Wikibooks jawikibooks https://ja.wikibooks.org/wiki/%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8 MediaWiki 1.48.0-wmf.3 first-letter メディア 特別 トーク 利用者 利用者・トーク Wikibooks Wikibooks・トーク ファイル ファイル・トーク MediaWiki MediaWiki・トーク テンプレート テンプレート・トーク ヘルプ ヘルプ・トーク カテゴリ カテゴリ・トーク Transwiki Transwiki‐ノート TimedText TimedText talk モジュール モジュール・トーク Event Event talk 0 570 305422 285216 2026-11-05T16:13:19Z 正月君 92918 /* 現代 {{進捗|00%|2019-06-27}} */ 305422 wikitext text/x-wiki {{History Title||日本の歴史}}{{Wikiversity|Topic:日本の歴史}} [[{{PAGENAME}}]]では、日本の歴史について解説する書籍をまとめている。 {{Clear}} {{進捗状況}} == 教育用歴史教科書 == * [[小学校社会/6学年/歴史編]] {{進捗|100%|2019-06-27}} ** [[小学校社会/6学年/歴史編/人物事典]] {{進捗|100%|2025-06-22}} * [[中学受験社会/歴史]] {{進捗|100%|2019-08-29}} * [[中学校社会 歴史]] {{進捗|75%|2019-06-27}} ** [[中学校社会 歴史/用語集]] {{進捗|25%|2025-06-22}} * [[高等学校日本史]] {{進捗|00%|2019-06-27}} ** [[高等学校日本史A]] （旧科目） ** [[高等学校日本史B]]（旧科目） ** [[高等学校日本史探究]]（現行科目） *[[詳解日本史]] == 地理 == <blockquote>[[日本史 日本の風土と民族]]も参照のこと。</blockquote> 地理的に考察すると、北海道・本州・四国・九州、沖縄と周辺の諸島を指す。 == 日本の歴史書 == 日本の「歴史書」のなかで最も古いとされるものは「[[古事記]]」「[[日本書紀]]」で、これをもとに古代、神話伝承・帝史や国史が編纂されてきたが、そもそも記紀は、[[w:天皇家|天皇家]]による日本国統治の正統性 (レジティマシー) を主張する書物であるというのが定説でもある。 === 古代 === * [[古事記]] {{進捗|00%|2019-06-27}} * [[日本書紀]] {{進捗|00%|2019-06-27}} * [[続日本紀]] * [[日本後紀]] * [[続日本後紀]] * [[日本文徳天皇実録]] * [[日本三大実録]] * [[風土記]] {{進捗|00%|2019-06-27}} * [[大鏡]] === 中世 === * [[愚管抄]] * [[吾妻鏡]] {{進捗|00%|2019-06-27}} * [[神皇正統紀]] {{進捗|00%|2019-06-27}} === 近世 === * [[信長公記]] {{進捗|00%|2019-06-27}} * [[太閤記]] * [[本朝通鑑]] * [[徳川実紀]] * [[日本外史]] === 近代 === * [[大日本史]] {{進捗|00%|2019-06-27}} == 時代区分 == === [[日本史/原始|原始]] {{進捗|00%|2019-06-27}} === * [[日本史/原始/旧石器時代|旧石器時代]] {{進捗|25%|2019-06-27}} * [[日本史/原始/縄文時代|縄文時代]] {{進捗|25%|2019-06-27}} * [[日本史/原始/弥生時代|弥生時代]] (紀元前8世紀-3世紀) === [[日本史/古代|古代]] {{進捗|00%|2019-06-27}} === * [[日本史/古代/古墳時代|古墳時代]] (3世紀-593) {{進捗|00%|2019-06-27}} * [[日本史/古代/飛鳥時代|飛鳥時代]] (593-710) {{進捗|25%|2019-06-27}} * [[日本史/古代/奈良時代|奈良時代]] (710-794) {{進捗|00%|2019-06-27}} * [[日本史/古代/平安時代|平安時代]] 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[[日本史/現代/戦後/低成長期|低成長期]] (1991-2019) ** [[日本史/現代/戦後/令和時代|令和時代]] (2019- ) == 日本における主な歴史観 == * [[w:皇国史観|皇国史観]] * [[w:邪馬台国#邪馬台国に関する論争|邪馬台国論争]] * [[w:日鮮同祖論|日鮮同祖論]] * [[w:唯物史観|唯物史観]] * [[w:陰謀史観|陰謀史観]] * [[w:会津観光史学|会津観光史学]] * 薩長史観([[w:王政復古|王政復古]]史観) * [[w:進歩史観|進歩史観]] * [[w:自慰史観|自慰史観]] * [[w:自由主義史観|自由主義史観]] * [[w:自虐史観|自虐史観]] * [[w:ホイッグ史観|ホイッグ史観]] * [[w:司馬史観|司馬史観]] * [[w:大塚史学|大塚史学]] * [[w:丸山政治学|丸山政治学]] == 執筆者へ == 執筆者の方は[[Wikibooks:ウィキプロジェクト 日本史]]をご参照の上執筆いただければ幸いです。人名の表記ゆれなどをなくすためにもご活用ください。 [[Category:日本の歴史|*]] {{NDC|210|にほんし}} qbd1xvqqz6mzxjzbpyt6bwsg4y5adi2 0 862 305438 305393 2026-11-06T07:44:37Z 正月君 92918 305438 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|経済学|frame=1|small=1}} ここでは、経済学の基礎的事項について確認しながら、世界経済における経済の動向に配慮した経済学的解説に努めることにする。[[高等学校政治経済]]のテキストも参照せよ。 == 経済変容と現代社会 == 現代社会の変容は、工業化・IT化に続く。 === 経済の変容 === * [[経済学 現代経済の変容 経済の変容 経済とは何か|経済とは何か]] ==== 世界経済の変容 ==== * [[双子の赤字]] {{進捗|100%|2013-10-08}} * [[経済学/アジア通貨危機|アジア通貨危機]]（[[冷戦後の世界#躍進するアジア|躍進するアジア]]） * [[経済学/改革開放|改革開放]]（[[冷戦後の世界#躍進するアジア|躍進するアジア]]） * [[経済学/アジア経済|アジア経済]] * [[経済学/インド経済|インド経済]] * [[経済学/EU統合|EU統合]]（[[冷戦後の世界#ヨーロッパの統合|ヨーロッパの統合]]） ==== 日本経済の変容 ==== * [[戦後]]（[[日本史/現代/戦後|日本史 戦後]]） {{進捗|75%|2013-10-08}} * [[高度成長]] * [[経済学/通貨危機|通貨危機]] * [[経済学/石油危機|石油危機]] * [[プラザ合意]]（[[日本史/現代/戦後/低成長期|低成長期]]） * [[バブル景気]]（[[日本史/現代/戦後/低成長期|低成長期]]） * [[失われた10年]]（[[日本史/現代/戦後/低成長期|低成長期]]） * [[経済学/情報化社会|情報化社会]] * [[経済学/産業の空洞化|産業の空洞化]] == 現代経済の仕組み == === 世界経済 === * [[経済学 現代経済の変容 経済の変容 世界経済の変容 資本主義経済|資本主義経済]] * [[経済学 現代経済の変容 経済の変容 世界経済の変容 社会主義経済|社会主義経済]] * [[経済学 現代経済の変容 経済の変容 世界経済の変容 経済システム|経済システム]] * [[経済学/グローバル化経済|グローバル化経済]] === 経済学 === * [[経済主体とその活動]]：経済主体が相互作用の中で貨幣を廻している。{{進捗|75%|2013-10-08}} * [[経済学 現代経済の仕組み 金融機関とその働き|金融機関]]：銀行は何をする? 銀行のストックが減ると世に貨幣が増える。 * [[経済学 現代経済の仕組み 財政|財政]]：税金は何に使おう? 払いたくない^^;;;? * [[経済学 現代経済の仕組み 国民生活|国民生活]]：人間の行為は大抵生産、それをお金に換えたら経済になる。 * [[経済学/国民所得|国民所得]] * [[国民経済生産]]：GDPの値は国家の生産を示しているはず。{{進捗|100%|2013-10-08}} == 社会保障制度 == 年金や健康保険から公衆便所まで。 * [[経済学 社会保障制度 労働|労働]]：過労死は使用者責任が問われ、民事上の損害賠償責任が課せられることになります。 * [[経済学/福祉国家|福祉国家]]：福祉は必要だよね? しかし昔の方がやはり不備は多かったか…最も今でも… * [[経済学/社会保険年金制度|社会保険年金制度]]：年金制度は必要だが、経済的に破綻しないように運営するのはかなり困難。 *[[経済学 社会保障制度 成立と発展|成立と発展]] *[[経済学 社会保障制度 日本の社会保障制度とその内容・課題|日本の社会保障制度]] == 世界経済 == 日本経済の国際化による日本と海外の国々との関係とこれからの課題について学習しましょう。 * [[経済学/貿易|貿易]]：貿易はやはりバランスが大事か? * [[経済学/国際収支|国際収支]]：貿易で赤字になった国があるの？ * [[経済学/為替|為替]]：1ドル＝1円じゃ駄目？ === 世界経済の変容と発展 === * [[経済学/国際経済体制|国際経済体制]]：IMFとかGATTとかって？ ==== 世界経済の発展 ==== * [[経済学/多国籍企業|多国籍企業]]：ウォルマートとかエンロンとかトヨタとか・・・ * [[経済学/ユーロ|ユーロ]]（[[冷戦後の世界#ヨーロッパの統合|ヨーロッパの統合]]）：ユーロだけじゃない？ * [[経済学/サブプライムローン問題|サブプライムローン問題]]（[[冷戦後の世界#リーマンショックと世界の無極化|リーマンショックと世界の無極化]]）：アメリカ経済を気にするのはなぜ？ * [[経済学/国際協力|国際協力]]：アフリカ、ラテンアメリカ、南アジア、中東その他の国の状況は？ == 環境問題 == 自然環境問題を経済で解決できるでしょうか。 * [[経済学/都市と環境|都市と環境]]：ごみ問題、大気汚染、水質汚濁、渇水、オゾン層の破壊、こうした問題を私たちは解決できるのでしょうか。 * [[経済学/持続可能な発展|持続可能な発展]]：「宇宙船地球号」 * [[経済学/生態系と環境|生態系と環境]]：生態系を守ることこそ、私たちの未来に必要です。 {{stub}} == 未分類 == ===資源の希少性=== 原則としては、資源とは有限のものでしょう。むしろ無限と考える方が不自然だし、実際にはだれも考えていない。 しかし例えば再生可能エネルギー、太陽光なんかはほぼ無限と見なしていますよね。しかしシビアに考察すると、やはりそれも有限。 例えば水なんかはどうでしょうか。これは地球上を循環しているもので、現実的には無限とみていますが、やはり手に入りにくい地域はありますし、シビアに考えると有限ですよね。 クルーグマンやスティグリッツやマンキューなど、多くの経済学者も、彼らの教科書で、資源の希少性が経済学の前提であると説明している。（なお、日本の高校の「公共」教科書でも、たとえば帝国書院（教科書会社のひとつ）の検定教科書で、「資源の希少性」を紹介している。） なお、経済学・商学などで「希少性」は英語で scarcity である<ref>『ビジネス基礎』、実教出版、令和2年12月25日検定、令和4年1月25日発行、P61</ref>。 また、人々が望んだからと言って、それを生産できるとは、かぎらないと、マンキューは説明している。 たとえば医薬品として、エイズの完全治療薬を望んでも、それは現状の医学では生産不可能。 数百年前の時代を上げれば、たとえば結核や らい病 の治療薬のなかった時代もあった。この話も、誰もがあっさりと納得、あるいはいまさら言うなという感じでしょう。 また、資源を超えた量の生産も不可能。 この「資源の希少性」は、よく経済学の教科書で、「経済学の原理」のひとつとして挙げられている。 ===法則? 原理?=== 需要と供給の法則、なんて経済学では出てくるでしょうが、そもそも「法則」law とは、なんでしょうかね？ 例えば、「現在でも、よくある傾向」、だという指摘もある。ある程度の多くの国で、ある程度の長期や複数回にわたって、よく発生する現象で、今でもよくある現象の事、要するに緩やかな決まりで、法則に当てはまらない例外もある。 たとえば、「需要と供給の法則」の例外のひとつとして「メニューコスト」という概念もあり、生産者側の価格改定には費用が掛かるので価格改定が後回しにされやすい、と。 つまり、どちらかというと法則どおりの現象のほうが遭遇しやすいだろうという、多数の経済学者の信念がある。 その国の言語の違いという問題もある。英語の law 、法律も法則も英語では law です。 例えば物理学では「法則」はかなり厳密な決まりで、基本的に例外は許さない。 しかし本当に例外はないのかという疑問は持てる。何らかの超自然的な理由で、時々は物理法則をキャンセルできるかもしれない。 自然科学の実験をしている時、気にして観察している時だけその法則が満たされるとか… 例えば量子力学には観測問題とか、不確定性原理、そして物理現象の確率的解釈というのもある。 勿論現代の物理学は、観測者自身を系に組み込んだり、確率の数学的記述を厳密化したりと、厳密な法則記述のための工夫がさまざまなされている。 例えば原理 principle なんて言葉があったり、数学では定理、公理、公準なんて言葉も使う。 経済学でいう「原理」principle とは何ですかね？ 文脈や論者にもよりますが、「原理」とは普通の場合、いくつもある「法則」のうち、なかでも基本となる少数の法則のことです。 数学で言えば公理や公準に近いものですかね。 「資源の希少性」の原理と、「需要と供給の法則」なんて言いますが、むしろ「資源の希少性」は法則というよりは、前提事実と言ったところでしょうか。 「原理」と「原則」はともに英語では　principle、根源的な法則、事実を示すものでしょう。 法則の厳密性は当然、学問分野で変わってきます。そしてそれはそれぞれの学問者の、感覚や経験などで、誰もが知って身に着けている事でしょう。 == 合成の誤謬 == 合成の誤謬とは、個人や個々の企業にとっては合理的な行為でも、社会全体としては、不合理で意図しない結果に至ることですね。 例えば企業が経営の健全化を目指して、人件費を削減する。すると個人の収入は減るから、個人消費は減る。景気は低迷し、企業の売り上げも減る。 家庭の節約はどうでしょうか。 個人消費は減るし、節約対象の商品は売れなくなる。景気は悪くなるし、消費されないから生産もしない。 個人スケールで見た場合の合理的な行動と、国家規模の全体的な規模で考えた場合の合理的な行動は異なる。 しかし国家規模の合理的な行動とは何でしょうか? 先ず、国家という集団の化け物の実在性を認めるか? それとも国家とは何らかの方便なのだろうか? おそらく国家規模の合理的な行動とは、その構成員である国民の幸せに結びつくものでしょう。 限界消費性向を低下させる（つまり限界貯蓄性向を高める）ことは、GDPの低下をまねく可能性がある<ref>滝川好夫『図解雑学 ケインズ経済学』、ナツメ社、2010年11月21日初版発行、P180、</ref>。つまり国家全体の生産が低くなるわけですが、生産とは仕事をすることそのものでしょう。仕事をすればするほど幸せという訳ではない。 GDPはとりあえず上昇させたいという固定観念はあるが、これ自体どこまで妥当か。 国際競争を考えると、国家の経済力は必要だが、GDPを上げることを盲目的に目指す以外に、国家の安寧を満たす方法はないのか。 == 誰かの支出は誰かの収入 == 誰かが貨幣を支払ったら、それは他の誰かの収入になっているでしょう。 それは一国の通貨だけではなく、各国、世界全体でその関係が成り立つ。 我々がアメリカ人から貿易として何かを買いたい場合、先ず、円で払うか、ドルで払うかが問題になりますよね。相手が円の受け取りを拒否するなら、自分が外貨を持っていないなら、両替商に円をドルに換えてもらうことになる。 そうすると自分が払った円は両替商の収入になる。そして我々はアメリカ人から商品を受け取る。アメリカ人はドルで収入を得るが、それは両替商が支払ったお金。両替商は商売として貨幣の交換をしているわけだから、払ったドルより受け取った円の方が価値が高いものになっているでしょう。 複数、多数の主体があって、それぞれが一定の数値を持っている。そしてその数値をお互いにやり取りできるなら、その数値の総体、総数は保存されるでしょう。一番の典型例は、物理学のエネルギー保存則。 しかし現実には貨幣の総量が一定である保証はない。 変わり者がお札を燃やしたら、総量は減りますよね。一方政府がお札を印刷して、その分を回収することなく放逸に使ったら、その国の貨幣の総量は増えていく。 ==会計学から考えてみる== ===経理の初歩=== 幾つか、費用に関する用語を説明します。 *人件費 会社、法人が雇用者、労働者に支払う給料は、人件費ですね。従業員のために支払われる費用です。 *固定費 固定費というのは、企業の生産量や売り上げの増減とは関係なく発生する、一定の費用の事です。地代、減価償却費、固定資産税、などですね。債券の利子も会計分野では固定費に含めるという。 *変動費 反対語は変動費ですね。変動費用。生産量や売り上げによって増減する費用。原材料費、外注費、運賃、など。 人件費は固定費か変動費か? 会計に詳しいらしい前編集者も言及を避けているので、たいして詳しくない現編集者ももちろん知りません。 *減価償却費 事業用の建物、機械設備、備品などの取得費用ですが、会計上は普通耐用年数によって、徐々に費用として計上します。つまり購入したときにお金は払ったとしても、会計上毎年その費用を分けて少しづつ計上する。 逆に少しずつお金を計上して費用にした結果、耐用年数が来ますので、費用が完全に計上された時点でその設備の価値は0円になると見ていい。つまり備品の資産価値が減っていく、その部分の支払いをしたと会計上見なすわけです。 減価償却の基準は（つまり購入費を毎年どう計上するか）省令や法律や業界の制度などによって、あらかじめ決まっているので、経理の際には、その制度に従って経理処理する。 ===国民経済計算=== 国民経済計算の指標として知られるGDP（国内総生産）やGNP（国民総生産）から、その国の資産の減価償却の金額を差し引いた金額のことをネットDPまたはネットNPといい、それぞれNDP（国内純生産）またはNNP（国民純生産）と略記します。 つまり、 :NDP ＝ GDP － 減価償却費 :NNP ＝ GNP － 減価償却費 です。 Net domestic product. 正味の、純粋な国内の生産。net はフランス語由来の形容詞で cleanを意味し、「網」を意味する同じ綴りで古英語由来の net とは別系統の英語のようです。 国内総生産は、国内の事業者の売り上げから、原材料費（中間財・サービス）の支出を引いた物を積算したもので、国の生産、事業や労働で生み出した付加価値を示していると考えています。 一方減価償却費は、その間に建物、車両、産業機械が劣化し、それを現状に戻すための価格を示していて、生産分からその分消費、減耗しているともみなせるので、NDP は国内の生産の状態を知るための別の指標として提示されています。 GDP やGNP の頭文字G はグロスの略で、Gross は、会計でいう粗利（あらり）を示す形容詞です。会計学でいう「粗利」とは、売上高から売上原価（その商品をつくるために掛かった費用）を差し引いたものです。 人件費は引かず、支払う税金も引かず、原価（原材料）だけ売上高から引き算する。それが粗利（あらり）です。 粗利を英語で gross profit と言います。 profit とは「利益」「利潤」という意味です。 つまり仕事をして生産した分だけ利益になると見ていいと思います。 GDPの算出式は、 :GDP = 家計による支出＋企業による支出＋政府支出＋（輸出－輸入） :GDP = C + I + G + (X − M) 、[[w:en:Gross domestic product]]、[[w:国内総生産]]、などを参照してみてください。 C とG とI は最終財・サービスに対して行われた支出を数えます。事業者が行った生産の積算は、最終的には最終財・サービスに対する支出になります。 家計はほぼすべて、最終財・サービスに対して支出しているでしょう。 企業は、中間財・サービスに支出してそれをもとに生産し、一方で最終財・サービスを購入することもあるでしょう。 中間財にしろ最終財にしろ、輸出したものは国内の支出には含まれませんね。 C + I + G + X に含まれる中間財、最終財（最終財はそれまでの中間財の生産価値を含んでいる）のうち、輸入したものは国内の生産には含まないでしょう。 GDPの計算基準は国際連合が決めたものがあり、定期的に改訂される。[[w:2008SNA]]等の記事も参照してみて下さい。 C + I + G + X と M が同額なら、事実上 GDPはゼロだが、この場合は輸入したものをすべて消費し、さらに輸入したものをそのまま輸出していることになるから、矛盾ではない。 なんらかの生産行為が行われているなら、事実上GDP がゼロになる事は無いだろう。 しかし、経済分析として、前編集者の指摘が完全に無意味だという訳ではない。 分析の精密さのためには貸借対照表のように複式簿記的に扱うべきであるという意見はある。 家計による国内消費額の総計、企業支出の総計、政府支出額の総計、輸出額の総計、輸入額の総計、といった金額をそれぞれ個別に計測して、それらの金額を比較することにより、複式簿記的に分析することにも意義はあるだろう。 前編集者の指摘として、経済分析において、 :産業関連表、 :資金循環表、 :国民貸借対照表、 :国際収支表、 などの統計表を、経済系の省庁は作成する事が望ましい、という（※ 参考サイト [http://www.keikyo-center.or.jp/old/tool/pdf/sna.pdf 国民経済計算の見方、使い方] 財団法人 日本経済教育センター）。 GPD と産業関連表を関連付ける、複式簿記にたとえて議論する、などの発想は、各種書籍にも記述されているという<ref>塩澤修平『経済学・入門』、有斐閣、2021年、4月30日 第3版 第5刷 発行、P202、P258</ref>。 ===確定申告、減価償却、国民純生産=== 国民純生産を計算するためには企業の減価償却の金額の情報が必要でしょう。この金額において、経済全体で固定資本の減耗分は測定しづらい、正しく推定できないという主張もあります。 企業も確定申告するので、自社の減価償却費もその時点で税務署に申告します。 減価償却費に応じた税金の控除もあります。建物、車両、産業機械は必要経費ですからね。 減価償却の計算のルールは、日本の国税庁などの省令や、または経理業界などの制度によって、厳密に定められています。 税に関する申請は虚偽があると罰せられるので、その意味では、企業の減価償却費のデータはおおむね正確だろうと考えられます。 なお、個人でも企業でも確定申告は2種類ある。 :比較的に簡単に計算できるが（税の）控除の特典の少ない「白色申告」 :事前の申し出が必要でさらに計算方法も厳密で難しいが控除の特典が多く、多くの場合納税額が少なくなる「青色申告」 多くの企業が基本青色申告を利用している。 ===フローとストック=== フロー（英: Flow）とは、一定期間内に流れた量をいい、ストック（英: Stock）とは、ある一時点において貯蔵されている量をいう。以上Wikipediaから引用。 ある関数がある時、その微分がフロー、その関数を積分して元に戻すとストック、と、いう事も言えるかもしれません。ただし積分は積分定数を持つので、フローからだけではストックを作れません。 この節では前編集者が試みた経済学を会計学と関わらせて語るという試みを、現編集者が多少修正して記述している。 簿記（ぼき、英語: bookkeeping）とは、企業などの経済主体が経済取引によりもたらされる資産・負債・純資産の増減を管理し、併せて一定期間内の収益及び費用を記録することである。再びWikipediaから引用。 普通高校では簿記の学習はない。主に資格取得としての学習だというイメージはある。 ====お金に関するフローとストック、具体例==== 例えば… Aさん：貯金が10億円あって1億円の家に住んでいるが、就職していなくて給料の収入が0円。 Bさん：貯金は1000万円で3000万円の親元の実家に住んでいる、会社勤めしていて年収が500万円。 話を簡単にするため、AさんもBさんも株投資や不動産投資はしていないとする。 経済学や経営学では、貯金や、保有する不動産や保有株式そのものの相場での購入費用などの金銭的価値などを合わせてストックとする。 いっぽう、収入や、株の配当益、不動産などを他人に貸したときの賃貸収入などの運用益はフローですね。 つまりAさんはストックが11億円で、フローは日々の支出という事になります。 Bさんは、まあ、ストックは4000万程度、日々の収入や支出がフローになる。 AさんBさんの生活、どちらがうらやましいか、意義がある生活か、豊かか、などの議論は無意味でしょう。人生いろいろ、お金も色々経済もいろいろ。 ===会計との関係=== 複式簿記などの会計の勉強をするときは、簿記では「フロー」と「ストック」という用語こそ使ってないものの、フローとストックを区別することになります。 GDP や GNP はフローについて語っていると見ていいですよね。 経済計算ではフローに関する話題の方が多いでしょうか。 例えば国家全体に関するストックを見るには、まず国家貨幣がどのくらい流通しているか、そしてその他に金銭的価値を持つものとして、土地、建物、証券、各種動産不動産、機械類や芸術品、貴金属・宝石など、価値のあるものはすべて資産としてのストックになるでしょう。 過去のある年度から現在までの各年ごとのGDPの累積額をストックとする計算法もあります。 しかしGDPとは生産その物で、生産物には資産として残るものもあるが、一方でその場で消費されるもの、無形の行為も生産の一つではある。 固定資産、建物や機械設備などの減価償却によって、ストックの資産価値は下がっていくと見れるから、ネット計算で、つまり国民純生産（NNP）の累積額で計算する方式をとる方が良いかもしれない。 ==諸概念== === 機会費用 === 経済学上の概念の一つとして、機会費用（opportunity cost<ref>『ビジネス基礎』、実教出版、令和2年12月25日検定、令和4年1月25日発行、P62</ref>）、というものがあります。 端的に解説すると、ある状況で最善の選択をした時に、残されたほかの可能性で最善の物の価値を言います。 例えば… 大学4年生が今年卒業だったはずなのに留年してしまった場合… ならばその年は普通就職して200万円くらい年収があったはずなので、これが機会費用になりますね。 つまり留年というのはそれほど最善手ではありませんが、図らずもしてしまった場合は、200万の機会費用を費やして、その状態に至ったと見る。 そして留年した場合はさらに学費もかかりますね。これは一般的には機会費用ではなく、学業のための費用になります。 しかしこれはあまりいい例ではないように思える。 前編集者の記述に基づいてこの例を書いたが、そもそも機会費用の議論というのは、経済行為のうちの収益が多い最善手を見つけ出したいがための議論だろうし、いくつかの行為の可能性を見た上で、どれが最善手か知るための議論でもあるだろう。仮に機会費用が多くかかっても、その行為に意味があると見なす場合もある。 ===パレート最適=== Pareto efficient. 他の誰かの状態を悪化させることなしに、ある主体の状態を改善できないこと。つまりその主体の現在の状態は改善できる可能性はあるのだが、それは必ず他の主体の状況の悪化が必要になるので、これ以上は改善を試みないのが正解、社会的に最適な状態とみる。 イタリアの経済学者、パレートが提唱した概念。 パレート効率と呼ぶこともある。つまり個人では最適ではないが社会的には効率の良い、いい状態だという事だろう。 パレート効率的な状態、具体的には、100人の民間人がいてある生活を続けている時、 政治家が特定の主体の状況を良くしたくて政策を変えたとして、どう政治行動しても、その100人の誰か一人以上に不利益・不満などを与えてしまう事になるのなら、経済政策を変える前のもとの状態がパレート最適、パレート効率的という事になる。 しかしパレート最適な状態にある時、それが本当に一般的な意味で最適、最高の状態であるわけではないだろう。 とりあえず状況を変えると誰かが必ず悪い状態になるのだが、Aが多少悪い状態になったとして、Bが少しでも良い状況になる方が必要、危急かもしれない。 そもそも最初の時点でAが不当に良い状態で、Bが不当に悲惨な状態かもしれない。 そしてパレート最適な状態も複数ある。この効率を得ているのは一種の平衡状態だが、最善ではない。徹底的に最善を求めた時、必ずパレート最適の複数のうち一つになるだろうか? そもそも最適な状態とは何? 誰にとって? 社会にとって? 社会とはだれのこと? そこに含めていない人はいない? 経済学者スティグリッツは、パレート効率的とは単に効率的でない状態よりは多少ましな状態に過ぎないだろうと書いている。経済学で言う「効率」とは、通常パレート効率の事だろう、という。出典、『スティグリッツ入門経済学』（和訳は東洋経済から）。 しかし最初の定義に戻ると、ある特定の主体の状態が問題になるわけだから、その特定の主体の状況を改善させる必要がどうしてもあるなら、パレート平衡を破って他の主体の状態を悪化させることになるだろう。 === 価格統制 === 経済政策の経験則として、（独占市場ではなく）競争市場における価格統制は、結果的に混乱をもたらすことが多いとされ、あまり好ましくないという。クルーグマンやスティグリッツやマンキューなど、多くの経済学者も、彼らの教科書で、それを説明している。 クルーグマンは、ベネズエラ国のチャベス政権での食料価格統制の結果として、ベネズエラ国で食糧難が実際に起きたと主張している。 価格を低く強制するなら、供給は減るだろう。 スティグリッツは、価格統制という方針は政府の市場介入としては悪手だ、という。 むしろ買い手に補助金を与えては?、という事だが…。 クルーグマンは独占市場では、価格統制も世の中に不利益を与えないという。 一方現実では、ニューヨーク、借家業界では家賃の価格統制が行われている。クルーグマンやマンキューは、この家賃の（上限）価格統制により、おそらく修繕などの費用が削減されて、低品質な住宅が供給されている、と指摘している。 価格の上限、価格統制、行政などが、超えてならない価格を設定することを英語では price ceiling といい、日本語では「価格の上限」または「上限価格」と訳す。 下限価格(price floor)規制もまた、別の問題を引き起こす。輸入品が極端に安価になると、自国の農業を助けるために価格の下限を決めるが、供給過剰になり、政府の買い上げなども起きる。 買い上げた後の廃棄なども起きるだろう。事実上売れなかったり、価格暴落を下げるため、最も下限価格はあるのだが、市場の自然な圧力は発生する。 下限価格により、自然な状態より値が高いので、過剰品質やオーバースペックなサービスの付加にもつながる、と、クルーグマンなどは説明する。 === 失業 === ====フィリップス曲線==== フィリップス曲線という理論が知られていて、インフレ率と失業率は、おおむね反比例すると主張されている。 これは、日本の1950年代～1990年代まではよく当てはまる<ref>福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』、有斐閣、2016年3月30日第5版第1刷、299ページ</ref>。 しかし、第二次大戦後から2000年までのアメリカ合衆国はこれに当てはまらない<ref>福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』、有斐閣、2016年3月30日第5版第1刷、302ページ</ref>。 インフレ率と失業率を加算した指標のことをミザリー指数（misery index）（ミザリーとは「悲惨な」というような意味の英語）というが、第二次大戦後のアメリカ合衆国ではこの指数は通常10％前後だが、1975年と1980年にミザリー指数が上昇して数か月～1年程度のあいだ20％近くになり、悪化した。 フィリップス曲線はもともとは、失業率と貨幣賃金上昇率に関する議論だったが、これが後に物価上昇率に関しても言われ始め、さらにT.フリードマンは、ここでは実質賃金上昇率について考えるべきだと主張し、さらに、予想物価上昇率も加えた新しいフィリップス曲線を提唱した。 ====構造的失業、摩擦失業、需要不足失業==== 構造的失業（structual unemployment）。企業が求める労働者の性質や地域、と労働者側の状況、条件が異なっているために、景気や需給関係では解消されない慢性的な失業。求人ニーズと求職者ニーズが一致せず、ミスマッチが起きている。 需要不足失業。求人が減っている、景気後退期に起きる。 摩擦的失業（frictional unemployment）。次の仕事を見つけるための過渡期、仕事自体は簡単に見つかるが、そこに就くまでに失業状態がある。 世の中の傲慢な愚か者たちの間では、失業するのは本人に何らかの問題があるから、能力や適性がないから、との考えが根強いようで、とりあえず公共の失業対策では、いい加減な講師による職業教育、訓練がなされるが、基本的には馬鹿げたことだろう。 勿論特定の職業実践に有効な、訓練や学習は確実に有意だが、現実にはそれが適切に提供されているとはいいがたい。 例えばこれはフィクションではあるが、カンヌ映画祭でパルムドールを獲得した、『[[w:わたしは、ダニエル・ブレイク]]』などを観ると、この問題の周辺でいかに馬鹿げたことが現実に起きているか良く解るだろう。 基本的に失業問題で公共がする一番の、そしてあるいはひょっとしたら唯一の重要事は、求職者と求人者の間の関係、橋渡しを上手に作る事だろう。 ;完全雇用 full employment. 現行の賃金水準で就業を希望する人、そして就業に適した状態にあるすべての人が雇用されている状態。ケインズは非自発的失業、摩擦的失業、自発的失業の3つの分類を語り、求人需要が十分で非自発的失業の無い状態を完全雇用と考える。 ;季節的失業 たとえばアメリカでは、建設業では、冬はほぼ毎年、仕事が減るのでその業界での失業者が増える。特定の季節にだけ失業者が増える業界があり、このような定期の失業のことを季節的失業という。 ====自然失業率==== natural unemployment rate. 期待インフレ率と現実のインフレ率が一致し，実質賃金による労働力需給の調整が達成されるような長期均衡状態において成立する失業率。 …というのは、ブリタニカ小項目事典からの引用だが、 この文章からだけでは、どういう事か理解するのは難しいだろう。 前編集者は実際にはあまり「自然」に見えない、と記述しているが、本来の、短期ではなく長い目で見ると行き着くであるだろう、失業率、という意味で、自然という言葉がそれほど"不自然"、な訳ではない。 基本的には多少の失業者はいるものだろう、摩擦的失業や、自発的失業、そして口では働きたい働きたいと言いつつ、実際には人間はあまり働きたくない^^;;;、何となく失業者になりたがっている^^;;;;;…。 自然失業率という概念は、主にフリードマンが提唱したらしい、フィリップス曲線からの類推から、インフレにより失業率が減らせるという主張があり、それに対する反論でもある。 20世紀後半の代表的な経済学者サムエルソンが、自然失業率を正確に測定できた者は いまだに一人もいないと、著作『経済学』で述べている<ref name="nm">根井雅弘『サムエルソン『経済学』の時代 』、中央公論新聞社、中公選書、2012年1月10日初版発行、P68</ref>。 仮に自然失業率なる概念が明確に規定できるなら、我々の社会でその値がある程度明確に時間に応じて存在すると見れるだろう。それを統計調査で測定し、明らかにしたいのだが、この測定はやはり完璧に正確にはいかない。しかしサムエルソンの主張はそれ以前の問題。概念も測定もいまだ相当あいまいだという主張だろう。 サムエルソンは2009年に死亡した。彼は自然失業率は、長期的には安定した数値ではなく、そのため、ある程度の幅を持っていたり、あるいは複数の幅を持っている<ref name="nm" />、と云う。 冷戦崩壊や日本の1990年前後の不動産バブルについてはサムエルソンの著作は言及できたものの、しかし2008年前後のリーマンショック・サブプライム危機については言及が乏しいと考えられる（※ wiki著者がまだ未確認）。 余談だが、サムエルソンの経済学教科書『経済学』は、日本では『サムエルソン経済学』などと言われるが、実際は1985年以降の版は経済学者ノードハウスとの共著である（和訳本『サムエルソン経済学』の表紙を良く見ると、原著者ノードハウスの名前も入っている）。 =====自然失業率の算出===== 景気の変動などで実際の失業率はやや周期的に波上に上限に変動するだろう。 実際の失業率を、一定期間の平均的な高さの曲線でならしたものが自然失業率である、という見方がある。 この平均曲線の失業率と、実際の失業率とのずれの分を、循環的失業（cyclical unemployment）、とも云う。 フィリップス曲線の理論と関連づけるなら、インフレが進行したときの失業率の減少は、この循環的失業の部分だとされている（とスティグリッツは言う）。また、政府の経済対策などの成功によって減少できる失業率も、この循環失業率の部分だけである（と、スティグリッツは言っている）。 しかしマンキューは、スティグリッツのような意見には反対していて、自然失業率は経済政策の影響を受けないとは限らない、と主張している。 このスティグリッツとマンキューの差異のように、自然失業率の細かい定義はあまりはっきりしていない。 ==実質という指標== 貨幣は絶対の固定された価値を持つものではない。経済の様々な指標は貨幣値で示すものだろうが、時期により貨幣の価値は変動している。だから様々な指標に貨幣の額面ではなく、物価の変動を考慮した補正を加える。 これが、実質〇〇（real 〇〇）だろう。具体的には、実質GDPや実質利子率などがある。 たとえば、実質利子率は、次のように引き算で定義される。 :実質利子率＝名目の利子率－未来のインフレ率の予想値 例えば、まあ金額が少なすぎるが、例え話で銀行に100円預けたとしよう。これで、1か月後に利子が10円つくとする。これで名目利子率は、10% 。そして一か月後に10％のインフレになると予想されていると、実質利子率は0%だよね。これはどういうことだろう? 仮に予想通り、一か月後に10%のインフレ、物価高になったら、100円で買えたものには110円払わなければいけなくなる。名目利子率が10％なら、戻ってくるお金は110円だろう。つまり実質の利子は0％、預けたお金と同じ価値の貨幣が、銀行から返ってくる。 そして、もしこのインフレ状態で銀行に預けず、その資金を投資にも回さなければ、持っている100円の価値は100/110に下がっているだろう。 だからもし実質利子率がマイナスになっても、インフレで貨幣の価値は下がるが、事実上利子はつくのだから、やはり銀行に預けた方が得という事になる。 しかし予想値はあくまで予想値、この辺なんらかの欺瞞も、現実には多くあるような気もする。 ===物価の指数、インフレ率をどうやって導くか?=== 物価高とか、物価が低いと言ったところで、商品やサービスごとに価格の変動は異なるだろう。 インフレ傾向だと言っても、価格が下落している商品もあるだろう。 そこで総合的なインフレ率、物価動向を示す指数は、様々な算出法が考えられることになる。 「物価指数」とは、市場にある数種の商品の価格を実際に行政が調べて、基準年から何倍になったかを表している。 たとえば、リンゴでもハンバーガーでも何でもいいのだが、たとえばリンゴが基準年から20% 価格上昇したら、リンゴの物価指数は1.2（＝1＋0.2）ですね。 そして物価指数というのは、社会の物価を総合的に示す指数であるので、いくつもの商品の価格の変動を考慮して算出する。 そして消費者にとって重要な商品と、生産者にとって重要な商品は違う。 だから、「消費者物価指数」（CPI, consumer price index）と「生産者物価指数」（PPI, producer price index）という、それぞれ別の物価指数が算出されている（少なくともアメリカでは）。 さらに、GDPの計算のときに使う物価指数は「GDPデフレーター」といい、消費者物価指数とも生産者物価指数とも異なる。 GDPデフレーターは、名目GDP から実質GDP を求めるときに算出する物価指数で、これも、物価が高ければ1 （ 100分率の場合は100 )を超える。 :実質GDP ＝ 名目GDP / (GDPデフレーター[100分率]/100) ですね。GDPデフレーターは実際は100分率で示す場合が多い。 事実上、物価指数の計算方法は、種々多様になるだろう。 GDPデフレーターの算出方法は、「消費者物価指数」（CPI）の方法に近いが、ある程度は異なる。実質GDPは国内総生産（GDP）であり、国内生産に関する商品の価格変化を重視し、いっぽう消費者物価指数（CPI）では、輸入品の価格も比較的に強めに考慮する。 事実上、「GDPデフレーター」とは、実質GDPの算出に用いる物価指数であり、『スティグリッツ入門経済学 第4版』もその文脈で解説している。 消費者物価指数とGDPデフレーターの関係、アメリカでは、1970年代の（2度の）石油危機のときに、2度、値が乖離した。 いっぽう同じ1970年代の日本では、CPIとGDPデフレーターはあまり、乖離しなかった。 ==金持ちはけち？いやー金持ちだろうが貧乏だろうが、けちな奴はけちだし、太っ腹(放蕩?^^;;;)なやつは太っ腹じゃあない^^？== ===先ず…=== GDPが高い国家は、消費も多くなるだろう。 消費額をCとして、所得をYとし、比例係数 k を用いて式 :C≒kY が、成り立つと考えてみよう。 所得以上に消費することは普通無いので、 :k<1 と、してみる。 また、ミクロ経済では、需要Dを、 :D ＝ j×Y ＋ 定数 の式で示す試みもある<ref>小室直樹『小室直樹の経済原論』、東洋経済新報社、2015年6月11日発行、P509</ref>。このような立式で、需要、消費、所得などを、数理的に議論する事が可能になる。 === 限界消費性向 === さて、誰がけちで誰が太っ腹かの話は、はっきり言ってどうでもいい事だろう。 先ずここで「平均消費性向」という言葉を提示する。これは、可処分所得に対する消費支出の割合の事だ。 ある人がある所得を得て生活している時、その可処分所得の中から、平均消費性向の分だけ消費として使っている訳だ。 そしてこの人の所得が増加した時、増加分のうち、消費に回す割合を、限界消費性向（MPC、marginal propensity to consume）、と、いう。 一般に経済学では、何か（金額など）の投入を1単位ぶん増やしたときに、増える出力の割合のことを「限界〇〇」という。 アメリカでの調査では、所得の大小に関わらず限界消費性向は0.8～0.9である、と、言われている。 クズネッツは1869～1938年の統計を見ると、限界消費性向は0.9である、と記述する。 ここで、仮に平均消費性向も0.8~0.9であるとすると、縦軸に消費額をとり、横軸に所得（可処分所得）をとると、このグラフは傾き0.8～0.9の直線になる。（『スティグリッツ入門経済学 第4版』、薮下史郎ほか訳、東洋経済、2012念4月5日 発行、）（クルーグマン『マクロ経済学』、大山道弘ほか訳、東洋経済、2009年4月2日発行、315ページ） だから、平均消費性向と限界消費性向の値が一致するなら、所得と消費は比例式だから、単に所得の内のある割合が消費になるし、そうでないなら、所得が増える程、財布の紐を締める、或いはその逆、という議論が可能になるだろう。 ===消費関数=== クズネッツ型の消費関数(consumption function)とは、前述した :C≒kY 、である。 日本などいくつかの国では、所得が増えるほど消費の割合が低くなる、という現象が、統計として見られる。 これはケインズ型の消費関数↓を使うと、うまく表現する事が出来る。 :c ＝ a + MPC × Yd :c: 消費 :a: 独立消費水準 :MPC: 限界消費性向 :Yd : 可処分所得 MPC＜1 でないと、一般的には意味を持たないだろう。 式中のaの部分、所得によらずにする消費のことを独立消費（antonomous consumption）というが、日本では基礎消費ともいう（※: 『基礎消費』の参考文献: 福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門 第5版』、有斐閣、2016年3月30日 第5版 第1刷 発行,32ページ） 独立消費水準が0 なら、これはクズネッツ型の消費関数だが、一般的には、クズネッツ型は比例式、ケインズ型は、所得に応じて消費の傾向が変わる状況を示す関数とみる。a>0 なら、所得が上がるごとに平均消費性向は下がっていくだろう。 中谷巌『マクロ経済学入門 ＜第2版＞』（日本経済新聞社、2007年1月15日、2版1刷、32ページ）は、1992年から1997年の日本の消費関数を :C＝76＋0.61Y としている。<!-- すじにくさん、これ単位は何なの?千円? --> 有斐閣アルマ『マクロ経済学入門』（福田慎一・照山博司,38ページ）によると、2004年、2009年、2014年の日本では、低所得者の平均消費性向は0.9に近く、年収1250万円ていどの所得者の平均消費性向は0.6～0.7程度と低い。 ケインズ型の関数はより一般化されているから、所得に応じた平均消費性向の変化を表現する事が出来る。 現編集者としては、このクズネット型とケインズ型の消費関数の違いについてああだこうだ議論することに大きな意味があるとは思えないが、長期スケールではクズネッツ型の短期スケールではケインズ型の消費関数が当てはまるという指摘もある。 しかしこれは本当だろうか? 短期の所得と消費の関係、長期にわたる所得と消費の関係、この兼ね合いは、まず数理的な扱いの検討が必要になるだろう。短期スケールと長期スケールが独立してあるわけではなく、短期スケールの積み重ねが長期スケールになる。しかし、この問題をそんなに徹底的に考える意義はあるだろうか? また前編集者はさらに、この問題には、「ライフサイクル仮説」という学説、も関連話題としてあり、多くの大学生向けのマクロ経済学の教科書で解説されているという。 *クズネッツ型とケインズ型 [[File:Consumption function of Kuznets and Keynes type compatible japaneseB.svg|thumb|500px|※ これは架空のグラフです。]] 数学的には、クズネッツ型の比例式を一次関数に一般化したのがケインズ型の消費関数だろう。 さて、今具体的なある年を考えて、この年に日本国籍を持っていた人物、というのは具体的に上げて、数え上げることができるだろう。そしてその具体的な人物の年収も、その年収のうちその年にいくら消費したのかも、具体的な数値、金額として示すことができるだろう。 例えばその数値を、1950年から、1999年まで、すべての日本人について、右のような所得→消費のグラフにプロットしたとする。 これを比例式で回帰したら、クズネッツ型の消費関数になるだろうし、普通に回帰直線を描いたら、ケインズ型になるだろう。 また、全てのデータを使わずに、1950年代、1970年代、1990年代、と、データを分けて回帰すると、おそらくケインズ型の回帰が見られるだろうし、あるいはまた、特定の傾向を持つ少数の人物の、長い時間にわたるプロット、例えばその間にインフレが進行するとか、あるいは所得も上がっているかもしれません、を回帰すると、クズネッツ型の関係が見いだされるかもしれません。 右上のグラフはそういう統計手段についてのイメージ図ですが、参考文献: 福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』37ページ図、2-3 にある第二次大戦後の昭和の日本の家計消費のグラフを、参照して作っています。 {{-}} *ピケティの言 クズネッツ型の、所得と消費の比例式は、主に所得格差の小さい時期に見られる様だ。 フランスの経済学者ピケティは、クズネッツ型の消費の比例関係は、アメリカで大戦後一時所得格差が小さかった時代、或いは社会経済の動乱期のデータで<ref>トマ・ピケティ『21世紀の資本』、訳 山形浩生・森岡桜・森本正史、東洋経済、みすず書房、2015年1月15日、13ページ・15ページ</ref>、格差自体は、どんどん広がっているので、消費は、ケインズ型の一次関数になっていくだろう、と、指摘する。 * 乗数効果 さて、あなたが消費したお金は、誰かが受け取り収入になる。その誰かもまたそのお金を消費すると、また別の誰かの収入になる。 お金や人々の手から手へ廻っているのですね。 では今、ある人、 Aさんの年収を 1000万円としましょう。そして、現実にはあり得ないことですが、 Aさんが消費したお金はすべて Bさんの収入になるとしましょう。そして同じような関係が、 Bさん、 Cさん、 Dさん、…と、続いていくとしましょう。そして今平均消費傾向が限界消費傾向 MPCと等しいとすると… :Aさんは 1000万円 の収入を手にしたので MPC × 1000万円 の消費をすることになる。 :Bさんは MPC ×1000万円 の収入を手にしたので MPC² × 1000万円 の消費をすることになる。 :Cさんは MPC² ×1000万円 の収入を手にしたので MPC³ × 1000万円 の消費をすることになる。 :Dさんは MPC³ ×1000万円 の収入を手にしたので MPC⁴ × 1000万円 の消費をすることになる。 つまり、一人の消費が、別の消費を数珠つなぎに引き出していることを示したいのです。 ここで、このつながりが n人に及べば、Aさんの消費が最終的に :<math>MPC+MPC^2+MPC^3+MPC^4+\cdots+MPC^n</math> 倍の消費を生み出したことになる。 収入の和を考えれば、 Aさんは 1倍の収入があるから、 :<math>1+MPC+MPC^2+MPC^3+MPC^4+\cdots+MPC^n</math> これは等比数列の和ですね。 ここで無限に足し合わせた級数を考えると、0<=MPC<1 に注意して、 <math>1+MPC+MPC^2+MPC^3+MPC^4+\cdots+MPC^n+\cdots= \frac{1}{1-MPC}</math> と、なります。 実際には人口は無限でありませんが、十分に大きい数をとると、この値にほぼ近くなるとみていいでしょう。 そこで消費傾向が0.9 なら、<math>\frac{1}{1-MPC}</math>は 10になる。 このように、何らかの消費や投資の効果は増加、増殖する、と、考えられています。 さて、 :1－MPC は貯蓄性向（正確には限界貯蓄性向 MPS）。 そこで、 :<math>\frac{1}{1-MPC}=\frac{1}{MPS}</math> になります。 ここでは、0<MPS<=1 ですね。 つまりこの発想で考えると、貯蓄の割合を多くすると世に出回るお金の量が少なくなり、社会経済、景気が停滞し、発展が閉ざされ、生活が貧困になる、つまり合成の誤謬が成立するわけです<ref>[http://park.saitama-u.ac.jp/~yanagisawa/het10/44-61.pdf 『第５章 ケインズの経済学』P51]</ref>。 *預金は銀行が借入しているのだろう {|class="wikitable" style="float:right" |+ 信用創造 ! 銀行・借入者 !! 預金・借入金 !! 支払い準備金・内部留保や消費 !! 貸し付け金・預金 |- ! A銀行 | 　100万円 || 　20万円 || 80万円　 |- ! B企業 | 　80万円 || 　16万円 　 || 64万円 |- ! C銀行 | 　64 || 　12.8 　 || 51.2 |- ! D企業 | 　51.2 || 　10.24 　 || 40.96 |- ! 以下省略 | 　 || 　 　 || |- ! 合計 | 　500万円 || 　100万円 　 || 400万円 |- |} 家計が銀行に預金をすると、銀行にとって貸出資金が増加し、それが金融市場に流れ、企業や他の銀行も資金増加になり，社会全体で多くのお金が動くとみなせる、このような考え方を信用創造という。これは高校政治経済でも言及されている。 右の表では、例えば誰かが A銀行に 100万円預金する。 A銀行は預金のうち 80%の 80万円を B企業に貸す。　B企業は、まああまりリアリティのない仮定だが、 20%を運転資金として消費し、 80%を C銀行にいったん預ける。つまり、銀行も企業も 20%を留保または消費して、 80% を他者に貸す。 そうすると預金を債権とみなすとして、 :信用創造された債権総額=元の預金/0.2 と考えることができる。 これは前述した等比級数の考え方だ。 :信用創造された債権総額= 元の預金× (1 + 0.8 + 0.8² + 0.8³ + ･･･) ::= 元の預金×（1/(1-0.8)） 預金だけを考えれば、 :信用創造された預金総額=元の預金/(1-0.8²) に、なるだろう。 信用創造を考えるとき、元の預金のことを「本源的預金」ということもある。 しかしこれは又貸しモデルといい、実際の信用創造のモデルとは異なる。銀行は契約して預金通帳に金額を書くだけで信用創造ができるので、本源的預金を貸出資金にはしていない。実際の信用創造で増加する預金を万年筆マネーという<ref>[https://www.jikkyo.co.jp/sys/wp-content/uploads/2026/02/9992661283.pdf 中里透『教科書の中と現実の「信用創造論」』、実況出版、地歴・公民資料97号、2023年09月25日 発行]</ref>。 ===ハンセン＝サミュエルソンの乗数・加速度モデル=== さて、ケインズ型の消費関数は以前、 :c ＝ a + MPC × Yd :c:消費 :a:独立消費水準 :MPC:限界消費性向 :Yd :可処分所得 と、記述した。 ここで消費c ではなく、所得Y に注目する。そしてむしろ国全体の所得、生産に着目し、つまり GDPを見るのだが、似たような形式の数理議論がある。 [[w:乗数・加速度モデル]]。 :<math>Y_t=C_t+I_t</math> :<math>C_t = C + cY_{t-1}</math> :<math>I_t = I + v (Y_{t-1}-Y_{t-2}) </math> ただし、 * <math>Y</math>： GDP * <math>C</math>： <math>C_t</math>はt期の消費。<math>C</math>は基礎消費。 * <math>I</math>： <math>I_t</math>はt期の投資。<math>I</math>は独立投資。 * <math>c</math>： 消費性向 * <math>t</math>： t期(時間) * <math>v</math>： 加速度係数 この連立式から、 <math>Y_t=(c+v) Y_{t-1}-vY_{t-2}+(C+I)</math> を導き、時間に対応する数列としての GDPを議論できる。 ==貨幣数量説== まず名目GDP の一番基本的な定義から考えてみよう。ある期間の、ある国に所属する経済主体の、売り上げから原材料費を引いた金額の総和がこれであろう。 そして売り上げそのもの、つまり原材料を引かない金額の総和も考えることが出来るし、そしてこれは大雑把に言えば，GDP に比例しているとみなすこともできる。 そしてまず、このような式を提示しよう。 :貨幣の流通速度 V ＝ 名目GDP / 貨幣量M 速度というのは単位時間ごとの値だが、ここでは例えば、名目GDP が 3か月の値なら、3か月の量を示しているわけだ。 さて、名目GDPは、販売された商品の価格に含まれる製品一個当たりの付加価値 P(販売価格から原価をひいたもの)とその個数の合計 Yとの積 ΣPY に等しい。 :<math>\sum_{k=1}P_k Y_k=P_1 Y_1+P_2 Y_2+P_3 Y_3+\cdots</math> つまり、こうですか。 :MV＝名目GDP＝<math>\sum_{k=1}P_k Y_k</math> さて、先ほど売り上げそのもの、つまり原材料を引かない金額の総和について書いたが、これは荒くとらえて名目GDP に比例するとみてみようと言及したが、製品一個の付加価値ではなく価格をP' とすると、 :bMV＝b*名目GDP＝<math>\sum_{k=1}P'_k Y_k</math> そこで、貨幣の流通速度の別解釈を提示しよう。 :貨幣の流通速度（別） V' ＝ b*名目GDP / 貨幣量M これはこうなるでしょう。 :MV'＝<math>\sum_{k=1}P'_k Y_k</math> さて、ここでですねー、こういう値を考えたい。 <math>Y=\sum_{k=1}Y_k</math> こうなると、この値、P' を求めることが出来るでしょう。 P'=<math>\frac{\sum_{k=1}P'_k Y_k}{Y}</math> 結局 MV'=P'Y :菅原晃『使えるマクロ経済学』、中経出版、2014年10月14日 第1刷発行,178ページ、 :では、『貨幣数量説』の公式として、 ::「貨幣量×世の中を回った回数＝物価×取引量」 とある。 :菅原晃『使えるマクロ経済学』、中経出版、2014年10月14日 第1刷発行,203ページ、 :では、『貨幣数量説』の公式として、 ::「供給:貨幣量×世の中を回った回数＝需要:物価×取引量」 とある。 この形の公式を「数量方程式」（quantity equation） と呼んでみましょう。また、この公式であらわされる学説を「貨幣数量説」という場合もある。 右辺に価格が入っているので、物価のインフレまたはデフレの解析に、この貨幣の流通速度の理論が使えそうだと経済学では思われている。 アメリカ経済学の教科書のスタイルではP×Y は 名目GDP に等しいと説明されるが、P' と同様に一般的な付加価値、P を求めることが出来るから、正しい主張でしょう。 PをGDPデフレーターとして、Yを実質GDPとして :MV ＝ PY という書き方が、各種教科書でなされることも多い。どちらにしろP*Y は名目GDPになるわけです。 前編集者は :MV'＝物価×取引量 ∝ 名目GDP :MV'＝物価×取引量 ∝ 実質GDP × インフレ率 という関係式を得て、それを経済モデルに合うように連立させることが重要、と記述していたが、現編集者はこの手の数理議論にはあまり大きな意味はないと思っている。 ===マーシャルのk=== さて、前項で、 :MV＝名目GDP=PY :MV'=P'Y :M:貨幣量 :V:貨幣の流通速度α :V':貨幣の流通速度β :P:一般化された付加価値 :P':一般化された価格 :Y:財、サービスの取引数 ここで前回の議論にもあったように、 P'Y=b*PY としてみると、 M=(b/V')*P*Y そして、 M=k*P*Y このk が、マーシャルのkであるかは定かではないが、彼の議論の片りんを見るものとみていいだろう。 統計的には k は定数ではない。（※参考文献:中谷巌『入門マクロ経済学 第5版』、日本評論社、2007年3月30日第5版第1刷発行、192ページ） たとえば中谷は参考文献『入門マクロ経済学第5版』で、日本では1970年代はマーシャルのkが 0.7 程度だったが、しだいに増加していき、2004年には k は 1.4 程度であるとグラフで図示している。 :※福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』（有斐閣、2016年3月30日第5版第1刷発行、141ページ）では、文中に「右辺の定数k」とある。しかし、中谷の文献で紹介されるように、統計的にはkは定数ではない。数学的にはkは、「右辺の'''係数'''」である。 k=b/V'でもし bが定数なら、貨幣の交換が少なくなるほどk が大きくなる。 だから、いわゆる「デフレ経済」と言われる日本の1990年以降の時代（平成初期の不動産バブル崩壊の以降の時代）でマーシャルのkが増加するのは常識と一致するのだが、しかし中谷の文献のグラフを見ると、1970年代も1980年代でもマーシャルのkは増加傾向であるのが、グラフから読み取れる。（しかし中谷は、不動産バブル崩壊以前のマーシャルのkの増大には注意を払ってない。） そしてこの式は、こう読める。 :M＝k*名目GDP （参考文献:菅原晃『使えるマクロ経済学』、中経出版、2014年10月14日第1刷発行,203ページ。この文献では「貨幣量＝GDP」という図とともに「k％ルールが有効！」という文言が図中にある。 ） このkを、経済政策の目安にするのが良いだろうという学説があるらしく、フリードマンがそのような学説を提唱したらしい（菅原の文献を読んだ限り、そういう印象を受けた。By E.Suj.）。 ==インフレは好ましいか?== 経験的に、経済政策として、インフレ率2～4％程度の緩やかなインフレを目指すことが、多くの国で行われている。 クルーグマンが『マクロ経済学』（2009年版、472ページ）で報告するには、アメリカのFRBは方針こそ断言してないが、その実行結果から、2～3％ていどのインフレ率を好んでいる、と、云う。また、イングランド銀行はインフレ率を2.5％とすると明示的に公表している、と同ページに記述されている。 なお、この2%のインフレ率のように、比較的に低率でのインフレのことをクリーピング・インフレ（creeping inflation）という。クリーピングとは「しのびよる」という意味の英語である。1～3%程度のインフレ率が、クリーピング・インフレだと言われている。 また、スティグリッツは、もし政府がインフレを嫌ってデフレを誘導すると、一時的には失業率が増加する、と述べている（『スティグリッツ入門経済学 第4版』東洋経済、432ページ）。 しかし、この低率のインフレが好ましいという議論は、論理的に明快に因果関係が説明されているわけではない。少なくとも、『クルーグマン マクロ経済学』や『スティグリッツ入門経済学』を読んでも、そのインフレ率2～3%程度が好ましいという論の明確な説明は全く見当たらない。 スティグリッツは、循環的失業の増加は低インフレをもたらし、循環的失業の減少は高インフレをもたらす、と述べているが、しかし彼以外のクルーグマンもマンキューも、スティグリッツのような主張は（調べたかぎりでは）していないようである。 ==ケインズ政策== アメリカの1940年代のニューディール政策は、1930年代のケインズの経済理論が根拠になっている、とよく言われる。しかしそれ以外にも参考にした具体例があったようだ。 例えば、1930年代の日本の高橋是清・蔵相の不況対策で、似たような積極的財政政策がとられている<ref>福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』、有斐閣、2016年3月30日第5版第1刷、194ページ</ref>。 1930年代のドイツでの独裁者ヒトラー政権下でも、ドイツ人経済学者シャハト博士の助言のもとに、公共事業（高速道路アウトバーン建設など）や軍備増強など、積極的にドイツ政府は財政拡大をして投資した<ref>たとえば 犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P142</ref>。もっともこのころのドイツの軍備増強は、誰もが知るところだろう。だからこそ、第二次世界大戦の大騒ぎが実現したわけだ。 まあ軍備増強を公共投資と言っていいのかは疑問だが、当時のヒトラーの経済政策の果敢さは、彼の国内での、あるいは国外でも、人気拡大に一役買っただろう。 詳しい文脈は不明だが、森嶋道夫『思想としての近代経済学』（岩波新書、1994年）に、経済学者ヒックスが森嶋に「戦前はヒトラーの時代であった。戦後はケインズの時代になろう」と述べたことが記されている<ref>小室直樹『小室直樹の経済原論』、東洋経済新報社、2015年6月11日発行、P541</ref>。小畑二郎『経済学の歴史』にも似たような話が書かれている。 1940年代アメリカのニューディール政策はケインズの理論だけではなく、当時の様々な前例も参考に行われたのだろう。 さて近年、2008～2009年ごろのリーマンショックやサブプライムショックなどの対策としても、銀行の救済や公共事業などによる積極財政や金融政策がとられている。 ケインズ政策、ケインズ主義とは、不況対策や経済発展などのために政府が積極的に公共事業や融資や民間への資金援助などを行う政策をいうのだろう。ケインズ自身は、大恐慌に対する処方箋として、利子率の切り下げ（金融政策）と社会基盤への政府投資（財政政策）を示していた。 リーマンショック対策でケインズ政策はひとます成功したし、今でもこの政策が不況対策として有効だと、一般に認知されている。 ケインズの議論はケインズ経済学というマクロ経済学の主要な学派になっている。ケインジアン、という言葉もある。 一方でケインズ政策を実行すると、その国は多くの場合財政が悪化する。具体的には、国債を増発するようになる。第二次大戦後のアメリカ合衆国はそうなった。 この借金による国家運営の問題点をなくすために、ケインズ主義に代わる新しい経済思想がアメリカやイギリスで必要になり、1980年代にはレーガン大統領のレーガノミクスやサッチャー首相のサッチャリズムのような「新自由主義」が政治の表舞台に現れてきた。 *ハーヴェイロードの前提 ケインズ自身は、恐慌の時期には政府は借金をして投資しても、恐慌を脱したら財政規律を高めて赤字財政を回収して均衡財政に戻すべきと考えていた<ref>http://park.saitama-u.ac.jp/~yanagisawa/het10/44-61.pdf P58、2022年4月6日に確認.</ref>。 しかし、実際の多くの戦後先進国では、そのような政策はとられず、20世紀後半に赤字財政に陥った国も少なからず存在する。 WW2戦後のインフレには、このような赤字財政という背景もあったと、経済学者ブキャナンなどの新自由主義者は述べている<ref>http://park.saitama-u.ac.jp/~yanagisawa/het10/44-61.pdf P58、2022年4月6日に確認.</ref>。 ケインズの議論には、政府の経済政策には賢人としての高度な判断があるという、「ハーヴェイロードの前提」がある。ハーヴェイロードというのはケインズが生まれ育ったイギリスケンブリッジの土地で、知識人が集まっている場であった。 戦後の経済がケインズの当初の予想通りの均衡財政にならなかったのは、政治家の堕落（だらく）であり、為政者としての責任感の欠如だ、という指摘もある。つまり「ハーヴェイ・ロードの前提」が政治家に欠けている、という事だろう。 一方ケインズ経済理論を批判するブキャナンたち新自由主義の経済学者は、むしろ「ハーヴェイ・ロードの前提」が非現実的だろう、とも語る。 そして前編集者は、堕落しているのは政治家ではなく、むしろ民衆だろうと記述している。正しい政治家に投票できない民衆がおごりの中で政治家を批判しているだけだろうと指摘する。 しかし仮に民衆が堕落しているのなら、政治家も等しく堕落しているだろう。 全ての人間が公平に堕落しているのが現代社会だろう^^;;;。 赤信号、みんなで渡れば怖くない^^;;; *貨幣錯覚 ケインズの一般理論でも、「貨幣錯覚」については言及されている。本来貨幣は定まった価値を持つものではなく、一般的絶対的な価値に対して、必要な額面が大きくなったり小さくなったりする。つまり財やサービスに必要な貨幣の額面、物価が高くなったり低くなったりするのだ。 だから本来貨幣は名目、額面としての数字ではなく実質の価値が問題になるのだが、実際には人々は貨幣の額面の数字に捉われる。 多くの労働者も、実質賃金ではなく貨幣賃金を見て行動する、という<ref>滝川好夫『図解雑学 ケインズ経済学』、ナツメ社、2010年11月21日初版発行、P60</ref>。 ケインズは緩やかなインフレを肯定した。また、インフレ誘導的な政策が、恐慌の脱出措置としてよく用いられる。 物価が高くなると、実質賃金は下がるが、それに合わせて名目の賃金を上げると、労働者は収入が上昇しているように感じるだろう（か?）。 *利子理論と物価 一般に、インフレなら名目金利を高くすることが可能だという{{要出典}}。 前編集者は物価に関する数理を欲していたが、ケインズの利子理論やそこから導出された、LS-IM分析は，その目的にはかなわないものだという。 ケインズは「一般理論」の著書で，2%という数字を利子率の基準として示した。<ref>[https://ynu.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main&active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=3118&item_no=1&page_id=59&block_id=74 石井力『先物市場の「流動性の罠」』,P82]2022年4月6日に確認.</ref>。一方、21世紀、主要な先進国が採用する物価インフレ目標も多くは2%である。 前編集者は物価と金利を結び付けた数理議論を求めているようだが、そういう論説はあまり世にない様だ。ケインズは金利の理論を展開したが、それと物価を結び付ける議論も、特にあまり見当たらないという。 しかし実際には全くそれがないわけではないだろう。一般的な議論として、政策金利を低くすると借金がしやすくなり、銀行のストックが減り世の中に貨幣が出回る。その結果貨幣量が増え、インフレ傾向、物価上昇傾向になると見れるだろう。 ロイター日本語版の2021の記事は物価目標2%と金利を関連づけて語っている<ref> [https://jp.reuters.com/article/column-suzuki-akihiko-idJPKBN2F60HR 鈴木明彦『コラム：所得増えぬまま物価目標2％達成なら、消費者から悲鳴か＝鈴木明彦氏』]2022年4月6日に確認.</ref>。しかしケインズの議論には言及がなく、その視点での分析も特に書いていない。 一般的に金利が高いと貨幣量が減り、デフレ傾向だが、不況に関してはどうなるだろう? 一般に金利と言えば貸金、預金の利率、貨幣を貸すときの手数料、利益と見ていいだろう。物価は生産物と貨幣の交換率、この二つの値の比較と重要性を語りたいのが前編集者の議論だが、例えば学問的な考察や議論で、詳細に拘らず、あるものを別の或るもので単純に置き換えると、面白い展開を迎えるというのは、往々にしてある。例えばケインズの利率を物価で置き換えたらどうだ? と、言うのが前編集者のアイディアではあろう。 日本の平成、「デフレ不況」と言われている状況では、金利も低く物価も低くなっている。1990年前後のバブル崩壊よりも前のころは金利は高かったろうし、物価も高かっただろう。 昔の主婦は金利の高い金融機関を探して選んで預金していたものだが、最近は預金に関してはあきれるほど利率が低い。 21世紀の日本の低金利は、日本の不動産バブル崩壊後、何らかの理由で金利を下げる必要があったのだろうと前編集者は考えているようだ、特に物価の下落を重要ファクターと見ている。日本の過去の不動産バブルは、不動産資産のインフレによる騒動と見ることが出来るだろうか。 長期的にはインフレ率と金利が近づいていくという指摘もある{{要出典}}。 '''クラウディング・アウト'''とは何か? 現編集者はむしろ、より詳しい方がここに記述してくれることを望むが、前編集者の説明では、国債や郵便貯金などの利率が高いとその商品が魅力的になるので、株式や投資、民間の債権などにお金が流れなくなる現象だと書く。 では国債や郵便貯金の利率は低いほうが良いのか?もちろんそうなれば財政も圧迫しなくなるし、が一方で公共にお金を貸す意思自体が減ると見られるかもしれない。 政策金利と呼ばれるものはまた別の利率だろうが、これが低すぎると'''流動性の罠（わな）'''と呼ばれ、景気浮揚や投資を増やす効果を持たなくなるという。 現編集者は実際は経済学も大した知らないが、前編集者の不適切な悪意に満ちた文章を何とかしたい一心で、いろいろ調べながらこの文章を書いているだけなので、いずれはより詳しく人間性も良好な人にこのページを書き足し修正してほしいのだが、とりあえず流動性の罠の原因については、「ゼロ金利の近くになると、これ以上は金利は下がりようがないのだから、つまり今後は国債などの金利が上がる可能性が高い。そこで、人々は値上がりを期待して、民間に投資をしなくなる」、という言説もあるようです。 つまりこの主張は、今金利が低いと、人々は将来上がると予想してそれを待つという事? そこで結局流動性の罠とは何かそれほど理解していないまま、文章を先に進めるが、経済評論家の三橋貴明氏は、平成のデフレ不況とは、『デフレ化において単純に「儲からないから投資しない」』現象だと著書で語っている。そのうえでとりあえず政策金利を下げればよいという、バブル崩壊後の日本政府の金融政策を批判している<ref>三橋孝明『黄金の拘束衣を着た首相』、飛鳥新社、2015年2月6日第1刷発行、P129</ref>。 そもそも新たな投資が頻繁になされることが絶対的にいい事なのか? 今現在の生産インフラが潤沢に回っていることで、いい経済状況だとはみなせないのか? 経済が貨幣でお金のことだと見てしまうのは、本質を見失わせるだろう。経済とは我々の日々の生産活動だし、貨幣はそれに従い、それを動かすためのツールに過ぎない。 さて、評論家犬走文彦氏は「金融危機があるレベルまで達すると、信用リスクを回避するためいくら金利が低くなっても金融機関が貸し出しを止めてしまう」と書いている<ref>犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P134</ref>。そもそも金利が低くなると貸し出す方に旨味はない。借りる方が得になるから、貨幣需要が増えるという事だろう。しかし金融機関は敢えて貸さない? しかし金融機関とは、貨幣を貸し出して利益を得ている法人だったはずだ。 兎に角細かい事や全体を見ないままとりあえず投資が増えればいいというのなら、そして、「儲からないから投資しない」というのなら、「投資しないと損をするぞ」といった内容の経済構造すればよいのでは? 、と、前編集者は指摘する。 つまり投資という仕事をさせたいから、鼻先にぶら下げる人参はもうないから、では鞭で打とう、と、そういう訳だろう。 インフレ誘導にはそういう意味があるのだろうね。現状がデフレやディスインフレならなおさらこの方法に行きやすい。しかしインフレ誘導が制御できなくなって、高インフレになると、多くの人々が困ることになるだろう。今現在(2023/2)、その傾向があると言えなくもない。 一方経済学者クルーグマンは『中央銀行が将来のインフレ率を公約する「インフレ目標」が、流動性の罠のもとでも有効であると主張した。』、という<ref>福山慎一「マクロ経済学入門 第5版」、有斐閣、P223（『』内は書籍の解説文の引用）</ref>。 「バランスシート不況」という考え方では、恐慌時などには投資家がリスク回避志向になり、不況時は銀行の行動パターンが投資から債権回収などに移るので、この時期に政府が金融政策しても、あまり効果がない、という<ref>犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P134</ref>。貸し渋りという事? お金を持っている人たちが貸したくなくなる? しかしファイナンス、貸金とはそんなに経済、景気の進展に重要な事なのか? 借りたお金が世の中を潤沢に回ることが本当に健全な事態なのか? 投資と融資は異なるだろう。投資とは生産インフラの資本、資産を買い、所有することだし、融資はお金を貸しているという事。債権は利子を付けていずれ回収したいが、投資は所有している場合は配当などの利益が期待できるが、株式などの形で売って貨幣を回収することもできる。 1990年前後の不動産バブル崩壊後、日本は2000年代初頭に、非伝統的な金融政策である日銀のバランスシートの拡大、およびそれらの量的緩和をインフレ率が安定的に0.数％になるまで続けるという政策を実施しました。<ref>福山慎一『マクロ経済学入門 第5版』、P224</ref> さて、もちろんケインズは我々の歴史の中で最重要の経済学者ですが、全知全能の神様ではない。その指摘や理論が徹底的に現実を示しているものではないでしょう。 前編集者によると、「ケインズ理論も新自由主義も両方とも間違っている」、という主張も結構多いという。「反経済学講座」（犬走文彦、新潮社、2009年8月20日）がそういうスタンスだという事だが…。 また基本的には、特にその会社の経営者、関係者は自分の会社が倒産することは望まないだろう。しかし世の中には自然淘汰を称賛し、弱者が滅びることが正しい事だと見做す考えも多いし、そこまで極論ではなくても、妥当な経営を出来ない会社はペナルティとして倒産やむなし、という判断は多くなされるだろう。前編集者は経済思想家ハイエクなどはそう考えていると指摘する。 基本的に弱者企業を補助金などで救済すること自体が、経済全体にとって悪い事だという主張は多い。ハイエクは、不況の救済のために必要以上の補助金を投入する事こそが、次のバブルおよびその破裂による恐慌をまねく、と、指摘したという。[https://bizgate.nikkei.co.jp/article/DGXMZO3466714028082018000000 『世界恐慌を予言した人たち～金融緩和がはらむ反動リスク 』 2018/9/18]。 ハイエクなどオーストリア学派は、不況を避けるという考え自体が不適切だろう、と主張したという。ある程度の不況の緩和を目指すことは認められるが、景気は循環するもので、無理やりそれを動かして不況を避けて矯正しようとすると、経済はかえって悪化する、と指摘する<ref>犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P154</ref>。 歴史的には大した恐慌対策を取らないまま、状況が改善した例もあるようです。1930の世界恐慌より前、1920年の恐慌は、自然に終息、回復を迎えたとオーストリア学派は主張しています<ref>犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P159</ref>。当時のアメリカは金本位制。第一次大戦の放漫財政で金の保有量が減っていたことから、対策をとろうとしてもアメリカ政府のハーディング大統領は対策をとれなかった、と、いう。 さて、一般的に、 Aならば Bでも、 Bならば Aであるとは限らない。 消費の低迷 → 消費依存型産業の物価デフレ この流れはどうですかね。需要が減れば、値は下がるでしょう。 消費依存型産業の物価デフレ → 消費の低迷 これは? まず単純に考えて、値が下がれば需要は増えるのでは? では… 消費の活況 → 消費依存型産業の物価インフレ これはありますよね。需要が増えれば値は上がる。 消費依存型産業の物価インフレ → 消費の活況 これはどうですかね。一般に値が上がれば需要は減る、売りたい人は増えますがね。 高度成長も終わった昭和末期の1980年代、日本はディスインフレでした。しかし消費は活況。1980年代後半には、バブル直前の黄金期を迎えたといいます<ref>藤巻健史『マネーはこう動く』、光文社、2007年7月30日初版発行、P59</ref>。 だからデフレと不況の結びつきはそれほど強固ではない。 ただ需要が低下すると、値は下がる、これが徹底的に続いているのがデフレ不況なのだろう。経済評論家・加谷珪一は「デフレが不景気を引き起こしたわけではない。不景気でモノが売れず、企業は安値販売を余儀なくされ、これがさらに物価と賃金を引き下げている。高く売ることができる商品をわざわざ安く売っていたわけではない点に注意する必要がある。」と語る<ref>[https://www.newsweekjapan.jp/kaya/2022/04/post-180_2.php 『日本だけ給料が上がらない謎...「内部留保」でも「デフレ」でもない本当の元凶』2022年04月01日（金）17時30分]2022年4月9日に確認.</ref>。 つまり需要がない。日本は物に溢れている、なんてよく言うが、それに類する事態だろう。 しかし需要がないという事は必要ないという事。物が十分にあるという事はそんなに働かなくてもいいという事? そんなに作らなくてもいいという事かね? しかし結局この国の経済状況の中で、失業したり貧困に陥る人はかなりの数存在する。 そもそも1960年代以降の47カ国のデータを調査した結果、マネーサプライの増加も、赤字財政も、金利の低下もインフレを引き起こさなかったという実証論文もあるようだ<ref>[https://econ101.jp/rapid-money-supply-growth-does-not-cause-inflation/ リチャード・ヴェイグ「マネーサプライの急激な増加はインフレを引き起こさない」（2017年1月16日）]</ref>。 ==完全競争== 高校の政治経済では、「不完全競争市場」の例として、寡占や独占などの事例を習う。不完全の反対が完全だろうが、寡占（かせん、oligopoly）や独占(monopoly)などの、競争をゆがめるような制限のない市場の状態のことをよく、完全競争（pure competition）という この言葉をより詳しく規定するとどうなるか? 次の五つの条件を満たすのが完全競争だという。（前編集者の定義） # 生産者（売り手）と消費者が十分に数が多いという条件。 # また、生産者どうしが談合などせず、競争するという条件。 # また、生産者どうしも独立していて、他の売り手に大きな影響を与えないという、生産者どうしの独立の条件。買い手もまた、他の買い手に大きな影響を与えないという、消費者どうしの独立の条件。 # 消費者はよく商品の情報（特に価格についての情報）を知っているという条件。 # その市場への参入と退出が容易だとする条件。 寡占や独占のもとでの市場競争は、この「完全競争」の条件が満たされてない。と、云うか一般的には完全競争の状態は現実には無いと見なされている。議論のための仮想的な市場状態だろう。 そして完全競争の定義は、論者や学派によって微妙に異なるようだ。ここでは５つの定義を上げたが、これが３つぐらいの規則から導かれる完全競争の性質に過ぎない、という議論もある。 ==不況と好況== [[File:Economic cycle.svg|thumb|450px|景気循環の図。グラフの波型の山の部分が好景気を表し、谷の部分が不景気を表している。<br> Expansion ：景気拡大<br> Boom　 ：好景気の頂点<br> Recession ：景気の後退<br> Depression：景気の消沈<br>]] 景気には波があるという。景気を統計的、数量的に示す方法があるかどうか、現編集者は知らないが、実質GDP を基準に考える道はあるだろう。 一般的にある程度安定した国家社会では、実質GDP は微増するものだと見るといいのではないだろうか。社会集団として、生産集団として、文化や技術が発達し生産に慣れて社会として習熟した表れとして、生産を示す実質GDP はわずかに増えていく。あくまでも仮定ですがね。 そうなると、好況というのはその時点での実質GDP成長率がある程度高いことを示すだろうし、不況というのは実質GDP成長率が横ばい、ゼロ、あるいはマイナス成長の時、だということは出来るだろう。 前編集者は、経済や生産の事を語る時に、「不況」「好況」の言葉を使うよりも、「高成長」や「低成長」や「マイナス成長」という言葉を使った方が妥当だし、適切だろうと書いているが、「不況」「好況」という言葉は現実の経済、商業生活でのそれぞれの職業人の精神的な満足度を示しているものではあるので、GDP だけがそれを示すものにはならないだろう。そもそも実質GDP とは常に大きく上昇し、上がっていくのが自然で望ましいのか? そうすれば人々は十分な満足が得られるのか? それさえも怪しいし、定かではないだろう。 ==労働価値説と限界革命== ===労働価値説=== さて、財とサービスに価値があるのは自明でしょう。そしてそれと交換される貨幣にももちろん価値がある。 そしてまあ常識的に払う貨幣が高いほど、その財には価値があると見做されている。 払う貨幣とは価格ですよね。そしてこのページで議論してきたように、価格は需要と供給で決まると考えるのが、現代的な経済理解です。 しかし一方でもっと哲学的、観念的議論として、商品、財が持つ価値の根拠、いったい何によって価値が生まれるか、それを知りたい訳です。 そこでまず議論されたのが、アダムスミスやマルクスが言及した労働価値説ですね。 つまり財やサービスの価値の源泉は、我々の労働だと。 財の価値の根拠が労働にあることは否定できないでしょう。ただその議論を価格と結びつけるのはなんだかんだでかなり困難がある。労力を多く費やしても価格が安くなることはあるし、労力少なくして高い価格がつくことも現実にはある。 しかし数理的に労働量と価格の議論が出来なくても、労働が物事の、財の価値を生み出していることまで否定するのは詭弁でしょう。 大体労働に価値がないのなら、世の人はもう明日から仕事に行かなくなるよ^^;;;。 しかし一方「効用革命」という議論があり、労働価値説とは別の視点として、財を消費する側の満足、欲望の充実に価値の根拠を見出す視点がある<ref>https://diamond.jp/articles/-/75341</ref>。 この議論は数理とも馴染みがよく、ミクロ経済学の重要な分析の一つになっている。 価格は需要と供給によって決まり、財の生産者は市場で売れる価格にあわせて利益が出るように労働および経費などの投入量を調節する<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日 初版 第1刷 発行、P236</ref> ===限界効用理論=== 効用とは財を消費したときの満足度である。ここで効用関数なる値が実数の関数を考える。 一般に消費者は、いくつもある消費計画のうち、みずからの効用関数を最大化させるような消費計画を選ぶ、と考えられる。これを「効用最大化仮説」と言います。 たとえば、ある消費計画Aと、別の消費計画Bについて、それぞれ効用をU(A)およびU(B)とします。つまり消費計画Aの効用がU(A)です。同様に消費計画Bの効用がU(B)です。 そして、たとえば、もし :U(A)>U(B) なら、消費者は消費計画Aを選ぶ。 同様、もし :U(A)<U(B) なら、消費者は消費計画Bを選ぶ。 ただし、効用の大きさそのものを数値化することは一般にはできず、その大小関係・順序にのみ意味があると考えています。数学で言うと、代数システムのうちの順序関係・大小関係のことを「序数」と言うので、効用関数の上述のような性質のことを「効用の序数性」と言います<ref>塩沢修平『経済学・入門』、有斐閣、P60</ref>。書籍によっては便宜的に効用が数値で表される場合もありますが、しかしその数値はあくまで便宜的なものに過ぎず、数値の絶対的な大きさには意味は無い<ref>塩沢修平『経済学・入門』、有斐閣、P59</ref>、とのことです。 :※英語ではfirst やsecond やthird などの単語を「序数」と言いますが、つまり、集合の要素の順序関係を見るのが序数ですよね。 然し導関数として、ステーキの購入計画C とワインの購入計画D で、ステーキ1単位を購入することがある人にとってワイン何単位ぶんの購入に当たるかの計算は議論される。こうのような購入量1単位ごとの効用の換算値を、限界代替率と言います。 「効用」は、主観的な量です<ref>たとえば 塩沢『経済学入門』、P59 など。</ref>。つまり、効用の大きさは、それぞれの消費者の主観で決まります。 この効用と価格の関係に関する数理議論があるだろうが、現編集者はほとんど知らないので記述できない。一般の経済学入門書を見ても、そういう話題はまったく書かれていない、と、前編集者は書く。 効用自体も、消費量が1単位増えた時の効用の増加、限界効用も、関数の数値自体には大きな意味はないと見る。しかし財によって限界効用を比較したもの、限界代替率は、限界効用の数値を比較し、同じ満足度の消費量を見出す概念だとはいえる。 経済学者ヒックスはこの限界代替率に着目した研究を行ったという<ref>小室直樹『経済学をめぐる巨匠たち 経済思想ゼミナール』、ダイヤモンド社、2004年1月8日、P202およびP203</ref>。 もう一度書くが、限界効用とは，財を一単位追加して消費することによる効用の増加分だ。これは効用関数の微分と見ていいだろう<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日初版第1刷発行、P161</ref>。 さて、この効用関数は、単調増加で上に凸だろうか。ある種類の物があふれると、その物ひとつ当たりの価値は小さくなる（効用逓減（ていげん）の法則）。 水は生命活動に不可欠に限らず、ダイヤモンドより価格が安い<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日 初版 第1刷 発行、P172</ref>。同じ美術品を何度も鑑賞すると、慣れてきて価値を感じなくなる<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日 初版 第1刷 発行、P172</ref>。 財の消費だけではなく、人間の心理的または生理的な傾向としてこのような現象は見られますよね<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日初版第1刷発行、P172</ref>。 兎も角効用とは消費する側の議論だろう、一方で供給する側の視点も必要だ。労働がなければ多くの財は供給不可能だ。 ===サンクトペテルブルクの賭け=== さて、事実上は話題として少しそれるが、効用に関する議論として、18世紀前半、ロシアのサンクトペテルブルクに住んでいたスイスの数学者ダニエル・ベルヌーイが示した「サンクトペテルブルクの賭け」という面白い議論があるので、余談として紹介しておこう。 ここではこういうゲームを考える。一枚のコインを表が出るまで何回も投げ続ける。もらえる賞金は、1回目に表が出たら1ダカット（日本円で500円ぐらいだという）、1回目は裏が出て2回目に表が出たら倍の2ダカット、2回目まで裏が出ていて3回目に初めて表が出たらそのまた倍の4ダカット、3回目まで裏が出ていて4回目に初めて表が出たらそのまた倍の8ダカット、というふうに倍々で賞金は増えていく。 さて、この場合このゲームを売る胴元は、何ダカットでこの賭けを売ればよいだろうか？ 普通ギャンブルのこういう議論では期待値を計算する。 期待値の例として、別の簡単なゲームを考えてみよう。 二人の人間がゲームに参加し、参加料として100円ずつ払う。じゃんけんをして勝った方が場に出た200円を総取りする。 この場合片方の参加者がじゃんけんに勝つ確率は 1/2、負ける確率は残り 1/2、200*1/2+0*1/2 で期待値は100円。参加料が100円だから、ゲームとしてはトントンだという事になる。 ここでもしゲームとしての胴元がいて、10円ずつ参加料から場所代を抜いていたら、賞金総額は 180円で、期待値は 90円。世によくある、胴元が確実に儲け、参加者が総体的には結局損をしているギャンブルになる。 さて、先のサンクトペテルブルクの賭けの賭けでは期待値はどうなるか。 まず最初に表が出る確率は 1/2。その時の賞金が 1ダカット。次に裏が出た後表が出る確率は、1/2*1/2=1/4。賞金は2ダカット。つぎは 1/8と 4ダカット。結局期待値は、 1/2+1/2+1/2+… となって∞に発散する。 つまりこれは圧倒的に胴元が不利なゲームのはずだ。いくらで売っても期待値は無限大だからね。 しかし実際このゲームを 16ダカットで売ったとしてみよう。 だとしたら、賞金が 8ダカット以下になる確率は 15/16。まずこれが起こる可能性が高いから、胴元が得するように思える。しかし問題は、 1/16だ。これは底なし沼だ。場合によっては胴元の資産を超えて負けることもある。ここがこのゲームの期待値が無限大で胴元に不利だと言える根拠になるだろう。 ベルヌーイ自身はここに効用の発想を取り入れて、議論を進めた。つまりダカット金貨の額面で判断せずに額面の満足度、効用を金額の対数と決めてみた。賞金の期待値は∞に発散するが、効用の期待値は一定の値になる。最初に表が出た時の額面が1で、効用をlog[2,1]=0とすると、裏→表で効用が log[2,2]=1、裏→裏→表で効用がlog[2,4]=2で期待値は0/2+1/4+2/8+3/16+4/32+… そしてこの無限級数は幾つになるかな? 現編集者は計算できなかった^^;;;。数学の得意な人が答えだしてください。兎に角 2のこの無限級数乗の金額が効用としての期待値での金額。気持ちとしてはゲーマーとしてはこれでトントンだという事か。対数を考えるという事は、金額が大きいほど増えてもそれほどありがたみを感じなくなるという事ですからね。 さらなる分析として、胴元がこの商売を人生で何回やるか、ゲーマーが何回するかがこの話の議論に関わってくるだろう。 == 脚注 == [[Category:経済学|*]] [[Category:書庫|けいさいかく]] [[en:Principles of Economics]] 8byx17il9gv50qkoh5r7mgvqv9k7vm5 305440 305438 2026-11-06T08:07:26Z 正月君 92918 /* 金持ちはけち？いやー金持ちだろうが貧乏だろうが、けちな奴はけちだし、太っ腹(放蕩?^^;;;)なやつは太っ腹じゃあない^^？ */ 305440 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|経済学|frame=1|small=1}} ここでは、経済学の基礎的事項について確認しながら、世界経済における経済の動向に配慮した経済学的解説に努めることにする。[[高等学校政治経済]]のテキストも参照せよ。 == 経済変容と現代社会 == 現代社会の変容は、工業化・IT化に続く。 === 経済の変容 === * [[経済学 現代経済の変容 経済の変容 経済とは何か|経済とは何か]] ==== 世界経済の変容 ==== * [[双子の赤字]] {{進捗|100%|2013-10-08}} * [[経済学/アジア通貨危機|アジア通貨危機]]（[[冷戦後の世界#躍進するアジア|躍進するアジア]]） * [[経済学/改革開放|改革開放]]（[[冷戦後の世界#躍進するアジア|躍進するアジア]]） * [[経済学/アジア経済|アジア経済]] * [[経済学/インド経済|インド経済]] * [[経済学/EU統合|EU統合]]（[[冷戦後の世界#ヨーロッパの統合|ヨーロッパの統合]]） ==== 日本経済の変容 ==== * [[戦後]]（[[日本史/現代/戦後|日本史 戦後]]） {{進捗|75%|2013-10-08}} * [[高度成長]] * [[経済学/通貨危機|通貨危機]] * [[経済学/石油危機|石油危機]] * [[プラザ合意]]（[[日本史/現代/戦後/低成長期|低成長期]]） * [[バブル景気]]（[[日本史/現代/戦後/低成長期|低成長期]]） * [[失われた10年]]（[[日本史/現代/戦後/低成長期|低成長期]]） * [[経済学/情報化社会|情報化社会]] * [[経済学/産業の空洞化|産業の空洞化]] == 現代経済の仕組み == === 世界経済 === * [[経済学 現代経済の変容 経済の変容 世界経済の変容 資本主義経済|資本主義経済]] * [[経済学 現代経済の変容 経済の変容 世界経済の変容 社会主義経済|社会主義経済]] * [[経済学 現代経済の変容 経済の変容 世界経済の変容 経済システム|経済システム]] * [[経済学/グローバル化経済|グローバル化経済]] === 経済学 === * [[経済主体とその活動]]：経済主体が相互作用の中で貨幣を廻している。{{進捗|75%|2013-10-08}} * [[経済学 現代経済の仕組み 金融機関とその働き|金融機関]]：銀行は何をする? 銀行のストックが減ると世に貨幣が増える。 * [[経済学 現代経済の仕組み 財政|財政]]：税金は何に使おう? 払いたくない^^;;;? * [[経済学 現代経済の仕組み 国民生活|国民生活]]：人間の行為は大抵生産、それをお金に換えたら経済になる。 * [[経済学/国民所得|国民所得]] * [[国民経済生産]]：GDPの値は国家の生産を示しているはず。{{進捗|100%|2013-10-08}} == 社会保障制度 == 年金や健康保険から公衆便所まで。 * [[経済学 社会保障制度 労働|労働]]：過労死は使用者責任が問われ、民事上の損害賠償責任が課せられることになります。 * [[経済学/福祉国家|福祉国家]]：福祉は必要だよね? しかし昔の方がやはり不備は多かったか…最も今でも… * [[経済学/社会保険年金制度|社会保険年金制度]]：年金制度は必要だが、経済的に破綻しないように運営するのはかなり困難。 *[[経済学 社会保障制度 成立と発展|成立と発展]] *[[経済学 社会保障制度 日本の社会保障制度とその内容・課題|日本の社会保障制度]] == 世界経済 == 日本経済の国際化による日本と海外の国々との関係とこれからの課題について学習しましょう。 * [[経済学/貿易|貿易]]：貿易はやはりバランスが大事か? * [[経済学/国際収支|国際収支]]：貿易で赤字になった国があるの？ * [[経済学/為替|為替]]：1ドル＝1円じゃ駄目？ === 世界経済の変容と発展 === * [[経済学/国際経済体制|国際経済体制]]：IMFとかGATTとかって？ ==== 世界経済の発展 ==== * [[経済学/多国籍企業|多国籍企業]]：ウォルマートとかエンロンとかトヨタとか・・・ * [[経済学/ユーロ|ユーロ]]（[[冷戦後の世界#ヨーロッパの統合|ヨーロッパの統合]]）：ユーロだけじゃない？ * [[経済学/サブプライムローン問題|サブプライムローン問題]]（[[冷戦後の世界#リーマンショックと世界の無極化|リーマンショックと世界の無極化]]）：アメリカ経済を気にするのはなぜ？ * [[経済学/国際協力|国際協力]]：アフリカ、ラテンアメリカ、南アジア、中東その他の国の状況は？ == 環境問題 == 自然環境問題を経済で解決できるでしょうか。 * [[経済学/都市と環境|都市と環境]]：ごみ問題、大気汚染、水質汚濁、渇水、オゾン層の破壊、こうした問題を私たちは解決できるのでしょうか。 * [[経済学/持続可能な発展|持続可能な発展]]：「宇宙船地球号」 * [[経済学/生態系と環境|生態系と環境]]：生態系を守ることこそ、私たちの未来に必要です。 {{stub}} == 未分類 == ===資源の希少性=== 原則としては、資源とは有限のものでしょう。むしろ無限と考える方が不自然だし、実際にはだれも考えていない。 しかし例えば再生可能エネルギー、太陽光なんかはほぼ無限と見なしていますよね。しかしシビアに考察すると、やはりそれも有限。 例えば水なんかはどうでしょうか。これは地球上を循環しているもので、現実的には無限とみていますが、やはり手に入りにくい地域はありますし、シビアに考えると有限ですよね。 クルーグマンやスティグリッツやマンキューなど、多くの経済学者も、彼らの教科書で、資源の希少性が経済学の前提であると説明している。（なお、日本の高校の「公共」教科書でも、たとえば帝国書院（教科書会社のひとつ）の検定教科書で、「資源の希少性」を紹介している。） なお、経済学・商学などで「希少性」は英語で scarcity である<ref>『ビジネス基礎』、実教出版、令和2年12月25日検定、令和4年1月25日発行、P61</ref>。 また、人々が望んだからと言って、それを生産できるとは、かぎらないと、マンキューは説明している。 たとえば医薬品として、エイズの完全治療薬を望んでも、それは現状の医学では生産不可能。 数百年前の時代を上げれば、たとえば結核や らい病 の治療薬のなかった時代もあった。この話も、誰もがあっさりと納得、あるいはいまさら言うなという感じでしょう。 また、資源を超えた量の生産も不可能。 この「資源の希少性」は、よく経済学の教科書で、「経済学の原理」のひとつとして挙げられている。 ===法則? 原理?=== 需要と供給の法則、なんて経済学では出てくるでしょうが、そもそも「法則」law とは、なんでしょうかね？ 例えば、「現在でも、よくある傾向」、だという指摘もある。ある程度の多くの国で、ある程度の長期や複数回にわたって、よく発生する現象で、今でもよくある現象の事、要するに緩やかな決まりで、法則に当てはまらない例外もある。 たとえば、「需要と供給の法則」の例外のひとつとして「メニューコスト」という概念もあり、生産者側の価格改定には費用が掛かるので価格改定が後回しにされやすい、と。 つまり、どちらかというと法則どおりの現象のほうが遭遇しやすいだろうという、多数の経済学者の信念がある。 その国の言語の違いという問題もある。英語の law 、法律も法則も英語では law です。 例えば物理学では「法則」はかなり厳密な決まりで、基本的に例外は許さない。 しかし本当に例外はないのかという疑問は持てる。何らかの超自然的な理由で、時々は物理法則をキャンセルできるかもしれない。 自然科学の実験をしている時、気にして観察している時だけその法則が満たされるとか… 例えば量子力学には観測問題とか、不確定性原理、そして物理現象の確率的解釈というのもある。 勿論現代の物理学は、観測者自身を系に組み込んだり、確率の数学的記述を厳密化したりと、厳密な法則記述のための工夫がさまざまなされている。 例えば原理 principle なんて言葉があったり、数学では定理、公理、公準なんて言葉も使う。 経済学でいう「原理」principle とは何ですかね？ 文脈や論者にもよりますが、「原理」とは普通の場合、いくつもある「法則」のうち、なかでも基本となる少数の法則のことです。 数学で言えば公理や公準に近いものですかね。 「資源の希少性」の原理と、「需要と供給の法則」なんて言いますが、むしろ「資源の希少性」は法則というよりは、前提事実と言ったところでしょうか。 「原理」と「原則」はともに英語では　principle、根源的な法則、事実を示すものでしょう。 法則の厳密性は当然、学問分野で変わってきます。そしてそれはそれぞれの学問者の、感覚や経験などで、誰もが知って身に着けている事でしょう。 == 合成の誤謬 == 合成の誤謬とは、個人や個々の企業にとっては合理的な行為でも、社会全体としては、不合理で意図しない結果に至ることですね。 例えば企業が経営の健全化を目指して、人件費を削減する。すると個人の収入は減るから、個人消費は減る。景気は低迷し、企業の売り上げも減る。 家庭の節約はどうでしょうか。 個人消費は減るし、節約対象の商品は売れなくなる。景気は悪くなるし、消費されないから生産もしない。 個人スケールで見た場合の合理的な行動と、国家規模の全体的な規模で考えた場合の合理的な行動は異なる。 しかし国家規模の合理的な行動とは何でしょうか? 先ず、国家という集団の化け物の実在性を認めるか? それとも国家とは何らかの方便なのだろうか? おそらく国家規模の合理的な行動とは、その構成員である国民の幸せに結びつくものでしょう。 限界消費性向を低下させる（つまり限界貯蓄性向を高める）ことは、GDPの低下をまねく可能性がある<ref>滝川好夫『図解雑学 ケインズ経済学』、ナツメ社、2010年11月21日初版発行、P180、</ref>。つまり国家全体の生産が低くなるわけですが、生産とは仕事をすることそのものでしょう。仕事をすればするほど幸せという訳ではない。 GDPはとりあえず上昇させたいという固定観念はあるが、これ自体どこまで妥当か。 国際競争を考えると、国家の経済力は必要だが、GDPを上げることを盲目的に目指す以外に、国家の安寧を満たす方法はないのか。 == 誰かの支出は誰かの収入 == 誰かが貨幣を支払ったら、それは他の誰かの収入になっているでしょう。 それは一国の通貨だけではなく、各国、世界全体でその関係が成り立つ。 我々がアメリカ人から貿易として何かを買いたい場合、先ず、円で払うか、ドルで払うかが問題になりますよね。相手が円の受け取りを拒否するなら、自分が外貨を持っていないなら、両替商に円をドルに換えてもらうことになる。 そうすると自分が払った円は両替商の収入になる。そして我々はアメリカ人から商品を受け取る。アメリカ人はドルで収入を得るが、それは両替商が支払ったお金。両替商は商売として貨幣の交換をしているわけだから、払ったドルより受け取った円の方が価値が高いものになっているでしょう。 複数、多数の主体があって、それぞれが一定の数値を持っている。そしてその数値をお互いにやり取りできるなら、その数値の総体、総数は保存されるでしょう。一番の典型例は、物理学のエネルギー保存則。 しかし現実には貨幣の総量が一定である保証はない。 変わり者がお札を燃やしたら、総量は減りますよね。一方政府がお札を印刷して、その分を回収することなく放逸に使ったら、その国の貨幣の総量は増えていく。 ==会計学から考えてみる== ===経理の初歩=== 幾つか、費用に関する用語を説明します。 *人件費 会社、法人が雇用者、労働者に支払う給料は、人件費ですね。従業員のために支払われる費用です。 *固定費 固定費というのは、企業の生産量や売り上げの増減とは関係なく発生する、一定の費用の事です。地代、減価償却費、固定資産税、などですね。債券の利子も会計分野では固定費に含めるという。 *変動費 反対語は変動費ですね。変動費用。生産量や売り上げによって増減する費用。原材料費、外注費、運賃、など。 人件費は固定費か変動費か? 会計に詳しいらしい前編集者も言及を避けているので、たいして詳しくない現編集者ももちろん知りません。 *減価償却費 事業用の建物、機械設備、備品などの取得費用ですが、会計上は普通耐用年数によって、徐々に費用として計上します。つまり購入したときにお金は払ったとしても、会計上毎年その費用を分けて少しづつ計上する。 逆に少しずつお金を計上して費用にした結果、耐用年数が来ますので、費用が完全に計上された時点でその設備の価値は0円になると見ていい。つまり備品の資産価値が減っていく、その部分の支払いをしたと会計上見なすわけです。 減価償却の基準は（つまり購入費を毎年どう計上するか）省令や法律や業界の制度などによって、あらかじめ決まっているので、経理の際には、その制度に従って経理処理する。 ===国民経済計算=== 国民経済計算の指標として知られるGDP（国内総生産）やGNP（国民総生産）から、その国の資産の減価償却の金額を差し引いた金額のことをネットDPまたはネットNPといい、それぞれNDP（国内純生産）またはNNP（国民純生産）と略記します。 つまり、 :NDP ＝ GDP － 減価償却費 :NNP ＝ GNP － 減価償却費 です。 Net domestic product. 正味の、純粋な国内の生産。net はフランス語由来の形容詞で cleanを意味し、「網」を意味する同じ綴りで古英語由来の net とは別系統の英語のようです。 国内総生産は、国内の事業者の売り上げから、原材料費（中間財・サービス）の支出を引いた物を積算したもので、国の生産、事業や労働で生み出した付加価値を示していると考えています。 一方減価償却費は、その間に建物、車両、産業機械が劣化し、それを現状に戻すための価格を示していて、生産分からその分消費、減耗しているともみなせるので、NDP は国内の生産の状態を知るための別の指標として提示されています。 GDP やGNP の頭文字G はグロスの略で、Gross は、会計でいう粗利（あらり）を示す形容詞です。会計学でいう「粗利」とは、売上高から売上原価（その商品をつくるために掛かった費用）を差し引いたものです。 人件費は引かず、支払う税金も引かず、原価（原材料）だけ売上高から引き算する。それが粗利（あらり）です。 粗利を英語で gross profit と言います。 profit とは「利益」「利潤」という意味です。 つまり仕事をして生産した分だけ利益になると見ていいと思います。 GDPの算出式は、 :GDP = 家計による支出＋企業による支出＋政府支出＋（輸出－輸入） :GDP = C + I + G + (X − M) 、[[w:en:Gross domestic product]]、[[w:国内総生産]]、などを参照してみてください。 C とG とI は最終財・サービスに対して行われた支出を数えます。事業者が行った生産の積算は、最終的には最終財・サービスに対する支出になります。 家計はほぼすべて、最終財・サービスに対して支出しているでしょう。 企業は、中間財・サービスに支出してそれをもとに生産し、一方で最終財・サービスを購入することもあるでしょう。 中間財にしろ最終財にしろ、輸出したものは国内の支出には含まれませんね。 C + I + G + X に含まれる中間財、最終財（最終財はそれまでの中間財の生産価値を含んでいる）のうち、輸入したものは国内の生産には含まないでしょう。 GDPの計算基準は国際連合が決めたものがあり、定期的に改訂される。[[w:2008SNA]]等の記事も参照してみて下さい。 C + I + G + X と M が同額なら、事実上 GDPはゼロだが、この場合は輸入したものをすべて消費し、さらに輸入したものをそのまま輸出していることになるから、矛盾ではない。 なんらかの生産行為が行われているなら、事実上GDP がゼロになる事は無いだろう。 しかし、経済分析として、前編集者の指摘が完全に無意味だという訳ではない。 分析の精密さのためには貸借対照表のように複式簿記的に扱うべきであるという意見はある。 家計による国内消費額の総計、企業支出の総計、政府支出額の総計、輸出額の総計、輸入額の総計、といった金額をそれぞれ個別に計測して、それらの金額を比較することにより、複式簿記的に分析することにも意義はあるだろう。 前編集者の指摘として、経済分析において、 :産業関連表、 :資金循環表、 :国民貸借対照表、 :国際収支表、 などの統計表を、経済系の省庁は作成する事が望ましい、という（※ 参考サイト [http://www.keikyo-center.or.jp/old/tool/pdf/sna.pdf 国民経済計算の見方、使い方] 財団法人 日本経済教育センター）。 GPD と産業関連表を関連付ける、複式簿記にたとえて議論する、などの発想は、各種書籍にも記述されているという<ref>塩澤修平『経済学・入門』、有斐閣、2021年、4月30日 第3版 第5刷 発行、P202、P258</ref>。 ===確定申告、減価償却、国民純生産=== 国民純生産を計算するためには企業の減価償却の金額の情報が必要でしょう。この金額において、経済全体で固定資本の減耗分は測定しづらい、正しく推定できないという主張もあります。 企業も確定申告するので、自社の減価償却費もその時点で税務署に申告します。 減価償却費に応じた税金の控除もあります。建物、車両、産業機械は必要経費ですからね。 減価償却の計算のルールは、日本の国税庁などの省令や、または経理業界などの制度によって、厳密に定められています。 税に関する申請は虚偽があると罰せられるので、その意味では、企業の減価償却費のデータはおおむね正確だろうと考えられます。 なお、個人でも企業でも確定申告は2種類ある。 :比較的に簡単に計算できるが（税の）控除の特典の少ない「白色申告」 :事前の申し出が必要でさらに計算方法も厳密で難しいが控除の特典が多く、多くの場合納税額が少なくなる「青色申告」 多くの企業が基本青色申告を利用している。 ===フローとストック=== フロー（英: Flow）とは、一定期間内に流れた量をいい、ストック（英: Stock）とは、ある一時点において貯蔵されている量をいう。以上Wikipediaから引用。 ある関数がある時、その微分がフロー、その関数を積分して元に戻すとストック、と、いう事も言えるかもしれません。ただし積分は積分定数を持つので、フローからだけではストックを作れません。 この節では前編集者が試みた経済学を会計学と関わらせて語るという試みを、現編集者が多少修正して記述している。 簿記（ぼき、英語: bookkeeping）とは、企業などの経済主体が経済取引によりもたらされる資産・負債・純資産の増減を管理し、併せて一定期間内の収益及び費用を記録することである。再びWikipediaから引用。 普通高校では簿記の学習はない。主に資格取得としての学習だというイメージはある。 ====お金に関するフローとストック、具体例==== 例えば… Aさん：貯金が10億円あって1億円の家に住んでいるが、就職していなくて給料の収入が0円。 Bさん：貯金は1000万円で3000万円の親元の実家に住んでいる、会社勤めしていて年収が500万円。 話を簡単にするため、AさんもBさんも株投資や不動産投資はしていないとする。 経済学や経営学では、貯金や、保有する不動産や保有株式そのものの相場での購入費用などの金銭的価値などを合わせてストックとする。 いっぽう、収入や、株の配当益、不動産などを他人に貸したときの賃貸収入などの運用益はフローですね。 つまりAさんはストックが11億円で、フローは日々の支出という事になります。 Bさんは、まあ、ストックは4000万程度、日々の収入や支出がフローになる。 AさんBさんの生活、どちらがうらやましいか、意義がある生活か、豊かか、などの議論は無意味でしょう。人生いろいろ、お金も色々経済もいろいろ。 ===会計との関係=== 複式簿記などの会計の勉強をするときは、簿記では「フロー」と「ストック」という用語こそ使ってないものの、フローとストックを区別することになります。 GDP や GNP はフローについて語っていると見ていいですよね。 経済計算ではフローに関する話題の方が多いでしょうか。 例えば国家全体に関するストックを見るには、まず国家貨幣がどのくらい流通しているか、そしてその他に金銭的価値を持つものとして、土地、建物、証券、各種動産不動産、機械類や芸術品、貴金属・宝石など、価値のあるものはすべて資産としてのストックになるでしょう。 過去のある年度から現在までの各年ごとのGDPの累積額をストックとする計算法もあります。 しかしGDPとは生産その物で、生産物には資産として残るものもあるが、一方でその場で消費されるもの、無形の行為も生産の一つではある。 固定資産、建物や機械設備などの減価償却によって、ストックの資産価値は下がっていくと見れるから、ネット計算で、つまり国民純生産（NNP）の累積額で計算する方式をとる方が良いかもしれない。 ==諸概念== === 機会費用 === 経済学上の概念の一つとして、機会費用（opportunity cost<ref>『ビジネス基礎』、実教出版、令和2年12月25日検定、令和4年1月25日発行、P62</ref>）、というものがあります。 端的に解説すると、ある状況で最善の選択をした時に、残されたほかの可能性で最善の物の価値を言います。 例えば… 大学4年生が今年卒業だったはずなのに留年してしまった場合… ならばその年は普通就職して200万円くらい年収があったはずなので、これが機会費用になりますね。 つまり留年というのはそれほど最善手ではありませんが、図らずもしてしまった場合は、200万の機会費用を費やして、その状態に至ったと見る。 そして留年した場合はさらに学費もかかりますね。これは一般的には機会費用ではなく、学業のための費用になります。 しかしこれはあまりいい例ではないように思える。 前編集者の記述に基づいてこの例を書いたが、そもそも機会費用の議論というのは、経済行為のうちの収益が多い最善手を見つけ出したいがための議論だろうし、いくつかの行為の可能性を見た上で、どれが最善手か知るための議論でもあるだろう。仮に機会費用が多くかかっても、その行為に意味があると見なす場合もある。 ===パレート最適=== Pareto efficient. 他の誰かの状態を悪化させることなしに、ある主体の状態を改善できないこと。つまりその主体の現在の状態は改善できる可能性はあるのだが、それは必ず他の主体の状況の悪化が必要になるので、これ以上は改善を試みないのが正解、社会的に最適な状態とみる。 イタリアの経済学者、パレートが提唱した概念。 パレート効率と呼ぶこともある。つまり個人では最適ではないが社会的には効率の良い、いい状態だという事だろう。 パレート効率的な状態、具体的には、100人の民間人がいてある生活を続けている時、 政治家が特定の主体の状況を良くしたくて政策を変えたとして、どう政治行動しても、その100人の誰か一人以上に不利益・不満などを与えてしまう事になるのなら、経済政策を変える前のもとの状態がパレート最適、パレート効率的という事になる。 しかしパレート最適な状態にある時、それが本当に一般的な意味で最適、最高の状態であるわけではないだろう。 とりあえず状況を変えると誰かが必ず悪い状態になるのだが、Aが多少悪い状態になったとして、Bが少しでも良い状況になる方が必要、危急かもしれない。 そもそも最初の時点でAが不当に良い状態で、Bが不当に悲惨な状態かもしれない。 そしてパレート最適な状態も複数ある。この効率を得ているのは一種の平衡状態だが、最善ではない。徹底的に最善を求めた時、必ずパレート最適の複数のうち一つになるだろうか? そもそも最適な状態とは何? 誰にとって? 社会にとって? 社会とはだれのこと? そこに含めていない人はいない? 経済学者スティグリッツは、パレート効率的とは単に効率的でない状態よりは多少ましな状態に過ぎないだろうと書いている。経済学で言う「効率」とは、通常パレート効率の事だろう、という。出典、『スティグリッツ入門経済学』（和訳は東洋経済から）。 しかし最初の定義に戻ると、ある特定の主体の状態が問題になるわけだから、その特定の主体の状況を改善させる必要がどうしてもあるなら、パレート平衡を破って他の主体の状態を悪化させることになるだろう。 === 価格統制 === 経済政策の経験則として、（独占市場ではなく）競争市場における価格統制は、結果的に混乱をもたらすことが多いとされ、あまり好ましくないという。クルーグマンやスティグリッツやマンキューなど、多くの経済学者も、彼らの教科書で、それを説明している。 クルーグマンは、ベネズエラ国のチャベス政権での食料価格統制の結果として、ベネズエラ国で食糧難が実際に起きたと主張している。 価格を低く強制するなら、供給は減るだろう。 スティグリッツは、価格統制という方針は政府の市場介入としては悪手だ、という。 むしろ買い手に補助金を与えては?、という事だが…。 クルーグマンは独占市場では、価格統制も世の中に不利益を与えないという。 一方現実では、ニューヨーク、借家業界では家賃の価格統制が行われている。クルーグマンやマンキューは、この家賃の（上限）価格統制により、おそらく修繕などの費用が削減されて、低品質な住宅が供給されている、と指摘している。 価格の上限、価格統制、行政などが、超えてならない価格を設定することを英語では price ceiling といい、日本語では「価格の上限」または「上限価格」と訳す。 下限価格(price floor)規制もまた、別の問題を引き起こす。輸入品が極端に安価になると、自国の農業を助けるために価格の下限を決めるが、供給過剰になり、政府の買い上げなども起きる。 買い上げた後の廃棄なども起きるだろう。事実上売れなかったり、価格暴落を下げるため、最も下限価格はあるのだが、市場の自然な圧力は発生する。 下限価格により、自然な状態より値が高いので、過剰品質やオーバースペックなサービスの付加にもつながる、と、クルーグマンなどは説明する。 === 失業 === ====フィリップス曲線==== フィリップス曲線という理論が知られていて、インフレ率と失業率は、おおむね反比例すると主張されている。 これは、日本の1950年代～1990年代まではよく当てはまる<ref>福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』、有斐閣、2016年3月30日第5版第1刷、299ページ</ref>。 しかし、第二次大戦後から2000年までのアメリカ合衆国はこれに当てはまらない<ref>福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』、有斐閣、2016年3月30日第5版第1刷、302ページ</ref>。 インフレ率と失業率を加算した指標のことをミザリー指数（misery index）（ミザリーとは「悲惨な」というような意味の英語）というが、第二次大戦後のアメリカ合衆国ではこの指数は通常10％前後だが、1975年と1980年にミザリー指数が上昇して数か月～1年程度のあいだ20％近くになり、悪化した。 フィリップス曲線はもともとは、失業率と貨幣賃金上昇率に関する議論だったが、これが後に物価上昇率に関しても言われ始め、さらにT.フリードマンは、ここでは実質賃金上昇率について考えるべきだと主張し、さらに、予想物価上昇率も加えた新しいフィリップス曲線を提唱した。 ====構造的失業、摩擦失業、需要不足失業==== 構造的失業（structual unemployment）。企業が求める労働者の性質や地域、と労働者側の状況、条件が異なっているために、景気や需給関係では解消されない慢性的な失業。求人ニーズと求職者ニーズが一致せず、ミスマッチが起きている。 需要不足失業。求人が減っている、景気後退期に起きる。 摩擦的失業（frictional unemployment）。次の仕事を見つけるための過渡期、仕事自体は簡単に見つかるが、そこに就くまでに失業状態がある。 世の中の傲慢な愚か者たちの間では、失業するのは本人に何らかの問題があるから、能力や適性がないから、との考えが根強いようで、とりあえず公共の失業対策では、いい加減な講師による職業教育、訓練がなされるが、基本的には馬鹿げたことだろう。 勿論特定の職業実践に有効な、訓練や学習は確実に有意だが、現実にはそれが適切に提供されているとはいいがたい。 例えばこれはフィクションではあるが、カンヌ映画祭でパルムドールを獲得した、『[[w:わたしは、ダニエル・ブレイク]]』などを観ると、この問題の周辺でいかに馬鹿げたことが現実に起きているか良く解るだろう。 基本的に失業問題で公共がする一番の、そしてあるいはひょっとしたら唯一の重要事は、求職者と求人者の間の関係、橋渡しを上手に作る事だろう。 ;完全雇用 full employment. 現行の賃金水準で就業を希望する人、そして就業に適した状態にあるすべての人が雇用されている状態。ケインズは非自発的失業、摩擦的失業、自発的失業の3つの分類を語り、求人需要が十分で非自発的失業の無い状態を完全雇用と考える。 ;季節的失業 たとえばアメリカでは、建設業では、冬はほぼ毎年、仕事が減るのでその業界での失業者が増える。特定の季節にだけ失業者が増える業界があり、このような定期の失業のことを季節的失業という。 ====自然失業率==== natural unemployment rate. 期待インフレ率と現実のインフレ率が一致し，実質賃金による労働力需給の調整が達成されるような長期均衡状態において成立する失業率。 …というのは、ブリタニカ小項目事典からの引用だが、 この文章からだけでは、どういう事か理解するのは難しいだろう。 前編集者は実際にはあまり「自然」に見えない、と記述しているが、本来の、短期ではなく長い目で見ると行き着くであるだろう、失業率、という意味で、自然という言葉がそれほど"不自然"、な訳ではない。 基本的には多少の失業者はいるものだろう、摩擦的失業や、自発的失業、そして口では働きたい働きたいと言いつつ、実際には人間はあまり働きたくない^^;;;、何となく失業者になりたがっている^^;;;;;…。 自然失業率という概念は、主にフリードマンが提唱したらしい、フィリップス曲線からの類推から、インフレにより失業率が減らせるという主張があり、それに対する反論でもある。 20世紀後半の代表的な経済学者サムエルソンが、自然失業率を正確に測定できた者は いまだに一人もいないと、著作『経済学』で述べている<ref name="nm">根井雅弘『サムエルソン『経済学』の時代 』、中央公論新聞社、中公選書、2012年1月10日初版発行、P68</ref>。 仮に自然失業率なる概念が明確に規定できるなら、我々の社会でその値がある程度明確に時間に応じて存在すると見れるだろう。それを統計調査で測定し、明らかにしたいのだが、この測定はやはり完璧に正確にはいかない。しかしサムエルソンの主張はそれ以前の問題。概念も測定もいまだ相当あいまいだという主張だろう。 サムエルソンは2009年に死亡した。彼は自然失業率は、長期的には安定した数値ではなく、そのため、ある程度の幅を持っていたり、あるいは複数の幅を持っている<ref name="nm" />、と云う。 冷戦崩壊や日本の1990年前後の不動産バブルについてはサムエルソンの著作は言及できたものの、しかし2008年前後のリーマンショック・サブプライム危機については言及が乏しいと考えられる（※ wiki著者がまだ未確認）。 余談だが、サムエルソンの経済学教科書『経済学』は、日本では『サムエルソン経済学』などと言われるが、実際は1985年以降の版は経済学者ノードハウスとの共著である（和訳本『サムエルソン経済学』の表紙を良く見ると、原著者ノードハウスの名前も入っている）。 =====自然失業率の算出===== 景気の変動などで実際の失業率はやや周期的に波上に上限に変動するだろう。 実際の失業率を、一定期間の平均的な高さの曲線でならしたものが自然失業率である、という見方がある。 この平均曲線の失業率と、実際の失業率とのずれの分を、循環的失業（cyclical unemployment）、とも云う。 フィリップス曲線の理論と関連づけるなら、インフレが進行したときの失業率の減少は、この循環的失業の部分だとされている（とスティグリッツは言う）。また、政府の経済対策などの成功によって減少できる失業率も、この循環失業率の部分だけである（と、スティグリッツは言っている）。 しかしマンキューは、スティグリッツのような意見には反対していて、自然失業率は経済政策の影響を受けないとは限らない、と主張している。 このスティグリッツとマンキューの差異のように、自然失業率の細かい定義はあまりはっきりしていない。 ==実質という指標== 貨幣は絶対の固定された価値を持つものではない。経済の様々な指標は貨幣値で示すものだろうが、時期により貨幣の価値は変動している。だから様々な指標に貨幣の額面ではなく、物価の変動を考慮した補正を加える。 これが、実質〇〇（real 〇〇）だろう。具体的には、実質GDPや実質利子率などがある。 たとえば、実質利子率は、次のように引き算で定義される。 :実質利子率＝名目の利子率－未来のインフレ率の予想値 例えば、まあ金額が少なすぎるが、例え話で銀行に100円預けたとしよう。これで、1か月後に利子が10円つくとする。これで名目利子率は、10% 。そして一か月後に10％のインフレになると予想されていると、実質利子率は0%だよね。これはどういうことだろう? 仮に予想通り、一か月後に10%のインフレ、物価高になったら、100円で買えたものには110円払わなければいけなくなる。名目利子率が10％なら、戻ってくるお金は110円だろう。つまり実質の利子は0％、預けたお金と同じ価値の貨幣が、銀行から返ってくる。 そして、もしこのインフレ状態で銀行に預けず、その資金を投資にも回さなければ、持っている100円の価値は100/110に下がっているだろう。 だからもし実質利子率がマイナスになっても、インフレで貨幣の価値は下がるが、事実上利子はつくのだから、やはり銀行に預けた方が得という事になる。 しかし予想値はあくまで予想値、この辺なんらかの欺瞞も、現実には多くあるような気もする。 ===物価の指数、インフレ率をどうやって導くか?=== 物価高とか、物価が低いと言ったところで、商品やサービスごとに価格の変動は異なるだろう。 インフレ傾向だと言っても、価格が下落している商品もあるだろう。 そこで総合的なインフレ率、物価動向を示す指数は、様々な算出法が考えられることになる。 「物価指数」とは、市場にある数種の商品の価格を実際に行政が調べて、基準年から何倍になったかを表している。 たとえば、リンゴでもハンバーガーでも何でもいいのだが、たとえばリンゴが基準年から20% 価格上昇したら、リンゴの物価指数は1.2（＝1＋0.2）ですね。 そして物価指数というのは、社会の物価を総合的に示す指数であるので、いくつもの商品の価格の変動を考慮して算出する。 そして消費者にとって重要な商品と、生産者にとって重要な商品は違う。 だから、「消費者物価指数」（CPI, consumer price index）と「生産者物価指数」（PPI, producer price index）という、それぞれ別の物価指数が算出されている（少なくともアメリカでは）。 さらに、GDPの計算のときに使う物価指数は「GDPデフレーター」といい、消費者物価指数とも生産者物価指数とも異なる。 GDPデフレーターは、名目GDP から実質GDP を求めるときに算出する物価指数で、これも、物価が高ければ1 （ 100分率の場合は100 )を超える。 :実質GDP ＝ 名目GDP / (GDPデフレーター[100分率]/100) ですね。GDPデフレーターは実際は100分率で示す場合が多い。 事実上、物価指数の計算方法は、種々多様になるだろう。 GDPデフレーターの算出方法は、「消費者物価指数」（CPI）の方法に近いが、ある程度は異なる。実質GDPは国内総生産（GDP）であり、国内生産に関する商品の価格変化を重視し、いっぽう消費者物価指数（CPI）では、輸入品の価格も比較的に強めに考慮する。 事実上、「GDPデフレーター」とは、実質GDPの算出に用いる物価指数であり、『スティグリッツ入門経済学 第4版』もその文脈で解説している。 消費者物価指数とGDPデフレーターの関係、アメリカでは、1970年代の（2度の）石油危機のときに、2度、値が乖離した。 いっぽう同じ1970年代の日本では、CPIとGDPデフレーターはあまり、乖離しなかった。 ==金持ちはけち？いやー金持ちだろうが貧乏だろうが、けちな奴はけちだし、太っ腹(放蕩?^^;;;)なやつは太っ腹じゃあない^^？== ===先ず…=== GDPが高い国家は、消費も多くなるだろう。 消費額をCとして、所得をYとし、比例係数 k を用いて式 :C≒kY が、成り立つと考えてみよう。 所得以上に消費することは普通無いので、 :k<1 と、してみる。 また、ミクロ経済では、需要Dを、 :D ＝ j×Y ＋ 定数 の式で示す試みもある<ref>小室直樹『小室直樹の経済原論』、東洋経済新報社、2015年6月11日発行、P509</ref>。このような立式で、需要、消費、所得などを、数理的に議論する事が可能になる。 === 限界消費性向 === さて、誰がけちで誰が太っ腹かの話は、はっきり言ってどうでもいい事だろう。 先ずここで「平均消費性向」という言葉を提示する。これは、可処分所得に対する消費支出の割合の事だ。 ある人がある所得を得て生活している時、その可処分所得の中から、平均消費性向の分だけ消費として使っている訳だ。 そしてこの人の所得が増加した時、増加分のうち、消費に回す割合を、限界消費性向（MPC、marginal propensity to consume）、と、いう。 一般に経済学では、何か（金額など）の投入を1単位ぶん増やしたときに、増える出力の割合のことを「限界〇〇」という。 アメリカでの調査では、所得の大小に関わらず限界消費性向は0.8～0.9である、と、言われている。 クズネッツは1869～1938年の統計を見ると、限界消費性向は0.9である、と記述する。 ここで、仮に平均消費性向も0.8~0.9であるとすると、縦軸に消費額をとり、横軸に所得（可処分所得）をとると、このグラフは傾き0.8～0.9の直線になる。（『スティグリッツ入門経済学 第4版』、薮下史郎ほか訳、東洋経済、2012念4月5日 発行、）（クルーグマン『マクロ経済学』、大山道弘ほか訳、東洋経済、2009年4月2日発行、315ページ） だから、平均消費性向と限界消費性向の値が一致するなら、所得と消費は比例式だから、単に所得の内のある割合が消費になるし、そうでないなら、所得が増える程、財布の紐を締める、或いはその逆、という議論が可能になるだろう。 ===消費関数=== クズネッツ型の消費関数(consumption function)とは、前述した :C≒kY 、である。 日本などいくつかの国では、所得が増えるほど消費の割合が低くなる、という現象が、統計として見られる。 これはケインズ型の消費関数↓を使うと、うまく表現する事が出来る。 :c ＝ a + MPC × Yd :c: 消費 :a: 独立消費水準 :MPC: 限界消費性向 :Yd : 可処分所得 MPC＜1 でないと、一般的には意味を持たないだろう。 式中のaの部分、所得によらずにする消費のことを独立消費（antonomous consumption）というが、日本では基礎消費ともいう（※: 『基礎消費』の参考文献: 福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門 第5版』、有斐閣、2016年3月30日 第5版 第1刷 発行,32ページ） 独立消費水準が0 なら、これはクズネッツ型の消費関数だが、一般的には、クズネッツ型は比例式、ケインズ型は、所得に応じて消費の傾向が変わる状況を示す関数とみる。a>0 なら、所得が上がるごとに平均消費性向は下がっていくだろう。 中谷巌『マクロ経済学入門 ＜第2版＞』（日本経済新聞社、2007年1月15日、2版1刷、32ページ）は、1992年から1997年の日本の消費関数を :C＝76＋0.61Y としている。<!-- すじにくさん、これ単位は何なの?千円? --> 有斐閣アルマ『マクロ経済学入門』（福田慎一・照山博司,38ページ）によると、2004年、2009年、2014年の日本では、低所得者の平均消費性向は0.9に近く、年収1250万円ていどの所得者の平均消費性向は0.6～0.7程度と低い。 ケインズ型の関数はより一般化されているから、所得に応じた平均消費性向の変化を表現する事が出来る。 現編集者としては、このクズネット型とケインズ型の消費関数の違いについてああだこうだ議論することに大きな意味があるとは思えないが、長期スケールではクズネッツ型の短期スケールではケインズ型の消費関数が当てはまるという指摘もある。 しかしこれは本当だろうか? 短期の所得と消費の関係、長期にわたる所得と消費の関係、この兼ね合いは、まず数理的な扱いの検討が必要になるだろう。短期スケールと長期スケールが独立してあるわけではなく、短期スケールの積み重ねが長期スケールになる。しかし、この問題をそんなに徹底的に考える意義はあるだろうか? また前編集者はさらに、この問題には、「ライフサイクル仮説」という学説、も関連話題としてあり、多くの大学生向けのマクロ経済学の教科書で解説されているという。 *クズネッツ型とケインズ型 [[File:Consumption function of Kuznets and Keynes type compatible japaneseB.svg|thumb|500px|※ これは架空のグラフです。]] 数学的には、クズネッツ型の比例式を一次関数に一般化したのがケインズ型の消費関数だろう。 さて、今具体的なある年を考えて、この年に日本国籍を持っていた人物、というのは具体的に上げて、数え上げることができるだろう。そしてその具体的な人物の年収も、その年収のうちその年にいくら消費したのかも、具体的な数値、金額として示すことができるだろう。 例えばその数値を、1950年から、1999年まで、すべての日本人について、右のような所得→消費のグラフにプロットしたとする。 これを比例式で回帰したら、クズネッツ型の消費関数になるだろうし、普通に回帰直線を描いたら、ケインズ型になるだろう。 また、全てのデータを使わずに、1950年代、1970年代、1990年代、と、データを分けて回帰すると、おそらくケインズ型の回帰が見られるだろうし、あるいはまた、特定の傾向を持つ少数の人物の、長い時間にわたるプロット、例えばその間にインフレが進行するとか、あるいは所得も上がっているかもしれません、を回帰すると、クズネッツ型の関係が見いだされるかもしれません。 右上のグラフはそういう統計手段についてのイメージ図ですが、参考文献: 福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』37ページ図、2-3 にある第二次大戦後の昭和の日本の家計消費のグラフを、参照して作っています。 {{-}} *ピケティの言 クズネッツ型の、所得と消費の比例式は、主に所得格差の小さい時期に見られる様だ。 フランスの経済学者ピケティは、クズネッツ型の消費の比例関係は、アメリカで大戦後一時所得格差が小さかった時代、或いは社会経済の動乱期のデータで<ref>トマ・ピケティ『21世紀の資本』、訳 山形浩生・森岡桜・森本正史、東洋経済、みすず書房、2015年1月15日、13ページ・15ページ</ref>、格差自体は、どんどん広がっているので、消費は、ケインズ型の一次関数になっていくだろう、と、指摘する。 * 乗数効果 さて、あなたが消費したお金は、誰かが受け取り収入になる。その誰かもまたそのお金を消費すると、また別の誰かの収入になる。 お金や人々の手から手へ廻っているのですね。 では今、ある人、 Aさんの年収を 1000万円としましょう。そして、現実にはあり得ないことですが、 Aさんが消費したお金はすべて Bさんの収入になるとしましょう。そして同じような関係が、 Bさん、 Cさん、 Dさん、…と、続いていくとしましょう。そして今平均消費傾向が限界消費傾向 MPCと等しいとすると… :Aさんは 1000万円 の収入を手にしたので MPC × 1000万円 の消費をすることになる。 :Bさんは MPC ×1000万円 の収入を手にしたので MPC² × 1000万円 の消費をすることになる。 :Cさんは MPC² ×1000万円 の収入を手にしたので MPC³ × 1000万円 の消費をすることになる。 :Dさんは MPC³ ×1000万円 の収入を手にしたので MPC⁴ × 1000万円 の消費をすることになる。 つまり、一人の消費が、別の消費を数珠つなぎに引き出していることを示したいのです。 ここで、このつながりが n人に及べば、Aさんの消費が最終的に :<math>MPC+MPC^2+MPC^3+MPC^4+\cdots+MPC^n</math> 倍の消費を生み出したことになる。 収入の和を考えれば、 Aさんは 1倍の収入があるから、 :<math>1+MPC+MPC^2+MPC^3+MPC^4+\cdots+MPC^n</math> これは等比数列の和ですね。 ここで無限に足し合わせた級数を考えると、0<=MPC<1 に注意して、 <math>1+MPC+MPC^2+MPC^3+MPC^4+\cdots+MPC^n+\cdots= \frac{1}{1-MPC}</math> と、なります。 実際には人口は無限でありませんが、十分に大きい数をとると、この値にほぼ近くなるとみていいでしょう。 そこで消費傾向が0.9 なら、<math>\frac{1}{1-MPC}</math>は 10になる。 このように、何らかの消費や投資の効果は増加、増殖する、と、考えられています。 さて、 :1－MPC は貯蓄性向（正確には限界貯蓄性向 MPS）。 そこで、 :<math>\frac{1}{1-MPC}=\frac{1}{MPS}</math> になります。 ここでは、0<MPS<=1 ですね。 つまりこの発想で考えると、貯蓄の割合を多くすると世に出回るお金の量が少なくなり、社会経済、景気が停滞し、発展が閉ざされ、生活が貧困になる、つまり合成の誤謬が成立するわけです<ref>[http://park.saitama-u.ac.jp/~yanagisawa/het10/44-61.pdf 『第５章 ケインズの経済学』P51]</ref>。 *預金は銀行が借入しているのだろう {|class="wikitable" style="float:right" |+ 信用創造 ! 銀行・借入者 !! 預金・借入金 !! 支払い準備金・内部留保や消費 !! 