ဝီကီပီးဒီးယား mywiki https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%97%E1%80%9F%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%85%E1%80%AC%E1%80%99%E1%80%BB%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%94%E1%80%BE%E1%80%AC MediaWiki 1.48.0-wmf.1 first-letter မီဒီယာ အထူး ဆွေးနွေးချက် အသုံးပြုသူ အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက် ဝီကီပီးဒီးယား ဝီကီပီးဒီးယား ဆွေးနွေးချက် ဖိုင် ဖိုင် ဆွေးနွေးချက် မီဒီယာဝီကီ မီဒီယာဝီကီ ဆွေးနွေးချက် တမ်းပလိတ် တမ်းပလိတ် ဆွေးနွေးချက် အကူအညီ အကူအညီ ဆွေးနွေးချက် ကဏ္ဍ ကဏ္ဍ ဆွေးနွေးချက် မုခ်ဝ မုခ်ဝ ဆွေးနွေးချက် စာမူကြမ်း စာမူကြမ်း ဆွေးနွေးချက် TimedText TimedText talk မော်ဂျူး မော်ဂျူး ဆွေးနွေးချက် Event Event talk 1 2246 1060833 1059021 2026-10-31T09:38:06Z ~2026-57887-46 150214 /* https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%97%E1%80%9F%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%85%E1%80%AC%E1%80%99%E1%80%BB%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%94%E1%80%BE%E1%80%AC?wprov=sfla1 */ အပိုင်းသစ် 1060833 wikitext text/x-wiki {{archives}} == https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%97%E1%80%9F%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%85%E1%80%AC%E1%80%99%E1%80%BB%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%94%E1%80%BE%E1%80%AC?wprov=sfla1 == https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%97%E1%80%9F%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%85%E1%80%AC%E1%80%99%E1%80%BB%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%94%E1%80%BE%E1%80%AC?wprov=sfla1 [[အထူး:ဆောင်ရွက်ချက်များ/~2026-57887-46|~2026-57887-46]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:~2026-57887-46|talk]]) ၀၉:၃၈၊ ၃၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) 0mcgr9qa6l6tpcxpitom02t7u1xl8hb 0 3734 1060823 911751 2026-10-31T07:00:33Z Chenzeyan29 141880 /* */ 1060823 wikitext text/x-wiki [[File:မြန်မာ့သနပ်ခါး.jpg|thumb|သနပ်ခါးတုံးနှင့် ကျောက်ပျဉ်]] '''သနပ်ခါး''' ({{lang-en|Thanaka}}) သည် မြန်မာလူမျိုးတို့၏ ရိုးရာအလှခြယ်ပစ္စည်းနှင့် သဘာဝအသားအရေ ထိန်းသိမ်းရေးပစ္စည်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ မြန်မာနိုင်ငံတွင် မွေးကင်းစအရွယ်မှစ၍ အရွယ်မရွေး၊ ကျားမ မရွေး သနပ်ခါးကို အသုံးပြုကြပြီး သနပ်ခါးပင် (Scientific name: ''Hesperethusa crenulata'') ၏ အခေါက်နှင့် အမြစ်များကို ကျောက်ပျဉ်တွင် ရေနှင့် သွေး၍ လိမ်းကျံကြသည်။<ref name="NaySar2020">Nay Sar, et al. (2020). "Physicochemical and biological activities of Thanaka: A traditional Myanmar cosmetic". *Journal of Ethnopharmacology*, Vol. 250, 112465.</ref> သနပ်ခါးသည် စိတ်ကြည်လင်ဆန်းသစ်စေသည့် ရနံ့ပြန့်လွင့်ခြင်း၊ အသားအရေကို အေးမြစေခြင်း၊ နေလောင်ဒဏ် ကာကွယ်ပေးခြင်းနှင့် ချောမွတ်စိုပြေစေခြင်း စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံသဖြင့် ရှေးနန်းတွင်းသူများမှအစ ခေတ်သစ်အမျိုးသမီးများအထိ နှစ်ပေါင်း ၂,၀၀၀ ကျော်တိုင်အောင် အစဉ်အဆက် အလေးထား သုံးစွဲလာခဲ့ကြသည်။<ref name="PaganEra">Luce, G.H. (1985). *Phases of Pre-Pagan Burma*. Oxford University Press, pp. 105–112.</ref> [[File:Thanakaboy.jpg|thumb|သနပ်ခါး လိမ်းကျံထားသည့် မြန်မာလူငယ်တစ်ဦး]] သနပ်ခါးသည် ရိုးရာအလှခြယ်ပစ္စည်း ဖြစ်ရုံမကဘဲ ဆေးဘက်ဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများလည်း ပါဝင်သည်။ ခရမ်းလွန်ရောင်ခြည် ကို ကာကွယ်ပေးနိုင်ခြင်း၊ ဘက်တီးရီးယားများကို တွန်းလှန်နိုင်ခြင်း၊ ရောင်ရမ်းမှုကို လျှော့ချပေးနိုင်ခြင်း နှင့် အိုမင်းရင့်ရော်မှုကို ထိန်းသိမ်းပေးသည့် အောက်စီဂျင်ဓာတ်တိုးဆန့်ကျင် ပစ္စည်းများ ပါဝင်ကြောင်း သိပ္ပံနည်းကျ သုတေသနများက အတည်ပြုထားသည်။<ref name="Wang2018">Wang, H., et al. (2018). "Biological activities and chemical constituents of Thanaka (Hesperethusa crenulata)". *Cosmetics*, 5(2), 26.</ref> ပူအိုက်စွတ်စိုသော မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရာသီဥတုတွင် အသားအရေကို အကာအကွယ်ပေးသည့်အတွက် သနပ်ခါးသည် မြန်မာလူမျိုးတို့၏ နေ့စဉ်ဘဝတွင် မရှိမဖြစ် အသုံးပြုကြသော ဓလေ့တစ်ခုအဖြစ် တည်ရှိနေဆဲ ဖြစ်သည်။ ==အထောက်အထား အစဉ်အလာ== သနပ်ခါးကို အစောဆုံး အေဒီ၅ရာစုလောက်တွင် ပုဂံခေတ် မြန်မာ လူမျိူးတို့ စတင်အသုံးပြုခဲ့သည်သနပ်ခါးကို စာပေဖြင့် ရေးသားတင်စားကြခြင်းကို ၊၁၄-ရာစုနှစ် ကဗျာပညာရှင် မွန်ဘုရင် ရာဇာဓိရာဇ်၏ ကြင်ယာတော်နှင့် ၁၅-ရာစုနှစ် ရဟန်းကဗျာပညာရှင် ရှင်မဟာရဋ္ဌဿရတို့၏ ကဗျာများတွင် တွေ့ရှိကြရပေသည်။ မြန်မာနိုင်ငံ၏ အချို့သော နေရာဒေသများတွင် နှစ်စဉ် သင်္ကြန်အကြိုနေ့တိုင်း သနပ်ခါးသွေးပွဲတော်များ ကျင်းပလေ့ရှိနေပါသည်။ သင်္ကြန်အကြိုနေ့ညမှာ အမျိုးသမီးကလေးများက သနပ်ခါးသွေးကြပြီး အမျိုးသားလေးများက သီချင်းများတီးမှုတ်သီဆိုကြလေ့ရှိသည်။ သွေးပြီး ရရှိလာသော သနပ်ခါးများကို ဘုရားဆင်းတုတော်များပေါ်တွင် သနပ်ခါးရည်နှင့် ဆေးကြောပြီး ကုသိုလ်ယူကြသည့် မြန်မာတို့၏ ချစ်စရာကောင်းသော ဓလေ့ဟာလည်း ယနေ့ထိတိုင် ရှိနေပေသည်။ ==ပေါက်ရောက်ရာ ဒေသ== [[သနပ်ခါးပင်]]ကို သီရိလင်္ကာနိုင်ငံ၊ အိန္ဒိယနိုင်ငံ အနောက်ပိုင်း၊ ထိုင်းနိုင်ငံ၊ ပါကစ္စတန် နှင့် မြန်မာနိုင်ငံ အလယ်ပိုင်း အညာဒေသတို့တွင် တွေ့ရှိရသည်။ မြန်မာ့သနပ်ခါးသည် အရည်အ‌ေသွးအကောင်းဆုံးပင် ဖြစ်ပေသည်။ သနပ်ခါးသည် အပူပိုင်းဒေသများတွင် ဖြစ်ထွန်းအောင်မြင်သည့် သီးနှံဖြစ်သဖြင့် မြန်မာနိုင်ငံ အပူပိုင်းဒေသဖြစ်သည့် စစ်ကိုင်းတိုင်း၊ မန္တလေးတိုင်းနှင့် မကွေးတိုင်းဒေသများတွင် စီးပွားဖြစ် စိုက်ပျိုးကြရုံတင်မက အိမ်ခြံဝင်းအတွင်းတွင်လည်း စိုက်ပျိုးလေ့ရှိကြသည်ကို တွေ့မြင်နိုင်ပေသည်။ သနပ်ခါးပင်သည် စိုက်ခင်းသစ် ပထမတစ်ကြိမ် ခုတ်၍ ရောင်းချပြီး သန်မာထွားကျိုင်းသည့် သားတက်များ ဆက်ခါဆက်ခါ ထားရှိနိုင်သဖြင့် ဘိုးစဉ်ဘောင်ဆက် အဆင့်ဆင့် ခုတ်ယူရောင်းချပြီး ဝင်ငွေရသဖြင့် "အပူပိုင်း ပဒေသာပင်ဟု တင်စားပြီး အပူပိုင်းဒေသ၏ ရတနာ" ဟုပင်ခေါ်ဆိုကြပေသည်။ ==သိပ္ပံအမည်နှင့် အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း== #မြန်မာအမည် = သနပ်ခါး #အင်္ဂလိပ်အမည် = Chinese Box Tree, Wood Apple/အမည်အတိအကျဆိုရင် Thanaka tree လို့ခေါ်ပါတယ်။ #မျိုးရင်း= Rutaceac #မျိုးစု= Limonia #မျိုးစိတ်= L.acidissima #သိပ္ပံအမည်= Naringi crenulata (Roxb) ##Limonia acidissima ##Hespercthusa crenulata (Roxb) Rocam <ref>Thanaka; Wekipedia, the free encyclopedia.