Wikibooks ltwikibooks https://lt.wikibooks.org/wiki/Pagrindinis_puslapis MediaWiki 1.48.0-wmf.4 first-letter Medija Specialus Aptarimas Naudotojas Naudotojo aptarimas Wikibooks Wikibooks aptarimas Vaizdas Vaizdo aptarimas MediaWiki MediaWiki aptarimas Šablonas Šablono aptarimas Pagalba Pagalbos aptarimas Kategorija Kategorijos aptarimas TimedText TimedText talk Module Module talk Event Event talk 0 9620 59095 35376 2026-11-11T05:32:11Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59095 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988.</math> :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121.</math> :<math>\operatorname{arctg} 0.25 = 0.24497866312686415417208248121128.</math> :<math>\operatorname{arctg} 0.125 = 0.12435499454676143503135484916387.</math> *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =<math> :<math>=\tan\frac{tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.4}=</math> := 0.28571428571428571428571428571429. ehiryio1vatk68tvc347gcy1lcf6rn0 59096 59095 2026-11-11T05:33:28Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59096 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 = 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 = 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =<math> :<math>=\tan\frac{tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.4}=</math> := 0.28571428571428571428571428571429. pv7ffr5b604essjf19vsnbmlz56u1ts 59097 59096 2026-11-11T05:35:34Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59097 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 = 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 = 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.4}=</math> := 0.28571428571428571428571428571429. pgtgf8n3nbpyg280e5ysrgegpcvfb58 59098 59097 2026-11-11T05:36:42Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59098 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.4}=</math> := 0.28571428571428571428571428571429. mqhfj6tk5z9a3uybb66glcgt9rq5buf 59099 59098 2026-11-11T05:46:56Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59099 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.4}=</math> := 0.28571428571428571428571428571429. :<math>\operatorname{arctg} (0.28571428571428571428571428571429)=</math> := 0.28571428571428571428571428571429 - 0.28571428571428571428571428571429^3/3 + 0.28571428571428571428571428571429^5/5 - 0.28571428571428571428571428571429^7/7 + 0.28571428571428571428571428571429^9/9 - 0.28571428571428571428571428571429^11/11 + 0.28571428571428571428571428571429^13/13 = := 0.278299659434360506011219170928. :<math>\operatorname{arctg} (0.28571428571428571428571428571429) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.278299659434360506011219170928 + 0.46364760900080611621425623146121 = := 0.74194726843516662222547540238921. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := 0.73281510178650659164079207273428. twddqh73txbja58ljj7911owt9lf61b 59100 59099 2026-11-11T05:59:02Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59100 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.4}=</math> := 0.28571428571428571428571428571429. :<math>\operatorname{arctg} (0.28571428571428571428571428571429)=</math> := 0.28571428571428571428571428571429 - 0.28571428571428571428571428571429^3/3 + 0.28571428571428571428571428571429^5/5 - 0.28571428571428571428571428571429^7/7 + 0.28571428571428571428571428571429^9/9 - 0.28571428571428571428571428571429^11/11 + 0.28571428571428571428571428571429^13/13 = := 0.278299659434360506011219170928. :<math>\operatorname{arctg} (0.28571428571428571428571428571429) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.278299659434360506011219170928 + 0.46364760900080611621425623146121 = := 0.74194726843516662222547540238921. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := 0.73281510178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.278299659434360506011219170928 - 0.25}{1+ 0.278299659434360506011219170928\cdot 0.25}=/math> :<math>\tan\frac{0.028299659434360506011219170928}{1 + 0.069574914858590126502804792732} = \tan\frac{0.028299659434360506011219170928}{1.069574914858590126502804792732}=</math> := 0.028299659434360506011219170928/1.069574914858590126502804792732 = 0.02645879128354654834020128410983.</math> 9ax03we59tx4ezjziqepzkhwp4zbfhw 59101 59100 2026-11-11T05:59:46Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59101 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.4}=</math> := 0.28571428571428571428571428571429. :<math>\operatorname{arctg} (0.28571428571428571428571428571429)=</math> := 0.28571428571428571428571428571429 - 0.28571428571428571428571428571429^3/3 + 0.28571428571428571428571428571429^5/5 - 0.28571428571428571428571428571429^7/7 + 0.28571428571428571428571428571429^9/9 - 0.28571428571428571428571428571429^11/11 + 0.28571428571428571428571428571429^13/13 = := 0.278299659434360506011219170928. :<math>\operatorname{arctg} (0.28571428571428571428571428571429) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.278299659434360506011219170928 + 0.46364760900080611621425623146121 = := 0.74194726843516662222547540238921. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := 0.73281510178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.278299659434360506011219170928 - 0.25}{1+ 0.278299659434360506011219170928\cdot 0.25}=/math> :<math>\tan\frac{0.028299659434360506011219170928}{1 + 0.069574914858590126502804792732} = \tan\frac{0.028299659434360506011219170928}{1.069574914858590126502804792732}=</math> :<math>= 0.028299659434360506011219170928/1.069574914858590126502804792732 = 0.02645879128354654834020128410983.</math> qx6vfuo65u3gziliwa7lijf96rb184f 59102 59101 2026-11-11T06:00:15Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59102 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.4}=</math> := 0.28571428571428571428571428571429. :<math>\operatorname{arctg} (0.28571428571428571428571428571429)=</math> := 0.28571428571428571428571428571429 - 0.28571428571428571428571428571429^3/3 + 0.28571428571428571428571428571429^5/5 - 0.28571428571428571428571428571429^7/7 + 0.28571428571428571428571428571429^9/9 - 0.28571428571428571428571428571429^11/11 + 0.28571428571428571428571428571429^13/13 = := 0.278299659434360506011219170928. :<math>\operatorname{arctg} (0.28571428571428571428571428571429) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.278299659434360506011219170928 + 0.46364760900080611621425623146121 = := 0.74194726843516662222547540238921. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := 0.73281510178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.278299659434360506011219170928 - 0.25}{1+ 0.278299659434360506011219170928\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.028299659434360506011219170928}{1 + 0.069574914858590126502804792732} = \tan\frac{0.028299659434360506011219170928}{1.069574914858590126502804792732}=</math> :<math>= 0.028299659434360506011219170928/1.069574914858590126502804792732 = 0.02645879128354654834020128410983.</math> 7ied6c7uoyhsk1u8j8z1bzrl0xi4rd7 59103 59102 2026-11-11T06:03:29Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59103 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.4}=</math> := 0.28571428571428571428571428571429. :<math>\operatorname{arctg} (0.28571428571428571428571428571429)=</math> := 0.28571428571428571428571428571429 - 0.28571428571428571428571428571429^3/3 + 0.28571428571428571428571428571429^5/5 - 0.28571428571428571428571428571429^7/7 + 0.28571428571428571428571428571429^9/9 - 0.28571428571428571428571428571429^11/11 + 0.28571428571428571428571428571429^13/13 = := 0.278299659434360506011219170928. :<math>\operatorname{arctg} (0.28571428571428571428571428571429) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.278299659434360506011219170928 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.7'''4194726843516662222547540238921. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := 0.73281510178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.278299659434360506011219170928 - 0.25}{1+ 0.278299659434360506011219170928\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.028299659434360506011219170928}{1 + 0.069574914858590126502804792732} = \tan\frac{0.028299659434360506011219170928}{1.069574914858590126502804792732}=</math> := 0.028299659434360506011219170928/1.069574914858590126502804792732 = 0.02645879128354654834020128410983. :<math>\operatorname{arctg} (0.02645879128354654834020128410983)=</math> := 0.02645879128354654834020128410983 - 0.02645879128354654834020128410983^3/3 + 0.02645879128354654834020128410983^5/5 - 0.02645879128354654834020128410983^7/7 + 0.02645879128354654834020128410983^9/9 - 0.02645879128354654834020128410983^11/11 + 0.02645879128354654834020128410983^13/13 = := 0.02645261956122297468298479285758. g1rdqcht86f5l1iaigi8y4f5wen542d 59104 59103 2026-11-11T06:07:21Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59104 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.4}=</math> := 0.28571428571428571428571428571429. :<math>\operatorname{arctg} (0.28571428571428571428571428571429)=</math> := 0.28571428571428571428571428571429 - 0.28571428571428571428571428571429^3/3 + 0.28571428571428571428571428571429^5/5 - 0.28571428571428571428571428571429^7/7 + 0.28571428571428571428571428571429^9/9 - 0.28571428571428571428571428571429^11/11 + 0.28571428571428571428571428571429^13/13 = := 0.278299659434360506011219170928. :<math>\operatorname{arctg} (0.28571428571428571428571428571429) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.278299659434360506011219170928 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.7'''4194726843516662222547540238921. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.278299659434360506011219170928 - 0.25}{1+ 0.278299659434360506011219170928\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.028299659434360506011219170928}{1 + 0.069574914858590126502804792732} = \tan\frac{0.028299659434360506011219170928}{1.069574914858590126502804792732}=</math> := 0.028299659434360506011219170928/1.069574914858590126502804792732 = 0.02645879128354654834020128410983. :<math>\operatorname{arctg} (0.02645879128354654834020128410983)=</math> := 0.02645879128354654834020128410983 - 0.02645879128354654834020128410983^3/3 + 0.02645879128354654834020128410983^5/5 - 0.02645879128354654834020128410983^7/7 + 0.02645879128354654834020128410983^9/9 - 0.02645879128354654834020128410983^11/11 + 0.02645879128354654834020128410983^13/13 = := '''0.026452619561222974682984'''79285758. :<math>\operatorname{arctg} (0.02645879128354654834020128410983)=</math> := '''0.026452619561222974682984'''64758269. ozkkf2fcbr7apdn8mp3864nxvthlbyr 59105 59104 2026-11-11T06:14:52Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59105 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.4}=</math> := 0.28571428571428571428571428571429. :<math>\operatorname{arctg} (0.28571428571428571428571428571429)=</math> := 0.28571428571428571428571428571429 - 0.28571428571428571428571428571429^3/3 + 0.28571428571428571428571428571429^5/5 - 0.28571428571428571428571428571429^7/7 + 0.28571428571428571428571428571429^9/9 - 0.28571428571428571428571428571429^11/11 + 0.28571428571428571428571428571429^13/13 = := 0.278299659434360506011219170928. :<math>\operatorname{arctg} (0.28571428571428571428571428571429) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.278299659434360506011219170928 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.7'''4194726843516662222547540238921. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.278299659434360506011219170928 - 0.25}{1+ 0.278299659434360506011219170928\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.028299659434360506011219170928}{1 + 0.069574914858590126502804792732} = \tan\frac{0.028299659434360506011219170928}{1.069574914858590126502804792732}=</math> := 0.028299659434360506011219170928/1.069574914858590126502804792732 = 0.02645879128354654834020128410983. :<math>\operatorname{arctg} (0.02645879128354654834020128410983)=</math> := 0.02645879128354654834020128410983 - 0.02645879128354654834020128410983^3/3 + 0.02645879128354654834020128410983^5/5 - 0.02645879128354654834020128410983^7/7 + 0.02645879128354654834020128410983^9/9 - 0.02645879128354654834020128410983^11/11 + 0.02645879128354654834020128410983^13/13 = := '''0.026452619561222974682984'''79285758. :<math>\operatorname{arctg} (0.02645879128354654834020128410983)=</math> := '''0.026452619561222974682984'''64758269. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.5 + 0.278299659434360506011219170928 + 0.02645261956122297468298479285758 = := 0.80475227899558348069420396378558. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> :=0.73281510178650659164079207273428. n5l68yionq3fys3cz5e3qxa3ej9ber7 59106 59105 2026-11-11T06:19:39Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59106 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.4}=</math> := 0.28571428571428571428571428571429. :<math>\operatorname{arctg} (0.28571428571428571428571428571429)=</math> := 0.28571428571428571428571428571429 - 0.28571428571428571428571428571429^3/3 + 0.28571428571428571428571428571429^5/5 - 0.28571428571428571428571428571429^7/7 + 0.28571428571428571428571428571429^9/9 - 0.28571428571428571428571428571429^11/11 + 0.28571428571428571428571428571429^13/13 = := 0.278299659434360506011219170928. :<math>\operatorname{arctg} (0.28571428571428571428571428571429) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.278299659434360506011219170928 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.7'''4194726843516662222547540238921. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.278299659434360506011219170928 - 0.25}{1+ 0.278299659434360506011219170928\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.028299659434360506011219170928}{1 + 0.069574914858590126502804792732} = \tan\frac{0.028299659434360506011219170928}{1.069574914858590126502804792732}=</math> := 0.028299659434360506011219170928/1.069574914858590126502804792732 = 0.02645879128354654834020128410983. :<math>\operatorname{arctg} (0.02645879128354654834020128410983)=</math> := 0.02645879128354654834020128410983 - 0.02645879128354654834020128410983^3/3 + 0.02645879128354654834020128410983^5/5 - 0.02645879128354654834020128410983^7/7 + 0.02645879128354654834020128410983^9/9 - 0.02645879128354654834020128410983^11/11 + 0.02645879128354654834020128410983^13/13 = := '''0.026452619561222974682984'''79285758. :<math>\operatorname{arctg} (0.02645879128354654834020128410983)=</math> := '''0.026452619561222974682984'''64758269. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.278299659434360506011219170928 + 0.02645261956122297468298479285758 = := '''0.7'''6839988799638959690846019524679. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. qrnz17mwws5655y62u3lbrrqc2yxp9b 59107 59106 2026-11-11T06:26:33Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59107 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.4}=</math> := 0.28571428571428571428571428571429. :<math>\operatorname{arctg} (0.28571428571428571428571428571429)=</math> := 0.28571428571428571428571428571429 - 0.28571428571428571428571428571429^3/3 + 0.28571428571428571428571428571429^5/5 - 0.28571428571428571428571428571429^7/7 + 0.28571428571428571428571428571429^9/9 - 0.28571428571428571428571428571429^11/11 + 0.28571428571428571428571428571429^13/13 = := 0.278299659434360506011219170928. :<math>\operatorname{arctg} (0.28571428571428571428571428571429) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.278299659434360506011219170928 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.7'''4194726843516662222547540238921. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.278299659434360506011219170928 - 0.25}{1+ 0.278299659434360506011219170928\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.028299659434360506011219170928}{1 + 0.069574914858590126502804792732} = \tan\frac{0.028299659434360506011219170928}{1.069574914858590126502804792732}=</math> := 0.028299659434360506011219170928/1.069574914858590126502804792732 = 0.02645879128354654834020128410983. :<math>\operatorname{arctg} (0.02645879128354654834020128410983)=</math> := 0.02645879128354654834020128410983 - 0.02645879128354654834020128410983^3/3 + 0.02645879128354654834020128410983^5/5 - 0.02645879128354654834020128410983^7/7 + 0.02645879128354654834020128410983^9/9 - 0.02645879128354654834020128410983^11/11 + 0.02645879128354654834020128410983^13/13 = := '''0.026452619561222974682984'''79285758. :<math>\operatorname{arctg} (0.02645879128354654834020128410983)=</math> := '''0.026452619561222974682984'''64758269. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.24497866312686415417208248121128 + 0.02645261956122297468298479285758 = := '''0.73'''507889168889324506932350553007. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73'''281510178650659164079207273428. 2jrd72exvbgd1xp6j32m2iz6afj7bfe 59108 59107 2026-11-11T06:39:33Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59108 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.4}=</math> := 0.28571428571428571428571428571429. :<math>\operatorname{arctg} (0.28571428571428571428571428571429)=</math> := 0.28571428571428571428571428571429 - 0.28571428571428571428571428571429^3/3 + 0.28571428571428571428571428571429^5/5 - 0.28571428571428571428571428571429^7/7 + 0.28571428571428571428571428571429^9/9 - 0.28571428571428571428571428571429^11/11 + 0.28571428571428571428571428571429^13/13 = := '''0.278299659'''434360506011219170928. :<math>\operatorname{arctg} (0.28571428571428571428571428571429)=</math> := '''0.278299659'''00511135132823027023267. :<math>\operatorname{arctg} (0.28571428571428571428571428571429) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.278299659434360506011219170928 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.7'''4194726843516662222547540238921. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.278299659434360506011219170928 - 0.25}{1+ 0.278299659434360506011219170928\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.028299659434360506011219170928}{1 + 0.069574914858590126502804792732} = \tan\frac{0.028299659434360506011219170928}{1.069574914858590126502804792732}=</math> := 0.028299659434360506011219170928/1.069574914858590126502804792732 = 0.02645879128354654834020128410983. :<math>\operatorname{arctg} (0.02645879128354654834020128410983)=</math> := 0.02645879128354654834020128410983 - 0.02645879128354654834020128410983^3/3 + 0.02645879128354654834020128410983^5/5 - 0.02645879128354654834020128410983^7/7 + 0.02645879128354654834020128410983^9/9 - 0.02645879128354654834020128410983^11/11 + 0.02645879128354654834020128410983^13/13 = := '''0.026452619561222974682984'''79285758. :<math>\operatorname{arctg} (0.02645879128354654834020128410983)=</math> := '''0.026452619561222974682984'''64758269. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.24497866312686415417208248121128 + 0.02645261956122297468298479285758 = := '''0.73'''507889168889324506932350553007. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73'''281510178650659164079207273428. ihodh23o5ffo59ylvbdr1lp2ta5q366 59110 59108 2026-11-11T06:54:37Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59110 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.45}=</math> := 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := 0.27586206896551724137931034482759 - 0.27586206896551724137931034482759^3/3 + 0.27586206896551724137931034482759^5/5 - 0.27586206896551724137931034482759^7/7 + 0.27586206896551724137931034482759^9/9 - 0.27586206896551724137931034482759^11/11 + 0.27586206896551724137931034482759^13/13 = := '''0.26916749'''304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := '''0.26916749'''278570047542653584127307. :<math>\operatorname{arctg} (0.28571428571428571428571428571429) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.26916749304043554450715959336444 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.7'''4194726843516662222547540238921. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.278299659434360506011219170928 - 0.25}{1+ 0.278299659434360506011219170928\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.028299659434360506011219170928}{1 + 0.069574914858590126502804792732} = \tan\frac{0.028299659434360506011219170928}{1.069574914858590126502804792732}=</math> := 0.028299659434360506011219170928/1.069574914858590126502804792732 = 0.02645879128354654834020128410983. :<math>\operatorname{arctg} (0.02645879128354654834020128410983)=</math> := 0.02645879128354654834020128410983 - 0.02645879128354654834020128410983^3/3 + 0.02645879128354654834020128410983^5/5 - 0.02645879128354654834020128410983^7/7 + 0.02645879128354654834020128410983^9/9 - 0.02645879128354654834020128410983^11/11 + 0.02645879128354654834020128410983^13/13 = := '''0.026452619561222974682984'''79285758. :<math>\operatorname{arctg} (0.02645879128354654834020128410983)=</math> := '''0.026452619561222974682984'''64758269. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.24497866312686415417208248121128 + 0.02645261956122297468298479285758 = := '''0.73'''507889168889324506932350553007. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73'''281510178650659164079207273428. *<math>\operatorname{arctg} 1.6.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 1.6) - \tan(\operatorname{arctg} 1)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 1.6) \tan(\operatorname{arctg} 1)}= \tan\frac{1.6 - 1}{1+ 1.6\cdot 1}= \tan\frac{0.6}{2.6}=</math> := 0.23076923076923076923076923076923. enu3eia5brlnjmwjoxqtjyszvxtorsn 59111 59110 2026-11-11T06:56:45Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59111 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.45}=</math> := 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := 0.27586206896551724137931034482759 - 0.27586206896551724137931034482759^3/3 + 0.27586206896551724137931034482759^5/5 - 0.27586206896551724137931034482759^7/7 + 0.27586206896551724137931034482759^9/9 - 0.27586206896551724137931034482759^11/11 + 0.27586206896551724137931034482759^13/13 = := '''0.26916749'''304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := '''0.26916749'''278570047542653584127307. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.26916749304043554450715959336444 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.73281510'''204124166072141582482565. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73281510'''178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.278299659434360506011219170928 - 0.25}{1+ 0.278299659434360506011219170928\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.028299659434360506011219170928}{1 + 0.069574914858590126502804792732} = \tan\frac{0.028299659434360506011219170928}{1.069574914858590126502804792732}=</math> := 0.028299659434360506011219170928/1.069574914858590126502804792732 = 0.02645879128354654834020128410983. :<math>\operatorname{arctg} (0.02645879128354654834020128410983)=</math> := 0.02645879128354654834020128410983 - 0.02645879128354654834020128410983^3/3 + 0.02645879128354654834020128410983^5/5 - 0.02645879128354654834020128410983^7/7 + 0.02645879128354654834020128410983^9/9 - 0.02645879128354654834020128410983^11/11 + 0.02645879128354654834020128410983^13/13 = := '''0.026452619561222974682984'''79285758. :<math>\operatorname{arctg} (0.02645879128354654834020128410983)=</math> := '''0.026452619561222974682984'''64758269. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.24497866312686415417208248121128 + 0.02645261956122297468298479285758 = := '''0.73'''507889168889324506932350553007. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73'''281510178650659164079207273428. *<math>\operatorname{arctg} 1.6.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 1.6) - \tan(\operatorname{arctg} 1)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 1.6) \tan(\operatorname{arctg} 1)}= \tan\frac{1.6 - 1}{1+ 1.6\cdot 1}= \tan\frac{0.6}{2.6}=</math> := 0.23076923076923076923076923076923. 383oyv8utzdtre7ovtuo3e4iklkyg2k 59112 59111 2026-11-11T07:03:54Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59112 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.45}=</math> := 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := 0.27586206896551724137931034482759 - 0.27586206896551724137931034482759^3/3 + 0.27586206896551724137931034482759^5/5 - 0.27586206896551724137931034482759^7/7 + 0.27586206896551724137931034482759^9/9 - 0.27586206896551724137931034482759^11/11 + 0.27586206896551724137931034482759^13/13 = := '''0.26916749'''304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := '''0.26916749'''278570047542653584127307. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.26916749304043554450715959336444 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.73281510'''204124166072141582482565. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73281510'''178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.26916749304043554450715959336444 - 0.25}{1+ 0.26916749304043554450715959336444\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1 + 0.06729187326010888612678989834111} = \tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1.06729187326010888612678989834111}=</math> := 0.019167493040435544507159593364/1.067291873260108886126789898341 = 0.0179589983964623044012469281158. :<math>\operatorname{arctg} (0.02645879128354654834020128410983)=</math> := 0.02645879128354654834020128410983 - 0.02645879128354654834020128410983^3/3 + 0.02645879128354654834020128410983^5/5 - 0.02645879128354654834020128410983^7/7 + 0.02645879128354654834020128410983^9/9 - 0.02645879128354654834020128410983^11/11 + 0.02645879128354654834020128410983^13/13 = := '''0.026452619561222974682984'''79285758. :<math>\operatorname{arctg} (0.02645879128354654834020128410983)=</math> := '''0.026452619561222974682984'''64758269. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.24497866312686415417208248121128 + 0.02645261956122297468298479285758 = := '''0.73'''507889168889324506932350553007. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73'''281510178650659164079207273428. *<math>\operatorname{arctg} 1.6.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 1.6) - \tan(\operatorname{arctg} 1)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 1.6) \tan(\operatorname{arctg} 1)}= \tan\frac{1.6 - 1}{1+ 1.6\cdot 1}= \tan\frac{0.6}{2.6}=</math> := 0.23076923076923076923076923076923. 8ug8m0f24ddbgo6kwnopuayd9x88zz1 59113 59112 2026-11-11T07:08:46Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59113 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.45}=</math> := 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := 0.27586206896551724137931034482759 - 0.27586206896551724137931034482759^3/3 + 0.27586206896551724137931034482759^5/5 - 0.27586206896551724137931034482759^7/7 + 0.27586206896551724137931034482759^9/9 - 0.27586206896551724137931034482759^11/11 + 0.27586206896551724137931034482759^13/13 = := '''0.26916749'''304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := '''0.26916749'''278570047542653584127307. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.26916749304043554450715959336444 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.73281510'''204124166072141582482565. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73281510'''178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.26916749304043554450715959336444 - 0.25}{1+ 0.26916749304043554450715959336444\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1 + 0.06729187326010888612678989834111} = \tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1.06729187326010888612678989834111}=</math> := 0.019167493040435544507159593364/1.067291873260108886126789898341 = 0.0179589983964623044012469281158. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := 0.0179589983964623044012469281158 - 0.0179589983964623044012469281158^3/3 + 0.0179589983964623044012469281158^5/5 - 0.0179589983964623044012469281158^7/7 + 0.0179589983964623044012469281158^9/9 - 0.0179589983964623044012469281158^11/11 + 0.0179589983964623044012469281158^13/13 + 0.0179589983964623044012469281158^15/15 = := '''0.01795706802428738652247132'''45715. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := '''0.01795706802428738652247132'''370233. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.24497866312686415417208248121128 + 0.02645261956122297468298479285758 = := '''0.73'''507889168889324506932350553007. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73'''281510178650659164079207273428. *<math>\operatorname{arctg} 1.6.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 1.6) - \tan(\operatorname{arctg} 1)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 1.6) \tan(\operatorname{arctg} 1)}= \tan\frac{1.6 - 1}{1+ 1.6\cdot 1}= \tan\frac{0.6}{2.6}=</math> := 0.23076923076923076923076923076923. oo710musngxzp6eocr5pn4jkvx1h9ck 59114 59113 2026-11-11T07:12:28Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59114 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.45}=</math> := 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := 0.27586206896551724137931034482759 - 0.27586206896551724137931034482759^3/3 + 0.27586206896551724137931034482759^5/5 - 0.27586206896551724137931034482759^7/7 + 0.27586206896551724137931034482759^9/9 - 0.27586206896551724137931034482759^11/11 + 0.27586206896551724137931034482759^13/13 = := '''0.26916749'''304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := '''0.26916749'''278570047542653584127307. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.26916749304043554450715959336444 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.73281510'''204124166072141582482565. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73281510'''178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.26916749304043554450715959336444 - 0.25}{1+ 0.26916749304043554450715959336444\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1 + 0.06729187326010888612678989834111} = \tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1.06729187326010888612678989834111}=</math> := 0.019167493040435544507159593364/1.067291873260108886126789898341 = 0.0179589983964623044012469281158. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := 0.0179589983964623044012469281158 - 0.0179589983964623044012469281158^3/3 + 0.0179589983964623044012469281158^5/5 - 0.0179589983964623044012469281158^7/7 + 0.0179589983964623044012469281158^9/9 - 0.0179589983964623044012469281158^11/11 + 0.0179589983964623044012469281158^13/13 + 0.0179589983964623044012469281158^15/15 = := '''0.01795706802428738652247132'''45715. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := '''0.01795706802428738652247132'''370233. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713245715 = := '''0.7'''2658334015195765690881003724399. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. *<math>\operatorname{arctg} 1.6.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 1.6) - \tan(\operatorname{arctg} 1)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 1.6) \tan(\operatorname{arctg} 1)}= \tan\frac{1.6 - 1}{1+ 1.6\cdot 1}= \tan\frac{0.6}{2.6}=</math> := 0.23076923076923076923076923076923. d05nnazjqs7iqzoks7xpvas7c2p1rsl 59115 59114 2026-11-11T07:18:08Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59115 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.45}=</math> := 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := 0.27586206896551724137931034482759 - 0.27586206896551724137931034482759^3/3 + 0.27586206896551724137931034482759^5/5 - 0.27586206896551724137931034482759^7/7 + 0.27586206896551724137931034482759^9/9 - 0.27586206896551724137931034482759^11/11 + 0.27586206896551724137931034482759^13/13 = := '''0.26916749'''304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := '''0.26916749'''278570047542653584127307. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.26916749304043554450715959336444 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.73281510'''204124166072141582482565. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73281510'''178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.26916749304043554450715959336444 - 0.25}{1+ 0.26916749304043554450715959336444\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1 + 0.06729187326010888612678989834111} = \tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1.06729187326010888612678989834111}=</math> := 0.019167493040435544507159593364/1.067291873260108886126789898341 = 0.0179589983964623044012469281158. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := 0.0179589983964623044012469281158 - 0.0179589983964623044012469281158^3/3 + 0.0179589983964623044012469281158^5/5 - 0.0179589983964623044012469281158^7/7 + 0.0179589983964623044012469281158^9/9 - 0.0179589983964623044012469281158^11/11 + 0.0179589983964623044012469281158^13/13 + 0.0179589983964623044012469281158^15/15 = := '''0.01795706802428738652247132'''45715. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := '''0.01795706802428738652247132'''370233. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713245715 = := '''0.7'''2658334015195765690881003724399. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} a=</math> := '''0.26'''916749304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b =</math> := 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713245715 = := '''0.26'''293573115115154069455380578278. *<math>\operatorname{arctg} 1.6.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 1.6) - \tan(\operatorname{arctg} 1)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 1.6) \tan(\operatorname{arctg} 1)}= \tan\frac{1.6 - 1}{1+ 1.6\cdot 1}= \tan\frac{0.6}{2.6}=</math> := 0.23076923076923076923076923076923. rl8zva7g0ithompkyv2qie29ene3oo7 59116 59115 2026-11-11T07:45:33Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59116 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.45}=</math> := 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := 0.27586206896551724137931034482759 - 0.27586206896551724137931034482759^3/3 + 0.27586206896551724137931034482759^5/5 - 0.27586206896551724137931034482759^7/7 + 0.27586206896551724137931034482759^9/9 - 0.27586206896551724137931034482759^11/11 + 0.27586206896551724137931034482759^13/13 = := '''0.26916749'''304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := '''0.26916749'''278570047542653584127307. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.26916749304043554450715959336444 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.73281510'''204124166072141582482565. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73281510'''178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.26916749304043554450715959336444 - 0.25}{1+ 0.26916749304043554450715959336444\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1 + 0.06729187326010888612678989834111} = \tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1.06729187326010888612678989834111}=</math> := 0.019167493040435544507159593364/1.067291873260108886126789898341 = 0.0179589983964623044012469281158. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := 0.0179589983964623044012469281158 - 0.0179589983964623044012469281158^3/3 + 0.0179589983964623044012469281158^5/5 - 0.0179589983964623044012469281158^7/7 + 0.0179589983964623044012469281158^9/9 - 0.0179589983964623044012469281158^11/11 + 0.0179589983964623044012469281158^13/13 - 0.0179589983964623044012469281158^15/15 = := '''0.017957068024287386522471323702'''2. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := '''0.017957068024287386522471323702'''33. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.7'''2658334015195765690881003637469. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. :a = 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} a=</math> := 0.26916749304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b =</math> := 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.26'''293573115115154069455380491348. :Kalkuliatoriaus: :arctg(0.27586206896551724137931034482759) = := '''0.26'''916749278570047542653584127307. *<math>\operatorname{arctg} 1.6.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 1.6) - \tan(\operatorname{arctg} 1)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 1.6) \tan(\operatorname{arctg} 1)}= \tan\frac{1.6 - 1}{1+ 1.6\cdot 1}= \tan\frac{0.6}{2.6}=</math> := 0.23076923076923076923076923076923. il986j69jtn6y6yu60v9oh7sua839f0 59117 59116 2026-11-11T07:53:57Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59117 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.45}=</math> := 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := 0.27586206896551724137931034482759 - 0.27586206896551724137931034482759^3/3 + 0.27586206896551724137931034482759^5/5 - 0.27586206896551724137931034482759^7/7 + 0.27586206896551724137931034482759^9/9 - 0.27586206896551724137931034482759^11/11 + 0.27586206896551724137931034482759^13/13 = := '''0.26916749'''304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := '''0.26916749'''278570047542653584127307. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.26916749304043554450715959336444 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.73281510'''204124166072141582482565. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73281510'''178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.26916749304043554450715959336444 - 0.25}{1+ 0.26916749304043554450715959336444\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1 + 0.06729187326010888612678989834111} = \tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1.06729187326010888612678989834111}=</math> := 0.019167493040435544507159593364/1.067291873260108886126789898341 = 0.0179589983964623044012469281158. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := 0.0179589983964623044012469281158 - 0.0179589983964623044012469281158^3/3 + 0.0179589983964623044012469281158^5/5 - 0.0179589983964623044012469281158^7/7 + 0.0179589983964623044012469281158^9/9 - 0.0179589983964623044012469281158^11/11 + 0.0179589983964623044012469281158^13/13 - 0.0179589983964623044012469281158^15/15 = := '''0.017957068024287386522471323702'''2. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := '''0.017957068024287386522471323702'''33. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.7'''2658334015195765690881003637469. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. :a = 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} a=</math> := 0.26916749304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b =</math> := 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.26'''293573115115154069455380491348. :Kalkuliatoriaus: :arctg(0.27586206896551724137931034482759) = := '''0.26'''916749278570047542653584127307. *<math>\operatorname{arctg} 1.6.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 1.6) - \tan(\operatorname{arctg} 1)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 1.6) \tan(\operatorname{arctg} 1)}= \tan\frac{1.6 - 1}{1+ 1.6\cdot 1}= \tan\frac{0.6}{2.6}=</math> := 0.23076923076923076923076923076923. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := 0.23076923076923076923076923076923 - 0.23076923076923076923076923076923^3/3 + 0.23076923076923076923076923076923^5/5 - 0.23076923076923076923076923076923^7/7 + 0.23076923076923076923076923076923^9/9 - 0.23076923076923076923076923076923^11/11 + 0.23076923076923076923076923076923^13/13 - 0.23076923076923076923076923076923^15/15 = := '''0.226798848053'''04763076023291256713. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := '''0.226798848053'''88587364415262941821. f0bajdwrjfc95sz9jbnv8pu4ya4l1ea 59118 59117 2026-11-11T08:07:27Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59118 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.45}=</math> := 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := 0.27586206896551724137931034482759 - 0.27586206896551724137931034482759^3/3 + 0.27586206896551724137931034482759^5/5 - 0.27586206896551724137931034482759^7/7 + 0.27586206896551724137931034482759^9/9 - 0.27586206896551724137931034482759^11/11 + 0.27586206896551724137931034482759^13/13 = := '''0.26916749'''304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := '''0.26916749'''278570047542653584127307. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.26916749304043554450715959336444 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.73281510'''204124166072141582482565. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73281510'''178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.26916749304043554450715959336444 - 0.25}{1+ 0.26916749304043554450715959336444\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1 + 0.06729187326010888612678989834111} = \tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1.06729187326010888612678989834111}=</math> := 0.019167493040435544507159593364/1.067291873260108886126789898341 = 0.0179589983964623044012469281158. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := 0.0179589983964623044012469281158 - 0.0179589983964623044012469281158^3/3 + 0.0179589983964623044012469281158^5/5 - 0.0179589983964623044012469281158^7/7 + 0.0179589983964623044012469281158^9/9 - 0.0179589983964623044012469281158^11/11 + 0.0179589983964623044012469281158^13/13 - 0.0179589983964623044012469281158^15/15 = := '''0.017957068024287386522471323702'''2. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := '''0.017957068024287386522471323702'''33. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.7'''2658334015195765690881003637469. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. :a = 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} a=</math> := 0.26916749304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b =</math> := 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.26'''293573115115154069455380491348. :Kalkuliatoriaus: :arctg(0.27586206896551724137931034482759) = := '''0.26'''916749278570047542653584127307. *<math>\operatorname{arctg} 1.6.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 1.6) - \tan(\operatorname{arctg} 1)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 1.6) \tan(\operatorname{arctg} 1)}= \tan\frac{1.6 - 1}{1+ 1.6\cdot 1}= \tan\frac{0.6}{2.6}=</math> := 0.23076923076923076923076923076923. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := 0.23076923076923076923076923076923 - 0.23076923076923076923076923076923^3/3 + 0.23076923076923076923076923076923^5/5 - 0.23076923076923076923076923076923^7/7 + 0.23076923076923076923076923076923^9/9 - 0.23076923076923076923076923076923^11/11 + 0.23076923076923076923076923076923^13/13 - 0.23076923076923076923076923076923^15/15 = := '''0.226798848053'''04763076023291256713. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := '''0.226798848053'''88587364415262941821. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a =</math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.22679884805304763076023291256713 = := '''1.01219701145'''0495940375893758387. :Kalkuliatoriaus: :arctg(1.6) = := '''1.01219701145'''13341832598134752381. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) - \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}= \tan\frac{0.23076923076923076923076923076923 - 0.125}{1+ 0.23076923076923076923076923076923\cdot 0.125}= \tan\frac{0.10576923076923076923076923076923}{1+0.02884615384615384615384615384615}=</math> :0.105769230769230769230769230769/1.028846153846153846153846153846 = := 0.10280373831775700934579439252316. rfu8ohjloya5oay7b9lz3txv7srebb6 59119 59118 2026-11-11T08:08:52Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59119 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.45}=</math> := 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := 0.27586206896551724137931034482759 - 0.27586206896551724137931034482759^3/3 + 0.27586206896551724137931034482759^5/5 - 0.27586206896551724137931034482759^7/7 + 0.27586206896551724137931034482759^9/9 - 0.27586206896551724137931034482759^11/11 + 0.27586206896551724137931034482759^13/13 = := '''0.26916749'''304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := '''0.26916749'''278570047542653584127307. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.26916749304043554450715959336444 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.73281510'''204124166072141582482565. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73281510'''178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.26916749304043554450715959336444 - 0.25}{1+ 0.26916749304043554450715959336444\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1 + 0.06729187326010888612678989834111} = \tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1.06729187326010888612678989834111}=</math> := 0.019167493040435544507159593364/1.067291873260108886126789898341 = 0.0179589983964623044012469281158. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := 0.0179589983964623044012469281158 - 0.0179589983964623044012469281158^3/3 + 0.0179589983964623044012469281158^5/5 - 0.0179589983964623044012469281158^7/7 + 0.0179589983964623044012469281158^9/9 - 0.0179589983964623044012469281158^11/11 + 0.0179589983964623044012469281158^13/13 - 0.0179589983964623044012469281158^15/15 = := '''0.017957068024287386522471323702'''2. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := '''0.017957068024287386522471323702'''33. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.7'''2658334015195765690881003637469. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. :a = 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} a=</math> := 0.26916749304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b =</math> := 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.26'''293573115115154069455380491348. :Kalkuliatoriaus: :arctg(0.27586206896551724137931034482759) = := '''0.26'''916749278570047542653584127307. *<math>\operatorname{arctg} 1.6.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 1.6) - \tan(\operatorname{arctg} 1)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 1.6) \tan(\operatorname{arctg} 1)}= \tan\frac{1.6 - 1}{1+ 1.6\cdot 1}= \tan\frac{0.6}{2.6}=</math> := 0.23076923076923076923076923076923. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := 0.23076923076923076923076923076923 - 0.23076923076923076923076923076923^3/3 + 0.23076923076923076923076923076923^5/5 - 0.23076923076923076923076923076923^7/7 + 0.23076923076923076923076923076923^9/9 - 0.23076923076923076923076923076923^11/11 + 0.23076923076923076923076923076923^13/13 - 0.23076923076923076923076923076923^15/15 = := '''0.226798848053'''04763076023291256713. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := '''0.226798848053'''88587364415262941821. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a =</math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.22679884805304763076023291256713 = := '''1.01219701145'''0495940375893758387. :Kalkuliatoriaus: :arctg(1.6) = := '''1.01219701145'''13341832598134752381. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) - \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}=</math> :<math>= \tan\frac{0.23076923076923076923076923076923 - 0.125}{1+ 0.23076923076923076923076923076923\cdot 0.125}= \tan\frac{0.10576923076923076923076923076923}{1+0.02884615384615384615384615384615}=</math> :0.105769230769230769230769230769/1.028846153846153846153846153846 = := 0.10280373831775700934579439252316. 8ux5vz78795wlqdlidemm14u4ej5r38 59120 59119 2026-11-11T08:12:31Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59120 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.45}=</math> := 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := 0.27586206896551724137931034482759 - 0.27586206896551724137931034482759^3/3 + 0.27586206896551724137931034482759^5/5 - 0.27586206896551724137931034482759^7/7 + 0.27586206896551724137931034482759^9/9 - 0.27586206896551724137931034482759^11/11 + 0.27586206896551724137931034482759^13/13 = := '''0.26916749'''304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := '''0.26916749'''278570047542653584127307. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.26916749304043554450715959336444 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.73281510'''204124166072141582482565. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73281510'''178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.26916749304043554450715959336444 - 0.25}{1+ 0.26916749304043554450715959336444\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1 + 0.06729187326010888612678989834111} = \tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1.06729187326010888612678989834111}=</math> := 0.019167493040435544507159593364/1.067291873260108886126789898341 = 0.0179589983964623044012469281158. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := 0.0179589983964623044012469281158 - 0.0179589983964623044012469281158^3/3 + 0.0179589983964623044012469281158^5/5 - 0.0179589983964623044012469281158^7/7 + 0.0179589983964623044012469281158^9/9 - 0.0179589983964623044012469281158^11/11 + 0.0179589983964623044012469281158^13/13 - 0.0179589983964623044012469281158^15/15 = := '''0.017957068024287386522471323702'''2. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := '''0.017957068024287386522471323702'''33. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.7'''2658334015195765690881003637469. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. :a = 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} a=</math> := 0.26916749304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b =</math> := 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.26'''293573115115154069455380491348. :Kalkuliatoriaus: :arctg(0.27586206896551724137931034482759) = := '''0.26'''916749278570047542653584127307. *<math>\operatorname{arctg} 1.6.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 1.6) - \tan(\operatorname{arctg} 1)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 1.6) \tan(\operatorname{arctg} 1)}= \tan\frac{1.6 - 1}{1+ 1.6\cdot 1}= \tan\frac{0.6}{2.6}=</math> := 0.23076923076923076923076923076923. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := 0.23076923076923076923076923076923 - 0.23076923076923076923076923076923^3/3 + 0.23076923076923076923076923076923^5/5 - 0.23076923076923076923076923076923^7/7 + 0.23076923076923076923076923076923^9/9 - 0.23076923076923076923076923076923^11/11 + 0.23076923076923076923076923076923^13/13 - 0.23076923076923076923076923076923^15/15 = := '''0.226798848053'''04763076023291256713. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := '''0.226798848053'''88587364415262941821. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a =</math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.22679884805304763076023291256713 = := '''1.01219701145'''0495940375893758387. :Kalkuliatoriaus: :arctg(1.6) = := '''1.01219701145'''13341832598134752381. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) - \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}=</math> :<math>= \tan\frac{0.23076923076923076923076923076923 - 0.125}{1+ 0.23076923076923076923076923076923\cdot 0.125}= \tan\frac{0.10576923076923076923076923076923}{1+0.02884615384615384615384615384615}=</math> :0.105769230769230769230769230769/1.028846153846153846153846153846 = := 0.10280373831775700934579439252316. :<math>\operatorname{arctg} (0.10280373831775700934579439252316)=</math> := 0.10280373831775700934579439252316 - 0.10280373831775700934579439252316^3/3 + 0.10280373831775700934579439252316^5/5 - 0.10280373831775700934579439252316^7/7 + 0.10280373831775700934579439252316^9/9 - 0.10280373831775700934579439252316^11/11 + 0.10280373831775700934579439252316^13/13 - 0.10280373831775700934579439252316^15/15 = := '''0.10244385350712443'''768036939404847. :Kalkuliatoriaus: :<math>\operatorname{arctg} (0.10280373831775700934579439252316)=</math> := '''0.10244385350712443'''861279778025414. lp58woz8lnheo2gim56phu1bu6jy3cw 59121 59120 2026-11-11T08:18:56Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59121 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.45}=</math> := 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := 0.27586206896551724137931034482759 - 0.27586206896551724137931034482759^3/3 + 0.27586206896551724137931034482759^5/5 - 0.27586206896551724137931034482759^7/7 + 0.27586206896551724137931034482759^9/9 - 0.27586206896551724137931034482759^11/11 + 0.27586206896551724137931034482759^13/13 = := '''0.26916749'''304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := '''0.26916749'''278570047542653584127307. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.26916749304043554450715959336444 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.73281510'''204124166072141582482565. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73281510'''178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.26916749304043554450715959336444 - 0.25}{1+ 0.26916749304043554450715959336444\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1 + 0.06729187326010888612678989834111} = \tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1.06729187326010888612678989834111}=</math> := 0.019167493040435544507159593364/1.067291873260108886126789898341 = 0.0179589983964623044012469281158. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := 0.0179589983964623044012469281158 - 0.0179589983964623044012469281158^3/3 + 0.0179589983964623044012469281158^5/5 - 0.0179589983964623044012469281158^7/7 + 0.0179589983964623044012469281158^9/9 - 0.0179589983964623044012469281158^11/11 + 0.0179589983964623044012469281158^13/13 - 0.0179589983964623044012469281158^15/15 = := '''0.017957068024287386522471323702'''2. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := '''0.017957068024287386522471323702'''33. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.7'''2658334015195765690881003637469. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. :a = 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} a=</math> := 0.26916749304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b =</math> := 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.26'''293573115115154069455380491348. :Kalkuliatoriaus: :arctg(0.27586206896551724137931034482759) = := '''0.26'''916749278570047542653584127307. *<math>\operatorname{arctg} 1.6.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 1.6) - \tan(\operatorname{arctg} 1)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 1.6) \tan(\operatorname{arctg} 1)}= \tan\frac{1.6 - 1}{1+ 1.6\cdot 1}= \tan\frac{0.6}{2.6}=</math> := 0.23076923076923076923076923076923. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := 0.23076923076923076923076923076923 - 0.23076923076923076923076923076923^3/3 + 0.23076923076923076923076923076923^5/5 - 0.23076923076923076923076923076923^7/7 + 0.23076923076923076923076923076923^9/9 - 0.23076923076923076923076923076923^11/11 + 0.23076923076923076923076923076923^13/13 - 0.23076923076923076923076923076923^15/15 = := '''0.226798848053'''04763076023291256713. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := '''0.226798848053'''88587364415262941821. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a =</math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.22679884805304763076023291256713 = := '''1.01219701145'''0495940375893758387. :Kalkuliatoriaus: :arctg(1.6) = := '''1.01219701145'''13341832598134752381. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) - \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}=</math> :<math>= \tan\frac{0.23076923076923076923076923076923 - 0.125}{1+ 0.23076923076923076923076923076923\cdot 0.125}= \tan\frac{0.10576923076923076923076923076923}{1+0.02884615384615384615384615384615}=</math> :0.105769230769230769230769230769/1.028846153846153846153846153846 = := 0.10280373831775700934579439252316. :<math>\operatorname{arctg} (0.10280373831775700934579439252316)=</math> := 0.10280373831775700934579439252316 - 0.10280373831775700934579439252316^3/3 + 0.10280373831775700934579439252316^5/5 - 0.10280373831775700934579439252316^7/7 + 0.10280373831775700934579439252316^9/9 - 0.10280373831775700934579439252316^11/11 + 0.10280373831775700934579439252316^13/13 - 0.10280373831775700934579439252316^15/15 = := '''0.10244385350712443'''768036939404847. :Kalkuliatoriaus: :<math>\operatorname{arctg} (0.10280373831775700934579439252316)=</math> := '''0.10244385350712443'''861279778025414. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} 0.125 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.12435499454676143503135484916387 + 0.10244385350712443768036939404847 = := '''1.01219701145133418'''23273850890322. :Kalukuliatoriaus: :<math>\operatorname{arctg} 1.6 =</math> := '''1.01219701145133418'''32598134752381. ho788th4ub2fuu9ydcukyzasxagod3k 59122 59121 2026-11-11T09:02:06Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59122 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.45}=</math> := 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := 0.27586206896551724137931034482759 - 0.27586206896551724137931034482759^3/3 + 0.27586206896551724137931034482759^5/5 - 0.27586206896551724137931034482759^7/7 + 0.27586206896551724137931034482759^9/9 - 0.27586206896551724137931034482759^11/11 + 0.27586206896551724137931034482759^13/13 = := '''0.26916749'''304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := '''0.26916749'''278570047542653584127307. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.26916749304043554450715959336444 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.73281510'''204124166072141582482565. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73281510'''178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.26916749304043554450715959336444 - 0.25}{1+ 0.26916749304043554450715959336444\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1 + 0.06729187326010888612678989834111} = \tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1.06729187326010888612678989834111}=</math> := 0.019167493040435544507159593364/1.067291873260108886126789898341 = 0.0179589983964623044012469281158. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := 0.0179589983964623044012469281158 - 0.0179589983964623044012469281158^3/3 + 0.0179589983964623044012469281158^5/5 - 0.0179589983964623044012469281158^7/7 + 0.0179589983964623044012469281158^9/9 - 0.0179589983964623044012469281158^11/11 + 0.0179589983964623044012469281158^13/13 - 0.0179589983964623044012469281158^15/15 = := '''0.017957068024287386522471323702'''2. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := '''0.017957068024287386522471323702'''33. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.7'''2658334015195765690881003637469. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. :a = 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} a=</math> := 0.26916749304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b =</math> := 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.26'''293573115115154069455380491348. :Kalkuliatoriaus: :arctg(0.27586206896551724137931034482759) = := '''0.26'''916749278570047542653584127307. *<math>\operatorname{arctg} 1.6.