貸し付け金・預金 |- ! A銀行 | 　100万円 || 　20万円 || 80万円　 |- ! B企業 | 　80万円 || 　16万円 　 || 64万円 |- ! C銀行 | 　64 || 　12.8 　 || 51.2 |- ! D企業 | 　51.2 || 　10.24 　 || 40.96 |- ! 以下省略 | 　 || 　 　 || |- ! 合計 | 　500万円 || 　100万円 　 || 400万円 |- |} 家計が銀行に預金をすると、銀行にとって貸出資金が増加し、それが金融市場に流れ、企業や他の銀行も資金増加になり，社会全体で多くのお金が動くとみなせる、このような考え方を信用創造という。これは高校政治経済でも言及されている。 右の表では、例えば誰かが A銀行に 100万円預金する。 A銀行は預金のうち 80%の 80万円を B企業に貸す。　B企業は、まああまりリアリティのない仮定だが、 20%を運転資金として消費し、 80%を C銀行にいったん預ける。つまり、銀行も企業も 20%を留保または消費して、 80% を他者に貸す。 そうすると預金を債権とみなすとして、 :信用創造された債権総額=元の預金/0.2 と考えることができる。 これは前述した等比級数の考え方だ。 :信用創造された債権総額= 元の預金× (1 + 0.8 + 0.8² + 0.8³ + ･･･) ::= 元の預金×（1/(1-0.8)） 預金だけを考えれば、 :信用創造された預金総額=元の預金/(1-0.8²) に、なるだろう。 信用創造を考えるとき、元の預金のことを「本源的預金」ということもある。 しかしこれは又貸しモデルといい、実際の信用創造のモデルとは異なる。銀行が契約して預金通帳に金額を書くだけで預金が増加することが実際の信用創造であり、本源的預金は貸出資金にされている訳ではない。実際の信用創造で増加する預金を万年筆マネーという<ref>[https://www.jikkyo.co.jp/sys/wp-content/uploads/2026/02/9992661283.pdf 中里透『教科書の中と現実の「信用創造論」』、実況出版、地歴・公民資料97号、2023年09月25日 発行]</ref>。 ===ハンセン＝サミュエルソンの乗数・加速度モデル=== さて、ケインズ型の消費関数は以前、 :c ＝ a + MPC × Yd :c:消費 :a:独立消費水準 :MPC:限界消費性向 :Yd :可処分所得 と、記述した。 ここで消費c ではなく、所得Y に注目する。そしてむしろ国全体の所得、生産に着目し、つまり GDPを見るのだが、似たような形式の数理議論がある。 [[w:乗数・加速度モデル]]。 :<math>Y_t=C_t+I_t</math> :<math>C_t = C + cY_{t-1}</math> :<math>I_t = I + v (Y_{t-1}-Y_{t-2}) </math> ただし、 * <math>Y</math>： GDP * <math>C</math>： <math>C_t</math>はt期の消費。<math>C</math>は基礎消費。 * <math>I</math>： <math>I_t</math>はt期の投資。<math>I</math>は独立投資。 * <math>c</math>： 消費性向 * <math>t</math>： t期(時間) * <math>v</math>： 加速度係数 この連立式から、 <math>Y_t=(c+v) Y_{t-1}-vY_{t-2}+(C+I)</math> を導き、時間に対応する数列としての GDPを議論できる。 ==貨幣数量説== まず名目GDP の一番基本的な定義から考えてみよう。ある期間の、ある国に所属する経済主体の、売り上げから原材料費を引いた金額の総和がこれであろう。 そして売り上げそのもの、つまり原材料を引かない金額の総和も考えることが出来るし、そしてこれは大雑把に言えば，GDP に比例しているとみなすこともできる。 そしてまず、このような式を提示しよう。 :貨幣の流通速度 V ＝ 名目GDP / 貨幣量M 速度というのは単位時間ごとの値だが、ここでは例えば、名目GDP が 3か月の値なら、3か月の量を示しているわけだ。 さて、名目GDPは、販売された商品の価格に含まれる製品一個当たりの付加価値 P(販売価格から原価をひいたもの)とその個数の合計 Yとの積 ΣPY に等しい。 :<math>\sum_{k=1}P_k Y_k=P_1 Y_1+P_2 Y_2+P_3 Y_3+\cdots</math> つまり、こうですか。 :MV＝名目GDP＝<math>\sum_{k=1}P_k Y_k</math> さて、先ほど売り上げそのもの、つまり原材料を引かない金額の総和について書いたが、これは荒くとらえて名目GDP に比例するとみてみようと言及したが、製品一個の付加価値ではなく価格をP' とすると、 :bMV＝b*名目GDP＝<math>\sum_{k=1}P'_k Y_k</math> そこで、貨幣の流通速度の別解釈を提示しよう。 :貨幣の流通速度（別） V' ＝ b*名目GDP / 貨幣量M これはこうなるでしょう。 :MV'＝<math>\sum_{k=1}P'_k Y_k</math> さて、ここでですねー、こういう値を考えたい。 <math>Y=\sum_{k=1}Y_k</math> こうなると、この値、P' を求めることが出来るでしょう。 P'=<math>\frac{\sum_{k=1}P'_k Y_k}{Y}</math> 結局 MV'=P'Y :菅原晃『使えるマクロ経済学』、中経出版、2014年10月14日 第1刷発行,178ページ、 :では、『貨幣数量説』の公式として、 ::「貨幣量×世の中を回った回数＝物価×取引量」 とある。 :菅原晃『使えるマクロ経済学』、中経出版、2014年10月14日 第1刷発行,203ページ、 :では、『貨幣数量説』の公式として、 ::「供給:貨幣量×世の中を回った回数＝需要:物価×取引量」 とある。 この形の公式を「数量方程式」（quantity equation） と呼んでみましょう。また、この公式であらわされる学説を「貨幣数量説」という場合もある。 右辺に価格が入っているので、物価のインフレまたはデフレの解析に、この貨幣の流通速度の理論が使えそうだと経済学では思われている。 アメリカ経済学の教科書のスタイルではP×Y は 名目GDP に等しいと説明されるが、P' と同様に一般的な付加価値、P を求めることが出来るから、正しい主張でしょう。 PをGDPデフレーターとして、Yを実質GDPとして :MV ＝ PY という書き方が、各種教科書でなされることも多い。どちらにしろP*Y は名目GDPになるわけです。 前編集者は :MV'＝物価×取引量 ∝ 名目GDP :MV'＝物価×取引量 ∝ 実質GDP × インフレ率 という関係式を得て、それを経済モデルに合うように連立させることが重要、と記述していたが、現編集者はこの手の数理議論にはあまり大きな意味はないと思っている。 ===マーシャルのk=== さて、前項で、 :MV＝名目GDP=PY :MV'=P'Y :M:貨幣量 :V:貨幣の流通速度α :V':貨幣の流通速度β :P:一般化された付加価値 :P':一般化された価格 :Y:財、サービスの取引数 ここで前回の議論にもあったように、 P'Y=b*PY としてみると、 M=(b/V')*P*Y そして、 M=k*P*Y このk が、マーシャルのkであるかは定かではないが、彼の議論の片りんを見るものとみていいだろう。 統計的には k は定数ではない。（※参考文献:中谷巌『入門マクロ経済学 第5版』、日本評論社、2007年3月30日第5版第1刷発行、192ページ） たとえば中谷は参考文献『入門マクロ経済学第5版』で、日本では1970年代はマーシャルのkが 0.7 程度だったが、しだいに増加していき、2004年には k は 1.4 程度であるとグラフで図示している。 :※福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』（有斐閣、2016年3月30日第5版第1刷発行、141ページ）では、文中に「右辺の定数k」とある。しかし、中谷の文献で紹介されるように、統計的にはkは定数ではない。数学的にはkは、「右辺の'''係数'''」である。 k=b/V'でもし bが定数なら、貨幣の交換が少なくなるほどk が大きくなる。 だから、いわゆる「デフレ経済」と言われる日本の1990年以降の時代（平成初期の不動産バブル崩壊の以降の時代）でマーシャルのkが増加するのは常識と一致するのだが、しかし中谷の文献のグラフを見ると、1970年代も1980年代でもマーシャルのkは増加傾向であるのが、グラフから読み取れる。（しかし中谷は、不動産バブル崩壊以前のマーシャルのkの増大には注意を払ってない。） そしてこの式は、こう読める。 :M＝k*名目GDP （参考文献:菅原晃『使えるマクロ経済学』、中経出版、2014年10月14日第1刷発行,203ページ。この文献では「貨幣量＝GDP」という図とともに「k％ルールが有効！」という文言が図中にある。 ） このkを、経済政策の目安にするのが良いだろうという学説があるらしく、フリードマンがそのような学説を提唱したらしい（菅原の文献を読んだ限り、そういう印象を受けた。By E.Suj.）。 ==インフレは好ましいか?== 経験的に、経済政策として、インフレ率2～4％程度の緩やかなインフレを目指すことが、多くの国で行われている。 クルーグマンが『マクロ経済学』（2009年版、472ページ）で報告するには、アメリカのFRBは方針こそ断言してないが、その実行結果から、2～3％ていどのインフレ率を好んでいる、と、云う。また、イングランド銀行はインフレ率を2.5％とすると明示的に公表している、と同ページに記述されている。 なお、この2%のインフレ率のように、比較的に低率でのインフレのことをクリーピング・インフレ（creeping inflation）という。クリーピングとは「しのびよる」という意味の英語である。1～3%程度のインフレ率が、クリーピング・インフレだと言われている。 また、スティグリッツは、もし政府がインフレを嫌ってデフレを誘導すると、一時的には失業率が増加する、と述べている（『スティグリッツ入門経済学 第4版』東洋経済、432ページ）。 しかし、この低率のインフレが好ましいという議論は、論理的に明快に因果関係が説明されているわけではない。少なくとも、『クルーグマン マクロ経済学』や『スティグリッツ入門経済学』を読んでも、そのインフレ率2～3%程度が好ましいという論の明確な説明は全く見当たらない。 スティグリッツは、循環的失業の増加は低インフレをもたらし、循環的失業の減少は高インフレをもたらす、と述べているが、しかし彼以外のクルーグマンもマンキューも、スティグリッツのような主張は（調べたかぎりでは）していないようである。 ==ケインズ政策== アメリカの1940年代のニューディール政策は、1930年代のケインズの経済理論が根拠になっている、とよく言われる。しかしそれ以外にも参考にした具体例があったようだ。 例えば、1930年代の日本の高橋是清・蔵相の不況対策で、似たような積極的財政政策がとられている<ref>福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』、有斐閣、2016年3月30日第5版第1刷、194ページ</ref>。 1930年代のドイツでの独裁者ヒトラー政権下でも、ドイツ人経済学者シャハト博士の助言のもとに、公共事業（高速道路アウトバーン建設など）や軍備増強など、積極的にドイツ政府は財政拡大をして投資した<ref>たとえば 犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P142</ref>。もっともこのころのドイツの軍備増強は、誰もが知るところだろう。だからこそ、第二次世界大戦の大騒ぎが実現したわけだ。 まあ軍備増強を公共投資と言っていいのかは疑問だが、当時のヒトラーの経済政策の果敢さは、彼の国内での、あるいは国外でも、人気拡大に一役買っただろう。 詳しい文脈は不明だが、森嶋道夫『思想としての近代経済学』（岩波新書、1994年）に、経済学者ヒックスが森嶋に「戦前はヒトラーの時代であった。戦後はケインズの時代になろう」と述べたことが記されている<ref>小室直樹『小室直樹の経済原論』、東洋経済新報社、2015年6月11日発行、P541</ref>。小畑二郎『経済学の歴史』にも似たような話が書かれている。 1940年代アメリカのニューディール政策はケインズの理論だけではなく、当時の様々な前例も参考に行われたのだろう。 さて近年、2008～2009年ごろのリーマンショックやサブプライムショックなどの対策としても、銀行の救済や公共事業などによる積極財政や金融政策がとられている。 ケインズ政策、ケインズ主義とは、不況対策や経済発展などのために政府が積極的に公共事業や融資や民間への資金援助などを行う政策をいうのだろう。ケインズ自身は、大恐慌に対する処方箋として、利子率の切り下げ（金融政策）と社会基盤への政府投資（財政政策）を示していた。 リーマンショック対策でケインズ政策はひとます成功したし、今でもこの政策が不況対策として有効だと、一般に認知されている。 ケインズの議論はケインズ経済学というマクロ経済学の主要な学派になっている。ケインジアン、という言葉もある。 一方でケインズ政策を実行すると、その国は多くの場合財政が悪化する。具体的には、国債を増発するようになる。第二次大戦後のアメリカ合衆国はそうなった。 この借金による国家運営の問題点をなくすために、ケインズ主義に代わる新しい経済思想がアメリカやイギリスで必要になり、1980年代にはレーガン大統領のレーガノミクスやサッチャー首相のサッチャリズムのような「新自由主義」が政治の表舞台に現れてきた。 *ハーヴェイロードの前提 ケインズ自身は、恐慌の時期には政府は借金をして投資しても、恐慌を脱したら財政規律を高めて赤字財政を回収して均衡財政に戻すべきと考えていた<ref>http://park.saitama-u.ac.jp/~yanagisawa/het10/44-61.pdf P58、2022年4月6日に確認.</ref>。 しかし、実際の多くの戦後先進国では、そのような政策はとられず、20世紀後半に赤字財政に陥った国も少なからず存在する。 WW2戦後のインフレには、このような赤字財政という背景もあったと、経済学者ブキャナンなどの新自由主義者は述べている<ref>http://park.saitama-u.ac.jp/~yanagisawa/het10/44-61.pdf P58、2022年4月6日に確認.</ref>。 ケインズの議論には、政府の経済政策には賢人としての高度な判断があるという、「ハーヴェイロードの前提」がある。ハーヴェイロードというのはケインズが生まれ育ったイギリスケンブリッジの土地で、知識人が集まっている場であった。 戦後の経済がケインズの当初の予想通りの均衡財政にならなかったのは、政治家の堕落（だらく）であり、為政者としての責任感の欠如だ、という指摘もある。つまり「ハーヴェイ・ロードの前提」が政治家に欠けている、という事だろう。 一方ケインズ経済理論を批判するブキャナンたち新自由主義の経済学者は、むしろ「ハーヴェイ・ロードの前提」が非現実的だろう、とも語る。 そして前編集者は、堕落しているのは政治家ではなく、むしろ民衆だろうと記述している。正しい政治家に投票できない民衆がおごりの中で政治家を批判しているだけだろうと指摘する。 しかし仮に民衆が堕落しているのなら、政治家も等しく堕落しているだろう。 全ての人間が公平に堕落しているのが現代社会だろう^^;;;。 赤信号、みんなで渡れば怖くない^^;;; *貨幣錯覚 ケインズの一般理論でも、「貨幣錯覚」については言及されている。本来貨幣は定まった価値を持つものではなく、一般的絶対的な価値に対して、必要な額面が大きくなったり小さくなったりする。つまり財やサービスに必要な貨幣の額面、物価が高くなったり低くなったりするのだ。 だから本来貨幣は名目、額面としての数字ではなく実質の価値が問題になるのだが、実際には人々は貨幣の額面の数字に捉われる。 多くの労働者も、実質賃金ではなく貨幣賃金を見て行動する、という<ref>滝川好夫『図解雑学 ケインズ経済学』、ナツメ社、2010年11月21日初版発行、P60</ref>。 ケインズは緩やかなインフレを肯定した。また、インフレ誘導的な政策が、恐慌の脱出措置としてよく用いられる。 物価が高くなると、実質賃金は下がるが、それに合わせて名目の賃金を上げると、労働者は収入が上昇しているように感じるだろう（か?）。 *利子理論と物価 一般に、インフレなら名目金利を高くすることが可能だという{{要出典}}。 前編集者は物価に関する数理を欲していたが、ケインズの利子理論やそこから導出された、LS-IM分析は，その目的にはかなわないものだという。 ケインズは「一般理論」の著書で，2%という数字を利子率の基準として示した。<ref>[https://ynu.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main&active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=3118&item_no=1&page_id=59&block_id=74 石井力『先物市場の「流動性の罠」』,P82]2022年4月6日に確認.</ref>。一方、21世紀、主要な先進国が採用する物価インフレ目標も多くは2%である。 前編集者は物価と金利を結び付けた数理議論を求めているようだが、そういう論説はあまり世にない様だ。ケインズは金利の理論を展開したが、それと物価を結び付ける議論も、特にあまり見当たらないという。 しかし実際には全くそれがないわけではないだろう。一般的な議論として、政策金利を低くすると借金がしやすくなり、銀行のストックが減り世の中に貨幣が出回る。その結果貨幣量が増え、インフレ傾向、物価上昇傾向になると見れるだろう。 ロイター日本語版の2021の記事は物価目標2%と金利を関連づけて語っている<ref> [https://jp.reuters.com/article/column-suzuki-akihiko-idJPKBN2F60HR 鈴木明彦『コラム：所得増えぬまま物価目標2％達成なら、消費者から悲鳴か＝鈴木明彦氏』]2022年4月6日に確認.</ref>。しかしケインズの議論には言及がなく、その視点での分析も特に書いていない。 一般的に金利が高いと貨幣量が減り、デフレ傾向だが、不況に関してはどうなるだろう? 一般に金利と言えば貸金、預金の利率、貨幣を貸すときの手数料、利益と見ていいだろう。物価は生産物と貨幣の交換率、この二つの値の比較と重要性を語りたいのが前編集者の議論だが、例えば学問的な考察や議論で、詳細に拘らず、あるものを別の或るもので単純に置き換えると、面白い展開を迎えるというのは、往々にしてある。例えばケインズの利率を物価で置き換えたらどうだ? と、言うのが前編集者のアイディアではあろう。 日本の平成、「デフレ不況」と言われている状況では、金利も低く物価も低くなっている。1990年前後のバブル崩壊よりも前のころは金利は高かったろうし、物価も高かっただろう。 昔の主婦は金利の高い金融機関を探して選んで預金していたものだが、最近は預金に関してはあきれるほど利率が低い。 21世紀の日本の低金利は、日本の不動産バブル崩壊後、何らかの理由で金利を下げる必要があったのだろうと前編集者は考えているようだ、特に物価の下落を重要ファクターと見ている。日本の過去の不動産バブルは、不動産資産のインフレによる騒動と見ることが出来るだろうか。 長期的にはインフレ率と金利が近づいていくという指摘もある{{要出典}}。 '''クラウディング・アウト'''とは何か? 現編集者はむしろ、より詳しい方がここに記述してくれることを望むが、前編集者の説明では、国債や郵便貯金などの利率が高いとその商品が魅力的になるので、株式や投資、民間の債権などにお金が流れなくなる現象だと書く。 では国債や郵便貯金の利率は低いほうが良いのか?もちろんそうなれば財政も圧迫しなくなるし、が一方で公共にお金を貸す意思自体が減ると見られるかもしれない。 政策金利と呼ばれるものはまた別の利率だろうが、これが低すぎると'''流動性の罠（わな）'''と呼ばれ、景気浮揚や投資を増やす効果を持たなくなるという。 現編集者は実際は経済学も大した知らないが、前編集者の不適切な悪意に満ちた文章を何とかしたい一心で、いろいろ調べながらこの文章を書いているだけなので、いずれはより詳しく人間性も良好な人にこのページを書き足し修正してほしいのだが、とりあえず流動性の罠の原因については、「ゼロ金利の近くになると、これ以上は金利は下がりようがないのだから、つまり今後は国債などの金利が上がる可能性が高い。そこで、人々は値上がりを期待して、民間に投資をしなくなる」、という言説もあるようです。 つまりこの主張は、今金利が低いと、人々は将来上がると予想してそれを待つという事? そこで結局流動性の罠とは何かそれほど理解していないまま、文章を先に進めるが、経済評論家の三橋貴明氏は、平成のデフレ不況とは、『デフレ化において単純に「儲からないから投資しない」』現象だと著書で語っている。そのうえでとりあえず政策金利を下げればよいという、バブル崩壊後の日本政府の金融政策を批判している<ref>三橋孝明『黄金の拘束衣を着た首相』、飛鳥新社、2015年2月6日第1刷発行、P129</ref>。 そもそも新たな投資が頻繁になされることが絶対的にいい事なのか? 今現在の生産インフラが潤沢に回っていることで、いい経済状況だとはみなせないのか? 経済が貨幣でお金のことだと見てしまうのは、本質を見失わせるだろう。経済とは我々の日々の生産活動だし、貨幣はそれに従い、それを動かすためのツールに過ぎない。 さて、評論家犬走文彦氏は「金融危機があるレベルまで達すると、信用リスクを回避するためいくら金利が低くなっても金融機関が貸し出しを止めてしまう」と書いている<ref>犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P134</ref>。そもそも金利が低くなると貸し出す方に旨味はない。借りる方が得になるから、貨幣需要が増えるという事だろう。しかし金融機関は敢えて貸さない? しかし金融機関とは、貨幣を貸し出して利益を得ている法人だったはずだ。 兎に角細かい事や全体を見ないままとりあえず投資が増えればいいというのなら、そして、「儲からないから投資しない」というのなら、「投資しないと損をするぞ」といった内容の経済構造すればよいのでは? 、と、前編集者は指摘する。 つまり投資という仕事をさせたいから、鼻先にぶら下げる人参はもうないから、では鞭で打とう、と、そういう訳だろう。 インフレ誘導にはそういう意味があるのだろうね。現状がデフレやディスインフレならなおさらこの方法に行きやすい。しかしインフレ誘導が制御できなくなって、高インフレになると、多くの人々が困ることになるだろう。今現在(2023/2)、その傾向があると言えなくもない。 一方経済学者クルーグマンは『中央銀行が将来のインフレ率を公約する「インフレ目標」が、流動性の罠のもとでも有効であると主張した。』、という<ref>福山慎一「マクロ経済学入門 第5版」、有斐閣、P223（『』内は書籍の解説文の引用）</ref>。 「バランスシート不況」という考え方では、恐慌時などには投資家がリスク回避志向になり、不況時は銀行の行動パターンが投資から債権回収などに移るので、この時期に政府が金融政策しても、あまり効果がない、という<ref>犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P134</ref>。貸し渋りという事? お金を持っている人たちが貸したくなくなる? しかしファイナンス、貸金とはそんなに経済、景気の進展に重要な事なのか? 借りたお金が世の中を潤沢に回ることが本当に健全な事態なのか? 投資と融資は異なるだろう。投資とは生産インフラの資本、資産を買い、所有することだし、融資はお金を貸しているという事。債権は利子を付けていずれ回収したいが、投資は所有している場合は配当などの利益が期待できるが、株式などの形で売って貨幣を回収することもできる。 1990年前後の不動産バブル崩壊後、日本は2000年代初頭に、非伝統的な金融政策である日銀のバランスシートの拡大、およびそれらの量的緩和をインフレ率が安定的に0.数％になるまで続けるという政策を実施しました。<ref>福山慎一『マクロ経済学入門 第5版』、P224</ref> さて、もちろんケインズは我々の歴史の中で最重要の経済学者ですが、全知全能の神様ではない。その指摘や理論が徹底的に現実を示しているものではないでしょう。 前編集者によると、「ケインズ理論も新自由主義も両方とも間違っている」、という主張も結構多いという。「反経済学講座」（犬走文彦、新潮社、2009年8月20日）がそういうスタンスだという事だが…。 また基本的には、特にその会社の経営者、関係者は自分の会社が倒産することは望まないだろう。しかし世の中には自然淘汰を称賛し、弱者が滅びることが正しい事だと見做す考えも多いし、そこまで極論ではなくても、妥当な経営を出来ない会社はペナルティとして倒産やむなし、という判断は多くなされるだろう。前編集者は経済思想家ハイエクなどはそう考えていると指摘する。 基本的に弱者企業を補助金などで救済すること自体が、経済全体にとって悪い事だという主張は多い。ハイエクは、不況の救済のために必要以上の補助金を投入する事こそが、次のバブルおよびその破裂による恐慌をまねく、と、指摘したという。[https://bizgate.nikkei.co.jp/article/DGXMZO3466714028082018000000 『世界恐慌を予言した人たち～金融緩和がはらむ反動リスク 』 2018/9/18]。 ハイエクなどオーストリア学派は、不況を避けるという考え自体が不適切だろう、と主張したという。ある程度の不況の緩和を目指すことは認められるが、景気は循環するもので、無理やりそれを動かして不況を避けて矯正しようとすると、経済はかえって悪化する、と指摘する<ref>犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P154</ref>。 歴史的には大した恐慌対策を取らないまま、状況が改善した例もあるようです。1930の世界恐慌より前、1920年の恐慌は、自然に終息、回復を迎えたとオーストリア学派は主張しています<ref>犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P159</ref>。当時のアメリカは金本位制。第一次大戦の放漫財政で金の保有量が減っていたことから、対策をとろうとしてもアメリカ政府のハーディング大統領は対策をとれなかった、と、いう。 さて、一般的に、 Aならば Bでも、 Bならば Aであるとは限らない。 消費の低迷 → 消費依存型産業の物価デフレ この流れはどうですかね。需要が減れば、値は下がるでしょう。 消費依存型産業の物価デフレ → 消費の低迷 これは? まず単純に考えて、値が下がれば需要は増えるのでは? では… 消費の活況 → 消費依存型産業の物価インフレ これはありますよね。需要が増えれば値は上がる。 消費依存型産業の物価インフレ → 消費の活況 これはどうですかね。一般に値が上がれば需要は減る、売りたい人は増えますがね。 高度成長も終わった昭和末期の1980年代、日本はディスインフレでした。しかし消費は活況。1980年代後半には、バブル直前の黄金期を迎えたといいます<ref>藤巻健史『マネーはこう動く』、光文社、2007年7月30日初版発行、P59</ref>。 だからデフレと不況の結びつきはそれほど強固ではない。 ただ需要が低下すると、値は下がる、これが徹底的に続いているのがデフレ不況なのだろう。経済評論家・加谷珪一は「デフレが不景気を引き起こしたわけではない。不景気でモノが売れず、企業は安値販売を余儀なくされ、これがさらに物価と賃金を引き下げている。高く売ることができる商品をわざわざ安く売っていたわけではない点に注意する必要がある。」と語る<ref>[https://www.newsweekjapan.jp/kaya/2022/04/post-180_2.php 『日本だけ給料が上がらない謎...「内部留保」でも「デフレ」でもない本当の元凶』2022年04月01日（金）17時30分]2022年4月9日に確認.</ref>。 つまり需要がない。日本は物に溢れている、なんてよく言うが、それに類する事態だろう。 しかし需要がないという事は必要ないという事。物が十分にあるという事はそんなに働かなくてもいいという事? そんなに作らなくてもいいという事かね? しかし結局この国の経済状況の中で、失業したり貧困に陥る人はかなりの数存在する。 そもそも1960年代以降の47カ国のデータを調査した結果、マネーサプライの増加も、赤字財政も、金利の低下もインフレを引き起こさなかったという実証論文もあるようだ<ref>[https://econ101.jp/rapid-money-supply-growth-does-not-cause-inflation/ リチャード・ヴェイグ「マネーサプライの急激な増加はインフレを引き起こさない」（2017年1月16日）]</ref>。 ==完全競争== 高校の政治経済では、「不完全競争市場」の例として、寡占や独占などの事例を習う。不完全の反対が完全だろうが、寡占（かせん、oligopoly）や独占(monopoly)などの、競争をゆがめるような制限のない市場の状態のことをよく、完全競争（pure competition）という この言葉をより詳しく規定するとどうなるか? 次の五つの条件を満たすのが完全競争だという。（前編集者の定義） # 生産者（売り手）と消費者が十分に数が多いという条件。 # また、生産者どうしが談合などせず、競争するという条件。 # また、生産者どうしも独立していて、他の売り手に大きな影響を与えないという、生産者どうしの独立の条件。買い手もまた、他の買い手に大きな影響を与えないという、消費者どうしの独立の条件。 # 消費者はよく商品の情報（特に価格についての情報）を知っているという条件。 # その市場への参入と退出が容易だとする条件。 寡占や独占のもとでの市場競争は、この「完全競争」の条件が満たされてない。と、云うか一般的には完全競争の状態は現実には無いと見なされている。議論のための仮想的な市場状態だろう。 そして完全競争の定義は、論者や学派によって微妙に異なるようだ。ここでは５つの定義を上げたが、これが３つぐらいの規則から導かれる完全競争の性質に過ぎない、という議論もある。 ==不況と好況== [[File:Economic cycle.svg|thumb|450px|景気循環の図。グラフの波型の山の部分が好景気を表し、谷の部分が不景気を表している。<br> Expansion ：景気拡大<br> Boom　 ：好景気の頂点<br> Recession ：景気の後退<br> Depression：景気の消沈<br>]] 景気には波があるという。景気を統計的、数量的に示す方法があるかどうか、現編集者は知らないが、実質GDP を基準に考える道はあるだろう。 一般的にある程度安定した国家社会では、実質GDP は微増するものだと見るといいのではないだろうか。社会集団として、生産集団として、文化や技術が発達し生産に慣れて社会として習熟した表れとして、生産を示す実質GDP はわずかに増えていく。あくまでも仮定ですがね。 そうなると、好況というのはその時点での実質GDP成長率がある程度高いことを示すだろうし、不況というのは実質GDP成長率が横ばい、ゼロ、あるいはマイナス成長の時、だということは出来るだろう。 前編集者は、経済や生産の事を語る時に、「不況」「好況」の言葉を使うよりも、「高成長」や「低成長」や「マイナス成長」という言葉を使った方が妥当だし、適切だろうと書いているが、「不況」「好況」という言葉は現実の経済、商業生活でのそれぞれの職業人の精神的な満足度を示しているものではあるので、GDP だけがそれを示すものにはならないだろう。そもそも実質GDP とは常に大きく上昇し、上がっていくのが自然で望ましいのか? そうすれば人々は十分な満足が得られるのか? それさえも怪しいし、定かではないだろう。 ==労働価値説と限界革命== ===労働価値説=== さて、財とサービスに価値があるのは自明でしょう。そしてそれと交換される貨幣にももちろん価値がある。 そしてまあ常識的に払う貨幣が高いほど、その財には価値があると見做されている。 払う貨幣とは価格ですよね。そしてこのページで議論してきたように、価格は需要と供給で決まると考えるのが、現代的な経済理解です。 しかし一方でもっと哲学的、観念的議論として、商品、財が持つ価値の根拠、いったい何によって価値が生まれるか、それを知りたい訳です。 そこでまず議論されたのが、アダムスミスやマルクスが言及した労働価値説ですね。 つまり財やサービスの価値の源泉は、我々の労働だと。 財の価値の根拠が労働にあることは否定できないでしょう。ただその議論を価格と結びつけるのはなんだかんだでかなり困難がある。労力を多く費やしても価格が安くなることはあるし、労力少なくして高い価格がつくことも現実にはある。 しかし数理的に労働量と価格の議論が出来なくても、労働が物事の、財の価値を生み出していることまで否定するのは詭弁でしょう。 大体労働に価値がないのなら、世の人はもう明日から仕事に行かなくなるよ^^;;;。 しかし一方「効用革命」という議論があり、労働価値説とは別の視点として、財を消費する側の満足、欲望の充実に価値の根拠を見出す視点がある<ref>https://diamond.jp/articles/-/75341</ref>。 この議論は数理とも馴染みがよく、ミクロ経済学の重要な分析の一つになっている。 価格は需要と供給によって決まり、財の生産者は市場で売れる価格にあわせて利益が出るように労働および経費などの投入量を調節する<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日 初版 第1刷 発行、P236</ref> ===限界効用理論=== 効用とは財を消費したときの満足度である。ここで効用関数なる値が実数の関数を考える。 一般に消費者は、いくつもある消費計画のうち、みずからの効用関数を最大化させるような消費計画を選ぶ、と考えられる。これを「効用最大化仮説」と言います。 たとえば、ある消費計画Aと、別の消費計画Bについて、それぞれ効用をU(A)およびU(B)とします。つまり消費計画Aの効用がU(A)です。同様に消費計画Bの効用がU(B)です。 そして、たとえば、もし :U(A)>U(B) なら、消費者は消費計画Aを選ぶ。 同様、もし :U(A)<U(B) なら、消費者は消費計画Bを選ぶ。 ただし、効用の大きさそのものを数値化することは一般にはできず、その大小関係・順序にのみ意味があると考えています。数学で言うと、代数システムのうちの順序関係・大小関係のことを「序数」と言うので、効用関数の上述のような性質のことを「効用の序数性」と言います<ref>塩沢修平『経済学・入門』、有斐閣、P60</ref>。書籍によっては便宜的に効用が数値で表される場合もありますが、しかしその数値はあくまで便宜的なものに過ぎず、数値の絶対的な大きさには意味は無い<ref>塩沢修平『経済学・入門』、有斐閣、P59</ref>、とのことです。 :※英語ではfirst やsecond やthird などの単語を「序数」と言いますが、つまり、集合の要素の順序関係を見るのが序数ですよね。 然し導関数として、ステーキの購入計画C とワインの購入計画D で、ステーキ1単位を購入することがある人にとってワイン何単位ぶんの購入に当たるかの計算は議論される。こうのような購入量1単位ごとの効用の換算値を、限界代替率と言います。 「効用」は、主観的な量です<ref>たとえば 塩沢『経済学入門』、P59 など。</ref>。つまり、効用の大きさは、それぞれの消費者の主観で決まります。 この効用と価格の関係に関する数理議論があるだろうが、現編集者はほとんど知らないので記述できない。一般の経済学入門書を見ても、そういう話題はまったく書かれていない、と、前編集者は書く。 効用自体も、消費量が1単位増えた時の効用の増加、限界効用も、関数の数値自体には大きな意味はないと見る。しかし財によって限界効用を比較したもの、限界代替率は、限界効用の数値を比較し、同じ満足度の消費量を見出す概念だとはいえる。 経済学者ヒックスはこの限界代替率に着目した研究を行ったという<ref>小室直樹『経済学をめぐる巨匠たち 経済思想ゼミナール』、ダイヤモンド社、2004年1月8日、P202およびP203</ref>。 もう一度書くが、限界効用とは，財を一単位追加して消費することによる効用の増加分だ。これは効用関数の微分と見ていいだろう<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日初版第1刷発行、P161</ref>。 さて、この効用関数は、単調増加で上に凸だろうか。ある種類の物があふれると、その物ひとつ当たりの価値は小さくなる（効用逓減（ていげん）の法則）。 水は生命活動に不可欠に限らず、ダイヤモンドより価格が安い<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日 初版 第1刷 発行、P172</ref>。同じ美術品を何度も鑑賞すると、慣れてきて価値を感じなくなる<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日 初版 第1刷 発行、P172</ref>。 財の消費だけではなく、人間の心理的または生理的な傾向としてこのような現象は見られますよね<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日初版第1刷発行、P172</ref>。 兎も角効用とは消費する側の議論だろう、一方で供給する側の視点も必要だ。労働がなければ多くの財は供給不可能だ。 ===サンクトペテルブルクの賭け=== さて、事実上は話題として少しそれるが、効用に関する議論として、18世紀前半、ロシアのサンクトペテルブルクに住んでいたスイスの数学者ダニエル・ベルヌーイが示した「サンクトペテルブルクの賭け」という面白い議論があるので、余談として紹介しておこう。 ここではこういうゲームを考える。一枚のコインを表が出るまで何回も投げ続ける。もらえる賞金は、1回目に表が出たら1ダカット（日本円で500円ぐらいだという）、1回目は裏が出て2回目に表が出たら倍の2ダカット、2回目まで裏が出ていて3回目に初めて表が出たらそのまた倍の4ダカット、3回目まで裏が出ていて4回目に初めて表が出たらそのまた倍の8ダカット、というふうに倍々で賞金は増えていく。 さて、この場合このゲームを売る胴元は、何ダカットでこの賭けを売ればよいだろうか？ 普通ギャンブルのこういう議論では期待値を計算する。 期待値の例として、別の簡単なゲームを考えてみよう。 二人の人間がゲームに参加し、参加料として100円ずつ払う。じゃんけんをして勝った方が場に出た200円を総取りする。 この場合片方の参加者がじゃんけんに勝つ確率は 1/2、負ける確率は残り 1/2、200*1/2+0*1/2 で期待値は100円。参加料が100円だから、ゲームとしてはトントンだという事になる。 ここでもしゲームとしての胴元がいて、10円ずつ参加料から場所代を抜いていたら、賞金総額は 180円で、期待値は 90円。世によくある、胴元が確実に儲け、参加者が総体的には結局損をしているギャンブルになる。 さて、先のサンクトペテルブルクの賭けの賭けでは期待値はどうなるか。 まず最初に表が出る確率は 1/2。その時の賞金が 1ダカット。次に裏が出た後表が出る確率は、1/2*1/2=1/4。賞金は2ダカット。つぎは 1/8と 4ダカット。結局期待値は、 1/2+1/2+1/2+… となって∞に発散する。 つまりこれは圧倒的に胴元が不利なゲームのはずだ。いくらで売っても期待値は無限大だからね。 しかし実際このゲームを 16ダカットで売ったとしてみよう。 だとしたら、賞金が 8ダカット以下になる確率は 15/16。まずこれが起こる可能性が高いから、胴元が得するように思える。しかし問題は、 1/16だ。これは底なし沼だ。場合によっては胴元の資産を超えて負けることもある。ここがこのゲームの期待値が無限大で胴元に不利だと言える根拠になるだろう。 ベルヌーイ自身はここに効用の発想を取り入れて、議論を進めた。つまりダカット金貨の額面で判断せずに額面の満足度、効用を金額の対数と決めてみた。賞金の期待値は∞に発散するが、効用の期待値は一定の値になる。最初に表が出た時の額面が1で、効用をlog[2,1]=0とすると、裏→表で効用が log[2,2]=1、裏→裏→表で効用がlog[2,4]=2で期待値は0/2+1/4+2/8+3/16+4/32+… そしてこの無限級数は幾つになるかな? 現編集者は計算できなかった^^;;;。数学の得意な人が答えだしてください。兎に角 2のこの無限級数乗の金額が効用としての期待値での金額。気持ちとしてはゲーマーとしてはこれでトントンだという事か。対数を考えるという事は、金額が大きいほど増えてもそれほどありがたみを感じなくなるという事ですからね。 さらなる分析として、胴元がこの商売を人生で何回やるか、ゲーマーが何回するかがこの話の議論に関わってくるだろう。 == 脚注 == [[Category:経済学|*]] [[Category:書庫|けいさいかく]] [[en:Principles of Economics]] 5s2yzy87uawwft7dja0itzs9w53wdr2 305441 305440 2026-11-06T08:14:24Z 正月君 92918 /* ケインズ政策 */ 305441 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|経済学|frame=1|small=1}} ここでは、経済学の基礎的事項について確認しながら、世界経済における経済の動向に配慮した経済学的解説に努めることにする。[[高等学校政治経済]]のテキストも参照せよ。 == 経済変容と現代社会 == 現代社会の変容は、工業化・IT化に続く。 === 経済の変容 === * [[経済学 現代経済の変容 経済の変容 経済とは何か|経済とは何か]] ==== 世界経済の変容 ==== * [[双子の赤字]] {{進捗|100%|2013-10-08}} * [[経済学/アジア通貨危機|アジア通貨危機]]（[[冷戦後の世界#躍進するアジア|躍進するアジア]]） * [[経済学/改革開放|改革開放]]（[[冷戦後の世界#躍進するアジア|躍進するアジア]]） * [[経済学/アジア経済|アジア経済]] * [[経済学/インド経済|インド経済]] * [[経済学/EU統合|EU統合]]（[[冷戦後の世界#ヨーロッパの統合|ヨーロッパの統合]]） ==== 日本経済の変容 ==== * [[戦後]]（[[日本史/現代/戦後|日本史 戦後]]） {{進捗|75%|2013-10-08}} * [[高度成長]] * [[経済学/通貨危機|通貨危機]] * [[経済学/石油危機|石油危機]] * [[プラザ合意]]（[[日本史/現代/戦後/低成長期|低成長期]]） * [[バブル景気]]（[[日本史/現代/戦後/低成長期|低成長期]]） * [[失われた10年]]（[[日本史/現代/戦後/低成長期|低成長期]]） * [[経済学/情報化社会|情報化社会]] * [[経済学/産業の空洞化|産業の空洞化]] == 現代経済の仕組み == === 世界経済 === * [[経済学 現代経済の変容 経済の変容 世界経済の変容 資本主義経済|資本主義経済]] * [[経済学 現代経済の変容 経済の変容 世界経済の変容 社会主義経済|社会主義経済]] * [[経済学 現代経済の変容 経済の変容 世界経済の変容 経済システム|経済システム]] * [[経済学/グローバル化経済|グローバル化経済]] === 経済学 === * [[経済主体とその活動]]：経済主体が相互作用の中で貨幣を廻している。{{進捗|75%|2013-10-08}} * [[経済学 現代経済の仕組み 金融機関とその働き|金融機関]]：銀行は何をする? 銀行のストックが減ると世に貨幣が増える。 * [[経済学 現代経済の仕組み 財政|財政]]：税金は何に使おう? 払いたくない^^;;;? * [[経済学 現代経済の仕組み 国民生活|国民生活]]：人間の行為は大抵生産、それをお金に換えたら経済になる。 * [[経済学/国民所得|国民所得]] * [[国民経済生産]]：GDPの値は国家の生産を示しているはず。{{進捗|100%|2013-10-08}} == 社会保障制度 == 年金や健康保険から公衆便所まで。 * [[経済学 社会保障制度 労働|労働]]：過労死は使用者責任が問われ、民事上の損害賠償責任が課せられることになります。 * [[経済学/福祉国家|福祉国家]]：福祉は必要だよね? しかし昔の方がやはり不備は多かったか…最も今でも… * [[経済学/社会保険年金制度|社会保険年金制度]]：年金制度は必要だが、経済的に破綻しないように運営するのはかなり困難。 *[[経済学 社会保障制度 成立と発展|成立と発展]] *[[経済学 社会保障制度 日本の社会保障制度とその内容・課題|日本の社会保障制度]] == 世界経済 == 日本経済の国際化による日本と海外の国々との関係とこれからの課題について学習しましょう。 * [[経済学/貿易|貿易]]：貿易はやはりバランスが大事か? * [[経済学/国際収支|国際収支]]：貿易で赤字になった国があるの？ * [[経済学/為替|為替]]：1ドル＝1円じゃ駄目？ === 世界経済の変容と発展 === * [[経済学/国際経済体制|国際経済体制]]：IMFとかGATTとかって？ ==== 世界経済の発展 ==== * [[経済学/多国籍企業|多国籍企業]]：ウォルマートとかエンロンとかトヨタとか・・・ * [[経済学/ユーロ|ユーロ]]（[[冷戦後の世界#ヨーロッパの統合|ヨーロッパの統合]]）：ユーロだけじゃない？ * [[経済学/サブプライムローン問題|サブプライムローン問題]]（[[冷戦後の世界#リーマンショックと世界の無極化|リーマンショックと世界の無極化]]）：アメリカ経済を気にするのはなぜ？ * [[経済学/国際協力|国際協力]]：アフリカ、ラテンアメリカ、南アジア、中東その他の国の状況は？ == 環境問題 == 自然環境問題を経済で解決できるでしょうか。 * [[経済学/都市と環境|都市と環境]]：ごみ問題、大気汚染、水質汚濁、渇水、オゾン層の破壊、こうした問題を私たちは解決できるのでしょうか。 * [[経済学/持続可能な発展|持続可能な発展]]：「宇宙船地球号」 * [[経済学/生態系と環境|生態系と環境]]：生態系を守ることこそ、私たちの未来に必要です。 {{stub}} == 未分類 == ===資源の希少性=== 原則としては、資源とは有限のものでしょう。むしろ無限と考える方が不自然だし、実際にはだれも考えていない。 しかし例えば再生可能エネルギー、太陽光なんかはほぼ無限と見なしていますよね。しかしシビアに考察すると、やはりそれも有限。 例えば水なんかはどうでしょうか。これは地球上を循環しているもので、現実的には無限とみていますが、やはり手に入りにくい地域はありますし、シビアに考えると有限ですよね。 クルーグマンやスティグリッツやマンキューなど、多くの経済学者も、彼らの教科書で、資源の希少性が経済学の前提であると説明している。（なお、日本の高校の「公共」教科書でも、たとえば帝国書院（教科書会社のひとつ）の検定教科書で、「資源の希少性」を紹介している。） なお、経済学・商学などで「希少性」は英語で scarcity である<ref>『ビジネス基礎』、実教出版、令和2年12月25日検定、令和4年1月25日発行、P61</ref>。 また、人々が望んだからと言って、それを生産できるとは、かぎらないと、マンキューは説明している。 たとえば医薬品として、エイズの完全治療薬を望んでも、それは現状の医学では生産不可能。 数百年前の時代を上げれば、たとえば結核や らい病 の治療薬のなかった時代もあった。この話も、誰もがあっさりと納得、あるいはいまさら言うなという感じでしょう。 また、資源を超えた量の生産も不可能。 この「資源の希少性」は、よく経済学の教科書で、「経済学の原理」のひとつとして挙げられている。 ===法則? 原理?=== 需要と供給の法則、なんて経済学では出てくるでしょうが、そもそも「法則」law とは、なんでしょうかね？ 例えば、「現在でも、よくある傾向」、だという指摘もある。ある程度の多くの国で、ある程度の長期や複数回にわたって、よく発生する現象で、今でもよくある現象の事、要するに緩やかな決まりで、法則に当てはまらない例外もある。 たとえば、「需要と供給の法則」の例外のひとつとして「メニューコスト」という概念もあり、生産者側の価格改定には費用が掛かるので価格改定が後回しにされやすい、と。 つまり、どちらかというと法則どおりの現象のほうが遭遇しやすいだろうという、多数の経済学者の信念がある。 その国の言語の違いという問題もある。英語の law 、法律も法則も英語では law です。 例えば物理学では「法則」はかなり厳密な決まりで、基本的に例外は許さない。 しかし本当に例外はないのかという疑問は持てる。何らかの超自然的な理由で、時々は物理法則をキャンセルできるかもしれない。 自然科学の実験をしている時、気にして観察している時だけその法則が満たされるとか… 例えば量子力学には観測問題とか、不確定性原理、そして物理現象の確率的解釈というのもある。 勿論現代の物理学は、観測者自身を系に組み込んだり、確率の数学的記述を厳密化したりと、厳密な法則記述のための工夫がさまざまなされている。 例えば原理 principle なんて言葉があったり、数学では定理、公理、公準なんて言葉も使う。 経済学でいう「原理」principle とは何ですかね？ 文脈や論者にもよりますが、「原理」とは普通の場合、いくつもある「法則」のうち、なかでも基本となる少数の法則のことです。 数学で言えば公理や公準に近いものですかね。 「資源の希少性」の原理と、「需要と供給の法則」なんて言いますが、むしろ「資源の希少性」は法則というよりは、前提事実と言ったところでしょうか。 「原理」と「原則」はともに英語では　principle、根源的な法則、事実を示すものでしょう。 法則の厳密性は当然、学問分野で変わってきます。そしてそれはそれぞれの学問者の、感覚や経験などで、誰もが知って身に着けている事でしょう。 == 合成の誤謬 == 合成の誤謬とは、個人や個々の企業にとっては合理的な行為でも、社会全体としては、不合理で意図しない結果に至ることですね。 例えば企業が経営の健全化を目指して、人件費を削減する。すると個人の収入は減るから、個人消費は減る。景気は低迷し、企業の売り上げも減る。 家庭の節約はどうでしょうか。 個人消費は減るし、節約対象の商品は売れなくなる。景気は悪くなるし、消費されないから生産もしない。 個人スケールで見た場合の合理的な行動と、国家規模の全体的な規模で考えた場合の合理的な行動は異なる。 しかし国家規模の合理的な行動とは何でしょうか? 先ず、国家という集団の化け物の実在性を認めるか? それとも国家とは何らかの方便なのだろうか? おそらく国家規模の合理的な行動とは、その構成員である国民の幸せに結びつくものでしょう。 限界消費性向を低下させる（つまり限界貯蓄性向を高める）ことは、GDPの低下をまねく可能性がある<ref>滝川好夫『図解雑学 ケインズ経済学』、ナツメ社、2010年11月21日初版発行、P180、</ref>。つまり国家全体の生産が低くなるわけですが、生産とは仕事をすることそのものでしょう。仕事をすればするほど幸せという訳ではない。 GDPはとりあえず上昇させたいという固定観念はあるが、これ自体どこまで妥当か。 国際競争を考えると、国家の経済力は必要だが、GDPを上げることを盲目的に目指す以外に、国家の安寧を満たす方法はないのか。 == 誰かの支出は誰かの収入 == 誰かが貨幣を支払ったら、それは他の誰かの収入になっているでしょう。 それは一国の通貨だけではなく、各国、世界全体でその関係が成り立つ。 我々がアメリカ人から貿易として何かを買いたい場合、先ず、円で払うか、ドルで払うかが問題になりますよね。相手が円の受け取りを拒否するなら、自分が外貨を持っていないなら、両替商に円をドルに換えてもらうことになる。 そうすると自分が払った円は両替商の収入になる。そして我々はアメリカ人から商品を受け取る。アメリカ人はドルで収入を得るが、それは両替商が支払ったお金。両替商は商売として貨幣の交換をしているわけだから、払ったドルより受け取った円の方が価値が高いものになっているでしょう。 複数、多数の主体があって、それぞれが一定の数値を持っている。そしてその数値をお互いにやり取りできるなら、その数値の総体、総数は保存されるでしょう。一番の典型例は、物理学のエネルギー保存則。 しかし現実には貨幣の総量が一定である保証はない。 変わり者がお札を燃やしたら、総量は減りますよね。一方政府がお札を印刷して、その分を回収することなく放逸に使ったら、その国の貨幣の総量は増えていく。 ==会計学から考えてみる== ===経理の初歩=== 幾つか、費用に関する用語を説明します。 *人件費 会社、法人が雇用者、労働者に支払う給料は、人件費ですね。従業員のために支払われる費用です。 *固定費 固定費というのは、企業の生産量や売り上げの増減とは関係なく発生する、一定の費用の事です。地代、減価償却費、固定資産税、などですね。債券の利子も会計分野では固定費に含めるという。 *変動費 反対語は変動費ですね。変動費用。生産量や売り上げによって増減する費用。原材料費、外注費、運賃、など。 人件費は固定費か変動費か? 会計に詳しいらしい前編集者も言及を避けているので、たいして詳しくない現編集者ももちろん知りません。 *減価償却費 事業用の建物、機械設備、備品などの取得費用ですが、会計上は普通耐用年数によって、徐々に費用として計上します。つまり購入したときにお金は払ったとしても、会計上毎年その費用を分けて少しづつ計上する。 逆に少しずつお金を計上して費用にした結果、耐用年数が来ますので、費用が完全に計上された時点でその設備の価値は0円になると見ていい。つまり備品の資産価値が減っていく、その部分の支払いをしたと会計上見なすわけです。 減価償却の基準は（つまり購入費を毎年どう計上するか）省令や法律や業界の制度などによって、あらかじめ決まっているので、経理の際には、その制度に従って経理処理する。 ===国民経済計算=== 国民経済計算の指標として知られるGDP（国内総生産）やGNP（国民総生産）から、その国の資産の減価償却の金額を差し引いた金額のことをネットDPまたはネットNPといい、それぞれNDP（国内純生産）またはNNP（国民純生産）と略記します。 つまり、 :NDP ＝ GDP － 減価償却費 :NNP ＝ GNP － 減価償却費 です。 Net domestic product. 正味の、純粋な国内の生産。net はフランス語由来の形容詞で cleanを意味し、「網」を意味する同じ綴りで古英語由来の net とは別系統の英語のようです。 国内総生産は、国内の事業者の売り上げから、原材料費（中間財・サービス）の支出を引いた物を積算したもので、国の生産、事業や労働で生み出した付加価値を示していると考えています。 一方減価償却費は、その間に建物、車両、産業機械が劣化し、それを現状に戻すための価格を示していて、生産分からその分消費、減耗しているともみなせるので、NDP は国内の生産の状態を知るための別の指標として提示されています。 GDP やGNP の頭文字G はグロスの略で、Gross は、会計でいう粗利（あらり）を示す形容詞です。会計学でいう「粗利」とは、売上高から売上原価（その商品をつくるために掛かった費用）を差し引いたものです。 人件費は引かず、支払う税金も引かず、原価（原材料）だけ売上高から引き算する。それが粗利（あらり）です。 粗利を英語で gross profit と言います。 profit とは「利益」「利潤」という意味です。 つまり仕事をして生産した分だけ利益になると見ていいと思います。 GDPの算出式は、 :GDP = 家計による支出＋企業による支出＋政府支出＋（輸出－輸入） :GDP = C + I + G + (X − M) 、[[w:en:Gross domestic product]]、[[w:国内総生産]]、などを参照してみてください。 C とG とI は最終財・サービスに対して行われた支出を数えます。事業者が行った生産の積算は、最終的には最終財・サービスに対する支出になります。 家計はほぼすべて、最終財・サービスに対して支出しているでしょう。 企業は、中間財・サービスに支出してそれをもとに生産し、一方で最終財・サービスを購入することもあるでしょう。 中間財にしろ最終財にしろ、輸出したものは国内の支出には含まれませんね。 C + I + G + X に含まれる中間財、最終財（最終財はそれまでの中間財の生産価値を含んでいる）のうち、輸入したものは国内の生産には含まないでしょう。 GDPの計算基準は国際連合が決めたものがあり、定期的に改訂される。[[w:2008SNA]]等の記事も参照してみて下さい。 C + I + G + X と M が同額なら、事実上 GDPはゼロだが、この場合は輸入したものをすべて消費し、さらに輸入したものをそのまま輸出していることになるから、矛盾ではない。 なんらかの生産行為が行われているなら、事実上GDP がゼロになる事は無いだろう。 しかし、経済分析として、前編集者の指摘が完全に無意味だという訳ではない。 分析の精密さのためには貸借対照表のように複式簿記的に扱うべきであるという意見はある。 家計による国内消費額の総計、企業支出の総計、政府支出額の総計、輸出額の総計、輸入額の総計、といった金額をそれぞれ個別に計測して、それらの金額を比較することにより、複式簿記的に分析することにも意義はあるだろう。 前編集者の指摘として、経済分析において、 :産業関連表、 :資金循環表、 :国民貸借対照表、 :国際収支表、 などの統計表を、経済系の省庁は作成する事が望ましい、という（※ 参考サイト [http://www.keikyo-center.or.jp/old/tool/pdf/sna.pdf 国民経済計算の見方、使い方] 財団法人 日本経済教育センター）。 GPD と産業関連表を関連付ける、複式簿記にたとえて議論する、などの発想は、各種書籍にも記述されているという<ref>塩澤修平『経済学・入門』、有斐閣、2021年、4月30日 第3版 第5刷 発行、P202、P258</ref>。 ===確定申告、減価償却、国民純生産=== 国民純生産を計算するためには企業の減価償却の金額の情報が必要でしょう。この金額において、経済全体で固定資本の減耗分は測定しづらい、正しく推定できないという主張もあります。 企業も確定申告するので、自社の減価償却費もその時点で税務署に申告します。 減価償却費に応じた税金の控除もあります。建物、車両、産業機械は必要経費ですからね。 減価償却の計算のルールは、日本の国税庁などの省令や、または経理業界などの制度によって、厳密に定められています。 税に関する申請は虚偽があると罰せられるので、その意味では、企業の減価償却費のデータはおおむね正確だろうと考えられます。 なお、個人でも企業でも確定申告は2種類ある。 :比較的に簡単に計算できるが（税の）控除の特典の少ない「白色申告」 :事前の申し出が必要でさらに計算方法も厳密で難しいが控除の特典が多く、多くの場合納税額が少なくなる「青色申告」 多くの企業が基本青色申告を利用している。 ===フローとストック=== フロー（英: Flow）とは、一定期間内に流れた量をいい、ストック（英: Stock）とは、ある一時点において貯蔵されている量をいう。以上Wikipediaから引用。 ある関数がある時、その微分がフロー、その関数を積分して元に戻すとストック、と、いう事も言えるかもしれません。ただし積分は積分定数を持つので、フローからだけではストックを作れません。 この節では前編集者が試みた経済学を会計学と関わらせて語るという試みを、現編集者が多少修正して記述している。 簿記（ぼき、英語: bookkeeping）とは、企業などの経済主体が経済取引によりもたらされる資産・負債・純資産の増減を管理し、併せて一定期間内の収益及び費用を記録することである。再びWikipediaから引用。 普通高校では簿記の学習はない。主に資格取得としての学習だというイメージはある。 ====お金に関するフローとストック、具体例==== 例えば… Aさん：貯金が10億円あって1億円の家に住んでいるが、就職していなくて給料の収入が0円。 Bさん：貯金は1000万円で3000万円の親元の実家に住んでいる、会社勤めしていて年収が500万円。 話を簡単にするため、AさんもBさんも株投資や不動産投資はしていないとする。 経済学や経営学では、貯金や、保有する不動産や保有株式そのものの相場での購入費用などの金銭的価値などを合わせてストックとする。 いっぽう、収入や、株の配当益、不動産などを他人に貸したときの賃貸収入などの運用益はフローですね。 つまりAさんはストックが11億円で、フローは日々の支出という事になります。 Bさんは、まあ、ストックは4000万程度、日々の収入や支出がフローになる。 AさんBさんの生活、どちらがうらやましいか、意義がある生活か、豊かか、などの議論は無意味でしょう。人生いろいろ、お金も色々経済もいろいろ。 ===会計との関係=== 複式簿記などの会計の勉強をするときは、簿記では「フロー」と「ストック」という用語こそ使ってないものの、フローとストックを区別することになります。 GDP や GNP はフローについて語っていると見ていいですよね。 経済計算ではフローに関する話題の方が多いでしょうか。 例えば国家全体に関するストックを見るには、まず国家貨幣がどのくらい流通しているか、そしてその他に金銭的価値を持つものとして、土地、建物、証券、各種動産不動産、機械類や芸術品、貴金属・宝石など、価値のあるものはすべて資産としてのストックになるでしょう。 過去のある年度から現在までの各年ごとのGDPの累積額をストックとする計算法もあります。 しかしGDPとは生産その物で、生産物には資産として残るものもあるが、一方でその場で消費されるもの、無形の行為も生産の一つではある。 固定資産、建物や機械設備などの減価償却によって、ストックの資産価値は下がっていくと見れるから、ネット計算で、つまり国民純生産（NNP）の累積額で計算する方式をとる方が良いかもしれない。 ==諸概念== === 機会費用 === 経済学上の概念の一つとして、機会費用（opportunity cost<ref>『ビジネス基礎』、実教出版、令和2年12月25日検定、令和4年1月25日発行、P62</ref>）、というものがあります。 端的に解説すると、ある状況で最善の選択をした時に、残されたほかの可能性で最善の物の価値を言います。 例えば… 大学4年生が今年卒業だったはずなのに留年してしまった場合… ならばその年は普通就職して200万円くらい年収があったはずなので、これが機会費用になりますね。 つまり留年というのはそれほど最善手ではありませんが、図らずもしてしまった場合は、200万の機会費用を費やして、その状態に至ったと見る。 そして留年した場合はさらに学費もかかりますね。これは一般的には機会費用ではなく、学業のための費用になります。 しかしこれはあまりいい例ではないように思える。 前編集者の記述に基づいてこの例を書いたが、そもそも機会費用の議論というのは、経済行為のうちの収益が多い最善手を見つけ出したいがための議論だろうし、いくつかの行為の可能性を見た上で、どれが最善手か知るための議論でもあるだろう。仮に機会費用が多くかかっても、その行為に意味があると見なす場合もある。 ===パレート最適=== Pareto efficient. 他の誰かの状態を悪化させることなしに、ある主体の状態を改善できないこと。つまりその主体の現在の状態は改善できる可能性はあるのだが、それは必ず他の主体の状況の悪化が必要になるので、これ以上は改善を試みないのが正解、社会的に最適な状態とみる。 イタリアの経済学者、パレートが提唱した概念。 パレート効率と呼ぶこともある。つまり個人では最適ではないが社会的には効率の良い、いい状態だという事だろう。 パレート効率的な状態、具体的には、100人の民間人がいてある生活を続けている時、 政治家が特定の主体の状況を良くしたくて政策を変えたとして、どう政治行動しても、その100人の誰か一人以上に不利益・不満などを与えてしまう事になるのなら、経済政策を変える前のもとの状態がパレート最適、パレート効率的という事になる。 しかしパレート最適な状態にある時、それが本当に一般的な意味で最適、最高の状態であるわけではないだろう。 とりあえず状況を変えると誰かが必ず悪い状態になるのだが、Aが多少悪い状態になったとして、Bが少しでも良い状況になる方が必要、危急かもしれない。 そもそも最初の時点でAが不当に良い状態で、Bが不当に悲惨な状態かもしれない。 そしてパレート最適な状態も複数ある。この効率を得ているのは一種の平衡状態だが、最善ではない。徹底的に最善を求めた時、必ずパレート最適の複数のうち一つになるだろうか? そもそも最適な状態とは何? 誰にとって? 社会にとって? 社会とはだれのこと? そこに含めていない人はいない? 経済学者スティグリッツは、パレート効率的とは単に効率的でない状態よりは多少ましな状態に過ぎないだろうと書いている。経済学で言う「効率」とは、通常パレート効率の事だろう、という。出典、『スティグリッツ入門経済学』（和訳は東洋経済から）。 しかし最初の定義に戻ると、ある特定の主体の状態が問題になるわけだから、その特定の主体の状況を改善させる必要がどうしてもあるなら、パレート平衡を破って他の主体の状態を悪化させることになるだろう。 === 価格統制 === 経済政策の経験則として、（独占市場ではなく）競争市場における価格統制は、結果的に混乱をもたらすことが多いとされ、あまり好ましくないという。クルーグマンやスティグリッツやマンキューなど、多くの経済学者も、彼らの教科書で、それを説明している。 クルーグマンは、ベネズエラ国のチャベス政権での食料価格統制の結果として、ベネズエラ国で食糧難が実際に起きたと主張している。 価格を低く強制するなら、供給は減るだろう。 スティグリッツは、価格統制という方針は政府の市場介入としては悪手だ、という。 むしろ買い手に補助金を与えては?、という事だが…。 クルーグマンは独占市場では、価格統制も世の中に不利益を与えないという。 一方現実では、ニューヨーク、借家業界では家賃の価格統制が行われている。クルーグマンやマンキューは、この家賃の（上限）価格統制により、おそらく修繕などの費用が削減されて、低品質な住宅が供給されている、と指摘している。 価格の上限、価格統制、行政などが、超えてならない価格を設定することを英語では price ceiling といい、日本語では「価格の上限」または「上限価格」と訳す。 下限価格(price floor)規制もまた、別の問題を引き起こす。輸入品が極端に安価になると、自国の農業を助けるために価格の下限を決めるが、供給過剰になり、政府の買い上げなども起きる。 買い上げた後の廃棄なども起きるだろう。事実上売れなかったり、価格暴落を下げるため、最も下限価格はあるのだが、市場の自然な圧力は発生する。 下限価格により、自然な状態より値が高いので、過剰品質やオーバースペックなサービスの付加にもつながる、と、クルーグマンなどは説明する。 === 失業 === ====フィリップス曲線==== フィリップス曲線という理論が知られていて、インフレ率と失業率は、おおむね反比例すると主張されている。 これは、日本の1950年代～1990年代まではよく当てはまる<ref>福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』、有斐閣、2016年3月30日第5版第1刷、299ページ</ref>。 しかし、第二次大戦後から2000年までのアメリカ合衆国はこれに当てはまらない<ref>福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』、有斐閣、2016年3月30日第5版第1刷、302ページ</ref>。 インフレ率と失業率を加算した指標のことをミザリー指数（misery index）（ミザリーとは「悲惨な」というような意味の英語）というが、第二次大戦後のアメリカ合衆国ではこの指数は通常10％前後だが、1975年と1980年にミザリー指数が上昇して数か月～1年程度のあいだ20％近くになり、悪化した。 フィリップス曲線はもともとは、失業率と貨幣賃金上昇率に関する議論だったが、これが後に物価上昇率に関しても言われ始め、さらにT.フリードマンは、ここでは実質賃金上昇率について考えるべきだと主張し、さらに、予想物価上昇率も加えた新しいフィリップス曲線を提唱した。 ====構造的失業、摩擦失業、需要不足失業==== 構造的失業（structual unemployment）。企業が求める労働者の性質や地域、と労働者側の状況、条件が異なっているために、景気や需給関係では解消されない慢性的な失業。求人ニーズと求職者ニーズが一致せず、ミスマッチが起きている。 需要不足失業。求人が減っている、景気後退期に起きる。 摩擦的失業（frictional unemployment）。次の仕事を見つけるための過渡期、仕事自体は簡単に見つかるが、そこに就くまでに失業状態がある。 世の中の傲慢な愚か者たちの間では、失業するのは本人に何らかの問題があるから、能力や適性がないから、との考えが根強いようで、とりあえず公共の失業対策では、いい加減な講師による職業教育、訓練がなされるが、基本的には馬鹿げたことだろう。 勿論特定の職業実践に有効な、訓練や学習は確実に有意だが、現実にはそれが適切に提供されているとはいいがたい。 例えばこれはフィクションではあるが、カンヌ映画祭でパルムドールを獲得した、『[[w:わたしは、ダニエル・ブレイク]]』などを観ると、この問題の周辺でいかに馬鹿げたことが現実に起きているか良く解るだろう。 基本的に失業問題で公共がする一番の、そしてあるいはひょっとしたら唯一の重要事は、求職者と求人者の間の関係、橋渡しを上手に作る事だろう。 ;完全雇用 full employment. 現行の賃金水準で就業を希望する人、そして就業に適した状態にあるすべての人が雇用されている状態。ケインズは非自発的失業、摩擦的失業、自発的失業の3つの分類を語り、求人需要が十分で非自発的失業の無い状態を完全雇用と考える。 ;季節的失業 たとえばアメリカでは、建設業では、冬はほぼ毎年、仕事が減るのでその業界での失業者が増える。特定の季節にだけ失業者が増える業界があり、このような定期の失業のことを季節的失業という。 ====自然失業率==== natural unemployment rate. 期待インフレ率と現実のインフレ率が一致し，実質賃金による労働力需給の調整が達成されるような長期均衡状態において成立する失業率。 …というのは、ブリタニカ小項目事典からの引用だが、 この文章からだけでは、どういう事か理解するのは難しいだろう。 前編集者は実際にはあまり「自然」に見えない、と記述しているが、本来の、短期ではなく長い目で見ると行き着くであるだろう、失業率、という意味で、自然という言葉がそれほど"不自然"、な訳ではない。 基本的には多少の失業者はいるものだろう、摩擦的失業や、自発的失業、そして口では働きたい働きたいと言いつつ、実際には人間はあまり働きたくない^^;;;、何となく失業者になりたがっている^^;;;;;…。 自然失業率という概念は、主にフリードマンが提唱したらしい、フィリップス曲線からの類推から、インフレにより失業率が減らせるという主張があり、それに対する反論でもある。 20世紀後半の代表的な経済学者サムエルソンが、自然失業率を正確に測定できた者は いまだに一人もいないと、著作『経済学』で述べている<ref name="nm">根井雅弘『サムエルソン『経済学』の時代 』、中央公論新聞社、中公選書、2012年1月10日初版発行、P68</ref>。 仮に自然失業率なる概念が明確に規定できるなら、我々の社会でその値がある程度明確に時間に応じて存在すると見れるだろう。それを統計調査で測定し、明らかにしたいのだが、この測定はやはり完璧に正確にはいかない。しかしサムエルソンの主張はそれ以前の問題。概念も測定もいまだ相当あいまいだという主張だろう。 サムエルソンは2009年に死亡した。彼は自然失業率は、長期的には安定した数値ではなく、そのため、ある程度の幅を持っていたり、あるいは複数の幅を持っている<ref name="nm" />、と云う。 冷戦崩壊や日本の1990年前後の不動産バブルについてはサムエルソンの著作は言及できたものの、しかし2008年前後のリーマンショック・サブプライム危機については言及が乏しいと考えられる（※ wiki著者がまだ未確認）。 余談だが、サムエルソンの経済学教科書『経済学』は、日本では『サムエルソン経済学』などと言われるが、実際は1985年以降の版は経済学者ノードハウスとの共著である（和訳本『サムエルソン経済学』の表紙を良く見ると、原著者ノードハウスの名前も入っている）。 =====自然失業率の算出===== 景気の変動などで実際の失業率はやや周期的に波上に上限に変動するだろう。 実際の失業率を、一定期間の平均的な高さの曲線でならしたものが自然失業率である、という見方がある。 この平均曲線の失業率と、実際の失業率とのずれの分を、循環的失業（cyclical unemployment）、とも云う。 フィリップス曲線の理論と関連づけるなら、インフレが進行したときの失業率の減少は、この循環的失業の部分だとされている（とスティグリッツは言う）。また、政府の経済対策などの成功によって減少できる失業率も、この循環失業率の部分だけである（と、スティグリッツは言っている）。 しかしマンキューは、スティグリッツのような意見には反対していて、自然失業率は経済政策の影響を受けないとは限らない、と主張している。 このスティグリッツとマンキューの差異のように、自然失業率の細かい定義はあまりはっきりしていない。 ==実質という指標== 貨幣は絶対の固定された価値を持つものではない。経済の様々な指標は貨幣値で示すものだろうが、時期により貨幣の価値は変動している。だから様々な指標に貨幣の額面ではなく、物価の変動を考慮した補正を加える。 これが、実質〇〇（real 〇〇）だろう。具体的には、実質GDPや実質利子率などがある。 たとえば、実質利子率は、次のように引き算で定義される。 :実質利子率＝名目の利子率－未来のインフレ率の予想値 例えば、まあ金額が少なすぎるが、例え話で銀行に100円預けたとしよう。これで、1か月後に利子が10円つくとする。これで名目利子率は、10% 。そして一か月後に10％のインフレになると予想されていると、実質利子率は0%だよね。これはどういうことだろう? 仮に予想通り、一か月後に10%のインフレ、物価高になったら、100円で買えたものには110円払わなければいけなくなる。名目利子率が10％なら、戻ってくるお金は110円だろう。つまり実質の利子は0％、預けたお金と同じ価値の貨幣が、銀行から返ってくる。 そして、もしこのインフレ状態で銀行に預けず、その資金を投資にも回さなければ、持っている100円の価値は100/110に下がっているだろう。 だからもし実質利子率がマイナスになっても、インフレで貨幣の価値は下がるが、事実上利子はつくのだから、やはり銀行に預けた方が得という事になる。 しかし予想値はあくまで予想値、この辺なんらかの欺瞞も、現実には多くあるような気もする。 ===物価の指数、インフレ率をどうやって導くか?=== 物価高とか、物価が低いと言ったところで、商品やサービスごとに価格の変動は異なるだろう。 インフレ傾向だと言っても、価格が下落している商品もあるだろう。 そこで総合的なインフレ率、物価動向を示す指数は、様々な算出法が考えられることになる。 「物価指数」とは、市場にある数種の商品の価格を実際に行政が調べて、基準年から何倍になったかを表している。 たとえば、リンゴでもハンバーガーでも何でもいいのだが、たとえばリンゴが基準年から20% 価格上昇したら、リンゴの物価指数は1.2（＝1＋0.2）ですね。 そして物価指数というのは、社会の物価を総合的に示す指数であるので、いくつもの商品の価格の変動を考慮して算出する。 そして消費者にとって重要な商品と、生産者にとって重要な商品は違う。 だから、「消費者物価指数」（CPI, consumer price index）と「生産者物価指数」（PPI, producer price index）という、それぞれ別の物価指数が算出されている（少なくともアメリカでは）。 さらに、GDPの計算のときに使う物価指数は「GDPデフレーター」といい、消費者物価指数とも生産者物価指数とも異なる。 GDPデフレーターは、名目GDP から実質GDP を求めるときに算出する物価指数で、これも、物価が高ければ1 （ 100分率の場合は100 )を超える。 :実質GDP ＝ 名目GDP / (GDPデフレーター[100分率]/100) ですね。GDPデフレーターは実際は100分率で示す場合が多い。 事実上、物価指数の計算方法は、種々多様になるだろう。 GDPデフレーターの算出方法は、「消費者物価指数」（CPI）の方法に近いが、ある程度は異なる。実質GDPは国内総生産（GDP）であり、国内生産に関する商品の価格変化を重視し、いっぽう消費者物価指数（CPI）では、輸入品の価格も比較的に強めに考慮する。 事実上、「GDPデフレーター」とは、実質GDPの算出に用いる物価指数であり、『スティグリッツ入門経済学 第4版』もその文脈で解説している。 消費者物価指数とGDPデフレーターの関係、アメリカでは、1970年代の（2度の）石油危機のときに、2度、値が乖離した。 いっぽう同じ1970年代の日本では、CPIとGDPデフレーターはあまり、乖離しなかった。 ==金持ちはけち？いやー金持ちだろうが貧乏だろうが、けちな奴はけちだし、太っ腹(放蕩?^^;;;)なやつは太っ腹じゃあない^^？== ===先ず…=== GDPが高い国家は、消費も多くなるだろう。 消費額をCとして、所得をYとし、比例係数 k を用いて式 :C≒kY が、成り立つと考えてみよう。 所得以上に消費することは普通無いので、 :k<1 と、してみる。 また、ミクロ経済では、需要Dを、 :D ＝ j×Y ＋ 定数 の式で示す試みもある<ref>小室直樹『小室直樹の経済原論』、東洋経済新報社、2015年6月11日発行、P509</ref>。このような立式で、需要、消費、所得などを、数理的に議論する事が可能になる。 === 限界消費性向 === さて、誰がけちで誰が太っ腹かの話は、はっきり言ってどうでもいい事だろう。 先ずここで「平均消費性向」という言葉を提示する。これは、可処分所得に対する消費支出の割合の事だ。 ある人がある所得を得て生活している時、その可処分所得の中から、平均消費性向の分だけ消費として使っている訳だ。 そしてこの人の所得が増加した時、増加分のうち、消費に回す割合を、限界消費性向（MPC、marginal propensity to consume）、と、いう。 一般に経済学では、何か（金額など）の投入を1単位ぶん増やしたときに、増える出力の割合のことを「限界〇〇」という。 アメリカでの調査では、所得の大小に関わらず限界消費性向は0.8～0.9である、と、言われている。 クズネッツは1869～1938年の統計を見ると、限界消費性向は0.9である、と記述する。 ここで、仮に平均消費性向も0.8~0.9であるとすると、縦軸に消費額をとり、横軸に所得（可処分所得）をとると、このグラフは傾き0.8～0.9の直線になる。（『スティグリッツ入門経済学 第4版』、薮下史郎ほか訳、東洋経済、2012念4月5日 発行、）（クルーグマン『マクロ経済学』、大山道弘ほか訳、東洋経済、2009年4月2日発行、315ページ） だから、平均消費性向と限界消費性向の値が一致するなら、所得と消費は比例式だから、単に所得の内のある割合が消費になるし、そうでないなら、所得が増える程、財布の紐を締める、或いはその逆、という議論が可能になるだろう。 ===消費関数=== クズネッツ型の消費関数(consumption function)とは、前述した :C≒kY 、である。 日本などいくつかの国では、所得が増えるほど消費の割合が低くなる、という現象が、統計として見られる。 これはケインズ型の消費関数↓を使うと、うまく表現する事が出来る。 :c ＝ a + MPC × Yd :c: 消費 :a: 独立消費水準 :MPC: 限界消費性向 :Yd : 可処分所得 MPC＜1 でないと、一般的には意味を持たないだろう。 式中のaの部分、所得によらずにする消費のことを独立消費（antonomous consumption）というが、日本では基礎消費ともいう（※: 『基礎消費』の参考文献: 福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門 第5版』、有斐閣、2016年3月30日 第5版 第1刷 発行,32ページ） 独立消費水準が0 なら、これはクズネッツ型の消費関数だが、一般的には、クズネッツ型は比例式、ケインズ型は、所得に応じて消費の傾向が変わる状況を示す関数とみる。a>0 なら、所得が上がるごとに平均消費性向は下がっていくだろう。 中谷巌『マクロ経済学入門 ＜第2版＞』（日本経済新聞社、2007年1月15日、2版1刷、32ページ）は、1992年から1997年の日本の消費関数を :C＝76＋0.61Y としている。<!-- すじにくさん、これ単位は何なの?千円? --> 有斐閣アルマ『マクロ経済学入門』（福田慎一・照山博司,38ページ）によると、2004年、2009年、2014年の日本では、低所得者の平均消費性向は0.9に近く、年収1250万円ていどの所得者の平均消費性向は0.6～0.7程度と低い。 ケインズ型の関数はより一般化されているから、所得に応じた平均消費性向の変化を表現する事が出来る。 現編集者としては、このクズネット型とケインズ型の消費関数の違いについてああだこうだ議論することに大きな意味があるとは思えないが、長期スケールではクズネッツ型の短期スケールではケインズ型の消費関数が当てはまるという指摘もある。 しかしこれは本当だろうか? 短期の所得と消費の関係、長期にわたる所得と消費の関係、この兼ね合いは、まず数理的な扱いの検討が必要になるだろう。短期スケールと長期スケールが独立してあるわけではなく、短期スケールの積み重ねが長期スケールになる。しかし、この問題をそんなに徹底的に考える意義はあるだろうか? また前編集者はさらに、この問題には、「ライフサイクル仮説」という学説、も関連話題としてあり、多くの大学生向けのマクロ経済学の教科書で解説されているという。 *クズネッツ型とケインズ型 [[File:Consumption function of Kuznets and Keynes type compatible japaneseB.svg|thumb|500px|※ これは架空のグラフです。]] 数学的には、クズネッツ型の比例式を一次関数に一般化したのがケインズ型の消費関数だろう。 さて、今具体的なある年を考えて、この年に日本国籍を持っていた人物、というのは具体的に上げて、数え上げることができるだろう。そしてその具体的な人物の年収も、その年収のうちその年にいくら消費したのかも、具体的な数値、金額として示すことができるだろう。 例えばその数値を、1950年から、1999年まで、すべての日本人について、右のような所得→消費のグラフにプロットしたとする。 これを比例式で回帰したら、クズネッツ型の消費関数になるだろうし、普通に回帰直線を描いたら、ケインズ型になるだろう。 また、全てのデータを使わずに、1950年代、1970年代、1990年代、と、データを分けて回帰すると、おそらくケインズ型の回帰が見られるだろうし、あるいはまた、特定の傾向を持つ少数の人物の、長い時間にわたるプロット、例えばその間にインフレが進行するとか、あるいは所得も上がっているかもしれません、を回帰すると、クズネッツ型の関係が見いだされるかもしれません。 右上のグラフはそういう統計手段についてのイメージ図ですが、参考文献: 福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』37ページ図、2-3 にある第二次大戦後の昭和の日本の家計消費のグラフを、参照して作っています。 {{-}} *ピケティの言 クズネッツ型の、所得と消費の比例式は、主に所得格差の小さい時期に見られる様だ。 フランスの経済学者ピケティは、クズネッツ型の消費の比例関係は、アメリカで大戦後一時所得格差が小さかった時代、或いは社会経済の動乱期のデータで<ref>トマ・ピケティ『21世紀の資本』、訳 山形浩生・森岡桜・森本正史、東洋経済、みすず書房、2015年1月15日、13ページ・15ページ</ref>、格差自体は、どんどん広がっているので、消費は、ケインズ型の一次関数になっていくだろう、と、指摘する。 * 乗数効果 さて、あなたが消費したお金は、誰かが受け取り収入になる。その誰かもまたそのお金を消費すると、また別の誰かの収入になる。 お金や人々の手から手へ廻っているのですね。 では今、ある人、 Aさんの年収を 1000万円としましょう。そして、現実にはあり得ないことですが、 Aさんが消費したお金はすべて Bさんの収入になるとしましょう。そして同じような関係が、 Bさん、 Cさん、 Dさん、…と、続いていくとしましょう。そして今平均消費傾向が限界消費傾向 MPCと等しいとすると… :Aさんは 1000万円 の収入を手にしたので MPC × 1000万円 の消費をすることになる。 :Bさんは MPC ×1000万円 の収入を手にしたので MPC² × 1000万円 の消費をすることになる。 :Cさんは MPC² ×1000万円 の収入を手にしたので MPC³ × 1000万円 の消費をすることになる。 :Dさんは MPC³ ×1000万円 の収入を手にしたので MPC⁴ × 1000万円 の消費をすることになる。 つまり、一人の消費が、別の消費を数珠つなぎに引き出していることを示したいのです。 ここで、このつながりが n人に及べば、Aさんの消費が最終的に :<math>MPC+MPC^2+MPC^3+MPC^4+\cdots+MPC^n</math> 倍の消費を生み出したことになる。 収入の和を考えれば、 Aさんは 1倍の収入があるから、 :<math>1+MPC+MPC^2+MPC^3+MPC^4+\cdots+MPC^n</math> これは等比数列の和ですね。 ここで無限に足し合わせた級数を考えると、0<=MPC<1 に注意して、 <math>1+MPC+MPC^2+MPC^3+MPC^4+\cdots+MPC^n+\cdots= \frac{1}{1-MPC}</math> と、なります。 実際には人口は無限でありませんが、十分に大きい数をとると、この値にほぼ近くなるとみていいでしょう。 そこで消費傾向が0.9 なら、<math>\frac{1}{1-MPC}</math>は 10になる。 このように、何らかの消費や投資の効果は増加、増殖する、と、考えられています。 さて、 :1－MPC は貯蓄性向（正確には限界貯蓄性向 MPS）。 そこで、 :<math>\frac{1}{1-MPC}=\frac{1}{MPS}</math> になります。 ここでは、0<MPS<=1 ですね。 つまりこの発想で考えると、貯蓄の割合を多くすると世に出回るお金の量が少なくなり、社会経済、景気が停滞し、発展が閉ざされ、生活が貧困になる、つまり合成の誤謬が成立するわけです<ref>[http://park.saitama-u.ac.jp/~yanagisawa/het10/44-61.pdf 『第５章 ケインズの経済学』P51]</ref>。 *預金は銀行が借入しているのだろう {|class="wikitable" style="float:right" |+ 信用創造 ! 銀行・借入者 !! 預金・借入金 !! 支払い準備金・内部留保や消費 !! 貸し付け金・預金 |- ! A銀行 | 　100万円 || 　20万円 || 80万円　 |- ! B企業 | 　80万円 || 　16万円 　 || 64万円 |- ! C銀行 | 　64 || 　12.8 　 || 51.2 |- ! D企業 | 　51.2 || 　10.24 　 || 40.96 |- ! 以下省略 | 　 || 　 　 || |- ! 合計 | 　500万円 || 　100万円 　 || 400万円 |- |} 家計が銀行に預金をすると、銀行にとって貸出資金が増加し、それが金融市場に流れ、企業や他の銀行も資金増加になり，社会全体で多くのお金が動くとみなせる、このような考え方を信用創造という。これは高校政治経済でも言及されている。 右の表では、例えば誰かが A銀行に 100万円預金する。 A銀行は預金のうち 80%の 80万円を B企業に貸す。　B企業は、まああまりリアリティのない仮定だが、 20%を運転資金として消費し、 80%を C銀行にいったん預ける。つまり、銀行も企業も 20%を留保または消費して、 80% を他者に貸す。 そうすると預金を債権とみなすとして、 :信用創造された債権総額=元の預金/0.2 と考えることができる。 これは前述した等比級数の考え方だ。 :信用創造された債権総額= 元の預金× (1 + 0.8 + 0.8² + 0.8³ + ･･･) ::= 元の預金×（1/(1-0.8)） 預金だけを考えれば、 :信用創造された預金総額=元の預金/(1-0.8²) に、なるだろう。 信用創造を考えるとき、元の預金のことを「本源的預金」ということもある。 しかしこれは又貸しモデルといい、実際の信用創造のモデルとは異なる。銀行が契約して預金通帳に金額を書くだけで預金が増加することが実際の信用創造であり、本源的預金は貸出資金にされている訳ではない。実際の信用創造で増加する預金を万年筆マネーという<ref>[https://www.jikkyo.co.jp/sys/wp-content/uploads/2026/02/9992661283.pdf 中里透『教科書の中と現実の「信用創造論」』、実況出版、地歴・公民資料97号、2023年09月25日 発行]</ref>。 ===ハンセン＝サミュエルソンの乗数・加速度モデル=== さて、ケインズ型の消費関数は以前、 :c ＝ a + MPC × Yd :c:消費 :a:独立消費水準 :MPC:限界消費性向 :Yd :可処分所得 と、記述した。 ここで消費c ではなく、所得Y に注目する。そしてむしろ国全体の所得、生産に着目し、つまり GDPを見るのだが、似たような形式の数理議論がある。 [[w:乗数・加速度モデル]]。 :<math>Y_t=C_t+I_t</math> :<math>C_t = C + cY_{t-1}</math> :<math>I_t = I + v (Y_{t-1}-Y_{t-2}) </math> ただし、 * <math>Y</math>： GDP * <math>C</math>： <math>C_t</math>はt期の消費。<math>C</math>は基礎消費。 * <math>I</math>： <math>I_t</math>はt期の投資。<math>I</math>は独立投資。 * <math>c</math>： 消費性向 * <math>t</math>： t期(時間) * <math>v</math>： 加速度係数 この連立式から、 <math>Y_t=(c+v) Y_{t-1}-vY_{t-2}+(C+I)</math> を導き、時間に対応する数列としての GDPを議論できる。 ==貨幣数量説== まず名目GDP の一番基本的な定義から考えてみよう。ある期間の、ある国に所属する経済主体の、売り上げから原材料費を引いた金額の総和がこれであろう。 そして売り上げそのもの、つまり原材料を引かない金額の総和も考えることが出来るし、そしてこれは大雑把に言えば，GDP に比例しているとみなすこともできる。 そしてまず、このような式を提示しよう。 :貨幣の流通速度 V ＝ 名目GDP / 貨幣量M 速度というのは単位時間ごとの値だが、ここでは例えば、名目GDP が 3か月の値なら、3か月の量を示しているわけだ。 さて、名目GDPは、販売された商品の価格に含まれる製品一個当たりの付加価値 P(販売価格から原価をひいたもの)とその個数の合計 Yとの積 ΣPY に等しい。 :<math>\sum_{k=1}P_k Y_k=P_1 Y_1+P_2 Y_2+P_3 Y_3+\cdots</math> つまり、こうですか。 :MV＝名目GDP＝<math>\sum_{k=1}P_k Y_k</math> さて、先ほど売り上げそのもの、つまり原材料を引かない金額の総和について書いたが、これは荒くとらえて名目GDP に比例するとみてみようと言及したが、製品一個の付加価値ではなく価格をP' とすると、 :bMV＝b*名目GDP＝<math>\sum_{k=1}P'_k Y_k</math> そこで、貨幣の流通速度の別解釈を提示しよう。 :貨幣の流通速度（別） V' ＝ b*名目GDP / 貨幣量M これはこうなるでしょう。 :MV'＝<math>\sum_{k=1}P'_k Y_k</math> さて、ここでですねー、こういう値を考えたい。 <math>Y=\sum_{k=1}Y_k</math> こうなると、この値、P' を求めることが出来るでしょう。 P'=<math>\frac{\sum_{k=1}P'_k Y_k}{Y}</math> 結局 MV'=P'Y :菅原晃『使えるマクロ経済学』、中経出版、2014年10月14日 第1刷発行,178ページ、 :では、『貨幣数量説』の公式として、 ::「貨幣量×世の中を回った回数＝物価×取引量」 とある。 :菅原晃『使えるマクロ経済学』、中経出版、2014年10月14日 第1刷発行,203ページ、 :では、『貨幣数量説』の公式として、 ::「供給:貨幣量×世の中を回った回数＝需要:物価×取引量」 とある。 この形の公式を「数量方程式」（quantity equation） と呼んでみましょう。また、この公式であらわされる学説を「貨幣数量説」という場合もある。 右辺に価格が入っているので、物価のインフレまたはデフレの解析に、この貨幣の流通速度の理論が使えそうだと経済学では思われている。 アメリカ経済学の教科書のスタイルではP×Y は 名目GDP に等しいと説明されるが、P' と同様に一般的な付加価値、P を求めることが出来るから、正しい主張でしょう。 PをGDPデフレーターとして、Yを実質GDPとして :MV ＝ PY という書き方が、各種教科書でなされることも多い。どちらにしろP*Y は名目GDPになるわけです。 前編集者は :MV'＝物価×取引量 ∝ 名目GDP :MV'＝物価×取引量 ∝ 実質GDP × インフレ率 という関係式を得て、それを経済モデルに合うように連立させることが重要、と記述していたが、現編集者はこの手の数理議論にはあまり大きな意味はないと思っている。 ===マーシャルのk=== さて、前項で、 :MV＝名目GDP=PY :MV'=P'Y :M:貨幣量 :V:貨幣の流通速度α :V':貨幣の流通速度β :P:一般化された付加価値 :P':一般化された価格 :Y:財、サービスの取引数 ここで前回の議論にもあったように、 P'Y=b*PY としてみると、 M=(b/V')*P*Y そして、 M=k*P*Y このk が、マーシャルのkであるかは定かではないが、彼の議論の片りんを見るものとみていいだろう。 統計的には k は定数ではない。（※参考文献:中谷巌『入門マクロ経済学 第5版』、日本評論社、2007年3月30日第5版第1刷発行、192ページ） たとえば中谷は参考文献『入門マクロ経済学第5版』で、日本では1970年代はマーシャルのkが 0.7 程度だったが、しだいに増加していき、2004年には k は 1.4 程度であるとグラフで図示している。 :※福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』（有斐閣、2016年3月30日第5版第1刷発行、141ページ）では、文中に「右辺の定数k」とある。しかし、中谷の文献で紹介されるように、統計的にはkは定数ではない。数学的にはkは、「右辺の'''係数'''」である。 k=b/V'でもし bが定数なら、貨幣の交換が少なくなるほどk が大きくなる。 だから、いわゆる「デフレ経済」と言われる日本の1990年以降の時代（平成初期の不動産バブル崩壊の以降の時代）でマーシャルのkが増加するのは常識と一致するのだが、しかし中谷の文献のグラフを見ると、1970年代も1980年代でもマーシャルのkは増加傾向であるのが、グラフから読み取れる。（しかし中谷は、不動産バブル崩壊以前のマーシャルのkの増大には注意を払ってない。） そしてこの式は、こう読める。 :M＝k*名目GDP （参考文献:菅原晃『使えるマクロ経済学』、中経出版、2014年10月14日第1刷発行,203ページ。この文献では「貨幣量＝GDP」という図とともに「k％ルールが有効！」という文言が図中にある。 ） このkを、経済政策の目安にするのが良いだろうという学説があるらしく、フリードマンがそのような学説を提唱したらしい（菅原の文献を読んだ限り、そういう印象を受けた。By E.Suj.）。 ==インフレは好ましいか?== 経験的に、経済政策として、インフレ率2～4％程度の緩やかなインフレを目指すことが、多くの国で行われている。 クルーグマンが『マクロ経済学』（2009年版、472ページ）で報告するには、アメリカのFRBは方針こそ断言してないが、その実行結果から、2～3％ていどのインフレ率を好んでいる、と、云う。また、イングランド銀行はインフレ率を2.5％とすると明示的に公表している、と同ページに記述されている。 なお、この2%のインフレ率のように、比較的に低率でのインフレのことをクリーピング・インフレ（creeping inflation）という。クリーピングとは「しのびよる」という意味の英語である。1～3%程度のインフレ率が、クリーピング・インフレだと言われている。 また、スティグリッツは、もし政府がインフレを嫌ってデフレを誘導すると、一時的には失業率が増加する、と述べている（『スティグリッツ入門経済学 第4版』東洋経済、432ページ）。 しかし、この低率のインフレが好ましいという議論は、論理的に明快に因果関係が説明されているわけではない。少なくとも、『クルーグマン マクロ経済学』や『スティグリッツ入門経済学』を読んでも、そのインフレ率2～3%程度が好ましいという論の明確な説明は全く見当たらない。 スティグリッツは、循環的失業の増加は低インフレをもたらし、循環的失業の減少は高インフレをもたらす、と述べているが、しかし彼以外のクルーグマンもマンキューも、スティグリッツのような主張は（調べたかぎりでは）していないようである。 ==ケインズ政策== アメリカの1940年代のニューディール政策は、1930年代のケインズの経済理論が根拠になっている、とよく言われる。しかしそれ以外にも参考にした具体例があったようだ。 例えば、1930年代の日本の高橋是清・蔵相の不況対策で、似たような積極的財政政策がとられている<ref>福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』、有斐閣、2016年3月30日第5版第1刷、194ページ</ref>。 1930年代のドイツでの独裁者ヒトラー政権下でも、ドイツ人経済学者シャハト博士の助言のもとに、公共事業（高速道路アウトバーン建設など）や軍備増強など、積極的にドイツ政府は財政拡大をして投資した<ref>たとえば 犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P142</ref>。もっともこのころのドイツの軍備増強は、誰もが知るところだろう。だからこそ、第二次世界大戦の大騒ぎが実現したわけだ。 まあ軍備増強を公共投資と言っていいのかは疑問だが、当時のヒトラーの経済政策の果敢さは、彼の国内での、あるいは国外でも、人気拡大に一役買っただろう。 詳しい文脈は不明だが、森嶋道夫『思想としての近代経済学』（岩波新書、1994年）に、経済学者ヒックスが森嶋に「戦前はヒトラーの時代であった。戦後はケインズの時代になろう」と述べたことが記されている<ref>小室直樹『小室直樹の経済原論』、東洋経済新報社、2015年6月11日発行、P541</ref>。小畑二郎『経済学の歴史』にも似たような話が書かれている。 1940年代アメリカのニューディール政策はケインズの理論だけではなく、当時の様々な前例も参考に行われたのだろう。 さて近年、2008～2009年ごろのリーマンショックやサブプライムショックなどの対策としても、銀行の救済や公共事業などによる積極財政や金融政策がとられている。 ケインズ政策、ケインズ主義とは、不況対策や経済発展などのために政府が積極的に公共事業や融資や民間への資金援助などを行う政策をいうのだろう。ケインズ自身は、大恐慌に対する処方箋として、利子率の切り下げ（金融政策）と社会基盤への政府投資（財政政策）を示していた。 リーマンショック対策でケインズ政策はひとます成功したし、今でもこの政策が不況対策として有効だと、一般に認知されている。 ケインズの議論はケインズ経済学というマクロ経済学の主要な学派になっている。ケインジアン、という言葉もある。 一方でケインズ政策を実行すると、その国は多くの場合財政が悪化する。具体的には、国債を増発するようになる。第二次大戦後のアメリカ合衆国はそうなった。 この借金による国家運営の問題点をなくすために、ケインズ主義に代わる新しい経済思想がアメリカやイギリスで必要になり、1980年代にはレーガン大統領のレーガノミクスやサッチャー首相のサッチャリズムのような「新自由主義」が政治の表舞台に現れてきた。 *ハーヴェイロードの前提 ケインズ自身は、恐慌の時期には政府は借金をして投資しても、恐慌を脱したら財政規律を高めて赤字財政を回収して均衡財政に戻すべきと考えていた<ref>http://park.saitama-u.ac.jp/~yanagisawa/het10/44-61.pdf P58、2022年4月6日に確認.</ref>。 しかし、実際の多くの戦後先進国では、そのような政策はとられず、20世紀後半に赤字財政に陥った国も少なからず存在する。 WW2戦後のインフレには、このような赤字財政という背景もあったと、経済学者ブキャナンなどの新自由主義者は述べている<ref>http://park.saitama-u.ac.jp/~yanagisawa/het10/44-61.pdf P58、2022年4月6日に確認.</ref>。 ケインズの議論には、政府の経済政策には賢人としての高度な判断があるという、「ハーヴェイロードの前提」がある。ハーヴェイロードというのはケインズが生まれ育ったイギリスケンブリッジの土地で、知識人が集まっている場であった。 戦後の経済がケインズの当初の予想通りの均衡財政にならなかったのは、政治家の堕落（だらく）であり、為政者としての責任感の欠如だ、という指摘もある。つまり「ハーヴェイ・ロードの前提」が政治家に欠けている、という事だろう。 一方ケインズ経済理論を批判するブキャナンたち新自由主義の経済学者は、むしろ「ハーヴェイ・ロードの前提」が非現実的だろう、とも語る。 そして前編集者は、堕落しているのは政治家ではなく、むしろ民衆だろうと記述している。正しい政治家に投票できない民衆がおごりの中で政治家を批判しているだけだろうと指摘する。 しかし仮に民衆が堕落しているのなら、政治家も等しく堕落しているだろう。 全ての人間が公平に堕落しているのが現代社会だろう^^;;;。 赤信号、みんなで渡れば怖くない^^;;; *貨幣錯覚 ケインズの一般理論でも、「貨幣錯覚」については言及されている。本来貨幣は定まった価値を持つものではなく、一般的絶対的な価値に対して、必要な額面が大きくなったり小さくなったりする。つまり財やサービスに必要な貨幣の額面、物価が高くなったり低くなったりするのだ。 だから本来貨幣は名目、額面としての数字ではなく実質の価値が問題になるのだが、実際には人々は貨幣の額面の数字に捉われる。 多くの労働者も、実質賃金ではなく貨幣賃金を見て行動する、という<ref>滝川好夫『図解雑学 ケインズ経済学』、ナツメ社、2010年11月21日初版発行、P60</ref>。 ケインズは緩やかなインフレを肯定した。また、インフレ誘導的な政策が、恐慌の脱出措置としてよく用いられる。 物価が高くなると、実質賃金は下がるが、それに合わせて名目の賃金を上げると、労働者は収入が上昇しているように感じるだろう（か?）。 *利子理論と物価 一般に、インフレなら名目金利を高くすることが可能だという{{要出典}}。 前編集者は物価に関する数理を欲していたが、ケインズの利子理論やそこから導出された、LS-IM分析は，その目的にはかなわないものだという。 ケインズは「一般理論」の著書で，2%という数字を利子率の基準として示した。<ref>[https://ynu.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main&active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=3118&item_no=1&page_id=59&block_id=74 石井力『先物市場の「流動性の罠」』,P82]2022年4月6日に確認.</ref>。一方、21世紀、主要な先進国が採用する物価インフレ目標も多くは2%である。 前編集者は物価と金利を結び付けた数理議論を求めているようだが、そういう論説はあまり世にない様だ。ケインズは金利の理論を展開したが、それと物価を結び付ける議論も、特にあまり見当たらないという。 しかし実際には全くそれがないわけではないだろう。一般的な議論として、政策金利を低くすると借金がしやすくなり、銀行のストックが減り世の中に貨幣が出回る。その結果貨幣量が増え、インフレ傾向、物価上昇傾向になると見れるだろう。 ロイター日本語版の2021の記事は物価目標2%と金利を関連づけて語っている<ref> [https://jp.reuters.com/article/column-suzuki-akihiko-idJPKBN2F60HR 鈴木明彦『コラム：所得増えぬまま物価目標2％達成なら、消費者から悲鳴か＝鈴木明彦氏』]2022年4月6日に確認.</ref>。しかしケインズの議論には言及がなく、その視点での分析も特に書いていない。 一般的に金利が高いと貨幣量が減り、デフレ傾向だが、不況に関してはどうなるだろう? 一般に金利と言えば貸金、預金の利率、貨幣を貸すときの手数料、利益と見ていいだろう。物価は生産物と貨幣の交換率、この二つの値の比較と重要性を語りたいのが前編集者の議論だが、例えば学問的な考察や議論で、詳細に拘らず、あるものを別の或るもので単純に置き換えると、面白い展開を迎えるというのは、往々にしてある。例えばケインズの利率を物価で置き換えたらどうだ? と、言うのが前編集者のアイディアではあろう。 日本の平成、「デフレ不況」と言われている状況では、金利も低く物価も低くなっている。1990年前後のバブル崩壊よりも前のころは金利は高かったろうし、物価も高かっただろう。 昔の主婦は金利の高い金融機関を探して選んで預金していたものだが、最近は預金に関してはあきれるほど利率が低い。 21世紀の日本の低金利は、日本の不動産バブル崩壊後、何らかの理由で金利を下げる必要があったのだろうと前編集者は考えているようだ、特に物価の下落を重要ファクターと見ている。日本の過去の不動産バブルは、不動産資産のインフレによる騒動と見ることが出来るだろうか。 長期的にはインフレ率と金利が近づいていくという指摘もある{{要出典}}。 '''クラウディング・アウト'''とは何か? 現編集者はむしろ、より詳しい方がここに記述してくれることを望むが、前編集者の説明では、国債や郵便貯金などの利率が高いとその商品が魅力的になるので、株式や投資、民間の債権などにお金が流れなくなる現象だと書く。 では国債や郵便貯金の利率は低いほうが良いのか?もちろんそうなれば財政も圧迫しなくなるし、が一方で公共にお金を貸す意思自体が減ると見られるかもしれない。 政策金利と呼ばれるものはまた別の利率だろうが、これが低すぎると'''流動性の罠（わな）'''と呼ばれ、景気浮揚や投資を増やす効果を持たなくなるという。 現編集者は実際は経済学も大した知らないが、前編集者の不適切な悪意に満ちた文章を何とかしたい一心で、いろいろ調べながらこの文章を書いているだけなので、いずれはより詳しく人間性も良好な人にこのページを書き足し修正してほしいのだが、とりあえず流動性の罠の原因については、「ゼロ金利の近くになると、これ以上は金利は下がりようがないのだから、つまり今後は国債などの金利が上がる可能性が高い。そこで、人々は値上がりを期待して、民間に投資をしなくなる」、という言説もあるようです。 つまりこの主張は、今金利が低いと、人々は将来上がると予想してそれを待つという事? そこで結局流動性の罠とは何かそれほど理解していないまま、文章を先に進めるが、経済評論家の三橋貴明氏は、平成のデフレ不況とは、『デフレ化において単純に「儲からないから投資しない」』現象だと著書で語っている。そのうえでとりあえず政策金利を下げればよいという、バブル崩壊後の日本政府の金融政策を批判している<ref>三橋孝明『黄金の拘束衣を着た首相』、飛鳥新社、2015年2月6日第1刷発行、P129</ref>。 そもそも新たな投資が頻繁になされることが絶対的にいい事なのか? 今現在の生産インフラが潤沢に回っていることで、いい経済状況だとはみなせないのか? 経済が貨幣でお金のことだと見てしまうのは、本質を見失わせるだろう。経済とは我々の日々の生産活動だし、貨幣はそれに従い、それを動かすためのツールに過ぎない。 さて、評論家犬走文彦氏は「金融危機があるレベルまで達すると、信用リスクを回避するためいくら金利が低くなっても金融機関が貸し出しを止めてしまう」と書いている<ref>犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P134</ref>。そもそも金利が低くなると貸し出す方に旨味はない。借りる方が得になるから、貨幣需要が増えるという事だろう。しかし金融機関は敢えて貸さない? しかし金融機関とは、貨幣を貸し出して利益を得ている法人だったはずだ。 兎に角細かい事や全体を見ないままとりあえず投資が増えればいいというのなら、そして、「儲からないから投資しない」というのなら、「投資しないと損をするぞ」といった内容の経済構造すればよいのでは? 、と、前編集者は指摘する。 つまり投資という仕事をさせたいから、鼻先にぶら下げる人参はもうないから、では鞭で打とう、と、そういう訳だろう。 インフレ誘導にはそういう意味があるのだろうね。現状がデフレやディスインフレならなおさらこの方法に行きやすい。しかしインフレ誘導が制御できなくなって、高インフレになると、多くの人々が困ることになるだろう。今現在(2023/2)、その傾向があると言えなくもない。 一方経済学者クルーグマンは『中央銀行が将来のインフレ率を公約する「インフレ目標」が、流動性の罠のもとでも有効であると主張した。』、という<ref>福山慎一「マクロ経済学入門 第5版」、有斐閣、P223（『』内は書籍の解説文の引用）</ref>。 「バランスシート不況」という考え方では、恐慌時などには投資家がリスク回避志向になり、不況時は銀行の行動パターンが投資から債権回収などに移るので、この時期に政府が金融政策しても、あまり効果がない、という<ref>犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P134</ref>。貸し渋りという事? お金を持っている人たちが貸したくなくなる? しかしファイナンス、貸金とはそんなに経済、景気の進展に重要な事なのか? 借りたお金が世の中を潤沢に回ることが本当に健全な事態なのか? 投資と融資は異なるだろう。投資とは生産インフラの資本、資産を買い、所有することだし、融資はお金を貸しているという事。債権は利子を付けていずれ回収したいが、投資は所有している場合は配当などの利益が期待できるが、株式などの形で売って貨幣を回収することもできる。 1990年前後の不動産バブル崩壊後、日本は2000年代初頭に、非伝統的な金融政策である日銀のバランスシートの拡大、およびそれらの量的緩和をインフレ率が安定的に0.数％になるまで続けるという政策を実施しました。<ref>福山慎一『マクロ経済学入門 第5版』、P224</ref> さて、もちろんケインズは我々の歴史の中で最重要の経済学者ですが、全知全能の神様ではない。その指摘や理論が徹底的に現実を示しているものではないでしょう。 前編集者によると、「ケインズ理論も新自由主義も両方とも間違っている」、という主張も結構多いという。「反経済学講座」（犬走文彦、新潮社、2009年8月20日）がそういうスタンスだという事だが…。 また基本的には、特にその会社の経営者、関係者は自分の会社が倒産することは望まないだろう。しかし世の中には自然淘汰を称賛し、弱者が滅びることが正しい事だと見做す考えも多いし、そこまで極論ではなくても、妥当な経営を出来ない会社はペナルティとして倒産やむなし、という判断は多くなされるだろう。前編集者は経済思想家ハイエクなどはそう考えていると指摘する。 基本的に弱者企業を補助金などで救済すること自体が、経済全体にとって悪い事だという主張は多い。ハイエクは、不況の救済のために必要以上の補助金を投入する事こそが、次のバブルおよびその破裂による恐慌をまねく、と、指摘したという。[https://bizgate.nikkei.co.jp/article/DGXMZO3466714028082018000000 『世界恐慌を予言した人たち～金融緩和がはらむ反動リスク 』 2018/9/18]。 ハイエクなどオーストリア学派は、不況を避けるという考え自体が不適切だろう、と主張したという。ある程度の不況の緩和を目指すことは認められるが、景気は循環するもので、無理やりそれを動かして不況を避けて矯正しようとすると、経済はかえって悪化する、と指摘する<ref>犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P154</ref>。 歴史的には大した恐慌対策を取らないまま、状況が改善した例もあるようです。1930の世界恐慌より前、1920年の恐慌は、自然に終息、回復を迎えたとオーストリア学派は主張しています<ref>犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P159</ref>。当時のアメリカは金本位制。第一次大戦の放漫財政で金の保有量が減っていたことから、対策をとろうとしてもアメリカ政府のハーディング大統領は対策をとれなかった、と、いう。 さて、一般的に、 Aならば Bでも、 Bならば Aであるとは限らない。 消費の低迷 → 消費依存型産業の物価デフレ この流れはどうですかね。需要が減れば、値は下がるでしょう。 消費依存型産業の物価デフレ → 消費の低迷 これは? まず単純に考えて、値が下がれば需要は増えるのでは? では… 消費の活況 → 消費依存型産業の物価インフレ これはありますよね。需要が増えれば値は上がる。 消費依存型産業の物価インフレ → 消費の活況 これはどうですかね。一般に値が上がれば需要は減る、売りたい人は増えますがね。 高度成長も終わった昭和末期の1980年代、日本はディスインフレでした。しかし消費は活況。1980年代後半には、バブル直前の黄金期を迎えたといいます<ref>藤巻健史『マネーはこう動く』、光文社、2007年7月30日初版発行、P59</ref>。 だからデフレと不況の結びつきはそれほど強固ではない。 ただ需要が低下すると、値は下がる、これが徹底的に続いているのがデフレ不況なのだろう。経済評論家・加谷珪一は「デフレが不景気を引き起こしたわけではない。不景気でモノが売れず、企業は安値販売を余儀なくされ、これがさらに物価と賃金を引き下げている。高く売ることができる商品をわざわざ安く売っていたわけではない点に注意する必要がある。」と語る<ref>[https://www.newsweekjapan.jp/kaya/2022/04/post-180_2.php 『日本だけ給料が上がらない謎...「内部留保」でも「デフレ」でもない本当の元凶』2022年04月01日（金）17時30分]2022年4月9日に確認.</ref>。 つまり需要がない。日本は物に溢れている、なんてよく言うが、それに類する事態だろう。 しかし需要がないという事は必要ないという事。物が十分にあるという事はそんなに働かなくてもいいという事? そんなに作らなくてもいいという事かね? しかし結局この国の経済状況の中で、失業したり貧困に陥る人はかなりの数存在する。 そもそも1960年代以降の47カ国のデータを調査した結果、マネーサプライの増加も、赤字財政も、金利の低下もインフレを引き起こさなかったという実証論文もあるようだ<ref>[https://econ101.jp/rapid-money-supply-growth-does-not-cause-inflation/ 『リチャード・ヴェイグ「マネーサプライの急激な増加はインフレを引き起こさない」（2017年1月16日）』]</ref>。 ==完全競争== 高校の政治経済では、「不完全競争市場」の例として、寡占や独占などの事例を習う。不完全の反対が完全だろうが、寡占（かせん、oligopoly）や独占(monopoly)などの、競争をゆがめるような制限のない市場の状態のことをよく、完全競争（pure competition）という この言葉をより詳しく規定するとどうなるか? 次の五つの条件を満たすのが完全競争だという。（前編集者の定義） # 生産者（売り手）と消費者が十分に数が多いという条件。 # また、生産者どうしが談合などせず、競争するという条件。 # また、生産者どうしも独立していて、他の売り手に大きな影響を与えないという、生産者どうしの独立の条件。買い手もまた、他の買い手に大きな影響を与えないという、消費者どうしの独立の条件。 # 消費者はよく商品の情報（特に価格についての情報）を知っているという条件。 # その市場への参入と退出が容易だとする条件。 寡占や独占のもとでの市場競争は、この「完全競争」の条件が満たされてない。と、云うか一般的には完全競争の状態は現実には無いと見なされている。議論のための仮想的な市場状態だろう。 そして完全競争の定義は、論者や学派によって微妙に異なるようだ。ここでは５つの定義を上げたが、これが３つぐらいの規則から導かれる完全競争の性質に過ぎない、という議論もある。 ==不況と好況== [[File:Economic cycle.svg|thumb|450px|景気循環の図。グラフの波型の山の部分が好景気を表し、谷の部分が不景気を表している。<br> Expansion ：景気拡大<br> Boom　 ：好景気の頂点<br> Recession ：景気の後退<br> Depression：景気の消沈<br>]] 景気には波があるという。景気を統計的、数量的に示す方法があるかどうか、現編集者は知らないが、実質GDP を基準に考える道はあるだろう。 一般的にある程度安定した国家社会では、実質GDP は微増するものだと見るといいのではないだろうか。社会集団として、生産集団として、文化や技術が発達し生産に慣れて社会として習熟した表れとして、生産を示す実質GDP はわずかに増えていく。あくまでも仮定ですがね。 そうなると、好況というのはその時点での実質GDP成長率がある程度高いことを示すだろうし、不況というのは実質GDP成長率が横ばい、ゼロ、あるいはマイナス成長の時、だということは出来るだろう。 前編集者は、経済や生産の事を語る時に、「不況」「好況」の言葉を使うよりも、「高成長」や「低成長」や「マイナス成長」という言葉を使った方が妥当だし、適切だろうと書いているが、「不況」「好況」という言葉は現実の経済、商業生活でのそれぞれの職業人の精神的な満足度を示しているものではあるので、GDP だけがそれを示すものにはならないだろう。そもそも実質GDP とは常に大きく上昇し、上がっていくのが自然で望ましいのか? そうすれば人々は十分な満足が得られるのか? それさえも怪しいし、定かではないだろう。 ==労働価値説と限界革命== ===労働価値説=== さて、財とサービスに価値があるのは自明でしょう。そしてそれと交換される貨幣にももちろん価値がある。 そしてまあ常識的に払う貨幣が高いほど、その財には価値があると見做されている。 払う貨幣とは価格ですよね。そしてこのページで議論してきたように、価格は需要と供給で決まると考えるのが、現代的な経済理解です。 しかし一方でもっと哲学的、観念的議論として、商品、財が持つ価値の根拠、いったい何によって価値が生まれるか、それを知りたい訳です。 そこでまず議論されたのが、アダムスミスやマルクスが言及した労働価値説ですね。 つまり財やサービスの価値の源泉は、我々の労働だと。 財の価値の根拠が労働にあることは否定できないでしょう。ただその議論を価格と結びつけるのはなんだかんだでかなり困難がある。労力を多く費やしても価格が安くなることはあるし、労力少なくして高い価格がつくことも現実にはある。 しかし数理的に労働量と価格の議論が出来なくても、労働が物事の、財の価値を生み出していることまで否定するのは詭弁でしょう。 大体労働に価値がないのなら、世の人はもう明日から仕事に行かなくなるよ^^;;;。 しかし一方「効用革命」という議論があり、労働価値説とは別の視点として、財を消費する側の満足、欲望の充実に価値の根拠を見出す視点がある<ref>https://diamond.jp/articles/-/75341</ref>。 この議論は数理とも馴染みがよく、ミクロ経済学の重要な分析の一つになっている。 価格は需要と供給によって決まり、財の生産者は市場で売れる価格にあわせて利益が出るように労働および経費などの投入量を調節する<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日 初版 第1刷 発行、P236</ref> ===限界効用理論=== 効用とは財を消費したときの満足度である。ここで効用関数なる値が実数の関数を考える。 一般に消費者は、いくつもある消費計画のうち、みずからの効用関数を最大化させるような消費計画を選ぶ、と考えられる。これを「効用最大化仮説」と言います。 たとえば、ある消費計画Aと、別の消費計画Bについて、それぞれ効用をU(A)およびU(B)とします。つまり消費計画Aの効用がU(A)です。同様に消費計画Bの効用がU(B)です。 そして、たとえば、もし :U(A)>U(B) なら、消費者は消費計画Aを選ぶ。 同様、もし :U(A)<U(B) なら、消費者は消費計画Bを選ぶ。 ただし、効用の大きさそのものを数値化することは一般にはできず、その大小関係・順序にのみ意味があると考えています。数学で言うと、代数システムのうちの順序関係・大小関係のことを「序数」と言うので、効用関数の上述のような性質のことを「効用の序数性」と言います<ref>塩沢修平『経済学・入門』、有斐閣、P60</ref>。書籍によっては便宜的に効用が数値で表される場合もありますが、しかしその数値はあくまで便宜的なものに過ぎず、数値の絶対的な大きさには意味は無い<ref>塩沢修平『経済学・入門』、有斐閣、P59</ref>、とのことです。 :※英語ではfirst やsecond やthird などの単語を「序数」と言いますが、つまり、集合の要素の順序関係を見るのが序数ですよね。 然し導関数として、ステーキの購入計画C とワインの購入計画D で、ステーキ1単位を購入することがある人にとってワイン何単位ぶんの購入に当たるかの計算は議論される。こうのような購入量1単位ごとの効用の換算値を、限界代替率と言います。 「効用」は、主観的な量です<ref>たとえば 塩沢『経済学入門』、P59 など。</ref>。つまり、効用の大きさは、それぞれの消費者の主観で決まります。 この効用と価格の関係に関する数理議論があるだろうが、現編集者はほとんど知らないので記述できない。一般の経済学入門書を見ても、そういう話題はまったく書かれていない、と、前編集者は書く。 効用自体も、消費量が1単位増えた時の効用の増加、限界効用も、関数の数値自体には大きな意味はないと見る。しかし財によって限界効用を比較したもの、限界代替率は、限界効用の数値を比較し、同じ満足度の消費量を見出す概念だとはいえる。 経済学者ヒックスはこの限界代替率に着目した研究を行ったという<ref>小室直樹『経済学をめぐる巨匠たち 経済思想ゼミナール』、ダイヤモンド社、2004年1月8日、P202およびP203</ref>。 もう一度書くが、限界効用とは，財を一単位追加して消費することによる効用の増加分だ。これは効用関数の微分と見ていいだろう<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日初版第1刷発行、P161</ref>。 さて、この効用関数は、単調増加で上に凸だろうか。ある種類の物があふれると、その物ひとつ当たりの価値は小さくなる（効用逓減（ていげん）の法則）。 水は生命活動に不可欠に限らず、ダイヤモンドより価格が安い<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日 初版 第1刷 発行、P172</ref>。同じ美術品を何度も鑑賞すると、慣れてきて価値を感じなくなる<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日 初版 第1刷 発行、P172</ref>。 財の消費だけではなく、人間の心理的または生理的な傾向としてこのような現象は見られますよね<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日初版第1刷発行、P172</ref>。 兎も角効用とは消費する側の議論だろう、一方で供給する側の視点も必要だ。労働がなければ多くの財は供給不可能だ。 ===サンクトペテルブルクの賭け=== さて、事実上は話題として少しそれるが、効用に関する議論として、18世紀前半、ロシアのサンクトペテルブルクに住んでいたスイスの数学者ダニエル・ベルヌーイが示した「サンクトペテルブルクの賭け」という面白い議論があるので、余談として紹介しておこう。 ここではこういうゲームを考える。一枚のコインを表が出るまで何回も投げ続ける。もらえる賞金は、1回目に表が出たら1ダカット（日本円で500円ぐらいだという）、1回目は裏が出て2回目に表が出たら倍の2ダカット、2回目まで裏が出ていて3回目に初めて表が出たらそのまた倍の4ダカット、3回目まで裏が出ていて4回目に初めて表が出たらそのまた倍の8ダカット、というふうに倍々で賞金は増えていく。 さて、この場合このゲームを売る胴元は、何ダカットでこの賭けを売ればよいだろうか？ 普通ギャンブルのこういう議論では期待値を計算する。 期待値の例として、別の簡単なゲームを考えてみよう。 二人の人間がゲームに参加し、参加料として100円ずつ払う。じゃんけんをして勝った方が場に出た200円を総取りする。 この場合片方の参加者がじゃんけんに勝つ確率は 1/2、負ける確率は残り 1/2、200*1/2+0*1/2 で期待値は100円。参加料が100円だから、ゲームとしてはトントンだという事になる。 ここでもしゲームとしての胴元がいて、10円ずつ参加料から場所代を抜いていたら、賞金総額は 180円で、期待値は 90円。世によくある、胴元が確実に儲け、参加者が総体的には結局損をしているギャンブルになる。 さて、先のサンクトペテルブルクの賭けの賭けでは期待値はどうなるか。 まず最初に表が出る確率は 1/2。その時の賞金が 1ダカット。次に裏が出た後表が出る確率は、1/2*1/2=1/4。賞金は2ダカット。つぎは 1/8と 4ダカット。結局期待値は、 1/2+1/2+1/2+… となって∞に発散する。 つまりこれは圧倒的に胴元が不利なゲームのはずだ。いくらで売っても期待値は無限大だからね。 しかし実際このゲームを 16ダカットで売ったとしてみよう。 だとしたら、賞金が 8ダカット以下になる確率は 15/16。まずこれが起こる可能性が高いから、胴元が得するように思える。しかし問題は、 1/16だ。これは底なし沼だ。場合によっては胴元の資産を超えて負けることもある。ここがこのゲームの期待値が無限大で胴元に不利だと言える根拠になるだろう。 ベルヌーイ自身はここに効用の発想を取り入れて、議論を進めた。つまりダカット金貨の額面で判断せずに額面の満足度、効用を金額の対数と決めてみた。賞金の期待値は∞に発散するが、効用の期待値は一定の値になる。最初に表が出た時の額面が1で、効用をlog[2,1]=0とすると、裏→表で効用が log[2,2]=1、裏→裏→表で効用がlog[2,4]=2で期待値は0/2+1/4+2/8+3/16+4/32+… そしてこの無限級数は幾つになるかな? 現編集者は計算できなかった^^;;;。数学の得意な人が答えだしてください。兎に角 2のこの無限級数乗の金額が効用としての期待値での金額。気持ちとしてはゲーマーとしてはこれでトントンだという事か。対数を考えるという事は、金額が大きいほど増えてもそれほどありがたみを感じなくなるという事ですからね。 さらなる分析として、胴元がこの商売を人生で何回やるか、ゲーマーが何回するかがこの話の議論に関わってくるだろう。 == 脚注 == [[Category:経済学|*]] [[Category:書庫|けいさいかく]] [[en:Principles of Economics]] o4yo9irwxqtvi3iyvo1zovwb0723kvv 305443 305441 2026-11-06T08:54:58Z 正月君 92918 305443 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|経済学|frame=1|small=1}} ここでは、経済学の基礎的事項について確認しながら、世界経済における経済の動向に配慮した経済学的解説に努めることにする。[[高等学校政治経済]]のテキストも参照せよ。 == 経済変容と現代社会 == 現代社会の変容は、工業化・IT化に続く。 === 経済の変容 === * [[経済学 現代経済の変容 経済の変容 経済とは何か|経済とは何か]] ==== 世界経済の変容 ==== * [[双子の赤字]] {{進捗|100%|2013-10-08}} * [[経済学/アジア通貨危機|アジア通貨危機]]（[[冷戦後の世界#躍進するアジア|躍進するアジア]]） * [[経済学/改革開放|改革開放]]（[[冷戦後の世界#躍進するアジア|躍進するアジア]]） * [[経済学/アジア経済|アジア経済]] * [[経済学/インド経済|インド経済]] * [[経済学/EU統合|EU統合]]（[[冷戦後の世界#ヨーロッパの統合|ヨーロッパの統合]]） ==== 日本経済の変容 ==== * [[戦後]]（[[日本史/現代/戦後|日本史 戦後]]） {{進捗|75%|2013-10-08}} * [[高度成長]] * [[経済学/通貨危機|通貨危機]] * [[経済学/石油危機|石油危機]] * [[プラザ合意]]（[[日本史/現代/戦後/低成長期|低成長期]]） * [[バブル景気]]（[[日本史/現代/戦後/低成長期|低成長期]]） * [[失われた10年]]（[[日本史/現代/戦後/低成長期|低成長期]]） * [[経済学/情報化社会|情報化社会]] * [[経済学/産業の空洞化|産業の空洞化]] == 現代経済の仕組み == === 世界経済 === * [[経済学 現代経済の変容 経済の変容 世界経済の変容 資本主義経済|資本主義経済]] * [[経済学 現代経済の変容 経済の変容 世界経済の変容 社会主義経済|社会主義経済]] * [[経済学 現代経済の変容 経済の変容 世界経済の変容 経済システム|経済システム]] * [[経済学/グローバル化経済|グローバル化経済]] === 経済学 === * [[経済主体とその活動]]：経済主体が相互作用の中で貨幣を廻している。{{進捗|75%|2013-10-08}} * [[経済学 現代経済の仕組み 金融機関とその働き|金融機関]]：銀行は何をする? 銀行のストックが減ると世に貨幣が増える。 * [[経済学 現代経済の仕組み 財政|財政]]：税金は何に使おう? 払いたくない^^;;;? * [[経済学 現代経済の仕組み 国民生活|国民生活]]：人間の行為は大抵生産、それをお金に換えたら経済になる。 * [[経済学/国民所得|国民所得]] * [[国民経済生産]]：GDPの値は国家の生産を示しているはず。{{進捗|100%|2013-10-08}} == 社会保障制度 == 年金や健康保険から公衆便所まで。 * [[経済学 社会保障制度 労働|労働]]：過労死は使用者責任が問われ、民事上の損害賠償責任が課せられることになります。 * [[経済学/福祉国家|福祉国家]]：福祉は必要だよね? しかし昔の方がやはり不備は多かったか…最も今でも… * [[経済学/社会保険年金制度|社会保険年金制度]]：年金制度は必要だが、経済的に破綻しないように運営するのはかなり困難。 *[[経済学 社会保障制度 成立と発展|成立と発展]] *[[経済学 社会保障制度 日本の社会保障制度とその内容・課題|日本の社会保障制度]] == 世界経済 == 日本経済の国際化による日本と海外の国々との関係とこれからの課題について学習しましょう。 * [[経済学/貿易|貿易]]：貿易はやはりバランスが大事か? * [[経済学/国際収支|国際収支]]：貿易で赤字になった国があるの？ * [[経済学/為替|為替]]：1ドル＝1円じゃ駄目？ === 世界経済の変容と発展 === * [[経済学/国際経済体制|国際経済体制]]：IMFとかGATTとかって？ ==== 世界経済の発展 ==== * [[経済学/多国籍企業|多国籍企業]]：ウォルマートとかエンロンとかトヨタとか・・・ * [[経済学/ユーロ|ユーロ]]（[[冷戦後の世界#ヨーロッパの統合|ヨーロッパの統合]]）：ユーロだけじゃない？ * [[経済学/サブプライムローン問題|サブプライムローン問題]]（[[冷戦後の世界#リーマンショックと世界の無極化|リーマンショックと世界の無極化]]）：アメリカ経済を気にするのはなぜ？ * [[経済学/国際協力|国際協力]]：アフリカ、ラテンアメリカ、南アジア、中東その他の国の状況は？ == 環境問題 == 自然環境問題を経済で解決できるでしょうか。 * [[経済学/都市と環境|都市と環境]]：ごみ問題、大気汚染、水質汚濁、渇水、オゾン層の破壊、こうした問題を私たちは解決できるのでしょうか。 * [[経済学/持続可能な発展|持続可能な発展]]：「宇宙船地球号」 * [[経済学/生態系と環境|生態系と環境]]：生態系を守ることこそ、私たちの未来に必要です。 {{stub}} == 未分類 == ===資源の希少性=== 原則としては、資源とは有限のものでしょう。むしろ無限と考える方が不自然だし、実際にはだれも考えていない。 しかし例えば再生可能エネルギー、太陽光なんかはほぼ無限と見なしていますよね。しかしシビアに考察すると、やはりそれも有限。 例えば水なんかはどうでしょうか。これは地球上を循環しているもので、現実的には無限とみていますが、やはり手に入りにくい地域はありますし、シビアに考えると有限ですよね。 クルーグマンやスティグリッツやマンキューなど、多くの経済学者も、彼らの教科書で、資源の希少性が経済学の前提であると説明している。（なお、日本の高校の「公共」教科書でも、たとえば帝国書院（教科書会社のひとつ）の検定教科書で、「資源の希少性」を紹介している。） なお、経済学・商学などで「希少性」は英語で scarcity である<ref>『ビジネス基礎』、実教出版、令和2年12月25日検定、令和4年1月25日発行、P61</ref>。 また、人々が望んだからと言って、それを生産できるとは、かぎらないと、マンキューは説明している。 たとえば医薬品として、エイズの完全治療薬を望んでも、それは現状の医学では生産不可能。 数百年前の時代を上げれば、たとえば結核や らい病 の治療薬のなかった時代もあった。この話も、誰もがあっさりと納得、あるいはいまさら言うなという感じでしょう。 また、資源を超えた量の生産も不可能。 この「資源の希少性」は、よく経済学の教科書で、「経済学の原理」のひとつとして挙げられている。 ===法則? 原理?=== 需要と供給の法則、なんて経済学では出てくるでしょうが、そもそも「法則」law とは、なんでしょうかね？ 例えば、「現在でも、よくある傾向」、だという指摘もある。ある程度の多くの国で、ある程度の長期や複数回にわたって、よく発生する現象で、今でもよくある現象の事、要するに緩やかな決まりで、法則に当てはまらない例外もある。 たとえば、「需要と供給の法則」の例外のひとつとして「メニューコスト」という概念もあり、生産者側の価格改定には費用が掛かるので価格改定が後回しにされやすい、と。 つまり、どちらかというと法則どおりの現象のほうが遭遇しやすいだろうという、多数の経済学者の信念がある。 その国の言語の違いという問題もある。英語の law 、法律も法則も英語では law です。 例えば物理学では「法則」はかなり厳密な決まりで、基本的に例外は許さない。 しかし本当に例外はないのかという疑問は持てる。何らかの超自然的な理由で、時々は物理法則をキャンセルできるかもしれない。 自然科学の実験をしている時、気にして観察している時だけその法則が満たされるとか… 例えば量子力学には観測問題とか、不確定性原理、そして物理現象の確率的解釈というのもある。 勿論現代の物理学は、観測者自身を系に組み込んだり、確率の数学的記述を厳密化したりと、厳密な法則記述のための工夫がさまざまなされている。 例えば原理 principle なんて言葉があったり、数学では定理、公理、公準なんて言葉も使う。 経済学でいう「原理」principle とは何ですかね？ 文脈や論者にもよりますが、「原理」とは普通の場合、いくつもある「法則」のうち、なかでも基本となる少数の法則のことです。 数学で言えば公理や公準に近いものですかね。 「資源の希少性」の原理と、「需要と供給の法則」なんて言いますが、むしろ「資源の希少性」は法則というよりは、前提事実と言ったところでしょうか。 「原理」と「原則」はともに英語では　principle、根源的な法則、事実を示すものでしょう。 法則の厳密性は当然、学問分野で変わってきます。そしてそれはそれぞれの学問者の、感覚や経験などで、誰もが知って身に着けている事でしょう。 == 合成の誤謬 == 合成の誤謬とは、個人や個々の企業にとっては合理的な行為でも、社会全体としては、不合理で意図しない結果に至ることですね。 例えば企業が経営の健全化を目指して、人件費を削減する。すると個人の収入は減るから、個人消費は減る。景気は低迷し、企業の売り上げも減る。 家庭の節約はどうでしょうか。 個人消費は減るし、節約対象の商品は売れなくなる。景気は悪くなるし、消費されないから生産もしない。 個人スケールで見た場合の合理的な行動と、国家規模の全体的な規模で考えた場合の合理的な行動は異なる。 しかし国家規模の合理的な行動とは何でしょうか? 先ず、国家という集団の化け物の実在性を認めるか? それとも国家とは何らかの方便なのだろうか? おそらく国家規模の合理的な行動とは、その構成員である国民の幸せに結びつくものでしょう。 限界消費性向を低下させる（つまり限界貯蓄性向を高める）ことは、GDPの低下をまねく可能性がある<ref>滝川好夫『図解雑学 ケインズ経済学』、ナツメ社、2010年11月21日初版発行、P180、</ref>。つまり国家全体の生産が低くなるわけですが、生産とは仕事をすることそのものでしょう。仕事をすればするほど幸せという訳ではない。 GDPはとりあえず上昇させたいという固定観念はあるが、これ自体どこまで妥当か。 国際競争を考えると、国家の経済力は必要だが、GDPを上げることを盲目的に目指す以外に、国家の安寧を満たす方法はないのか。 == 誰かの支出は誰かの収入 == 誰かが貨幣を支払ったら、それは他の誰かの収入になっているでしょう。 それは一国の通貨だけではなく、各国、世界全体でその関係が成り立つ。 我々がアメリカ人から貿易として何かを買いたい場合、先ず、円で払うか、ドルで払うかが問題になりますよね。相手が円の受け取りを拒否するなら、自分が外貨を持っていないなら、両替商に円をドルに換えてもらうことになる。 そうすると自分が払った円は両替商の収入になる。そして我々はアメリカ人から商品を受け取る。