Wikibooks jawikibooks https://ja.wikibooks.org/wiki/%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8 MediaWiki 1.48.0-wmf.1 first-letter メディア 特別 トーク 利用者 利用者・トーク Wikibooks Wikibooks・トーク ファイル ファイル・トーク MediaWiki MediaWiki・トーク テンプレート テンプレート・トーク ヘルプ ヘルプ・トーク カテゴリ カテゴリ・トーク Transwiki Transwiki‐ノート TimedText TimedText talk モジュール モジュール・トーク Event Event talk 0 1902 305156 304423 2026-10-27T14:37:18Z ~2026-53584-59 92714 /* 3次の乗法公式 */ 305156 wikitext text/x-wiki {{pathnav|高等学校の学習|高等学校数学|高等学校数学II|pagename=式と証明・高次方程式|frame=1|small=1}} 本項は[[高等学校数学II]]の式と証明・高次方程式の解説である。 == 式と証明 == === 3次の乗法公式 === <math>(a+b)^3</math>を展開してみよう。 :<math>\begin{matrix} (a + b)^3 &=& (a + b)(a + b)^2 \\ &=& (a + b)(a^2 + 2ab + b^2) \\ &=& a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2) \\ &=& (a^3 + 2a^2b + ab^2) + (a^2b + 2ab^2 + b^3) \\ &=& a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3 \\ &=& a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \end{matrix}</math> この結果を使って、<math>(a-b)^3</math>を展開してみよう。 :<math>\begin{matrix} (a - b)^3 &= \{ a + (-b) \}^3 \\ &= a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3 \\ &= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \end{matrix}</math> <math>(a+b)(a^2 - ab + b^2)</math>を展開してみよう。 :<math>\begin{matrix} (a + b)(a^2 - ab + b^2) &=& a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2) \\ &=& a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 \\ &=& a^3 + b^3 \end{matrix}</math> この結果を使って、<math>(a-b)(a^2 + ab + b^2)</math>を展開してみよう。 :<math>\begin{matrix} (a-b)(a^2 + ab + b^2) &=& \{a + (-b) \}\{a^2 - a(-b) + (-b)^2 \} \\ &=& a^3 + (-b)^3 \\ &=& a^3 - b^3 \end{matrix}</math> {| style="border: 2px solid gold; width: 80%;" cellspacing=0 | style="background: gold;"| '''3次の乗法公式''' |- | style="padding: 5px;" | * <math>(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3</math> * <math>(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3</math> * <math>(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3</math> * <math>(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3</math> |} * 問題 次の式を展開しなさい。 # <math> (x+2)^3 </math> # <math> (3x-y)^3 </math> # <math> \left(x+4 \right)\,\left(x^2-4x+16 \right) </math> # <math> \left(3a-2b \right)\,\left(9a^2+6ab+4b^2 \right) </math> * 解答 # <br> <math>\begin{align} (x+2)^3 & = x^3 + 3 \times x^2 \times 2 + 3 \times x \times 2^2 + 2^3 \\ & = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \\ \end{align} </math> # <br> <math>\begin{align} (3x-y)^3 & = (3x)^3 - 3 \times (3x)^2 \times y + 3 \times 3x \times y^2 - y^3 \\ & = 27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3 \\ \end{align} </math> # <br> <math>\begin{align} \left(x+4\right)\,\left(x^2-4x+16\right) & = \left(x+4 \right)\,\left(x^2 - x \times 4 + 4^2 \right) \\ & = x^3 + 4^3 \\ & = x^3 + 64 \\ \end{align} </math> # <br> <math>\begin{align} \left(3a-2b \right)\,\left(9a^2+6ab+4b^2 \right) & = \left(3a-2b \right)\ \left\{(3a)^2 + 3a \times 2b + (2b)^2 \right\}\\ & = (3a)^3 - (2b)^3 \\ & = 27a^3 - 8b^3 \\ \end{align} </math> === 三次式の因数分解 === 三次式の展開公式より、 * <math>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)</math> * <math>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)</math> * <math>a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)</math> （参考） * <math>a^n - b^n = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 + \cdots + a^2b^{n - 3} + ab^{n - 2} + b^{n - 1})</math> === 二項定理 === {{Advanced|初等整数論/パスカルの三角形#二項定理}} <math>(a+b)^5 = (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)</math> について考えよう。この式を展開するとき、<math>a^2b^3</math> の係数は、右辺の5個の <math>(a+b)</math> から <math>a</math> を2回取る[[高等学校数学A/場合の数と確率#組合わせ|組合せ]]に等しいから <math>{}_5 \! \mathrm{C}_2 = 10</math> である。 この考えを拡張して :<math>(a+b)^n = \underbrace{(a+b)(a+b)(a+b)\cdots(a+b)}_n</math> を展開する。<math>a^rb^{n-r}</math>の項の係数は、右辺の <math>n</math> 個の <math>(a+b)</math> から <math>a</math> を <math>r</math> 回取る組合せに等しいから <math>{}_n \! \mathrm{C}_r</math> である。 よって、次の式が得られる： :<math>\begin{align}(a+b)^n &= {}_n \! \mathrm{C}_0 a^n + {}_n \! \mathrm{C}_1 a^{n-1}b + {}_n \! \mathrm{C}_2 a^{n-2}b^2 + \cdots \\ &+ {}_n \! \mathrm{C}_r a^{n-r}b^r + \cdots + {}_n \! \mathrm{C}_n b^n \\ &= \sum _{r = 0}^n {}_n \! \mathrm{C}_r a^r b^{n-r}. \\ \end{align}</math> 最後の<math>\sum</math>は[[高等学校数学B/数列|数Bの数列]]で学ぶ総和記号である。 この関係を '''二項定理'''（binomial theorem） 、それぞれの項に掛かる係数<math>{}_n \! \mathrm{C}_r</math>を'''二項係数'''（binomial coefficient） と呼ぶ。二項係数は<math>\begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix}</math>とも書く。 *例題 (I) :<math>(x+1) ^4</math> (II) :<math>(a + 3) ^ 5</math> (II) :<math>(a + b) ^ 5</math> をそれぞれ計算せよ。 *解答 二項定理を用いて計算すればよい。実際に計算を行なうと、<br> (I) :<math>x^4+4\,x^3+6\,x^2+4\,x+1</math> (II) :<math>a^5+15\,a^4+90\,a^3+270\,a^2+405\,a+243</math> (III) :<math>b^5+5\,a\,b^4+10\,a^2\,b^3+10\,a^3\,b^2+5\,a^4\,b+a^5</math> となる。 *例題 全ての自然数nに対して<br> (I) :<math>2^n = \sum_{k=0}^n {}_n \! \mathrm{C}_k </math> (II) :<math>3^n = \sum_{k=0}^n 2^k {}_n \! \mathrm{C}_k </math> (III) :<math>0 = \sum_{k=0}^n (-1)^k {}_n \! \mathrm{C}_k </math> が成り立つことを示せ。 * 解答 二項定理 :<math>(a+b)^n = \sum_{k = 0}^n {}_n \! \mathrm{C} _k a^k b^{n-k}</math> についてa,bに適当な値を代入すればよい。<br> (I) <math>a=1, b=1</math>を代入すると :<math>(1+1)^n = \sum_{k=0}^n {}_n \! \mathrm{C}_k </math> :<math>2^n = \sum_{k=0}^n {}_n \! \mathrm{C}_k </math> となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。<br> (II) <math>a=2, b=1</math>を代入すると :<math>(1+2)^n = \sum_{k=0}^n {}_n \! \mathrm{C}_k 2^k</math> :<math>3^n = \sum_{k=0}^n {}_n \! \mathrm{C}_k 2^k</math> となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。<br> (III) <math>a=1,b=-1</math>を代入すると :<math>(1-1)^n = \sum_{k=0}^n {}_n \! \mathrm{C}_k (-1)^k</math> :<math>0 = \sum_{k=0}^n {}_n \! \operatorname{C}_k (-1)^k</math> となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。 ==== 多項定理 ==== 二項定理を拡張して <math>(a+b+c)^n</math> を展開することを考えよう。<math>a^pb^qc^r</math> <math>(p+q+r = n)</math> の項の係数は <math>n</math> 個の <math>(a+b+c)</math> から <math>p</math> 個の <math>a</math>、<math>q</math> 個の <math>b</math> 、 <math>r</math> 個の <math>c</math> を選ぶ組合せに等しいから <math>\frac{n!}{p!q!r!}</math> である。 一般には[[高等学校数学A/場合の数と確率#同じものを含む順列|同じものを含む順列]]と一致する。 === 整式の除法、分数式 === ここでは、整式の除法と分数式について扱う。整式の除法は、整式を整数のように扱い除法を行なう計算手法のことである。実際に整数の除法と整式の除法には深い繫がりがある。整式の因数分解を考えるとそれ以上因数分解できない整式が存在する。この整式を整数でいう素因数のように扱うことで整式の素因数分解が可能になる。 上では、整式が整数に対応する性質を持つことを述べた。整数については[[高等学校数学A/数学と人間の活動#最小公倍数・最大公約数|互いに素]]な2つの整数を取ることで有理数を定義することが出来る。整式に対しても同じ事が成立し、そのような式を分数式と呼ぶ。 ==== 整式の除法 ==== 分数を用いないときには、整数の除法は商と余りを用いて定義された。この時、割られる数Bは商Dと割る数A、余りRを用いて :<math>B = AD + R</math> と表される。 整式に対しても同様に、割られる式<math>B(x)</math>が割る式<math>A(x)</math>を用いて :<math>B(x) = A(x)D(x) + R(x)</math> と書かれるとき、<math>D(x)</math>を商、<math>R(x)</math>を余りという。 この時、整数の除法の性質<math>R<A</math>に対応して、<math>R(x)</math>の次数<math><A(x)</math>の次数が成立する。具体例として、<math>x+1 \div x</math>を考える。割る式の次数が1であることから余りの次数は0なので余りは定数である。また、商の次数が1以上であると :<math>B(x) = A(x)D(x) + R(x)</math> と右辺にxの2次以上の項が現われ左辺と一致しなくなる。よって商は定数である。商をa、余りをrとすると上の式は、 :<math>x+1 = ax + r</math> となるが、これは<math>a=r=1</math>で成立する。よって商1,余り1である。 より高次の式に対しても同様である。 例として、 :<math>x^3 \div (x^2 -1)</math> を考える。 この場合、 :<math>B(x) = A(x)D(x) + R(x)</math> で、<math>B(x)</math>が3次式、<math>A(x)</math>が2次式であることから、<math>D(x)</math>は1次式であり、また、<math>R(x)</math>は2次より小さいことから1次以下の式になる。ここで、<math>D(x)=ax+b,R(x)=cx+d</math>とおくと、 :<math>x^3 = (x^2-1) (ax+b) + (cx +d)</math> が得られる。右辺を展開すると :<math>x^3 = ax^3 + b x^2 + (-a +c )x + (-b +d)</math> が得られるが、[[#恒等式|xにどんな値を入れてもこの等式が成り立たなければならない]]ので、<math>\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \\ -a +c = 0 \\ -b +d = 0 \end{cases}</math>が得られ、結局<math>a=c=1, b=d=0</math>が得られる。 <!-- <math> x^3 \div (x^2 -1) </math> のような式を考える。 この式について、 <math> x^3 = x(x^2 - 1) +x </math> と書くことが出来るが、これは <math>x^3</math> を <math>x^2-1</math> で割った結果、 商<math>x</math> ,余り <math>x</math> がでたものと解釈できる。 このように、整式どうしで割り算をすることが出来る。 このとき、割る式は割られる式より低次か同じ次数でなくてはならない。 また、余りは必ず割る式よりも低次の式になる。 --> この方法はどの除法に対しても用いることが出来るが、次数が高くなると計算が難しくなる。整数の場合と同様、整式の除法でも筆算を用いることが出来る。上の例を用いて結果だけを書くと、 *図 のようになる。)右に書かれた式が割られる式であり、)左に書かれた式が割る式である。--の一番上に書かれた式は商であり、整数の割り算同様左に書かれた数から順に割っていく。ここでは次数が大きい項がより先に計算される項である。割られる式の下にある式は商の第1項を割る式にかけて得る式である。ここでは、<math>x(x^2-1)</math>で、<math>x^3-x</math>となる。ただし、整数の除法と同様、位をそろえなくてはならない。その後、割られる式から<math>x^3-x</math>を引き、残った式を新しい割られる式として扱う。ここでは、得た式が割る式よりも低次であることから、これで計算は終了である。 例題 :<math>x^3 + 2x ^2 +1</math>、<math>x ^4 + 4x^2 +3x +2</math>をそれぞれ<math>x^2 +2x +6</math>で割った商と余りを求めよ。 <!-- 更に、 (I) :<math> (x ^4 + 2x^3 - 5x^2 +6x -1) \div (x^2 -5x -1 ) </math> (II) :<math> (3 x ^4 - 7x^3 + x^2 +2x -1) \div (x^2 -3x -4 ) </math> (III) :<math> (2x^5 +3 x ^4 - 7x^3 + x^2 +2x -1) \div (x^2 +7x -4 ) </math> (IV) :<math> (2x^5 +3 x ^4 - 7x^3 + x^2 +2x -1) \div (x^3 +4x^2 +7x -4 ) </math> を計算せよ。 問題が多いので、とりあえずコメントアウト。 --> ** 解答 この計算はアニメーションを使って詳しく表示されている。計算には整数の場合の筆算と同じような手法が使える。 [[画像:Fract.gif|frame|right|計算のアニメーション]] :<math>x^3 + 2x ^2 +1=(x^2 +2x +6) x +(1-6x)</math> が得られるので、 :商<math>x</math>、余り<math>-6x +1</math>である。 2つ目の式については :<math>x ^4 + 4x^2 +3x +2=(x^2 - 2x+2)* (x^2 +2x +6)+ 11x -10</math> が得られるので、 :商<math>x^2 - 2x+2</math>、余り<math>11x -10</math>である。 <!-- 更に、残りの計算結果は、 (I) :<math> \left[ x^2+7\,x+31,168\,x+30 \right] </math> (II) :<math> \left[ 3\,x^2+2\,x+19,67\,x+75 \right] </math> (III) :<math> \left[ 2\,x^3-11\,x^2+78\,x-589,4437\,x-2357 \right] </math> (IV) :<math> \left[ 2\,x^2-5\,x-1,48\,x^2-11\,x-5 \right] </math> が得られる。 ただし、左が商、右が余りとなっている。 --> ==== 分数式 ==== ここまでで整式を整数のように扱い、整式の除法を行なう方法について述べた。ここでは、整式に対して分数式を定義する方法について述べる。分数式とは、整数に対する分数のように除法によって生じる式である。ここで、除法を行なう式はどのようなものでも差し支えない。分数式では、分子に割られる式を書き、分母に割る式を書く。例えば、 :<math>\frac {x+1}{x^2+4}</math> は、分子x+1、分母<math>x^2+4</math>の分数式である。分数式の分母を分母式、分子を分子式という。分数式に対しても約分や通分が存在する。約分は分子式・分母式に共通因数を持った分数式で用いられる。この時には分子分母を共通因数で割り、式を簡単にすることが出来る。通分は分数式の加法の時によく用いられるが、分母分子に同じ整式を掛けても分数式が変化しない性質を用いる。 *例題 :<math>\frac {x^2 -1} {x^3 -1}</math> を簡単にせよ。また、 :<math>\frac {x+1}{x^2 +2x + 3}+ \frac {2x + 5} {x^2 +1}</math> を計算せよ。 *解答 :<math>\frac {x^2 -1} {x^3 -1}</math> について分子と分母を因数分解すると、双方共に :<math>x-1</math> を因数として含んでいることが分かる。このとき、共通因数は約分され、 :<math>\frac {x^2 -1} {x^3 -1}</math> :<math>= \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)}</math> :<math>= \frac{x+1} { x^2+x+1}</math> となる。 次の問題では、 :<math>\frac {x+1}{x^2 +2x + 3}+ \frac {2x + 5} {x^2 +1}</math> を計算する。このとき両辺の分母を揃える必要があるが、今回については単純にそれぞれの分数式の分子と分母に各々の分母をかけて分母を統一すればよい。計算すると、 :<math>\frac {x+1}{x^2 +2x + 3}+ \frac {2x + 5} {x^2 +1}</math> :<math>= \frac{(x+1)(x^2+1)}{(x^2 +2x + 3)(x^2+1)}+\frac{(x^2 +2x + 3)(2x + 5)}{(x^2 +2x + 3)(x^2+1)}</math> :<math>= \frac{(x+1)(x^2+1)+(x^2 +2x + 3)(2x + 5)}{(x^2 +2x + 3)(x^2+1)}</math> :<math>= \frac {3x^3 +10x^2 + 17 x + 16}{(x^2 +2x + 3)(x^2+1)}</math> となる。 分数式の乗法は、分子分母を別々に掛ければよい。 *例題 次の計算をせよ。 (I) :<math>\frac {x^2 - y^2} {x^2 - 2xy + y^2} \times \frac {x-y} {x^2 + xy}</math> (II) :<math>\frac {x^2 + 4x + 3}{x^2 - 6x + 9} \div \frac {x^2 - 3x - 4} {x^2 - x - 6}</math> * 解答 (I) :<math>\frac {x^2 - y^2} {x^2 - 2xy + y^2} \times \frac {x-y} {x^2 + xy}</math> :<math>= \frac {(x+y)(x-y)} {(x-y)^2} \times \frac {x-y} {x(x+y)}</math> :<math>= \frac {(x+y)(x-y)(x-y)} {(x-y)^2\ x(x+y)}</math> :<math>= \frac {1} {x}</math> (II) :<math>\frac {x^2 + 4x + 3}{x^2 - 6x + 9} \div \frac {x^2 - 3x - 4} {x^2 - x - 6}</math> :<math>= \frac {x^2 + 4x + 3}{x^2 - 6x + 9} \times \frac {x^2 - x - 6} {x^2 - 3x - 4}</math> :<math>= \frac {(x+1)(x+3)} {(x-3)^2} \times \frac {(x+2)(x-3)} {(x+1)(x-4)}</math> :<math>= \frac {(x+1)(x+3)(x+2)(x-3)} {(x-3)^2\ (x+1)(x-4)}</math> :<math>= \frac {(x+3)(x+2)} {(x-3)(x-4)}</math> ===== 部分分数分解 ===== 分母が積の形である分数式を二つの分数式の和や差で表された式に変形する操作を'''部分分数分解'''という。 *問題例 <Math> \frac{1}{x (x+1)} </Math>と<Math>\frac{1}{(x+1)(x+3)}</Math>を分数式の和または差の形で表せ。 *解答 :<Math>\frac{1}{x(x+1)} = \frac{(x+1)-x}{x(x+1)}</Math> と変形できるので :<Math>\frac{x+1}{x(x+1)} - \frac{x}{x(x+1)}</Math> となり、約分すると :<Math>\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}</Math> となる。 次の問題では、 :<Math>\frac{1}{(x+1)(x+3)} = \frac{1}{(x+3) - (x+1)} \cdot \frac{(x+3) - (x+1)}{(x+1)(x+3)}</Math> と変形することによって :<Math>\frac{1}{2} \{ \frac{x+3}{(x+1)(x+3)} - \frac{x+1}{(x+1)(x+3)} \}</Math> となり、 :<Math>\frac{1}{2} (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3}) </Math> と求まる。 部分分数分解の操作を逆に辿ると、分数式の通分の操作と一致する。 つまり、'''部分分数分解は通分の逆の操作'''である。 分子が定数の場合には、上と同様の方法で部分分数分解することができる。 *問題 **以下の分数式を部分分数分解せよ **#<Math>\frac{3}{(x-9)(x-4)}</Math> **#<Math>\frac{7}{(3x-1)(5-2x)}</Math> *解答 1. <Math>\frac{3}{(x-9) (x-4)} </Math> :<Math>= \frac{3}{(x-4) - (x-9)} \cdot \frac{(x-4) - (x-9)}{(x-9)(x-4)}</Math> :<Math>= \frac{3}{5}\{ \frac{x-4}{(x-9)(x-4)} - \frac{x-9}{(x-9)(x-4)} \}</Math> :<Math>= \frac{3}{5} ( \frac{1}{x-9} - \frac{1}{x-4} )</Math> 2. <Math>\frac{7}{(3x-1)(5-2x)}</Math> :<Math>= \frac{-7}{(3x-1)(2x-5)} </Math> :<Math>= \frac{-7}{(3x-1) - (2x-5)} \cdot \frac{(3x-1) - (2x-5)}{(3x-1)(2x-5)} </Math> :<Math>= \frac{-7}{2(3x-1) - 3(2x-5)} \cdot \frac{2(3x-1) - 3(2x-5)}{(3x-1)(2x-5)} </Math> :<Math>= \frac{-7}{(6x-2) - (6x-15)} \{ \frac{2(3x-1)}{(3x-1)(2x-5)} - \frac{3(2x-5)}{(3x-1)(2x-5)} \}</Math> :<Math>= - \frac{7}{13} (\frac{2}{2x-5} - \frac{3}{3x-1})</Math> :<Math>= \frac{7}{13} (\frac{3}{3x-1} - \frac{2}{2x-5})</Math> 部分分数分解は数列の和の計算、積分計算、微分を利用した不等式の証明等に役立つ、重要な変形である。 === 式の証明 === ==== 恒等式 ==== 等式 <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math>は、文字<math>a,b</math>にどのような値を代入しても成り立つ。このような等式を'''{{ruby|恒等|こうとう}}式'''という。 等式<math>\frac {1}{x-1} + \frac {1}{x+1} = \frac {2x}{x^2-1}</math>は両辺とも<math>x=1,-1</math>を代入できないが、その他の値であればどのような値であっても代入できる且つ等式が成り立っている。これも恒等式と呼ぶ。 一方、<math>x^2 - x - 2 = 0</math> は、 <math>x=2, -1</math>を代入したときだけ成り立つ。このように、特定の値を代入したときにだけ成り立つ式のことを'''方程式'''と呼び、恒等式とは区別する。 等式 <math>ax^2+bx+c=0</math> が <math>x</math> についての恒等式であるのはどのような場合か、考えてみよう。 ある式が「 <math>x</math> についての恒等式である」とは、この式の<math>x</math> にどのような値を代入しても、この等式は成り立つという意味である。なので、例えば <math>x</math> に<math>-1\ ,\ 0\ ,\ 1</math> を代入した式 :<math>a-b+c=0</math> :<math>c=0</math> :<math>a+b+c=0</math> はすべて成り立つ必要がある。これを解くと :<math>a=b=c=0</math> なので、等式 <math>ax^2+bx+c=0</math> が <math>x</math> についての恒等式になるならば、<math>a=b=c=0</math>でなければならないことがわかる。 一般に、等式 <math>ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'</math> が恒等式であることと、<math>(a-a')x^2+(b-b')x+(c-c')=0</math> が恒等式であることは同値である。<br> よって :<math>ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'</math> が<math>x</math>についての恒等式 　<math>\iff</math>　 <math>a=a' \land b=b'\land c=c'</math> 纏めると次のようになる。 {| style="border:2px solid yellow;width:fit-content" cellspacing=0 |style="background:yellow"|'''恒等式の性質''' |- |style="padding:5px"| <math>P\ ,\ Q</math> を <math>x</math> についての多項式または単項式とする。 ::<math>P=0</math> が恒等式 　<math>\iff</math> 　 <math>P</math>の各項の係数はすべて<math>0</math>である。 ::<math>P=Q</math> が恒等式 　<math>\iff</math> 　 <math>P</math>と <math>Q</math> の次数は等しく、両辺の同じ次数の項の係数はそれぞれ等しい。 |} 一般に、ある式が恒等式であるための必要十分条件を'''恒等条件'''という。 *例題 次の等式が <math>x</math> についての恒等式となるように、<math>a\ ,\ b\ ,\ c</math> の値を求めよ。 :<math>x^2-3=a(x-1)^2+b(x-1)+c</math> * 等式の右辺を <math>x</math> について整理すると :<math>a(x-1)^2+b(x-1)+c=ax^2-2ax+a+bx-b+c=ax^2+(-2a+b)x+(a-b+c)</math> :<math>x^2-3=ax^2+(-2a+b)x+(a-b+c)</math> この等式が <math>x</math> についての恒等式となるのは、両辺の同じ次数の項の係数が等しいときである。よって :<math>a=1</math> :<math>-2a+b=0</math> :<math>a-b+c=-3</math> これを解くと :<math>a=1\ ,\ b=2\ ,\ c=-2</math> ; '''複雑な部分分数分解'''（発展） 恒等式を利用することで、複雑な分数式の部分分数分解ができる。 *問題例 **以下の分数式を部分分数分解せよ **#<Math>\frac{3x-5}{(x+2)(2x-1)}</Math> **#<Math>\frac{1}{(x-1)^2 (x-2)}</Math> *解答 :<Math>\frac{3x-5}{(x+3)(2x-1)} = \frac{a}{2x-1} + \frac{b}{x+3}</Math> と置く。 分母を払って :<Math>3x-5 = a(x+3) + b(2x-1)</Math> すなわち :<Math>3x-5 =(a+2b)x + (3a-b) </Math> これが<Math>x</Math>の恒等式なので、係数を比較して :<Math>a+2b=3</Math>かつ<Math>3b-a=-5</Math> すなわち :<Math>a=-1, b=2</Math> 最初の等式に代入して、 :<Math>\frac{3x-5}{(x+3)(2x-1)} = \frac{-1}{2x-1} + \frac{2}{x+3}</Math> :<Math>= \frac{2}{x+3} - \frac{1}{2x-1}</Math> 次の問題は、 :<Math>\frac{1}{(x-1)^2 (x-2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{(x-1)^2} + \frac{c}{x-2}</Math> とおくことにより、上の問題と同様にして :<Math>a=-1, b=-1, c=1</Math> と求まるので、 :<Math>\frac{1}{(x-1)^2 (x-2)} = - \frac{1}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{x-2}</Math> :<Math>= \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2}</Math> '''恒等式を利用した部分分数分解''' 求めたい数字を<Math>a,b,c</Math>とおく。 1. <Math>\frac{px+q}{(x+m)(x+n)} = \frac{a}{x+m} + \frac{b}{x+n}</Math> 2. <Math>\frac{px+q}{(x+m)^2} = \frac{a}{x+m} + \frac{b}{(x+m)^2}</Math> 3. <Math>\frac{px^2 + qx + r}{(x+m)^2 (x+n)} = \frac{a}{x+m} + \frac{b}{(x+m)^2 } + \frac{c}{x+n}</Math> 4. <Math>\frac{px^2 + qx + r}{(x+m)(x^2 + nx + l)} = \frac{a}{x+m} + \frac{bx+c}{x^2 + nx + l}</Math> このようにおいた式を<Math>x</Math>の恒等式と見ることによって、<Math>a,b,c</Math>を求められ、部分分数分解ができる。 その他の場合についても、因数分解や代入を利用することで分解できる場合がある。 *問題 <math>\frac{1}{(s^2-4)(s^2+2s-3)}</math>を部分分数分解せよ。 なお、上に示した部分分数分解の形では、「分母の因数ごとに分子の式を(因数の次数-1)次式と置いて全ての因数について足して」いる。この考え方を用いれば上の型に当て嵌まらない部分分数分解も計算できる。 ; '''2つの文字についての恒等式'''（発展） *例 a~fを定数とする。 <Math>ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0</Math>がx, yについての恒等式だとする。 左辺をxについて整理すると、<Math>ax^2+(cy+d)x+(by^2+ey+f)=0</Math>である。 これがxについての恒等式なので、<Math>a=0, cy+d=0, by^2+ey+f=0</Math>が成り立つ。 これらは更にyについての恒等式なので、以下の等式が得られる。 :<Math>a=b=c=d=e=f=0</Math> 逆に、これが成り立てば元の式は明らかにx, yについての恒等式である **問題 <Math>x^2+axy+6y^2-x+5y+b = (x-2y+c)(x-3y+d)</Math>がx,yについての恒等式となるようにa,b,c,dを定めよ。 ==== 等式の証明 ==== 先程紹介した「恒等式」という言葉を使って「証明」の意味を説明するなら、「等式を証明する」とは、その式が恒等式であることを示すことである。 一般に、等式 A＝B を証明するためには、次のような手順のいずれかを実行すればよい。 :(1)　　Aを式変形してBを導くか、または Bを変形してAを導く。 :(2)　　A,Bをそれぞれ変形して、同じ式Cを導く。 :(3)　　A-B＝0 を示す。 このとき、変形は'''同値変形でなければならない'''ことに注意。 * 例題 :<math>(a+b)^2-(a-b)^2 = 4ab</math> が成り立つことを証明せよ。 *解答 左辺を展開すると :(<math>(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2) = a^2+2ab+b^2 - a^2+2ab-b^2=4ab</math> となり、これは右辺に等しい。（終） * 例題 :<math>(x+y)^2+(x-y)^2 = 2(x^2+y^2)</math> が成り立つことを証明せよ。 *解答 左辺を計算すると、 :<math> (x^2+2xy+y^2)+(x^2-2xy+y^2) = x^2+2xy+y^2 + x^2-2xy+y^2 = 2x^2+2y^2 =2(x^2+y^2) </math> これは右辺に等しい。（終） *例題 次の等式が成り立つことを証明せよ。<br> (I) :<math>(6 a + 7 b )^2 + (7 a - 6 b )^2 = (9 a + 2 b )^2 + (2 a - 9 b )^2</math> *解答 (I) :<math>\mathrm{lhs} = (36 a^2 + 84 a b + 49 b^2) + (49 a^2 - 84 a b + 36 a^2) = 85 a^2 + 85 b^2</math> :<math>\mathrm{rhs}= (81 a^2 + 36 a b + 4 b^2) + (4 a^2 - 36 a b + 81 b^2) = 85 a^2 + 85 b^2</math> 両辺とも同じ式になるから :<math>(6 a + 7 b )^2 + (7 a - 6 b )^2 = (9 a + 2 b )^2 + (2 a - 9 b )^2</math> 恒等式でないときも、与えられた条件から等式を証明することができる。 *例題 <Math>a+b+c=0</Math>のとき、<Math>a^3+b^3+c^3=3abc</Math>であることを証明せよ。また、<Math>a:b=c:d</Math>のとき、<Math>\frac{a+c}{b+d} = \frac{a-c}{b-d}</Math>を証明せよ。 *解答 :<Math>a+b+c=0 \iff c=-(a+b)</Math> より、 :<Math>a^3+b^3+c^3-3abc = a^3+b^3-(a+b)^3+3ab(a+b)</Math> :<Math>= a^3+b^3-(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)+3a^2b+3ab^2</Math> :<Math>=0</Math> よって、<Math>a^3+b^3+c^3=3abc</Math>である。 また、 :<Math>a:b=c:d \iff \frac{a}{b} = \frac{c}{d}</Math> より、上式の右辺をkとおくと、 :<Math>a=bk, c=dk</Math> なので、 :<Math>\frac{a+c}{b+d} = \frac{bk+dk}{b+d} = \frac{k(b+d)}{b+d} = k</Math> :<Math>\frac{a-c}{b-d} = \frac{bk-dk}{b-d} = \frac{k(b-d)}{b-d} = k</Math> よって、<Math>\frac{a+c}{b+d} = \frac{a-c}{b-d}</Math>である。 なお、比<Math>a:b</Math>について<Math>\frac{a}{b}</Math>を'''比の値'''という。また、<Math>a:b=c:d \iff \frac{a}{b} = \frac{c}{d}</Math>を'''比例式'''という。 <Math>\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}</Math>が成り立つとき、<Math>a:b:c=x:y:z</Math>と表す。これを'''連比'''という。 *問題 **<Math>a:b:c=1:2:3</Math>のとき、<Math>a+b+c=24</Math>を満たす<Math>a,b,c</Math>を求めよ。 ==== 不等式の証明 ==== 不等式の様々な公式については、次の4つの式を基本的な式として導出できる場合がよくある。 高校数学では、次の4つの性質が 不等式の「基本性質」などとして紹介されている。 {| style="border:2px solid skyblue; width:fit-content" cellspacing=0 |style="background:skyblue"|'''不等式の基本性質''' |- |style="padding:5px"| :(1)　　<math> a>b \land b>c \implies a>c </math> :(2)　　<math> a>b \implies a \pm c>b \pm c</math> :(3)　　<math> a>b \land c>0 \implies ac>bc \land \frac{a}{c} > \frac{b}{c} </math> :(4)　　<math> a>b \land c<0 \implies ac<bc \land \frac{a}{c} < \frac{b}{c} </math> |} (3)と(4)については、一つの性質として 纏める文献もある。 上述の4つの基本性質から、 :<math>a>0, b>0 \implies a+b > 0</math> を証明してみよう。 *証明 まず <math>a>0</math> なので、基本性質(2)より :<math>a+b > b</math> である。 よって :<math> a+b>b \land b>0 </math> なので、基本性質(1)より<math> a+b>0 </math> が成り立つ。（終） 同様にして、 :<math>a<0, b<0 \implies a+b < 0</math> を証明できる。 ここまでに示したことから、不等式 <math> A \geqq B </math> を証明したい場合には、 : <math> A-B \geqq 0 </math> を証明すればよいことがわかった。こちらの方が証明しやすい場合がよくある。 不等式を証明する際に根拠とする基本的な不等式として、次の性質がある。 {| style="border:2px solid skyblue; width:fit-content" cellspacing=0 |style="background:skyblue"|'''実数の2乗の性質''' |- |style="padding:5px"| :<math>\forall a \in \mathbb{R}, a^2 \geqq 0</math> 等号成立は、 <math>a = 0</math> の場合だけである。 |} この定理（「全ての実数についてその2乗は非負」）を、基本性質(3),(4)を使って証明してみよう。 '''（証明）''' aが正の場合と負の場合と0の場合の3通りに場合わけする。 '''<nowiki>[aが正の場合]</nowiki>''' <br> このとき、基本性質(3)より、 :<math> aa>0a </math> である。すなわち、 :<math> a^2 > 0 </math> である。 '''<nowiki>[aが負の場合]</nowiki>'''<br> このとき、基本性質(4)より <math>0a < aa </math> である。すなわち、 : <math> a^2 > 0 </math> である。 '''<nowiki>[aがゼロの場合]</nowiki>''' <br> このとき、 <math>a^2=0</math> である。 よって、すべての場合について<math>a^2 \geqq 0</math> (終) このことと基本性質(1)(2)より、次が成り立つこともわかる。 {| style="border:2px solid skyblue; width:fit-content" cellspacing=0 |style="background:skyblue"|'''実数の2乗同士の和の性質''' |- |style="padding:5px"| 任意の実数a,b について、<math>a^2 \geqq 0</math>, 　<math>b^2 \geqq 0</math>より :<math>a^2+b^2 \geqq 0</math> が成り立つ。 等号成立条件は<math>a^2 = b^2 = 0</math>、つまり<math>a=b=0</math> の場合だけである。 |} * 例題 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 :<math>x^2 + 10 y^2 \geqq 6 x y</math> *解答 :<math>(x^2 + 10 y^2) -(6 x y) \geqq 0</math> を証明すればよい。 左辺を展開して纏めると :<math>(x^2 + 10 y^2) - 6xy = x^2 - 6 x y + 9 y^2 + y^2 = (x - 3 y)^2 + y^2</math> となる。 上式の最後の式の項について、 :<math>(x - 3 y)^2 \geqq 0 , \quad y^2 \geqq 0</math> より :<math>(x - 3 y)^2 + y^2 \geqq 0</math> である。よって :<math>x^2 + 10 y^2 \geqq 6 x y</math> （終） ===== 根号を含む不等式 ===== 2つの正の数 a,　b がa≧b ならば、両辺を2乗しても大小関係は同じままである。 つまり、 : <math> a>0 </math>,　<math> b>0 </math> のとき : <math> a > b \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 > b^2 </math> : <math> a > b \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 > b^2 </math> これを証明するには、<math> a^2 - b^2 </math> を調べればよい。 :<math> a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) </math> である。 a>bとする。仮定より、a,b は正の数なので、<math> (a+b)>0 </math> であり、別の仮定より、 a > b なので、<math> (a-b)>0 </math> でもある。よって、<math> a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) >0 </math> 逆に、<math>a^2-b^2>0</math>のとき、<math>(a+b)(a-b)>0</math>であり、<math>a>0,b>0</math>なので<math>a+b>0</math>である。よって、<math>a-b>0</math>なので、<math>a>b</math>である。 よって、<math> a > b \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 > b^2 </math> である。 <math>a=b</math>の場合は明らかに<math>a^2=b^2</math>なので、全ての場合について<math>a \geqq b (> 0) \iff a^2 \geqq b^2</math>が確かめられた。 ---- *例題 <math> a>0, b>0 </math> のとき、次の不等式を証明せよ。 ::<math> \sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b} </math> *解答 不等式の両辺は正であるので、両辺の平方の差を考えればよい。両辺の平方の差は :<math>( \sqrt{a} + \sqrt{b} )^2 - ( \sqrt{a+b} )^2 = a + 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + b - (a+b) 2 \sqrt{ab} </math> である。ここで、a,b はともに正の実数なので、 ::<math> \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab} </math> であることを用いた。 :<math> \sqrt{ab} > 0</math> であるので、 :<math>( \sqrt{a} + \sqrt{b} )^2 - ( \sqrt{a+b} )^2 > 0 </math> となる。よって、 :<math> \sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b} </math> である。（終） ===== 絶対値を含む不等式 ===== 実数 <math>a</math> の絶対値 <math>|a|</math> について、 : <math>a \geqq 0 \implies |a|=a</math> : <math>a<0 \implies |a|= -a</math> であるから、次のことが成り立つ。 :<math>|a|^2=a^2</math> また、2つの実数 a, b の絶対値 |ab| については、 : <math>|ab|^2= (ab)^2= a^2 b^2 = |a|^2 |b|^2 = (|a| |b|)^2</math> が成り立つので、これにさらに <math>|ab|\geqq0 ,|a||b|\geqq0 </math>を組み合わせて、 :<math>|ab| = |a| |b| </math> が成り立つ。 *例題 次の不等式を証明せよ。また、等号成立条件を 調べよ。 ::<math>|a|+|b| \geqq |a+b|</math> *解答 両辺の平方の差を考えると、 :<math>(|a|+|b|)^2 - |a+b|^2 = |a|^2 + 2|a| |b| + |b|^2 -(a^2 + 2ab + b^2 )</math> :<math>= a^2 + 2|a| |b| + b^2 -a^2 - 2ab - b^2</math> :<math>= 2|a| |b| - 2ab</math> :<math>= 2 ( |a| |b| - ab )</math> これがもし正なら、与えられた不等式 <math>|a|+|b| \geqq |a+b|</math> が正しい。 ここで、 <math>|a| |b| \geqq ab</math> であるので、 :<math> ( |a| |b| - ab ) \geqq 0</math> である。 したがって、 <math>|a|+|b| \geqq |a+b|</math> である。 等号が成り立つのは <math>|a| |b| = ab</math> の場合、すなわち <math>ab \geqq 0</math> の場合である。 （終） {{コラム|三角不等式| なお :<math>|a|-|b| \leqq |a+b| \leqq |a|+|b| </math> の関係式のことを「三角不等式」という。 }} ==== 相加平均・相乗平均 ==== 2つの数<math>a</math>,<math>b</math>に対し、<math>\frac{a+b}{2}</math>を'''{{ruby|相加|そうか}}平均'''、<math>\sqrt{ab}</math>を'''{{ruby|相乗|そうじょう}}平均'''という。 {{コラム|相乗平均の例と3つ以上のものの平均| 平均は、3つ以上のものにも定義される。3つ以上のn個のものの相加平均は <math>\frac{a_1 + a_2 + \cdots +a_n }{n}</math> で定義される。 :平均を考える際、つい相加平均ばかりを考えがちだが、以下のような状況では相乗平均の方が適切である。 ::「ある企業では、2015年度の売上を基準にすると、2016年度では前年（2015年）の1.5倍の売上になりました。2017年度では、前年（2016年）の2倍の売上になりました。平均として、一年ごとに何倍の売り上げになっていったでしょうか？ 」 :（答）<math>\sqrt{1.5 \times 2} = \sqrt{3} \fallingdotseq 1.73</math> より、約 1.73倍。 :また、この応用例は、項が3つ以上の場合の相乗平均の定義の仕方も、示唆している。もし読者が[[高等学校数学II/指数関数・対数関数|指数関数]]を知っているなら、項が3つ（ここでは a, b, c とする）の場合の相乗平均は、 ::（3つの項の相乗平均）＝<math> (abc)^{ \frac{1}{3} } </math> :になる。 }} 本ページでは、2個の数の平均について考察する。 相加平均と相乗平均について、次の関係式が成り立つ。 {| style="border:2px solid yellow;width:80%" cellspacing=0 |style="background:yellow"|'''相加平均と相乗平均''' |- |style="padding:5px"| <math>a \geqq 0</math> ，<math>b \geqq 0</math>のとき、<br> <center><math>\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}</math></center><br> 等号が成り立つのは、<math>a = b</math>のときである。 |} *証明 <math>a \geqq 0 , b \geqq 0</math>のとき :<math>\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{a+b-2 \sqrt{ab}}{2} = \frac{\left( \sqrt{a} \right) ^2 - 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + \left( \sqrt{b} \right) ^2}{2} = \frac{\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 }{2}</math> <math> \left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 \geqq 0</math>であるから、<math> \frac{\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 }{2} \geqq 0</math><br> 従って　<math>\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}</math><br> 等号が成り立つのは、<math>\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 = 0 </math> のとき、すなわち <math>a = b</math> のときである。(終) 公式の利用では、上の式 <math>\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}</math> の両辺に2を掛けた <math>a+b \geqq 2 \sqrt{ab}</math> の形の式を使う場合もある。 * 例題 <math>a>0</math> ，<math>b>0</math>のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。<br> (I) :<math> a + \frac{1}{a} \geqq 2 </math> (II) :<math> (a+b)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \geqq 4 </math> **解答 (I)<math>a>0</math>であるから、<math>\frac{1}{a} >0</math><br> よって　<math>a + \frac{1}{a} \geqq 2 \sqrt{a \times \frac{1}{a}} = 2</math><br> したがって :<math> a + \frac{1}{a} \geqq 2 </math> (II) :<math> (a+b)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) = 1+ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} +1 = \frac{b}{a} + \frac{a}{b} +2 </math> <math>a>0</math>，<math>b>0</math>であるから、<math>\frac{b}{a} >0</math>，<math>\frac{a}{b} >0</math><br> よって　<math> \frac{b}{a} + \frac{a}{b} +2 \geqq 2 \sqrt{\frac{b}{a} \times \frac{a}{b}} + 2 = 2+2 =4</math><br> したがって :<math> (a+b)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \geqq 4 </math> {{コラム|3つ以上の相乗平均と調和平均| もし読者が指数関数などを知っていれば、 n個のものの相乗平均は、 ::<math>\sqrt[n] {a_1 a_2 \cdots a_n }</math> と書ける。 数学的な「平均」には、相加平均と相乗平均のほかにも'''調和平均'''がある。 調和平均は、電気回路の並列計算で使われる考え方である。 n個のものの調和平均は、 ::<math>\frac{ n}{ \dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_n} }</math> で定義される。 一般に数学的には、調和平均、相乗平均、相加平均のあいだに次のような大小関係 :（調和平均） ≦ （相乗平均） ≦ （相加平均） という関係が成り立つことが証明されている。 すなわち、数式で書けば ::<math>\frac{ n}{ \dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_n} } \leqq \sqrt[n] {a_1 a_2 \cdots a_n } \leqq \frac{a_1 + a_2 + \cdots +a_n }{n} </math> の関係式である。 簡潔に書くと、 ::<Math>\frac{ n}{ \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{a_k}} \leqq (\prod_{k=1}^{n}a_k)^{\frac{1}{n}} \leqq \frac{\sum_{k=1}^{n} a_n}{n}</Math> となる。 }} {{コラム|相加・相乗・調和平均の図示| 線分ABを直径に持つ円の中心をOとする。線分ABの適当な位置に点Pをとり、<math>\overline{AP} = a, \overline{PB} = b</math>とおく。 :Oから線分ABに垂直な線分を引き、円との交点をQとおく。このとき、線分OQはこの円の半径なので、<math>\overline{OQ} = \frac{1}{2} \overline{AB} = \frac{a+b}{2}</math>が成り立つ。 :Pから線分ABに垂直な直線を両側に引き、円との交点をそれぞれR, Sとおく（RはQ側の交点とする）。このとき<math>\overline{OR} = \overline{OS}</math>であり、[[高等学校数学A/図形の性質#方冪の定理|方冪の定理]]より<math>\overline{OR} \cdot \overline{OS} = \overline{AP} \cdot \overline{PB} = ab</math>が成り立つので、<math>\overline{OR} = \sqrt{ab}</math>と求まる。<br> :Pから線分ORに引いた垂線の足をTとする。<math>\triangle ORP</math>∽<math>\triangle PRT</math>より<math>\overline{OR} : \overline{RP} = \overline{PR} : \overline{RT}</math>すなわち<math>\frac{a+b}{2} : \sqrt{ab} = \sqrt{ab} : \overline{RT}</math>なので、<math>\overline{RT} = \frac{2ab}{a+b} = \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}</math>と求まる。 これらの図から、点Pをどの位置に取っても<math>\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leqq \sqrt{ab} \leqq \frac{a+b}{2}</math>が常に成り立つこと、PがOに一致する場合に等号が成立することがわかる。 なお、[[w:二乗平均平方根]]も図示することができる。 }} 一般的に使われる平均として、相加平均・相乗平均・調和平均の他に'''調整平均'''と'''移動平均'''が存在する。これらは数学B「[[高等学校数学B/数学と社会生活#調整平均|数学と社会生活]]」で扱う。 ==複素数と方程式== ===複素数=== ====複素数とは==== 2乗して負になる数を考える。このような数は先ほどの :<math>\forall a \in \mathbb{R}, a^2\geqq0</math> という性質から実数ではないことがわかる。そこで、二乗すると負になる数を新たに導入し、数の世界を広げることを考える。 方程式<math>x^2 = -1</math>の解を考える。この方程式の解は実数にはない。そこで、この方程式を満たす（実数ではない）数の片方を文字 <math>i</math>で表すことにする。このとき、もう片方の解は<math>-i</math>と表せる。 この <math>i</math> のことを'''虚数単位'''（imaginary unit）と呼ぶ。なお、<math>x^2=-1</math>の2つの解のどちらを<math>i</math>としてもその後の理論に差し支えない。つまり、<math>i, -i</math>は代数構造的に区別できない。 <math>1+i</math> や <math>2+5i</math> のように、虚数単位<math>i</math>と<math>a,b \in \mathbb{R}</math>を用いて :<math>z=a+bi</math> と表すことができる数 <math>z</math>を'''複素数'''という。このとき、<math>a</math>をこの複素数の'''実部'''、<math>b</math>を'''虚部'''といい、それぞれ<math>\mathrm{Re}(z), \mathfrak{R}(z), \quad \mathrm{Im}(z), \mathfrak{I}(z)</math>などと表す。 例えば、<math>1+i,\quad 2+5i,\quad \frac{9}{2} + \frac{7}{2} i,\quad 4i,\quad 3</math> は、いずれも複素数である。 複素数<math>a+bi</math>は<math>b=0</math>のとき実数である。すなわち、複素数は実数の拡張である。複素数全体の集合は<math>\mathbb{C}</math>と表す。 <math>4i</math>のような、実部が<math>0</math>で虚部が<math>0</math>でない複素数を'''純虚数'''と呼ぶ。純虚数の二乗は負数である。純虚数全体の集合は<math>i\mathbb{R}_{\neq0}</math>で表す（<math>\neq0</math>を省略する場合もある）。 虚数は、一般には実数ではない複素数を指す。（つまり虚数全体の集合は<math>\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}</math>） ;参考 複素数は「二元数」の一つである。他の二元数として、[[多元数/分解型複素数|分解型複素数]]と[[多元数/二重数|二重数]]がある。二元数は正確に言うと「実数体上の二次元可換結合多元環」であり、代数の構造定理によりこの3つしか存在し得ないことが判っている。 ==== 複素数の性質 ==== 2つの複素数<math>a+bi, c+di</math>が等しいとは、等式<math>a+bi=c+di</math>を'''虚数単位<math>i</math>についての恒等式とみる'''ことで以下のように解釈できる。 {| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0 |style="background:skyblue"|'''複素数の相等''' |- |style="padding:5px"| : <math>a+bi = c+di \iff a=c \land b=d</math> 特に : <math>a+bi = 0 \iff a=0 \land b=0</math> |} ;共役 複素数<math>z=a+bi</math>に対して、虚部の符号を反転させた複素数<math>\bar{z} = a-bi</math>のことを'''{{ruby|共役|きょうやく}}複素数'''または'''<math>z</math>の複素共役'''と呼ぶ。なお、「共役」は「共'''軛'''」の常用漢字による代用（[[w:同音の漢字による書き換え]]）である。<math>z^*</math>と書くこともある。 その定義より、<math>\forall a \in \mathbb{R}, \bar{a}=a</math>である。 ;四則演算 複素数にも四則演算（加減乗除）が定義される。 複素数の演算では、虚数単位<math>i</math>を通常の文字のように扱って計算する。但し、<math>i^2=-1</math>に注意。 一般に複素数<math>z=a+bi, w=c+di</math>について :加法：<math> (a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i </math> :減法：<math> (a+bi)-(c+di) = (a-c) + (b-d)i </math> :乗法：<math> (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i </math> :除法：<math> \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i </math>（但し<math>c+di \ne 0</math>） が成り立つ。 実数の場合と同様、四則演算は複素数について閉じており、分配則・結合則・交換則が成り立つ。 複素数<math>z=a+bi</math>について :<math>\overline{\bar{z}}=z</math>（'''再帰則'''） :<math>z+ \bar{z}=(a+bi)+(a-bi)=2a</math> :<math>z-\bar{z}=(a+bi)-(a-bi)=2bi</math> :<math>z \bar z =(a+bi)(a-bi)=a^2-abi+abi-b^2 i^2 = a^2-b^2i^2=a^2+b^2</math> :<math>\frac{z}{\bar{z}}=\frac{a+bi}{a-bi}=\frac{a^2-b^2+2bi}{a^2+b^2}</math>（但し<math>z\neq0</math>） が成り立つ。 よって、 :<math>\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\bar{z}}{2}</math> :<math>\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2i}</math> も成り立つ。 '''例題''' 2つの複素数 :<math>a=3+i</math> :<math>b=4 +7i</math> について、<math>a+b, ab, \frac{a}{b}</math> をそれぞれ計算せよ。 '''解答''' :<math>\begin{align}a+b&=(3+i)+(4+7i)\\&=(3+4)+i(1+7)\\&=7+8i\end{align}</math> :<math>\begin{align}ab&=(3+i)(4+7i) \\&=12+21i+4i+7i^2 \\&=12+21i+4i+(-7) \\&=5+25i\end{align}</math> :<math>\begin{align}\frac{a}{b}&=\frac{3+i}{4+7i} \\&=\frac{(3+i)(4-7i)}{(4+7i)(4-7i)} \\&=\frac{12-21i+4i-(-7)}{16-28i+28i-(-49)} \\&=\frac{19-17i}{65} \\&=\frac{19}{65}-\frac{17}{65}i \end{align}</math> ==== 負の数の平方根 ==== 複素数を導入することで、負の数の平方根も考えることができる。 例として、 -5 の平方根について考えてみよう。 :<math>(\sqrt{5}\ i)^2 = (\sqrt{5})^2\ i^2 = 5 \times (-1) =-5</math> :<math>(- \sqrt{5}\ i)^2 = (-1)^2 \times (\sqrt{5})^2\ i^2 = (+1) \times 5 \times (-1) = -5</math> であるから、 <math>-5</math> の平方根は <math> \sqrt{5}\ i </math> と <math> - \sqrt{5}\ i </math> である。 {| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0 |style="background:skyblue"|'''負の数の平方根''' |- |style="padding:5px"| <math>a>0</math>とするとき、負の数<math>-a</math>の平方根は<math>\pm \sqrt{a}\ i</math>である。 |} <math>\pm \sqrt{-a} = \pm \sqrt{a} i</math>（複号同順）である。 さて、-5 の平方根は、方程式<math>x^2=-5</math>なので、方程式<math>x^2+5=0</math>の解ともいえる。 すなわち、二次式<math>x^2+5</math>は複素数範囲で<math>(x+\sqrt{5}i)(x-\sqrt{5}i)</math>と因数分解できる。 * 例題 (I) 　　<math>\sqrt{-2} \times \sqrt{-6}</math>　を計算せよ。 * 解答 (I) :<math>\sqrt{-2} \times \sqrt{-6} = (\sqrt{2}i) \times (\sqrt{6}i) = \sqrt{12} i^2 = -2 \sqrt{3}</math> 注意：負数の平方根は'''必ず純虚数に直して'''計算するようにする。 直さないと、以下のような間違いが起こり得る。 :<math>\sqrt{-2}\times\sqrt{-6}=\sqrt{(-2)\times(-6)}=\sqrt{12}</math> 実は、中学校で習った「平方根の積は根号の中身の積の平方根をとったものに等しい」という性質は'''実数範囲でしか成り立たない'''。 一般に、'''実数範囲で成り立ったことが複素数範囲でそのまま成り立つとは限らない'''ことに注意が必要である。 * 問題 :(II) 　　<math>\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-3}}</math>　を計算せよ。 :(III) 　　二次方程式　<math>x^2+7=0</math>　を解け。 * 解答 (II) :<math>\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}\ i} = \frac{\sqrt{2}\ \sqrt{3}\ i}{\sqrt{3}\ i\ \sqrt{3}\ i} = \frac{\sqrt{6}\ i}{3\ i^2} = - \frac{\sqrt{6}}{3} \ i</math> (III) :<math>x^2+7=0</math> :<math>x^2=-7</math> :<math>x= \pm \sqrt{-7}</math> :<math>x= \pm \sqrt{7}\ i</math> === 複素数と二次方程式 === ==== 二次方程式の解と複素数 ==== 複素数の応用として、ここでは二次方程式の性質について述べる。任意の二次方程式は、解の公式によって解かれることを[[高等学校数学I 方程式と不等式#二次方程式|高等学校数学I]]で述べた。しかし、解の公式に含まれる根号の中身が負の数の場合には実数解が存在しないことに注意する必要がある。二次方程式 :<math> ax^2+bx+c = 0 </math> の解の公式は、 :<math> x = \frac{-b \pm \sqrt{D} }{a} </math> である。 但し、<math>D=b^2-4ac</math>は判別式である。 判別式の正負によって二次方程式が実数解を持つかどうかが決まる。 <math>D<0</math>のときにはこの二次方程式は実数の範囲には解を持たない。 一般に、'''<math>D<0</math>のとき二次方程式の解は2つの複素共役な虚数である'''。 * 例題 二次方程式<br> (1) :<math>x ^2 + 5x + 9 =0</math> (2) :<math>2x ^2 + 5x + 8 =0</math> (3) :<math>2x ^2 - 2x + 8 =0</math> を複素数範囲で解け。 *解答 解の公式を用いて解けばよい。(1)だけを計算すると、 :<math> x = \frac {- 5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \times 1 \times 9}}{2} </math> :<math> = \frac {-5 \pm \sqrt {11} i}{2} </math> となる。 他も同じように扱うことが出来る。 以降の解答は、<br> (2) :<math> x = \frac {-5 \pm \sqrt {39} i}{4} </math> (3) :<math> x = \frac {1 \pm \sqrt {15} i}{2} </math> となる。 <!-- ( *執筆者に対する注意 計算には[[w:maxima]]を用いた。 tex(solve( x ^2 + 5*x + 9 =0,x )); tex(solve( 2*x ^2 + 5*x + 8 =0,x )); tex( solve( 2*x ^2 - 2*x + 8 =0,x )); ) --> 方程式の解で、実数であるものを '''実数解''' という。 方程式の解で、虚数であるものを '''虚数解''' という。 {| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0 |style="background:skyblue"|'''判別式と解の判別''' |- |style="padding:5px"| 二次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の判別式 <math>D=b^2-4ac</math> について ::<math>D>0 \quad \Leftrightarrow \quad </math> 異なる2つの実数解をもつ ::<math>D=0 \quad \Leftrightarrow \quad </math> 重解をもつ ::<math>D<0 \quad \Leftrightarrow \quad </math> 異なる2つの複素共役な虚数解をもつ |} また、重解も実数解であるので、 ::<math>D \geqq 0 \quad \Leftrightarrow \quad </math> 実数解をもつ といえる。 *例題 次の二次方程式の解を判別せよ。 (I) :<math>x^2+3\,x-1=0</math> (II) :<math>2\,x^2-3\,x+2=0</math> (III) :<math>4\,x^2-20\,x+25=0</math> *解答 (I) :<math>D=3^2-4 \times 1 \times (-1) =13>0</math> より、異なる2つの実数解をもつ。 (II) :<math>D=(-3)^2-4 \times 2 \times 2 =-7<0</math> より、異なる2つの虚数解をもつ。 (III) :<math>\frac{D}{4}=(-10)^2-\times 4 \times 25 =0</math> より、重解をもつ。 ==== 二次方程式の解と係数の関係 ==== 二次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の2つの解を <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> とする。 この方程式は、 <math>a(x-\alpha)(x-\beta) = 0</math> と変形できる。 これを展開すると、 <math>ax^2 -a(\alpha + \beta )x+a\alpha \beta = 0</math> 係数を比較して、 <math>c = a \alpha \beta, b = -a(\alpha + \beta)</math> を得る。 これを変形すれば、<math>\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \alpha \beta = \frac{c}{a}</math>となる。<br> {| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing="0" | style="background:skyblue" |'''解と係数の関係''' |- | style="padding:5px" | 二次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の2解を <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math>とするとき、 :<math>\alpha + \beta = - \frac{b}{a}</math> ，<math>\alpha \beta = \frac{c}{a}</math> |} 解と係数の関係は、多項式の値を[[高等学校数学I/数と式#種々の因数分解|基本対称式分解]]を用いて求める問題に応用される。 *例題 二次方程式 <math>2x^2 + 4x + 3 = 0</math>の2解の平方和を求めよ。 *解答 2解をそれぞれ<math>\alpha, \beta</math>とすると、解と係数の関係より :<math>\alpha + \beta = - \frac{4}{2} = - 2 </math>，<math>\alpha \beta = \frac{3}{2}</math> :<math>\therefore \alpha ^2 + \beta ^2 = (\alpha + \beta )^2 - 2 \alpha \beta = (-2)^2 - 2 \times \frac{3}{2} = 1</math> 解と係数の関係より以下が成り立つ。 {| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0 |style="background:skyblue"|'''与えられた2つの数を解とする二次方程式''' |- |style="padding:5px"| 2数 <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> を解とする二次方程式の一つは :<math>x^2 - (\alpha + \beta ) x + \alpha \beta = 0</math> |} * 問題 次の2数を解とする最も簡単な二次方程式を作れ。<br> (I) :<math>3 + \sqrt{5} \ , 3 - \sqrt{5}</math> (II) :<math>2 + 3 i \ , 2 - 3 i</math> * 解答 (I)<br> 和　<math>(3 + \sqrt{5}) + (3 - \sqrt{5}) = 6</math><br> 積　<math>(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}) = 4</math>　であるから<br> :<math> x^2 - 6 x + 4 =0 </math> (II)<br> 和　<math>(2 + 3 i) + (2 - 3 i) = 4</math><br> 積　<math>(2 + 3 i) (2 - 3 i) = 13</math>　であるから<br> :<math> x^2 - 4 x + 13 =0 </math> 一般に、二次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の2解 <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> がわかると二次式 :<math>ax^2 + bx + c</math> を因数分解することができる。 解と係数の関係 <math>\alpha + \beta = - \frac{b}{a}</math>，<math>\alpha \beta = \frac{c}{a}</math> から、 :<math>ax^2 + bx + c = a \left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} \right) = a \left\{x^2 - (\alpha + \beta )x + \alpha \beta \right\} = a (x - \alpha)(x - \beta)</math> {| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing="0" | style="background:skyblue" |'''解と因数分解''' |- | style="padding:5px" | 二次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の2つの解を <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> とすると :<math>ax^2 + bx + c = a (x - \alpha)(x - \beta)</math> |} 二次方程式は複素数の範囲で考えると常に解を持つから、複素数範囲において二次式は必ず一次式の積に因数分解することができる。 *例題 次の二次式を複素数範囲で因数分解せよ。<br> (I) :<math>x^2 + 4 x - 1</math> (II) :<math>2 x^2 - 3 x + 2</math> *解答 (I)<br> 二次方程式　<math>x^2 + 4 x - 1 = 0</math>　の解は :<math>x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4 \times 1 \times (-1)}}{2 \times 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2 \sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}</math> よって :<math>x^2 + 4 x - 1 = \left\{ x - (-2 + \sqrt{5}) \right\} \left\{ x - (-2 - \sqrt{5}) \right\} = (x + 2 - \sqrt{5}) (x + 2 + \sqrt{5})</math> (II)<br> 二次方程式 <math>2 x^2 - 3 x + 2 = 0</math>　の解は :<math>x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \times 2 \times 2}}{2 \times 2} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{7} i}{4}</math> よって :<math>2 x^2 - 3 x + 2 = 2 \left(x- \frac{3 + \sqrt{7}\; i}{4} \right) \left(x- \frac{3 - \sqrt{7}\; i}{4} \right)</math> === 高次方程式 === 以下、三次以上の整式による方程式を考える。 一般に方程式を <math>P(x)=0</math>とする。 ただし、<math>P(x)</math>は、任意の次数の整式とする。 一般に、k次方程式<math>(x-p)^k=0</math>の解 <math>p</math>をこの方程式の'''k重解'''という。k重解は同じ値の解がk個重なっていると考える。 ==== 剰余の定理 ==== <math>P(x)</math>を一次式<math>x-a</math>で割ったときの商を<math>Q(x)</math>、余りを<math>R</math>とすると、 :<math> P(x) = (x-a)Q(x)+R </math> この両辺の<math>x</math>に<math>a</math>を代入すると、 :<math> P(a) = (a-a)Q(a)+R = 0 \times Q(a) + R =R </math> つまり、<math>P(x)</math>を<math>x-a</math>で割ったときの余りは<math>P(a)</math>である。 {| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing="0" | style="background:pink" |'''剰余の定理''' |- | style="padding:5px" | 整式<math>P(x)</math>を<math>x-a</math>で割ったときの余りは、<math>P(a)</math>に等しい。 |} * 問題例 ** 問題 整式 <math>P(x) = x^3 -2x + 3</math> を次の式で割った余りを求めよ。<br> (I) :<math> x-2 </math> (II) :<math> x+1 </math> (III) :<math> 2x-1 </math> ** 解答 (I)　<math>P(2) = 2^3 - 2 \times 2 + 3 = 7</math><br> (II)　<math>P(-1) = (-1)^3 - 2 \times (-1) + 3 = 4</math><br> (III)　<math>P\left( \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2} \right)^3 - 2 \times \left( \frac{1}{2} \right) + 3 = \frac{17}{8}</math> ===== 因数定理 ===== :<math>\exist a \in \mathbb{R}, P(a) = 0</math> ならば、整式<math>P(x)</math> は式<math>(x-a)</math> を因数に持つことが分る。 これを'''因数定理'''と呼ぶ。 * 導出 剰余の定理より<math>P(x)</math>を<math>(x-a)</math>で割った余りは<math>P(a)</math>であるが、ここで<math>P(a)=0</math>より<math>P(x)=(x-a)Q(x)</math>と書けるので、<math>P(x)</math>は式<math>(x-a)</math>を因数に持つ。 {| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0 |style="background:pink"|'''因数定理''' |- |style="padding:5px"| 整式<math>P(x)</math>について<br> <center><math>P(a)=0 \Leftrightarrow </math> <math>P(x)</math>は<math>x-a</math>で割りきれる。</center> |} 因数定理を用いることで、より次数の高い整式を因数分解することが出来るようになる。 例えば、三次の整式 :<math>x^3 - 1</math> について、<math>x=1</math>を代入すると :<math>x^3 - 1=0</math> なので因数定理よりこの式は :<math>(x-1)</math> を因数として持つ。 ここで、整式の除法を使って計算すると :<math>x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)</math> を得る。 *例題 因数定理を用いて<br> (I) :<math>x^3-6\,x^2+11\,x-6</math> (II) :<math>x^3+x^2-14\,x-24</math> <!-- (III) :<math> x^3+5\,x^2-34\,x-80 </math> --> を因数分解せよ。 * 解答<br> (I) 因数分解の結果が(x+整数)の積の形なら、整数は6の約数でなければならない。そのため、<math>\pm 1, \pm 2,\pm 3,\pm 6</math>が候補となる。これらにつ祖ては実際に代入して確かめるしかない。x=1を代入すると、 :<math>1-6+11-6=0</math> となるので、(x-1)が因数となる。実際に整式の除法を行なうと、商として<math>x^2-5x+6</math>が得られるが、これは<math>(x-2)(x-3)</math>に因数分解できる。よって答えは、 :<math>\left(x-3\right)\,\left(x-2\right)\,\left(x-1\right)</math> となる。<br> (II) ここでも地道に24の因数を当てはめていくしかない。24の因数は数が多いのでかなりの計算が必要となる。ここでは、-2を代入すると、 :<math>-8 +4 -14 \cdot (-2) -24 = 0</math> となり、(x+2)が因数だとわかる。除法を行なうと、<math>x^2 -x -12</math>が得られるが、(x-4)(x+3)に因数分解できる。答えは、 :<math>\left(x-4\right)\,\left(x+2\right)\,\left(x+3\right)</math> となる。 ==== 高次方程式の解法 ==== 一般に、以下の事実が知られている。 {| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0 |style="background:pink"|'''（強い）代数学の基本定理''' |- |style="padding:5px"| 複素数係数n次方程式の解は複素数範囲で必ずn個存在する。但し、重解は重複して数える。 |} <br> {| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0 |style="background:pink"|'''虚数解定理''' |- |style="padding:5px"| n次方程式が虚数解を持つならば、その共役複素数も解の1つである。 |} これらは証明なしに事実として用いてよい。 例えば、七次方程式<math>(x^2+1)^3(x+2)=0</math>の解は<math>x=2, \pm i</math>であるが、<math>\pm i</math>は三重解なのでそれぞれ3つと数えると、解の個数は<math>2</math>が1つ、<math>i</math>が3つ、<math>-i</math>が3つで7個である。 因数分解や因数定理を利用することにより、一般の高次方程式を解くことができる。 解の存在性は代数学の基本定理により保証される。 *例題 高次方程式<br> (I) :<math>x^3-8=0</math> (II) :<math>x^4-2x^2-8=0</math> (III) :<math>x^3-5x^2+7x-2=0</math> を解け。 *解答 (I) 左辺を<math>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)</math>により因数分解すると :<math>(x-2)(x^2+2x+4)=0</math> 従って<math>x-2=0 \or x^2+2x+4=0</math><br> よって :<math>x=2, -1 \pm \sqrt{3}i</math> (II) <math>\ x^2=X\ </math>とおくと :<math>X^2-2X-8=0</math> 左辺を因数分解すると :<math>(X-4)(X+2)=0</math> よって<math>X=4, X=-2</math>。 :<math>\therefore x^2=4, x^2=-2</math> :<math>\therefore x= \pm 2, \pm \sqrt{2} i</math> (III) 　<math>\ P(x)=x^3-5x^2+7x-2\ </math>とおく。 :<math>P(2)=2^3-5 \times 2^2+7 \times 2-2=0</math> 従って<math>\ x-2\ </math>は<math>\ P(x)\ </math>の因数である。<br> :<math>P(x)=(x-2)(x^2-3x+1)</math> :<math>(x-2)(x^2-3x+1)=0</math> :<math>\therefore x-2=0 \lor x^2-3x+1=0</math> :<math>\therefore x= 2, \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}</math> 三次方程式<math>x^3=1</math>の解を考える。 実数解<math>x=1</math>を持つことは明らか。 三次式の因数分解公式より<math>x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)</math>なので、 この三次方程式の虚数解は二次方程式<math>x^2+x+1=0</math>の解である。 よって<math>x=1, \frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}</math> ここで、虚数解の片方を<math>\omega</math>とおくともう片方は<math>\bar{\omega}</math>である。 以下が成り立つ。 :<math>\omega^3=(\bar{\omega})^3=1</math> :<math>\omega^2=\bar{\omega}</math> :<math>(\bar{\omega})^2=\omega</math> :<math>\omega^2+\omega+1=0</math> これらの性質を用いると、高次方程式の問題が楽になる場合がある。 *問題 <math>x^5+x^4+1</math>を実数範囲で因数分解せよ。 *解答 <math>\omega</math>を代入すると :<math>\omega^5+\omega^4+1=\omega^2\cdot1+\omega\cdot1+1=\omega^2+\omega+1=0</math> よって方程式<math>x^5+x^4+1=0</math>は虚数解定理より<math>\omega, \bar{\omega}</math>を解に持つので、<math>x^5+x^4+1</math>は<math>x^2+x+1</math>を因数に持つ。<br> 整式の除法より :<math>x^5+x^4+1=(x^2+x+1)(x^3-x+1)</math>// ;演習問題 *以下の値を求めよ。 **<math>\omega^{100}+\omega^{28}</math> **<math>\frac{1}{2\omega^{17}+13\omega^{9}}</math> ====三次方程式の解と係数の関係==== 三次方程式 <math>ax^3+ bx^2+ cx+d=0</math> の3解を<math>\alpha, \beta, \gamma</math> とすると :<math>ax^3+ bx^2+ cx+d=a(x- \alpha)(x- \beta)(x- \gamma)</math> が成り立つ。<br> 右辺を展開すると :<math>a(x- \alpha)(x- \beta)(x- \gamma)</math> :<math>=a(x- \alpha)\left\{x^2-(\beta + \gamma)x+ \beta \gamma \right\}</math> :<math>=a \left\{x^3-(\alpha + \beta + \gamma)x^2+ (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)x - \alpha \beta \gamma \right\}</math> :<math>\therefore ax^3+ bx^2+ cx+d=a \left\{x^3-(\alpha + \beta + \gamma)x^2+ (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)x - \alpha \beta \gamma \right\}</math> :<math>\therefore b=-a(\alpha + \beta + \gamma)\ ,\ c= a(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)\ ,\ d= -a \alpha \beta \gamma</math> 従って以下が成り立つ。 {| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0 |style="background:pink"|'''三次方程式の解と係数の関係''' |- |style="padding:5px"| 三次方程式 <math>ax^3+ bx^2+ cx+d=0</math> の3つの解を 、<math>\alpha\ ,\ \beta\ ,\ \gamma</math> とすると <center><math>\alpha + \beta + \gamma =- \frac{b}{a}\ ,\ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha= \frac{c}{a}\ ,\ \alpha \beta \gamma =- \frac{d}{a}</math></center> |} 同様に、四次方程式の解と係数の関係（ヴィエタの公式）は<math>\alpha+\beta+\gamma+\delta=-\frac{a}{b}, \alpha\beta+\alpha\gamma+\alpha\delta+\beta\gamma+\beta\delta+\gamma\delta=\frac{c}{a}, \alpha\beta\gamma+\alpha\beta\delta+\alpha\gamma\delta+\beta\gamma\delta=-\frac{d}{a}, \alpha\beta\gamma\delta=\frac{e}{a}</math>である。 五次方程式以降でも同様の関係が成り立つ。 == コラム == === 複素数は「存在する」か？ === しばしば虚数は「現実には存在しない数」であると言われることがあり、歴史的にも虚数を扱った数学を考えるべきではないと考えられた時代は長かった。その時代の先進的な数学者の中には、虚数を有効に活用して研究を進める一方で、成果を発表する際には虚数を表に出さずに記述する努力をすることで、無用な抵抗を受けないように工夫した者もいたと言われるほどである。 だが、よく考えてみれば、数が「現実に存在する」とはどういう意味なのだろうか。現実に鉛筆を使って紙に円を描くならば、円周の長さを「正確に円周率そのものにする」ことは不可能であるように思われるが、その割に円周率という実数は「存在する」と感じられるのはなぜだろうか。数直線が実数の「実在」を信じさせるならば、複素数は複素数平面（数学Cで習う）の上に存在するのだから、同じではないだろうか。 このように考えると、そもそも数とはすべてある意味で想像上の存在であり、それに対して「存在する」「存在しない」という問いを立てることがナンセンスであるように思われる。「存在しない」ように思われがちな虚数であるが、たとえば物理学の一分野である量子力学のシュレディンガー方程式に表れるなど、応用上のさまざまな場面においても、虚数を使って記述することが自然な対象は多いのだ。 === 複素数には「大小関係がない」 === 複素数どうしについて、その大小関係は定義しない。その理由は、どのように大小関係を定義しても、便利な性質を満たすことができないからである。具体的に言えば、既に述べた実数の大小関係についての「不等式の基本性質(1)(2)(3)(4)」にあたる式を成り立たせることができないのだ。 たとえば、<math>a+bi<a'+b'i</math>であることを、<math>a^2+b^2<a'^2+b'^2</math>であることとして定義してみよう。このように定義すると、たとえば1+2i<2-3iであり、また2+3i<3+4iである。ところが、(1+2i)+(2+3i)=3+5i,(2-3i)+(3+4i)=5+iであり、3+5i>5+iとなってしまう。これは基本性質(2)が成り立たないことを意味する。 もちろんこれは適当に考えた定義がたまたま不適切だったというだけのことだが、実は、他にどのように定義してもこのような困難からは逃れられないことが知られている。それゆえに、複素数には大小関係を定義しないのである。 === 複素数の平方根 (※発展) === 今度は、複素数の平方根について考えてみよう。 正の数<math>a</math>を考えたとき、 :<math>a</math>の平方根は<math>\pm \sqrt{a}</math> :<math>-a</math>の平方根は<math>\pm \sqrt{a} i</math> では、 :<math>\pm a i</math>の平方根はどのように表せるだろうか。 虚数単位<math>i</math>の平方根を考えると、これはzについての方程式 <math>z^2 = i</math> の解 z の値であるから、これを解けばよい。どのような複素数zならこの式を満たすことができるだろうか。 zを複素数とすると、<math>z = x + yi</math>(x,yは実数)と表される。 <math>(x + yi)^2 = i \Leftrightarrow x^2 + 2xyi - y^2 = i \Leftrightarrow (x^2-y^2)+(2xy-1)i = 0</math> <math>x^2-y^2,2xy-1</math>は実数であるから、実部と虚部が共に０にならねばならないから、 <math>\begin{cases} x^2-y^2=0 (\Leftrightarrow x= \pm y ) \\ 2xy-1=0 \end{cases}</math> <math>x=y</math>のとき、<math>2x^2=1 \Leftrightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}},y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}</math> (複号同順。x,yは共に実数であるから、条件を満たす。) <math>x=-y</math>のとき、<math>-2y^2=1 \Leftrightarrow y^2=-\frac{1}{2}</math> ここで、これを満たす実数yは存在しないから不適。 よって、<math>z=\pm\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)</math>_■ *問題例 ** 問題 :<math>i \,\!</math>を虚数単位とするとき、次の問いに答えよ。 :(I) <math>-i,30i \,\!</math>の平方根を求めよ。 :(II) 2次方程式 <math>z^2 - 30i - 16 = 0 \,\!</math> を解け。 :(III) 3次方程式 <math>z^3 = i \,\!</math> を解け。 ** 解答 :(I) ::<math>\pm\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i\right) , \pm\left(\sqrt{15}+\sqrt{15}i\right)</math> :(II) ::<math>z=5+3i , -5-3i \,\!</math> :(III) ::<math>z=-i,\frac{i\pm\sqrt{3}}{2}</math> :今回挙げた問題は、全て<math>z=x+yi</math>(x,yは実数)と置くことで求められる。(III)は、<math>(x+yi)^3-i=x(x^2-3y^2)+(3x^2y-y^3-1)i=0</math>より、 実部がゼロを考慮して<math>x=0</math>か<math>x=\pm\sqrt{3}y</math>だが、虚部もゼロなので、xの値が前者のとき<math>y=-1</math>、後者のとき<math>y=1/2</math>となることがすぐにわかる。 === 高次方程式の「解の公式」 === 2次方程式には解の公式があり、日本の中学や高校でも習う。2次方程式の解の公式を用いれば、どんな係数の2次方程式であっても解を求められる。3次方程式と4次方程式にも、解の公式は存在し、係数がどんな係数であっても解を求められる。これらの解の公式は、[[代数方程式論]]で述べているように、係数に有限回の四則演算と根号をとる操作（'''代数的操作'''）の組み合わせで表すことができる。 5次方程式では、4次以下の方程式とは状況が異なる。一般の5次方程式の解は、2次方程式や4次方程式のように、係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせで表すことができないのである。ただし、「できない」ことの証明は容易ではない。このことを証明するには、[[ガロア理論]]を理解する必要がある（日本の大学の標準的なカリキュラムでは、理学部数学科の学生のみが大学3年生で学ぶのが一般的な程度の理論である）。 なお、ここで言う「表すことができない」とは一般の方程式についてのことであり、特別な5次方程式の場合は簡単に解が求められる。たとえば、<math> x^5 -32 = 0 </math> は解のひとつとして <math> x=2 </math> をもつことはすぐわかる。この方程式は他の解についても三角関数を用いて簡単に表せることを[[高等学校数学C/複素数平面]]において学ぶ。 「係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせ」に拘らなければ、一般の5次方程式の解を求める方法も存在するが、やや高度な数学を用いる必要がある。[[w:五次方程式]]に記述があるので興味のある読者は参照するとよい。 === 複素数と関数 === 高等学校で複素数が出てくる分野はこの分野と数学C「[[高等学校数学C/平面上の曲線|平面上の曲線]]と複素数平面」のみであり、複素数の基本計算や方程式を複素数範囲で解くこと、複素数の幾何学的意味について扱っている。しかし、大学数学においては、関数の定義域・値域を複素数範囲に広げて考える「[[複素解析学|複素関数論]]」というものを扱う。 実数範囲での関数はx, yともに一次元の実数軸を持つため、入力値と出力値の成すグラフを考えるには二次元の座標平面で十分であった。しかし、複素数範囲での関数はx, yともに二次元の複素数平面を持つため、入力値と出力値の成すグラフを考えるには四次元の座標空間が必要であり、三次元空間に住む我々には描画することができない。そのため、複素関数論では関数のグラフを考えることは基本的にない。（ただし、出力された複素数の絶対値を考えることによって三次元グラフに落とし込むことは可能） では何を考えるのかというと、複素関数の微分積分である。複素関数の微分に関連して「正則関数」という用語が出てくるが、複素関数論はこの正則関数というものの性質を調べる学問だと言って良い。 複素関数論は物理学の特に波動に関する分野（音・電磁気など）において活躍している。「波動方程式」や「インピーダンス」という言葉は有名だろう。 ちなみに、複素数をさらに拡張した数として「[[w:四元数]]」というものがある。この四元数は[[高等学校数学C/ベクトル|ベクトル]]や[[高等学校数学C/数学的な表現の工夫#行列を用いた表現とその演算|行列]]と深い関わりが存在しており、深掘ると面白いのだが、いささか冗長になるため割愛する。なお、四元数をさらに拡張した八元数や十六元数という数も研究されている。 == 演習問題 == {{DEFAULTSORT:こうとうかつこうすうかくII しきとしようめい}} [[Category:高等学校数学II|しきとしようめい]] cttx9046yegkf9qfex0imp0k5a34cc2 305157 305156 2026-10-27T14:57:41Z ~2026-53584-59 92714 /* 三次式の因数分解 */ 305157 wikitext text/x-wiki {{pathnav|高等学校の学習|高等学校数学|高等学校数学II|pagename=式と証明・高次方程式|frame=1|small=1}} 本項は[[高等学校数学II]]の式と証明・高次方程式の解説である。 == 式と証明 == === 3次の乗法公式 === <math>(a+b)^3</math>を展開してみよう。 :<math>\begin{matrix} (a + b)^3 &=& (a + b)(a + b)^2 \\ &=& (a + b)(a^2 + 2ab + b^2) \\ &=& a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2) \\ &=& (a^3 + 2a^2b + ab^2) + (a^2b + 2ab^2 + b^3) \\ &=& a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3 \\ &=& a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \end{matrix}</math> この結果を使って、<math>(a-b)^3</math>を展開してみよう。 :<math>\begin{matrix} (a - b)^3 &= \{ a + (-b) \}^3 \\ &= a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3 \\ &= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \end{matrix}</math> <math>(a+b)(a^2 - ab + b^2)</math>を展開してみよう。 :<math>\begin{matrix} (a + b)(a^2 - ab + b^2) &=& a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2) \\ &=& a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 \\ &=& a^3 + b^3 \end{matrix}</math> この結果を使って、<math>(a-b)(a^2 + ab + b^2)</math>を展開してみよう。 :<math>\begin{matrix} (a-b)(a^2 + ab + b^2) &=& \{a + (-b) \}\{a^2 - a(-b) + (-b)^2 \} \\ &=& a^3 + (-b)^3 \\ &=& a^3 - b^3 \end{matrix}</math> {| style="border: 2px solid gold; width: 80%;" cellspacing=0 | style="background: gold;"| '''3次の乗法公式''' |- | style="padding: 5px;" | * <math>(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3</math> * <math>(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3</math> * <math>(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3</math> * <math>(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3</math> |} * 問題 次の式を展開しなさい。 # <math> (x+2)^3 </math> # <math> (3x-y)^3 </math> # <math> \left(x+4 \right)\,\left(x^2-4x+16 \right) </math> # <math> \left(3a-2b \right)\,\left(9a^2+6ab+4b^2 \right) </math> * 解答 # <br> <math>\begin{align} (x+2)^3 & = x^3 + 3 \times x^2 \times 2 + 3 \times x \times 2^2 + 2^3 \\ & = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \\ \end{align} </math> # <br> <math>\begin{align} (3x-y)^3 & = (3x)^3 - 3 \times (3x)^2 \times y + 3 \times 3x \times y^2 - y^3 \\ & = 27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3 \\ \end{align} </math> # <br> <math>\begin{align} \left(x+4\right)\,\left(x^2-4x+16\right) & = \left(x+4 \right)\,\left(x^2 - x \times 4 + 4^2 \right) \\ & = x^3 + 4^3 \\ & = x^3 + 64 \\ \end{align} </math> # <br> <math>\begin{align} \left(3a-2b \right)\,\left(9a^2+6ab+4b^2 \right) & = \left(3a-2b \right)\ \left\{(3a)^2 + 3a \times 2b + (2b)^2 \right\}\\ & = (3a)^3 - (2b)^3 \\ & = 27a^3 - 8b^3 \\ \end{align} </math> === 三次式の因数分解 === 三次式の展開公式より、 * <math>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)</math> * <math>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)</math> * <math>a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)</math> （参考） * <math>a^n - b^n = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 + \cdots + a^2b^{n - 3} + ab^{n - 2} + b^{n - 1})</math> * 問題 次の式を因数分解しなさい。 # <math> x^3 + 8 </math> # <math> 27a^3 - 8b^3 </math> # <math> x^6 - y^6 </math> * 解答 # <br> <math>\begin{align} x^3 + 8 & = \left(x + 2 \right)\,\left(x^2 - x \times 2 + 2^2 \right) \\ & = \left(x + 2 \right)\,\left(x^2 - 2x + 4 \right) \\ \end{align} </math> # <br> <math>\begin{align} 27a^3 - 8b^3 & = \left(3a - 2b \right)\,\{(3a)^2 + 3a \times 2b + (2b)^2 \} \\ & = \left(3a - 2b \right)\,\left(9a^2 + 6ab + 4b^2 \right) \\ \end{align} </math> # <br> <math>\begin{align} x^6 - y^6 & = (x^3)^2 - (y^3)^2 \\ & = \left(x^3 + y^3 \right)\,\left(x^3 - y^3 \right) \\ & = \left(x + y \right)\,\left(x^2 - x \times y + y^2 \right) \left(x - y \right)\,\left(x^2 + x \times y + y^2 \right) \\ & = \left(x + y \right)\,\left(x^2 - xy + y^2 \right) \left(x - y \right)\,\left(x^2 + xy + y^2 \right) \\ & = \left(x + y \right)\,\left(x - y \right)\ \left(x^2 - xy + y^2 \right) \left(x^2 + xy + y^2 \right) \\ \end{align} </math> === 二項定理 === {{Advanced|初等整数論/パスカルの三角形#二項定理}} <math>(a+b)^5 = (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)</math> について考えよう。この式を展開するとき、<math>a^2b^3</math> の係数は、右辺の5個の <math>(a+b)</math> から <math>a</math> を2回取る[[高等学校数学A/場合の数と確率#組合わせ|組合せ]]に等しいから <math>{}_5 \! \mathrm{C}_2 = 10</math> である。 この考えを拡張して :<math>(a+b)^n = \underbrace{(a+b)(a+b)(a+b)\cdots(a+b)}_n</math> を展開する。<math>a^rb^{n-r}</math>の項の係数は、右辺の <math>n</math> 個の <math>(a+b)</math> から <math>a</math> を <math>r</math> 回取る組合せに等しいから <math>{}_n \! \mathrm{C}_r</math> である。 よって、次の式が得られる： :<math>\begin{align}(a+b)^n &= {}_n \! \mathrm{C}_0 a^n + {}_n \! \mathrm{C}_1 a^{n-1}b + {}_n \! \mathrm{C}_2 a^{n-2}b^2 + \cdots \\ &+ {}_n \! \mathrm{C}_r a^{n-r}b^r + \cdots + {}_n \! \mathrm{C}_n b^n \\ &= \sum _{r = 0}^n {}_n \! \mathrm{C}_r a^r b^{n-r}. \\ \end{align}</math> 最後の<math>\sum</math>は[[高等学校数学B/数列|数Bの数列]]で学ぶ総和記号である。 この関係を '''二項定理'''（binomial theorem） 、それぞれの項に掛かる係数<math>{}_n \! \mathrm{C}_r</math>を'''二項係数'''（binomial coefficient） と呼ぶ。二項係数は<math>\begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix}</math>とも書く。 *例題 (I) :<math>(x+1) ^4</math> (II) :<math>(a + 3) ^ 5</math> (II) :<math>(a + b) ^ 5</math> をそれぞれ計算せよ。 *解答 二項定理を用いて計算すればよい。実際に計算を行なうと、<br> (I) :<math>x^4+4\,x^3+6\,x^2+4\,x+1</math> (II) :<math>a^5+15\,a^4+90\,a^3+270\,a^2+405\,a+243</math> (III) :<math>b^5+5\,a\,b^4+10\,a^2\,b^3+10\,a^3\,b^2+5\,a^4\,b+a^5</math> となる。 *例題 全ての自然数nに対して<br> (I) :<math>2^n = \sum_{k=0}^n {}_n \! \mathrm{C}_k </math> (II) :<math>3^n = \sum_{k=0}^n 2^k {}_n \! \mathrm{C}_k </math> (III) :<math>0 = \sum_{k=0}^n (-1)^k {}_n \! \mathrm{C}_k </math> が成り立つことを示せ。 * 解答 二項定理 :<math>(a+b)^n = \sum_{k = 0}^n {}_n \! \mathrm{C} _k a^k b^{n-k}</math> についてa,bに適当な値を代入すればよい。<br> (I) <math>a=1, b=1</math>を代入すると :<math>(1+1)^n = \sum_{k=0}^n {}_n \! \mathrm{C}_k </math> :<math>2^n = \sum_{k=0}^n {}_n \! \mathrm{C}_k </math> となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。<br> (II) <math>a=2, b=1</math>を代入すると :<math>(1+2)^n = \sum_{k=0}^n {}_n \! \mathrm{C}_k 2^k</math> :<math>3^n = \sum_{k=0}^n {}_n \! \mathrm{C}_k 2^k</math> となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。<br> (III) <math>a=1,b=-1</math>を代入すると :<math>(1-1)^n = \sum_{k=0}^n {}_n \! \mathrm{C}_k (-1)^k</math> :<math>0 = \sum_{k=0}^n {}_n \! \operatorname{C}_k (-1)^k</math> となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。 ==== 多項定理 ==== 二項定理を拡張して <math>(a+b+c)^n</math> を展開することを考えよう。<math>a^pb^qc^r</math> <math>(p+q+r = n)</math> の項の係数は <math>n</math> 個の <math>(a+b+c)</math> から <math>p</math> 個の <math>a</math>、<math>q</math> 個の <math>b</math> 、 <math>r</math> 個の <math>c</math> を選ぶ組合せに等しいから <math>\frac{n!}{p!q!r!}</math> である。 一般には[[高等学校数学A/場合の数と確率#同じものを含む順列|同じものを含む順列]]と一致する。 === 整式の除法、分数式 === ここでは、整式の除法と分数式について扱う。整式の除法は、整式を整数のように扱い除法を行なう計算手法のことである。実際に整数の除法と整式の除法には深い繫がりがある。整式の因数分解を考えるとそれ以上因数分解できない整式が存在する。この整式を整数でいう素因数のように扱うことで整式の素因数分解が可能になる。 上では、整式が整数に対応する性質を持つことを述べた。整数については[[高等学校数学A/数学と人間の活動#最小公倍数・最大公約数|互いに素]]な2つの整数を取ることで有理数を定義することが出来る。整式に対しても同じ事が成立し、そのような式を分数式と呼ぶ。 ==== 整式の除法 ==== 分数を用いないときには、整数の除法は商と余りを用いて定義された。この時、割られる数Bは商Dと割る数A、余りRを用いて :<math>B = AD + R</math> と表される。 整式に対しても同様に、割られる式<math>B(x)</math>が割る式<math>A(x)</math>を用いて :<math>B(x) = A(x)D(x) + R(x)</math> と書かれるとき、<math>D(x)</math>を商、<math>R(x)</math>を余りという。 この時、整数の除法の性質<math>R<A</math>に対応して、<math>R(x)</math>の次数<math><A(x)</math>の次数が成立する。具体例として、<math>x+1 \div x</math>を考える。割る式の次数が1であることから余りの次数は0なので余りは定数である。また、商の次数が1以上であると :<math>B(x) = A(x)D(x) + R(x)</math> と右辺にxの2次以上の項が現われ左辺と一致しなくなる。よって商は定数である。商をa、余りをrとすると上の式は、 :<math>x+1 = ax + r</math> となるが、これは<math>a=r=1</math>で成立する。よって商1,余り1である。 より高次の式に対しても同様である。 例として、 :<math>x^3 \div (x^2 -1)</math> を考える。 この場合、 :<math>B(x) = A(x)D(x) + R(x)</math> で、<math>B(x)</math>が3次式、<math>A(x)</math>が2次式であることから、<math>D(x)</math>は1次式であり、また、<math>R(x)</math>は2次より小さいことから1次以下の式になる。ここで、<math>D(x)=ax+b,R(x)=cx+d</math>とおくと、 :<math>x^3 = (x^2-1) (ax+b) + (cx +d)</math> が得られる。右辺を展開すると :<math>x^3 = ax^3 + b x^2 + (-a +c )x + (-b +d)</math> が得られるが、[[#恒等式|xにどんな値を入れてもこの等式が成り立たなければならない]]ので、<math>\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \\ -a +c = 0 \\ -b +d = 0 \end{cases}</math>が得られ、結局<math>a=c=1, b=d=0</math>が得られる。 <!-- <math> x^3 \div (x^2 -1) </math> のような式を考える。 この式について、 <math> x^3 = x(x^2 - 1) +x </math> と書くことが出来るが、これは <math>x^3</math> を <math>x^2-1</math> で割った結果、 商<math>x</math> ,余り <math>x</math> がでたものと解釈できる。 このように、整式どうしで割り算をすることが出来る。 このとき、割る式は割られる式より低次か同じ次数でなくてはならない。 また、余りは必ず割る式よりも低次の式になる。 --> この方法はどの除法に対しても用いることが出来るが、次数が高くなると計算が難しくなる。整数の場合と同様、整式の除法でも筆算を用いることが出来る。上の例を用いて結果だけを書くと、 *図 のようになる。)右に書かれた式が割られる式であり、)左に書かれた式が割る式である。--の一番上に書かれた式は商であり、整数の割り算同様左に書かれた数から順に割っていく。ここでは次数が大きい項がより先に計算される項である。割られる式の下にある式は商の第1項を割る式にかけて得る式である。ここでは、<math>x(x^2-1)</math>で、<math>x^3-x</math>となる。ただし、整数の除法と同様、位をそろえなくてはならない。その後、割られる式から<math>x^3-x</math>を引き、残った式を新しい割られる式として扱う。ここでは、得た式が割る式よりも低次であることから、これで計算は終了である。 例題 :<math>x^3 + 2x ^2 +1</math>、<math>x ^4 + 4x^2 +3x +2</math>をそれぞれ<math>x^2 +2x +6</math>で割った商と余りを求めよ。 <!-- 更に、 (I) :<math> (x ^4 + 2x^3 - 5x^2 +6x -1) \div (x^2 -5x -1 ) </math> (II) :<math> (3 x ^4 - 7x^3 + x^2 +2x -1) \div (x^2 -3x -4 ) </math> (III) :<math> (2x^5 +3 x ^4 - 7x^3 + x^2 +2x -1) \div (x^2 +7x -4 ) </math> (IV) :<math> (2x^5 +3 x ^4 - 7x^3 + x^2 +2x -1) \div (x^3 +4x^2 +7x -4 ) </math> を計算せよ。 問題が多いので、とりあえずコメントアウト。 --> ** 解答 この計算はアニメーションを使って詳しく表示されている。計算には整数の場合の筆算と同じような手法が使える。 [[画像:Fract.gif|frame|right|計算のアニメーション]] :<math>x^3 + 2x ^2 +1=(x^2 +2x +6) x +(1-6x)</math> が得られるので、 :商<math>x</math>、余り<math>-6x +1</math>である。 2つ目の式については :<math>x ^4 + 4x^2 +3x +2=(x^2 - 2x+2)* (x^2 +2x +6)+ 11x -10</math> が得られるので、 :商<math>x^2 - 2x+2</math>、余り<math>11x -10</math>である。 <!-- 更に、残りの計算結果は、 (I) :<math> \left[ x^2+7\,x+31,168\,x+30 \right] </math> (II) :<math> \left[ 3\,x^2+2\,x+19,67\,x+75 \right] </math> (III) :<math> \left[ 2\,x^3-11\,x^2+78\,x-589,4437\,x-2357 \right] </math> (IV) :<math> \left[ 2\,x^2-5\,x-1,48\,x^2-11\,x-5 \right] </math> が得られる。 ただし、左が商、右が余りとなっている。 --> ==== 分数式 ==== ここまでで整式を整数のように扱い、整式の除法を行なう方法について述べた。ここでは、整式に対して分数式を定義する方法について述べる。分数式とは、整数に対する分数のように除法によって生じる式である。ここで、除法を行なう式はどのようなものでも差し支えない。分数式では、分子に割られる式を書き、分母に割る式を書く。例えば、 :<math>\frac {x+1}{x^2+4}</math> は、分子x+1、分母<math>x^2+4</math>の分数式である。分数式の分母を分母式、分子を分子式という。分数式に対しても約分や通分が存在する。約分は分子式・分母式に共通因数を持った分数式で用いられる。この時には分子分母を共通因数で割り、式を簡単にすることが出来る。通分は分数式の加法の時によく用いられるが、分母分子に同じ整式を掛けても分数式が変化しない性質を用いる。 *例題 :<math>\frac {x^2 -1} {x^3 -1}</math> を簡単にせよ。また、 :<math>\frac {x+1}{x^2 +2x + 3}+ \frac {2x + 5} {x^2 +1}</math> を計算せよ。 *解答 :<math>\frac {x^2 -1} {x^3 -1}</math> について分子と分母を因数分解すると、双方共に :<math>x-1</math> を因数として含んでいることが分かる。このとき、共通因数は約分され、 :<math>\frac {x^2 -1} {x^3 -1}</math> :<math>= \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)}</math> :<math>= \frac{x+1} { x^2+x+1}</math> となる。 次の問題では、 :<math>\frac {x+1}{x^2 +2x + 3}+ \frac {2x + 5} {x^2 +1}</math> を計算する。このとき両辺の分母を揃える必要があるが、今回については単純にそれぞれの分数式の分子と分母に各々の分母をかけて分母を統一すればよい。計算すると、 :<math>\frac {x+1}{x^2 +2x + 3}+ \frac {2x + 5} {x^2 +1}</math> :<math>= \frac{(x+1)(x^2+1)}{(x^2 +2x + 3)(x^2+1)}+\frac{(x^2 +2x + 3)(2x + 5)}{(x^2 +2x + 3)(x^2+1)}</math> :<math>= \frac{(x+1)(x^2+1)+(x^2 +2x + 3)(2x + 5)}{(x^2 +2x + 3)(x^2+1)}</math> :<math>= \frac {3x^3 +10x^2 + 17 x + 16}{(x^2 +2x + 3)(x^2+1)}</math> となる。 分数式の乗法は、分子分母を別々に掛ければよい。 *例題 次の計算をせよ。 (I) :<math>\frac {x^2 - y^2} {x^2 - 2xy + y^2} \times \frac {x-y} {x^2 + xy}</math> (II) :<math>\frac {x^2 + 4x + 3}{x^2 - 6x + 9} \div \frac {x^2 - 3x - 4} {x^2 - x - 6}</math> * 解答 (I) :<math>\frac {x^2 - y^2} {x^2 - 2xy + y^2} \times \frac {x-y} {x^2 + xy}</math> :<math>= \frac {(x+y)(x-y)} {(x-y)^2} \times \frac {x-y} {x(x+y)}</math> :<math>= \frac {(x+y)(x-y)(x-y)} {(x-y)^2\ x(x+y)}</math> :<math>= \frac {1} {x}</math> (II) :<math>\frac {x^2 + 4x + 3}{x^2 - 6x + 9} \div \frac {x^2 - 3x - 4} {x^2 - x - 6}</math> :<math>= \frac {x^2 + 4x + 3}{x^2 - 6x + 9} \times \frac {x^2 - x - 6} {x^2 - 3x - 4}</math> :<math>= \frac {(x+1)(x+3)} {(x-3)^2} \times \frac {(x+2)(x-3)} {(x+1)(x-4)}</math> :<math>= \frac {(x+1)(x+3)(x+2)(x-3)} {(x-3)^2\ (x+1)(x-4)}</math> :<math>= \frac {(x+3)(x+2)} {(x-3)(x-4)}</math> ===== 部分分数分解 ===== 分母が積の形である分数式を二つの分数式の和や差で表された式に変形する操作を'''部分分数分解'''という。 *問題例 <Math> \frac{1}{x (x+1)} </Math>と<Math>\frac{1}{(x+1)(x+3)}</Math>を分数式の和または差の形で表せ。 *解答 :<Math>\frac{1}{x(x+1)} = \frac{(x+1)-x}{x(x+1)}</Math> と変形できるので :<Math>\frac{x+1}{x(x+1)} - \frac{x}{x(x+1)}</Math> となり、約分すると :<Math>\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}</Math> となる。 次の問題では、 :<Math>\frac{1}{(x+1)(x+3)} = \frac{1}{(x+3) - (x+1)} \cdot \frac{(x+3) - (x+1)}{(x+1)(x+3)}</Math> と変形することによって :<Math>\frac{1}{2} \{ \frac{x+3}{(x+1)(x+3)} - \frac{x+1}{(x+1)(x+3)} \}</Math> となり、 :<Math>\frac{1}{2} (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3}) </Math> と求まる。 部分分数分解の操作を逆に辿ると、分数式の通分の操作と一致する。 つまり、'''部分分数分解は通分の逆の操作'''である。 分子が定数の場合には、上と同様の方法で部分分数分解することができる。 *問題 **以下の分数式を部分分数分解せよ **#<Math>\frac{3}{(x-9)(x-4)}</Math> **#<Math>\frac{7}{(3x-1)(5-2x)}</Math> *解答 1. <Math>\frac{3}{(x-9) (x-4)} </Math> :<Math>= \frac{3}{(x-4) - (x-9)} \cdot \frac{(x-4) - (x-9)}{(x-9)(x-4)}</Math> :<Math>= \frac{3}{5}\{ \frac{x-4}{(x-9)(x-4)} - \frac{x-9}{(x-9)(x-4)} \}</Math> :<Math>= \frac{3}{5} ( \frac{1}{x-9} - \frac{1}{x-4} )</Math> 2. <Math>\frac{7}{(3x-1)(5-2x)}</Math> :<Math>= \frac{-7}{(3x-1)(2x-5)} </Math> :<Math>= \frac{-7}{(3x-1) - (2x-5)} \cdot \frac{(3x-1) - (2x-5)}{(3x-1)(2x-5)} </Math> :<Math>= \frac{-7}{2(3x-1) - 3(2x-5)} \cdot \frac{2(3x-1) - 3(2x-5)}{(3x-1)(2x-5)} </Math> :<Math>= \frac{-7}{(6x-2) - (6x-15)} \{ \frac{2(3x-1)}{(3x-1)(2x-5)} - \frac{3(2x-5)}{(3x-1)(2x-5)} \}</Math> :<Math>= - \frac{7}{13} (\frac{2}{2x-5} - \frac{3}{3x-1})</Math> :<Math>= \frac{7}{13} (\frac{3}{3x-1} - \frac{2}{2x-5})</Math> 部分分数分解は数列の和の計算、積分計算、微分を利用した不等式の証明等に役立つ、重要な変形である。 === 式の証明 === ==== 恒等式 ==== 等式 <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math>は、文字<math>a,b</math>にどのような値を代入しても成り立つ。このような等式を'''{{ruby|恒等|こうとう}}式'''という。 等式<math>\frac {1}{x-1} + \frac {1}{x+1} = \frac {2x}{x^2-1}</math>は両辺とも<math>x=1,-1</math>を代入できないが、その他の値であればどのような値であっても代入できる且つ等式が成り立っている。これも恒等式と呼ぶ。 一方、<math>x^2 - x - 2 = 0</math> は、 <math>x=2, -1</math>を代入したときだけ成り立つ。このように、特定の値を代入したときにだけ成り立つ式のことを'''方程式'''と呼び、恒等式とは区別する。 等式 <math>ax^2+bx+c=0</math> が <math>x</math> についての恒等式であるのはどのような場合か、考えてみよう。 ある式が「 <math>x</math> についての恒等式である」とは、この式の<math>x</math> にどのような値を代入しても、この等式は成り立つという意味である。なので、例えば <math>x</math> に<math>-1\ ,\ 0\ ,\ 1</math> を代入した式 :<math>a-b+c=0</math> :<math>c=0</math> :<math>a+b+c=0</math> はすべて成り立つ必要がある。これを解くと :<math>a=b=c=0</math> なので、等式 <math>ax^2+bx+c=0</math> が <math>x</math> についての恒等式になるならば、<math>a=b=c=0</math>でなければならないことがわかる。 一般に、等式 <math>ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'</math> が恒等式であることと、<math>(a-a')x^2+(b-b')x+(c-c')=0</math> が恒等式であることは同値である。<br> よって :<math>ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'</math> が<math>x</math>についての恒等式 　<math>\iff</math>　 <math>a=a' \land b=b'\land c=c'</math> 纏めると次のようになる。 {| style="border:2px solid yellow;width:fit-content" cellspacing=0 |style="background:yellow"|'''恒等式の性質''' |- |style="padding:5px"| <math>P\ ,\ Q</math> を <math>x</math> についての多項式または単項式とする。 ::<math>P=0</math> が恒等式 　<math>\iff</math> 　 <math>P</math>の各項の係数はすべて<math>0</math>である。 ::<math>P=Q</math> が恒等式 　<math>\iff</math> 　 <math>P</math>と <math>Q</math> の次数は等しく、両辺の同じ次数の項の係数はそれぞれ等しい。 |} 一般に、ある式が恒等式であるための必要十分条件を'''恒等条件'''という。 *例題 次の等式が <math>x</math> についての恒等式となるように、<math>a\ ,\ b\ ,\ c</math> の値を求めよ。 :<math>x^2-3=a(x-1)^2+b(x-1)+c</math> * 等式の右辺を <math>x</math> について整理すると :<math>a(x-1)^2+b(x-1)+c=ax^2-2ax+a+bx-b+c=ax^2+(-2a+b)x+(a-b+c)</math> :<math>x^2-3=ax^2+(-2a+b)x+(a-b+c)</math> この等式が <math>x</math> についての恒等式となるのは、両辺の同じ次数の項の係数が等しいときである。よって :<math>a=1</math> :<math>-2a+b=0</math> :<math>a-b+c=-3</math> これを解くと :<math>a=1\ ,\ b=2\ ,\ c=-2</math> ; '''複雑な部分分数分解'''（発展） 恒等式を利用することで、複雑な分数式の部分分数分解ができる。 *問題例 **以下の分数式を部分分数分解せよ **#<Math>\frac{3x-5}{(x+2)(2x-1)}</Math> **#<Math>\frac{1}{(x-1)^2 (x-2)}</Math> *解答 :<Math>\frac{3x-5}{(x+3)(2x-1)} = \frac{a}{2x-1} + \frac{b}{x+3}</Math> と置く。 分母を払って :<Math>3x-5 = a(x+3) + b(2x-1)</Math> すなわち :<Math>3x-5 =(a+2b)x + (3a-b) </Math> これが<Math>x</Math>の恒等式なので、係数を比較して :<Math>a+2b=3</Math>かつ<Math>3b-a=-5</Math> すなわち :<Math>a=-1, b=2</Math> 最初の等式に代入して、 :<Math>\frac{3x-5}{(x+3)(2x-1)} = \frac{-1}{2x-1} + \frac{2}{x+3}</Math> :<Math>= \frac{2}{x+3} - \frac{1}{2x-1}</Math> 次の問題は、 :<Math>\frac{1}{(x-1)^2 (x-2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{(x-1)^2} + \frac{c}{x-2}</Math> とおくことにより、上の問題と同様にして :<Math>a=-1, b=-1, c=1</Math> と求まるので、 :<Math>\frac{1}{(x-1)^2 (x-2)} = - \frac{1}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{x-2}</Math> :<Math>= \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2}</Math> '''恒等式を利用した部分分数分解''' 求めたい数字を<Math>a,b,c</Math>とおく。 1. <Math>\frac{px+q}{(x+m)(x+n)} = \frac{a}{x+m} + \frac{b}{x+n}</Math> 2. <Math>\frac{px+q}{(x+m)^2} = \frac{a}{x+m} + \frac{b}{(x+m)^2}</Math> 3. <Math>\frac{px^2 + qx + r}{(x+m)^2 (x+n)} = \frac{a}{x+m} + \frac{b}{(x+m)^2 } + \frac{c}{x+n}</Math> 4. <Math>\frac{px^2 + qx + r}{(x+m)(x^2 + nx + l)} = \frac{a}{x+m} + \frac{bx+c}{x^2 + nx + l}</Math> このようにおいた式を<Math>x</Math>の恒等式と見ることによって、<Math>a,b,c</Math>を求められ、部分分数分解ができる。 その他の場合についても、因数分解や代入を利用することで分解できる場合がある。 *問題 <math>\frac{1}{(s^2-4)(s^2+2s-3)}</math>を部分分数分解せよ。 なお、上に示した部分分数分解の形では、「分母の因数ごとに分子の式を(因数の次数-1)次式と置いて全ての因数について足して」いる。この考え方を用いれば上の型に当て嵌まらない部分分数分解も計算できる。 ; '''2つの文字についての恒等式'''（発展） *例 a~fを定数とする。 <Math>ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0</Math>がx, yについての恒等式だとする。 左辺をxについて整理すると、<Math>ax^2+(cy+d)x+(by^2+ey+f)=0</Math>である。 これがxについての恒等式なので、<Math>a=0, cy+d=0, by^2+ey+f=0</Math>が成り立つ。 これらは更にyについての恒等式なので、以下の等式が得られる。 :<Math>a=b=c=d=e=f=0</Math> 逆に、これが成り立てば元の式は明らかにx, yについての恒等式である **問題 <Math>x^2+axy+6y^2-x+5y+b = (x-2y+c)(x-3y+d)</Math>がx,yについての恒等式となるようにa,b,c,dを定めよ。 ==== 等式の証明 ==== 先程紹介した「恒等式」という言葉を使って「証明」の意味を説明するなら、「等式を証明する」とは、その式が恒等式であることを示すことである。 一般に、等式 A＝B を証明するためには、次のような手順のいずれかを実行すればよい。 :(1)　　Aを式変形してBを導くか、または Bを変形してAを導く。 :(2)　　A,Bをそれぞれ変形して、同じ式Cを導く。 :(3)　　A-B＝0 を示す。 このとき、変形は'''同値変形でなければならない'''ことに注意。 * 例題 :<math>(a+b)^2-(a-b)^2 = 4ab</math> が成り立つことを証明せよ。 *解答 左辺を展開すると :(<math>(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2) = a^2+2ab+b^2 - a^2+2ab-b^2=4ab</math> となり、これは右辺に等しい。（終） * 例題 :<math>(x+y)^2+(x-y)^2 = 2(x^2+y^2)</math> が成り立つことを証明せよ。 *解答 左辺を計算すると、 :<math> (x^2+2xy+y^2)+(x^2-2xy+y^2) = x^2+2xy+y^2 + x^2-2xy+y^2 = 2x^2+2y^2 =2(x^2+y^2) </math> これは右辺に等しい。（終） *例題 次の等式が成り立つことを証明せよ。<br> (I) :<math>(6 a + 7 b )^2 + (7 a - 6 b )^2 = (9 a + 2 b )^2 + (2 a - 9 b )^2</math> *解答 (I) :<math>\mathrm{lhs} = (36 a^2 + 84 a b + 49 b^2) + (49 a^2 - 84 a b + 36 a^2) = 85 a^2 + 85 b^2</math> :<math>\mathrm{rhs}= (81 a^2 + 36 a b + 4 b^2) + (4 a^2 - 36 a b + 81 b^2) = 85 a^2 + 85 b^2</math> 両辺とも同じ式になるから :<math>(6 a + 7 b )^2 + (7 a - 6 b )^2 = (9 a + 2 b )^2 + (2 a - 9 b )^2</math> 恒等式でないときも、与えられた条件から等式を証明することができる。 *例題 <Math>a+b+c=0</Math>のとき、<Math>a^3+b^3+c^3=3abc</Math>であることを証明せよ。また、<Math>a:b=c:d</Math>のとき、<Math>\frac{a+c}{b+d} = \frac{a-c}{b-d}</Math>を証明せよ。 *解答 :<Math>a+b+c=0 \iff c=-(a+b)</Math> より、 :<Math>a^3+b^3+c^3-3abc = a^3+b^3-(a+b)^3+3ab(a+b)</Math> :<Math>= a^3+b^3-(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)+3a^2b+3ab^2</Math> :<Math>=0</Math> よって、<Math>a^3+b^3+c^3=3abc</Math>である。 また、 :<Math>a:b=c:d \iff \frac{a}{b} = \frac{c}{d}</Math> より、上式の右辺をkとおくと、 :<Math>a=bk, c=dk</Math> なので、 :<Math>\frac{a+c}{b+d} = \frac{bk+dk}{b+d} = \frac{k(b+d)}{b+d} = k</Math> :<Math>\frac{a-c}{b-d} = \frac{bk-dk}{b-d} = \frac{k(b-d)}{b-d} = k</Math> よって、<Math>\frac{a+c}{b+d} = \frac{a-c}{b-d}</Math>である。 なお、比<Math>a:b</Math>について<Math>\frac{a}{b}</Math>を'''比の値'''という。また、<Math>a:b=c:d \iff \frac{a}{b} = \frac{c}{d}</Math>を'''比例式'''という。 <Math>\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}</Math>が成り立つとき、<Math>a:b:c=x:y:z</Math>と表す。これを'''連比'''という。 *問題 **<Math>a:b:c=1:2:3</Math>のとき、<Math>a+b+c=24</Math>を満たす<Math>a,b,c</Math>を求めよ。 ==== 不等式の証明 ==== 不等式の様々な公式については、次の4つの式を基本的な式として導出できる場合がよくある。 高校数学では、次の4つの性質が 不等式の「基本性質」などとして紹介されている。 {| style="border:2px solid skyblue; width:fit-content" cellspacing=0 |style="background:skyblue"|'''不等式の基本性質''' |- |style="padding:5px"| :(1)　　<math> a>b \land b>c \implies a>c </math> :(2)　　<math> a>b \implies a \pm c>b \pm c</math> :(3)　　<math> a>b \land c>0 \implies ac>bc \land \frac{a}{c} > \frac{b}{c} </math> :(4)　　<math> a>b \land c<0 \implies ac<bc \land \frac{a}{c} < \frac{b}{c} </math> |} (3)と(4)については、一つの性質として 纏める文献もある。 上述の4つの基本性質から、 :<math>a>0, b>0 \implies a+b > 0</math> を証明してみよう。 *証明 まず <math>a>0</math> なので、基本性質(2)より :<math>a+b > b</math> である。 よって :<math> a+b>b \land b>0 </math> なので、基本性質(1)より<math> a+b>0 </math> が成り立つ。（終） 同様にして、 :<math>a<0, b<0 \implies a+b < 0</math> を証明できる。 ここまでに示したことから、不等式 <math> A \geqq B </math> を証明したい場合には、 : <math> A-B \geqq 0 </math> を証明すればよいことがわかった。こちらの方が証明しやすい場合がよくある。 不等式を証明する際に根拠とする基本的な不等式として、次の性質がある。 {| style="border:2px solid skyblue; width:fit-content" cellspacing=0 |style="background:skyblue"|'''実数の2乗の性質''' |- |style="padding:5px"| :<math>\forall a \in \mathbb{R}, a^2 \geqq 0</math> 等号成立は、 <math>a = 0</math> の場合だけである。 |} この定理（「全ての実数についてその2乗は非負」）を、基本性質(3),(4)を使って証明してみよう。 '''（証明）''' aが正の場合と負の場合と0の場合の3通りに場合わけする。 '''<nowiki>[aが正の場合]</nowiki>''' <br> このとき、基本性質(3)より、 :<math> aa>0a </math> である。すなわち、 :<math> a^2 > 0 </math> である。 '''<nowiki>[aが負の場合]</nowiki>'''<br> このとき、基本性質(4)より <math>0a < aa </math> である。すなわち、 : <math> a^2 > 0 </math> である。 '''<nowiki>[aがゼロの場合]</nowiki>''' <br> このとき、 <math>a^2=0</math> である。 よって、すべての場合について<math>a^2 \geqq 0</math> (終) このことと基本性質(1)(2)より、次が成り立つこともわかる。 {| style="border:2px solid skyblue; width:fit-content" cellspacing=0 |style="background:skyblue"|'''実数の2乗同士の和の性質''' |- |style="padding:5px"| 任意の実数a,b について、<math>a^2 \geqq 0</math>, 　<math>b^2 \geqq 0</math>より :<math>a^2+b^2 \geqq 0</math> が成り立つ。 等号成立条件は<math>a^2 = b^2 = 0</math>、つまり<math>a=b=0</math> の場合だけである。 |} * 例題 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 :<math>x^2 + 10 y^2 \geqq 6 x y</math> *解答 :<math>(x^2 + 10 y^2) -(6 x y) \geqq 0</math> を証明すればよい。 左辺を展開して纏めると :<math>(x^2 + 10 y^2) - 6xy = x^2 - 6 x y + 9 y^2 + y^2 = (x - 3 y)^2 + y^2</math> となる。 上式の最後の式の項について、 :<math>(x - 3 y)^2 \geqq 0 , \quad y^2 \geqq 0</math> より :<math>(x - 3 y)^2 + y^2 \geqq 0</math> である。よって :<math>x^2 + 10 y^2 \geqq 6 x y</math> （終） ===== 根号を含む不等式 ===== 2つの正の数 a,　b がa≧b ならば、両辺を2乗しても大小関係は同じままである。 つまり、 : <math> a>0 </math>,　<math> b>0 </math> のとき : <math> a > b \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 > b^2 </math> : <math> a > b \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 > b^2 </math> これを証明するには、<math> a^2 - b^2 </math> を調べればよい。 :<math> a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) </math> である。 a>bとする。仮定より、a,b は正の数なので、<math> (a+b)>0 </math> であり、別の仮定より、 a > b なので、<math> (a-b)>0 </math> でもある。よって、<math> a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) >0 </math> 逆に、<math>a^2-b^2>0</math>のとき、<math>(a+b)(a-b)>0</math>であり、<math>a>0,b>0</math>なので<math>a+b>0</math>である。よって、<math>a-b>0</math>なので、<math>a>b</math>である。 よって、<math> a > b \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 > b^2 </math> である。 <math>a=b</math>の場合は明らかに<math>a^2=b^2</math>なので、全ての場合について<math>a \geqq b (> 0) \iff a^2 \geqq b^2</math>が確かめられた。 ---- *例題 <math> a>0, b>0 </math> のとき、次の不等式を証明せよ。 ::<math> \sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b} </math> *解答 不等式の両辺は正であるので、両辺の平方の差を考えればよい。両辺の平方の差は :<math>( \sqrt{a} + \sqrt{b} )^2 - ( \sqrt{a+b} )^2 = a + 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + b - (a+b) 2 \sqrt{ab} </math> である。ここで、a,b はともに正の実数なので、 ::<math> \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab} </math> であることを用いた。 :<math> \sqrt{ab} > 0</math> であるので、 :<math>( \sqrt{a} + \sqrt{b} )^2 - ( \sqrt{a+b} )^2 > 0 </math> となる。よって、 :<math> \sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b} </math> である。（終） ===== 絶対値を含む不等式 ===== 実数 <math>a</math> の絶対値 <math>|a|</math> について、 : <math>a \geqq 0 \implies |a|=a</math> : <math>a<0 \implies |a|= -a</math> であるから、次のことが成り立つ。 :<math>|a|^2=a^2</math> また、2つの実数 a, b の絶対値 |ab| については、 : <math>|ab|^2= (ab)^2= a^2 b^2 = |a|^2 |b|^2 = (|a| |b|)^2</math> が成り立つので、これにさらに <math>|ab|\geqq0 ,|a||b|\geqq0 </math>を組み合わせて、 :<math>|ab| = |a| |b| </math> が成り立つ。 *例題 次の不等式を証明せよ。また、等号成立条件を 調べよ。 ::<math>|a|+|b| \geqq |a+b|</math> *解答 両辺の平方の差を考えると、 :<math>(|a|+|b|)^2 - |a+b|^2 = |a|^2 + 2|a| |b| + |b|^2 -(a^2 + 2ab + b^2 )</math> :<math>= a^2 + 2|a| |b| + b^2 -a^2 - 2ab - b^2</math> :<math>= 2|a| |b| - 2ab</math> :<math>= 2 ( |a| |b| - ab )</math> これがもし正なら、与えられた不等式 <math>|a|+|b| \geqq |a+b|</math> が正しい。 ここで、 <math>|a| |b| \geqq ab</math> であるので、 :<math> ( |a| |b| - ab ) \geqq 0</math> である。 したがって、 <math>|a|+|b| \geqq |a+b|</math> である。 等号が成り立つのは <math>|a| |b| = ab</math> の場合、すなわち <math>ab \geqq 0</math> の場合である。 （終） {{コラム|三角不等式| なお :<math>|a|-|b| \leqq |a+b| \leqq |a|+|b| </math> の関係式のことを「三角不等式」という。 }} ==== 相加平均・相乗平均 ==== 2つの数<math>a</math>,<math>b</math>に対し、<math>\frac{a+b}{2}</math>を'''{{ruby|相加|そうか}}平均'''、<math>\sqrt{ab}</math>を'''{{ruby|相乗|そうじょう}}平均'''という。 {{コラム|相乗平均の例と3つ以上のものの平均| 平均は、3つ以上のものにも定義される。3つ以上のn個のものの相加平均は <math>\frac{a_1 + a_2 + \cdots +a_n }{n}</math> で定義される。 :平均を考える際、つい相加平均ばかりを考えがちだが、以下のような状況では相乗平均の方が適切である。 ::「ある企業では、2015年度の売上を基準にすると、2016年度では前年（2015年）の1.5倍の売上になりました。2017年度では、前年（2016年）の2倍の売上になりました。平均として、一年ごとに何倍の売り上げになっていったでしょうか？ 」 :（答）<math>\sqrt{1.5 \times 2} = \sqrt{3} \fallingdotseq 1.73</math> より、約 1.73倍。 :また、この応用例は、項が3つ以上の場合の相乗平均の定義の仕方も、示唆している。もし読者が[[高等学校数学II/指数関数・対数関数|指数関数]]を知っているなら、項が3つ（ここでは a, b, c とする）の場合の相乗平均は、 ::（3つの項の相乗平均）＝<math> (abc)^{ \frac{1}{3} } </math> :になる。 }} 本ページでは、2個の数の平均について考察する。 相加平均と相乗平均について、次の関係式が成り立つ。 {| style="border:2px solid yellow;width:80%" cellspacing=0 |style="background:yellow"|'''相加平均と相乗平均''' |- |style="padding:5px"| <math>a \geqq 0</math> ，<math>b \geqq 0</math>のとき、<br> <center><math>\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}</math></center><br> 等号が成り立つのは、<math>a = b</math>のときである。 |} *証明 <math>a \geqq 0 , b \geqq 0</math>のとき :<math>\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{a+b-2 \sqrt{ab}}{2} = \frac{\left( \sqrt{a} \right) ^2 - 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + \left( \sqrt{b} \right) ^2}{2} = \frac{\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 }{2}</math> <math> \left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 \geqq 0</math>であるから、<math> \frac{\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 }{2} \geqq 0</math><br> 従って　<math>\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}</math><br> 等号が成り立つのは、<math>\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 = 0 </math> のとき、すなわち <math>a = b</math> のときである。(終) 公式の利用では、上の式 <math>\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}</math> の両辺に2を掛けた <math>a+b \geqq 2 \sqrt{ab}</math> の形の式を使う場合もある。 * 例題 <math>a>0</math> ，<math>b>0</math>のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。<br> (I) :<math> a + \frac{1}{a} \geqq 2 </math> (II) :<math> (a+b)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \geqq 4 </math> **解答 (I)<math>a>0</math>であるから、<math>\frac{1}{a} >0</math><br> よって　<math>a + \frac{1}{a} \geqq 2 \sqrt{a \times \frac{1}{a}} = 2</math><br> したがって :<math> a + \frac{1}{a} \geqq 2 </math> (II) :<math> (a+b)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) = 1+ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} +1 = \frac{b}{a} + \frac{a}{b} +2 </math> <math>a>0</math>，<math>b>0</math>であるから、<math>\frac{b}{a} >0</math>，<math>\frac{a}{b} >0</math><br> よって　<math> \frac{b}{a} + \frac{a}{b} +2 \geqq 2 \sqrt{\frac{b}{a} \times \frac{a}{b}} + 2 = 2+2 =4</math><br> したがって :<math> (a+b)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \geqq 4 </math> {{コラム|3つ以上の相乗平均と調和平均| もし読者が指数関数などを知っていれば、 n個のものの相乗平均は、 ::<math>\sqrt[n] {a_1 a_2 \cdots a_n }</math> と書ける。 数学的な「平均」には、相加平均と相乗平均のほかにも'''調和平均'''がある。 調和平均は、電気回路の並列計算で使われる考え方である。 n個のものの調和平均は、 ::<math>\frac{ n}{ \dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_n} }</math> で定義される。 一般に数学的には、調和平均、相乗平均、相加平均のあいだに次のような大小関係 :（調和平均） ≦ （相乗平均） ≦ （相加平均） という関係が成り立つことが証明されている。 すなわち、数式で書けば ::<math>\frac{ n}{ \dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_n} } \leqq \sqrt[n] {a_1 a_2 \cdots a_n } \leqq \frac{a_1 + a_2 + \cdots +a_n }{n} </math> の関係式である。 簡潔に書くと、 ::<Math>\frac{ n}{ \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{a_k}} \leqq (\prod_{k=1}^{n}a_k)^{\frac{1}{n}} \leqq \frac{\sum_{k=1}^{n} a_n}{n}</Math> となる。 }} {{コラム|相加・相乗・調和平均の図示| 線分ABを直径に持つ円の中心をOとする。線分ABの適当な位置に点Pをとり、<math>\overline{AP} = a, \overline{PB} = b</math>とおく。 :Oから線分ABに垂直な線分を引き、円との交点をQとおく。このとき、線分OQはこの円の半径なので、<math>\overline{OQ} = \frac{1}{2} \overline{AB} = \frac{a+b}{2}</math>が成り立つ。 :Pから線分ABに垂直な直線を両側に引き、円との交点をそれぞれR, Sとおく（RはQ側の交点とする）。このとき<math>\overline{OR} = \overline{OS}</math>であり、[[高等学校数学A/図形の性質#方冪の定理|方冪の定理]]より<math>\overline{OR} \cdot \overline{OS} = \overline{AP} \cdot \overline{PB} = ab</math>が成り立つので、<math>\overline{OR} = \sqrt{ab}</math>と求まる。<br> :Pから線分ORに引いた垂線の足をTとする。<math>\triangle ORP</math>∽<math>\triangle PRT</math>より<math>\overline{OR} : \overline{RP} = \overline{PR} : \overline{RT}</math>すなわち<math>\frac{a+b}{2} : \sqrt{ab} = \sqrt{ab} : \overline{RT}</math>なので、<math>\overline{RT} = \frac{2ab}{a+b} = \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}</math>と求まる。 これらの図から、点Pをどの位置に取っても<math>\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leqq \sqrt{ab} \leqq \frac{a+b}{2}</math>が常に成り立つこと、PがOに一致する場合に等号が成立することがわかる。 なお、[[w:二乗平均平方根]]も図示することができる。 }} 一般的に使われる平均として、相加平均・相乗平均・調和平均の他に'''調整平均'''と'''移動平均'''が存在する。これらは数学B「[[高等学校数学B/数学と社会生活#調整平均|数学と社会生活]]」で扱う。 ==複素数と方程式== ===複素数=== ====複素数とは==== 2乗して負になる数を考える。このような数は先ほどの :<math>\forall a \in \mathbb{R}, a^2\geqq0</math> という性質から実数ではないことがわかる。そこで、二乗すると負になる数を新たに導入し、数の世界を広げることを考える。 方程式<math>x^2 = -1</math>の解を考える。この方程式の解は実数にはない。そこで、この方程式を満たす（実数ではない）数の片方を文字 <math>i</math>で表すことにする。このとき、もう片方の解は<math>-i</math>と表せる。 この <math>i</math> のことを'''虚数単位'''（imaginary unit）と呼ぶ。なお、<math>x^2=-1</math>の2つの解のどちらを<math>i</math>としてもその後の理論に差し支えない。つまり、<math>i, -i</math>は代数構造的に区別できない。 <math>1+i</math> や <math>2+5i</math> のように、虚数単位<math>i</math>と<math>a,b \in \mathbb{R}</math>を用いて :<math>z=a+bi</math> と表すことができる数 <math>z</math>を'''複素数'''という。このとき、<math>a</math>をこの複素数の'''実部'''、<math>b</math>を'''虚部'''といい、それぞれ<math>\mathrm{Re}(z), \mathfrak{R}(z), \quad \mathrm{Im}(z), \mathfrak{I}(z)</math>などと表す。 例えば、<math>1+i,\quad 2+5i,\quad \frac{9}{2} + \frac{7}{2} i,\quad 4i,\quad 3</math> は、いずれも複素数である。 複素数<math>a+bi</math>は<math>b=0</math>のとき実数である。すなわち、複素数は実数の拡張である。複素数全体の集合は<math>\mathbb{C}</math>と表す。 <math>4i</math>のような、実部が<math>0</math>で虚部が<math>0</math>でない複素数を'''純虚数'''と呼ぶ。純虚数の二乗は負数である。純虚数全体の集合は<math>i\mathbb{R}_{\neq0}</math>で表す（<math>\neq0</math>を省略する場合もある）。 虚数は、一般には実数ではない複素数を指す。（つまり虚数全体の集合は<math>\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}</math>） ;参考 複素数は「二元数」の一つである。他の二元数として、[[多元数/分解型複素数|分解型複素数]]と[[多元数/二重数|二重数]]がある。二元数は正確に言うと「実数体上の二次元可換結合多元環」であり、代数の構造定理によりこの3つしか存在し得ないことが判っている。 ==== 複素数の性質 ==== 2つの複素数<math>a+bi, c+di</math>が等しいとは、等式<math>a+bi=c+di</math>を'''虚数単位<math>i</math>についての恒等式とみる'''ことで以下のように解釈できる。 {| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0 |style="background:skyblue"|'''複素数の相等''' |- |style="padding:5px"| : <math>a+bi = c+di \iff a=c \land b=d</math> 特に : <math>a+bi = 0 \iff a=0 \land b=0</math> |} ;共役 複素数<math>z=a+bi</math>に対して、虚部の符号を反転させた複素数<math>\bar{z} = a-bi</math>のことを'''{{ruby|共役|きょうやく}}複素数'''または'''<math>z</math>の複素共役'''と呼ぶ。なお、「共役」は「共'''軛'''」の常用漢字による代用（[[w:同音の漢字による書き換え]]）である。<math>z^*</math>と書くこともある。 その定義より、<math>\forall a \in \mathbb{R}, \bar{a}=a</math>である。 ;四則演算 複素数にも四則演算（加減乗除）が定義される。 複素数の演算では、虚数単位<math>i</math>を通常の文字のように扱って計算する。但し、<math>i^2=-1</math>に注意。 一般に複素数<math>z=a+bi, w=c+di</math>について :加法：<math> (a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i </math> :減法：<math> (a+bi)-(c+di) = (a-c) + (b-d)i </math> :乗法：<math> (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i </math> :除法：<math> \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i </math>（但し<math>c+di \ne 0</math>） が成り立つ。 実数の場合と同様、四則演算は複素数について閉じており、分配則・結合則・交換則が成り立つ。 複素数<math>z=a+bi</math>について :<math>\overline{\bar{z}}=z</math>（'''再帰則'''） :<math>z+ \bar{z}=(a+bi)+(a-bi)=2a</math> :<math>z-\bar{z}=(a+bi)-(a-bi)=2bi</math> :<math>z \bar z =(a+bi)(a-bi)=a^2-abi+abi-b^2 i^2 = a^2-b^2i^2=a^2+b^2</math> :<math>\frac{z}{\bar{z}}=\frac{a+bi}{a-bi}=\frac{a^2-b^2+2bi}{a^2+b^2}</math>（但し<math>z\neq0</math>） が成り立つ。 よって、 :<math>\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\bar{z}}{2}</math> :<math>\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2i}</math> も成り立つ。 '''例題''' 2つの複素数 :<math>a=3+i</math> :<math>b=4 +7i</math> について、<math>a+b, ab, \frac{a}{b}</math> をそれぞれ計算せよ。 '''解答''' :<math>\begin{align}a+b&=(3+i)+(4+7i)\\&=(3+4)+i(1+7)\\&=7+8i\end{align}</math> :<math>\begin{align}ab&=(3+i)(4+7i) \\&=12+21i+4i+7i^2 \\&=12+21i+4i+(-7) \\&=5+25i\end{align}</math> :<math>\begin{align}\frac{a}{b}&=\frac{3+i}{4+7i} \\&=\frac{(3+i)(4-7i)}{(4+7i)(4-7i)} \\&=\frac{12-21i+4i-(-7)}{16-28i+28i-(-49)} \\&=\frac{19-17i}{65} \\&=\frac{19}{65}-\frac{17}{65}i \end{align}</math> ==== 負の数の平方根 ==== 複素数を導入することで、負の数の平方根も考えることができる。 例として、 -5 の平方根について考えてみよう。 :<math>(\sqrt{5}\ i)^2 = (\sqrt{5})^2\ i^2 = 5 \times (-1) =-5</math> :<math>(- \sqrt{5}\ i)^2 = (-1)^2 \times (\sqrt{5})^2\ i^2 = (+1) \times 5 \times (-1) = -5</math> であるから、 <math>-5</math> の平方根は <math> \sqrt{5}\ i </math> と <math> - \sqrt{5}\ i </math> である。 {| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0 |style="background:skyblue"|'''負の数の平方根''' |- |style="padding:5px"| <math>a>0</math>とするとき、負の数<math>-a</math>の平方根は<math>\pm \sqrt{a}\ i</math>である。 |} <math>\pm \sqrt{-a} = \pm \sqrt{a} i</math>（複号同順）である。 さて、-5 の平方根は、方程式<math>x^2=-5</math>なので、方程式<math>x^2+5=0</math>の解ともいえる。 すなわち、二次式<math>x^2+5</math>は複素数範囲で<math>(x+\sqrt{5}i)(x-\sqrt{5}i)</math>と因数分解できる。 * 例題 (I) 　　<math>\sqrt{-2} \times \sqrt{-6}</math>　を計算せよ。 * 解答 (I) :<math>\sqrt{-2} \times \sqrt{-6} = (\sqrt{2}i) \times (\sqrt{6}i) = \sqrt{12} i^2 = -2 \sqrt{3}</math> 注意：負数の平方根は'''必ず純虚数に直して'''計算するようにする。 直さないと、以下のような間違いが起こり得る。 :<math>\sqrt{-2}\times\sqrt{-6}=\sqrt{(-2)\times(-6)}=\sqrt{12}</math> 実は、中学校で習った「平方根の積は根号の中身の積の平方根をとったものに等しい」という性質は'''実数範囲でしか成り立たない'''。 一般に、'''実数範囲で成り立ったことが複素数範囲でそのまま成り立つとは限らない'''ことに注意が必要である。 * 問題 :(II) 　　<math>\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-3}}</math>　を計算せよ。 :(III) 　　二次方程式　<math>x^2+7=0</math>　を解け。 * 解答 (II) :<math>\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}\ i} = \frac{\sqrt{2}\ \sqrt{3}\ i}{\sqrt{3}\ i\ \sqrt{3}\ i} = \frac{\sqrt{6}\ i}{3\ i^2} = - \frac{\sqrt{6}}{3} \ i</math> (III) :<math>x^2+7=0</math> :<math>x^2=-7</math> :<math>x= \pm \sqrt{-7}</math> :<math>x= \pm \sqrt{7}\ i</math> === 複素数と二次方程式 === ==== 二次方程式の解と複素数 ==== 複素数の応用として、ここでは二次方程式の性質について述べる。任意の二次方程式は、解の公式によって解かれることを[[高等学校数学I 方程式と不等式#二次方程式|高等学校数学I]]で述べた。しかし、解の公式に含まれる根号の中身が負の数の場合には実数解が存在しないことに注意する必要がある。二次方程式 :<math> ax^2+bx+c = 0 </math> の解の公式は、 :<math> x = \frac{-b \pm \sqrt{D} }{a} </math> である。 但し、<math>D=b^2-4ac</math>は判別式である。 判別式の正負によって二次方程式が実数解を持つかどうかが決まる。 <math>D<0</math>のときにはこの二次方程式は実数の範囲には解を持たない。 一般に、'''<math>D<0</math>のとき二次方程式の解は2つの複素共役な虚数である'''。 * 例題 二次方程式<br> (1) :<math>x ^2 + 5x + 9 =0</math> (2) :<math>2x ^2 + 5x + 8 =0</math> (3) :<math>2x ^2 - 2x + 8 =0</math> を複素数範囲で解け。 *解答 解の公式を用いて解けばよい。(1)だけを計算すると、 :<math> x = \frac {- 5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \times 1 \times 9}}{2} </math> :<math> = \frac {-5 \pm \sqrt {11} i}{2} </math> となる。 他も同じように扱うことが出来る。 以降の解答は、<br> (2) :<math> x = \frac {-5 \pm \sqrt {39} i}{4} </math> (3) :<math> x = \frac {1 \pm \sqrt {15} i}{2} </math> となる。 <!-- ( *執筆者に対する注意 計算には[[w:maxima]]を用いた。 tex(solve( x ^2 + 5*x + 9 =0,x )); tex(solve( 2*x ^2 + 5*x + 8 =0,x )); tex( solve( 2*x ^2 - 2*x + 8 =0,x )); ) --> 方程式の解で、実数であるものを '''実数解''' という。 方程式の解で、虚数であるものを '''虚数解''' という。 {| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0 |style="background:skyblue"|'''判別式と解の判別''' |- |style="padding:5px"| 二次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の判別式 <math>D=b^2-4ac</math> について ::<math>D>0 \quad \Leftrightarrow \quad </math> 異なる2つの実数解をもつ ::<math>D=0 \quad \Leftrightarrow \quad </math> 重解をもつ ::<math>D<0 \quad \Leftrightarrow \quad </math> 異なる2つの複素共役な虚数解をもつ |} また、重解も実数解であるので、 ::<math>D \geqq 0 \quad \Leftrightarrow \quad </math> 実数解をもつ といえる。 *例題 次の二次方程式の解を判別せよ。 (I) :<math>x^2+3\,x-1=0</math> (II) :<math>2\,x^2-3\,x+2=0</math> (III) :<math>4\,x^2-20\,x+25=0</math> *解答 (I) :<math>D=3^2-4 \times 1 \times (-1) =13>0</math> より、異なる2つの実数解をもつ。 (II) :<math>D=(-3)^2-4 \times 2 \times 2 =-7<0</math> より、異なる2つの虚数解をもつ。 (III) :<math>\frac{D}{4}=(-10)^2-\times 4 \times 25 =0</math> より、重解をもつ。 ==== 二次方程式の解と係数の関係 ==== 二次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の2つの解を <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> とする。 この方程式は、 <math>a(x-\alpha)(x-\beta) = 0</math> と変形できる。 これを展開すると、 <math>ax^2 -a(\alpha + \beta )x+a\alpha \beta = 0</math> 係数を比較して、 <math>c = a \alpha \beta, b = -a(\alpha + \beta)</math> を得る。 これを変形すれば、<math>\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \alpha \beta = \frac{c}{a}</math>となる。<br> {| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing="0" | style="background:skyblue" |'''解と係数の関係''' |- | style="padding:5px" | 二次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の2解を <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math>とするとき、 :<math>\alpha + \beta = - \frac{b}{a}</math> ，<math>\alpha \beta = \frac{c}{a}</math> |} 解と係数の関係は、多項式の値を[[高等学校数学I/数と式#種々の因数分解|基本対称式分解]]を用いて求める問題に応用される。 *例題 二次方程式 <math>2x^2 + 4x + 3 = 0</math>の2解の平方和を求めよ。 *解答 2解をそれぞれ<math>\alpha, \beta</math>とすると、解と係数の関係より :<math>\alpha + \beta = - \frac{4}{2} = - 2 </math>，<math>\alpha \beta = \frac{3}{2}</math> :<math>\therefore \alpha ^2 + \beta ^2 = (\alpha + \beta )^2 - 2 \alpha \beta = (-2)^2 - 2 \times \frac{3}{2} = 1</math> 解と係数の関係より以下が成り立つ。 {| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0 |style="background:skyblue"|'''与えられた2つの数を解とする二次方程式''' |- |style="padding:5px"| 2数 <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> を解とする二次方程式の一つは :<math>x^2 - (\alpha + \beta ) x + \alpha \beta = 0</math> |} * 問題 次の2数を解とする最も簡単な二次方程式を作れ。<br> (I) :<math>3 + \sqrt{5} \ , 3 - \sqrt{5}</math> (II) :<math>2 + 3 i \ , 2 - 3 i</math> * 解答 (I)<br> 和　<math>(3 + \sqrt{5}) + (3 - \sqrt{5}) = 6</math><br> 積　<math>(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}) = 4</math>　であるから<br> :<math> x^2 - 6 x + 4 =0 </math> (II)<br> 和　<math>(2 + 3 i) + (2 - 3 i) = 4</math><br> 積　<math>(2 + 3 i) (2 - 3 i) = 13</math>　であるから<br> :<math> x^2 - 4 x + 13 =0 </math> 一般に、二次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の2解 <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> がわかると二次式 :<math>ax^2 + bx + c</math> を因数分解することができる。 解と係数の関係 <math>\alpha + \beta = - \frac{b}{a}</math>，<math>\alpha \beta = \frac{c}{a}</math> から、 :<math>ax^2 + bx + c = a \left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} \right) = a \left\{x^2 - (\alpha + \beta )x + \alpha \beta \right\} = a (x - \alpha)(x - \beta)</math> {| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing="0" | style="background:skyblue" |'''解と因数分解''' |- | style="padding:5px" | 二次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の2つの解を <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> とすると :<math>ax^2 + bx + c = a (x - \alpha)(x - \beta)</math> |} 二次方程式は複素数の範囲で考えると常に解を持つから、複素数範囲において二次式は必ず一次式の積に因数分解することができる。 *例題 次の二次式を複素数範囲で因数分解せよ。<br> (I) :<math>x^2 + 4 x - 1</math> (II) :<math>2 x^2 - 3 x + 2</math> *解答 (I)<br> 二次方程式　<math>x^2 + 4 x - 1 = 0</math>　の解は :<math>x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4 \times 1 \times (-1)}}{2 \times 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2 \sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}</math> よって :<math>x^2 + 4 x - 1 = \left\{ x - (-2 + \sqrt{5}) \right\} \left\{ x - (-2 - \sqrt{5}) \right\} = (x + 2 - \sqrt{5}) (x + 2 + \sqrt{5})</math> (II)<br> 二次方程式 <math>2 x^2 - 3 x + 2 = 0</math>　の解は :<math>x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \times 2 \times 2}}{2 \times 2} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{7} i}{4}</math> よって :<math>2 x^2 - 3 x + 2 = 2 \left(x- \frac{3 + \sqrt{7}\; i}{4} \right) \left(x- \frac{3 - \sqrt{7}\; i}{4} \right)</math> === 高次方程式 === 以下、三次以上の整式による方程式を考える。 一般に方程式を <math>P(x)=0</math>とする。 ただし、<math>P(x)</math>は、任意の次数の整式とする。 一般に、k次方程式<math>(x-p)^k=0</math>の解 <math>p</math>をこの方程式の'''k重解'''という。k重解は同じ値の解がk個重なっていると考える。 ==== 剰余の定理 ==== <math>P(x)</math>を一次式<math>x-a</math>で割ったときの商を<math>Q(x)</math>、余りを<math>R</math>とすると、 :<math> P(x) = (x-a)Q(x)+R </math> この両辺の<math>x</math>に<math>a</math>を代入すると、 :<math> P(a) = (a-a)Q(a)+R = 0 \times Q(a) + R =R </math> つまり、<math>P(x)</math>を<math>x-a</math>で割ったときの余りは<math>P(a)</math>である。 {| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing="0" | style="background:pink" |'''剰余の定理''' |- | style="padding:5px" | 整式<math>P(x)</math>を<math>x-a</math>で割ったときの余りは、<math>P(a)</math>に等しい。 |} * 問題例 ** 問題 整式 <math>P(x) = x^3 -2x + 3</math> を次の式で割った余りを求めよ。<br> (I) :<math> x-2 </math> (II) :<math> x+1 </math> (III) :<math> 2x-1 </math> ** 解答 (I)　<math>P(2) = 2^3 - 2 \times 2 + 3 = 7</math><br> (II)　<math>P(-1) = (-1)^3 - 2 \times (-1) + 3 = 4</math><br> (III)　<math>P\left( \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2} \right)^3 - 2 \times \left( \frac{1}{2} \right) + 3 = \frac{17}{8}</math> ===== 因数定理 ===== :<math>\exist a \in \mathbb{R}, P(a) = 0</math> ならば、整式<math>P(x)</math> は式<math>(x-a)</math> を因数に持つことが分る。 これを'''因数定理'''と呼ぶ。 * 導出 剰余の定理より<math>P(x)</math>を<math>(x-a)</math>で割った余りは<math>P(a)</math>であるが、ここで<math>P(a)=0</math>より<math>P(x)=(x-a)Q(x)</math>と書けるので、<math>P(x)</math>は式<math>(x-a)</math>を因数に持つ。 {| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0 |style="background:pink"|'''因数定理''' |- |style="padding:5px"| 整式<math>P(x)</math>について<br> <center><math>P(a)=0 \Leftrightarrow </math> <math>P(x)</math>は<math>x-a</math>で割りきれる。</center> |} 因数定理を用いることで、より次数の高い整式を因数分解することが出来るようになる。 例えば、三次の整式 :<math>x^3 - 1</math> について、<math>x=1</math>を代入すると :<math>x^3 - 1=0</math> なので因数定理よりこの式は :<math>(x-1)</math> を因数として持つ。 ここで、整式の除法を使って計算すると :<math>x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)</math> を得る。 *例題 因数定理を用いて<br> (I) :<math>x^3-6\,x^2+11\,x-6</math> (II) :<math>x^3+x^2-14\,x-24</math> <!-- (III) :<math> x^3+5\,x^2-34\,x-80 </math> --> を因数分解せよ。 * 解答<br> (I) 因数分解の結果が(x+整数)の積の形なら、整数は6の約数でなければならない。そのため、<math>\pm 1, \pm 2,\pm 3,\pm 6</math>が候補となる。これらにつ祖ては実際に代入して確かめるしかない。x=1を代入すると、 :<math>1-6+11-6=0</math> となるので、(x-1)が因数となる。実際に整式の除法を行なうと、商として<math>x^2-5x+6</math>が得られるが、これは<math>(x-2)(x-3)</math>に因数分解できる。よって答えは、 :<math>\left(x-3\right)\,\left(x-2\right)\,\left(x-1\right)</math> となる。<br> (II) ここでも地道に24の因数を当てはめていくしかない。24の因数は数が多いのでかなりの計算が必要となる。ここでは、-2を代入すると、 :<math>-8 +4 -14 \cdot (-2) -24 = 0</math> となり、(x+2)が因数だとわかる。除法を行なうと、<math>x^2 -x -12</math>が得られるが、(x-4)(x+3)に因数分解できる。答えは、 :<math>\left(x-4\right)\,\left(x+2\right)\,\left(x+3\right)</math> となる。 ==== 高次方程式の解法 ==== 一般に、以下の事実が知られている。 {| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0 |style="background:pink"|'''（強い）代数学の基本定理''' |- |style="padding:5px"| 複素数係数n次方程式の解は複素数範囲で必ずn個存在する。但し、重解は重複して数える。 |} <br> {| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0 |style="background:pink"|'''虚数解定理''' |- |style="padding:5px"| n次方程式が虚数解を持つならば、その共役複素数も解の1つである。 |} これらは証明なしに事実として用いてよい。 例えば、七次方程式<math>(x^2+1)^3(x+2)=0</math>の解は<math>x=2, \pm i</math>であるが、<math>\pm i</math>は三重解なのでそれぞれ3つと数えると、解の個数は<math>2</math>が1つ、<math>i</math>が3つ、<math>-i</math>が3つで7個である。 因数分解や因数定理を利用することにより、一般の高次方程式を解くことができる。 解の存在性は代数学の基本定理により保証される。 *例題 高次方程式<br> (I) :<math>x^3-8=0</math> (II) :<math>x^4-2x^2-8=0</math> (III) :<math>x^3-5x^2+7x-2=0</math> を解け。 *解答 (I) 左辺を<math>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)</math>により因数分解すると :<math>(x-2)(x^2+2x+4)=0</math> 従って<math>x-2=0 \or x^2+2x+4=0</math><br> よって :<math>x=2, -1 \pm \sqrt{3}i</math> (II) <math>\ x^2=X\ </math>とおくと :<math>X^2-2X-8=0</math> 左辺を因数分解すると :<math>(X-4)(X+2)=0</math> よって<math>X=4, X=-2</math>。 :<math>\therefore x^2=4, x^2=-2</math> :<math>\therefore x= \pm 2, \pm \sqrt{2} i</math> (III) 　<math>\ P(x)=x^3-5x^2+7x-2\ </math>とおく。 :<math>P(2)=2^3-5 \times 2^2+7 \times 2-2=0</math> 従って<math>\ x-2\ </math>は<math>\ P(x)\ </math>の因数である。<br> :<math>P(x)=(x-2)(x^2-3x+1)</math> :<math>(x-2)(x^2-3x+1)=0</math> :<math>\therefore x-2=0 \lor x^2-3x+1=0</math> :<math>\therefore x= 2, \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}</math> 三次方程式<math>x^3=1</math>の解を考える。 実数解<math>x=1</math>を持つことは明らか。 三次式の因数分解公式より<math>x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)</math>なので、 この三次方程式の虚数解は二次方程式<math>x^2+x+1=0</math>の解である。 よって<math>x=1, \frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}</math> ここで、虚数解の片方を<math>\omega</math>とおくともう片方は<math>\bar{\omega}</math>である。 以下が成り立つ。 :<math>\omega^3=(\bar{\omega})^3=1</math> :<math>\omega^2=\bar{\omega}</math> :<math>(\bar{\omega})^2=\omega</math> :<math>\omega^2+\omega+1=0</math> これらの性質を用いると、高次方程式の問題が楽になる場合がある。 *問題 <math>x^5+x^4+1</math>を実数範囲で因数分解せよ。 *解答 <math>\omega</math>を代入すると :<math>\omega^5+\omega^4+1=\omega^2\cdot1+\omega\cdot1+1=\omega^2+\omega+1=0</math> よって方程式<math>x^5+x^4+1=0</math>は虚数解定理より<math>\omega, \bar{\omega}</math>を解に持つので、<math>x^5+x^4+1</math>は<math>x^2+x+1</math>を因数に持つ。<br> 整式の除法より :<math>x^5+x^4+1=(x^2+x+1)(x^3-x+1)</math>// ;演習問題 *以下の値を求めよ。 **<math>\omega^{100}+\omega^{28}</math> **<math>\frac{1}{2\omega^{17}+13\omega^{9}}</math> ====三次方程式の解と係数の関係==== 三次方程式 <math>ax^3+ bx^2+ cx+d=0</math> の3解を<math>\alpha, \beta, \gamma</math> とすると :<math>ax^3+ bx^2+ cx+d=a(x- \alpha)(x- \beta)(x- \gamma)</math> が成り立つ。<br> 右辺を展開すると :<math>a(x- \alpha)(x- \beta)(x- \gamma)</math> :<math>=a(x- \alpha)\left\{x^2-(\beta + \gamma)x+ \beta \gamma \right\}</math> :<math>=a \left\{x^3-(\alpha + \beta + \gamma)x^2+ (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)x - \alpha \beta \gamma \right\}</math> :<math>\therefore ax^3+ bx^2+ cx+d=a \left\{x^3-(\alpha + \beta + \gamma)x^2+ (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)x - \alpha \beta \gamma \right\}</math> :<math>\therefore b=-a(\alpha + \beta + \gamma)\ ,\ c= a(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)\ ,\ d= -a \alpha \beta \gamma</math> 従って以下が成り立つ。 {| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0 |style="background:pink"|'''三次方程式の解と係数の関係''' |- |style="padding:5px"| 三次方程式 <math>ax^3+ bx^2+ cx+d=0</math> の3つの解を 、<math>\alpha\ ,\ \beta\ ,\ \gamma</math> とすると <center><math>\alpha + \beta + \gamma =- \frac{b}{a}\ ,\ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha= \frac{c}{a}\ ,\ \alpha \beta \gamma =- \frac{d}{a}</math></center> |} 同様に、四次方程式の解と係数の関係（ヴィエタの公式）は<math>\alpha+\beta+\gamma+\delta=-\frac{a}{b}, \alpha\beta+\alpha\gamma+\alpha\delta+\beta\gamma+\beta\delta+\gamma\delta=\frac{c}{a}, \alpha\beta\gamma+\alpha\beta\delta+\alpha\gamma\delta+\beta\gamma\delta=-\frac{d}{a}, \alpha\beta\gamma\delta=\frac{e}{a}</math>である。 五次方程式以降でも同様の関係が成り立つ。 == コラム == === 複素数は「存在する」か？ === しばしば虚数は「現実には存在しない数」であると言われることがあり、歴史的にも虚数を扱った数学を考えるべきではないと考えられた時代は長かった。その時代の先進的な数学者の中には、虚数を有効に活用して研究を進める一方で、成果を発表する際には虚数を表に出さずに記述する努力をすることで、無用な抵抗を受けないように工夫した者もいたと言われるほどである。 だが、よく考えてみれば、数が「現実に存在する」とはどういう意味なのだろうか。現実に鉛筆を使って紙に円を描くならば、円周の長さを「正確に円周率そのものにする」ことは不可能であるように思われるが、その割に円周率という実数は「存在する」と感じられるのはなぜだろうか。数直線が実数の「実在」を信じさせるならば、複素数は複素数平面（数学Cで習う）の上に存在するのだから、同じではないだろうか。 このように考えると、そもそも数とはすべてある意味で想像上の存在であり、それに対して「存在する」「存在しない」という問いを立てることがナンセンスであるように思われる。「存在しない」ように思われがちな虚数であるが、たとえば物理学の一分野である量子力学のシュレディンガー方程式に表れるなど、応用上のさまざまな場面においても、虚数を使って記述することが自然な対象は多いのだ。 === 複素数には「大小関係がない」 === 複素数どうしについて、その大小関係は定義しない。その理由は、どのように大小関係を定義しても、便利な性質を満たすことができないからである。具体的に言えば、既に述べた実数の大小関係についての「不等式の基本性質(1)(2)(3)(4)」にあたる式を成り立たせることができないのだ。 たとえば、<math>a+bi<a'+b'i</math>であることを、<math>a^2+b^2<a'^2+b'^2</math>であることとして定義してみよう。このように定義すると、たとえば1+2i<2-3iであり、また2+3i<3+4iである。ところが、(1+2i)+(2+3i)=3+5i,(2-3i)+(3+4i)=5+iであり、3+5i>5+iとなってしまう。これは基本性質(2)が成り立たないことを意味する。 もちろんこれは適当に考えた定義がたまたま不適切だったというだけのことだが、実は、他にどのように定義してもこのような困難からは逃れられないことが知られている。それゆえに、複素数には大小関係を定義しないのである。 === 複素数の平方根 (※発展) === 今度は、複素数の平方根について考えてみよう。 正の数<math>a</math>を考えたとき、 :<math>a</math>の平方根は<math>\pm \sqrt{a}</math> :<math>-a</math>の平方根は<math>\pm \sqrt{a} i</math> では、 :<math>\pm a i</math>の平方根はどのように表せるだろうか。 虚数単位<math>i</math>の平方根を考えると、これはzについての方程式 <math>z^2 = i</math> の解 z の値であるから、これを解けばよい。どのような複素数zならこの式を満たすことができるだろうか。 zを複素数とすると、<math>z = x + yi</math>(x,yは実数)と表される。 <math>(x + yi)^2 = i \Leftrightarrow x^2 + 2xyi - y^2 = i \Leftrightarrow (x^2-y^2)+(2xy-1)i = 0</math> <math>x^2-y^2,2xy-1</math>は実数であるから、実部と虚部が共に０にならねばならないから、 <math>\begin{cases} x^2-y^2=0 (\Leftrightarrow x= \pm y ) \\ 2xy-1=0 \end{cases}</math> <math>x=y</math>のとき、<math>2x^2=1 \Leftrightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}},y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}</math> (複号同順。x,yは共に実数であるから、条件を満たす。) <math>x=-y</math>のとき、<math>-2y^2=1 \Leftrightarrow y^2=-\frac{1}{2}</math> ここで、これを満たす実数yは存在しないから不適。 よって、<math>z=\pm\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)</math>_■ *問題例 ** 問題 :<math>i \,\!</math>を虚数単位とするとき、次の問いに答えよ。 :(I) <math>-i,30i \,\!</math>の平方根を求めよ。 :(II) 2次方程式 <math>z^2 - 30i - 16 = 0 \,\!</math> を解け。 :(III) 3次方程式 <math>z^3 = i \,\!</math> を解け。 ** 解答 :(I) ::<math>\pm\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i\right) , \pm\left(\sqrt{15}+\sqrt{15}i\right)</math> :(II) ::<math>z=5+3i , -5-3i \,\!</math> :(III) ::<math>z=-i,\frac{i\pm\sqrt{3}}{2}</math> :今回挙げた問題は、全て<math>z=x+yi</math>(x,yは実数)と置くことで求められる。(III)は、<math>(x+yi)^3-i=x(x^2-3y^2)+(3x^2y-y^3-1)i=0</math>より、 実部がゼロを考慮して<math>x=0</math>か<math>x=\pm\sqrt{3}y</math>だが、虚部もゼロなので、xの値が前者のとき<math>y=-1</math>、後者のとき<math>y=1/2</math>となることがすぐにわかる。 === 高次方程式の「解の公式」 === 2次方程式には解の公式があり、日本の中学や高校でも習う。2次方程式の解の公式を用いれば、どんな係数の2次方程式であっても解を求められる。3次方程式と4次方程式にも、解の公式は存在し、係数がどんな係数であっても解を求められる。これらの解の公式は、[[代数方程式論]]で述べているように、係数に有限回の四則演算と根号をとる操作（'''代数的操作'''）の組み合わせで表すことができる。 5次方程式では、4次以下の方程式とは状況が異なる。一般の5次方程式の解は、2次方程式や4次方程式のように、係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせで表すことができないのである。ただし、「できない」ことの証明は容易ではない。このことを証明するには、[[ガロア理論]]を理解する必要がある（日本の大学の標準的なカリキュラムでは、理学部数学科の学生のみが大学3年生で学ぶのが一般的な程度の理論である）。 なお、ここで言う「表すことができない」とは一般の方程式についてのことであり、特別な5次方程式の場合は簡単に解が求められる。たとえば、<math> x^5 -32 = 0 </math> は解のひとつとして <math> x=2 </math> をもつことはすぐわかる。この方程式は他の解についても三角関数を用いて簡単に表せることを[[高等学校数学C/複素数平面]]において学ぶ。 「係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせ」に拘らなければ、一般の5次方程式の解を求める方法も存在するが、やや高度な数学を用いる必要がある。[[w:五次方程式]]に記述があるので興味のある読者は参照するとよい。 === 複素数と関数 === 高等学校で複素数が出てくる分野はこの分野と数学C「[[高等学校数学C/平面上の曲線|平面上の曲線]]と複素数平面」のみであり、複素数の基本計算や方程式を複素数範囲で解くこと、複素数の幾何学的意味について扱っている。しかし、大学数学においては、関数の定義域・値域を複素数範囲に広げて考える「[[複素解析学|複素関数論]]」というものを扱う。 実数範囲での関数はx, yともに一次元の実数軸を持つため、入力値と出力値の成すグラフを考えるには二次元の座標平面で十分であった。しかし、複素数範囲での関数はx, yともに二次元の複素数平面を持つため、入力値と出力値の成すグラフを考えるには四次元の座標空間が必要であり、三次元空間に住む我々には描画することができない。そのため、複素関数論では関数のグラフを考えることは基本的にない。（ただし、出力された複素数の絶対値を考えることによって三次元グラフに落とし込むことは可能） では何を考えるのかというと、複素関数の微分積分である。複素関数の微分に関連して「正則関数」という用語が出てくるが、複素関数論はこの正則関数というものの性質を調べる学問だと言って良い。 複素関数論は物理学の特に波動に関する分野（音・電磁気など）において活躍している。「波動方程式」や「インピーダンス」という言葉は有名だろう。 ちなみに、複素数をさらに拡張した数として「[[w:四元数]]」というものがある。この四元数は[[高等学校数学C/ベクトル|ベクトル]]や[[高等学校数学C/数学的な表現の工夫#行列を用いた表現とその演算|行列]]と深い関わりが存在しており、深掘ると面白いのだが、いささか冗長になるため割愛する。なお、四元数をさらに拡張した八元数や十六元数という数も研究されている。 == 演習問題 == {{DEFAULTSORT:こうとうかつこうすうかくII しきとしようめい}} [[Category:高等学校数学II|しきとしようめい]] 7ke3x8byfvhqd9mtlhqcw806b5o0pjv 305158 305157 2026-10-27T14:59:50Z ~2026-53584-59 92714 /* 三次式の因数分解 */ 305158 wikitext text/x-wiki {{pathnav|高等学校の学習|高等学校数学|高等学校数学II|pagename=式と証明・高次方程式|frame=1|small=1}} 本項は[[高等学校数学II]]の式と証明・高次方程式の解説である。 == 式と証明 == === 3次の乗法公式 === <math>(a+b)^3</math>を展開してみよう。 :<math>\begin{matrix} (a + b)^3 &=& (a + b)(a + b)^2 \\ &=& (a + b)(a^2 + 2ab + b^2) \\ &=& a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2) \\ &=& (a^3 + 2a^2b + ab^2) + (a^2b + 2ab^2 + b^3) \\ &=& a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3 \\ &=& a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \end{matrix}</math> この結果を使って、<math>(a-b)^3</math>を展開してみよう。 :<math>\begin{matrix} (a - b)^3 &= \{ a + (-b) \}^3 \\ &= a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3 \\ &= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \end{matrix}</math> <math>(a+b)(a^2 - ab + b^2)</math>を展開してみよう。 :<math>\begin{matrix} (a + b)(a^2 - ab + b^2) &=& a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2) \\ &=& a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 \\ &=& a^3 + b^3 \end{matrix}</math> この結果を使って、<math>(a-b)(a^2 + ab + b^2)</math>を展開してみよう。 :<math>\begin{matrix} (a-b)(a^2 + ab + b^2) &=& \{a + (-b) \}\{a^2 - a(-b) + (-b)^2 \} \\ &=& a^3 + (-b)^3 \\ &=& a^3 - b^3 \end{matrix}</math> {| style="border: 2px solid gold; width: 80%;" cellspacing=0 | style="background: gold;"| '''3次の乗法公式''' |- | style="padding: 5px;" | * <math>(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3</math> * <math>(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3</math> * <math>(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3</math> * <math>(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3</math> |} * 問題 次の式を展開しなさい。 # <math> (x+2)^3 </math> # <math> (3x-y)^3 </math> # <math> \left(x+4 \right)\,\left(x^2-4x+16 \right) </math> # <math> \left(3a-2b \right)\,\left(9a^2+6ab+4b^2 \right) </math> * 解答 # <br> <math>\begin{align} (x+2)^3 & = x^3 + 3 \times x^2 \times 2 + 3 \times x \times 2^2 + 2^3 \\ & = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \\ \end{align} </math> # <br> <math>\begin{align} (3x-y)^3 & = (3x)^3 - 3 \times (3x)^2 \times y + 3 \times 3x \times y^2 - y^3 \\ & = 27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3 \\ \end{align} </math> # <br> <math>\begin{align} \left(x+4\right)\,\left(x^2-4x+16\right) & = \left(x+4 \right)\,\left(x^2 - x \times 4 + 4^2 \right) \\ & = x^3 + 4^3 \\ & = x^3 + 64 \\ \end{align} </math> # <br> <math>\begin{align} \left(3a-2b \right)\,\left(9a^2+6ab+4b^2 \right) & = \left(3a-2b \right)\ \left\{(3a)^2 + 3a \times 2b + (2b)^2 \right\}\\ & = (3a)^3 - (2b)^3 \\ & = 27a^3 - 8b^3 \\ \end{align} </math> === 三次式の因数分解 === 三次式の展開公式より、 * <math>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)</math> * <math>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)</math> * <math>a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)</math> （参考） * <math>a^n - b^n = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 + \cdots + a^2b^{n - 3} + ab^{n - 2} + b^{n - 1})</math> * 問題 次の式を因数分解しなさい。 # <math> x^3 + 8 </math> # <math> 8a^3 - 27b^3 </math> # <math> x^6 - y^6 </math> * 解答 # <br> <math>\begin{align} x^3 + 8 & = \left(x + 2 \right)\,\left(x^2 - x \times 2 + 2^2 \right) \\ & = \left(x + 2 \right)\,\left(x^2 - 2x + 4 \right) \\ \end{align} </math> # <br> <math>\begin{align} 8a^3 - 27b^3 & = \left(2a - 3b \right)\,\{(2a)^2 + 2a \times 3b + (3b)^2 \} \\ & = \left(2a - 3b \right)\,\left(4a^2 + 6ab + 9b^2 \right) \\ \end{align} </math> # <br> <math>\begin{align} x^6 - y^6 & = (x^3)^2 - (y^3)^2 \\ & = \left(x^3 + y^3 \right)\,\left(x^3 - y^3 \right) \\ & = \left(x + y \right)\,\left(x^2 - x \times y + y^2 \right) \left(x - y \right)\,\left(x^2 + x \times y + y^2 \right) \\ & = \left(x + y \right)\,\left(x^2 - xy + y^2 \right) \left(x - y \right)\,\left(x^2 + xy + y^2 \right) \\ & = \left(x + y \right)\,\left(x - y \right)\ \left(x^2 - xy + y^2 \right) \left(x^2 + xy + y^2 \right) \\ \end{align} </math> === 二項定理 === {{Advanced|初等整数論/パスカルの三角形#二項定理}} <math>(a+b)^5 = (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)</math> について考えよう。この式を展開するとき、<math>a^2b^3</math> の係数は、右辺の5個の <math>(a+b)</math> から <math>a</math> を2回取る[[高等学校数学A/場合の数と確率#組合わせ|組合せ]]に等しいから <math>{}_5 \! \mathrm{C}_2 = 10</math> である。 この考えを拡張して :<math>(a+b)^n = \underbrace{(a+b)(a+b)(a+b)\cdots(a+b)}_n</math> を展開する。<math>a^rb^{n-r}</math>の項の係数は、右辺の <math>n</math> 個の <math>(a+b)</math> から <math>a</math> を <math>r</math> 回取る組合せに等しいから <math>{}_n \! \mathrm{C}_r</math> である。 よって、次の式が得られる： :<math>\begin{align}(a+b)^n &= {}_n \! \mathrm{C}_0 a^n + {}_n \! \mathrm{C}_1 a^{n-1}b + {}_n \! \mathrm{C}_2 a^{n-2}b^2 + \cdots \\ &+ {}_n \! \mathrm{C}_r a^{n-r}b^r + \cdots + {}_n \! \mathrm{C}_n b^n \\ &= \sum _{r = 0}^n {}_n \! \mathrm{C}_r a^r b^{n-r}. \\ \end{align}</math> 最後の<math>\sum</math>は[[高等学校数学B/数列|数Bの数列]]で学ぶ総和記号である。 この関係を '''二項定理'''（binomial theorem） 、それぞれの項に掛かる係数<math>{}_n \! \mathrm{C}_r</math>を'''二項係数'''（binomial coefficient） と呼ぶ。二項係数は<math>\begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix}</math>とも書く。 *例題 (I) :<math>(x+1) ^4</math> (II) :<math>(a + 3) ^ 5</math> (II) :<math>(a + b) ^ 5</math> をそれぞれ計算せよ。 *解答 二項定理を用いて計算すればよい。実際に計算を行なうと、<br> (I) :<math>x^4+4\,x^3+6\,x^2+4\,x+1</math> (II) :<math>a^5+15\,a^4+90\,a^3+270\,a^2+405\,a+243</math> (III) :<math>b^5+5\,a\,b^4+10\,a^2\,b^3+10\,a^3\,b^2+5\,a^4\,b+a^5</math> となる。 *例題 全ての自然数nに対して<br> (I) :<math>2^n = \sum_{k=0}^n {}_n \! \mathrm{C}_k </math> (II) :<math>3^n = \sum_{k=0}^n 2^k {}_n \! \mathrm{C}_k </math> (III) :<math>0 = \sum_{k=0}^n (-1)^k {}_n \! \mathrm{C}_k </math> が成り立つことを示せ。 * 解答 二項定理 :<math>(a+b)^n = \sum_{k = 0}^n {}_n \! \mathrm{C} _k a^k b^{n-k}</math> についてa,bに適当な値を代入すればよい。<br> (I) <math>a=1, b=1</math>を代入すると :<math>(1+1)^n = \sum_{k=0}^n {}_n \! \mathrm{C}_k </math> :<math>2^n = \sum_{k=0}^n {}_n \! \mathrm{C}_k </math> となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。<br> (II) <math>a=2, b=1</math>を代入すると :<math>(1+2)^n = \sum_{k=0}^n {}_n \! \mathrm{C}_k 2^k</math> :<math>3^n = \sum_{k=0}^n {}_n \! \mathrm{C}_k 2^k</math> となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。<br> (III) <math>a=1,b=-1</math>を代入すると :<math>(1-1)^n = \sum_{k=0}^n {}_n \! \mathrm{C}_k (-1)^k</math> :<math>0 = \sum_{k=0}^n {}_n \! \operatorname{C}_k (-1)^k</math> となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。 ==== 多項定理 ==== 二項定理を拡張して <math>(a+b+c)^n</math> を展開することを考えよう。<math>a^pb^qc^r</math> <math>(p+q+r = n)</math> の項の係数は <math>n</math> 個の <math>(a+b+c)</math> から <math>p</math> 個の <math>a</math>、<math>q</math> 個の <math>b</math> 、 <math>r</math> 個の <math>c</math> を選ぶ組合せに等しいから <math>\frac{n!}{p!q!r!}</math> である。 一般には[[高等学校数学A/場合の数と確率#同じものを含む順列|同じものを含む順列]]と一致する。 === 整式の除法、分数式 === ここでは、整式の除法と分数式について扱う。整式の除法は、整式を整数のように扱い除法を行なう計算手法のことである。実際に整数の除法と整式の除法には深い繫がりがある。整式の因数分解を考えるとそれ以上因数分解できない整式が存在する。この整式を整数でいう素因数のように扱うことで整式の素因数分解が可能になる。 上では、整式が整数に対応する性質を持つことを述べた。整数については[[高等学校数学A/数学と人間の活動#最小公倍数・最大公約数|互いに素]]な2つの整数を取ることで有理数を定義することが出来る。整式に対しても同じ事が成立し、そのような式を分数式と呼ぶ。 ==== 整式の除法 ==== 分数を用いないときには、整数の除法は商と余りを用いて定義された。この時、割られる数Bは商Dと割る数A、余りRを用いて :<math>B = AD + R</math> と表される。 整式に対しても同様に、割られる式<math>B(x)</math>が割る式<math>A(x)</math>を用いて :<math>B(x) = A(x)D(x) + R(x)</math> と書かれるとき、<math>D(x)</math>を商、<math>R(x)</math>を余りという。 この時、整数の除法の性質<math>R<A</math>に対応して、<math>R(x)</math>の次数<math><A(x)</math>の次数が成立する。具体例として、<math>x+1 \div x</math>を考える。割る式の次数が1であることから余りの次数は0なので余りは定数である。また、商の次数が1以上であると :<math>B(x) = A(x)D(x) + R(x)</math> と右辺にxの2次以上の項が現われ左辺と一致しなくなる。よって商は定数である。商をa、余りをrとすると上の式は、 :<math>x+1 = ax + r</math> となるが、これは<math>a=r=1</math>で成立する。よって商1,余り1である。 より高次の式に対しても同様である。 例として、 :<math>x^3 \div (x^2 -1)</math> を考える。 この場合、 :<math>B(x) = A(x)D(x) + R(x)</math> で、<math>B(x)</math>が3次式、<math>A(x)</math>が2次式であることから、<math>D(x)</math>は1次式であり、また、<math>R(x)</math>は2次より小さいことから1次以下の式になる。ここで、<math>D(x)=ax+b,R(x)=cx+d</math>とおくと、 :<math>x^3 = (x^2-1) (ax+b) + (cx +d)</math> が得られる。右辺を展開すると :<math>x^3 = ax^3 + b x^2 + (-a +c )x + (-b +d)</math> が得られるが、[[#恒等式|xにどんな値を入れてもこの等式が成り立たなければならない]]ので、<math>\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \\ -a +c = 0 \\ -b +d = 0 \end{cases}</math>が得られ、結局<math>a=c=1, b=d=0</math>が得られる。 <!-- <math> x^3 \div (x^2 -1) </math> のような式を考える。 この式について、 <math> x^3 = x(x^2 - 1) +x </math> と書くことが出来るが、これは <math>x^3</math> を <math>x^2-1</math> で割った結果、 商<math>x</math> ,余り <math>x</math> がでたものと解釈できる。 このように、整式どうしで割り算をすることが出来る。 このとき、割る式は割られる式より低次か同じ次数でなくてはならない。 また、余りは必ず割る式よりも低次の式になる。 --> この方法はどの除法に対しても用いることが出来るが、次数が高くなると計算が難しくなる。整数の場合と同様、整式の除法でも筆算を用いることが出来る。上の例を用いて結果だけを書くと、 *図 のようになる。)右に書かれた式が割られる式であり、)左に書かれた式が割る式である。--の一番上に書かれた式は商であり、整数の割り算同様左に書かれた数から順に割っていく。ここでは次数が大きい項がより先に計算される項である。割られる式の下にある式は商の第1項を割る式にかけて得る式である。ここでは、<math>x(x^2-1)</math>で、<math>x^3-x</math>となる。ただし、整数の除法と同様、位をそろえなくてはならない。その後、割られる式から<math>x^3-x</math>を引き、残った式を新しい割られる式として扱う。ここでは、得た式が割る式よりも低次であることから、これで計算は終了である。 例題 :<math>x^3 + 2x ^2 +1</math>、<math>x ^4 + 4x^2 +3x +2</math>をそれぞれ<math>x^2 +2x +6</math>で割った商と余りを求めよ。 <!-- 更に、 (I) :<math> (x ^4 + 2x^3 - 5x^2 +6x -1) \div (x^2 -5x -1 ) </math> (II) :<math> (3 x ^4 - 7x^3 + x^2 +2x -1) \div (x^2 -3x -4 ) </math> (III) :<math> (2x^5 +3 x ^4 - 7x^3 + x^2 +2x -1) \div (x^2 +7x -4 ) </math> (IV) :<math> (2x^5 +3 x ^4 - 7x^3 + x^2 +2x -1) \div (x^3 +4x^2 +7x -4 ) </math> を計算せよ。 問題が多いので、とりあえずコメントアウト。 --> ** 解答 この計算はアニメーションを使って詳しく表示されている。計算には整数の場合の筆算と同じような手法が使える。 [[画像:Fract.gif|frame|right|計算のアニメーション]] :<math>x^3 + 2x ^2 +1=(x^2 +2x +6) x +(1-6x)</math> が得られるので、 :商<math>x</math>、余り<math>-6x +1</math>である。 2つ目の式については :<math>x ^4 + 4x^2 +3x +2=(x^2 - 2x+2)* (x^2 +2x +6)+ 11x -10</math> が得られるので、 :商<math>x^2 - 2x+2</math>、余り<math>11x -10</math>である。 <!-- 更に、残りの計算結果は、 (I) :<math> \left[ x^2+7\,x+31,168\,x+30 \right] </math> (II) :<math> \left[ 3\,x^2+2\,x+19,67\,x+75 \right] </math> (III) :<math> \left[ 2\,x^3-11\,x^2+78\,x-589,4437\,x-2357 \right] </math> (IV) :<math> \left[ 2\,x^2-5\,x-1,48\,x^2-11\,x-5 \right] </math> が得られる。 ただし、左が商、右が余りとなっている。 --> ==== 分数式 ==== ここまでで整式を整数のように扱い、整式の除法を行なう方法について述べた。ここでは、整式に対して分数式を定義する方法について述べる。分数式とは、整数に対する分数のように除法によって生じる式である。ここで、除法を行なう式はどのようなものでも差し支えない。分数式では、分子に割られる式を書き、分母に割る式を書く。例えば、 :<math>\frac {x+1}{x^2+4}</math> は、分子x+1、分母<math>x^2+4</math>の分数式である。分数式の分母を分母式、分子を分子式という。分数式に対しても約分や通分が存在する。約分は分子式・分母式に共通因数を持った分数式で用いられる。この時には分子分母を共通因数で割り、式を簡単にすることが出来る。通分は分数式の加法の時によく用いられるが、分母分子に同じ整式を掛けても分数式が変化しない性質を用いる。 *例題 :<math>\frac {x^2 -1} {x^3 -1}</math> を簡単にせよ。また、 :<math>\frac {x+1}{x^2 +2x + 3}+ \frac {2x + 5} {x^2 +1}</math> を計算せよ。 *解答 :<math>\frac {x^2 -1} {x^3 -1}</math> について分子と分母を因数分解すると、双方共に :<math>x-1</math> を因数として含んでいることが分かる。このとき、共通因数は約分され、 :<math>\frac {x^2 -1} {x^3 -1}</math> :<math>= \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)}</math> :<math>= \frac{x+1} { x^2+x+1}</math> となる。 次の問題では、 :<math>\frac {x+1}{x^2 +2x + 3}+ \frac {2x + 5} {x^2 +1}</math> を計算する。このとき両辺の分母を揃える必要があるが、今回については単純にそれぞれの分数式の分子と分母に各々の分母をかけて分母を統一すればよい。計算すると、 :<math>\frac {x+1}{x^2 +2x + 3}+ \frac {2x + 5} {x^2 +1}</math> :<math>= \frac{(x+1)(x^2+1)}{(x^2 +2x + 3)(x^2+1)}+\frac{(x^2 +2x + 3)(2x + 5)}{(x^2 +2x + 3)(x^2+1)}</math> :<math>= \frac{(x+1)(x^2+1)+(x^2 +2x + 3)(2x + 5)}{(x^2 +2x + 3)(x^2+1)}</math> :<math>= \frac {3x^3 +10x^2 + 17 x + 16}{(x^2 +2x + 3)(x^2+1)}</math> となる。 分数式の乗法は、分子分母を別々に掛ければよい。 *例題 次の計算をせよ。 (I) :<math>\frac {x^2 - y^2} {x^2 - 2xy + y^2} \times \frac {x-y} {x^2 + xy}</math> (II) :<math>\frac {x^2 + 4x + 3}{x^2 - 6x + 9} \div \frac {x^2 - 3x - 4} {x^2 - x - 6}</math> * 解答 (I) :<math>\frac {x^2 - y^2} {x^2 - 2xy + y^2} \times \frac {x-y} {x^2 + xy}</math> :<math>= \frac {(x+y)(x-y)} {(x-y)^2} \times \frac {x-y} {x(x+y)}</math> :<math>= \frac {(x+y)(x-y)(x-y)} {(x-y)^2\ x(x+y)}</math> :<math>= \frac {1} {x}</math> (II) :<math>\frac {x^2 + 4x + 3}{x^2 - 6x + 9} \div \frac {x^2 - 3x - 4} {x^2 - x - 6}</math> :<math>= \frac {x^2 + 4x + 3}{x^2 - 6x + 9} \times \frac {x^2 - x - 6} {x^2 - 3x - 4}</math> :<math>= \frac {(x+1)(x+3)} {(x-3)^2} \times \frac {(x+2)(x-3)} {(x+1)(x-4)}</math> :<math>= \frac {(x+1)(x+3)(x+2)(x-3)} {(x-3)^2\ (x+1)(x-4)}</math> :<math>= \frac {(x+3)(x+2)} {(x-3)(x-4)}</math> ===== 部分分数分解 ===== 分母が積の形である分数式を二つの分数式の和や差で表された式に変形する操作を'''部分分数分解'''という。 *問題例 <Math> \frac{1}{x (x+1)} </Math>と<Math>\frac{1}{(x+1)(x+3)}</Math>を分数式の和または差の形で表せ。 *解答 :<Math>\frac{1}{x(x+1)} = \frac{(x+1)-x}{x(x+1)}</Math> と変形できるので :<Math>\frac{x+1}{x(x+1)} - \frac{x}{x(x+1)}</Math> となり、約分すると :<Math>\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}</Math> となる。 次の問題では、 :<Math>\frac{1}{(x+1)(x+3)} = \frac{1}{(x+3) - (x+1)} \cdot \frac{(x+3) - (x+1)}{(x+1)(x+3)}</Math> と変形することによって :<Math>\frac{1}{2} \{ \frac{x+3}{(x+1)(x+3)} - \frac{x+1}{(x+1)(x+3)} \}</Math> となり、 :<Math>\frac{1}{2} (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3}) </Math> と求まる。 部分分数分解の操作を逆に辿ると、分数式の通分の操作と一致する。 つまり、'''部分分数分解は通分の逆の操作'''である。 分子が定数の場合には、上と同様の方法で部分分数分解することができる。 *問題 **以下の分数式を部分分数分解せよ **#<Math>\frac{3}{(x-9)(x-4)}</Math> **#<Math>\frac{7}{(3x-1)(5-2x)}</Math> *解答 1. <Math>\frac{3}{(x-9) (x-4)} </Math> :<Math>= \frac{3}{(x-4) - (x-9)} \cdot \frac{(x-4) - (x-9)}{(x-9)(x-4)}</Math> :<Math>= \frac{3}{5}\{ \frac{x-4}{(x-9)(x-4)} - \frac{x-9}{(x-9)(x-4)} \}</Math> :<Math>= \frac{3}{5} ( \frac{1}{x-9} - \frac{1}{x-4} )</Math> 2. <Math>\frac{7}{(3x-1)(5-2x)}</Math> :<Math>= \frac{-7}{(3x-1)(2x-5)} </Math> :<Math>= \frac{-7}{(3x-1) - (2x-5)} \cdot \frac{(3x-1) - (2x-5)}{(3x-1)(2x-5)} </Math> :<Math>= \frac{-7}{2(3x-1) - 3(2x-5)} \cdot \frac{2(3x-1) - 3(2x-5)}{(3x-1)(2x-5)} </Math> :<Math>= \frac{-7}{(6x-2) - (6x-15)} \{ \frac{2(3x-1)}{(3x-1)(2x-5)} - \frac{3(2x-5)}{(3x-1)(2x-5)} \}</Math> :<Math>= - \frac{7}{13} (\frac{2}{2x-5} - \frac{3}{3x-1})</Math> :<Math>= \frac{7}{13} (\frac{3}{3x-1} - \frac{2}{2x-5})</Math> 部分分数分解は数列の和の計算、積分計算、微分を利用した不等式の証明等に役立つ、重要な変形である。 === 式の証明 === ==== 恒等式 ==== 等式 <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math>は、文字<math>a,b</math>にどのような値を代入しても成り立つ。このような等式を'''{{ruby|恒等|こうとう}}式'''という。 等式<math>\frac {1}{x-1} + \frac {1}{x+1} = \frac {2x}{x^2-1}</math>は両辺とも<math>x=1,-1</math>を代入できないが、その他の値であればどのような値であっても代入できる且つ等式が成り立っている。これも恒等式と呼ぶ。 一方、<math>x^2 - x - 2 = 0</math> は、 <math>x=2, -1</math>を代入したときだけ成り立つ。このように、特定の値を代入したときにだけ成り立つ式のことを'''方程式'''と呼び、恒等式とは区別する。 等式 <math>ax^2+bx+c=0</math> が <math>x</math> についての恒等式であるのはどのような場合か、考えてみよう。 ある式が「 <math>x</math> についての恒等式である」とは、この式の<math>x</math> にどのような値を代入しても、この等式は成り立つという意味である。なので、例えば <math>x</math> に<math>-1\ ,\ 0\ ,\ 1</math> を代入した式 :<math>a-b+c=0</math> :<math>c=0</math> :<math>a+b+c=0</math> はすべて成り立つ必要がある。これを解くと :<math>a=b=c=0</math> なので、等式 <math>ax^2+bx+c=0</math> が <math>x</math> についての恒等式になるならば、<math>a=b=c=0</math>でなければならないことがわかる。 一般に、等式 <math>ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'</math> が恒等式であることと、<math>(a-a')x^2+(b-b')x+(c-c')=0</math> が恒等式であることは同値である。<br> よって :<math>ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'</math> が<math>x</math>についての恒等式 　<math>\iff</math>　 <math>a=a' \land b=b'\land c=c'</math> 纏めると次のようになる。 {| style="border:2px solid yellow;width:fit-content" cellspacing=0 |style="background:yellow"|'''恒等式の性質''' |- |style="padding:5px"| <math>P\ ,\ Q</math> を <math>x</math> についての多項式または単項式とする。 ::<math>P=0</math> が恒等式 　<math>\iff</math> 　 <math>P</math>の各項の係数はすべて<math>0</math>である。 ::<math>P=Q</math> が恒等式 　<math>\iff</math> 　 <math>P</math>と <math>Q</math> の次数は等しく、両辺の同じ次数の項の係数はそれぞれ等しい。 |} 一般に、ある式が恒等式であるための必要十分条件を'''恒等条件'''という。 *例題 次の等式が <math>x</math> についての恒等式となるように、<math>a\ ,\ b\ ,\ c</math> の値を求めよ。 :<math>x^2-3=a(x-1)^2+b(x-1)+c</math> * 等式の右辺を <math>x</math> について整理すると :<math>a(x-1)^2+b(x-1)+c=ax^2-2ax+a+bx-b+c=ax^2+(-2a+b)x+(a-b+c)</math> :<math>x^2-3=ax^2+(-2a+b)x+(a-b+c)</math> この等式が <math>x</math> についての恒等式となるのは、両辺の同じ次数の項の係数が等しいときである。よって :<math>a=1</math> :<math>-2a+b=0</math> :<math>a-b+c=-3</math> これを解くと :<math>a=1\ ,\ b=2\ ,\ c=-2</math> ; '''複雑な部分分数分解'''（発展） 恒等式を利用することで、複雑な分数式の部分分数分解ができる。 *問題例 **以下の分数式を部分分数分解せよ **#<Math>\frac{3x-5}{(x+2)(2x-1)}</Math> **#<Math>\frac{1}{(x-1)^2 (x-2)}</Math> *解答 :<Math>\frac{3x-5}{(x+3)(2x-1)} = \frac{a}{2x-1} + \frac{b}{x+3}</Math> と置く。 分母を払って :<Math>3x-5 = a(x+3) + b(2x-1)</Math> すなわち :<Math>3x-5 =(a+2b)x + (3a-b) </Math> これが<Math>x</Math>の恒等式なので、係数を比較して :<Math>a+2b=3</Math>かつ<Math>3b-a=-5</Math> すなわち :<Math>a=-1, b=2</Math> 最初の等式に代入して、 :<Math>\frac{3x-5}{(x+3)(2x-1)} = \frac{-1}{2x-1} + \frac{2}{x+3}</Math> :<Math>= \frac{2}{x+3} - \frac{1}{2x-1}</Math> 次の問題は、 :<Math>\frac{1}{(x-1)^2 (x-2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{(x-1)^2} + \frac{c}{x-2}</Math> とおくことにより、上の問題と同様にして :<Math>a=-1, b=-1, c=1</Math> と求まるので、 :<Math>\frac{1}{(x-1)^2 (x-2)} = - \frac{1}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{x-2}</Math> :<Math>= \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2}</Math> '''恒等式を利用した部分分数分解''' 求めたい数字を<Math>a,b,c</Math>とおく。 1. <Math>\frac{px+q}{(x+m)(x+n)} = \frac{a}{x+m} + \frac{b}{x+n}</Math> 2. <Math>\frac{px+q}{(x+m)^2} = \frac{a}{x+m} + \frac{b}{(x+m)^2}</Math> 3. <Math>\frac{px^2 + qx + r}{(x+m)^2 (x+n)} = \frac{a}{x+m} + \frac{b}{(x+m)^2 } + \frac{c}{x+n}</Math> 4. <Math>\frac{px^2 + qx + r}{(x+m)(x^2 + nx + l)} = \frac{a}{x+m} + \frac{bx+c}{x^2 + nx + l}</Math> このようにおいた式を<Math>x</Math>の恒等式と見ることによって、<Math>a,b,c</Math>を求められ、部分分数分解ができる。 その他の場合についても、因数分解や代入を利用することで分解できる場合がある。 *問題 <math>\frac{1}{(s^2-4)(s^2+2s-3)}</math>を部分分数分解せよ。 なお、上に示した部分分数分解の形では、「分母の因数ごとに分子の式を(因数の次数-1)次式と置いて全ての因数について足して」いる。この考え方を用いれば上の型に当て嵌まらない部分分数分解も計算できる。 ; '''2つの文字についての恒等式'''（発展） *例 a~fを定数とする。 <Math>ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0</Math>がx, yについての恒等式だとする。 左辺をxについて整理すると、<Math>ax^2+(cy+d)x+(by^2+ey+f)=0</Math>である。 これがxについての恒等式なので、<Math>a=0, cy+d=0, by^2+ey+f=0</Math>が成り立つ。 これらは更にyについての恒等式なので、以下の等式が得られる。 :<Math>a=b=c=d=e=f=0</Math> 逆に、これが成り立てば元の式は明らかにx, yについての恒等式である **問題 <Math>x^2+axy+6y^2-x+5y+b = (x-2y+c)(x-3y+d)</Math>がx,yについての恒等式となるようにa,b,c,dを定めよ。 ==== 等式の証明 ==== 先程紹介した「恒等式」という言葉を使って「証明」の意味を説明するなら、「等式を証明する」とは、その式が恒等式であることを示すことである。 一般に、等式 A＝B を証明するためには、次のような手順のいずれかを実行すればよい。 :(1)　　Aを式変形してBを導くか、または Bを変形してAを導く。 :(2)　　A,Bをそれぞれ変形して、同じ式Cを導く。 :(3)　　A-B＝0 を示す。 このとき、変形は'''同値変形でなければならない'''ことに注意。 * 例題 :<math>(a+b)^2-(a-b)^2 = 4ab</math> が成り立つことを証明せよ。 *解答 左辺を展開すると :(<math>(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2) = a^2+2ab+b^2 - a^2+2ab-b^2=4ab</math> となり、これは右辺に等しい。（終） * 例題 :<math>(x+y)^2+(x-y)^2 = 2(x^2+y^2)</math> が成り立つことを証明せよ。 *解答 左辺を計算すると、 :<math> (x^2+2xy+y^2)+(x^2-2xy+y^2) = x^2+2xy+y^2 + x^2-2xy+y^2 = 2x^2+2y^2 =2(x^2+y^2) </math> これは右辺に等しい。（終） *例題 次の等式が成り立つことを証明せよ。<br> (I) :<math>(6 a + 7 b )^2 + (7 a - 6 b )^2 = (9 a + 2 b )^2 + (2 a - 9 b )^2</math> *解答 (I) :<math>\mathrm{lhs} = (36 a^2 + 84 a b + 49 b^2) + (49 a^2 - 84 a b + 36 a^2) = 85 a^2 + 85 b^2</math> :<math>\mathrm{rhs}= (81 a^2 + 36 a b + 4 b^2) + (4 a^2 - 36 a b + 81 b^2) = 85 a^2 + 85 b^2</math> 両辺とも同じ式になるから :<math>(6 a + 7 b )^2 + (7 a - 6 b )^2 = (9 a + 2 b )^2 + (2 a - 9 b )^2</math> 恒等式でないときも、与えられた条件から等式を証明することができる。 *例題 <Math>a+b+c=0</Math>のとき、<Math>a^3+b^3+c^3=3abc</Math>であることを証明せよ。また、<Math>a:b=c:d</Math>のとき、<Math>\frac{a+c}{b+d} = \frac{a-c}{b-d}</Math>を証明せよ。 *解答 :<Math>a+b+c=0 \iff c=-(a+b)</Math> より、 :<Math>a^3+b^3+c^3-3abc = a^3+b^3-(a+b)^3+3ab(a+b)</Math> :<Math>= a^3+b^3-(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)+3a^2b+3ab^2</Math> :<Math>=0</Math> よって、<Math>a^3+b^3+c^3=3abc</Math>である。 また、 :<Math>a:b=c:d \iff \frac{a}{b} = \frac{c}{d}</Math> より、上式の右辺をkとおくと、 :<Math>a=bk, c=dk</Math> なので、 :<Math>\frac{a+c}{b+d} = \frac{bk+dk}{b+d} = \frac{k(b+d)}{b+d} = k</Math> :<Math>\frac{a-c}{b-d} = \frac{bk-dk}{b-d} = \frac{k(b-d)}{b-d} = k</Math> よって、<Math>\frac{a+c}{b+d} = \frac{a-c}{b-d}</Math>である。 なお、比<Math>a:b</Math>について<Math>\frac{a}{b}</Math>を'''比の値'''という。また、<Math>a:b=c:d \iff \frac{a}{b} = \frac{c}{d}</Math>を'''比例式'''という。 <Math>\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}</Math>が成り立つとき、<Math>a:b:c=x:y:z</Math>と表す。これを'''連比'''という。 *問題 **<Math>a:b:c=1:2:3</Math>のとき、<Math>a+b+c=24</Math>を満たす<Math>a,b,c</Math>を求めよ。 ==== 不等式の証明 ==== 不等式の様々な公式については、次の4つの式を基本的な式として導出できる場合がよくある。 高校数学では、次の4つの性質が 不等式の「基本性質」などとして紹介されている。 {| style="border:2px solid skyblue; width:fit-content" cellspacing=0 |style="background:skyblue"|'''不等式の基本性質''' |- |style="padding:5px"| :(1)　　<math> a>b \land b>c \implies a>c </math> :(2)　　<math> a>b \implies a \pm c>b \pm c</math> :(3)　　<math> a>b \land c>0 \implies ac>bc \land \frac{a}{c} > \frac{b}{c} </math> :(4)　　<math> a>b \land c<0 \implies ac<bc \land \frac{a}{c} < \frac{b}{c} </math> |} (3)と(4)については、一つの性質として 纏める文献もある。 上述の4つの基本性質から、 :<math>a>0, b>0 \implies a+b > 0</math> を証明してみよう。 *証明 まず <math>a>0</math> なので、基本性質(2)より :<math>a+b > b</math> である。 よって :<math> a+b>b \land b>0 </math> なので、基本性質(1)より<math> a+b>0 </math> が成り立つ。（終） 同様にして、 :<math>a<0, b<0 \implies a+b < 0</math> を証明できる。 ここまでに示したことから、不等式 <math> A \geqq B </math> を証明したい場合には、 : <math> A-B \geqq 0 </math> を証明すればよいことがわかった。こちらの方が証明しやすい場合がよくある。 不等式を証明する際に根拠とする基本的な不等式として、次の性質がある。 {| style="border:2px solid skyblue; width:fit-content" cellspacing=0 |style="background:skyblue"|'''実数の2乗の性質''' |- |style="padding:5px"| :<math>\forall a \in \mathbb{R}, a^2 \geqq 0</math> 等号成立は、 <math>a = 0</math> の場合だけである。 |} この定理（「全ての実数についてその2乗は非負」）を、基本性質(3),(4)を使って証明してみよう。 '''（証明）''' aが正の場合と負の場合と0の場合の3通りに場合わけする。 '''<nowiki>[aが正の場合]</nowiki>''' <br> このとき、基本性質(3)より、 :<math> aa>0a </math> である。すなわち、 :<math> a^2 > 0 </math> である。 '''<nowiki>[aが負の場合]</nowiki>'''<br> このとき、基本性質(4)より <math>0a < aa </math> である。すなわち、 : <math> a^2 > 0 </math> である。 '''<nowiki>[aがゼロの場合]</nowiki>''' <br> このとき、 <math>a^2=0</math> である。 よって、すべての場合について<math>a^2 \geqq 0</math> (終) このことと基本性質(1)(2)より、次が成り立つこともわかる。 {| style="border:2px solid skyblue; width:fit-content" cellspacing=0 |style="background:skyblue"|'''実数の2乗同士の和の性質''' |- |style="padding:5px"| 任意の実数a,b について、<math>a^2 \geqq 0</math>, 　<math>b^2 \geqq 0</math>より :<math>a^2+b^2 \geqq 0</math> が成り立つ。 等号成立条件は<math>a^2 = b^2 = 0</math>、つまり<math>a=b=0</math> の場合だけである。 |} * 例題 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 :<math>x^2 + 10 y^2 \geqq 6 x y</math> *解答 :<math>(x^2 + 10 y^2) -(6 x y) \geqq 0</math> を証明すればよい。 左辺を展開して纏めると :<math>(x^2 + 10 y^2) - 6xy = x^2 - 6 x y + 9 y^2 + y^2 = (x - 3 y)^2 + y^2</math> となる。 上式の最後の式の項について、 :<math>(x - 3 y)^2 \geqq 0 , \quad y^2 \geqq 0</math> より :<math>(x - 3 y)^2 + y^2 \geqq 0</math> である。よって :<math>x^2 + 10 y^2 \geqq 6 x y</math> （終） ===== 根号を含む不等式 ===== 2つの正の数 a,　b がa≧b ならば、両辺を2乗しても大小関係は同じままである。 つまり、 : <math> a>0 </math>,　<math> b>0 </math> のとき : <math> a > b \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 > b^2 </math> : <math> a > b \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 > b^2 </math> これを証明するには、<math> a^2 - b^2 </math> を調べればよい。 :<math> a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) </math> である。 a>bとする。仮定より、a,b は正の数なので、<math> (a+b)>0 </math> であり、別の仮定より、 a > b なので、<math> (a-b)>0 </math> でもある。よって、<math> a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) >0 </math> 逆に、<math>a^2-b^2>0</math>のとき、<math>(a+b)(a-b)>0</math>であり、<math>a>0,b>0</math>なので<math>a+b>0</math>である。よって、<math>a-b>0</math>なので、<math>a>b</math>である。 よって、<math> a > b \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 > b^2 </math> である。 <math>a=b</math>の場合は明らかに<math>a^2=b^2</math>なので、全ての場合について<math>a \geqq b (> 0) \iff a^2 \geqq b^2</math>が確かめられた。 ---- *例題 <math> a>0, b>0 </math> のとき、次の不等式を証明せよ。 ::<math> \sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b} </math> *解答 不等式の両辺は正であるので、両辺の平方の差を考えればよい。両辺の平方の差は :<math>( \sqrt{a} + \sqrt{b} )^2 - ( \sqrt{a+b} )^2 = a + 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + b - (a+b) 2 \sqrt{ab} </math> である。ここで、a,b はともに正の実数なので、 ::<math> \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab} </math> であることを用いた。 :<math> \sqrt{ab} > 0</math> であるので、 :<math>( \sqrt{a} + \sqrt{b} )^2 - ( \sqrt{a+b} )^2 > 0 </math> となる。よって、 :<math> \sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b} </math> である。（終） ===== 絶対値を含む不等式 ===== 実数 <math>a</math> の絶対値 <math>|a|</math> について、 : <math>a \geqq 0 \implies |a|=a</math> : <math>a<0 \implies |a|= -a</math> であるから、次のことが成り立つ。 :<math>|a|^2=a^2</math> また、2つの実数 a, b の絶対値 |ab| については、 : <math>|ab|^2= (ab)^2= a^2 b^2 = |a|^2 |b|^2 = (|a| |b|)^2</math> が成り立つので、これにさらに <math>|ab|\geqq0 ,|a||b|\geqq0 </math>を組み合わせて、 :<math>|ab| = |a| |b| </math> が成り立つ。 *例題 次の不等式を証明せよ。また、等号成立条件を 調べよ。 ::<math>|a|+|b| \geqq |a+b|</math> *解答 両辺の平方の差を考えると、 :<math>(|a|+|b|)^2 - |a+b|^2 = |a|^2 + 2|a| |b| + |b|^2 -(a^2 + 2ab + b^2 )</math> :<math>= a^2 + 2|a| |b| + b^2 -a^2 - 2ab - b^2</math> :<math>= 2|a| |b| - 2ab</math> :<math>= 2 ( |a| |b| - ab )</math> これがもし正なら、与えられた不等式 <math>|a|+|b| \geqq |a+b|</math> が正しい。 ここで、 <math>|a| |b| \geqq ab</math> であるので、 :<math> ( |a| |b| - ab ) \geqq 0</math> である。 したがって、 <math>|a|+|b| \geqq |a+b|</math> である。 等号が成り立つのは <math>|a| |b| = ab</math> の場合、すなわち <math>ab \geqq 0</math> の場合である。 （終） {{コラム|三角不等式| なお :<math>|a|-|b| \leqq |a+b| \leqq |a|+|b| </math> の関係式のことを「三角不等式」という。 }} ==== 相加平均・相乗平均 ==== 2つの数<math>a</math>,<math>b</math>に対し、<math>\frac{a+b}{2}</math>を'''{{ruby|相加|そうか}}平均'''、<math>\sqrt{ab}</math>を'''{{ruby|相乗|そうじょう}}平均'''という。 {{コラム|相乗平均の例と3つ以上のものの平均| 平均は、3つ以上のものにも定義される。3つ以上のn個のものの相加平均は <math>\frac{a_1 + a_2 + \cdots +a_n }{n}</math> で定義される。 :平均を考える際、つい相加平均ばかりを考えがちだが、以下のような状況では相乗平均の方が適切である。 ::「ある企業では、2015年度の売上を基準にすると、2016年度では前年（2015年）の1.5倍の売上になりました。2017年度では、前年（2016年）の2倍の売上になりました。平均として、一年ごとに何倍の売り上げになっていったでしょうか？ 」 :（答）<math>\sqrt{1.5 \times 2} = \sqrt{3} \fallingdotseq 1.73</math> より、約 1.73倍。 :また、この応用例は、項が3つ以上の場合の相乗平均の定義の仕方も、示唆している。もし読者が[[高等学校数学II/指数関数・対数関数|指数関数]]を知っているなら、項が3つ（ここでは a, b, c とする）の場合の相乗平均は、 ::（3つの項の相乗平均）＝<math> (abc)^{ \frac{1}{3} } </math> :になる。 }} 本ページでは、2個の数の平均について考察する。 相加平均と相乗平均について、次の関係式が成り立つ。 {| style="border:2px solid yellow;width:80%" cellspacing=0 |style="background:yellow"|'''相加平均と相乗平均''' |- |style="padding:5px"| <math>a \geqq 0</math> ，<math>b \geqq 0</math>のとき、<br> <center><math>\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}</math></center><br> 等号が成り立つのは、<math>a = b</math>のときである。 |} *証明 <math>a \geqq 0 , b \geqq 0</math>のとき :<math>\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{a+b-2 \sqrt{ab}}{2} = \frac{\left( \sqrt{a} \right) ^2 - 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + \left( \sqrt{b} \right) ^2}{2} = \frac{\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 }{2}</math> <math> \left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 \geqq 0</math>であるから、<math> \frac{\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 }{2} \geqq 0</math><br> 従って　<math>\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}</math><br> 等号が成り立つのは、<math>\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 = 0 </math> のとき、すなわち <math>a = b</math> のときである。(終) 公式の利用では、上の式 <math>\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}</math> の両辺に2を掛けた <math>a+b \geqq 2 \sqrt{ab}</math> の形の式を使う場合もある。 * 例題 <math>a>0</math> ，<math>b>0</math>のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。<br> (I) :<math> a + \frac{1}{a} \geqq 2 </math> (II) :<math> (a+b)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \geqq 4 </math> **解答 (I)<math>a>0</math>であるから、<math>\frac{1}{a} >0</math><br> よって　<math>a + \frac{1}{a} \geqq 2 \sqrt{a \times \frac{1}{a}} = 2</math><br> したがって :<math> a + \frac{1}{a} \geqq 2 </math> (II) :<math> (a+b)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) = 1+ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} +1 = \frac{b}{a} + \frac{a}{b} +2 </math> <math>a>0</math>，<math>b>0</math>であるから、<math>\frac{b}{a} >0</math>，<math>\frac{a}{b} >0</math><br> よって　<math> \frac{b}{a} + \frac{a}{b} +2 \geqq 2 \sqrt{\frac{b}{a} \times \frac{a}{b}} + 2 = 2+2 =4</math><br> したがって :<math> (a+b)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \geqq 4 </math> {{コラム|3つ以上の相乗平均と調和平均| もし読者が指数関数などを知っていれば、 n個のものの相乗平均は、 ::<math>\sqrt[n] {a_1 a_2 \cdots a_n }</math> と書ける。 数学的な「平均」には、相加平均と相乗平均のほかにも'''調和平均'''がある。 調和平均は、電気回路の並列計算で使われる考え方である。 n個のものの調和平均は、 ::<math>\frac{ n}{ \dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_n} }</math> で定義される。 一般に数学的には、調和平均、相乗平均、相加平均のあいだに次のような大小関係 :（調和平均） ≦ （相乗平均） ≦ （相加平均） という関係が成り立つことが証明されている。 すなわち、数式で書けば ::<math>\frac{ n}{ \dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_n} } \leqq \sqrt[n] {a_1 a_2 \cdots a_n } \leqq \frac{a_1 + a_2 + \cdots +a_n }{n} </math> の関係式である。 簡潔に書くと、 ::<Math>\frac{ n}{ \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{a_k}} \leqq (\prod_{k=1}^{n}a_k)^{\frac{1}{n}} \leqq \frac{\sum_{k=1}^{n} a_n}{n}</Math> となる。 }} {{コラム|相加・相乗・調和平均の図示| 線分ABを直径に持つ円の中心をOとする。線分ABの適当な位置に点Pをとり、<math>\overline{AP} = a, \overline{PB} = b</math>とおく。 :Oから線分ABに垂直な線分を引き、円との交点をQとおく。このとき、線分OQはこの円の半径なので、<math>\overline{OQ} = \frac{1}{2} \overline{AB} = \frac{a+b}{2}</math>が成り立つ。 :Pから線分ABに垂直な直線を両側に引き、円との交点をそれぞれR, Sとおく（RはQ側の交点とする）。このとき<math>\overline{OR} = \overline{OS}</math>であり、[[高等学校数学A/図形の性質#方冪の定理|方冪の定理]]より<math>\overline{OR} \cdot \overline{OS} = \overline{AP} \cdot \overline{PB} = ab</math>が成り立つので、<math>\overline{OR} = \sqrt{ab}</math>と求まる。<br> :Pから線分ORに引いた垂線の足をTとする。<math>\triangle ORP</math>∽<math>\triangle PRT</math>より<math>\overline{OR} : \overline{RP} = \overline{PR} : \overline{RT}</math>すなわち<math>\frac{a+b}{2} : \sqrt{ab} = \sqrt{ab} : \overline{RT}</math>なので、<math>\overline{RT} = \frac{2ab}{a+b} = \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}</math>と求まる。 これらの図から、点Pをどの位置に取っても<math>\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leqq \sqrt{ab} \leqq \frac{a+b}{2}</math>が常に成り立つこと、PがOに一致する場合に等号が成立することがわかる。 なお、[[w:二乗平均平方根]]も図示することができる。 }} 一般的に使われる平均として、相加平均・相乗平均・調和平均の他に'''調整平均'''と'''移動平均'''が存在する。これらは数学B「[[高等学校数学B/数学と社会生活#調整平均|数学と社会生活]]」で扱う。 ==複素数と方程式== ===複素数=== ====複素数とは==== 2乗して負になる数を考える。このような数は先ほどの :<math>\forall a \in \mathbb{R}, a^2\geqq0</math> という性質から実数ではないことがわかる。そこで、二乗すると負になる数を新たに導入し、数の世界を広げることを考える。 方程式<math>x^2 = -1</math>の解を考える。この方程式の解は実数にはない。そこで、この方程式を満たす（実数ではない）数の片方を文字 <math>i</math>で表すことにする。このとき、もう片方の解は<math>-i</math>と表せる。 この <math>i</math> のことを'''虚数単位'''（imaginary unit）と呼ぶ。なお、<math>x^2=-1</math>の2つの解のどちらを<math>i</math>としてもその後の理論に差し支えない。つまり、<math>i, -i</math>は代数構造的に区別できない。 <math>1+i</math> や <math>2+5i</math> のように、虚数単位<math>i</math>と<math>a,b \in \mathbb{R}</math>を用いて :<math>z=a+bi</math> と表すことができる数 <math>z</math>を'''複素数'''という。このとき、<math>a</math>をこの複素数の'''実部'''、<math>b</math>を'''虚部'''といい、それぞれ<math>\mathrm{Re}(z), \mathfrak{R}(z), \quad \mathrm{Im}(z), \mathfrak{I}(z)</math>などと表す。 例えば、<math>1+i,\quad 2+5i,\quad \frac{9}{2} + \frac{7}{2} i,\quad 4i,\quad 3</math> は、いずれも複素数である。 複素数<math>a+bi</math>は<math>b=0</math>のとき実数である。すなわち、複素数は実数の拡張である。複素数全体の集合は<math>\mathbb{C}</math>と表す。 <math>4i</math>のような、実部が<math>0</math>で虚部が<math>0</math>でない複素数を'''純虚数'''と呼ぶ。純虚数の二乗は負数である。純虚数全体の集合は<math>i\mathbb{R}_{\neq0}</math>で表す（<math>\neq0</math>を省略する場合もある）。 虚数は、一般には実数ではない複素数を指す。（つまり虚数全体の集合は<math>\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}</math>） ;参考 複素数は「二元数」の一つである。他の二元数として、[[多元数/分解型複素数|分解型複素数]]と[[多元数/二重数|二重数]]がある。二元数は正確に言うと「実数体上の二次元可換結合多元環」であり、代数の構造定理によりこの3つしか存在し得ないことが判っている。 ==== 複素数の性質 ==== 2つの複素数<math>a+bi, c+di</math>が等しいとは、等式<math>a+bi=c+di</math>を'''虚数単位<math>i</math>についての恒等式とみる'''ことで以下のように解釈できる。 {| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0 |style="background:skyblue"|'''複素数の相等''' |- |style="padding:5px"| : <math>a+bi = c+di \iff a=c \land b=d</math> 特に : <math>a+bi = 0 \iff a=0 \land b=0</math> |} ;共役 複素数<math>z=a+bi</math>に対して、虚部の符号を反転させた複素数<math>\bar{z} = a-bi</math>のことを'''{{ruby|共役|きょうやく}}複素数'''または'''<math>z</math>の複素共役'''と呼ぶ。なお、「共役」は「共'''軛'''」の常用漢字による代用（[[w:同音の漢字による書き換え]]）である。<math>z^*</math>と書くこともある。 その定義より、<math>\forall a \in \mathbb{R}, \bar{a}=a</math>である。 ;四則演算 複素数にも四則演算（加減乗除）が定義される。 複素数の演算では、虚数単位<math>i</math>を通常の文字のように扱って計算する。但し、<math>i^2=-1</math>に注意。 一般に複素数<math>z=a+bi, w=c+di</math>について :加法：<math> (a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i </math> :減法：<math> (a+bi)-(c+di) = (a-c) + (b-d)i </math> :乗法：<math> (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i </math> :除法：<math> \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i </math>（但し<math>c+di \ne 0</math>） が成り立つ。 実数の場合と同様、四則演算は複素数について閉じており、分配則・結合則・交換則が成り立つ。 複素数<math>z=a+bi</math>について :<math>\overline{\bar{z}}=z</math>（'''再帰則'''） :<math>z+ \bar{z}=(a+bi)+(a-bi)=2a</math> :<math>z-\bar{z}=(a+bi)-(a-bi)=2bi</math> :<math>z \bar z =(a+bi)(a-bi)=a^2-abi+abi-b^2 i^2 = a^2-b^2i^2=a^2+b^2</math> :<math>\frac{z}{\bar{z}}=\frac{a+bi}{a-bi}=\frac{a^2-b^2+2bi}{a^2+b^2}</math>（但し<math>z\neq0</math>） が成り立つ。 よって、 :<math>\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\bar{z}}{2}</math> :<math>\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2i}</math> も成り立つ。 '''例題''' 2つの複素数 :<math>a=3+i</math> :<math>b=4 +7i</math> について、<math>a+b, ab, \frac{a}{b}</math> をそれぞれ計算せよ。 '''解答''' :<math>\begin{align}a+b&=(3+i)+(4+7i)\\&=(3+4)+i(1+7)\\&=7+8i\end{align}</math> :<math>\begin{align}ab&=(3+i)(4+7i) \\&=12+21i+4i+7i^2 \\&=12+21i+4i+(-7) \\&=5+25i\end{align}</math> :<math>\begin{align}\frac{a}{b}&=\frac{3+i}{4+7i} \\&=\frac{(3+i)(4-7i)}{(4+7i)(4-7i)} \\&=\frac{12-21i+4i-(-7)}{16-28i+28i-(-49)} \\&=\frac{19-17i}{65} \\&=\frac{19}{65}-\frac{17}{65}i \end{align}</math> ==== 負の数の平方根 ==== 複素数を導入することで、負の数の平方根も考えることができる。 例として、 -5 の平方根について考えてみよう。 :<math>(\sqrt{5}\ i)^2 = (\sqrt{5})^2\ i^2 = 5 \times (-1) =-5</math> :<math>(- \sqrt{5}\ i)^2 = (-1)^2 \times (\sqrt{5})^2\ i^2 = (+1) \times 5 \times (-1) = -5</math> であるから、 <math>-5</math> の平方根は <math> \sqrt{5}\ i </math> と <math> - \sqrt{5}\ i </math> である。 {| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0 |style="background:skyblue"|'''負の数の平方根''' |- |style="padding:5px"| <math>a>0</math>とするとき、負の数<math>-a</math>の平方根は<math>\pm \sqrt{a}\ i</math>である。 |} <math>\pm \sqrt{-a} = \pm \sqrt{a} i</math>（複号同順）である。 さて、-5 の平方根は、方程式<math>x^2=-5</math>なので、方程式<math>x^2+5=0</math>の解ともいえる。 すなわち、二次式<math>x^2+5</math>は複素数範囲で<math>(x+\sqrt{5}i)(x-\sqrt{5}i)</math>と因数分解できる。 * 例題 (I) 　　<math>\sqrt{-2} \times \sqrt{-6}</math>　を計算せよ。 * 解答 (I) :<math>\sqrt{-2} \times \sqrt{-6} = (\sqrt{2}i) \times (\sqrt{6}i) = \sqrt{12} i^2 = -2 \sqrt{3}</math> 注意：負数の平方根は'''必ず純虚数に直して'''計算するようにする。 直さないと、以下のような間違いが起こり得る。 :<math>\sqrt{-2}\times\sqrt{-6}=\sqrt{(-2)\times(-6)}=\sqrt{12}</math> 実は、中学校で習った「平方根の積は根号の中身の積の平方根をとったものに等しい」という性質は'''実数範囲でしか成り立たない'''。 一般に、'''実数範囲で成り立ったことが複素数範囲でそのまま成り立つとは限らない'''ことに注意が必要である。 * 問題 :(II) 　　<math>\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-3}}</math>　を計算せよ。 :(III) 　　二次方程式　<math>x^2+7=0</math>　を解け。 * 解答 (II) :<math>\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}\ i} = \frac{\sqrt{2}\ \sqrt{3}\ i}{\sqrt{3}\ i\ \sqrt{3}\ i} = \frac{\sqrt{6}\ i}{3\ i^2} = - \frac{\sqrt{6}}{3} \ i</math> (III) :<math>x^2+7=0</math> :<math>x^2=-7</math> :<math>x= \pm \sqrt{-7}</math> :<math>x= \pm \sqrt{7}\ i</math> === 複素数と二次方程式 === ==== 二次方程式の解と複素数 ==== 複素数の応用として、ここでは二次方程式の性質について述べる。任意の二次方程式は、解の公式によって解かれることを[[高等学校数学I 方程式と不等式#二次方程式|高等学校数学I]]で述べた。しかし、解の公式に含まれる根号の中身が負の数の場合には実数解が存在しないことに注意する必要がある。二次方程式 :<math> ax^2+bx+c = 0 </math> の解の公式は、 :<math> x = \frac{-b \pm \sqrt{D} }{a} </math> である。 但し、<math>D=b^2-4ac</math>は判別式である。 判別式の正負によって二次方程式が実数解を持つかどうかが決まる。 <math>D<0</math>のときにはこの二次方程式は実数の範囲には解を持たない。 一般に、'''<math>D<0</math>のとき二次方程式の解は2つの複素共役な虚数である'''。 * 例題 二次方程式<br> (1) :<math>x ^2 + 5x + 9 =0</math> (2) :<math>2x ^2 + 5x + 8 =0</math> (3) :<math>2x ^2 - 2x + 8 =0</math> を複素数範囲で解け。 *解答 解の公式を用いて解けばよい。(1)だけを計算すると、 :<math> x = \frac {- 5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \times 1 \times 9}}{2} </math> :<math> = \frac {-5 \pm \sqrt {11} i}{2} </math> となる。 他も同じように扱うことが出来る。 以降の解答は、<br> (2) :<math> x = \frac {-5 \pm \sqrt {39} i}{4} </math> (3) :<math> x = \frac {1 \pm \sqrt {15} i}{2} </math> となる。 <!-- ( *執筆者に対する注意 計算には[[w:maxima]]を用いた。 tex(solve( x ^2 + 5*x + 9 =0,x )); tex(solve( 2*x ^2 + 5*x + 8 =0,x )); tex( solve( 2*x ^2 - 2*x + 8 =0,x )); ) --> 方程式の解で、実数であるものを '''実数解''' という。 方程式の解で、虚数であるものを '''虚数解''' という。 {| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0 |style="background:skyblue"|'''判別式と解の判別''' |- |style="padding:5px"| 二次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の判別式 <math>D=b^2-4ac</math> について ::<math>D>0 \quad \Leftrightarrow \quad </math> 異なる2つの実数解をもつ ::<math>D=0 \quad \Leftrightarrow \quad </math> 重解をもつ ::<math>D<0 \quad \Leftrightarrow \quad </math> 異なる2つの複素共役な虚数解をもつ |} また、重解も実数解であるので、 ::<math>D \geqq 0 \quad \Leftrightarrow \quad </math> 実数解をもつ といえる。 *例題 次の二次方程式の解を判別せよ。 (I) :<math>x^2+3\,x-1=0</math> (II) :<math>2\,x^2-3\,x+2=0</math> (III) :<math>4\,x^2-20\,x+25=0</math> *解答 (I) :<math>D=3^2-4 \times 1 \times (-1) =13>0</math> より、異なる2つの実数解をもつ。 (II) :<math>D=(-3)^2-4 \times 2 \times 2 =-7<0</math> より、異なる2つの虚数解をもつ。 (III) :<math>\frac{D}{4}=(-10)^2-\times 4 \times 25 =0</math> より、重解をもつ。 ==== 二次方程式の解と係数の関係 ==== 二次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の2つの解を <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> とする。 この方程式は、 <math>a(x-\alpha)(x-\beta) = 0</math> と変形できる。 