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 1.6) - \tan(\operatorname{arctg} 1)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 1.6) \tan(\operatorname{arctg} 1)}= \tan\frac{1.6 - 1}{1+ 1.6\cdot 1}= \tan\frac{0.6}{2.6}=</math> := 0.23076923076923076923076923076923. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := 0.23076923076923076923076923076923 - 0.23076923076923076923076923076923^3/3 + 0.23076923076923076923076923076923^5/5 - 0.23076923076923076923076923076923^7/7 + 0.23076923076923076923076923076923^9/9 - 0.23076923076923076923076923076923^11/11 + 0.23076923076923076923076923076923^13/13 - 0.23076923076923076923076923076923^15/15 = := '''0.226798848053'''04763076023291256713. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := '''0.226798848053'''88587364415262941821. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a =</math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.22679884805304763076023291256713 = := '''1.01219701145'''0495940375893758387. :Kalkuliatoriaus: :arctg(1.6) = := '''1.01219701145'''13341832598134752381. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) - \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}=</math> :<math>= \tan\frac{0.23076923076923076923076923076923 - 0.125}{1+ 0.23076923076923076923076923076923\cdot 0.125}= \tan\frac{0.10576923076923076923076923076923}{1+0.02884615384615384615384615384615}=</math> :0.105769230769230769230769230769/1.028846153846153846153846153846 = := 0.10280373831775700934579439252316. :<math>\operatorname{arctg} (0.10280373831775700934579439252316)=</math> := 0.10280373831775700934579439252316 - 0.10280373831775700934579439252316^3/3 + 0.10280373831775700934579439252316^5/5 - 0.10280373831775700934579439252316^7/7 + 0.10280373831775700934579439252316^9/9 - 0.10280373831775700934579439252316^11/11 + 0.10280373831775700934579439252316^13/13 - 0.10280373831775700934579439252316^15/15 = := '''0.10244385350712443'''768036939404847. :Kalkuliatoriaus: :<math>\operatorname{arctg} (0.10280373831775700934579439252316)=</math> := '''0.10244385350712443'''861279778025414. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} 0.125 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.12435499454676143503135484916387 + 0.10244385350712443768036939404847 = := '''1.01219701145133418'''23273850890322. :Kalukuliatoriaus: :<math>\operatorname{arctg} 1.6 =</math> := '''1.01219701145133418'''32598134752381. :'''Free Pacal''' kodas, skaičiuoti arctg(a): var a:real; b:real; c:real; d:real; g:real; f:real; begin //for a:=2 to 1000000000 do begin a:=7.0; b:=(a-1.0)/(a+1.0); c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5); d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25); g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d); f:=g - g*g*(g/3 + g*g* (g/5-g*g* (g/7 + g*g* (g/9 -g*g*g/11))))+1.61837943007188001503; // arctan(1)=pi/4 = 0.78539816339744830961566 // arctan(1/2) = 0.46364760900080611621425 // arctan(1/4) = 0.244978663126864154172 // arctan(1/8) = 0.12435499454676143503135 // pi/4+arctan(1/2)+arctan(1/4)+arctan(1/8) = 1.6183794300718800150333544076562 //f:=f+1.61837943007188001503; end; writeln(f); Readln; End. :Resultatas 1.4290003193181138E+000. :Skaičiuojama iki (a^11)/11. :Kalkuliatoriaus arctan(7) reikšmė yra 1.4288992721907326964184700745372. :Šituo budu apskaičiuota kalkuliatoriumi arctan(7) reikšmė iki (x_4^11)/11 yra 1.4288992722261246066538981860865. :Su kalkuliatoriumi skaičiuojant viską gaunama 10 pirmų teisingų skaitmenų. '''Free Pascal''' kodas duoda tik 3 pirmus teisingus skaitmenis. Looks like Pascal (or FPU) can't comprehend too complex code. :a=7.0; :b=(a-1.0)/(a+1.0) = 6/8 = 0.75. :c=(b-0.5)/(1.0+b*0.5) = (0.75-0.5)/(1.0+0.75*0.5) = 0.18181818181818181818181818181818. :d=(c-0.25)/(1.0+c*0.25)= = (0.18181818181818181818181-0.25)/(1.0+0.18181818181818181818181*0.25)= -0.06521739130434782608696447542533. :g=(d-0.125)/(1.0+0.125*d) = = (-0.06521739130434782608696-0.125)/(1.0-0.06521739130434782608696*0.125) = -0.19178082191780821917808578269844. ad41kt32fiueqby256ql7vlyxzdilv6 59123 59122 2026-11-11T09:08:28Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59123 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.45}=</math> := 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := 0.27586206896551724137931034482759 - 0.27586206896551724137931034482759^3/3 + 0.27586206896551724137931034482759^5/5 - 0.27586206896551724137931034482759^7/7 + 0.27586206896551724137931034482759^9/9 - 0.27586206896551724137931034482759^11/11 + 0.27586206896551724137931034482759^13/13 = := '''0.26916749'''304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := '''0.26916749'''278570047542653584127307. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.26916749304043554450715959336444 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.73281510'''204124166072141582482565. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73281510'''178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.26916749304043554450715959336444 - 0.25}{1+ 0.26916749304043554450715959336444\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1 + 0.06729187326010888612678989834111} = \tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1.06729187326010888612678989834111}=</math> := 0.019167493040435544507159593364/1.067291873260108886126789898341 = 0.0179589983964623044012469281158. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := 0.0179589983964623044012469281158 - 0.0179589983964623044012469281158^3/3 + 0.0179589983964623044012469281158^5/5 - 0.0179589983964623044012469281158^7/7 + 0.0179589983964623044012469281158^9/9 - 0.0179589983964623044012469281158^11/11 + 0.0179589983964623044012469281158^13/13 - 0.0179589983964623044012469281158^15/15 = := '''0.017957068024287386522471323702'''2. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := '''0.017957068024287386522471323702'''33. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.7'''2658334015195765690881003637469. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. :a = 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} a=</math> := 0.26916749304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b =</math> := 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.26'''293573115115154069455380491348. :Kalkuliatoriaus: :arctg(0.27586206896551724137931034482759) = := '''0.26'''916749278570047542653584127307. *<math>\operatorname{arctg} 1.6.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 1.6) - \tan(\operatorname{arctg} 1)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 1.6) \tan(\operatorname{arctg} 1)}= \tan\frac{1.6 - 1}{1+ 1.6\cdot 1}= \tan\frac{0.6}{2.6}=</math> := 0.23076923076923076923076923076923. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := 0.23076923076923076923076923076923 - 0.23076923076923076923076923076923^3/3 + 0.23076923076923076923076923076923^5/5 - 0.23076923076923076923076923076923^7/7 + 0.23076923076923076923076923076923^9/9 - 0.23076923076923076923076923076923^11/11 + 0.23076923076923076923076923076923^13/13 - 0.23076923076923076923076923076923^15/15 = := '''0.226798848053'''04763076023291256713. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := '''0.226798848053'''88587364415262941821. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a =</math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.22679884805304763076023291256713 = := '''1.01219701145'''0495940375893758387. :Kalkuliatoriaus: :arctg(1.6) = := '''1.01219701145'''13341832598134752381. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) - \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}=</math> :<math>= \tan\frac{0.23076923076923076923076923076923 - 0.125}{1+ 0.23076923076923076923076923076923\cdot 0.125}= \tan\frac{0.10576923076923076923076923076923}{1+0.02884615384615384615384615384615}=</math> :0.105769230769230769230769230769/1.028846153846153846153846153846 = := 0.10280373831775700934579439252316. :<math>\operatorname{arctg} (0.10280373831775700934579439252316)=</math> := 0.10280373831775700934579439252316 - 0.10280373831775700934579439252316^3/3 + 0.10280373831775700934579439252316^5/5 - 0.10280373831775700934579439252316^7/7 + 0.10280373831775700934579439252316^9/9 - 0.10280373831775700934579439252316^11/11 + 0.10280373831775700934579439252316^13/13 - 0.10280373831775700934579439252316^15/15 = := '''0.10244385350712443'''768036939404847. :Kalkuliatoriaus: :<math>\operatorname{arctg} (0.10280373831775700934579439252316)=</math> := '''0.10244385350712443'''861279778025414. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} 0.125 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.12435499454676143503135484916387 + 0.10244385350712443768036939404847 = := '''1.01219701145133418'''23273850890322. :Kalukuliatoriaus: :<math>\operatorname{arctg} 1.6 =</math> := '''1.01219701145133418'''32598134752381. :'''Free Pacal''' kodas, skaičiuoti arctg(a): var a:real; b:real; c:real; d:real; g:real; f:real; begin //for a:=2 to 1000000000 do begin a:=7.0; b:=(a-1.0)/(a+1.0); c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5); d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25); g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d); f:=g - g*g*(g/3 + g*g* (g/5-g*g* (g/7 + g*g* (g/9 -g*g*g/11))))+1.61837943007188001503; // arctan(1)=pi/4 = 0.78539816339744830961566 // arctan(1/2) = 0.46364760900080611621425 // arctan(1/4) = 0.244978663126864154172 // arctan(1/8) = 0.12435499454676143503135 // pi/4+arctan(1/2)+arctan(1/4)+arctan(1/8) = 1.6183794300718800150333544076562 //f:=f+1.61837943007188001503; end; writeln(f); Readln; End. :Resultatas 1.4290003193181138E+000. :Skaičiuojama iki (a^11)/11. :Kalkuliatoriaus arctan(7) reikšmė yra 1.4288992721907326964184700745372. :Šituo budu apskaičiuota kalkuliatoriumi arctan(7) reikšmė iki (x_4^11)/11 yra 1.4288992722261246066538981860865. :Su kalkuliatoriumi skaičiuojant viską gaunama 10 pirmų teisingų skaitmenų. '''Free Pascal''' kodas duoda tik 3 pirmus teisingus skaitmenis. Looks like Pascal (or FPU) can't comprehend too complex code. :Kodas skaičiuoja teisingai, nepaisant ar kuri nors iš reikšmių c, d, g gausis neigiama ar teigiama (jei kuri nors gaunasi neigiama, tai tiesiog dažniausiai (arba visada) prarandama kažkiek tikslumo). :a=7.0; :b=(a-1.0)/(a+1.0) = 6/8 = 0.75. :c=(b-0.5)/(1.0+b*0.5) = (0.75-0.5)/(1.0+0.75*0.5) = 0.18181818181818181818181818181818. :d=(c-0.25)/(1.0+c*0.25)= := (0.18181818181818181818181-0.25)/(1.0+0.18181818181818181818181*0.25)= -0.06521739130434782608696447542533. :g=(d-0.125)/(1.0+0.125*d) = := (-0.06521739130434782608696-0.125)/(1.0-0.06521739130434782608696*0.125) = -0.19178082191780821917808578269844. c2qz4iycyr8n50fk1dir23v4dffo2xx 59124 59123 2026-11-11T09:20:06Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59124 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.45}=</math> := 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := 0.27586206896551724137931034482759 - 0.27586206896551724137931034482759^3/3 + 0.27586206896551724137931034482759^5/5 - 0.27586206896551724137931034482759^7/7 + 0.27586206896551724137931034482759^9/9 - 0.27586206896551724137931034482759^11/11 + 0.27586206896551724137931034482759^13/13 = := '''0.26916749'''304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := '''0.26916749'''278570047542653584127307. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.26916749304043554450715959336444 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.73281510'''204124166072141582482565. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73281510'''178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.26916749304043554450715959336444 - 0.25}{1+ 0.26916749304043554450715959336444\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1 + 0.06729187326010888612678989834111} = \tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1.06729187326010888612678989834111}=</math> := 0.019167493040435544507159593364/1.067291873260108886126789898341 = 0.0179589983964623044012469281158. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := 0.0179589983964623044012469281158 - 0.0179589983964623044012469281158^3/3 + 0.0179589983964623044012469281158^5/5 - 0.0179589983964623044012469281158^7/7 + 0.0179589983964623044012469281158^9/9 - 0.0179589983964623044012469281158^11/11 + 0.0179589983964623044012469281158^13/13 - 0.0179589983964623044012469281158^15/15 = := '''0.017957068024287386522471323702'''2. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := '''0.017957068024287386522471323702'''33. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.7'''2658334015195765690881003637469. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. :a = 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} a=</math> := 0.26916749304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b =</math> := 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.26'''293573115115154069455380491348. :Kalkuliatoriaus: :arctg(0.27586206896551724137931034482759) = := '''0.26'''916749278570047542653584127307. *<math>\operatorname{arctg} 1.6.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 1.6) - \tan(\operatorname{arctg} 1)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 1.6) \tan(\operatorname{arctg} 1)}= \tan\frac{1.6 - 1}{1+ 1.6\cdot 1}= \tan\frac{0.6}{2.6}=</math> := 0.23076923076923076923076923076923. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := 0.23076923076923076923076923076923 - 0.23076923076923076923076923076923^3/3 + 0.23076923076923076923076923076923^5/5 - 0.23076923076923076923076923076923^7/7 + 0.23076923076923076923076923076923^9/9 - 0.23076923076923076923076923076923^11/11 + 0.23076923076923076923076923076923^13/13 - 0.23076923076923076923076923076923^15/15 = := '''0.226798848053'''04763076023291256713. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := '''0.226798848053'''88587364415262941821. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a =</math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.22679884805304763076023291256713 = := '''1.01219701145'''0495940375893758387. :Kalkuliatoriaus: :arctg(1.6) = := '''1.01219701145'''13341832598134752381. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) - \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}=</math> :<math>= \tan\frac{0.23076923076923076923076923076923 - 0.125}{1+ 0.23076923076923076923076923076923\cdot 0.125}= \tan\frac{0.10576923076923076923076923076923}{1+0.02884615384615384615384615384615}=</math> :0.105769230769230769230769230769/1.028846153846153846153846153846 = := 0.10280373831775700934579439252316. :<math>\operatorname{arctg} (0.10280373831775700934579439252316)=</math> := 0.10280373831775700934579439252316 - 0.10280373831775700934579439252316^3/3 + 0.10280373831775700934579439252316^5/5 - 0.10280373831775700934579439252316^7/7 + 0.10280373831775700934579439252316^9/9 - 0.10280373831775700934579439252316^11/11 + 0.10280373831775700934579439252316^13/13 - 0.10280373831775700934579439252316^15/15 = := '''0.10244385350712443'''768036939404847. :Kalkuliatoriaus: :<math>\operatorname{arctg} (0.10280373831775700934579439252316)=</math> := '''0.10244385350712443'''861279778025414. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} 0.125 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.12435499454676143503135484916387 + 0.10244385350712443768036939404847 = := '''1.01219701145133418'''23273850890322. :Kalukuliatoriaus: :<math>\operatorname{arctg} 1.6 =</math> := '''1.01219701145133418'''32598134752381. :'''Free Pacal''' kodas, skaičiuoti arctg(a): var a:real; b:real; c:real; d:real; g:real; f:real; begin //for a:=2 to 1000000000 do begin a:=7.0; b:=(a-1.0)/(a+1.0); c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5); d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25); g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d); f:=g - g*g*(g/3 + g*g* (g/5-g*g* (g/7 + g*g* (g/9 -g*g*g/11))))+1.61837943007188001503; // arctan(1)=pi/4 = 0.78539816339744830961566 // arctan(1/2) = 0.46364760900080611621425 // arctan(1/4) = 0.244978663126864154172 // arctan(1/8) = 0.12435499454676143503135 // pi/4+arctan(1/2)+arctan(1/4)+arctan(1/8) = 1.6183794300718800150333544076562 //f:=f+1.61837943007188001503; end; writeln(f); Readln; End. :Resultatas 1.4290003193181138E+000. :Skaičiuojama iki (a^11)/11. :Kalkuliatoriaus arctan(7) reikšmė yra 1.4288992721907326964184700745372. :Šituo budu apskaičiuota kalkuliatoriumi arctan(7) reikšmė iki (x_4^11)/11 yra 1.4288992722261246066538981860865. :Su kalkuliatoriumi skaičiuojant viską gaunama 10 pirmų teisingų skaitmenų. '''Free Pascal''' kodas duoda tik 3 pirmus teisingus skaitmenis. Looks like Pascal (or FPU) can't comprehend too complex code. :Kodas skaičiuoja teisingai, nepaisant ar kuri nors iš reikšmių c, d, g gausis neigiama ar teigiama (jei kuri nors gaunasi neigiama, tai tiesiog dažniausiai (arba visada) prarandama kažkiek tikslumo). :a=7.0; :b=(a-1.0)/(a+1.0) = 6/8 = 0.75. :c=(b-0.5)/(1.0+b*0.5) = (0.75-0.5)/(1.0+0.75*0.5) = 0.18181818181818181818181818181818. :d=(c-0.25)/(1.0+c*0.25)= := (0.18181818181818181818181-0.25)/(1.0+0.18181818181818181818181*0.25)= -0.06521739130434782608696447542533. :g=(d-0.125)/(1.0+0.125*d) = := (-0.06521739130434782608696-0.125)/(1.0-0.06521739130434782608696*0.125) = -0.19178082191780821917808578269844. :Šis '''Free Pascal''' kodas: var a:real; b:real; f:real; d:longint; h:real; begin //for a:=2 to 1000000000 do begin a:=7.0; begin b:=a; h:=2.0; for d:=1 to 4 do begin h:=h*0.5; b:=(b-h)/(1.0+b*h); end; end; f:=b - b*b*(b/3.0 + b*b* (b/5.0-b*b* (b/7.0 + b*b* (b/9.0 -b*b*b/11.0))))+1.61837943007188001503; end; writeln(f); Readln; End. :Duoda tą patį rezultatą 1.4290003193181138E+000. :Reikšmė b kode apskaičiuota teisingai ir yra lygi -1.9178082191780821E-001 arba a:=7.0; b:=(a-1.0)/(a+1.0) = 6/8 = 0.75. c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5) = (0.75-0.5)/(1.0+0.75*0.5) = 0.18181818181818181818181818181818. d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25)= = (0.18181818181818181818181-0.25)/(1.0+0.18181818181818181818181*0.25)= -0.06521739130434782608696447542533. g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d) = = (-0.06521739130434782608696-0.125)/(1.0-0.06521739130434782608696*0.125) = -0.19178082191780821917808578269844. :Reikšmė lygiai tokia pati kaip ir preitame kode reikšmė g. :Tikslumo praradimai panašu prasideda skaičiuojant reikšmę f. Skaičiavimas su kalkuliatoriumi: -0.19178082191780821917808219178082 - (-0.19178082191780821917808219178082)^3/3 +(-0.19178082191780821917808219178082)^5/5 - (-0.19178082191780821917808219178082)^7/7 +(-0.19178082191780821917808219178082)^9/9 - (-0.19178082191780821917808219178082)^11/11 = -0.18948015784575540837945622156966. -0.18948015784575540837945622156966 + 1.6183794300718800150333544076562 =1.4288992722261246066538981860865. :Čia 10 pirmų skaitmenų teisingi. nn3ncdg81syaqiy0pkhl7fc1wdrosj2 59125 59124 2026-11-11T09:21:56Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59125 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.45}=</math> := 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := 0.27586206896551724137931034482759 - 0.27586206896551724137931034482759^3/3 + 0.27586206896551724137931034482759^5/5 - 0.27586206896551724137931034482759^7/7 + 0.27586206896551724137931034482759^9/9 - 0.27586206896551724137931034482759^11/11 + 0.27586206896551724137931034482759^13/13 = := '''0.26916749'''304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := '''0.26916749'''278570047542653584127307. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.26916749304043554450715959336444 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.73281510'''204124166072141582482565. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73281510'''178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.26916749304043554450715959336444 - 0.25}{1+ 0.26916749304043554450715959336444\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1 + 0.06729187326010888612678989834111} = \tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1.06729187326010888612678989834111}=</math> := 0.019167493040435544507159593364/1.067291873260108886126789898341 = 0.0179589983964623044012469281158. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := 0.0179589983964623044012469281158 - 0.0179589983964623044012469281158^3/3 + 0.0179589983964623044012469281158^5/5 - 0.0179589983964623044012469281158^7/7 + 0.0179589983964623044012469281158^9/9 - 0.0179589983964623044012469281158^11/11 + 0.0179589983964623044012469281158^13/13 - 0.0179589983964623044012469281158^15/15 = := '''0.017957068024287386522471323702'''2. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := '''0.017957068024287386522471323702'''33. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.7'''2658334015195765690881003637469. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. :a = 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} a=</math> := 0.26916749304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b =</math> := 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.26'''293573115115154069455380491348. :Kalkuliatoriaus: :arctg(0.27586206896551724137931034482759) = := '''0.26'''916749278570047542653584127307. *<math>\operatorname{arctg} 1.6.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 1.6) - \tan(\operatorname{arctg} 1)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 1.6) \tan(\operatorname{arctg} 1)}= \tan\frac{1.6 - 1}{1+ 1.6\cdot 1}= \tan\frac{0.6}{2.6}=</math> := 0.23076923076923076923076923076923. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := 0.23076923076923076923076923076923 - 0.23076923076923076923076923076923^3/3 + 0.23076923076923076923076923076923^5/5 - 0.23076923076923076923076923076923^7/7 + 0.23076923076923076923076923076923^9/9 - 0.23076923076923076923076923076923^11/11 + 0.23076923076923076923076923076923^13/13 - 0.23076923076923076923076923076923^15/15 = := '''0.226798848053'''04763076023291256713. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := '''0.226798848053'''88587364415262941821. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a =</math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.22679884805304763076023291256713 = := '''1.01219701145'''0495940375893758387. :Kalkuliatoriaus: :arctg(1.6) = := '''1.01219701145'''13341832598134752381. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) - \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}=</math> :<math>= \tan\frac{0.23076923076923076923076923076923 - 0.125}{1+ 0.23076923076923076923076923076923\cdot 0.125}= \tan\frac{0.10576923076923076923076923076923}{1+0.02884615384615384615384615384615}=</math> :0.105769230769230769230769230769/1.028846153846153846153846153846 = := 0.10280373831775700934579439252316. :<math>\operatorname{arctg} (0.10280373831775700934579439252316)=</math> := 0.10280373831775700934579439252316 - 0.10280373831775700934579439252316^3/3 + 0.10280373831775700934579439252316^5/5 - 0.10280373831775700934579439252316^7/7 + 0.10280373831775700934579439252316^9/9 - 0.10280373831775700934579439252316^11/11 + 0.10280373831775700934579439252316^13/13 - 0.10280373831775700934579439252316^15/15 = := '''0.10244385350712443'''768036939404847. :Kalkuliatoriaus: :<math>\operatorname{arctg} (0.10280373831775700934579439252316)=</math> := '''0.10244385350712443'''861279778025414. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} 0.125 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.12435499454676143503135484916387 + 0.10244385350712443768036939404847 = := '''1.01219701145133418'''23273850890322. :Kalukuliatoriaus: :<math>\operatorname{arctg} 1.6 =</math> := '''1.01219701145133418'''32598134752381. :'''Free Pacal''' kodas, skaičiuoti arctg(a): var a:real; b:real; c:real; d:real; g:real; f:real; begin //for a:=2 to 1000000000 do begin a:=7.0; b:=(a-1.0)/(a+1.0); c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5); d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25); g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d); f:=g - g*g*(g/3 + g*g* (g/5-g*g* (g/7 + g*g* (g/9 -g*g*g/11))))+1.61837943007188001503; // arctan(1)=pi/4 = 0.78539816339744830961566 // arctan(1/2) = 0.46364760900080611621425 // arctan(1/4) = 0.244978663126864154172 // arctan(1/8) = 0.12435499454676143503135 // pi/4+arctan(1/2)+arctan(1/4)+arctan(1/8) = 1.6183794300718800150333544076562 //f:=f+1.61837943007188001503; end; writeln(f); Readln; End. :Resultatas 1.4290003193181138E+000. :Skaičiuojama iki (a^11)/11. :Kalkuliatoriaus arctan(7) reikšmė yra 1.4288992721907326964184700745372. :Šituo budu apskaičiuota kalkuliatoriumi arctan(7) reikšmė iki (x_4^11)/11 yra 1.4288992722261246066538981860865. :Su kalkuliatoriumi skaičiuojant viską gaunama 10 pirmų teisingų skaitmenų. '''Free Pascal''' kodas duoda tik 3 pirmus teisingus skaitmenis. Looks like Pascal (or FPU) can't comprehend too complex code. :Kodas skaičiuoja teisingai, nepaisant ar kuri nors iš reikšmių c, d, g gausis neigiama ar teigiama (jei kuri nors gaunasi neigiama, tai tiesiog dažniausiai (arba visada) prarandama kažkiek tikslumo). :a=7.0; :b=(a-1.0)/(a+1.0) = 6/8 = 0.75. :c=(b-0.5)/(1.0+b*0.5) = (0.75-0.5)/(1.0+0.75*0.5) = 0.18181818181818181818181818181818. :d=(c-0.25)/(1.0+c*0.25)= := (0.18181818181818181818181-0.25)/(1.0+0.18181818181818181818181*0.25)= -0.06521739130434782608696447542533. :g=(d-0.125)/(1.0+0.125*d) = := (-0.06521739130434782608696-0.125)/(1.0-0.06521739130434782608696*0.125) = -0.19178082191780821917808578269844. :Šis '''Free Pascal''' kodas: var a:real; b:real; f:real; d:longint; h:real; begin //for a:=2 to 1000000000 do begin a:=7.0; begin b:=a; h:=2.0; for d:=1 to 4 do begin h:=h*0.5; b:=(b-h)/(1.0+b*h); end; end; f:=b - b*b*(b/3.0 + b*b* (b/5.0-b*b* (b/7.0 + b*b* (b/9.0 -b*b*b/11.0))))+1.61837943007188001503; end; writeln(f); Readln; End. :Duoda tą patį rezultatą 1.4290003193181138E+000. :Reikšmė b kode apskaičiuota teisingai ir yra lygi -1.9178082191780821E-001 arba :a:=7.0; :b:=(a-1.0)/(a+1.0) = 6/8 = 0.75. :c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5) = (0.75-0.5)/(1.0+0.75*0.5) = 0.18181818181818181818181818181818. :d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25)= := (0.18181818181818181818181-0.25)/(1.0+0.18181818181818181818181*0.25)= -0.06521739130434782608696447542533. :g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d) = := (-0.06521739130434782608696-0.125)/(1.0-0.06521739130434782608696*0.125) = -0.19178082191780821917808578269844. :Reikšmė lygiai tokia pati kaip ir preitame kode reikšmė g. :Tikslumo praradimai panašu prasideda skaičiuojant reikšmę f. Skaičiavimas su kalkuliatoriumi: -0.19178082191780821917808219178082 - (-0.19178082191780821917808219178082)^3/3 +(-0.19178082191780821917808219178082)^5/5 - (-0.19178082191780821917808219178082)^7/7 +(-0.19178082191780821917808219178082)^9/9 - (-0.19178082191780821917808219178082)^11/11 = -0.18948015784575540837945622156966. -0.18948015784575540837945622156966 + 1.6183794300718800150333544076562 =1.4288992722261246066538981860865. :Čia 10 pirmų skaitmenų teisingi. 82xoh4mfnpyct2d4duskuna8ilebxwf 59126 59125 2026-11-11T10:14:47Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59126 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.45}=</math> := 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := 0.27586206896551724137931034482759 - 0.27586206896551724137931034482759^3/3 + 0.27586206896551724137931034482759^5/5 - 0.27586206896551724137931034482759^7/7 + 0.27586206896551724137931034482759^9/9 - 0.27586206896551724137931034482759^11/11 + 0.27586206896551724137931034482759^13/13 = := '''0.26916749'''304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := '''0.26916749'''278570047542653584127307. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.26916749304043554450715959336444 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.73281510'''204124166072141582482565. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73281510'''178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.26916749304043554450715959336444 - 0.25}{1+ 0.26916749304043554450715959336444\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1 + 0.06729187326010888612678989834111} = \tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1.06729187326010888612678989834111}=</math> := 0.019167493040435544507159593364/1.067291873260108886126789898341 = 0.0179589983964623044012469281158. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := 0.0179589983964623044012469281158 - 0.0179589983964623044012469281158^3/3 + 0.0179589983964623044012469281158^5/5 - 0.0179589983964623044012469281158^7/7 + 0.0179589983964623044012469281158^9/9 - 0.0179589983964623044012469281158^11/11 + 0.0179589983964623044012469281158^13/13 - 0.0179589983964623044012469281158^15/15 = := '''0.017957068024287386522471323702'''2. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := '''0.017957068024287386522471323702'''33. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.7'''2658334015195765690881003637469. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. :a = 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} a=</math> := 0.26916749304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b =</math> := 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.26'''293573115115154069455380491348. :Kalkuliatoriaus: :arctg(0.27586206896551724137931034482759) = := '''0.26'''916749278570047542653584127307. *<math>\operatorname{arctg} 1.6.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 1.6) - \tan(\operatorname{arctg} 1)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 1.6) \tan(\operatorname{arctg} 1)}= \tan\frac{1.6 - 1}{1+ 1.6\cdot 1}= \tan\frac{0.6}{2.6}=</math> := 0.23076923076923076923076923076923. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := 0.23076923076923076923076923076923 - 0.23076923076923076923076923076923^3/3 + 0.23076923076923076923076923076923^5/5 - 0.23076923076923076923076923076923^7/7 + 0.23076923076923076923076923076923^9/9 - 0.23076923076923076923076923076923^11/11 + 0.23076923076923076923076923076923^13/13 - 0.23076923076923076923076923076923^15/15 = := '''0.226798848053'''04763076023291256713. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := '''0.226798848053'''88587364415262941821. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a =</math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.22679884805304763076023291256713 = := '''1.01219701145'''0495940375893758387. :Kalkuliatoriaus: :arctg(1.6) = := '''1.01219701145'''13341832598134752381. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) - \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}=</math> :<math>= \tan\frac{0.23076923076923076923076923076923 - 0.125}{1+ 0.23076923076923076923076923076923\cdot 0.125}= \tan\frac{0.10576923076923076923076923076923}{1+0.02884615384615384615384615384615}=</math> :0.105769230769230769230769230769/1.028846153846153846153846153846 = := 0.10280373831775700934579439252316. :<math>\operatorname{arctg} (0.10280373831775700934579439252316)=</math> := 0.10280373831775700934579439252316 - 0.10280373831775700934579439252316^3/3 + 0.10280373831775700934579439252316^5/5 - 0.10280373831775700934579439252316^7/7 + 0.10280373831775700934579439252316^9/9 - 0.10280373831775700934579439252316^11/11 + 0.10280373831775700934579439252316^13/13 - 0.10280373831775700934579439252316^15/15 = := '''0.10244385350712443'''768036939404847. :Kalkuliatoriaus: :<math>\operatorname{arctg} (0.10280373831775700934579439252316)=</math> := '''0.10244385350712443'''861279778025414. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} 0.125 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.12435499454676143503135484916387 + 0.10244385350712443768036939404847 = := '''1.01219701145133418'''23273850890322. :Kalukuliatoriaus: :<math>\operatorname{arctg} 1.6 =</math> := '''1.01219701145133418'''32598134752381. :'''Free Pacal''' kodas, skaičiuoti arctg(a): var a:real; b:real; c:real; d:real; g:real; f:real; begin //for a:=2 to 1000000000 do begin a:=7.0; b:=(a-1.0)/(a+1.0); c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5); d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25); g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d); f:=g - g*g*(g/3 + g*g* (g/5-g*g* (g/7 + g*g* (g/9 -g*g*g/11))))+1.61837943007188001503; // arctan(1)=pi/4 = 0.78539816339744830961566 // arctan(1/2) = 0.46364760900080611621425 // arctan(1/4) = 0.244978663126864154172 // arctan(1/8) = 0.12435499454676143503135 // pi/4+arctan(1/2)+arctan(1/4)+arctan(1/8) = 1.6183794300718800150333544076562 //f:=f+1.61837943007188001503; end; writeln(f); Readln; End. :Resultatas 1.4290003193181138E+000. :Skaičiuojama iki (a^11)/11. :Kalkuliatoriaus arctan(7) reikšmė yra 1.4288992721907326964184700745372. :Šituo budu apskaičiuota kalkuliatoriumi arctan(7) reikšmė iki (x_4^11)/11 yra 1.4288992722261246066538981860865. :Su kalkuliatoriumi skaičiuojant viską gaunama 10 pirmų teisingų skaitmenų. '''Free Pascal''' kodas duoda tik 3 pirmus teisingus skaitmenis. Looks like Pascal (or FPU) can't comprehend too complex code. :Kodas skaičiuoja teisingai, nepaisant ar kuri nors iš reikšmių c, d, g gausis neigiama ar teigiama (jei kuri nors gaunasi neigiama, tai tiesiog dažniausiai (arba visada) prarandama kažkiek tikslumo). :a=7.0; :b=(a-1.0)/(a+1.0) = 6/8 = 0.75. :c=(b-0.5)/(1.0+b*0.5) = (0.75-0.5)/(1.0+0.75*0.5) = 0.18181818181818181818181818181818. :d=(c-0.25)/(1.0+c*0.25)= := (0.18181818181818181818181-0.25)/(1.0+0.18181818181818181818181*0.25)= -0.06521739130434782608696447542533. :g=(d-0.125)/(1.0+0.125*d) = := (-0.06521739130434782608696-0.125)/(1.0-0.06521739130434782608696*0.125) = -0.19178082191780821917808578269844. :Šis '''Free Pascal''' kodas: var a:real; b:real; f:real; d:longint; h:real; begin //for a:=2 to 1000000000 do begin a:=7.0; begin b:=a; h:=2.0; for d:=1 to 4 do begin h:=h*0.5; b:=(b-h)/(1.0+b*h); end; end; f:=b - b*b*(b/3.0 + b*b* (b/5.0-b*b* (b/7.0 + b*b* (b/9.0 -b*b*b/11.0))))+1.61837943007188001503; end; writeln(f); Readln; End. :Duoda tą patį rezultatą 1.4290003193181138E+000. :Reikšmė b kode apskaičiuota teisingai ir yra lygi -1.9178082191780821E-001 arba :a:=7.0; :b:=(a-1.0)/(a+1.0) = 6/8 = 0.75. :c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5) = (0.75-0.5)/(1.0+0.75*0.5) = 0.18181818181818181818181818181818. :d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25)= := (0.18181818181818181818181-0.25)/(1.0+0.18181818181818181818181*0.25)= -0.06521739130434782608696447542533. :g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d) = := (-0.06521739130434782608696-0.125)/(1.0-0.06521739130434782608696*0.125) = -0.19178082191780821917808578269844. :Reikšmė lygiai tokia pati kaip ir preitame kode reikšmė g. :Tikslumo praradimai panašu prasideda skaičiuojant reikšmę f. Skaičiavimas su kalkuliatoriumi: -0.19178082191780821917808219178082 - (-0.19178082191780821917808219178082)^3/3 +(-0.19178082191780821917808219178082)^5/5 - (-0.19178082191780821917808219178082)^7/7 +(-0.19178082191780821917808219178082)^9/9 - (-0.19178082191780821917808219178082)^11/11 = -0.18948015784575540837945622156966. -0.18948015784575540837945622156966 + 1.6183794300718800150333544076562 =1.4288992722261246066538981860865. :Čia 10 pirmų skaitmenų teisingi. ===Arktangento Benchmark=== :Toks arktangentų reikšmių (nuo 2 iki 1 milijardo) skaičiavimo kodas: var a:longint; b:real; c:real; d:real; g:real; f:real; begin for a:=1 to 1000000000 do begin b:=(1.0*a-1.0)/(1.0*a+1.0); c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5); d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25); g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d); f:=f+g - g*g*(g/3 + g*g* (g/5-g*g* (g/7 + g*g* (g/9 -g*g*g/11))))+1.61837943007188001503; end; // pi/4+arctan(1/2)+arctan(1/4)+arctan(1/8) = 1.6183794300718800150333544076562 // f:=f+1.61837943007188001503; writeln(f); Readln; End. :duoda 1.5707964092145209E+009. Labai didelės a reikšmės duoda <math>arctan a \approx\pi/2</math>. Pirmą kartą skaičiuojama 1 minutę ir 9 sekundes. Antrą ir trečią kartą - 1 minutę ir 7 sekundes. Su 4.16 GHz procesorium. 0msww2khfsfms9re55az8sn9hh5ua8g 59127 59126 2026-11-11T10:16:16Z Paraboloid 1294 /* Arktangento Benchmark */ 59127 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.45}=</math> := 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := 0.27586206896551724137931034482759 - 0.27586206896551724137931034482759^3/3 + 0.27586206896551724137931034482759^5/5 - 0.27586206896551724137931034482759^7/7 + 0.27586206896551724137931034482759^9/9 - 0.27586206896551724137931034482759^11/11 + 0.27586206896551724137931034482759^13/13 = := '''0.26916749'''304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := '''0.26916749'''278570047542653584127307. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.26916749304043554450715959336444 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.73281510'''204124166072141582482565. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73281510'''178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.26916749304043554450715959336444 - 0.25}{1+ 0.26916749304043554450715959336444\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1 + 0.06729187326010888612678989834111} = \tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1.06729187326010888612678989834111}=</math> := 0.019167493040435544507159593364/1.067291873260108886126789898341 = 0.0179589983964623044012469281158. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := 0.0179589983964623044012469281158 - 0.0179589983964623044012469281158^3/3 + 0.0179589983964623044012469281158^5/5 - 0.0179589983964623044012469281158^7/7 + 0.0179589983964623044012469281158^9/9 - 0.0179589983964623044012469281158^11/11 + 0.0179589983964623044012469281158^13/13 - 0.0179589983964623044012469281158^15/15 = := '''0.017957068024287386522471323702'''2. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := '''0.017957068024287386522471323702'''33. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.7'''2658334015195765690881003637469. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. :a = 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} a=</math> := 0.26916749304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b =</math> := 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.26'''293573115115154069455380491348. :Kalkuliatoriaus: :arctg(0.27586206896551724137931034482759) = := '''0.26'''916749278570047542653584127307. *<math>\operatorname{arctg} 1.6.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 1.6) - \tan(\operatorname{arctg} 1)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 1.6) \tan(\operatorname{arctg} 1)}= \tan\frac{1.6 - 1}{1+ 1.6\cdot 1}= \tan\frac{0.6}{2.6}=</math> := 0.23076923076923076923076923076923. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := 0.23076923076923076923076923076923 - 0.23076923076923076923076923076923^3/3 + 0.23076923076923076923076923076923^5/5 - 0.23076923076923076923076923076923^7/7 + 0.23076923076923076923076923076923^9/9 - 0.23076923076923076923076923076923^11/11 + 0.23076923076923076923076923076923^13/13 - 0.23076923076923076923076923076923^15/15 = := '''0.226798848053'''04763076023291256713. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := '''0.226798848053'''88587364415262941821. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a =</math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.22679884805304763076023291256713 = := '''1.01219701145'''0495940375893758387. :Kalkuliatoriaus: :arctg(1.6) = := '''1.01219701145'''13341832598134752381. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) - \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}=</math> :<math>= \tan\frac{0.23076923076923076923076923076923 - 0.125}{1+ 0.23076923076923076923076923076923\cdot 0.125}= \tan\frac{0.10576923076923076923076923076923}{1+0.02884615384615384615384615384615}=</math> :0.105769230769230769230769230769/1.028846153846153846153846153846 = := 0.10280373831775700934579439252316. :<math>\operatorname{arctg} (0.10280373831775700934579439252316)=</math> := 0.10280373831775700934579439252316 - 0.10280373831775700934579439252316^3/3 + 0.10280373831775700934579439252316^5/5 - 0.10280373831775700934579439252316^7/7 + 0.10280373831775700934579439252316^9/9 - 0.10280373831775700934579439252316^11/11 + 0.10280373831775700934579439252316^13/13 - 0.10280373831775700934579439252316^15/15 = := '''0.10244385350712443'''768036939404847. :Kalkuliatoriaus: :<math>\operatorname{arctg} (0.10280373831775700934579439252316)=</math> := '''0.10244385350712443'''861279778025414. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} 0.125 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.12435499454676143503135484916387 + 0.10244385350712443768036939404847 = := '''1.01219701145133418'''23273850890322. :Kalukuliatoriaus: :<math>\operatorname{arctg} 1.6 =</math> := '''1.01219701145133418'''32598134752381. :'''Free Pacal''' kodas, skaičiuoti arctg(a): var a:real; b:real; c:real; d:real; g:real; f:real; begin //for a:=2 to 1000000000 do begin a:=7.0; b:=(a-1.0)/(a+1.0); c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5); d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25); g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d); f:=g - g*g*(g/3 + g*g* (g/5-g*g* (g/7 + g*g* (g/9 -g*g*g/11))))+1.61837943007188001503; // arctan(1)=pi/4 = 0.78539816339744830961566 // arctan(1/2) = 0.46364760900080611621425 // arctan(1/4) = 0.244978663126864154172 // arctan(1/8) = 0.12435499454676143503135 // pi/4+arctan(1/2)+arctan(1/4)+arctan(1/8) = 1.6183794300718800150333544076562 //f:=f+1.61837943007188001503; end; writeln(f); Readln; End. :Resultatas 1.4290003193181138E+000. :Skaičiuojama iki (a^11)/11. :Kalkuliatoriaus arctan(7) reikšmė yra 1.4288992721907326964184700745372. :Šituo budu apskaičiuota kalkuliatoriumi arctan(7) reikšmė iki (x_4^11)/11 yra 1.4288992722261246066538981860865. :Su kalkuliatoriumi skaičiuojant viską gaunama 10 pirmų teisingų skaitmenų. '''Free Pascal''' kodas duoda tik 3 pirmus teisingus skaitmenis. Looks like Pascal (or FPU) can't comprehend too complex code. :Kodas skaičiuoja teisingai, nepaisant ar kuri nors iš reikšmių c, d, g gausis neigiama ar teigiama (jei kuri nors gaunasi neigiama, tai tiesiog dažniausiai (arba visada) prarandama kažkiek tikslumo). :a=7.0; :b=(a-1.0)/(a+1.0) = 6/8 = 0.75. :c=(b-0.5)/(1.0+b*0.5) = (0.75-0.5)/(1.0+0.75*0.5) = 0.18181818181818181818181818181818. :d=(c-0.25)/(1.0+c*0.25)= := (0.18181818181818181818181-0.25)/(1.0+0.18181818181818181818181*0.25)= -0.06521739130434782608696447542533. :g=(d-0.125)/(1.0+0.125*d) = := (-0.06521739130434782608696-0.125)/(1.0-0.06521739130434782608696*0.125) = -0.19178082191780821917808578269844. :Šis '''Free Pascal''' kodas: var a:real; b:real; f:real; d:longint; h:real; begin //for a:=2 to 1000000000 do begin a:=7.0; begin b:=a; h:=2.0; for d:=1 to 4 do begin h:=h*0.5; b:=(b-h)/(1.0+b*h); end; end; f:=b - b*b*(b/3.0 + b*b* (b/5.0-b*b* (b/7.0 + b*b* (b/9.0 -b*b*b/11.0))))+1.61837943007188001503; end; writeln(f); Readln; End. :Duoda tą patį rezultatą 1.4290003193181138E+000. :Reikšmė b kode apskaičiuota teisingai ir yra lygi -1.9178082191780821E-001 arba :a:=7.0; :b:=(a-1.0)/(a+1.0) = 6/8 = 0.75. :c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5) = (0.75-0.5)/(1.0+0.75*0.5) = 0.18181818181818181818181818181818. :d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25)= := (0.18181818181818181818181-0.25)/(1.0+0.18181818181818181818181*0.25)= -0.06521739130434782608696447542533. :g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d) = := (-0.06521739130434782608696-0.125)/(1.0-0.06521739130434782608696*0.125) = -0.19178082191780821917808578269844. :Reikšmė lygiai tokia pati kaip ir preitame kode reikšmė g. :Tikslumo praradimai panašu prasideda skaičiuojant reikšmę f. Skaičiavimas su kalkuliatoriumi: -0.19178082191780821917808219178082 - (-0.19178082191780821917808219178082)^3/3 +(-0.19178082191780821917808219178082)^5/5 - (-0.19178082191780821917808219178082)^7/7 +(-0.19178082191780821917808219178082)^9/9 - (-0.19178082191780821917808219178082)^11/11 = -0.18948015784575540837945622156966. -0.18948015784575540837945622156966 + 1.6183794300718800150333544076562 =1.4288992722261246066538981860865. :Čia 10 pirmų skaitmenų teisingi. ===Arktangento Benchmark=== :Toks arktangentų reikšmių (nuo 2 iki 1 milijardo) skaičiavimo kodas: var a:longint; b:real; c:real; d:real; g:real; f:real; begin for a:=1 to 1000000000 do begin b:=(1.0*a-1.0)/(1.0*a+1.0); c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5); d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25); g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d); f:=f+g - g*g*(g/3 + g*g* (g/5-g*g* (g/7 + g*g* (g/9 -g*g*g/11))))+1.61837943007188001503; end; // pi/4+arctan(1/2)+arctan(1/4)+arctan(1/8) = 1.6183794300718800150333544076562 // f:=f+1.61837943007188001503; writeln(f); Readln; End. :duoda 1.5707964092145209E+009. Labai didelės a reikšmės duoda <math>\arctan a \approx\pi/2</math>. Pirmą kartą skaičiuojama 1 minutę ir 9 sekundes. Antrą ir trečią kartą - 1 minutę ir 7 sekundes. Su 4.16 GHz procesorium. :<math>\pi/2 =</math> 1.5707963267948966192313216916398. oj9ebis7hgouedpffngtgi06f474bil 59128 59127 2026-11-11T10:24:33Z Paraboloid 1294 /* Arktangento Benchmark */ 59128 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.45}=</math> := 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := 0.27586206896551724137931034482759 - 0.27586206896551724137931034482759^3/3 + 0.27586206896551724137931034482759^5/5 - 0.27586206896551724137931034482759^7/7 + 0.27586206896551724137931034482759^9/9 - 0.27586206896551724137931034482759^11/11 + 0.27586206896551724137931034482759^13/13 = := '''0.26916749'''304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := '''0.26916749'''278570047542653584127307. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.26916749304043554450715959336444 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.73281510'''204124166072141582482565. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73281510'''178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.26916749304043554450715959336444 - 0.25}{1+ 0.26916749304043554450715959336444\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1 + 0.06729187326010888612678989834111} = \tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1.06729187326010888612678989834111}=</math> := 0.019167493040435544507159593364/1.067291873260108886126789898341 = 0.0179589983964623044012469281158. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := 0.0179589983964623044012469281158 - 0.0179589983964623044012469281158^3/3 + 0.0179589983964623044012469281158^5/5 - 0.0179589983964623044012469281158^7/7 + 0.0179589983964623044012469281158^9/9 - 0.0179589983964623044012469281158^11/11 + 0.0179589983964623044012469281158^13/13 - 0.0179589983964623044012469281158^15/15 = := '''0.017957068024287386522471323702'''2. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := '''0.017957068024287386522471323702'''33. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.7'''2658334015195765690881003637469. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. :a = 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} a=</math> := 0.26916749304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b =</math> := 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.26'''293573115115154069455380491348. :Kalkuliatoriaus: :arctg(0.27586206896551724137931034482759) = := '''0.26'''916749278570047542653584127307. *<math>\operatorname{arctg} 1.6.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 1.6) - \tan(\operatorname{arctg} 1)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 1.6) \tan(\operatorname{arctg} 1)}= \tan\frac{1.6 - 1}{1+ 1.6\cdot 1}= \tan\frac{0.6}{2.6}=</math> := 0.23076923076923076923076923076923. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := 0.23076923076923076923076923076923 - 0.23076923076923076923076923076923^3/3 + 0.23076923076923076923076923076923^5/5 - 0.23076923076923076923076923076923^7/7 + 0.23076923076923076923076923076923^9/9 - 0.23076923076923076923076923076923^11/11 + 0.23076923076923076923076923076923^13/13 - 0.23076923076923076923076923076923^15/15 = := '''0.226798848053'''04763076023291256713. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := '''0.226798848053'''88587364415262941821. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a =</math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.22679884805304763076023291256713 = := '''1.01219701145'''0495940375893758387. :Kalkuliatoriaus: :arctg(1.6) = := '''1.01219701145'''13341832598134752381. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) - \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}=</math> :<math>= \tan\frac{0.23076923076923076923076923076923 - 0.125}{1+ 0.23076923076923076923076923076923\cdot 0.125}= \tan\frac{0.10576923076923076923076923076923}{1+0.02884615384615384615384615384615}=</math> :0.105769230769230769230769230769/1.028846153846153846153846153846 = := 0.10280373831775700934579439252316. :<math>\operatorname{arctg} (0.10280373831775700934579439252316)=</math> := 0.10280373831775700934579439252316 - 0.10280373831775700934579439252316^3/3 + 0.10280373831775700934579439252316^5/5 - 0.10280373831775700934579439252316^7/7 + 0.10280373831775700934579439252316^9/9 - 0.10280373831775700934579439252316^11/11 + 0.10280373831775700934579439252316^13/13 - 0.10280373831775700934579439252316^15/15 = := '''0.10244385350712443'''768036939404847. :Kalkuliatoriaus: :<math>\operatorname{arctg} (0.10280373831775700934579439252316)=</math> := '''0.10244385350712443'''861279778025414. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} 0.125 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.12435499454676143503135484916387 + 0.10244385350712443768036939404847 = := '''1.01219701145133418'''23273850890322. :Kalukuliatoriaus: :<math>\operatorname{arctg} 1.6 =</math> := '''1.01219701145133418'''32598134752381. :'''Free Pacal''' kodas, skaičiuoti arctg(a): var a:real; b:real; c:real; d:real; g:real; f:real; begin //for a:=2 to 1000000000 do begin a:=7.0; b:=(a-1.0)/(a+1.0); c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5); d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25); g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d); f:=g - g*g*(g/3 + g*g* (g/5-g*g* (g/7 + g*g* (g/9 -g*g*g/11))))+1.61837943007188001503; // arctan(1)=pi/4 = 0.78539816339744830961566 // arctan(1/2) = 0.46364760900080611621425 // arctan(1/4) = 0.244978663126864154172 // arctan(1/8) = 0.12435499454676143503135 // pi/4+arctan(1/2)+arctan(1/4)+arctan(1/8) = 1.6183794300718800150333544076562 //f:=f+1.61837943007188001503; end; writeln(f); Readln; End. :Resultatas 1.4290003193181138E+000. :Skaičiuojama iki (a^11)/11. :Kalkuliatoriaus arctan(7) reikšmė yra 1.4288992721907326964184700745372. :Šituo budu apskaičiuota kalkuliatoriumi arctan(7) reikšmė iki (x_4^11)/11 yra 1.4288992722261246066538981860865. :Su kalkuliatoriumi skaičiuojant viską gaunama 10 pirmų teisingų skaitmenų. '''Free Pascal''' kodas duoda tik 3 pirmus teisingus skaitmenis. Looks like Pascal (or FPU) can't comprehend too complex code. :Kodas skaičiuoja teisingai, nepaisant ar kuri nors iš reikšmių c, d, g gausis neigiama ar teigiama (jei kuri nors gaunasi neigiama, tai tiesiog dažniausiai (arba visada) prarandama kažkiek tikslumo). :a=7.0; :b=(a-1.0)/(a+1.0) = 6/8 = 0.75. :c=(b-0.5)/(1.0+b*0.5) = (0.75-0.5)/(1.0+0.75*0.5) = 0.18181818181818181818181818181818. :d=(c-0.25)/(1.0+c*0.25)= := (0.18181818181818181818181-0.25)/(1.0+0.18181818181818181818181*0.25)= -0.06521739130434782608696447542533. :g=(d-0.125)/(1.0+0.125*d) = := (-0.06521739130434782608696-0.125)/(1.0-0.06521739130434782608696*0.125) = -0.19178082191780821917808578269844. :Šis '''Free Pascal''' kodas: var a:real; b:real; f:real; d:longint; h:real; begin //for a:=2 to 1000000000 do begin a:=7.0; begin b:=a; h:=2.0; for d:=1 to 4 do begin h:=h*0.5; b:=(b-h)/(1.0+b*h); end; end; f:=b - b*b*(b/3.0 + b*b* (b/5.0-b*b* (b/7.0 + b*b* (b/9.0 -b*b*b/11.0))))+1.61837943007188001503; end; writeln(f); Readln; End. :Duoda tą patį rezultatą 1.4290003193181138E+000. :Reikšmė b kode apskaičiuota teisingai ir yra lygi -1.9178082191780821E-001 arba :a:=7.0; :b:=(a-1.0)/(a+1.0) = 6/8 = 0.75. :c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5) = (0.75-0.5)/(1.0+0.75*0.5) = 0.18181818181818181818181818181818. :d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25)= := (0.18181818181818181818181-0.25)/(1.0+0.18181818181818181818181*0.25)= -0.06521739130434782608696447542533. :g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d) = := (-0.06521739130434782608696-0.125)/(1.0-0.06521739130434782608696*0.125) = -0.19178082191780821917808578269844. :Reikšmė lygiai tokia pati kaip ir preitame kode reikšmė g. :Tikslumo praradimai panašu prasideda skaičiuojant reikšmę f. Skaičiavimas su kalkuliatoriumi: -0.19178082191780821917808219178082 - (-0.19178082191780821917808219178082)^3/3 +(-0.19178082191780821917808219178082)^5/5 - (-0.19178082191780821917808219178082)^7/7 +(-0.19178082191780821917808219178082)^9/9 - (-0.19178082191780821917808219178082)^11/11 = -0.18948015784575540837945622156966. -0.18948015784575540837945622156966 + 1.6183794300718800150333544076562 =1.4288992722261246066538981860865. :Čia 10 pirmų skaitmenų teisingi. ===Arktangento Benchmark=== :Toks arktangentų reikšmių (nuo 2 iki 1 milijardo) skaičiavimo kodas: var a:longint; b:real; c:real; d:real; g:real; f:real; begin for a:=1 to 1000000000 do begin b:=(1.0*a-1.0)/(1.0*a+1.0); c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5); d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25); g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d); f:=f+g - g*g*(g/3 + g*g* (g/5-g*g* (g/7 + g*g* (g/9 -g*g*g/11))))+1.61837943007188001503; end; // pi/4+arctan(1/2)+arctan(1/4)+arctan(1/8) = 1.6183794300718800150333544076562 // f:=f+1.61837943007188001503; writeln(f); Readln; End. :duoda 1.5707964092145209E+009. Labai didelės a reikšmės duoda <math>\arctan a \approx\pi/2</math>. Pirmą kartą skaičiuojama 1 minutę ir 9 sekundes. Antrą ir trečią kartą - 1 minutę ir 7 sekundes. Su 4.16 GHz procesorium. :<math>\pi/2 =</math> 1.5707963267948966192313216916398. :Truputi labiau optimizuotas '''Free Pascal''' kodas: var a:longint; b:real; c:real; d:real; g:real; f:real; begin for a:=2 to 1000000000 do begin b:=(a-1.0)/(a+1.0); c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5); d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25); g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d); f:=f+g - g*g*(g/3 + g*g* (g/5-g*g* (g/7 + g*g* (g/9 -g*g*g/11))))+1.61837943007188001503; end; // pi/4+arctan(1/2)+arctan(1/4)+arctan(1/8) = 1.6183794300718800150333544076562 // f:=f+1.61837943007188001503; writeln(f); Readln; End. :duoda atsakymą 1.5707964082113807E+009. Pirmą kartą po minutės ir 7 sekundžių (67 sekundžių). Antrą kartą po minutės ir 4 sekundžių (64 sekundžių). Su 4.16 GHz CPU. kp67h665acb0me5sa14azsfd7wliwkt 59129 59128 2026-11-11T10:40:38Z Paraboloid 1294 /* Pavyzdžiai */ 59129 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.45}=</math> := 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := 0.27586206896551724137931034482759 - 0.27586206896551724137931034482759^3/3 + 0.27586206896551724137931034482759^5/5 - 0.27586206896551724137931034482759^7/7 + 0.27586206896551724137931034482759^9/9 - 0.27586206896551724137931034482759^11/11 + 0.27586206896551724137931034482759^13/13 = := '''0.26916749'''304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := '''0.26916749'''278570047542653584127307. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.26916749304043554450715959336444 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.73281510'''204124166072141582482565. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73281510'''178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.26916749304043554450715959336444 - 0.25}{1+ 0.26916749304043554450715959336444\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1 + 0.06729187326010888612678989834111} = \tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1.06729187326010888612678989834111}=</math> := 0.019167493040435544507159593364/1.067291873260108886126789898341 = 0.0179589983964623044012469281158. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := 0.0179589983964623044012469281158 - 0.0179589983964623044012469281158^3/3 + 0.0179589983964623044012469281158^5/5 - 0.0179589983964623044012469281158^7/7 + 0.0179589983964623044012469281158^9/9 - 0.0179589983964623044012469281158^11/11 + 0.0179589983964623044012469281158^13/13 - 0.0179589983964623044012469281158^15/15 = := '''0.017957068024287386522471323702'''2. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := '''0.017957068024287386522471323702'''33. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.7'''2658334015195765690881003637469. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. :a = 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} a=</math> := 0.26916749304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b =</math> := 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.26'''293573115115154069455380491348. :Kalkuliatoriaus: :arctg(0.27586206896551724137931034482759) = := '''0.26'''916749278570047542653584127307. *<math>\operatorname{arctg} 1.6.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 1.6) - \tan(\operatorname{arctg} 1)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 1.6) \tan(\operatorname{arctg} 1)}= \tan\frac{1.6 - 1}{1+ 1.6\cdot 1}= \tan\frac{0.6}{2.6}=</math> := 0.23076923076923076923076923076923. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := 0.23076923076923076923076923076923 - 0.23076923076923076923076923076923^3/3 + 0.23076923076923076923076923076923^5/5 - 0.23076923076923076923076923076923^7/7 + 0.23076923076923076923076923076923^9/9 - 0.23076923076923076923076923076923^11/11 + 0.23076923076923076923076923076923^13/13 - 0.23076923076923076923076923076923^15/15 = := '''0.226798848053'''04763076023291256713. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := '''0.226798848053'''88587364415262941821. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a =</math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.22679884805304763076023291256713 = := '''1.01219701145'''0495940375893758387. :Kalkuliatoriaus: :arctg(1.6) = := '''1.01219701145'''13341832598134752381. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) - \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}=</math> :<math>= \tan\frac{0.23076923076923076923076923076923 - 0.125}{1+ 0.23076923076923076923076923076923\cdot 0.125}= \tan\frac{0.10576923076923076923076923076923}{1+0.02884615384615384615384615384615}=</math> :0.105769230769230769230769230769/1.028846153846153846153846153846 = := 0.10280373831775700934579439252316. :<math>\operatorname{arctg} (0.10280373831775700934579439252316)=</math> := 0.10280373831775700934579439252316 - 0.10280373831775700934579439252316^3/3 + 0.10280373831775700934579439252316^5/5 - 0.10280373831775700934579439252316^7/7 + 0.10280373831775700934579439252316^9/9 - 0.10280373831775700934579439252316^11/11 + 0.10280373831775700934579439252316^13/13 - 0.10280373831775700934579439252316^15/15 = := '''0.10244385350712443'''768036939404847. :Kalkuliatoriaus: :<math>\operatorname{arctg} (0.10280373831775700934579439252316)=</math> := '''0.10244385350712443'''861279778025414. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} 0.125 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.12435499454676143503135484916387 + 0.10244385350712443768036939404847 = := '''1.01219701145133418'''23273850890322. :Kalukuliatoriaus: :<math>\operatorname{arctg} 1.6 =</math> := '''1.01219701145133418'''32598134752381. :'''Free Pacal''' kodas, skaičiuoti arctg(a): var a:real; b:real; c:real; d:real; g:real; f:real; begin //for a:=2 to 1000000000 do begin a:=7.0; b:=(a-1.0)/(a+1.0); c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5); d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25); g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d); f:=g - g*g*(g/3 + g*g* (g/5-g*g* (g/7 + g*g* (g/9 -g*g*g/11))))+1.61837943007188001503; // arctan(1)=pi/4 = 0.78539816339744830961566 // arctan(1/2) = 0.46364760900080611621425 // arctan(1/4) = 0.244978663126864154172 // arctan(1/8) = 0.12435499454676143503135 // pi/4+arctan(1/2)+arctan(1/4)+arctan(1/8) = 1.6183794300718800150333544076562 //f:=f+1.61837943007188001503; end; writeln(f); Readln; End. :Resultatas 1.4290003193181138E+000. :Skaičiuojama iki (a^11)/11. :Kalkuliatoriaus arctan(7) reikšmė yra 1.4288992721907326964184700745372. :Šituo budu apskaičiuota kalkuliatoriumi arctan(7) reikšmė iki (x_4^11)/11 yra 1.4288992722261246066538981860865. :Su kalkuliatoriumi skaičiuojant viską gaunama 10 pirmų teisingų skaitmenų. '''Free Pascal''' kodas duoda tik 3 pirmus teisingus skaitmenis. Looks like Pascal (or FPU) can't comprehend too complex code. :Kodas skaičiuoja teisingai, nepaisant ar kuri nors iš reikšmių c, d, g gausis neigiama ar teigiama (jei kuri nors gaunasi neigiama, tai tiesiog dažniausiai (arba visada) prarandama kažkiek tikslumo). :a=7.0; :b=(a-1.0)/(a+1.0) = 6/8 = 0.75. :c=(b-0.5)/(1.0+b*0.5) = (0.75-0.5)/(1.0+0.75*0.5) = 0.18181818181818181818181818181818. :d=(c-0.25)/(1.0+c*0.25)= := (0.18181818181818181818181-0.25)/(1.0+0.18181818181818181818181*0.25)= -0.06521739130434782608696447542533. :g=(d-0.125)/(1.0+0.125*d) = := (-0.06521739130434782608696-0.125)/(1.0-0.06521739130434782608696*0.125) = -0.19178082191780821917808578269844. :Šis '''Free Pascal''' kodas: var a:real; b:real; f:real; d:longint; h:real; begin //for a:=2 to 1000000000 do begin a:=7.0; begin b:=a; h:=2.0; for d:=1 to 4 do begin h:=h*0.5; b:=(b-h)/(1.0+b*h); end; end; f:=b - b*b*(b/3.0 + b*b* (b/5.0-b*b* (b/7.0 + b*b* (b/9.0 -b*b*b/11.0))))+1.61837943007188001503; end; writeln(f); Readln; End. :Duoda tą patį rezultatą 1.4290003193181138E+000. :Reikšmė b kode apskaičiuota teisingai ir yra lygi -1.9178082191780821E-001 arba :a:=7.0; :b:=(a-1.0)/(a+1.0) = 6/8 = 0.75. :c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5) = (0.75-0.5)/(1.0+0.75*0.5) = 0.18181818181818181818181818181818. :d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25)= := (0.18181818181818181818181-0.25)/(1.0+0.18181818181818181818181*0.25)= -0.06521739130434782608696447542533. :g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d) = := (-0.06521739130434782608696-0.125)/(1.0-0.06521739130434782608696*0.125) = -0.19178082191780821917808578269844. :Reikšmė lygiai tokia pati kaip ir preitame kode reikšmė g. :Tikslumo praradimai panašu prasideda skaičiuojant reikšmę f. Skaičiavimas su kalkuliatoriumi: -0.19178082191780821917808219178082 - (-0.19178082191780821917808219178082)^3/3 +(-0.19178082191780821917808219178082)^5/5 - (-0.19178082191780821917808219178082)^7/7 +(-0.19178082191780821917808219178082)^9/9 - (-0.19178082191780821917808219178082)^11/11 = -0.18948015784575540837945622156966. -0.18948015784575540837945622156966 + 1.6183794300718800150333544076562 =1.4288992722261246066538981860865. :Čia 10 pirmų skaitmenų teisingi. :Toks '''Free Pascal''' kodas: var a:real; b:real; f:real; d:longint; h:real; begin //for a:=2 to 1000000000 do begin a:=7.0; begin b:=a; h:=2.0; for d:=1 to 2 do begin h:=h*0.5; b:=(b-h)/(1.0+b*h); end; end; f:=b - b*b*(b/3.0 + b*b* (b/5.0-b*b* (b/7.0 + b*b* (b/9.0 -b*b*b/11.0))))+1.2490457723982544258; //pi/4+arctan(1/2) = 1.2490457723982544258 end; writeln(f); Readln; End. :duoda atsakymą: :1.4288216709361827E+000. Tiksli arctg(7) reikšmė yra: :1.4288992721907326964184700745372. :Pirmi penki skaitmenys teisingi. Čia d yra dviejų iteracijų vietoje keturių iteracijų. Dėl to kažkaip arktangento eilutė tiksliau/geriau paskaičiuojama. ===Arktangento Benchmark=== :Toks arktangentų reikšmių (nuo 2 iki 1 milijardo) skaičiavimo kodas: var a:longint; b:real; c:real; d:real; g:real; f:real; begin for a:=1 to 1000000000 do begin b:=(1.0*a-1.0)/(1.0*a+1.0); c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5); d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25); g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d); f:=f+g - g*g*(g/3 + g*g* (g/5-g*g* (g/7 + g*g* (g/9 -g*g*g/11))))+1.61837943007188001503; end; // pi/4+arctan(1/2)+arctan(1/4)+arctan(1/8) = 1.6183794300718800150333544076562 // f:=f+1.61837943007188001503; writeln(f); Readln; End. :duoda 1.5707964092145209E+009. Labai didelės a reikšmės duoda <math>\arctan a \approx\pi/2</math>. Pirmą kartą skaičiuojama 1 minutę ir 9 sekundes. Antrą ir trečią kartą - 1 minutę ir 7 sekundes. Su 4.16 GHz procesorium. :<math>\pi/2 =</math> 1.5707963267948966192313216916398. :Truputi labiau optimizuotas '''Free Pascal''' kodas: var a:longint; b:real; c:real; d:real; g:real; f:real; begin for a:=2 to 1000000000 do begin b:=(a-1.0)/(a+1.0); c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5); d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25); g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d); f:=f+g - g*g*(g/3 + g*g* (g/5-g*g* (g/7 + g*g* (g/9 -g*g*g/11))))+1.61837943007188001503; end; // pi/4+arctan(1/2)+arctan(1/4)+arctan(1/8) = 1.6183794300718800150333544076562 // f:=f+1.61837943007188001503; writeln(f); Readln; End. :duoda atsakymą 1.5707964082113807E+009. Pirmą kartą po minutės ir 7 sekundžių (67 sekundžių). Antrą kartą po minutės ir 4 sekundžių (64 sekundžių). Su 4.16 GHz CPU. 6o2c8ork5vp17ab015umldwkd0jnap9 59130 59129 2026-11-11T11:03:47Z Paraboloid 1294 /* Arktangento Benchmark */ 59130 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.45}=</math> := 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := 0.27586206896551724137931034482759 - 0.27586206896551724137931034482759^3/3 + 0.27586206896551724137931034482759^5/5 - 0.27586206896551724137931034482759^7/7 + 0.27586206896551724137931034482759^9/9 - 0.27586206896551724137931034482759^11/11 + 0.27586206896551724137931034482759^13/13 = := '''0.26916749'''304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := '''0.26916749'''278570047542653584127307. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.26916749304043554450715959336444 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.73281510'''204124166072141582482565. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73281510'''178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.26916749304043554450715959336444 - 0.25}{1+ 0.26916749304043554450715959336444\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1 + 0.06729187326010888612678989834111} = \tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1.06729187326010888612678989834111}=</math> := 0.019167493040435544507159593364/1.067291873260108886126789898341 = 0.0179589983964623044012469281158. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := 0.0179589983964623044012469281158 - 0.0179589983964623044012469281158^3/3 + 0.0179589983964623044012469281158^5/5 - 0.0179589983964623044012469281158^7/7 + 0.0179589983964623044012469281158^9/9 - 0.0179589983964623044012469281158^11/11 + 0.0179589983964623044012469281158^13/13 - 0.0179589983964623044012469281158^15/15 = := '''0.017957068024287386522471323702'''2. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := '''0.017957068024287386522471323702'''33. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.7'''2658334015195765690881003637469. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. :a = 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} a=</math> := 0.26916749304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b =</math> := 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.26'''293573115115154069455380491348. :Kalkuliatoriaus: :arctg(0.27586206896551724137931034482759) = := '''0.26'''916749278570047542653584127307. *<math>\operatorname{arctg} 1.6.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 1.6) - \tan(\operatorname{arctg} 1)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 1.6) \tan(\operatorname{arctg} 1)}= \tan\frac{1.6 - 1}{1+ 1.6\cdot 1}= \tan\frac{0.6}{2.6}=</math> := 0.23076923076923076923076923076923. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := 0.23076923076923076923076923076923 - 0.23076923076923076923076923076923^3/3 + 0.23076923076923076923076923076923^5/5 - 0.23076923076923076923076923076923^7/7 + 0.23076923076923076923076923076923^9/9 - 0.23076923076923076923076923076923^11/11 + 0.23076923076923076923076923076923^13/13 - 0.23076923076923076923076923076923^15/15 = := '''0.226798848053'''04763076023291256713. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := '''0.226798848053'''88587364415262941821. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a =</math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.22679884805304763076023291256713 = := '''1.01219701145'''0495940375893758387. :Kalkuliatoriaus: :arctg(1.6) = := '''1.01219701145'''13341832598134752381. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) - \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}=</math> :<math>= \tan\frac{0.23076923076923076923076923076923 - 0.125}{1+ 0.23076923076923076923076923076923\cdot 0.125}= \tan\frac{0.10576923076923076923076923076923}{1+0.02884615384615384615384615384615}=</math> :0.105769230769230769230769230769/1.028846153846153846153846153846 = := 0.10280373831775700934579439252316. :<math>\operatorname{arctg} (0.10280373831775700934579439252316)=</math> := 0.10280373831775700934579439252316 - 0.10280373831775700934579439252316^3/3 + 0.10280373831775700934579439252316^5/5 - 0.10280373831775700934579439252316^7/7 + 0.10280373831775700934579439252316^9/9 - 0.10280373831775700934579439252316^11/11 + 0.10280373831775700934579439252316^13/13 - 0.10280373831775700934579439252316^15/15 = := '''0.10244385350712443'''768036939404847. :Kalkuliatoriaus: :<math>\operatorname{arctg} (0.10280373831775700934579439252316)=</math> := '''0.10244385350712443'''861279778025414. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} 0.125 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.12435499454676143503135484916387 + 0.10244385350712443768036939404847 = := '''1.01219701145133418'''23273850890322. :Kalukuliatoriaus: :<math>\operatorname{arctg} 1.6 =</math> := '''1.01219701145133418'''32598134752381. :'''Free Pacal''' kodas, skaičiuoti arctg(a): var a:real; b:real; c:real; d:real; g:real; f:real; begin //for a:=2 to 1000000000 do begin a:=7.0; b:=(a-1.0)/(a+1.0); c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5); d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25); g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d); f:=g - g*g*(g/3 + g*g* (g/5-g*g* (g/7 + g*g* (g/9 -g*g*g/11))))+1.61837943007188001503; // arctan(1)=pi/4 = 0.78539816339744830961566 // arctan(1/2) = 0.46364760900080611621425 // arctan(1/4) = 0.244978663126864154172 // arctan(1/8) = 0.12435499454676143503135 // pi/4+arctan(1/2)+arctan(1/4)+arctan(1/8) = 1.6183794300718800150333544076562 //f:=f+1.61837943007188001503; end; writeln(f); Readln; End. :Resultatas 1.4290003193181138E+000. :Skaičiuojama iki (a^11)/11. :Kalkuliatoriaus arctan(7) reikšmė yra 1.4288992721907326964184700745372. :Šituo budu apskaičiuota kalkuliatoriumi arctan(7) reikšmė iki (x_4^11)/11 yra 1.4288992722261246066538981860865. :Su kalkuliatoriumi skaičiuojant viską gaunama 10 pirmų teisingų skaitmenų. '''Free Pascal''' kodas duoda tik 3 pirmus teisingus skaitmenis. Looks like Pascal (or FPU) can't comprehend too complex code. :Kodas skaičiuoja teisingai, nepaisant ar kuri nors iš reikšmių c, d, g gausis neigiama ar teigiama (jei kuri nors gaunasi neigiama, tai tiesiog dažniausiai (arba visada) prarandama kažkiek tikslumo). :a=7.0; :b=(a-1.0)/(a+1.0) = 6/8 = 0.75. :c=(b-0.5)/(1.0+b*0.5) = (0.75-0.5)/(1.0+0.75*0.5) = 0.18181818181818181818181818181818. :d=(c-0.25)/(1.0+c*0.25)= := (0.18181818181818181818181-0.25)/(1.0+0.18181818181818181818181*0.25)= -0.06521739130434782608696447542533. :g=(d-0.125)/(1.0+0.125*d) = := (-0.06521739130434782608696-0.125)/(1.0-0.06521739130434782608696*0.125) = -0.19178082191780821917808578269844. :Šis '''Free Pascal''' kodas: var a:real; b:real; f:real; d:longint; h:real; begin //for a:=2 to 1000000000 do begin a:=7.0; begin b:=a; h:=2.0; for d:=1 to 4 do begin h:=h*0.5; b:=(b-h)/(1.0+b*h); end; end; f:=b - b*b*(b/3.0 + b*b* (b/5.0-b*b* (b/7.0 + b*b* (b/9.0 -b*b*b/11.0))))+1.61837943007188001503; end; writeln(f); Readln; End. :Duoda tą patį rezultatą 1.4290003193181138E+000. :Reikšmė b kode apskaičiuota teisingai ir yra lygi -1.9178082191780821E-001 arba :a:=7.0; :b:=(a-1.0)/(a+1.0) = 6/8 = 0.75. :c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5) = (0.75-0.5)/(1.0+0.75*0.5) = 0.18181818181818181818181818181818. :d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25)= := (0.18181818181818181818181-0.25)/(1.0+0.18181818181818181818181*0.25)= -0.06521739130434782608696447542533. :g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d) = := (-0.06521739130434782608696-0.125)/(1.0-0.06521739130434782608696*0.125) = -0.19178082191780821917808578269844. :Reikšmė lygiai tokia pati kaip ir preitame kode reikšmė g. :Tikslumo praradimai panašu prasideda skaičiuojant reikšmę f. Skaičiavimas su kalkuliatoriumi: -0.19178082191780821917808219178082 - (-0.19178082191780821917808219178082)^3/3 +(-0.19178082191780821917808219178082)^5/5 - (-0.19178082191780821917808219178082)^7/7 +(-0.19178082191780821917808219178082)^9/9 - (-0.19178082191780821917808219178082)^11/11 = -0.18948015784575540837945622156966. -0.18948015784575540837945622156966 + 1.6183794300718800150333544076562 =1.4288992722261246066538981860865. :Čia 10 pirmų skaitmenų teisingi. :Toks '''Free Pascal''' kodas: var a:real; b:real; f:real; d:longint; h:real; begin //for a:=2 to 1000000000 do begin a:=7.0; begin b:=a; h:=2.0; for d:=1 to 2 do begin h:=h*0.5; b:=(b-h)/(1.0+b*h); end; end; f:=b - b*b*(b/3.0 + b*b* (b/5.0-b*b* (b/7.0 + b*b* (b/9.0 -b*b*b/11.0))))+1.2490457723982544258; //pi/4+arctan(1/2) = 1.2490457723982544258 end; writeln(f); Readln; End. :duoda atsakymą: :1.4288216709361827E+000. Tiksli arctg(7) reikšmė yra: :1.4288992721907326964184700745372. :Pirmi penki skaitmenys teisingi. Čia d yra dviejų iteracijų vietoje keturių iteracijų. Dėl to kažkaip arktangento eilutė tiksliau/geriau paskaičiuojama. ===Arktangento Benchmark=== :Toks arktangentų reikšmių (nuo 2 iki 1 milijardo) skaičiavimo kodas: var a:longint; b:real; c:real; d:real; g:real; f:real; begin for a:=1 to 1000000000 do begin b:=(1.0*a-1.0)/(1.0*a+1.0); c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5); d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25); g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d); f:=f+g - g*g*(g/3 + g*g* (g/5-g*g* (g/7 + g*g* (g/9 -g*g*g/11))))+1.61837943007188001503; end; // pi/4+arctan(1/2)+arctan(1/4)+arctan(1/8) = 1.6183794300718800150333544076562 // f:=f+1.61837943007188001503; writeln(f); Readln; End. :duoda 1.5707964092145209E+009. Labai didelės a reikšmės duoda <math>\arctan a \approx\pi/2</math>. Pirmą kartą skaičiuojama 1 minutę ir 9 sekundes. Antrą ir trečią kartą - 1 minutę ir 7 sekundes. Su 4.16 GHz procesorium. :<math>\pi/2 =</math> 1.5707963267948966192313216916398. :Truputi labiau optimizuotas '''Free Pascal''' kodas: var a:longint; b:real; c:real; d:real; g:real; f:real; begin for a:=2 to 1000000000 do begin b:=(a-1.0)/(a+1.0); c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5); d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25); g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d); f:=f+g - g*g*(g/3 + g*g* (g/5-g*g* (g/7 + g*g* (g/9 -g*g*g/11))))+1.61837943007188001503; end; // pi/4+arctan(1/2)+arctan(1/4)+arctan(1/8) = 1.6183794300718800150333544076562 // f:=f+1.61837943007188001503; writeln(f); Readln; End. :duoda atsakymą 1.5707964082113807E+009. Pirmą kartą po minutės ir 7 sekundžių (67 sekundžių). Antrą kartą po minutės ir 4 sekundžių (64 sekundžių). Su 4.16 GHz CPU. :Toks '''Free Pascal''' kodas: var a:longint; b:real; f:real; d:longint; h:real; begin for a:=2 to 1000000000 do begin b:=a; h:=2; for d:=1 to 2 do begin h:=h*0.5; b:=(b-h)/(1.0+b*h); end; f:=f+b - b*b*(b/3.0 + b*b* (b/5.0-b*b* (b/7.0 + b*b* (b/9.0 -b*b*b/11.0))))+1.2490457723982544258; //pi/4+arctan(1/2) = 1.2490457723982544258 end; writeln(f); Readln; End. :duoda atsakymą 1.5692808286515808E+009. Pirmą kartą po minutės ir 45 sekundžių (105 sekundžių). Antrą kartą po minutės ir 27 sekundžių (87 sekundžių). Su 4.16 GHz procesorium. 4ro7fbi5exul8v82x7dory8fj7y9ix4 59131 59130 2026-11-11T11:04:26Z Paraboloid 1294 /* Arktangento Benchmark */ 59131 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.45}=</math> := 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := 0.27586206896551724137931034482759 - 0.27586206896551724137931034482759^3/3 + 0.27586206896551724137931034482759^5/5 - 0.27586206896551724137931034482759^7/7 + 0.27586206896551724137931034482759^9/9 - 0.27586206896551724137931034482759^11/11 + 0.27586206896551724137931034482759^13/13 = := '''0.26916749'''304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := '''0.26916749'''278570047542653584127307. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.26916749304043554450715959336444 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.73281510'''204124166072141582482565. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73281510'''178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.26916749304043554450715959336444 - 0.25}{1+ 0.26916749304043554450715959336444\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1 + 0.06729187326010888612678989834111} = \tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1.06729187326010888612678989834111}=</math> := 0.019167493040435544507159593364/1.067291873260108886126789898341 = 0.0179589983964623044012469281158. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := 0.0179589983964623044012469281158 - 0.0179589983964623044012469281158^3/3 + 0.0179589983964623044012469281158^5/5 - 0.0179589983964623044012469281158^7/7 + 0.0179589983964623044012469281158^9/9 - 0.0179589983964623044012469281158^11/11 + 0.0179589983964623044012469281158^13/13 - 0.0179589983964623044012469281158^15/15 = := '''0.017957068024287386522471323702'''2. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := '''0.017957068024287386522471323702'''33. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.7'''2658334015195765690881003637469. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. :a = 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} a=</math> := 0.26916749304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b =</math> := 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.26'''293573115115154069455380491348. :Kalkuliatoriaus: :arctg(0.27586206896551724137931034482759) = := '''0.26'''916749278570047542653584127307. *<math>\operatorname{arctg} 1.6.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 1.6) - \tan(\operatorname{arctg} 1)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 1.6) \tan(\operatorname{arctg} 1)}= \tan\frac{1.6 - 1}{1+ 1.6\cdot 1}= \tan\frac{0.6}{2.6}=</math> := 0.23076923076923076923076923076923. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := 0.23076923076923076923076923076923 - 0.23076923076923076923076923076923^3/3 + 0.23076923076923076923076923076923^5/5 - 0.23076923076923076923076923076923^7/7 + 0.23076923076923076923076923076923^9/9 - 0.23076923076923076923076923076923^11/11 + 0.23076923076923076923076923076923^13/13 - 0.23076923076923076923076923076923^15/15 = := '''0.226798848053'''04763076023291256713. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := '''0.226798848053'''88587364415262941821. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a =</math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.22679884805304763076023291256713 = := '''1.01219701145'''0495940375893758387. :Kalkuliatoriaus: :arctg(1.6) = := '''1.01219701145'''13341832598134752381. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) - \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}=</math> :<math>= \tan\frac{0.23076923076923076923076923076923 - 0.125}{1+ 0.23076923076923076923076923076923\cdot 0.125}= \tan\frac{0.10576923076923076923076923076923}{1+0.02884615384615384615384615384615}=</math> :0.105769230769230769230769230769/1.028846153846153846153846153846 = := 0.10280373831775700934579439252316. :<math>\operatorname{arctg} (0.10280373831775700934579439252316)=</math> := 0.10280373831775700934579439252316 - 0.10280373831775700934579439252316^3/3 + 0.10280373831775700934579439252316^5/5 - 0.10280373831775700934579439252316^7/7 + 0.10280373831775700934579439252316^9/9 - 0.10280373831775700934579439252316^11/11 + 0.10280373831775700934579439252316^13/13 - 0.10280373831775700934579439252316^15/15 = := '''0.10244385350712443'''768036939404847. :Kalkuliatoriaus: :<math>\operatorname{arctg} (0.10280373831775700934579439252316)=</math> := '''0.10244385350712443'''861279778025414. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} 0.125 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.12435499454676143503135484916387 + 0.10244385350712443768036939404847 = := '''1.01219701145133418'''23273850890322. :Kalukuliatoriaus: :<math>\operatorname{arctg} 1.6 =</math> := '''1.01219701145133418'''32598134752381. :'''Free Pacal''' kodas, skaičiuoti arctg(a): var a:real; b:real; c:real; d:real; g:real; f:real; begin //for a:=2 to 1000000000 do begin a:=7.0; b:=(a-1.0)/(a+1.0); c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5); d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25); g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d); f:=g - g*g*(g/3 + g*g* (g/5-g*g* (g/7 + g*g* (g/9 -g*g*g/11))))+1.61837943007188001503; // arctan(1)=pi/4 = 0.78539816339744830961566 // arctan(1/2) = 0.46364760900080611621425 // arctan(1/4) = 0.244978663126864154172 // arctan(1/8) = 0.12435499454676143503135 // pi/4+arctan(1/2)+arctan(1/4)+arctan(1/8) = 1.6183794300718800150333544076562 //f:=f+1.61837943007188001503; end; writeln(f); Readln; End. :Resultatas 1.4290003193181138E+000. :Skaičiuojama iki (a^11)/11. :Kalkuliatoriaus arctan(7) reikšmė yra 1.4288992721907326964184700745372. :Šituo budu apskaičiuota kalkuliatoriumi arctan(7) reikšmė iki (x_4^11)/11 yra 1.4288992722261246066538981860865. :Su kalkuliatoriumi skaičiuojant viską gaunama 10 pirmų teisingų skaitmenų. '''Free Pascal''' kodas duoda tik 3 pirmus teisingus skaitmenis. Looks like Pascal (or FPU) can't comprehend too complex code. :Kodas skaičiuoja teisingai, nepaisant ar kuri nors iš reikšmių c, d, g gausis neigiama ar teigiama (jei kuri nors gaunasi neigiama, tai tiesiog dažniausiai (arba visada) prarandama kažkiek tikslumo). :a=7.0; :b=(a-1.0)/(a+1.0) = 6/8 = 0.75. :c=(b-0.5)/(1.0+b*0.5) = (0.75-0.5)/(1.0+0.75*0.5) = 0.18181818181818181818181818181818. :d=(c-0.25)/(1.0+c*0.25)= := (0.18181818181818181818181-0.25)/(1.0+0.18181818181818181818181*0.25)= -0.06521739130434782608696447542533. :g=(d-0.125)/(1.0+0.125*d) = := (-0.06521739130434782608696-0.125)/(1.0-0.06521739130434782608696*0.125) = -0.19178082191780821917808578269844. :Šis '''Free Pascal''' kodas: var a:real; b:real; f:real; d:longint; h:real; begin //for a:=2 to 1000000000 do begin a:=7.0; begin b:=a; h:=2.0; for d:=1 to 4 do begin h:=h*0.5; b:=(b-h)/(1.0+b*h); end; end; f:=b - b*b*(b/3.0 + b*b* (b/5.0-b*b* (b/7.0 + b*b* (b/9.0 -b*b*b/11.0))))+1.61837943007188001503; end; writeln(f); Readln; End. :Duoda tą patį rezultatą 1.4290003193181138E+000. :Reikšmė b kode apskaičiuota teisingai ir yra lygi -1.9178082191780821E-001 arba :a:=7.0; :b:=(a-1.0)/(a+1.0) = 6/8 = 0.75. :c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5) = (0.75-0.5)/(1.0+0.75*0.5) = 0.18181818181818181818181818181818. :d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25)= := (0.18181818181818181818181-0.25)/(1.0+0.18181818181818181818181*0.25)= -0.06521739130434782608696447542533. :g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d) = := (-0.06521739130434782608696-0.125)/(1.0-0.06521739130434782608696*0.125) = -0.19178082191780821917808578269844. :Reikšmė lygiai tokia pati kaip ir preitame kode reikšmė g. :Tikslumo praradimai panašu prasideda skaičiuojant reikšmę f. Skaičiavimas su kalkuliatoriumi: -0.19178082191780821917808219178082 - (-0.19178082191780821917808219178082)^3/3 +(-0.19178082191780821917808219178082)^5/5 - (-0.19178082191780821917808219178082)^7/7 +(-0.19178082191780821917808219178082)^9/9 - (-0.19178082191780821917808219178082)^11/11 = -0.18948015784575540837945622156966. -0.18948015784575540837945622156966 + 1.6183794300718800150333544076562 =1.4288992722261246066538981860865. :Čia 10 pirmų skaitmenų teisingi. :Toks '''Free Pascal''' kodas: var a:real; b:real; f:real; d:longint; h:real; begin //for a:=2 to 1000000000 do begin a:=7.0; begin b:=a; h:=2.0; for d:=1 to 2 do begin h:=h*0.5; b:=(b-h)/(1.0+b*h); end; end; f:=b - b*b*(b/3.0 + b*b* (b/5.0-b*b* (b/7.0 + b*b* (b/9.0 -b*b*b/11.0))))+1.2490457723982544258; //pi/4+arctan(1/2) = 1.2490457723982544258 end; writeln(f); Readln; End. :duoda atsakymą: :1.4288216709361827E+000. Tiksli arctg(7) reikšmė yra: :1.4288992721907326964184700745372. :Pirmi penki skaitmenys teisingi. Čia d yra dviejų iteracijų vietoje keturių iteracijų. Dėl to kažkaip arktangento eilutė tiksliau/geriau paskaičiuojama. ===Arktangento Benchmark=== :Toks arktangentų reikšmių (nuo 2 iki 1 milijardo) skaičiavimo kodas: var a:longint; b:real; c:real; d:real; g:real; f:real; begin for a:=1 to 1000000000 do begin b:=(1.0*a-1.0)/(1.0*a+1.0); c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5); d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25); g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d); f:=f+g - g*g*(g/3 + g*g* (g/5-g*g* (g/7 + g*g* (g/9 -g*g*g/11))))+1.61837943007188001503; end; // pi/4+arctan(1/2)+arctan(1/4)+arctan(1/8) = 1.6183794300718800150333544076562 // f:=f+1.61837943007188001503; writeln(f); Readln; End. :duoda 1.5707964092145209E+009. Labai didelės a reikšmės duoda <math>\arctan a \approx\pi/2</math>. Pirmą kartą skaičiuojama 1 minutę ir 9 sekundes. Antrą ir trečią kartą - 1 minutę ir 7 sekundes. Su 4.16 GHz procesorium. :<math>\pi/2 =</math> 1.5707963267948966192313216916398. :Truputi labiau optimizuotas '''Free Pascal''' kodas: var a:longint; b:real; c:real; d:real; g:real; f:real; begin for a:=2 to 1000000000 do begin b:=(a-1.0)/(a+1.0); c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5); d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25); g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d); f:=f+g - g*g*(g/3 + g*g* (g/5-g*g* (g/7 + g*g* (g/9 -g*g*g/11))))+1.61837943007188001503; end; // pi/4+arctan(1/2)+arctan(1/4)+arctan(1/8) = 1.6183794300718800150333544076562 // f:=f+1.61837943007188001503; writeln(f); Readln; End. :duoda atsakymą 1.5707964082113807E+009. Pirmą kartą po minutės ir 7 sekundžių (67 sekundžių). Antrą kartą po minutės ir 4 sekundžių (64 sekundžių). Su 4.16 GHz CPU. :Toks '''Free Pascal''' kodas: var a:longint; b:real; f:real; d:longint; h:real; begin for a:=2 to 1000000000 do begin b:=a; h:=2; for d:=1 to 2 do begin h:=h*0.5; b:=(b-h)/(1.0+b*h); end; f:=f+b - b*b*(b/3.0 + b*b* (b/5.0-b*b* (b/7.0 + b*b* (b/9.0 -b*b*b/11.0))))+1.2490457723982544258; //pi/4+arctan(1/2) = 1.2490457723982544258 end; writeln(f); Readln; End. :duoda atsakymą 1.5692808286515808E+009. Pirmą kartą po minutės ir 45 sekundžių (105 sekundžių). Antrą kartą po minutės ir 27 sekundžių (87 sekundžių). Su 4.16 GHz procesorium. 