アメリカ人はドルで収入を得るが、それは両替商が支払ったお金。両替商は商売として貨幣の交換をしているわけだから、払ったドルより受け取った円の方が価値が高いものになっているでしょう。 複数、多数の主体があって、それぞれが一定の数値を持っている。そしてその数値をお互いにやり取りできるなら、その数値の総体、総数は保存されるでしょう。一番の典型例は、物理学のエネルギー保存則。 しかし現実には貨幣の総量が一定である保証はない。 変わり者がお札を燃やしたら、総量は減りますよね。一方政府がお札を印刷して、その分を回収することなく放逸に使ったら、その国の貨幣の総量は増えていく。 ==会計学から考えてみる== ===経理の初歩=== 幾つか、費用に関する用語を説明します。 *人件費 会社、法人が雇用者、労働者に支払う給料は、人件費ですね。従業員のために支払われる費用です。 *固定費 固定費というのは、企業の生産量や売り上げの増減とは関係なく発生する、一定の費用の事です。地代、減価償却費、固定資産税、などですね。債券の利子も会計分野では固定費に含めるという。 *変動費 反対語は変動費ですね。変動費用。生産量や売り上げによって増減する費用。原材料費、外注費、運賃、など。 人件費は固定費か変動費か? 会計に詳しいらしい前編集者も言及を避けているので、たいして詳しくない現編集者ももちろん知りません。 *減価償却費 事業用の建物、機械設備、備品などの取得費用ですが、会計上は普通耐用年数によって、徐々に費用として計上します。つまり購入したときにお金は払ったとしても、会計上毎年その費用を分けて少しづつ計上する。 逆に少しずつお金を計上して費用にした結果、耐用年数が来ますので、費用が完全に計上された時点でその設備の価値は0円になると見ていい。つまり備品の資産価値が減っていく、その部分の支払いをしたと会計上見なすわけです。 減価償却の基準は（つまり購入費を毎年どう計上するか）省令や法律や業界の制度などによって、あらかじめ決まっているので、経理の際には、その制度に従って経理処理する。 ===国民経済計算=== 国民経済計算の指標として知られるGDP（国内総生産）やGNP（国民総生産）から、その国の資産の減価償却の金額を差し引いた金額のことをネットDPまたはネットNPといい、それぞれNDP（国内純生産）またはNNP（国民純生産）と略記します。 つまり、 :NDP ＝ GDP － 減価償却費 :NNP ＝ GNP － 減価償却費 です。 Net domestic product. 正味の、純粋な国内の生産。net はフランス語由来の形容詞で cleanを意味し、「網」を意味する同じ綴りで古英語由来の net とは別系統の英語のようです。 国内総生産は、国内の事業者の売り上げから、原材料費（中間財・サービス）の支出を引いた物を積算したもので、国の生産、事業や労働で生み出した付加価値を示していると考えています。 一方減価償却費は、その間に建物、車両、産業機械が劣化し、それを現状に戻すための価格を示していて、生産分からその分消費、減耗しているともみなせるので、NDP は国内の生産の状態を知るための別の指標として提示されています。 GDP やGNP の頭文字G はグロスの略で、Gross は、会計でいう粗利（あらり）を示す形容詞です。会計学でいう「粗利」とは、売上高から売上原価（その商品をつくるために掛かった費用）を差し引いたものです。 人件費は引かず、支払う税金も引かず、原価（原材料）だけ売上高から引き算する。それが粗利（あらり）です。 粗利を英語で gross profit と言います。 profit とは「利益」「利潤」という意味です。 つまり仕事をして生産した分だけ利益になると見ていいと思います。 GDPの算出式は、 :GDP = 家計による支出＋企業による支出＋政府支出＋（輸出－輸入） :GDP = C + I + G + (X − M) 、[[w:en:Gross domestic product]]、[[w:国内総生産]]、などを参照してみてください。 C とG とI は最終財・サービスに対して行われた支出を数えます。事業者が行った生産の積算は、最終的には最終財・サービスに対する支出になります。 家計はほぼすべて、最終財・サービスに対して支出しているでしょう。 企業は、中間財・サービスに支出してそれをもとに生産し、一方で最終財・サービスを購入することもあるでしょう。 中間財にしろ最終財にしろ、輸出したものは国内の支出には含まれませんね。 C + I + G + X に含まれる中間財、最終財（最終財はそれまでの中間財の生産価値を含んでいる）のうち、輸入したものは国内の生産には含まないでしょう。 GDPの計算基準は国際連合が決めたものがあり、定期的に改訂される。[[w:2008SNA]]等の記事も参照してみて下さい。 C + I + G + X と M が同額なら、事実上 GDPはゼロだが、この場合は輸入したものをすべて消費し、さらに輸入したものをそのまま輸出していることになるから、矛盾ではない。 なんらかの生産行為が行われているなら、事実上GDP がゼロになる事は無いだろう。 しかし、経済分析として、前編集者の指摘が完全に無意味だという訳ではない。 分析の精密さのためには貸借対照表のように複式簿記的に扱うべきであるという意見はある。 家計による国内消費額の総計、企業支出の総計、政府支出額の総計、輸出額の総計、輸入額の総計、といった金額をそれぞれ個別に計測して、それらの金額を比較することにより、複式簿記的に分析することにも意義はあるだろう。 前編集者の指摘として、経済分析において、 :産業関連表、 :資金循環表、 :国民貸借対照表、 :国際収支表、 などの統計表を、経済系の省庁は作成する事が望ましい、という（※ 参考サイト [http://www.keikyo-center.or.jp/old/tool/pdf/sna.pdf 国民経済計算の見方、使い方] 財団法人 日本経済教育センター）。 GPD と産業関連表を関連付ける、複式簿記にたとえて議論する、などの発想は、各種書籍にも記述されているという<ref>塩澤修平『経済学・入門』、有斐閣、2021年、4月30日 第3版 第5刷 発行、P202、P258</ref>。 ===確定申告、減価償却、国民純生産=== 国民純生産を計算するためには企業の減価償却の金額の情報が必要でしょう。この金額において、経済全体で固定資本の減耗分は測定しづらい、正しく推定できないという主張もあります。 企業も確定申告するので、自社の減価償却費もその時点で税務署に申告します。 減価償却費に応じた税金の控除もあります。建物、車両、産業機械は必要経費ですからね。 減価償却の計算のルールは、日本の国税庁などの省令や、または経理業界などの制度によって、厳密に定められています。 税に関する申請は虚偽があると罰せられるので、その意味では、企業の減価償却費のデータはおおむね正確だろうと考えられます。 なお、個人でも企業でも確定申告は2種類ある。 :比較的に簡単に計算できるが（税の）控除の特典の少ない「白色申告」 :事前の申し出が必要でさらに計算方法も厳密で難しいが控除の特典が多く、多くの場合納税額が少なくなる「青色申告」 多くの企業が基本青色申告を利用している。 ===フローとストック=== フロー（英: Flow）とは、一定期間内に流れた量をいい、ストック（英: Stock）とは、ある一時点において貯蔵されている量をいう。以上Wikipediaから引用。 ある関数がある時、その微分がフロー、その関数を積分して元に戻すとストック、と、いう事も言えるかもしれません。ただし積分は積分定数を持つので、フローからだけではストックを作れません。 この節では前編集者が試みた経済学を会計学と関わらせて語るという試みを、現編集者が多少修正して記述している。 簿記（ぼき、英語: bookkeeping）とは、企業などの経済主体が経済取引によりもたらされる資産・負債・純資産の増減を管理し、併せて一定期間内の収益及び費用を記録することである。再びWikipediaから引用。 普通高校では簿記の学習はない。主に資格取得としての学習だというイメージはある。 ====お金に関するフローとストック、具体例==== 例えば… Aさん：貯金が10億円あって1億円の家に住んでいるが、就職していなくて給料の収入が0円。 Bさん：貯金は1000万円で3000万円の親元の実家に住んでいる、会社勤めしていて年収が500万円。 話を簡単にするため、AさんもBさんも株投資や不動産投資はしていないとする。 経済学や経営学では、貯金や、保有する不動産や保有株式そのものの相場での購入費用などの金銭的価値などを合わせてストックとする。 いっぽう、収入や、株の配当益、不動産などを他人に貸したときの賃貸収入などの運用益はフローですね。 つまりAさんはストックが11億円で、フローは日々の支出という事になります。 Bさんは、まあ、ストックは4000万程度、日々の収入や支出がフローになる。 AさんBさんの生活、どちらがうらやましいか、意義がある生活か、豊かか、などの議論は無意味でしょう。人生いろいろ、お金も色々経済もいろいろ。 ===会計との関係=== 複式簿記などの会計の勉強をするときは、簿記では「フロー」と「ストック」という用語こそ使ってないものの、フローとストックを区別することになります。 GDP や GNP はフローについて語っていると見ていいですよね。 経済計算ではフローに関する話題の方が多いでしょうか。 例えば国家全体に関するストックを見るには、まず国家貨幣がどのくらい流通しているか、そしてその他に金銭的価値を持つものとして、土地、建物、証券、各種動産不動産、機械類や芸術品、貴金属・宝石など、価値のあるものはすべて資産としてのストックになるでしょう。 過去のある年度から現在までの各年ごとのGDPの累積額をストックとする計算法もあります。 しかしGDPとは生産その物で、生産物には資産として残るものもあるが、一方でその場で消費されるもの、無形の行為も生産の一つではある。 固定資産、建物や機械設備などの減価償却によって、ストックの資産価値は下がっていくと見れるから、ネット計算で、つまり国民純生産（NNP）の累積額で計算する方式をとる方が良いかもしれない。 ==諸概念== === 機会費用 === 経済学上の概念の一つとして、機会費用（opportunity cost<ref>『ビジネス基礎』、実教出版、令和2年12月25日検定、令和4年1月25日発行、P62</ref>）、というものがあります。 端的に解説すると、ある状況で最善の選択をした時に、残されたほかの可能性で最善の物の価値を言います。 例えば… 大学4年生が今年卒業だったはずなのに留年してしまった場合… ならばその年は普通就職して200万円くらい年収があったはずなので、これが機会費用になりますね。 つまり留年というのはそれほど最善手ではありませんが、図らずもしてしまった場合は、200万の機会費用を費やして、その状態に至ったと見る。 そして留年した場合はさらに学費もかかりますね。これは一般的には機会費用ではなく、学業のための費用になります。 しかしこれはあまりいい例ではないように思える。 前編集者の記述に基づいてこの例を書いたが、そもそも機会費用の議論というのは、経済行為のうちの収益が多い最善手を見つけ出したいがための議論だろうし、いくつかの行為の可能性を見た上で、どれが最善手か知るための議論でもあるだろう。仮に機会費用が多くかかっても、その行為に意味があると見なす場合もある。 ===パレート最適=== Pareto efficient. 他の誰かの状態を悪化させることなしに、ある主体の状態を改善できないこと。つまりその主体の現在の状態は改善できる可能性はあるのだが、それは必ず他の主体の状況の悪化が必要になるので、これ以上は改善を試みないのが正解、社会的に最適な状態とみる。 イタリアの経済学者、パレートが提唱した概念。 パレート効率と呼ぶこともある。つまり個人では最適ではないが社会的には効率の良い、いい状態だという事だろう。 パレート効率的な状態、具体的には、100人の民間人がいてある生活を続けている時、 政治家が特定の主体の状況を良くしたくて政策を変えたとして、どう政治行動しても、その100人の誰か一人以上に不利益・不満などを与えてしまう事になるのなら、経済政策を変える前のもとの状態がパレート最適、パレート効率的という事になる。 しかしパレート最適な状態にある時、それが本当に一般的な意味で最適、最高の状態であるわけではないだろう。 とりあえず状況を変えると誰かが必ず悪い状態になるのだが、Aが多少悪い状態になったとして、Bが少しでも良い状況になる方が必要、危急かもしれない。 そもそも最初の時点でAが不当に良い状態で、Bが不当に悲惨な状態かもしれない。 そしてパレート最適な状態も複数ある。この効率を得ているのは一種の平衡状態だが、最善ではない。徹底的に最善を求めた時、必ずパレート最適の複数のうち一つになるだろうか? そもそも最適な状態とは何? 誰にとって? 社会にとって? 社会とはだれのこと? そこに含めていない人はいない? 経済学者スティグリッツは、パレート効率的とは単に効率的でない状態よりは多少ましな状態に過ぎないだろうと書いている。経済学で言う「効率」とは、通常パレート効率の事だろう、という。出典、『スティグリッツ入門経済学』（和訳は東洋経済から）。 しかし最初の定義に戻ると、ある特定の主体の状態が問題になるわけだから、その特定の主体の状況を改善させる必要がどうしてもあるなら、パレート平衡を破って他の主体の状態を悪化させることになるだろう。 === 価格統制 === 経済政策の経験則として、（独占市場ではなく）競争市場における価格統制は、結果的に混乱をもたらすことが多いとされ、あまり好ましくないという。クルーグマンやスティグリッツやマンキューなど、多くの経済学者も、彼らの教科書で、それを説明している。 クルーグマンは、ベネズエラ国のチャベス政権での食料価格統制の結果として、ベネズエラ国で食糧難が実際に起きたと主張している。 価格を低く強制するなら、供給は減るだろう。 スティグリッツは、価格統制という方針は政府の市場介入としては悪手だ、という。 むしろ買い手に補助金を与えては?、という事だが…。 クルーグマンは独占市場では、価格統制も世の中に不利益を与えないという。 一方現実では、ニューヨーク、借家業界では家賃の価格統制が行われている。クルーグマンやマンキューは、この家賃の（上限）価格統制により、おそらく修繕などの費用が削減されて、低品質な住宅が供給されている、と指摘している。 価格の上限、価格統制、行政などが、超えてならない価格を設定することを英語では price ceiling といい、日本語では「価格の上限」または「上限価格」と訳す。 下限価格(price floor)規制もまた、別の問題を引き起こす。輸入品が極端に安価になると、自国の農業を助けるために価格の下限を決めるが、供給過剰になり、政府の買い上げなども起きる。 買い上げた後の廃棄なども起きるだろう。事実上売れなかったり、価格暴落を下げるため、最も下限価格はあるのだが、市場の自然な圧力は発生する。 下限価格により、自然な状態より値が高いので、過剰品質やオーバースペックなサービスの付加にもつながる、と、クルーグマンなどは説明する。 === 失業 === ====フィリップス曲線==== フィリップス曲線という理論が知られていて、インフレ率と失業率は、おおむね反比例すると主張されている。 これは、日本の1950年代～1990年代まではよく当てはまる<ref>福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』、有斐閣、2016年3月30日第5版第1刷、299ページ</ref>。 しかし、第二次大戦後から2000年までのアメリカ合衆国はこれに当てはまらない<ref>福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』、有斐閣、2016年3月30日第5版第1刷、302ページ</ref>。 インフレ率と失業率を加算した指標のことをミザリー指数（misery index）（ミザリーとは「悲惨な」というような意味の英語）というが、第二次大戦後のアメリカ合衆国ではこの指数は通常10％前後だが、1975年と1980年にミザリー指数が上昇して数か月～1年程度のあいだ20％近くになり、悪化した。 フィリップス曲線はもともとは、失業率と貨幣賃金上昇率に関する議論だったが、これが後に物価上昇率に関しても言われ始め、さらにT.フリードマンは、ここでは実質賃金上昇率について考えるべきだと主張し、さらに、予想物価上昇率も加えた新しいフィリップス曲線を提唱した。 ====構造的失業、摩擦失業、需要不足失業==== 構造的失業（structual unemployment）。企業が求める労働者の性質や地域、と労働者側の状況、条件が異なっているために、景気や需給関係では解消されない慢性的な失業。求人ニーズと求職者ニーズが一致せず、ミスマッチが起きている。 需要不足失業。求人が減っている、景気後退期に起きる。 摩擦的失業（frictional unemployment）。次の仕事を見つけるための過渡期、仕事自体は簡単に見つかるが、そこに就くまでに失業状態がある。 世の中の傲慢な愚か者たちの間では、失業するのは本人に何らかの問題があるから、能力や適性がないから、との考えが根強いようで、とりあえず公共の失業対策では、いい加減な講師による職業教育、訓練がなされるが、基本的には馬鹿げたことだろう。 勿論特定の職業実践に有効な、訓練や学習は確実に有意だが、現実にはそれが適切に提供されているとはいいがたい。 例えばこれはフィクションではあるが、カンヌ映画祭でパルムドールを獲得した、『[[w:わたしは、ダニエル・ブレイク]]』などを観ると、この問題の周辺でいかに馬鹿げたことが現実に起きているか良く解るだろう。 基本的に失業問題で公共がする一番の、そしてあるいはひょっとしたら唯一の重要事は、求職者と求人者の間の関係、橋渡しを上手に作る事だろう。 ;完全雇用 full employment. 現行の賃金水準で就業を希望する人、そして就業に適した状態にあるすべての人が雇用されている状態。ケインズは非自発的失業、摩擦的失業、自発的失業の3つの分類を語り、求人需要が十分で非自発的失業の無い状態を完全雇用と考える。 ;季節的失業 たとえばアメリカでは、建設業では、冬はほぼ毎年、仕事が減るのでその業界での失業者が増える。特定の季節にだけ失業者が増える業界があり、このような定期の失業のことを季節的失業という。 ====自然失業率==== natural unemployment rate. 期待インフレ率と現実のインフレ率が一致し，実質賃金による労働力需給の調整が達成されるような長期均衡状態において成立する失業率。 …というのは、ブリタニカ小項目事典からの引用だが、 この文章からだけでは、どういう事か理解するのは難しいだろう。 前編集者は実際にはあまり「自然」に見えない、と記述しているが、本来の、短期ではなく長い目で見ると行き着くであるだろう、失業率、という意味で、自然という言葉がそれほど"不自然"、な訳ではない。 基本的には多少の失業者はいるものだろう、摩擦的失業や、自発的失業、そして口では働きたい働きたいと言いつつ、実際には人間はあまり働きたくない^^;;;、何となく失業者になりたがっている^^;;;;;…。 自然失業率という概念は、主にフリードマンが提唱したらしい、フィリップス曲線からの類推から、インフレにより失業率が減らせるという主張があり、それに対する反論でもある。 20世紀後半の代表的な経済学者サムエルソンが、自然失業率を正確に測定できた者は いまだに一人もいないと、著作『経済学』で述べている<ref name="nm">根井雅弘『サムエルソン『経済学』の時代 』、中央公論新聞社、中公選書、2012年1月10日初版発行、P68</ref>。 仮に自然失業率なる概念が明確に規定できるなら、我々の社会でその値がある程度明確に時間に応じて存在すると見れるだろう。それを統計調査で測定し、明らかにしたいのだが、この測定はやはり完璧に正確にはいかない。しかしサムエルソンの主張はそれ以前の問題。概念も測定もいまだ相当あいまいだという主張だろう。 サムエルソンは2009年に死亡した。彼は自然失業率は、長期的には安定した数値ではなく、そのため、ある程度の幅を持っていたり、あるいは複数の幅を持っている<ref name="nm" />、と云う。 冷戦崩壊や日本の1990年前後の不動産バブルについてはサムエルソンの著作は言及できたものの、しかし2008年前後のリーマンショック・サブプライム危機については言及が乏しいと考えられる（※ wiki著者がまだ未確認）。 余談だが、サムエルソンの経済学教科書『経済学』は、日本では『サムエルソン経済学』などと言われるが、実際は1985年以降の版は経済学者ノードハウスとの共著である（和訳本『サムエルソン経済学』の表紙を良く見ると、原著者ノードハウスの名前も入っている）。 =====自然失業率の算出===== 景気の変動などで実際の失業率はやや周期的に波上に上限に変動するだろう。 実際の失業率を、一定期間の平均的な高さの曲線でならしたものが自然失業率である、という見方がある。 この平均曲線の失業率と、実際の失業率とのずれの分を、循環的失業（cyclical unemployment）、とも云う。 フィリップス曲線の理論と関連づけるなら、インフレが進行したときの失業率の減少は、この循環的失業の部分だとされている（とスティグリッツは言う）。また、政府の経済対策などの成功によって減少できる失業率も、この循環失業率の部分だけである（と、スティグリッツは言っている）。 しかしマンキューは、スティグリッツのような意見には反対していて、自然失業率は経済政策の影響を受けないとは限らない、と主張している。 このスティグリッツとマンキューの差異のように、自然失業率の細かい定義はあまりはっきりしていない。 ==実質という指標== 貨幣は絶対の固定された価値を持つものではない。経済の様々な指標は貨幣値で示すものだろうが、時期により貨幣の価値は変動している。だから様々な指標に貨幣の額面ではなく、物価の変動を考慮した補正を加える。 これが、実質〇〇（real 〇〇）だろう。具体的には、実質GDPや実質利子率などがある。 たとえば、実質利子率は、次のように引き算で定義される。 :実質利子率＝名目の利子率－未来のインフレ率の予想値 例えば、まあ金額が少なすぎるが、例え話で銀行に100円預けたとしよう。これで、1か月後に利子が10円つくとする。これで名目利子率は、10% 。そして一か月後に10％のインフレになると予想されていると、実質利子率は0%だよね。これはどういうことだろう? 仮に予想通り、一か月後に10%のインフレ、物価高になったら、100円で買えたものには110円払わなければいけなくなる。名目利子率が10％なら、戻ってくるお金は110円だろう。つまり実質の利子は0％、預けたお金と同じ価値の貨幣が、銀行から返ってくる。 そして、もしこのインフレ状態で銀行に預けず、その資金を投資にも回さなければ、持っている100円の価値は100/110に下がっているだろう。 だからもし実質利子率がマイナスになっても、インフレで貨幣の価値は下がるが、事実上利子はつくのだから、やはり銀行に預けた方が得という事になる。 しかし予想値はあくまで予想値、この辺なんらかの欺瞞も、現実には多くあるような気もする。 ===物価の指数、インフレ率をどうやって導くか?=== 物価高とか、物価が低いと言ったところで、商品やサービスごとに価格の変動は異なるだろう。 インフレ傾向だと言っても、価格が下落している商品もあるだろう。 そこで総合的なインフレ率、物価動向を示す指数は、様々な算出法が考えられることになる。 「物価指数」とは、市場にある数種の商品の価格を実際に行政が調べて、基準年から何倍になったかを表している。 たとえば、リンゴでもハンバーガーでも何でもいいのだが、たとえばリンゴが基準年から20% 価格上昇したら、リンゴの物価指数は1.2（＝1＋0.2）ですね。 そして物価指数というのは、社会の物価を総合的に示す指数であるので、いくつもの商品の価格の変動を考慮して算出する。 そして消費者にとって重要な商品と、生産者にとって重要な商品は違う。 だから、「消費者物価指数」（CPI, consumer price index）と「生産者物価指数」（PPI, producer price index）という、それぞれ別の物価指数が算出されている（少なくともアメリカでは）。 さらに、GDPの計算のときに使う物価指数は「GDPデフレーター」といい、消費者物価指数とも生産者物価指数とも異なる。 GDPデフレーターは、名目GDP から実質GDP を求めるときに算出する物価指数で、これも、物価が高ければ1 （ 100分率の場合は100 )を超える。 :実質GDP ＝ 名目GDP / (GDPデフレーター[100分率]/100) ですね。GDPデフレーターは実際は100分率で示す場合が多い。 事実上、物価指数の計算方法は、種々多様になるだろう。 GDPデフレーターの算出方法は、「消費者物価指数」（CPI）の方法に近いが、ある程度は異なる。実質GDPは国内総生産（GDP）であり、国内生産に関する商品の価格変化を重視し、いっぽう消費者物価指数（CPI）では、輸入品の価格も比較的に強めに考慮する。 事実上、「GDPデフレーター」とは、実質GDPの算出に用いる物価指数であり、『スティグリッツ入門経済学 第4版』もその文脈で解説している。 消費者物価指数とGDPデフレーターの関係、アメリカでは、1970年代の（2度の）石油危機のときに、2度、値が乖離した。 いっぽう同じ1970年代の日本では、CPIとGDPデフレーターはあまり、乖離しなかった。 ==金持ちはけち？いやー金持ちだろうが貧乏だろうが、けちな奴はけちだし、太っ腹(放蕩?^^;;;)なやつは太っ腹じゃあない^^？== ===先ず…=== GDPが高い国家は、消費も多くなるだろう。 消費額をCとして、所得をYとし、比例係数 k を用いて式 :C≒kY が、成り立つと考えてみよう。 所得以上に消費することは普通無いので、 :k<1 と、してみる。 また、ミクロ経済では、需要Dを、 :D ＝ j×Y ＋ 定数 の式で示す試みもある<ref>小室直樹『小室直樹の経済原論』、東洋経済新報社、2015年6月11日発行、P509</ref>。このような立式で、需要、消費、所得などを、数理的に議論する事が可能になる。 === 限界消費性向 === さて、誰がけちで誰が太っ腹かの話は、はっきり言ってどうでもいい事だろう。 先ずここで「平均消費性向」という言葉を提示する。これは、可処分所得に対する消費支出の割合の事だ。 ある人がある所得を得て生活している時、その可処分所得の中から、平均消費性向の分だけ消費として使っている訳だ。 そしてこの人の所得が増加した時、増加分のうち、消費に回す割合を、限界消費性向（MPC、marginal propensity to consume）、と、いう。 一般に経済学では、何か（金額など）の投入を1単位ぶん増やしたときに、増える出力の割合のことを「限界〇〇」という。 アメリカでの調査では、所得の大小に関わらず限界消費性向は0.8～0.9である、と、言われている。 クズネッツは1869～1938年の統計を見ると、限界消費性向は0.9である、と記述する。 ここで、仮に平均消費性向も0.8~0.9であるとすると、縦軸に消費額をとり、横軸に所得（可処分所得）をとると、このグラフは傾き0.8～0.9の直線になる。（『スティグリッツ入門経済学 第4版』、薮下史郎ほか訳、東洋経済、2012念4月5日 発行、）（クルーグマン『マクロ経済学』、大山道弘ほか訳、東洋経済、2009年4月2日発行、315ページ） だから、平均消費性向と限界消費性向の値が一致するなら、所得と消費は比例式だから、単に所得の内のある割合が消費になるし、そうでないなら、所得が増える程、財布の紐を締める、或いはその逆、という議論が可能になるだろう。 ===消費関数=== クズネッツ型の消費関数(consumption function)とは、前述した :C≒kY 、である。 日本などいくつかの国では、所得が増えるほど消費の割合が低くなる、という現象が、統計として見られる。 これはケインズ型の消費関数↓を使うと、うまく表現する事が出来る。 :c ＝ a + MPC × Yd :c: 消費 :a: 独立消費水準 :MPC: 限界消費性向 :Yd : 可処分所得 MPC＜1 でないと、一般的には意味を持たないだろう。 式中のaの部分、所得によらずにする消費のことを独立消費（antonomous consumption）というが、日本では基礎消費ともいう（※: 『基礎消費』の参考文献: 福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門 第5版』、有斐閣、2016年3月30日 第5版 第1刷 発行,32ページ） 独立消費水準が0 なら、これはクズネッツ型の消費関数だが、一般的には、クズネッツ型は比例式、ケインズ型は、所得に応じて消費の傾向が変わる状況を示す関数とみる。a>0 なら、所得が上がるごとに平均消費性向は下がっていくだろう。 中谷巌『マクロ経済学入門 ＜第2版＞』（日本経済新聞社、2007年1月15日、2版1刷、32ページ）は、1992年から1997年の日本の消費関数を :C＝76＋0.61Y としている。<!-- すじにくさん、これ単位は何なの?千円? --> 有斐閣アルマ『マクロ経済学入門』（福田慎一・照山博司,38ページ）によると、2004年、2009年、2014年の日本では、低所得者の平均消費性向は0.9に近く、年収1250万円ていどの所得者の平均消費性向は0.6～0.7程度と低い。 ケインズ型の関数はより一般化されているから、所得に応じた平均消費性向の変化を表現する事が出来る。 現編集者としては、このクズネット型とケインズ型の消費関数の違いについてああだこうだ議論することに大きな意味があるとは思えないが、長期スケールではクズネッツ型の短期スケールではケインズ型の消費関数が当てはまるという指摘もある。 しかしこれは本当だろうか? 短期の所得と消費の関係、長期にわたる所得と消費の関係、この兼ね合いは、まず数理的な扱いの検討が必要になるだろう。短期スケールと長期スケールが独立してあるわけではなく、短期スケールの積み重ねが長期スケールになる。しかし、この問題をそんなに徹底的に考える意義はあるだろうか? また前編集者はさらに、この問題には、「ライフサイクル仮説」という学説、も関連話題としてあり、多くの大学生向けのマクロ経済学の教科書で解説されているという。 *クズネッツ型とケインズ型 [[File:Consumption function of Kuznets and Keynes type compatible japaneseB.svg|thumb|500px|※ これは架空のグラフです。]] 数学的には、クズネッツ型の比例式を一次関数に一般化したのがケインズ型の消費関数だろう。 さて、今具体的なある年を考えて、この年に日本国籍を持っていた人物、というのは具体的に上げて、数え上げることができるだろう。そしてその具体的な人物の年収も、その年収のうちその年にいくら消費したのかも、具体的な数値、金額として示すことができるだろう。 例えばその数値を、1950年から、1999年まで、すべての日本人について、右のような所得→消費のグラフにプロットしたとする。 これを比例式で回帰したら、クズネッツ型の消費関数になるだろうし、普通に回帰直線を描いたら、ケインズ型になるだろう。 また、全てのデータを使わずに、1950年代、1970年代、1990年代、と、データを分けて回帰すると、おそらくケインズ型の回帰が見られるだろうし、あるいはまた、特定の傾向を持つ少数の人物の、長い時間にわたるプロット、例えばその間にインフレが進行するとか、あるいは所得も上がっているかもしれません、を回帰すると、クズネッツ型の関係が見いだされるかもしれません。 右上のグラフはそういう統計手段についてのイメージ図ですが、参考文献: 福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』37ページ図、2-3 にある第二次大戦後の昭和の日本の家計消費のグラフを、参照して作っています。 {{-}} *ピケティの言 クズネッツ型の、所得と消費の比例式は、主に所得格差の小さい時期に見られる様だ。 フランスの経済学者ピケティは、クズネッツ型の消費の比例関係は、アメリカで大戦後一時所得格差が小さかった時代、或いは社会経済の動乱期のデータで<ref>トマ・ピケティ『21世紀の資本』、訳 山形浩生・森岡桜・森本正史、東洋経済、みすず書房、2015年1月15日、13ページ・15ページ</ref>、格差自体は、どんどん広がっているので、消費は、ケインズ型の一次関数になっていくだろう、と、指摘する。 * 乗数効果 さて、あなたが消費したお金は、誰かが受け取り収入になる。その誰かもまたそのお金を消費すると、また別の誰かの収入になる。 お金や人々の手から手へ廻っているのですね。 では今、ある人、 Aさんの年収を 1000万円としましょう。そして、現実にはあり得ないことですが、 Aさんが消費したお金はすべて Bさんの収入になるとしましょう。そして同じような関係が、 Bさん、 Cさん、 Dさん、…と、続いていくとしましょう。そして今平均消費傾向が限界消費傾向 MPCと等しいとすると… :Aさんは 1000万円 の収入を手にしたので MPC × 1000万円 の消費をすることになる。 :Bさんは MPC ×1000万円 の収入を手にしたので MPC² × 1000万円 の消費をすることになる。 :Cさんは MPC² ×1000万円 の収入を手にしたので MPC³ × 1000万円 の消費をすることになる。 :Dさんは MPC³ ×1000万円 の収入を手にしたので MPC⁴ × 1000万円 の消費をすることになる。 つまり、一人の消費が、別の消費を数珠つなぎに引き出していることを示したいのです。 ここで、このつながりが n人に及べば、Aさんの消費が最終的に :<math>MPC+MPC^2+MPC^3+MPC^4+\cdots+MPC^n</math> 倍の消費を生み出したことになる。 収入の和を考えれば、 Aさんは 1倍の収入があるから、 :<math>1+MPC+MPC^2+MPC^3+MPC^4+\cdots+MPC^n</math> これは等比数列の和ですね。 ここで無限に足し合わせた級数を考えると、0<=MPC<1 に注意して、 <math>1+MPC+MPC^2+MPC^3+MPC^4+\cdots+MPC^n+\cdots= \frac{1}{1-MPC}</math> と、なります。 実際には人口は無限でありませんが、十分に大きい数をとると、この値にほぼ近くなるとみていいでしょう。 そこで消費傾向が0.9 なら、<math>\frac{1}{1-MPC}</math>は 10になる。 このように、何らかの消費や投資の効果は増加、増殖する、と、考えられています。 さて、 :1－MPC は貯蓄性向（正確には限界貯蓄性向 MPS）。 そこで、 :<math>\frac{1}{1-MPC}=\frac{1}{MPS}</math> になります。 ここでは、0<MPS<=1 ですね。 つまりこの発想で考えると、貯蓄の割合を多くすると世に出回るお金の量が少なくなり、社会経済、景気が停滞し、発展が閉ざされ、生活が貧困になる、つまり合成の誤謬が成立するわけです<ref>[http://park.saitama-u.ac.jp/~yanagisawa/het10/44-61.pdf 柳沢哲哉『第５章 ケインズの経済学』、埼玉大学、「経済学史特講」講義]P51</ref>。 *預金は銀行が借入しているのだろう {|class="wikitable" style="float:right" |+ 信用創造 ! 銀行・借入者 !! 預金・借入金 !! 支払い準備金・内部留保や消費 !! 貸し付け金・預金 |- ! A銀行 | 　100万円 || 　20万円 || 80万円　 |- ! B企業 | 　80万円 || 　16万円 　 || 64万円 |- ! C銀行 | 　64 || 　12.8 　 || 51.2 |- ! D企業 | 　51.2 || 　10.24 　 || 40.96 |- ! 以下省略 | 　 || 　 　 || |- ! 合計 | 　500万円 || 　100万円 　 || 400万円 |- |} 家計が銀行に預金をすると、銀行にとって貸出資金が増加し、それが金融市場に流れ、企業や他の銀行も資金増加になり，社会全体で多くのお金が動くとみなせる、このような考え方を信用創造という。これは高校政治経済でも言及されている。 右の表では、例えば誰かが A銀行に 100万円預金する。 A銀行は預金のうち 80%の 80万円を B企業に貸す。　B企業は、まああまりリアリティのない仮定だが、 20%を運転資金として消費し、 80%を C銀行にいったん預ける。つまり、銀行も企業も 20%を留保または消費して、 80% を他者に貸す。 そうすると預金を債権とみなすとして、 :信用創造された債権総額=元の預金/0.2 と考えることができる。 これは前述した等比級数の考え方だ。 :信用創造された債権総額= 元の預金× (1 + 0.8 + 0.8² + 0.8³ + ･･･) ::= 元の預金×（1/(1-0.8)） 預金だけを考えれば、 :信用創造された預金総額=元の預金/(1-0.8²) に、なるだろう。 信用創造を考えるとき、元の預金のことを「本源的預金」ということもある。 しかしこれは又貸しモデルといい、実際の信用創造のモデルとは異なる。銀行が契約して預金通帳に金額を書くだけで預金が増加することが実際の信用創造であり、本源的預金は貸出資金にされている訳ではない。実際の信用創造で増加する預金を万年筆マネーという<ref>[https://www.jikkyo.co.jp/sys/wp-content/uploads/2026/02/9992661283.pdf 中里透『教科書の中と現実の「信用創造論」』、実況出版、地歴・公民資料97号、2023年09月25日 発行]</ref>。 ===ハンセン＝サミュエルソンの乗数・加速度モデル=== さて、ケインズ型の消費関数は以前、 :c ＝ a + MPC × Yd :c:消費 :a:独立消費水準 :MPC:限界消費性向 :Yd :可処分所得 と、記述した。 ここで消費c ではなく、所得Y に注目する。そしてむしろ国全体の所得、生産に着目し、つまり GDPを見るのだが、似たような形式の数理議論がある。 [[w:乗数・加速度モデル]]。 :<math>Y_t=C_t+I_t</math> :<math>C_t = C + cY_{t-1}</math> :<math>I_t = I + v (Y_{t-1}-Y_{t-2}) </math> ただし、 * <math>Y</math>： GDP * <math>C</math>： <math>C_t</math>はt期の消費。<math>C</math>は基礎消費。 * <math>I</math>： <math>I_t</math>はt期の投資。<math>I</math>は独立投資。 * <math>c</math>： 消費性向 * <math>t</math>： t期(時間) * <math>v</math>： 加速度係数 この連立式から、 <math>Y_t=(c+v) Y_{t-1}-vY_{t-2}+(C+I)</math> を導き、時間に対応する数列としての GDPを議論できる。 ==貨幣数量説== まず名目GDP の一番基本的な定義から考えてみよう。ある期間の、ある国に所属する経済主体の、売り上げから原材料費を引いた金額の総和がこれであろう。 そして売り上げそのもの、つまり原材料を引かない金額の総和も考えることが出来るし、そしてこれは大雑把に言えば，GDP に比例しているとみなすこともできる。 そしてまず、このような式を提示しよう。 :貨幣の流通速度 V ＝ 名目GDP / 貨幣量M 速度というのは単位時間ごとの値だが、ここでは例えば、名目GDP が 3か月の値なら、3か月の量を示しているわけだ。 さて、名目GDPは、販売された商品の価格に含まれる製品一個当たりの付加価値 P(販売価格から原価をひいたもの)とその個数の合計 Yとの積 ΣPY に等しい。 :<math>\sum_{k=1}P_k Y_k=P_1 Y_1+P_2 Y_2+P_3 Y_3+\cdots</math> つまり、こうですか。 :MV＝名目GDP＝<math>\sum_{k=1}P_k Y_k</math> さて、先ほど売り上げそのもの、つまり原材料を引かない金額の総和について書いたが、これは荒くとらえて名目GDP に比例するとみてみようと言及したが、製品一個の付加価値ではなく価格をP' とすると、 :bMV＝b*名目GDP＝<math>\sum_{k=1}P'_k Y_k</math> そこで、貨幣の流通速度の別解釈を提示しよう。 :貨幣の流通速度（別） V' ＝ b*名目GDP / 貨幣量M これはこうなるでしょう。 :MV'＝<math>\sum_{k=1}P'_k Y_k</math> さて、ここでですねー、こういう値を考えたい。 <math>Y=\sum_{k=1}Y_k</math> こうなると、この値、P' を求めることが出来るでしょう。 P'=<math>\frac{\sum_{k=1}P'_k Y_k}{Y}</math> 結局 MV'=P'Y :菅原晃『使えるマクロ経済学』、中経出版、2014年10月14日 第1刷発行,178ページ、 :では、『貨幣数量説』の公式として、 ::「貨幣量×世の中を回った回数＝物価×取引量」 とある。 :菅原晃『使えるマクロ経済学』、中経出版、2014年10月14日 第1刷発行,203ページ、 :では、『貨幣数量説』の公式として、 ::「供給:貨幣量×世の中を回った回数＝需要:物価×取引量」 とある。 この形の公式を「数量方程式」（quantity equation） と呼んでみましょう。また、この公式であらわされる学説を「貨幣数量説」という場合もある。 右辺に価格が入っているので、物価のインフレまたはデフレの解析に、この貨幣の流通速度の理論が使えそうだと経済学では思われている。 アメリカ経済学の教科書のスタイルではP×Y は 名目GDP に等しいと説明されるが、P' と同様に一般的な付加価値、P を求めることが出来るから、正しい主張でしょう。 PをGDPデフレーターとして、Yを実質GDPとして :MV ＝ PY という書き方が、各種教科書でなされることも多い。どちらにしろP*Y は名目GDPになるわけです。 前編集者は :MV'＝物価×取引量 ∝ 名目GDP :MV'＝物価×取引量 ∝ 実質GDP × インフレ率 という関係式を得て、それを経済モデルに合うように連立させることが重要、と記述していたが、現編集者はこの手の数理議論にはあまり大きな意味はないと思っている。 ===マーシャルのk=== さて、前項で、 :MV＝名目GDP=PY :MV'=P'Y :M:貨幣量 :V:貨幣の流通速度α :V':貨幣の流通速度β :P:一般化された付加価値 :P':一般化された価格 :Y:財、サービスの取引数 ここで前回の議論にもあったように、 P'Y=b*PY としてみると、 M=(b/V')*P*Y そして、 M=k*P*Y このk が、マーシャルのkであるかは定かではないが、彼の議論の片りんを見るものとみていいだろう。 統計的には k は定数ではない。（※参考文献:中谷巌『入門マクロ経済学 第5版』、日本評論社、2007年3月30日第5版第1刷発行、192ページ） たとえば中谷は参考文献『入門マクロ経済学第5版』で、日本では1970年代はマーシャルのkが 0.7 程度だったが、しだいに増加していき、2004年には k は 1.4 程度であるとグラフで図示している。 :※福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』（有斐閣、2016年3月30日第5版第1刷発行、141ページ）では、文中に「右辺の定数k」とある。しかし、中谷の文献で紹介されるように、統計的にはkは定数ではない。数学的にはkは、「右辺の'''係数'''」である。 k=b/V'でもし bが定数なら、貨幣の交換が少なくなるほどk が大きくなる。 だから、いわゆる「デフレ経済」と言われる日本の1990年以降の時代（平成初期の不動産バブル崩壊の以降の時代）でマーシャルのkが増加するのは常識と一致するのだが、しかし中谷の文献のグラフを見ると、1970年代も1980年代でもマーシャルのkは増加傾向であるのが、グラフから読み取れる。（しかし中谷は、不動産バブル崩壊以前のマーシャルのkの増大には注意を払ってない。） そしてこの式は、こう読める。 :M＝k*名目GDP （参考文献:菅原晃『使えるマクロ経済学』、中経出版、2014年10月14日第1刷発行,203ページ。この文献では「貨幣量＝GDP」という図とともに「k％ルールが有効！」という文言が図中にある。 ） このkを、経済政策の目安にするのが良いだろうという学説があるらしく、フリードマンがそのような学説を提唱したらしい（菅原の文献を読んだ限り、そういう印象を受けた。By E.Suj.）。 ==インフレは好ましいか?== 経験的に、経済政策として、インフレ率2～4％程度の緩やかなインフレを目指すことが、多くの国で行われている。 クルーグマンが『マクロ経済学』（2009年版、472ページ）で報告するには、アメリカのFRBは方針こそ断言してないが、その実行結果から、2～3％ていどのインフレ率を好んでいる、と、云う。また、イングランド銀行はインフレ率を2.5％とすると明示的に公表している、と同ページに記述されている。 なお、この2%のインフレ率のように、比較的に低率でのインフレのことをクリーピング・インフレ（creeping inflation）という。クリーピングとは「しのびよる」という意味の英語である。1～3%程度のインフレ率が、クリーピング・インフレだと言われている。 また、スティグリッツは、もし政府がインフレを嫌ってデフレを誘導すると、一時的には失業率が増加する、と述べている（『スティグリッツ入門経済学 第4版』東洋経済、432ページ）。 しかし、この低率のインフレが好ましいという議論は、論理的に明快に因果関係が説明されているわけではない。少なくとも、『クルーグマン マクロ経済学』や『スティグリッツ入門経済学』を読んでも、そのインフレ率2～3%程度が好ましいという論の明確な説明は全く見当たらない。 スティグリッツは、循環的失業の増加は低インフレをもたらし、循環的失業の減少は高インフレをもたらす、と述べているが、しかし彼以外のクルーグマンもマンキューも、スティグリッツのような主張は（調べたかぎりでは）していないようである。 ==ケインズ政策== アメリカの1940年代のニューディール政策は、1930年代のケインズの経済理論が根拠になっている、とよく言われる。しかしそれ以外にも参考にした具体例があったようだ。 例えば、1930年代の日本の高橋是清・蔵相の不況対策で、似たような積極的財政政策がとられている<ref>福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』、有斐閣、2016年3月30日第5版第1刷、194ページ</ref>。 1930年代のドイツでの独裁者ヒトラー政権下でも、ドイツ人経済学者シャハト博士の助言のもとに、公共事業（高速道路アウトバーン建設など）や軍備増強など、積極的にドイツ政府は財政拡大をして投資した<ref>たとえば 犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P142</ref>。もっともこのころのドイツの軍備増強は、誰もが知るところだろう。だからこそ、第二次世界大戦の大騒ぎが実現したわけだ。 まあ軍備増強を公共投資と言っていいのかは疑問だが、当時のヒトラーの経済政策の果敢さは、彼の国内での、あるいは国外でも、人気拡大に一役買っただろう。 詳しい文脈は不明だが、森嶋道夫『思想としての近代経済学』（岩波新書、1994年）に、経済学者ヒックスが森嶋に「戦前はヒトラーの時代であった。戦後はケインズの時代になろう」と述べたことが記されている<ref>小室直樹『小室直樹の経済原論』、東洋経済新報社、2015年6月11日発行、P541</ref>。小畑二郎『経済学の歴史』にも似たような話が書かれている。 1940年代アメリカのニューディール政策はケインズの理論だけではなく、当時の様々な前例も参考に行われたのだろう。 さて近年、2008～2009年ごろのリーマンショックやサブプライムショックなどの対策としても、銀行の救済や公共事業などによる積極財政や金融政策がとられている。 ケインズ政策、ケインズ主義とは、不況対策や経済発展などのために政府が積極的に公共事業や融資や民間への資金援助などを行う政策をいうのだろう。ケインズ自身は、大恐慌に対する処方箋として、利子率の切り下げ（金融政策）と社会基盤への政府投資（財政政策）を示していた。 リーマンショック対策でケインズ政策はひとます成功したし、今でもこの政策が不況対策として有効だと、一般に認知されている。 ケインズの議論はケインズ経済学というマクロ経済学の主要な学派になっている。ケインジアン、という言葉もある。 一方でケインズ政策を実行すると、その国は多くの場合財政が悪化する。具体的には、国債を増発するようになる。第二次大戦後のアメリカ合衆国はそうなった。 この借金による国家運営の問題点をなくすために、ケインズ主義に代わる新しい経済思想がアメリカやイギリスで必要になり、1980年代にはレーガン大統領のレーガノミクスやサッチャー首相のサッチャリズムのような「新自由主義」が政治の表舞台に現れてきた。 *ハーヴェイロードの前提 ケインズ自身は、恐慌の時期には政府は借金をして投資しても、恐慌を脱したら財政規律を高めて赤字財政を回収して均衡財政に戻すべきと考えていた<ref>[http://park.saitama-u.ac.jp/~yanagisawa/het10/44-61.pdf 柳沢哲也『第５章 ケインズの経済学』、埼玉大学、「経済学史特講」講義]P58、2022年4月6日に確認.</ref>。 しかし、実際の多くの戦後先進国では、そのような政策はとられず、20世紀後半に赤字財政に陥った国も少なからず存在する。 WW2戦後のインフレには、このような赤字財政という背景もあったと、経済学者ブキャナンなどの新自由主義者は述べている<ref>[http://park.saitama-u.ac.jp/~yanagisawa/het10/44-61.pdf 柳沢哲也『第５章 ケインズの経済学』、埼玉大学、「経済学史特講」講義]P58、2022年4月6日に確認.</ref>。 ケインズの議論には、政府の経済政策には賢人としての高度な判断があるという、「ハーヴェイロードの前提」がある。ハーヴェイロードというのはケインズが生まれ育ったイギリスケンブリッジの土地で、知識人が集まっている場であった。 戦後の経済がケインズの当初の予想通りの均衡財政にならなかったのは、政治家の堕落（だらく）であり、為政者としての責任感の欠如だ、という指摘もある。つまり「ハーヴェイ・ロードの前提」が政治家に欠けている、という事だろう。 一方ケインズ経済理論を批判するブキャナンたち新自由主義の経済学者は、むしろ「ハーヴェイ・ロードの前提」が非現実的だろう、とも語る。 そして前編集者は、堕落しているのは政治家ではなく、むしろ民衆だろうと記述している。正しい政治家に投票できない民衆がおごりの中で政治家を批判しているだけだろうと指摘する。 しかし仮に民衆が堕落しているのなら、政治家も等しく堕落しているだろう。 全ての人間が公平に堕落しているのが現代社会だろう^^;;;。 赤信号、みんなで渡れば怖くない^^;;; *貨幣錯覚 ケインズの一般理論でも、「貨幣錯覚」については言及されている。本来貨幣は定まった価値を持つものではなく、一般的絶対的な価値に対して、必要な額面が大きくなったり小さくなったりする。つまり財やサービスに必要な貨幣の額面、物価が高くなったり低くなったりするのだ。 だから本来貨幣は名目、額面としての数字ではなく実質の価値が問題になるのだが、実際には人々は貨幣の額面の数字に捉われる。 多くの労働者も、実質賃金ではなく貨幣賃金を見て行動する、という<ref>滝川好夫『図解雑学 ケインズ経済学』、ナツメ社、2010年11月21日初版発行、P60</ref>。 ケインズは緩やかなインフレを肯定した。また、インフレ誘導的な政策が、恐慌の脱出措置としてよく用いられる。 物価が高くなると、実質賃金は下がるが、それに合わせて名目の賃金を上げると、労働者は収入が上昇しているように感じるだろう（か?）。 *利子理論と物価 一般に、インフレなら名目金利を高くすることが可能だという{{要出典}}。 前編集者は物価に関する数理を欲していたが、ケインズの利子理論やそこから導出された、LS-IM分析は，その目的にはかなわないものだという。 ケインズは「一般理論」の著書で，2%という数字を利子率の基準として示した。<ref>[https://ynu.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main&active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=3118&item_no=1&page_id=59&block_id=74 石井力『先物市場の「流動性の罠」』,P82]2022年4月6日に確認.</ref>。一方、21世紀、主要な先進国が採用する物価インフレ目標も多くは2%である。 前編集者は物価と金利を結び付けた数理議論を求めているようだが、そういう論説はあまり世にない様だ。ケインズは金利の理論を展開したが、それと物価を結び付ける議論も、特にあまり見当たらないという。 しかし実際には全くそれがないわけではないだろう。一般的な議論として、政策金利を低くすると借金がしやすくなり、銀行のストックが減り世の中に貨幣が出回る。その結果貨幣量が増え、インフレ傾向、物価上昇傾向になると見れるだろう。 ロイター日本語版の2021の記事は物価目標2%と金利を関連づけて語っている<ref> [https://jp.reuters.com/article/column-suzuki-akihiko-idJPKBN2F60HR 鈴木明彦『コラム：所得増えぬまま物価目標2％達成なら、消費者から悲鳴か＝鈴木明彦氏』]2022年4月6日に確認.</ref>。しかしケインズの議論には言及がなく、その視点での分析も特に書いていない。 一般的に金利が高いと貨幣量が減り、デフレ傾向だが、不況に関してはどうなるだろう? 一般に金利と言えば貸金、預金の利率、貨幣を貸すときの手数料、利益と見ていいだろう。物価は生産物と貨幣の交換率、この二つの値の比較と重要性を語りたいのが前編集者の議論だが、例えば学問的な考察や議論で、詳細に拘らず、あるものを別の或るもので単純に置き換えると、面白い展開を迎えるというのは、往々にしてある。例えばケインズの利率を物価で置き換えたらどうだ? と、言うのが前編集者のアイディアではあろう。 日本の平成、「デフレ不況」と言われている状況では、金利も低く物価も低くなっている。1990年前後のバブル崩壊よりも前のころは金利は高かったろうし、物価も高かっただろう。 昔の主婦は金利の高い金融機関を探して選んで預金していたものだが、最近は預金に関してはあきれるほど利率が低い。 21世紀の日本の低金利は、日本の不動産バブル崩壊後、何らかの理由で金利を下げる必要があったのだろうと前編集者は考えているようだ、特に物価の下落を重要ファクターと見ている。日本の過去の不動産バブルは、不動産資産のインフレによる騒動と見ることが出来るだろうか。 長期的にはインフレ率と金利が近づいていくという指摘もある{{要出典}}。 '''クラウディング・アウト'''とは何か? 現編集者はむしろ、より詳しい方がここに記述してくれることを望むが、前編集者の説明では、国債や郵便貯金などの利率が高いとその商品が魅力的になるので、株式や投資、民間の債権などにお金が流れなくなる現象だと書く。 では国債や郵便貯金の利率は低いほうが良いのか?もちろんそうなれば財政も圧迫しなくなるし、が一方で公共にお金を貸す意思自体が減ると見られるかもしれない。 政策金利と呼ばれるものはまた別の利率だろうが、これが低すぎると'''流動性の罠（わな）'''と呼ばれ、景気浮揚や投資を増やす効果を持たなくなるという。 現編集者は実際は経済学も大した知らないが、前編集者の不適切な悪意に満ちた文章を何とかしたい一心で、いろいろ調べながらこの文章を書いているだけなので、いずれはより詳しく人間性も良好な人にこのページを書き足し修正してほしいのだが、とりあえず流動性の罠の原因については、「ゼロ金利の近くになると、これ以上は金利は下がりようがないのだから、つまり今後は国債などの金利が上がる可能性が高い。そこで、人々は値上がりを期待して、民間に投資をしなくなる」、という言説もあるようです。 つまりこの主張は、今金利が低いと、人々は将来上がると予想してそれを待つという事? そこで結局流動性の罠とは何かそれほど理解していないまま、文章を先に進めるが、経済評論家の三橋貴明氏は、平成のデフレ不況とは、『デフレ化において単純に「儲からないから投資しない」』現象だと著書で語っている。そのうえでとりあえず政策金利を下げればよいという、バブル崩壊後の日本政府の金融政策を批判している<ref>三橋孝明『黄金の拘束衣を着た首相』、飛鳥新社、2015年2月6日第1刷発行、P129</ref>。 そもそも新たな投資が頻繁になされることが絶対的にいい事なのか? 今現在の生産インフラが潤沢に回っていることで、いい経済状況だとはみなせないのか? 経済が貨幣でお金のことだと見てしまうのは、本質を見失わせるだろう。経済とは我々の日々の生産活動だし、貨幣はそれに従い、それを動かすためのツールに過ぎない。 さて、評論家犬走文彦氏は「金融危機があるレベルまで達すると、信用リスクを回避するためいくら金利が低くなっても金融機関が貸し出しを止めてしまう」と書いている<ref>犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P134</ref>。そもそも金利が低くなると貸し出す方に旨味はない。借りる方が得になるから、貨幣需要が増えるという事だろう。しかし金融機関は敢えて貸さない? しかし金融機関とは、貨幣を貸し出して利益を得ている法人だったはずだ。 兎に角細かい事や全体を見ないままとりあえず投資が増えればいいというのなら、そして、「儲からないから投資しない」というのなら、「投資しないと損をするぞ」といった内容の経済構造すればよいのでは? 、と、前編集者は指摘する。 つまり投資という仕事をさせたいから、鼻先にぶら下げる人参はもうないから、では鞭で打とう、と、そういう訳だろう。 インフレ誘導にはそういう意味があるのだろうね。現状がデフレやディスインフレならなおさらこの方法に行きやすい。しかしインフレ誘導が制御できなくなって、高インフレになると、多くの人々が困ることになるだろう。今現在(2023/2)、その傾向があると言えなくもない。 一方経済学者クルーグマンは『中央銀行が将来のインフレ率を公約する「インフレ目標」が、流動性の罠のもとでも有効であると主張した。』、という<ref>福山慎一「マクロ経済学入門 第5版」、有斐閣、P223（『』内は書籍の解説文の引用）</ref>。 「バランスシート不況」という考え方では、恐慌時などには投資家がリスク回避志向になり、不況時は銀行の行動パターンが投資から債権回収などに移るので、この時期に政府が金融政策しても、あまり効果がない、という<ref>犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P134</ref>。貸し渋りという事? お金を持っている人たちが貸したくなくなる? しかしファイナンス、貸金とはそんなに経済、景気の進展に重要な事なのか? 借りたお金が世の中を潤沢に回ることが本当に健全な事態なのか? 投資と融資は異なるだろう。投資とは生産インフラの資本、資産を買い、所有することだし、融資はお金を貸しているという事。債権は利子を付けていずれ回収したいが、投資は所有している場合は配当などの利益が期待できるが、株式などの形で売って貨幣を回収することもできる。 1990年前後の不動産バブル崩壊後、日本は2000年代初頭に、非伝統的な金融政策である日銀のバランスシートの拡大、およびそれらの量的緩和をインフレ率が安定的に0.数％になるまで続けるという政策を実施しました。<ref>福山慎一『マクロ経済学入門 第5版』、P224</ref> さて、もちろんケインズは我々の歴史の中で最重要の経済学者ですが、全知全能の神様ではない。その指摘や理論が徹底的に現実を示しているものではないでしょう。 前編集者によると、「ケインズ理論も新自由主義も両方とも間違っている」、という主張も結構多いという。「反経済学講座」（犬走文彦、新潮社、2009年8月20日）がそういうスタンスだという事だが…。 また基本的には、特にその会社の経営者、関係者は自分の会社が倒産することは望まないだろう。しかし世の中には自然淘汰を称賛し、弱者が滅びることが正しい事だと見做す考えも多いし、そこまで極論ではなくても、妥当な経営を出来ない会社はペナルティとして倒産やむなし、という判断は多くなされるだろう。前編集者は経済思想家ハイエクなどはそう考えていると指摘する。 基本的に弱者企業を補助金などで救済すること自体が、経済全体にとって悪い事だという主張は多い。ハイエクは、不況の救済のために必要以上の補助金を投入する事こそが、次のバブルおよびその破裂による恐慌をまねく、と、指摘したという。[https://bizgate.nikkei.co.jp/article/DGXMZO3466714028082018000000 『世界恐慌を予言した人たち～金融緩和がはらむ反動リスク 』 2018/9/18]。 ハイエクなどオーストリア学派は、不況を避けるという考え自体が不適切だろう、と主張したという。ある程度の不況の緩和を目指すことは認められるが、景気は循環するもので、無理やりそれを動かして不況を避けて矯正しようとすると、経済はかえって悪化する、と指摘する<ref>犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P154</ref>。 歴史的には大した恐慌対策を取らないまま、状況が改善した例もあるようです。1930の世界恐慌より前、1920年の恐慌は、自然に終息、回復を迎えたとオーストリア学派は主張しています<ref>犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P159</ref>。当時のアメリカは金本位制。第一次大戦の放漫財政で金の保有量が減っていたことから、対策をとろうとしてもアメリカ政府のハーディング大統領は対策をとれなかった、と、いう。 さて、一般的に、 Aならば Bでも、 Bならば Aであるとは限らない。 消費の低迷 → 消費依存型産業の物価デフレ この流れはどうですかね。需要が減れば、値は下がるでしょう。 消費依存型産業の物価デフレ → 消費の低迷 これは? まず単純に考えて、値が下がれば需要は増えるのでは? では… 消費の活況 → 消費依存型産業の物価インフレ これはありますよね。需要が増えれば値は上がる。 消費依存型産業の物価インフレ → 消費の活況 これはどうですかね。一般に値が上がれば需要は減る、売りたい人は増えますがね。 高度成長も終わった昭和末期の1980年代、日本はディスインフレでした。しかし消費は活況。1980年代後半には、バブル直前の黄金期を迎えたといいます<ref>藤巻健史『マネーはこう動く』、光文社、2007年7月30日初版発行、P59</ref>。 だからデフレと不況の結びつきはそれほど強固ではない。 ただ需要が低下すると、値は下がる、これが徹底的に続いているのがデフレ不況なのだろう。経済評論家・加谷珪一は「デフレが不景気を引き起こしたわけではない。不景気でモノが売れず、企業は安値販売を余儀なくされ、これがさらに物価と賃金を引き下げている。高く売ることができる商品をわざわざ安く売っていたわけではない点に注意する必要がある。」と語る<ref>[https://www.newsweekjapan.jp/kaya/2022/04/post-180_2.php 『日本だけ給料が上がらない謎...「内部留保」でも「デフレ」でもない本当の元凶』2022年04月01日（金）17時30分]2022年4月9日に確認.</ref>。 つまり需要がない。日本は物に溢れている、なんてよく言うが、それに類する事態だろう。 しかし需要がないという事は必要ないという事。物が十分にあるという事はそんなに働かなくてもいいという事? そんなに作らなくてもいいという事かね? しかし結局この国の経済状況の中で、失業したり貧困に陥る人はかなりの数存在する。 そもそも1960年代以降の47カ国のデータを調査した結果、マネーサプライの増加も、赤字財政も、金利の低下もインフレを引き起こさなかったという実証論文もあるようだ<ref>[https://econ101.jp/rapid-money-supply-growth-does-not-cause-inflation/ 『リチャード・ヴェイグ「マネーサプライの急激な増加はインフレを引き起こさない」（2017年1月16日）』]</ref>。 ==完全競争== 高校の政治経済では、「不完全競争市場」の例として、寡占や独占などの事例を習う。不完全の反対が完全だろうが、寡占（かせん、oligopoly）や独占(monopoly)などの、競争をゆがめるような制限のない市場の状態のことをよく、完全競争（pure competition）という この言葉をより詳しく規定するとどうなるか? 次の五つの条件を満たすのが完全競争だという。（前編集者の定義） # 生産者（売り手）と消費者が十分に数が多いという条件。 # また、生産者どうしが談合などせず、競争するという条件。 # また、生産者どうしも独立していて、他の売り手に大きな影響を与えないという、生産者どうしの独立の条件。買い手もまた、他の買い手に大きな影響を与えないという、消費者どうしの独立の条件。 # 消費者はよく商品の情報（特に価格についての情報）を知っているという条件。 # その市場への参入と退出が容易だとする条件。 寡占や独占のもとでの市場競争は、この「完全競争」の条件が満たされてない。と、云うか一般的には完全競争の状態は現実には無いと見なされている。議論のための仮想的な市場状態だろう。 そして完全競争の定義は、論者や学派によって微妙に異なるようだ。ここでは５つの定義を上げたが、これが３つぐらいの規則から導かれる完全競争の性質に過ぎない、という議論もある。 ==不況と好況== [[File:Economic cycle.svg|thumb|450px|景気循環の図。グラフの波型の山の部分が好景気を表し、谷の部分が不景気を表している。<br> Expansion ：景気拡大<br> Boom　 ：好景気の頂点<br> Recession ：景気の後退<br> Depression：景気の消沈<br>]] 景気には波があるという。景気を統計的、数量的に示す方法があるかどうか、現編集者は知らないが、実質GDP を基準に考える道はあるだろう。 一般的にある程度安定した国家社会では、実質GDP は微増するものだと見るといいのではないだろうか。社会集団として、生産集団として、文化や技術が発達し生産に慣れて社会として習熟した表れとして、生産を示す実質GDP はわずかに増えていく。あくまでも仮定ですがね。 そうなると、好況というのはその時点での実質GDP成長率がある程度高いことを示すだろうし、不況というのは実質GDP成長率が横ばい、ゼロ、あるいはマイナス成長の時、だということは出来るだろう。 前編集者は、経済や生産の事を語る時に、「不況」「好況」の言葉を使うよりも、「高成長」や「低成長」や「マイナス成長」という言葉を使った方が妥当だし、適切だろうと書いているが、「不況」「好況」という言葉は現実の経済、商業生活でのそれぞれの職業人の精神的な満足度を示しているものではあるので、GDP だけがそれを示すものにはならないだろう。そもそも実質GDP とは常に大きく上昇し、上がっていくのが自然で望ましいのか? そうすれば人々は十分な満足が得られるのか? それさえも怪しいし、定かではないだろう。 ==労働価値説と限界革命== ===労働価値説=== さて、財とサービスに価値があるのは自明でしょう。そしてそれと交換される貨幣にももちろん価値がある。 そしてまあ常識的に払う貨幣が高いほど、その財には価値があると見做されている。 払う貨幣とは価格ですよね。そしてこのページで議論してきたように、価格は需要と供給で決まると考えるのが、現代的な経済理解です。 しかし一方でもっと哲学的、観念的議論として、商品、財が持つ価値の根拠、いったい何によって価値が生まれるか、それを知りたい訳です。 そこでまず議論されたのが、アダムスミスやマルクスが言及した労働価値説ですね。 つまり財やサービスの価値の源泉は、我々の労働だと。 財の価値の根拠が労働にあることは否定できないでしょう。ただその議論を価格と結びつけるのはなんだかんだでかなり困難がある。労力を多く費やしても価格が安くなることはあるし、労力少なくして高い価格がつくことも現実にはある。 しかし数理的に労働量と価格の議論が出来なくても、労働が物事の、財の価値を生み出していることまで否定するのは詭弁でしょう。 大体労働に価値がないのなら、世の人はもう明日から仕事に行かなくなるよ^^;;;。 しかし一方「効用革命」という議論があり、労働価値説とは別の視点として、財を消費する側の満足、欲望の充実に価値の根拠を見出す視点がある<ref>https://diamond.jp/articles/-/75341</ref>。 この議論は数理とも馴染みがよく、ミクロ経済学の重要な分析の一つになっている。 価格は需要と供給によって決まり、財の生産者は市場で売れる価格にあわせて利益が出るように労働および経費などの投入量を調節する<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日 初版 第1刷 発行、P236</ref> ===限界効用理論=== 効用とは財を消費したときの満足度である。ここで効用関数なる値が実数の関数を考える。 一般に消費者は、いくつもある消費計画のうち、みずからの効用関数を最大化させるような消費計画を選ぶ、と考えられる。これを「効用最大化仮説」と言います。 たとえば、ある消費計画Aと、別の消費計画Bについて、それぞれ効用をU(A)およびU(B)とします。つまり消費計画Aの効用がU(A)です。同様に消費計画Bの効用がU(B)です。 そして、たとえば、もし :U(A)>U(B) なら、消費者は消費計画Aを選ぶ。 同様、もし :U(A)<U(B) なら、消費者は消費計画Bを選ぶ。 ただし、効用の大きさそのものを数値化することは一般にはできず、その大小関係・順序にのみ意味があると考えています。数学で言うと、代数システムのうちの順序関係・大小関係のことを「序数」と言うので、効用関数の上述のような性質のことを「効用の序数性」と言います<ref>塩沢修平『経済学・入門』、有斐閣、P60</ref>。書籍によっては便宜的に効用が数値で表される場合もありますが、しかしその数値はあくまで便宜的なものに過ぎず、数値の絶対的な大きさには意味は無い<ref>塩沢修平『経済学・入門』、有斐閣、P59</ref>、とのことです。 :※英語ではfirst やsecond やthird などの単語を「序数」と言いますが、つまり、集合の要素の順序関係を見るのが序数ですよね。 然し導関数として、ステーキの購入計画C とワインの購入計画D で、ステーキ1単位を購入することがある人にとってワイン何単位ぶんの購入に当たるかの計算は議論される。こうのような購入量1単位ごとの効用の換算値を、限界代替率と言います。 「効用」は、主観的な量です<ref>たとえば 塩沢『経済学入門』、P59 など。</ref>。つまり、効用の大きさは、それぞれの消費者の主観で決まります。 この効用と価格の関係に関する数理議論があるだろうが、現編集者はほとんど知らないので記述できない。一般の経済学入門書を見ても、そういう話題はまったく書かれていない、と、前編集者は書く。 効用自体も、消費量が1単位増えた時の効用の増加、限界効用も、関数の数値自体には大きな意味はないと見る。しかし財によって限界効用を比較したもの、限界代替率は、限界効用の数値を比較し、同じ満足度の消費量を見出す概念だとはいえる。 経済学者ヒックスはこの限界代替率に着目した研究を行ったという<ref>小室直樹『経済学をめぐる巨匠たち 経済思想ゼミナール』、ダイヤモンド社、2004年1月8日、P202およびP203</ref>。 もう一度書くが、限界効用とは，財を一単位追加して消費することによる効用の増加分だ。これは効用関数の微分と見ていいだろう<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日初版第1刷発行、P161</ref>。 さて、この効用関数は、単調増加で上に凸だろうか。ある種類の物があふれると、その物ひとつ当たりの価値は小さくなる（効用逓減（ていげん）の法則）。 水は生命活動に不可欠に限らず、ダイヤモンドより価格が安い<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日 初版 第1刷 発行、P172</ref>。同じ美術品を何度も鑑賞すると、慣れてきて価値を感じなくなる<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日 初版 第1刷 発行、P172</ref>。 財の消費だけではなく、人間の心理的または生理的な傾向としてこのような現象は見られますよね<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日初版第1刷発行、P172</ref>。 兎も角効用とは消費する側の議論だろう、一方で供給する側の視点も必要だ。労働がなければ多くの財は供給不可能だ。 ===サンクトペテルブルクの賭け=== さて、事実上は話題として少しそれるが、効用に関する議論として、18世紀前半、ロシアのサンクトペテルブルクに住んでいたスイスの数学者ダニエル・ベルヌーイが示した「サンクトペテルブルクの賭け」という面白い議論があるので、余談として紹介しておこう。 ここではこういうゲームを考える。一枚のコインを表が出るまで何回も投げ続ける。もらえる賞金は、1回目に表が出たら1ダカット（日本円で500円ぐらいだという）、1回目は裏が出て2回目に表が出たら倍の2ダカット、2回目まで裏が出ていて3回目に初めて表が出たらそのまた倍の4ダカット、3回目まで裏が出ていて4回目に初めて表が出たらそのまた倍の8ダカット、というふうに倍々で賞金は増えていく。 さて、この場合このゲームを売る胴元は、何ダカットでこの賭けを売ればよいだろうか？ 普通ギャンブルのこういう議論では期待値を計算する。 期待値の例として、別の簡単なゲームを考えてみよう。 二人の人間がゲームに参加し、参加料として100円ずつ払う。じゃんけんをして勝った方が場に出た200円を総取りする。 この場合片方の参加者がじゃんけんに勝つ確率は 1/2、負ける確率は残り 1/2、200*1/2+0*1/2 で期待値は100円。参加料が100円だから、ゲームとしてはトントンだという事になる。 ここでもしゲームとしての胴元がいて、10円ずつ参加料から場所代を抜いていたら、賞金総額は 180円で、期待値は 90円。世によくある、胴元が確実に儲け、参加者が総体的には結局損をしているギャンブルになる。 さて、先のサンクトペテルブルクの賭けの賭けでは期待値はどうなるか。 まず最初に表が出る確率は 1/2。その時の賞金が 1ダカット。次に裏が出た後表が出る確率は、1/2*1/2=1/4。賞金は2ダカット。つぎは 1/8と 4ダカット。結局期待値は、 1/2+1/2+1/2+… となって∞に発散する。 つまりこれは圧倒的に胴元が不利なゲームのはずだ。いくらで売っても期待値は無限大だからね。 しかし実際このゲームを 16ダカットで売ったとしてみよう。 だとしたら、賞金が 8ダカット以下になる確率は 15/16。まずこれが起こる可能性が高いから、胴元が得するように思える。しかし問題は、 1/16だ。これは底なし沼だ。場合によっては胴元の資産を超えて負けることもある。ここがこのゲームの期待値が無限大で胴元に不利だと言える根拠になるだろう。 ベルヌーイ自身はここに効用の発想を取り入れて、議論を進めた。つまりダカット金貨の額面で判断せずに額面の満足度、効用を金額の対数と決めてみた。賞金の期待値は∞に発散するが、効用の期待値は一定の値になる。最初に表が出た時の額面が1で、効用をlog[2,1]=0とすると、裏→表で効用が log[2,2]=1、裏→裏→表で効用がlog[2,4]=2で期待値は0/2+1/4+2/8+3/16+4/32+… そしてこの無限級数は幾つになるかな? 現編集者は計算できなかった^^;;;。数学の得意な人が答えだしてください。兎に角 2のこの無限級数乗の金額が効用としての期待値での金額。気持ちとしてはゲーマーとしてはこれでトントンだという事か。対数を考えるという事は、金額が大きいほど増えてもそれほどありがたみを感じなくなるという事ですからね。 さらなる分析として、胴元がこの商売を人生で何回やるか、ゲーマーが何回するかがこの話の議論に関わってくるだろう。 == 脚注 == [[Category:経済学|*]] [[Category:書庫|けいさいかく]] [[en:Principles of Economics]] 18gub9jt9gs8svanzapguwfdtgruhvn 305444 305443 2026-11-06T09:20:22Z 正月君 92918 305444 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|経済学|frame=1|small=1}} ここでは、経済学の基礎的事項について確認しながら、世界経済における経済の動向に配慮した経済学的解説に努めることにする。[[高等学校政治経済]]のテキストも参照せよ。 == 経済変容と現代社会 == 現代社会の変容は、工業化・IT化に続く。 === 経済の変容 === * [[経済学 現代経済の変容 経済の変容 経済とは何か|経済とは何か]] ==== 世界経済の変容 ==== * [[双子の赤字]] {{進捗|100%|2013-10-08}} * [[経済学/アジア通貨危機|アジア通貨危機]]（[[冷戦後の世界#躍進するアジア|躍進するアジア]]） * [[経済学/改革開放|改革開放]]（[[冷戦後の世界#躍進するアジア|躍進するアジア]]） * [[経済学/アジア経済|アジア経済]] * [[経済学/インド経済|インド経済]] * [[経済学/EU統合|EU統合]]（[[冷戦後の世界#ヨーロッパの統合|ヨーロッパの統合]]） ==== 日本経済の変容 ==== * [[戦後]]（[[日本史/現代/戦後|日本史 戦後]]） {{進捗|75%|2013-10-08}} * [[高度成長]] * [[経済学/通貨危機|通貨危機]] * [[経済学/石油危機|石油危機]] * [[プラザ合意]]（[[日本史/現代/戦後/低成長期|低成長期]]） * [[バブル景気]]（[[日本史/現代/戦後/低成長期|低成長期]]） * [[失われた10年]]（[[日本史/現代/戦後/低成長期|低成長期]]） * [[経済学/情報化社会|情報化社会]] * [[経済学/産業の空洞化|産業の空洞化]] == 現代経済の仕組み == === 世界経済 === * [[経済学 現代経済の変容 経済の変容 世界経済の変容 資本主義経済|資本主義経済]] * [[経済学 現代経済の変容 経済の変容 世界経済の変容 社会主義経済|社会主義経済]] * [[経済学 現代経済の変容 経済の変容 世界経済の変容 経済システム|経済システム]] * [[経済学/グローバル化経済|グローバル化経済]] === 経済学 === * [[経済主体とその活動]]：経済主体が相互作用の中で貨幣を廻している。{{進捗|75%|2013-10-08}} * [[経済学 現代経済の仕組み 金融機関とその働き|金融機関]]：銀行は何をする? 銀行のストックが減ると世に貨幣が増える。 * [[経済学 現代経済の仕組み 財政|財政]]：税金は何に使おう? 払いたくない^^;;;? * [[経済学 現代経済の仕組み 国民生活|国民生活]]：人間の行為は大抵生産、それをお金に換えたら経済になる。 * [[経済学/国民所得|国民所得]] * [[国民経済生産]]：GDPの値は国家の生産を示しているはず。{{進捗|100%|2013-10-08}} == 社会保障制度 == 年金や健康保険から公衆便所まで。 * [[経済学 社会保障制度 労働|労働]]：過労死は使用者責任が問われ、民事上の損害賠償責任が課せられることになります。 * [[経済学/福祉国家|福祉国家]]：福祉は必要だよね? しかし昔の方がやはり不備は多かったか…最も今でも… * [[経済学/社会保険年金制度|社会保険年金制度]]：年金制度は必要だが、経済的に破綻しないように運営するのはかなり困難。 *[[経済学 社会保障制度 成立と発展|成立と発展]] *[[経済学 社会保障制度 日本の社会保障制度とその内容・課題|日本の社会保障制度]] == 世界経済 == 日本経済の国際化による日本と海外の国々との関係とこれからの課題について学習しましょう。 * [[経済学/貿易|貿易]]：貿易はやはりバランスが大事か? * [[経済学/国際収支|国際収支]]：貿易で赤字になった国があるの？ * [[経済学/為替|為替]]：1ドル＝1円じゃ駄目？ === 世界経済の変容と発展 === * [[経済学/国際経済体制|国際経済体制]]：IMFとかGATTとかって？ ==== 世界経済の発展 ==== * [[経済学/多国籍企業|多国籍企業]]：ウォルマートとかエンロンとかトヨタとか・・・ * [[経済学/ユーロ|ユーロ]]（[[冷戦後の世界#ヨーロッパの統合|ヨーロッパの統合]]）：ユーロだけじゃない？ * [[経済学/サブプライムローン問題|サブプライムローン問題]]（[[冷戦後の世界#リーマンショックと世界の無極化|リーマンショックと世界の無極化]]）：アメリカ経済を気にするのはなぜ？ * [[経済学/国際協力|国際協力]]：アフリカ、ラテンアメリカ、南アジア、中東その他の国の状況は？ == 環境問題 == 自然環境問題を経済で解決できるでしょうか。 * [[経済学/都市と環境|都市と環境]]：ごみ問題、大気汚染、水質汚濁、渇水、オゾン層の破壊、こうした問題を私たちは解決できるのでしょうか。 * [[経済学/持続可能な発展|持続可能な発展]]：「宇宙船地球号」 * [[経済学/生態系と環境|生態系と環境]]：生態系を守ることこそ、私たちの未来に必要です。 {{stub}} == 未分類 == ===資源の希少性=== 原則としては、資源とは有限のものでしょう。むしろ無限と考える方が不自然だし、実際にはだれも考えていない。 しかし例えば再生可能エネルギー、太陽光なんかはほぼ無限と見なしていますよね。しかしシビアに考察すると、やはりそれも有限。 例えば水なんかはどうでしょうか。これは地球上を循環しているもので、現実的には無限とみていますが、やはり手に入りにくい地域はありますし、シビアに考えると有限ですよね。 クルーグマンやスティグリッツやマンキューなど、多くの経済学者も、彼らの教科書で、資源の希少性が経済学の前提であると説明している。（なお、日本の高校の「公共」教科書でも、たとえば帝国書院（教科書会社のひとつ）の検定教科書で、「資源の希少性」を紹介している。） なお、経済学・商学などで「希少性」は英語で scarcity である<ref>『ビジネス基礎』、実教出版、令和2年12月25日検定、令和4年1月25日発行、P61</ref>。 また、人々が望んだからと言って、それを生産できるとは、かぎらないと、マンキューは説明している。 たとえば医薬品として、エイズの完全治療薬を望んでも、それは現状の医学では生産不可能。 数百年前の時代を上げれば、たとえば結核や らい病 の治療薬のなかった時代もあった。この話も、誰もがあっさりと納得、あるいはいまさら言うなという感じでしょう。 また、資源を超えた量の生産も不可能。 この「資源の希少性」は、よく経済学の教科書で、「経済学の原理」のひとつとして挙げられている。 ===法則? 原理?=== 需要と供給の法則、なんて経済学では出てくるでしょうが、そもそも「法則」law とは、なんでしょうかね？ 例えば、「現在でも、よくある傾向」、だという指摘もある。ある程度の多くの国で、ある程度の長期や複数回にわたって、よく発生する現象で、今でもよくある現象の事、要するに緩やかな決まりで、法則に当てはまらない例外もある。 たとえば、「需要と供給の法則」の例外のひとつとして「メニューコスト」という概念もあり、生産者側の価格改定には費用が掛かるので価格改定が後回しにされやすい、と。 つまり、どちらかというと法則どおりの現象のほうが遭遇しやすいだろうという、多数の経済学者の信念がある。 その国の言語の違いという問題もある。英語の law 、法律も法則も英語では law です。 例えば物理学では「法則」はかなり厳密な決まりで、基本的に例外は許さない。 しかし本当に例外はないのかという疑問は持てる。何らかの超自然的な理由で、時々は物理法則をキャンセルできるかもしれない。 自然科学の実験をしている時、気にして観察している時だけその法則が満たされるとか… 例えば量子力学には観測問題とか、不確定性原理、そして物理現象の確率的解釈というのもある。 勿論現代の物理学は、観測者自身を系に組み込んだり、確率の数学的記述を厳密化したりと、厳密な法則記述のための工夫がさまざまなされている。 例えば原理 principle なんて言葉があったり、数学では定理、公理、公準なんて言葉も使う。 経済学でいう「原理」principle とは何ですかね？ 文脈や論者にもよりますが、「原理」とは普通の場合、いくつもある「法則」のうち、なかでも基本となる少数の法則のことです。 数学で言えば公理や公準に近いものですかね。 「資源の希少性」の原理と、「需要と供給の法則」なんて言いますが、むしろ「資源の希少性」は法則というよりは、前提事実と言ったところでしょうか。 「原理」と「原則」はともに英語では　principle、根源的な法則、事実を示すものでしょう。 法則の厳密性は当然、学問分野で変わってきます。そしてそれはそれぞれの学問者の、感覚や経験などで、誰もが知って身に着けている事でしょう。 == 合成の誤謬 == 合成の誤謬とは、個人や個々の企業にとっては合理的な行為でも、社会全体としては、不合理で意図しない結果に至ることですね。 例えば企業が経営の健全化を目指して、人件費を削減する。すると個人の収入は減るから、個人消費は減る。景気は低迷し、企業の売り上げも減る。 家庭の節約はどうでしょうか。 個人消費は減るし、節約対象の商品は売れなくなる。景気は悪くなるし、消費されないから生産もしない。 個人スケールで見た場合の合理的な行動と、国家規模の全体的な規模で考えた場合の合理的な行動は異なる。 しかし国家規模の合理的な行動とは何でしょうか? 先ず、国家という集団の化け物の実在性を認めるか? それとも国家とは何らかの方便なのだろうか? おそらく国家規模の合理的な行動とは、その構成員である国民の幸せに結びつくものでしょう。 限界消費性向を低下させる（つまり限界貯蓄性向を高める）ことは、GDPの低下をまねく可能性がある<ref>滝川好夫『図解雑学 ケインズ経済学』、ナツメ社、2010年11月21日初版発行、P180、</ref>。つまり国家全体の生産が低くなるわけですが、生産とは仕事をすることそのものでしょう。仕事をすればするほど幸せという訳ではない。 GDPはとりあえず上昇させたいという固定観念はあるが、これ自体どこまで妥当か。 国際競争を考えると、国家の経済力は必要だが、GDPを上げることを盲目的に目指す以外に、国家の安寧を満たす方法はないのか。 == 誰かの支出は誰かの収入 == 誰かが貨幣を支払ったら、それは他の誰かの収入になっているでしょう。 それは一国の通貨だけではなく、各国、世界全体でその関係が成り立つ。 我々がアメリカ人から貿易として何かを買いたい場合、先ず、円で払うか、ドルで払うかが問題になりますよね。相手が円の受け取りを拒否するなら、自分が外貨を持っていないなら、両替商に円をドルに換えてもらうことになる。 そうすると自分が払った円は両替商の収入になる。そして我々はアメリカ人から商品を受け取る。アメリカ人はドルで収入を得るが、それは両替商が支払ったお金。両替商は商売として貨幣の交換をしているわけだから、払ったドルより受け取った円の方が価値が高いものになっているでしょう。 複数、多数の主体があって、それぞれが一定の数値を持っている。そしてその数値をお互いにやり取りできるなら、その数値の総体、総数は保存されるでしょう。一番の典型例は、物理学のエネルギー保存則。 しかし現実には貨幣の総量が一定である保証はない。 変わり者がお札を燃やしたら、総量は減りますよね。一方政府がお札を印刷して、その分を回収することなく放逸に使ったら、その国の貨幣の総量は増えていく。 ==会計学から考えてみる== ===経理の初歩=== 幾つか、費用に関する用語を説明します。 *人件費 会社、法人が雇用者、労働者に支払う給料は、人件費ですね。従業員のために支払われる費用です。 *固定費 固定費というのは、企業の生産量や売り上げの増減とは関係なく発生する、一定の費用の事です。地代、減価償却費、固定資産税、などですね。債券の利子も会計分野では固定費に含めるという。 *変動費 反対語は変動費ですね。変動費用。生産量や売り上げによって増減する費用。原材料費、外注費、運賃、など。 人件費は固定費か変動費か? 会計に詳しいらしい前編集者も言及を避けているので、たいして詳しくない現編集者ももちろん知りません。 *減価償却費 事業用の建物、機械設備、備品などの取得費用ですが、会計上は普通耐用年数によって、徐々に費用として計上します。つまり購入したときにお金は払ったとしても、会計上毎年その費用を分けて少しづつ計上する。 逆に少しずつお金を計上して費用にした結果、耐用年数が来ますので、費用が完全に計上された時点でその設備の価値は0円になると見ていい。つまり備品の資産価値が減っていく、その部分の支払いをしたと会計上見なすわけです。 減価償却の基準は（つまり購入費を毎年どう計上するか）省令や法律や業界の制度などによって、あらかじめ決まっているので、経理の際には、その制度に従って経理処理する。 ===国民経済計算=== 国民経済計算の指標として知られるGDP（国内総生産）やGNP（国民総生産）から、その国の資産の減価償却の金額を差し引いた金額のことをネットDPまたはネットNPといい、それぞれNDP（国内純生産）またはNNP（国民純生産）と略記します。 つまり、 :NDP ＝ GDP － 減価償却費 :NNP ＝ GNP － 減価償却費 です。 Net domestic product. 正味の、純粋な国内の生産。net はフランス語由来の形容詞で cleanを意味し、「網」を意味する同じ綴りで古英語由来の net とは別系統の英語のようです。 国内総生産は、国内の事業者の売り上げから、原材料費（中間財・サービス）の支出を引いた物を積算したもので、国の生産、事業や労働で生み出した付加価値を示していると考えています。 一方減価償却費は、その間に建物、車両、産業機械が劣化し、それを現状に戻すための価格を示していて、生産分からその分消費、減耗しているともみなせるので、NDP は国内の生産の状態を知るための別の指標として提示されています。 GDP やGNP の頭文字G はグロスの略で、Gross は、会計でいう粗利（あらり）を示す形容詞です。会計学でいう「粗利」とは、売上高から売上原価（その商品をつくるために掛かった費用）を差し引いたものです。 人件費は引かず、支払う税金も引かず、原価（原材料）だけ売上高から引き算する。それが粗利（あらり）です。 粗利を英語で gross profit と言います。 profit とは「利益」「利潤」という意味です。 つまり仕事をして生産した分だけ利益になると見ていいと思います。 GDPの算出式は、 :GDP = 家計による支出＋企業による支出＋政府支出＋（輸出－輸入） :GDP = C + I + G + (X − M) 、[[w:en:Gross domestic product]]、[[w:国内総生産]]、などを参照してみてください。 C とG とI は最終財・サービスに対して行われた支出を数えます。事業者が行った生産の積算は、最終的には最終財・サービスに対する支出になります。 家計はほぼすべて、最終財・サービスに対して支出しているでしょう。 企業は、中間財・サービスに支出してそれをもとに生産し、一方で最終財・サービスを購入することもあるでしょう。 中間財にしろ最終財にしろ、輸出したものは国内の支出には含まれませんね。 C + I + G + X に含まれる中間財、最終財（最終財はそれまでの中間財の生産価値を含んでいる）のうち、輸入したものは国内の生産には含まないでしょう。 GDPの計算基準は国際連合が決めたものがあり、定期的に改訂される。[[w:2008SNA]]等の記事も参照してみて下さい。 C + I + G + X と M が同額なら、事実上 GDPはゼロだが、この場合は輸入したものをすべて消費し、さらに輸入したものをそのまま輸出していることになるから、矛盾ではない。 なんらかの生産行為が行われているなら、事実上GDP がゼロになる事は無いだろう。 しかし、経済分析として、前編集者の指摘が完全に無意味だという訳ではない。 分析の精密さのためには貸借対照表のように複式簿記的に扱うべきであるという意見はある。 家計による国内消費額の総計、企業支出の総計、政府支出額の総計、輸出額の総計、輸入額の総計、といった金額をそれぞれ個別に計測して、それらの金額を比較することにより、複式簿記的に分析することにも意義はあるだろう。 前編集者の指摘として、経済分析において、 :産業関連表、 :資金循環表、 :国民貸借対照表、 :国際収支表、 などの統計表を、経済系の省庁は作成する事が望ましい、という（※ 参考サイト [http://www.keikyo-center.or.jp/old/tool/pdf/sna.pdf 国民経済計算の見方、使い方] 財団法人 日本経済教育センター）。 GPD と産業関連表を関連付ける、複式簿記にたとえて議論する、などの発想は、各種書籍にも記述されているという<ref>塩澤修平『経済学・入門』、有斐閣、2021年、4月30日 第3版 第5刷 発行、P202、P258</ref>。 ===確定申告、減価償却、国民純生産=== 国民純生産を計算するためには企業の減価償却の金額の情報が必要でしょう。この金額において、経済全体で固定資本の減耗分は測定しづらい、正しく推定できないという主張もあります。 企業も確定申告するので、自社の減価償却費もその時点で税務署に申告します。 減価償却費に応じた税金の控除もあります。建物、車両、産業機械は必要経費ですからね。 減価償却の計算のルールは、日本の国税庁などの省令や、または経理業界などの制度によって、厳密に定められています。 税に関する申請は虚偽があると罰せられるので、その意味では、企業の減価償却費のデータはおおむね正確だろうと考えられます。 なお、個人でも企業でも確定申告は2種類ある。 :比較的に簡単に計算できるが（税の）控除の特典の少ない「白色申告」 :事前の申し出が必要でさらに計算方法も厳密で難しいが控除の特典が多く、多くの場合納税額が少なくなる「青色申告」 多くの企業が基本青色申告を利用している。 ===フローとストック=== フロー（英: Flow）とは、一定期間内に流れた量をいい、ストック（英: Stock）とは、ある一時点において貯蔵されている量をいう。以上Wikipediaから引用。 ある関数がある時、その微分がフロー、その関数を積分して元に戻すとストック、と、いう事も言えるかもしれません。ただし積分は積分定数を持つので、フローからだけではストックを作れません。 この節では前編集者が試みた経済学を会計学と関わらせて語るという試みを、現編集者が多少修正して記述している。 簿記（ぼき、英語: bookkeeping）とは、企業などの経済主体が経済取引によりもたらされる資産・負債・純資産の増減を管理し、併せて一定期間内の収益及び費用を記録することである。再びWikipediaから引用。 普通高校では簿記の学習はない。主に資格取得としての学習だというイメージはある。 ====お金に関するフローとストック、具体例==== 例えば… Aさん：貯金が10億円あって1億円の家に住んでいるが、就職していなくて給料の収入が0円。 Bさん：貯金は1000万円で3000万円の親元の実家に住んでいる、会社勤めしていて年収が500万円。 話を簡単にするため、AさんもBさんも株投資や不動産投資はしていないとする。 経済学や経営学では、貯金や、保有する不動産や保有株式そのものの相場での購入費用などの金銭的価値などを合わせてストックとする。 いっぽう、収入や、株の配当益、不動産などを他人に貸したときの賃貸収入などの運用益はフローですね。 つまりAさんはストックが11億円で、フローは日々の支出という事になります。 Bさんは、まあ、ストックは4000万程度、日々の収入や支出がフローになる。 AさんBさんの生活、どちらがうらやましいか、意義がある生活か、豊かか、などの議論は無意味でしょう。人生いろいろ、お金も色々経済もいろいろ。 ===会計との関係=== 複式簿記などの会計の勉強をするときは、簿記では「フロー」と「ストック」という用語こそ使ってないものの、フローとストックを区別することになります。 GDP や GNP はフローについて語っていると見ていいですよね。 経済計算ではフローに関する話題の方が多いでしょうか。 例えば国家全体に関するストックを見るには、まず国家貨幣がどのくらい流通しているか、そしてその他に金銭的価値を持つものとして、土地、建物、証券、各種動産不動産、機械類や芸術品、貴金属・宝石など、価値のあるものはすべて資産としてのストックになるでしょう。 過去のある年度から現在までの各年ごとのGDPの累積額をストックとする計算法もあります。 しかしGDPとは生産その物で、生産物には資産として残るものもあるが、一方でその場で消費されるもの、無形の行為も生産の一つではある。 固定資産、建物や機械設備などの減価償却によって、ストックの資産価値は下がっていくと見れるから、ネット計算で、つまり国民純生産（NNP）の累積額で計算する方式をとる方が良いかもしれない。 ==諸概念== === 機会費用 === 経済学上の概念の一つとして、機会費用（opportunity cost<ref>『ビジネス基礎』、実教出版、令和2年12月25日検定、令和4年1月25日発行、P62</ref>）、というものがあります。 端的に解説すると、ある状況で最善の選択をした時に、残されたほかの可能性で最善の物の価値を言います。 例えば… 大学4年生が今年卒業だったはずなのに留年してしまった場合… ならばその年は普通就職して200万円くらい年収があったはずなので、これが機会費用になりますね。 つまり留年というのはそれほど最善手ではありませんが、図らずもしてしまった場合は、200万の機会費用を費やして、その状態に至ったと見る。 そして留年した場合はさらに学費もかかりますね。これは一般的には機会費用ではなく、学業のための費用になります。 しかしこれはあまりいい例ではないように思える。 前編集者の記述に基づいてこの例を書いたが、そもそも機会費用の議論というのは、経済行為のうちの収益が多い最善手を見つけ出したいがための議論だろうし、いくつかの行為の可能性を見た上で、どれが最善手か知るための議論でもあるだろう。仮に機会費用が多くかかっても、その行為に意味があると見なす場合もある。 ===パレート最適=== Pareto efficient. 他の誰かの状態を悪化させることなしに、ある主体の状態を改善できないこと。つまりその主体の現在の状態は改善できる可能性はあるのだが、それは必ず他の主体の状況の悪化が必要になるので、これ以上は改善を試みないのが正解、社会的に最適な状態とみる。 イタリアの経済学者、パレートが提唱した概念。 パレート効率と呼ぶこともある。つまり個人では最適ではないが社会的には効率の良い、いい状態だという事だろう。 パレート効率的な状態、具体的には、100人の民間人がいてある生活を続けている時、 政治家が特定の主体の状況を良くしたくて政策を変えたとして、どう政治行動しても、その100人の誰か一人以上に不利益・不満などを与えてしまう事になるのなら、経済政策を変える前のもとの状態がパレート最適、パレート効率的という事になる。 しかしパレート最適な状態にある時、それが本当に一般的な意味で最適、最高の状態であるわけではないだろう。 とりあえず状況を変えると誰かが必ず悪い状態になるのだが、Aが多少悪い状態になったとして、Bが少しでも良い状況になる方が必要、危急かもしれない。 そもそも最初の時点でAが不当に良い状態で、Bが不当に悲惨な状態かもしれない。 そしてパレート最適な状態も複数ある。この効率を得ているのは一種の平衡状態だが、最善ではない。徹底的に最善を求めた時、必ずパレート最適の複数のうち一つになるだろうか? そもそも最適な状態とは何? 誰にとって? 社会にとって? 社会とはだれのこと? そこに含めていない人はいない? 経済学者スティグリッツは、パレート効率的とは単に効率的でない状態よりは多少ましな状態に過ぎないだろうと書いている。経済学で言う「効率」とは、通常パレート効率の事だろう、という。出典、『スティグリッツ入門経済学』（和訳は東洋経済から）。 しかし最初の定義に戻ると、ある特定の主体の状態が問題になるわけだから、その特定の主体の状況を改善させる必要がどうしてもあるなら、パレート平衡を破って他の主体の状態を悪化させることになるだろう。 === 価格統制 === 経済政策の経験則として、（独占市場ではなく）競争市場における価格統制は、結果的に混乱をもたらすことが多いとされ、あまり好ましくないという。クルーグマンやスティグリッツやマンキューなど、多くの経済学者も、彼らの教科書で、それを説明している。 クルーグマンは、ベネズエラ国のチャベス政権での食料価格統制の結果として、ベネズエラ国で食糧難が実際に起きたと主張している。 価格を低く強制するなら、供給は減るだろう。 スティグリッツは、価格統制という方針は政府の市場介入としては悪手だ、という。 むしろ買い手に補助金を与えては?、という事だが…。 クルーグマンは独占市場では、価格統制も世の中に不利益を与えないという。 一方現実では、ニューヨーク、借家業界では家賃の価格統制が行われている。クルーグマンやマンキューは、この家賃の（上限）価格統制により、おそらく修繕などの費用が削減されて、低品質な住宅が供給されている、と指摘している。 価格の上限、価格統制、行政などが、超えてならない価格を設定することを英語では price ceiling といい、日本語では「価格の上限」または「上限価格」と訳す。 下限価格(price floor)規制もまた、別の問題を引き起こす。輸入品が極端に安価になると、自国の農業を助けるために価格の下限を決めるが、供給過剰になり、政府の買い上げなども起きる。 買い上げた後の廃棄なども起きるだろう。事実上売れなかったり、価格暴落を下げるため、最も下限価格はあるのだが、市場の自然な圧力は発生する。 下限価格により、自然な状態より値が高いので、過剰品質やオーバースペックなサービスの付加にもつながる、と、クルーグマンなどは説明する。 === 失業 === ====フィリップス曲線==== フィリップス曲線という理論が知られていて、インフレ率と失業率は、おおむね反比例すると主張されている。 これは、日本の1950年代～1990年代まではよく当てはまる<ref>福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』、有斐閣、2016年3月30日第5版第1刷、299ページ</ref>。 しかし、第二次大戦後から2000年までのアメリカ合衆国はこれに当てはまらない<ref>福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』、有斐閣、2016年3月30日第5版第1刷、302ページ</ref>。 インフレ率と失業率を加算した指標のことをミザリー指数（misery index）（ミザリーとは「悲惨な」というような意味の英語）というが、第二次大戦後のアメリカ合衆国ではこの指数は通常10％前後だが、1975年と1980年にミザリー指数が上昇して数か月～1年程度のあいだ20％近くになり、悪化した。 フィリップス曲線はもともとは、失業率と貨幣賃金上昇率に関する議論だったが、これが後に物価上昇率に関しても言われ始め、さらにT.フリードマンは、ここでは実質賃金上昇率について考えるべきだと主張し、さらに、予想物価上昇率も加えた新しいフィリップス曲線を提唱した。 ====構造的失業、摩擦失業、需要不足失業==== 構造的失業（structual unemployment）。企業が求める労働者の性質や地域、と労働者側の状況、条件が異なっているために、景気や需給関係では解消されない慢性的な失業。求人ニーズと求職者ニーズが一致せず、ミスマッチが起きている。 需要不足失業。求人が減っている、景気後退期に起きる。 摩擦的失業（frictional unemployment）。次の仕事を見つけるための過渡期、仕事自体は簡単に見つかるが、そこに就くまでに失業状態がある。 世の中の傲慢な愚か者たちの間では、失業するのは本人に何らかの問題があるから、能力や適性がないから、との考えが根強いようで、とりあえず公共の失業対策では、いい加減な講師による職業教育、訓練がなされるが、基本的には馬鹿げたことだろう。 勿論特定の職業実践に有効な、訓練や学習は確実に有意だが、現実にはそれが適切に提供されているとはいいがたい。 例えばこれはフィクションではあるが、カンヌ映画祭でパルムドールを獲得した、『[[w:わたしは、ダニエル・ブレイク]]』などを観ると、この問題の周辺でいかに馬鹿げたことが現実に起きているか良く解るだろう。 基本的に失業問題で公共がする一番の、そしてあるいはひょっとしたら唯一の重要事は、求職者と求人者の間の関係、橋渡しを上手に作る事だろう。 ;完全雇用 full employment. 現行の賃金水準で就業を希望する人、そして就業に適した状態にあるすべての人が雇用されている状態。ケインズは非自発的失業、摩擦的失業、自発的失業の3つの分類を語り、求人需要が十分で非自発的失業の無い状態を完全雇用と考える。 ;季節的失業 たとえばアメリカでは、建設業では、冬はほぼ毎年、仕事が減るのでその業界での失業者が増える。特定の季節にだけ失業者が増える業界があり、このような定期の失業のことを季節的失業という。 ====自然失業率==== natural unemployment rate. 期待インフレ率と現実のインフレ率が一致し，実質賃金による労働力需給の調整が達成されるような長期均衡状態において成立する失業率。 …というのは、ブリタニカ小項目事典からの引用だが、 この文章からだけでは、どういう事か理解するのは難しいだろう。 前編集者は実際にはあまり「自然」に見えない、と記述しているが、本来の、短期ではなく長い目で見ると行き着くであるだろう、失業率、という意味で、自然という言葉がそれほど"不自然"、な訳ではない。 基本的には多少の失業者はいるものだろう、摩擦的失業や、自発的失業、そして口では働きたい働きたいと言いつつ、実際には人間はあまり働きたくない^^;;;、何となく失業者になりたがっている^^;;;;;…。 自然失業率という概念は、主にフリードマンが提唱したらしい、フィリップス曲線からの類推から、インフレにより失業率が減らせるという主張があり、それに対する反論でもある。 20世紀後半の代表的な経済学者サムエルソンが、自然失業率を正確に測定できた者は いまだに一人もいないと、著作『経済学』で述べている<ref name="nm">根井雅弘『サムエルソン『経済学』の時代 』、中央公論新聞社、中公選書、2012年1月10日初版発行、P68</ref>。 仮に自然失業率なる概念が明確に規定できるなら、我々の社会でその値がある程度明確に時間に応じて存在すると見れるだろう。それを統計調査で測定し、明らかにしたいのだが、この測定はやはり完璧に正確にはいかない。しかしサムエルソンの主張はそれ以前の問題。概念も測定もいまだ相当あいまいだという主張だろう。 サムエルソンは2009年に死亡した。彼は自然失業率は、長期的には安定した数値ではなく、そのため、ある程度の幅を持っていたり、あるいは複数の幅を持っている<ref name="nm" />、と云う。 冷戦崩壊や日本の1990年前後の不動産バブルについてはサムエルソンの著作は言及できたものの、しかし2008年前後のリーマンショック・サブプライム危機については言及が乏しいと考えられる（※ wiki著者がまだ未確認）。 余談だが、サムエルソンの経済学教科書『経済学』は、日本では『サムエルソン経済学』などと言われるが、実際は1985年以降の版は経済学者ノードハウスとの共著である（和訳本『サムエルソン経済学』の表紙を良く見ると、原著者ノードハウスの名前も入っている）。 =====自然失業率の算出===== 景気の変動などで実際の失業率はやや周期的に波上に上限に変動するだろう。 実際の失業率を、一定期間の平均的な高さの曲線でならしたものが自然失業率である、という見方がある。 この平均曲線の失業率と、実際の失業率とのずれの分を、循環的失業（cyclical unemployment）、とも云う。 フィリップス曲線の理論と関連づけるなら、インフレが進行したときの失業率の減少は、この循環的失業の部分だとされている（とスティグリッツは言う）。また、政府の経済対策などの成功によって減少できる失業率も、この循環失業率の部分だけである（と、スティグリッツは言っている）。 しかしマンキューは、スティグリッツのような意見には反対していて、自然失業率は経済政策の影響を受けないとは限らない、と主張している。 このスティグリッツとマンキューの差異のように、自然失業率の細かい定義はあまりはっきりしていない。 ==実質という指標== 貨幣は絶対の固定された価値を持つものではない。経済の様々な指標は貨幣値で示すものだろうが、時期により貨幣の価値は変動している。だから様々な指標に貨幣の額面ではなく、物価の変動を考慮した補正を加える。 これが、実質〇〇（real 〇〇）だろう。具体的には、実質GDPや実質利子率などがある。 たとえば、実質利子率は、次のように引き算で定義される。 :実質利子率＝名目の利子率－未来のインフレ率の予想値 例えば、まあ金額が少なすぎるが、例え話で銀行に100円預けたとしよう。これで、1か月後に利子が10円つくとする。これで名目利子率は、10% 。そして一か月後に10％のインフレになると予想されていると、実質利子率は0%だよね。これはどういうことだろう? 仮に予想通り、一か月後に10%のインフレ、物価高になったら、100円で買えたものには110円払わなければいけなくなる。名目利子率が10％なら、戻ってくるお金は110円だろう。つまり実質の利子は0％、預けたお金と同じ価値の貨幣が、銀行から返ってくる。 そして、もしこのインフレ状態で銀行に預けず、その資金を投資にも回さなければ、持っている100円の価値は100/110に下がっているだろう。 だからもし実質利子率がマイナスになっても、インフレで貨幣の価値は下がるが、事実上利子はつくのだから、やはり銀行に預けた方が得という事になる。 しかし予想値はあくまで予想値、この辺なんらかの欺瞞も、現実には多くあるような気もする。 ===物価の指数、インフレ率をどうやって導くか?=== 物価高とか、物価が低いと言ったところで、商品やサービスごとに価格の変動は異なるだろう。 インフレ傾向だと言っても、価格が下落している商品もあるだろう。 そこで総合的なインフレ率、物価動向を示す指数は、様々な算出法が考えられることになる。 「物価指数」とは、市場にある数種の商品の価格を実際に行政が調べて、基準年から何倍になったかを表している。 たとえば、リンゴでもハンバーガーでも何でもいいのだが、たとえばリンゴが基準年から20% 価格上昇したら、リンゴの物価指数は1.2（＝1＋0.2）ですね。 そして物価指数というのは、社会の物価を総合的に示す指数であるので、いくつもの商品の価格の変動を考慮して算出する。 そして消費者にとって重要な商品と、生産者にとって重要な商品は違う。 だから、「消費者物価指数」（CPI, consumer price index）と「生産者物価指数」（PPI, producer price index）という、それぞれ別の物価指数が算出されている（少なくともアメリカでは）。 さらに、GDPの計算のときに使う物価指数は「GDPデフレーター」といい、消費者物価指数とも生産者物価指数とも異なる。 GDPデフレーターは、名目GDP から実質GDP を求めるときに算出する物価指数で、これも、物価が高ければ1 （ 100分率の場合は100 )を超える。 :実質GDP ＝ 名目GDP / (GDPデフレーター[100分率]/100) ですね。GDPデフレーターは実際は100分率で示す場合が多い。 事実上、物価指数の計算方法は、種々多様になるだろう。 GDPデフレーターの算出方法は、「消費者物価指数」（CPI）の方法に近いが、ある程度は異なる。実質GDPは国内総生産（GDP）であり、国内生産に関する商品の価格変化を重視し、いっぽう消費者物価指数（CPI）では、輸入品の価格も比較的に強めに考慮する。 事実上、「GDPデフレーター」とは、実質GDPの算出に用いる物価指数であり、『スティグリッツ入門経済学 第4版』もその文脈で解説している。 消費者物価指数とGDPデフレーターの関係、アメリカでは、1970年代の（2度の）石油危機のときに、2度、値が乖離した。 いっぽう同じ1970年代の日本では、CPIとGDPデフレーターはあまり、乖離しなかった。 ==金持ちはけち？いやー金持ちだろうが貧乏だろうが、けちな奴はけちだし、太っ腹(放蕩?^^;;;)なやつは太っ腹じゃあない^^？== ===先ず…=== GDPが高い国家は、消費も多くなるだろう。 消費額をCとして、所得をYとし、比例係数 k を用いて式 :C≒kY が、成り立つと考えてみよう。 所得以上に消費することは普通無いので、 :k<1 と、してみる。 また、ミクロ経済では、需要Dを、 :D ＝ j×Y ＋ 定数 の式で示す試みもある<ref>小室直樹『小室直樹の経済原論』、東洋経済新報社、2015年6月11日発行、P509</ref>。このような立式で、需要、消費、所得などを、数理的に議論する事が可能になる。 === 限界消費性向 === さて、誰がけちで誰が太っ腹かの話は、はっきり言ってどうでもいい事だろう。 先ずここで「平均消費性向」という言葉を提示する。これは、可処分所得に対する消費支出の割合の事だ。 ある人がある所得を得て生活している時、その可処分所得の中から、平均消費性向の分だけ消費として使っている訳だ。 そしてこの人の所得が増加した時、増加分のうち、消費に回す割合を、限界消費性向（MPC、marginal propensity to consume）、と、いう。 一般に経済学では、何か（金額など）の投入を1単位ぶん増やしたときに、増える出力の割合のことを「限界〇〇」という。 アメリカでの調査では、所得の大小に関わらず限界消費性向は0.8～0.9である、と、言われている。 クズネッツは1869～1938年の統計を見ると、限界消費性向は0.9である、と記述する。 ここで、仮に平均消費性向も0.8~0.9であるとすると、縦軸に消費額をとり、横軸に所得（可処分所得）をとると、このグラフは傾き0.8～0.9の直線になる。（『スティグリッツ入門経済学 第4版』、薮下史郎ほか訳、東洋経済、2012念4月5日 発行、）（クルーグマン『マクロ経済学』、大山道弘ほか訳、東洋経済、2009年4月2日発行、315ページ） だから、平均消費性向と限界消費性向の値が一致するなら、所得と消費は比例式だから、単に所得の内のある割合が消費になるし、そうでないなら、所得が増える程、財布の紐を締める、或いはその逆、という議論が可能になるだろう。 ===消費関数=== クズネッツ型の消費関数(consumption function)とは、前述した :C≒kY 、である。 日本などいくつかの国では、所得が増えるほど消費の割合が低くなる、という現象が、統計として見られる。 これはケインズ型の消費関数↓を使うと、うまく表現する事が出来る。 :c ＝ a + MPC × Yd :c: 消費 :a: 独立消費水準 :MPC: 限界消費性向 :Yd : 可処分所得 MPC＜1 でないと、一般的には意味を持たないだろう。 式中のaの部分、所得によらずにする消費のことを独立消費（antonomous consumption）というが、日本では基礎消費ともいう（※: 『基礎消費』の参考文献: 福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門 第5版』、有斐閣、2016年3月30日 第5版 第1刷 発行,32ページ） 独立消費水準が0 なら、これはクズネッツ型の消費関数だが、一般的には、クズネッツ型は比例式、ケインズ型は、所得に応じて消費の傾向が変わる状況を示す関数とみる。a>0 なら、所得が上がるごとに平均消費性向は下がっていくだろう。 中谷巌『マクロ経済学入門 ＜第2版＞』（日本経済新聞社、2007年1月15日、2版1刷、32ページ）は、1992年から1997年の日本の消費関数を :C＝76＋0.61Y としている。<!-- すじにくさん、これ単位は何なの?千円? --> 有斐閣アルマ『マクロ経済学入門』（福田慎一・照山博司,38ページ）によると、2004年、2009年、2014年の日本では、低所得者の平均消費性向は0.9に近く、年収1250万円ていどの所得者の平均消費性向は0.6～0.7程度と低い。 ケインズ型の関数はより一般化されているから、所得に応じた平均消費性向の変化を表現する事が出来る。 現編集者としては、このクズネット型とケインズ型の消費関数の違いについてああだこうだ議論することに大きな意味があるとは思えないが、長期スケールではクズネッツ型の短期スケールではケインズ型の消費関数が当てはまるという指摘もある。 しかしこれは本当だろうか? 短期の所得と消費の関係、長期にわたる所得と消費の関係、この兼ね合いは、まず数理的な扱いの検討が必要になるだろう。短期スケールと長期スケールが独立してあるわけではなく、短期スケールの積み重ねが長期スケールになる。しかし、この問題をそんなに徹底的に考える意義はあるだろうか? また前編集者はさらに、この問題には、「ライフサイクル仮説」という学説、も関連話題としてあり、多くの大学生向けのマクロ経済学の教科書で解説されているという。 *クズネッツ型とケインズ型 [[File:Consumption function of Kuznets and Keynes type compatible japaneseB.svg|thumb|500px|※ これは架空のグラフです。]] 数学的には、クズネッツ型の比例式を一次関数に一般化したのがケインズ型の消費関数だろう。 さて、今具体的なある年を考えて、この年に日本国籍を持っていた人物、というのは具体的に上げて、数え上げることができるだろう。そしてその具体的な人物の年収も、その年収のうちその年にいくら消費したのかも、具体的な数値、金額として示すことができるだろう。 例えばその数値を、1950年から、1999年まで、すべての日本人について、右のような所得→消費のグラフにプロットしたとする。 これを比例式で回帰したら、クズネッツ型の消費関数になるだろうし、普通に回帰直線を描いたら、ケインズ型になるだろう。 また、全てのデータを使わずに、1950年代、1970年代、1990年代、と、データを分けて回帰すると、おそらくケインズ型の回帰が見られるだろうし、あるいはまた、特定の傾向を持つ少数の人物の、長い時間にわたるプロット、例えばその間にインフレが進行するとか、あるいは所得も上がっているかもしれません、を回帰すると、クズネッツ型の関係が見いだされるかもしれません。 右上のグラフはそういう統計手段についてのイメージ図ですが、参考文献: 福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』37ページ図、2-3 にある第二次大戦後の昭和の日本の家計消費のグラフを、参照して作っています。 {{-}} *ピケティの言 クズネッツ型の、所得と消費の比例式は、主に所得格差の小さい時期に見られる様だ。 フランスの経済学者ピケティは、クズネッツ型の消費の比例関係は、アメリカで大戦後一時所得格差が小さかった時代、或いは社会経済の動乱期のデータで<ref>トマ・ピケティ『21世紀の資本』、訳 山形浩生・森岡桜・森本正史、東洋経済、みすず書房、2015年1月15日、13ページ・15ページ</ref>、格差自体は、どんどん広がっているので、消費は、ケインズ型の一次関数になっていくだろう、と、指摘する。 * 乗数効果 さて、あなたが消費したお金は、誰かが受け取り収入になる。その誰かもまたそのお金を消費すると、また別の誰かの収入になる。 お金や人々の手から手へ廻っているのですね。 では今、ある人、 Aさんの年収を 1000万円としましょう。そして、現実にはあり得ないことですが、 Aさんが消費したお金はすべて Bさんの収入になるとしましょう。そして同じような関係が、 Bさん、 Cさん、 Dさん、…と、続いていくとしましょう。そして今平均消費傾向が限界消費傾向 MPCと等しいとすると… :Aさんは 1000万円 の収入を手にしたので MPC × 1000万円 の消費をすることになる。 :Bさんは MPC ×1000万円 の収入を手にしたので MPC² × 1000万円 の消費をすることになる。 :Cさんは MPC² ×1000万円 の収入を手にしたので MPC³ × 1000万円 の消費をすることになる。 :Dさんは MPC³ ×1000万円 の収入を手にしたので MPC⁴ × 1000万円 の消費をすることになる。 つまり、一人の消費が、別の消費を数珠つなぎに引き出していることを示したいのです。 ここで、このつながりが n人に及べば、Aさんの消費が最終的に :<math>MPC+MPC^2+MPC^3+MPC^4+\cdots+MPC^n</math> 倍の消費を生み出したことになる。 収入の和を考えれば、 Aさんは 1倍の収入があるから、 :<math>1+MPC+MPC^2+MPC^3+MPC^4+\cdots+MPC^n</math> これは等比数列の和ですね。 ここで無限に足し合わせた級数を考えると、0<=MPC<1 に注意して、 <math>1+MPC+MPC^2+MPC^3+MPC^4+\cdots+MPC^n+\cdots= \frac{1}{1-MPC}</math> と、なります。 実際には人口は無限でありませんが、十分に大きい数をとると、この値にほぼ近くなるとみていいでしょう。 そこで消費傾向が0.9 なら、<math>\frac{1}{1-MPC}</math>は 10になる。 このように、何らかの消費や投資の効果は増加、増殖する、と、考えられています。 さて、 :1－MPC は貯蓄性向（正確には限界貯蓄性向 MPS）。 そこで、 :<math>\frac{1}{1-MPC}=\frac{1}{MPS}</math> になります。 ここでは、0<MPS<=1 ですね。 つまりこの発想で考えると、貯蓄の割合を多くすると世に出回るお金の量が少なくなり、社会経済、景気が停滞し、発展が閉ざされ、生活が貧困になる、つまり合成の誤謬が成立するわけです<ref>[http://park.saitama-u.ac.jp/~yanagisawa/het10/44-61.pdf 柳沢哲哉『第５章 ケインズの経済学』、埼玉大学、「経済学史特講」講義]P51</ref>。 *預金は銀行が借入しているのだろう {|class="wikitable" style="float:right" |+ 信用創造 ! 銀行・借入者 !! 預金・借入金 !! 支払い準備金・内部留保や消費 !! 貸し付け金・預金 |- ! A銀行 | 　100万円 || 　20万円 || 80万円　 |- ! B企業 | 　80万円 || 　16万円 　 || 64万円 |- ! C銀行 | 　64 || 　12.8 　 || 51.2 |- ! D企業 | 　51.2 || 　10.24 　 || 40.96 |- ! 以下省略 | 　 || 　 　 || |- ! 合計 | 　500万円 || 　100万円 　 || 400万円 |- |} 家計が銀行に預金をすると、銀行にとって貸出資金が増加し、それが金融市場に流れ、企業や他の銀行も資金増加になり，社会全体で多くのお金が動くとみなせる、このような考え方を信用創造という。これは高校政治経済でも言及されている。 右の表では、例えば誰かが A銀行に 100万円預金する。 A銀行は預金のうち 80%の 80万円を B企業に貸す。　B企業は、まああまりリアリティのない仮定だが、 20%を運転資金として消費し、 80%を C銀行にいったん預ける。つまり、銀行も企業も 20%を留保または消費して、 80% を他者に貸す。 そうすると預金を債権とみなすとして、 :信用創造された債権総額=元の預金/0.2 と考えることができる。 これは前述した等比級数の考え方だ。 :信用創造された債権総額= 元の預金× (1 + 0.8 + 0.8² + 0.8³ + ･･･) ::= 元の預金×（1/(1-0.8)） 預金だけを考えれば、 :信用創造された預金総額=元の預金/(1-0.8²) に、なるだろう。 信用創造を考えるとき、元の預金のことを「本源的預金」ということもある。 しかしこれは又貸しモデルといい、実際の信用創造のモデルとは異なる。銀行が契約して預金通帳に金額を書くだけで預金が増加することが実際の信用創造であり、本源的預金は貸出資金にされている訳ではない。実際の信用創造で増加する預金を万年筆マネーという<ref>[https://www.jikkyo.co.jp/sys/wp-content/uploads/2026/02/9992661283.pdf 中里透『教科書の中と現実の「信用創造論」』、実況出版、地歴・公民資料97号、2023年09月25日 発行]</ref>。 ===ハンセン＝サミュエルソンの乗数・加速度モデル=== さて、ケインズ型の消費関数は以前、 :c ＝ a + MPC × Yd :c:消費 :a:独立消費水準 :MPC:限界消費性向 :Yd :可処分所得 と、記述した。 ここで消費c ではなく、所得Y に注目する。そしてむしろ国全体の所得、生産に着目し、つまり GDPを見るのだが、似たような形式の数理議論がある。 [[w:乗数・加速度モデル]]。 :<math>Y_t=C_t+I_t</math> :<math>C_t = C + cY_{t-1}</math> :<math>I_t = I + v (Y_{t-1}-Y_{t-2}) </math> ただし、 * <math>Y</math>： GDP * <math>C</math>： <math>C_t</math>はt期の消費。<math>C</math>は基礎消費。 * <math>I</math>： <math>I_t</math>はt期の投資。<math>I</math>は独立投資。 * <math>c</math>： 消費性向 * <math>t</math>： t期(時間) * <math>v</math>： 加速度係数 この連立式から、 <math>Y_t=(c+v) Y_{t-1}-vY_{t-2}+(C+I)</math> を導き、時間に対応する数列としての GDPを議論できる。 ==貨幣数量説== まず名目GDP の一番基本的な定義から考えてみよう。ある期間の、ある国に所属する経済主体の、売り上げから原材料費を引いた金額の総和がこれであろう。 そして売り上げそのもの、つまり原材料を引かない金額の総和も考えることが出来るし、そしてこれは大雑把に言えば，GDP に比例しているとみなすこともできる。 そしてまず、このような式を提示しよう。 :貨幣の流通速度 V ＝ 名目GDP / 貨幣量M 速度というのは単位時間ごとの値だが、ここでは例えば、名目GDP が 3か月の値なら、3か月の量を示しているわけだ。 さて、名目GDPは、販売された商品の価格に含まれる製品一個当たりの付加価値 P(販売価格から原価をひいたもの)とその個数の合計 Yとの積 ΣPY に等しい。 :<math>\sum_{k=1}P_k Y_k=P_1 Y_1+P_2 Y_2+P_3 Y_3+\cdots</math> つまり、こうですか。 :MV＝名目GDP＝<math>\sum_{k=1}P_k Y_k</math> さて、先ほど売り上げそのもの、つまり原材料を引かない金額の総和について書いたが、これは荒くとらえて名目GDP に比例するとみてみようと言及したが、製品一個の付加価値ではなく価格をP' とすると、 :bMV＝b*名目GDP＝<math>\sum_{k=1}P'_k Y_k</math> そこで、貨幣の流通速度の別解釈を提示しよう。 :貨幣の流通速度（別） V' ＝ b*名目GDP / 貨幣量M これはこうなるでしょう。 :MV'＝<math>\sum_{k=1}P'_k Y_k</math> さて、ここでですねー、こういう値を考えたい。 <math>Y=\sum_{k=1}Y_k</math> こうなると、この値、P' を求めることが出来るでしょう。 P'=<math>\frac{\sum_{k=1}P'_k Y_k}{Y}</math> 結局 MV'=P'Y :菅原晃『使えるマクロ経済学』、中経出版、2014年10月14日 第1刷発行,178ページ、 :では、『貨幣数量説』の公式として、 ::「貨幣量×世の中を回った回数＝物価×取引量」 とある。 :菅原晃『使えるマクロ経済学』、中経出版、2014年10月14日 第1刷発行,203ページ、 :では、『貨幣数量説』の公式として、 ::「供給:貨幣量×世の中を回った回数＝需要:物価×取引量」 とある。 この形の公式を「数量方程式」（quantity equation） と呼んでみましょう。また、この公式であらわされる学説を「貨幣数量説」という場合もある。 右辺に価格が入っているので、物価のインフレまたはデフレの解析に、この貨幣の流通速度の理論が使えそうだと経済学では思われている。 アメリカ経済学の教科書のスタイルではP×Y は 名目GDP に等しいと説明されるが、P' と同様に一般的な付加価値、P を求めることが出来るから、正しい主張でしょう。 PをGDPデフレーターとして、Yを実質GDPとして :MV ＝ PY という書き方が、各種教科書でなされることも多い。どちらにしろP*Y は名目GDPになるわけです。 前編集者は :MV'＝物価×取引量 ∝ 名目GDP :MV'＝物価×取引量 ∝ 実質GDP × インフレ率 という関係式を得て、それを経済モデルに合うように連立させることが重要、と記述していたが、現編集者はこの手の数理議論にはあまり大きな意味はないと思っている。 ===マーシャルのk=== さて、前項で、 :MV＝名目GDP=PY :MV'=P'Y :M:貨幣量 :V:貨幣の流通速度α :V':貨幣の流通速度β :P:一般化された付加価値 :P':一般化された価格 :Y:財、サービスの取引数 ここで前回の議論にもあったように、 P'Y=b*PY としてみると、 M=(b/V')*P*Y そして、 M=k*P*Y このk が、マーシャルのkであるかは定かではないが、彼の議論の片りんを見るものとみていいだろう。 統計的には k は定数ではない。（※参考文献:中谷巌『入門マクロ経済学 第5版』、日本評論社、2007年3月30日第5版第1刷発行、192ページ） たとえば中谷は参考文献『入門マクロ経済学第5版』で、日本では1970年代はマーシャルのkが 0.7 程度だったが、しだいに増加していき、2004年には k は 1.4 程度であるとグラフで図示している。 :※福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』（有斐閣、2016年3月30日第5版第1刷発行、141ページ）では、文中に「右辺の定数k」とある。しかし、中谷の文献で紹介されるように、統計的にはkは定数ではない。数学的にはkは、「右辺の'''係数'''」である。 k=b/V'でもし bが定数なら、貨幣の交換が少なくなるほどk が大きくなる。 だから、いわゆる「デフレ経済」と言われる日本の1990年以降の時代（平成初期の不動産バブル崩壊の以降の時代）でマーシャルのkが増加するのは常識と一致するのだが、しかし中谷の文献のグラフを見ると、1970年代も1980年代でもマーシャルのkは増加傾向であるのが、グラフから読み取れる。（しかし中谷は、不動産バブル崩壊以前のマーシャルのkの増大には注意を払ってない。） そしてこの式は、こう読める。 :M＝k*名目GDP （参考文献:菅原晃『使えるマクロ経済学』、中経出版、2014年10月14日第1刷発行,203ページ。この文献では「貨幣量＝GDP」という図とともに「k％ルールが有効！」という文言が図中にある。 ） このkを、経済政策の目安にするのが良いだろうという学説があるらしく、フリードマンがそのような学説を提唱したらしい（菅原の文献を読んだ限り、そういう印象を受けた。By E.Suj.）。 ==インフレは好ましいか?== 経験的に、経済政策として、インフレ率2～4％程度の緩やかなインフレを目指すことが、多くの国で行われている。 クルーグマンが『マクロ経済学』（2009年版、472ページ）で報告するには、アメリカのFRBは方針こそ断言してないが、その実行結果から、2～3％ていどのインフレ率を好んでいる、と、云う。また、イングランド銀行はインフレ率を2.5％とすると明示的に公表している、と同ページに記述されている。 なお、この2%のインフレ率のように、比較的に低率でのインフレのことをクリーピング・インフレ（creeping inflation）という。クリーピングとは「しのびよる」という意味の英語である。1～3%程度のインフレ率が、クリーピング・インフレだと言われている。 また、スティグリッツは、もし政府がインフレを嫌ってデフレを誘導すると、一時的には失業率が増加する、と述べている（『スティグリッツ入門経済学 第4版』東洋経済、432ページ）。 しかし、この低率のインフレが好ましいという議論は、論理的に明快に因果関係が説明されているわけではない。少なくとも、『クルーグマン マクロ経済学』や『スティグリッツ入門経済学』を読んでも、そのインフレ率2～3%程度が好ましいという論の明確な説明は全く見当たらない。 スティグリッツは、循環的失業の増加は低インフレをもたらし、循環的失業の減少は高インフレをもたらす、と述べているが、しかし彼以外のクルーグマンもマンキューも、スティグリッツのような主張は（調べたかぎりでは）していないようである。 ==ケインズ政策== アメリカの1940年代のニューディール政策は、1930年代のケインズの経済理論が根拠になっている、とよく言われる。しかしそれ以外にも参考にした具体例があったようだ。 例えば、1930年代の日本の高橋是清・蔵相の不況対策で、似たような積極的財政政策がとられている<ref>福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』、有斐閣、2016年3月30日第5版第1刷、194ページ</ref>。 1930年代のドイツでの独裁者ヒトラー政権下でも、ドイツ人経済学者シャハト博士の助言のもとに、公共事業（高速道路アウトバーン建設など）や軍備増強など、積極的にドイツ政府は財政拡大をして投資した<ref>たとえば 犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P142</ref>。もっともこのころのドイツの軍備増強は、誰もが知るところだろう。だからこそ、第二次世界大戦の大騒ぎが実現したわけだ。 まあ軍備増強を公共投資と言っていいのかは疑問だが、当時のヒトラーの経済政策の果敢さは、彼の国内での、あるいは国外でも、人気拡大に一役買っただろう。 詳しい文脈は不明だが、森嶋道夫『思想としての近代経済学』（岩波新書、1994年）に、経済学者ヒックスが森嶋に「戦前はヒトラーの時代であった。戦後はケインズの時代になろう」と述べたことが記されている<ref>小室直樹『小室直樹の経済原論』、東洋経済新報社、2015年6月11日発行、P541</ref>。小畑二郎『経済学の歴史』にも似たような話が書かれている。 1940年代アメリカのニューディール政策はケインズの理論だけではなく、当時の様々な前例も参考に行われたのだろう。 さて近年、2008～2009年ごろのリーマンショックやサブプライムショックなどの対策としても、銀行の救済や公共事業などによる積極財政や金融政策がとられている。 ケインズ政策、ケインズ主義とは、不況対策や経済発展などのために政府が積極的に公共事業や融資や民間への資金援助などを行う政策をいうのだろう。ケインズ自身は、大恐慌に対する処方箋として、利子率の切り下げ（金融政策）と社会基盤への政府投資（財政政策）を示していた。 リーマンショック対策でケインズ政策はひとます成功したし、今でもこの政策が不況対策として有効だと、一般に認知されている。 ケインズの議論はケインズ経済学というマクロ経済学の主要な学派になっている。ケインジアン、という言葉もある。 一方でケインズ政策を実行すると、その国は多くの場合財政が悪化する。具体的には、国債を増発するようになる。第二次大戦後のアメリカ合衆国はそうなった。 この借金による国家運営の問題点をなくすために、ケインズ主義に代わる新しい経済思想がアメリカやイギリスで必要になり、1980年代にはレーガン大統領のレーガノミクスやサッチャー首相のサッチャリズムのような「新自由主義」が政治の表舞台に現れてきた。 *ハーヴェイロードの前提 ケインズ自身は、恐慌の時期には政府は借金をして投資しても、恐慌を脱したら財政規律を高めて赤字財政を回収して均衡財政に戻すべきと考えていた<ref>[http://park.saitama-u.ac.jp/~yanagisawa/het10/44-61.pdf 柳沢哲也『第５章 ケインズの経済学』、埼玉大学、「経済学史特講」講義]P58、2022年4月6日に確認.</ref>。 しかし、実際の多くの戦後先進国では、そのような政策はとられず、20世紀後半に赤字財政に陥った国も少なからず存在する。 WW2戦後のインフレには、このような赤字財政という背景もあったと、経済学者ブキャナンなどの新自由主義者は述べている<ref>[http://park.saitama-u.ac.jp/~yanagisawa/het10/44-61.pdf 柳沢哲也『第５章 ケインズの経済学』、埼玉大学、「経済学史特講」講義]P58、2022年4月6日に確認.</ref>。 ケインズの議論には、政府の経済政策には賢人としての高度な判断があるという、「ハーヴェイロードの前提」がある。ハーヴェイロードというのはケインズが生まれ育ったイギリスケンブリッジの土地で、知識人が集まっている場であった。 戦後の経済がケインズの当初の予想通りの均衡財政にならなかったのは、政治家の堕落（だらく）であり、為政者としての責任感の欠如だ、という指摘もある。つまり「ハーヴェイ・ロードの前提」が政治家に欠けている、という事だろう。 一方ケインズ経済理論を批判するブキャナンたち新自由主義の経済学者は、むしろ「ハーヴェイ・ロードの前提」が非現実的だろう、とも語る。 そして前編集者は、堕落しているのは政治家ではなく、むしろ民衆だろうと記述している。正しい政治家に投票できない民衆がおごりの中で政治家を批判しているだけだろうと指摘する。 しかし仮に民衆が堕落しているのなら、政治家も等しく堕落しているだろう。 全ての人間が公平に堕落しているのが現代社会だろう^^;;;。 赤信号、みんなで渡れば怖くない^^;;; *貨幣錯覚 ケインズの一般理論でも、「貨幣錯覚」については言及されている。本来貨幣は定まった価値を持つものではなく、一般的絶対的な価値に対して、必要な額面が大きくなったり小さくなったりする。つまり財やサービスに必要な貨幣の額面、物価が高くなったり低くなったりするのだ。 だから本来貨幣は名目、額面としての数字ではなく実質の価値が問題になるのだが、実際には人々は貨幣の額面の数字に捉われる。 多くの労働者も、実質賃金ではなく貨幣賃金を見て行動する、という<ref>滝川好夫『図解雑学 ケインズ経済学』、ナツメ社、2010年11月21日初版発行、P60</ref>。 ケインズは緩やかなインフレを肯定した。また、インフレ誘導的な政策が、恐慌の脱出措置としてよく用いられる。 物価が高くなると、実質賃金は下がるが、それに合わせて名目の賃金を上げると、労働者は収入が上昇しているように感じるだろう（か?）