Wikibooks jawikibooks https://ja.wikibooks.org/wiki/%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8 MediaWiki 1.47.0-wmf.24 first-letter メディア 特別 トーク 利用者 利用者・トーク Wikibooks Wikibooks・トーク ファイル ファイル・トーク MediaWiki MediaWiki・トーク テンプレート テンプレート・トーク ヘルプ ヘルプ・トーク カテゴリ カテゴリ・トーク Transwiki Transwiki‐ノート TimedText TimedText talk モジュール モジュール・トーク Event Event talk 0 16769 305101 303755 2026-10-23T12:20:08Z ~2026-56946-52 92867 305101 wikitext text/x-wiki __EXPECTSHORTPAGE__ [[メインページ]] > 薬学 {{NDC|499}} {| style="float:right" |- |{{Wikipedia|薬学|薬学}} |- |{{Wikiquote|Category:薬剤師|薬剤師}} |- |{{Wikinews|薬学|Category:薬学|カテゴリ}} |- |{{Commons|Category:Pharmacy}} |- |{{蔵書一覧}} |- |{{進捗状況}} |} == 初等・中等教育用教科書 == * [[中学校理科]] * [[中学校保健]] * [[高等学校化学]] * [[高等学校生物]] * [[高等学校保健体育保健|高等学校保健]] * [[高等学校看護]] （専門高校での専門科目） == 一般用教科書 == === 一般教養課目 === [[生物学]]と関連する項目がほとんどである。 *[[発生学]] *[[遺伝学]] *[[進化学]] === 基礎薬学 === *[[有機化学]] *[[物理化学]] *[[分析化学]] *[[放射化学]] *[[医薬品化学]] *[[天然物化学]] *[[生物有機化学]] *[[生薬学]] *[[栄養学]] *[[農薬学]] *[[火薬学]] *[[創薬学]] *[[工業薬学]] *[[解剖学]] *[[生理学]] *[[免疫学]] *[[生化学]] *[[細胞生物学]] *[[分子生物学]] *[[微生物学]] *[[寄生虫学]] *[[組織学]] === 医療薬学 === ==== 薬剤学・臨床薬学 ==== *[[病理学]] *[[薬理学]] *[[物理薬剤学]] *[[化学薬剤学]] *[[生物薬剤学]] *[[薬物動態学]] *[[調剤学]] *[[製剤学]] *[[医療薬剤学]] *[[内科学]] *[[外科学]] *[[看護学]] *[[予防医学]] *[[病態生理学]] *[[薬物治療学]] *[[医薬品情報学]] *[[日本薬局方]] *[[薬物学]] *[[漢方薬学]] *[[歯科薬理学]] *[[家畜薬理学]] *[[臨床化学]] *[[神経化学]] *[[粉体工学]] ==== 衛生薬学 ==== *[[衛生化学]] *[[栄養化学]] *[[環境科学]] *[[疫学]] *[[公衆衛生学]] *[[口腔衛生学]] *[[家畜衛生学]] *[[病態生化学]] *[[毒性学]] *[[生態学]] === 社会薬学 === *[[薬と社会]] *[[薬をめぐる行動とその関係および相互作用]] *[[薬害の社会学]] *[[薬の社会学]] *[[薬剤経済学]] *[[薬史学]] *[[レギュラトリーサイエンス]] *[[薬物乱用]] === 応用的な関連項目 === * [[OsiriX オンライン解説文書]] あははは... 俺が殺したんだよ... 2611-2619-191電話事件の犯人は... 俺... == 殺人用薬品 == * [[塩酸]]　 * [[フルオロアンチモン酸]] * [[ジメチルカドミウム]] {{DEFAULTSORT:やくかく}} [[Category:自然科学|やくかく]] [[Category:薬学|! やくかく]] [[Category:書庫|やくかく]] g31fwy4l8k13n3o8j7zk6weu15iqq1o 305102 305101 2026-10-23T12:21:59Z ~2026-56946-52 92867 305102 wikitext text/x-wiki __EXPECTSHORTPAGE__ [[メインページ]] > 薬学 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*[[毒性学]] *[[生態学]] === 社会薬学 === *[[薬と社会]] *[[薬をめぐる行動とその関係および相互作用]] *[[薬害の社会学]] *[[薬の社会学]] *[[薬剤経済学]] *[[薬史学]] *[[レギュラトリーサイエンス]] *[[薬物乱用]] === 応用的な関連項目 === * [[OsiriX オンライン解説文書]] === 1976年5月12日の日記 === あははは... 俺が殺したんだよ... 2611-2619-191電話事件の犯人は... 俺... == 殺人用薬品 == * [[塩酸]]　 * [[フルオロアンチモン酸]] * [[ジメチルカドミウム]] {{DEFAULTSORT:やくかく}} [[Category:自然科学|やくかく]] [[Category:薬学|! やくかく]] [[Category:書庫|やくかく]] 7fclqsqsjxfiosrc1s8vcz91qnchsph 305103 305102 2026-10-23T12:59:40Z Kyube 57 [[Special:Diff/305101|305101]] から [[Special:Diff/305102|305102]] までの 2 版 を取り消し rvv 305103 wikitext text/x-wiki __EXPECTSHORTPAGE__ [[メインページ]] > 薬学 {{NDC|499}} {| style="float:right" |- |{{Wikipedia|薬学|薬学}} |- |{{Wikiquote|Category:薬剤師|薬剤師}} |- |{{Wikinews|薬学|Category:薬学|カテゴリ}} |- |{{Commons|Category:Pharmacy}} |- |{{蔵書一覧}} |- |{{進捗状況}} |} == 初等・中等教育用教科書 == * [[中学校理科]] * [[中学校保健]] * [[高等学校化学]] * [[高等学校生物]] * [[高等学校保健体育保健|高等学校保健]] * [[高等学校看護]] （専門高校での専門科目） == 一般用教科書 == === 一般教養課目 === [[生物学]]と関連する項目がほとんどである。 *[[発生学]] *[[遺伝学]] *[[進化学]] === 基礎薬学 === *[[有機化学]] *[[物理化学]] *[[分析化学]] *[[放射化学]] *[[医薬品化学]] *[[天然物化学]] *[[生物有機化学]] *[[生薬学]] *[[栄養学]] *[[農薬学]] *[[火薬学]] *[[創薬学]] *[[工業薬学]] *[[解剖学]] *[[生理学]] *[[免疫学]] *[[生化学]] *[[細胞生物学]] *[[分子生物学]] *[[微生物学]] *[[寄生虫学]] *[[組織学]] === 医療薬学 === ==== 薬剤学・臨床薬学 ==== *[[病理学]] *[[薬理学]] *[[物理薬剤学]] *[[化学薬剤学]] *[[生物薬剤学]] *[[薬物動態学]] *[[調剤学]] *[[製剤学]] *[[医療薬剤学]] *[[内科学]] *[[外科学]] *[[看護学]] *[[予防医学]] *[[病態生理学]] *[[薬物治療学]] *[[医薬品情報学]] *[[日本薬局方]] *[[薬物学]] *[[漢方薬学]] *[[歯科薬理学]] *[[家畜薬理学]] *[[臨床化学]] *[[神経化学]] *[[粉体工学]] ==== 衛生薬学 ==== *[[衛生化学]] *[[栄養化学]] *[[環境科学]] *[[疫学]] *[[公衆衛生学]] *[[口腔衛生学]] *[[家畜衛生学]] *[[病態生化学]] *[[毒性学]] *[[生態学]] === 社会薬学 === *[[薬と社会]] *[[薬をめぐる行動とその関係および相互作用]] *[[薬害の社会学]] *[[薬の社会学]] *[[薬剤経済学]] *[[薬史学]] *[[レギュラトリーサイエンス]] *[[薬物乱用]] === 応用的な関連項目 === * [[OsiriX オンライン解説文書]] {{DEFAULTSORT:やくかく}} [[Category:自然科学|やくかく]] [[Category:薬学|! やくかく]] [[Category:書庫|やくかく]] o85y5k5fa48shhgiwd1920tobfkfmwf 305108 305103 2026-10-24T01:32:47Z ~2026-56901-33 92869 305108 wikitext text/x-wiki __EXPECTSHORTPAGE__ [[メインページ]] > 薬学 {{NDC|499}} {| style="float:right" |- |{{Wikipedia|薬学|薬学}} |- |{{Wikiquote|Category:薬剤師|薬剤師}} |- |{{Wikinews|薬学|Category:薬学|カテゴリ}} |- |{{Commons|Category:Pharmacy}} |- |{{蔵書一覧}} |- |{{進捗状況}} |} == 初等・中等教育用教科書 == * [[中学校理科]] * [[中学校保健]] * [[高等学校化学]] * [[高等学校生物]] * [[高等学校保健体育保健|高等学校保健]] * [[高等学校看護]] （専門高校での専門科目） == 一般用教科書 == === 一般教養課目 === [[生物学]]と関連する項目がほとんどである。 *[[発生学]] *[[遺伝学]] *[[進化学]] === 基礎薬学 === *[[有機化学]] *[[物理化学]] *[[分析化学]] *[[放射化学]] *[[医薬品化学]] *[[天然物化学]] *[[生物有機化学]] *[[生薬学]] *[[栄養学]] *[[農薬学]] *[[火薬学]] *[[創薬学]] *[[工業薬学]] *[[解剖学]] *[[生理学]] *[[免疫学]] *[[生化学]] *[[細胞生物学]] *[[分子生物学]] *[[微生物学]] *[[寄生虫学]] *[[組織学]] === 医療薬学 === ==== 薬剤学・臨床薬学 ==== *[[病理学]] *[[薬理学]] *[[物理薬剤学]] *[[化学薬剤学]] *[[生物薬剤学]] *[[薬物動態学]] *[[調剤学]] *[[製剤学]] *[[医療薬剤学]] *[[内科学]] *[[外科学]] *[[看護学]] *[[予防医学]] *[[病態生理学]] *[[薬物治療学]] *[[医薬品情報学]] *[[日本薬局方]] *[[薬物学]] *[[漢方薬学]] *[[歯科薬理学]] *[[家畜薬理学]] *[[臨床化学]] *[[神経化学]] *[[粉体工学]] ==== 衛生薬学 ==== *[[衛生化学]] *[[栄養化学]] *[[環境科学]] *[[疫学]] *[[公衆衛生学]] 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*[[物理化学]] *[[分析化学]] *[[放射化学]] *[[医薬品化学]] *[[天然物化学]] *[[生物有機化学]] *[[生薬学]] *[[栄養学]] *[[農薬学]] *[[火薬学]] *[[創薬学]] *[[工業薬学]] *[[解剖学]] *[[生理学]] *[[免疫学]] *[[生化学]] *[[細胞生物学]] *[[分子生物学]] *[[微生物学]] *[[寄生虫学]] *[[組織学]] === 医療薬学 === ==== 薬剤学・臨床薬学 ==== *[[病理学]] *[[薬理学]] *[[物理薬剤学]] *[[化学薬剤学]] *[[生物薬剤学]] *[[薬物動態学]] *[[調剤学]] *[[製剤学]] *[[医療薬剤学]] *[[内科学]] *[[外科学]] *[[看護学]] *[[予防医学]] *[[病態生理学]] *[[薬物治療学]] *[[医薬品情報学]] *[[日本薬局方]] *[[薬物学]] *[[漢方薬学]] *[[歯科薬理学]] *[[家畜薬理学]] *[[臨床化学]] *[[神経化学]] *[[粉体工学]] ==== 衛生薬学 ==== *[[衛生化学]] *[[栄養化学]] *[[環境科学]] *[[疫学]] *[[公衆衛生学]] *[[口腔衛生学]] *[[家畜衛生学]] *[[病態生化学]] *[[毒性学]] *[[生態学]] === 社会薬学 === *[[薬と社会]] *[[薬をめぐる行動とその関係および相互作用]] *[[薬害の社会学]] *[[薬の社会学]] *[[薬剤経済学]] *[[薬史学]] *[[レギュラトリーサイエンス]] *[[薬物乱用]] === 応用的な関連項目 === * [[OsiriX オンライン解説文書]] {{DEFAULTSORT:やくかく}} [[Category:自然科学|やくかく]] [[Category:薬学|! やくかく]] [[Category:書庫|やくかく]] o85y5k5fa48shhgiwd1920tobfkfmwf 0 36598 305112 305005 2026-10-24T08:20:25Z Kwawe 68789 /* 第７章　グローバル化のなかの現代日本 */ 305112 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>高等学校日本史探究 　高等学校日本史探究のページです。{{進捗状況}}　本ページの目次と項目の配列は、実教出版株式会社の新課程教科書「[https://www.jikkyo.co.jp/book/detail/23010423 日本史探究]」（日探702・日探007-901）に合わせて作成しています。節・項目・用語の配列も原則上記教科書会社さんに従いました。学習指導要領に定められた日本史探究の標準単位数は'''３単位です。''' ※本ページは大学の二次試験まで対応させるため、日本史探究の完成時期は未定です。当面の間は日本史Ｂを参照して下さい。 == 第１部　原始・古代の日本と東アジア == INTRODUCTION === 第１章　日本文化のあけぼの === # [[高等学校日本史探究/日本列島最古の文化Ⅰ|日本列島最古の文化Ⅰ]]{{進捗|100%|2024-09-21}}（人類の誕生と日本列島への居住） # [[高等学校日本史探究/日本列島最古の文化Ⅱ|日本列島最古の文化Ⅱ]]{{進捗|100%|2024-10-01}}（日本の旧石器時代） # [[高等学校日本史探究/縄文時代の社会と文化|縄文時代の社会と文化]]{{進捗|100%|2026-09-27}}（縄文文化の成立～縄文社会と縄文人） # 弥生時代の社会と文化Ⅰ{{進捗|00%|2023-11-11}} # 弥生時代の社会と文化Ⅱ{{進捗|00%|2023-11-11}} === 第２章　ヤマト政権の成立と古墳文化 === # 小国の分立と邪馬台国{{進捗|00%|2023-11-11}} # 古墳の出現とヤマト政権の成立{{進捗|00%|2023-11-11}} # ヤマト政権の展開と統治の進展{{進捗|00%|2023-11-11}} # 古墳時代の生活と文化{{進捗|00%|2023-11-11}} === 第３章　律令国家の形成 === # [[高等学校日本史探究/古代国家の形成Ⅰ|古代国家の形成Ⅰ]]{{進捗|100%|2024-11-18}}（６世紀の朝鮮半島と倭～７世紀の東アジアと倭国） # [[高等学校日本史探究/古代国家の形成Ⅱ|古代国家の形成Ⅱ]]{{進捗|100%|2025-02-01}}（大化の改新～東北遠征と白村江の戦い） # [[高等学校日本史探究/古代国家の形成Ⅲ|古代国家の形成Ⅲ]]{{進捗|100%|2025-02-11}}（近江朝廷と壬申の乱～天武・持統期の政治改革） # [[高等学校日本史探究/飛鳥文化・白鳳文化|飛鳥文化・白鳳文化]]{{進捗|100%|2024-11-06}} # [[高等学校日本史探究/律令制度|律令制度]]{{進捗|100%|2025-06-03}}（大宝律令の官制～土地・人民の支配制度） # [[高等学校日本史探究/奈良時代の政治Ⅰ|奈良時代の政治Ⅰ]]{{進捗|100%|2025-07-21}}（遣唐使派遣と平城京遷都） # [[高等学校日本史探究/奈良時代の政治Ⅱ|奈良時代の政治Ⅱ]]{{進捗|100%|2025-11-22}}（奈良時代初期の政策～度重なる遷都と鎮護国家の仏教） # [[高等学校日本史探究/奈良時代の政治Ⅲ|奈良時代の政治Ⅲ]]{{進捗|100%|2025-12-21}}（公地公民制の修正～奈良時代後半の政争） # 天平文化 STEP UP 1　[[高等学校日本史探究/奈良時代の人々の暮らし|奈良時代の人々の暮らし]]{{進捗|100%|2026-04-09}}（奈良時代の貴族生活～生活文化の発展と庶民の苦難） === 第４章　古代の国家・社会の変容 === # [[高等学校日本史探究/律令体制再編期の政治と社会Ⅰ|律令体制再編期の政治と社会Ⅰ]]{{進捗|100%|2026-10-11}}（平安京遷都と東北経営） # [[高等学校日本史探究/律令体制再編期の政治と社会Ⅱ|律令体制再編期の政治と社会Ⅱ]]{{進捗|100%|2026-10-16}}（律令政治の再編成～法・儀式の整備と教育） # 律令体制再編期の政治と社会Ⅲ{{進捗|00%|2026-09-5}}（密教の隆盛～弘仁・貞観文化） # 摂関政治の成立と支配体制の転換 # 国風文化 == 第２部　中世の日本と世界 == INTRODUCTION === 第１章　荘園公領制の成立と院政 === ※荘園公領制の成立と院政は２０２７年４月に記述します。 * 荘園公領制の成立と院政Ⅰ * 荘園公領制の成立と院政Ⅱ * 荘園公領制の成立と院政Ⅲ * 荘園公領制の成立と院政Ⅳ === 第２章　中世の国家・社会の展開 === # 鎌倉幕府の成立と朝廷 # 中世に生きる人々 # 蒙古襲来と幕府の衰退 # 鎌倉文化 === 第３章　中世の国家・社会の変容 === # 南北朝の動乱 # 室町幕府の政治と外交 # 室町社会の展開と応仁の乱 # 室町文化 # [[高等学校日本史探究/戦国大名の分国経営Ⅰ|戦国大名の分国経営Ⅰ]]{{進捗|100%|2025-02-15}}（戦国時代の特質～戦国の争乱） # 戦国大名の分国経営Ⅱ{{進捗|00%|2023-00-00}}（分国経営） # 戦国大名の分国経営Ⅲ{{進捗|00%|2025-02-15}}（都市の発達と町衆～経済の混乱） STEP UP 2　東アジアのなかのアイヌ文化・琉球文化 STEP UP 3　女性と仏教 == 第３部　近世の日本と世界 == INTRODUCTION === 第１章　東アジア世界の変容と天下統一 === # 織豊政権 # 天下統一の完成 # 近世成立期の文化 歴史資料と近世の展望 === 第２章　幕藩体制の成立と展開 === # 幕藩体制の成立 # 貿易の統制と対外関係 # 近世社会のしくみ # 幕府政治の展開 # 経済の発展 # 元禄文化と学芸の発展 STEP UP 4　近世の遊郭 === 第３章　近世の国家・社会の変容 === # 幕藩体制の動揺と幕政の改革 # 欧米列強の接近と天保の改革 # 近世文化の成熟と変容 STEP UP 5　百姓一揆と義民物語 == 第４部　近現代の地域・日本と世界 == INTRODUCTION（近代） === 第１章　開国から倒幕へ === 歴史資料と近代の展望 === 第２章　明治維新 === # 明治維新 # 文明開化 === 第３章　近代国家の形成 === # 立憲国家への道 # 議会政治の展開と日清・日露戦争 # 産業革命と社会の変化 # 近代文化の形成と展開 STEP UP 6　日露戦争のアジアへの影響 === 第４章　両大戦間の日本 === # 第一次世界大戦 # 政党政治の展開 # 市民文化の展開 STEP UP 7　近代日本の「食」と米 === 第５章　十五年戦争と日本 === # 満洲事変 # 日中戦争 # アジア・太平洋戦争（太平洋戦争） INTRODUCTION（現代） === 第６章　戦後日本の形成 === # 占領と民主改革 # 独立と日米安保体制の形成 # 高度経済成長下の日本 STEP UP 8　エネルギー革命 === 第７章　グローバル化のなかの現代日本 === # 「国際化」する経済大国Ⅰ{{進捗|00%|2023-00-00}}（ドル＝ショックと石油危機～安定成長への転換まで） # 「国際化」する経済大国Ⅱ{{進捗|00%|2023-00-00}}（経済大国への道と国際化の時代） # 「国際化」する経済大国Ⅲ{{進捗|00%|2023-00-00}}（貿易摩擦とバブル経済～「豊かさ」と社会・生活の変容まで） # [[高等学校日本史探究/新たな世紀の日本へⅠ|新たな世紀の日本へⅠ]]{{進捗|100%|2026-04-10}}（冷戦の終結とグローバル化～湾岸戦争と平和維持活動まで） # [[高等学校日本史探究/新たな世紀の日本へⅡ|新たな世紀の日本へⅡ]]{{進捗|100%|2026-10-22}}（政界再編と５５年体制の終結～行政改革と日米安保の変化まで） # [[高等学校日本史探究/新たな世紀の日本へⅢ|新たな世紀の日本へⅢ]]{{進捗|100%|2026-09-23}}（「構造改革」と対テロ戦争～憲法改正論と政権交代まで） # [[高等学校日本史探究/新たな世紀の日本へⅣ|新たな世紀の日本へⅣ]]{{進捗|50%|2026-10-24}}（新しい世界を目指して～平成時代・令和時代の文化史・科学史まで） 【STEP UP 9】[[高等学校日本史探究/多文化共生|多文化共生]]{{進捗|100%|2024-09-24}} 現代の日本の課題の探究 == 読書案内・学習方法 == * [[高等学校日本史探究/資料出所・読書案内|資料出所・読書案内]] * [[学習方法/高校日本史|高校日本史学習方法]]{{進捗|100%|2026-04-29}}（新試験対応） [[カテゴリ:高等学校日本史|探]] dycy4c8bo2xo7dtjoxg4a99jwptek1x 0 38597 305116 303079 2026-10-24T08:41:44Z BrassSnail 71325 体裁 305116 wikitext text/x-wiki [[アイヌ語]] > 定型文 > これは何? あるものを指して、それが何かを尋ねるとき、日本語なら「これは何ですか」などと言うような場面で、アイヌ語ではどのように訊けばよいのでしょうか。 == 沙流方言 == '''<big>{{lang|ain|Tanpe hemanta an?}}　「これは何？」</big>''' [[ファイル:Allium ochotense, Hokkaido Japan K3100010.jpg|境界|200x200ピクセル]] ――{{lang|ain|Pukusa ne ruwe ne.}}　「ギョウジャニンニクです。」 '''<big>{{lang|ain|Tanpe hemanta an?}}　「これは何？」</big>''' [[ファイル:C.n.yesoensis--modified.jpg|境界|200x200ピクセル]] ――{{lang|ain|Yuk ne ruwe ne.}}　「鹿です。」 あるものを指して、それが何かを尋ねるときは、「{{lang|ain|Tanpe hemanta an?}}」と言います。 == 樺太方言 == '''<big>{{lang|ain|Tanpe hemata he?}}　「これは何？」</big>''' {{lang|ain|Tah hemata?}} という言い方もあります。 [[カテゴリ:アイヌ語]] kny6d7e2h5po69golo5smqlgwr8qwy5 305117 305116 2026-10-24T09:25:08Z BrassSnail 71325 305117 wikitext text/x-wiki [[アイヌ語]] > 定型文 > これは何? あるものを指して、それが何かを尋ねるとき、日本語なら「これは何ですか」などと言うような場面で、アイヌ語ではどのように訊けばよいのでしょうか。 == 沙流方言 == '''<big>{{lang|ain|Tanpe hemanta an?}}　「これは何？」</big>''' [[ファイル:Allium ochotense, Hokkaido Japan K3100010.jpg|境界|200x200ピクセル]] ――{{lang|ain|Pukusa ne ruwe ne.}}　「ギョウジャニンニクです。」 '''<big>{{lang|ain|Tanpe hemanta an?}}　「これは何？」</big>''' [[ファイル:C.n.yesoensis--modified.jpg|境界|200x200ピクセル]] ――{{lang|ain|Yuk ne ruwe ne.}}　「鹿です。」 沙流方言では、あるものを指してそれが何かを尋ねるときは、「{{lang|ain|Tanpe hemanta an?}}」と言います。これに答えるときは、「〇〇 ne ruwe ne.」と言います。 == 樺太方言 == '''<big>{{lang|ain|Tanpe hemata he?}}　「これは何？」</big>''' [[ファイル:Steller sea lions (Eumetopias jubatus) on rocks.jpg|フレームなし]] ――kamuy. 「トドです。」 {{lang|ain|Tah hemata?}} という言い方もあります。 '''<big>orowa, tah hemata? 「それから、これは何？」</big>''' ――. [[カテゴリ:アイヌ語]] a7kahf61bc40w3g9s3cdflku97ny9hz 0 45683 305104 304923 2026-10-23T14:26:39Z ~2026-55692-88 92812 /* 積分定理 */ 305104 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} {{wikipedia|ベクトル解析}} ここでは、ベクトル解析について解説する。[[物理数学I ベクトル解析]]も参照。 ==前提知識== ここでは、実数のみで考える。 ===ベクトル=== [[高等学校数学C/ベクトル]]、[[線型代数学/ベクトル]]、[[解析学基礎/ベクトル]]などを参照。本項では、矢印を付した表記（<math>\vec{a}</math>など）と太字斜体による表記（<math>\boldsymbol{x}</math>など）を混用する。 ===行列=== [[高等学校数学C/数学的な表現の工夫]]及び[[線形代数学]]・[[線型代数学続論]]の各ページを参照。本項では大文字の太字立体（<math>\mathbf{A}</math>など）で表記する。 ===多変数解析=== [[解析学基礎/多変数関数の微積分]]を参照。 ===領域=== <math>D\subset\mathbb{R}^n</math>と点<math>\boldsymbol{a}\in D</math>（位置ベクトル表記なので太文字斜体）に対し、集合<math>B_\varepsilon(\boldsymbol{a}) := \{ \boldsymbol{x} \in D \mid \| \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \|<\varepsilon \}</math>を点<math>\boldsymbol{a}</math>の'''<math>\varepsilon</math>-開球'''という。不等号を<math>\leqq</math>に変えたときは開区間↔閉区間と同様に'''閉球'''と呼ぶ。このとき、<math>D</math>のように<math>\mathbb{R}^n</math>の部分集合であって<math>\varepsilon</math>-開球を含むものを点<math>\boldsymbol{a}</math>の'''<math>\varepsilon</math>-開近傍'''と呼ぶ。閉球を含むときは同様に'''閉近傍'''と呼ぶ。 <math>\forall \boldsymbol{a} \in U, \exist \varepsilon>0, B_\varepsilon(\boldsymbol{a})\subset U</math>を満たす<math>U\subset\mathbb{R}^n</math>を'''開集合'''と呼び、<math>V=\mathbb{R}^n\setminus U</math>を'''閉集合'''と呼ぶ。 注意点として、開集合と閉集合は排反ではない。則ち「開集合且つ閉集合」である集合が存在し（例えば<math>\mathbb{R}, \varnothing</math>）、「開集合でも閉集合でもない」集合も存在する（例えば<math>[0, 1)</math>）。 <math>M\subset\mathbb{R}^n</math>を含む最小の閉集合を<math>M</math>の'''閉包'''と呼び、<math>M^-, \bar{M}, \mathrm{Cl}(M)</math>などと表す。例えば有理数の稠密性より<math>\mathbb{Q}^-=\mathbb{R}</math>である。 閉包の性質として「閉包=集合の内部と境界の和集合（<math>M^- = \mathrm{Int}(M) \cup \partial{M}</math>）」がある。 集合<math>S\subset\mathbb{R}^n</math>に対して以下を満たす<math>\mathbb{R}^n</math>上開集合の組<math>(G_1, G_2)</math>が'''とれない'''とき、 #<math>G_1 \cap S = \varnothing \land G_2 \cap S = \varnothing</math> #<math>S = (G_1 \cap S) \sqcup (G_2 \cap S)</math> 「<math>S</math>は'''連結'''である」または「<math>S</math>は'''連結集合'''」という（但し、<math>\sqcup</math>は[[w:非交和|非交和]]）。 空でない開連結集合を'''領域'''という。 実は、高校数学や1年次の解析学で扱ってきた「領域」はこの定義を満たしていないことが多かった。これは、「領域」の歴史的な用法では「条件の解集合」という意味であって開性や連結性を要求しなかったためである。しかし、本項を含めた以降に登場する数学ではこの定義を満たしていることが前提条件となる。なお、ややこしいことに「積分領域」は従来通り「その上で積分を行う集合」という緩い意味で使われることが多いので、区別が必要である。 ===右手系=== 三次元空間の正規直交基底を<math>(\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3)</math>と置く。螺子を<math>\boldsymbol{e}_1\to\boldsymbol{e}_2</math>の向きに回すと<math>\boldsymbol{e}_3</math>の正方向に進むように3つの軸をとった系を'''右手系'''という。負方向に進むようにとったものを'''左手系'''という。数学・物理に限らず理数系の約束事として、'''三次元空間は必ず右手系で考える'''という暗黙の了解が存在するので覚えておこう。 右手系・左手系は基底の一部または全ての符号を反転することで変換することができる。一つだけを反転する場合は'''鏡像変換'''、二つだけを反転する場合は'''半回転'''、全てを反転する場合は'''空間反転'''と呼ぶ。 外積の結果として得るベクトルは右手系・左手系のどちらを考えるかで向きが変わる。このように、右手系↔左手系の変換で向きが変わるベクトルを'''軸性ベクトル'''という。 系の取り方で向きが変わるということは基底の係数である'''成分は不変量'''である。つまり、観測者の動きにベクトルが追従し、このベクトルは「物理的な実体を有しているのではなく計算の都合上向きが定められた便宜的な(=観測者が勝手に決めた)ベクトル」ということである。そのため、軸性ベクトルは'''擬ベクトル'''（シュードベクトル）とも呼ばれる。 位置や速度、加速度のような右手系・左手系のどちらを考えても同じ向きを向くベクトルを'''極性ベクトル'''という。座標系を取り換えても向きが維持されるため'''成分は座標変換に応じて変化する'''。これは、「観測の仕方によって起こる現象は変わらない」ということである。つまり擬ベクトルに対し、極性ベクトルは'''物理的実体を有するベクトル'''である。 偶奇と同じように軸性・極性にも外積を通じた相互関係が存在する。 :(軸性)×(軸性)=(軸性) :(軸性)×(極性)=(極性) :(極性)×(極性)=(軸性) ==基礎事項== ===ベクトル関数=== 関数<math>\boldsymbol{f} (x) = \sum_{i} f_i(x) \boldsymbol{e}_i</math>を'''ベクトル（値）関数'''（vector-valued function, vector function）という。 ただし、各<math>\boldsymbol{e}_i</math>は各座標軸方向の単位ベクトルであり、<math>\boldsymbol{f}(x)</math>の定義域は各<math>f_i(x)</math>の定義域の積集合である。 ベクトルの演算が成分ごとの演算結果を並べたベクトルで定義されたように、ベクトル関数の演算は（結果となる値が存在するならば）各成分の演算結果を並べたベクトルに等しい。これはベクトルの線型性による。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}</math>の<math>x\to0</math>の極限は、 :<math>\lim_{x\to0} \boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \lim_{x\to0} \cos x \\ \lim_{x\to0} \sin x \end{pmatrix}</math> (<math>\because</math>線型性) :<math>=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>=\boldsymbol{e}_x</math> と求まる。 このとき、<math>\boldsymbol{e}_x</math>を<math>\begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}</math>の<math>x\to0</math>に於ける'''極限ベクトル'''という。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>x=\alpha</math>で連続であるとは<math>\lim_{x\to\alpha}\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{f}(\alpha)</math>が成立することであり、区間<math>I</math>で連続であるとは<math>\forall \alpha \in I</math>で連続であることである。 また、ベクトル関数の導関数<math>\boldsymbol{f}'(x)</math>は :<math>\frac{d}{dx} \boldsymbol{f} (x) = \frac{d}{dx} \left( \sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i \right)</math> :<math>= \sum_i \left( \frac{d}{dx} f_i (x) \boldsymbol{e}_i \right)</math>（<math>\because</math>線型性） :<math>= \begin{pmatrix} f'_1(x) \\ f'_2(x) \\ \vdots \\ f'_i(x) \\ \vdots \end{pmatrix}</math> である。 この結果は、ベクトル関数に於ける導関数の正式な定義 <math>\lim_{h\to0} \frac{\boldsymbol{f}(x+h) - \boldsymbol{f}(x)}{h}</math>からも導かれる。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>x=\alpha</math>で微分可能であるとは極限値<math>\boldsymbol{f}'(\alpha)=\lim_{x\to\alpha}\frac{\boldsymbol{f}(x)-\boldsymbol{f}(\alpha)}{x-\alpha}</math>が存在することであり、区間<math>I</math>で微分可能であるとは<math>\forall \alpha \in I</math>で微分可能であることである。 高階導関数・高階微分可能も同様にして定義される。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>が区間<math>I</math>で連続ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>上で<math>C^0</math>級であるといい、<math>\boldsymbol{f}\in C^0(I)</math>と書く。<math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>I</math>で微分可能で<math>\boldsymbol{f}'(x)\in C^0(I)</math>ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>上で<math>C^1</math>級である（一階連続微分可能）といい、<math>\boldsymbol{f}\in C^1(I)</math>と書く。<math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>I</math>で二階微分可能で<math>\boldsymbol{f}'\in C^1(I)</math>ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>上で<math>C^2</math>級である（二階連続微分可能）といい、<math>\boldsymbol{f}\in C^2(I)</math>と書く。同様にして順々に<math>C^k</math>級が定義され、<math>\forall k \in \mathbb{N}, \boldsymbol{f}\in C^k(I)</math>ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>で<math>C^\infty</math>級（無限階連続微分可能）であるといい、<math>\boldsymbol{f}\in C^\infty(I)</math>と書く。<math>C^\infty</math>級である関数を'''滑らかな'''関数ともいう。 高校数学や高校物理で扱った平面（<math>\mathbb{R}^2</math>）上の運動は、実は2項ベクトル関数の理論に他ならない。 例えば、平面上の運動に於ける加速度・速度・変位の関係は<math>\boldsymbol{x}(t)= \begin{pmatrix} f(t) \\ g(t) \end{pmatrix}</math>として<math>\boldsymbol{a}(t) = \frac{d}{dt}\boldsymbol{v}(t) = \frac{d^2}{dt^2} \boldsymbol{x}(t)</math>と表すことができる。 曲線の媒介変数表示は、パラメータを変数とするベクトル関数とみることができる。 例えば、円の媒介変数表示<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>は、<math>\boldsymbol{r}(\theta) = r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}</math>という2次元ベクトル関数とみることができる。更に<math>\theta=\omega t</math>とすると、これは等速円運動の式である。 1変数ベクトル関数の微分に関して、以下の公式が成り立つ。 #定数倍の導関数：<math>\{k\boldsymbol{a}(x)\}'=k\boldsymbol{a}'(x)</math> #和・差の導関数：<math>\{ \boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x) \}' = \boldsymbol{a}'(x)\pm\boldsymbol{b}'(x)</math> #積の導関数：<math>\{ f(x)\boldsymbol{a}(x) \}' = f'(x)\boldsymbol{a}(x)+f(x)\boldsymbol{a}'(x)</math> #商の導関数：<math>\left\{ \frac{\boldsymbol{a}(x)}{f(x)} \right\}' = \frac{f(x)\boldsymbol{a}'(x)-f'(x)\boldsymbol{a}(x)}{\{f(x)\}^2} \quad (f(x)\neq0)</math> #内積の導関数：<math>\{\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x)</math> #外積の導関数：<math>\{\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x)</math> #スカラー三重積の導関数：<math>[\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}</math> #ベクトル三重積の導関数：<math>[\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}</math> #連鎖律（チェイン・ルール）：<math>[\boldsymbol{a}\{f(x)\}]'=\boldsymbol{a}'\{f(x)\}f'(x)</math> ベクトル関数の'''ノルム'''（大きさ、長さ）は、通常のベクトルと同様に :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)} = \sqrt{\sum_{i} \{f_i (x)\}^2}</math> で与えられる。 つまり、ノルムは元のベクトル関数と同一変数のスカラー関数である。 ここで、このスカラー関数が定数関数である条件に就て見てみよう。 :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|= c \quad (c\in\mathbb{R}_{>0})</math>の両辺を2乗して :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|^2 = \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x) = c^2</math> :両辺微分すると内積の微分より :<math>\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0</math> :<math>\therefore \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0</math> :逆に、 :<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0 \iff 2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=0</math> :<math>\int \{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'dx= \int 0 dx</math> :<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)=C_1</math>（<math>C_1\geq0</math>は積分定数） :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|^2=C_1</math>より :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{C_1} = \mathrm{const}.</math> よって、以下が成り立つ。 {{定理|(直交条件の定理)}} :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|= \mathrm{const}. \iff \boldsymbol{f}(x) \cdot \boldsymbol{f}'(x) = 0</math> {{定理終わり}} これは、物理的には「位置ベクトルと速度ベクトルが直交する」ことを表す。則ち、<math>\boldsymbol{f}(x)</math>の終点が始点を中心とする円運動(球面運動)をするということである。 また、ベクトル関数が変数に依らず常に同一方向を向く条件も見てみよう（但し<math>\boldsymbol{f}(x)\neq\boldsymbol{0}</math>）。 :所与の条件は零ベクトルでない定ベクトル<math>\boldsymbol{c}</math>を用いて<math>\boldsymbol{f}(x) = f(x)\boldsymbol{c}</math>と表される。 :両辺微分して<math>\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}=f'(x)\boldsymbol{c}</math> :ここで元のベクトル関数との外積をとると :<math>\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}\times\{f'(x)\boldsymbol{c}\}=f(x)f'(x) (\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{c})=f(x)f'(x)\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}</math> :逆に、 :<math>\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{0}</math>とすると一次従属なので :<math>\boldsymbol{f}'(x)=g(x)\boldsymbol{f}(x)</math>という微分方程式が成り立つ。 :各成分ごとに微分方程式を解くと、 ::これは変数分離型微分方程式なので第i成分は ::<math>\frac{df_i}{dx}=g(x)f_i(x)</math> ::<math>\int \frac{df_i}{f_i(x)}=\int g(x)dx</math> ::<math>G'(x)=g(x), C_i</math>を積分定数として<math>\log|f_i(x)|=G(x)+C_i</math> ::<math>C_i=\pm e^{C_i}</math>と改めておくと<math>f_i(x)=C_i e^{G(x)}</math> :よって :<math>\boldsymbol{f}(x)=\sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i = \sum_i C_i e^{G(x)} \boldsymbol{e}_i = e^{G(x)} \sum_i C_i \boldsymbol{e}_i</math> :ここで<math>f(x)=e^{G(x)}, \boldsymbol{c}=\sum_i C_i \boldsymbol{e}_i</math>と置くと :<math>\boldsymbol{f}(x) = f(x) \boldsymbol{c}</math>となり、方向は変数に依らず一定であることが判る// よって、以下が成り立つ。 {{定理|(平行条件の定理)}} <math>\boldsymbol{c},\boldsymbol{f}(x)\neq\boldsymbol{0}</math>として :<math>\boldsymbol{f}(x)=f(x)\boldsymbol{c} \iff \boldsymbol{f}(x) \times \boldsymbol{f}'(x) = \boldsymbol{0}</math> {{定理終わり}} ベクトル解析では三次元空間の場合を考えることが多いため上では外積を用いて証明したが、外積は3項ベクトル（または7項ベクトル）にしか定義されないのであった。 一般次元では外積に代わって次の関係式を用いる。 :<math>|\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)|=\|\boldsymbol{f}(x)\|\|\boldsymbol{f}'(x)\|</math> これはCS不等式の等号成立の場合である。 実際、<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\|\boldsymbol{f}(x)\|\|\boldsymbol{f}'(x)\|\cos\{\theta(x)\}</math>より等号成立の必要十分条件は :<math>\cos\{\theta(x)\}=\pm1\iff\theta(x) \equiv 0 \,(\mathrm{mod}\pi)</math> であり、2ベクトル<math>\boldsymbol{f}(x), \boldsymbol{f}'(x)</math>は平行とわかる。<br/> 平行ということは一次従属ということなので先程のように変数分離形微分方程式を解くことで3次元と同じ結果を得る。// 補足として、力学への応用を考える。 :速さの二乗<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|^2</math>を時間微分すると :<math>\frac{d}{dt}\|\boldsymbol{v}(t)\|^2=\frac{d}{dt}(\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t))=\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}\cdot\boldsymbol{v}(t)+\boldsymbol{v}(t)\cdot\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}=2(\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t))</math> :よって等速運動の条件<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|=\mathrm{const}.</math>は直交条件の定理から<math>\boldsymbol{v}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)</math>に同値である。 :これを力学的に解釈すると、「加速度ベクトルは速度ベクトル方向に仕事をしないから速度ベクトルの大きさを変えずに向きだけを変える」となる。 :平面上で等速円運動を考えると円運動条件から<math>\boldsymbol{r}(t)\perp\boldsymbol{v}(t)</math>、等速条件から<math>\boldsymbol{v}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)</math>なので<math>\boldsymbol{r}(t) /\!/ \boldsymbol{a}(t)</math>が出てくる。 :円運動条件<math>\|\boldsymbol{r}(t)\|^2=r^2</math>を一階微分すると ::<math>2\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{r}'(t)=0</math> :もう一度微分して ::<math>2(\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{r}''(t)+\boldsymbol{r}'(t)\cdot\boldsymbol{r}'(t))=0</math> :則ち ::<math>\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t)+\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t)=0</math> :位置ベクトルと加速度ベクトルが一次従属なので<math>\boldsymbol{a}(t)=\lambda\boldsymbol{r}(t)</math>であり、等速条件より<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|=v</math>なので ::<math>\lambda r^2 + v^2 = 0</math> ::<math>\therefore \lambda = -\frac{v^2}{r^2}<0</math> :則ち<math>\boldsymbol{r}(t)</math>と<math>\boldsymbol{a}(t)</math>は逆向きであり、円運動の中心は<math>\boldsymbol{r}(t)</math>の始点なので<math>\boldsymbol{a}(t)</math>は常に円運動の中心を向く'''向心加速度'''であることが証明された。// なお、3次元以上では「<math>\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\land\boldsymbol{b}\perp\boldsymbol{c}\implies\boldsymbol{a}/\!/\boldsymbol{c}</math>」が一般には成り立たないのでこの議論を成立させるには追加の条件が必要である。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>の不定積分は、各<math>f_i(x)</math>の原始関数を並べたベクトルを<math>\boldsymbol{F}(x)</math>として :<math>\int \boldsymbol{f}(x) dx = \boldsymbol{F}(x)+\boldsymbol{C}</math>（<math>\boldsymbol{C}</math>は各積分定数を並べたベクトル） と表される。 また、定積分は :<math>\int^b_a \boldsymbol{f}(x) dx=\boldsymbol{F}(b)-\boldsymbol{F}(a)</math> と表される。 1変数ベクトル関数の積分について、以下が成り立つ（不定積分表記だが定積分に就ても同様）。 #定数倍の原始関数：<math>\int \{k\boldsymbol{a}(x)\} dx = k\int\boldsymbol{a}(x)dx</math> #和・差の原始関数：<math>\int \{\boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x)\}dx=\int\boldsymbol{a}(x)dx\pm\int\boldsymbol{b}(x)dx</math> #内積の原始関数<math>\int \{\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \cdot \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)</math> #外積の原始関数<math>\int \{\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \times \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)</math> #スカラー倍の部分積分：<math>\int f(x)\boldsymbol{a}'(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f'(x)\boldsymbol{a}(x) dx \iff \int f'(x)\boldsymbol{a}(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f(x)\boldsymbol{a}'(x) dx</math> #内積の部分積分：<math>\int \{ \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}dx</math> #外積の部分積分：<math>\int \{ \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}dx</math> #置換積分：<math>u=f(x)</math>として<math>\int \boldsymbol{a}'\{f(x)\}f'(x) dx = \int \boldsymbol{a}(u)du</math> 平行条件の定理の証明でベクトル関数の微分方程式を解いたように、成分毎に考えることで解空間ベクトルを求められる。 :1階線型常微分方程式<math>\boldsymbol{f}'(x)+a(x)\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{b}(x)</math>の解に就て考える。 :第<math>i</math>成分を考えると<math>f'_i(x)+a(x)f_i(x)=b_i(x)</math>という1階線型常微分方程式を得るので、 :両辺に積分因子<math>\mu(x)=\exp\left(\int a(x) dx\right)</math>を掛けることで :<math>f_i(x)=\frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\}</math>を得る。 :よって一般解は :<math>\boldsymbol{f}(x) = \sum_i \frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\} \boldsymbol{e}_i=\frac{1}{\mu(x)}\left\{ \int \mu(x) \boldsymbol{b}(x) dx + \boldsymbol{C} \right\}</math> ベクトル関数は必ずしもここで扱った<math>\boldsymbol{f}: \mathbb{R}\to\mathbb{R}^n</math>のみを指さない。 例えば、ベクトル変数 <math>\boldsymbol{x}= \sum_i g_i (x) \boldsymbol{e}_i</math>に対して :<math>\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})=\sum_i (h_i \circ g_i) (x) \boldsymbol{e}_i</math> と定義されるような関数<math>\boldsymbol{h}:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</math>もベクトル関数である。 また、始域と終域の次元が異なる<math>\boldsymbol{i}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n \, (m, n\neq1)</math>のようなベクトル関数も考えられる。 一般に、始域が<math>\mathbb{R}^n (n\neq1)</math>であっても終域が<math>\mathbb{R}</math>である関数はベクトル関数に対して'''スカラー関数'''（scalar function）と呼ばれる。スカラー関数は入力ベクトルを「変数の組」と見れば通常の多変数関数に一致する。 この節で述べた理論は、多くは一般のベクトル関数に対しても成り立つ。但し、後述のヤコビ行列のような拡張を必要とするものもある。 また、多変数ベクトル関数<math>\boldsymbol{f}(x_1, x_2,\cdots,x_n)</math>を考えたとき、多変数微積分の理論は一変数微積分と同様にしてベクトル関数にもそのまま拡張される。 ===ベクトル場・スカラー場=== 写像<math>\boldsymbol{a}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</math>を'''ベクトル場'''（vector field）という。 実際には<math>m=n</math>の場合を考えることが多い。 写像<math>\varphi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>を'''スカラー場'''（scalar field）という。 それぞれ上で述べたベクトル関数・スカラー関数に対応する。 もう少し具体的に述べると、空間の領域<math>V</math>が与えられたときその各点にスカラーまたはベクトルを割り当てたものが場である。要するに、<math>p\in V</math>とすると :スカラー場：<math>\varphi=\varphi(p)</math> :ベクトル場：<math>\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}(p)</math> のように場は「点を入力とする^※関数」である。 <small>※なお、ベクトル場を図示するときは「出力されたベクトルの'''始点は原点でなく入力された点'''」であることに注意が必要である。出力ベクトルの成分表示は「入力点を基準に据えたときの位置ベクトル」なので原点から目盛を数えることに意味はない。</small> ここで<math>V</math>に何かしらの座標が設定されていれば、その座標系の変数の組をベクトルと見做すことで場を「通常のスカラー関数・ベクトル関数」として扱えるのである。 則ち、「滑らかな場」という概念は「滑らかな関数」として定義することができる。より具体的に言うと、スカラー場・ベクトル場が'''滑らか'''であるとは対応するスカラー関数・ベクトル関数が<math>C^\infty</math>級であることである。但し、滑らかさは任意の座標変換で保たれるわけではないことに注意が必要である（後述の座標変換テンソル及びその逆行列の全ての成分関数が滑らかである必要がある）。 ここで、二変数関数の極値を思い返してみる。 <math>z=f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>で極大であるとは<math>\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>として :<math>\exist \delta>0, \forall {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in \mathbb{R}^2, {\scriptstyle\left\| \left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right) \right\|} < \delta \implies f(x, y) \leq f(a, b)</math> という定義だった。 <math>z=f(x, y)</math>は曲面を表すが、これを<math>z</math>軸正方向から<math>xy</math>平面に射影するとその陰が<math>(x, y)</math>の動く範囲となるのであった。 ここで<math>\boldsymbol{x}:=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \boldsymbol{\alpha}:=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>とすると<math>z=f(x, y)</math>はスカラー場<math>z=\phi(\boldsymbol{x})</math>と解釈することができ、更に条件法の前件は<math>\boldsymbol{\alpha}</math>の<math>\delta</math>-開球（二次元なので開円板）である。 なので、極大値の定義式をベクトル解析的に解釈すると「<math>xy</math>平面の各点に<math>z</math>の値を割り当てた数分布に於いて、開円板<math>B_\delta(\boldsymbol{\alpha})</math>内部に於ける<math>z</math>の最大値が<math>\phi(\boldsymbol{\alpha})</math>となるような正数<math>\delta</math>が存在する」ということである。 ベクトル場の例としては、電場・磁場・重力場などが挙げられる。 スカラー場の例としては、電位分布・温度分布・圧力分布などが挙げられる。 例えば、ベクトル場<math>\boldsymbol{f}=(x, 0, 0)</math>は、<math>\mathbb{R}^3</math>内の平面<math>x=k</math>上の任意点に、その点を始点とするベクトル<math>\begin{pmatrix} k \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>が存在する状態を表す。 ベクトル場の和は、出力ベクトルの型が同じならばベクトル場の成分の和をとったものに等しい。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x, y, z)=(y, z, x), \boldsymbol{g}(x, y, z)=(z, x, y)</math>について :<math>(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g})(x, y, z)=(y, z, x)+(z, x, y)=(y+z, z+x, x+y)</math>である。 これは、ベクトル場の加法の定義が :<math>\forall p \in V, (\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g})(p):=\boldsymbol{f}(p)+\boldsymbol{g}(p)</math> となっていて且つ<math>V</math>に座標を入れればベクトル関数の加法則をそのまま適用できるためである（入力点が異なるとき、場同士は足すことができない）。 曲線<math>\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2 \mid \varphi(\boldsymbol{x})=\mathrm{const}.\}</math>を'''等高線'''（等高曲線）、曲面<math>\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^3 \mid \varphi(\boldsymbol{x})=\mathrm{const}.\}</math>を'''等位面'''（等位曲面）という。これらの詳細は後述する。 ==曲線論・曲面論== ===曲線=== <math>xy</math>平面上の曲線は<math>y=f(x) (x\in[a, b])</math>という陽関数表示で扱うことが多かった。しかし、これだと自分自身と交わる（'''自己交叉'''する）曲線や<math>x=x_0</math>に対して<math>f(x_0)</math>の値が複数存在する（<math>f</math>が'''多価関数'''）場合に不都合が生じる。 例えば円を陽関数表示しようとすると :<math>x^2+y^2=r^2</math>を<math>y</math>に就いて解いて :<math>y=\pm\sqrt{r^2-x^2}</math> 則ち :<math>y=\begin{cases} \sqrt{r^2-x^2} & (y\geq0) \\ -\sqrt{r^2-x^2} & (y<0) \end{cases}</math> という多価関数が必要になる。 これだと端点の振舞を一々調べる必要があって曲線の連続性や接線の議論が煩雑になってしまう。 しかし、先程も述べたように曲線の媒介変数表示はベクトル関数として見れるのであった。 :<math>\boldsymbol{r}(\theta) = r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}</math>（再掲） こうすると一変数連続ベクトル関数によって曲線を表すことが可能である。物理的に捉えると「質点の運動の軌跡を原点からの位置ベクトルの時間変化で表す」ということである。 一般に、<math>\boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^n, t \in I</math>としてベクトル方程式<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>の解集合<math>\{\boldsymbol{r}(t) \mid t \in I \}</math>は<math>n</math>次元空間内の曲線<math>C</math>を表す。これを<math>C</math>の'''ベクトル表示'''という。 ベクトル表示は成分表示に直せば<math>\boldsymbol{r}(t)=\sum_i r_i(t)\boldsymbol{e}_i</math>となる。これは媒介変数表示<math>\begin{cases} x_1&=&r_1(t) \\ x_2&=&r_2(t) \\ &\,\,\vdots& \\ x_n&=&r_n(t) \end{cases}</math>をベクトル表記したものに一致する。 例えば、<math>\boldsymbol{r}(t)=\begin{pmatrix} a\cos t \\ a\sin t \\ bt \end{pmatrix}</math>は'''常螺旋'''（弦巻線）のベクトル表示である。 パラメータが増加するときの点の移動方向を曲線の'''正の向き'''と定める。曲線の'''負の向き'''はパラメータが減少するときの点の移動方向である。このとき、パラメータで'''向き付け'''された曲線という表現もなされる。曲線<math>C</math>に対し、同じパラメータを用いた逆向きの曲線を<math>-C</math>と表す。ベクトル表示では<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>に対して<math>-C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(-t)</math>ということである。 パラメータに関する変数変換<math>u=\phi(t)</math>を考える。但し、<math>\phi</math>は広義単調関数とする^※。このとき、<math>\frac{du}{dt}</math>が非負ならば曲線の向き付けが保たれ、非正ならば向き付けが反転する。<math>\frac{du}{dt}=0</math>となる領域では点の運動が停止する。 <small>※<math>\phi</math>が非単調関数のときは曲線上の点が行ったり来たりすることになるため曲線のパラメータ表示としては扱いづらい。</small> <math>\boldsymbol{r}(t) \in C^1</math>且つ<math>\boldsymbol{r}'(t)\neq\boldsymbol{0}</math>であるとき、曲線<math>C</math>は'''滑らか'''であるという。 滑らかな曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>に対して<math>\boldsymbol{r}'(t)</math>を<math>C</math>の'''速度ベクトル'''という。 <math>\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boldsymbol{r}</math>として点<math>\mathrm{P}(t)</math>に於ける速度ベクトルは<math>\lim_{\Delta t\to0}\frac{\boldsymbol{r}(t+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t)}{\Delta t}</math>の極限ベクトルであるが、<math>\boldsymbol{r}(t+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t)</math>を図示することで速度ベクトルが曲線<math>C</math>の点<math>\mathrm{P}(t)</math>に於ける接線の方向ベクトルになっていることがわかる。よって、速度ベクトルを'''接線ベクトル'''（接ベクトル）ともいう。 速度ベクトルが非零である曲線を'''正則'''な曲線と呼ぶ。滑らかな曲線は正則曲線である。 なお、一般には陽関数表示が区分的であることとベクトル表示の成分関数が区分的であることに対応はないほか、パラメータの取り方で速度ベクトルが変わるので「曲線の幾何学的滑らかさ」と「ベクトル表示した関数の解析学的滑らかさ」は一致するとは限らない。 正則な曲線に対して曲線長（'''弧長'''）を考える。 二次元曲線の場合は数学Ⅲで既に扱った。 :<math>L=\int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt</math> 実は、これを一般の<math>n</math>次元にそのまま拡張することができる。 {{定理|(弧長公式)}} 曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>の点<math>\mathrm{P}(a)</math>から点<math>\mathrm{P}(b)</math>までの長さ（<math>a<b</math>）は :<math>L=\int_a^b \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math> で与えられる。 {{定理終わり}} *証明 :<math>a=t_0, b=t_m</math>として閉区間<math>[a, b]</math>を各<math>t_i</math>で等分割する。このとき小区間<math>[t_{k-1}, t_k]</math>の長さは<math>\Delta t=\frac{b-a}{m}</math>。 :<math>C</math>の点<math>\mathrm{P}(a)</math>から点<math>\mathrm{P}(b)</math>までの長さ<math>L</math>は折れ線の長さ<math>\overline{\mathrm{P}(t_{k-1})\mathrm{P}(t_k)}</math>の総和で近似される。 :ここで<math>\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boldsymbol{r}(t)</math>より ::<math>L_m=\sum_{k=1}^m \| \boldsymbol{r}(t_k)-\boldsymbol{r}(t_{k-1}) \| = \sum_{k=1}^m \left\| \frac{\boldsymbol{r}(t_{k-1}+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t_{k-1})}{\Delta t-0} \right\|(\Delta t-0)</math> :分割を限りなく細かくする極限をとると<math>m\to\infty</math>より<math>\Delta t\to0</math>なので ::<math>\lim_{m\to\infty} L_m = \sum_{k=1}^\infty \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}(t_{k-1}) \right\|dt</math> :区分求積法より最後の無限級数は収束して :<math>L=\int_a^b \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math>// ここで、<math>dl:=\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math>という微小量を'''線素'''と呼ぶ。 1を線素に関して積分したパラメータ<math>s:=\int_0^t dl</math>を'''弧長パラメータ'''（標準パラメータ）という。弧長パラメータは曲線上で「基準点からの符号付き距離」を表す。 曲線の弧長パラメータによるベクトル表示（'''弧長パラメータ表示'''）を考える。<math>s=\int_0^t \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math>で正則よりノルムは正。則ち<math>\frac{ds}{dt}>0</math>より<math>s=\phi(t)</math>は狭義単調増加なので、逆関数<math>t=\phi^{-1}(s)</math>を考えることができる。よって、<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>に<math>t=\phi^{-1}(s)</math>を代入した<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\phi^{-1}(s))</math>が弧長パラメータ表示である。これを<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>と略記してしまうことも多いが、'''一般には元の<math>\boldsymbol{r}(t)</math>と成分関数が異なる'''ことに注意。 通常の媒介変数によるベクトル表示は「座標系が予め与えられた状況」での表示であるが、弧長パラメータは座標系を取り替えたとしても表す曲線そのものが変わらなければ不変である。よって、「座標系に依存しない表記」として弧長パラメータ表示は多く利用されている。 