これを展開すると、 <math>ax^2 -a(\alpha + \beta )x+a\alpha \beta = 0</math> 係数を比較して、 <math>c = a \alpha \beta, b = -a(\alpha + \beta)</math> を得る。 これを変形すれば、<math>\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \alpha \beta = \frac{c}{a}</math>となる。<br> {| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing="0" | style="background:skyblue" |'''解と係数の関係''' |- | style="padding:5px" | 二次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の2解を <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math>とするとき、 :<math>\alpha + \beta = - \frac{b}{a}</math> ，<math>\alpha \beta = \frac{c}{a}</math> |} 解と係数の関係は、多項式の値を[[高等学校数学I/数と式#種々の因数分解|基本対称式分解]]を用いて求める問題に応用される。 *例題 二次方程式 <math>2x^2 + 4x + 3 = 0</math>の2解の平方和を求めよ。 *解答 2解をそれぞれ<math>\alpha, \beta</math>とすると、解と係数の関係より :<math>\alpha + \beta = - \frac{4}{2} = - 2 </math>，<math>\alpha \beta = \frac{3}{2}</math> :<math>\therefore \alpha ^2 + \beta ^2 = (\alpha + \beta )^2 - 2 \alpha \beta = (-2)^2 - 2 \times \frac{3}{2} = 1</math> 解と係数の関係より以下が成り立つ。 {| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0 |style="background:skyblue"|'''与えられた2つの数を解とする二次方程式''' |- |style="padding:5px"| 2数 <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> を解とする二次方程式の一つは :<math>x^2 - (\alpha + \beta ) x + \alpha \beta = 0</math> |} * 問題 次の2数を解とする最も簡単な二次方程式を作れ。<br> (I) :<math>3 + \sqrt{5} \ , 3 - \sqrt{5}</math> (II) :<math>2 + 3 i \ , 2 - 3 i</math> * 解答 (I)<br> 和　<math>(3 + \sqrt{5}) + (3 - \sqrt{5}) = 6</math><br> 積　<math>(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}) = 4</math>　であるから<br> :<math> x^2 - 6 x + 4 =0 </math> (II)<br> 和　<math>(2 + 3 i) + (2 - 3 i) = 4</math><br> 積　<math>(2 + 3 i) (2 - 3 i) = 13</math>　であるから<br> :<math> x^2 - 4 x + 13 =0 </math> 一般に、二次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の2解 <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> がわかると二次式 :<math>ax^2 + bx + c</math> を因数分解することができる。 解と係数の関係 <math>\alpha + \beta = - \frac{b}{a}</math>，<math>\alpha \beta = \frac{c}{a}</math> から、 :<math>ax^2 + bx + c = a \left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} \right) = a \left\{x^2 - (\alpha + \beta )x + \alpha \beta \right\} = a (x - \alpha)(x - \beta)</math> {| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing="0" | style="background:skyblue" |'''解と因数分解''' |- | style="padding:5px" | 二次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の2つの解を <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> とすると :<math>ax^2 + bx + c = a (x - \alpha)(x - \beta)</math> |} 二次方程式は複素数の範囲で考えると常に解を持つから、複素数範囲において二次式は必ず一次式の積に因数分解することができる。 *例題 次の二次式を複素数範囲で因数分解せよ。<br> (I) :<math>x^2 + 4 x - 1</math> (II) :<math>2 x^2 - 3 x + 2</math> *解答 (I)<br> 二次方程式　<math>x^2 + 4 x - 1 = 0</math>　の解は :<math>x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4 \times 1 \times (-1)}}{2 \times 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2 \sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}</math> よって :<math>x^2 + 4 x - 1 = \left\{ x - (-2 + \sqrt{5}) \right\} \left\{ x - (-2 - \sqrt{5}) \right\} = (x + 2 - \sqrt{5}) (x + 2 + \sqrt{5})</math> (II)<br> 二次方程式 <math>2 x^2 - 3 x + 2 = 0</math>　の解は :<math>x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \times 2 \times 2}}{2 \times 2} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{7} i}{4}</math> よって :<math>2 x^2 - 3 x + 2 = 2 \left(x- \frac{3 + \sqrt{7}\; i}{4} \right) \left(x- \frac{3 - \sqrt{7}\; i}{4} \right)</math> === 高次方程式 === 以下、三次以上の整式による方程式を考える。 一般に方程式を <math>P(x)=0</math>とする。 ただし、<math>P(x)</math>は、任意の次数の整式とする。 一般に、k次方程式<math>(x-p)^k=0</math>の解 <math>p</math>をこの方程式の'''k重解'''という。k重解は同じ値の解がk個重なっていると考える。 ==== 剰余の定理 ==== <math>P(x)</math>を一次式<math>x-a</math>で割ったときの商を<math>Q(x)</math>、余りを<math>R</math>とすると、 :<math> P(x) = (x-a)Q(x)+R </math> この両辺の<math>x</math>に<math>a</math>を代入すると、 :<math> P(a) = (a-a)Q(a)+R = 0 \times Q(a) + R =R </math> つまり、<math>P(x)</math>を<math>x-a</math>で割ったときの余りは<math>P(a)</math>である。 {| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing="0" | style="background:pink" |'''剰余の定理''' |- | style="padding:5px" | 整式<math>P(x)</math>を<math>x-a</math>で割ったときの余りは、<math>P(a)</math>に等しい。 |} * 問題例 ** 問題 整式 <math>P(x) = x^3 -2x + 3</math> を次の式で割った余りを求めよ。<br> (I) :<math> x-2 </math> (II) :<math> x+1 </math> (III) :<math> 2x-1 </math> ** 解答 (I)　<math>P(2) = 2^3 - 2 \times 2 + 3 = 7</math><br> (II)　<math>P(-1) = (-1)^3 - 2 \times (-1) + 3 = 4</math><br> (III)　<math>P\left( \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2} \right)^3 - 2 \times \left( \frac{1}{2} \right) + 3 = \frac{17}{8}</math> ===== 因数定理 ===== :<math>\exist a \in \mathbb{R}, P(a) = 0</math> ならば、整式<math>P(x)</math> は式<math>(x-a)</math> を因数に持つことが分る。 これを'''因数定理'''と呼ぶ。 * 導出 剰余の定理より<math>P(x)</math>を<math>(x-a)</math>で割った余りは<math>P(a)</math>であるが、ここで<math>P(a)=0</math>より<math>P(x)=(x-a)Q(x)</math>と書けるので、<math>P(x)</math>は式<math>(x-a)</math>を因数に持つ。 {| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0 |style="background:pink"|'''因数定理''' |- |style="padding:5px"| 整式<math>P(x)</math>について<br> <center><math>P(a)=0 \Leftrightarrow </math> <math>P(x)</math>は<math>x-a</math>で割りきれる。</center> |} 因数定理を用いることで、より次数の高い整式を因数分解することが出来るようになる。 例えば、三次の整式 :<math>x^3 - 1</math> について、<math>x=1</math>を代入すると :<math>x^3 - 1=0</math> なので因数定理よりこの式は :<math>(x-1)</math> を因数として持つ。 ここで、整式の除法を使って計算すると :<math>x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)</math> を得る。 *例題 因数定理を用いて<br> (I) :<math>x^3-6\,x^2+11\,x-6</math> (II) :<math>x^3+x^2-14\,x-24</math> <!-- (III) :<math> x^3+5\,x^2-34\,x-80 </math> --> を因数分解せよ。 * 解答<br> (I) 因数分解の結果が(x+整数)の積の形なら、整数は6の約数でなければならない。そのため、<math>\pm 1, \pm 2,\pm 3,\pm 6</math>が候補となる。これらにつ祖ては実際に代入して確かめるしかない。x=1を代入すると、 :<math>1-6+11-6=0</math> となるので、(x-1)が因数となる。実際に整式の除法を行なうと、商として<math>x^2-5x+6</math>が得られるが、これは<math>(x-2)(x-3)</math>に因数分解できる。よって答えは、 :<math>\left(x-3\right)\,\left(x-2\right)\,\left(x-1\right)</math> となる。<br> (II) ここでも地道に24の因数を当てはめていくしかない。24の因数は数が多いのでかなりの計算が必要となる。ここでは、-2を代入すると、 :<math>-8 +4 -14 \cdot (-2) -24 = 0</math> となり、(x+2)が因数だとわかる。除法を行なうと、<math>x^2 -x -12</math>が得られるが、(x-4)(x+3)に因数分解できる。答えは、 :<math>\left(x-4\right)\,\left(x+2\right)\,\left(x+3\right)</math> となる。 ==== 高次方程式の解法 ==== 一般に、以下の事実が知られている。 {| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0 |style="background:pink"|'''（強い）代数学の基本定理''' |- |style="padding:5px"| 複素数係数n次方程式の解は複素数範囲で必ずn個存在する。但し、重解は重複して数える。 |} <br> {| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0 |style="background:pink"|'''虚数解定理''' |- |style="padding:5px"| n次方程式が虚数解を持つならば、その共役複素数も解の1つである。 |} これらは証明なしに事実として用いてよい。 例えば、七次方程式<math>(x^2+1)^3(x+2)=0</math>の解は<math>x=2, \pm i</math>であるが、<math>\pm i</math>は三重解なのでそれぞれ3つと数えると、解の個数は<math>2</math>が1つ、<math>i</math>が3つ、<math>-i</math>が3つで7個である。 因数分解や因数定理を利用することにより、一般の高次方程式を解くことができる。 解の存在性は代数学の基本定理により保証される。 *例題 高次方程式<br> (I) :<math>x^3-8=0</math> (II) :<math>x^4-2x^2-8=0</math> (III) :<math>x^3-5x^2+7x-2=0</math> を解け。 *解答 (I) 左辺を<math>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)</math>により因数分解すると :<math>(x-2)(x^2+2x+4)=0</math> 従って<math>x-2=0 \or x^2+2x+4=0</math><br> よって :<math>x=2, -1 \pm \sqrt{3}i</math> (II) <math>\ x^2=X\ </math>とおくと :<math>X^2-2X-8=0</math> 左辺を因数分解すると :<math>(X-4)(X+2)=0</math> よって<math>X=4, X=-2</math>。 :<math>\therefore x^2=4, x^2=-2</math> :<math>\therefore x= \pm 2, \pm \sqrt{2} i</math> (III) 　<math>\ P(x)=x^3-5x^2+7x-2\ </math>とおく。 :<math>P(2)=2^3-5 \times 2^2+7 \times 2-2=0</math> 従って<math>\ x-2\ </math>は<math>\ P(x)\ </math>の因数である。<br> :<math>P(x)=(x-2)(x^2-3x+1)</math> :<math>(x-2)(x^2-3x+1)=0</math> :<math>\therefore x-2=0 \lor x^2-3x+1=0</math> :<math>\therefore x= 2, \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}</math> 三次方程式<math>x^3=1</math>の解を考える。 実数解<math>x=1</math>を持つことは明らか。 三次式の因数分解公式より<math>x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)</math>なので、 この三次方程式の虚数解は二次方程式<math>x^2+x+1=0</math>の解である。 よって<math>x=1, \frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}</math> ここで、虚数解の片方を<math>\omega</math>とおくともう片方は<math>\bar{\omega}</math>である。 以下が成り立つ。 :<math>\omega^3=(\bar{\omega})^3=1</math> :<math>\omega^2=\bar{\omega}</math> :<math>(\bar{\omega})^2=\omega</math> :<math>\omega^2+\omega+1=0</math> これらの性質を用いると、高次方程式の問題が楽になる場合がある。 *問題 <math>x^5+x^4+1</math>を実数範囲で因数分解せよ。 *解答 <math>\omega</math>を代入すると :<math>\omega^5+\omega^4+1=\omega^2\cdot1+\omega\cdot1+1=\omega^2+\omega+1=0</math> よって方程式<math>x^5+x^4+1=0</math>は虚数解定理より<math>\omega, \bar{\omega}</math>を解に持つので、<math>x^5+x^4+1</math>は<math>x^2+x+1</math>を因数に持つ。<br> 整式の除法より :<math>x^5+x^4+1=(x^2+x+1)(x^3-x+1)</math>// ;演習問題 *以下の値を求めよ。 **<math>\omega^{100}+\omega^{28}</math> **<math>\frac{1}{2\omega^{17}+13\omega^{9}}</math> ====三次方程式の解と係数の関係==== 三次方程式 <math>ax^3+ bx^2+ cx+d=0</math> の3解を<math>\alpha, \beta, \gamma</math> とすると :<math>ax^3+ bx^2+ cx+d=a(x- \alpha)(x- \beta)(x- \gamma)</math> が成り立つ。<br> 右辺を展開すると :<math>a(x- \alpha)(x- \beta)(x- \gamma)</math> :<math>=a(x- \alpha)\left\{x^2-(\beta + \gamma)x+ \beta \gamma \right\}</math> :<math>=a \left\{x^3-(\alpha + \beta + \gamma)x^2+ (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)x - \alpha \beta \gamma \right\}</math> :<math>\therefore ax^3+ bx^2+ cx+d=a \left\{x^3-(\alpha + \beta + \gamma)x^2+ (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)x - \alpha \beta \gamma \right\}</math> :<math>\therefore b=-a(\alpha + \beta + \gamma)\ ,\ c= a(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)\ ,\ d= -a \alpha \beta \gamma</math> 従って以下が成り立つ。 {| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0 |style="background:pink"|'''三次方程式の解と係数の関係''' |- |style="padding:5px"| 三次方程式 <math>ax^3+ bx^2+ cx+d=0</math> の3つの解を 、<math>\alpha\ ,\ \beta\ ,\ \gamma</math> とすると <center><math>\alpha + \beta + \gamma =- \frac{b}{a}\ ,\ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha= \frac{c}{a}\ ,\ \alpha \beta \gamma =- \frac{d}{a}</math></center> |} 同様に、四次方程式の解と係数の関係（ヴィエタの公式）は<math>\alpha+\beta+\gamma+\delta=-\frac{a}{b}, \alpha\beta+\alpha\gamma+\alpha\delta+\beta\gamma+\beta\delta+\gamma\delta=\frac{c}{a}, \alpha\beta\gamma+\alpha\beta\delta+\alpha\gamma\delta+\beta\gamma\delta=-\frac{d}{a}, \alpha\beta\gamma\delta=\frac{e}{a}</math>である。 五次方程式以降でも同様の関係が成り立つ。 == コラム == === 複素数は「存在する」か？ === しばしば虚数は「現実には存在しない数」であると言われることがあり、歴史的にも虚数を扱った数学を考えるべきではないと考えられた時代は長かった。その時代の先進的な数学者の中には、虚数を有効に活用して研究を進める一方で、成果を発表する際には虚数を表に出さずに記述する努力をすることで、無用な抵抗を受けないように工夫した者もいたと言われるほどである。 だが、よく考えてみれば、数が「現実に存在する」とはどういう意味なのだろうか。現実に鉛筆を使って紙に円を描くならば、円周の長さを「正確に円周率そのものにする」ことは不可能であるように思われるが、その割に円周率という実数は「存在する」と感じられるのはなぜだろうか。数直線が実数の「実在」を信じさせるならば、複素数は複素数平面（数学Cで習う）の上に存在するのだから、同じではないだろうか。 このように考えると、そもそも数とはすべてある意味で想像上の存在であり、それに対して「存在する」「存在しない」という問いを立てることがナンセンスであるように思われる。「存在しない」ように思われがちな虚数であるが、たとえば物理学の一分野である量子力学のシュレディンガー方程式に表れるなど、応用上のさまざまな場面においても、虚数を使って記述することが自然な対象は多いのだ。 === 複素数には「大小関係がない」 === 複素数どうしについて、その大小関係は定義しない。その理由は、どのように大小関係を定義しても、便利な性質を満たすことができないからである。具体的に言えば、既に述べた実数の大小関係についての「不等式の基本性質(1)(2)(3)(4)」にあたる式を成り立たせることができないのだ。 たとえば、<math>a+bi<a'+b'i</math>であることを、<math>a^2+b^2<a'^2+b'^2</math>であることとして定義してみよう。このように定義すると、たとえば1+2i<2-3iであり、また2+3i<3+4iである。ところが、(1+2i)+(2+3i)=3+5i,(2-3i)+(3+4i)=5+iであり、3+5i>5+iとなってしまう。これは基本性質(2)が成り立たないことを意味する。 もちろんこれは適当に考えた定義がたまたま不適切だったというだけのことだが、実は、他にどのように定義してもこのような困難からは逃れられないことが知られている。それゆえに、複素数には大小関係を定義しないのである。 === 複素数の平方根 (※発展) === 今度は、複素数の平方根について考えてみよう。 正の数<math>a</math>を考えたとき、 :<math>a</math>の平方根は<math>\pm \sqrt{a}</math> :<math>-a</math>の平方根は<math>\pm \sqrt{a} i</math> では、 :<math>\pm a i</math>の平方根はどのように表せるだろうか。 虚数単位<math>i</math>の平方根を考えると、これはzについての方程式 <math>z^2 = i</math> の解 z の値であるから、これを解けばよい。どのような複素数zならこの式を満たすことができるだろうか。 zを複素数とすると、<math>z = x + yi</math>(x,yは実数)と表される。 <math>(x + yi)^2 = i \Leftrightarrow x^2 + 2xyi - y^2 = i \Leftrightarrow (x^2-y^2)+(2xy-1)i = 0</math> <math>x^2-y^2,2xy-1</math>は実数であるから、実部と虚部が共に０にならねばならないから、 <math>\begin{cases} x^2-y^2=0 (\Leftrightarrow x= \pm y ) \\ 2xy-1=0 \end{cases}</math> <math>x=y</math>のとき、<math>2x^2=1 \Leftrightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}},y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}</math> (複号同順。x,yは共に実数であるから、条件を満たす。) <math>x=-y</math>のとき、<math>-2y^2=1 \Leftrightarrow y^2=-\frac{1}{2}</math> ここで、これを満たす実数yは存在しないから不適。 よって、<math>z=\pm\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)</math>_■ *問題例 ** 問題 :<math>i \,\!</math>を虚数単位とするとき、次の問いに答えよ。 :(I) <math>-i,30i \,\!</math>の平方根を求めよ。 :(II) 2次方程式 <math>z^2 - 30i - 16 = 0 \,\!</math> を解け。 :(III) 3次方程式 <math>z^3 = i \,\!</math> を解け。 ** 解答 :(I) ::<math>\pm\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i\right) , \pm\left(\sqrt{15}+\sqrt{15}i\right)</math> :(II) ::<math>z=5+3i , -5-3i \,\!</math> :(III) ::<math>z=-i,\frac{i\pm\sqrt{3}}{2}</math> :今回挙げた問題は、全て<math>z=x+yi</math>(x,yは実数)と置くことで求められる。(III)は、<math>(x+yi)^3-i=x(x^2-3y^2)+(3x^2y-y^3-1)i=0</math>より、 実部がゼロを考慮して<math>x=0</math>か<math>x=\pm\sqrt{3}y</math>だが、虚部もゼロなので、xの値が前者のとき<math>y=-1</math>、後者のとき<math>y=1/2</math>となることがすぐにわかる。 === 高次方程式の「解の公式」 === 2次方程式には解の公式があり、日本の中学や高校でも習う。2次方程式の解の公式を用いれば、どんな係数の2次方程式であっても解を求められる。3次方程式と4次方程式にも、解の公式は存在し、係数がどんな係数であっても解を求められる。これらの解の公式は、[[代数方程式論]]で述べているように、係数に有限回の四則演算と根号をとる操作（'''代数的操作'''）の組み合わせで表すことができる。 5次方程式では、4次以下の方程式とは状況が異なる。一般の5次方程式の解は、2次方程式や4次方程式のように、係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせで表すことができないのである。ただし、「できない」ことの証明は容易ではない。このことを証明するには、[[ガロア理論]]を理解する必要がある（日本の大学の標準的なカリキュラムでは、理学部数学科の学生のみが大学3年生で学ぶのが一般的な程度の理論である）。 なお、ここで言う「表すことができない」とは一般の方程式についてのことであり、特別な5次方程式の場合は簡単に解が求められる。たとえば、<math> x^5 -32 = 0 </math> は解のひとつとして <math> x=2 </math> をもつことはすぐわかる。この方程式は他の解についても三角関数を用いて簡単に表せることを[[高等学校数学C/複素数平面]]において学ぶ。 「係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせ」に拘らなければ、一般の5次方程式の解を求める方法も存在するが、やや高度な数学を用いる必要がある。[[w:五次方程式]]に記述があるので興味のある読者は参照するとよい。 === 複素数と関数 === 高等学校で複素数が出てくる分野はこの分野と数学C「[[高等学校数学C/平面上の曲線|平面上の曲線]]と複素数平面」のみであり、複素数の基本計算や方程式を複素数範囲で解くこと、複素数の幾何学的意味について扱っている。しかし、大学数学においては、関数の定義域・値域を複素数範囲に広げて考える「[[複素解析学|複素関数論]]」というものを扱う。 実数範囲での関数はx, yともに一次元の実数軸を持つため、入力値と出力値の成すグラフを考えるには二次元の座標平面で十分であった。しかし、複素数範囲での関数はx, yともに二次元の複素数平面を持つため、入力値と出力値の成すグラフを考えるには四次元の座標空間が必要であり、三次元空間に住む我々には描画することができない。そのため、複素関数論では関数のグラフを考えることは基本的にない。（ただし、出力された複素数の絶対値を考えることによって三次元グラフに落とし込むことは可能） では何を考えるのかというと、複素関数の微分積分である。複素関数の微分に関連して「正則関数」という用語が出てくるが、複素関数論はこの正則関数というものの性質を調べる学問だと言って良い。 複素関数論は物理学の特に波動に関する分野（音・電磁気など）において活躍している。「波動方程式」や「インピーダンス」という言葉は有名だろう。 ちなみに、複素数をさらに拡張した数として「[[w:四元数]]」というものがある。この四元数は[[高等学校数学C/ベクトル|ベクトル]]や[[高等学校数学C/数学的な表現の工夫#行列を用いた表現とその演算|行列]]と深い関わりが存在しており、深掘ると面白いのだが、いささか冗長になるため割愛する。なお、四元数をさらに拡張した八元数や十六元数という数も研究されている。 == 演習問題 == {{DEFAULTSORT:こうとうかつこうすうかくII しきとしようめい}} [[Category:高等学校数学II|しきとしようめい]] nq8wk87hlwh9d75xmt9qsnujdgg06ru 0 5655 305159 209499 2026-10-27T18:34:19Z Tomzo 248 /* 改正経緯 */ 305159 wikitext text/x-wiki [[法学]]＞[[民事法]]＞[[コンメンタール民法]]＞[[第3編 債権 (コンメンタール民法)]] ==条文== '''削除''' ===改正経緯=== 2017年改正により、[[民法第478条|第478条]]（受領権者としての外観を有する者に対する弁済） の一類型であると解して、以下の条文を削除。 （受取証書の持参人に対する弁済） : 受取証書の持参人は、弁済を受領する権限があるものとみなす。ただし、弁済をした者がその権限がないことを知っていたとき、又は過失によって知らなかったときは、この限りでない。 ==解説== ==参照条文== ---- {{前後 |[[コンメンタール民法|民法]] |[[第3編 債権 (コンメンタール民法)|第3編 債権]]<br> [[第3編 債権 (コンメンタール民法)#1|第1章 総則]]<br> [[第3編 債権 (コンメンタール民法)#1-6|第6節　債権の消滅]]<br> [[第3編 債権 (コンメンタール民法)#1-6-1|第1款　弁済]] |[[民法第479条]]<br>(受領権者以外の者に対する弁済) |[[民法第481条]]<br>(差押えを受けた債権の第三債務者の弁済) }} [[category:民法|480]] [[category:民法 2017年改正|480]] [[category:削除又は廃止された条文|民480]] nq5oeqkiz6fa00ajqjbr7ct4dqkfnho 3 43898 305165 266037 2026-10-28T04:16:11Z おいしい窒素 84939 305165 wikitext text/x-wiki __NOINDEX__ 4dk4zevx7zb4mh95uavtx21at6jgovp 2 43906 305164 266035 2026-10-28T04:15:52Z おいしい窒素 84939 __NOINDEX__ 305164 wikitext text/x-wiki __NOINDEX__ * [[特別:固定リンク/{{{1}}}|{{{year}}}年{{{month}}}月頃までの版]] {{{{{|safesubst:}}}#if:{{{2|}}}|{{{2}}} }} <noinclude> * [[特別:固定リンク/1000|2010年10月頃までの版]] aaa </noinclude> 8qau9mo1lcl4po4hqciy0f28o0hgt09 2 43907 305163 281677 2026-10-28T04:09:36Z おいしい窒素 84939 305163 wikitext text/x-wiki __NOINDEX__ [[特別:特別ページ一覧]] t5hv742id3ds1icr2ljgib3t0t4tx57 3 43908 305162 266466 2026-10-28T04:09:05Z おいしい窒素 84939 __NOINDEX__ 305162 wikitext text/x-wiki __NOINDEX__ 4dk4zevx7zb4mh95uavtx21at6jgovp 0 45683 305160 305150 2026-10-28T01:39:57Z ~2026-55692-88 92812 305160 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} {{wikipedia|ベクトル解析}} ここでは、ベクトル解析について解説する。[[物理数学I ベクトル解析]]も参照。 ==前提知識== ここでは、実数のみで考える。 ===ベクトル=== [[高等学校数学C/ベクトル]]、[[線型代数学/ベクトル]]、[[解析学基礎/ベクトル]]などを参照。本項では、矢印を付した表記（<math>\vec{a}</math>など）と太字斜体による表記（<math>\boldsymbol{x}</math>など）を混用する。 ===行列=== [[高等学校数学C/数学的な表現の工夫]]及び[[線形代数学]]・[[線型代数学続論]]の各ページを参照。本項では大文字の太字立体（<math>\mathbf{A}</math>など）で表記する。 ===多変数解析=== [[解析学基礎/多変数関数の微積分]]を参照。 ===領域=== <math>D\subset\mathbb{R}^n</math>と点<math>\boldsymbol{a}\in D</math>（位置ベクトル表記なので太文字斜体）に対し、集合<math>B_\varepsilon(\boldsymbol{a}) := \{ \boldsymbol{x} \in D \mid \| \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \|<\varepsilon \}</math>を点<math>\boldsymbol{a}</math>の'''<math>\varepsilon</math>-開球'''という。不等号を<math>\leqq</math>に変えたときは開区間↔閉区間と同様に'''閉球'''と呼ぶ。このとき、<math>D</math>のように<math>\mathbb{R}^n</math>の部分集合であって<math>\varepsilon</math>-開球を含むものを点<math>\boldsymbol{a}</math>の'''<math>\varepsilon</math>-開近傍'''と呼ぶ。閉球を含むときは同様に'''閉近傍'''と呼ぶ。 <math>\forall \boldsymbol{a} \in U, \exist \varepsilon>0, B_\varepsilon(\boldsymbol{a})\subset U</math>を満たす<math>U\subset\mathbb{R}^n</math>を'''開集合'''と呼び、<math>V=\mathbb{R}^n\setminus U</math>を'''閉集合'''と呼ぶ。 注意点として、開集合と閉集合は排反ではない。則ち「開集合且つ閉集合」である集合が存在し（例えば<math>\mathbb{R}, \varnothing</math>）、「開集合でも閉集合でもない」集合も存在する（例えば<math>[0, 1)</math>）。 <math>M\subset\mathbb{R}^n</math>を含む最小の閉集合を<math>M</math>の'''閉包'''と呼び、<math>M^-, \bar{M}, \mathrm{Cl}(M)</math>などと表す。例えば有理数の稠密性より<math>\mathbb{Q}^-=\mathbb{R}</math>である。 閉包の性質として「閉包=集合の内部と疆界の和集合（<math>M^- = \mathrm{Int}(M) \cup \partial{M}</math>）」がある。 集合<math>S\subset\mathbb{R}^n</math>に対して以下を満たす<math>\mathbb{R}^n</math>上開集合の組<math>(G_1, G_2)</math>が'''とれない'''とき、 #<math>G_1 \cap S = \varnothing \land G_2 \cap S = \varnothing</math> #<math>S = (G_1 \cap S) \sqcup (G_2 \cap S)</math> 「<math>S</math>は'''連結'''である」または「<math>S</math>は'''連結集合'''」という（但し、<math>\sqcup</math>は[[w:非交和|非交和]]）。 空でない開連結集合を'''領域'''という。 実は、高校数学や1年次の解析学で扱ってきた「領域」はこの定義を満たしていないことが多かった。これは、「領域」の歴史的な用法では「条件の解集合」という意味であって開性や連結性を要求しなかったためである。しかし、本項を含めた以降に登場する数学ではこの定義を満たしていることが前提条件となる。なお、ややこしいことに「積分領域」は従来通り「その上で積分を行う集合」という緩い意味で使われることが多いので、区別が必要である。 ===右手系=== 三次元空間の正規直交基底を<math>(\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3)</math>と置く。螺子を<math>\boldsymbol{e}_1\to\boldsymbol{e}_2</math>の向きに回すと<math>\boldsymbol{e}_3</math>の正方向に進むように3つの軸をとった系を'''右手系'''という。負方向に進むようにとったものを'''左手系'''という。数学・物理に限らず理数系の約束事として、'''三次元空間は必ず右手系で考える'''という暗黙の了解が存在するので覚えておこう。 右手系・左手系は基底の一部または全ての符号を反転することで変換することができる。一つだけを反転する場合は'''鏡像変換'''、二つだけを反転する場合は'''半回転'''、全てを反転する場合は'''空間反転'''と呼ぶ。 外積の結果として得るベクトルは右手系・左手系のどちらを考えるかで向きが変わる。このように、右手系↔左手系の変換で向きが変わるベクトルを'''軸性ベクトル'''という。 系の取り方で向きが変わるということは基底の係数である'''成分は不変量'''である。つまり、観測者の動きにベクトルが追従し、このベクトルは「物理的な実体を有しているのではなく計算の都合上向きが定められた便宜的な(=観測者が勝手に決めた)ベクトル」ということである。そのため、軸性ベクトルは'''擬ベクトル'''（シュードベクトル）とも呼ばれる。 位置や速度、加速度のような右手系・左手系のどちらを考えても同じ向きを向くベクトルを'''極性ベクトル'''という。座標系を取り換えても向きが維持されるため'''成分は座標変換に応じて変化する'''。これは、「観測の仕方によって起こる現象は変わらない」ということである。つまり擬ベクトルに対し、極性ベクトルは'''物理的実体を有するベクトル'''である。 偶奇と同じように軸性・極性にも外積を通じた相互関係が存在する。 :(軸性)×(軸性)=(軸性) :(軸性)×(極性)=(極性) :(極性)×(極性)=(軸性) ==基礎事項== ===ベクトル関数=== 関数<math>\boldsymbol{f} (x) = \sum_{i} f_i(x) \boldsymbol{e}_i</math>を'''ベクトル（値）関数'''（vector-valued function, vector function）という。 ただし、各<math>\boldsymbol{e}_i</math>は各座標軸方向の単位ベクトルであり、<math>\boldsymbol{f}(x)</math>の定義域は各<math>f_i(x)</math>の定義域の積集合である。 ベクトルの演算が成分ごとの演算結果を並べたベクトルで定義されたように、ベクトル関数の演算は（結果となる値が存在するならば）各成分の演算結果を並べたベクトルに等しい。これはベクトルの線型性による。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}</math>の<math>x\to0</math>の極限は、 :<math>\lim_{x\to0} \boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \lim_{x\to0} \cos x \\ \lim_{x\to0} \sin x \end{pmatrix}</math> (<math>\because</math>線型性) :<math>=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>=\boldsymbol{e}_x</math> と求まる。 このとき、<math>\boldsymbol{e}_x</math>を<math>\begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}</math>の<math>x\to0</math>に於ける'''極限ベクトル'''という。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>x=\alpha</math>で連続であるとは<math>\lim_{x\to\alpha}\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{f}(\alpha)</math>が成立することであり、区間<math>I</math>で連続であるとは<math>\forall \alpha \in I</math>で連続であることである。 また、ベクトル関数の導関数<math>\boldsymbol{f}'(x)</math>は :<math>\frac{d}{dx} \boldsymbol{f} (x) = \frac{d}{dx} \left( \sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i \right)</math> :<math>= \sum_i \left( \frac{d}{dx} f_i (x) \boldsymbol{e}_i \right)</math>（<math>\because</math>線型性） :<math>= \begin{pmatrix} f'_1(x) \\ f'_2(x) \\ \vdots \\ f'_i(x) \\ \vdots \end{pmatrix}</math> である。 この結果は、ベクトル関数に於ける導関数の正式な定義 <math>\lim_{h\to0} \frac{\boldsymbol{f}(x+h) - \boldsymbol{f}(x)}{h}</math>からも導かれる。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>x=\alpha</math>で微分可能であるとは極限値<math>\boldsymbol{f}'(\alpha)=\lim_{x\to\alpha}\frac{\boldsymbol{f}(x)-\boldsymbol{f}(\alpha)}{x-\alpha}</math>が存在することであり、区間<math>I</math>で微分可能であるとは<math>\forall \alpha \in I</math>で微分可能であることである。 高階導関数・高階微分可能も同様にして定義される。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>が区間<math>I</math>で連続ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>上で<math>C^0</math>級であるといい、<math>\boldsymbol{f}\in C^0(I)</math>と書く。<math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>I</math>で微分可能で<math>\boldsymbol{f}'(x)\in C^0(I)</math>ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>上で<math>C^1</math>級である（一階連続微分可能）といい、<math>\boldsymbol{f}\in C^1(I)</math>と書く。<math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>I</math>で二階微分可能で<math>\boldsymbol{f}'\in C^1(I)</math>ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>上で<math>C^2</math>級である（二階連続微分可能）といい、<math>\boldsymbol{f}\in C^2(I)</math>と書く。同様にして順々に<math>C^k</math>級が定義され、<math>\forall k \in \mathbb{N}, \boldsymbol{f}\in C^k(I)</math>ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>で<math>C^\infty</math>級（無限階連続微分可能）であるといい、<math>\boldsymbol{f}\in C^\infty(I)</math>と書く。<math>C^\infty</math>級である関数を'''滑らかな'''関数ともいう。 高校数学や高校物理で扱った平面（<math>\mathbb{R}^2</math>）上の運動は、実は2項ベクトル関数の理論に他ならない。 例えば、平面上の運動に於ける加速度・速度・変位の関係は<math>\boldsymbol{x}(t)= \begin{pmatrix} f(t) \\ g(t) \end{pmatrix}</math>として<math>\boldsymbol{a}(t) = \frac{d}{dt}\boldsymbol{v}(t) = \frac{d^2}{dt^2} \boldsymbol{x}(t)</math>と表すことができる。 曲線の媒介変数表示は、パラメータを変数とするベクトル関数とみることができる。 例えば、円の媒介変数表示<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>は、<math>\boldsymbol{r}(\theta) = r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}</math>という2次元ベクトル関数とみることができる。更に<math>\theta=\omega t</math>とすると、これは等速円運動の式である。 1変数ベクトル関数の微分に関して、以下の公式が成り立つ。 #定数倍の導関数：<math>\{k\boldsymbol{a}(x)\}'=k\boldsymbol{a}'(x)</math> #和・差の導関数：<math>\{ \boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x) \}' = \boldsymbol{a}'(x)\pm\boldsymbol{b}'(x)</math> #積の導関数：<math>\{ f(x)\boldsymbol{a}(x) \}' = f'(x)\boldsymbol{a}(x)+f(x)\boldsymbol{a}'(x)</math> #商の導関数：<math>\left\{ \frac{\boldsymbol{a}(x)}{f(x)} \right\}' = \frac{f(x)\boldsymbol{a}'(x)-f'(x)\boldsymbol{a}(x)}{\{f(x)\}^2} \quad (f(x)\neq0)</math> #内積の導関数：<math>\{\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x)</math> #外積の導関数：<math>\{\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x)</math> #スカラー三重積の導関数：<math>[\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}</math> #ベクトル三重積の導関数：<math>[\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}</math> #連鎖律（チェイン・ルール）：<math>[\boldsymbol{a}\{f(x)\}]'=\boldsymbol{a}'\{f(x)\}f'(x)</math> ベクトル関数の'''ノルム'''（大きさ、長さ）は、通常のベクトルと同様に :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)} = \sqrt{\sum_{i} \{f_i (x)\}^2}</math> で与えられる。 つまり、ノルムは元のベクトル関数と同一変数のスカラー関数である。 ここで、このスカラー関数が定数関数である条件に就て見てみよう。 :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|= c \quad (c\in\mathbb{R}_{>0})</math>の両辺を2乗して :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|^2 = \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x) = c^2</math> :両辺微分すると内積の微分より :<math>\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0</math> :<math>\therefore \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0</math> :逆に、 :<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0 \iff 2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=0</math> :<math>\int \{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'dx= \int 0 dx</math> :<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)=C_1</math>（<math>C_1\geq0</math>は積分定数） :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|^2=C_1</math>より :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{C_1} = \mathrm{const}.</math> よって、以下が成り立つ。 {{定理|(直交条件の定理)}} :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|= \mathrm{const}. \iff \boldsymbol{f}(x) \cdot \boldsymbol{f}'(x) = 0</math> {{定理終わり}} これは、物理的には「位置ベクトルと速度ベクトルが直交する」ことを表す。則ち、<math>\boldsymbol{f}(x)</math>の終点が始点を中心とする円運動(球面運動)をするということである。 また、ベクトル関数が変数に依らず常に同一方向を向く条件も見てみよう（但し<math>\boldsymbol{f}(x)\neq\boldsymbol{0}</math>）。 :所与の条件は零ベクトルでない定ベクトル<math>\boldsymbol{c}</math>を用いて<math>\boldsymbol{f}(x) = f(x)\boldsymbol{c}</math>と表される。 :両辺微分して<math>\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}=f'(x)\boldsymbol{c}</math> :ここで元のベクトル関数との外積をとると :<math>\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}\times\{f'(x)\boldsymbol{c}\}=f(x)f'(x) (\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{c})=f(x)f'(x)\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}</math> :逆に、 :<math>\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{0}</math>とすると一次従属なので :<math>\boldsymbol{f}'(x)=g(x)\boldsymbol{f}(x)</math>という微分方程式が成り立つ。 :各成分ごとに微分方程式を解くと、 ::これは変数分離型微分方程式なので第i成分は ::<math>\frac{df_i}{dx}=g(x)f_i(x)</math> ::<math>\int \frac{df_i}{f_i(x)}=\int g(x)dx</math> ::<math>G'(x)=g(x), C_i</math>を積分定数として<math>\log|f_i(x)|=G(x)+C_i</math> ::<math>C_i=\pm e^{C_i}</math>と改めておくと<math>f_i(x)=C_i e^{G(x)}</math> :よって :<math>\boldsymbol{f}(x)=\sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i = \sum_i C_i e^{G(x)} \boldsymbol{e}_i = e^{G(x)} \sum_i C_i \boldsymbol{e}_i</math> :ここで<math>f(x)=e^{G(x)}, \boldsymbol{c}=\sum_i C_i \boldsymbol{e}_i</math>と置くと :<math>\boldsymbol{f}(x) = f(x) \boldsymbol{c}</math>となり、方向は変数に依らず一定であることが判る// よって、以下が成り立つ。 {{定理|(平行条件の定理)}} <math>\boldsymbol{c},\boldsymbol{f}(x)\neq\boldsymbol{0}</math>として :<math>\boldsymbol{f}(x)=f(x)\boldsymbol{c} \iff \boldsymbol{f}(x) \times \boldsymbol{f}'(x) = \boldsymbol{0}</math> {{定理終わり}} ベクトル解析では三次元空間の場合を考えることが多いため上では外積を用いて証明したが、外積は3項ベクトル（または7項ベクトル）にしか定義されないのであった。 一般次元では外積に代わって次の関係式を用いる。 :<math>|\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)|=\|\boldsymbol{f}(x)\|\|\boldsymbol{f}'(x)\|</math> これはCS不等式の等号成立の場合である。 実際、<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\|\boldsymbol{f}(x)\|\|\boldsymbol{f}'(x)\|\cos\{\theta(x)\}</math>より等号成立の必要十分条件は :<math>\cos\{\theta(x)\}=\pm1\iff\theta(x) \equiv 0 \,(\mathrm{mod}\pi)</math> であり、2ベクトル<math>\boldsymbol{f}(x), \boldsymbol{f}'(x)</math>は平行とわかる。<br/> 平行ということは一次従属ということなので先程のように変数分離形微分方程式を解くことで3次元と同じ結果を得る。// 補足として、力学への応用を考える。 :速さの二乗<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|^2</math>を時間微分すると :<math>\frac{d}{dt}\|\boldsymbol{v}(t)\|^2=\frac{d}{dt}(\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t))=\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}\cdot\boldsymbol{v}(t)+\boldsymbol{v}(t)\cdot\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}=2(\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t))</math> :よって等速運動の条件<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|=\mathrm{const}.</math>は直交条件の定理から<math>\boldsymbol{v}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)</math>に同値である。 :これを力学的に解釈すると、「加速度ベクトルは速度ベクトル方向に仕事をしないから速度ベクトルの大きさを変えずに向きだけを変える」となる。 :平面上で等速円運動を考えると円運動条件から<math>\boldsymbol{r}(t)\perp\boldsymbol{v}(t)</math>、等速条件から<math>\boldsymbol{v}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)</math>なので<math>\boldsymbol{r}(t) /\!/ \boldsymbol{a}(t)</math>が出てくる。 :円運動条件<math>\|\boldsymbol{r}(t)\|^2=r^2</math>を一階微分すると ::<math>2\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{r}'(t)=0</math> :もう一度微分して ::<math>2(\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{r}''(t)+\boldsymbol{r}'(t)\cdot\boldsymbol{r}'(t))=0</math> :則ち ::<math>\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t)+\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t)=0</math> :位置ベクトルと加速度ベクトルが一次従属なので<math>\boldsymbol{a}(t)=\lambda\boldsymbol{r}(t)</math>であり、等速条件より<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|=v</math>なので ::<math>\lambda r^2 + v^2 = 0</math> ::<math>\therefore \lambda = -\frac{v^2}{r^2}<0</math> :則ち<math>\boldsymbol{r}(t)</math>と<math>\boldsymbol{a}(t)</math>は逆向きであり、円運動の中心は<math>\boldsymbol{r}(t)</math>の始点なので<math>\boldsymbol{a}(t)</math>は常に円運動の中心を向く'''向心加速度'''であることが証明された。// なお、3次元以上では「<math>\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\land\boldsymbol{b}\perp\boldsymbol{c}\implies\boldsymbol{a}/\!/\boldsymbol{c}</math>」が一般には成り立たないのでこの議論を成立させるには追加の条件が必要である。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>の不定積分は、各<math>f_i(x)</math>の原始関数を並べたベクトルを<math>\boldsymbol{F}(x)</math>として :<math>\int \boldsymbol{f}(x) dx = \boldsymbol{F}(x)+\boldsymbol{C}</math>（<math>\boldsymbol{C}</math>は各積分定数を並べたベクトル） と表される。 また、定積分は :<math>\int^b_a \boldsymbol{f}(x) dx=\boldsymbol{F}(b)-\boldsymbol{F}(a)</math> と表される。 1変数ベクトル関数の積分について、以下が成り立つ（不定積分表記だが定積分に就ても同様）。 #定数倍の原始関数：<math>\int \{k\boldsymbol{a}(x)\} dx = k\int\boldsymbol{a}(x)dx</math> #和・差の原始関数：<math>\int \{\boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x)\}dx=\int\boldsymbol{a}(x)dx\pm\int\boldsymbol{b}(x)dx</math> #内積の原始関数<math>\int \{\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \cdot \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)</math> #外積の原始関数<math>\int \{\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \times \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)</math> #スカラー倍の部分積分：<math>\int f(x)\boldsymbol{a}'(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f'(x)\boldsymbol{a}(x) dx \iff \int f'(x)\boldsymbol{a}(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f(x)\boldsymbol{a}'(x) dx</math> #内積の部分積分：<math>\int \{ \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}dx</math> #外積の部分積分：<math>\int \{ \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}dx</math> #置換積分：<math>u=f(x)</math>として<math>\int \boldsymbol{a}'\{f(x)\}f'(x) dx = \int \boldsymbol{a}(u)du</math> 平行条件の定理の証明でベクトル関数の微分方程式を解いたように、成分毎に考えることで解空間ベクトルを求められる。 :1階線型常微分方程式<math>\boldsymbol{f}'(x)+a(x)\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{b}(x)</math>の解に就て考える。 :第<math>i</math>成分を考えると<math>f'_i(x)+a(x)f_i(x)=b_i(x)</math>という1階線型常微分方程式を得るので、 :両辺に積分因子<math>\mu(x)=\exp\left(\int a(x) dx\right)</math>を掛けることで :<math>f_i(x)=\frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\}</math>を得る。 :よって一般解は :<math>\boldsymbol{f}(x) = \sum_i \frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\} \boldsymbol{e}_i=\frac{1}{\mu(x)}\left\{ \int \mu(x) \boldsymbol{b}(x) dx + \boldsymbol{C} \right\}</math> ベクトル関数は必ずしもここで扱った<math>\boldsymbol{f}: \mathbb{R}\to\mathbb{R}^n</math>のみを指さない。 例えば、ベクトル変数 <math>\boldsymbol{x}= \sum_i g_i (x) \boldsymbol{e}_i</math>に対して :<math>\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})=\sum_i (h_i \circ g_i) (x) \boldsymbol{e}_i</math> と定義されるような関数<math>\boldsymbol{h}:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</math>もベクトル関数である。 また、始域と終域の次元が異なる<math>\boldsymbol{i}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n \, (m, n\neq1)</math>のようなベクトル関数も考えられる。 一般に、始域が<math>\mathbb{R}^n (n\neq1)</math>であっても終域が<math>\mathbb{R}</math>である関数はベクトル関数に対して'''スカラー関数'''（scalar function）と呼ばれる。スカラー関数は入力ベクトルを「変数の組」と見れば通常の多変数関数に一致する。 この節で述べた理論は、多くは一般のベクトル関数に対しても成り立つ。但し、後述のヤコビ行列のような拡張を必要とするものもある。 また、多変数ベクトル関数<math>\boldsymbol{f}(x_1, x_2,\cdots,x_n)</math>を考えたとき、多変数微積分の理論は一変数微積分と同様にしてベクトル関数にもそのまま拡張される。 ===ベクトル場・スカラー場=== 写像<math>\boldsymbol{a}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</math>を'''ベクトル場'''（vector field）という。 実際には<math>m=n</math>の場合を考えることが多い。 写像<math>\varphi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>を'''スカラー場'''（scalar field）という。 それぞれ上で述べたベクトル関数・スカラー関数に対応する。 もう少し具体的に述べると、空間の領域<math>V</math>が与えられたときその各点にスカラーまたはベクトルを割り当てたものが場である。要するに、<math>p\in V</math>とすると :スカラー場：<math>\varphi=\varphi(p)</math> :ベクトル場：<math>\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}(p)</math> のように場は「点を入力とする^※関数」である。 <small>※なお、ベクトル場を図示するときは「出力されたベクトルの'''始点は原点でなく入力された点'''」であることに注意が必要である。出力ベクトルの成分表示は「入力点を基準に据えたときの位置ベクトル」なので原点から目盛を数えることに意味はない。</small> ここで<math>V</math>に何かしらの座標が設定されていれば、その座標系の変数の組をベクトルと見做すことで場を「通常のスカラー関数・ベクトル関数」として扱えるのである。 則ち、「滑らかな場」という概念は「滑らかな関数」として定義することができる。より具体的に言うと、スカラー場・ベクトル場が'''滑らか'''であるとは対応するスカラー関数・ベクトル関数が<math>C^\infty</math>級であることである。但し、滑らかさは任意の座標変換で保たれるわけではないことに注意が必要である（後述の座標変換テンソル及びその逆行列の全ての成分関数が滑らかである必要がある）。 ここで、二変数関数の極値を思い返してみる。 <math>z=f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>で極大であるとは<math>\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>として :<math>\exist \delta>0, \forall {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in \mathbb{R}^2, {\scriptstyle\left\| \left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right) \right\|} < \delta \implies f(x, y) \leq f(a, b)</math> という定義だった。 <math>z=f(x, y)</math>は曲面を表すが、これを<math>z</math>軸正方向から<math>xy</math>平面に射影するとその陰が<math>(x, y)</math>の動く範囲となるのであった。 ここで<math>\boldsymbol{x}:=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \boldsymbol{\alpha}:=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>とすると<math>z=f(x, y)</math>はスカラー場<math>z=\phi(\boldsymbol{x})</math>と解釈することができ、更に条件法の前件は<math>\boldsymbol{\alpha}</math>の<math>\delta</math>-開球（二次元なので開円板）である。 なので、極大値の定義式をベクトル解析的に解釈すると「<math>xy</math>平面の各点に<math>z</math>の値を割り当てた数分布に於いて、開円板<math>B_\delta(\boldsymbol{\alpha})</math>内部に於ける<math>z</math>の最大値が<math>\phi(\boldsymbol{\alpha})</math>となるような正数<math>\delta</math>が存在する」ということである。 ベクトル場の例としては、電場・磁場・重力場などが挙げられる。 スカラー場の例としては、電位分布・温度分布・圧力分布などが挙げられる。 例えば、ベクトル場<math>\boldsymbol{f}=(x, 0, 0)</math>は、<math>\mathbb{R}^3</math>内の平面<math>x=k</math>上の任意点に、その点を始点とするベクトル<math>\begin{pmatrix} k \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>が存在する状態を表す。 ベクトル場の和は、出力ベクトルの型が同じならばベクトル場の成分の和をとったものに等しい。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x, y, z)=(y, z, x), \boldsymbol{g}(x, y, z)=(z, x, y)</math>について :<math>(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g})(x, y, z)=(y, z, x)+(z, x, y)=(y+z, z+x, x+y)</math>である。 これは、ベクトル場の加法の定義が :<math>\forall p \in V, (\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g})(p):=\boldsymbol{f}(p)+\boldsymbol{g}(p)</math> となっていて且つ<math>V</math>に座標を入れればベクトル関数の加法則をそのまま適用できるためである（入力点が異なるとき、場同士は足すことができない）。 曲線<math>\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2 \mid \varphi(\boldsymbol{x})=\mathrm{const}.\}</math>を'''等高線'''（等高曲線）、曲面<math>\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^3 \mid \varphi(\boldsymbol{x})=\mathrm{const}.\}</math>を'''等位面'''（等位曲面）という。これらの詳細は後述する。 ==曲線論・曲面論== ===曲線=== <math>xy</math>平面上の曲線は<math>y=f(x) (x\in[a, b])</math>という陽関数表示で扱うことが多かった。しかし、これだと自分自身と交わる（'''自己交叉'''する）曲線や<math>x=x_0</math>に対して<math>f(x_0)</math>の値が複数存在する（<math>f</math>が'''多価関数'''）場合に不都合が生じる。 例えば円を陽関数表示しようとすると :<math>x^2+y^2=r^2</math>を<math>y</math>に就いて解いて :<math>y=\pm\sqrt{r^2-x^2}</math> 則ち :<math>y=\begin{cases} \sqrt{r^2-x^2} & (y\geq0) \\ -\sqrt{r^2-x^2} & (y<0) \end{cases}</math> という多価関数が必要になる。 これだと端点の振舞を一々調べる必要があって曲線の連続性や接線の議論が煩雑になってしまう。 しかし、先程も述べたように曲線の媒介変数表示はベクトル関数として見れるのであった。 :<math>\boldsymbol{r}(\theta) = r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}</math>（再掲） こうすると一変数連続ベクトル関数によって曲線を表すことが可能である。物理的に捉えると「質点の運動の軌跡を原点からの位置ベクトルの時間変化で表す」ということである。 一般に、<math>\boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^n, t \in I</math>としてベクトル方程式<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>の解集合<math>\{\boldsymbol{r}(t) \mid t \in I \}</math>は<math>n</math>次元空間内の曲線<math>C</math>を表す。これを<math>C</math>の'''ベクトル表示'''という。 ベクトル表示は成分表示に直せば<math>\boldsymbol{r}(t)=\sum_i r_i(t)\boldsymbol{e}_i</math>となる。これは媒介変数表示<math>\begin{cases} x_1&=&r_1(t) \\ x_2&=&r_2(t) \\ &\,\,\vdots& \\ x_n&=&r_n(t) \end{cases}</math>をベクトル表記したものに一致する。 例えば、<math>\boldsymbol{r}(t)=\begin{pmatrix} a\cos t \\ a\sin t \\ bt \end{pmatrix}</math>は'''常螺旋'''（弦巻線）のベクトル表示である。 パラメータが増加するときの点の移動方向を曲線の'''正の向き'''と定める。曲線の'''負の向き'''はパラメータが減少するときの点の移動方向である。このとき、パラメータで'''向き付け'''された曲線という表現もなされる。曲線<math>C</math>に対し、同じパラメータを用いた逆向きの曲線を<math>-C</math>と表す。ベクトル表示では<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>に対して<math>-C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(-t)</math>ということである。 パラメータに関する変数変換<math>u=\phi(t)</math>を考える。但し、<math>\phi</math>は広義単調関数とする^※。このとき、<math>\frac{du}{dt}</math>が非負ならば曲線の向き付けが保たれ、非正ならば向き付けが反転する。<math>\frac{du}{dt}=0</math>となる領域では点の運動が停止する。 <small>※<math>\phi</math>が非単調関数のときは曲線上の点が行ったり来たりすることになるため曲線のパラメータ表示としては扱いづらい。</small> <math>\boldsymbol{r}(t) \in C^1</math>且つ<math>\boldsymbol{r}'(t)\neq\boldsymbol{0}</math>であるとき、曲線<math>C</math>は'''滑らか'''であるという。 滑らかな曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>に対して<math>\boldsymbol{r}'(t)</math>を<math>C</math>の'''速度ベクトル'''という。 <math>\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boldsymbol{r}</math>として点<math>\mathrm{P}(t)</math>に於ける速度ベクトルは<math>\lim_{\Delta t\to0}\frac{\boldsymbol{r}(t+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t)}{\Delta t}</math>の極限ベクトルであるが、<math>\boldsymbol{r}(t+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t)</math>を図示することで速度ベクトルが曲線<math>C</math>の点<math>\mathrm{P}(t)</math>に於ける接線の方向ベクトルになっていることがわかる。よって、速度ベクトルを'''接線ベクトル'''（接ベクトル）ともいう。 速度ベクトルが非零である曲線を'''正則'''な曲線と呼ぶ。滑らかな曲線は正則曲線である。 なお、一般には陽関数表示が区分的であることとベクトル表示の成分関数が区分的であることに対応はないほか、パラメータの取り方で速度ベクトルが変わるので「曲線の幾何学的滑らかさ」と「ベクトル表示した関数の解析学的滑らかさ」は一致するとは限らない。 正則な曲線に対して曲線長（'''弧長'''）を考える。 二次元曲線の場合は数学Ⅲで既に扱った。 :<math>L=\int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt</math> 実は、これを一般の<math>n</math>次元にそのまま拡張することができる。 {{定理|(弧長公式)}} 曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>の点<math>\mathrm{P}(a)</math>から点<math>\mathrm{P}(b)</math>までの長さ（<math>a<b</math>）は :<math>L=\int_a^b \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math> で与えられる。 {{定理終わり}} *証明 :<math>a=t_0, b=t_m</math>として閉区間<math>[a, b]</math>を各<math>t_i</math>で等分割する。このとき小区間<math>[t_{k-1}, t_k]</math>の長さは<math>\Delta t=\frac{b-a}{m}</math>。 :<math>C</math>の点<math>\mathrm{P}(a)</math>から点<math>\mathrm{P}(b)</math>までの長さ<math>L</math>は折れ線の長さ<math>\overline{\mathrm{P}(t_{k-1})\mathrm{P}(t_k)}</math>の総和で近似される。 :ここで<math>\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boldsymbol{r}(t)</math>より ::<math>L_m=\sum_{k=1}^m \| \boldsymbol{r}(t_k)-\boldsymbol{r}(t_{k-1}) \| = \sum_{k=1}^m \left\| \frac{\boldsymbol{r}(t_{k-1}+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t_{k-1})}{\Delta t-0} \right\|(\Delta t-0)</math> :分割を限りなく細かくする極限をとると<math>m\to\infty</math>より<math>\Delta t\to0</math>なので ::<math>\lim_{m\to\infty} L_m = \sum_{k=1}^\infty \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}(t_{k-1}) \right\|dt</math> :区分求積法より最後の無限級数は収束して :<math>L=\int_a^b \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math>// ここで、<math>dl:=\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math>という微小量を'''線素'''と呼ぶ。 1を線素に関して積分したパラメータ<math>s:=\int_0^t d\ell</math>を'''弧長パラメータ'''（標準パラメータ）という。弧長パラメータは曲線上で「基準点からの符号付き距離」を表す。 曲線の弧長パラメータによるベクトル表示（'''弧長パラメータ表示'''）を考える。<math>s=\int_0^t \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math>で正則よりノルムは正。則ち<math>\frac{ds}{dt}>0</math>より<math>s=\phi(t)</math>は狭義単調増加なので、逆関数<math>t=\phi^{-1}(s)</math>を考えることができる。よって、<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>に<math>t=\phi^{-1}(s)</math>を代入した<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\phi^{-1}(s))</math>が弧長パラメータ表示である。これを<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>と略記してしまうことも多いが、'''一般には元の<math>\boldsymbol{r}(t)</math>と成分関数が異なる'''ことに注意。 通常の媒介変数によるベクトル表示は「座標系が予め与えられた状況」での表示であるが、弧長パラメータは座標系を取り替えたとしても表す曲線そのものが変わらなければ不変である。よって、「座標系に依存しない表記」として弧長パラメータ表示は多く利用されている。 また、弧長パラメータ表示で連鎖律を適用すると :<math>\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\cdot\frac{dt}{ds}=\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\cdot\frac{1}{\frac{ds}{dt}}</math> ここで微分積分学の基本定理より :<math>\frac{ds}{dt}=\frac{d}{dt} \int_0^t \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt = \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|</math> なので :<math>\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\frac{\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}}{\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|}</math> であり、自身のノルムで割ってるので恒等的に<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} \right\|=1</math>である。 よって、弧長パラメータ表示された曲線の接ベクトルは常に単位ベクトルである。 弧長パラメータ表示された曲線で線素を考えると<math>s=\int_0^s \left\| \frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds} \right\| ds = \int_0^s d\ell</math>だが、常に<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} \right\|=1</math>なので<math>ds=d\ell</math>であり、弧長パラメータの微小量は線素に等しい（弧長パラメータそのものが1の線素に関する積分なので当たり前ではある）。 <math>\boldsymbol{e}_\dagger(s)=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}</math>と置くと、点<math>\mathrm{P}(s_0)</math>に於ける接線の方程式は :<math>\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s_0)=\boldsymbol{e}_\dagger(s_0) (s-s_0)</math> と表される。 ここで<math>\boldsymbol{r}(s)</math>の中心<math>s_0</math>に於けるテイラー展開は :<math>\boldsymbol{r}(s)=\sum_{i=0}^\infty \frac{(s-s_0)^i}{i!} \frac{d^i}{ds^i}\boldsymbol{r}(s_0) </math> であり、「接線が一次近似に対応する」という構造はベクトル関数でも維持されることが判った。 領域<math>\boldsymbol{D}</math>上の滑らかなベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>について、微分方程式<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t)) (\boldsymbol{r} \in \boldsymbol{D})</math>で与えられる曲線<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>を<math>\boldsymbol{a}</math>の'''流線'''（streamline）という（入力点を位置ベクトルと同一視していることに注意）。流線の接線ベクトルは元のベクトル場そのものになるので、ベクトルの相等から得る方程式<math>\frac{dx_1}{a_1}=\frac{dx_2}{a_2}=\cdots=\frac{dx_n}{a_n}</math>を'''流線方程式'''という。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x, y)=(y, x)</math>の流線は、 :定義から<math>\frac{dx}{dt}=y, \frac{dy}{dt}=x</math> :合成関数の微分公式から<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{x}{y}</math> :<math>\int y dy=\int xdx</math> :<math>\frac{1}{2}y^2=\frac{1}{2}x^2+C</math> :よって双曲線<math>y^2-x^2=2C</math>// この場合、<math>t</math>に関する2つの微分方程式を組み合わせることで :<math>\frac{d^2x}{dt^2}=x, \frac{d^2y}{dt^2}=y</math>という二階線型常微分方程式となり、一般解が双曲線関数を用いて<math>\begin{cases} x=C_1\cosh t+C_2\sinh t \\ y=C_1\sinh t+C_2\cosh t \end{cases}</math>であることが容易に判る。<br>なお、流線方程式を用いても<math>\frac{dx}{y}=\frac{dy}{x}</math>から<math>\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}</math>が出てくる。 「流線の接線ベクトルが元のベクトル場になる」とはつまり、「接線が常にベクトル場と平行になるような曲線」を考えているということである。滑らかなベクトル場を考えているためそのような曲線は常に存在する。流線は「ベクトル場の流れを繋げていった曲線」と考えることができるので、「流れを簡潔に図示」するのにちょうどよい。 有名な例として、電気力線・磁力線はそれぞれ電場<math>\boldsymbol{E}</math>・磁場<math>\boldsymbol{H}</math>の流線である。 流線の微分方程式を弧長パラメータ表示を用いて変形する。 :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))</math>の左辺に就いて :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\frac{ds}{dt}=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot \|\boldsymbol{r}'(\phi^{-1}(s))\|</math> 元の方程式の両辺でノルムをとると :<math>\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|=\|\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))\|</math> 代入して :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\|\boldsymbol{r}'(\phi^{-1}(s))\|=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\|\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))\|</math> :<math>\therefore \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} = \boldsymbol{e}_{\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(\phi^{-1}(s)))}</math> ここから、流線の形状はノルムには関係なく方向場のみで決まることがわかる。 ===フレネ標搆=== ここでは、三次元空間に於ける正則曲線について考える。 <math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>上の点<math>\mathrm{P}(s)</math>に於ける単位接線ベクトルを<math>\boldsymbol{t}</math>とおく。 先程の議論より<math>\boldsymbol{t}(s)=\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}</math>であり、<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds} \right\|=1 (=\mathrm{const}.)</math>なので直交条件の定理から<math>\boldsymbol{t}\cdot\frac{d\boldsymbol{t}}{ds}=0</math>、則ち<math>\boldsymbol{t} \perp \frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}</math>である。この<math>\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}</math>を'''主法線ベクトル'''という。 主法線ベクトルを<math>\boldsymbol{n}</math>とおくとき、<math>\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n}</math>を'''従法線ベクトル'''（陪法線ベクトル）という。ここで先程の結果より<math>\boldsymbol{t}\perp\boldsymbol{n}</math>であって<math>\boldsymbol{b}</math>の定義より<math>\boldsymbol{t}\perp\boldsymbol{b}, \boldsymbol{n}\perp\boldsymbol{b}</math>なので、この3ベクトルの組を正規化した<math>\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b \}</math>は<math>\mathbb{R}^3</math>の正規直交基底である。これを<math>\mathbb{R}^3</math>の'''フレネ標搆'''という。外積の結果よりフレネ標搆は<math>\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b</math>の順に右手系をなす。なお、接線ベクトル・主法線ベクトル・従法線ベクトルは全て曲線の位置ベクトル<math>\boldsymbol{r}(s)</math>を入力したベクトル場として捉えることができる。 <math>\{\boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b \}</math>の張る平面を'''法平面'''、<math>\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_b \}</math>の張る平面を'''展直平面'''、<math>\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n \}</math>の張る平面を'''接触平面'''という。 即ち、法平面・展直平面・接触平面は<math>tnb</math>空間の点<math>\mathrm{P}(s)</math>を原点とした基準面である。 平面の方程式の法線ベクトルに接ベクトル・主法線ベクトル・従法線ベクトルをそれぞれ代入することで :法平面の方程式：<math>(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{t}(s)=0</math> :展直平面の方程式：<math>(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{n}(s)=0</math> :接触平面の方程式：<math>(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{b}(s)=0</math> とわかる。 <math>\|\boldsymbol{t}\|=1</math>は常に成り立つが<math>\|\boldsymbol{n}\|, \|\boldsymbol{b}\|</math>は<math>1</math>とは限らない。そこで、主法線ベクトルの大きさ<math>\kappa(s)=\|\boldsymbol{n}(s)\|</math>を曲線<math>C</math>の'''曲率'''と呼ぶことにする。なお、<math>\|\boldsymbol{b}\|=\| \boldsymbol{t} \| \|\boldsymbol{n}\|\sin\frac{\pi}{2}</math>より<math>\|\boldsymbol{b}\|=\|\boldsymbol{n}\|=\kappa</math>が成り立つ。 主法線ベクトルの定義に立ち戻ると<math>\boldsymbol{n}(s)=\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}</math>であった。つまり、主法線ベクトルは接ベクトルの速度ベクトルなので「弧長パラメータを変化させたときに接ベクトルがどのくらい変化するか」という指標である。接ベクトルの変化の大小と<math>\kappa</math>の大小は対応し、接ベクトルの大小はカーブの緩急に対応することから<math>\kappa</math>の大小とカーブの緩急も対応する。これが「曲率」という名前の由来である。 なお、<math>\kappa(s)=0</math>の場合は<math>\boldsymbol{n}(s)=\boldsymbol{0}</math>なので<math>\boldsymbol{t}(s)=\boldsymbol{k}</math>（定ベクトル）であり、<math>\boldsymbol{r}(s)=s\boldsymbol{k}</math>という直線の場合に対応することがわかる。 単位接ベクトルの<math>s</math>を微分変数とする導関数（<math>s</math>-導関数）は主法線ベクトルだったが、単位主法線ベクトル・単位従法線ベクトルの<math>s</math>-導関数がどのように表されるか見ていく。 ここで、フレネ標搆が<math>\mathbb{R}^3</math>の正規直交基底であることから、<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}, \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}</math>ともにフレネ標搆の一次結合で表現できると予想される。 単位従法線ベクトルに就いて :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\frac{d}{ds}(\boldsymbol{e}_t\times\boldsymbol{e}_n)=\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\times\boldsymbol{e}_n+\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math> <math>\boldsymbol{t}=\boldsymbol{e}_t</math>より<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\boldsymbol{n}=\kappa\boldsymbol{e}_n</math>則ち<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\times\boldsymbol{e}_n=\kappa\boldsymbol{e}_n\times\boldsymbol{e}_n=\boldsymbol{0}</math>なので :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math> <math>\|\boldsymbol{e}_n\|=1</math>から直交条件の定理より<math>\boldsymbol{e}_n\perp\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math>なので :<math>\boldsymbol{e}_n\times\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\boldsymbol{e}_n\times(\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds})=\left(\boldsymbol{e}_n\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}\right)-(\boldsymbol{e}_n\cdot\boldsymbol{e}_t)\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\boldsymbol{0}</math> 外積が零ベクトルなので<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds} /\!\!/ \boldsymbol{e}_n</math>であり、一次従属より :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n</math> となるスカラー関数<math>\tau(s)</math>が存在する。 この<math>\tau(s)</math>を曲線<math>C</math>の'''捩率'''と呼ぶ。捩率は接触平面の回転（捩れ）の率を表す。 <math>\tau=0</math>ならば<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=0</math>より<math>\boldsymbol{e}_b</math>方向は変化しないので曲線は接触平面と平行な平面上に拘束される。即ち、<math>C</math>は平面曲線である。 単位主法線ベクトルに就いて :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\frac{d}{ds}(\boldsymbol{e}_b\times\boldsymbol{e}_t)=\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}\times\boldsymbol{e}_t+\boldsymbol{e}_b\times\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}</math> ここで<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\kappa\boldsymbol{e}_n, \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n</math>を代入して :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n\times\boldsymbol{e}_t+\boldsymbol{e}_b\times\kappa\boldsymbol{e}_n=\tau\boldsymbol{e}_b-\kappa\boldsymbol{e}_t</math> よって、フレネ標搆の弧長パラメータを微分変数とする導関数を以下のようにフレネ標搆の一次結合で表すことができた。 :<math>\begin{cases} \frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\kappa\boldsymbol{e}_n \\ \frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds} = \tau\boldsymbol{e}_b-\kappa\boldsymbol{e}_t \\ \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n \end{cases}</math> これを一次変換で表記すると以下のようになる。但し、厳密にはベクトルを成分としている部分は列ではなく行に配置するのが正しいことに注意。 {{定理|(フレネ＝セレーの公式)}} :<math>\frac{d}{ds}\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix}</math> {{定理終わり}} 表現行列が反対称行列（歪対称行列）になっているが、これは「直交変換を一次近似すると反対称変換になる」という無限小回転の理論に対応する。 捩率を求めるときは「基底分解の係数は対応する基底ベクトルとの内積に等しい」という性質を利用すれば<math>\boldsymbol{e}_b\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\tau</math>となるので左辺を計算すればよい。 例えば、円<math>\begin{cases} x^2+y^2=a^2 \\ z=b \end{cases}</math>の曲率と捩率は以下のように求まる。 :媒介変数表示して<math>\boldsymbol{r}(t)=\begin{pmatrix} a\cos t \\ a\sin t \\ b \end{pmatrix}</math> :接線ベクトルは<math>\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -a\sin t \\ a\cos t \\ 0 \end{pmatrix}</math> :弧長パラメータ<math>s</math>は<math>s=\int^t_0 \left\|\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\right\|dt = \int_0^t a dt = at</math> :<math>\therefore t=\frac{s}{a}</math> :<math>\boldsymbol{r}(s)=\begin{pmatrix} a\cos\frac{s}{a} \\ a\sin\frac{s}{a} \\ b \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{t}=\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\begin{pmatrix} -\sin\frac{s}{a} \\ \cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{n}=\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}=\frac{1}{a}\begin{pmatrix} -\cos\frac{s}{a} \\ -\sin\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\kappa=\|\boldsymbol{n}\|=\frac{1}{a}</math> :<math>\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{a} \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{e}_n=\begin{pmatrix} -\cos\frac{s}{a} \\ -\sin\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\frac{1}{a}\begin{pmatrix} \sin\frac{s}{a} \\ -\cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{e}_b = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> :<math>\tau = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{a}\begin{pmatrix} \sin\frac{s}{a} \\ -\cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>// フレネ・セレーの公式は[[線型代数学続論/行列値関数|行列関数]]に関する一階常微分方程式である。そのため、微分方程式の基本定理（ピカール=リンデレーエフの定理）により初期条件（<math>s=0</math>に於けるフレネ標搆）を与えれば、滑らかな曲率関数・捩率関数の組<math>(\kappa, \tau)</math>を定めることで微分方程式の解として一般の<math>s</math>に対するフレネ標搆を一意に得る。このとき、曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>は接ベクトルを出発点を選んで積分することで決定される。 従って、次の定理が成り立つ<!-- 厳密証明はhttps://sshmathgeom.private.coocan.jp/diffgeom/curvetheorem.htmlを参照 -->。 {{定理|(曲線の基本定理)}} 開区間<math>(a,b)</math>上の実数<math>s</math>を変数とする2つの滑らかな関数<math>\kappa(s),\tau(s)</math>を与える。但し、<math>\kappa(s)</math>は正とする。<br/> このとき、<math>\kappa(s)</math>を曲率、<math>\tau(s)</math>を捩率、<math>s</math>を弧長パラメータとする三次元空間上の曲線<math>C</math>が剛体運動を除いて一意に定まる。 {{定理終わり}} 剛体運動とは「曲線の形を変えない」運動のことである（平行移動・回転など）。 <math>\kappa(s), \tau(s)</math>の定める曲線族を一般に<math>\mathcal{C}[\kappa, \tau]</math>と書く。 例えば、円を含む螺旋は<math>c_1, c_2=\mathrm{const}.</math>として<math>\mathcal{C}[c_1, c_2]</math>と書ける。 <math>R=\frac{1}{\kappa}</math>を'''曲率半径'''という。曲率半径は曲線の特定のカーブにおける曲がり具合の急さを表す指標であり、カーブを近似する真円（'''密着円'''）の半径でもある。高速道路の標識で<math>R=\circ\circ \mathrm{m}</math>は、そのカーブの曲率半径を示している。道路設計では、快適なドライブの為曲率半径がなるべく大きくなるように工夫を凝らしている。 ここで<math>\boldsymbol{r}(s)</math>の中心<math>s_0</math>に於けるテイラー展開は :<math>\boldsymbol{r}(s)=\sum_{i=0}^\infty \frac{(s-s_0)^i}{i!} \frac{d^i}{ds^i}\boldsymbol{r}(s_0) </math>（再掲） だったが、二次近似式（三次以降を切り捨てた式）を考えると :<math>\boldsymbol{r}(s) \fallingdotseq \boldsymbol{r}(s_0)+\frac{d\boldsymbol{r}(s_0)}{ds}(s-s_0) + \frac{1}{2}\frac{d^2\boldsymbol{r}(s_0)}{ds^2}(s-s_0)^2 </math> フレネ標搆を用いて書き直すと :<math>\boldsymbol{r}(s) \fallingdotseq \boldsymbol{r}(s_0)+\boldsymbol{e}_t(s-s_0) + \frac{1}{2}\kappa(s_0)\boldsymbol{e}_n(s-s_0)^2 </math> 二次近似とは「曲線を円弧で近似する」ことだったので曲率<math>\kappa(s_0)</math>が近似に用いる円弧と関係ある量であることが予想される。<br/> 接触平面で密着円<math> \| \boldsymbol{r} - (\boldsymbol{r}(s_0)+R\boldsymbol{e}_n) \| = R </math>を考える。接触平面を<math>xy</math>平面と考えると円の方程式は :<math>x^2+(y-R)^2=R^2</math> :<math>y=R-\sqrt{R^2-x^2}</math> テイラー展開して :<math>y=\frac{x^2}{2R}+O(x^4)</math> 二次の項を比較すると :<math>\frac{x^2}{2R}=\frac{(s-s_0)^2}{2}\kappa</math> よって :<math>R=\frac{1}{\kappa}</math> と定義するのは妥当である。 なお、先ほど求めた円の曲率から、真円に関して「曲率半径=半径」であることが判る。 フレネ・セレーの公式で最初の二行二列のみを考えると<math>\mathbb{R}^2</math>内の曲線に対するフレネ・セレーの公式を得る。一般に<math>\mathbb{R}^n</math>上の曲線に対し、今回の議論と同様にして接ベクトル・主法線ベクトル・曲率を定義することができる。但し、三次元空間と異なって同じ曲率に対して異なる曲線を与えることができる（主法線ベクトルが接触平面内で接ベクトルに対して左右どちらを向くかがそのままでは定まらないため）。なお、4次元以上であっても平面拘束曲線ならば捩率は0であって従法線ベクトルは零ベクトルに定まる。 ===単純閉曲線=== パラメータ区間を<math>I=[a, b]</math>とする。 このとき、曲線の端点はそれぞれ<math>\mathrm{P}(a), \mathrm{P}(b)</math>である。 端点が一致する、つまり<math>\mathrm{P}(a)=\mathrm{P}(b)</math>である連続曲線を'''閉曲線'''という。 自己交叉しない、つまり<math>\forall t_1, t_2 \in (a, b), t_1 \neq t_2 \iff \mathrm{P}(t_1)\neq\mathrm{P}(t_2)</math>となる閉曲線を'''単純閉曲線'''（ジョルダン曲線）という。閉曲線でない曲線に就いて「自己交叉しない」という条件は「曲線を表すベクトル関数が単射」と同値であるので、端点のみ単射性を外してやれば単純閉曲線の定義を得る。 幾何学的直観から、平面に拘束された単純閉曲線はその平面を単純閉曲線で囲まれた'''内部'''とそうでない'''外部'''の二つの領域に分割することが予想できる。 このことは以下の定理によって保証される。 {{定理|(ジョルダンの曲線定理)}} 平面<math>\Pi\subset\mathbb{R}^n</math>内の任意の単純閉曲線<math>\gamma</math>に対し、有界領域<math>I</math>・非有界領域<math>O</math>の組であって<math>\Pi\setminus\gamma=I \sqcup O</math>且つ<math>\partial{I}=\partial{O}=\gamma</math>であるものが唯一つに定まる。 {{定理終わり}} この<math>I, O</math>をそれぞれ内部・外部と定義する。証明は[[位相幾何学]]で行う。なお、「<math>\partial{I}=\partial{O}=\gamma</math>」を態々明示しているのは、滑らかでない単純閉曲線に対しては「<math>\Pi\setminus\gamma=I \sqcup O \implies \partial{I}=\partial{O}=\gamma</math>」が自明でないためである。 正則単純閉曲線に対して「曲線の向き」の幾何学的意味を考える。 ジョルダンの曲線定理より単純閉曲線<math>\gamma:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s) \quad(\boldsymbol{r}\in \Pi)</math>は平面<math>\Pi</math>を内部<math>I</math>と外部<math>O</math>に分割する。平面拘束曲線なので<math>\forall{s}, \tau(s)=0</math>であり、従法線ベクトルは零ベクトル且つ接触平面が常に<math>\Pi</math>に一致する。 主法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}(s)</math>が接ベクトル<math>\boldsymbol{t}(s)</math>に対して左側を向いているとすると、<math>\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0) \quad(\varepsilon>0)</math>が点<math>\mathrm{P}(s_0)</math>に於ける<math>\gamma</math>の進行方向左側にある点である。 ここで、<math>\mathrm{P}(s_0)</math>に於ける<math>\varepsilon</math>-開球<math>B_\varepsilon(s_0)</math>を考えると、平面<math>\Pi</math>上では<math>\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0)</math>が左側の領域、<math>\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0)</math>が右側の領域に入る。 <math>s=s_0</math>を動かすと各点で進行方向左は<math>I, O</math>のいずれかであり、<math>\gamma</math>の正則性と<math>I, O</math>の連結性から「<math>I, O</math>のどちらが左側であるかは曲線全体で変わらない」ことが言える。 ここで円の場合を考える。<math>\Pi</math>に直交座標<math>u, v</math>を入れると向心加速度の議論から「加速度ベクトル=主法線ベクトルは円の中心を向く」ので、「円の正の向きは円の内部を左手に見る進行方向」である。 任意の正則単純閉曲線<math>\gamma</math>に対して自己交叉を起こさないまま円へ連続変形する可逆写像が存在し、その変形に於いて「左側」と「<math>I, O</math>」の対応は変化しない。則ち、円で確認された「正の向きは囲まれた内部を左手に見る向き」は任意の正則単純閉曲線で成り立つ。 つまり、単純閉曲線の正の向きは点を動かしたときに'''自身の囲む領域の内部を左手に見る向き'''である。負の向きは左手に外部を見る向きである。 集合<math>A</math>に含まれる任意の2点に対してそれらを端点とする滑らかな曲線<math>C</math>をとれるとき、<math>A</math>は'''弧状連結'''であるという。 弧状連結集合<math>S</math>内の任意の閉曲線<math>\gamma</math>に対して1点に退化するような連続変形が可能なとき、<math>S</math>は'''単連結'''であるという。単連結でない集合は'''多重連結'''であるという。 平面<math>\Pi\subset\mathbb{R}^n</math>に含まれる単連結集合<math>S</math>に対し、<math>\hat{\Pi}:=\Pi\cup\{\infty\}</math>とすると集合<math>\hat{\Pi}\setminus{S}</math>は連結である。逆も成り立つ。 なお、「<math>A</math>が連結集合である」ことは「補集合<math>\overline{A}</math>が非連結集合である」ことを意味しない。そのため「単連結な連結集合」も考えられ、特に「単連結な領域」はこの先頻繁に登場する。 集合<math>A</math>に含まれる任意の2点を結んだ線分が<math>A</math>に包含されるとき、<math>A</math>は'''凸型'''であるという。凸型集合でない集合は'''凹型'''であるという。 集合<math>A</math>内の1点を固定してそこから<math>A</math>内任意点へ引いた線分が<math>A</math>に包含されるとき、<math>A</math>は'''星状'''（星型）であるという。このとき固定した点を'''星の中心'''という。凸型集合は全て星状集合である。 単純閉曲線<math>\gamma</math>を疆界とする内部<math>I</math>に関して<math>I\cup\gamma</math>が凸型集合であるとき、<math>\gamma</math>を'''卵形線'''（凸単純閉曲線・オーヴァル）という。 曲線<math>C</math>の曲率関数<math>\kappa(s)</math>が<math>C^3</math>級であるとき、<math>\kappa'(s_0)=0</math>を満たす点<math>\mathrm{P}(s_0)</math>を<math>C</math>の'''頂点'''という。 例えば、標準楕円<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>の頂点は4点<math>(\pm{a},0),(0,\pm{b})</math>である。このことは、<math>\mathbb{R}^2</math>上曲線<math>C:\boldsymbol{r}=x(t)\boldsymbol{e}_x(t)+y(t)\boldsymbol{e}_y(t)</math>に対する曲率の公式<math>\kappa(t)=\frac{\left|\frac{dx}{dt}\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\frac{d^2x}{dt^2}\right|}{\left\{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2\right\}^\frac{3}{2}}</math>と<math>\frac{ds}{dt}>0</math>を用いて確かめられる。 実は、この事実は楕円に限らないことが以下の定理で示される。 {{定理|(ムコパディヤーヤの定理・四頂点定理)}} <math>\mathbb{R}^2</math>上の滑らかな卵形線は少なくとも4つの頂点を持つ。 {{定理終わり}} *証明 :滑らかな卵形線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)\quad(s\in[a, b])</math>に対して曲率関数<math>\kappa(s)</math>は滑らかであり、<math>\kappa\in C^3</math>を満たす。 :卵形線は単純閉曲線なので<math>\mathrm{P}(a)=\mathrm{P(b)}</math>であり、<math>\kappa(a)=\kappa(b)</math>。 :曲率関数が定数関数のときは<math>\kappa\in C^\infty</math>且つ常に<math>\kappa'(s)=0</math>なので曲線を構成するすべての点が頂点であり、明らかに定理を満たす。 :曲率関数が定数関数でないとする。 :ワイエルシュトラスの極値定理より<math>\kappa(s)</math>は<math>s\in[a, b]</math>のどこかで最大値・最小値をとり、その点で<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす。 :従って少なくとも2つの頂点を持つ。 :ここで、頂点がこの2つのみと仮定する。 :曲率が最大値・最小値をとる点をそれぞれ<math>\mathrm{M, N}</math>と置く。 :線分<math>\mathrm{MN}</math>を含む直線を<math>x</math>軸とし、その垂直方向に<math>y</math>軸をとる。 :<math>s</math>が増加すると曲線上の点が<math>\mathrm{N}\to\mathrm{M}</math>のように動くとき、 :<math>\kappa(s)</math>は最小値から最大値に向かって増大し、他に頂点がないので狭義単調増加である。 :同様に、<math>\mathrm{M}\to\mathrm{N}</math>の向きでは<math>\kappa(s)</math>は狭義単調減少である。 :従って、<math>\kappa'(s)y(s)\neq0</math>の正の側だけ考えれば良い。 :<math>y(a)=y(b)=0</math>に注意すると部分積分して :<math>0<\int_a^b \kappa'(s)y(s)ds=-\int_a^b \kappa(s)y'(s)ds</math> :主法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}(s)= \begin{pmatrix} \xi_1(s) \\ \xi_2(s) \end{pmatrix}</math>を考えると二次元版フレネ=セレーの公式から<math>\frac{d\boldsymbol{n}}{ds}=-\kappa\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}</math>なので :<math>\xi'_2(s)=-\kappa(s)y'(s)</math> :よって :<math>-\int_a^b \kappa(s)y'(s)ds=\int_a^b \xi_2(s)ds = \left[\xi_2(s)\right]_a^b=0</math> :なので矛盾した不等式<math>0<0</math>を得る。 :則ち、<math>\mathrm{M, N}</math>と異なる点で<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が少なくとも一つ存在する。 :そのような点を<math>\mathrm{L}</math>と置く。 :<math>\mathrm{L}</math>が<math>\mathrm{N}\to\mathrm{M}</math>という経路の途中にあるとする。 :このとき、<math>\mathrm{L}</math>以外に<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が存在すると「<math>\mathrm{M}\to\mathrm{N}</math>という経路の途中にそのような点が無い」という最初の仮定に反するので :<math>\mathrm{M, N, L}</math>以外では<math>\kappa'(s)y(s)>0</math>である。 :同様に部分積分を行うことで矛盾した不等式を得、<math>\mathrm{M, N, L}</math>と異なる点で<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が少なくとも一つ存在することが判る。 :この時点で「<math>\mathrm{M, N}</math>間の二つの経路のいずれにも<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が存在しない」という仮定が否定されたのでこれ以上背理法を適用することはできない。 :よって、頂点個数の最小値は<math>4</math>である。// 最小値4をとる卵形線が実際に存在することは楕円の例で確かめた。 この定理は「卵形線」を「(正則)単純閉曲線」に取り換えてもそのまま成り立つことが知られている。一般の閉曲線でこの定理を成り立たせるには追加の条件が必要となる。 先程も述べたように、接ベクトルと単位主法線ベクトルは2次元以上の空間内部にある曲線ならば定義することができる。そして、<math>\boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{n}=0</math>も必ず成り立つ。よって、<math>\boldsymbol{e}_t\cdot\boldsymbol{e}_n=0</math>の両辺を<math>s</math>で微分して :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\cdot\boldsymbol{e}_n+\boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=0</math> :<math>\therefore \boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{e}_n=-\kappa</math> ここで「基底分解に於ける成分はその基底との内積に等しい」という性質から、<br/> 一般次元に於いても「<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math>の接線方向成分は<math>-\kappa(s)</math>」であることが判る。 ここで<math>C^2</math>級曲線の位置ベクトル<math>\boldsymbol{r}(s)</math>に対して単位主法線<math>\boldsymbol{e}_n(s)</math>を対応させることを考える。この対応を'''ガウス表示'''という。 <math>\boldsymbol{e}_n(s)</math>を二次までテイラー展開すると<math>\Delta s>0</math>を微小量として :<math>\boldsymbol{e}_n(s+\Delta s)=\boldsymbol{e}_n(s)+\frac{d\boldsymbol{e}_n(s)}{ds}\Delta s + O(\Delta s^2)</math> ここで<math>\boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\kappa</math>より、<math>s</math>を<math>\Delta s</math>だけ動かしたときの接線方向の速さは<math>|\kappa(s)|\Delta s</math>である（<math>\kappa(s)</math>が正で正の向き、負で負の向きに動くとする）。 閉曲線に対してはガウス表示によって法線方向の変化を完全に捉えられるので、<math>\kappa(s)</math>を微小量<math>\Delta s</math>に関して積分した<math>\int_a^b \kappa(s)ds</math>を考えてみる。 ガウス表示では曲線を単位主法線ベクトルの描く単位円として考えることができる。閉曲線では<math>\mathrm{P}(a)=\mathrm{P}(b)</math>より明らかに<math>\boldsymbol{e}_n(a)=\boldsymbol{e}_n(b)</math>であり、閉曲線が一周する間にベクトル<math>\boldsymbol{e}_n(s)</math>はこの単位円を<math>m(\in\mathbb{Z})</math>周する^※。 <small>※物理的には「円そのものが動いても円周上の質点は『この円をどっちの方向に何周したか』という情報しか持たない」ので、単位円が動くことは議論にあまり関係ない</small> 弧度法より単位円を<math>m</math>周する符号付き道のりは<math>2\pi{m}</math>であり、ガウス表示より<math>\int_a^b \kappa(s)ds=2\pi{m}</math>。 従って、<math>m=\frac{1}{2\pi}\int_a^b \kappa(s)ds</math> この<math>m</math>を閉曲線の'''回転数'''と呼ぶことにする。 曲率が負の場合には積分値が途中で相殺されてしまうので、絶対値を付けて積分した :<math>\mu:=\int_a^b |\kappa(s)|ds</math> という量を考えることにする。 これを閉曲線の'''全曲率'''と呼ぶ。 全曲率に対して以下の定理が成り立つ。 {{定理|(フェンヒェルの定理)}} 滑らかな閉曲線の全曲率は<math>\mu\geq2\pi</math>を満たす。等号成立の場合は卵形線である。 {{定理終わり}} 証明は省略する。 ===曲面=== 多変数解析で既に扱った、三次元空間に於ける曲面の陽関数表示<math>z=f(x, y)</math>を'''モンジュ表示'''という。<math>f(x, y, z)=\mathrm{const}.</math>と陰関数表示された曲面は陰関数定理が成り立つ範囲でモンジュ表示に直すことができる。 一次式で陰関数表示される曲面を'''一次曲面'''という。平面の方程式より、一次曲面は全て平面である。 二次式で陰関数表示される曲面を'''二次曲面'''という。 以下、三次元空間に於ける二次曲面の例を挙げる。各係数は非退化条件を満たすとする。なお、「直線に平行な平面」は「直線を法線とする平面に垂直な平面」を意味することに注意。 *'''球面'''（sphere） :高校数学で扱ったように、点<math>(a, b, c)</math>を中心とする半径<math>r</math>の球面の方程式は<math>(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2</math>である。この球面上の点の位置ベクトルは<math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>なので、球面が満たすベクトル方程式は一般に<math>\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a}\|=\mathrm{const}.</math>である。これは円のベクトル方程式の次元を上げたものである。 *'''楕円面'''（ellipsoid） :楕円の方程式を拡張した方程式<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1</math>が表す曲面である。<math>xyz</math>空間の基本面で切った断面は全て楕円となる。 *'''楕円拋物面'''（elliptic paraboloid） :楕円の平面拘束条件を外した方程式<math>z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}</math>が表す曲面である。<math>z</math>軸に垂直な平面で切った断面は楕円、平行な平面で切った断面は拋物線となる。 *'''双曲拋物面'''（hyperbolic paraboloid） :双曲線の平面拘束条件を外した方程式<math>z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}</math>が表す曲面である。<math>z</math>軸に垂直な平面で切った断面は双曲線、平行な平面で切った断面は拋物線となる。また、原点は鞍点である。 *'''一葉双曲面'''（hyperboloid of one sheet） :楕円面の方程式の一つの項の符号を変えた<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1</math>の表す曲面。<math>z</math>軸に垂直な平面で切った断面は楕円、平行な平面で切った断面は双曲線となる。 *'''二葉双曲面'''（hyperboloid of two sheet） :楕円面の方程式の二つの項の符号を変えた<math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1</math>の表す曲面。断面の分類は一葉双曲面と同じだが、<math>m^2<c^2</math>のときは平面<math>z=m</math>と交わらないため「二葉」と名付けられている。 *'''錐面'''（conical surface） :方程式<math>\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}</math>の表す曲面。<math>xy</math>平面との交点は原点のみであり、<math>yz</math>平面・<math>zx</math>平面で切った断面は直線である。 閉区間<math>I\subset\mathbb{R}</math>上の一変数ベクトル関数<math>\boldsymbol{r}(t)</math>を用いたベクトル方程式<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t) \quad(t\in I)</math>の解集合は次元に依らず曲線を表した。 同様に、領域^※<math>D\subset\mathbb{R}^2</math>上の二変数ベクトル関数<math>\boldsymbol{r}(t, u)</math>を用いたベクトル方程式<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u) \quad({\scriptstyle\left(\begin{array}{c} t \\[-6pt] u \end{array}\right)}\in D)</math>の解集合は次元に依らず曲面を表すと考えられる。 厳密には[[線型代数学/基底と次元|階数・退化次数の定理]]<!-- 次元定理・線型写像の基本定理 -->などを用いてこのことを確かめられる。 <small>※ここでいう「領域」は冒頭で厳密に定義した「領域」であることに注意。</small> 曲線と同様に、曲面の'''パラメータ表示'''と'''ベクトル表示'''は次のように定義される。 :パラメータ表示：<math>\begin{cases} x_1&=&r_1(t, u) \\ x_2&=&r_2(t, u) \\ &\,\,\vdots& \\ x_n&=&r_n(t, u) \end{cases}</math> :ベクトル表示：<math>\left\{\boldsymbol{r}(t, u) \,\bigg|\, {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} t \\[-6pt] u \end{array}\right)} \in D \right\}</math> また、<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>のようにも表す。 例えば、<math>k>l>0</math>として<math>\boldsymbol{r}(t, u)=\begin{pmatrix} (k+l\cos u)\cos t \\ (k+l\cos u)\sin t \\ l\sin u \end{pmatrix} \quad(D=\left\{ \begin{pmatrix} t \\ u \end{pmatrix} \bigg| \begin{array}{c} 0 \leq t \leq 2\pi \\ 0 \leq u \leq 2\pi \end{array} \right\})</math>は'''トーラス'''のベクトル表示である。 <math>\mathbb{R}^3</math>上の平面の方程式は高校数学に於いて<math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\neq\boldsymbol{0}</math>として一次式<math>ax+by+cz+d=0</math>と表せることを学んだ。 これのベクトル方程式を求めてみよう。 :①<math>c=0</math>のとき ::平面の方程式は<math>\begin{cases} ax+by+d=0 \\ z=\mathrm{const}. \end{cases}</math> ::[1]<math>b=0</math>のとき :::平面の方程式は<math>\begin{cases} ax+d=0 \\ y=\mathrm{const}. \\ z=\mathrm{const}. \end{cases}</math> :::<math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\neq\boldsymbol{0}</math>より<math>a\neq0</math> :::<math>y=t, z=u</math>と置換すると :::<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{d}{a} \\ t \\ u \end{pmatrix}</math> :::<math>\boldsymbol{r} = t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+u\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -\frac{d}{a} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math> ::[2]<math>b\neq0</math>のとき :::<math>x=t, z=u</math>と置換すると :::<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} t \\ -\frac{a}{b}t-\frac{d}{b} \\ u \end{pmatrix}</math> :::<math>\boldsymbol{r} = t\begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{a}{b} \\ 0 \end{pmatrix}+u\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{d}{b} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :②<math>c\neq0</math>のとき ::<math>x=t, y=u</math>と置換すると ::<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ u \\ -\frac{a}{c}t-\frac{b}{c}u-\frac{d}{c} \end{pmatrix}</math> ::<math>\boldsymbol{r}=t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -\frac{a}{c} \end{pmatrix}+u\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -\frac{b}{c} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -\frac{d}{c} \end{pmatrix}</math> なお、ここから平面のベクトル方程式が一般に<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}+u\boldsymbol{c}</math>という「直線のベクトル方程式を拡張した形」であることがわかる。 <math>\boldsymbol{r}(t, u)\in C^1</math>且つ<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\neq\boldsymbol{0}</math>である曲面を'''滑らか'''な曲面という。 曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>とその上の点<math>\mathrm{P}_0=(a, b)</math>に対し、曲線<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(a, u), \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, b)</math>をそれぞれ点<math>\mathrm{P}_0</math>に於ける'''<math>t</math>曲線'''・'''<math>u</math>曲線'''という。 <math>\boldsymbol{r}(t, u)\in C^1</math>であるとき、偏導関数の定義から :<math>\frac{\partial}{\partial{u}}\boldsymbol{r}(a, u)=\frac{d}{du}\boldsymbol{r}(a, u)</math> :<math>\frac{\partial}{\partial{t}}\boldsymbol{r}(t, b)=\frac{d}{dt}\boldsymbol{r}(t, b)</math> ここで<math>a, b</math>をそれぞれ<math>t</math>軸・<math>u</math>軸上で動かすことで<math>t</math>曲線・<math>u</math>曲線の接ベクトルがそれぞれ<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}</math>であると判る。これらを曲面のパラメータ方向の'''接ベクトル'''という。 これらの接ベクトルが平行でないとき、曲面<math>S</math>上の任意の点<math>\mathrm{P}</math>に対して<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>の張る平面が定まる。これを曲面<math>S</math>の点<math>\mathrm{P}</math>に於ける'''接平面'''という。曲線の接線は一次元ベクトル空間<math>\left\{ \xi\frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \bigg| \xi \in\mathbb{R} \right\}</math>で表されたが、曲面の接平面は二次元ベクトル空間<math>\left\{ \xi\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}+\eta\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \bigg| \xi, \eta \in \mathbb{R} \right\}</math>で表される。このような接ベクトル全体が張るベクトル空間を一般に'''接空間'''と呼ぶ。 接ベクトルの組が一次独立である曲面を'''正則'''な曲面という。滑らかな曲面は正則曲面である。 曲面<math>S</math>の接平面に垂直なベクトルを<math>S</math>の'''法線ベクトル'''という。 三次元空間ならば接平面を張る2ベクトルの外積<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>で求められる。 モンジュ表示された曲面<math>S:z=f(x, y)</math>に対して接平面の存在性（つまり曲面の正則性）は「二変数関数<math>f</math>の全微分可能」に対応した。ベクトル表示された曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>に対しては「ベクトル関数<math>\boldsymbol{r}</math>の全微分可能性」だけでは足りず、「ヤコビ行列<math>\frac{\partial{(\boldsymbol{r})}}{\partial{(t, u)}}</math>の階数が2」も要求される。 以下、正則曲面のみ扱う。 <math>\boldsymbol{r}(t, u)</math>の微小変化は全微分で与えられる。 :<math>d\boldsymbol{r}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math> 則ち、各パラメータを同時に<math>\begin{pmatrix} t \\ u \end{pmatrix}\to\begin{pmatrix} t+dt \\ u+du \end{pmatrix}</math>と単調に動かしたとき、対応する曲面上の点が描く領域は2ベクトル<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math>の張る微小平行四辺形として近似できる。その微小面積は線型代数の内容から :<math>\sqrt{ \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt \right\|^2 \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du \right\|^2 - \left\{ \left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du\right) \right\}^2 }=\sqrt{\left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \right\|^2\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2 - \left( \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \right)^2 } dtdu</math> である。 