。 *利子理論と物価 一般に、インフレなら名目金利を高くすることが可能だという{{要出典}}。 前編集者は物価に関する数理を欲していたが、ケインズの利子理論やそこから導出された、LS-IM分析は，その目的にはかなわないものだという。 ケインズは「一般理論」の著書で，2%という数字を利子率の基準として示した。<ref>[https://ynu.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main&active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=3118&item_no=1&page_id=59&block_id=74 石井力『先物市場の「流動性の罠」』,P82]2022年4月6日に確認.</ref>。一方、21世紀、主要な先進国が採用する物価インフレ目標も多くは2%である。 前編集者は物価と金利を結び付けた数理議論を求めているようだが、そういう論説はあまり世にない様だ。ケインズは金利の理論を展開したが、それと物価を結び付ける議論も、特にあまり見当たらないという。 しかし実際には全くそれがないわけではないだろう。一般的な議論として、政策金利を低くすると借金がしやすくなり、銀行のストックが減り世の中に貨幣が出回る。その結果貨幣量が増え、インフレ傾向、物価上昇傾向になると見れるだろう。 ロイター日本語版の2021の記事は物価目標2%と金利を関連づけて語っている<ref> [https://jp.reuters.com/article/column-suzuki-akihiko-idJPKBN2F60HR 鈴木明彦『コラム：所得増えぬまま物価目標2％達成なら、消費者から悲鳴か＝鈴木明彦氏』]2022年4月6日に確認.</ref>。しかしケインズの議論には言及がなく、その視点での分析も特に書いていない。 一般的に金利が高いと貨幣量が減り、デフレ傾向だが、不況に関してはどうなるだろう? 一般に金利と言えば貸金、預金の利率、貨幣を貸すときの手数料、利益と見ていいだろう。物価は生産物と貨幣の交換率、この二つの値の比較と重要性を語りたいのが前編集者の議論だが、例えば学問的な考察や議論で、詳細に拘らず、あるものを別の或るもので単純に置き換えると、面白い展開を迎えるというのは、往々にしてある。例えばケインズの利率を物価で置き換えたらどうだ? と、言うのが前編集者のアイディアではあろう。 日本の平成、「デフレ不況」と言われている状況では、金利も低く物価も低くなっている。1990年前後のバブル崩壊よりも前のころは金利は高かったろうし、物価も高かっただろう。 昔の主婦は金利の高い金融機関を探して選んで預金していたものだが、最近は預金に関してはあきれるほど利率が低い。 21世紀の日本の低金利は、日本の不動産バブル崩壊後、何らかの理由で金利を下げる必要があったのだろうと前編集者は考えているようだ、特に物価の下落を重要ファクターと見ている。日本の過去の不動産バブルは、不動産資産のインフレによる騒動と見ることが出来るだろうか。 長期的にはインフレ率と金利が近づいていくという指摘もある{{要出典}}。 '''クラウディング・アウト'''とは何か? 現編集者はむしろ、より詳しい方がここに記述してくれることを望むが、前編集者の説明では、国債や郵便貯金などの利率が高いとその商品が魅力的になるので、株式や投資、民間の債権などにお金が流れなくなる現象だと書く。 では国債や郵便貯金の利率は低いほうが良いのか?もちろんそうなれば財政も圧迫しなくなるし、が一方で公共にお金を貸す意思自体が減ると見られるかもしれない。 政策金利と呼ばれるものはまた別の利率だろうが、これが低すぎると'''流動性の罠（わな）'''と呼ばれ、景気浮揚や投資を増やす効果を持たなくなるという。 現編集者は実際は経済学も大した知らないが、前編集者の不適切な悪意に満ちた文章を何とかしたい一心で、いろいろ調べながらこの文章を書いているだけなので、いずれはより詳しく人間性も良好な人にこのページを書き足し修正してほしいのだが、とりあえず流動性の罠の原因については、「ゼロ金利の近くになると、これ以上は金利は下がりようがないのだから、つまり今後は国債などの金利が上がる可能性が高い。そこで、人々は値上がりを期待して、民間に投資をしなくなる」、という言説もあるようです。 つまりこの主張は、今金利が低いと、人々は将来上がると予想してそれを待つという事? そこで結局流動性の罠とは何かそれほど理解していないまま、文章を先に進めるが、経済評論家の三橋貴明氏は、平成のデフレ不況とは、『デフレ化において単純に「儲からないから投資しない」』現象だと著書で語っている。そのうえでとりあえず政策金利を下げればよいという、バブル崩壊後の日本政府の金融政策を批判している<ref>三橋孝明『黄金の拘束衣を着た首相』、飛鳥新社、2015年2月6日第1刷発行、P129</ref>。 そもそも新たな投資が頻繁になされることが絶対的にいい事なのか? 今現在の生産インフラが潤沢に回っていることで、いい経済状況だとはみなせないのか? 経済が貨幣でお金のことだと見てしまうのは、本質を見失わせるだろう。経済とは我々の日々の生産活動だし、貨幣はそれに従い、それを動かすためのツールに過ぎない。 さて、評論家犬走文彦氏は「金融危機があるレベルまで達すると、信用リスクを回避するためいくら金利が低くなっても金融機関が貸し出しを止めてしまう」と書いている<ref>犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P134</ref>。そもそも金利が低くなると貸し出す方に旨味はない。借りる方が得になるから、貨幣需要が増えるという事だろう。しかし金融機関は敢えて貸さない? しかし金融機関とは、貨幣を貸し出して利益を得ている法人だったはずだ。 兎に角細かい事や全体を見ないままとりあえず投資が増えればいいというのなら、そして、「儲からないから投資しない」というのなら、「投資しないと損をするぞ」といった内容の経済構造すればよいのでは? 、と、前編集者は指摘する。 つまり投資という仕事をさせたいから、鼻先にぶら下げる人参はもうないから、では鞭で打とう、と、そういう訳だろう。 インフレ誘導にはそういう意味があるのだろうね。現状がデフレやディスインフレならなおさらこの方法に行きやすい。しかしインフレ誘導が制御できなくなって、高インフレになると、多くの人々が困ることになるだろう。今現在(2023/2)、その傾向があると言えなくもない。 一方経済学者クルーグマンは『中央銀行が将来のインフレ率を公約する「インフレ目標」が、流動性の罠のもとでも有効であると主張した。』、という<ref>福山慎一「マクロ経済学入門 第5版」、有斐閣、P223（『』内は書籍の解説文の引用）</ref>。 「バランスシート不況」という考え方では、恐慌時などには投資家がリスク回避志向になり、不況時は銀行の行動パターンが投資から債権回収などに移るので、この時期に政府が金融政策しても、あまり効果がない、という<ref>犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P134</ref>。貸し渋りという事? お金を持っている人たちが貸したくなくなる? しかしファイナンス、貸金とはそんなに経済、景気の進展に重要な事なのか? 借りたお金が世の中を潤沢に回ることが本当に健全な事態なのか? 投資と融資は異なるだろう。投資とは生産インフラの資本、資産を買い、所有することだし、融資はお金を貸しているという事。債権は利子を付けていずれ回収したいが、投資は所有している場合は配当などの利益が期待できるが、株式などの形で売って貨幣を回収することもできる。 1990年前後の不動産バブル崩壊後、日本は2000年代初頭に、非伝統的な金融政策である日銀のバランスシートの拡大、およびそれらの量的緩和をインフレ率が安定的に0.数％になるまで続けるという政策を実施しました。<ref>福山慎一『マクロ経済学入門 第5版』、P224</ref> さて、もちろんケインズは我々の歴史の中で最重要の経済学者ですが、全知全能の神様ではない。その指摘や理論が徹底的に現実を示しているものではないでしょう。 前編集者によると、「ケインズ理論も新自由主義も両方とも間違っている」、という主張も結構多いという。「反経済学講座」（犬走文彦、新潮社、2009年8月20日）がそういうスタンスだという事だが…。 また基本的には、特にその会社の経営者、関係者は自分の会社が倒産することは望まないだろう。しかし世の中には自然淘汰を称賛し、弱者が滅びることが正しい事だと見做す考えも多いし、そこまで極論ではなくても、妥当な経営を出来ない会社はペナルティとして倒産やむなし、という判断は多くなされるだろう。前編集者は経済思想家ハイエクなどはそう考えていると指摘する。 基本的に弱者企業を補助金などで救済すること自体が、経済全体にとって悪い事だという主張は多い。ハイエクは、不況の救済のために必要以上の補助金を投入する事こそが、次のバブルおよびその破裂による恐慌をまねく、と、指摘したという。[https://bizgate.nikkei.co.jp/article/DGXMZO3466714028082018000000 『世界恐慌を予言した人たち～金融緩和がはらむ反動リスク 』 2018/9/18]。 ハイエクなどオーストリア学派は、不況を避けるという考え自体が不適切だろう、と主張したという。ある程度の不況の緩和を目指すことは認められるが、景気は循環するもので、無理やりそれを動かして不況を避けて矯正しようとすると、経済はかえって悪化する、と指摘する<ref>犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P154</ref>。 歴史的には大した恐慌対策を取らないまま、状況が改善した例もあるようです。1930の世界恐慌より前、1920年の恐慌は、自然に終息、回復を迎えたとオーストリア学派は主張しています<ref>犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P159</ref>。当時のアメリカは金本位制。第一次大戦の放漫財政で金の保有量が減っていたことから、対策をとろうとしてもアメリカ政府のハーディング大統領は対策をとれなかった、と、いう。 さて、一般的に、 Aならば Bでも、 Bならば Aであるとは限らない。 消費の低迷 → 消費依存型産業の物価デフレ この流れはどうですかね。需要が減れば、値は下がるでしょう。 消費依存型産業の物価デフレ → 消費の低迷 これは? まず単純に考えて、値が下がれば需要は増えるのでは? では… 消費の活況 → 消費依存型産業の物価インフレ これはありますよね。需要が増えれば値は上がる。 消費依存型産業の物価インフレ → 消費の活況 これはどうですかね。一般に値が上がれば需要は減る、売りたい人は増えますがね。 高度成長も終わった昭和末期の1980年代、日本はディスインフレでした。しかし消費は活況。1980年代後半には、バブル直前の黄金期を迎えたといいます<ref>藤巻健史『マネーはこう動く』、光文社、2007年7月30日初版発行、P59</ref>。 だからデフレと不況の結びつきはそれほど強固ではない。 ただ需要が低下すると、値は下がる、これが徹底的に続いているのがデフレ不況なのだろう。経済評論家・加谷珪一は「デフレが不景気を引き起こしたわけではない。不景気でモノが売れず、企業は安値販売を余儀なくされ、これがさらに物価と賃金を引き下げている。高く売ることができる商品をわざわざ安く売っていたわけではない点に注意する必要がある。」と語る<ref>[https://www.newsweekjapan.jp/kaya/2022/04/post-180_2.php 『日本だけ給料が上がらない謎...「内部留保」でも「デフレ」でもない本当の元凶』2022年04月01日（金）17時30分]2022年4月9日に確認.</ref>。 つまり需要がない。日本は物に溢れている、なんてよく言うが、それに類する事態だろう。 しかし需要がないという事は必要ないという事。物が十分にあるという事はそんなに働かなくてもいいという事? そんなに作らなくてもいいという事かね? しかし結局この国の経済状況の中で、失業したり貧困に陥る人はかなりの数存在する。 そもそも1960年代以降の47カ国のデータを調査した結果、マネーサプライの増加も、赤字財政も、金利の低下もインフレを引き起こさなかったという実証論文もあるようだ<ref>[https://econ101.jp/rapid-money-supply-growth-does-not-cause-inflation/ 『リチャード・ヴェイグ「マネーサプライの急激な増加はインフレを引き起こさない」（2017年1月16日）』、経済学101]</ref>。 ==完全競争== 高校の政治経済では、「不完全競争市場」の例として、寡占や独占などの事例を習う。不完全の反対が完全だろうが、寡占（かせん、oligopoly）や独占(monopoly)などの、競争をゆがめるような制限のない市場の状態のことをよく、完全競争（pure competition）という この言葉をより詳しく規定するとどうなるか? 次の五つの条件を満たすのが完全競争だという。（前編集者の定義） # 生産者（売り手）と消費者が十分に数が多いという条件。 # また、生産者どうしが談合などせず、競争するという条件。 # また、生産者どうしも独立していて、他の売り手に大きな影響を与えないという、生産者どうしの独立の条件。買い手もまた、他の買い手に大きな影響を与えないという、消費者どうしの独立の条件。 # 消費者はよく商品の情報（特に価格についての情報）を知っているという条件。 # その市場への参入と退出が容易だとする条件。 寡占や独占のもとでの市場競争は、この「完全競争」の条件が満たされてない。と、云うか一般的には完全競争の状態は現実には無いと見なされている。議論のための仮想的な市場状態だろう。 そして完全競争の定義は、論者や学派によって微妙に異なるようだ。ここでは５つの定義を上げたが、これが３つぐらいの規則から導かれる完全競争の性質に過ぎない、という議論もある。 ==不況と好況== [[File:Economic cycle.svg|thumb|450px|景気循環の図。グラフの波型の山の部分が好景気を表し、谷の部分が不景気を表している。<br> Expansion ：景気拡大<br> Boom　 ：好景気の頂点<br> Recession ：景気の後退<br> Depression：景気の消沈<br>]] 景気には波があるという。景気を統計的、数量的に示す方法があるかどうか、現編集者は知らないが、実質GDP を基準に考える道はあるだろう。 一般的にある程度安定した国家社会では、実質GDP は微増するものだと見るといいのではないだろうか。社会集団として、生産集団として、文化や技術が発達し生産に慣れて社会として習熟した表れとして、生産を示す実質GDP はわずかに増えていく。あくまでも仮定ですがね。 そうなると、好況というのはその時点での実質GDP成長率がある程度高いことを示すだろうし、不況というのは実質GDP成長率が横ばい、ゼロ、あるいはマイナス成長の時、だということは出来るだろう。 前編集者は、経済や生産の事を語る時に、「不況」「好況」の言葉を使うよりも、「高成長」や「低成長」や「マイナス成長」という言葉を使った方が妥当だし、適切だろうと書いているが、「不況」「好況」という言葉は現実の経済、商業生活でのそれぞれの職業人の精神的な満足度を示しているものではあるので、GDP だけがそれを示すものにはならないだろう。そもそも実質GDP とは常に大きく上昇し、上がっていくのが自然で望ましいのか? そうすれば人々は十分な満足が得られるのか? それさえも怪しいし、定かではないだろう。 ==労働価値説と限界革命== ===労働価値説=== さて、財とサービスに価値があるのは自明でしょう。そしてそれと交換される貨幣にももちろん価値がある。 そしてまあ常識的に払う貨幣が高いほど、その財には価値があると見做されている。 払う貨幣とは価格ですよね。そしてこのページで議論してきたように、価格は需要と供給で決まると考えるのが、現代的な経済理解です。 しかし一方でもっと哲学的、観念的議論として、商品、財が持つ価値の根拠、いったい何によって価値が生まれるか、それを知りたい訳です。 そこでまず議論されたのが、アダムスミスやマルクスが言及した労働価値説ですね。 つまり財やサービスの価値の源泉は、我々の労働だと。 財の価値の根拠が労働にあることは否定できないでしょう。ただその議論を価格と結びつけるのはなんだかんだでかなり困難がある。労力を多く費やしても価格が安くなることはあるし、労力少なくして高い価格がつくことも現実にはある。 しかし数理的に労働量と価格の議論が出来なくても、労働が物事の、財の価値を生み出していることまで否定するのは詭弁でしょう。 大体労働に価値がないのなら、世の人はもう明日から仕事に行かなくなるよ^^;;;。 しかし一方「効用革命」という議論があり、労働価値説とは別の視点として、財を消費する側の満足、欲望の充実に価値の根拠を見出す視点がある<ref>https://diamond.jp/articles/-/75341</ref>。 この議論は数理とも馴染みがよく、ミクロ経済学の重要な分析の一つになっている。 価格は需要と供給によって決まり、財の生産者は市場で売れる価格にあわせて利益が出るように労働および経費などの投入量を調節する<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日 初版 第1刷 発行、P236</ref> ===限界効用理論=== 効用とは財を消費したときの満足度である。ここで効用関数なる値が実数の関数を考える。 一般に消費者は、いくつもある消費計画のうち、みずからの効用関数を最大化させるような消費計画を選ぶ、と考えられる。これを「効用最大化仮説」と言います。 たとえば、ある消費計画Aと、別の消費計画Bについて、それぞれ効用をU(A)およびU(B)とします。つまり消費計画Aの効用がU(A)です。同様に消費計画Bの効用がU(B)です。 そして、たとえば、もし :U(A)>U(B) なら、消費者は消費計画Aを選ぶ。 同様、もし :U(A)<U(B) なら、消費者は消費計画Bを選ぶ。 ただし、効用の大きさそのものを数値化することは一般にはできず、その大小関係・順序にのみ意味があると考えています。数学で言うと、代数システムのうちの順序関係・大小関係のことを「序数」と言うので、効用関数の上述のような性質のことを「効用の序数性」と言います<ref>塩沢修平『経済学・入門』、有斐閣、P60</ref>。書籍によっては便宜的に効用が数値で表される場合もありますが、しかしその数値はあくまで便宜的なものに過ぎず、数値の絶対的な大きさには意味は無い<ref>塩沢修平『経済学・入門』、有斐閣、P59</ref>、とのことです。 :※英語ではfirst やsecond やthird などの単語を「序数」と言いますが、つまり、集合の要素の順序関係を見るのが序数ですよね。 然し導関数として、ステーキの購入計画C とワインの購入計画D で、ステーキ1単位を購入することがある人にとってワイン何単位ぶんの購入に当たるかの計算は議論される。こうのような購入量1単位ごとの効用の換算値を、限界代替率と言います。 「効用」は、主観的な量です<ref>たとえば 塩沢『経済学入門』、P59 など。</ref>。つまり、効用の大きさは、それぞれの消費者の主観で決まります。 この効用と価格の関係に関する数理議論があるだろうが、現編集者はほとんど知らないので記述できない。一般の経済学入門書を見ても、そういう話題はまったく書かれていない、と、前編集者は書く。 効用自体も、消費量が1単位増えた時の効用の増加、限界効用も、関数の数値自体には大きな意味はないと見る。しかし財によって限界効用を比較したもの、限界代替率は、限界効用の数値を比較し、同じ満足度の消費量を見出す概念だとはいえる。 経済学者ヒックスはこの限界代替率に着目した研究を行ったという<ref>小室直樹『経済学をめぐる巨匠たち 経済思想ゼミナール』、ダイヤモンド社、2004年1月8日、P202およびP203</ref>。 もう一度書くが、限界効用とは，財を一単位追加して消費することによる効用の増加分だ。これは効用関数の微分と見ていいだろう<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日初版第1刷発行、P161</ref>。 さて、この効用関数は、単調増加で上に凸だろうか。ある種類の物があふれると、その物ひとつ当たりの価値は小さくなる（効用逓減（ていげん）の法則）。 水は生命活動に不可欠に限らず、ダイヤモンドより価格が安い<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日 初版 第1刷 発行、P172</ref>。同じ美術品を何度も鑑賞すると、慣れてきて価値を感じなくなる<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日 初版 第1刷 発行、P172</ref>。 財の消費だけではなく、人間の心理的または生理的な傾向としてこのような現象は見られますよね<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日初版第1刷発行、P172</ref>。 兎も角効用とは消費する側の議論だろう、一方で供給する側の視点も必要だ。労働がなければ多くの財は供給不可能だ。 ===サンクトペテルブルクの賭け=== さて、事実上は話題として少しそれるが、効用に関する議論として、18世紀前半、ロシアのサンクトペテルブルクに住んでいたスイスの数学者ダニエル・ベルヌーイが示した「サンクトペテルブルクの賭け」という面白い議論があるので、余談として紹介しておこう。 ここではこういうゲームを考える。一枚のコインを表が出るまで何回も投げ続ける。もらえる賞金は、1回目に表が出たら1ダカット（日本円で500円ぐらいだという）、1回目は裏が出て2回目に表が出たら倍の2ダカット、2回目まで裏が出ていて3回目に初めて表が出たらそのまた倍の4ダカット、3回目まで裏が出ていて4回目に初めて表が出たらそのまた倍の8ダカット、というふうに倍々で賞金は増えていく。 さて、この場合このゲームを売る胴元は、何ダカットでこの賭けを売ればよいだろうか？ 普通ギャンブルのこういう議論では期待値を計算する。 期待値の例として、別の簡単なゲームを考えてみよう。 二人の人間がゲームに参加し、参加料として100円ずつ払う。じゃんけんをして勝った方が場に出た200円を総取りする。 この場合片方の参加者がじゃんけんに勝つ確率は 1/2、負ける確率は残り 1/2、200*1/2+0*1/2 で期待値は100円。参加料が100円だから、ゲームとしてはトントンだという事になる。 ここでもしゲームとしての胴元がいて、10円ずつ参加料から場所代を抜いていたら、賞金総額は 180円で、期待値は 90円。世によくある、胴元が確実に儲け、参加者が総体的には結局損をしているギャンブルになる。 さて、先のサンクトペテルブルクの賭けの賭けでは期待値はどうなるか。 まず最初に表が出る確率は 1/2。その時の賞金が 1ダカット。次に裏が出た後表が出る確率は、1/2*1/2=1/4。賞金は2ダカット。つぎは 1/8と 4ダカット。結局期待値は、 1/2+1/2+1/2+… となって∞に発散する。 つまりこれは圧倒的に胴元が不利なゲームのはずだ。いくらで売っても期待値は無限大だからね。 しかし実際このゲームを 16ダカットで売ったとしてみよう。 だとしたら、賞金が 8ダカット以下になる確率は 15/16。まずこれが起こる可能性が高いから、胴元が得するように思える。しかし問題は、 1/16だ。これは底なし沼だ。場合によっては胴元の資産を超えて負けることもある。ここがこのゲームの期待値が無限大で胴元に不利だと言える根拠になるだろう。 ベルヌーイ自身はここに効用の発想を取り入れて、議論を進めた。つまりダカット金貨の額面で判断せずに額面の満足度、効用を金額の対数と決めてみた。賞金の期待値は∞に発散するが、効用の期待値は一定の値になる。最初に表が出た時の額面が1で、効用をlog[2,1]=0とすると、裏→表で効用が log[2,2]=1、裏→裏→表で効用がlog[2,4]=2で期待値は0/2+1/4+2/8+3/16+4/32+… そしてこの無限級数は幾つになるかな? 現編集者は計算できなかった^^;;;。数学の得意な人が答えだしてください。兎に角 2のこの無限級数乗の金額が効用としての期待値での金額。気持ちとしてはゲーマーとしてはこれでトントンだという事か。対数を考えるという事は、金額が大きいほど増えてもそれほどありがたみを感じなくなるという事ですからね。 さらなる分析として、胴元がこの商売を人生で何回やるか、ゲーマーが何回するかがこの話の議論に関わってくるだろう。 == 脚注 == [[Category:経済学|*]] [[Category:書庫|けいさいかく]] [[en:Principles of Economics]] p23p9zcezvwrsz18b5vw9sdi8kk01mo 305447 305444 2026-11-06T09:24:30Z 正月君 92918 /* 消費関数 */ 305447 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|経済学|frame=1|small=1}} ここでは、経済学の基礎的事項について確認しながら、世界経済における経済の動向に配慮した経済学的解説に努めることにする。[[高等学校政治経済]]のテキストも参照せよ。 == 経済変容と現代社会 == 現代社会の変容は、工業化・IT化に続く。 === 経済の変容 === * [[経済学 現代経済の変容 経済の変容 経済とは何か|経済とは何か]] ==== 世界経済の変容 ==== * [[双子の赤字]] {{進捗|100%|2013-10-08}} * [[経済学/アジア通貨危機|アジア通貨危機]]（[[冷戦後の世界#躍進するアジア|躍進するアジア]]） * [[経済学/改革開放|改革開放]]（[[冷戦後の世界#躍進するアジア|躍進するアジア]]） * [[経済学/アジア経済|アジア経済]] * [[経済学/インド経済|インド経済]] * [[経済学/EU統合|EU統合]]（[[冷戦後の世界#ヨーロッパの統合|ヨーロッパの統合]]） ==== 日本経済の変容 ==== * [[戦後]]（[[日本史/現代/戦後|日本史 戦後]]） {{進捗|75%|2013-10-08}} * [[高度成長]] * [[経済学/通貨危機|通貨危機]] * [[経済学/石油危機|石油危機]] * [[プラザ合意]]（[[日本史/現代/戦後/低成長期|低成長期]]） * [[バブル景気]]（[[日本史/現代/戦後/低成長期|低成長期]]） * [[失われた10年]]（[[日本史/現代/戦後/低成長期|低成長期]]） * [[経済学/情報化社会|情報化社会]] * [[経済学/産業の空洞化|産業の空洞化]] == 現代経済の仕組み == === 世界経済 === * [[経済学 現代経済の変容 経済の変容 世界経済の変容 資本主義経済|資本主義経済]] * [[経済学 現代経済の変容 経済の変容 世界経済の変容 社会主義経済|社会主義経済]] * [[経済学 現代経済の変容 経済の変容 世界経済の変容 経済システム|経済システム]] * [[経済学/グローバル化経済|グローバル化経済]] === 経済学 === * [[経済主体とその活動]]：経済主体が相互作用の中で貨幣を廻している。{{進捗|75%|2013-10-08}} * [[経済学 現代経済の仕組み 金融機関とその働き|金融機関]]：銀行は何をする? 銀行のストックが減ると世に貨幣が増える。 * [[経済学 現代経済の仕組み 財政|財政]]：税金は何に使おう? 払いたくない^^;;;? * [[経済学 現代経済の仕組み 国民生活|国民生活]]：人間の行為は大抵生産、それをお金に換えたら経済になる。 * [[経済学/国民所得|国民所得]] * [[国民経済生産]]：GDPの値は国家の生産を示しているはず。{{進捗|100%|2013-10-08}} == 社会保障制度 == 年金や健康保険から公衆便所まで。 * [[経済学 社会保障制度 労働|労働]]：過労死は使用者責任が問われ、民事上の損害賠償責任が課せられることになります。 * [[経済学/福祉国家|福祉国家]]：福祉は必要だよね? しかし昔の方がやはり不備は多かったか…最も今でも… * [[経済学/社会保険年金制度|社会保険年金制度]]：年金制度は必要だが、経済的に破綻しないように運営するのはかなり困難。 *[[経済学 社会保障制度 成立と発展|成立と発展]] *[[経済学 社会保障制度 日本の社会保障制度とその内容・課題|日本の社会保障制度]] == 世界経済 == 日本経済の国際化による日本と海外の国々との関係とこれからの課題について学習しましょう。 * [[経済学/貿易|貿易]]：貿易はやはりバランスが大事か? * [[経済学/国際収支|国際収支]]：貿易で赤字になった国があるの？ * [[経済学/為替|為替]]：1ドル＝1円じゃ駄目？ === 世界経済の変容と発展 === * [[経済学/国際経済体制|国際経済体制]]：IMFとかGATTとかって？ ==== 世界経済の発展 ==== * [[経済学/多国籍企業|多国籍企業]]：ウォルマートとかエンロンとかトヨタとか・・・ * [[経済学/ユーロ|ユーロ]]（[[冷戦後の世界#ヨーロッパの統合|ヨーロッパの統合]]）：ユーロだけじゃない？ * [[経済学/サブプライムローン問題|サブプライムローン問題]]（[[冷戦後の世界#リーマンショックと世界の無極化|リーマンショックと世界の無極化]]）：アメリカ経済を気にするのはなぜ？ * [[経済学/国際協力|国際協力]]：アフリカ、ラテンアメリカ、南アジア、中東その他の国の状況は？ == 環境問題 == 自然環境問題を経済で解決できるでしょうか。 * [[経済学/都市と環境|都市と環境]]：ごみ問題、大気汚染、水質汚濁、渇水、オゾン層の破壊、こうした問題を私たちは解決できるのでしょうか。 * [[経済学/持続可能な発展|持続可能な発展]]：「宇宙船地球号」 * [[経済学/生態系と環境|生態系と環境]]：生態系を守ることこそ、私たちの未来に必要です。 {{stub}} == 未分類 == ===資源の希少性=== 原則としては、資源とは有限のものでしょう。むしろ無限と考える方が不自然だし、実際にはだれも考えていない。 しかし例えば再生可能エネルギー、太陽光なんかはほぼ無限と見なしていますよね。しかしシビアに考察すると、やはりそれも有限。 例えば水なんかはどうでしょうか。これは地球上を循環しているもので、現実的には無限とみていますが、やはり手に入りにくい地域はありますし、シビアに考えると有限ですよね。 クルーグマンやスティグリッツやマンキューなど、多くの経済学者も、彼らの教科書で、資源の希少性が経済学の前提であると説明している。（なお、日本の高校の「公共」教科書でも、たとえば帝国書院（教科書会社のひとつ）の検定教科書で、「資源の希少性」を紹介している。） なお、経済学・商学などで「希少性」は英語で scarcity である<ref>『ビジネス基礎』、実教出版、令和2年12月25日検定、令和4年1月25日発行、P61</ref>。 また、人々が望んだからと言って、それを生産できるとは、かぎらないと、マンキューは説明している。 たとえば医薬品として、エイズの完全治療薬を望んでも、それは現状の医学では生産不可能。 数百年前の時代を上げれば、たとえば結核や らい病 の治療薬のなかった時代もあった。この話も、誰もがあっさりと納得、あるいはいまさら言うなという感じでしょう。 また、資源を超えた量の生産も不可能。 この「資源の希少性」は、よく経済学の教科書で、「経済学の原理」のひとつとして挙げられている。 ===法則? 原理?=== 需要と供給の法則、なんて経済学では出てくるでしょうが、そもそも「法則」law とは、なんでしょうかね？ 例えば、「現在でも、よくある傾向」、だという指摘もある。ある程度の多くの国で、ある程度の長期や複数回にわたって、よく発生する現象で、今でもよくある現象の事、要するに緩やかな決まりで、法則に当てはまらない例外もある。 たとえば、「需要と供給の法則」の例外のひとつとして「メニューコスト」という概念もあり、生産者側の価格改定には費用が掛かるので価格改定が後回しにされやすい、と。 つまり、どちらかというと法則どおりの現象のほうが遭遇しやすいだろうという、多数の経済学者の信念がある。 その国の言語の違いという問題もある。英語の law 、法律も法則も英語では law です。 例えば物理学では「法則」はかなり厳密な決まりで、基本的に例外は許さない。 しかし本当に例外はないのかという疑問は持てる。何らかの超自然的な理由で、時々は物理法則をキャンセルできるかもしれない。 自然科学の実験をしている時、気にして観察している時だけその法則が満たされるとか… 例えば量子力学には観測問題とか、不確定性原理、そして物理現象の確率的解釈というのもある。 勿論現代の物理学は、観測者自身を系に組み込んだり、確率の数学的記述を厳密化したりと、厳密な法則記述のための工夫がさまざまなされている。 例えば原理 principle なんて言葉があったり、数学では定理、公理、公準なんて言葉も使う。 経済学でいう「原理」principle とは何ですかね？ 文脈や論者にもよりますが、「原理」とは普通の場合、いくつもある「法則」のうち、なかでも基本となる少数の法則のことです。 数学で言えば公理や公準に近いものですかね。 「資源の希少性」の原理と、「需要と供給の法則」なんて言いますが、むしろ「資源の希少性」は法則というよりは、前提事実と言ったところでしょうか。 「原理」と「原則」はともに英語では　principle、根源的な法則、事実を示すものでしょう。 法則の厳密性は当然、学問分野で変わってきます。そしてそれはそれぞれの学問者の、感覚や経験などで、誰もが知って身に着けている事でしょう。 == 合成の誤謬 == 合成の誤謬とは、個人や個々の企業にとっては合理的な行為でも、社会全体としては、不合理で意図しない結果に至ることですね。 例えば企業が経営の健全化を目指して、人件費を削減する。すると個人の収入は減るから、個人消費は減る。景気は低迷し、企業の売り上げも減る。 家庭の節約はどうでしょうか。 個人消費は減るし、節約対象の商品は売れなくなる。景気は悪くなるし、消費されないから生産もしない。 個人スケールで見た場合の合理的な行動と、国家規模の全体的な規模で考えた場合の合理的な行動は異なる。 しかし国家規模の合理的な行動とは何でしょうか? 先ず、国家という集団の化け物の実在性を認めるか? それとも国家とは何らかの方便なのだろうか? おそらく国家規模の合理的な行動とは、その構成員である国民の幸せに結びつくものでしょう。 限界消費性向を低下させる（つまり限界貯蓄性向を高める）ことは、GDPの低下をまねく可能性がある<ref>滝川好夫『図解雑学 ケインズ経済学』、ナツメ社、2010年11月21日初版発行、P180、</ref>。つまり国家全体の生産が低くなるわけですが、生産とは仕事をすることそのものでしょう。仕事をすればするほど幸せという訳ではない。 GDPはとりあえず上昇させたいという固定観念はあるが、これ自体どこまで妥当か。 国際競争を考えると、国家の経済力は必要だが、GDPを上げることを盲目的に目指す以外に、国家の安寧を満たす方法はないのか。 == 誰かの支出は誰かの収入 == 誰かが貨幣を支払ったら、それは他の誰かの収入になっているでしょう。 それは一国の通貨だけではなく、各国、世界全体でその関係が成り立つ。 我々がアメリカ人から貿易として何かを買いたい場合、先ず、円で払うか、ドルで払うかが問題になりますよね。相手が円の受け取りを拒否するなら、自分が外貨を持っていないなら、両替商に円をドルに換えてもらうことになる。 そうすると自分が払った円は両替商の収入になる。そして我々はアメリカ人から商品を受け取る。アメリカ人はドルで収入を得るが、それは両替商が支払ったお金。両替商は商売として貨幣の交換をしているわけだから、払ったドルより受け取った円の方が価値が高いものになっているでしょう。 複数、多数の主体があって、それぞれが一定の数値を持っている。そしてその数値をお互いにやり取りできるなら、その数値の総体、総数は保存されるでしょう。一番の典型例は、物理学のエネルギー保存則。 しかし現実には貨幣の総量が一定である保証はない。 変わり者がお札を燃やしたら、総量は減りますよね。一方政府がお札を印刷して、その分を回収することなく放逸に使ったら、その国の貨幣の総量は増えていく。 ==会計学から考えてみる== ===経理の初歩=== 幾つか、費用に関する用語を説明します。 *人件費 会社、法人が雇用者、労働者に支払う給料は、人件費ですね。従業員のために支払われる費用です。 *固定費 固定費というのは、企業の生産量や売り上げの増減とは関係なく発生する、一定の費用の事です。地代、減価償却費、固定資産税、などですね。債券の利子も会計分野では固定費に含めるという。 *変動費 反対語は変動費ですね。変動費用。生産量や売り上げによって増減する費用。原材料費、外注費、運賃、など。 人件費は固定費か変動費か? 会計に詳しいらしい前編集者も言及を避けているので、たいして詳しくない現編集者ももちろん知りません。 *減価償却費 事業用の建物、機械設備、備品などの取得費用ですが、会計上は普通耐用年数によって、徐々に費用として計上します。つまり購入したときにお金は払ったとしても、会計上毎年その費用を分けて少しづつ計上する。 逆に少しずつお金を計上して費用にした結果、耐用年数が来ますので、費用が完全に計上された時点でその設備の価値は0円になると見ていい。つまり備品の資産価値が減っていく、その部分の支払いをしたと会計上見なすわけです。 減価償却の基準は（つまり購入費を毎年どう計上するか）省令や法律や業界の制度などによって、あらかじめ決まっているので、経理の際には、その制度に従って経理処理する。 ===国民経済計算=== 国民経済計算の指標として知られるGDP（国内総生産）やGNP（国民総生産）から、その国の資産の減価償却の金額を差し引いた金額のことをネットDPまたはネットNPといい、それぞれNDP（国内純生産）またはNNP（国民純生産）と略記します。 つまり、 :NDP ＝ GDP － 減価償却費 :NNP ＝ GNP － 減価償却費 です。 Net domestic product. 正味の、純粋な国内の生産。net はフランス語由来の形容詞で cleanを意味し、「網」を意味する同じ綴りで古英語由来の net とは別系統の英語のようです。 国内総生産は、国内の事業者の売り上げから、原材料費（中間財・サービス）の支出を引いた物を積算したもので、国の生産、事業や労働で生み出した付加価値を示していると考えています。 一方減価償却費は、その間に建物、車両、産業機械が劣化し、それを現状に戻すための価格を示していて、生産分からその分消費、減耗しているともみなせるので、NDP は国内の生産の状態を知るための別の指標として提示されています。 GDP やGNP の頭文字G はグロスの略で、Gross は、会計でいう粗利（あらり）を示す形容詞です。会計学でいう「粗利」とは、売上高から売上原価（その商品をつくるために掛かった費用）を差し引いたものです。 人件費は引かず、支払う税金も引かず、原価（原材料）だけ売上高から引き算する。それが粗利（あらり）です。 粗利を英語で gross profit と言います。 profit とは「利益」「利潤」という意味です。 つまり仕事をして生産した分だけ利益になると見ていいと思います。 GDPの算出式は、 :GDP = 家計による支出＋企業による支出＋政府支出＋（輸出－輸入） :GDP = C + I + G + (X − M) 、[[w:en:Gross domestic product]]、[[w:国内総生産]]、などを参照してみてください。 C とG とI は最終財・サービスに対して行われた支出を数えます。事業者が行った生産の積算は、最終的には最終財・サービスに対する支出になります。 家計はほぼすべて、最終財・サービスに対して支出しているでしょう。 企業は、中間財・サービスに支出してそれをもとに生産し、一方で最終財・サービスを購入することもあるでしょう。 中間財にしろ最終財にしろ、輸出したものは国内の支出には含まれませんね。 C + I + G + X に含まれる中間財、最終財（最終財はそれまでの中間財の生産価値を含んでいる）のうち、輸入したものは国内の生産には含まないでしょう。 GDPの計算基準は国際連合が決めたものがあり、定期的に改訂される。[[w:2008SNA]]等の記事も参照してみて下さい。 C + I + G + X と M が同額なら、事実上 GDPはゼロだが、この場合は輸入したものをすべて消費し、さらに輸入したものをそのまま輸出していることになるから、矛盾ではない。 なんらかの生産行為が行われているなら、事実上GDP がゼロになる事は無いだろう。 しかし、経済分析として、前編集者の指摘が完全に無意味だという訳ではない。 分析の精密さのためには貸借対照表のように複式簿記的に扱うべきであるという意見はある。 家計による国内消費額の総計、企業支出の総計、政府支出額の総計、輸出額の総計、輸入額の総計、といった金額をそれぞれ個別に計測して、それらの金額を比較することにより、複式簿記的に分析することにも意義はあるだろう。 前編集者の指摘として、経済分析において、 :産業関連表、 :資金循環表、 :国民貸借対照表、 :国際収支表、 などの統計表を、経済系の省庁は作成する事が望ましい、という（※ 参考サイト [http://www.keikyo-center.or.jp/old/tool/pdf/sna.pdf 国民経済計算の見方、使い方] 財団法人 日本経済教育センター）。 GPD と産業関連表を関連付ける、複式簿記にたとえて議論する、などの発想は、各種書籍にも記述されているという<ref>塩澤修平『経済学・入門』、有斐閣、2021年、4月30日 第3版 第5刷 発行、P202、P258</ref>。 ===確定申告、減価償却、国民純生産=== 国民純生産を計算するためには企業の減価償却の金額の情報が必要でしょう。この金額において、経済全体で固定資本の減耗分は測定しづらい、正しく推定できないという主張もあります。 企業も確定申告するので、自社の減価償却費もその時点で税務署に申告します。 減価償却費に応じた税金の控除もあります。建物、車両、産業機械は必要経費ですからね。 減価償却の計算のルールは、日本の国税庁などの省令や、または経理業界などの制度によって、厳密に定められています。 税に関する申請は虚偽があると罰せられるので、その意味では、企業の減価償却費のデータはおおむね正確だろうと考えられます。 なお、個人でも企業でも確定申告は2種類ある。 :比較的に簡単に計算できるが（税の）控除の特典の少ない「白色申告」 :事前の申し出が必要でさらに計算方法も厳密で難しいが控除の特典が多く、多くの場合納税額が少なくなる「青色申告」 多くの企業が基本青色申告を利用している。 ===フローとストック=== フロー（英: Flow）とは、一定期間内に流れた量をいい、ストック（英: Stock）とは、ある一時点において貯蔵されている量をいう。以上Wikipediaから引用。 ある関数がある時、その微分がフロー、その関数を積分して元に戻すとストック、と、いう事も言えるかもしれません。ただし積分は積分定数を持つので、フローからだけではストックを作れません。 この節では前編集者が試みた経済学を会計学と関わらせて語るという試みを、現編集者が多少修正して記述している。 簿記（ぼき、英語: bookkeeping）とは、企業などの経済主体が経済取引によりもたらされる資産・負債・純資産の増減を管理し、併せて一定期間内の収益及び費用を記録することである。再びWikipediaから引用。 普通高校では簿記の学習はない。主に資格取得としての学習だというイメージはある。 ====お金に関するフローとストック、具体例==== 例えば… Aさん：貯金が10億円あって1億円の家に住んでいるが、就職していなくて給料の収入が0円。 Bさん：貯金は1000万円で3000万円の親元の実家に住んでいる、会社勤めしていて年収が500万円。 話を簡単にするため、AさんもBさんも株投資や不動産投資はしていないとする。 経済学や経営学では、貯金や、保有する不動産や保有株式そのものの相場での購入費用などの金銭的価値などを合わせてストックとする。 いっぽう、収入や、株の配当益、不動産などを他人に貸したときの賃貸収入などの運用益はフローですね。 つまりAさんはストックが11億円で、フローは日々の支出という事になります。 Bさんは、まあ、ストックは4000万程度、日々の収入や支出がフローになる。 AさんBさんの生活、どちらがうらやましいか、意義がある生活か、豊かか、などの議論は無意味でしょう。人生いろいろ、お金も色々経済もいろいろ。 ===会計との関係=== 複式簿記などの会計の勉強をするときは、簿記では「フロー」と「ストック」という用語こそ使ってないものの、フローとストックを区別することになります。 GDP や GNP はフローについて語っていると見ていいですよね。 経済計算ではフローに関する話題の方が多いでしょうか。 例えば国家全体に関するストックを見るには、まず国家貨幣がどのくらい流通しているか、そしてその他に金銭的価値を持つものとして、土地、建物、証券、各種動産不動産、機械類や芸術品、貴金属・宝石など、価値のあるものはすべて資産としてのストックになるでしょう。 過去のある年度から現在までの各年ごとのGDPの累積額をストックとする計算法もあります。 しかしGDPとは生産その物で、生産物には資産として残るものもあるが、一方でその場で消費されるもの、無形の行為も生産の一つではある。 固定資産、建物や機械設備などの減価償却によって、ストックの資産価値は下がっていくと見れるから、ネット計算で、つまり国民純生産（NNP）の累積額で計算する方式をとる方が良いかもしれない。 ==諸概念== === 機会費用 === 経済学上の概念の一つとして、機会費用（opportunity cost<ref>『ビジネス基礎』、実教出版、令和2年12月25日検定、令和4年1月25日発行、P62</ref>）、というものがあります。 端的に解説すると、ある状況で最善の選択をした時に、残されたほかの可能性で最善の物の価値を言います。 例えば… 大学4年生が今年卒業だったはずなのに留年してしまった場合… ならばその年は普通就職して200万円くらい年収があったはずなので、これが機会費用になりますね。 つまり留年というのはそれほど最善手ではありませんが、図らずもしてしまった場合は、200万の機会費用を費やして、その状態に至ったと見る。 そして留年した場合はさらに学費もかかりますね。これは一般的には機会費用ではなく、学業のための費用になります。 しかしこれはあまりいい例ではないように思える。 前編集者の記述に基づいてこの例を書いたが、そもそも機会費用の議論というのは、経済行為のうちの収益が多い最善手を見つけ出したいがための議論だろうし、いくつかの行為の可能性を見た上で、どれが最善手か知るための議論でもあるだろう。仮に機会費用が多くかかっても、その行為に意味があると見なす場合もある。 ===パレート最適=== Pareto efficient. 他の誰かの状態を悪化させることなしに、ある主体の状態を改善できないこと。つまりその主体の現在の状態は改善できる可能性はあるのだが、それは必ず他の主体の状況の悪化が必要になるので、これ以上は改善を試みないのが正解、社会的に最適な状態とみる。 イタリアの経済学者、パレートが提唱した概念。 パレート効率と呼ぶこともある。つまり個人では最適ではないが社会的には効率の良い、いい状態だという事だろう。 パレート効率的な状態、具体的には、100人の民間人がいてある生活を続けている時、 政治家が特定の主体の状況を良くしたくて政策を変えたとして、どう政治行動しても、その100人の誰か一人以上に不利益・不満などを与えてしまう事になるのなら、経済政策を変える前のもとの状態がパレート最適、パレート効率的という事になる。 しかしパレート最適な状態にある時、それが本当に一般的な意味で最適、最高の状態であるわけではないだろう。 とりあえず状況を変えると誰かが必ず悪い状態になるのだが、Aが多少悪い状態になったとして、Bが少しでも良い状況になる方が必要、危急かもしれない。 そもそも最初の時点でAが不当に良い状態で、Bが不当に悲惨な状態かもしれない。 そしてパレート最適な状態も複数ある。この効率を得ているのは一種の平衡状態だが、最善ではない。徹底的に最善を求めた時、必ずパレート最適の複数のうち一つになるだろうか? そもそも最適な状態とは何? 誰にとって? 社会にとって? 社会とはだれのこと? そこに含めていない人はいない? 経済学者スティグリッツは、パレート効率的とは単に効率的でない状態よりは多少ましな状態に過ぎないだろうと書いている。経済学で言う「効率」とは、通常パレート効率の事だろう、という。出典、『スティグリッツ入門経済学』（和訳は東洋経済から）。 しかし最初の定義に戻ると、ある特定の主体の状態が問題になるわけだから、その特定の主体の状況を改善させる必要がどうしてもあるなら、パレート平衡を破って他の主体の状態を悪化させることになるだろう。 === 価格統制 === 経済政策の経験則として、（独占市場ではなく）競争市場における価格統制は、結果的に混乱をもたらすことが多いとされ、あまり好ましくないという。クルーグマンやスティグリッツやマンキューなど、多くの経済学者も、彼らの教科書で、それを説明している。 クルーグマンは、ベネズエラ国のチャベス政権での食料価格統制の結果として、ベネズエラ国で食糧難が実際に起きたと主張している。 価格を低く強制するなら、供給は減るだろう。 スティグリッツは、価格統制という方針は政府の市場介入としては悪手だ、という。 むしろ買い手に補助金を与えては?、という事だが…。 クルーグマンは独占市場では、価格統制も世の中に不利益を与えないという。 一方現実では、ニューヨーク、借家業界では家賃の価格統制が行われている。クルーグマンやマンキューは、この家賃の（上限）価格統制により、おそらく修繕などの費用が削減されて、低品質な住宅が供給されている、と指摘している。 価格の上限、価格統制、行政などが、超えてならない価格を設定することを英語では price ceiling といい、日本語では「価格の上限」または「上限価格」と訳す。 下限価格(price floor)規制もまた、別の問題を引き起こす。輸入品が極端に安価になると、自国の農業を助けるために価格の下限を決めるが、供給過剰になり、政府の買い上げなども起きる。 買い上げた後の廃棄なども起きるだろう。事実上売れなかったり、価格暴落を下げるため、最も下限価格はあるのだが、市場の自然な圧力は発生する。 下限価格により、自然な状態より値が高いので、過剰品質やオーバースペックなサービスの付加にもつながる、と、クルーグマンなどは説明する。 === 失業 === ====フィリップス曲線==== フィリップス曲線という理論が知られていて、インフレ率と失業率は、おおむね反比例すると主張されている。 これは、日本の1950年代～1990年代まではよく当てはまる<ref>福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』、有斐閣、2016年3月30日第5版第1刷、299ページ</ref>。 しかし、第二次大戦後から2000年までのアメリカ合衆国はこれに当てはまらない<ref>福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』、有斐閣、2016年3月30日第5版第1刷、302ページ</ref>。 インフレ率と失業率を加算した指標のことをミザリー指数（misery index）（ミザリーとは「悲惨な」というような意味の英語）というが、第二次大戦後のアメリカ合衆国ではこの指数は通常10％前後だが、1975年と1980年にミザリー指数が上昇して数か月～1年程度のあいだ20％近くになり、悪化した。 フィリップス曲線はもともとは、失業率と貨幣賃金上昇率に関する議論だったが、これが後に物価上昇率に関しても言われ始め、さらにT.フリードマンは、ここでは実質賃金上昇率について考えるべきだと主張し、さらに、予想物価上昇率も加えた新しいフィリップス曲線を提唱した。 ====構造的失業、摩擦失業、需要不足失業==== 構造的失業（structual unemployment）。企業が求める労働者の性質や地域、と労働者側の状況、条件が異なっているために、景気や需給関係では解消されない慢性的な失業。求人ニーズと求職者ニーズが一致せず、ミスマッチが起きている。 需要不足失業。求人が減っている、景気後退期に起きる。 摩擦的失業（frictional unemployment）。次の仕事を見つけるための過渡期、仕事自体は簡単に見つかるが、そこに就くまでに失業状態がある。 世の中の傲慢な愚か者たちの間では、失業するのは本人に何らかの問題があるから、能力や適性がないから、との考えが根強いようで、とりあえず公共の失業対策では、いい加減な講師による職業教育、訓練がなされるが、基本的には馬鹿げたことだろう。 勿論特定の職業実践に有効な、訓練や学習は確実に有意だが、現実にはそれが適切に提供されているとはいいがたい。 例えばこれはフィクションではあるが、カンヌ映画祭でパルムドールを獲得した、『[[w:わたしは、ダニエル・ブレイク]]』などを観ると、この問題の周辺でいかに馬鹿げたことが現実に起きているか良く解るだろう。 基本的に失業問題で公共がする一番の、そしてあるいはひょっとしたら唯一の重要事は、求職者と求人者の間の関係、橋渡しを上手に作る事だろう。 ;完全雇用 full employment. 現行の賃金水準で就業を希望する人、そして就業に適した状態にあるすべての人が雇用されている状態。ケインズは非自発的失業、摩擦的失業、自発的失業の3つの分類を語り、求人需要が十分で非自発的失業の無い状態を完全雇用と考える。 ;季節的失業 たとえばアメリカでは、建設業では、冬はほぼ毎年、仕事が減るのでその業界での失業者が増える。特定の季節にだけ失業者が増える業界があり、このような定期の失業のことを季節的失業という。 ====自然失業率==== natural unemployment rate. 期待インフレ率と現実のインフレ率が一致し，実質賃金による労働力需給の調整が達成されるような長期均衡状態において成立する失業率。 …というのは、ブリタニカ小項目事典からの引用だが、 この文章からだけでは、どういう事か理解するのは難しいだろう。 前編集者は実際にはあまり「自然」に見えない、と記述しているが、本来の、短期ではなく長い目で見ると行き着くであるだろう、失業率、という意味で、自然という言葉がそれほど"不自然"、な訳ではない。 基本的には多少の失業者はいるものだろう、摩擦的失業や、自発的失業、そして口では働きたい働きたいと言いつつ、実際には人間はあまり働きたくない^^;;;、何となく失業者になりたがっている^^;;;;;…。 自然失業率という概念は、主にフリードマンが提唱したらしい、フィリップス曲線からの類推から、インフレにより失業率が減らせるという主張があり、それに対する反論でもある。 20世紀後半の代表的な経済学者サムエルソンが、自然失業率を正確に測定できた者は いまだに一人もいないと、著作『経済学』で述べている<ref name="nm">根井雅弘『サムエルソン『経済学』の時代 』、中央公論新聞社、中公選書、2012年1月10日初版発行、P68</ref>。 仮に自然失業率なる概念が明確に規定できるなら、我々の社会でその値がある程度明確に時間に応じて存在すると見れるだろう。それを統計調査で測定し、明らかにしたいのだが、この測定はやはり完璧に正確にはいかない。しかしサムエルソンの主張はそれ以前の問題。概念も測定もいまだ相当あいまいだという主張だろう。 サムエルソンは2009年に死亡した。彼は自然失業率は、長期的には安定した数値ではなく、そのため、ある程度の幅を持っていたり、あるいは複数の幅を持っている<ref name="nm" />、と云う。 冷戦崩壊や日本の1990年前後の不動産バブルについてはサムエルソンの著作は言及できたものの、しかし2008年前後のリーマンショック・サブプライム危機については言及が乏しいと考えられる（※ wiki著者がまだ未確認）。 余談だが、サムエルソンの経済学教科書『経済学』は、日本では『サムエルソン経済学』などと言われるが、実際は1985年以降の版は経済学者ノードハウスとの共著である（和訳本『サムエルソン経済学』の表紙を良く見ると、原著者ノードハウスの名前も入っている）。 =====自然失業率の算出===== 景気の変動などで実際の失業率はやや周期的に波上に上限に変動するだろう。 実際の失業率を、一定期間の平均的な高さの曲線でならしたものが自然失業率である、という見方がある。 この平均曲線の失業率と、実際の失業率とのずれの分を、循環的失業（cyclical unemployment）、とも云う。 フィリップス曲線の理論と関連づけるなら、インフレが進行したときの失業率の減少は、この循環的失業の部分だとされている（とスティグリッツは言う）。また、政府の経済対策などの成功によって減少できる失業率も、この循環失業率の部分だけである（と、スティグリッツは言っている）。 しかしマンキューは、スティグリッツのような意見には反対していて、自然失業率は経済政策の影響を受けないとは限らない、と主張している。 このスティグリッツとマンキューの差異のように、自然失業率の細かい定義はあまりはっきりしていない。 ==実質という指標== 貨幣は絶対の固定された価値を持つものではない。経済の様々な指標は貨幣値で示すものだろうが、時期により貨幣の価値は変動している。だから様々な指標に貨幣の額面ではなく、物価の変動を考慮した補正を加える。 これが、実質〇〇（real 〇〇）だろう。具体的には、実質GDPや実質利子率などがある。 たとえば、実質利子率は、次のように引き算で定義される。 :実質利子率＝名目の利子率－未来のインフレ率の予想値 例えば、まあ金額が少なすぎるが、例え話で銀行に100円預けたとしよう。これで、1か月後に利子が10円つくとする。これで名目利子率は、10% 。そして一か月後に10％のインフレになると予想されていると、実質利子率は0%だよね。これはどういうことだろう? 仮に予想通り、一か月後に10%のインフレ、物価高になったら、100円で買えたものには110円払わなければいけなくなる。名目利子率が10％なら、戻ってくるお金は110円だろう。つまり実質の利子は0％、預けたお金と同じ価値の貨幣が、銀行から返ってくる。 そして、もしこのインフレ状態で銀行に預けず、その資金を投資にも回さなければ、持っている100円の価値は100/110に下がっているだろう。 だからもし実質利子率がマイナスになっても、インフレで貨幣の価値は下がるが、事実上利子はつくのだから、やはり銀行に預けた方が得という事になる。 しかし予想値はあくまで予想値、この辺なんらかの欺瞞も、現実には多くあるような気もする。 ===物価の指数、インフレ率をどうやって導くか?=== 物価高とか、物価が低いと言ったところで、商品やサービスごとに価格の変動は異なるだろう。 インフレ傾向だと言っても、価格が下落している商品もあるだろう。 そこで総合的なインフレ率、物価動向を示す指数は、様々な算出法が考えられることになる。 「物価指数」とは、市場にある数種の商品の価格を実際に行政が調べて、基準年から何倍になったかを表している。 たとえば、リンゴでもハンバーガーでも何でもいいのだが、たとえばリンゴが基準年から20% 価格上昇したら、リンゴの物価指数は1.2（＝1＋0.2）ですね。 そして物価指数というのは、社会の物価を総合的に示す指数であるので、いくつもの商品の価格の変動を考慮して算出する。 そして消費者にとって重要な商品と、生産者にとって重要な商品は違う。 だから、「消費者物価指数」（CPI, consumer price index）と「生産者物価指数」（PPI, producer price index）という、それぞれ別の物価指数が算出されている（少なくともアメリカでは）。 さらに、GDPの計算のときに使う物価指数は「GDPデフレーター」といい、消費者物価指数とも生産者物価指数とも異なる。 GDPデフレーターは、名目GDP から実質GDP を求めるときに算出する物価指数で、これも、物価が高ければ1 （ 100分率の場合は100 )を超える。 :実質GDP ＝ 名目GDP / (GDPデフレーター[100分率]/100) ですね。GDPデフレーターは実際は100分率で示す場合が多い。 事実上、物価指数の計算方法は、種々多様になるだろう。 GDPデフレーターの算出方法は、「消費者物価指数」（CPI）の方法に近いが、ある程度は異なる。実質GDPは国内総生産（GDP）であり、国内生産に関する商品の価格変化を重視し、いっぽう消費者物価指数（CPI）では、輸入品の価格も比較的に強めに考慮する。 事実上、「GDPデフレーター」とは、実質GDPの算出に用いる物価指数であり、『スティグリッツ入門経済学 第4版』もその文脈で解説している。 消費者物価指数とGDPデフレーターの関係、アメリカでは、1970年代の（2度の）石油危機のときに、2度、値が乖離した。 いっぽう同じ1970年代の日本では、CPIとGDPデフレーターはあまり、乖離しなかった。 ==金持ちはけち？いやー金持ちだろうが貧乏だろうが、けちな奴はけちだし、太っ腹(放蕩?^^;;;)なやつは太っ腹じゃあない^^？== ===先ず…=== GDPが高い国家は、消費も多くなるだろう。 消費額をCとして、所得をYとし、比例係数 k を用いて式 :C≒kY が、成り立つと考えてみよう。 所得以上に消費することは普通無いので、 :k<1 と、してみる。 また、ミクロ経済では、需要Dを、 :D ＝ j×Y ＋ 定数 の式で示す試みもある<ref>小室直樹『小室直樹の経済原論』、東洋経済新報社、2015年6月11日発行、P509</ref>。このような立式で、需要、消費、所得などを、数理的に議論する事が可能になる。 === 限界消費性向 === さて、誰がけちで誰が太っ腹かの話は、はっきり言ってどうでもいい事だろう。 先ずここで「平均消費性向」という言葉を提示する。これは、可処分所得に対する消費支出の割合の事だ。 ある人がある所得を得て生活している時、その可処分所得の中から、平均消費性向の分だけ消費として使っている訳だ。 そしてこの人の所得が増加した時、増加分のうち、消費に回す割合を、限界消費性向（MPC、marginal propensity to consume）、と、いう。 一般に経済学では、何か（金額など）の投入を1単位ぶん増やしたときに、増える出力の割合のことを「限界〇〇」という。 アメリカでの調査では、所得の大小に関わらず限界消費性向は0.8～0.9である、と、言われている。 クズネッツは1869～1938年の統計を見ると、限界消費性向は0.9である、と記述する。 ここで、仮に平均消費性向も0.8~0.9であるとすると、縦軸に消費額をとり、横軸に所得（可処分所得）をとると、このグラフは傾き0.8～0.9の直線になる。（『スティグリッツ入門経済学 第4版』、薮下史郎ほか訳、東洋経済、2012念4月5日 発行、）（クルーグマン『マクロ経済学』、大山道弘ほか訳、東洋経済、2009年4月2日発行、315ページ） だから、平均消費性向と限界消費性向の値が一致するなら、所得と消費は比例式だから、単に所得の内のある割合が消費になるし、そうでないなら、所得が増える程、財布の紐を締める、或いはその逆、という議論が可能になるだろう。 ===消費関数=== クズネッツ型の消費関数(consumption function)とは、前述した :C≒kY 、である。 日本などいくつかの国では、所得が増えるほど消費の割合が低くなる、という現象が、統計として見られる。 これはケインズ型の消費関数↓を使うと、うまく表現する事が出来る。 :c ＝ a + MPC × Yd :c: 消費 :a: 独立消費水準 :MPC: 限界消費性向 :Yd : 可処分所得 MPC＜1 でないと、一般的には意味を持たないだろう。 式中のaの部分、所得によらずにする消費のことを独立消費（antonomous consumption）というが、日本では基礎消費ともいう（※: 『基礎消費』の参考文献: 福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門 第5版』、有斐閣、2016年3月30日 第5版 第1刷 発行,32ページ） 独立消費水準が0 なら、これはクズネッツ型の消費関数だが、一般的には、クズネッツ型は比例式、ケインズ型は、所得に応じて消費の傾向が変わる状況を示す関数とみる。a>0 なら、所得が上がるごとに平均消費性向は下がっていくだろう。 中谷巌『マクロ経済学入門 ＜第2版＞』（日本経済新聞社、2007年1月15日、2版1刷、32ページ）は、1992年から1997年の日本の消費関数を :C＝76＋0.61Y としている。<!-- すじにくさん、これ単位は何なの?千円? --> 有斐閣アルマ『マクロ経済学入門』（福田慎一・照山博司,38ページ）によると、2004年、2009年、2014年の日本では、低所得者の平均消費性向は0.9に近く、年収1250万円ていどの所得者の平均消費性向は0.6～0.7程度と低い。 ケインズ型の関数はより一般化されているから、所得に応じた平均消費性向の変化を表現する事が出来る。 現編集者としては、このクズネット型とケインズ型の消費関数の違いについてああだこうだ議論することに大きな意味があるとは思えないが、長期スケールではクズネッツ型の短期スケールではケインズ型の消費関数が当てはまるという指摘もある。 しかしこれは本当だろうか? 短期の所得と消費の関係、長期にわたる所得と消費の関係、この兼ね合いは、まず数理的な扱いの検討が必要になるだろう。短期スケールと長期スケールが独立してあるわけではなく、短期スケールの積み重ねが長期スケールになる。しかし、この問題をそんなに徹底的に考える意義はあるだろうか? また前編集者はさらに、この問題には、「ライフサイクル仮説」という学説、も関連話題としてあり、多くの大学生向けのマクロ経済学の教科書で解説されているという。 *クズネッツ型とケインズ型 [[File:Consumption function of Kuznets and Keynes type compatible japaneseB.svg|thumb|500px|※ これは架空のグラフです。]] 数学的には、クズネッツ型の比例式を一次関数に一般化したのがケインズ型の消費関数だろう。 さて、今具体的なある年を考えて、この年に日本国籍を持っていた人物、というのは具体的に上げて、数え上げることができるだろう。そしてその具体的な人物の年収も、その年収のうちその年にいくら消費したのかも、具体的な数値、金額として示すことができるだろう。 例えばその数値を、1950年から、1999年まで、すべての日本人について、右のような所得→消費のグラフにプロットしたとする。 これを比例式で回帰したら、クズネッツ型の消費関数になるだろうし、普通に回帰直線を描いたら、ケインズ型になるだろう。 また、全てのデータを使わずに、1950年代、1970年代、1990年代、と、データを分けて回帰すると、おそらくケインズ型の回帰が見られるだろうし、あるいはまた、特定の傾向を持つ少数の人物の、長い時間にわたるプロット、例えばその間にインフレが進行するとか、あるいは所得も上がっているかもしれません、を回帰すると、クズネッツ型の関係が見いだされるかもしれません。 右上のグラフはそういう統計手段についてのイメージ図ですが、参考文献: 福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』37ページ図、2-3 にある第二次大戦後の昭和の日本の家計消費のグラフを、参照して作っています。 {{-}} *ピケティの言 クズネッツ型の、所得と消費の比例式は、主に所得格差の小さい時期に見られる様だ。 フランスの経済学者ピケティは、クズネッツ型の消費の比例関係は、アメリカで大戦後一時所得格差が小さかった時代、或いは社会経済の動乱期のデータで<ref>トマ・ピケティ『21世紀の資本』、訳 山形浩生・森岡桜・森本正史、東洋経済、みすず書房、2015年1月15日、13ページ・15ページ</ref>、格差自体は、どんどん広がっているので、消費は、ケインズ型の一次関数になっていくだろう、と、指摘する。 * 乗数効果 さて、あなたが消費したお金は、誰かが受け取り収入になる。その誰かもまたそのお金を消費すると、また別の誰かの収入になる。 お金や人々の手から手へ廻っているのですね。 では今、ある人、 Aさんの年収を 1000万円としましょう。そして、現実にはあり得ないことですが、 Aさんが消費したお金はすべて Bさんの収入になるとしましょう。そして同じような関係が、 Bさん、 Cさん、 Dさん、…と、続いていくとしましょう。そして今平均消費傾向が限界消費傾向 MPCと等しいとすると… :Aさんは 1000万円 の収入を手にしたので MPC × 1000万円 の消費をすることになる。 :Bさんは MPC ×1000万円 の収入を手にしたので MPC² × 1000万円 の消費をすることになる。 :Cさんは MPC² ×1000万円 の収入を手にしたので MPC³ × 1000万円 の消費をすることになる。 :Dさんは MPC³ ×1000万円 の収入を手にしたので MPC⁴ × 1000万円 の消費をすることになる。 つまり、一人の消費が、別の消費を数珠つなぎに引き出していることを示したいのです。 ここで、このつながりが n人に及べば、Aさんの消費が最終的に :<math>MPC+MPC^2+MPC^3+MPC^4+\cdots+MPC^n</math> 倍の消費を生み出したことになる。 収入の和を考えれば、 Aさんは 1倍の収入があるから、 :<math>1+MPC+MPC^2+MPC^3+MPC^4+\cdots+MPC^n</math> これは等比数列の和ですね。 ここで無限に足し合わせた級数を考えると、0<=MPC<1 に注意して、 <math>1+MPC+MPC^2+MPC^3+MPC^4+\cdots+MPC^n+\cdots= \frac{1}{1-MPC}</math> と、なります。 実際には人口は無限でありませんが、十分に大きい数をとると、この値にほぼ近くなるとみていいでしょう。 そこで消費傾向が0.9 なら、<math>\frac{1}{1-MPC}</math>は 10になる。 このように、何らかの消費や投資の効果は増加、増殖する、と、考えられています。 さて、 :1－MPC は貯蓄性向（正確には限界貯蓄性向 MPS）。 そこで、 :<math>\frac{1}{1-MPC}=\frac{1}{MPS}</math> になります。 ここでは、0<MPS<=1 ですね。 つまりこの発想で考えると、貯蓄の割合を多くすると世に出回るお金の量が少なくなり、社会経済、景気が停滞し、発展が閉ざされ、生活が貧困になる、つまり合成の誤謬が成立するわけです<ref>[http://park.saitama-u.ac.jp/~yanagisawa/het10/44-61.pdf 柳沢哲哉『第５章 ケインズの経済学』、埼玉大学、「経済学史特講」講義]P51</ref>。 *預金は銀行が借入しているのだろう {|class="wikitable" style="float:right" |+ 信用創造 ! 銀行・借入者 !! 預金・借入金 !! 支払い準備金・内部留保や消費 !! 貸し付け金・預金 |- ! A銀行 | 　100万円 || 　20万円 || 80万円　 |- ! B企業 | 　80万円 || 　16万円 　 || 64万円 |- ! C銀行 | 　64 || 　12.8 　 || 51.2 |- ! D企業 | 　51.2 || 　10.24 　 || 40.96 |- ! 以下省略 | 　 || 　 　 || |- ! 合計 | 　500万円 || 　100万円 　 || 400万円 |- |} 家計が銀行に預金をすると、銀行にとって貸出資金が増加し、それが金融市場に流れ、企業や他の銀行も資金増加になり，社会全体で多くのお金が動くとみなせる、このような考え方を信用創造という。これは高校政治経済でも言及されている。 右の表では、例えば誰かが A銀行に 100万円預金する。 A銀行は預金のうち 80%の 80万円を B企業に貸す。　B企業は、まああまりリアリティのない仮定だが、 20%を運転資金として消費し、 80%を C銀行にいったん預ける。つまり、銀行も企業も 20%を留保または消費して、 80% を他者に貸す。 そうすると預金を債権とみなすとして、 :信用創造された債権総額=元の預金/0.2 と考えることができる。 これは前述した等比級数の考え方だ。 :信用創造された債権総額= 元の預金× (1 + 0.8 + 0.8² + 0.8³ + ･･･) ::= 元の預金×（1/(1-0.8)） 預金だけを考えれば、 :信用創造された預金総額=元の預金/(1-0.8²) に、なるだろう。 信用創造を考えるとき、元の預金のことを「本源的預金」ということもある。 しかしこれは又貸しモデルといい、実際の信用創造のモデルとは異なる。銀行が契約して預金通帳に金額を書くだけで預金が増加することが実際の信用創造であり、本源的預金は貸出資金にされている訳ではない。実際の信用創造で増加する預金を万年筆マネーという<ref>[https://www.jikkyo.co.jp/sys/wp-content/uploads/2026/02/9992661283.pdf 中里透『教科書の中と現実の「信用創造論」』、実教出版、地歴・公民資料97号、2023年09月25日 発行]</ref>。 ===ハンセン＝サミュエルソンの乗数・加速度モデル=== さて、ケインズ型の消費関数は以前、 :c ＝ a + MPC × Yd :c:消費 :a:独立消費水準 :MPC:限界消費性向 :Yd :可処分所得 と、記述した。 ここで消費c ではなく、所得Y に注目する。そしてむしろ国全体の所得、生産に着目し、つまり GDPを見るのだが、似たような形式の数理議論がある。 [[w:乗数・加速度モデル]]。 :<math>Y_t=C_t+I_t</math> :<math>C_t = C + cY_{t-1}</math> :<math>I_t = I + v (Y_{t-1}-Y_{t-2}) </math> ただし、 * <math>Y</math>： GDP * <math>C</math>： <math>C_t</math>はt期の消費。<math>C</math>は基礎消費。 * <math>I</math>： <math>I_t</math>はt期の投資。<math>I</math>は独立投資。 * <math>c</math>： 消費性向 * <math>t</math>： t期(時間) * <math>v</math>： 加速度係数 この連立式から、 <math>Y_t=(c+v) Y_{t-1}-vY_{t-2}+(C+I)</math> を導き、時間に対応する数列としての GDPを議論できる。 ==貨幣数量説== まず名目GDP の一番基本的な定義から考えてみよう。ある期間の、ある国に所属する経済主体の、売り上げから原材料費を引いた金額の総和がこれであろう。 そして売り上げそのもの、つまり原材料を引かない金額の総和も考えることが出来るし、そしてこれは大雑把に言えば，GDP に比例しているとみなすこともできる。 そしてまず、このような式を提示しよう。 :貨幣の流通速度 V ＝ 名目GDP / 貨幣量M 速度というのは単位時間ごとの値だが、ここでは例えば、名目GDP が 3か月の値なら、3か月の量を示しているわけだ。 さて、名目GDPは、販売された商品の価格に含まれる製品一個当たりの付加価値 P(販売価格から原価をひいたもの)とその個数の合計 Yとの積 ΣPY に等しい。 :<math>\sum_{k=1}P_k Y_k=P_1 Y_1+P_2 Y_2+P_3 Y_3+\cdots</math> つまり、こうですか。 :MV＝名目GDP＝<math>\sum_{k=1}P_k Y_k</math> さて、先ほど売り上げそのもの、つまり原材料を引かない金額の総和について書いたが、これは荒くとらえて名目GDP に比例するとみてみようと言及したが、製品一個の付加価値ではなく価格をP' とすると、 :bMV＝b*名目GDP＝<math>\sum_{k=1}P'_k Y_k</math> そこで、貨幣の流通速度の別解釈を提示しよう。 :貨幣の流通速度（別） V' ＝ b*名目GDP / 貨幣量M これはこうなるでしょう。 :MV'＝<math>\sum_{k=1}P'_k Y_k</math> さて、ここでですねー、こういう値を考えたい。 <math>Y=\sum_{k=1}Y_k</math> こうなると、この値、P' を求めることが出来るでしょう。 P'=<math>\frac{\sum_{k=1}P'_k Y_k}{Y}</math> 結局 MV'=P'Y :菅原晃『使えるマクロ経済学』、中経出版、2014年10月14日 第1刷発行,178ページ、 :では、『貨幣数量説』の公式として、 ::「貨幣量×世の中を回った回数＝物価×取引量」 とある。 :菅原晃『使えるマクロ経済学』、中経出版、2014年10月14日 第1刷発行,203ページ、 :では、『貨幣数量説』の公式として、 ::「供給:貨幣量×世の中を回った回数＝需要:物価×取引量」 とある。 この形の公式を「数量方程式」（quantity equation） と呼んでみましょう。また、この公式であらわされる学説を「貨幣数量説」という場合もある。 右辺に価格が入っているので、物価のインフレまたはデフレの解析に、この貨幣の流通速度の理論が使えそうだと経済学では思われている。 アメリカ経済学の教科書のスタイルではP×Y は 名目GDP に等しいと説明されるが、P' と同様に一般的な付加価値、P を求めることが出来るから、正しい主張でしょう。 PをGDPデフレーターとして、Yを実質GDPとして :MV ＝ PY という書き方が、各種教科書でなされることも多い。どちらにしろP*Y は名目GDPになるわけです。 前編集者は :MV'＝物価×取引量 ∝ 名目GDP :MV'＝物価×取引量 ∝ 実質GDP × インフレ率 という関係式を得て、それを経済モデルに合うように連立させることが重要、と記述していたが、現編集者はこの手の数理議論にはあまり大きな意味はないと思っている。 ===マーシャルのk=== さて、前項で、 :MV＝名目GDP=PY :MV'=P'Y :M:貨幣量 :V:貨幣の流通速度α :V':貨幣の流通速度β :P:一般化された付加価値 :P':一般化された価格 :Y:財、サービスの取引数 ここで前回の議論にもあったように、 P'Y=b*PY としてみると、 M=(b/V')*P*Y そして、 M=k*P*Y このk が、マーシャルのkであるかは定かではないが、彼の議論の片りんを見るものとみていいだろう。 統計的には k は定数ではない。（※参考文献:中谷巌『入門マクロ経済学 第5版』、日本評論社、2007年3月30日第5版第1刷発行、192ページ） たとえば中谷は参考文献『入門マクロ経済学第5版』で、日本では1970年代はマーシャルのkが 0.7 程度だったが、しだいに増加していき、2004年には k は 1.4 程度であるとグラフで図示している。 :※福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』（有斐閣、2016年3月30日第5版第1刷発行、141ページ）では、文中に「右辺の定数k」とある。しかし、中谷の文献で紹介されるように、統計的にはkは定数ではない。数学的にはkは、「右辺の'''係数'''」である。 k=b/V'でもし bが定数なら、貨幣の交換が少なくなるほどk が大きくなる。 だから、いわゆる「デフレ経済」と言われる日本の1990年以降の時代（平成初期の不動産バブル崩壊の以降の時代）でマーシャルのkが増加するのは常識と一致するのだが、しかし中谷の文献のグラフを見ると、1970年代も1980年代でもマーシャルのkは増加傾向であるのが、グラフから読み取れる。（しかし中谷は、不動産バブル崩壊以前のマーシャルのkの増大には注意を払ってない。） そしてこの式は、こう読める。 :M＝k*名目GDP （参考文献:菅原晃『使えるマクロ経済学』、中経出版、2014年10月14日第1刷発行,203ページ。この文献では「貨幣量＝GDP」という図とともに「k％ルールが有効！」という文言が図中にある。 ） このkを、経済政策の目安にするのが良いだろうという学説があるらしく、フリードマンがそのような学説を提唱したらしい（菅原の文献を読んだ限り、そういう印象を受けた。By E.Suj.）。 ==インフレは好ましいか?== 経験的に、経済政策として、インフレ率2～4％程度の緩やかなインフレを目指すことが、多くの国で行われている。 クルーグマンが『マクロ経済学』（2009年版、472ページ）で報告するには、アメリカのFRBは方針こそ断言してないが、その実行結果から、2～3％ていどのインフレ率を好んでいる、と、云う。また、イングランド銀行はインフレ率を2.5％とすると明示的に公表している、と同ページに記述されている。 なお、この2%のインフレ率のように、比較的に低率でのインフレのことをクリーピング・インフレ（creeping inflation）という。クリーピングとは「しのびよる」という意味の英語である。1～3%程度のインフレ率が、クリーピング・インフレだと言われている。 また、スティグリッツは、もし政府がインフレを嫌ってデフレを誘導すると、一時的には失業率が増加する、と述べている（『スティグリッツ入門経済学 第4版』東洋経済、432ページ）。 しかし、この低率のインフレが好ましいという議論は、論理的に明快に因果関係が説明されているわけではない。少なくとも、『クルーグマン マクロ経済学』や『スティグリッツ入門経済学』を読んでも、そのインフレ率2～3%程度が好ましいという論の明確な説明は全く見当たらない。 スティグリッツは、循環的失業の増加は低インフレをもたらし、循環的失業の減少は高インフレをもたらす、と述べているが、しかし彼以外のクルーグマンもマンキューも、スティグリッツのような主張は（調べたかぎりでは）していないようである。 ==ケインズ政策== アメリカの1940年代のニューディール政策は、1930年代のケインズの経済理論が根拠になっている、とよく言われる。しかしそれ以外にも参考にした具体例があったようだ。 例えば、1930年代の日本の高橋是清・蔵相の不況対策で、似たような積極的財政政策がとられている<ref>福田慎一・照山博司『マクロ経済学・入門』、有斐閣、2016年3月30日第5版第1刷、194ページ</ref>。 1930年代のドイツでの独裁者ヒトラー政権下でも、ドイツ人経済学者シャハト博士の助言のもとに、公共事業（高速道路アウトバーン建設など）や軍備増強など、積極的にドイツ政府は財政拡大をして投資した<ref>たとえば 犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P142</ref>。もっともこのころのドイツの軍備増強は、誰もが知るところだろう。だからこそ、第二次世界大戦の大騒ぎが実現したわけだ。 まあ軍備増強を公共投資と言っていいのかは疑問だが、当時のヒトラーの経済政策の果敢さは、彼の国内での、あるいは国外でも、人気拡大に一役買っただろう。 詳しい文脈は不明だが、森嶋道夫『思想としての近代経済学』（岩波新書、1994年）に、経済学者ヒックスが森嶋に「戦前はヒトラーの時代であった。戦後はケインズの時代になろう」と述べたことが記されている<ref>小室直樹『小室直樹の経済原論』、東洋経済新報社、2015年6月11日発行、P541</ref>。小畑二郎『経済学の歴史』にも似たような話が書かれている。 1940年代アメリカのニューディール政策はケインズの理論だけではなく、当時の様々な前例も参考に行われたのだろう。 さて近年、2008～2009年ごろのリーマンショックやサブプライムショックなどの対策としても、銀行の救済や公共事業などによる積極財政や金融政策がとられている。 ケインズ政策、ケインズ主義とは、不況対策や経済発展などのために政府が積極的に公共事業や融資や民間への資金援助などを行う政策をいうのだろう。ケインズ自身は、大恐慌に対する処方箋として、利子率の切り下げ（金融政策）と社会基盤への政府投資（財政政策）を示していた。 リーマンショック対策でケインズ政策はひとます成功したし、今でもこの政策が不況対策として有効だと、一般に認知されている。 ケインズの議論はケインズ経済学というマクロ経済学の主要な学派になっている。ケインジアン、という言葉もある。 一方でケインズ政策を実行すると、その国は多くの場合財政が悪化する。具体的には、国債を増発するようになる。第二次大戦後のアメリカ合衆国はそうなった。 この借金による国家運営の問題点をなくすために、ケインズ主義に代わる新しい経済思想がアメリカやイギリスで必要になり、1980年代にはレーガン大統領のレーガノミクスやサッチャー首相のサッチャリズムのような「新自由主義」が政治の表舞台に現れてきた。 *ハーヴェイロードの前提 ケインズ自身は、恐慌の時期には政府は借金をして投資しても、恐慌を脱したら財政規律を高めて赤字財政を回収して均衡財政に戻すべきと考えていた<ref>[http://park.saitama-u.ac.jp/~yanagisawa/het10/44-61.pdf 柳沢哲也『第５章 ケインズの経済学』、埼玉大学、「経済学史特講」講義]P58、2022年4月6日に確認.</ref>。 しかし、実際の多くの戦後先進国では、そのような政策はとられず、20世紀後半に赤字財政に陥った国も少なからず存在する。 WW2戦後のインフレには、このような赤字財政という背景もあったと、経済学者ブキャナンなどの新自由主義者は述べている<ref>[http://park.saitama-u.ac.jp/~yanagisawa/het10/44-61.pdf 柳沢哲也『第５章 ケインズの経済学』、埼玉大学、「経済学史特講」講義]P58、2022年4月6日に確認.</ref>。 ケインズの議論には、政府の経済政策には賢人としての高度な判断があるという、「ハーヴェイロードの前提」がある。ハーヴェイロードというのはケインズが生まれ育ったイギリスケンブリッジの土地で、知識人が集まっている場であった。 戦後の経済がケインズの当初の予想通りの均衡財政にならなかったのは、政治家の堕落（だらく）であり、為政者としての責任感の欠如だ、という指摘もある。つまり「ハーヴェイ・ロードの前提」が政治家に欠けている、という事だろう。 一方ケインズ経済理論を批判するブキャナンたち新自由主義の経済学者は、むしろ「ハーヴェイ・ロードの前提」が非現実的だろう、とも語る。 そして前編集者は、堕落しているのは政治家ではなく、むしろ民衆だろうと記述している。正しい政治家に投票できない民衆がおごりの中で政治家を批判しているだけだろうと指摘する。 しかし仮に民衆が堕落しているのなら、政治家も等しく堕落しているだろう。 全ての人間が公平に堕落しているのが現代社会だろう^^;;;。 赤信号、みんなで渡れば怖くない^^;;; *貨幣錯覚 ケインズの一般理論でも、「貨幣錯覚」については言及されている。本来貨幣は定まった価値を持つものではなく、一般的絶対的な価値に対して、必要な額面が大きくなったり小さくなったりする。つまり財やサービスに必要な貨幣の額面、物価が高くなったり低くなったりするのだ。 だから本来貨幣は名目、額面としての数字ではなく実質の価値が問題になるのだが、実際には人々は貨幣の額面の数字に捉われる。 多くの労働者も、実質賃金ではなく貨幣賃金を見て行動する、という<ref>滝川好夫『図解雑学 ケインズ経済学』、ナツメ社、2010年11月21日初版発行、P60</ref>。 ケインズは緩やかなインフレを肯定した。また、インフレ誘導的な政策が、恐慌の脱出措置としてよく用いられる。 物価が高くなると、実質賃金は下がるが、それに合わせて名目の賃金を上げると、労働者は収入が上昇しているように感じるだろう（か?）。 *利子理論と物価 一般に、インフレなら名目金利を高くすることが可能だという{{要出典}}。 前編集者は物価に関する数理を欲していたが、ケインズの利子理論やそこから導出された、LS-IM分析は，その目的にはかなわないものだという。 ケインズは「一般理論」の著書で，2%という数字を利子率の基準として示した。<ref>[https://ynu.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main&active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=3118&item_no=1&page_id=59&block_id=74 石井力『先物市場の「流動性の罠」』,P82]2022年4月6日に確認.</ref>。一方、21世紀、主要な先進国が採用する物価インフレ目標も多くは2%である。 前編集者は物価と金利を結び付けた数理議論を求めているようだが、そういう論説はあまり世にない様だ。ケインズは金利の理論を展開したが、それと物価を結び付ける議論も、特にあまり見当たらないという。 しかし実際には全くそれがないわけではないだろう。一般的な議論として、政策金利を低くすると借金がしやすくなり、銀行のストックが減り世の中に貨幣が出回る。その結果貨幣量が増え、インフレ傾向、物価上昇傾向になると見れるだろう。 ロイター日本語版の2021の記事は物価目標2%と金利を関連づけて語っている<ref> [https://jp.reuters.com/article/column-suzuki-akihiko-idJPKBN2F60HR 鈴木明彦『コラム：所得増えぬまま物価目標2％達成なら、消費者から悲鳴か＝鈴木明彦氏』]2022年4月6日に確認.</ref>。しかしケインズの議論には言及がなく、その視点での分析も特に書いていない。 一般的に金利が高いと貨幣量が減り、デフレ傾向だが、不況に関してはどうなるだろう? 一般に金利と言えば貸金、預金の利率、貨幣を貸すときの手数料、利益と見ていいだろう。物価は生産物と貨幣の交換率、この二つの値の比較と重要性を語りたいのが前編集者の議論だが、例えば学問的な考察や議論で、詳細に拘らず、あるものを別の或るもので単純に置き換えると、面白い展開を迎えるというのは、往々にしてある。例えばケインズの利率を物価で置き換えたらどうだ? と、言うのが前編集者のアイディアではあろう。 日本の平成、「デフレ不況」と言われている状況では、金利も低く物価も低くなっている。1990年前後のバブル崩壊よりも前のころは金利は高かったろうし、物価も高かっただろう。 昔の主婦は金利の高い金融機関を探して選んで預金していたものだが、最近は預金に関してはあきれるほど利率が低い。 21世紀の日本の低金利は、日本の不動産バブル崩壊後、何らかの理由で金利を下げる必要があったのだろうと前編集者は考えているようだ、特に物価の下落を重要ファクターと見ている。日本の過去の不動産バブルは、不動産資産のインフレによる騒動と見ることが出来るだろうか。 長期的にはインフレ率と金利が近づいていくという指摘もある{{要出典}}。 '''クラウディング・アウト'''とは何か? 現編集者はむしろ、より詳しい方がここに記述してくれることを望むが、前編集者の説明では、国債や郵便貯金などの利率が高いとその商品が魅力的になるので、株式や投資、民間の債権などにお金が流れなくなる現象だと書く。 では国債や郵便貯金の利率は低いほうが良いのか?もちろんそうなれば財政も圧迫しなくなるし、が一方で公共にお金を貸す意思自体が減ると見られるかもしれない。 政策金利と呼ばれるものはまた別の利率だろうが、これが低すぎると'''流動性の罠（わな）'''と呼ばれ、景気浮揚や投資を増やす効果を持たなくなるという。 現編集者は実際は経済学も大した知らないが、前編集者の不適切な悪意に満ちた文章を何とかしたい一心で、いろいろ調べながらこの文章を書いているだけなので、いずれはより詳しく人間性も良好な人にこのページを書き足し修正してほしいのだが、とりあえず流動性の罠の原因については、「ゼロ金利の近くになると、これ以上は金利は下がりようがないのだから、つまり今後は国債などの金利が上がる可能性が高い。そこで、人々は値上がりを期待して、民間に投資をしなくなる」、という言説もあるようです。 つまりこの主張は、今金利が低いと、人々は将来上がると予想してそれを待つという事? そこで結局流動性の罠とは何かそれほど理解していないまま、文章を先に進めるが、経済評論家の三橋貴明氏は、平成のデフレ不況とは、『デフレ化において単純に「儲からないから投資しない」』現象だと著書で語っている。そのうえでとりあえず政策金利を下げればよいという、バブル崩壊後の日本政府の金融政策を批判している<ref>三橋孝明『黄金の拘束衣を着た首相』、飛鳥新社、2015年2月6日第1刷発行、P129</ref>。 そもそも新たな投資が頻繁になされることが絶対的にいい事なのか? 今現在の生産インフラが潤沢に回っていることで、いい経済状況だとはみなせないのか? 経済が貨幣でお金のことだと見てしまうのは、本質を見失わせるだろう。経済とは我々の日々の生産活動だし、貨幣はそれに従い、それを動かすためのツールに過ぎない。 さて、評論家犬走文彦氏は「金融危機があるレベルまで達すると、信用リスクを回避するためいくら金利が低くなっても金融機関が貸し出しを止めてしまう」と書いている<ref>犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P134</ref>。そもそも金利が低くなると貸し出す方に旨味はない。借りる方が得になるから、貨幣需要が増えるという事だろう。しかし金融機関は敢えて貸さない? しかし金融機関とは、貨幣を貸し出して利益を得ている法人だったはずだ。 兎に角細かい事や全体を見ないままとりあえず投資が増えればいいというのなら、そして、「儲からないから投資しない」というのなら、「投資しないと損をするぞ」といった内容の経済構造すればよいのでは? 、と、前編集者は指摘する。 つまり投資という仕事をさせたいから、鼻先にぶら下げる人参はもうないから、では鞭で打とう、と、そういう訳だろう。 インフレ誘導にはそういう意味があるのだろうね。現状がデフレやディスインフレならなおさらこの方法に行きやすい。しかしインフレ誘導が制御できなくなって、高インフレになると、多くの人々が困ることになるだろう。今現在(2023/2)、その傾向があると言えなくもない。 一方経済学者クルーグマンは『中央銀行が将来のインフレ率を公約する「インフレ目標」が、流動性の罠のもとでも有効であると主張した。』、という<ref>福山慎一「マクロ経済学入門 第5版」、有斐閣、P223（『』内は書籍の解説文の引用）</ref>。 「バランスシート不況」という考え方では、恐慌時などには投資家がリスク回避志向になり、不況時は銀行の行動パターンが投資から債権回収などに移るので、この時期に政府が金融政策しても、あまり効果がない、という<ref>犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P134</ref>。貸し渋りという事? お金を持っている人たちが貸したくなくなる? しかしファイナンス、貸金とはそんなに経済、景気の進展に重要な事なのか? 借りたお金が世の中を潤沢に回ることが本当に健全な事態なのか? 投資と融資は異なるだろう。投資とは生産インフラの資本、資産を買い、所有することだし、融資はお金を貸しているという事。債権は利子を付けていずれ回収したいが、投資は所有している場合は配当などの利益が期待できるが、株式などの形で売って貨幣を回収することもできる。 1990年前後の不動産バブル崩壊後、日本は2000年代初頭に、非伝統的な金融政策である日銀のバランスシートの拡大、およびそれらの量的緩和をインフレ率が安定的に0.数％になるまで続けるという政策を実施しました。<ref>福山慎一『マクロ経済学入門 第5版』、P224</ref> さて、もちろんケインズは我々の歴史の中で最重要の経済学者ですが、全知全能の神様ではない。その指摘や理論が徹底的に現実を示しているものではないでしょう。 前編集者によると、「ケインズ理論も新自由主義も両方とも間違っている」、という主張も結構多いという。「反経済学講座」（犬走文彦、新潮社、2009年8月20日）がそういうスタンスだという事だが…。 また基本的には、特にその会社の経営者、関係者は自分の会社が倒産することは望まないだろう。しかし世の中には自然淘汰を称賛し、弱者が滅びることが正しい事だと見做す考えも多いし、そこまで極論ではなくても、妥当な経営を出来ない会社はペナルティとして倒産やむなし、という判断は多くなされるだろう。前編集者は経済思想家ハイエクなどはそう考えていると指摘する。 基本的に弱者企業を補助金などで救済すること自体が、経済全体にとって悪い事だという主張は多い。ハイエクは、不況の救済のために必要以上の補助金を投入する事こそが、次のバブルおよびその破裂による恐慌をまねく、と、指摘したという。[https://bizgate.nikkei.co.jp/article/DGXMZO3466714028082018000000 『世界恐慌を予言した人たち～金融緩和がはらむ反動リスク 』 2018/9/18]。 ハイエクなどオーストリア学派は、不況を避けるという考え自体が不適切だろう、と主張したという。ある程度の不況の緩和を目指すことは認められるが、景気は循環するもので、無理やりそれを動かして不況を避けて矯正しようとすると、経済はかえって悪化する、と指摘する<ref>犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P154</ref>。 歴史的には大した恐慌対策を取らないまま、状況が改善した例もあるようです。1930の世界恐慌より前、1920年の恐慌は、自然に終息、回復を迎えたとオーストリア学派は主張しています<ref>犬走文彦『反経済学講座』、新潮社、2009年8月20日、P159</ref>。当時のアメリカは金本位制。第一次大戦の放漫財政で金の保有量が減っていたことから、対策をとろうとしてもアメリカ政府のハーディング大統領は対策をとれなかった、と、いう。 さて、一般的に、 Aならば Bでも、 Bならば Aであるとは限らない。 消費の低迷 → 消費依存型産業の物価デフレ この流れはどうですかね。需要が減れば、値は下がるでしょう。 消費依存型産業の物価デフレ → 消費の低迷 これは? まず単純に考えて、値が下がれば需要は増えるのでは? では… 消費の活況 → 消費依存型産業の物価インフレ これはありますよね。需要が増えれば値は上がる。 消費依存型産業の物価インフレ → 消費の活況 これはどうですかね。一般に値が上がれば需要は減る、売りたい人は増えますがね。 高度成長も終わった昭和末期の1980年代、日本はディスインフレでした。しかし消費は活況。1980年代後半には、バブル直前の黄金期を迎えたといいます<ref>藤巻健史『マネーはこう動く』、光文社、2007年7月30日初版発行、P59</ref>。 だからデフレと不況の結びつきはそれほど強固ではない。 ただ需要が低下すると、値は下がる、これが徹底的に続いているのがデフレ不況なのだろう。経済評論家・加谷珪一は「デフレが不景気を引き起こしたわけではない。不景気でモノが売れず、企業は安値販売を余儀なくされ、これがさらに物価と賃金を引き下げている。高く売ることができる商品をわざわざ安く売っていたわけではない点に注意する必要がある。」と語る<ref>[https://www.newsweekjapan.jp/kaya/2022/04/post-180_2.php 『日本だけ給料が上がらない謎...「内部留保」でも「デフレ」でもない本当の元凶』2022年04月01日（金）17時30分]2022年4月9日に確認.</ref>。 つまり需要がない。日本は物に溢れている、なんてよく言うが、それに類する事態だろう。 しかし需要がないという事は必要ないという事。物が十分にあるという事はそんなに働かなくてもいいという事? そんなに作らなくてもいいという事かね? しかし結局この国の経済状況の中で、失業したり貧困に陥る人はかなりの数存在する。 そもそも1960年代以降の47カ国のデータを調査した結果、マネーサプライの増加も、赤字財政も、金利の低下もインフレを引き起こさなかったという実証論文もあるようだ<ref>[https://econ101.jp/rapid-money-supply-growth-does-not-cause-inflation/ 『リチャード・ヴェイグ「マネーサプライの急激な増加はインフレを引き起こさない」（2017年1月16日）』、経済学101]</ref>。 ==完全競争== 高校の政治経済では、「不完全競争市場」の例として、寡占や独占などの事例を習う。不完全の反対が完全だろうが、寡占（かせん、oligopoly）や独占(monopoly)などの、競争をゆがめるような制限のない市場の状態のことをよく、完全競争（pure competition）という この言葉をより詳しく規定するとどうなるか? 次の五つの条件を満たすのが完全競争だという。（前編集者の定義） # 生産者（売り手）と消費者が十分に数が多いという条件。 # また、生産者どうしが談合などせず、競争するという条件。 # また、生産者どうしも独立していて、他の売り手に大きな影響を与えないという、生産者どうしの独立の条件。買い手もまた、他の買い手に大きな影響を与えないという、消費者どうしの独立の条件。 # 消費者はよく商品の情報（特に価格についての情報）を知っているという条件。 # その市場への参入と退出が容易だとする条件。 寡占や独占のもとでの市場競争は、この「完全競争」の条件が満たされてない。と、云うか一般的には完全競争の状態は現実には無いと見なされている。議論のための仮想的な市場状態だろう。 そして完全競争の定義は、論者や学派によって微妙に異なるようだ。ここでは５つの定義を上げたが、これが３つぐらいの規則から導かれる完全競争の性質に過ぎない、という議論もある。 ==不況と好況== [[File:Economic cycle.svg|thumb|450px|景気循環の図。グラフの波型の山の部分が好景気を表し、谷の部分が不景気を表している。<br> Expansion ：景気拡大<br> Boom　 ：好景気の頂点<br> Recession ：景気の後退<br> Depression：景気の消沈<br>]] 景気には波があるという。景気を統計的、数量的に示す方法があるかどうか、現編集者は知らないが、実質GDP を基準に考える道はあるだろう。 一般的にある程度安定した国家社会では、実質GDP は微増するものだと見るといいのではないだろうか。社会集団として、生産集団として、文化や技術が発達し生産に慣れて社会として習熟した表れとして、生産を示す実質GDP はわずかに増えていく。あくまでも仮定ですがね。 そうなると、好況というのはその時点での実質GDP成長率がある程度高いことを示すだろうし、不況というのは実質GDP成長率が横ばい、ゼロ、あるいはマイナス成長の時、だということは出来るだろう。 前編集者は、経済や生産の事を語る時に、「不況」「好況」の言葉を使うよりも、「高成長」や「低成長」や「マイナス成長」という言葉を使った方が妥当だし、適切だろうと書いているが、「不況」「好況」という言葉は現実の経済、商業生活でのそれぞれの職業人の精神的な満足度を示しているものではあるので、GDP だけがそれを示すものにはならないだろう。そもそも実質GDP とは常に大きく上昇し、上がっていくのが自然で望ましいのか? そうすれば人々は十分な満足が得られるのか? それさえも怪しいし、定かではないだろう。 ==労働価値説と限界革命== ===労働価値説=== さて、財とサービスに価値があるのは自明でしょう。そしてそれと交換される貨幣にももちろん価値がある。 そしてまあ常識的に払う貨幣が高いほど、その財には価値があると見做されている。 払う貨幣とは価格ですよね。そしてこのページで議論してきたように、価格は需要と供給で決まると考えるのが、現代的な経済理解です。 しかし一方でもっと哲学的、観念的議論として、商品、財が持つ価値の根拠、いったい何によって価値が生まれるか、それを知りたい訳です。 そこでまず議論されたのが、アダムスミスやマルクスが言及した労働価値説ですね。 つまり財やサービスの価値の源泉は、我々の労働だと。 財の価値の根拠が労働にあることは否定できないでしょう。ただその議論を価格と結びつけるのはなんだかんだでかなり困難がある。労力を多く費やしても価格が安くなることはあるし、労力少なくして高い価格がつくことも現実にはある。 しかし数理的に労働量と価格の議論が出来なくても、労働が物事の、財の価値を生み出していることまで否定するのは詭弁でしょう。 大体労働に価値がないのなら、世の人はもう明日から仕事に行かなくなるよ^^;;;。 しかし一方「効用革命」という議論があり、労働価値説とは別の視点として、財を消費する側の満足、欲望の充実に価値の根拠を見出す視点がある<ref>https://diamond.jp/articles/-/75341</ref>。 この議論は数理とも馴染みがよく、ミクロ経済学の重要な分析の一つになっている。 価格は需要と供給によって決まり、財の生産者は市場で売れる価格にあわせて利益が出るように労働および経費などの投入量を調節する<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日 初版 第1刷 発行、P236</ref> ===限界効用理論=== 効用とは財を消費したときの満足度である。ここで効用関数なる値が実数の関数を考える。 一般に消費者は、いくつもある消費計画のうち、みずからの効用関数を最大化させるような消費計画を選ぶ、と考えられる。これを「効用最大化仮説」と言います。 たとえば、ある消費計画Aと、別の消費計画Bについて、それぞれ効用をU(A)およびU(B)とします。つまり消費計画Aの効用がU(A)です。同様に消費計画Bの効用がU(B)です。 そして、たとえば、もし :U(A)>U(B) なら、消費者は消費計画Aを選ぶ。 同様、もし :U(A)<U(B) なら、消費者は消費計画Bを選ぶ。 ただし、効用の大きさそのものを数値化することは一般にはできず、その大小関係・順序にのみ意味があると考えています。数学で言うと、代数システムのうちの順序関係・大小関係のことを「序数」と言うので、効用関数の上述のような性質のことを「効用の序数性」と言います<ref>塩沢修平『経済学・入門』、有斐閣、P60</ref>。書籍によっては便宜的に効用が数値で表される場合もありますが、しかしその数値はあくまで便宜的なものに過ぎず、数値の絶対的な大きさには意味は無い<ref>塩沢修平『経済学・入門』、有斐閣、P59</ref>、とのことです。 :※英語ではfirst やsecond やthird などの単語を「序数」と言いますが、つまり、集合の要素の順序関係を見るのが序数ですよね。 然し導関数として、ステーキの購入計画C とワインの購入計画D で、ステーキ1単位を購入することがある人にとってワイン何単位ぶんの購入に当たるかの計算は議論される。こうのような購入量1単位ごとの効用の換算値を、限界代替率と言います。 「効用」は、主観的な量です<ref>たとえば 塩沢『経済学入門』、P59 など。</ref>。つまり、効用の大きさは、それぞれの消費者の主観で決まります。 この効用と価格の関係に関する数理議論があるだろうが、現編集者はほとんど知らないので記述できない。一般の経済学入門書を見ても、そういう話題はまったく書かれていない、と、前編集者は書く。 効用自体も、消費量が1単位増えた時の効用の増加、限界効用も、関数の数値自体には大きな意味はないと見る。しかし財によって限界効用を比較したもの、限界代替率は、限界効用の数値を比較し、同じ満足度の消費量を見出す概念だとはいえる。 経済学者ヒックスはこの限界代替率に着目した研究を行ったという<ref>小室直樹『経済学をめぐる巨匠たち 経済思想ゼミナール』、ダイヤモンド社、2004年1月8日、P202およびP203</ref>。 もう一度書くが、限界効用とは，財を一単位追加して消費することによる効用の増加分だ。これは効用関数の微分と見ていいだろう<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日初版第1刷発行、P161</ref>。 さて、この効用関数は、単調増加で上に凸だろうか。ある種類の物があふれると、その物ひとつ当たりの価値は小さくなる（効用逓減（ていげん）の法則）。 水は生命活動に不可欠に限らず、ダイヤモンドより価格が安い<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日 初版 第1刷 発行、P172</ref>。同じ美術品を何度も鑑賞すると、慣れてきて価値を感じなくなる<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日 初版 第1刷 発行、P172</ref>。 財の消費だけではなく、人間の心理的または生理的な傾向としてこのような現象は見られますよね<ref>小畑二郎『経済学の歴史』、慶應義塾大学出版会、2014年11月28日初版第1刷発行、P172</ref>。 兎も角効用とは消費する側の議論だろう、一方で供給する側の視点も必要だ。労働がなければ多くの財は供給不可能だ。 ===サンクトペテルブルクの賭け=== さて、事実上は話題として少しそれるが、効用に関する議論として、18世紀前半、ロシアのサンクトペテルブルクに住んでいたスイスの数学者ダニエル・ベルヌーイが示した「サンクトペテルブルクの賭け」という面白い議論があるので、余談として紹介しておこう。 ここではこういうゲームを考える。一枚のコインを表が出るまで何回も投げ続ける。もらえる賞金は、1回目に表が出たら1ダカット（日本円で500円ぐらいだという）、1回目は裏が出て2回目に表が出たら倍の2ダカット、2回目まで裏が出ていて3回目に初めて表が出たらそのまた倍の4ダカット、3回目まで裏が出ていて4回目に初めて表が出たらそのまた倍の8ダカット、というふうに倍々で賞金は増えていく。 さて、この場合このゲームを売る胴元は、何ダカットでこの賭けを売ればよいだろうか？ 普通ギャンブルのこういう議論では期待値を計算する。 期待値の例として、別の簡単なゲームを考えてみよう。 二人の人間がゲームに参加し、参加料として100円ずつ払う。じゃんけんをして勝った方が場に出た200円を総取りする。 この場合片方の参加者がじゃんけんに勝つ確率は 1/2、負ける確率は残り 1/2、200*1/2+0*1/2 で期待値は100円。参加料が100円だから、ゲームとしてはトントンだという事になる。 ここでもしゲームとしての胴元がいて、10円ずつ参加料から場所代を抜いていたら、賞金総額は 180円で、期待値は 90円。世によくある、胴元が確実に儲け、参加者が総体的には結局損をしているギャンブルになる。 さて、先のサンクトペテルブルクの賭けの賭けでは期待値はどうなるか。 まず最初に表が出る確率は 1/2。その時の賞金が 1ダカット。次に裏が出た後表が出る確率は、1/2*1/2=1/4。賞金は2ダカット。つぎは 1/8と 4ダカット。結局期待値は、 1/2+1/2+1/2+… となって∞に発散する。 つまりこれは圧倒的に胴元が不利なゲームのはずだ。いくらで売っても期待値は無限大だからね。 しかし実際このゲームを 16ダカットで売ったとしてみよう。 だとしたら、賞金が 8ダカット以下になる確率は 15/16。まずこれが起こる可能性が高いから、胴元が得するように思える。しかし問題は、 1/16だ。これは底なし沼だ。場合によっては胴元の資産を超えて負けることもある。ここがこのゲームの期待値が無限大で胴元に不利だと言える根拠になるだろう。 ベルヌーイ自身はここに効用の発想を取り入れて、議論を進めた。つまりダカット金貨の額面で判断せずに額面の満足度、効用を金額の対数と決めてみた。賞金の期待値は∞に発散するが、効用の期待値は一定の値になる。最初に表が出た時の額面が1で、効用をlog[2,1]=0とすると、裏→表で効用が log[2,2]=1、裏→裏→表で効用がlog[2,4]=2で期待値は0/2+1/4+2/8+3/16+4/32+… そしてこの無限級数は幾つになるかな? 現編集者は計算できなかった^^;;;。数学の得意な人が答えだしてください。兎に角 2のこの無限級数乗の金額が効用としての期待値での金額。気持ちとしてはゲーマーとしてはこれでトントンだという事か。対数を考えるという事は、金額が大きいほど増えてもそれほどありがたみを感じなくなるという事ですからね。 さらなる分析として、胴元がこの商売を人生で何回やるか、ゲーマーが何回するかがこの話の議論に関わってくるだろう。 == 脚注 == [[Category:経済学|*]] [[Category:書庫|けいさいかく]] [[en:Principles of Economics]] hba3ki8gpqxxag35id51vfiiwo3gngt 0 2974 305417 275599 2026-11-05T15:52:44Z 正月君 92918 /* 国際情勢 */ 305417 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|歴史|日本史|日本史/現代|日本史/現代/戦後|frame=1}} このページでは、バブル崩壊後の日本について解説する。 この時代は、{{Ruby|'''平成時代'''|へいせいじだい}}とかなり密接に関わっている。平成時代とは、[[冷戦後の世界|冷戦後]]の日本を指す時代名として使われている語。東欧民主化が起こった西暦1989年を平成元年として、2019年（平成31年）4月30日までの時期。 == 平成 == ;天地ともに平和が達成される事 :「史記」にある「内平外成」、（内平らかに外成る）また「書経」の「知平天成」（知平らかに天成る）から来ている。 === 政治・経済 === 世界屈指の豊かな国となった日本は、表面的な生活水準は欧米的に向上、自由と平等を謳歌し、これらの基盤の上に現在の日本独自の文化が生まれるようになった。しかし、[[プラザ合意]]をトリガーとする円資金の過剰な流動性供給を背景とした、1980年代後半からの異常な好景気（[[バブル景気]]）は、実体経済との大きな乖離を生じ崩壊、その後の10年の間に経営の建て直しが出来なくなってきた数多くの企業が倒産、または欧米系外資に買収されたりもした（[[失われた10年]]）。 一方で企業の国際化によって人的な国際流動が活発となり、また、低賃金で働く発展途上国出身者を雇うなど社会の国際化が進んだ。価値観の多様化・個人主義の流れの中、戦後に確立した日本の社会価値観は変化が意識されるようになった。 戦後の日本経済の[[高度成長]]はもちろん、その後の安定的成長すら、もはや過去のものとなり、低成長、更には、デフレ（マイナス成長）時代が続くようになる。このため一方では[[構造不況]]が指摘され、また他方では[[構造改革]]が主張されている。いずれにせよ経済の構造が問題とされているようになっているところに時代の転換点が示されている。 === 国際情勢 === 1989年を「新時代の始まり」とする国家には、日本とポーランドがある。ポーランドでは、1989年6月4日と6月18日に実施された総選挙により、共産党一党独裁が消滅し、国民主権政体が成立した。このポーランドで始まった共産党独裁国家を打倒する民主化運動が東ヨーロッパ全体を埋め尽くし、ベルリンの壁を破壊して[[冷戦]]を終わらせた一連の民主化運動を、'''[[東欧民主化革命|東欧民主化]]'''という。このように、「平成」という時期は、東欧民主化革命で始まった、'''[[冷戦後の世界]]'''における日本である。ソ連などの『本来の「共産主義」や「社会主義」とはかけ離れたプロレタリア独裁』が終焉を迎えたことにより、あたかも社会主義そのものに問題があり、実際にその問題が露見しているように見えた人が世界中で発生し、資本主義に傾向する国家が増え、弱者への配慮や貧困の解消が軽んじられるようになった。この過程で、新自由主義がより台頭するようになった。 1991年末に[[ソビエト連邦]]は、領土を構成していたすべての共和国が独立して、消滅した。その後、新たな世界構造を模索する状態が続き、日本は[[国際連合]]に協力して海外で[[国際平和維持活動]]を展開するようになり、[[アメリカ合衆国]]主導の[[湾岸戦争]]に資金援助をしたりするようになっていたが、新しい外交の方針は定まらずにいる。 [[冷戦]]時代を通じて整備されていった[[自衛隊]]は、ついには驚異的な経済力に比例して金額ベースでは世界屈指になったにもかかわらず、行政が合憲と解釈し、裁判所も憲法判断を避けるという、[[明治憲法]]下の統帥権の問題にも似た議論がなされてきたが、21世紀を迎える頃になって、[[湾岸戦争]]や[[国連平和維持活動]]、[[イラク戦争]]などの現実に直面し、憲法改正の議論が以前よりも高まりを見せたと'''いわれている'''。 海外では、[[アジア史|アジア]]諸国、[[中国史|中国]]や[[朝鮮史|韓国]]、マレーシア、ベトナムなどの経済発展が顕著となり、日本だけがアジアで経済的繁栄を誇ってきた時代とは様変わりしてきているのも特徴である。後期ではそれらの国々が少しずつ豊かになり、賃金を上げる必要が出てきたため、東南アジア及び南アジアのバングラデシュやフィリピン、ミャンマー、インドネシアなどへ工場を移設する動きが出た。さらに末期になると小物や雑貨は輸送費の関係もあって日本で生産する方が安くなることが多くなった。これは日本の最低賃金の低さを表している。 隣国である[[韓国]]とは2002年[[w:FIFAワールドカップ|FIFAワールドカップ]]を共催した。また、北朝鮮との間で日本人拉致事件等を含めた問題が深刻化している。 ==主な出来事== *1989年:[[中華人民共和国]]で[[天安門事件]]がおこる。 *1989年:[[東欧民主化革命]]が勃発し、11月10日にベルリンの壁が崩壊。米ソ両国の首脳が12月3日にマルタ島で会談し、冷戦の終結を宣言。 *1989年:連続児童殺害の[[宮崎勤]][[容疑者]]逮捕。 *1990年:バブルの崩壊、経済不況がはじまる。 *1991年:ソビエト連邦の崩壊。 *1992年:細川連立政権の誕生（[[高等学校政治経済/政治/55年体制|55年体制]]の崩壊）。 *1995年:[[阪神淡路大震災]]。 *1995年:オウム真理教による[[地下鉄サリン事件]]がおこる。 *1997年:アジア通貨危機。 *1998年:長野オリンピック開催。 *2001年:ITバブルの崩壊。 *2001年:[[小泉純一郎]]、首相に就任する。 *2002年:拉致被害者の帰国。 *2006年:北朝鮮によるミサイル発射。北海道西方沖に落下する。 *2008年:世界金融危機（リーマン・ショック）。 *2011年:東日本大震災、福島第一原発事故が発生。 *2016年:アメリカ合衆国オバマ大統領による現職大統領として史上初めての広島訪問。 *2019年:明仁天皇が退位、平成から令和に改元。 == 関連項目 == * [[東欧民主化]] * [[冷戦後の世界]] {{stub}} [[Category:日本の歴史|けんたい/せんこ/ていせいちようき]] {{DEFAULTSORT:にほんし ていせいちようき}} 3qyv8cq0ch5l8xfklgd6by86266l0rd 305418 305417 2026-11-05T15:55:41Z 正月君 92918 /* 国際情勢 */ 305418 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|歴史|日本史|日本史/現代|日本史/現代/戦後|frame=1}} このページでは、バブル崩壊後の日本について解説する。 この時代は、{{Ruby|'''平成時代'''|へいせいじだい}}とかなり密接に関わっている。平成時代とは、[[冷戦後の世界|冷戦後]]の日本を指す時代名として使われている語。東欧民主化が起こった西暦1989年を平成元年として、2019年（平成31年）4月30日までの時期。 == 平成 == ;天地ともに平和が達成される事 :「史記」にある「内平外成」、（内平らかに外成る）また「書経」の「知平天成」（知平らかに天成る）から来ている。 === 政治・経済 === 世界屈指の豊かな国となった日本は、表面的な生活水準は欧米的に向上、自由と平等を謳歌し、これらの基盤の上に現在の日本独自の文化が生まれるようになった。しかし、[[プラザ合意]]をトリガーとする円資金の過剰な流動性供給を背景とした、1980年代後半からの異常な好景気（[[バブル景気]]）は、実体経済との大きな乖離を生じ崩壊、その後の10年の間に経営の建て直しが出来なくなってきた数多くの企業が倒産、または欧米系外資に買収されたりもした（[[失われた10年]]）。 一方で企業の国際化によって人的な国際流動が活発となり、また、低賃金で働く発展途上国出身者を雇うなど社会の国際化が進んだ。価値観の多様化・個人主義の流れの中、戦後に確立した日本の社会価値観は変化が意識されるようになった。 戦後の日本経済の[[高度成長]]はもちろん、その後の安定的成長すら、もはや過去のものとなり、低成長、更には、デフレ（マイナス成長）時代が続くようになる。このため一方では[[構造不況]]が指摘され、また他方では[[構造改革]]が主張されている。いずれにせよ経済の構造が問題とされているようになっているところに時代の転換点が示されている。 === 国際情勢 === 1989年を「新時代の始まり」とする国家には、日本とポーランドがある。ポーランドでは、1989年6月4日と6月18日に実施された総選挙により、共産党一党独裁が消滅し、国民主権政体が成立した。このポーランドで始まった共産党独裁国家を打倒する民主化運動が東ヨーロッパ全体を埋め尽くし、ベルリンの壁を破壊して[[冷戦構造|冷戦]]を終わらせた一連の民主化運動を、'''[[東欧民主化革命|東欧民主化]]'''という。このように、「平成」という時期は、東欧民主化革命で始まった、'''[[冷戦後の世界]]'''における日本である。ソ連などの『本来の「共産主義」や「社会主義」とはかけ離れたプロレタリア独裁』が終焉を迎えたことにより、あたかも社会主義そのものに問題があり、実際にその問題が露見しているように見えた人が世界中で発生し、資本主義に傾向する国家が増え、弱者への配慮や貧困の解消が軽んじられるようになった。この過程で、新自由主義がより台頭するようになった。 1991年末に[[ソビエト連邦]]は、領土を構成していたすべての共和国が独立して、消滅した。その後、新たな世界構造を模索する状態が続き、日本は[[国際連合]]に協力して海外で[[国際平和維持活動]]を展開するようになり、[[アメリカ合衆国]]主導の[[湾岸戦争]]に資金援助をしたりするようになっていたが、新しい外交の方針は定まらずにいる。 [[冷戦]]時代を通じて整備されていった[[自衛隊]]は、ついには驚異的な経済力に比例して金額ベースでは世界屈指になったにもかかわらず、行政が合憲と解釈し、裁判所も憲法判断を避けるという、[[明治憲法]]下の統帥権の問題にも似た議論がなされてきたが、21世紀を迎える頃になって、[[湾岸戦争]]や[[国連平和維持活動]]、[[イラク戦争]]などの現実に直面し、憲法改正の議論が以前よりも高まりを見せたと'''いわれている'''。 海外では、[[アジア史|アジア]]諸国、[[中国史|中国]]や[[朝鮮史|韓国]]、マレーシア、ベトナムなどの経済発展が顕著となり、日本だけがアジアで経済的繁栄を誇ってきた時代とは様変わりしてきているのも特徴である。後期ではそれらの国々が少しずつ豊かになり、賃金を上げる必要が出てきたため、東南アジア及び南アジアのバングラデシュやフィリピン、ミャンマー、インドネシアなどへ工場を移設する動きが出た。さらに末期になると小物や雑貨は輸送費の関係もあって日本で生産する方が安くなることが多くなった。これは日本の最低賃金の低さを表している。 隣国である[[韓国]]とは2002年[[w:FIFAワールドカップ|FIFAワールドカップ]]を共催した。また、北朝鮮との間で日本人拉致事件等を含めた問題が深刻化している。 ==主な出来事== *1989年:[[中華人民共和国]]で[[天安門事件]]がおこる。 *1989年:[[東欧民主化革命]]が勃発し、11月10日にベルリンの壁が崩壊。米ソ両国の首脳が12月3日にマルタ島で会談し、冷戦の終結を宣言。 *1989年:連続児童殺害の[[宮崎勤]][[容疑者]]逮捕。 *1990年:バブルの崩壊、経済不況がはじまる。 *1991年:ソビエト連邦の崩壊。 *1992年:細川連立政権の誕生（[[高等学校政治経済/政治/55年体制|55年体制]]の崩壊）。 *1995年:[[阪神淡路大震災]]。 *1995年:オウム真理教による[[地下鉄サリン事件]]がおこる。 *1997年:アジア通貨危機。 *1998年:長野オリンピック開催。 *2001年:ITバブルの崩壊。 *2001年:[[小泉純一郎]]、首相に就任する。 *2002年:拉致被害者の帰国。 *2006年:北朝鮮によるミサイル発射。北海道西方沖に落下する。 *2008年:世界金融危機（リーマン・ショック）。 *2011年:東日本大震災、福島第一原発事故が発生。 *2016年:アメリカ合衆国オバマ大統領による現職大統領として史上初めての広島訪問。 *2019年:明仁天皇が退位、平成から令和に改元。 == 関連項目 == * [[東欧民主化]] * [[冷戦後の世界]] {{stub}} [[Category:日本の歴史|けんたい/せんこ/ていせいちようき]] {{DEFAULTSORT:にほんし ていせいちようき}} 8wuer7yteydmzlx61epao9fhwyhm105 0 10129 305428 216099 2026-11-06T04:03:50Z 正月君 92918 305428 wikitext text/x-wiki '''ポートフォリオ理論'''とは、リスク管理について分析、またリスク資産のプライシングについて数学的アプローチによって体系付ける理論である。ファイナンス理論の基本的かつ重要な骨格となっている。 ==平均・分散アプローチ== *[[リスクとリターン|リスクとリターン]] *[[ポートフォリオについての統計量|ポートフォリオについての統計量]] ==投資機会集合== *[[投資機会集合|投資機会集合]] *[[リスク資産の効率的フロンティア|リスク資産の効率的フロンティア]] *[[無リスク資産を含む効率的フロンティア|無リスク資産を含む効率的フロンティア]] ==CAPM(資本資産価格付けモデル)== *[[トービンの分離定理|トービンの分離定理]] *[[資本市場線|資本市場線]] *[[CAPMと証券市場線|CAPMと証券市場線]] *[[各種指標|各種指標]] ==APT(無裁定価格理論)== [[Category:数学|*]] [[カテゴリ:経済学]] 8t48oa0alkarp3ow4i34qe4mkjx0fjf 0 10181 305433 293505 2026-11-06T04:11:25Z 正月君 92918 305433 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|ポートフォリオ理論|frame=1}} 理論構築の前に、投資家の行動を決定付ける要素が何であるか定義する必要がある。現実には非常に多くの要素が株式売買に関しての意思決定に絡む。しかし、ポートフォリオ理論では単純化のために、リターンとリスクのみによって行動を決定するという前提に立つ。 ==リターン== 資産の収益性は総収益、または収益率によって表わされる。購入価格を<math>{P_0}</math>、受け取り価格を<math>{P_1}</math>とすると、投資によって得られる総収益<math>{R}</math>は、 <math>{R}=\frac{P_1}{P_0}</math> と定義される。 対して収益率<math>{r}</math>は次のように定義される。 <math>{r}=\frac{P_1-P_0}{P_0}</math> 総収益は投資額に対してのインカムの倍率を、収益率は投資額に対しての利子率を表わしてるといえよう。 ポートフォリオ理論では、投資による収益率が確定的ではないリスク資産を扱う。このような資産の収益率は通常、過去のデータから求めた期待値<math>{E(r)}</math>を用いる。 ==リスク== ポートフォリオで言う「リスク」は、危険性という意味合いではなく、価格の変動幅のことを指す。この価格の変動幅を数値的に表わすために分散、しいては標準偏差を用いて計算する。 {{substub|090315}} [[Category:数学|*]] [[カテゴリ:経済学]] 0orjyq9gvsk2r4iswlwzmntvixiwaas 0 10182 305434 293506 2026-11-06T04:12:09Z 正月君 92918 305434 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|ポートフォリオ理論|frame=1}} いくつかの種類の資産を組み合わせたものをポートフォリオという。ここではそういったポートフォリオについての統計量を求める。 ==ポートフォリオのリターン== 今、n種類の資産に投資することを考える。総投資額を<math>X</math>とし、これを各資産へ分配する。資産iへの分配額を<math>X_i</math>、総投資額に対しての分配割合を<math>w_i</math>とすると、 <math>{X_i}={w_iX}</math> となる。 資産iの総収益を<math>R_i</math>とすると、ポートフォリオの総収益は次のように定義される。 <math>{R}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{R_iX_i}}{X_0}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{R_iw_iX_0}}{X_0}=\sum_{i=1}^{n}{R_iw_i}</math> {{stub}} [[Category:数学|*]] [[カテゴリ:経済学]] mpeh274njr93524xdrjmedbt9wa56wu 0 12078 305420 275597 2026-11-05T16:02:29Z 正月君 92918 /* 関連項目 */ 305420 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|人文科学|歴史学|日本史|近代|frame=1}} [[第二次世界大戦]]より前の時代。通常は、[[明治維新]] (江戸城明け渡しである1868年5月3日) を始まりとして、第二次世界大戦終結 (ポツダム宣言^{([[s:ポツダム宣言|ws]])}調印である1945年9月2日) までを含める。 == 概説 == {{Main|日本史/近代}} === 明治 === ==== 明治維新 ==== ==== 自由民権運動 ==== ==== 日清戦争 ==== {{Main|日本史/近代}} {{See also|{{節リンク|対外戦争|reveal=#}}}} ==== 足尾銅山鉱毒事件 ==== ==== 日露戦争 ==== {{Main|日本史/近代}} {{See also|{{節リンク|対外戦争|reveal=#}}}} ==== 韓国併合 ==== {{Main|{{節リンク|帝国主義|reveal=#}}|{{節リンク|日本史/近代|概要|reveal=all}}}} === 大正 === ==== 第一次護憲運動 ==== ==== 第一次世界大戦 ==== ==== シベリア出兵 ==== ==== 国際協調・大正デモクラシー ==== 総力戦や新兵器の用いられた第一次世界大戦の後、各国のほとんどが「戦争をしない」という方向を向き、しばらく国際協調と呼ばれる動きが広まる。 ==== 関東大震災 ==== ==== 社会主義の弾圧 ==== ===== 第二次護憲運動 ===== === 昭和 === ==== ファシズムの台頭 ==== == 政治 == # [[大日本帝国憲法]] #* 国家名は「'''大日本帝国'''」<ref group="注釈">国家名を大日本帝国と定めた法律は存在しない。</ref>。 #* 大日本帝国憲法^{([[s:大日本帝国憲法|ws]])}により、天皇が最高権力者として統治権を一手に掌握した。 #* [[帝国主義]]の政治と外交。'''帝国時代'''。 # 主要政治家 #* 天皇 #* 総理大臣 #* 各大臣 #* 元老 #* 枢密院議長 #* 帝国議会議員（貴族院と衆議院） === 中央集権型行政 === # 地方行政は、土着・世襲の藩主ではなく、中央から派遣される内務官僚が担った。 # 官僚の登用は、西洋の最新学問を科す高等文官試験によって実施された。 === 軍事 === {{See also|日本史/近代}} * [[w:大日本帝国陸軍|大日本帝国陸軍]] * [[w:大日本帝国海軍|大日本帝国海軍]] * 「大日本帝国空軍」は設置されなかったが、陸軍飛行戦隊、海軍航空隊を指して、大日本帝国空軍と呼ばれることもある。 ==== 軍首脳と政治 ==== * 天皇は「大元帥」として軍の総司令官であり、戦争の開始と終了は天皇が宣言した。開戦と終戦に際しては、天皇・総理大臣・陸軍大臣・海軍大臣などが集まる御前会議を開いて、最終的に天皇が決定した。 * 現役武官が陸軍大臣や海軍大臣に就く「軍部大臣現役武官制」が布かれており、陸軍首脳や海軍首脳は「天皇は陸海軍を統帥す（第11条）」「天皇は陸海軍の常備兵額を定む（第12条）」と明記した大日本帝国憲法を盾に政治力を行使した。 ==== 対外戦争 ==== {{Main|日本史/近代}} 日清戦争は日本vs清国の戦争だが、代理戦争としてみると、イギリスvsドイツとの代理戦争のような様相もある。清国の軍制改革をしたお雇い外国人のドイツ出身軍人コンスタンチン・フォン・ハンネケン (Constantin von Hannecken)は、日清戦争中でも李鴻章の側近である<ref>{{Harv|立命館経済学|1967|p=546}}</ref>。当時の清国の保有する最新式の大型軍艦である{{Ruby|定遠|ていえん}}と{{Ruby|鎮遠|ちんえん}}も、ドイツ製である。さらに、この軍艦・{{Ruby|定遠|ていえん}}にすら、日清戦争における黄海海戦中、ハンネケンは{{Ruby|定遠|ていえん}}に乗り込んでいる<ref>{{Harv|立命館経済学|1967|p=546}}</ref>。 === 脚注 === ==== 出典 ==== {{reflist}} ==== 註釈 ==== <references group="注釈" /> == 帝国主義 == # [[w:外地|外地]] #* 世界は欧米列強による帝国主義と植民地主義の時代。日本も欧米列強を模倣して、琉球^{([[w:琉球|wp]])}と蝦夷^{([[w:蝦夷地|wp]])}を併合し、次いで台湾^{([[w:台湾|wp]])}と大韓帝国(朝鮮)^{([[w:朝鮮半島|wp]])}を植民地にし、植民地支配を行った<!-- 書き方がおかしいが、「植民地にした」と「植民地支配を行った」が同義になるようにしているため -->。戦前日本の植民地を「外地」という。 #* [[台湾の歴史# 日本統治時代]]（1895年～1945年） #* [[朝鮮の歴史# 日本統治時代]]（1910年～1945年） #* [[南洋諸島]]（1918年～1945年） # 立て続けの戦争 # 詳細は[[日本史/近代]]を参照 #* 10年に1度は戦争が起こった。 #* 日清戦争（1894年～1895年） #* 日露戦争（1904年～1905年） #* [[第一次世界大戦]]（1914年～1918年） #* シベリア出兵（1918年～1922年） #* 満州事変（1931年～1932年） #* 満州国樹立（1932年） #* 日中戦争（1937年～1945年） #* [[第二次世界大戦]]・太平洋戦争（1941年～1945年） == 経済 == # 絹糸が外貨獲得産業となり、内陸部を中心に製糸工場が立ち並んだ。 # 地方の産業構造は、軽工業、鉱工業、農業が三本柱。炭田の時代でもあり、筑豊炭田や常磐炭田などの炭田がその地方の経済を支えていた。 # 経済指標は軍艦の保有台数。（※[[日本史 江戸時代|江戸時代]]だと石高に、[[日本史 戦後|戦後]]だとGNPやGDPに該当する。） # 西洋と同じく、産業革命 → 景気沈滞（日露戦争不況） → バブル景気（大戦景気）→ 労働争議、の時代に変わっていった。また、10年周期で好景気と不景気が循環した。 == 文化 == {{節スタブ}} == 参考文献 == * {{cite web | first = John L.Rawlinson | last = 立命館経済学 | title = China's Struggle for Naval Development 1839-1895, chip.4 | trans_title = 『日清戦争と中国近代海軍』 | url = http://ritsumeikeizai.koj.jp/koj_pdfs/66505.pdf | ref = {{SfnRef|立命館経済学|1967}} | accessdate = 2020-04-26 | year = 1967 }} == 関連項目 == * [[人権思想と革命]] * [[産業革命と市民革命]] * [[ナポレオン戦争]] * [[ウィーン体制]] * [[ナショナリズムの形成]] * [[ラテンアメリカの独立]] * [[帝国主義]] * [[世界大戦への道]] * [[20世紀における共和制国家の成立]] * [[第一次世界大戦]] * [[ベルサイユ体制]] * [[第二次世界大戦]] * [[近代]] * [[国家総動員法]] {{日本史info}} {{stub}} [[category:日本の歴史|きんたいせんせん]] 6klp9msjf8bv5pnrrzj0zcwtrwn84et 305421 305420 2026-11-05T16:08:10Z 正月君 92918 /* 関連項目 */ 305421 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|人文科学|歴史学|日本史|近代|frame=1}} [[第二次世界大戦]]より前の時代。通常は、[[明治維新]] (江戸城明け渡しである1868年5月3日) を始まりとして、第二次世界大戦終結 (ポツダム宣言^{([[s:ポツダム宣言|ws]])}調印である1945年9月2日) までを含める。 == 概説 == {{Main|日本史/近代}} === 明治 === ==== 明治維新 ==== ==== 自由民権運動 ==== ==== 日清戦争 ==== {{Main|日本史/近代}} {{See also|{{節リンク|対外戦争|reveal=#}}}} ==== 足尾銅山鉱毒事件 ==== ==== 日露戦争 ==== {{Main|日本史/近代}} {{See also|{{節リンク|対外戦争|reveal=#}}}} ==== 韓国併合 ==== {{Main|{{節リンク|帝国主義|reveal=#}}|{{節リンク|日本史/近代|概要|reveal=all}}}} === 大正 === ==== 第一次護憲運動 ==== ==== 第一次世界大戦 ==== ==== シベリア出兵 ==== ==== 国際協調・大正デモクラシー ==== 総力戦や新兵器の用いられた第一次世界大戦の後、各国のほとんどが「戦争をしない」という方向を向き、しばらく国際協調と呼ばれる動きが広まる。 ==== 関東大震災 ==== ==== 社会主義の弾圧 ==== ===== 第二次護憲運動 ===== === 昭和 === ==== ファシズムの台頭 ==== == 政治 == # [[大日本帝国憲法]] #* 国家名は「'''大日本帝国'''」<ref group="注釈">国家名を大日本帝国と定めた法律は存在しない。</ref>。 #* 大日本帝国憲法^{([[s:大日本帝国憲法|ws]])}により、天皇が最高権力者として統治権を一手に掌握した。 #* [[帝国主義]]の政治と外交。'''帝国時代'''。 # 主要政治家 #* 天皇 #* 総理大臣 #* 各大臣 #* 元老 #* 枢密院議長 #* 帝国議会議員（貴族院と衆議院） === 中央集権型行政 === # 地方行政は、土着・世襲の藩主ではなく、中央から派遣される内務官僚が担った。 # 官僚の登用は、西洋の最新学問を科す高等文官試験によって実施された。 === 軍事 === {{See also|日本史/近代}} * [[w:大日本帝国陸軍|大日本帝国陸軍]] * [[w:大日本帝国海軍|大日本帝国海軍]] * 「大日本帝国空軍」は設置されなかったが、陸軍飛行戦隊、海軍航空隊を指して、大日本帝国空軍と呼ばれることもある。 ==== 軍首脳と政治 ==== * 天皇は「大元帥」として軍の総司令官であり、戦争の開始と終了は天皇が宣言した。開戦と終戦に際しては、天皇・総理大臣・陸軍大臣・海軍大臣などが集まる御前会議を開いて、最終的に天皇が決定した。 * 現役武官が陸軍大臣や海軍大臣に就く「軍部大臣現役武官制」が布かれており、陸軍首脳や海軍首脳は「天皇は陸海軍を統帥す（第11条）」「天皇は陸海軍の常備兵額を定む（第12条）」と明記した大日本帝国憲法を盾に政治力を行使した。 ==== 対外戦争 ==== {{Main|日本史/近代}} 日清戦争は日本vs清国の戦争だが、代理戦争としてみると、イギリスvsドイツとの代理戦争のような様相もある。清国の軍制改革をしたお雇い外国人のドイツ出身軍人コンスタンチン・フォン・ハンネケン (Constantin von Hannecken)は、日清戦争中でも李鴻章の側近である<ref>{{Harv|立命館経済学|1967|p=546}}</ref>。当時の清国の保有する最新式の大型軍艦である{{Ruby|定遠|ていえん}}と{{Ruby|鎮遠|ちんえん}}も、ドイツ製である。さらに、この軍艦・{{Ruby|定遠|ていえん}}にすら、日清戦争における黄海海戦中、ハンネケンは{{Ruby|定遠|ていえん}}に乗り込んでいる<ref>{{Harv|立命館経済学|1967|p=546}}</ref>。 === 脚注 === ==== 出典 ==== {{reflist}} ==== 註釈 ==== <references group="注釈" /> == 帝国主義 == # [[w:外地|外地]] #* 世界は欧米列強による帝国主義と植民地主義の時代。日本も欧米列強を模倣して、琉球^{([[w:琉球|wp]])}と蝦夷^{([[w:蝦夷地|wp]])}を併合し、次いで台湾^{([[w:台湾|wp]])}と大韓帝国(朝鮮)^{([[w:朝鮮半島|wp]])}を植民地にし、植民地支配を行った<!-- 書き方がおかしいが、「植民地にした」と「植民地支配を行った」が同義になるようにしているため -->。戦前日本の植民地を「外地」という。 #* [[台湾の歴史# 日本統治時代]]（1895年～1945年） #* [[朝鮮の歴史# 日本統治時代]]（1910年～1945年） #* [[南洋諸島]]（1918年～1945年） # 立て続けの戦争 # 詳細は[[日本史/近代]]を参照 #* 10年に1度は戦争が起こった。 #* 日清戦争（1894年～1895年） #* 日露戦争（1904年～1905年） #* [[第一次世界大戦]]（1914年～1918年） #* シベリア出兵（1918年～1922年） #* 満州事変（1931年～1932年） #* 満州国樹立（1932年） #* 日中戦争（1937年～1945年） #* [[第二次世界大戦]]・太平洋戦争（1941年～1945年） == 経済 == # 絹糸が外貨獲得産業となり、内陸部を中心に製糸工場が立ち並んだ。 # 地方の産業構造は、軽工業、鉱工業、農業が三本柱。炭田の時代でもあり、筑豊炭田や常磐炭田などの炭田がその地方の経済を支えていた。 # 経済指標は軍艦の保有台数。（※[[日本史 江戸時代|江戸時代]]だと石高に、[[日本史 戦後|戦後]]だとGNPやGDPに該当する。） # 西洋と同じく、産業革命 → 景気沈滞（日露戦争不況） → バブル景気（大戦景気）→ 労働争議、の時代に変わっていった。また、10年周期で好景気と不景気が循環した。 == 文化 == {{節スタブ}} == 参考文献 == * {{cite web | first = John L.Rawlinson | last = 立命館経済学 | title = China's Struggle for Naval Development 1839-1895, chip.4 | trans_title = 『日清戦争と中国近代海軍』 | url = http://ritsumeikeizai.koj.jp/koj_pdfs/66505.pdf | ref = {{SfnRef|立命館経済学|1967}} | accessdate = 2020-04-26 | year = 1967 }} == 関連項目 == * [[人権思想と革命]] * [[産業革命と市民革命]] * [[ナポレオン戦争]] * [[ウィーン体制]] * [[ナショナリズムの形成]] * [[ラテンアメリカの独立]] * [[帝国主義]] * [[世界大戦への道]] * [[20世紀における共和制国家の成立]] * [[第一次世界大戦]] * [[ベルサイユ体制]] * [[第二次世界大戦]] * [[近代]] * [[国家総動員法]] * [[終戦の詔書]] {{日本史info}} {{stub}} [[category:日本の歴史|きんたいせんせん]] g4g3dc8tx0a2u4ews8qdtpkil1ucns0 0 17362 305423 304725 2026-11-05T22:55:02Z ~2026-58786-07 92956 /* 本文 */ 305423 wikitext text/x-wiki [[文学]]＞[[古典文学]]＞[[日本の古典]]＞[[平家物語]] [[Category:平家物語|きおんしようしや]] ==本文== [[w:祇園精舍|祇園精舍]]の鐘の声、[[w:諸行無常|諸行無常]]の響きあり。[[w:サラソウジュ|娑羅双樹]]の花の色、盛者必衰の理をあらはす。驕れる人も久しからず、ただ春の夜の夢のごとし。猛き者もつひにはほろびぬ、ひとへに風の前の塵に同じ。 遠く[[w:中国の歴史|異朝]]をとぶらへば、[[w:秦|秦]]の[[w:趙高|趙高]]、[[w:漢|漢]]の[[w:王莽|王莽]]、[[w:梁 (南朝)|梁]]の[[w:朱イ|朱异]]、[[w:唐|唐]]の[[w:安禄山|祿山]]、これらは皆[[w:君主|舊主]][[w:皇帝|先皇]]の[[w:政治|政]]にもしたがはず、樂しみをきはめ、諌めをも思ひ入れず、[[w:天下|天下]]の亂れん事を悟らずして、[[w:民間|民間]]の愁ふるところを知らざりしかば、久しからずして、亡じにし者どもなり。 近く[[w:日本の歴史|本朝]]をうかがふに、[[w:承平 (日本)|承平]]の[[w:平将門|將門]]、[[w:天慶|天慶]]の[[w:藤原純友|純友]]、[[w:康和|康和]]の[[w:源義親|義親]]、[[w:平治|平治]]の[[w:藤原信頼|信賴]]、これらはおごれる心もたけき事も、皆とりどりにこそありしかども、まぢかくは[[w:六波羅|六波羅]]の[[w:入道|入道]]、[[w:太政大臣|前太政大臣]][[w:平清盛|平朝臣清盛公]]と申しし人のありさま、傳へ承るこそ、心もことばも及ばれね。 その[[w:先祖|先祖]]を尋ぬれば[[w:桓武天皇|桓武天皇]]第五の皇子、[[w:一品|一品]][[w:式部省|式部卿]][[w:葛原親王|葛原親王]]九代の後胤、[[w:讃岐|讃岐守]][[w:平正盛|正盛]]が孫、[[w:刑部省|刑部卿]][[w:平忠盛|忠盛]]朝臣の[[w:嫡男|嫡男]]なり。かの[[w:親王|親王]]の[[w:王 (皇族)|御子]]、[[w:高見王|高見王]]、無官無位にして失せ給ひぬ。その御子、[[w:高望王|高望王]]の時、初めて平の姓を賜はつて、[[w:上総|上総介]]に成り給ひしより、たちまちに王氏を出でて人臣に列なる、その子[[w:鎮守府将軍|鎮守府将軍]][[w:平国香|良望]]、後には[[w:平国香|國香]]と改む。國香より正盛に至る六代は、諸国の[[w:受領|受領]]たりしかども、[[w:昇殿|殿上]]の仙籍をば未だ赦されず。 ---- ==本文の読み方== [[w:祇園精舎|ぎおんしょうじゃ]]のかねのこえ、[[w:諸行無常|しょぎょうむじょう]]のひびきあり。 [[w:サラソウジュ|しゃらそうじゅ]]のはなのいろ、 じょうしゃひっすいのことわりをあらわす。 おごれるひともひさしからず、 ただはるのよのゆめのごとし。 たけきものもついにはほろびぬ、 ひとえにかぜのまえのちりにおなじ。 とおく[[w:異朝|いちょう]]をとぶらえば、 しんのちょうこう、かんのおうもう、りょうのしゅうい、とうのろくさん、 これらはみな、きゅうしゅせんこうのまつりごとにもしたがわず、 たのしみをきわめ、いさめをもおもいいれず、 てんかのみだれんことをさとらずして、 みんかんのうれうるところをしらざつしかば、 ひさしからずしてぼうじにしものどもなり。 ちかくほんちょうをうかがうに、 じょうへいのまさかど、てんぎょうのすみとも、こうわのよしちか、へいじののぶより、 これらはおごれるこころも、たけきこともみなとりどりにこそありしかども、まぢかくは、 ろくはらのにゅうどう、さきのだいじょうだいじん、たいらのあそんきよもりこうともうししひとのありさま、 つたえうけたまわるこそ、こころもことばもおよばれね。 そのせんぞをたずぬればかんむてんのうだいごのおうじ、 いっぽんしきぶきょうかずらはらしんのうくだいのこういん、さぬきのかみまさもりがまご、 ぎょうぶきょうただもりのあそんのちゃくなんなり。 かのしんのうのみこ、たかみのおう、むかんむいにしてうせたまいぬ。 そのみこ、たかもちのおうのとき、はじめてへいのしょうをたまわって、 かずさのすけになりたまいしより、たちまちにおうしをいでてじんしんにつらなる。 そのこちんじゅふのしょうぐんよしもち、のちにはくにかとあらたむ。 くにかよりまさもりにいたるろくだいは、しょこくのずりょうたりしかども、 てんじょうのせんせきをばいまだゆるされず。 ==現代語訳== [[w:祇園精舍|祇園精舍]]の鐘の音には、[[w:諸行無常|諸行無常]]すなわちこの世のすべての現象は絶えず変化していくものだという響きがある。[[w:娑羅双樹|娑羅双樹]]の花の色は、どんなに勢いが盛んな者も必ず衰えるものであるという道理をあらわしている。世に栄え得意になっている者も、その栄えはずっとは続かず、春の夜の夢のようである。勢い盛んではげしい者も、結局は滅び去り、まるで風に吹き飛ばされる塵と同じようである。 遠い[[w:中国の歴史|外国]]（の例）を見ると、[[w:秦|秦]]の[[w:趙高|趙高]]、[[w:漢|漢]]の[[w:王莽|王莽]]、[[w:梁 (南朝)|梁]]の[[w:朱イ|朱忌]]、[[w:唐|唐]]の[[w:安禄山|安禄山]]、これらはみな元の[[w:君主|君主]]や先代[[w:皇帝|皇帝]]の政治に従わず、（栄華の）楽しみを極め、忠告にも深く考えようとはせず、[[w:天下|天下]]が乱れることもわからずに、人々の苦労するところとなるものも知らなかったので、長続きせずに滅びた者たちである。 身近な[[w:日本の歴史|日本]]（の例）を見ると、[[w:承平天慶の乱|承平]]の[[w:平将門|平将門]]、[[w:承平天慶の乱|天慶]]の[[w:藤原純友|藤原純友]]、[[w:康和|康和]]の[[w:源義親|源義親]]、[[w:平治の乱|平治]]の[[w:藤原信頼|藤原信頼]]、（これらの人は）得意になる心も猛々しい心も、みなそれぞれ持っていたが、最近では[[w:六波羅|六波羅]]の[[w:入道|入道]]、[[w:太政大臣|前太政大臣]][[w:平清盛|平朝臣清盛公]]と申した人の様子は伝え聞いても想像することも形容することもできない（ほどである）。 その清盛の[[w:先祖|先祖]]を調べると、[[w:桓武天皇|桓武天皇]]の第五皇子、一品式部卿葛原親王から数えて九代目の子孫、讃岐守正盛の孫で、刑部卿忠盛の嫡男である。葛原親王の御子、高見王は、官職も官位もないままなくなられた。その御子の高望王のとき、初めて平の姓を賜わって、上総介になられてから、ただちに皇籍を離れて臣下の列に連なる。その子・鎮守府将軍良望は、後には国香と名を改めた国香から正盛に至るまでの六代は、諸国の国守ではあったが、殿上人として昇殿することは、まだ許されなかった。 ---- [[File:平家物語･祇園精舎サンプル3.png|thumb|left|祇園精舎　原文]] [[File:平家物語･祇園精舎 現代語訳.png|thumb|none|祇園精舎　現代語訳]] 6mdiop870ddopzl952utw8ex31bw7vc 0 17701 305446 305339 2026-11-06T09:23:19Z 正月君 92918 /* 参考文献 */ 305446 wikitext text/x-wiki * [[マクロ経済学初中級]] ＞ 貨幣供給 == 信用創造～借金としてのお金 == {{wikipedia|信用創造}} === 本源的預金 === たとえば、あなたがお金を10,000千円をA銀行に預金したとする。預金は銀行にとって見れば借金なので貸方になる。銀行券は現金なので借方。そうすると銀行のバランスシートは下記になる。 :銀行券 10,000 預金 10,000 :合計 10,000 合計 10,000 （専門用語で本源的預金ってやつ） === 貸付 === 銀行は、ただ、お金を集めるのでは商売にならないから、企業Aに貸し付けて利息収入を得ようとする。ただし、集めた預金を全額貸してしまうと、銀行は預金者が支払いに応じられなくなってしまうので、例えば10％は手元に残しておいて、中央銀行に預ける。残り90％を企業に貸し付ける（専門用語で準備預金などという）。そうすると、銀行全体のバランスシートは下記になる。 :銀行券 9,000 預金 10,000 :準備預金 1,000 :貸付（企業A） 9,000　 預金（企業A） 9,000 　 　 :合計 19,000 合計 19,000 銀行は銀行券10,000千円を手元に残したまま、企業の預金通帳に9,000千円って書くだけで貸付できてしまう。 企業Aは、借りたお金を何かに使う。例えば企業Bに対する仕入の決済資金9,000千円の支払いに充てるとする。現金で支払うよりも、通常は振込みが一般的だからB銀行に振込むとする。そうすると、銀行全体のバランスシートはこうなる。 :銀行券 9,000 預金 10,000 :準備預金 1,000 :貸付（企業A） 9,000 預金（企業B） 9,000 :合計 19,000 合計 19,000 銀行Bはさっきと同じように、企業Bの預金を元に企業Cに貸付する。 :銀行券 8,100 預金 10,000 :準備預金 1,900 :貸付（企業A） 9,000 預金（企業B） 9,000 :貸付（企業C） 8,100 預金（企業C) 8,100 :合計 27,100 合計 27,100 これをずっと繰り返すと、 :派生的預金 = 9,000 + 8,100 + 7,290 + ・・・ ::= 900 (1 + 0.9 + 0.9² + 0.9³ + ･･･) ::= 90,000 となる。バランスシートは最終的に下記のようになる。 :準備預金 10,000 （本源的）預金 10,000 :貸付（合計) 90,000 （派生的）預金 90,000 :合計 100,000 合計 100,000 銀行全体は、10,000千円の(本源的）預金に対して、10倍の預金を創り出した。これを信用創造という。また、本源的預金と総預金の比率を'''信用乗数'''（しんようじょうすう）と呼ぶ（上の例は10）。 また、この説明は又貸しモデルという。実際の信用創造の仕組みはこれとは異なる。銀行は振込まれた預金を元にしなくても貸付することができ、ただ預金通帳に金額を書いた結果として預金が増えている。このように創り出される預金を万年筆マネーと呼ぶ。 == 中央銀行のお金 == 中央銀行のバランスシートを簡記すると下記になる。 :資産 負債 :中央銀行貸出 現金通貨 :債権保有 銀行準備預金 中央銀行は民間銀行に貸出し、銀行準備預金（又は現金通貨）を同額だけ増やすことで貨幣を供給できる。 中央銀行が発行しているお金をハイパワードマネー（あるいはベースマネー）という。ハイパワードマネーは現金通貨（紙幣や硬貨）と、民間銀行からの準備預金を合わせたものだ。これを数式に直すと :''H'' = ''C'' + ''R'' :''H'' ：ハイパワードマネー :''C'' ：現金通貨 :''R'' ：準備預金 となる。 {{wikipedia|マネーサプライ}} '''マネーサプライ'''とは マネーサプライは現金を含めた総現預金量だとすると、 :''M'' = ''C'' + ''D'' :''D'' ：預金量 となる。また、''H'' = ''C'' + ''R'' なので :<math>\begin{align} M &= C+D\\ &=\frac{C+D}{C+R}H\end{align}</math> となる。''c'' = ''C'' /''D'' （通貨・預金比率）、''k'' = ''R'' /''D'' （預金準備率）とおくと :<math>\begin{align}M&=\frac{c+1}{c+k}H\\&=mH\end{align}</math> となる。ここで''m'' = (''c'' + 1)/(''c'' + ''k'') は貨幣乗数である。つまり、ハイパワードマネーは''m'' 倍のマネーサプライを生み出していることを表している。これは、先の例でいくと本源的預金が10倍の総預金を生み出しているのと同じである。 == 貨幣発行益 == 貨幣発行益（貨幣発行収入）は二つの定義があるようだ（筆者注：これはおそらく、政府からみるか、中央銀行からの視点かの違い）。 まず政府からの視点でみてみよう。中央銀行が貨幣を発行し、政府の国債を買うとする。政府にとってみれば、これは返す必要のないお金になるわけだからそのまま政府の収入とみなすこともできる。これを貨幣発行益（シニョレッジ）と呼ぶ。直感的には、日銀が刷ったお金（預金含む）が貨幣発行益になるから、 :（名目）シニョレッジ<math>=H_t - H_{t-1} </math> となる。 経済学では名目と実質という2つの概念がある。例えば、車10台を1台100万円で生産するA国があったとする。翌年、デフレが起こり、車の価格が90万円に下がったが車11台を生産したとする。これの名目の生産高は100万円×10台＝1,000万円で、翌年の名目生産高は90万円×11台＝990万円。実質とは何かというと、車の台数で見てやるということだ。10台から11台に増えたということは、経済成長しているということだ。だけど、名目（つまり価格表示でみると）だと10万円マイナスになっている。物を中心にみてやることが実質といえ、価格表示でみることを名目だともいえる。経済学では実質化をするために、よく物価水準で割るという方法を使う。これらの影響については、後述しようと思う。 シニョレッジを実質化すると、 :実質シニョレッジ<math>= \frac{H_t-H_{t-1}}{P_t} = \frac{H_t-H_{t-1}}{H_{t-1}} \cdot \frac{H_{t-1}}{P_t}</math> ::= （外部貨幣の増加率）×（実質貨幣残高） となる。 次に、中央銀行からの視点で見てみよう。中央銀行のバランスシートを思い出してみる。 :資産 負債 :中央銀行貸出 現金通貨 :債権保有 銀行準備預金 中央銀行が国債を買うということは、債券保有額と同額現金通貨が増えると同じことだ。つまり、借金と同額の資産が増える。 借金して債券を買っているわけだから中央銀行が得られるのは、あくまで金利収入だけだ。だから、名目の貨幣発行益は日銀保有国債×名目利子率''i'' だ。これを実質化すると ''H'' /''P''・(''i'' - ''ｒ'') となり、フィッシャー方程式より''H'' /''P''・&pi;となる。 == フィッシャーの交換方程式 == {{wikipedia|貨幣数量説}} フィッシャーの交換方程式、または単に数量方程式と呼ばれる式は下記。 :''MV'' = ''PT'' :''M'' ：（名目）マネーサプライ :''V'' ：貨幣の流通速度 :''P'' ：物価水準 :''T'' ：取引回数 取引回数を把握することは極めて難しいので、代替案として経済学ではよく所得を使用する。実質所得を''Y'' とおくと :''MV'' = ''PY'' となる。 ''V''を一定においたとき、貨幣数量説という。 M・V(￣)＝P・T 貨幣数量説の意味：マネーサプライが変化すれば物価水準Ｐも比例して変化する。 #''M'' は中央銀行が管理できるとする。 #''V'' は一定 #''P'' は名目GDPである''PY'' と生産水準''Y'' の比 # ''Y'' は生産要素と技術水準に依存する。つまり、''Y'' は外生変数で一定。 == フィッシャー方程式 == :''i'' = ''r'' + &pi; :&pi;：インフレ率 :''i'' ：名目利子率 :''r''：実質利子率 この式でとくに ''i'' = ''ｒ'' (＿) + &pi;、つまり名目金利増減とインフレ率増減が 1対1 で対応している（つまり実質利子率は一定）と考えることを貨幣数量説と呼ぶ。古典派は貨幣数量説をとっている。 ケインジアンは''r'' = ''i'' - &pi;と考える。名目利子率とインフレ率は 1対1 に対応しているとは考えない。つまり、インフレ率が上昇したとしても、名目金利が上昇せず、実質金利は低下すると考える。 == 日銀理論 == ハイパワードマネーは日々の金融調節の結果として受動的に供給することができないという理論。日銀理論によれば、市中銀行が必要とする法定準備預金の額は、過去の預金額に比例するためその金額分だけを受動的に供給しなければならないと考えるからである。 また、信用乗数には乗数の意味はなく、マネーサプライとハイパワードマネーとの事後的な比率に過ぎないとした。つまり、日銀はマネーサプライの管理ができないと同義である。 == 銀行券ルール == 日銀の長期国債の保有残高は日銀券の発行残高の範囲内に収めるというルール。 == 参考文献 == * 浅子和美　加納悟　倉澤資成　マクロ経済学　第八章 * 斉藤誠　他　マクロ経済学　第14章6-3 * [https://d.hatena.ne.jp/koiti_yano/20081124/p1 通貨発行益とは何か - ハリ・セルダンになりたくて] * [https://www.jcer.or.jp/column/fukao/index47.html 日本経済研究センター　JCER　深尾光洋の金融経済を読み解く] * [http://bewaad.sakura.ne.jp/index.rb?date=20050513#p01 archives of bewaad institute@kasumigaseki(2005-05-13)] * [http://soudan1.biglobe.ne.jp/qa5031192.html フィッシャー方程式に関する質問,BIGLOBEなんでも相談室] * [https://www65.atwiki.jp/internetkyogakusys/pages/58.html マクロ経済学入門 - 新・金融経済まとめwiki - アットウィキ] * [https://www.jikkyo.co.jp/sys/wp-content/uploads/2026/02/9992661283.pdf 実教出版　地歴・公民資料97号　教科書の中と現実の「信用創造論」] {{DEFAULTSORT:かへいきようきゆう}} [[Category:経済学]] k4lm1f5gxof41gyyrqyyq5y1ljci7n4 0 22250 305445 305346 2026-11-06T09:22:40Z 正月君 92918 /* 信用創造と乗数効果 */ 305445 wikitext text/x-wiki * [[中学校社会 公民/金融のしくみ]]も参照のこと。 ---- == 金融 == === 信用創造と乗数効果 === {| class="wikitable" style="float:right" |+ 信用創造 ! 銀行　 !! 預金 !! 支払い準備金 !! 貸し付け金 |- ! A銀行 | 　100万円 || 　20万円 || 80万円　 |- ! B銀行 | 　80万円 || 　16万円 　 || 64万円 |- ! C銀行 | 　64 || 　12.8 　 || 51.2 |- ! D銀行 | 　51.2 || 　10.24 　 || 40.96 |- ! 以下省略 | 　 || 　 　 || |- ! 合計 | 　500万円 || 　100万円 　 || 400万円 |- |} ある銀行Aに、預金者が預金を預けたとしよう。 銀行は、その預金をもとに、預金の一部を、企業などに貸出しなどを行って、利息を得て、銀行が儲けるのが、銀行の仕事である。 さて、銀行Aが貸出しなどをする際にも、貸出し相手が預金の口座をもってる銀行Bに、お金を振り込むことになる。 すると、その銀行Bも、また預金者の口座にお金が振り込まれるので、その振り込まれたお金を使って、貸出しの業務を行うことができる。 なので、今度は、銀行Bが、預金の一部を使って、べつの銀行Cにお金を貸せることになる。 同様に、銀行Cが預金の一部を使って銀行Dにお金を貸せて、さらに銀行Dが預金の一部を使って銀行Eにお金を貸せる。 こうして、最終的に社会では、最初に預金者があずけた金額の何倍ものお金が動くことになる。 これを'''信用創造'''（しんよう そうぞう）という。 信用創造の金額は、預金準備率から計算できる。預金準備率とは、銀行が預金者からの引き出しに備えるため、預金の一部を民間には貸し出さずに日本銀行に預けておかなければならない割合いのこと。 （※ この信用創造の説明は、又貸しモデルという。実際の仕組みは異なり、銀行は振り込まれたお金を使わなくても、契約を結ぶだけで貸出しを行うことができる。このような債権と債務の発生によって生み出される預金を、万年筆マネーという。<ref>[https://www.jikkyo.co.jp/sys/wp-content/uploads/2026/02/9992661283.pdf 『教科書の中と現実の「信用創造論」』、実教出版、地歴・公民資料97号、2023年09月25日 発行]</ref>） == 通貨と硬貨のちがい == 1円玉や10円玉のように、金属として存在しているお金を硬貨（こうか）という。一方、千円札や1万円札のように、紙として存在しているお金を貨幣（かへい）という。 なお、紙幣は日本銀行が発行しており、硬貨は政府が発行している。 硬貨と貨幣を合わせて、'''現金通貨'''という。つまり通貨とは、実際に、現物として存在しているお金である。 しかし、銀行の普通預金を用いた振込み決済のように、預金も、お金のような決済機能があるので、銀行預金を'''預金通貨'''という。 普通預金のほか、小切手などの決済に用いる'''当座預金'''（とうざ よきん、英: current deposit<ref>『ビジネス基礎』、東京法令出版、令和2年12月25日文部省検定済、2022年1月20日 発行、P174</ref>）も、預金通貨に含める。 当座預金とは、小切手の振り出しのさいに引き落される預金口座であり、おもに企業などが用いる。なお、当座預金には利子がつかない。 定期預金は、一定期間は取り引きできないため、定期預金は預金通貨には含めない。 == 手形（てがた）と小切手 == 小切手は、それを受け取った直後から、銀行で、その額面の金額を換金できる。 一方、手形（てがた）は、原則として期日が来るまで、換金できない。どうしても期日前に手形を換金する場合は、期日までの利子のぶんを割り引いた金額で、その手形を銀行に買い取ってもらうことになる（これを'''手形割引'''（てがた わりびき）という）。 つまり、銀行の業務には、手形割引という業務もある。 手形や小切手を取り引きする口座には、当座預金の口座が用いられる。 == 日銀と金融政策 == === 日本銀行の通常の仕事 === 日本銀行の通常の仕事は、大きく分けると、次の3つ。 :・ 日本銀行は、「政府の銀行」として、国庫金の出納（すいとう）を行っている。 :・ 日本銀行は、「銀行の銀行」として、民間の一般の銀行から、預金を預かる。また、民間の銀行どうしの取引は、日本銀行の預金口座残高を通して行っている（※ 文英堂のシグマベストの参考書に記述あり）。 :・ 日本銀行は、日本で唯一の'''発券銀行'''として、紙幣（日本銀行券）を発行している。 日本国における日本銀行のように、ある国家で、その国の金融の中枢になる特別な銀行のことを'''中央銀行'''という。 === 金融政策 === 日本銀行は、物価などが安定するように、金融市場に流通する金銭の量を調節したりすることで、金融を調節している。 ==== 公開市場操作 ==== 日本銀行は金融市場で国債や手形を売買することで、短期金融市場における資金の総量を調節している（これを'''公開市場操作'''（open market operaton, オープン・マーケット・オペレーション）という）。 （なお、短期金融市場とは、1年以内の期間の資金を取引する市場のことであり、具体的にはコール市場や手形市場など。コール市場とは、市中銀行どうしが資金を融通しあう市場。なお「コールレート」とは、そのコール市場の利率のこと。一方、1年以上の資金を取引する市場は、長期金融市場という。） 金融市場に資金を増やしたい場合は、一般の金融機関から国債などを日銀が購入する（資金供給オペレーション、'''買いオペレーション'''、通称:買いオペ）ことで、金融機関が日銀にもつ預金口座の残高を増加させることで、金融市場に資金を増やす。 こうして市場に資金が増えた結果、金融機関が資金を運用しようと市場に貸し出すので、金融機関が企業などに貸し出すさいの金利は低下しやすい。金利が下れば、そのぶん、これからする借金の利息の負担が軽くなる。 : 買いオペ → 金融機関のもつ資金が増加 → 金融市場に流れる資金の増加 → 金利の低下 → 借金の利息が軽くなる → 企業が借金を借りやすくなる のような、流れになる。 同様に、金融市場に国債などを売却すると（資金吸収オペレーション、売りオペレーション、通称:売りオペ）、金利は上昇しやすい。 まとめると、 : 買いオペ → 金利の低下 : 売りオペ → 金利の上昇 である。 近年の日本では、日本銀行の金融政策は、原則として公開市場操作によることが通例になっており、一方、預金準備率の操作や公定歩合操作は行われなくなっている。 ==== 預金準備率の操作 ==== 市中銀行は、その預金の一定割合（預金準備率）を、日本銀行に預け入れることになっている。 そこで、日本銀行が預金準備率を変更すれば、結果的に市中銀行に影響を与えることができ、市場の資金に影響を与えられる。 ただし、1991年以来、日本では預金準備率は変更されていない。 ちなみに、預金準備率を上げると、市中金融機関が企業などに貸し出せる資金量が減るので、景気を沈静化させる。 なので、好況のときに、預金準備率を上げるのが通説だった。 一方、預金準備率を下げると、市中銀行はより多くの資金を企業などに貸し出せるので、景気を底上げする。 なので、不況のときは、預金準備率を下げるのが通説だった。 ==== 公定歩合 ==== '''公定歩合'''（こうていぶあい）とは、市中の金融機関が日銀から資金を借りるときの金利のこと。 かつて、市中銀行の預金金利が公定歩合に連動していたが、規制改革により1994年に金利が自由化され、公定歩合操作の市場への影響力は落ちた。 また、2006年より、公定歩合の名称が「基準割引率および基準貸付利率」に変更されている。 == 金融ビッグバン == 高度経済成長期ごろまで、日本の金融機関は、金利や業務が、大蔵省などにより細かく規制されていた。 また、銀行・証券会社・保険会社の業務が、独占禁止法などにより、明確に分離されていた。 このような金融規制が競争を制限しているとされ、「護送船団方式」と言われた。（第二次大戦のころ、海軍などの船団の中で、もっとも速度の遅い船舶の速度にあわせて、他の船団の速度を下げる手法があった。それになぞらえて、金融行政などにおいて競争を避ける政策を、こう呼んだ。） しかし、1996年に、政府（橋本内閣）から、金融の規制緩和の構想「日本版'''金融ビッグバン'''」が打ち出され、「フリー、フェア、グローバル」という改革方針のスローガンが主張された。日本版金融ビッグバンは、イギリスが1980年代のサッチャー政権で行った制度改革が手本になっている。 そして1997年の独占禁止法の改正により、ほかの会社の株式を所有することを主要業務とする'''持ち株会社'''（もちかぶかいしゃ）が可能になり、さらに銀行・証券・保険を総合的に行える'''金融持ち株会社'''（きんゆう もちかぶ かいしゃ）が可能になった。その結果、銀行でも保険商品や投資信託などが扱えるようになった。 :（※ 参考） 一般に、「○○ホールディングス」などという社名の大企業があれば、たいてい、持ち株会社である。 また、大蔵省から金融管理の部門が分離し、金融監督庁が設置され、2000年に金融庁になった。 また、このような規制緩和により、2000〜2010年の一時期、アメリカなどの銀行が日本に参入した。 少なくとも2000年なかば頃から、インターネットなどで証券の売買ができるようになっている。 銀行ビジネスに、電機メーカーのSONYや（ソニー銀行）、コンビニのセブンイレブンが（セブン銀行）、参入した。 == ペイオフ == かりに銀行が破綻したとしても、かつて預金の全額が保護される制度だったが、近年では1000万円までしか保護されなくなった。このことを'''ペイオフ'''（pay off）という。 ペイオフが解禁・解除されてる状態では、預金が1000万円とその利息までしか保護されない。ペイオフが凍結されてる状態だと、一般に、鍍金が全額保護される。 2005年からペイオフの凍結が解除されており、現在もペイオフ解禁中である。つまり、2005年からは、預金が1000万円までしか保護されない。 このため、預金者は自己責任で、預金先の金融機関の経営状況を判断する必要がある。 2010年に、日本振興銀行（にほんしんこうぎんこう）が破綻し、日本で初めてペイオフが発動した。（※ 現代社会の教科書に、日本振興銀行の破綻の件が書いてある。） == グレーゾーン金利の撤廃 == 金銭の貸し借りにおいて、利息をつけて返すように契約する事は合法だが、利息制限法や出資取締法（しゅっし とりしまりほう）などにより、利率の上限が法的に規制されている。経済的に弱い立場にあるだろう借り主に、高利貸しが暴利で貸すことを規制するため、利息制限法や出資取締法などで規制している。 {| class="wikitable" |+ 利息制限法による最高利率 ! 元本 !! 　利率の上限　 |- | 　10万円未満 || 　年20％ |- | 　10万円以上100万円未満 || 　年18％ |- | 　100万円以上 || 　年15％ |- |} また、利息制限法では、金銭の貸借において、借り主が払う元本以外の礼金・手数料などの名目の金銭は、すべて利息と見なされる、というように規制している。さらに利息制限法では、返済がおくれたときの違約金についても、1.46倍を限度とする制限をおいている。（※ 数値は覚えなくてよい。） 利息制限法は、貸し主がそれに違反しても、刑事罰をともなわない、民事の法律である。いっぽう、出資取締法は、貸し主がそれに違反すると、刑事罰を受ける。 なお、2006年まで出資取締法では、利率の上限を29.2％としていた。（※ 数値は覚えなくてよい。） このため、利息制限法と出資取締法の上限金利が大きく違っており、そのあいだの金利は民法では違法だが出資取締法では合法であることから、利息制限法と出資取締法のあいだの金利のことを世間一般的に'''グレーゾーン金利'''などと言った。 このため、利息制限法をこえた部分の利息を貸し主が借り主に請求することが野放しになっていた。そのため、利息制限法をこえた利率の支払いをしてしまったら、その弁済は有効とみなされ、借り主は返還を貸し主に請求できないでいた。 しかし、2006年に出資取締法が改正され、出資取締法の上限が20％に引き下げられた。（利息制限法の10万円未満の場合の最高利率と同じ数値） また、借り主は最高利率をこえた利息の支払いを拒絶できるように法改正が行われた。 また、貸金業法が2006年に改正され、貸金業者からの借入総額を年収の3分の1までに規制する総量規制も行われるようになり、消費者はそれ以上（＝ 年収の3分の1以上）の借り入れができなくなった（2010年に全面実施）。 ---- 参考: <gallery widths=300px heights=300px> 画像:Gray zone interest rate.png|改正前のグレーゾーン金利<br />なお、下の青い部分は、利息制限法の金利。 File:Interest rate regulation.png|改正出資法・改正貸金業法による金利規制 </gallery> ---- :※ いわゆる「サラ金」（サラリーマン金融）がらみの問題です。 == その他 == === 日銀は上場企業 === 日本銀行は上場しており、東証ジャスダック上場銘柄である。（東証1部銘柄ではない。） ただし政府が日本銀行の株式の55％を取得しているため、民間企業が日銀を独占できないようになっている。（※ 2017年センター試験に出題。知らなくても解けるようになっている。） == 外国の中央銀行 == アメリカの中央銀行は'''FRB'''（'''連邦準備制度理事会'''）である。 EUの中央銀行はECB（ヨーロッパ中央銀行）である。 イギリスの中央銀行はイングランド銀行である。 [[カテゴリ:高等学校教育|経]] pps18drdmxucyb2woiy03i9yzxjrmcx 0 23212 305439 301278 2026-11-06T07:57:24Z ~2026-58964-75 92959 305439 wikitext text/x-wiki 本稿では、これから'''有機化学'''（ゆうきかがく）を学習する皆さんに、有機化学について簡単ではあるが概説する。 まず、有機化学とは、「有機化合物」を取り扱う、化学の一分野である。19 世紀初頭、化学物質は生命の力によって作られる有機物と生命以外に由来する無機物に大別できると考えられていた。この考え方は生気説に基づいている。 有機化合物とは、炭素Cを含む化合物のうち、炭素の単体・炭素の酸化物・炭酸塩などを除く化合物のことである。有機化合物は主に炭素C、水素H、酸素O、窒素N、ハロゲンなどの元素から成り立っている。構成する元素こそ少ないものの、その組み合わせは膨大である。 生命活動に目を向けてみると、タンパク質や酵素、ビタミン、脂質、炭水化物などなど…、多くの物質が有機化合物である。また、私たちの体内で起こっているような化学反応も、有機化学反応である。身の回りに目を向けても、食物・衣服・石油など、多くの物質が有機化合物である。有機化合物は、天然に存在するものに限らず、人工的に合成されているものもある。合成繊維やプラスチック、そして何より薬など、合成有機化合物によって人間の生活は支えられている。 == 有機化学の歴史 == 「有機物」という名称の始まりは、1807年にさかのぼる。スウェーデンの化学者・イェンス・ベルセリウスは、生物に由来する（生命力を含んだ）物質に対して「有機物」と名付け、（生命力を含まない）鉱物に由来する物質を「無機物」として、物質を2種類に大別した。そして、「無機物」から「有機物」を作ることは決して不可能であると当時は考えられていたのである。 [[ファイル:Urea_Synthesis_Woehler.svg|thumb|380px|尿素合成の反応式]] しかし、1828年にフリードリヒ・ヴェーラーが、シアン酸カリウムという無機物から、有機物である尿素を合成することに成功した。「生命力」なしでも、「有機物」を合成することができることが判明したということである。現在では、「有機物（有機化合物）」は、例外はあるものの、基本的に「炭素を含む化合物」として定義されている。（※炭素の単体・炭素の酸化物・炭酸塩は「有機化合物」に含まない。） == 有機化合物の分類 == 有機化合物は、炭素原子の共有結合を主な骨格としている。 炭素は4本の価標をもつので、単結合・二重結合・三重結合を作る。 炭素原子間に単結合のみを持つ有機化合物を'''飽和化合物'''、二重結合や三重結合を含む化合物を'''不飽和化合物'''という。 一方、有機化合物は炭素原子が輪を作る'''環式化合物'''と輪を作らない'''鎖式化合物(脂肪族化合物)'''とに分類することも出来る。 環式化合物はさらにベンゼン環を含む'''芳香族化合物'''と'''脂環式化合物'''に分類出来る。 まとめると次のようになる。 <table border="1"> <caption>有機化合物の分類</caption> <tr><td colspan="2"></td><th>飽和化合物</th><th>不飽和化合物</th></tr> <tr><th>鎖式化合物</th><th>脂肪族化合物</th><td>例：メタン</td><td>例：エチレン</td></tr> <tr><th rowspan="2">環式化合物</th><th>脂環式化合物</th><td>例：シクロヘキサン</td><td>例：シクロヘキセン</td></tr> <tr><th>芳香族化合物</th><td>存在しない</td><td>例：ベンゼン</td></tr> </table> [[カテゴリ:有機化学]] 618kwti5hr2v6a9vvb1h7x00era35gb 0 27860 305424 283432 2026-11-06T01:36:58Z ~2026-58936-24 92957 /* フランス関係 */ 305424 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|その他の本|ジョーク集|frame=1}} [[w:第二次世界大戦|第二次世界大戦]]をネタにしたジョークである。 == 日本関係 == *:最強の軍はアメリカ人の将軍・ドイツ人の参謀・日本人の兵隊。 *:最弱の軍は日本人の将軍・中国人の参謀・イタリア人の兵隊。 == イギリス関係 == * 戦争を終結させたのはバートランド・ラッセルだ。何故なら『西洋哲学史』を出版したから。それにより、ラッセルの思索は終結し、行動主義も単なる政治的で社会的な体裁に留まるものとして理解された。着想としてはウィトゲンシュタインの『論理哲学論考』による所が大きい。 == イタリア関係 == [[w:イタリア社会共和国|イタリア]]は第二次世界大戦の[[w:枢軸国|枢軸国]]の主要三ヶ国（[[w:大日本帝国|大日本帝国]]、[[w:ナチス・ドイツ|ナチス・ドイツ]]、[[w:イタリア王国|イタリア王国]]及び[[w:イタリア社会共和国|イタリア社会共和国]]）の中で真っ先に降伏し、さらに陸軍、海軍共に装備が貧弱だったため、よくジョークとして使われる。 多くがブラックジョークなので使う際には注意が必要。 * 日本人がドイツ人に対して。<br />「次はイタ公抜きでやろうぜ」 * イタリア軍の戦車のギアは、前進1段、後進5段 * 水が無い砂漠のど真ん中でもパスタを茹でるので、すぐ水不足になる * 戦車よりも白旗を生産している * 槍と弓で武装した原住民に敗北できる近代国家はイタリアくらい * 昼飯の時間になったら戦闘中断 * イタリアは、殺されるんじゃないかとびくびくしている捕虜にフルコースの食事を出してあげたことがある * 戦争行っても恐かったからイギリスと戦わないで帰ってきた * ドイツ、フランス侵攻時。側近がヒトラーに。<br />側近「総統、イタリアが参戦しました」<br />ヒトラー「1個師団を出して迎撃したまえ！」<br />側近「イタリアはドイツの味方として参戦したのです」<br />ヒトラー「大変だ！3個師団を出して守ってやらねばならないではないか！」<br />（参考：一個師団は6000～20000人規模。つまるところ、三個師団は最大60000人） * 一日かけて前進した距離を二時間で撤退した ==フランス関係== すぐ降伏するという前提があるので、よくジョークに使われる。 *フランスでは白旗(降伏の旗)を掲げることを学校で習う。 *フランスの戦車には白旗が常備されている。 *このフランスの国旗、汚れてるぞ。または2色多いぞ。 == ドイツ関係 == *人には三つの性質がある。知的、誠実、ナチス的。これらのうち、合わさるのは常に二つであって、決して三つ全部が合わさることはない。つまり、知的で誠実な者はナチスではない。知的でナチス的であれば誠実でない。誠実でナチス的であれば知的でない。 元は[[w:カール・ヤスパース|ヤスパース]]による1965年のインタビュー。現在では「ナチス的」が「愛国心」となり、過度な愛国心を揶揄するジョークとして使われていることがある。 {{デフォルトソート:しようくしゆう}} [[カテゴリ:ジョーク]] [[カテゴリ:第二次世界大戦]] fuwhak21ea5ufd9wnj6k49tcmilh031 0 45390 305427 301508 2026-11-06T03:57:14Z 正月君 92918 305427 wikitext text/x-wiki 帝国主義とは、国家が自国の利益や勢力拡大を目的として、政治的、経済的、軍事的に他国を侵略・支配・抑圧する思想や政策、運動を指します。主に19世紀後半から20世紀初頭にかけて、欧米列強が植民地獲得や市場独占を目指して海外に進出した時代に顕著になりました。具体的には、イギリス、フランス、ドイツ、ロシアなどが植民地を拡大し、アジアやアフリカを支配下に置きました。 詳細:<br> 目的:<br> 帝国主義の主な目的は、自国の経済的利益を拡大し、国際的な地位を高めることでした。そのため、植民地を開発し、そこからの原材料や市場を独占しようとしました。<br> 方法:<br> 帝国主義は、政治的・経済的・軍事的な手段を用いて、他国を支配下に置くことを目指しました。具体的には、軍事力で植民地を占領し、政治的な支配体制を構築し、経済的な搾取を強行しました. 影響:<br> 帝国主義は、植民地を支配した欧米列強に経済的な利益をもたらしましたが、被支配国にとっては、政治的・経済的な独立が奪われ、大きな苦難をもたらしました。また、植民地間の摩擦や衝突も頻発し、第一次世界大戦の勃発にも一因しました.<br> 日本:<br> 日本も明治維新以降、欧米列強の模倣として帝国主義政策を進め、日清戦争、日露戦争を通じて植民地を獲得しました。その後、満州事変、太平洋戦争へと発展し、日本も帝国主義政策の末端に位置することになりました.<br> 現代:<br> 帝国主義は19世紀から20世紀初頭の歴史現象として理解されますが、現代においても、先進国と発展途上国の格差、経済的な不平等、軍事的な介入などが、帝国主義の現代的な形として指摘されることがあります. {{stub}} [[category:歴史|せかいし]] 15i6lhz285375qwimtv3bx565292pf0 0 45683 305425 305161 2026-11-06T03:19:56Z ~2026-55692-88 92812 /* 積分定理 */ 305425 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} {{wikipedia|ベクトル解析}} ここでは、ベクトル解析について解説する。[[物理数学I ベクトル解析]]も参照。 ==前提知識== ここでは、実数のみで考える。 ===ベクトル=== [[高等学校数学C/ベクトル]]、[[線型代数学/ベクトル]]、[[解析学基礎/ベクトル]]などを参照。本項では、矢印を付した表記（<math>\vec{a}</math>など）と太字斜体による表記（<math>\boldsymbol{x}</math>など）を混用する。 ===行列=== [[高等学校数学C/数学的な表現の工夫]]及び[[線形代数学]]・[[線型代数学続論]]の各ページを参照。本項では大文字の太字立体（<math>\mathbf{A}</math>など）で表記する。 ===多変数解析=== [[解析学基礎/多変数関数の微積分]]を参照。 ===領域=== <math>D\subset\mathbb{R}^n</math>と点<math>\boldsymbol{a}\in D</math>（位置ベクトル表記なので太文字斜体）に対し、集合<math>B_\varepsilon(\boldsymbol{a}) := \{ \boldsymbol{x} \in D \mid \| \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \|<\varepsilon \}</math>を点<math>\boldsymbol{a}</math>の'''<math>\varepsilon</math>-開球'''という。不等号を<math>\leqq</math>に変えたときは開区間↔閉区間と同様に'''閉球'''と呼ぶ。このとき、<math>D</math>のように<math>\mathbb{R}^n</math>の部分集合であって<math>\varepsilon</math>-開球を含むものを点<math>\boldsymbol{a}</math>の'''<math>\varepsilon</math>-開近傍'''と呼ぶ。閉球を含むときは同様に'''閉近傍'''と呼ぶ。 <math>\forall \boldsymbol{a} \in U, \exist \varepsilon>0, B_\varepsilon(\boldsymbol{a})\subset U</math>を満たす<math>U\subset\mathbb{R}^n</math>を'''開集合'''と呼び、<math>V=\mathbb{R}^n\setminus U</math>を'''閉集合'''と呼ぶ。 注意点として、開集合と閉集合は排反ではない。則ち「開集合且つ閉集合」である集合が存在し（例えば<math>\mathbb{R}, \varnothing</math>）、「開集合でも閉集合でもない」集合も存在する（例えば<math>[0, 1)</math>）。 <math>M\subset\mathbb{R}^n</math>を含む最小の閉集合を<math>M</math>の'''閉包'''と呼び、<math>M^-, \bar{M}, \mathrm{Cl}(M)</math>などと表す。例えば有理数の稠密性より<math>\mathbb{Q}^-=\mathbb{R}</math>である。 閉包の性質として「閉包=集合の内部と疆界の和集合（<math>M^- = \mathrm{Int}(M) \cup \partial{M}</math>）」がある。 集合<math>S\subset\mathbb{R}^n</math>に対して以下を満たす<math>\mathbb{R}^n</math>上開集合の組<math>(G_1, G_2)</math>が'''とれない'''とき、 #<math>G_1 \cap S = \varnothing \land G_2 \cap S = \varnothing</math> #<math>S = (G_1 \cap S) \sqcup (G_2 \cap S)</math> 「<math>S</math>は'''連結'''である」または「<math>S</math>は'''連結集合'''」という（但し、<math>\sqcup</math>は[[w:非交和|非交和]]）。 空でない開連結集合を'''領域'''という。 実は、高校数学や1年次の解析学で扱ってきた「領域」はこの定義を満たしていないことが多かった。これは、「領域」の歴史的な用法では「条件の解集合」という意味であって開性や連結性を要求しなかったためである。しかし、本項を含めた以降に登場する数学ではこの定義を満たしていることが前提条件となる。なお、ややこしいことに「積分領域」は従来通り「その上で積分を行う集合」という緩い意味で使われることが多いので、区別が必要である。 ===右手系=== 三次元空間の正規直交基底を<math>(\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3)</math>と置く。螺子を<math>\boldsymbol{e}_1\to\boldsymbol{e}_2</math>の向きに回すと<math>\boldsymbol{e}_3</math>の正方向に進むように3つの軸をとった系を'''右手系'''という。負方向に進むようにとったものを'''左手系'''という。数学・物理に限らず理数系の約束事として、'''三次元空間は必ず右手系で考える'''という暗黙の了解が存在するので覚えておこう。 右手系・左手系は基底の一部または全ての符号を反転することで変換することができる。一つだけを反転する場合は'''鏡像変換'''、二つだけを反転する場合は'''半回転'''、全てを反転する場合は'''空間反転'''と呼ぶ。 外積の結果として得るベクトルは右手系・左手系のどちらを考えるかで向きが変わる。このように、右手系↔左手系の変換で向きが変わるベクトルを'''軸性ベクトル'''という。 系の取り方で向きが変わるということは基底の係数である'''成分は不変量'''である。つまり、観測者の動きにベクトルが追従し、このベクトルは「物理的な実体を有しているのではなく計算の都合上向きが定められた便宜的な(=観測者が勝手に決めた)ベクトル」ということである。そのため、軸性ベクトルは'''擬ベクトル'''（シュードベクトル）とも呼ばれる。 位置や速度、加速度のような右手系・左手系のどちらを考えても同じ向きを向くベクトルを'''極性ベクトル'''という。座標系を取り換えても向きが維持されるため'''成分は座標変換に応じて変化する'''。これは、「観測の仕方によって起こる現象は変わらない」ということである。つまり擬ベクトルに対し、極性ベクトルは'''物理的実体を有するベクトル'''である。 偶奇と同じように軸性・極性にも外積を通じた相互関係が存在する。 :(軸性)×(軸性)=(軸性) :(軸性)×(極性)=(極性) :(極性)×(極性)=(軸性) ==基礎事項== ===ベクトル関数=== 関数<math>\boldsymbol{f} (x) = \sum_{i} f_i(x) \boldsymbol{e}_i</math>を'''ベクトル（値）関数'''（vector-valued function, vector function）という。 ただし、各<math>\boldsymbol{e}_i</math>は各座標軸方向の単位ベクトルであり、<math>\boldsymbol{f}(x)</math>の定義域は各<math>f_i(x)</math>の定義域の積集合である。 ベクトルの演算が成分ごとの演算結果を並べたベクトルで定義されたように、ベクトル関数の演算は（結果となる値が存在するならば）各成分の演算結果を並べたベクトルに等しい。これはベクトルの線型性による。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}</math>の<math>x\to0</math>の極限は、 :<math>\lim_{x\to0} \boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \lim_{x\to0} \cos x \\ \lim_{x\to0} \sin x \end{pmatrix}</math> (<math>\because</math>線型性) :<math>=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>=\boldsymbol{e}_x</math> と求まる。 このとき、<math>\boldsymbol{e}_x</math>を<math>\begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}</math>の<math>x\to0</math>に於ける'''極限ベクトル'''という。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>x=\alpha</math>で連続であるとは<math>\lim_{x\to\alpha}\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{f}(\alpha)</math>が成立することであり、区間<math>I</math>で連続であるとは<math>\forall \alpha \in I</math>で連続であることである。 また、ベクトル関数の導関数<math>\boldsymbol{f}'(x)</math>は :<math>\frac{d}{dx} \boldsymbol{f} (x) = \frac{d}{dx} \left( \sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i \right)</math> :<math>= \sum_i \left( \frac{d}{dx} f_i (x) \boldsymbol{e}_i \right)</math>（<math>\because</math>線型性） :<math>= \begin{pmatrix} f'_1(x) \\ f'_2(x) \\ \vdots \\ f'_i(x) \\ \vdots \end{pmatrix}</math> である。 この結果は、ベクトル関数に於ける導関数の正式な定義 <math>\lim_{h\to0} \frac{\boldsymbol{f}(x+h) - \boldsymbol{f}(x)}{h}</math>からも導かれる。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>x=\alpha</math>で微分可能であるとは極限値<math>\boldsymbol{f}'(\alpha)=\lim_{x\to\alpha}\frac{\boldsymbol{f}(x)-\boldsymbol{f}(\alpha)}{x-\alpha}</math>が存在することであり、区間<math>I</math>で微分可能であるとは<math>\forall \alpha \in I</math>で微分可能であることである。 高階導関数・高階微分可能も同様にして定義される。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>が区間<math>I</math>で連続ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>上で<math>C^0</math>級であるといい、<math>\boldsymbol{f}\in C^0(I)</math>と書く。<math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>I</math>で微分可能で<math>\boldsymbol{f}'(x)\in C^0(I)</math>ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>上で<math>C^1</math>級である（一階連続微分可能）といい、<math>\boldsymbol{f}\in C^1(I)</math>と書く。<math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>I</math>で二階微分可能で<math>\boldsymbol{f}'\in C^1(I)</math>ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>上で<math>C^2</math>級である（二階連続微分可能）といい、<math>\boldsymbol{f}\in C^2(I)</math>と書く。同様にして順々に<math>C^k</math>級が定義され、<math>\forall k \in \mathbb{N}, \boldsymbol{f}\in C^k(I)</math>ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>で<math>C^\infty</math>級（無限階連続微分可能）であるといい、<math>\boldsymbol{f}\in C^\infty(I)</math>と書く。<math>C^\infty</math>級である関数を'''滑らかな'''関数ともいう。 高校数学や高校物理で扱った平面（<math>\mathbb{R}^2</math>）上の運動は、実は2項ベクトル関数の理論に他ならない。 例えば、平面上の運動に於ける加速度・速度・変位の関係は<math>\boldsymbol{x}(t)= \begin{pmatrix} f(t) \\ g(t) \end{pmatrix}</math>として<math>\boldsymbol{a}(t) = \frac{d}{dt}\boldsymbol{v}(t) = \frac{d^2}{dt^2} \boldsymbol{x}(t)</math>と表すことができる。 曲線の媒介変数表示は、パラメータを変数とするベクトル関数とみることができる。 例えば、円の媒介変数表示<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>は、<math>\boldsymbol{r}(\theta) = r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}</math>という2次元ベクトル関数とみることができる。更に<math>\theta=\omega t</math>とすると、これは等速円運動の式である。 1変数ベクトル関数の微分に関して、以下の公式が成り立つ。 #定数倍の導関数：<math>\{k\boldsymbol{a}(x)\}'=k\boldsymbol{a}'(x)</math> #和・差の導関数：<math>\{ \boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x) \}' = \boldsymbol{a}'(x)\pm\boldsymbol{b}'(x)</math> #積の導関数：<math>\{ f(x)\boldsymbol{a}(x) \}' = f'(x)\boldsymbol{a}(x)+f(x)\boldsymbol{a}'(x)</math> #商の導関数：<math>\left\{ \frac{\boldsymbol{a}(x)}{f(x)} \right\}' = \frac{f(x)\boldsymbol{a}'(x)-f'(x)\boldsymbol{a}(x)}{\{f(x)\}^2} \quad (f(x)\neq0)</math> #内積の導関数：<math>\{\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x)</math> #外積の導関数：<math>\{\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x)</math> #スカラー三重積の導関数：<math>[\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}</math> #ベクトル三重積の導関数：<math>[\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}</math> #連鎖律（チェイン・ルール）：<math>[\boldsymbol{a}\{f(x)\}]'=\boldsymbol{a}'\{f(x)\}f'(x)</math> ベクトル関数の'''ノルム'''（大きさ、長さ）は、通常のベクトルと同様に :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)} = \sqrt{\sum_{i} \{f_i (x)\}^2}</math> で与えられる。 つまり、ノルムは元のベクトル関数と同一変数のスカラー関数である。 ここで、このスカラー関数が定数関数である条件に就て見てみよう。 :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|= c \quad (c\in\mathbb{R}_{>0})</math>の両辺を2乗して :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|^2 = \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x) = c^2</math> :両辺微分すると内積の微分より :<math>\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0</math> :<math>\therefore \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0</math> :逆に、 :<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0 \iff 2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=0</math> :<math>\int \{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'dx= \int 0 dx</math> :<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)=C_1</math>（<math>C_1\geq0</math>は積分定数） :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|^2=C_1</math>より :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{C_1} = \mathrm{const}.</math> よって、以下が成り立つ。 {{定理|(直交条件の定理)}} :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|= \mathrm{const}. \iff \boldsymbol{f}(x) \cdot \boldsymbol{f}'(x) = 0</math> {{定理終わり}} これは、物理的には「位置ベクトルと速度ベクトルが直交する」ことを表す。則ち、<math>\boldsymbol{f}(x)</math>の終点が始点を中心とする円運動(球面運動)をするということである。 また、ベクトル関数が変数に依らず常に同一方向を向く条件も見てみよう（但し<math>\boldsymbol{f}(x)\neq\boldsymbol{0}</math>）。 :所与の条件は零ベクトルでない定ベクトル<math>\boldsymbol{c}</math>を用いて<math>\boldsymbol{f}(x) = f(x)\boldsymbol{c}</math>と表される。 :両辺微分して<math>\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}=f'(x)\boldsymbol{c}</math> :ここで元のベクトル関数との外積をとると :<math>\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}\times\{f'(x)\boldsymbol{c}\}=f(x)f'(x) (\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{c})=f(x)f'(x)\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}</math> :逆に、 :<math>\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{0}</math>とすると一次従属なので :<math>\boldsymbol{f}'(x)=g(x)\boldsymbol{f}(x)</math>という微分方程式が成り立つ。 :各成分ごとに微分方程式を解くと、 ::これは変数分離型微分方程式なので第i成分は ::<math>\frac{df_i}{dx}=g(x)f_i(x)</math> ::<math>\int \frac{df_i}{f_i(x)}=\int g(x)dx</math> ::<math>G'(x)=g(x), C_i</math>を積分定数として<math>\log|f_i(x)|=G(x)+C_i</math> ::<math>C_i=\pm e^{C_i}</math>と改めておくと<math>f_i(x)=C_i e^{G(x)}</math> :よって :<math>\boldsymbol{f}(x)=\sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i = \sum_i C_i e^{G(x)} \boldsymbol{e}_i = e^{G(x)} \sum_i C_i \boldsymbol{e}_i</math> :ここで<math>f(x)=e^{G(x)}, \boldsymbol{c}=\sum_i C_i \boldsymbol{e}_i</math>と置くと :<math>\boldsymbol{f}(x) = f(x) \boldsymbol{c}</math>となり、方向は変数に依らず一定であることが判る// よって、以下が成り立つ。 {{定理|(平行条件の定理)}} <math>\boldsymbol{c},\boldsymbol{f}(x)\neq\boldsymbol{0}</math>として :<math>\boldsymbol{f}(x)=f(x)\boldsymbol{c} \iff \boldsymbol{f}(x) \times \boldsymbol{f}'(x) = \boldsymbol{0}</math> {{定理終わり}} ベクトル解析では三次元空間の場合を考えることが多いため上では外積を用いて証明したが、外積は3項ベクトル（または7項ベクトル）にしか定義されないのであった。 一般次元では外積に代わって次の関係式を用いる。 :<math>|\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)|=\|\boldsymbol{f}(x)\|\|\boldsymbol{f}'(x)\|</math> これはCS不等式の等号成立の場合である。 実際、<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\|\boldsymbol{f}(x)\|\|\boldsymbol{f}'(x)\|\cos\{\theta(x)\}</math>より等号成立の必要十分条件は :<math>\cos\{\theta(x)\}=\pm1\iff\theta(x) \equiv 0 \,(\mathrm{mod}\pi)</math> であり、2ベクトル<math>\boldsymbol{f}(x), \boldsymbol{f}'(x)</math>は平行とわかる。<br/> 平行ということは一次従属ということなので先程のように変数分離形微分方程式を解くことで3次元と同じ結果を得る。// 補足として、力学への応用を考える。 :速さの二乗<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|^2</math>を時間微分すると :<math>\frac{d}{dt}\|\boldsymbol{v}(t)\|^2=\frac{d}{dt}(\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t))=\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}\cdot\boldsymbol{v}(t)+\boldsymbol{v}(t)\cdot\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}=2(\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t))</math> :よって等速運動の条件<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|=\mathrm{const}.</math>は直交条件の定理から<math>\boldsymbol{v}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)</math>に同値である。 :これを力学的に解釈すると、「加速度ベクトルは速度ベクトル方向に仕事をしないから速度ベクトルの大きさを変えずに向きだけを変える」となる。 :平面上で等速円運動を考えると円運動条件から<math>\boldsymbol{r}(t)\perp\boldsymbol{v}(t)</math>、等速条件から<math>\boldsymbol{v}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)</math>なので<math>\boldsymbol{r}(t) /\!/ \boldsymbol{a}(t)</math>が出てくる。 :円運動条件<math>\|\boldsymbol{r}(t)\|^2=r^2</math>を一階微分すると ::<math>2\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{r}'(t)=0</math> :もう一度微分して ::<math>2(\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{r}''(t)+\boldsymbol{r}'(t)\cdot\boldsymbol{r}'(t))=0</math> :則ち ::<math>\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t)+\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t)=0</math> :位置ベクトルと加速度ベクトルが一次従属なので<math>\boldsymbol{a}(t)=\lambda\boldsymbol{r}(t)</math>であり、等速条件より<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|=v</math>なので ::<math>\lambda r^2 + v^2 = 0</math> ::<math>\therefore \lambda = -\frac{v^2}{r^2}<0</math> :則ち<math>\boldsymbol{r}(t)</math>と<math>\boldsymbol{a}(t)</math>は逆向きであり、円運動の中心は<math>\boldsymbol{r}(t)</math>の始点なので<math>\boldsymbol{a}(t)</math>は常に円運動の中心を向く'''向心加速度'''であることが証明された。// なお、3次元以上では「<math>\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\land\boldsymbol{b}\perp\boldsymbol{c}\implies\boldsymbol{a}/\!/\boldsymbol{c}</math>」が一般には成り立たないのでこの議論を成立させるには追加の条件が必要である。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>の不定積分は、各<math>f_i(x)</math>の原始関数を並べたベクトルを<math>\boldsymbol{F}(x)</math>として :<math>\int \boldsymbol{f}(x) dx = \boldsymbol{F}(x)+\boldsymbol{C}</math>（<math>\boldsymbol{C}</math>は各積分定数を並べたベクトル） と表される。 また、定積分は :<math>\int^b_a \boldsymbol{f}(x) dx=\boldsymbol{F}(b)-\boldsymbol{F}(a)</math> と表される。 1変数ベクトル関数の積分について、以下が成り立つ（不定積分表記だが定積分に就ても同様）。 #定数倍の原始関数：<math>\int \{k\boldsymbol{a}(x)\} dx = k\int\boldsymbol{a}(x)dx</math> #和・差の原始関数：<math>\int \{\boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x)\}dx=\int\boldsymbol{a}(x)dx\pm\int\boldsymbol{b}(x)dx</math> #内積の原始関数<math>\int \{\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \cdot \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)</math> #外積の原始関数<math>\int \{\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \times \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)</math> #スカラー倍の部分積分：<math>\int f(x)\boldsymbol{a}'(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f'(x)\boldsymbol{a}(x) dx \iff \int f'(x)\boldsymbol{a}(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f(x)\boldsymbol{a}'(x) dx</math> #内積の部分積分：<math>\int \{ \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}dx</math> #外積の部分積分：<math>\int \{ \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}dx</math> #置換積分：<math>u=f(x)</math>として<math>\int \boldsymbol{a}'\{f(x)\}f'(x) dx = \int \boldsymbol{a}(u)du</math> 平行条件の定理の証明でベクトル関数の微分方程式を解いたように、成分毎に考えることで解空間ベクトルを求められる。 :1階線型常微分方程式<math>\boldsymbol{f}'(x)+a(x)\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{b}(x)</math>の解に就て考える。 :第<math>i</math>成分を考えると<math>f'_i(x)+a(x)f_i(x)=b_i(x)</math>という1階線型常微分方程式を得るので、 :両辺に積分因子<math>\mu(x)=\exp\left(\int a(x) dx\right)</math>を掛けることで :<math>f_i(x)=\frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\}</math>を得る。 :よって一般解は :<math>\boldsymbol{f}(x) = \sum_i \frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\} \boldsymbol{e}_i=\frac{1}{\mu(x)}\left\{ \int \mu(x) \boldsymbol{b}(x) dx + \boldsymbol{C} \right\}</math> ベクトル関数は必ずしもここで扱った<math>\boldsymbol{f}: \mathbb{R}\to\mathbb{R}^n</math>のみを指さない。 例えば、ベクトル変数 <math>\boldsymbol{x}= \sum_i g_i (x) \boldsymbol{e}_i</math>に対して :<math>\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})=\sum_i (h_i \circ g_i) (x) \boldsymbol{e}_i</math> と定義されるような関数<math>\boldsymbol{h}:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</math>もベクトル関数である。 また、始域と終域の次元が異なる<math>\boldsymbol{i}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n \, (m, n\neq1)</math>のようなベクトル関数も考えられる。 一般に、始域が<math>\mathbb{R}^n (n\neq1)</math>であっても終域が<math>\mathbb{R}</math>である関数はベクトル関数に対して'''スカラー関数'''（scalar function）と呼ばれる。スカラー関数は入力ベクトルを「変数の組」と見れば通常の多変数関数に一致する。 この節で述べた理論は、多くは一般のベクトル関数に対しても成り立つ。但し、後述のヤコビ行列のような拡張を必要とするものもある。 また、多変数ベクトル関数<math>\boldsymbol{f}(x_1, x_2,\cdots,x_n)</math>を考えたとき、多変数微積分の理論は一変数微積分と同様にしてベクトル関数にもそのまま拡張される。 ===ベクトル場・スカラー場=== 写像<math>\boldsymbol{a}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</math>を'''ベクトル場'''（vector field）という。 実際には<math>m=n</math>の場合を考えることが多い。 写像<math>\varphi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>を'''スカラー場'''（scalar field）という。 それぞれ上で述べたベクトル関数・スカラー関数に対応する。 もう少し具体的に述べると、空間の領域<math>V</math>が与えられたときその各点にスカラーまたはベクトルを割り当てたものが場である。要するに、<math>p\in V</math>とすると :スカラー場：<math>\varphi=\varphi(p)</math> :ベクトル場：<math>\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}(p)</math> のように場は「点を入力とする^※関数」である。 <small>※なお、ベクトル場を図示するときは「出力されたベクトルの'''始点は原点でなく入力された点'''」であることに注意が必要である。出力ベクトルの成分表示は「入力点を基準に据えたときの位置ベクトル」なので原点から目盛を数えることに意味はない。</small> ここで<math>V</math>に何かしらの座標が設定されていれば、その座標系の変数の組をベクトルと見做すことで場を「通常のスカラー関数・ベクトル関数」として扱えるのである。 則ち、「滑らかな場」という概念は「滑らかな関数」として定義することができる。より具体的に言うと、スカラー場・ベクトル場が'''滑らか'''であるとは対応するスカラー関数・ベクトル関数が<math>C^\infty</math>級であることである。但し、滑らかさは任意の座標変換で保たれるわけではないことに注意が必要である（後述の座標変換テンソル及びその逆行列の全ての成分関数が滑らかである必要がある）。 ここで、二変数関数の極値を思い返してみる。 <math>z=f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>で極大であるとは<math>\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>として :<math>\exist \delta>0, \forall {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in \mathbb{R}^2, {\scriptstyle\left\| \left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right) \right\|} < \delta \implies f(x, y) \leq f(a, b)</math> という定義だった。 <math>z=f(x, y)</math>は曲面を表すが、これを<math>z</math>軸正方向から<math>xy</math>平面に射影するとその陰が<math>(x, y)</math>の動く範囲となるのであった。 ここで<math>\boldsymbol{x}:=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \boldsymbol{\alpha}:=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>とすると<math>z=f(x, y)</math>はスカラー場<math>z=\phi(\boldsymbol{x})</math>と解釈することができ、更に条件法の前件は<math>\boldsymbol{\alpha}</math>の<math>\delta</math>-開球（二次元なので開円板）である。 なので、極大値の定義式をベクトル解析的に解釈すると「<math>xy</math>平面の各点に<math>z</math>の値を割り当てた数分布に於いて、開円板<math>B_\delta(\boldsymbol{\alpha})</math>内部に於ける<math>z</math>の最大値が<math>\phi(\boldsymbol{\alpha})</math>となるような正数<math>\delta</math>が存在する」ということである。 ベクトル場の例としては、電場・磁場・重力場などが挙げられる。 スカラー場の例としては、電位分布・温度分布・圧力分布などが挙げられる。 例えば、ベクトル場<math>\boldsymbol{f}=(x, 0, 0)</math>は、<math>\mathbb{R}^3</math>内の平面<math>x=k</math>上の任意点に、その点を始点とするベクトル<math>\begin{pmatrix} k \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>が存在する状態を表す。 ベクトル場の和は、出力ベクトルの型が同じならばベクトル場の成分の和をとったものに等しい。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x, y, z)=(y, z, x), \boldsymbol{g}(x, y, z)=(z, x, y)</math>について :<math>(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g})(x, y, z)=(y, z, x)+(z, x, y)=(y+z, z+x, x+y)</math>である。 これは、ベクトル場の加法の定義が :<math>\forall p \in V, (\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g})(p):=\boldsymbol{f}(p)+\boldsymbol{g}(p)</math> となっていて且つ<math>V</math>に座標を入れればベクトル関数の加法則をそのまま適用できるためである（入力点が異なるとき、場同士は足すことができない）。 曲線<math>\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2 \mid \varphi(\boldsymbol{x})=\mathrm{const}.\}</math>を'''等高線'''（等高曲線）、曲面<math>\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^3 \mid \varphi(\boldsymbol{x})=\mathrm{const}.\}</math>を'''等位面'''（等位曲面）という。これらの詳細は後述する。 ==曲線論・曲面論== ===曲線=== <math>xy</math>平面上の曲線は<math>y=f(x) (x\in[a, b])</math>という陽関数表示で扱うことが多かった。しかし、これだと自分自身と交わる（'''自己交叉'''する）曲線や<math>x=x_0</math>に対して<math>f(x_0)</math>の値が複数存在する（<math>f</math>が'''多価関数'''）場合に不都合が生じる。 例えば円を陽関数表示しようとすると :<math>x^2+y^2=r^2</math>を<math>y</math>に就いて解いて :<math>y=\pm\sqrt{r^2-x^2}</math> 則ち :<math>y=\begin{cases} \sqrt{r^2-x^2} & (y\geq0) \\ -\sqrt{r^2-x^2} & (y<0) \end{cases}</math> という多価関数が必要になる。 これだと端点の振舞を一々調べる必要があって曲線の連続性や接線の議論が煩雑になってしまう。 しかし、先程も述べたように曲線の媒介変数表示はベクトル関数として見れるのであった。 :<math>\boldsymbol{r}(\theta) = r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}</math>（再掲） こうすると一変数連続ベクトル関数によって曲線を表すことが可能である。物理的に捉えると「質点の運動の軌跡を原点からの位置ベクトルの時間変化で表す」ということである。 一般に、<math>\boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^n, t \in I</math>としてベクトル方程式<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>の解集合<math>\{\boldsymbol{r}(t) \mid t \in I \}</math>は<math>n</math>次元空間内の曲線<math>C</math>を表す。これを<math>C</math>の'''ベクトル表示'''という。 ベクトル表示は成分表示に直せば<math>\boldsymbol{r}(t)=\sum_i r_i(t)\boldsymbol{e}_i</math>となる。これは媒介変数表示<math>\begin{cases} x_1&=&r_1(t) \\ x_2&=&r_2(t) \\ &\,\,\vdots& \\ x_n&=&r_n(t) \end{cases}</math>をベクトル表記したものに一致する。 例えば、<math>\boldsymbol{r}(t)=\begin{pmatrix} a\cos t \\ a\sin t \\ bt \end{pmatrix}</math>は'''常螺旋'''（弦巻線）のベクトル表示である。 パラメータが増加するときの点の移動方向を曲線の'''正の向き'''と定める。曲線の'''負の向き'''はパラメータが減少するときの点の移動方向である。このとき、パラメータで'''向き付け'''された曲線という表現もなされる。曲線<math>C</math>に対し、同じパラメータを用いた逆向きの曲線を<math>-C</math>と表す。ベクトル表示では<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>に対して<math>-C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(-t)</math>ということである。 パラメータに関する変数変換<math>u=\phi(t)</math>を考える。但し、<math>\phi</math>は広義単調関数とする^※。このとき、<math>\frac{du}{dt}</math>が非負ならば曲線の向き付けが保たれ、非正ならば向き付けが反転する。<math>\frac{du}{dt}=0</math>となる領域では点の運動が停止する。 <small>※<math>\phi</math>が非単調関数のときは曲線上の点が行ったり来たりすることになるため曲線のパラメータ表示としては扱いづらい。</small> <math>\boldsymbol{r}(t) \in C^1</math>且つ<math>\boldsymbol{r}'(t)\neq\boldsymbol{0}</math>であるとき、曲線<math>C</math>は'''滑らか'''であるという。 滑らかな曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>に対して<math>\boldsymbol{r}'(t)</math>を<math>C</math>の'''速度ベクトル'''という。 <math>\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boldsymbol{r}</math>として点<math>\mathrm{P}(t)</math>に於ける速度ベクトルは<math>\lim_{\Delta t\to0}\frac{\boldsymbol{r}(t+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t)}{\Delta t}</math>の極限ベクトルであるが、<math>\boldsymbol{r}(t+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t)</math>を図示することで速度ベクトルが曲線<math>C</math>の点<math>\mathrm{P}(t)</math>に於ける接線の方向ベクトルになっていることがわかる。よって、速度ベクトルを'''接線ベクトル'''（接ベクトル）ともいう。 速度ベクトルが非零である曲線を'''正則'''な曲線と呼ぶ。滑らかな曲線は正則曲線である。 なお、一般には陽関数表示が区分的であることとベクトル表示の成分関数が区分的であることに対応はないほか、パラメータの取り方で速度ベクトルが変わるので「曲線の幾何学的滑らかさ」と「ベクトル表示した関数の解析学的滑らかさ」は一致するとは限らない。 正則な曲線に対して曲線長（'''弧長'''）を考える。 二次元曲線の場合は数学Ⅲで既に扱った。 :<math>L=\int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt</math> 実は、これを一般の<math>n</math>次元にそのまま拡張することができる。 {{定理|(弧長公式)}} 曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>の点<math>\mathrm{P}(a)</math>から点<math>\mathrm{P}(b)</math>までの長さ（<math>a<b</math>）は :<math>L=\int_a^b \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math> で与えられる。 {{定理終わり}} *証明 :<math>a=t_0, b=t_m</math>として閉区間<math>[a, b]</math>を各<math>t_i</math>で等分割する。このとき小区間<math>[t_{k-1}, t_k]</math>の長さは<math>\Delta t=\frac{b-a}{m}</math>。 :<math>C</math>の点<math>\mathrm{P}(a)</math>から点<math>\mathrm{P}(b)</math>までの長さ<math>L</math>は折れ線の長さ<math>\overline{\mathrm{P}(t_{k-1})\mathrm{P}(t_k)}</math>の総和で近似される。 :ここで<math>\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boldsymbol{r}(t)</math>より ::<math>L_m=\sum_{k=1}^m \| \boldsymbol{r}(t_k)-\boldsymbol{r}(t_{k-1}) \| = \sum_{k=1}^m \left\| \frac{\boldsymbol{r}(t_{k-1}+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t_{k-1})}{\Delta t-0} \right\|(\Delta t-0)</math> :分割を限りなく細かくする極限をとると<math>m\to\infty</math>より<math>\Delta t\to0</math>なので ::<math>\lim_{m\to\infty} L_m = \sum_{k=1}^\infty \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}(t_{k-1}) \right\|dt</math> :区分求積法より最後の無限級数は収束して :<math>L=\int_a^b \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math>// ここで、<math>dl:=\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math>という微小量を'''線素'''と呼ぶ。 1を線素に関して積分したパラメータ<math>s:=\int_0^t d\ell</math>を'''弧長パラメータ'''（標準パラメータ）という。弧長パラメータは曲線上で「基準点からの符号付き距離」を表す。 曲線の弧長パラメータによるベクトル表示（'''弧長パラメータ表示'''）を考える。<math>s=\int_0^t \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math>で正則よりノルムは正。則ち<math>\frac{ds}{dt}>0</math>より<math>s=\phi(t)</math>は狭義単調増加なので、逆関数<math>t=\phi^{-1}(s)</math>を考えることができる。よって、<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>に<math>t=\phi^{-1}(s)</math>を代入した<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\phi^{-1}(s))</math>が弧長パラメータ表示である。これを<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>と略記してしまうことも多いが、'''一般には元の<math>\boldsymbol{r}(t)</math>と成分関数が異なる'''ことに注意。 通常の媒介変数によるベクトル表示は「座標系が予め与えられた状況」での表示であるが、弧長パラメータは座標系を取り替えたとしても表す曲線そのものが変わらなければ不変である。よって、「座標系に依存しない表記」として弧長パラメータ表示は多く利用されている。 また、弧長パラメータ表示で連鎖律を適用すると :<math>\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\cdot\frac{dt}{ds}=\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\cdot\frac{1}{\frac{ds}{dt}}</math> ここで微分積分学の基本定理より :<math>\frac{ds}{dt}=\frac{d}{dt} \int_0^t \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt = \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|</math> なので :<math>\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\frac{\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}}{\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|}</math> であり、自身のノルムで割ってるので恒等的に<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} \right\|=1</math>である。 よって、弧長パラメータ表示された曲線の接ベクトルは常に単位ベクトルである。 弧長パラメータ表示された曲線で線素を考えると<math>s=\int_0^s \left\| \frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds} \right\| ds = \int_0^s d\ell</math>だが、常に<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} \right\|=1</math>なので<math>ds=d\ell</math>であり、弧長パラメータの微小量は線素に等しい（弧長パラメータそのものが1の線素に関する積分なので当たり前ではある）。 <math>\boldsymbol{e}_\dagger(s)=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}</math>と置くと、点<math>\mathrm{P}(s_0)</math>に於ける接線の方程式は :<math>\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s_0)=\boldsymbol{e}_\dagger(s_0) (s-s_0)</math> と表される。 ここで<math>\boldsymbol{r}(s)</math>の中心<math>s_0</math>に於けるテイラー展開は :<math>\boldsymbol{r}(s)=\sum_{i=0}^\infty \frac{(s-s_0)^i}{i!} \frac{d^i}{ds^i}\boldsymbol{r}(s_0) </math> であり、「接線が一次近似に対応する」という構造はベクトル関数でも維持されることが判った。 領域<math>\boldsymbol{D}</math>上の滑らかなベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>について、微分方程式<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t)) (\boldsymbol{r} \in \boldsymbol{D})</math>で与えられる曲線<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>を<math>\boldsymbol{a}</math>の'''流線'''（streamline）という（入力点を位置ベクトルと同一視していることに注意）。流線の接線ベクトルは元のベクトル場そのものになるので、ベクトルの相等から得る方程式<math>\frac{dx_1}{a_1}=\frac{dx_2}{a_2}=\cdots=\frac{dx_n}{a_n}</math>を'''流線方程式'''という。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x, y)=(y, x)</math>の流線は、 :定義から<math>\frac{dx}{dt}=y, \frac{dy}{dt}=x</math> :合成関数の微分公式から<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{x}{y}</math> :<math>\int y dy=\int xdx</math> :<math>\frac{1}{2}y^2=\frac{1}{2}x^2+C</math> :よって双曲線<math>y^2-x^2=2C</math>// この場合、<math>t</math>に関する2つの微分方程式を組み合わせることで :<math>\frac{d^2x}{dt^2}=x, \frac{d^2y}{dt^2}=y</math>という二階線型常微分方程式となり、一般解が双曲線関数を用いて<math>\begin{cases} x=C_1\cosh t+C_2\sinh t \\ y=C_1\sinh t+C_2\cosh t \end{cases}</math>であることが容易に判る。<br>なお、流線方程式を用いても<math>\frac{dx}{y}=\frac{dy}{x}</math>から<math>\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}</math>が出てくる。 「流線の接線ベクトルが元のベクトル場になる」とはつまり、「接線が常にベクトル場と平行になるような曲線」を考えているということである。滑らかなベクトル場を考えているためそのような曲線は常に存在する。流線は「ベクトル場の流れを繋げていった曲線」と考えることができるので、「流れを簡潔に図示」するのにちょうどよい。 有名な例として、電気力線・磁力線はそれぞれ電場<math>\boldsymbol{E}</math>・磁場<math>\boldsymbol{H}</math>の流線である。 流線の微分方程式を弧長パラメータ表示を用いて変形する。 :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))</math>の左辺に就いて :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\frac{ds}{dt}=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot \|\boldsymbol{r}'(\phi^{-1}(s))\|</math> 元の方程式の両辺でノルムをとると :<math>\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|=\|\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))\|</math> 代入して :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\|\boldsymbol{r}'(\phi^{-1}(s))\|=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\|\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))\|</math> :<math>\therefore \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} = \boldsymbol{e}_{\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(\phi^{-1}(s)))}</math> ここから、流線の形状はノルムには関係なく方向場のみで決まることがわかる。 ===フレネ標搆=== ここでは、三次元空間に於ける正則曲線について考える。 <math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>上の点<math>\mathrm{P}(s)</math>に於ける単位接線ベクトルを<math>\boldsymbol{t}</math>とおく。 先程の議論より<math>\boldsymbol{t}(s)=\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}</math>であり、<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds} \right\|=1 (=\mathrm{const}.)</math>なので直交条件の定理から<math>\boldsymbol{t}\cdot\frac{d\boldsymbol{t}}{ds}=0</math>、則ち<math>\boldsymbol{t} \perp \frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}</math>である。この<math>\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}</math>を'''主法線ベクトル'''という。 主法線ベクトルを<math>\boldsymbol{n}</math>とおくとき、<math>\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n}</math>を'''従法線ベクトル'''（陪法線ベクトル）という。ここで先程の結果より<math>\boldsymbol{t}\perp\boldsymbol{n}</math>であって<math>\boldsymbol{b}</math>の定義より<math>\boldsymbol{t}\perp\boldsymbol{b}, \boldsymbol{n}\perp\boldsymbol{b}</math>なので、この3ベクトルの組を正規化した<math>\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b \}</math>は<math>\mathbb{R}^3</math>の正規直交基底である。これを<math>\mathbb{R}^3</math>の'''フレネ標搆'''という。外積の結果よりフレネ標搆は<math>\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b</math>の順に右手系をなす。なお、接線ベクトル・主法線ベクトル・従法線ベクトルは全て曲線の位置ベクトル<math>\boldsymbol{r}(s)</math>を入力したベクトル場として捉えることができる。 <math>\{\boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b \}</math>の張る平面を'''法平面'''、<math>\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_b \}</math>の張る平面を'''展直平面'''、<math>\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n \}</math>の張る平面を'''接触平面'''という。 即ち、法平面・展直平面・接触平面は<math>tnb</math>空間の点<math>\mathrm{P}(s)</math>を原点とした基準面である。 平面の方程式の法線ベクトルに接ベクトル・主法線ベクトル・従法線ベクトルをそれぞれ代入することで :法平面の方程式：<math>(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{t}(s)=0</math> :展直平面の方程式：<math>(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{n}(s)=0</math> :接触平面の方程式：<math>(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{b}(s)=0</math> とわかる。 <math>\|\boldsymbol{t}\|=1</math>は常に成り立つが<math>\|\boldsymbol{n}\|, \|\boldsymbol{b}\|</math>は<math>1</math>とは限らない。そこで、主法線ベクトルの大きさ<math>\kappa(s)=\|\boldsymbol{n}(s)\|</math>を曲線<math>C</math>の'''曲率'''と呼ぶことにする。なお、<math>\|\boldsymbol{b}\|=\| \boldsymbol{t} \| \|\boldsymbol{n}\|\sin\frac{\pi}{2}</math>より<math>\|\boldsymbol{b}\|=\|\boldsymbol{n}\|=\kappa</math>が成り立つ。 主法線ベクトルの定義に立ち戻ると<math>\boldsymbol{n}(s)=\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}</math>であった。つまり、主法線ベクトルは接ベクトルの速度ベクトルなので「弧長パラメータを変化させたときに接ベクトルがどのくらい変化するか」という指標である。接ベクトルの変化の大小と<math>\kappa</math>の大小は対応し、接ベクトルの大小はカーブの緩急に対応することから<math>\kappa</math>の大小とカーブの緩急も対応する。これが「曲率」という名前の由来である。 なお、<math>\kappa(s)=0</math>の場合は<math>\boldsymbol{n}(s)=\boldsymbol{0}</math>なので<math>\boldsymbol{t}(s)=\boldsymbol{k}</math>（定ベクトル）であり、<math>\boldsymbol{r}(s)=s\boldsymbol{k}</math>という直線の場合に対応することがわかる。 単位接ベクトルの<math>s</math>を微分変数とする導関数（<math>s</math>-導関数）は主法線ベクトルだったが、単位主法線ベクトル・単位従法線ベクトルの<math>s</math>-導関数がどのように表されるか見ていく。 ここで、フレネ標搆が<math>\mathbb{R}^3</math>の正規直交基底であることから、<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}, \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}</math>ともにフレネ標搆の一次結合で表現できると予想される。 単位従法線ベクトルに就いて :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\frac{d}{ds}(\boldsymbol{e}_t\times\boldsymbol{e}_n)=\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\times\boldsymbol{e}_n+\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math> <math>\boldsymbol{t}=\boldsymbol{e}_t</math>より<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\boldsymbol{n}=\kappa\boldsymbol{e}_n</math>則ち<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\times\boldsymbol{e}_n=\kappa\boldsymbol{e}_n\times\boldsymbol{e}_n=\boldsymbol{0}</math>なので :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math> <math>\|\boldsymbol{e}_n\|=1</math>から直交条件の定理より<math>\boldsymbol{e}_n\perp\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math>なので :<math>\boldsymbol{e}_n\times\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\boldsymbol{e}_n\times(\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds})=\left(\boldsymbol{e}_n\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}\right)-(\boldsymbol{e}_n\cdot\boldsymbol{e}_t)\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\boldsymbol{0}</math> 外積が零ベクトルなので<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds} /\!\!/ \boldsymbol{e}_n</math>であり、一次従属より :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n</math> となるスカラー関数<math>\tau(s)</math>が存在する。 この<math>\tau(s)</math>を曲線<math>C</math>の'''捩率'''と呼ぶ。捩率は接触平面の回転（捩れ）の率を表す。 <math>\tau=0</math>ならば<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=0</math>より<math>\boldsymbol{e}_b</math>方向は変化しないので曲線は接触平面と平行な平面上に拘束される。即ち、<math>C</math>は平面曲線である。 単位主法線ベクトルに就いて :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\frac{d}{ds}(\boldsymbol{e}_b\times\boldsymbol{e}_t)=\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}\times\boldsymbol{e}_t+\boldsymbol{e}_b\times\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}</math> ここで<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\kappa\boldsymbol{e}_n, \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n</math>を代入して :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n\times\boldsymbol{e}_t+\boldsymbol{e}_b\times\kappa\boldsymbol{e}_n=\tau\boldsymbol{e}_b-\kappa\boldsymbol{e}_t</math> よって、フレネ標搆の弧長パラメータを微分変数とする導関数を以下のようにフレネ標搆の一次結合で表すことができた。 :<math>\begin{cases} \frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\kappa\boldsymbol{e}_n \\ \frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds} = \tau\boldsymbol{e}_b-\kappa\boldsymbol{e}_t \\ \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n \end{cases}</math> これを一次変換で表記すると以下のようになる。但し、厳密にはベクトルを成分としている部分は列ではなく行に配置するのが正しいことに注意。 {{定理|(フレネ＝セレーの公式)}} :<math>\frac{d}{ds}\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix}</math> {{定理終わり}} 表現行列が反対称行列（歪対称行列）になっているが、これは「直交変換を一次近似すると反対称変換になる」という無限小回転の理論に対応する。 捩率を求めるときは「基底分解の係数は対応する基底ベクトルとの内積に等しい」という性質を利用すれば<math>\boldsymbol{e}_b\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\tau</math>となるので左辺を計算すればよい。 例えば、円<math>\begin{cases} x^2+y^2=a^2 \\ z=b \end{cases}</math>の曲率と捩率は以下のように求まる。 :媒介変数表示して<math>\boldsymbol{r}(t)=\begin{pmatrix} a\cos t \\ a\sin t \\ b \end{pmatrix}</math> :接線ベクトルは<math>\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -a\sin t \\ a\cos t \\ 0 \end{pmatrix}</math> :弧長パラメータ<math>s</math>は<math>s=\int^t_0 \left\|\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\right\|dt = \int_0^t a dt = at</math> :<math>\therefore t=\frac{s}{a}</math> :<math>\boldsymbol{r}(s)=\begin{pmatrix} a\cos\frac{s}{a} \\ a\sin\frac{s}{a} \\ b \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{t}=\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\begin{pmatrix} -\sin\frac{s}{a} \\ \cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{n}=\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}=\frac{1}{a}\begin{pmatrix} -\cos\frac{s}{a} \\ -\sin\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\kappa=\|\boldsymbol{n}\|=\frac{1}{a}</math> :<math>\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{a} \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{e}_n=\begin{pmatrix} -\cos\frac{s}{a} \\ -\sin\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\frac{1}{a}\begin{pmatrix} \sin\frac{s}{a} \\ -\cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{e}_b = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> :<math>\tau = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{a}\begin{pmatrix} \sin\frac{s}{a} \\ -\cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>// フレネ・セレーの公式は[[線型代数学続論/行列値関数|行列関数]]に関する一階常微分方程式である。そのため、微分方程式の基本定理（ピカール=リンデレーエフの定理）により初期条件（<math>s=0</math>に於けるフレネ標搆）を与えれば、滑らかな曲率関数・捩率関数の組<math>(\kappa, \tau)</math>を定めることで微分方程式の解として一般の<math>s</math>に対するフレネ標搆を一意に得る。このとき、曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>は接ベクトルを出発点を選んで積分することで決定される。 従って、次の定理が成り立つ<!-- 厳密証明はhttps://sshmathgeom.private.coocan.jp/diffgeom/curvetheorem.htmlを参照 -->。 {{定理|(曲線の基本定理)}} 開区間<math>(a,b)</math>上の実数<math>s</math>を変数とする2つの滑らかな関数<math>\kappa(s),\tau(s)</math>を与える。但し、<math>\kappa(s)</math>は正とする。<br/> このとき、<math>\kappa(s)</math>を曲率、<math>\tau(s)</math>を捩率、<math>s</math>を弧長パラメータとする三次元空間上の曲線<math>C</math>が剛体運動を除いて一意に定まる。 {{定理終わり}} 剛体運動とは「曲線の形を変えない」運動のことである（平行移動・回転など）。 <math>\kappa(s), \tau(s)</math>の定める曲線族を一般に<math>\mathcal{C}[\kappa, \tau]</math>と書く。 例えば、円を含む螺旋は<math>c_1, c_2=\mathrm{const}.</math>として<math>\mathcal{C}[c_1, c_2]</math>と書ける。 <math>R=\frac{1}{\kappa}</math>を'''曲率半径'''という。曲率半径は曲線の特定のカーブにおける曲がり具合の急さを表す指標であり、カーブを近似する真円（'''密着円'''）の半径でもある。高速道路の標識で<math>R=\circ\circ \mathrm{m}</math>は、そのカーブの曲率半径を示している。道路設計では、快適なドライブの為曲率半径がなるべく大きくなるように工夫を凝らしている。 ここで<math>\boldsymbol{r}(s)</math>の中心<math>s_0</math>に於けるテイラー展開は :<math>\boldsymbol{r}(s)=\sum_{i=0}^\infty \frac{(s-s_0)^i}{i!} \frac{d^i}{ds^i}\boldsymbol{r}(s_0) </math>（再掲） だったが、二次近似式（三次以降を切り捨てた式）を考えると :<math>\boldsymbol{r}(s) \fallingdotseq \boldsymbol{r}(s_0)+\frac{d\boldsymbol{r}(s_0)}{ds}(s-s_0) + \frac{1}{2}\frac{d^2\boldsymbol{r}(s_0)}{ds^2}(s-s_0)^2 </math> フレネ標搆を用いて書き直すと :<math>\boldsymbol{r}(s) \fallingdotseq \boldsymbol{r}(s_0)+\boldsymbol{e}_t(s-s_0) + \frac{1}{2}\kappa(s_0)\boldsymbol{e}_n(s-s_0)^2 </math> 二次近似とは「曲線を円弧で近似する」ことだったので曲率<math>\kappa(s_0)</math>が近似に用いる円弧と関係ある量であることが予想される。<br/> 接触平面で密着円<math> \| \boldsymbol{r} - (\boldsymbol{r}(s_0)+R\boldsymbol{e}_n) \| = R </math>を考える。接触平面を<math>xy</math>平面と考えると円の方程式は :<math>x^2+(y-R)^2=R^2</math> :<math>y=R-\sqrt{R^2-x^2}</math> テイラー展開して :<math>y=\frac{x^2}{2R}+O(x^4)</math> 二次の項を比較すると :<math>\frac{x^2}{2R}=\frac{(s-s_0)^2}{2}\kappa</math> よって :<math>R=\frac{1}{\kappa}</math> と定義するのは妥当である。 なお、先ほど求めた円の曲率から、真円に関して「曲率半径=半径」であることが判る。 フレネ・セレーの公式で最初の二行二列のみを考えると<math>\mathbb{R}^2</math>内の曲線に対するフレネ・セレーの公式を得る。一般に<math>\mathbb{R}^n</math>上の曲線に対し、今回の議論と同様にして接ベクトル・主法線ベクトル・曲率を定義することができる。但し、三次元空間と異なって同じ曲率に対して異なる曲線を与えることができる（主法線ベクトルが接触平面内で接ベクトルに対して左右どちらを向くかがそのままでは定まらないため）。なお、4次元以上であっても平面拘束曲線ならば捩率は0であって従法線ベクトルは零ベクトルに定まる。 ===単純閉曲線=== パラメータ区間を<math>I=[a, b]</math>とする。 このとき、曲線の端点はそれぞれ<math>\mathrm{P}(a), \mathrm{P}(b)</math>である。 端点が一致する、つまり<math>\mathrm{P}(a)=\mathrm{P}(b)</math>である連続曲線を'''閉曲線'''という。 自己交叉しない、つまり<math>\forall t_1, t_2 \in (a, b), t_1 \neq t_2 \iff \mathrm{P}(t_1)\neq\mathrm{P}(t_2)</math>となる閉曲線を'''単純閉曲線'''（ジョルダン曲線）という。閉曲線でない曲線に就いて「自己交叉しない」という条件は「曲線を表すベクトル関数が単射」と同値であるので、端点のみ単射性を外してやれば単純閉曲線の定義を得る。 幾何学的直観から、平面に拘束された単純閉曲線はその平面を単純閉曲線で囲まれた'''内部'''とそうでない'''外部'''の二つの領域に分割することが予想できる。 このことは以下の定理によって保証される。 {{定理|(ジョルダンの曲線定理)}} 平面<math>\Pi\subset\mathbb{R}^n</math>内の任意の単純閉曲線<math>\gamma</math>に対し、有界領域<math>I</math>・非有界領域<math>O</math>の組であって<math>\Pi\setminus\gamma=I \sqcup O</math>且つ<math>\partial{I}=\partial{O}=\gamma</math>であるものが唯一つに定まる。 {{定理終わり}} この<math>I, O</math>をそれぞれ内部・外部と定義する。証明は[[位相幾何学]]で行う。なお、「<math>\partial{I}=\partial{O}=\gamma</math>」を態々明示しているのは、滑らかでない単純閉曲線に対しては「<math>\Pi\setminus\gamma=I \sqcup O \implies \partial{I}=\partial{O}=\gamma</math>」が自明でないためである。 正則単純閉曲線に対して「曲線の向き」の幾何学的意味を考える。 ジョルダンの曲線定理より単純閉曲線<math>\gamma:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s) \quad(\boldsymbol{r}\in \Pi)</math>は平面<math>\Pi</math>を内部<math>I</math>と外部<math>O</math>に分割する。平面拘束曲線なので<math>\forall{s}, \tau(s)=0</math>であり、従法線ベクトルは零ベクトル且つ接触平面が常に<math>\Pi</math>に一致する。 主法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}(s)</math>が接ベクトル<math>\boldsymbol{t}(s)</math>に対して左側を向いているとすると、<math>\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0) \quad(\varepsilon>0)</math>が点<math>\mathrm{P}(s_0)</math>に於ける<math>\gamma</math>の進行方向左側にある点である。 ここで、<math>\mathrm{P}(s_0)</math>に於ける<math>\varepsilon</math>-開球<math>B_\varepsilon(s_0)</math>を考えると、平面<math>\Pi</math>上では<math>\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0)</math>が左側の領域、<math>\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0)</math>が右側の領域に入る。 <math>s=s_0</math>を動かすと各点で進行方向左は<math>I, O</math>のいずれかであり、<math>\gamma</math>の正則性と<math>I, O</math>の連結性から「<math>I, O</math>のどちらが左側であるかは曲線全体で変わらない」ことが言える。 ここで円の場合を考える。<math>\Pi</math>に直交座標<math>u, v</math>を入れると向心加速度の議論から「加速度ベクトル=主法線ベクトルは円の中心を向く」ので、「円の正の向きは円の内部を左手に見る進行方向」である。 任意の正則単純閉曲線<math>\gamma</math>に対して自己交叉を起こさないまま円へ連続変形する可逆写像が存在し、その変形に於いて「左側」と「<math>I, O</math>」の対応は変化しない。則ち、円で確認された「正の向きは囲まれた内部を左手に見る向き」は任意の正則単純閉曲線で成り立つ。 つまり、単純閉曲線の正の向きは点を動かしたときに'''自身の囲む領域の内部を左手に見る向き'''である。負の向きは左手に外部を見る向きである。 集合<math>A</math>に含まれる任意の2点に対してそれらを端点とする滑らかな曲線<math>C</math>をとれるとき、<math>A</math>は'''弧状連結'''であるという。 弧状連結集合<math>S</math>内の任意の閉曲線<math>\gamma</math>に対して1点に退化するような連続変形が可能なとき、<math>S</math>は'''単連結'''であるという。単連結でない集合は'''多重連結'''であるという。 平面<math>\Pi\subset\mathbb{R}^n</math>に含まれる単連結集合<math>S</math>に対し、<math>\hat{\Pi}:=\Pi\cup\{\infty\}</math>とすると集合<math>\hat{\Pi}\setminus{S}</math>は連結である。逆も成り立つ。 なお、「<math>A</math>が連結集合である」ことは「補集合<math>\overline{A}</math>が非連結集合である」ことを意味しない。そのため「単連結な連結集合」も考えられ、特に「単連結な領域」はこの先頻繁に登場する。 集合<math>A</math>に含まれる任意の2点を結んだ線分が<math>A</math>に包含されるとき、<math>A</math>は'''凸型'''であるという。凸型集合でない集合は'''凹型'''であるという。 集合<math>A</math>内の1点を固定してそこから<math>A</math>内任意点へ引いた線分が<math>A</math>に包含されるとき、<math>A</math>は'''星状'''（星型）であるという。このとき固定した点を'''星の中心'''という。凸型集合は全て星状集合である。 単純閉曲線<math>\gamma</math>を疆界とする内部<math>I</math>に関して<math>I\cup\gamma</math>が凸型集合であるとき、<math>\gamma</math>を'''卵形線'''（凸単純閉曲線・オーヴァル）という。 曲線<math>C</math>の曲率関数<math>\kappa(s)</math>が<math>C^3</math>級であるとき、<math>\kappa'(s_0)=0</math>を満たす点<math>\mathrm{P}(s_0)</math>を<math>C</math>の'''頂点'''という。 例えば、標準楕円<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>の頂点は4点<math>(\pm{a},0),(0,\pm{b})</math>である。