また、弧長パラメータ表示で連鎖律を適用すると :<math>\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\cdot\frac{dt}{ds}=\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\cdot\frac{1}{\frac{ds}{dt}}</math> ここで微分積分学の基本定理より :<math>\frac{ds}{dt}=\frac{d}{dt} \int_0^t \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt = \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|</math> なので :<math>\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\frac{\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}}{\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|}</math> であり、自身のノルムで割ってるので恒等的に<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} \right\|=1</math>である。 よって、弧長パラメータ表示された曲線の接ベクトルは常に単位ベクトルである。 弧長パラメータ表示された曲線で線素を考えると<math>s=\int_0^s \left\| \frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds} \right\| ds = \int_0^s dl</math>だが、常に<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} \right\|=1</math>なので<math>ds=dl</math>であり、弧長パラメータの微小量は線素に等しい（弧長パラメータそのものが1の線素に関する積分なので当たり前ではある）。 <math>\boldsymbol{e}_\dagger(s)=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}</math>と置くと、点<math>\mathrm{P}(s_0)</math>に於ける接線の方程式は :<math>\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s_0)=\boldsymbol{e}_\dagger(s_0) (s-s_0)</math> と表される。 ここで<math>\boldsymbol{r}(s)</math>の中心<math>s_0</math>に於けるテイラー展開は :<math>\boldsymbol{r}(s)=\sum_{i=0}^\infty \frac{(s-s_0)^i}{i!} \frac{d^i}{ds^i}\boldsymbol{r}(s_0) </math> であり、「接線が一次近似に対応する」という構造はベクトル関数でも維持されることが判った。 領域<math>\boldsymbol{D}</math>上の滑らかなベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>について、微分方程式<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t)) (\boldsymbol{r} \in \boldsymbol{D})</math>で与えられる曲線<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>を<math>\boldsymbol{a}</math>の'''流線'''（streamline）という（入力点を位置ベクトルと同一視していることに注意）。流線の接線ベクトルは元のベクトル場そのものになるので、ベクトルの相等から得る方程式<math>\frac{dx_1}{a_1}=\frac{dx_2}{a_2}=\cdots=\frac{dx_n}{a_n}</math>を'''流線方程式'''という。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x, y)=(y, x)</math>の流線は、 :定義から<math>\frac{dx}{dt}=y, \frac{dy}{dt}=x</math> :合成関数の微分公式から<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{x}{y}</math> :<math>\int y dy=\int xdx</math> :<math>\frac{1}{2}y^2=\frac{1}{2}x^2+C</math> :よって双曲線<math>y^2-x^2=2C</math>// この場合、<math>t</math>に関する2つの微分方程式を組み合わせることで :<math>\frac{d^2x}{dt^2}=x, \frac{d^2y}{dt^2}=y</math>という二階線型常微分方程式となり、一般解が双曲線関数を用いて<math>\begin{cases} x=C_1\cosh t+C_2\sinh t \\ y=C_1\sinh t+C_2\cosh t \end{cases}</math>であることが容易に判る。<br>なお、流線方程式を用いても<math>\frac{dx}{y}=\frac{dy}{x}</math>から<math>\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}</math>が出てくる。 「流線の接線ベクトルが元のベクトル場になる」とはつまり、「接線が常にベクトル場と平行になるような曲線」を考えているということである。滑らかなベクトル場を考えているためそのような曲線は常に存在する。流線は「ベクトル場の流れを繋げていった曲線」と考えることができるので、「流れを簡潔に図示」するのにちょうどよい。 有名な例として、電気力線・磁力線はそれぞれ電場<math>\boldsymbol{E}</math>・磁束密度<math>\boldsymbol{B}</math>の流線である。 流線の微分方程式を弧長パラメータ表示を用いて変形する。 :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))</math>の左辺に就いて :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\frac{ds}{dt}=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot \|\boldsymbol{r}'(\phi^{-1}(s))\|</math> 元の方程式の両辺でノルムをとると :<math>\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|=\|\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))\|</math> 代入して :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\|\boldsymbol{r}'(\phi^{-1}(s))\|=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\|\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))\|</math> :<math>\therefore \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} = \boldsymbol{e}_{\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(\phi^{-1}(s)))}</math> ここから、流線の形状はノルムには関係なく方向場のみで決まることがわかる。 ===フレネ標搆=== ここでは、三次元空間に於ける正則曲線について考える。 <math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>上の点<math>\mathrm{P}(s)</math>に於ける単位接線ベクトルを<math>\boldsymbol{t}</math>とおく。 先程の議論より<math>\boldsymbol{t}(s)=\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}</math>であり、<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds} \right\|=1 (=\mathrm{const}.)</math>なので直交条件の定理から<math>\boldsymbol{t}\cdot\frac{d\boldsymbol{t}}{ds}=0</math>、則ち<math>\boldsymbol{t} \perp \frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}</math>である。この<math>\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}</math>を'''主法線ベクトル'''という。 主法線ベクトルを<math>\boldsymbol{n}</math>とおくとき、<math>\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n}</math>を'''従法線ベクトル'''（陪法線ベクトル）という。ここで先程の結果より<math>\boldsymbol{t}\perp\boldsymbol{n}</math>であって<math>\boldsymbol{b}</math>の定義より<math>\boldsymbol{t}\perp\boldsymbol{b}, \boldsymbol{n}\perp\boldsymbol{b}</math>なので、この3ベクトルの組を正規化した<math>\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b \}</math>は<math>\mathbb{R}^3</math>の正規直交基底である。これを<math>\mathbb{R}^3</math>の'''フレネ標搆'''という。外積の結果よりフレネ標搆は<math>\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b</math>の順に右手系をなす。なお、接線ベクトル・主法線ベクトル・従法線ベクトルは全て曲線の位置ベクトル<math>\boldsymbol{r}(s)</math>を入力したベクトル場として捉えることができる。 <math>\{\boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b \}</math>の張る平面を'''法平面'''、<math>\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_b \}</math>の張る平面を'''展直平面'''、<math>\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n \}</math>の張る平面を'''接触平面'''という。 即ち、法平面・展直平面・接触平面は<math>tnb</math>空間の点<math>\mathrm{P}(s)</math>を原点とした基準面である。 平面の方程式の法線ベクトルに接ベクトル・主法線ベクトル・従法線ベクトルをそれぞれ代入することで :法平面の方程式：<math>(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{t}(s)=0</math> :展直平面の方程式：<math>(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{n}(s)=0</math> :接触平面の方程式：<math>(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{b}(s)=0</math> とわかる。 <math>\|\boldsymbol{t}\|=1</math>は常に成り立つが<math>\|\boldsymbol{n}\|, \|\boldsymbol{b}\|</math>は<math>1</math>とは限らない。そこで、主法線ベクトルの大きさ<math>\kappa(s)=\|\boldsymbol{n}(s)\|</math>を曲線<math>C</math>の'''曲率'''と呼ぶことにする。なお、<math>\|\boldsymbol{b}\|=\| \boldsymbol{t} \| \|\boldsymbol{n}\|\sin\frac{\pi}{2}</math>より<math>\|\boldsymbol{b}\|=\|\boldsymbol{n}\|=\kappa</math>が成り立つ。 主法線ベクトルの定義に立ち戻ると<math>\boldsymbol{n}(s)=\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}</math>であった。つまり、主法線ベクトルは接ベクトルの速度ベクトルなので「弧長パラメータを変化させたときに接ベクトルがどのくらい変化するか」という指標である。接ベクトルの変化の大小と<math>\kappa</math>の大小は対応し、接ベクトルの大小はカーブの緩急に対応することから<math>\kappa</math>の大小とカーブの緩急も対応する。これが「曲率」という名前の由来である。 なお、<math>\kappa(s)=0</math>の場合は<math>\boldsymbol{n}(s)=\boldsymbol{0}</math>なので<math>\boldsymbol{t}(s)=\boldsymbol{k}</math>（定ベクトル）であり、<math>\boldsymbol{r}(s)=s\boldsymbol{k}</math>という直線の場合に対応することがわかる。 単位接ベクトルの<math>s</math>を微分変数とする導関数（<math>s</math>-導関数）は主法線ベクトルだったが、単位主法線ベクトル・単位従法線ベクトルの<math>s</math>-導関数がどのように表されるか見ていく。 ここで、フレネ標搆が<math>\mathbb{R}^3</math>の正規直交基底であることから、<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}, \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}</math>ともにフレネ標搆の一次結合で表現できると予想される。 単位従法線ベクトルに就いて :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\frac{d}{ds}(\boldsymbol{e}_t\times\boldsymbol{e}_n)=\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\times\boldsymbol{e}_n+\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math> <math>\boldsymbol{t}=\boldsymbol{e}_t</math>より<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\boldsymbol{n}=\kappa\boldsymbol{e}_n</math>則ち<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\times\boldsymbol{e}_n=\kappa\boldsymbol{e}_n\times\boldsymbol{e}_n=\boldsymbol{0}</math>なので :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math> <math>\|\boldsymbol{e}_n\|=1</math>から直交条件の定理より<math>\boldsymbol{e}_n\perp\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math>なので :<math>\boldsymbol{e}_n\times\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\boldsymbol{e}_n\times(\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds})=\left(\boldsymbol{e}_n\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}\right)-(\boldsymbol{e}_n\cdot\boldsymbol{e}_t)\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\boldsymbol{0}</math> 外積が零ベクトルなので<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds} /\!\!/ \boldsymbol{e}_n</math>であり、一次従属より :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n</math> となるスカラー関数<math>\tau(s)</math>が存在する。 この<math>\tau(s)</math>を曲線<math>C</math>の'''捩率'''と呼ぶ。捩率は接触平面の回転（捩れ）の率を表す。 <math>\tau=0</math>ならば<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=0</math>より<math>\boldsymbol{e}_b</math>方向は変化しないので曲線は接触平面と平行な平面上に拘束される。即ち、<math>C</math>は平面曲線である。 単位主法線ベクトルに就いて :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\frac{d}{ds}(\boldsymbol{e}_b\times\boldsymbol{e}_t)=\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}\times\boldsymbol{e}_t+\boldsymbol{e}_b\times\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}</math> ここで<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\kappa\boldsymbol{e}_n, \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n</math>を代入して :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n\times\boldsymbol{e}_t+\boldsymbol{e}_b\times\kappa\boldsymbol{e}_n=\tau\boldsymbol{e}_b-\kappa\boldsymbol{e}_t</math> よって、フレネ標搆の弧長パラメータを微分変数とする導関数を以下のようにフレネ標搆の一次結合で表すことができた。 :<math>\begin{cases} \frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\kappa\boldsymbol{e}_n \\ \frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds} = \tau\boldsymbol{e}_b-\kappa\boldsymbol{e}_t \\ \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n \end{cases}</math> これを一次変換で表記すると以下のようになる。但し、厳密にはベクトルを成分としている部分は列ではなく行に配置するのが正しいことに注意。 {{定理|(フレネ＝セレーの公式)}} :<math>\frac{d}{ds}\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix}</math> {{定理終わり}} 表現行列が反対称行列（歪対称行列）になっているが、これは「直交変換を一次近似すると反対称変換になる」という無限小回転の理論に対応する。 捩率を求めるときは「基底分解の係数は対応する基底ベクトルとの内積に等しい」という性質を利用すれば<math>\boldsymbol{e}_b\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\tau</math>となるので左辺を計算すればよい。 例えば、円<math>\begin{cases} x^2+y^2=a^2 \\ z=b \end{cases}</math>の曲率と捩率は以下のように求まる。 :媒介変数表示して<math>\boldsymbol{r}(t)=\begin{pmatrix} a\cos t \\ a\sin t \\ b \end{pmatrix}</math> :接線ベクトルは<math>\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -a\sin t \\ a\cos t \\ 0 \end{pmatrix}</math> :弧長パラメータ<math>s</math>は<math>s=\int^t_0 \left\|\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\right\|dt = \int_0^t a dt = at</math> :<math>\therefore t=\frac{s}{a}</math> :<math>\boldsymbol{r}(s)=\begin{pmatrix} a\cos\frac{s}{a} \\ a\sin\frac{s}{a} \\ b \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{t}=\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\begin{pmatrix} -\sin\frac{s}{a} \\ \cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{n}=\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}=\frac{1}{a}\begin{pmatrix} -\cos\frac{s}{a} \\ -\sin\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\kappa=\|\boldsymbol{n}\|=\frac{1}{a}</math> :<math>\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{a} \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{e}_n=\begin{pmatrix} -\cos\frac{s}{a} \\ -\sin\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\frac{1}{a}\begin{pmatrix} \sin\frac{s}{a} \\ -\cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{e}_b = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> :<math>\tau = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{a}\begin{pmatrix} \sin\frac{s}{a} \\ -\cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>// フレネ・セレーの公式は[[線型代数学続論/行列値関数|行列関数]]に関する一階常微分方程式である。そのため、微分方程式の基本定理（ピカール=リンデレーエフの定理）により初期条件（<math>s=0</math>に於けるフレネ標搆）を与えれば、滑らかな曲率関数・捩率関数の組<math>(\kappa, \tau)</math>を定めることで微分方程式の解として一般の<math>s</math>に対するフレネ標搆を一意に得る。このとき、曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>は接ベクトルを出発点を選んで積分することで決定される。 従って、次の定理が成り立つ<!-- 厳密証明はhttps://sshmathgeom.private.coocan.jp/diffgeom/curvetheorem.htmlを参照 -->。 {{定理|(曲線の基本定理)}} 開区間<math>(a,b)</math>上の実数<math>s</math>を変数とする2つの滑らかな関数<math>\kappa(s),\tau(s)</math>を与える。但し、<math>\kappa(s)</math>は正とする。<br/> このとき、<math>\kappa(s)</math>を曲率、<math>\tau(s)</math>を捩率、<math>s</math>を弧長パラメータとする三次元空間上の曲線<math>C</math>が剛体運動を除いて一意に定まる。 {{定理終わり}} 剛体運動とは「曲線の形を変えない」運動のことである（平行移動・回転など）。 <math>\kappa(s), \tau(s)</math>の定める曲線族を一般に<math>\mathcal{C}[\kappa, \tau]</math>と書く。 例えば、円を含む螺旋は<math>c_1, c_2=\mathrm{const}.</math>として<math>\mathcal{C}[c_1, c_2]</math>と書ける。 <math>R=\frac{1}{\kappa}</math>を'''曲率半径'''という。曲率半径は曲線の特定のカーブにおける曲がり具合の急さを表す指標であり、カーブを近似する真円（'''密着円'''）の半径でもある。高速道路の標識で<math>R=\circ\circ \mathrm{m}</math>は、そのカーブの曲率半径を示している。道路設計では、快適なドライブの為曲率半径がなるべく大きくなるように工夫を凝らしている。 ここで<math>\boldsymbol{r}(s)</math>の中心<math>s_0</math>に於けるテイラー展開は :<math>\boldsymbol{r}(s)=\sum_{i=0}^\infty \frac{(s-s_0)^i}{i!} \frac{d^i}{ds^i}\boldsymbol{r}(s_0) </math>（再掲） だったが、二次近似式（三次以降を切り捨てた式）を考えると :<math>\boldsymbol{r}(s) \fallingdotseq \boldsymbol{r}(s_0)+\frac{d\boldsymbol{r}(s_0)}{ds}(s-s_0) + \frac{1}{2}\frac{d^2\boldsymbol{r}(s_0)}{ds^2}(s-s_0)^2 </math> フレネ標搆を用いて書き直すと :<math>\boldsymbol{r}(s) \fallingdotseq \boldsymbol{r}(s_0)+\boldsymbol{e}_t(s-s_0) + \frac{1}{2}\kappa(s_0)\boldsymbol{e}_n(s-s_0)^2 </math> 二次近似とは「曲線を円弧で近似する」ことだったので曲率<math>\kappa(s_0)</math>が近似に用いる円弧と関係ある量であることが予想される。<br/> 接触平面で密着円<math> \| \boldsymbol{r} - (\boldsymbol{r}(s_0)+R\boldsymbol{e}_n) \| = R </math>を考える。接触平面を<math>xy</math>平面と考えると円の方程式は :<math>x^2+(y-R)^2=R^2</math> :<math>y=R-\sqrt{R^2-x^2}</math> テイラー展開して :<math>y=\frac{x^2}{2R}+O(x^4)</math> 二次の項を比較すると :<math>\frac{x^2}{2R}=\frac{(s-s_0)^2}{2}\kappa</math> よって :<math>R=\frac{1}{\kappa}</math> と定義するのは妥当である。 なお、先ほど求めた円の曲率から、真円に関して「曲率半径=半径」であることが判る。 フレネ・セレーの公式で最初の二行二列のみを考えると<math>\mathbb{R}^2</math>内の曲線に対するフレネ・セレーの公式を得る。一般に<math>\mathbb{R}^n</math>上の曲線に対し、今回の議論と同様にして接ベクトル・主法線ベクトル・曲率を定義することができる。但し、三次元空間と異なって同じ曲率に対して異なる曲線を与えることができる（主法線ベクトルが接触平面内で接ベクトルに対して左右どちらを向くかがそのままでは定まらないため）。なお、4次元以上であっても平面拘束曲線ならば捩率は0であって従法線ベクトルは零ベクトルに定まる。 ===単純閉曲線=== パラメータ区間を<math>I=[a, b]</math>とする。 このとき、曲線の端点はそれぞれ<math>\mathrm{P}(a), \mathrm{P}(b)</math>である。 端点が一致する、つまり<math>\mathrm{P}(a)=\mathrm{P}(b)</math>である連続曲線を'''閉曲線'''という。 自己交叉しない、つまり<math>\forall t_1, t_2 \in (a, b), t_1 \neq t_2 \iff \mathrm{P}(t_1)\neq\mathrm{P}(t_2)</math>となる閉曲線を'''単純閉曲線'''（ジョルダン曲線）という。閉曲線でない曲線に就いて「自己交叉しない」という条件は「曲線を表すベクトル関数が単射」と同値であるので、端点のみ単射性を外してやれば単純閉曲線の定義を得る。 幾何学的直観から、平面に拘束された単純閉曲線はその平面を単純閉曲線で囲まれた'''内部'''とそうでない'''外部'''の二つの領域に分割することが予想できる。 このことは以下の定理によって保証される。 {{定理|(ジョルダンの曲線定理)}} 平面<math>\Pi\subset\mathbb{R}^n</math>内の任意の単純閉曲線<math>\gamma</math>に対し、有界領域<math>I</math>・非有界領域<math>O</math>の組であって<math>\Pi\setminus\gamma=I \sqcup O</math>且つ<math>\partial{I}=\partial{O}=\gamma</math>であるものが唯一つに定まる。 {{定理終わり}} この<math>I, O</math>をそれぞれ内部・外部と定義する。証明は[[位相幾何学]]で行う。なお、「<math>\partial{I}=\partial{O}=\gamma</math>」を態々明示しているのは、滑らかでない単純閉曲線に対しては「<math>\Pi\setminus\gamma=I \sqcup O \implies \partial{I}=\partial{O}=\gamma</math>」が自明でないためである。 正則単純閉曲線に対して「曲線の向き」の幾何学的意味を考える。 ジョルダンの曲線定理より単純閉曲線<math>\gamma:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s) \quad(\boldsymbol{r}\in \Pi)</math>は平面<math>\Pi</math>を内部<math>I</math>と外部<math>O</math>に分割する。平面拘束曲線なので<math>\forall{s}, \tau(s)=0</math>であり、従法線ベクトルは零ベクトル且つ接触平面が常に<math>\Pi</math>に一致する。 主法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}(s)</math>が接ベクトル<math>\boldsymbol{t}(s)</math>に対して左側を向いているとすると、<math>\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0) \quad(\varepsilon>0)</math>が点<math>\mathrm{P}(s_0)</math>に於ける<math>\gamma</math>の進行方向左側にある点である。 ここで、<math>\mathrm{P}(s_0)</math>に於ける<math>\varepsilon</math>-開球<math>B_\varepsilon(s_0)</math>を考えると、平面<math>\Pi</math>上では<math>\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0)</math>が左側の領域、<math>\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0)</math>が右側の領域に入る。 <math>s=s_0</math>を動かすと各点で進行方向左は<math>I, O</math>のいずれかであり、<math>\gamma</math>の正則性と<math>I, O</math>の連結性から「<math>I, O</math>のどちらが左側であるかは曲線全体で変わらない」ことが言える。 ここで円の場合を考える。<math>\Pi</math>に直交座標<math>u, v</math>を入れると向心加速度の議論から「加速度ベクトル=主法線ベクトルは円の中心を向く」ので、「円の正の向きは円の内部を左手に見る進行方向」である。 任意の正則単純閉曲線<math>\gamma</math>に対して自己交叉を起こさないまま円へ連続変形する可逆写像が存在し、その変形に於いて「左側」と「<math>I, O</math>」の対応は変化しない。則ち、円で確認された「正の向きは囲まれた内部を左手に見る向き」は任意の正則単純閉曲線で成り立つ。 つまり、単純閉曲線の正の向きは点を動かしたときに'''自身の囲む領域の内部を左手に見る向き'''である。負の向きは左手に外部を見る向きである。 集合<math>A</math>に含まれる任意の2点に対してそれらを端点とする滑らかな曲線<math>C</math>をとれるとき、<math>A</math>は'''弧状連結'''であるという。 弧状連結集合<math>S</math>内の任意の閉曲線<math>\gamma</math>に対して1点に退化するような連続変形が可能なとき、<math>S</math>は'''単連結'''であるという。単連結でない集合は'''多重連結'''であるという。 平面<math>\Pi\subset\mathbb{R}^n</math>に含まれる単連結集合<math>S</math>に対し、<math>\hat{\Pi}:=\Pi\cup\{\infty\}</math>とすると集合<math>\hat{\Pi}\setminus{S}</math>は連結である。逆も成り立つ。 なお、「<math>A</math>が連結集合である」ことは「補集合<math>\overline{A}</math>が非連結集合である」ことを意味しない。そのため「単連結な連結集合」も考えられ、特に「単連結な領域」はこの先頻繁に登場する。 集合<math>A</math>に含まれる任意の2点を結んだ線分が<math>A</math>に包含されるとき、<math>A</math>は'''凸型'''であるという。凸型集合でない集合は'''凹型'''であるという。 集合<math>A</math>内の1点を固定してそこから<math>A</math>内任意点へ引いた線分が<math>A</math>に包含されるとき、<math>A</math>は'''星状'''（星型）であるという。このとき固定した点を'''星の中心'''という。凸型集合は全て星状集合である。 単純閉曲線<math>\gamma</math>を境界とする内部<math>I</math>に関して<math>I\cup\gamma</math>が凸型集合であるとき、<math>\gamma</math>を'''卵形線'''（凸単純閉曲線・オーヴァル）という。 曲線<math>C</math>の曲率関数<math>\kappa(s)</math>が<math>C^3</math>級であるとき、<math>\kappa'(s_0)=0</math>を満たす点<math>\mathrm{P}(s_0)</math>を<math>C</math>の'''頂点'''という。 例えば、標準楕円<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>の頂点は4点<math>(\pm{a},0),(0,\pm{b})</math>である。このことは、<math>\mathbb{R}^2</math>上曲線<math>C:\boldsymbol{r}=x(t)\boldsymbol{e}_x(t)+y(t)\boldsymbol{e}_y(t)</math>に対する曲率の公式<math>\kappa(t)=\frac{\left|\frac{dx}{dt}\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\frac{d^2x}{dt^2}\right|}{\left\{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2\right\}^\frac{3}{2}}</math>と<math>\frac{ds}{dt}>0</math>を用いて確かめられる。 実は、この事実は楕円に限らないことが以下の定理で示される。 {{定理|(ムコパディヤーヤの定理・四頂点定理)}} <math>\mathbb{R}^2</math>上の滑らかな卵形線は少なくとも4つの頂点を持つ。 {{定理終わり}} *証明 :滑らかな卵形線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)\quad(s\in[a, b])</math>に対して曲率関数<math>\kappa(s)</math>は滑らかであり、<math>\kappa\in C^3</math>を満たす。 :卵形線は単純閉曲線なので<math>\mathrm{P}(a)=\mathrm{P(b)}</math>であり、<math>\kappa(a)=\kappa(b)</math>。 :曲率関数が定数関数のときは<math>\kappa\in C^\infty</math>且つ常に<math>\kappa'(s)=0</math>なので曲線を構成するすべての点が頂点であり、明らかに定理を満たす。 :曲率関数が定数関数でないとする。 :ワイエルシュトラスの極値定理より<math>\kappa(s)</math>は<math>s\in[a, b]</math>のどこかで最大値・最小値をとり、その点で<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす。 :従って少なくとも2つの頂点を持つ。 :ここで、頂点がこの2つのみと仮定する。 :曲率が最大値・最小値をとる点をそれぞれ<math>\mathrm{M, N}</math>と置く。 :線分<math>\mathrm{MN}</math>を含む直線を<math>x</math>軸とし、その垂直方向に<math>y</math>軸をとる。 :<math>s</math>が増加すると曲線上の点が<math>\mathrm{N}\to\mathrm{M}</math>のように動くとき、 :<math>\kappa(s)</math>は最小値から最大値に向かって増大し、他に頂点がないので狭義単調増加である。 :同様に、<math>\mathrm{M}\to\mathrm{N}</math>の向きでは<math>\kappa(s)</math>は狭義単調減少である。 :従って、<math>\kappa'(s)y(s)\neq0</math>の正の側だけ考えれば良い。 :<math>y(a)=y(b)=0</math>に注意すると部分積分して :<math>0<\int_a^b \kappa'(s)y(s)ds=-\int_a^b \kappa(s)y'(s)ds</math> :主法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}(s)= \begin{pmatrix} \xi_1(s) \\ \xi_2(s) \end{pmatrix}</math>を考えると二次元版フレネ=セレーの公式から<math>\frac{d\boldsymbol{n}}{ds}=-\kappa\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}</math>なので :<math>\xi'_2(s)=-\kappa(s)y'(s)</math> :よって :<math>-\int_a^b \kappa(s)y'(s)ds=\int_a^b \xi_2(s)ds = \left[\xi_2(s)\right]_a^b=0</math> :なので矛盾した不等式<math>0<0</math>を得る。 :則ち、<math>\mathrm{M, N}</math>と異なる点で<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が少なくとも一つ存在する。 :そのような点を<math>\mathrm{L}</math>と置く。 :<math>\mathrm{L}</math>が<math>\mathrm{N}\to\mathrm{M}</math>という経路の途中にあるとする。 :このとき、<math>\mathrm{L}</math>以外に<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が存在すると「<math>\mathrm{M}\to\mathrm{N}</math>という経路の途中にそのような点が無い」という最初の仮定に反するので :<math>\mathrm{M, N, L}</math>以外では<math>\kappa'(s)y(s)>0</math>である。 :同様に部分積分を行うことで矛盾した不等式を得、<math>\mathrm{M, N, L}</math>と異なる点で<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が少なくとも一つ存在することが判る。 :この時点で「<math>\mathrm{M, N}</math>間の二つの経路のいずれにも<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が存在しない」という仮定が否定されたのでこれ以上背理法を適用することはできない。 :よって、頂点個数の最小値は<math>4</math>である。// 最小値4をとる卵形線が実際に存在することは楕円の例で確かめた。 この定理は「卵形線」を「(正則)単純閉曲線」に取り換えてもそのまま成り立つことが知られている。一般の閉曲線でこの定理を成り立たせるには追加の条件が必要となる。 先程も述べたように、接ベクトルと単位主法線ベクトルは2次元以上の空間内部にある曲線ならば定義することができる。そして、<math>\boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{n}=0</math>も必ず成り立つ。よって、<math>\boldsymbol{e}_t\cdot\boldsymbol{e}_n=0</math>の両辺を<math>s</math>で微分して :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\cdot\boldsymbol{e}_n+\boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=0</math> :<math>\therefore \boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{e}_n=-\kappa</math> ここで「基底分解に於ける成分はその基底との内積に等しい」という性質から、<br/> 一般次元に於いても「<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math>の接線方向成分は<math>-\kappa(s)</math>」であることが判る。 ここで<math>C^2</math>級曲線の位置ベクトル<math>\boldsymbol{r}(s)</math>に対して単位主法線<math>\boldsymbol{e}_n(s)</math>を対応させることを考える。この対応を'''ガウス表示'''という。 <math>\boldsymbol{e}_n(s)</math>を二次までテイラー展開すると<math>\Delta s>0</math>を微小量として :<math>\boldsymbol{e}_n(s+\Delta s)=\boldsymbol{e}_n(s)+\frac{d\boldsymbol{e}_n(s)}{ds}\Delta s + O(\Delta s^2)</math> ここで<math>\boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\kappa</math>より、<math>s</math>を<math>\Delta s</math>だけ動かしたときの接線方向の速さは<math>|\kappa(s)|\Delta s</math>である（<math>\kappa(s)</math>が正で正の向き、負で負の向きに動くとする）。 閉曲線に対してはガウス表示によって法線方向の変化を完全に捉えられるので、<math>\kappa(s)</math>を微小量<math>\Delta s</math>に関して積分した<math>\int_a^b \kappa(s)ds</math>を考えてみる。 ガウス表示では曲線を単位主法線ベクトルの描く単位円として考えることができる。閉曲線では<math>\mathrm{P}(a)=\mathrm{P}(b)</math>より明らかに<math>\boldsymbol{e}_n(a)=\boldsymbol{e}_n(b)</math>であり、閉曲線が一周する間にベクトル<math>\boldsymbol{e}_n(s)</math>はこの単位円を<math>m(\in\mathbb{Z})</math>周する^※。 <small>※物理的には「円そのものが動いても円周上の質点は『この円をどっちの方向に何周したか』という情報しか持たない」ので、単位円が動くことは議論にあまり関係ない</small> 弧度法より単位円を<math>m</math>周する符号付き道のりは<math>2\pi{m}</math>であり、ガウス表示より<math>\int_a^b \kappa(s)ds=2\pi{m}</math>。 従って、<math>m=\frac{1}{2\pi}\int_a^b \kappa(s)ds</math> この<math>m</math>を閉曲線の'''回転数'''と呼ぶことにする。 曲率が負の場合には積分値が途中で相殺されてしまうので、絶対値を付けて積分した :<math>\mu:=\int_a^b |\kappa(s)|ds</math> という量を考えることにする。 これを閉曲線の'''全曲率'''と呼ぶ。 全曲率に対して以下の定理が成り立つ。 {{定理|(フェンヒェルの定理)}} 滑らかな閉曲線の全曲率は<math>\mu\geq2\pi</math>を満たす。等号成立の場合は卵形線である。 {{定理終わり}} 証明は省略する。 ===曲面=== 多変数解析で既に扱った、三次元空間に於ける曲面の陽関数表示<math>z=f(x, y)</math>を'''モンジュ表示'''という。<math>f(x, y, z)=\mathrm{const}.</math>と陰関数表示された曲面は陰関数定理が成り立つ範囲でモンジュ表示に直すことができる。 一次式で陰関数表示される曲面を'''一次曲面'''という。平面の方程式より、一次曲面は全て平面である。 二次式で陰関数表示される曲面を'''二次曲面'''という。 以下、三次元空間に於ける二次曲面の例を挙げる。各係数は非退化条件を満たすとする。なお、「直線に平行な平面」は「直線を法線とする平面に垂直な平面」を意味することに注意。 *'''球面'''（sphere） :高校数学で扱ったように、点<math>(a, b, c)</math>を中心とする半径<math>r</math>の球面の方程式は<math>(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2</math>である。この球面上の点の位置ベクトルは<math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>なので、球面が満たすベクトル方程式は一般に<math>\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a}\|=\mathrm{const}.</math>である。これは円のベクトル方程式の次元を上げたものである。 *'''楕円面'''（ellipsoid） :楕円の方程式を拡張した方程式<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1</math>が表す曲面である。<math>xyz</math>空間の基本面で切った断面は全て楕円となる。 *'''楕円拋物面'''（elliptic paraboloid） :楕円の平面拘束条件を外した方程式<math>z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}</math>が表す曲面である。<math>z</math>軸に垂直な平面で切った断面は楕円、平行な平面で切った断面は拋物線となる。 *'''双曲拋物面'''（hyperbolic paraboloid） :双曲線の平面拘束条件を外した方程式<math>z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}</math>が表す曲面である。<math>z</math>軸に垂直な平面で切った断面は双曲線、平行な平面で切った断面は拋物線となる。また、原点は鞍点である。 *'''一葉双曲面'''（hyperboloid of one sheet） :楕円面の方程式の一つの項の符号を変えた<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1</math>の表す曲面。<math>z</math>軸に垂直な平面で切った断面は楕円、平行な平面で切った断面は双曲線となる。 *'''二葉双曲面'''（hyperboloid of two sheet） :楕円面の方程式の二つの項の符号を変えた<math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1</math>の表す曲面。断面の分類は一葉双曲面と同じだが、<math>m^2<c^2</math>のときは平面<math>z=m</math>と交わらないため「二葉」と名付けられている。 *'''錐面'''（conical surface） :方程式<math>\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}</math>の表す曲面。<math>xy</math>平面との交点は原点のみであり、<math>yz</math>平面・<math>zx</math>平面で切った断面は直線である。 閉区間<math>I\subset\mathbb{R}</math>上の一変数ベクトル関数<math>\boldsymbol{r}(t)</math>を用いたベクトル方程式<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t) \quad(t\in I)</math>の解集合は次元に依らず曲線を表した。 同様に、領域^※<math>D\subset\mathbb{R}^2</math>上の二変数ベクトル関数<math>\boldsymbol{r}(t, u)</math>を用いたベクトル方程式<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u) \quad({\scriptstyle\left(\begin{array}{c} t \\[-6pt] u \end{array}\right)}\in D)</math>の解集合は次元に依らず曲面を表すと考えられる。 厳密には[[線型代数学/基底と次元|階数・退化次数の定理]]<!-- 次元定理・線型写像の基本定理 -->などを用いてこのことを確かめられる。 <small>※ここでいう「領域」は冒頭で厳密に定義した「領域」であることに注意。</small> 曲線と同様に、曲面の'''パラメータ表示'''と'''ベクトル表示'''は次のように定義される。 :パラメータ表示：<math>\begin{cases} x_1&=&r_1(t, u) \\ x_2&=&r_2(t, u) \\ &\,\,\vdots& \\ x_n&=&r_n(t, u) \end{cases}</math> :ベクトル表示：<math>\left\{\boldsymbol{r}(t, u) \,\bigg|\, {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} t \\[-6pt] u \end{array}\right)} \in D \right\}</math> また、<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>のようにも表す。 例えば、<math>k>l>0</math>として<math>\boldsymbol{r}(t, u)=\begin{pmatrix} (k+l\cos u)\cos t \\ (k+l\cos u)\sin t \\ l\sin u \end{pmatrix} \quad(D=\left\{ \begin{pmatrix} t \\ u \end{pmatrix} \bigg| \begin{array}{c} 0 \leq t \leq 2\pi \\ 0 \leq u \leq 2\pi \end{array} \right\})</math>は'''トーラス'''のベクトル表示である。 <math>\mathbb{R}^3</math>上の平面の方程式は高校数学に於いて<math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\neq\boldsymbol{0}</math>として一次式<math>ax+by+cz+d=0</math>と表せることを学んだ。 これのベクトル方程式を求めてみよう。 :①<math>c=0</math>のとき ::平面の方程式は<math>\begin{cases} ax+by+d=0 \\ z=\mathrm{const}. \end{cases}</math> ::[1]<math>b=0</math>のとき :::平面の方程式は<math>\begin{cases} ax+d=0 \\ y=\mathrm{const}. \\ z=\mathrm{const}. \end{cases}</math> :::<math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\neq\boldsymbol{0}</math>より<math>a\neq0</math> :::<math>y=t, z=u</math>と置換すると :::<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{d}{a} \\ t \\ u \end{pmatrix}</math> :::<math>\boldsymbol{r} = t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+u\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -\frac{d}{a} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math> ::[2]<math>b\neq0</math>のとき :::<math>x=t, z=u</math>と置換すると :::<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} t \\ -\frac{a}{b}t-\frac{d}{b} \\ u \end{pmatrix}</math> :::<math>\boldsymbol{r} = t\begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{a}{b} \\ 0 \end{pmatrix}+u\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{d}{b} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :②<math>c\neq0</math>のとき ::<math>x=t, y=u</math>と置換すると ::<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ u \\ -\frac{a}{c}t-\frac{b}{c}u-\frac{d}{c} \end{pmatrix}</math> ::<math>\boldsymbol{r}=t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -\frac{a}{c} \end{pmatrix}+u\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -\frac{b}{c} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -\frac{d}{c} \end{pmatrix}</math> なお、ここから平面のベクトル方程式が一般に<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}+u\boldsymbol{c}</math>という「直線のベクトル方程式を拡張した形」であることがわかる。 <math>\boldsymbol{r}(t, u)\in C^1</math>且つ<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\neq\boldsymbol{0}</math>である曲面を'''滑らか'''な曲面という。 曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>とその上の点<math>\mathrm{P}_0=(a, b)</math>に対し、曲線<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(a, u), \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, b)</math>をそれぞれ点<math>\mathrm{P}_0</math>に於ける'''<math>t</math>曲線'''・'''<math>u</math>曲線'''という。 <math>\boldsymbol{r}(t, u)\in C^1</math>であるとき、偏導関数の定義から :<math>\frac{\partial}{\partial{u}}\boldsymbol{r}(a, u)=\frac{d}{du}\boldsymbol{r}(a, u)</math> :<math>\frac{\partial}{\partial{t}}\boldsymbol{r}(t, b)=\frac{d}{dt}\boldsymbol{r}(t, b)</math> ここで<math>a, b</math>をそれぞれ<math>t</math>軸・<math>u</math>軸上で動かすことで<math>t</math>曲線・<math>u</math>曲線の接ベクトルがそれぞれ<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}</math>であると判る。これらを曲面のパラメータ方向の'''接ベクトル'''という。 これらの接ベクトルが平行でないとき、曲面<math>S</math>上の任意の点<math>\mathrm{P}</math>に対して<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>の張る平面が定まる。これを曲面<math>S</math>の点<math>\mathrm{P}</math>に於ける'''接平面'''という。曲線の接線は一次元ベクトル空間<math>\left\{ \xi\frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \bigg| \xi \in\mathbb{R} \right\}</math>で表されたが、曲面の接平面は二次元ベクトル空間<math>\left\{ \xi\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}+\eta\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \bigg| \xi, \eta \in \mathbb{R} \right\}</math>で表される。このような接ベクトル全体が張るベクトル空間を一般に'''接空間'''と呼ぶ。 接ベクトルの組が一次独立である曲面を'''正則'''な曲面という。滑らかな曲面は正則曲面である。 曲面<math>S</math>の接平面に垂直なベクトルを<math>S</math>の'''法線ベクトル'''という。 三次元空間ならば接平面を張る2ベクトルの外積<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>で求められる。 モンジュ表示された曲面<math>S:z=f(x, y)</math>に対して接平面の存在性（つまり曲面の正則性）は「二変数関数<math>f</math>の全微分可能」に対応した。ベクトル表示された曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>に対しては「ベクトル関数<math>\boldsymbol{r}</math>の全微分可能性」だけでは足りず、「ヤコビ行列<math>\frac{\partial{(\boldsymbol{r})}}{\partial{(t, u)}}</math>の階数が2」も要求される。 以下、正則曲面のみ扱う。 <math>\boldsymbol{r}(t, u)</math>の微小変化は全微分で与えられる。 :<math>d\boldsymbol{r}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math> 則ち、各パラメータを同時に<math>\begin{pmatrix} t \\ u \end{pmatrix}\to\begin{pmatrix} t+dt \\ u+du \end{pmatrix}</math>と単調に動かしたとき、対応する曲面上の点が描く領域は2ベクトル<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math>の張る微小平行四辺形として近似できる。その微小面積は線型代数の内容から :<math>\sqrt{ \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt \right\|^2 \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du \right\|^2 - \left\{ \left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du\right) \right\}^2 }=\sqrt{\left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \right\|^2\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2 - \left( \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \right)^2 } dtdu</math> である。 これを領域<math>D=\mathrm{dom}\,S</math>で重積分してやれば曲面の表面積（'''曲面積'''）が求まると考えられる。 {{定理|(曲面積)}} <math>E := \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \right\|^2,\quad F := \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}},\quad G := \left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2</math>とすると、<br> 曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>の領域<math>D</math>に於ける曲面積は :<math>S=\iint_D \sqrt{EG-F^2}dtdu</math> {{定理終わり}} この<math>E, F, G</math>を<math>S</math>の'''第一基本量'''と呼ぶ。また、<math>dS:=\sqrt{EG-F^2}dtdu</math>を'''面素'''（面積素・面積要素）と呼ぶ。 <math>t, u</math>が共通のパラメータ<math>\theta</math>で媒介変数表示されるとき、曲面は曲線に退化するので線素を考えられる。 具体的には、 :<math>dl=\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\right\|d\theta</math> より :<math>\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\right\|^2=\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}</math> ここで合成関数の常微分公式より :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{d\theta}+ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{d\theta}</math> なので :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}=\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|^2\left(\frac{dt}{d\theta}\right)^2+2\left(\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{du}\right)\frac{dt}{d\theta}\frac{du}{d\theta}+\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{du}\right\|^2\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2</math> :<math>=E\left(\frac{dt}{d\theta}\right)^2+2F\frac{dt}{d\theta}\frac{du}{d\theta}+G\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2</math> よって :<math>dl=\sqrt{E\left(\frac{dt}{d\theta}\right)^2+2F\frac{dt}{d\theta}\frac{du}{d\theta}+G\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2}d\theta=\sqrt{E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2}</math> このように、線素は<math>\theta</math>のとり方に依存しない。 そこで、最後の式で右辺を二乗した :<math>I:=E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2</math> を<math>S</math>の'''第一基本形式'''と定める。 第一基本形式は二次形式になっていることが見て取れるので、<math>\boldsymbol{v}:=\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}, \mathbf{K}:=\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}</math>とおくと :<math>I={}^t\!\boldsymbol{v} \mathbf{K} \boldsymbol{v}</math> と行列表示できる。この<math>\mathbf{K}</math>を'''第一基本行列'''という。 ここで<math>I=dl^2>0</math>なので<math>\mathbf{K}</math>は正定値行列である。 また、<math>\boldsymbol{x}_i=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \boldsymbol{x}_j=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>と置いて第一基本量の定義を思い返してみると<math>\mathbf{K}_{ij}=\boldsymbol{x}_i \cdot \boldsymbol{x}_j</math>なのでこの行列は接ベクトルに関するグラム行列である。この意味でも、<math>\mathbf{K}</math>は正定値行列である。 また、面素の式で根号の中身が<math>\det\mathbf{K}</math>に等しいことも判る。 則ち、第一基本量が曲面の本質であると予想される。 <math>F=0 \land E=G=\lambda</math>であるとき、<math>\mathbf{K}=\lambda\mathbf{E}_2</math>である。このときのパラメータの組<math>(u, v)</math>を曲面の'''等温座標系'''という。 等温座標系で表示された曲面<math>S</math>に対し、第一基本形式は<math>I=\lambda(dt^2+du^2)</math>と二次形式の標準形となっている。則ち、等温座標系へのパラメータ変換は主軸変換である。 面素を考えると<math>dS=\lambda^2dtdu</math>と非常に単純な形となるほか、曲面上の角度計算が平面の場合と全く同じ式で与えられることも等温座標系の利点である。 曲面<math>S</math>上の各点<math>\mathrm{P}</math>に対して単位法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}(\mathrm{P})</math>を考える。ベクトル表示の定義域<math>D</math>でベクトル場<math>\boldsymbol{n}(\mathrm{P})</math>が連続であるとき、<math>S</math>は'''向き付け可能'''であるという。 向き付け不能な曲面の例として<math>\boldsymbol{r}(t, u)=\begin{pmatrix} (u\cos t+2)\sin 2t \\ (u\cos t+2)\cos 2t \\ u\sin t \end{pmatrix} \quad(D=\left\{ \begin{pmatrix} t \\ u \end{pmatrix} \bigg| \begin{array}{c} 0 \leq t \leq \pi \\ -1 \leq u \leq 1 \end{array} \right\})</math>と表される'''メビウスの帯'''が挙げられる。 メビウスの帯が向き付け不能である証明を概説する。 :接ベクトルをそれぞれ求める。簡単のため<math>u=0</math>として考える。単位法線ベクトルは外積を正規化して得るが、向きの取り方で正負の符号が付く。どちらの符号を採用するにしろ<math>\boldsymbol{n}(\boldsymbol{r}(0, 0))\neq\boldsymbol{n}(\boldsymbol{r}(\pi, 0))</math>を得、<math>\boldsymbol{r}(0, 0)=\boldsymbol{r}(\pi, 0)</math>より同じ点に対して異なる法線ベクトルを出力するので<math>\boldsymbol{n}(\mathrm{P})</math>はwell-definedではなく、向き付け可能性の定義を満たさない。// 四次元以上の空間では法線ベクトルの方向を複数とれるため法線ベクトル場は扱いにくい。そこで、法線ベクトルに依らない定義を考えたい。 2つの滑らかな曲面<math>S_1, S_2</math>が以下を満たすとき、 #パラメータ<math>(t_1, u_1), (t_2, u_2)</math>の間に滑らかな全単射<math>\begin{cases}t_2 =\phi(t_1, u_1) \\ u_2=\psi(t_1, u_1) \end{cases}</math>が存在する。 #この変数変換のヤコビ行列<math>\frac{\partial{(\phi, \psi)}}{\partial{(t_1, u_1)}}</math>が正則。 #<math>\boldsymbol{r}_1(t_1, u_1)=\boldsymbol{r}_2(t_2, u_2)</math> この2つは'''パラメータ変換で同値'''という。 このとき、ヤコビアンが正であるパラメータの組は'''同じ向き'''、負であるパラメータの組は'''逆向き'''であるという。 任意の<math>(t_1, u_1)</math>に対して開近傍<math>U \subset \mathrm{dom}\,S_1</math>をとったとき、どの<math>U</math>上でも<math>\det\frac{\partial{(\phi, \psi)}}{\partial{(t_1, u_1)}}>0</math>を満足するならば<math>S_1</math>は'''向き付け可能'''という。 向き付け可能な曲面の接空間に対して右手系を成すような向きの法線ベクトルを'''外向き法線ベクトル'''と呼ぶ。 外向き法線の向く側を曲面の'''表'''、その反対側を曲面の'''裏'''と定義する。 <math>\partial{S}=\varnothing</math>を満たす正則曲面<math>S</math>を'''閉曲面'''という。ジョルダンの曲線定理を拡張した定理（'''ジョルダン・ブラウワーの分離定理'''）によって閉曲面が空間を内部・外部に分割することが保証される。内部に面する向きを閉曲面の裏、外部に面する向きを閉曲面の表と定義する。 パラメータ空間の座標軸の向きの組み合わせが<math>xy</math>平面と同じとき、外向き法線で定義される閉曲面の表裏は内部・外部から定義される表裏に一致する。 ===回転面=== ここでは三次元空間内の曲面について考える。 高校数学で回転体を扱ったが、領域の回転体の表面である曲面は元の領域の疆界である単純閉曲線を軸に関して回転したものである。そこで、平面上の任意の曲線を回転すると曲面（'''回転面'''）を得ると考えられる。 簡単な場合として、<math>x\geq0</math>で定義された<math>zx</math>平面上の曲線<math>z=f(x)</math>を<math>y</math>軸に関して回転させた回転面を考える。 :任意の<math>k\in[0,\infty)</math>に関して曲線上の点は<math>\begin{pmatrix} x \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k \\ f(k)\end{pmatrix}</math>と与えられる。 :領域<math>\left\{ {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] z \end{array}\right)} \big| x \leq k \right\}</math>を<math>y</math>軸に関して回転した回転体を平面<math>z=f(k)</math>で切った断面は半径<math>k</math>の閉円盤であり、疆界円周上の点を<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ f(k) \end{pmatrix}</math>とすると<math>k=\sqrt{x^2+y^2}</math>である。 :則ち回転体の疆界である回転面上の点<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>は方程式<math>z=f(\sqrt{x^2+y^2})</math>を満たし、逆にこの方程式を満たす<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>は回転面上にある。 纏めると以下のようになる。 {{定理|(回転面の方程式)}} <math>zx</math>平面上の曲線<math>z=f(x)\quad(x\geq0)</math>を<math>y</math>軸に関して回転させた回転面の方程式は :<math>z=f(\sqrt{x^2+y^2})</math> {{定理終わり}} <math>z</math>軸・<math>x</math>軸に関する回転面の方程式は変数を輪環の順に入れ替えることで得られる。 回転面に対し、元の曲線を'''母線'''という。 母線が直線である回転面は'''円錐'''である。 :<math>z=mx+n\quad(m\neq0,x\geq0)</math>とすれば<math>y</math>軸に関して回転した曲面の方程式は :<math>z=m\sqrt{x^2+y^2}+n</math> :<math>z-n = m\sqrt{x^2+y^2}</math> これを両辺二乗すると :<math>(z-n)^2=m^2x^2+m^2y^2</math> であり、錐面の方程式<math>\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}</math>を満たしていることがわかる。 回転軸が傾いている場合、<math>xyz</math>空間の回転行列<math>\mathbf{R}</math>を利用することで各軸に関する回転に帰着することもできるが、ここでは曲面のベクトル表示を扱ったのでベクトル方程式で回転を記述することを考えたい。 点<math>\mathrm{O}</math>から<math>\boldsymbol{r}</math>とそれに平行でない単位ベクトル<math>\boldsymbol{e}</math>が伸びており、そのなす角が<math>\theta</math>であるとする。<math>\boldsymbol{r}</math>の終点<math>\mathrm{P}</math>を含み<math>\boldsymbol{e}</math>を法線とする平面を<math>\Pi</math>、<math>\Pi</math>と直線<math>\{k\boldsymbol{e} \mid k>0\}</math>の交点を<math>\mathrm{N}</math>、<math>\mathrm{P}</math>を<math>\Pi</math>内で<math>\mathrm{N}</math>を中心として<math>\phi</math>回転した点を<math>\mathrm{Q}</math>、<math>\mathrm{NQ}</math>から<math>\mathrm{NP}</math>へ降ろした垂足を<math>\mathrm{R}</math>と置く。但し、回転角<math>\phi</math>の正の向きは<math>\boldsymbol{e}</math>を右螺子の進む向きとする方向に定める。 このとき、<math>\boldsymbol{r}</math>を<math>\boldsymbol{e}</math>に関して<math>\phi</math>だけ回転させたベクトル<math>\boldsymbol{r}'</math>は以下のように表される。 {{定理|(ロドリゲスの公式)}} :<math>\boldsymbol{r}'=\boldsymbol{r}\cos\phi+(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\,\mathrm{versin}\,\phi\,\boldsymbol{e}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> {{定理終わり}} *証明 :<math>\boldsymbol{r}'=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{ON}}+\overrightarrow{\mathrm{NR}}+\overrightarrow{\mathrm{RQ}}</math> :<math>\overrightarrow{\mathrm{ON}}</math>は<math>\boldsymbol{r}</math>の<math>\boldsymbol{e}</math>への正射影ベクトルなので ::<math>\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}}{\boldsymbol{e}\cdot\boldsymbol{e}}\boldsymbol{e}=(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}</math> :<math>\triangle\mathrm{NQR}</math>を考えると<math>\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NP}}\|</math>と<math>\|\overrightarrow{\mathrm{NR}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|\cos\phi</math>及び<math>\overrightarrow{\mathrm{NR}}/\!\!/\overrightarrow{\mathrm{NP}}</math>より ::<math>\overrightarrow{\mathrm{NR}}=\overrightarrow{\mathrm{NP}}\cos\phi=(\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{ON}})\cos\phi=\{\boldsymbol{r}-(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}\}\cos\phi</math> :<math>\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e}</math>は外積の定義から<math>\overrightarrow{\mathrm{NP}}</math>を<math>\Pi</math>上で<math>-\phi</math>方向に<math>\frac{\pi}{2}</math>だけ回転させたベクトルになるので、 :<math>\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e}/\!\!/\overrightarrow{\mathrm{RQ}}</math>と<math>\|\overrightarrow{\mathrm{RQ}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|\sin\phi</math>及び<math>\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NP}}\|</math>から ::<math>\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> :これらを足して ::<math>\boldsymbol{r}'=(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}+\{\boldsymbol{r}-(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}\}\cos\phi-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> ::<math>=\boldsymbol{r}\cos\phi+(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})(1-\cos\phi)\boldsymbol{e}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> ::<math>=\boldsymbol{r}\cos\phi+(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\,\mathrm{versin}\,\phi\,\boldsymbol{e}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math>// この証明ではベクトルの平行移動を用いているのでアフィン空間を前提とするが、この式そのものはアフィン構造に依存してないので一般のベクトル空間で成り立つ。 また、回転後のベクトルは母線のパラメータ<math>t</math>に加えて回転角<math>\phi</math>もパラメータとして有するので、<math>\boldsymbol{r}'(t, \phi)</math>という二変数ベクトル関数となって曲面を表すことになる。則ち、「曲線を回転すれば曲面を得る」という直感は正しい。 ロドリゲスの公式の応用として、例えば円錐のベクトル方程式が<math>\frac{(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}}{\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|}=\mathrm{const}.</math>であることが導ける。 :円錐頂点の位置ベクトルを<math>\boldsymbol{p}</math>、軸ベクトルを<math>\boldsymbol{a}</math>、<math>\boldsymbol{a}</math>と角度<math>\alpha</math>をなす単位ベクトルを<math>\boldsymbol{v}</math>とする。このとき直線<math>\{k\boldsymbol{v}\mid k>0\}</math>が円錐の母線であり、母線と交わる向きである軸の法線ベクトルを<math>\boldsymbol{b}</math>とおく。 :ロドリゲスの公式より<math>\boldsymbol{v}</math>を<math>\boldsymbol{a}</math>の周りに<math>\theta</math>だけ回転させたベクトル<math>\boldsymbol{v}'</math>は ::<math>\boldsymbol{v}'=\boldsymbol{v}\cos\theta+(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{e}_a)\,\mathrm{versin}\,\theta\,\boldsymbol{e}_a-(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{e}_a)\sin\theta</math> :ここで<math>\boldsymbol{v}</math>を<math>\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}</math>方向に基底分解すると ::<math>\boldsymbol{v}=\cos\alpha\,\boldsymbol{e}_a+\sin\alpha\,\boldsymbol{e}_b</math> :なので、 ::<math>\boldsymbol{v}'=\cos\alpha\boldsymbol{e}_a+\sin\alpha\{\boldsymbol{e}_b\cos\theta+(\boldsymbol{e}_a\times\boldsymbol{e}_b)\sin\theta\}</math> :円錐上の点<math>\boldsymbol{r}</math>の位置ベクトルは頂点から母線方向に<math>\rho</math>だけ進むので ::<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{p}+\rho\boldsymbol{v}'</math> :であり、 ::<math>\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}=\rho\boldsymbol{v}'</math> :ここで<math>\|\boldsymbol{v}'\|=\|\boldsymbol{v}\|=1</math>より ::<math>\rho=\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|</math> :このベクトルと軸ベクトルの内積をとると ::<math>(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}=\rho\boldsymbol{v}'\cdot\boldsymbol{a}</math> ::<math>=\rho\{\cos\alpha(\boldsymbol{e}_a\cdot\boldsymbol{a})+\sin\alpha\cos\theta(\boldsymbol{e}_b\cdot\boldsymbol{a})+\sin\alpha\sin\theta(\boldsymbol{e}_a\times\boldsymbol{e}_b)\cdot\boldsymbol{a}\}</math> :<math>\boldsymbol{e}_b, \boldsymbol{e}_a\times\boldsymbol{e}_b</math>とも<math>\boldsymbol{a}</math>に直交するので後ろの二項は消えて ::<math>(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}=\rho\cos\alpha(\boldsymbol{e}_a\cdot\boldsymbol{a})=\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|\|\boldsymbol{a}\|\cos\alpha</math> :則ち ::<math>\frac{(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}}{\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|}=\|\boldsymbol{a}\|\cos\alpha=\mathrm{const}.</math>// 円錐が先に与えられている場合は「<math>\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}</math>が母線の方向ベクトルなのは図より自明」とできるが、ここでは「母線が先に与えられて回転によって円錐が構成される」という立場を採ったのでロドリゲスの公式が効くのである。 ロドリゲスの公式で微小回転<math>d\phi</math>の場合を考える。 正弦関数・余弦関数の部分を1項目までテイラー展開して<math>\cos(d\phi)=1+O(d\phi^2), \sin(d\phi)= d\phi+O(d\phi^3)</math>なので<math>\mathrm{versin}(d\phi)=O(d\phi^2)</math>であり、 :<math>\boldsymbol{r}' = \boldsymbol{r}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})d\phi+O(d\phi^2)</math> ここで<math>d\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}'-\boldsymbol{r}</math>なので :<math>d\boldsymbol{r}=-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})d\phi+O(d\phi^2)</math> 則ち、ベクトル関数の全微分は微小回転で近似される。 オーダー記法の項を無視して<math>\boldsymbol{\omega}=\frac{d\phi}{dt}\boldsymbol{e}</math>と置くと :<math>d\boldsymbol{r}=(d\phi\boldsymbol{e})\times\boldsymbol{r}</math> これの両辺を<math>dt</math>で割って :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}</math> これは剛体の速度公式である。 ロドリゲスの公式の一次変換表記を考える。 <math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}, \boldsymbol{r}'=\begin{pmatrix} r'_1 \\ r'_2 \\ r'_3 \end{pmatrix}, \boldsymbol{e}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math>とすると、 :<math>\begin{pmatrix} r'_1 \\ r'_2 \\ r'_3 \end{pmatrix}=\cos\phi\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}+(ar_1+br_2+cr_3)\mathrm{versin}\,\phi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} - \sin\phi \begin{pmatrix} cr_2-br_3 \\ ar_3-cr_1 \\ br_1-ar_2 \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} (\cos\phi + a^2\,\mathrm{versin}\,\phi) r_1 + (ab\,\mathrm{versin}\,\phi -c\sin\phi) r_2 + (ca\,\mathrm{versin}\,\phi + b\sin\phi) r_3 \\ (ab\,\mathrm{versin}\,\phi + c\sin\phi) r_1 + (\cos\phi + b^2\,\mathrm{versin}\,\phi) r_2 + (bc\,\mathrm{versin}\,\phi -a\sin\phi) r_3 \\ (ca\,\mathrm{versin}\,\phi - b\sin\phi) r_1 + (bc\,\mathrm{versin}\,\phi+ a\sin\phi) r_2 + (\cos\phi + c^2\,\mathrm{versin}\,\phi) r_3 \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} \cos\phi + a^2\,\mathrm{versin}\,\phi & ab\,\mathrm{versin}\,\phi -c\sin\phi & ca\,\mathrm{versin}\,\phi + b\sin\phi \\ ab\,\mathrm{versin}\,\phi + c\sin\phi & \cos\phi + b^2\,\mathrm{versin}\,\phi & bc\,\mathrm{versin}\,\phi -a\sin\phi \\ ca\,\mathrm{versin}\,\phi - b\sin\phi & bc\,\mathrm{versin}\,\phi+ a\sin\phi & \cos\phi + c^2\,\mathrm{versin}\,\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> ここで<math>\mathrm{versin}\,\phi</math>を<math>1-\cos\phi</math>に戻して係数行列を<math>1, \cos\phi, \sin\phi</math>の項に分解してみると :<math>=\begin{pmatrix} a^2+(1-a^2)\cos\phi & ab-ab\cos\phi -c\sin\phi & ca-ca\cos\phi + b\sin\phi \\ ab-ab\cos\phi + c\sin\phi & b^2+(1-b^2)\cos\phi & bc-bc\cos\phi -a\sin\phi \\ ca-ca\cos\phi - b\sin\phi & bc-bc\cos\phi+ a\sin\phi & c^2+(1-c^2)\cos\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> :<math>=\left\{ \begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix} + \cos\phi\begin{pmatrix} 1-a^2 & -ab & -ca \\ -ab & 1-b^2 & -bc \\ -ca & -bc & 1-c^2 \end{pmatrix} +\sin\phi\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix} \right\} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> :<math>=\left[ \begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix} + \cos\phi \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix} \right\} +\sin\phi\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> ここで<math>\begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix}</math>は<math>\boldsymbol{e}</math>の第<math>i</math>成分と第<math>j</math>成分を掛けたものが<math>(i, j)</math>成分となる行列になっていることがわかる。これを<math>\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e}</math>と書くことにする。<math>\sin\phi</math>に係る行列を<math>\mathbf{N}</math>と置くと、 :<math>\boldsymbol{r}'=\{\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e}+\cos\phi(\mathbf{E}_3-\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e})+\sin\phi\mathbf{N}\}\boldsymbol{r}</math> という表示を得る。 更に、<math>\mathbf{N}^2=\begin{pmatrix} -b^2-c^2 & ab & ca \\ ab & -c^2-a^2 & bc \\ ca & bc & -a^2-b^2 \end{pmatrix}</math>と<math>\|\boldsymbol{e}\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=1</math>より :<math>\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e}=\mathbf{N}^2+(a^2+b^2+c^2)\mathbf{E}_3=\mathbf{N}^2+\mathbf{E}_3</math> が成り立つので、最終的に :<math>\boldsymbol{r}'=(\mathbf{E}_3+\sin\phi\mathbf{N}+\mathrm{versin}\,\phi\mathbf{N}^2)\boldsymbol{r}</math> と二次の行列多項式で表示される。 なお、<math>\otimes</math>は発展節で紹介する'''テンソル積'''を表している。 ここで、行列<math>\mathbf{N}</math>についてより具体的に考えてみる。 先ず、<math>{}^t\!\mathbf{N}=-\mathbf{N}</math>が成り立つので<math>\mathbf{N}</math>は反対称行列（歪対称行列・交代行列）である。 <math>\mathbf{N}\boldsymbol{r}</math>を計算すると :<math>\mathbf{N}\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} br_3-cr_2 \\ cr_1-ar_3 \\ ar_2-br_1 \end{pmatrix}=\boldsymbol{e}\times\boldsymbol{r}</math> 則ち、<math>\mathbf{N}</math>は<math>\boldsymbol{e}</math>に関する外積（形式的には<math>\boldsymbol{e}\times</math>という左演算）を一次変換とみて表現行列に直したものである。 更に、成分計算により<math>\mathbf{N}^3=-\mathbf{N}</math>という性質が成り立つことも判る。外積を「ベクトルを90°回転させる演算」とみると、二回の演算によって180°回転するということなのでこの結果は妥当である。 ここで行列自然指数関数<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\sum_{i=0}^\infty \frac{(\phi\mathbf{N})^i}{i!}</math>を考えてみると上の性質より三次以上の項は<math>\mathbf{N}^4=-\mathbf{N}^2, \mathbf{N}^5=\mathbf{N},\cdots</math>のように全て二次以下に帰着できる。<br> また、自然指数関数のテイラー展開は絶対収束級数なので各項は可換であり、<math>\mathbf{N}</math>の二次式として纏め直すと :<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\mathbf{E}_3 + (\phi-\frac{\phi^3}{3!}+\frac{\phi^5}{5!}-\frac{\phi^7}{7!}+\cdots) \mathbf{N}+(\frac{\phi^2}{2!}-\frac{\phi^4}{4!}+\frac{\phi^6}{6!}-\frac{\phi^8}{8!}+\cdots)\mathbf{N}^2</math> ここで一次・二次の係数はそれぞれ正弦関数・正矢関数のテイラー展開になっているので結局は :<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\mathbf{E}_3+\sin\phi\mathbf{N}+\mathrm{versin}\,\phi\mathbf{N}^2</math> ここから、<math>\exp(\phi\mathbf{N})</math>は角度<math>\phi</math>に関する有限回転に対応することが判った。 このことは以下の考え方でも求まる。<br> <math>\mathbf{N}</math>の最小方程式は<math>\mathbf{N}^3+\mathbf{N}=\mathbf{O}_3</math>より<math>x(x^2+1)=0</math>であり固有値は<math>0, \pm{i}</math>と求まるので、<math>\exp(\phi\mathbf{N})</math>の対角化行列は :<math>\begin{pmatrix} e^{0\phi} & 0 & 0 \\ 0 & e^{i\phi} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-i\phi} \end{pmatrix}</math> ここで任意の解析関数<math>f</math>について<math>f(\mathbf{N})</math>のテイラー展開は二次以下の多項式になるので :<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\alpha\mathbf{E}_3+\beta\mathbf{N}+\gamma\mathbf{N}^2</math> これを実多項式に戻した<math>\alpha+\beta{x}+\gamma{x^2}</math>が<math>e^{\phi{x}}</math>と任意の固有値で一致すればよい（二次補間）ので、 :<math>\begin{cases} e^0 = \alpha \\ e^{i\phi} = i\beta -\gamma \\ e^{-i\phi} = -i\beta-\gamma \end{cases}</math> :<math>\iff \begin{cases} 1 = \alpha \\ \cos\phi+i\sin\phi = (\alpha -\gamma) + i\beta \end{cases}</math> :<math>\therefore \begin{cases} \alpha=1 \\ \beta=\sin\phi \\ \gamma=1-\cos\phi=\mathrm{versin}\,\phi \end{cases}</math> 則ち、<math>\mathbf{N}^3=-\mathbf{N}</math>という構造は<math>\Psi_\mathbf{N}(x)=x(x^2+1)</math>という最小多項式に起因するということである。 更に[[表現論]]の観点から見ると、三次直交行列全体である回転群<math>SO(3)</math>に対し、<math>\mathbf{N}</math>は<math>SO(3)</math>の単位元に於ける接空間（三次反対称行列全体・則ちリー代数<math>\mathfrak{so}(3)</math>）の元であり、<math>\exp(\phi\mathbf{N})</math>はリー群<math>SO(3)</math>の元である。ここで行列自然指数関数は「リー代数からリー群へ引き戻す写像」なので'''指数写像'''と呼ばれる。 これが[[#フレネ標搆]]で述べた「直交変換の一次近似が反対称変換」という事実のより正確な表現である。 補足だが、力学で扱う[[w:オイラー角]]というものを導入するとロドリゲスの公式を各座標軸に関する回転の合成で表すこともできる。 ===種々の曲率=== ここでは三次元空間内の正則曲面について考える。 曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>上で定義され弧長パラメータ表示された正則曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t(s), u(s))</math>を考える。 <math>C</math>の接ベクトルは合成関数微分公式より :<math>\boldsymbol{t}=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{ds}</math> と表示される。 ここで両辺の<math>ds</math>を形式的に払うと :<math>\boldsymbol{t}ds=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math> これの自分自身との内積をとると :<math>\|\boldsymbol{t}\|^2(ds)^2=\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{\partial{t}}\right\|^2(dt)^2+2\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}dtdu+\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2(du)^2</math> 弧長パラメトライズされた接ベクトルは単位ベクトルであり、右辺のベクトル演算の部分を第一基本量で置き換えると :<math>ds^2=E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2</math> と、第一基本形式を別の方法で得られた。 <math>C</math>の主法線ベクトルは合成関数微分を繰り返し適用することで :<math>\boldsymbol{n}_C=\frac{d\boldsymbol{t}}{ds}=\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{ds}\right)</math> :<math>=\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{ds}\right)+\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{ds}\right)</math> :<math>=\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\right)\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{d}{ds}\left(\frac{dt}{ds}\right)+\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right)\frac{du}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{d}{ds}\left(\frac{du}{ds}\right)</math> :<math>=\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}\partial{t}}\frac{du}{ds}\right)\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{d^2t}{ds^2}+\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\frac{du}{ds}\right)\frac{du}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{d^2u}{ds^2}</math> :<math>=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\left(\frac{dt}{ds}\right)^2+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{d^2t}{ds^2}+2\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\frac{dt}{ds}\frac{du}{ds}+\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\left(\frac{du}{ds}\right)^2+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{d^2u}{ds^2}</math> ここで、<math>S</math>の法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}_S=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\times\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>は一般に<math>\boldsymbol{n}_C</math>と一次従属とは限らない。 後の話を単純にするため<math>\boldsymbol{n}_S</math>を正規化したベクトルを<math>\boldsymbol{e}_S</math>と置いて<math>\boldsymbol{n}_C\cdot\boldsymbol{e}_S</math>を計算してみる。 :<math>\boldsymbol{e}_S\perp\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \boldsymbol{e}_S\perp\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>より :<math>\boldsymbol{n}_C\cdot\boldsymbol{e}_S=\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S\right)\left(\frac{dt}{ds}\right)^2+2\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S\right)\frac{dt}{ds}\frac{du}{ds}+\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S\right)\left(\frac{du}{ds}\right)^2</math> ここで各内積<math>L=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S,\quad M=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S,\quad N=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S</math>を<math>S</math>の'''第二基本量'''と呼ぶ。 <math>\boldsymbol{n}_C, \boldsymbol{e}_S</math>のなす角を<math>\psi</math>とすると<math>C</math>の曲率を<math>\kappa_C</math>として :<math>\boldsymbol{n}_C\cdot\boldsymbol{e}_S=\kappa_C \cos\psi</math> なので<math>ds</math>に関して形式的に通分して :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{ds^2}</math> 右辺の分子<math>I\!I:=L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2</math>を<math>S</math>の'''第二基本形式'''という。 <math>\begin{cases}\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\boldsymbol{e}_S=0 \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S=0 \end{cases}</math>を<math>t</math>で偏微分すると :<math>\begin{cases} \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}=0 \\ \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}=0 \end{cases}</math> また、<math>u</math>で偏微分すると :<math>\begin{cases} \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}\partial{t}}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}=0 \\ \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}=0 \end{cases}</math> ここから第二基本量は :<math>L=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}},\quad M=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}},\quad N=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}</math> とも表示され、第二基本形式の別表示 :<math>I\!I=-\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}du\right)</math> を得る。 これは更に全微分から微小ベクトル同士の内積として :<math>I\!I=-d\boldsymbol{r}\cdot{d}\boldsymbol{e}_S</math> とも書ける。 第一基本形式は曲面上の微小変位の自身との内積だったが、第二基本形式は曲面上の微小変位と法線方向の微小変位の内積である。則ち、第一基本形式は曲面の内在的な量、第二基本形式は曲面の外在的な量である。 第一基本形式と同様に第二基本形式は二次形式なので、<math>\boldsymbol{v}:=\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}, \mathbf{H}=\begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}</math>と置くと :<math>I\!I={}^t\!\boldsymbol{v}\mathbf{H}\boldsymbol{v}</math> と行列表示できる。この<math>\mathbf{H}</math>を'''第二基本行列'''という。 ここで、モンジュ表示された曲面<math>z=f(x, y)</math>に対して第二基本行列を考えてみる。 :<math>\boldsymbol{r}(t, u)=\begin{pmatrix} t \\ u \\ f(t, u)\end{pmatrix}</math>なので[[解析学基礎/多変数関数の微積分#全微分]]の結果を参照すると直ちに :<math>L=\frac{\frac{\partial^2{f}}{\partial{t}^2}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2},\quad M=\frac{\frac{\partial^2{f}}{\partial{t}\partial{u}}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2},\quad N=\frac{\frac{\partial^2{f}}{\partial{u}^2}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2}</math> :が判るので、 :<math>\mathbf{H}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2}\begin{pmatrix} \frac{\partial^2{f}}{\partial{t}^2} & \frac{\partial^2{f}}{\partial{tu}} \\ \frac{\partial^2{f}}{\partial{tu}} & \frac{\partial^2{f}}{\partial{u^2}} \end{pmatrix}</math> これはヘッシアンを法線の長さで割った行列である。 則ち、任意の正則曲面に対して第二基本行列はヘッセ行列と同じ役割をすると考えられる。 実際、点<math>\mathrm{P}</math>の開近傍で<math>\det\mathbf{H}</math>が正である曲面は<math>\mathrm{P}</math>の開近傍で上下どちらかに凸であり、負である曲面は<math>\mathrm{P}</math>で鞍点となることが知られている。 このように第二基本形式は曲面の「曲がり方」を表す量と考えられるので、曲面に対する曲率も考えられる。 ここで第二基本形式を定義した式 :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{ds^2}</math> に立ち戻ると、右辺の分母は<math>s</math>に依存しない第一基本形式なので第一基本量を用いて :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2}</math> 右辺を形式的に<math>dt^2</math>で割ると :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L+2M\frac{du}{dt}+N\left(\frac{du}{dt}\right)^2}{E+2F\frac{du}{dt}+G\left(\frac{du}{dt}\right)^2}</math> この右辺は<math>\boldsymbol{n}_C</math>に依存しない量なので<math>\boldsymbol{n}_S, \boldsymbol{n}_C</math>のなす角度である<math>\psi</math>にも依存しない。 そこで、この値を曲面<math>S</math>の'''法曲率'''と定義する。 :<math>\varkappa:=\frac{L+2M\frac{du}{dt}+N\left(\frac{du}{dt}\right)^2}{E+2F\frac{du}{dt}+G\left(\frac{du}{dt}\right)^2}</math> 法曲率の幾何学的意味を考える。 <math>\varkappa=\kappa_C\cos\psi</math>より、<math>\cos\psi=1</math>のとき<math>S</math>の法曲率と<math>C</math>の曲率が一致する。このとき<math>\boldsymbol{n}_S /\!\!/ \boldsymbol{n}_C</math>であり、<math>C</math>は曲面上の点<math>\mathrm{P}</math>とそこでの曲面の法線<math>\boldsymbol{n}_S(\mathrm{P})</math>を含む平面で曲面を切断した切り口（'''法切り口'''）に対応する曲線（'''法曲線'''）である。 則ち、法曲率は法曲線の曲率に対応する。 なお、法曲線<math>C</math>は切断に用いる平面に拘束されるので接ベクトル<math>\boldsymbol{t}_C</math>も平面に拘束される。則ち、拘束平面は<math>\{\boldsymbol{t}_C, \boldsymbol{n}_C\}</math>の張る接触平面である。 法切り口を齎す平面は法線を軸にして回転することができ、その回転角によって法曲率の値が異なることになる。この回転は具体的にはロドリゲスの公式によって記述されるが、法曲率の極大値・極小値は<math>\varkappa</math>を<math>k=\frac{du}{dt}</math>の関数とみることで以下のように考えることができる。 :法曲率の定義式より ::<math>\varkappa(E+2Fk+Gk^2)=L+2Mk+Nk^2</math>・・・(*) :これが<math>k</math>の恒等式なので微分しても等号が成り立ち、 ::<math>\frac{d\varkappa}{dk}(E+2Fk+Gk^2)+\varkappa(2F+2Gk)=2M+2Nk</math> :フェルマーの定理より<math>\frac{d\varkappa}{dk}=0</math>を満たす<math>(k, \varkappa)</math>が極値点の候補なので ::<math>\varkappa(2F+2Gk)=2M+2Nk</math>・・・(@) :が成り立つ必要がある。 :これを<math>k</math>倍して(*)を引くと ::<math>\varkappa(E+Fk)=L+Mk</math>・・・(#) :これと(@)を連立して ::<math>k=-\frac{\varkappa{F}-M}{\varkappa{G}-N}</math> :これを(#)に代入して ::<math>(EG-F^2)\varkappa^2-(GL+EN-2FM)\varkappa+(LN-M^2)=0</math>・・・($) :という二次方程式を得る。 :($)が相異なる二つの実根<math>\kappa_1, \kappa_2</math>を持てばそれらは極小値・極大値である。 :逆に、極小値・極大値を持てばフェルマーの定理より($)を満たす。// この<math>\kappa_1, \kappa_2</math>を<math>S</math>の'''主曲率'''という。 ($)の左辺を変形してみると、 :<math>(EG-F^2)\varkappa^2-(GL+EN-2FM)\varkappa+(LN-M^2)</math> :<math>=\{EG\varkappa^2-(GL+EN)\varkappa+LN\}-\{F^2\varkappa^2-2FM\varkappa+M^2\}</math> :<math>=(L-\varkappa{E})(N-\varkappa{G})-(M-\varkappa{F})^2</math> :<math>=\det\begin{pmatrix} L-\varkappa E & M - \varkappa F \\ M - \varkappa F & N - \varkappa G \end{pmatrix}</math> :<math>=\det(\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K})</math> という、第一基本行列と第二基本行列を用いた形が出てきた。 ここで<math>\varkappa=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2}</math>を変形して :<math>(L-\varkappa{E})dt^2+2(M-\varkappa{F})dtdu+(N-\varkappa{G})du^2=0</math> これを二次形式表示すると :<math>\begin{pmatrix} dt & du \end{pmatrix}\begin{pmatrix} L-\varkappa E & M - \varkappa F \\ M - \varkappa F & N - \varkappa G \end{pmatrix}\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}=0</math> と、同じ<math>\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K}</math>がここでも登場する。 この行列は法曲率を持つ方向を二次形式で判定しているが、主曲率を持つ場合はラグランジュの未定乗数法より<math>(\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K})\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}=\boldsymbol{0}</math>が成り立ち、これが<math>\det(\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K})=0</math>という式の正体である。更に言うと、<math>\mathbf{H}\boldsymbol{x}=\varkappa\mathbf{K}\boldsymbol{x}</math>という一般化固有値問題の解が主曲率<math>\kappa_1, \kappa_2</math>に対応している。このときの一般化固有ベクトル<math>\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2</math>を主曲率に対する'''主方向'''という。 二つの主方向の関係を調べる。 :主方向の定義より ::<math>\begin{cases} (\mathbf{H}-\kappa_1\mathbf{K}) \boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0} \\ (\mathbf{H}-\kappa_2\mathbf{K}) \boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{0} \end{cases}</math> :なので ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2(\mathbf{H}-\kappa_1\mathbf{K})\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0} \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_1(\mathbf{H}-\kappa_2\mathbf{K})\boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{0} \end{cases}</math> ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_1{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_1\mathbf{H}\boldsymbol{x}_2=\kappa_2{}^t\!\boldsymbol{x}_1 \mathbf{K}\boldsymbol{x}_2 \end{cases}</math> ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_1{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_1\mathbf{H}\boldsymbol{x}_2=\kappa_2{}^t\!\boldsymbol{x}_1 \mathbf{K}\boldsymbol{x}_2 \end{cases}</math> :第一基本行列・第二基本行列とも対称行列なので第二式の転置をとって ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_1{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_2{}^t\!\boldsymbol{x}_2 \mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \end{cases}</math> :上下の式の差をとって ::<math>(\kappa_1-\kappa_2){}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0}</math> :<math>\kappa_1=\kappa_2</math>のときは<math>\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2</math>に関する恒等式であるので、<math>\kappa_1\neq\kappa_2</math>のときを考える。 ::<math>{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1=\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}t_2+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}u_2\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}t_1+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}u_1\right)=0</math> :この二つのベクトルは主方向を向くので2つの主方向は直交する。 <math>\kappa_1=\kappa_2</math>（法曲率<math>\varkappa(t, u)=\mathrm{const}.</math>）の場合、<math>S</math>の接平面内の任意の方向が主方向となるので「どの方向にも一様な曲がり方をする」と考えられる。このような主曲率を与える点を'''臍点'''という。任意の点が臍点である曲面は球面である。 上の結果から、'''臍点でない各点で2つの主方向は直交する'''。 主曲率に対して解と係数の関係から得る値 :<math>H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}=\frac{GL+ENN-2FM}{2EG-F^2},\quad K=\kappa_1\kappa_2=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}</math> をそれぞれ<math>S</math>の'''平均曲率'''・'''全曲率'''（'''ガウス曲率'''）という。 全曲率の式を見ると<math>K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}=\frac{\det\mathbf{H}}{\det\mathbf{K}}=\det(\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H})</math>である。 そこで、<math>\mathbf{S}=\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}</math>と定義してみると行列式の性質より<math>K</math>は<math>\mathbf{S}</math>の固有値の積である。 ここで<math>\mathbf{S}</math>の固有方程式は :<math>\det(\mathbf{S}-\lambda\mathbf{E})=\det(\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}-\lambda\mathbf{E})=\det\mathbf{K}^{-1}\det(\mathbf{H}-\lambda\mathbf{K})=0</math> <math>\det\mathbf{K}^{-1}\neq0</math>より :<math>\det(\mathbf{H}-\lambda\mathbf{K})=0</math> これは主曲率を定義した二次方程式($)のことだったので、この方程式の解である固有値は<math>\lambda=\kappa_1, \kappa_2</math>である。 則ち、<math>K=\det\mathbf{S},\quad H=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\,\mathbf{S}</math>が成り立つ。 更に、第一基本行列から第二基本行列への一次変換を考えると以下が成り立つことも判る。但し、こちらもフレネ=セレーと同様に厳密にはベクトルを列ではなく行に並べるのが正しいことに注意。 {{定理|(ヴァインガルテンの式)}} :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} \end{pmatrix}=-\mathbf{S}\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math> {{定理終わり}} *証明 :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} \end{pmatrix}=\mathbf{A}\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math>と置く。 :両辺に<math>{}^t\!\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math>を右から掛けると行列積であることに注意して :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}=\mathbf{A}\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} & \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math> :<math>\therefore -\mathbf{H}=\mathbf{A}\mathbf{K}</math> :<math>\therefore \mathbf{A}=-\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1}=-\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}=-\mathbf{S}</math>// 臍点で行列<math>\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K}</math>を考えると<math>\varkappa=\kappa_1=\kappa_2</math>及び「主方向が任意」から :<math>\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K}=\mathbf{O}</math> であり、これを成分で書き下せばヴァインガルテンの式より法曲率に関して :<math>\begin{cases} \varkappa=\frac{L}{E}=\frac{M}{F}=\frac{N}{G} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}} = \varkappa \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} = \varkappa \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{cases}</math> を得る。 <math>\mathbf{S}=\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}</math>に於いて<math>\mathbf{K}</math>は正定値対称行列なので正則対称な主平方根<math>\mathbf{K}^{1/2}</math>が存在して :<math>\mathbf{S}=\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{H}</math> ここで<math>\mathbf{T}=\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1/2}</math>という相似変換で表された行列を考えてみると :<math>\mathbf{K}^{1/2}\mathbf{S}\mathbf{K}^{-1/2}</math> :<math>=\mathbf{K}^{1/2}\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1/2}</math> :<math>=\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1/2}</math> :<math>=\mathbf{T}</math> であり、<math>\mathbf{S}\sim\mathbf{T}</math>なのでこれらの2つの固有値の組は一致する。 :<math>\mathbf{H}={}^t\!\mathbf{H}</math> より :<math>{}^t\!\mathbf{T}=\mathbf{T}</math> が成り立つので、<math>\mathbf{T}</math>は対称行列であり2つの固有値は実数である。 よって<math>\mathbf{S}</math>の二つの固有値はともに実数であるが、この固有値は($)の解<math>\kappa_1, \kappa_2</math>のことだったので($)は虚根を持たず、'''主曲率は必ず実数'''である。 モンジュ表示された曲面では先程求めた第二基本量の表式から直ちに :<math>H=\frac{\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2\right\}\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}^2}+\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2\right\}\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}^2}-2\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}}{{2\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2\right\}^\frac{3}{2}}},\quad K=\frac{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}-\left(\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}\right)^2}{\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2\right\}^2}</math> を得る。 等温座標系では<math>\mathbf{K}^{-1}=\frac{1}{\lambda^2}\mathbf{E}_3</math>より<math>\mathbf{S}=\frac{1}{\lambda^2}\begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}</math>なので、平均曲率・ガウス曲率はそれぞれ<math>H=\frac{L+N}{2\lambda^2},\quad K=\frac{LN-M^2}{\lambda^4}</math>と簡単に求まる。 ある点に於ける2つの主曲率はそれぞれその点に於ける極大方向・極小方向の曲がり方を与えるので、<math>\kappa_1, \kappa_2</math>の符号の組み合わせがその点近傍に於ける曲面の曲がり方を与えることになる。 具体的には、両方とも正なら上に凸、負なら下に凸、異符号なら鞍点となる。主曲率が0ならばその主方向に対して曲がっていないということである。 主曲率の積である全曲率の符号を見ても良い。全曲率が正ならば上下どちらかに凸、負ならば鞍点である。第一基本行列が正定値行列であることから主曲率の符号は第二基本行列の行列式と一致するので先程の「第二基本行列がヘッセ行列の一般化」という話に繫がる。 任意点で<math>H=0</math>を満たす曲面を'''極小曲面'''という。極小曲面は曲面を連続変形させたときに曲面積の最小値を与える曲面であることが知られている。 平面は自明な極小曲面である。他にも<math>z=\ln\left(\frac{\cos y}{\cos x}\right)(-\frac{\pi}{2}<x, y<\frac{\pi}{2})</math>（シェルクの第一曲面）などが知られている。 極小曲面は表面張力の理論に応用されている。 例えば石鹼膜のつくる曲面について、膜上点での表裏の圧力差<math>P</math>・その点での表面張力<math>T</math>及び平均曲率<math>H</math>に対し<math>P=2TH</math>が成立する（ヤング=ラプラスの公式）ことが知られているが、閉曲線である枠に張った膜が割れずに安定して存在する条件は全ての点で<math>P=H=0</math>、則ち極小曲面のときである。 曲面<math>S</math>上の微小変位<math>d\boldsymbol{r}</math>、法線方向の微小変位<math>d\boldsymbol{e}_S</math>に対して第一基本形式は<math>I=d\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{r}</math>、第二基本形式は<math>I\!I=-d\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{e}_S</math>であった。 最後の組み合わせである<math>d\boldsymbol{e}_S\cdot d\boldsymbol{e}_S</math>を<math>S</math>の'''第三基本形式'''と定義する。 :<math>I\!I\!I:=\left(\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}du\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}du\right)</math> :<math>=\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\right\|^2(dt)^2+2\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}dtdu+\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\right\|^2(du)^2</math> これを同様に二次形式の行列表示に直すと<math>\mathbf{W}:=\begin{pmatrix} \left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\right\|^2 & \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} & \left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\right\|^2 \end{pmatrix}</math>として :<math>I\!I\!I={}^t\!\boldsymbol{v}\mathbf{W}\boldsymbol{v}</math> この<math>\mathbf{W}</math>を'''第三基本行列'''という。 見て判る通り、'''第三基本量'''は<math>P=\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\right\|^2,\quad Q=\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}},\quad R=\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\right\|^2</math>である。 臍点でないとき2つの主方向は直交するので、臍点を持たない曲面に対して主方向を直交基底としたパラメータ表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(p, q)</math>を考えられる。 このとき、各基本形式は :<math>I=dp^2+dq^2</math> :<math>I\!I=\kappa_1dp^2+\kappa_2dq^2</math> :<math>I\!I\!I=\kappa^2_1dp^2+\kappa^2_2dq^2</math> と表示されることが知られている。 第三基本形式は第一基本形式と第二基本形式の線型結合で表示される。 :<math>I\!I\!I=2HI\!I-KI</math> このことはヴァインガルテンの式と平均曲率・全曲率の定義を用いて確かめられる。 これに関連し、第二基本量で定義された全曲率は第一基本量のみで表されることが知られている。つまり、曲率という外在的な量を第一基本形式という内在的な量のみで記述でき、言い換えると「曲面を考えるときに'''曲面の外側の空間を考える必要が無い'''」ということである。 この定理は発見者自身も驚愕したことから'''ガウスの驚異の定理'''と呼ばれている。詳しくは発展節で扱う。 なお、平均曲率を考えるときは外側の空間の情報が必要である。 ==直交曲線座標系== {{節stub}} ===円筒座標系=== 平面の座標系として直交座標の他に斜交座標、極座標（円座標）、重心座標などがあったように、空間の座標系も複数通り考えられる。 空間座標を3つの実数の組<math>(r, \theta, z)</math>で表した座標系を'''円筒座標系'''（'''円柱座標系'''、cylindrical coordinate system）という。ただし、<math>r</math>は原点からの（符号付き）距離、<math>\theta</math>は基準面に於ける始線からの正の回転角、<math>z</math>は基準面からの高さである。 円筒座標系は、円座標系の<math>r\theta</math>平面に<math>z</math>軸方向の次元を加えた3次元空間の座標と考えられる。 そのため、円筒座標系と直交座標系の対応は以下のようになる。 :<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \\ z=z \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta = \arctan\frac{y}{x} \\ z=z \end{cases}</math> 但し、<math>r</math>は基準面の裏側では負とする。 直交座標の<math>z</math>軸を基に円筒座標系の座標軸を決定する。一般に座標軸は直線とは限らないので、「軸」ではなく「曲線」と呼ぶことにする（'''座標線'''）。なお、「曲線」という語は一般に「直線」を包含する。 :<math>r</math>曲線：<math>z</math>軸上の点を通り<math>z</math>軸に垂直な半直線。 :<math>\theta</math>曲線：<math>z</math>軸を法線とする平面内にあり、中心が<math>z</math>軸上にある円周。 :<math>z</math>曲線：<math>z</math>軸に平行な直線。 ここで、各曲線に沿った微小変化がどのように表されるか見ていく。 <math>\boldsymbol{f}: (r,\theta,z)\to(x,y,z)</math>とする。 <math>\boldsymbol{f}</math>全体の微小変化は全微分<math>d\boldsymbol{f}=\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}</math>で表される。 上で求めた関係式より :<math>\boldsymbol{f}\begin{pmatrix} r \\ \theta \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cos\theta \\ r\sin\theta \\ z \end{pmatrix}</math> なので、 :<math>\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial{r}}r\cos\theta & \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\cos\theta & \frac{\partial}{\partial{z}}r\cos\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}r\sin\theta & \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\sin\theta & \frac{\partial}{\partial{z}}r\sin\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}z & \frac{\partial}{\partial{\theta}}z & \frac{\partial}{\partial{z}}z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> よって :<math>d\boldsymbol{f}=\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin \theta \\ 0 \end{pmatrix}dr + \begin{pmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \\ 0 \end{pmatrix}rd\theta + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}dz </math> 再右辺の各項を<math>d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}</math>と書くことにすると、<math>|d\vec{r}|, |d\vec{\theta}|, |d\vec{z}|</math>はそれぞれ<math>dr, rd\theta, dz</math>とわかる。<math>r, \theta, z</math>を物理量として捉えたとき<math>d\theta</math>の単位はラジアン（無次元量）であり、<math>rd\theta</math>の単位はメートル（長さの次元1）なので、次元の整合性が取れる。 纏めると以下のようになる。 {| class="wikitable" | ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_x</math>成分 ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_y</math>成分 ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_z</math>成分 ||style="text-align:center;"| ノルム |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{r}</math> ||style="text-align:center;"| <math>\cos\theta dr</math> ||style="text-align:center;"| <math>\sin\theta dr</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>dr</math> |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{\theta}</math> ||style="text-align:center;"| <math>-r\sin\theta d\theta</math> ||style="text-align:center;"| <math>r\cos\theta d\theta</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>rd\theta</math> |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{z}</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>1</math> ||style="text-align:center;"| <math>dz</math> |} ここで<math>d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}</math>は内積を取ればどの組も互いに直交することが容易にわかるので、この3つのベクトルは3次元ユークリッド空間の直交基底である。 そこで、それぞれのベクトルを正規化することで各軸曲線方向の基本ベクトルを得る。 :<math>\boldsymbol{e}_r = \frac{d\vec{r}}{dr} = \cos\theta \boldsymbol{e}_x + \sin\theta \boldsymbol{e}_y</math> :<math>\boldsymbol{e}_\theta = \frac{d\vec{\theta}}{rd\theta} = -\sin\theta\boldsymbol{e}_x+\cos\theta\boldsymbol{e}_y</math> :<math>\boldsymbol{e}_z=\frac{d\vec{z}}{dz}=\boldsymbol{e}_z</math> これを一次変換の形式で表すと :<math>\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}</math> となる。 このときの表現行列を、座標系または基底ベクトルを変換することから'''座標変換行列'''又は'''基底変換行列'''という。場合によっては'''変換テンソル'''とも呼ぶ。 なお、この直交座標⇒円筒座標の座標変換行列は、<math>xyz</math>空間に於ける<math>z</math>軸まわりの回転行列に等しい。 逆基底変換はこの座標変換行列の逆行列を求めれば定式化できる。 回転行列は直交行列なので :<math>\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ^{-1}= {}^t \! \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> であり、 :<math>\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}</math> 円筒座標系は、[[電磁気学]]の解析でよく使用される。 例えば、高校物理の公式<math>B(r)=\frac{\mu_0I}{\tau r}</math>は、円筒座標系を知っていれば「電流が<math>z</math>軸に平行であることから磁場は<math>z</math>方向に一葉且つ<math>\theta</math>方向に回転対称なので、<math>r</math>方向の項のみが寄与する」と理解される。 ===極座標系=== 高等学校までの地理で習ったように、球面上の位置は緯度<math>\theta</math>と経度<math>\phi</math>で定めることができる。 一般に三次元空間で球面上のある点の座標を定めるには、更に球の中心からの距離<math>r</math>が必要である。 このようにして定められる座標系を'''三次元極座標系'''（polar coordinate system in 3D）または'''球（面）座標系'''（spherical coordinate system）という。 xyz座標空間の点<math>\mathrm{P}(x, y, z)</math>の極座標表示を考える。 <math>r=|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>は容易にわかる。 <math>\theta</math>は<math>z</math>軸からの'''天頂角'''（zenith angle）であり、<math>\overrightarrow{\mathrm{OP}}</math>の<math>z</math>軸への正射影ベクトルを<math>\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\vec{h}</math>とすると<math>\tan\theta = \frac{|\vec{h}|}{z}</math>が成り立つ。<math>|\vec{h}|=\sqrt{x^2+y^2}</math>より、<math>\theta=\arctan \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}</math>である。 <math>\phi</math>は<math>x</math>軸からの'''方位角'''（azimuth angle）であり、<math>\mathrm{P}</math>から<math>xy</math>平面に降ろした垂足<math>\mathrm{Q}</math>を考えると<math>\tan\phi=\frac{y}{x}</math>とわかる。よって、<math>\phi=\arctan\frac{y}{x}</math>である。 逆に、これを<math>\mathrm{P}(x, y, z)</math>に復元することを考える。 <math>\triangle\mathrm{OHP}</math>について<math>\angle\mathrm{HOP}=\theta</math>なので、<math>z=\overline{\mathrm{OH}}=r\cos\theta</math>。 また、<math>\triangle\mathrm{OPQ}</math>について<math>\angle\mathrm{OPQ}=\theta</math>なので、<math>\overline{\mathrm{OQ}}=r\sin\theta</math>。 よって<math>x=\overline{\mathrm{OQ}}\cos\phi=r\sin\theta\cos\phi, y=\overline{\mathrm{OQ}}\sin\phi=r\sin\theta\sin\phi</math>。 以上を纏めると、直交座標と球面座標の対応関係は :<math>\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi \\ y=r\sin\theta\sin\phi \\ z=r\cos\theta \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \\ \phi=\arctan\frac{y}{x} \end{cases}</math> 一般に緯度は<math>-90^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ</math>、経度は<math>-180^\circ \leqq \phi \leqq 180^\circ</math>の範囲で表される（但し、符号の違いは東⇔西、南⇔北の違いである）。同様に、球面座標の天頂角<math>\theta</math>、方位角<math>\phi</math>は<math>\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\tau}{4}], \phi \in [-\frac{\tau}{2}, \frac{\tau}{2}]</math>で考える。赤道面より下側（すなわち南半球）では<math>\theta<0</math>とする。 直交座標の<math>z</math>軸を基に極座標系の座標線を決定する。 :<math>r</math>曲線：原点を通る半直線。 :<math>\theta</math>曲線：原点中心で<math>z</math>軸上の一点から出る半円弧。 :<math>\phi</math>曲線：<math>z</math>軸を法線とする平面内で<math>z</math>軸上に中心を持つ円周。 各曲線に沿った微小変化は円柱座標系の場合と同様、ベクトル場の全微分を用いて :<math>\begin{cases} d\vec{r}= \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi \\ \cos\theta \end{pmatrix} dr \\ d\vec{\theta}= \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\phi \\ \cos\theta\sin\phi \\ -\sin\theta \end{pmatrix}rd\theta \\ d\vec{\phi} = \begin{pmatrix} -\sin\phi \\ \cos\phi \\ 0 \end{pmatrix} r\sin\theta d\phi \end{cases}</math> と求まる。 これらは（内積の結果から）互いに直交するので、円柱座標の場合と同様の議論により :<math>\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \end{pmatrix}</math> と変換テンソルが求まる。 これも直交行列であるので、逆変換テンソルは :<math>\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \cos\theta\cos\phi & \cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\phi \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \end{pmatrix}</math> と求まる。 球面座標系は、[[古典力学]]の解析でよく使用される。 例えば、赤道平面における角運動量保存則は<math>mr^2\frac{d\phi}{dt}=\mathrm{const}.</math>と表示されるが、これは<math>z</math>軸方向の角運動量を球面座標系の演算により取り出したものである。 球面座標系は特に機械制御に応用されている。 円柱座標系・球面座標系ともに各基底ベクトルが互いに直交しているので、そのことを明示して（且つ通常の直交座標系と区別して）'''直交曲線座標系'''（orthogonal curvilinear coordinate system）と呼ぶ場合がある。以下で扱う座標系たちも直交曲線座標系である。 ===円環座標系=== ===双極座標系=== ===回転放物面座標系=== ===放物柱座標系=== ===回転楕円面座標系=== ===楕円柱座標系=== ===楕円体座標系=== ==空間微分== ここでは三次元ユークリッド空間で考える。 ===勾配=== スカラー場<math>\varphi=\varphi(\boldsymbol{x})</math>が<math>x, y, z</math>の三変数関数であって<math>\varphi\in C^1</math>のとき、 :<math>\mathrm{grad}\,\varphi := \begin{pmatrix} \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}} \end{pmatrix}</math> を<math>\varphi</math>の'''勾配'''（gradient）と定義する。 勾配の結果として得るベクトルを<math>\varphi</math>の'''勾配ベクトル'''ともいう。 勾配で定義される概念としては、電場が有名である。 :電位<math>\phi</math>に対する電場<math>\boldsymbol{E}</math>は :<math>\boldsymbol{E}:=-\mathrm{grad}\,\phi</math> 勾配はベクトル量であるため、そのことを明示するため新たな演算子を導入する。 '''空間偏微分演算子'''（ハミルトン演算子）を <math>\nabla:=\begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial{x}} \\ \frac{\partial}{\partial{y}} \\ \frac{\partial}{\partial{z}} \end{pmatrix}</math> と定義する。 この演算子自体は偏微分作用素の対象を後接しないと意味を成さない。しかし、便宜的にベクトル量と考えてベクトルと同様の演算則が成り立つと見做す。そのため、この演算子に関する演算は[[w:記号の濫用]]（symbol abuse）であることを註しておく。 <math>\nabla</math>の正式な読み方は'''ナブラ'''（nabla）であるが、<math>\Delta</math>（delta）を反転した形であることから'''エイトレッド'''（atled）とも読まれる。なお、ナブラの由来は「竪琴」を意味する古代ギリシャ語「νάβλα」である。 この演算子を用いれば勾配の表式は :<math>\mathrm{grad}\,\varphi=\nabla\varphi</math> となる。 <math>\varphi</math>はスカラー場なのでスカラー量であり、<math>\nabla</math>は便宜的にベクトル量と考えることから、その積<math>\nabla\varphi</math>はベクトル量のスカラー倍、すなわちベクトル量であることが見て取れる。 勾配はスカラー場に対する偏微分の結果を並べたベクトルであるため、偏微分の性質とベクトルの性質を組み合わせて以下が成り立つと判る。 #<math>\nabla(k\varphi+l\psi)=k\nabla\varphi+l\nabla\psi</math>（線型性） #<math>\nabla(\varphi\psi)=(\nabla\varphi)\psi+\varphi(\nabla\psi)</math>（積の微分・ライプニッツ則） #<math>\nabla\left(\frac{\varphi}{\psi}\right)=\frac{(\nabla\varphi)\psi-\varphi(\nabla\psi)}{\psi^2}</math>（商の微分） #<math>\nabla(\varphi(\psi))=\frac{d\varphi(\psi)}{d\psi}\nabla\psi</math>（合成関数微分） 任意点に対して勾配ベクトルが非零であるスカラー場を'''正則'''なスカラー場という。 以下、正則なスカラー場に限って扱う。 等位面<math>\varphi(x, y, z)=k(\mathrm{const}.)</math>上の点<math>\mathrm{P}(x_0, y_0, z_0)</math>を考える。 :<math>\mathrm{P}</math>を通り等位面に拘束される曲線のベクトル表示を<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>とする。 :等位面の方程式を<math>t</math>で両辺微分して ::<math>\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}}\frac{dz}{dt}=0</math> :<math>t=t_0</math>のとき ::<math>\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}x'(t_0)+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}y'(t_0)+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}}z'(t_0)=0</math> ::<math>\nabla\varphi(\mathrm{P})\cdot\boldsymbol{r}'(t_0)=0</math> ::<math>\nabla\varphi(\mathrm{P})\perp\boldsymbol{r}'(t_0)</math> ここで<math>\mathrm{P}</math>に於ける等位面の接平面は接ベクトル<math>\boldsymbol{r}'(t_0)</math>を含むため、<math>\nabla\varphi(\mathrm{P})</math>は点<math>\mathrm{P}</math>に於ける等位面の法線ベクトルである。 よって等位面の接平面の方程式は :<math>\nabla\varphi(\mathrm{P})\cdot(\boldsymbol{x}-\overrightarrow{\mathrm{OP}})=0</math> である。 スカラー場<math>\varphi=\varphi(\boldsymbol{x})</math>の全微分は :<math>d\varphi=\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}dx+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}dy+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}}dz</math> これをベクトルの内積とみると :<math>=\begin{pmatrix} \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}</math> :<math>=\nabla\varphi\cdot d\boldsymbol{x}</math> ここで変位ベクトル<math>d\boldsymbol{x}</math>を任意の方向を向いた単位ベクトル<math>\boldsymbol{e}</math>に拡張することを考えたい。 <math>\varphi(\mathrm{P})</math>に対して<math>\mathrm{P}</math>を始点とする<math>\boldsymbol{e}</math>方向の直線を考え、その上の点を<math>\mathrm{Q}</math>とする。 このとき、ベクトル変数<math>\boldsymbol{e}</math>による微分係数 :<math>\frac{\partial{\varphi}(\mathrm{P})}{\partial{\boldsymbol{e}}}=\lim_{\mathrm{Q\to P}}\frac{\varphi(\mathrm{Q})-\varphi(\mathrm{P})}{\overline{\mathrm{QP}}}</math> を、<math>\varphi</math>の<math>\mathrm{P}</math>に於ける<math>\boldsymbol{e}</math>方向の'''方向微分係数'''と定義する。 方向微分係数はスカラー場に対し<math>\boldsymbol{e}</math>方向の変化率を与えるものと考えられる。そこで、方向微分係数が最大となる方向を考える。 :<math>\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=t\boldsymbol{e}</math>と置く。 ::<math>\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\begin{pmatrix} x_0+te_1 \\ y_0+te_2 \\ z_0+te_3 \end{pmatrix}</math> ::<math>\frac{\partial{\varphi}(\mathrm{P})}{\partial{\boldsymbol{e}}}=\lim_{t\to0}\frac{\varphi(x_0+te_1, y_0+te_2, z_0+te_3)-\varphi(x_0, y_0, z_0)}{t}</math> :ここで<math>\Phi(t):=\varphi(x_0+te_1, y_0+te_2, z_0+te_3)</math>とすれば ::<math>=\lim_{t\to0}\frac{\Phi(t)-\Phi(0)}{t}</math> ::<math>=\frac{d\Phi(t)}{dt}</math> ::<math>=\frac{\partial{\varphi}(x_0, y_0, z_0)}{\partial{x}}\frac{d(x_0+te_1)}{dt}+\frac{\partial{\varphi}(x_0, y_0, z_0)}{\partial{y}}\frac{d(y_0+te_2)}{dt}+\frac{\partial{\varphi}(x_0, y_0, z_0)}{\partial{z}}\frac{d(z_0+te_3)}{dt}</math> ::<math>=\frac{\partial{\varphi}(\mathrm{P})}{\partial{x}}e_1+\frac{\partial{\varphi}(\mathrm{P})}{\partial{y}}e_2+\frac{\partial{\varphi}(\mathrm{P})}{\partial{z}}e_3</math> ::<math>=\nabla\varphi(\mathrm{P})\cdot\boldsymbol{e}</math> よって、全微分の式の<math>d\boldsymbol{x}</math>をそのまま<math>\boldsymbol{e}</math>に取り替えたものが方向微分係数の表式である。 内積を書き下すと<math>\|\boldsymbol{e}\|=1</math>より :<math>\frac{\partial{\varphi}(\mathrm{P})}{\partial{\boldsymbol{e}}}=\|\nabla\varphi(\mathrm{P})\|\cos\theta</math> よって最大値をとるのは<math>\cos\theta=1</math>則ち'''<math>\boldsymbol{e}</math>が勾配方向のとき'''である。また、方向微分係数の最大値は'''勾配のノルム'''である。 このように、勾配はスカラー場の各点に於ける傾きを表す。これは最右辺の式が「各軸方向の傾きを表すベクトルの和」になっていることからも直観的にわかる。ここから、「gradient」の和訳として「勾配」が充当されたのは妥当である。 方向微分係数を'''方向導関数'''に拡張することを考える。 形式的には方向微分係数の定点<math>\mathrm{P}</math>を変数<math>\boldsymbol{x}</math>に置き換えればいいだけである。 :<math>\frac{\partial{\varphi}(\boldsymbol{x})}{\partial{\boldsymbol{e}}}:=\nabla\varphi(\boldsymbol{x})\cdot\boldsymbol{e}</math> 正式には極限を用いて :<math>\frac{\partial{\varphi}(\boldsymbol{x})}{\partial{\boldsymbol{e}}}:=\lim_{t\to0}\frac{\varphi(\boldsymbol{x}+t\boldsymbol{e})-\varphi(\boldsymbol{x})}{t}</math> と定義する。 内積を書き下すと :<math>\frac{\partial{\varphi}(\boldsymbol{x})}{\partial{x}}e_1+\frac{\partial{\varphi}(\boldsymbol{x})}{\partial{y}}e_2+\frac{\partial{\varphi}(\boldsymbol{x})}{\partial{z}}e_3</math> これを[[解析学基礎/多変数関数の微積分#極値]]で扱った方向偏微分作用素として書き直すと :<math>\left(e_1\frac{\partial}{\partial{x}}+e_2\frac{\partial}{\partial{y}}+e_3\frac{\partial}{\partial{z}}\right)\varphi(\boldsymbol{x})</math> :<math>=(\boldsymbol{e}\cdot\nabla)\varphi(\boldsymbol{x})</math> となる。 則ち、形式的には空間偏微分演算子の微分方向ベクトルとの右内積が方向偏微分作用素である。 更に、多変数関数のテイラー二次近似は :<math>f(\boldsymbol{x})\fallingdotseq f(\boldsymbol{a})+\nabla{f}(\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})+\frac{1}{2}{}^t\!(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})\mathbf{D}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})</math> と書けることが判る。但し、<math>\mathbf{D}</math>はヘッセ行列である。 多変数解析で扱った停留点（臨界点）は<math>\nabla\varphi(\mathrm{P})=\boldsymbol{0}</math>なる点<math>\mathrm{P}</math>として正式に定義される。また、ラグランジュの未定乗数法に於ける連立方程式も勾配を用いれば<math>\nabla\varphi(\mathrm{P})=\lambda\nabla\psi(\mathrm{P})</math>と書き表される。 スカラー場の全微分は勾配で表せたが、同様にベクトル場の全微分をナブラを用いて表すことを考える。 ベクトル場の全微分は :<math>d\boldsymbol{a}=\frac{\partial{(a_x,a_y,a_z)}}{\partial{(x,y,z)}} d\boldsymbol{x}</math> で定義された。 ここで<math>n</math>次行列 <math>\mathbf{A}</math>と<math>n</math>項列ベクトル <math>\boldsymbol{a}</math>に対し、<math>(\mathbf{A} \circledast \boldsymbol{a})_{ij} = (\mathbf{A}_{ij}) a_i</math>となるような可換二項演算子 <math>\circledast</math>を定義する。これは本項独自の記法である。但し、<math>(\mathbf{P})_{ij}</math>は行列 <math>\mathbf{P}</math>の第ij成分を表す。 この記法を用いると、ヤコビ行列<math>\frac{\partial{(a_x,a_y,a_z)}}{\partial{(x,y,z)}}</math>は<math>\nabla \circledast \boldsymbol{a}</math>と表すことができる。 則ち、ベクトル場の全微分は :<math>d\boldsymbol{a} = (\nabla \circledast \boldsymbol{a}) d\boldsymbol{x}</math> と表される。 これを形式的に :<math>\frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{\boldsymbol{x}}}=\nabla \circledast \boldsymbol{a}</math> と書き表すことができる。 則ち、ヤコビ行列はベクトル場のベクトル変数による導関数と見做せる。 ヤコビ行列はベクトル場の成分スカラー場に対する勾配ベクトルを行に並べたものという解釈もできるので、この考え方は自然である。 ここでベクトル場に対してスカラー場と同様に方向微分係数・方向導関数を考えると、 :<math>\frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{\boldsymbol{v}}}=\frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{\boldsymbol{x}}}\boldsymbol{v}</math> が成り立つことが判る。 これもベクトル場の成分スカラー場に対する方向微分係数・方向導関数を列に並べたベクトルと解釈できる。 則ち、 :<math>\frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{\boldsymbol{v}}}=(\nabla\circledast\boldsymbol{a})\boldsymbol{v}=(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{a}</math> である。 ===発散=== ベクトル場<math>\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{x})</math>が<math>x, y, z</math>の三変数関数であって<math>\boldsymbol{a}\in C^1</math>のとき、 :<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{a} := \frac{\partial{a_x}}{\partial{x}} + \frac{\partial{a_y}}{\partial{y}} + \frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}</math> を<math>\boldsymbol{a}</math>の'''発散'''（divergence）と定義する。 発散が用いられる概念としては、'''ガウスの法則'''が有名である。 :電荷密度<math>\rho</math>、電場<math>\boldsymbol{E}</math>、真空の誘電率<math>\varepsilon_0</math>として :<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}</math> 球面座標で考えることにより、この式の重要な性質「荷電粒子の座標を原点にとると原点以外では <math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{E}=0</math>」を証明することができる。 勾配と同様に発散をナブラで表すことを考えると、 :<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{a}=\nabla\cdot\boldsymbol{a}</math> という表式を得る。 <math>\boldsymbol{a}</math>はベクトル場なのでベクトル量であり、<math>\nabla</math>は便宜的にベクトル量と考えることから、その内積<math>\nabla\cdot\boldsymbol{a}</math>はスカラー量であることが見て取れる。 発散に対しては以下が成り立つ。 #<math>\nabla\cdot(k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})=k\nabla\cdot\boldsymbol{a}+l\nabla\cdot\boldsymbol{b}</math>（線型性） #<math>\nabla\cdot(\varphi\boldsymbol{a})=(\nabla\varphi)\cdot\boldsymbol{a}+\varphi\nabla\cdot\boldsymbol{a}</math>（積の微分・ライプニッツ則） 前者は内積の線型性より、後者は成分演算と勾配の定義より示される。 ヤコビ行列<math>\nabla\circledast\boldsymbol{a}</math>との関係を考える。 :<math>\nabla\circledast\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{x}} & \frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{y}} & \frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{z}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{a}_x}{\partial{x}} & \frac{\partial{a}_x}{\partial{y}} & \frac{\partial{a}_x}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{a}_y}{\partial{x}} & \frac{\partial{a}_y}{\partial{y}} & \frac{\partial{a}_y}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{a}_z}{\partial{x}} & \frac{\partial{a}_z}{\partial{y}} & \frac{\partial{a}_z}{\partial{z}} \end{pmatrix}</math> ここで跡が発散そのものになっているので :<math>\nabla\cdot\boldsymbol{a}=\mathrm{tr}(\nabla\circledast\boldsymbol{a})</math> が成り立つ。 発散の物理的意味を考える。 :密度<math>\rho</math>が一定である流体の速度場<math>\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^3</math>に対し、微小直方体に出入りする流体の質量収支を考える。 :点<math>(x,y,z)</math>に於ける流速<math>\boldsymbol{v}(x,y,z)=(v_x,v_y,v_z)</math>、直方体の各辺の長さを<math>\delta x, \delta y, \delta z</math>とする。 :単位時間あたりに<math>yz</math>平面に平行な面を通過する流体の質量収支は流出量<math>-\rho v_x(x,y,z)\delta y\delta z</math>、流入量<math>\rho v_x(x+\delta x,y,z)\delta y\delta z</math>より ::<math>\rho(v_x(x+\delta x,y,z)-v_x(x,y,z))\delta y\delta z=\rho\frac{v_x(x+\delta x,y,z)-v_x(x,y,z)}{\delta x}\delta x\delta y\delta z</math> :<math>\delta x\to0</math>の極限で ::<math>=\rho\frac{\partial{v_x}}{\partial{x}}dxdydz</math> :他の面で考えると対称性から輪環の順に入れ替えた結果を得るので直方体全体では ::<math>\rho\left(\frac{\partial{v_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{v_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{v_z}}{\partial{z}}\right)dxdydz</math> :よって単位体積当たりでは ::<math>\rho\nabla\cdot\boldsymbol{v}</math> :を得る。 ここで質量を密度で割ると体積なので、<math>\nabla\cdot\boldsymbol{v}</math>は単位時間あたりの流体の体積の正味の流出率を表す。 この微小直方体の単位体積あたりで観測すると、発散が正であれば流体は膨脹して密度が下がり、負であれば圧縮されて密度が上がる。0であれば流体は膨脹も圧縮もしない。 発散が零であるベクトル場を'''非圧縮/湧出無し/管状/ソレノイダル ベクトル場'''（incompressible/solenoidal vector field）などと呼ぶ。 また、ベクトル場の発散を'''湧き出し'''（「沸き出し」とも書く）と呼ぶ場合もある。 ベクトル場の流線に沿う流れが流体の体積を保存する条件はベクトル場が非圧縮であることである。これを'''リウヴィルの定理'''という。これは多くの場合、[[解析力学]]のハミルトン形式で表示される。 位置ベクトル場<math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>に対して<math>\nabla\cdot\frac{\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^n}</math>を考える。 :<math>\frac{\partial}{\partial{x}}\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^n}=\frac{\partial{\left(\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^n}\right)}}{\partial{\|\boldsymbol{r}\|}}\frac{\partial{\|\boldsymbol{r}\|}}{\partial{x}}=-\frac{n}{\|\boldsymbol{r}\|^n+1}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=-\frac{nx}{\|\boldsymbol{r}\|^{n+2}}</math> <math>y, z</math>も同様なので :<math>\nabla\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^n}=-\frac{n\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^{n+1}}</math> よって発散のライプニッツ則から :<math>\nabla\cdot\frac{\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^n}=\left(\nabla\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^n}\right)\cdot\boldsymbol{r}+\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^n}\nabla\cdot\boldsymbol{r}=-\frac{n\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^{n+2}}+\frac{1+1+1}{\|\boldsymbol{r}\|^n}=\frac{3-n}{\|\boldsymbol{r}\|^n}</math> この結果から、<math>\boldsymbol{a}/\!\!/\boldsymbol{r}\land\|\boldsymbol{a}\|\propto \frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^2}\implies\nabla\cdot\boldsymbol{a}=0</math>（逆二乗則に従う場は非圧縮ベクトル場）が成り立つ。 ベクトル解析の黎明期では発散の逆符号で表される :<math>\mathrm{conv}\,\boldsymbol{a}:=-\frac{\partial{a_x}}{\partial{x}} - \frac{\partial{a_y}}{\partial{y}} - \frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}</math> という量が用いられていた。これは'''吸い込み'''（convergence）と呼ばれる量である。 ベクトルが発明される以前、ベクトル演算に相当するものは[[多元数/四元数|四元数]]で記述されていた。純虚四元数同士の積をとると実部が現在で言う内積の-1倍、虚部が現在で言う外積に対応する。このことから、内積そのものである湧き出しではなく内積の-1倍である吸い込みが自然に出現する量として頻繁に扱われていたのである。 ===回転=== 回転運動は、以下の3つにより一意に定まる。 *回転軸の方向 *回転の速さ *回転方向（軸に対して右回転か左回転か） 「回転方向」は暗黙の諒解として右手系の正の回転角で考える。すると、回転運動を表すのに必要な情報は「方向」と「速さ（=スカラー量）」のみとなる。 従って、'''任意の回転運動はベクトルで表示される'''（ベクトルの大きさは「回転の速さ」で定める）。このようなベクトルを'''角速度ベクトル'''という。 ベクトル場の'''回転'''（curl/rotation/rotor）を以下のように定義する。 :<math>\mathrm{curl} \, \boldsymbol{a} = \mathrm{rot} \, \boldsymbol{a} = \begin{pmatrix} \frac{\partial{a_z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{a_y}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{a_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}} \end{pmatrix}</math> <math>\mathrm{curl}</math>は理学系、<math>\mathrm{rot}</math>は工学系が好んで使用する。 <math>z</math>軸方向の成分について考える。 <math>z</math>軸方向の回転はフレミングの左手の法則から<math>xy</math>平面内の成分のみが寄与すると考えられる。<math>z</math>軸の正方向の回転を生むには、<math>x</math>軸方向の変化率を大きくして<math>y</math>軸方向の変化率を小さくすればよい。 ある軸方向の変化率とはその軸の変数に関する偏導関数のことであったので、回転のz成分を<math>\frac{\partial{X_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{X_x}}{\partial{y}}</math>とすれば満足する。 対称性より輪環の順で入れ替えても同様であるので、回転は上の式で表されるとわかる。 これはより厳密には後述の線積分を用いて説明することになるので、ここでは定性的な説明に留めた。 回転を用いた概念として、ファラデーの電磁誘導の法則が有名である。 :電場<math>\boldsymbol{E}</math>、磁束密度<math>\boldsymbol{B}</math>として :<math>\mathrm{rot} \, \boldsymbol{E} = -\frac{\partial{\boldsymbol{B}}}{\partial{t}}</math> 流体の渦の記述にも応用されており、回転を'''渦度ベクトル'''とも呼ぶ。流体力学的な渦の定義は「速度場の回転」である。 回転が零ベクトルであるベクトル場を'''非回転的/渦無し/層状/ラメラー ベクトル場'''（irrotational/lamella vector field）などと呼ぶ。 勾配・発散と同様に空間偏微分演算子による表記を考える。 成分に着目すると外積の形式なので、 :<math>\mathrm{curl} \, \boldsymbol{a}= \nabla \times \boldsymbol{a}</math> と表されることが判る。 ベクトル場はベクトル量であり、ナブラは便宜的にベクトル量と見做すことから、その外積である回転はベクトル量であることが見て取れる。 外積の性質から、回転は行列式 :<math>\det \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x & \boldsymbol{e}_y & \boldsymbol{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{y}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ a_x & a_y & a_z \end{pmatrix}</math> でも表示される。 回転に対しては以下が成り立つ。 #<math>\nabla\times(k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})=k\nabla\times\boldsymbol{a}+l\nabla\times\boldsymbol{b}</math>（線型性） #<math>\nabla\times(\varphi\boldsymbol{a})=(\nabla\varphi)\times\boldsymbol{a}+\varphi\nabla\times\boldsymbol{a}</math>（積の微分・ライプニッツ則） 前者は外積の線型性より、後者は成分演算と勾配の定義より示される。 回転は常に角速度ベクトルと一致するとは限らない。そのため、必ずしも回転運動そのものを記述しない。 回転は、ヤコビ行列を用いると以下のように表される。 :<math>\mathrm{rot} \, \boldsymbol{a} = 2 \,\mathrm{axl} \left( \frac{\nabla \circledast \boldsymbol{a} - {}^t \! (\nabla \circledast \boldsymbol{a})}{2} \right)</math> :ここで<math>\nabla \circledast \boldsymbol{a} - {}^t \! (\nabla \circledast \boldsymbol{a})</math>は反対称行列であり、<math>\mathrm{axl}</math>は反対称行列を軸ベクトルに移す写像である。 ===ラプラシアン=== 上で見てきた勾配・発散・回転はいずれも一階の偏微分作用素であった。 二階偏微分作用素のうち最もよく使われているのがスカラー場に対して勾配の発散をとる演算である。 :<math>\nabla\cdot(\nabla\varphi) = \mathrm{div}(\mathrm{grad}\,\varphi)</math> ここで<math>(\nabla\cdot\nabla)\varphi</math>を計算してみると成分計算から上の<math>\nabla\cdot(\nabla\varphi)</math>に等しいことが容易に判る。則ち、発散作用素<math>\nabla\cdot\,\,</math>、勾配作用素<math>\nabla</math>、スカラー場<math>\varphi</math>の間に結合法則が成り立ってると見做せる。 そこで、<math>\nabla\cdot\nabla</math>を独立した演算子として考えることにする。 以下のように定義される演算子を'''ラプラス演算子'''（ラプラス作用素）という。 :<math>\text{∆}:=\nabla\cdot\nabla=\frac{\partial^2}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2}{\partial{y}^2}+\frac{\partial^2}{\partial{z}^2}</math> 二項目は[[w:記号の濫用]]により<math>\nabla^2</math>と書かれることもある。 但し、<math>\text{∆}</math>は通常のデルタ（Unicode文字名: GREEK CAPITAL LETTER DELTA, U+394）ではなく'''増分記号'''（Unicode文字名：INCREMENT, U+2206）である（が通常のデルタで書かれることが多い）。 ラプラス演算子を<math>C^2</math>級スカラー場に作用させる操作（及びその結果として得るスカラー場）を'''ラプラシアン'''（Laplacian）という。 :<math>\text{∆}\varphi=\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial{y}^2}+\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial{z}^2}</math> スカラー場のラプラシアンは各成分方向の曲率の和、すなわちスカラー場の各点に於ける突出・沈み込みの度合いを表す。 勾配・発散・回転・ラプラシアンを総称して'''空間微分'''と呼ぶ。 ラプラシアンは[[解析学基礎/偏微分方程式|偏微分方程式]]の記述に用いられている。 :'''ラプラス方程式'''・'''ポテンシャル方程式'''：<math>\text{∆}\varphi=0</math> :'''ポアソン方程式'''：<math>\text{∆}\varphi=f</math> :'''熱伝導方程式'''・'''拡散方程式'''：<math>\text{∆}\psi=k\frac{\partial{\psi}}{\partial{t}}+g</math> :'''波動方程式'''：<math>\text{∆}\psi=\frac{1}{\nu^2}\frac{\partial^2{\psi}}{\partial{t}^2}</math> :'''ヘルツホルム方程式'''：<math>\text{∆}\varphi=-l^2\varphi</math> ここで<math>\varphi=\varphi(x,y,z),\,f=f(x,y,z),\,\psi=\psi(x,y,z,t),\,k>0,\,g=g(x,y,z,t),\,\nu>0,\,l\in\mathbb{R}</math>である。 なお、ラプラス方程式の解を'''調和関数'''という。 <math>C^2</math>級ベクトル場のラプラシアンは以下のように定義される。 :<math>\text{∆}\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix} \text{∆}a_x \\ \text{∆}a_y \\ \text{∆}a_z \end{pmatrix}</math> ここでスカラー場と同様に考えて<math>\text{∆}\boldsymbol{a}=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})</math>としたいところではあるが、これは一般には成り立たない。 実際には以下のように表示される。 :<math>\text{∆}\boldsymbol{a}=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})-\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})=\mathrm{grad}(\mathrm{div}\,\varphi)-\mathrm{rot}(\mathrm{rot}\,\varphi)</math> *証明 :対称性より<math>x</math>成分のみ考えても輪環の順に入れ替えれば他の成分を得る。 ::<math>\nabla\cdot\boldsymbol{a}=\frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{a_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}</math> :より ::<math>\{\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})\}_x=\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2{a_y}}{\partial{x}\partial{y}}+\frac{\partial^2{a_z}}{\partial{x}\partial{z}}</math> :また、 ::<math>\nabla\times\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{a_z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{a_y}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{a_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}} \end{pmatrix}</math> :より ::<math>\{\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})\}_x=\frac{\partial}{\partial{y}}\left(\frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}}\right)-\frac{\partial}{\partial{z}}\left(\frac{\partial{a_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}}\right)</math> ::<math>=\frac{\partial^2{a_y}}{\partial{y}\partial{x}}-\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{y}^2}+\frac{\partial^2{a_z}}{\partial{z}\partial{x}}-\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{z}^2}</math> :<math>\boldsymbol{a}\in{C^2}</math>より偏微分は可換（シュワルツの定理）なので、<math>\{\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})-\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})\}_x</math>を計算すると ::<math>\left(\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2{a_y}}{\partial{x}\partial{y}}+\frac{\partial^2{a_z}}{\partial{x}\partial{z}}\right)-\left(\frac{\partial^2{a_y}}{\partial{x}\partial{y}}-\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{y}^2}+\frac{\partial^2{a_z}}{\partial{x}\partial{z}}-\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{z}^2}\right)</math> ::<math>=\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2{a_x}}{\partial {y}^2}+\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{z}^2}</math> ::<math>=\text{∆}a_x</math>// ここから判るように、ベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>に対して<math>\text{∆}=\nabla(\nabla\cdot)</math>が成り立つ条件は<math>\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})=\boldsymbol{0}</math>である。<math>\boldsymbol{a}</math>が非回転ベクトル場であれば回転が零ベクトルなのでこの形を必ず満足する。但し、この形を満たすベクトル場が全て非回転的ベクトル場であるとは限らない。 則ち、外積の反復と同様に回転演算子<math>\nabla\times\,\,</math>の反復に対して結合法則は不成立である。 歴史的な四元数表記では発散の代わりに吸い込みが用いられていたことからラプラシアンも現在とは反対の符号で計算されていた。ラプラシアンはユークリッド空間に限らず定義可能であるが、その中でも特に重要なのは[[特殊相対論#マクスウェルの方程式|相対性理論]]で用いられる'''ダランベール演算子'''（ダランベルシアン、クアブラ、波動演算子）である。 :<math>\text{⧠}:=\frac{1}{\nu^2}\frac{\partial^2}{\partial{t^2}}-\text{∆}</math> これは標準座標系で表されるミンコフスキー空間上のラプラシアンに相当する。<math>\text{∆}</math>は上で扱ってきた通常のラプラシアンのことである。 これを用いると波動方程式は<math>\text{⧠}\psi=0</math>というミンコフスキー空間上のラプラス方程式と解釈される。つまり、波動関数はミンコフスキー空間で見れば調和関数なのである。 また、[[w:クライン=ゴルドン方程式]]と呼ばれる偏微分方程式は :<math>\text{⧠}\psi=-\mu^2\psi</math> というミンコフスキー空間上のヘルツホルム方程式と解釈される。 ===微分定理=== ここでは、ナブラに関する公式を見ていく。以下、シュワルツの定理が成り立っているものとする。また、成分計算をすればいいだけなので証明は省略する。 既に紹介したものを以下に並べる。 #勾配 #:<math>\nabla(k\varphi+l\psi)=k\nabla\varphi+l\nabla\psi</math> #:<math>\nabla(\varphi\psi)=(\nabla\varphi)\psi+\varphi(\nabla\psi)</math>（ #:<math>\nabla\left(\frac{\varphi}{\psi}\right)=\frac{(\nabla\varphi)\psi-\varphi(\nabla\psi)}{\psi^2}</math> #:<math>\nabla(\varphi(\psi))=\frac{d\varphi(\psi)}{d\psi}\nabla\psi</math> #:<math>\frac{\partial{\varphi}}{\partial{\boldsymbol{e}}}=(\boldsymbol{e}\cdot\nabla)\varphi</math> #:<math>\frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{\boldsymbol{v}}}=(\nabla\circledast\boldsymbol{a})\boldsymbol{v}=(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{a}</math> #発散 #:<math>\nabla\cdot(k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})=k\nabla\cdot\boldsymbol{a}+l\nabla\cdot\boldsymbol{b}</math> #:<math>\nabla\cdot(\varphi\boldsymbol{a})=(\nabla\varphi)\cdot\boldsymbol{a}+\varphi\nabla\cdot\boldsymbol{a}</math> #:<math>\nabla\cdot\boldsymbol{a}=\mathrm{tr}(\nabla\circledast\boldsymbol{a})</math> #回転 #:<math>\nabla\times(k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})=k\nabla\times\boldsymbol{a}+l\nabla\times\boldsymbol{b}</math> #:<math>\nabla\times(\varphi\boldsymbol{a})=(\nabla\varphi)\times\boldsymbol{a}+\varphi\nabla\times\boldsymbol{a}</math> #:<math>\nabla\times\boldsymbol{a} = 2 \,\mathrm{axl} \left( \frac{\nabla \circledast \boldsymbol{a} - {}^t \! (\nabla \circledast \boldsymbol{a})}{2} \right)</math> #ラプラシアン #:<math>\text{∆}\varphi=\nabla\cdot(\nabla\varphi)</math> #:<math>\text{∆}\boldsymbol{a}=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})-\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})</math> 二つのベクトル場<math>\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}</math>の内積・外積に対してそれぞれ一階の空間微分を考えてみる。 <math>\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}</math>はスカラー量なので勾配のみ考えられる。 :<math>\nabla(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})=(\nabla\circledast\boldsymbol{a})\boldsymbol{b}+(\nabla\circledast\boldsymbol{b})\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}\times(\nabla\times\boldsymbol{b})+\boldsymbol{b}\times(\nabla\times\boldsymbol{a})</math> <math>\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}</math>はベクトル量なので発散・回転のみ考えられる。 :<math>\nabla\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})=\boldsymbol{b}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{a})-\boldsymbol{a}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> :<math>\nabla\times(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})=(\nabla\circledast\boldsymbol{a})\boldsymbol{b}-(\nabla\circledast\boldsymbol{b})\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}(\nabla\cdot\boldsymbol{b})-\boldsymbol{b}(\nabla\cdot\boldsymbol{a})</math> 次に、一階の空間微分の結果に対して更なる一階の空間微分を考えてみる。 スカラー場の勾配はベクトル量なので発散・回転のみ考えられる。 :<math>\nabla\cdot(\nabla\varphi)=\text{∆}\varphi</math> :<math>\nabla\times(\nabla\varphi)=\boldsymbol{0}</math> ベクトル場の発散はスカラー量なので勾配のみ考えられる。 :<math>\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})=\text{∆}\boldsymbol{a}+\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})</math> ベクトル場の回転はベクトル量なので発散・回転のみ考えられる。 :<math>\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{a})=0</math> :<math>\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})-\text{∆}\boldsymbol{a}</math> 則ち、勾配・発散・回転はどの組み合わせでも交換法則が成り立たない。 一階の空間微分の結果に対してラプラシアンを考えてみる。 :<math>\text{∆}(\nabla\varphi)=\nabla(\text{∆}\varphi)</math> :<math>\text{∆}(\nabla\cdot\boldsymbol{a})=\nabla\cdot(\text{∆}\boldsymbol{a})</math> :<math>\text{∆}(\nabla\times\boldsymbol{a})=\nabla\times(\text{∆}\boldsymbol{a})</math> ラプラシアンはスカラー性・ベクトル性を保存するので、演算が破綻する箇所はない。 則ち、ラプラシアンは勾配・発散・回転との組み合わせに対して交換法則が成り立つ。 :<math>\text{∆}\nabla=\nabla\text{∆},\quad\text{∆}(\nabla\cdot)=(\nabla\cdot)\text{∆},\quad\text{∆}(\nabla\times)=(\nabla\times)\text{∆}</math> <math>\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}</math>及び<math>\nabla\times\boldsymbol{a}</math>の発散・回転は三重積の形であった。 スカラー三重積・ベクトル三重積にナブラを様々な組み合わせで入れてその結果がどうなるか見ていく。 :<math>\boldsymbol{a}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> :<math>\boldsymbol{a}\times(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> はそのまま計算すればいいので公式化する必要が無い。 :<math>\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\times\nabla)</math> :<math>\boldsymbol{a}\times(\boldsymbol{b}\times\nabla)</math> :<math>\nabla\cdot(\boldsymbol{a}\times\nabla)</math> :<math>\nabla\times(\boldsymbol{a}\times\nabla)</math> は偏微分作用素の対象を後接してないので通常の演算としては扱えない。 :<math>\boldsymbol{a}\cdot(\nabla\times\nabla)</math> :<math>\boldsymbol{a}\times(\nabla\times\nabla)</math> :<math>\nabla\cdot(\nabla\times\nabla)</math> :<math>\nabla\times(\nabla\times\nabla)</math> は同じものの外積をとってるので当然<math>0, \boldsymbol{0}</math>である。<br> また、三重積の公式はナブラを代入した時点で破綻する。 次に、スカラー四重積・ベクトル四重積に対しても同様のことを考える。 :<math>(\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})</math> :<math>(\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot(\nabla\times\boldsymbol{c})</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times(\nabla\times\boldsymbol{c})</math> :<math>(\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> :<math>(\nabla\times\boldsymbol{a})\times(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> はそのまま計算すれば良いので公式化する必要が無い。 :<math>(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{c}\times\nabla)</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times(\boldsymbol{c}\times\nabla)</math> :<math>(\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{b}\times\nabla)</math> :<math>(\nabla\times\boldsymbol{a})\times(\boldsymbol{b}\times\nabla)</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\cdot(\boldsymbol{b}\times\nabla)</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\times(\boldsymbol{b}\times\nabla)</math> は偏微分作用素の対象を後接してないので通常の演算としては扱えない。 :<math>(\nabla\times\nabla)\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})</math> :<math>(\nabla\times\nabla)\times(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot(\nabla\times\nabla)</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times(\nabla\times\nabla)</math> 及びナブラを三個以上含むものは同じものの外積をとってるので当然<math>0, \boldsymbol{0}</math>である。 故に、ここで問題になるのは :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\cdot(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\times(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> の扱いである。 これらには以下の公式が成り立つ。 :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}\cdot\{\nabla\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\}</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})=[\{\boldsymbol{b}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{c})\}-\{\boldsymbol{c}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{b})\}]\boldsymbol{a}+{}^t\!\{\nabla\circledast(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\}\boldsymbol{a}</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\cdot(\nabla\times\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}\cdot\{\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{b})\}</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\times(\nabla\times\boldsymbol{b})={}^t\!\{\nabla\circledast(\nabla\times\boldsymbol{b})\}\boldsymbol{a}</math> ===ポテンシャル論=== ベクトル場<math>\boldsymbol{a}\in C^1</math>に対して<math>\boldsymbol{a}=\mathrm{grad}\,\varphi</math>を満たすスカラー場<math>\varphi\in C^2</math>が存在するならば、上で扱った公式より<math>\mathrm{rot}(\mathrm{grad}\,\varphi)=\boldsymbol{0}</math>である。 逆に、ベクトル場<math>\boldsymbol{a}\in C^1</math>が<math>\mathrm{rot}\,\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}</math>を満たすならば<math>\boldsymbol{a}=\mathrm{grad}\,\varphi</math>となるスカラー場<math>\varphi\in C^2</math>はどのようなときに存在するのであろうか？ ここで<math>\mathrm{rot}\,\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}</math>は成分表示すれば :<math>\begin{cases} \frac{\partial{a}_z}{\partial{y}}-\frac{\partial{a_y}}{\partial{z}}=0 \\ \frac{\partial{a}_x}{\partial{z}}-\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}}=0 \\ \frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}}=0 \end{cases}</math> という一階線型連立偏微分方程式となる。 この連立偏微分方程式は領域<math>D=\mathrm{dom}\,\boldsymbol{a}</math>上で解くことになるので、解が<math>\boldsymbol{a}=\mathrm{grad}\,\varphi</math>を満たすかは領域<math>D</math>がどのような形状をしているかに依存する。 そして、その形状を具体的に与えるのが次の定理である。 {{定理|(ポアンカレの補題1)}} 領域<math>D\subset\mathbb{R}^3</math>とベクトル場<math>\boldsymbol{a}\in C^1(D)</math>に対して :<math>\mathrm{rot}\,\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0} \iff \exist \varphi\in C^2(D),\quad \mathrm{grad}\,\varphi=\boldsymbol{a} </math> となるための十分条件は<math>D</math>が単連結であることである。 {{定理終わり}} 証明は後述する。 この<math>\varphi</math>を<math>\boldsymbol{a}</math>の'''スカラーポテンシャル'''（scalar potential）といい、スカラーポテンシャルを有するベクトル場を'''保存的ベクトル場'''（保存場、conservative vector field）という。 保存的ベクトル場に対して実際にスカラーポテンシャルを構成することを考える。簡単の為に、定義域は直方体領域（あるいは三次元ユークリッド空間全体）とする。 :<math>\mathrm{grad}\,\varphi=\boldsymbol{a},\quad\mathrm{rot}\,\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}</math>を連立偏微分方程式に書き下して ::<math>\begin{cases} \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}=a_x \\ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}=a_y \\ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}}=a_z \end{cases},\quad\begin{cases} \frac{\partial{a}_z}{\partial{y}}=\frac{\partial{a_y}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{a}_x}{\partial{z}}=\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}=\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}} \end{cases}</math> :<math>\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}=a_x(x,y,z)</math>は直接積分形偏微分方程式なので両辺を<math>x</math>で偏積分して ::<math>\varphi(x,y,z)=\int_m^x a_x(x,y,z) dx+g(y,z)</math>・・・(1) :これを<math>y</math>で偏微分すると ::<math>\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}=\frac{\partial}{\partial{y}}\int_m^x a_x(x,y,z)dx+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}</math> :ここでライプニッツの積分法則を適用して ::<math>=\int_m^x \frac{\partial{a_x}}{\partial{y}}dx+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}</math> :更に回転の条件から ::<math>=\int_m^x \frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}dx+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}</math> :よって偏微分に関する微分積分学の基本定理より ::<math>=a_y(x,y,z)-a_y(m,y,z)+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}</math> :これが<math>a_y(x,y,z)</math>に等しいので ::<math>\frac{\partial{g}}{\partial{y}}=a_y(m,y,z)</math> :これは<math>g(y, z)</math>が<math>x</math>の関数でないことに適する。 :両辺を<math>y</math>で偏積分して ::<math>g(y, z)=\int_n^y a_y(m,y,z)dy+h(z)</math> :これを(1)に代入して ::<math>\varphi(x,y,z)=\int_m^x a_x(x,y,z)dx+\int_n^y a_y(m,y,z)dy+h(z)</math>・・・(2) :これを<math>z</math>で偏微分すると ::<math>\frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}}=\frac{\partial}{\partial{z}}\left(\int_m^x a_x(x,y,z)dx+\int_n^y a_y(m,y,z)dy\right)+\frac{\partial{h}}{\partial{z}}</math> :ここでライプニッツの積分法則を適用して ::<math>=\left(\int_m^x\frac{\partial{a_x(x,y,z)}}{\partial{z}}dx+\int_n^y\frac{\partial{a_y(m,y,z)}}{\partial{z}}dy\right)+\frac{dh}{dz}</math> :更に回転の条件から ::<math>=\left(\int_m^x\frac{\partial{a_z(x,y,z)}}{\partial{x}}dx+\int_n^y\frac{\partial{a_z(m,y,z)}}{\partial{y}}dy\right)+\frac{dh}{dz}</math> :よって偏微分に関する微分積分学の基本定理より ::<math>=a_z(x,y,z)-a_z(m,y,z)+a_z(m,y,z)-a_z(m,n,z)+\frac{dh}{dz}</math> ::<math>=a_z(x,y,z)-a_z(m,n,z)+\frac{dh}{dz}</math> :これが<math>a_z(x,y,z)</math>に等しいので ::<math>\frac{dh}{dz}=a_z(m,n,z)</math> :これは<math>h(z)</math>が<math>x, y</math>の関数でないことに適する。 :両辺を<math>z</math>で常積分して ::<math>h(z)=\int_l^z a_z(m,n,z)dz+C</math> :これを(2)に代入して ::<math>\varphi(x,y,z)=\int_m^x a_x(x,y,z)dx+\int_n^y a_y(m,y,z)dy+\int_l^z a_z(m,n,z)dz+C</math>// ここで最後の積分定数<math>C</math>は勾配をとるときに消える。更に言うと、単連結領域では偏微分方程式の解の一意性よりスカラーポテンシャルは積分定数の違いを除いて一意に定まる。よって、スカラーポテンシャルは平行移動を同一視する同値類として与えられることになる。 ベクトル場<math>\boldsymbol{a}\in C^1</math>に対して<math>\boldsymbol{a}=\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}</math>を満たすベクトル場<math>\boldsymbol{A}\in C^2</math>が存在するならば、上で扱った公式より<math>\mathrm{div}(\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A})=0</math>である。 逆に、ベクトル場<math>\boldsymbol{a}\in C^1</math>が<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{a}=0</math>を満たすならば<math>\boldsymbol{a}=\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}</math>となるスカラー場<math>\boldsymbol{A}\in C^2</math>はどのようなときに存在するのであろうか？ これも同様に以下の定理で与えられる。 {{定理|(ポアンカレの補題2)}} 領域<math>D\subset\mathbb{R}^3</math>とベクトル場<math>\boldsymbol{a}\in C^1(D)</math>に対して :<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{a}=0 \iff \exist \boldsymbol{A}\in C^2(D),\quad \mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}=\boldsymbol{a} </math> となるための十分条件は<math>D</math>が'''可縮'''であることである。 {{定理終わり}} 証明は後述する。 ここで、集合が可縮とは「全体を1点に退化するような連続変形が可能である」ことを言う。可縮な集合は単連結である。可縮条件はより弱めることができるが、ホモトピーやコホモロジーの概念が必要である この<math>\varphi</math>を<math>\boldsymbol{a}</math>の'''ベクトルポテンシャル'''（vector potential）という。スカラーポテンシャルと異なり、「ベクトルポテンシャルを有するベクトル場」を指す特別な呼称は（数学界一般に認知されたものとしては）存在しない。「ソレノイダル場」などを用いる派閥もあるが、単に「発散が0であるベクトル場」を指す用法が強いのであまり広まっていない。 ベクトルポテンシャルを有するベクトル場に対して実際にベクトルポテンシャルを構成することを考える。簡単の為に、定義域は直方体領域（あるいは三次元ユークリッド空間全体）とする。 :<math>\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}=\boldsymbol{a},\quad\mathrm{div}\,\boldsymbol{a}=0</math>を連立偏微分方程式に書き下して ::<math>\begin{cases} \frac{\partial{A}_z}{\partial{y}}-\frac{\partial{A_y}}{\partial{z}}=a_x \\ \frac{\partial{A}_x}{\partial{z}}-\frac{\partial{A_z}}{\partial{x}}=a_y \\ \frac{\partial{A_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{A_x}}{\partial{y}}=a_z \end{cases},\quad \frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{a_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}} =0</math> :第一式より ::<math>\frac{\partial{A_z}}{\partial{y}}=a_x+\frac{\partial{A_y}}{\partial{z}}</math> :<math>y</math>で偏積分して ::<math>A_z = \int_n^y \left(a_x+\frac{\partial{A_y}}{\partial{z}}\right)dy+f(x,z)</math> :ライプニッツの積分法則より ::<math>=\int_n^y a_xdy + \frac{\partial}{\partial{z}}\int_n^y A_y dy+f(x,z)</math>・・・(3) :第三式より ::<math>\frac{\partial{A_x}}{\partial{y}}=\frac{\partial{A_y}}{\partial{x}}-a_z</math> :<math>y</math>で偏積分して ::<math>A_x=\int_n^y \left(\frac{\partial{A_y}}{\partial{x}}-a_z\right)dy+g(x, z)</math> :ライプニッツの積分法則より ::<math>=\frac{\partial{}}{\partial{x}}\int_n^y A_y dy - \int_n^y a_zdy+g(x,z)</math> :これと(3)を第二式に代入して ::<math>a_y=\frac{\partial}{\partial{z}}\left(\frac{\partial{}}{\partial{x}}\int_n^y A_y dy - \int_n^y a_zdy+g(x,z)\right)-\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\int_n^y a_xdy + \frac{\partial}{\partial{z}}\int_n^y A_y dy+f(x,z)\right)</math> ::<math>=\frac{\partial^2}{\partial{z}\partial{x}}\int_n^yA_ydy-\frac{\partial}{\partial{z}}\int_n^y a_z dy+\frac{\partial{g}}{\partial{z}}-\frac{\partial}{\partial{x}}\int_n^y a_x dy-\frac{\partial^2}{\partial{x}\partial{z}}\int_n^y A_y dy-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}</math> ::<math>=\frac{\partial{g}}{\partial{z}}-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}-\int_n^y \left(\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}+\frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}\right)dy</math> :よって ::<math>\frac{\partial{g}}{\partial{z}}-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=a_y+\int_n^y \left(\frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}\right) dy</math>・・・(4) :この右辺を<math>h(x, y, z)</math>とおくと ::<math>\frac{\partial{h}}{\partial{y}}=\frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{a_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}=0</math> :なので<math>h(x,y,z)</math>は<math>y</math>に依存しない<math>h(x,z)</math>である。 :これは(4)の左辺が<math>y</math>に依存しないことと整合する。 :故に(4)は ::<math>\frac{\partial{g}}{\partial{z}}-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=h(x,z)</math> :という二変数の偏微分方程式に落ちる。 :この偏微分方程式は例えば<math>f(x,z)=0, g(x,z)=\int_l^z h(x,z)dz</math>のような特殊解を持つ。 :このような特殊解によって構成された元の方程式の解を<math>\boldsymbol{A}_0</math>とする。 :一般解<math>\boldsymbol{A}</math>と特殊解との差を<math>\boldsymbol{B}</math>と置くとその回転は回転の線型性より<math>\boldsymbol{0}</math>なので ::<math>\begin{cases} \frac{\partial{B}_z}{\partial{y}}=\frac{\partial{B_y}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{B}_x}{\partial{z}}=\frac{\partial{B_z}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{B_y}}{\partial{x}}=\frac{\partial{B_x}}{\partial{y}} \end{cases}</math> :同様にして第一式・第三式を<math>y</math>で偏積分して第二式に代入すると積分定数に関して ::<math>\frac{\partial{F(x,z)}}{\partial{x}}=\frac{\partial{G(x,z)}}{\partial{z}}</math> :を得る。 :これは全微分方程式が完全微分方程式である条件なので、 ::<math>\mathrm{grad}\,\Phi=\begin{pmatrix} F(x,z) \\ G(x,z) \end{pmatrix}</math> :なるスカラー場<math>\Phi</math>が存在する。 :則ち、求めるベクトルポテンシャルは<math>\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}_0+\nabla\Phi</math>// ここで勾配の項は回転をとるときに<math>\mathrm{rot}(\mathrm{grad}\,\Phi)=\boldsymbol{0}</math>より消える。スカラーポテンシャルと同様に自由度が残るので、ベクトルポテンシャルはその自由度を無視した同値類で与えられる。 ポアンカレの補題1, 2に於ける領域<math>D</math>は互いに素ではない複数の領域の和集合<math>\bigcup_i D_i</math>であっても良い。但しポテンシャル場<math>\mathrm{p}</math>は各領域<math>D_i</math>に対して区分的に定義され、このとき互いに重なった領域<math>D_i\cap D_j</math>では任意の点<math>\boldsymbol{x}\in D_i\cap D_j</math>に対して<math>\mathrm{p}_i(\boldsymbol{x})=\mathrm{p}_j(\boldsymbol{x})</math>であることが導かれる。 ポアンカレの補題が成り立たない状況を考えると、この「重なった領域での単射性」が崩れる。則ち、ポテンシャル場は多価関数として振舞うのである。 ポテンシャルに関連した定理として、以下が成り立つ。 {{定理|(ヘルツホルムの定理)}} ポアンカレの補題が成り立つ状況下に於いて、<math>C^1</math>級ベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>は<math>C^2</math>級スカラー場の勾配と<math>C^2</math>級ベクトル場の回転に[[w:直和分解]]（'''ヘルツホルム分解'''）できる。 則ち、任意の<math>\boldsymbol{a}\in C^1(D)</math>に対して :<math>\boldsymbol{a}=\mathrm{grad}\,\varphi-\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}</math> を満たす<math>\varphi, \boldsymbol{A}\in C^2(D)</math>が存在する。 {{定理終わり}} *証明 :ポアソン方程式<math>\text{∆}\varphi=f</math>に対してラプラシアンの定義から ::<math>\mathrm{div}(\mathrm{grad}\,\varphi)=f</math> :ここで右辺のスカラー関数<math>f</math>が<math>\boldsymbol{a}</math>の発散で与えられている場合を考えると ::<math>\mathrm{div}(\mathrm{grad}\,\varphi)=\mathrm{div}\,\boldsymbol{a}</math> :発散の線型性より ::<math>\mathrm{div}(\mathrm{grad}\,\varphi-\boldsymbol{a})=0</math> :ここでポアンカレの補題2を用いて ::<math>\mathrm{grad}\,\varphi-\boldsymbol{a}=\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}</math>// この<math>\varphi, \boldsymbol{A}</math>をそれぞれ広義のスカラーポテンシャル・ベクトルポテンシャルと呼ぶ場合がある。 広義ポテンシャルに対して :<math>\begin{cases} \mathrm{rot}(\mathrm{grad}\,\varphi)=\boldsymbol{0} \\ \mathrm{div}(\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A})=0 \\ \mathrm{div}\,\boldsymbol{a}=\text{∆}\varphi \\ \mathrm{rot}\,\boldsymbol{a}=\mathrm{grad}(\mathrm{div}\,\boldsymbol{A})-\text{∆}\boldsymbol{A} \end{cases}</math> が成立する。 広義ポテンシャルの組み合わせは一つには定まらない。成分毎で考えるとヘルツホルムの定理は三元連立偏微分方程式を与えるが、勾配で消える定数項と回転で消える勾配項を補正すると右辺の自由度は広義ポテンシャル2つ+補正項2つで4である。そこで、応用上は<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{A}=0</math>という条件（'''クーロンゲージ条件'''）を追加で課して一意に定めることが多い（これにより<math>\mathrm{rot}\,\boldsymbol{a}=-\text{∆}\boldsymbol{A}</math>が成り立つので）。 例えば、[[連続体力学]]に於ける弾性体の運動方程式（ナビエ-コーシー方程式） :<math>\rho\frac{\partial^2{\boldsymbol{u}}}{\partial{t}^2}=(\lambda+\mu)\mathrm{grad}(\mathrm{div}\,\boldsymbol{u})+\mu\text{∆}\boldsymbol{u}</math> をヘルツホルム分解とクーロンゲージ条件により解析すると :<math>\begin{cases} \rho\frac{\partial^2}{\partial{t}^2}\text{∆}\varphi=(\lambda+2\mu)\text{∆}^2\varphi \\ \rho\frac{\partial^2}{\partial{t}^2}\text{∆}\boldsymbol{A}=\mu\text{∆}^2\boldsymbol{A} \end{cases}</math> を得る。 更に<math>e=\text{∆}\varphi,\quad\boldsymbol{\omega}=-\text{∆}\boldsymbol{A}</math>と置くとこの2つの式は波動方程式である。ここから導かれる波は前者が縦波で後者が横波であるが、<math>\lambda+2\mu>\mu</math>より前者の方が伝播速度が大きい。則ち、中学理科のP波・S波の性質を導くことができた。 ナビエ-コーシー方程式に於いて定常状態を考えると<math>t</math>-微分の項が0になるので、<math>\text{∆}^2\boldsymbol{u}=0</math>を得る。このような形の偏微分方程式を'''重調和偏微分方程式'''という。 *応用問題 *:真空のマクスウェル方程式<math> \begin{cases} \nabla\times\boldsymbol{E}&=-\frac{\partial{\boldsymbol{B}}}{\partial{t}}\\ \nabla\times\boldsymbol{H}&=\frac{\partial{\boldsymbol{D}}}{\partial{t}}\\ \nabla\cdot\boldsymbol{D}&=0\\ \nabla\cdot\boldsymbol{B}&=0\\ \end{cases}</math>と構成方程式<math>\begin{cases} \boldsymbol{D}=\varepsilon_0\boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{H}\end{cases}</math>から電磁波の波動方程式<math>\begin{cases} \text{∆}\boldsymbol{E}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\boldsymbol{E}}}{\partial{t}^2} \\ \text{∆}\boldsymbol{H}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\boldsymbol{H}}}{\partial{t}^2} \end{cases}</math>及び光速<math>c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}</math>を導け。 ==空間積分== ここでは三次元ユークリッド空間で考える。 ===線積分=== 偏積分 :<math>\int_a^b f(x,y) dx := \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k,y) \Delta x</math>（<math>\Delta x = \frac{b-a}{n}, x_k = a + k\Delta x</math>） は<math>xyz</math>空間を<math>y</math>を固定した平面で切った断面に於ける曲線<math>z=f(x, y)</math>と<math>x</math>軸、直線<math>x=a, x=b</math>の囲む符号付き面積であった。 このとき積分変数を各点で見ると<math>x</math>軸という直線上を<math>a\to b</math>と単調に進むことになるが、これを<math>xyz</math>空間の任意の曲線<math>C</math>に拡張することを考える。 三次元空間の曲線をベクトル表示すると :<math>\boldsymbol{r}(t)=\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}\quad t\in [\alpha, \beta]</math> であり、被積分関数はこの曲線上の点を入力とするスカラー場と考えられるので :<math>\varphi=\varphi(\boldsymbol{r})</math> 偏積分の<math>dx</math>は「<math>x</math>軸上の微小変位」であったが、<math>t</math>が単調なとき曲線に沿った微小変位は曲線上の移動距離、則ち弧長の微小量と考えられるので線素を用いて :<math>dl=\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math> これらを総合すると、<math>C</math>に沿った積分というものは曲線のパラメータを用いて :<math>\int_\alpha^\beta \varphi(\boldsymbol{r}(t))\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math> と表示されることになる。 これをスカラー場<math>\varphi</math>の<math>C</math>に沿った'''線積分'''^※（line integral）という。また、<math>C</math>を'''積分経路'''（積分路、path）という。 <small>※量子力学の[[量子力学#経路積分法|経路積分]]（path integral）とは異なる概念である。</small> スカラー場の線積分は :<math>\int_C \varphi dl</math> のように略記される。 特に積分経路が閉曲線（'''閉経路'''）である場合は :<math>\oint_C \varphi dl</math> のように書き、これを<math>C</math>に沿った'''周回/閉路 積分'''（closed line integral）という。 1の線積分<math>\int_C dl</math>は弧長に等しい。 <math>\varphi(\boldsymbol{r})</math>の<math>C</math>の端点に於ける値の差を考える。 <math>t\in[\alpha,\beta]</math>を各<math>t_i</math>に等分割したとき、スカラー関数のテイラー展開より :<math>\varphi(\boldsymbol{r}(t_i))-\varphi(\boldsymbol{r}(t_{i-1}))=\nabla\varphi(\boldsymbol{r}_{t_i-1})\cdot d\boldsymbol{r}\big|_{t=t_i}+O\left(\left\|d\boldsymbol{r}\big|_{t=t_i}\right\|\right)</math> なので :<math>\varphi(\boldsymbol{r}(\beta))-\varphi(\boldsymbol{r}(\alpha))\fallingdotseq \sum_{i=1}^n \nabla\varphi(\boldsymbol{r}(t_{i-1}))\cdot d\boldsymbol{r}\big|_{t=t_i}</math> 右辺で分割数<math>n</math>を無限大に飛ばした極限は区分求積法より :<math>\int_{\boldsymbol{r}(\alpha)}^{\boldsymbol{r}(\beta)}\nabla\varphi(\boldsymbol{r})\cdot d\boldsymbol{r}</math> 則ち、曲線<math>C</math>に沿った微分積分学の基本定理 :<math>\int_{\boldsymbol{r}(\alpha)}^{\boldsymbol{r}(\beta)}\nabla\varphi(\boldsymbol{r})\cdot d\boldsymbol{r} = \varphi(\boldsymbol{r}(\beta))-\varphi(\boldsymbol{r}(\alpha))</math> を得る。 これは一変数積分の<math>\int_a^b \frac{df}{dx}dx=f(b)-f(a)</math>に対応し、これは常積分に関する微分積分学の基本定理の別表現である。 左辺をスカラー場の線積分と同様に<math>\int_C \nabla\varphi\cdot d\boldsymbol{r}</math>と書くことにする。 ここで<math>\nabla\varphi</math>を一般のベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>に拡張して同様に :<math>\int_C \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{r}</math> を考えてみたい。 ここで<math>d\boldsymbol{r}</math>は<math>\boldsymbol{r}</math>の全微分と解釈され、一変数関数なので :<math>d\boldsymbol{r}=\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt</math> 則ち、 :<math>\int_C \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{r}=\int_\alpha^\beta \boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt</math> という曲線のパラメータに関する積分に帰着された。 これをベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>の<math>C</math>に沿った'''線積分'''という。 <math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}</math>は<math>C</math>の接線なので<math>\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}</math>は<math>\boldsymbol{a}</math>から<math>C</math>の接線に沿う沿流成分を取り出していることになる。 このことから、ベクトル場の線積分を特に'''接線積分'''（integral of tangential component）ということがある。 また、<math>d\boldsymbol{r}</math>のノルムを考えてみると :<math>\|d\boldsymbol{r}\|=\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|dt=dl</math> より線素に一致する。 このことから、<math>d\boldsymbol{r}</math>を'''線素ベクトル'''と呼び、<math>d\boldsymbol{l}</math>とも書く。 線素ベクトルは曲線上の微小変位を表すので座標軸上の微小変位の重ね合わせと考えれば :<math>d\boldsymbol{l}=\begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}</math> よって接線積分は形式的に :<math>\int_C (a_xdx+a_ydy+a_zdz)</math> とも書かれる。 更に、弧長パラメトライズされている場合は接ベクトルを用いて :<math>d\boldsymbol{l}=\boldsymbol{t}ds</math> とも表せる。 接線積分で定義される概念としては、仕事が有名である。 :物体を経路<math>C</math>に沿って力<math>\boldsymbol{F}</math>で運んだときの仕事は摩擦や空気抵抗を無視すると ::<math>W=\int_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}</math> また、アンペールの法則も線積分で示される。 :閉経路<math>C</math>で囲まれた領域を貫く電流の大きさ<math>I</math>とその電流が生む磁場<math>\boldsymbol{H}</math>に対して ::<math>\oint_C \boldsymbol{H}\cdot d\boldsymbol{l}=I</math> 更に、以下のような概念も定義されている。 :流体の速度場<math>\boldsymbol{v}</math>の循環は ::<math>\Gamma(C)=\oint_C \boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{l}</math> *応用問題 **運ばれる物体の質量を<math>m</math>としたとき、仕事の定義とニュートンの運動方程式<math>m\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2}=\boldsymbol{F}</math>を用いて運動エネルギーに関するエネルギーの原理<math>W=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2</math>を証明せよ。 <math>C</math>が正の向きにパラメトライズされたとき、負の向きにパラメトライズされた曲線を<math>-C</math>と表した。 2つの閉曲線<math>C_1</math>の終点と<math>C_2</math>の始点が一致するとき、これを一つの曲線と見做して曲線の和 :<math>C_1+C_2</math> が定義される。 これを'''区分的に定義された曲線'''という。 2つの閉曲線<math>C_1</math>の終点と<math>C_2</math>の終点が一致するとき、<math>C_1</math>を始点とすると曲線の差は :<math>C_1-C_2=C_1+(-C_2)</math> で定義される。 <math>C</math>が'''区分的に滑らか'''であるとは、<math>C</math>が有限個の滑らかな曲線の和であることである。 これらを踏まえると、線積分には以下の性質が成り立つ。 #スカラー場 #:<math>\int_C (k\varphi+l\psi) dl=k\int_C \varphi dl + l \int_C \psi dl</math> #:<math>\int_{-C}\varphi dl = \int_C \varphi dl</math> #:<math>\int_{C_1+C_2}\varphi dl = \int_{C_1}\varphi dl + \int_{C_2}\varphi dl</math> #ベクトル場 #:<math>\int_C (k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})\cdot d\boldsymbol{l}=k\int_C \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{l}+l\int_C \boldsymbol{b}\cdot d\boldsymbol{l}</math> #:<math>\int_{-C}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{l} = -\int_C \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{l}</math> #:<math>\int_{C_1+C_2}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{l} = \int_{C_1}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{l} + \int_{C_2}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{l}</math> 1番目の性質は線型性である。2番目の性質から、スカラー場の線積分に関しては任意の'''再パラメトライズ'''（パラメータの可逆な変数変換）、ベクトル場の線積分に関しては向き付けを保つ再パラメトライズに対して線積分の値が保存されることが判る。 保存的ベクトル場に対する線積分<math>\int_C \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{l}</math>はスカラーポテンシャル<math>\varphi</math>を用いて<math>\int_C \nabla\varphi\cdot d\boldsymbol{l}</math>と書けるので微分積分学の基本定理より<math>\varphi(\boldsymbol{r}(\beta))-\varphi(\boldsymbol{r}(\alpha))</math>に等しい。 ここで<math>\varphi(\boldsymbol{r}(\beta))-\varphi(\boldsymbol{r}(\alpha))</math>は曲線の端点にのみ依存し形状には依存しない。 そのため、'''線積分の値が積分経路に依存しない必要十分条件はベクトル場が保存的であること'''である。 ここで閉曲線である場合を考えると :<math>\boldsymbol{r}(\alpha)=\boldsymbol{r}(\beta)</math> より :<math>\varphi(\boldsymbol{r}(\alpha))=\varphi(\boldsymbol{r}(\beta))</math> なので :<math>\oint_C \nabla\varphi\cdot d\boldsymbol{l}=0</math> である。 逆に言うと、'''周回積分が0でない閉経路をとれるとき<math>\varphi</math>は<math>\boldsymbol{a}</math>のスカラーポテンシャルではない'''。 この事実は偏微分方程式を解いて求めたスカラーポテンシャルが実際にポテンシャルであるかどうかの確認に用いられる。 なお、先程求めたスカラーポテンシャルの一般式 :<math>\varphi(x,y,z)=\int_m^x a_x(x,y,z)dx+\int_n^y a_y(m,y,z)dy+\int_l^z a_z(m,n,z)dz+C</math> は線積分で表される。 具体的には、積分経路を<math>\gamma:(m,n,l)\to(m,n,z)\to(m,y,z)\to(x,y,z)</math>という3つの線分の和としてとれば :<math>\varphi=\int_\gamma \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{l}+C</math> である。 ここでスカラーポテンシャルとは勾配方程式 :<math>\nabla\varphi=\boldsymbol{a}</math> の解だったので、'''線積分と勾配は逆演算'''である。 <math>\nabla\varphi\cdot d\boldsymbol{l}=d\varphi</math>より、スカラーポテンシャルの存在と完全微分方程式の対応がここからも得られる。また、完全微分方程式<math>d\varphi=0</math>の解は曲線を与えることも容易に判る。 仕事が線積分で定義されるという話をしたが、エネルギーの原理より力場がスカラーポテンシャルを有する（保存場）場合はエネルギー変化が移動経路に依存しないので力学的エネルギー保存法則が成り立つ。これが高校物理で扱った「保存力なら力学エネルギーが保存する」ことの正式な表現である。 ベクトル場の線積分はベクトル場と線素ベクトルの内積をとって積分していたが、外積をとって積分することもできる。 具体的には、 :<math>\boldsymbol{a}\times d\boldsymbol{l}=\begin{pmatrix} a_ydz-a_zdy \\ a_zdx-a_xdz \\ a_xdy-a_ydx \end{pmatrix}</math> より :<math>\int_C \boldsymbol{a}\times d\boldsymbol{l}=\begin{pmatrix} \int_C (a_ydz-a_zdy) \\ \int_C (a_zdx-a_xdz) \\ \int_C (a_xdy-a_ydx) \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} \int_\alpha^\beta \left\{ a_y(\boldsymbol{r}(t))\frac{dz}{dt}-a_z(\boldsymbol{r}(t))\frac{dy}{dt} \right\}dt \\ \int_\alpha^\beta \left\{ a_z(\boldsymbol{r}(t))\frac{dx}{dt}-a_x(\boldsymbol{r}(t))\frac{dz}{dt} \right\}dt \\ \int_\alpha^\beta \left\{ a_x(\boldsymbol{r}(t))\frac{dy}{dt}-a_y(\boldsymbol{r}(t))\frac{dx}{dt} \right\}dt \end{pmatrix}</math> これは物理学的にはビオ・サヴァールの法則の記述に用いられている。 :真空中で経路<math>C</math>を正の向きに流れる強さ<math>I</math>の定常電流・<math>C</math>上にない点<math>\mathrm{P}</math>・<math>C</math>上の点<math>\mathrm{Q}</math>に対し、<math>C</math>全体で生じる磁束密度<math>\boldsymbol{B}</math>の<math>\mathrm{P}</math>での値は真空の透磁率<math>\mu_0</math>として ::<math>\boldsymbol{B}(\mathrm{P})=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_C \frac{\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\times d\boldsymbol{l}}{\|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\|^3}</math> 応用例は乏しいが、スカラー場の線素ベクトルに関する積分、ベクトル場の線素に関する積分も同様に定義される。 :<math>\int_C \varphi d\boldsymbol{l} = \int_\alpha^\beta \varphi(\boldsymbol{r}(t))\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt</math> :<math>\int_C \boldsymbol{a} dl = \int_\alpha^\beta \boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|dt</math> これらはベクトル値である。 積分経路を流線上にとると、流線の定義から<math>d\boldsymbol{r}/\!\!/\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})</math>則ち一次従属なので、<math>d\boldsymbol{r}=k\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})</math>と書ける。 よって線積分の被積分関数は<math>\boldsymbol{a} \cdot d\boldsymbol{r} = k\|\boldsymbol{a}\|^2</math>となり、積分値が最大化される他、ベクトル場の沿流方向成分を抽出できる。実際に計算する際は、<math>\int_{\mathrm{streamline}} k\|\boldsymbol{a}\|^2</math>とは書かず、<math>\int_{\mathrm{streamline}} \boldsymbol{a} \cdot \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt</math>と書くのが望ましい（積分記号と積分微小要素はセットのため）。 流線が閉曲線である場合を考えると、<math>\oint_{\mathrm{streamline}} \boldsymbol{a} \cdot \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt</math>は閉曲線の正の向きで正、負の向きで負となるので0にはならない。そのため、流線が閉曲線であるベクトル場はスカラーポテンシャルを持たない。 ===面積分=== 線積分は常積分に於ける積分経路を任意の正則な<math>C^1</math>級曲線に拡張したものであった。同様に、二重積分に於ける積分領域を'''向き付けされた'''任意の<math>C^1</math>級曲面に拡張することを考える。 曲線に沿った微小量が線素で与えられたように、曲面に沿った微小量は面素で与えられる。故に、直観的には「面素に関して積分」すれば良いことが分かる。 三次元空間の曲面をベクトル表示すると :<math>\boldsymbol{r}(t, u)=\begin{pmatrix} x(t, u) \\ y(t, u) \\ z(t, u) \end{pmatrix}\quad {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} t \\[-6pt] u \end{array}\right)} \in D</math> であり、被積分関数はこの曲面上の点を入力とするスカラー場と考えられるので :<math>\varphi=\varphi(\boldsymbol{r})</math> 面素は :<math>dS=\sqrt{EG-F^2}dtdu=\sqrt{\left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \right\|^2\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2 - \left( \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \right)^2 } dtdu</math> 総合すると、<math>S</math>に沿った積分というものは曲面のパラメータを用いて :<math>\iint_D \varphi(\boldsymbol{r}(t,u))\sqrt{\left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \right\|^2\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2 - \left( \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \right)^2 } dtdu</math> と表示されることになる。 これをスカラー場<math>\varphi</math>の<math>S</math>に沿った'''面積分'''（曲面積分、surface integral）という。 今は三次元空間の場合を考えているので、外積を用いて :<math>\iint_D \varphi(\boldsymbol{r}(t,u))\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\times\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\| dtdu</math> と表示しても良い。 スカラー場の面積分は :<math>\iint_S \varphi dS</math> のように略記される。 特に積分領域が閉曲面である場合は :<math>\oiint_S \varphi dS</math> のように書く。 1の面積分<math>\iint_S dS</math>は曲面積に等しい。 ベクトル場の線積分と同様にしてベクトル場の面積分 :<math>\iint_S \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> を考えたい。 線素ベクトルが「位置ベクトルの接線方向」で「ノルムが通常の線素と一致する」ように定義されたことを鑑みると、面素ベクトルは「位置ベクトルの法線方向」で「ノルムが通常の面素に一致する」ように定義するのが良いと考えられる。要するに、 :<math>d\boldsymbol{S}:=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\times\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math> としてみる。 ここで単位法線ベクトルを<math>\boldsymbol{n}</math>と置くと面素ベクトルは<math>\boldsymbol{n}dS</math>と表され、 :<math>\iint_S \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}=\iint_S (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n})dS</math> のようにスカラー場の面積分に帰着されることが判る。 これをベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>の<math>S</math>に沿った'''面積分'''という。 <math>\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n}</math>は<math>\boldsymbol{a}</math>から<math>S</math>の法線を横切る沿流成分を取り出していることになる。 このことから、ベクトル場の面積分を特に'''法線面積分'''（surface integral of the normal component）ということがある。 単位法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}</math>は有向曲面に対して右手系を成し、各座標軸となす角度をそれぞれ<math>\alpha, \beta, \gamma</math>とすると通常の余弦関数で表されるベクトル<math>\begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \cos \beta \\ \cos \gamma \end{pmatrix}</math>に等しい。これを'''方向余弦'''という。 方向余弦に関して、正射影を用いると以下が成り立つと判る。 :<math>\begin{cases} \cos\alpha dS = dydz \\ \cos\beta dS = dzdx \\ \cos\gamma dS = dxdy \end{cases}</math> これを用いることで、面素ベクトルは :<math>d\boldsymbol{S} = \boldsymbol{e}_x dydz + \boldsymbol{e}_y dzdx + \boldsymbol{e}_z dxdy = \begin{pmatrix} dydz \\ dzdx \\ dxdy \end{pmatrix}</math> とも表される。 故に、法線面積分は形式的に :<math>\iint_S(a_xdydz+a_ydzdx+a_zdxdy)</math> とも書ける。 線積分と同様にベクトル場と面素ベクトルの外積、面素ベクトルのスカラー場倍、ベクトル場の面素倍をとって積分することも考えられるが、応用例に乏しい。 :<math>\iint_S \boldsymbol{a}\times d\boldsymbol{S}</math> :<math>\iint_S \varphi d\boldsymbol{S}</math> :<math>\iint_S \boldsymbol{a} dS</math> これらはベクトル値である。 面素ベクトルは以下のように考えることもできる。 :平面<math>\Pi</math>上面積<math>A</math>の有界領域と<math>\Pi</math>の表向き法線<math>\boldsymbol{n}_\Pi</math>に対し、<math>\boldsymbol{A}=A\boldsymbol{n}_\Pi</math>を'''面積ベクトル'''と定義する。 :曲面<math>S</math>上の微小領域をとると曲面をその接平面で近似できるので平面上と同様にして面積ベクトルを定義できる。 :このとき、<math>A=dS</math>となるように定義した面積ベクトルが面素ベクトルである。 この考え方を用いると、 :<math>\oint_C d\boldsymbol{l}=\boldsymbol{0}</math> 及び :<math>\oiint_S d\boldsymbol{S}=\boldsymbol{0}</math> が示される。 面積分で定義される概念としては'''束'''^※（flux）が有名である。 :流体の速度場<math>\boldsymbol{v}</math>に対し、<math>\iint_S \boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{S}</math>は流束（単位時間当たりに<math>S</math>を通過する流体の流出量）である。 :磁束密度<math>\boldsymbol{B}</math>に対し、<math>\Phi_B=\iint_S \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}</math>は磁束である。 また、ガウスの法則も面積分で示される。 :ガウス面<math>S</math>が囲む電荷の総量を<math>q_\mathrm{inc}</math>とすると電束密度<math>\boldsymbol{D}</math>に対して ::<math>\oiint_S \boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{S}=q_\mathrm{inc}</math> <small>※数学界・物理界で「束」と呼ばれる対象は複数存在する。和訳されるときに「束」が充当されたものはここで扱う「flux」の他に「bundle（ファイバー束など）」「lattice（[[束論]]の束）」「pencil（円束など）」「packet（波束など）」がある。</small> <math>S</math>が表向きにパラメトライズされたとき、裏向きにパラメトライズされた曲面を<math>-S</math>と表した。 同じ向きを向く2つの曲面<math>S_1</math>と<math>S_2</math>の境界が一致するとき、これを一つの曲面と見做して曲面の和 :<math>S_1+S_2</math> が定義される。 これを'''区分的に定義された曲面'''という。 <math>S</math>が'''区分的に滑らか'''であるとは、<math>S</math>が有限個の滑らかな曲面の和であることである。 これらを踏まえると、面積分には以下の性質が成り立つ。 #スカラー場 #:<math>\iint_S (k\varphi+l\psi) dS=k\iint_S \varphi dS + l \iint_S \psi dS</math> #:<math>\iint_{-S}\varphi dS = \iint_S \varphi dS</math> #:<math>\iint_{S_1+S_2}\varphi dS = \iint_{S_1}\varphi dS + \iint_{S_2}\varphi dS</math> #ベクトル場 #:<math>\iint_S (k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})\cdot d\boldsymbol{S}=k\iint_S \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}+l\iint_S \boldsymbol{b}\cdot d\boldsymbol{S}</math> #:<math>\iint_{-S}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S} = -\iint_S \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> #:<math>\iint_{S_1+S_2}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S} = \iint_{S_1}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S} + \iint_{S_2}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> 1番目の性質は線型性である。2番目の性質から、スカラー場の面積分に関しては任意の再パラメトライズ、ベクトル場の面積分に関しては向き付けを保つ再パラメトライズに対して面積分の値が保存されることが判る。 等位面に対する面積分を考える。曲面<math>S</math>がスカラー場<math>\omega</math>の等位面であるとき、その単位法線ベクトルは勾配を用いて :<math>\boldsymbol{n}=\pm\frac{\nabla\omega}{\|\nabla\omega\|}</math> と表される。右手系で考えるので正符号を採る。 等位面の方程式<math>\omega(x,y,z)=c</math>に対して陰関数定理が成り立つとすると陰関数<math>z=\psi(x,y)</math>を用いて<math>S:\boldsymbol{r}(x,y)=\begin{pmatrix} x \\ y \\ \psi(x,y) \end{pmatrix}\quad {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in D</math>というモンジュ表示に落ちる。 よって :<math>dS=\sqrt{1+\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)^2}dxdy</math> と :<math>\boldsymbol{n}=\frac{\nabla\omega}{\|\nabla\omega\|}</math> を用いて :<math>\int_S \varphi dS = \int_D \varphi(x,y,\psi(x,y))\sqrt{1+\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)^2}dxdy</math> :<math>\int_S \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S} = \int_D \boldsymbol{a}(x,y,\psi(x,y))\cdot\frac{\nabla\omega(x,y,\psi(x,y))}{\|\nabla\omega(x,y,\psi(x,y))\|}\sqrt{1+\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)^2}dxdy</math> を得る。 ===体積分=== 三次元空間の中では曲がった三次元空間を考えることはできない。そのため、以下の議論は平坦な三次元空間での話になる。 曲線長の微小量であった線素・曲面積の微小量であった面素と同様にして立体積の微小量について考えてみる。 立体<math>V</math>を微小立体に分割した体積を<math>\Delta V_i</math>としたとき、線積分・面積分が正式には区分求積法で定義されたようにリーマン和の極限 :<math>\lim_{\Delta V_i\to0}\sum_i \varphi(x_i, y_i, z_i)\Delta V_i</math> で与えられる積分を考えたい。 これは多変数解析で行った議論と同様にして三変数関数の三重極限へと帰着されるが、三重極限は飛ばす順番を入れ替えられるとは限らないためこの極限値を求めることは困難である。 そこで、以下のように考える。 微小立体はどのような分割の仕方であっても直方体で近似できる（曲面上微小領域を平面上平行四辺形で近似したことからの類推）。このとき、微小体積<math>dV</math>は各辺の長さが<math>dx, dy, dz</math>であると考えることができる。故に、直方体の体積公式を用いて :<math>dV=dxdydz</math> これを'''体素'''（体積素・体積要素）という。 故に、求める積分は :<math>\lim_{\Delta V_i\to0}\sum_i \varphi(x_i, y_i, z_i)\Delta V_i=\iiint_V \varphi(x,y,z) dxdydz</math> という三重積分に帰着される。 これをスカラー場の<math>V</math>に沿った'''体積分'''（volume integral）という。 スカラー場の体積分は :<math>\iiint_V \varphi dV</math> のように略記される。 特に、積分領域が閉集合（'''閉立体'''）である場合は :<math>\oiiint_V \varphi dV</math> のように書く。 1の体積分<math>\iiint_V dV</math>は立体積に等しい。 <math>V</math>のベクトル表示が<math>\boldsymbol{r}(s,t,u)=\begin{pmatrix} x(s,t,u) \\ y(s,t,u) \\ z(s,t,u) \end{pmatrix} \quad {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} s \\[-6pt] t \\[-6pt] u\end{array}\right)} \in D</math>である場合は、多変数解析の議論により :<math>\iiint_V \varphi dV = \iiint_D \varphi(\boldsymbol{r}(s,t,u)) \left|\det \frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(s,t,u)}}\right| dsdtdu</math> であると容易に判る。 立体に対しては曲線に於ける接線、曲面に於ける法線のような「ベクトル表示から求められる、積分領域の向きを指定するための方向」が一意には存在しない。そのため、体素ベクトルというものは考えない。 故に、ベクトル場の体積分は :<math>\iiint_V \boldsymbol{a}dV</math> の一種類のみである。 体積分を用いて表される概念としては、電荷が有名である。 :電荷密度<math>\rho(x,y,z)</math>に対し、領域<math>V</math>内にある電荷の総量は ::<math>q=\iiint_V \rho(x,y,z)dV</math> また、電荷分布に於ける電気双極子モーメントは ::<math>\boldsymbol{p}=\iiint_V \rho\boldsymbol{r} dV</math> というベクトル場の体積分で定義される。 更に、以下のような概念も定義されている。 :物体の質量<math>m</math>、密度<math>\rho</math>とすると質量中心ベクトルは ::<math>\boldsymbol{r}_G=\frac{1}{m}\iiint_V \rho\boldsymbol{r}dV</math> :電磁場の真空での運動量は ::<math>\boldsymbol{P}=\frac{1}{c^2}\iiint_V \boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}dV</math> 2つの立体<math>V_1</math>と<math>V_2</math>の境界が一致するとき、これを一つの立体と見做して立体の和 :<math>V_1+V_2</math> が定義される。 これを'''区分的に定義された立体'''という。 <math>V</math>が'''区分的に滑らか'''であるとは、<math>V</math>が有限個の滑らかな立体の和であることである。 これらを踏まえると、体積分には以下の性質が成り立つ。 #スカラー場 #:<math>\iiint_V (k\varphi+l\psi) dV=k\iiint_V \varphi dV + l \iiint_S \psi dV</math> #:<math>\iiint_{V_1+V_2}\varphi dV = \iiint_{V_1}\varphi dV + \iiint_{V_2}\varphi dV</math> #ベクトル場 #:<math>\iint_V (k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})dV=k\iiint_V \boldsymbol{a}dV+l\iiint_V \boldsymbol{b}dV</math> #:<math>\iiint_{V_1+V_2}\boldsymbol{a}dV = \iiint_{V_1}\boldsymbol{a} dV + \iiint_{V_2}\boldsymbol{a}dV</math> ===積分定理=== ここでは、空間積分に関する種々の定理を紹介する。 体積分 :<math>\iiint_V \varphi dV=\iiint_V \varphi dxdydz</math> に於いて、スカラー場<math>\varphi</math>がスカラー場<math>f</math>のある積分変数に関する偏導関数になっている場合を考える。 例えば<math>\varphi=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}</math>の場合を考えると :<math>\iiint_V \varphi dV = \iiint_V \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dxdydz</math> であり、 :<math>V=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} \vartheta(y,z) \leq x \leq \eta(y,z) \\ {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} y \\[-6pt] z \end{array}\right)} \in D \end{array} \right\}</math> とすると :<math>=\iint_D \left( \int_{\vartheta(y,z)}^{\eta(y,z)} \frac{\partial{f}}{\partial{x}} dx \right) dydz</math> 偏微分に関する微分積分学の基本定理より :<math>=\iint_D \{ f(\eta(y,z),y,z)-f(\vartheta(y,z),y,z) \} dydz</math> ここで、曲面<math>S_\eta:x=\eta(y,z), S_\vartheta:x=\vartheta(y,z)</math>の面素ベクトルについて考えてみる。<br/> <math>S_\eta</math>の接ベクトルは :<math>\frac{\partial{\eta}}{\partial{y}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_y, \frac{\partial{\eta}}{\partial{z}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_z</math> の2つなので、面素ベクトルは<math>x</math>軸正方向にとると :<math>d\boldsymbol{S}_\eta=\left(\frac{\partial{\eta}}{\partial{y}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_y\right)\times\left( \frac{\partial{\eta}}{\partial{z}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_z\right)=\left( \boldsymbol{e}_x - \frac{\partial{\eta}}{\partial{y}}\boldsymbol{e}_y - \frac{\partial{\eta}}{\partial{z}}\boldsymbol{e}_z \right)dydz</math> :<math>\therefore \boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\eta=dydz</math> :<math>\therefore \iint_{S_\eta} f\boldsymbol{e}_x \cdot d\boldsymbol{S}_\eta=\iint_D f(\eta(y,z),y,z)dydz </math> <math>S_\vartheta</math>の接ベクトルは :<math>\frac{\partial{\vartheta}}{\partial{y}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_y, \frac{\partial{\vartheta}}{\partial{z}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_z</math> の2つなので、面素ベクトルは<math>x</math>軸負方向にとると :<math>d\boldsymbol{S}_\vartheta=\left( \frac{\partial{\vartheta}}{\partial{z}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_z\right)\times\left(\frac{\partial{\vartheta}}{\partial{y}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_y\right)=\left(-\boldsymbol{e}_x + \frac{\partial{\vartheta}}{\partial{y}}\boldsymbol{e}_y + \frac{\partial{\vartheta}}{\partial{z}}\boldsymbol{e}_z \right)dydz</math> :<math>\therefore \boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\vartheta=-dydz</math> :<math>\therefore \iint_{S_\vartheta} f\boldsymbol{e}_x \cdot d\boldsymbol{S}_\vartheta=-\iint_D f(\vartheta(y,z),y,z)dydz </math> また、<math>S_\vartheta, S_\eta</math>を<math>V</math>の底面とみたときの側面<math>S_\mathrm{side}</math>は接平面に<math>\boldsymbol{e}_x</math>を含むので法線は<math>x</math>軸に垂直であり、 :<math>\boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\mathrm{side}=0</math> :<math>\therefore \iint_{S_\mathrm{side}}f\boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\mathrm{side}=0</math> よって :<math>\iint_D \{f(\eta(y,z),y,z) - f(\vartheta(y,z),y,z) \}dydz=\iint_{S_\eta} f \boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\eta + \iint_{S_\mathrm{side}} f \boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\mathrm{side} + \iint_{S_\vartheta} f \boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\vartheta</math> :<math>=\oiint_{\partial{V}}f\boldsymbol{e}_x \cdot d\boldsymbol{S}</math> ここで<math>\varphi=\frac{\partial{g}}{\partial{y}},\quad \varphi=\frac{\partial{h}}{\partial{z}}</math>の場合も同様の議論により :<math>\iiint_V \frac{\partial{g}}{\partial{y}} dV = \oiint_{\partial{V}} g\boldsymbol{e}_y \cdot d\boldsymbol{S}</math> :<math>\iiint_V \frac{\partial{h}}{\partial{z}}dV = \oiint_{\partial{V}} h\boldsymbol{e}_z\cdot d\boldsymbol{S}</math> と判るので、3式を足し合わせて :<math>\iiint_V \left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}+\frac{\partial{h}}{\partial{z}}\right)dV=\oiint_{\partial{V}} (f\boldsymbol{e}_x+g\boldsymbol{e}_y+h\boldsymbol{e}_z)\cdot d\boldsymbol{S}</math> ここで曲面<math>\partial{V}</math>の外向き法線の方向余弦を<math>\begin{pmatrix} l \\ m \\ n \end{pmatrix}</math>と置くと最終的に :<math>\iiint_V \left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}+\frac{\partial{h}}{\partial{z}}\right)dV=\oiint_{\partial{V}} (fl+gm+hn)dS</math>となる。 これを'''ガウス=グリーンの定理'''という。 更に、<math>\boldsymbol{a}(x,y,z)=\begin{pmatrix} f(x,y,z) \\ g(x,y,z) \\ h(x,y,z) \end{pmatrix}</math>と定義すると :<math>\iiint_V\left( \frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{a_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}} \right)dV=\oiint_{\partial{V}} ( a_x\boldsymbol{e}_x+a_y\boldsymbol{e}_y+a_z\boldsymbol{e}_z )\cdot d\boldsymbol{S}</math> 則ち :<math>\iiint_V \nabla\cdot\boldsymbol{a} dV = \oiint_{\partial{V}}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> を得る。 これを'''ガウスの発散定理'''という。 {{定理|(ガウスの発散定理)}} 有界領域<math>V\subset\mathbb{R}^3</math>の境界<math>\partial{V}</math>が区分的に滑らかな閉曲面をなすとき、開集合<math>U \supset V^-</math>上で定義される<math>C^1</math>級ベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>に対して :<math>\iiint_V \nabla\cdot\boldsymbol{a}dV = \oiint_{\partial{V}} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> {{定理終わり}} 平面上で円弧を睨む扇形の中心角を円弧の弧長によって定義したのが弧度法であった。これを三次元に拡張することを考える。 半径1の球の中心を頂点とする円錐を考えたとき、円錐と球面の4つの交点が球面から切り取る有界曲面の曲面積を'''立体角'''と定義する。 この定義を利用して、向き付けられた有界曲面<math>S</math>に対する立体角も定義される。 :球の中心<math>\mathrm{O}</math>から<math>S</math>を眺めたとき、<math>\mathrm{O}</math>と<math>S</math>の頂点を結ぶ直線が<math>\mathrm{O}</math>を中心とする単位球面から切り取る曲面の面積<math>\Omega</math>を、「<math>\mathrm{O}</math>から見る<math>S</math>の立体角」という。但し、<math>\mathrm{O}</math>が<math>S</math>の裏側にいるとき正符号、表側にいるとき負符号とする。 立体角は物理的に無次元量であるが、弧度と同様に'''ステラジアン'''[sr]という単位が付されている。一般に半径<math>r</math>の球面で考えるときは、<math>\Omega</math>を<math>r^2</math>で除した値が立体角である。弧度と同様に、半径0のときは立体角を考えない。 単位球面の表面積は<math>4\pi</math>なので、立体角<math>\Omega</math>の範囲は<math>[-4\pi, 4\pi]</math>である。 <math>S</math>上の各点で面素ベクトルと位置ベクトル<math>\boldsymbol{r}</math>のなす角を<math>\theta</math>とする。このとき、面素<math>dS</math>に対して :<math>d\Omega = \frac{\cos\theta}{\|\boldsymbol{r}\|^2}dS</math> という微小量に関する等式が成り立つ。 書き換えると :<math>d\Omega = \frac{\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^3}\cdot d\boldsymbol{S}</math> これを積分してやれば立体角の表式を得る。 :<math>\Omega(S)=\iint_S \frac{\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^3}\cdot d\boldsymbol{S}</math> 閉曲面に対する立体角を考える。閉曲面の囲む領域を<math>V</math>とする。 立体角の中心<math>\mathrm{O}</math>が閉曲面の外にある場合、発散定理を用いて :<math>\Omega(S)=\oiint_S \frac{\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^3}\cdot d\boldsymbol{S}</math> :<math>=-\oiint_S \mathrm{grad}\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|} \cdot d\boldsymbol{S}</math> :<math>=-\iiint_V \mathrm{div}\left(\mathrm{grad}\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}\right)dV</math> :<math>=-\iiint_V \text{∆}\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|} dV</math> :<math>=0</math> である。 則ち、'''閉曲面外部から測った全体の立体角は常に0'''である。 ここで、球面座標に於ける公式 :<math>\mathrm{grad}\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}=-\frac{\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^3}</math> :<math>\text{∆}\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}=0</math> を使用した。 これは<math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>と置いて直交座標で計算すれば容易に証明される。 立体角の中心<math>\mathrm{O}</math>が閉曲面の中にある場合、<br/>閉球<math>V':B^-_\varepsilon(\mathrm{O})</math>とその境界<math>S'=\partial{V'}</math>を考えると<math>V\setminus V'</math>は境界がいずれも閉曲面で<math>\mathrm{O}</math>を内部に含まないので上の議論より立体角は0であり、 :<math>\Omega(S)=\Omega(S')</math> が成り立つ。 また、<math>S'</math>は<math>\mathrm{O}</math>を中心とする球面なので :<math>\Omega(S')=4\pi</math> である。 則ち、'''閉曲面内部から測った全体の立体角は形状に依らず<math>4\pi</math>'''である。 物理的な例として、クーロンの法則の比例定数<math>k=\frac{1}{4\pi\varepsilon}</math>の<math>4\pi</math>は閉曲面内部から測った全体の立体角を表している。 発散定理を利用することで、勾配・発散・回転をそれぞれ空間積分を用いた形に直すことができる。 先ずは、勾配を考える。 :<math>\iiint_V \nabla\cdot\boldsymbol{a}dV = \oiint_{\partial{V}} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> で<math>\boldsymbol{a}=\varphi\boldsymbol{c}</math>としてみると :<math>\iiint_V \nabla\cdot(\varphi\boldsymbol{c})dV = \oiint_{\partial{V}}\varphi \boldsymbol{c}\cdot d\boldsymbol{S}</math> ここで :<math>\nabla \cdot (\varphi\boldsymbol{c})=(\nabla\varphi)\cdot\boldsymbol{c}</math> なので :<math>\iiint_V \boldsymbol{c}\cdot\nabla\varphi dV=\oiint_{\partial{V}}\varphi\boldsymbol{c}\cdot d\boldsymbol{S}</math> 移項して内積を前に出すと :<math>\boldsymbol{c}\cdot\left( \iiint_V \nabla\varphi dV -\oiint_{\partial{V}} \varphi d\boldsymbol{S} \right)=0</math> これが<math>\boldsymbol{c}</math>の恒等式なので :<math>\iiint_V \nabla\varphi dV = \oiint_{\partial{V}}\varphi d\boldsymbol{S}</math>・・・(♪) ここで点<math>\mathrm{P}\in V</math>と有界立体<math>V_0(\ni\mathrm{P}) \subset V</math>に対して<math>V_\varepsilon:=\left\{ \overrightarrow{\mathrm{OP}}+\varepsilon\boldsymbol{x} \bigg| \boldsymbol{x} \in V_0 \right\}</math>を考えると、<math>\mathrm{P}</math>の<math>\varepsilon</math>-開近傍で<math>\varphi\in C^1</math>ならば :<math>\lim_{|V_\varepsilon|\to0}\frac{1}{|V_\varepsilon|}\iiint_{V_\varepsilon} \nabla\varphi dV=\nabla \varphi</math> なので、(♪)を適用して :<math>\nabla\varphi = \lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{1}{|V_\varepsilon|}\oiint_{\partial{V_\varepsilon}}\varphi d\boldsymbol{S}</math> を得る。 これを'''勾配の積分形'''という。 ここで、右辺は座標系の取り方に依らず同じ値に収束するので、'''勾配が座標系に依存しない'''ことが判る。これは「どの基底で成分表示しようが同じ勾配ベクトルを表せる」ことに対応する。 上の導出に関係して、以下が成り立つ。 {{定理|(体積分の平均値の定理)}} 場を<math>\mathfrak{X}</math>としたとき、体積平均<math>\langle\mathfrak{X}\rangle</math>に対して<math>\langle\mathfrak{X}\rangle\in\mathfrak{X}(V)</math>ならば :<math>\iiint_{V}\mathfrak{X}(\mathrm{P})dV = |V|\, \mathfrak{X}(\mathrm{M})</math> なる点<math>\mathrm{M}\in V</math>が存在する。 {{定理終わり}} 次に、発散について考える。 勾配と同様に<math>V_\varepsilon</math>を考えると :<math>\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{1}{|V_\varepsilon|}\iiint_{V_\varepsilon} \nabla\cdot\boldsymbol{a} dV=\nabla\cdot\boldsymbol{a}</math> を得るので、発散定理を適用して :<math>\nabla\cdot\boldsymbol{a}=\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{1}{|V_\varepsilon|}\oiint_{\partial{V_\varepsilon}} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> となる。 これを'''発散の積分形'''という。 勾配と同様に'''発散が座標系に依存しない'''ことが判る。 ここで流体の速度場<math>\boldsymbol{v}</math>について考えると :<math>\iint_S \boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{S}</math> とは<math>S</math>を貫く流束だったので、<br/> 発散は物理的には'''単位体積あたりの束'''を表していることが判った。 最後に、回転について考える。 :<math>\iiint_V \nabla\cdot\boldsymbol{a}dV = \oiint_{\partial{V}} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> で<math>\boldsymbol{a}=\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{c}</math>としてみると :<math>\iiint_V \nabla\cdot(\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{c})dV = \oiint_{\partial{V}}(\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{c})\cdot d\boldsymbol{S}</math> ここで :<math>\nabla \cdot (\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{c})=(\nabla\times\boldsymbol{\alpha})\cdot\boldsymbol{c}</math> :<math>(\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{c})\cdot d\boldsymbol{S}=-\boldsymbol{c}\cdot(\boldsymbol{\alpha} \times d\boldsymbol{S})</math> なので :<math>\iiint_V \boldsymbol{c}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{\alpha}) dV=-\oiint_{\partial{V}}\boldsymbol{c}\cdot (\boldsymbol{\alpha} \times d\boldsymbol{S})</math> 移項して内積を前に出すと :<math>\boldsymbol{c}\cdot\left( \iiint_V \nabla\times\boldsymbol{\alpha} dV +\oiint_{\partial{V}} \boldsymbol{\alpha} \times d\boldsymbol{S} \right)=0</math> これが<math>\boldsymbol{c}</math>の恒等式なので :<math>\iiint_V \nabla\times\boldsymbol{\alpha} dV = -\oiint_{\partial{V}} \boldsymbol{\alpha} \times d\boldsymbol{S}</math> あとは勾配・発散と同様にして :<math>\nabla\times\boldsymbol{\alpha}=-\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{1}{|V_\varepsilon|}\oiint_{\partial{V}_\varepsilon}\boldsymbol{\alpha}\times d\boldsymbol{S}</math> を得る。 これを'''回転の積分形'''という。<math>\nabla\times\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha}\times d\boldsymbol{A}</math>とも軸性ベクトルであるので座標変換に対して両辺の符号変化は一致し、同様に'''回転が座標系に依存しない'''ことが判る。 平面のグリーンの定理（二次元のガウスの定理との同値性） ストークスの定理 グリーンの第一定理（部分積分公式） グリーンの第二定理（ポアソンの公式） グリーンの定理 ポホザエフの恒等式 ポアンカレの補題再考 パップス=ギュルダンの定理 ラプラス場の解析（「調和関数の法線方向微分の面積分は0」「グリーンの第二定理の右辺=0」「調和関数の点mでの値は半径に依らずmを中心とした球内に於ける調和関数の平均値」「定数関数でない調和関数は最大値も最小値も持たない」「閉曲面上で定数関数である調和関数は閉曲面が囲む領域の至る所で定数関数」「ラプラス方程式のディリクレ問題の解は一意」「調和関数の境界に於ける法線方向微分が0なら立体内で至る所で定数関数」「ラプラス方程式の2解の境界上法線方向微分が一致するならその差は定数」） ==発展事項== {{節stub}} {{Advanced|多様体論}} {{Advanced|微分幾何学}} {{Advanced|積分幾何学}} ここではベクトル解析の発展編及び微分幾何学の基礎編として、「ユークリッド空間の部分多様体上の微分幾何学」を扱う。言うなれば「<math>n</math>次元版のベクトル解析学」である。 ===体積分再考=== 体積分は先程「<math>\mathbb{R}^3</math>上の閉立体<math>V</math>」上で考えたが、実はここには線積分・面積分との大きな非対称性がある。 線積分は「曲線」、面積分は「曲面」を積分領域としたが、先程定義した体積分の積分領域は「平坦な立体」なのである（二次元で例えば楕円領域<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq1</math>は境界こそ"曲線"だが空間そのものは<math>\mathbb{R}^2</math>という"平面"であることと同じ）。 1次元の曲がった空間である曲線<math>M^1:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>が<math>\mathbb{R}^2</math>内、2次元の曲がった空間である曲面<math>M^2:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s, t)</math>が<math>\mathbb{R}^3</math>内に存在するように、3次元の曲がった空間である曲立体<math>M^3:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s, t, u)</math>は<math>\mathbb{R}^4</math>内に存在すると考えるのが自然である。ここで一般に<math>M^n\subset\mathbb{R}^{n+1}</math>が成り立つと予想され、この関係を「<math>M^n</math>の<math>\mathbb{R}^{n+1}</math>への'''埋め込み'''」と呼ぶことにする。 線積分を<math>C=M^1</math>、面積分を<math>S=M^2</math>で定義したように、体積分を<math>M^3</math>で定義することを考える。 媒介変数空間<math>\begin{pmatrix} s \\ t \\ u \end{pmatrix} \in V \subset\mathbb{R^3}</math>上の微小変化を考えると全微分を用いて :<math>d\boldsymbol{r}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}}ds+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math> よって<math>V</math>上の微小立方体<math>dsdtdu</math>は3ベクトル<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}}ds,\quad\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt,\quad\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math>の張る微小平行六面体へ移される。 体素はこの微小平行六面体の体積と考えられるが、<math>\boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^4</math>より当然この3ベクトルは4項ベクトルなので、'''外積を含んでいるスカラー三重積は使えない'''。 全微分を一次変換表記すると :<math>d\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} \frac{\partial{x}}{\partial{s}} & \frac{\partial{x}}{\partial{t}} & \frac{\partial{x}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{y}}{\partial{s}} & \frac{\partial{y}}{\partial{t}} & \frac{\partial{y}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{z}}{\partial{s}} & \frac{\partial{z}}{\partial{t}} & \frac{\partial{z}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{w}}{\partial{s}} & \frac{\partial{w}}{\partial{t}} & \frac{\partial{w}}{\partial{u}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> :<math>=\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> ここでヤコビ行列は<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\in\mathbb{R}^{4\times3}</math>であって'''正方行列でないので行列式も求まらない'''。 そこで、[[線型代数学続論/種々の行列#随伴行列|グラム行列]]を利用することを考える。 '''グラム行列は必ず半正定値行列'''なので行列式は非負であり、平方根をとれる。 そのため、<math>\mathbf{G}:=\left(\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\right)^*\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}</math>として<math>\sqrt{\det\mathbf{G}}</math>を体積拡大率とする。 これは正方行列ならヤコビアンの絶対値に一致する。 {{NavTop|title=補足：体積拡大率に一致する証明}} :<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}</math>の列ベクトルにグラム=シュミットの直交化法を適用すると[[線型代数学続論/行列分解|QR分解]]によって :<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}=\mathbf{QR}\quad (\mathbf{Q}\in\mathbb{R}^{4\times3}, \mathbf{R}\in\mathbb{R}^{3\times3})</math> よって :<math>\mathbf{G}=(\mathbf{QR})^*\mathbf{QR}</math> :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{Q}^*\mathbf{Q}\mathbf{R}</math> :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{E}_3\mathbf{R}</math>（<math>\because\mathbf{Q}</math>は列ユニタリ行列） :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{R}</math> :<math>\therefore \sqrt{\det\mathbf{G}}=\sqrt{\det\left( \mathbf{R}^*\mathbf{R} \right)}=\sqrt{\left(\det\mathbf{R}\right)^2}=|\det\mathbf{R}|</math> <math>\mathbf{Q}</math>は列ユニタリ行列なのでその一次変換は等長変換であり、全微分による拡大率は<math>\mathbf{R}</math>による拡大率と一致する。<br/> 則ち、<math>\sqrt{\det\mathbf{G}}</math>を拡大率としてとれる。// {{NavBottom}} よって体積分は :<math>\iiint_{M^3} f(\boldsymbol{r})dM^3 = \iiint_{V} f(\boldsymbol{r}(s, t, u))\sqrt{\det\mathbf{G}}\,dsdtdu</math> ここから、適切な媒介変数表示が存在するならば<math>M^n</math>上での体積分の計算に<math>\mathbb{R}^{n+1}\setminus M^n</math>の情報は入ってこず、<math>M^n</math>の情報のみで計算されると予想される。 実際、<math>M^n</math>に適切な媒介変数表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{p})\quad(\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^n)</math>が存在するとき、全微分による一次変換の拡大率は同様にグラム行列式の平方根で与えられるので体積素は<math>dM^n = \sqrt{\det\mathbf{G}} \prod_{k=1}^{n}d\boldsymbol{p}_k</math>と書け、これは正しい。 なお、二次元の場合を考えると<math>\mathbf{G}=\mathbf{K}</math>より<math>dM^2=dS</math>であり、面素に一致する。一次元の場合を考えると<math>\mathbf{G}=\|d\boldsymbol{r}\|^2</math>より<math>dM^1=dl</math>であり、線素に一致する。 実は、体素だけでなく一般に角度や長さといった幾何学的な量は埋め込み先である<math>\mathbb{R}^{n+1}</math>の情報を全く必要とせず、<math>M^n</math>の情報だけで構成できることが知られている。このことは微分幾何学のうち[[w:リーマン幾何学|リーマン幾何学]]と呼ばれる分野で詳しく扱われる。 ここまで<math>M^n</math>を適切な媒介変数<math>\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^n</math>で表すことを強調してきたが、媒介変数表示を考えるということは<math>M^n</math>から媒介変数空間<math>U\subset\mathbb{R}^n</math>への射影<math>\pi:M^n\to U</math>を考えるということである。 ここで、この<math>\pi</math>が全単射ならば逆向きの射影<math>\pi^{-1}:U\to M^n</math>が存在してそれが媒介変数表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{p})</math>となるわけであるが、これは以下のようにも捉えられる。 :<math>\pi</math>によって射影した平坦な空間で座標を設定すると、'''適切な逆変換^※によって曲がった空間<math>M^n</math>上に(局所)座標系を与えることができる'''。 つまり、体積分を媒介変数空間に置換積分するということは、逆に体積分の元の表示が「<math>M^n</math>上の局所座標系に於ける積分」であることを示している。 ※この適切な逆変換が存在する条件は'''陰関数定理そのもの'''である。 ここで、適切な媒介変数表示が存在するよう<math>M^n</math>に制限を課したものが、以下で扱う'''多様体'''である。 ===多様体=== ===微分形式=== [[線型代数学続論/外積代数]]も参照。 ===リーマン計量=== ===テンソル解析=== [[線型代数学続論/テンソル代数]]も参照。 ===複素ベクトル解析=== [[複素解析学]]も参照。 {{DEFAULTSORT:へくとるかいせき}} [[Category:解析学]] [[Category:微分積分学]] [[Category:ベクトル解析|かいせきかくきそ]] ch8m38pwu78subnpedxkrd2x5jwdi9z 0 48933 305114 303861 2026-10-24T08:33:53Z BrassSnail 71325 /* 沙流方言 */ 表現のバリエーションを追加 305114 wikitext text/x-wiki [[アイヌ語]] > 定型文 > 自己紹介 相手に名前を尋ねるときや、名前を訊かれたときに答えるような場面で、アイヌ語ではどのように訊いたり答えたりすればよいのでしょうか。 == 沙流方言 == <big>{{lang|ain|Mak e{{=}}rehe an? / e=rehe makanak an?}}　「名前は？」</big> 相手に名前を尋ねるときは、「{{lang|ain|Mak e{{=}}rehe an?}}」または「<span lang="ain-Latn" dir="ltr">e=rehe makanak an?</span>」と言います。 <big>――{{lang|ain|Taro sekor ku{{=}}rehe an.}}　「太郎です。」</big> 名前を訊かれたときに答えるときは、「(名前) {{lang|ain|sekor ku{{=}}rehe an.}}」と言います。 == 参考文献 == * [https://www.ff-ainu.or.jp/web/potal_site/details/post.html アイヌ語教材テキスト | アイヌ語ポータルサイト | 公益財団法人アイヌ民族文化財団] * [https://ainugo.nam.go.jp 国立アイヌ民族博物館アイヌ語アーカイブ] [[カテゴリ:アイヌ語]] ejg50u0b3w0emjrl48vy3c64pz2gc21 305115 305114 2026-10-24T08:35:32Z BrassSnail 71325 /* 沙流方言 */ 305115 wikitext text/x-wiki [[アイヌ語]] > 定型文 > 自己紹介 相手に名前を尋ねるときや、名前を訊かれたときに答えるような場面で、アイヌ語ではどのように訊いたり答えたりすればよいのでしょうか。 == 沙流方言 == <big>'''{{lang|ain|Mak e{{=}}rehe an? / e{{=}}rehe makanak an?}}　「名前は？」'''</big> 相手に名前を尋ねるときは、「{{lang|ain|Mak e{{=}}rehe an?}}」または「<span lang="ain-Latn" dir="ltr">e=rehe makanak an?</span>」と言います。 <big>'''――{{lang|ain|Taro sekor ku{{=}}rehe an.}}　「太郎です。」'''</big> 名前を訊かれたときに答えるときは、「(名前) {{lang|ain|sekor ku{{=}}rehe an.}}」と言います。 == 参考文献 == * [https://www.ff-ainu.or.jp/web/potal_site/details/post.html アイヌ語教材テキスト | アイヌ語ポータルサイト | 公益財団法人アイヌ民族文化財団] * [https://ainugo.nam.go.jp 国立アイヌ民族博物館アイヌ語アーカイブ] [[カテゴリ:アイヌ語]] 5ovsnw72z3rw6ay4wmr6c3ezg3rxei6 0 48934 305106 305100 2026-10-24T00:37:39Z Kwawe 68789 /* 新しい世界を目指して */ ２０１６年の障害者差別解消法を導入してから一般国民も障害だけを理由に差別出来なくなった。２０２４年、障害者本人の状況に応じて事業者側が手伝うように改正障害者差別解消法で定められた（合理的配慮）。２０２４年、役所・ＮＰＯ・民間企業が社会的孤立者を見つけ、相談先・各種支援へ繋ぐようになった（孤独・孤立対策推進法）。 305106 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>[[高等学校日本史探究]]>新たな世紀の日本へⅣ 本節は国民生活文化史などについて詳しく記します。 == 新しい世界を目指して == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。 ２０世紀後期から２１世紀初期にかけて、日本社会は大きく変わりました。ＮＰＯ（民間非営利組織）法人が増え、会社・役所だけでなく、市民も社会活動へ参加出来るようになりました。一方、少子高齢化と人口減少・家族の変化・働き方の変化・外国人の増加・情報通信技術の拡大・環境問題・エネルギー問題・自然災害・収入の差・生活の差・差別・海外の戦争・近隣諸国の対立などが日本の暮らしにかかわるようになりました。 冷戦終結後、軍隊用のインターネットが一般用に代わって、企業・家庭で一気に広がりました。また、半導体技術向上と通信機器の高性能化から情報通信環境を大きく変えました。１９９０年代、パーソナルコンピュータが一般家庭へ広がりました。パーソナルコンピュータ世帯普及率は１９９６年に２０％、２００６年に８０％を超えました。インターネットの世帯利用率も２００２年に８０％を超えました。このように一般家庭へパーソナルコンピュータとインターネットが入ると、わざわざ図書館に行かなくても家庭内で必要な情報を探したり、遠くの相手とすぐに情報をやり取りしたり出来るようになりました。 大半の国民が携帯電話も同時期に持つようになりました。１９８７年、一般向け携帯電話が店に並び始めました。１９９０年代末以降、インターネットを携帯電話でも使えるようになり、若者を中心にインターネット利用者が増えました。２０００年、携帯電話契約数が固定電話契約数を上回りました。高速・大容量通信の整備が２０００年代に整えられ、文字・音楽・映像をインターネットで楽しめるようになりました。テレビでもデジタル化が進み、地上デジタルテレビ放送が始まりました。２０１１年、東日本大震災の一部被災地域を除いて、地上テレビ放送がアナログ放送からデジタル放送へ切り替わりました。 ２０００年代後半以降、スマートフォンは若者を中心に急速に広まり、２０１０年代から日常生活に欠かせない道具の１つになりました。スマートフォン１台で通話・通信・音楽・写真・動画・ゲームなどを出来るようになり、国民の日常生活が大きく変わりました。一方、新聞購読者を減らしました。情報発信の仕組みも新聞社・出版社・放送局などから国民のスマートフォンに変わり、文章・写真・映像をインターネット上に出して同じように届けられるようになりました。 コンピュータが１９９９年から２０００年へ正しく切り替わらないまま、人間の暮らしを止めてしまうかもしれないと心配されました。そのため、世界各地でコンピュータのプログラムを点検して、必要な修正を進めました。その結果、２０００年を迎えても、大規模な障害は発生しないまま終わりました。 ＳＮＳ（ソーシャルネットワークサービス）は対人関係と会話の仕方を大きく変えました。ブログ・ツイッター・フェイスブック・ラインの拡大から新聞社・テレビ局などを通さなくても政治問題と社会問題について自分の意見を書いたり、類似思想者・類似共感者と繋がったり、社会活動の参加を呼びかけたり出来るようになりました。２０２３年、ツイッターは名前をＸへ変えました。２０１７年以降、性暴力被害者・セクシャルハラスメント被害者の「＃ＭｅＴｏｏ」運動が各地へ広がりました。類似被害者がお互いの投稿を知って性暴力被害・セクシャルハラスメント被害を同じように訴えました。しかし、誹謗中傷・偽情報・誤情報・個人情報流出・著作権・情報利用の格差なども問題になりました。２０２２年、侮辱罪の法定刑が重くなり、発信者情報の開示制度も整いました。２０２５年、情報流通プラットフォーム対処法が始まり、権利侵害情報への対応と運用の透明化も求められました。 人間が細かく文章・画像を最初から作らなくても、コンピュータへ指示をしたら文章・画像・映像などを勝手に作ってくれます（生成ＡＩ）。この生成ＡＩは２０２０年代から瞬く間に広がり、各分野［労働・教育・行政など］で使われるようになりました。しかし、生成文章と生成画像の著作権・情報の信頼性・人間の創作活動との関係が新たな問題になりました。そのため、ＡＩ生成情報をそのまま鵜吞みにしないで他の一次資料と比べて本当に正しいのかを判断出来るかもこれまで以上に大切になりました。２０２５年、人工知能関連技術の研究開発及び活用の推進に関する法律（ＡＩ法）が成立しました。政府はＡＩの研究や利用を進めつつ偽情報の拡大問題・著作権問題にも対応しました。また、生成ＡＩを取り入れて行政の仕事を進めやすくしようとしました。 ２０２０年の新型コロナウイルス感染症拡大から人間は新型コロナウイルスに感染しないように、人間同士の距離を約２ｍ開けました（ソーシャルディスタンス）。学校側は分散登校を進め、教室でも席を離しました。また、緊急事態宣言で生徒が学校へ行けなくても、オンライン形式で先生の授業を行いました。会社でもテレワーク・オンライン会議が広がりました。文化・芸術分野でも映像配信が使われるようになりました。２０２３年、新型コロナウイルス感染症の感染症法上の扱いが５類感染症へ下げられ、人間生活も少しずつ以前のように戻りました。なお、現在もオンライン授業・オンライン会議の一部は使われ続けています。グローバル化は新しい感染症をどうしても短期間で海外に広げてしまいます。 情報通信環境と国際関係の変化から海外文化［テレビ番組・ファッション・食文化など］を日本で楽しめたり、国内文化［テレビ番組・ゲーム・アニメ・漫画・ファッション・食文化など］を海外でも楽しめたり出来るようになりました。国内文化は海外で広く受け入れられるようになりました。日本政府と韓国政府が１９９８年に日韓共同宣言を結ぶと、日本文化の韓国国内公開制限を少しずつ解除しました。一方、日本でも東アジア地域の音楽・ドラマ・ファッションが流行しました。歴史問題と外交問題を背景に両国間対立していても、一般国民は他国の音楽・映像作品・食文化などに親しみました。さらに日本の漫画・アニメーション・ゲームなどはインターネットの普及と動画配信サービスの拡大とも深く結びついており、作品の販売・配信などを通じて日本産業とも深く結びつくようになりました。 日本人の海外活動だけでなく、出入国管理法改正・インバウンドの増加から訪日外国人も増えました。その結果、海外の生活文化が地域社会へ入りやすくなりました。身近な国際交流は食文化と祭りから広がりました。東アジア諸国の文化交流も進み、２０２５年の大阪・関西万博は文化のボーダーレス化を進めました。国民は文化の引継ぎ・伝承を考えながら、新しい文化を作らなければなりません。 科学研究でも日本人研究者の国際的な活躍が続きました。１９９９年以前の日本人のノーベル賞受賞者は８名でした。２０００年以後の日本人のノーベル賞受賞者は２１名になりました。このうち２名はノーベル賞受賞当時にアメリカ国籍を持っていました。２０２５年、坂口志文［ノーベル生理学・医学賞］と北川進［ノーベル化学賞］がもらいました。ただし、日本経済の低迷・財政悪化から大学の研究費はあまり貰えなくなり、研究者も任期付きの研究職・特任研究員として働いていました。 関東地方の人口集中は２１世紀初頭でも続きました。しかし２００８年の１億２８０８万人を頂点に日本全体の人口は減り始めました。２００９年以後も人口減少が続きました。２０２５年の人口は１億２２９８人でした。政府の予想人口推計は２０５６年に１億人を下回り、２０７０年に８７００万人になります。６５歳以上の人口割合予想推計も２０２５年の２９．４％から２０７０年に３８．７％に増えます。 少子高齢化は家族・地域社会・経済・社会保障にも響きました。労働人口の減少から経済成長も妨げられ、税収・保険料まで減ってしまいます。その結果、社会保障制度の負担が少しずつ大きくなりました。継続的な大都市の人口集中から地方の人口が少なくなり、限界集落も増えました。１９９９年以後、市町村合併が進められ、約３２００の市町村数から２０１０年に約１７００の市町村数へ減りました。地域社会の維持は住民同士の協力だけでなく、行政の支援・民間団体の支援まで求められました。 政府は'''高齢化'''対策としてまず介護保険法〔１９９７年〕を導入して、次に公的介護保険制度〔２０００年〕を導入しました。また７５歳以上対象の後期高齢者医療制度も整えて、長期的な年金制度改革も進められました。人口減少と少子高齢化の進行から社会保障の見直しと公共サービス全体の見直しも必要になりました。 '''少子化'''も進みました。合計特殊出生率は４．５４〔１９４７年〕から１．１４〔２０２５年〕へ下がりました。出生率（人口１０００人あたりの出生数）も１７〜１９人〈高度経済成長期〉から１０人〔１９９１年〕を下回りました。生涯未婚率も上がりました。その理由として子育て費用・育児施設不足・育児制度不足・晩婚化・非婚化などが挙げられます。そのため、政府は育児休業制度・保育サービスの充実を進めました。 少子化は教育にも響きました。学校の統廃合が進んでも小学校受験生・中学校受験生を増やしました。２０１０年の中学入試のように受験年齢の低下も進みました。親が子供の教育に力を入れるようになりました。 家族の組み合わせも変わりました。性別役割分担の変化・未婚者の増加から単身世帯が増えました。政府はＬＧＢＴの戸籍問題・婚姻問題・夫婦別姓問題も話し合いました。なおＬＧＢＴは性的指向者・性自認をいい、女性同性愛者のレズビアン（Ｌ）、男性同性愛者のゲイ（Ｇ）、両性愛者のバイセクシャル（Ｂ）、性別不適合者のトランスジェンダー（Ｔ）の頭文字を組み合わせています。 １９７９年、国際連合総会は「女子に対するあらゆる形態の差別の撤廃に関する条約（女子差別撤廃条約）」を採用して、日本側も数年後に当条約を受け入れました。１９８５年、国会は男女雇用機会均等法を定めてから学校の家庭科教育も男女一緒に学べるようになりました。その後、政府は男女共同参画社会基本法〔１９９９年〕と女性活躍推進法〔２０１５年〕を定めました。 女性の働き方も広がりました。２０２５年、１５〜６４歳の女性の就業率は７５．３％になり、女性労働者も増えました。結婚しても出産しても働く女性の増加から年齢別労働力率のＭ字カーブはほぼ消えました。一方、女性の正規雇用比率は年齢とともに下がっています。現在も男女間の賃金格差と女性管理職の少なさは続いています。２０２６年、常時雇用労働者１０１人以上の企業は男女間の賃金格差を発表しなければならなくなりました。 ２０１５年、東京都渋谷区は同性カップルへパートナーシップ証明制度を始め、各自治体にも広がりました。２０２３年、国会はＬＧＢＴ理解増進法もまとめました。地方裁判所は同性同士の結婚を認めない日本国憲法条文を憲法違反と伝えました。政府・自治体は同性婚・家族についてずっと話し合いました。 若者の政治参加制度も変わりました。２０１５年、選挙権年齢を満２０歳以上から満１８歳以上に引き下げました（改正公職選挙法）。２０１６年の参議院議員通常選挙から改正公職選挙法に従って投票できるようになりました。２０１５年、文部科学省は高校生の政治活動を一部解禁しました。２０１８年の民法改正から成年年齢を２０歳から１８歳に引き下げました。２０２２年から１８歳で成人になりました。２０２３年以降、大人側の意見よりも子供・若者の意見を聞いてからこども施策を決めるようになりました（こども基本法）。 社会・家族関係の変化に合わせて民法を改正しました。２０１７年、民法の債権分野［消滅時効・保証・債権譲渡・定型約款など］を約１２０年ぶりに大修正して２０２０年から使い始めました。２０２４年、民法の家族分野［離婚後の親権制度］を見直して２０２６年４月から共同親権か単独親権かを選べるようになりました。 障害者の雇用制度が変わり、障害者の権利も整えられました。１９６０年、身体障害者が会社で働けるように身体障害者雇用促進法を定めました。その後、知的障害者も精神障害者も働けるように法律を改正しました。さらに会社は従業員数に合わせて一定数の障害者を雇うようになりました（法定雇用率制度）。２０１３年の障害者雇用促進法改正から会社は障害を理由に就職差別出来なくなり、障害者本人の状況に合わせて仕事内容・職場環境を整えました（合理的配慮）。法定雇用率も上がり、２０２６年７月から民間企業は２．７％になりました。障害者雇用企業と雇用者数は長年増えても法定雇用率未達成企業ばかりになので、障害者の仕事内容・職場環境まで依然として解決していません。 ２０１６年の障害者差別解消法を導入してから一般国民も障害だけを理由に差別出来なくなりました。２０２４年、障害者本人の状況に応じて事業者側が手伝うように改正障害者差別解消法で定められました（合理的配慮）。身勝手な国民は外国人・特定民族に暴言を吐き、日本社会から追い出そうとしました。そのため、国会は２０１６年にヘイトスピーチ解消法を作りました。合わせて地方自治体側が差別解消条例を作っても、差別の解消につながりませんでした。なので、市民は差別全面禁止法［包括的な差別禁止法］を求めました。２０２４年、役所・ＮＰＯ・民間企業が社会的孤立者を見つけ、相談先・各種支援へ繋ぐようになりました（孤独・孤立対策推進法）。 [[ファイル:Sustainable_Development_Goals.png|サムネイル|306x306ピクセル|１７の持続可能な開発目標の一覧]] ２０１５年、持続可能な社会を目指す国際的な取り組みとして「持続可能な開発のための２０３０アジェンダ」が国際連合総会の全参加国賛成で決まりました。このアジェンダから<span style="color:#f29100">'''持続可能な開発目標（ＳＤＧｓ：Sustainable Development Goals）'''</span>が決まり、１７の目標［貧困・教育・環境・経済など］と１６９のターゲットも示されました。このうち、合い言葉「誰一人取り残さない」から貧困・不平等の解消・平和と公正の実現に取り組みました。しかし、紛争・気候変動・経済格差などから目標達成は遅れています。 ２０１６年、政府はＳＤＧｓ推進本部をつくりました。政府、自治体、企業などが環境を守りながら地域経済・地域社会の向上にも繋げました。２０２３年、ＳＤＧｓ実施指針が改定されました。２０２６年度も地方創生・ジェンダー平等・気候変動対策・科学技術などが重点分野になりました。 == 平成時代・令和時代の文化史・科学史 == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。 == 資料出所 == * 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年 * 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年 * 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年 * 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年 * 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年 * 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年 * 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本） * 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年 * 外園豊基編集代表『最新日本史図表』株式会社第一学習社　2026年 * 東京法令出版編著『歴史資料館　日本史のライブラリー』東京法令出版株式会社　2026年 * 各種新聞等資料・各種政府公式白書 [[カテゴリ:高等学校日本史探究]] [[カテゴリ:21世紀]] 5ei8o8ctrk2o5xedk9aw38gmdwmcffx 305107 305106 2026-10-24T00:38:29Z Kwawe 68789 /* 新しい世界を目指して */ 会社の従業員区分も広がりました。１９８６年の労働者派遣法導入後から、派遣労働者を会社側で受け入れなければならなくなった。 305107 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>[[高等学校日本史探究]]>新たな世紀の日本へⅣ 本節は国民生活文化史などについて詳しく記します。 == 新しい世界を目指して == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。 ２０世紀後期から２１世紀初期にかけて、日本社会は大きく変わりました。ＮＰＯ（民間非営利組織）法人が増え、会社・役所だけでなく、市民も社会活動へ参加出来るようになりました。一方、少子高齢化と人口減少・家族の変化・働き方の変化・外国人の増加・情報通信技術の拡大・環境問題・エネルギー問題・自然災害・収入の差・生活の差・差別・海外の戦争・近隣諸国の対立などが日本の暮らしにかかわるようになりました。 冷戦終結後、軍隊用のインターネットが一般用に代わって、企業・家庭で一気に広がりました。また、半導体技術向上と通信機器の高性能化から情報通信環境を大きく変えました。１９９０年代、パーソナルコンピュータが一般家庭へ広がりました。パーソナルコンピュータ世帯普及率は１９９６年に２０％、２００６年に８０％を超えました。インターネットの世帯利用率も２００２年に８０％を超えました。このように一般家庭へパーソナルコンピュータとインターネットが入ると、わざわざ図書館に行かなくても家庭内で必要な情報を探したり、遠くの相手とすぐに情報をやり取りしたり出来るようになりました。 大半の国民が携帯電話も同時期に持つようになりました。１９８７年、一般向け携帯電話が店に並び始めました。１９９０年代末以降、インターネットを携帯電話でも使えるようになり、若者を中心にインターネット利用者が増えました。２０００年、携帯電話契約数が固定電話契約数を上回りました。高速・大容量通信の整備が２０００年代に整えられ、文字・音楽・映像をインターネットで楽しめるようになりました。テレビでもデジタル化が進み、地上デジタルテレビ放送が始まりました。２０１１年、東日本大震災の一部被災地域を除いて、地上テレビ放送がアナログ放送からデジタル放送へ切り替わりました。 ２０００年代後半以降、スマートフォンは若者を中心に急速に広まり、２０１０年代から日常生活に欠かせない道具の１つになりました。スマートフォン１台で通話・通信・音楽・写真・動画・ゲームなどを出来るようになり、国民の日常生活が大きく変わりました。一方、新聞購読者を減らしました。情報発信の仕組みも新聞社・出版社・放送局などから国民のスマートフォンに変わり、文章・写真・映像をインターネット上に出して同じように届けられるようになりました。 コンピュータが１９９９年から２０００年へ正しく切り替わらないまま、人間の暮らしを止めてしまうかもしれないと心配されました。そのため、世界各地でコンピュータのプログラムを点検して、必要な修正を進めました。その結果、２０００年を迎えても、大規模な障害は発生しないまま終わりました。 ＳＮＳ（ソーシャルネットワークサービス）は対人関係と会話の仕方を大きく変えました。ブログ・ツイッター・フェイスブック・ラインの拡大から新聞社・テレビ局などを通さなくても政治問題と社会問題について自分の意見を書いたり、類似思想者・類似共感者と繋がったり、社会活動の参加を呼びかけたり出来るようになりました。２０２３年、ツイッターは名前をＸへ変えました。２０１７年以降、性暴力被害者・セクシャルハラスメント被害者の「＃ＭｅＴｏｏ」運動が各地へ広がりました。類似被害者がお互いの投稿を知って性暴力被害・セクシャルハラスメント被害を同じように訴えました。しかし、誹謗中傷・偽情報・誤情報・個人情報流出・著作権・情報利用の格差なども問題になりました。２０２２年、侮辱罪の法定刑が重くなり、発信者情報の開示制度も整いました。２０２５年、情報流通プラットフォーム対処法が始まり、権利侵害情報への対応と運用の透明化も求められました。 人間が細かく文章・画像を最初から作らなくても、コンピュータへ指示をしたら文章・画像・映像などを勝手に作ってくれます（生成ＡＩ）。この生成ＡＩは２０２０年代から瞬く間に広がり、各分野［労働・教育・行政など］で使われるようになりました。しかし、生成文章と生成画像の著作権・情報の信頼性・人間の創作活動との関係が新たな問題になりました。そのため、ＡＩ生成情報をそのまま鵜吞みにしないで他の一次資料と比べて本当に正しいのかを判断出来るかもこれまで以上に大切になりました。２０２５年、人工知能関連技術の研究開発及び活用の推進に関する法律（ＡＩ法）が成立しました。政府はＡＩの研究や利用を進めつつ偽情報の拡大問題・著作権問題にも対応しました。また、生成ＡＩを取り入れて行政の仕事を進めやすくしようとしました。 ２０２０年の新型コロナウイルス感染症拡大から人間は新型コロナウイルスに感染しないように、人間同士の距離を約２ｍ開けました（ソーシャルディスタンス）。学校側は分散登校を進め、教室でも席を離しました。また、緊急事態宣言で生徒が学校へ行けなくても、オンライン形式で先生の授業を行いました。会社でもテレワーク・オンライン会議が広がりました。文化・芸術分野でも映像配信が使われるようになりました。２０２３年、新型コロナウイルス感染症の感染症法上の扱いが５類感染症へ下げられ、人間生活も少しずつ以前のように戻りました。なお、現在もオンライン授業・オンライン会議の一部は使われ続けています。グローバル化は新しい感染症をどうしても短期間で海外に広げてしまいます。 情報通信環境と国際関係の変化から海外文化［テレビ番組・ファッション・食文化など］を日本で楽しめたり、国内文化［テレビ番組・ゲーム・アニメ・漫画・ファッション・食文化など］を海外でも楽しめたり出来るようになりました。国内文化は海外で広く受け入れられるようになりました。日本政府と韓国政府が１９９８年に日韓共同宣言を結ぶと、日本文化の韓国国内公開制限を少しずつ解除しました。一方、日本でも東アジア地域の音楽・ドラマ・ファッションが流行しました。歴史問題と外交問題を背景に両国間対立していても、一般国民は他国の音楽・映像作品・食文化などに親しみました。さらに日本の漫画・アニメーション・ゲームなどはインターネットの普及と動画配信サービスの拡大とも深く結びついており、作品の販売・配信などを通じて日本産業とも深く結びつくようになりました。 日本人の海外活動だけでなく、出入国管理法改正・インバウンドの増加から訪日外国人も増えました。その結果、海外の生活文化が地域社会へ入りやすくなりました。身近な国際交流は食文化と祭りから広がりました。東アジア諸国の文化交流も進み、２０２５年の大阪・関西万博は文化のボーダーレス化を進めました。国民は文化の引継ぎ・伝承を考えながら、新しい文化を作らなければなりません。 科学研究でも日本人研究者の国際的な活躍が続きました。１９９９年以前の日本人のノーベル賞受賞者は８名でした。２０００年以後の日本人のノーベル賞受賞者は２１名になりました。このうち２名はノーベル賞受賞当時にアメリカ国籍を持っていました。２０２５年、坂口志文［ノーベル生理学・医学賞］と北川進［ノーベル化学賞］がもらいました。ただし、日本経済の低迷・財政悪化から大学の研究費はあまり貰えなくなり、研究者も任期付きの研究職・特任研究員として働いていました。 関東地方の人口集中は２１世紀初頭でも続きました。しかし２００８年の１億２８０８万人を頂点に日本全体の人口は減り始めました。２００９年以後も人口減少が続きました。２０２５年の人口は１億２２９８人でした。政府の予想人口推計は２０５６年に１億人を下回り、２０７０年に８７００万人になります。６５歳以上の人口割合予想推計も２０２５年の２９．４％から２０７０年に３８．７％に増えます。 少子高齢化は家族・地域社会・経済・社会保障にも響きました。労働人口の減少から経済成長も妨げられ、税収・保険料まで減ってしまいます。その結果、社会保障制度の負担が少しずつ大きくなりました。継続的な大都市の人口集中から地方の人口が少なくなり、限界集落も増えました。１９９９年以後、市町村合併が進められ、約３２００の市町村数から２０１０年に約１７００の市町村数へ減りました。地域社会の維持は住民同士の協力だけでなく、行政の支援・民間団体の支援まで求められました。 政府は'''高齢化'''対策としてまず介護保険法〔１９９７年〕を導入して、次に公的介護保険制度〔２０００年〕を導入しました。また７５歳以上対象の後期高齢者医療制度も整えて、長期的な年金制度改革も進められました。人口減少と少子高齢化の進行から社会保障の見直しと公共サービス全体の見直しも必要になりました。 '''少子化'''も進みました。合計特殊出生率は４．５４〔１９４７年〕から１．１４〔２０２５年〕へ下がりました。出生率（人口１０００人あたりの出生数）も１７〜１９人〈高度経済成長期〉から１０人〔１９９１年〕を下回りました。生涯未婚率も上がりました。その理由として子育て費用・育児施設不足・育児制度不足・晩婚化・非婚化などが挙げられます。そのため、政府は育児休業制度・保育サービスの充実を進めました。 少子化は教育にも響きました。学校の統廃合が進んでも小学校受験生・中学校受験生を増やしました。２０１０年の中学入試のように受験年齢の低下も進みました。親が子供の教育に力を入れるようになりました。 家族の組み合わせも変わりました。性別役割分担の変化・未婚者の増加から単身世帯が増えました。政府はＬＧＢＴの戸籍問題・婚姻問題・夫婦別姓問題も話し合いました。なおＬＧＢＴは性的指向者・性自認をいい、女性同性愛者のレズビアン（Ｌ）、男性同性愛者のゲイ（Ｇ）、両性愛者のバイセクシャル（Ｂ）、性別不適合者のトランスジェンダー（Ｔ）の頭文字を組み合わせています。 １９７９年、国際連合総会は「女子に対するあらゆる形態の差別の撤廃に関する条約（女子差別撤廃条約）」を採用して、日本側も数年後に当条約を受け入れました。１９８５年、国会は男女雇用機会均等法を定めてから学校の家庭科教育も男女一緒に学べるようになりました。その後、政府は男女共同参画社会基本法〔１９９９年〕と女性活躍推進法〔２０１５年〕を定めました。 女性の働き方も広がりました。２０２５年、１５〜６４歳の女性の就業率は７５．３％になり、女性労働者も増えました。結婚しても出産しても働く女性の増加から年齢別労働力率のＭ字カーブはほぼ消えました。一方、女性の正規雇用比率は年齢とともに下がっています。現在も男女間の賃金格差と女性管理職の少なさは続いています。２０２６年、常時雇用労働者１０１人以上の企業は男女間の賃金格差を発表しなければならなくなりました。 ２０１５年、東京都渋谷区は同性カップルへパートナーシップ証明制度を始め、各自治体にも広がりました。２０２３年、国会はＬＧＢＴ理解増進法もまとめました。地方裁判所は同性同士の結婚を認めない日本国憲法条文を憲法違反と伝えました。政府・自治体は同性婚・家族についてずっと話し合いました。 若者の政治参加制度も変わりました。２０１５年、選挙権年齢を満２０歳以上から満１８歳以上に引き下げました（改正公職選挙法）。２０１６年の参議院議員通常選挙から改正公職選挙法に従って投票できるようになりました。２０１５年、文部科学省は高校生の政治活動を一部解禁しました。２０１８年の民法改正から成年年齢を２０歳から１８歳に引き下げました。２０２２年から１８歳で成人になりました。２０２３年以降、大人側の意見よりも子供・若者の意見を聞いてからこども施策を決めるようになりました（こども基本法）。 社会・家族関係の変化に合わせて民法を改正しました。２０１７年、民法の債権分野［消滅時効・保証・債権譲渡・定型約款など］を約１２０年ぶりに大修正して２０２０年から使い始めました。２０２４年、民法の家族分野［離婚後の親権制度］を見直して２０２６年４月から共同親権か単独親権かを選べるようになりました。 障害者の雇用制度が変わり、障害者の権利も整えられました。１９６０年、身体障害者が会社で働けるように身体障害者雇用促進法を定めました。その後、知的障害者も精神障害者も働けるように法律を改正しました。さらに会社は従業員数に合わせて一定数の障害者を雇うようになりました（法定雇用率制度）。２０１３年の障害者雇用促進法改正から会社は障害を理由に就職差別出来なくなり、障害者本人の状況に合わせて仕事内容・職場環境を整えました（合理的配慮）。法定雇用率も上がり、２０２６年７月から民間企業は２．７％になりました。障害者雇用企業と雇用者数は長年増えても法定雇用率未達成企業ばかりになので、障害者の仕事内容・職場環境まで依然として解決していません。 ２０１６年の障害者差別解消法を導入してから一般国民も障害だけを理由に差別出来なくなりました。２０２４年、障害者本人の状況に応じて事業者側が手伝うように改正障害者差別解消法で定められました（合理的配慮）。身勝手な国民は外国人・特定民族に暴言を吐き、日本社会から追い出そうとしました。そのため、国会は２０１６年にヘイトスピーチ解消法を作りました。合わせて地方自治体側が差別解消条例を作っても、差別の解消につながりませんでした。なので、市民は差別全面禁止法［包括的な差別禁止法］を求めました。２０２４年、役所・ＮＰＯ・民間企業が社会的孤立者を見つけ、相談先・各種支援へ繋ぐようになりました（孤独・孤立対策推進法）。 会社の従業員区分も広がりました。１９８６年の労働者派遣法導入後から、派遣労働者を会社側で受け入れなければならなくなりました。１９９９年から製造業以外の業種で派遣労働者を送れるようにしました。なお、製造業は２００４年に派遣労働者を送れるようになりました。会社はバブル崩壊後の長期不況から正社員を減らし、パート・派遣労働者・契約社員・嘱託などの非正規雇用を増やしました。若者は正社員の道を閉ざされ、フリーターへ進んでしまいました。中高年もリストラで仕事を失いました。非正規雇用労働者は給料・労働条件・低賃金・契約期間短縮にも繋がってしまいました。 [[ファイル:Sustainable_Development_Goals.png|サムネイル|306x306ピクセル|１７の持続可能な開発目標の一覧]] ２０１５年、持続可能な社会を目指す国際的な取り組みとして「持続可能な開発のための２０３０アジェンダ」が国際連合総会の全参加国賛成で決まりました。このアジェンダから<span style="color:#f29100">'''持続可能な開発目標（ＳＤＧｓ：Sustainable Development Goals）'''</span>が決まり、１７の目標［貧困・教育・環境・経済など］と１６９のターゲットも示されました。このうち、合い言葉「誰一人取り残さない」から貧困・不平等の解消・平和と公正の実現に取り組みました。しかし、紛争・気候変動・経済格差などから目標達成は遅れています。 ２０１６年、政府はＳＤＧｓ推進本部をつくりました。政府、自治体、企業などが環境を守りながら地域経済・地域社会の向上にも繋げました。２０２３年、ＳＤＧｓ実施指針が改定されました。２０２６年度も地方創生・ジェンダー平等・気候変動対策・科学技術などが重点分野になりました。 == 平成時代・令和時代の文化史・科学史 == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。 == 資料出所 == * 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年 * 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年 * 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年 * 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年 * 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年 * 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年 * 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本） * 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年 * 外園豊基編集代表『最新日本史図表』株式会社第一学習社　2026年 * 東京法令出版編著『歴史資料館　日本史のライブラリー』東京法令出版株式会社　2026年 * 各種新聞等資料・各種政府公式白書 [[カテゴリ:高等学校日本史探究]] [[カテゴリ:21世紀]] tdiox69o33ydv7lueq3lqjtupx9xwwd 305110 305107 2026-10-24T08:15:04Z Kwawe 68789 /* 新しい世界を目指して */ 市民団体などは年末に「年越し派遣村」を開いて、無職者へ食事・寝床を提供した。 305110 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>[[高等学校日本史探究]]>新たな世紀の日本へⅣ 本節は国民生活文化史などについて詳しく記します。 == 新しい世界を目指して == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。 ２０世紀後期から２１世紀初期にかけて、日本社会は大きく変わりました。ＮＰＯ（民間非営利組織）法人が増え、会社・役所だけでなく、市民も社会活動へ参加出来るようになりました。一方、少子高齢化と人口減少・家族の変化・働き方の変化・外国人の増加・情報通信技術の拡大・環境問題・エネルギー問題・自然災害・収入の差・生活の差・差別・海外の戦争・近隣諸国の対立などが日本の暮らしにかかわるようになりました。 冷戦終結後、軍隊用のインターネットが一般用に代わって、企業・家庭で一気に広がりました。また、半導体技術向上と通信機器の高性能化から情報通信環境を大きく変えました。１９９０年代、パーソナルコンピュータが一般家庭へ広がりました。パーソナルコンピュータ世帯普及率は１９９６年に２０％、２００６年に８０％を超えました。インターネットの世帯利用率も２００２年に８０％を超えました。このように一般家庭へパーソナルコンピュータとインターネットが入ると、わざわざ図書館に行かなくても家庭内で必要な情報を探したり、遠くの相手とすぐに情報をやり取りしたり出来るようになりました。 大半の国民が携帯電話も同時期に持つようになりました。１９８７年、一般向け携帯電話が店に並び始めました。１９９０年代末以降、インターネットを携帯電話でも使えるようになり、若者を中心にインターネット利用者が増えました。２０００年、携帯電話契約数が固定電話契約数を上回りました。高速・大容量通信の整備が２０００年代に整えられ、文字・音楽・映像をインターネットで楽しめるようになりました。テレビでもデジタル化が進み、地上デジタルテレビ放送が始まりました。２０１１年、東日本大震災の一部被災地域を除いて、地上テレビ放送がアナログ放送からデジタル放送へ切り替わりました。 ２０００年代後半以降、スマートフォンは若者を中心に急速に広まり、２０１０年代から日常生活に欠かせない道具の１つになりました。スマートフォン１台で通話・通信・音楽・写真・動画・ゲームなどを出来るようになり、国民の日常生活が大きく変わりました。一方、新聞購読者を減らしました。情報発信の仕組みも新聞社・出版社・放送局などから国民のスマートフォンに変わり、文章・写真・映像をインターネット上に出して同じように届けられるようになりました。 コンピュータが１９９９年から２０００年へ正しく切り替わらないまま、人間の暮らしを止めてしまうかもしれないと心配されました。そのため、世界各地でコンピュータのプログラムを点検して、必要な修正を進めました。その結果、２０００年を迎えても、大規模な障害は発生しないまま終わりました。 ＳＮＳ（ソーシャルネットワークサービス）は対人関係と会話の仕方を大きく変えました。ブログ・ツイッター・フェイスブック・ラインの拡大から新聞社・テレビ局などを通さなくても政治問題と社会問題について自分の意見を書いたり、類似思想者・類似共感者と繋がったり、社会活動の参加を呼びかけたり出来るようになりました。２０２３年、ツイッターは名前をＸへ変えました。２０１７年以降、性暴力被害者・セクシャルハラスメント被害者の「＃ＭｅＴｏｏ」運動が各地へ広がりました。類似被害者がお互いの投稿を知って性暴力被害・セクシャルハラスメント被害を同じように訴えました。しかし、誹謗中傷・偽情報・誤情報・個人情報流出・著作権・情報利用の格差なども問題になりました。２０２２年、侮辱罪の法定刑が重くなり、発信者情報の開示制度も整いました。２０２５年、情報流通プラットフォーム対処法が始まり、権利侵害情報への対応と運用の透明化も求められました。 人間が細かく文章・画像を最初から作らなくても、コンピュータへ指示をしたら文章・画像・映像などを勝手に作ってくれます（生成ＡＩ）。この生成ＡＩは２０２０年代から瞬く間に広がり、各分野［労働・教育・行政など］で使われるようになりました。しかし、生成文章と生成画像の著作権・情報の信頼性・人間の創作活動との関係が新たな問題になりました。そのため、ＡＩ生成情報をそのまま鵜吞みにしないで他の一次資料と比べて本当に正しいのかを判断出来るかもこれまで以上に大切になりました。２０２５年、人工知能関連技術の研究開発及び活用の推進に関する法律（ＡＩ法）が成立しました。政府はＡＩの研究や利用を進めつつ偽情報の拡大問題・著作権問題にも対応しました。また、生成ＡＩを取り入れて行政の仕事を進めやすくしようとしました。 ２０２０年の新型コロナウイルス感染症拡大から人間は新型コロナウイルスに感染しないように、人間同士の距離を約２ｍ開けました（ソーシャルディスタンス）。学校側は分散登校を進め、教室でも席を離しました。また、緊急事態宣言で生徒が学校へ行けなくても、オンライン形式で先生の授業を行いました。会社でもテレワーク・オンライン会議が広がりました。文化・芸術分野でも映像配信が使われるようになりました。２０２３年、新型コロナウイルス感染症の感染症法上の扱いが５類感染症へ下げられ、人間生活も少しずつ以前のように戻りました。なお、現在もオンライン授業・オンライン会議の一部は使われ続けています。グローバル化は新しい感染症をどうしても短期間で海外に広げてしまいます。 情報通信環境と国際関係の変化から海外文化［テレビ番組・ファッション・食文化など］を日本で楽しめたり、国内文化［テレビ番組・ゲーム・アニメ・漫画・ファッション・食文化など］を海外でも楽しめたり出来るようになりました。国内文化は海外で広く受け入れられるようになりました。日本政府と韓国政府が１９９８年に日韓共同宣言を結ぶと、日本文化の韓国国内公開制限を少しずつ解除しました。一方、日本でも東アジア地域の音楽・ドラマ・ファッションが流行しました。歴史問題と外交問題を背景に両国間対立していても、一般国民は他国の音楽・映像作品・食文化などに親しみました。さらに日本の漫画・アニメーション・ゲームなどはインターネットの普及と動画配信サービスの拡大とも深く結びついており、作品の販売・配信などを通じて日本産業とも深く結びつくようになりました。 日本人の海外活動だけでなく、出入国管理法改正・インバウンドの増加から訪日外国人も増えました。その結果、海外の生活文化が地域社会へ入りやすくなりました。身近な国際交流は食文化と祭りから広がりました。東アジア諸国の文化交流も進み、２０２５年の大阪・関西万博は文化のボーダーレス化を進めました。国民は文化の引継ぎ・伝承を考えながら、新しい文化を作らなければなりません。 科学研究でも日本人研究者の国際的な活躍が続きました。１９９９年以前の日本人のノーベル賞受賞者は８名でした。２０００年以後の日本人のノーベル賞受賞者は２１名になりました。このうち２名はノーベル賞受賞当時にアメリカ国籍を持っていました。２０２５年、坂口志文［ノーベル生理学・医学賞］と北川進［ノーベル化学賞］がもらいました。ただし、日本経済の低迷・財政悪化から大学の研究費はあまり貰えなくなり、研究者も任期付きの研究職・特任研究員として働いていました。 関東地方の人口集中は２１世紀初頭でも続きました。しかし２００８年の１億２８０８万人を頂点に日本全体の人口は減り始めました。２００９年以後も人口減少が続きました。２０２５年の人口は１億２２９８人でした。政府の予想人口推計は２０５６年に１億人を下回り、２０７０年に８７００万人になります。６５歳以上の人口割合予想推計も２０２５年の２９．４％から２０７０年に３８．７％に増えます。 少子高齢化は家族・地域社会・経済・社会保障にも響きました。労働人口の減少から経済成長も妨げられ、税収・保険料まで減ってしまいます。その結果、社会保障制度の負担が少しずつ大きくなりました。継続的な大都市の人口集中から地方の人口が少なくなり、限界集落も増えました。１９９９年以後、市町村合併が進められ、約３２００の市町村数から２０１０年に約１７００の市町村数へ減りました。地域社会の維持は住民同士の協力だけでなく、行政の支援・民間団体の支援まで求められました。 政府は'''高齢化'''対策としてまず介護保険法〔１９９７年〕を導入して、次に公的介護保険制度〔２０００年〕を導入しました。また７５歳以上対象の後期高齢者医療制度も整えて、長期的な年金制度改革も進められました。人口減少と少子高齢化の進行から社会保障の見直しと公共サービス全体の見直しも必要になりました。 '''少子化'''も進みました。合計特殊出生率は４．５４〔１９４７年〕から１．１４〔２０２５年〕へ下がりました。出生率（人口１０００人あたりの出生数）も１７〜１９人〈高度経済成長期〉から１０人〔１９９１年〕を下回りました。生涯未婚率も上がりました。その理由として子育て費用・育児施設不足・育児制度不足・晩婚化・非婚化などが挙げられます。そのため、政府は育児休業制度・保育サービスの充実を進めました。 少子化は教育にも響きました。学校の統廃合が進んでも小学校受験生・中学校受験生を増やしました。２０１０年の中学入試のように受験年齢の低下も進みました。親が子供の教育に力を入れるようになりました。 家族の組み合わせも変わりました。性別役割分担の変化・未婚者の増加から単身世帯が増えました。政府はＬＧＢＴの戸籍問題・婚姻問題・夫婦別姓問題も話し合いました。なおＬＧＢＴは性的指向者・性自認をいい、女性同性愛者のレズビアン（Ｌ）、男性同性愛者のゲイ（Ｇ）、両性愛者のバイセクシャル（Ｂ）、性別不適合者のトランスジェンダー（Ｔ）の頭文字を組み合わせています。 １９７９年、国際連合総会は「女子に対するあらゆる形態の差別の撤廃に関する条約（女子差別撤廃条約）」を採用して、日本側も数年後に当条約を受け入れました。１９８５年、国会は男女雇用機会均等法を定めてから学校の家庭科教育も男女一緒に学べるようになりました。その後、政府は男女共同参画社会基本法〔１９９９年〕と女性活躍推進法〔２０１５年〕を定めました。 女性の働き方も広がりました。２０２５年、１５〜６４歳の女性の就業率は７５．３％になり、女性労働者も増えました。結婚しても出産しても働く女性の増加から年齢別労働力率のＭ字カーブはほぼ消えました。一方、女性の正規雇用比率は年齢とともに下がっています。現在も男女間の賃金格差と女性管理職の少なさは続いています。２０２６年、常時雇用労働者１０１人以上の企業は男女間の賃金格差を発表しなければならなくなりました。 ２０１５年、東京都渋谷区は同性カップルへパートナーシップ証明制度を始め、各自治体にも広がりました。２０２３年、国会はＬＧＢＴ理解増進法もまとめました。地方裁判所は同性同士の結婚を認めない日本国憲法条文を憲法違反と伝えました。政府・自治体は同性婚・家族についてずっと話し合いました。 若者の政治参加制度も変わりました。２０１５年、選挙権年齢を満２０歳以上から満１８歳以上に引き下げました（改正公職選挙法）。２０１６年の参議院議員通常選挙から改正公職選挙法に従って投票できるようになりました。２０１５年、文部科学省は高校生の政治活動を一部解禁しました。２０１８年の民法改正から成年年齢を２０歳から１８歳に引き下げました。２０２２年から１８歳で成人になりました。２０２３年以降、大人側の意見よりも子供・若者の意見を聞いてからこども施策を決めるようになりました（こども基本法）。 社会・家族関係の変化に合わせて民法を改正しました。２０１７年、民法の債権分野［消滅時効・保証・債権譲渡・定型約款など］を約１２０年ぶりに大修正して２０２０年から使い始めました。２０２４年、民法の家族分野［離婚後の親権制度］を見直して２０２６年４月から共同親権か単独親権かを選べるようになりました。 障害者の雇用制度が変わり、障害者の権利も整えられました。１９６０年、身体障害者が会社で働けるように身体障害者雇用促進法を定めました。その後、知的障害者も精神障害者も働けるように法律を改正しました。さらに会社は従業員数に合わせて一定数の障害者を雇うようになりました（法定雇用率制度）。２０１３年の障害者雇用促進法改正から会社は障害を理由に就職差別出来なくなり、障害者本人の状況に合わせて仕事内容・職場環境を整えました（合理的配慮）。法定雇用率も上がり、２０２６年７月から民間企業は２．７％になりました。障害者雇用企業と雇用者数は長年増えても法定雇用率未達成企業ばかりになので、障害者の仕事内容・職場環境まで依然として解決していません。 ２０１６年の障害者差別解消法を導入してから一般国民も障害だけを理由に差別出来なくなりました。２０２４年、障害者本人の状況に応じて事業者側が手伝うように改正障害者差別解消法で定められました（合理的配慮）。身勝手な国民は外国人・特定民族に暴言を吐き、日本社会から追い出そうとしました。そのため、国会は２０１６年にヘイトスピーチ解消法を作りました。合わせて地方自治体側が差別解消条例を作っても、差別の解消につながりませんでした。なので、市民は差別全面禁止法［包括的な差別禁止法］を求めました。２０２４年、役所・ＮＰＯ・民間企業が社会的孤立者を見つけ、相談先・各種支援へ繋ぐようになりました（孤独・孤立対策推進法）。 会社の従業員区分も広がりました。１９８６年の労働者派遣法導入後から、派遣労働者を会社側で受け入れなければならなくなりました。１９９９年から製造業以外の業種で派遣労働者を送れるようにしました。なお、製造業は２００４年に派遣労働者を送れるようになりました。会社はバブル崩壊後の長期不況から正社員を減らし、パート・派遣労働者・契約社員・嘱託などの非正規雇用を増やしました。若者は正社員の道を閉ざされ、フリーターへ進んでしまいました。中高年もリストラで仕事を失いました。非正規雇用労働者は給料・労働条件・低賃金・契約期間短縮にも繋がってしまいました。 会社は２００８年の世界金融危機から派遣契約を途中で打ち切り、契約終了後に契約社員まで雇わなくなりました。市民団体などは年末に「年越し派遣村」を開いて、無職者へ食事・寝床を提供しました。ここから「勝ち組」「負け組」と分けるようになり、格差社会問題にも結びつきました。ひとり親世帯は生活費の不足から子どもの貧困に繋がりました。政府はこれらの対策のため就職氷河期世代を支援しつつ、どのような雇用でも同じ仕事をしたら同じように給料を受け取り、休みなども取れるようにしました。 [[ファイル:Sustainable_Development_Goals.png|サムネイル|306x306ピクセル|１７の持続可能な開発目標の一覧]] ２０１５年、持続可能な社会を目指す国際的な取り組みとして「持続可能な開発のための２０３０アジェンダ」が国際連合総会の全参加国賛成で決まりました。このアジェンダから<span style="color:#f29100">'''持続可能な開発目標（ＳＤＧｓ：Sustainable Development Goals）'''</span>が決まり、１７の目標［貧困・教育・環境・経済など］と１６９のターゲットも示されました。このうち、合い言葉「誰一人取り残さない」から貧困・不平等の解消・平和と公正の実現に取り組みました。しかし、紛争・気候変動・経済格差などから目標達成は遅れています。 ２０１６年、政府はＳＤＧｓ推進本部をつくりました。政府、自治体、企業などが環境を守りながら地域経済・地域社会の向上にも繋げました。２０２３年、ＳＤＧｓ実施指針が改定されました。２０２６年度も地方創生・ジェンダー平等・気候変動対策・科学技術などが重点分野になりました。 == 平成時代・令和時代の文化史・科学史 == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。 == 資料出所 == * 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年 * 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年 * 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年 * 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年 * 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年 * 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年 * 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本） * 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年 * 外園豊基編集代表『最新日本史図表』株式会社第一学習社　2026年 * 東京法令出版編著『歴史資料館　日本史のライブラリー』東京法令出版株式会社　2026年 * 各種新聞等資料・各種政府公式白書 [[カテゴリ:高等学校日本史探究]] [[カテゴリ:21世紀]] 7ykhkgu3ub2q07m2iifw08mhqqo51g7 305111 305110 2026-10-24T08:16:19Z Kwawe 68789 /* 新しい世界を目指して */ 会社は２０１８年の働き方改革関連法から残業時間上限を守り、どの労働者でも同じ仕事をしたら同じように扱わなければならなくなり、２０２０年から同一労働同一賃金も始まった。 305111 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>[[高等学校日本史探究]]>新たな世紀の日本へⅣ 本節は国民生活文化史などについて詳しく記します。 == 新しい世界を目指して == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。 ２０世紀後期から２１世紀初期にかけて、日本社会は大きく変わりました。ＮＰＯ（民間非営利組織）法人が増え、会社・役所だけでなく、市民も社会活動へ参加出来るようになりました。一方、少子高齢化と人口減少・家族の変化・働き方の変化・外国人の増加・情報通信技術の拡大・環境問題・エネルギー問題・自然災害・収入の差・生活の差・差別・海外の戦争・近隣諸国の対立などが日本の暮らしにかかわるようになりました。 