</ref> ==အပင်၏ ဝိသေသလက္ခဏာများ== သနပ်ခါးပင်၏ ပုံသဏ္ဌာန်မှာ အပင် ပင်လတ်မျိုးဖြစ်သည်။ အမြင့်ပေ ၂၀-၃၀ ထိမြင့်တက်ပြီး ပင်စည်နှင့် အကိုင်းအခက်များတွင် လက္မဝက်၊ တစ်လက္မခန့် ရှည်သည့် မာကျောသော ဆူးများ ပါရှိသည်။ အပင်နုစဉ်တွင် အပွေးမဲ့ပြီး အပင်ရင့်လာသော အခါမှ အပွေးထူလာသည်။ အရွက်ပုံသဏ္ဌာန်မှာ ရွက်ပေါင်းဖြစ်ပြီး ရွက်လွှဲထွက်သည်။ ရွက်မြွှာ ၂ စုံမှ ၃ စုံထိရှိပြီး ရွက်ထိပ်တွင် တစ်ရွက်ပါသည်။ ရွက်ပြားပြောင်ချောပြီး တောင့်တင်းမာကျောသည်။ အစိမ်းရင့်ရောင်ရှိသည်။ အပွင့်ပုံသဏ္ဌာန်မှာ သေးငယ်ပြီး၊ အဝါနုရောင်ရှိသည်။ အဆုပ်လိုက်ပွင့်သည်။ ရေမြေရာသီဥတုအပေါ် မူတည်၍ တပေါင်း၊ တန်ခူး၊ ကဆုန်လများတွင် အပွင့်များပွင့်သည်။ ဝါဆို၊ ဝါခေါင်၊ တော်သလင်းလများတွင် အသီးရင့်မှည့်သည်။ ရေသောက်မြစ် ရှည်လျားသည်။ ဘေးမြစ်များလည်း ရှည်လျားပြီး ဖြန့်ထွက်သည်။ အမြစ်တွင်လည်း အပွေးအခေါက်ပါရှိသည်။ အမြစ်မှ သားတက်များထွက်လေ့ရှိသည်။ ==စိုက်ပျိုးခြင်း== သနပ်ခါးပင်များကို ဂဝံ/ကျောက်စရစ်မြေ (Gravel soil) တွင် အဓိကစိုက်ပျိုးကြ၍ ရွံ့စေးမြေ၊ ဆားပေါက်သောမြေ၊ ရေဝပ်သောမြေများမှ လွဲ၍ ကျန်မြေအမျိုးအစားများတွင် စိုက်ပျိုးနိုင်သည်။ အပင် ၂-၃နှစ်သား အရွယ်မှ စ၍ ပင်ခြေအတက်များနှင့် အကိုင်းအခက်များကို ရှင်းလင်းဖယ်ရှား ပေးကြသည်။ သနပ်ခါးပင်များသည် ယေဘုယျအားဖြင့် သက်တမ်း ၅-၈ နှစ် အရွယ်တွင် စတင်ဈေးကွက်ဝင်ကာ အရည်အသွေး အကောင်းဆုံး သနပ်ခါးတစ်ပင် ရရှိရန်မှာ သက်တမ်း(၃၅)နှစ်ခန့် လိုသည်ဟု ဆိုကြသည်။<ref>သနပ်ခါးအကြောင်း သိကောင်းစရာနှင့် စိုက်ပျိုးနည်းစနစ် စာအုပ်၊ စိုက်ပျိုးရေး ဦးစီးဌာန။</ref> ==သနပ်ခါးတွင် ဓာတုပစ္စည်း ပါဝင်မှု== # 2-quinolone and 2-hydroxy quinoline # N-acetyl-N-methyltryplamine # Tanakine and Tanakamine # 7-methoxy-6-(2,3-epoxy-6-methylbutyl) coumarin # 4-methoxy -1-methy 1-2quinolone and marmesin from the organic extracts of the root bank # Suberosin နှင့် marmesin တို့သည် Antibacterial activity နှင့် UV absorption ဂုဏ်သတ္တိများ ရှိသည်။ ==ဆေးဘက်ဆိုင်ရာ== မြန်မာ့ဆေးကျမ်းများအရ သနပ်ခါးသည် ပူ၏။ သွေးကိုကြွစေတတ်၏။ ပူ ခါး ချုပ် ပွင့် ဖြစ်၏။ ငန်းမန်းကို နိုင်စေ၏။ အပူနာ။ အအေးနာ၊ နှစ်မျိုးစလုံးနိုင်၏ဟု ဆိုထားသည်။ သိပ္ပံနည်းဆေးကျမ်းအရဆိုလျှင် Anti-bacterial နှင့် Anti-fungal ပါဝင်မှုကြောင့် အသားအရေကို ကြည်လင်သန့်စင်စေကာ ဝက်ခြံ၊ တင်းတိပ်ကို ပျောက်ကင်းစေသည်။ အဖြူ အမည်းစက်များ ဖြစ်ပေါ်မှုကိုလည်း ပျောက်ကင်းစေပြီး၊ အဖုအပိတ်များကိုလည်း ပျောက်ကင်းစေသည်ဟု ဖော်ပြကြသည်။ သနပ်ခါးတွင် Coumarine ဓာတ်ပါဝင်သဖြင့် အသားအရေပေါ်တွင် ဘက်တီးရီးယားနှင့် မှိုကြောင့်ဖြစ်သော ရောဂါများကို ဖယ်ရှားပေးနိုင်ပြီး၊ အိုမင်းရင့်ရော်မှုကို လျော့ကျစေပြီး အရွယ်နုပျို လန်းဆန်းစေသည်။ Mamesin ပါဝင်မှုကြောင့် ခရမ်းလွန်ရောင်ချည် (UV-A ray) ကြောင့်ဖြစ်ပေါ်သော မျက်နှာပေါ်တွင် အရေပြားတွန့်လိမ်ခြင်း (အရေးအကြောင်း ပေါ်ခြင်း) ၊ အရေပြား အရောင်ပျက်ခြင်း (Skin discoloration) မှကာကွယ်ပြီး တင်းတိတ်နှင့် အရေပြားကင်ဆာ ဖြစ်ပေါ်မှုကိုလည်း ကာကွယ်သည်။<ref>Application of Myanmar traditional THANAKHA as cosmetic; Asian Institute of Technology. Food Engineering and Bioprocess Technology, School of Environment, Resources and Development.</ref> ==ရှင်မတောင် သနပ်ခါး== သနပ်ခါးထဲတွင် လူကြိုက်အများဆုံးမှာ [[ရှင်မတောင်]] သနပ်ခါးဖြစ်သည်။ ရှင်မတောင်သနပ်ခါး၏ မွှေးရနံ့ကြောင့် မြန်မာလူမျိုးတိုင်း ရှင်မတောင် သနပ်ခါးကို နှစ်သက်ကြခြင်း ဖြစ်သည်။ ရှင်မတောင်သနပ်ခါးအပြင် ရွှေဘိုသနပ်ခါးကိုလည်း နှစ်သက်ကြပါသေးသည်။ ရွှေဘိုသနပ်ခါးသည် ရှင်မတောင်သနပ်ခါးကဲ့သို့ ထူးခြားစွာ အနံ့ မမွှေးပေမယ့် ဝင်းဝါတဲ့ အဆင်းကိုပေးပြီး ညက်လှတဲ့အတွက် ရွှေဘိုသနပ်ခါးကိုလည်း မြန်မာအမျိုးသမီးများက နှစ်သက်ကြသည်။ သနပ်ခါးပင်နှင့် မျိုးစိတ်နာမည်တူပြီး သနပ်ခါးနဲ့ လို့လည်း ခေါ်ဆိုကြတဲ့ [[သီးပင်]] (Limonia acidissima)လည်းရှိပါသေးသည်။ သီးပင်ကို wood apple ဟု အမည်ခေါ်ဆိုကြသည်။ မြန်မာလူမျိုးများက သီးပင်၏ အသီးကို [[ထန်းလျက်]]နှင့်ပေါက်ကာ ရောမွှေစားလေ့ရှိကြသည်။ သီးပင်၏ အခေါက်ဖြစ်သော သီးခေါက်ကိုလည်း သနပ်ခါးအဖြစ် သွေးလိမ်းကြသည်။ ရှင်မတောင် သနပ်ခါးကဲ့သို့ အနံ့ မမွှေးပျံ့ သော်လည်းပဲ ကျောက်ပျဉ်၌ သွေးလိုက်သည့်အခါမှာ စေးနေပြီး လိမ်းလိုက်ရင် အသားအရေ စိုပြည်ဝင်းပလာသောကြောင့် မြန်မာအမျိုးသမီးများက သီးခေါက်ကိုလည်း နှစ်သက်ကြပါသေးသည်။ သနပ်ခါးကို မြန်မာလူမျိုးများနှစ်သက်ကြခြင်းသည် သနပ်ခါး၏ ဆေးဖက်ဝင်သော ဂုဏ်သတ္တိကြောင့်လည်း ဖြစ်သည်။ နေလောင်ခြင်းဒဏ်မှ ကာကွယ်ပေးနိုင်သော သနပ်ခါးကို ပူအိုက်စွတ်စိုသော ရာသီဥတုရှိသည့် မြန်မာနိုင်ငံမှာ အရေပြားထိန်းသိမ်းဖို့အတွက် အဓိကထားကြသည်။ အရေပြားယားယံခြင်း ၊ ဓာတ်မတည့်ခြင်းတို့အတွက် သနပ်ခါးကို ဆားနှင့် ရောသွေးကာ လိမ်းကျံကြသည်။ မျက်နှာမှာ ဝက်ခြံကင်းပြီး အသားအရေ ချောမွေ့ဖို့အတွက် သနပ်ခါးက ဆေးဖက်ဝင်ပါသည်။ [[ရခိုင်ပြည်နယ်]] ၊ [[စစ်တွေမြို့]]တွင် နှစ်စဉ် သင်္ကြန်အကြိုနေ့တိုင်းမှာ သနပ်ခါးသွေးပွဲ ကျင်းပလေ့ရှိသည်။ သင်္ကြန်အကြိုနေ့ညမှာ အမျိုးသမီးလေးများက သနပ်ခါးသွေးကြပြီး အမျိုးသားလေးများက သီချင်းများ တီးမှုတ်သီဆိုကြသည်။ သွေးပြီး ရရှိလာတဲ့ သနပ်ခါးများကို ဘုရားဆင်းတုတော်များကို သနပ်ခါးရည်နဲ့ ဆေးကြာပြီး ကုသိုလ်ယူကြတဲ့ ဓလေ့ဟာ ယခုထိတိုင် ရခိုင်ပြည်နယ်မှာ ရှိနေပါသည်။ သနပ်ခါးအတုံးကို ကျောက်ပျဉ်မှာ ရေနှင့်သွေးလိမ်းခြင်းအပြင် သနပ်ခါးမှုန့်ကိုလည်း မျက်နှာလိမ်း ပေါင်ဒါ အဖြစ် အသုံးပြုကြသည်။ အဆီပြန်တဲ့ အသားအရေ ရှိသူများအတွက် သနပ်ခါးသည် အသင့်တော်ဆုံး အလှပြင် သဘာဝ မိတ်ကပ်တစ်မျိုးပဲ ဖြစ်သည်။ ရှင်မတောင်သနပ်ခါးတုံးများကို သိမ်းဆည်းတဲ့အခါမှာ ပလပ်စတစ်အိတ်ထဲ ထည့်ပြီး သိမ်းဆည်းခြင်းသည် အကောင်းဆုံးပါ။ သစ်သားစားပွဲပေါ်မှာ သစ်သားနဲ့ ထိထားရင် ရှင်မတောင်သနပ်ခါးနံ့သာ သစ်သားဆီကို ကူးသွားပြီး ရှင်မတောင်သနပ်ခါးက အနံ့ ပြယ်သွား တတ်သည်။ ရှင်မတောင်သနပ်ခါးတုံးများ အထားကြာ၍ မမွှေးတော့ဘူးဆိုရင် ရေနွေးပွက်ပွက်ဆူကို သနပ်ခါးတုံးပေါ် လောင်းချလိုက်ရင် အနံ့ပြန်မွှေးလာသည်။ ရှင်မတောင် သနပ်ခါးတုံးကို ရေနွေးပူပူနဲ့ ဆေးကြောပြီး နေပူပူမှာ နေလှန်းထားရင် ရှင်မတောင်နံ့ အလွန်မွှေးပျံ့ နေမှာ ဖြစ်သည်။ [[ကဏ္ဍ:သစ်ပင်များ]] ==ရုပ်ပုံများ== <gallery> File:Thanaka girls.JPG|သနပ်ခါးလိမ်းထားကြသည့် ကျေးလက်နေ အမျိုးသမီးများ File:Thanaka.jpg|ရောင်းချရန်အတွက် ထားရှိသည့် သနပ်ခါးများ File:Thanaka_kyaukpyin.JPG|ကျောက်ပြင်များ Image:Thanaka_woman.JPG|ဈေးသည်တစ်ဦး သနပ်ခါးလိမ်းထားပုံ၊ မန္တလေး Image:Thanaka_kids.JPG|သနပ်ခါးလိမ်းထားသည့် ကလေးများ၊ မန္တလေး Image:Thanaka_seller.JPG|စစ်ကိုင်းမြို့၊ ကောင်းမှုတော်ဘုရားတွင် သနပ်ခါးတုံးမျာ ရောင်းချနေပုံ File:Karen Girl Wearing Thanaka.JPG|ကရင်လူမျိုးကလေးငယ်တစ်ဦး သနပ်ခါးလိမ်းထားပုံ File:Hindu woman in Myanmar, wearing thanakha.jpg|ဟိန္ဒူအမျိုးသမီးတစ်ဦး သနပ်ခါးလိမ်းထားပုံ File:Thanakha Tone.jpg|ရောင်းချရန်ထားရှိသည့် သနပ်ခါးတုံးများ၊ ရွှေဂူနီဘုရား </gallery> ==ကိုးကား== {{Reflist}} [[Category:မြန်မာ့ ယဉ်ကျေးမှု]] [[Category:အလှကုန်ပစ္စည်းများ]] 6o8z2zj8yc1i7mjt96yfnjvhs99ev3b 1060824 1060823 2026-10-31T07:03:09Z Chenzeyan29 141880 1060824 wikitext text/x-wiki [[File:မြန်မာ့သနပ်ခါး.jpg|thumb|သနပ်ခါးတုံးနှင့် ကျောက်ပျဉ်]] '''သနပ်ခါး''' ({{lang-en|Thanaka}}) သည် မြန်မာလူမျိုးတို့၏ ရိုးရာအလှခြယ်ပစ္စည်းနှင့် သဘာဝအသားအရေ ထိန်းသိမ်းရေးပစ္စည်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ မြန်မာနိုင်ငံတွင် မွေးကင်းစအရွယ်မှစ၍ အရွယ်မရွေး၊ ကျားမ မရွေး သနပ်ခါးကို အသုံးပြုကြပြီး သနပ်ခါးပင် (Scientific name: ''Hesperethusa crenulata'') ၏ အခေါက်နှင့် အမြစ်များကို ကျောက်ပျဉ်တွင် ရေနှင့် သွေး၍ လိမ်းကျံကြသည်။<ref name="NaySar2020">Nay Sar, et al. (2020). "Physicochemical and biological activities of Thanaka: A traditional Myanmar cosmetic". *Journal of Ethnopharmacology*, Vol. 250, 112465.</ref> သနပ်ခါးသည် စိတ်ကြည်လင်ဆန်းသစ်စေသည့် ရနံ့ပြန့်လွင့်ခြင်း၊ အသားအရေကို အေးမြစေခြင်း၊ နေလောင်ဒဏ် ကာကွယ်ပေးခြင်းနှင့် ချောမွတ်စိုပြေစေခြင်း စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံသဖြင့် ရှေးနန်းတွင်းသူများမှအစ ခေတ်သစ်အမျိုးသမီးများအထိ နှစ်ပေါင်း ၂,၀၀၀ ကျော်တိုင်အောင် အစဉ်အဆက် အလေးထား သုံးစွဲလာခဲ့ကြသည်။<ref name="PaganEra">Luce, G.H. (1985). *Phases of Pre-Pagan Burma*. Oxford University Press, pp. 105–112.</ref> [[File:Thanakaboy.jpg|thumb|သနပ်ခါး လိမ်းကျံထားသည့် မြန်မာလူငယ်တစ်ဦး]] သနပ်ခါးသည် ရိုးရာအလှခြယ်ပစ္စည်း ဖြစ်ရုံမကဘဲ ဆေးဘက်ဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများလည်း ပါဝင်သည်။ ခရမ်းလွန်ရောင်ခြည် ကို ကာကွယ်ပေးနိုင်ခြင်း၊ ဘက်တီးရီးယားများကို တွန်းလှန်နိုင်ခြင်း၊ ရောင်ရမ်းမှုကို လျှော့ချပေးနိုင်ခြင်း နှင့် အိုမင်းရင့်ရော်မှုကို ထိန်းသိမ်းပေးသည့် အောက်စီဂျင်ဓာတ်တိုးဆန့်ကျင် ပစ္စည်းများ ပါဝင်ကြောင်း သိပ္ပံနည်းကျ သုတေသနများက အတည်ပြုထားသည်။<ref name="Wang2018">Wang, H., et al. (2018). "Biological activities and chemical constituents of Thanaka (Hesperethusa crenulata)". *Cosmetics*, 5(2), 26.</ref> ပူအိုက်စွတ်စိုသော မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရာသီဥတုတွင် အသားအရေကို အကာအကွယ်ပေးသည့်အတွက် သနပ်ခါးသည် မြန်မာလူမျိုးတို့၏ နေ့စဉ်ဘဝတွင် မရှိမဖြစ် အသုံးပြုကြသော ဓလေ့တစ်ခုအဖြစ် တည်ရှိနေဆဲ ဖြစ်သည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် စာပေအထောက်အထားများ == သနပ်ခါးကို အသုံးပြုသည့် ဓလေ့သည် [[မြန်မာ့သမိုင်း]]တွင် အစောပိုင်းခေတ်များကတည်းက စတင်ခဲ့ကြောင်း သမိုင်းနှင့် ရှေးဟောင်းသုတေသန အထောက်အထားများအရ သိရှိရသည်။ အချို့သော သမိုင်းသုတေသီများ၏ အဆိုအရ သနပ်ခါးကို အေဒီ ၅ ရာစုခန့် [[ပျူမြို့ပြနိုင်ငံများ]] ခေတ်နှင့် [[ပုဂံခေတ်]] အစောပိုင်း ကတည်းကပင် မြန်မာတို့ စတင်အသုံးပြုခဲ့ကြသည်ဟု ဆိုကြသည်။<ref name="PaganEra">Luce, G.H. (1985). *Phases of Pre-Pagan Burma*. Oxford University Press, pp. 105–112.</ref> ပုဂံမြို့ဟောင်း ရွှေစည်းခုံစေတီတော်နှင့် အနီးတဝိုက်ရှိ ရှေးဟောင်း အဆောက်အအုံများတွင် တူးဖော်တွေ့ရှိရသော ပျူခေတ်နှင့် ပုဂံခေတ် ကျောက်ပျဉ်များမှာ မြန်မာလူမျိုးတို့ သနပ်ခါးကို ရှေးယခင်ကတည်းက အသုံးပြုခဲ့သည့် သက်သေများ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Strachan1989">Strachan, Paul (1989). *Pagan: Art & Architecture of Old Burma*. Kiscadale Publications, pp. 45–48.</ref> စာပေအထောက်အထားများအရ ၁၄ ရာစု မွန်-ဗမာ ၄၀ နှစ်စစ် ကာလအတွင်း [[ရာဇာဓိရာဇ်|မွန်ဘုရင် ရာဇာဓိရာဇ်]]၏ မိဖုရားကြီး မေတ္တာဒေဝီ (မိစောဥ) ၏ အကောက်အကြံနှင့် ပတ်သက်သည့် သမိုင်းဝင် ကဗျာများ၊ သီချင်းများတွင် သနပ်ခါးကို စတင် တွေ့ရှိရသည်။ ထို့ပြင် ၁၅ ရာစု အင်းဝခေတ်တွင် ထင်ရှားခဲ့သော ရဟန်းကဗျာပညာရှင် [[ရှင်မဟာရဋ္ဌသာရ]] ၏ ဘူရိဒတ်ဇာတ်ပေါင်းပျို့ နှင့် ရတုကဗျာများတွင်လည်း နန်းတွင်းသူများ၏ သနပ်ခါး လိမ်းကျံအလှဆင်ပုံကို စာပေအရ တင်စားရေးသားထားသည်ကို တွေ့ရှိရသည်။<ref name="HtinAung1967">Htin Aung, Maung (1967). *A History of Burma*. Columbia University Press, pp. 88–95.</ref> ==ပေါက်ရောက်ရာ ဒေသ== [[သနပ်ခါးပင်]]ကို သီရိလင်္ကာနိုင်ငံ၊ အိန္ဒိယနိုင်ငံ အနောက်ပိုင်း၊ ထိုင်းနိုင်ငံ၊ ပါကစ္စတန် နှင့် မြန်မာနိုင်ငံ အလယ်ပိုင်း အညာဒေသတို့တွင် တွေ့ရှိရသည်။ မြန်မာ့သနပ်ခါးသည် အရည်အ‌ေသွးအကောင်းဆုံးပင် ဖြစ်ပေသည်။ သနပ်ခါးသည် အပူပိုင်းဒေသများတွင် ဖြစ်ထွန်းအောင်မြင်သည့် သီးနှံဖြစ်သဖြင့် မြန်မာနိုင်ငံ အပူပိုင်းဒေသဖြစ်သည့် စစ်ကိုင်းတိုင်း၊ မန္တလေးတိုင်းနှင့် မကွေးတိုင်းဒေသများတွင် စီးပွားဖြစ် စိုက်ပျိုးကြရုံတင်မက အိမ်ခြံဝင်းအတွင်းတွင်လည်း စိုက်ပျိုးလေ့ရှိကြသည်ကို တွေ့မြင်နိုင်ပေသည်။ သနပ်ခါးပင်သည် စိုက်ခင်းသစ် ပထမတစ်ကြိမ် ခုတ်၍ ရောင်းချပြီး သန်မာထွားကျိုင်းသည့် သားတက်များ ဆက်ခါဆက်ခါ ထားရှိနိုင်သဖြင့် ဘိုးစဉ်ဘောင်ဆက် အဆင့်ဆင့် ခုတ်ယူရောင်းချပြီး ဝင်ငွေရသဖြင့် "အပူပိုင်း ပဒေသာပင်ဟု တင်စားပြီး အပူပိုင်းဒေသ၏ ရတနာ" ဟုပင်ခေါ်ဆိုကြပေသည်။ ==သိပ္ပံအမည်နှင့် အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း== #မြန်မာအမည် = သနပ်ခါး #အင်္ဂလိပ်အမည် = Chinese Box Tree, Wood Apple/အမည်အတိအကျဆိုရင် Thanaka tree လို့ခေါ်ပါတယ်။ #မျိုးရင်း= Rutaceac #မျိုးစု= Limonia #မျိုးစိတ်= L.acidissima #သိပ္ပံအမည်= Naringi crenulata (Roxb) ##Limonia acidissima ##Hespercthusa crenulata (Roxb) Rocam <ref>Thanaka; Wekipedia, the free encyclopedia.