これを領域<math>D=\mathrm{dom}\,S</math>で重積分してやれば曲面の表面積（'''曲面積'''）が求まると考えられる。 {{定理|(曲面積)}} <math>E := \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \right\|^2,\quad F := \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}},\quad G := \left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2</math>とすると、<br> 曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>の領域<math>D</math>に於ける曲面積は :<math>S=\iint_D \sqrt{EG-F^2}dtdu</math> {{定理終わり}} この<math>E, F, G</math>を<math>S</math>の'''第一基本量'''と呼ぶ。また、<math>dS:=\sqrt{EG-F^2}dtdu</math>を'''面素'''（面積素・面積要素）と呼ぶ。 <math>t, u</math>が共通のパラメータ<math>\theta</math>で媒介変数表示されるとき、曲面は曲線に退化するので線素を考えられる。 具体的には、 :<math>d\ell=\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\right\|d\theta</math> より :<math>\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\right\|^2=\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}</math> ここで合成関数の常微分公式より :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{d\theta}+ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{d\theta}</math> なので :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}=\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|^2\left(\frac{dt}{d\theta}\right)^2+2\left(\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{du}\right)\frac{dt}{d\theta}\frac{du}{d\theta}+\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{du}\right\|^2\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2</math> :<math>=E\left(\frac{dt}{d\theta}\right)^2+2F\frac{dt}{d\theta}\frac{du}{d\theta}+G\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2</math> よって :<math>d\ell=\sqrt{E\left(\frac{dt}{d\theta}\right)^2+2F\frac{dt}{d\theta}\frac{du}{d\theta}+G\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2}d\theta=\sqrt{E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2}</math> このように、線素は<math>\theta</math>のとり方に依存しない。 そこで、最後の式で右辺を二乗した :<math>I:=E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2</math> を<math>S</math>の'''第一基本形式'''と定める。 第一基本形式は二次形式になっていることが見て取れるので、<math>\boldsymbol{v}:=\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}, \mathbf{K}:=\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}</math>とおくと :<math>I={}^t\!\boldsymbol{v} \mathbf{K} \boldsymbol{v}</math> と行列表示できる。この<math>\mathbf{K}</math>を'''第一基本行列'''という。 ここで<math>I=d\ell^2>0</math>なので<math>\mathbf{K}</math>は正定値行列である。 また、<math>\boldsymbol{x}_i=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \boldsymbol{x}_j=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>と置いて第一基本量の定義を思い返してみると<math>\mathbf{K}_{ij}=\boldsymbol{x}_i \cdot \boldsymbol{x}_j</math>なのでこの行列は接ベクトルに関するグラム行列である。この意味でも、<math>\mathbf{K}</math>は正定値行列である。 また、面素の式で根号の中身が<math>\det\mathbf{K}</math>に等しいことも判る。 則ち、第一基本量が曲面の本質であると予想される。 <math>F=0 \land E=G=\lambda</math>であるとき、<math>\mathbf{K}=\lambda\mathbf{E}_2</math>である。このときのパラメータの組<math>(u, v)</math>を曲面の'''等温座標系'''という。 等温座標系で表示された曲面<math>S</math>に対し、第一基本形式は<math>I=\lambda(dt^2+du^2)</math>と二次形式の標準形となっている。則ち、等温座標系へのパラメータ変換は主軸変換である。 面素を考えると<math>dS=\lambda^2dtdu</math>と非常に単純な形となるほか、曲面上の角度計算が平面の場合と全く同じ式で与えられることも等温座標系の利点である。 曲面<math>S</math>上の各点<math>\mathrm{P}</math>に対して単位法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}(\mathrm{P})</math>を考える。ベクトル表示の定義域<math>D</math>でベクトル場<math>\boldsymbol{n}(\mathrm{P})</math>が連続であるとき、<math>S</math>は'''向き付け可能'''であるという。 向き付け不能な曲面の例として<math>\boldsymbol{r}(t, u)=\begin{pmatrix} (u\cos t+2)\sin 2t \\ (u\cos t+2)\cos 2t \\ u\sin t \end{pmatrix} \quad(D=\left\{ \begin{pmatrix} t \\ u \end{pmatrix} \bigg| \begin{array}{c} 0 \leq t \leq \pi \\ -1 \leq u \leq 1 \end{array} \right\})</math>と表される'''メビウスの帯'''が挙げられる。 メビウスの帯が向き付け不能である証明を概説する。 :接ベクトルをそれぞれ求める。簡単のため<math>u=0</math>として考える。単位法線ベクトルは外積を正規化して得るが、向きの取り方で正負の符号が付く。どちらの符号を採用するにしろ<math>\boldsymbol{n}(\boldsymbol{r}(0, 0))\neq\boldsymbol{n}(\boldsymbol{r}(\pi, 0))</math>を得、<math>\boldsymbol{r}(0, 0)=\boldsymbol{r}(\pi, 0)</math>より同じ点に対して異なる法線ベクトルを出力するので<math>\boldsymbol{n}(\mathrm{P})</math>はwell-definedではなく、向き付け可能性の定義を満たさない。// 四次元以上の空間では法線ベクトルの方向を複数とれるため法線ベクトル場は扱いにくい。そこで、法線ベクトルに依らない定義を考えたい。 2つの滑らかな曲面<math>S_1, S_2</math>が以下を満たすとき、 #パラメータ<math>(t_1, u_1), (t_2, u_2)</math>の間に滑らかな全単射<math>\begin{cases}t_2 =\phi(t_1, u_1) \\ u_2=\psi(t_1, u_1) \end{cases}</math>が存在する。 #この変数変換のヤコビ行列<math>\frac{\partial{(\phi, \psi)}}{\partial{(t_1, u_1)}}</math>が正則。 #<math>\boldsymbol{r}_1(t_1, u_1)=\boldsymbol{r}_2(t_2, u_2)</math> この2つは'''パラメータ変換で同値'''という。 このとき、ヤコビアンが正であるパラメータの組は'''同じ向き'''、負であるパラメータの組は'''逆向き'''であるという。 任意の<math>(t_1, u_1)</math>に対して開近傍<math>U \subset \mathrm{dom}\,S_1</math>をとったとき、どの<math>U</math>上でも<math>\det\frac{\partial{(\phi, \psi)}}{\partial{(t_1, u_1)}}>0</math>を満足するならば<math>S_1</math>は'''向き付け可能'''という。 向き付け可能な曲面の接空間に対して右手系を成すような向きの法線ベクトルを'''外向き法線ベクトル'''と呼ぶ。 外向き法線の向く側を曲面の'''表'''、その反対側を曲面の'''裏'''と定義する。 <math>\partial{S}=\varnothing</math>を満たす正則曲面<math>S</math>を'''閉曲面'''という。ジョルダンの曲線定理を拡張した定理（'''ジョルダン・ブラウワーの分離定理'''）によって閉曲面が空間を内部・外部に分割することが保証される。内部に面する向きを閉曲面の裏、外部に面する向きを閉曲面の表と定義する。 パラメータ空間の座標軸の向きの組み合わせが<math>xy</math>平面と同じとき、外向き法線で定義される閉曲面の表裏は内部・外部から定義される表裏に一致する。 ===回転面=== ここでは三次元空間内の曲面について考える。 高校数学で回転体を扱ったが、領域の回転体の表面である曲面は元の領域の疆界である単純閉曲線を軸に関して回転したものである。そこで、平面上の任意の曲線を回転すると曲面（'''回転面'''）を得ると考えられる。 簡単な場合として、<math>x\geq0</math>で定義された<math>zx</math>平面上の曲線<math>z=f(x)</math>を<math>y</math>軸に関して回転させた回転面を考える。 :任意の<math>k\in[0,\infty)</math>に関して曲線上の点は<math>\begin{pmatrix} x \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k \\ f(k)\end{pmatrix}</math>と与えられる。 :領域<math>\left\{ {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] z \end{array}\right)} \big| x \leq k \right\}</math>を<math>y</math>軸に関して回転した回転体を平面<math>z=f(k)</math>で切った断面は半径<math>k</math>の閉円盤であり、疆界円周上の点を<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ f(k) \end{pmatrix}</math>とすると<math>k=\sqrt{x^2+y^2}</math>である。 :則ち回転体の疆界である回転面上の点<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>は方程式<math>z=f(\sqrt{x^2+y^2})</math>を満たし、逆にこの方程式を満たす<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>は回転面上にある。 纏めると以下のようになる。 {{定理|(回転面の方程式)}} <math>zx</math>平面上の曲線<math>z=f(x)\quad(x\geq0)</math>を<math>y</math>軸に関して回転させた回転面の方程式は :<math>z=f(\sqrt{x^2+y^2})</math> {{定理終わり}} <math>z</math>軸・<math>x</math>軸に関する回転面の方程式は変数を輪環の順に入れ替えることで得られる。 回転面に対し、元の曲線を'''母線'''という。 母線が直線である回転面は'''円錐'''である。 :<math>z=mx+n\quad(m\neq0,x\geq0)</math>とすれば<math>y</math>軸に関して回転した曲面の方程式は :<math>z=m\sqrt{x^2+y^2}+n</math> :<math>z-n = m\sqrt{x^2+y^2}</math> これを両辺二乗すると :<math>(z-n)^2=m^2x^2+m^2y^2</math> であり、錐面の方程式<math>\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}</math>を満たしていることがわかる。 回転軸が傾いている場合、<math>xyz</math>空間の回転行列<math>\mathbf{R}</math>を利用することで各軸に関する回転に帰着することもできるが、ここでは曲面のベクトル表示を扱ったのでベクトル方程式で回転を記述することを考えたい。 点<math>\mathrm{O}</math>から<math>\boldsymbol{r}</math>とそれに平行でない単位ベクトル<math>\boldsymbol{e}</math>が伸びており、そのなす角が<math>\theta</math>であるとする。<math>\boldsymbol{r}</math>の終点<math>\mathrm{P}</math>を含み<math>\boldsymbol{e}</math>を法線とする平面を<math>\Pi</math>、<math>\Pi</math>と直線<math>\{k\boldsymbol{e} \mid k>0\}</math>の交点を<math>\mathrm{N}</math>、<math>\mathrm{P}</math>を<math>\Pi</math>内で<math>\mathrm{N}</math>を中心として<math>\phi</math>回転した点を<math>\mathrm{Q}</math>、<math>\mathrm{NQ}</math>から<math>\mathrm{NP}</math>へ降ろした垂足を<math>\mathrm{R}</math>と置く。但し、回転角<math>\phi</math>の正の向きは<math>\boldsymbol{e}</math>を右螺子の進む向きとする方向に定める。 このとき、<math>\boldsymbol{r}</math>を<math>\boldsymbol{e}</math>に関して<math>\phi</math>だけ回転させたベクトル<math>\boldsymbol{r}'</math>は以下のように表される。 {{定理|(ロドリゲスの公式)}} :<math>\boldsymbol{r}'=\boldsymbol{r}\cos\phi+(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\,\mathrm{versin}\,\phi\,\boldsymbol{e}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> {{定理終わり}} *証明 :<math>\boldsymbol{r}'=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{ON}}+\overrightarrow{\mathrm{NR}}+\overrightarrow{\mathrm{RQ}}</math> :<math>\overrightarrow{\mathrm{ON}}</math>は<math>\boldsymbol{r}</math>の<math>\boldsymbol{e}</math>への正射影ベクトルなので ::<math>\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}}{\boldsymbol{e}\cdot\boldsymbol{e}}\boldsymbol{e}=(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}</math> :<math>\triangle\mathrm{NQR}</math>を考えると<math>\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NP}}\|</math>と<math>\|\overrightarrow{\mathrm{NR}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|\cos\phi</math>及び<math>\overrightarrow{\mathrm{NR}}/\!\!/\overrightarrow{\mathrm{NP}}</math>より ::<math>\overrightarrow{\mathrm{NR}}=\overrightarrow{\mathrm{NP}}\cos\phi=(\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{ON}})\cos\phi=\{\boldsymbol{r}-(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}\}\cos\phi</math> :<math>\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e}</math>は外積の定義から<math>\overrightarrow{\mathrm{NP}}</math>を<math>\Pi</math>上で<math>-\phi</math>方向に<math>\frac{\pi}{2}</math>だけ回転させたベクトルになるので、 :<math>\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e}/\!\!/\overrightarrow{\mathrm{RQ}}</math>と<math>\|\overrightarrow{\mathrm{RQ}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|\sin\phi</math>及び<math>\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NP}}\|</math>から ::<math>\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> :これらを足して ::<math>\boldsymbol{r}'=(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}+\{\boldsymbol{r}-(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}\}\cos\phi-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> ::<math>=\boldsymbol{r}\cos\phi+(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})(1-\cos\phi)\boldsymbol{e}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> ::<math>=\boldsymbol{r}\cos\phi+(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\,\mathrm{versin}\,\phi\,\boldsymbol{e}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math>// この証明ではベクトルの平行移動を用いているのでアフィン空間を前提とするが、この式そのものはアフィン構造に依存してないので一般のベクトル空間で成り立つ。 また、回転後のベクトルは母線のパラメータ<math>t</math>に加えて回転角<math>\phi</math>もパラメータとして有するので、<math>\boldsymbol{r}'(t, \phi)</math>という二変数ベクトル関数となって曲面を表すことになる。則ち、「曲線を回転すれば曲面を得る」という直感は正しい。 ロドリゲスの公式の応用として、例えば円錐のベクトル方程式が<math>\frac{(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}}{\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|}=\mathrm{const}.</math>であることが導ける。 :円錐頂点の位置ベクトルを<math>\boldsymbol{p}</math>、軸ベクトルを<math>\boldsymbol{a}</math>、<math>\boldsymbol{a}</math>と角度<math>\alpha</math>をなす単位ベクトルを<math>\boldsymbol{v}</math>とする。このとき直線<math>\{k\boldsymbol{v}\mid k>0\}</math>が円錐の母線であり、母線と交わる向きである軸の法線ベクトルを<math>\boldsymbol{b}</math>とおく。 :ロドリゲスの公式より<math>\boldsymbol{v}</math>を<math>\boldsymbol{a}</math>の周りに<math>\theta</math>だけ回転させたベクトル<math>\boldsymbol{v}'</math>は ::<math>\boldsymbol{v}'=\boldsymbol{v}\cos\theta+(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{e}_a)\,\mathrm{versin}\,\theta\,\boldsymbol{e}_a-(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{e}_a)\sin\theta</math> :ここで<math>\boldsymbol{v}</math>を<math>\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}</math>方向に基底分解すると ::<math>\boldsymbol{v}=\cos\alpha\,\boldsymbol{e}_a+\sin\alpha\,\boldsymbol{e}_b</math> :なので、 ::<math>\boldsymbol{v}'=\cos\alpha\boldsymbol{e}_a+\sin\alpha\{\boldsymbol{e}_b\cos\theta+(\boldsymbol{e}_a\times\boldsymbol{e}_b)\sin\theta\}</math> :円錐上の点<math>\boldsymbol{r}</math>の位置ベクトルは頂点から母線方向に<math>\rho</math>だけ進むので ::<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{p}+\rho\boldsymbol{v}'</math> :であり、 ::<math>\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}=\rho\boldsymbol{v}'</math> :ここで<math>\|\boldsymbol{v}'\|=\|\boldsymbol{v}\|=1</math>より ::<math>\rho=\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|</math> :このベクトルと軸ベクトルの内積をとると ::<math>(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}=\rho\boldsymbol{v}'\cdot\boldsymbol{a}</math> ::<math>=\rho\{\cos\alpha(\boldsymbol{e}_a\cdot\boldsymbol{a})+\sin\alpha\cos\theta(\boldsymbol{e}_b\cdot\boldsymbol{a})+\sin\alpha\sin\theta(\boldsymbol{e}_a\times\boldsymbol{e}_b)\cdot\boldsymbol{a}\}</math> :<math>\boldsymbol{e}_b, \boldsymbol{e}_a\times\boldsymbol{e}_b</math>とも<math>\boldsymbol{a}</math>に直交するので後ろの二項は消えて ::<math>(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}=\rho\cos\alpha(\boldsymbol{e}_a\cdot\boldsymbol{a})=\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|\|\boldsymbol{a}\|\cos\alpha</math> :則ち ::<math>\frac{(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}}{\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|}=\|\boldsymbol{a}\|\cos\alpha=\mathrm{const}.</math>// 円錐が先に与えられている場合は「<math>\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}</math>が母線の方向ベクトルなのは図より自明」とできるが、ここでは「母線が先に与えられて回転によって円錐が構成される」という立場を採ったのでロドリゲスの公式が効くのである。 ロドリゲスの公式で微小回転<math>d\phi</math>の場合を考える。 正弦関数・余弦関数の部分を1項目までテイラー展開して<math>\cos(d\phi)=1+O(d\phi^2), \sin(d\phi)= d\phi+O(d\phi^3)</math>なので<math>\mathrm{versin}(d\phi)=O(d\phi^2)</math>であり、 :<math>\boldsymbol{r}' = \boldsymbol{r}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})d\phi+O(d\phi^2)</math> ここで<math>d\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}'-\boldsymbol{r}</math>なので :<math>d\boldsymbol{r}=-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})d\phi+O(d\phi^2)</math> 則ち、ベクトル関数の全微分は微小回転で近似される。 オーダー記法の項を無視して<math>\boldsymbol{\omega}=\frac{d\phi}{dt}\boldsymbol{e}</math>と置くと :<math>d\boldsymbol{r}=(d\phi\boldsymbol{e})\times\boldsymbol{r}</math> これの両辺を<math>dt</math>で割って :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}</math> これは剛体の速度公式である。 ロドリゲスの公式の一次変換表記を考える。 <math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}, \boldsymbol{r}'=\begin{pmatrix} r'_1 \\ r'_2 \\ r'_3 \end{pmatrix}, \boldsymbol{e}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math>とすると、 :<math>\begin{pmatrix} r'_1 \\ r'_2 \\ r'_3 \end{pmatrix}=\cos\phi\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}+(ar_1+br_2+cr_3)\mathrm{versin}\,\phi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} - \sin\phi \begin{pmatrix} cr_2-br_3 \\ ar_3-cr_1 \\ br_1-ar_2 \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} (\cos\phi + a^2\,\mathrm{versin}\,\phi) r_1 + (ab\,\mathrm{versin}\,\phi -c\sin\phi) r_2 + (ca\,\mathrm{versin}\,\phi + b\sin\phi) r_3 \\ (ab\,\mathrm{versin}\,\phi + c\sin\phi) r_1 + (\cos\phi + b^2\,\mathrm{versin}\,\phi) r_2 + (bc\,\mathrm{versin}\,\phi -a\sin\phi) r_3 \\ (ca\,\mathrm{versin}\,\phi - b\sin\phi) r_1 + (bc\,\mathrm{versin}\,\phi+ a\sin\phi) r_2 + (\cos\phi + c^2\,\mathrm{versin}\,\phi) r_3 \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} \cos\phi + a^2\,\mathrm{versin}\,\phi & ab\,\mathrm{versin}\,\phi -c\sin\phi & ca\,\mathrm{versin}\,\phi + b\sin\phi \\ ab\,\mathrm{versin}\,\phi + c\sin\phi & \cos\phi + b^2\,\mathrm{versin}\,\phi & bc\,\mathrm{versin}\,\phi -a\sin\phi \\ ca\,\mathrm{versin}\,\phi - b\sin\phi & bc\,\mathrm{versin}\,\phi+ a\sin\phi & \cos\phi + c^2\,\mathrm{versin}\,\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> ここで<math>\mathrm{versin}\,\phi</math>を<math>1-\cos\phi</math>に戻して係数行列を<math>1, \cos\phi, \sin\phi</math>の項に分解してみると :<math>=\begin{pmatrix} a^2+(1-a^2)\cos\phi & ab-ab\cos\phi -c\sin\phi & ca-ca\cos\phi + b\sin\phi \\ ab-ab\cos\phi + c\sin\phi & b^2+(1-b^2)\cos\phi & bc-bc\cos\phi -a\sin\phi \\ ca-ca\cos\phi - b\sin\phi & bc-bc\cos\phi+ a\sin\phi & c^2+(1-c^2)\cos\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> :<math>=\left\{ \begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix} + \cos\phi\begin{pmatrix} 1-a^2 & -ab & -ca \\ -ab & 1-b^2 & -bc \\ -ca & -bc & 1-c^2 \end{pmatrix} +\sin\phi\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix} \right\} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> :<math>=\left[ \begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix} + \cos\phi \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix} \right\} +\sin\phi\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> ここで<math>\begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix}</math>は<math>\boldsymbol{e}</math>の第<math>i</math>成分と第<math>j</math>成分を掛けたものが<math>(i, j)</math>成分となる行列になっていることがわかる。これを<math>\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e}</math>と書くことにする。<math>\sin\phi</math>に係る行列を<math>\mathbf{N}</math>と置くと、 :<math>\boldsymbol{r}'=\{\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e}+\cos\phi(\mathbf{E}_3-\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e})+\sin\phi\mathbf{N}\}\boldsymbol{r}</math> という表示を得る。 更に、<math>\mathbf{N}^2=\begin{pmatrix} -b^2-c^2 & ab & ca \\ ab & -c^2-a^2 & bc \\ ca & bc & -a^2-b^2 \end{pmatrix}</math>と<math>\|\boldsymbol{e}\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=1</math>より :<math>\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e}=\mathbf{N}^2+(a^2+b^2+c^2)\mathbf{E}_3=\mathbf{N}^2+\mathbf{E}_3</math> が成り立つので、最終的に :<math>\boldsymbol{r}'=(\mathbf{E}_3+\sin\phi\mathbf{N}+\mathrm{versin}\,\phi\mathbf{N}^2)\boldsymbol{r}</math> と二次の行列多項式で表示される。 なお、<math>\otimes</math>は発展節で紹介する'''テンソル積'''を表している。 ここで、行列<math>\mathbf{N}</math>についてより具体的に考えてみる。 先ず、<math>{}^t\!\mathbf{N}=-\mathbf{N}</math>が成り立つので<math>\mathbf{N}</math>は反対称行列（歪対称行列・交代行列）である。 <math>\mathbf{N}\boldsymbol{r}</math>を計算すると :<math>\mathbf{N}\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} br_3-cr_2 \\ cr_1-ar_3 \\ ar_2-br_1 \end{pmatrix}=\boldsymbol{e}\times\boldsymbol{r}</math> 則ち、<math>\mathbf{N}</math>は<math>\boldsymbol{e}</math>に関する外積（形式的には<math>\boldsymbol{e}\times</math>という左演算）を一次変換とみて表現行列に直したものである。 更に、成分計算により<math>\mathbf{N}^3=-\mathbf{N}</math>という性質が成り立つことも判る。外積を「ベクトルを90°回転させる演算」とみると、二回の演算によって180°回転するということなのでこの結果は妥当である。 ここで行列自然指数関数<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\sum_{i=0}^\infty \frac{(\phi\mathbf{N})^i}{i!}</math>を考えてみると上の性質より三次以上の項は<math>\mathbf{N}^4=-\mathbf{N}^2, \mathbf{N}^5=\mathbf{N},\cdots</math>のように全て二次以下に帰着できる。<br> また、自然指数関数のテイラー展開は絶対収束級数なので各項は可換であり、<math>\mathbf{N}</math>の二次式として纏め直すと :<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\mathbf{E}_3 + (\phi-\frac{\phi^3}{3!}+\frac{\phi^5}{5!}-\frac{\phi^7}{7!}+\cdots) \mathbf{N}+(\frac{\phi^2}{2!}-\frac{\phi^4}{4!}+\frac{\phi^6}{6!}-\frac{\phi^8}{8!}+\cdots)\mathbf{N}^2</math> ここで一次・二次の係数はそれぞれ正弦関数・正矢関数のテイラー展開になっているので結局は :<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\mathbf{E}_3+\sin\phi\mathbf{N}+\mathrm{versin}\,\phi\mathbf{N}^2</math> ここから、<math>\exp(\phi\mathbf{N})</math>は角度<math>\phi</math>に関する有限回転に対応することが判った。 このことは以下の考え方でも求まる。<br> <math>\mathbf{N}</math>の最小方程式は<math>\mathbf{N}^3+\mathbf{N}=\mathbf{O}_3</math>より<math>x(x^2+1)=0</math>であり固有値は<math>0, \pm{i}</math>と求まるので、<math>\exp(\phi\mathbf{N})</math>の対角化行列は :<math>\begin{pmatrix} e^{0\phi} & 0 & 0 \\ 0 & e^{i\phi} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-i\phi} \end{pmatrix}</math> ここで任意の解析関数<math>f</math>について<math>f(\mathbf{N})</math>のテイラー展開は二次以下の多項式になるので :<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\alpha\mathbf{E}_3+\beta\mathbf{N}+\gamma\mathbf{N}^2</math> これを実多項式に戻した<math>\alpha+\beta{x}+\gamma{x^2}</math>が<math>e^{\phi{x}}</math>と任意の固有値で一致すればよい（二次補間）ので、 :<math>\begin{cases} e^0 = \alpha \\ e^{i\phi} = i\beta -\gamma \\ e^{-i\phi} = -i\beta-\gamma \end{cases}</math> :<math>\iff \begin{cases} 1 = \alpha \\ \cos\phi+i\sin\phi = (\alpha -\gamma) + i\beta \end{cases}</math> :<math>\therefore \begin{cases} \alpha=1 \\ \beta=\sin\phi \\ \gamma=1-\cos\phi=\mathrm{versin}\,\phi \end{cases}</math> 則ち、<math>\mathbf{N}^3=-\mathbf{N}</math>という構造は<math>\Psi_\mathbf{N}(x)=x(x^2+1)</math>という最小多項式に起因するということである。 更に[[表現論]]の観点から見ると、三次直交行列全体である回転群<math>SO(3)</math>に対し、<math>\mathbf{N}</math>は<math>SO(3)</math>の単位元に於ける接空間（三次反対称行列全体・則ちリー代数<math>\mathfrak{so}(3)</math>）の元であり、<math>\exp(\phi\mathbf{N})</math>はリー群<math>SO(3)</math>の元である。ここで行列自然指数関数は「リー代数からリー群へ引き戻す写像」なので'''指数写像'''と呼ばれる。 これが[[#フレネ標搆]]で述べた「直交変換の一次近似が反対称変換」という事実のより正確な表現である。 補足だが、力学で扱う[[w:オイラー角]]というものを導入するとロドリゲスの公式を各座標軸に関する回転の合成で表すこともできる。 ===種々の曲率=== ここでは三次元空間内の正則曲面について考える。 曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>上で定義され弧長パラメータ表示された正則曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t(s), u(s))</math>を考える。 <math>C</math>の接ベクトルは合成関数微分公式より :<math>\boldsymbol{t}=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{ds}</math> と表示される。 ここで両辺の<math>ds</math>を形式的に払うと :<math>\boldsymbol{t}ds=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math> これの自分自身との内積をとると :<math>\|\boldsymbol{t}\|^2(ds)^2=\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{\partial{t}}\right\|^2(dt)^2+2\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}dtdu+\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2(du)^2</math> 弧長パラメトライズされた接ベクトルは単位ベクトルであり、右辺のベクトル演算の部分を第一基本量で置き換えると :<math>ds^2=E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2</math> と、第一基本形式を別の方法で得られた。 <math>C</math>の主法線ベクトルは合成関数微分を繰り返し適用することで :<math>\boldsymbol{n}_C=\frac{d\boldsymbol{t}}{ds}=\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{ds}\right)</math> :<math>=\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{ds}\right)+\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{ds}\right)</math> :<math>=\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\right)\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{d}{ds}\left(\frac{dt}{ds}\right)+\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right)\frac{du}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{d}{ds}\left(\frac{du}{ds}\right)</math> :<math>=\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}\partial{t}}\frac{du}{ds}\right)\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{d^2t}{ds^2}+\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\frac{du}{ds}\right)\frac{du}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{d^2u}{ds^2}</math> :<math>=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\left(\frac{dt}{ds}\right)^2+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{d^2t}{ds^2}+2\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\frac{dt}{ds}\frac{du}{ds}+\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\left(\frac{du}{ds}\right)^2+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{d^2u}{ds^2}</math> ここで、<math>S</math>の法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}_S=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\times\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>は一般に<math>\boldsymbol{n}_C</math>と一次従属とは限らない。 後の話を単純にするため<math>\boldsymbol{n}_S</math>を正規化したベクトルを<math>\boldsymbol{e}_S</math>と置いて<math>\boldsymbol{n}_C\cdot\boldsymbol{e}_S</math>を計算してみる。 :<math>\boldsymbol{e}_S\perp\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \boldsymbol{e}_S\perp\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>より :<math>\boldsymbol{n}_C\cdot\boldsymbol{e}_S=\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S\right)\left(\frac{dt}{ds}\right)^2+2\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S\right)\frac{dt}{ds}\frac{du}{ds}+\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S\right)\left(\frac{du}{ds}\right)^2</math> ここで各内積<math>L=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S,\quad M=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S,\quad N=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S</math>を<math>S</math>の'''第二基本量'''と呼ぶ。 <math>\boldsymbol{n}_C, \boldsymbol{e}_S</math>のなす角を<math>\psi</math>とすると<math>C</math>の曲率を<math>\kappa_C</math>として :<math>\boldsymbol{n}_C\cdot\boldsymbol{e}_S=\kappa_C \cos\psi</math> なので<math>ds</math>に関して形式的に通分して :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{ds^2}</math> 右辺の分子<math>I\!I:=L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2</math>を<math>S</math>の'''第二基本形式'''という。 <math>\begin{cases}\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\boldsymbol{e}_S=0 \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S=0 \end{cases}</math>を<math>t</math>で偏微分すると :<math>\begin{cases} \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}=0 \\ \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}=0 \end{cases}</math> また、<math>u</math>で偏微分すると :<math>\begin{cases} \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}\partial{t}}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}=0 \\ \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}=0 \end{cases}</math> ここから第二基本量は :<math>L=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}},\quad M=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}},\quad N=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}</math> とも表示され、第二基本形式の別表示 :<math>I\!I=-\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}du\right)</math> を得る。 これは更に全微分から微小ベクトル同士の内積として :<math>I\!I=-d\boldsymbol{r}\cdot{d}\boldsymbol{e}_S</math> とも書ける。 第一基本形式は曲面上の微小変位の自身との内積だったが、第二基本形式は曲面上の微小変位と法線方向の微小変位の内積である。則ち、第一基本形式は曲面の内在的な量、第二基本形式は曲面の外在的な量である。 第一基本形式と同様に第二基本形式は二次形式なので、<math>\boldsymbol{v}:=\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}, \mathbf{H}=\begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}</math>と置くと :<math>I\!I={}^t\!\boldsymbol{v}\mathbf{H}\boldsymbol{v}</math> と行列表示できる。この<math>\mathbf{H}</math>を'''第二基本行列'''という。 ここで、モンジュ表示された曲面<math>z=f(x, y)</math>に対して第二基本行列を考えてみる。 :<math>\boldsymbol{r}(t, u)=\begin{pmatrix} t \\ u \\ f(t, u)\end{pmatrix}</math>なので[[解析学基礎/多変数関数の微積分#全微分]]の結果を参照すると直ちに :<math>L=\frac{\frac{\partial^2{f}}{\partial{t}^2}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2},\quad M=\frac{\frac{\partial^2{f}}{\partial{t}\partial{u}}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2},\quad N=\frac{\frac{\partial^2{f}}{\partial{u}^2}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2}</math> :が判るので、 :<math>\mathbf{H}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2}\begin{pmatrix} \frac{\partial^2{f}}{\partial{t}^2} & \frac{\partial^2{f}}{\partial{tu}} \\ \frac{\partial^2{f}}{\partial{tu}} & \frac{\partial^2{f}}{\partial{u^2}} \end{pmatrix}</math> これはヘッシアンを法線の長さで割った行列である。 則ち、任意の正則曲面に対して第二基本行列はヘッセ行列と同じ役割をすると考えられる。 実際、点<math>\mathrm{P}</math>の開近傍で<math>\det\mathbf{H}</math>が正である曲面は<math>\mathrm{P}</math>の開近傍で上下どちらかに凸であり、負である曲面は<math>\mathrm{P}</math>で鞍点となることが知られている。 このように第二基本形式は曲面の「曲がり方」を表す量と考えられるので、曲面に対する曲率も考えられる。 ここで第二基本形式を定義した式 :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{ds^2}</math> に立ち戻ると、右辺の分母は<math>s</math>に依存しない第一基本形式なので第一基本量を用いて :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2}</math> 右辺を形式的に<math>dt^2</math>で割ると :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L+2M\frac{du}{dt}+N\left(\frac{du}{dt}\right)^2}{E+2F\frac{du}{dt}+G\left(\frac{du}{dt}\right)^2}</math> この右辺は<math>\boldsymbol{n}_C</math>に依存しない量なので<math>\boldsymbol{n}_S, \boldsymbol{n}_C</math>のなす角度である<math>\psi</math>にも依存しない。 そこで、この値を曲面<math>S</math>の'''法曲率'''と定義する。 :<math>\varkappa:=\frac{L+2M\frac{du}{dt}+N\left(\frac{du}{dt}\right)^2}{E+2F\frac{du}{dt}+G\left(\frac{du}{dt}\right)^2}</math> 法曲率の幾何学的意味を考える。 <math>\varkappa=\kappa_C\cos\psi</math>より、<math>\cos\psi=1</math>のとき<math>S</math>の法曲率と<math>C</math>の曲率が一致する。このとき<math>\boldsymbol{n}_S /\!\!/ \boldsymbol{n}_C</math>であり、<math>C</math>は曲面上の点<math>\mathrm{P}</math>とそこでの曲面の法線<math>\boldsymbol{n}_S(\mathrm{P})</math>を含む平面で曲面を切断した切り口（'''法切り口'''）に対応する曲線（'''法曲線'''）である。 則ち、法曲率は法曲線の曲率に対応する。 なお、法曲線<math>C</math>は切断に用いる平面に拘束されるので接ベクトル<math>\boldsymbol{t}_C</math>も平面に拘束される。則ち、拘束平面は<math>\{\boldsymbol{t}_C, \boldsymbol{n}_C\}</math>の張る接触平面である。 法切り口を齎す平面は法線を軸にして回転することができ、その回転角によって法曲率の値が異なることになる。この回転は具体的にはロドリゲスの公式によって記述されるが、法曲率の極大値・極小値は<math>\varkappa</math>を<math>k=\frac{du}{dt}</math>の関数とみることで以下のように考えることができる。 :法曲率の定義式より ::<math>\varkappa(E+2Fk+Gk^2)=L+2Mk+Nk^2</math>・・・(*) :これが<math>k</math>の恒等式なので微分しても等号が成り立ち、 ::<math>\frac{d\varkappa}{dk}(E+2Fk+Gk^2)+\varkappa(2F+2Gk)=2M+2Nk</math> :フェルマーの定理より<math>\frac{d\varkappa}{dk}=0</math>を満たす<math>(k, \varkappa)</math>が極値点の候補なので ::<math>\varkappa(2F+2Gk)=2M+2Nk</math>・・・(@) :が成り立つ必要がある。 :これを<math>k</math>倍して(*)を引くと ::<math>\varkappa(E+Fk)=L+Mk</math>・・・(#) :これと(@)を連立して ::<math>k=-\frac{\varkappa{F}-M}{\varkappa{G}-N}</math> :これを(#)に代入して ::<math>(EG-F^2)\varkappa^2-(GL+EN-2FM)\varkappa+(LN-M^2)=0</math>・・・($) :という二次方程式を得る。 :($)が相異なる二つの実根<math>\kappa_1, \kappa_2</math>を持てばそれらは極小値・極大値である。 :逆に、極小値・極大値を持てばフェルマーの定理より($)を満たす。// この<math>\kappa_1, \kappa_2</math>を<math>S</math>の'''主曲率'''という。 ($)の左辺を変形してみると、 :<math>(EG-F^2)\varkappa^2-(GL+EN-2FM)\varkappa+(LN-M^2)</math> :<math>=\{EG\varkappa^2-(GL+EN)\varkappa+LN\}-\{F^2\varkappa^2-2FM\varkappa+M^2\}</math> :<math>=(L-\varkappa{E})(N-\varkappa{G})-(M-\varkappa{F})^2</math> :<math>=\det\begin{pmatrix} L-\varkappa E & M - \varkappa F \\ M - \varkappa F & N - \varkappa G \end{pmatrix}</math> :<math>=\det(\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K})</math> という、第一基本行列と第二基本行列を用いた形が出てきた。 ここで<math>\varkappa=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2}</math>を変形して :<math>(L-\varkappa{E})dt^2+2(M-\varkappa{F})dtdu+(N-\varkappa{G})du^2=0</math> これを二次形式表示すると :<math>\begin{pmatrix} dt & du \end{pmatrix}\begin{pmatrix} L-\varkappa E & M - \varkappa F \\ M - \varkappa F & N - \varkappa G \end{pmatrix}\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}=0</math> と、同じ<math>\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K}</math>がここでも登場する。 この行列は法曲率を持つ方向を二次形式で判定しているが、主曲率を持つ場合はラグランジュの未定乗数法より<math>(\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K})\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}=\boldsymbol{0}</math>が成り立ち、これが<math>\det(\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K})=0</math>という式の正体である。更に言うと、<math>\mathbf{H}\boldsymbol{x}=\varkappa\mathbf{K}\boldsymbol{x}</math>という一般化固有値問題の解が主曲率<math>\kappa_1, \kappa_2</math>に対応している。このときの一般化固有ベクトル<math>\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2</math>を主曲率に対する'''主方向'''という。 二つの主方向の関係を調べる。 :主方向の定義より ::<math>\begin{cases} (\mathbf{H}-\kappa_1\mathbf{K}) \boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0} \\ (\mathbf{H}-\kappa_2\mathbf{K}) \boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{0} \end{cases}</math> :なので ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2(\mathbf{H}-\kappa_1\mathbf{K})\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0} \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_1(\mathbf{H}-\kappa_2\mathbf{K})\boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{0} \end{cases}</math> ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_1{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_1\mathbf{H}\boldsymbol{x}_2=\kappa_2{}^t\!\boldsymbol{x}_1 \mathbf{K}\boldsymbol{x}_2 \end{cases}</math> ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_1{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_1\mathbf{H}\boldsymbol{x}_2=\kappa_2{}^t\!\boldsymbol{x}_1 \mathbf{K}\boldsymbol{x}_2 \end{cases}</math> :第一基本行列・第二基本行列とも対称行列なので第二式の転置をとって ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_1{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_2{}^t\!\boldsymbol{x}_2 \mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \end{cases}</math> :上下の式の差をとって ::<math>(\kappa_1-\kappa_2){}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0}</math> :<math>\kappa_1=\kappa_2</math>のときは<math>\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2</math>に関する恒等式であるので、<math>\kappa_1\neq\kappa_2</math>のときを考える。 ::<math>{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1=\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}t_2+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}u_2\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}t_1+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}u_1\right)=0</math> :この二つのベクトルは主方向を向くので2つの主方向は直交する。 <math>\kappa_1=\kappa_2</math>（法曲率<math>\varkappa(t, u)=\mathrm{const}.</math>）の場合、<math>S</math>の接平面内の任意の方向が主方向となるので「どの方向にも一様な曲がり方をする」と考えられる。このような主曲率を与える点を'''臍点'''という。任意の点が臍点である曲面は球面である。 上の結果から、'''臍点でない各点で2つの主方向は直交する'''。 主曲率に対して解と係数の関係から得る値 :<math>H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}=\frac{GL+ENN-2FM}{2EG-F^2},\quad K=\kappa_1\kappa_2=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}</math> をそれぞれ<math>S</math>の'''平均曲率'''・'''全曲率'''（'''ガウス曲率'''）という。 全曲率の式を見ると<math>K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}=\frac{\det\mathbf{H}}{\det\mathbf{K}}=\det(\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H})</math>である。 そこで、<math>\mathbf{S}=\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}</math>と定義してみると行列式の性質より<math>K</math>は<math>\mathbf{S}</math>の固有値の積である。 ここで<math>\mathbf{S}</math>の固有方程式は :<math>\det(\mathbf{S}-\lambda\mathbf{E})=\det(\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}-\lambda\mathbf{E})=\det\mathbf{K}^{-1}\det(\mathbf{H}-\lambda\mathbf{K})=0</math> <math>\det\mathbf{K}^{-1}\neq0</math>より :<math>\det(\mathbf{H}-\lambda\mathbf{K})=0</math> これは主曲率を定義した二次方程式($)のことだったので、この方程式の解である固有値は<math>\lambda=\kappa_1, \kappa_2</math>である。 則ち、<math>K=\det\mathbf{S},\quad H=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\,\mathbf{S}</math>が成り立つ。 更に、第一基本行列から第二基本行列への一次変換を考えると以下が成り立つことも判る。但し、こちらもフレネ=セレーと同様に厳密にはベクトルを列ではなく行に並べるのが正しいことに注意。 {{定理|(ヴァインガルテンの式)}} :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} \end{pmatrix}=-\mathbf{S}\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math> {{定理終わり}} *証明 :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} \end{pmatrix}=\mathbf{A}\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math>と置く。 :両辺に<math>{}^t\!\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math>を右から掛けると行列積であることに注意して :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}=\mathbf{A}\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} & \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math> :<math>\therefore -\mathbf{H}=\mathbf{A}\mathbf{K}</math> :<math>\therefore \mathbf{A}=-\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1}=-\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}=-\mathbf{S}</math>// 臍点で行列<math>\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K}</math>を考えると<math>\varkappa=\kappa_1=\kappa_2</math>及び「主方向が任意」から :<math>\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K}=\mathbf{O}</math> であり、これを成分で書き下せばヴァインガルテンの式より法曲率に関して :<math>\begin{cases} \varkappa=\frac{L}{E}=\frac{M}{F}=\frac{N}{G} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}} = \varkappa \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} = \varkappa \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{cases}</math> を得る。 <math>\mathbf{S}=\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}</math>に於いて<math>\mathbf{K}</math>は正定値対称行列なので正則対称な主平方根<math>\mathbf{K}^{1/2}</math>が存在して :<math>\mathbf{S}=\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{H}</math> ここで<math>\mathbf{T}=\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1/2}</math>という相似変換で表された行列を考えてみると :<math>\mathbf{K}^{1/2}\mathbf{S}\mathbf{K}^{-1/2}</math> :<math>=\mathbf{K}^{1/2}\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1/2}</math> :<math>=\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1/2}</math> :<math>=\mathbf{T}</math> であり、<math>\mathbf{S}\sim\mathbf{T}</math>なのでこれらの2つの固有値の組は一致する。 :<math>\mathbf{H}={}^t\!\mathbf{H}</math> より :<math>{}^t\!\mathbf{T}=\mathbf{T}</math> が成り立つので、<math>\mathbf{T}</math>は対称行列であり2つの固有値は実数である。 よって<math>\mathbf{S}</math>の二つの固有値はともに実数であるが、この固有値は($)の解<math>\kappa_1, \kappa_2</math>のことだったので($)は虚根を持たず、'''主曲率は必ず実数'''である。 モンジュ表示された曲面では先程求めた第二基本量の表式から直ちに :<math>H=\frac{\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2\right\}\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}^2}+\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2\right\}\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}^2}-2\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}}{{2\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2\right\}^\frac{3}{2}}},\quad K=\frac{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}-\left(\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}\right)^2}{\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2\right\}^2}</math> を得る。 等温座標系では<math>\mathbf{K}^{-1}=\frac{1}{\lambda^2}\mathbf{E}_3</math>より<math>\mathbf{S}=\frac{1}{\lambda^2}\begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}</math>なので、平均曲率・ガウス曲率はそれぞれ<math>H=\frac{L+N}{2\lambda^2},\quad K=\frac{LN-M^2}{\lambda^4}</math>と簡単に求まる。 ある点に於ける2つの主曲率はそれぞれその点に於ける極大方向・極小方向の曲がり方を与えるので、<math>\kappa_1, \kappa_2</math>の符号の組み合わせがその点近傍に於ける曲面の曲がり方を与えることになる。 具体的には、両方とも正なら上に凸、負なら下に凸、異符号なら鞍点となる。主曲率が0ならばその主方向に対して曲がっていないということである。 主曲率の積である全曲率の符号を見ても良い。全曲率が正ならば上下どちらかに凸、負ならば鞍点である。第一基本行列が正定値行列であることから主曲率の符号は第二基本行列の行列式と一致するので先程の「第二基本行列がヘッセ行列の一般化」という話に繫がる。 任意点で<math>H=0</math>を満たす曲面を'''極小曲面'''という。極小曲面は曲面を連続変形させたときに曲面積の最小値を与える曲面であることが知られている。 平面は自明な極小曲面である。他にも<math>z=\ln\left(\frac{\cos y}{\cos x}\right)(-\frac{\pi}{2}<x, y<\frac{\pi}{2})</math>（シェルクの第一曲面）などが知られている。 極小曲面は表面張力の理論に応用されている。 例えば石鹼膜のつくる曲面について、膜上点での表裏の圧力差<math>P</math>・その点での表面張力<math>T</math>及び平均曲率<math>H</math>に対し<math>P=2TH</math>が成立する（ヤング=ラプラスの公式）ことが知られているが、閉曲線である枠に張った膜が割れずに安定して存在する条件は全ての点で<math>P=H=0</math>、則ち極小曲面のときである。 曲面<math>S</math>上の微小変位<math>d\boldsymbol{r}</math>、法線方向の微小変位<math>d\boldsymbol{e}_S</math>に対して第一基本形式は<math>I=d\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{r}</math>、第二基本形式は<math>I\!I=-d\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{e}_S</math>であった。 最後の組み合わせである<math>d\boldsymbol{e}_S\cdot d\boldsymbol{e}_S</math>を<math>S</math>の'''第三基本形式'''と定義する。 :<math>I\!I\!I:=\left(\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}du\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}du\right)</math> :<math>=\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\right\|^2(dt)^2+2\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}dtdu+\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\right\|^2(du)^2</math> これを同様に二次形式の行列表示に直すと<math>\mathbf{W}:=\begin{pmatrix} \left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\right\|^2 & \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} & \left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\right\|^2 \end{pmatrix}</math>として :<math>I\!I\!I={}^t\!\boldsymbol{v}\mathbf{W}\boldsymbol{v}</math> この<math>\mathbf{W}</math>を'''第三基本行列'''という。 見て判る通り、'''第三基本量'''は<math>P=\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\right\|^2,\quad Q=\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}},\quad R=\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\right\|^2</math>である。 臍点でないとき2つの主方向は直交するので、臍点を持たない曲面に対して主方向を直交基底としたパラメータ表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(p, q)</math>を考えられる。 このとき、各基本形式は :<math>I=dp^2+dq^2</math> :<math>I\!I=\kappa_1dp^2+\kappa_2dq^2</math> :<math>I\!I\!I=\kappa^2_1dp^2+\kappa^2_2dq^2</math> と表示されることが知られている。 第三基本形式は第一基本形式と第二基本形式の線型結合で表示される。 :<math>I\!I\!I=2HI\!I-KI</math> このことはヴァインガルテンの式と平均曲率・全曲率の定義を用いて確かめられる。 これに関連し、第二基本量で定義された全曲率は第一基本量のみで表されることが知られている。つまり、曲率という外在的な量を第一基本形式という内在的な量のみで記述でき、言い換えると「曲面を考えるときに'''曲面の外側の空間を考える必要が無い'''」ということである。 この定理は発見者自身も驚愕したことから'''ガウスの驚異の定理'''と呼ばれている。詳しくは発展節で扱う。 なお、平均曲率を考えるときは外側の空間の情報が必要である。 ==直交曲線座標系== {{節stub}} ===円筒座標系=== 平面の座標系として直交座標の他に斜交座標、極座標（円座標）、重心座標などがあったように、空間の座標系も複数通り考えられる。 空間座標を3つの実数の組<math>(r, \theta, z)</math>で表した座標系を'''円筒座標系'''（'''円柱座標系'''、cylindrical coordinate system）という。ただし、<math>r</math>は原点からの（符号付き）距離、<math>\theta</math>は基準面に於ける始線からの正の回転角、<math>z</math>は基準面からの高さである。 円筒座標系は、円座標系の<math>r\theta</math>平面に<math>z</math>軸方向の次元を加えた3次元空間の座標と考えられる。 そのため、円筒座標系と直交座標系の対応は以下のようになる。 :<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \\ z=z \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta = \arctan\frac{y}{x} \\ z=z \end{cases}</math> 但し、<math>r</math>は基準面の裏側では負とする。 直交座標の<math>z</math>軸を基に円筒座標系の座標軸を決定する。一般に座標軸は直線とは限らないので、「軸」ではなく「曲線」と呼ぶことにする（'''座標線'''）。なお、「曲線」という語は一般に「直線」を包含する。 :<math>r</math>曲線：<math>z</math>軸上の点を通り<math>z</math>軸に垂直な半直線。 :<math>\theta</math>曲線：<math>z</math>軸を法線とする平面内にあり、中心が<math>z</math>軸上にある円周。 :<math>z</math>曲線：<math>z</math>軸に平行な直線。 ここで、各曲線に沿った微小変化がどのように表されるか見ていく。 <math>\boldsymbol{f}: (r,\theta,z)\to(x,y,z)</math>とする。 <math>\boldsymbol{f}</math>全体の微小変化は全微分<math>d\boldsymbol{f}=\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}</math>で表される。 上で求めた関係式より :<math>\boldsymbol{f}\begin{pmatrix} r \\ \theta \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cos\theta \\ r\sin\theta \\ z \end{pmatrix}</math> なので、 :<math>\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial{r}}r\cos\theta & \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\cos\theta & \frac{\partial}{\partial{z}}r\cos\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}r\sin\theta & \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\sin\theta & \frac{\partial}{\partial{z}}r\sin\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}z & \frac{\partial}{\partial{\theta}}z & \frac{\partial}{\partial{z}}z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> よって :<math>d\boldsymbol{f}=\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin \theta \\ 0 \end{pmatrix}dr + \begin{pmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \\ 0 \end{pmatrix}rd\theta + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}dz </math> 再右辺の各項を<math>d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}</math>と書くことにすると、<math>|d\vec{r}|, |d\vec{\theta}|, |d\vec{z}|</math>はそれぞれ<math>dr, rd\theta, dz</math>とわかる。<math>r, \theta, z</math>を物理量として捉えたとき<math>d\theta</math>の単位はラジアン（無次元量）であり、<math>rd\theta</math>の単位はメートル（長さの次元1）なので、次元の整合性が取れる。 纏めると以下のようになる。 {| class="wikitable" | ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_x</math>成分 ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_y</math>成分 ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_z</math>成分 ||style="text-align:center;"| ノルム |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{r}</math> ||style="text-align:center;"| <math>\cos\theta dr</math> ||style="text-align:center;"| <math>\sin\theta dr</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>dr</math> |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{\theta}</math> ||style="text-align:center;"| <math>-r\sin\theta d\theta</math> ||style="text-align:center;"| <math>r\cos\theta d\theta</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>rd\theta</math> |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{z}</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>1</math> ||style="text-align:center;"| <math>dz</math> |} ここで<math>d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}</math>は内積を取ればどの組も互いに直交することが容易にわかるので、この3つのベクトルは3次元ユークリッド空間の直交基底である。 そこで、それぞれのベクトルを正規化することで各軸曲線方向の基本ベクトルを得る。 :<math>\boldsymbol{e}_r = \frac{d\vec{r}}{dr} = \cos\theta \boldsymbol{e}_x + \sin\theta \boldsymbol{e}_y</math> :<math>\boldsymbol{e}_\theta = \frac{d\vec{\theta}}{rd\theta} = -\sin\theta\boldsymbol{e}_x+\cos\theta\boldsymbol{e}_y</math> :<math>\boldsymbol{e}_z=\frac{d\vec{z}}{dz}=\boldsymbol{e}_z</math> これを一次変換の形式で表すと :<math>\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}</math> となる。 このときの表現行列を、座標系または基底ベクトルを変換することから'''座標変換行列'''又は'''基底変換行列'''という。場合によっては'''変換テンソル'''とも呼ぶ。 なお、この直交座標⇒円筒座標の座標変換行列は、<math>xyz</math>空間に於ける<math>z</math>軸まわりの回転行列に等しい。 逆基底変換はこの座標変換行列の逆行列を求めれば定式化できる。 回転行列は直交行列なので :<math>\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ^{-1}= {}^t \! \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> であり、 :<math>\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}</math> 円筒座標系は、[[電磁気学]]の解析でよく使用される。 例えば、高校物理の公式<math>B(r)=\frac{\mu_0I}{\tau r}</math>は、円筒座標系を知っていれば「電流が<math>z</math>軸に平行であることから磁場は<math>z</math>方向に一葉且つ<math>\theta</math>方向に回転対称なので、<math>r</math>方向の項のみが寄与する」と理解される。 ===極座標系=== 高等学校までの地理で習ったように、球面上の位置は緯度<math>\theta</math>と経度<math>\phi</math>で定めることができる。 一般に三次元空間で球面上のある点の座標を定めるには、更に球の中心からの距離<math>r</math>が必要である。 このようにして定められる座標系を'''三次元極座標系'''（polar coordinate system in 3D）または'''球（面）座標系'''（spherical coordinate system）という。 xyz座標空間の点<math>\mathrm{P}(x, y, z)</math>の極座標表示を考える。 <math>r=|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>は容易にわかる。 <math>\theta</math>は<math>z</math>軸からの'''天頂角'''（zenith angle）であり、<math>\overrightarrow{\mathrm{OP}}</math>の<math>z</math>軸への正射影ベクトルを<math>\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\vec{h}</math>とすると<math>\tan\theta = \frac{|\vec{h}|}{z}</math>が成り立つ。<math>|\vec{h}|=\sqrt{x^2+y^2}</math>より、<math>\theta=\arctan \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}</math>である。 <math>\phi</math>は<math>x</math>軸からの'''方位角'''（azimuth angle）であり、<math>\mathrm{P}</math>から<math>xy</math>平面に降ろした垂足<math>\mathrm{Q}</math>を考えると<math>\tan\phi=\frac{y}{x}</math>とわかる。よって、<math>\phi=\arctan\frac{y}{x}</math>である。 逆に、これを<math>\mathrm{P}(x, y, z)</math>に復元することを考える。 <math>\triangle\mathrm{OHP}</math>について<math>\angle\mathrm{HOP}=\theta</math>なので、<math>z=\overline{\mathrm{OH}}=r\cos\theta</math>。 また、<math>\triangle\mathrm{OPQ}</math>について<math>\angle\mathrm{OPQ}=\theta</math>なので、<math>\overline{\mathrm{OQ}}=r\sin\theta</math>。 よって<math>x=\overline{\mathrm{OQ}}\cos\phi=r\sin\theta\cos\phi, y=\overline{\mathrm{OQ}}\sin\phi=r\sin\theta\sin\phi</math>。 以上を纏めると、直交座標と球面座標の対応関係は :<math>\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi \\ y=r\sin\theta\sin\phi \\ z=r\cos\theta \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \\ \phi=\arctan\frac{y}{x} \end{cases}</math> 一般に緯度は<math>-90^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ</math>、経度は<math>-180^\circ \leqq \phi \leqq 180^\circ</math>の範囲で表される（但し、符号の違いは東⇔西、南⇔北の違いである）。同様に、球面座標の天頂角<math>\theta</math>、方位角<math>\phi</math>は<math>\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\tau}{4}], \phi \in [-\frac{\tau}{2}, \frac{\tau}{2}]</math>で考える。赤道面より下側（すなわち南半球）では<math>\theta<0</math>とする。 直交座標の<math>z</math>軸を基に極座標系の座標線を決定する。 :<math>r</math>曲線：原点を通る半直線。 :<math>\theta</math>曲線：原点中心で<math>z</math>軸上の一点から出る半円弧。 :<math>\phi</math>曲線：<math>z</math>軸を法線とする平面内で<math>z</math>軸上に中心を持つ円周。 各曲線に沿った微小変化は円柱座標系の場合と同様、ベクトル場の全微分を用いて :<math>\begin{cases} d\vec{r}= \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi \\ \cos\theta \end{pmatrix} dr \\ d\vec{\theta}= \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\phi \\ \cos\theta\sin\phi \\ -\sin\theta \end{pmatrix}rd\theta \\ d\vec{\phi} = \begin{pmatrix} -\sin\phi \\ \cos\phi \\ 0 \end{pmatrix} r\sin\theta d\phi \end{cases}</math> と求まる。 これらは（内積の結果から）互いに直交するので、円柱座標の場合と同様の議論により :<math>\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \end{pmatrix}</math> と変換テンソルが求まる。 これも直交行列であるので、逆変換テンソルは :<math>\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \cos\theta\cos\phi & \cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\phi \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \end{pmatrix}</math> と求まる。 球面座標系は、[[古典力学]]の解析でよく使用される。 例えば、赤道平面における角運動量保存則は<math>mr^2\frac{d\phi}{dt}=\mathrm{const}.</math>と表示されるが、これは<math>z</math>軸方向の角運動量を球面座標系の演算により取り出したものである。 球面座標系は特に機械制御に応用されている。 円柱座標系・球面座標系ともに各基底ベクトルが互いに直交しているので、そのことを明示して（且つ通常の直交座標系と区別して）'''直交曲線座標系'''（orthogonal curvilinear coordinate system）と呼ぶ場合がある。以下で扱う座標系たちも直交曲線座標系である。 ===円環座標系=== ===双極座標系=== ===回転放物面座標系=== ===放物柱座標系=== ===回転楕円面座標系=== ===楕円柱座標系=== ===楕円体座標系=== ==空間微分== ここでは三次元ユークリッド空間で考える。 ===勾配=== スカラー場<math>\varphi=\varphi(\boldsymbol{x})</math>が<math>x, y, z</math>の三変数関数であって<math>\varphi\in C^1</math>のとき、 :<math>\mathrm{grad}\,\varphi := \begin{pmatrix} \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}} \end{pmatrix}</math> を<math>\varphi</math>の'''勾配'''（gradient）と定義する。 勾配の結果として得るベクトルを<math>\varphi</math>の'''勾配ベクトル'''ともいう。 勾配で定義される概念としては、電場が有名である。 :電位<math>\phi</math>に対する電場<math>\boldsymbol{E}</math>は :<math>\boldsymbol{E}:=-\mathrm{grad}\,\phi</math> 勾配はベクトル量であるため、そのことを明示するため新たな演算子を導入する。 '''空間偏微分演算子'''（ハミルトン演算子）を <math>\nabla:=\begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial{x}} \\ \frac{\partial}{\partial{y}} \\ \frac{\partial}{\partial{z}} \end{pmatrix}</math> と定義する。 この演算子自体は偏微分作用素の対象を後接しないと意味を成さない。しかし、便宜的にベクトル量と考えてベクトルと同様の演算則が成り立つと見做す。そのため、この演算子に関する演算は[[w:記号の濫用]]（symbol abuse）であることを註しておく。 <math>\nabla</math>の正式な読み方は'''ナブラ'''（nabla）であるが、<math>\Delta</math>（delta）を反転した形であることから'''エイトレッド'''（atled）とも読まれる。なお、ナブラの由来は「竪琴」を意味する古代ギリシャ語「νάβλα」である。 この演算子を用いれば勾配の表式は :<math>\mathrm{grad}\,\varphi=\nabla\varphi</math> となる。 <math>\varphi</math>はスカラー場なのでスカラー量であり、<math>\nabla</math>は便宜的にベクトル量と考えることから、その積<math>\nabla\varphi</math>はベクトル量のスカラー倍、すなわちベクトル量であることが見て取れる。 勾配はスカラー場に対する偏微分の結果を並べたベクトルであるため、偏微分の性質とベクトルの性質を組み合わせて以下が成り立つと判る。 #<math>\nabla(k\varphi+l\psi)=k\nabla\varphi+l\nabla\psi</math>（線型性） #<math>\nabla(\varphi\psi)=(\nabla\varphi)\psi+\varphi(\nabla\psi)</math>（積の微分・ライプニッツ則） #<math>\nabla\left(\frac{\varphi}{\psi}\right)=\frac{(\nabla\varphi)\psi-\varphi(\nabla\psi)}{\psi^2}</math>（商の微分） #<math>\nabla(\varphi(\psi))=\frac{d\varphi(\psi)}{d\psi}\nabla\psi</math>（合成関数微分） 任意点に対して勾配ベクトルが非零であるスカラー場を'''正則'''なスカラー場という。 以下、正則なスカラー場に限って扱う。 等位面<math>\varphi(x, y, z)=k(\mathrm{const}.)</math>上の点<math>\mathrm{P}(x_0, y_0, z_0)</math>を考える。 :<math>\mathrm{P}</math>を通り等位面に拘束される曲線のベクトル表示を<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>とする。 :等位面の方程式を<math>t</math>で両辺微分して ::<math>\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}}\frac{dz}{dt}=0</math> :<math>t=t_0</math>のとき ::<math>\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}x'(t_0)+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}y'(t_0)+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}}z'(t_0)=0</math> ::<math>\nabla\varphi(\mathrm{P})\cdot\boldsymbol{r}'(t_0)=0</math> ::<math>\nabla\varphi(\mathrm{P})\perp\boldsymbol{r}'(t_0)</math> ここで<math>\mathrm{P}</math>に於ける等位面の接平面は接ベクトル<math>\boldsymbol{r}'(t_0)</math>を含むため、<math>\nabla\varphi(\mathrm{P})</math>は点<math>\mathrm{P}</math>に於ける等位面の法線ベクトルである。 よって等位面の接平面の方程式は :<math>\nabla\varphi(\mathrm{P})\cdot(\boldsymbol{x}-\overrightarrow{\mathrm{OP}})=0</math> である。 スカラー場<math>\varphi=\varphi(\boldsymbol{x})</math>の全微分は :<math>d\varphi=\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}dx+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}dy+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}}dz</math> これをベクトルの内積とみると :<math>=\begin{pmatrix} \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}</math> :<math>=\nabla\varphi\cdot d\boldsymbol{x}</math> ここで変位ベクトル<math>d\boldsymbol{x}</math>を任意の方向を向いた単位ベクトル<math>\boldsymbol{e}</math>に拡張することを考えたい。 <math>\varphi(\mathrm{P})</math>に対して<math>\mathrm{P}</math>を始点とする<math>\boldsymbol{e}</math>方向の直線を考え、その上の点を<math>\mathrm{Q}</math>とする。 このとき、ベクトル変数<math>\boldsymbol{e}</math>による微分係数 :<math>\frac{\partial{\varphi}(\mathrm{P})}{\partial{\boldsymbol{e}}}=\lim_{\mathrm{Q\to P}}\frac{\varphi(\mathrm{Q})-\varphi(\mathrm{P})}{\overline{\mathrm{QP}}}</math> を、<math>\varphi</math>の<math>\mathrm{P}</math>に於ける<math>\boldsymbol{e}</math>方向の'''方向微分係数'''と定義する。 方向微分係数はスカラー場に対し<math>\boldsymbol{e}</math>方向の変化率を与えるものと考えられる。そこで、方向微分係数が最大となる方向を考える。 :<math>\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=t\boldsymbol{e}</math>と置く。 ::<math>\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\begin{pmatrix} x_0+te_1 \\ y_0+te_2 \\ z_0+te_3 \end{pmatrix}</math> ::<math>\frac{\partial{\varphi}(\mathrm{P})}{\partial{\boldsymbol{e}}}=\lim_{t\to0}\frac{\varphi(x_0+te_1, y_0+te_2, z_0+te_3)-\varphi(x_0, y_0, z_0)}{t}</math> :ここで<math>\Phi(t):=\varphi(x_0+te_1, y_0+te_2, z_0+te_3)</math>とすれば ::<math>=\lim_{t\to0}\frac{\Phi(t)-\Phi(0)}{t}</math> ::<math>=\frac{d\Phi(t)}{dt}</math> ::<math>=\frac{\partial{\varphi}(x_0, y_0, z_0)}{\partial{x}}\frac{d(x_0+te_1)}{dt}+\frac{\partial{\varphi}(x_0, y_0, z_0)}{\partial{y}}\frac{d(y_0+te_2)}{dt}+\frac{\partial{\varphi}(x_0, y_0, z_0)}{\partial{z}}\frac{d(z_0+te_3)}{dt}</math> ::<math>=\frac{\partial{\varphi}(\mathrm{P})}{\partial{x}}e_1+\frac{\partial{\varphi}(\mathrm{P})}{\partial{y}}e_2+\frac{\partial{\varphi}(\mathrm{P})}{\partial{z}}e_3</math> ::<math>=\nabla\varphi(\mathrm{P})\cdot\boldsymbol{e}</math> よって、全微分の式の<math>d\boldsymbol{x}</math>をそのまま<math>\boldsymbol{e}</math>に取り替えたものが方向微分係数の表式である。 内積を書き下すと<math>\|\boldsymbol{e}\|=1</math>より :<math>\frac{\partial{\varphi}(\mathrm{P})}{\partial{\boldsymbol{e}}}=\|\nabla\varphi(\mathrm{P})\|\cos\theta</math> よって最大値をとるのは<math>\cos\theta=1</math>則ち'''<math>\boldsymbol{e}</math>が勾配方向のとき'''である。また、方向微分係数の最大値は'''勾配のノルム'''である。 このように、勾配はスカラー場の各点に於ける傾きを表す。これは最右辺の式が「各軸方向の傾きを表すベクトルの和」になっていることからも直観的にわかる。ここから、「gradient」の和訳として「勾配」が充当されたのは妥当である。 方向微分係数を'''方向導関数'''に拡張することを考える。 形式的には方向微分係数の定点<math>\mathrm{P}</math>を変数<math>\boldsymbol{x}</math>に置き換えればいいだけである。 :<math>\frac{\partial{\varphi}(\boldsymbol{x})}{\partial{\boldsymbol{e}}}:=\nabla\varphi(\boldsymbol{x})\cdot\boldsymbol{e}</math> 正式には極限を用いて :<math>\frac{\partial{\varphi}(\boldsymbol{x})}{\partial{\boldsymbol{e}}}:=\lim_{t\to0}\frac{\varphi(\boldsymbol{x}+t\boldsymbol{e})-\varphi(\boldsymbol{x})}{t}</math> と定義する。 内積を書き下すと :<math>\frac{\partial{\varphi}(\boldsymbol{x})}{\partial{x}}e_1+\frac{\partial{\varphi}(\boldsymbol{x})}{\partial{y}}e_2+\frac{\partial{\varphi}(\boldsymbol{x})}{\partial{z}}e_3</math> これを[[解析学基礎/多変数関数の微積分#極値]]で扱った方向偏微分作用素として書き直すと :<math>\left(e_1\frac{\partial}{\partial{x}}+e_2\frac{\partial}{\partial{y}}+e_3\frac{\partial}{\partial{z}}\right)\varphi(\boldsymbol{x})</math> :<math>=(\boldsymbol{e}\cdot\nabla)\varphi(\boldsymbol{x})</math> となる。 則ち、形式的には空間偏微分演算子の微分方向ベクトルとの右内積が方向偏微分作用素である。 更に、多変数関数のテイラー二次近似は :<math>f(\boldsymbol{x})\fallingdotseq f(\boldsymbol{a})+\nabla{f}(\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})+\frac{1}{2}{}^t\!(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})\mathbf{D}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})</math> と書けることが判る。但し、<math>\mathbf{D}</math>はヘッセ行列である。 多変数解析で扱った停留点（臨界点）は<math>\nabla\varphi(\mathrm{P})=\boldsymbol{0}</math>なる点<math>\mathrm{P}</math>として正式に定義される。また、ラグランジュの未定乗数法に於ける連立方程式も勾配を用いれば<math>\nabla\varphi(\mathrm{P})=\lambda\nabla\psi(\mathrm{P})</math>と書き表される。 スカラー場の全微分は勾配で表せたが、同様にベクトル場の全微分をナブラを用いて表すことを考える。 ベクトル場の全微分は :<math>d\boldsymbol{a}=\frac{\partial{(a_x,a_y,a_z)}}{\partial{(x,y,z)}} d\boldsymbol{x}</math> で定義された。 ここで<math>n</math>次行列 <math>\mathbf{A}</math>と<math>n</math>項列ベクトル <math>\boldsymbol{a}</math>に対し、<math>(\mathbf{A} \circledast \boldsymbol{a})_{ij} = (\mathbf{A}_{ij}) a_i</math>となるような可換二項演算子 <math>\circledast</math>を定義する。これは本項独自の記法である。但し、<math>(\mathbf{P})_{ij}</math>は行列 <math>\mathbf{P}</math>の第ij成分を表す。 この記法を用いると、ヤコビ行列<math>\frac{\partial{(a_x,a_y,a_z)}}{\partial{(x,y,z)}}</math>は<math>\nabla \circledast \boldsymbol{a}</math>と表すことができる。 則ち、ベクトル場の全微分は :<math>d\boldsymbol{a} = (\nabla \circledast \boldsymbol{a}) d\boldsymbol{x}</math> と表される。 これを形式的に :<math>\frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{\boldsymbol{x}}}=\nabla \circledast \boldsymbol{a}</math> と書き表すことができる。 則ち、ヤコビ行列はベクトル場のベクトル変数による導関数と見做せる。 ヤコビ行列はベクトル場の成分スカラー場に対する勾配ベクトルを行に並べたものという解釈もできるので、この考え方は自然である。 ここでベクトル場に対してスカラー場と同様に方向微分係数・方向導関数を考えると、 :<math>\frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{\boldsymbol{v}}}=\frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{\boldsymbol{x}}}\boldsymbol{v}</math> が成り立つことが判る。 これもベクトル場の成分スカラー場に対する方向微分係数・方向導関数を列に並べたベクトルと解釈できる。 則ち、 :<math>\frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{\boldsymbol{v}}}=(\nabla\circledast\boldsymbol{a})\boldsymbol{v}=(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{a}</math> である。 ===発散=== ベクトル場<math>\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{x})</math>が<math>x, y, z</math>の三変数関数であって<math>\boldsymbol{a}\in C^1</math>のとき、 :<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{a} := \frac{\partial{a_x}}{\partial{x}} + \frac{\partial{a_y}}{\partial{y}} + \frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}</math> を<math>\boldsymbol{a}</math>の'''発散'''（divergence）と定義する。 発散が用いられる概念としては、ガウスの法則が有名である。 :電荷密度<math>\rho</math>、電束<math>\boldsymbol{D}</math>として :<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{D}=\rho</math> 構成方程式が<math>\boldsymbol{D}=\varepsilon\boldsymbol{E}</math>であるときは球面座標で考えることにより、この式の重要な性質「荷電粒子の座標を原点にとると原点以外では <math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{E}=0</math>」を証明することができる。 勾配と同様に発散をナブラで表すことを考えると、 :<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{a}=\nabla\cdot\boldsymbol{a}</math> という表式を得る。 <math>\boldsymbol{a}</math>はベクトル場なのでベクトル量であり、<math>\nabla</math>は便宜的にベクトル量と考えることから、その内積<math>\nabla\cdot\boldsymbol{a}</math>はスカラー量であることが見て取れる。 発散に対しては以下が成り立つ。 #<math>\nabla\cdot(k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})=k\nabla\cdot\boldsymbol{a}+l\nabla\cdot\boldsymbol{b}</math>（線型性） #<math>\nabla\cdot(\varphi\boldsymbol{a})=(\nabla\varphi)\cdot\boldsymbol{a}+\varphi\nabla\cdot\boldsymbol{a}</math>（積の微分・ライプニッツ則） 前者は内積の線型性より、後者は成分演算と勾配の定義より示される。 ヤコビ行列<math>\nabla\circledast\boldsymbol{a}</math>との関係を考える。 :<math>\nabla\circledast\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{x}} & \frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{y}} & \frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{z}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{a}_x}{\partial{x}} & \frac{\partial{a}_x}{\partial{y}} & \frac{\partial{a}_x}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{a}_y}{\partial{x}} & \frac{\partial{a}_y}{\partial{y}} & \frac{\partial{a}_y}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{a}_z}{\partial{x}} & \frac{\partial{a}_z}{\partial{y}} & \frac{\partial{a}_z}{\partial{z}} \end{pmatrix}</math> ここで跡が発散そのものになっているので :<math>\nabla\cdot\boldsymbol{a}=\mathrm{tr}(\nabla\circledast\boldsymbol{a})</math> が成り立つ。 発散の物理的意味を考える。 :密度<math>\rho</math>が一定である流体の速度場<math>\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^3</math>に対し、微小直方体に出入りする流体の質量収支を考える。 :点<math>(x,y,z)</math>に於ける流速<math>\boldsymbol{v}(x,y,z)=(v_x,v_y,v_z)</math>、直方体の各辺の長さを<math>\delta x, \delta y, \delta z</math>とする。 :単位時間あたりに<math>yz</math>平面に平行な面を通過する流体の質量収支は流出量<math>-\rho v_x(x,y,z)\delta y\delta z</math>、流入量<math>\rho v_x(x+\delta x,y,z)\delta y\delta z</math>より ::<math>\rho(v_x(x+\delta x,y,z)-v_x(x,y,z))\delta y\delta z=\rho\frac{v_x(x+\delta x,y,z)-v_x(x,y,z)}{\delta x}\delta x\delta y\delta z</math> :<math>\delta x\to0</math>の極限で ::<math>=\rho\frac{\partial{v_x}}{\partial{x}}dxdydz</math> :他の面で考えると対称性から輪環の順に入れ替えた結果を得るので直方体全体では ::<math>\rho\left(\frac{\partial{v_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{v_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{v_z}}{\partial{z}}\right)dxdydz</math> :よって単位体積当たりでは ::<math>\rho\nabla\cdot\boldsymbol{v}</math> :を得る。 ここで質量を密度で割ると体積なので、<math>\nabla\cdot\boldsymbol{v}</math>は単位時間あたりの流体の体積の正味の流出率を表す。 この微小直方体の単位体積あたりで観測すると、発散が正であれば流体は膨脹して密度が下がり、負であれば圧縮されて密度が上がる。0であれば流体は膨脹も圧縮もしない。 発散が零であるベクトル場を'''非圧縮/湧出無し/管状/ソレノイダル ベクトル場'''（incompressible/solenoidal vector field）などと呼ぶ。 また、ベクトル場の発散を'''湧き出し'''（「沸き出し」とも書く）と呼ぶ場合もある。 ベクトル場の流線に沿う流れが流体の体積を保存する条件はベクトル場が非圧縮であることである。これを'''リウヴィルの定理'''という。これは多くの場合、[[解析力学]]のハミルトン形式で表示される。 位置ベクトル場<math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>に対して<math>\nabla\cdot\frac{\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^n}</math>を考える。 :<math>\frac{\partial}{\partial{x}}\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^n}=\frac{\partial{\left(\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^n}\right)}}{\partial{\|\boldsymbol{r}\|}}\frac{\partial{\|\boldsymbol{r}\|}}{\partial{x}}=-\frac{n}{\|\boldsymbol{r}\|^n+1}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=-\frac{nx}{\|\boldsymbol{r}\|^{n+2}}</math> <math>y, z</math>も同様なので :<math>\nabla\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^n}=-\frac{n\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^{n+1}}</math> よって発散のライプニッツ則から :<math>\nabla\cdot\frac{\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^n}=\left(\nabla\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^n}\right)\cdot\boldsymbol{r}+\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^n}\nabla\cdot\boldsymbol{r}=-\frac{n\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^{n+2}}+\frac{1+1+1}{\|\boldsymbol{r}\|^n}=\frac{3-n}{\|\boldsymbol{r}\|^n}</math> この結果から、<math>\boldsymbol{a}/\!\!/\boldsymbol{r}\land\|\boldsymbol{a}\|\propto \frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^2}\implies\nabla\cdot\boldsymbol{a}=0</math>（逆二乗則に従う場は非圧縮ベクトル場）が成り立つ。 ベクトル解析の黎明期では発散の逆符号で表される :<math>\mathrm{conv}\,\boldsymbol{a}:=-\frac{\partial{a_x}}{\partial{x}} - \frac{\partial{a_y}}{\partial{y}} - \frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}</math> という量が用いられていた。これは'''吸い込み'''（convergence）と呼ばれる量である。 ベクトルが発明される以前、ベクトル演算に相当するものは[[多元数/四元数|四元数]]で記述されていた。純虚四元数同士の積をとると実部が現在で言う内積の-1倍、虚部が現在で言う外積に対応する。このことから、内積そのものである湧き出しではなく内積の-1倍である吸い込みが自然に出現する量として頻繁に扱われていたのである。 ===回転=== 回転運動は、以下の3つにより一意に定まる。 *回転軸の方向 *回転の速さ *回転方向（軸に対して右回転か左回転か） 「回転方向」は暗黙の諒解として右手系の正の回転角で考える。すると、回転運動を表すのに必要な情報は「方向」と「速さ（=スカラー量）」のみとなる。 従って、'''任意の回転運動はベクトルで表示される'''（ベクトルの大きさは「回転の速さ」で定める）。このようなベクトルを'''角速度ベクトル'''という。 ベクトル場の'''回転'''（curl/rotation/rotor）を以下のように定義する。 :<math>\mathrm{curl} \, \boldsymbol{a} = \mathrm{rot} \, \boldsymbol{a} = \begin{pmatrix} \frac{\partial{a_z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{a_y}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{a_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}} \end{pmatrix}</math> <math>\mathrm{curl}</math>は理学系、<math>\mathrm{rot}</math>は工学系が好んで使用する。 <math>z</math>軸方向の成分について考える。 <math>z</math>軸方向の回転はフレミングの左手の法則から<math>xy</math>平面内の成分のみが寄与すると考えられる。<math>z</math>軸の正方向の回転を生むには、<math>x</math>軸方向の変化率を大きくして<math>y</math>軸方向の変化率を小さくすればよい。 ある軸方向の変化率とはその軸の変数に関する偏導関数のことであったので、回転のz成分を<math>\frac{\partial{X_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{X_x}}{\partial{y}}</math>とすれば満足する。 対称性より輪環の順で入れ替えても同様であるので、回転は上の式で表されるとわかる。 これはより厳密には後述の線積分を用いて説明することになるので、ここでは定性的な説明に留めた。 回転を用いた概念として、ファラデーの電磁誘導の法則が有名である。 :電場<math>\boldsymbol{E}</math>、磁束密度<math>\boldsymbol{B}</math>として :<math>\mathrm{rot} \, \boldsymbol{E} = -\frac{\partial{\boldsymbol{B}}}{\partial{t}}</math> 流体の渦の記述にも応用されており、回転を'''渦度ベクトル'''とも呼ぶ。流体力学的な渦の定義は「速度場の回転」である。 回転が零ベクトルであるベクトル場を'''非回転的/渦無し/層状/ラメラー ベクトル場'''（irrotational/lamella vector field）などと呼ぶ。 勾配・発散と同様に空間偏微分演算子による表記を考える。 成分に着目すると外積の形式なので、 :<math>\mathrm{curl} \, \boldsymbol{a}= \nabla \times \boldsymbol{a}</math> と表されることが判る。 ベクトル場はベクトル量であり、ナブラは便宜的にベクトル量と見做すことから、その外積である回転はベクトル量であることが見て取れる。 外積の性質から、回転は行列式 :<math>\det \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x & \boldsymbol{e}_y & \boldsymbol{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{y}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ a_x & a_y & a_z \end{pmatrix}</math> でも表示される。 回転に対しては以下が成り立つ。 #<math>\nabla\times(k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})=k\nabla\times\boldsymbol{a}+l\nabla\times\boldsymbol{b}</math>（線型性） #<math>\nabla\times(\varphi\boldsymbol{a})=(\nabla\varphi)\times\boldsymbol{a}+\varphi\nabla\times\boldsymbol{a}</math>（積の微分・ライプニッツ則） 前者は外積の線型性より、後者は成分演算と勾配の定義より示される。 回転は常に角速度ベクトルと一致するとは限らない。そのため、必ずしも回転運動そのものを記述しない。 回転は、ヤコビ行列を用いると以下のように表される。 :<math>\mathrm{rot} \, \boldsymbol{a} = 2 \,\mathrm{axl} \left( \frac{\nabla \circledast \boldsymbol{a} - {}^t \! (\nabla \circledast \boldsymbol{a})}{2} \right)</math> :ここで<math>\nabla \circledast \boldsymbol{a} - {}^t \! (\nabla \circledast \boldsymbol{a})</math>は反対称行列であり、<math>\mathrm{axl}</math>は反対称行列を軸ベクトルに移す写像である。 ===ラプラシアン=== 上で見てきた勾配・発散・回転はいずれも一階の偏微分作用素であった。 二階偏微分作用素のうち最もよく使われているのがスカラー場に対して勾配の発散をとる演算である。 :<math>\nabla\cdot(\nabla\varphi) = \mathrm{div}(\mathrm{grad}\,\varphi)</math> ここで<math>(\nabla\cdot\nabla)\varphi</math>を計算してみると成分計算から上の<math>\nabla\cdot(\nabla\varphi)</math>に等しいことが容易に判る。則ち、発散作用素<math>\nabla\cdot\,\,</math>、勾配作用素<math>\nabla</math>、スカラー場<math>\varphi</math>の間に結合法則が成り立ってると見做せる。 そこで、<math>\nabla\cdot\nabla</math>を独立した演算子として考えることにする。 以下のように定義される演算子を'''ラプラス演算子'''（ラプラス作用素）という。 :<math>\text{∆}:=\nabla\cdot\nabla=\frac{\partial^2}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2}{\partial{y}^2}+\frac{\partial^2}{\partial{z}^2}</math> 二項目は[[w:記号の濫用]]により<math>\nabla^2</math>と書かれることもある。 但し、<math>\text{∆}</math>は通常のデルタ（Unicode文字名: GREEK CAPITAL LETTER DELTA, U+394）ではなく'''増分記号'''（Unicode文字名：INCREMENT, U+2206）である（が通常のデルタで書かれることが多い）。 ラプラス演算子を<math>C^2</math>級スカラー場に作用させる操作（及びその結果として得るスカラー場）を'''ラプラシアン'''（Laplacian）という。 :<math>\text{∆}\varphi=\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial{y}^2}+\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial{z}^2}</math> スカラー場のラプラシアンは各成分方向の曲率の和、すなわちスカラー場の各点に於ける突出・沈み込みの度合いを表す。 勾配・発散・回転・ラプラシアンを総称して'''空間微分'''と呼ぶ。 ラプラシアンは[[解析学基礎/偏微分方程式|偏微分方程式]]の記述に用いられている。 :'''ラプラス方程式'''・'''ポテンシャル方程式'''：<math>\text{∆}\varphi=0</math> :'''ポアソン方程式'''：<math>\text{∆}\varphi=f</math> :'''熱伝導方程式'''・'''拡散方程式'''：<math>\text{∆}\psi=k\frac{\partial{\psi}}{\partial{t}}+g</math> :'''波動方程式'''：<math>\text{∆}\psi=\frac{1}{\nu^2}\frac{\partial^2{\psi}}{\partial{t}^2}</math> :'''ヘルツホルム方程式'''：<math>\text{∆}\varphi=-l^2\varphi</math> ここで<math>\varphi=\varphi(x,y,z),\,f=f(x,y,z),\,\psi=\psi(x,y,z,t),\,k>0,\,g=g(x,y,z,t),\,\nu>0,\,l\in\mathbb{R}</math>である。 なお、ラプラス方程式の解を'''調和関数'''という。 <math>C^2</math>級ベクトル場のラプラシアンは以下のように定義される。 :<math>\text{∆}\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix} \text{∆}a_x \\ \text{∆}a_y \\ \text{∆}a_z \end{pmatrix}</math> ここでスカラー場と同様に考えて<math>\text{∆}\boldsymbol{a}=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})</math>としたいところではあるが、これは一般には成り立たない。 実際には以下のように表示される。 :<math>\text{∆}\boldsymbol{a}=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})-\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})=\mathrm{grad}(\mathrm{div}\,\varphi)-\mathrm{rot}(\mathrm{rot}\,\varphi)</math> *証明 :対称性より<math>x</math>成分のみ考えても輪環の順に入れ替えれば他の成分を得る。 ::<math>\nabla\cdot\boldsymbol{a}=\frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{a_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}</math> :より ::<math>\{\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})\}_x=\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2{a_y}}{\partial{x}\partial{y}}+\frac{\partial^2{a_z}}{\partial{x}\partial{z}}</math> :また、 ::<math>\nabla\times\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{a_z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{a_y}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{a_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}} \end{pmatrix}</math> :より ::<math>\{\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})\}_x=\frac{\partial}{\partial{y}}\left(\frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}}\right)-\frac{\partial}{\partial{z}}\left(\frac{\partial{a_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}}\right)</math> ::<math>=\frac{\partial^2{a_y}}{\partial{y}\partial{x}}-\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{y}^2}+\frac{\partial^2{a_z}}{\partial{z}\partial{x}}-\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{z}^2}</math> :<math>\boldsymbol{a}\in{C^2}</math>より偏微分は可換（シュワルツの定理）なので、<math>\{\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})-\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})\}_x</math>を計算すると ::<math>\left(\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2{a_y}}{\partial{x}\partial{y}}+\frac{\partial^2{a_z}}{\partial{x}\partial{z}}\right)-\left(\frac{\partial^2{a_y}}{\partial{x}\partial{y}}-\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{y}^2}+\frac{\partial^2{a_z}}{\partial{x}\partial{z}}-\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{z}^2}\right)</math> ::<math>=\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2{a_x}}{\partial {y}^2}+\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{z}^2}</math> ::<math>=\text{∆}a_x</math>// ここから判るように、ベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>に対して<math>\text{∆}=\nabla(\nabla\cdot)</math>が成り立つ条件は<math>\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})=\boldsymbol{0}</math>である。<math>\boldsymbol{a}</math>が非回転ベクトル場であれば回転が零ベクトルなのでこの形を必ず満足する。但し、この形を満たすベクトル場が全て非回転的ベクトル場であるとは限らない。 則ち、外積の反復と同様に回転演算子<math>\nabla\times\,\,</math>の反復に対して結合法則は不成立である。 歴史的な四元数表記では発散の代わりに吸い込みが用いられていたことからラプラシアンも現在とは反対の符号で計算されていた。ラプラシアンはユークリッド空間に限らず定義可能であるが、その中でも特に重要なのは[[特殊相対論#マクスウェルの方程式|相対性理論]]で用いられる'''ダランベール演算子'''（ダランベルシアン、クアブラ、波動演算子）である。 :<math>\text{⧠}:=\frac{1}{\nu^2}\frac{\partial^2}{\partial{t^2}}-\text{∆}</math> これは標準座標系で表されるミンコフスキー空間上のラプラシアンに相当する。<math>\text{∆}</math>は上で扱ってきた通常のラプラシアンのことである。 これを用いると波動方程式は<math>\text{⧠}\psi=0</math>というミンコフスキー空間上のラプラス方程式と解釈される。つまり、波動関数はミンコフスキー空間で見れば調和関数なのである。 また、[[w:クライン=ゴルドン方程式]]と呼ばれる偏微分方程式は :<math>\text{⧠}\psi=-\mu^2\psi</math> というミンコフスキー空間上のヘルツホルム方程式と解釈される。 ===微分定理=== ここでは、ナブラに関する公式を見ていく。以下、シュワルツの定理が成り立っているものとする。また、成分計算をすればいいだけなので証明は省略する。 既に紹介したものを以下に並べる。 #勾配 #:<math>\nabla(k\varphi+l\psi)=k\nabla\varphi+l\nabla\psi</math> #:<math>\nabla(\varphi\psi)=(\nabla\varphi)\psi+\varphi(\nabla\psi)</math>（ #:<math>\nabla\left(\frac{\varphi}{\psi}\right)=\frac{(\nabla\varphi)\psi-\varphi(\nabla\psi)}{\psi^2}</math> #:<math>\nabla(\varphi(\psi))=\frac{d\varphi(\psi)}{d\psi}\nabla\psi</math> #:<math>\frac{\partial{\varphi}}{\partial{\boldsymbol{e}}}=(\boldsymbol{e}\cdot\nabla)\varphi</math> #:<math>\frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{\boldsymbol{v}}}=(\nabla\circledast\boldsymbol{a})\boldsymbol{v}=(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{a}</math> #発散 #:<math>\nabla\cdot(k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})=k\nabla\cdot\boldsymbol{a}+l\nabla\cdot\boldsymbol{b}</math> #:<math>\nabla\cdot(\varphi\boldsymbol{a})=(\nabla\varphi)\cdot\boldsymbol{a}+\varphi\nabla\cdot\boldsymbol{a}</math> #:<math>\nabla\cdot\boldsymbol{a}=\mathrm{tr}(\nabla\circledast\boldsymbol{a})</math> #回転 #:<math>\nabla\times(k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})=k\nabla\times\boldsymbol{a}+l\nabla\times\boldsymbol{b}</math> #:<math>\nabla\times(\varphi\boldsymbol{a})=(\nabla\varphi)\times\boldsymbol{a}+\varphi\nabla\times\boldsymbol{a}</math> #:<math>\nabla\times\boldsymbol{a} = 2 \,\mathrm{axl} \left( \frac{\nabla \circledast \boldsymbol{a} - {}^t \! (\nabla \circledast \boldsymbol{a})}{2} \right)</math> #ラプラシアン #:<math>\text{∆}\varphi=\nabla\cdot(\nabla\varphi)</math> #:<math>\text{∆}\boldsymbol{a}=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})-\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})</math> 二つのベクトル場<math>\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}</math>の内積・外積に対してそれぞれ一階の空間微分を考えてみる。 <math>\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}</math>はスカラー量なので勾配のみ考えられる。 :<math>\nabla(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})=(\nabla\circledast\boldsymbol{a})\boldsymbol{b}+(\nabla\circledast\boldsymbol{b})\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}\times(\nabla\times\boldsymbol{b})+\boldsymbol{b}\times(\nabla\times\boldsymbol{a})</math> <math>\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}</math>はベクトル量なので発散・回転のみ考えられる。 :<math>\nabla\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})=\boldsymbol{b}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{a})-\boldsymbol{a}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> :<math>\nabla\times(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})=(\nabla\circledast\boldsymbol{a})\boldsymbol{b}-(\nabla\circledast\boldsymbol{b})\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}(\nabla\cdot\boldsymbol{b})-\boldsymbol{b}(\nabla\cdot\boldsymbol{a})</math> 次に、一階の空間微分の結果に対して更なる一階の空間微分を考えてみる。 スカラー場の勾配はベクトル量なので発散・回転のみ考えられる。 :<math>\nabla\cdot(\nabla\varphi)=\text{∆}\varphi</math> :<math>\nabla\times(\nabla\varphi)=\boldsymbol{0}</math> ベクトル場の発散はスカラー量なので勾配のみ考えられる。 :<math>\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})=\text{∆}\boldsymbol{a}+\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})</math> ベクトル場の回転はベクトル量なので発散・回転のみ考えられる。 :<math>\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{a})=0</math> :<math>\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})-\text{∆}\boldsymbol{a}</math> 則ち、勾配・発散・回転はどの組み合わせでも交換法則が成り立たない。 一階の空間微分の結果に対してラプラシアンを考えてみる。 :<math>\text{∆}(\nabla\varphi)=\nabla(\text{∆}\varphi)</math> :<math>\text{∆}(\nabla\cdot\boldsymbol{a})=\nabla\cdot(\text{∆}\boldsymbol{a})</math> :<math>\text{∆}(\nabla\times\boldsymbol{a})=\nabla\times(\text{∆}\boldsymbol{a})</math> ラプラシアンはスカラー性・ベクトル性を保存するので、演算が破綻する箇所はない。 則ち、ラプラシアンは勾配・発散・回転との組み合わせに対して交換法則が成り立つ。 :<math>\text{∆}\nabla=\nabla\text{∆},\quad\text{∆}(\nabla\cdot)=(\nabla\cdot)\text{∆},\quad\text{∆}(\nabla\times)=(\nabla\times)\text{∆}</math> <math>\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}</math>及び<math>\nabla\times\boldsymbol{a}</math>の発散・回転は三重積の形であった。 スカラー三重積・ベクトル三重積にナブラを様々な組み合わせで入れてその結果がどうなるか見ていく。 :<math>\boldsymbol{a}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> :<math>\boldsymbol{a}\times(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> はそのまま計算すればいいので公式化する必要が無い。 :<math>\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\times\nabla)</math> :<math>\boldsymbol{a}\times(\boldsymbol{b}\times\nabla)</math> :<math>\nabla\cdot(\boldsymbol{a}\times\nabla)</math> :<math>\nabla\times(\boldsymbol{a}\times\nabla)</math> は偏微分作用素の対象を後接してないので通常の演算としては扱えない。 :<math>\boldsymbol{a}\cdot(\nabla\times\nabla)</math> :<math>\boldsymbol{a}\times(\nabla\times\nabla)</math> :<math>\nabla\cdot(\nabla\times\nabla)</math> :<math>\nabla\times(\nabla\times\nabla)</math> は同じものの外積をとってるので当然<math>0, \boldsymbol{0}</math>である。<br> また、三重積の公式はナブラを代入した時点で破綻する。 次に、スカラー四重積・ベクトル四重積に対しても同様のことを考える。 :<math>(\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})</math> :<math>(\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot(\nabla\times\boldsymbol{c})</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times(\nabla\times\boldsymbol{c})</math> :<math>(\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> :<math>(\nabla\times\boldsymbol{a})\times(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> はそのまま計算すれば良いので公式化する必要が無い。 :<math>(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{c}\times\nabla)</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times(\boldsymbol{c}\times\nabla)</math> :<math>(\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{b}\times\nabla)</math> :<math>(\nabla\times\boldsymbol{a})\times(\boldsymbol{b}\times\nabla)</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\cdot(\boldsymbol{b}\times\nabla)</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\times(\boldsymbol{b}\times\nabla)</math> は偏微分作用素の対象を後接してないので通常の演算としては扱えない。 :<math>(\nabla\times\nabla)\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})</math> :<math>(\nabla\times\nabla)\times(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot(\nabla\times\nabla)</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times(\nabla\times\nabla)</math> 及びナブラを三個以上含むものは同じものの外積をとってるので当然<math>0, \boldsymbol{0}</math>である。 故に、ここで問題になるのは :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\cdot(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\times(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> の扱いである。 これらには以下の公式が成り立つ。 :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}\cdot\{\nabla\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\}</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})=[\{\boldsymbol{b}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{c})\}-\{\boldsymbol{c}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{b})\}]\boldsymbol{a}+{}^t\!\{\nabla\circledast(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\}\boldsymbol{a}</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\cdot(\nabla\times\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}\cdot\{\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{b})\}</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\times(\nabla\times\boldsymbol{b})={}^t\!\{\nabla\circledast(\nabla\times\boldsymbol{b})\}\boldsymbol{a}</math> ===ポテンシャル論=== ベクトル場<math>\boldsymbol{a}\in C^1</math>に対して<math>\boldsymbol{a}=\mathrm{grad}\,\varphi</math>を満たすスカラー場<math>\varphi\in C^2</math>が存在するならば、上で扱った公式より<math>\mathrm{rot}(\mathrm{grad}\,\varphi)=\boldsymbol{0}</math>である。 逆に、ベクトル場<math>\boldsymbol{a}\in C^1</math>が<math>\mathrm{rot}\,\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}</math>を満たすならば<math>\boldsymbol{a}=\mathrm{grad}\,\varphi</math>となるスカラー場<math>\varphi\in C^2</math>はどのようなときに存在するのであろうか？ ここで<math>\mathrm{rot}\,\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}</math>は成分表示すれば :<math>\begin{cases} \frac{\partial{a}_z}{\partial{y}}-\frac{\partial{a_y}}{\partial{z}}=0 \\ \frac{\partial{a}_x}{\partial{z}}-\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}}=0 \\ \frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}}=0 \end{cases}</math> という一階線型連立偏微分方程式となる。 この連立偏微分方程式は領域<math>D=\mathrm{dom}\,\boldsymbol{a}</math>上で解くことになるので、解が<math>\boldsymbol{a}=\mathrm{grad}\,\varphi</math>を満たすかは領域<math>D</math>がどのような形状をしているかに依存する。 そして、その形状を具体的に与えるのが次の定理である。 {{定理|(ポアンカレの補題1)}} 領域<math>D\subset\mathbb{R}^3</math>とベクトル場<math>\boldsymbol{a}\in C^1(D)</math>に対して :<math>\mathrm{rot}\,\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0} \iff \exist \varphi\in C^2(D),\quad \mathrm{grad}\,\varphi=\boldsymbol{a} </math> となるための十分条件は<math>D</math>が単連結であることである。 {{定理終わり}} 証明は後述する。 この<math>\varphi</math>を<math>\boldsymbol{a}</math>の'''スカラーポテンシャル'''（scalar potential）といい、スカラーポテンシャルを有するベクトル場を'''保存的ベクトル場'''（保存場、conservative vector field）という。 保存的ベクトル場に対して実際にスカラーポテンシャルを構成することを考える。簡単の為に、定義域は直方体領域（あるいは三次元ユークリッド空間全体）とする。 :<math>\mathrm{grad}\,\varphi=\boldsymbol{a},\quad\mathrm{rot}\,\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}</math>を連立偏微分方程式に書き下して ::<math>\begin{cases} \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}=a_x \\ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}=a_y \\ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}}=a_z \end{cases},\quad\begin{cases} \frac{\partial{a}_z}{\partial{y}}=\frac{\partial{a_y}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{a}_x}{\partial{z}}=\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}=\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}} \end{cases}</math> :<math>\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}=a_x(x,y,z)</math>は直接積分形偏微分方程式なので両辺を<math>x</math>で偏積分して ::<math>\varphi(x,y,z)=\int_m^x a_x(x,y,z) dx+g(y,z)</math>・・・(1) :これを<math>y</math>で偏微分すると ::<math>\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}=\frac{\partial}{\partial{y}}\int_m^x a_x(x,y,z)dx+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}</math> :ここでライプニッツの積分法則を適用して ::<math>=\int_m^x \frac{\partial{a_x}}{\partial{y}}dx+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}</math> :更に回転の条件から ::<math>=\int_m^x \frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}dx+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}</math> :よって偏微分に関する微分積分学の基本定理より ::<math>=a_y(x,y,z)-a_y(m,y,z)+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}</math> :これが<math>a_y(x,y,z)</math>に等しいので ::<math>\frac{\partial{g}}{\partial{y}}=a_y(m,y,z)</math> :これは<math>g(y, z)</math>が<math>x</math>の関数でないことに適する。 :両辺を<math>y</math>で偏積分して ::<math>g(y, z)=\int_n^y a_y(m,y,z)dy+h(z)</math> :これを(1)に代入して ::<math>\varphi(x,y,z)=\int_m^x a_x(x,y,z)dx+\int_n^y a_y(m,y,z)dy+h(z)</math>・・・(2) :これを<math>z</math>で偏微分すると ::<math>\frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}}=\frac{\partial}{\partial{z}}\left(\int_m^x a_x(x,y,z)dx+\int_n^y a_y(m,y,z)dy\right)+\frac{\partial{h}}{\partial{z}}</math> :ここでライプニッツの積分法則を適用して ::<math>=\left(\int_m^x\frac{\partial{a_x(x,y,z)}}{\partial{z}}dx+\int_n^y\frac{\partial{a_y(m,y,z)}}{\partial{z}}dy\right)+\frac{dh}{dz}</math> :更に回転の条件から ::<math>=\left(\int_m^x\frac{\partial{a_z(x,y,z)}}{\partial{x}}dx+\int_n^y\frac{\partial{a_z(m,y,z)}}{\partial{y}}dy\right)+\frac{dh}{dz}</math> :よって偏微分に関する微分積分学の基本定理より ::<math>=a_z(x,y,z)-a_z(m,y,z)+a_z(m,y,z)-a_z(m,n,z)+\frac{dh}{dz}</math> ::<math>=a_z(x,y,z)-a_z(m,n,z)+\frac{dh}{dz}</math> :これが<math>a_z(x,y,z)</math>に等しいので ::<math>\frac{dh}{dz}=a_z(m,n,z)</math> :これは<math>h(z)</math>が<math>x, y</math>の関数でないことに適する。 :両辺を<math>z</math>で常積分して ::<math>h(z)=\int_l^z a_z(m,n,z)dz+C</math> :これを(2)に代入して ::<math>\varphi(x,y,z)=\int_m^x a_x(x,y,z)dx+\int_n^y a_y(m,y,z)dy+\int_l^z a_z(m,n,z)dz+C</math>// ここで最後の積分定数<math>C</math>は勾配をとるときに消える。更に言うと、単連結領域では偏微分方程式の解の一意性よりスカラーポテンシャルは積分定数の違いを除いて一意に定まる。よって、スカラーポテンシャルは平行移動を同一視する同値類として与えられることになる。 ベクトル場<math>\boldsymbol{a}\in C^1</math>に対して<math>\boldsymbol{a}=\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}</math>を満たすベクトル場<math>\boldsymbol{A}\in C^2</math>が存在するならば、上で扱った公式より<math>\mathrm{div}(\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A})=0</math>である。 逆に、ベクトル場<math>\boldsymbol{a}\in C^1</math>が<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{a}=0</math>を満たすならば<math>\boldsymbol{a}=\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}</math>となるスカラー場<math>\boldsymbol{A}\in C^2</math>はどのようなときに存在するのであろうか？ これも同様に以下の定理で与えられる。 {{定理|(ポアンカレの補題2)}} 領域<math>D\subset\mathbb{R}^3</math>とベクトル場<math>\boldsymbol{a}\in C^1(D)</math>に対して :<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{a}=0 \iff \exist \boldsymbol{A}\in C^2(D),\quad \mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}=\boldsymbol{a} </math> となるための十分条件は<math>D</math>が'''可縮'''であることである。 {{定理終わり}} 証明は後述する。 ここで、集合が可縮とは「全体を1点に退化するような連続変形が可能である」ことを言う。可縮な集合は単連結である。可縮条件はより弱めることができるが、ホモトピーやコホモロジーの概念が必要である この<math>\varphi</math>を<math>\boldsymbol{a}</math>の'''ベクトルポテンシャル'''（vector potential）という。スカラーポテンシャルと異なり、「ベクトルポテンシャルを有するベクトル場」を指す特別な呼称は（数学界一般に認知されたものとしては）存在しない。「ソレノイダル場」などを用いる派閥もあるが、単に「発散が0であるベクトル場」を指す用法が強いのであまり広まっていない。 ベクトルポテンシャルを有するベクトル場に対して実際にベクトルポテンシャルを構成することを考える。簡単の為に、定義域は直方体領域（あるいは三次元ユークリッド空間全体）とする。 :<math>\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}=\boldsymbol{a},\quad\mathrm{div}\,\boldsymbol{a}=0</math>を連立偏微分方程式に書き下して ::<math>\begin{cases} \frac{\partial{A}_z}{\partial{y}}-\frac{\partial{A_y}}{\partial{z}}=a_x \\ \frac{\partial{A}_x}{\partial{z}}-\frac{\partial{A_z}}{\partial{x}}=a_y \\ \frac{\partial{A_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{A_x}}{\partial{y}}=a_z \end{cases},\quad \frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{a_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}} =0</math> :第一式より ::<math>\frac{\partial{A_z}}{\partial{y}}=a_x+\frac{\partial{A_y}}{\partial{z}}</math> :<math>y</math>で偏積分して ::<math>A_z = \int_n^y \left(a_x+\frac{\partial{A_y}}{\partial{z}}\right)dy+f(x,z)</math> :ライプニッツの積分法則より ::<math>=\int_n^y a_xdy + \frac{\partial}{\partial{z}}\int_n^y A_y dy+f(x,z)</math>・・・(3) :第三式より ::<math>\frac{\partial{A_x}}{\partial{y}}=\frac{\partial{A_y}}{\partial{x}}-a_z</math> :<math>y</math>で偏積分して ::<math>A_x=\int_n^y \left(\frac{\partial{A_y}}{\partial{x}}-a_z\right)dy+g(x, z)</math> :ライプニッツの積分法則より ::<math>=\frac{\partial{}}{\partial{x}}\int_n^y A_y dy - \int_n^y a_zdy+g(x,z)</math> :これと(3)を第二式に代入して ::<math>a_y=\frac{\partial}{\partial{z}}\left(\frac{\partial{}}{\partial{x}}\int_n^y A_y dy - \int_n^y a_zdy+g(x,z)\right)-\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\int_n^y a_xdy + \frac{\partial}{\partial{z}}\int_n^y A_y dy+f(x,z)\right)</math> ::<math>=\frac{\partial^2}{\partial{z}\partial{x}}\int_n^yA_ydy-\frac{\partial}{\partial{z}}\int_n^y a_z dy+\frac{\partial{g}}{\partial{z}}-\frac{\partial}{\partial{x}}\int_n^y a_x dy-\frac{\partial^2}{\partial{x}\partial{z}}\int_n^y A_y dy-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}</math> ::<math>=\frac{\partial{g}}{\partial{z}}-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}-\int_n^y \left(\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}+\frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}\right)dy</math> :よって ::<math>\frac{\partial{g}}{\partial{z}}-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=a_y+\int_n^y \left(\frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}\right) dy</math>・・・(4) :この右辺を<math>h(x, y, z)</math>とおくと ::<math>\frac{\partial{h}}{\partial{y}}=\frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{a_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}=0</math> :なので<math>h(x,y,z)</math>は<math>y</math>に依存しない<math>h(x,z)</math>である。 :これは(4)の左辺が<math>y</math>に依存しないことと整合する。 :故に(4)は ::<math>\frac{\partial{g}}{\partial{z}}-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=h(x,z)</math> :という二変数の偏微分方程式に落ちる。 :この偏微分方程式は例えば<math>f(x,z)=0, g(x,z)=\int_l^z h(x,z)dz</math>のような特殊解を持つ。 :このような特殊解によって構成された元の方程式の解を<math>\boldsymbol{A}_0</math>とする。 :一般解<math>\boldsymbol{A}</math>と特殊解との差を<math>\boldsymbol{B}</math>と置くとその回転は回転の線型性より<math>\boldsymbol{0}</math>なので ::<math>\begin{cases} \frac{\partial{B}_z}{\partial{y}}=\frac{\partial{B_y}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{B}_x}{\partial{z}}=\frac{\partial{B_z}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{B_y}}{\partial{x}}=\frac{\partial{B_x}}{\partial{y}} \end{cases}</math> :同様にして第一式・第三式を<math>y</math>で偏積分して第二式に代入すると積分定数に関して ::<math>\frac{\partial{F(x,z)}}{\partial{x}}=\frac{\partial{G(x,z)}}{\partial{z}}</math> :を得る。 :これは全微分方程式が完全微分方程式である条件なので、 ::<math>\mathrm{grad}\,\Phi=\begin{pmatrix} F(x,z) \\ G(x,z) \end{pmatrix}</math> :なるスカラー場<math>\Phi</math>が存在する。 :則ち、求めるベクトルポテンシャルは<math>\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}_0+\nabla\Phi</math>// ここで勾配の項は回転をとるときに<math>\mathrm{rot}(\mathrm{grad}\,\Phi)=\boldsymbol{0}</math>より消える。スカラーポテンシャルと同様に自由度が残るので、ベクトルポテンシャルはその自由度を無視した同値類で与えられる。 ポアンカレの補題1, 2に於ける領域<math>D</math>は互いに素ではない複数の領域の和集合<math>\bigcup_i D_i</math>であっても良い。但しポテンシャル場<math>\mathrm{p}</math>は各領域<math>D_i</math>に対して区分的に定義され、このとき互いに重なった領域<math>D_i\cap D_j</math>では任意の点<math>\boldsymbol{x}\in D_i\cap D_j</math>に対して<math>\mathrm{p}_i(\boldsymbol{x})=\mathrm{p}_j(\boldsymbol{x})</math>であることが導かれる。 ポアンカレの補題が成り立たない状況を考えると、この「重なった領域での単射性」が崩れる。則ち、ポテンシャル場は多価関数として振舞うのである。 ポテンシャルに関連した定理として、以下が成り立つ。 {{定理|(ヘルツホルムの定理・ベクトル解析の基本定理)}} ポアンカレの補題が成り立つ状況下に於いて、<math>C^1</math>級ベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>は<math>C^2</math>級スカラー場の勾配と<math>C^2</math>級ベクトル場の回転に[[w:直和分解]]（'''ヘルツホルム分解'''）できる。 則ち、任意の<math>\boldsymbol{a}\in C^1(D)</math>に対して :<math>\boldsymbol{a}=\mathrm{grad}\,\varphi-\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}</math> を満たす<math>\varphi, \boldsymbol{A}\in C^2(D)</math>が存在する。 {{定理終わり}} *証明 :ポアソン方程式<math>\text{∆}\varphi=f</math>に対してラプラシアンの定義から ::<math>\mathrm{div}(\mathrm{grad}\,\varphi)=f</math> :ここで右辺のスカラー関数<math>f</math>が<math>\boldsymbol{a}</math>の発散で与えられている場合を考えると ::<math>\mathrm{div}(\mathrm{grad}\,\varphi)=\mathrm{div}\,\boldsymbol{a}</math> :発散の線型性より ::<math>\mathrm{div}(\mathrm{grad}\,\varphi-\boldsymbol{a})=0</math> :ここでポアンカレの補題2を用いて ::<math>\mathrm{grad}\,\varphi-\boldsymbol{a}=\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}</math>// この<math>\varphi, \boldsymbol{A}</math>をそれぞれ広義のスカラーポテンシャル・ベクトルポテンシャルと呼ぶ場合がある。 広義ポテンシャルに対して :<math>\begin{cases} \mathrm{rot}(\mathrm{grad}\,\varphi)=\boldsymbol{0} \\ \mathrm{div}(\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A})=0 \\ \mathrm{div}\,\boldsymbol{a}=\text{∆}\varphi \\ \mathrm{rot}\,\boldsymbol{a}=\mathrm{grad}(\mathrm{div}\,\boldsymbol{A})-\text{∆}\boldsymbol{A} \end{cases}</math> が成立する。 広義ポテンシャルの組み合わせは一つには定まらない。成分毎で考えるとヘルツホルムの定理は三元連立偏微分方程式を与えるが、勾配で消える定数項と回転で消える勾配項を補正すると右辺の自由度は広義ポテンシャル2つ+補正項2つで4である。そこで、応用上は<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{A}=0</math>という条件（'''クーロンゲージ条件'''）を追加で課して一意に定めることが多い（これにより<math>\mathrm{rot}\,\boldsymbol{a}=-\text{∆}\boldsymbol{A}</math>が成り立つので）。 例えば、[[連続体力学]]に於ける弾性体の運動方程式（ナビエ-コーシー方程式） :<math>\rho\frac{\partial^2{\boldsymbol{u}}}{\partial{t}^2}=(\lambda+\mu)\mathrm{grad}(\mathrm{div}\,\boldsymbol{u})+\mu\text{∆}\boldsymbol{u}</math> をヘルツホルム分解とクーロンゲージ条件により解析すると :<math>\begin{cases} \rho\frac{\partial^2}{\partial{t}^2}\text{∆}\varphi=(\lambda+2\mu)\text{∆}^2\varphi \\ \rho\frac{\partial^2}{\partial{t}^2}\text{∆}\boldsymbol{A}=\mu\text{∆}^2\boldsymbol{A} \end{cases}</math> を得る。 更に<math>e=\text{∆}\varphi,\quad\boldsymbol{\omega}=-\text{∆}\boldsymbol{A}</math>と置くとこの2つの式は波動方程式である。ここから導かれる波は前者が縦波で後者が横波であるが、<math>\lambda+2\mu>\mu</math>より前者の方が伝播速度が大きい。則ち、中学理科のP波・S波の性質を導くことができた。 ナビエ-コーシー方程式に於いて定常状態を考えると<math>t</math>-微分の項が0になるので、<math>\text{∆}^2\boldsymbol{u}=0</math>を得る。このような形の偏微分方程式を'''重調和偏微分方程式'''という。 *応用問題 *:真空のマクスウェル方程式<math> \begin{cases} \nabla\times\boldsymbol{E}&=-\frac{\partial{\boldsymbol{B}}}{\partial{t}}\\ \nabla\times\boldsymbol{H}&=\frac{\partial{\boldsymbol{D}}}{\partial{t}}\\ \nabla\cdot\boldsymbol{D}&=0\\ \nabla\cdot\boldsymbol{B}&=0\\ \end{cases}</math>と構成方程式<math>\begin{cases} \boldsymbol{D}=\varepsilon_0\boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{H}\end{cases}</math>から電磁波の波動方程式<math>\begin{cases} \text{∆}\boldsymbol{E}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\boldsymbol{E}}}{\partial{t}^2} \\ \text{∆}\boldsymbol{H}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\boldsymbol{H}}}{\partial{t}^2} \end{cases}</math>及び光速<math>c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}</math>を導け。 ==空間積分== ここでは三次元ユークリッド空間で考える。 ===線積分=== 偏積分 :<math>\int_a^b f(x,y) dx := \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k,y) \Delta x</math>（<math>\Delta x = \frac{b-a}{n}, x_k = a + k\Delta x</math>） は<math>xyz</math>空間を<math>y</math>を固定した平面で切った断面に於ける曲線<math>z=f(x, y)</math>と<math>x</math>軸、直線<math>x=a, x=b</math>の囲む符号付き面積であった。 このとき積分変数を各点で見ると<math>x</math>軸という直線上を<math>a\to b</math>と単調に進むことになるが、これを<math>xyz</math>空間の任意の曲線<math>C</math>に拡張することを考える。 三次元空間の曲線をベクトル表示すると :<math>\boldsymbol{r}(t)=\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}\quad t\in [\alpha, \beta]</math> であり、被積分関数はこの曲線上の点を入力とするスカラー場と考えられるので :<math>\varphi=\varphi(\boldsymbol{r})</math> 偏積分の<math>dx</math>は「<math>x</math>軸上の微小変位」であったが、<math>t</math>が単調なとき曲線に沿った微小変位は曲線上の移動距離、則ち弧長の微小量と考えられるので線素を用いて :<math>d\ell=\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math> これらを総合すると、<math>C</math>に沿った積分というものは曲線のパラメータを用いて :<math>\int_\alpha^\beta \varphi(\boldsymbol{r}(t))\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math> と表示されることになる。 これをスカラー場<math>\varphi</math>の<math>C</math>に沿った'''線積分'''^※（line integral）という。また、<math>C</math>を'''積分経路'''（積分路、path）という。 <small>※量子力学の[[量子力学#経路積分法|経路積分]]（path integral）とは異なる概念である。</small> スカラー場の線積分は :<math>\int_C \varphi d\ell</math> のように略記される。 特に積分経路が閉曲線（'''閉経路'''）である場合は :<math>\oint_C \varphi d\ell</math> のように書き、これを<math>C</math>に沿った'''周回/閉路 積分'''（closed line integral）という。 1の線積分<math>\int_C d\ell</math>は弧長に等しい。 <math>\varphi(\boldsymbol{r})</math>の<math>C</math>の端点に於ける値の差を考える。 <math>t\in[\alpha,\beta]</math>を各<math>t_i</math>に等分割したとき、スカラー関数のテイラー展開より :<math>\varphi(\boldsymbol{r}(t_i))-\varphi(\boldsymbol{r}(t_{i-1}))=\nabla\varphi(\boldsymbol{r}_{t_i-1})\cdot d\boldsymbol{r}\big|_{t=t_i}+O\left(\left\|d\boldsymbol{r}\big|_{t=t_i}\right\|\right)</math> なので :<math>\varphi(\boldsymbol{r}(\beta))-\varphi(\boldsymbol{r}(\alpha))\fallingdotseq \sum_{i=1}^n \nabla\varphi(\boldsymbol{r}(t_{i-1}))\cdot d\boldsymbol{r}\big|_{t=t_i}</math> 右辺で分割数<math>n</math>を無限大に飛ばした極限は区分求積法より :<math>\int_{\boldsymbol{r}(\alpha)}^{\boldsymbol{r}(\beta)}\nabla\varphi(\boldsymbol{r})\cdot d\boldsymbol{r}</math> 則ち、曲線<math>C</math>に沿った微分積分学の基本定理 :<math>\int_{\boldsymbol{r}(\alpha)}^{\boldsymbol{r}(\beta)}\nabla\varphi(\boldsymbol{r})\cdot d\boldsymbol{r} = \varphi(\boldsymbol{r}(\beta))-\varphi(\boldsymbol{r}(\alpha))</math> を得る。 これは一変数積分の<math>\int_a^b \frac{df}{dx}dx=f(b)-f(a)</math>に対応し、これは常積分に関する微分積分学の基本定理の別表現である。 左辺をスカラー場の線積分と同様に<math>\int_C \nabla\varphi\cdot d\boldsymbol{r}</math>と書くことにする。 ここで<math>\nabla\varphi</math>を一般のベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>に拡張して同様に :<math>\int_C \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{r}</math> を考えてみたい。 ここで<math>d\boldsymbol{r}</math>は<math>\boldsymbol{r}</math>の全微分と解釈され、一変数関数なので :<math>d\boldsymbol{r}=\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt</math> 則ち、 :<math>\int_C \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{r}=\int_\alpha^\beta \boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt</math> という曲線のパラメータに関する積分に帰着された。 これをベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>の<math>C</math>に沿った'''線積分'''という。 <math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}</math>は<math>C</math>の接線なので<math>\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}</math>は<math>\boldsymbol{a}</math>から<math>C</math>の接線に沿う沿流成分を取り出していることになる。 このことから、ベクトル場の線積分を特に'''接線積分'''（integral of tangential component）ということがある。 また、<math>d\boldsymbol{r}</math>のノルムを考えてみると :<math>\|d\boldsymbol{r}\|=\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|dt=d\ell</math> より線素に一致する。 このことから、<math>d\boldsymbol{r}</math>を'''線素ベクトル'''と呼び、<math>d\boldsymbol{\ell}</math>とも書く。 線素ベクトルは曲線上の微小変位を表すので座標軸上の微小変位の重ね合わせと考えれば :<math>d\boldsymbol{\ell}=\begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}</math> よって接線積分は形式的に :<math>\int_C (a_xdx+a_ydy+a_zdz)</math> とも書かれる。 更に、弧長パラメトライズされている場合は接ベクトルを用いて :<math>d\boldsymbol{\ell}=\boldsymbol{t}ds</math> とも表せる。 接線積分で定義される概念としては、仕事が有名である。 :物体を経路<math>C</math>に沿って力<math>\boldsymbol{F}</math>で運んだときの仕事は摩擦や空気抵抗を無視すると ::<math>W=\int_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}</math> また、アンペールの法則も線積分で示される。 :閉経路<math>C</math>で囲まれた領域を貫く電流の大きさ<math>I</math>とその電流が生む磁場<math>\boldsymbol{H}</math>に対して ::<math>\oint_C \boldsymbol{H}\cdot d\boldsymbol{\ell}=I</math> 更に、以下のような概念も定義されている。 :流体の速度場<math>\boldsymbol{v}</math>の循環は ::<math>\Gamma(C)=\oint_C \boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{\ell}</math> *応用問題 **運ばれる物体の質量を<math>m</math>としたとき、仕事の定義とニュートンの運動方程式<math>m\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2}=\boldsymbol{F}</math>を用いて運動エネルギーに関するエネルギーの原理<math>W=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2</math>を証明せよ。 <math>C</math>が正の向きにパラメトライズされたとき、負の向きにパラメトライズされた曲線を<math>-C</math>と表した。 2つの閉曲線<math>C_1</math>の終点と<math>C_2</math>の始点が一致するとき、これを一つの曲線と見做して曲線の和 :<math>C_1+C_2</math> が定義される。 これを'''区分的に定義された曲線'''という。 2つの閉曲線<math>C_1</math>の終点と<math>C_2</math>の終点が一致するとき、<math>C_1</math>を始点とすると曲線の差は :<math>C_1-C_2=C_1+(-C_2)</math> で定義される。 <math>C</math>が'''区分的に滑らか'''であるとは、<math>C</math>が有限個の滑らかな曲線の和であることである。 これらを踏まえると、線積分には以下の性質が成り立つ。 #スカラー場 #:<math>\int_C (k\varphi+l\psi) d\ell=k\int_C \varphi d\ell + l \int_C \psi d\ell</math> #:<math>\int_{-C}\varphi d\ell = \int_C \varphi d\ell</math> #:<math>\int_{C_1+C_2}\varphi d\ell = \int_{C_1}\varphi d\ell + \int_{C_2}\varphi d\ell</math> #ベクトル場 #:<math>\int_C (k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})\cdot d\boldsymbol{\ell}=k\int_C \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}+l\int_C \boldsymbol{b}\cdot d\boldsymbol{\ell}</math> #:<math>\int_{-C}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell} = -\int_C \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}</math> #:<math>\int_{C_1+C_2}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \int_{C_1}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell} + \int_{C_2}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}</math> 1番目の性質は線型性である。2番目の性質から、スカラー場の線積分に関しては任意の'''再パラメトライズ'''（パラメータの可逆な変数変換）、ベクトル場の線積分に関しては向き付けを保つ再パラメトライズに対して線積分の値が保存されることが判る。 保存的ベクトル場に対する線積分<math>\int_C \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}</math>はスカラーポテンシャル<math>\varphi</math>を用いて<math>\int_C \nabla\varphi\cdot d\boldsymbol{\ell}</math>と書けるので微分積分学の基本定理より<math>\varphi(\boldsymbol{r}(\beta))-\varphi(\boldsymbol{r}(\alpha))</math>に等しい。 ここで<math>\varphi(\boldsymbol{r}(\beta))-\varphi(\boldsymbol{r}(\alpha))</math>は曲線の端点にのみ依存し形状には依存しない。 そのため、'''線積分の値が積分経路に依存しない必要十分条件はベクトル場が保存的であること'''である。 ここで閉曲線である場合を考えると :<math>\boldsymbol{r}(\alpha)=\boldsymbol{r}(\beta)</math> より :<math>\varphi(\boldsymbol{r}(\alpha))=\varphi(\boldsymbol{r}(\beta))</math> なので :<math>\oint_C \nabla\varphi\cdot d\boldsymbol{\ell}=0</math> である。 逆に言うと、'''周回積分が0でない閉経路をとれるとき<math>\varphi</math>は<math>\boldsymbol{a}</math>のスカラーポテンシャルではない'''。 この事実は偏微分方程式を解いて求めたスカラーポテンシャルが実際にポテンシャルであるかどうかの確認に用いられる。 なお、先程求めたスカラーポテンシャルの一般式 :<math>\varphi(x,y,z)=\int_m^x a_x(x,y,z)dx+\int_n^y a_y(m,y,z)dy+\int_l^z a_z(m,n,z)dz+C</math> は線積分で表される。 具体的には、積分経路を<math>\gamma:(m,n,l)\to(m,n,z)\to(m,y,z)\to(x,y,z)</math>という3つの線分の和としてとれば :<math>\varphi=\int_\gamma \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}+C</math> である。 ここでスカラーポテンシャルとは勾配方程式 :<math>\nabla\varphi=\boldsymbol{a}</math> の解だったので、'''線積分と勾配は逆演算'''である。 <math>\nabla\varphi\cdot d\boldsymbol{\ell}=d\varphi</math>より、スカラーポテンシャルの存在と完全微分方程式の対応がここからも得られる。また、完全微分方程式<math>d\varphi=0</math>の解は曲線を与えることも容易に判る。 仕事が線積分で定義されるという話をしたが、エネルギーの原理より力場がスカラーポテンシャルを有する（保存場）場合はエネルギー変化が移動経路に依存しないので力学的エネルギー保存法則が成り立つ。これが高校物理で扱った「保存力なら力学エネルギーが保存する」ことの正式な表現である。 ベクトル場の線積分はベクトル場と線素ベクトルの内積をとって積分していたが、外積をとって積分することもできる。 具体的には、 :<math>\boldsymbol{a}\times d\boldsymbol{\ell}=\begin{pmatrix} a_ydz-a_zdy \\ a_zdx-a_xdz \\ a_xdy-a_ydx \end{pmatrix}</math> より :<math>\int_C \boldsymbol{a}\times d\boldsymbol{\ell}=\begin{pmatrix} \int_C (a_ydz-a_zdy) \\ \int_C (a_zdx-a_xdz) \\ \int_C (a_xdy-a_ydx) \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} \int_\alpha^\beta \left\{ a_y(\boldsymbol{r}(t))\frac{dz}{dt}-a_z(\boldsymbol{r}(t))\frac{dy}{dt} \right\}dt \\ \int_\alpha^\beta \left\{ a_z(\boldsymbol{r}(t))\frac{dx}{dt}-a_x(\boldsymbol{r}(t))\frac{dz}{dt} \right\}dt \\ \int_\alpha^\beta \left\{ a_x(\boldsymbol{r}(t))\frac{dy}{dt}-a_y(\boldsymbol{r}(t))\frac{dx}{dt} \right\}dt \end{pmatrix}</math> これは物理学的にはビオ・サヴァールの法則の記述に用いられている。 :真空中で経路<math>C</math>を正の向きに流れる強さ<math>I</math>の定常電流・<math>C</math>上にない点<math>\mathrm{P}</math>・<math>C</math>上の点<math>\mathrm{Q}</math>に対し、<math>C</math>全体で生じる磁束密度<math>\boldsymbol{B}</math>の<math>\mathrm{P}</math>での値は真空の透磁率<math>\mu_0</math>として ::<math>\boldsymbol{B}(\mathrm{P})=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_C \frac{\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\times d\boldsymbol{\ell}}{\|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\|^3}</math> 応用例は乏しいが、スカラー場の線素ベクトルに関する積分、ベクトル場の線素に関する積分も同様に定義される。 :<math>\int_C \varphi d\boldsymbol{\ell} = \int_\alpha^\beta \varphi(\boldsymbol{r}(t))\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt</math> :<math>\int_C \boldsymbol{a} d\ell = \int_\alpha^\beta \boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|dt</math> これらはベクトル値である。 積分経路を流線上にとると、流線の定義から<math>d\boldsymbol{r}/\!\!/\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})</math>則ち一次従属なので、<math>d\boldsymbol{r}=k\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})</math>と書ける。 よって線積分の被積分関数は<math>\boldsymbol{a} \cdot d\boldsymbol{r} = k\|\boldsymbol{a}\|^2</math>となり、積分値が最大化される他、ベクトル場の沿流方向成分を抽出できる。実際に計算する際は、<math>\int_{\mathrm{streamline}} k\|\boldsymbol{a}\|^2</math>とは書かず、<math>\int_{\mathrm{streamline}} \boldsymbol{a} \cdot \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt</math>と書くのが望ましい（積分記号と積分微小要素はセットのため）。 流線が閉曲線である場合を考えると、<math>\oint_{\mathrm{streamline}} \boldsymbol{a} \cdot \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt</math>は閉曲線の正の向きで正、負の向きで負となるので0にはならない。そのため、流線が閉曲線であるベクトル場はスカラーポテンシャルを持たない。 ===面積分=== 線積分は常積分に於ける積分経路を任意の正則な<math>C^1</math>級曲線に拡張したものであった。同様に、二重積分に於ける積分領域を'''向き付けされた'''任意の<math>C^1</math>級曲面に拡張することを考える。 曲線に沿った微小量が線素で与えられたように、曲面に沿った微小量は面素で与えられる。故に、直観的には「面素に関して積分」すれば良いことが分かる。 三次元空間の曲面をベクトル表示すると :<math>\boldsymbol{r}(t, u)=\begin{pmatrix} x(t, u) \\ y(t, u) \\ z(t, u) \end{pmatrix}\quad {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} t \\[-6pt] u \end{array}\right)} \in D</math> であり、被積分関数はこの曲面上の点を入力とするスカラー場と考えられるので :<math>\varphi=\varphi(\boldsymbol{r})</math> 面素は :<math>dS=\sqrt{EG-F^2}dtdu=\sqrt{\left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \right\|^2\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2 - \left( \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \right)^2 } dtdu</math> 総合すると、<math>S</math>に沿った積分というものは曲面のパラメータを用いて :<math>\iint_D \varphi(\boldsymbol{r}(t,u))\sqrt{\left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \right\|^2\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2 - \left( \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \right)^2 } dtdu</math> と表示されることになる。 これをスカラー場<math>\varphi</math>の<math>S</math>に沿った'''面積分'''（曲面積分、surface integral）という。 今は三次元空間の場合を考えているので、外積を用いて :<math>\iint_D \varphi(\boldsymbol{r}(t,u))\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\times\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\| dtdu</math> と表示しても良い。 スカラー場の面積分は :<math>\iint_S \varphi dS</math> のように略記される。 特に積分領域が閉曲面である場合は :<math>\oiint_S \varphi dS</math> のように書く。 1の面積分<math>\iint_S dS</math>は曲面積に等しい。 ベクトル場の線積分と同様にしてベクトル場の面積分 :<math>\iint_S \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> を考えたい。 線素ベクトルが「位置ベクトルの接線方向」で「ノルムが通常の線素と一致する」ように定義されたことを鑑みると、面素ベクトルは「位置ベクトルの法線方向」で「ノルムが通常の面素に一致する」ように定義するのが良いと考えられる。要するに、 :<math>d\boldsymbol{S}:=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\times\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math> としてみる。 ここで単位法線ベクトルを<math>\boldsymbol{n}</math>と置くと面素ベクトルは<math>\boldsymbol{n}dS</math>と表され、 :<math>\iint_S \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}=\iint_S (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n})dS</math> のようにスカラー場の面積分に帰着されることが判る。 これをベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>の<math>S</math>に沿った'''面積分'''という。 <math>\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n}</math>は<math>\boldsymbol{a}</math>から<math>S</math>の法線を横切る沿流成分を取り出していることになる。 このことから、ベクトル場の面積分を特に'''法線面積分'''（surface integral of the normal component）ということがある。 単位法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}</math>は有向曲面に対して右手系を成し、各座標軸となす角度をそれぞれ<math>\alpha, \beta, \gamma</math>とすると通常の余弦関数で表されるベクトル<math>\begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \cos \beta \\ \cos \gamma \end{pmatrix}</math>に等しい。これを'''方向余弦'''という。 方向余弦に関して、正射影を用いると以下が成り立つと判る。 :<math>\begin{cases} \cos\alpha dS = dydz \\ \cos\beta dS = dzdx \\ \cos\gamma dS = dxdy \end{cases}</math> これを用いることで、面素ベクトルは :<math>d\boldsymbol{S} = \boldsymbol{e}_x dydz + \boldsymbol{e}_y dzdx + \boldsymbol{e}_z dxdy = \begin{pmatrix} dydz \\ dzdx \\ dxdy \end{pmatrix}</math> とも表される。 故に、法線面積分は形式的に :<math>\iint_S(a_xdydz+a_ydzdx+a_zdxdy)</math> とも書ける。 線積分と同様にベクトル場と面素ベクトルの外積、面素ベクトルのスカラー場倍、ベクトル場の面素倍をとって積分することも考えられるが、応用例に乏しい。 :<math>\iint_S \boldsymbol{a}\times d\boldsymbol{S}</math> :<math>\iint_S \varphi d\boldsymbol{S}</math> :<math>\iint_S \boldsymbol{a} dS</math> これらはベクトル値である。 面素ベクトルは以下のように考えることもできる。 :平面<math>\Pi</math>上面積<math>A</math>の有界領域と<math>\Pi</math>の表向き法線<math>\boldsymbol{n}_\Pi</math>に対し、<math>\boldsymbol{A}=A\boldsymbol{n}_\Pi</math>を'''面積ベクトル'''と定義する。 :曲面<math>S</math>上の微小領域をとると曲面をその接平面で近似できるので平面上と同様にして面積ベクトルを定義できる。 :このとき、<math>A=dS</math>となるように定義した面積ベクトルが面素ベクトルである。 この考え方を用いると、 :<math>\oint_C d\boldsymbol{\ell}=\boldsymbol{0}</math> 及び :<math>\oiint_S d\boldsymbol{S}=\boldsymbol{0}</math> が示される。 面積分で定義される概念としては'''束'''^※（flux）が有名である。 :流体の速度場<math>\boldsymbol{v}</math>に対し、<math>\iint_S \boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{S}</math>は流束（単位時間当たりに<math>S</math>を通過する流体の流出量）である。 :磁束密度<math>\boldsymbol{B}</math>に対し、<math>\Phi_B=\iint_S \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}</math>は磁束である。 また、ガウスの法則も面積分で示される。 :ガウス面<math>S</math>が囲む電荷の総量を<math>q_\mathrm{inc}</math>とすると電束密度<math>\boldsymbol{D}</math>に対して ::<math>\oiint_S \boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{S}=q_\mathrm{inc}</math> <small>※数学界・物理界で「束」と呼ばれる対象は複数存在する。和訳されるときに「束」が充当されたものはここで扱う「flux」の他に「bundle（ファイバー束など）」「lattice（[[束論]]の束）」「pencil（円束など）」「packet（波束など）」がある。</small> <math>S</math>が表向きにパラメトライズされたとき、裏向きにパラメトライズされた曲面を<math>-S</math>と表した。 同じ向きを向く2つの曲面<math>S_1</math>と<math>S_2</math>の疆界が一致するとき、これを一つの曲面と見做して曲面の和 :<math>S_1+S_2</math> が定義される。 これを'''区分的に定義された曲面'''という。 <math>S</math>が'''区分的に滑らか'''であるとは、<math>S</math>が有限個の滑らかな曲面の和であることである。 これらを踏まえると、面積分には以下の性質が成り立つ。 #スカラー場 #:<math>\iint_S (k\varphi+l\psi) dS=k\iint_S \varphi dS + l \iint_S \psi dS</math> #:<math>\iint_{-S}\varphi dS = \iint_S \varphi dS</math> #:<math>\iint_{S_1+S_2}\varphi dS = \iint_{S_1}\varphi dS + \iint_{S_2}\varphi dS</math> #ベクトル場 #:<math>\iint_S (k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})\cdot d\boldsymbol{S}=k\iint_S \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}+l\iint_S \boldsymbol{b}\cdot d\boldsymbol{S}</math> #:<math>\iint_{-S}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S} = -\iint_S \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> #:<math>\iint_{S_1+S_2}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S} = \iint_{S_1}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S} + \iint_{S_2}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> 1番目の性質は線型性である。2番目の性質から、スカラー場の面積分に関しては任意の再パラメトライズ、ベクトル場の面積分に関しては向き付けを保つ再パラメトライズに対して面積分の値が保存されることが判る。 等位面に対する面積分を考える。曲面<math>S</math>がスカラー場<math>\omega</math>の等位面であるとき、その単位法線ベクトルは勾配を用いて :<math>\boldsymbol{n}=\pm\frac{\nabla\omega}{\|\nabla\omega\|}</math> と表される。右手系で考えるので正符号を採る。 等位面の方程式<math>\omega(x,y,z)=c</math>に対して陰関数定理が成り立つとすると陰関数<math>z=\psi(x,y)</math>を用いて<math>S:\boldsymbol{r}(x,y)=\begin{pmatrix} x \\ y \\ \psi(x,y) \end{pmatrix}\quad {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in D</math>というモンジュ表示に落ちる。 よって :<math>dS=\sqrt{1+\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)^2}dxdy</math> と :<math>\boldsymbol{n}=\frac{\nabla\omega}{\|\nabla\omega\|}</math> を用いて :<math>\int_S \varphi dS = \int_D \varphi(x,y,\psi(x,y))\sqrt{1+\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)^2}dxdy</math> :<math>\int_S \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S} = \int_D \boldsymbol{a}(x,y,\psi(x,y))\cdot\frac{\nabla\omega(x,y,\psi(x,y))}{\|\nabla\omega(x,y,\psi(x,y))\|}\sqrt{1+\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)^2}dxdy</math> を得る。 ===体積分=== 三次元空間の中では曲がった三次元空間を考えることはできない。そのため、以下の議論は平坦な三次元空間での話になる。 曲線長の微小量であった線素・曲面積の微小量であった面素と同様にして立体積の微小量について考えてみる。 立体<math>V</math>を微小立体に分割した体積を<math>\Delta V_i</math>としたとき、線積分・面積分が正式には区分求積法で定義されたようにリーマン和の極限 :<math>\lim_{\Delta V_i\to0}\sum_i \varphi(x_i, y_i, z_i)\Delta V_i</math> で与えられる積分を考えたい。 これは多変数解析で行った議論と同様にして三変数関数の三重極限へと帰着されるが、三重極限は飛ばす順番を入れ替えられるとは限らないためこの極限値を求めることは困難である。 そこで、以下のように考える。 微小立体はどのような分割の仕方であっても直方体で近似できる（曲面上微小領域を平面上平行四辺形で近似したことからの類推）。このとき、微小体積<math>dV</math>は各辺の長さが<math>dx, dy, dz</math>であると考えることができる。故に、直方体の体積公式を用いて :<math>dV=dxdydz</math> これを'''体素'''（体積素・体積要素）という。 故に、求める積分は :<math>\lim_{\Delta V_i\to0}\sum_i \varphi(x_i, y_i, z_i)\Delta V_i=\iiint_V \varphi(x,y,z) dxdydz</math> という三重積分に帰着される。 これをスカラー場の<math>V</math>に沿った'''体積分'''（volume integral）という。 スカラー場の体積分は :<math>\iiint_V \varphi dV</math> のように略記される。 特に、積分領域が閉集合（'''閉立体'''）である場合は :<math>\oiiint_V \varphi dV</math> のように書く。 1の体積分<math>\iiint_V dV</math>は立体積に等しい。 <math>V</math>のベクトル表示が<math>\boldsymbol{r}(s,t,u)=\begin{pmatrix} x(s,t,u) \\ y(s,t,u) \\ z(s,t,u) \end{pmatrix} \quad {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} s \\[-6pt] t \\[-6pt] u\end{array}\right)} \in D</math>である場合は、多変数解析の議論により :<math>\iiint_V \varphi dV = \iiint_D \varphi(\boldsymbol{r}(s,t,u)) \left|\det \frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(s,t,u)}}\right| dsdtdu</math> であると容易に判る。 立体に対しては曲線に於ける接線、曲面に於ける法線のような「ベクトル表示から求められる、積分領域の向きを指定するための方向」が一意には存在しない。そのため、体素ベクトルというものは考えない。 故に、ベクトル場の体積分は :<math>\iiint_V \boldsymbol{a}dV</math> の一種類のみである。 体積分を用いて表される概念としては、電荷が有名である。 :電荷密度<math>\rho(x,y,z)</math>に対し、領域<math>V</math>内にある電荷の総量は ::<math>q=\iiint_V \rho(x,y,z)dV</math> また、電荷分布に於ける電気双極子モーメントは ::<math>\boldsymbol{p}=\iiint_V \rho\boldsymbol{r} dV</math> というベクトル場の体積分で定義される。 更に、以下のような概念も定義されている。 :物体の質量<math>m</math>、密度<math>\rho</math>とすると質量中心ベクトルは ::<math>\boldsymbol{r}_G=\frac{1}{m}\iiint_V \rho\boldsymbol{r}dV</math> :電磁場の真空での運動量は ::<math>\boldsymbol{P}=\frac{1}{c^2}\iiint_V \boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}dV</math> 2つの立体<math>V_1</math>と<math>V_2</math>の疆界が一致するとき、これを一つの立体と見做して立体の和 :<math>V_1+V_2</math> が定義される。 これを'''区分的に定義された立体'''という。 <math>V</math>が'''区分的に滑らか'''であるとは、<math>V</math>が有限個の滑らかな立体の和であることである。 これらを踏まえると、体積分には以下の性質が成り立つ。 #スカラー場 #:<math>\iiint_V (k\varphi+l\psi) dV=k\iiint_V \varphi dV + l \iiint_S \psi dV</math> #:<math>\iiint_{V_1+V_2}\varphi dV = \iiint_{V_1}\varphi dV + \iiint_{V_2}\varphi dV</math> #ベクトル場 #:<math>\iint_V (k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})dV=k\iiint_V \boldsymbol{a}dV+l\iiint_V \boldsymbol{b}dV</math> #:<math>\iiint_{V_1+V_2}\boldsymbol{a}dV = \iiint_{V_1}\boldsymbol{a} dV + \iiint_{V_2}\boldsymbol{a}dV</math> ===積分定理=== ここでは、空間積分に関する種々の定理を紹介する。 体積分 :<math>\iiint_V \varphi dV=\iiint_V \varphi dxdydz</math> に於いて、スカラー場<math>\varphi</math>がスカラー場<math>f</math>のある積分変数に関する偏導関数になっている場合を考える。 例えば<math>\varphi=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}</math>の場合を考えると :<math>\iiint_V \varphi dV = \iiint_V \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dxdydz</math> であり、 :<math>V=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} \vartheta(y,z) \leq x \leq \eta(y,z) \\ {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} y \\[-6pt] z \end{array}\right)} \in D \end{array} \right\}</math> とすると :<math>=\iint_D \left( \int_{\vartheta(y,z)}^{\eta(y,z)} \frac{\partial{f}}{\partial{x}} dx \right) dydz</math> 偏微分に関する微分積分学の基本定理より :<math>=\iint_D \{ f(\eta(y,z),y,z)-f(\vartheta(y,z),y,z) \} dydz</math> ここで、曲面<math>S_\eta:x=\eta(y,z), S_\vartheta:x=\vartheta(y,z)</math>の面素ベクトルについて考えてみる。<br/> <math>S_\eta</math>の接ベクトルは :<math>\frac{\partial{\eta}}{\partial{y}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_y, \frac{\partial{\eta}}{\partial{z}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_z</math> の2つなので、面素ベクトルは<math>x</math>軸正方向にとると :<math>d\boldsymbol{S}_\eta=\left(\frac{\partial{\eta}}{\partial{y}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_y\right)\times\left( \frac{\partial{\eta}}{\partial{z}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_z\right)=\left( \boldsymbol{e}_x - \frac{\partial{\eta}}{\partial{y}}\boldsymbol{e}_y - \frac{\partial{\eta}}{\partial{z}}\boldsymbol{e}_z \right)dydz</math> :<math>\therefore \boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\eta=dydz</math> :<math>\therefore \iint_{S_\eta} f\boldsymbol{e}_x \cdot d\boldsymbol{S}_\eta=\iint_D f(\eta(y,z),y,z)dydz </math> <math>S_\vartheta</math>の接ベクトルは :<math>\frac{\partial{\vartheta}}{\partial{y}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_y, \frac{\partial{\vartheta}}{\partial{z}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_z</math> の2つなので、面素ベクトルは<math>x</math>軸負方向にとると :<math>d\boldsymbol{S}_\vartheta=\left( \frac{\partial{\vartheta}}{\partial{z}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_z\right)\times\left(\frac{\partial{\vartheta}}{\partial{y}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_y\right)=\left(-\boldsymbol{e}_x + \frac{\partial{\vartheta}}{\partial{y}}\boldsymbol{e}_y + \frac{\partial{\vartheta}}{\partial{z}}\boldsymbol{e}_z \right)dydz</math> :<math>\therefore \boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\vartheta=-dydz</math> :<math>\therefore \iint_{S_\vartheta} f\boldsymbol{e}_x \cdot d\boldsymbol{S}_\vartheta=-\iint_D f(\vartheta(y,z),y,z)dydz </math> また、<math>S_\vartheta, S_\eta</math>を<math>V</math>の底面とみたときの側面<math>S_\mathrm{side}</math>は接平面に<math>\boldsymbol{e}_x</math>を含むので法線は<math>x</math>軸に垂直であり、 :<math>\boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\mathrm{side}=0</math> :<math>\therefore \iint_{S_\mathrm{side}}f\boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\mathrm{side}=0</math> よって :<math>\iint_D \{f(\eta(y,z),y,z) - f(\vartheta(y,z),y,z) \}dydz=\iint_{S_\eta} f \boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\eta + \iint_{S_\mathrm{side}} f \boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\mathrm{side} + \iint_{S_\vartheta} f \boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\vartheta</math> :<math>=\oiint_{\partial{V}}f\boldsymbol{e}_x \cdot d\boldsymbol{S}</math> ここで<math>\varphi=\frac{\partial{g}}{\partial{y}},\quad \varphi=\frac{\partial{h}}{\partial{z}}</math>の場合も同様の議論により :<math>\iiint_V \frac{\partial{g}}{\partial{y}} dV = \oiint_{\partial{V}} g\boldsymbol{e}_y \cdot d\boldsymbol{S}</math> :<math>\iiint_V \frac{\partial{h}}{\partial{z}}dV = \oiint_{\partial{V}} h\boldsymbol{e}_z\cdot d\boldsymbol{S}</math> と判るので、3式を足し合わせて :<math>\iiint_V \left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}+\frac{\partial{h}}{\partial{z}}\right)dV=\oiint_{\partial{V}} (f\boldsymbol{e}_x+g\boldsymbol{e}_y+h\boldsymbol{e}_z)\cdot d\boldsymbol{S}</math> ここで曲面<math>\partial{V}</math>の外向き法線の方向余弦を<math>\begin{pmatrix} l \\ m \\ n \end{pmatrix}</math>と置くと最終的に :<math>\iiint_V \left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}+\frac{\partial{h}}{\partial{z}}\right)dV=\oiint_{\partial{V}} (fl+gm+hn)dS</math>となる。 これを'''ガウス=グリーンの定理'''という。 更に、<math>\boldsymbol{a}(x,y,z)=\begin{pmatrix} f(x,y,z) \\ g(x,y,z) \\ h(x,y,z) \end{pmatrix}</math>と定義すると :<math>\iiint_V\left( \frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{a_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}} \right)dV=\oiint_{\partial{V}} ( a_x\boldsymbol{e}_x+a_y\boldsymbol{e}_y+a_z\boldsymbol{e}_z )\cdot d\boldsymbol{S}</math> 則ち :<math>\iiint_V \nabla\cdot\boldsymbol{a} dV = \oiint_{\partial{V}}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> を得る。 これを'''ガウスの発散定理'''という。 {{定理|(ガウスの発散定理)}} 有界領域<math>V\subset\mathbb{R}^3</math>の疆界<math>\partial{V}</math>が区分的に滑らかな閉曲面をなすとき、開集合<math>U \supset V^-</math>上で定義される<math>C^1</math>級ベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>に対して :<math>\iiint_V \nabla\cdot\boldsymbol{a}dV = \oiint_{\partial{V}} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> {{定理終わり}} 平面上で円弧を睨む扇形の中心角を円弧の弧長によって定義したのが弧度法であった。これを三次元に拡張することを考える。 半径1の球の中心を頂点とする円錐を考えたとき、円錐と球面の4つの交点が球面から切り取る有界曲面の曲面積を'''立体角'''と定義する。 この定義を利用して、向き付けられた有界曲面<math>S</math>に対する立体角も定義される。 :球の中心<math>\mathrm{O}</math>から<math>S</math>を眺めたとき、<math>\mathrm{O}</math>と<math>S</math>の頂点を結ぶ直線が<math>\mathrm{O}</math>を中心とする単位球面から切り取る曲面の面積<math>\Omega</math>を、「<math>\mathrm{O}</math>から見る<math>S</math>の立体角」という。但し、<math>\mathrm{O}</math>が<math>S</math>の裏側にいるとき正符号、表側にいるとき負符号とする。 立体角は物理的に無次元量であるが、弧度と同様に'''ステラジアン'''[sr]という単位が付されている。一般に半径<math>r</math>の球面で考えるときは、<math>\Omega</math>を<math>r^2</math>で除した値が立体角である。弧度と同様に、半径0のときは立体角を考えない。 単位球面の表面積は<math>4\pi</math>なので、立体角<math>\Omega</math>の範囲は<math>[-4\pi, 4\pi]</math>である。 <math>S</math>上の各点で面素ベクトルと位置ベクトル<math>\boldsymbol{r}</math>のなす角を<math>\theta</math>とする。このとき、面素<math>dS</math>に対して :<math>d\Omega = \frac{\cos\theta}{\|\boldsymbol{r}\|^2}dS</math> という微小量に関する等式が成り立つ。 書き換えると :<math>d\Omega = \frac{\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^3}\cdot d\boldsymbol{S}</math> これを積分してやれば立体角の表式を得る。 :<math>\Omega(S)=\iint_S \frac{\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^3}\cdot d\boldsymbol{S}</math> 閉曲面に対する立体角を考える。閉曲面の囲む領域を<math>V</math>とする。 立体角の中心<math>\mathrm{O}</math>が閉曲面の外にある場合、発散定理を用いて :<math>\Omega(S)=\oiint_S \frac{\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^3}\cdot d\boldsymbol{S}</math> :<math>=-\oiint_S \mathrm{grad}\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|} \cdot d\boldsymbol{S}</math> :<math>=-\iiint_V \mathrm{div}\left(\mathrm{grad}\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}\right)dV</math> :<math>=-\iiint_V \text{∆}\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|} dV</math> :<math>=0</math> である。 則ち、'''閉曲面外部から測った全体の立体角は常に0'''である。 ここで、球面座標に於ける公式 :<math>\mathrm{grad}\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}=-\frac{\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^3}</math> :<math>\text{∆}\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}=0</math> を使用した。 これは<math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>と置いて直交座標で計算すれば容易に証明される。 立体角の中心<math>\mathrm{O}</math>が閉曲面の中にある場合、<br/>閉球<math>V':B^-_\varepsilon(\mathrm{O})</math>とその疆界<math>S'=\partial{V'}</math>を考えると<math>V\setminus V'</math>は疆界がいずれも閉曲面で<math>\mathrm{O}</math>を内部に含まないので上の議論より立体角は0であり、 :<math>\Omega(S)=\Omega(S')</math> が成り立つ。 また、<math>S'</math>は<math>\mathrm{O}</math>を中心とする球面なので :<math>\Omega(S')=4\pi</math> である。 則ち、'''閉曲面内部から測った全体の立体角は形状に依らず<math>4\pi</math>'''である。 物理的な例として、クーロンの法則の比例定数<math>k=\frac{1}{4\pi\varepsilon}</math>の<math>4\pi</math>は閉曲面内部から測った全体の立体角を表している。 発散定理を利用することで、勾配・発散・回転をそれぞれ空間積分を用いた形に直すことができる。 先ずは、勾配を考える。 :<math>\iiint_V \nabla\cdot\boldsymbol{a}dV = \oiint_{\partial{V}} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> で<math>\boldsymbol{a}=\varphi\boldsymbol{c}</math>としてみると :<math>\iiint_V \nabla\cdot(\varphi\boldsymbol{c})dV = \oiint_{\partial{V}}\varphi \boldsymbol{c}\cdot d\boldsymbol{S}</math> ここで :<math>\nabla \cdot (\varphi\boldsymbol{c})=(\nabla\varphi)\cdot\boldsymbol{c}</math> なので :<math>\iiint_V \boldsymbol{c}\cdot\nabla\varphi dV=\oiint_{\partial{V}}\varphi\boldsymbol{c}\cdot d\boldsymbol{S}</math> 移項して内積を前に出すと :<math>\boldsymbol{c}\cdot\left( \iiint_V \nabla\varphi dV -\oiint_{\partial{V}} \varphi d\boldsymbol{S} \right)=0</math> これが<math>\boldsymbol{c}</math>の恒等式なので :<math>\iiint_V \nabla\varphi dV = \oiint_{\partial{V}}\varphi d\boldsymbol{S}</math>・・・(♪) ここで点<math>\mathrm{P}\in V</math>と有界立体<math>V_0(\ni\mathrm{P}) \subset V</math>に対して<math>V_\varepsilon:=\left\{ \overrightarrow{\mathrm{OP}}+\varepsilon\boldsymbol{x} \bigg| \boldsymbol{x} \in V_0 \right\}</math>を考えると、<math>\mathrm{P}</math>の<math>\varepsilon</math>-開近傍で<math>\varphi\in C^1</math>ならば :<math>\lim_{|V_\varepsilon|\to0}\frac{1}{|V_\varepsilon|}\iiint_{V_\varepsilon} \nabla\varphi dV=\nabla \varphi</math> なので、(♪)を適用して :<math>\nabla\varphi = \lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{1}{|V_\varepsilon|}\oiint_{\partial{V_\varepsilon}}\varphi d\boldsymbol{S}</math> を得る。 これを'''勾配の積分形'''という。 ここで、右辺は座標系の取り方に依らず同じ値に収束するので、'''勾配が座標系に依存しない'''ことが判る。これは「どの基底で成分表示しようが同じ勾配ベクトルを表せる」ことに対応する。 上の導出に関係して、以下が成り立つ。 {{定理|(体積分の平均値の定理)}} 場を<math>\mathfrak{X}</math>としたとき、体積平均<math>\langle\mathfrak{X}\rangle</math>に対して<math>\langle\mathfrak{X}\rangle\in\mathfrak{X}(V)</math>ならば :<math>\iiint_{V}\mathfrak{X}(\mathrm{P})dV = |V|\, \mathfrak{X}(\mathrm{M})</math> なる点<math>\mathrm{M}\in V</math>が存在する。 {{定理終わり}} 次に、発散について考える。 勾配と同様に<math>V_\varepsilon</math>を考えると :<math>\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{1}{|V_\varepsilon|}\iiint_{V_\varepsilon} \nabla\cdot\boldsymbol{a} dV=\nabla\cdot\boldsymbol{a}</math> を得るので、発散定理を適用して :<math>\nabla\cdot\boldsymbol{a}=\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{1}{|V_\varepsilon|}\oiint_{\partial{V_\varepsilon}} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> となる。 これを'''発散の積分形'''という。 勾配と同様に'''発散が座標系に依存しない'''ことが判る。 ここで流体の速度場<math>\boldsymbol{v}</math>について考えると :<math>\iint_S \boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{S}</math> とは<math>S</math>を貫く流束だったので、<br/> 発散は物理的には'''単位体積あたりの束'''を表していることが判った。 最後に、回転について考える。 :<math>\iiint_V \nabla\cdot\boldsymbol{a}dV = \oiint_{\partial{V}} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> で<math>\boldsymbol{a}=\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{c}</math>としてみると :<math>\iiint_V \nabla\cdot(\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{c})dV = \oiint_{\partial{V}}(\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{c})\cdot d\boldsymbol{S}</math> ここで :<math>\nabla \cdot (\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{c})=(\nabla\times\boldsymbol{\alpha})\cdot\boldsymbol{c}</math> :<math>(\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{c})\cdot d\boldsymbol{S}=-\boldsymbol{c}\cdot(\boldsymbol{\alpha} \times d\boldsymbol{S})</math> なので :<math>\iiint_V \boldsymbol{c}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{\alpha}) dV=-\oiint_{\partial{V}}\boldsymbol{c}\cdot (\boldsymbol{\alpha} \times d\boldsymbol{S})</math> 移項して内積を前に出すと :<math>\boldsymbol{c}\cdot\left( \iiint_V \nabla\times\boldsymbol{\alpha} dV +\oiint_{\partial{V}} \boldsymbol{\alpha} \times d\boldsymbol{S} \right)=0</math> これが<math>\boldsymbol{c}</math>の恒等式なので :<math>\iiint_V \nabla\times\boldsymbol{\alpha} dV = -\oiint_{\partial{V}} \boldsymbol{\alpha} \times d\boldsymbol{S}</math> あとは勾配・発散と同様にして :<math>\nabla\times\boldsymbol{\alpha}=-\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{1}{|V_\varepsilon|}\oiint_{\partial{V}_\varepsilon}\boldsymbol{\alpha}\times d\boldsymbol{S}</math> を得る。 これを'''回転の積分形'''という。<math>\nabla\times\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha}\times d\boldsymbol{A}</math>とも軸性ベクトルであるので座標変換に対して両辺の符号変化は一致し、同様に'''回転が座標系に依存しない'''ことが判る。 余談だが、ラプラシアンにも同様の積分形が存在する。 :<math>\text{∆}\varphi = \lim_{\varepsilon\to0^+} \frac{6}{\varepsilon^2}\left( \frac{1}{4\pi\varepsilon^2} \oiint_{\partial{V_\varepsilon}} \varphi dS - \varphi \right)</math> ベクトル場のラプラシアンに関しては成分のラプラシアンを並べたベクトルなので省略する。 <math>xy</math>平面上の区分的に滑らかな閉曲線で囲まれた平面を<math>D</math>、底面が<math>D</math>で高さ<math>L</math>の直筒を<math>B</math>とする。このとき、<math>B</math>の上面・底面・側面に於ける法線ベクトルはそれぞれ<math>\boldsymbol{n}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ a \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -a \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ 0 \end{pmatrix}</math>である。 <math>B</math>で定義された<math>z</math>に依存しないベクトル関数<math>\boldsymbol{r}(x,y) =\begin{pmatrix} \varphi(x,y) \\ \psi(x,y) \\ \vartheta(x,y) \end{pmatrix}</math>に対して発散定理を適用することを考える。 :<math>\nabla\cdot\boldsymbol{r}=\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}+\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}+\frac{\partial{\vartheta}}{\partial{z}}=\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}+\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}</math> :<math>B=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in D \\ 0 \leq z \leq L \end{array} \right\}</math> なので、発散定理の左辺は :<math>\iiint_{B} \nabla\cdot\boldsymbol{r} dV = \int_0^L \left( \iint_D \nabla\cdot\boldsymbol{r} dxdy \right) dz = L\iint_D \left(\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}+\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)dxdy</math> 発散定理の右辺は :<math>\oiint_{\partial{B}} \boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}=\iint_{\partial{B}_\mathrm{top}}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}+\iint_{\partial{B}_\mathrm{side}}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}+\iint_{\partial{B}_\mathrm{bottom}}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}</math> ここで :<math>\boldsymbol{n}_\mathrm{top}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ a \end{pmatrix},\quad\boldsymbol{n}_\mathrm{side}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -a \end{pmatrix},\quad\boldsymbol{n}_\mathrm{bottom}=\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ 0 \end{pmatrix}</math> なので、 :<math>\iint_{\partial{B}_\mathrm{top}}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}+\iint_{\partial{B}_\mathrm{bottom}}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}=a\iint_D \vartheta dxdy -a\iint_D \vartheta dxdy=0</math> :<math>\iint_{\partial{B}_\mathrm{side}}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}=\iint_{\partial{B}_\mathrm{side}} (\varphi\alpha+\psi\beta) dS</math> 則ち :<math>\oiint_{\partial{B}} \boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}=\iint_{\partial{B}_\mathrm{side}} (\varphi\alpha+\psi\beta) dS</math> 側面の面素は閉曲線<math>\partial{D}</math>の線素を用いて<math>d\ell dz</math>と表されるので、 :<math>\iint_{\partial{B}_\mathrm{side}} (\varphi\alpha+\psi\beta) dS=\int_0^L\left\{\oint_{\partial{D}} (\varphi\alpha+\psi\beta)d\ell \right\}dz=L\oint_{\partial{D}}(\varphi\alpha+\psi\beta)d\ell</math> 故に、 :<math>L\iint_D \left(\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}+\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)dxdy=L\oint_{\partial{D}}(\varphi\alpha+\psi\beta)d\ell</math> 則ち :<math>\iint_D \left(\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}+\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)dxdy=\oint_{\partial{D}}(\varphi\alpha+\psi\beta)d\ell</math> という、<math>xy</math>平面のみで表示された式を得る。 これを'''平面のガウスの定理'''という。 {{定理|(平面のガウスの定理)}} <math>xy</math>平面上の区分的に滑らかな閉曲線で囲まれた平面を<math>D</math>、<math>\partial{D}</math>の外向き法線ベクトルを<math>\boldsymbol{n}=\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}</math>とすると、開集合<math>U \supset D</math>上で<math>C^1</math>級であるベクトル関数<math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix}\varphi(x,y)\\\psi(x,y)\end{pmatrix}</math>に対して :<math>\iint_D \left(\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}+\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)dxdy=\oint_{\partial{D}}(\varphi\alpha+\psi\beta)d\ell</math> {{定理終わり}} ここで二次元の発散を<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{r}:=\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}+\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}</math>と定義すると、 :<math>\iint_D \mathrm{div}\,\boldsymbol{r} dxdy=\oint_{\partial{D}} \boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n} d\ell</math> という形に直すことができる。 これはまさしく発散定理の次元を下げた表式になっている。 閉曲線<math>\partial{D}</math>の正の向きを考えると、外向き法線ベクトルが<math>\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}</math>であることから接線ベクトルはこれを原点中心に<math>\frac{\pi}{2}</math>だけ回転したベクトル<math>\begin{pmatrix} -\beta \\ \alpha \end{pmatrix}</math>である。 :<math>d\boldsymbol{\ell}=\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix}, \frac{d\boldsymbol{\ell}}{ds}=\begin{pmatrix} -\beta \\ \alpha \end{pmatrix}, ds=d\ell</math> より :<math>\begin{cases} dx = -\beta d\ell \\ dy =\alpha d\ell \end{cases}</math> を得るので、平面のガウスの定理は :<math>\iint_D \left(\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}+\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)dxdy=\oint_{\partial{D}}\varphi dy-\psi dx</math>と表示される。 ここで<math>\varphi=g(x,y), \psi=-f(x,y)</math>を考えると、 :<math>\iint_D \left(\frac{\partial{g}}{\partial{x}}-\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)dxdy=\oint_{\partial{D}} fdx+gdy</math> を得る。 これを'''平面のグリーンの定理'''（平面のストークスの定理）という。 {{定理|(平面のグリーンの定理・平面のストークスの定理)}} <math>xy</math>平面上の区分的に滑らかな閉曲線で囲まれた平面を<math>D</math>とすると、開集合<math>U \supset D</math>上で<math>C^1</math>級であるベクトル関数<math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix}f(x,y)\\g(x,y)\end{pmatrix}</math>に対して :<math>\oint_{\partial{D}} \boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\iint_D \left(\frac{\partial{g}}{\partial{x}}-\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)dxdy</math> 但し、周回積分の周回向きは正とする。 {{定理終わり}} ここでは平面のガウスの定理から平面のグリーンの定理を導いたが、逆に辿ることで平面のグリーンの定理から平面のガウスの定理を導くことができる。つまり、平面のガウスの定理と平面のグリーンの定理は同値な命題である。また、平面のガウスの定理からガウスの発散定理を示すこともできる。平面のストークスの定理は平面のガウスの定理とは独立に示すことができるので、循環論法にはならない。 <math>\boldsymbol{r}=\nabla\varphi</math>(スカラーポテンシャル)を考えてみると、 :<math>\oint_{\partial{D}}\nabla\varphi \cdot d\boldsymbol{\ell}=\iint_D \left( \frac{\partial}{\partial{x}}\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}} - \frac{\partial}{\partial{y}}\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}} \right)dxdy=\iint_D \left( \frac{\partial^2{\varphi}}{\partial{x}\partial{y}} - \frac{\partial^2{\varphi}}{\partial{y}\partial{x}} \right)dxdy=0</math> と、「保存的ベクトル場の閉路積分が0」を別のやり方で証明できた。 ここで二次元の回転を<math>\mathrm{rot}\,\boldsymbol{r}:=\frac{\partial{g}}{\partial{x}}-\frac{\partial{f}}{\partial{y}}</math>と定義すると、 :<math>\oint_{\partial{D}} \boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\iint_D \mathrm{rot}\,\boldsymbol{r} dxdy</math> という形に直すことができる。 この表式を三次元に持ち上げることを考える。 区分的に滑らかな閉曲線を疆界とする曲面<math>S</math>が<math>xy</math>平面の領域<math>\varSigma</math>上で<math>C^2</math>級関数<math>f</math>を用いて<math>z=f(x,y)</math>とモンジュ表示されているとする。 <math>S</math>上単位法線ベクトルは<math>\gamma:=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2}}</math>として :<math>\boldsymbol{n}=\gamma\begin{pmatrix} -\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \\ -\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \\ 1 \end{pmatrix}</math> であり、 :<math>\gamma dS=dxdy</math> なので :<math>\iint_S (\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot d\boldsymbol{S}=\iint_S (\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{n} dS</math> :<math>= \iint_{\varSigma} \left\{ -\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\left( \frac{\partial{a_z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{a_y}}{\partial{z}}\right) -\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\left( \frac{\partial{a_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}} \right) + \left( \frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}} \right) \right\} dxdy</math> <math>a_x, a_y, a_z</math>の項で纏めて :<math>=\iint_\varSigma \left\{ -\left( \frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{a_x}}{\partial{z}}+\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}} \right)+\left( \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \frac{\partial{a_y}}{\partial{z}} + \frac{\partial{a_y}}{\partial{x}} \right) + \left( \frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}}-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{a_z}}{\partial{y}} \right) \right\}dxdy</math> ここで<math>z=f(x, y)</math>より連鎖律の逆を適用すると :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{a_x}}{\partial{z}}+\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}}+0=\frac{\partial{a_x}}{\partial{z}}\frac{\partial{z}}{\partial{y}}+\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{y}} =\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}}</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{a_y}}{\partial{z}}+0+\frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}=\frac{\partial{a_y}}{\partial{z}}\frac{\partial{z}}{\partial{x}}+\frac{\partial{a_y}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}}+\frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{x}} =\frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}}-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{a_z}}{\partial{y}}=\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}} + \frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}} + a_x\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}} \right)-\left( \frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{a_z}}{\partial{y}} + \frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{f}}{\partial{x}} + a_x\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}} \right)</math> :<math>=\left\{ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}+\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}}\right) +a_z \frac{\partial}{\partial{x}} \frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right\}-\left\{ \frac{\partial{f}}{\partial{x}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}+\frac{\partial{a_z}}{\partial{y}}\right) +a_z \frac{\partial}{\partial{y}} \frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right\}</math> :<math>=\left( \frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial}{\partial{x}}a_z + a_z \frac{\partial}{\partial{x}} \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \right)-\left( \frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial}{\partial{y}}a_z + a_z \frac{\partial}{\partial{y}} \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \right)</math> :<math>=\frac{\partial}{\partial{x}}\left(a_z\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right) - \frac{\partial}{\partial{y}}\left(a_z\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)</math> なので、 :<math>=\iint_\varSigma \left\{ -\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}} +\frac{\partial{a_y}}{\partial{x}} + \frac{\partial}{\partial{x}}\left(a_z\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right) - \frac{\partial}{\partial{y}}\left(a_z\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right) \right\} dxdy</math> :<math>=\iint_\varSigma \left\{ \frac{\partial}{\partial{x}} \left( a_y + a_z \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \right) - \frac{\partial}{\partial{y}}\left( a_x + a_z \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \right) \right\} dxdy</math> ここで平面のグリーンの定理を適用すると :<math>=\oint_{\partial{\varSigma}} \left( a_x + a_z \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \right)dx + \left( a_y + a_z \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \right) dy</math> :<math>=\oint_{\partial{\varSigma}} a_xdx+a_ydy + a_z\left( \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy \right)</math> ここで曲面上では :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy=dz</math>（全微分） なので :<math>=\oint_{\partial{S}} a_xdx+a_ydy+a_zdz</math> つまり、最終的に :<math>\iint_S (\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot d\boldsymbol{S}=\oint_{\partial{S}} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}</math> を得る。 これを'''ストークスの定理'''という。 {{定理|(ストークスの定理)}} 区分的に滑らかな閉曲線を疆界とする曲面を<math>S</math>とすると、開集合<math>U \supset S</math>上で<math>C^1</math>級であるベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>に対して :<math>\iint_S (\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot d\boldsymbol{S}=\oint_{\partial{S}} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}</math> {{定理終わり}} 発散定理から :<math>\iiint_V \nabla\varphi dV = \oiint_{\partial{V}}\varphi d\boldsymbol{S}</math> :<math>\iiint_V \nabla\times\boldsymbol{\alpha} dV = -\oiint_{\partial{V}} \boldsymbol{\alpha} \times d\boldsymbol{S}</math> という関係式を得たのと同様にして、ストークスの定理を利用することで :<math>\iint_S \nabla\varphi \times d\boldsymbol{S} = -\oint_{\partial{S}} \varphi d\boldsymbol{\ell}</math> :<math>\iint_S (\boldsymbol{n}\times\nabla)\times \boldsymbol{\alpha} dS = -\oint_{\partial{S}} \boldsymbol{\alpha}\times d\boldsymbol{\ell} </math> と言う関係式を得る。 発散定理・ストークスの定理そのものと併せてみると、これらの関係式が同じような形をしていることが見て取れる。 実は、これらの式は後述の微分形式というもので統一的に理解される。 発散の公式 :<math>\nabla\cdot(\varphi\boldsymbol{a})=(\nabla\varphi)\cdot\boldsymbol{a}+\varphi\nabla\cdot\boldsymbol{a}</math> で<math>\boldsymbol{a}=\nabla\psi</math>というスカラーポテンシャルを考えると :<math>\nabla\cdot\{\varphi(\nabla\psi)\}=(\nabla\varphi)\cdot(\nabla\psi)+\varphi\nabla\cdot(\nabla\psi)</math> 2項目は勾配の発散なのでラプラシアンであり、 :<math>\nabla\cdot(\varphi\nabla\psi)=\nabla\varphi\cdot\nabla\psi+\varphi\text{∆}\psi</math> 両辺を体積分すると :<math>\iiint_V \nabla\cdot(\varphi\nabla\psi)dV = \iiint_V (\nabla\varphi\cdot\nabla\psi+\varphi\text{∆}\psi)dV</math> 左辺に発散定理を適用して :<math>\oiint_{\partial{V}} \varphi\nabla\psi\cdot d\boldsymbol{S}=\iiint_V (\nabla\varphi\cdot\nabla\psi+\varphi\text{∆}\psi)dV</math> これを'''グリーンの第一定理'''という。 {{定理|(グリーンの第一定理)}} 有界領域<math>V\subset\mathbb{R}^3</math>の疆界<math>\partial{V}</math>が区分的に滑らかな閉曲面をなすとき、開集合<math>U\supset V^-</math>で定義される<math>\varphi\in C^1,\,\psi\in C^2</math>に対して :<math>\iiint_V (\nabla\varphi\cdot\nabla\psi+\varphi\text{∆}\psi)dV=\oiint_{\partial{V}} \varphi\nabla\psi\cdot d\boldsymbol{S}</math> {{定理終わり}} 右辺は方向微分から<math>\nabla\psi\cdot\boldsymbol{n}=\frac{\partial{\psi}}{\partial{n}}</math>より<math>\oiint_{\partial{V}} \varphi\frac{\partial{\psi}}{\partial{n}}dS</math>とも表される。 このとき、<math>\varphi=c(\mathrm{const}.)</math>を考えると :<math>\iiint_V (c\text{∆}\psi)dV=\oiint_{\partial{V}} c\frac{\partial{\psi}}{\partial{n}}dS</math> 線型性より :<math>c\iiint_V \text{∆}\psi dV=c\oiint_{\partial{V}} \frac{\partial{\psi}}{\partial{n}}dS</math> <math>c=0</math>では恒等式なので<math>c\neq0</math>として :<math>\iiint_V \text{∆}\psi dV=\oiint_{\partial{V}} \frac{\partial{\psi}}{\partial{n}}dS</math> ここで<math>V=V_\varepsilon</math>として両辺に<math>\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{1}{|V_\varepsilon|}</math>を作用させると :<math>\text{∆}\psi=\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{1}{|V_\varepsilon|}\oiint_{\partial{V_\varepsilon}} \frac{\partial{\psi}}{\partial{n}}dS</math> と、ラプラシアンの積分表示の別形を得た。 第一定理で<math>\varphi, \psi</math>の位置を入れ替えると :<math>\iiint_V (\nabla\psi\cdot\nabla\varphi+\psi\text{∆}\varphi)dV=\oiint_{\partial{V}} \psi\nabla\varphi\cdot d\boldsymbol{S}</math> 元の式との差をとれば :<math>\iiint_V (\varphi\text{∆}\psi-\psi\text{∆}\varphi)dV = \oiint_{\partial{V}} (\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi)\cdot d\boldsymbol{S}</math> これを'''グリーンの第二定理'''（ポアソンの公式）という。 {{定理|(グリーンの第二定理・ポアソンの公式)}} 有界領域<math>V\subset\mathbb{R}^3</math>の疆界<math>\partial{V}</math>が区分的に滑らかな閉曲面をなすとき、開集合<math>U\supset V^-</math>で定義される<math>\varphi\in C^2,\,\psi\in C^2</math>に対して :<math>\iiint_V (\varphi\text{∆}\psi-\psi\text{∆}\varphi)dV = \oiint_{\partial{V}} (\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi)\cdot d\boldsymbol{S}</math> {{定理終わり}} これは、発散定理で<math>\boldsymbol{a}=\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi</math>を考えたときの表式に一致する。 右辺は方向微分から<math>\oiint_{\partial{V}} \left(\varphi\frac{\partial{\psi}}{\partial{n}} - \psi\frac{\partial{\varphi}}{\partial{n}}\right)dS</math>とも表される。 これを用いた第二定理の表式を特に'''グリーンの定理'''と言う場合がある。 グリーンの第一定理をスカラーポテンシャルを使わず保存的ベクトル場のまま表示すると :<math>\iiint_V \varphi\nabla\cdot\boldsymbol{a} dV=\iint_{\partial{V}} (\varphi\boldsymbol{a})\cdot d\boldsymbol{S}-\iiint_V(\nabla\varphi)\cdot\boldsymbol{a} dV</math> という部分積分公式を得る。 関連して、以下のような部分積分が成り立つ。 {{定理|(ポホザエフの恒等式)}} <math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \varphi=\varphi(\boldsymbol{r})</math>とし、<math>f\in C^0(\mathbb{R})</math>に対し<math>F(\varphi)=\int_0^\varphi f(u)du</math>と置く。有界領域<math>V\subset\mathbb{R}^3</math>の疆界<math>\partial{V}</math>が向き付け可能且つ滑らかであるとき、 :<math>\begin{cases} \text{∆}\varphi=-f(\varphi) & \boldsymbol{r}\in V \\ \varphi=0 & \boldsymbol{r}\in\partial{V} \end{cases}</math> を満たす<math>\varphi\in C^2(V)\cap C^1(V^-)</math>が存在すれば :<math>\iiint_V \|\nabla\varphi\|^2dV = 6\iiint_V F(\varphi)dV - \oiint_{\partial{V}} \|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}</math> {{定理終わり}} *証明 :<math>\text{∆}\varphi=-f(\varphi)</math>の両辺に<math>\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi</math>を掛けると勾配の積の微分の逆から ::<math>(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\text{∆}\varphi=-f(\varphi)\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi=-\boldsymbol{r}\cdot\nabla F(\varphi)</math> :天下り的だがここで<math>(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\nabla\varphi</math>の発散を計算してみると ::<math>\nabla\cdot\{(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\nabla\varphi\}=(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\text{∆}\varphi+\|\nabla\varphi\|^2+\frac{1}{2}\boldsymbol{r}\cdot\nabla\left(\|\nabla\varphi\|^2\right)</math> :を得るので ::<math>(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\text{∆}\varphi=\nabla\cdot\{(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\nabla\varphi\}-\|\nabla\varphi\|^2-\frac{1}{2}\boldsymbol{r}\cdot\nabla\left(\|\nabla\varphi\|^2\right)</math> :次に<math>\|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r}</math>の発散を計算すると ::<math>\nabla\cdot(\|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r})=\boldsymbol{r}\cdot\nabla\left(\|\nabla\varphi\|^2\right)+3\|\nabla\varphi\|^2</math> :なので ::<math>-\|\nabla\varphi\|^2-\frac{1}{2}\boldsymbol{r}\cdot\nabla\left(\|\nabla\varphi\|^2\right)=-\frac{1}{2}\nabla\cdot(\|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r})+\frac{1}{2}\|\nabla\varphi\|^2</math> :更に<math>F(\varphi)\boldsymbol{r}</math>の発散を計算すると ::<math>\nabla\cdot\{F(\varphi)\boldsymbol{r}\}=\boldsymbol{r}\cdot\nabla F(\varphi)+3F(\varphi)</math> :から ::<math>-\boldsymbol{r}\cdot\nabla F(\varphi)=-\nabla\cdot\{F(\varphi)\boldsymbol{r}\}+3F(\varphi)</math> :よって ::<math>(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\text{∆}\varphi=-\boldsymbol{r}\cdot\nabla F(\varphi)</math> :は ::<math>\nabla\cdot\{(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\nabla\varphi\}-\frac{1}{2}\nabla\cdot(\|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r})+\frac{1}{2}\|\nabla\varphi\|^2=-\nabla\cdot\{F(\varphi)\boldsymbol{r}\}+3F(\varphi)</math> :則ち ::<math>\|\nabla\varphi\|^2= 6F(\varphi)-\nabla\cdot\left\{ 2(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\nabla\varphi -\|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r} +2F(\varphi)\boldsymbol{r} \right\}</math> :と同値である。 :両辺を体積分すると発散定理により ::<math>\iiint_V \|\nabla\varphi\|^2dV =6\iiint_V F(\varphi)dV - \oiint_{\partial{V}}\left\{ 2(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\nabla\varphi -\|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r} +2F(\varphi)\boldsymbol{r} \right\}\cdot d\boldsymbol{S}</math> :<math>\partial{V}</math>上では<math>\varphi=0</math>なので ::<math>F(\varphi)=\int_0^0 f(u)du=0</math> :であり、等位面の理論から<math>\partial{V}</math>の外向き単位法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}</math>は ::<math>\boldsymbol{n}=\frac{\nabla\varphi}{\|\nabla\varphi\|}</math> :なので面積分の項は ::<math>\oiint_{\partial{V}}\left\{ 2(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\nabla\varphi\cdot\boldsymbol{n} -\|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n} \right\}dS=\oiint_{\partial{V}} \|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n}dS</math>// [[#単純閉曲線]]で述べた「星状領域（星型領域）」は、滑らかな疆界を持つ有界領域<math>V\subset\mathbb{R}^3</math>の場合は<math>\partial{V}</math>の外向き法線<math>\boldsymbol{n}</math>を用いて :<math>\forall \boldsymbol{x}\in V, \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{n}>0</math> という条件によって定式化できる。 これを用いると、ポホザエフ恒等式の仮定で用いた既知関数<math>f</math>のポアソン方程式の疆界値問題の解<math>\varphi</math>について以下が成り立つことが判る。 {{定理|}} <math>\alpha\geq5, \beta\geq0</math>として<math>f(\varphi)=|\varphi|^{\alpha-1}\varphi+\beta\varphi</math>とする。<br/><math>V</math>が原点で星状なら疆界条件<math>\varphi(\boldsymbol{r})=0 \quad \boldsymbol{r}\in\partial{V}</math>の下でのポアソン方程式 :<math>\text{∆}\varphi=-f(\varphi) \quad \boldsymbol{r}\in V</math> のクラス<math>C^2(V)\cap C^1(V^-)</math>での解は零関数 :<math>\varphi\equiv0</math> のみである。 {{定理終わり}} *証明 :<math>F(\varphi)=\frac{|\varphi|^{\alpha+1}}{\alpha+1}-\frac{\beta}{2}\varphi</math> :<math>-\varphi\text{∆}\varphi=-\varphi f(\varphi)</math>を<math>V</math>で体積分するとグリーンの第一定理及び疆界条件から ::<math>\iiint_V \|\nabla\varphi\|^2dV=\iiint_V(|\varphi|^{\alpha+1}+\beta\varphi^2)dV</math> :ポホザエフの恒等式から ::<math>\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{\alpha+1}\right)\iiint_V |\varphi|^{\alpha+1}dV+\beta\iiint_V \varphi^2 dV = -\frac{1}{2}\oiint_{\partial{V}} \|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}</math> :左辺は<math>\alpha, \beta</math>の条件から非負であるが、右辺は星型性から非正である。 :等号が成り立つのは両者の積分値がともに0である場合であるが、そのようになる<math>\varphi</math>は零関数だけである。// ポアンカレの補題再考 パップス=ギュルダンの定理 ラプラス場の解析（「調和関数の法線方向微分の面積分は0」「グリーンの第二定理の右辺=0」「調和関数の点mでの値は半径に依らずmを中心とした球内に於ける調和関数の平均値」「定数関数でない調和関数は最大値も最小値も持たない」「閉曲面上で定数関数である調和関数は閉曲面が囲む領域の至る所で定数関数」「ラプラス方程式のディリクレ問題の解は一意」「調和関数の疆界に於ける法線方向微分が0なら立体内で至る所で定数関数」「ラプラス方程式の2解の疆界上法線方向微分が一致するならその差は定数」） ==発展事項== {{節stub}} {{Advanced|多様体論}} {{Advanced|微分幾何学}} {{Advanced|積分幾何学}} ここではベクトル解析の発展編及び微分幾何学の基礎編として、「ユークリッド空間の部分多様体上の微分幾何学」を扱う。言うなれば「<math>n</math>次元版のベクトル解析学」である。 ===体積分再考=== 体積分は先程「<math>\mathbb{R}^3</math>上の閉立体<math>V</math>」上で考えたが、実はここには線積分・面積分との大きな非対称性がある。 線積分は「曲線」、面積分は「曲面」を積分領域としたが、先程定義した体積分の積分領域は「平坦な立体」なのである（二次元で例えば楕円領域<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq1</math>は疆界こそ"曲線"だが空間そのものは<math>\mathbb{R}^2</math>という"平面"であることと同じ）。 1次元の曲がった空間である曲線<math>M^1:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>が<math>\mathbb{R}^2</math>内、2次元の曲がった空間である曲面<math>M^2:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s, t)</math>が<math>\mathbb{R}^3</math>内に存在するように、3次元の曲がった空間である曲立体<math>M^3:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s, t, u)</math>は<math>\mathbb{R}^4</math>内に存在すると考えるのが自然である。ここで一般に<math>M^n\subset\mathbb{R}^{n+1}</math>が成り立つと予想され、この関係を「<math>M^n</math>の<math>\mathbb{R}^{n+1}</math>への'''埋め込み'''」と呼ぶことにする。 線積分を<math>C=M^1</math>、面積分を<math>S=M^2</math>で定義したように、体積分を<math>M^3</math>で定義することを考える。 媒介変数空間<math>\begin{pmatrix} s \\ t \\ u \end{pmatrix} \in V \subset\mathbb{R^3}</math>上の微小変化を考えると全微分を用いて :<math>d\boldsymbol{r}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}}ds+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math> よって<math>V</math>上の微小立方体<math>dsdtdu</math>は3ベクトル<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}}ds,\quad\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt,\quad\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math>の張る微小平行六面体へ移される。 体素はこの微小平行六面体の体積と考えられるが、<math>\boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^4</math>より当然この3ベクトルは4項ベクトルなので、'''外積を含んでいるスカラー三重積は使えない'''。 全微分を一次変換表記すると :<math>d\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} \frac{\partial{x}}{\partial{s}} & \frac{\partial{x}}{\partial{t}} & \frac{\partial{x}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{y}}{\partial{s}} & \frac{\partial{y}}{\partial{t}} & \frac{\partial{y}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{z}}{\partial{s}} & \frac{\partial{z}}{\partial{t}} & \frac{\partial{z}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{w}}{\partial{s}} & \frac{\partial{w}}{\partial{t}} & \frac{\partial{w}}{\partial{u}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> :<math>=\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> ここでヤコビ行列は<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\in\mathbb{R}^{4\times3}</math>であって'''正方行列でないので行列式も求まらない'''。 そこで、[[線型代数学続論/種々の行列#随伴行列|グラム行列]]を利用することを考える。 '''グラム行列は必ず半正定値行列'''なので行列式は非負であり、平方根をとれる。 そのため、<math>\mathbf{G}:=\left(\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\right)^*\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}</math>として<math>\sqrt{\det\mathbf{G}}</math>を体積拡大率とする。 これは正方行列ならヤコビアンの絶対値に一致する。 {{NavTop|title=補足：体積拡大率に一致する証明}} :<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}</math>の列ベクトルにグラム=シュミットの直交化法を適用すると[[線型代数学続論/行列分解|QR分解]]によって :<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}=\mathbf{QR}\quad (\mathbf{Q}\in\mathbb{R}^{4\times3}, \mathbf{R}\in\mathbb{R}^{3\times3})</math> よって :<math>\mathbf{G}=(\mathbf{QR})^*\mathbf{QR}</math> :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{Q}^*\mathbf{Q}\mathbf{R}</math> :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{E}_3\mathbf{R}</math>（<math>\because\mathbf{Q}</math>は列ユニタリ行列） :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{R}</math> :<math>\therefore \sqrt{\det\mathbf{G}}=\sqrt{\det\left( \mathbf{R}^*\mathbf{R} \right)}=\sqrt{\left(\det\mathbf{R}\right)^2}=|\det\mathbf{R}|</math> <math>\mathbf{Q}</math>は列ユニタリ行列なのでその一次変換は等長変換であり、全微分による拡大率は<math>\mathbf{R}</math>による拡大率と一致する。<br/> 則ち、<math>\sqrt{\det\mathbf{G}}</math>を拡大率としてとれる。// {{NavBottom}} よって体積分は :<math>\iiint_{M^3} f(\boldsymbol{r})dM^3 = \iiint_{V} f(\boldsymbol{r}(s, t, u))\sqrt{\det\mathbf{G}}\,dsdtdu</math> ここから、適切な媒介変数表示が存在するならば<math>M^n</math>上での体積分の計算に<math>\mathbb{R}^{n+1}\setminus M^n</math>の情報は入ってこず、<math>M^n</math>の情報のみで計算されると予想される。 実際、<math>M^n</math>に適切な媒介変数表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{p})\quad(\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^n)</math>が存在するとき、全微分による一次変換の拡大率は同様にグラム行列式の平方根で与えられるので体積素は<math>dM^n = \sqrt{\det\mathbf{G}} \prod_{k=1}^{n}d\boldsymbol{p}_k</math>と書け、これは正しい。 なお、二次元の場合を考えると<math>\mathbf{G}=\mathbf{K}</math>より<math>dM^2=dS</math>であり、面素に一致する。一次元の場合を考えると<math>\mathbf{G}=\|d\boldsymbol{r}\|^2</math>より<math>dM^1=d\ell</math>であり、線素に一致する。 実は、体素だけでなく一般に角度や長さといった幾何学的な量は埋め込み先である<math>\mathbb{R}^{n+1}</math>の情報を全く必要とせず、<math>M^n</math>の情報だけで構成できることが知られている。このことは微分幾何学のうち[[w:リーマン幾何学|リーマン幾何学]]と呼ばれる分野で詳しく扱われる。 ここまで<math>M^n</math>を適切な媒介変数<math>\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^n</math>で表すことを強調してきたが、媒介変数表示を考えるということは<math>M^n</math>から媒介変数空間<math>U\subset\mathbb{R}^n</math>への射影<math>\pi:M^n\to U</math>を考えるということである。 ここで、この<math>\pi</math>が全単射ならば逆向きの射影<math>\pi^{-1}:U\to M^n</math>が存在してそれが媒介変数表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{p})</math>となるわけであるが、これは以下のようにも捉えられる。 :<math>\pi</math>によって射影した平坦な空間で座標を設定すると、'''適切な逆変換^※によって曲がった空間<math>M^n</math>上に(局所)座標系を与えることができる'''。 つまり、体積分を媒介変数空間に置換積分するということは、逆に体積分の元の表示が「<math>M^n</math>上の局所座標系に於ける積分」であることを示している。 ※この適切な逆変換が存在する条件は'''陰関数定理そのもの'''である。 ここで、適切な媒介変数表示が存在するよう<math>M^n</math>に制限を課したものが、以下で扱う'''多様体'''である。 ===多様体=== ===微分形式=== [[線型代数学続論/外積代数]]も参照。 ===リーマン計量=== ===テンソル解析=== [[線型代数学続論/テンソル代数]]も参照。 ===複素ベクトル解析=== [[複素解析学]]も参照。 {{DEFAULTSORT:へくとるかいせき}} [[Category:解析学]] [[Category:微分積分学]] [[Category:ベクトル解析|かいせきかくきそ]] pr2i91nt8zdalwcwvq2kbhhbds4051q 305161 305160 2026-10-28T01:41:41Z ~2026-55692-88 92812 /* 種々の曲率 */ 305161 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} {{wikipedia|ベクトル解析}} ここでは、ベクトル解析について解説する。[[物理数学I ベクトル解析]]も参照。 ==前提知識== ここでは、実数のみで考える。 ===ベクトル=== [[高等学校数学C/ベクトル]]、[[線型代数学/ベクトル]]、[[解析学基礎/ベクトル]]などを参照。本項では、矢印を付した表記（<math>\vec{a}</math>など）と太字斜体による表記（<math>\boldsymbol{x}</math>など）を混用する。 ===行列=== [[高等学校数学C/数学的な表現の工夫]]及び[[線形代数学]]・[[線型代数学続論]]の各ページを参照。本項では大文字の太字立体（<math>\mathbf{A}</math>など）で表記する。 ===多変数解析=== [[解析学基礎/多変数関数の微積分]]を参照。 ===領域=== <math>D\subset\mathbb{R}^n</math>と点<math>\boldsymbol{a}\in D</math>（位置ベクトル表記なので太文字斜体）に対し、集合<math>B_\varepsilon(\boldsymbol{a}) := \{ \boldsymbol{x} \in D \mid \| \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \|<\varepsilon \}</math>を点<math>\boldsymbol{a}</math>の'''<math>\varepsilon</math>-開球'''という。不等号を<math>\leqq</math>に変えたときは開区間↔閉区間と同様に'''閉球'''と呼ぶ。このとき、<math>D</math>のように<math>\mathbb{R}^n</math>の部分集合であって<math>\varepsilon</math>-開球を含むものを点<math>\boldsymbol{a}</math>の'''<math>\varepsilon</math>-開近傍'''と呼ぶ。閉球を含むときは同様に'''閉近傍'''と呼ぶ。 <math>\forall \boldsymbol{a} \in U, \exist \varepsilon>0, B_\varepsilon(\boldsymbol{a})\subset U</math>を満たす<math>U\subset\mathbb{R}^n</math>を'''開集合'''と呼び、<math>V=\mathbb{R}^n\setminus U</math>を'''閉集合'''と呼ぶ。 注意点として、開集合と閉集合は排反ではない。則ち「開集合且つ閉集合」である集合が存在し（例えば<math>\mathbb{R}, \varnothing</math>）、「開集合でも閉集合でもない」集合も存在する（例えば<math>[0, 1)</math>）。 <math>M\subset\mathbb{R}^n</math>を含む最小の閉集合を<math>M</math>の'''閉包'''と呼び、<math>M^-, \bar{M}, \mathrm{Cl}(M)</math>などと表す。例えば有理数の稠密性より<math>\mathbb{Q}^-=\mathbb{R}</math>である。 閉包の性質として「閉包=集合の内部と疆界の和集合（<math>M^- = \mathrm{Int}(M) \cup \partial{M}</math>）」がある。 集合<math>S\subset\mathbb{R}^n</math>に対して以下を満たす<math>\mathbb{R}^n</math>上開集合の組<math>(G_1, G_2)</math>が'''とれない'''とき、 #<math>G_1 \cap S = \varnothing \land G_2 \cap S = \varnothing</math> #<math>S = (G_1 \cap S) \sqcup (G_2 \cap S)</math> 「<math>S</math>は'''連結'''である」または「<math>S</math>は'''連結集合'''」という（但し、<math>\sqcup</math>は[[w:非交和|非交和]]）。 空でない開連結集合を'''領域'''という。 実は、高校数学や1年次の解析学で扱ってきた「領域」はこの定義を満たしていないことが多かった。これは、「領域」の歴史的な用法では「条件の解集合」という意味であって開性や連結性を要求しなかったためである。しかし、本項を含めた以降に登場する数学ではこの定義を満たしていることが前提条件となる。なお、ややこしいことに「積分領域」は従来通り「その上で積分を行う集合」という緩い意味で使われることが多いので、区別が必要である。 ===右手系=== 三次元空間の正規直交基底を<math>(\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3)</math>と置く。螺子を<math>\boldsymbol{e}_1\to\boldsymbol{e}_2</math>の向きに回すと<math>\boldsymbol{e}_3</math>の正方向に進むように3つの軸をとった系を'''右手系'''という。負方向に進むようにとったものを'''左手系'''という。数学・物理に限らず理数系の約束事として、'''三次元空間は必ず右手系で考える'''という暗黙の了解が存在するので覚えておこう。 右手系・左手系は基底の一部または全ての符号を反転することで変換することができる。一つだけを反転する場合は'''鏡像変換'''、二つだけを反転する場合は'''半回転'''、全てを反転する場合は'''空間反転'''と呼ぶ。 外積の結果として得るベクトルは右手系・左手系のどちらを考えるかで向きが変わる。このように、右手系↔左手系の変換で向きが変わるベクトルを'''軸性ベクトル'''という。 系の取り方で向きが変わるということは基底の係数である'''成分は不変量'''である。つまり、観測者の動きにベクトルが追従し、このベクトルは「物理的な実体を有しているのではなく計算の都合上向きが定められた便宜的な(=観測者が勝手に決めた)ベクトル」ということである。そのため、軸性ベクトルは'''擬ベクトル'''（シュードベクトル）とも呼ばれる。 位置や速度、加速度のような右手系・左手系のどちらを考えても同じ向きを向くベクトルを'''極性ベクトル'''という。座標系を取り換えても向きが維持されるため'''成分は座標変換に応じて変化する'''。これは、「観測の仕方によって起こる現象は変わらない」ということである。つまり擬ベクトルに対し、極性ベクトルは'''物理的実体を有するベクトル'''である。 偶奇と同じように軸性・極性にも外積を通じた相互関係が存在する。 :(軸性)×(軸性)=(軸性) :(軸性)×(極性)=(極性) :(極性)×(極性)=(軸性) ==基礎事項== ===ベクトル関数=== 関数<math>\boldsymbol{f} (x) = \sum_{i} f_i(x) \boldsymbol{e}_i</math>を'''ベクトル（値）関数'''（vector-valued function, vector function）という。 ただし、各<math>\boldsymbol{e}_i</math>は各座標軸方向の単位ベクトルであり、<math>\boldsymbol{f}(x)</math>の定義域は各<math>f_i(x)</math>の定義域の積集合である。 ベクトルの演算が成分ごとの演算結果を並べたベクトルで定義されたように、ベクトル関数の演算は（結果となる値が存在するならば）各成分の演算結果を並べたベクトルに等しい。これはベクトルの線型性による。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}</math>の<math>x\to0</math>の極限は、 :<math>\lim_{x\to0} \boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \lim_{x\to0} \cos x \\ \lim_{x\to0} \sin x \end{pmatrix}</math> (<math>\because</math>線型性) :<math>=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>=\boldsymbol{e}_x</math> と求まる。 このとき、<math>\boldsymbol{e}_x</math>を<math>\begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}</math>の<math>x\to0</math>に於ける'''極限ベクトル'''という。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>x=\alpha</math>で連続であるとは<math>\lim_{x\to\alpha}\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{f}(\alpha)</math>が成立することであり、区間<math>I</math>で連続であるとは<math>\forall \alpha \in I</math>で連続であることである。 また、ベクトル関数の導関数<math>\boldsymbol{f}'(x)</math>は :<math>\frac{d}{dx} \boldsymbol{f} (x) = \frac{d}{dx} \left( \sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i \right)</math> :<math>= \sum_i \left( \frac{d}{dx} f_i (x) \boldsymbol{e}_i \right)</math>（<math>\because</math>線型性） :<math>= \begin{pmatrix} f'_1(x) \\ f'_2(x) \\ \vdots \\ f'_i(x) \\ \vdots \end{pmatrix}</math> である。 この結果は、ベクトル関数に於ける導関数の正式な定義 <math>\lim_{h\to0} \frac{\boldsymbol{f}(x+h) - \boldsymbol{f}(x)}{h}</math>からも導かれる。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>x=\alpha</math>で微分可能であるとは極限値<math>\boldsymbol{f}'(\alpha)=\lim_{x\to\alpha}\frac{\boldsymbol{f}(x)-\boldsymbol{f}(\alpha)}{x-\alpha}</math>が存在することであり、区間<math>I</math>で微分可能であるとは<math>\forall \alpha \in I</math>で微分可能であることである。 高階導関数・高階微分可能も同様にして定義される。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>が区間<math>I</math>で連続ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>上で<math>C^0</math>級であるといい、<math>\boldsymbol{f}\in C^0(I)</math>と書く。<math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>I</math>で微分可能で<math>\boldsymbol{f}'(x)\in C^0(I)</math>ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>上で<math>C^1</math>級である（一階連続微分可能）といい、<math>\boldsymbol{f}\in C^1(I)</math>と書く。<math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>I</math>で二階微分可能で<math>\boldsymbol{f}'\in C^1(I)</math>ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>上で<math>C^2</math>級である（二階連続微分可能）といい、<math>\boldsymbol{f}\in C^2(I)</math>と書く。同様にして順々に<math>C^k</math>級が定義され、<math>\forall k \in \mathbb{N}, \boldsymbol{f}\in C^k(I)</math>ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>で<math>C^\infty</math>級（無限階連続微分可能）であるといい、<math>\boldsymbol{f}\in C^\infty(I)</math>と書く。<math>C^\infty</math>級である関数を'''滑らかな'''関数ともいう。 高校数学や高校物理で扱った平面（<math>\mathbb{R}^2</math>）上の運動は、実は2項ベクトル関数の理論に他ならない。 例えば、平面上の運動に於ける加速度・速度・変位の関係は<math>\boldsymbol{x}(t)= \begin{pmatrix} f(t) \\ g(t) \end{pmatrix}</math>として<math>\boldsymbol{a}(t) = \frac{d}{dt}\boldsymbol{v}(t) = \frac{d^2}{dt^2} \boldsymbol{x}(t)</math>と表すことができる。 曲線の媒介変数表示は、パラメータを変数とするベクトル関数とみることができる。 例えば、円の媒介変数表示<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>は、<math>\boldsymbol{r}(\theta) = r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}</math>という2次元ベクトル関数とみることができる。更に<math>\theta=\omega t</math>とすると、これは等速円運動の式である。 1変数ベクトル関数の微分に関して、以下の公式が成り立つ。 #定数倍の導関数：<math>\{k\boldsymbol{a}(x)\}'=k\boldsymbol{a}'(x)</math> #和・差の導関数：<math>\{ \boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x) \}' = \boldsymbol{a}'(x)\pm\boldsymbol{b}'(x)</math> #積の導関数：<math>\{ f(x)\boldsymbol{a}(x) \}' = f'(x)\boldsymbol{a}(x)+f(x)\boldsymbol{a}'(x)</math> #商の導関数：<math>\left\{ \frac{\boldsymbol{a}(x)}{f(x)} \right\}' = \frac{f(x)\boldsymbol{a}'(x)-f'(x)\boldsymbol{a}(x)}{\{f(x)\}^2} \quad (f(x)\neq0)</math> #内積の導関数：<math>\{\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x)</math> #外積の導関数：<math>\{\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x)</math> #スカラー三重積の導関数：<math>[\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}</math> #ベクトル三重積の導関数：<math>[\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}</math> #連鎖律（チェイン・ルール）：<math>[\boldsymbol{a}\{f(x)\}]'=\boldsymbol{a}'\{f(x)\}f'(x)</math> ベクトル関数の'''ノルム'''（大きさ、長さ）は、通常のベクトルと同様に :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)} = \sqrt{\sum_{i} \{f_i (x)\}^2}</math> で与えられる。 つまり、ノルムは元のベクトル関数と同一変数のスカラー関数である。 ここで、このスカラー関数が定数関数である条件に就て見てみよう。 :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|= c \quad (c\in\mathbb{R}_{>0})</math>の両辺を2乗して :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|^2 = \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x) = c^2</math> :両辺微分すると内積の微分より :<math>\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0</math> :<math>\therefore \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0</math> :逆に、 :<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0 \iff 2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=0</math> :<math>\int \{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'dx= \int 0 dx</math> :<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)=C_1</math>（<math>C_1\geq0</math>は積分定数） :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|^2=C_1</math>より :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{C_1} = \mathrm{const}.</math> よって、以下が成り立つ。 {{定理|(直交条件の定理)}} :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|= \mathrm{const}. \iff \boldsymbol{f}(x) \cdot \boldsymbol{f}'(x) = 0</math> {{定理終わり}} これは、物理的には「位置ベクトルと速度ベクトルが直交する」ことを表す。則ち、<math>\boldsymbol{f}(x)</math>の終点が始点を中心とする円運動(球面運動)をするということである。 また、ベクトル関数が変数に依らず常に同一方向を向く条件も見てみよう（但し<math>\boldsymbol{f}(x)\neq\boldsymbol{0}</math>）。 :所与の条件は零ベクトルでない定ベクトル<math>\boldsymbol{c}</math>を用いて<math>\boldsymbol{f}(x) = f(x)\boldsymbol{c}</math>と表される。 :両辺微分して<math>\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}=f'(x)\boldsymbol{c}</math> :ここで元のベクトル関数との外積をとると :<math>\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}\times\{f'(x)\boldsymbol{c}\}=f(x)f'(x) (\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{c})=f(x)f'(x)\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}</math> :逆に、 :<math>\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{0}</math>とすると一次従属なので :<math>\boldsymbol{f}'(x)=g(x)\boldsymbol{f}(x)</math>という微分方程式が成り立つ。 :各成分ごとに微分方程式を解くと、 ::これは変数分離型微分方程式なので第i成分は ::<math>\frac{df_i}{dx}=g(x)f_i(x)</math> ::<math>\int \frac{df_i}{f_i(x)}=\int g(x)dx</math> ::<math>G'(x)=g(x), C_i</math>を積分定数として<math>\log|f_i(x)|=G(x)+C_i</math> ::<math>C_i=\pm e^{C_i}</math>と改めておくと<math>f_i(x)=C_i e^{G(x)}</math> :よって :<math>\boldsymbol{f}(x)=\sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i = \sum_i C_i e^{G(x)} \boldsymbol{e}_i = e^{G(x)} \sum_i C_i \boldsymbol{e}_i</math> :ここで<math>f(x)=e^{G(x)}, \boldsymbol{c}=\sum_i C_i \boldsymbol{e}_i</math>と置くと :<math>\boldsymbol{f}(x) = f(x) \boldsymbol{c}</math>となり、方向は変数に依らず一定であることが判る// よって、以下が成り立つ。 {{定理|(平行条件の定理)}} <math>\boldsymbol{c},\boldsymbol{f}(x)\neq\boldsymbol{0}</math>として :<math>\boldsymbol{f}(x)=f(x)\boldsymbol{c} \iff \boldsymbol{f}(x) \times \boldsymbol{f}'(x) = \boldsymbol{0}</math> {{定理終わり}} ベクトル解析では三次元空間の場合を考えることが多いため上では外積を用いて証明したが、外積は3項ベクトル（または7項ベクトル）にしか定義されないのであった。 一般次元では外積に代わって次の関係式を用いる。 :<math>|\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)|=\|\boldsymbol{f}(x)\|\|\boldsymbol{f}'(x)\|</math> これはCS不等式の等号成立の場合である。 実際、<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\|\boldsymbol{f}(x)\|\|\boldsymbol{f}'(x)\|\cos\{\theta(x)\}</math>より等号成立の必要十分条件は :<math>\cos\{\theta(x)\}=\pm1\iff\theta(x) \equiv 0 \,(\mathrm{mod}\pi)</math> であり、2ベクトル<math>\boldsymbol{f}(x), \boldsymbol{f}'(x)</math>は平行とわかる。<br/> 平行ということは一次従属ということなので先程のように変数分離形微分方程式を解くことで3次元と同じ結果を得る。// 補足として、力学への応用を考える。 :速さの二乗<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|^2</math>を時間微分すると :<math>\frac{d}{dt}\|\boldsymbol{v}(t)\|^2=\frac{d}{dt}(\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t))=\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}\cdot\boldsymbol{v}(t)+\boldsymbol{v}(t)\cdot\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}=2(\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t))</math> :よって等速運動の条件<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|=\mathrm{const}.</math>は直交条件の定理から<math>\boldsymbol{v}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)</math>に同値である。 :これを力学的に解釈すると、「加速度ベクトルは速度ベクトル方向に仕事をしないから速度ベクトルの大きさを変えずに向きだけを変える」となる。 :平面上で等速円運動を考えると円運動条件から<math>\boldsymbol{r}(t)\perp\boldsymbol{v}(t)</math>、等速条件から<math>\boldsymbol{v}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)</math>なので<math>\boldsymbol{r}(t) /\!/ \boldsymbol{a}(t)</math>が出てくる。 :円運動条件<math>\|\boldsymbol{r}(t)\|^2=r^2</math>を一階微分すると ::<math>2\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{r}'(t)=0</math> :もう一度微分して ::<math>2(\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{r}''(t)+\boldsymbol{r}'(t)\cdot\boldsymbol{r}'(t))=0</math> :則ち ::<math>\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t)+\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t)=0</math> :位置ベクトルと加速度ベクトルが一次従属なので<math>\boldsymbol{a}(t)=\lambda\boldsymbol{r}(t)</math>であり、等速条件より<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|=v</math>なので ::<math>\lambda r^2 + v^2 = 0</math> ::<math>\therefore \lambda = -\frac{v^2}{r^2}<0</math> :則ち<math>\boldsymbol{r}(t)</math>と<math>\boldsymbol{a}(t)</math>は逆向きであり、円運動の中心は<math>\boldsymbol{r}(t)</math>の始点なので<math>\boldsymbol{a}(t)</math>は常に円運動の中心を向く'''向心加速度'''であることが証明された。// なお、3次元以上では「<math>\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\land\boldsymbol{b}\perp\boldsymbol{c}\implies\boldsymbol{a}/\!/\boldsymbol{c}</math>」が一般には成り立たないのでこの議論を成立させるには追加の条件が必要である。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>の不定積分は、各<math>f_i(x)</math>の原始関数を並べたベクトルを<math>\boldsymbol{F}(x)</math>として :<math>\int \boldsymbol{f}(x) dx = \boldsymbol{F}(x)+\boldsymbol{C}</math>（<math>\boldsymbol{C}</math>は各積分定数を並べたベクトル） と表される。 また、定積分は :<math>\int^b_a \boldsymbol{f}(x) dx=\boldsymbol{F}(b)-\boldsymbol{F}(a)</math> と表される。 1変数ベクトル関数の積分について、以下が成り立つ（不定積分表記だが定積分に就ても同様）。 #定数倍の原始関数：<math>\int \{k\boldsymbol{a}(x)\} dx = k\int\boldsymbol{a}(x)dx</math> #和・差の原始関数：<math>\int \{\boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x)\}dx=\int\boldsymbol{a}(x)dx\pm\int\boldsymbol{b}(x)dx</math> #内積の原始関数<math>\int \{\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \cdot \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)</math> #外積の原始関数<math>\int \{\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \times \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)</math> #スカラー倍の部分積分：<math>\int f(x)\boldsymbol{a}'(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f'(x)\boldsymbol{a}(x) dx \iff \int f'(x)\boldsymbol{a}(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f(x)\boldsymbol{a}'(x) dx</math> #内積の部分積分：<math>\int \{ \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}dx</math> #外積の部分積分：<math>\int \{ \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}dx</math> #置換積分：<math>u=f(x)</math>として<math>\int \boldsymbol{a}'\{f(x)\}f'(x) dx = \int \boldsymbol{a}(u)du</math> 平行条件の定理の証明でベクトル関数の微分方程式を解いたように、成分毎に考えることで解空間ベクトルを求められる。 :1階線型常微分方程式<math>\boldsymbol{f}'(x)+a(x)\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{b}(x)</math>の解に就て考える。 :第<math>i</math>成分を考えると<math>f'_i(x)+a(x)f_i(x)=b_i(x)</math>という1階線型常微分方程式を得るので、 :両辺に積分因子<math>\mu(x)=\exp\left(\int a(x) dx\right)</math>を掛けることで :<math>f_i(x)=\frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\}</math>を得る。 :よって一般解は :<math>\boldsymbol{f}(x) = \sum_i \frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\} \boldsymbol{e}_i=\frac{1}{\mu(x)}\left\{ \int \mu(x) \boldsymbol{b}(x) dx + \boldsymbol{C} \right\}</math> ベクトル関数は必ずしもここで扱った<math>\boldsymbol{f}: \mathbb{R}\to\mathbb{R}^n</math>のみを指さない。 例えば、ベクトル変数 <math>\boldsymbol{x}= \sum_i g_i (x) \boldsymbol{e}_i</math>に対して :<math>\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})=\sum_i (h_i \circ g_i) (x) \boldsymbol{e}_i</math> と定義されるような関数<math>\boldsymbol{h}:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</math>もベクトル関数である。 また、始域と終域の次元が異なる<math>\boldsymbol{i}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n \, (m, n\neq1)</math>のようなベクトル関数も考えられる。 一般に、始域が<math>\mathbb{R}^n (n\neq1)</math>であっても終域が<math>\mathbb{R}</math>である関数はベクトル関数に対して'''スカラー関数'''（scalar function）と呼ばれる。スカラー関数は入力ベクトルを「変数の組」と見れば通常の多変数関数に一致する。 この節で述べた理論は、多くは一般のベクトル関数に対しても成り立つ。但し、後述のヤコビ行列のような拡張を必要とするものもある。 また、多変数ベクトル関数<math>\boldsymbol{f}(x_1, x_2,\cdots,x_n)</math>を考えたとき、多変数微積分の理論は一変数微積分と同様にしてベクトル関数にもそのまま拡張される。 ===ベクトル場・スカラー場=== 写像<math>\boldsymbol{a}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</math>を'''ベクトル場'''（vector field）という。 実際には<math>m=n</math>の場合を考えることが多い。 写像<math>\varphi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>を'''スカラー場'''（scalar field）という。 それぞれ上で述べたベクトル関数・スカラー関数に対応する。 もう少し具体的に述べると、空間の領域<math>V</math>が与えられたときその各点にスカラーまたはベクトルを割り当てたものが場である。要するに、<math>p\in V</math>とすると :スカラー場：<math>\varphi=\varphi(p)</math> :ベクトル場：<math>\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}(p)</math> のように場は「点を入力とする^※関数」である。 <small>※なお、ベクトル場を図示するときは「出力されたベクトルの'''始点は原点でなく入力された点'''」であることに注意が必要である。出力ベクトルの成分表示は「入力点を基準に据えたときの位置ベクトル」なので原点から目盛を数えることに意味はない。</small> ここで<math>V</math>に何かしらの座標が設定されていれば、その座標系の変数の組をベクトルと見做すことで場を「通常のスカラー関数・ベクトル関数」として扱えるのである。 則ち、「滑らかな場」という概念は「滑らかな関数」として定義することができる。より具体的に言うと、スカラー場・ベクトル場が'''滑らか'''であるとは対応するスカラー関数・ベクトル関数が<math>C^\infty</math>級であることである。但し、滑らかさは任意の座標変換で保たれるわけではないことに注意が必要である（後述の座標変換テンソル及びその逆行列の全ての成分関数が滑らかである必要がある）。 ここで、二変数関数の極値を思い返してみる。 <math>z=f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>で極大であるとは<math>\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>として :<math>\exist \delta>0, \forall {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in \mathbb{R}^2, {\scriptstyle\left\| \left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right) \right\|} < \delta \implies f(x, y) \leq f(a, b)</math> という定義だった。 <math>z=f(x, y)</math>は曲面を表すが、これを<math>z</math>軸正方向から<math>xy</math>平面に射影するとその陰が<math>(x, y)</math>の動く範囲となるのであった。 ここで<math>\boldsymbol{x}:=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \boldsymbol{\alpha}:=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>とすると<math>z=f(x, y)</math>はスカラー場<math>z=\phi(\boldsymbol{x})</math>と解釈することができ、更に条件法の前件は<math>\boldsymbol{\alpha}</math>の<math>\delta</math>-開球（二次元なので開円板）である。 なので、極大値の定義式をベクトル解析的に解釈すると「<math>xy</math>平面の各点に<math>z</math>の値を割り当てた数分布に於いて、開円板<math>B_\delta(\boldsymbol{\alpha})</math>内部に於ける<math>z</math>の最大値が<math>\phi(\boldsymbol{\alpha})</math>となるような正数<math>\delta</math>が存在する」ということである。 ベクトル場の例としては、電場・磁場・重力場などが挙げられる。 スカラー場の例としては、電位分布・温度分布・圧力分布などが挙げられる。 例えば、ベクトル場<math>\boldsymbol{f}=(x, 0, 0)</math>は、<math>\mathbb{R}^3</math>内の平面<math>x=k</math>上の任意点に、その点を始点とするベクトル<math>\begin{pmatrix} k \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>が存在する状態を表す。 ベクトル場の和は、出力ベクトルの型が同じならばベクトル場の成分の和をとったものに等しい。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x, y, z)=(y, z, x), \boldsymbol{g}(x, y, z)=(z, x, y)</math>について :<math>(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g})(x, y, z)=(y, z, x)+(z, x, y)=(y+z, z+x, x+y)</math>である。 これは、ベクトル場の加法の定義が :<math>\forall p \in V, (\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g})(p):=\boldsymbol{f}(p)+\boldsymbol{g}(p)</math> となっていて且つ<math>V</math>に座標を入れればベクトル関数の加法則をそのまま適用できるためである（入力点が異なるとき、場同士は足すことができない）。 曲線<math>\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2 \mid \varphi(\boldsymbol{x})=\mathrm{const}.\}</math>を'''等高線'''（等高曲線）、曲面<math>\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^3 \mid \varphi(\boldsymbol{x})=\mathrm{const}.\}</math>を'''等位面'''（等位曲面）という。これらの詳細は後述する。 ==曲線論・曲面論== ===曲線=== <math>xy</math>平面上の曲線は<math>y=f(x) (x\in[a, b])</math>という陽関数表示で扱うことが多かった。しかし、これだと自分自身と交わる（'''自己交叉'''する）曲線や<math>x=x_0</math>に対して<math>f(x_0)</math>の値が複数存在する（<math>f</math>が'''多価関数'''）場合に不都合が生じる。 例えば円を陽関数表示しようとすると :<math>x^2+y^2=r^2</math>を<math>y</math>に就いて解いて :<math>y=\pm\sqrt{r^2-x^2}</math> 則ち :<math>y=\begin{cases} \sqrt{r^2-x^2} & (y\geq0) \\ -\sqrt{r^2-x^2} & (y<0) \end{cases}</math> という多価関数が必要になる。 これだと端点の振舞を一々調べる必要があって曲線の連続性や接線の議論が煩雑になってしまう。 しかし、先程も述べたように曲線の媒介変数表示はベクトル関数として見れるのであった。 :<math>\boldsymbol{r}(\theta) = r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}</math>（再掲） こうすると一変数連続ベクトル関数によって曲線を表すことが可能である。物理的に捉えると「質点の運動の軌跡を原点からの位置ベクトルの時間変化で表す」ということである。 一般に、<math>\boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^n, t \in I</math>としてベクトル方程式<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>の解集合<math>\{\boldsymbol{r}(t) \mid t \in I \}</math>は<math>n</math>次元空間内の曲線<math>C</math>を表す。これを<math>C</math>の'''ベクトル表示'''という。 ベクトル表示は成分表示に直せば<math>\boldsymbol{r}(t)=\sum_i r_i(t)\boldsymbol{e}_i</math>となる。これは媒介変数表示<math>\begin{cases} x_1&=&r_1(t) \\ x_2&=&r_2(t) \\ &\,\,\vdots& \\ x_n&=&r_n(t) \end{cases}</math>をベクトル表記したものに一致する。 例えば、<math>\boldsymbol{r}(t)=\begin{pmatrix} a\cos t \\ a\sin t \\ bt \end{pmatrix}</math>は'''常螺旋'''（弦巻線）のベクトル表示である。 パラメータが増加するときの点の移動方向を曲線の'''正の向き'''と定める。曲線の'''負の向き'''はパラメータが減少するときの点の移動方向である。このとき、パラメータで'''向き付け'''された曲線という表現もなされる。曲線<math>C</math>に対し、同じパラメータを用いた逆向きの曲線を<math>-C</math>と表す。ベクトル表示では<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>に対して<math>-C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(-t)</math>ということである。 パラメータに関する変数変換<math>u=\phi(t)</math>を考える。但し、<math>\phi</math>は広義単調関数とする^※。このとき、<math>\frac{du}{dt}</math>が非負ならば曲線の向き付けが保たれ、非正ならば向き付けが反転する。<math>\frac{du}{dt}=0</math>となる領域では点の運動が停止する。 <small>※<math>\phi</math>が非単調関数のときは曲線上の点が行ったり来たりすることになるため曲線のパラメータ表示としては扱いづらい。</small> <math>\boldsymbol{r}(t) \in C^1</math>且つ<math>\boldsymbol{r}'(t)\neq\boldsymbol{0}</math>であるとき、曲線<math>C</math>は'''滑らか'''であるという。 滑らかな曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>に対して<math>\boldsymbol{r}'(t)</math>を<math>C</math>の'''速度ベクトル'''という。 <math>\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boldsymbol{r}</math>として点<math>\mathrm{P}(t)</math>に於ける速度ベクトルは<math>\lim_{\Delta t\to0}\frac{\boldsymbol{r}(t+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t)}{\Delta t}</math>の極限ベクトルであるが、<math>\boldsymbol{r}(t+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t)</math>を図示することで速度ベクトルが曲線<math>C</math>の点<math>\mathrm{P}(t)</math>に於ける接線の方向ベクトルになっていることがわかる。よって、速度ベクトルを'''接線ベクトル'''（接ベクトル）ともいう。 速度ベクトルが非零である曲線を'''正則'''な曲線と呼ぶ。滑らかな曲線は正則曲線である。 なお、一般には陽関数表示が区分的であることとベクトル表示の成分関数が区分的であることに対応はないほか、パラメータの取り方で速度ベクトルが変わるので「曲線の幾何学的滑らかさ」と「ベクトル表示した関数の解析学的滑らかさ」は一致するとは限らない。 正則な曲線に対して曲線長（'''弧長'''）を考える。 二次元曲線の場合は数学Ⅲで既に扱った。 :<math>L=\int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt</math> 実は、これを一般の<math>n</math>次元にそのまま拡張することができる。 {{定理|(弧長公式)}} 曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>の点<math>\mathrm{P}(a)</math>から点<math>\mathrm{P}(b)</math>までの長さ（<math>a<b</math>）は :<math>L=\int_a^b \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math> で与えられる。 {{定理終わり}} *証明 :<math>a=t_0, b=t_m</math>として閉区間<math>[a, b]</math>を各<math>t_i</math>で等分割する。このとき小区間<math>[t_{k-1}, t_k]</math>の長さは<math>\Delta t=\frac{b-a}{m}</math>。 :<math>C</math>の点<math>\mathrm{P}(a)</math>から点<math>\mathrm{P}(b)</math>までの長さ<math>L</math>は折れ線の長さ<math>\overline{\mathrm{P}(t_{k-1})\mathrm{P}(t_k)}</math>の総和で近似される。 :ここで<math>\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boldsymbol{r}(t)</math>より ::<math>L_m=\sum_{k=1}^m \| \boldsymbol{r}(t_k)-\boldsymbol{r}(t_{k-1}) \| = \sum_{k=1}^m \left\| \frac{\boldsymbol{r}(t_{k-1}+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t_{k-1})}{\Delta t-0} \right\|(\Delta t-0)</math> :分割を限りなく細かくする極限をとると<math>m\to\infty</math>より<math>\Delta t\to0</math>なので ::<math>\lim_{m\to\infty} L_m = \sum_{k=1}^\infty \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}(t_{k-1}) \right\|dt</math> :区分求積法より最後の無限級数は収束して :<math>L=\int_a^b \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math>// ここで、<math>dl:=\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math>という微小量を'''線素'''と呼ぶ。 1を線素に関して積分したパラメータ<math>s:=\int_0^t d\ell</math>を'''弧長パラメータ'''（標準パラメータ）という。弧長パラメータは曲線上で「基準点からの符号付き距離」を表す。 曲線の弧長パラメータによるベクトル表示（'''弧長パラメータ表示'''）を考える。<math>s=\int_0^t \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math>で正則よりノルムは正。則ち<math>\frac{ds}{dt}>0</math>より<math>s=\phi(t)</math>は狭義単調増加なので、逆関数<math>t=\phi^{-1}(s)</math>を考えることができる。よって、<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>に<math>t=\phi^{-1}(s)</math>を代入した<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\phi^{-1}(s))</math>が弧長パラメータ表示である。これを<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>と略記してしまうことも多いが、'''一般には元の<math>\boldsymbol{r}(t)</math>と成分関数が異なる'''ことに注意。 通常の媒介変数によるベクトル表示は「座標系が予め与えられた状況」での表示であるが、弧長パラメータは座標系を取り替えたとしても表す曲線そのものが変わらなければ不変である。よって、「座標系に依存しない表記」として弧長パラメータ表示は多く利用されている。 また、弧長パラメータ表示で連鎖律を適用すると :<math>\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\cdot\frac{dt}{ds}=\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\cdot\frac{1}{\frac{ds}{dt}}</math> ここで微分積分学の基本定理より :<math>\frac{ds}{dt}=\frac{d}{dt} \int_0^t \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt = \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|</math> なので :<math>\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\frac{\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}}{\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|}</math> であり、自身のノルムで割ってるので恒等的に<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} \right\|=1</math>である。 よって、弧長パラメータ表示された曲線の接ベクトルは常に単位ベクトルである。 弧長パラメータ表示された曲線で線素を考えると<math>s=\int_0^s \left\| \frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds} \right\| ds = \int_0^s d\ell</math>だが、常に<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} \right\|=1</math>なので<math>ds=d\ell</math>であり、弧長パラメータの微小量は線素に等しい（弧長パラメータそのものが1の線素に関する積分なので当たり前ではある）。 <math>\boldsymbol{e}_\dagger(s)=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}</math>と置くと、点<math>\mathrm{P}(s_0)</math>に於ける接線の方程式は :<math>\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s_0)=\boldsymbol{e}_\dagger(s_0) (s-s_0)</math> と表される。 ここで<math>\boldsymbol{r}(s)</math>の中心<math>s_0</math>に於けるテイラー展開は :<math>\boldsymbol{r}(s)=\sum_{i=0}^\infty \frac{(s-s_0)^i}{i!} \frac{d^i}{ds^i}\boldsymbol{r}(s_0) </math> であり、「接線が一次近似に対応する」という構造はベクトル関数でも維持されることが判った。 領域<math>\boldsymbol{D}</math>上の滑らかなベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>について、微分方程式<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t)) (\boldsymbol{r} \in \boldsymbol{D})</math>で与えられる曲線<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>を<math>\boldsymbol{a}</math>の'''流線'''（streamline）という（入力点を位置ベクトルと同一視していることに注意）。流線の接線ベクトルは元のベクトル場そのものになるので、ベクトルの相等から得る方程式<math>\frac{dx_1}{a_1}=\frac{dx_2}{a_2}=\cdots=\frac{dx_n}{a_n}</math>を'''流線方程式'''という。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x, y)=(y, x)</math>の流線は、 :定義から<math>\frac{dx}{dt}=y, \frac{dy}{dt}=x</math> :合成関数の微分公式から<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{x}{y}</math> :<math>\int y dy=\int xdx</math> :<math>\frac{1}{2}y^2=\frac{1}{2}x^2+C</math> :よって双曲線<math>y^2-x^2=2C</math>// この場合、<math>t</math>に関する2つの微分方程式を組み合わせることで :<math>\frac{d^2x}{dt^2}=x, \frac{d^2y}{dt^2}=y</math>という二階線型常微分方程式となり、一般解が双曲線関数を用いて<math>\begin{cases} x=C_1\cosh t+C_2\sinh t \\ y=C_1\sinh t+C_2\cosh t \end{cases}</math>であることが容易に判る。<br>なお、流線方程式を用いても<math>\frac{dx}{y}=\frac{dy}{x}</math>から<math>\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}</math>が出てくる。 「流線の接線ベクトルが元のベクトル場になる」とはつまり、「接線が常にベクトル場と平行になるような曲線」を考えているということである。滑らかなベクトル場を考えているためそのような曲線は常に存在する。流線は「ベクトル場の流れを繋げていった曲線」と考えることができるので、「流れを簡潔に図示」するのにちょうどよい。 有名な例として、電気力線・磁力線はそれぞれ電場<math>\boldsymbol{E}</math>・磁場<math>\boldsymbol{H}</math>の流線である。 流線の微分方程式を弧長パラメータ表示を用いて変形する。 :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))</math>の左辺に就いて :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\frac{ds}{dt}=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot \|\boldsymbol{r}'(\phi^{-1}(s))\|</math> 元の方程式の両辺でノルムをとると :<math>\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|=\|\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))\|</math> 代入して :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\|\boldsymbol{r}'(\phi^{-1}(s))\|=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\|\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))\|</math> :<math>\therefore \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} = \boldsymbol{e}_{\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(\phi^{-1}(s)))}</math> ここから、流線の形状はノルムには関係なく方向場のみで決まることがわかる。 ===フレネ標搆=== ここでは、三次元空間に於ける正則曲線について考える。 <math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>上の点<math>\mathrm{P}(s)</math>に於ける単位接線ベクトルを<math>\boldsymbol{t}</math>とおく。 先程の議論より<math>\boldsymbol{t}(s)=\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}</math>であり、<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds} \right\|=1 (=\mathrm{const}.)</math>なので直交条件の定理から<math>\boldsymbol{t}\cdot\frac{d\boldsymbol{t}}{ds}=0</math>、則ち<math>\boldsymbol{t} \perp \frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}</math>である。この<math>\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}</math>を'''主法線ベクトル'''という。 主法線ベクトルを<math>\boldsymbol{n}</math>とおくとき、<math>\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n}</math>を'''従法線ベクトル'''（陪法線ベクトル）という。ここで先程の結果より<math>\boldsymbol{t}\perp\boldsymbol{n}</math>であって<math>\boldsymbol{b}</math>の定義より<math>\boldsymbol{t}\perp\boldsymbol{b}, \boldsymbol{n}\perp\boldsymbol{b}</math>なので、この3ベクトルの組を正規化した<math>\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b \}</math>は<math>\mathbb{R}^3</math>の正規直交基底である。これを<math>\mathbb{R}^3</math>の'''フレネ標搆'''という。外積の結果よりフレネ標搆は<math>\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b</math>の順に右手系をなす。なお、接線ベクトル・主法線ベクトル・従法線ベクトルは全て曲線の位置ベクトル<math>\boldsymbol{r}(s)</math>を入力したベクトル場として捉えることができる。 <math>\{\boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b \}</math>の張る平面を'''法平面'''、<math>\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_b \}</math>の張る平面を'''展直平面'''、<math>\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n \}</math>の張る平面を'''接触平面'''という。 即ち、法平面・展直平面・接触平面は<math>tnb</math>空間の点<math>\mathrm{P}(s)</math>を原点とした基準面である。 平面の方程式の法線ベクトルに接ベクトル・主法線ベクトル・従法線ベクトルをそれぞれ代入することで :法平面の方程式：<math>(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{t}(s)=0</math> :展直平面の方程式：<math>(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{n}(s)=0</math> :接触平面の方程式：<math>(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{b}(s)=0</math> とわかる。 <math>\|\boldsymbol{t}\|=1</math>は常に成り立つが<math>\|\boldsymbol{n}\|, \|\boldsymbol{b}\|</math>は<math>1</math>とは限らない。そこで、主法線ベクトルの大きさ<math>\kappa(s)=\|\boldsymbol{n}(s)\|</math>を曲線<math>C</math>の'''曲率'''と呼ぶことにする。なお、<math>\|\boldsymbol{b}\|=\| \boldsymbol{t} \| \|\boldsymbol{n}\|\sin\frac{\pi}{2}</math>より<math>\|\boldsymbol{b}\|=\|\boldsymbol{n}\|=\kappa</math>が成り立つ。 主法線ベクトルの定義に立ち戻ると<math>\boldsymbol{n}(s)=\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}</math>であった。つまり、主法線ベクトルは接ベクトルの速度ベクトルなので「弧長パラメータを変化させたときに接ベクトルがどのくらい変化するか」という指標である。接ベクトルの変化の大小と<math>\kappa</math>の大小は対応し、接ベクトルの大小はカーブの緩急に対応することから<math>\kappa</math>の大小とカーブの緩急も対応する。これが「曲率」という名前の由来である。 なお、<math>\kappa(s)=0</math>の場合は<math>\boldsymbol{n}(s)=\boldsymbol{0}</math>なので<math>\boldsymbol{t}(s)=\boldsymbol{k}</math>（定ベクトル）であり、<math>\boldsymbol{r}(s)=s\boldsymbol{k}</math>という直線の場合に対応することがわかる。 単位接ベクトルの<math>s</math>を微分変数とする導関数（<math>s</math>-導関数）は主法線ベクトルだったが、単位主法線ベクトル・単位従法線ベクトルの<math>s</math>-導関数がどのように表されるか見ていく。 ここで、フレネ標搆が<math>\mathbb{R}^3</math>の正規直交基底であることから、<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}, \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}</math>ともにフレネ標搆の一次結合で表現できると予想される。 単位従法線ベクトルに就いて :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\frac{d}{ds}(\boldsymbol{e}_t\times\boldsymbol{e}_n)=\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\times\boldsymbol{e}_n+\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math> <math>\boldsymbol{t}=\boldsymbol{e}_t</math>より<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\boldsymbol{n}=\kappa\boldsymbol{e}_n</math>則ち<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\times\boldsymbol{e}_n=\kappa\boldsymbol{e}_n\times\boldsymbol{e}_n=\boldsymbol{0}</math>なので :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math> <math>\|\boldsymbol{e}_n\|=1</math>から直交条件の定理より<math>\boldsymbol{e}_n\perp\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math>なので :<math>\boldsymbol{e}_n\times\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\boldsymbol{e}_n\times(\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds})=\left(\boldsymbol{e}_n\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}\right)-(\boldsymbol{e}_n\cdot\boldsymbol{e}_t)\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\boldsymbol{0}</math> 外積が零ベクトルなので<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds} /\!\!/ \boldsymbol{e}_n</math>であり、一次従属より :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n</math> となるスカラー関数<math>\tau(s)</math>が存在する。 この<math>\tau(s)</math>を曲線<math>C</math>の'''捩率'''と呼ぶ。捩率は接触平面の回転（捩れ）の率を表す。 <math>\tau=0</math>ならば<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=0</math>より<math>\boldsymbol{e}_b</math>方向は変化しないので曲線は接触平面と平行な平面上に拘束される。即ち、<math>C</math>は平面曲線である。 単位主法線ベクトルに就いて :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\frac{d}{ds}(\boldsymbol{e}_b\times\boldsymbol{e}_t)=\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}\times\boldsymbol{e}_t+\boldsymbol{e}_b\times\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}</math> ここで<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\kappa\boldsymbol{e}_n, \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n</math>を代入して :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n\times\boldsymbol{e}_t+\boldsymbol{e}_b\times\kappa\boldsymbol{e}_n=\tau\boldsymbol{e}_b-\kappa\boldsymbol{e}_t</math> よって、フレネ標搆の弧長パラメータを微分変数とする導関数を以下のようにフレネ標搆の一次結合で表すことができた。 :<math>\begin{cases} \frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\kappa\boldsymbol{e}_n \\ \frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds} = \tau\boldsymbol{e}_b-\kappa\boldsymbol{e}_t \\ \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n \end{cases}</math> これを一次変換で表記すると以下のようになる。但し、厳密にはベクトルを成分としている部分は列ではなく行に配置するのが正しいことに注意。 {{定理|(フレネ＝セレーの公式)}} :<math>\frac{d}{ds}\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix}</math> {{定理終わり}} 表現行列が反対称行列（歪対称行列）になっているが、これは「直交変換を一次近似すると反対称変換になる」という無限小回転の理論に対応する。 捩率を求めるときは「基底分解の係数は対応する基底ベクトルとの内積に等しい」という性質を利用すれば<math>\boldsymbol{e}_b\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\tau</math>となるので左辺を計算すればよい。 例えば、円<math>\begin{cases} x^2+y^2=a^2 \\ z=b \end{cases}</math>の曲率と捩率は以下のように求まる。 :媒介変数表示して<math>\boldsymbol{r}(t)=\begin{pmatrix} a\cos t \\ a\sin t \\ b \end{pmatrix}</math> :接線ベクトルは<math>\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -a\sin t \\ a\cos t \\ 0 \end{pmatrix}</math> :弧長パラメータ<math>s</math>は<math>s=\int^t_0 \left\|\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\right\|dt = \int_0^t a dt = at</math> :<math>\therefore t=\frac{s}{a}</math> :<math>\boldsymbol{r}(s)=\begin{pmatrix} a\cos\frac{s}{a} \\ a\sin\frac{s}{a} \\ b \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{t}=\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\begin{pmatrix} -\sin\frac{s}{a} \\ \cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{n}=\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}=\frac{1}{a}\begin{pmatrix} -\cos\frac{s}{a} \\ -\sin\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\kappa=\|\boldsymbol{n}\|=\frac{1}{a}</math> :<math>\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{a} \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{e}_n=\begin{pmatrix} -\cos\frac{s}{a} \\ -\sin\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\frac{1}{a}\begin{pmatrix} \sin\frac{s}{a} \\ -\cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{e}_b = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> :<math>\tau = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{a}\begin{pmatrix} \sin\frac{s}{a} \\ -\cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>// フレネ・セレーの公式は[[線型代数学続論/行列値関数|行列関数]]に関する一階常微分方程式である。そのため、微分方程式の基本定理（ピカール=リンデレーエフの定理）により初期条件（<math>s=0</math>に於けるフレネ標搆）を与えれば、滑らかな曲率関数・捩率関数の組<math>(\kappa, \tau)</math>を定めることで微分方程式の解として一般の<math>s</math>に対するフレネ標搆を一意に得る。このとき、曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>は接ベクトルを出発点を選んで積分することで決定される。 従って、次の定理が成り立つ<!-- 厳密証明はhttps://sshmathgeom.private.coocan.jp/diffgeom/curvetheorem.htmlを参照 -->。 {{定理|(曲線の基本定理)}} 開区間<math>(a,b)</math>上の実数<math>s</math>を変数とする2つの滑らかな関数<math>\kappa(s),\tau(s)</math>を与える。但し、<math>\kappa(s)</math>は正とする。<br/> このとき、<math>\kappa(s)</math>を曲率、<math>\tau(s)</math>を捩率、<math>s</math>を弧長パラメータとする三次元空間上の曲線<math>C</math>が剛体運動を除いて一意に定まる。 {{定理終わり}} 剛体運動とは「曲線の形を変えない」運動のことである（平行移動・回転など）。 <math>\kappa(s), \tau(s)</math>の定める曲線族を一般に<math>\mathcal{C}[\kappa, \tau]</math>と書く。 例えば、円を含む螺旋は<math>c_1, c_2=\mathrm{const}.</math>として<math>\mathcal{C}[c_1, c_2]</math>と書ける。 <math>R=\frac{1}{\kappa}</math>を'''曲率半径'''という。曲率半径は曲線の特定のカーブにおける曲がり具合の急さを表す指標であり、カーブを近似する真円（'''密着円'''）の半径でもある。高速道路の標識で<math>R=\circ\circ \mathrm{m}</math>は、そのカーブの曲率半径を示している。道路設計では、快適なドライブの為曲率半径がなるべく大きくなるように工夫を凝らしている。 ここで<math>\boldsymbol{r}(s)</math>の中心<math>s_0</math>に於けるテイラー展開は :<math>\boldsymbol{r}(s)=\sum_{i=0}^\infty \frac{(s-s_0)^i}{i!} \frac{d^i}{ds^i}\boldsymbol{r}(s_0) </math>（再掲） だったが、二次近似式（三次以降を切り捨てた式）を考えると :<math>\boldsymbol{r}(s) \fallingdotseq \boldsymbol{r}(s_0)+\frac{d\boldsymbol{r}(s_0)}{ds}(s-s_0) + \frac{1}{2}\frac{d^2\boldsymbol{r}(s_0)}{ds^2}(s-s_0)^2 </math> フレネ標搆を用いて書き直すと :<math>\boldsymbol{r}(s) \fallingdotseq \boldsymbol{r}(s_0)+\boldsymbol{e}_t(s-s_0) + \frac{1}{2}\kappa(s_0)\boldsymbol{e}_n(s-s_0)^2 </math> 二次近似とは「曲線を円弧で近似する」ことだったので曲率<math>\kappa(s_0)</math>が近似に用いる円弧と関係ある量であることが予想される。<br/> 接触平面で密着円<math> \| \boldsymbol{r} - (\boldsymbol{r}(s_0)+R\boldsymbol{e}_n) \| = R </math>を考える。接触平面を<math>xy</math>平面と考えると円の方程式は :<math>x^2+(y-R)^2=R^2</math> :<math>y=R-\sqrt{R^2-x^2}</math> テイラー展開して :<math>y=\frac{x^2}{2R}+O(x^4)</math> 二次の項を比較すると :<math>\frac{x^2}{2R}=\frac{(s-s_0)^2}{2}\kappa</math> よって :<math>R=\frac{1}{\kappa}</math> と定義するのは妥当である。 なお、先ほど求めた円の曲率から、真円に関して「曲率半径=半径」であることが判る。 フレネ・セレーの公式で最初の二行二列のみを考えると<math>\mathbb{R}^2</math>内の曲線に対するフレネ・セレーの公式を得る。一般に<math>\mathbb{R}^n</math>上の曲線に対し、今回の議論と同様にして接ベクトル・主法線ベクトル・曲率を定義することができる。但し、三次元空間と異なって同じ曲率に対して異なる曲線を与えることができる（主法線ベクトルが接触平面内で接ベクトルに対して左右どちらを向くかがそのままでは定まらないため）。なお、4次元以上であっても平面拘束曲線ならば捩率は0であって従法線ベクトルは零ベクトルに定まる。 ===単純閉曲線=== パラメータ区間を<math>I=[a, b]</math>とする。 このとき、曲線の端点はそれぞれ<math>\mathrm{P}(a), \mathrm{P}(b)</math>である。 端点が一致する、つまり<math>\mathrm{P}(a)=\mathrm{P}(b)</math>である連続曲線を'''閉曲線'''という。 自己交叉しない、つまり<math>\forall t_1, t_2 \in (a, b), t_1 \neq t_2 \iff \mathrm{P}(t_1)\neq\mathrm{P}(t_2)</math>となる閉曲線を'''単純閉曲線'''（ジョルダン曲線）という。閉曲線でない曲線に就いて「自己交叉しない」という条件は「曲線を表すベクトル関数が単射」と同値であるので、端点のみ単射性を外してやれば単純閉曲線の定義を得る。 幾何学的直観から、平面に拘束された単純閉曲線はその平面を単純閉曲線で囲まれた'''内部'''とそうでない'''外部'''の二つの領域に分割することが予想できる。 このことは以下の定理によって保証される。 {{定理|(ジョルダンの曲線定理)}} 平面<math>\Pi\subset\mathbb{R}^n</math>内の任意の単純閉曲線<math>\gamma</math>に対し、有界領域<math>I</math>・非有界領域<math>O</math>の組であって<math>\Pi\setminus\gamma=I \sqcup O</math>且つ<math>\partial{I}=\partial{O}=\gamma</math>であるものが唯一つに定まる。 {{定理終わり}} この<math>I, O</math>をそれぞれ内部・外部と定義する。証明は[[位相幾何学]]で行う。なお、「<math>\partial{I}=\partial{O}=\gamma</math>」を態々明示しているのは、滑らかでない単純閉曲線に対しては「<math>\Pi\setminus\gamma=I \sqcup O \implies \partial{I}=\partial{O}=\gamma</math>」が自明でないためである。 正則単純閉曲線に対して「曲線の向き」の幾何学的意味を考える。 ジョルダンの曲線定理より単純閉曲線<math>\gamma:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s) \quad(\boldsymbol{r}\in \Pi)</math>は平面<math>\Pi</math>を内部<math>I</math>と外部<math>O</math>に分割する。平面拘束曲線なので<math>\forall{s}, \tau(s)=0</math>であり、従法線ベクトルは零ベクトル且つ接触平面が常に<math>\Pi</math>に一致する。 主法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}(s)</math>が接ベクトル<math>\boldsymbol{t}(s)</math>に対して左側を向いているとすると、<math>\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0) \quad(\varepsilon>0)</math>が点<math>\mathrm{P}(s_0)</math>に於ける<math>\gamma</math>の進行方向左側にある点である。 ここで、<math>\mathrm{P}(s_0)</math>に於ける<math>\varepsilon</math>-開球<math>B_\varepsilon(s_0)</math>を考えると、平面<math>\Pi</math>上では<math>\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0)</math>が左側の領域、<math>\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0)</math>が右側の領域に入る。 <math>s=s_0</math>を動かすと各点で進行方向左は<math>I, O</math>のいずれかであり、<math>\gamma</math>の正則性と<math>I, O</math>の連結性から「<math>I, O</math>のどちらが左側であるかは曲線全体で変わらない」ことが言える。 ここで円の場合を考える。<math>\Pi</math>に直交座標<math>u, v</math>を入れると向心加速度の議論から「加速度ベクトル=主法線ベクトルは円の中心を向く」ので、「円の正の向きは円の内部を左手に見る進行方向」である。 任意の正則単純閉曲線<math>\gamma</math>に対して自己交叉を起こさないまま円へ連続変形する可逆写像が存在し、その変形に於いて「左側」と「<math>I, O</math>」の対応は変化しない。則ち、円で確認された「正の向きは囲まれた内部を左手に見る向き」は任意の正則単純閉曲線で成り立つ。 つまり、単純閉曲線の正の向きは点を動かしたときに'''自身の囲む領域の内部を左手に見る向き'''である。負の向きは左手に外部を見る向きである。 集合<math>A</math>に含まれる任意の2点に対してそれらを端点とする滑らかな曲線<math>C</math>をとれるとき、<math>A</math>は'''弧状連結'''であるという。 弧状連結集合<math>S</math>内の任意の閉曲線<math>\gamma</math>に対して1点に退化するような連続変形が可能なとき、<math>S</math>は'''単連結'''であるという。単連結でない集合は'''多重連結'''であるという。 平面<math>\Pi\subset\mathbb{R}^n</math>に含まれる単連結集合<math>S</math>に対し、<math>\hat{\Pi}:=\Pi\cup\{\infty\}</math>とすると集合<math>\hat{\Pi}\setminus{S}</math>は連結である。逆も成り立つ。 なお、「<math>A</math>が連結集合である」ことは「補集合<math>\overline{A}</math>が非連結集合である」ことを意味しない。そのため「単連結な連結集合」も考えられ、特に「単連結な領域」はこの先頻繁に登場する。 集合<math>A</math>に含まれる任意の2点を結んだ線分が<math>A</math>に包含されるとき、<math>A</math>は'''凸型'''であるという。凸型集合でない集合は'''凹型'''であるという。 集合<math>A</math>内の1点を固定してそこから<math>A</math>内任意点へ引いた線分が<math>A</math>に包含されるとき、<math>A</math>は'''星状'''（星型）であるという。このとき固定した点を'''星の中心'''という。凸型集合は全て星状集合である。 単純閉曲線<math>\gamma</math>を疆界とする内部<math>I</math>に関して<math>I\cup\gamma</math>が凸型集合であるとき、<math>\gamma</math>を'''卵形線'''（凸単純閉曲線・オーヴァル）という。 曲線<math>C</math>の曲率関数<math>\kappa(s)</math>が<math>C^3</math>級であるとき、<math>\kappa'(s_0)=0</math>を満たす点<math>\mathrm{P}(s_0)</math>を<math>C</math>の'''頂点'''という。 例えば、標準楕円<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>の頂点は4点<math>(\pm{a},0),(0,\pm{b})</math>である。このことは、<math>\mathbb{R}^2</math>上曲線<math>C:\boldsymbol{r}=x(t)\boldsymbol{e}_x(t)+y(t)\boldsymbol{e}_y(t)</math>に対する曲率の公式<math>\kappa(t)=\frac{\left|\frac{dx}{dt}\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\frac{d^2x}{dt^2}\right|}{\left\{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2\right\}^\frac{3}{2}}</math>と<math>\frac{ds}{dt}>0</math>を用いて確かめられる。 実は、この事実は楕円に限らないことが以下の定理で示される。 {{定理|(ムコパディヤーヤの定理・四頂点定理)}} <math>\mathbb{R}^2</math>上の滑らかな卵形線は少なくとも4つの頂点を持つ。 {{定理終わり}} *証明 :滑らかな卵形線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)\quad(s\in[a, b])</math>に対して曲率関数<math>\kappa(s)</math>は滑らかであり、<math>\kappa\in C^3</math>を満たす。 :卵形線は単純閉曲線なので<math>\mathrm{P}(a)=\mathrm{P(b)}</math>であり、<math>\kappa(a)=\kappa(b)</math>。 :曲率関数が定数関数のときは<math>\kappa\in C^\infty</math>且つ常に<math>\kappa'(s)=0</math>なので曲線を構成するすべての点が頂点であり、明らかに定理を満たす。 :曲率関数が定数関数でないとする。 :ワイエルシュトラスの極値定理より<math>\kappa(s)</math>は<math>s\in[a, b]</math>のどこかで最大値・最小値をとり、その点で<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす。 :従って少なくとも2つの頂点を持つ。 :ここで、頂点がこの2つのみと仮定する。 :曲率が最大値・最小値をとる点をそれぞれ<math>\mathrm{M, N}</math>と置く。 :線分<math>\mathrm{MN}</math>を含む直線を<math>x</math>軸とし、その垂直方向に<math>y</math>軸をとる。 :<math>s</math>が増加すると曲線上の点が<math>\mathrm{N}\to\mathrm{M}</math>のように動くとき、 :<math>\kappa(s)</math>は最小値から最大値に向かって増大し、他に頂点がないので狭義単調増加である。 :同様に、<math>\mathrm{M}\to\mathrm{N}</math>の向きでは<math>\kappa(s)</math>は狭義単調減少である。 :従って、<math>\kappa'(s)y(s)\neq0</math>の正の側だけ考えれば良い。 :<math>y(a)=y(b)=0</math>に注意すると部分積分して :<math>0<\int_a^b \kappa'(s)y(s)ds=-\int_a^b \kappa(s)y'(s)ds</math> :主法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}(s)= \begin{pmatrix} \xi_1(s) \\ \xi_2(s) \end{pmatrix}</math>を考えると二次元版フレネ=セレーの公式から<math>\frac{d\boldsymbol{n}}{ds}=-\kappa\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}</math>なので :<math>\xi'_2(s)=-\kappa(s)y'(s)</math> :よって :<math>-\int_a^b \kappa(s)y'(s)ds=\int_a^b \xi_2(s)ds = \left[\xi_2(s)\right]_a^b=0</math> :なので矛盾した不等式<math>0<0</math>を得る。 :則ち、<math>\mathrm{M, N}</math>と異なる点で<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が少なくとも一つ存在する。 :そのような点を<math>\mathrm{L}</math>と置く。 :<math>\mathrm{L}</math>が<math>\mathrm{N}\to\mathrm{M}</math>という経路の途中にあるとする。 :このとき、<math>\mathrm{L}</math>以外に<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が存在すると「<math>\mathrm{M}\to\mathrm{N}</math>という経路の途中にそのような点が無い」という最初の仮定に反するので :<math>\mathrm{M, N, L}</math>以外では<math>\kappa'(s)y(s)>0</math>である。 :同様に部分積分を行うことで矛盾した不等式を得、<math>\mathrm{M, N, L}</math>と異なる点で<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が少なくとも一つ存在することが判る。 :この時点で「<math>\mathrm{M, N}</math>間の二つの経路のいずれにも<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が存在しない」という仮定が否定されたのでこれ以上背理法を適用することはできない。 :よって、頂点個数の最小値は<math>4</math>である。// 最小値4をとる卵形線が実際に存在することは楕円の例で確かめた。 この定理は「卵形線」を「(正則)単純閉曲線」に取り換えてもそのまま成り立つことが知られている。一般の閉曲線でこの定理を成り立たせるには追加の条件が必要となる。 先程も述べたように、接ベクトルと単位主法線ベクトルは2次元以上の空間内部にある曲線ならば定義することができる。そして、<math>\boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{n}=0</math>も必ず成り立つ。よって、<math>\boldsymbol{e}_t\cdot\boldsymbol{e}_n=0</math>の両辺を<math>s</math>で微分して :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\cdot\boldsymbol{e}_n+\boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=0</math> :<math>\therefore \boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{e}_n=-\kappa</math> ここで「基底分解に於ける成分はその基底との内積に等しい」という性質から、<br/> 一般次元に於いても「<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math>の接線方向成分は<math>-\kappa(s)</math>」であることが判る。 ここで<math>C^2</math>級曲線の位置ベクトル<math>\boldsymbol{r}(s)</math>に対して単位主法線<math>\boldsymbol{e}_n(s)</math>を対応させることを考える。この対応を'''ガウス表示'''という。 <math>\boldsymbol{e}_n(s)</math>を二次までテイラー展開すると<math>\Delta s>0</math>を微小量として :<math>\boldsymbol{e}_n(s+\Delta s)=\boldsymbol{e}_n(s)+\frac{d\boldsymbol{e}_n(s)}{ds}\Delta s + O(\Delta s^2)</math> ここで<math>\boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\kappa</math>より、<math>s</math>を<math>\Delta s</math>だけ動かしたときの接線方向の速さは<math>|\kappa(s)|\Delta s</math>である（<math>\kappa(s)</math>が正で正の向き、負で負の向きに動くとする）。 閉曲線に対してはガウス表示によって法線方向の変化を完全に捉えられるので、<math>\kappa(s)</math>を微小量<math>\Delta s</math>に関して積分した<math>\int_a^b \kappa(s)ds</math>を考えてみる。 ガウス表示では曲線を単位主法線ベクトルの描く単位円として考えることができる。閉曲線では<math>\mathrm{P}(a)=\mathrm{P}(b)</math>より明らかに<math>\boldsymbol{e}_n(a)=\boldsymbol{e}_n(b)</math>であり、閉曲線が一周する間にベクトル<math>\boldsymbol{e}_n(s)</math>はこの単位円を<math>m(\in\mathbb{Z})</math>周する^※。 <small>※物理的には「円そのものが動いても円周上の質点は『この円をどっちの方向に何周したか』という情報しか持たない」ので、単位円が動くことは議論にあまり関係ない</small> 弧度法より単位円を<math>m</math>周する符号付き道のりは<math>2\pi{m}</math>であり、ガウス表示より<math>\int_a^b \kappa(s)ds=2\pi{m}</math>。 従って、<math>m=\frac{1}{2\pi}\int_a^b \kappa(s)ds</math> この<math>m</math>を閉曲線の'''回転数'''と呼ぶことにする。 曲率が負の場合には積分値が途中で相殺されてしまうので、絶対値を付けて積分した :<math>\mu:=\int_a^b |\kappa(s)|ds</math> という量を考えることにする。 これを閉曲線の'''全曲率'''と呼ぶ。 全曲率に対して以下の定理が成り立つ。 {{定理|(フェンヒェルの定理)}} 滑らかな閉曲線の全曲率は<math>\mu\geq2\pi</math>を満たす。等号成立の場合は卵形線である。 {{定理終わり}} 証明は省略する。 ===曲面=== 多変数解析で既に扱った、三次元空間に於ける曲面の陽関数表示<math>z=f(x, y)</math>を'''モンジュ表示'''という。<math>f(x, y, z)=\mathrm{const}.</math>と陰関数表示された曲面は陰関数定理が成り立つ範囲でモンジュ表示に直すことができる。 一次式で陰関数表示される曲面を'''一次曲面'''という。平面の方程式より、一次曲面は全て平面である。 二次式で陰関数表示される曲面を'''二次曲面'''という。 以下、三次元空間に於ける二次曲面の例を挙げる。各係数は非退化条件を満たすとする。なお、「直線に平行な平面」は「直線を法線とする平面に垂直な平面」を意味することに注意。 *'''球面'''（sphere） :高校数学で扱ったように、点<math>(a, b, c)</math>を中心とする半径<math>r</math>の球面の方程式は<math>(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2</math>である。この球面上の点の位置ベクトルは<math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>なので、球面が満たすベクトル方程式は一般に<math>\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a}\|=\mathrm{const}.</math>である。これは円のベクトル方程式の次元を上げたものである。 *'''楕円面'''（ellipsoid） :楕円の方程式を拡張した方程式<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1</math>が表す曲面である。<math>xyz</math>空間の基本面で切った断面は全て楕円となる。 *'''楕円拋物面'''（elliptic paraboloid） :楕円の平面拘束条件を外した方程式<math>z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}</math>が表す曲面である。<math>z</math>軸に垂直な平面で切った断面は楕円、平行な平面で切った断面は拋物線となる。 *'''双曲拋物面'''（hyperbolic paraboloid） :双曲線の平面拘束条件を外した方程式<math>z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}</math>が表す曲面である。<math>z</math>軸に垂直な平面で切った断面は双曲線、平行な平面で切った断面は拋物線となる。また、原点は鞍点である。 *'''一葉双曲面'''（hyperboloid of one sheet） :楕円面の方程式の一つの項の符号を変えた<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1</math>の表す曲面。<math>z</math>軸に垂直な平面で切った断面は楕円、平行な平面で切った断面は双曲線となる。 *'''二葉双曲面'''（hyperboloid of two sheet） :楕円面の方程式の二つの項の符号を変えた<math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1</math>の表す曲面。断面の分類は一葉双曲面と同じだが、<math>m^2<c^2</math>のときは平面<math>z=m</math>と交わらないため「二葉」と名付けられている。 *'''錐面'''（conical surface） :方程式<math>\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}</math>の表す曲面。<math>xy</math>平面との交点は原点のみであり、<math>yz</math>平面・<math>zx</math>平面で切った断面は直線である。 閉区間<math>I\subset\mathbb{R}</math>上の一変数ベクトル関数<math>\boldsymbol{r}(t)</math>を用いたベクトル方程式<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t) \quad(t\in I)</math>の解集合は次元に依らず曲線を表した。 同様に、領域^※<math>D\subset\mathbb{R}^2</math>上の二変数ベクトル関数<math>\boldsymbol{r}(t, u)</math>を用いたベクトル方程式<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u) \quad({\scriptstyle\left(\begin{array}{c} t \\[-6pt] u \end{array}\right)}\in D)</math>の解集合は次元に依らず曲面を表すと考えられる。 厳密には[[線型代数学/基底と次元|階数・退化次数の定理]]<!-- 次元定理・線型写像の基本定理 -->などを用いてこのことを確かめられる。 <small>※ここでいう「領域」は冒頭で厳密に定義した「領域」であることに注意。</small> 曲線と同様に、曲面の'''パラメータ表示'''と'''ベクトル表示'''は次のように定義される。 :パラメータ表示：<math>\begin{cases} x_1&=&r_1(t, u) \\ x_2&=&r_2(t, u) \\ &\,\,\vdots& \\ x_n&=&r_n(t, u) \end{cases}</math> :ベクトル表示：<math>\left\{\boldsymbol{r}(t, u) \,\bigg|\, {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} t \\[-6pt] u \end{array}\right)} \in D \right\}</math> また、<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>のようにも表す。 例えば、<math>k>l>0</math>として<math>\boldsymbol{r}(t, u)=\begin{pmatrix} (k+l\cos u)\cos t \\ (k+l\cos u)\sin t \\ l\sin u \end{pmatrix} \quad(D=\left\{ \begin{pmatrix} t \\ u \end{pmatrix} \bigg| \begin{array}{c} 0 \leq t \leq 2\pi \\ 0 \leq u \leq 2\pi \end{array} \right\})</math>は'''トーラス'''のベクトル表示である。 <math>\mathbb{R}^3</math>上の平面の方程式は高校数学に於いて<math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\neq\boldsymbol{0}</math>として一次式<math>ax+by+cz+d=0</math>と表せることを学んだ。 これのベクトル方程式を求めてみよう。 :①<math>c=0</math>のとき ::平面の方程式は<math>\begin{cases} ax+by+d=0 \\ z=\mathrm{const}. \end{cases}</math> ::[1]<math>b=0</math>のとき :::平面の方程式は<math>\begin{cases} ax+d=0 \\ y=\mathrm{const}. \\ z=\mathrm{const}. \end{cases}</math> :::<math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\neq\boldsymbol{0}</math>より<math>a\neq0</math> :::<math>y=t, z=u</math>と置換すると :::<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{d}{a} \\ t \\ u \end{pmatrix}</math> :::<math>\boldsymbol{r} = t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+u\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -\frac{d}{a} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math> ::[2]<math>b\neq0</math>のとき :::<math>x=t, z=u</math>と置換すると :::<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} t \\ -\frac{a}{b}t-\frac{d}{b} \\ u \end{pmatrix}</math> :::<math>\boldsymbol{r} = t\begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{a}{b} \\ 0 \end{pmatrix}+u\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{d}{b} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :②<math>c\neq0</math>のとき ::<math>x=t, y=u</math>と置換すると ::<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ u \\ -\frac{a}{c}t-\frac{b}{c}u-\frac{d}{c} \end{pmatrix}</math> ::<math>\boldsymbol{r}=t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -\frac{a}{c} \end{pmatrix}+u\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -\frac{b}{c} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -\frac{d}{c} \end{pmatrix}</math> なお、ここから平面のベクトル方程式が一般に<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}+u\boldsymbol{c}</math>という「直線のベクトル方程式を拡張した形」であることがわかる。 <math>\boldsymbol{r}(t, u)\in C^1</math>且つ<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\neq\boldsymbol{0}</math>である曲面を'''滑らか'''な曲面という。 曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>とその上の点<math>\mathrm{P}_0=(a, b)</math>に対し、曲線<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(a, u), \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, b)</math>をそれぞれ点<math>\mathrm{P}_0</math>に於ける'''<math>t</math>曲線'''・'''<math>u</math>曲線'''という。 <math>\boldsymbol{r}(t, u)\in C^1</math>であるとき、偏導関数の定義から :<math>\frac{\partial}{\partial{u}}\boldsymbol{r}(a, u)=\frac{d}{du}\boldsymbol{r}(a, u)</math> :<math>\frac{\partial}{\partial{t}}\boldsymbol{r}(t, b)=\frac{d}{dt}\boldsymbol{r}(t, b)</math> ここで<math>a, b</math>をそれぞれ<math>t</math>軸・<math>u</math>軸上で動かすことで<math>t</math>曲線・<math>u</math>曲線の接ベクトルがそれぞれ<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}</math>であると判る。これらを曲面のパラメータ方向の'''接ベクトル'''という。 これらの接ベクトルが平行でないとき、曲面<math>S</math>上の任意の点<math>\mathrm{P}</math>に対して<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>の張る平面が定まる。これを曲面<math>S</math>の点<math>\mathrm{P}</math>に於ける'''接平面'''という。曲線の接線は一次元ベクトル空間<math>\left\{ \xi\frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \bigg| \xi \in\mathbb{R} \right\}</math>で表されたが、曲面の接平面は二次元ベクトル空間<math>\left\{ \xi\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}+\eta\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \bigg| \xi, \eta \in \mathbb{R} \right\}</math>で表される。このような接ベクトル全体が張るベクトル空間を一般に'''接空間'''と呼ぶ。 接ベクトルの組が一次独立である曲面を'''正則'''な曲面という。滑らかな曲面は正則曲面である。 曲面<math>S</math>の接平面に垂直なベクトルを<math>S</math>の'''法線ベクトル'''という。 三次元空間ならば接平面を張る2ベクトルの外積<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>で求められる。 モンジュ表示された曲面<math>S:z=f(x, y)</math>に対して接平面の存在性（つまり曲面の正則性）は「二変数関数<math>f</math>の全微分可能」に対応した。ベクトル表示された曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>に対しては「ベクトル関数<math>\boldsymbol{r}</math>の全微分可能性」だけでは足りず、「ヤコビ行列<math>\frac{\partial{(\boldsymbol{r})}}{\partial{(t, u)}}</math>の階数が2」も要求される。 以下、正則曲面のみ扱う。 <math>\boldsymbol{r}(t, u)</math>の微小変化は全微分で与えられる。 :<math>d\boldsymbol{r}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math> 則ち、各パラメータを同時に<math>\begin{pmatrix} t \\ u \end{pmatrix}\to\begin{pmatrix} t+dt \\ u+du \end{pmatrix}</math>と単調に動かしたとき、対応する曲面上の点が描く領域は2ベクトル<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math>の張る微小平行四辺形として近似できる。その微小面積は線型代数の内容から :<math>\sqrt{ \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt \right\|^2 \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du \right\|^2 - \left\{ \left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du\right) \right\}^2 }=\sqrt{\left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \right\|^2\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2 - \left( \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \right)^2 } dtdu</math> である。 これを領域<math>D=\mathrm{dom}\,S</math>で重積分してやれば曲面の表面積（'''曲面積'''）が求まると考えられる。 {{定理|(曲面積)}} <math>E := \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \right\|^2,\quad F := \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}},\quad G := \left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2</math>とすると、<br> 曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>の領域<math>D</math>に於ける曲面積は :<math>S=\iint_D \sqrt{EG-F^2}dtdu</math> {{定理終わり}} この<math>E, F, G</math>を<math>S</math>の'''第一基本量'''と呼ぶ。また、<math>dS:=\sqrt{EG-F^2}dtdu</math>を'''面素'''（面積素・面積要素）と呼ぶ。 <math>t, u</math>が共通のパラメータ<math>\theta</math>で媒介変数表示されるとき、曲面は曲線に退化するので線素を考えられる。 具体的には、 :<math>d\ell=\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\right\|d\theta</math> より :<math>\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\right\|^2=\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}</math> ここで合成関数の常微分公式より :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{d\theta}+ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{d\theta}</math> なので :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}=\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|^2\left(\frac{dt}{d\theta}\right)^2+2\left(\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{du}\right)\frac{dt}{d\theta}\frac{du}{d\theta}+\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{du}\right\|^2\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2</math> :<math>=E\left(\frac{dt}{d\theta}\right)^2+2F\frac{dt}{d\theta}\frac{du}{d\theta}+G\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2</math> よって :<math>d\ell=\sqrt{E\left(\frac{dt}{d\theta}\right)^2+2F\frac{dt}{d\theta}\frac{du}{d\theta}+G\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2}d\theta=\sqrt{E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2}</math> このように、線素は<math>\theta</math>のとり方に依存しない。 そこで、最後の式で右辺を二乗した :<math>I:=E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2</math> を<math>S</math>の'''第一基本形式'''と定める。 第一基本形式は二次形式になっていることが見て取れるので、<math>\boldsymbol{v}:=\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}, \mathbf{K}:=\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}</math>とおくと :<math>I={}^t\!\boldsymbol{v} \mathbf{K} \boldsymbol{v}</math> と行列表示できる。この<math>\mathbf{K}</math>を'''第一基本行列'''という。 ここで<math>I=d\ell^2>0</math>なので<math>\mathbf{K}</math>は正定値行列である。 また、<math>\boldsymbol{x}_i=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \boldsymbol{x}_j=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>と置いて第一基本量の定義を思い返してみると<math>\mathbf{K}_{ij}=\boldsymbol{x}_i \cdot \boldsymbol{x}_j</math>なのでこの行列は接ベクトルに関するグラム行列である。この意味でも、<math>\mathbf{K}</math>は正定値行列である。 また、面素の式で根号の中身が<math>\det\mathbf{K}</math>に等しいことも判る。 則ち、第一基本量が曲面の本質であると予想される。 <math>F=0 \land E=G=\lambda</math>であるとき、<math>\mathbf{K}=\lambda\mathbf{E}_2</math>である。このときのパラメータの組<math>(u, v)</math>を曲面の'''等温座標系'''という。 等温座標系で表示された曲面<math>S</math>に対し、第一基本形式は<math>I=\lambda(dt^2+du^2)</math>と二次形式の標準形となっている。則ち、等温座標系へのパラメータ変換は主軸変換である。 面素を考えると<math>dS=\lambda^2dtdu</math>と非常に単純な形となるほか、曲面上の角度計算が平面の場合と全く同じ式で与えられることも等温座標系の利点である。 曲面<math>S</math>上の各点<math>\mathrm{P}</math>に対して単位法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}(\mathrm{P})</math>を考える。ベクトル表示の定義域<math>D</math>でベクトル場<math>\boldsymbol{n}(\mathrm{P})</math>が連続であるとき、<math>S</math>は'''向き付け可能'''であるという。 向き付け不能な曲面の例として<math>\boldsymbol{r}(t, u)=\begin{pmatrix} (u\cos t+2)\sin 2t \\ (u\cos t+2)\cos 2t \\ u\sin t \end{pmatrix} \quad(D=\left\{ \begin{pmatrix} t \\ u \end{pmatrix} \bigg| \begin{array}{c} 0 \leq t \leq \pi \\ -1 \leq u \leq 1 \end{array} \right\})</math>と表される'''メビウスの帯'''が挙げられる。 メビウスの帯が向き付け不能である証明を概説する。 :接ベクトルをそれぞれ求める。簡単のため<math>u=0</math>として考える。単位法線ベクトルは外積を正規化して得るが、向きの取り方で正負の符号が付く。どちらの符号を採用するにしろ<math>\boldsymbol{n}(\boldsymbol{r}(0, 0))\neq\boldsymbol{n}(\boldsymbol{r}(\pi, 0))</math>を得、<math>\boldsymbol{r}(0, 0)=\boldsymbol{r}(\pi, 0)</math>より同じ点に対して異なる法線ベクトルを出力するので<math>\boldsymbol{n}(\mathrm{P})</math>はwell-definedではなく、向き付け可能性の定義を満たさない。// 四次元以上の空間では法線ベクトルの方向を複数とれるため法線ベクトル場は扱いにくい。そこで、法線ベクトルに依らない定義を考えたい。 2つの滑らかな曲面<math>S_1, S_2</math>が以下を満たすとき、 #パラメータ<math>(t_1, u_1), (t_2, u_2)</math>の間に滑らかな全単射<math>\begin{cases}t_2 =\phi(t_1, u_1) \\ u_2=\psi(t_1, u_1) \end{cases}</math>が存在する。 #この変数変換のヤコビ行列<math>\frac{\partial{(\phi, \psi)}}{\partial{(t_1, u_1)}}</math>が正則。 #<math>\boldsymbol{r}_1(t_1, u_1)=\boldsymbol{r}_2(t_2, u_2)</math> この2つは'''パラメータ変換で同値'''という。 このとき、ヤコビアンが正であるパラメータの組は'''同じ向き'''、負であるパラメータの組は'''逆向き'''であるという。 任意の<math>(t_1, u_1)</math>に対して開近傍<math>U \subset \mathrm{dom}\,S_1</math>をとったとき、どの<math>U</math>上でも<math>\det\frac{\partial{(\phi, \psi)}}{\partial{(t_1, u_1)}}>0</math>を満足するならば<math>S_1</math>は'''向き付け可能'''という。 向き付け可能な曲面の接空間に対して右手系を成すような向きの法線ベクトルを'''外向き法線ベクトル'''と呼ぶ。 外向き法線の向く側を曲面の'''表'''、その反対側を曲面の'''裏'''と定義する。 <math>\partial{S}=\varnothing</math>を満たす正則曲面<math>S</math>を'''閉曲面'''という。ジョルダンの曲線定理を拡張した定理（'''ジョルダン・ブラウワーの分離定理'''）によって閉曲面が空間を内部・外部に分割することが保証される。内部に面する向きを閉曲面の裏、外部に面する向きを閉曲面の表と定義する。 パラメータ空間の座標軸の向きの組み合わせが<math>xy</math>平面と同じとき、外向き法線で定義される閉曲面の表裏は内部・外部から定義される表裏に一致する。 ===回転面=== ここでは三次元空間内の曲面について考える。 高校数学で回転体を扱ったが、領域の回転体の表面である曲面は元の領域の疆界である単純閉曲線を軸に関して回転したものである。そこで、平面上の任意の曲線を回転すると曲面（'''回転面'''）を得ると考えられる。 簡単な場合として、<math>x\geq0</math>で定義された<math>zx</math>平面上の曲線<math>z=f(x)</math>を<math>y</math>軸に関して回転させた回転面を考える。 :任意の<math>k\in[0,\infty)</math>に関して曲線上の点は<math>\begin{pmatrix} x \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k \\ f(k)\end{pmatrix}</math>と与えられる。 :領域<math>\left\{ {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] z \end{array}\right)} \big| x \leq k \right\}</math>を<math>y</math>軸に関して回転した回転体を平面<math>z=f(k)</math>で切った断面は半径<math>k</math>の閉円盤であり、疆界円周上の点を<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ f(k) \end{pmatrix}</math>とすると<math>k=\sqrt{x^2+y^2}</math>である。 :則ち回転体の疆界である回転面上の点<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>は方程式<math>z=f(\sqrt{x^2+y^2})</math>を満たし、逆にこの方程式を満たす<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>は回転面上にある。 纏めると以下のようになる。 {{定理|(回転面の方程式)}} <math>zx</math>平面上の曲線<math>z=f(x)\quad(x\geq0)</math>を<math>y</math>軸に関して回転させた回転面の方程式は :<math>z=f(\sqrt{x^2+y^2})</math> {{定理終わり}} <math>z</math>軸・<math>x</math>軸に関する回転面の方程式は変数を輪環の順に入れ替えることで得られる。 回転面に対し、元の曲線を'''母線'''という。 母線が直線である回転面は'''円錐'''である。 :<math>z=mx+n\quad(m\neq0,x\geq0)</math>とすれば<math>y</math>軸に関して回転した曲面の方程式は :<math>z=m\sqrt{x^2+y^2}+n</math> :<math>z-n = m\sqrt{x^2+y^2}</math> これを両辺二乗すると :<math>(z-n)^2=m^2x^2+m^2y^2</math> であり、錐面の方程式<math>\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}</math>を満たしていることがわかる。 回転軸が傾いている場合、<math>xyz</math>空間の回転行列<math>\mathbf{R}</math>を利用することで各軸に関する回転に帰着することもできるが、ここでは曲面のベクトル表示を扱ったのでベクトル方程式で回転を記述することを考えたい。 点<math>\mathrm{O}</math>から<math>\boldsymbol{r}</math>とそれに平行でない単位ベクトル<math>\boldsymbol{e}</math>が伸びており、そのなす角が<math>\theta</math>であるとする。<math>\boldsymbol{r}</math>の終点<math>\mathrm{P}</math>を含み<math>\boldsymbol{e}</math>を法線とする平面を<math>\Pi</math>、<math>\Pi</math>と直線<math>\{k\boldsymbol{e} \mid k>0\}</math>の交点を<math>\mathrm{N}</math>、<math>\mathrm{P}</math>を<math>\Pi</math>内で<math>\mathrm{N}</math>を中心として<math>\phi</math>回転した点を<math>\mathrm{Q}</math>、<math>\mathrm{NQ}</math>から<math>\mathrm{NP}</math>へ降ろした垂足を<math>\mathrm{R}</math>と置く。但し、回転角<math>\phi</math>の正の向きは<math>\boldsymbol{e}</math>を右螺子の進む向きとする方向に定める。 このとき、<math>\boldsymbol{r}</math>を<math>\boldsymbol{e}</math>に関して<math>\phi</math>だけ回転させたベクトル<math>\boldsymbol{r}'</math>は以下のように表される。 {{定理|(ロドリゲスの公式)}} :<math>\boldsymbol{r}'=\boldsymbol{r}\cos\phi+(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\,\mathrm{versin}\,\phi\,\boldsymbol{e}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> {{定理終わり}} *証明 :<math>\boldsymbol{r}'=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{ON}}+\overrightarrow{\mathrm{NR}}+\overrightarrow{\mathrm{RQ}}</math> :<math>\overrightarrow{\mathrm{ON}}</math>は<math>\boldsymbol{r}</math>の<math>\boldsymbol{e}</math>への正射影ベクトルなので ::<math>\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}}{\boldsymbol{e}\cdot\boldsymbol{e}}\boldsymbol{e}=(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}</math> :<math>\triangle\mathrm{NQR}</math>を考えると<math>\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NP}}\|</math>と<math>\|\overrightarrow{\mathrm{NR}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|\cos\phi</math>及び<math>\overrightarrow{\mathrm{NR}}/\!\!/\overrightarrow{\mathrm{NP}}</math>より ::<math>\overrightarrow{\mathrm{NR}}=\overrightarrow{\mathrm{NP}}\cos\phi=(\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{ON}})\cos\phi=\{\boldsymbol{r}-(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}\}\cos\phi</math> :<math>\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e}</math>は外積の定義から<math>\overrightarrow{\mathrm{NP}}</math>を<math>\Pi</math>上で<math>-\phi</math>方向に<math>\frac{\pi}{2}</math>だけ回転させたベクトルになるので、 :<math>\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e}/\!\!/\overrightarrow{\mathrm{RQ}}</math>と<math>\|\overrightarrow{\mathrm{RQ}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|\sin\phi</math>及び<math>\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NP}}\|</math>から ::<math>\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> :これらを足して ::<math>\boldsymbol{r}'=(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}+\{\boldsymbol{r}-(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}\}\cos\phi-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> ::<math>=\boldsymbol{r}\cos\phi+(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})(1-\cos\phi)\boldsymbol{e}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> ::<math>=\boldsymbol{r}\cos\phi+(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\,\mathrm{versin}\,\phi\,\boldsymbol{e}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math>// この証明ではベクトルの平行移動を用いているのでアフィン空間を前提とするが、この式そのものはアフィン構造に依存してないので一般のベクトル空間で成り立つ。 また、回転後のベクトルは母線のパラメータ<math>t</math>に加えて回転角<math>\phi</math>もパラメータとして有するので、<math>\boldsymbol{r}'(t, \phi)</math>という二変数ベクトル関数となって曲面を表すことになる。則ち、「曲線を回転すれば曲面を得る」という直感は正しい。 ロドリゲスの公式の応用として、例えば円錐のベクトル方程式が<math>\frac{(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}}{\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|}=\mathrm{const}.</math>であることが導ける。 :円錐頂点の位置ベクトルを<math>\boldsymbol{p}</math>、軸ベクトルを<math>\boldsymbol{a}</math>、<math>\boldsymbol{a}</math>と角度<math>\alpha</math>をなす単位ベクトルを<math>\boldsymbol{v}</math>とする。このとき直線<math>\{k\boldsymbol{v}\mid k>0\}</math>が円錐の母線であり、母線と交わる向きである軸の法線ベクトルを<math>\boldsymbol{b}</math>とおく。 :ロドリゲスの公式より<math>\boldsymbol{v}</math>を<math>\boldsymbol{a}</math>の周りに<math>\theta</math>だけ回転させたベクトル<math>\boldsymbol{v}'</math>は ::<math>\boldsymbol{v}'=\boldsymbol{v}\cos\theta+(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{e}_a)\,\mathrm{versin}\,\theta\,\boldsymbol{e}_a-(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{e}_a)\sin\theta</math> :ここで<math>\boldsymbol{v}</math>を<math>\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}</math>方向に基底分解すると ::<math>\boldsymbol{v}=\cos\alpha\,\boldsymbol{e}_a+\sin\alpha\,\boldsymbol{e}_b</math> :なので、 ::<math>\boldsymbol{v}'=\cos\alpha\boldsymbol{e}_a+\sin\alpha\{\boldsymbol{e}_b\cos\theta+(\boldsymbol{e}_a\times\boldsymbol{e}_b)\sin\theta\}</math> :円錐上の点<math>\boldsymbol{r}</math>の位置ベクトルは頂点から母線方向に<math>\rho</math>だけ進むので ::<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{p}+\rho\boldsymbol{v}'</math> :であり、 ::<math>\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}=\rho\boldsymbol{v}'</math> :ここで<math>\|\boldsymbol{v}'\|=\|\boldsymbol{v}\|=1</math>より ::<math>\rho=\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|</math> :このベクトルと軸ベクトルの内積をとると ::<math>(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}=\rho\boldsymbol{v}'\cdot\boldsymbol{a}</math> ::<math>=\rho\{\cos\alpha(\boldsymbol{e}_a\cdot\boldsymbol{a})+\sin\alpha\cos\theta(\boldsymbol{e}_b\cdot\boldsymbol{a})+\sin\alpha\sin\theta(\boldsymbol{e}_a\times\boldsymbol{e}_b)\cdot\boldsymbol{a}\}</math> :<math>\boldsymbol{e}_b, \boldsymbol{e}_a\times\boldsymbol{e}_b</math>とも<math>\boldsymbol{a}</math>に直交するので後ろの二項は消えて ::<math>(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}=\rho\cos\alpha(\boldsymbol{e}_a\cdot\boldsymbol{a})=\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|\|\boldsymbol{a}\|\cos\alpha</math> :則ち ::<math>\frac{(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}}{\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|}=\|\boldsymbol{a}\|\cos\alpha=\mathrm{const}.</math>// 円錐が先に与えられている場合は「<math>\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}</math>が母線の方向ベクトルなのは図より自明」とできるが、ここでは「母線が先に与えられて回転によって円錐が構成される」という立場を採ったのでロドリゲスの公式が効くのである。 ロドリゲスの公式で微小回転<math>d\phi</math>の場合を考える。 正弦関数・余弦関数の部分を1項目までテイラー展開して<math>\cos(d\phi)=1+O(d\phi^2), \sin(d\phi)= d\phi+O(d\phi^3)</math>なので<math>\mathrm{versin}(d\phi)=O(d\phi^2)</math>であり、 :<math>\boldsymbol{r}' = \boldsymbol{r}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})d\phi+O(d\phi^2)</math> ここで<math>d\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}'-\boldsymbol{r}</math>なので :<math>d\boldsymbol{r}=-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})d\phi+O(d\phi^2)</math> 則ち、ベクトル関数の全微分は微小回転で近似される。 オーダー記法の項を無視して<math>\boldsymbol{\omega}=\frac{d\phi}{dt}\boldsymbol{e}</math>と置くと :<math>d\boldsymbol{r}=(d\phi\boldsymbol{e})\times\boldsymbol{r}</math> これの両辺を<math>dt</math>で割って :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}</math> これは剛体の速度公式である。 ロドリゲスの公式の一次変換表記を考える。 <math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}, \boldsymbol{r}'=\begin{pmatrix} r'_1 \\ r'_2 \\ r'_3 \end{pmatrix}, \boldsymbol{e}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math>とすると、 :<math>\begin{pmatrix} r'_1 \\ r'_2 \\ r'_3 \end{pmatrix}=\cos\phi\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}+(ar_1+br_2+cr_3)\mathrm{versin}\,\phi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} - \sin\phi \begin{pmatrix} cr_2-br_3 \\ ar_3-cr_1 \\ br_1-ar_2 \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} (\cos\phi + a^2\,\mathrm{versin}\,\phi) r_1 + (ab\,\mathrm{versin}\,\phi -c\sin\phi) r_2 + (ca\,\mathrm{versin}\,\phi + b\sin\phi) r_3 \\ (ab\,\mathrm{versin}\,\phi + c\sin\phi) r_1 + (\cos\phi + b^2\,\mathrm{versin}\,\phi) r_2 + (bc\,\mathrm{versin}\,\phi -a\sin\phi) r_3 \\ (ca\,\mathrm{versin}\,\phi - b\sin\phi) r_1 + (bc\,\mathrm{versin}\,\phi+ a\sin\phi) r_2 + (\cos\phi + c^2\,\mathrm{versin}\,\phi) r_3 \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} \cos\phi + a^2\,\mathrm{versin}\,\phi & ab\,\mathrm{versin}\,\phi -c\sin\phi & ca\,\mathrm{versin}\,\phi + b\sin\phi \\ ab\,\mathrm{versin}\,\phi + c\sin\phi & \cos\phi + b^2\,\mathrm{versin}\,\phi & bc\,\mathrm{versin}\,\phi -a\sin\phi \\ ca\,\mathrm{versin}\,\phi - b\sin\phi & bc\,\mathrm{versin}\,\phi+ a\sin\phi & \cos\phi + c^2\,\mathrm{versin}\,\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> ここで<math>\mathrm{versin}\,\phi</math>を<math>1-\cos\phi</math>に戻して係数行列を<math>1, \cos\phi, \sin\phi</math>の項に分解してみると :<math>=\begin{pmatrix} a^2+(1-a^2)\cos\phi & ab-ab\cos\phi -c\sin\phi & ca-ca\cos\phi + b\sin\phi \\ ab-ab\cos\phi + c\sin\phi & b^2+(1-b^2)\cos\phi & bc-bc\cos\phi -a\sin\phi \\ ca-ca\cos\phi - b\sin\phi & bc-bc\cos\phi+ a\sin\phi & c^2+(1-c^2)\cos\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> :<math>=\left\{ \begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix} + \cos\phi\begin{pmatrix} 1-a^2 & -ab & -ca \\ -ab & 1-b^2 & -bc \\ -ca & -bc & 1-c^2 \end{pmatrix} +\sin\phi\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix} \right\} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> :<math>=\left[ \begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix} + \cos\phi \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix} \right\} +\sin\phi\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> ここで<math>\begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix}</math>は<math>\boldsymbol{e}</math>の第<math>i</math>成分と第<math>j</math>成分を掛けたものが<math>(i, j)</math>成分となる行列になっていることがわかる。これを<math>\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e}</math>と書くことにする。<math>\sin\phi</math>に係る行列を<math>\mathbf{N}</math>と置くと、 :<math>\boldsymbol{r}'=\{\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e}+\cos\phi(\mathbf{E}_3-\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e})+\sin\phi\mathbf{N}\}\boldsymbol{r}</math> という表示を得る。 更に、<math>\mathbf{N}^2=\begin{pmatrix} -b^2-c^2 & ab & ca \\ ab & -c^2-a^2 & bc \\ ca & bc & -a^2-b^2 \end{pmatrix}</math>と<math>\|\boldsymbol{e}\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=1</math>より :<math>\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e}=\mathbf{N}^2+(a^2+b^2+c^2)\mathbf{E}_3=\mathbf{N}^2+\mathbf{E}_3</math> が成り立つので、最終的に :<math>\boldsymbol{r}'=(\mathbf{E}_3+\sin\phi\mathbf{N}+\mathrm{versin}\,\phi\mathbf{N}^2)\boldsymbol{r}</math> と二次の行列多項式で表示される。 なお、<math>\otimes</math>は発展節で紹介する'''テンソル積'''を表している。 ここで、行列<math>\mathbf{N}</math>についてより具体的に考えてみる。 先ず、<math>{}^t\!\mathbf{N}=-\mathbf{N}</math>が成り立つので<math>\mathbf{N}</math>は反対称行列（歪対称行列・交代行列）である。 <math>\mathbf{N}\boldsymbol{r}</math>を計算すると :<math>\mathbf{N}\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} br_3-cr_2 \\ cr_1-ar_3 \\ ar_2-br_1 \end{pmatrix}=\boldsymbol{e}\times\boldsymbol{r}</math> 則ち、<math>\mathbf{N}</math>は<math>\boldsymbol{e}</math>に関する外積（形式的には<math>\boldsymbol{e}\times</math>という左演算）を一次変換とみて表現行列に直したものである。 更に、成分計算により<math>\mathbf{N}^3=-\mathbf{N}</math>という性質が成り立つことも判る。外積を「ベクトルを90°回転させる演算」とみると、二回の演算によって180°回転するということなのでこの結果は妥当である。 ここで行列自然指数関数<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\sum_{i=0}^\infty \frac{(\phi\mathbf{N})^i}{i!}</math>を考えてみると上の性質より三次以上の項は<math>\mathbf{N}^4=-\mathbf{N}^2, \mathbf{N}^5=\mathbf{N},\cdots</math>のように全て二次以下に帰着できる。<br> また、自然指数関数のテイラー展開は絶対収束級数なので各項は可換であり、<math>\mathbf{N}</math>の二次式として纏め直すと :<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\mathbf{E}_3 + (\phi-\frac{\phi^3}{3!}+\frac{\phi^5}{5!}-\frac{\phi^7}{7!}+\cdots) \mathbf{N}+(\frac{\phi^2}{2!}-\frac{\phi^4}{4!}+\frac{\phi^6}{6!}-\frac{\phi^8}{8!}+\cdots)\mathbf{N}^2</math> ここで一次・二次の係数はそれぞれ正弦関数・正矢関数のテイラー展開になっているので結局は :<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\mathbf{E}_3+\sin\phi\mathbf{N}+\mathrm{versin}\,\phi\mathbf{N}^2</math> ここから、<math>\exp(\phi\mathbf{N})</math>は角度<math>\phi</math>に関する有限回転に対応することが判った。 このことは以下の考え方でも求まる。<br> <math>\mathbf{N}</math>の最小方程式は<math>\mathbf{N}^3+\mathbf{N}=\mathbf{O}_3</math>より<math>x(x^2+1)=0</math>であり固有値は<math>0, \pm{i}</math>と求まるので、<math>\exp(\phi\mathbf{N})</math>の対角化行列は :<math>\begin{pmatrix} e^{0\phi} & 0 & 0 \\ 0 & e^{i\phi} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-i\phi} \end{pmatrix}</math> ここで任意の解析関数<math>f</math>について<math>f(\mathbf{N})</math>のテイラー展開は二次以下の多項式になるので :<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\alpha\mathbf{E}_3+\beta\mathbf{N}+\gamma\mathbf{N}^2</math> これを実多項式に戻した<math>\alpha+\beta{x}+\gamma{x^2}</math>が<math>e^{\phi{x}}</math>と任意の固有値で一致すればよい（二次補間）ので、 :<math>\begin{cases} e^0 = \alpha \\ e^{i\phi} = i\beta -\gamma \\ e^{-i\phi} = -i\beta-\gamma \end{cases}</math> :<math>\iff \begin{cases} 1 = \alpha \\ \cos\phi+i\sin\phi = (\alpha -\gamma) + i\beta \end{cases}</math> :<math>\therefore \begin{cases} \alpha=1 \\ \beta=\sin\phi \\ \gamma=1-\cos\phi=\mathrm{versin}\,\phi \end{cases}</math> 則ち、<math>\mathbf{N}^3=-\mathbf{N}</math>という構造は<math>\Psi_\mathbf{N}(x)=x(x^2+1)</math>という最小多項式に起因するということである。 更に[[表現論]]の観点から見ると、三次直交行列全体である回転群<math>SO(3)</math>に対し、<math>\mathbf{N}</math>は<math>SO(3)</math>の単位元に於ける接空間（三次反対称行列全体・則ちリー代数<math>\mathfrak{so}(3)</math>）の元であり、<math>\exp(\phi\mathbf{N})</math>はリー群<math>SO(3)</math>の元である。ここで行列自然指数関数は「リー代数からリー群へ引き戻す写像」なので'''指数写像'''と呼ばれる。 これが[[#フレネ標搆]]で述べた「直交変換の一次近似が反対称変換」という事実のより正確な表現である。 補足だが、力学で扱う[[w:オイラー角]]というものを導入するとロドリゲスの公式を各座標軸に関する回転の合成で表すこともできる。 ===種々の曲率=== ここでは三次元空間内の正則曲面について考える。 曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>上で定義され弧長パラメータ表示された正則曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t(s), u(s))</math>を考える。 <math>C</math>の接ベクトルは合成関数微分公式より :<math>\boldsymbol{t}=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{ds}</math> と表示される。 ここで両辺の<math>ds</math>を形式的に払うと :<math>\boldsymbol{t}ds=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math> これの自分自身との内積をとると :<math>\|\boldsymbol{t}\|^2(ds)^2=\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{\partial{t}}\right\|^2(dt)^2+2\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}dtdu+\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2(du)^2</math> 弧長パラメトライズされた接ベクトルは単位ベクトルであり、右辺のベクトル演算の部分を第一基本量で置き換えると :<math>ds^2=E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2</math> と、第一基本形式を別の方法で得られた。 <math>C</math>の主法線ベクトルは合成関数微分を繰り返し適用することで :<math>\boldsymbol{n}_C=\frac{d\boldsymbol{t}}{ds}=\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{ds}\right)</math> :<math>=\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{ds}\right)+\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{ds}\right)</math> :<math>=\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\right)\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{d}{ds}\left(\frac{dt}{ds}\right)+\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right)\frac{du}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{d}{ds}\left(\frac{du}{ds}\right)</math> :<math>=\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}\partial{t}}\frac{du}{ds}\right)\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{d^2t}{ds^2}+\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\frac{du}{ds}\right)\frac{du}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{d^2u}{ds^2}</math> :<math>=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\left(\frac{dt}{ds}\right)^2+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{d^2t}{ds^2}+2\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\frac{dt}{ds}\frac{du}{ds}+\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\left(\frac{du}{ds}\right)^2+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{d^2u}{ds^2}</math> ここで、<math>S</math>の法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}_S=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\times\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>は一般に<math>\boldsymbol{n}_C</math>と一次従属とは限らない。 後の話を単純にするため<math>\boldsymbol{n}_S</math>を正規化したベクトルを<math>\boldsymbol{e}_S</math>と置いて<math>\boldsymbol{n}_C\cdot\boldsymbol{e}_S</math>を計算してみる。 :<math>\boldsymbol{e}_S\perp\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \boldsymbol{e}_S\perp\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>より :<math>\boldsymbol{n}_C\cdot\boldsymbol{e}_S=\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S\right)\left(\frac{dt}{ds}\right)^2+2\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S\right)\frac{dt}{ds}\frac{du}{ds}+\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S\right)\left(\frac{du}{ds}\right)^2</math> ここで各内積<math>L=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S,\quad M=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S,\quad N=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S</math>を<math>S</math>の'''第二基本量'''と呼ぶ。 <math>\boldsymbol{n}_C, \boldsymbol{e}_S</math>のなす角を<math>\psi</math>とすると<math>C</math>の曲率を<math>\kappa_C</math>として :<math>\boldsymbol{n}_C\cdot\boldsymbol{e}_S=\kappa_C \cos\psi</math> なので<math>ds</math>に関して形式的に通分して :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{ds^2}</math> 右辺の分子<math>I\!I:=L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2</math>を<math>S</math>の'''第二基本形式'''という。 <math>\begin{cases}\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\boldsymbol{e}_S=0 \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S=0 \end{cases}</math>を<math>t</math>で偏微分すると :<math>\begin{cases} \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}=0 \\ \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}=0 \end{cases}</math> また、<math>u</math>で偏微分すると :<math>\begin{cases} \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}\partial{t}}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}=0 \\ \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}=0 \end{cases}</math> ここから第二基本量は :<math>L=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}},\quad M=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}},\quad N=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}</math> とも表示され、第二基本形式の別表示 :<math>I\!I=-\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}du\right)</math> を得る。 これは更に全微分から微小ベクトル同士の内積として :<math>I\!I=-d\boldsymbol{r}\cdot{d}\boldsymbol{e}_S</math> とも書ける。 第一基本形式は曲面上の微小変位の自身との内積だったが、第二基本形式は曲面上の微小変位と法線方向の微小変位の内積である。則ち、第一基本形式は曲面の内在的な量、第二基本形式は曲面の外在的な量である。 第一基本形式と同様に第二基本形式は二次形式なので、<math>\boldsymbol{v}:=\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}, \mathbf{H}=\begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}</math>と置くと :<math>I\!I={}^t\!\boldsymbol{v}\mathbf{H}\boldsymbol{v}</math> と行列表示できる。この<math>\mathbf{H}</math>を'''第二基本行列'''という。 ここで、モンジュ表示された曲面<math>z=f(x, y)</math>に対して第二基本行列を考えてみる。 :<math>\boldsymbol{r}(t, u)=\begin{pmatrix} t \\ u \\ f(t, u)\end{pmatrix}</math>なので[[解析学基礎/多変数関数の微積分#全微分]]の結果を参照すると直ちに :<math>L=\frac{\frac{\partial^2{f}}{\partial{t}^2}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2},\quad M=\frac{\frac{\partial^2{f}}{\partial{t}\partial{u}}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2},\quad N=\frac{\frac{\partial^2{f}}{\partial{u}^2}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2}</math> :が判るので、 :<math>\mathbf{H}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2}\begin{pmatrix} \frac{\partial^2{f}}{\partial{t}^2} & \frac{\partial^2{f}}{\partial{tu}} \\ \frac{\partial^2{f}}{\partial{tu}} & \frac{\partial^2{f}}{\partial{u^2}} \end{pmatrix}</math> これはヘッシアンを法線の長さで割った行列である。 則ち、任意の正則曲面に対して第二基本行列はヘッセ行列と同じ役割をすると考えられる。 実際、点<math>\mathrm{P}</math>の開近傍で<math>\det\mathbf{H}</math>が正である曲面は<math>\mathrm{P}</math>の開近傍で上下どちらかに凸であり、負である曲面は<math>\mathrm{P}</math>で鞍点となることが知られている。 このように第二基本形式は曲面の「曲がり方」を表す量と考えられるので、曲面に対する曲率も考えられる。 ここで第二基本形式を定義した式 :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{ds^2}</math> に立ち戻ると、右辺の分母は<math>s</math>に依存しない第一基本形式なので第一基本量を用いて :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2}</math> 右辺を形式的に<math>dt^2</math>で割ると :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L+2M\frac{du}{dt}+N\left(\frac{du}{dt}\right)^2}{E+2F\frac{du}{dt}+G\left(\frac{du}{dt}\right)^2}</math> この右辺は<math>\boldsymbol{n}_C</math>に依存しない量なので<math>\boldsymbol{n}_S, \boldsymbol{n}_C</math>のなす角度である<math>\psi</math>にも依存しない。 そこで、この値を曲面<math>S</math>の'''法曲率'''と定義する。 :<math>\varkappa:=\frac{L+2M\frac{du}{dt}+N\left(\frac{du}{dt}\right)^2}{E+2F\frac{du}{dt}+G\left(\frac{du}{dt}\right)^2}</math> 法曲率の幾何学的意味を考える。 <math>\varkappa=\kappa_C\cos\psi</math>より、<math>\cos\psi=1</math>のとき<math>S</math>の法曲率と<math>C</math>の曲率が一致する。このとき<math>\boldsymbol{n}_S /\!\!/ \boldsymbol{n}_C</math>であり、<math>C</math>は曲面上の点<math>\mathrm{P}</math>とそこでの曲面の法線<math>\boldsymbol{n}_S(\mathrm{P})</math>を含む平面で曲面を切断した切り口（'''法切り口'''）に対応する曲線（'''法曲線'''）である。 則ち、法曲率は法曲線の曲率に対応する。 なお、法曲線<math>C</math>は切断に用いる平面に拘束されるので接ベクトル<math>\boldsymbol{t}_C</math>も平面に拘束される。則ち、拘束平面は<math>\{\boldsymbol{t}_C, \boldsymbol{n}_C\}</math>の張る接触平面である。 法切り口を齎す平面は法線を軸にして回転することができ、その回転角によって法曲率の値が異なることになる。この回転は具体的にはロドリゲスの公式によって記述されるが、法曲率の極大値・極小値は<math>\varkappa</math>を<math>k=\frac{du}{dt}</math>の関数とみることで以下のように考えることができる。 :法曲率の定義式より ::<math>\varkappa(E+2Fk+Gk^2)=L+2Mk+Nk^2</math>・・・(*) :これが<math>k</math>の恒等式なので微分しても等号が成り立ち、 ::<math>\frac{d\varkappa}{dk}(E+2Fk+Gk^2)+\varkappa(2F+2Gk)=2M+2Nk</math> :フェルマーの定理より<math>\frac{d\varkappa}{dk}=0</math>を満たす<math>(k, \varkappa)</math>が極値点の候補なので ::<math>\varkappa(2F+2Gk)=2M+2Nk</math>・・・(@) :が成り立つ必要がある。 :これを<math>k</math>倍して(*)を引くと ::<math>\varkappa(E+Fk)=L+Mk</math>・・・(#) :これと(@)を連立して ::<math>k=-\frac{\varkappa{F}-M}{\varkappa{G}-N}</math> :これを(#)に代入して ::<math>(EG-F^2)\varkappa^2-(GL+EN-2FM)\varkappa+(LN-M^2)=0</math>・・・($) :という二次方程式を得る。 :($)が相異なる二つの実根<math>\kappa_1, \kappa_2</math>を持てばそれらは極小値・極大値である。 :逆に、極小値・極大値を持てばフェルマーの定理より($)を満たす。// この<math>\kappa_1, \kappa_2</math>を<math>S</math>の'''主曲率'''という。 ($)の左辺を変形してみると、 :<math>(EG-F^2)\varkappa^2-(GL+EN-2FM)\varkappa+(LN-M^2)</math> :<math>=\{EG\varkappa^2-(GL+EN)\varkappa+LN\}-\{F^2\varkappa^2-2FM\varkappa+M^2\}</math> :<math>=(L-\varkappa{E})(N-\varkappa{G})-(M-\varkappa{F})^2</math> :<math>=\det\begin{pmatrix} L-\varkappa E & M - \varkappa F \\ M - \varkappa F & N - \varkappa G \end{pmatrix}</math> :<math>=\det(\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K})</math> という、第一基本行列と第二基本行列を用いた形が出てきた。 ここで<math>\varkappa=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2}</math>を変形して :<math>(L-\varkappa{E})dt^2+2(M-\varkappa{F})dtdu+(N-\varkappa{G})du^2=0</math> これを二次形式表示すると :<math>\begin{pmatrix} dt & du \end{pmatrix}\begin{pmatrix} L-\varkappa E & M - \varkappa F \\ M - \varkappa F & N - \varkappa G \end{pmatrix}\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}=0</math> と、同じ<math>\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K}</math>がここでも登場する。 この行列は法曲率を持つ方向を二次形式で判定しているが、主曲率を持つ場合はラグランジュの未定乗数法より<math>(\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K})\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}=\boldsymbol{0}</math>が成り立ち、これが<math>\det(\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K})=0</math>という式の正体である。更に言うと、<math>\mathbf{H}\boldsymbol{x}=\varkappa\mathbf{K}\boldsymbol{x}</math>という一般化固有値問題の解が主曲率<math>\kappa_1, \kappa_2</math>に対応している。このときの一般化固有ベクトル<math>\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2</math>を主曲率に対する'''主方向'''という。 二つの主方向の関係を調べる。 :主方向の定義より ::<math>\begin{cases} (\mathbf{H}-\kappa_1\mathbf{K}) \boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0} \\ (\mathbf{H}-\kappa_2\mathbf{K}) \boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{0} \end{cases}</math> :なので ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2(\mathbf{H}-\kappa_1\mathbf{K})\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0} \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_1(\mathbf{H}-\kappa_2\mathbf{K})\boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{0} \end{cases}</math> ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_1{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_1\mathbf{H}\boldsymbol{x}_2=\kappa_2{}^t\!\boldsymbol{x}_1 \mathbf{K}\boldsymbol{x}_2 \end{cases}</math> ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_1{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_1\mathbf{H}\boldsymbol{x}_2=\kappa_2{}^t\!\boldsymbol{x}_1 \mathbf{K}\boldsymbol{x}_2 \end{cases}</math> :第一基本行列・第二基本行列とも対称行列なので第二式の転置をとって ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_1{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_2{}^t\!\boldsymbol{x}_2 \mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \end{cases}</math> :上下の式の差をとって ::<math>(\kappa_1-\kappa_2){}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0}</math> :<math>\kappa_1=\kappa_2</math>のときは<math>\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2</math>に関する恒等式であるので、<math>\kappa_1\neq\kappa_2</math>のときを考える。 ::<math>{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1=\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}t_2+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}u_2\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}t_1+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}u_1\right)=0</math> :この二つのベクトルは主方向を向くので2つの主方向は直交する。 <math>\kappa_1=\kappa_2</math>（法曲率<math>\varkappa(t, u)=\mathrm{const}.</math>）の場合、<math>S</math>の接平面内の任意の方向が主方向となるので「どの方向にも一様な曲がり方をする」と考えられる。このような主曲率を与える点を'''臍点'''という。任意の点が臍点である曲面は球面である。 上の結果から、'''臍点でない各点で2つの主方向は直交する'''。 主曲率に対して解と係数の関係から得る値 :<math>H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}=\frac{GL+ENN-2FM}{2EG-F^2},\quad K=\kappa_1\kappa_2=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}</math> をそれぞれ<math>S</math>の'''平均曲率'''（'''ジェルマン曲率'''）・'''全曲率'''（'''ガウス曲率'''）という。 全曲率の式を見ると<math>K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}=\frac{\det\mathbf{H}}{\det\mathbf{K}}=\det(\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H})</math>である。 そこで、<math>\mathbf{S}=\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}</math>と定義してみると行列式の性質より<math>K</math>は<math>\mathbf{S}</math>の固有値の積である。 ここで<math>\mathbf{S}</math>の固有方程式は :<math>\det(\mathbf{S}-\lambda\mathbf{E})=\det(\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}-\lambda\mathbf{E})=\det\mathbf{K}^{-1}\det(\mathbf{H}-\lambda\mathbf{K})=0</math> <math>\det\mathbf{K}^{-1}\neq0</math>より :<math>\det(\mathbf{H}-\lambda\mathbf{K})=0</math> これは主曲率を定義した二次方程式($)のことだったので、この方程式の解である固有値は<math>\lambda=\kappa_1, \kappa_2</math>である。 則ち、<math>K=\det\mathbf{S},\quad H=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\,\mathbf{S}</math>が成り立つ。 更に、第一基本行列から第二基本行列への一次変換を考えると以下が成り立つことも判る。但し、こちらもフレネ=セレーと同様に厳密にはベクトルを列ではなく行に並べるのが正しいことに注意。 {{定理|(ヴァインガルテンの式)}} :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} \end{pmatrix}=-\mathbf{S}\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math> {{定理終わり}} *証明 :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} \end{pmatrix}=\mathbf{A}\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math>と置く。 :両辺に<math>{}^t\!\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math>を右から掛けると行列積であることに注意して :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}=\mathbf{A}\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} & \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math> :<math>\therefore -\mathbf{H}=\mathbf{A}\mathbf{K}</math> :<math>\therefore \mathbf{A}=-\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1}=-\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}=-\mathbf{S}</math>// 臍点で行列<math>\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K}</math>を考えると<math>\varkappa=\kappa_1=\kappa_2</math>及び「主方向が任意」から :<math>\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K}=\mathbf{O}</math> であり、これを成分で書き下せばヴァインガルテンの式より法曲率に関して :<math>\begin{cases} \varkappa=\frac{L}{E}=\frac{M}{F}=\frac{N}{G} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}} = \varkappa \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} = \varkappa \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{cases}</math> を得る。 <math>\mathbf{S}=\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}</math>に於いて<math>\mathbf{K}</math>は正定値対称行列なので正則対称な主平方根<math>\mathbf{K}^{1/2}</math>が存在して :<math>\mathbf{S}=\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{H}</math> ここで<math>\mathbf{T}=\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1/2}</math>という相似変換で表された行列を考えてみると :<math>\mathbf{K}^{1/2}\mathbf{S}\mathbf{K}^{-1/2}</math> :<math>=\mathbf{K}^{1/2}\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1/2}</math> :<math>=\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1/2}</math> :<math>=\mathbf{T}</math> であり、<math>\mathbf{S}\sim\mathbf{T}</math>なのでこれらの2つの固有値の組は一致する。 :<math>\mathbf{H}={}^t\!\mathbf{H}</math> より :<math>{}^t\!\mathbf{T}=\mathbf{T}</math> が成り立つので、<math>\mathbf{T}</math>は対称行列であり2つの固有値は実数である。 よって<math>\mathbf{S}</math>の二つの固有値はともに実数であるが、この固有値は($)の解<math>\kappa_1, \kappa_2</math>のことだったので($)は虚根を持たず、'''主曲率は必ず実数'''である。 モンジュ表示された曲面では先程求めた第二基本量の表式から直ちに :<math>H=\frac{\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2\right\}\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}^2}+\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2\right\}\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}^2}-2\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}}{{2\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2\right\}^\frac{3}{2}}},\quad K=\frac{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}-\left(\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}\right)^2}{\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2\right\}^2}</math> を得る。 等温座標系では<math>\mathbf{K}^{-1}=\frac{1}{\lambda^2}\mathbf{E}_3</math>より<math>\mathbf{S}=\frac{1}{\lambda^2}\begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}</math>なので、平均曲率・ガウス曲率はそれぞれ<math>H=\frac{L+N}{2\lambda^2},\quad K=\frac{LN-M^2}{\lambda^4}</math>と簡単に求まる。 ある点に於ける2つの主曲率はそれぞれその点に於ける極大方向・極小方向の曲がり方を与えるので、<math>\kappa_1, \kappa_2</math>の符号の組み合わせがその点近傍に於ける曲面の曲がり方を与えることになる。 具体的には、両方とも正なら上に凸、負なら下に凸、異符号なら鞍点となる。主曲率が0ならばその主方向に対して曲がっていないということである。 主曲率の積である全曲率の符号を見ても良い。全曲率が正ならば上下どちらかに凸、負ならば鞍点である。第一基本行列が正定値行列であることから主曲率の符号は第二基本行列の行列式と一致するので先程の「第二基本行列がヘッセ行列の一般化」という話に繫がる。 任意点で<math>H=0</math>を満たす曲面を'''極小曲面'''という。極小曲面は曲面を連続変形させたときに曲面積の最小値を与える曲面であることが知られている。 平面は自明な極小曲面である。他にも<math>z=\ln\left(\frac{\cos y}{\cos x}\right)(-\frac{\pi}{2}<x, y<\frac{\pi}{2})</math>（シェルクの第一曲面）などが知られている。 極小曲面は表面張力の理論に応用されている。 例えば石鹼膜のつくる曲面について、膜上点での表裏の圧力差<math>P</math>・その点での表面張力<math>T</math>及び平均曲率<math>H</math>に対し<math>P=2TH</math>が成立する（ヤング=ラプラスの公式）ことが知られているが、閉曲線である枠に張った膜が割れずに安定して存在する条件は全ての点で<math>P=H=0</math>、則ち極小曲面のときである。 曲面<math>S</math>上の微小変位<math>d\boldsymbol{r}</math>、法線方向の微小変位<math>d\boldsymbol{e}_S</math>に対して第一基本形式は<math>I=d\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{r}</math>、第二基本形式は<math>I\!I=-d\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{e}_S</math>であった。 最後の組み合わせである<math>d\boldsymbol{e}_S\cdot d\boldsymbol{e}_S</math>を<math>S</math>の'''第三基本形式'''と定義する。 :<math>I\!I\!I:=\left(\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}du\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}du\right)</math> :<math>=\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\right\|^2(dt)^2+2\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}dtdu+\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\right\|^2(du)^2</math> これを同様に二次形式の行列表示に直すと<math>\mathbf{W}:=\begin{pmatrix} \left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\right\|^2 & \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} & \left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\right\|^2 \end{pmatrix}</math>として :<math>I\!I\!I={}^t\!\boldsymbol{v}\mathbf{W}\boldsymbol{v}</math> この<math>\mathbf{W}</math>を'''第三基本行列'''という。 見て判る通り、'''第三基本量'''は<math>P=\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\right\|^2,\quad Q=\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}},\quad R=\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\right\|^2</math>である。 臍点でないとき2つの主方向は直交するので、臍点を持たない曲面に対して主方向を直交基底としたパラメータ表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(p, q)</math>を考えられる。 このとき、各基本形式は :<math>I=dp^2+dq^2</math> :<math>I\!I=\kappa_1dp^2+\kappa_2dq^2</math> :<math>I\!I\!I=\kappa^2_1dp^2+\kappa^2_2dq^2</math> と表示されることが知られている。 第三基本形式は第一基本形式と第二基本形式の線型結合で表示される。 :<math>I\!I\!I=2HI\!I-KI</math> このことはヴァインガルテンの式と平均曲率・全曲率の定義を用いて確かめられる。 これに関連し、第二基本量で定義された全曲率は第一基本量のみで表されることが知られている。つまり、曲率という外在的な量を第一基本形式という内在的な量のみで記述でき、言い換えると「曲面を考えるときに'''曲面の外側の空間を考える必要が無い'''」ということである。 この定理は発見者自身も驚愕したことから'''ガウスの驚異の定理'''と呼ばれている。詳しくは発展節で扱う。 なお、平均曲率を考えるときは外側の空間の情報が必要である。 ==直交曲線座標系== {{節stub}} ===円筒座標系=== 平面の座標系として直交座標の他に斜交座標、極座標（円座標）、重心座標などがあったように、空間の座標系も複数通り考えられる。 空間座標を3つの実数の組<math>(r, \theta, z)</math>で表した座標系を'''円筒座標系'''（'''円柱座標系'''、cylindrical coordinate system）という。ただし、<math>r</math>は原点からの（符号付き）距離、<math>\theta</math>は基準面に於ける始線からの正の回転角、<math>z</math>は基準面からの高さである。 円筒座標系は、円座標系の<math>r\theta</math>平面に<math>z</math>軸方向の次元を加えた3次元空間の座標と考えられる。 そのため、円筒座標系と直交座標系の対応は以下のようになる。 :<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \\ z=z \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta = \arctan\frac{y}{x} \\ z=z \end{cases}</math> 但し、<math>r</math>は基準面の裏側では負とする。 直交座標の<math>z</math>軸を基に円筒座標系の座標軸を決定する。一般に座標軸は直線とは限らないので、「軸」ではなく「曲線」と呼ぶことにする（'''座標線'''）。なお、「曲線」という語は一般に「直線」を包含する。 :<math>r</math>曲線：<math>z</math>軸上の点を通り<math>z</math>軸に垂直な半直線。 :<math>\theta</math>曲線：<math>z</math>軸を法線とする平面内にあり、中心が<math>z</math>軸上にある円周。 :<math>z</math>曲線：<math>z</math>軸に平行な直線。 ここで、各曲線に沿った微小変化がどのように表されるか見ていく。 <math>\boldsymbol{f}: (r,\theta,z)\to(x,y,z)</math>とする。 <math>\boldsymbol{f}</math>全体の微小変化は全微分<math>d\boldsymbol{f}=\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}</math>で表される。 上で求めた関係式より :<math>\boldsymbol{f}\begin{pmatrix} r \\ \theta \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cos\theta \\ r\sin\theta \\ z \end{pmatrix}</math> なので、 :<math>\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial{r}}r\cos\theta & \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\cos\theta & \frac{\partial}{\partial{z}}r\cos\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}r\sin\theta & \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\sin\theta & \frac{\partial}{\partial{z}}r\sin\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}z & \frac{\partial}{\partial{\theta}}z & \frac{\partial}{\partial{z}}z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> よって :<math>d\boldsymbol{f}=\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin \theta \\ 0 \end{pmatrix}dr + \begin{pmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \\ 0 \end{pmatrix}rd\theta + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}dz </math> 再右辺の各項を<math>d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}</math>と書くことにすると、<math>|d\vec{r}|, |d\vec{\theta}|, |d\vec{z}|</math>はそれぞれ<math>dr, rd\theta, dz</math>とわかる。<math>r, \theta, z</math>を物理量として捉えたとき<math>d\theta</math>の単位はラジアン（無次元量）であり、<math>rd\theta</math>の単位はメートル（長さの次元1）なので、次元の整合性が取れる。 纏めると以下のようになる。 {| class="wikitable" | ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_x</math>成分 ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_y</math>成分 ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_z</math>成分 ||style="text-align:center;"| ノルム |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{r}</math> ||style="text-align:center;"| <math>\cos\theta dr</math> ||style="text-align:center;"| <math>\sin\theta dr</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>dr</math> |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{\theta}</math> ||style="text-align:center;"| <math>-r\sin\theta d\theta</math> ||style="text-align:center;"| <math>r\cos\theta d\theta</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>rd\theta</math> |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{z}</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>1</math> ||style="text-align:center;"| <math>dz</math> |} ここで<math>d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}</math>は内積を取ればどの組も互いに直交することが容易にわかるので、この3つのベクトルは3次元ユークリッド空間の直交基底である。 そこで、それぞれのベクトルを正規化することで各軸曲線方向の基本ベクトルを得る。 :<math>\boldsymbol{e}_r = \frac{d\vec{r}}{dr} = \cos\theta \boldsymbol{e}_x + \sin\theta \boldsymbol{e}_y</math> :<math>\boldsymbol{e}_\theta = \frac{d\vec{\theta}}{rd\theta} = -\sin\theta\boldsymbol{e}_x+\cos\theta\boldsymbol{e}_y</math> :<math>\boldsymbol{e}_z=\frac{d\vec{z}}{dz}=\boldsymbol{e}_z</math> これを一次変換の形式で表すと :<math>\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}</math> となる。 このときの表現行列を、座標系または基底ベクトルを変換することから'''座標変換行列'''又は'''基底変換行列'''という。場合によっては'''変換テンソル'''とも呼ぶ。 なお、この直交座標⇒円筒座標の座標変換行列は、<math>xyz</math>空間に於ける<math>z</math>軸まわりの回転行列に等しい。 逆基底変換はこの座標変換行列の逆行列を求めれば定式化できる。 回転行列は直交行列なので :<math>\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ^{-1}= {}^t \! \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> であり、 :<math>\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}</math> 円筒座標系は、[[電磁気学]]の解析でよく使用される。 例えば、高校物理の公式<math>B(r)=\frac{\mu_0I}{\tau r}</math>は、円筒座標系を知っていれば「電流が<math>z</math>軸に平行であることから磁場は<math>z</math>方向に一葉且つ<math>\theta</math>方向に回転対称なので、<math>r</math>方向の項のみが寄与する」と理解される。 ===極座標系=== 高等学校までの地理で習ったように、球面上の位置は緯度<math>\theta</math>と経度<math>\phi</math>で定めることができる。 一般に三次元空間で球面上のある点の座標を定めるには、更に球の中心からの距離<math>r</math>が必要である。 このようにして定められる座標系を'''三次元極座標系'''（polar coordinate system in 3D）または'''球（面）座標系'''（spherical coordinate system）という。 xyz座標空間の点<math>\mathrm{P}(x, y, z)</math>の極座標表示を考える。 <math>r=|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>は容易にわかる。 <math>\theta</math>は<math>z</math>軸からの'''天頂角'''（zenith angle）であり、<math>\overrightarrow{\mathrm{OP}}</math>の<math>z</math>軸への正射影ベクトルを<math>\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\vec{h}</math>とすると<math>\tan\theta = \frac{|\vec{h}|}{z}</math>が成り立つ。<math>|\vec{h}|=\sqrt{x^2+y^2}</math>より、<math>\theta=\arctan \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}</math>である。 <math>\phi</math>は<math>x</math>軸からの'''方位角'''（azimuth angle）であり、<math>\mathrm{P}</math>から<math>xy</math>平面に降ろした垂足<math>\mathrm{Q}</math>を考えると<math>\tan\phi=\frac{y}{x}</math>とわかる。よって、<math>\phi=\arctan\frac{y}{x}</math>である。 逆に、これを<math>\mathrm{P}(x, y, z)</math>に復元することを考える。 <math>\triangle\mathrm{OHP}</math>について<math>\angle\mathrm{HOP}=\theta</math>なので、<math>z=\overline{\mathrm{OH}}=r\cos\theta</math>。 また、<math>\triangle\mathrm{OPQ}</math>について<math>\angle\mathrm{OPQ}=\theta</math>なので、<math>\overline{\mathrm{OQ}}=r\sin\theta</math>。 よって<math>x=\overline{\mathrm{OQ}}\cos\phi=r\sin\theta\cos\phi, y=\overline{\mathrm{OQ}}\sin\phi=r\sin\theta\sin\phi</math>。 以上を纏めると、直交座標と球面座標の対応関係は :<math>\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi \\ y=r\sin\theta\sin\phi \\ z=r\cos\theta \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \\ \phi=\arctan\frac{y}{x} \end{cases}</math> 一般に緯度は<math>-90^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ</math>、経度は<math>-180^\circ \leqq \phi \leqq 180^\circ</math>の範囲で表される（但し、符号の違いは東⇔西、南⇔北の違いである）。同様に、球面座標の天頂角<math>\theta</math>、方位角<math>\phi</math>は<math>\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\tau}{4}], \phi \in [-\frac{\tau}{2}, \frac{\tau}{2}]</math>で考える。赤道面より下側（すなわち南半球）では<math>\theta<0</math>とする。 直交座標の<math>z</math>軸を基に極座標系の座標線を決定する。 :<math>r</math>曲線：原点を通る半直線。 :<math>\theta</math>曲線：原点中心で<math>z</math>軸上の一点から出る半円弧。 :<math>\phi</math>曲線：<math>z</math>軸を法線とする平面内で<math>z</math>軸上に中心を持つ円周。 各曲線に沿った微小変化は円柱座標系の場合と同様、ベクトル場の全微分を用いて :<math>\begin{cases} d\vec{r}= \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi \\ \cos\theta \end{pmatrix} dr \\ d\vec{\theta}= \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\phi \\ \cos\theta\sin\phi \\ -\sin\theta \end{pmatrix}rd\theta \\ d\vec{\phi} = \begin{pmatrix} -\sin\phi \\ \cos\phi \\ 0 \end{pmatrix} r\sin\theta d\phi \end{cases}</math> と求まる。 これらは（内積の結果から）互いに直交するので、円柱座標の場合と同様の議論により :<math>\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \end{pmatrix}</math> と変換テンソルが求まる。 これも直交行列であるので、逆変換テンソルは :<math>\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \cos\theta\cos\phi & \cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\phi \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \end{pmatrix}</math> と求まる。 球面座標系は、[[古典力学]]の解析でよく使用される。 例えば、赤道平面における角運動量保存則は<math>mr^2\frac{d\phi}{dt}=\mathrm{const}.</math>と表示されるが、これは<math>z</math>軸方向の角運動量を球面座標系の演算により取り出したものである。 球面座標系は特に機械制御に応用されている。 円柱座標系・球面座標系ともに各基底ベクトルが互いに直交しているので、そのことを明示して（且つ通常の直交座標系と区別して）'''直交曲線座標系'''（orthogonal curvilinear coordinate system）と呼ぶ場合がある。以下で扱う座標系たちも直交曲線座標系である。 ===円環座標系=== ===双極座標系=== ===回転放物面座標系=== ===放物柱座標系=== ===回転楕円面座標系=== ===楕円柱座標系=== ===楕円体座標系=== ==空間微分== ここでは三次元ユークリッド空間で考える。 ===勾配=== スカラー場<math>\varphi=\varphi(\boldsymbol{x})</math>が<math>x, y, z</math>の三変数関数であって<math>\varphi\in C^1</math>のとき、 :<math>\mathrm{grad}\,\varphi := \begin{pmatrix} \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}} \end{pmatrix}</math> を<math>\varphi</math>の'''勾配'''（gradient）と定義する。 勾配の結果として得るベクトルを<math>\varphi</math>の'''勾配ベクトル'''ともいう。 勾配で定義される概念としては、電場が有名である。 :電位<math>\phi</math>に対する電場<math>\boldsymbol{E}</math>は :<math>\boldsymbol{E}:=-\mathrm{grad}\,\phi</math> 勾配はベクトル量であるため、そのことを明示するため新たな演算子を導入する。 '''空間偏微分演算子'''（ハミルトン演算子）を <math>\nabla:=\begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial{x}} \\ \frac{\partial}{\partial{y}} \\ \frac{\partial}{\partial{z}} \end{pmatrix}</math> と定義する。 この演算子自体は偏微分作用素の対象を後接しないと意味を成さない。しかし、便宜的にベクトル量と考えてベクトルと同様の演算則が成り立つと見做す。そのため、この演算子に関する演算は[[w:記号の濫用]]（symbol abuse）であることを註しておく。 <math>\nabla</math>の正式な読み方は'''ナブラ'''（nabla）であるが、<math>\Delta</math>（delta）を反転した形であることから'''エイトレッド'''（atled）とも読まれる。なお、ナブラの由来は「竪琴」を意味する古代ギリシャ語「νάβλα」である。 この演算子を用いれば勾配の表式は :<math>\mathrm{grad}\,\varphi=\nabla\varphi</math> となる。 <math>\varphi</math>はスカラー場なのでスカラー量であり、<math>\nabla</math>は便宜的にベクトル量と考えることから、その積<math>\nabla\varphi</math>はベクトル量のスカラー倍、すなわちベクトル量であることが見て取れる。 勾配はスカラー場に対する偏微分の結果を並べたベクトルであるため、偏微分の性質とベクトルの性質を組み合わせて以下が成り立つと判る。 #<math>\nabla(k\varphi+l\psi)=k\nabla\varphi+l\nabla\psi</math>（線型性） #<math>\nabla(\varphi\psi)=(\nabla\varphi)\psi+\varphi(\nabla\psi)</math>（積の微分・ライプニッツ則） #<math>\nabla\left(\frac{\varphi}{\psi}\right)=\frac{(\nabla\varphi)\psi-\varphi(\nabla\psi)}{\psi^2}</math>（商の微分） #<math>\nabla(\varphi(\psi))=\frac{d\varphi(\psi)}{d\psi}\nabla\psi</math>（合成関数微分） 任意点に対して勾配ベクトルが非零であるスカラー場を'''正則'''なスカラー場という。 以下、正則なスカラー場に限って扱う。 等位面<math>\varphi(x, y, z)=k(\mathrm{const}.)</math>上の点<math>\mathrm{P}(x_0, y_0, z_0)</math>を考える。 :<math>\mathrm{P}</math>を通り等位面に拘束される曲線のベクトル表示を<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>とする。 :等位面の方程式を<math>t</math>で両辺微分して ::<math>\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}}\frac{dz}{dt}=0</math> :<math>t=t_0</math>のとき ::<math>\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}x'(t_0)+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}y'(t_0)+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}}z'(t_0)=0</math> ::<math>\nabla\varphi(\mathrm{P})\cdot\boldsymbol{r}'(t_0)=0</math> ::<math>\nabla\varphi(\mathrm{P})\perp\boldsymbol{r}'(t_0)</math> ここで<math>\mathrm{P}</math>に於ける等位面の接平面は接ベクトル<math>\boldsymbol{r}'(t_0)</math>を含むため、<math>\nabla\varphi(\mathrm{P})</math>は点<math>\mathrm{P}</math>に於ける等位面の法線ベクトルである。 よって等位面の接平面の方程式は :<math>\nabla\varphi(\mathrm{P})\cdot(\boldsymbol{x}-\overrightarrow{\mathrm{OP}})=0</math> である。 スカラー場<math>\varphi=\varphi(\boldsymbol{x})</math>の全微分は :<math>d\varphi=\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}dx+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}dy+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}}dz</math> これをベクトルの内積とみると :<math>=\begin{pmatrix} \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}</math> :<math>=\nabla\varphi\cdot d\boldsymbol{x}</math> ここで変位ベクトル<math>d\boldsymbol{x}</math>を任意の方向を向いた単位ベクトル<math>\boldsymbol{e}</math>に拡張することを考えたい。 <math>\varphi(\mathrm{P})</math>に対して<math>\mathrm{P}</math>を始点とする<math>\boldsymbol{e}</math>方向の直線を考え、その上の点を<math>\mathrm{Q}</math>とする。 このとき、ベクトル変数<math>\boldsymbol{e}</math>による微分係数 :<math>\frac{\partial{\varphi}(\mathrm{P})}{\partial{\boldsymbol{e}}}=\lim_{\mathrm{Q\to P}}\frac{\varphi(\mathrm{Q})-\varphi(\mathrm{P})}{\overline{\mathrm{QP}}}</math> を、<math>\varphi</math>の<math>\mathrm{P}</math>に於ける<math>\boldsymbol{e}</math>方向の'''方向微分係数'''と定義する。 方向微分係数はスカラー場に対し<math>\boldsymbol{e}</math>方向の変化率を与えるものと考えられる。そこで、方向微分係数が最大となる方向を考える。 :<math>\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=t\boldsymbol{e}</math>と置く。 ::<math>\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\begin{pmatrix} x_0+te_1 \\ y_0+te_2 \\ z_0+te_3 \end{pmatrix}</math> ::<math>\frac{\partial{\varphi}(\mathrm{P})}{\partial{\boldsymbol{e}}}=\lim_{t\to0}\frac{\varphi(x_0+te_1, y_0+te_2, z_0+te_3)-\varphi(x_0, y_0, z_0)}{t}</math> :ここで<math>\Phi(t):=\varphi(x_0+te_1, y_0+te_2, z_0+te_3)</math>とすれば ::<math>=\lim_{t\to0}\frac{\Phi(t)-\Phi(0)}{t}</math> ::<math>=\frac{d\Phi(t)}{dt}</math> ::<math>=\frac{\partial{\varphi}(x_0, y_0, z_0)}{\partial{x}}\frac{d(x_0+te_1)}{dt}+\frac{\partial{\varphi}(x_0, y_0, z_0)}{\partial{y}}\frac{d(y_0+te_2)}{dt}+\frac{\partial{\varphi}(x_0, y_0, z_0)}{\partial{z}}\frac{d(z_0+te_3)}{dt}</math> ::<math>=\frac{\partial{\varphi}(\mathrm{P})}{\partial{x}}e_1+\frac{\partial{\varphi}(\mathrm{P})}{\partial{y}}e_2+\frac{\partial{\varphi}(\mathrm{P})}{\partial{z}}e_3</math> ::<math>=\nabla\varphi(\mathrm{P})\cdot\boldsymbol{e}</math> よって、全微分の式の<math>d\boldsymbol{x}</math>をそのまま<math>\boldsymbol{e}</math>に取り替えたものが方向微分係数の表式である。 内積を書き下すと<math>\|\boldsymbol{e}\|=1</math>より :<math>\frac{\partial{\varphi}(\mathrm{P})}{\partial{\boldsymbol{e}}}=\|\nabla\varphi(\mathrm{P})\|\cos\theta</math> よって最大値をとるのは<math>\cos\theta=1</math>則ち'''<math>\boldsymbol{e}</math>が勾配方向のとき'''である。また、方向微分係数の最大値は'''勾配のノルム'''である。 このように、勾配はスカラー場の各点に於ける傾きを表す。これは最右辺の式が「各軸方向の傾きを表すベクトルの和」になっていることからも直観的にわかる。ここから、「gradient」の和訳として「勾配」が充当されたのは妥当である。 方向微分係数を'''方向導関数'''に拡張することを考える。 形式的には方向微分係数の定点<math>\mathrm{P}</math>を変数<math>\boldsymbol{x}</math>に置き換えればいいだけである。 :<math>\frac{\partial{\varphi}(\boldsymbol{x})}{\partial{\boldsymbol{e}}}:=\nabla\varphi(\boldsymbol{x})\cdot\boldsymbol{e}</math> 正式には極限を用いて :<math>\frac{\partial{\varphi}(\boldsymbol{x})}{\partial{\boldsymbol{e}}}:=\lim_{t\to0}\frac{\varphi(\boldsymbol{x}+t\boldsymbol{e})-\varphi(\boldsymbol{x})}{t}</math> と定義する。 内積を書き下すと :<math>\frac{\partial{\varphi}(\boldsymbol{x})}{\partial{x}}e_1+\frac{\partial{\varphi}(\boldsymbol{x})}{\partial{y}}e_2+\frac{\partial{\varphi}(\boldsymbol{x})}{\partial{z}}e_3</math> これを[[解析学基礎/多変数関数の微積分#極値]]で扱った方向偏微分作用素として書き直すと :<math>\left(e_1\frac{\partial}{\partial{x}}+e_2\frac{\partial}{\partial{y}}+e_3\frac{\partial}{\partial{z}}\right)\varphi(\boldsymbol{x})</math> :<math>=(\boldsymbol{e}\cdot\nabla)\varphi(\boldsymbol{x})</math> となる。 則ち、形式的には空間偏微分演算子の微分方向ベクトルとの右内積が方向偏微分作用素である。 更に、多変数関数のテイラー二次近似は :<math>f(\boldsymbol{x})\fallingdotseq f(\boldsymbol{a})+\nabla{f}(\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})+\frac{1}{2}{}^t\!(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})\mathbf{D}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})</math> と書けることが判る。但し、<math>\mathbf{D}</math>はヘッセ行列である。 多変数解析で扱った停留点（臨界点）は<math>\nabla\varphi(\mathrm{P})=\boldsymbol{0}</math>なる点<math>\mathrm{P}</math>として正式に定義される。また、ラグランジュの未定乗数法に於ける連立方程式も勾配を用いれば<math>\nabla\varphi(\mathrm{P})=\lambda\nabla\psi(\mathrm{P})</math>と書き表される。 スカラー場の全微分は勾配で表せたが、同様にベクトル場の全微分をナブラを用いて表すことを考える。 ベクトル場の全微分は :<math>d\boldsymbol{a}=\frac{\partial{(a_x,a_y,a_z)}}{\partial{(x,y,z)}} d\boldsymbol{x}</math> で定義された。 ここで<math>n</math>次行列 <math>\mathbf{A}</math>と<math>n</math>項列ベクトル <math>\boldsymbol{a}</math>に対し、<math>(\mathbf{A} \circledast \boldsymbol{a})_{ij} = (\mathbf{A}_{ij}) a_i</math>となるような可換二項演算子 <math>\circledast</math>を定義する。これは本項独自の記法である。但し、<math>(\mathbf{P})_{ij}</math>は行列 <math>\mathbf{P}</math>の第ij成分を表す。 この記法を用いると、ヤコビ行列<math>\frac{\partial{(a_x,a_y,a_z)}}{\partial{(x,y,z)}}</math>は<math>\nabla \circledast \boldsymbol{a}</math>と表すことができる。 則ち、ベクトル場の全微分は :<math>d\boldsymbol{a} = (\nabla \circledast \boldsymbol{a}) d\boldsymbol{x}</math> と表される。 これを形式的に :<math>\frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{\boldsymbol{x}}}=\nabla \circledast \boldsymbol{a}</math> と書き表すことができる。 則ち、ヤコビ行列はベクトル場のベクトル変数による導関数と見做せる。 ヤコビ行列はベクトル場の成分スカラー場に対する勾配ベクトルを行に並べたものという解釈もできるので、この考え方は自然である。 ここでベクトル場に対してスカラー場と同様に方向微分係数・方向導関数を考えると、 :<math>\frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{\boldsymbol{v}}}=\frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{\boldsymbol{x}}}\boldsymbol{v}</math> が成り立つことが判る。 これもベクトル場の成分スカラー場に対する方向微分係数・方向導関数を列に並べたベクトルと解釈できる。 則ち、 :<math>\frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{\boldsymbol{v}}}=(\nabla\circledast\boldsymbol{a})\boldsymbol{v}=(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{a}</math> である。 ===発散=== ベクトル場<math>\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{x})</math>が<math>x, y, z</math>の三変数関数であって<math>\boldsymbol{a}\in C^1</math>のとき、 :<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{a} := \frac{\partial{a_x}}{\partial{x}} + \frac{\partial{a_y}}{\partial{y}} + \frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}</math> を<math>\boldsymbol{a}</math>の'''発散'''（divergence）と定義する。 発散が用いられる概念としては、ガウスの法則が有名である。 :電荷密度<math>\rho</math>、電束<math>\boldsymbol{D}</math>として :<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{D}=\rho</math> 構成方程式が<math>\boldsymbol{D}=\varepsilon\boldsymbol{E}</math>であるときは球面座標で考えることにより、この式の重要な性質「荷電粒子の座標を原点にとると原点以外では <math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{E}=0</math>」を証明することができる。 勾配と同様に発散をナブラで表すことを考えると、 :<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{a}=\nabla\cdot\boldsymbol{a}</math> という表式を得る。 <math>\boldsymbol{a}</math>はベクトル場なのでベクトル量であり、<math>\nabla</math>は便宜的にベクトル量と考えることから、その内積<math>\nabla\cdot\boldsymbol{a}</math>はスカラー量であることが見て取れる。 発散に対しては以下が成り立つ。 #<math>\nabla\cdot(k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})=k\nabla\cdot\boldsymbol{a}+l\nabla\cdot\boldsymbol{b}</math>（線型性） #<math>\nabla\cdot(\varphi\boldsymbol{a})=(\nabla\varphi)\cdot\boldsymbol{a}+\varphi\nabla\cdot\boldsymbol{a}</math>（積の微分・ライプニッツ則） 前者は内積の線型性より、後者は成分演算と勾配の定義より示される。 ヤコビ行列<math>\nabla\circledast\boldsymbol{a}</math>との関係を考える。 :<math>\nabla\circledast\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{x}} & \frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{y}} & \frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{z}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{a}_x}{\partial{x}} & \frac{\partial{a}_x}{\partial{y}} & \frac{\partial{a}_x}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{a}_y}{\partial{x}} & \frac{\partial{a}_y}{\partial{y}} & \frac{\partial{a}_y}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{a}_z}{\partial{x}} & \frac{\partial{a}_z}{\partial{y}} & \frac{\partial{a}_z}{\partial{z}} \end{pmatrix}</math> ここで跡が発散そのものになっているので :<math>\nabla\cdot\boldsymbol{a}=\mathrm{tr}(\nabla\circledast\boldsymbol{a})</math> が成り立つ。 発散の物理的意味を考える。 :密度<math>\rho</math>が一定である流体の速度場<math>\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^3</math>に対し、微小直方体に出入りする流体の質量収支を考える。 :点<math>(x,y,z)</math>に於ける流速<math>\boldsymbol{v}(x,y,z)=(v_x,v_y,v_z)</math>、直方体の各辺の長さを<math>\delta x, \delta y, \delta z</math>とする。 :単位時間あたりに<math>yz</math>平面に平行な面を通過する流体の質量収支は流出量<math>-\rho v_x(x,y,z)\delta y\delta z</math>、流入量<math>\rho v_x(x+\delta x,y,z)\delta y\delta z</math>より ::<math>\rho(v_x(x+\delta x,y,z)-v_x(x,y,z))\delta y\delta z=\rho\frac{v_x(x+\delta x,y,z)-v_x(x,y,z)}{\delta x}\delta x\delta y\delta z</math> :<math>\delta x\to0</math>の極限で ::<math>=\rho\frac{\partial{v_x}}{\partial{x}}dxdydz</math> :他の面で考えると対称性から輪環の順に入れ替えた結果を得るので直方体全体では ::<math>\rho\left(\frac{\partial{v_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{v_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{v_z}}{\partial{z}}\right)dxdydz</math> :よって単位体積当たりでは ::<math>\rho\nabla\cdot\boldsymbol{v}</math> :を得る。 ここで質量を密度で割ると体積なので、<math>\nabla\cdot\boldsymbol{v}</math>は単位時間あたりの流体の体積の正味の流出率を表す。 この微小直方体の単位体積あたりで観測すると、発散が正であれば流体は膨脹して密度が下がり、負であれば圧縮されて密度が上がる。0であれば流体は膨脹も圧縮もしない。 発散が零であるベクトル場を'''非圧縮/湧出無し/管状/ソレノイダル ベクトル場'''（incompressible/solenoidal vector field）などと呼ぶ。 また、ベクトル場の発散を'''湧き出し'''（「沸き出し」とも書く）と呼ぶ場合もある。 ベクトル場の流線に沿う流れが流体の体積を保存する条件はベクトル場が非圧縮であることである。これを'''リウヴィルの定理'''という。これは多くの場合、[[解析力学]]のハミルトン形式で表示される。 位置ベクトル場<math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>に対して<math>\nabla\cdot\frac{\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^n}</math>を考える。 :<math>\frac{\partial}{\partial{x}}\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^n}=\frac{\partial{\left(\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^n}\right)}}{\partial{\|\boldsymbol{r}\|}}\frac{\partial{\|\boldsymbol{r}\|}}{\partial{x}}=-\frac{n}{\|\boldsymbol{r}\|^n+1}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=-\frac{nx}{\|\boldsymbol{r}\|^{n+2}}</math> <math>y, z</math>も同様なので :<math>\nabla\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^n}=-\frac{n\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^{n+1}}</math> よって発散のライプニッツ則から :<math>\nabla\cdot\frac{\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^n}=\left(\nabla\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^n}\right)\cdot\boldsymbol{r}+\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^n}\nabla\cdot\boldsymbol{r}=-\frac{n\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^{n+2}}+\frac{1+1+1}{\|\boldsymbol{r}\|^n}=\frac{3-n}{\|\boldsymbol{r}\|^n}</math> この結果から、<math>\boldsymbol{a}/\!\!/\boldsymbol{r}\land\|\boldsymbol{a}\|\propto \frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^2}\implies\nabla\cdot\boldsymbol{a}=0</math>（逆二乗則に従う場は非圧縮ベクトル場）が成り立つ。 ベクトル解析の黎明期では発散の逆符号で表される :<math>\mathrm{conv}\,\boldsymbol{a}:=-\frac{\partial{a_x}}{\partial{x}} - \frac{\partial{a_y}}{\partial{y}} - \frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}</math> という量が用いられていた。これは'''吸い込み'''（convergence）と呼ばれる量である。 ベクトルが発明される以前、ベクトル演算に相当するものは[[多元数/四元数|四元数]]で記述されていた。純虚四元数同士の積をとると実部が現在で言う内積の-1倍、虚部が現在で言う外積に対応する。このことから、内積そのものである湧き出しではなく内積の-1倍である吸い込みが自然に出現する量として頻繁に扱われていたのである。 ===回転=== 回転運動は、以下の3つにより一意に定まる。 *回転軸の方向 *回転の速さ *回転方向（軸に対して右回転か左回転か） 「回転方向」は暗黙の諒解として右手系の正の回転角で考える。すると、回転運動を表すのに必要な情報は「方向」と「速さ（=スカラー量）」のみとなる。 従って、'''任意の回転運動はベクトルで表示される'''（ベクトルの大きさは「回転の速さ」で定める）。このようなベクトルを'''角速度ベクトル'''という。 ベクトル場の'''回転'''（curl/rotation/rotor）を以下のように定義する。 :<math>\mathrm{curl} \, \boldsymbol{a} = \mathrm{rot} \, \boldsymbol{a} = \begin{pmatrix} \frac{\partial{a_z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{a_y}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{a_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}} \end{pmatrix}</math> <math>\mathrm{curl}</math>は理学系、<math>\mathrm{rot}</math>は工学系が好んで使用する。 <math>z</math>軸方向の成分について考える。 <math>z</math>軸方向の回転はフレミングの左手の法則から<math>xy</math>平面内の成分のみが寄与すると考えられる。<math>z</math>軸の正方向の回転を生むには、<math>x</math>軸方向の変化率を大きくして<math>y</math>軸方向の変化率を小さくすればよい。 ある軸方向の変化率とはその軸の変数に関する偏導関数のことであったので、回転のz成分を<math>\frac{\partial{X_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{X_x}}{\partial{y}}</math>とすれば満足する。 対称性より輪環の順で入れ替えても同様であるので、回転は上の式で表されるとわかる。 これはより厳密には後述の線積分を用いて説明することになるので、ここでは定性的な説明に留めた。 回転を用いた概念として、ファラデーの電磁誘導の法則が有名である。 :電場<math>\boldsymbol{E}</math>、磁束密度<math>\boldsymbol{B}</math>として :<math>\mathrm{rot} \, \boldsymbol{E} = -\frac{\partial{\boldsymbol{B}}}{\partial{t}}</math> 流体の渦の記述にも応用されており、回転を'''渦度ベクトル'''とも呼ぶ。流体力学的な渦の定義は「速度場の回転」である。 回転が零ベクトルであるベクトル場を'''非回転的/渦無し/層状/ラメラー ベクトル場'''（irrotational/lamella vector field）などと呼ぶ。 勾配・発散と同様に空間偏微分演算子による表記を考える。 成分に着目すると外積の形式なので、 :<math>\mathrm{curl} \, \boldsymbol{a}= \nabla \times \boldsymbol{a}</math> と表されることが判る。 ベクトル場はベクトル量であり、ナブラは便宜的にベクトル量と見做すことから、その外積である回転はベクトル量であることが見て取れる。 外積の性質から、回転は行列式 :<math>\det \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x & \boldsymbol{e}_y & \boldsymbol{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{y}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ a_x & a_y & a_z \end{pmatrix}</math> でも表示される。 回転に対しては以下が成り立つ。 #<math>\nabla\times(k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})=k\nabla\times\boldsymbol{a}+l\nabla\times\boldsymbol{b}</math>（線型性） #<math>\nabla\times(\varphi\boldsymbol{a})=(\nabla\varphi)\times\boldsymbol{a}+\varphi\nabla\times\boldsymbol{a}</math>（積の微分・ライプニッツ則） 前者は外積の線型性より、後者は成分演算と勾配の定義より示される。 回転は常に角速度ベクトルと一致するとは限らない。そのため、必ずしも回転運動そのものを記述しない。 回転は、ヤコビ行列を用いると以下のように表される。 :<math>\mathrm{rot} \, \boldsymbol{a} = 2 \,\mathrm{axl} \left( \frac{\nabla \circledast \boldsymbol{a} - {}^t \! (\nabla \circledast \boldsymbol{a})}{2} \right)</math> :ここで<math>\nabla \circledast \boldsymbol{a} - {}^t \! (\nabla \circledast \boldsymbol{a})</math>は反対称行列であり、<math>\mathrm{axl}</math>は反対称行列を軸ベクトルに移す写像である。 ===ラプラシアン=== 上で見てきた勾配・発散・回転はいずれも一階の偏微分作用素であった。 二階偏微分作用素のうち最もよく使われているのがスカラー場に対して勾配の発散をとる演算である。 :<math>\nabla\cdot(\nabla\varphi) = \mathrm{div}(\mathrm{grad}\,\varphi)</math> ここで<math>(\nabla\cdot\nabla)\varphi</math>を計算してみると成分計算から上の<math>\nabla\cdot(\nabla\varphi)</math>に等しいことが容易に判る。則ち、発散作用素<math>\nabla\cdot\,\,</math>、勾配作用素<math>\nabla</math>、スカラー場<math>\varphi</math>の間に結合法則が成り立ってると見做せる。 そこで、<math>\nabla\cdot\nabla</math>を独立した演算子として考えることにする。 以下のように定義される演算子を'''ラプラス演算子'''（ラプラス作用素）という。 :<math>\text{∆}:=\nabla\cdot\nabla=\frac{\partial^2}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2}{\partial{y}^2}+\frac{\partial^2}{\partial{z}^2}</math> 二項目は[[w:記号の濫用]]により<math>\nabla^2</math>と書かれることもある。 但し、<math>\text{∆}</math>は通常のデルタ（Unicode文字名: GREEK CAPITAL LETTER DELTA, U+394）ではなく'''増分記号'''（Unicode文字名：INCREMENT, U+2206）である（が通常のデルタで書かれることが多い）。 ラプラス演算子を<math>C^2</math>級スカラー場に作用させる操作（及びその結果として得るスカラー場）を'''ラプラシアン'''（Laplacian）という。 :<math>\text{∆}\varphi=\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial{y}^2}+\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial{z}^2}</math> スカラー場のラプラシアンは各成分方向の曲率の和、すなわちスカラー場の各点に於ける突出・沈み込みの度合いを表す。 勾配・発散・回転・ラプラシアンを総称して'''空間微分'''と呼ぶ。 ラプラシアンは[[解析学基礎/偏微分方程式|偏微分方程式]]の記述に用いられている。 :'''ラプラス方程式'''・'''ポテンシャル方程式'''：<math>\text{∆}\varphi=0</math> :'''ポアソン方程式'''：<math>\text{∆}\varphi=f</math> :'''熱伝導方程式'''・'''拡散方程式'''：<math>\text{∆}\psi=k\frac{\partial{\psi}}{\partial{t}}+g</math> :'''波動方程式'''：<math>\text{∆}\psi=\frac{1}{\nu^2}\frac{\partial^2{\psi}}{\partial{t}^2}</math> :'''ヘルツホルム方程式'''：<math>\text{∆}\varphi=-l^2\varphi</math> ここで<math>\varphi=\varphi(x,y,z),\,f=f(x,y,z),\,\psi=\psi(x,y,z,t),\,k>0,\,g=g(x,y,z,t),\,\nu>0,\,l\in\mathbb{R}</math>である。 なお、ラプラス方程式の解を'''調和関数'''という。 <math>C^2</math>級ベクトル場のラプラシアンは以下のように定義される。 :<math>\text{∆}\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix} \text{∆}a_x \\ \text{∆}a_y \\ \text{∆}a_z \end{pmatrix}</math> ここでスカラー場と同様に考えて<math>\text{∆}\boldsymbol{a}=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})</math>としたいところではあるが、これは一般には成り立たない。 実際には以下のように表示される。 :<math>\text{∆}\boldsymbol{a}=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})-\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})=\mathrm{grad}(\mathrm{div}\,\varphi)-\mathrm{rot}(\mathrm{rot}\,\varphi)</math> *証明 :対称性より<math>x</math>成分のみ考えても輪環の順に入れ替えれば他の成分を得る。 ::<math>\nabla\cdot\boldsymbol{a}=\frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{a_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}</math> :より ::<math>\{\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})\}_x=\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2{a_y}}{\partial{x}\partial{y}}+\frac{\partial^2{a_z}}{\partial{x}\partial{z}}</math> :また、 ::<math>\nabla\times\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{a_z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{a_y}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{a_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}} \end{pmatrix}</math> :より ::<math>\{\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})\}_x=\frac{\partial}{\partial{y}}\left(\frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}}\right)-\frac{\partial}{\partial{z}}\left(\frac{\partial{a_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}}\right)</math> ::<math>=\frac{\partial^2{a_y}}{\partial{y}\partial{x}}-\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{y}^2}+\frac{\partial^2{a_z}}{\partial{z}\partial{x}}-\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{z}^2}</math> :<math>\boldsymbol{a}\in{C^2}</math>より偏微分は可換（シュワルツの定理）なので、<math>\{\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})-\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})\}_x</math>を計算すると ::<math>\left(\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2{a_y}}{\partial{x}\partial{y}}+\frac{\partial^2{a_z}}{\partial{x}\partial{z}}\right)-\left(\frac{\partial^2{a_y}}{\partial{x}\partial{y}}-\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{y}^2}+\frac{\partial^2{a_z}}{\partial{x}\partial{z}}-\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{z}^2}\right)</math> ::<math>=\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2{a_x}}{\partial {y}^2}+\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{z}^2}</math> ::<math>=\text{∆}a_x</math>// ここから判るように、ベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>に対して<math>\text{∆}=\nabla(\nabla\cdot)</math>が成り立つ条件は<math>\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})=\boldsymbol{0}</math>である。<math>\boldsymbol{a}</math>が非回転ベクトル場であれば回転が零ベクトルなのでこの形を必ず満足する。但し、この形を満たすベクトル場が全て非回転的ベクトル場であるとは限らない。 則ち、外積の反復と同様に回転演算子<math>\nabla\times\,\,</math>の反復に対して結合法則は不成立である。 歴史的な四元数表記では発散の代わりに吸い込みが用いられていたことからラプラシアンも現在とは反対の符号で計算されていた。ラプラシアンはユークリッド空間に限らず定義可能であるが、その中でも特に重要なのは[[特殊相対論#マクスウェルの方程式|相対性理論]]で用いられる'''ダランベール演算子'''（ダランベルシアン、クアブラ、波動演算子）である。 :<math>\text{⧠}:=\frac{1}{\nu^2}\frac{\partial^2}{\partial{t^2}}-\text{∆}</math> これは標準座標系で表されるミンコフスキー空間上のラプラシアンに相当する。<math>\text{∆}</math>は上で扱ってきた通常のラプラシアンのことである。 これを用いると波動方程式は<math>\text{⧠}\psi=0</math>というミンコフスキー空間上のラプラス方程式と解釈される。つまり、波動関数はミンコフスキー空間で見れば調和関数なのである。 また、[[w:クライン=ゴルドン方程式]]と呼ばれる偏微分方程式は :<math>\text{⧠}\psi=-\mu^2\psi</math> というミンコフスキー空間上のヘルツホルム方程式と解釈される。 ===微分定理=== ここでは、ナブラに関する公式を見ていく。以下、シュワルツの定理が成り立っているものとする。また、成分計算をすればいいだけなので証明は省略する。 既に紹介したものを以下に並べる。 #勾配 #:<math>\nabla(k\varphi+l\psi)=k\nabla\varphi+l\nabla\psi</math> #:<math>\nabla(\varphi\psi)=(\nabla\varphi)\psi+\varphi(\nabla\psi)</math>（ #:<math>\nabla\left(\frac{\varphi}{\psi}\right)=\frac{(\nabla\varphi)\psi-\varphi(\nabla\psi)}{\psi^2}</math> #:<math>\nabla(\varphi(\psi))=\frac{d\varphi(\psi)}{d\psi}\nabla\psi</math> #:<math>\frac{\partial{\varphi}}{\partial{\boldsymbol{e}}}=(\boldsymbol{e}\cdot\nabla)\varphi</math> #:<math>\frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{\boldsymbol{v}}}=(\nabla\circledast\boldsymbol{a})\boldsymbol{v}=(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{a}</math> #発散 #:<math>\nabla\cdot(k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})=k\nabla\cdot\boldsymbol{a}+l\nabla\cdot\boldsymbol{b}</math> #:<math>\nabla\cdot(\varphi\boldsymbol{a})=(\nabla\varphi)\cdot\boldsymbol{a}+\varphi\nabla\cdot\boldsymbol{a}</math> #:<math>\nabla\cdot\boldsymbol{a}=\mathrm{tr}(\nabla\circledast\boldsymbol{a})</math> #回転 #:<math>\nabla\times(k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})=k\nabla\times\boldsymbol{a}+l\nabla\times\boldsymbol{b}</math> #:<math>\nabla\times(\varphi\boldsymbol{a})=(\nabla\varphi)\times\boldsymbol{a}+\varphi\nabla\times\boldsymbol{a}</math> #:<math>\nabla\times\boldsymbol{a} = 2 \,\mathrm{axl} \left( \frac{\nabla \circledast \boldsymbol{a} - {}^t \! (\nabla \circledast \boldsymbol{a})}{2} \right)</math> #ラプラシアン #:<math>\text{∆}\varphi=\nabla\cdot(\nabla\varphi)</math> #:<math>\text{∆}\boldsymbol{a}=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})-\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})</math> 二つのベクトル場<math>\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}</math>の内積・外積に対してそれぞれ一階の空間微分を考えてみる。 <math>\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}</math>はスカラー量なので勾配のみ考えられる。 :<math>\nabla(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})=(\nabla\circledast\boldsymbol{a})\boldsymbol{b}+(\nabla\circledast\boldsymbol{b})\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}\times(\nabla\times\boldsymbol{b})+\boldsymbol{b}\times(\nabla\times\boldsymbol{a})</math> <math>\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}</math>はベクトル量なので発散・回転のみ考えられる。 :<math>\nabla\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})=\boldsymbol{b}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{a})-\boldsymbol{a}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> :<math>\nabla\times(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})=(\nabla\circledast\boldsymbol{a})\boldsymbol{b}-(\nabla\circledast\boldsymbol{b})\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}(\nabla\cdot\boldsymbol{b})-\boldsymbol{b}(\nabla\cdot\boldsymbol{a})</math> 次に、一階の空間微分の結果に対して更なる一階の空間微分を考えてみる。 スカラー場の勾配はベクトル量なので発散・回転のみ考えられる。 :<math>\nabla\cdot(\nabla\varphi)=\text{∆}\varphi</math> :<math>\nabla\times(\nabla\varphi)=\boldsymbol{0}</math> ベクトル場の発散はスカラー量なので勾配のみ考えられる。 :<math>\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})=\text{∆}\boldsymbol{a}+\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})</math> ベクトル場の回転はベクトル量なので発散・回転のみ考えられる。 :<math>\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{a})=0</math> :<math>\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})-\text{∆}\boldsymbol{a}</math> 則ち、勾配・発散・回転はどの組み合わせでも交換法則が成り立たない。 一階の空間微分の結果に対してラプラシアンを考えてみる。 :<math>\text{∆}(\nabla\varphi)=\nabla(\text{∆}\varphi)</math> :<math>\text{∆}(\nabla\cdot\boldsymbol{a})=\nabla\cdot(\text{∆}\boldsymbol{a})</math> :<math>\text{∆}(\nabla\times\boldsymbol{a})=\nabla\times(\text{∆}\boldsymbol{a})</math> ラプラシアンはスカラー性・ベクトル性を保存するので、演算が破綻する箇所はない。 則ち、ラプラシアンは勾配・発散・回転との組み合わせに対して交換法則が成り立つ。 :<math>\text{∆}\nabla=\nabla\text{∆},\quad\text{∆}(\nabla\cdot)=(\nabla\cdot)\text{∆},\quad\text{∆}(\nabla\times)=(\nabla\times)\text{∆}</math> <math>\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}</math>及び<math>\nabla\times\boldsymbol{a}</math>の発散・回転は三重積の形であった。 スカラー三重積・ベクトル三重積にナブラを様々な組み合わせで入れてその結果がどうなるか見ていく。 :<math>\boldsymbol{a}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> :<math>\boldsymbol{a}\times(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> はそのまま計算すればいいので公式化する必要が無い。 :<math>\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\times\nabla)</math> :<math>\boldsymbol{a}\times(\boldsymbol{b}\times\nabla)</math> :<math>\nabla\cdot(\boldsymbol{a}\times\nabla)</math> :<math>\nabla\times(\boldsymbol{a}\times\nabla)</math> は偏微分作用素の対象を後接してないので通常の演算としては扱えない。 :<math>\boldsymbol{a}\cdot(\nabla\times\nabla)</math> :<math>\boldsymbol{a}\times(\nabla\times\nabla)</math> :<math>\nabla\cdot(\nabla\times\nabla)</math> :<math>\nabla\times(\nabla\times\nabla)</math> は同じものの外積をとってるので当然<math>0, \boldsymbol{0}</math>である。<br> また、三重積の公式はナブラを代入した時点で破綻する。 次に、スカラー四重積・ベクトル四重積に対しても同様のことを考える。 :<math>(\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})</math> :<math>(\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot(\nabla\times\boldsymbol{c})</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times(\nabla\times\boldsymbol{c})</math> :<math>(\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> :<math>(\nabla\times\boldsymbol{a})\times(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> はそのまま計算すれば良いので公式化する必要が無い。 :<math>(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{c}\times\nabla)</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times(\boldsymbol{c}\times\nabla)</math> :<math>(\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{b}\times\nabla)</math> :<math>(\nabla\times\boldsymbol{a})\times(\boldsymbol{b}\times\nabla)</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\cdot(\boldsymbol{b}\times\nabla)</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\times(\boldsymbol{b}\times\nabla)</math> は偏微分作用素の対象を後接してないので通常の演算としては扱えない。 :<math>(\nabla\times\nabla)\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})</math> :<math>(\nabla\times\nabla)\times(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot(\nabla\times\nabla)</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times(\nabla\times\nabla)</math> 及びナブラを三個以上含むものは同じものの外積をとってるので当然<math>0, \boldsymbol{0}</math>である。 故に、ここで問題になるのは :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\cdot(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\times(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> の扱いである。 これらには以下の公式が成り立つ。 :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}\cdot\{\nabla\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\}</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})=[\{\boldsymbol{b}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{c})\}-\{\boldsymbol{c}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{b})\}]\boldsymbol{a}+{}^t\!\{\nabla\circledast(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\}\boldsymbol{a}</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\cdot(\nabla\times\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}\cdot\{\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{b})\}</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\times(\nabla\times\boldsymbol{b})={}^t\!\{\nabla\circledast(\nabla\times\boldsymbol{b})\}\boldsymbol{a}</math> ===ポテンシャル論=== ベクトル場<math>\boldsymbol{a}\in C^1</math>に対して<math>\boldsymbol{a}=\mathrm{grad}\,\varphi</math>を満たすスカラー場<math>\varphi\in C^2</math>が存在するならば、上で扱った公式より<math>\mathrm{rot}(\mathrm{grad}\,\varphi)=\boldsymbol{0}</math>である。 逆に、ベクトル場<math>\boldsymbol{a}\in C^1</math>が<math>\mathrm{rot}\,\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}</math>を満たすならば<math>\boldsymbol{a}=\mathrm{grad}\,\varphi</math>となるスカラー場<math>\varphi\in C^2</math>はどのようなときに存在するのであろうか？ ここで<math>\mathrm{rot}\,\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}</math>は成分表示すれば :<math>\begin{cases} \frac{\partial{a}_z}{\partial{y}}-\frac{\partial{a_y}}{\partial{z}}=0 \\ \frac{\partial{a}_x}{\partial{z}}-\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}}=0 \\ \frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}}=0 \end{cases}</math> という一階線型連立偏微分方程式となる。 この連立偏微分方程式は領域<math>D=\mathrm{dom}\,\boldsymbol{a}</math>上で解くことになるので、解が<math>\boldsymbol{a}=\mathrm{grad}\,\varphi</math>を満たすかは領域<math>D</math>がどのような形状をしているかに依存する。 そして、その形状を具体的に与えるのが次の定理である。 {{定理|(ポアンカレの補題1)}} 領域<math>D\subset\mathbb{R}^3</math>とベクトル場<math>\boldsymbol{a}\in C^1(D)</math>に対して :<math>\mathrm{rot}\,\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0} \iff \exist \varphi\in C^2(D),\quad \mathrm{grad}\,\varphi=\boldsymbol{a} </math> となるための十分条件は<math>D</math>が単連結であることである。 {{定理終わり}} 証明は後述する。 この<math>\varphi</math>を<math>\boldsymbol{a}</math>の'''スカラーポテンシャル'''（scalar potential）といい、スカラーポテンシャルを有するベクトル場を'''保存的ベクトル場'''（保存場、conservative vector field）という。 保存的ベクトル場に対して実際にスカラーポテンシャルを構成することを考える。簡単の為に、定義域は直方体領域（あるいは三次元ユークリッド空間全体）とする。 :<math>\mathrm{grad}\,\varphi=\boldsymbol{a},\quad\mathrm{rot}\,\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}</math>を連立偏微分方程式に書き下して ::<math>\begin{cases} \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}=a_x \\ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}=a_y \\ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}}=a_z \end{cases},\quad\begin{cases} \frac{\partial{a}_z}{\partial{y}}=\frac{\partial{a_y}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{a}_x}{\partial{z}}=\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}=\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}} \end{cases}</math> :<math>\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}=a_x(x,y,z)</math>は直接積分形偏微分方程式なので両辺を<math>x</math>で偏積分して ::<math>\varphi(x,y,z)=\int_m^x a_x(x,y,z) dx+g(y,z)</math>・・・(1) :これを<math>y</math>で偏微分すると ::<math>\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}=\frac{\partial}{\partial{y}}\int_m^x a_x(x,y,z)dx+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}</math> :ここでライプニッツの積分法則を適用して ::<math>=\int_m^x \frac{\partial{a_x}}{\partial{y}}dx+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}</math> :更に回転の条件から ::<math>=\int_m^x \frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}dx+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}</math> :よって偏微分に関する微分積分学の基本定理より ::<math>=a_y(x,y,z)-a_y(m,y,z)+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}</math> :これが<math>a_y(x,y,z)</math>に等しいので ::<math>\frac{\partial{g}}{\partial{y}}=a_y(m,y,z)</math> :これは<math>g(y, z)</math>が<math>x</math>の関数でないことに適する。 :両辺を<math>y</math>で偏積分して ::<math>g(y, z)=\int_n^y a_y(m,y,z)dy+h(z)</math> :これを(1)に代入して ::<math>\varphi(x,y,z)=\int_m^x a_x(x,y,z)dx+\int_n^y a_y(m,y,z)dy+h(z)</math>・・・(2) :これを<math>z</math>で偏微分すると ::<math>\frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}}=\frac{\partial}{\partial{z}}\left(\int_m^x a_x(x,y,z)dx+\int_n^y a_y(m,y,z)dy\right)+\frac{\partial{h}}{\partial{z}}</math> :ここでライプニッツの積分法則を適用して ::<math>=\left(\int_m^x\frac{\partial{a_x(x,y,z)}}{\partial{z}}dx+\int_n^y\frac{\partial{a_y(m,y,z)}}{\partial{z}}dy\right)+\frac{dh}{dz}</math> :更に回転の条件から ::<math>=\left(\int_m^x\frac{\partial{a_z(x,y,z)}}{\partial{x}}dx+\int_n^y\frac{\partial{a_z(m,y,z)}}{\partial{y}}dy\right)+\frac{dh}{dz}</math> :よって偏微分に関する微分積分学の基本定理より ::<math>=a_z(x,y,z)-a_z(m,y,z)+a_z(m,y,z)-a_z(m,n,z)+\frac{dh}{dz}</math> ::<math>=a_z(x,y,z)-a_z(m,n,z)+\frac{dh}{dz}</math> :これが<math>a_z(x,y,z)</math>に等しいので ::<math>\frac{dh}{dz}=a_z(m,n,z)</math> :これは<math>h(z)</math>が<math>x, y</math>の関数でないことに適する。 :両辺を<math>z</math>で常積分して ::<math>h(z)=\int_l^z a_z(m,n,z)dz+C</math> :これを(2)に代入して ::<math>\varphi(x,y,z)=\int_m^x a_x(x,y,z)dx+\int_n^y a_y(m,y,z)dy+\int_l^z a_z(m,n,z)dz+C</math>// ここで最後の積分定数<math>C</math>は勾配をとるときに消える。更に言うと、単連結領域では偏微分方程式の解の一意性よりスカラーポテンシャルは積分定数の違いを除いて一意に定まる。よって、スカラーポテンシャルは平行移動を同一視する同値類として与えられることになる。 ベクトル場<math>\boldsymbol{a}\in C^1</math>に対して<math>\boldsymbol{a}=\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}</math>を満たすベクトル場<math>\boldsymbol{A}\in C^2</math>が存在するならば、上で扱った公式より<math>\mathrm{div}(\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A})=0</math>である。 逆に、ベクトル場<math>\boldsymbol{a}\in C^1</math>が<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{a}=0</math>を満たすならば<math>\boldsymbol{a}=\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}</math>となるスカラー場<math>\boldsymbol{A}\in C^2</math>はどのようなときに存在するのであろうか？ これも同様に以下の定理で与えられる。 {{定理|(ポアンカレの補題2)}} 領域<math>D\subset\mathbb{R}^3</math>とベクトル場<math>\boldsymbol{a}\in C^1(D)</math>に対して :<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{a}=0 \iff \exist \boldsymbol{A}\in C^2(D),\quad \mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}=\boldsymbol{a} </math> となるための十分条件は<math>D</math>が'''可縮'''であることである。 {{定理終わり}} 証明は後述する。 ここで、集合が可縮とは「全体を1点に退化するような連続変形が可能である」ことを言う。可縮な集合は単連結である。可縮条件はより弱めることができるが、ホモトピーやコホモロジーの概念が必要である この<math>\varphi</math>を<math>\boldsymbol{a}</math>の'''ベクトルポテンシャル'''（vector potential）という。スカラーポテンシャルと異なり、「ベクトルポテンシャルを有するベクトル場」を指す特別な呼称は（数学界一般に認知されたものとしては）存在しない。「ソレノイダル場」などを用いる派閥もあるが、単に「発散が0であるベクトル場」を指す用法が強いのであまり広まっていない。 ベクトルポテンシャルを有するベクトル場に対して実際にベクトルポテンシャルを構成することを考える。簡単の為に、定義域は直方体領域（あるいは三次元ユークリッド空間全体）とする。 :<math>\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}=\boldsymbol{a},\quad\mathrm{div}\,\boldsymbol{a}=0</math>を連立偏微分方程式に書き下して ::<math>\begin{cases} \frac{\partial{A}_z}{\partial{y}}-\frac{\partial{A_y}}{\partial{z}}=a_x \\ \frac{\partial{A}_x}{\partial{z}}-\frac{\partial{A_z}}{\partial{x}}=a_y \\ \frac{\partial{A_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{A_x}}{\partial{y}}=a_z \end{cases},\quad \frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{a_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}} =0</math> :第一式より ::<math>\frac{\partial{A_z}}{\partial{y}}=a_x+\frac{\partial{A_y}}{\partial{z}}</math> :<math>y</math>で偏積分して ::<math>A_z = \int_n^y \left(a_x+\frac{\partial{A_y}}{\partial{z}}\right)dy+f(x,z)</math> :ライプニッツの積分法則より ::<math>=\int_n^y a_xdy + \frac{\partial}{\partial{z}}\int_n^y A_y dy+f(x,z)</math>・・・(3) :第三式より ::<math>\frac{\partial{A_x}}{\partial{y}}=\frac{\partial{A_y}}{\partial{x}}-a_z</math> :<math>y</math>で偏積分して ::<math>A_x=\int_n^y \left(\frac{\partial{A_y}}{\partial{x}}-a_z\right)dy+g(x, z)</math> :ライプニッツの積分法則より ::<math>=\frac{\partial{}}{\partial{x}}\int_n^y A_y dy - \int_n^y a_zdy+g(x,z)</math> :これと(3)を第二式に代入して ::<math>a_y=\frac{\partial}{\partial{z}}\left(\frac{\partial{}}{\partial{x}}\int_n^y A_y dy - \int_n^y a_zdy+g(x,z)\right)-\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\int_n^y a_xdy + \frac{\partial}{\partial{z}}\int_n^y A_y dy+f(x,z)\right)</math> ::<math>=\frac{\partial^2}{\partial{z}\partial{x}}\int_n^yA_ydy-\frac{\partial}{\partial{z}}\int_n^y a_z dy+\frac{\partial{g}}{\partial{z}}-\frac{\partial}{\partial{x}}\int_n^y a_x dy-\frac{\partial^2}{\partial{x}\partial{z}}\int_n^y A_y dy-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}</math> ::<math>=\frac{\partial{g}}{\partial{z}}-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}-\int_n^y \left(\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}+\frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}\right)dy</math> :よって ::<math>\frac{\partial{g}}{\partial{z}}-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=a_y+\int_n^y \left(\frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}\right) dy</math>・・・(4) :この右辺を<math>h(x, y, z)</math>とおくと ::<math>\frac{\partial{h}}{\partial{y}}=\frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{a_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}=0</math> :なので<math>h(x,y,z)</math>は<math>y</math>に依存しない<math>h(x,z)</math>である。 :これは(4)の左辺が<math>y</math>に依存しないことと整合する。 :故に(4)は ::<math>\frac{\partial{g}}{\partial{z}}-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=h(x,z)</math> :という二変数の偏微分方程式に落ちる。 :この偏微分方程式は例えば<math>f(x,z)=0, g(x,z)=\int_l^z h(x,z)dz</math>のような特殊解を持つ。 :このような特殊解によって構成された元の方程式の解を<math>\boldsymbol{A}_0</math>とする。 :一般解<math>\boldsymbol{A}</math>と特殊解との差を<math>\boldsymbol{B}</math>と置くとその回転は回転の線型性より<math>\boldsymbol{0}</math>なので ::<math>\begin{cases} \frac{\partial{B}_z}{\partial{y}}=\frac{\partial{B_y}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{B}_x}{\partial{z}}=\frac{\partial{B_z}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{B_y}}{\partial{x}}=\frac{\partial{B_x}}{\partial{y}} \end{cases}</math> :同様にして第一式・第三式を<math>y</math>で偏積分して第二式に代入すると積分定数に関して ::<math>\frac{\partial{F(x,z)}}{\partial{x}}=\frac{\partial{G(x,z)}}{\partial{z}}</math> :を得る。 :これは全微分方程式が完全微分方程式である条件なので、 ::<math>\mathrm{grad}\,\Phi=\begin{pmatrix} F(x,z) \\ G(x,z) \end{pmatrix}</math> :なるスカラー場<math>\Phi</math>が存在する。 :則ち、求めるベクトルポテンシャルは<math>\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}_0+\nabla\Phi</math>// ここで勾配の項は回転をとるときに<math>\mathrm{rot}(\mathrm{grad}\,\Phi)=\boldsymbol{0}</math>より消える。スカラーポテンシャルと同様に自由度が残るので、ベクトルポテンシャルはその自由度を無視した同値類で与えられる。 ポアンカレの補題1, 2に於ける領域<math>D</math>は互いに素ではない複数の領域の和集合<math>\bigcup_i D_i</math>であっても良い。但しポテンシャル場<math>\mathrm{p}</math>は各領域<math>D_i</math>に対して区分的に定義され、このとき互いに重なった領域<math>D_i\cap D_j</math>では任意の点<math>\boldsymbol{x}\in D_i\cap D_j</math>に対して<math>\mathrm{p}_i(\boldsymbol{x})=\mathrm{p}_j(\boldsymbol{x})</math>であることが導かれる。 ポアンカレの補題が成り立たない状況を考えると、この「重なった領域での単射性」が崩れる。則ち、ポテンシャル場は多価関数として振舞うのである。 ポテンシャルに関連した定理として、以下が成り立つ。 {{定理|(ヘルツホルムの定理・ベクトル解析の基本定理)}} ポアンカレの補題が成り立つ状況下に於いて、<math>C^1</math>級ベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>は<math>C^2</math>級スカラー場の勾配と<math>C^2</math>級ベクトル場の回転に[[w:直和分解]]（'''ヘルツホルム分解'''）できる。 則ち、任意の<math>\boldsymbol{a}\in C^1(D)</math>に対して :<math>\boldsymbol{a}=\mathrm{grad}\,\varphi-\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}</math> を満たす<math>\varphi, \boldsymbol{A}\in C^2(D)</math>が存在する。 {{定理終わり}} *証明 :ポアソン方程式<math>\text{∆}\varphi=f</math>に対してラプラシアンの定義から ::<math>\mathrm{div}(\mathrm{grad}\,\varphi)=f</math> :ここで右辺のスカラー関数<math>f</math>が<math>\boldsymbol{a}</math>の発散で与えられている場合を考えると ::<math>\mathrm{div}(\mathrm{grad}\,\varphi)=\mathrm{div}\,\boldsymbol{a}</math> :発散の線型性より ::<math>\mathrm{div}(\mathrm{grad}\,\varphi-\boldsymbol{a})=0</math> :ここでポアンカレの補題2を用いて ::<math>\mathrm{grad}\,\varphi-\boldsymbol{a}=\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}</math>// この<math>\varphi, \boldsymbol{A}</math>をそれぞれ広義のスカラーポテンシャル・ベクトルポテンシャルと呼ぶ場合がある。 広義ポテンシャルに対して :<math>\begin{cases} \mathrm{rot}(\mathrm{grad}\,\varphi)=\boldsymbol{0} \\ \mathrm{div}(\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A})=0 \\ \mathrm{div}\,\boldsymbol{a}=\text{∆}\varphi \\ \mathrm{rot}\,\boldsymbol{a}=\mathrm{grad}(\mathrm{div}\,\boldsymbol{A})-\text{∆}\boldsymbol{A} \end{cases}</math> が成立する。 広義ポテンシャルの組み合わせは一つには定まらない。成分毎で考えるとヘルツホルムの定理は三元連立偏微分方程式を与えるが、勾配で消える定数項と回転で消える勾配項を補正すると右辺の自由度は広義ポテンシャル2つ+補正項2つで4である。そこで、応用上は<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{A}=0</math>という条件（'''クーロンゲージ条件'''）を追加で課して一意に定めることが多い（これにより<math>\mathrm{rot}\,\boldsymbol{a}=-\text{∆}\boldsymbol{A}</math>が成り立つので）。 例えば、[[連続体力学]]に於ける弾性体の運動方程式（ナビエ-コーシー方程式） :<math>\rho\frac{\partial^2{\boldsymbol{u}}}{\partial{t}^2}=(\lambda+\mu)\mathrm{grad}(\mathrm{div}\,\boldsymbol{u})+\mu\text{∆}\boldsymbol{u}</math> をヘルツホルム分解とクーロンゲージ条件により解析すると :<math>\begin{cases} \rho\frac{\partial^2}{\partial{t}^2}\text{∆}\varphi=(\lambda+2\mu)\text{∆}^2\varphi \\ \rho\frac{\partial^2}{\partial{t}^2}\text{∆}\boldsymbol{A}=\mu\text{∆}^2\boldsymbol{A} \end{cases}</math> を得る。 更に<math>e=\text{∆}\varphi,\quad\boldsymbol{\omega}=-\text{∆}\boldsymbol{A}</math>と置くとこの2つの式は波動方程式である。ここから導かれる波は前者が縦波で後者が横波であるが、<math>\lambda+2\mu>\mu</math>より前者の方が伝播速度が大きい。則ち、中学理科のP波・S波の性質を導くことができた。 ナビエ-コーシー方程式に於いて定常状態を考えると<math>t</math>-微分の項が0になるので、<math>\text{∆}^2\boldsymbol{u}=0</math>を得る。このような形の偏微分方程式を'''重調和偏微分方程式'''という。 *応用問題 *:真空のマクスウェル方程式<math> \begin{cases} \nabla\times\boldsymbol{E}&=-\frac{\partial{\boldsymbol{B}}}{\partial{t}}\\ \nabla\times\boldsymbol{H}&=\frac{\partial{\boldsymbol{D}}}{\partial{t}}\\ \nabla\cdot\boldsymbol{D}&=0\\ \nabla\cdot\boldsymbol{B}&=0\\ \end{cases}</math>と構成方程式<math>\begin{cases} \boldsymbol{D}=\varepsilon_0\boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{H}\end{cases}</math>から電磁波の波動方程式<math>\begin{cases} \text{∆}\boldsymbol{E}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\boldsymbol{E}}}{\partial{t}^2} \\ \text{∆}\boldsymbol{H}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\boldsymbol{H}}}{\partial{t}^2} \end{cases}</math>及び光速<math>c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}</math>を導け。 ==空間積分== ここでは三次元ユークリッド空間で考える。 ===線積分=== 偏積分 :<math>\int_a^b f(x,y) dx := \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k,y) \Delta x</math>（<math>\Delta x = \frac{b-a}{n}, x_k = a + k\Delta x</math>） は<math>xyz</math>空間を<math>y</math>を固定した平面で切った断面に於ける曲線<math>z=f(x, y)</math>と<math>x</math>軸、直線<math>x=a, x=b</math>の囲む符号付き面積であった。 このとき積分変数を各点で見ると<math>x</math>軸という直線上を<math>a\to b</math>と単調に進むことになるが、これを<math>xyz</math>空間の任意の曲線<math>C</math>に拡張することを考える。 三次元空間の曲線をベクトル表示すると :<math>\boldsymbol{r}(t)=\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}\quad t\in [\alpha, \beta]</math> であり、被積分関数はこの曲線上の点を入力とするスカラー場と考えられるので :<math>\varphi=\varphi(\boldsymbol{r})</math> 偏積分の<math>dx</math>は「<math>x</math>軸上の微小変位」であったが、<math>t</math>が単調なとき曲線に沿った微小変位は曲線上の移動距離、則ち弧長の微小量と考えられるので線素を用いて :<math>d\ell=\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math> これらを総合すると、<math>C</math>に沿った積分というものは曲線のパラメータを用いて :<math>\int_\alpha^\beta \varphi(\boldsymbol{r}(t))\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math> と表示されることになる。 これをスカラー場<math>\varphi</math>の<math>C</math>に沿った'''線積分'''^※（line integral）という。また、<math>C</math>を'''積分経路'''（積分路、path）という。 <small>※量子力学の[[量子力学#経路積分法|経路積分]]（path integral）とは異なる概念である。</small> スカラー場の線積分は :<math>\int_C \varphi d\ell</math> のように略記される。 特に積分経路が閉曲線（'''閉経路'''）である場合は :<math>\oint_C \varphi d\ell</math> のように書き、これを<math>C</math>に沿った'''周回/閉路 積分'''（closed line integral）という。 1の線積分<math>\int_C d\ell</math>は弧長に等しい。 <math>\varphi(\boldsymbol{r})</math>の<math>C</math>の端点に於ける値の差を考える。 <math>t\in[\alpha,\beta]</math>を各<math>t_i</math>に等分割したとき、スカラー関数のテイラー展開より :<math>\varphi(\boldsymbol{r}(t_i))-\varphi(\boldsymbol{r}(t_{i-1}))=\nabla\varphi(\boldsymbol{r}_{t_i-1})\cdot d\boldsymbol{r}\big|_{t=t_i}+O\left(\left\|d\boldsymbol{r}\big|_{t=t_i}\right\|\right)</math> なので :<math>\varphi(\boldsymbol{r}(\beta))-\varphi(\boldsymbol{r}(\alpha))\fallingdotseq \sum_{i=1}^n \nabla\varphi(\boldsymbol{r}(t_{i-1}))\cdot d\boldsymbol{r}\big|_{t=t_i}</math> 右辺で分割数<math>n</math>を無限大に飛ばした極限は区分求積法より :<math>\int_{\boldsymbol{r}(\alpha)}^{\boldsymbol{r}(\beta)}\nabla\varphi(\boldsymbol{r})\cdot d\boldsymbol{r}</math> 則ち、曲線<math>C</math>に沿った微分積分学の基本定理 :<math>\int_{\boldsymbol{r}(\alpha)}^{\boldsymbol{r}(\beta)}\nabla\varphi(\boldsymbol{r})\cdot d\boldsymbol{r} = \varphi(\boldsymbol{r}(\beta))-\varphi(\boldsymbol{r}(\alpha))</math> を得る。 これは一変数積分の<math>\int_a^b \frac{df}{dx}dx=f(b)-f(a)</math>に対応し、これは常積分に関する微分積分学の基本定理の別表現である。 左辺をスカラー場の線積分と同様に<math>\int_C \nabla\varphi\cdot d\boldsymbol{r}</math>と書くことにする。 ここで<math>\nabla\varphi</math>を一般のベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>に拡張して同様に :<math>\int_C \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{r}</math> を考えてみたい。 ここで<math>d\boldsymbol{r}</math>は<math>\boldsymbol{r}</math>の全微分と解釈され、一変数関数なので :<math>d\boldsymbol{r}=\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt</math> 則ち、 :<math>\int_C \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{r}=\int_\alpha^\beta \boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt</math> という曲線のパラメータに関する積分に帰着された。 これをベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>の<math>C</math>に沿った'''線積分'''という。 <math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}</math>は<math>C</math>の接線なので<math>\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}</math>は<math>\boldsymbol{a}</math>から<math>C</math>の接線に沿う沿流成分を取り出していることになる。 このことから、ベクトル場の線積分を特に'''接線積分'''（integral of tangential component）ということがある。 また、<math>d\boldsymbol{r}</math>のノルムを考えてみると :<math>\|d\boldsymbol{r}\|=\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|dt=d\ell</math> より線素に一致する。 このことから、<math>d\boldsymbol{r}</math>を'''線素ベクトル'''と呼び、<math>d\boldsymbol{\ell}</math>とも書く。 線素ベクトルは曲線上の微小変位を表すので座標軸上の微小変位の重ね合わせと考えれば :<math>d\boldsymbol{\ell}=\begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}</math> よって接線積分は形式的に :<math>\int_C (a_xdx+a_ydy+a_zdz)</math> とも書かれる。 更に、弧長パラメトライズされている場合は接ベクトルを用いて :<math>d\boldsymbol{\ell}=\boldsymbol{t}ds</math> とも表せる。 接線積分で定義される概念としては、仕事が有名である。 :物体を経路<math>C</math>に沿って力<math>\boldsymbol{F}</math>で運んだときの仕事は摩擦や空気抵抗を無視すると ::<math>W=\int_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}</math> また、アンペールの法則も線積分で示される。 :閉経路<math>C</math>で囲まれた領域を貫く電流の大きさ<math>I</math>とその電流が生む磁場<math>\boldsymbol{H}</math>に対して ::<math>\oint_C \boldsymbol{H}\cdot d\boldsymbol{\ell}=I</math> 更に、以下のような概念も定義されている。 :流体の速度場<math>\boldsymbol{v}</math>の循環は ::<math>\Gamma(C)=\oint_C \boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{\ell}</math> *応用問題 **運ばれる物体の質量を<math>m</math>としたとき、仕事の定義とニュートンの運動方程式<math>m\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2}=\boldsymbol{F}</math>を用いて運動エネルギーに関するエネルギーの原理<math>W=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2</math>を証明せよ。 <math>C</math>が正の向きにパラメトライズされたとき、負の向きにパラメトライズされた曲線を<math>-C</math>と表した。 2つの閉曲線<math>C_1</math>の終点と<math>C_2</math>の始点が一致するとき、これを一つの曲線と見做して曲線の和 :<math>C_1+C_2</math> が定義される。 これを'''区分的に定義された曲線'''という。 2つの閉曲線<math>C_1</math>の終点と<math>C_2</math>の終点が一致するとき、<math>C_1</math>を始点とすると曲線の差は :<math>C_1-C_2=C_1+(-C_2)</math> で定義される。 <math>C</math>が'''区分的に滑らか'''であるとは、<math>C</math>が有限個の滑らかな曲線の和であることである。 これらを踏まえると、線積分には以下の性質が成り立つ。 #スカラー場 #:<math>\int_C (k\varphi+l\psi) d\ell=k\int_C \varphi d\ell + l \int_C \psi d\ell</math> #:<math>\int_{-C}\varphi d\ell = \int_C \varphi d\ell</math> #:<math>\int_{C_1+C_2}\varphi d\ell = \int_{C_1}\varphi d\ell + \int_{C_2}\varphi d\ell</math> #ベクトル場 #:<math>\int_C (k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})\cdot d\boldsymbol{\ell}=k\int_C \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}+l\int_C \boldsymbol{b}\cdot d\boldsymbol{\ell}</math> #:<math>\int_{-C}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell} = -\int_C \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}</math> #:<math>\int_{C_1+C_2}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \int_{C_1}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell} + \int_{C_2}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}</math> 1番目の性質は線型性である。2番目の性質から、スカラー場の線積分に関しては任意の'''再パラメトライズ'''（パラメータの可逆な変数変換）、ベクトル場の線積分に関しては向き付けを保つ再パラメトライズに対して線積分の値が保存されることが判る。 保存的ベクトル場に対する線積分<math>\int_C \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}</math>はスカラーポテンシャル<math>\varphi</math>を用いて<math>\int_C \nabla\varphi\cdot d\boldsymbol{\ell}</math>と書けるので微分積分学の基本定理より<math>\varphi(\boldsymbol{r}(\beta))-\varphi(\boldsymbol{r}(\alpha))</math>に等しい。 ここで<math>\varphi(\boldsymbol{r}(\beta))-\varphi(\boldsymbol{r}(\alpha))</math>は曲線の端点にのみ依存し形状には依存しない。 そのため、'''線積分の値が積分経路に依存しない必要十分条件はベクトル場が保存的であること'''である。 ここで閉曲線である場合を考えると :<math>\boldsymbol{r}(\alpha)=\boldsymbol{r}(\beta)</math> より :<math>\varphi(\boldsymbol{r}(\alpha))=\varphi(\boldsymbol{r}(\beta))</math> なので :<math>\oint_C \nabla\varphi\cdot d\boldsymbol{\ell}=0</math> である。 逆に言うと、'''周回積分が0でない閉経路をとれるとき<math>\varphi</math>は<math>\boldsymbol{a}</math>のスカラーポテンシャルではない'''。 この事実は偏微分方程式を解いて求めたスカラーポテンシャルが実際にポテンシャルであるかどうかの確認に用いられる。 なお、先程求めたスカラーポテンシャルの一般式 :<math>\varphi(x,y,z)=\int_m^x a_x(x,y,z)dx+\int_n^y a_y(m,y,z)dy+\int_l^z a_z(m,n,z)dz+C</math> は線積分で表される。 具体的には、積分経路を<math>\gamma:(m,n,l)\to(m,n,z)\to(m,y,z)\to(x,y,z)</math>という3つの線分の和としてとれば :<math>\varphi=\int_\gamma \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}+C</math> である。 ここでスカラーポテンシャルとは勾配方程式 :<math>\nabla\varphi=\boldsymbol{a}</math> の解だったので、'''線積分と勾配は逆演算'''である。 <math>\nabla\varphi\cdot d\boldsymbol{\ell}=d\varphi</math>より、スカラーポテンシャルの存在と完全微分方程式の対応がここからも得られる。また、完全微分方程式<math>d\varphi=0</math>の解は曲線を与えることも容易に判る。 仕事が線積分で定義されるという話をしたが、エネルギーの原理より力場がスカラーポテンシャルを有する（保存場）場合はエネルギー変化が移動経路に依存しないので力学的エネルギー保存法則が成り立つ。これが高校物理で扱った「保存力なら力学エネルギーが保存する」ことの正式な表現である。 ベクトル場の線積分はベクトル場と線素ベクトルの内積をとって積分していたが、外積をとって積分することもできる。 具体的には、 :<math>\boldsymbol{a}\times d\boldsymbol{\ell}=\begin{pmatrix} a_ydz-a_zdy \\ a_zdx-a_xdz \\ a_xdy-a_ydx \end{pmatrix}</math> より :<math>\int_C \boldsymbol{a}\times d\boldsymbol{\ell}=\begin{pmatrix} \int_C (a_ydz-a_zdy) \\ \int_C (a_zdx-a_xdz) \\ \int_C (a_xdy-a_ydx) \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} \int_\alpha^\beta \left\{ a_y(\boldsymbol{r}(t))\frac{dz}{dt}-a_z(\boldsymbol{r}(t))\frac{dy}{dt} \right\}dt \\ \int_\alpha^\beta \left\{ a_z(\boldsymbol{r}(t))\frac{dx}{dt}-a_x(\boldsymbol{r}(t))\frac{dz}{dt} \right\}dt \\ \int_\alpha^\beta \left\{ a_x(\boldsymbol{r}(t))\frac{dy}{dt}-a_y(\boldsymbol{r}(t))\frac{dx}{dt} \right\}dt \end{pmatrix}</math> これは物理学的にはビオ・サヴァールの法則の記述に用いられている。 :真空中で経路<math>C</math>を正の向きに流れる強さ<math>I</math>の定常電流・<math>C</math>上にない点<math>\mathrm{P}</math>・<math>C</math>上の点<math>\mathrm{Q}</math>に対し、<math>C</math>全体で生じる磁束密度<math>\boldsymbol{B}</math>の<math>\mathrm{P}</math>での値は真空の透磁率<math>\mu_0</math>として ::<math>\boldsymbol{B}(\mathrm{P})=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_C \frac{\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\times d\boldsymbol{\ell}}{\|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\|^3}</math> 応用例は乏しいが、スカラー場の線素ベクトルに関する積分、ベクトル場の線素に関する積分も同様に定義される。 :<math>\int_C \varphi d\boldsymbol{\ell} = \int_\alpha^\beta \varphi(\boldsymbol{r}(t))\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt</math> :<math>\int_C \boldsymbol{a} d\ell = \int_\alpha^\beta \boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|dt</math> これらはベクトル値である。 積分経路を流線上にとると、流線の定義から<math>d\boldsymbol{r}/\!\!/\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})</math>則ち一次従属なので、<math>d\boldsymbol{r}=k\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})</math>と書ける。 よって線積分の被積分関数は<math>\boldsymbol{a} \cdot d\boldsymbol{r} = k\|\boldsymbol{a}\|^2</math>となり、積分値が最大化される他、ベクトル場の沿流方向成分を抽出できる。実際に計算する際は、<math>\int_{\mathrm{streamline}} k\|\boldsymbol{a}\|^2</math>とは書かず、<math>\int_{\mathrm{streamline}} \boldsymbol{a} \cdot \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt</math>と書くのが望ましい（積分記号と積分微小要素はセットのため）。 流線が閉曲線である場合を考えると、<math>\oint_{\mathrm{streamline}} \boldsymbol{a} \cdot \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt</math>は閉曲線の正の向きで正、負の向きで負となるので0にはならない。そのため、流線が閉曲線であるベクトル場はスカラーポテンシャルを持たない。 ===面積分=== 線積分は常積分に於ける積分経路を任意の正則な<math>C^1</math>級曲線に拡張したものであった。同様に、二重積分に於ける積分領域を'''向き付けされた'''任意の<math>C^1</math>級曲面に拡張することを考える。 曲線に沿った微小量が線素で与えられたように、曲面に沿った微小量は面素で与えられる。故に、直観的には「面素に関して積分」すれば良いことが分かる。 三次元空間の曲面をベクトル表示すると :<math>\boldsymbol{r}(t, u)=\begin{pmatrix} x(t, u) \\ y(t, u) \\ z(t, u) \end{pmatrix}\quad {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} t \\[-6pt] u \end{array}\right)} \in D</math> であり、被積分関数はこの曲面上の点を入力とするスカラー場と考えられるので :<math>\varphi=\varphi(\boldsymbol{r})</math> 面素は :<math>dS=\sqrt{EG-F^2}dtdu=\sqrt{\left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \right\|^2\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2 - \left( \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \right)^2 } dtdu</math> 総合すると、<math>S</math>に沿った積分というものは曲面のパラメータを用いて :<math>\iint_D \varphi(\boldsymbol{r}(t,u))\sqrt{\left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \right\|^2\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2 - \left( \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \right)^2 } dtdu</math> と表示されることになる。 これをスカラー場<math>\varphi</math>の<math>S</math>に沿った'''面積分'''（曲面積分、surface integral）という。 今は三次元空間の場合を考えているので、外積を用いて :<math>\iint_D \varphi(\boldsymbol{r}(t,u))\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\times\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\| dtdu</math> と表示しても良い。 スカラー場の面積分は :<math>\iint_S \varphi dS</math> のように略記される。 特に積分領域が閉曲面である場合は :<math>\oiint_S \varphi dS</math> のように書く。 1の面積分<math>\iint_S dS</math>は曲面積に等しい。 ベクトル場の線積分と同様にしてベクトル場の面積分 :<math>\iint_S \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> を考えたい。 線素ベクトルが「位置ベクトルの接線方向」で「ノルムが通常の線素と一致する」ように定義されたことを鑑みると、面素ベクトルは「位置ベクトルの法線方向」で「ノルムが通常の面素に一致する」ように定義するのが良いと考えられる。要するに、 :<math>d\boldsymbol{S}:=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\times\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math> としてみる。 ここで単位法線ベクトルを<math>\boldsymbol{n}</math>と置くと面素ベクトルは<math>\boldsymbol{n}dS</math>と表され、 :<math>\iint_S \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}=\iint_S (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n})dS</math> のようにスカラー場の面積分に帰着されることが判る。 これをベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>の<math>S</math>に沿った'''面積分'''という。 <math>\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n}</math>は<math>\boldsymbol{a}</math>から<math>S</math>の法線を横切る沿流成分を取り出していることになる。 このことから、ベクトル場の面積分を特に'''法線面積分'''（surface integral of the normal component）ということがある。 単位法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}</math>は有向曲面に対して右手系を成し、各座標軸となす角度をそれぞれ<math>\alpha, \beta, \gamma</math>とすると通常の余弦関数で表されるベクトル<math>\begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \cos \beta \\ \cos \gamma \end{pmatrix}</math>に等しい。これを'''方向余弦'''という。 方向余弦に関して、正射影を用いると以下が成り立つと判る。 :<math>\begin{cases} \cos\alpha dS = dydz \\ \cos\beta dS = dzdx \\ \cos\gamma dS = dxdy \end{cases}</math> これを用いることで、面素ベクトルは :<math>d\boldsymbol{S} = \boldsymbol{e}_x dydz + \boldsymbol{e}_y dzdx + \boldsymbol{e}_z dxdy = \begin{pmatrix} dydz \\ dzdx \\ dxdy \end{pmatrix}</math> とも表される。 故に、法線面積分は形式的に :<math>\iint_S(a_xdydz+a_ydzdx+a_zdxdy)</math> とも書ける。 線積分と同様にベクトル場と面素ベクトルの外積、面素ベクトルのスカラー場倍、ベクトル場の面素倍をとって積分することも考えられるが、応用例に乏しい。 :<math>\iint_S \boldsymbol{a}\times d\boldsymbol{S}</math> :<math>\iint_S \varphi d\boldsymbol{S}</math> :<math>\iint_S \boldsymbol{a} dS</math> これらはベクトル値である。 面素ベクトルは以下のように考えることもできる。 :平面<math>\Pi</math>上面積<math>A</math>の有界領域と<math>\Pi</math>の表向き法線<math>\boldsymbol{n}_\Pi</math>に対し、<math>\boldsymbol{A}=A\boldsymbol{n}_\Pi</math>を'''面積ベクトル'''と定義する。 :曲面<math>S</math>上の微小領域をとると曲面をその接平面で近似できるので平面上と同様にして面積ベクトルを定義できる。 :このとき、<math>A=dS</math>となるように定義した面積ベクトルが面素ベクトルである。 この考え方を用いると、 :<math>\oint_C d\boldsymbol{\ell}=\boldsymbol{0}</math> 及び :<math>\oiint_S d\boldsymbol{S}=\boldsymbol{0}</math> が示される。 面積分で定義される概念としては'''束'''^※（flux）が有名である。 :流体の速度場<math>\boldsymbol{v}</math>に対し、<math>\iint_S \boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{S}</math>は流束（単位時間当たりに<math>S</math>を通過する流体の流出量）である。 :磁束密度<math>\boldsymbol{B}</math>に対し、<math>\Phi_B=\iint_S \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}</math>は磁束である。 また、ガウスの法則も面積分で示される。 :ガウス面<math>S</math>が囲む電荷の総量を<math>q_\mathrm{inc}</math>とすると電束密度<math>\boldsymbol{D}</math>に対して ::<math>\oiint_S \boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{S}=q_\mathrm{inc}</math> <small>※数学界・物理界で「束」と呼ばれる対象は複数存在する。和訳されるときに「束」が充当されたものはここで扱う「flux」の他に「bundle（ファイバー束など）」「lattice（[[束論]]の束）」「pencil（円束など）」「packet（波束など）」がある。</small> <math>S</math>が表向きにパラメトライズされたとき、裏向きにパラメトライズされた曲面を<math>-S</math>と表した。 同じ向きを向く2つの曲面<math>S_1</math>と<math>S_2</math>の疆界が一致するとき、これを一つの曲面と見做して曲面の和 :<math>S_1+S_2</math> が定義される。 これを'''区分的に定義された曲面'''という。 <math>S</math>が'''区分的に滑らか'''であるとは、<math>S</math>が有限個の滑らかな曲面の和であることである。 これらを踏まえると、面積分には以下の性質が成り立つ。 #スカラー場 #:<math>\iint_S (k\varphi+l\psi) dS=k\iint_S \varphi dS + l \iint_S \psi dS</math> #:<math>\iint_{-S}\varphi dS = \iint_S \varphi dS</math> #:<math>\iint_{S_1+S_2}\varphi dS = \iint_{S_1}\varphi dS + \iint_{S_2}\varphi dS</math> #ベクトル場 #:<math>\iint_S (k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})\cdot d\boldsymbol{S}=k\iint_S \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}+l\iint_S \boldsymbol{b}\cdot d\boldsymbol{S}</math> #:<math>\iint_{-S}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S} = -\iint_S \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> #:<math>\iint_{S_1+S_2}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S} = \iint_{S_1}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S} + \iint_{S_2}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> 1番目の性質は線型性である。2番目の性質から、スカラー場の面積分に関しては任意の再パラメトライズ、ベクトル場の面積分に関しては向き付けを保つ再パラメトライズに対して面積分の値が保存されることが判る。 等位面に対する面積分を考える。曲面<math>S</math>がスカラー場<math>\omega</math>の等位面であるとき、その単位法線ベクトルは勾配を用いて :<math>\boldsymbol{n}=\pm\frac{\nabla\omega}{\|\nabla\omega\|}</math> と表される。右手系で考えるので正符号を採る。 等位面の方程式<math>\omega(x,y,z)=c</math>に対して陰関数定理が成り立つとすると陰関数<math>z=\psi(x,y)</math>を用いて<math>S:\boldsymbol{r}(x,y)=\begin{pmatrix} x \\ y \\ \psi(x,y) \end{pmatrix}\quad {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in D</math>というモンジュ表示に落ちる。 よって :<math>dS=\sqrt{1+\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)^2}dxdy</math> と :<math>\boldsymbol{n}=\frac{\nabla\omega}{\|\nabla\omega\|}</math> を用いて :<math>\int_S \varphi dS = \int_D \varphi(x,y,\psi(x,y))\sqrt{1+\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)^2}dxdy</math> :<math>\int_S \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S} = \int_D \boldsymbol{a}(x,y,\psi(x,y))\cdot\frac{\nabla\omega(x,y,\psi(x,y))}{\|\nabla\omega(x,y,\psi(x,y))\|}\sqrt{1+\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)^2}dxdy</math> を得る。 ===体積分=== 三次元空間の中では曲がった三次元空間を考えることはできない。そのため、以下の議論は平坦な三次元空間での話になる。 曲線長の微小量であった線素・曲面積の微小量であった面素と同様にして立体積の微小量について考えてみる。 立体<math>V</math>を微小立体に分割した体積を<math>\Delta V_i</math>としたとき、線積分・面積分が正式には区分求積法で定義されたようにリーマン和の極限 :<math>\lim_{\Delta V_i\to0}\sum_i \varphi(x_i, y_i, z_i)\Delta V_i</math> で与えられる積分を考えたい。 これは多変数解析で行った議論と同様にして三変数関数の三重極限へと帰着されるが、三重極限は飛ばす順番を入れ替えられるとは限らないためこの極限値を求めることは困難である。 そこで、以下のように考える。 微小立体はどのような分割の仕方であっても直方体で近似できる（曲面上微小領域を平面上平行四辺形で近似したことからの類推）。このとき、微小体積<math>dV</math>は各辺の長さが<math>dx, dy, dz</math>であると考えることができる。故に、直方体の体積公式を用いて :<math>dV=dxdydz</math> これを'''体素'''（体積素・体積要素）という。 故に、求める積分は :<math>\lim_{\Delta V_i\to0}\sum_i \varphi(x_i, y_i, z_i)\Delta V_i=\iiint_V \varphi(x,y,z) dxdydz</math> という三重積分に帰着される。 これをスカラー場の<math>V</math>に沿った'''体積分'''（volume integral）という。 スカラー場の体積分は :<math>\iiint_V \varphi dV</math> のように略記される。 特に、積分領域が閉集合（'''閉立体'''）である場合は :<math>\oiiint_V \varphi dV</math> のように書く。 1の体積分<math>\iiint_V dV</math>は立体積に等しい。 <math>V</math>のベクトル表示が<math>\boldsymbol{r}(s,t,u)=\begin{pmatrix} x(s,t,u) \\ y(s,t,u) \\ z(s,t,u) \end{pmatrix} \quad {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} s \\[-6pt] t \\[-6pt] u\end{array}\right)} \in D</math>である場合は、多変数解析の議論により :<math>\iiint_V \varphi dV = \iiint_D \varphi(\boldsymbol{r}(s,t,u)) \left|\det \frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(s,t,u)}}\right| dsdtdu</math> であると容易に判る。 立体に対しては曲線に於ける接線、曲面に於ける法線のような「ベクトル表示から求められる、積分領域の向きを指定するための方向」が一意には存在しない。そのため、体素ベクトルというものは考えない。 故に、ベクトル場の体積分は :<math>\iiint_V \boldsymbol{a}dV</math> の一種類のみである。 体積分を用いて表される概念としては、電荷が有名である。 :電荷密度<math>\rho(x,y,z)</math>に対し、領域<math>V</math>内にある電荷の総量は ::<math>q=\iiint_V \rho(x,y,z)dV</math> また、電荷分布に於ける電気双極子モーメントは ::<math>\boldsymbol{p}=\iiint_V \rho\boldsymbol{r} dV</math> というベクトル場の体積分で定義される。 更に、以下のような概念も定義されている。 :物体の質量<math>m</math>、密度<math>\rho</math>とすると質量中心ベクトルは ::<math>\boldsymbol{r}_G=\frac{1}{m}\iiint_V \rho\boldsymbol{r}dV</math> :電磁場の真空での運動量は ::<math>\boldsymbol{P}=\frac{1}{c^2}\iiint_V \boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}dV</math> 2つの立体<math>V_1</math>と<math>V_2</math>の疆界が一致するとき、これを一つの立体と見做して立体の和 :<math>V_1+V_2</math> が定義される。 これを'''区分的に定義された立体'''という。 <math>V</math>が'''区分的に滑らか'''であるとは、<math>V</math>が有限個の滑らかな立体の和であることである。 これらを踏まえると、体積分には以下の性質が成り立つ。 #スカラー場 #:<math>\iiint_V (k\varphi+l\psi) dV=k\iiint_V \varphi dV + l \iiint_S \psi dV</math> #:<math>\iiint_{V_1+V_2}\varphi dV = \iiint_{V_1}\varphi dV + \iiint_{V_2}\varphi dV</math> #ベクトル場 #:<math>\iint_V (k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})dV=k\iiint_V \boldsymbol{a}dV+l\iiint_V \boldsymbol{b}dV</math> #:<math>\iiint_{V_1+V_2}\boldsymbol{a}dV = \iiint_{V_1}\boldsymbol{a} dV + \iiint_{V_2}\boldsymbol{a}dV</math> ===積分定理=== ここでは、空間積分に関する種々の定理を紹介する。 体積分 :<math>\iiint_V \varphi dV=\iiint_V \varphi dxdydz</math> に於いて、スカラー場<math>\varphi</math>がスカラー場<math>f</math>のある積分変数に関する偏導関数になっている場合を考える。 例えば<math>\varphi=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}</math>の場合を考えると :<math>\iiint_V \varphi dV = \iiint_V \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dxdydz</math> であり、 :<math>V=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} \vartheta(y,z) \leq x \leq \eta(y,z) \\ {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} y \\[-6pt] z \end{array}\right)} \in D \end{array} \right\}</math> とすると :<math>=\iint_D \left( \int_{\vartheta(y,z)}^{\eta(y,z)} \frac{\partial{f}}{\partial{x}} dx \right) dydz</math> 偏微分に関する微分積分学の基本定理より :<math>=\iint_D \{ f(\eta(y,z),y,z)-f(\vartheta(y,z),y,z) \} dydz</math> ここで、曲面<math>S_\eta:x=\eta(y,z), S_\vartheta:x=\vartheta(y,z)</math>の面素ベクトルについて考えてみる。<br/> <math>S_\eta</math>の接ベクトルは :<math>\frac{\partial{\eta}}{\partial{y}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_y, \frac{\partial{\eta}}{\partial{z}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_z</math> の2つなので、面素ベクトルは<math>x</math>軸正方向にとると :<math>d\boldsymbol{S}_\eta=\left(\frac{\partial{\eta}}{\partial{y}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_y\right)\times\left( \frac{\partial{\eta}}{\partial{z}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_z\right)=\left( \boldsymbol{e}_x - \frac{\partial{\eta}}{\partial{y}}\boldsymbol{e}_y - \frac{\partial{\eta}}{\partial{z}}\boldsymbol{e}_z \right)dydz</math> :<math>\therefore \boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\eta=dydz</math> :<math>\therefore \iint_{S_\eta} f\boldsymbol{e}_x \cdot d\boldsymbol{S}_\eta=\iint_D f(\eta(y,z),y,z)dydz </math> <math>S_\vartheta</math>の接ベクトルは :<math>\frac{\partial{\vartheta}}{\partial{y}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_y, \frac{\partial{\vartheta}}{\partial{z}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_z</math> の2つなので、面素ベクトルは<math>x</math>軸負方向にとると :<math>d\boldsymbol{S}_\vartheta=\left( \frac{\partial{\vartheta}}{\partial{z}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_z\right)\times\left(\frac{\partial{\vartheta}}{\partial{y}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_y\right)=\left(-\boldsymbol{e}_x + \frac{\partial{\vartheta}}{\partial{y}}\boldsymbol{e}_y + \frac{\partial{\vartheta}}{\partial{z}}\boldsymbol{e}_z \right)dydz</math> :<math>\therefore \boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\vartheta=-dydz</math> :<math>\therefore \iint_{S_\vartheta} f\boldsymbol{e}_x \cdot d\boldsymbol{S}_\vartheta=-\iint_D f(\vartheta(y,z),y,z)dydz </math> また、<math>S_\vartheta, S_\eta</math>を<math>V</math>の底面とみたときの側面<math>S_\mathrm{side}</math>は接平面に<math>\boldsymbol{e}_x</math>を含むので法線は<math>x</math>軸に垂直であり、 :<math>\boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\mathrm{side}=0</math> :<math>\therefore \iint_{S_\mathrm{side}}f\boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\mathrm{side}=0</math> よって :<math>\iint_D \{f(\eta(y,z),y,z) - f(\vartheta(y,z),y,z) \}dydz=\iint_{S_\eta} f \boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\eta + \iint_{S_\mathrm{side}} f \boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\mathrm{side} + \iint_{S_\vartheta} f \boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\vartheta</math> :<math>=\oiint_{\partial{V}}f\boldsymbol{e}_x \cdot d\boldsymbol{S}</math> ここで<math>\varphi=\frac{\partial{g}}{\partial{y}},\quad \varphi=\frac{\partial{h}}{\partial{z}}</math>の場合も同様の議論により :<math>\iiint_V \frac{\partial{g}}{\partial{y}} dV = \oiint_{\partial{V}} g\boldsymbol{e}_y \cdot d\boldsymbol{S}</math> :<math>\iiint_V \frac{\partial{h}}{\partial{z}}dV = \oiint_{\partial{V}} h\boldsymbol{e}_z\cdot d\boldsymbol{S}</math> と判るので、3式を足し合わせて :<math>\iiint_V \left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}+\frac{\partial{h}}{\partial{z}}\right)dV=\oiint_{\partial{V}} (f\boldsymbol{e}_x+g\boldsymbol{e}_y+h\boldsymbol{e}_z)\cdot d\boldsymbol{S}</math> ここで曲面<math>\partial{V}</math>の外向き法線の方向余弦を<math>\begin{pmatrix} l \\ m \\ n \end{pmatrix}</math>と置くと最終的に :<math>\iiint_V \left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}+\frac{\partial{h}}{\partial{z}}\right)dV=\oiint_{\partial{V}} (fl+gm+hn)dS</math>となる。 これを'''ガウス=グリーンの定理'''という。 更に、<math>\boldsymbol{a}(x,y,z)=\begin{pmatrix} f(x,y,z) \\ g(x,y,z) \\ h(x,y,z) \end{pmatrix}</math>と定義すると :<math>\iiint_V\left( \frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{a_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}} \right)dV=\oiint_{\partial{V}} ( a_x\boldsymbol{e}_x+a_y\boldsymbol{e}_y+a_z\boldsymbol{e}_z )\cdot d\boldsymbol{S}</math> 則ち :<math>\iiint_V \nabla\cdot\boldsymbol{a} dV = \oiint_{\partial{V}}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> を得る。 これを'''ガウスの発散定理'''という。 {{定理|(ガウスの発散定理)}} 有界領域<math>V\subset\mathbb{R}^3</math>の疆界<math>\partial{V}</math>が区分的に滑らかな閉曲面をなすとき、開集合<math>U \supset V^-</math>上で定義される<math>C^1</math>級ベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>に対して :<math>\iiint_V \nabla\cdot\boldsymbol{a}dV = \oiint_{\partial{V}} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> {{定理終わり}} 平面上で円弧を睨む扇形の中心角を円弧の弧長によって定義したのが弧度法であった。これを三次元に拡張することを考える。 半径1の球の中心を頂点とする円錐を考えたとき、円錐と球面の4つの交点が球面から切り取る有界曲面の曲面積を'''立体角'''と定義する。 この定義を利用して、向き付けられた有界曲面<math>S</math>に対する立体角も定義される。 :球の中心<math>\mathrm{O}</math>から<math>S</math>を眺めたとき、<math>\mathrm{O}</math>と<math>S</math>の頂点を結ぶ直線が<math>\mathrm{O}</math>を中心とする単位球面から切り取る曲面の面積<math>\Omega</math>を、「<math>\mathrm{O}</math>から見る<math>S</math>の立体角」という。但し、<math>\mathrm{O}</math>が<math>S</math>の裏側にいるとき正符号、表側にいるとき負符号とする。 立体角は物理的に無次元量であるが、弧度と同様に'''ステラジアン'''[sr]という単位が付されている。一般に半径<math>r</math>の球面で考えるときは、<math>\Omega</math>を<math>r^2</math>で除した値が立体角である。弧度と同様に、半径0のときは立体角を考えない。 単位球面の表面積は<math>4\pi</math>なので、立体角<math>\Omega</math>の範囲は<math>[-4\pi, 4\pi]</math>である。 <math>S</math>上の各点で面素ベクトルと位置ベクトル<math>\boldsymbol{r}</math>のなす角を<math>\theta</math>とする。このとき、面素<math>dS</math>に対して :<math>d\Omega = \frac{\cos\theta}{\|\boldsymbol{r}\|^2}dS</math> という微小量に関する等式が成り立つ。 書き換えると :<math>d\Omega = \frac{\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^3}\cdot d\boldsymbol{S}</math> これを積分してやれば立体角の表式を得る。 :<math>\Omega(S)=\iint_S \frac{\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^3}\cdot d\boldsymbol{S}</math> 閉曲面に対する立体角を考える。閉曲面の囲む領域を<math>V</math>とする。 立体角の中心<math>\mathrm{O}</math>が閉曲面の外にある場合、発散定理を用いて :<math>\Omega(S)=\oiint_S \frac{\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^3}\cdot d\boldsymbol{S}</math> :<math>=-\oiint_S \mathrm{grad}\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|} \cdot d\boldsymbol{S}</math> :<math>=-\iiint_V \mathrm{div}\left(\mathrm{grad}\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}\right)dV</math> :<math>=-\iiint_V \text{∆}\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|} dV</math> :<math>=0</math> である。 則ち、'''閉曲面外部から測った全体の立体角は常に0'''である。 ここで、球面座標に於ける公式 :<math>\mathrm{grad}\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}=-\frac{\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^3}</math> :<math>\text{∆}\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}=0</math> を使用した。 これは<math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>と置いて直交座標で計算すれば容易に証明される。 立体角の中心<math>\mathrm{O}</math>が閉曲面の中にある場合、<br/>閉球<math>V':B^-_\varepsilon(\mathrm{O})</math>とその疆界<math>S'=\partial{V'}</math>を考えると<math>V\setminus V'</math>は疆界がいずれも閉曲面で<math>\mathrm{O}</math>を内部に含まないので上の議論より立体角は0であり、 :<math>\Omega(S)=\Omega(S')</math> が成り立つ。 また、<math>S'</math>は<math>\mathrm{O}</math>を中心とする球面なので :<math>\Omega(S')=4\pi</math> である。 則ち、'''閉曲面内部から測った全体の立体角は形状に依らず<math>4\pi</math>'''である。 物理的な例として、クーロンの法則の比例定数<math>k=\frac{1}{4\pi\varepsilon}</math>の<math>4\pi</math>は閉曲面内部から測った全体の立体角を表している。 発散定理を利用することで、勾配・発散・回転をそれぞれ空間積分を用いた形に直すことができる。 先ずは、勾配を考える。 :<math>\iiint_V \nabla\cdot\boldsymbol{a}dV = \oiint_{\partial{V}} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> で<math>\boldsymbol{a}=\varphi\boldsymbol{c}</math>としてみると :<math>\iiint_V \nabla\cdot(\varphi\boldsymbol{c})dV = \oiint_{\partial{V}}\varphi \boldsymbol{c}\cdot d\boldsymbol{S}</math> ここで :<math>\nabla \cdot (\varphi\boldsymbol{c})=(\nabla\varphi)\cdot\boldsymbol{c}</math> なので :<math>\iiint_V \boldsymbol{c}\cdot\nabla\varphi dV=\oiint_{\partial{V}}\varphi\boldsymbol{c}\cdot d\boldsymbol{S}</math> 移項して内積を前に出すと :<math>\boldsymbol{c}\cdot\left( \iiint_V \nabla\varphi dV -\oiint_{\partial{V}} \varphi d\boldsymbol{S} \right)=0</math> これが<math>\boldsymbol{c}</math>の恒等式なので :<math>\iiint_V \nabla\varphi dV = \oiint_{\partial{V}}\varphi d\boldsymbol{S}</math>・・・(♪) ここで点<math>\mathrm{P}\in V</math>と有界立体<math>V_0(\ni\mathrm{P}) \subset V</math>に対して<math>V_\varepsilon:=\left\{ \overrightarrow{\mathrm{OP}}+\varepsilon\boldsymbol{x} \bigg| \boldsymbol{x} \in V_0 \right\}</math>を考えると、<math>\mathrm{P}</math>の<math>\varepsilon</math>-開近傍で<math>\varphi\in C^1</math>ならば :<math>\lim_{|V_\varepsilon|\to0}\frac{1}{|V_\varepsilon|}\iiint_{V_\varepsilon} \nabla\varphi dV=\nabla \varphi</math> なので、(♪)を適用して :<math>\nabla\varphi = \lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{1}{|V_\varepsilon|}\oiint_{\partial{V_\varepsilon}}\varphi d\boldsymbol{S}</math> を得る。 これを'''勾配の積分形'''という。 ここで、右辺は座標系の取り方に依らず同じ値に収束するので、'''勾配が座標系に依存しない'''ことが判る。これは「どの基底で成分表示しようが同じ勾配ベクトルを表せる」ことに対応する。 上の導出に関係して、以下が成り立つ。 {{定理|(体積分の平均値の定理)}} 場を<math>\mathfrak{X}</math>としたとき、体積平均<math>\langle\mathfrak{X}\rangle</math>に対して<math>\langle\mathfrak{X}\rangle\in\mathfrak{X}(V)</math>ならば :<math>\iiint_{V}\mathfrak{X}(\mathrm{P})dV = |V|\, \mathfrak{X}(\mathrm{M})</math> なる点<math>\mathrm{M}\in V</math>が存在する。 {{定理終わり}} 次に、発散について考える。 勾配と同様に<math>V_\varepsilon</math>を考えると :<math>\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{1}{|V_\varepsilon|}\iiint_{V_\varepsilon} \nabla\cdot\boldsymbol{a} dV=\nabla\cdot\boldsymbol{a}</math> を得るので、発散定理を適用して :<math>\nabla\cdot\boldsymbol{a}=\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{1}{|V_\varepsilon|}\oiint_{\partial{V_\varepsilon}} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> となる。 これを'''発散の積分形'''という。 勾配と同様に'''発散が座標系に依存しない'''ことが判る。 ここで流体の速度場<math>\boldsymbol{v}</math>について考えると :<math>\iint_S \boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{S}</math> とは<math>S</math>を貫く流束だったので、<br/> 発散は物理的には'''単位体積あたりの束'''を表していることが判った。 最後に、回転について考える。 :<math>\iiint_V \nabla\cdot\boldsymbol{a}dV = \oiint_{\partial{V}} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> で<math>\boldsymbol{a}=\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{c}</math>としてみると :<math>\iiint_V \nabla\cdot(\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{c})dV = \oiint_{\partial{V}}(\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{c})\cdot d\boldsymbol{S}</math> ここで :<math>\nabla \cdot (\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{c})=(\nabla\times\boldsymbol{\alpha})\cdot\boldsymbol{c}</math> :<math>(\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{c})\cdot d\boldsymbol{S}=-\boldsymbol{c}\cdot(\boldsymbol{\alpha} \times d\boldsymbol{S})</math> なので :<math>\iiint_V \boldsymbol{c}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{\alpha}) dV=-\oiint_{\partial{V}}\boldsymbol{c}\cdot (\boldsymbol{\alpha} \times d\boldsymbol{S})</math> 移項して内積を前に出すと :<math>\boldsymbol{c}\cdot\left( \iiint_V \nabla\times\boldsymbol{\alpha} dV +\oiint_{\partial{V}} \boldsymbol{\alpha} \times d\boldsymbol{S} \right)=0</math> これが<math>\boldsymbol{c}</math>の恒等式なので :<math>\iiint_V \nabla\times\boldsymbol{\alpha} dV = -\oiint_{\partial{V}} \boldsymbol{\alpha} \times d\boldsymbol{S}</math> あとは勾配・発散と同様にして :<math>\nabla\times\boldsymbol{\alpha}=-\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{1}{|V_\varepsilon|}\oiint_{\partial{V}_\varepsilon}\boldsymbol{\alpha}\times d\boldsymbol{S}</math> を得る。 これを'''回転の積分形'''という。<math>\nabla\times\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha}\times d\boldsymbol{A}</math>とも軸性ベクトルであるので座標変換に対して両辺の符号変化は一致し、同様に'''回転が座標系に依存しない'''ことが判る。 余談だが、ラプラシアンにも同様の積分形が存在する。 :<math>\text{∆}\varphi = \lim_{\varepsilon\to0^+} \frac{6}{\varepsilon^2}\left( \frac{1}{4\pi\varepsilon^2} \oiint_{\partial{V_\varepsilon}} \varphi dS - \varphi \right)</math> ベクトル場のラプラシアンに関しては成分のラプラシアンを並べたベクトルなので省略する。 <math>xy</math>平面上の区分的に滑らかな閉曲線で囲まれた平面を<math>D</math>、底面が<math>D</math>で高さ<math>L</math>の直筒を<math>B</math>とする。このとき、<math>B</math>の上面・底面・側面に於ける法線ベクトルはそれぞれ<math>\boldsymbol{n}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ a \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -a \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ 0 \end{pmatrix}</math>である。 <math>B</math>で定義された<math>z</math>に依存しないベクトル関数<math>\boldsymbol{r}(x,y) =\begin{pmatrix} \varphi(x,y) \\ \psi(x,y) \\ \vartheta(x,y) \end{pmatrix}</math>に対して発散定理を適用することを考える。 :<math>\nabla\cdot\boldsymbol{r}=\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}+\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}+\frac{\partial{\vartheta}}{\partial{z}}=\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}+\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}</math> :<math>B=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in D \\ 0 \leq z \leq L \end{array} \right\}</math> なので、発散定理の左辺は :<math>\iiint_{B} \nabla\cdot\boldsymbol{r} dV = \int_0^L \left( \iint_D \nabla\cdot\boldsymbol{r} dxdy \right) dz = L\iint_D \left(\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}+\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)dxdy</math> 発散定理の右辺は :<math>\oiint_{\partial{B}} \boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}=\iint_{\partial{B}_\mathrm{top}}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}+\iint_{\partial{B}_\mathrm{side}}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}+\iint_{\partial{B}_\mathrm{bottom}}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}</math> ここで :<math>\boldsymbol{n}_\mathrm{top}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ a \end{pmatrix},\quad\boldsymbol{n}_\mathrm{side}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -a \end{pmatrix},\quad\boldsymbol{n}_\mathrm{bottom}=\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ 0 \end{pmatrix}</math> なので、 :<math>\iint_{\partial{B}_\mathrm{top}}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}+\iint_{\partial{B}_\mathrm{bottom}}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}=a\iint_D \vartheta dxdy -a\iint_D \vartheta dxdy=0</math> :<math>\iint_{\partial{B}_\mathrm{side}}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}=\iint_{\partial{B}_\mathrm{side}} (\varphi\alpha+\psi\beta) dS</math> 則ち :<math>\oiint_{\partial{B}} \boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}=\iint_{\partial{B}_\mathrm{side}} (\varphi\alpha+\psi\beta) dS</math> 側面の面素は閉曲線<math>\partial{D}</math>の線素を用いて<math>d\ell dz</math>と表されるので、 :<math>\iint_{\partial{B}_\mathrm{side}} (\varphi\alpha+\psi\beta) dS=\int_0^L\left\{\oint_{\partial{D}} (\varphi\alpha+\psi\beta)d\ell \right\}dz=L\oint_{\partial{D}}(\varphi\alpha+\psi\beta)d\ell</math> 故に、 :<math>L\iint_D \left(\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}+\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)dxdy=L\oint_{\partial{D}}(\varphi\alpha+\psi\beta)d\ell</math> 則ち :<math>\iint_D \left(\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}+\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)dxdy=\oint_{\partial{D}}(\varphi\alpha+\psi\beta)d\ell</math> という、<math>xy</math>平面のみで表示された式を得る。 これを'''平面のガウスの定理'''という。 {{定理|(平面のガウスの定理)}} <math>xy</math>平面上の区分的に滑らかな閉曲線で囲まれた平面を<math>D</math>、<math>\partial{D}</math>の外向き法線ベクトルを<math>\boldsymbol{n}=\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}</math>とすると、開集合<math>U \supset D</math>上で<math>C^1</math>級であるベクトル関数<math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix}\varphi(x,y)\\\psi(x,y)\end{pmatrix}</math>に対して :<math>\iint_D \left(\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}+\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)dxdy=\oint_{\partial{D}}(\varphi\alpha+\psi\beta)d\ell</math> {{定理終わり}} ここで二次元の発散を<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{r}:=\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}+\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}</math>と定義すると、 :<math>\iint_D \mathrm{div}\,\boldsymbol{r} dxdy=\oint_{\partial{D}} \boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n} d\ell</math> という形に直すことができる。 これはまさしく発散定理の次元を下げた表式になっている。 閉曲線<math>\partial{D}</math>の正の向きを考えると、外向き法線ベクトルが<math>\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}</math>であることから接線ベクトルはこれを原点中心に<math>\frac{\pi}{2}</math>だけ回転したベクトル<math>\begin{pmatrix} -\beta \\ \alpha \end{pmatrix}</math>である。 :<math>d\boldsymbol{\ell}=\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix}, \frac{d\boldsymbol{\ell}}{ds}=\begin{pmatrix} -\beta \\ \alpha \end{pmatrix}, ds=d\ell</math> より :<math>\begin{cases} dx = -\beta d\ell \\ dy =\alpha d\ell \end{cases}</math> を得るので、平面のガウスの定理は :<math>\iint_D \left(\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}+\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)dxdy=\oint_{\partial{D}}\varphi dy-\psi dx</math>と表示される。 ここで<math>\varphi=g(x,y), \psi=-f(x,y)</math>を考えると、 :<math>\iint_D \left(\frac{\partial{g}}{\partial{x}}-\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)dxdy=\oint_{\partial{D}} fdx+gdy</math> を得る。 これを'''平面のグリーンの定理'''（平面のストークスの定理）という。 {{定理|(平面のグリーンの定理・平面のストークスの定理)}} <math>xy</math>平面上の区分的に滑らかな閉曲線で囲まれた平面を<math>D</math>とすると、開集合<math>U \supset D</math>上で<math>C^1</math>級であるベクトル関数<math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix}f(x,y)\\g(x,y)\end{pmatrix}</math>に対して :<math>\oint_{\partial{D}} \boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\iint_D \left(\frac{\partial{g}}{\partial{x}}-\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)dxdy</math> 但し、周回積分の周回向きは正とする。 {{定理終わり}} ここでは平面のガウスの定理から平面のグリーンの定理を導いたが、逆に辿ることで平面のグリーンの定理から平面のガウスの定理を導くことができる。つまり、平面のガウスの定理と平面のグリーンの定理は同値な命題である。また、平面のガウスの定理からガウスの発散定理を示すこともできる。平面のストークスの定理は平面のガウスの定理とは独立に示すことができるので、循環論法にはならない。 <math>\boldsymbol{r}=\nabla\varphi</math>(スカラーポテンシャル)を考えてみると、 :<math>\oint_{\partial{D}}\nabla\varphi \cdot d\boldsymbol{\ell}=\iint_D \left( \frac{\partial}{\partial{x}}\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}} - \frac{\partial}{\partial{y}}\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}} \right)dxdy=\iint_D \left( \frac{\partial^2{\varphi}}{\partial{x}\partial{y}} - \frac{\partial^2{\varphi}}{\partial{y}\partial{x}} \right)dxdy=0</math> と、「保存的ベクトル場の閉路積分が0」を別のやり方で証明できた。 ここで二次元の回転を<math>\mathrm{rot}\,\boldsymbol{r}:=\frac{\partial{g}}{\partial{x}}-\frac{\partial{f}}{\partial{y}}</math>と定義すると、 :<math>\oint_{\partial{D}} \boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\iint_D \mathrm{rot}\,\boldsymbol{r} dxdy</math> という形に直すことができる。 この表式を三次元に持ち上げることを考える。 区分的に滑らかな閉曲線を疆界とする曲面<math>S</math>が<math>xy</math>平面の領域<math>\varSigma</math>上で<math>C^2</math>級関数<math>f</math>を用いて<math>z=f(x,y)</math>とモンジュ表示されているとする。 <math>S</math>上単位法線ベクトルは<math>\gamma:=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2}}</math>として :<math>\boldsymbol{n}=\gamma\begin{pmatrix} -\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \\ -\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \\ 1 \end{pmatrix}</math> であり、 :<math>\gamma dS=dxdy</math> なので :<math>\iint_S (\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot d\boldsymbol{S}=\iint_S (\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{n} dS</math> :<math>= \iint_{\varSigma} \left\{ -\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\left( \frac{\partial{a_z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{a_y}}{\partial{z}}\right) -\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\left( \frac{\partial{a_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}} \right) + \left( \frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}} \right) \right\} dxdy</math> <math>a_x, a_y, a_z</math>の項で纏めて :<math>=\iint_\varSigma \left\{ -\left( \frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{a_x}}{\partial{z}}+\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}} \right)+\left( \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \frac{\partial{a_y}}{\partial{z}} + \frac{\partial{a_y}}{\partial{x}} \right) + \left( \frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}}-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{a_z}}{\partial{y}} \right) \right\}dxdy</math> ここで<math>z=f(x, y)</math>より連鎖律の逆を適用すると :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{a_x}}{\partial{z}}+\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}}+0=\frac{\partial{a_x}}{\partial{z}}\frac{\partial{z}}{\partial{y}}+\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{y}} =\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}}</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{a_y}}{\partial{z}}+0+\frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}=\frac{\partial{a_y}}{\partial{z}}\frac{\partial{z}}{\partial{x}}+\frac{\partial{a_y}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}}+\frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{x}} =\frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}}-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{a_z}}{\partial{y}}=\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}} + \frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}} + a_x\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}} \right)-\left( \frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{a_z}}{\partial{y}} + \frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{f}}{\partial{x}} + a_x\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}} \right)</math> :<math>=\left\{ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}+\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}}\right) +a_z \frac{\partial}{\partial{x}} \frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right\}-\left\{ \frac{\partial{f}}{\partial{x}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}+\frac{\partial{a_z}}{\partial{y}}\right) +a_z \frac{\partial}{\partial{y}} \frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right\}</math> :<math>=\left( \frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial}{\partial{x}}a_z + a_z \frac{\partial}{\partial{x}} \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \right)-\left( \frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial}{\partial{y}}a_z + a_z \frac{\partial}{\partial{y}} \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \right)</math> :<math>=\frac{\partial}{\partial{x}}\left(a_z\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right) - \frac{\partial}{\partial{y}}\left(a_z\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)</math> なので、 :<math>=\iint_\varSigma \left\{ -\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}} +\frac{\partial{a_y}}{\partial{x}} + \frac{\partial}{\partial{x}}\left(a_z\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right) - \frac{\partial}{\partial{y}}\left(a_z\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right) \right\} dxdy</math> :<math>=\iint_\varSigma \left\{ \frac{\partial}{\partial{x}} \left( a_y + a_z \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \right) - \frac{\partial}{\partial{y}}\left( a_x + a_z \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \right) \right\} dxdy</math> ここで平面のグリーンの定理を適用すると :<math>=\oint_{\partial{\varSigma}} \left( a_x + a_z \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \right)dx + \left( a_y + a_z \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \right) dy</math> :<math>=\oint_{\partial{\varSigma}} a_xdx+a_ydy + a_z\left( \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy \right)</math> ここで曲面上では :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy=dz</math>（全微分） なので :<math>=\oint_{\partial{S}} a_xdx+a_ydy+a_zdz</math> つまり、最終的に :<math>\iint_S (\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot d\boldsymbol{S}=\oint_{\partial{S}} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}</math> を得る。 これを'''ストークスの定理'''という。 {{定理|(ストークスの定理)}} 区分的に滑らかな閉曲線を疆界とする曲面を<math>S</math>とすると、開集合<math>U \supset S</math>上で<math>C^1</math>級であるベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>に対して :<math>\iint_S (\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot d\boldsymbol{S}=\oint_{\partial{S}} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}</math> {{定理終わり}} 発散定理から :<math>\iiint_V \nabla\varphi dV = \oiint_{\partial{V}}\varphi d\boldsymbol{S}</math> :<math>\iiint_V \nabla\times\boldsymbol{\alpha} dV = -\oiint_{\partial{V}} \boldsymbol{\alpha} \times d\boldsymbol{S}</math> という関係式を得たのと同様にして、ストークスの定理を利用することで :<math>\iint_S \nabla\varphi \times d\boldsymbol{S} = -\oint_{\partial{S}} \varphi d\boldsymbol{\ell}</math> :<math>\iint_S (\boldsymbol{n}\times\nabla)\times \boldsymbol{\alpha} dS = -\oint_{\partial{S}} \boldsymbol{\alpha}\times d\boldsymbol{\ell} </math> と言う関係式を得る。 発散定理・ストークスの定理そのものと併せてみると、これらの関係式が同じような形をしていることが見て取れる。 実は、これらの式は後述の微分形式というもので統一的に理解される。 発散の公式 :<math>\nabla\cdot(\varphi\boldsymbol{a})=(\nabla\varphi)\cdot\boldsymbol{a}+\varphi\nabla\cdot\boldsymbol{a}</math> で<math>\boldsymbol{a}=\nabla\psi</math>というスカラーポテンシャルを考えると :<math>\nabla\cdot\{\varphi(\nabla\psi)\}=(\nabla\varphi)\cdot(\nabla\psi)+\varphi\nabla\cdot(\nabla\psi)</math> 2項目は勾配の発散なのでラプラシアンであり、 :<math>\nabla\cdot(\varphi\nabla\psi)=\nabla\varphi\cdot\nabla\psi+\varphi\text{∆}\psi</math> 両辺を体積分すると :<math>\iiint_V \nabla\cdot(\varphi\nabla\psi)dV = \iiint_V (\nabla\varphi\cdot\nabla\psi+\varphi\text{∆}\psi)dV</math> 左辺に発散定理を適用して :<math>\oiint_{\partial{V}} \varphi\nabla\psi\cdot d\boldsymbol{S}=\iiint_V (\nabla\varphi\cdot\nabla\psi+\varphi\text{∆}\psi)dV</math> これを'''グリーンの第一定理'''という。 {{定理|(グリーンの第一定理)}} 有界領域<math>V\subset\mathbb{R}^3</math>の疆界<math>\partial{V}</math>が区分的に滑らかな閉曲面をなすとき、開集合<math>U\supset V^-</math>で定義される<math>\varphi\in C^1,\,\psi\in C^2</math>に対して :<math>\iiint_V (\nabla\varphi\cdot\nabla\psi+\varphi\text{∆}\psi)dV=\oiint_{\partial{V}} \varphi\nabla\psi\cdot d\boldsymbol{S}</math> {{定理終わり}} 右辺は方向微分から<math>\nabla\psi\cdot\boldsymbol{n}=\frac{\partial{\psi}}{\partial{n}}</math>より<math>\oiint_{\partial{V}} \varphi\frac{\partial{\psi}}{\partial{n}}dS</math>とも表される。 このとき、<math>\varphi=c(\mathrm{const}.)</math>を考えると :<math>\iiint_V (c\text{∆}\psi)dV=\oiint_{\partial{V}} c\frac{\partial{\psi}}{\partial{n}}dS</math> 線型性より :<math>c\iiint_V \text{∆}\psi dV=c\oiint_{\partial{V}} \frac{\partial{\psi}}{\partial{n}}dS</math> <math>c=0</math>では恒等式なので<math>c\neq0</math>として :<math>\iiint_V \text{∆}\psi dV=\oiint_{\partial{V}} \frac{\partial{\psi}}{\partial{n}}dS</math> ここで<math>V=V_\varepsilon</math>として両辺に<math>\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{1}{|V_\varepsilon|}</math>を作用させると :<math>\text{∆}\psi=\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{1}{|V_\varepsilon|}\oiint_{\partial{V_\varepsilon}} \frac{\partial{\psi}}{\partial{n}}dS</math> と、ラプラシアンの積分表示の別形を得た。 第一定理で<math>\varphi, \psi</math>の位置を入れ替えると :<math>\iiint_V (\nabla\psi\cdot\nabla\varphi+\psi\text{∆}\varphi)dV=\oiint_{\partial{V}} \psi\nabla\varphi\cdot d\boldsymbol{S}</math> 元の式との差をとれば :<math>\iiint_V (\varphi\text{∆}\psi-\psi\text{∆}\varphi)dV = \oiint_{\partial{V}} (\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi)\cdot d\boldsymbol{S}</math> これを'''グリーンの第二定理'''（ポアソンの公式）という。 {{定理|(グリーンの第二定理・ポアソンの公式)}} 有界領域<math>V\subset\mathbb{R}^3</math>の疆界<math>\partial{V}</math>が区分的に滑らかな閉曲面をなすとき、開集合<math>U\supset V^-</math>で定義される<math>\varphi\in C^2,\,\psi\in C^2</math>に対して :<math>\iiint_V (\varphi\text{∆}\psi-\psi\text{∆}\varphi)dV = \oiint_{\partial{V}} (\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi)\cdot d\boldsymbol{S}</math> {{定理終わり}} これは、発散定理で<math>\boldsymbol{a}=\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi</math>を考えたときの表式に一致する。 右辺は方向微分から<math>\oiint_{\partial{V}} \left(\varphi\frac{\partial{\psi}}{\partial{n}} - \psi\frac{\partial{\varphi}}{\partial{n}}\right)dS</math>とも表される。 これを用いた第二定理の表式を特に'''グリーンの定理'''と言う場合がある。 グリーンの第一定理をスカラーポテンシャルを使わず保存的ベクトル場のまま表示すると :<math>\iiint_V \varphi\nabla\cdot\boldsymbol{a} dV=\iint_{\partial{V}} (\varphi\boldsymbol{a})\cdot d\boldsymbol{S}-\iiint_V(\nabla\varphi)\cdot\boldsymbol{a} dV</math> という部分積分公式を得る。 関連して、以下のような部分積分が成り立つ。 {{定理|(ポホザエフの恒等式)}} <math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \varphi=\varphi(\boldsymbol{r})</math>とし、<math>f\in C^0(\mathbb{R})</math>に対し<math>F(\varphi)=\int_0^\varphi f(u)du</math>と置く。有界領域<math>V\subset\mathbb{R}^3</math>の疆界<math>\partial{V}</math>が向き付け可能且つ滑らかであるとき、 :<math>\begin{cases} \text{∆}\varphi=-f(\varphi) & \boldsymbol{r}\in V \\ \varphi=0 & \boldsymbol{r}\in\partial{V} \end{cases}</math> を満たす<math>\varphi\in C^2(V)\cap C^1(V^-)</math>が存在すれば :<math>\iiint_V \|\nabla\varphi\|^2dV = 6\iiint_V F(\varphi)dV - \oiint_{\partial{V}} \|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}</math> {{定理終わり}} *証明 :<math>\text{∆}\varphi=-f(\varphi)</math>の両辺に<math>\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi</math>を掛けると勾配の積の微分の逆から ::<math>(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\text{∆}\varphi=-f(\varphi)\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi=-\boldsymbol{r}\cdot\nabla F(\varphi)</math> :天下り的だがここで<math>(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\nabla\varphi</math>の発散を計算してみると ::<math>\nabla\cdot\{(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\nabla\varphi\}=(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\text{∆}\varphi+\|\nabla\varphi\|^2+\frac{1}{2}\boldsymbol{r}\cdot\nabla\left(\|\nabla\varphi\|^2\right)</math> :を得るので ::<math>(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\text{∆}\varphi=\nabla\cdot\{(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\nabla\varphi\}-\|\nabla\varphi\|^2-\frac{1}{2}\boldsymbol{r}\cdot\nabla\left(\|\nabla\varphi\|^2\right)</math> :次に<math>\|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r}</math>の発散を計算すると ::<math>\nabla\cdot(\|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r})=\boldsymbol{r}\cdot\nabla\left(\|\nabla\varphi\|^2\right)+3\|\nabla\varphi\|^2</math> :なので ::<math>-\|\nabla\varphi\|^2-\frac{1}{2}\boldsymbol{r}\cdot\nabla\left(\|\nabla\varphi\|^2\right)=-\frac{1}{2}\nabla\cdot(\|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r})+\frac{1}{2}\|\nabla\varphi\|^2</math> :更に<math>F(\varphi)\boldsymbol{r}</math>の発散を計算すると ::<math>\nabla\cdot\{F(\varphi)\boldsymbol{r}\}=\boldsymbol{r}\cdot\nabla F(\varphi)+3F(\varphi)</math> :から ::<math>-\boldsymbol{r}\cdot\nabla F(\varphi)=-\nabla\cdot\{F(\varphi)\boldsymbol{r}\}+3F(\varphi)</math> :よって ::<math>(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\text{∆}\varphi=-\boldsymbol{r}\cdot\nabla F(\varphi)</math> :は ::<math>\nabla\cdot\{(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\nabla\varphi\}-\frac{1}{2}\nabla\cdot(\|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r})+\frac{1}{2}\|\nabla\varphi\|^2=-\nabla\cdot\{F(\varphi)\boldsymbol{r}\}+3F(\varphi)</math> :則ち ::<math>\|\nabla\varphi\|^2= 6F(\varphi)-\nabla\cdot\left\{ 2(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\nabla\varphi -\|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r} +2F(\varphi)\boldsymbol{r} \right\}</math> :と同値である。 :両辺を体積分すると発散定理により ::<math>\iiint_V \|\nabla\varphi\|^2dV =6\iiint_V F(\varphi)dV - \oiint_{\partial{V}}\left\{ 2(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\nabla\varphi -\|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r} +2F(\varphi)\boldsymbol{r} \right\}\cdot d\boldsymbol{S}</math> :<math>\partial{V}</math>上では<math>\varphi=0</math>なので ::<math>F(\varphi)=\int_0^0 f(u)du=0</math> :であり、等位面の理論から<math>\partial{V}</math>の外向き単位法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}</math>は ::<math>\boldsymbol{n}=\frac{\nabla\varphi}{\|\nabla\varphi\|}</math> :なので面積分の項は ::<math>\oiint_{\partial{V}}\left\{ 2(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\nabla\varphi\cdot\boldsymbol{n} -\|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n} \right\}dS=\oiint_{\partial{V}} \|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n}dS</math>// [[#単純閉曲線]]で述べた「星状領域（星型領域）」は、滑らかな疆界を持つ有界領域<math>V\subset\mathbb{R}^3</math>の場合は<math>\partial{V}</math>の外向き法線<math>\boldsymbol{n}</math>を用いて :<math>\forall \boldsymbol{x}\in V, \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{n}>0</math> という条件によって定式化できる。 これを用いると、ポホザエフ恒等式の仮定で用いた既知関数<math>f</math>のポアソン方程式の疆界値問題の解<math>\varphi</math>について以下が成り立つことが判る。 {{定理|}} <math>\alpha\geq5, \beta\geq0</math>として<math>f(\varphi)=|\varphi|^{\alpha-1}\varphi+\beta\varphi</math>とする。<br/><math>V</math>が原点で星状なら疆界条件<math>\varphi(\boldsymbol{r})=0 \quad \boldsymbol{r}\in\partial{V}</math>の下でのポアソン方程式 :<math>\text{∆}\varphi=-f(\varphi) \quad \boldsymbol{r}\in V</math> のクラス<math>C^2(V)\cap C^1(V^-)</math>での解は零関数 :<math>\varphi\equiv0</math> のみである。 {{定理終わり}} *証明 :<math>F(\varphi)=\frac{|\varphi|^{\alpha+1}}{\alpha+1}-\frac{\beta}{2}\varphi</math> :<math>-\varphi\text{∆}\varphi=-\varphi f(\varphi)</math>を<math>V</math>で体積分するとグリーンの第一定理及び疆界条件から ::<math>\iiint_V \|\nabla\varphi\|^2dV=\iiint_V(|\varphi|^{\alpha+1}+\beta\varphi^2)dV</math> :ポホザエフの恒等式から ::<math>\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{\alpha+1}\right)\iiint_V |\varphi|^{\alpha+1}dV+\beta\iiint_V \varphi^2 dV = -\frac{1}{2}\oiint_{\partial{V}} \|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}</math> :左辺は<math>\alpha, \beta</math>の条件から非負であるが、右辺は星型性から非正である。 :等号が成り立つのは両者の積分値がともに0である場合であるが、そのようになる<math>\varphi</math>は零関数だけである。// ポアンカレの補題再考 パップス=ギュルダンの定理 ラプラス場の解析（「調和関数の法線方向微分の面積分は0」「グリーンの第二定理の右辺=0」「調和関数の点mでの値は半径に依らずmを中心とした球内に於ける調和関数の平均値」「定数関数でない調和関数は最大値も最小値も持たない」「閉曲面上で定数関数である調和関数は閉曲面が囲む領域の至る所で定数関数」「ラプラス方程式のディリクレ問題の解は一意」「調和関数の疆界に於ける法線方向微分が0なら立体内で至る所で定数関数」「ラプラス方程式の2解の疆界上法線方向微分が一致するならその差は定数」） ==発展事項== {{節stub}} {{Advanced|多様体論}} {{Advanced|微分幾何学}} {{Advanced|積分幾何学}} ここではベクトル解析の発展編及び微分幾何学の基礎編として、「ユークリッド空間の部分多様体上の微分幾何学」を扱う。言うなれば「<math>n</math>次元版のベクトル解析学」である。 ===体積分再考=== 体積分は先程「<math>\mathbb{R}^3</math>上の閉立体<math>V</math>」上で考えたが、実はここには線積分・面積分との大きな非対称性がある。 線積分は「曲線」、面積分は「曲面」を積分領域としたが、先程定義した体積分の積分領域は「平坦な立体」なのである（二次元で例えば楕円領域<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq1</math>は疆界こそ"曲線"だが空間そのものは<math>\mathbb{R}^2</math>という"平面"であることと同じ）。 1次元の曲がった空間である曲線<math>M^1:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>が<math>\mathbb{R}^2</math>内、2次元の曲がった空間である曲面<math>M^2:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s, t)</math>が<math>\mathbb{R}^3</math>内に存在するように、3次元の曲がった空間である曲立体<math>M^3:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s, t, u)</math>は<math>\mathbb{R}^4</math>内に存在すると考えるのが自然である。ここで一般に<math>M^n\subset\mathbb{R}^{n+1}</math>が成り立つと予想され、この関係を「<math>M^n</math>の<math>\mathbb{R}^{n+1}</math>への'''埋め込み'''」と呼ぶことにする。 線積分を<math>C=M^1</math>、面積分を<math>S=M^2</math>で定義したように、体積分を<math>M^3</math>で定義することを考える。 媒介変数空間<math>\begin{pmatrix} s \\ t \\ u \end{pmatrix} \in V \subset\mathbb{R^3}</math>上の微小変化を考えると全微分を用いて :<math>d\boldsymbol{r}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}}ds+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math> よって<math>V</math>上の微小立方体<math>dsdtdu</math>は3ベクトル<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}}ds,\quad\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt,\quad\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math>の張る微小平行六面体へ移される。 体素はこの微小平行六面体の体積と考えられるが、<math>\boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^4</math>より当然この3ベクトルは4項ベクトルなので、'''外積を含んでいるスカラー三重積は使えない'''。 全微分を一次変換表記すると :<math>d\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} \frac{\partial{x}}{\partial{s}} & \frac{\partial{x}}{\partial{t}} & \frac{\partial{x}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{y}}{\partial{s}} & \frac{\partial{y}}{\partial{t}} & \frac{\partial{y}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{z}}{\partial{s}} & \frac{\partial{z}}{\partial{t}} & \frac{\partial{z}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{w}}{\partial{s}} & \frac{\partial{w}}{\partial{t}} & \frac{\partial{w}}{\partial{u}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> :<math>=\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> ここでヤコビ行列は<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\in\mathbb{R}^{4\times3}</math>であって'''正方行列でないので行列式も求まらない'''。 そこで、[[線型代数学続論/種々の行列#随伴行列|グラム行列]]を利用することを考える。 '''グラム行列は必ず半正定値行列'''なので行列式は非負であり、平方根をとれる。 そのため、<math>\mathbf{G}:=\left(\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\right)^*\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}</math>として<math>\sqrt{\det\mathbf{G}}</math>を体積拡大率とする。 これは正方行列ならヤコビアンの絶対値に一致する。 {{NavTop|title=補足：体積拡大率に一致する証明}} :<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}</math>の列ベクトルにグラム=シュミットの直交化法を適用すると[[線型代数学続論/行列分解|QR分解]]によって :<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}=\mathbf{QR}\quad (\mathbf{Q}\in\mathbb{R}^{4\times3}, \mathbf{R}\in\mathbb{R}^{3\times3})</math> よって :<math>\mathbf{G}=(\mathbf{QR})^*\mathbf{QR}</math> :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{Q}^*\mathbf{Q}\mathbf{R}</math> :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{E}_3\mathbf{R}</math>（<math>\because\mathbf{Q}</math>は列ユニタリ行列） :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{R}</math> :<math>\therefore \sqrt{\det\mathbf{G}}=\sqrt{\det\left( \mathbf{R}^*\mathbf{R} \right)}=\sqrt{\left(\det\mathbf{R}\right)^2}=|\det\mathbf{R}|</math> <math>\mathbf{Q}</math>は列ユニタリ行列なのでその一次変換は等長変換であり、全微分による拡大率は<math>\mathbf{R}</math>による拡大率と一致する。<br/> 則ち、<math>\sqrt{\det\mathbf{G}}</math>を拡大率としてとれる。// {{NavBottom}} よって体積分は :<math>\iiint_{M^3} f(\boldsymbol{r})dM^3 = \iiint_{V} f(\boldsymbol{r}(s, t, u))\sqrt{\det\mathbf{G}}\,dsdtdu</math> ここから、適切な媒介変数表示が存在するならば<math>M^n</math>上での体積分の計算に<math>\mathbb{R}^{n+1}\setminus M^n</math>の情報は入ってこず、<math>M^n</math>の情報のみで計算されると予想される。 実際、<math>M^n</math>に適切な媒介変数表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{p})\quad(\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^n)</math>が存在するとき、全微分による一次変換の拡大率は同様にグラム行列式の平方根で与えられるので体積素は<math>dM^n = \sqrt{\det\mathbf{G}} \prod_{k=1}^{n}d\boldsymbol{p}_k</math>と書け、これは正しい。 なお、二次元の場合を考えると<math>\mathbf{G}=\mathbf{K}</math>より<math>dM^2=dS</math>であり、面素に一致する。一次元の場合を考えると<math>\mathbf{G}=\|d\boldsymbol{r}\|^2</math>より<math>dM^1=d\ell</math>であり、線素に一致する。 実は、体素だけでなく一般に角度や長さといった幾何学的な量は埋め込み先である<math>\mathbb{R}^{n+1}</math>の情報を全く必要とせず、<math>M^n</math>の情報だけで構成できることが知られている。このことは微分幾何学のうち[[w:リーマン幾何学|リーマン幾何学]]と呼ばれる分野で詳しく扱われる。 ここまで<math>M^n</math>を適切な媒介変数<math>\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^n</math>で表すことを強調してきたが、媒介変数表示を考えるということは<math>M^n</math>から媒介変数空間<math>U\subset\mathbb{R}^n</math>への射影<math>\pi:M^n\to U</math>を考えるということである。 ここで、この<math>\pi</math>が全単射ならば逆向きの射影<math>\pi^{-1}:U\to M^n</math>が存在してそれが媒介変数表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{p})</math>となるわけであるが、これは以下のようにも捉えられる。 :<math>\pi</math>によって射影した平坦な空間で座標を設定すると、'''適切な逆変換^※によって曲がった空間<math>M^n</math>上に(局所)座標系を与えることができる'''。 つまり、体積分を媒介変数空間に置換積分するということは、逆に体積分の元の表示が「<math>M^n</math>上の局所座標系に於ける積分」であることを示している。 ※この適切な逆変換が存在する条件は'''陰関数定理そのもの'''である。 ここで、適切な媒介変数表示が存在するよう<math>M^n</math>に制限を課したものが、以下で扱う'''多様体'''である。 ===多様体=== ===微分形式=== [[線型代数学続論/外積代数]]も参照。 ===リーマン計量=== ===テンソル解析=== [[線型代数学続論/テンソル代数]]も参照。 ===複素ベクトル解析=== [[複素解析学]]も参照。 {{DEFAULTSORT:へくとるかいせき}} [[Category:解析学]] [[Category:微分積分学]] [[Category:ベクトル解析|かいせきかくきそ]] pcv9oam79w5wn7fgkzoew9ph6cqo7ul