冷戦終結後、軍隊用のインターネットが一般用に代わって、企業・家庭で一気に広がりました。また、半導体技術向上と通信機器の高性能化から情報通信環境を大きく変えました。１９９０年代、パーソナルコンピュータが一般家庭へ広がりました。パーソナルコンピュータ世帯普及率は１９９６年に２０％、２００６年に８０％を超えました。インターネットの世帯利用率も２００２年に８０％を超えました。このように一般家庭へパーソナルコンピュータとインターネットが入ると、わざわざ図書館に行かなくても家庭内で必要な情報を探したり、遠くの相手とすぐに情報をやり取りしたり出来るようになりました。 大半の国民が携帯電話も同時期に持つようになりました。１９８７年、一般向け携帯電話が店に並び始めました。１９９０年代末以降、インターネットを携帯電話でも使えるようになり、若者を中心にインターネット利用者が増えました。２０００年、携帯電話契約数が固定電話契約数を上回りました。高速・大容量通信の整備が２０００年代に整えられ、文字・音楽・映像をインターネットで楽しめるようになりました。テレビでもデジタル化が進み、地上デジタルテレビ放送が始まりました。２０１１年、東日本大震災の一部被災地域を除いて、地上テレビ放送がアナログ放送からデジタル放送へ切り替わりました。 ２０００年代後半以降、スマートフォンは若者を中心に急速に広まり、２０１０年代から日常生活に欠かせない道具の１つになりました。スマートフォン１台で通話・通信・音楽・写真・動画・ゲームなどを出来るようになり、国民の日常生活が大きく変わりました。一方、新聞購読者を減らしました。情報発信の仕組みも新聞社・出版社・放送局などから国民のスマートフォンに変わり、文章・写真・映像をインターネット上に出して同じように届けられるようになりました。 コンピュータが１９９９年から２０００年へ正しく切り替わらないまま、人間の暮らしを止めてしまうかもしれないと心配されました。そのため、世界各地でコンピュータのプログラムを点検して、必要な修正を進めました。その結果、２０００年を迎えても、大規模な障害は発生しないまま終わりました。 ＳＮＳ（ソーシャルネットワークサービス）は対人関係と会話の仕方を大きく変えました。ブログ・ツイッター・フェイスブック・ラインの拡大から新聞社・テレビ局などを通さなくても政治問題と社会問題について自分の意見を書いたり、類似思想者・類似共感者と繋がったり、社会活動の参加を呼びかけたり出来るようになりました。２０２３年、ツイッターは名前をＸへ変えました。２０１７年以降、性暴力被害者・セクシャルハラスメント被害者の「＃ＭｅＴｏｏ」運動が各地へ広がりました。類似被害者がお互いの投稿を知って性暴力被害・セクシャルハラスメント被害を同じように訴えました。しかし、誹謗中傷・偽情報・誤情報・個人情報流出・著作権・情報利用の格差なども問題になりました。２０２２年、侮辱罪の法定刑が重くなり、発信者情報の開示制度も整いました。２０２５年、情報流通プラットフォーム対処法が始まり、権利侵害情報への対応と運用の透明化も求められました。 人間が細かく文章・画像を最初から作らなくても、コンピュータへ指示をしたら文章・画像・映像などを勝手に作ってくれます（生成ＡＩ）。この生成ＡＩは２０２０年代から瞬く間に広がり、各分野［労働・教育・行政など］で使われるようになりました。しかし、生成文章と生成画像の著作権・情報の信頼性・人間の創作活動との関係が新たな問題になりました。そのため、ＡＩ生成情報をそのまま鵜吞みにしないで他の一次資料と比べて本当に正しいのかを判断出来るかもこれまで以上に大切になりました。２０２５年、人工知能関連技術の研究開発及び活用の推進に関する法律（ＡＩ法）が成立しました。政府はＡＩの研究や利用を進めつつ偽情報の拡大問題・著作権問題にも対応しました。また、生成ＡＩを取り入れて行政の仕事を進めやすくしようとしました。 ２０２０年の新型コロナウイルス感染症拡大から人間は新型コロナウイルスに感染しないように、人間同士の距離を約２ｍ開けました（ソーシャルディスタンス）。学校側は分散登校を進め、教室でも席を離しました。また、緊急事態宣言で生徒が学校へ行けなくても、オンライン形式で先生の授業を行いました。会社でもテレワーク・オンライン会議が広がりました。文化・芸術分野でも映像配信が使われるようになりました。２０２３年、新型コロナウイルス感染症の感染症法上の扱いが５類感染症へ下げられ、人間生活も少しずつ以前のように戻りました。なお、現在もオンライン授業・オンライン会議の一部は使われ続けています。グローバル化は新しい感染症をどうしても短期間で海外に広げてしまいます。 情報通信環境と国際関係の変化から海外文化［テレビ番組・ファッション・食文化など］を日本で楽しめたり、国内文化［テレビ番組・ゲーム・アニメ・漫画・ファッション・食文化など］を海外でも楽しめたり出来るようになりました。国内文化は海外で広く受け入れられるようになりました。日本政府と韓国政府が１９９８年に日韓共同宣言を結ぶと、日本文化の韓国国内公開制限を少しずつ解除しました。一方、日本でも東アジア地域の音楽・ドラマ・ファッションが流行しました。歴史問題と外交問題を背景に両国間対立していても、一般国民は他国の音楽・映像作品・食文化などに親しみました。さらに日本の漫画・アニメーション・ゲームなどはインターネットの普及と動画配信サービスの拡大とも深く結びついており、作品の販売・配信などを通じて日本産業とも深く結びつくようになりました。 日本人の海外活動だけでなく、出入国管理法改正・インバウンドの増加から訪日外国人も増えました。その結果、海外の生活文化が地域社会へ入りやすくなりました。身近な国際交流は食文化と祭りから広がりました。東アジア諸国の文化交流も進み、２０２５年の大阪・関西万博は文化のボーダーレス化を進めました。国民は文化の引継ぎ・伝承を考えながら、新しい文化を作らなければなりません。 科学研究でも日本人研究者の国際的な活躍が続きました。１９９９年以前の日本人のノーベル賞受賞者は８名でした。２０００年以後の日本人のノーベル賞受賞者は２１名になりました。このうち２名はノーベル賞受賞当時にアメリカ国籍を持っていました。２０２５年、坂口志文［ノーベル生理学・医学賞］と北川進［ノーベル化学賞］がもらいました。ただし、日本経済の低迷・財政悪化から大学の研究費はあまり貰えなくなり、研究者も任期付きの研究職・特任研究員として働いていました。 関東地方の人口集中は２１世紀初頭でも続きました。しかし２００８年の１億２８０８万人を頂点に日本全体の人口は減り始めました。２００９年以後も人口減少が続きました。２０２５年の人口は１億２２９８人でした。政府の予想人口推計は２０５６年に１億人を下回り、２０７０年に８７００万人になります。６５歳以上の人口割合予想推計も２０２５年の２９．４％から２０７０年に３８．７％に増えます。 少子高齢化は家族・地域社会・経済・社会保障にも響きました。労働人口の減少から経済成長も妨げられ、税収・保険料まで減ってしまいます。その結果、社会保障制度の負担が少しずつ大きくなりました。継続的な大都市の人口集中から地方の人口が少なくなり、限界集落も増えました。１９９９年以後、市町村合併が進められ、約３２００の市町村数から２０１０年に約１７００の市町村数へ減りました。地域社会の維持は住民同士の協力だけでなく、行政の支援・民間団体の支援まで求められました。 政府は'''高齢化'''対策としてまず介護保険法〔１９９７年〕を導入して、次に公的介護保険制度〔２０００年〕を導入しました。また７５歳以上対象の後期高齢者医療制度も整えて、長期的な年金制度改革も進められました。人口減少と少子高齢化の進行から社会保障の見直しと公共サービス全体の見直しも必要になりました。 '''少子化'''も進みました。合計特殊出生率は４．５４〔１９４７年〕から１．１４〔２０２５年〕へ下がりました。出生率（人口１０００人あたりの出生数）も１７〜１９人〈高度経済成長期〉から１０人〔１９９１年〕を下回りました。生涯未婚率も上がりました。その理由として子育て費用・育児施設不足・育児制度不足・晩婚化・非婚化などが挙げられます。そのため、政府は育児休業制度・保育サービスの充実を進めました。 少子化は教育にも響きました。学校の統廃合が進んでも小学校受験生・中学校受験生を増やしました。２０１０年の中学入試のように受験年齢の低下も進みました。親が子供の教育に力を入れるようになりました。 家族の組み合わせも変わりました。性別役割分担の変化・未婚者の増加から単身世帯が増えました。政府はＬＧＢＴの戸籍問題・婚姻問題・夫婦別姓問題も話し合いました。なおＬＧＢＴは性的指向者・性自認をいい、女性同性愛者のレズビアン（Ｌ）、男性同性愛者のゲイ（Ｇ）、両性愛者のバイセクシャル（Ｂ）、性別不適合者のトランスジェンダー（Ｔ）の頭文字を組み合わせています。 １９７９年、国際連合総会は「女子に対するあらゆる形態の差別の撤廃に関する条約（女子差別撤廃条約）」を採用して、日本側も数年後に当条約を受け入れました。１９８５年、国会は男女雇用機会均等法を定めてから学校の家庭科教育も男女一緒に学べるようになりました。その後、政府は男女共同参画社会基本法〔１９９９年〕と女性活躍推進法〔２０１５年〕を定めました。 女性の働き方も広がりました。２０２５年、１５〜６４歳の女性の就業率は７５．３％になり、女性労働者も増えました。結婚しても出産しても働く女性の増加から年齢別労働力率のＭ字カーブはほぼ消えました。一方、女性の正規雇用比率は年齢とともに下がっています。現在も男女間の賃金格差と女性管理職の少なさは続いています。２０２６年、常時雇用労働者１０１人以上の企業は男女間の賃金格差を発表しなければならなくなりました。 ２０１５年、東京都渋谷区は同性カップルへパートナーシップ証明制度を始め、各自治体にも広がりました。２０２３年、国会はＬＧＢＴ理解増進法もまとめました。地方裁判所は同性同士の結婚を認めない日本国憲法条文を憲法違反と伝えました。政府・自治体は同性婚・家族についてずっと話し合いました。 若者の政治参加制度も変わりました。２０１５年、選挙権年齢を満２０歳以上から満１８歳以上に引き下げました（改正公職選挙法）。２０１６年の参議院議員通常選挙から改正公職選挙法に従って投票できるようになりました。２０１５年、文部科学省は高校生の政治活動を一部解禁しました。２０１８年の民法改正から成年年齢を２０歳から１８歳に引き下げました。２０２２年から１８歳で成人になりました。２０２３年以降、大人側の意見よりも子供・若者の意見を聞いてからこども施策を決めるようになりました（こども基本法）。 社会・家族関係の変化に合わせて民法を改正しました。２０１７年、民法の債権分野［消滅時効・保証・債権譲渡・定型約款など］を約１２０年ぶりに大修正して２０２０年から使い始めました。２０２４年、民法の家族分野［離婚後の親権制度］を見直して２０２６年４月から共同親権か単独親権かを選べるようになりました。 障害者の雇用制度が変わり、障害者の権利も整えられました。１９６０年、身体障害者が会社で働けるように身体障害者雇用促進法を定めました。その後、知的障害者も精神障害者も働けるように法律を改正しました。さらに会社は従業員数に合わせて一定数の障害者を雇うようになりました（法定雇用率制度）。２０１３年の障害者雇用促進法改正から会社は障害を理由に就職差別出来なくなり、障害者本人の状況に合わせて仕事内容・職場環境を整えました（合理的配慮）。法定雇用率も上がり、２０２６年７月から民間企業は２．７％になりました。障害者雇用企業と雇用者数は長年増えても法定雇用率未達成企業ばかりになので、障害者の仕事内容・職場環境まで依然として解決していません。 ２０１６年の障害者差別解消法を導入してから一般国民も障害だけを理由に差別出来なくなりました。２０２４年、障害者本人の状況に応じて事業者側が手伝うように改正障害者差別解消法で定められました（合理的配慮）。身勝手な国民は外国人・特定民族に暴言を吐き、日本社会から追い出そうとしました。そのため、国会は２０１６年にヘイトスピーチ解消法を作りました。合わせて地方自治体側が差別解消条例を作っても、差別の解消につながりませんでした。なので、市民は差別全面禁止法［包括的な差別禁止法］を求めました。２０２４年、役所・ＮＰＯ・民間企業が社会的孤立者を見つけ、相談先・各種支援へ繋ぐようになりました（孤独・孤立対策推進法）。 会社の従業員区分も広がりました。１９８６年の労働者派遣法導入後から、派遣労働者を会社側で受け入れなければならなくなりました。１９９９年から製造業以外の業種で派遣労働者を送れるようにしました。なお、製造業は２００４年に派遣労働者を送れるようになりました。会社はバブル崩壊後の長期不況から正社員を減らし、パート・派遣労働者・契約社員・嘱託などの非正規雇用を増やしました。若者は正社員の道を閉ざされ、フリーターへ進んでしまいました。中高年もリストラで仕事を失いました。非正規雇用労働者は給料・労働条件・低賃金・契約期間短縮にも繋がってしまいました。 会社は２００８年の世界金融危機から派遣契約を途中で打ち切り、契約終了後に契約社員まで雇わなくなりました。市民団体などは年末に「年越し派遣村」を開いて、無職者へ食事・寝床を提供しました。ここから「勝ち組」「負け組」と分けるようになり、格差社会問題にも結びつきました。ひとり親世帯は生活費の不足から子どもの貧困に繋がりました。政府はこれらの対策のため就職氷河期世代を支援しつつ、どのような雇用でも同じ仕事をしたら同じように給料を受け取り、休みなども取れるようにしました。 会社は２０１８年の働き方改革関連法から残業時間上限を守り、どの労働者でも同じ仕事をしたら同じように扱わなければならなくなり、２０２０年から同一労働同一賃金も始まりました。政府の思惑と国民生活のずれから育児・介護休業法を何度も改正しました。会社は育児で仕事を休めるようにしつつ、家族の介護だけで解雇は許されなくなりました。また、会社は高齢者を労働者として雇いつつ、短時間労働者も社会保険に入れなければならなくなりました。そのため、最低賃金なども上がりました。２０２４年の特定受託事業者に係る取引の適正化等に関する法律（フリーランス・事業者間取引適正化等法）と２０２５～２０２６年の育児・介護休業制度を見直しも政府の思惑と国民生活のずれから始まっています。 [[ファイル:Sustainable_Development_Goals.png|サムネイル|306x306ピクセル|１７の持続可能な開発目標の一覧]] ２０１５年、持続可能な社会を目指す国際的な取り組みとして「持続可能な開発のための２０３０アジェンダ」が国際連合総会の全参加国賛成で決まりました。このアジェンダから<span style="color:#f29100">'''持続可能な開発目標（ＳＤＧｓ：Sustainable Development Goals）'''</span>が決まり、１７の目標［貧困・教育・環境・経済など］と１６９のターゲットも示されました。このうち、合い言葉「誰一人取り残さない」から貧困・不平等の解消・平和と公正の実現に取り組みました。しかし、紛争・気候変動・経済格差などから目標達成は遅れています。 ２０１６年、政府はＳＤＧｓ推進本部をつくりました。政府、自治体、企業などが環境を守りながら地域経済・地域社会の向上にも繋げました。２０２３年、ＳＤＧｓ実施指針が改定されました。２０２６年度も地方創生・ジェンダー平等・気候変動対策・科学技術などが重点分野になりました。 == 平成時代・令和時代の文化史・科学史 == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。 == 資料出所 == * 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年 * 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年 * 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年 * 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年 * 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年 * 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年 * 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本） * 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年 * 外園豊基編集代表『最新日本史図表』株式会社第一学習社　2026年 * 東京法令出版編著『歴史資料館　日本史のライブラリー』東京法令出版株式会社　2026年 * 各種新聞等資料・各種政府公式白書 [[カテゴリ:高等学校日本史探究]] [[カテゴリ:21世紀]] fce401tequ359hfycffepykmeoimcuv 305113 305111 2026-10-24T08:28:42Z Kwawe 68789 /* 新しい世界を目指して */ 重要用語を黒太字化。 305113 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>[[高等学校日本史探究]]>新たな世紀の日本へⅣ 本節は国民生活文化史などについて詳しく記します。 == 新しい世界を目指して == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。 ２０世紀後期から２１世紀初期にかけて、日本社会は大きく変わりました。ＮＰＯ（民間非営利組織）法人が増え、会社・役所だけでなく、市民も社会活動へ参加出来るようになりました。一方、少子高齢化と人口減少・家族の変化・働き方の変化・外国人の増加・情報通信技術の拡大・環境問題・エネルギー問題・自然災害・収入の差・生活の差・差別・海外の戦争・近隣諸国の対立などが日本の暮らしにかかわるようになりました。 冷戦終結後、軍隊用のインターネットが一般用に代わって、企業・家庭で一気に広がりました。また、半導体技術向上と通信機器の高性能化から情報通信環境を大きく変えました。１９９０年代、パーソナルコンピュータが一般家庭へ広がりました。パーソナルコンピュータ世帯普及率は１９９６年に２０％、２００６年に８０％を超えました。インターネットの世帯利用率も２００２年に８０％を超えました。このように一般家庭へパーソナルコンピュータとインターネットが入ると、わざわざ図書館に行かなくても家庭内で必要な情報を探したり、遠くの相手とすぐに情報をやり取りしたり出来るようになりました。 大半の国民が携帯電話も同時期に持つようになりました。１９８７年、一般向け携帯電話が店に並び始めました。１９９０年代末以降、インターネットを携帯電話でも使えるようになり、若者を中心にインターネット利用者が増えました。２０００年、携帯電話契約数が固定電話契約数を上回りました。高速・大容量通信の整備が２０００年代に整えられ、文字・音楽・映像をインターネットで楽しめるようになりました。テレビでもデジタル化が進み、地上デジタルテレビ放送が始まりました。２０１１年、東日本大震災の一部被災地域を除いて、地上テレビ放送がアナログ放送からデジタル放送へ切り替わりました。 ２０００年代後半以降、スマートフォンは若者を中心に急速に広まり、２０１０年代から日常生活に欠かせない道具の１つになりました。スマートフォン１台で通話・通信・音楽・写真・動画・ゲームなどを出来るようになり、国民の日常生活が大きく変わりました。一方、新聞購読者を減らしました。情報発信の仕組みも新聞社・出版社・放送局などから国民のスマートフォンに変わり、文章・写真・映像をインターネット上に出して同じように届けられるようになりました。 コンピュータが１９９９年から２０００年へ正しく切り替わらないまま、人間の暮らしを止めてしまうかもしれないと心配されました。そのため、世界各地でコンピュータのプログラムを点検して、必要な修正を進めました。その結果、２０００年を迎えても、大規模な障害は発生しないまま終わりました。 ＳＮＳ（ソーシャルネットワークサービス）は対人関係と会話の仕方を大きく変えました。ブログ・ツイッター・フェイスブック・ラインの拡大から新聞社・テレビ局などを通さなくても政治問題と社会問題について自分の意見を書いたり、類似思想者・類似共感者と繋がったり、社会活動の参加を呼びかけたり出来るようになりました。２０２３年、ツイッターは名前をＸへ変えました。２０１７年以降、性暴力被害者・セクシャルハラスメント被害者の「＃ＭｅＴｏｏ」運動が各地へ広がりました。類似被害者がお互いの投稿を知って性暴力被害・セクシャルハラスメント被害を同じように訴えました。しかし、誹謗中傷・偽情報・誤情報・個人情報流出・著作権・情報利用の格差なども問題になりました。２０２２年、侮辱罪の法定刑が重くなり、発信者情報の開示制度も整いました。２０２５年、情報流通プラットフォーム対処法が始まり、権利侵害情報への対応と運用の透明化も求められました。 人間が細かく文章・画像を最初から作らなくても、コンピュータへ指示をしたら文章・画像・映像などを勝手に作ってくれます（生成ＡＩ）。この生成ＡＩは２０２０年代から瞬く間に広がり、各分野［労働・教育・行政など］で使われるようになりました。しかし、生成文章と生成画像の著作権・情報の信頼性・人間の創作活動との関係が新たな問題になりました。そのため、ＡＩ生成情報をそのまま鵜吞みにしないで他の一次資料と比べて本当に正しいのかを判断出来るかもこれまで以上に大切になりました。２０２５年、人工知能関連技術の研究開発及び活用の推進に関する法律（ＡＩ法）が成立しました。政府はＡＩの研究や利用を進めつつ偽情報の拡大問題・著作権問題にも対応しました。また、生成ＡＩを取り入れて行政の仕事を進めやすくしようとしました。 ２０２０年の新型コロナウイルス感染症拡大から人間は新型コロナウイルスに感染しないように、人間同士の距離を約２ｍ開けました（ソーシャルディスタンス）。学校側は分散登校を進め、教室でも席を離しました。また、緊急事態宣言で生徒が学校へ行けなくても、オンライン形式で先生の授業を行いました。会社でもテレワーク・オンライン会議が広がりました。文化・芸術分野でも映像配信が使われるようになりました。２０２３年、新型コロナウイルス感染症の感染症法上の扱いが５類感染症へ下げられ、人間生活も少しずつ以前のように戻りました。なお、現在もオンライン授業・オンライン会議の一部は使われ続けています。グローバル化は新しい感染症をどうしても短期間で海外に広げてしまいます。 情報通信環境と国際関係の変化から海外文化［テレビ番組・ファッション・食文化など］を日本で楽しめたり、国内文化［テレビ番組・ゲーム・アニメ・漫画・ファッション・食文化など］を海外でも楽しめたり出来るようになりました。国内文化は海外で広く受け入れられるようになりました。日本政府と韓国政府が１９９８年に日韓共同宣言を結ぶと、日本文化の韓国国内公開制限を少しずつ解除しました。一方、日本でも東アジア地域の音楽・ドラマ・ファッションが流行しました。歴史問題と外交問題を背景に両国間対立していても、一般国民は他国の音楽・映像作品・食文化などに親しみました。さらに日本の漫画・アニメーション・ゲームなどはインターネットの普及と動画配信サービスの拡大とも深く結びついており、作品の販売・配信などを通じて日本産業とも深く結びつくようになりました。 日本人の海外活動だけでなく、出入国管理法改正・インバウンドの増加から訪日外国人も増えました。その結果、海外の生活文化が地域社会へ入りやすくなりました。身近な国際交流は食文化と祭りから広がりました。東アジア諸国の文化交流も進み、２０２５年の大阪・関西万博は文化のボーダーレス化を進めました。国民は文化の引継ぎ・伝承を考えながら、新しい文化を作らなければなりません。 科学研究でも日本人研究者の国際的な活躍が続きました。１９９９年以前の日本人のノーベル賞受賞者は８名でした。２０００年以後の日本人のノーベル賞受賞者は２１名になりました。このうち２名はノーベル賞受賞当時にアメリカ国籍を持っていました。２０２５年、坂口志文［ノーベル生理学・医学賞］と北川進［ノーベル化学賞］がもらいました。ただし、日本経済の低迷・財政悪化から大学の研究費はあまり貰えなくなり、研究者も任期付きの研究職・特任研究員として働いていました。 関東地方の人口集中は２１世紀初頭でも続きました。しかし２００８年の１億２８０８万人を頂点に日本全体の人口は減り始めました。２００９年以後も人口減少が続きました。２０２５年の人口は１億２２９８人でした。政府の予想人口推計は２０５６年に１億人を下回り、２０７０年に８７００万人になります。６５歳以上の人口割合予想推計も２０２５年の２９．４％から２０７０年に３８．７％に増えます。 少子高齢化は家族・地域社会・経済・社会保障にも響きました。労働人口の減少から経済成長も妨げられ、税収・保険料まで減ってしまいます。その結果、社会保障制度の負担が少しずつ大きくなりました。継続的な大都市の人口集中から地方の人口が少なくなり、限界集落も増えました。１９９９年以後、市町村合併が進められ、約３２００の市町村数から２０１０年に約１７００の市町村数へ減りました。地域社会の維持は住民同士の協力だけでなく、行政の支援・民間団体の支援まで求められました。 政府は'''高齢化'''対策としてまず介護保険法〔１９９７年〕を導入して、次に公的介護保険制度〔２０００年〕を導入しました。また７５歳以上対象の後期高齢者医療制度も整えて、長期的な年金制度改革も進められました。人口減少と少子高齢化の進行から社会保障の見直しと公共サービス全体の見直しも必要になりました。 '''少子化'''も進みました。合計特殊出生率は４．５４〔１９４７年〕から１．１４〔２０２５年〕へ下がりました。出生率（人口１０００人あたりの出生数）も１７〜１９人〈高度経済成長期〉から１０人〔１９９１年〕を下回りました。生涯未婚率も上がりました。その理由として子育て費用・育児施設不足・育児制度不足・晩婚化・非婚化などが挙げられます。そのため、政府は育児休業制度・保育サービスの充実を進めました。 少子化は教育にも響きました。学校の統廃合が進んでも小学校受験生・中学校受験生を増やしました。２０１０年の中学入試のように受験年齢の低下も進みました。親が子供の教育に力を入れるようになりました。 家族の組み合わせも変わりました。性別役割分担の変化・未婚者の増加から単身世帯が増えました。政府はＬＧＢＴの戸籍問題・婚姻問題・夫婦別姓問題も話し合いました。なおＬＧＢＴは性的指向者・性自認をいい、女性同性愛者のレズビアン（Ｌ）、男性同性愛者のゲイ（Ｇ）、両性愛者のバイセクシャル（Ｂ）、性別不適合者のトランスジェンダー（Ｔ）の頭文字を組み合わせています。 １９７９年、国際連合総会は「女子に対するあらゆる形態の差別の撤廃に関する条約（女子差別撤廃条約）」を採用して、日本側も数年後に当条約を受け入れました。１９８５年、国会は男女雇用機会均等法を定めてから学校の家庭科教育も男女一緒に学べるようになりました。その後、政府は男女共同参画社会基本法〔１９９９年〕と女性活躍推進法〔２０１５年〕を定めました。 女性の働き方も広がりました。２０２５年、１５〜６４歳の女性の就業率は７５．３％になり、女性労働者も増えました。結婚しても出産しても働く女性の増加から年齢別労働力率のＭ字カーブはほぼ消えました。一方、女性の正規雇用比率は年齢とともに下がっています。現在も男女間の賃金格差と女性管理職の少なさは続いています。２０２６年、常時雇用労働者１０１人以上の企業は男女間の賃金格差を発表しなければならなくなりました。 ２０１５年、東京都渋谷区は同性カップルへパートナーシップ証明制度を始め、各自治体にも広がりました。２０２３年、国会はＬＧＢＴ理解増進法もまとめました。地方裁判所は同性同士の結婚を認めない日本国憲法条文を憲法違反と伝えました。政府・自治体は同性婚・家族についてずっと話し合いました。 若者の政治参加制度も変わりました。２０１５年、選挙権年齢を満２０歳以上から満１８歳以上に引き下げました（改正公職選挙法）。２０１６年の参議院議員通常選挙から改正公職選挙法に従って投票できるようになりました。２０１５年、文部科学省は高校生の政治活動を一部解禁しました。２０１８年の民法改正から成年年齢を２０歳から１８歳に引き下げました。２０２２年から１８歳で成人になりました。２０２３年以降、大人側の意見よりも子供・若者の意見を聞いてからこども施策を決めるようになりました（こども基本法）。 社会・家族関係の変化に合わせて民法を改正しました。２０１７年、民法の債権分野［消滅時効・保証・債権譲渡・定型約款など］を約１２０年ぶりに大修正して２０２０年から使い始めました。２０２４年、民法の家族分野［離婚後の親権制度］を見直して２０２６年４月から共同親権か単独親権かを選べるようになりました。 障害者の雇用制度が変わり、障害者の権利も整えられました。１９６０年、身体障害者が会社で働けるように身体障害者雇用促進法を定めました。その後、知的障害者も精神障害者も働けるように法律を改正しました。さらに会社は従業員数に合わせて一定数の障害者を雇うようになりました（法定雇用率制度）。２０１３年の障害者雇用促進法改正から会社は障害を理由に就職差別出来なくなり、障害者本人の状況に合わせて仕事内容・職場環境を整えました（合理的配慮）。法定雇用率も上がり、２０２６年７月から民間企業は２．７％になりました。障害者雇用企業と雇用者数は長年増えても法定雇用率未達成企業ばかりになので、障害者の仕事内容・職場環境まで依然として解決していません。 ２０１６年の障害者差別解消法を導入してから一般国民も障害だけを理由に差別出来なくなりました。２０２４年、障害者本人の状況に応じて事業者側が手伝うように改正障害者差別解消法で定められました（合理的配慮）。身勝手な国民は外国人・特定民族に暴言を吐き、日本社会から追い出そうとしました。そのため、国会は２０１６年にヘイトスピーチ解消法を作りました。合わせて地方自治体側が差別解消条例を作っても、差別の解消につながりませんでした。なので、市民は差別全面禁止法［包括的な差別禁止法］を求めました。２０２４年、役所・ＮＰＯ・民間企業が社会的孤立者を見つけ、相談先・各種支援へ繋ぐようになりました（孤独・孤立対策推進法）。 会社の従業員区分も広がりました。１９８６年の労働者派遣法導入後から、派遣労働者を会社側で受け入れなければならなくなりました。１９９９年から製造業以外の業種で派遣労働者を送れるようにしました。なお、製造業は２００４年に派遣労働者を送れるようになりました。会社はバブル崩壊後の長期不況から正社員を減らし、パート・派遣労働者・契約社員・嘱託などの非正規雇用を増やしました。若者は正社員の道を閉ざされ、フリーターへ進んでしまいました。中高年もリストラで仕事を失いました。非正規雇用労働者は給料・労働条件・低賃金・契約期間短縮にも繋がってしまいました。 会社は２００８年の世界金融危機から派遣契約を途中で打ち切り、契約終了後に契約社員まで雇わなくなりました。市民団体などは年末に「年越し派遣村」を開いて、無職者へ食事・寝床を提供しました。ここから「勝ち組」「負け組」と分けるようになり、'''格差社会'''問題にも結びつきました。ひとり親世帯は生活費の不足から子どもの貧困に繋がりました。政府はこれらの対策のため就職氷河期世代を支援しつつ、どのような雇用でも同じ仕事をしたら同じように給料を受け取り、休みなども取れるようにしました。 会社は２０１８年の働き方改革関連法から残業時間上限を守り、どの労働者でも同じ仕事をしたら同じように扱わなければならなくなり、２０２０年から同一労働同一賃金も始まりました。政府の思惑と国民生活のずれから育児・介護休業法を何度も改正しました。会社は育児で仕事を休めるようにしつつ、家族の介護だけで解雇は許されなくなりました。また、会社は高齢者を労働者として雇いつつ、短時間労働者も社会保険に入れなければならなくなりました。そのため、最低賃金なども上がりました。２０２４年の特定受託事業者に係る取引の適正化等に関する法律（フリーランス・事業者間取引適正化等法）と２０２５～２０２６年の育児・介護休業制度を見直しも政府の思惑と国民生活のずれから始まっています。 [[ファイル:Sustainable_Development_Goals.png|サムネイル|306x306ピクセル|１７の持続可能な開発目標の一覧]] ２０１５年、持続可能な社会を目指す国際的な取り組みとして「持続可能な開発のための２０３０アジェンダ」が国際連合総会の全参加国賛成で決まりました。このアジェンダから<span style="color:#f29100">'''持続可能な開発目標（ＳＤＧｓ：Sustainable Development Goals）'''</span>が決まり、１７の目標［貧困・教育・環境・経済など］と１６９のターゲットも示されました。このうち、合い言葉「誰一人取り残さない」から貧困・不平等の解消・平和と公正の実現に取り組みました。しかし、紛争・気候変動・経済格差などから目標達成は遅れています。 ２０１６年、政府はＳＤＧｓ推進本部をつくりました。政府、自治体、企業などが環境を守りながら地域経済・地域社会の向上にも繋げました。２０２３年、ＳＤＧｓ実施指針が改定されました。２０２６年度も地方創生・ジェンダー平等・気候変動対策・科学技術などが重点分野になりました。 == 平成時代・令和時代の文化史・科学史 == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。 == 資料出所 == * 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年 * 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年 * 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年 * 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年 * 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年 * 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年 * 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本） * 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年 * 外園豊基編集代表『最新日本史図表』株式会社第一学習社　2026年 * 東京法令出版編著『歴史資料館　日本史のライブラリー』東京法令出版株式会社　2026年 * 各種新聞等資料・各種政府公式白書 [[カテゴリ:高等学校日本史探究]] [[カテゴリ:21世紀]] 0gmxmfwgu03bercw5yxbsi9bxnxzewz 0 48948 305105 304986 2026-10-23T21:31:12Z ~2026-54076-02 92740 /* 攻撃用AIを対策する */ 305105 wikitext text/x-wiki '''コンピュータセキュリティ'''はコンピュータの安全のことです。ここではコンピュータの安全を確保することを学びます。 == コンピュータセキュリティの基本 == コンピュータは弱いところから狙われるため、弱いところを無くすのがセキュリティの基本となります。 具体例を挙げましょう。一般的な光回線に繋がれてるホームネットワークを考えます。ここには光回線の先に繋がる上位ネットワークと家内のホームネットワーク (家庭におけるLAN) とを区切るエッジルーター（一般的にはハードウェア・ゲートウェイがこれに該当）が存在します。このホームネットワークに数台の新しいWindows PCと一台の古い機器が繋がっていると仮定します。 新しいWindows PC同士ではホームネットワーク経由でファイルをやり取りするためにファイルの共有 (SMB{{efn|Server Message Block}}) を有効にしているとします。一方、古い機器の方を脆弱性のある古いテレビとしましょう。このテレビはインターネットから繋いで地上デジタル放送を見るための DCTP+ {{efn|Digital Transmission Content Protection +}}が搭載されており、UPnP{{efn|Universal Plug and Play}}で自動的にエッジルーター搭載のファイアーウォールに穴あけてインターネット側から DCTP+ に繋がるようになっているものとします。 この仮定によってハッカーは DCTP+ の脆弱性を使って古いテレビに悪意のあるプログラムを実行させてファイルの共有サーバーを立て{{efn|Windows 11時点でもゲスト認証による接続は許可されている<ref>[https://learn.microsoft.com/en-us/windows-server/storage/file-server/smb-interception-defense?tabs=group-policy Protect SMB traffic from interception] Microsoft</ref>。}}、そこからファイルの共有を通じて新しいWindows PCにマルウェア (例えば<code>PHOTO-<ランダムな数字>.png.lnk</code><ref>[https://www.microsoft.com/en-us/security/blog/2026/06/25/photo-zip-campaign-targeting-hospitality-industry-delivers-node-js-implant-persistent-access/ Photo ZIP campaign targeting hospitality industry delivers Node.js implant for persistent access] Microsoft 2026年6月25日</ref>) を送り込むことが可能となりました。 == 安全にパスワードを使う == === 流出したパスワードと被ってないかをチェックする === あちこちのサイトで流出したパスワードは集められてデータベース化されダークネットに流通しています。この代表的なものには2019年に登場した [[:w:en:Collection No. 1|Collection #1]] が挙げられます。この Collection #1 などの流出パスワードデータベースは辞書攻撃に利用されており、これは「Credential Stuffing攻撃」と呼ばれています。 使うパスワードが流出パスワードデータベースに載っていないかを確認するためには上記のデータベースを手に入れるか、上記のデータベースからk-匿名性で検索を行うオンラインサービスを使うと良いでしょう。 このオンラインサービスの代表的なものにはWebサイト「Have I Been Pwned」の提供する「Pwned Passwords」サービスが存在しますが、このAPIではパスワードのSHA-1ハッシュ先頭5文字を渡すと、流出したパスワードのSHA1ハッシュ6文字以降と流出データベースに載っていた回数が返答されます。 <syntaxhighlight lang="shell-session"> $ # License: CC0 / Public Domain $ # パスワードを入力してSHA-1ハッシュへと変換する（ここでは'test'と入力） $ sha1=$(read -sp "Password: " pass && echo -n $pass | sha1sum | cut -d' ' -f1) Password: $ # 変換後のハッシュを表示 $ echo $sha1 a94a8fe5ccb19ba61c4c0873d391e987982fbbd3 $ # ハッシュの先頭5文字を渡して6文字目以降を検索（':'の後ろは見つかった数） $ curl -s https://api.pwnedpasswords.com/range/$(echo $sha1 | cut -c 1-5) | grep -i $(echo $sha1 | cut -c 6-) FE5CCB19BA61C4C0873D391E987982FBBD3:1579235 </syntaxhighlight> ハッシュの先頭5文字も渡したくない場合や、自社サービスでチェックを行いたい場合は上記のサービスが公式で提供するツール「haveibeenpwned-downloader」[https://github.com/HaveIBeenPwned/PwnedPasswordsDownloader]で全てのハッシュデータをダウンロードして自前で照合しましょう。 === 解析耐性のある鍵導出関数を使う === パスワードでは計算負荷の低い SHA-256 や SHA-512 などの通常のハッシュ関数、メモリ負荷の低い [[:w:PBKDF2|PBKDF2]] や bcrypt などの古い[[:w:鍵導出関数|鍵導出関数]]（パスワードハッシュ関数）を使わないようにしましょう。これらの弱いハッシュ関数は GPU や ASIC で高速に解かれてしまいます。 より強いパスワードハッシュ関数としては yescrypt や Argon2id が存在します。パスワードにはこちらを使いましょう。現代の Linux ではアカウントのパスワードハッシュ関数として yescrypt が標準となっています。 使っている Linux の新規アカウントで使われるパスワードハッシュ関数は以下で確認可能です: <syntaxhighlight lang="shell-session"> $ grep -n 'pam_unix.so' /etc/pam.d/common-password 26:password [success=2 default=ignore] pam_unix.so obscure use_authtok try_first_pass yescrypt </syntaxhighlight> Linuxの現在のアカウントがどのハッシュ関数を使用しているかは以下で確認可能です: <syntaxhighlight lang="shell-session"> $ sudo cat /etc/shadow | grep $USER # $(1|5|6|b)$=弱い、$y$=強い user:$y$j9T$ST7oYwlQjFy7/8vnL/Ugt0$po4vW4qgGu8lpUNRtH0B3hDHGZACzcRhzIKhqlx.2Z5:20743:0:99999:7::: </syntaxhighlight> 弱いハッシュ関数を使用している場合は<code>passwd $USER</code>でパスワードを再設定して使用するハッシュ関数を更新してください。 一方、Windows 10 以前のローカルアカウントではパスワードハッシュがレジストリの<code>HKEY_LOCAL_MACHINE\<wbr>SAM\<wbr>SAM\<wbr>Domains\<wbr>Account\<wbr>Users\<wbr>(ユーザーID)\<wbr>V</code>{{efn|name="sam"}}のバイナリの以下の場所に存在します: * [[:w:LMハッシュ|LMハッシュ]]: 0xCC + (0x9C に指定されたオフセット)<ref name="sam-ghost"/> * NTLMハッシュ: 0xCC + (0xA8 に指定されたオフセット)<ref name="sam-ghost"/> LMハッシュは [[:w:LAN Manager|LAN Manager]] に使われていた [[:w:Data Encryption Standard|DES]] ベースの古いハッシュ、NTLMハッシュは [[:w:NT LAN Manager|NT LAN Manager]] に使われている [[:w:MD4|MD4]] ベースの古いハッシュであり、どちらも非常に弱いものとなっていました。 また Windows の Active Directory ドメインアカウントのオフライン認証向けキャッシュ済みドメイン資格情報はレジストリの<code>HKEY_LOCAL_MACHINE\<wbr>SECURITY\<wbr>Cache</code>に存在します: * DCC1 ハッシュ (MSCache v1): 弱い MD4 ベース。Windows XP以前。 * DCC2 ハッシュ (MSCache v2) : 弱めの PBKDF2-HMAC-SHA1 ベース。Windows Vista以後<ref>[https://attack.mitre.org/techniques/T1003/005/ OS Credential Dumping: Cached Domain Credentials] MITRE 2025年10月24日</ref>。 2021年にリリースされた Windows 11 以降は Microsoft アカウントが必須となっています。 <!--TODO: Windows Hello、LSA Secrets === パスワードの複雑性をチェックする === === TPMで鍵を隔離する === --> == 既製製品の脆弱性を塞ぐ == まずは弱いところを無くしましょう。 === ソフトウェアアップデートをする === セキュリティの基本はソフトウェアアップデートです。 ==== PCおよびモバイル ==== PC{{efn|PCサーバを含む}}やモバイルでは基本的に自動で通知が来るので忘れずにアップデートを選択しましょう。手動では以下のように行います: ; Windows : システムのアップデートは基本的に [[:w:Microsoft Update|Microsoft Update]] (Windows Update) で、アプリケーションのアップデートは基本的に<code>winget upgrade --all</code>コマンドで行います。 : また Windows 11 Enterprise では再起動が不要なホットパッチにも対応しています。 ; macOS / iOS : 「ソフトウェアアップデート」 ; Ubuntu / Debian : [[:w:APT|APT]]パッケージ管理システムでは<code>apt upgrade</code>コマンドで更新を行います。 : Ubuntu では GUI による更新用として[[:w:Software Updater|Software Updater]] (<code>update-manager</code>コマンド)、[[:w:Snap (ソフトウェア)|Snap]]パッケージの更新コマンドとして<code>snap refresh</code>、メジャーバージョンの更新コマンドとして<code>do-release-upgrade</code>も存在します。 : また Ubuntu では Ubuntu Pro に登録することで再起動が不要なカーネル修正の「Livepatch」も可能となります（個人では5台まで無料）。SUSEではユーザー空間ライブパッチングまで提供されています（glibc と openssl のみ）<ref>[https://documentation.suse.com/ja-jp/sles/15-SP6/html/SLES-all/cha-ulp.html ユーザ空間ライブパッチ - 管理ガイド - SLES 15 SP6] SUSE</ref>。 ; RedHat / Fedora : <code>yum update</code>コマンド ; Android : 「設定」アプリ→「システム」→「システムアップデート」または「ソフトウェアアップデート」 また個々のハードウェアのファームウェアアップデートは以下で行います: ; Linux : Linuxにおけるファームウェアの更新は基本的に<code>fwupdmgr update</code>コマンドで行います。 : NVMe SSDのファームウェアの更新は<code>nvme fw-download</code>コマンドおよび<code>nvme fw-commit</code>コマンドで行うことができます。 一方、Windows ではファームウェアのアップデートも Windows Update 経由で<ref>[https://learn.microsoft.com/ja-jp/windows-hardware/drivers/bringup/firmware-update ファームウェアの更新] Microsoft</ref>、macOS ではファームウェアのアップデートもmacOSアップデートで行うことができます<ref>[https://support.apple.com/ja-jp/guide/mac-help/mchlp2609/mac Macのファームウェアアップデートの入手方法] Apple</ref>。 <!-- また開発環境では以下も存在します: ; Python : <code>pip -U install</code> --> ==== ルーター ==== ルーターでは以下の設定を有効のままにしておきましょう: ; AirStationシリーズ（Buffalo 製ルーター） : 「ファームウェア自動更新機能」 ; Atermシリーズ（NEC 製ルーター） : 「メンテナンスバージョンアップ機能」「時刻指定バージョンアップ機能」 ==== テレビ ==== テレビでは放送波アップデートが行われるため、「放送波による自動更新」<!--TODO: メーカー別名-->を有効にしましょう。 === 高速に再起動する === パッケージは更新しただけでは反映されません（一部デーモンの更新を除く）。Linuxでは高速に再起動する方法が存在し、これによってダウンタイムを減らすことができます。 ; 更新で影響を受けるデーモンのみ再起動する :* Ubuntu Server: 標準で <code>needrestart</code> が導入されており自動で影響を受けるデーモンの再起動が行われます{{efn|自動的なデーモン再起動を止めるには /etc/apt/apt.conf.d/99needrestart より<code>-m u</code>を削除する必要があります<ref>[https://discourse.ubuntu.com/t/needrestart-changes-in-ubuntu-24-04-service-restarts/44671 `needrestart` changes in Ubuntu 24.04: service restarts] Canonical 2024年</ref>。}}（Ubuntu Desktopでは別途導入が必要）。 :* RedHat / Fedora: <code>dnf needs-restarting</code>が導入されており、それによって再起動するべきデーモンを確認できます。 ; ユーザー空間のみ再起動する（カーネルの更新がない、またはカーネルでlive patchingを行ってる場合） : <code>sudo systemctl soft-reboot</code> ; 高速にカーネルを更新する（ファームウェアの更新がない場合） : <code>sudo systemctl kexec</code> また一部のソフトウェアではホットアップグレード（無停止アップグレード{{efn|Zero-Downtime Upgrade}}）にも対応しています (nginx の USR2 シグナル<ref>[https://nginx.org/en/docs/control.html Controlling nginx] nginx</ref>など)。 === 代替ソフトウェアを探す === 更新が停止された古いソフトウェアの多くはそれ自身に脆弱性が存在したり、脆弱性のある古いライブラリに依存していたりします。そのため古いソフトウェアは速やかに代替ソフトウェアへと移行しましょう。 ==== 開発終了したソフトウェアから現役のソフトウェアへ ==== 古いソフトウェアには例えば以下があります: * オフィススイート（代替候補: LibreOffice） ** [[:w:OpenOffice.org|OpenOffice.org]]（〜2011年） * 画像ビューア ** [[:w:Susie|Susie]] （〜2013年） * メディアプレイヤー ** [[:w:QuickTime|QuickTime]] for Windows（〜2016年） - リモートコード実行の脆弱性 ([https://www.zerodayinitiative.com/advisories/ZDI-16-241/ ZDI-16-241]、[https://www.zerodayinitiative.com/advisories/ZDI-16-242/ ZDI-16-242]) を残したままサポート終了しました<ref>[https://internet.watch.impress.co.jp/docs/news/753400.html Apple、「QuickTime for Windows」のサポートを終了、アンインストールを推奨] Impress 2016年4月15日</ref>。 * メディアフィルター（代替候補: LAV Filters） ** [[:w:ffdshow|ffdshow]]（〜2014年） ** [[:w:Haali Media Splitter|Haali Media Splitter]]（〜2013年） * メディアセンター（代替候補: Kodi） ** [[:w:en:Boxee|Boxee]]（〜2011年） ** [[:w:Kodi|XBMC]]（〜2014年） - Kodiの前身 * 圧縮ソフトウェア ** [[:w:+Lhaca|+Lhaca]]（〜2007年） ** [[:w:Lhaplus|Lhaplus]]（〜2017年） またハードウェアに由来する古いソフトウェアには例えば以下があります: * [[w:ウォークマン|ウォークマン]]関連（代替候補: [[:w:Music Center for PC|Music Center for PC]]） ** [[:w:CONNECT Player|CONNECT Player]]（〜2007年、Sony） ** [[:w:SonicStage|SonicStage]]（〜2009年、Sony） ** [[:w:x-アプリ|x-アプリ]]（〜2016年、Sony） * DTCP-IP関連 ** SmartVision/PLAYER powered by DiXiM（〜2019年、NEC）<ref>[https://support.nec-lavie.jp/navigate/support/info/2019/announce/svp/ SmartVision/PLAYER保守サービス終了のお知らせ] NECパーソナルコンピュータ 2019年1月28日</ref><ref>[https://apps.microsoft.com/detail/9wzdncrdkb4c?hl=ja-JP&gl=JP SmartVision/PLAYER powered by DiXiM] Microsoft</ref> ** DiXiM Digital TV plus for I-O DATA（〜2022年、I-O DATA）<ref>[https://www.iodata.jp/lib/product/d/3533.htm DiXiM Digital TV plus for I-O DATA] I-O DATA</ref> なお仮想マシンを使って隔離しながら古いソフトウェアを動かすこともできますが、仮想マシンでも「VMエスケープ」の脆弱性を使用することでホスト環境への侵害が可能なため、仮想マシンの上で弱い環境や弱いソフトウェアを使うこともなるべく避けましょう。<!--TODO: Windows Sandbox--> ==== 古いバージョンのライブラリを避ける ==== 多くのソフトウェアに使用されているライブラリとその過去の危険な脆弱性には例えば以下があります:<!--危険を認識させる。例はライブラリ内のメイン処理に存在し、任意コード実行であり、脆弱性の存在期間が長く、新しいものが好ましい。--> * 画像ライブラリ ** libpng - [https://access.redhat.com/security/cve/cve-2010-1205 CVE-2010-1205]（PNG画像で任意コード実行の可能性） ** libjpeg-turbo - [https://access.redhat.com/security/cve/cve-2012-2806 CVE-2012-2806]（JPEG画像で任意コード実行の可能性） ** OpenJPEG - [https://access.redhat.com/security/cve/cve-2025-54874 CVE-2025-54874]（JPEG2000画像で任意コード実行の可能性） ** libtiff - [https://access.redhat.com/security/cve/cve-2026-12912 CVE-2026-12912]（PixarLog圧縮TIFF画像で任意コード実行の可能性） ** libwebp - [https://access.redhat.com/security/cve/cve-2023-4863 CVE-2023-4863]（WebP画像で任意コード実行の可能性） * 動画ライブラリ ** FFmpeg - [https://access.redhat.com/security/cve/cve-2024-22860 CVE-2024-22860]（JPEG XLアニメーションで任意コード実行の可能性） * 圧縮ライブラリ ** libarchive - [https://access.redhat.com/security/cve/cve-2026-15028 CVE-2026-15028]（tarアーカイブ形式で任意コード実行の可能性） ** zlib - [https://access.redhat.com/security/cve/cve-2002-0059 CVE-2002-0059]（Deflate圧縮形式で任意コード実行の可能性） ** bzip2 - [https://access.redhat.com/security/cve/cve-2010-0405 CVE-2010-0405]（BZ2圧縮形式で任意コード実行の可能性） これらのライブラリはABI（アプリケーションバイナリインターフェイス）が変更されて新しいバージョンの共有ライブラリにドロップイン置換できないものも多くなっています。 また国内で使われている古いソフトウェアでは開発中止になった以下のライブラリも問題となっています: * UNLHA32.DLL<ref>[https://forest.watch.impress.co.jp/docs/news/372729.html 圧縮・解凍用DLL「UNLHA32.DLL」が開発中止、作者はLZHの利用中止を呼びかけ] Impress 2010年6月7日</ref> Webフレームワークでは開発中止となった以下のフレームワークが問題となっています: * [[:w:Model View Controller|Model View Controller]]フレームワーク（代替候補: [[:w:Apache Struts|Apache Struts]] 2、[[:w:Spring Framework#Model-View-Controller フレームワーク|Spring MVC]]） ** [[:w:en:Apache Struts 1|Apache Struts 1]]（〜2008年） - Java言語 * [[:w:アスペクト指向プログラミング|アスペクト指向フレームワーク]]（代替候補: [[:w:Spring Framework|Spring Framework]]、[[:w:en:Micronaut (framework)|Micronaut]]） ** [[:w:Seasar|Seasar]]（〜2016年） - Java言語 * [[:w:シングルページアプリケーション|シングルページアプリケーション]]フレームワーク（代替候補: [[:w:Angular|Angular]]、[[:w:Vue.js|Vue.js]]） ** [[:w:AngularJS|AngularJS]]（〜2022年） - JavaScript === 古いハードウェアに対処する === サポート切れの OS を搭載したハードウェアはどうすれば良いでしょうか。これには使い続けるいくつかの方法がありますが、基本的にオススメしません。古い OS を搭載していたハードウェアはハードウェア仕様も古いからです。 ==== スタンドアロン運用 ==== 古いハードウェアはインターネットに繋がずに使用すること（スタンドアロン運用）も可能です。 しかしながらUSBメモリでデータをやり取りする場合はUSBメモリ経由での感染などのリスクは残ります。 ==== 新しめのLinuxを導入 ==== 新しめのLinuxを導入するという方法もあります。 これに適したものでは例えばWindows 11非対応のPC (Intel 第7世代以前、AMD Ryzen 1000シリーズ以前) が挙げられます。 またスマートフォンやタブレットであればカスタムROMが、ルーターであればDD-WRTやOpenWRTが存在します。 ==== 手放す ==== 手に負えなければデータだけバックアップして手放しましょう。情報が漏れないよう初期化も忘れずに。 == 不要なサービスを止める / 削除する == {| class="wikitable" |+ サービス表示系コマンド |- ! 稼働中のシステムサービスを見る | <code>systemctl --type=service --state=running</code> |- ! 稼働中のユーザーサービスを見る | <code>systemctl --user --type=service --state=running</code> |} === TCP/UDP経由のサービス === TCP/UDPでのポート待ち受けのあるプロセスを見るには <code>sudo ss -tulnp</code> を、通信しているプロセスを見るには <code>sudo lsof -i -P -n</code> を実行しましょう。 {| class="wikitable" |+ 主なポート待ち受けのあるプロセス |- ! ポート !! 機能 !! プロセス名 !! サービス名または起動コマンド !! パッケージ名 (Ubuntu) || 直接問い合せコマンド |- | rowspan=2 | 53/UDP<br>53/TCP || rowspan=2 | DNS（名前解決） || systemd-resolved || systemd-resolved.service || systemd-resolved || <code>dig @127.0.0.53 example.com</code> |- | dnsmasq || dnsmasq.service<br/>dnsmasq@.service || dnsmasq-base<br>dnsmasq || <code>dig @10.208.199.1 example.com</code> |- | rowspan=2 | 5353/UDP || rowspan=2 | [[:w:マルチキャストDNS|マルチキャストDNS]] || systemd-resolved || systemd-resolved.service || systemd-resolved || <code>resolvectl -p mdns query $HOSTNAME.local</code> |- | Avahi || avahi-daemon.service || avahi-daemon || <code>avahi-resolve-host-name $HOSTNAME.local</code> |- | 67/UDP<br>547/UDP || [[:w:DHCP|DHCP]]<br>[[:w:DHCPv6|DHCPv6]] || dnsmasq || dnsmasq.service<br/>dnsmasq@.service || dnsmasq-base<br>dnsmasq || <code>IP=$(ip -4 -o addr show pan1 &vert; grep -oP '(?<=inet )[\d.]+'); sudo dhcping -v -i -s "$IP" -c "$IP"</code>{{efn|Ubuntuではdhcpingパッケージの導入が必要です。}} |- | rowspan=2 | 68/UDP<br>546/UDP || rowspan=2 | DHCPクライアント<br>DHCPv6クライアント{{efn|単独のDHCPクライアントである dhclient、dhcpcd なども存在する。また開発終了になったisc-dhcp-clientも存在した。}} || systemd-networkd<wbr>{{efn|name="network-all"}} || || systemd || |- | NetworkManager<wbr>{{efn|name="network-all"|ネットワーク管理全般を担当しています。}} || NetworkManager.service || network-manager || |- | rowspan=2 | 123/UDP<br>4460/TCP || rowspan=2 | NTP（時刻同期）<br>NTS-KE （NTPの鍵交換）{{efn|これらの代替として systemd-timesyncd もありますが、こちらは NTP の代わりに単純な SNTP のみ実装の上、サーバーを持たずクライアント側のみ対応です。}} || ntpd || ntpsec.service || ntpsec || rowspan=2 | <code>ntpdig localhost</code>{{efn|ローカルへのNTP問い合せは<code>ntpdate -q localhost</code>でもできますが、こちらはNTP-KE非対応です。}} |- | chronyd || chrony.service || chrony |- | 80/TCP<br>443/HTTP<br>443/UDP || HTTP<br>HTTPS<br>HTTP/3 (QUIC) || apache2 || apache2.service<br>apache2@.service<br>httpd.service<br>httpd@.service || apache2 || HTTP: <code>curl http://localhost</code><br>HTTPS: <code>curl --http2 https://localhost</code><br>HTTP/3: <code>curl --http3-only https://localhost</code> |- | rowspan=2 | ユーザーポート/UDP || rowspan=2 | HTTP/3 (QUIC) クライアント<br>WebRTCクライアント || chrome{{efn|Google Chrome}} || <code>google-chrome</code> || google-chrome (公式APTリポジトリ) || |- | firefox{{efn|Mozzila Firefox}} || <code>firefox</code> || firefox (snap) || |- | rowspan=2 |21/TCP<br>20/TCP{{efn|アクティブモードのみデータ転送で使われます。}} || rowspan=2 | FTP || proftpd || proftpd.service<br>proftpd@.service || proftpd-core || rowspan=2 | <code>curl ftp://localhost</code> |- | vsftpd || vsftpd.service || vsftpd |- | 22/TCP || SSH / SFTP || sshd || ssh.service<br>sshd@.service || openssh-server || <code>ssh-keyscan 127.0.0.1</code> |- | rowspan=2 | 6881/TCP || rowspan=2 | BitTorrent || qbittorrent || <code>qbittorrent</code> || qbittorrent || |- | ktorrent || <code>ktorrent</code> || ktorrent || |- | rowspan=2 | 51413/TCP || rowspan=2 | Transmission<wbr>{{efn|BitTorrentプロトコル。TransmissionをベースとするFragmentsも同ポートを使用します。}} || transmission-daemon || transmission-daemon.service || transmission-daemon || |- | transmission-gtk || <code>transmission-gtk</code> || transmission-gtk || |- | 5001/TCP<br>5001/UDP || rowspan=2| ネットワークパフォーマンス計測 || iperf || <code>iperf -s</code> || iperf || <code>iperf -c localhost</code> |- | 5021/TCP<br>5021/UDP || iperf3 || <code>iperf3 -s</code> || iperf3 || <code>iperf3 -c localhost</code> |- | 1716/UDP<br>1716/TCP<br>ユーザーポート/UDP || スマートフォン連携 (KDE) || kdeconnectd || <code>kdeconnect-app</code> || kdeconnect || |- | ユーザーポート/TCP || Claude Proxy Service || code{{efn|[[:w:Visual Studio Code|Visual Studio Code]]のプロセス。}} || <code>code</code> || code (公式APTリポジトリ) || <!-- |- | || AI コーディング支援 (Google Antigravity CLI{{efn|Command Line Interface}}) || agy || || (Visal Studio Code拡張) || --> |- | rowspan=2 | 3389/TCP<br>3389/UDP || rowspan=2 | Remote Desktop Protocol || gnome-remote-desktop-daemon{{efn|GNOME Remote Desktop}} || gnome-remote-desktop.service<!-- (system)--><br>gnome-remote-desktop.service (user)<br>gnome-remote-desktop-headless.service (user) || gnome-remote-desktop || |- | krdpserver || app-org.kde.krdpserver.service (user) || krdp || |- | 47984/TCP<br>47989/TCP<br>48010/TCP<br>47998–48010/UDP || NVIDIA GameStream || sunshine || app-dev.<wbr>lizardbyte.<wbr>app.<wbr>Sunshine.service (user) || sunshine (公式debファイル) || (moonlight-qt) |- | 27031-27036/UDP<br>27036/TCP || Steam Remote Play<ref>[https://help.steampowered.com/ja/faqs/view/2EA8-4D75-DA21-31EB Steam接続に必要なポート] Valve</ref> || steam || <code>steam</code> || steam (公式APTリポジトリ) || |- | 1900/UDP || UPnP{{efn|パケットフィルタと共に使用して要求に従ってポートマッピングする。}} || miniupnpd || miniupnpd.service || miniupnpd-nftables<br>miniupnpd-iptables || |} なおUPnPのポートは外側に解放しないようにしましょう。また内側にだけ解放した場合も内側に侵害された機器が存在する場合に危険となるのでVLANでネットワークを分けるなどを心がけましょう。 <!--TODO: CUPS、Postfix、Samba、Wsdd--> === Unix Domain経由のサービス === Unix Domainでのポート待ち受けのあるプロセスを見るには <code>sudo ss -xlp</code> を実行しましょう。 === dbus経由のサービス === システムバスは <code>busctl --system list</code>、セッションバスは <code>busctl --user list</code> で確認することができます。 それらを提供する実行中のプロセスの一覧は以下で取得できます: * システムバスを提供するプロセス: <code>busctl --system --no-pager | awk 'NR>1 && $2 ~ /^[0-9]+$/ {print $2}' | xargs -I {} readlink "/proc/{}/exe" | sort -u</code> * ユーザーバスを提供するプロセス: <code>busctl --user --no-pager | awk 'NR>1 && $2 ~ /^[0-9]+$/ {print $2}' | xargs -I {} readlink "/proc/{}/exe" | sort -u</code> dbusサービスの一部はプロセス未実行のアクティベータブル (activatable) な状態で提供されています。アクティベータブルな状態で提供するサービスの実行コマンドは以下で取得できます: * activatableなシステムバスの実行コマンド: <code>busctl --system --no-pager --activatable | awk '{print $1}' | xargs -I {} find /usr/share/dbus-1 -name "{}.service" | xargs grep -h "Exec=" | sed 's/Exec=//g' | sort -u</code> * activatableなユーザーバスの実行コマンド: <code>busctl --user --no-pager --activatable | awk '{print $1}' | xargs -I {} find /usr/share/dbus-1 -name "{}.service" | xargs grep -h "Exec=" | sed 's/Exec=//g' | sort -u</code> == 潜在的な脆弱性を減らす == 現代のプログラムでは以下のような保護が行われています。 === メモリアドレスの推測困難化 === 攻撃に必要なコード片（ガジェット）のメモリアドレスを推測しにくくするために、カーネル空間、ユーザー空間の両方で[[:w:アドレス空間配置のランダム化|アドレス空間配置のランダム化]]（ASLR）が行われています。カーネル空間の ASLR は KASLR (Kernel ASLR) とも呼ばれています。 ユーザー空間のプログラムで ASLR を有効にするためには[[:w:位置独立コード|位置独立コード]] (PIC) / 位置独立実行形式 (PIE) である必要があります。Unix で使われる実行形式の ELF では位置独立実行形式が ET_DYN、非位置独立実行形式 (non-PIE) が ET_EXEC となります。 Linuxでは ASLR が無効となる非位置独立実行形式のファイルを以下で検索することができます: <syntaxhighlight lang="shell-session"> $ # License: CC0 / Public Domain $ # 非位置独立実行形式 (non-PIE) のバイナリを検索 $ find / -type f -executable 2>/dev/null | xargs -I {} sh -c 'LANG=C readelf -h {} 2>/dev/null | grep -E "Type:.*EXEC" >/dev/null && echo {}' /usr/lib/default.sfx /usr/lib/klibc/bin/mkfifo /usr/lib/klibc/bin/zcat /usr/lib/klibc/bin/poweroff [...] $ # 非位置独立実行形式 (non-PIE) のバイナリを含むDebianパッケージを検索 $ find / -type f -executable 2>/dev/null | xargs -I {} sh -c 'LANG=C readelf -h {} 2>/dev/null | grep -E "Type:.*EXEC" >/dev/null && echo {}' | xargs -r -d '\n' -n1 dpkg-query -S | sed 's/: .*//' | sort -u aidl busybox-static code cpp-15-x86-64-linux-gnu cuda-gdb-13-4 cuda-nvcc-13-4 cuda-sanitizer-13-4 cuda-tileiras-13-4 debugedit g++-15-x86-64-linux-gnu gcc-15-x86-64-linux-gnu gcc-mingw-w64-i686-posix gdc-15-x86-64-linux-gnu gds-tools-13-4 gfortran-15-x86-64-linux-gnu gh git-lfs gobjc-15-x86-64-linux-gnu gocryptfs golang-1.26-go go-md2man go-mtpfs [...] </syntaxhighlight> 現在のLinuxカーネルがユーザー空間 ASLR を有効にしているかは以下で確認できます (出力例はUbuntu 26.04): <syntaxhighlight lang="shell-session"> $ sysctl kernel.randomize_va_space # 0=無し、1=部分的、2=完全 kernel.randomize_va_space = 2 </syntaxhighlight> また現在のLinuxカーネルがカーネル ASLR (KASLR) を有効にしているかは以下で確認できます (出力例はUbuntu 26.04): <syntaxhighlight lang="shell-session"> $ grep 'CONFIG_RANDOMIZE_BASE' /boot/config-$(uname -r) # y=Yes, n=No CONFIG_RANDOMIZE_BASE=y </syntaxhighlight> なお ASLR は間接的な関数呼び出し（ C++ の vtable を含む）があると、そのアドレスから ASLR のオフセットがバレてしまい突破されてしまいます。 また CPU の[[:w:投機的実行|投機的実行]]での情報漏れ (Spectre) による[[:w:キャッシュ攻撃|キャッシュサイドチャネル攻撃]]（後述）の一つである「投機的探査」 (BlindSide) によってもコードの位置情報の取得がされ ASLR が突破されてしまいます。 === 投機的実行の情報漏れ防止 === 前述のとおり、投機的実行による情報漏れ (Spectre) は攻撃に繋がります。Spectre には境界チェックを迂回する Spectre V1 と間接分岐の分岐先アドレスのキャッシュ{{efn|分岐先バッファ (Branch Target Buffer、BTB)や分岐先アドレスキャッシュ (Branch Target Address Cache、BTAC) と呼ばれる。}}を汚染する Spectre V2 が存在します。<!--TODO: Spectre v3/v4、Zenbleed--> Spectre V1 を防ぐ方法としては投機的実行を阻害するための命令（x86ではLFENCE）の挿入{{efn|Linuxカーネルでの投機的実行の防止は<code>barrier_nospec()</code>。