</ref> ==အပင်၏ ဝိသေသလက္ခဏာများ== သနပ်ခါးပင်၏ ပုံသဏ္ဌာန်မှာ အပင် ပင်လတ်မျိုးဖြစ်သည်။ အမြင့်ပေ ၂၀-၃၀ ထိမြင့်တက်ပြီး ပင်စည်နှင့် အကိုင်းအခက်များတွင် လက္မဝက်၊ တစ်လက္မခန့် ရှည်သည့် မာကျောသော ဆူးများ ပါရှိသည်။ အပင်နုစဉ်တွင် အပွေးမဲ့ပြီး အပင်ရင့်လာသော အခါမှ အပွေးထူလာသည်။ အရွက်ပုံသဏ္ဌာန်မှာ ရွက်ပေါင်းဖြစ်ပြီး ရွက်လွှဲထွက်သည်။ ရွက်မြွှာ ၂ စုံမှ ၃ စုံထိရှိပြီး ရွက်ထိပ်တွင် တစ်ရွက်ပါသည်။ ရွက်ပြားပြောင်ချောပြီး တောင့်တင်းမာကျောသည်။ အစိမ်းရင့်ရောင်ရှိသည်။ အပွင့်ပုံသဏ္ဌာန်မှာ သေးငယ်ပြီး၊ အဝါနုရောင်ရှိသည်။ အဆုပ်လိုက်ပွင့်သည်။ ရေမြေရာသီဥတုအပေါ် မူတည်၍ တပေါင်း၊ တန်ခူး၊ ကဆုန်လများတွင် အပွင့်များပွင့်သည်။ ဝါဆို၊ ဝါခေါင်၊ တော်သလင်းလများတွင် အသီးရင့်မှည့်သည်။ ရေသောက်မြစ် ရှည်လျားသည်။ ဘေးမြစ်များလည်း ရှည်လျားပြီး ဖြန့်ထွက်သည်။ အမြစ်တွင်လည်း အပွေးအခေါက်ပါရှိသည်။ အမြစ်မှ သားတက်များထွက်လေ့ရှိသည်။ ==စိုက်ပျိုးခြင်း== သနပ်ခါးပင်များကို ဂဝံ/ကျောက်စရစ်မြေ (Gravel soil) တွင် အဓိကစိုက်ပျိုးကြ၍ ရွံ့စေးမြေ၊ ဆားပေါက်သောမြေ၊ ရေဝပ်သောမြေများမှ လွဲ၍ ကျန်မြေအမျိုးအစားများတွင် စိုက်ပျိုးနိုင်သည်။ အပင် ၂-၃နှစ်သား အရွယ်မှ စ၍ ပင်ခြေအတက်များနှင့် အကိုင်းအခက်များကို ရှင်းလင်းဖယ်ရှား ပေးကြသည်။ သနပ်ခါးပင်များသည် ယေဘုယျအားဖြင့် သက်တမ်း ၅-၈ နှစ် အရွယ်တွင် စတင်ဈေးကွက်ဝင်ကာ အရည်အသွေး အကောင်းဆုံး သနပ်ခါးတစ်ပင် ရရှိရန်မှာ သက်တမ်း(၃၅)နှစ်ခန့် လိုသည်ဟု ဆိုကြသည်။<ref>သနပ်ခါးအကြောင်း သိကောင်းစရာနှင့် စိုက်ပျိုးနည်းစနစ် စာအုပ်၊ စိုက်ပျိုးရေး ဦးစီးဌာန။</ref> ==သနပ်ခါးတွင် ဓာတုပစ္စည်း ပါဝင်မှု== # 2-quinolone and 2-hydroxy quinoline # N-acetyl-N-methyltryplamine # Tanakine and Tanakamine # 7-methoxy-6-(2,3-epoxy-6-methylbutyl) coumarin # 4-methoxy -1-methy 1-2quinolone and marmesin from the organic extracts of the root bank # Suberosin နှင့် marmesin တို့သည် Antibacterial activity နှင့် UV absorption ဂုဏ်သတ္တိများ ရှိသည်။ ==ဆေးဘက်ဆိုင်ရာ== မြန်မာ့ဆေးကျမ်းများအရ သနပ်ခါးသည် ပူ၏။ သွေးကိုကြွစေတတ်၏။ ပူ ခါး ချုပ် ပွင့် ဖြစ်၏။ ငန်းမန်းကို နိုင်စေ၏။ အပူနာ။ အအေးနာ၊ နှစ်မျိုးစလုံးနိုင်၏ဟု ဆိုထားသည်။ သိပ္ပံနည်းဆေးကျမ်းအရဆိုလျှင် Anti-bacterial နှင့် Anti-fungal ပါဝင်မှုကြောင့် အသားအရေကို ကြည်လင်သန့်စင်စေကာ ဝက်ခြံ၊ တင်းတိပ်ကို ပျောက်ကင်းစေသည်။ အဖြူ အမည်းစက်များ ဖြစ်ပေါ်မှုကိုလည်း ပျောက်ကင်းစေပြီး၊ အဖုအပိတ်များကိုလည်း ပျောက်ကင်းစေသည်ဟု ဖော်ပြကြသည်။ သနပ်ခါးတွင် Coumarine ဓာတ်ပါဝင်သဖြင့် အသားအရေပေါ်တွင် ဘက်တီးရီးယားနှင့် မှိုကြောင့်ဖြစ်သော ရောဂါများကို ဖယ်ရှားပေးနိုင်ပြီး၊ အိုမင်းရင့်ရော်မှုကို လျော့ကျစေပြီး အရွယ်နုပျို လန်းဆန်းစေသည်။ Mamesin ပါဝင်မှုကြောင့် ခရမ်းလွန်ရောင်ချည် (UV-A ray) ကြောင့်ဖြစ်ပေါ်သော မျက်နှာပေါ်တွင် အရေပြားတွန့်လိမ်ခြင်း (အရေးအကြောင်း ပေါ်ခြင်း) ၊ အရေပြား အရောင်ပျက်ခြင်း (Skin discoloration) မှကာကွယ်ပြီး တင်းတိတ်နှင့် အရေပြားကင်ဆာ ဖြစ်ပေါ်မှုကိုလည်း ကာကွယ်သည်။<ref>Application of Myanmar traditional THANAKHA as cosmetic; Asian Institute of Technology. Food Engineering and Bioprocess Technology, School of Environment, Resources and Development.</ref> ==ရှင်မတောင် သနပ်ခါး== သနပ်ခါးထဲတွင် လူကြိုက်အများဆုံးမှာ [[ရှင်မတောင်]] သနပ်ခါးဖြစ်သည်။ ရှင်မတောင်သနပ်ခါး၏ မွှေးရနံ့ကြောင့် မြန်မာလူမျိုးတိုင်း ရှင်မတောင် သနပ်ခါးကို နှစ်သက်ကြခြင်း ဖြစ်သည်။ ရှင်မတောင်သနပ်ခါးအပြင် ရွှေဘိုသနပ်ခါးကိုလည်း နှစ်သက်ကြပါသေးသည်။ ရွှေဘိုသနပ်ခါးသည် ရှင်မတောင်သနပ်ခါးကဲ့သို့ ထူးခြားစွာ အနံ့ မမွှေးပေမယ့် ဝင်းဝါတဲ့ အဆင်းကိုပေးပြီး ညက်လှတဲ့အတွက် ရွှေဘိုသနပ်ခါးကိုလည်း မြန်မာအမျိုးသမီးများက နှစ်သက်ကြသည်။ သနပ်ခါးပင်နှင့် မျိုးစိတ်နာမည်တူပြီး သနပ်ခါးနဲ့ လို့လည်း ခေါ်ဆိုကြတဲ့ [[သီးပင်]] (Limonia acidissima)လည်းရှိပါသေးသည်။ သီးပင်ကို wood apple ဟု အမည်ခေါ်ဆိုကြသည်။ မြန်မာလူမျိုးများက သီးပင်၏ အသီးကို [[ထန်းလျက်]]နှင့်ပေါက်ကာ ရောမွှေစားလေ့ရှိကြသည်။ သီးပင်၏ အခေါက်ဖြစ်သော သီးခေါက်ကိုလည်း သနပ်ခါးအဖြစ် သွေးလိမ်းကြသည်။ ရှင်မတောင် သနပ်ခါးကဲ့သို့ အနံ့ မမွှေးပျံ့ သော်လည်းပဲ ကျောက်ပျဉ်၌ သွေးလိုက်သည့်အခါမှာ စေးနေပြီး လိမ်းလိုက်ရင် အသားအရေ စိုပြည်ဝင်းပလာသောကြောင့် မြန်မာအမျိုးသမီးများက သီးခေါက်ကိုလည်း နှစ်သက်ကြပါသေးသည်။ သနပ်ခါးကို မြန်မာလူမျိုးများနှစ်သက်ကြခြင်းသည် သနပ်ခါး၏ ဆေးဖက်ဝင်သော ဂုဏ်သတ္တိကြောင့်လည်း ဖြစ်သည်။ နေလောင်ခြင်းဒဏ်မှ ကာကွယ်ပေးနိုင်သော သနပ်ခါးကို ပူအိုက်စွတ်စိုသော ရာသီဥတုရှိသည့် မြန်မာနိုင်ငံမှာ အရေပြားထိန်းသိမ်းဖို့အတွက် အဓိကထားကြသည်။ အရေပြားယားယံခြင်း ၊ ဓာတ်မတည့်ခြင်းတို့အတွက် သနပ်ခါးကို ဆားနှင့် ရောသွေးကာ လိမ်းကျံကြသည်။ မျက်နှာမှာ ဝက်ခြံကင်းပြီး အသားအရေ ချောမွေ့ဖို့အတွက် သနပ်ခါးက ဆေးဖက်ဝင်ပါသည်။ [[ရခိုင်ပြည်နယ်]] ၊ [[စစ်တွေမြို့]]တွင် နှစ်စဉ် သင်္ကြန်အကြိုနေ့တိုင်းမှာ သနပ်ခါးသွေးပွဲ ကျင်းပလေ့ရှိသည်။ သင်္ကြန်အကြိုနေ့ညမှာ အမျိုးသမီးလေးများက သနပ်ခါးသွေးကြပြီး အမျိုးသားလေးများက သီချင်းများ တီးမှုတ်သီဆိုကြသည်။ သွေးပြီး ရရှိလာတဲ့ သနပ်ခါးများကို ဘုရားဆင်းတုတော်များကို သနပ်ခါးရည်နဲ့ ဆေးကြာပြီး ကုသိုလ်ယူကြတဲ့ ဓလေ့ဟာ ယခုထိတိုင် ရခိုင်ပြည်နယ်မှာ ရှိနေပါသည်။ သနပ်ခါးအတုံးကို ကျောက်ပျဉ်မှာ ရေနှင့်သွေးလိမ်းခြင်းအပြင် သနပ်ခါးမှုန့်ကိုလည်း မျက်နှာလိမ်း ပေါင်ဒါ အဖြစ် အသုံးပြုကြသည်။ အဆီပြန်တဲ့ အသားအရေ ရှိသူများအတွက် သနပ်ခါးသည် အသင့်တော်ဆုံး အလှပြင် သဘာဝ မိတ်ကပ်တစ်မျိုးပဲ ဖြစ်သည်။ ရှင်မတောင်သနပ်ခါးတုံးများကို သိမ်းဆည်းတဲ့အခါမှာ ပလပ်စတစ်အိတ်ထဲ ထည့်ပြီး သိမ်းဆည်းခြင်းသည် အကောင်းဆုံးပါ။ သစ်သားစားပွဲပေါ်မှာ သစ်သားနဲ့ ထိထားရင် ရှင်မတောင်သနပ်ခါးနံ့သာ သစ်သားဆီကို ကူးသွားပြီး ရှင်မတောင်သနပ်ခါးက အနံ့ ပြယ်သွား တတ်သည်။ ရှင်မတောင်သနပ်ခါးတုံးများ အထားကြာ၍ မမွှေးတော့ဘူးဆိုရင် ရေနွေးပွက်ပွက်ဆူကို သနပ်ခါးတုံးပေါ် လောင်းချလိုက်ရင် အနံ့ပြန်မွှေးလာသည်။ ရှင်မတောင် သနပ်ခါးတုံးကို ရေနွေးပူပူနဲ့ ဆေးကြောပြီး နေပူပူမှာ နေလှန်းထားရင် ရှင်မတောင်နံ့ အလွန်မွှေးပျံ့ နေမှာ ဖြစ်သည်။ [[ကဏ္ဍ:သစ်ပင်များ]] ==ရုပ်ပုံများ== <gallery> File:Thanaka girls.JPG|သနပ်ခါးလိမ်းထားကြသည့် ကျေးလက်နေ အမျိုးသမီးများ File:Thanaka.jpg|ရောင်းချရန်အတွက် ထားရှိသည့် သနပ်ခါးများ File:Thanaka_kyaukpyin.JPG|ကျောက်ပြင်များ Image:Thanaka_woman.JPG|ဈေးသည်တစ်ဦး သနပ်ခါးလိမ်းထားပုံ၊ မန္တလေး Image:Thanaka_kids.JPG|သနပ်ခါးလိမ်းထားသည့် ကလေးများ၊ မန္တလေး Image:Thanaka_seller.JPG|စစ်ကိုင်းမြို့၊ ကောင်းမှုတော်ဘုရားတွင် သနပ်ခါးတုံးမျာ ရောင်းချနေပုံ File:Karen Girl Wearing Thanaka.JPG|ကရင်လူမျိုးကလေးငယ်တစ်ဦး သနပ်ခါးလိမ်းထားပုံ File:Hindu woman in Myanmar, wearing thanakha.jpg|ဟိန္ဒူအမျိုးသမီးတစ်ဦး သနပ်ခါးလိမ်းထားပုံ File:Thanakha Tone.jpg|ရောင်းချရန်ထားရှိသည့် သနပ်ခါးတုံးများ၊ ရွှေဂူနီဘုရား </gallery> ==ကိုးကား== {{Reflist}} [[Category:မြန်မာ့ ယဉ်ကျေးမှု]] [[Category:အလှကုန်ပစ္စည်းများ]] 7cleshcem3iixrn05wria9cjplxdwhh 1060825 1060824 2026-10-31T07:22:39Z Chenzeyan29 141880 /* သမိုင်းကြောင်းနှင့် စာပေအထောက်အထားများ */ 1060825 wikitext text/x-wiki [[File:မြန်မာ့သနပ်ခါး.jpg|thumb|သနပ်ခါးတုံးနှင့် ကျောက်ပျဉ်]] '''သနပ်ခါး''' ({{lang-en|Thanaka}}) သည် မြန်မာလူမျိုးတို့၏ ရိုးရာအလှခြယ်ပစ္စည်းနှင့် သဘာဝအသားအရေ ထိန်းသိမ်းရေးပစ္စည်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ မြန်မာနိုင်ငံတွင် မွေးကင်းစအရွယ်မှစ၍ အရွယ်မရွေး၊ ကျားမ မရွေး သနပ်ခါးကို အသုံးပြုကြပြီး သနပ်ခါးပင် (Scientific name: ''Hesperethusa crenulata'') ၏ အခေါက်နှင့် အမြစ်များကို ကျောက်ပျဉ်တွင် ရေနှင့် သွေး၍ လိမ်းကျံကြသည်။<ref name="NaySar2020">Nay Sar, et al. (2020). "Physicochemical and biological activities of Thanaka: A traditional Myanmar cosmetic". *Journal of Ethnopharmacology*, Vol. 250, 112465.</ref> သနပ်ခါးသည် စိတ်ကြည်လင်ဆန်းသစ်စေသည့် ရနံ့ပြန့်လွင့်ခြင်း၊ အသားအရေကို အေးမြစေခြင်း၊ နေလောင်ဒဏ် ကာကွယ်ပေးခြင်းနှင့် ချောမွတ်စိုပြေစေခြင်း စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံသဖြင့် ရှေးနန်းတွင်းသူများမှအစ ခေတ်သစ်အမျိုးသမီးများအထိ နှစ်ပေါင်း ၂,၀၀၀ ကျော်တိုင်အောင် အစဉ်အဆက် အလေးထား သုံးစွဲလာခဲ့ကြသည်။<ref name="PaganEra">Luce, G.H. (1985). *Phases of Pre-Pagan Burma*. Oxford University Press, pp. 105–112.</ref> [[File:Thanakaboy.jpg|thumb|သနပ်ခါး လိမ်းကျံထားသည့် မြန်မာလူငယ်တစ်ဦး]] သနပ်ခါးသည် ရိုးရာအလှခြယ်ပစ္စည်း ဖြစ်ရုံမကဘဲ ဆေးဘက်ဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများလည်း ပါဝင်သည်။ ခရမ်းလွန်ရောင်ခြည် ကို ကာကွယ်ပေးနိုင်ခြင်း၊ ဘက်တီးရီးယားများကို တွန်းလှန်နိုင်ခြင်း၊ ရောင်ရမ်းမှုကို လျှော့ချပေးနိုင်ခြင်း နှင့် အိုမင်းရင့်ရော်မှုကို ထိန်းသိမ်းပေးသည့် အောက်စီဂျင်ဓာတ်တိုးဆန့်ကျင် ပစ္စည်းများ ပါဝင်ကြောင်း သိပ္ပံနည်းကျ သုတေသနများက အတည်ပြုထားသည်။<ref name="Wang2018">Wang, H., et al. (2018). "Biological activities and chemical constituents of Thanaka (Hesperethusa crenulata)". *Cosmetics*, 5(2), 26.</ref> ပူအိုက်စွတ်စိုသော မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရာသီဥတုတွင် အသားအရေကို အကာအကွယ်ပေးသည့်အတွက် သနပ်ခါးသည် မြန်မာလူမျိုးတို့၏ နေ့စဉ်ဘဝတွင် မရှိမဖြစ် အသုံးပြုကြသော ဓလေ့တစ်ခုအဖြစ် တည်ရှိနေဆဲ ဖြစ်သည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် စာပေအထောက်အထားများ == [[ဗမာလူမျိုး]]များသည် သနပ်ခါးကို ရှေးပုဂံခေတ် ကတည်းကပင် အလှခြယ်ပစ္စည်းနှင့် သဘာဝ ဆေးဝါးအဖြစ် အသုံးပြုခဲ့ကြသည့် သမိုင်းဝင် အထောက်အထားများစွာ ရှိသည်။ သနပ်ခါးကို အသုံးပြုသည့် ဓလေ့သည် [[မြန်မာ့သမိုင်း]]တွင် အစောပိုင်းခေတ်များကတည်းက စတင်ခဲ့ကြောင်း သမိုင်းနှင့် ရှေးဟောင်းသုတေသန အထောက်အထားများအရ သိရှိရသည်။ အချို့သော သမိုင်းသုတေသီများ၏ အဆိုအရ သနပ်ခါးကို အေဒီ ၅ ရာစုခန့် [[ပျူမြို့ပြနိုင်ငံများ]] ခေတ်နှင့် [[ပုဂံခေတ်]] အစောပိုင်း ကတည်းကပင် မြန်မာတို့ စတင်အသုံးပြုခဲ့ကြသည်ဟု ဆိုကြသည်။<ref name="PaganEra">Luce, G.H. (1985). *Phases of Pre-Pagan Burma*. Oxford University Press, pp. 105–112.</ref> ပုဂံမြို့ဟောင်းရှိ ရှေးဟောင်းစေတီတော်များ၊ ဂူဘုရားများနှင့် ရှေးဟောင်းသုတေသန တူးဖော်မှုများတွင် သနပ်ခါးသွေးရာ၌ အသုံးပြုသည့် ပျူခေတ်နှင့် ပုဂံခေတ် [[ကျောက်ပျဉ်]] အကျိုးအပဲ့များကို တွေ့ရှိရခြင်းသည် ဗမာတို့ သနပ်ခါး လိမ်းကျံသည့် ဓလေ့ အမြစ်တွယ်ခဲ့ပုံကို သက်သေပြနေသည်။<ref name="Luce1985">Luce, G.H. (1985). *Phases of Pre-Pagan Burma*. Oxford University Press, Vol. 1, pp. 105–112.</ref> ထို့ပြင် ပုဂံခေတ် နံရံဆေးရေးပန်းချီ အချို့တွင် နန်းတွင်းသူနန်းတွင်းသားများနှင့် အမျိုးသမီးများ၏ မျက်နှာပေါ်၌ သနပ်ခါးကွက်များ ကွက်၍ လိမ်းကျံထားပုံကို တွေ့ရှိနိုင်သည်<ref name="Strachan1989">Strachan, Paul (1989). *Pagan: Art & Architecture of Old Burma*. Kiscadale Publications, pp. 45–48.</ref> စာပေဆိုင်ရာ အထောက်အထားများတွင်လည်း ဗမာကဗျာဆရာ၊ စာဆိုတော်များနှင့် ရဟန်းပညာရှင်များသည် သနပ်ခါး၏ အလှအပနှင့် ရနံ့ကို တင်စားကာ ဖွဲ့ဆိုခဲ့ကြသည်။ အင်းဝခေတ် စာပေ ၁၅ ရာစု အင်းဝခေတ်၏ ထင်ရှားသော ရဟန်းစာဆို [[ရှင်မဟာရဋ္ဌသာရ]] (အေဒီ ၁၄၆၈-၁၅၂၉) သည် သူ၏ ဘူရိဒတ်ဇာတ်ပေါင်းပျို့ နှင့် ရတုများတွင် မြန်မာ့နန်းတွင်းသူတို့ သနပ်ခါးသွေး၍ အလှပြင်ကြပုံကို "နံ့သာချေရ၊ နာဆီမွှေးနှင့်..." ဟူ၍လည်းကောင်း၊ သနပ်ခါး၏ အေးမြသော သဘာဝနှင့် သင်းပျံ့သော ရနံ့ကို ဖွဲ့ဆိုခဲ့သည်။<ref name="HtinAung1967">Htin Aung, Maung (1967). *A History of Burma*. Columbia University Press, pp. 88–95.