1i1omp9ts5cbve6a7iv5q3u0f86k7af 59132 59131 2026-11-11T11:50:13Z Paraboloid 1294 /* Arktangento Benchmark */ 59132 wikitext text/x-wiki [[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]] :Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules: :[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ] :<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math> :<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math> ==1. Skaičiaus ln(a) radimas== :Skaičių a>0 išreikškime sandauga :<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math> :kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes :<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math> :Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip: :<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math> :Sakykime, :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia: :<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> :<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math> :<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math> :Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>). :<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math> :<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math> :<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math> :<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math> :<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math> :<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math> :<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math> :<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math> :<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math> :<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math> :<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math> :čia :<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math> :<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math> :<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math> :Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math> :Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>: :<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math> :<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math> :<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math> :<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math> :<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math> :<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math> :<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math> :Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks: :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math> :<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math> :<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math> :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math> :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math> :skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto. :[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.] :Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė :<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math> :kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''. :Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį. :Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname :<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math> :<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math> :<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math> :<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math> :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math> :Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą* :<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math> :[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math> :<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų. :<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math> :=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = := -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061. :<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math> :=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)= := 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806. :Taigi, matome, kad :-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.] :Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį: :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math> :[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.] :Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai :<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math> :Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math> :[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ] :[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai :(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.] ________________ :''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math> :''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6. ===Pavyzdžiai=== *Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę :[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>] :<math>143=2^{8} M,</math> :<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math> :Toliau, pagal (8.87) formulę :[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>] :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math> :<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363. :Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304. :Iš (8.91) formulės randame ''x'': :<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math> := (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) = := -0.11733662705136264741194733209931. :Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math> :<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math> := 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 :-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11 :-0.11733662705136264741194733209931^13/13) = :(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas) := -0.23575922393968105542703851052716. :Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį: :<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math> := 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091. :Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname :4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) = := (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901. :Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia: :ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. :<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia: :-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) = := -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math> :Pagal (8.89) formulę :<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math> :<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math> :<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math> := (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 = := 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes :<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math> :Pastebėsime, kad :<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>; :<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16. :Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math> :Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai :<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math> :Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14. ==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.== :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname :<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math> :Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} . \quad (7)</math>] :<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math> :Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math> :tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math> :Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math> :Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės :<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math> :[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>] :Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname :[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>] :<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi :<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math> :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math> :tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math> :Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math> :[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.] :Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės) :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math> :Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų. ==Pavyzdžiai== *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada :<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math> :Ir gauname :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :Tokiu budu :<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math> :<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121; :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387. :Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math> :Taigi, :arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = := 1.373400766945015860861271926445. :Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: :arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445. :Gavome tą patį atsakymą. *Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math> :Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada :<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math> :Toliau :<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math> :Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada :<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math> :Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi, :<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math> :[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.] :Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, :<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math> :imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname: :<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math> := 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107. :(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste"). :Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą: :0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math> :Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip: :<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math> :Tada :<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math> :<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math> :Todėl :<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math> :<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426. :Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą: :1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 = := -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math> :Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD". :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.45}=</math> := 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := 0.27586206896551724137931034482759 - 0.27586206896551724137931034482759^3/3 + 0.27586206896551724137931034482759^5/5 - 0.27586206896551724137931034482759^7/7 + 0.27586206896551724137931034482759^9/9 - 0.27586206896551724137931034482759^11/11 + 0.27586206896551724137931034482759^13/13 = := '''0.26916749'''304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759)=</math> := '''0.26916749'''278570047542653584127307. :<math>\operatorname{arctg} (0.27586206896551724137931034482759) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.26916749304043554450715959336444 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.73281510'''204124166072141582482565. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73281510'''178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.26916749304043554450715959336444 - 0.25}{1+ 0.26916749304043554450715959336444\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1 + 0.06729187326010888612678989834111} = \tan\frac{0.01916749304043554450715959336444}{1.06729187326010888612678989834111}=</math> := 0.019167493040435544507159593364/1.067291873260108886126789898341 = 0.0179589983964623044012469281158. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := 0.0179589983964623044012469281158 - 0.0179589983964623044012469281158^3/3 + 0.0179589983964623044012469281158^5/5 - 0.0179589983964623044012469281158^7/7 + 0.0179589983964623044012469281158^9/9 - 0.0179589983964623044012469281158^11/11 + 0.0179589983964623044012469281158^13/13 - 0.0179589983964623044012469281158^15/15 = := '''0.017957068024287386522471323702'''2. :<math>\operatorname{arctg} (0.0179589983964623044012469281158)=</math> := '''0.017957068024287386522471323702'''33. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.7'''2658334015195765690881003637469. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. :a = 0.27586206896551724137931034482759. :<math>\operatorname{arctg} a=</math> := 0.26916749304043554450715959336444. :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b =</math> := 0.24497866312686415417208248121128 + 0.0179570680242873865224713237022 = := '''0.26'''293573115115154069455380491348. :Kalkuliatoriaus: :arctg(0.27586206896551724137931034482759) = := '''0.26'''916749278570047542653584127307. *<math>\operatorname{arctg} 1.6.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 1.6 - \operatorname{arctg} 1 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 1.6) - \tan(\operatorname{arctg} 1)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 1.6) \tan(\operatorname{arctg} 1)}= \tan\frac{1.6 - 1}{1+ 1.6\cdot 1}= \tan\frac{0.6}{2.6}=</math> := 0.23076923076923076923076923076923. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := 0.23076923076923076923076923076923 - 0.23076923076923076923076923076923^3/3 + 0.23076923076923076923076923076923^5/5 - 0.23076923076923076923076923076923^7/7 + 0.23076923076923076923076923076923^9/9 - 0.23076923076923076923076923076923^11/11 + 0.23076923076923076923076923076923^13/13 - 0.23076923076923076923076923076923^15/15 = := '''0.226798848053'''04763076023291256713. :<math>\operatorname{arctg} (0.23076923076923076923076923076923)=</math> := '''0.226798848053'''88587364415262941821. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a =</math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.22679884805304763076023291256713 = := '''1.01219701145'''0495940375893758387. :Kalkuliatoriaus: :arctg(1.6) = := '''1.01219701145'''13341832598134752381. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923 - \operatorname{arctg} 0.125 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) - \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.23076923076923076923076923076923) \tan(\operatorname{arctg} 0.125)}=</math> :<math>= \tan\frac{0.23076923076923076923076923076923 - 0.125}{1+ 0.23076923076923076923076923076923\cdot 0.125}= \tan\frac{0.10576923076923076923076923076923}{1+0.02884615384615384615384615384615}=</math> :0.105769230769230769230769230769/1.028846153846153846153846153846 = := 0.10280373831775700934579439252316. :<math>\operatorname{arctg} (0.10280373831775700934579439252316)=</math> := 0.10280373831775700934579439252316 - 0.10280373831775700934579439252316^3/3 + 0.10280373831775700934579439252316^5/5 - 0.10280373831775700934579439252316^7/7 + 0.10280373831775700934579439252316^9/9 - 0.10280373831775700934579439252316^11/11 + 0.10280373831775700934579439252316^13/13 - 0.10280373831775700934579439252316^15/15 = := '''0.10244385350712443'''768036939404847. :Kalkuliatoriaus: :<math>\operatorname{arctg} (0.10280373831775700934579439252316)=</math> := '''0.10244385350712443'''861279778025414. :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 1.6 = \operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} 0.125 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.78539816339744830961566084581988 + 0.12435499454676143503135484916387 + 0.10244385350712443768036939404847 = := '''1.01219701145133418'''23273850890322. :Kalukuliatoriaus: :<math>\operatorname{arctg} 1.6 =</math> := '''1.01219701145133418'''32598134752381. :'''Free Pacal''' kodas, skaičiuoti arctg(a): var a:real; b:real; c:real; d:real; g:real; f:real; begin //for a:=2 to 1000000000 do begin a:=7.0; b:=(a-1.0)/(a+1.0); c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5); d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25); g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d); f:=g - g*g*(g/3 + g*g* (g/5-g*g* (g/7 + g*g* (g/9 -g*g*g/11))))+1.61837943007188001503; // arctan(1)=pi/4 = 0.78539816339744830961566 // arctan(1/2) = 0.46364760900080611621425 // arctan(1/4) = 0.244978663126864154172 // arctan(1/8) = 0.12435499454676143503135 // pi/4+arctan(1/2)+arctan(1/4)+arctan(1/8) = 1.6183794300718800150333544076562 //f:=f+1.61837943007188001503; end; writeln(f); Readln; End. :Resultatas 1.4290003193181138E+000. :Skaičiuojama iki (a^11)/11. :Kalkuliatoriaus arctan(7) reikšmė yra 1.4288992721907326964184700745372. :Šituo budu apskaičiuota kalkuliatoriumi arctan(7) reikšmė iki (x_4^11)/11 yra 1.4288992722261246066538981860865. :Su kalkuliatoriumi skaičiuojant viską gaunama 10 pirmų teisingų skaitmenų. '''Free Pascal''' kodas duoda tik 3 pirmus teisingus skaitmenis. Looks like Pascal (or FPU) can't comprehend too complex code. :Kodas skaičiuoja teisingai, nepaisant ar kuri nors iš reikšmių c, d, g gausis neigiama ar teigiama (jei kuri nors gaunasi neigiama, tai tiesiog dažniausiai (arba visada) prarandama kažkiek tikslumo). :a=7.0; :b=(a-1.0)/(a+1.0) = 6/8 = 0.75. :c=(b-0.5)/(1.0+b*0.5) = (0.75-0.5)/(1.0+0.75*0.5) = 0.18181818181818181818181818181818. :d=(c-0.25)/(1.0+c*0.25)= := (0.18181818181818181818181-0.25)/(1.0+0.18181818181818181818181*0.25)= -0.06521739130434782608696447542533. :g=(d-0.125)/(1.0+0.125*d) = := (-0.06521739130434782608696-0.125)/(1.0-0.06521739130434782608696*0.125) = -0.19178082191780821917808578269844. :Šis '''Free Pascal''' kodas: var a:real; b:real; f:real; d:longint; h:real; begin //for a:=2 to 1000000000 do begin a:=7.0; begin b:=a; h:=2.0; for d:=1 to 4 do begin h:=h*0.5; b:=(b-h)/(1.0+b*h); end; end; f:=b - b*b*(b/3.0 + b*b* (b/5.0-b*b* (b/7.0 + b*b* (b/9.0 -b*b*b/11.0))))+1.61837943007188001503; end; writeln(f); Readln; End. :Duoda tą patį rezultatą 1.4290003193181138E+000. :Reikšmė b kode apskaičiuota teisingai ir yra lygi -1.9178082191780821E-001 arba :a:=7.0; :b:=(a-1.0)/(a+1.0) = 6/8 = 0.75. :c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5) = (0.75-0.5)/(1.0+0.75*0.5) = 0.18181818181818181818181818181818. :d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25)= := (0.18181818181818181818181-0.25)/(1.0+0.18181818181818181818181*0.25)= -0.06521739130434782608696447542533. :g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d) = := (-0.06521739130434782608696-0.125)/(1.0-0.06521739130434782608696*0.125) = -0.19178082191780821917808578269844. :Reikšmė lygiai tokia pati kaip ir preitame kode reikšmė g. :Tikslumo praradimai panašu prasideda skaičiuojant reikšmę f. Skaičiavimas su kalkuliatoriumi: -0.19178082191780821917808219178082 - (-0.19178082191780821917808219178082)^3/3 +(-0.19178082191780821917808219178082)^5/5 - (-0.19178082191780821917808219178082)^7/7 +(-0.19178082191780821917808219178082)^9/9 - (-0.19178082191780821917808219178082)^11/11 = -0.18948015784575540837945622156966. -0.18948015784575540837945622156966 + 1.6183794300718800150333544076562 =1.4288992722261246066538981860865. :Čia 10 pirmų skaitmenų teisingi. :Toks '''Free Pascal''' kodas: var a:real; b:real; f:real; d:longint; h:real; begin //for a:=2 to 1000000000 do begin a:=7.0; begin b:=a; h:=2.0; for d:=1 to 2 do begin h:=h*0.5; b:=(b-h)/(1.0+b*h); end; end; f:=b - b*b*(b/3.0 + b*b* (b/5.0-b*b* (b/7.0 + b*b* (b/9.0 -b*b*b/11.0))))+1.2490457723982544258; //pi/4+arctan(1/2) = 1.2490457723982544258 end; writeln(f); Readln; End. :duoda atsakymą: :1.4288216709361827E+000. Tiksli arctg(7) reikšmė yra: :1.4288992721907326964184700745372. :Pirmi penki skaitmenys teisingi. Čia d yra dviejų iteracijų vietoje keturių iteracijų. Dėl to kažkaip arktangento eilutė tiksliau/geriau paskaičiuojama. ===Arktangento Benchmark=== :Toks arktangentų reikšmių (nuo 2 iki 1 milijardo) skaičiavimo kodas: var a:longint; b:real; c:real; d:real; g:real; f:real; begin for a:=1 to 1000000000 do begin b:=(1.0*a-1.0)/(1.0*a+1.0); c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5); d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25); g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d); f:=f+g - g*g*(g/3 + g*g* (g/5-g*g* (g/7 + g*g* (g/9 -g*g*g/11))))+1.61837943007188001503; end; // pi/4+arctan(1/2)+arctan(1/4)+arctan(1/8) = 1.6183794300718800150333544076562 // f:=f+1.61837943007188001503; writeln(f); Readln; End. :duoda 1.5707964092145209E+009. Labai didelės a reikšmės duoda <math>\arctan a \approx\pi/2</math>. Pirmą kartą skaičiuojama 1 minutę ir 9 sekundes. Antrą ir trečią kartą - 1 minutę ir 7 sekundes. Su 4.16 GHz procesorium. :<math>\pi/2 =</math> 1.5707963267948966192313216916398. :Truputi labiau optimizuotas '''Free Pascal''' kodas: var a:longint; b:real; c:real; d:real; g:real; f:real; begin for a:=2 to 1000000000 do begin b:=(a-1.0)/(a+1.0); c:=(b-0.5)/(1.0+b*0.5); d:=(c-0.25)/(1.0+c*0.25); g:=(d-0.125)/(1.0+0.125*d); f:=f+g - g*g*(g/3 + g*g* (g/5-g*g* (g/7 + g*g* (g/9 -g*g*g/11))))+1.61837943007188001503; end; // pi/4+arctan(1/2)+arctan(1/4)+arctan(1/8) = 1.6183794300718800150333544076562 // f:=f+1.61837943007188001503; writeln(f); Readln; End. :duoda atsakymą 1.5707964082113807E+009. Pirmą kartą po minutės ir 7 sekundžių (67 sekundžių). Antrą kartą po minutės ir 4 sekundžių (64 sekundžių). Su 4.16 GHz CPU. :Toks '''Free Pascal''' kodas: var a:longint; b:real; f:real; d:longint; h:real; begin for a:=2 to 1000000000 do begin b:=a; h:=2; for d:=1 to 2 do begin h:=h*0.5; b:=(b-h)/(1.0+b*h); end; f:=f+b - b*b*(b/3.0 + b*b* (b/5.0-b*b* (b/7.0 + b*b* (b/9.0 -b*b*b/11.0))))+1.2490457723982544258; //pi/4+arctan(1/2) = 1.2490457723982544258 end; writeln(f); Readln; End. :duoda atsakymą 1.5692808286515808E+009. Pirmą kartą po minutės ir 45 sekundžių (105 sekundžių). Antrą kartą po minutės ir 27 sekundžių (87 sekundžių). Su 4.16 GHz procesorium. :Toks kodas: var a:longint; b:real; f:real; d:longint; h:real; begin for a:=2 to 1000000000 do begin b:=a; h:=2; for d:=1 to 4 do begin h:=h*0.5; b:=(b-h)/(1.0+b*h); end; f:=f+b - b*b*(b/3.0 + b*b* (b/5.0-b*b*(b/7.0 + b*b* (b/9.0 -b*b*b/11.0))))+1.61837943007188001503; end; writeln(f); Readln; End. :duoda 1.5707964082113807E+009. Pirmą kartą po 2 minučių ir 24 sekundžių (144 sekundžių). Antrą kartą po 2 minučių ir 2 sekundžių (122 sekundžių). Su 4.16 GHz CPU. dxsy001n1jogorwvpm3c0tolo9o4m70 1 9621 59109 35312 2026-11-11T06:50:50Z Paraboloid 1294 /* 0.4/1.45, o ne 0.4/1.4, todėl mažas tikslumas. */ naujas skyrius 59109 wikitext text/x-wiki == 0.4/1.45, o ne 0.4/1.4, todėl mažas tikslumas. == :<math>\operatorname{arctg} 1 = </math> 0.78539816339744830961566084581988. :<math>\operatorname{arctg} 0.5 = </math> 0.46364760900080611621425623146121. :<math>\operatorname{arctg} 0.25 =</math> 0.24497866312686415417208248121128. :<math>\operatorname{arctg} 0.125 =</math> 0.12435499454676143503135484916387. *<math>\operatorname{arctg} 0.9.</math> :<math>\operatorname{arctg} a = \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5.</math> :<math>\tan(\alpha-\beta) = \tan\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}. </math> :<math>a = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} 0.9 - \operatorname{arctg} 0.5 \right) =</math> :<math>=\tan\frac{\tan(\operatorname{arctg} 0.9) - \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}{1+\tan(\operatorname{arctg} 0.9) \tan(\operatorname{arctg} 0.5)}= \tan\frac{0.9 - 0.5}{1+ 0.9\cdot 0.5}= \tan\frac{0.4}{1+ 0.45}=\tan\frac{0.4}{1.4}=</math> := 0.28571428571428571428571428571429. :<math>\operatorname{arctg} (0.28571428571428571428571428571429)=</math> := 0.28571428571428571428571428571429 - 0.28571428571428571428571428571429^3/3 + 0.28571428571428571428571428571429^5/5 - 0.28571428571428571428571428571429^7/7 + 0.28571428571428571428571428571429^9/9 - 0.28571428571428571428571428571429^11/11 + 0.28571428571428571428571428571429^13/13 = := '''0.278299659'''434360506011219170928. :<math>\operatorname{arctg} (0.28571428571428571428571428571429)=</math> := '''0.278299659'''00511135132823027023267. :<math>\operatorname{arctg} (0.28571428571428571428571428571429) + \operatorname{arctg} 0.5 =</math> := 0.278299659434360506011219170928 + 0.46364760900080611621425623146121 = := '''0.7'''4194726843516662222547540238921. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.7'''3281510178650659164079207273428. :<math>\operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} 0.25 =</math> :<math>b = \operatorname{tg}\left( \operatorname{arctg} (0.278299659434360506011219170928) - \operatorname{arctg} 0.25 \right) =</math> :<math>= \tan\frac{0.278299659434360506011219170928 - 0.25}{1+ 0.278299659434360506011219170928\cdot 0.25}=</math> :<math>\tan\frac{0.028299659434360506011219170928}{1 + 0.069574914858590126502804792732} = \tan\frac{0.028299659434360506011219170928}{1.069574914858590126502804792732}=</math> := 0.028299659434360506011219170928/1.069574914858590126502804792732 = 0.02645879128354654834020128410983. :<math>\operatorname{arctg} (0.02645879128354654834020128410983)=</math> := 0.02645879128354654834020128410983 - 0.02645879128354654834020128410983^3/3 + 0.02645879128354654834020128410983^5/5 - 0.02645879128354654834020128410983^7/7 + 0.02645879128354654834020128410983^9/9 - 0.02645879128354654834020128410983^11/11 + 0.02645879128354654834020128410983^13/13 = := '''0.026452619561222974682984'''79285758. :<math>\operatorname{arctg} (0.02645879128354654834020128410983)=</math> := '''0.026452619561222974682984'''64758269. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} a = </math> :<math>\operatorname{arctg} 0.9 = \operatorname{arctg} 0.5 + \operatorname{arctg} 0.25 + \operatorname{arctg} b = </math> := 0.46364760900080611621425623146121 + 0.24497866312686415417208248121128 + 0.02645261956122297468298479285758 = := '''0.73'''507889168889324506932350553007. :<math>\operatorname{arctg} 0.9 =</math> := '''0.73'''281510178650659164079207273428. [[Naudotojas:Paraboloid|Paraboloid]] ([[Naudotojo aptarimas:Paraboloid|aptarimas]]) 06:50, 11 lapkričio 2026 (UTC) kmhuxab93j5c187u29vjlznqje8qf8x 0 10506 59089 58840 2026-11-10T14:48:34Z CD 3007 /* Tvarkaraščiai */ 59089 wikitext text/x-wiki {{Location map+|Lietuva|width=400|float=right|caption=Pagrindinės maršruto stotys|places= {{location map~|Lietuva|lat=54.886|long=23.932|label=[[Kauno GS|Kaunas]]|mark=Blue pog.svg|position=left}} {{location map~|Lietuva|lat=54.914|long=24.061|<!--Palemonas-->}} {{location map~|Lietuva|lat=54.863|long=24.461|label=[[Kaišiadorių GS|Kaišiadorys]]|mark=Blue pog.svg|position=right}} {{location map~|Lietuva|lat=54.779|long=24.812|<!--Vievis-->}} {{location map~|Lietuva|lat=54.645|long=25.047|label=[[Lentvario GS|Lentvaris]]|position=bottom}} {{location map~|Lietuva|lat=54.670|long=25.285|label=[[Vilniaus GS|Vilnius]]|mark=Blue pog.svg|position=right}} }} '''Traukinys Vilnius–Kaunas''' – keleivinis traukinys, kursuojantis tarp Vilniaus ir Kauno stočių. == Stotys ir stotelės == * [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Kariotiškių GS]] – [[Rykantų GS]] – [[Lazdėnų GS]] – [[Baltamiškio GS]] – [[Vievio GS]] – [[Kaugonių GS]] – [[Žaslių GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Pamierio GS]] – [[Pravieniškių GS]] – [[Karčiupio GS]] – [[Palemono GS]] – [[Kauno GS]] == Tvarkaraščiai == * {{Ltt|2013}}:<ref>[https://www.miestai.net/forumas/forum/bendrosios-diskusijos/infrastrukt%C5%ABra-ir-pramon%C4%97/b%C4%97ginis-transportas/14405-naujas-2013-2014-m-keleivini%C5%B3-traukini%C5%B3-tvarkara%C5%A1tis?p=1023853#post1023853 Vilniaus–Kauno traukinių tvarkaraštis 2013 m. rugpjūčio 1–26 d.]</ref><ref>[https://www.miestai.net/forumas/forum/bendrosios-diskusijos/infrastruktūra-ir-pramonė/bėginis-transportas/14405-naujas-2013-2014-m-keleivinių-traukinių-tvarkaraštis?p=1030211#post1030211 Vilniaus–Kauno traukinių tvarkaraštis 2013 m. nuo rugpjūčio 27 d.]</ref> Vilnius – Paneriai – Vokė – Lentvaris – Kariotiškės – Sausiai – Rykantai – Lazdėnai – Baltamiškis – Vievis – Kaugonys – Žasliai – Kaišiadorys – Pagiriai – Pamieris – Pravieniškės – Karčiupis – Palemonas – Amaliai – Kaunas. * {{Ltt|2015}}: ''nuo 2015-07-04 iki 2015-10-25 dėl geležinkelio tilto per Vokės upę kapitalinio remonto darbų keitėsi tvarkaraštis: iš 20 porų tarp Vilniaus ir Kauno vykstančių traukinių šiuo laikotarpiu liko 14.''<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2015/del-vokes-tilto-remonto-darbu-atsaukiama-dalis-keleiviniu-traukiniu/ Dėl Vokės tilto remonto darbų atšaukiama dalis keleivinių traukinių.] 2015, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-25)</ref> * {{Ltt|2016}}:<ref>{{Lt traukiniai 2016a}}</ref><ref>{{Lt traukiniai 2016b}}</ref> Vilnius kel. – Vilnius pr. – Paneriai – Vokė – Lentvaris – Kariotiškės – Sausiai – Rykantai – Lazdėnai – Baltamiškis – Vievis – Kaugonys – Žasliai – Kaišiadorys – Pagiriai – Pamieris – Pravieniškės – Karčiupis – Palemonas – Amaliai – Kaunas. * {{Ltt|2017}}:<ref>{{Lt traukiniai 2017}}</ref> Vilnius kel. – Vilnius pr. – Paneriai – Vokė – Lentvaris – Kariotiškės – Sausiai – Rykantai – Lazdėnai – Baltamiškis – Vievis – Kaugonys – Žasliai – Kaišiadorys – Pagiriai – Pamieris – Pravieniškės – Karčiupis – Palemonas – Amaliai – Kaunas. ''Vykstant Vilniaus oro uosto rekonstrukcijos darbams nuo 2017-07-14 iki 2017-08-18 maršrutu Vilnius–Kaunas į Kauną iš Vilniaus traukinys važiavo daugiau nei 20 kartų per parą, taip pat važinėjo naktiniai traukiniai.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2017/lietuvos-gelezinkeliai-kauno-oro-uosta-kviecia-pasiekti-traukiniu/ „Lietuvos geležinkeliai“ Kauno oro uostą kviečia pasiekti traukiniu.] 2017-07-11, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-25).</ref><ref>[https://ltg.lt/naujienos/2017/nuo-penktadienio-i-kauna-vaziuos-naktiniai-traukiniai/ Nuo penktadienio į Kauną važiuos naktiniai traukiniai.] 2017-07-13, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-25).</ref> 2017-08-22 pradėjo kursuoti traukinys, iš Kauno į Vilnių nuvažiuodavęs per 59 minutes. Traukinys iš Kauno išvykdavo 14:40 ir važiuodavo be sustojimų.