}}やアクセスできるアドレス範囲を狭めることが行われています{{efn|GCCでの投機的実行での範囲外アクセス防止は<code>__builtin_speculation_safe_value(...)</code>、Linuxカーネルでの投機的実行での範囲外アクセス防止は<code>array_index_nospec(...)</code><ref>[https://lwn.net/Articles/759423/ Spectre V1 defense in GCC] LWN 2018年7月10日</ref>。}}。 また Spectre V2 では攻撃を防ぎながらも速度を落とさない方法として脆弱な分岐先アドレスキャッシュに依存する間接分岐の代わりにリターンアドレスのキャッシュ{{efn|リターンスタックバッファ (RSB) と呼ばれる。}}に依存するリターン命令を使う retpoline が登場しました。しかしながらこの retpoline でも速度の低下は起こるため、既知の間接呼び出しを条件分岐 + 直接呼び出しに変換して高速化する手法が模索されました。LLVM では retpoline を有効にする <code>-mretpoline</code>フラグの処理内に既知の仮想関数呼び出しを[[:w:二分木|二分木]]の直接分岐に置き換える「分岐ファネル」(Branch funnel) が導入されています<ref>[https://reviews.llvm.org/D42453 Use branch funnels for virtual calls when retpoline mitigation is enabled.] LLVM project</ref>。また Linux カーネルでも既知の間接呼び出しを条件分岐 + 直接呼び出しに変換する INDIRECT_CALL_* マクロが搭載されています<ref>[https://lwn.net/Articles/774743/ Relief for retpoline pain] LWN 2018年12月14日</ref>。<!--TODO: Intel CETのSHSTKとretpolineの衝突--> 一方、リターン命令の投機的実行も「Retbleed」や AMD CPU における「投機的リターンスタックオーバーフロー」 (SRSO){{efn|Speculative Return Stack Overflow。}}のような脆弱性が見つかっています。 なお低権限コードから高権限コードへの権限境界をまたいだ Spectre および Retbleed は Intel の「間接分岐制限付き投機」(IBRS){{efn|Indirect Branch Restricted Speculation。}}およびそれを高速化した「拡張IBRS」(eIBRS) などハードウェア側によって塞がれました<ref>[https://www.intel.com/content/www/us/en/developer/articles/technical/software-security-guidance/technical-documentation/hardware-behavior-related-to-speculative-execution.html Hardware Features and Behavior Related to Speculative Execution] Intel 2026年10月14日</ref>が、権限境界をまたがないものは今も可能となっています。 === メモリにおける書き込みと実行の排他化 (W^X) === メモリでは書き込み可能領域の実行不可化 ([[:w:NXビット|NXビット]]) と実行可能領域の書き込み不可化による書き込みと実行の排他化（[[:w:en:W^X|W^X]]）が一般的となっています。NXビットは x86 では NXビットは AMD64 と共に搭載された古い機能であるため、今時の CPU と OS は基本的にこれに対応しています。 現在の CPU がNXビットを有効にしているかはLinuxでは以下で確認できます: <syntaxhighlight lang="shell-session"> $ grep '^flags' /proc/cpuinfo | grep -o nx nx nx [...] </syntaxhighlight> 現在のLinuxカーネルが厳格な W^X を有効にしているかは以下で確認できます (出力例はUbuntu 26.04): <syntaxhighlight lang="shell-session"> $ grep '_RWX' /boot/config-$(uname -r) # y=Yes, n=No CONFIG_ARCH_HAS_STRICT_KERNEL_RWX=y CONFIG_STRICT_KERNEL_RWX=y CONFIG_ARCH_HAS_STRICT_MODULE_RWX=y CONFIG_STRICT_MODULE_RWX=y </syntaxhighlight> しかしながら書き込みと実行の排他の原則を破ってそれらを同時に行える場所というものも存在しています。読み込み・書き込み・実行が可能なことから「RWXセクション」と呼ばれています。Windows ではメモリページの PAGE_EXECUTE_READWRITE フラグがこれに相当します<ref>[https://learn.microsoft.com/ja-jp/windows/win32/memory/memory-protection-constants メモリ保護定数] メモリ保護定数 (WinNT.h) - Win32 apps | Microsoft Learn</ref>。 Windows のカーネルドライバでは NX フラグの使用が義務付けられています<ref>[https://learn.microsoft.com/en-us/windows-hardware/test/hlk/testref/driver-compatibility-with-device-guard メモリ整合性と VBS とのドライバ互換性] Microsoft</ref>が、その Windows カーネルにおいても PatchGuard の領域がコード難読化のためにこの原則を破っています。<!--TODO: ホットパッチ--> また Linux でも実行可能領域を書き込み可能ページとして割り当てて書き込む text_poke 関数が用意されています。 === 制御フローの操作を防ぐ (CET) === 現代では「[[:w:Return-oriented programming|リターン指向プログラミング]]」(ROP)、「呼び出し指向プログラミング」 (COP)、「ジャンプ指向プログラミング」(JOP) 、「[[:en:Sigreturn-oriented programming|Sigreturn指向プログラミング]]」(SROP) などの制御フロー操作による攻撃が一般化していますが、これを防ぐ技術として「[[:w:en:Control-flow integrity#Intel Control-flow Enforcement Technology|制御フロー強制テクノロジー]]」(CET) の「[[:w:en:Indirect branch tracking|間接分岐追跡]]」(IBT) と「[[:w:en:Shadow stack|シャドウスタック]]」(SHSTK) が存在します。 制御フロー強制は比較的新しい技術であるため、対応する CPU は以下に限られます: * Intel Core (Tiger Lake) 第11世代以降 * AMD Zen 3 以降（シャドウスタックのみ） 現在の CPU が間接分岐追跡 (IBT) およびシャドウスタックに対応しているかはLinuxでは以下で確認できます: <syntaxhighlight lang="shell-session"> $ grep '^flags' /proc/cpuinfo | grep -oE '(ibt|shstk)' shstk ibt shstk ibt [...] </syntaxhighlight> またユーザーランドのシャドウスタックの使用にはユーザーランドだけでなくカーネルの対応も必要となります。Linux カーネル では 6.6 以降対応でこれに対応しています（sigreturnにも対応<ref>[https://github.com/torvalds/linux/commit/05e36022c0543ba55a3de55af455b00cb3eb4fcc x86/shstk: Handle signals for shadow stack · torvalds/linux@05e3602] GitHub 2023年8月3日</ref>）。 Linuxディストリビューションでは Ubuntu 24.04以降、 Red Hat Enterprise Linux 9.7 以降<ref>[https://docs.redhat.com/ja/documentation/red_hat_enterprise_linux/9/html/9.7_release_notes/new-features-kernel 4.8. カーネル - 9.7 リリースノート - Red Hat Enterprise Linux - 9 - Red Hat Documentation] Red Hat</ref>が標準でシャドウスタックを有効としています。 現在のLinuxカーネルが間接分岐追跡およびシャドウスタックを有効にしているかは以下で確認できます (出力例はUbuntu 26.04): <syntaxhighlight lang="shell-session"> $ grep -E '_(IBT|SHADOW_STACK)' /boot/config-$(uname -r) # y=Yes, n=No CONFIG_CC_HAS_IBT=y # CONFIG_X86_KERNEL_IBT is not set CONFIG_X86_USER_SHADOW_STACK=y CONFIG_X86_DISABLED_FEATURE_IBT=y CONFIG_ARCH_HAS_USER_SHADOW_STACK=y </syntaxhighlight> 現在のユーザーランドプログラムの中で間接分岐追跡またはシャドウスタックが無効化されているものはLinuxでは以下で確認できます: <syntaxhighlight lang="shell-session"> $ # License: CC0 / Public Domain $ # 間接分岐追跡またはシャドウスタックが無効化されているバイナリを検索 $ find / -type f 2>/dev/null | xargs -I {} sh -c 'readelf -h "{}" >/dev/null 2>&1 && (readelf -n "{}" 2>/dev/null | grep -E IBT,.*SHSTK > /dev/null || echo "{}")' /usr/lib/lv2/carla.lv2/carla.so /usr/lib/7zip/7z /usr/lib/7zip/7zCon.sfx /usr/lib/7zip/7zr /usr/lib/7zip/7z.so /usr/lib/7zip/7za /usr/lib/klibc/bin/ipconfig /usr/lib/klibc/bin/umount /usr/lib/klibc/bin/halt [...] $ # 間接分岐追跡またはシャドウスタックが無効化されているバイナリを含むDebianパッケージを検索 $ find / -type f 2>/dev/null | xargs -I {} sh -c 'readelf -h "{}" >/dev/null 2>&1 && (readelf -n "{}" 2>/dev/null | grep -E IBT,.*SHSTK > /dev/null || echo "{}")' | xargs -r -d '\n' -n1 dpkg-query -S | sed 's/: .*//' | sort -u 7zip aidl ardour avr-libc cargo-1.93 carla carla-bridge-wine32:i386 carla-bridge-wine64 carla-lv2 carla-vst cuda-ctadvisor-13-4 cuda-cudart-13-4 [...] </syntaxhighlight> なお、制御フロー強制テクノロジーの間接分岐追跡とシャドウスタックが有効であっても異なる関数の通常呼び出しは防げません。分かりやすい例では関数の間接呼び出しにおいて関数ポインタを<code>sigaction</code>へと変更して独自のシグナルハンドラを登録し、その後クラッシュさせてそのシグナルハンドラを呼び出すという「セグメンテーション違反指向プログラミング」(SFOP) が挙げられます。また攻撃に使える関数 (dop gadgets) {{efn|dop gadgetsの検索の公式実装は「DOP-StaticAssist」[https://github.com/melynx/DOP-StaticAssist]だが長らく更新されておらず古いLLVM 3.5に依存している状態となっている。}}の通常呼び出しだけで攻撃する「Data-Oriented Programming」(DOP) <ref>Hong Hu et al. [https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=7546545 Data-Oriented Programming: On the Expressiveness of Non-Control Data Attacks] IEEE 2016年</ref>{{efn|セキュリティ以外の文脈におけるデータ指向プログラミング、データ指向設計、データ駆動型設計とは異なる。}}という手法も存在します。 C++向けでは仮想関数テーブル (vtable) を改ざんして攻撃に使える仮想関数（仮想関数ガジェット、vfgadget）を呼び出す「偽造オブジェクト指向プログラミング」(COOP) という攻撃手法も登場しています。 === メモリ安全性の高いソフトウェアへ === 既存のソフトウェアの脆弱性は7割がメモリ安全性の問題に起因すると言われています<ref>[https://www.cisa.gov/sites/default/files/2023-12/CSAC_TAC_Recommendations-Memory-Safety_Final_20231205_508.pdf REPORT TO THE CISA DIRECTOR Technical Advisory Council Memory Safety] サイバーセキュリティ諮問委員会 (CSAC) 2023年12月5日</ref>。しかしながら[[C言語]]や[[C++]]はメモリ安全性が低いため、メモリ安全性の確保できる[[Rust]]などで書かれた代替プログラムが登場しています: {| class="wikitable" |+ コマンドのRust版 |- ! コマンドの概要 !! 従来版 !! Rust版 |- | Unix系の基本コマンド群 || GNU Core Utilities || '''uutils coreutils''' |- | ファイル検索コマンド群{{efn|<code>find</code>、<code>locate</code>、<code>updatedb</code>、<code>xargs</code>の4コマンド}} || GNU Findutils || '''uutils findutils''' |- | ファイル差分コマンド群{{efn|<code>diff</code>、<code>cmp</code>、<code>diff3</code>、<code>sdiff</code>の4コマンド}} || GNU Diffutils || '''uutils diffutils''' |- | ストリームエディタ (sed) || GNU sed / FreeBSD sed || '''uutils sed''' |- | AWKスクリプト || GNU AWK || '''uutils AWK''' |- | 文字列検索 || GNU Grep || '''uutils Grep''' |- | tarアーカイブ || GNU Tar || '''uutils tar''' |- | アカウント管理コマンド群 || shadow-utils || '''uutils shadow-utils''' |- | アクセス制御コマンド群{{efn|<code>chacl</code>、<code>getfacl</code>、<code>setfacl</code>の3コマンド}} || acl || '''uutils acl''' |- | procfs{{efn|プロセスファイルシステム}}表示コマンド群 || procps / procps-ng || '''uutils procps''' |- | ホスト名管理コマンド群{{efn|<code>hostname</code>、<code>dnsdomainname</code>、<code>domainname</code>、<code>nisdomainname</code>、<code>ypdomainname</code>の5コマンド。}} || hostname || '''uutils hostname''' |- | Linuxユーティリティ || util-linux || '''uutils util-linux''' |- | 権限昇格 || sudo || '''sudo-rs''' |- | 暗号・署名システム || GnuPG || '''Sequoia PGP''' |- | 時刻同期 || ntpd || '''ntpd-rs''' |- | セキュアシェル (SSH) || OpenSSH || '''russh''' |} これらのRustで書かれたコマンドのうちuutils coreutilsとsudo-rsはUbuntuに採用されています。 またライブラリでもRustだけ (Pure Rust) で実装されたものが登場しています: * 画像ライブラリ - これらは例えばGNOMEデスクトップ環境の画像ローダーGlycinから使われています<ref>[https://gitlab.gnome.org/GNOME/glycin GNOME / glycin · GitLab] GNOME Project</ref>。 ** libpng → pngクレート - PNG画像向け。 ** libgif → gifクレート - GIF画像向け。 ** libjpeg / libjpeg-turbo → zune-jpeg / libjpeg-turbo-rs - JPEG画像向け。 ** OpenJPEG → hayro-jpeg2000 - JPEG 2000画像向け。 ** libtiff → tiffクレート - Tiff画像向け ** libwebp → image-webpクレート - WebP画像向け。 ** libraw → libopenraw - RAW画像向け。 ** librsvg - SVG画像向け。C言語からRustに書き直しされました。 * 圧縮ライブラリ ** zlib / zlib-ng → zlib-rs - Deflate圧縮向け ** libbzip2 → bzip2-rs - BZ2圧縮向け * 暗号化ライブラリ ** OpenSSL / GnuTLS → [[:w:en:Rustls|Rustls]] * Unicode処理ライブラリ ** ICU4C → ICU4X * テキスト整形ライブラリ ** HarfBuzz → HarfRust * ブラウザエンジン ** Blink/Gecko → Servo <!-- === 整合性チェック === PatchGuard / HyperGuard --> == 不審な改変が行われていないかを調べる == 例えばOSの起動には一連のシーケンスがありますが、マルウェアは基本的にここの途中に入り込んで永続化します。 {| class="wikitable" |+ 起動シーケンス |- ! 種類 || Windows 11以降 !! Linux (Gnome) !! Linux (KDE) |- | 1. 起動ファームウェア || [[:w:Unified Extensible Firmware Interface|UEFI]] || colspan=2 | [[:w:Basic Input/Output System|レガシーBIOS]] / UEFI |- | 2. ブートローダー || [[:w:Windows Boot Manager|Windows Boot Manager]] (bootmgfw.efi)<br> → [[:w:Windows Boot Manager#winload.exe/winload.efi|Windows OS Loader]] (winload.efi) || colspan=2 | GRUB{{efn|Ubuntuの標準。}} / systemd-boot / Unified Kernel Image{{efn|Linuxカーネルとブートイメージを単一バイナリにする仕組み。}} / EFI boot stub{{efn|LinuxカーネルをEFIから直接ブートできるようにする仕組み。}} |- | 3. カーネル || [[:w:ntoskrnl.exe|ntoskrnl.exe]] || colspan=2 | Linuxカーネル ([[:w:vmlinux|vmlinux]]{{efn|圧縮後はvmlinuzとなる。}}) |- | 4. 初期化プロセス || [[:w:en:Session Manager Subsystem|smss.exe]]<br> → wininit.exe<br> || rowspan=2 colspan=2 | [[:w:systemd|systemd]]{{efn|以前は代替initもよく使われていたが、今はsystemdが標準となっている。}} |- | 5. サービスコントロールマネージャ || colspan=2 | [[:w:en:Service Control Manager|services.exe]] |- | rowspan=2 | 6. ログインマネージャ || rowspan=2 | [[:w:Winlogon|winlogon.exe]] || colspan=2 | systemd-logind<br>sd-pam |- | [[:w:GNOME ディスプレイマネージャー|GDM]] || [[:w:Simple Desktop Display Manager|SDDM]] |- | rowspan=2 | 7. ユーザー初期化プロセス || rowspan=2 | userinit.exe || colspan=2 | systemd |- | gnome-session || kcminit<br> → plasma_session |- | 8. シェル || [[:w:Windows Explorer|explorer.exe]] || gnome-shell || plasmashell |- | 9. コンポジタ || [[:w:Desktop Window Manager|dwm.exe]] || mutter || kwin |} また起動シーケンス以外にもアップデートシーケンスへの感染やシェル感染、ブラウザ感染もあります。 {| class="wikitable" |+ Windows における代表的なユーザースクリプト又はコマンド起動が可能な設定ファイル |- ! 規格/アプリケーション !! ユーザー !! システム |- | Windows || %APPDATA%\<wbr>Microsoft\<wbr>Windows\<wbr>Start Menu\<wbr>Programs\<wbr>Startup\<wbr>* || C:\<wbr>ProgramData\<wbr>Microsoft\<wbr>Windows\<wbr>Start Menu\<wbr>Programs\<wbr>Startup\<wbr>* |- | [[:w:PowerShell|PowerShell]] プロファイル<ref>[https://learn.microsoft.com/ja-jp/powershell/module/microsoft.powershell.core/about/about_profiles?view=powershell-7.6 about_Profiles - PowerShell - Microsoft Learn] Microsoft</ref> || %USERPROFILE%\<wbr>Documents\<wbr>PowerShell\<wbr>Profile.ps1<br>%USERPROFILE%\<wbr>Documents\<wbr>PowerShell\<wbr>Microsoft.PowerShell_profile.ps1 || C:\<wbr>Windows\<wbr>System32\<wbr>WindowsPowerShell\<wbr>*\<wbr>Profile.ps1<br>C:\<wbr>Windows\<wbr>System32\<wbr>WindowsPowerShell\<wbr>*\<wbr>Microsoft.PowerShell_profile.ps1 |} {| class="wikitable" |+ Linux における代表的なユーザースクリプト又はコマンド起動が可能な設定ファイル |- ! 規格/アプリケーション !! ユーザー !! システム |- | POSIX標準 || ~/.profile || /etc/profile |- | XDG Base Directory<wbr>標準 || ~/.local/bin/* || |- | FHS{{efn|Filesystem Hierarchy Standard}}<wbr>標準[https://refspecs.linuxfoundation.org/fhs.shtml] || || /bin/* /sbin/* /usr/bin/* /usr/local/bin/* /etc/inittab |- | LSB{{efn|Linux Standard Base}}<wbr>標準[https://refspecs.linuxfoundation.org/lsb.shtml] || || /etc/profile.d/* /etc/init.d/* /etc/cron.d/* |- | Desktop Application Autostart Specification<wbr>標準[https://specifications.freedesktop.org/autostart/latest/]{{efn|systemd-xdg-autostart-generator が導入されているシステムではこれらがsystemd設定に自動変換される。}} || ~/.config/autostart/* || /etc/xdg/autostart/* |- | Bash || ~/.bash_profile ~/.bashrc || /etc/bash_profile /etc/bash.bashrc /etc/bash.bash_logout |- | Z shell (Zsh) || ~/.zshenv ~/.zprofile ~/.zshrc ~/.zlogin ~/.zlogout || /etc/zshenv /etc/zprofile /etc/zshrc /etc/zlogin /etc/zlogout<br/>（または /etc/zsh/zshenv /etc/zsh/zprofile /etc/zsh/zshrc /etc/zsh/zlogin /etc/zsh/zlogout） |- | Systemd || ~/.config/systemd/user/* || /etc/systemd/system/* /etc/systemd/user/* |- | Xorg || ~/.xinitrc ~/.xserverrc ~/.xsession || /etc/X11/xinit/xinitrc /etc/X11/xinit/xserverrc /etc/X11/Xsession /usr/share/xsessions/* |- | Wayland || || /usr/share/wayland-sessions/* |- | Python || ~/.local/lib/python*/site-packages/*/**{{efn|絶対パスは<code>python3 -c 'import site; print(site.getusersitepackages())'</code>で確認可能。}} || /usr/lib/python*/dist-packages/*/** /usr/local/lib/python*/dist-packages/*/**{{efn|絶対パスは<code>python3 -c 'import site; print(site.getsitepackages())'</code>で確認可能。}} |- | Perl{{efn|Debian/UbuntuではDebianパッケージ設定システム (debconf) のためにPerlを使用している。}} || || /usr/share/perl*/** /usr/local/share/perl*/** /usr/lib/*/perl*/** /usr/local/lib/*/perl*/**{{efn|絶対パスは<code>perl -V:installsitearch -V:installsitelib -V:installvendorarch -V:installvendorlib -V:archlib -V:privlib -V:installarchlib -V:installprivlib</code>で確認可能。}} |} === パッケージ管理ファイルを検証する === パッケージ管理システムが管理しているファイルではファイルハッシュが保存されているため簡単にその検証を行うことが可能です: {| class="wikitable" |- ! OS / パッケージシステム !! 検証のみ !! 修復 |- | Windows || <code>sfc&nbsp;/verifyonly</code> || <code>sfc&nbsp;/scannow</code> |- | Debパッケージ (Debian / Ubuntu) || <code>debsums -s</code> || <code>apt install --reinstall $(debsums -cs &verbar; xargs -r dpkg-query -S &verbar; cut -d: -f1 &verbar; sort -u)</code> |- | RPMパッケージ (RedHat / Fedora) || <code>rpm -Va</code> || |} ただしローカルハッシュが改ざんされている可能性もあるため過信はできません。<!--TODO: ローカルハッシュの検証法--> 自動的にシステムの検証を行うシステムも存在します: * Android - ブロックデバイスレベルでのハッシュ検証 (dm-verityベース)<ref>[https://source.android.com/docs/security/features/verifiedboot/dm-verity?hl=ja dm-verity の実装] Google</ref> <!-- またUbuntuのSnapパッケージでもdm-verityの導入が進められています。 また特定言語のパッケージの検証は以下で可能です: * PIP (Python): なし --> === システム領域に不審なファイルが追加されていないかを調べる === システムの追加ファイルの検知にはパッケージシステムで管理されていないファイルの一覧を返す以下のようなツールが存在します: * Debian / Ubuntu（Debパッケージ）向け: cruft-ngパッケージ（<code>cruft</code>コマンド） 上記の<code>cruft</code>コマンドでは設定ファイルだけ残っているパッケージのファイルも出てきてしまいます。そのため、これが邪魔な時は設定ファイルだけ残っているパッケージを<code>sudo apt purge '~c'</code>で削除しましょう。 またaptレポジトリに無いインストールされたパッケージは<code>apt list '?obsolete'</code>で、手動 (manual) でインストールされたパッケージは<code>apt-mark showmanual</code>で確認できます。これらのコマンドを実行してインストールした覚えないパッケージが入ってないかをチェックしましょう。GUI が使えるのであれば<code>synaptic</code>を起動して「インストール済（ローカルまたは廃止）」と「インストール済（手動）」を確認するのもオススメです。 === ユーザー領域に不審なファイルが追加されていないかを調べる === ユーザースクリプトの書き換えや追加は検知が難しいです。<!--TODO: 良い方法を書く--> 共有ライブラリやスクリプトによるプラグイン追加も可能となっているため、こちらにも気をつけなければいけません。これには例えば以下があります: {| class="wikitable" |+ 代表的なユーザースクリプトや拡張機能のディレクトリパス |- ! 種類 !! Windowsのパス !! macOSのパス !! Linuxのパス |- | Google Chrome 拡張機能 || %LOCALAPPDATA%\Google\Chrome\User Data\*\Extensions\ || ~/Library/Application Support/Google/Chrome/*/Extensions/ || ~/.config/google-chrome/*/Extensions/ |- | GIMPプラグイン<ref>[https://gimp.cc/faq/add-gimp-plugins.html How to Install GIMP Plugins - Detailed Guide with Troubleshooting] GIMP.cc</ref> || %APPDATA%\GIMP\*\plug-ins\ || ~/Library/Application Support/GIMP/*/plug-ins/ || ~/.config/GIMP/*/plug-ins/ |- | Blenderスクリプト{{efn|起動スクリプト、アドオンを含む。}}<ref>[https://docs.blender.org/manual/ja/dev/advanced/blender_directory_layout.html Blender&#39;s Directory Layout] Blender Foundation</ref> || %APPDATA%\Blender Foundation\Blender\*\scripts\ || ~/Library/Application Support/Blender/*/scripts/ || ~/.config/blender/*/scripts/ |- | Ardourスクリプト<ref>[https://manual.ardour.org/lua-scripting/ The Ardour Manual - Lua Scripting] Ardour</ref> || %LOCALAPPDATA%\ardour*\scripts\ || ~/Library/Preferences/Ardour*/scripts/ || ~/.config/ardour*/scripts/ |- | LibreOfficeスクリプト || %APPDATA%\LibreOffice\*\user\Scripts\ || ~/Library/Application Support/LibreOffice/*/user/Scripts/ || ~/.config/libreoffice/*/user/Scripts/ |- | Visual Studio Code 拡張機能<ref>[https://code.visualstudio.com/docs/configure/extensions/extension-marketplace Extension Marketplace] Microsoft</ref> || %USERPROFILE%\.vscode\extensions\ || ~/.vscode/extensions/ || ~/.vscode/extensions/ |} === 改変・追加されたファイルが危険かを調べる === 実行ファイルやスクリプトはLinuxでは以下で検出できます: <syntaxhighlight lang="shell-session"> # cat filelist.txt | xargs file | grep -i -E ':.*(executable|shared object|relocatable|script)' /etc/init.d/binfmt-support.dpkg-new: POSIX shell script, ASCII text executable /etc/update-motd.d/99-livepatch-kernel-upgrade-required: POSIX shell script, ASCII text executable /usr/lib/chromium-browser/plugins/libpepflashplayer.so: ELF 64-bit LSB shared object, x86-64, version 1 (SYSV), dynamically linked, BuildID[sha1]=5c421e89a5c062a2106a5a4381dc38e779a22795, stripped </syntaxhighlight> またClamAVを導入していれば以下でマルウェアデータベースとの照合を行うことができます: <syntaxhighlight lang="shell-session"> # cat filelist.txt | xargs clamscan Loading: 3s, ETA: 0s [========================>] 3.63M/3.63M sigs Compiling: 1s, ETA: 0s [========================>] 41/41 tasks /etc/apt/apt.conf.d/00trustcdrom: OK /etc/apt/auth.conf.d/90ubuntu-advantage: OK /etc/apt/keyrings/google.asc: OK [...] ----------- SCAN SUMMARY ----------- Known viruses: 3628164 Engine version: 1.5.4 Scanned directories: 125 Scanned files: 1919 Infected files: 0 Total errors: 10 Data scanned: 247.72 MiB Data read: 281.17 MiB (ratio 0.88:1) Time: 17.939 sec (0 m 17 s) Start Date: 2026:10:11 05:41:30 End Date: 2026:10:11 05:41:48 </syntaxhighlight> === 設定データベースを検証する === 設定データベースは Windows ではレジストリ、Linuxでは GNOME / MATEの 使う [[:en:dconf|dconf]] が存在します。 Windows の設定データベースはレジストリと呼び「レジストリエディタ」 (<code>regedit</code>) で表示できます。 {| class="wikitable" |+ Windows における代表的なユーザースクリプト、コマンド起動、DLL呼び出しが可能なレジストリ |- ! 規格/アプリケーション !! 各ユーザー !! 全ユーザー |- | Windows || HKEY_USERS\<wbr>*\<wbr>Software\<wbr>Microsoft\<wbr>Windows\<wbr>CurrentVersion\<wbr>Run\<wbr>*<wbr>CurrentVersion\<wbr>Run\<wbr>*<br>HKEY_USERS\<wbr>*\<wbr>Software\<wbr>Microsoft\<wbr>Windows\<wbr>CurrentVersion\<wbr>RunOnce\<wbr>*{{efn|name="runonce"|RunOnceは一度のみ実行だが再登録することで何回でも実行可能。}} || HKEY_LOCAL_MACHINE\<wbr>Software\<wbr>Microsoft\<wbr>Windows\<wbr>CurrentVersion\<wbr>Run\<wbr>*<br>HKEY_LOCAL_MACHINE\<wbr>Software\<wbr>Microsoft\<wbr>Windows\<wbr>CurrentVersion\<wbr>RunOnce\<wbr>*{{efn|name="runonce"}} |- | [[:w:en:Security Account Manager|Security Account Manager]] || || HKEY_LOCAL_MACHINE\<wbr>SAM\<wbr>SAM\<wbr>Domains\<wbr>Account\<wbr>Users\<wbr>*\<wbr>V{{efn|name="sam"|'HKEY_LOCAL_MACHINE\SAM\SAM\' 以下はレジストリエディタの右クリックの「アクセス許可」で Administrators にアクセス許可を与えないと読めない。なおファイルパスは「C:\Windows\System32\config\SAM」。}}{{efn|Vはバイナリであり、0xCC + (0x60 に指定されたオフセット) からユーザーログオンスクリプトパスを指定する<ref name="sam-ghost">Sebastián R. Castro et al. [https://dl.acm.org/doi/pdf/10.1145/3689934.3690839 Ghost in the SAM: Stealthy, Robust, and Privileged Persistence through Invisible Accounts] ACM 2024年</ref>。}} |- | [[:w:en:Local Security Authority Subsystem Service|Local Security Authority Subsystem Service]] || || HKEY_LOCAL_MACHINE\<wbr>System\<wbr>CurrentControlSet\<wbr>Control\<wbr>LSA\<wbr>Notification Packages<br>HKEY_LOCAL_MACHINE\<wbr>SYSTEM\<wbr>CurrentControlSet\<wbr>Control\<wbr>LSA\<wbr>Authentication Packages<ref>[https://attack.mitre.org/detectionstrategies/DET0207/ Detect LSA Authentication Package Persistence via Registry and LSASS DLL Load] MITRE Corporation</ref> |- | [[:w:en:Active Setup|Active Setup]]<ref>[https://www.advancedinstaller.com/application-packaging-training/msi/ebook/active-setup.html Active-Setup Mechanism] Advanced Installer</ref> || HKEY_USERS\<wbr>*\<wbr>Software\<wbr>Microsoft\<wbr>Active Setup\<wbr>Installed Components\<wbr>*\<wbr>StubPath || HKEY_LOCAL_MACHINE\<wbr>Software\<wbr>Microsoft\<wbr>Active Setup\<wbr>Installed Components\<wbr>*\<wbr>StubPath<ref>[https://attack.mitre.org/techniques/T1547/014/ Boot or Logon Autostart Execution: Active Setup] MITRE Corporation</ref> |- | [[:w:Windowsサービス|Windowsサービス]]<ref>[https://learn.microsoft.com/ja-jp/windows-hardware/drivers/install/hklm-system-currentcontrolset-services-registry-tree HKLM\SYSTEM\CurrentControlSet\Services レジストリ ツリー - Windows drivers - Microsoft Learn] Microsoft</ref> || || HKEY_LOCAL_MACHINE\<wbr>SYSTEM\<wbr>CurrentControlSet\<wbr>services\<wbr>* |- | [[:w:Winlogon|Winlogon]] || || HKEY_LOCAL_MACHINE\<wbr>Software\<wbr>Microsoft\<wbr>Windows NT\<wbr>CurrentVersion\<wbr>Winlogon\<wbr>Shell<br>HKEY_LOCAL_MACHINE\<wbr>Software\<wbr>Microsoft\<wbr>Windows NT\<wbr>CurrentVersion\<wbr>Winlogon\<wbr>Userinit<br>HKEY_LOCAL_MACHINE\<wbr>Software\<wbr>Microsoft\<wbr>Windows NT\<wbr>CurrentVersion\<wbr>Winlogon\<wbr>Notify<ref>[https://attack.mitre.org/techniques/T1547/004/ Boot or Logon Autostart Execution: Winlogon Helper DLL] MITRE Corporation</ref> |- | [[:w:cmd.exe|cmd.exe]]<ref>[https://learn.microsoft.com/en-us/windows-server/administration/windows-commands/cmd cmd - Microsoft Learn] Microsoft</ref> || HKEY_USERS\<wbr>*\<wbr>Software\<wbr>Microsoft\<wbr>Command Processor\<wbr>AutoRun\REG_EXPAND_SZ || HKEY_LOCAL_MACHINE\<wbr>Software\<wbr>Microsoft\<wbr>Command Processor\<wbr>AutoRun\<wbr>REG_SZ |- | [[Microsoft Edge]] || || HKEY_LOCAL_MACHINE\<wbr>SOFTWARE\<wbr>Policies\<wbr>Microsoft\<wbr>Edge\<wbr>ExtensionInstallForcelist<ref>[https://learn.microsoft.com/ja-jp/deployedge/microsoft-edge-policies/extensioninstallforcelist Microsoft Edge ブラウザー ポリシードキュメント ExtensionInstallForcelist - Microsoft Learn] Microsoft</ref>{{efn|name="silent-install"|自動的にサイレントインストールする}} |- | [[Google Chrome]] || || HKEY_LOCAL_MACHINE\<wbr>SOFTWARE\<wbr>Policies\<wbr>Google\<wbr>Chrome\<wbr>ExtensionInstallForcelist<ref>[https://chromeenterprise.google/intl/ja_jp/policies/extension-install-forcelist/ ExtensionInstallForcelist: 自動インストールするアプリと拡張機能のリストの設定 - Chrome Enterprise] Google</ref>{{efn|name="silent-install"}} |} Linux の GNOME / MATE 環境には「[[:w:en:Dconf#dconf database|dconf データベース]]」が存在し、それは<code>dconf dump</code>（'/'区切り）で表示できます。また dconf データベースにスキーマ（規定値と解説）を被せた gsettings も存在し、こちらは<code>gsettings list-recursively</code>（dconfと異なり'.'区切り）で表示できます。 {| class="wikitable" |+ Linux における代表的なユーザースクリプト又はコマンド起動が可能なdconf設定 |- ! 規格/アプリケーション !! ユーザー |- | GNOME Settings Daemon || /org/gnome/settings-daemon/plugins/media-keys/custom-keybindings/custom*/command |- | Marco ([[w:MATE (デスクトップ環境)|MATE]]) || /org/mate/Marco/keybinding-commands/command-*{{efn|変更した設定は<code>dconf dump /org/mate/Marco/keybinding-commands/</code>で、デフォルトも含めた設定は<code>gsettings list-recursively org.mate.Marco.keybinding-commands</code>で表示可能。}} |- | MATE Screensaver || /org/mate/screensaver/embedded-keyboard-command<br>/org/mate/screensaver/logout-command{{efn|変更した設定は<code>dconf dump /org/mate/screensaver/</code>、デフォルトも含めた設定は<code>gsettings list-recursively org.mate.screensaver</code> で表示可能}} |- | mate-applets || /org/mate/panel/objects/object-*/prefs/command |- | mate-sensors-applet || /org/mate/panel/objects/object-*/prefs/*/high-alarm-command<br>/org/mate/panel/objects/object-*/prefs/*/low-alarm-command |} なお MATE Screensaver と同源の GNOME Screensaver にも /org/gnome/desktop/screensaver/embedded-keyboard-command と /org/gnome/desktop/screensaver/logout-command{{efn|変更した設定は<code>dconf dump /org/gnome/desktop/screensaver/</code>、デフォルトも含めた設定は<code>gsettings list-recursively org.gnome.desktop.screensaver</code> で表示可能。}} が存在しますが、こちらは既に廃止されており指定しても無視されます<ref>[https://github.com/GNOME/gsettings-desktop-schemas/blob/main/schemas/org.gnome.desktop.screensaver.gschema.xml.in gsettings-desktop-schemas/schemas/org.gnome.desktop.screensaver.gschema.xml.in at main · GNOME/gsettings-desktop-schemas] GNOME Project</ref>。 === メディアに不審なファイルが追加されていないかを調べる === メディアの自動実行 ([[:w:en:AutoRun|AutoRun]]) ファイルにもマルウェアが紛れてないか注意しましょう。 {| class="wikitable" |+ メディアの自動実行ファイル |- ! Windows !! Linux<br>（Desktop Application Autostart Specification<wbr>標準[https://specifications.freedesktop.org/autostart/latest/]） |- | *:\[[:w:autorun.inf|autorun.inf]] || /media/*/*/.autorun<br>/media/*/*/autorun<br>/media/*/*/autorun.sh<br>/run/media/*/*/.autorun<br>/run/media/*/*/autorun<br>/run/media/*/*/autorun.sh |} == 改変を防ぐ == 改変を探すのは大変です。なので最初から改変をできないようにすれば管理はとても楽になります。 改ざんを防ぐには「[[:w:en:Chain of trust|信頼の連鎖]]」 (chain of trust) が重要となります。例えばカーネルだけで改ざんを防いでも、ハードウェアのファームウェアが不正であれば不正なカーネルを起動できてしまいます。 === ファームウェア改ざんを防ぐ === ファームウェア改ざんによる「ファームウェアルートキット」を防ぐにはIntel Management Engine (Intel ME)で実装されているIntel BIOS Guardを使う必要があります。<!--TODO: マザーボードによってはBIOSで有効にする必要があります。→最近のマザーボード事情--> なお2017年の第8世代Intel Coreプロセッサ (Coffee Lake) 以前はme_cleanerによってIntel Management Engineの無効化が可能<ref>[https://github.com/corna/me_cleaner/wiki/me_cleaner-status me_cleaner status] Nicola Corna 2018年</ref>なため非推奨です。 また2023年のIntel ME 16.1.30.2307未満では悪意あるロゴ画像を設定することによってroot権限からUEFI設定の変更が可能です（[[:w:en:LogoFAIL|LogoFAIL]]の脆弱性）。そのため、古いIntel Management Engineが動作している場合はそのファームウェアをアップデートしましょう。Windowsでは MEUpdateTool.exe / FWUpdLcl.exe を使うことでこのアップデートが可能となっています。一方、Linuxでは一部機種が fwupdmgr 経由での Intel ME ファームウェアアップデートに対応しています。 Intel MEのバージョンはLinuxでは以下のような感じに調べることができます: <syntaxhighlight lang="shell-session"> $ cat /sys/class/mei/mei0/fw_ver 0:16.1.32.2473 0:16.1.32.2473 0:16.1.27.2181 </syntaxhighlight> === ブートローダー改ざんを防ぐ === ブートローダーは起動に使われるファームウェア (BIOS) から呼ばれ、カーネルを読み込んで起動するために使われるプログラムです。古い BIOS (レガシーBIOS) には起動するブートローダーを検証する仕組みが存在しませんでしたが、新しい UEFI (統一拡張ファームウェアインターフェース) には署名されたブートローダーのみを起動する UEFI Secure Boot が追加され、安全なブートローダーの起動を許可するための「承認済み署名データベース」 (Authorized Signature Database、UEFI db) と、脆弱なブートローダーの起動を防ぐための「禁止署名データベース」 (Forbidden Signature Database、UEFI dbx) が用意されています。 UEFI Secure Boot が有効かどうかは以下で確認できます: * Windows PowerShell: <code>Confirm-SecureBootUEFI</code> * Linux: <code>mokutil --sb-state</code> UEFI db と UEFI dbx の内容は以下で確認できます: * Windows PowerShell: <code>Get-SecureBootUEFI -Name db -Decoded</code> / <code>Get-SecureBootUEFI -Name dbx -Decoded</code> * Linux: ** mokutil{{efn|Ubuntu Desktop に標準で含まれている。}}: <code>mokutil --db</code> / <code>mokutil --dbx</code> ** efitools: <code>efi-readvar -v db</code> / <code>efi-readvar -v dbx</code> ブートローダーの署名情報は以下で確認できます: * Windows PowerShell: <code>Get-PfxCertificate</code>{{efn|<code>Get-AuthenticodeSignature</code>はカタログ署名が使われる場合があるため非推奨: https://github.com/PowerShell/PowerShell/issues/23820 。}} * Linux: <code>sbverify --list</code> 例えば Windows PowerShell では以下のような感じです: <syntaxhighlight lang="powershell"> PS C:\WINDOWS\system32> mountvol S: /S; if ($?) { Get-PfxCertificate 'S:\EFI\Microsoft\Boot\bootmgfw.efi'; mountvol S: /D } Thumbprint Subject ---------- ------- FACDE3D80E99AFCC15E08AC5A69BD22785287F79 CN=Microsoft Windows, O=Microsoft Corporation, L=Redmond, S=Washington, C=US </syntaxhighlight> また Ubuntu や Debian では署名されたブートローダー (grub-efi-*-signedパッケージ) と非署名のブートローダー (grub-efi-*-unsignedパッケージ) の両方が用意されており、ブートローダーの正体がどれか、また署名されたブートローダーの署名内容を確認するのは以下のような感じとなります: <syntaxhighlight lang="shell-session"> $ dpkg -L grub-efi-amd64-signed | grep -i '\.efi' | xargs md5sum # インストールされている署名されたブートローダーのハッシュを表示（grub*は通常版、gcd*は光学ブートメディア向け、grubnet*はネットブート向け） 2bd267fb12bd3b0fe26a9dfb4290868d /usr/lib/grub/x86_64-efi-signed/gcdx64.efi.signed f689e93336a015fa6eb93e1913b13482 /usr/lib/grub/x86_64-efi-signed/grubnetx64.efi.signed b63c7618fb96d52520b42b8cc7b124f0 /usr/lib/grub/x86_64-efi-signed/grubx64.efi.signed $ sudo sh -c "md5sum /boot/efi/EFI/BOOT/*" # 現在のbootloaderがどれを使っているかを確認（署名されたgrubを使用） b63c7618fb96d52520b42b8cc7b124f0 /boot/efi/EFI/BOOT/BOOTX64.EFI $ sudo sbverify --list /boot/efi/EFI/BOOT/BOOTX64.EFI signature 1 image signature issuers: - /C=GB/ST=Isle of Man/L=Douglas/O=Canonical Ltd./CN=Canonical Ltd. Master Certificate Authority image signature certificates: - subject: /C=GB/ST=Isle of Man/O=Canonical Ltd./OU=Secure Boot/CN=Canonical Ltd. Secure Boot Signing (2022 v1) issuer: /C=GB/ST=Isle of Man/L=Douglas/O=Canonical Ltd./CN=Canonical Ltd. Master Certificate Authority $ sudo sbverify --cert /usr/share/grub/canonical-uefi-ca.crt /boot/efi/EFI/BOOT/BOOTX64.EFI Signature verification OK </syntaxhighlight> なお Linux では grub の代わりに使えるブートローダーとして systemd-boot もあります。systemd-boot の署名版は Debian が systemd-boot-efi-*-signed パッケージとして用意しているようです（Ubuntu未搭載）。 <!--TODO: TPM (Trusted Platform Module) チップ --> === カーネル本体の改ざんを防ぐ === カーネルはオペレーティングシステム (OS) の下層で動き続けるプログラムです。カーネル本体の実行ファイルもブートローダーと同様に署名が行われており、UEFI Secure Boot が有効であればその検証をブートローダーが行います。Linux では GRUB の UEFI Secure Boot と shim_lock の連携がそれに相当します<ref>[https://www.gnu.org/software/grub/manual/grub/grub.html#UEFI-secure-boot-and-shim GNU GRUB Manual 2.14 - 19.4 UEFI secure boot and shim support] フリーソフトウェア財団</ref>。 なお Ubuntu には署名されたカーネル (linux-image-*パッケージ) と非署名のカーネル (linux-image-unsigned-*パッケージ) の両方が用意されており、署名されているカーネルは以下のような感じでその署名が確認できます: <syntaxhighlight lang="shell-session"> $ sudo sbverify --list /boot/vmlinuz-$(uname -r) # Linuxカーネル本体の署名を確認する signature 1 image signature issuers: - /C=GB/ST=Isle of Man/L=Douglas/O=Canonical Ltd./CN=Canonical Ltd. Master Certificate Authority image signature certificates: - subject: /C=GB/ST=Isle of Man/O=Canonical Ltd./OU=Secure Boot/CN=Canonical Ltd. Secure Boot Signing (2022 v1) issuer: /C=GB/ST=Isle of Man/L=Douglas/O=Canonical Ltd./CN=Canonical Ltd. Master Certificate Authority $ sudo sbverify --cert /usr/share/grub/canonical-uefi-ca.crt /boot/vmlinuz-$(uname -r) # Linuxカーネル本体の署名を検証する Signature verification OK </syntaxhighlight> === カーネルモジュールの改ざんを防ぐ === カーネルモジュールも署名されており、その検証をカーネルが行っています。Windowsカーネルでは ci.dll (Code Integrityモジュール)が、Linuxカーネルでは CONFIG_MODULE_SIG コンパイルオプションがその検証を行っています。 カーネルによるカーネルモジュールの検証が有効かどうかは以下で確認することができます: * Linux: <code>grep 'CONFIG_MODULE_SIG=' /boot/config-$(uname -r)</code> カーネルによるカーネルモジュールの検証で読み込みを弾くかどうかは以下で確認することができます: * Windows: 強制モードか評価モード (監査モード) かを確認する PowerShell スクリプトが Microsoft のサイトに存在します: https://support.microsoft.com/en-us/windows/hardware/drivers/the-windows-driver-policy#is-my-device-in-evaluation-mode-or-enforcement-mode * Linux: <code>cat /sys/module/module/parameters/sig_enforce</code> また Linux では検証で読み込みを弾かない場合でも検証外カーネルモジュールを読み込んだ場合はdmesgに警告が出て '''Tainted kernel''' 扱いとなります<ref>[https://docs.kernel.org/admin-guide/tainted-kernels.html Tainted kernels] Linux Foundation</ref>。以下はその例です: <syntaxhighlight lang="shell-session"> $ grep 'CONFIG_MODULE_SIG=' /boot/config-$(uname -r) # y=Yes, n=No CONFIG_MODULE_SIG=y $ cat /sys/module/module/parameters/sig_enforce # Y=Yes, N=No N $ sudo dmesg | grep 'module verification' [ 8.928361] nvidia: module verification failed: signature and/or required key missing - tainting kernel $ wget http://git.kernel.org/pub/scm/linux/kernel/git/torvalds/linux.git/plain/tools/debugging/kernel-chktaint [...] $ sudo sh ./kernel-chktaint Kernel is "tainted" for the following reasons: * externally-built ('out-of-tree') module was loaded (#12) * unsigned module was loaded (#13) Raw taint value as int/string: 12288/'G OE ' Tainted modules: * nvidia (OE) * nvidia_drm (OE) * nvidia_modeset (OE) * nvidia_uvm (OE) For a more detailed explanation of the various taint flags see Documentation/admin-guide/tainted-kernels.rst in the Linux kernel sources or https://kernel.org/doc/html/latest/admin-guide/tainted-kernels.html </syntaxhighlight> また Linux では以下のような感じで個々のモジュールの署名が確認できます: <syntaxhighlight lang="shell-session"> $ modinfo /lib/modules/$(uname -r)/kernel/arch/x86/kernel/msr.ko.zst filename: /lib/modules/7.0.0-38-generic/kernel/arch/x86/kernel/msr.ko.zst license: GPL description: x86 generic MSR driver author: H. Peter Anvin <hpa@zytor.com> srcversion: 639B995855A3528050FD532 depends: intree: Y name: msr retpoline: Y vermagic: 7.0.0-38-generic SMP preempt mod_unload modversions sig_id: PKCS#7 signer: Build time autogenerated kernel key sig_key: 3B:E7:D3:BF:D3:2E:D9:CA:9C:17:D2:E9:5F:1A:1C:AE:67:D5:82:2F sig_hashalgo: sha512 signature: 96:BC:2A:18:6E:4D:D8:E5:28:69:9D:E6:65:89:95:D4:BE:4C:5B:7C: 4A:23:11:75:F6:FE:63:79:FC:29:9B:F7:EA:24:B6:F1:EF:F3:80:17: 0B:C0:1E:46:61:29:BB:F9:E0:AC:81:69:85:73:7D:D4:77:82:A8:DB: [...] </syntaxhighlight> === システムファイル改ざんを防ぐ === システムファイル改ざんを防ぐ良い方法はシステム領域を読み取り専用にすることですが、仮にファイルシステムを読み取り専用のファイルシステム（SquashFSやEROFS）にしたとしても記録する場所がSSDであればブロック単位での上書きが可能となります。 1回だけ書き込めて上書きが不可能な媒体としてはCD-R、DVD-R、DVD+R、BD-Rなどの一部の光学メディアが存在しますが、これらをブートメディアとして使用するのは頻繁なアップデートが難しくなります。 そのほかの手法としては別のコンピュータからシステムファイルを取得する「ネットワークブート」を行うという手法もありますが、これはネットワーク経由でシステムファイルが盗まれる可能性と隣り合わせです。しかしながらプロトコルにUEFI HTTPSを、認証に相互認証のmTLSを用いて、その秘密鍵をTPMで管理してOSから読めなくすることでネットワークブートの安全性は何とか確保できるかもしれません（対応マザーボードは不明）。 一方、Android や ChromeOS ではブロックデバイス単位での改ざん検知 (dm-verify) によってシステムイメージの改ざんを防止しています<ref>[https://source.android.com/docs/security/features/verifiedboot/dm-verity?hl=ja dm-verity の実装] Google</ref><ref>[https://research.google/pubs/verified-boot-on-chrome-os-and-how-to-do-it-yourself/ Verified Boot on Chrome OS and How to do it yourself] Google</ref>。 === カーネルメモリ改ざんを防ぐ === カーネルメモリのコード部分は MMU の書き込み禁止によって保護されています。iOS / macOS では Kernel Integrity Protection が<ref>[https://support.apple.com/ja-jp/guide/security/sec8b776536b/web オペレーティングシステムの整合性] Apple</ref> 、Linux では Kernel Strict RWX がこれに相当します<ref>[https://docs.kernel.org/security/self-protection.html Kernel Self-Protection] Linux Foundation</ref>。Windows でもカーネルモードに読み込み専用メモリセグメントが存在し、これに書き込もうとするとブルースクリーンで ATTEMPTED_WRITE_TO_READONLY_MEMORY (0xBE) が発行されます<ref>[https://learn.microsoft.com/ja-jp/windows-hardware/drivers/debugger/bug-check-0xbe--attempted-write-to-readonly-memory バグ チェック 0xBE: ATTEMPTED_WRITE_TO_READONLY_MEMORY] Microsoft</ref>。しかしながら Linux Kernel では kprobes、Static Keys、Static calls などで自己書き換えが多用されているため、一時的にコード部分を書き込み可能なページに割り当てて書き換える text_poke(...) という抜け道が存在します。 また定期的に改ざんが行われていないかをチェックする仕組みも存在します。Windows では[[:w:Kernel Patch Protection|Kernel Patch Protection]] (PatchGuard) / HyperGuard が、Linux では Linux Kernel Runtime Guard（外部パッチ）がこれに該当します。Windows の PatchGuard では改ざんが検出されたらブルースクリーンで CRITICAL_STRUCTURE_CORRUPTION が発行されます。 <!--TODO: Windows の HVCI、macOS の Secure Page Table Monitor / Trusted Execution Monitor--> <!-- === アプリケーション改ざんを防ぐ === SELinux / AppArmor --> == 攻撃用AIを対策する == 攻撃用AIでは基本的に賢いかつ制限の緩い大規模言語モデル (LLM) が使われています。この代表的な例として GLM 5.3 や Qwen3.8-27B-ABLITERATED が存在します。 === コンテキスト爆弾を設置する === 攻撃用AIの対策では相手のLLMを止めることが重要となります。そこで使えるのが'''コンテキスト爆弾''' (context bombs) という手法です<ref>[https://arstechnica.com/security/2026/07/now-defenders-are-embracing-the-prompt-injection-too/ Now, defenders are embracing the prompt injection, too] Ars Technica 2026年7月14日</ref>。 このコンテキスト爆弾は「相手のLLMに対し応答やツール呼び出しで禁止されていることを行わせようとする」というプロンプトインジェクションの一種であり、それによって相手のガードレールがLLMを止めることで相手からの攻撃を防ぎます。この手法は相手の読みそうなテキストにただプロンプトを書いておけば良いだけなので、お手軽に使えます。 コンテキスト爆弾のテキスト例は以下のリポジトリに存在します: * https://github.com/tracebit-com/context-bombs === キャプチャー・ザ・フラッグに偽装する === 実際の攻撃をコンピュータセキュリティの競技の一つ「[[:w:キャプチャー・ザ・フラッグ|キャプチャー・ザ・フラッグ]]」(CTF) に偽装して止めるという手法が存在します。 キャプチャー・ザ・フラッグで良く使われるファイルには以下が存在します: * /.env<ref name="aps-ctf-writeup"/> * /flag.txt<ref name="aps-ctf-writeup">[https://www.appsecmaster.net/blog/ctf-writeup/ CTF Writeup Guide - Template and Real Web Exploit Examples] AppSecMaster</ref> * /flag<ref name="aps-ctf-writeup"/> * /app/flag.txt<ref name="aps-ctf-writeup"/> * /home/ctf/flag.txt<ref name="aps-ctf-writeup"/> * /var/www/flag.txt<ref name="aps-ctf-writeup"/> * /root/flag.txt * /tmp/flag.txt * /opt/flag.txt === ハニーポット === ハニーポットは攻撃者を引きつける役目を担います。ハニーポットの評価フレームワークには「UHBS」(Universal Honeypot Benchmarking Standard) が、その品質基準には「UHQS」(Universal Honeypot Quality Score) が存在しますが、2026年現在多くのハニーポットがFランク〜Dランクと残念な状況になっています<ref>[https://uhbs.github.io/uhbs-standard/mkdocs/conformance/ Overview - UHBS — Honeypot Evaluation Framework]</ref>。 <!-- == 自作コードの脆弱性を塞ぐ == 書きかけ --> == 脚注 == <references group="注釈"/> == 参考文献 == <references/> {{DEFAULTSORT:こんひゆうたせきゆりてい}} [[Category:計算機科学]] [[Category:情報技術]] hffa3ule3ogr7m4583e61iwrfy6hff3