</ref>တောင်ငူနှင့် ညောင်ရမ်းခေတ် စာပေတွင် [[နတ်သျှင်နောင်]] ၏ ရတုကဗျာများနှင့် ညောင်ရမ်းခေတ် စာဆိုတော်များ၏ ဧချင်း၊ ပျို့များတွင် ဗမာအမျိုးသမီးတို့ သနပ်ခါးကို ပါးပြင်၌ ဘေးကွက်၊ ဘီစပ်ကွက် သို့မဟုတ် သနပ်ခါးအစင်း ရေးဆွဲကာ ရိုးရာအလှ ခြယ်သကြပုံများကို ရေးဖွဲ့ခဲ့ကြသည်။ကုန်းဘောင်ခေတ် စာပေများတွင်လည်း ကုန်းဘောင်ခေတ်တွင် စာဆို မိဖုရားကြီး [[မမြကလေး]]၊ [[လှိုင်ထိပ်ခေါင်တင်]] နှင့် ဦးပုည တို့၏ ကဗျာ၊ ပြဇာတ်နှင့် ပတ္တမြားကန်ဧချင်း စသည့် စာပေများ၌ "နံ့သာစောကဲ သနပ်ခါး" ဟူ၍ သနပ်ခါးကို အမွှေးနံ့သာများအနက် ထိပ်တန်းအဖြစ် တင်စားရေးသားခဲ့ကြသည်။<ref name="PeMaungTin1932">ဖေမောင်တင်၊ ဦး (၁၉၃၂)။ *မြန်မာစာပေသမိုင်း*။ ရန်ကုန်၊ သုဓမ္မဝတီစာပုံနှိပ်တိုက်၊ စာမျက်နှာ-၁၄၅-၁၅၀။</ref> ဗမာလူမျိုးတို့၏ ဓလေ့တွင် သနပ်ခါးသည် သာမန် လိမ်းကျံစရာ မဟုတ်ဘဲ မင်္ဂလာရှိသော သဘာဝ အလှအပဆိုင်ရာ သင်္ကေတအဖြစ် သတ်မှတ်ကြပြီး၊ အထူးသဖြင့် မြန်မာ့အထက်ပိုင်း ချင်းတွင်းမြစ်ဝှမ်းနှင့် ဧရာဝတီမြစ်ဝှမ်းတစ်လျှောက်ရှိ [[မကွေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး]] နှင့် [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]] စသည့် သနပ်ခါး အများဆုံး ထွက်ရှိရာ ဒေသများတွင် ဗမာလူမျိုးတို့သည် ယနေ့ထက်တိုင် သနပ်ခါးစိုက်ပျိုးခြင်းနှင့် သနပ်ခါးလိမ်းကျံသည့် ယဉ်ကျေးမှုအမွေအနှစ်ကို ခိုင်မာစွာ ထိန်းသိမ်းထားကြသည်။<ref name="NaySar2020">Nay Sar, et al. (2020). "Physicochemical and biological activities of Thanaka: A traditional Myanmar cosmetic". *Journal of Ethnopharmacology*, Vol. 250, 112465.</ref> ==ပေါက်ရောက်ရာ ဒေသ== [[သနပ်ခါးပင်]]ကို သီရိလင်္ကာနိုင်ငံ၊ အိန္ဒိယနိုင်ငံ အနောက်ပိုင်း၊ ထိုင်းနိုင်ငံ၊ ပါကစ္စတန် နှင့် မြန်မာနိုင်ငံ အလယ်ပိုင်း အညာဒေသတို့တွင် တွေ့ရှိရသည်။ မြန်မာ့သနပ်ခါးသည် အရည်အ‌ေသွးအကောင်းဆုံးပင် ဖြစ်ပေသည်။ သနပ်ခါးသည် အပူပိုင်းဒေသများတွင် ဖြစ်ထွန်းအောင်မြင်သည့် သီးနှံဖြစ်သဖြင့် မြန်မာနိုင်ငံ အပူပိုင်းဒေသဖြစ်သည့် စစ်ကိုင်းတိုင်း၊ မန္တလေးတိုင်းနှင့် မကွေးတိုင်းဒေသများတွင် စီးပွားဖြစ် စိုက်ပျိုးကြရုံတင်မက အိမ်ခြံဝင်းအတွင်းတွင်လည်း စိုက်ပျိုးလေ့ရှိကြသည်ကို တွေ့မြင်နိုင်ပေသည်။ သနပ်ခါးပင်သည် စိုက်ခင်းသစ် ပထမတစ်ကြိမ် ခုတ်၍ ရောင်းချပြီး သန်မာထွားကျိုင်းသည့် သားတက်များ ဆက်ခါဆက်ခါ ထားရှိနိုင်သဖြင့် ဘိုးစဉ်ဘောင်ဆက် အဆင့်ဆင့် ခုတ်ယူရောင်းချပြီး ဝင်ငွေရသဖြင့် "အပူပိုင်း ပဒေသာပင်ဟု တင်စားပြီး အပူပိုင်းဒေသ၏ ရတနာ" ဟုပင်ခေါ်ဆိုကြပေသည်။ ==သိပ္ပံအမည်နှင့် အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း== #မြန်မာအမည် = သနပ်ခါး #အင်္ဂလိပ်အမည် = Chinese Box Tree, Wood Apple/အမည်အတိအကျဆိုရင် Thanaka tree လို့ခေါ်ပါတယ်။ #မျိုးရင်း= Rutaceac #မျိုးစု= Limonia #မျိုးစိတ်= L.acidissima #သိပ္ပံအမည်= Naringi crenulata (Roxb) ##Limonia acidissima ##Hespercthusa crenulata (Roxb) Rocam <ref>Thanaka; Wekipedia, the free encyclopedia.</ref> ==အပင်၏ ဝိသေသလက္ခဏာများ== သနပ်ခါးပင်၏ ပုံသဏ္ဌာန်မှာ အပင် ပင်လတ်မျိုးဖြစ်သည်။ အမြင့်ပေ ၂၀-၃၀ ထိမြင့်တက်ပြီး ပင်စည်နှင့် အကိုင်းအခက်များတွင် လက္မဝက်၊ တစ်လက္မခန့် ရှည်သည့် မာကျောသော ဆူးများ ပါရှိသည်။ အပင်နုစဉ်တွင် အပွေးမဲ့ပြီး အပင်ရင့်လာသော အခါမှ အပွေးထူလာသည်။ အရွက်ပုံသဏ္ဌာန်မှာ ရွက်ပေါင်းဖြစ်ပြီး ရွက်လွှဲထွက်သည်။ ရွက်မြွှာ ၂ စုံမှ ၃ စုံထိရှိပြီး ရွက်ထိပ်တွင် တစ်ရွက်ပါသည်။ ရွက်ပြားပြောင်ချောပြီး တောင့်တင်းမာကျောသည်။ အစိမ်းရင့်ရောင်ရှိသည်။ အပွင့်ပုံသဏ္ဌာန်မှာ သေးငယ်ပြီး၊ အဝါနုရောင်ရှိသည်။ အဆုပ်လိုက်ပွင့်သည်။ ရေမြေရာသီဥတုအပေါ် မူတည်၍ တပေါင်း၊ တန်ခူး၊ ကဆုန်လများတွင် အပွင့်များပွင့်သည်။ ဝါဆို၊ ဝါခေါင်၊ တော်သလင်းလများတွင် အသီးရင့်မှည့်သည်။ ရေသောက်မြစ် ရှည်လျားသည်။ ဘေးမြစ်များလည်း ရှည်လျားပြီး ဖြန့်ထွက်သည်။ အမြစ်တွင်လည်း အပွေးအခေါက်ပါရှိသည်။ အမြစ်မှ သားတက်များထွက်လေ့ရှိသည်။ ==စိုက်ပျိုးခြင်း== သနပ်ခါးပင်များကို ဂဝံ/ကျောက်စရစ်မြေ (Gravel soil) တွင် အဓိကစိုက်ပျိုးကြ၍ ရွံ့စေးမြေ၊ ဆားပေါက်သောမြေ၊ ရေဝပ်သောမြေများမှ လွဲ၍ ကျန်မြေအမျိုးအစားများတွင် စိုက်ပျိုးနိုင်သည်။ အပင် ၂-၃နှစ်သား အရွယ်မှ စ၍ ပင်ခြေအတက်များနှင့် အကိုင်းအခက်များကို ရှင်းလင်းဖယ်ရှား ပေးကြသည်။ သနပ်ခါးပင်များသည် ယေဘုယျအားဖြင့် သက်တမ်း ၅-၈ နှစ် အရွယ်တွင် စတင်ဈေးကွက်ဝင်ကာ အရည်အသွေး အကောင်းဆုံး သနပ်ခါးတစ်ပင် ရရှိရန်မှာ သက်တမ်း(၃၅)နှစ်ခန့် လိုသည်ဟု ဆိုကြသည်။<ref>သနပ်ခါးအကြောင်း သိကောင်းစရာနှင့် စိုက်ပျိုးနည်းစနစ် စာအုပ်၊ စိုက်ပျိုးရေး ဦးစီးဌာန။</ref> ==သနပ်ခါးတွင် ဓာတုပစ္စည်း ပါဝင်မှု== # 2-quinolone and 2-hydroxy quinoline # N-acetyl-N-methyltryplamine # Tanakine and Tanakamine # 7-methoxy-6-(2,3-epoxy-6-methylbutyl) coumarin # 4-methoxy -1-methy 1-2quinolone and marmesin from the organic extracts of the root bank # Suberosin နှင့် marmesin တို့သည် Antibacterial activity နှင့် UV absorption ဂုဏ်သတ္တိများ ရှိသည်။ ==ဆေးဘက်ဆိုင်ရာ== မြန်မာ့ဆေးကျမ်းများအရ သနပ်ခါးသည် ပူ၏။ သွေးကိုကြွစေတတ်၏။ ပူ ခါး ချုပ် ပွင့် ဖြစ်၏။ ငန်းမန်းကို နိုင်စေ၏။ အပူနာ။ အအေးနာ၊ နှစ်မျိုးစလုံးနိုင်၏ဟု ဆိုထားသည်။ သိပ္ပံနည်းဆေးကျမ်းအရဆိုလျှင် Anti-bacterial နှင့် Anti-fungal ပါဝင်မှုကြောင့် အသားအရေကို ကြည်လင်သန့်စင်စေကာ ဝက်ခြံ၊ တင်းတိပ်ကို ပျောက်ကင်းစေသည်။ အဖြူ အမည်းစက်များ ဖြစ်ပေါ်မှုကိုလည်း ပျောက်ကင်းစေပြီး၊ အဖုအပိတ်များကိုလည်း ပျောက်ကင်းစေသည်ဟု ဖော်ပြကြသည်။ သနပ်ခါးတွင် Coumarine ဓာတ်ပါဝင်သဖြင့် အသားအရေပေါ်တွင် ဘက်တီးရီးယားနှင့် မှိုကြောင့်ဖြစ်သော ရောဂါများကို ဖယ်ရှားပေးနိုင်ပြီး၊ အိုမင်းရင့်ရော်မှုကို လျော့ကျစေပြီး အရွယ်နုပျို လန်းဆန်းစေသည်။ Mamesin ပါဝင်မှုကြောင့် ခရမ်းလွန်ရောင်ချည် (UV-A ray) ကြောင့်ဖြစ်ပေါ်သော မျက်နှာပေါ်တွင် အရေပြားတွန့်လိမ်ခြင်း (အရေးအကြောင်း ပေါ်ခြင်း) ၊ အရေပြား အရောင်ပျက်ခြင်း (Skin discoloration) မှကာကွယ်ပြီး တင်းတိတ်နှင့် အရေပြားကင်ဆာ ဖြစ်ပေါ်မှုကိုလည်း ကာကွယ်သည်။<ref>Application of Myanmar traditional THANAKHA as cosmetic; Asian Institute of Technology. Food Engineering and Bioprocess Technology, School of Environment, Resources and Development.