、及び捜索されることはない。 '''第26条'''　日本臣民は、法律に定めた場合を除いては、信書の秘密を侵されることはない。 '''第27条''' :1　日本臣民は、その所有権を侵されることはない。 :2　公益のため必要な処分は、法律の定めるところによる。 '''第28条'''　日本臣民は、安寧秩序を妨げず、及び臣民としての義務に背かない限りにおいて、信教の自由を有する。 '''第29条'''　日本臣民は、法律の範囲内において、言論、著作、印行、集会及び結社の自由を有する。 '''第30条'''　日本臣民は、相当の敬礼を守り、別に定める規程に従い、請願をすることができる。 '''第31条'''　本章に掲げた条規は、戦時又は国家事変の場合において、天皇大権の施行を妨げることはない。 '''第32条'''　本章に掲げた条規は、陸海軍の法令又は紀律に抵触しないものに限り、軍人に準用する。 |} == 第3章　帝国議会== {| style="width:100%" |valign=top style="width:50%;text-indent:1em"| '''第33条'''　帝国議会ハ貴族院（きぞくいん）衆議院ノ両院ヲ以テ成立ス '''第34条'''　貴族院ハ貴族院令ノ定ムル所ニ依リ皇族華族（かぞく）及勅任（ちょくにん）セラレタル議員ヲ以テ組織ス '''第35条'''　衆議院ハ選挙法ノ定ムル所ニ依リ公選（こうせん）セラレタル議員ヲ以テ組織ス '''第36条'''　何人（なんぴと）モ同時ニ両議院ノ議員タルコトヲ得ス '''第37条'''　凡テ（すべて）法律ハ帝国議会ノ協賛ヲ経（ふ）ルヲ要ス '''第38条'''　両議院ハ政府ノ提出スル法律案ヲ議決シ及各々法律案ヲ提出スルコトヲ得 '''第39条'''　両議院ノ一（いつ）ニ於テ否決シタル法律案ハ同会期中ニ於テ再ヒ提出スルコトヲ得ス '''第40条'''　両議院ハ法律又ハ其ノ他ノ事件ニ付（つき）各々其ノ意見ヲ政府ニ建議スルコトヲ得但シ其ノ採納（さいのう）ヲ得サルモノハ同会期中ニ於テ再ヒ建議スルコトヲ得ス '''第41条'''　帝国議会ハ毎年之ヲ召集ス '''第42条'''　帝国議会ハ三箇月（かげつ）ヲ以テ会期トス必要アル場合ニ於テハ勅命（ちょくめい）ヲ以テ之ヲ延長スルコトアルヘシ '''第43条''' :1　臨時緊急ノ必要アル場合ニ於テ常会ノ外臨時会ヲ召集スヘシ :2　臨時会ノ会期ヲ定ムルハ勅命ニ依ル '''第44条'''　 :1　帝国議会ノ開会閉会会期ノ延長及停会ハ両院同時ニ之ヲ行フヘシ :2　衆議院解散ヲ命セ（めいぜ）ラレタルトキハ貴族院ハ同時ニ停会セラルヘシ '''第45条'''　衆議院解散ヲ命セラレタルトキハ勅令ヲ以テ新（あらた）ニ議員ヲ選挙セシメ解散ノ日ヨリ五箇月以内ニ之ヲ召集スヘシ '''第46条'''　両議院ハ各々其ノ総議員三分ノ一以上出席スルニ非サレハ（あらざれば）議事ヲ開キ議決ヲ為スコトヲ得ス '''第47条'''　両議院ノ議事ハ過半数ヲ以テ決ス可否（かひ）同数ナルトキハ議長ノ決スル所ニ依ル '''第48条'''　両議院ノ会議ハ公開ス但シ政府ノ要求又ハ其ノ院ノ決議ニ依リ秘密会ト為スコトヲ得 '''第49条'''　両議院ハ各々天皇ニ上奏（じょうそう）スルコトヲ得 '''第50条'''　両議院ハ臣民ヨリ呈出（ていしゅつ）スル請願書ヲ受クルコトヲ得 '''第51条'''　両議院ハ此ノ憲法及議院法ニ掲クルモノノ外内部ノ整理ニ必要ナル諸規則ヲ定ムルコトヲ得 '''第52条'''　両議院ノ議員ハ議院ニ於テ発言シタル意見及表決ニ付院外ニ於テ責ヲ負フコトナシ但シ議員自ラ其ノ言論ヲ演説刊行筆記又ハ其ノ他ノ方法ヲ以テ公布シタルトキハ一般ノ法律ニ依リ処分セラルヘシ '''第53条'''　両議院ノ議員ハ現行犯罪又ハ内乱（ないらん）外患（がいかん）ニ関ル（かかわる）罪ヲ除ク外会期中其ノ院ノ許諾ナクシテ逮捕セラルルコトナシ '''第54条'''　国務大臣及政府委員ハ何時（なんどき）タリトモ各議院ニ出席シ及発言スルコトヲ得 |valign=top style="width:5%;text-indent:1em"| |valign=top style="width:45%;text-indent:1em"| '''第33条'''　帝国議会は、貴族院及び衆議院の両院で成立する。 '''第34条'''　貴族院は、貴族院令の定めるところにより、皇族、華族及び勅任された議員で組織する。 '''第35条'''　衆議院は、選挙法の定めるところにより、公選された議員で組織する。 '''第36条'''　何人も、同時に両議院の議員となることはできない。 '''第37条'''　全て法律は、帝国議会の協賛を経ることを要する。 '''第38条'''　両議院は、政府の提出する法律案を議決し、及び各々法律案を提出することができる。 '''第39条'''　両議院の一方で否決した法律案は、同会期中に再び提出することができない。 '''第40条'''　両議院は、法律又はその他の事件につき、各々その意見を政府に建議することができる。ただし、採用されなかったものは、同会期中に再び建議することができない。 '''第41条'''　帝国議会は、毎年召集する。 '''第42条'''　帝国議会は、3か月をもって会期とする。必要がある場合には、勅命でこれを延長することができる。 '''第43条''' :1　臨時緊急の必要がある場合において、常会のほか、臨時会を召集しなければならない。 :2　臨時会の会期を定めることは、勅命による。 '''第44条''' :1　帝国議会の開会、閉会、会期の延長及び停会は、両院同時に行わなければならない。 :2　衆議院解散を命ぜられたときは、貴族院は、同時に停会されなければならない。 '''第45条'''　衆議院解散を命ぜられたときは、勅令で新たに議員を選挙させ、解散の日から5か月以内にこれを召集しなければならない。 '''第46条'''　両議院は、各々その総議員の3分の1以上が出席しなければ、議事を開き議決をすることができない。 '''第47条'''　両議院の議事は、過半数で決する。可否同数のときは、議長の決するところによる。 '''第48条'''　両議院の会議は、公開する。ただし、政府の要求又はその院の決議により、秘密会とすることができる。 '''第49条'''　両議院は、各々天皇に上奏することができる。 '''第50条'''　両議院は、臣民から提出される請願書を受けることができる。 '''第51条'''　両議院は、この憲法及び議院法に掲げるもののほか、内部の整理に必要な諸規則を定めることができる。 '''第52条'''　両議院の議員は、議院で発言した意見及び表決につき、院外で責任を負うことはない。ただし、議員自らその言論を演説、刊行、筆記又はその他の方法で公布したときは、一般の法律により処分されなければならない。 '''第53条'''　両議院の議員は、現行犯又は内乱若しくは外患に関する罪を除いては、会期中、その院の許諾なく逮捕されることはない。 '''第54条'''　国務大臣及び政府委員は、いつでも、各議院に出席し、及び発言することができる。 |} == 第4章　国務大臣及枢密顧問（すうみつ こもん） == {| style="width:100%" |valign=top style="width:50%;text-indent:1em"| '''第55条''' :1　国務各大臣ハ天皇ヲ輔弼（ほひつ）シ其ノ責ニ任ス :2　凡テ法律勅令其ノ他国務ニ関ル詔勅（しょうちょく）ハ国務大臣ノ副署ヲ要ス '''第56条'''　枢密顧問ハ枢密院官制ノ定ムル所ニ依リ天皇ノ諮詢（しじゅん）ニ応ヘ（こたえ）重要ノ国務ヲ審議ス |valign=top style="width:5%;text-indent:1em"| |valign=top style="width:45%;text-indent:1em"| '''第55条''' :1　国務各大臣は、天皇を輔弼し、その責任を負う。 :2　全て法律、勅令その他国務に関する詔勅は、国務大臣の副署を要する。 '''第56条'''　枢密顧問は、枢密院官制の定めるところにより、天皇の諮詢に応え、重要な国務を審議する。 |} == 第5章　司法 == {| style="width:100%" |valign=top style="width:50%;text-indent:1em"| '''第57条''' :1　司法権ハ天皇ノ名ニ於テ法律ニ依リ裁判所之ヲ行フ :2　裁判所ノ構成ハ法律ヲ以テ之ヲ定ム '''第58条''' :1　裁判官ハ法律ニ定メタル資格ヲ具フル者ヲ以テ之ニ任ス :2　裁判官ハ刑法ノ宣告又ハ懲戒ノ処分ニ由ルノ外其ノ職ヲ免セラルルコトナシ :3　懲戒ノ条規ハ法律ヲ以テ之ヲ定ム '''第59条'''　裁判ノ対審判決ハ之ヲ公開ス但シ安寧秩序又ハ風俗ヲ害スルノ虞（おそれ）アルトキハ法律ニ依リ又ハ裁判所ノ決議ヲ以テ対審ノ公開ヲ停ムルコトヲ得 '''第60条'''　特別裁判所ノ管轄（かんかつ）ニ属スヘキモノハ別ニ法律ヲ以テ之ヲ定ム '''第61条'''　行政官庁ノ違法処分ニ由リ権利ヲ傷害セラレタリトスルノ訴訟ニシテ別ニ法律ヲ以テ定メタル行政裁判所ノ裁判ニ属スヘキモノハ司法裁判所ニ於テ受理スルノ限ニ在ラス |valign=top style="width:5%;text-indent:1em"| |valign=top style="width:45%;text-indent:1em"| '''第57条''' :1　司法権は、天皇の名で、法律により、裁判所が行う。 :2　裁判所の構成は、法律で定める。 '''第58条''' :1　裁判官は、法律に定めた資格を備える者をこれに任ずる。 :2　裁判官は、刑法の宣告又は懲戒の処分によらないで免職されることはない。 :3　懲戒の条規は、法律で定める。 '''第59条'''　裁判の対審及び判決は、公開する。ただし、安寧秩序又は風俗を害するおそれがあるときは、法律により又は裁判所の決議で、対審の公開を停めることができる。 '''第60条'''　特別裁判所の管轄に属すべきものは、別に法律で定める。 '''第61条'''　行政官庁の違法処分により権利を侵害されたとする訴訟であって、別に法律で定める行政裁判所の裁判に属すべきものは、司法裁判所で受理する限りでない。 |} == 第6章　会計 == {| style="width:100%" |valign=top style="width:50%;text-indent:1em"| '''第62条''' :1　新ニ租税（そぜい）ヲ課シ及税率ヲ変更スルハ法律ヲ以テ之ヲ定ムヘシ :2　但シ報償ニ属スル行政上ノ手数料及其ノ他ノ収納金ハ前項ノ限ニ在ラス :3　国債ヲ起シ及予算ニ定メタルモノヲ除ク外国庫ノ負担トナルヘキ契約ヲ為スハ帝国議会ノ協賛ヲ経ヘシ '''第63条'''　現行ノ租税ハ更（さら）ニ法律ヲ以テ之ヲ改メサル限ハ旧ニ依リ之ヲ徴収ス '''第64条''' :1　国家ノ歳出歳入ハ毎年予算ヲ以テ帝国議会ノ協賛ヲ経ヘシ :2　予算ノ款項ニ超過シ又ハ予算ノ外ニ生シタル支出アルトキハ後日帝国議会ノ承認ヲ求ムルヲ要ス '''第65条'''　予算ハ前（さき）ニ衆議院ニ提出スヘシ '''第66条'''　皇室経費ハ現在ノ定額ニ依リ毎年国庫ヨリ之ヲ支出シ将来増額ヲ要スル場合ヲ除ク外帝国議会ノ協賛ヲ要セス '''第67条'''　憲法上ノ大権ニ基ツケル既定ノ歳出及法律ノ結果ニ由リ又ハ法律上政府ノ義務ニ属スル歳出ハ政府ノ同意ナクシテ帝国議会之ヲ廃除シ又ハ削減スルコトヲ得ス '''第68条'''　特別ノ須要（しゅよう、すよう）ニ因リ（より）政府ハ予メ（あらかじめ）年限ヲ定メ継続費トシテ帝国議会ノ協賛ヲ求ムルコトヲ得 '''第69条'''　避クヘカラサル予算ノ不足ヲ補フ為ニ又ハ予算ノ外ニ生シタル必要ノ費用ニ充ツル（あつる）為ニ予備費ヲ設ク（もうく）ヘシ '''第70条''' :1　公共ノ安全ヲ保持スル為緊急ノ需用（じゅよう）アル場合ニ於テ内外ノ情形（じょうけい）ニ因リ政府ハ帝国議会ヲ召集スルコト能ハサル（あたわざる）トキハ勅令ニ依リ財政上必要ノ処分ヲ為スコトヲ得 :2　前項ノ場合ニ於テハ次ノ会期ニ於テ帝国議会ニ提出シ其ノ承諾ヲ求ムルヲ要ス '''第71条'''　帝国議会ニ於テ予算ヲ議定セス又ハ予算成立ニ至ラサル（いたらざる）トキハ政府ハ前年度ノ予算ヲ施行スヘシ '''第72条''' :1　国家ノ歳出歳入ノ決算ハ会計検査院之ヲ検査確定シ政府ハ其ノ検査報告ト倶（とも）ニ之ヲ帝国議会ニ提出スヘシ :2　会計検査院ノ組織及職権ハ法律ヲ以テ之ヲ定ム |valign=top style="width:5%;text-indent:1em"| |valign=top style="width:45%;text-indent:1em"| '''第62条''' :1　新たに租税を課し、及び税率を変更することは、法律で定めなければならない。 :2　ただし、報償に属する行政上の手数料及びその他の収納金は、前項の限りでない。 :3　国債を起こし、及び予算に定めたものを除き、国庫の負担となるべき契約をするには、帝国議会の協賛を経なければならない。 '''第63条'''　現行の租税は、更に法律で改めない限りは、従前により徴収する。 '''第64条''' :1　国家の歳出及び歳入は、毎年予算をもって帝国議会の協賛を経なければならない。 :2　予算の項目を超過し、又は予算外に生じた支出があるときは、後日、帝国議会の承認を求めることを要する。 '''第65条'''　予算は、先に衆議院に提出しなければならない。 '''第66条'''　皇室経費は、現在の定額により毎年国庫から支出し、将来増額を要する場合を除いては、帝国議会の協賛を要しない。 '''第67条'''　憲法上の大権に基づく既定の歳出及び法律の結果により又は法律上政府の義務に属する歳出は、政府の同意なく帝国議会が廃除し、又は削減することはできない。 '''第68条'''　特別の必要により、政府は、あらかじめ年限を定め、継続費として帝国議会の協賛を求めることができる。 '''第69条'''　避けることができない予算の不足を補うために、又は予算外に生じた必要な費用に充てるために、予備費を設けなければならない。 '''第70条''' :1　公共の安全を保持するため緊急の必要がある場合において、内外の状況により政府が帝国議会を召集することができないときは、勅令により財政上必要な処分をすることができる。 :2　前項の場合においては、次の会期に帝国議会に提出し、その承諾を求めることを要する。 '''第71条'''　帝国議会で予算を議定せず、又は予算成立に至らないときは、政府は、前年度の予算を施行しなければならない。 '''第72条''' :1　国家の歳出及び歳入の決算は、会計検査院が検査確定し、政府は、その検査報告と共にこれを帝国議会に提出しなければならない。 :2　会計検査院の組織及び職権は、法律で定める。 |} == 第7章　補則 == {| style="width:100%" |valign=top style="width:50%;text-indent:1em"| '''第73条''' :1　将来此ノ憲法ノ条項ヲ改正スルノ必要アルトキハ勅命ヲ以テ議案ヲ帝国議会ノ議ニ付ス（ふす）ヘシ :2　此ノ場合ニ於テ両議院ハ各々其ノ総員三分ノ二以上出席スルニ非サレハ議事ヲ開クコトヲ得ス出席議員三分ノ二以上ノ多数ヲ得ルニ非サレハ改正ノ議決ヲ為スコトヲ得ス '''第74条''' :1　皇室典範ノ改正ハ帝国議会ノ議ヲ経ルヲ要セス :2　皇室典範ヲ以テ此ノ憲法ノ条規ヲ変更スルコトヲ得ス '''第75条'''　憲法及皇室典範ハ摂政ヲ置クノ間之ヲ変更スルコトヲ得ス '''第76条''' :1　法律規則命令又ハ何等（なんら）ノ名称ヲ用ヰタル（もちいたる）ニ拘ラス（かかわらず）此ノ憲法ニ矛盾（むじゅん）セサル現行ノ法令ハ総テ（すべて）遵由（じゅんゆう）ノ効力ヲ有ス :2　歳出上政府ノ義務ニ係ル（かかる）現在ノ契約又ハ命令ハ総テ第六十七条ノ例ニ依ル |valign=top style="width:5%;text-indent:1em"| |valign=top style="width:45%;text-indent:1em"| '''第73条''' :1　将来、この憲法の条項を改正する必要があるときは、勅命で議案を帝国議会の議に付さなければならない。 :2　この場合において、両議院は、各々その総員の3分の2以上が出席しなければ議事を開くことができず、出席議員の3分の2以上の多数を得なければ改正の議決をすることができない。 '''第74条''' :1　皇室典範の改正は、帝国議会の議を経ることを要しない。 :2　皇室典範でこの憲法の条規を変更することはできない。 '''第75条'''　憲法及び皇室典範は、摂政を置く間、変更することができない。 '''第76条''' :1　法律、規則、命令又は何らの名称を用いているかにかかわらず、この憲法に矛盾しない現行の法令は、全て遵守すべき効力を有する。 :2　歳出上、政府の義務に係る現在の契約又は命令は、全て第67条の例による。 |} [[Category:中学校公民|たいにほんていこくけんほう]] [[カテゴリ:憲法]] 1ga87f7bf1uu11sn7yb6cbqhdirfebl 299490 299489 2026-05-12T23:26:37Z ~2026-28638-46 91444 299490 wikitext text/x-wiki ::公布：1889年（明治22年）2月11日<br> ::施行：1890年（明治23年）11月29日<br> == 告文 == 朕思うに、我が皇祖皇宗、国を始むること宏遠に、徳を樹つること深厚なり。我が臣民、よく忠によく孝に、億兆心を一にして、世々その美を成せるは、 これ我が国体の精華にして、教育の淵源もまた実にここに存す。 なんじ臣民、父母に孝に、兄弟に友に、夫婦相和し、朋友相信じ、 恭倹おのれを持し、博愛衆に及ぼし、学を修め業を習い、もって智能を啓発し徳器を成就し、進んで公益を広め世務を開き、常に国憲を重じ国法に従い、 一旦緩急あれば義勇公に奉じ、もって天壌無窮の皇運を扶翼すべし。 是のごときは、独り朕が忠良の臣民たるのみならず、 またもってなんじ祖先の遺風を顕彰するに足らん。 == 第1章　天皇 == {| style="width:100%" |valign=top style="width:50%;text-indent:1em"| '''第1条'''　大日本帝国ハ万世一系（ばんせいいっけい）ノ天皇之（これ）ヲ統治（とうち）ス '''第2条'''　皇位（こうい）ハ皇室典範（こうしつてんぱん）ノ定ムル（さだむる）所ニ（ところに）依リ（より）皇男子孫（こうだんしそん）之ヲ継承（けいしょう）ス '''第3条'''　天皇ハ神聖（しんせい）ニシテ侵ス（おかす）ヘカラス（べからず） '''第4条'''　天皇ハ国ノ元首ニシテ統治権ヲ総攬（そうらん）シ此（こ）ノ憲法ノ条規（じょうき）ニ依リ之ヲ行フ（おこなう） '''第5条'''　天皇ハ帝国議会ノ協賛（きょうさん）ヲ以テ（もって）立法権ヲ行フ '''第6条'''　天皇ハ法律ヲ裁可（さいか）シ其ノ（その）公布（こうふ）及（および）執行（しっこう）ヲ命ス '''第7条'''　天皇ハ帝国議会ヲ召集シ其ノ開会閉会停会及衆議院ノ解散ヲ命ス '''第8条''' :1　天皇ハ公共（こうきょう）ノ安全ヲ保持シ又（また）ハ其ノ災厄（さいやく）ヲ避クル（さくる）為（ため）緊急ノ必要ニ由リ（より）帝国議会閉会ノ場合ニ於テ（おいて）法律ニ代ル（かわる）ヘキ勅令（ちょくれい）ヲ発ス :2　此ノ勅令ハ次ノ会期ニ於テ帝国議会ニ提出スヘシ（すべし）若（もし）議会ニ於テ承諾セサルトキハ政府ハ将来ニ向テ其ノ効力ヲ失フコトヲ公布スヘシ '''第9条'''　天皇ハ法律ヲ執行スル為ニ又ハ公共ノ安寧秩序（あんねいちつじょ）ヲ保持シ及臣民（しんみん）ノ幸福ヲ増進スル為ニ必要ナル命令ヲ発シ又ハ発セシム但シ（ただし）命令ヲ以テ法律ヲ変更スルコトヲ得ス '''第10条'''　天皇ハ行政（ぎょうせい）各部ノ官制及文武官（ぶんぶかん、もんぶかん）ノ俸給（ほうきゅう）ヲ定メ及文武官ヲ任免ス但シ此ノ憲法又ハ他ノ法律ニ特例ヲ掲ケタルモノハ各々（おのおの）其ノ条項ニ依ル '''第11条'''　天皇ハ陸海軍ヲ統帥（とうすい）ス '''第12条'''　天皇ハ陸海軍ノ編制及常備兵額（へいがく）ヲ定ム '''第13条'''　天皇ハ戦ヲ宣シ和ヲ講シ及諸般（しょはん）ノ条約ヲ締結（ていけつ）ス '''第14条''' :1　天皇ハ戒厳（かいげん）ヲ宣告（せんこく）ス :2　戒厳ノ要件及効力ハ法律ヲ以テ之ヲ定ム '''第15条'''　天皇ハ爵位（しゃくい）勲章（くんしょう）及其ノ他ノ栄典（えいてん）ヲ授与ス '''第16条'''　天皇ハ大赦（たいしゃ）特赦（とくしゃ）減刑（げんけい）及復権（ふっけん）ヲ命ス '''第17条''' :1　摂政（せっしょう）ヲ置クハ皇室典範ノ定ムル所ニ依ル :2　摂政ハ天皇ノ名ニ於テ大権ヲ行フ |valign=top style="width:5%;text-indent:1em"| |valign=top style="width:45%;text-indent:1em"| <big>現代語訳</big> '''第1条'''　大日本帝国は、万世一系の天皇が統治する。 '''第2条'''　皇位は、皇室典範の定めるところにより、皇男子孫が継承する。 '''第3条'''　天皇は、神聖であって、侵してはならない。 '''第4条'''　天皇は、国の元首であって、統治権を総攬し、この憲法の条規により、これを行う。 '''第5条'''　天皇は、帝国議会の協賛をもって、立法権を行う。 '''第6条'''　天皇は、法律を裁可し、その公布及び執行を命ずる。 '''第7条'''　天皇は、帝国議会を召集し、その開会、閉会、停会及び衆議院の解散を命ずる。 '''第8条''' :1　天皇は、公共の安全を保持し、又はその災厄を避けるため緊急の必要により、帝国議会閉会の場合において、法律に代わるべき勅令を発する。 :2　この勅令は、次の会期に帝国議会に提出しなければならない。もし、議会が承諾しないときは、政府は、将来に向かってその効力を失うことを公布しなければならない。 '''第9条'''　天皇は、法律を執行するために、又は公共の安寧秩序を保持し及び臣民の幸福を増進するために必要な命令を発し、又は発させる。ただし、命令で法律を変更することはできない。 '''第10条'''　天皇は、行政各部の官制及び文武官の俸給を定め、並びに文武官を任免する。ただし、この憲法又は他の法律に特例を掲げたものは、各々その条項による。 '''第11条'''　天皇は、陸海軍を統帥する。 '''第12条'''　天皇は、陸海軍の編制及び常備兵額を定める。 '''第13条'''　天皇は、宣戦し、講和し、及び諸般の条約を締結する。 '''第14条''' :1　天皇は、戒厳を宣告する。 :2　戒厳の要件及び効力は、法律で定める。 '''第15条'''　天皇は、爵位、勲章及びその他の栄典を授与する。 '''第16条'''　天皇は、大赦、特赦、減刑及び復権を命ずる。 '''第17条''' :1　摂政を置くことは、皇室典範の定めるところによる。 :2　摂政は、天皇の名で、大権を行う。 <div/> |} == 第2章　臣民権利義務 == {| style="width:100%" |valign=top style="width:50%;text-indent:1em"| '''第18条'''　日本臣民タルノ要件ハ法律ノ定ムル所ニ依ル '''第19条'''　日本臣民ハ法律命令ノ定ムル所ノ資格ニ応シ均ク（ひとしく）文武官ニ任セ（にんぜ）ラレ及其ノ他ノ公務ニ就ク（つく）コトヲ得（う） '''第20条'''　日本臣民ハ法律ノ定ムル所ニ従ヒ（したがい）兵役（へいえき）ノ義務ヲ有ス（ゆうす） '''第21条'''　日本臣民ハ法律ノ定ムル所ニ従ヒ納税（のうぜい）ノ義務ヲ有ス '''第22条'''　日本臣民ハ法律ノ範囲（はんい）内ニ於テ居住及移転ノ自由ヲ有ス '''第23条'''　日本臣民ハ法律ニ依ルニ非ス（あらず）シテ逮捕（たいほ）監禁（かんきん）審問（しんもん）処罰（しょばつ）ヲ受クルコトナシ '''第24条'''　日本臣民ハ法律ニ定メタル裁判官ノ裁判ヲ受クルノ権ヲ奪ハ（うばわ）ルルコトナシ '''第25条'''　日本臣民ハ法律ニ定メタル場合ヲ除ク外（ほか）其ノ許諾（きょだく）ナクシテ住所ニ侵入セラレ及捜索（そうさく）セラルルコトナシ '''第26条'''　日本臣民ハ法律ニ定メタル場合ヲ除ク外信書ノ秘密ヲ侵サルルコトナシ '''第27条''' :1　日本臣民ハ其ノ所有権ヲ侵サルルコトナシ :2　公益（こうえき）ノ為必要ナル処分ハ法律ノ定ムル所ニ依ル '''第28条'''　日本臣民ハ安寧秩序（あんねいちつじょ）ヲ妨ケス（さまたげず）及臣民タルノ義務ニ背カサル（そむかざる）限（かぎり）ニ於テ信教ノ自由ヲ有ス '''第29条'''　日本臣民ハ法律ノ範囲（はんい）内ニ於テ言論（げんろん）著作（ちょさく）印行（いんこう）集会及結社（けっしゃ）ノ自由ヲ有ス '''第30条'''　日本臣民ハ相当ノ敬礼（けいれい）ヲ守リ別ニ定ムル所ノ規程ニ従ヒ請願（せいがん）ヲ為ス（なす）コトヲ得 '''第31条'''　本章ニ掲ケタル条規ハ戦時又ハ国家事変ノ場合ニ於テ天皇大権（たいけん）ノ施行（しこう）ヲ妨クルコトナシ '''第32条'''　本章ニ掲ケ（かかげ）タル条規ハ陸海軍ノ法令又ハ紀律ニ牴触（ていしょく）セサルモノニ限リ軍人ニ準行（じゅんこう）ス |valign=top style="width:5%;text-indent:1em"| |valign=top style="width:45%;text-indent:1em"| '''第18条'''　日本臣民の要件は、法律の定めるところによる。 '''第19条'''　日本臣民は、法律及び命令の定める資格に応じ、等しく文武官に任ぜられ、及びその他の公務に就くことができる。 '''第20条'''　日本臣民は、法律の定めるところに従い、兵役の義務を有する。 '''第21条'''　日本臣民は、法律の定めるところに従い、納税の義務を有する。 '''第22条'''　日本臣民は、法律の範囲内において、居住及び移転の自由を有する。 '''第23条'''　日本臣民は、法律によらないで逮捕、監禁、審問又は処罰を受けることはない。 '''第24条'''　日本臣民は、法律に定めた裁判官の裁判を受ける権利を奪われることはない。 '''第25条'''　日本臣民は、法律に定めた場合を除いては、その許諾なく住所に侵入され、及び捜索されることはない。 '''第26条'''　日本臣民は、法律に定めた場合を除いては、信書の秘密を侵されることはない。 '''第27条''' :1　日本臣民は、その所有権を侵されることはない。 :2　公益のため必要な処分は、法律の定めるところによる。 '''第28条'''　日本臣民は、安寧秩序を妨げず、及び臣民としての義務に背かない限りにおいて、信教の自由を有する。 '''第29条'''　日本臣民は、法律の範囲内において、言論、著作、印行、集会及び結社の自由を有する。 '''第30条'''　日本臣民は、相当の敬礼を守り、別に定める規程に従い、請願をすることができる。 '''第31条'''　本章に掲げた条規は、戦時又は国家事変の場合において、天皇大権の施行を妨げることはない。 '''第32条'''　本章に掲げた条規は、陸海軍の法令又は紀律に抵触しないものに限り、軍人に準用する。 |} == 第3章　帝国議会== {| style="width:100%" |valign=top style="width:50%;text-indent:1em"| '''第33条'''　帝国議会ハ貴族院（きぞくいん）衆議院ノ両院ヲ以テ成立ス '''第34条'''　貴族院ハ貴族院令ノ定ムル所ニ依リ皇族華族（かぞく）及勅任（ちょくにん）セラレタル議員ヲ以テ組織ス '''第35条'''　衆議院ハ選挙法ノ定ムル所ニ依リ公選（こうせん）セラレタル議員ヲ以テ組織ス '''第36条'''　何人（なんぴと）モ同時ニ両議院ノ議員タルコトヲ得ス '''第37条'''　凡テ（すべて）法律ハ帝国議会ノ協賛ヲ経（ふ）ルヲ要ス '''第38条'''　両議院ハ政府ノ提出スル法律案ヲ議決シ及各々法律案ヲ提出スルコトヲ得 '''第39条'''　両議院ノ一（いつ）ニ於テ否決シタル法律案ハ同会期中ニ於テ再ヒ提出スルコトヲ得ス '''第40条'''　両議院ハ法律又ハ其ノ他ノ事件ニ付（つき）各々其ノ意見ヲ政府ニ建議スルコトヲ得但シ其ノ採納（さいのう）ヲ得サルモノハ同会期中ニ於テ再ヒ建議スルコトヲ得ス '''第41条'''　帝国議会ハ毎年之ヲ召集ス '''第42条'''　帝国議会ハ三箇月（かげつ）ヲ以テ会期トス必要アル場合ニ於テハ勅命（ちょくめい）ヲ以テ之ヲ延長スルコトアルヘシ '''第43条''' :1　臨時緊急ノ必要アル場合ニ於テ常会ノ外臨時会ヲ召集スヘシ :2　臨時会ノ会期ヲ定ムルハ勅命ニ依ル '''第44条'''　 :1　帝国議会ノ開会閉会会期ノ延長及停会ハ両院同時ニ之ヲ行フヘシ :2　衆議院解散ヲ命セ（めいぜ）ラレタルトキハ貴族院ハ同時ニ停会セラルヘシ '''第45条'''　衆議院解散ヲ命セラレタルトキハ勅令ヲ以テ新（あらた）ニ議員ヲ選挙セシメ解散ノ日ヨリ五箇月以内ニ之ヲ召集スヘシ '''第46条'''　両議院ハ各々其ノ総議員三分ノ一以上出席スルニ非サレハ（あらざれば）議事ヲ開キ議決ヲ為スコトヲ得ス '''第47条'''　両議院ノ議事ハ過半数ヲ以テ決ス可否（かひ）同数ナルトキハ議長ノ決スル所ニ依ル '''第48条'''　両議院ノ会議ハ公開ス但シ政府ノ要求又ハ其ノ院ノ決議ニ依リ秘密会ト為スコトヲ得 '''第49条'''　両議院ハ各々天皇ニ上奏（じょうそう）スルコトヲ得 '''第50条'''　両議院ハ臣民ヨリ呈出（ていしゅつ）スル請願書ヲ受クルコトヲ得 '''第51条'''　両議院ハ此ノ憲法及議院法ニ掲クルモノノ外内部ノ整理ニ必要ナル諸規則ヲ定ムルコトヲ得 '''第52条'''　両議院ノ議員ハ議院ニ於テ発言シタル意見及表決ニ付院外ニ於テ責ヲ負フコトナシ但シ議員自ラ其ノ言論ヲ演説刊行筆記又ハ其ノ他ノ方法ヲ以テ公布シタルトキハ一般ノ法律ニ依リ処分セラルヘシ '''第53条'''　両議院ノ議員ハ現行犯罪又ハ内乱（ないらん）外患（がいかん）ニ関ル（かかわる）罪ヲ除ク外会期中其ノ院ノ許諾ナクシテ逮捕セラルルコトナシ '''第54条'''　国務大臣及政府委員ハ何時（なんどき）タリトモ各議院ニ出席シ及発言スルコトヲ得 |valign=top style="width:5%;text-indent:1em"| |valign=top style="width:45%;text-indent:1em"| '''第33条'''　帝国議会は、貴族院及び衆議院の両院で成立する。 '''第34条'''　貴族院は、貴族院令の定めるところにより、皇族、華族及び勅任された議員で組織する。 '''第35条'''　衆議院は、選挙法の定めるところにより、公選された議員で組織する。 '''第36条'''　何人も、同時に両議院の議員となることはできない。 '''第37条'''　全て法律は、帝国議会の協賛を経ることを要する。 '''第38条'''　両議院は、政府の提出する法律案を議決し、及び各々法律案を提出することができる。 '''第39条'''　両議院の一方で否決した法律案は、同会期中に再び提出することができない。 '''第40条'''　両議院は、法律又はその他の事件につき、各々その意見を政府に建議することができる。ただし、採用されなかったものは、同会期中に再び建議することができない。 '''第41条'''　帝国議会は、毎年召集する。 '''第42条'''　帝国議会は、3か月をもって会期とする。必要がある場合には、勅命でこれを延長することができる。 '''第43条''' :1　臨時緊急の必要がある場合において、常会のほか、臨時会を召集しなければならない。 :2　臨時会の会期を定めることは、勅命による。 '''第44条''' :1　帝国議会の開会、閉会、会期の延長及び停会は、両院同時に行わなければならない。 :2　衆議院解散を命ぜられたときは、貴族院は、同時に停会されなければならない。 '''第45条'''　衆議院解散を命ぜられたときは、勅令で新たに議員を選挙させ、解散の日から5か月以内にこれを召集しなければならない。 '''第46条'''　両議院は、各々その総議員の3分の1以上が出席しなければ、議事を開き議決をすることができない。 '''第47条'''　両議院の議事は、過半数で決する。可否同数のときは、議長の決するところによる。 '''第48条'''　両議院の会議は、公開する。ただし、政府の要求又はその院の決議により、秘密会とすることができる。 '''第49条'''　両議院は、各々天皇に上奏することができる。 '''第50条'''　両議院は、臣民から提出される請願書を受けることができる。 '''第51条'''　両議院は、この憲法及び議院法に掲げるもののほか、内部の整理に必要な諸規則を定めることができる。 '''第52条'''　両議院の議員は、議院で発言した意見及び表決につき、院外で責任を負うことはない。ただし、議員自らその言論を演説、刊行、筆記又はその他の方法で公布したときは、一般の法律により処分されなければならない。 '''第53条'''　両議院の議員は、現行犯又は内乱若しくは外患に関する罪を除いては、会期中、その院の許諾なく逮捕されることはない。 '''第54条'''　国務大臣及び政府委員は、いつでも、各議院に出席し、及び発言することができる。 |} == 第4章　国務大臣及枢密顧問（すうみつ こもん） == {| style="width:100%" |valign=top style="width:50%;text-indent:1em"| '''第55条''' :1　国務各大臣ハ天皇ヲ輔弼（ほひつ）シ其ノ責ニ任ス :2　凡テ法律勅令其ノ他国務ニ関ル詔勅（しょうちょく）ハ国務大臣ノ副署ヲ要ス '''第56条'''　枢密顧問ハ枢密院官制ノ定ムル所ニ依リ天皇ノ諮詢（しじゅん）ニ応ヘ（こたえ）重要ノ国務ヲ審議ス |valign=top style="width:5%;text-indent:1em"| |valign=top style="width:45%;text-indent:1em"| '''第55条''' :1　国務各大臣は、天皇を輔弼し、その責任を負う。 :2　全て法律、勅令その他国務に関する詔勅は、国務大臣の副署を要する。 '''第56条'''　枢密顧問は、枢密院官制の定めるところにより、天皇の諮詢に応え、重要な国務を審議する。 |} == 第5章　司法 == {| style="width:100%" |valign=top style="width:50%;text-indent:1em"| '''第57条''' :1　司法権ハ天皇ノ名ニ於テ法律ニ依リ裁判所之ヲ行フ :2　裁判所ノ構成ハ法律ヲ以テ之ヲ定ム '''第58条''' :1　裁判官ハ法律ニ定メタル資格ヲ具フル者ヲ以テ之ニ任ス :2　裁判官ハ刑法ノ宣告又ハ懲戒ノ処分ニ由ルノ外其ノ職ヲ免セラルルコトナシ :3　懲戒ノ条規ハ法律ヲ以テ之ヲ定ム '''第59条'''　裁判ノ対審判決ハ之ヲ公開ス但シ安寧秩序又ハ風俗ヲ害スルノ虞（おそれ）アルトキハ法律ニ依リ又ハ裁判所ノ決議ヲ以テ対審ノ公開ヲ停ムルコトヲ得 '''第60条'''　特別裁判所ノ管轄（かんかつ）ニ属スヘキモノハ別ニ法律ヲ以テ之ヲ定ム '''第61条'''　行政官庁ノ違法処分ニ由リ権利ヲ傷害セラレタリトスルノ訴訟ニシテ別ニ法律ヲ以テ定メタル行政裁判所ノ裁判ニ属スヘキモノハ司法裁判所ニ於テ受理スルノ限ニ在ラス |valign=top style="width:5%;text-indent:1em"| |valign=top style="width:45%;text-indent:1em"| '''第57条''' :1　司法権は、天皇の名で、法律により、裁判所が行う。 :2　裁判所の構成は、法律で定める。 '''第58条''' :1　裁判官は、法律に定めた資格を備える者をこれに任ずる。 :2　裁判官は、刑法の宣告又は懲戒の処分によらないで免職されることはない。 :3　懲戒の条規は、法律で定める。 '''第59条'''　裁判の対審及び判決は、公開する。ただし、安寧秩序又は風俗を害するおそれがあるときは、法律により又は裁判所の決議で、対審の公開を停めることができる。 '''第60条'''　特別裁判所の管轄に属すべきものは、別に法律で定める。 '''第61条'''　行政官庁の違法処分により権利を侵害されたとする訴訟であって、別に法律で定める行政裁判所の裁判に属すべきものは、司法裁判所で受理する限りでない。 |} == 第6章　会計 == {| style="width:100%" |valign=top style="width:50%;text-indent:1em"| '''第62条''' :1　新ニ租税（そぜい）ヲ課シ及税率ヲ変更スルハ法律ヲ以テ之ヲ定ムヘシ :2　但シ報償ニ属スル行政上ノ手数料及其ノ他ノ収納金ハ前項ノ限ニ在ラス :3　国債ヲ起シ及予算ニ定メタルモノヲ除ク外国庫ノ負担トナルヘキ契約ヲ為スハ帝国議会ノ協賛ヲ経ヘシ '''第63条'''　現行ノ租税ハ更（さら）ニ法律ヲ以テ之ヲ改メサル限ハ旧ニ依リ之ヲ徴収ス '''第64条''' :1　国家ノ歳出歳入ハ毎年予算ヲ以テ帝国議会ノ協賛ヲ経ヘシ :2　予算ノ款項ニ超過シ又ハ予算ノ外ニ生シタル支出アルトキハ後日帝国議会ノ承認ヲ求ムルヲ要ス '''第65条'''　予算ハ前（さき）ニ衆議院ニ提出スヘシ '''第66条'''　皇室経費ハ現在ノ定額ニ依リ毎年国庫ヨリ之ヲ支出シ将来増額ヲ要スル場合ヲ除ク外帝国議会ノ協賛ヲ要セス '''第67条'''　憲法上ノ大権ニ基ツケル既定ノ歳出及法律ノ結果ニ由リ又ハ法律上政府ノ義務ニ属スル歳出ハ政府ノ同意ナクシテ帝国議会之ヲ廃除シ又ハ削減スルコトヲ得ス '''第68条'''　特別ノ須要（しゅよう、すよう）ニ因リ（より）政府ハ予メ（あらかじめ）年限ヲ定メ継続費トシテ帝国議会ノ協賛ヲ求ムルコトヲ得 '''第69条'''　避クヘカラサル予算ノ不足ヲ補フ為ニ又ハ予算ノ外ニ生シタル必要ノ費用ニ充ツル（あつる）為ニ予備費ヲ設ク（もうく）ヘシ '''第70条''' :1　公共ノ安全ヲ保持スル為緊急ノ需用（じゅよう）アル場合ニ於テ内外ノ情形（じょうけい）ニ因リ政府ハ帝国議会ヲ召集スルコト能ハサル（あたわざる）トキハ勅令ニ依リ財政上必要ノ処分ヲ為スコトヲ得 :2　前項ノ場合ニ於テハ次ノ会期ニ於テ帝国議会ニ提出シ其ノ承諾ヲ求ムルヲ要ス '''第71条'''　帝国議会ニ於テ予算ヲ議定セス又ハ予算成立ニ至ラサル（いたらざる）トキハ政府ハ前年度ノ予算ヲ施行スヘシ '''第72条''' :1　国家ノ歳出歳入ノ決算ハ会計検査院之ヲ検査確定シ政府ハ其ノ検査報告ト倶（とも）ニ之ヲ帝国議会ニ提出スヘシ :2　会計検査院ノ組織及職権ハ法律ヲ以テ之ヲ定ム |valign=top style="width:5%;text-indent:1em"| |valign=top style="width:45%;text-indent:1em"| '''第62条''' :1　新たに租税を課し、及び税率を変更することは、法律で定めなければならない。 :2　ただし、報償に属する行政上の手数料及びその他の収納金は、前項の限りでない。 :3　国債を起こし、及び予算に定めたものを除き、国庫の負担となるべき契約をするには、帝国議会の協賛を経なければならない。 '''第63条'''　現行の租税は、更に法律で改めない限りは、従前により徴収する。 '''第64条''' :1　国家の歳出及び歳入は、毎年予算をもって帝国議会の協賛を経なければならない。 :2　予算の項目を超過し、又は予算外に生じた支出があるときは、後日、帝国議会の承認を求めることを要する。 '''第65条'''　予算は、先に衆議院に提出しなければならない。 '''第66条'''　皇室経費は、現在の定額により毎年国庫から支出し、将来増額を要する場合を除いては、帝国議会の協賛を要しない。 '''第67条'''　憲法上の大権に基づく既定の歳出及び法律の結果により又は法律上政府の義務に属する歳出は、政府の同意なく帝国議会が廃除し、又は削減することはできない。 '''第68条'''　特別の必要により、政府は、あらかじめ年限を定め、継続費として帝国議会の協賛を求めることができる。 '''第69条'''　避けることができない予算の不足を補うために、又は予算外に生じた必要な費用に充てるために、予備費を設けなければならない。 '''第70条''' :1　公共の安全を保持するため緊急の必要がある場合において、内外の状況により政府が帝国議会を召集することができないときは、勅令により財政上必要な処分をすることができる。 :2　前項の場合においては、次の会期に帝国議会に提出し、その承諾を求めることを要する。 '''第71条'''　帝国議会で予算を議定せず、又は予算成立に至らないときは、政府は、前年度の予算を施行しなければならない。 '''第72条''' :1　国家の歳出及び歳入の決算は、会計検査院が検査確定し、政府は、その検査報告と共にこれを帝国議会に提出しなければならない。 :2　会計検査院の組織及び職権は、法律で定める。 |} == 第7章　補則 == {| style="width:100%" |valign=top style="width:50%;text-indent:1em"| '''第73条''' :1　将来此ノ憲法ノ条項ヲ改正スルノ必要アルトキハ勅命ヲ以テ議案ヲ帝国議会ノ議ニ付ス（ふす）ヘシ :2　此ノ場合ニ於テ両議院ハ各々其ノ総員三分ノ二以上出席スルニ非サレハ議事ヲ開クコトヲ得ス出席議員三分ノ二以上ノ多数ヲ得ルニ非サレハ改正ノ議決ヲ為スコトヲ得ス '''第74条''' :1　皇室典範ノ改正ハ帝国議会ノ議ヲ経ルヲ要セス :2　皇室典範ヲ以テ此ノ憲法ノ条規ヲ変更スルコトヲ得ス '''第75条'''　憲法及皇室典範ハ摂政ヲ置クノ間之ヲ変更スルコトヲ得ス '''第76条''' :1　法律規則命令又ハ何等（なんら）ノ名称ヲ用ヰタル（もちいたる）ニ拘ラス（かかわらず）此ノ憲法ニ矛盾（むじゅん）セサル現行ノ法令ハ総テ（すべて）遵由（じゅんゆう）ノ効力ヲ有ス :2　歳出上政府ノ義務ニ係ル（かかる）現在ノ契約又ハ命令ハ総テ第六十七条ノ例ニ依ル |valign=top style="width:5%;text-indent:1em"| |valign=top style="width:45%;text-indent:1em"| '''第73条''' :1　将来、この憲法の条項を改正する必要があるときは、勅命で議案を帝国議会の議に付さなければならない。 :2　この場合において、両議院は、各々その総員の3分の2以上が出席しなければ議事を開くことができず、出席議員の3分の2以上の多数を得なければ改正の議決をすることができない。 '''第74条''' :1　皇室典範の改正は、帝国議会の議を経ることを要しない。 :2　皇室典範でこの憲法の条規を変更することはできない。 '''第75条'''　憲法及び皇室典範は、摂政を置く間、変更することができない。 '''第76条''' :1　法律、規則、命令又は何らの名称を用いているかにかかわらず、この憲法に矛盾しない現行の法令は、全て遵守すべき効力を有する。 :2　歳出上、政府の義務に係る現在の契約又は命令は、全て第67条の例による。 |} [[Category:中学校公民|たいにほんていこくけんほう]] [[カテゴリ:憲法]] 5bbej2scf1ruyx5gdmjfo2cuw6v7nsl 0 21728 299498 299370 2026-05-13T10:12:15Z ~2026-28823-98 91452 /* その他の地域 */ 299498 wikitext text/x-wiki == 北海道および沖縄 == === 北海道 === [[Image:KaitakushiSapporoHonchosha1873-restoration.jpg|thumb|left|復元された、1873-1879年の開拓使本庁舎 。（北海道開拓の村）。]] [[Image:Flag of Hokkaido Development Commission.svg|thumb|right|開拓使の旗（通称「北辰旗」、現在の北海道旗は、このデザインを基にしている）]] 1869年（明治2年）に、政府は蝦夷地（えぞち）を「'''北海道'''」（ほっかいどう）と改めた。 また、'''開拓使'''（かいたくし）という役所を置いた。開拓史は官営工場の運営や、鉱山の開発などを行い、また北海道の開拓のため、日本各地から移住者をつのって、北海道に移住させた。 北海道の開発に伴い、先住民のアイヌは従来の土地を失った。また、政府はアイヌに対して同化政策を行い、アイヌの風習の多くは否定されていった。アイヌの人びとは、日本語の使用や、日本風の姓名を名乗ることを義務づけられました。 :※ 「同化政策」とは、文化や民族などの異なる支配地域の勢力に対して、支配者側の文化や制度と一体化させようとする政策。支配されている側は、従来の文化の一部を捨て去る事になる。 北海道での農地の開墾・開拓のついでに防備の仕事をする'''屯田兵'''（とんでんへい）として、士族を北海道（道央以北・以東）に移住させた。 [[File:William S. Clark.jpg|thumb|150px|left|クラーク。「少年よ、大志をいだけ」（Boys, be ambitious）の格言で有名。札幌農学校の初代教頭を勤めた。]] [[Image:Kiyotaka Kuroda formal.jpg|120px|thumb|right|黒田清隆（くろだ きよたか）。開拓使の長官。この黒田の開拓時代に、クラークを日本に招きいれた。]] '''札幌農学校'''（さっぽろ のうがっこう、今の北海道大学）を設立し、（いわゆる「お雇い外国人」の）'''クラーク'''の指導の下、北海道の農業にアメリカ式の農業を取り入れた。しかし、北海道以外では、アメリカ式の農法は、あまり取り入れられなかった。 樺太については、 1875年にロシアとの間で、'''樺太・千島交換条約'''（からふと・ちしま こうかんじょうやく）が結ばれ、樺太はロシア領と決定し、千島は日本領と決定した。 {{コラム|※ 参考| :（※ 検定教科書にもある） 1899年、政府は、アイヌの生活などを保護する名目で、「北海道旧土人保護法」（ほっかいどう きゅうどじん ほごほう）（※ 法律名）を制定した。（※ 注意: 旧来の「土人保護法」ではなく、「旧土人」（アイヌのこと）の「保護法」のこと。） そして政府は、農業を希望するアイヌ人に、農地を与えた（※ 参考文献: 清水書院、自由社など）。また、契約に不慣れなアイヌ人を守るために、相続以外の土地の取引を、この法律（北海道旧土人保護法）で禁止した（※ 参考文献: 東京書籍のコラムの欄外の表、自由社など）。 また、アイヌの人々だけが通う学校もできた。 第二次大戦後、日本全体の社会保障や福祉政策が整備され、農地改革などにより（※ 自由社の教科書）、アイヌに対する特別な施策は行われなくなった（※ 参考文献: 東京書籍、自由社など）。 1997年、アイヌ文化振興法が制定された。アイヌ語やアイヌ舞踊の伝統が振興されることとなった。また、アイヌ文化振興法の制定にともない、北海道旧土人保護法は廃止された。 2008年、日本の衆参両議院で、「アイヌ民族を先住民族とすることを求める決議」が全会一致（ぜんかいいっち）で採択（さいたく）された。 }} {{コラム|（※ 範囲外: ） アイヌ語は禁止されていない| :※ ときどき世間では、入墨などの風習の禁止令と、日本語教育の強制が混同され、『アイヌ語禁止令』のような法令があったと誤解する人がいるので、気をつけよう。 