このことは、<math>\mathbb{R}^2</math>上曲線<math>C:\boldsymbol{r}=x(t)\boldsymbol{e}_x(t)+y(t)\boldsymbol{e}_y(t)</math>に対する曲率の公式<math>\kappa(t)=\frac{\left|\frac{dx}{dt}\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\frac{d^2x}{dt^2}\right|}{\left\{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2\right\}^\frac{3}{2}}</math>と<math>\frac{ds}{dt}>0</math>を用いて確かめられる。 実は、この事実は楕円に限らないことが以下の定理で示される。 {{定理|(ムコパディヤーヤの定理・四頂点定理)}} <math>\mathbb{R}^2</math>上の滑らかな卵形線は少なくとも4つの頂点を持つ。 {{定理終わり}} *証明 :滑らかな卵形線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)\quad(s\in[a, b])</math>に対して曲率関数<math>\kappa(s)</math>は滑らかであり、<math>\kappa\in C^3</math>を満たす。 :卵形線は単純閉曲線なので<math>\mathrm{P}(a)=\mathrm{P(b)}</math>であり、<math>\kappa(a)=\kappa(b)</math>。 :曲率関数が定数関数のときは<math>\kappa\in C^\infty</math>且つ常に<math>\kappa'(s)=0</math>なので曲線を構成するすべての点が頂点であり、明らかに定理を満たす。 :曲率関数が定数関数でないとする。 :ワイエルシュトラスの極値定理より<math>\kappa(s)</math>は<math>s\in[a, b]</math>のどこかで最大値・最小値をとり、その点で<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす。 :従って少なくとも2つの頂点を持つ。 :ここで、頂点がこの2つのみと仮定する。 :曲率が最大値・最小値をとる点をそれぞれ<math>\mathrm{M, N}</math>と置く。 :線分<math>\mathrm{MN}</math>を含む直線を<math>x</math>軸とし、その垂直方向に<math>y</math>軸をとる。 :<math>s</math>が増加すると曲線上の点が<math>\mathrm{N}\to\mathrm{M}</math>のように動くとき、 :<math>\kappa(s)</math>は最小値から最大値に向かって増大し、他に頂点がないので狭義単調増加である。 :同様に、<math>\mathrm{M}\to\mathrm{N}</math>の向きでは<math>\kappa(s)</math>は狭義単調減少である。 :従って、<math>\kappa'(s)y(s)\neq0</math>の正の側だけ考えれば良い。 :<math>y(a)=y(b)=0</math>に注意すると部分積分して :<math>0<\int_a^b \kappa'(s)y(s)ds=-\int_a^b \kappa(s)y'(s)ds</math> :主法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}(s)= \begin{pmatrix} \xi_1(s) \\ \xi_2(s) \end{pmatrix}</math>を考えると二次元版フレネ=セレーの公式から<math>\frac{d\boldsymbol{n}}{ds}=-\kappa\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}</math>なので :<math>\xi'_2(s)=-\kappa(s)y'(s)</math> :よって :<math>-\int_a^b \kappa(s)y'(s)ds=\int_a^b \xi_2(s)ds = \left[\xi_2(s)\right]_a^b=0</math> :なので矛盾した不等式<math>0<0</math>を得る。 :則ち、<math>\mathrm{M, N}</math>と異なる点で<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が少なくとも一つ存在する。 :そのような点を<math>\mathrm{L}</math>と置く。 :<math>\mathrm{L}</math>が<math>\mathrm{N}\to\mathrm{M}</math>という経路の途中にあるとする。 :このとき、<math>\mathrm{L}</math>以外に<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が存在すると「<math>\mathrm{M}\to\mathrm{N}</math>という経路の途中にそのような点が無い」という最初の仮定に反するので :<math>\mathrm{M, N, L}</math>以外では<math>\kappa'(s)y(s)>0</math>である。 :同様に部分積分を行うことで矛盾した不等式を得、<math>\mathrm{M, N, L}</math>と異なる点で<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が少なくとも一つ存在することが判る。 :この時点で「<math>\mathrm{M, N}</math>間の二つの経路のいずれにも<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が存在しない」という仮定が否定されたのでこれ以上背理法を適用することはできない。 :よって、頂点個数の最小値は<math>4</math>である。// 最小値4をとる卵形線が実際に存在することは楕円の例で確かめた。 この定理は「卵形線」を「(正則)単純閉曲線」に取り換えてもそのまま成り立つことが知られている。一般の閉曲線でこの定理を成り立たせるには追加の条件が必要となる。 先程も述べたように、接ベクトルと単位主法線ベクトルは2次元以上の空間内部にある曲線ならば定義することができる。そして、<math>\boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{n}=0</math>も必ず成り立つ。よって、<math>\boldsymbol{e}_t\cdot\boldsymbol{e}_n=0</math>の両辺を<math>s</math>で微分して :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\cdot\boldsymbol{e}_n+\boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=0</math> :<math>\therefore \boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{e}_n=-\kappa</math> ここで「基底分解に於ける成分はその基底との内積に等しい」という性質から、<br/> 一般次元に於いても「<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math>の接線方向成分は<math>-\kappa(s)</math>」であることが判る。 ここで<math>C^2</math>級曲線の位置ベクトル<math>\boldsymbol{r}(s)</math>に対して単位主法線<math>\boldsymbol{e}_n(s)</math>を対応させることを考える。この対応を'''ガウス表示'''という。 <math>\boldsymbol{e}_n(s)</math>を二次までテイラー展開すると<math>\Delta s>0</math>を微小量として :<math>\boldsymbol{e}_n(s+\Delta s)=\boldsymbol{e}_n(s)+\frac{d\boldsymbol{e}_n(s)}{ds}\Delta s + O(\Delta s^2)</math> ここで<math>\boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\kappa</math>より、<math>s</math>を<math>\Delta s</math>だけ動かしたときの接線方向の速さは<math>|\kappa(s)|\Delta s</math>である（<math>\kappa(s)</math>が正で正の向き、負で負の向きに動くとする）。 閉曲線に対してはガウス表示によって法線方向の変化を完全に捉えられるので、<math>\kappa(s)</math>を微小量<math>\Delta s</math>に関して積分した<math>\int_a^b \kappa(s)ds</math>を考えてみる。 ガウス表示では曲線を単位主法線ベクトルの描く単位円として考えることができる。閉曲線では<math>\mathrm{P}(a)=\mathrm{P}(b)</math>より明らかに<math>\boldsymbol{e}_n(a)=\boldsymbol{e}_n(b)</math>であり、閉曲線が一周する間にベクトル<math>\boldsymbol{e}_n(s)</math>はこの単位円を<math>m(\in\mathbb{Z})</math>周する^※。 <small>※物理的には「円そのものが動いても円周上の質点は『この円をどっちの方向に何周したか』という情報しか持たない」ので、単位円が動くことは議論にあまり関係ない</small> 弧度法より単位円を<math>m</math>周する符号付き道のりは<math>2\pi{m}</math>であり、ガウス表示より<math>\int_a^b \kappa(s)ds=2\pi{m}</math>。 従って、<math>m=\frac{1}{2\pi}\int_a^b \kappa(s)ds</math> この<math>m</math>を閉曲線の'''回転数'''と呼ぶことにする。 曲率が負の場合には積分値が途中で相殺されてしまうので、絶対値を付けて積分した :<math>\mu:=\int_a^b |\kappa(s)|ds</math> という量を考えることにする。 これを閉曲線の'''全曲率'''と呼ぶ。 全曲率に対して以下の定理が成り立つ。 {{定理|(フェンヒェルの定理)}} 滑らかな閉曲線の全曲率は<math>\mu\geq2\pi</math>を満たす。等号成立の場合は卵形線である。 {{定理終わり}} 証明は省略する。 ===曲面=== 多変数解析で既に扱った、三次元空間に於ける曲面の陽関数表示<math>z=f(x, y)</math>を'''モンジュ表示'''という。<math>f(x, y, z)=\mathrm{const}.</math>と陰関数表示された曲面は陰関数定理が成り立つ範囲でモンジュ表示に直すことができる。 一次式で陰関数表示される曲面を'''一次曲面'''という。平面の方程式より、一次曲面は全て平面である。 二次式で陰関数表示される曲面を'''二次曲面'''という。 以下、三次元空間に於ける二次曲面の例を挙げる。各係数は非退化条件を満たすとする。なお、「直線に平行な平面」は「直線を法線とする平面に垂直な平面」を意味することに注意。 *'''球面'''（sphere） :高校数学で扱ったように、点<math>(a, b, c)</math>を中心とする半径<math>r</math>の球面の方程式は<math>(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2</math>である。この球面上の点の位置ベクトルは<math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>なので、球面が満たすベクトル方程式は一般に<math>\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a}\|=\mathrm{const}.</math>である。これは円のベクトル方程式の次元を上げたものである。 *'''楕円面'''（ellipsoid） :楕円の方程式を拡張した方程式<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1</math>が表す曲面である。<math>xyz</math>空間の基本面で切った断面は全て楕円となる。 *'''楕円拋物面'''（elliptic paraboloid） :楕円の平面拘束条件を外した方程式<math>z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}</math>が表す曲面である。<math>z</math>軸に垂直な平面で切った断面は楕円、平行な平面で切った断面は拋物線となる。 *'''双曲拋物面'''（hyperbolic paraboloid） :双曲線の平面拘束条件を外した方程式<math>z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}</math>が表す曲面である。<math>z</math>軸に垂直な平面で切った断面は双曲線、平行な平面で切った断面は拋物線となる。また、原点は鞍点である。 *'''一葉双曲面'''（hyperboloid of one sheet） :楕円面の方程式の一つの項の符号を変えた<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1</math>の表す曲面。<math>z</math>軸に垂直な平面で切った断面は楕円、平行な平面で切った断面は双曲線となる。 *'''二葉双曲面'''（hyperboloid of two sheet） :楕円面の方程式の二つの項の符号を変えた<math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1</math>の表す曲面。断面の分類は一葉双曲面と同じだが、<math>m^2<c^2</math>のときは平面<math>z=m</math>と交わらないため「二葉」と名付けられている。 *'''錐面'''（conical surface） :方程式<math>\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}</math>の表す曲面。<math>xy</math>平面との交点は原点のみであり、<math>yz</math>平面・<math>zx</math>平面で切った断面は直線である。 閉区間<math>I\subset\mathbb{R}</math>上の一変数ベクトル関数<math>\boldsymbol{r}(t)</math>を用いたベクトル方程式<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t) \quad(t\in I)</math>の解集合は次元に依らず曲線を表した。 同様に、領域^※<math>D\subset\mathbb{R}^2</math>上の二変数ベクトル関数<math>\boldsymbol{r}(t, u)</math>を用いたベクトル方程式<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u) \quad({\scriptstyle\left(\begin{array}{c} t \\[-6pt] u \end{array}\right)}\in D)</math>の解集合は次元に依らず曲面を表すと考えられる。 厳密には[[線型代数学/基底と次元|階数・退化次数の定理]]<!-- 次元定理・線型写像の基本定理 -->などを用いてこのことを確かめられる。 <small>※ここでいう「領域」は冒頭で厳密に定義した「領域」であることに注意。</small> 曲線と同様に、曲面の'''パラメータ表示'''と'''ベクトル表示'''は次のように定義される。 :パラメータ表示：<math>\begin{cases} x_1&=&r_1(t, u) \\ x_2&=&r_2(t, u) \\ &\,\,\vdots& \\ x_n&=&r_n(t, u) \end{cases}</math> :ベクトル表示：<math>\left\{\boldsymbol{r}(t, u) \,\bigg|\, {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} t \\[-6pt] u \end{array}\right)} \in D \right\}</math> また、<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>のようにも表す。 例えば、<math>k>l>0</math>として<math>\boldsymbol{r}(t, u)=\begin{pmatrix} (k+l\cos u)\cos t \\ (k+l\cos u)\sin t \\ l\sin u \end{pmatrix} \quad(D=\left\{ \begin{pmatrix} t \\ u \end{pmatrix} \bigg| \begin{array}{c} 0 \leq t \leq 2\pi \\ 0 \leq u \leq 2\pi \end{array} \right\})</math>は'''トーラス'''のベクトル表示である。 <math>\mathbb{R}^3</math>上の平面の方程式は高校数学に於いて<math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\neq\boldsymbol{0}</math>として一次式<math>ax+by+cz+d=0</math>と表せることを学んだ。 これのベクトル方程式を求めてみよう。 :①<math>c=0</math>のとき ::平面の方程式は<math>\begin{cases} ax+by+d=0 \\ z=\mathrm{const}. \end{cases}</math> ::[1]<math>b=0</math>のとき :::平面の方程式は<math>\begin{cases} ax+d=0 \\ y=\mathrm{const}. \\ z=\mathrm{const}. \end{cases}</math> :::<math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\neq\boldsymbol{0}</math>より<math>a\neq0</math> :::<math>y=t, z=u</math>と置換すると :::<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{d}{a} \\ t \\ u \end{pmatrix}</math> :::<math>\boldsymbol{r} = t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+u\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -\frac{d}{a} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math> ::[2]<math>b\neq0</math>のとき :::<math>x=t, z=u</math>と置換すると :::<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} t \\ -\frac{a}{b}t-\frac{d}{b} \\ u \end{pmatrix}</math> :::<math>\boldsymbol{r} = t\begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{a}{b} \\ 0 \end{pmatrix}+u\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{d}{b} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :②<math>c\neq0</math>のとき ::<math>x=t, y=u</math>と置換すると ::<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ u \\ -\frac{a}{c}t-\frac{b}{c}u-\frac{d}{c} \end{pmatrix}</math> ::<math>\boldsymbol{r}=t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -\frac{a}{c} \end{pmatrix}+u\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -\frac{b}{c} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -\frac{d}{c} \end{pmatrix}</math> なお、ここから平面のベクトル方程式が一般に<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}+u\boldsymbol{c}</math>という「直線のベクトル方程式を拡張した形」であることがわかる。 <math>\boldsymbol{r}(t, u)\in C^1</math>且つ<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\neq\boldsymbol{0}</math>である曲面を'''滑らか'''な曲面という。 曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>とその上の点<math>\mathrm{P}_0=(a, b)</math>に対し、曲線<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(a, u), \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, b)</math>をそれぞれ点<math>\mathrm{P}_0</math>に於ける'''<math>t</math>曲線'''・'''<math>u</math>曲線'''という。 <math>\boldsymbol{r}(t, u)\in C^1</math>であるとき、偏導関数の定義から :<math>\frac{\partial}{\partial{u}}\boldsymbol{r}(a, u)=\frac{d}{du}\boldsymbol{r}(a, u)</math> :<math>\frac{\partial}{\partial{t}}\boldsymbol{r}(t, b)=\frac{d}{dt}\boldsymbol{r}(t, b)</math> ここで<math>a, b</math>をそれぞれ<math>t</math>軸・<math>u</math>軸上で動かすことで<math>t</math>曲線・<math>u</math>曲線の接ベクトルがそれぞれ<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}</math>であると判る。これらを曲面のパラメータ方向の'''接ベクトル'''という。 これらの接ベクトルが平行でないとき、曲面<math>S</math>上の任意の点<math>\mathrm{P}</math>に対して<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>の張る平面が定まる。これを曲面<math>S</math>の点<math>\mathrm{P}</math>に於ける'''接平面'''という。曲線の接線は一次元ベクトル空間<math>\left\{ \xi\frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \bigg| \xi \in\mathbb{R} \right\}</math>で表されたが、曲面の接平面は二次元ベクトル空間<math>\left\{ \xi\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}+\eta\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \bigg| \xi, \eta \in \mathbb{R} \right\}</math>で表される。このような接ベクトル全体が張るベクトル空間を一般に'''接空間'''と呼ぶ。 接ベクトルの組が一次独立である曲面を'''正則'''な曲面という。滑らかな曲面は正則曲面である。 曲面<math>S</math>の接平面に垂直なベクトルを<math>S</math>の'''法線ベクトル'''という。 三次元空間ならば接平面を張る2ベクトルの外積<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>で求められる。 モンジュ表示された曲面<math>S:z=f(x, y)</math>に対して接平面の存在性（つまり曲面の正則性）は「二変数関数<math>f</math>の全微分可能」に対応した。ベクトル表示された曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>に対しては「ベクトル関数<math>\boldsymbol{r}</math>の全微分可能性」だけでは足りず、「ヤコビ行列<math>\frac{\partial{(\boldsymbol{r})}}{\partial{(t, u)}}</math>の階数が2」も要求される。 以下、正則曲面のみ扱う。 <math>\boldsymbol{r}(t, u)</math>の微小変化は全微分で与えられる。 :<math>d\boldsymbol{r}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math> 則ち、各パラメータを同時に<math>\begin{pmatrix} t \\ u \end{pmatrix}\to\begin{pmatrix} t+dt \\ u+du \end{pmatrix}</math>と単調に動かしたとき、対応する曲面上の点が描く領域は2ベクトル<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math>の張る微小平行四辺形として近似できる。その微小面積は線型代数の内容から :<math>\sqrt{ \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt \right\|^2 \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du \right\|^2 - \left\{ \left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du\right) \right\}^2 }=\sqrt{\left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \right\|^2\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2 - \left( \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \right)^2 } dtdu</math> である。 これを領域<math>D=\mathrm{dom}\,S</math>で重積分してやれば曲面の表面積（'''曲面積'''）が求まると考えられる。 {{定理|(曲面積)}} <math>E := \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \right\|^2,\quad F := \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}},\quad G := \left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2</math>とすると、<br> 曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>の領域<math>D</math>に於ける曲面積は :<math>S=\iint_D \sqrt{EG-F^2}dtdu</math> {{定理終わり}} この<math>E, F, G</math>を<math>S</math>の'''第一基本量'''と呼ぶ。また、<math>dS:=\sqrt{EG-F^2}dtdu</math>を'''面素'''（面積素・面積要素）と呼ぶ。 <math>t, u</math>が共通のパラメータ<math>\theta</math>で媒介変数表示されるとき、曲面は曲線に退化するので線素を考えられる。 具体的には、 :<math>d\ell=\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\right\|d\theta</math> より :<math>\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\right\|^2=\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}</math> ここで合成関数の常微分公式より :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{d\theta}+ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{d\theta}</math> なので :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}=\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|^2\left(\frac{dt}{d\theta}\right)^2+2\left(\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{du}\right)\frac{dt}{d\theta}\frac{du}{d\theta}+\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{du}\right\|^2\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2</math> :<math>=E\left(\frac{dt}{d\theta}\right)^2+2F\frac{dt}{d\theta}\frac{du}{d\theta}+G\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2</math> よって :<math>d\ell=\sqrt{E\left(\frac{dt}{d\theta}\right)^2+2F\frac{dt}{d\theta}\frac{du}{d\theta}+G\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2}d\theta=\sqrt{E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2}</math> このように、線素は<math>\theta</math>のとり方に依存しない。 そこで、最後の式で右辺を二乗した :<math>I:=E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2</math> を<math>S</math>の'''第一基本形式'''と定める。 第一基本形式は二次形式になっていることが見て取れるので、<math>\boldsymbol{v}:=\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}, \mathbf{K}:=\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}</math>とおくと :<math>I={}^t\!\boldsymbol{v} \mathbf{K} \boldsymbol{v}</math> と行列表示できる。この<math>\mathbf{K}</math>を'''第一基本行列'''という。 ここで<math>I=d\ell^2>0</math>なので<math>\mathbf{K}</math>は正定値行列である。 また、<math>\boldsymbol{x}_i=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \boldsymbol{x}_j=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>と置いて第一基本量の定義を思い返してみると<math>\mathbf{K}_{ij}=\boldsymbol{x}_i \cdot \boldsymbol{x}_j</math>なのでこの行列は接ベクトルに関するグラム行列である。この意味でも、<math>\mathbf{K}</math>は正定値行列である。 また、面素の式で根号の中身が<math>\det\mathbf{K}</math>に等しいことも判る。 則ち、第一基本量が曲面の本質であると予想される。 <math>F=0 \land E=G=\lambda</math>であるとき、<math>\mathbf{K}=\lambda\mathbf{E}_2</math>である。このときのパラメータの組<math>(u, v)</math>を曲面の'''等温座標系'''という。 等温座標系で表示された曲面<math>S</math>に対し、第一基本形式は<math>I=\lambda(dt^2+du^2)</math>と二次形式の標準形となっている。則ち、等温座標系へのパラメータ変換は主軸変換である。 面素を考えると<math>dS=\lambda^2dtdu</math>と非常に単純な形となるほか、曲面上の角度計算が平面の場合と全く同じ式で与えられることも等温座標系の利点である。 曲面<math>S</math>上の各点<math>\mathrm{P}</math>に対して単位法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}(\mathrm{P})</math>を考える。ベクトル表示の定義域<math>D</math>でベクトル場<math>\boldsymbol{n}(\mathrm{P})</math>が連続であるとき、<math>S</math>は'''向き付け可能'''であるという。 向き付け不能な曲面の例として<math>\boldsymbol{r}(t, u)=\begin{pmatrix} (u\cos t+2)\sin 2t \\ (u\cos t+2)\cos 2t \\ u\sin t \end{pmatrix} \quad(D=\left\{ \begin{pmatrix} t \\ u \end{pmatrix} \bigg| \begin{array}{c} 0 \leq t \leq \pi \\ -1 \leq u \leq 1 \end{array} \right\})</math>と表される'''メビウスの帯'''が挙げられる。 メビウスの帯が向き付け不能である証明を概説する。 :接ベクトルをそれぞれ求める。簡単のため<math>u=0</math>として考える。単位法線ベクトルは外積を正規化して得るが、向きの取り方で正負の符号が付く。どちらの符号を採用するにしろ<math>\boldsymbol{n}(\boldsymbol{r}(0, 0))\neq\boldsymbol{n}(\boldsymbol{r}(\pi, 0))</math>を得、<math>\boldsymbol{r}(0, 0)=\boldsymbol{r}(\pi, 0)</math>より同じ点に対して異なる法線ベクトルを出力するので<math>\boldsymbol{n}(\mathrm{P})</math>はwell-definedではなく、向き付け可能性の定義を満たさない。// 四次元以上の空間では法線ベクトルの方向を複数とれるため法線ベクトル場は扱いにくい。そこで、法線ベクトルに依らない定義を考えたい。 2つの滑らかな曲面<math>S_1, S_2</math>が以下を満たすとき、 #パラメータ<math>(t_1, u_1), (t_2, u_2)</math>の間に滑らかな全単射<math>\begin{cases}t_2 =\phi(t_1, u_1) \\ u_2=\psi(t_1, u_1) \end{cases}</math>が存在する。 #この変数変換のヤコビ行列<math>\frac{\partial{(\phi, \psi)}}{\partial{(t_1, u_1)}}</math>が正則。 #<math>\boldsymbol{r}_1(t_1, u_1)=\boldsymbol{r}_2(t_2, u_2)</math> この2つは'''パラメータ変換で同値'''という。 このとき、ヤコビアンが正であるパラメータの組は'''同じ向き'''、負であるパラメータの組は'''逆向き'''であるという。 任意の<math>(t_1, u_1)</math>に対して開近傍<math>U \subset \mathrm{dom}\,S_1</math>をとったとき、どの<math>U</math>上でも<math>\det\frac{\partial{(\phi, \psi)}}{\partial{(t_1, u_1)}}>0</math>を満足するならば<math>S_1</math>は'''向き付け可能'''という。 向き付け可能な曲面の接空間に対して右手系を成すような向きの法線ベクトルを'''外向き法線ベクトル'''と呼ぶ。 外向き法線の向く側を曲面の'''表'''、その反対側を曲面の'''裏'''と定義する。 <math>\partial{S}=\varnothing</math>を満たす正則曲面<math>S</math>を'''閉曲面'''という。ジョルダンの曲線定理を拡張した定理（'''ジョルダン・ブラウワーの分離定理'''）によって閉曲面が空間を内部・外部に分割することが保証される。内部に面する向きを閉曲面の裏、外部に面する向きを閉曲面の表と定義する。 パラメータ空間の座標軸の向きの組み合わせが<math>xy</math>平面と同じとき、外向き法線で定義される閉曲面の表裏は内部・外部から定義される表裏に一致する。 ===回転面=== ここでは三次元空間内の曲面について考える。 高校数学で回転体を扱ったが、領域の回転体の表面である曲面は元の領域の疆界である単純閉曲線を軸に関して回転したものである。そこで、平面上の任意の曲線を回転すると曲面（'''回転面'''）を得ると考えられる。 簡単な場合として、<math>x\geq0</math>で定義された<math>zx</math>平面上の曲線<math>z=f(x)</math>を<math>y</math>軸に関して回転させた回転面を考える。 :任意の<math>k\in[0,\infty)</math>に関して曲線上の点は<math>\begin{pmatrix} x \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k \\ f(k)\end{pmatrix}</math>と与えられる。 :領域<math>\left\{ {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] z \end{array}\right)} \big| x \leq k \right\}</math>を<math>y</math>軸に関して回転した回転体を平面<math>z=f(k)</math>で切った断面は半径<math>k</math>の閉円盤であり、疆界円周上の点を<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ f(k) \end{pmatrix}</math>とすると<math>k=\sqrt{x^2+y^2}</math>である。 :則ち回転体の疆界である回転面上の点<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>は方程式<math>z=f(\sqrt{x^2+y^2})</math>を満たし、逆にこの方程式を満たす<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>は回転面上にある。 纏めると以下のようになる。 {{定理|(回転面の方程式)}} <math>zx</math>平面上の曲線<math>z=f(x)\quad(x\geq0)</math>を<math>y</math>軸に関して回転させた回転面の方程式は :<math>z=f(\sqrt{x^2+y^2})</math> {{定理終わり}} <math>z</math>軸・<math>x</math>軸に関する回転面の方程式は変数を輪環の順に入れ替えることで得られる。 回転面に対し、元の曲線を'''母線'''という。 母線が直線である回転面は'''円錐'''である。 :<math>z=mx+n\quad(m\neq0,x\geq0)</math>とすれば<math>y</math>軸に関して回転した曲面の方程式は :<math>z=m\sqrt{x^2+y^2}+n</math> :<math>z-n = m\sqrt{x^2+y^2}</math> これを両辺二乗すると :<math>(z-n)^2=m^2x^2+m^2y^2</math> であり、錐面の方程式<math>\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}</math>を満たしていることがわかる。 回転軸が傾いている場合、<math>xyz</math>空間の回転行列<math>\mathbf{R}</math>を利用することで各軸に関する回転に帰着することもできるが、ここでは曲面のベクトル表示を扱ったのでベクトル方程式で回転を記述することを考えたい。 点<math>\mathrm{O}</math>から<math>\boldsymbol{r}</math>とそれに平行でない単位ベクトル<math>\boldsymbol{e}</math>が伸びており、そのなす角が<math>\theta</math>であるとする。<math>\boldsymbol{r}</math>の終点<math>\mathrm{P}</math>を含み<math>\boldsymbol{e}</math>を法線とする平面を<math>\Pi</math>、<math>\Pi</math>と直線<math>\{k\boldsymbol{e} \mid k>0\}</math>の交点を<math>\mathrm{N}</math>、<math>\mathrm{P}</math>を<math>\Pi</math>内で<math>\mathrm{N}</math>を中心として<math>\phi</math>回転した点を<math>\mathrm{Q}</math>、<math>\mathrm{NQ}</math>から<math>\mathrm{NP}</math>へ降ろした垂足を<math>\mathrm{R}</math>と置く。但し、回転角<math>\phi</math>の正の向きは<math>\boldsymbol{e}</math>を右螺子の進む向きとする方向に定める。 このとき、<math>\boldsymbol{r}</math>を<math>\boldsymbol{e}</math>に関して<math>\phi</math>だけ回転させたベクトル<math>\boldsymbol{r}'</math>は以下のように表される。 {{定理|(ロドリゲスの公式)}} :<math>\boldsymbol{r}'=\boldsymbol{r}\cos\phi+(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\,\mathrm{versin}\,\phi\,\boldsymbol{e}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> {{定理終わり}} *証明 :<math>\boldsymbol{r}'=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{ON}}+\overrightarrow{\mathrm{NR}}+\overrightarrow{\mathrm{RQ}}</math> :<math>\overrightarrow{\mathrm{ON}}</math>は<math>\boldsymbol{r}</math>の<math>\boldsymbol{e}</math>への正射影ベクトルなので ::<math>\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}}{\boldsymbol{e}\cdot\boldsymbol{e}}\boldsymbol{e}=(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}</math> :<math>\triangle\mathrm{NQR}</math>を考えると<math>\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NP}}\|</math>と<math>\|\overrightarrow{\mathrm{NR}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|\cos\phi</math>及び<math>\overrightarrow{\mathrm{NR}}/\!\!/\overrightarrow{\mathrm{NP}}</math>より ::<math>\overrightarrow{\mathrm{NR}}=\overrightarrow{\mathrm{NP}}\cos\phi=(\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{ON}})\cos\phi=\{\boldsymbol{r}-(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}\}\cos\phi</math> :<math>\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e}</math>は外積の定義から<math>\overrightarrow{\mathrm{NP}}</math>を<math>\Pi</math>上で<math>-\phi</math>方向に<math>\frac{\pi}{2}</math>だけ回転させたベクトルになるので、 :<math>\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e}/\!\!/\overrightarrow{\mathrm{RQ}}</math>と<math>\|\overrightarrow{\mathrm{RQ}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|\sin\phi</math>及び<math>\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NP}}\|</math>から ::<math>\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> :これらを足して ::<math>\boldsymbol{r}'=(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}+\{\boldsymbol{r}-(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}\}\cos\phi-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> ::<math>=\boldsymbol{r}\cos\phi+(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})(1-\cos\phi)\boldsymbol{e}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> ::<math>=\boldsymbol{r}\cos\phi+(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\,\mathrm{versin}\,\phi\,\boldsymbol{e}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math>// この証明ではベクトルの平行移動を用いているのでアフィン空間を前提とするが、この式そのものはアフィン構造に依存してないので一般のベクトル空間で成り立つ。 また、回転後のベクトルは母線のパラメータ<math>t</math>に加えて回転角<math>\phi</math>もパラメータとして有するので、<math>\boldsymbol{r}'(t, \phi)</math>という二変数ベクトル関数となって曲面を表すことになる。則ち、「曲線を回転すれば曲面を得る」という直感は正しい。 ロドリゲスの公式の応用として、例えば円錐のベクトル方程式が<math>\frac{(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}}{\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|}=\mathrm{const}.</math>であることが導ける。 :円錐頂点の位置ベクトルを<math>\boldsymbol{p}</math>、軸ベクトルを<math>\boldsymbol{a}</math>、<math>\boldsymbol{a}</math>と角度<math>\alpha</math>をなす単位ベクトルを<math>\boldsymbol{v}</math>とする。このとき直線<math>\{k\boldsymbol{v}\mid k>0\}</math>が円錐の母線であり、母線と交わる向きである軸の法線ベクトルを<math>\boldsymbol{b}</math>とおく。 :ロドリゲスの公式より<math>\boldsymbol{v}</math>を<math>\boldsymbol{a}</math>の周りに<math>\theta</math>だけ回転させたベクトル<math>\boldsymbol{v}'</math>は ::<math>\boldsymbol{v}'=\boldsymbol{v}\cos\theta+(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{e}_a)\,\mathrm{versin}\,\theta\,\boldsymbol{e}_a-(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{e}_a)\sin\theta</math> :ここで<math>\boldsymbol{v}</math>を<math>\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}</math>方向に基底分解すると ::<math>\boldsymbol{v}=\cos\alpha\,\boldsymbol{e}_a+\sin\alpha\,\boldsymbol{e}_b</math> :なので、 ::<math>\boldsymbol{v}'=\cos\alpha\boldsymbol{e}_a+\sin\alpha\{\boldsymbol{e}_b\cos\theta+(\boldsymbol{e}_a\times\boldsymbol{e}_b)\sin\theta\}</math> :円錐上の点<math>\boldsymbol{r}</math>の位置ベクトルは頂点から母線方向に<math>\rho</math>だけ進むので ::<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{p}+\rho\boldsymbol{v}'</math> :であり、 ::<math>\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}=\rho\boldsymbol{v}'</math> :ここで<math>\|\boldsymbol{v}'\|=\|\boldsymbol{v}\|=1</math>より ::<math>\rho=\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|</math> :このベクトルと軸ベクトルの内積をとると ::<math>(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}=\rho\boldsymbol{v}'\cdot\boldsymbol{a}</math> ::<math>=\rho\{\cos\alpha(\boldsymbol{e}_a\cdot\boldsymbol{a})+\sin\alpha\cos\theta(\boldsymbol{e}_b\cdot\boldsymbol{a})+\sin\alpha\sin\theta(\boldsymbol{e}_a\times\boldsymbol{e}_b)\cdot\boldsymbol{a}\}</math> :<math>\boldsymbol{e}_b, \boldsymbol{e}_a\times\boldsymbol{e}_b</math>とも<math>\boldsymbol{a}</math>に直交するので後ろの二項は消えて ::<math>(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}=\rho\cos\alpha(\boldsymbol{e}_a\cdot\boldsymbol{a})=\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|\|\boldsymbol{a}\|\cos\alpha</math> :則ち ::<math>\frac{(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}}{\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|}=\|\boldsymbol{a}\|\cos\alpha=\mathrm{const}.</math>// 円錐が先に与えられている場合は「<math>\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}</math>が母線の方向ベクトルなのは図より自明」とできるが、ここでは「母線が先に与えられて回転によって円錐が構成される」という立場を採ったのでロドリゲスの公式が効くのである。 ロドリゲスの公式で微小回転<math>d\phi</math>の場合を考える。 正弦関数・余弦関数の部分を1項目までテイラー展開して<math>\cos(d\phi)=1+O(d\phi^2), \sin(d\phi)= d\phi+O(d\phi^3)</math>なので<math>\mathrm{versin}(d\phi)=O(d\phi^2)</math>であり、 :<math>\boldsymbol{r}' = \boldsymbol{r}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})d\phi+O(d\phi^2)</math> ここで<math>d\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}'-\boldsymbol{r}</math>なので :<math>d\boldsymbol{r}=-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})d\phi+O(d\phi^2)</math> 則ち、ベクトル関数の全微分は微小回転で近似される。 オーダー記法の項を無視して<math>\boldsymbol{\omega}=\frac{d\phi}{dt}\boldsymbol{e}</math>と置くと :<math>d\boldsymbol{r}=(d\phi\boldsymbol{e})\times\boldsymbol{r}</math> これの両辺を<math>dt</math>で割って :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}</math> これは剛体の速度公式である。 ロドリゲスの公式の一次変換表記を考える。 <math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}, \boldsymbol{r}'=\begin{pmatrix} r'_1 \\ r'_2 \\ r'_3 \end{pmatrix}, \boldsymbol{e}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math>とすると、 :<math>\begin{pmatrix} r'_1 \\ r'_2 \\ r'_3 \end{pmatrix}=\cos\phi\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}+(ar_1+br_2+cr_3)\mathrm{versin}\,\phi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} - \sin\phi \begin{pmatrix} cr_2-br_3 \\ ar_3-cr_1 \\ br_1-ar_2 \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} (\cos\phi + a^2\,\mathrm{versin}\,\phi) r_1 + (ab\,\mathrm{versin}\,\phi -c\sin\phi) r_2 + (ca\,\mathrm{versin}\,\phi + b\sin\phi) r_3 \\ (ab\,\mathrm{versin}\,\phi + c\sin\phi) r_1 + (\cos\phi + b^2\,\mathrm{versin}\,\phi) r_2 + (bc\,\mathrm{versin}\,\phi -a\sin\phi) r_3 \\ (ca\,\mathrm{versin}\,\phi - b\sin\phi) r_1 + (bc\,\mathrm{versin}\,\phi+ a\sin\phi) r_2 + (\cos\phi + c^2\,\mathrm{versin}\,\phi) r_3 \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} \cos\phi + a^2\,\mathrm{versin}\,\phi & ab\,\mathrm{versin}\,\phi -c\sin\phi & ca\,\mathrm{versin}\,\phi + b\sin\phi \\ ab\,\mathrm{versin}\,\phi + c\sin\phi & \cos\phi + b^2\,\mathrm{versin}\,\phi & bc\,\mathrm{versin}\,\phi -a\sin\phi \\ ca\,\mathrm{versin}\,\phi - b\sin\phi & bc\,\mathrm{versin}\,\phi+ a\sin\phi & \cos\phi + c^2\,\mathrm{versin}\,\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> ここで<math>\mathrm{versin}\,\phi</math>を<math>1-\cos\phi</math>に戻して係数行列を<math>1, \cos\phi, \sin\phi</math>の項に分解してみると :<math>=\begin{pmatrix} a^2+(1-a^2)\cos\phi & ab-ab\cos\phi -c\sin\phi & ca-ca\cos\phi + b\sin\phi \\ ab-ab\cos\phi + c\sin\phi & b^2+(1-b^2)\cos\phi & bc-bc\cos\phi -a\sin\phi \\ ca-ca\cos\phi - b\sin\phi & bc-bc\cos\phi+ a\sin\phi & c^2+(1-c^2)\cos\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> :<math>=\left\{ \begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix} + \cos\phi\begin{pmatrix} 1-a^2 & -ab & -ca \\ -ab & 1-b^2 & -bc \\ -ca & -bc & 1-c^2 \end{pmatrix} +\sin\phi\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix} \right\} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> :<math>=\left[ \begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix} + \cos\phi \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix} \right\} +\sin\phi\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> ここで<math>\begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix}</math>は<math>\boldsymbol{e}</math>の第<math>i</math>成分と第<math>j</math>成分を掛けたものが<math>(i, j)</math>成分となる行列になっていることがわかる。これを<math>\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e}</math>と書くことにする。<math>\sin\phi</math>に係る行列を<math>\mathbf{N}</math>と置くと、 :<math>\boldsymbol{r}'=\{\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e}+\cos\phi(\mathbf{E}_3-\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e})+\sin\phi\mathbf{N}\}\boldsymbol{r}</math> という表示を得る。 更に、<math>\mathbf{N}^2=\begin{pmatrix} -b^2-c^2 & ab & ca \\ ab & -c^2-a^2 & bc \\ ca & bc & -a^2-b^2 \end{pmatrix}</math>と<math>\|\boldsymbol{e}\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=1</math>より :<math>\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e}=\mathbf{N}^2+(a^2+b^2+c^2)\mathbf{E}_3=\mathbf{N}^2+\mathbf{E}_3</math> が成り立つので、最終的に :<math>\boldsymbol{r}'=(\mathbf{E}_3+\sin\phi\mathbf{N}+\mathrm{versin}\,\phi\mathbf{N}^2)\boldsymbol{r}</math> と二次の行列多項式で表示される。 なお、<math>\otimes</math>は発展節で紹介する'''テンソル積'''を表している。 ここで、行列<math>\mathbf{N}</math>についてより具体的に考えてみる。 先ず、<math>{}^t\!\mathbf{N}=-\mathbf{N}</math>が成り立つので<math>\mathbf{N}</math>は反対称行列（歪対称行列・交代行列）である。 <math>\mathbf{N}\boldsymbol{r}</math>を計算すると :<math>\mathbf{N}\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} br_3-cr_2 \\ cr_1-ar_3 \\ ar_2-br_1 \end{pmatrix}=\boldsymbol{e}\times\boldsymbol{r}</math> 則ち、<math>\mathbf{N}</math>は<math>\boldsymbol{e}</math>に関する外積（形式的には<math>\boldsymbol{e}\times</math>という左演算）を一次変換とみて表現行列に直したものである。 更に、成分計算により<math>\mathbf{N}^3=-\mathbf{N}</math>という性質が成り立つことも判る。外積を「ベクトルを90°回転させる演算」とみると、二回の演算によって180°回転するということなのでこの結果は妥当である。 ここで行列自然指数関数<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\sum_{i=0}^\infty \frac{(\phi\mathbf{N})^i}{i!}</math>を考えてみると上の性質より三次以上の項は<math>\mathbf{N}^4=-\mathbf{N}^2, \mathbf{N}^5=\mathbf{N},\cdots</math>のように全て二次以下に帰着できる。<br> また、自然指数関数のテイラー展開は絶対収束級数なので各項は可換であり、<math>\mathbf{N}</math>の二次式として纏め直すと :<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\mathbf{E}_3 + (\phi-\frac{\phi^3}{3!}+\frac{\phi^5}{5!}-\frac{\phi^7}{7!}+\cdots) \mathbf{N}+(\frac{\phi^2}{2!}-\frac{\phi^4}{4!}+\frac{\phi^6}{6!}-\frac{\phi^8}{8!}+\cdots)\mathbf{N}^2</math> ここで一次・二次の係数はそれぞれ正弦関数・正矢関数のテイラー展開になっているので結局は :<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\mathbf{E}_3+\sin\phi\mathbf{N}+\mathrm{versin}\,\phi\mathbf{N}^2</math> ここから、<math>\exp(\phi\mathbf{N})</math>は角度<math>\phi</math>に関する有限回転に対応することが判った。 このことは以下の考え方でも求まる。<br> <math>\mathbf{N}</math>の最小方程式は<math>\mathbf{N}^3+\mathbf{N}=\mathbf{O}_3</math>より<math>x(x^2+1)=0</math>であり固有値は<math>0, \pm{i}</math>と求まるので、<math>\exp(\phi\mathbf{N})</math>の対角化行列は :<math>\begin{pmatrix} e^{0\phi} & 0 & 0 \\ 0 & e^{i\phi} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-i\phi} \end{pmatrix}</math> ここで任意の解析関数<math>f</math>について<math>f(\mathbf{N})</math>のテイラー展開は二次以下の多項式になるので :<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\alpha\mathbf{E}_3+\beta\mathbf{N}+\gamma\mathbf{N}^2</math> これを実多項式に戻した<math>\alpha+\beta{x}+\gamma{x^2}</math>が<math>e^{\phi{x}}</math>と任意の固有値で一致すればよい（二次補間）ので、 :<math>\begin{cases} e^0 = \alpha \\ e^{i\phi} = i\beta -\gamma \\ e^{-i\phi} = -i\beta-\gamma \end{cases}</math> :<math>\iff \begin{cases} 1 = \alpha \\ \cos\phi+i\sin\phi = (\alpha -\gamma) + i\beta \end{cases}</math> :<math>\therefore \begin{cases} \alpha=1 \\ \beta=\sin\phi \\ \gamma=1-\cos\phi=\mathrm{versin}\,\phi \end{cases}</math> 則ち、<math>\mathbf{N}^3=-\mathbf{N}</math>という構造は<math>\Psi_\mathbf{N}(x)=x(x^2+1)</math>という最小多項式に起因するということである。 更に[[表現論]]の観点から見ると、三次直交行列全体である回転群<math>SO(3)</math>に対し、<math>\mathbf{N}</math>は<math>SO(3)</math>の単位元に於ける接空間（三次反対称行列全体・則ちリー代数<math>\mathfrak{so}(3)</math>）の元であり、<math>\exp(\phi\mathbf{N})</math>はリー群<math>SO(3)</math>の元である。ここで行列自然指数関数は「リー代数からリー群へ引き戻す写像」なので'''指数写像'''と呼ばれる。 これが[[#フレネ標搆]]で述べた「直交変換の一次近似が反対称変換」という事実のより正確な表現である。 補足だが、力学で扱う[[w:オイラー角]]というものを導入するとロドリゲスの公式を各座標軸に関する回転の合成で表すこともできる。 ===種々の曲率=== ここでは三次元空間内の正則曲面について考える。 曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>上で定義され弧長パラメータ表示された正則曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t(s), u(s))</math>を考える。 <math>C</math>の接ベクトルは合成関数微分公式より :<math>\boldsymbol{t}=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{ds}</math> と表示される。 ここで両辺の<math>ds</math>を形式的に払うと :<math>\boldsymbol{t}ds=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math> これの自分自身との内積をとると :<math>\|\boldsymbol{t}\|^2(ds)^2=\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{\partial{t}}\right\|^2(dt)^2+2\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}dtdu+\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2(du)^2</math> 弧長パラメトライズされた接ベクトルは単位ベクトルであり、右辺のベクトル演算の部分を第一基本量で置き換えると :<math>ds^2=E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2</math> と、第一基本形式を別の方法で得られた。 <math>C</math>の主法線ベクトルは合成関数微分を繰り返し適用することで :<math>\boldsymbol{n}_C=\frac{d\boldsymbol{t}}{ds}=\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{ds}\right)</math> :<math>=\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{ds}\right)+\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{ds}\right)</math> :<math>=\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\right)\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{d}{ds}\left(\frac{dt}{ds}\right)+\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right)\frac{du}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{d}{ds}\left(\frac{du}{ds}\right)</math> :<math>=\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}\partial{t}}\frac{du}{ds}\right)\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{d^2t}{ds^2}+\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\frac{du}{ds}\right)\frac{du}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{d^2u}{ds^2}</math> :<math>=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\left(\frac{dt}{ds}\right)^2+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{d^2t}{ds^2}+2\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\frac{dt}{ds}\frac{du}{ds}+\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\left(\frac{du}{ds}\right)^2+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{d^2u}{ds^2}</math> ここで、<math>S</math>の法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}_S=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\times\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>は一般に<math>\boldsymbol{n}_C</math>と一次従属とは限らない。 後の話を単純にするため<math>\boldsymbol{n}_S</math>を正規化したベクトルを<math>\boldsymbol{e}_S</math>と置いて<math>\boldsymbol{n}_C\cdot\boldsymbol{e}_S</math>を計算してみる。 :<math>\boldsymbol{e}_S\perp\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \boldsymbol{e}_S\perp\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>より :<math>\boldsymbol{n}_C\cdot\boldsymbol{e}_S=\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S\right)\left(\frac{dt}{ds}\right)^2+2\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S\right)\frac{dt}{ds}\frac{du}{ds}+\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S\right)\left(\frac{du}{ds}\right)^2</math> ここで各内積<math>L=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S,\quad M=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S,\quad N=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S</math>を<math>S</math>の'''第二基本量'''と呼ぶ。 <math>\boldsymbol{n}_C, \boldsymbol{e}_S</math>のなす角を<math>\psi</math>とすると<math>C</math>の曲率を<math>\kappa_C</math>として :<math>\boldsymbol{n}_C\cdot\boldsymbol{e}_S=\kappa_C \cos\psi</math> なので<math>ds</math>に関して形式的に通分して :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{ds^2}</math> 右辺の分子<math>I\!I:=L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2</math>を<math>S</math>の'''第二基本形式'''という。 <math>\begin{cases}\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\boldsymbol{e}_S=0 \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S=0 \end{cases}</math>を<math>t</math>で偏微分すると :<math>\begin{cases} \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}=0 \\ \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}=0 \end{cases}</math> また、<math>u</math>で偏微分すると :<math>\begin{cases} \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}\partial{t}}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}=0 \\ \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}=0 \end{cases}</math> ここから第二基本量は :<math>L=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}},\quad M=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}},\quad N=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}</math> とも表示され、第二基本形式の別表示 :<math>I\!I=-\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}du\right)</math> を得る。 これは更に全微分から微小ベクトル同士の内積として :<math>I\!I=-d\boldsymbol{r}\cdot{d}\boldsymbol{e}_S</math> とも書ける。 第一基本形式は曲面上の微小変位の自身との内積だったが、第二基本形式は曲面上の微小変位と法線方向の微小変位の内積である。則ち、第一基本形式は曲面の内在的な量、第二基本形式は曲面の外在的な量である。 第一基本形式と同様に第二基本形式は二次形式なので、<math>\boldsymbol{v}:=\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}, \mathbf{H}=\begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}</math>と置くと :<math>I\!I={}^t\!\boldsymbol{v}\mathbf{H}\boldsymbol{v}</math> と行列表示できる。この<math>\mathbf{H}</math>を'''第二基本行列'''という。 ここで、モンジュ表示された曲面<math>z=f(x, y)</math>に対して第二基本行列を考えてみる。 :<math>\boldsymbol{r}(t, u)=\begin{pmatrix} t \\ u \\ f(t, u)\end{pmatrix}</math>なので[[解析学基礎/多変数関数の微積分#全微分]]の結果を参照すると直ちに :<math>L=\frac{\frac{\partial^2{f}}{\partial{t}^2}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2},\quad M=\frac{\frac{\partial^2{f}}{\partial{t}\partial{u}}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2},\quad N=\frac{\frac{\partial^2{f}}{\partial{u}^2}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2}</math> :が判るので、 :<math>\mathbf{H}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2}\begin{pmatrix} \frac{\partial^2{f}}{\partial{t}^2} & \frac{\partial^2{f}}{\partial{tu}} \\ \frac{\partial^2{f}}{\partial{tu}} & \frac{\partial^2{f}}{\partial{u^2}} \end{pmatrix}</math> これはヘッシアンを法線の長さで割った行列である。 則ち、任意の正則曲面に対して第二基本行列はヘッセ行列と同じ役割をすると考えられる。 実際、点<math>\mathrm{P}</math>の開近傍で<math>\det\mathbf{H}</math>が正である曲面は<math>\mathrm{P}</math>の開近傍で上下どちらかに凸であり、負である曲面は<math>\mathrm{P}</math>で鞍点となることが知られている。 このように第二基本形式は曲面の「曲がり方」を表す量と考えられるので、曲面に対する曲率も考えられる。 ここで第二基本形式を定義した式 :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{ds^2}</math> に立ち戻ると、右辺の分母は<math>s</math>に依存しない第一基本形式なので第一基本量を用いて :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2}</math> 右辺を形式的に<math>dt^2</math>で割ると :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L+2M\frac{du}{dt}+N\left(\frac{du}{dt}\right)^2}{E+2F\frac{du}{dt}+G\left(\frac{du}{dt}\right)^2}</math> この右辺は<math>\boldsymbol{n}_C</math>に依存しない量なので<math>\boldsymbol{n}_S, \boldsymbol{n}_C</math>のなす角度である<math>\psi</math>にも依存しない。 そこで、この値を曲面<math>S</math>の'''法曲率'''と定義する。 :<math>\varkappa:=\frac{L+2M\frac{du}{dt}+N\left(\frac{du}{dt}\right)^2}{E+2F\frac{du}{dt}+G\left(\frac{du}{dt}\right)^2}</math> 法曲率の幾何学的意味を考える。 <math>\varkappa=\kappa_C\cos\psi</math>より、<math>\cos\psi=1</math>のとき<math>S</math>の法曲率と<math>C</math>の曲率が一致する。このとき<math>\boldsymbol{n}_S /\!\!/ \boldsymbol{n}_C</math>であり、<math>C</math>は曲面上の点<math>\mathrm{P}</math>とそこでの曲面の法線<math>\boldsymbol{n}_S(\mathrm{P})</math>を含む平面で曲面を切断した切り口（'''法切り口'''）に対応する曲線（'''法曲線'''）である。 則ち、法曲率は法曲線の曲率に対応する。 なお、法曲線<math>C</math>は切断に用いる平面に拘束されるので接ベクトル<math>\boldsymbol{t}_C</math>も平面に拘束される。則ち、拘束平面は<math>\{\boldsymbol{t}_C, \boldsymbol{n}_C\}</math>の張る接触平面である。 法切り口を齎す平面は法線を軸にして回転することができ、その回転角によって法曲率の値が異なることになる。この回転は具体的にはロドリゲスの公式によって記述されるが、法曲率の極大値・極小値は<math>\varkappa</math>を<math>k=\frac{du}{dt}</math>の関数とみることで以下のように考えることができる。 :法曲率の定義式より ::<math>\varkappa(E+2Fk+Gk^2)=L+2Mk+Nk^2</math>・・・(*) :これが<math>k</math>の恒等式なので微分しても等号が成り立ち、 ::<math>\frac{d\varkappa}{dk}(E+2Fk+Gk^2)+\varkappa(2F+2Gk)=2M+2Nk</math> :フェルマーの定理より<math>\frac{d\varkappa}{dk}=0</math>を満たす<math>(k, \varkappa)</math>が極値点の候補なので ::<math>\varkappa(2F+2Gk)=2M+2Nk</math>・・・(@) :が成り立つ必要がある。 :これを<math>k</math>倍して(*)を引くと ::<math>\varkappa(E+Fk)=L+Mk</math>・・・(#) :これと(@)を連立して ::<math>k=-\frac{\varkappa{F}-M}{\varkappa{G}-N}</math> :これを(#)に代入して ::<math>(EG-F^2)\varkappa^2-(GL+EN-2FM)\varkappa+(LN-M^2)=0</math>・・・($) :という二次方程式を得る。 :($)が相異なる二つの実根<math>\kappa_1, \kappa_2</math>を持てばそれらは極小値・極大値である。 :逆に、極小値・極大値を持てばフェルマーの定理より($)を満たす。// この<math>\kappa_1, \kappa_2</math>を<math>S</math>の'''主曲率'''という。 ($)の左辺を変形してみると、 :<math>(EG-F^2)\varkappa^2-(GL+EN-2FM)\varkappa+(LN-M^2)</math> :<math>=\{EG\varkappa^2-(GL+EN)\varkappa+LN\}-\{F^2\varkappa^2-2FM\varkappa+M^2\}</math> :<math>=(L-\varkappa{E})(N-\varkappa{G})-(M-\varkappa{F})^2</math> :<math>=\det\begin{pmatrix} L-\varkappa E & M - \varkappa F \\ M - \varkappa F & N - \varkappa G \end{pmatrix}</math> :<math>=\det(\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K})</math> という、第一基本行列と第二基本行列を用いた形が出てきた。 ここで<math>\varkappa=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2}</math>を変形して :<math>(L-\varkappa{E})dt^2+2(M-\varkappa{F})dtdu+(N-\varkappa{G})du^2=0</math> これを二次形式表示すると :<math>\begin{pmatrix} dt & du \end{pmatrix}\begin{pmatrix} L-\varkappa E & M - \varkappa F \\ M - \varkappa F & N - \varkappa G \end{pmatrix}\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}=0</math> と、同じ<math>\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K}</math>がここでも登場する。 この行列は法曲率を持つ方向を二次形式で判定しているが、主曲率を持つ場合はラグランジュの未定乗数法より<math>(\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K})\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}=\boldsymbol{0}</math>が成り立ち、これが<math>\det(\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K})=0</math>という式の正体である。更に言うと、<math>\mathbf{H}\boldsymbol{x}=\varkappa\mathbf{K}\boldsymbol{x}</math>という一般化固有値問題の解が主曲率<math>\kappa_1, \kappa_2</math>に対応している。このときの一般化固有ベクトル<math>\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2</math>を主曲率に対する'''主方向'''という。 二つの主方向の関係を調べる。 :主方向の定義より ::<math>\begin{cases} (\mathbf{H}-\kappa_1\mathbf{K}) \boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0} \\ (\mathbf{H}-\kappa_2\mathbf{K}) \boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{0} \end{cases}</math> :なので ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2(\mathbf{H}-\kappa_1\mathbf{K})\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0} \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_1(\mathbf{H}-\kappa_2\mathbf{K})\boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{0} \end{cases}</math> ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_1{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_1\mathbf{H}\boldsymbol{x}_2=\kappa_2{}^t\!\boldsymbol{x}_1 \mathbf{K}\boldsymbol{x}_2 \end{cases}</math> ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_1{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_1\mathbf{H}\boldsymbol{x}_2=\kappa_2{}^t\!\boldsymbol{x}_1 \mathbf{K}\boldsymbol{x}_2 \end{cases}</math> :第一基本行列・第二基本行列とも対称行列なので第二式の転置をとって ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_1{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_2{}^t\!\boldsymbol{x}_2 \mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \end{cases}</math> :上下の式の差をとって ::<math>(\kappa_1-\kappa_2){}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0}</math> :<math>\kappa_1=\kappa_2</math>のときは<math>\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2</math>に関する恒等式であるので、<math>\kappa_1\neq\kappa_2</math>のときを考える。 ::<math>{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1=\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}t_2+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}u_2\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}t_1+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}u_1\right)=0</math> :この二つのベクトルは主方向を向くので2つの主方向は直交する。 <math>\kappa_1=\kappa_2</math>（法曲率<math>\varkappa(t, u)=\mathrm{const}.</math>）の場合、<math>S</math>の接平面内の任意の方向が主方向となるので「どの方向にも一様な曲がり方をする」と考えられる。このような主曲率を与える点を'''臍点'''という。任意の点が臍点である曲面は球面である。 上の結果から、'''臍点でない各点で2つの主方向は直交する'''。 主曲率に対して解と係数の関係から得る値 :<math>H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}=\frac{GL+ENN-2FM}{2EG-F^2},\quad K=\kappa_1\kappa_2=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}</math> をそれぞれ<math>S</math>の'''平均曲率'''（'''ジェルマン曲率'''）・'''全曲率'''（'''ガウス曲率'''）という。 全曲率の式を見ると<math>K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}=\frac{\det\mathbf{H}}{\det\mathbf{K}}=\det(\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H})</math>である。 そこで、<math>\mathbf{S}=\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}</math>と定義してみると行列式の性質より<math>K</math>は<math>\mathbf{S}</math>の固有値の積である。 ここで<math>\mathbf{S}</math>の固有方程式は :<math>\det(\mathbf{S}-\lambda\mathbf{E})=\det(\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}-\lambda\mathbf{E})=\det\mathbf{K}^{-1}\det(\mathbf{H}-\lambda\mathbf{K})=0</math> <math>\det\mathbf{K}^{-1}\neq0</math>より :<math>\det(\mathbf{H}-\lambda\mathbf{K})=0</math> これは主曲率を定義した二次方程式($)のことだったので、この方程式の解である固有値は<math>\lambda=\kappa_1, \kappa_2</math>である。 則ち、<math>K=\det\mathbf{S},\quad H=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\,\mathbf{S}</math>が成り立つ。 更に、第一基本行列から第二基本行列への一次変換を考えると以下が成り立つことも判る。但し、こちらもフレネ=セレーと同様に厳密にはベクトルを列ではなく行に並べるのが正しいことに注意。 {{定理|(ヴァインガルテンの式)}} :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} \end{pmatrix}=-\mathbf{S}\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math> {{定理終わり}} *証明 :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} \end{pmatrix}=\mathbf{A}\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math>と置く。 :両辺に<math>{}^t\!\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math>を右から掛けると行列積であることに注意して :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}=\mathbf{A}\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} & \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math> :<math>\therefore -\mathbf{H}=\mathbf{A}\mathbf{K}</math> :<math>\therefore \mathbf{A}=-\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1}=-\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}=-\mathbf{S}</math>// 臍点で行列<math>\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K}</math>を考えると<math>\varkappa=\kappa_1=\kappa_2</math>及び「主方向が任意」から :<math>\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K}=\mathbf{O}</math> であり、これを成分で書き下せばヴァインガルテンの式より法曲率に関して :<math>\begin{cases} \varkappa=\frac{L}{E}=\frac{M}{F}=\frac{N}{G} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}} = \varkappa \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} = \varkappa \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{cases}</math> を得る。 <math>\mathbf{S}=\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}</math>に於いて<math>\mathbf{K}</math>は正定値対称行列なので正則対称な主平方根<math>\mathbf{K}^{1/2}</math>が存在して :<math>\mathbf{S}=\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{H}</math> ここで<math>\mathbf{T}=\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1/2}</math>という相似変換で表された行列を考えてみると :<math>\mathbf{K}^{1/2}\mathbf{S}\mathbf{K}^{-1/2}</math> :<math>=\mathbf{K}^{1/2}\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1/2}</math> :<math>=\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1/2}</math> :<math>=\mathbf{T}</math> であり、<math>\mathbf{S}\sim\mathbf{T}</math>なのでこれらの2つの固有値の組は一致する。 :<math>\mathbf{H}={}^t\!\mathbf{H}</math> より :<math>{}^t\!\mathbf{T}=\mathbf{T}</math> が成り立つので、<math>\mathbf{T}</math>は対称行列であり2つの固有値は実数である。 よって<math>\mathbf{S}</math>の二つの固有値はともに実数であるが、この固有値は($)の解<math>\kappa_1, \kappa_2</math>のことだったので($)は虚根を持たず、'''主曲率は必ず実数'''である。 モンジュ表示された曲面では先程求めた第二基本量の表式から直ちに :<math>H=\frac{\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2\right\}\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}^2}+\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2\right\}\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}^2}-2\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}}{{2\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2\right\}^\frac{3}{2}}},\quad K=\frac{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}-\left(\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}\right)^2}{\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2\right\}^2}</math> を得る。 等温座標系では<math>\mathbf{K}^{-1}=\frac{1}{\lambda^2}\mathbf{E}_3</math>より<math>\mathbf{S}=\frac{1}{\lambda^2}\begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}</math>なので、平均曲率・ガウス曲率はそれぞれ<math>H=\frac{L+N}{2\lambda^2},\quad K=\frac{LN-M^2}{\lambda^4}</math>と簡単に求まる。 ある点に於ける2つの主曲率はそれぞれその点に於ける極大方向・極小方向の曲がり方を与えるので、<math>\kappa_1, \kappa_2</math>の符号の組み合わせがその点近傍に於ける曲面の曲がり方を与えることになる。 具体的には、両方とも正なら上に凸、負なら下に凸、異符号なら鞍点となる。主曲率が0ならばその主方向に対して曲がっていないということである。 主曲率の積である全曲率の符号を見ても良い。全曲率が正ならば上下どちらかに凸、負ならば鞍点である。第一基本行列が正定値行列であることから主曲率の符号は第二基本行列の行列式と一致するので先程の「第二基本行列がヘッセ行列の一般化」という話に繫がる。 任意点で<math>H=0</math>を満たす曲面を'''極小曲面'''という。極小曲面は曲面を連続変形させたときに曲面積の最小値を与える曲面であることが知られている。 平面は自明な極小曲面である。他にも<math>z=\ln\left(\frac{\cos y}{\cos x}\right)(-\frac{\pi}{2}<x, y<\frac{\pi}{2})</math>（シェルクの第一曲面）などが知られている。 極小曲面は表面張力の理論に応用されている。 例えば石鹼膜のつくる曲面について、膜上点での表裏の圧力差<math>P</math>・その点での表面張力<math>T</math>及び平均曲率<math>H</math>に対し<math>P=2TH</math>が成立する（ヤング=ラプラスの公式）ことが知られているが、閉曲線である枠に張った膜が割れずに安定して存在する条件は全ての点で<math>P=H=0</math>、則ち極小曲面のときである。 曲面<math>S</math>上の微小変位<math>d\boldsymbol{r}</math>、法線方向の微小変位<math>d\boldsymbol{e}_S</math>に対して第一基本形式は<math>I=d\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{r}</math>、第二基本形式は<math>I\!I=-d\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{e}_S</math>であった。 最後の組み合わせである<math>d\boldsymbol{e}_S\cdot d\boldsymbol{e}_S</math>を<math>S</math>の'''第三基本形式'''と定義する。 :<math>I\!I\!I:=\left(\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}du\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}du\right)</math> :<math>=\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\right\|^2(dt)^2+2\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}dtdu+\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\right\|^2(du)^2</math> これを同様に二次形式の行列表示に直すと<math>\mathbf{W}:=\begin{pmatrix} \left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\right\|^2 & \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} & \left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\right\|^2 \end{pmatrix}</math>として :<math>I\!I\!I={}^t\!\boldsymbol{v}\mathbf{W}\boldsymbol{v}</math> この<math>\mathbf{W}</math>を'''第三基本行列'''という。 見て判る通り、'''第三基本量'''は<math>P=\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\right\|^2,\quad Q=\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}},\quad R=\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\right\|^2</math>である。 臍点でないとき2つの主方向は直交するので、臍点を持たない曲面に対して主方向を直交基底としたパラメータ表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(p, q)</math>を考えられる。 このとき、各基本形式は :<math>I=dp^2+dq^2</math> :<math>I\!I=\kappa_1dp^2+\kappa_2dq^2</math> :<math>I\!I\!I=\kappa^2_1dp^2+\kappa^2_2dq^2</math> と表示されることが知られている。 第三基本形式は第一基本形式と第二基本形式の線型結合で表示される。 :<math>I\!I\!I=2HI\!I-KI</math> このことはヴァインガルテンの式と平均曲率・全曲率の定義を用いて確かめられる。 これに関連し、第二基本量で定義された全曲率は第一基本量のみで表されることが知られている。つまり、曲率という外在的な量を第一基本形式という内在的な量のみで記述でき、言い換えると「曲面を考えるときに'''曲面の外側の空間を考える必要が無い'''」ということである。 この定理は発見者自身も驚愕したことから'''ガウスの驚異の定理'''と呼ばれている。詳しくは発展節で扱う。 なお、平均曲率を考えるときは外側の空間の情報が必要である。 ==直交曲線座標系== {{節stub}} ===円筒座標系=== 平面の座標系として直交座標の他に斜交座標、極座標（円座標）、重心座標などがあったように、空間の座標系も複数通り考えられる。 空間座標を3つの実数の組<math>(r, \theta, z)</math>で表した座標系を'''円筒座標系'''（'''円柱座標系'''、cylindrical coordinate system）という。ただし、<math>r</math>は原点からの（符号付き）距離、<math>\theta</math>は基準面に於ける始線からの正の回転角、<math>z</math>は基準面からの高さである。 円筒座標系は、円座標系の<math>r\theta</math>平面に<math>z</math>軸方向の次元を加えた3次元空間の座標と考えられる。 そのため、円筒座標系と直交座標系の対応は以下のようになる。 :<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \\ z=z \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta = \arctan\frac{y}{x} \\ z=z \end{cases}</math> 但し、<math>r</math>は基準面の裏側では負とする。 直交座標の<math>z</math>軸を基に円筒座標系の座標軸を決定する。一般に座標軸は直線とは限らないので、「軸」ではなく「曲線」と呼ぶことにする（'''座標線'''）。なお、「曲線」という語は一般に「直線」を包含する。 :<math>r</math>曲線：<math>z</math>軸上の点を通り<math>z</math>軸に垂直な半直線。 :<math>\theta</math>曲線：<math>z</math>軸を法線とする平面内にあり、中心が<math>z</math>軸上にある円周。 :<math>z</math>曲線：<math>z</math>軸に平行な直線。 ここで、各曲線に沿った微小変化がどのように表されるか見ていく。 <math>\boldsymbol{f}: (r,\theta,z)\to(x,y,z)</math>とする。 <math>\boldsymbol{f}</math>全体の微小変化は全微分<math>d\boldsymbol{f}=\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}</math>で表される。 上で求めた関係式より :<math>\boldsymbol{f}\begin{pmatrix} r \\ \theta \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cos\theta \\ r\sin\theta \\ z \end{pmatrix}</math> なので、 :<math>\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial{r}}r\cos\theta & \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\cos\theta & \frac{\partial}{\partial{z}}r\cos\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}r\sin\theta & \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\sin\theta & \frac{\partial}{\partial{z}}r\sin\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}z & \frac{\partial}{\partial{\theta}}z & \frac{\partial}{\partial{z}}z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> よって :<math>d\boldsymbol{f}=\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin \theta \\ 0 \end{pmatrix}dr + \begin{pmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \\ 0 \end{pmatrix}rd\theta + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}dz </math> 再右辺の各項を<math>d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}</math>と書くことにすると、<math>|d\vec{r}|, |d\vec{\theta}|, |d\vec{z}|</math>はそれぞれ<math>dr, rd\theta, dz</math>とわかる。<math>r, \theta, z</math>を物理量として捉えたとき<math>d\theta</math>の単位はラジアン（無次元量）であり、<math>rd\theta</math>の単位はメートル（長さの次元1）なので、次元の整合性が取れる。 纏めると以下のようになる。 {| class="wikitable" | ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_x</math>成分 ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_y</math>成分 ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_z</math>成分 ||style="text-align:center;"| ノルム |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{r}</math> ||style="text-align:center;"| <math>\cos\theta dr</math> ||style="text-align:center;"| <math>\sin\theta dr</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>dr</math> |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{\theta}</math> ||style="text-align:center;"| <math>-r\sin\theta d\theta</math> ||style="text-align:center;"| <math>r\cos\theta d\theta</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>rd\theta</math> |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{z}</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>1</math> ||style="text-align:center;"| <math>dz</math> |} ここで<math>d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}</math>は内積を取ればどの組も互いに直交することが容易にわかるので、この3つのベクトルは3次元ユークリッド空間の直交基底である。 そこで、それぞれのベクトルを正規化することで各軸曲線方向の基本ベクトルを得る。 :<math>\boldsymbol{e}_r = \frac{d\vec{r}}{dr} = \cos\theta \boldsymbol{e}_x + \sin\theta \boldsymbol{e}_y</math> :<math>\boldsymbol{e}_\theta = \frac{d\vec{\theta}}{rd\theta} = -\sin\theta\boldsymbol{e}_x+\cos\theta\boldsymbol{e}_y</math> :<math>\boldsymbol{e}_z=\frac{d\vec{z}}{dz}=\boldsymbol{e}_z</math> これを一次変換の形式で表すと :<math>\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}</math> となる。 このときの表現行列を、座標系または基底ベクトルを変換することから'''座標変換行列'''又は'''基底変換行列'''という。場合によっては'''変換テンソル'''とも呼ぶ。 なお、この直交座標⇒円筒座標の座標変換行列は、<math>xyz</math>空間に於ける<math>z</math>軸まわりの回転行列に等しい。 逆基底変換はこの座標変換行列の逆行列を求めれば定式化できる。 回転行列は直交行列なので :<math>\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ^{-1}= {}^t \! \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> であり、 :<math>\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}</math> 円筒座標系は、[[電磁気学]]の解析でよく使用される。 例えば、高校物理の公式<math>B(r)=\frac{\mu_0I}{\tau r}</math>は、円筒座標系を知っていれば「電流が<math>z</math>軸に平行であることから磁場は<math>z</math>方向に一葉且つ<math>\theta</math>方向に回転対称なので、<math>r</math>方向の項のみが寄与する」と理解される。 ===極座標系=== 高等学校までの地理で習ったように、球面上の位置は緯度<math>\theta</math>と経度<math>\phi</math>で定めることができる。 一般に三次元空間で球面上のある点の座標を定めるには、更に球の中心からの距離<math>r</math>が必要である。 このようにして定められる座標系を'''三次元極座標系'''（polar coordinate system in 3D）または'''球（面）座標系'''（spherical coordinate system）という。 xyz座標空間の点<math>\mathrm{P}(x, y, z)</math>の極座標表示を考える。 <math>r=|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>は容易にわかる。 <math>\theta</math>は<math>z</math>軸からの'''天頂角'''（zenith angle）であり、<math>\overrightarrow{\mathrm{OP}}</math>の<math>z</math>軸への正射影ベクトルを<math>\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\vec{h}</math>とすると<math>\tan\theta = \frac{|\vec{h}|}{z}</math>が成り立つ。<math>|\vec{h}|=\sqrt{x^2+y^2}</math>より、<math>\theta=\arctan \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}</math>である。 <math>\phi</math>は<math>x</math>軸からの'''方位角'''（azimuth angle）であり、<math>\mathrm{P}</math>から<math>xy</math>平面に降ろした垂足<math>\mathrm{Q}</math>を考えると<math>\tan\phi=\frac{y}{x}</math>とわかる。よって、<math>\phi=\arctan\frac{y}{x}</math>である。 逆に、これを<math>\mathrm{P}(x, y, z)</math>に復元することを考える。 <math>\triangle\mathrm{OHP}</math>について<math>\angle\mathrm{HOP}=\theta</math>なので、<math>z=\overline{\mathrm{OH}}=r\cos\theta</math>。 また、<math>\triangle\mathrm{OPQ}</math>について<math>\angle\mathrm{OPQ}=\theta</math>なので、<math>\overline{\mathrm{OQ}}=r\sin\theta</math>。 よって<math>x=\overline{\mathrm{OQ}}\cos\phi=r\sin\theta\cos\phi, y=\overline{\mathrm{OQ}}\sin\phi=r\sin\theta\sin\phi</math>。 以上を纏めると、直交座標と球面座標の対応関係は :<math>\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi \\ y=r\sin\theta\sin\phi \\ z=r\cos\theta \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \\ \phi=\arctan\frac{y}{x} \end{cases}</math> 一般に緯度は<math>-90^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ</math>、経度は<math>-180^\circ \leqq \phi \leqq 180^\circ</math>の範囲で表される（但し、符号の違いは東⇔西、南⇔北の違いである）。同様に、球面座標の天頂角<math>\theta</math>、方位角<math>\phi</math>は<math>\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\tau}{4}], \phi \in [-\frac{\tau}{2}, \frac{\tau}{2}]</math>で考える。赤道面より下側（すなわち南半球）では<math>\theta<0</math>とする。 直交座標の<math>z</math>軸を基に極座標系の座標線を決定する。 :<math>r</math>曲線：原点を通る半直線。 :<math>\theta</math>曲線：原点中心で<math>z</math>軸上の一点から出る半円弧。 :<math>\phi</math>曲線：<math>z</math>軸を法線とする平面内で<math>z</math>軸上に中心を持つ円周。 各曲線に沿った微小変化は円柱座標系の場合と同様、ベクトル場の全微分を用いて :<math>\begin{cases} d\vec{r}= \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi \\ \cos\theta \end{pmatrix} dr \\ d\vec{\theta}= \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\phi \\ \cos\theta\sin\phi \\ -\sin\theta \end{pmatrix}rd\theta \\ d\vec{\phi} = \begin{pmatrix} -\sin\phi \\ \cos\phi \\ 0 \end{pmatrix} r\sin\theta d\phi \end{cases}</math> と求まる。 これらは（内積の結果から）互いに直交するので、円柱座標の場合と同様の議論により :<math>\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \end{pmatrix}</math> と変換テンソルが求まる。 これも直交行列であるので、逆変換テンソルは :<math>\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \cos\theta\cos\phi & \cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\phi \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \end{pmatrix}</math> と求まる。 球面座標系は、[[古典力学]]の解析でよく使用される。 例えば、赤道平面における角運動量保存則は<math>mr^2\frac{d\phi}{dt}=\mathrm{const}.</math>と表示されるが、これは<math>z</math>軸方向の角運動量を球面座標系の演算により取り出したものである。 球面座標系は特に機械制御に応用されている。 円柱座標系・球面座標系ともに各基底ベクトルが互いに直交しているので、そのことを明示して（且つ通常の直交座標系と区別して）'''直交曲線座標系'''（orthogonal curvilinear coordinate system）と呼ぶ場合がある。以下で扱う座標系たちも直交曲線座標系である。 ===円環座標系=== ===双極座標系=== ===回転放物面座標系=== ===放物柱座標系=== ===回転楕円面座標系=== ===楕円柱座標系=== ===楕円体座標系=== ==空間微分== ここでは三次元ユークリッド空間で考える。 ===勾配=== スカラー場<math>\varphi=\varphi(\boldsymbol{x})</math>が<math>x, y, z</math>の三変数関数であって<math>\varphi\in C^1</math>のとき、 :<math>\mathrm{grad}\,\varphi := \begin{pmatrix} \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}} \end{pmatrix}</math> を<math>\varphi</math>の'''勾配'''（gradient）と定義する。 勾配の結果として得るベクトルを<math>\varphi</math>の'''勾配ベクトル'''ともいう。 勾配で定義される概念としては、電場が有名である。 :電位<math>\phi</math>に対する電場<math>\boldsymbol{E}</math>は :<math>\boldsymbol{E}:=-\mathrm{grad}\,\phi</math> 勾配はベクトル量であるため、そのことを明示するため新たな演算子を導入する。 '''空間偏微分演算子'''（ハミルトン演算子）を <math>\nabla:=\begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial{x}} \\ \frac{\partial}{\partial{y}} \\ \frac{\partial}{\partial{z}} \end{pmatrix}</math> と定義する。 この演算子自体は偏微分作用素の対象を後接しないと意味を成さない。しかし、便宜的にベクトル量と考えてベクトルと同様の演算則が成り立つと見做す。そのため、この演算子に関する演算は[[w:記号の濫用]]（symbol abuse）であることを註しておく。 <math>\nabla</math>の正式な読み方は'''ナブラ'''（nabla）であるが、<math>\Delta</math>（delta）を反転した形であることから'''エイトレッド'''（atled）とも読まれる。なお、ナブラの由来は「竪琴」を意味する古代ギリシャ語「νάβλα」である。 この演算子を用いれば勾配の表式は :<math>\mathrm{grad}\,\varphi=\nabla\varphi</math> となる。 <math>\varphi</math>はスカラー場なのでスカラー量であり、<math>\nabla</math>は便宜的にベクトル量と考えることから、その積<math>\nabla\varphi</math>はベクトル量のスカラー倍、すなわちベクトル量であることが見て取れる。 勾配はスカラー場に対する偏微分の結果を並べたベクトルであるため、偏微分の性質とベクトルの性質を組み合わせて以下が成り立つと判る。 #<math>\nabla(k\varphi+l\psi)=k\nabla\varphi+l\nabla\psi</math>（線型性） #<math>\nabla(\varphi\psi)=(\nabla\varphi)\psi+\varphi(\nabla\psi)</math>（積の微分・ライプニッツ則） #<math>\nabla\left(\frac{\varphi}{\psi}\right)=\frac{(\nabla\varphi)\psi-\varphi(\nabla\psi)}{\psi^2}</math>（商の微分） #<math>\nabla(\varphi(\psi))=\frac{d\varphi(\psi)}{d\psi}\nabla\psi</math>（合成関数微分） 任意点に対して勾配ベクトルが非零であるスカラー場を'''正則'''なスカラー場という。 以下、正則なスカラー場に限って扱う。 等位面<math>\varphi(x, y, z)=k(\mathrm{const}.)</math>上の点<math>\mathrm{P}(x_0, y_0, z_0)</math>を考える。 :<math>\mathrm{P}</math>を通り等位面に拘束される曲線のベクトル表示を<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>とする。 :等位面の方程式を<math>t</math>で両辺微分して ::<math>\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}}\frac{dz}{dt}=0</math> :<math>t=t_0</math>のとき ::<math>\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}x'(t_0)+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}y'(t_0)+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}}z'(t_0)=0</math> ::<math>\nabla\varphi(\mathrm{P})\cdot\boldsymbol{r}'(t_0)=0</math> ::<math>\nabla\varphi(\mathrm{P})\perp\boldsymbol{r}'(t_0)</math> ここで<math>\mathrm{P}</math>に於ける等位面の接平面は接ベクトル<math>\boldsymbol{r}'(t_0)</math>を含むため、<math>\nabla\varphi(\mathrm{P})</math>は点<math>\mathrm{P}</math>に於ける等位面の法線ベクトルである。 よって等位面の接平面の方程式は :<math>\nabla\varphi(\mathrm{P})\cdot(\boldsymbol{x}-\overrightarrow{\mathrm{OP}})=0</math> である。 スカラー場<math>\varphi=\varphi(\boldsymbol{x})</math>の全微分は :<math>d\varphi=\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}dx+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}dy+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}}dz</math> これをベクトルの内積とみると :<math>=\begin{pmatrix} \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}</math> :<math>=\nabla\varphi\cdot d\boldsymbol{x}</math> ここで変位ベクトル<math>d\boldsymbol{x}</math>を任意の方向を向いた単位ベクトル<math>\boldsymbol{e}</math>に拡張することを考えたい。 <math>\varphi(\mathrm{P})</math>に対して<math>\mathrm{P}</math>を始点とする<math>\boldsymbol{e}</math>方向の直線を考え、その上の点を<math>\mathrm{Q}</math>とする。 このとき、ベクトル変数<math>\boldsymbol{e}</math>による微分係数 :<math>\frac{\partial{\varphi}(\mathrm{P})}{\partial{\boldsymbol{e}}}=\lim_{\mathrm{Q\to P}}\frac{\varphi(\mathrm{Q})-\varphi(\mathrm{P})}{\overline{\mathrm{QP}}}</math> を、<math>\varphi</math>の<math>\mathrm{P}</math>に於ける<math>\boldsymbol{e}</math>方向の'''方向微分係数'''と定義する。 方向微分係数はスカラー場に対し<math>\boldsymbol{e}</math>方向の変化率を与えるものと考えられる。そこで、方向微分係数が最大となる方向を考える。 :<math>\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=t\boldsymbol{e}</math>と置く。 ::<math>\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\begin{pmatrix} x_0+te_1 \\ y_0+te_2 \\ z_0+te_3 \end{pmatrix}</math> ::<math>\frac{\partial{\varphi}(\mathrm{P})}{\partial{\boldsymbol{e}}}=\lim_{t\to0}\frac{\varphi(x_0+te_1, y_0+te_2, z_0+te_3)-\varphi(x_0, y_0, z_0)}{t}</math> :ここで<math>\Phi(t):=\varphi(x_0+te_1, y_0+te_2, z_0+te_3)</math>とすれば ::<math>=\lim_{t\to0}\frac{\Phi(t)-\Phi(0)}{t}</math> ::<math>=\frac{d\Phi(t)}{dt}</math> ::<math>=\frac{\partial{\varphi}(x_0, y_0, z_0)}{\partial{x}}\frac{d(x_0+te_1)}{dt}+\frac{\partial{\varphi}(x_0, y_0, z_0)}{\partial{y}}\frac{d(y_0+te_2)}{dt}+\frac{\partial{\varphi}(x_0, y_0, z_0)}{\partial{z}}\frac{d(z_0+te_3)}{dt}</math> ::<math>=\frac{\partial{\varphi}(\mathrm{P})}{\partial{x}}e_1+\frac{\partial{\varphi}(\mathrm{P})}{\partial{y}}e_2+\frac{\partial{\varphi}(\mathrm{P})}{\partial{z}}e_3</math> ::<math>=\nabla\varphi(\mathrm{P})\cdot\boldsymbol{e}</math> よって、全微分の式の<math>d\boldsymbol{x}</math>をそのまま<math>\boldsymbol{e}</math>に取り替えたものが方向微分係数の表式である。 内積を書き下すと<math>\|\boldsymbol{e}\|=1</math>より :<math>\frac{\partial{\varphi}(\mathrm{P})}{\partial{\boldsymbol{e}}}=\|\nabla\varphi(\mathrm{P})\|\cos\theta</math> よって最大値をとるのは<math>\cos\theta=1</math>則ち'''<math>\boldsymbol{e}</math>が勾配方向のとき'''である。また、方向微分係数の最大値は'''勾配のノルム'''である。 このように、勾配はスカラー場の各点に於ける傾きを表す。これは最右辺の式が「各軸方向の傾きを表すベクトルの和」になっていることからも直観的にわかる。ここから、「gradient」の和訳として「勾配」が充当されたのは妥当である。 方向微分係数を'''方向導関数'''に拡張することを考える。 形式的には方向微分係数の定点<math>\mathrm{P}</math>を変数<math>\boldsymbol{x}</math>に置き換えればいいだけである。 :<math>\frac{\partial{\varphi}(\boldsymbol{x})}{\partial{\boldsymbol{e}}}:=\nabla\varphi(\boldsymbol{x})\cdot\boldsymbol{e}</math> 正式には極限を用いて :<math>\frac{\partial{\varphi}(\boldsymbol{x})}{\partial{\boldsymbol{e}}}:=\lim_{t\to0}\frac{\varphi(\boldsymbol{x}+t\boldsymbol{e})-\varphi(\boldsymbol{x})}{t}</math> と定義する。 内積を書き下すと :<math>\frac{\partial{\varphi}(\boldsymbol{x})}{\partial{x}}e_1+\frac{\partial{\varphi}(\boldsymbol{x})}{\partial{y}}e_2+\frac{\partial{\varphi}(\boldsymbol{x})}{\partial{z}}e_3</math> これを[[解析学基礎/多変数関数の微積分#極値]]で扱った方向偏微分作用素として書き直すと :<math>\left(e_1\frac{\partial}{\partial{x}}+e_2\frac{\partial}{\partial{y}}+e_3\frac{\partial}{\partial{z}}\right)\varphi(\boldsymbol{x})</math> :<math>=(\boldsymbol{e}\cdot\nabla)\varphi(\boldsymbol{x})</math> となる。 則ち、形式的には空間偏微分演算子の微分方向ベクトルとの右内積が方向偏微分作用素である。 更に、多変数関数のテイラー二次近似は :<math>f(\boldsymbol{x})\fallingdotseq f(\boldsymbol{a})+\nabla{f}(\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})+\frac{1}{2}{}^t\!(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})\mathbf{D}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})</math> と書けることが判る。但し、<math>\mathbf{D}</math>はヘッセ行列である。 多変数解析で扱った停留点（臨界点）は<math>\nabla\varphi(\mathrm{P})=\boldsymbol{0}</math>なる点<math>\mathrm{P}</math>として正式に定義される。また、ラグランジュの未定乗数法に於ける連立方程式も勾配を用いれば<math>\nabla\varphi(\mathrm{P})=\lambda\nabla\psi(\mathrm{P})</math>と書き表される。 スカラー場の全微分は勾配で表せたが、同様にベクトル場の全微分をナブラを用いて表すことを考える。 ベクトル場の全微分は :<math>d\boldsymbol{a}=\frac{\partial{(a_x,a_y,a_z)}}{\partial{(x,y,z)}} d\boldsymbol{x}</math> で定義された。 ここで<math>n</math>次行列 <math>\mathbf{A}</math>と<math>n</math>項列ベクトル <math>\boldsymbol{a}</math>に対し、<math>(\mathbf{A} \circledast \boldsymbol{a})_{ij} = (\mathbf{A}_{ij}) a_i</math>となるような可換二項演算子 <math>\circledast</math>を定義する。これは本項独自の記法である。但し、<math>(\mathbf{P})_{ij}</math>は行列 <math>\mathbf{P}</math>の第ij成分を表す。 この記法を用いると、ヤコビ行列<math>\frac{\partial{(a_x,a_y,a_z)}}{\partial{(x,y,z)}}</math>は<math>\nabla \circledast \boldsymbol{a}</math>と表すことができる。 則ち、ベクトル場の全微分は :<math>d\boldsymbol{a} = (\nabla \circledast \boldsymbol{a}) d\boldsymbol{x}</math> と表される。 これを形式的に :<math>\frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{\boldsymbol{x}}}=\nabla \circledast \boldsymbol{a}</math> と書き表すことができる。 則ち、ヤコビ行列はベクトル場のベクトル変数による導関数と見做せる。 ヤコビ行列はベクトル場の成分スカラー場に対する勾配ベクトルを行に並べたものという解釈もできるので、この考え方は自然である。 ここでベクトル場に対してスカラー場と同様に方向微分係数・方向導関数を考えると、 :<math>\frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{\boldsymbol{v}}}=\frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{\boldsymbol{x}}}\boldsymbol{v}</math> が成り立つことが判る。 これもベクトル場の成分スカラー場に対する方向微分係数・方向導関数を列に並べたベクトルと解釈できる。 則ち、 :<math>\frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{\boldsymbol{v}}}=(\nabla\circledast\boldsymbol{a})\boldsymbol{v}=(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{a}</math> である。 ===発散=== ベクトル場<math>\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{x})</math>が<math>x, y, z</math>の三変数関数であって<math>\boldsymbol{a}\in C^1</math>のとき、 :<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{a} := \frac{\partial{a_x}}{\partial{x}} + \frac{\partial{a_y}}{\partial{y}} + \frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}</math> を<math>\boldsymbol{a}</math>の'''発散'''（divergence）と定義する。 発散が用いられる概念としては、ガウスの法則が有名である。 :電荷密度<math>\rho</math>、電束<math>\boldsymbol{D}</math>として :<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{D}=\rho</math> 構成方程式が<math>\boldsymbol{D}=\varepsilon\boldsymbol{E}</math>であるときは球面座標で考えることにより、この式の重要な性質「荷電粒子の座標を原点にとると原点以外では <math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{E}=0</math>」を証明することができる。 勾配と同様に発散をナブラで表すことを考えると、 :<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{a}=\nabla\cdot\boldsymbol{a}</math> という表式を得る。 <math>\boldsymbol{a}</math>はベクトル場なのでベクトル量であり、<math>\nabla</math>は便宜的にベクトル量と考えることから、その内積<math>\nabla\cdot\boldsymbol{a}</math>はスカラー量であることが見て取れる。 発散に対しては以下が成り立つ。 #<math>\nabla\cdot(k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})=k\nabla\cdot\boldsymbol{a}+l\nabla\cdot\boldsymbol{b}</math>（線型性） #<math>\nabla\cdot(\varphi\boldsymbol{a})=(\nabla\varphi)\cdot\boldsymbol{a}+\varphi\nabla\cdot\boldsymbol{a}</math>（積の微分・ライプニッツ則） 前者は内積の線型性より、後者は成分演算と勾配の定義より示される。 ヤコビ行列<math>\nabla\circledast\boldsymbol{a}</math>との関係を考える。 :<math>\nabla\circledast\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{x}} & \frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{y}} & \frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{z}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{a}_x}{\partial{x}} & \frac{\partial{a}_x}{\partial{y}} & \frac{\partial{a}_x}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{a}_y}{\partial{x}} & \frac{\partial{a}_y}{\partial{y}} & \frac{\partial{a}_y}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{a}_z}{\partial{x}} & \frac{\partial{a}_z}{\partial{y}} & \frac{\partial{a}_z}{\partial{z}} \end{pmatrix}</math> ここで跡が発散そのものになっているので :<math>\nabla\cdot\boldsymbol{a}=\mathrm{tr}(\nabla\circledast\boldsymbol{a})</math> が成り立つ。 発散の物理的意味を考える。 :密度<math>\rho</math>が一定である流体の速度場<math>\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^3</math>に対し、微小直方体に出入りする流体の質量収支を考える。 :点<math>(x,y,z)</math>に於ける流速<math>\boldsymbol{v}(x,y,z)=(v_x,v_y,v_z)</math>、直方体の各辺の長さを<math>\delta x, \delta y, \delta z</math>とする。 :単位時間あたりに<math>yz</math>平面に平行な面を通過する流体の質量収支は流出量<math>-\rho v_x(x,y,z)\delta y\delta z</math>、流入量<math>\rho v_x(x+\delta x,y,z)\delta y\delta z</math>より ::<math>\rho(v_x(x+\delta x,y,z)-v_x(x,y,z))\delta y\delta z=\rho\frac{v_x(x+\delta x,y,z)-v_x(x,y,z)}{\delta x}\delta x\delta y\delta z</math> :<math>\delta x\to0</math>の極限で ::<math>=\rho\frac{\partial{v_x}}{\partial{x}}dxdydz</math> :他の面で考えると対称性から輪環の順に入れ替えた結果を得るので直方体全体では ::<math>\rho\left(\frac{\partial{v_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{v_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{v_z}}{\partial{z}}\right)dxdydz</math> :よって単位体積当たりでは ::<math>\rho\nabla\cdot\boldsymbol{v}</math> :を得る。 ここで質量を密度で割ると体積なので、<math>\nabla\cdot\boldsymbol{v}</math>は単位時間あたりの流体の体積の正味の流出率を表す。 この微小直方体の単位体積あたりで観測すると、発散が正であれば流体は膨脹して密度が下がり、負であれば圧縮されて密度が上がる。0であれば流体は膨脹も圧縮もしない。 発散が零であるベクトル場を'''非圧縮/湧出無し/管状/ソレノイダル ベクトル場'''（incompressible/solenoidal vector field）などと呼ぶ。 また、ベクトル場の発散を'''湧き出し'''（「沸き出し」とも書く）と呼ぶ場合もある。 ベクトル場の流線に沿う流れが流体の体積を保存する条件はベクトル場が非圧縮であることである。これを'''リウヴィルの定理'''という。これは多くの場合、[[解析力学]]のハミルトン形式で表示される。 位置ベクトル場<math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>に対して<math>\nabla\cdot\frac{\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^n}</math>を考える。 :<math>\frac{\partial}{\partial{x}}\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^n}=\frac{\partial{\left(\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^n}\right)}}{\partial{\|\boldsymbol{r}\|}}\frac{\partial{\|\boldsymbol{r}\|}}{\partial{x}}=-\frac{n}{\|\boldsymbol{r}\|^n+1}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=-\frac{nx}{\|\boldsymbol{r}\|^{n+2}}</math> <math>y, z</math>も同様なので :<math>\nabla\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^n}=-\frac{n\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^{n+1}}</math> よって発散のライプニッツ則から :<math>\nabla\cdot\frac{\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^n}=\left(\nabla\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^n}\right)\cdot\boldsymbol{r}+\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^n}\nabla\cdot\boldsymbol{r}=-\frac{n\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^{n+2}}+\frac{1+1+1}{\|\boldsymbol{r}\|^n}=\frac{3-n}{\|\boldsymbol{r}\|^n}</math> この結果から、<math>\boldsymbol{a}/\!\!/\boldsymbol{r}\land\|\boldsymbol{a}\|\propto \frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^2}\implies\nabla\cdot\boldsymbol{a}=0</math>（逆二乗則に従う場は非圧縮ベクトル場）が成り立つ。 ベクトル解析の黎明期では発散の逆符号で表される :<math>\mathrm{conv}\,\boldsymbol{a}:=-\frac{\partial{a_x}}{\partial{x}} - \frac{\partial{a_y}}{\partial{y}} - \frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}</math> という量が用いられていた。これは'''吸い込み'''（convergence）と呼ばれる量である。 ベクトルが発明される以前、ベクトル演算に相当するものは[[多元数/四元数|四元数]]で記述されていた。純虚四元数同士の積をとると実部が現在で言う内積の-1倍、虚部が現在で言う外積に対応する。このことから、内積そのものである湧き出しではなく内積の-1倍である吸い込みが自然に出現する量として頻繁に扱われていたのである。 ===回転=== 回転運動は、以下の3つにより一意に定まる。 *回転軸の方向 *回転の速さ *回転方向（軸に対して右回転か左回転か） 「回転方向」は暗黙の諒解として右手系の正の回転角で考える。すると、回転運動を表すのに必要な情報は「方向」と「速さ（=スカラー量）」のみとなる。 従って、'''任意の回転運動はベクトルで表示される'''（ベクトルの大きさは「回転の速さ」で定める）。このようなベクトルを'''角速度ベクトル'''という。 ベクトル場の'''回転'''（curl/rotation/rotor）を以下のように定義する。 :<math>\mathrm{curl} \, \boldsymbol{a} = \mathrm{rot} \, \boldsymbol{a} = \begin{pmatrix} \frac{\partial{a_z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{a_y}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{a_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}} \end{pmatrix}</math> <math>\mathrm{curl}</math>は理学系、<math>\mathrm{rot}</math>は工学系が好んで使用する。 <math>z</math>軸方向の成分について考える。 <math>z</math>軸方向の回転はフレミングの左手の法則から<math>xy</math>平面内の成分のみが寄与すると考えられる。<math>z</math>軸の正方向の回転を生むには、<math>x</math>軸方向の変化率を大きくして<math>y</math>軸方向の変化率を小さくすればよい。 ある軸方向の変化率とはその軸の変数に関する偏導関数のことであったので、回転のz成分を<math>\frac{\partial{X_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{X_x}}{\partial{y}}</math>とすれば満足する。 対称性より輪環の順で入れ替えても同様であるので、回転は上の式で表されるとわかる。 これはより厳密には後述の線積分を用いて説明することになるので、ここでは定性的な説明に留めた。 回転を用いた概念として、ファラデーの電磁誘導の法則が有名である。 :電場<math>\boldsymbol{E}</math>、磁束密度<math>\boldsymbol{B}</math>として :<math>\mathrm{rot} \, \boldsymbol{E} = -\frac{\partial{\boldsymbol{B}}}{\partial{t}}</math> 流体の渦の記述にも応用されており、回転を'''渦度ベクトル'''とも呼ぶ。流体力学的な渦の定義は「速度場の回転」である。 回転が零ベクトルであるベクトル場を'''非回転的/渦無し/層状/ラメラー ベクトル場'''（irrotational/lamella vector field）などと呼ぶ。 勾配・発散と同様に空間偏微分演算子による表記を考える。 成分に着目すると外積の形式なので、 :<math>\mathrm{curl} \, \boldsymbol{a}= \nabla \times \boldsymbol{a}</math> と表されることが判る。 ベクトル場はベクトル量であり、ナブラは便宜的にベクトル量と見做すことから、その外積である回転はベクトル量であることが見て取れる。 外積の性質から、回転は行列式 :<math>\det \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x & \boldsymbol{e}_y & \boldsymbol{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{y}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ a_x & a_y & a_z \end{pmatrix}</math> でも表示される。 回転に対しては以下が成り立つ。 #<math>\nabla\times(k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})=k\nabla\times\boldsymbol{a}+l\nabla\times\boldsymbol{b}</math>（線型性） #<math>\nabla\times(\varphi\boldsymbol{a})=(\nabla\varphi)\times\boldsymbol{a}+\varphi\nabla\times\boldsymbol{a}</math>（積の微分・ライプニッツ則） 前者は外積の線型性より、後者は成分演算と勾配の定義より示される。 回転は常に角速度ベクトルと一致するとは限らない。そのため、必ずしも回転運動そのものを記述しない。 回転は、ヤコビ行列を用いると以下のように表される。 :<math>\mathrm{rot} \, \boldsymbol{a} = 2 \,\mathrm{axl} \left( \frac{\nabla \circledast \boldsymbol{a} - {}^t \! (\nabla \circledast \boldsymbol{a})}{2} \right)</math> :ここで<math>\nabla \circledast \boldsymbol{a} - {}^t \! (\nabla \circledast \boldsymbol{a})</math>は反対称行列であり、<math>\mathrm{axl}</math>は反対称行列を軸ベクトルに移す写像である。 ===ラプラシアン=== 上で見てきた勾配・発散・回転はいずれも一階の偏微分作用素であった。 二階偏微分作用素のうち最もよく使われているのがスカラー場に対して勾配の発散をとる演算である。 :<math>\nabla\cdot(\nabla\varphi) = \mathrm{div}(\mathrm{grad}\,\varphi)</math> ここで<math>(\nabla\cdot\nabla)\varphi</math>を計算してみると成分計算から上の<math>\nabla\cdot(\nabla\varphi)</math>に等しいことが容易に判る。則ち、発散作用素<math>\nabla\cdot\,\,</math>、勾配作用素<math>\nabla</math>、スカラー場<math>\varphi</math>の間に結合法則が成り立ってると見做せる。 そこで、<math>\nabla\cdot\nabla</math>を独立した演算子として考えることにする。 以下のように定義される演算子を'''ラプラス演算子'''（ラプラス作用素）という。 :<math>\text{∆}:=\nabla\cdot\nabla=\frac{\partial^2}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2}{\partial{y}^2}+\frac{\partial^2}{\partial{z}^2}</math> 二項目は[[w:記号の濫用]]により<math>\nabla^2</math>と書かれることもある。 但し、<math>\text{∆}</math>は通常のデルタ（Unicode文字名: GREEK CAPITAL LETTER DELTA, U+394）ではなく'''増分記号'''（Unicode文字名：INCREMENT, U+2206）である（が通常のデルタで書かれることが多い）。 ラプラス演算子を<math>C^2</math>級スカラー場に作用させる操作（及びその結果として得るスカラー場）を'''ラプラシアン'''（Laplacian）という。 :<math>\text{∆}\varphi=\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial{y}^2}+\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial{z}^2}</math> スカラー場のラプラシアンは各成分方向の曲率の和、すなわちスカラー場の各点に於ける突出・沈み込みの度合いを表す。 勾配・発散・回転・ラプラシアンを総称して'''空間微分'''と呼ぶ。 ラプラシアンは[[解析学基礎/偏微分方程式|偏微分方程式]]の記述に用いられている。 :'''ラプラス方程式'''・'''ポテンシャル方程式'''：<math>\text{∆}\varphi=0</math> :'''ポアソン方程式'''：<math>\text{∆}\varphi=f</math> :'''熱伝導方程式'''・'''拡散方程式'''：<math>\text{∆}\psi=k\frac{\partial{\psi}}{\partial{t}}+g</math> :'''波動方程式'''：<math>\text{∆}\psi=\frac{1}{\nu^2}\frac{\partial^2{\psi}}{\partial{t}^2}</math> :'''ヘルツホルム方程式'''：<math>\text{∆}\varphi=-l^2\varphi</math> ここで<math>\varphi=\varphi(x,y,z),\,f=f(x,y,z),\,\psi=\psi(x,y,z,t),\,k>0,\,g=g(x,y,z,t),\,\nu>0,\,l\in\mathbb{R}</math>である。 なお、ラプラス方程式の解を'''調和関数'''という。 <math>C^2</math>級ベクトル場のラプラシアンは以下のように定義される。 :<math>\text{∆}\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix} \text{∆}a_x \\ \text{∆}a_y \\ \text{∆}a_z \end{pmatrix}</math> ここでスカラー場と同様に考えて<math>\text{∆}\boldsymbol{a}=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})</math>としたいところではあるが、これは一般には成り立たない。 実際には以下のように表示される。 :<math>\text{∆}\boldsymbol{a}=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})-\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})=\mathrm{grad}(\mathrm{div}\,\varphi)-\mathrm{rot}(\mathrm{rot}\,\varphi)</math> *証明 :対称性より<math>x</math>成分のみ考えても輪環の順に入れ替えれば他の成分を得る。 ::<math>\nabla\cdot\boldsymbol{a}=\frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{a_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}</math> :より ::<math>\{\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})\}_x=\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2{a_y}}{\partial{x}\partial{y}}+\frac{\partial^2{a_z}}{\partial{x}\partial{z}}</math> :また、 ::<math>\nabla\times\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{a_z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{a_y}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{a_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}} \end{pmatrix}</math> :より ::<math>\{\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})\}_x=\frac{\partial}{\partial{y}}\left(\frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}}\right)-\frac{\partial}{\partial{z}}\left(\frac{\partial{a_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}}\right)</math> ::<math>=\frac{\partial^2{a_y}}{\partial{y}\partial{x}}-\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{y}^2}+\frac{\partial^2{a_z}}{\partial{z}\partial{x}}-\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{z}^2}</math> :<math>\boldsymbol{a}\in{C^2}</math>より偏微分は可換（シュワルツの定理）なので、<math>\{\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})-\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})\}_x</math>を計算すると ::<math>\left(\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2{a_y}}{\partial{x}\partial{y}}+\frac{\partial^2{a_z}}{\partial{x}\partial{z}}\right)-\left(\frac{\partial^2{a_y}}{\partial{x}\partial{y}}-\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{y}^2}+\frac{\partial^2{a_z}}{\partial{x}\partial{z}}-\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{z}^2}\right)</math> ::<math>=\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2{a_x}}{\partial {y}^2}+\frac{\partial^2{a_x}}{\partial{z}^2}</math> ::<math>=\text{∆}a_x</math>// ここから判るように、ベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>に対して<math>\text{∆}=\nabla(\nabla\cdot)</math>が成り立つ条件は<math>\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})=\boldsymbol{0}</math>である。<math>\boldsymbol{a}</math>が非回転ベクトル場であれば回転が零ベクトルなのでこの形を必ず満足する。但し、この形を満たすベクトル場が全て非回転的ベクトル場であるとは限らない。 則ち、外積の反復と同様に回転演算子<math>\nabla\times\,\,</math>の反復に対して結合法則は不成立である。 歴史的な四元数表記では発散の代わりに吸い込みが用いられていたことからラプラシアンも現在とは反対の符号で計算されていた。ラプラシアンはユークリッド空間に限らず定義可能であるが、その中でも特に重要なのは[[特殊相対論#マクスウェルの方程式|相対性理論]]で用いられる'''ダランベール演算子'''（ダランベルシアン、クアブラ、波動演算子）である。 :<math>\text{⧠}:=\frac{1}{\nu^2}\frac{\partial^2}{\partial{t^2}}-\text{∆}</math> これは標準座標系で表されるミンコフスキー空間上のラプラシアンに相当する。<math>\text{∆}</math>は上で扱ってきた通常のラプラシアンのことである。 これを用いると波動方程式は<math>\text{⧠}\psi=0</math>というミンコフスキー空間上のラプラス方程式と解釈される。つまり、波動関数はミンコフスキー空間で見れば調和関数なのである。 また、[[w:クライン=ゴルドン方程式]]と呼ばれる偏微分方程式は :<math>\text{⧠}\psi=-\mu^2\psi</math> というミンコフスキー空間上のヘルツホルム方程式と解釈される。 ===微分定理=== ここでは、ナブラに関する公式を見ていく。以下、シュワルツの定理が成り立っているものとする。また、成分計算をすればいいだけなので証明は省略する。 既に紹介したものを以下に並べる。 #勾配 #:<math>\nabla(k\varphi+l\psi)=k\nabla\varphi+l\nabla\psi</math> #:<math>\nabla(\varphi\psi)=(\nabla\varphi)\psi+\varphi(\nabla\psi)</math>（ #:<math>\nabla\left(\frac{\varphi}{\psi}\right)=\frac{(\nabla\varphi)\psi-\varphi(\nabla\psi)}{\psi^2}</math> #:<math>\nabla(\varphi(\psi))=\frac{d\varphi(\psi)}{d\psi}\nabla\psi</math> #:<math>\frac{\partial{\varphi}}{\partial{\boldsymbol{e}}}=(\boldsymbol{e}\cdot\nabla)\varphi</math> #:<math>\frac{\partial{\boldsymbol{a}}}{\partial{\boldsymbol{v}}}=(\nabla\circledast\boldsymbol{a})\boldsymbol{v}=(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{a}</math> #発散 #:<math>\nabla\cdot(k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})=k\nabla\cdot\boldsymbol{a}+l\nabla\cdot\boldsymbol{b}</math> #:<math>\nabla\cdot(\varphi\boldsymbol{a})=(\nabla\varphi)\cdot\boldsymbol{a}+\varphi\nabla\cdot\boldsymbol{a}</math> #:<math>\nabla\cdot\boldsymbol{a}=\mathrm{tr}(\nabla\circledast\boldsymbol{a})</math> #回転 #:<math>\nabla\times(k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})=k\nabla\times\boldsymbol{a}+l\nabla\times\boldsymbol{b}</math> #:<math>\nabla\times(\varphi\boldsymbol{a})=(\nabla\varphi)\times\boldsymbol{a}+\varphi\nabla\times\boldsymbol{a}</math> #:<math>\nabla\times\boldsymbol{a} = 2 \,\mathrm{axl} \left( \frac{\nabla \circledast \boldsymbol{a} - {}^t \! (\nabla \circledast \boldsymbol{a})}{2} \right)</math> #ラプラシアン #:<math>\text{∆}\varphi=\nabla\cdot(\nabla\varphi)</math> #:<math>\text{∆}\boldsymbol{a}=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})-\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})</math> 二つのベクトル場<math>\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}</math>の内積・外積に対してそれぞれ一階の空間微分を考えてみる。 <math>\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}</math>はスカラー量なので勾配のみ考えられる。 :<math>\nabla(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})=(\nabla\circledast\boldsymbol{a})\boldsymbol{b}+(\nabla\circledast\boldsymbol{b})\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}\times(\nabla\times\boldsymbol{b})+\boldsymbol{b}\times(\nabla\times\boldsymbol{a})</math> <math>\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}</math>はベクトル量なので発散・回転のみ考えられる。 :<math>\nabla\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})=\boldsymbol{b}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{a})-\boldsymbol{a}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> :<math>\nabla\times(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})=(\nabla\circledast\boldsymbol{a})\boldsymbol{b}-(\nabla\circledast\boldsymbol{b})\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}(\nabla\cdot\boldsymbol{b})-\boldsymbol{b}(\nabla\cdot\boldsymbol{a})</math> 次に、一階の空間微分の結果に対して更なる一階の空間微分を考えてみる。 スカラー場の勾配はベクトル量なので発散・回転のみ考えられる。 :<math>\nabla\cdot(\nabla\varphi)=\text{∆}\varphi</math> :<math>\nabla\times(\nabla\varphi)=\boldsymbol{0}</math> ベクトル場の発散はスカラー量なので勾配のみ考えられる。 :<math>\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})=\text{∆}\boldsymbol{a}+\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})</math> ベクトル場の回転はベクトル量なので発散・回転のみ考えられる。 :<math>\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{a})=0</math> :<math>\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{a})=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{a})-\text{∆}\boldsymbol{a}</math> 則ち、勾配・発散・回転はどの組み合わせでも交換法則が成り立たない。 一階の空間微分の結果に対してラプラシアンを考えてみる。 :<math>\text{∆}(\nabla\varphi)=\nabla(\text{∆}\varphi)</math> :<math>\text{∆}(\nabla\cdot\boldsymbol{a})=\nabla\cdot(\text{∆}\boldsymbol{a})</math> :<math>\text{∆}(\nabla\times\boldsymbol{a})=\nabla\times(\text{∆}\boldsymbol{a})</math> ラプラシアンはスカラー性・ベクトル性を保存するので、演算が破綻する箇所はない。 則ち、ラプラシアンは勾配・発散・回転との組み合わせに対して交換法則が成り立つ。 :<math>\text{∆}\nabla=\nabla\text{∆},\quad\text{∆}(\nabla\cdot)=(\nabla\cdot)\text{∆},\quad\text{∆}(\nabla\times)=(\nabla\times)\text{∆}</math> <math>\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}</math>及び<math>\nabla\times\boldsymbol{a}</math>の発散・回転は三重積の形であった。 スカラー三重積・ベクトル三重積にナブラを様々な組み合わせで入れてその結果がどうなるか見ていく。 :<math>\boldsymbol{a}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> :<math>\boldsymbol{a}\times(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> はそのまま計算すればいいので公式化する必要が無い。 :<math>\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\times\nabla)</math> :<math>\boldsymbol{a}\times(\boldsymbol{b}\times\nabla)</math> :<math>\nabla\cdot(\boldsymbol{a}\times\nabla)</math> :<math>\nabla\times(\boldsymbol{a}\times\nabla)</math> は偏微分作用素の対象を後接してないので通常の演算としては扱えない。 :<math>\boldsymbol{a}\cdot(\nabla\times\nabla)</math> :<math>\boldsymbol{a}\times(\nabla\times\nabla)</math> :<math>\nabla\cdot(\nabla\times\nabla)</math> :<math>\nabla\times(\nabla\times\nabla)</math> は同じものの外積をとってるので当然<math>0, \boldsymbol{0}</math>である。<br> また、三重積の公式はナブラを代入した時点で破綻する。 次に、スカラー四重積・ベクトル四重積に対しても同様のことを考える。 :<math>(\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})</math> :<math>(\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot(\nabla\times\boldsymbol{c})</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times(\nabla\times\boldsymbol{c})</math> :<math>(\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> :<math>(\nabla\times\boldsymbol{a})\times(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> はそのまま計算すれば良いので公式化する必要が無い。 :<math>(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{c}\times\nabla)</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times(\boldsymbol{c}\times\nabla)</math> :<math>(\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{b}\times\nabla)</math> :<math>(\nabla\times\boldsymbol{a})\times(\boldsymbol{b}\times\nabla)</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\cdot(\boldsymbol{b}\times\nabla)</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\times(\boldsymbol{b}\times\nabla)</math> は偏微分作用素の対象を後接してないので通常の演算としては扱えない。 :<math>(\nabla\times\nabla)\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})</math> :<math>(\nabla\times\nabla)\times(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot(\nabla\times\nabla)</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times(\nabla\times\nabla)</math> 及びナブラを三個以上含むものは同じものの外積をとってるので当然<math>0, \boldsymbol{0}</math>である。 故に、ここで問題になるのは :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\cdot(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\times(\nabla\times\boldsymbol{b})</math> の扱いである。 これらには以下の公式が成り立つ。 :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}\cdot\{\nabla\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\}</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})=[\{\boldsymbol{b}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{c})\}-\{\boldsymbol{c}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{b})\}]\boldsymbol{a}+{}^t\!\{\nabla\circledast(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\}\boldsymbol{a}</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\cdot(\nabla\times\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}\cdot\{\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{b})\}</math> :<math>(\boldsymbol{a}\times\nabla)\times(\nabla\times\boldsymbol{b})={}^t\!\{\nabla\circledast(\nabla\times\boldsymbol{b})\}\boldsymbol{a}</math> ===ポテンシャル論=== ベクトル場<math>\boldsymbol{a}\in C^1</math>に対して<math>\boldsymbol{a}=\mathrm{grad}\,\varphi</math>を満たすスカラー場<math>\varphi\in C^2</math>が存在するならば、上で扱った公式より<math>\mathrm{rot}(\mathrm{grad}\,\varphi)=\boldsymbol{0}</math>である。 逆に、ベクトル場<math>\boldsymbol{a}\in C^1</math>が<math>\mathrm{rot}\,\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}</math>を満たすならば<math>\boldsymbol{a}=\mathrm{grad}\,\varphi</math>となるスカラー場<math>\varphi\in C^2</math>はどのようなときに存在するのであろうか？ ここで<math>\mathrm{rot}\,\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}</math>は成分表示すれば :<math>\begin{cases} \frac{\partial{a}_z}{\partial{y}}-\frac{\partial{a_y}}{\partial{z}}=0 \\ \frac{\partial{a}_x}{\partial{z}}-\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}}=0 \\ \frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}}=0 \end{cases}</math> という一階線型連立偏微分方程式となる。 この連立偏微分方程式は領域<math>D=\mathrm{dom}\,\boldsymbol{a}</math>上で解くことになるので、解が<math>\boldsymbol{a}=\mathrm{grad}\,\varphi</math>を満たすかは領域<math>D</math>がどのような形状をしているかに依存する。 そして、その形状を具体的に与えるのが次の定理である。 {{定理|(ポアンカレの補題1)}} 領域<math>D\subset\mathbb{R}^3</math>とベクトル場<math>\boldsymbol{a}\in C^1(D)</math>に対して :<math>\mathrm{rot}\,\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0} \iff \exist \varphi\in C^2(D),\quad \mathrm{grad}\,\varphi=\boldsymbol{a} </math> となるための十分条件は<math>D</math>が単連結であることである。 {{定理終わり}} 証明は後述する。 この<math>\varphi</math>を<math>\boldsymbol{a}</math>の'''スカラーポテンシャル'''（scalar potential）といい、スカラーポテンシャルを有するベクトル場を'''保存的ベクトル場'''（保存場、conservative vector field）という。 保存的ベクトル場に対して実際にスカラーポテンシャルを構成することを考える。簡単の為に、定義域は直方体領域（あるいは三次元ユークリッド空間全体）とする。 :<math>\mathrm{grad}\,\varphi=\boldsymbol{a},\quad\mathrm{rot}\,\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}</math>を連立偏微分方程式に書き下して ::<math>\begin{cases} \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}=a_x \\ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}=a_y \\ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}}=a_z \end{cases},\quad\begin{cases} \frac{\partial{a}_z}{\partial{y}}=\frac{\partial{a_y}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{a}_x}{\partial{z}}=\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}=\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}} \end{cases}</math> :<math>\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}=a_x(x,y,z)</math>は直接積分形偏微分方程式なので両辺を<math>x</math>で偏積分して ::<math>\varphi(x,y,z)=\int_m^x a_x(x,y,z) dx+g(y,z)</math>・・・(1) :これを<math>y</math>で偏微分すると ::<math>\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}=\frac{\partial}{\partial{y}}\int_m^x a_x(x,y,z)dx+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}</math> :ここでライプニッツの積分法則を適用して ::<math>=\int_m^x \frac{\partial{a_x}}{\partial{y}}dx+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}</math> :更に回転の条件から ::<math>=\int_m^x \frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}dx+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}</math> :よって偏微分に関する微分積分学の基本定理より ::<math>=a_y(x,y,z)-a_y(m,y,z)+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}</math> :これが<math>a_y(x,y,z)</math>に等しいので ::<math>\frac{\partial{g}}{\partial{y}}=a_y(m,y,z)</math> :これは<math>g(y, z)</math>が<math>x</math>の関数でないことに適する。 :両辺を<math>y</math>で偏積分して ::<math>g(y, z)=\int_n^y a_y(m,y,z)dy+h(z)</math> :これを(1)に代入して ::<math>\varphi(x,y,z)=\int_m^x a_x(x,y,z)dx+\int_n^y a_y(m,y,z)dy+h(z)</math>・・・(2) :これを<math>z</math>で偏微分すると ::<math>\frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}}=\frac{\partial}{\partial{z}}\left(\int_m^x a_x(x,y,z)dx+\int_n^y a_y(m,y,z)dy\right)+\frac{\partial{h}}{\partial{z}}</math> :ここでライプニッツの積分法則を適用して ::<math>=\left(\int_m^x\frac{\partial{a_x(x,y,z)}}{\partial{z}}dx+\int_n^y\frac{\partial{a_y(m,y,z)}}{\partial{z}}dy\right)+\frac{dh}{dz}</math> :更に回転の条件から ::<math>=\left(\int_m^x\frac{\partial{a_z(x,y,z)}}{\partial{x}}dx+\int_n^y\frac{\partial{a_z(m,y,z)}}{\partial{y}}dy\right)+\frac{dh}{dz}</math> :よって偏微分に関する微分積分学の基本定理より ::<math>=a_z(x,y,z)-a_z(m,y,z)+a_z(m,y,z)-a_z(m,n,z)+\frac{dh}{dz}</math> ::<math>=a_z(x,y,z)-a_z(m,n,z)+\frac{dh}{dz}</math> :これが<math>a_z(x,y,z)</math>に等しいので ::<math>\frac{dh}{dz}=a_z(m,n,z)</math> :これは<math>h(z)</math>が<math>x, y</math>の関数でないことに適する。 :両辺を<math>z</math>で常積分して ::<math>h(z)=\int_l^z a_z(m,n,z)dz+C</math> :これを(2)に代入して ::<math>\varphi(x,y,z)=\int_m^x a_x(x,y,z)dx+\int_n^y a_y(m,y,z)dy+\int_l^z a_z(m,n,z)dz+C</math>// ここで最後の積分定数<math>C</math>は勾配をとるときに消える。更に言うと、単連結領域では偏微分方程式の解の一意性よりスカラーポテンシャルは積分定数の違いを除いて一意に定まる。よって、スカラーポテンシャルは平行移動を同一視する同値類として与えられることになる。 ベクトル場<math>\boldsymbol{a}\in C^1</math>に対して<math>\boldsymbol{a}=\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}</math>を満たすベクトル場<math>\boldsymbol{A}\in C^2</math>が存在するならば、上で扱った公式より<math>\mathrm{div}(\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A})=0</math>である。 逆に、ベクトル場<math>\boldsymbol{a}\in C^1</math>が<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{a}=0</math>を満たすならば<math>\boldsymbol{a}=\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}</math>となるスカラー場<math>\boldsymbol{A}\in C^2</math>はどのようなときに存在するのであろうか？ これも同様に以下の定理で与えられる。 {{定理|(ポアンカレの補題2)}} 領域<math>D\subset\mathbb{R}^3</math>とベクトル場<math>\boldsymbol{a}\in C^1(D)</math>に対して :<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{a}=0 \iff \exist \boldsymbol{A}\in C^2(D),\quad \mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}=\boldsymbol{a} </math> となるための十分条件は<math>D</math>が'''可縮'''であることである。 {{定理終わり}} 証明は後述する。 ここで、集合が可縮とは「全体を1点に退化するような連続変形が可能である」ことを言う。可縮な集合は単連結である。可縮条件はより弱めることができるが、ホモトピーやコホモロジーの概念が必要である この<math>\varphi</math>を<math>\boldsymbol{a}</math>の'''ベクトルポテンシャル'''（vector potential）という。スカラーポテンシャルと異なり、「ベクトルポテンシャルを有するベクトル場」を指す特別な呼称は（数学界一般に認知されたものとしては）存在しない。「ソレノイダル場」などを用いる派閥もあるが、単に「発散が0であるベクトル場」を指す用法が強いのであまり広まっていない。 ベクトルポテンシャルを有するベクトル場に対して実際にベクトルポテンシャルを構成することを考える。簡単の為に、定義域は直方体領域（あるいは三次元ユークリッド空間全体）とする。 :<math>\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}=\boldsymbol{a},\quad\mathrm{div}\,\boldsymbol{a}=0</math>を連立偏微分方程式に書き下して ::<math>\begin{cases} \frac{\partial{A}_z}{\partial{y}}-\frac{\partial{A_y}}{\partial{z}}=a_x \\ \frac{\partial{A}_x}{\partial{z}}-\frac{\partial{A_z}}{\partial{x}}=a_y \\ \frac{\partial{A_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{A_x}}{\partial{y}}=a_z \end{cases},\quad \frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{a_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}} =0</math> :第一式より ::<math>\frac{\partial{A_z}}{\partial{y}}=a_x+\frac{\partial{A_y}}{\partial{z}}</math> :<math>y</math>で偏積分して ::<math>A_z = \int_n^y \left(a_x+\frac{\partial{A_y}}{\partial{z}}\right)dy+f(x,z)</math> :ライプニッツの積分法則より ::<math>=\int_n^y a_xdy + \frac{\partial}{\partial{z}}\int_n^y A_y dy+f(x,z)</math>・・・(3) :第三式より ::<math>\frac{\partial{A_x}}{\partial{y}}=\frac{\partial{A_y}}{\partial{x}}-a_z</math> :<math>y</math>で偏積分して ::<math>A_x=\int_n^y \left(\frac{\partial{A_y}}{\partial{x}}-a_z\right)dy+g(x, z)</math> :ライプニッツの積分法則より ::<math>=\frac{\partial{}}{\partial{x}}\int_n^y A_y dy - \int_n^y a_zdy+g(x,z)</math> :これと(3)を第二式に代入して ::<math>a_y=\frac{\partial}{\partial{z}}\left(\frac{\partial{}}{\partial{x}}\int_n^y A_y dy - \int_n^y a_zdy+g(x,z)\right)-\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\int_n^y a_xdy + \frac{\partial}{\partial{z}}\int_n^y A_y dy+f(x,z)\right)</math> ::<math>=\frac{\partial^2}{\partial{z}\partial{x}}\int_n^yA_ydy-\frac{\partial}{\partial{z}}\int_n^y a_z dy+\frac{\partial{g}}{\partial{z}}-\frac{\partial}{\partial{x}}\int_n^y a_x dy-\frac{\partial^2}{\partial{x}\partial{z}}\int_n^y A_y dy-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}</math> ::<math>=\frac{\partial{g}}{\partial{z}}-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}-\int_n^y \left(\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}+\frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}\right)dy</math> :よって ::<math>\frac{\partial{g}}{\partial{z}}-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=a_y+\int_n^y \left(\frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}\right) dy</math>・・・(4) :この右辺を<math>h(x, y, z)</math>とおくと ::<math>\frac{\partial{h}}{\partial{y}}=\frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{a_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}=0</math> :なので<math>h(x,y,z)</math>は<math>y</math>に依存しない<math>h(x,z)</math>である。 :これは(4)の左辺が<math>y</math>に依存しないことと整合する。 :故に(4)は ::<math>\frac{\partial{g}}{\partial{z}}-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=h(x,z)</math> :という二変数の偏微分方程式に落ちる。 :この偏微分方程式は例えば<math>f(x,z)=0, g(x,z)=\int_l^z h(x,z)dz</math>のような特殊解を持つ。 :このような特殊解によって構成された元の方程式の解を<math>\boldsymbol{A}_0</math>とする。 :一般解<math>\boldsymbol{A}</math>と特殊解との差を<math>\boldsymbol{B}</math>と置くとその回転は回転の線型性より<math>\boldsymbol{0}</math>なので ::<math>\begin{cases} \frac{\partial{B}_z}{\partial{y}}=\frac{\partial{B_y}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{B}_x}{\partial{z}}=\frac{\partial{B_z}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{B_y}}{\partial{x}}=\frac{\partial{B_x}}{\partial{y}} \end{cases}</math> :同様にして第一式・第三式を<math>y</math>で偏積分して第二式に代入すると積分定数に関して ::<math>\frac{\partial{F(x,z)}}{\partial{x}}=\frac{\partial{G(x,z)}}{\partial{z}}</math> :を得る。 :これは全微分方程式が完全微分方程式である条件なので、 ::<math>\mathrm{grad}\,\Phi=\begin{pmatrix} F(x,z) \\ G(x,z) \end{pmatrix}</math> :なるスカラー場<math>\Phi</math>が存在する。 :則ち、求めるベクトルポテンシャルは<math>\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}_0+\nabla\Phi</math>// ここで勾配の項は回転をとるときに<math>\mathrm{rot}(\mathrm{grad}\,\Phi)=\boldsymbol{0}</math>より消える。スカラーポテンシャルと同様に自由度が残るので、ベクトルポテンシャルはその自由度を無視した同値類で与えられる。 ポアンカレの補題1, 2に於ける領域<math>D</math>は互いに素ではない複数の領域の和集合<math>\bigcup_i D_i</math>であっても良い。但しポテンシャル場<math>\mathrm{p}</math>は各領域<math>D_i</math>に対して区分的に定義され、このとき互いに重なった領域<math>D_i\cap D_j</math>では任意の点<math>\boldsymbol{x}\in D_i\cap D_j</math>に対して<math>\mathrm{p}_i(\boldsymbol{x})=\mathrm{p}_j(\boldsymbol{x})</math>であることが導かれる。 ポアンカレの補題が成り立たない状況を考えると、この「重なった領域での単射性」が崩れる。則ち、ポテンシャル場は多価関数として振舞うのである。 ポテンシャルに関連した定理として、以下が成り立つ。 {{定理|(ヘルツホルムの定理・ベクトル解析の基本定理)}} ポアンカレの補題が成り立つ状況下に於いて、<math>C^1</math>級ベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>は<math>C^2</math>級スカラー場の勾配と<math>C^2</math>級ベクトル場の回転に[[w:直和分解]]（'''ヘルツホルム分解'''）できる。 則ち、任意の<math>\boldsymbol{a}\in C^1(D)</math>に対して :<math>\boldsymbol{a}=\mathrm{grad}\,\varphi-\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}</math> を満たす<math>\varphi, \boldsymbol{A}\in C^2(D)</math>が存在する。 {{定理終わり}} *証明 :ポアソン方程式<math>\text{∆}\varphi=f</math>に対してラプラシアンの定義から ::<math>\mathrm{div}(\mathrm{grad}\,\varphi)=f</math> :ここで右辺のスカラー関数<math>f</math>が<math>\boldsymbol{a}</math>の発散で与えられている場合を考えると ::<math>\mathrm{div}(\mathrm{grad}\,\varphi)=\mathrm{div}\,\boldsymbol{a}</math> :発散の線型性より ::<math>\mathrm{div}(\mathrm{grad}\,\varphi-\boldsymbol{a})=0</math> :ここでポアンカレの補題2を用いて ::<math>\mathrm{grad}\,\varphi-\boldsymbol{a}=\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}</math>// この<math>\varphi, \boldsymbol{A}</math>をそれぞれ広義のスカラーポテンシャル・ベクトルポテンシャルと呼ぶ場合がある。 広義ポテンシャルに対して :<math>\begin{cases} \mathrm{rot}(\mathrm{grad}\,\varphi)=\boldsymbol{0} \\ \mathrm{div}(\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A})=0 \\ \mathrm{div}\,\boldsymbol{a}=\text{∆}\varphi \\ \mathrm{rot}\,\boldsymbol{a}=\mathrm{grad}(\mathrm{div}\,\boldsymbol{A})-\text{∆}\boldsymbol{A} \end{cases}</math> が成立する。 広義ポテンシャルの組み合わせは一つには定まらない。成分毎で考えるとヘルツホルムの定理は三元連立偏微分方程式を与えるが、勾配で消える定数項と回転で消える勾配項を補正すると右辺の自由度は広義ポテンシャル2つ+補正項2つで4である。そこで、応用上は<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{A}=0</math>という条件（'''クーロンゲージ条件'''）を追加で課して一意に定めることが多い（これにより<math>\mathrm{rot}\,\boldsymbol{a}=-\text{∆}\boldsymbol{A}</math>が成り立つので）。 例えば、[[連続体力学]]に於ける弾性体の運動方程式（ナビエ-コーシー方程式） :<math>\rho\frac{\partial^2{\boldsymbol{u}}}{\partial{t}^2}=(\lambda+\mu)\mathrm{grad}(\mathrm{div}\,\boldsymbol{u})+\mu\text{∆}\boldsymbol{u}</math> をヘルツホルム分解とクーロンゲージ条件により解析すると :<math>\begin{cases} \rho\frac{\partial^2}{\partial{t}^2}\text{∆}\varphi=(\lambda+2\mu)\text{∆}^2\varphi \\ \rho\frac{\partial^2}{\partial{t}^2}\text{∆}\boldsymbol{A}=\mu\text{∆}^2\boldsymbol{A} \end{cases}</math> を得る。 更に<math>e=\text{∆}\varphi,\quad\boldsymbol{\omega}=-\text{∆}\boldsymbol{A}</math>と置くとこの2つの式は波動方程式である。ここから導かれる波は前者が縦波で後者が横波であるが、<math>\lambda+2\mu>\mu</math>より前者の方が伝播速度が大きい。則ち、中学理科のP波・S波の性質を導くことができた。 ナビエ-コーシー方程式に於いて定常状態を考えると<math>t</math>-微分の項が0になるので、<math>\text{∆}^2\boldsymbol{u}=0</math>を得る。このような形の偏微分方程式を'''重調和偏微分方程式'''という。 *応用問題 *:真空のマクスウェル方程式<math> \begin{cases} \nabla\times\boldsymbol{E}&=-\frac{\partial{\boldsymbol{B}}}{\partial{t}}\\ \nabla\times\boldsymbol{H}&=\frac{\partial{\boldsymbol{D}}}{\partial{t}}\\ \nabla\cdot\boldsymbol{D}&=0\\ \nabla\cdot\boldsymbol{B}&=0\\ \end{cases}</math>と構成方程式<math>\begin{cases} \boldsymbol{D}=\varepsilon_0\boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{H}\end{cases}</math>から電磁波の波動方程式<math>\begin{cases} \text{∆}\boldsymbol{E}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\boldsymbol{E}}}{\partial{t}^2} \\ \text{∆}\boldsymbol{H}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\boldsymbol{H}}}{\partial{t}^2} \end{cases}</math>及び光速<math>c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}</math>を導け。 ==空間積分== ここでは三次元ユークリッド空間で考える。 ===線積分=== 偏積分 :<math>\int_a^b f(x,y) dx := \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k,y) \Delta x</math>（<math>\Delta x = \frac{b-a}{n}, x_k = a + k\Delta x</math>） は<math>xyz</math>空間を<math>y</math>を固定した平面で切った断面に於ける曲線<math>z=f(x, y)</math>と<math>x</math>軸、直線<math>x=a, x=b</math>の囲む符号付き面積であった。 このとき積分変数を各点で見ると<math>x</math>軸という直線上を<math>a\to b</math>と単調に進むことになるが、これを<math>xyz</math>空間の任意の曲線<math>C</math>に拡張することを考える。 三次元空間の曲線をベクトル表示すると :<math>\boldsymbol{r}(t)=\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}\quad t\in [\alpha, \beta]</math> であり、被積分関数はこの曲線上の点を入力とするスカラー場と考えられるので :<math>\varphi=\varphi(\boldsymbol{r})</math> 偏積分の<math>dx</math>は「<math>x</math>軸上の微小変位」であったが、<math>t</math>が単調なとき曲線に沿った微小変位は曲線上の移動距離、則ち弧長の微小量と考えられるので線素を用いて :<math>d\ell=\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math> これらを総合すると、<math>C</math>に沿った積分というものは曲線のパラメータを用いて :<math>\int_\alpha^\beta \varphi(\boldsymbol{r}(t))\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math> と表示されることになる。 これをスカラー場<math>\varphi</math>の<math>C</math>に沿った'''線積分'''^※（line integral）という。また、<math>C</math>を'''積分経路'''（積分路、path）という。 <small>※量子力学の[[量子力学#経路積分法|経路積分]]（path integral）とは異なる概念である。</small> スカラー場の線積分は :<math>\int_C \varphi d\ell</math> のように略記される。 特に積分経路が閉曲線（'''閉経路'''）である場合は :<math>\oint_C \varphi d\ell</math> のように書き、これを<math>C</math>に沿った'''周回/閉路 積分'''（closed line integral）という。 1の線積分<math>\int_C d\ell</math>は弧長に等しい。 <math>\varphi(\boldsymbol{r})</math>の<math>C</math>の端点に於ける値の差を考える。 <math>t\in[\alpha,\beta]</math>を各<math>t_i</math>に等分割したとき、スカラー関数のテイラー展開より :<math>\varphi(\boldsymbol{r}(t_i))-\varphi(\boldsymbol{r}(t_{i-1}))=\nabla\varphi(\boldsymbol{r}_{t_i-1})\cdot d\boldsymbol{r}\big|_{t=t_i}+O\left(\left\|d\boldsymbol{r}\big|_{t=t_i}\right\|\right)</math> なので :<math>\varphi(\boldsymbol{r}(\beta))-\varphi(\boldsymbol{r}(\alpha))\fallingdotseq \sum_{i=1}^n \nabla\varphi(\boldsymbol{r}(t_{i-1}))\cdot d\boldsymbol{r}\big|_{t=t_i}</math> 右辺で分割数<math>n</math>を無限大に飛ばした極限は区分求積法より :<math>\int_{\boldsymbol{r}(\alpha)}^{\boldsymbol{r}(\beta)}\nabla\varphi(\boldsymbol{r})\cdot d\boldsymbol{r}</math> 則ち、曲線<math>C</math>に沿った微分積分学の基本定理 :<math>\int_{\boldsymbol{r}(\alpha)}^{\boldsymbol{r}(\beta)}\nabla\varphi(\boldsymbol{r})\cdot d\boldsymbol{r} = \varphi(\boldsymbol{r}(\beta))-\varphi(\boldsymbol{r}(\alpha))</math> を得る。 これは一変数積分の<math>\int_a^b \frac{df}{dx}dx=f(b)-f(a)</math>に対応し、これは常積分に関する微分積分学の基本定理の別表現である。 左辺をスカラー場の線積分と同様に<math>\int_C \nabla\varphi\cdot d\boldsymbol{r}</math>と書くことにする。 ここで<math>\nabla\varphi</math>を一般のベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>に拡張して同様に :<math>\int_C \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{r}</math> を考えてみたい。 ここで<math>d\boldsymbol{r}</math>は<math>\boldsymbol{r}</math>の全微分と解釈され、一変数関数なので :<math>d\boldsymbol{r}=\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt</math> 則ち、 :<math>\int_C \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{r}=\int_\alpha^\beta \boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt</math> という曲線のパラメータに関する積分に帰着された。 これをベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>の<math>C</math>に沿った'''線積分'''という。 <math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}</math>は<math>C</math>の接線なので<math>\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}</math>は<math>\boldsymbol{a}</math>から<math>C</math>の接線に沿う沿流成分を取り出していることになる。 このことから、ベクトル場の線積分を特に'''接線積分'''（integral of tangential component）ということがある。 また、<math>d\boldsymbol{r}</math>のノルムを考えてみると :<math>\|d\boldsymbol{r}\|=\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|dt=d\ell</math> より線素に一致する。 このことから、<math>d\boldsymbol{r}</math>を'''線素ベクトル'''と呼び、<math>d\boldsymbol{\ell}</math>とも書く。 線素ベクトルは曲線上の微小変位を表すので座標軸上の微小変位の重ね合わせと考えれば :<math>d\boldsymbol{\ell}=\begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}</math> よって接線積分は形式的に :<math>\int_C (a_xdx+a_ydy+a_zdz)</math> とも書かれる。 更に、弧長パラメトライズされている場合は接ベクトルを用いて :<math>d\boldsymbol{\ell}=\boldsymbol{t}ds</math> とも表せる。 接線積分で定義される概念としては、仕事が有名である。 :物体を経路<math>C</math>に沿って力<math>\boldsymbol{F}</math>で運んだときの仕事は摩擦や空気抵抗を無視すると ::<math>W=\int_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}</math> また、アンペールの法則も線積分で示される。 :閉経路<math>C</math>で囲まれた領域を貫く電流の大きさ<math>I</math>とその電流が生む磁場<math>\boldsymbol{H}</math>に対して ::<math>\oint_C \boldsymbol{H}\cdot d\boldsymbol{\ell}=I</math> 更に、以下のような概念も定義されている。 :流体の速度場<math>\boldsymbol{v}</math>の循環は ::<math>\Gamma(C)=\oint_C \boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{\ell}</math> *応用問題 **運ばれる物体の質量を<math>m</math>としたとき、仕事の定義とニュートンの運動方程式<math>m\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2}=\boldsymbol{F}</math>を用いて運動エネルギーに関するエネルギーの原理<math>W=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2</math>を証明せよ。 <math>C</math>が正の向きにパラメトライズされたとき、負の向きにパラメトライズされた曲線を<math>-C</math>と表した。 2つの閉曲線<math>C_1</math>の終点と<math>C_2</math>の始点が一致するとき、これを一つの曲線と見做して曲線の和 :<math>C_1+C_2</math> が定義される。 これを'''区分的に定義された曲線'''という。 2つの閉曲線<math>C_1</math>の終点と<math>C_2</math>の終点が一致するとき、<math>C_1</math>を始点とすると曲線の差は :<math>C_1-C_2=C_1+(-C_2)</math> で定義される。 <math>C</math>が'''区分的に滑らか'''であるとは、<math>C</math>が有限個の滑らかな曲線の和であることである。 これらを踏まえると、線積分には以下の性質が成り立つ。 #スカラー場 #:<math>\int_C (k\varphi+l\psi) d\ell=k\int_C \varphi d\ell + l \int_C \psi d\ell</math> #:<math>\int_{-C}\varphi d\ell = \int_C \varphi d\ell</math> #:<math>\int_{C_1+C_2}\varphi d\ell = \int_{C_1}\varphi d\ell + \int_{C_2}\varphi d\ell</math> #ベクトル場 #:<math>\int_C (k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})\cdot d\boldsymbol{\ell}=k\int_C \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}+l\int_C \boldsymbol{b}\cdot d\boldsymbol{\ell}</math> #:<math>\int_{-C}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell} = -\int_C \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}</math> #:<math>\int_{C_1+C_2}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \int_{C_1}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell} + \int_{C_2}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}</math> 1番目の性質は線型性である。2番目の性質から、スカラー場の線積分に関しては任意の'''再パラメトライズ'''（パラメータの可逆な変数変換）、ベクトル場の線積分に関しては向き付けを保つ再パラメトライズに対して線積分の値が保存されることが判る。 保存的ベクトル場に対する線積分<math>\int_C \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}</math>はスカラーポテンシャル<math>\varphi</math>を用いて<math>\int_C \nabla\varphi\cdot d\boldsymbol{\ell}</math>と書けるので微分積分学の基本定理より<math>\varphi(\boldsymbol{r}(\beta))-\varphi(\boldsymbol{r}(\alpha))</math>に等しい。 ここで<math>\varphi(\boldsymbol{r}(\beta))-\varphi(\boldsymbol{r}(\alpha))</math>は曲線の端点にのみ依存し形状には依存しない。 そのため、'''線積分の値が積分経路に依存しない必要十分条件はベクトル場が保存的であること'''である。 ここで閉曲線である場合を考えると :<math>\boldsymbol{r}(\alpha)=\boldsymbol{r}(\beta)</math> より :<math>\varphi(\boldsymbol{r}(\alpha))=\varphi(\boldsymbol{r}(\beta))</math> なので :<math>\oint_C \nabla\varphi\cdot d\boldsymbol{\ell}=0</math> である。 逆に言うと、'''周回積分が0でない閉経路をとれるとき<math>\varphi</math>は<math>\boldsymbol{a}</math>のスカラーポテンシャルではない'''。 この事実は偏微分方程式を解いて求めたスカラーポテンシャルが実際にポテンシャルであるかどうかの確認に用いられる。 なお、先程求めたスカラーポテンシャルの一般式 :<math>\varphi(x,y,z)=\int_m^x a_x(x,y,z)dx+\int_n^y a_y(m,y,z)dy+\int_l^z a_z(m,n,z)dz+C</math> は線積分で表される。 具体的には、積分経路を<math>\gamma:(m,n,l)\to(m,n,z)\to(m,y,z)\to(x,y,z)</math>という3つの線分の和としてとれば :<math>\varphi=\int_\gamma \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}+C</math> である。 ここでスカラーポテンシャルとは勾配方程式 :<math>\nabla\varphi=\boldsymbol{a}</math> の解だったので、'''線積分と勾配は逆演算'''である。 <math>\nabla\varphi\cdot d\boldsymbol{\ell}=d\varphi</math>より、スカラーポテンシャルの存在と完全微分方程式の対応がここからも得られる。また、完全微分方程式<math>d\varphi=0</math>の解は曲線を与えることも容易に判る。 仕事が線積分で定義されるという話をしたが、エネルギーの原理より力場がスカラーポテンシャルを有する（保存場）場合はエネルギー変化が移動経路に依存しないので力学的エネルギー保存法則が成り立つ。これが高校物理で扱った「保存力なら力学エネルギーが保存する」ことの正式な表現である。 ベクトル場の線積分はベクトル場と線素ベクトルの内積をとって積分していたが、外積をとって積分することもできる。 具体的には、 :<math>\boldsymbol{a}\times d\boldsymbol{\ell}=\begin{pmatrix} a_ydz-a_zdy \\ a_zdx-a_xdz \\ a_xdy-a_ydx \end{pmatrix}</math> より :<math>\int_C \boldsymbol{a}\times d\boldsymbol{\ell}=\begin{pmatrix} \int_C (a_ydz-a_zdy) \\ \int_C (a_zdx-a_xdz) \\ \int_C (a_xdy-a_ydx) \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} \int_\alpha^\beta \left\{ a_y(\boldsymbol{r}(t))\frac{dz}{dt}-a_z(\boldsymbol{r}(t))\frac{dy}{dt} \right\}dt \\ \int_\alpha^\beta \left\{ a_z(\boldsymbol{r}(t))\frac{dx}{dt}-a_x(\boldsymbol{r}(t))\frac{dz}{dt} \right\}dt \\ \int_\alpha^\beta \left\{ a_x(\boldsymbol{r}(t))\frac{dy}{dt}-a_y(\boldsymbol{r}(t))\frac{dx}{dt} \right\}dt \end{pmatrix}</math> これは物理学的にはビオ・サヴァールの法則の記述に用いられている。 :真空中で経路<math>C</math>を正の向きに流れる強さ<math>I</math>の定常電流・<math>C</math>上にない点<math>\mathrm{P}</math>・<math>C</math>上の点<math>\mathrm{Q}</math>に対し、<math>C</math>全体で生じる磁束密度<math>\boldsymbol{B}</math>の<math>\mathrm{P}</math>での値は真空の透磁率<math>\mu_0</math>として ::<math>\boldsymbol{B}(\mathrm{P})=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_C \frac{\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\times d\boldsymbol{\ell}}{\|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\|^3}</math> 応用例は乏しいが、スカラー場の線素ベクトルに関する積分、ベクトル場の線素に関する積分も同様に定義される。 :<math>\int_C \varphi d\boldsymbol{\ell} = \int_\alpha^\beta \varphi(\boldsymbol{r}(t))\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt</math> :<math>\int_C \boldsymbol{a} d\ell = \int_\alpha^\beta \boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|dt</math> これらはベクトル値である。 積分経路を流線上にとると、流線の定義から<math>d\boldsymbol{r}/\!\!/\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})</math>則ち一次従属なので、<math>d\boldsymbol{r}=k\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})</math>と書ける。 よって線積分の被積分関数は<math>\boldsymbol{a} \cdot d\boldsymbol{r} = k\|\boldsymbol{a}\|^2</math>となり、積分値が最大化される他、ベクトル場の沿流方向成分を抽出できる。実際に計算する際は、<math>\int_{\mathrm{streamline}} k\|\boldsymbol{a}\|^2</math>とは書かず、<math>\int_{\mathrm{streamline}} \boldsymbol{a} \cdot \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt</math>と書くのが望ましい（積分記号と積分微小要素はセットのため）。 流線が閉曲線である場合を考えると、<math>\oint_{\mathrm{streamline}} \boldsymbol{a} \cdot \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt</math>は閉曲線の正の向きで正、負の向きで負となるので0にはならない。そのため、流線が閉曲線であるベクトル場はスカラーポテンシャルを持たない。 ===面積分=== 線積分は常積分に於ける積分経路を任意の正則な<math>C^1</math>級曲線に拡張したものであった。同様に、二重積分に於ける積分領域を'''向き付けされた'''任意の<math>C^1</math>級曲面に拡張することを考える。 曲線に沿った微小量が線素で与えられたように、曲面に沿った微小量は面素で与えられる。故に、直観的には「面素に関して積分」すれば良いことが分かる。 三次元空間の曲面をベクトル表示すると :<math>\boldsymbol{r}(t, u)=\begin{pmatrix} x(t, u) \\ y(t, u) \\ z(t, u) \end{pmatrix}\quad {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} t \\[-6pt] u \end{array}\right)} \in D</math> であり、被積分関数はこの曲面上の点を入力とするスカラー場と考えられるので :<math>\varphi=\varphi(\boldsymbol{r})</math> 面素は :<math>dS=\sqrt{EG-F^2}dtdu=\sqrt{\left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \right\|^2\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2 - \left( \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \right)^2 } dtdu</math> 総合すると、<math>S</math>に沿った積分というものは曲面のパラメータを用いて :<math>\iint_D \varphi(\boldsymbol{r}(t,u))\sqrt{\left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \right\|^2\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2 - \left( \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \right)^2 } dtdu</math> と表示されることになる。 これをスカラー場<math>\varphi</math>の<math>S</math>に沿った'''面積分'''（曲面積分、surface integral）という。 今は三次元空間の場合を考えているので、外積を用いて :<math>\iint_D \varphi(\boldsymbol{r}(t,u))\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\times\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\| dtdu</math> と表示しても良い。 スカラー場の面積分は :<math>\iint_S \varphi dS</math> のように略記される。 特に積分領域が閉曲面である場合は :<math>\oiint_S \varphi dS</math> のように書く。 1の面積分<math>\iint_S dS</math>は曲面積に等しい。 ベクトル場の線積分と同様にしてベクトル場の面積分 :<math>\iint_S \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> を考えたい。 線素ベクトルが「位置ベクトルの接線方向」で「ノルムが通常の線素と一致する」ように定義されたことを鑑みると、面素ベクトルは「位置ベクトルの法線方向」で「ノルムが通常の面素に一致する」ように定義するのが良いと考えられる。要するに、 :<math>d\boldsymbol{S}:=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\times\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math> としてみる。 ここで単位法線ベクトルを<math>\boldsymbol{n}</math>と置くと面素ベクトルは<math>\boldsymbol{n}dS</math>と表され、 :<math>\iint_S \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}=\iint_S (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n})dS</math> のようにスカラー場の面積分に帰着されることが判る。 これをベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>の<math>S</math>に沿った'''面積分'''という。 <math>\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n}</math>は<math>\boldsymbol{a}</math>から<math>S</math>の法線を横切る沿流成分を取り出していることになる。 このことから、ベクトル場の面積分を特に'''法線面積分'''（surface integral of the normal component）ということがある。 単位法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}</math>は有向曲面に対して右手系を成し、各座標軸となす角度をそれぞれ<math>\alpha, \beta, \gamma</math>とすると通常の余弦関数で表されるベクトル<math>\begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \cos \beta \\ \cos \gamma \end{pmatrix}</math>に等しい。これを'''方向余弦'''という。 方向余弦に関して、正射影を用いると以下が成り立つと判る。 :<math>\begin{cases} \cos\alpha dS = dydz \\ \cos\beta dS = dzdx \\ \cos\gamma dS = dxdy \end{cases}</math> これを用いることで、面素ベクトルは :<math>d\boldsymbol{S} = \boldsymbol{e}_x dydz + \boldsymbol{e}_y dzdx + \boldsymbol{e}_z dxdy = \begin{pmatrix} dydz \\ dzdx \\ dxdy \end{pmatrix}</math> とも表される。 故に、法線面積分は形式的に :<math>\iint_S(a_xdydz+a_ydzdx+a_zdxdy)</math> とも書ける。 線積分と同様にベクトル場と面素ベクトルの外積、面素ベクトルのスカラー場倍、ベクトル場の面素倍をとって積分することも考えられるが、応用例に乏しい。 :<math>\iint_S \boldsymbol{a}\times d\boldsymbol{S}</math> :<math>\iint_S \varphi d\boldsymbol{S}</math> :<math>\iint_S \boldsymbol{a} dS</math> これらはベクトル値である。 面素ベクトルは以下のように考えることもできる。 :平面<math>\Pi</math>上面積<math>A</math>の有界領域と<math>\Pi</math>の表向き法線<math>\boldsymbol{n}_\Pi</math>に対し、<math>\boldsymbol{A}=A\boldsymbol{n}_\Pi</math>を'''面積ベクトル'''と定義する。 :曲面<math>S</math>上の微小領域をとると曲面をその接平面で近似できるので平面上と同様にして面積ベクトルを定義できる。 :このとき、<math>A=dS</math>となるように定義した面積ベクトルが面素ベクトルである。 この考え方を用いると、 :<math>\oint_C d\boldsymbol{\ell}=\boldsymbol{0}</math> 及び :<math>\oiint_S d\boldsymbol{S}=\boldsymbol{0}</math> が示される。 面積分で定義される概念としては'''束'''^※（flux）が有名である。 :流体の速度場<math>\boldsymbol{v}</math>に対し、<math>\iint_S \boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{S}</math>は流束（単位時間当たりに<math>S</math>を通過する流体の流出量）である。 :磁束密度<math>\boldsymbol{B}</math>に対し、<math>\Phi_B=\iint_S \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}</math>は磁束である。 また、ガウスの法則も面積分で示される。 :ガウス面<math>S</math>が囲む電荷の総量を<math>q_\mathrm{inc}</math>とすると電束密度<math>\boldsymbol{D}</math>に対して ::<math>\oiint_S \boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{S}=q_\mathrm{inc}</math> <small>※数学界・物理界で「束」と呼ばれる対象は複数存在する。和訳されるときに「束」が充当されたものはここで扱う「flux」の他に「bundle（ファイバー束など）」「lattice（[[束論]]の束）」「pencil（円束など）」「packet（波束など）」がある。</small> <math>S</math>が表向きにパラメトライズされたとき、裏向きにパラメトライズされた曲面を<math>-S</math>と表した。 同じ向きを向く2つの曲面<math>S_1</math>と<math>S_2</math>の疆界が一致するとき、これを一つの曲面と見做して曲面の和 :<math>S_1+S_2</math> が定義される。 これを'''区分的に定義された曲面'''という。 <math>S</math>が'''区分的に滑らか'''であるとは、<math>S</math>が有限個の滑らかな曲面の和であることである。 これらを踏まえると、面積分には以下の性質が成り立つ。 #スカラー場 #:<math>\iint_S (k\varphi+l\psi) dS=k\iint_S \varphi dS + l \iint_S \psi dS</math> #:<math>\iint_{-S}\varphi dS = \iint_S \varphi dS</math> #:<math>\iint_{S_1+S_2}\varphi dS = \iint_{S_1}\varphi dS + \iint_{S_2}\varphi dS</math> #ベクトル場 #:<math>\iint_S (k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})\cdot d\boldsymbol{S}=k\iint_S \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}+l\iint_S \boldsymbol{b}\cdot d\boldsymbol{S}</math> #:<math>\iint_{-S}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S} = -\iint_S \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> #:<math>\iint_{S_1+S_2}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S} = \iint_{S_1}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S} + \iint_{S_2}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> 1番目の性質は線型性である。2番目の性質から、スカラー場の面積分に関しては任意の再パラメトライズ、ベクトル場の面積分に関しては向き付けを保つ再パラメトライズに対して面積分の値が保存されることが判る。 等位面に対する面積分を考える。曲面<math>S</math>がスカラー場<math>\omega</math>の等位面であるとき、その単位法線ベクトルは勾配を用いて :<math>\boldsymbol{n}=\pm\frac{\nabla\omega}{\|\nabla\omega\|}</math> と表される。右手系で考えるので正符号を採る。 等位面の方程式<math>\omega(x,y,z)=c</math>に対して陰関数定理が成り立つとすると陰関数<math>z=\psi(x,y)</math>を用いて<math>S:\boldsymbol{r}(x,y)=\begin{pmatrix} x \\ y \\ \psi(x,y) \end{pmatrix}\quad {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in D</math>というモンジュ表示に落ちる。 よって :<math>dS=\sqrt{1+\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)^2}dxdy</math> と :<math>\boldsymbol{n}=\frac{\nabla\omega}{\|\nabla\omega\|}</math> を用いて :<math>\int_S \varphi dS = \int_D \varphi(x,y,\psi(x,y))\sqrt{1+\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)^2}dxdy</math> :<math>\int_S \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S} = \int_D \boldsymbol{a}(x,y,\psi(x,y))\cdot\frac{\nabla\omega(x,y,\psi(x,y))}{\|\nabla\omega(x,y,\psi(x,y))\|}\sqrt{1+\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)^2}dxdy</math> を得る。 ===体積分=== 三次元空間の中では曲がった三次元空間を考えることはできない。そのため、以下の議論は平坦な三次元空間での話になる。 曲線長の微小量であった線素・曲面積の微小量であった面素と同様にして立体積の微小量について考えてみる。 立体<math>V</math>を微小立体に分割した体積を<math>\Delta V_i</math>としたとき、線積分・面積分が正式には区分求積法で定義されたようにリーマン和の極限 :<math>\lim_{\Delta V_i\to0}\sum_i \varphi(x_i, y_i, z_i)\Delta V_i</math> で与えられる積分を考えたい。 これは多変数解析で行った議論と同様にして三変数関数の三重極限へと帰着されるが、三重極限は飛ばす順番を入れ替えられるとは限らないためこの極限値を求めることは困難である。 そこで、以下のように考える。 微小立体はどのような分割の仕方であっても直方体で近似できる（曲面上微小領域を平面上平行四辺形で近似したことからの類推）。このとき、微小体積<math>dV</math>は各辺の長さが<math>dx, dy, dz</math>であると考えることができる。故に、直方体の体積公式を用いて :<math>dV=dxdydz</math> これを'''体素'''（体積素・体積要素）という。 故に、求める積分は :<math>\lim_{\Delta V_i\to0}\sum_i \varphi(x_i, y_i, z_i)\Delta V_i=\iiint_V \varphi(x,y,z) dxdydz</math> という三重積分に帰着される。 これをスカラー場の<math>V</math>に沿った'''体積分'''（volume integral）という。 スカラー場の体積分は :<math>\iiint_V \varphi dV</math> のように略記される。 特に、積分領域が閉集合（'''閉立体'''）である場合は :<math>\oiiint_V \varphi dV</math> のように書く。 1の体積分<math>\iiint_V dV</math>は立体積に等しい。 <math>V</math>のベクトル表示が<math>\boldsymbol{r}(s,t,u)=\begin{pmatrix} x(s,t,u) \\ y(s,t,u) \\ z(s,t,u) \end{pmatrix} \quad {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} s \\[-6pt] t \\[-6pt] u\end{array}\right)} \in D</math>である場合は、多変数解析の議論により :<math>\iiint_V \varphi dV = \iiint_D \varphi(\boldsymbol{r}(s,t,u)) \left|\det \frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(s,t,u)}}\right| dsdtdu</math> であると容易に判る。 立体に対しては曲線に於ける接線、曲面に於ける法線のような「ベクトル表示から求められる、積分領域の向きを指定するための方向」が一意には存在しない。そのため、体素ベクトルというものは考えない。 故に、ベクトル場の体積分は :<math>\iiint_V \boldsymbol{a}dV</math> の一種類のみである。 体積分を用いて表される概念としては、電荷が有名である。 :電荷密度<math>\rho(x,y,z)</math>に対し、領域<math>V</math>内にある電荷の総量は ::<math>q=\iiint_V \rho(x,y,z)dV</math> また、電荷分布に於ける電気双極子モーメントは ::<math>\boldsymbol{p}=\iiint_V \rho\boldsymbol{r} dV</math> というベクトル場の体積分で定義される。 更に、以下のような概念も定義されている。 :物体の質量<math>m</math>、密度<math>\rho</math>とすると質量中心ベクトルは ::<math>\boldsymbol{r}_G=\frac{1}{m}\iiint_V \rho\boldsymbol{r}dV</math> :電磁場の真空での運動量は ::<math>\boldsymbol{P}=\frac{1}{c^2}\iiint_V \boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}dV</math> 2つの立体<math>V_1</math>と<math>V_2</math>の疆界が一致するとき、これを一つの立体と見做して立体の和 :<math>V_1+V_2</math> が定義される。 これを'''区分的に定義された立体'''という。 <math>V</math>が'''区分的に滑らか'''であるとは、<math>V</math>が有限個の滑らかな立体の和であることである。 これらを踏まえると、体積分には以下の性質が成り立つ。 #スカラー場 #:<math>\iiint_V (k\varphi+l\psi) dV=k\iiint_V \varphi dV + l \iiint_S \psi dV</math> #:<math>\iiint_{V_1+V_2}\varphi dV = \iiint_{V_1}\varphi dV + \iiint_{V_2}\varphi dV</math> #ベクトル場 #:<math>\iint_V (k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b})dV=k\iiint_V \boldsymbol{a}dV+l\iiint_V \boldsymbol{b}dV</math> #:<math>\iiint_{V_1+V_2}\boldsymbol{a}dV = \iiint_{V_1}\boldsymbol{a} dV + \iiint_{V_2}\boldsymbol{a}dV</math> ===積分定理=== ここでは、空間積分に関する種々の定理を紹介する。 体積分 :<math>\iiint_V \varphi dV=\iiint_V \varphi dxdydz</math> に於いて、スカラー場<math>\varphi</math>がスカラー場<math>f</math>のある積分変数に関する偏導関数になっている場合を考える。 例えば<math>\varphi=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}</math>の場合を考えると :<math>\iiint_V \varphi dV = \iiint_V \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dxdydz</math> であり、 :<math>V=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} \vartheta(y,z) \leq x \leq \eta(y,z) \\ {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} y \\[-6pt] z \end{array}\right)} \in D \end{array} \right\}</math> とすると :<math>=\iint_D \left( \int_{\vartheta(y,z)}^{\eta(y,z)} \frac{\partial{f}}{\partial{x}} dx \right) dydz</math> 偏微分に関する微分積分学の基本定理より :<math>=\iint_D \{ f(\eta(y,z),y,z)-f(\vartheta(y,z),y,z) \} dydz</math> ここで、曲面<math>S_\eta:x=\eta(y,z), S_\vartheta:x=\vartheta(y,z)</math>の面素ベクトルについて考えてみる。<br/> <math>S_\eta</math>の接ベクトルは :<math>\frac{\partial{\eta}}{\partial{y}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_y, \frac{\partial{\eta}}{\partial{z}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_z</math> の2つなので、面素ベクトルは<math>x</math>軸正方向にとると :<math>d\boldsymbol{S}_\eta=\left(\frac{\partial{\eta}}{\partial{y}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_y\right)\times\left( \frac{\partial{\eta}}{\partial{z}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_z\right)=\left( \boldsymbol{e}_x - \frac{\partial{\eta}}{\partial{y}}\boldsymbol{e}_y - \frac{\partial{\eta}}{\partial{z}}\boldsymbol{e}_z \right)dydz</math> :<math>\therefore \boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\eta=dydz</math> :<math>\therefore \iint_{S_\eta} f\boldsymbol{e}_x \cdot d\boldsymbol{S}_\eta=\iint_D f(\eta(y,z),y,z)dydz </math> <math>S_\vartheta</math>の接ベクトルは :<math>\frac{\partial{\vartheta}}{\partial{y}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_y, \frac{\partial{\vartheta}}{\partial{z}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_z</math> の2つなので、面素ベクトルは<math>x</math>軸負方向にとると :<math>d\boldsymbol{S}_\vartheta=\left( \frac{\partial{\vartheta}}{\partial{z}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_z\right)\times\left(\frac{\partial{\vartheta}}{\partial{y}}\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_y\right)=\left(-\boldsymbol{e}_x + \frac{\partial{\vartheta}}{\partial{y}}\boldsymbol{e}_y + \frac{\partial{\vartheta}}{\partial{z}}\boldsymbol{e}_z \right)dydz</math> :<math>\therefore \boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\vartheta=-dydz</math> :<math>\therefore \iint_{S_\vartheta} f\boldsymbol{e}_x \cdot d\boldsymbol{S}_\vartheta=-\iint_D f(\vartheta(y,z),y,z)dydz </math> また、<math>S_\vartheta, S_\eta</math>を<math>V</math>の底面とみたときの側面<math>S_\mathrm{side}</math>は接平面に<math>\boldsymbol{e}_x</math>を含むので法線は<math>x</math>軸に垂直であり、 :<math>\boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\mathrm{side}=0</math> :<math>\therefore \iint_{S_\mathrm{side}}f\boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\mathrm{side}=0</math> よって :<math>\iint_D \{f(\eta(y,z),y,z) - f(\vartheta(y,z),y,z) \}dydz=\iint_{S_\eta} f \boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\eta + \iint_{S_\mathrm{side}} f \boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\mathrm{side} + \iint_{S_\vartheta} f \boldsymbol{e}_x\cdot d\boldsymbol{S}_\vartheta</math> :<math>=\oiint_{\partial{V}}f\boldsymbol{e}_x \cdot d\boldsymbol{S}</math> ここで<math>\varphi=\frac{\partial{g}}{\partial{y}},\quad \varphi=\frac{\partial{h}}{\partial{z}}</math>の場合も同様の議論により :<math>\iiint_V \frac{\partial{g}}{\partial{y}} dV = \oiint_{\partial{V}} g\boldsymbol{e}_y \cdot d\boldsymbol{S}</math> :<math>\iiint_V \frac{\partial{h}}{\partial{z}}dV = \oiint_{\partial{V}} h\boldsymbol{e}_z\cdot d\boldsymbol{S}</math> と判るので、3式を足し合わせて :<math>\iiint_V \left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}+\frac{\partial{h}}{\partial{z}}\right)dV=\oiint_{\partial{V}} (f\boldsymbol{e}_x+g\boldsymbol{e}_y+h\boldsymbol{e}_z)\cdot d\boldsymbol{S}</math> ここで曲面<math>\partial{V}</math>の外向き法線の方向余弦を<math>\begin{pmatrix} l \\ m \\ n \end{pmatrix}</math>と置くと最終的に :<math>\iiint_V \left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}+\frac{\partial{h}}{\partial{z}}\right)dV=\oiint_{\partial{V}} (fl+gm+hn)dS</math>となる。 