</ref> ==ရှင်မတောင် သနပ်ခါး== သနပ်ခါးထဲတွင် လူကြိုက်အများဆုံးမှာ [[ရှင်မတောင်]] သနပ်ခါးဖြစ်သည်။ ရှင်မတောင်သနပ်ခါး၏ မွှေးရနံ့ကြောင့် မြန်မာလူမျိုးတိုင်း ရှင်မတောင် သနပ်ခါးကို နှစ်သက်ကြခြင်း ဖြစ်သည်။ ရှင်မတောင်သနပ်ခါးအပြင် ရွှေဘိုသနပ်ခါးကိုလည်း နှစ်သက်ကြပါသေးသည်။ ရွှေဘိုသနပ်ခါးသည် ရှင်မတောင်သနပ်ခါးကဲ့သို့ ထူးခြားစွာ အနံ့ မမွှေးပေမယ့် ဝင်းဝါတဲ့ အဆင်းကိုပေးပြီး ညက်လှတဲ့အတွက် ရွှေဘိုသနပ်ခါးကိုလည်း မြန်မာအမျိုးသမီးများက နှစ်သက်ကြသည်။ သနပ်ခါးပင်နှင့် မျိုးစိတ်နာမည်တူပြီး သနပ်ခါးနဲ့ လို့လည်း ခေါ်ဆိုကြတဲ့ [[သီးပင်]] (Limonia acidissima)လည်းရှိပါသေးသည်။ သီးပင်ကို wood apple ဟု အမည်ခေါ်ဆိုကြသည်။ မြန်မာလူမျိုးများက သီးပင်၏ အသီးကို [[ထန်းလျက်]]နှင့်ပေါက်ကာ ရောမွှေစားလေ့ရှိကြသည်။ သီးပင်၏ အခေါက်ဖြစ်သော သီးခေါက်ကိုလည်း သနပ်ခါးအဖြစ် သွေးလိမ်းကြသည်။ ရှင်မတောင် သနပ်ခါးကဲ့သို့ အနံ့ မမွှေးပျံ့ သော်လည်းပဲ ကျောက်ပျဉ်၌ သွေးလိုက်သည့်အခါမှာ စေးနေပြီး လိမ်းလိုက်ရင် အသားအရေ စိုပြည်ဝင်းပလာသောကြောင့် မြန်မာအမျိုးသမီးများက သီးခေါက်ကိုလည်း နှစ်သက်ကြပါသေးသည်။ သနပ်ခါးကို မြန်မာလူမျိုးများနှစ်သက်ကြခြင်းသည် သနပ်ခါး၏ ဆေးဖက်ဝင်သော ဂုဏ်သတ္တိကြောင့်လည်း ဖြစ်သည်။ နေလောင်ခြင်းဒဏ်မှ ကာကွယ်ပေးနိုင်သော သနပ်ခါးကို ပူအိုက်စွတ်စိုသော ရာသီဥတုရှိသည့် မြန်မာနိုင်ငံမှာ အရေပြားထိန်းသိမ်းဖို့အတွက် အဓိကထားကြသည်။ အရေပြားယားယံခြင်း ၊ ဓာတ်မတည့်ခြင်းတို့အတွက် သနပ်ခါးကို ဆားနှင့် ရောသွေးကာ လိမ်းကျံကြသည်။ မျက်နှာမှာ ဝက်ခြံကင်းပြီး အသားအရေ ချောမွေ့ဖို့အတွက် သနပ်ခါးက ဆေးဖက်ဝင်ပါသည်။ [[ရခိုင်ပြည်နယ်]] ၊ [[စစ်တွေမြို့]]တွင် နှစ်စဉ် သင်္ကြန်အကြိုနေ့တိုင်းမှာ သနပ်ခါးသွေးပွဲ ကျင်းပလေ့ရှိသည်။ သင်္ကြန်အကြိုနေ့ညမှာ အမျိုးသမီးလေးများက သနပ်ခါးသွေးကြပြီး အမျိုးသားလေးများက သီချင်းများ တီးမှုတ်သီဆိုကြသည်။ သွေးပြီး ရရှိလာတဲ့ သနပ်ခါးများကို ဘုရားဆင်းတုတော်များကို သနပ်ခါးရည်နဲ့ ဆေးကြာပြီး ကုသိုလ်ယူကြတဲ့ ဓလေ့ဟာ ယခုထိတိုင် ရခိုင်ပြည်နယ်မှာ ရှိနေပါသည်။ သနပ်ခါးအတုံးကို ကျောက်ပျဉ်မှာ ရေနှင့်သွေးလိမ်းခြင်းအပြင် သနပ်ခါးမှုန့်ကိုလည်း မျက်နှာလိမ်း ပေါင်ဒါ အဖြစ် အသုံးပြုကြသည်။ အဆီပြန်တဲ့ အသားအရေ ရှိသူများအတွက် သနပ်ခါးသည် အသင့်တော်ဆုံး အလှပြင် သဘာဝ မိတ်ကပ်တစ်မျိုးပဲ ဖြစ်သည်။ ရှင်မတောင်သနပ်ခါးတုံးများကို သိမ်းဆည်းတဲ့အခါမှာ ပလပ်စတစ်အိတ်ထဲ ထည့်ပြီး သိမ်းဆည်းခြင်းသည် အကောင်းဆုံးပါ။ သစ်သားစားပွဲပေါ်မှာ သစ်သားနဲ့ ထိထားရင် ရှင်မတောင်သနပ်ခါးနံ့သာ သစ်သားဆီကို ကူးသွားပြီး ရှင်မတောင်သနပ်ခါးက အနံ့ ပြယ်သွား တတ်သည်။ ရှင်မတောင်သနပ်ခါးတုံးများ အထားကြာ၍ မမွှေးတော့ဘူးဆိုရင် ရေနွေးပွက်ပွက်ဆူကို သနပ်ခါးတုံးပေါ် လောင်းချလိုက်ရင် အနံ့ပြန်မွှေးလာသည်။ ရှင်မတောင် သနပ်ခါးတုံးကို ရေနွေးပူပူနဲ့ ဆေးကြောပြီး နေပူပူမှာ နေလှန်းထားရင် ရှင်မတောင်နံ့ အလွန်မွှေးပျံ့ နေမှာ ဖြစ်သည်။ [[ကဏ္ဍ:သစ်ပင်များ]] ==ရုပ်ပုံများ== <gallery> File:Thanaka girls.JPG|သနပ်ခါးလိမ်းထားကြသည့် ကျေးလက်နေ အမျိုးသမီးများ File:Thanaka.jpg|ရောင်းချရန်အတွက် ထားရှိသည့် သနပ်ခါးများ File:Thanaka_kyaukpyin.JPG|ကျောက်ပြင်များ Image:Thanaka_woman.JPG|ဈေးသည်တစ်ဦး သနပ်ခါးလိမ်းထားပုံ၊ မန္တလေး Image:Thanaka_kids.JPG|သနပ်ခါးလိမ်းထားသည့် ကလေးများ၊ မန္တလေး Image:Thanaka_seller.JPG|စစ်ကိုင်းမြို့၊ ကောင်းမှုတော်ဘုရားတွင် သနပ်ခါးတုံးမျာ ရောင်းချနေပုံ File:Karen Girl Wearing Thanaka.JPG|ကရင်လူမျိုးကလေးငယ်တစ်ဦး သနပ်ခါးလိမ်းထားပုံ File:Hindu woman in Myanmar, wearing thanakha.jpg|ဟိန္ဒူအမျိုးသမီးတစ်ဦး သနပ်ခါးလိမ်းထားပုံ File:Thanakha Tone.jpg|ရောင်းချရန်ထားရှိသည့် သနပ်ခါးတုံးများ၊ ရွှေဂူနီဘုရား </gallery> ==ကိုးကား== {{Reflist}} [[Category:မြန်မာ့ ယဉ်ကျေးမှု]] [[Category:အလှကုန်ပစ္စည်းများ]] 0rexjzwxv83cvf4a15ouctwa1r0pavm 1060830 1060825 2026-10-31T09:25:13Z Chenzeyan29 141880 1060830 wikitext text/x-wiki [[File:မြန်မာ့သနပ်ခါး.jpg|thumb|သနပ်ခါးတုံးနှင့် ကျောက်ပျဉ်]] '''သနပ်ခါး''' ({{lang-en|Thanaka}}) သည် မြန်မာလူမျိုးတို့၏ ရိုးရာအလှခြယ်ပစ္စည်းနှင့် သဘာဝအသားအရေ ထိန်းသိမ်းရေးပစ္စည်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ မြန်မာနိုင်ငံတွင် မွေးကင်းစအရွယ်မှစ၍ အရွယ်မရွေး၊ ကျားမ မရွေး သနပ်ခါးကို အသုံးပြုကြပြီး သနပ်ခါးပင် (Scientific name: ''Hesperethusa crenulata'') ၏ အခေါက်နှင့် အမြစ်များကို ကျောက်ပျဉ်တွင် ရေနှင့် သွေး၍ လိမ်းကျံကြသည်။<ref name="NaySar2020">Nay Sar, et al. (2020). "Physicochemical and biological activities of Thanaka: A traditional Myanmar cosmetic". *Journal of Ethnopharmacology*, Vol. 250, 112465.</ref> သနပ်ခါးသည် စိတ်ကြည်လင်ဆန်းသစ်စေသည့် ရနံ့ပြန့်လွင့်ခြင်း၊ အသားအရေကို အေးမြစေခြင်း၊ နေလောင်ဒဏ် ကာကွယ်ပေးခြင်းနှင့် ချောမွတ်စိုပြေစေခြင်း စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံသဖြင့် ရှေးနန်းတွင်းသူများမှအစ ခေတ်သစ်အမျိုးသမီးများအထိ နှစ်ပေါင်း ၂,၀၀၀ ကျော်တိုင်အောင် အစဉ်အဆက် အလေးထား သုံးစွဲလာခဲ့ကြသည်။<ref name="PaganEra">Luce, G.H. (1985). *Phases of Pre-Pagan Burma*. Oxford University Press, pp. 105–112.</ref> [[File:Thanakaboy.jpg|thumb|သနပ်ခါး လိမ်းကျံထားသည့် မြန်မာလူငယ်တစ်ဦး]] သနပ်ခါးသည် ရိုးရာအလှခြယ်ပစ္စည်း ဖြစ်ရုံမကဘဲ ဆေးဘက်ဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများလည်း ပါဝင်သည်။ ခရမ်းလွန်ရောင်ခြည် ကို ကာကွယ်ပေးနိုင်ခြင်း၊ ဘက်တီးရီးယားများကို တွန်းလှန်နိုင်ခြင်း၊ ရောင်ရမ်းမှုကို လျှော့ချပေးနိုင်ခြင်း နှင့် အိုမင်းရင့်ရော်မှုကို ထိန်းသိမ်းပေးသည့် အောက်စီဂျင်ဓာတ်တိုးဆန့်ကျင် ပစ္စည်းများ ပါဝင်ကြောင်း သိပ္ပံနည်းကျ သုတေသနများက အတည်ပြုထားသည်။<ref name="Wang2018">Wang, H., et al. (2018). "Biological activities and chemical constituents of Thanaka (Hesperethusa crenulata)". *Cosmetics*, 5(2), 26.