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2017/traukiniu-is-kauno-i-vilniu-greiciau-nei-per-valanda/ Traukiniu iš Kauno į Vilnių – greičiau nei per valandą.] 2017-08-23, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-24).</ref>'' * {{Ltt|2018}}:<ref>{{Lt traukiniai 2018a}}</ref><ref>{{Lt traukiniai 2018b}}</ref> Vilnius kel. – Vilnius pr. – Paneriai – Vokė – Lentvaris – Kariotiškės – Sausiai – Rykantai – Lazdėnai – Baltamiškis – Vievis – Kaugonys – Žasliai – Kaišiadorys – Pagiriai – Pamieris – Pravieniškės – Karčiupis – Palemonas – Amaliai – Kaunas. ''Nuo gruodžio 9 d. nebestojo Vilniaus prekinėje stotyje, tada keliones pradėjo 2 ekspreso traukinių reisai ir naktinis traukinys Kaunas–Vilnius (22:30 laiku).<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2018/i-darba-traukiniu-vos-daugiau-nei-per-valanda-startuoja-nauji-ekspresai-vilnius-kaunas/ Į darbą traukiniu – vos daugiau nei per valandą: startuoja nauji ekspresai Vilnius–Kaunas.] 2018-12-11, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-21).</ref>'' * {{Ltt|2019}}<ref>{{Lt traukiniai 2019}}</ref> gruodžio 8 d. padažninti traukiniai.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2019/ilgai-laukti-pokyciai-nuo-sekmadienio-atnaujinti-tvarkarasciai-ir-40-traukiniu-reisu-i-kauna/ Ilgai laukti pokyčiai: nuo sekmadienio atnaujinti tvarkaraščiai ir 40 traukinių reisų į Kauną.] 2019-12-09, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-21).</ref> * {{Ltt|2020}}:<ref>2020-09-17. [https://docs.yandex.ru/docs/view?url=ya-disk-public%3A%2F%2FIGZoQzz5IIxBV10xBufVe0o2umvcVoamuNJbcNLsMZQ%2FyoMHZwJ2Pqzrj0r%2FFwWDq%2FJ6bpmRyOJonT3VoXnDag%3D%3D%3A%2F%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5%20%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F%2F20200917%20%D0%92%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8E%D1%81-%D0%9A%D0%B0%D1%83%D0%BD%D0%B0%D1%81-%D0%92%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8E%D1%81.pdf&name=20200917%20%D0%92%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8E%D1%81-%D0%9A%D0%B0%D1%83%D0%BD%D0%B0%D1%81-%D0%92%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8E%D1%81.pdf&nosw=1 Traukinių eismo tvarkaraštis Vilnius–Kaunas–Vilnius.] – Traukiniobilietas.lt ''([https://disk.yandex.ru/d/GyBucgc_iCsTCQ/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5%20%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F Гражданские расписания])''.</ref><ref>[https://100minciu.wordpress.com/2020/10/10/kaip-persodinti-vilnieti-ir-kaunieti-i-traukini/ Kaip persodinti vilnietį ir kaunietį į traukinį?] Wordpress.com (tikrinta 2026-02-01).</ref><ref>{{Lt traukiniai 2020}}</ref> Vilnius – Paneriai – Vokė – Lentvaris – Kariotiškės – Rykantai – Lazdėnai – Baltamiškis – Vievis – Kaugonys – Žasliai – Kaišiadorys – Pamieris – Pravieniškės – Karčiupis – Palemonas – Kaunas. ''Nuo gegužės 11 d. atnaujinti papildomi reisai.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2020/pradedami-grazinti-vietiniai-traukiniu-reisai/ Pradedami grąžinti vietiniai traukinių reisai.] 2020-05-07, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-22).</ref> Nuo gruodžio 13 d., užbaigus kelio remonto darbus, vidutiniškai 10 min. pagreitėjo kelionės trukmė, kas ypač aktualu rytais į darbus kitame mieste vykusiems vilniečiams ir kauniečiams. Iš Vilniaus pasiekti Kauną (ar atvirkščiai) ekspreso traukiniais keleiviai galėjo per 1:09–1:15 val., greitaisiais – per 1:16–1:28 val., o įprastais – per apytiksliai pusantros valandos. Peržiūrėta ir sustojimų logika, tai leido užtikrinti geresnį susisiekimą mažesnių miestų gyventojams.<ref>[https://web.archive.org/web/20210122222303/https://www.litrail.lt/-/aktuali-zinia-keliaujantiems-traukiniais-%E2%80%93-atnaujinti-metiniai-tvarkarasciai Aktuali žinia keliaujantiems traukiniais – atnaujinti metiniai tvarkaraščiai.] 2020-12-03, Litrail.lt (archyvuota 2021-01-22).</ref>'' * {{Ltt|2021}}:<ref>{{Lt traukiniai 2021}}</ref> Vilnius – Paneriai – Vokė – Lentvaris – Kariotiškės – Rykantai – Lazdėnai – Baltamiškis – Vievis – Kaugonys – Žasliai – Kaišiadorys – Pamieris – Pravieniškės – Karčiupis – Palemonas – Kaunas. ''Nuo gruodžio 12 d. numatyta daugiau greitesnių kelionių, leidusių darbus ir veiklas miestuose pasiekti greičiau.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2021/ltg-link-atnaujins-metinius-traukiniu-tvarkarascius/ „LTG Link“ atnaujins metinius traukinių tvarkaraščius.] 2021-11-29, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-21).</ref>'' * {{Ltt|2022}}:<ref>{{Lt traukiniai 2022}}</ref> Vilnius – Paneriai – Vokė – Lentvaris – Kariotiškės – Rykantai – Lazdėnai – Baltamiškis – Vievis – Kaugonys – Žasliai – Kaišiadorys – Pamieris – Pravieniškės – Karčiupis – Palemonas – Kaunas. ''Nuo gruodžio 11 d. populiariausio Lietuvos maršruto reisai išdėstyti atsižvelgiant į keleivių lūkesčius patogiais intervalais. Traukiniai vidutiniškai kursavo kas valandą, piko valandomis – dažniau, savaitgaliais numatyti vėlyvi po 22:00 išvykstantys traukinių reisai. Daugiau šio maršruto reisų padaryti kaip greitieji ir ekspresai.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2022/naujas-metinis-traukiniu-tvarkarastis-patogesnes-jungtys-tarp-miestu-ir-daznesni-reisai-tarp-didmiesciu/ Naujas metinis traukinių tvarkaraštis: patogesnės jungtys tarp miestų ir dažnesni reisai tarp didmiesčių.] 2022-11-22, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-21).</ref>'' * {{Ltt|2023}}:<ref>[https://web.archive.org/web/20230908051419/https://stops.lt/traukiniai/ Traukiniai.] Stops.lt (archyvuota 2023-09-08).</ref> Vilnius – Paneriai – Vokė – Lentvaris – Kariotiškės – Rykantai – Lazdėnai – Baltamiškis – Vievis – Kaugonys – Žasliai – Kaišiadorys – Pamieris – Pravieniškės – Karčiupis – Palemonas – Kaunas. ''Nuo gruodžio 10 d. traukiniai vidutiniškai ir toliau kursavo kas valandą, piko valandomis – maždaug kas pusvalandį. Šiuo maršrutu darbo dienomis rytinio piko metu suplanuoti 2 papildomi reisai. Pirmieji traukiniai tiek iš Vilniaus, tiek iš Kauno kasdien išvykdavo apie 5 val. ryto. Daugiau kaip penktadalis kasdienių reisų padaryti ekspresais – šių kelionių tarp Vilniaus ir Kauno trukmė siekė 1 val. 08–15 min. Į didžiuosius Kaune vykstančius renginius keliaujantiems žmonėms bendrovė ir toliau užtikrino patogų ir tvarų susisiekimą – esant poreikiui buvo organizuojami papildomi vėlyvieji reisai iš Kauno į Vilnių ar priešinga kryptimi.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2023/ltg-link-pristate-nauja-metini-traukiniu-tvarkarasti-daugiau-patogiu-jungciu-tarp-didziuju-miestu-ir-greitesne-kelione-i-lenkija/ „LTG Link“ pristatė naują metinį traukinių tvarkaraštį: daugiau patogių jungčių tarp didžiųjų miestų ir greitesnė kelionė į Lenkiją.] 2023-11-17, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-21).</ref>'' * {{Ltt|2024}}:<ref>{{Lt traukiniai 2024}}</ref><ref>[https://web.archive.org/web/20240420151204/https://stops.lt/traukiniai/ Traukiniai.] Stops.lt (archyvuota 2024-04-20).</ref> Vilnius – Paneriai – Vokė – Lentvaris – Kariotiškės – Rykantai – Lazdėnai – Baltamiškis – Vievis – Kaugonys – Žasliai – Kaišiadorys – Pamieris – Pravieniškės – Karčiupis – Palemonas – Kaunas. ''Nuo balandžio 1 d. traukiniai dažniau ėmė stoti Kaišiadorių, Vievio, Karčiupio ir Palemono stotyse.''<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2024/atnaujintas-keleiviniu-traukiniu-tvarkarastis-daugiau-sustojimu-ir-platesnes-galimybes-keliauti-traukiniu/ Atnaujintas keleivinių traukinių tvarkaraštis: daugiau sustojimų ir platesnės galimybės keliauti traukiniu.] 2024-03-27, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-22).</ref> * {{Ltt|2025}}:<ref>{{Lt traukiniai 2025}}</ref> Vilnius – Paneriai – Vokė – Lentvaris – Kariotiškės – Rykantai – Lazdėnai – Baltamiškis – Vievis – Kaugonys – Žasliai – Kaišiadorys – Pamieris – Pravieniškės – Karčiupis – Palemonas – Kaunas. ''Nuo gruodžio 14 d. traukiniai ėmė kursuoti dažniau.''<ref>[https://web.archive.org/web/20260107060111/https://ltg.lt/naujienos/2025/skelbiami-nauji-traukiniu-tvarkarasciai-daugiau-vietiniu-ir-tarptautiniu-marsrutu-papildomos-stoteles/ Skelbiami nauji traukinių tvarkaraščiai: daugiau vietinių ir tarptautinių maršrutų, papildomos stotelės.] 2025-11-17, Ltglink.lt (archyvuota 2026-01-07).</ref> * {{Ltt|2026}}: ** dėl remonto Lentvario–Vievio atkarpoje rugsėjį–spalį šiek tiek keitėsi tvarkaraščiai.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2026/del-gelezinkelio-remonto-laikinai-keisis-dvieju-marsrutu-traukiniu-tvarkarasciai/ Dėl geležinkelio remonto laikinai keisis dviejų maršrutų traukinių tvarkaraščiai.] 2026-08-19, Ltg.lt (tikrinta 2026-11-10).</ref> == Šaltiniai == {{ref}} [[Kategorija:Lietuvos traukinių maršrutai]] oqsyhk4ssnryh7955u86s5dsmbikpso 59093 59089 2026-11-10T15:43:42Z CD 3007 59093 wikitext text/x-wiki {{Location map+|Lietuva|width=400|float=right|caption=Pagrindinės maršruto stotys|places= {{location map~|Lietuva|lat=54.886|long=23.932|label=[[Kauno GS|Kaunas]]|mark=Blue pog.svg|position=left}} {{location map~|Lietuva|lat=54.914|long=24.061|<!--Palemonas-->}} {{location map~|Lietuva|lat=54.863|long=24.461|label=[[Kaišiadorių GS|Kaišiadorys]]|mark=Blue pog.svg|position=right}} {{location map~|Lietuva|lat=54.779|long=24.812|<!--Vievis-->}} {{location map~|Lietuva|lat=54.645|long=25.047|label=[[Lentvario GS|Lentvaris]]|position=bottom}} {{location map~|Lietuva|lat=54.670|long=25.285|label=[[Vilniaus GS|Vilnius]]|mark=Blue pog.svg|position=right}} }} '''Traukinys Vilnius–Kaunas''' – keleivinis traukinys, kursuojantis tarp Vilniaus ir Kauno stočių. == Stotys ir stotelės == * [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Kariotiškių GS]] – [[Rykantų GS]] – [[Lazdėnų GS]] – [[Baltamiškio GS]] – [[Vievio GS]] – [[Kaugonių GS]] – [[Žaslių GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Pamierio GS]] – [[Pravieniškių GS]] – [[Karčiupio GS]] – [[Palemono GS]] – [[Kauno GS]] == Tvarkaraščiai == * {{Ltt|2013}}:<ref>[https://www.miestai.net/forumas/forum/bendrosios-diskusijos/infrastrukt%C5%ABra-ir-pramon%C4%97/b%C4%97ginis-transportas/14405-naujas-2013-2014-m-keleivini%C5%B3-traukini%C5%B3-tvarkara%C5%A1tis?p=1023853#post1023853 Vilniaus–Kauno traukinių tvarkaraštis 2013 m. rugpjūčio 1–26 d.]</ref><ref>[https://www.miestai.net/forumas/forum/bendrosios-diskusijos/infrastruktūra-ir-pramonė/bėginis-transportas/14405-naujas-2013-2014-m-keleivinių-traukinių-tvarkaraštis?p=1030211#post1030211 Vilniaus–Kauno traukinių tvarkaraštis 2013 m. nuo rugpjūčio 27 d.]</ref> Vilnius – Paneriai – Vokė – Lentvaris – Kariotiškės – Sausiai – Rykantai – Lazdėnai – Baltamiškis – Vievis – Kaugonys – Žasliai – Kaišiadorys – Pagiriai – Pamieris – Pravieniškės – Karčiupis – Palemonas – Amaliai – Kaunas. * {{Ltt|2015}}: ''nuo 2015-07-04 iki 2015-10-25 dėl geležinkelio tilto per Vokės upę kapitalinio remonto darbų keitėsi tvarkaraštis: iš 20 porų tarp Vilniaus ir Kauno vykstančių traukinių šiuo laikotarpiu liko 14.''<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2015/del-vokes-tilto-remonto-darbu-atsaukiama-dalis-keleiviniu-traukiniu/ Dėl Vokės tilto remonto darbų atšaukiama dalis keleivinių traukinių.] 2015, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-25)</ref> * {{Ltt|2016}}:<ref>{{Lt traukiniai 2016a}}</ref><ref>{{Lt traukiniai 2016b}}</ref> Vilnius kel. – Vilnius pr. – Paneriai – Vokė – Lentvaris – Kariotiškės – Sausiai – Rykantai – Lazdėnai – Baltamiškis – Vievis – Kaugonys – Žasliai – Kaišiadorys – Pagiriai – Pamieris – Pravieniškės – Karčiupis – Palemonas – Amaliai – Kaunas. * {{Ltt|2017}}:<ref>{{Lt traukiniai 2017}}</ref> Vilnius kel. – Vilnius pr. – Paneriai – Vokė – Lentvaris – Kariotiškės – Sausiai – Rykantai – Lazdėnai – Baltamiškis – Vievis – Kaugonys – Žasliai – Kaišiadorys – Pagiriai – Pamieris – Pravieniškės – Karčiupis – Palemonas – Amaliai – Kaunas. ''Vykstant Vilniaus oro uosto rekonstrukcijos darbams nuo 2017-07-14 iki 2017-08-18 maršrutu Vilnius–Kaunas į Kauną iš Vilniaus traukinys važiavo daugiau nei 20 kartų per parą, taip pat važinėjo naktiniai traukiniai.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2017/lietuvos-gelezinkeliai-kauno-oro-uosta-kviecia-pasiekti-traukiniu/ „Lietuvos geležinkeliai“ Kauno oro uostą kviečia pasiekti traukiniu.] 2017-07-11, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-25).</ref><ref>[https://ltg.lt/naujienos/2017/nuo-penktadienio-i-kauna-vaziuos-naktiniai-traukiniai/ Nuo penktadienio į Kauną važiuos naktiniai traukiniai.] 2017-07-13, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-25).</ref> 2017-08-22 pradėjo kursuoti traukinys, iš Kauno į Vilnių nuvažiuodavęs per 59 minutes. Traukinys iš Kauno išvykdavo 14:40 ir važiuodavo be sustojimų.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2017/traukiniu-is-kauno-i-vilniu-greiciau-nei-per-valanda/ Traukiniu iš Kauno į Vilnių – greičiau nei per valandą.] 2017-08-23, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-24).</ref>'' * {{Ltt|2018}}:<ref>{{Lt traukiniai 2018a}}</ref><ref>{{Lt traukiniai 2018b}}</ref> Vilnius kel. – Vilnius pr. – Paneriai – Vokė – Lentvaris – Kariotiškės – Sausiai – Rykantai – Lazdėnai – Baltamiškis – Vievis – Kaugonys – Žasliai – Kaišiadorys – Pagiriai – Pamieris – Pravieniškės – Karčiupis – Palemonas – Amaliai – Kaunas. ''Nuo gruodžio 9 d. nebestojo Vilniaus prekinėje stotyje, tada keliones pradėjo 2 ekspreso traukinių reisai ir naktinis traukinys Kaunas–Vilnius (22:30 laiku).<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2018/i-darba-traukiniu-vos-daugiau-nei-per-valanda-startuoja-nauji-ekspresai-vilnius-kaunas/ Į darbą traukiniu – vos daugiau nei per valandą: startuoja nauji ekspresai Vilnius–Kaunas.] 2018-12-11, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-21).</ref>'' * {{Ltt|2019}}<ref>{{Lt traukiniai 2019}}</ref> gruodžio 8 d. padažninti traukiniai.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2019/ilgai-laukti-pokyciai-nuo-sekmadienio-atnaujinti-tvarkarasciai-ir-40-traukiniu-reisu-i-kauna/ Ilgai laukti pokyčiai: nuo sekmadienio atnaujinti tvarkaraščiai ir 40 traukinių reisų į Kauną.] 2019-12-09, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-21).</ref> * {{Ltt|2020}}:<ref>2020-09-17. [https://docs.yandex.ru/docs/view?url=ya-disk-public%3A%2F%2FIGZoQzz5IIxBV10xBufVe0o2umvcVoamuNJbcNLsMZQ%2FyoMHZwJ2Pqzrj0r%2FFwWDq%2FJ6bpmRyOJonT3VoXnDag%3D%3D%3A%2F%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5%20%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F%2F20200917%20%D0%92%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8E%D1%81-%D0%9A%D0%B0%D1%83%D0%BD%D0%B0%D1%81-%D0%92%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8E%D1%81.pdf&name=20200917%20%D0%92%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8E%D1%81-%D0%9A%D0%B0%D1%83%D0%BD%D0%B0%D1%81-%D0%92%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8E%D1%81.pdf&nosw=1 Traukinių eismo tvarkaraštis Vilnius–Kaunas–Vilnius.] – Traukiniobilietas.lt ''([https://disk.yandex.ru/d/GyBucgc_iCsTCQ/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5%20%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F Гражданские расписания])''.</ref><ref>[https://100minciu.wordpress.com/2020/10/10/kaip-persodinti-vilnieti-ir-kaunieti-i-traukini/ Kaip persodinti vilnietį ir kaunietį į traukinį?] Wordpress.com (tikrinta 2026-02-01).</ref><ref>{{Lt traukiniai 2020}}</ref> Vilnius – Paneriai – Vokė – Lentvaris – Kariotiškės – Rykantai – Lazdėnai – Baltamiškis – Vievis – Kaugonys – Žasliai – Kaišiadorys – Pamieris – Pravieniškės – Karčiupis – Palemonas – Kaunas. ''Nuo gegužės 11 d. atnaujinti papildomi reisai.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2020/pradedami-grazinti-vietiniai-traukiniu-reisai/ Pradedami grąžinti vietiniai traukinių reisai.] 2020-05-07, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-22).</ref> Nuo gruodžio 13 d., užbaigus kelio remonto darbus, vidutiniškai 10 min. pagreitėjo kelionės trukmė, kas ypač aktualu rytais į darbus kitame mieste vykusiems vilniečiams ir kauniečiams. Iš Vilniaus pasiekti Kauną (ar atvirkščiai) ekspreso traukiniais keleiviai galėjo per 1:09–1:15 val., greitaisiais – per 1:16–1:28 val., o įprastais – per apytiksliai pusantros valandos. Peržiūrėta ir sustojimų logika, tai leido užtikrinti geresnį susisiekimą mažesnių miestų gyventojams.<ref>[https://web.archive.org/web/20210122222303/https://www.litrail.lt/-/aktuali-zinia-keliaujantiems-traukiniais-%E2%80%93-atnaujinti-metiniai-tvarkarasciai Aktuali žinia keliaujantiems traukiniais – atnaujinti metiniai tvarkaraščiai.] 2020-12-03, Litrail.lt (archyvuota 2021-01-22).</ref>'' * {{Ltt|2021}}:<ref>{{Lt traukiniai 2021}}</ref> Vilnius – Paneriai – Vokė – Lentvaris – Kariotiškės – Rykantai – Lazdėnai – Baltamiškis – Vievis – Kaugonys – Žasliai – Kaišiadorys – Pamieris – Pravieniškės – Karčiupis – Palemonas – Kaunas. ''Nuo gruodžio 12 d. numatyta daugiau greitesnių kelionių, leidusių darbus ir veiklas miestuose pasiekti greičiau.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2021/ltg-link-atnaujins-metinius-traukiniu-tvarkarascius/ „LTG Link“ atnaujins metinius traukinių tvarkaraščius.] 2021-11-29, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-21).</ref>'' * {{Ltt|2022}}:<ref>{{Lt traukiniai 2022}}</ref> Vilnius – Paneriai – Vokė – Lentvaris – Kariotiškės – Rykantai – Lazdėnai – Baltamiškis – Vievis – Kaugonys – Žasliai – Kaišiadorys – Pamieris – Pravieniškės – Karčiupis – Palemonas – Kaunas. ''Nuo gruodžio 11 d. populiariausio Lietuvos maršruto reisai išdėstyti atsižvelgiant į keleivių lūkesčius patogiais intervalais. Traukiniai vidutiniškai kursavo kas valandą, piko valandomis – dažniau, savaitgaliais numatyti vėlyvi po 22:00 išvykstantys traukinių reisai. Daugiau šio maršruto reisų padaryti kaip greitieji ir ekspresai.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2022/naujas-metinis-traukiniu-tvarkarastis-patogesnes-jungtys-tarp-miestu-ir-daznesni-reisai-tarp-didmiesciu/ Naujas metinis traukinių tvarkaraštis: patogesnės jungtys tarp miestų ir dažnesni reisai tarp didmiesčių.] 2022-11-22, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-21).</ref>'' * {{Ltt|2023}}:<ref>[https://web.archive.org/web/20230908051419/https://stops.lt/traukiniai/ Traukiniai.] Stops.lt (archyvuota 2023-09-08).</ref> Vilnius – Paneriai – Vokė – Lentvaris – Kariotiškės – Rykantai – Lazdėnai – Baltamiškis – Vievis – Kaugonys – Žasliai – Kaišiadorys – Pamieris – Pravieniškės – Karčiupis – Palemonas – Kaunas. ''Nuo gruodžio 10 d. traukiniai vidutiniškai ir toliau kursavo kas valandą, piko valandomis – maždaug kas pusvalandį. Šiuo maršrutu darbo dienomis rytinio piko metu suplanuoti 2 papildomi reisai. Pirmieji traukiniai tiek iš Vilniaus, tiek iš Kauno kasdien išvykdavo apie 5 val. ryto. Daugiau kaip penktadalis kasdienių reisų padaryti ekspresais – šių kelionių tarp Vilniaus ir Kauno trukmė siekė 1 val. 08–15 min. Į didžiuosius Kaune vykstančius renginius keliaujantiems žmonėms bendrovė ir toliau užtikrino patogų ir tvarų susisiekimą – esant poreikiui buvo organizuojami papildomi vėlyvieji reisai iš Kauno į Vilnių ar priešinga kryptimi.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2023/ltg-link-pristate-nauja-metini-traukiniu-tvarkarasti-daugiau-patogiu-jungciu-tarp-didziuju-miestu-ir-greitesne-kelione-i-lenkija/ „LTG Link“ pristatė naują metinį traukinių tvarkaraštį: daugiau patogių jungčių tarp didžiųjų miestų ir greitesnė kelionė į Lenkiją.] 2023-11-17, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-21).</ref>'' * {{Ltt|2024}}:<ref>{{Lt traukiniai 2024}}</ref><ref>[https://web.archive.org/web/20240420151204/https://stops.lt/traukiniai/ Traukiniai.] Stops.lt (archyvuota 2024-04-20).</ref> Vilnius – Paneriai – Vokė – Lentvaris – Kariotiškės – Rykantai – Lazdėnai – Baltamiškis – Vievis – Kaugonys – Žasliai – Kaišiadorys – Pamieris – Pravieniškės – Karčiupis – Palemonas – Kaunas. ''Nuo balandžio 1 d. traukiniai dažniau ėmė stoti Kaišiadorių, Vievio, Karčiupio ir Palemono stotyse.''<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2024/atnaujintas-keleiviniu-traukiniu-tvarkarastis-daugiau-sustojimu-ir-platesnes-galimybes-keliauti-traukiniu/ Atnaujintas keleivinių traukinių tvarkaraštis: daugiau sustojimų ir platesnės galimybės keliauti traukiniu.] 2024-03-27, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-22).</ref> * {{Ltt|2025}}:<ref>{{Lt traukiniai 2025}}</ref> Vilnius – Paneriai – Vokė – Lentvaris – Kariotiškės – Rykantai – Lazdėnai – Baltamiškis – Vievis – Kaugonys – Žasliai – Kaišiadorys – Pamieris – Pravieniškės – Karčiupis – Palemonas – Kaunas. ''Nuo gruodžio 14 d. traukiniai ėmė kursuoti dažniau.''<ref>[https://web.archive.org/web/20260107060111/https://ltg.lt/naujienos/2025/skelbiami-nauji-traukiniu-tvarkarasciai-daugiau-vietiniu-ir-tarptautiniu-marsrutu-papildomos-stoteles/ Skelbiami nauji traukinių tvarkaraščiai: daugiau vietinių ir tarptautinių maršrutų, papildomos stotelės.] 2025-11-17, Ltglink.lt (archyvuota 2026-01-07).</ref> * {{Ltt|2026}}: ** nuo 2026-03-29 paleisti traukiniai, nestojantys jokios stotelėse.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2026/is-vilniaus-i-kauna-be-sustojimu-prades-kursuoti-ltg-link-ekspresas/ Iš Vilniaus į Kauną – be sustojimų: pradės kursuoti „LTG Link“ ekspresas.] Ltg.lt (tikrinta 2026-11-10).</ref> ** dėl remonto Lentvario–Vievio atkarpoje rugsėjį–spalį šiek tiek keitėsi tvarkaraščiai.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2026/del-gelezinkelio-remonto-laikinai-keisis-dvieju-marsrutu-traukiniu-tvarkarasciai/ Dėl geležinkelio remonto laikinai keisis dviejų maršrutų traukinių tvarkaraščiai.] 2026-08-19, Ltg.lt (tikrinta 2026-11-10).</ref> == Šaltiniai == {{ref}} [[Kategorija:Lietuvos traukinių maršrutai]] ja6rpm5ivisncm9nzzex10ip0tew431 0 10534 59090 58804 2026-11-10T14:48:59Z CD 3007 /* Tvarkaraščiai */ 59090 wikitext text/x-wiki {{Location map+|Lietuva|width=400|float=right|caption=Pagrindinės maršruto stotys|places= {{location map~|Lietuva|lat=54.670|long=25.285|label=[[Vilniaus GS|Vilnius]]|mark=Blue pog.svg|position=right}} {{location map~|Lietuva|lat=54.645|long=25.047|label=[[Lentvario GS|Lentvaris]]|mark=Blue pog.svg|position=bottom}} {{location map~|Lietuva|lat=54.863|long=24.461|label=[[Kaišiadorių GS|Kaišiadorys]]|mark=Blue pog.svg|position=right}} {{location map~|Lietuva|lat=55.094|long=24.276|label=[[Jonavos GS|Jonava]]|mark=Blue pog.svg|position=right}} {{location map~|Lietuva|lat=55.308|long=23.978|label=[[Kėdainių GS|Kėdainiai]]|mark=Blue pog.svg|position=right}} {{location map~|Lietuva|lat=55.631|long=23.754|label=[[Baisogalos GS|Baisogala]]|mark=Blue pog.svg|position=right}} {{location map~|Lietuva|lat=55.806|long=23.536|label=[[Radviliškio GS|Radviliškis]]|mark=Blue pog.svg|position=right}} {{location map~|Lietuva|lat=55.923|long=23.314|label=[[Šiaulių GS|Šiauliai]]|mark=Blue pog.svg|position=right}} {{location map~|Lietuva|lat=55.993|long=22.252|label=[[Telšių GS|Telšiai]]|mark=Blue pog.svg|position=right}} {{location map~|Lietuva|lat=55.919|long=21.852|label=[[Plungės GS|Plungė]]|mark=Blue pog.svg|position=bottom}} {{location map~|Lietuva|lat=55.887|long=21.229|label=[[Kretingos GS|Kretinga]]|mark=Blue pog.svg|position=left}} {{location map~|Lietuva|lat=55.721|long=21.136|label=[[Klaipėdos GS|Klaipėda]]|mark=Blue pog.svg|position=bottom}} }} '''Traukinys Vilnius–Klaipėda''' – keleivinis traukinys, kursuojantis tarp Vilniaus ir Klaipėdos stočių. == Stotys ir stotelės == * [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Telšių GS]] – [[Plungės GS]] – [[Kretingos GS]] – [[Klaipėdos GS]] == Tvarkaraščiai == * {{Ltt|2015}}: gegužę atnaujintas tvarkaraštis: Vilnius – Lentvaris – Kaišiadorys – Jonava – Kėdainiai – Radviliškis – Šiauliai – Pavenčiai – Telšiai – Plungė – Kretinga – Giruliai – Klaipėda.<ref>[https://www.miestai.net/forumas/forum/bendrosios-diskusijos/infrastruktūra-ir-pramonė/bėginis-transportas/16613-naujas-2015m-keleivinių-traukinių-tvarkaraštis Naujas 2015m. keleivinių traukinių tvarkaraštis.] 2015-05-10, Miestai.net</ref> Nuo 2015-07-01 vykdavo papildomas ekspreso traukinys, atstumą įveikęs per 3 val. 45 minutes. 6:47 į traukinį įsėdę keleiviai jau 10:32 pasiekdavo Klaipėdą, o iš Klaipėdos traukinys išvykdavo 7:05 ir 10:50 atvykdavo į Vilnių.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2015/naujos-galimybes-keliauti-traukiniais/ Naujos galimybės keliauti traukiniais.] 2015, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-25)</ref> * {{Ltt|2016}}:<ref>{{Lt traukiniai 2016a}}</ref><ref>{{Lt traukiniai 2016b}}</ref> Vilnius kel. – Vilnius pr. – Paneriai – Lentvaris – Vievis – Žasliai – Kaišiadorys – Livintai – Gaižiūnai – Jonava – Žeimiai – Lukšiai – Šilainiai – Kėdainiai – Dotnuva – Gudžiūnai – Baisogala – Gimbogala – Linkaičių kelynas – Radviliškis kel. – Šilėnai – Zokniai – Šiauliai – Kužiai – Pavenčiai – BP 248 – Raudėnai – Tryškiai – Dūseikiai – BP 278 – Telšiai – Lieplaukė – Tarvainiai – Plungė – Šateikiai – Kūlupėnai – BP 344 – Kretinga – Iešmas Nr. 1/3 – Kretingalė – Kalotė – Giruliai – Pauostis – Klaipėda. ''Nuo 2016-12-11 sutrumpėjo kelionės maršrutu Vilnius–Klaipėda, keleivių prašymu kai kurie traukiniai Klaipėda–Vilnius pradėjo stoti Plungėje ir Telšiuose, o Girulių stotyje – tik vasaros sezono metu.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2016/nuo-2016-m-gruodzio-11-dienos-isigalioja-naujas-ab-lietuvos-gelezinkeliai-keleiviniu-traukiniu-eismo-grafikas-2016-2017-metams/ Nuo 2016 m. gruodžio 11 dienos įsigalioja naujas AB „Lietuvos geležinkeliai“ keleivinių traukinių eismo grafikas 2016-2017 metams.] 2016-12-07, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-25).</ref>'' * {{Ltt|2017}}:<ref>{{Lt traukiniai 2017}}</ref> Vilnius kel. – Vilnius pr. – Paneriai – Lentvaris – Vievis – Žasliai – Kaišiadorys – Livintai – Gaižiūnai – Jonava – Žeimiai – Lukšiai – Šilainiai – Kėdainiai – Dotnuva – Gudžiūnai – Baisogala – Gimbogala – Linkaičių kelynas – Radviliškis kel. – Šilėnai – Zokniai – Šiauliai – Kužiai – Pavenčiai – BP 248 – Raudėnai – Tryškiai – Dūseikiai – BP 278 – Telšiai – Lieplaukė – Tarvainiai – Plungė – Šateikiai – Kūlupėnai – BP 344 – Kretinga – Iešmas Nr. 1/3 – Kretingalė – Kalotė – Giruliai – Pauostis – Klaipėda. ''2017-03-06 laikinai pakeistas traukinių, vykstančių maršrutu Vilnius–Klaipėda, tvarkaraštis. Dėl remonto darbų 2017 m. pradžioje sumažėjęs keleivinių traukinių, vykstančių maršrutu Vilnius–Klaipėda, greitis vėl imtas didinti, tačiau dar nepasiektas maksimaliai.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2017/laikinai-keiciamas-vilnius-siauliai-klaipeda-traukiniu-tvarkarastis/ Laikinai keičiamas Vilnius–Šiauliai–Klaipėda traukinių tvarkaraštis.] 2017-03-03, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-25).</ref> Rugpjūčio 21–24 d. dėl antrojo kelio statybos darbų tarpstotyje Telšiai–Lieplaukė keitėsi keleivinių traukinių Vilnius–Klaipėda grafikai, o dalis šiais maršrutais važiuojančių traukinių atšaukti. Tarpstotyje Telšiai–Lieplaukė buvo baigiami naujo geležinkelio kelio atkarpos įrengimo darbai. Nuo sekmadienio vakaro ruože buvo vykdomi intensyvūs darbai, todėl šiuo laikotarpiu ruože Šiauliai–Klaipėda traukinių eismas nevyko. Rugpjūčio 21–24 d. dalis maršrutų Vilnius–Klaipėda buvo trumpinami iki Šiaulių: 6:45, 9:45 ir 16:40 į Klaipėdą iš Vilniaus išvažiuodavę traukiniai, rugpjūčio 21–24 d. važiavo maršrutais Vilnius–Šiauliai. Iš Šiaulių geležinkelio stoties šie traukiniai išvykdavo 9:35, 12:22 ir 19:40.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2017/rugpjucio-21-24-dienomis-keiciasi-dalies-keleiviniu-traukiniu-grafikai/ Rugpjūčio 21-24 dienomis keičiasi dalies keleivinių traukinių grafikai.] 2017-08-18, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-24).</ref>'' * {{Ltt|2018}}:<ref>{{Lt traukiniai 2018a}}</ref><ref>{{Lt traukiniai 2018b}}</ref> Vilnius kel. – Vilnius pr. – Paneriai – Lentvaris – Vievis – Žasliai – Kaišiadorys – Livintai – Gaižiūnai – Jonava – Žeimiai – Lukšiai – Šilainiai – Kėdainiai – Dotnuva – Gudžiūnai – Baisogala – Gimbogala – Linkaičių kelynas – Radviliškis kel. – Šilėnai – Zokniai – Šiauliai – Kužiai – Pavenčiai – BP 248 – Raudėnai – Tryškiai – Dūseikiai – BP 278 – Telšiai – Lieplaukė – Tarvainiai – Plungė – Šateikiai – Kūlupėnai – BP 344 – Kretinga – Iešmas Nr. 1/3 – Kretingalė – Kalotė – Giruliai – Pauostis – Klaipėda. ''Nuo gruodžio 9 d. nebestojo Vilniaus prekinėje, Paneriuose, Lentvaryje, Vievyje, Žasliuose, Livintuose, Gaižiūnuose, Žeimiuose, Lukšiuose, Šilainiuose, Dotnuvoje, Gudžiūnuose, Baisogaloje, Gimbogaloje, Linkaičiuose, Šilėnuose, Zokniuose, Kužiuose, Pavenčiuose, BP 248, Raudėnuose, Tryškiuose, Dūseikiuose, BP 278, Lieplaukėje, Tarvainiuose, Šateikiuose, Kūlupėnuose, BP 344, prie Iešmo, Kretingalėje, Kalotėje, Giruliuose, Pauostyje.'' * {{Ltt|2019}}:<ref>https://www.miestai.net/forumas/forum/bendrosios-diskusijos/infrastruktūra-ir-pramonė/bėginis-transportas/1762000-naujas-2019-2020-m-keleivinių-traukinių-eismo-tvarkaraštis?p=1763686#post1763686</ref><ref>{{Lt traukiniai 2019}}</ref> Vilnius – Kaišiadorys – Jonava – Kėdainiai – Radviliškis – Šiauliai – Telšiai – Plungė – Kretinga – Klaipėda. ''Nuo gruodžio 8 d. traukiniai ėmė kursuoti 12 kartų per dieną – po 6 reisus į abi puses, pusė jų – ekspresai.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2019/nuo-gruodzio-8-d-atnaujinti-traukiniu-tvarkarasciai/ Nuo gruodžio 8 d. – atnaujinti traukinių tvarkaraščiai.] 2019-12-03, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-21).