ネットなどをみると、しばしば、「明治時代、アイヌ語が禁止された」という俗説がある。 しかし、それを裏付けるような「アイヌ語禁止令」みたいなものの存在は知られていない。 :※ たとえば、ネットで「アイヌ語禁止令」とグーグル検索しても、西暦何年にそれが出されたとか、一切、検索結果には出ません。 もちろん明治時代、一般のアイヌの子供には日本語の学習は強制されました。（なお、そもそも伝統的なアイヌ語に文字が無い。「アイヌ文字」と言うのは無い。） むしろ、明治時代になると、和人の言語学者がアイヌ語を研究対象にし始めます。金田一京助（言語学者）などのアイヌ語研究も有名です。[[w:金田一京助]] 現代では、一部の人権団体・公共団体みたいな組織や、書籍などを出している評論家が、「アイヌ語禁止令」とか著作内で言ってたりしますが、しかしその禁止令は歴史学的には知られていません。 :※ ただし、当時は本州ですら、方言を軽視していた時代だったので（今とは違い、一般大衆における言語文化の保護の観点は薄かった）、結果的にアイヌ語への差別が存在していた可能性はありうる。 なお、歴史文書などで確認されている、同化政策によりアイヌが禁止された出来事は、 :農耕をさせるための狩猟の制限のほか、 :文明開化の観点から、女性の入れ墨、男性の耳輪（イヤリング）、病気の家を焼くこと、酋長の妾（めかけ）の人数の制限（※ 妾とは愛人、正妻でない第二・第三の妻のこと）、 などです。（※ 検定落ちだが、自由社（教科書出版社）の検定不合格本が、女性の入れ墨禁止令、男性の耳輪、酋長の妾の制限、などに触れている。）自由社だ けでなく、日本学術会議の論文 [https://www.scj.go.jp/ja/info/kohyo/pdf/kohyo-21-h133-1.pdf 『報告 アイヌ政策のあり方と国民的理解』、3ページ目]などにも同様の、アイヌの風習の禁止令の記載がある。 }} {{コラム|（※ 範囲外: ）アイヌ語の衰退の経緯| アイヌ語の衰退について、近年の研究によると、じつはアイヌ語が急速に衰退した時期は、大正･昭和戦前の時代から、らしいという学説もある。明治時代は、学校では教えられないものの、北海道のアイヌ社会ではアイヌ語が存続していたらしい。（※ 参考文献: ネット上のPDF論文: 『アイヌ民族の文化復興と教育に関する研究 言語復興と歴史教育におけるエンパワーメント』40ページ目。リンクすると何故かwikiがエラーになるので、非リンク。） どうやら結局のところ、少数民族の言語というのは、単にその言語を話す権利を与えるだけでは不十分のようである。少数民族の文化は、積極的に保護をしないと、少数民族の言語は経済的な事情などにより急速に淘汰されてしまい消失してしまいやすい、という、歴史的にたびたび見られる現象のようである。 たとえば経済政策において、自由放任が必ずしも労働者の保護につながらないので適切な規制が必要な場合もあるように、どうやらアイヌ語も明治政府～昭和の過剰な自由放任によって、アイヌ語が衰退してしまったような側面もあるようである。 似たような事は、少数民族といった異民族の文化だけにかぎらず、一国内の一つの民族内の少数派の文化でも、少数派の文化は経済的な事情により淘汰されてしまい衰退・消失･途絶などをしてしまう現象は、よく起きる現象である。（※ 参考 [https://core.ac.uk/download/pdf/267919218.pdf 『アイヌ語の衰退と復興に関する一考察』]） }} {{-}} ---- === 沖縄 === [[File:King Sho Tai.jpg|thumb|尚泰（しょうたい）。　最後の琉球国王になった。]] 1871年に、清と日本国との間で、'''日清修好条規'''（にっしん しゅうこうじょうき）が結ばれ、国交が開かれた。 琉球（りゅうきゅう）は、江戸時代には薩摩藩に事実上は支配されていた。しかし、形式的には、琉球は清にも朝貢する外交を行っていた。 このため、琉球や台湾の所属の問題で、日本政府は清と、たびたび対立していた。 :なお台湾に流れ着いた琉球の人々が、台湾で先住民に殺害される事件が置き、これを口実に日本政府は1874年に'''台湾出兵'''（たいわん しゅっぺい）をした。清から賠償金を取った。 廃藩置県（1871年）のあと、1872年に政府は琉球藩（りゅうきゅうはん）を置いた。廃藩置県の方針に従い、1879年に琉球の藩を廃止し、沖縄県を設置した。これを'''琉球処分'''（りゅうきゅうしょぶん）という。 学校教育をすぐに導入したが、租税制度などの行政はすぐには変えなかった。 1895年には尖閣諸島（せんかくしょとう）も日本領として編入することを閣議決定しました。 <!-- 指導要領の改訂で尖閣についても扱うことになった。尖閣諸島や竹島などの領土問題については、検定教科書では日露戦争の終了後あたりの時代で扱う（検定教科書に換算すると第180ページ目あたり）。東京書籍などのデジタルパンフレットで確認。 また、本文で扱っているが、コラム的に単元を分けて領土問題を紹介。ただし、紹介内容は、竹島のあしか漁とか、そういうの。 （おそらく、下記の事情によると思われます。） :領土問題よりも先に、日露戦争や日韓併合などを先に教える必要があるので、検定教科書ではあえてコラム的な内容（あしか漁）を先に紹介。 :軍事的な問題については、第2次大戦後の冷戦の知識が無いと、現代の領土問題が詳しくは分からないので、避けている。 :外交的な配慮。 --> {{-}} == その他の地域 == 1876年ごろ、日本政府は、小笠原諸島は日本領であると宣言し、国際的社会は、日本の小笠原所有を認めたので、日本領となりました。 1905年、島根県の竹島（たけしま）も正式に日本領へ編入することを閣議決定しました。 {{clear}} [[カテゴリ:中学校歴史|めいしにほんのほつかいとうとおきなわ]] [[カテゴリ:明治時代]] [[カテゴリ:北海道]] [[カテゴリ:沖縄県]] hrx40nue0dhr8jbrie0e6vurdbasld4 4 26403 299482 147633 2026-05-12T18:45:58Z なまえみてい 90434 [[template:ショートカット]]の仕様変更に伴う 299482 wikitext text/x-wiki {{草案}}{{ショートカット|WB:CS}} <!-- {{Policy|しゆつてんめいき|[[WB:CS]]}} --> [[{{NAMESPACE}}:{{PAGENAME}}|ウィキブックス日本語版 (以下jawb) における出典明記の要請および参考となりえる文献の提示に関する方針]]を以下にまとめます。これは議論と合意により随時変更することが可能です。方針の改定を望む場合は[[Wikibooks‐ノート:{{PAGENAME}}|ノート]]あるいは[[WB:RR|談話室]]などに提示してください。 具体的な方法は[[{{NAMESPACE}}:{{PAGENAME}}#明記の方法|#明記の方法]]で紹介しています。 == なぜ出典を明記するのか == なぜ出典を明記する必要があるかという問いへの答えは人それぞれです。ここでは一例を紹介します。 ある利用者が「Aという記述は間違っている。正しくはBだ。」と言っても、他の利用者が「Aという記述に出典がある」と述べた場合、Aという記述が正しいと分かります。このように、正確性という面で、非常に有効なのです。 この例から発展して、もう1つ理由になりえる事実を紹介します(以下、[[{{SITENAME}}:「要出典」をクリックされた方へ]]と内容は同じ)。 ウィキペディア日本語版では「[[w:Wikipedia:検証可能性|Wikipedia:検証可能性]]」という公式な方針により、「信頼できる情報源が公表・出版している内容だけを書くべき」とされています。そして、これを他の編集者が確認することができるよう、出典を明記することが定められています。これらの記述について「検証可能性」の方針は「誰でも取り除くことができる」、「除去されても文句は言えない」としています。 これらの事実から、出典を明記する理由をお分かりいただけたかと思います。 == いつ == 出典は基本的には標準名前空間の文章で、客観的が要求される部分を中心に使うことを推奨します。jawb特有の事情として、執筆者の主観や経験に頼らざるをえない部分もあります。そういった部分は「[[テンプレート:出典不可]]」を使用しましょう。 なお、出典も出さずに正確なものを選ぶ議論の時間があれば、有効な出典を探す時間に充てるべきです。 == 質 == 自分が書いた文章を消されたくないなどの理由で虚偽の出典を表記する人がいるかもしれません。もし、虚偽の出典を見つけた場合はすぐに除去あるいは変更し、その利用者が張った他の出典も同様に確認するべきです。 また、信頼できる情報源からの出典のみを採用するべきです。個人が趣味などで運営しているインターネットサイトや、[[w:ソーシャルネットワークサービス|ソーシャルネットワークサービス]]などは一切出典となりえません。これらは情報源が不確実であったり、不特定多数の発信する情報であるためです。さらに、当事者からの出典も他のものがない場合はやむをえませんが、第三者からの出典に置き換えることが望まれます。なぜなら、当事者が発表した情報はその発信者、すなわち当事者の都合の良いようになっている可能性が否定できないからです。 もちろん、出典に基づく記述をするべきですが、'''原典の内容の一切をそのままコピー・アンド・ペーストすることは著作権侵害'''に当たります。 == 明記の方法 == この章では、実際に出典を明記することおよび参考文献を提示することの方法について述べます。 === 場所 === 出典をつける場所は、当該する記述の直後、1文全体であれば読点の前です。1冊すべてがその本に合った内容の書籍があれば「参考文献」となります。具体的な例は他の章と合わせて後ほど紹介します。 === 内容 === 出典に要求される内容は、 {| class="wikitable" |+ キャプション ! 場合 !! ページ !! 著者 !! 翻訳者の名前 !! 章名 !! URL !! 発行者 !! 発行日時 !! 閲覧日時 !! ISBN |- | 書籍(雑誌を除く) || 必要 || 必要 || あれば || あれば || あれば || 必要 || 必要 || 不要 || あれば |- | 雑誌 || 必要 || 必要 || あれば || あれば || あれば || 必要 || 必要 || 不要 || 必要 |- | インターネット上のページ || 必要 || 必要 || あれば || あれば || 必要 || 必要 || 必要 || 必要 || 不可 |} この通りです。事実上不可能なものには「不可」を、ある場合とない場合があるものには「あれば」、絶対に外せないものには「必要」、欠けていても構わないものには「不要」を入れています。なお、ISBNコードのような書籍を管理する番号は他にもあります。これらは「ISBN」に含むものとしてください。また、これらは左から順に書くこととし、複数の出典が同一箇所に集まる場合は若番から順に後へ並べることとします。 === 手順 === 実際に出典を示しつつ執筆を行っていく際の手順です。もちろん、入れ替わっても問題ありません。 # 原典 (の当該箇所) をしっかりと読み込む # 筆をとる。 # 完成した文章に出典を貼り付ける # 各ページの1番下に「脚注」「参考文献」(関係ないが「関連項目」がこの下に入る)の節を作る # 「脚注」の節に「<nowiki>{{reflist}}</nowiki>」と打ち込む。 # 「参考文献」の節に「書名、著者、翻訳者の名前、発行者、発行日時、ISBN」の順に本を連ねる。 === 使用例 === 具体例を示します。 {{ソース |1=<pre>ウィキブックスはインターネットサイトである<ref>インターネット辞典、128ページ、「ウィキブックス」、日本インターネット辞典編纂協会著、ウィキ発行社発行21xx年15月20日発行、○年○月○日閲覧、第99版、ISBN(半角スペースと番号)。</ref>。</pre> |2=ウィキブックスはインターネットサイトである<ref>インターネット辞典、128ページ、「ウィキブックス」、日本インターネット辞典編纂協会著、ウィキ発行社発行、21xx年15月20日発行、○年○月○日閲覧、第99版、ISBN(半角スペースと番号)。</ref>}} {{ソース |<pre>Wikibooksは「ウィキブックス」と読む<ref>「フリーな教科書作成プロジェクト「ウィキブックス」の利点と問題点は? 」インターネットの疑問箱;2999年13月32日25:61 (UTC) [○年○月○日現在で引用]. 入手元: http://www.internetquestion.com./wikibooks/</ref>。</pre> |Wikibooksは「ウィキブックス」と読む<ref>「フリーな教科書作成プロジェクト「ウィキブックス」の利点と問題点は? 」インターネットの疑問箱;2999年13月32日08:37 (UTC) [○年○月○日現在で引用]. 入手元: <nowiki>http://www.internetquestion.com./wikibooks/</nowiki>。</ref>。}} {{ソース |1=<pre> == 脚注 == {{reflist}} == 参考文献 == * 「インターネット辞典」、日本インターネット辞典編纂協会著、ウィキ発行社発行、○年○月○日発行、ISBN(半角空白とコード) == 関連項目 == </pre> |2=== 脚注 == {{reflist}} == 参考文献 == * 「インターネット辞典」、日本インターネット辞典編纂協会著、ウィキ発行者発行、○年○月○日発行、ISBN(半角空白とコード) == 関連項目 == }} rz027lx2vf8grsg5fq24xeo5rnjjhrl 12 28365 299485 293689 2026-05-12T18:50:56Z なまえみてい 90434 [[template:ショートカット]]の仕様変更に伴う 299485 wikitext text/x-wiki {{ショートカット|H:NS}} '''名前空間'''（なまえくうかん）とは、各ページの大まかな構造を示す分類名のことです。このページでは、ウィキブックス上で規定されている名前空間について解説しています。 ==ページ名の構成== ページ名は<code>ヘルプ:名前空間</code>のように、「''名前空間名'':ページ名」のような構造となっています。ただし、標準名前空間には名前空間がありません。 ==詳細== 以下、ウィキブックスで定義されている名前空間です。空白になっている部分は、設定されていない部分です。 {| class="wikitable" ! rowspan="2" | 種類 ! rowspan="2" | 番号 ! rowspan="2" | 名前空間名 ! rowspan="2" | プレフィックス ! rowspan="2" | タブでの表示<ref>外装を既定のベクター外装でないものを使用している場合は、異なる場合があります。</ref> ! colspan="3" | エイリアス |- ! [[#既定の名前|既定の名前]]<br>（日本語） !! [[#既定の名前|既定の名前]]<br>（英語） !! (備考)<br>Wikipedia日本語版 |- style="background-color: #fffafa" ! rowspan="2" | 疑<br />似 | -2 || '''[[#{{ns:-2}}|{{ns:-2}}]]''' || {{ns:-2}} || || メディア || Media || メディア |- style="background-color: #fffafa" | -1 || '''[[#{{ns:-1}}|{{ns:-1}}]]''' || {{ns:-1}} || {{int:nstab-special}} || 特別 || Special || 特別 |- style="background-color: #fffafa" ! rowspan="16" | 基<br />本 | 0 || '''[[#標準|標準]]''' || || {{int:nstab-main}} || || || 標準 |- style="background-color: #faffff" | 1 || '''{{ns:1}}''' || {{ns:1}} || {{int:talk}} || トーク || talk || ノート |- style="background-color: #fffafa" | 2 || '''[[#{{ns:2}}|{{ns:2}}]]''' || {{ns:2}} ||利用者ページ|| 利用者 || User || 利用者 |- style="background-color: #faffff" | 3 || '''{{ns:3}}''' || {{ns:3}} || {{int:talk}} || 利用者・トーク || User talk || 利用者‐会話 |- style="background-color: #fffafa" | 4 || '''[[#{{ns:4}}|{{ns:4}}]]''' || {{ns:4}} || {{int:nstab-project}} || || Project || Wikipedia |- style="background-color: #faffff" | 5 || '''{{ns:5}}''' || {{ns:5}} || {{int:talk}} || || Project talk || Wikipedia‐ノート |- style="background-color: #fffafa" | 6 || '''[[#{{ns:6}}|{{ns:6}}]]''' || {{ns:6}} || {{int:nstab-image}} || ファイル || File || ファイル |- style="background-color: #faffff" | 7 || '''{{ns:7}}''' || {{ns:7}} || {{int:talk}} || ファイル・トーク || File talk || ファイル‐ノート |- style="background-color: #fffafa" | 8 || '''[[#{{ns:8}}|{{ns:8}}]]''' || {{ns:8}} || {{int:nstab-mediawiki}} || MediaWiki || MediaWiki || MediaWiki |- style="background-color: #faffff" | 9 || '''{{ns:9}}''' || {{ns:9}} || {{int:talk}} || MediaWiki・トーク || MediaWiki talk || MediaWiki‐ノート |- style="background-color: #fffafa" | 10 || '''[[#{{ns:10}}|{{ns:10}}]]''' || {{ns:10}} || {{int:nstab-template}} || テンプレート || Template || Template |- style="background-color: #faffff" | 11 || '''{{ns:11}}''' || {{ns:11}} || {{int:talk}} || テンプレート・トーク || Template talk || Template‐ノート |- style="background-color: #fffafa" | 12 || '''[[#{{ns:12}}|{{ns:12}}]]''' || {{ns:12}} || {{int:nstab-help}}|| ヘルプ || Help || Help |- style="background-color: #faffff" | 13 || '''{{ns:13}}''' || {{ns:13}} || {{int:talk}} || ヘルプ・トーク || Help talk || Help‐ノート |- style="background-color: #fffafa" | 14 || '''[[#{{ns:14}}|{{ns:14}}]]''' || {{ns:14}} || {{int:nstab-category}} || カテゴリ || Category || Category |- style="background-color: #faffff" | 15 || '''{{ns:15}}''' || {{ns:15}} || {{int:talk}} || カテゴリ・トーク || Category talk || Category‐ノート |- style="background-color: #fffafa" ! rowspan="2" | カ<br />ス<br />タ<br />ム | 100 || '''[[#{{ns:100}}|{{ns:100}}]]''' || {{ns:100}} || {{int:nstab-portal}} || || || Portal |- style="background-color: #faffff" | 101 || '''{{ns:101}}''' || {{ns:101}} || {{int:talk}} || || || Portal‐ノート |- style="background-color: #fffafa" ! rowspan="6" | 拡<br />張<br />機<br />能 | 828 || '''[[#{{ns:828}}|{{ns:828}}]]''' || {{ns:828}} || {{ns:828}} || モジュール || Module || モジュール |- style="background-color: #faffff" | 829 || '''{{ns:829}}''' || {{ns:829}} || {{int:talk}} || モジュール・トーク || Module talk || モジュール‐ノート |- style="background-color: #fffafa" | 2300 || '''[[#{{ns:2300}}|{{ns:2300}}]]''' || {{ns:2300}} || {{ns:2300}} || Gadget|| Gadget|| Gadget |- style="background-color: #faffff" | 2301 || '''{{ns:2301}}''' || {{ns:2301}} || {{int:talk}} || Gadget talk || Gadget talk || Gadget talk |- style="background-color: #fffafa" | 2302 || '''[[#{{ns:2302}}|{{ns:2302}}]]''' || {{ns:2302}} || {{ns:2302}} || Gadget definition|| Gadget definition || Gadget definition |- style="background-color: #faffff" | 2303 || '''{{ns:2303}}''' || {{ns:2303}} || {{int:talk}} || Gadget definition talk || Gadget definition talk || Gadget definition talk |} ===各名前空間の解説=== <!--加筆求む--> ;{{anchor|標準}}名前空間 :いわゆる、通常の記事ページです。ウィキペディア日本語版とは異なり、下位ページを作成することが可能です。 ;{{anchor|{{ns:2}}}}名前空間 :ウィキブックスの利用者が自己紹介や作業用のページとして利用するための名前空間です。 ;{{anchor|{{ns:4}}}}名前空間 :ウィキブックスのルールが記述されていたり、統廃合・分割の提案などの行うためのページが含まれる名前空間です。 ;{{anchor|{{ns:6}}}}名前空間 :画像など、ファイルの著作権等を説明するための名前空間です。 ==備考== <references/> ==関連項目== *[[w:Help:名前空間]] 8zqik8okst87dtolkhxroetk8eytrxx 12 28515 299486 293691 2026-05-12T18:51:32Z なまえみてい 90434 [[template:ショートカット]]の仕様変更に伴う 299486 wikitext text/x-wiki {{ショートカット|H:ARCHIVE}} [[{{FULLPAGENAME}}]]では、過去ログに関して、下準備から維持管理に至るまで解説します。詳細な説明はWikipedia日本語版の[[w:Help:過去ログ|Help:過去ログ]]に譲り、このページではできるだけわかりやすく説明します。{{Wikipedia|Help:過去ログ}} == 過去ログの種類 == 過去ログには2つの方法があります。それらは固定リンク方式とサブページ方式です。サブページ方式はコピペを伴うものであり、少しのミスでGFDLなどライセンス上の問題が発生します。それに対し、固定リンク方式は手順が少し多く、わかりずらいものの、手堅いです。また、固定リンク方式の欠点である「検索に引っかからない」という問題も「WikiBlame^{[[w:Wikipedia:ツール/WikiBlame|(wp]])}」により改善されています。 現在、[[Wikibooks:過去ログ化のガイドライン]] (草案) によりもっぱら<b>固定リンク方式を採用</b>し、不可能である場合に限りサブページ方式の使用が認められています。 == 注意 == 過去ログ化はあくまで時間の経った議論及び長大になりすぎたページの軽量化でのみ使用されます。時間の経っていない議論を個人的な理由で過去ログ化しないでください。長大であれば、最近の議論は残し、古い議論のみを過去ログ化してください。 == 固定リンク方式 == この章ではjawbでの原則である固定リンク方式について説明します。 === 前置き === あなたはページの履歴を閲覧できますか。古い版及びそのURLを閲覧できますか。できなければ、(この方式での)過去ログ化はできない可能性があります。 === 方法 === 具体的な方法を説明します。 # 該当するページに移動する。 # ページの最上部に<code><nowiki>{{過去ログ注意}}</nowiki></code>を貼り、変更を公開する。 # 公開したページの履歴などから、編集した版を表示する。 # その版のURLの最後部にある「oldid=(数字)」をコピーやローカルを用いるなどにより、保存する。 # その版を編集し、過去ログ化する部分及び[[テンプレート:過去ログ注意]]を消去する。 # 変更を公開する前に、過去ログへの固定リンクを[[テンプレート:固定リンク過去ログ/本体]]を使って[[テンプレート:過去ログ注意]]が貼ってあった場所に貼る。また[[テンプレート:固定リンク過去ログ]]を使うこともできる。 #* 具体例:<code><nowiki>{{subst:固定リンク過去ログ/本体|(oldid)|(説明)|year=|month=}}</nowiki></code> #* '''もし既に[[テンプレート:固定リンク過去ログ]]が貼ってある場合の手順は、[[#2回目以降]]を参照'''。 # 変更を公開する。過去ログ化の作業終了。 以上が過去ログ化の作業の1例です。過去ログ化の作業中に他のユーザーが編集してしまうことを避けるため、要約欄にその旨を記載することも奨励されます。ただし、この場合は過去ログ化の作業終了時に要約欄に終了した旨を記載するべきでしょう。 ==== 2回目以降 ==== 既に[[テンプレート:固定リンク過去ログ]]があれば、「<nowiki>* [[特別:固定リンク/(oldid)|20xx年xx月頃までの版]](説明)</nowiki>」の行があります。この次の行に、<code><nowiki>{{Subst:固定リンク過去ログ/本体|(oldid)|(説明)|year=|month=}}</nowiki></code>をコピペするか、間違えず入力してください。3つ目以降もあれば、同様に追加(要改行)してください。 == サブページ方式 == サブページ方式はなどでよく使われます。サブページを作るにはカットアンドペーストで行う方法とページの移動を使う方法の2パターンあります。サブページの名前は過去ログ化した順番に番号をつける方式(例:過去ログ1・過去ログ2・・・)や過去ログ化した時点で最後にコメントがされたときの年月をつける方式(例:過去ログ{{CURRENTYEAR}}年{{CURRENTMONTH}}月)があります。 ===カットアンドペースト方式=== ====方法==== # 過去ログ化したいページに移動し編集を開始する。 # ページの過去ログ化したい部分を「カット」する。 # ページに過去ログページへのリンクを貼る。(例:<nowiki>[[/過去ログ1]]</nowiki>) # 要約欄に「<nowiki>[[トーク:○○/過去ログページの名前]]</nowiki>へ分割」と入力し編集を公開する。 # 3で貼ったリンクから過去ログページを作成し、2で「カット」したものを「ペースト」する。 # 過去ログページに<code><nowiki>{{Notice}}</nowiki></code>を貼り付け過去ログページであることを明記する。 # 要約欄に「<nowiki>[[トーク:○○]]</nowiki>20xx年xx月xx日から分割」と入力し編集を公開する。 ===移動方式=== ====方式==== # 過去ログ化するページをサブページに移動する。 # 過去ログページに<code><nowiki>{{Notice}}</nowiki></code>を貼り付け過去ログページであることを明記する。 # もとのページのリダイレクトを解除し、残したい議論をコピーアンドペーストで貼り付ける。 # 要約欄に「<nowiki>[[トーク:○○/過去ログページの名前]]</nowiki>20xx年xx月xx日から分割」と入力し編集を公開する。 == 関連項目 == {{Stub}} [[カテゴリ:ヘルプ|かころく]] fhad5gfm1s02hxhk8374zjlwhbzyj26 0 31719 299492 299410 2026-05-13T00:26:37Z ~2026-28564-08 91445 /* 代表的な置換 */ 299492 wikitext text/x-wiki == 関数の極限と連続 == === 関数の極限 === #[[初等数学公式集/数列#極限|数列の極限]]同様、実数 <math>x</math> に対応する関数 <math>f(x)</math> について、<math>x=a</math> に限りなく近づける（<math>x\rightarrow a</math> と表記する）<ref>「限りなく近づける」は、[[初等数学公式集/数列#極限|数列の極限]]におけるものと同様、数学的に厳密な表現ではないが、高校数学の過程では、その理解で足りる。</br>考え方としては<math>f\left(a - \frac{1}{t}\right)</math> または、<math>f\left(a + \frac{1}{t}\right)</math>として、<math>\lim_{x\to\infty}f\left(a - \frac{1}{t}\right)</math> または、<math>\lim_{x\to\infty}f\left(a + \frac{1}{t}\right)</math> である。なお、<math>a - \frac{1}{t}</math> と <math>a + \frac{1}{t}</math> を別に記述するのは、後述する片側極限を意識している。</ref>という操作を <math>\lim_{x\to a}f(x)</math> と記述し、<math>\lim_{x\to a}f(x) = \alpha</math> であるとき、<math>\alpha</math> を'''極限値'''または'''極値'''という。 #:<math>\lim_{x\to a}f(x) = f(a)</math> ではないことに注意する（下記「[[#関数の連続|関数の連続]]」参照）。例えば、関数: <math>f_1(x)=x+1</math> と <math>f_2(x)= \frac{x^2-1}{x-1}</math> は明確に区別され、 <math>f_1(1)=2</math> となるが、<math>f_2(1)</math> の値は存在しない。一方、 <math>\lim_{x\to 1}f_1(x) = \lim_{x\to 1}f_2(x) = 2</math> となる。 #<math>x\rightarrow a</math> のとき、関数 <math>f(x)</math> が、限りなく正（負）の大きな値となる場合、<math>f(x)</math> の極限は <math>+ \infty</math> <math>(-\infty)</math> であるといい、<math>\lim_{x\to a}f(x) = \infty</math> <math>\bigl( \lim_{x\to a}f(x) = -\infty \bigr)</math> または、<math>f(x) \rightarrow \infty (x\rightarrow a)</math> <math>\bigl( f(x) \rightarrow -\infty (x\rightarrow a) \bigr)</math>と表記する。 #:<math>\lim_{x\to a}f(x) = \infty</math> の例; <math>f(x)=\frac{1}{x^2}</math> について、<math>x=0</math> に限りなく近づける演算: <math>\lim_{x\to 0} \left( \frac{1}{x^2} \right) = \infty</math> #:<math>\lim_{x\to a}f(x) = -\infty</math> の例; <math>f(x)= - \frac{1}{x^2}</math> について、<math>x=0</math> に限りなく近づける演算: <math>\lim_{x\to 0} \left( - \frac{1}{x^2} \right) = -\infty</math> #その他、以下の関係も成立しうる。 #*収束:<math>\lim_{x\to \infty}f(x) = a</math>, <math>\lim_{x\to {-\infty}}f(x) = a</math> #*:<math>\lim_{x\to \infty}f(x) = a</math> の例; <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> について、<math>x</math> を無限に大きくする演算: <math>\lim_{x\to \infty} \left( \frac{1}{x} \right) = 0</math> #*:<math>\lim_{x\to {-\infty}}f(x) = a</math> の例; <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> について、<math>x</math> を負に無限に大きくする演算: <math>\lim_{x\to {-\infty}} \left( \frac{1}{x} \right) = 0</math> #*発散:<math>\lim_{x\to \infty}f(x) = \infty</math>, <math>\lim_{x\to {-\infty}}f(x) = -\infty</math> / <math>\lim_{x\to \infty}f(x) = -\infty</math>, <math>\lim_{x\to {-\infty}}f(x) = \infty</math> #*:<math>\lim_{x\to \infty}f(x) = \infty</math>, <math>\lim_{x\to {-\infty}}f(x) = -\infty</math> となる関数の例; <math>f(x) = x</math> #*:<math>\lim_{x\to \infty}f(x) = -\infty</math>, <math>\lim_{x\to {-\infty}}f(x) = \infty</math> となる関数の例; <math>f(x) = -x</math> #<span id="片側極限"/>左方極限・右方極限（[[w:片側極限]]） #:<math>f(x)</math> が、<math>x=a</math> で極値をもつとき、<math>x</math> が<u>左から近づく場合</u>（すなわち、<math>x</math> が <math>x<a</math> から増加して <math>a</math> に近づく場合）と<u>右から近づく場合</u>（すなわち、<math>x</math> が <math>a<x</math> から減少して <math>a</math> に近づく場合）で挙動が異なる場合がある。前者を左方極限、後者を右方極限といい、以下のとおり書き表す。 #::左方極限: <math>\lim_{x\to a^-}f(x)</math>、<math>\lim_{x\to a-0}f(x)</math> #::右方極限: <math>\lim_{x\to a^+}f(x)</math>、<math>\lim_{x\to a+0}f(x)</math> #:*片側極限の例 #:*: <math>f(x)= \frac{1}{x}</math> について、<math>x=0</math> における挙動を見ると、左方極限: <math>\lim_{x\to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty</math>、右方極限: <math>\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = \infty</math> となる。 #:*:* <math>f(x)= \frac{1}{x^2}</math> について、<math>x=0</math> においては、<math>\lim_{x\to 0^-} \frac{1}{x^2} = \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x^2} = \infty</math> となるため、<math>\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2} = \infty</math> と記述しても支障はないが、極値に至る過程は異なる。 #:*:* 同様に、<math>f(x)= \log x</math> について、<math>x=0</math> において、<math>\lim_{x\to 0^+} \log x = - \infty</math> となるが、<math>\lim_{x\to 0^-} \log x</math> は、<math>x \le 0</math> が、<math>f(x)= \log x</math>の定義域とならないため成立しないことから、<math>\lim_{x\to 0} \log x = -\infty</math> と記述しても支障はない === 関数の極限の基本定理 === * <math>\lim_{x\to a}f(x)=\alpha</math>, <math>\lim_{x\to a}g(x)=\beta</math>のとき、 # <math>\lim_{x\to a}kf(x)=k\alpha</math> ただし、<math>k</math> は定数。 # <math>\lim_{x\to a}\{f(x)\pm g(x)\}=\alpha\pm\beta</math>　（複号同順）。 # <math>\lim_{x\to a}f(x)g(x)=\alpha\beta</math> # <math>\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha}{\beta}</math> ただし、<math>\displaystyle \beta \ne 0</math>。 # <math>a</math>の近傍で常に<math>f(x) \leqq g(x)</math>ならば<math>\alpha \leqq \beta</math> 　 * <span id="はさみうちの原理"/><math>a</math> のある近傍で定義された関数<math>f</math>, <math>g</math>, <math>h</math> があり、この近傍内の任意の <math>x</math> に対して、<math>\displaystyle f(x)</math> &le; <math>g(x)</math> &le; <math>h(x)</math> かつ <math>\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=\alpha</math> ならば、<math>\lim_{x\to a}g(x)</math> は収束し、 *:<math>\lim_{x\to a}g(x)=\alpha</math> （はさみうちの原理） *追い出しの原理 *:<math>\lim_{x \to a} f(x) = \infty</math>かつ<math>a</math>の近傍で常に<math>f(x) \leqq g(x)</math>ならば<math>\lim_{x \to a} g(x) = \infty</math> *:<math>\lim_{x \to a}f(x) = -\infty</math>かつ<math>a</math>の近傍で常に<math>f(x) \geqq g(x)</math>ならば<math>\lim_{x \to a} g(x) = -\infty</math> 　 * <math>\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1</math> （→[[高等学校数学III/極限#三角関数と極限|証明]]） *:<math>\Leftrightarrow \lim_{x\to \pm \infty}x\sin \frac{1}{x}=1</math> * <math>\lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{x^2}=\frac{1}{2}</math> （→[[初等数学公式集/微積分/証明#cos極限|証明]]） *: <math>\Leftrightarrow \lim_{x\to \pm \infty} x^2(1 - \cos \frac{1}{x})=\frac{1}{2}</math> * <math>\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1</math> （→[[高等学校数学III/極限#三角関数と極限|証明]]） *:<math>\Leftrightarrow \lim_{x\to \pm \infty}x\tan \frac{1}{x}=1</math> * <math>\lim_{h\to\infty}\left(1+\frac{1}{h}\right)^h=\lim_{h\to0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e</math> * <math>\lim_{h\to\infty}\left(1+\frac{r}{h}\right)^h=e^r</math> * <math>\lim_{r\to\infty}\sqrt[r]{a}=1</math>　（<math>a</math> は正定数）。 * <math>\lim_{r\to\infty}\sqrt[r]{r}=1</math> *<math>\lim_{x \to 0} \frac{\log (1+x)}{x} = 1</math> （→[[高等学校数学III/極限#指数・対数関数と極限|証明]]） {{wikipedia|ロピタルの定理}} *（参考）'''ロピタルの定理''' *:<math>\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math> *:　 *:（条件） *:*<math>c ( - \infty \leqq c \leqq \infty)</math>を含むある区間<math>I</math>があり、関数<math>f, g</math>はその内部で微分可能である。 *:*<math>\lim_{x \to c}f(x) = \lim_{x \to c}g(x)</math> かつその値が<math>0</math>または<math>\pm\infty</math>である。 *:*極限 <math>\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math> が存在する。 *:*<math>I</math>における<math>c</math>の除外近傍において <math>\lim_{x \to c}g'(x) \neq 0</math>が成り立つ。 *:　<small> *::※利用における注意 *:::ロピタルの定理自体は簡易な形状をしており、また、多くの学習参考書などでも取り上げられるなど、比較的有名なものである。しかしながら、本定理の成立は、上記の条件が成立していることが必要であるので、証明問題等において「ロピタルの定理より」とするには、条件成立が提示されているか条件成立を別に証明することを要する。大学入試等初等教育の場で、これが示されることは基本的に皆無であるので（『学習指導要領』範囲外）、そのような問題においては、利用しないことが無難であり、あくまでも検算用と考えた方がいい（[[w:ロピタルの定理#日本の高校数学・大学入試での扱い|ウィキペディア『ロピタルの定理』中の記事「日本の高校数学・大学入試での扱い」]]参照）。 *:::大学入試等において、この形式の問題は、関数<math>f(x), g(x)</math>が共通因数を持っており、それを約分することにより極限値を得るという解法を期待するものが多い。</small> === 関数の連続 === {{main|解析学基礎/連続関数}} :関数 <math>y=f(x)</math> のある区間内の <math>x=a</math> において、<math>\lim_{x\to a}f(x) </math> および <math>f(a)</math> が存在し、かつ、<math>\lim_{x\to a}f(x) = f(a)</math> である時、'''関数 <math>y=f(x)</math> は <math>x=a</math> において連続である'''、または、区間内において'''連続関数'''であるという。 :この条件は、<math>x= a+h</math> として、<math>\lim_{h\to 0}\{f(a+h) - f(a)\}</math> とも表現できる。 ;連続関数の基本定理 :#ある区間において、関数 <math>f(x) , g(x)</math> が <math>x=a</math> において連続であれば、以下に列挙するもの全て <math>x=a</math> において連続である。 :#: <math>kf(x)</math> （<math>k</math>は定数） <math>,\, f(x) \pm g(x),\, f(x)g(x),\, \frac{f(x)}{g(x)}</math> （ただし、<math>g(x) \ne 0</math>） :#<math>u = g(x)</math> は <math>x=a</math> において連続、<math>y = f(u)</math> は <math>u=g(a)</math> で連続ならば、合成関数　<math>y = f(g(a))</math> は <math>x=a</math> において連続である。 ;連続関数の性質 {{wikipedia|中間値の定理}} {{wikipedia|最大値最小値定理}} :#'''中間値の定理''' :#:閉区間 <math>[a,b]</math> 上で定義された連続関数 <math>f(x)</math> に対して、もし <math>f(a) \ne f(b)</math> であって、 <math>f(a)</math> と <math>f(b)</math> の間の値を取るある数 <math>k</math> について、 <math>a < c < b</math> であって <math>f(c) = k</math> となる少なくとも1つの <math>c</math> が存在する。 :#'''最大値最小値定理'''（ワイエルシュトラスの極値定理、ワイエルシュトラスの定理） :#:閉区間 <math>[a,b]</math> 上で定義された連続関数 <math>f(x)</math> に対して、<math>y = f(x)</math> はこの区間で少なくとも一つの最大値および最小値をとる。 :#::式で書けば、適当な実数 {{math|''c'', ''d'' &isin; [''a'',''b'']}} が存在して :#:::<math>f(c) \ge f(x) \ge f(d)\quad(\forall x\in [a,b])</math>　<math>\bigl(f(c)</math> :最大値, <math>f(d)</math>: 最小値<math>\bigr)</math> :#::が成り立つ。 == 微分 == 導関数の定義 :関数<math> f(x) </math>に対して、<math>\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}</math><math>= f^\prime(x) =\frac{d}{dx}f(x)</math>（変数<math>x</math>で微分する）。 ::*<math>\frac{dy}{dx}</math>; <math>y</math>を<math>x</math> で微分する。 :*'''第2次導関数''' :*:関数<math> y = f(x) </math>を微分して得た導関数<math> y=f^\prime(x) </math>をさらに微分して得た関数<math> y=g(x) </math>を、<math> y = f(x) </math>の第2次導関数という。 :*:*第2次導関数の表記法:<math> y^{\prime\prime} </math>, <math> f^{\prime\prime}(x) </math>, <math>\frac{d^2 y}{dx^2}</math>, <math>\frac{d^2}{dx^2}f(x)</math> :*'''第<math>n</math>次導関数''' :*:関数<math> y = f(x) </math>を微分した結果をさらに微分する操作を<math>n</math>回行って得た関数を、<math> y = f(x) </math>の第<math>n</math>次導関数という。 :*:*第<math>n</math>次導関数の表記法:<math> y^{(n)} </math>, <math> f^{(n)}(x) </math>, <math>\frac{d^n y}{dx^n}</math>, <math>\frac{d^n}{dx^n}f(x)</math> 変数 <math>x</math> の微分可能な関数 <math>f</math>, <math>g</math> に対して * <math>(f+g)^\prime=f^\prime+g^\prime</math> *:　 * <math>(fg)^\prime=f^\prime g+fg^\prime</math>　（ライプニッツ則 →[[高等学校数学III/微分法#積の導関数|証明]]） *:　 * <math>\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\quad(\mbox{where } g\ne 0)</math>　（<span id="商の微分"/>商の微分公式 →[[高等学校数学III/微分法#商の導関数|証明]]） *:　 *:特に、<math>f=1</math>のとき、 *:* <math>\left(\frac{1}{g}\right)'= - \frac{g'}{g^2}</math> *:　 * <math>(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'</math>　（合成関数の微分公式 →[[高等学校数学III/微分法#合成関数の導関数|証明]]） *:　 *:別の表現で <math>\frac{df(g(x))}{dx} = \frac{df(g)}{dg}\cdot \frac{dg(x)}{dx}</math> 　（連鎖律・チェインルール） *:　 * <math>\left(f^{-1}\right)'=\frac{1}{f'\circ f^{-1}}</math>　（逆関数の微分公式 →[[高等学校数学III/微分法#逆関数の導関数|証明]]） *: <math>y=f\left( x \right)</math>とおくと、<math>x=f^{-1}\left( y \right)</math>で <math>\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}</math> とも表せる。 * 媒介変数による微分　<math> x=x\left( t \right),y=y\left( t \right)</math> ならば <math>\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt}</math>, <math>\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dt} \left( \frac{dy}{dx} \right) / \frac{dx}{dt}</math> *: *（参考）ライプニッツの定理　n階微分可能な2つの関数<math>f(x), g(x)</math>について、<math>\{ f(x)g(x) \}^{(n)} = \sum_{k=1}^{n} {}_n\mathrm{C}_k f^{(n-k)}(x) g^{(k)}(x)</math> === 基本的な関数の微分公式 === * <span id="基本微分"/>[微分公式1] <math>\left(x^a\right)'=ax^{a-1} </math> (<math>a</math>は実数)　（→[[高等学校数学III/微分法#冪関数の導関数 IⅤ|証明]]） * <span id="指数微分"/>[微分公式2] <math>\left(e^x\right)'=e^x </math>　（→[[高等学校数学III/微分法#指数関数の導関数|証明]]） *: 従って、[微分公式2-1] <math>\left(a^x\right)'=a^x \log a </math> (ただし、<math>a > 0</math>) * <span id="対数微分"/>[微分公式3] <math>(\log x)'=\frac{1}{x} </math>　（→[[高等学校数学III/微分法#対数関数の導関数|証明]]） ** [微分公式3-1] <math>(\log_a x)'=\frac{1}{x\log a} </math>(ただし、<math>a > 0</math>) ** <span id="対数式微分"/>[微分公式3-2] <math>(\log \left|f(x)\right|)'=\frac{f'(x)}{f(x)} </math> *'''三角関数の微分公式'''　（→[[高等学校数学III/微分法#三角関数の導関数|証明]]） ** <span id="正弦微分"/>[微分公式4] <math>\left(\sin x\right)'=\cos x </math> *** [微分公式4-1] <math>\left(\sin mx\right)'= m \cos mx </math> *** <span id="微分公式4-2"/>[微分公式4-2] <math>\left(\sin^m x\right)'= m \sin^{m-1} x \cos x </math> **** [微分公式4-2-1] <math>\left(\frac{1}{\sin x}\right)'= \left(\sin^{-1} x\right)'=(-1) \sin^{-2} x \cdot \cos x =-\frac{\cos x}{\sin^2 x}</math> *** [微分公式4-3] <math>\left(\sin^m nx\right)'= mn \sin^{m-1} nx \cos nx </math> **:　 ** <span id="余弦微分"/>[微分公式5] <math>\left(\cos x\right)'=-\sin x </math> *** [微分公式5-1] <math>\left(\cos m x\right)'=- m \sin mx </math> *** <span id="微分公式5-2"/>[微分公式5-2] <math>\left(\cos^m x\right)'=- m \sin x \cos^{m-1} x </math> **** [微分公式5-2-1] <math>\left(\frac{1}{\cos x}\right)'= \left(\cos^{-1} x\right)' = - (-1) \sin x \cdot \cos^{-2} x =\frac{\sin x}{\cos^2 x}</math> *** [微分公式5-3] <math>\left(\cos^m nx\right)'=- mn \sin nx \cos^{m-1} nx </math> **:　 ** <span id="正接微分"/>[微分公式6] <math>\left(\tan x\right)'=\frac{1}{\cos^2 x} </math> *** [微分公式6-1] <math>\left(\tan mx\right)'=\frac{m}{\cos^2 mx} </math> *** [微分公式6-2] <math>\left(\tan^m x\right)'=\frac{m \tan^{m-1} x}{\cos^2 x} =\frac{m \sin^{m-1} x}{\cos^{m+1} x}</math> *** [微分公式6-2] <math>\left(\tan^m nx\right)'=\frac{mn \tan^{m-1} nx}{\cos^2 nx} =\frac{mn \sin^{m-1} nx}{\cos^{m+1} nx} </math> **:　 *** <span id="余接微分"/>[微分公式6-a] <math>\left(\frac{1}{\tan x}\right)'=-\frac{1}{\sin^2 x} </math> **** [微分公式6-a-1] <math>\left(\frac{1}{\tan mx}\right)'=-\frac{m}{\sin^2 mx} </math> **** [微分公式6-a-2] <math>\left(\frac{1}{\tan^m x}\right)'=-\frac{m}{\tan^{m-1} x \sin^2 x} =- \frac{m \cos^{m-1} x}{\sin^{m+1} x} </math> **** [微分公式6-a-3] <math>\left(\frac{1}{\tan^m nx}\right)'=-\frac{mn}{\tan^{m-1} \sin^2 nx} =- \frac{mn \cos^{m-1} nx}{\sin^{m+1} nx} </math> *:　 *'''三角関数と対数の複合形の微分''' *:*[[#対数式微分|微分公式3-2]] <math>(\log \left|f(x)\right|)'=\frac{f'(x)}{f(x)} </math>を用いて、 **<span id="複合1"/><math>(\log|\sin x|)'=\frac{(\sin x)'}{\sin x} =\frac{\cos x}{\sin x} =\frac{1}{\tan x} =\cot x</math> **:　 **<span id="複合2"/><math>(\log|\cos x|)'=\frac{(\cos x)'}{\cos x} =-\frac{\sin x}{\sin x}=-\tan x</math> **:　 **<span id="複合3"/><math>(\log|\tan x|)'=\left(\log \left| \frac{\sin x}{\cos x} \right| \right)'=(\log|\sin x| - \log|\cos x|)'=\frac{1}{\tan x} + \tan x =\frac{1}{\sin x \cos x} </math> **:　 ***<math>\left(\log \left| \frac{1}{\tan x} \right| \right)'= \left(\log \left| \tan^{-1} x \right| \right)'= -\tan x -\frac{1}{\tan x} = -\frac{1}{\sin x \cos x} </math> === 接線の方程式等 === *曲線<math> y = f(x) </math>上の点<math>( a , f(a))</math>において、<math> y = f(x) </math>に接する直線の傾きは、<math> f^\prime(a) </math>である。 *:したがって、曲線<math> y = f(x) </math>上の点<math>( a , f(a))</math>における接線の方程式は、<math> y = f^\prime(a)(x - a) + f(a)</math> *曲線<math> y = f(x) </math>上の点<math>( a , f(a))</math>において接線と直行する直線（法線）の傾き<math>-\frac{1}{f^\prime(a)}</math>である（∵直交する2直線の傾きの積は-1）。 *:したがって、曲線<math> y = f(x) </math>上の点<math>( a , f(a))</math>における法線の方程式は、<math> y = -\frac{x - a}{f^\prime(a)} + f(a)</math> *'''ニュートン法''' *:[[File:Newton iteration.svg|thumb|200px|ニュートン法のイメージ]] *:曲線<math> y = f(x) </math>上のある点<math>P_n</math><math>( x_n , f(x_n))</math>における接線と<math>x</math>軸の交点（<math>x</math>切片、<math> y = 0</math>）の値<math>x_{n+1}</math>は、<math> f(x) = 0 </math>の解である<math>x^*</math>に、<math>x_n</math>よりも近似することが期待されるという性質を用い、この操作を反復することで方程式を数値計算によって解く方法。 *:#曲線<math> y = f(x) </math>上に適当に点<math>P_0</math><math>( x_0 , f(x_0))</math>をおき、<math> n = 0 </math>とする。 *:#点<math>P_n</math>における接線;<math> y = f^\prime(x_n)(x - x_n) + f(x_n) </math>を求める。 *:#<math> f^\prime(x_n)(x - x_n) + f(x_n) = 0</math>として、直線との<math>x</math>切片<math>x_{n+1}</math>を求める。 *:#::<math>x_{n+1} = x_n -\frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)} </math> *:#[アルゴリズム終了の条件] *:#*<math>|x_{n+1} - x_n| \leq \epsilon </math>（所定の極めて小さい数値）となった時、<math>x_{n+1}</math>を<math> f(x) = 0 </math>の近似解とする。 *:#*<math>|x_{n+1} - x_n| > \epsilon </math>である時、<math>x_{n+1}</math>を<math>x_n</math>として、上記2の操作に戻る。 === 関数の増減 === *ある関数を<math> f(x) </math>、その導関数を<math> f^\prime(x) </math>としたとき、 **<math> f^\prime(x) \geq 0 </math>である時、この式を満たす<math>x</math>において、<math> f(x) </math>は増加する。 **<math> f^\prime(x) \leq 0 </math>である時、この式を満たす<math>x</math>において、<math> f(x) </math>は減少する。 *方程式<math> f^\prime(x) = 0</math>が実数解<math>x = \{ x_1, x_2, \dots ,x_n \} </math>を持つ時（[[#重複|ただし、各々の解に重複はないものとする]]）、<math>x = \{ x_1, x_2, \dots ,x_n \} </math>において、正負が変わるため、その点で関数<math> f(x) </math>の増減が入れ替わる。この点を変曲点といい、増加から減少に転じる点を極大、減少から増加に転じる点を極小という。 *;高次多項式関数の増減と区間における最大最小 *:最高次の項の係数を<math>a</math>とする<math>n</math>次の高次多項式関数<math> f(x) </math>、その導関数を<math> f^\prime(x) </math>、かつ方程式<math> f^\prime(x) = 0</math>が[[#重複|各々重複のない<math>n-1</math>個の実数解]]<math>x = \{ x_1, x_2, \dots ,x_{n-1} \} </math>とした時、以下の性質を持つ。 *:*なお、以下において、説明簡素化等のため、特に言及のない場合、条件等を以下のとおりとする。 *:*#方程式<math> f^\prime(x) = 0</math>の実数解<math>x = \{ x_1, x_2, \dots k, \dots ,x_{n-1} \} </math>に対する、関数<math> y=f(x) </math>の値<math>y = \{ f(x_1), f(x_2), \dots ,f(x_k), \dots ,f(x_{n-1}) \} </math>として、<math>y</math>の中で最大・最小のものを各々<math>f(x_{Max}), f(x_{min})</math>とする。 *:*#<math>s,t</math>は、<math> s < x_1, x_{n-1} < t</math>を満たす実数である。 *:#<math>a > 0</math>ならば、 *:##<math>n</math>が奇数である時、関数<math> f(x) </math>は<math> x = x_1</math>まで単調に増加し、以後、<math> x = x_{n-1}</math>まで増減し、<math> x = x_{n-1}</math>を超えると再び単調に増加する。 *:#*区間<math>[s,t]</math>において、<math> f(x) </math>の最大値は、<math>f(x_{Max})</math>または<math>f(t)</math>のいずれか大きい方であり、最小値は<math>f(s)</math>または<math>f(x_{min})</math>のいずれか小さい方である。 *:##<math>n</math>が偶数である時、関数<math> f(x) </math>は<math> x = x_1</math>まで単調に減少し、以後、<math> x = x_{n-1}</math>まで増減し、<math> x = x_{n-1}</math>を超えると単調に増加する（グラフは「上に開く」）。 *:#*区間<math>[s,t]</math>において、<math> f(x) </math>の最大値は、<math>f(s)</math>,<math>f(x_{Max})</math>または<math>f(t)</math>の最も大きいものであり、最小値は<math>f(x_{min})</math>である。 *:#<math>a < 0</math>ならば、 *:##<math>n</math>が奇数である時、関数<math> f(x) </math>は<math> x = x_1</math>まで単調に減少し、以後、<math> x = x_{n-1}</math>まで増減し、<math> x = x_{n-1}</math>を超えると再び単調に減少する。 *:#*区間<math>[s,t]</math>において、<math> f(x) </math>の最大値は、<math>f(s)</math>または<math>f(x_{Max})</math>のいずれか大きい方であり、最小値は<math>f(x_{min})</math>または<math>f(t)</math>のいずれか小さい方である。 *:##<math>n</math>が偶数である時、関数<math> f(x) </math>は<math> x = x_1</math>まで単調に増加し、以後、<math> x = x_{n-1}</math>まで増減し、<math> x = x_{n-1}</math>を超えると単調に減少する（グラフは「下に開く」）。 *:#*区間<math>[s,t]</math>において、<math> f(x) </math>の最大値は、<math>f(x_{Max})</math>であり、最小値は<math>f(s)</math>,<math>f(x_{min})</math>または<math>f(t)</math>の最も小さいものである。 *:;3次関数の増減と区間における最大最小 *::<math>f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d</math>(<math>a > 0</math>)に対して、<math>f^\prime (x) = 3ax^2 + 2bx + c</math>。 *::*ここで、<math>f^\prime (x) = 0</math>が実数解を持たない場合及び[[#重複|重解を持つ場合]]（判別式<math>D = b^2 - 3ac \leq 0 </math>）、<math> f(x) </math>は、単調に増加する。 *::*<math>f^\prime (x) = 0</math>が異なる2つの実数解を持つ場合（判別式<math>D = b^2 - 3ac > 0 </math>）、<math>f^\prime (x) = 3ax^2 + 2bx + c = 0</math>の解を各々<math>\alpha , \beta</math>（但し、<math>\alpha < \beta</math>）とすると、<math> f(x) </math>の変曲点は<math> x= \alpha , \beta</math>となり、<math> f(\alpha) </math>まで増加したのち減少に転じ<math> f(\beta) </math>まで、減少した後、再び増加に転じる。この時、<math> f(\alpha) </math>を極大値、<math> f(\beta) </math>を極小値という。 *::*<math>s < \alpha < \beta <t </math>である区間<math>[s,t]</math>において、<math> f(x) </math>の最大値は、<math>f(\alpha)</math>または<math>f(t)</math>のいずれか大きい方であり、最小値は<math>f(s)</math>または<math>f(\beta)</math>のいずれか小さい方である。 :::<small><span id="重複"/>※解に重複がある場合 :::*方程式<math> f^\prime(x) = 0</math>の実数解<math>x = \{ x_1, x_2, \dots x_k, x_{k+1}, x_{k+2} \dots ,x_n \} </math>において、隣接する2個の解が一致する場合、その一致する解の前後で正負は逆転せず、従って、元の関数<math> f(x) </math>の増減の傾向も変わらない。隣接する3個の解が一致する場合、その一致する解の前後で正負は逆転し、従って、元の関数<math> f(x) </math>の増減が逆転する。一般化すると、方程式<math> f^\prime(x) = 0</math>の実数解<math>x = \{ x_1, x_2, \dots x_k, x_{k+1}, x_{k+2} \dots ,x_n \} </math>において、隣接する<u>偶数</u>個の解が一致する場合、元の関数<math> f(x) </math>の増減の傾向は変わらない。隣接する<u>奇数</u>個の解が一致する場合、元の関数<math> f(x) </math>の増減はその点で逆転する。</small> === 微分と剰余定理 === *<math>f(x)</math>を2次式<math>(x-a)^2</math> で割った余り<math>r(x)</math>; *:　 *:<math>r(x) = x f^\prime(a) + f(a) - a f^\prime(a)</math> *:　 *::なお、<math>f(x)</math>が<math>(x-a)^2</math> で割り切れる必要十分条件は、<math>f(a) = f^\prime(a) = 0</math> *:　 *::（解法） *:::<math>f(x) = Q(x)(x-a)^2 + px +q</math>とおくと、<math>f^\prime(x) = Q^\prime(x)(x-a)^2 + 2Q(x)(x-a) + p</math>となり、 *:::<math>x=a</math>を代入すると、<math>f(a) = pa +q</math>, <math>f^\prime(a) = p</math>を得るので、これらを剰余式の係数<math>p, q</math>について解く。 *:　 *<math>f(x)</math>を3次式<math>(x-a)^3</math> で割った余り<math>r(x)</math>; *:　 *:<math>r(x) = \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2} x^2 + \{ f^\prime(a) - a f^{\prime\prime}(a) \} x +f(a) - a f^\prime(a) + \frac{a^2 f^{\prime\prime}(a)}{2}</math> *:　 *::なお、<math>f(x)</math>が<math>(x-a)^3</math> で割り切れる必要十分条件は、<math>f(a) = f^\prime(a) = f^{\prime\prime}(a) = 0</math> *:　 *::（解法） *:::<math>f(x) = Q(x)(x-a)^3 + px^2 + qx +r</math>とおくと、 *::::<math>f^\prime(x) = Q^\prime(x)(x-a)^3 + 3Q(x)(x-a)^2 + 2px + q</math> *::::<math>f^{\prime\prime}(x) = Q^{\prime\prime}(x)(x-a)^3 +3Q^\prime(x)(x-a)^2 + 3Q^\prime(x)(x-a)^2 + 6Q(x)(x-a) + 2p</math>となり、 *:::<math>x=a</math>を代入すると、<math>f(a) = pa^2 +qa +r</math>, <math>f^\prime(a) = 2pa + q</math>, <math>f^{\prime\prime}(a) = 2p</math>を得るので、これらを剰余式の係数<math>p, q, r</math>について解く。 *一般に、多項式<math>f(x)</math>が<math>(x-a)^n</math> で割り切れる(<math>a</math>が方程式<math>f(x)=0</math>のn重解である)必要十分条件は、<math>f(a) = f^\prime(a) = f^{\prime \prime}(a) = f^{\prime \prime \prime}(a) = \cdots = f^{(n)}(a) = 0</math> === 陰関数の微分 === <math>x, y</math>が関数の関係にある時、<math>y = f(x)</math>の形の表示を陽関数（表示）、<math>f(x, y) = 0</math>の形の表示を陰関数（表示）という。なお、<math>f(x, y, z) = 0</math>のように変数の数が3個以上のものがあるが、初等数学の範囲を超えるので、本公式集では言及しない。また、陰関数表示の存在条件もあるが言及しない。 :例. 双曲線 ::陽関数表示: <math>y = \frac{2x+1}{x-1}</math>、陰関数表示: <math>xy-2x-y-1=0</math> 陰関数<math>f(x, y) = 0</math>において、<math>y</math>を<math>x</math> で微分する、すなわち、<math>\frac{dy}{dx}</math>を求める手順は以下のとおり。 :# <math>f(x, y) = 0</math>の各項を、①変数が<math>x</math>のみである関数の項、②変数が<math>y</math>のみである関数の項、③<math>x</math>の関数と<math>y</math>の関数の積である項に分ける。 :# ①変数が<math>x</math>のみである関数の項<math>g(x)</math>については、そのまま<math>x</math>で微分して<math>g^\prime(x)</math>を求める。 :# ②変数が<math>y</math>のみである関数の項<math>h(y)</math>については、<math>\frac{d}{dx}(h(y)) = \frac{d}{dy}(h(y))\frac{dy}{dx}</math>として、<math>\frac{dy}{dx}</math>を求める。 :# ③<math>x</math>の関数と<math>y</math>の関数の積である項については、<math>g(x) h(y)</math>を微分して<math>g^\prime(x) h(y) + g(x) h^\prime(y)</math>とし、<math>\frac{dy}{dx}</math>を上記3の方法で求める。 :# 上記2~4で求めたものにつき、<math>\frac{dy}{dx}</math>でまとめる。 :　 :（例題1）<math>xy-2x-y-1=0</math> :::各項を<math>x</math> で微分。①により、<math>(-2x)'=-2</math>: ②により、<math>(-y)'=-y'</math>: ③により、<math>(xy)'=y+xy'</math>。 :::よって、与式を微分したものは、<math>y+xy'-2-y'=0</math>。 :::<math>y' \left( =\frac{dy}{dx} \right)</math>について整理し、<math>y' = \frac{2-y}{x-1}</math>（解1） ::::<math>y = \frac{2x+1}{x-1}</math>であるので、<math>y' = \frac{2- \frac{2x+1}{x-1}}{x-1} = -\frac{3}{(x-1)^2}</math>（解2）- 必ずしも、この形でなければならないわけではなく、解1の形のままで利用することもある。 :::::なお、陽関数形式:<math>y = \frac{2x+1}{x-1}</math>を微分すると、<math>y' = \frac{(2x+1)'(x-1)-(2x+1)(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{2(x-1)-(2x+1)}{(x-1)^2} = -\frac{3}{(x-1)^2}</math>となり、解2に一致する。 :　 :<span id="円の微分"/>（例題2）<math>x^2+y^2=r^2</math> ::各項を<math>x</math> で微分。①により、<math>\frac{d}{dx}(x^2)=2x</math>: ②により、<math>\frac{d}{dx}(y^2)= \frac{d}{dy}(y^2) \frac{dy}{dx}=2y \frac{dy}{dx}</math>であるから、 ::<math>2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0</math>、したがって、<math>\frac{dy}{dx} = - \frac{x}{y}</math> :　 :<span id="楕円の微分"/>（例題3）<math>ax^2+by^2=1</math> ::各項を<math>x</math> で微分。①により、<math>\frac{d}{dx}(ax^2)=2ax</math>: ②により、<math>\frac{d}{dx}(by^2)= \frac{d}{dy}(by^2) \frac{dy}{dx}=2by \frac{dy}{dx}</math>であるから、 ::<math>2ax + 2by \frac{dy}{dx} = 0</math>、したがって、<math>\frac{dy}{dx} = - \frac{ax}{by}</math> ==== 対数微分法 ==== :両辺の対数を取ってから微分する方法。 :*式の乗（除）算を加（減）算に、累乗を乗算に還元して微分計算することができる。 :（手順） :#両辺の対数を取る。 :#*この時、両辺が正でなければならないので、正と限らないときはないときは絶対値を取る。 :#両辺を<math>x</math>で微分する。 :#*この時、<math>\log y</math>の微分が<math>\frac{y'}{y}</math>になること（[[#対数式微分|微分公式3-2]]）を利用する。 :#<math>y'</math>について解いて<math>x</math>の式で表す。 :（利用局面） :#指数の底にも肩にも変数<math>x</math>が含まれている<math>y=(f(x))^{g(x)}</math>のような関数。 :#:例題: <math>y = x^x ( x > 0 )</math> の微分 :#:#<math>y = x^x </math>について、両辺対数を取る。なお<math>x > 0</math>であるので右辺左辺ともに正であり、絶対値を顧慮する必要はない。 :#:#:<math>\log y = \log x^x = x\log x</math> :#:#両辺を<math>x</math>で微分する。 :#:#:<math>\frac{y'}{y} = x' \log x + x (\log x )' = \log x + 1</math> :#:#<math>y ( = x^x)</math>を両辺にかける。 :#:#:<math>y' = y ( \log x + 1) = x^x ( \log x + 1)</math> :#<math>y=f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)</math>のように微分したい関数が，たくさんの関数の積になっているとき。 :#:例題1: <math>y=f(x) \cdot g(x) \cdot h(x) </math> ただし、微分区間では、<math>f(x) , g(x) , h(x) </math>　ともに正とする。 :#:#<math>y=f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)</math>について、両辺対数を取る。 :#:#:<math>\log y = \log \left( f(x) \cdot g(x) \cdot h(x) \right) = \log f(x) + \log g(x) + \log h(x) </math> :#:#両辺を<math>x</math>で微分する。 :#:#:<math>\frac{y'}{y} = \frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{g'(x)}{g(x)} + \frac{h'(x)}{h(x)} = \frac{f'(x) \cdot g(x) \cdot h(x) + f(x) \cdot g'(x) \cdot h(x) + f(x) \cdot g(x) \cdot h'(x)}{f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)}</math> :#:#<math>y ( = f(x) \cdot g(x) \cdot h(x))</math>を両辺にかける。 :#:#:<math>y' = f'(x) \cdot g(x) \cdot h(x) + f(x) \cdot g'(x) \cdot h(x) + f(x) \cdot g(x) \cdot h'(x)</math> :#:　 :#:例題2: <math>y=\frac{f(x)}{g(x)}</math> ただし、微分区間では、<math>f(x) , g(x)</math>　ともに正とする。 :#:#<math>y=\frac{f(x)}{g(x)}</math>について、両辺対数を取る。 :#:#:<math>\log y = \log \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \log f(x) - \log g(x) </math> :#:#両辺を<math>x</math>で微分する。 :#:#:<math>\frac{y'}{y} = \frac{f'(x)}{f(x)} - \frac{g'(x)}{g(x)} = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) }{f(x) \cdot g(x) }</math> :#:#<math>y \left( = \frac{f(x)}{g(x)} \right)</math>を両辺にかける。 :#:#:<math>y' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) }{ g(x)^2 }</math> （[[#商の微分|商の微分]]に一致） == 積分 == === 基本的な積分の考え方 === *'''不定積分''' *:<math>F'(x) = f(x)</math>の時、　<math>\int f(x) dx = F(x) + C </math> *::別の表現：<math>\int f'(x)\,dx = f(x) + C</math> *:　 **変数 <math>x</math> の関数<math>f, g</math>及びその導関数<math>f', g'</math>に対して、微分の逆演算より、 *** <math>\int (f^\prime+g^\prime) dx = f + g + C</math> ***:　 *** <math>\int (f^\prime g+fg^\prime) dx = fg + C</math> ***:　 **** <math>\int f^\prime g \,dx = fg - \int fg^\prime dx + C</math>と変形し、[[#部分積分|部分積分法]]に利用。 ***:　 *** <math>\int \frac{f'g-fg'}{g^2} dx = \frac{f}{g} + C</math> ***:　 ***:特に、<math>f=1</math>のとき（<math>f=</math>[定数]と同意）、<math>f'=0</math>であるので、 ***:* <math>\int \frac{g'}{g^2} dx = - \frac{1}{g} + C</math> ***:　 *** <math>\int \left((f'\circ g)\cdot g'\right) dx = f\circ g + C</math> *:　 **'''置換積分''' **:<math>f(x)</math>において、<math>x=g(t)</math>と置換できる場合、<math>\int f(x) dx =\int f(g(t)) dx </math>（※） **:: ここで、<math>x=g(t)</math>を<math>t</math>について微分すると、<math>\frac{dx}{dt} =g'(t)</math>、したがって<math>dx =g'(t) dt</math> **:: ※に代入すると、<math>\int f(x) dx =\int f(g(t)) dx =\int f(g(t)) g'(t) dt</math> ***'''<math>f(ax + b)</math>の不定積分''' ***: <math>F'(x) = f(x)</math>であるとき、 <math>\int f(ax + b) dx = \frac{1}{a}F(ax + b) + C </math> ***::（証明） ***:::<math>\int f(ax + b) dx</math>に関して、 <math>t=ax + b</math>と置くと、 ***:::<math>\int f(ax + b) dx=\int f(t) dx</math>、<math>\frac{dx}{dt} =\frac{1}{a}</math>であるので、<math>dx =\frac{1}{a}dt</math> ***:::代入して、<math>\int f(ax + b) dx=\int f(t) dx=\frac{1}{a} \int f(t) dt</math> ***:::<math>\int f(t) dx= F(t) + C</math>であるので、<math>\int f(ax + b) dx=\frac{1}{a} F(t) + C</math>、<math>t=ax + b</math>を戻して、（与式） <math>= \frac{1}{a}F(ax + b) + C </math> *:　 *'''定積分''' *:<math>F'(x) = f(x)</math>の時、 <math>\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) </math> *:::なお、<math> F(b) - F(a) = \Big[ F(x) \Big]_a^b</math> と略記。 **'''定積分の性質''' ***<math>\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx </math>, <math>\int_a^a f(x) dx = 0</math> **:　 ***<math>a < c < b</math>として、<math>\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx </math> ***:　 ****<math>[a,c]</math>において、すべての<math>x</math>について、<math>f(x) \leq 0</math>であり、<math>[c,b]</math>において、すべての<math>x</math>について、<math>f(x) \geq 0</math>であるならば、 ****:　 ****::<math>\int_a^b |f(x)|dx = - \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx </math> **:　 ***<math>f(x) = f(-x)</math>（<math>f(x)</math>は偶関数）ならば、<math>\int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx</math> ***:　 ****<math>f(x) = f(-x)</math>（<math>f(x)</math>は偶関数）ならば、<math>\int_{-a}^a \frac{f(x)}{1+p^x} dx = \int_0^a f(x) dx</math>（[[/証明#基本偶関数|証明]]） **:　 ***<math>f(-x) = -f(x)</math>（<math>f(x)</math>は奇関数）ならば、<math>\int_{-a}^a f(x) dx = 0</math> ***:　 ***<math>\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|dx </math> *:　 *'''置換積分''' *:<math>f(x)</math>において、<math>x=g(t)</math>と置換できる場合、 *:　 *:<math>\int_a^b f(x) dx =\int_{\alpha}^{\beta} f(g(t)) g'(t) dt</math>　ただし、<math>\alpha = g(a) , \beta = g(b)</math>。 *:　 *<span id="部分積分"/>'''部分積分''' *: <math>\int_a^b f(x)g'(x)\,dx = \Big[ f(x)g(x) \Big]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\,dx </math> *::別の表現：<math>\int_a^b f(x)\,dg(x) = \Big[ f(x)g(x) \Big]_a^b - \int_a^b g(x)\,df(x)</math> *: *'''定積分と不等式''' *:閉区間<math>[a, b]</math>において<math>f(x) \leqq g(x)</math>ならば<math>\int_{a}^{b} f(x) \, dx \leqq \int_{a}^{b} g(x) \, dx</math> *:等号成立は閉区間<math>[a, b]</math>において恒等的に<math>f(x) = g(x)</math>のとき。 *'''コーシー・シュワルツの不等式''' *: <math>\left(\int_a^b f(x)g(x)\,dx\right)^2 \leq \left(\int_a^b f(x)^2\,dx\right)\left(\int_a^b g(x)^2\,dx\right) </math> *:　 *'''King Property''' （King's Property とも） *:　 *:<math>\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(a+b-x)\,dx</math> *:　 *::特に、　 *:::[1] <math>\int_0^a f(x)\,dx = \int_0^a f(a-x)\,dx</math> *:　 *:::[2] <math>\int_{-a}^a f(x)\,dx = \int_{-a}^a f(-x)\,dx</math> *:　 *::利用局面1 *:::<math>I = \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(a+b-x)\,dx</math>より、 *:　 *:::<math>2I = \int_a^b ( f(x) + f(a+b-x))\,dx</math>とすると、積分計算が容易になる場合がある。 *:　 *::::なお、このとき、<math>a+b=0</math> ならば、<math>2I = \int_{-b}^b ( f(x) + f(-x))\,dx</math> *:　 *::利用局面2 *:::<math>\int_0^a f(x)\,dx = \int_0^a f(a-x)\,dx</math>の形の式で三角関数が登場する時、 *:::<math>f(x)</math>と<math>f(a-x)</math>の形で、[[初等数学公式集/初等関数の性質#補角の公式(還元公式)|補角の公式]]（<math>\sin(\pi-x) = \sin x</math>等）や[[初等数学公式集/初等関数の性質#余角の公式(還元公式)|余角の公式]]（<math>\sin\left(\frac{\pi}{2} - x \right) = \cos x</math>等）を利用できる場合がある。 === 代表的な関数の積分公式 === ==== 基本的な関数の積分公式 ==== * <span id="基本積分"/>[積分公式1] <math>\int x^a\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C </math> (<math>a</math>は実数かつ<math>a \neq -1</math>) * <span id="指数積分"/>[積分公式2] <math>\int e^x\,dx = e^x + C</math> *: 従って、[積分公式2-1] <math>\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\log a} + C</math> (ただし、<math>a > 0</math>) * <span id="分数積分"/>[積分公式3] <math>\int \frac{1}{x}dx = \log \left|{x}\right| + C</math> ** <span id="分数式積分"/>[積分公式3-1] <math>\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log \left|{f(x)}\right| + C</math> *:　 * <span id="対数積分"/>[積分公式4] <math>\int \log x \,dx = x\log x - x + C</math>（[[高等学校数学III/積分法#指数・対数関数の積分|証明]]） *:　 *三角関数の積分　（→[[高等学校数学III/積分法#三角関数の積分|証明]]） *: ** <span id="余弦積分"/>[積分公式5] <math>\int \cos x \,dx = \sin x+ C</math> *** [積分公式5-1] <math>\int \cos mx \,dx = \frac{\sin mx}{m}+ C</math> ** <span id="正弦積分"/>[積分公式6] <math>\int \sin x \,dx =- \cos x+ C</math> *** [積分公式6-1] <math>\int \sin mx \,dx =- \frac{\cos mx}{m}+ C</math> *: ** <span id="正接積分"/>[積分公式7] <math>\int \tan x \,dx =- \log \left|\cos x\right| + C</math>（→[[#複合2|上記も参照。]]） **: [積分公式7-1] <math>\int \frac{1}{\tan x} dx \left( = \int \cot x \,dx \right) = \log \left|\sin x\right| + C</math>（→[[#複合1|上記も参照。]]） *: *;三角関数の定積分 *:<math>b - a = 2 n \pi</math>（<math>n</math>は任意の整数）であるとき、 *::<math>\int_a^b \sin x \,dx = \int_a^b \cos x \,dx = 0</math> *:::（拡張） *::::<math>\int_a^b \sin^m x \,dx = \int_a^b \cos^m x \,dx = 0</math> *::::<math>\int_\frac{a}{k}^\frac{b}{k} \sin kx \,dx = \int_\frac{a}{k}^\frac{b}{k} \cos kx \,dx = 0</math> *:　 *:積分区間<math>\frac{\pi}{2}</math>ごと *:　 *::①<math>\int_0^\frac{\pi}{2} \sin x \,dx = \int_0^\frac{\pi}{2} \cos x \,dx = 1</math>　、②<math>\int_\frac{\pi}{2}^\pi \sin x \,dx = 1 , \int_\frac{\pi}{2}^\pi \cos x \,dx = -1</math> *::③<math>\int_\pi^\frac{3\pi}{2} \sin x \,dx = \int_\pi^\frac{3\pi}{2} \cos x \,dx = -1</math>　、④<math>\int_\frac{3\pi}{2}^{2\pi} \sin x \,dx = -1 , \int_\frac{3\pi}{2}^{2\pi} \cos x \,dx = 1</math> *:　 *:積分区間<math>\pi</math>ごと *:　 *::①<math>\int_0^{\pi} \sin x \,dx = 2, \int_0^{\pi} \cos x \,dx = 0</math>　、②<math>\int_\frac{\pi}{2}^\frac{3\pi}{2} \sin x \,dx = 0 , \int_\frac{\pi}{2}^\frac{3\pi}{2} \cos x \,dx = -2</math> *:　 *::③<math>\int_\pi^{2\pi} \sin x \,dx = -2 , \int_\pi^{2\pi} \cos x \,dx = 0</math>　、④<math>\int_\frac{3\pi}{2}^\frac{5\pi}{2} \sin x \,dx = 0 , \int_\frac{3\pi}{2}^\frac{5\pi}{2} \cos x \,dx = 2</math> ==== 複合的な積分 ==== ===== 複合的な三角関数の積分 ===== *<span id="sin^2"/><math>\int \sin ^2 x \,dx = \frac{2x - \sin 2x}{4}+ C</math>（[[/証明#三角関数積分1|証明]]） *:　 *<span id="cos^2"/><math>\int \cos ^2 x \,dx = \frac{2x + \sin 2x}{4}+ C</math>（[[/証明#三角関数積分2|証明]]） *:　 *<math>\int \tan ^2 x \,dx = \tan x - x + C</math>（[[#注a|*1]]より） *:　 *<math>\int \sin ^n x \cos x \,dx = \frac{\sin ^{n+1} x}{n+1}+ C</math>（[[#微分公式4-2|微分公式4-2]]参照） *:　 *<math>\int \cos ^n x \sin x \,dx = - \frac{\cos ^{n+1} x}{n+1}+ C</math>（[[#微分公式5-2|微分公式5-2]]参照） *:　 * <math>\int \frac{1}{\sin x} dx = \frac{1}{2} \log \left( {\frac{1-\cos x}{1+\cos x}} \right) + C = \frac{1}{2} \log \left| \tan {\frac{x}{2}} \right| + C</math>（[[/証明#三角関数積分3|証明]]） *:　 * <math>\int \frac{1}{\cos x} dx = \frac{1}{2} \log \left( {\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} \right) + C</math>（[[/証明#三角関数積分4|証明]]） *:　 * <math>\int \frac{1}{\sin ^{2} x} dx = - \frac{1}{\tan x} + C</math>（証明:[[#余接微分|微分公式6-a]]参照） *:　 ** <math>\int \frac{1}{\tan ^{2} x} dx = \int \frac{\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x} dx = \int \frac{1 - \sin ^{2} x}{\sin ^{2} x} dx = \int \left( \frac{1}{\sin ^{2} x} - 1 \right) dx = - \frac{1}{\tan x} - x + C</math> *:　 * <math>\int \frac{1}{\cos ^{2} x} dx = \tan x + C</math>（証明:[[#正接微分|微分公式6]]参照） *:　 ** <math>\int {\tan ^{2} x} dx = \int \frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} dx = \int \frac{1 - \cos ^{2} x}{\cos ^{2} x} dx = \int \left( \frac{1}{\cos ^{2} x} - 1 \right) dx = \tan x - x + C</math> <span id="注a">(*1)</span> *:　 * <math>\int \frac{1}{\sin x \cos x} dx = \log|\tan x| + C </math>（[[#複合2|上記参照]],[[/証明#三角関数積分5-0|別証明]]） *:　 * <math>\int \frac{1}{1 + \sin x} dx = \tan x - \frac{1}{\cos {x}} + C = -\frac{2}{1 + \tan{\frac{x}{2}}} + C</math>（[[/証明#三角関数積分5|証明1]],[[/証明#三角関数積分5-1|証明2]]） *:　 * <math>\int \frac{1}{1 - \sin x} dx = \tan x + \frac{1}{\cos {x}} + C = \frac{2}{1 - \tan{\frac{x}{2}}} + C</math>（[[/証明#三角関数積分5|証明1]],[[/証明#三角関数積分5-1|証明2]]） *:　 * <math>\int \frac{1}{1 + \cos x} dx = - \frac{1}{\tan {x}} + \frac{1}{\sin {x}} + C = \tan{\frac{x}{2}} + C</math>（[[/証明#三角関数積分6|証明1]],[[/証明#三角関数積分6-1|証明2]]） *:　 * <math>\int \frac{1}{1 - \cos x} dx = - \frac{1}{\tan {x}} - \frac{1}{\sin {x}} + C = -\frac{1}{\tan{\frac{x}{2}}} + C</math>（[[/証明#三角関数積分6|証明1]],[[/証明#三角関数積分6-2|証明2]]） *:　 *'''[[初等数学公式集/初等関数の性質#積和の公式|積和の公式]]を利用するもの''' **<math>\int \sin mx \cos nx \,dx = \frac{1}{2} \int \left\{\sin(m + n)x + \sin(m - n)x \right\}dx = - \frac{\cos(m + n)x}{2(m + n)} - \frac{\cos(m - n)x}{2(m - n)} + C</math> **:　 **:但し、<math>m = \pm n</math>の時、与式<math>= \frac{1}{2} \int \sin 2mx \,dx = - \frac{\cos 2mx}{4m} + C</math> **:　 **::特に、<math>\int \sin x \cos x \,dx = \frac{1}{2} \int \sin2x \,dx = - \frac{\cos2x}{4} + C</math> **:　 **<math>\int \cos mx \cos nx \,dx = \frac{1}{2} \int \left\{\cos(m + n)x + \cos(m - n)x \right\}dx = \frac{\sin(m + n)x}{2(m + n)} + \frac{\sin(m - n)x}{2(m - n)} + C</math> **:　 **:但し、<math>m = \pm n</math>の時、<math>(m + n, m - n) = (2m,0),(0,2m)</math>であるから、与式<math>= \frac{1}{2} \int \left\{\cos 2mx + \cos0 \right\}dx = \frac{1}{2} \int \left\{\cos 2mx + 1 \right\}dx = \frac{\sin 2mx + 2x}{4m} + C</math> **:　 **::特に、<math>|m| = |n| = 1</math>の時、結果は、<math>\frac{\sin 2x + 2x}{4} + C</math>であるが、与式<math>=\int \cos (\pm x) \cos (\pm x) dx </math>（複号任意）<math>= \int \cos^2 x \,dx</math>であるので、[[#cos^2|上記の式]]に一致。 **:　 **<math>\int \sin mx \sin nx \,dx = -\frac{1}{2} \int \left\{\cos(m + n)x - \cos(m - n)x \right\}dx = - \frac{\sin(m + n)x}{2(m + n)} + \frac{\sin(m - n)x}{2(m - n)} + C</math> **:　 **:但し、<math>m = \pm n</math>の時、<math>(m + n, m - n) = (2m,0),(0,2m)</math>であるから、与式<math>= -\frac{1}{2} \int \left\{\pm \cos 2mx \mp \cos0 \right\}dx = - \frac{1}{2} \int \left\{\pm \cos 2mx \mp 1 \right\}dx = \pm \frac{2x - \sin 2mx}{4m} + C</math> **:　 **::特に、<math>m = n = 1</math>の時、結果は、<math>\frac{2x - \sin 2x}{4} + C</math>であるが、与式<math>=\int \sin x \sin x \,dx = \int \sin^2 x \,dx</math>であるので、[[#sin^2|上記の式]]に一致。 ====代表的な置換==== 以下、置換積分における代表的な置換を列挙する。置換の方法は複数通り考えられるので、必ずしもこの置換でなければいけない訳ではない。 *<math>\{f(x)\}^n</math>を含む積分は、<math>f(x)</math>を置換する。 *:例：<math>\int \frac{e^{2x}}{(e^x+1)^2} \, dx = \int \frac{e^x}{(e^x+1)^2} \cdot e^x \, dx = \int \frac{t-1}{t^2} \, dt</math> *<math>\sqrt[n]{g(x)}</math>を含む積分は、根号全体を置換する。 *:例：<math>\int \frac{x}{\sqrt{3-x}} \, dx = \int \frac{3-u^2}{u} \cdot (-2u) \, du = \int (3-u^2) \, du</math> *三角関数で置換するもの※ *:<math>\int \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \int \sqrt{a^2 - (a\sin \theta)^2} \cdot a\cos \theta \, d\theta = a^2 \int \cos^2 \theta \, d\theta</math> *::<math>x=a\cos \theta</math>と置換する場合は<math>\int \sin^2 \theta \, d\theta</math>が出てくる。 *:<math>\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \int \frac{d\theta}{(a\tan\theta)^2+a^2} = \int \frac{\cos^2\theta}{a^2} \cdot \frac{a}{\cos^2\theta} \, d\theta = \frac{1}{a} \int \, d\theta</math> *特殊な置換 **三角関数のみを含む積分について<math>t =\tan \frac{\theta}{2}</math>と置換する（'''ワイエルシュトラス置換'''）。 **:<math>\sin \theta = \frac{2t}{1+t^2}, \cos \theta = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \tan \theta = \frac{2t}{1-t^2}</math>（'''三角関数の媒介変数表示'''）となって分数関数の積分として計算できる。 **<math>\frac{f(\log x)}{x}</math>や<math>x^a(\log x)^n</math>の積分は<math>x=e^t</math>と置換する（'''オイラー置換'''₁）。 **:<math>\int \frac{f(\log x)}{x}dx=\int \frac{f(t)}{e^t} e^t dt = \int f(t)dt</math> **:<math>\int x^a(\log x)^n dx = \int e^{at} t^n e^{t}dt = \int e^{(a+1)t}t^n dt</math> **<math>\sqrt{x^2+A}</math>を含む積分は<math>x + \sqrt{x^2+A} = t</math>と置換する（'''オイラー置換'''₂）。 **:例：<math>\int \sqrt{x^2+a^2} \, dx = \int \sqrt{\frac{1}{4}(t-\frac{a^2}{t})^2+a^2} \cdot \frac{1}{2}(1+\frac{a^2}{t^2}) \, dt = \frac{1}{4} \int (1+\frac{a^2}{t})(1+\frac{a^2}{t^2}) \, dt</math> **参考：<math>\sqrt{x^2+a^2}</math>を含む積分は双曲線関数で置換する。 **:例：<math>\int \frac{dx}{x^2+4} = \int \frac{1}{\sqrt{(2\sinh \theta)^2 + 4}} \cdot 2\cosh \theta \, d\theta = \int \, dt</math> ※三角関数による置換は、大学数学における以下の公式を背景にしている。 :<math>(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>（<math>-1<x<1</math>） :<math>(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>（<math>-1<x<1</math>） :<math>(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}</math> :<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \arcsin \frac{x}{|a|} + C</math>（ただし<math>a \neq 0, |x|<|a|</math>） :<math>\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{1}{a} + C</math>（ただし<math>a \neq 0</math>） :<math>\int \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \frac{1}{2} (x\sqrt{a^2-x^2} + a^2 \arcsin \frac{x}{|a|}) + C</math>（ただし<math>a \neq 0, |x|<|a|</math>） === 曲線で囲まれる領域の面積 === *閉区間<math>[ a,b ]</math>において、曲線<math> y = f(x) </math>及び曲線<math> y = g(x) </math>によって囲まれる領域の面積。 *:<math> S = \int_a^{b} | f(x) - g(x) | \, dx</math> [[File:Lukion taulukot (1993)-page038-image02.png|Lukion_taulukot_(1993)-page038-image02|right|200px]] *曲線<math> y = f(x) </math>, 曲線<math> y = g(x) </math>が、<math>[ a,b ]</math>内の<math>c</math>において交わり、<math>x < c</math> において、<math>f(x) > g(x)</math>、<math>x \geqq c</math> において、<math>f(x) \leq g(x)</math> であるとき、 *:<math> S = \int_a^{b} | f(x) - g(x) | \, dx</math><math> = \int_a^{c} (f(x) - g(x)) \, dx - \int_c^{b} (f(x) - g(x)) \, dx</math> {{-}} *曲線<math> y = a_1{x}^2 + b_1{x} + c_1 </math>をA、曲線<math> y = a_2{x}^2 + b_2{x} + c_2 </math>をBとする(ただし、<math> a_1 \neq a_2</math>)。AとBが、<math> x = {\alpha}, {\beta} ( {\alpha} < {\beta} )</math>で交わるとき、 *:区間<math>[ {\alpha}, {\beta} ]</math>で、曲線Aと曲線Bにより囲まれる領域の面積。 *::<math> S = \frac{ | a_1 - a_2 |}{6} ( {\beta} - {\alpha})^3</math>（1/6公式） *（1/12公式） *（1/20公式） これらはy軸まわりで考えても同様である。 {{wikipedia|グリーンの定理|ガウス・グリーンの定理}} *曲線<math>\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases}</math>について、<math>[a, b]</math>の範囲でtの増加とともに点<math>P(f(t), g(t))</math>がxy平面上を原点中心に反時計回りに動くときに線分<math>OP</math>が通過する領域の面積は、<math>\int_{a}^{b} \frac{1}{2} \{ x g'(t) - y f'(t) \} dt</math>（ガウス・グリーンの定理） *極座標系での求積 *:曲線<math>r=r(\theta)</math>と2直線<math>\theta = \alpha, \theta = \beta</math>で囲まれた部分の面積は、<math>S = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2} \{ r(\theta) \}^2 d\theta</math> （→[[高等学校数学III/積分法#面積|証明]]） *:ただし、θは偏角とは限らない。 ==== 極限と積分の関係（区分求積法） ==== 区分求積法とは、関数の値を細かく区切って足し合わせることで積分を近似する方法である。 :　 <math>f(x)</math> は区間<math>[0,1]</math>で連続であるとき、次の極限が成り立つ。 :　 :<math>\lim_{n\to\infty} \, \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f \left( \frac{n}{k} \right) = \int_0^{1} f(x) \, dx</math> :　 同様に、区間<math>[0,m]</math>で連続であるとき、次の極限が成り立つ。 :　 :<math>\lim_{n\to\infty} \, \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{mn} f \left( \frac{n}{k} \right) = \int_0^{m} f(x) \, dx</math> :　 :これは、区分求積法による近似が極限で積分に収束することを表している。 === 体積 === *ある立体<math>V_0</math>の<math>x = t</math>における断面積が有限な値で、その値が <math>t</math>の関数<math>S(t)</math>となるとき、この立体を平面<math>x = a</math>，<math>x = b</math>（ただし、<math>a < b</math>）で切り取った領域の体積は、 *:<math> V = \int_a^{b} S(t) \, dt</math> *:　 *:【利用公式】 *:*[[初等数学公式集/初等幾何/体積#錐体の体積|錐体の体積]] *:*[[初等数学公式集/初等幾何/体積#くさび形の体積|くさび形の体積]] *:*[[初等数学公式集/初等幾何/体積#球の体積|球の体積]] *:*[[初等数学公式集/初等幾何/体積#円環体（トーラス）の体積|円環体（トーラス）の体積]] *曲線<math> y = f(x) </math>を<math>x</math>軸を中心に回転させたとき、この立体を平面<math>x = a</math>，<math>x = b</math>（ただし、<math>a < b</math>）で切り取った領域の体積は、 *:<math> V = \pi \int_a^{b} \{ f(x) \}^2 \, dx</math> *: *曲線<math>x = g(y)</math>をy軸を中心に回転させたとき、この立体を平面<math>y=c, y=d</math>(ただし<math>c<d</math>)で切り取った領域の体積は、 *:<math>V = \pi \int_c^d \{ g(y) \}^2 \, dy</math> *: *曲線<math>y=f(x)</math>とx軸、直線<math>x=a, x=b</math>に囲まれた部分をx軸周りに一回転した立体の体積は、 *:<math>V = 2\pi \int_{a}^{b} x f(x) dx</math>（バームクーヘン積分・円筒分割積分） *: *図形Aを図形Aと交わらない直線の周りに一回転してできる立体の体積は、V=（Aの重心が描く円の円周長）×（Aの面積）。（パップス・ギュルダンの定理） *: ====斜軸回転体の体積==== *平面中の直線Lの周りの回転体の体積は、回転軸Lに垂直な平面で回転体を切った断面積の積分で求まる。 *: *曲線<math>y=f(x)</math>と直線<math>mx+n, x=a, x=b</math>で囲まれた部分を直線<math>y=mx+n</math>の周りで一回転した体積は、<math>\tan \theta = m</math>として、 *:<math>V = \pi \cos \theta \int_{a}^{b} \{ f(x) - (mx+n) \}^2 dx</math>（傘型分割積分） *: *回転軸Lをx軸もしくはy軸に重ねる回転移動を行い通常の回転体の求積公式に強引に当て嵌めることで、置換積分により体積が求まる。 === 曲線の長さ === *閉区間<math>[ a,b ]</math>における、曲線<math> y = f(x) </math>の長さ<math>L</math>。 *:<math> L = \int_a^{b} \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right) ^2 } dx</math> **上記曲線が媒介変数<math>t</math>によって、<math> x = x(t) , y = y(t) , a = x(\alpha) , b = x(\beta)</math>と表される時の長さ<math>L</math>。 *:<math> L = \int_{ \alpha }^{ \beta } \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right) ^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right) ^2 } dt</math> ===平面上の運動と微積分=== xy平面上における運動の時刻<math>t</math>における位置,速度,加速度をそれぞれ<math>\vec{x}(t), \vec{v}(t), \vec{a}(t)</math>とする。 *<math>\frac{d}{dt} \vec{x}(t) = v(t) \iff \int \vec{v}(t) \, dt = \vec{x}(t) + \vec{x_0}</math> *<math>\frac{d}{dt} \vec{v}(t) = \vec{a}(t) \iff \int \vec{a}(t) \, dt = \vec{v}(t) + \vec{v_0}</math> *<math>\frac{d^2}{dt^2} \vec{x}(t) = \vec{a}(t) \iff \int \int \vec{a}(t) \, dt \, dt = \vec{x}(t) + \vec{x_0} </math> *時刻aから時刻bまで運動を続けた時の道のりは<math>\int_a^b |\vec{v}(t)| \, dt</math> == 基本的な関数の微分公式と積分公式の相互関係 == * <math>{d\over dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x) </math>　（微積分学の基本定理） * [[#基本微分|（微分公式1）]] <math>\left(x^a\right)'=ax^{a-1} </math> (<math>a</math>は実数)　⇔　[[#基本積分|（積分公式1）]] <math>\int x^a\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C</math> (<math>a</math>は実数かつ<math>a \neq -1</math>) * [[#指数微分|（微分公式2）]] <math>\left(e^x\right)'=e^x </math>　⇔　[[#指数積分|（積分公式2）]] <math>\int e^x\,dx = e^x + C</math> *: 従って、[[#指数微分|（微分公式2-1）]] <math>\left(a^x\right)'=a^x \log a </math>　⇔　[[#指数積分|（積分公式2-1）]] <math>\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\log a} + C</math>(<math>a > 0</math>) *::（応用） *:::<math> \left( f(x) e^x \right)' = \left( f(x) + f'(x) \right) e^x </math>　⇔　<math>\int \left( f(x) + f'(x) \right) e^x \,dx = f(x) e^x + C</math> * [[#対数微分|（微分公式3）]] <math>(\log x)'=\frac{1}{x} </math>　⇔　[[#分数積分|（積分公式3）]] <math>\int \frac{1}{x}dx = \log \left|{x}\right| + C</math> ** [[#対数式微分|（微分公式3-1）]] <math>(\log \left|f(x)\right|)'=\frac{f'(x)}{f(x)} </math>　⇔　[[#分数式積分|（積分公式3-1）]] <math>\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log \left|{f(x)}\right| + C</math> * [[#正弦微分|（微分公式4）]] <math>\left(\sin x\right)'=\cos x </math>　⇔　[[#余弦積分|（積分公式5）]] <math>\int \cos xdx = \sin x+ C</math> * [[#余弦微分|（微分公式5）]] <math>\left(\cos x\right)'=-\sin x </math>　⇔　[[#正弦積分|（積分公式6）]] <math>\int \sin xdx =- \cos x+ C</math> == 脚注 == <references/> {{DEFAULTSORT:しよとうすうかくこうしきしゆう 07ひせきふん}} [[Category:普通教育]] [[Category:数学教育]] [[Category:初等数学公式集|ひせきふん]] [[カテゴリ:微分積分学]] oq8yy6duldidze8rybf5564plzqyj3k 299493 299492 2026-05-13T00:34:47Z ~2026-28564-08 91445 /* 極限と積分の関係（区分求積法） */ 299493 wikitext text/x-wiki == 関数の極限と連続 == === 関数の極限 === #[[初等数学公式集/数列#極限|数列の極限]]同様、実数 <math>x</math> に対応する関数 <math>f(x)</math> について、<math>x=a</math> に限りなく近づける（<math>x\rightarrow a</math> と表記する）<ref>「限りなく近づける」は、[[初等数学公式集/数列#極限|数列の極限]]におけるものと同様、数学的に厳密な表現ではないが、高校数学の過程では、その理解で足りる。</br>考え方としては<math>f\left(a - \frac{1}{t}\right)</math> または、<math>f\left(a + \frac{1}{t}\right)</math>として、<math>\lim_{x\to\infty}f\left(a - \frac{1}{t}\right)</math> または、<math>\lim_{x\to\infty}f\left(a + \frac{1}{t}\right)</math> である。なお、<math>a - \frac{1}{t}</math> と <math>a + \frac{1}{t}</math> を別に記述するのは、後述する片側極限を意識している。</ref>という操作を <math>\lim_{x\to a}f(x)</math> と記述し、<math>\lim_{x\to a}f(x) = \alpha</math> であるとき、<math>\alpha</math> を'''極限値'''または'''極値'''という。 #:<math>\lim_{x\to a}f(x) = f(a)</math> ではないことに注意する（下記「[[#関数の連続|関数の連続]]」参照）。例えば、関数: <math>f_1(x)=x+1</math> と <math>f_2(x)= \frac{x^2-1}{x-1}</math> は明確に区別され、 <math>f_1(1)=2</math> となるが、<math>f_2(1)</math> の値は存在しない。一方、 <math>\lim_{x\to 1}f_1(x) = \lim_{x\to 1}f_2(x) = 2</math> となる。 #<math>x\rightarrow a</math> のとき、関数 <math>f(x)</math> が、限りなく正（負）の大きな値となる場合、<math>f(x)</math> の極限は <math>+ \infty</math> <math>(-\infty)</math> であるといい、<math>\lim_{x\to a}f(x) = \infty</math> <math>\bigl( \lim_{x\to a}f(x) = -\infty \bigr)</math> または、<math>f(x) \rightarrow \infty (x\rightarrow a)</math> <math>\bigl( f(x) \rightarrow -\infty (x\rightarrow a) \bigr)</math>と表記する。 #:<math>\lim_{x\to a}f(x) = \infty</math> の例; <math>f(x)=\frac{1}{x^2}</math> について、<math>x=0</math> に限りなく近づける演算: <math>\lim_{x\to 0} \left( \frac{1}{x^2} \right) = \infty</math> #:<math>\lim_{x\to a}f(x) = -\infty</math> の例; <math>f(x)= - \frac{1}{x^2}</math> について、<math>x=0</math> に限りなく近づける演算: <math>\lim_{x\to 0} \left( - \frac{1}{x^2} \right) = -\infty</math> #その他、以下の関係も成立しうる。 #*収束:<math>\lim_{x\to \infty}f(x) = a</math>, <math>\lim_{x\to {-\infty}}f(x) = a</math> #*:<math>\lim_{x\to \infty}f(x) = a</math> の例; <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> について、<math>x</math> を無限に大きくする演算: <math>\lim_{x\to \infty} \left( \frac{1}{x} \right) = 0</math> #*:<math>\lim_{x\to {-\infty}}f(x) = a</math> の例; <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> について、<math>x</math> を負に無限に大きくする演算: <math>\lim_{x\to {-\infty}} \left( \frac{1}{x} \right) = 0</math> #*発散:<math>\lim_{x\to \infty}f(x) = \infty</math>, <math>\lim_{x\to {-\infty}}f(x) = -\infty</math> / <math>\lim_{x\to \infty}f(x) = -\infty</math>, <math>\lim_{x\to {-\infty}}f(x) = \infty</math> #*:<math>\lim_{x\to \infty}f(x) = \infty</math>, <math>\lim_{x\to {-\infty}}f(x) = -\infty</math> となる関数の例; <math>f(x) = x</math> #*:<math>\lim_{x\to \infty}f(x) = -\infty</math>, <math>\lim_{x\to {-\infty}}f(x) = \infty</math> となる関数の例; <math>f(x) = -x</math> #<span id="片側極限"/>左方極限・右方極限（[[w:片側極限]]） #:<math>f(x)</math> が、<math>x=a</math> で極値をもつとき、<math>x</math> が<u>左から近づく場合</u>（すなわち、<math>x</math> が <math>x<a</math> から増加して <math>a</math> に近づく場合）と<u>右から近づく場合</u>（すなわち、<math>x</math> が <math>a<x</math> から減少して <math>a</math> に近づく場合）で挙動が異なる場合がある。前者を左方極限、後者を右方極限といい、以下のとおり書き表す。 #::左方極限: <math>\lim_{x\to a^-}f(x)</math>、<math>\lim_{x\to a-0}f(x)</math> #::右方極限: <math>\lim_{x\to a^+}f(x)</math>、<math>\lim_{x\to a+0}f(x)</math> #:*片側極限の例 #:*: <math>f(x)= \frac{1}{x}</math> について、<math>x=0</math> における挙動を見ると、左方極限: <math>\lim_{x\to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty</math>、右方極限: <math>\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = \infty</math> となる。 #:*:* <math>f(x)= \frac{1}{x^2}</math> について、<math>x=0</math> においては、<math>\lim_{x\to 0^-} \frac{1}{x^2} = \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x^2} = \infty</math> となるため、<math>\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2} = \infty</math> と記述しても支障はないが、極値に至る過程は異なる。 #:*:* 同様に、<math>f(x)= \log x</math> について、<math>x=0</math> において、<math>\lim_{x\to 0^+} \log x = - \infty</math> となるが、<math>\lim_{x\to 0^-} \log x</math> は、<math>x \le 0</math> が、<math>f(x)= \log x</math>の定義域とならないため成立しないことから、<math>\lim_{x\to 0} \log x = -\infty</math> と記述しても支障はない === 関数の極限の基本定理 === * <math>\lim_{x\to a}f(x)=\alpha</math>, <math>\lim_{x\to a}g(x)=\beta</math>のとき、 # <math>\lim_{x\to a}kf(x)=k\alpha</math> ただし、<math>k</math> は定数。 # <math>\lim_{x\to a}\{f(x)\pm g(x)\}=\alpha\pm\beta</math>　（複号同順）。 # <math>\lim_{x\to a}f(x)g(x)=\alpha\beta</math> # <math>\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha}{\beta}</math> ただし、<math>\displaystyle \beta \ne 0</math>。 # <math>a</math>の近傍で常に<math>f(x) \leqq g(x)</math>ならば<math>\alpha \leqq \beta</math> 　 * <span id="はさみうちの原理"/><math>a</math> のある近傍で定義された関数<math>f</math>, <math>g</math>, <math>h</math> があり、この近傍内の任意の <math>x</math> に対して、<math>\displaystyle f(x)</math> &le; <math>g(x)</math> &le; <math>h(x)</math> かつ <math>\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=\alpha</math> ならば、<math>\lim_{x\to a}g(x)</math> は収束し、 *:<math>\lim_{x\to a}g(x)=\alpha</math> （はさみうちの原理） *追い出しの原理 *:<math>\lim_{x \to a} f(x) = \infty</math>かつ<math>a</math>の近傍で常に<math>f(x) \leqq g(x)</math>ならば<math>\lim_{x \to a} g(x) = \infty</math> *:<math>\lim_{x \to a}f(x) = -\infty</math>かつ<math>a</math>の近傍で常に<math>f(x) \geqq g(x)</math>ならば<math>\lim_{x \to a} g(x) = -\infty</math> 　 * <math>\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1</math> （→[[高等学校数学III/極限#三角関数と極限|証明]]） *:<math>\Leftrightarrow \lim_{x\to \pm \infty}x\sin \frac{1}{x}=1</math> * <math>\lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{x^2}=\frac{1}{2}</math> （→[[初等数学公式集/微積分/証明#cos極限|証明]]） *: <math>\Leftrightarrow \lim_{x\to \pm \infty} x^2(1 - \cos \frac{1}{x})=\frac{1}{2}</math> * <math>\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1</math> （→[[高等学校数学III/極限#三角関数と極限|証明]]） *:<math>\Leftrightarrow \lim_{x\to \pm \infty}x\tan \frac{1}{x}=1</math> * <math>\lim_{h\to\infty}\left(1+\frac{1}{h}\right)^h=\lim_{h\to0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e</math> * <math>\lim_{h\to\infty}\left(1+\frac{r}{h}\right)^h=e^r</math> * <math>\lim_{r\to\infty}\sqrt[r]{a}=1</math>　（<math>a</math> は正定数）。 * <math>\lim_{r\to\infty}\sqrt[r]{r}=1</math> *<math>\lim_{x \to 0} \frac{\log (1+x)}{x} = 1</math> （→[[高等学校数学III/極限#指数・対数関数と極限|証明]]） {{wikipedia|ロピタルの定理}} *（参考）'''ロピタルの定理''' *:<math>\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math> *:　 *:（条件） *:*<math>c ( - \infty \leqq c \leqq \infty)</math>を含むある区間<math>I</math>があり、関数<math>f, g</math>はその内部で微分可能である。 *:*<math>\lim_{x \to c}f(x) = \lim_{x \to c}g(x)</math> かつその値が<math>0</math>または<math>\pm\infty</math>である。 *:*極限 <math>\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math> が存在する。 *:*<math>I</math>における<math>c</math>の除外近傍において <math>\lim_{x \to c}g'(x) \neq 0</math>が成り立つ。 *:　<small> *::※利用における注意 *:::ロピタルの定理自体は簡易な形状をしており、また、多くの学習参考書などでも取り上げられるなど、比較的有名なものである。しかしながら、本定理の成立は、上記の条件が成立していることが必要であるので、証明問題等において「ロピタルの定理より」とするには、条件成立が提示されているか条件成立を別に証明することを要する。大学入試等初等教育の場で、これが示されることは基本的に皆無であるので（『学習指導要領』範囲外）、そのような問題においては、利用しないことが無難であり、あくまでも検算用と考えた方がいい（[[w:ロピタルの定理#日本の高校数学・大学入試での扱い|ウィキペディア『ロピタルの定理』中の記事「日本の高校数学・大学入試での扱い」]]参照）。 *:::大学入試等において、この形式の問題は、関数<math>f(x), g(x)</math>が共通因数を持っており、それを約分することにより極限値を得るという解法を期待するものが多い。</small> === 関数の連続 === {{main|解析学基礎/連続関数}} :関数 <math>y=f(x)</math> のある区間内の <math>x=a</math> において、<math>\lim_{x\to a}f(x) </math> および <math>f(a)</math> が存在し、かつ、<math>\lim_{x\to a}f(x) = f(a)</math> である時、'''関数 <math>y=f(x)</math> は <math>x=a</math> において連続である'''、または、区間内において'''連続関数'''であるという。 :この条件は、<math>x= a+h</math> として、<math>\lim_{h\to 0}\{f(a+h) - f(a)\}</math> とも表現できる。 ;連続関数の基本定理 :#ある区間において、関数 <math>f(x) , g(x)</math> が <math>x=a</math> において連続であれば、以下に列挙するもの全て <math>x=a</math> において連続である。 :#: <math>kf(x)</math> （<math>k</math>は定数） <math>,\, f(x) \pm g(x),\, f(x)g(x),\, \frac{f(x)}{g(x)}</math> （ただし、<math>g(x) \ne 0</math>） :#<math>u = g(x)</math> は <math>x=a</math> において連続、<math>y = f(u)</math> は <math>u=g(a)</math> で連続ならば、合成関数　<math>y = f(g(a))</math> は <math>x=a</math> において連続である。 ;連続関数の性質 {{wikipedia|中間値の定理}} {{wikipedia|最大値最小値定理}} :#'''中間値の定理''' :#:閉区間 <math>[a,b]</math> 上で定義された連続関数 <math>f(x)</math> に対して、もし <math>f(a) \ne f(b)</math> であって、 <math>f(a)</math> と <math>f(b)</math> の間の値を取るある数 <math>k</math> について、 <math>a < c < b</math> であって <math>f(c) = k</math> となる少なくとも1つの <math>c</math> が存在する。 :#'''最大値最小値定理'''（ワイエルシュトラスの極値定理、ワイエルシュトラスの定理） :#:閉区間 <math>[a,b]</math> 上で定義された連続関数 <math>f(x)</math> に対して、<math>y = f(x)</math> はこの区間で少なくとも一つの最大値および最小値をとる。 :#::式で書けば、適当な実数 {{math|''c'', ''d'' &isin; [''a'',''b'']}} が存在して :#:::<math>f(c) \ge f(x) \ge f(d)\quad(\forall x\in [a,b])</math>　<math>\bigl(f(c)</math> :最大値, <math>f(d)</math>: 最小値<math>\bigr)</math> :#::が成り立つ。 == 微分 == 導関数の定義 :関数<math> f(x) </math>に対して、<math>\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}</math><math>= f^\prime(x) =\frac{d}{dx}f(x)</math>（変数<math>x</math>で微分する）。 ::*<math>\frac{dy}{dx}</math>; <math>y</math>を<math>x</math> で微分する。 :*'''第2次導関数''' :*:関数<math> y = f(x) </math>を微分して得た導関数<math> y=f^\prime(x) </math>をさらに微分して得た関数<math> y=g(x) </math>を、<math> y = f(x) </math>の第2次導関数という。 :*:*第2次導関数の表記法:<math> y^{\prime\prime} </math>, <math> f^{\prime\prime}(x) </math>, <math>\frac{d^2 y}{dx^2}</math>, <math>\frac{d^2}{dx^2}f(x)</math> :*'''第<math>n</math>次導関数''' :*:関数<math> y = f(x) </math>を微分した結果をさらに微分する操作を<math>n</math>回行って得た関数を、<math> y = f(x) </math>の第<math>n</math>次導関数という。 :*:*第<math>n</math>次導関数の表記法:<math> y^{(n)} </math>, <math> f^{(n)}(x) </math>, <math>\frac{d^n y}{dx^n}</math>, <math>\frac{d^n}{dx^n}f(x)</math> 変数 <math>x</math> の微分可能な関数 <math>f</math>, <math>g</math> に対して * <math>(f+g)^\prime=f^\prime+g^\prime</math> *:　 * <math>(fg)^\prime=f^\prime g+fg^\prime</math>　（ライプニッツ則 →[[高等学校数学III/微分法#積の導関数|証明]]） *:　 * <math>\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\quad(\mbox{where } g\ne 0)</math>　（<span id="商の微分"/>商の微分公式 →[[高等学校数学III/微分法#商の導関数|証明]]） *:　 *:特に、<math>f=1</math>のとき、 *:* <math>\left(\frac{1}{g}\right)'= - \frac{g'}{g^2}</math> *:　 * <math>(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'</math>　（合成関数の微分公式 →[[高等学校数学III/微分法#合成関数の導関数|証明]]） *:　 *:別の表現で <math>\frac{df(g(x))}{dx} = \frac{df(g)}{dg}\cdot \frac{dg(x)}{dx}</math> 　（連鎖律・チェインルール） *:　 * <math>\left(f^{-1}\right)'=\frac{1}{f'\circ f^{-1}}</math>　（逆関数の微分公式 →[[高等学校数学III/微分法#逆関数の導関数|証明]]） *: <math>y=f\left( x \right)</math>とおくと、<math>x=f^{-1}\left( y \right)</math>で <math>\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}</math> とも表せる。 * 媒介変数による微分　<math> x=x\left( t \right),y=y\left( t \right)</math> ならば <math>\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt}</math>, <math>\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dt} \left( \frac{dy}{dx} \right) / \frac{dx}{dt}</math> *: *（参考）ライプニッツの定理　n階微分可能な2つの関数<math>f(x), g(x)</math>について、<math>\{ f(x)g(x) \}^{(n)} = \sum_{k=1}^{n} {}_n\mathrm{C}_k f^{(n-k)}(x) g^{(k)}(x)</math> === 基本的な関数の微分公式 === * <span id="基本微分"/>[微分公式1] <math>\left(x^a\right)'=ax^{a-1} </math> (<math>a</math>は実数)　（→[[高等学校数学III/微分法#冪関数の導関数 IⅤ|証明]]） * <span id="指数微分"/>[微分公式2] <math>\left(e^x\right)'=e^x </math>　（→[[高等学校数学III/微分法#指数関数の導関数|証明]]） *: 従って、[微分公式2-1] <math>\left(a^x\right)'=a^x \log a </math> (ただし、<math>a > 0</math>) * <span id="対数微分"/>[微分公式3] <math>(\log x)'=\frac{1}{x} </math>　（→[[高等学校数学III/微分法#対数関数の導関数|証明]]） ** [微分公式3-1] <math>(\log_a x)'=\frac{1}{x\log a} </math>(ただし、<math>a > 0</math>) ** <span id="対数式微分"/>[微分公式3-2] <math>(\log \left|f(x)\right|)'=\frac{f'(x)}{f(x)} </math> *'''三角関数の微分公式'''　（→[[高等学校数学III/微分法#三角関数の導関数|証明]]） ** <span id="正弦微分"/>[微分公式4] <math>\left(\sin x\right)'=\cos x </math> *** [微分公式4-1] <math>\left(\sin mx\right)'= m \cos mx </math> *** <span id="微分公式4-2"/>[微分公式4-2] <math>\left(\sin^m x\right)'= m \sin^{m-1} x \cos x </math> **** [微分公式4-2-1] <math>\left(\frac{1}{\sin x}\right)'= \left(\sin^{-1} x\right)'=(-1) \sin^{-2} x \cdot \cos x =-\frac{\cos x}{\sin^2 x}</math> *** [微分公式4-3] <math>\left(\sin^m nx\right)'= mn \sin^{m-1} nx \cos nx </math> **:　 ** <span id="余弦微分"/>[微分公式5] <math>\left(\cos x\right)'=-\sin x </math> *** [微分公式5-1] <math>\left(\cos m x\right)'=- m \sin mx </math> *** <span id="微分公式5-2"/>[微分公式5-2] <math>\left(\cos^m x\right)'=- m \sin x \cos^{m-1} x </math> **** [微分公式5-2-1] <math>\left(\frac{1}{\cos x}\right)'= \left(\cos^{-1} x\right)' = - (-1) \sin x \cdot \cos^{-2} x =\frac{\sin x}{\cos^2 x}</math> *** [微分公式5-3] <math>\left(\cos^m nx\right)'=- mn \sin nx \cos^{m-1} nx </math> **:　 ** <span id="正接微分"/>[微分公式6] <math>\left(\tan x\right)'=\frac{1}{\cos^2 x} </math> *** [微分公式6-1] <math>\left(\tan mx\right)'=\frac{m}{\cos^2 mx} </math> *** [微分公式6-2] <math>\left(\tan^m x\right)'=\frac{m \tan^{m-1} x}{\cos^2 x} =\frac{m \sin^{m-1} x}{\cos^{m+1} x}</math> *** [微分公式6-2] <math>\left(\tan^m nx\right)'=\frac{mn \tan^{m-1} nx}{\cos^2 nx} =\frac{mn \sin^{m-1} nx}{\cos^{m+1} nx} </math> **:　 *** <span id="余接微分"/>[微分公式6-a] <math>\left(\frac{1}{\tan x}\right)'=-\frac{1}{\sin^2 x} </math> **** [微分公式6-a-1] <math>\left(\frac{1}{\tan mx}\right)'=-\frac{m}{\sin^2 mx} </math> **** [微分公式6-a-2] <math>\left(\frac{1}{\tan^m x}\right)'=-\frac{m}{\tan^{m-1} x \sin^2 x} =- \frac{m \cos^{m-1} x}{\sin^{m+1} x} </math> **** [微分公式6-a-3] <math>\left(\frac{1}{\tan^m nx}\right)'=-\frac{mn}{\tan^{m-1} \sin^2 nx} =- \frac{mn \cos^{m-1} nx}{\sin^{m+1} nx} </math> *:　 *'''三角関数と対数の複合形の微分''' *:*[[#対数式微分|微分公式3-2]] <math>(\log \left|f(x)\right|)'=\frac{f'(x)}{f(x)} </math>を用いて、 **<span id="複合1"/><math>(\log|\sin x|)'=\frac{(\sin x)'}{\sin x} =\frac{\cos x}{\sin x} =\frac{1}{\tan x} =\cot x</math> **:　 **<span id="複合2"/><math>(\log|\cos x|)'=\frac{(\cos x)'}{\cos x} =-\frac{\sin x}{\sin x}=-\tan x</math> **:　 **<span id="複合3"/><math>(\log|\tan x|)'=\left(\log \left| \frac{\sin x}{\cos x} \right| \right)'=(\log|\sin x| - \log|\cos x|)'=\frac{1}{\tan x} + \tan x =\frac{1}{\sin x \cos x} </math> **:　 ***<math>\left(\log \left| \frac{1}{\tan x} \right| \right)'= \left(\log \left| \tan^{-1} x \right| \right)'= -\tan x -\frac{1}{\tan x} = -\frac{1}{\sin x \cos x} </math> === 接線の方程式等 === *曲線<math> y = f(x) </math>上の点<math>( a , f(a))</math>において、<math> y = f(x) </math>に接する直線の傾きは、<math> f^\prime(a) </math>である。 *:したがって、曲線<math> y = f(x) </math>上の点<math>( a , f(a))</math>における接線の方程式は、<math> y = f^\prime(a)(x - a) + f(a)</math> *曲線<math> y = f(x) </math>上の点<math>( a , f(a))</math>において接線と直行する直線（法線）の傾き<math>-\frac{1}{f^\prime(a)}</math>である（∵直交する2直線の傾きの積は-1）。 *:したがって、曲線<math> y = f(x) </math>上の点<math>( a , f(a))</math>における法線の方程式は、<math> y = -\frac{x - a}{f^\prime(a)} + f(a)</math> *'''ニュートン法''' *:[[File:Newton iteration.svg|thumb|200px|ニュートン法のイメージ]] *:曲線<math> y = f(x) </math>上のある点<math>P_n</math><math>( x_n , f(x_n))</math>における接線と<math>x</math>軸の交点（<math>x</math>切片、<math> y = 0</math>）の値<math>x_{n+1}</math>は、<math> f(x) = 0 </math>の解である<math>x^*</math>に、<math>x_n</math>よりも近似することが期待されるという性質を用い、この操作を反復することで方程式を数値計算によって解く方法。 *:#曲線<math> y = f(x) </math>上に適当に点<math>P_0</math><math>( x_0 , f(x_0))</math>をおき、<math> n = 0 </math>とする。 *:#点<math>P_n</math>における接線;<math> y = f^\prime(x_n)(x - x_n) + f(x_n) </math>を求める。 *:#<math> f^\prime(x_n)(x - x_n) + f(x_n) = 0</math>として、直線との<math>x</math>切片<math>x_{n+1}</math>を求める。 *:#::<math>x_{n+1} = x_n -\frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)} </math> *:#[アルゴリズム終了の条件] *:#*<math>|x_{n+1} - x_n| \leq \epsilon </math>（所定の極めて小さい数値）となった時、<math>x_{n+1}</math>を<math> f(x) = 0 </math>の近似解とする。 *:#*<math>|x_{n+1} - x_n| > \epsilon </math>である時、<math>x_{n+1}</math>を<math>x_n</math>として、上記2の操作に戻る。 === 関数の増減 === *ある関数を<math> f(x) </math>、その導関数を<math> f^\prime(x) </math>としたとき、 **<math> f^\prime(x) \geq 0 </math>である時、この式を満たす<math>x</math>において、<math> f(x) </math>は増加する。 **<math> f^\prime(x) \leq 0 </math>である時、この式を満たす<math>x</math>において、<math> f(x) </math>は減少する。 *方程式<math> f^\prime(x) = 0</math>が実数解<math>x = \{ x_1, x_2, \dots ,x_n \} </math>を持つ時（[[#重複|ただし、各々の解に重複はないものとする]]）、<math>x = \{ x_1, x_2, \dots ,x_n \} </math>において、正負が変わるため、その点で関数<math> f(x) </math>の増減が入れ替わる。この点を変曲点といい、増加から減少に転じる点を極大、減少から増加に転じる点を極小という。 *;高次多項式関数の増減と区間における最大最小 *:最高次の項の係数を<math>a</math>とする<math>n</math>次の高次多項式関数<math> f(x) </math>、その導関数を<math> f^\prime(x) </math>、かつ方程式<math> f^\prime(x) = 0</math>が[[#重複|各々重複のない<math>n-1</math>個の実数解]]<math>x = \{ x_1, x_2, \dots ,x_{n-1} \} </math>とした時、以下の性質を持つ。 *:*なお、以下において、説明簡素化等のため、特に言及のない場合、条件等を以下のとおりとする。 *:*#方程式<math> f^\prime(x) = 0</math>の実数解<math>x = \{ x_1, x_2, \dots k, \dots ,x_{n-1} \} </math>に対する、関数<math> y=f(x) </math>の値<math>y = \{ f(x_1), f(x_2), \dots ,f(x_k), \dots ,f(x_{n-1}) \} </math>として、<math>y</math>の中で最大・最小のものを各々<math>f(x_{Max}), f(x_{min})</math>とする。 *:*#<math>s,t</math>は、<math> s < x_1, x_{n-1} < t</math>を満たす実数である。 *:#<math>a > 0</math>ならば、 *:##<math>n</math>が奇数である時、関数<math> f(x) </math>は<math> x = x_1</math>まで単調に増加し、以後、<math> x = x_{n-1}</math>まで増減し、<math> x = x_{n-1}</math>を超えると再び単調に増加する。 *:#*区間<math>[s,t]</math>において、<math> f(x) </math>の最大値は、<math>f(x_{Max})</math>または<math>f(t)</math>のいずれか大きい方であり、最小値は<math>f(s)</math>または<math>f(x_{min})</math>のいずれか小さい方である。 *:##<math>n</math>が偶数である時、関数<math> f(x) </math>は<math> x = x_1</math>まで単調に減少し、以後、<math> x = x_{n-1}</math>まで増減し、<math> x = x_{n-1}</math>を超えると単調に増加する（グラフは「上に開く」）。 *:#*区間<math>[s,t]</math>において、<math> f(x) </math>の最大値は、<math>f(s)</math>,<math>f(x_{Max})</math>または<math>f(t)</math>の最も大きいものであり、最小値は<math>f(x_{min})</math>である。 *:#<math>a < 0</math>ならば、 *:##<math>n</math>が奇数である時、関数<math> f(x) </math>は<math> x = x_1</math>まで単調に減少し、以後、<math> x = x_{n-1}</math>まで増減し、<math> x = x_{n-1}</math>を超えると再び単調に減少する。 *:#*区間<math>[s,t]</math>において、<math> f(x) </math>の最大値は、<math>f(s)</math>または<math>f(x_{Max})</math>のいずれか大きい方であり、最小値は<math>f(x_{min})</math>または<math>f(t)</math>のいずれか小さい方である。 *:##<math>n</math>が偶数である時、関数<math> f(x) </math>は<math> x = x_1</math>まで単調に増加し、以後、<math> x = x_{n-1}</math>まで増減し、<math> x = x_{n-1}</math>を超えると単調に減少する（グラフは「下に開く」）。 *:#*区間<math>[s,t]</math>において、<math> f(x) </math>の最大値は、<math>f(x_{Max})</math>であり、最小値は<math>f(s)</math>,<math>f(x_{min})</math>または<math>f(t)</math>の最も小さいものである。 *:;3次関数の増減と区間における最大最小 *::<math>f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d</math>(<math>a > 0</math>)に対して、<math>f^\prime (x) = 3ax^2 + 2bx + c</math>。 *::*ここで、<math>f^\prime (x) = 0</math>が実数解を持たない場合及び[[#重複|重解を持つ場合]]（判別式<math>D = b^2 - 3ac \leq 0 </math>）、<math> f(x) </math>は、単調に増加する。 *::*<math>f^\prime (x) = 0</math>が異なる2つの実数解を持つ場合（判別式<math>D = b^2 - 3ac > 0 </math>）、<math>f^\prime (x) = 3ax^2 + 2bx + c = 0</math>の解を各々<math>\alpha , \beta</math>（但し、<math>\alpha < \beta</math>）とすると、<math> f(x) </math>の変曲点は<math> x= \alpha , \beta</math>となり、<math> f(\alpha) </math>まで増加したのち減少に転じ<math> f(\beta) </math>まで、減少した後、再び増加に転じる。この時、<math> f(\alpha) </math>を極大値、<math> f(\beta) </math>を極小値という。 *::*<math>s < \alpha < \beta <t </math>である区間<math>[s,t]</math>において、<math> f(x) </math>の最大値は、<math>f(\alpha)</math>または<math>f(t)</math>のいずれか大きい方であり、最小値は<math>f(s)</math>または<math>f(\beta)</math>のいずれか小さい方である。 :::<small><span id="重複"/>※解に重複がある場合 :::*方程式<math> f^\prime(x) = 0</math>の実数解<math>x = \{ x_1, x_2, \dots x_k, x_{k+1}, x_{k+2} \dots ,x_n \} </math>において、隣接する2個の解が一致する場合、その一致する解の前後で正負は逆転せず、従って、元の関数<math> f(x) </math>の増減の傾向も変わらない。隣接する3個の解が一致する場合、その一致する解の前後で正負は逆転し、従って、元の関数<math> f(x) </math>の増減が逆転する。一般化すると、方程式<math> f^\prime(x) = 0</math>の実数解<math>x = \{ x_1, x_2, \dots x_k, x_{k+1}, x_{k+2} \dots ,x_n \} </math>において、隣接する<u>偶数</u>個の解が一致する場合、元の関数<math> f(x) </math>の増減の傾向は変わらない。隣接する<u>奇数</u>個の解が一致する場合、元の関数<math> f(x) </math>の増減はその点で逆転する。</small> === 微分と剰余定理 === *<math>f(x)</math>を2次式<math>(x-a)^2</math> で割った余り<math>r(x)</math>; *:　 *:<math>r(x) = x f^\prime(a) + f(a) - a f^\prime(a)</math> *:　 *::なお、<math>f(x)</math>が<math>(x-a)^2</math> で割り切れる必要十分条件は、<math>f(a) = f^\prime(a) = 0</math> *:　 *::（解法） *:::<math>f(x) = Q(x)(x-a)^2 + px +q</math>とおくと、<math>f^\prime(x) = Q^\prime(x)(x-a)^2 + 2Q(x)(x-a) + p</math>となり、 *:::<math>x=a</math>を代入すると、<math>f(a) = pa +q</math>, <math>f^\prime(a) = p</math>を得るので、これらを剰余式の係数<math>p, q</math>について解く。 *:　 *<math>f(x)</math>を3次式<math>(x-a)^3</math> で割った余り<math>r(x)</math>; *:　 *:<math>r(x) = \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2} x^2 + \{ f^\prime(a) - a f^{\prime\prime}(a) \} x +f(a) - a f^\prime(a) + \frac{a^2 f^{\prime\prime}(a)}{2}</math> *:　 *::なお、<math>f(x)</math>が<math>(x-a)^3</math> で割り切れる必要十分条件は、<math>f(a) = f^\prime(a) = f^{\prime\prime}(a) = 0</math> *:　 *::（解法） *:::<math>f(x) = Q(x)(x-a)^3 + px^2 + qx +r</math>とおくと、 *::::<math>f^\prime(x) = Q^\prime(x)(x-a)^3 + 3Q(x)(x-a)^2 + 2px + q</math> *::::<math>f^{\prime\prime}(x) = Q^{\prime\prime}(x)(x-a)^3 +3Q^\prime(x)(x-a)^2 + 3Q^\prime(x)(x-a)^2 + 6Q(x)(x-a) + 2p</math>となり、 *:::<math>x=a</math>を代入すると、<math>f(a) = pa^2 +qa +r</math>, <math>f^\prime(a) = 2pa + q</math>, <math>f^{\prime\prime}(a) = 2p</math>を得るので、これらを剰余式の係数<math>p, q, r</math>について解く。 *一般に、多項式<math>f(x)</math>が<math>(x-a)^n</math> で割り切れる(<math>a</math>が方程式<math>f(x)=0</math>のn重解である)必要十分条件は、<math>f(a) = f^\prime(a) = f^{\prime \prime}(a) = f^{\prime \prime \prime}(a) = \cdots = f^{(n)}(a) = 0</math> === 陰関数の微分 === <math>x, y</math>が関数の関係にある時、<math>y = f(x)</math>の形の表示を陽関数（表示）、<math>f(x, y) = 0</math>の形の表示を陰関数（表示）という。なお、<math>f(x, y, z) = 0</math>のように変数の数が3個以上のものがあるが、初等数学の範囲を超えるので、本公式集では言及しない。また、陰関数表示の存在条件もあるが言及しない。 :例. 双曲線 ::陽関数表示: <math>y = \frac{2x+1}{x-1}</math>、陰関数表示: <math>xy-2x-y-1=0</math> 陰関数<math>f(x, y) = 0</math>において、<math>y</math>を<math>x</math> で微分する、すなわち、<math>\frac{dy}{dx}</math>を求める手順は以下のとおり。 :# <math>f(x, y) = 0</math>の各項を、①変数が<math>x</math>のみである関数の項、②変数が<math>y</math>のみである関数の項、③<math>x</math>の関数と<math>y</math>の関数の積である項に分ける。 :# ①変数が<math>x</math>のみである関数の項<math>g(x)</math>については、そのまま<math>x</math>で微分して<math>g^\prime(x)</math>を求める。 :# ②変数が<math>y</math>のみである関数の項<math>h(y)</math>については、<math>\frac{d}{dx}(h(y)) = \frac{d}{dy}(h(y))\frac{dy}{dx}</math>として、<math>\frac{dy}{dx}</math>を求める。 :# ③<math>x</math>の関数と<math>y</math>の関数の積である項については、<math>g(x) h(y)</math>を微分して<math>g^\prime(x) h(y) + g(x) h^\prime(y)</math>とし、<math>\frac{dy}{dx}</math>を上記3の方法で求める。 :# 上記2~4で求めたものにつき、<math>\frac{dy}{dx}</math>でまとめる。 :　 :（例題1）<math>xy-2x-y-1=0</math> :::各項を<math>x</math> で微分。①により、<math>(-2x)'=-2</math>: ②により、<math>(-y)'=-y'</math>: ③により、<math>(xy)'=y+xy'</math>。 :::よって、与式を微分したものは、<math>y+xy'-2-y'=0</math>。 :::<math>y' \left( =\frac{dy}{dx} \right)</math>について整理し、<math>y' = \frac{2-y}{x-1}</math>（解1） ::::<math>y = \frac{2x+1}{x-1}</math>であるので、<math>y' = \frac{2- \frac{2x+1}{x-1}}{x-1} = -\frac{3}{(x-1)^2}</math>（解2）- 必ずしも、この形でなければならないわけではなく、解1の形のままで利用することもある。 :::::なお、陽関数形式:<math>y = \frac{2x+1}{x-1}</math>を微分すると、<math>y' = \frac{(2x+1)'(x-1)-(2x+1)(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{2(x-1)-(2x+1)}{(x-1)^2} = -\frac{3}{(x-1)^2}</math>となり、解2に一致する。 :　 :<span id="円の微分"/>（例題2）<math>x^2+y^2=r^2</math> ::各項を<math>x</math> で微分。①により、<math>\frac{d}{dx}(x^2)=2x</math>: ②により、<math>\frac{d}{dx}(y^2)= \frac{d}{dy}(y^2) \frac{dy}{dx}=2y \frac{dy}{dx}</math>であるから、 ::<math>2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0</math>、したがって、<math>\frac{dy}{dx} = - \frac{x}{y}</math> :　 :<span id="楕円の微分"/>（例題3）<math>ax^2+by^2=1</math> ::各項を<math>x</math> で微分。①により、<math>\frac{d}{dx}(ax^2)=2ax</math>: ②により、<math>\frac{d}{dx}(by^2)= \frac{d}{dy}(by^2) \frac{dy}{dx}=2by \frac{dy}{dx}</math>であるから、 ::<math>2ax + 2by \frac{dy}{dx} = 0</math>、したがって、<math>\frac{dy}{dx} = - \frac{ax}{by}</math> ==== 対数微分法 ==== :両辺の対数を取ってから微分する方法。 :*式の乗（除）算を加（減）算に、累乗を乗算に還元して微分計算することができる。 :（手順） :#両辺の対数を取る。 :#*この時、両辺が正でなければならないので、正と限らないときはないときは絶対値を取る。 :#両辺を<math>x</math>で微分する。 :#*この時、<math>\log y</math>の微分が<math>\frac{y'}{y}</math>になること（[[#対数式微分|微分公式3-2]]）を利用する。 :#<math>y'</math>について解いて<math>x</math>の式で表す。 :（利用局面） :#指数の底にも肩にも変数<math>x</math>が含まれている<math>y=(f(x))^{g(x)}</math>のような関数。 :#:例題: <math>y = x^x ( x > 0 )</math> の微分 :#:#<math>y = x^x </math>について、両辺対数を取る。なお<math>x > 0</math>であるので右辺左辺ともに正であり、絶対値を顧慮する必要はない。 :#:#:<math>\log y = \log x^x = x\log x</math> :#:#両辺を<math>x</math>で微分する。 :#:#:<math>\frac{y'}{y} = x' \log x + x (\log x )' = \log x + 1</math> :#:#<math>y ( = x^x)</math>を両辺にかける。 :#:#:<math>y' = y ( \log x + 1) = x^x ( \log x + 1)</math> :#<math>y=f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)</math>のように微分したい関数が，たくさんの関数の積になっているとき。 :#:例題1: <math>y=f(x) \cdot g(x) \cdot h(x) </math> ただし、微分区間では、<math>f(x) , g(x) , h(x) </math>　ともに正とする。 :#:#<math>y=f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)</math>について、両辺対数を取る。 :#:#:<math>\log y = \log \left( f(x) \cdot g(x) \cdot h(x) \right) = \log f(x) + \log g(x) + \log h(x) </math> :#:#両辺を<math>x</math>で微分する。 :#:#:<math>\frac{y'}{y} = \frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{g'(x)}{g(x)} + \frac{h'(x)}{h(x)} = \frac{f'(x) \cdot g(x) \cdot h(x) + f(x) \cdot g'(x) \cdot h(x) + f(x) \cdot g(x) \cdot h'(x)}{f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)}</math> :#:#<math>y ( = f(x) \cdot g(x) \cdot h(x))</math>を両辺にかける。 :#:#:<math>y' = f'(x) \cdot g(x) \cdot h(x) + f(x) \cdot g'(x) \cdot h(x) + f(x) \cdot g(x) \cdot h'(x)</math> :#:　 :#:例題2: <math>y=\frac{f(x)}{g(x)}</math> ただし、微分区間では、<math>f(x) , g(x)</math>　ともに正とする。 :#:#<math>y=\frac{f(x)}{g(x)}</math>について、両辺対数を取る。 :#:#:<math>\log y = \log \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \log f(x) - \log g(x) </math> :#:#両辺を<math>x</math>で微分する。 :#:#:<math>\frac{y'}{y} = \frac{f'(x)}{f(x)} - \frac{g'(x)}{g(x)} = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) }{f(x) \cdot g(x) }</math> :#:#<math>y \left( = \frac{f(x)}{g(x)} \right)</math>を両辺にかける。 :#:#:<math>y' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) }{ g(x)^2 }</math> （[[#商の微分|商の微分]]に一致） == 積分 == === 基本的な積分の考え方 === *'''不定積分''' *:<math>F'(x) = f(x)</math>の時、　<math>\int f(x) dx = F(x) + C </math> *::別の表現：<math>\int f'(x)\,dx = f(x) + C</math> *:　 **変数 <math>x</math> の関数<math>f, g</math>及びその導関数<math>f', g'</math>に対して、微分の逆演算より、 *** <math>\int (f^\prime+g^\prime) dx = f + g + C</math> ***:　 *** <math>\int (f^\prime g+fg^\prime) dx = fg + C</math> ***:　 **** <math>\int f^\prime g \,dx = fg - \int fg^\prime dx + C</math>と変形し、[[#部分積分|部分積分法]]に利用。 ***:　 *** <math>\int \frac{f'g-fg'}{g^2} dx = \frac{f}{g} + C</math> ***:　 ***:特に、<math>f=1</math>のとき（<math>f=</math>[定数]と同意）、<math>f'=0</math>であるので、 ***:* <math>\int \frac{g'}{g^2} dx = - \frac{1}{g} + C</math> ***:　 *** <math>\int \left((f'\circ g)\cdot g'\right) dx = f\circ g + C</math> *:　 **'''置換積分''' **:<math>f(x)</math>において、<math>x=g(t)</math>と置換できる場合、<math>\int f(x) dx =\int f(g(t)) dx </math>（※） **:: ここで、<math>x=g(t)</math>を<math>t</math>について微分すると、<math>\frac{dx}{dt} =g'(t)</math>、したがって<math>dx =g'(t) dt</math> **:: ※に代入すると、<math>\int f(x) dx =\int f(g(t)) dx =\int f(g(t)) g'(t) dt</math> ***'''<math>f(ax + b)</math>の不定積分''' ***: <math>F'(x) = f(x)</math>であるとき、 <math>\int f(ax + b) dx = \frac{1}{a}F(ax + b) + C </math> ***::（証明） ***:::<math>\int f(ax + b) dx</math>に関して、 <math>t=ax + b</math>と置くと、 ***:::<math>\int f(ax + b) dx=\int f(t) dx</math>、<math>\frac{dx}{dt} =\frac{1}{a}</math>であるので、<math>dx =\frac{1}{a}dt</math> ***:::代入して、<math>\int f(ax + b) dx=\int f(t) dx=\frac{1}{a} \int f(t) dt</math> ***:::<math>\int f(t) dx= F(t) + C</math>であるので、<math>\int f(ax + b) dx=\frac{1}{a} F(t) + C</math>、<math>t=ax + b</math>を戻して、（与式） <math>= \frac{1}{a}F(ax + b) + C </math> *:　 *'''定積分''' *:<math>F'(x) = f(x)</math>の時、 <math>\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) </math> *:::なお、<math> F(b) - F(a) = \Big[ F(x) \Big]_a^b</math> と略記。 **'''定積分の性質''' ***<math>\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx </math>, <math>\int_a^a f(x) dx = 0</math> **:　 ***<math>a < c < b</math>として、<math>\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx </math> ***:　 ****<math>[a,c]</math>において、すべての<math>x</math>について、<math>f(x) \leq 0</math>であり、<math>[c,b]</math>において、すべての<math>x</math>について、<math>f(x) \geq 0</math>であるならば、 ****:　 ****::<math>\int_a^b |f(x)|dx = - \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx </math> **:　 ***<math>f(x) = f(-x)</math>（<math>f(x)</math>は偶関数）ならば、<math>\int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx</math> ***:　 ****<math>f(x) = f(-x)</math>（<math>f(x)</math>は偶関数）ならば、<math>\int_{-a}^a \frac{f(x)}{1+p^x} dx = \int_0^a f(x) dx</math>（[[/証明#基本偶関数|証明]]） **:　 ***<math>f(-x) = -f(x)</math>（<math>f(x)</math>は奇関数）ならば、<math>\int_{-a}^a f(x) dx = 0</math> ***:　 ***<math>\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|dx </math> *:　 *'''置換積分''' *:<math>f(x)</math>において、<math>x=g(t)</math>と置換できる場合、 *:　 *:<math>\int_a^b f(x) dx =\int_{\alpha}^{\beta} f(g(t)) g'(t) dt</math>　ただし、<math>\alpha = g(a) , \beta = g(b)</math>。 *:　 *<span id="部分積分"/>'''部分積分''' *: <math>\int_a^b f(x)g'(x)\,dx = \Big[ f(x)g(x) \Big]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\,dx </math> *::別の表現：<math>\int_a^b f(x)\,dg(x) = \Big[ f(x)g(x) \Big]_a^b - \int_a^b g(x)\,df(x)</math> *: *'''定積分と不等式''' *:閉区間<math>[a, b]</math>において<math>f(x) \leqq g(x)</math>ならば<math>\int_{a}^{b} f(x) \, dx \leqq \int_{a}^{b} g(x) \, dx</math> *:等号成立は閉区間<math>[a, b]</math>において恒等的に<math>f(x) = g(x)</math>のとき。 *'''コーシー・シュワルツの不等式''' *: <math>\left(\int_a^b f(x)g(x)\,dx\right)^2 \leq \left(\int_a^b f(x)^2\,dx\right)\left(\int_a^b g(x)^2\,dx\right) </math> *:　 *'''King Property''' （King's Property とも） *:　 *:<math>\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(a+b-x)\,dx</math> *:　 *::特に、　 *:::[1] <math>\int_0^a f(x)\,dx = \int_0^a f(a-x)\,dx</math> *:　 *:::[2] <math>\int_{-a}^a f(x)\,dx = \int_{-a}^a f(-x)\,dx</math> *:　 *::利用局面1 *:::<math>I = \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(a+b-x)\,dx</math>より、 *:　 *:::<math>2I = \int_a^b ( f(x) + f(a+b-x))\,dx</math>とすると、積分計算が容易になる場合がある。 *:　 *::::なお、このとき、<math>a+b=0</math> ならば、<math>2I = \int_{-b}^b ( f(x) + f(-x))\,dx</math> *:　 *::利用局面2 *:::<math>\int_0^a f(x)\,dx = \int_0^a f(a-x)\,dx</math>の形の式で三角関数が登場する時、 *:::<math>f(x)</math>と<math>f(a-x)</math>の形で、[[初等数学公式集/初等関数の性質#補角の公式(還元公式)|補角の公式]]（<math>\sin(\pi-x) = \sin x</math>等）や[[初等数学公式集/初等関数の性質#余角の公式(還元公式)|余角の公式]]（<math>\sin\left(\frac{\pi}{2} - x \right) = \cos x</math>等）を利用できる場合がある。 === 代表的な関数の積分公式 === ==== 基本的な関数の積分公式 ==== * <span id="基本積分"/>[積分公式1] <math>\int x^a\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C </math> (<math>a</math>は実数かつ<math>a \neq -1</math>) * <span id="指数積分"/>[積分公式2] <math>\int e^x\,dx = e^x + C</math> *: 従って、[積分公式2-1] <math>\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\log a} + C</math> (ただし、<math>a > 0</math>) * <span id="分数積分"/>[積分公式3] <math>\int \frac{1}{x}dx = \log \left|{x}\right| + C</math> ** <span id="分数式積分"/>[積分公式3-1] <math>\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log \left|{f(x)}\right| + C</math> *:　 * <span id="対数積分"/>[積分公式4] <math>\int \log x \,dx = x\log x - x + C</math>（[[高等学校数学III/積分法#指数・対数関数の積分|証明]]） *:　 *三角関数の積分　（→[[高等学校数学III/積分法#三角関数の積分|証明]]） *: ** <span id="余弦積分"/>[積分公式5] <math>\int \cos x \,dx = \sin x+ C</math> *** [積分公式5-1] <math>\int \cos mx \,dx = \frac{\sin mx}{m}+ C</math> ** <span id="正弦積分"/>[積分公式6] <math>\int \sin x \,dx =- \cos x+ C</math> *** [積分公式6-1] <math>\int \sin mx \,dx =- \frac{\cos mx}{m}+ C</math> *: ** <span id="正接積分"/>[積分公式7] <math>\int \tan x \,dx =- \log \left|\cos x\right| + C</math>（→[[#複合2|上記も参照。]]） **: [積分公式7-1] <math>\int \frac{1}{\tan x} dx \left( = \int \cot x \,dx \right) = \log \left|\sin x\right| + C</math>（→[[#複合1|上記も参照。]]） *: *;三角関数の定積分 *:<math>b - a = 2 n \pi</math>（<math>n</math>は任意の整数）であるとき、 *::<math>\int_a^b \sin x \,dx = \int_a^b \cos x \,dx = 0</math> *:::（拡張） *::::<math>\int_a^b \sin^m x \,dx = \int_a^b \cos^m x \,dx = 0</math> *::::<math>\int_\frac{a}{k}^\frac{b}{k} \sin kx \,dx = \int_\frac{a}{k}^\frac{b}{k} \cos kx \,dx = 0</math> *:　 *:積分区間<math>\frac{\pi}{2}</math>ごと *:　 *::①<math>\int_0^\frac{\pi}{2} \sin x \,dx = \int_0^\frac{\pi}{2} \cos x \,dx = 1</math>　、②<math>\int_\frac{\pi}{2}^\pi \sin x \,dx = 1 , \int_\frac{\pi}{2}^\pi \cos x \,dx = -1</math> *::③<math>\int_\pi^\frac{3\pi}{2} \sin x \,dx = \int_\pi^\frac{3\pi}{2} \cos x \,dx = -1</math>　、④<math>\int_\frac{3\pi}{2}^{2\pi} \sin x \,dx = -1 , \int_\frac{3\pi}{2}^{2\pi} \cos x \,dx = 1</math> *:　 *:積分区間<math>\pi</math>ごと *:　 *::①<math>\int_0^{\pi} \sin x \,dx = 2, \int_0^{\pi} \cos x \,dx = 0</math>　、②<math>\int_\frac{\pi}{2}^\frac{3\pi}{2} \sin x \,dx = 0 , \int_\frac{\pi}{2}^\frac{3\pi}{2} \cos x \,dx = -2</math> *:　 *::③<math>\int_\pi^{2\pi} \sin x \,dx = -2 , \int_\pi^{2\pi} \cos x \,dx = 0</math>　、④<math>\int_\frac{3\pi}{2}^\frac{5\pi}{2} \sin x \,dx = 0 , \int_\frac{3\pi}{2}^\frac{5\pi}{2} \cos x \,dx = 2</math> ==== 複合的な積分 ==== ===== 複合的な三角関数の積分 ===== *<span id="sin^2"/><math>\int \sin ^2 x \,dx = \frac{2x - \sin 2x}{4}+ C</math>（[[/証明#三角関数積分1|証明]]） *:　 *<span id="cos^2"/><math>\int \cos ^2 x \,dx = \frac{2x + \sin 2x}{4}+ C</math>（[[/証明#三角関数積分2|証明]]） *:　 *<math>\int \tan ^2 x \,dx = \tan x - x + C</math>（[[#注a|*1]]より） *:　 *<math>\int \sin ^n x \cos x \,dx = \frac{\sin ^{n+1} x}{n+1}+ C</math>（[[#微分公式4-2|微分公式4-2]]参照） *:　 *<math>\int \cos ^n x \sin x \,dx = - \frac{\cos ^{n+1} x}{n+1}+ C</math>（[[#微分公式5-2|微分公式5-2]]参照） *:　 * <math>\int \frac{1}{\sin x} dx = \frac{1}{2} \log \left( {\frac{1-\cos x}{1+\cos x}} \right) + C = \frac{1}{2} \log \left| \tan {\frac{x}{2}} \right| + C</math>（[[/証明#三角関数積分3|証明]]） *:　 * <math>\int \frac{1}{\cos x} dx = \frac{1}{2} \log \left( {\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} \right) + C</math>（[[/証明#三角関数積分4|証明]]） *:　 * <math>\int \frac{1}{\sin ^{2} x} dx = - \frac{1}{\tan x} + C</math>（証明:[[#余接微分|微分公式6-a]]参照） *:　 ** <math>\int \frac{1}{\tan ^{2} x} dx = \int \frac{\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x} dx = \int \frac{1 - \sin ^{2} x}{\sin ^{2} x} dx = \int \left( \frac{1}{\sin ^{2} x} - 1 \right) dx = - \frac{1}{\tan x} - x + C</math> *:　 * <math>\int \frac{1}{\cos ^{2} x} dx = \tan x + C</math>（証明:[[#正接微分|微分公式6]]参照） *:　 ** <math>\int {\tan ^{2} x} dx = \int \frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} dx = \int \frac{1 - \cos ^{2} x}{\cos ^{2} x} dx = \int \left( \frac{1}{\cos ^{2} x} - 1 \right) dx = \tan x - x + C</math> <span id="注a">(*1)</span> *:　 * <math>\int \frac{1}{\sin x \cos x} dx = \log|\tan x| + C </math>（[[#複合2|上記参照]],[[/証明#三角関数積分5-0|別証明]]） *:　 * <math>\int \frac{1}{1 + \sin x} dx = \tan x - \frac{1}{\cos {x}} + C = -\frac{2}{1 + \tan{\frac{x}{2}}} + C</math>（[[/証明#三角関数積分5|証明1]],[[/証明#三角関数積分5-1|証明2]]） *:　 * <math>\int \frac{1}{1 - \sin x} dx = \tan x + \frac{1}{\cos {x}} + C = \frac{2}{1 - \tan{\frac{x}{2}}} + C</math>（[[/証明#三角関数積分5|証明1]],[[/証明#三角関数積分5-1|証明2]]） *:　 * <math>\int \frac{1}{1 + \cos x} dx = - \frac{1}{\tan {x}} + \frac{1}{\sin {x}} + C = \tan{\frac{x}{2}} + C</math>（[[/証明#三角関数積分6|証明1]],[[/証明#三角関数積分6-1|証明2]]） *:　 * <math>\int \frac{1}{1 - \cos x} dx = - \frac{1}{\tan {x}} - \frac{1}{\sin {x}} + C = -\frac{1}{\tan{\frac{x}{2}}} + C</math>（[[/証明#三角関数積分6|証明1]],[[/証明#三角関数積分6-2|証明2]]） *:　 *'''[[初等数学公式集/初等関数の性質#積和の公式|積和の公式]]を利用するもの''' **<math>\int \sin mx \cos nx \,dx = \frac{1}{2} \int \left\{\sin(m + n)x + \sin(m - n)x \right\}dx = - \frac{\cos(m + n)x}{2(m + n)} - \frac{\cos(m - n)x}{2(m - n)} + C</math> **:　 **:但し、<math>m = \pm n</math>の時、与式<math>= \frac{1}{2} \int \sin 2mx \,dx = - \frac{\cos 2mx}{4m} + C</math> **:　 **::特に、<math>\int \sin x \cos x \,dx = \frac{1}{2} \int \sin2x \,dx = - \frac{\cos2x}{4} + C</math> **:　 **<math>\int \cos mx \cos nx \,dx = \frac{1}{2} \int \left\{\cos(m + n)x + \cos(m - n)x \right\}dx = \frac{\sin(m + n)x}{2(m + n)} + \frac{\sin(m - n)x}{2(m - n)} + C</math> **:　 **:但し、<math>m = \pm n</math>の時、<math>(m + n, m - n) = (2m,0),(0,2m)</math>であるから、与式<math>= \frac{1}{2} \int \left\{\cos 2mx + \cos0 \right\}dx = \frac{1}{2} \int \left\{\cos 2mx + 1 \right\}dx = \frac{\sin 2mx + 2x}{4m} + C</math> **:　 **::特に、<math>|m| = |n| = 1</math>の時、結果は、<math>\frac{\sin 2x + 2x}{4} + C</math>であるが、与式<math>=\int \cos (\pm x) \cos (\pm x) dx </math>（複号任意）<math>= \int \cos^2 x \,dx</math>であるので、[[#cos^2|上記の式]]に一致。 **:　 **<math>\int \sin mx \sin nx \,dx = -\frac{1}{2} \int \left\{\cos(m + n)x - \cos(m - n)x \right\}dx = - \frac{\sin(m + n)x}{2(m + n)} + \frac{\sin(m - n)x}{2(m - n)} + C</math> **:　 **:但し、<math>m = \pm n</math>の時、<math>(m + n, m - n) = (2m,0),(0,2m)</math>であるから、与式<math>= -\frac{1}{2} \int \left\{\pm \cos 2mx \mp \cos0 \right\}dx = - \frac{1}{2} \int \left\{\pm \cos 2mx \mp 1 \right\}dx = \pm \frac{2x - \sin 2mx}{4m} + C</math> **:　 **::特に、<math>m = n = 1</math>の時、結果は、<math>\frac{2x - \sin 2x}{4} + C</math>であるが、与式<math>=\int \sin x \sin x \,dx = \int \sin^2 x \,dx</math>であるので、[[#sin^2|上記の式]]に一致。 ====代表的な置換==== 以下、置換積分における代表的な置換を列挙する。置換の方法は複数通り考えられるので、必ずしもこの置換でなければいけない訳ではない。 *<math>\{f(x)\}^n</math>を含む積分は、<math>f(x)</math>を置換する。 *:例：<math>\int \frac{e^{2x}}{(e^x+1)^2} \, dx = \int \frac{e^x}{(e^x+1)^2} \cdot e^x \, dx = \int \frac{t-1}{t^2} \, dt</math> *<math>\sqrt[n]{g(x)}</math>を含む積分は、根号全体を置換する。 *:例：<math>\int \frac{x}{\sqrt{3-x}} \, dx = \int \frac{3-u^2}{u} \cdot (-2u) \, du = \int (3-u^2) \, du</math> *三角関数で置換するもの※ *:<math>\int \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \int \sqrt{a^2 - (a\sin \theta)^2} \cdot a\cos \theta \, d\theta = a^2 \int \cos^2 \theta \, d\theta</math> *::<math>x=a\cos \theta</math>と置換する場合は<math>\int \sin^2 \theta \, d\theta</math>が出てくる。 *:<math>\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \int \frac{d\theta}{(a\tan\theta)^2+a^2} = \int \frac{\cos^2\theta}{a^2} \cdot \frac{a}{\cos^2\theta} \, d\theta = \frac{1}{a} \int \, d\theta</math> *特殊な置換 **三角関数のみを含む積分について<math>t =\tan \frac{\theta}{2}</math>と置換する（'''ワイエルシュトラス置換'''）。 **:<math>\sin \theta = \frac{2t}{1+t^2}, \cos \theta = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \tan \theta = \frac{2t}{1-t^2}</math>（'''三角関数の媒介変数表示'''）となって分数関数の積分として計算できる。 **<math>\frac{f(\log x)}{x}</math>や<math>x^a(\log x)^n</math>の積分は<math>x=e^t</math>と置換する（'''オイラー置換'''₁）。 **:<math>\int \frac{f(\log x)}{x}dx=\int \frac{f(t)}{e^t} e^t dt = \int f(t)dt</math> **:<math>\int x^a(\log x)^n dx = \int e^{at} t^n e^{t}dt = \int e^{(a+1)t}t^n dt</math> **<math>\sqrt{x^2+A}</math>を含む積分は<math>x + \sqrt{x^2+A} = t</math>と置換する（'''オイラー置換'''₂）。 **:例：<math>\int \sqrt{x^2+a^2} \, dx = \int \sqrt{\frac{1}{4}(t-\frac{a^2}{t})^2+a^2} \cdot \frac{1}{2}(1+\frac{a^2}{t^2}) \, dt = \frac{1}{4} \int (1+\frac{a^2}{t})(1+\frac{a^2}{t^2}) \, dt</math> **参考：<math>\sqrt{x^2+a^2}</math>を含む積分は双曲線関数で置換する。 **:例：<math>\int \frac{dx}{x^2+4} = \int \frac{1}{\sqrt{(2\sinh \theta)^2 + 4}} \cdot 2\cosh \theta \, d\theta = \int \, dt</math> ※三角関数による置換は、大学数学における以下の公式を背景にしている。 :<math>(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>（<math>-1<x<1</math>） :<math>(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>（<math>-1<x<1</math>） :<math>(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}</math> :<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \arcsin \frac{x}{|a|} + C</math>（ただし<math>a \neq 0, |x|<|a|</math>） :<math>\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{1}{a} + C</math>（ただし<math>a \neq 0</math>） :<math>\int \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \frac{1}{2} (x\sqrt{a^2-x^2} + a^2 \arcsin \frac{x}{|a|}) + C</math>（ただし<math>a \neq 0, |x|<|a|</math>） === 曲線で囲まれる領域の面積 === *閉区間<math>[ a,b ]</math>において、曲線<math> y = f(x) </math>及び曲線<math> y = g(x) </math>によって囲まれる領域の面積。 *:<math> S = \int_a^{b} | f(x) - g(x) | \, dx</math> [[File:Lukion taulukot (1993)-page038-image02.png|Lukion_taulukot_(1993)-page038-image02|right|200px]] *曲線<math> y = f(x) </math>, 曲線<math> y = g(x) </math>が、<math>[ a,b ]</math>内の<math>c</math>において交わり、<math>x < c</math> において、<math>f(x) > g(x)</math>、<math>x \geqq c</math> において、<math>f(x) \leq g(x)</math> であるとき、 *:<math> S = \int_a^{b} | f(x) - g(x) | \, dx</math><math> = \int_a^{c} (f(x) - g(x)) \, dx - \int_c^{b} (f(x) - g(x)) \, dx</math> {{-}} *曲線<math> y = a_1{x}^2 + b_1{x} + c_1 </math>をA、曲線<math> y = a_2{x}^2 + b_2{x} + c_2 </math>をBとする(ただし、<math> a_1 \neq a_2</math>)。AとBが、<math> x = {\alpha}, {\beta} ( {\alpha} < {\beta} )</math>で交わるとき、 *:区間<math>[ {\alpha}, {\beta} ]</math>で、曲線Aと曲線Bにより囲まれる領域の面積。 *::<math> S = \frac{ | a_1 - a_2 |}{6} ( {\beta} - {\alpha})^3</math>（1/6公式） *（1/12公式） *（1/20公式） これらはy軸まわりで考えても同様である。 {{wikipedia|グリーンの定理|ガウス・グリーンの定理}} *曲線<math>\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases}</math>について、<math>[a, b]</math>の範囲でtの増加とともに点<math>P(f(t), g(t))</math>がxy平面上を原点中心に反時計回りに動くときに線分<math>OP</math>が通過する領域の面積は、<math>\int_{a}^{b} \frac{1}{2} \{ x g'(t) - y f'(t) \} dt</math>（ガウス・グリーンの定理） *極座標系での求積 *:曲線<math>r=r(\theta)</math>と2直線<math>\theta = \alpha, \theta = \beta</math>で囲まれた部分の面積は、<math>S = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2} \{ r(\theta) \}^2 d\theta</math> （→[[高等学校数学III/積分法#面積|証明]]） *:ただし、θは偏角とは限らない。 ==== 極限と積分の関係（区分求積法） ==== 区分求積法とは、関数の値を細かく区切って足し合わせることで積分を近似する方法である。 :　 <math>f(x)</math> は区間<math>[0,1]</math>で連続であるとき、次の極限が成り立つ。 :　 :<math>\lim_{n\to\infty} \, \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f \left( \frac{n}{k} \right) = \int_0^{1} f(x) \, dx</math> :　 同様に、区間<math>[0,m]</math>で連続であるとき、次の極限が成り立つ。 :　 :<math>\lim_{n\to\infty} \, \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{mn} f \left( \frac{n}{k} \right) = \int_0^{m} f(x) \, dx</math> : :これは、区分求積法による近似が極限で積分に収束することを表している。 :　 また、有限個のズレは無視できるので一般に以下が成り立つ。 :<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=l}^{n-m} f(x_k) \Delta x</math> :但し<math>\Delta x = \frac{b-a}{n}, x_k = a + k\Delta x</math> === 体積 === *ある立体<math>V_0</math>の<math>x = t</math>における断面積が有限な値で、その値が <math>t</math>の関数<math>S(t)</math>となるとき、この立体を平面<math>x = a</math>，<math>x = b</math>（ただし、<math>a < b</math>）で切り取った領域の体積は、 *:<math> V = \int_a^{b} S(t) \, dt</math> *:　 *:【利用公式】 *:*[[初等数学公式集/初等幾何/体積#錐体の体積|錐体の体積]] *:*[[初等数学公式集/初等幾何/体積#くさび形の体積|くさび形の体積]] *:*[[初等数学公式集/初等幾何/体積#球の体積|球の体積]] *:*[[初等数学公式集/初等幾何/体積#円環体（トーラス）の体積|円環体（トーラス）の体積]] *曲線<math> y = f(x) </math>を<math>x</math>軸を中心に回転させたとき、この立体を平面<math>x = a</math>，<math>x = b</math>（ただし、<math>a < b</math>）で切り取った領域の体積は、 *:<math> V = \pi \int_a^{b} \{ f(x) \}^2 \, dx</math> *: *曲線<math>x = g(y)</math>をy軸を中心に回転させたとき、この立体を平面<math>y=c, y=d</math>(ただし<math>c<d</math>)で切り取った領域の体積は、 *:<math>V = \pi \int_c^d \{ g(y) \}^2 \, dy</math> *: *曲線<math>y=f(x)</math>とx軸、直線<math>x=a, x=b</math>に囲まれた部分をx軸周りに一回転した立体の体積は、 *:<math>V = 2\pi \int_{a}^{b} x f(x) dx</math>（バームクーヘン積分・円筒分割積分） *: *図形Aを図形Aと交わらない直線の周りに一回転してできる立体の体積は、V=（Aの重心が描く円の円周長）×（Aの面積）。（パップス・ギュルダンの定理） *: ====斜軸回転体の体積==== *平面中の直線Lの周りの回転体の体積は、回転軸Lに垂直な平面で回転体を切った断面積の積分で求まる。 *: *曲線<math>y=f(x)</math>と直線<math>mx+n, x=a, x=b</math>で囲まれた部分を直線<math>y=mx+n</math>の周りで一回転した体積は、<math>\tan \theta = m</math>として、 *:<math>V = \pi \cos \theta \int_{a}^{b} \{ f(x) - (mx+n) \}^2 dx</math>（傘型分割積分） *: *回転軸Lをx軸もしくはy軸に重ねる回転移動を行い通常の回転体の求積公式に強引に当て嵌めることで、置換積分により体積が求まる。 === 曲線の長さ === *閉区間<math>[ a,b ]</math>における、曲線<math> y = f(x) </math>の長さ<math>L</math>。 *:<math> L = \int_a^{b} \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right) ^2 } dx</math> **上記曲線が媒介変数<math>t</math>によって、<math> x = x(t) , y = y(t) , a = x(\alpha) , b = x(\beta)</math>と表される時の長さ<math>L</math>。 *:<math> L = \int_{ \alpha }^{ \beta } \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right) ^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right) ^2 } dt</math> ===平面上の運動と微積分=== xy平面上における運動の時刻<math>t</math>における位置,速度,加速度をそれぞれ<math>\vec{x}(t), \vec{v}(t), \vec{a}(t)</math>とする。 *<math>\frac{d}{dt} \vec{x}(t) = v(t) \iff \int \vec{v}(t) \, dt = \vec{x}(t) + \vec{x_0}</math> *<math>\frac{d}{dt} \vec{v}(t) = \vec{a}(t) \iff \int \vec{a}(t) \, dt = \vec{v}(t) + \vec{v_0}</math> *<math>\frac{d^2}{dt^2} \vec{x}(t) = \vec{a}(t) \iff \int \int \vec{a}(t) \, dt \, dt = \vec{x}(t) + \vec{x_0} </math> *時刻aから時刻bまで運動を続けた時の道のりは<math>\int_a^b |\vec{v}(t)| \, dt</math> == 基本的な関数の微分公式と積分公式の相互関係 == * <math>{d\over dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x) </math>　（微積分学の基本定理） * [[#基本微分|（微分公式1）]] <math>\left(x^a\right)'=ax^{a-1} </math> (<math>a</math>は実数)　⇔　[[#基本積分|（積分公式1）]] <math>\int x^a\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C</math> (<math>a</math>は実数かつ<math>a \neq -1</math>) * [[#指数微分|（微分公式2）]] <math>\left(e^x\right)'=e^x </math>　⇔　[[#指数積分|（積分公式2）]] <math>\int e^x\,dx = e^x + C</math> *: 従って、[[#指数微分|（微分公式2-1）]] <math>\left(a^x\right)'=a^x \log a </math>　⇔　[[#指数積分|（積分公式2-1）]] <math>\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\log a} + C</math>(<math>a > 0</math>) *::（応用） *:::<math> \left( f(x) e^x \right)' = \left( f(x) + f'(x) \right) e^x </math>　⇔　<math>\int \left( f(x) + f'(x) \right) e^x \,dx = f(x) e^x + C</math> * [[#対数微分|（微分公式3）]] <math>(\log x)'=\frac{1}{x} </math>　⇔　[[#分数積分|（積分公式3）]] <math>\int \frac{1}{x}dx = \log \left|{x}\right| + C</math> ** [[#対数式微分|（微分公式3-1）]] <math>(\log \left|f(x)\right|)'=\frac{f'(x)}{f(x)} </math>　⇔　[[#分数式積分|（積分公式3-1）]] <math>\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log \left|{f(x)}\right| + C</math> * [[#正弦微分|（微分公式4）]] <math>\left(\sin x\right)'=\cos x </math>　⇔　[[#余弦積分|（積分公式5）]] <math>\int \cos xdx = \sin x+ C</math> * [[#余弦微分|（微分公式5）]] <math>\left(\cos x\right)'=-\sin x </math>　⇔　[[#正弦積分|（積分公式6）]] <math>\int \sin xdx =- \cos x+ C</math> == 脚注 == <references/> {{DEFAULTSORT:しよとうすうかくこうしきしゆう 07ひせきふん}} [[Category:普通教育]] [[Category:数学教育]] [[Category:初等数学公式集|ひせきふん]] [[カテゴリ:微分積分学]] p2m5ur3f41iyc1kxbkgrc3cul60hhtv 0 35532 299501 299311 2026-05-13T10:59:55Z Train earth urban 58608 /* 電場 */ 299501 wikitext text/x-wiki {{pathnav|高等学校の学習|高等学校理科|高等学校 物理|pagename=電磁気学|frame=1|small=1}} == クーロン力(静電気力) == 電荷 <math>q_1,q_2</math> の点電荷を置くと、点電荷の間には :<math>F = k\frac{q_1q_2}{r^2}</math> (1.1) の力が働く。