これを'''ガウス=グリーンの定理'''という。 更に、<math>\boldsymbol{a}(x,y,z)=\begin{pmatrix} f(x,y,z) \\ g(x,y,z) \\ h(x,y,z) \end{pmatrix}</math>と定義すると :<math>\iiint_V\left( \frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{a_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}} \right)dV=\oiint_{\partial{V}} ( a_x\boldsymbol{e}_x+a_y\boldsymbol{e}_y+a_z\boldsymbol{e}_z )\cdot d\boldsymbol{S}</math> 則ち :<math>\iiint_V \nabla\cdot\boldsymbol{a} dV = \oiint_{\partial{V}}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> を得る。 これを'''ガウスの発散定理'''という。 {{定理|(ガウスの発散定理)}} 有界領域<math>V\subset\mathbb{R}^3</math>の疆界<math>\partial{V}</math>が区分的に滑らかな閉曲面をなすとき、開集合<math>U \supset V^-</math>上で定義される<math>C^1</math>級ベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>に対して :<math>\iiint_V \nabla\cdot\boldsymbol{a}dV = \oiint_{\partial{V}} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> {{定理終わり}} 平面上で円弧を睨む扇形の中心角を円弧の弧長によって定義したのが弧度法であった。これを三次元に拡張することを考える。 半径1の球の中心を頂点とする円錐を考えたとき、円錐と球面の4つの交点が球面から切り取る有界曲面の曲面積を'''立体角'''と定義する。 この定義を利用して、向き付けられた有界曲面<math>S</math>に対する立体角も定義される。 :球の中心<math>\mathrm{O}</math>から<math>S</math>を眺めたとき、<math>\mathrm{O}</math>と<math>S</math>の頂点を結ぶ直線が<math>\mathrm{O}</math>を中心とする単位球面から切り取る曲面の面積<math>\Omega</math>を、「<math>\mathrm{O}</math>から見る<math>S</math>の立体角」という。但し、<math>\mathrm{O}</math>が<math>S</math>の裏側にいるとき正符号、表側にいるとき負符号とする。 立体角は物理的に無次元量であるが、弧度と同様に'''ステラジアン'''[sr]という単位が付されている。一般に半径<math>r</math>の球面で考えるときは、<math>\Omega</math>を<math>r^2</math>で除した値が立体角である。弧度と同様に、半径0のときは立体角を考えない。 単位球面の表面積は<math>4\pi</math>なので、立体角<math>\Omega</math>の範囲は<math>[-4\pi, 4\pi]</math>である。 <math>S</math>上の各点で面素ベクトルと位置ベクトル<math>\boldsymbol{r}</math>のなす角を<math>\theta</math>とする。このとき、面素<math>dS</math>に対して :<math>d\Omega = \frac{\cos\theta}{\|\boldsymbol{r}\|^2}dS</math> という微小量に関する等式が成り立つ。 書き換えると :<math>d\Omega = \frac{\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^3}\cdot d\boldsymbol{S}</math> これを積分してやれば立体角の表式を得る。 :<math>\Omega(S)=\iint_S \frac{\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^3}\cdot d\boldsymbol{S}</math> 閉曲面に対する立体角を考える。閉曲面の囲む領域を<math>V</math>とする。 立体角の中心<math>\mathrm{O}</math>が閉曲面の外にある場合、発散定理を用いて :<math>\Omega(S)=\oiint_S \frac{\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^3}\cdot d\boldsymbol{S}</math> :<math>=-\oiint_S \mathrm{grad}\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|} \cdot d\boldsymbol{S}</math> :<math>=-\iiint_V \mathrm{div}\left(\mathrm{grad}\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}\right)dV</math> :<math>=-\iiint_V \text{∆}\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|} dV</math> :<math>=0</math> である。 則ち、'''閉曲面外部から測った全体の立体角は常に0'''である。 ここで、球面座標に於ける公式 :<math>\mathrm{grad}\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}=-\frac{\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^3}</math> :<math>\text{∆}\frac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}=0</math> を使用した。 これは<math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>と置いて直交座標で計算すれば容易に証明される。 立体角の中心<math>\mathrm{O}</math>が閉曲面の中にある場合、<br/>閉球<math>V':B^-_\varepsilon(\mathrm{O})</math>とその疆界<math>S'=\partial{V'}</math>を考えると<math>V\setminus V'</math>は疆界がいずれも閉曲面で<math>\mathrm{O}</math>を内部に含まないので上の議論より立体角は0であり、 :<math>\Omega(S)=\Omega(S')</math> が成り立つ。 また、<math>S'</math>は<math>\mathrm{O}</math>を中心とする球面なので :<math>\Omega(S')=4\pi</math> である。 則ち、'''閉曲面内部から測った全体の立体角は形状に依らず<math>4\pi</math>'''である。 物理的な例として、クーロンの法則の比例定数<math>k=\frac{1}{4\pi\varepsilon}</math>の<math>4\pi</math>は閉曲面内部から測った全体の立体角を表している。 発散定理を利用することで、勾配・発散・回転をそれぞれ空間積分を用いた形に直すことができる。 先ずは、勾配を考える。 :<math>\iiint_V \nabla\cdot\boldsymbol{a}dV = \oiint_{\partial{V}} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> で<math>\boldsymbol{a}=\varphi\boldsymbol{c}</math>としてみると :<math>\iiint_V \nabla\cdot(\varphi\boldsymbol{c})dV = \oiint_{\partial{V}}\varphi \boldsymbol{c}\cdot d\boldsymbol{S}</math> ここで :<math>\nabla \cdot (\varphi\boldsymbol{c})=(\nabla\varphi)\cdot\boldsymbol{c}</math> なので :<math>\iiint_V \boldsymbol{c}\cdot\nabla\varphi dV=\oiint_{\partial{V}}\varphi\boldsymbol{c}\cdot d\boldsymbol{S}</math> 移項して内積を前に出すと :<math>\boldsymbol{c}\cdot\left( \iiint_V \nabla\varphi dV -\oiint_{\partial{V}} \varphi d\boldsymbol{S} \right)=0</math> これが<math>\boldsymbol{c}</math>の恒等式なので :<math>\iiint_V \nabla\varphi dV = \oiint_{\partial{V}}\varphi d\boldsymbol{S}</math>・・・(♪) ここで点<math>\mathrm{P}\in V</math>と有界立体<math>V_0(\ni\mathrm{P}) \subset V</math>に対して<math>V_\varepsilon:=\left\{ \overrightarrow{\mathrm{OP}}+\varepsilon\boldsymbol{x} \bigg| \boldsymbol{x} \in V_0 \right\}</math>を考えると、<math>\mathrm{P}</math>の<math>\varepsilon</math>-開近傍で<math>\varphi\in C^1</math>ならば :<math>\lim_{|V_\varepsilon|\to0}\frac{1}{|V_\varepsilon|}\iiint_{V_\varepsilon} \nabla\varphi dV=\nabla \varphi</math> なので、(♪)を適用して :<math>\nabla\varphi = \lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{1}{|V_\varepsilon|}\oiint_{\partial{V_\varepsilon}}\varphi d\boldsymbol{S}</math> を得る。 これを'''勾配の積分形'''という。 ここで、右辺は座標系の取り方に依らず同じ値に収束するので、'''勾配が座標系に依存しない'''ことが判る。これは「どの基底で成分表示しようが同じ勾配ベクトルを表せる」ことに対応する。 上の導出に関係して、以下が成り立つ。 {{定理|(体積分の平均値の定理)}} 場を<math>\mathfrak{X}</math>としたとき、体積平均<math>\langle\mathfrak{X}\rangle</math>に対して<math>\langle\mathfrak{X}\rangle\in\mathfrak{X}(V)</math>ならば :<math>\iiint_{V}\mathfrak{X}(\mathrm{P})dV = |V|\, \mathfrak{X}(\mathrm{M})</math> なる点<math>\mathrm{M}\in V</math>が存在する。 {{定理終わり}} 次に、発散について考える。 勾配と同様に<math>V_\varepsilon</math>を考えると :<math>\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{1}{|V_\varepsilon|}\iiint_{V_\varepsilon} \nabla\cdot\boldsymbol{a} dV=\nabla\cdot\boldsymbol{a}</math> を得るので、発散定理を適用して :<math>\nabla\cdot\boldsymbol{a}=\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{1}{|V_\varepsilon|}\oiint_{\partial{V_\varepsilon}} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> となる。 これを'''発散の積分形'''という。 勾配と同様に'''発散が座標系に依存しない'''ことが判る。 ここで流体の速度場<math>\boldsymbol{v}</math>について考えると :<math>\iint_S \boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{S}</math> とは<math>S</math>を貫く流束だったので、<br/> 発散は物理的には'''単位体積あたりの束'''を表していることが判った。 最後に、回転について考える。 :<math>\iiint_V \nabla\cdot\boldsymbol{a}dV = \oiint_{\partial{V}} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> で<math>\boldsymbol{a}=\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{c}</math>としてみると :<math>\iiint_V \nabla\cdot(\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{c})dV = \oiint_{\partial{V}}(\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{c})\cdot d\boldsymbol{S}</math> ここで :<math>\nabla \cdot (\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{c})=(\nabla\times\boldsymbol{\alpha})\cdot\boldsymbol{c}</math> :<math>(\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{c})\cdot d\boldsymbol{S}=-\boldsymbol{c}\cdot(\boldsymbol{\alpha} \times d\boldsymbol{S})</math> なので :<math>\iiint_V \boldsymbol{c}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{\alpha}) dV=-\oiint_{\partial{V}}\boldsymbol{c}\cdot (\boldsymbol{\alpha} \times d\boldsymbol{S})</math> 移項して内積を前に出すと :<math>\boldsymbol{c}\cdot\left( \iiint_V \nabla\times\boldsymbol{\alpha} dV +\oiint_{\partial{V}} \boldsymbol{\alpha} \times d\boldsymbol{S} \right)=0</math> これが<math>\boldsymbol{c}</math>の恒等式なので :<math>\iiint_V \nabla\times\boldsymbol{\alpha} dV = -\oiint_{\partial{V}} \boldsymbol{\alpha} \times d\boldsymbol{S}</math> あとは勾配・発散と同様にして :<math>\nabla\times\boldsymbol{\alpha}=-\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{1}{|V_\varepsilon|}\oiint_{\partial{V}_\varepsilon}\boldsymbol{\alpha}\times d\boldsymbol{S}</math> を得る。 これを'''回転の積分形'''という。<math>\nabla\times\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha}\times d\boldsymbol{A}</math>とも軸性ベクトルであるので座標変換に対して両辺の符号変化は一致し、同様に'''回転が座標系に依存しない'''ことが判る。 余談だが、ラプラシアンにも同様の積分形が存在する。 :<math>\text{∆}\varphi = \lim_{\varepsilon\to0^+} \frac{6}{\varepsilon^2}\left( \frac{1}{4\pi\varepsilon^2} \oiint_{\partial{V_\varepsilon}} \varphi dS - \varphi \right)</math> ベクトル場のラプラシアンに関しては成分のラプラシアンを並べたベクトルなので省略する。 <math>xy</math>平面上の区分的に滑らかな閉曲線で囲まれた平面を<math>D</math>、底面が<math>D</math>で高さ<math>L</math>の直筒を<math>B</math>とする。このとき、<math>B</math>の上面・底面・側面に於ける法線ベクトルはそれぞれ<math>\boldsymbol{n}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ a \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -a \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ 0 \end{pmatrix}</math>である。 <math>B</math>で定義された<math>z</math>に依存しないベクトル関数<math>\boldsymbol{r}(x,y) =\begin{pmatrix} \varphi(x,y) \\ \psi(x,y) \\ \vartheta(x,y) \end{pmatrix}</math>に対して発散定理を適用することを考える。 :<math>\nabla\cdot\boldsymbol{r}=\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}+\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}+\frac{\partial{\vartheta}}{\partial{z}}=\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}+\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}</math> :<math>B=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in D \\ 0 \leq z \leq L \end{array} \right\}</math> なので、発散定理の左辺は :<math>\iiint_{B} \nabla\cdot\boldsymbol{r} dV = \int_0^L \left( \iint_D \nabla\cdot\boldsymbol{r} dxdy \right) dz = L\iint_D \left(\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}+\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)dxdy</math> 発散定理の右辺は :<math>\oiint_{\partial{B}} \boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}=\iint_{\partial{B}_\mathrm{top}}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}+\iint_{\partial{B}_\mathrm{side}}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}+\iint_{\partial{B}_\mathrm{bottom}}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}</math> ここで :<math>\boldsymbol{n}_\mathrm{top}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ a \end{pmatrix},\quad\boldsymbol{n}_\mathrm{side}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -a \end{pmatrix},\quad\boldsymbol{n}_\mathrm{bottom}=\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ 0 \end{pmatrix}</math> なので、 :<math>\iint_{\partial{B}_\mathrm{top}}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}+\iint_{\partial{B}_\mathrm{bottom}}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}=a\iint_D \vartheta dxdy -a\iint_D \vartheta dxdy=0</math> :<math>\iint_{\partial{B}_\mathrm{side}}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}=\iint_{\partial{B}_\mathrm{side}} (\varphi\alpha+\psi\beta) dS</math> 則ち :<math>\oiint_{\partial{B}} \boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}=\iint_{\partial{B}_\mathrm{side}} (\varphi\alpha+\psi\beta) dS</math> 側面の面素は閉曲線<math>\partial{D}</math>の線素を用いて<math>d\ell dz</math>と表されるので、 :<math>\iint_{\partial{B}_\mathrm{side}} (\varphi\alpha+\psi\beta) dS=\int_0^L\left\{\oint_{\partial{D}} (\varphi\alpha+\psi\beta)d\ell \right\}dz=L\oint_{\partial{D}}(\varphi\alpha+\psi\beta)d\ell</math> 故に、 :<math>L\iint_D \left(\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}+\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)dxdy=L\oint_{\partial{D}}(\varphi\alpha+\psi\beta)d\ell</math> 則ち :<math>\iint_D \left(\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}+\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)dxdy=\oint_{\partial{D}}(\varphi\alpha+\psi\beta)d\ell</math> という、<math>xy</math>平面のみで表示された式を得る。 これを'''平面のガウスの定理'''という。 {{定理|(平面のガウスの定理)}} <math>xy</math>平面上の区分的に滑らかな閉曲線で囲まれた平面を<math>D</math>、<math>\partial{D}</math>の外向き法線ベクトルを<math>\boldsymbol{n}=\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}</math>とすると、開集合<math>U \supset D</math>上で<math>C^1</math>級であるベクトル関数<math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix}\varphi(x,y)\\\psi(x,y)\end{pmatrix}</math>に対して :<math>\iint_D \left(\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}+\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)dxdy=\oint_{\partial{D}}(\varphi\alpha+\psi\beta)d\ell</math> {{定理終わり}} ここで二次元の発散を<math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{r}:=\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}+\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}</math>と定義すると、 :<math>\iint_D \mathrm{div}\,\boldsymbol{r} dxdy=\oint_{\partial{D}} \boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n} d\ell</math> という形に直すことができる。 これはまさしく発散定理の次元を下げた表式になっている。 閉曲線<math>\partial{D}</math>の正の向きを考えると、外向き法線ベクトルが<math>\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}</math>であることから接線ベクトルはこれを原点中心に<math>\frac{\pi}{2}</math>だけ回転したベクトル<math>\begin{pmatrix} -\beta \\ \alpha \end{pmatrix}</math>である。 :<math>d\boldsymbol{\ell}=\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix}, \frac{d\boldsymbol{\ell}}{ds}=\begin{pmatrix} -\beta \\ \alpha \end{pmatrix}, ds=d\ell</math> より :<math>\begin{cases} dx = -\beta d\ell \\ dy =\alpha d\ell \end{cases}</math> を得るので、平面のガウスの定理は :<math>\iint_D \left(\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}+\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}\right)dxdy=\oint_{\partial{D}}\varphi dy-\psi dx</math>と表示される。 ここで<math>\varphi=g(x,y), \psi=-f(x,y)</math>を考えると、 :<math>\iint_D \left(\frac{\partial{g}}{\partial{x}}-\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)dxdy=\oint_{\partial{D}} fdx+gdy</math> を得る。 これを'''平面のグリーンの定理'''（平面のストークスの定理）という。 {{定理|(平面のグリーンの定理・平面のストークスの定理)}} <math>xy</math>平面上の区分的に滑らかな閉曲線で囲まれた平面を<math>D</math>とすると、開集合<math>U \supset D</math>上で<math>C^1</math>級であるベクトル関数<math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix}f(x,y)\\g(x,y)\end{pmatrix}</math>に対して :<math>\oint_{\partial{D}} \boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\iint_D \left(\frac{\partial{g}}{\partial{x}}-\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)dxdy</math> 但し、周回積分の周回向きは正とする。 {{定理終わり}} ここでは平面のガウスの定理から平面のグリーンの定理を導いたが、逆に辿ることで平面のグリーンの定理から平面のガウスの定理を導くことができる。つまり、平面のガウスの定理と平面のグリーンの定理は同値な命題である。また、平面のガウスの定理からガウスの発散定理を示すこともできる。平面のストークスの定理は平面のガウスの定理とは独立に示すことができるので、循環論法にはならない。 <math>\boldsymbol{r}=\nabla\varphi</math>(スカラーポテンシャル)を考えてみると、 :<math>\oint_{\partial{D}}\nabla\varphi \cdot d\boldsymbol{\ell}=\iint_D \left( \frac{\partial}{\partial{x}}\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}} - \frac{\partial}{\partial{y}}\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}} \right)dxdy=\iint_D \left( \frac{\partial^2{\varphi}}{\partial{x}\partial{y}} - \frac{\partial^2{\varphi}}{\partial{y}\partial{x}} \right)dxdy=0</math> と、「保存的ベクトル場の閉路積分が0」を別のやり方で証明できた。 ここで二次元の回転を<math>\mathrm{rot}\,\boldsymbol{r}:=\frac{\partial{g}}{\partial{x}}-\frac{\partial{f}}{\partial{y}}</math>と定義すると、 :<math>\oint_{\partial{D}} \boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\iint_D \mathrm{rot}\,\boldsymbol{r} dxdy</math> という形に直すことができる。 この表式を三次元に持ち上げることを考える。 区分的に滑らかな閉曲線を疆界とする曲面<math>S</math>が<math>xy</math>平面の領域<math>\varSigma</math>上で<math>C^2</math>級関数<math>f</math>を用いて<math>z=f(x,y)</math>とモンジュ表示されているとする。 <math>S</math>上単位法線ベクトルは<math>\gamma:=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2}}</math>として :<math>\boldsymbol{n}=\gamma\begin{pmatrix} -\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \\ -\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \\ 1 \end{pmatrix}</math> であり、 :<math>\gamma dS=dxdy</math> なので :<math>\iint_S (\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot d\boldsymbol{S}=\iint_S (\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{n} dS</math> :<math>= \iint_{\varSigma} \left\{ -\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\left( \frac{\partial{a_z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{a_y}}{\partial{z}}\right) -\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\left( \frac{\partial{a_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}} \right) + \left( \frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}} \right) \right\} dxdy</math> <math>a_x, a_y, a_z</math>の項で纏めて :<math>=\iint_\varSigma \left\{ -\left( \frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{a_x}}{\partial{z}}+\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}} \right)+\left( \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \frac{\partial{a_y}}{\partial{z}} + \frac{\partial{a_y}}{\partial{x}} \right) + \left( \frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}}-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{a_z}}{\partial{y}} \right) \right\}dxdy</math> ここで<math>z=f(x, y)</math>より連鎖律の逆を適用すると :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{a_x}}{\partial{z}}+\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}}+0=\frac{\partial{a_x}}{\partial{z}}\frac{\partial{z}}{\partial{y}}+\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{a_x}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{y}} =\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}}</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{a_y}}{\partial{z}}+0+\frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}=\frac{\partial{a_y}}{\partial{z}}\frac{\partial{z}}{\partial{x}}+\frac{\partial{a_y}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}}+\frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{x}} =\frac{\partial{a_y}}{\partial{x}}</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}}-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{a_z}}{\partial{y}}=\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}} + \frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}} + a_x\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}} \right)-\left( \frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{a_z}}{\partial{y}} + \frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{f}}{\partial{x}} + a_x\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}} \right)</math> :<math>=\left\{ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}+\frac{\partial{a_z}}{\partial{x}}\right) +a_z \frac{\partial}{\partial{x}} \frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right\}-\left\{ \frac{\partial{f}}{\partial{x}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{a_z}}{\partial{z}}+\frac{\partial{a_z}}{\partial{y}}\right) +a_z \frac{\partial}{\partial{y}} \frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right\}</math> :<math>=\left( \frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial}{\partial{x}}a_z + a_z \frac{\partial}{\partial{x}} \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \right)-\left( \frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial}{\partial{y}}a_z + a_z \frac{\partial}{\partial{y}} \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \right)</math> :<math>=\frac{\partial}{\partial{x}}\left(a_z\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right) - \frac{\partial}{\partial{y}}\left(a_z\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)</math> なので、 :<math>=\iint_\varSigma \left\{ -\frac{\partial{a_x}}{\partial{y}} +\frac{\partial{a_y}}{\partial{x}} + \frac{\partial}{\partial{x}}\left(a_z\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right) - \frac{\partial}{\partial{y}}\left(a_z\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right) \right\} dxdy</math> :<math>=\iint_\varSigma \left\{ \frac{\partial}{\partial{x}} \left( a_y + a_z \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \right) - \frac{\partial}{\partial{y}}\left( a_x + a_z \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \right) \right\} dxdy</math> ここで平面のグリーンの定理を適用すると :<math>=\oint_{\partial{\varSigma}} \left( a_x + a_z \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \right)dx + \left( a_y + a_z \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \right) dy</math> :<math>=\oint_{\partial{\varSigma}} a_xdx+a_ydy + a_z\left( \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy \right)</math> ここで曲面上では :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy=dz</math>（全微分） なので :<math>=\oint_{\partial{S}} a_xdx+a_ydy+a_zdz</math> つまり、最終的に :<math>\iint_S (\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot d\boldsymbol{S}=\oint_{\partial{S}} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}</math> を得る。 これを'''ストークスの定理'''という。 {{定理|(ストークスの定理)}} 区分的に滑らかな閉曲線を疆界とする曲面を<math>S</math>とすると、開集合<math>U \supset S</math>上で<math>C^1</math>級であるベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>に対して :<math>\iint_S (\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot d\boldsymbol{S}=\oint_{\partial{S}} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}</math> {{定理終わり}} 発散定理から :<math>\iiint_V \nabla\varphi dV = \oiint_{\partial{V}}\varphi d\boldsymbol{S}</math> :<math>\iiint_V \nabla\times\boldsymbol{\alpha} dV = -\oiint_{\partial{V}} \boldsymbol{\alpha} \times d\boldsymbol{S}</math> という関係式を得たのと同様にして、ストークスの定理を利用することで :<math>\iint_S \nabla\varphi \times d\boldsymbol{S} = -\oint_{\partial{S}} \varphi d\boldsymbol{\ell}</math> :<math>\iint_S (\boldsymbol{n}\times\nabla)\times \boldsymbol{\alpha} dS = -\oint_{\partial{S}} \boldsymbol{\alpha}\times d\boldsymbol{\ell} </math> と言う関係式を得る。 発散定理・ストークスの定理そのものと併せてみると、これらの関係式が同じような形をしていることが見て取れる。 実は、これらの式は後述の微分形式というもので統一的に理解される。 発散の公式 :<math>\nabla\cdot(\varphi\boldsymbol{a})=(\nabla\varphi)\cdot\boldsymbol{a}+\varphi\nabla\cdot\boldsymbol{a}</math> で<math>\boldsymbol{a}=\nabla\psi</math>というスカラーポテンシャルを考えると :<math>\nabla\cdot\{\varphi(\nabla\psi)\}=(\nabla\varphi)\cdot(\nabla\psi)+\varphi\nabla\cdot(\nabla\psi)</math> 2項目は勾配の発散なのでラプラシアンであり、 :<math>\nabla\cdot(\varphi\nabla\psi)=\nabla\varphi\cdot\nabla\psi+\varphi\text{∆}\psi</math> 両辺を体積分すると :<math>\iiint_V \nabla\cdot(\varphi\nabla\psi)dV = \iiint_V (\nabla\varphi\cdot\nabla\psi+\varphi\text{∆}\psi)dV</math> 左辺に発散定理を適用して :<math>\oiint_{\partial{V}} \varphi\nabla\psi\cdot d\boldsymbol{S}=\iiint_V (\nabla\varphi\cdot\nabla\psi+\varphi\text{∆}\psi)dV</math> これを'''グリーンの第一定理'''という。 {{定理|(グリーンの第一定理)}} 有界領域<math>V\subset\mathbb{R}^3</math>の疆界<math>\partial{V}</math>が区分的に滑らかな閉曲面をなすとき、開集合<math>U\supset V^-</math>で定義される<math>\varphi\in C^1,\,\psi\in C^2</math>に対して :<math>\iiint_V (\nabla\varphi\cdot\nabla\psi+\varphi\text{∆}\psi)dV=\oiint_{\partial{V}} \varphi\nabla\psi\cdot d\boldsymbol{S}</math> {{定理終わり}} 右辺は方向微分から<math>\nabla\psi\cdot\boldsymbol{n}=\frac{\partial{\psi}}{\partial{n}}</math>より<math>\oiint_{\partial{V}} \varphi\frac{\partial{\psi}}{\partial{n}}dS</math>とも表される。 このとき、<math>\varphi=c(\mathrm{const}.)</math>を考えると :<math>\iiint_V (c\text{∆}\psi)dV=\oiint_{\partial{V}} c\frac{\partial{\psi}}{\partial{n}}dS</math> 線型性より :<math>c\iiint_V \text{∆}\psi dV=c\oiint_{\partial{V}} \frac{\partial{\psi}}{\partial{n}}dS</math> <math>c=0</math>では恒等式なので<math>c\neq0</math>として :<math>\iiint_V \text{∆}\psi dV=\oiint_{\partial{V}} \frac{\partial{\psi}}{\partial{n}}dS</math> ここで<math>V=V_\varepsilon</math>として両辺に<math>\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{1}{|V_\varepsilon|}</math>を作用させると :<math>\text{∆}\psi=\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{1}{|V_\varepsilon|}\oiint_{\partial{V_\varepsilon}} \frac{\partial{\psi}}{\partial{n}}dS</math> と、ラプラシアンの積分表示の別形を得た。 第一定理で<math>\varphi, \psi</math>の位置を入れ替えると :<math>\iiint_V (\nabla\psi\cdot\nabla\varphi+\psi\text{∆}\varphi)dV=\oiint_{\partial{V}} \psi\nabla\varphi\cdot d\boldsymbol{S}</math> 元の式との差をとれば :<math>\iiint_V (\varphi\text{∆}\psi-\psi\text{∆}\varphi)dV = \oiint_{\partial{V}} (\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi)\cdot d\boldsymbol{S}</math> これを'''グリーンの第二定理'''（ポアソンの公式）という。 {{定理|(グリーンの第二定理・ポアソンの公式)}} 有界領域<math>V\subset\mathbb{R}^3</math>の疆界<math>\partial{V}</math>が区分的に滑らかな閉曲面をなすとき、開集合<math>U\supset V^-</math>で定義される<math>\varphi\in C^2,\,\psi\in C^2</math>に対して :<math>\iiint_V (\varphi\text{∆}\psi-\psi\text{∆}\varphi)dV = \oiint_{\partial{V}} (\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi)\cdot d\boldsymbol{S}</math> {{定理終わり}} これは、発散定理で<math>\boldsymbol{a}=\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi</math>を考えたときの表式に一致する。 右辺は方向微分から<math>\oiint_{\partial{V}} \left(\varphi\frac{\partial{\psi}}{\partial{n}} - \psi\frac{\partial{\varphi}}{\partial{n}}\right)dS</math>とも表される。 これを用いた第二定理の表式を特に'''グリーンの定理'''と言う場合がある。 グリーンの第一定理をスカラーポテンシャルを使わず保存的ベクトル場のまま表示すると :<math>\iiint_V \varphi\nabla\cdot\boldsymbol{a} dV=\iint_{\partial{V}} (\varphi\boldsymbol{a})\cdot d\boldsymbol{S}-\iiint_V(\nabla\varphi)\cdot\boldsymbol{a} dV</math> という部分積分公式を得る。 関連して、以下のような部分積分が成り立つ。 {{定理|(ポホザエフの恒等式)}} <math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \varphi=\varphi(\boldsymbol{r})</math>とし、<math>f\in C^0(\mathbb{R})</math>に対し<math>F(\varphi)=\int_0^\varphi f(u)du</math>と置く。有界領域<math>V\subset\mathbb{R}^3</math>の疆界<math>\partial{V}</math>が向き付け可能且つ滑らかであるとき、 :<math>\begin{cases} \text{∆}\varphi=-f(\varphi) & \boldsymbol{r}\in V \\ \varphi=0 & \boldsymbol{r}\in\partial{V} \end{cases}</math> を満たす<math>\varphi\in C^2(V)\cap C^1(V^-)</math>が存在すれば :<math>\iiint_V \|\nabla\varphi\|^2dV = 6\iiint_V F(\varphi)dV - \oiint_{\partial{V}} \|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}</math> {{定理終わり}} *証明 :<math>\text{∆}\varphi=-f(\varphi)</math>の両辺に<math>\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi</math>を掛けると勾配の積の微分の逆から ::<math>(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\text{∆}\varphi=-f(\varphi)\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi=-\boldsymbol{r}\cdot\nabla F(\varphi)</math> :天下り的だがここで<math>(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\nabla\varphi</math>の発散を計算してみると ::<math>\nabla\cdot\{(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\nabla\varphi\}=(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\text{∆}\varphi+\|\nabla\varphi\|^2+\frac{1}{2}\boldsymbol{r}\cdot\nabla\left(\|\nabla\varphi\|^2\right)</math> :を得るので ::<math>(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\text{∆}\varphi=\nabla\cdot\{(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\nabla\varphi\}-\|\nabla\varphi\|^2-\frac{1}{2}\boldsymbol{r}\cdot\nabla\left(\|\nabla\varphi\|^2\right)</math> :次に<math>\|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r}</math>の発散を計算すると ::<math>\nabla\cdot(\|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r})=\boldsymbol{r}\cdot\nabla\left(\|\nabla\varphi\|^2\right)+3\|\nabla\varphi\|^2</math> :なので ::<math>-\|\nabla\varphi\|^2-\frac{1}{2}\boldsymbol{r}\cdot\nabla\left(\|\nabla\varphi\|^2\right)=-\frac{1}{2}\nabla\cdot(\|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r})+\frac{1}{2}\|\nabla\varphi\|^2</math> :更に<math>F(\varphi)\boldsymbol{r}</math>の発散を計算すると ::<math>\nabla\cdot\{F(\varphi)\boldsymbol{r}\}=\boldsymbol{r}\cdot\nabla F(\varphi)+3F(\varphi)</math> :から ::<math>-\boldsymbol{r}\cdot\nabla F(\varphi)=-\nabla\cdot\{F(\varphi)\boldsymbol{r}\}+3F(\varphi)</math> :よって ::<math>(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\text{∆}\varphi=-\boldsymbol{r}\cdot\nabla F(\varphi)</math> :は ::<math>\nabla\cdot\{(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\nabla\varphi\}-\frac{1}{2}\nabla\cdot(\|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r})+\frac{1}{2}\|\nabla\varphi\|^2=-\nabla\cdot\{F(\varphi)\boldsymbol{r}\}+3F(\varphi)</math> :則ち ::<math>\|\nabla\varphi\|^2= 6F(\varphi)-\nabla\cdot\left\{ 2(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\nabla\varphi -\|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r} +2F(\varphi)\boldsymbol{r} \right\}</math> :と同値である。 :両辺を体積分すると発散定理により ::<math>\iiint_V \|\nabla\varphi\|^2dV =6\iiint_V F(\varphi)dV - \oiint_{\partial{V}}\left\{ 2(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\nabla\varphi -\|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r} +2F(\varphi)\boldsymbol{r} \right\}\cdot d\boldsymbol{S}</math> :<math>\partial{V}</math>上では<math>\varphi=0</math>なので ::<math>F(\varphi)=\int_0^0 f(u)du=0</math> :であり、等位面の理論から<math>\partial{V}</math>の外向き単位法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}</math>は ::<math>\boldsymbol{n}=\frac{\nabla\varphi}{\|\nabla\varphi\|}</math> :なので面積分の項は ::<math>\oiint_{\partial{V}}\left\{ 2(\boldsymbol{r}\cdot\nabla\varphi)\nabla\varphi\cdot\boldsymbol{n} -\|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n} \right\}dS=\oiint_{\partial{V}} \|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n}dS</math>// [[#単純閉曲線]]で述べた「星状領域（星型領域）」は、滑らかな疆界を持つ有界領域<math>V\subset\mathbb{R}^3</math>の場合は<math>\partial{V}</math>の外向き法線<math>\boldsymbol{n}</math>を用いて :<math>\forall \boldsymbol{x}\in V, \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{n}>0</math> という条件によって定式化できる。 これを用いると、ポホザエフ恒等式の仮定で用いた既知関数<math>f</math>のポアソン方程式の疆界値問題の解<math>\varphi</math>について以下が成り立つことが判る。 {{定理|}} <math>\alpha\geq5, \beta\geq0</math>として<math>f(\varphi)=|\varphi|^{\alpha-1}\varphi+\beta\varphi</math>とする。<br/><math>V</math>が原点で星状なら疆界条件<math>\varphi(\boldsymbol{r})=0 \quad \boldsymbol{r}\in\partial{V}</math>の下でのポアソン方程式 :<math>\text{∆}\varphi=-f(\varphi) \quad \boldsymbol{r}\in V</math> のクラス<math>C^2(V)\cap C^1(V^-)</math>での解は零関数 :<math>\varphi\equiv0</math> のみである。 {{定理終わり}} *証明 :<math>F(\varphi)=\frac{|\varphi|^{\alpha+1}}{\alpha+1}-\frac{\beta}{2}\varphi</math> :<math>-\varphi\text{∆}\varphi=-\varphi f(\varphi)</math>を<math>V</math>で体積分するとグリーンの第一定理及び疆界条件から ::<math>\iiint_V \|\nabla\varphi\|^2dV=\iiint_V(|\varphi|^{\alpha+1}+\beta\varphi^2)dV</math> :ポホザエフの恒等式から ::<math>\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{\alpha+1}\right)\iiint_V |\varphi|^{\alpha+1}dV+\beta\iiint_V \varphi^2 dV = -\frac{1}{2}\oiint_{\partial{V}} \|\nabla\varphi\|^2\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}</math> :左辺は<math>\alpha, \beta</math>の条件から非負であるが、右辺は星型性から非正である。 :等号が成り立つのは両者の積分値がともに0である場合であるが、そのようになる<math>\varphi</math>は零関数だけである。// ポアンカレの補題は、上で紹介した積分定理を用いることで証明される。 {{定理|(ポアンカレの補題1')}} 領域<math>D\subset\mathbb{R}^3</math>とベクトル場<math>\boldsymbol{a}\in C^1(D)</math>に対して3条件 :① <math>\mathrm{rot}\,\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}</math> :② <math>\exist \varphi\in C^2(D),\quad \mathrm{grad}\,\varphi=\boldsymbol{a} </math> :③ <math>\exist \varphi:D\to\mathbb{R},\quad\int_C \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\varphi(\mathrm{B})-\varphi(\mathrm{A}) \quad(C:\mathrm{A}\to\mathrm{B})</math> が同値となるための十分条件は<math>D</math>が単連結であることである。 {{定理終わり}} *証明 :含意の推移律より ::<math>(\text{①}\iff\text{②}\iff\text{③})\equiv(\text{①}\implies\text{③})\land(\text{③}\implies\text{②})\land(\text{②}\implies\text{①})</math> :なので、<math>D</math>が単連結であるとき3つの条件法命題が全て真であることを確かめればよい。 :[1] <math>\text{②}\implies\text{①}</math> ::恒等式 <math>\mathrm{rot}(\mathrm{grad}\psi)=\boldsymbol{0}</math>より直ちに成立。 :[2] <math>\text{①}\implies\text{③}</math> ::正の向きである区分的に滑らかな曲線<math>C:\mathrm{A}\to\mathrm{B}</math>に対し、始点・終点とも同じである任意の区分的に滑らかな曲線<math>C':\mathrm{A}\to\mathrm{B}</math>を付加すると<math>C''=C-C'</math>は閉曲線である。 ::曲線の差の線積分は区分曲線の線積分の差なので :::<math>\oint_{C''}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\int_C\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}-\int_{C'}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}</math> ::更に、<math>D</math>がユークリッド空間上の領域であることと単連結性から<math>\partial{S}=C''</math>なる区分的に滑らかな曲面<math>S \subset D</math>をとれる^※のでストークスの定理より :::<math>\oint_{C''}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\iint_{S}(\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot d\boldsymbol{S}</math> ::であるが、①が成り立っているのでこの積分値は0であり、 :::<math>\int_C\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\int_{C'}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}</math> ::ここで<math>C'</math>の経路を任意にとることができて2つの端点が固定されているので、 :::<math>\int_C\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}</math> ::は端点の値にのみ依存する。 ::<math>\mathrm{O}\in D</math>を固定すると同様の議論により<math>\varphi(\mathrm{P}):=\int_\mathrm{O}^\mathrm{P} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}\quad(\mathrm{P}\in D)</math>は端点の値にのみ依存するので :::<math>\int_C \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\int_\mathrm{O}^\mathrm{B}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}-\int_\mathrm{O}^\mathrm{A}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\varphi(\mathrm{B})-\varphi(\mathrm{A})</math> ::となり、満たされる。 :[3] <math>\text{③}\implies\text{②}</math> ::[2]で定義した<math>\varphi</math>が<math>\boldsymbol{a}=\nabla\varphi</math>を満たすことを示す。 ::<math>\mathrm{Q}_x(\varepsilon)</math>を :::<math>\overrightarrow{\mathrm{OQ}}_x=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\varepsilon\boldsymbol{e}_x \quad(\varepsilon>0)</math> ::を満たすようにとると<math>D</math>は領域なので充分小さい<math>\varepsilon</math>をとれば<math>\mathrm{Q}_x(\varepsilon)\in D</math>となって<math>\varphi(Q_x)</math>が値を持つ。 ::<math>\mathrm{P}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>と置けば :::<math>\varphi(\mathrm{Q}_x)-\varphi(\mathrm{P})=\int_\mathrm{P}^{\mathrm{Q}_x}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\int_x^{x+\varepsilon} a_x(\xi,y,z) d\xi</math> ::よって :::<math>\lim_{\mathrm{Q}_x\to\mathrm{P}}\frac{\varphi(\mathrm{Q}_x)-\varphi(\mathrm{P})}{\overline{\mathrm{Q}_x\mathrm{P}}}=\lim_{\varepsilon\to0}\frac{1}{\varepsilon}\int_x^{x+\varepsilon} a_x(\xi,y,z) d\xi</math> ::左辺は<math>\boldsymbol{e}_x</math>方向の方向微分係数なので :::<math>\mathrm{lhs}.=\frac{\partial{\varphi}}{\partial{\boldsymbol{e}_x}}=\nabla\varphi\cdot\boldsymbol{e}_x=\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}</math> ::右辺は<math>\boldsymbol{a}\in C^1(D)</math>から常積分に於ける微分積分学の基本定理を適用できて :::<math>\mathrm{rhs}.=a_x(x,y,z)</math> ::従って :::<math>\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}=a_x</math> ::同様に<math>\mathrm{Q}_y(\varepsilon), \mathrm{Q}_z(\varepsilon)</math>をとれば :::<math>\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}} \end{pmatrix}</math> ::を得るので、<math>\boldsymbol{a}\in C^1(D)\implies\varphi\in C^2(D)</math>とともに満たされる。// ※厳密には、領域の単連結性から保証されるのは連続ホモトピーの存在のみである。今回は領域がユークリッド空間の部分集合なので、適切な写像を選ぶことでホモトピーを近似できて疆界を保った区分的に滑らかな曲面が構成されるのである。 {{定理|(ポアンカレの補題2')}} 領域<math>D\subset\mathbb{R}^3</math>とベクトル場<math>\boldsymbol{a}\in C^1(D)</math>に対して3条件 :④ <math>\mathrm{div}\,\boldsymbol{a}=0</math> :⑤ <math>\exist \boldsymbol{A}\in C^2(D),\quad \mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}=\boldsymbol{a} </math> :⑥ <math>\iint_S \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}=F(\partial{S})</math> が同値となるための十分条件は<math>D</math>が可縮であることである。 {{定理終わり}} *証明 :含意の推移律より ::<math>(\text{④}\iff\text{⑤}\iff\text{⑥})\equiv(\text{④}\implies\text{⑥})\land(\text{⑥}\implies\text{⑤})\land(\text{⑤}\implies\text{④})</math> :なので、<math>D</math>が可縮であるとき3つの条件法命題が全て真であることを確かめればよい。 :[1] <math>\text{⑤}\implies\text{④}</math> ::恒等式<math>\mathrm{div}(\mathrm{rot}\,\boldsymbol{r})=0</math>より直ちに成立。 :[2] <math>\text{④}\implies\text{⑥}</math> ::区分的に滑らかな曲面<math>S</math>に対し、疆界<math>\partial{S}</math>を含む平面で<math>\mathbb{R}^3</math>を切った<math>S</math>を含まない側の領域に<math>\partial{S'}=\partial{S}</math>なる区分的に滑らかな任意の<math>S'</math>を張り合わせると、<math>S''=S-S'</math>は閉曲面である。 ::<math>\partial{V}=S''</math>なる閉立体<math>V</math>が<math>V\subset D</math>であるとき、<math>S''</math>の表向き法線と鋭角をなすように<math>z</math>軸をとる（<math>S</math>の表向き法線の側を正とする）と発散定理より :::<math>\oiint_{S''}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}=\iiint_{V} (\nabla\cdot\boldsymbol{a}) dV</math> ::曲面の差の面積分は区分曲面の面積分の差なので :::<math>\mathrm{lhs}.=\iint_{S}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}-\iint_{S'}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> ::また、④が成り立っているので :::<math>\mathrm{rhs}.=0</math> ::従って :::<math>\iint_{S}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}=\iint_{S'}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> ::ここで<math>S'</math>を任意にとることができて疆界閉曲線が固定されているので、 :::<math>\iint_{S}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}</math> ::は<math>\partial{S}</math>にのみ依存する。 ::則ち、 :::<math>\iint_{S}\boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{S}=F(\partial{S})</math> ::なる写像<math>F</math>が一意に定まる。 <math>\text{⑥}\implies\text{⑤}</math>はホモトピーや微分形式の知識をふんだんに使うので省略する。 グリーンの第二定理を変形することでスカラー場・ベクトル場の積分形を得る。 :疆界が区分的に滑らかである閉立体<math>V\subset\mathbb{R}^3</math>に対して定義された少なくとも<math>C^2</math>級である場<math>\varphi, \boldsymbol{A}</math>に対し、<math>\mathrm{P}\in\mathrm{int}\,V, \upsilon=\frac{1}{\|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\|}</math>とすると ::<math>\varphi(\mathrm{P})=-\frac{1}{4\pi}\left\{ \iiint_V \upsilon\text{∆}\varphi dV + \oiint_{\partial{V}} \left( \varphi\frac{\partial{\upsilon}}{\partial{n}}-\upsilon\frac{\partial{\varphi}}{\partial{n}} \right) dS \right\}\bigg|_{\varphi=\varphi(\mathrm{Q})}</math> ::<math>\boldsymbol{A}(\mathrm{P})=-\frac{1}{4\pi}\left\{ \iiint_V \upsilon\text{∆}\boldsymbol{A} dV + \oiint_{\partial{V}} \left( \boldsymbol{A}\frac{\partial{\upsilon}}{\partial{n}}-\upsilon\frac{\partial{\boldsymbol{A}}}{\partial{\boldsymbol{n}}} \right) dS \right\}\bigg|_{\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}(\mathrm{Q})}</math> *証明 :<math>\boldsymbol{A}</math>も同様なので<math>\varphi</math>に対してのみ証明する。 :閉球<math>B^-_\varepsilon(\mathrm{P})</math>の球面を<math>S_B</math>とし、<math>V</math>上で<math>S_B</math>の内部（<math>B^-_\varepsilon(\mathrm{P})</math>）・外部（<math>V':=V\setminus B^-_\varepsilon(\mathrm{P})</math>）を考える。 :<math>\text{∆}\upsilon=0</math>なのでグリーンの第二定理より ::<math>-\iiint_{V'} \upsilon\text{∆}\varphi dV=\oiint_{\partial{V}} \left( \varphi\frac{\partial{\upsilon}}{\partial{n}}-\upsilon\frac{\partial{\varphi}}{\partial{n}} \right) dS+\oiint_{S_B} \left( \varphi\frac{\partial{\upsilon}}{\partial{n}}-\upsilon\frac{\partial{\varphi}}{\partial{n}} \right) dS</math>・・・(◆) :ここで、<math>V'</math>の<math>S_B</math>側の外向き法線は<math>\overrightarrow{\mathrm{PQ}}</math>の逆を向くので、右辺第二項は ::<math>\oiint_{S_B} \left( \varphi\frac{\partial{\upsilon}}{\partial{n}}-\upsilon\frac{\partial{\varphi}}{\partial{n}} \right) dS=\oiint_{S_B} \left(-\varphi\frac{\partial{\upsilon}}{\partial{\overline{\mathrm{PQ}}}}-\upsilon\frac{\partial{\varphi}}{\partial{n}} \right) dS=\oiint_{S_B} \left(\upsilon^2\varphi-\upsilon\frac{\partial{\varphi}}{\partial{n}} \right) dS</math> :更に変形して ::<math>=\frac{1}{\varepsilon^2} \oiint_{S_B} \varphi dS - \frac{1}{\varepsilon} \oiint_{S_B} \frac{\partial{\varphi}}{\partial{n}} dS</math> :を得る。 :ここで<math>\varepsilon\to0</math>の極限をとると<math>\mathrm{Q\to P}</math>なので第一項は連続性より<math>4\pi\varphi(\mathrm{P})</math>に収束し、第二項は<math>\frac{\partial{\varphi}}{\partial{n}}</math>の有界性より<math>O(\varepsilon)</math>に等しいので0に収束する。 :更に、 ::<math>\lim_{\varepsilon\to0}\left(-\iiint_{V'} \upsilon\text{∆}\varphi dV\right)=-\iiint_{V} \upsilon\text{∆}\varphi dV</math> :なので(◆)は<math>\varepsilon\to0</math>で ::<math>-\iiint_{V} \upsilon\text{∆}\varphi dV-\oiint_{\partial{V}} \left( \varphi\frac{\partial{\upsilon}}{\partial{n}}-\upsilon\frac{\partial{\varphi}}{\partial{n}} \right) dS=4\pi\varphi(\mathrm{Q})</math> :と表示され、 ::<math>\varphi(\mathrm{P})=-\frac{1}{4\pi}\left\{ \iiint_V \upsilon\text{∆}\varphi dV + \oiint_{\partial{V}} \left( \varphi\frac{\partial{\upsilon}}{\partial{n}}-\upsilon\frac{\partial{\varphi}}{\partial{n}} \right) dS \right\}\bigg|_{\varphi=\varphi(\mathrm{Q})}</math> :を得る。// ヘルツホルムの定理で広義ポテンシャルというものを扱ったが、上の表示を用いることで :<math>\varphi=-\frac{1}{4\pi} \iiint_V \frac{1}{r}\nabla\cdot\boldsymbol{a} dV</math> :<math>\boldsymbol{A}=-\frac{1}{4\pi} \iiint_V \frac{1}{r}\nabla\times\boldsymbol{a} dV</math> が広義ポテンシャルの具体表示であると導ける。 但し、この場合はヘルツホルムの定理の前提が<math>\|\boldsymbol{a}\|=O\left(\frac{1}{r}\right)</math>、<math>|\nabla\cdot\boldsymbol{a}|=\|\nabla\times\boldsymbol{a}\|= \frac{1}{r^2}</math>に置き換わる。 受験数学で出てきたパップス=ギュルダンの定理は本来はベクトル解析の定理である。 {{定理|(パップス＝ギュルダンの定理)}} :第一定理：（回転体の表面積）＝（曲線の重心が描く軌跡の長さ）×（元の曲線の長さ） :第二定理：（回転体の体積）＝（曲線の重心が描く軌跡の長さ）×（元の図形の面積） {{定理終わり}} *証明 :[第一定理] ::回転軸を含む平面に回転軸を<math>x</math>軸とする<math>xy</math>座標をとり、正則曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} x(s) \\ y(s) \end{pmatrix} (s\in[0,L])</math>を考える。但し、<math>y(s)\geq0</math>とする。 ::これを<math>x</math>軸に関して回転させた回転面は<math>S:\boldsymbol{R}(s, \theta)=\begin{pmatrix} x(s) \\ y(s)\cos\theta \\ y(s)\sin\theta \end{pmatrix}\left(D=\left\{ \begin{pmatrix} s \\ \theta \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq s \leq L \\ 0 \leq \theta \leq 2\pi \end{array} \right\}\right)</math>である。 ::接ベクトルを計算すると :::<math>\frac{\partial{\boldsymbol{R}}}{\partial{s}}= \begin{pmatrix} x'(s) \\ y'(s)\cos\theta \\ y'(s)\sin\theta \end{pmatrix},\quad \frac{\partial{\boldsymbol{R}}}{\partial{\theta}} = \begin{pmatrix} 0 \\ -y(s)\sin\theta \\ y(s)\cos\theta \end{pmatrix}</math> ::その外積は :::<math>\begin{pmatrix} y'(s)y(s)\sin\theta\cos^2\theta + y'(s)y(s)\sin^2\theta \\ 0-x'(s)y(s)\cos\theta \\ -x'(s)y(s)\sin\theta-0 \end{pmatrix}=y(s)\begin{pmatrix} y'(s) \\ -x'(s)\cos\theta \\ -x'(s)\sin\theta \end{pmatrix}</math> ::よって面素は :::<math>dS= y(s) \left\| \begin{pmatrix} y'(s) \\ -x'(s)\cos\theta \\ -x'(s)\sin\theta \end{pmatrix} \right\|dsd\theta=y(s)dsd\theta</math> ::回転体の表面積は1の面積分なので :::<math>S = \iint_S dS = \iint_D y(s)dsd\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^L y(s) dsd\theta = 2\pi\int_0^L y(s)ds</math> ::重心の定義より<math>y_g=\frac{1}{L}\int_0^L y(s)ds</math>なので :::<math>S = 2\pi L y_g</math> ::ここで<math>y(s)</math>は回転軸から各点までの距離だったので、<math>2\pi y_g</math>は重心が円周を一回転する道のりに等しい。// :[第二定理] ::同様の平面で有界な図形<math>A</math>を考える。 ::各点を<math>\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math>と置いたとき、<math>A</math>を<math>x</math>軸に関して回転させた回転面は :::<math>S:\boldsymbol{R}(x,y,\theta)=\begin{pmatrix} x \\ y\cos\theta \\ y\sin\theta \end{pmatrix}</math> ::回転変換のヤコビ行列は :::<math>\frac{\partial{\boldsymbol{R}}}{\partial{(x,y,\theta)}}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -y\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & y\cos\theta \end{pmatrix}</math> ::なので、体素は :::<math>dV = \left| \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -y\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & y\cos\theta \end{pmatrix} \right|dxdyd\theta=ydxdyd\theta</math> ::回転体の体積は1の体積分なので :::<math>V = \iiint_V dV = \int_0^{2\pi} \left( \iint_A y dxdy \right) d\theta = 2\pi\iint_Aydxdy</math> ::同様に重心の定義より<math>y_g=\frac{1}{|A|}\iint_A ydxdy</math>なので :::<math>V = 2\pi|A| y_g</math> ::ここで<math>y</math>は回転軸から各点までの距離だったので、<math>2\pi y_g</math>は重心が円周を一回転する道のりに等しい。// この証明は共通の構造を有している。 回転軸<math>\boldsymbol{\ell}</math>に対する距離は正射影より :<math>\rho=\|\boldsymbol{r}-(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{\ell})\boldsymbol{\ell}\|</math> 回転で生じる周方向の長さは :<math>2\pi\rho</math> よって線素・面素は :<math>dS=2\pi\rho ds</math> :<math>dV=2\pi\rho dA</math> このように、パップス=ギュルダンの定理の本質は「回転の微小変位=点の周回距離×元の微小変位」という微小回転の理論なのである。 ラプラス場の解析（「調和関数の法線方向微分の面積分は0」「グリーンの第二定理の右辺=0」「調和関数の点mでの値は半径に依らずmを中心とした球内に於ける調和関数の平均値」「定数関数でない調和関数は最大値も最小値も持たない」「閉曲面上で定数関数である調和関数は閉曲面が囲む領域の至る所で定数関数」「ラプラス方程式のディリクレ問題の解は一意」「調和関数の疆界に於ける法線方向微分が0なら立体内で至る所で定数関数」「ラプラス方程式の2解の疆界上法線方向微分が一致するならその差は定数」） ==発展事項== {{節stub}} {{Advanced|多様体論}} {{Advanced|微分幾何学}} {{Advanced|積分幾何学}} ここではベクトル解析の発展編及び微分幾何学の基礎編として、「ユークリッド空間の部分多様体上の微分幾何学」を扱う。言うなれば「<math>n</math>次元版のベクトル解析学」である。 ===体積分再考=== 体積分は先程「<math>\mathbb{R}^3</math>上の閉立体<math>V</math>」上で考えたが、実はここには線積分・面積分との大きな非対称性がある。 線積分は「曲線」、面積分は「曲面」を積分領域としたが、先程定義した体積分の積分領域は「平坦な立体」なのである（二次元で例えば楕円領域<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq1</math>は疆界こそ"曲線"だが空間そのものは<math>\mathbb{R}^2</math>という"平面"であることと同じ）。 1次元の曲がった空間である曲線<math>M^1:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>が<math>\mathbb{R}^2</math>内、2次元の曲がった空間である曲面<math>M^2:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s, t)</math>が<math>\mathbb{R}^3</math>内に存在するように、3次元の曲がった空間である曲立体<math>M^3:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s, t, u)</math>は<math>\mathbb{R}^4</math>内に存在すると考えるのが自然である。ここで一般に<math>M^n\subset\mathbb{R}^{n+1}</math>が成り立つと予想され、この関係を「<math>M^n</math>の<math>\mathbb{R}^{n+1}</math>への'''埋め込み'''」と呼ぶことにする。 線積分を<math>C=M^1</math>、面積分を<math>S=M^2</math>で定義したように、体積分を<math>M^3</math>で定義することを考える。 媒介変数空間<math>\begin{pmatrix} s \\ t \\ u \end{pmatrix} \in V \subset\mathbb{R^3}</math>上の微小変化を考えると全微分を用いて :<math>d\boldsymbol{r}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}}ds+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math> よって<math>V</math>上の微小立方体<math>dsdtdu</math>は3ベクトル<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}}ds,\quad\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt,\quad\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math>の張る微小平行六面体へ移される。 体素はこの微小平行六面体の体積と考えられるが、<math>\boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^4</math>より当然この3ベクトルは4項ベクトルなので、'''外積を含んでいるスカラー三重積は使えない'''。 全微分を一次変換表記すると :<math>d\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} \frac{\partial{x}}{\partial{s}} & \frac{\partial{x}}{\partial{t}} & \frac{\partial{x}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{y}}{\partial{s}} & \frac{\partial{y}}{\partial{t}} & \frac{\partial{y}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{z}}{\partial{s}} & \frac{\partial{z}}{\partial{t}} & \frac{\partial{z}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{w}}{\partial{s}} & \frac{\partial{w}}{\partial{t}} & \frac{\partial{w}}{\partial{u}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> :<math>=\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> ここでヤコビ行列は<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\in\mathbb{R}^{4\times3}</math>であって'''正方行列でないので行列式も求まらない'''。 そこで、[[線型代数学続論/種々の行列#随伴行列|グラム行列]]を利用することを考える。 '''グラム行列は必ず半正定値行列'''なので行列式は非負であり、平方根をとれる。 そのため、<math>\mathbf{G}:=\left(\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\right)^*\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}</math>として<math>\sqrt{\det\mathbf{G}}</math>を体積拡大率とする。 これは正方行列ならヤコビアンの絶対値に一致する。 {{NavTop|title=補足：体積拡大率に一致する証明}} :<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}</math>の列ベクトルにグラム=シュミットの直交化法を適用すると[[線型代数学続論/行列分解|QR分解]]によって :<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}=\mathbf{QR}\quad (\mathbf{Q}\in\mathbb{R}^{4\times3}, \mathbf{R}\in\mathbb{R}^{3\times3})</math> よって :<math>\mathbf{G}=(\mathbf{QR})^*\mathbf{QR}</math> :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{Q}^*\mathbf{Q}\mathbf{R}</math> :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{E}_3\mathbf{R}</math>（<math>\because\mathbf{Q}</math>は列ユニタリ行列） :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{R}</math> :<math>\therefore \sqrt{\det\mathbf{G}}=\sqrt{\det\left( \mathbf{R}^*\mathbf{R} \right)}=\sqrt{\left(\det\mathbf{R}\right)^2}=|\det\mathbf{R}|</math> <math>\mathbf{Q}</math>は列ユニタリ行列なのでその一次変換は等長変換であり、全微分による拡大率は<math>\mathbf{R}</math>による拡大率と一致する。<br/> 則ち、<math>\sqrt{\det\mathbf{G}}</math>を拡大率としてとれる。// {{NavBottom}} よって体積分は :<math>\iiint_{M^3} f(\boldsymbol{r})dM^3 = \iiint_{V} f(\boldsymbol{r}(s, t, u))\sqrt{\det\mathbf{G}}\,dsdtdu</math> ここから、適切な媒介変数表示が存在するならば<math>M^n</math>上での体積分の計算に<math>\mathbb{R}^{n+1}\setminus M^n</math>の情報は入ってこず、<math>M^n</math>の情報のみで計算されると予想される。 実際、<math>M^n</math>に適切な媒介変数表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{p})\quad(\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^n)</math>が存在するとき、全微分による一次変換の拡大率は同様にグラム行列式の平方根で与えられるので体積素は<math>dM^n = \sqrt{\det\mathbf{G}} \prod_{k=1}^{n}d\boldsymbol{p}_k</math>と書け、これは正しい。 なお、二次元の場合を考えると<math>\mathbf{G}=\mathbf{K}</math>より<math>dM^2=dS</math>であり、面素に一致する。一次元の場合を考えると<math>\mathbf{G}=\|d\boldsymbol{r}\|^2</math>より<math>dM^1=d\ell</math>であり、線素に一致する。 実は、体素だけでなく一般に角度や長さといった幾何学的な量は埋め込み先である<math>\mathbb{R}^{n+1}</math>の情報を全く必要とせず、<math>M^n</math>の情報だけで構成できることが知られている。このことは微分幾何学のうち[[w:リーマン幾何学|リーマン幾何学]]と呼ばれる分野で詳しく扱われる。 ここまで<math>M^n</math>を適切な媒介変数<math>\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^n</math>で表すことを強調してきたが、媒介変数表示を考えるということは<math>M^n</math>から媒介変数空間<math>U\subset\mathbb{R}^n</math>への射影<math>\pi:M^n\to U</math>を考えるということである。 ここで、この<math>\pi</math>が全単射ならば逆向きの射影<math>\pi^{-1}:U\to M^n</math>が存在してそれが媒介変数表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{p})</math>となるわけであるが、これは以下のようにも捉えられる。 :<math>\pi</math>によって射影した平坦な空間で座標を設定すると、'''適切な逆変換^※によって曲がった空間<math>M^n</math>上に(局所)座標系を与えることができる'''。 つまり、体積分を媒介変数空間に置換積分するということは、逆に体積分の元の表示が「<math>M^n</math>上の局所座標系に於ける積分」であることを示している。 ※この適切な逆変換が存在する条件は'''陰関数定理そのもの'''である。 ここで、適切な媒介変数表示が存在するよう<math>M^n</math>に制限を課したものが、以下で扱う'''多様体'''である。 ===多様体=== ===微分形式=== [[線型代数学続論/外積代数]]も参照。 ===リーマン計量=== ===テンソル解析=== [[線型代数学続論/テンソル代数]]も参照。 ===複素ベクトル解析=== [[複素解析学]]も参照。 {{DEFAULTSORT:へくとるかいせき}} [[Category:解析学]] [[Category:微分積分学]] [[Category:ベクトル解析|かいせきかくきそ]] 74j0po7j0a3g11z37ma1q0ee4snl7ok 0 46992 305419 287211 2026-11-05T15:57:18Z Tomzo 248 305419 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|歴史学|世界史|frame=1}} {| border="1" |-align="center" |width="40%"|[[世界史]] |width="30%"|[[冷戦後の世界|次のページ]] |} '''1980年代'''、ソビエト社会主義共和国連邦の書記長に'''ミハイル・ゴルバチョフ'''が就任すると、'''アフガニスタンからのソ連軍の撤退'''や、'''ペレストロイカ'''(政治改革)、を行った。特に、1985年に発生した'''チェルノブイリ原子力発電所事故'''は政府機関などによって隠蔽されており、甚大な被害をもたらした。このため、ゴルバチョフは'''グラスノスチ'''(情報透明化)を行い、'''ヨシフ・スターリン'''時代の'''大粛清'''の被害者なども公表した。これにより、'''バルト三国'''などではソ連からの脱退・独立を求める運動が活発化した。 ==東欧の社会主義脱退== 1980年代、ソビエト連邦の経済は完全に疲弊し、東欧に軍事介入する余力も無くなっていった。そして'''1989年'''、'''東欧東ドイツ'''にて軍事パレード(東ドイツ建国40周年記念)が行われると、ゴルバチョフが演説にて民主化の必要性を訴えた。これにより、東欧は一気に民主化を求める運動が広がり、1月にハンガリーにて'''複数政党制'''許可、4月にポーランドでの'''円卓会議'''で'''連帯'''が合法化、10月に東ドイツ書記長'''ホーネッカー'''が辞任、11月に'''ベルリンの壁'''崩壊、12月にルーマニアで'''チャウシェスク政権'''崩壊、同年12月に'''マルタ'''にて'''レーガン'''と'''ゴルバチョフ'''が会議を行い、'''冷戦の終結'''を宣言した。ここに、東欧は完全に民主化されたのである。 {{stub}} b19igwe5se1cvhmisqjsw7956u3wjf0 305426 305419 2026-11-06T03:53:15Z 正月君 92918 305426 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|歴史学|世界史|frame=1}} {| border="1" |-align="center" |width="40%"|[[世界史]] |width="30%"|[[冷戦後の世界|次のページ]] |} '''1980年代'''、ソビエト社会主義共和国連邦の書記長に'''ミハイル・ゴルバチョフ'''が就任すると、'''アフガニスタンからのソ連軍の撤退'''や、'''ペレストロイカ'''(政治改革)、を行った。特に、1985年に発生した'''チェルノブイリ原子力発電所事故'''は政府機関などによって隠蔽されており、甚大な被害をもたらした。このため、ゴルバチョフは'''グラスノスチ'''(情報透明化)を行い、'''ヨシフ・スターリン'''時代の'''大粛清'''の被害者なども公表した。これにより、'''バルト三国'''などではソ連からの脱退・独立を求める運動が活発化した。 ==東欧の社会主義脱退== 1980年代、ソビエト連邦の経済は完全に疲弊し、東欧に軍事介入する余力も無くなっていった。そして'''1989年'''、'''東欧東ドイツ'''にて軍事パレード(東ドイツ建国40周年記念)が行われると、ゴルバチョフが演説にて民主化の必要性を訴えた。これにより、東欧は一気に民主化を求める運動が広がり、1月にハンガリーにて'''複数政党制'''許可、4月にポーランドでの'''円卓会議'''で'''連帯'''が合法化、10月に東ドイツ書記長'''ホーネッカー'''が辞任、11月に'''ベルリンの壁'''崩壊、12月にルーマニアで'''チャウシェスク政権'''崩壊、同年12月に'''マルタ'''にて'''レーガン'''と'''ゴルバチョフ'''が会議を行い、'''冷戦の終結'''を宣言した。ここに、東欧は完全に民主化されたのである。 {{stub}} [[カテゴリ:ロシア史|そういえとしやかいしゆききようわこくれんほう]] [[カテゴリ:20世紀]] 7mkaw91gacnakv5cdl63cr36eyd8p3e 0 47285 305442 299568 2026-11-06T08:17:16Z ~2026-58910-64 92961 新しいジョークの追加 305442 wikitext text/x-wiki ===シュールな世界=== * 男が砂漠でランプを見つけ、こすると魔人が現れました。 * 魔人：「願いを一つだけ叶えよう」 * 男：「世界中が平和になりますように。この地図を見てくれ、紛争が絶えない地域を全部平和にしてほしい」 * 魔人：「それは難しすぎる。神様でも無理だ。もっと簡単な願いにしてくれ」 * 男：「わかった。じゃあ、私の妻が怒らないようにしてくれ」 * 魔人：「......さっきの地図、もう一度見せてもらえるか？」 ===犬の消失=== * 男が愛犬の体に「シミ抜き剤」をこぼしてしまいました。 * すると、犬は消えてしまいました。 ===車の免許=== * 祖父:「車の免許を返納した」 * 孫:「まだ大丈夫じゃない？判断力が鈍っていないし」 * 祖父:「判断力があったから返納した」 ===アニメ好き=== * 彼氏:「待ってくれ！」 * 彼女:「もう失望したわ」 * 彼氏:「もう一度チャンスをくれ！！」 * 彼女:「じゃあ問題、アニメか私どっちがいいの？」 * 彼氏:「あ、ごめんバイバイ」 ===肉屋=== *ある男が新しくできた肉屋に入って行った。 *そこでは、アイロンの上で、皮付きの肉を焼いていた。 *それを見た男は、ニヤニヤしながら店主にこう言った。 * 「設備がそれだけだなんて、よっぽど店を開くのがやっとだったのかい？」 [[Category:ジョーク|しゆうるなしよおくしゆう]] 3z95u97m8vkg0h7ewxfay2ogwx9fmsd 0 48743 305416 305392 2026-11-05T15:46:58Z BrassSnail 71325 内容追加 305416 wikitext text/x-wiki [[アイヌ語]] > '''学習に役立つ文献やウェブサイト''' ここでは、トップページに載せられなかったものも含めて、アイヌ語の学習に役立つ様々な本、雑誌、ウェブサイトなどを紹介する。また、現在は外部サイトの[https://note.com/wombat13/n/nc98844bc2248 アイヌ語をがっつり学びたくなった時のための記事 – Wombat (note.com)]などもこの記事に類するものとして参考になる。 == アイヌ語に触れたい == アイヌ語かるた [http://itelmen.placo.net/japan/children.html アイヌ語児童教材] | 日本先住民地域研究部門 | 千葉大学人文社会科学研究科地域研究センター CAS == 学ぶ == ニューエクスプレスプラス アイヌ語 エクスプレス アイヌ語 中川裕『アイヌ語広文典』<small>{{ISBN|978-4-560-09963-6}}</small> 亀井孝 他編『言語学大辞典』第一巻 <small>ISBN 978-4-385-15213-4</small> 所収「アイヌ語」田村すゞ子（1997） :分冊版の『言語学大辞典セレクション 日本列島の言語』（ISBN 4-385-15207-1）にも同じ内容が書かれている。 アイヌ語ポータルサイト == 音声を聞く == === 母語話者（やそれに近い話者）の録音 === [https://ainugo.nam.go.jp/ 国立アイヌ民族博物館アイヌ語アーカイブ] [https://ainu.ninjal.ac.jp/folklore/ アイヌ語口承文芸コーパス －音声・グロス付き｜国立国語研究所] [https://ainugo.aa-ken.jp/ AA研アイヌ語資料 公開プロジェクト] [https://ainugo.hm.pref.hokkaido.lg.jp/ ほっかいどう　アイヌ語アーカイブ｜北海道博物館] [http://itelmen.placo.net/Ainu-archives/index.html アイヌ語鵡川方言 日本語-アイヌ語辞典｜千葉大学大学院 人文社会科学研究科] [http://itelmen.placo.net/Ainu-archives/tales/index.cgi アイヌ語音声資料アーカイヴズ｜千葉大学大学院 人文社会科学研究科] === 近年の音声 === == 単語や実際の用例を調べる == === 単語集、意味説明のみの辞書 === コンパクトに纏まっており全体が一望できるので、印刷してちょっと手元においておきたいときや知っている語を思い出したいときなどに便利かもしれない。これらの辞書にしか載っていないような貴重な情報もしばしばあるので、侮ってはいけない。 アイヌ語ポータルサイトより、単語リスト（アイヌ語・日本語）それぞれ1000語程度 * [https://www.ff-ainu.or.jp/teach/files/ishikari_tango.pdf －石狩川－] * [https://www.ff-ainu.or.jp/teach/files/saru_tango.pdf －沙流－] * [https://www.ff-ainu.or.jp/teach/files/karahuto_tango.pdf －カラフト－] [https://itah.aynu.org/ja 樺太アイヌ語の辞書]全2495語（2026年10月時点） [https://web.archive.org/web/20240226075541/https://tommy1949.world.coocan.jp/aynudictionary.htm 富田隆 氏によるアイヌ語電子辞書]1万5005項目、語数約1万8000語 [https://itak.aynu.org/ 現代アイヌ語翻訳用語集]1827項目（2026年10月時点） === 用例付き辞書、コーパス検索 === 中川裕『アイヌ語千歳方言辞典』草風館（1995）<small>ISBN 978-4-88323-078-5</small> 田村すゞ子『アイヌ語沙流方言辞典』草風館（1996）<small>ISBN 978-4-88323-093-8</small> 萱野茂『萱野茂のアイヌ語辞典 新装版』三省堂（2026/1996）<small>ISBN 978-4-385-17053-4</small> 図版320点付き [https://ainugo.nam.go.jp/ 国立アイヌ民族博物館アイヌ語アーカイブ] : 「音声を聞く」の節でも紹介。辞書以外の資料からも検索できる。辞書は、田村すず子『アイヌ語沙流方言辞典』（1996）、萱野茂著『萱野茂のアイヌ語辞典』（1996）、知里真志保『分類アイヌ語辞典　植物編・動物編』（1953）の3冊を基にしている。 : 辞書のみは [https://kampisos.aynu.io/ Kampisos – aynu.io] [https://corpus.aynu.org/ corpus.aynu.org – Aynu.org] [https://ainu.ninjal.ac.jp/folklore/corpus/jp/ アイヌ語口承文芸コーパス ー音声・グロス付き－] === 特定分野に特化したもの === 知里真志保『分類アイヌ語辞典』[https://www.i-repository.net/il/meta_pub/G0000723jmpapers_54277 「第１巻植物編（1953）」][https://www.i-repository.net/il/meta_pub/G0000723jmpapers_53484 「第２巻動物編（1962,遺稿）」][https://www.i-repository.net/il/meta_pub/G0000723jmpapers_53465 「第３巻人間編（1954）」] [https://ainugo.nam.go.jp/siror/ アイヌと自然デジタル図鑑] :上記の『分類アイヌ語辞典』の植物篇、動物篇から検索できるほか、その動植物に関わる伝承なども見ることができる。アイヌ語アーカイブや関連する物語にもリンクしている。 [https://ainu.ninjal.ac.jp/topic/ トピック別 アイヌ語会話辞典] [https://eprints.lib.hokudai.ac.jp/repo/huscap/all/87707/ 太田満『和愛辞典 : 草稿版』 | 北海道大学学術成果コレクション : HUSCAP] :新語を多く含む。有志が作った非公式のWeb版（見出し語および本文から検索できるようにしたもの）もある。 == アイヌ文化 == == アイヌ、アイヌ語、アイヌ文化等に関する様々なものを扱っている博物館 == https://ainu-upopoy.go.jp/museum/ == ポータルサイト == 公益財団法人 アイヌ民族文化財団「[https://www.ff-ainu.or.jp/web/potal_site/index.html アイヌ語ポータルサイト]」 {{substub|20260825}} [[category:アイヌ語]] ocdy7lwqokhpat8h8q814qhmf9s5ur9 0 48938 305437 305389 2026-11-06T07:40:31Z Tomzo 248 /* 各章 */ 305437 wikitext text/x-wiki ==主要なテーマ== :弟子たちの人物と志を論じ、個性に応じた教育と仁の実践を重視する。 == 各章 == #[[/第一|第一]] #:子曰：「先進於禮樂，野人也；後進於禮樂，君子也。如用之，則吾從先進。」 #::子曰く「先進の禮樂に於けるは野人なり。後進の禮樂に於けるは君子なり。如し之を用ひば、則ち吾は先進に從はん。」 #[[/第二|第二]] #:子曰：「從我於陳蔡者，皆不及門也。」 #::子曰く「我に陳蔡に從ふ者、皆門に及ばざるなり。」 #[[/第三|第三]] #:德行：顏淵、閔子騫、冉伯牛、仲弓。言語：宰我、子貢。政事：冉有、季路。文學：子游、子夏。 #::德行には、顏淵、閔子騫、冉伯牛、仲弓。言語には、宰我、子貢。政事には、冉有、季路。文學には、子游、子夏。 #子曰：「回也，非助我者也！於吾言，無所不說。」 #子曰：「孝哉閔子騫！人不閒於其父母昆弟之言。」 #南容三復白圭，孔子以其兄之子妻之。 #季康子問：「弟子孰為好學？」孔子對曰：「有顏回者好學，不幸短命死矣！今也則亡。」 #顏淵死，顏路請子之車以為之槨。子曰：「才不才，亦各言其子也。鯉也死，有棺而無槨。吾不徒行以為之槨，以吾從大夫之後，不可徒行也。」 #顏淵死，子曰：「噫！天喪予！天喪予！」 #顏淵死，子哭之慟。從者曰：「子慟矣！」曰：「有慟乎？非夫人之為慟而誰為！」 #顏淵死，門人欲厚葬之，子曰：「不可。」門人厚葬之。子曰：「回也，視予猶父也，予不得視猶子也，非我也，夫二三子也。」 #季路問事鬼神，子曰：「未能事人，焉能事鬼！」「敢問死？」曰：「未知生，焉知死？」 #閔子侍側，誾誾如也；子路，行行如也；冉有、子貢，侃侃如也。子樂。「若由也，不得其死然！」 #魯人為長府。閔子騫曰：「仍舊貫，如之何？何必改作！」子曰：「夫人不言，言必有中。」 #子曰：「由之瑟，奚為於丘之門？」門人不敬子路。子曰：「由也升堂矣，未入於室也！」 #子貢問：「師與商也孰賢？」子曰：「師也過，商也不及。」曰：「然則師愈與？」子曰：「過猶不及。」 #季氏富於周公，而求也為之聚斂而附益之。子曰：「非吾徒也！小子鳴鼓而攻之，可也。」 #柴也愚，參也魯，師也辟，由也喭。 #子曰：「回也其庶乎，屢空。賜不受命，而貨殖焉；億則屢中。」 #子張問「善人」之道。子曰：「不踐跡，亦不入於室。」 #子曰：「論篤是與，君子者乎？色莊者乎？」 #子路問：「聞斯行諸？」子曰：「有父兄在，如之何其聞斯行之！」冉有問：「聞斯行諸？」子曰：「聞斯行之。」公西華曰：「由也問：『聞斯行諸？』子曰：『有父兄在。』求也問：『聞斯行諸？』子曰：『聞斯行之。』赤也惑，敢問。子曰：「求也退，故進之；由也兼人，故退之。」 #子畏於匡，顏淵後。子曰：「吾以女為死矣！」曰：「子在，回何敢死！」 #季子然問：「仲由冉求可謂大臣與？」子曰：「吾以子為異之問，曾由與求之問？所謂大臣者，以道事君，不可則止。今由與求也，可謂具臣矣。」曰：「然則從之者與？」子曰：「弒父與君，亦不從也。」 #子路使子羔為費宰。子曰：「賊夫人之子。」子路曰：「有民人焉，有社稷焉，何必讀書，然後為學？」子曰：「是故惡夫佞者。」 #子路、曾皙、冉有、公西華侍坐。子曰：「以吾一日長乎爾，毋吾以也。居則曰：『不吾知也。』如或知爾，則何以哉？」子路率爾而對，曰：「千乘之國，攝乎大國之間，加之以師旅，因之以饑饉，由也為之，比及三年，可使有勇，且知方也。」夫子哂之。「求，爾何如？」對曰：「方六七十，如五六十，求也為之，比及三年，可使足民；如其禮樂，以俟君子。」「赤，爾何如？」對曰：「非曰能之，願學焉！宗廟之事，如會同，端章甫，願為小相焉。」「點，爾何如？」鼓瑟希，鏗爾，舍瑟而作；對曰：「異乎三子者之撰。」子曰：「何傷乎！亦各言其志也。」曰：「莫春者，春服既成；冠者五六人，童子六七人。浴乎沂，風乎舞雩，詠而歸。」夫子喟然歎曰：「吾與點也！」三子者出，曾皙後。曾皙曰：「夫三子者之言何如？」子曰：「亦各言其志也已矣。」曰：「夫子何哂由也？」曰：「為國以禮，其言不讓，是故哂之。」「唯求則非邦也與？」安見方六七十，如五六十，而非邦也者！」「唯赤則非邦也與？」「宗廟會同，非諸侯而何？赤也為之小，孰能為之大！」 {{stub|論語}} [[Category:論語|せんしん]] qxs9mwabnkrvt9fgloqda11crvgpkg6 0 48983 305412 305327 2026-11-05T15:45:25Z 正月君 92918 正月君 がページ「[[経済学/金融経済論]]」を「[[金融経済論]]」に移動しました: ページ体系の変更/明確化 305327 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|経済学|frame=1|small=1}} {{wikipedia|金融経済学}} * [[経済学/数理ファイナンス|数理ファイナンス]] * [[経済学/行動ファイナンス|行動ファイナンス]] 7d2nhe89xfd1f7avbxcxhj813q2ieto 305429 305412 2026-11-06T04:06:20Z 正月君 92918 305429 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|経済学|frame=1|small=1}} {{wikipedia|金融経済学}} * [[経済学/数理ファイナンス|数理ファイナンス]] * [[経済学/行動ファイナンス|行動ファイナンス]] {{stub}} [[category:経済学]] ejqr4khcny5n3144mu03zqt5my2kqbx 305432 305429 2026-11-06T04:10:49Z 正月君 92918 305432 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|経済学|frame=1|small=1}} {{wikipedia|金融経済学}} * [[経済学/数理ファイナンス|数理ファイナンス]] * [[経済学/行動ファイナンス|行動ファイナンス]] {{substub|090315}} [[category:経済学]] enh1xmf2kjdogekeck8usfluxh1kaoo 0 48984 305414 305328 2026-11-05T15:45:59Z 正月君 92918 正月君 がページ「[[経済学/数理ファイナンス]]」を「[[数理ファイナンス]]」に移動しました: ページ体系の変更/明確化 305328 wikitext text/x-wiki [[経済学]]＞[[経済学/金融経済論|金融経済論]]＞数理ファイナンス {{wikipedia|数理ファイナンス}} * [[ポートフォリオ理論]] cy2i7c22nicwmhv1j566it96gurisos 305430 305414 2026-11-06T04:06:40Z 正月君 92918 305430 wikitext text/x-wiki [[経済学]]＞[[経済学/金融経済論|金融経済論]]＞数理ファイナンス {{wikipedia|数理ファイナンス}} * [[ポートフォリオ理論]] 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style="width:40%;" | 訓読文 ! style="width:60%;" | 語釈…」 305435 wikitext text/x-wiki ==本文== <div style="text-align: center;"> <div style="display: inline-block; text-align: left;"> <small> {{#invoke:Kanbun|kanbun| 德行{ニハ} 顏淵、閔子騫、冉伯牛、仲弓。\\ 言語{ニハ} 宰我、子貢。\\ 政事{ニハ} 冉有、季路。\\ 文學{ニハ} 子游、子夏。 }} </small> </div> </div> == 訓読文と語釈等 == <div> {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ ! style="width:40%;" | 訓読文 ! style="width:60%;" | 語釈等 |- |style="vertical-align:top"|<big> 德行{{Refnest|group="†"|道を悟り得て、これを行為に表すこと<ref name="yoshida">吉田賢抵註『論語』（明治書院・新釈漢文体系）p.233</ref>。}}には、[[#顏回|顏淵]]、[[#閔子騫|閔子騫]]、冉伯牛、仲弓。 言語{{Refnest|group="†"|言葉遣いが巧みで、ものごとを上手に説明表現すること。雄弁の意。<ref name="yoshida"/>}}には、宰我、子貢。 政事{{Refnest|group="†"|国家社会を治めることに才能がある<ref name="yoshida"/>。}}には、冉有、季路。 文學{{Refnest|group="†"|博く詩・書・礼・楽を学んで、その意義に明らかなこと<ref name="yoshida"/>。}}には、子游、子夏。 |style="vertical-align:top"|<small><references group="†"/></small> |} </div> == 現代語和訳 == [[w:下村湖人|下村湖人]][https://www.aozora.gr.jp/cards/001097/files/43785_58836.html 『現代訳論語』（青空文庫）より] :<u>先師に従って陳・蔡におもむいた門人の中で、<ref>下村湖人による加筆</ref></u>徳行にすぐれたのが顔渕・閔子騫・冉伯牛・仲弓、言論に秀でたのが宰我・子夏、政治的才能できこえたのが冉有・季路、文学に長じたのが子游・子夏であった。 ::下村注 :::本章にあげられた十人の門人の名は、論語の記者の附記であるが、世にこれを「孔門の十哲」といつている。しかし、この十人を孔子の門人中の最優秀者であつたと断定するのは当らない。たとえば曾参や有若の如き、年こそ若けれ、十哲中のある者よりは遙かにすぐれた門人だつたのである。なお、十哲中の冉有は、実は陳・蔡の旅には加わつていなかつたのであるが、門人中の古参の一人であつたため、論語の記者によつて誤り加えられたものであろう。 == 解説 == {{wikipedia|孔門十哲}} 本章は、[[論語/巻第六 先進第十一/第二|前章]]と合わせて一章とする場合もあるが、前章は孔子の言、本章は孔子によるものではなく後代の評価とされることから、前章と本章とを分ける立場によった。 孔子は、生涯に3000人の弟子をとり、その中で基本教養である六芸に通じるほどになった者はわずかに70数人であったとされる<ref>「孔子以詩書禮樂敎，弟子蓋三千焉，身通六藝者七十有二人。」（『史記・孔子世家』）</ref>。本章は、その中でも、特に優れているとされる10人の弟子を、徳行・言語・政事・文学の4分野（孔門四科）に分け紹介するものである。ただし、この評価は、各人を{{ruby|字|あざな}}で読んでいることから孔子自身によるものではなく（孔子の言であれば、論語の他の部分同様、諱で言及しているはず）、論語編集者が当時の評判などをもとに、また、当時の論語編集者の属する学派の立場から編集されたものである。また、曾参（曾子）や子張と言った高名な弟子は含まれておらず、前章との関係から、ここに挙げられるのは、陳蔡の厄に付き従った弟子たちであろうと考えられている。 ===孔門十哲=== ==== 顔回 ==== {{wikipedia|顔回}} 姓は顔、諱は回、字は淵。孔子と同じ魯の人であり、孔子よりも30歳若く、回の父もまた孔子の弟子であった。 頭脳明晰なだけではなく、謙虚で人柄もよく徳を湛えているとされた。学問を好み、理解力が高く、孔子も賞賛した（[[論語/巻第三 公冶長第五/第九|公冶長第五/第九]]他）。また、学問に熱中するあまりか仕官などをしなかったため大変貧しかったが、それを気にしなかった（[[論語/巻第三 雍也第六/第九|雍也第六/第九]]、『史記・仲尼弟子列伝』「回也屢空」）。 42歳で孔子に先立って亡くなる。孔子は「天我を喪（滅）ぼせり」と嘆いた（[[論語/巻第六_先進第十一/第九|先進第十一/第九]]）。 == 関連 == == 脚注 == <small><references /></small> {{stub}} [[Category:高等学校教育_国語_漢文|せんしん]] [[category:論語|せんしん03]] ogtfqpuwv5u0lp0ysuzrh87pafewgtf 305436 305435 2026-11-06T07:37:44Z Tomzo 248 305436 wikitext text/x-wiki ==本文== <div style="text-align: center;"> <div style="display: inline-block; text-align: left;"> <small> {{#invoke:Kanbun|kanbun| 德行{ニハ} 顏淵、閔子騫、冉伯牛、仲弓。\\ 言語{ニハ} 宰我、子貢。\\ 政事{ニハ} 冉有、季路。\\ 文學{ニハ} 子游、子夏。 }} </small> </div> </div> == 訓読文と語釈等 == <div> {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ ! style="width:40%;" | 訓読文 ! style="width:60%;" | 語釈等 |- |style="vertical-align:top"|<big> 德行{{Refnest|group="†"|道を悟り得て、これを行為に表すこと<ref name="yoshida">吉田賢抵註『論語』（明治書院・新釈漢文体系）p.233</ref>。}}には、[[#顏回|顏淵]]、[[#閔子騫|閔子騫]]、冉伯牛、仲弓。 言語{{Refnest|group="†"|言葉遣いが巧みで、ものごとを上手に説明表現すること。雄弁の意。<ref name="yoshida"/>}}には、宰我、子貢。 政事{{Refnest|group="†"|国家社会を治めることに才能がある<ref name="yoshida"/>。}}には、冉有、季路。 文學{{Refnest|group="†"|博く詩・書・礼・楽を学んで、その意義に明らかなこと<ref name="yoshida"/>。}}には、子游、子夏。 |style="vertical-align:top"|<small><references group="†"/></small> |} </div> == 現代語和訳 == [[w:下村湖人|下村湖人]][https://www.aozora.gr.jp/cards/001097/files/43785_58836.html 『現代訳論語』（青空文庫）より] :<u>先師に従って陳・蔡におもむいた門人の中で、<ref>下村湖人による加筆</ref></u>徳行にすぐれたのが顔渕・閔子騫・冉伯牛・仲弓、言論に秀でたのが宰我・子夏、政治的才能できこえたのが冉有・季路、文学に長じたのが子游・子夏であった。 ::下村注 :::本章にあげられた十人の門人の名は、論語の記者の附記であるが、世にこれを「孔門の十哲」といつている。しかし、この十人を孔子の門人中の最優秀者であつたと断定するのは当らない。たとえば曾参や有若の如き、年こそ若けれ、十哲中のある者よりは遙かにすぐれた門人だつたのである。なお、十哲中の冉有は、実は陳・蔡の旅には加わつていなかつたのであるが、門人中の古参の一人であつたため、論語の記者によつて誤り加えられたものであろう。 == 解説 == {{wikipedia|孔門十哲}} 本章は、[[論語/巻第六 先進第十一/第二|前章]]と合わせて一章とする場合もあるが、前章は孔子の言、本章は孔子によるものではなく後代の評価とされることから、前章と本章とを分ける立場によった。 孔子は、生涯に3000人の弟子をとり、その中で基本教養である六芸に通じるほどになった者はわずかに70数人であったとされる<ref>「孔子以詩書禮樂敎，弟子蓋三千焉，身通六藝者七十有二人。」（『史記・孔子世家』）</ref>。本章は、その中でも、特に優れているとされる10人の弟子を、徳行・言語・政事・文学の4分野（孔門四科）に分け紹介するものである。ただし、この評価は、各人を{{ruby|字|あざな}}で読んでいることから孔子自身によるものではなく（孔子の言であれば、論語の他の部分同様、諱で言及しているはず）、論語編集者が当時の評判などをもとに、また、当時の論語編集者の属する学派の立場から編集されたものである。また、曾参（曾子）や子張と言った高名な弟子は含まれておらず、前章との関係から、ここに挙げられるのは、陳蔡の厄に付き従った弟子たちであろうと考えられている。 ===孔門十哲=== ==== 顔回 ==== {{wikipedia|顔回}} 姓は顔、諱は回、字は淵。孔子と同じ魯の人であり、孔子よりも30歳若く、回の父もまた孔子の弟子であった。 頭脳明晰なだけではなく、謙虚で人柄もよく徳を湛えているとされた。学問を好み、理解力が高く、孔子も賞賛した（成句「一を聞いて十を知る」の由来である[[論語/巻第三 公冶長第五/第九|公冶長第五/第九]]他）。また、学問に熱中するあまりか仕官などをしなかったため大変貧しかったが、それを気にしなかった（[[論語/巻第三 雍也第六/第九|雍也第六/第九]]、『史記・仲尼弟子列伝』「回也屢空」）。 42歳で孔子に先立って亡くなる。孔子は「天我を喪（滅）ぼせり」と嘆いた（[[論語/巻第六_先進第十一/第九|先進第十一/第九]]）。 ==== 閔子騫 ==== {{wikipedia|閔子騫}} 姓は閔、諱は損、字は子騫。孔子よりも15歳若い。 孔子からは、父母や家族への態度について「孝」の手本であると評価されていた（[[論語/巻第六_先進第十一/第五|先進第十一/第五]]）。また、普段は控えめでありながら、大切な時には適切なことを述べるとも評価されていた。 このように柔和に見える一方で、正義のためには毅然とした態度をとった（[[論語/巻第三 雍也第六/第七|雍也第六/第七]]）。 == 関連 == == 脚注 == <small><references /></small> {{stub}} [[Category:高等学校教育_国語_漢文|せんしん]] [[category:論語|せんしん03]] gpv69aj1rzdvcma27472bqkp66y5xno