</ref>'' * {{Ltt|2020}}:<ref>2020-09-17. [https://docs.yandex.ru/docs/view?url=ya-disk-public%3A%2F%2FIGZoQzz5IIxBV10xBufVe0o2umvcVoamuNJbcNLsMZQ%2FyoMHZwJ2Pqzrj0r%2FFwWDq%2FJ6bpmRyOJonT3VoXnDag%3D%3D%3A%2F%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5%20%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F%2F20200917%20%D0%92%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8E%D1%81-%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D0%B9%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B0-%D0%92%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8E%D1%81.pdf&name=20200917%20%D0%92%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8E%D1%81-%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D0%B9%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B0-%D0%92%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8E%D1%81.pdf&nosw=1 Traukinių eismo tvarkaraštis Vilnius–Šiauliai–Klaipėda–Vilnius.] – Traukiniobilietas.lt ''([https://disk.yandex.ru/d/GyBucgc_iCsTCQ/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5%20%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F Гражданские расписания])''.</ref><ref>{{Lt traukiniai 2020}}</ref> Vilnius – Kaišiadorys – Jonava – Kėdainiai – Radviliškis – Šiauliai – Telšiai – Plungė – Kretinga – Klaipėda. ''Nuo gegužės 11 d. atnaujinti papildomi reisai.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2020/pradedami-grazinti-vietiniai-traukiniu-reisai/ Pradedami grąžinti vietiniai traukinių reisai.] 2020-05-07, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-22).</ref> Nuo gruodžio 13 d. šiek tiek pakeisti išvykimo laikai, didinant intervalus tarp reisų, taip pat numatyta daugiau sustojimų Jonavoje, Kėdainiuose, Telšiuose ir Plungėje. Keliautojams iš šių miestų tapo patogiau pasiekti Vilnių ar Klaipėdą.<ref>[https://web.archive.org/web/20210122222303/https://www.litrail.lt/-/aktuali-zinia-keliaujantiems-traukiniais-%E2%80%93-atnaujinti-metiniai-tvarkarasciai Aktuali žinia keliaujantiems traukiniais – atnaujinti metiniai tvarkaraščiai.] 2020-12-03, Litrail.lt (archyvuota 2021-01-22).</ref>'' * {{Ltt|2021}}:<ref>{{Lt traukiniai 2021}}</ref> Vilnius – Kaišiadorys – Jonava – Kėdainiai – Radviliškis – Šiauliai – Telšiai – Plungė – Kretinga – Klaipėda. ''Nuo gruodžio 12 d. viename populiariausių Lietuvos maršrutų reisai buvo išdėstyti tolygesniais intervalais per dieną – taip keleiviai galėjo pasirinkti patogesnius ir įvairesnius laikus kelionėms. Be to, pirmadieniais ir ketvirtadieniais atstatyti ankstyvieji rytiniai reisai – tai ypač aktualu rytais į darbus kituose miestuose vykstantiems žmonėms.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2021/ltg-link-atnaujins-metinius-traukiniu-tvarkarascius/ „LTG Link“ atnaujins metinius traukinių tvarkaraščius.] 2021-11-29, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-21).</ref>'' * {{Ltt|2022}}:<ref>{{Lt traukiniai 2022}}</ref> Vilnius – Kaišiadorys – Jonava – Kėdainiai – Radviliškis – Šiauliai – Telšiai – Plungė – Kretinga – Klaipėda. ''Nuo gruodžio 11 d. viename populiariausių maršrutų pakoreguoti kelių reisų išvykimo laikai – jie paskirstyti tolygiau per dieną. Žiemos metu ankstyviausi 5 val. traukiniai ėmė kursuoti pirmadieniais ir penktadieniais, kitu metų laiku jie kursavo dar dažniau. Naujame tvarkaraštyje numatytos patogios jungtys su į ir iš Kauno, Mažeikių, Oro uosto, Šilutės, Panevėžio vykstančiais traukiniais. Taip pat pagerėjo susisiekimas su Telšiais – pridėta papildomų sustojimų greituosiuose traukiniuose.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2022/naujas-metinis-traukiniu-tvarkarastis-patogesnes-jungtys-tarp-miestu-ir-daznesni-reisai-tarp-didmiesciu/ Naujas metinis traukinių tvarkaraštis: patogesnės jungtys tarp miestų ir dažnesni reisai tarp didmiesčių.] 2022-11-22, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-21).</ref>'' * {{Ltt|2023}}:<ref>[https://web.archive.org/web/20230908051419/https://stops.lt/traukiniai/ Traukiniai.] Stops.lt (archyvuota 2023-09-08).</ref> Vilnius – Kaišiadorys – Jonava – Kėdainiai – Radviliškis – Šiauliai – Telšiai – Plungė – Kretinga – Klaipėda. ''Nuo gruodžio 10 d. vieno populiariausių maršrutų tvarkaraštyje numatytos minimalios korekcijos, skirtos dar patogesnėms jungtimis su Mažeikių, Panevėžio, Kauno, Šilutės kryptimis kursuojančiais traukiniais. Šio maršruto tvarkaraštis suderintas su maršrutais Panevėžys–Mažeikiai, Vilnius–Vilniaus oro uostas, Vilnius–Kaunas ir Klaipėda–Šilutė, tokiu būdu sostinę jungiant su nuo jos nutolusiais didesniais miestais. Maršrutu Vilnius–Šiauliai keleiviai galėjo keliauti dar dažniau – šeštadieniais abiem kryptimis kursuos po papildomą traukinį. Penktadieniais–sekmadieniais kursuojantys traukiniai iš Vilniaus išvykdavo rytais ir popietėmis, iš Šiaulių – priešpiet ir po darbo laiko.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2023/ltg-link-pristate-nauja-metini-traukiniu-tvarkarasti-daugiau-patogiu-jungciu-tarp-didziuju-miestu-ir-greitesne-kelione-i-lenkija/ „LTG Link“ pristatė naują metinį traukinių tvarkaraštį: daugiau patogių jungčių tarp didžiųjų miestų ir greitesnė kelionė į Lenkiją.] 2023-11-17, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-21).</ref>'' * {{Ltt|2024}}:<ref>{{Lt traukiniai 2024}}</ref><ref>[https://web.archive.org/web/20240420151204/https://stops.lt/traukiniai/ Traukiniai.] Stops.lt (archyvuota 2024-04-20).</ref> Vilnius – Kaišiadorys – Jonava – Kėdainiai – Radviliškis – Šiauliai – Telšiai – Plungė – Kretinga – Klaipėda. * {{Ltt|2025}}:<ref>{{Lt traukiniai 2025}}</ref> Vilnius – Kaišiadorys – Jonava – Kėdainiai – Radviliškis – Šiauliai – Telšiai – Plungė – Kretinga – Klaipėda. * {{Ltt|2026}}: ** dėl remonto Lentvario–Vievio atkarpoje rugsėjį–spalį šiek tiek keitėsi tvarkaraščiai.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2026/del-gelezinkelio-remonto-laikinai-keisis-dvieju-marsrutu-traukiniu-tvarkarasciai/ Dėl geležinkelio remonto laikinai keisis dviejų maršrutų traukinių tvarkaraščiai.] 2026-08-19, Ltg.lt (tikrinta 2026-11-10).</ref> == Šaltiniai == {{ref}} [[Kategorija:Lietuvos traukinių maršrutai]] k96zsioqw5xd9msn1oae3day7pukb6g 0 10704 59092 55953 2026-11-10T14:59:22Z CD 3007 /* Traukiniai */ 59092 wikitext text/x-wiki {{gktr|2025}} * 2025-01-06 pradėjo veikti jungtis Talinas–Tartu–Ryga–Vilnius.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2024/keliones-traukiniais-tarp-baltijos-saliu-jau-kitamet-turetu-nusidriekti-iki-talino/ Kelionės traukiniais tarp Baltijos šalių jau kitąmet turėtų nusidriekti iki Talino.] 2024-12-09, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-22).</ref> * Nuo 2025-02-10 maršrutu Vilnius–Talinas sudarytas tik vienas persėdimas. Baltijos šalių vežėjai – „LTG Link“, „Vivi“ ir „Elron“ – suderino traukinių tvarkaraščius, kad būtų sudaryta galimybė kasdien keliauti traukiniais tarp trijų šalių sostinių, keleiviams pasiūlė keliauti šia jungtimi su vienu persėdimu ir įsigyti bilietą vienoje platformoje. Nuo vasario 10 d. „LTG Link“ traukinys „Pesa 730ML“, kasdien vykdęs maršrutą iki Rygos, ėmė pratęsti kelionę iki Valgos. Iki šiol į Rygą atvykęs traukinys turėdavo technologinę pertrauką iki kelionės atgal į Vilnių. Keleiviams, vykstantiems iš Vilniaus į Estijos miestus, nuo jau nebereikėjo persėsti Rygoje, jie galėjo tęsti kelionę iki Valgos patogiu traukiniu, kuriame buvo I ir II klasės, galimybė įsigyti gėrimų ir užkandžių, veikė „Starlink“ interneto ryšys. Važiuojančių iki Talino, Valgoje laukė „Elron“ traukinys, kurio sustojimo laikas priderintas prie iš Vilniaus atvykstančio traukinio. Taip pat su vienu persėdimu Valgoje organizuotas ir susisiekimas iš Talino į Vilnių.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2025/is-vilniaus-i-talina-jau-galima-vykti-su-vienu-persedimu-bilietas-kainuos-39-eurus/ Iš Vilniaus į Taliną jau galima vykti su vienu persėdimu, bilietas kainuos 39 eurus.] 2025-02-10, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-22).</ref> * 2025-03-30 kai kurie tvarkaraščiai pakoreguoti. * Nuo 2025-06-16 iki 2025-06-19 laikinai sustabdytas keleivinių ir krovininių traukinių eismas geležinkelio ruože Klaipėda–Plungė. Traukinių eismo pertraukos metu buvo tęsiami Kūlupėnų geležinkelio tilto remonto darbai. Traukiniai maršrutu Vilnius–Klaipėda kursavo rečiau – vietoje įprastų 10–12 reisų per dieną vykdyti 8 reisai. Keleiviai traukiniu buvo vežami nuo Vilniaus iki Plungės, o atkarpoje nuo Plungės iki Klaipėdos – autobusu. Tuo metu nebuvo vykdomi Klaipėdą ir Radviliškį jungiantys maršrutai (Klaipėda–Šiauliai–Radviliškis, Klaipėda–Šiauliai–Klaipėda ir Radviliškis–Šiauliai–Klaipėda).<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2025/keturioms-dienoms-bus-stabdomas-traukiniu-eismas-atkarpoje-klaipedaplunge/ Keturioms dienoms bus stabdomas traukinių eismas atkarpoje Klaipėda–Plungė.] 2025-06-04, Ltg.lt (tikrinta 2025-11-22).</ref> * 2025-12-14 įsigaliojo naujieji metiniai tvarkaraščiai. == Traukiniai == === Liepa === 2025-07-19 keleiviniai traukiniai važiavo tokiais maršrutais:<ref>[https://web.archive.org/web/20250719131158/https://www.stops.lt/traukiniai/#train Stops.lt] (archyvuota 2025-07-19).</ref> * {{train|Kaunas–Kybartai}}: [[Kauno GS]] – [[Garliavos GS]] – [[Mauručių GS]] – [[Pabališkių GS]] – [[Jūrės GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Bagotosios GS]] – [[Pilviškių GS]] – [[Alksnėnų GS]] – [[Vilkaviškio GS]] – [[Alvito GS]] – [[Kybartų GS]] * {{train|Kaunas–Marijampolė}}: [[Kauno GS]] – [[Garliavos GS]] – [[Mauručių GS]] – [[Pabališkių GS]] – [[Jūrės GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Bebruliškės GS]] – [[Vinčų GS]] – [[Būdviečių GS]] – [[Marijampolės GS]] * {{train|Kaunas–Šiauliai}}: [[Kauno GS]] – [[Palemono GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Dotnuvos GS]] – [[Gudžiūnų GS]] – [[Baisogalos GS]] – [[Gimbogalos GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Durpyno GS]] – [[Kutiškių GS]] – [[Mankiškių GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šiaulių GS]] * {{train|Klaipėda–Radviliškis}}: [[Klaipėdos GS]] – [[Girulių GS]] – [[Kretingos GS]] – [[Kūlupėnų GS]] – [[Šateikių GS]] – [[Plungės GS]] – [[Tarvainių GS]] – [[Lieplaukės GS]] – [[Telšių GS]] – [[Dūseikių GS]] – [[Tryškių GS]] – [[Raudėnų GS]] – [[Pavenčių GS]] – [[Kužių GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Mankiškių GS]] – [[Kutiškių GS]] – [[Durpyno GS]] – [[Radviliškio GS]] * {{train|Klaipėda–Šilutė}}: [[Klaipėdos GS]] – [[Rimkų GS]] – [[Gružeikių GS]] – [[Dituvos GS]] – [[Priekulės GS]] – [[Vilkyčių GS]] – [[Kukorų GS]] – [[Šilutės GS]] * {{train|Panevėžys–Šiauliai–Mažeikiai}}: [[Panevėžio GS]] – [[Gustonių GS]] – [[Labučių GS]] – [[Labos GS]] – [[Šeduvos GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Durpyno GS]] – [[Kutiškių GS]] – [[Mankiškių GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Kužių GS]] – [[Kuršėnų GS]] – [[Papilės GS]] – [[Akmenės GS]] – [[Viekšnių GS]] – [[Mažeikių GS]] * {{train|Vilnius–Ignalina–Turmantas}}: [[Vilniaus GS]] – [[Pavilnio GS]] – [[Naujosios Vilnios GS]] – [[Elektrodepas-1]] – [[Mickūnų GS]] – [[Bezdonių GS]] – [[Skersabalių GS]] – [[Santakos GS]] – [[Pailgio GS]] – [[Pabradės GS]] – [[Pažeimenės GS]] – [[Žeimenos GS]] – [[Švenčionėlių GS]] – [[Pakretuonės GS]] – [[Ignalinos GS]] – [[Lobinių GS]] – [[Dūkšto GS]] – [[Gerkonių GS]] – [[Visagino GS]] – [[Turmanto GS]] * {{train|Vilnius–Kaunas}}: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Kariotiškių GS]] – [[Rykantų GS]] – [[Lazdėnų GS]] – [[Baltamiškio GS]] – [[Vievio GS]] – [[Kaugonių GS]] – [[Žaslių GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Pamierio GS]] – [[Pravieniškių GS]] – [[Karčiupio GS]] – [[Palemono GS]] – [[Kauno GS]] * {{train|Vilnius–Kena}}: [[Vilniaus GS]] – [[Pavilnio GS]] – [[Naujosios Vilnios GS]] – [[Elektrodepas-2]] – [[Kyviškių GS]] – [[Pakenės GS]] – [[Kenos GS]] * {{train|Vilnius–Mockava–Varšuva–Krokuva}}: [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Kauno GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Marijampolės GS]] – [[Mockavos GS]] – (Lietuvos–Lenkijos siena) – [[Trakiškių GS]] – [[Suvalkų GS]] – [[Augustavo GS]] – ... – [[Krokuvos GS]] * {{train|Vilnius–Oro uostas–Valčiūnai–Jašiūnai}}: [[Vilniaus GS]] – [[Oro uosto GS]] – [[Kirtimų GS]] – [[Juodšilių GS]] – [[Valčiūnų GS]] – [[Parudaminio GS]] – [[Terešiškių GS]] – [[Jašiūnų GS]] * {{train|Vilnius–Ryga}}: [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Joniškio GS]] – (Lietuvos–Latvijos siena) – [[Jelgavos GS]] – [[Rygos GS]] * {{train|Vilnius–Šiauliai–Klaipėda}}: [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Telšių GS]] – [[Plungės GS]] – [[Kretingos GS]] – [[Klaipėdos GS]] * {{train|Vilnius–Trakai}}: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Senųjų Trakų GS]] – [[Trakų GS]] * {{train|Vilnius–Varėna–Marcinkonys}}: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Senųjų Trakų GS]] – [[Miškinių GS]] – [[Šklėrių GS]] – [[Rūdiškių GS]] – [[Klepočių GS]] – [[Kalvių GS]] – [[Valkininkų GS]] – [[Pamerkių GS]] – [[Matuizų GS]] – [[Varėnos GS]] – [[Zervynų GS]] – [[Marcinkonių GS]] === Gruodis === 2025-12-14 įsigaliojo atnaujinti maršrutai. Atsirado 1 naujas tarptautinis maršrutas (Vilnius–Ščecinas) ir 3 vietiniai (Šiauliai–Mažeikiai, Radviliškis–Mažeikiai ir Kretinga–Šilutė), atidarytos 2 naujos stotys – Kalvarija ir Kretingalė.<ref>{{Lt traukiniai 2025}}</ref><ref>[https://web.archive.org/web/20260107060111/https://ltg.lt/naujienos/2025/skelbiami-nauji-traukiniu-tvarkarasciai-daugiau-vietiniu-ir-tarptautiniu-marsrutu-papildomos-stoteles/ Skelbiami nauji traukinių tvarkaraščiai: daugiau vietinių ir tarptautinių maršrutų, papildomos stotelės.] 2025-11-17, Ltglink.lt (archyvuota 2026-01-07).</ref><ref>[https://web.archive.org/web/20251124090207/https://ltglink.lt/metiniai-tvarkarasciai Metiniai tvarkaraščiai.] Ltglink.lt (archyvuota 2025-11-24)</ref> * {{train|Kaunas–Kybartai}}: [[Kauno GS]] – [[Garliavos GS]] – [[Mauručių GS]] – [[Pabališkių GS]] – [[Jūrės GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Bagotosios GS]] – [[Pilviškių GS]] – [[Alksnėnų GS]] – [[Vilkaviškio GS]] – [[Alvito GS]] – [[Kybartų GS]] * {{train|Kaunas–Marijampolė}}: [[Kauno GS]] – [[Garliavos GS]] – [[Mauručių GS]] – [[Pabališkių GS]] – [[Jūrės GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Bebruliškės GS]] – [[Vinčų GS]] – [[Būdviečių GS]] – [[Marijampolės GS]] * {{train|Kaunas–Šiauliai}}: [[Kauno GS]] – [[Palemono GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Baisogalos GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Šiaulių GS]] * {{train|Klaipėda–Radviliškis}}: [[Klaipėdos GS]] – [[Girulių GS]] – [[Kretingos GS]] – [[Kūlupėnų GS]] – [[Šateikių GS]] – [[Plungės GS]] – [[Tarvainių GS]] – [[Lieplaukės GS]] – [[Telšių GS]] – [[Dūseikių GS]] – [[Tryškių GS]] – [[Raudėnų GS]] – [[Pavenčių GS]] – [[Kužių GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Mankiškių GS]] – [[Kutiškių GS]] – [[Durpyno GS]] – [[Radviliškio GS]] * {{train|Klaipėda–Šiauliai}}: [[Klaipėdos GS]] – [[Girulių GS]] – [[Kretingos GS]] – [[Kūlupėnų GS]] – [[Šateikių GS]] – [[Plungės GS]] – [[Tarvainių GS]] – [[Lieplaukės GS]] – [[Telšių GS]] – [[Dūseikių GS]] – [[Tryškių GS]] – [[Raudėnų GS]] – [[Pavenčių GS]] – [[Kužių GS]] – [[Šiaulių GS]] * {{train|Kretinga–Klaipėda–Šilutė}}: [[Kretingos GS]] – [[Kretingalės GS]] – [[Girulių GS]] – [[Klaipėdos GS]] – [[Rimkų GS]] – [[Gružeikių GS]] – [[Dituvos GS]] – [[Priekulės GS]] – [[Vilkyčių GS]] – [[Kukorų GS]] – [[Šilutės GS]] * {{train|Panevėžys–Radviliškis–Šiauliai}}: [[Panevėžio GS]] – [[Gustonių GS]] – [[Labučių GS]] – [[Labos GS]] – [[Šeduvos GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Durpyno GS]] – [[Kutiškių GS]] – [[Mankiškių GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šiaulių GS]] * {{train|Radviliškis–Šiauliai–Mažeikiai}}: [[Radviliškio GS]] – [[Durpyno GS]] – [[Kutiškių GS]] – [[Mankiškių GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Kužių GS]] – [[Kuršėnų GS]] – [[Papilės GS]] – [[Akmenės GS]] – [[Viekšnių GS]] – [[Mažeikių GS]] * {{train|Šiauliai–Mažeikiai}}: [[Šiaulių GS]] – [[Kužių GS]] – [[Kuršėnų GS]] – [[Papilės GS]] – [[Akmenės GS]] – [[Viekšnių GS]] – [[Mažeikių GS]] * {{train|Šiauliai–Radviliškis}}: [[Šiaulių GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Mankiškių GS]] – [[Kutiškių GS]] – [[Durpyno GS]] – [[Radviliškio GS]] * {{train|Vilnius–Ignalina}}: [[Vilniaus GS]] – [[Pavilnio GS]] – [[Naujosios Vilnios GS]] – [[Elektrodepas-1]] – [[Mickūnų GS]] – [[Bezdonių GS]] – [[Skersabalių GS]] – [[Santakos GS]] – [[Pailgio GS]] – [[Pabradės GS]] – [[Švenčionėlių GS]] – [[Pakretuonės GS]] – [[Ignalinos GS]] * {{train|Vilnius–Ignalina–Turmantas}}: [[Vilniaus GS]] – [[Pavilnio GS]] – [[Naujosios Vilnios GS]] – [[Elektrodepas-1]] – [[Mickūnų GS]] – [[Bezdonių GS]] – [[Skersabalių GS]] – [[Santakos GS]] – [[Pailgio GS]] – [[Pabradės GS]] – [[Pažeimenės GS]] – [[Žeimenos GS]] – [[Švenčionėlių GS]] – [[Pakretuonės GS]] – [[Ignalinos GS]] – [[Lobinių GS]] – [[Dūkšto GS]] – [[Gerkonių GS]] – [[Visagino GS]] – [[Turmanto GS]] * {{train|Vilnius–Kaunas}}: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Kariotiškių GS]] – [[Rykantų GS]] – [[Lazdėnų GS]] – [[Baltamiškio GS]] – [[Vievio GS]] – [[Kaugonių GS]] – [[Žaslių GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Pamierio GS]] – [[Pravieniškių GS]] – [[Karčiupio GS]] – [[Palemono GS]] – [[Kauno GS]] * {{train|Vilnius–Kena}}: [[Vilniaus GS]] – [[Pavilnio GS]] – [[Naujosios Vilnios GS]] – [[Elektrodepas-2]] – [[Kyviškių GS]] – [[Pakenės GS]] – [[Kenos GS]] * {{train|Vilnius–Mockava}}: [[Vilniaus GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Žaslių GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Kauno GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Marijampolės GS]] – [[Kalvarijos GS]] – [[Mockavos GS]] * {{train|Vilnius–Oro uostas–Valčiūnai–Jašiūnai}}: [[Vilniaus GS]] – [[Oro uosto GS]] – [[Kirtimų GS]] – [[Juodšilių GS]] – [[Valčiūnų GS]] – [[Parudaminio GS]] – [[Terešiškių GS]] – [[Jašiūnų GS]] * {{train|Vilnius–Šiauliai}}: [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Baisogalos GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Šiaulių GS]] * {{train|Vilnius–Šiauliai–Klaipėda}}: [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Telšių GS]] – [[Plungės GS]] – [[Kretingos GS]] – [[Klaipėdos GS]] * {{train|Vilnius–Trakai}}: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Senųjų Trakų GS]] – [[Trakų GS]] * {{train|Vilnius–Varėna}}: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Senųjų Trakų GS]] – [[Miškinių GS]] – [[Šklėrių GS]] – [[Rūdiškių GS]] – [[Klepočių GS]] – [[Kalvių GS]] – [[Valkininkų GS]] – [[Pamerkių GS]] – [[Matuizų GS]] – [[Varėnos GS]] * {{train|Vilnius–Varėna–Marcinkonys}}: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Senųjų Trakų GS]] – [[Miškinių GS]] – [[Šklėrių GS]] – [[Rūdiškių GS]] – [[Klepočių GS]] – [[Kalvių GS]] – [[Valkininkų GS]] – [[Pamerkių GS]] – [[Matuizų GS]] – [[Varėnos GS]] – [[Zervynų GS]] – [[Marcinkonių GS]] * tarptautiniai: ** {{train|Vilnius–Krokuva}}: [[Vilniaus GS]] – [[Kauno GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Marijampolės GS]] – [[Mockavos GS]] – (Lietuvos–Lenkijos siena) – [[Trakiškių GS]] – [[Suvalkų GS]] – [[Augustavo GS]] – ... – [[Varšuvos centrinė GS]] – ... – [[Krokuvos GS]] ** {{train|Vilnius–Ryga}}: [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Joniškio GS]] – (Lietuvos–Latvijos siena) – [[Jelgavos GS]] – [[Rygos GS]] ** {{train|Vilnius–Ščecinas}}: [[Vilniaus GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Žaslių GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Kauno GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Marijampolės GS]] – [[Mockavos GS]] – (Lietuvos–Lenkijos siena) – [[Trakiškių GS]] – [[Suvalkų GS]] – [[Augustavo GS]] – ... – [[Balstogės GS]] – ... – [[Varšuvos centrinė GS]] – ... – [[Poznanės GS]] – ... – [[Ščecino GS]] == Šaltiniai == {{ref}} {{Tvarkaraščiai}} nq2rivfc4cdk92ylkt8ew5ekzkb7ler 0 11883 59091 2026-11-10T14:54:19Z CD 3007 Naujas puslapis: {{gktr|2026}} == Traukiniai == === Lapkritis === 2026-11-10 keleiviniai traukiniai važiavo tokiais maršrutais,<ref>[https://stops.lt/traukiniai/ Stops.lt] (tikrinta 2026-11-10).</ref> lyginant su 2025 m. stotelių ir maršrutų pokyčių nebuvo: * {{train|Kaunas–Kybartai}}: [[Kauno GS]] – [[Garliavos GS]] – [[Mauručių GS]] – [[Pabališkių GS]] – [[Jūrės GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Bagotosios GS]] – [[Pilviškių GS]] – [[Alksnėnų GS]] – ... 59091 wikitext text/x-wiki {{gktr|2026}} == Traukiniai == === Lapkritis === 2026-11-10 keleiviniai traukiniai važiavo tokiais maršrutais,<ref>[https://stops.lt/traukiniai/ Stops.lt] (tikrinta 2026-11-10).</ref> lyginant su 2025 m. stotelių ir maršrutų pokyčių nebuvo: * {{train|Kaunas–Kybartai}}: [[Kauno GS]] – [[Garliavos GS]] – [[Mauručių GS]] – [[Pabališkių GS]] – [[Jūrės GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Bagotosios GS]] – [[Pilviškių GS]] – [[Alksnėnų GS]] – [[Vilkaviškio GS]] – [[Alvito GS]] – [[Kybartų GS]] * {{train|Kaunas–Marijampolė}}: [[Kauno GS]] – [[Garliavos GS]] – [[Mauručių GS]] – [[Pabališkių GS]] – [[Jūrės GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Bebruliškės GS]] – [[Vinčų GS]] – [[Būdviečių GS]] – [[Marijampolės GS]] * {{train|Kaunas–Šiauliai}}: [[Kauno GS]] – [[Palemono GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Dotnuvos GS]] – [[Gudžiūnų GS]] – [[Baisogalos GS]] – [[Gimbogalos GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Durpyno GS]] – [[Kutiškių GS]] – [[Mankiškių GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šiaulių GS]] * {{train|Klaipėda–Radviliškis}}: [[Klaipėdos GS]] – [[Girulių GS]] – [[Kretingos GS]] – [[Kūlupėnų GS]] – [[Šateikių GS]] – [[Plungės GS]] – [[Tarvainių GS]] – [[Lieplaukės GS]] – [[Telšių GS]] – [[Dūseikių GS]] – [[Tryškių GS]] – [[Raudėnų GS]] – [[Pavenčių GS]] – [[Kužių GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Mankiškių GS]] – [[Kutiškių GS]] – [[Durpyno GS]] – [[Radviliškio GS]] * {{train|Klaipėda–Šilutė}}: [[Klaipėdos GS]] – [[Rimkų GS]] – [[Gružeikių GS]] – [[Dituvos GS]] – [[Priekulės GS]] – [[Vilkyčių GS]] – [[Kukorų GS]] – [[Šilutės GS]] * {{train|Panevėžys–Šiauliai–Mažeikiai}}: [[Panevėžio GS]] – [[Gustonių GS]] – [[Labučių GS]] – [[Labos GS]] – [[Šeduvos GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Durpyno GS]] – [[Kutiškių GS]] – [[Mankiškių GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Kužių GS]] – [[Kuršėnų GS]] – [[Papilės GS]] – [[Akmenės GS]] – [[Viekšnių GS]] – [[Mažeikių GS]] * {{train|Vilnius–Ignalina–Turmantas}}: [[Vilniaus GS]] – [[Pavilnio GS]] – [[Naujosios Vilnios GS]] – [[Elektrodepas-1]] – [[Mickūnų GS]] – [[Bezdonių GS]] – [[Skersabalių GS]] – [[Santakos GS]] – [[Pailgio GS]] – [[Pabradės GS]] – [[Pažeimenės GS]] – [[Žeimenos GS]] – [[Švenčionėlių GS]] – [[Pakretuonės GS]] – [[Ignalinos GS]] – [[Lobinių GS]] – [[Dūkšto GS]] – [[Gerkonių GS]] – [[Visagino GS]] – [[Turmanto GS]] * {{train|Vilnius–Kaunas}}: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Kariotiškių GS]] – [[Rykantų GS]] – [[Lazdėnų GS]] – [[Baltamiškio GS]] – [[Vievio GS]] – [[Kaugonių GS]] – [[Žaslių GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Pamierio GS]] – [[Pravieniškių GS]] – [[Karčiupio GS]] – [[Palemono GS]] – [[Kauno GS]] * {{train|Vilnius–Kena}}: [[Vilniaus GS]] – [[Pavilnio GS]] – [[Naujosios Vilnios GS]] – [[Elektrodepas-2]] – [[Kyviškių GS]] – [[Pakenės GS]] – [[Kenos GS]] * {{train|Vilnius–Mockava–Varšuva–Krokuva}}: [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Kauno GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Marijampolės GS]] – [[Mockavos GS]] – (Lietuvos–Lenkijos siena) – [[Trakiškių GS]] – [[Suvalkų GS]] – [[Augustavo GS]] – ... – [[Krokuvos GS]] * {{train|Vilnius–Oro uostas–Valčiūnai–Jašiūnai}}: [[Vilniaus GS]] – [[Oro uosto GS]] – [[Kirtimų GS]] – [[Juodšilių GS]] – [[Valčiūnų GS]] – [[Parudaminio GS]] – [[Terešiškių GS]] – [[Jašiūnų GS]] * {{train|Vilnius–Ryga}}: [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Joniškio GS]] – (Lietuvos–Latvijos siena) – [[Jelgavos GS]] – [[Rygos GS]] * {{train|Vilnius–Šiauliai–Klaipėda}}: [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Telšių GS]] – [[Plungės GS]] – [[Kretingos GS]] – [[Klaipėdos GS]] * {{train|Vilnius–Trakai}}: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Senųjų Trakų GS]] – [[Trakų GS]] * {{train|Vilnius–Varėna–Marcinkonys}}: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Senųjų Trakų GS]] – [[Miškinių GS]] – [[Šklėrių GS]] – [[Rūdiškių GS]] – [[Klepočių GS]] – [[Kalvių GS]] – [[Valkininkų GS]] – [[Pamerkių GS]] – [[Matuizų GS]] – [[Varėnos GS]] – [[Zervynų GS]] – [[Marcinkonių GS]] == Šaltiniai == {{ref}} {{Tvarkaraščiai}} me8rsonkk1ewcmav5wa1bi1slsewbb3 59094 59091 2026-11-10T15:49:05Z CD 3007 59094 wikitext text/x-wiki {{gktr|2026}} * 2026 m. gegužę atnaujinti kai kurie maršrutų tvarkaraščiai: Vilnius–Kaunas, Vilnius–Ryga–Talinas, Vilnius–Šiauliai–Klaipėda, Radviliškis–Klaipėda, Radviliškis–Šiauliai–Mažeikiai, Šiauliai–Panevėžys, Kaunas–Šiauliai.<ref>[https://ltg.lt/naujienos/2026/ltg-link-laikinai-atnaujina-dalies-marsrutu-tvarkarascius/ https://ltg.lt/naujienos/2026/ltg-link-laikinai-atnaujina-dalies-marsrutu-tvarkarascius/.] 2026-05-09, Ltg.lt (tikrinta 2026-11-10).</ref> == Traukiniai == === Lapkritis === 2026-11-10 keleiviniai traukiniai važiavo tokiais maršrutais,<ref>[https://stops.lt/traukiniai/ Stops.lt] (tikrinta 2026-11-10).</ref> lyginant su 2025 m. stotelių ir maršrutų pokyčių nebuvo: * {{train|Kaunas–Kybartai}}: [[Kauno GS]] – [[Garliavos GS]] – [[Mauručių GS]] – [[Pabališkių GS]] – [[Jūrės GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Bagotosios GS]] – [[Pilviškių GS]] – [[Alksnėnų GS]] – [[Vilkaviškio GS]] – [[Alvito GS]] – [[Kybartų GS]] * {{train|Kaunas–Marijampolė}}: [[Kauno GS]] – [[Garliavos GS]] – [[Mauručių GS]] – [[Pabališkių GS]] – [[Jūrės GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Bebruliškės GS]] – [[Vinčų GS]] – [[Būdviečių GS]] – [[Marijampolės GS]] * {{train|Kaunas–Šiauliai}}: [[Kauno GS]] – [[Palemono GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Dotnuvos GS]] – [[Gudžiūnų GS]] – [[Baisogalos GS]] – [[Gimbogalos GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Durpyno GS]] – [[Kutiškių GS]] – [[Mankiškių GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šiaulių GS]] * {{train|Klaipėda–Radviliškis}}: [[Klaipėdos GS]] – [[Girulių GS]] – [[Kretingos GS]] – [[Kūlupėnų GS]] – [[Šateikių GS]] – [[Plungės GS]] – [[Tarvainių GS]] – [[Lieplaukės GS]] – [[Telšių GS]] – [[Dūseikių GS]] – [[Tryškių GS]] – [[Raudėnų GS]] – [[Pavenčių GS]] – [[Kužių GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Mankiškių GS]] – [[Kutiškių GS]] – [[Durpyno GS]] – [[Radviliškio GS]] * {{train|Klaipėda–Šilutė}}: [[Klaipėdos GS]] – [[Rimkų GS]] – [[Gružeikių GS]] – [[Dituvos GS]] – [[Priekulės GS]] – [[Vilkyčių GS]] – [[Kukorų GS]] – [[Šilutės GS]] * {{train|Panevėžys–Šiauliai–Mažeikiai}}: [[Panevėžio GS]] – [[Gustonių GS]] – [[Labučių GS]] – [[Labos GS]] – [[Šeduvos GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Durpyno GS]] – [[Kutiškių GS]] – [[Mankiškių GS]] – [[Šilėnų GS]] – [[Sodų GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Kužių GS]] – [[Kuršėnų GS]] – [[Papilės GS]] – [[Akmenės GS]] – [[Viekšnių GS]] – [[Mažeikių GS]] * {{train|Vilnius–Ignalina–Turmantas}}: [[Vilniaus GS]] – [[Pavilnio GS]] – [[Naujosios Vilnios GS]] – [[Elektrodepas-1]] – [[Mickūnų GS]] – [[Bezdonių GS]] – [[Skersabalių GS]] – [[Santakos GS]] – [[Pailgio GS]] – [[Pabradės GS]] – [[Pažeimenės GS]] – [[Žeimenos GS]] – [[Švenčionėlių GS]] – [[Pakretuonės GS]] – [[Ignalinos GS]] – [[Lobinių GS]] – [[Dūkšto GS]] – [[Gerkonių GS]] – [[Visagino GS]] – [[Turmanto GS]] * {{train|Vilnius–Kaunas}}: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Kariotiškių GS]] – [[Rykantų GS]] – [[Lazdėnų GS]] – [[Baltamiškio GS]] – [[Vievio GS]] – [[Kaugonių GS]] – [[Žaslių GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Pamierio GS]] – [[Pravieniškių GS]] – [[Karčiupio GS]] – [[Palemono GS]] – [[Kauno GS]] * {{train|Vilnius–Kena}}: [[Vilniaus GS]] – [[Pavilnio GS]] – [[Naujosios Vilnios GS]] – [[Elektrodepas-2]] – [[Kyviškių GS]] – [[Pakenės GS]] – [[Kenos GS]] * {{train|Vilnius–Mockava–Varšuva–Krokuva}}: [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Kauno GS]] – [[Kazlų Rūdos GS]] – [[Marijampolės GS]] – [[Mockavos GS]] – (Lietuvos–Lenkijos siena) – [[Trakiškių GS]] – [[Suvalkų GS]] – [[Augustavo GS]] – ... – [[Krokuvos GS]] * {{train|Vilnius–Oro uostas–Valčiūnai–Jašiūnai}}: [[Vilniaus GS]] – [[Oro uosto GS]] – [[Kirtimų GS]] – [[Juodšilių GS]] – [[Valčiūnų GS]] – [[Parudaminio GS]] – [[Terešiškių GS]] – [[Jašiūnų GS]] * {{train|Vilnius–Ryga}}: [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Joniškio GS]] – (Lietuvos–Latvijos siena) – [[Jelgavos GS]] – [[Rygos GS]] * {{train|Vilnius–Šiauliai–Klaipėda}}: [[Vilniaus GS]] – [[Kaišiadorių GS]] – [[Jonavos GS]] – [[Kėdainių GS]] – [[Radviliškio GS]] – [[Šiaulių GS]] – [[Telšių GS]] – [[Plungės GS]] – [[Kretingos GS]] – [[Klaipėdos GS]] * {{train|Vilnius–Trakai}}: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Senųjų Trakų GS]] – [[Trakų GS]] * {{train|Vilnius–Varėna–Marcinkonys}}: [[Vilniaus GS]] – [[Panerių GS]] – [[Vokės GS]] – [[Lentvario GS]] – [[Senųjų Trakų GS]] – [[Miškinių GS]] – [[Šklėrių GS]] – [[Rūdiškių GS]] – [[Klepočių GS]] – [[Kalvių GS]] – [[Valkininkų GS]] – [[Pamerkių GS]] – [[Matuizų GS]] – [[Varėnos GS]] – [[Zervynų GS]] – [[Marcinkonių GS]] == Šaltiniai == {{ref}} {{Tvarkaraščiai}} o23d05mwwpgj2o73un47wem4whoq9i1