ここで <math>r</math> は点電荷の間の距離である。この力'''をクーロン力（静電気力'''）という。<math>k</math>はクーロン力の比例定数（電気クーロン定数、静電定数）と呼ばれ、その値は電荷の周りを満たしている物質により異なる。真空中での比例定数は <math>k_0 = 8.99 \times 10^9 \,\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}</math> である。 <math>F > 0</math> のときは、<math>q_1,\ q_2</math> は同符号なので、点電荷に働く力は斥力であり、<math>F < 0</math> のときは、<math>q_1,\ q_2</math> は異符号なので、点電荷に働く力は引力である。 クーロン力定数の代わりに <math>k =\frac{1}{4\pi\varepsilon}</math> で定義される定数 <math>\varepsilon</math> を使うほうが今後の計算がしやすくなる。<math>\varepsilon</math> を物質の誘電率という。真空中のクーロン力定数に対応する誘電率は <math>k_0 =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}</math> で定義され、電気定数あるいは真空の誘電率という。 == 電場 == クーロンの法則によれば、点電荷の間には静電気力が働く。これは点電荷は離れた場所にある電荷に直接力を及ぼすという考え方である。このような考え方を遠隔作用という。しかし、電荷はどのようにして離れた場所に力を及ぼすのだろうか。点電荷が空間に対して'''電場'''('''電界''')という場を作り出し、その電場がはなれた位置にある電荷に力を及ぼすという考え方もできる。このような考え方を近接作用という。 位置ベクトル<math>\overrightarrow r</math>における電場ベクトル<math>\vec E(\overrightarrow r)</math> は、電荷に対して静電気力を与える場として定義される。電場中に試験電荷 <math>q</math> を置くとき、試験電荷が受ける静電気力の大きさは電荷の大きさに比例するから、<math>1\,\mathrm C</math> あたりの静電気力として電場を定義する。試験電荷が受ける静電気力を <math>\overrightarrow F(\overrightarrow r)</math> とするとき、電場は :<math>\overrightarrow E(\overrightarrow r) = \frac{\overrightarrow F(\overrightarrow r)}{q}</math>(1.2) で定義される。電場の単位はニュートン毎クーロン <math>\mathrm{N/C}</math> である。(1.2)を変形すると :<math>\overrightarrow F(\overrightarrow r)= q \overrightarrow E(\overrightarrow r)</math>. (1.2a) (1.2a)は、電場<math>\overrightarrow E</math>中に置かれた電荷<math>q</math>が受ける力を指す。 === 点電荷の作る電場 === [[ファイル:VFPt_plus_thumb.svg|サムネイル|150x150ピクセル|正電荷の周りの電場の向き]] 以上のように定義された電場がどのように生み出されるのかについて考えよう。<math>\vec{r_0}</math>の位置に静止した点電荷 <math>Q</math> があり、<math>\overrightarrow r</math> の位置に試験電荷 <math>q</math> を置くとき、試験電荷が受ける静電気力は <math>\overrightarrow F(\overrightarrow r) = kQq\frac{\overrightarrow r-\vec{r_0}}{\left|\overrightarrow r-\vec{r_0}\right|^3}</math> である。したがって、その点における電場は :<math>\overrightarrow E(\overrightarrow r)=\frac{\overrightarrow F(\overrightarrow r)}{q}=kQ\frac{\overrightarrow r-\vec{r_0}}{\left|\overrightarrow r-\vec{r_0}\right|^3}</math> (1.3) となる。ただし、電場の方向は位置ベクトルと平行で <math>E > 0</math> のとき外向き、<math>E < 0</math> のとき内向きである。 === 重ね合わせの原理 === [[ファイル:電場の重ね合わせ.svg|サムネイル|220x220ピクセル|電場の重ね合わせ]] 複数の点電荷がつくる電場 <math>\overrightarrow E</math> は、それぞれの点電荷がその点につくる電場 <math>\vec{E_i}</math> のベクトル和である。これを'''電場の重ね合わせの原理'''という。 :<math>\overrightarrow E = \vec{E_1}+\vec{E_2}+\cdots</math>. (1.4) ===電気力線=== '''電気力線'''とは電場の方向を接線とする曲線である。 '''電場に垂直な平面を貫く電気力線の単位面積あたりの本数は、電場の強さの値に等しいものとする'''。 電気力線には、以下のような性質がある。 *電気力線の接線は電場の方向に等しい。従って、電気力線が枝分かれしたり交わることはない。 *正電荷から出て負電荷に入る *電場が強い場所では密である 物理基礎で扱った静電誘導・静電遮蔽・誘導分極は、電気力線を用いることでベクトルの引き算として説明することができる。 ある曲線を貫く電気力線の密度を与える概念として電束密度がある。電束密度 <math>D </math> は物質の誘電率 <math>\varepsilon </math> を使って <math>D = \varepsilon E </math> で定義される。また、電束は面積が <math>S </math> の曲面と電束密度 <math>D </math> が垂直で一定であるときに、<math>\Phi_e =SD= \varepsilon SE </math> で定義される。 電荷 <math>Q </math> の点電荷から出る電束を考えよう。点電荷を中心とし半径が <math>r</math> の球面を考える。この面での電場の強さは <math>E = \frac{1}{4\pi \varepsilon} \frac{Q}{r^2}</math> である。電束密度は <math>D = \varepsilon E = \frac{1}{4\pi} \frac{Q}{r^2} </math> となる。また、球の表面積は <math>4 \pi r^2 </math> であるから、球面を貫く電束は <math>\Phi_e = Q </math> となる。 これを一般化すると次のガウスの法則を得る。 '''任意の閉曲面（ガウス面）を貫く電束は、閉曲面の内部にある電荷の和 <math>Q </math> に等しい。''' 式で書くと<math>\oiint_S \vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q}{\varepsilon}</math>となる。ここで、左辺はガウス面を貫く電気力線の本数に等しい。則ち、電気力線の総数は電束を誘電率で割った値である。 ==電位== 電場中に置かれた電荷が静電気力(クーロン力)を受けて運動するとき，静電気力は電荷に対して仕事する。静電気力は保存力なので，その仕事は重力がする仕事と同様，始点と終点の位置によって決まり，途中の経路によらない。したがって，重力と同様に静電気力による位置エネルギーが定義できる。電場において，重力場における「高さ」に対応する概念が電位である。 <math>xy</math>平面を水平面に，鉛直上向きに<math>z</math>軸をとり，<math>-z</math>方向を向いた一様な電場<math>\overrightarrow E =(0,\ 0,\ -E)</math>を考える。この電場から電荷<math>q</math>の受ける力は<math>q\overrightarrow E</math>，これに逆らって電荷をゆっくり運ぶ力は<math>-q\overrightarrow E =(0,\ 0,\ qE)</math>．この電荷が<math>r</math>の位置で持つ位置エネルギーは，この力<math>-q\overrightarrow E</math>で<math>q</math>を基準点(原点O)から<math>\overrightarrow r</math>まで運ぶ仕事でそれは運ぶ経路によらず<math>U(\overrightarrow r)= -q\overrightarrow E\cdot\overrightarrow r = qEz</math>．そこで'''電位'''を単位電荷あたりの位置エネルギー :<math>V(\overrightarrow r)= U(\overrightarrow r)\div q = Ez</math> で定義する。 重力が等高面(位置エネルギー一定の面)に垂直で下(位置エネルギーの低くなる向き)を向いているのと同様，'''電場は等電位面に垂直で電位の低くなる向き'''を向いている。 一般の静電場の場合も同様で，<math>r</math>位置で電荷<math>q</math>がもつ位置エネルギーが，電場から受ける<math>q\overrightarrow E</math>に逆らって<math>-q\overrightarrow E</math>を加え，基準点<math>\vec{r_0}</math>からその点<math>\overrightarrow r</math>まで電荷をゆっくり運ぶ仕事 :<math>U_\mathrm{C}(\overrightarrow r)=\int _{r_0}^r -q\overrightarrow E\cdot d\overrightarrow r = -q\int _{r_0}^r \overrightarrow E\cdot d\overrightarrow r</math> (1.5) で定義される。静電気力が保存力であるためこの積分は<math>\vec{r_0}</math>から<math>\overrightarrow r</math>への経路によらない。そこで，'''電位'''を'''単位電荷あたりの静電気力による位置エネルギー''' :<math>V(\overrightarrow r)=\frac{U(\overrightarrow r)}{q}= -\int _{r_0}^r \overrightarrow E\cdot d\overrightarrow r</math> (1.6) で定義する。つまり，ある点の電位とは，基準点からその点まで電荷をゆっくり運ぶために外力が単位電荷あたりにせねばならぬ仕事のことである。この定義より質量<math>m</math>，電荷<math>q</math>の粒子に対する電場中でのエネルギー保存則は次のように表される。 :<math>\frac{1}{2}mv^2 + qV =</math>一定．(1.7) また定義より，電荷<math>q</math>を電場の力<math>q\overrightarrow E</math>に抗して<math>\vec{r_1}</math>から<math>\vec{r_2}</math>まで運ぶために外力のする仕事<math>W_\mathrm{EF}</math>は :<math>W_\mathrm{EF}= q(V(\vec{r_2})-V(\vec{r_1}))= -q\int _\vec{r_1}^\vec{r_2} \overrightarrow E\cdot d\overrightarrow r</math> (1.8) で与えられる。この<math>V(\vec{r_2})-V(\vec{r_1})</math>を'''電位差'''又は'''電圧'''という。つまり２点間の電位差(電圧)とは電場に抗して電荷をその２点間で運ぶために単位電荷あたりの要する仕事である。 点電荷<math>Q</math>が原点にあるときの電位を求めよう。このとき電場は(1.3)で与えられるから，(1.6)は :<math>V(\overrightarrow r)= -\int _{r_0}^r k\frac{Q}{r^2} (\vec{e}_r \cdot d\vec{r})= -\int _{r_0}^r k\frac{Q}{r^2}dr= kQ\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)</math> となる。基準点を無限遠(<math>r_0\to\infty</math>)にとると，点電荷<math>Q</math>がとる電場の電位は :<math>V(\overrightarrow r)= k\frac{Q}{r}</math>. (1.9) なお、電位は<math>\phi,</math> 電圧は<math>U</math>で書くこともある。 *等電位面 == コンデンサー == [[ファイル:コンデンサー_充電の仕組み.svg|サムネイル|500x500ピクセル|コンデンサーの充電の仕組み]] 図のように2枚の金属板を平行に向かい合わせて、電源をつなげると、自由電子が導線を通り金属板に電荷が蓄えられる。 平行板コンデンサーの2つの金属板にそれぞれ <math>Q,\ -Q</math> の電荷が蓄えられているとき、極板間の電位差 <math>V</math> は次の関係がある。 :<math>Q = CV</math> ここで、<math>C</math> をコンデンサーの電気容量という。 電気容量の単位はファラド <math>\mathrm F</math> が使われる。<math>\mathrm F = \mathrm{C/V}</math> である。 === 平行板コンデンサーの電気容量 === [[ファイル:平行板コンデンサー_電場.svg|サムネイル|400x400ピクセル|平行板コンデンサーの電場]] 極板の間隔 <math>d </math> で面積 <math>S</math> の平行板コンデンサーの電気容量 <math>C</math> を求める。 コンデンサーに電荷 <math>Q </math> が蓄えられており、このときの極板間の電位差を <math>V</math> とする。このとき、極板の間には極板に垂直で一様な電場 <math>E</math> が発生する。極板の外には電場は存在しないとする。 極板間の電場は <math>E = \frac V d</math> である。 <math>Q</math> に帯電しただけ極板を囲むような閉曲面（直方体を考えると計算しやすい）を考える。この閉曲面から出る電束は <math>\Phi_e = S\varepsilon E = \varepsilon S \frac V d</math> である。 また、ガウスの法則より、 <math>\Phi_e = Q</math> である。この2つが等しいから :<math>Q = \varepsilon S \frac V d </math> より、 <math>C = \frac Q V = \varepsilon \frac S d</math> を得る。 === コンデンサーの蓄えるエネルギー === 電気容量 <math>C </math> のコンデンサーが <math>Q </math> の電荷を蓄え、極板間の電位差が <math>V </math> のとき、コンデンサーの蓄えるエネルギー <math>U</math> を求める。 コンデンサーに電荷 <math>Q' </math> の電荷が蓄えられたとき、極板間の電位差は <math>V' = \frac{Q'}{C}</math> である。この状態で微小電荷 <math>dQ'</math> を運ぶために必要な仕事は <math>V' dQ' = \frac{Q'}{C}dQ'</math> である。これを <math>Q'</math> が 0 から <math>Q</math> になるまで積分すればコンデンサーの蓄えるエネルギー <math>U</math> が求まる。 :<math>U = \int_0^Q \frac{Q'}{C}dQ' = [\frac{Q'^2}{2C}]_0^Q = \frac 1 2 \frac{Q^2}{C}</math> したがって、<math>U = \frac 1 2 \frac{Q^2}{C} = \frac 1 2 CV^2 = \frac 1 2 QV</math> である。 === コンデンサーの接続 === ====並列接続==== コンデンサーを並列につなげたとき、このコンデンサー全体としてみたときの電気容量を求める。 電気容量 <math>C_1 ,\,C_2 </math> の電気容量を並列につなげ、電圧 <math>V </math> の電源をつなげる。 それぞれのコンデンサーに蓄えられる電荷 <math>Q_1 ,\,\ Q_2 </math> は :<math>Q_1 = C_1V,\,Q_2 = C_2 V</math> である。 コンデンサーが蓄えた電荷の合計は <math>Q_1 + Q_2 =C_1V + C_2 V = (C_1 + C_2)V</math> である。 コンデンサー全体としてみたときの合成電気容量 <math>C </math> について <math>Q_1 + Q_2 = CV</math> となるので、これと比較して :<math>C = C_1 + C_2</math> を得る。 一般に、各iについて<math>Q_i : C_i</math>という比は一定となる。 ====直列接続==== コンデンサーを直列につなげたとき、このコンデンサー全体としてみたときの電気容量を求める。 電気容量 <math>C_1 ,\,C_2 </math> の電気容量を直列につなげ、電圧 <math>V </math> の電源をつなげる。2つのコンデンサーが蓄える電荷は等しい<ref>2つのコンデンサーの間の電荷保存則より、2つのコンデンサーが蓄える電荷は等しい。</ref>ので、これを <math>Q</math> とする。それぞれのコンデンサーの電圧 <math>V_1,\ V_2 </math> は :<math>V_1 = \frac Q {C_1} ,\,V_2 \frac{Q}{C_2}</math> である。この和が電源の電圧 <math>V </math> に等しいので :<math>V = V_1 + V_2 = \frac{Q}{C_1} + \frac{Q}{C_2}</math> コンデンサー全体としてみたときの合成電気容量 <math>C</math> は <math>V = \frac Q C</math> となるので、これと比較して :<math>\frac 1 C = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}</math> である<ref>コンデンサーの合成電気容量の式の形は、抵抗の合成抵抗のものと、直列・並列が逆になっている。</ref>。 一般に、各iについて<math>V_i : \frac{1}{C_i}</math>という比は一定となる。 === 金属板や誘電体を差し込んだコンデンサー === 誘電体の誘電率 <math>\varepsilon</math> と真空の誘電率 <math>\varepsilon_0</math> の比 <math>\varepsilon_\mathrm r = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}</math> を'''比誘電率'''という。 真空中で極板面積 <math>S</math>、極板間隔 <math>d</math> の平行板コンデンサーの電気容量 <math>C_0</math> は <math>C_0 = \varepsilon_0 \frac S d</math> である。 このコンデンサーの極板間に比誘電率 <math>\varepsilon_\mathrm r</math> の誘電体をすきまなく挿入したとき、コンデンサーの電気容量 <math>C</math> は :<math>C = \varepsilon_\mathrm r \varepsilon_0 \frac S d = \varepsilon_\mathrm r C_0</math> である。 === 球形コンデンサー === === 円筒コンデンサー === == 直流回路 == ===電流=== 導体断面を単位時間あたりに通過する電気量(電荷)を'''電流'''({{Lang-en-short|electric current}})という〔単位：'''A'''('''アンペア''')〕。時刻<math>t</math>において，電気量を<math>Q(t)</math>とすると，微小時間<math>\mathit{\Delta}t</math>間に電荷が<math>Q(t+\mathit{\Delta}t)-Q(t)</math>通過するとき，電流<math>I(t)</math>は :<math>I(t)=\lim_{\mathit{\Delta}t\to 0}\frac{Q(t+\mathit{\Delta}t)-Q(t)}{\mathit{\Delta}t}=\frac{dQ(t)}{dt}</math> である。また，断面積 <math>S</math> ，単位体積あたりの自由電子数が<math>n</math>の導体を電流が流れるとき，その電流の大きさ <math>I</math> は電気素量を <math>e</math> ，自由電子の速さを <math>v</math> として :<math>I=enSv</math> である。 === 電池の内部抵抗 === 電池の内部にもわずかに電気抵抗は存在する。これを電池の'''内部抵抗'''という。 起電力 <math>E </math> 、内部抵抗 <math>r</math> の電池に電流 <math>I</math> が流れるとき、電池の端子電圧 <math>V</math> は、内部抵抗による電圧降下は <math>rI</math> であるから :<math>V = E -rI</math> である。 === ジュール熱と消費電力 === 電圧を<math>V</math>，電流を<math>I</math>とすると，単位時間あたりの発熱量(ジュール熱)<math>P</math>は :<math>P=IV</math>. 起電力<math>E</math>、内部抵抗<math>r</math>の電池に<math>R</math>の抵抗をつなぐとき、抵抗での電位差<math>V</math>はオームの法則より<math>V=RI</math>，回路に流れる電流<math>I</math>は<math>I = \frac{E}{r+R}</math>であるから、抵抗での消費電力 <math>P</math> は :<math>P = RI^2 = \frac{RE^2}{(r+R)^2}</math> である。 ここで、<math>R</math> を変えたときの消費電力<math>P</math>の最大値を求める。 :<math>P = \frac{RE^2}{(r+R)^2} = \frac{E^2}{\frac{r^2}{R} + 2r +R}\cdots\cdots (*)</math> *解１ :<math>(*)</math>の両辺を<math>R</math>で微分すると ::<math>\frac{dP}{dR}=\frac{-E^2(-\frac{r^2}{R^2}+1)}{(\frac{r^2}{R} + 2r + R)^2}=\frac{E^2(r^2-R^2)}{(r^2+2Rr+R^2)^2}=\frac{E^2(r-R)}{(r+R)^3}</math>. :<math>\frac{dP}{dR}=0</math>のとき ::<math>R=r</math>. :よって<math>R>0</math>における<math>P</math>の増減表は以下のようになる。 ::<math>\begin{array}{c|c}R & (0)\cdots\; r\;\cdots \\ \hline \frac{dP}{dR} & \quad\ +\ \ 0\ \ - \\ \hline P & \quad\ \nearrow\frac{E^2}{4r}\searrow \\ \end{array}</math> よって，<math>R=r</math>のとき極大値<math>\frac{E^2}{4r}</math>をとる。 *解２ :相加平均・相乗平均より ::<math>\frac{r^2}{R} + R \ge 2\sqrt{\frac{r^2}{R}\cdot R} = 2r</math>. (等号成立は <math>\frac{r^2}{R} = R</math> すなわち <math>R = r</math> のとき) つまり、 <math>R = r</math> で <math>\frac{r^2}{R} + R</math> は最小値 <math>2r</math> を取る。すなわち、<math>P = \frac{E^2}{\frac{r^2}{R} + R + 2r}</math> は最大値 <math>\frac{E^2}{4r}</math> を取る。 ===キルヒホッフの第１法則=== 任意の結接点において，'''流入電流の和は流出電流の和に等しい'''。 :<math>\sum_\mathrm{inflow}I_i=\sum_\mathrm{outflow}I_{i'}'</math>. ===キルヒホッフの第２法則=== 任意の閉回路に対して，'''起電力'''({{Lang-en-short|electromotive force}})'''の和は電圧降下'''({{Lang-en-short|voltage drop}})'''の和に等しい'''。 :<math>\sum_\mathrm{closed\ circuit}V_\mathrm{emf}=\sum_\mathrm{closed\ circuit}V_\mathrm{drop}</math>. ===電流計と電圧計=== 電流計の仕組み・分流器・電圧計の仕組み・倍率機 ===抵抗の測定=== ====抵抗率の温度変化==== <math>\rho_t = \rho_0(1+\alpha t)</math>が成り立つ。ただし、<math>\alpha</math> は抵抗の'''温度係数'''である。 この式は[[高等学校物理基礎/熱#熱膨張|線膨脹・体膨脹]]と同じ形である。 ====メートルブリッジ==== ====ホイートストンブリッジ==== ===電位差計=== ===非直線抵抗=== === 定常状態 === ==半導体== 必要があれば[[高等学校 化学基礎]]及び[[高等学校 化学]]を参照。 ===半導体の種類=== '''半導体'''は、導体と絶縁体の中間の通電性を持つ物質である。'''珪素（シリコン）'''はその代表格である。 珪素(Si)の結晶はダイヤモンド型共有結合結晶であり、非常に硬く熱に強い。そのため、'''セラミック'''として様々な用途で用いられる。（人工衛星の外壁、庖丁、陶器etc.）詳しくは[[高校化学 14族元素#ケイ素|無機化学]]を参照。ゲルマニウム(Ge)も共有結合結晶をつくる元素である。Si、Geともに価電子数は4で、これらを互いに共有することによって共有結合をなす。 SiやGeは、常温では抵抗率が大きく通電性が低いものの、高温下では自由電子が生じて通電性が高まる。このような半導体を'''真性半導体'''という。真性半導体に微量の不純物を入れると、通電性が高まる。このような半導体を'''不純物半導体'''という。 電流の担い手を'''キャリア'''という。 真性半導体に微量のアルミニウム(Al)やインジウム(In)などを混ぜたものを'''p型半導体'''という。AlやInは価電子を3つしか持たないので、共有結合をするには電子が一個不足し、電子のない所ができる。これを'''正孔（ホール）'''という。電場を与えると、電子が移動して正孔を埋める。移った電子がいたところが新たな正孔となるのでまた別の電子が移動し・・・と繰り返すことによりホールが電場の向きに移動し、電流の担い手となる。よって、'''p型半導体のキャリアは正孔'''である。p型のpは正孔が正電荷(positive charge)であることに由来する。 真性半導体に微量の燐(P)やアンチモン(Sb)などを混ぜたものを'''n型半導体'''という。PやSbは価電子を5つ持つので、4つが共有結合に加わり1つ余ってしまう。この余った1つは結晶を自由に動き回ることによって電流の担い手となる。よって、'''n型半導体のキャリアは電子'''である。n型のnは電子が負電荷(negative charge)であることに由来する。 ===ダイオード=== p型とn型を接合（'''pn接合'''）し、両端に電極をつけた部品を'''半導体ダイオード'''という。p型半導体側を'''アノード'''、n型半導体側を'''カソード'''、接合した面を'''接合面'''という。接合面付近ではキャリアが殆ど存在しない領域が発生し、この領域を'''欠乏層'''または'''空乏層'''という。欠乏層の両端間には残存キャリアに由来する電位差が発生し、これを'''拡散電圧'''という。 半導体ダイオードは一方向にのみ電流を流す作用('''整流作用''')を持つ。整流作用は、交流電流から直流電流への変換や、AEDが電気ショック前に行う充電などに応用されている。 ダイオードの'''順方向'''（アノード→カソードの向き）に電圧を加えると、拡散電圧と逆向きに加わる電場によってp型の中の正孔がn型へ、n型の中の電子がp型へ引かれ、pn接合面で一対づつ結合して消える('''再結合''')。その一方で、電極からはキャリアが供給され続ける。よって、電流が流れ続ける（'''順方向バイアス'''）。 ダイオードの'''逆方向'''（カソード→アノードの向き）に電圧を加えると、拡散電圧と同じ向きに加わる電場によってp型の中の正孔はp型側の電極へ、n型の中の電子はn型側の電極へ引かれ、p型で負電荷・n型で正電荷が過剰になって空乏層が広がる。このとき少数キャリアは電源に引き寄せられて空乏層を超え、微小電流のみが流れる（'''逆方向バイアス'''）。 半導体に光が当たると半導体を構成する原子から電子が離れ、正孔が生まれる。このとき、pn接合面付近に電位差が生まれるのでn型側の電極に電子、p型側の電極に正孔が集まる。よって、p型が正極、n型が不極の電池となる。このような仕組みの電池を'''太陽電池'''という。 太陽電池とは逆に電気を光に変換する半導体部品を'''発光ダイオード'''という。砒化ガリウム(GaAs)のような半導体のpn接合に順方向の電圧を加えると、キャリアが再結合する際に発光する。発光ダイオードは太陽電池と同様に光を当てると起電力を生じる。このとき、発光する色と同色の光を当てると起電力が大きくなる。 ===トランジスタ=== 電気信号を増幅する働き（'''増幅作用'''）を持つ電子部品を'''トランジスタ'''という。 '''バイポーラトランジスタ'''（BJT）は3つの不純物半導体を組合せた部品であり、p型2つの間にn型を挟んだ'''pnp型トランジスタ'''とn型2つの間にp型を挟んだ'''npn型トランジスタ'''が存在する。バイポーラトランジスタを構成する3つの部分をそれぞれ'''エミッタ'''(E)、'''ベース'''(B)、'''コレクタ'''(C)という。バイポーラトランジスタでは電子・正孔の双方がキャリアとして振舞う。 npn型のC-E間に電圧を加えた状態でE-B間に順方向の電圧を加えると、EからBに向かってキャリアが送り込まれ、その大部分はCへと流れ込む。よって、Bの電極に流れる電流はCの電極に流れる電流よりも非常に大きな値となる。これを利用すると、'''B電流の小さな変化をC電流の大きな変化に変換できる'''。pnp型でも同様にして増幅作用を確かめられる。 バイポーラトランジスタは、B電流の制御によりCに電流が流れる状態(ON)と全く流れない状態(OFF)を作ることができる。これをトランジスタの'''スイッチング作用'''という。 C電流のON-OFFによってデジタル信号を作り出すことができ、計算等の処理を電気回路で行うことができる。 '''ユニポーラトランジスタ'''（'''電界効果トランジスタ'''、FET）はバイポーラトランジスタと異なり、電子・正孔の片方のみがキャリアとして振舞う。 半導体基板の上に絶縁層（二酸化珪素）を挟んで金属電極が載せられた構造のユニポーラトランジスタを'''金属酸化被膜半導体電界効果トランジスタ'''（MOSFET）という。バイポーラトランジスタのエミッタ・ベース・コレクタに対応する部分を'''ソース'''（S）、'''ゲート'''（G）、'''ドレイン'''（D）という。ソース・ドレイン電極にn型・基盤にp型半導体を用いたMOSFETを'''nチャネルMOSFET'''（nMOS）、ソース・ドレイン電極にp型・基盤にn型半導体を用いたMOSFETを'''pチャネルMOSFET'''（pMOS）という。nMOSのキャリアは電子、pMOSのキャリアは正孔である。 ソースとドレインの間はG電圧の印加に伴うキャリア数の増減によって形成される'''チャネル'''（反転層）を通じて導電する。バイポーラトランジスタがB電流の制御でC電流を調節したように、MOSFETはG電圧の制御によりS-D間の電流を調節する。 nMOSとpMOSを同一基板上で相補的に配置したトランジスタを'''相補型MOSFET'''（CMOS）という。 CMOSはバイポーラトランジスタに比べて消費電力が少なく、集積化に適している。そのため、現在最も用いられているトランジスタはCMOSである。 ===LSI=== コンピュータの黎明期には、トランジスタに相当するものとして'''真空管'''が用いられていた。これは当時画期的な電子部品だったが、真空管を用いたコンピュータは耐久性が低く、発熱しやすく、装置が巨大になるという欠点を抱えていた。 真空管に代わってトランジスタが用いられるようになると、コンピュータの小型化と演算回路の高速化が進んだ。 その後、多数のトランジスタやコンデンサー、抵抗などの電気素子を小さな基盤上に集積した'''集積回路(IC)'''が発明されると、コンピュータの小型化と高性能化は怒濤の早さで進んだ。1000個以上の素子を集積したICを特に'''大規模集積回路(LSI)'''というが、2024年現在では10億を超えるトランジスタを実装したLSIが量産されている。 集積回路内の回路素子は、半導体である珪素(Si)が酸化されると絶縁体(SiO₂)に変わるという性質を利用している。シリコンウエハースを局所的に酸化し、微小領域を絶縁体で囲む。この中にp型・n型の領域を形成すると、互いに絶縁された多数の微小ユニポーラトランジスタが出来上がる。同じ表面にコンデンサーや抵抗も形成し、これらを配線することでICが完成する。 LSIの高機能化・高性能化・低消費電力化を実現するには、より微細な回路素子を高密度に集積することが求められる。処理工程の精密な制御技術と回路パターン形成のための精密な写真技術の進歩により、2024年現在では30 nmを下回る寸法の回路パターンを持つものも量産されている。 LSIはCPU・RAMの主用部品だが、それ以外にも多様な部品に使われている。高速応答性が要求される領域では、砒化ゲルマニウム(GeAs)やガリウムインジウムリン(InGaP)といったシリコン以外の半導体を使ったLSIも用いられている。また、近年は二酸化珪素の代わりに酸化ハフニウム（HfO₂）を絶縁膜とするものも使われている。 ===コンデンサーやダイオードを含む直流回路=== =磁気= 以下では磁気を扱う。その際[[w:クロス積|外積(ベクトル積)]]を用いることがあるので必要に応じて参照されたい。 ==磁気力と磁場== 磁石に鉄粉をかけると磁石の両端によく付着する。この鉄粉を吸引する力の原料力とみられる部分(最も強い部分)を磁石の'''磁極'''という。磁極同士或いは磁石同士，電流同士，電流と磁石が互いに引き合い或いは斥け合う力のことを'''磁気力'''('''磁力''')という。磁極の強さを表す量を'''磁気量'''（'''磁荷'''）という。磁荷の単位はウェーバー <math>\mathrm{Wb}</math> である<ref>磁石の磁荷は、正の磁荷と負の磁荷は必ずセットで存在する。電荷のように、正の磁荷だけが存在することはないと考えられている。単体で存在する正あるいは負の磁荷を磁気単極子という。磁気単極子は今まで観測されたことがないが、物理学上の仮説である大統一理論によれば、磁気単極子が存在することが予想されている。</ref>。 2つの点電荷の間にクーロンの法則が成り立つように、2つの点磁荷の間にもクーロンの法則が成り立つ。 つまり磁気力<math>F</math>に就て、 :<math>F = k_m\frac{m_1m_2}{r^2}</math> である。 ここで<math>m_1, m_2</math>はそれぞれの点磁荷の磁気量、<math>k_m</math>は比例定数（磁気クーロン定数）である。真空中では<math>k_m = 6.33\times10^4 \, \mathrm{N\cdot m^2/Wb^2}</math>。真空の誘電率を <math>k_0=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}</math> で定義したのと同じように、真空の透磁率（磁気定数）を <math>k_m=\frac{1}{4\pi\mu_0}</math> で定義する。 電場が電荷に力を及ぼす空間の性質である一方，'''磁場'''（'''磁界）'''は運動している電荷に力を及ぼす空間の性質である。磁場は電場と同様に，大きさと向きを持つベクトルである。磁場ベクトル<math>\overrightarrow H</math>の点に，磁気量 <math>m</math> の磁極を置いたとき，この磁極に働く力を <math>F</math> とすると :<math>\overrightarrow H =\frac{\overrightarrow F}{m}</math>　(2.1) が成り立つ。 ===磁束密度=== '''磁束密度'''を<math>\overrightarrow B</math>は，磁場<math>\overrightarrow H</math>と'''透磁率''' <math>\mu</math> を用いて :<math>\overrightarrow B =\mu \overrightarrow H </math>(2.2) と表される。なお，この磁束密度<math>\overrightarrow B</math>のことを単に磁場と呼ぶこともある。 真空の透磁率は<math>\mu_0 = 1.26 \times 10^{-6} \, \mathrm{N/A^2} \fallingdotseq 4 \pi \times 10^{-7}\, \mathrm{N/A^2}</math> である。物質の比透磁率は<math>\mu_r = \frac{\mu}{\mu_0}</math>で求められる。地球大気の比透磁率はほぼ1であり、鉄の比透磁率は8000である。 ==電流が作る磁場== 電流<math>\overrightarrow I</math>の流れている導線Cを微小区間に分割する。電流によって作り出される磁場を定めている'''ビオ・サヴァールの法則'''({{Lang-en-short|Biot–Savart law}})により，位置<math>\vec{r'}</math>にある微小区間<math>dl</math>の電流が位置<math>\overrightarrow r</math>に作る磁束密度は :<math>d\overrightarrow B(\overrightarrow r)=\frac{\mu _0}{4\pi}\cdot\frac{\overrightarrow I\times(\overrightarrow r-\vec{r'})}{|\overrightarrow r-\vec{r'}|^3}dl</math>. (2.3) 電流全体の作る磁束密度は全微小区間からの寄与を足し合わせれば，つまり積分すれば求まる。 :<math>\overrightarrow B(\overrightarrow r)=\frac{\mu _0}{4\pi}\int\frac{\overrightarrow I\times(\overrightarrow r-\vec{r'})}{|\overrightarrow r-\vec{r'}|^3}dl</math>. (2.4) ===無限に長い直線電流=== [[File:Biot–Savart law long linear currents.png|thumb|right|225px|無限に長い直線電流]][[Image:Right hand rule.png|thumb|right|右ねじの法則]] 右図のように，電流にそって<math>z</math>をとり，磁場を求める点Pを通るように<math>x</math>軸をとると<math>(\overline{\mathrm{OP}}=r)</math>，<math>xyz</math>空間において<math>\overrightarrow r=(r,\ 0,\ 0).\ \vec{r'}=(0,\ 0,\ z')</math>とおくと<math>z</math>軸上の微小区間<math>[z',\ z'+dz']</math>の電流が点Pに作る磁束密度は[[w:クロス積|外積]]の性質より<math>\overrightarrow I</math>と<math>\overrightarrow r-\vec{r'}</math>に垂直，すなわち :<math>d\overrightarrow B(\overrightarrow r)=(0,\ dB(r),\ 0)</math> と<math>y</math>成分のみで，<math>|\overrightarrow r-\vec{r'}|=\sqrt{r^2 +{z'}^2}</math>であるから :<math>dB(r)=\frac{\mu _0}{4\pi}\frac{I\sin\theta}{r^2 +{z'}^2}dz'=\frac{\mu _0I}{4\pi}\frac{rdz'}{(r^2+{z'}^2)^{\frac{3}{2}}}</math>. よって電流全体が作る磁束密度<math>B</math>は(2.4)より :<math>B(r)=\frac{\mu _0I}{4\pi}\int _{-\infty}^\infty \frac{rdz'}{(r^2+{z'}^2)^{\frac{3}{2}}}</math>. ここで，<math>z'=r\tan\phi</math>とすると :<math>\frac{dz'}{d\phi}=r\frac{\cos ^2\phi-\sin\phi(-\sin\phi)}{\cos ^2\phi}=\frac{r}{\cos ^2\phi}\quad\therefore dz'=\frac{rd\phi}{\cos ^2\phi}\quad\begin{array}{c|c}z' & -\infty\to \infty \\ \hline \phi & -\frac{\pi}{2}\to \frac{\pi}{2} \\ \end{array}</math> であるから(置換積分) :<math>B(r)=\frac{\mu _0I}{4\pi}\int _{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \frac{r\frac{rd\phi}{\cos ^2\phi}}{(r^2+r^2\tan^2\phi)^{\frac{3}{2}}}=\frac{\mu _0I}{4\pi}\int _{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \frac{\cos\phi}{r}d\phi=\frac{\mu _0I}{4\pi r}[\sin\phi]_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}</math>. 以上より直線電流が作る磁束密度は電流まわりに渦巻き状に分布し，電流から垂直距離<math>r</math>離れた位置では :大きさ：<math>B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\Longleftrightarrow H(r)=\frac{I}{2\pi r}\ (\because(2.2))</math> (2.5) :向き：<math>I</math>に垂直な面内で<math>I</math>に対して右回り('''右ねじの法則''') ===円形電流=== 半径rの円形導線に大きさIの電流が流れるとき、円の中心での磁場の強さHは<math>H = \frac{I}{2r}</math>と表される。 導出は直線電流の場合と同様である。 ===ソレノイド=== 導線を密に巻いた十分に長い円筒状のコイルを'''ソレノイド'''という。 ソレノイドの作る磁場は、一定の間隔で並ぶ円形電流が周囲に作る磁場の重ね合わせと考えると、<math>H=nI</math>と求まる。但し、nはコイルの'''単位長さあたりの'''巻数である。 ==磁場が電流に及ぼす力== [[Image:Fleming's_Left_Hand_Rule.png|thumb|right|フレミングの左手の法則]] 磁束密度(磁場)<math>\overrightarrow B</math>が長さ<math>l</math>の電流<math>\overrightarrow I</math>に及ぼす力(電磁力，アンペール力)<math>\overrightarrow F</math>は :<math>\overrightarrow F=l\overrightarrow I\times\overrightarrow B</math> と表され，磁束密度<math>\overrightarrow B</math>と電流<math>\overrightarrow I</math>のなす角を<math>\theta</math>として[[w:クロス積|外積]]の性質より :大きさ：<math>F=lIB\sin\theta</math> (磁場<math>\overrightarrow H</math>と真空の透磁率<math>\mu _0</math>を用いると(2.2)より<math>F=\mu _0lIH\sin\theta</math>) :向き：'''フレミングの左手の法則'''に従う，或いは電流の向きと磁場の向きに垂直に立てた右ねじを電流の向きから磁場の向きに回したときに右ねじの進む向き 2つの平行電流が及ぼしあう力を求めてみよう。 十分に長い2本の平行導線P,Qをrだけ離し、それぞれに大きさI₁,I₂の電流を流す。電流の向きが等しいとき、PがQの長さlの部分に及ぼすアンペール力は、<math>F = I_2 B_1 l = I_2 \frac{\mu I_1}{ 2\pi r} l = \frac{\mu I_1 I_2}{2 \pi r}l</math>と求まる。このとき、QがPのlの部分に及ぼすアンペール力はFと同じ大きさで同じ向きである。 電流の向きが反対のとき、及ぼしあうアンペール力の向きも反対となる。 ==ローレンツ力== 一般に荷電粒子が磁場を横切ると，磁場から力を受けることが知られている。電場<math>\overrightarrow E</math>，磁束密度<math>\overrightarrow B</math>の中で，速度<math>\overrightarrow v</math>，電荷<math>q</math>の荷電粒子に働く力 :<math>\overrightarrow F=q(\overrightarrow E+\overrightarrow v\times\overrightarrow B)</math>， 特に磁束密度<math>\overrightarrow B</math>の中で速度<math>\overrightarrow v</math>，電荷<math>q</math>の荷電粒子に働く力 :<math>\overrightarrow F=q\overrightarrow v\times\overrightarrow B</math> をローレンツ力({{Lang-en-short|Lorentz force}})という。磁束密度<math>\overrightarrow B</math>と速度<math>\overrightarrow v</math>のなす角を<math>\theta</math>として[[w:クロス積|外積]]の性質より :大きさ：<math>F=qvB\sin\theta</math> :向き：'''フレミングの左手の法則'''に従う，或いは正電荷のときに荷電粒子の速度の向きと磁場の向きに垂直に立てた右ねじを速度の向きから磁場の向きに回したときに右ねじの進む向き(負電荷では逆になる) サイクロトロン・ベータトロン ==磁束== 閉曲線Cの正の向きを定め，その向きに右ねじを回してねじが進む向きにCの囲む面の法線ベクトル<math>\overrightarrow n</math>をとる。Cの囲む面の面積を<math>S</math>としてCを貫く磁束<math>\mathit{\Phi}</math>は :<math>\mathit{\Phi}=\int\overrightarrow B\cdot\overrightarrow ndS</math> 特に<math>\overrightarrow B\cdot\overrightarrow n</math>が一様であるときは :<math>\mathit{\Phi}=\overrightarrow B\cdot\overrightarrow nS=BS\cos\theta</math>. ==電磁誘導== ===誘導起電力=== コイルの両端に検流計を繋ぎ、棒磁石をコイルに近づけたり遠ざけたりすると検流計の針が振れる。このように、閉回路を貫く磁場（磁束）の時間変化によって閉回路に電圧が生じて電流を生ずる現象を'''電磁誘導'''という。生じた電圧を'''誘導起電力'''、電流を'''誘導電流'''という。 誘導起電力は以下の'''レンツの法則'''に従う。 :誘導起電力は、誘導電流による磁束が外部から加えられた磁束変化を妨げる方向に発生するような向きに生じる。 具体例）鉛直に立てられたコイルに棒磁石のN極を近づけると、磁束の増加する方向（鉛直下向き）とは逆向き（鉛直上向き）の磁束が発生する向き（時計回り）に誘導電流が流れる。 イギリスのファラデーは、実験を通して「コイルに発生する誘導起電力の大きさはコイルを貫く磁束の単位時間あたりの変化量とコイルの巻数に比例する」という事実を発見した。これを定式化したのが、次の'''ファラデーの電磁誘導の法則'''である。 :<math>V = - N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}</math> 負の符号は、レンツの法則による。また、Nはコイルの巻数である。 一般に、誘導起電力<math>V_\mathrm{emf}</math>は :<math>V_\mathrm{emf}=-\frac{d\mathit{\Phi}}{dt}</math>. と表される。 電磁誘導は、コイルを磁場に出し入れする場合も起こる。 長さlの導線が磁束密度Bの磁場を速さvで横切り、磁場ベクトルと導線の速度ベクトルのなす角度がθであるとき、誘導起電力は以下の式で表される。 :<math>V_\mathrm{emf}=-\frac{d\mathit{\Phi}}{dt}=-\frac{d(Blvt\cos(\frac{\pi}{2}-\theta))}{dt}=-Bl\frac{d(vt)}{dt}\sin\theta=-Blv\sin\theta</math>. また，誘導起電力の大きさを単位電荷あたりのローレンツ力がする仕事として考えると以下のような求め方もできる。 :<math>|V_\mathrm{emf}| = l |\vec{v} \times \vec{B}| = vBl \sin \theta</math> 無限に長い2本の導線に起電力<math>V_0</math>の電池と抵抗値<math>R</math>の抵抗を直列に繋げ、長さ<math>l</math>の軽い導線を乗せる。磁束密度<math>B</math>の磁場を回路に垂直にかけ、乗せた導線に質量<math>m</math>の錘をつけて速さ<math>v</math>で引き上げる。 導線の両端に生じる誘導起電力の大きさは、<math>\sin 90^\circ = 1</math>より<math>vBl</math>である。レンツの法則より誘電起電力の向きは電池の向きと逆なので、回路に流れる電流の大きさを<math>I</math>とするとキルヒホッフの第二法則より<math>V_0 - vBl = RI</math>である。 時間をtとしてItを両辺にかけて変形すると、<math>IV_0t = vt IBl + I^2 Rt</math>。導線と錘は等速運動をするので、重力加速度を<math>g</math>とするとローレンツ力と重力の釣り合いより<math>IBl = mg</math>である。導線と錘の移動距離<math>vt</math>を<math>h</math>とおくと、最終的にこのような式となる。 :<math>IV_0t = mgh + RI^2 t</math> 左辺は電池のする仕事、右辺は重力による位置エネルギーと抵抗で発生するジュール熱である。 このように、誘電起電力が発生する場合もエネルギー収支を考えることが可能である。 なお、導線の速さが変化する場合でも、レンツの法則より速度変化を妨げる向きに誘導起電力が発生するため、最終的に等速運動となる。 === 渦電流 === コイルと同様に、金属板の上で磁石を動かしたりするときにも金属板に誘導電流が流れる。これを'''渦電流'''という。 S極が上の磁石を銅板上で動かすと、磁石が遠ざかる側は銅板を下向きに貫く磁束が減少するため、レンツの法則より磁束が増加する向きに電流が流れる。逆に、磁石が近付く側は磁束が減少する向きに電流が流れる。例えば、右向きに動かす場合は左回転の渦電流が発生する。 渦電流は磁気力によって生ずるため、銅板と磁石の接触は必ずしも必要ではない。 このように、環状のコイルでない場合にも誘導電流は発生する。さらに、金属が存在しない空間においても、磁場が変化するとその周りに電場が生ずる。これを'''誘導電場'''という。 渦電流が応用された製品として、大型車に用いられる補助ブレーキや、IHC（電磁気調理器、Induction Heating Cooker）がある。 === 自己誘導 === 先ほど学んだように、コイルに一定の電流を流すと一定の磁場が生じる。ここでは、流す電流を変化させた場合を考える。 コイルに流れる電流を変化させるとき、レンツの法則より電流の作る磁場の変化を妨げる向きの磁束が生じ、誘導起電力は電流の増減を妨げる向きに発生する。故に、電流の変化は瞬時には起こらない。 このように、コイルに流れる電流の変化を妨げる向きにコイルに誘導起電力が生じることを'''自己誘導'''という。また、自己誘導による誘導起電力を'''逆起電力'''という。 電流が作る磁場の強さHは電流Iに比例し、コイルを貫く磁束ΦもIに比例する。よって、比例定数をkとして :<math>\Phi = kI</math> と表せる。 <math>\Delta t</math>秒間の変化を考えると、電流の変化<math>\Delta I</math>と磁束の変化<math>\Delta \Phi</math>の間には :<math>\Delta \Phi = k \Delta I</math> という関係が成り立つ。 よって、ファラデーの電磁誘導の法則より :<math>V = - N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = - Nk\frac{\Delta I}{\Delta t}</math> であり、比例定数をLとおくと :<math>V_L = -L \frac{\Delta I}{\Delta t}</math> となる。 この比例定数Lはコイルの自己誘導の大きさを表し、'''自己インダクタンス'''（自己誘導係数、自己誘導子）という。 自己インダクタンスの単位は'''ヘンリー'''(記号：H (=m²・kg / s²・A²))である。 単位長さあたりの巻数n、長さl、断面積Sのコイルに透磁率μの芯を入れる場合を考える。 コイル内部の磁束密度は :<math>B = \mu H = \mu n I</math> コイルを貫く磁束は :<math>\Phi = BS = \mu n I S</math> よって先ほどの比例定数kは :<math>k = \mu n S</math> コイルの巻き数は :<math>N = nl</math> よって :<math>L = Nk = nl \cdot \mu nS = \mu n^2 l S</math> ここで、μの単位はN/A²、nの単位は1/m、lの単位はm、Sの単位はm²であり、N=m・kg/s²なので、自己インダクタンスの単位Hが基本単位表記でm²・kg / s²・A²となることを確かめられた。 自己インダクタンスLのコイルに流れる電流を0からIにするには、逆起電力に逆らって仕事をする必要がある。この仕事がコイルに蓄えられるエネルギーUとなる。 :<math>U = \int_{0}^{I} LI dI = \frac{1}{2}LI^2</math> === 相互誘導 === 二つのコイルが存在するとき、コイル1の電流の変化によって生じる磁束の変化の影響でコイル2に誘導起電力が生じる現象を'''相互誘導'''という。 二つのコイルを貫く磁束は同一のものであるから、コイル2に生じる誘導起電力はコイル1の電流<math>I_1</math>の時間変化の割合に比例する。 よって、比例定数をMとして :<math>V_M = -M \frac{\Delta I_1}{\Delta t}</math> このMを'''相互インダクタンス'''（相互誘導係数、相互誘導子）という。単位は自己インダクタンスと同じくHである。 相互インダクタンスの値は、2つのコイルの巻数や形状、芯の透磁率、コイルの相互位置などによって決まる。 == 交流 == ===交流の発生=== 辺ABの長さがl、巻数1の長方形コイルABCDが磁束密度Bの磁場の中で速さv,角速度ωで回転している状況を考える。ただし、磁場の向きは時刻0におけるコイルの向きに対して鉛直上向きであるとする。 A→B→C→Dの向きを正とすると、時刻tにおいて辺ABに生じる誘導起電力は<math>vBl \sin \omega t</math>であり、辺DCにも同符号で同じ大きさの誘導機電力が生じる。辺BCと辺ADは磁場を横切らずに回転するので誘導起電力は生じない。故に、コイル全体では誘導起電力<math>V = 2vBl \sin \omega t</math>である。 辺BCの長さが2rであるとすると、<math>v = r \omega</math>より<math>V = 2r\omega Bl \sin \omega t</math>である。 このとき、<math>t</math>の値によってVは符号（=向き）を変えながら周期的に変化する。このような電圧を'''交流電圧'''といい、<math>\omega t</math>を'''位相'''という。 <math>\sin \omega t = 1</math>のときVは最大値<math>2r\omega Bl</math>をとり、これを<math>V_0</math>と書く（'''交流電圧の最大値'''）。 このコイルを回路に組み込むと、周期的に向きが変わる電流が流れる。これを'''交流電流'''、略して'''交流'''という。 交流の周期T、周波数fはそれぞれ<math>T = \frac{2\pi}{\omega}, f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}</math>と表される。 <math>\omega = 2\pi f</math>を'''角周波数'''という。 交流の周波数は東日本では50Hz、西日本では60Hzである。これは、電気機械を輸入した国の違い（東：ドイツ、西：アメリカ）から発生した違いである。現在の世界において交流に複数の周波数を採用している国は非常に珍しく、一つの国の中で 50Hzと60Hzの独立した系統を有し、かつ周波数変換施設で連系しているのは日本のみである。 交流電圧はファラデーの電磁誘導の法則から導出することもできる。 コイル面の面積は<math>S = 2rl</math>であり、コイルを貫く磁束は<math>\Phi = BS \cos \omega t</math>である。 ファラデーの電磁誘導の法則より<math>V = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d}{dt}(BS \cos \omega t) = -BS \frac{d}{dt} \cos \omega t = BS\omega \sin \omega t</math> ここで<math>BS \omega = 2Brl \omega = V_0</math>であり、<math>V = V_0 \sin \omega t</math>が得られた。 このとき、<math>\Phi_0 = BS</math>はコイルを貫く磁束の最大値である。 交流においてもオームの法則が成り立つので、回路に繋いだ抵抗の抵抗値をRとすると<math>I = \frac{V_0}{R} \sin \omega t</math>である。<math>\sin \omega t = 1</math>のとき電流は最大値<math>\frac{V_0}{R}</math>をとり、これを<math>I_0</math>と表す（'''交流電流の最大値'''）。 このとき、電流と電圧の時間的変化の仕方は等しいので、電流と電圧は'''同位相'''である。 同位相な電圧と電流について、常に<math>V_0 = RI_0</math>である。 家庭で使用される100Vの交流電圧の最大値は約141Vであり、交流電圧は-141~141Vの間で周期的に変化している。100Vというのは、この交流のする仕事が100Vの直流のする仕事に等しいことからきている。このように、交流電圧・交流電流の大きさにはそこから計算される電力が直流と同等の効果を持つような値が用いられる。これを'''実効値'''という。交流電圧計や交流電流計の値は実効値で示される。 電球の消費電力Pについて考えると、<math>P = IV = I_0V_0 \sin^2 \omega t = \frac{I_0V_0}{2} (1-\cos 2\omega t)</math>となり、<math>0 \sim I_0 V_0</math>[W]の間で周期的に変化する。その時間平均をとると、P-tグラフから<math>\overline{P} = \frac{1}{2} I_0 V_0</math>とわかる。ここで、直流と同様に<math>\overline{P} = I_eV_e = RI^2_e = \frac{V^2_e}{R}</math>という式が成り立つように実効値<math>I_e, V_e</math>を定めたい。この条件を満たすような実効値の定め方は一意であり、それは<math>I_e := \frac{I_0}{\sqrt{2}}, V_e := \frac{V_0}{\sqrt{2}}</math>である。 これらの議論から、<math>V_e = R I_e</math>が成り立つ。 実効値を用いると、直流の場合と同様に電力・オームの法則の計算ができる。 実効値に対して、各時刻における電流値・電圧値をそれぞれの'''瞬間値'''（瞬時値）という。<math>I_0, V_0</math>は瞬間値の最大値である。 電磁誘導を用いて交流電圧を変える装置を'''変圧器'''(トランス)という。変圧器は、巻数の異なる2つのコイルを共通の鉄芯(コア)に巻きつけた構造をしている。交流電源側のコイルを'''一次コイル'''、もう片方のコイルを'''二次コイル'''という。 一次コイルに交流電圧が流れると交流は常に大きさと向きが変化するため、鉄芯内の磁束<math>\Phi</math>が変化して電磁誘導が起こる。それぞれのコイルに発生する誘導起電力を<math>V_1, V_2</math>、コイルの巻数を<math>N_1, N_2</math>とする。 鉄芯の内部を貫く磁束が鉄芯外部に漏れないものとすると、磁束・磁束の時間変化ともに両方のコイルに共通なので<math>V_1 = -N_1 \frac{d\Phi}{dt}, V_2 = -N_2 \frac{d \Phi}{dt}</math>である。 <math>V_1, V_2</math>の実効値を<math>V_e, V_\varepsilon</math>とすると、<math>V_e : V_\varepsilon = N_1 : N_2</math>となり、コイルの巻数の比と交流電圧の比が等しくなる。 電流損失が無視できる場合、一次コイルの電力と二次コイルの電力は等しいのでエネルギー保存則が成り立ち、二次コイルの電圧を高くすると二次コイルの電流は小さくなる。 発電所で発電された交流電気は変圧器によって超高電圧に上げてから送電されている。これは、送電線に流れる電流を小さくして送電線で発生するジュール熱（=エネルギー損失）を小さくするためである。 街に届いた交流電気は再度変圧器によって100Vに変換されてから各家庭に届けられる。 ===交流回路=== コイルやコンデンサーを含む交流回路では、電流と電圧に位相差が生じることが知られている。そのため、交流回路について考えるとき、<math>I = I_0 \sin \omega t, V = V_0 \sin (\omega t + \phi)</math>とおいて<math>V_0, I_0</math>の関係及び<math>\phi</math>を明確にすることが重要である。 ====交流と抵抗==== 抵抗のみが接続されている場合、先ほど求めた関係式<math>V_0 = RI_0</math>から電流と電圧の位相差は<math>\phi = 0</math>であるとわかる。すなわち、交流電圧<math>V_R</math>と交流電圧<math>I_R</math>は同位相である。 交流電圧と交流電流の時間変化を考える時、xy平面上で原点を中心に一定の角速度で回転する二つのベクトルを考えることがある。原点を始点として、回転角が位相に対応し<math>|\vec{I_R}| = I_{R_0}, |\vec{V_R}| = V_{R_0}</math>となるように<math>\vec{I_R}, \vec{V_R}</math>をとる。このとき、各ベクトルのy成分が交流電流・交流電圧それぞれの瞬間値を表す。 電気素子を一つだけ繋いだ交流回路において、<math>X = \frac{V_0}{I_0} = \frac{V_e}{I_e}</math>で定義される量を'''リアクタンス'''（誘導抵抗、感応抵抗）という。単位は抵抗値と同じくΩを用いる。リアクタンスは交流に対する抵抗の働きを表す。 抵抗のリアクタンスは<math>X_R = R</math>であり、交流の周波数に関係なく一定である。 ====交流とコイル==== コイルを含む回路に交流電圧を加えるとき、直流電圧を加えるときよりも流れる電流が小さくなる。すなわち、コイルは交流電流に対して抵抗のような働きをし、リアクタンスを考えることができる。 交流電源とコイルのみからなる回路について、コイルに生じる誘導起電力を<math>V'</math>、コイルの自己インダクタンスを<math>L</math>とする。 キルヒホッフの第二法則より<math>V + V' = 0</math>であり、<math>V' = -L \frac{\Delta I}{\Delta t}</math>なので、<math>V = L \frac{\Delta I}{\Delta t}</math>・・・(＊)と求まる。 <math>\Delta I</math>は時刻<math>t \sim t+\Delta t</math>間の電流変化なので、 :<math>\Delta I = I_0 \sin \{ \omega (t + \Delta t) \} - I_0 \sin \omega t</math> ::<math>=I_0 \sin (\omega t + \omega \Delta t) - I_0 \sin \omega t</math> ::<math>=I_0 (\sin \omega t \cdot \cos \omega \Delta t + \cos \omega t \cdot \sin \omega \Delta t) - I_0 \sin \omega t</math> ここで<math>|\Delta t| \ll 1</math>と見做して<math>\lim_{\theta \to 0} \sin \theta = \theta, \lim_{\theta \to 0} \cos \theta = 1</math>の関係を用いると、 :<math>\Delta I \fallingdotseq I_0 (\sin \omega t + \omega \Delta t \cos \omega t - \sin \omega t)</math> ::<math>= \omega I_0 \cos \omega t \cdot \Delta t</math> :<math>\therefore \frac{\Delta I}{\Delta t} = \omega I_0 \cos \omega t</math> と求まる。 これを(＊)に代入すると、 :<math>V_0 \sin (\omega t + \phi) = L \omega I_0 \cos \omega t </math> これが<math>t</math>の恒等式となるので、<math>V_0 = \omega L I_0</math>かつ<math>\sin (\omega t + \phi) = \cos \omega t</math>が<math>t</math>の恒等式である。 すなわち、<math>X_L = \omega L, \phi = \frac{\pi}{2}</math>である。 ここから、コイルの交流電圧<math>V_L</math>の位相は交流電流<math>I_L</math>の位相より<math>\frac{\pi}{2}</math>進み、コイルのリアクタンスは交流の周波数が大きいほど大きいことがわかる。 なお、微分を用いると以下のように導出される。 :<math>V = L \frac{dI}{dt} = L I_0 \frac{d}{dt} \sin \omega t = \omega L I_0 \cos \omega t = \omega L I_0 \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})</math> この回路において、コイルの消費電力<math>P_L</math>は以下のように求まる。 :<math>P_L = I_L V_L = I_0 \sin \omega t \cdot V_0 \sin (\omega t + \frac{\pi}{2}) = I_0 V_0 \sin \omega t \cos \omega t = \frac{1}{2} I_0 V_0 \sin 2 \omega t</math> 正弦関数は周期関数なので、<math>P_L</math>の時間平均は<math>\overline{P_L}=0</math>となることがわかる。 ====交流とコンデンサ==== コンデンサーに直流電圧を加えると、コンデンサの充電が終わるまで電流が流れ、その後電流は流れなくなる。一方、交流電流を加えると、電圧の向きが常に変わるのでコンデンサが充電・放電を繰り返し、回路に電流が流れ続ける。このとき、コンデンサの両端に電位差が生じ、コンデンサは抵抗と同様の働きをする。すなわち、コンデンサでもリアクタンスを考えることができる。 交流電源とコンデンサのみからなる回路について、コンデンサの電気容量を<math>C</math>、電気量を<math>Q</math>とする。 電流の定義より<math>I = \frac{\Delta Q}{\Delta t}</math>であり、<math>Q = CV</math>より<math>I = C\frac{\Delta V}{\Delta t}</math>・・・(＠)と求まる。 <math>\Delta V</math>は時刻<math>t \sim t + \Delta t</math>間の電圧変化なので、 :<math>\Delta V = V_0 \sin \{ \omega (t + \Delta t) + \phi \} - V_0 \sin (\omega t + \phi)</math> ::<math>= V_0 \sin \{ (\omega t + \phi) + \omega \Delta t \} - V_0 \sin (\omega t + \phi)</math> ::<math>= V_0 \{ \sin (\omega t + \phi) \cdot \cos \omega \Delta t + \cos (\omega t + \phi) \cdot \sin \omega \Delta t \} - V_0 \sin (\omega t + \phi)</math> ここで先ほどと同様に<math>|\Delta t| \ll 1</math>と見做して近似すると、 :<math>\Delta V \fallingdotseq V_0 \{ \sin(\omega t + \phi) + \omega \Delta t \cos (\omega t + \phi) \} - V_0 \sin (\omega t + \phi) </math> ::<math>= \omega V_0 \cos (\omega t + \phi) \cdot \Delta t</math> :<math>\therefore \frac{\Delta V}{\Delta t} = \omega V_0 \cos (\omega t + \phi)</math> これを(＠)に代入すると、 :<math>I_0 \sin \omega t = C \omega V_0 \cos (\omega t + \phi)</math> これが<math>t</math>の恒等式となるので、<math>I_0 = C \omega V_0</math>かつ<math>\sin \omega t = \cos (\omega t + \phi)</math>が<math>t</math>の恒等式である。 すなわち、<math>X_C = \frac{1}{\omega C}, \phi = - \frac{\pi}{2}</math>である。 ここから、コンデンサの交流電圧<math>V_C</math>の位相は交流電流<math>I_C</math>の位相より<math>\frac{\pi}{2}</math>遅れ、コンデンサのリアクタンスは交流の周波数が小さいほど大きいことがわかる。 なお、微分を用いると以下のように導出される。 :<math>Q = CV</math>より<math>\frac{dQ}{dt} = C \frac{dV}{dt}</math> :<math>I = \frac{dQ}{dt} = CV_0 \frac{d}{dt} \sin \omega t = \omega CV_0 \cos \omega t = \omega CV_0 \sin (\omega t + \frac{\pi}{2})</math> :<math>\therefore V = \frac{I_0}{\omega C} \sin (\omega t - \frac{\pi}{2})</math> この回路において、コンデンサの消費電力<math>P_C</math>は以下のように求まる。 :<math>P_C = I_C V_C = I_0 \sin \omega t \cdot V_0 \sin (\omega t - \frac{\pi}{2}) = - I_0 V_0 \sin \omega t \cos \omega t = -\frac{1}{2} I_0 V_0 \sin 2 \omega t</math> 正弦関数は周期関数なので、<math>P_C</math>の時間平均は<math>\overline{P_C}=0</math>となることがわかる。 ====インピーダンス==== 交流電源に抵抗R、コイルL、コンデンサCを直列に繋いだ回路（'''RLC直列回路'''）を考える。 回路全体の瞬間電圧は<math>V = V_R + V_L + V_R</math>であるが、RLCそれぞれの交流電圧の位相が不揃いなので最大電圧は<math>V_0 < V_{R_0} + V_{L_0} + V_{C_0}</math>である。 そこで、位相差を考慮するためにベクトル図を利用する。 直列接続ではR、L、Cそれぞれに流れる電流が同じなので、電流を基準に考える。 x軸の正方向に<math>\vec{I_0}</math>をとる。 :<math>\vec{V_{R_0}}</math>は<math>\vec{I_0}</math>との位相差が<math>0</math>なのでx軸の正方向を向く。 :<math>\vec{V_{L_0}}</math>は<math>\vec{I_0}</math>との位相差が<math>\frac{\pi}{2}</math>なのでy軸の正方向を向く。 :<math>\vec{V_{C_0}}</math>は<math>\vec{I_0}</math>との位相差が<math>-\frac{\pi}{2}</math>なのでy軸の負方向を向く。 <math>\vec{V_0} = \vec{V_{R_0}} + \vec{V_{L_0}} + \vec{V_{C_0}}</math>なので、両辺のベクトルの長さを考えると三平方の定理より<math>V_0 = \sqrt{V^2_{R_0} + (V_{L_0} - V_{C_0})^2}</math>と容易に求まった。 電気素子を複数繋いだ交流回路について、<math>Z = \frac{V_0}{I_0} = \frac{V_e}{I_e}</math>で定義される量を'''インピーダンス'''という。単位はリアクタンスと同様にΩを用いる。インピーダンスは交流回路における合成抵抗の働きを表す。 この直流回路について、<math>V^2_0 = (RI_0)^2 + \{ (\omega L - \frac{1}{\omega C}) I_0 \}^2</math>より<math>V_0 = I_0 \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}</math>なので、<math>Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}</math>と求まる。 この回路全体の交流電流に対して回路全体の交流電圧の位相が<math>\phi</math>進むとすると、ベクトル図を書くことにより<math>\tan \phi = \frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R}</math>と求まる。 同様にして、交流電源に抵抗R、コイルL、コンデンサCを並列に繋いだ回路（'''RLC並列回路'''）のインピーダンスを求める。 並列接続ではR、L、Cそれぞれに掛かる電圧が同じなので、電圧を基準に考える。 x軸の正方向に<math>\vec{V_0}</math>をとる。 :<math>\vec{I_{R_0}}</math>は<math>\vec{V_0}</math>との位相差が<math>0</math>なのでx軸の正方向を向く。 :<math>\vec{I_{L_0}}</math>は<math>\vec{V_0}</math>との位相差が<math>-\frac{\pi}{2}</math>なのでy軸の負方向を向く。 :<math>\vec{I_{C_0}}</math>は<math>\vec{V_0}</math>との位相差が<math>\frac{\pi}{2}</math>なのでy軸の正方向を向く。 <math>|\vec{I_{R_0}}| = \frac{V_0}{R}, |\vec{I_{L_0}}| = \frac{V_0}{\omega L}, |\vec{I_{C_0}}| = \omega C V_0</math>より、<math>I_0 = V_0 \sqrt{\frac{1}{R^2} + (\omega C - \frac{1}{\omega L})^2}</math>。 よって、<math>Z = \frac{V_0}{I_0} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{R^2} + (\omega C - \frac{1}{\omega L})^2}}, \tan \phi = \frac{\omega C - \frac{1}{\omega L}}{\frac{1}{R}}</math> なお、直列・並列の双方においてインピーダンスを三角関数の加法定理を用いて求めることもできるが、計算が非常に煩雑なため省略する。 RLC直列回路・RLC並列回路ともにコイル・コンデンサーの消費電力は0であるため、回路全体の消費電力の時間平均は抵抗のみについて考えれば良い。 直列接続の場合、ベクトル図より<math>R = Z \cos \phi</math>なので、 :<math>\overline{P} = R I^2_e = Z \cos \phi \cdot I^2_e = I_eV_e \cos \phi</math> 並列接続の場合、ベクトル図より<math>\frac{1}{R} = \frac{1}{Z} \cos \phi</math>なので、 :<math>\overline{P} = \frac{V^2_e}{R} = \frac{\cos \phi}{Z} \cdot V^2_e = I_e V_e \cos \phi</math> よって、繋ぎ方に関係なく<math>\overline{P} = I_e V_e \cos \phi</math>が成り立つ。 この<math>\cos \phi</math>を'''力率'''という。 一般に、交流に対して<math>S=IV</math>を'''皮相電力'''（単位：<math>\mathrm{V\cdot{A}}</math>）、<math>Q=IV\sin\phi</math>を'''無効電力'''（単位：<math>\mathrm{var}</math>）、<math>P=IV\cos\phi</math>を'''有効電力'''（単位：<math>\mathrm{W}</math>）という。 <math>\sin\phi</math>を力率に対して'''無効率'''という。 有効電力は素子の消費電力であり、無効電力は電源と素子を行き交う電力である。素子では無効電力の消費と発生を繰り返している。 皮相電力・無効電力・有効電力を図示すると、「斜辺が皮相電力ベクトル、対辺が無効電力ベクトル、隣辺が有効電力ベクトル」となる直角三角形ができる。この三角形を用いることで「力率を0.6から0.8に上げるためには、並列接続するコンデンサの静電容量は幾つがよいか」のような力率改善の問題を解くことができるようになる。 インピーダンス（Z）は一般に複素数であり、その実部をレジスタンス（R）、虚部をリアクタンス（X）という。このリアクタンスは上で扱ったリアクタンスと一致する。上で扱ったインピーダンスは正確には「インピーダンスの絶対値」である。 インピーダンスが複素数であることは、ベクトル図のxy平面を複素数平面に置き換えればイメージできるであろう。 <!--インピーダンスは数学IIにおける虚数の導入時、その応用として紹介されることがある。利用者：~2025-20152自身は体脂肪率の測定の話題でインピーダンスに虚数が用いられていること、シュレディンガー方程式に虚数が用いられていることを紹介された。--> インピーダンスの逆数をアドミタンス（Y）といい、その実部をコンダクタンス（G）、虚部をサセプタンス（B）という。 これら6つを纏めてイミタンスという。 インピーダンスの合成は複素数表示ならば「直列接続は各インピーダンスの総和」「並列接続は各インピーダンスの逆数総和の逆数」となり、容易に求まる。同様にアドミタンスの合成も複素数表示ならば「直列接続は各アドミタンスの逆数総和の逆数」「並列接続は各アドミタンスの総和」と求まる。 ====共振回路==== RLC直列回路において、交流電圧の周波数が特定の値になったときに大きな電流が流れる。これを'''共振'''という。<!--音波とは違って共鳴とは言わない。--> 共振が起こるときの交流の周波数（'''共振周波数'''）<math>f_0</math>を求める。 :<math>I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}}</math>である。 :角周波数<math>\omega</math>を変化させるとき、<math>I_0</math>が最大となるのは<math>Z</math>が最小値をとるときである。 :そのときの角周波数を<math>\omega_0</math>とおくと<math>\omega_0 L - \frac{1}{\omega_0 C} = 0</math>すなわち<math>\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}</math>。 :<math>\therefore f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}</math> 回路の電気抵抗が小さければ、交流の周波数が共振周波数に一致した際非常に大きな電流が回路に流れる。このような回路を'''共振回路'''という。 共振回路はラジオ・テレビの電磁波受信回路などに利用されている。 ====電気振動==== 直流電源にコンデンサC、コイルLを並列に繋ぎ、コンデンサの導線にスイッチを付けて直流電流側とコイル側の導線を切り替えられるようにする。スイッチを直流電源側に入れてコンデンサを充電し、その後スイッチをコイル側に入れて蓄えた電荷を放電させる。このとき、一定の周期で向きが変わる電流（'''振動電流'''）が流れ続ける。このような現象を'''電気振動'''、このような回路を'''振動回路'''という。 コイル・コンデンサのそれぞれに対して最大電圧と最大電流の間の関係式を立てると、 :<math>V_{L_0} = \omega L I_0</math> :<math>V_{C_0} = \frac{1}{\omega C}I_0</math> 並列接続なので<math>V_{L_0} = V_{C_0}</math>であり、<math>\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}</math>と求まる。 よって、この振動回路の振動の周波数（'''固有周波数'''）は<math>f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}</math>と求まる。 電気振動ではコンデンサーの極板間に生じる電場とコイルに流れる電流の作る磁場との間でエネルギーが相互伝達する。 回路の電気抵抗が無視できる場合、以下のエネルギー保存則が成り立つ。 :<math>\frac{1}{2}CV^2_0 = \frac{1}{2} CV^2 + \frac{1}{2} LI^2 = \frac{1}{2} LI^2_0</math> 実際には導線やコイルの電気抵抗によりエネルギー損失が発生（ジュール熱に変換）されるため、振動電流は時間を追うごとに減衰する。 回路の電気抵抗が非常に大きい場合、コンデンサの放電が一瞬で止まってしまい、電気振動が見られなくなる。 ===電磁波=== [[高校物理 波#光の性質|波動分野]]・[[高等学校物理/原子物理|原子分野]]も参照。 ====電磁波の発生と発見==== イギリスのマクスウェルは電磁気についての理論研究から、変動する電場・磁場が真空中であっても光速の横波として伝わることに気づき、光もこの波の一種であるとの予想を立てた。これはドイツのヘルツによって証明された。この波は'''電磁波'''と名前がついた。 電磁誘導の節でも述べたが、金属のない空間であっても、磁場が変化するとその周りの空間に誘導電場を生ずる。逆に、電場が変化するとその周りの空間に誘導磁場が生じる。 振動回路に電気振動が起こると、コンデンサの極板間に振動電場が生じるので、これによって振動磁場を生ずる。この磁場がさらに振動電場を生じ・・・と繰り返すことによって、電気力線と磁力線の振動が電磁波として遠方へ伝わっていく。 電場・磁場それぞれの振動方向と電磁波の進行方向は互いに直交し、同位相で振動する。真空の誘電率・透磁率と光速の間には以下の関係式が成り立つ。 :<math>c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}</math> 電気振動によって生じた電磁波の振動数は振動回路の固有周波数に一致する。 ====電磁波の性質==== 電磁波の送信アンテナと受信アンテナを平行にすると電磁波をよく受信する。しかし、直角にすると受信しづらくなる。これは、電磁波が一定方向に偏って振動する横波であることを示す。 FM放送（超短波）とAM放送（中波）ではAMの方が山影に電波が届きやすい。これは、波長が長いほど回折しやすいという波の性質に一致する。また、回折波が干渉を起こす場合がある。 トンネルの中はAM放送も受信しにくくなる。このように、電磁波は遮蔽される性質がある。 電磁波が金属板によって反射される性質は、衛星通信用のマイクロ波パラボラアンテナに応用されている。（[[高等学校数学C/平面上の曲線#焦点の性質]]も参照） 電磁波をパラフィンなどの面に斜めに当てると、電磁波は屈折を起こす。 ====電磁波の種類==== *電波：波長0.1mm以上のもの。1m未満のものは'''マイクロ波'''ともいう。 *赤外線：物質に吸収されると熱エネルギーに変わりやすいことから'''熱線'''とも。 *可視光線：人間が感光できる光。 *紫外線：照射した物質に化学変化を起こさせやすいことから'''化学線'''とも。 *X線：レントゲン写真に使われる。 *γ線：非常に大きいエネルギーを持つ。 鉄の温度を上昇させると赤熱する（鉄火）。このように、高温物体からは赤外線・可視光線を主とする電磁波が放射されている。この現象を'''熱放射'''という。 ==注釈・脚注== <references/> {{DEFAULTSORT:てんしきかく}} [[Category:高等学校教育]] [[カテゴリ:電磁気学]] 8erewsscl2daz5drsexx5irxzbuuj8h 14 47378 299487 293609 2026-05-12T18:52:36Z なまえみてい 90434 [[template:ショートカット]]の仕様変更に伴う 299487 wikitext text/x-wiki {{Catnav|主要カテゴリ|ウィキブックス|frame=1}} {{ショートカット|CAT:SC}} [[Wikibooks:ショートカット]]に使われる[[Wikibooks:リダイレクト|リダイレクト]]のカテゴリ {{DEFAULTSORT:しよおとかつとようりたいれくと}} [[Category:ウィキブックス]] 3ny885touado5kld37b2udw3b2ux4cj 0 48075 299488 2026-05-12T18:57:43Z なまえみてい 90434 [[カテゴリ:即時削除]]への転送ページ 299488 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[:Category:即時削除]] [[Category:ショートカット用リダイレクト]] ag8k2tmrahk670c0mgs77pbpfps0trt