</ref> ပူအိုက်စွတ်စိုသော မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရာသီဥတုတွင် အသားအရေကို အကာအကွယ်ပေးသည့်အတွက် သနပ်ခါးသည် မြန်မာလူမျိုးတို့၏ နေ့စဉ်ဘဝတွင် မရှိမဖြစ် အသုံးပြုကြသော ဓလေ့တစ်ခုအဖြစ် တည်ရှိနေဆဲ ဖြစ်သည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် စာပေအထောက်အထားများ == [[ဗမာလူမျိုး]]များသည် သနပ်ခါးကို ရှေးပုဂံခေတ် ကတည်းကပင် အလှခြယ်ပစ္စည်းနှင့် သဘာဝ ဆေးဝါးအဖြစ် အသုံးပြုခဲ့ကြသည့် သမိုင်းဝင် အထောက်အထားများစွာ ရှိသည်။ သနပ်ခါးကို အသုံးပြုသည့် ဓလေ့သည် [[မြန်မာ့သမိုင်း]]တွင် အစောပိုင်းခေတ်များကတည်းက စတင်ခဲ့ကြောင်း သမိုင်းနှင့် ရှေးဟောင်းသုတေသန အထောက်အထားများအရ သိရှိရသည်။ အချို့သော သမိုင်းသုတေသီများ၏ အဆိုအရ သနပ်ခါးကို အေဒီ ၅ ရာစုခန့် [[ပျူမြို့ပြနိုင်ငံများ]] ခေတ်နှင့် [[ပုဂံခေတ်]] အစောပိုင်း ကတည်းကပင် မြန်မာတို့ စတင်အသုံးပြုခဲ့ကြသည်ဟု ဆိုကြသည်။<ref name="PaganEra">Luce, G.H. (1985). *Phases of Pre-Pagan Burma*. Oxford University Press, pp. 105–112.</ref> ပုဂံမြို့ဟောင်းရှိ ရှေးဟောင်းစေတီတော်များ၊ ဂူဘုရားများနှင့် ရှေးဟောင်းသုတေသန တူးဖော်မှုများတွင် သနပ်ခါးသွေးရာ၌ အသုံးပြုသည့် ပျူခေတ်နှင့် ပုဂံခေတ် [[ကျောက်ပျဉ်]] အကျိုးအပဲ့များကို တွေ့ရှိရခြင်းသည် ဗမာတို့ သနပ်ခါး လိမ်းကျံသည့် ဓလေ့ အမြစ်တွယ်ခဲ့ပုံကို သက်သေပြနေသည်။<ref name="Luce1985">Luce, G.H. (1985). *Phases of Pre-Pagan Burma*. Oxford University Press, Vol. 1, pp. 105–112.</ref> ထို့ပြင် ပုဂံခေတ် နံရံဆေးရေးပန်းချီ အချို့တွင် နန်းတွင်းသူနန်းတွင်းသားများနှင့် အမျိုးသမီးများ၏ မျက်နှာပေါ်၌ သနပ်ခါးကွက်များ ကွက်၍ လိမ်းကျံထားပုံကို တွေ့ရှိနိုင်သည်<ref name="Strachan1989">Strachan, Paul (1989). *Pagan: Art & Architecture of Old Burma*. Kiscadale Publications, pp. 45–48.</ref> စာပေဆိုင်ရာ အထောက်အထားများတွင်လည်း ဗမာကဗျာဆရာ၊ စာဆိုတော်များနှင့် ရဟန်းပညာရှင်များသည် သနပ်ခါး၏ အလှအပနှင့် ရနံ့ကို တင်စားကာ ဖွဲ့ဆိုခဲ့ကြသည်။ အင်းဝခေတ် စာပေ ၁၅ ရာစု အင်းဝခေတ်၏ ထင်ရှားသော ရဟန်းစာဆို [[ရှင်မဟာရဋ္ဌသာရ]] (အေဒီ ၁၄၆၈-၁၅၂၉) သည် သူ၏ ဘူရိဒတ်ဇာတ်ပေါင်းပျို့ နှင့် ရတုများတွင် မြန်မာ့နန်းတွင်းသူတို့ သနပ်ခါးသွေး၍ အလှပြင်ကြပုံကို "နံ့သာချေရ၊ နာဆီမွှေးနှင့်..." ဟူ၍လည်းကောင်း၊ သနပ်ခါး၏ အေးမြသော သဘာဝနှင့် သင်းပျံ့သော ရနံ့ကို ဖွဲ့ဆိုခဲ့သည်။<ref name="HtinAung1967">Htin Aung, Maung (1967). *A History of Burma*. Columbia University Press, pp. 88–95.</ref>တောင်ငူနှင့် ညောင်ရမ်းခေတ် စာပေတွင် [[နတ်သျှင်နောင်]] ၏ ရတုကဗျာများနှင့် ညောင်ရမ်းခေတ် စာဆိုတော်များ၏ ဧချင်း၊ ပျို့များတွင် ဗမာအမျိုးသမီးတို့ သနပ်ခါးကို ပါးပြင်၌ ဘေးကွက်၊ ဘီစပ်ကွက် သို့မဟုတ် သနပ်ခါးအစင်း ရေးဆွဲကာ ရိုးရာအလှ ခြယ်သကြပုံများကို ရေးဖွဲ့ခဲ့ကြသည်။ကုန်းဘောင်ခေတ် စာပေများတွင်လည်း ကုန်းဘောင်ခေတ်တွင် စာဆို မိဖုရားကြီး [[မမြကလေး]]၊ [[လှိုင်ထိပ်ခေါင်တင်]] နှင့် ဦးပုည တို့၏ ကဗျာ၊ ပြဇာတ်နှင့် ပတ္တမြားကန်ဧချင်း စသည့် စာပေများ၌ "နံ့သာစောကဲ သနပ်ခါး" ဟူ၍ သနပ်ခါးကို အမွှေးနံ့သာများအနက် ထိပ်တန်းအဖြစ် တင်စားရေးသားခဲ့ကြသည်။<ref name="PeMaungTin1932">ဖေမောင်တင်၊ ဦး (၁၉၃၂)။ *မြန်မာစာပေသမိုင်း*။ ရန်ကုန်၊ သုဓမ္မဝတီစာပုံနှိပ်တိုက်၊ စာမျက်နှာ-၁၄၅-၁၅၀။</ref> ဗမာလူမျိုးတို့၏ ဓလေ့တွင် သနပ်ခါးသည် သာမန် လိမ်းကျံစရာ မဟုတ်ဘဲ မင်္ဂလာရှိသော သဘာဝ အလှအပဆိုင်ရာ သင်္ကေတအဖြစ် သတ်မှတ်ကြပြီး၊ အထူးသဖြင့် မြန်မာ့အထက်ပိုင်း ချင်းတွင်းမြစ်ဝှမ်းနှင့် ဧရာဝတီမြစ်ဝှမ်းတစ်လျှောက်ရှိ [[မကွေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး]] နှင့် [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]] စသည့် သနပ်ခါး အများဆုံး ထွက်ရှိရာ ဒေသများတွင် ဗမာလူမျိုးတို့သည် ယနေ့ထက်တိုင် သနပ်ခါးစိုက်ပျိုးခြင်းနှင့် သနပ်ခါးလိမ်းကျံသည့် ယဉ်ကျေးမှုအမွေအနှစ်ကို ခိုင်မာစွာ ထိန်းသိမ်းထားကြသည်။<ref name="NaySar2020">Nay Sar, et al. (2020). "Physicochemical and biological activities of Thanaka: A traditional Myanmar cosmetic". *Journal of Ethnopharmacology*, Vol. 250, 112465.</ref> == ပေါက်ရောက်ရာဒေသ၊ သိပ္ပံအမည်နှင့် အပင်၏ ဝိသေသလက္ခဏာများ == သနပ်ခါး၏ ရုက္ခဗေဒ သိပ္ပံအမည်မှာ ''Hesperethusa crenulata'' (ရှေးဟောင်းအမည်သစ်အရ ''Limonia acidissima'' သို့မဟုတ် ''Naringi crenulata'') ဖြစ်ပြီး၊ ၎င်းသည် ရုက္ခဗေဒ မိသားစုဝင် [[ရုတေစီအေ (Rutaceae)]] (သံပရာ၊ လိမ္မော်မိသားစု) နွယ်ဖွား အပင်တစ်မျိုး ဖြစ်သည်။<ref name="FloraOfChina">Flora of China Editorial Committee. *Flora of China*, Science Press and Missouri Botanical Garden Press.</ref> သနပ်ခါးပင်သည် မြန်မာနိုင်ငံအလယ်ပိုင်း မိုးနည်းရေရှားဒေသဖြစ်သော အညာဒေသ (စစ်ကိုင်း၊ မကွေး၊ မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးတို့၏ ခြောက်သွေ့သော မြေမျက်နှာသွင်ပြင်နှင့် ယာမြေများ) တွင် မူလအစ အဓိက ပေါက်ရောက်ရှင်သန်ခဲ့သော ဒေသရင်းသစ်ပင် (Endemic plant) တစ်မျိုး ဖြစ်ကာ အိန္ဒိယနိုင်ငံ၊ သီရိလင်္ကာနှင့် အခြား အရှေ့တောင်အာရှ ဒေသများတွင်လည်း ပျံ့နှံ့ပေါက်ရောက်ကြသည်။<ref name="PaanThanaka2020">Nay Sar, et al. (2020). "Physicochemical and biological activities of Thanaka: A traditional Myanmar cosmetic". *Journal of Ethnopharmacology*, Vol. 250, 112465.</ref> ဤအပင်သည် အပူပိုင်းဒေသ၏ ပူပြင်းခြောက်သွေ့ပြီး ရေရှားပါးကာ နေရောင်ခြည်ပြင်းထန်သော ရာသီဥတုဒဏ်ကို အထူးခံနိုင်ရည်ရှိပြီး၊ အညာဒေသ၏ မြေဆီလွှာနှင့် ရာသီဥတု အခြေအနေတို့ကြောင့် အကောင်းဆုံး အရည်အသွေးရှိသော သနပ်ခါးပင်များကို ပေါက်ဖွားစေနိုင်ကာ ၎င်း၏ အခေါက်နှင့် အမြစ်များတွင် ထူးခြားသည့် ဆေးဘက်ဝင်အာနိသင်များနှင့် အမွှေးအကြိုင် ဓာတုပစ္စည်းများ အများအပြား စုဝေးတည်ရှိနေသည်။ ရုက္ခဗေဒဆိုင်ရာ အပင်ဝိသေသလက္ခဏာများအရ သနပ်ခါးသည် အပင်ငယ် သို့မဟုတ် အလတ်စား အမြဲစိမ်းပင် အမျိုးအစားဖြစ်ပြီး ပုံမှန်အားဖြင့် အမြင့် ၁၅ ပေမှ ပေ ၃၀ ခန့်အထိ ကြီးထွားနိုင်ကာ ပင်စည်အခေါက်မှာ ကြမ်းတမ်းပြီး အဖြူရောင် သို့မဟုတ် မီးခိုးရောင် သန်းလျက်ရှိပြီး အကိုင်းအခက်များတွင် ချွန်ထက်သော ဆူးများ ပါရှိတတ်သည်။ အရွက်များသည် ငှက်မွှေးပုံစံ ပေါင်းရွက်များဖြစ်ကာ ရွက်စုံအလှည့်ကျ ထွက်ရှိကြပြီး ရွက်ပြား၏ အနားများတွင် လှိုင်းတွန့် သို့မဟုတ် လွှသွားပုံစံ အစွယ်ငယ်များ ပါရှိကာ နွေရာသီနှင့် မိုးဦးကျကာလများတွင် အဖြူရောင် သို့မဟုတ် အဝါနုရောင်ရှိသော သေးငယ်သည့် ပန်းပွင့်ငယ်များကို စုပြုံ၍ ပွင့်တတ်သည်။ ပန်းပွင့်ပြီးချိန်တွင် အလုံးပုံစံ သို့မဟုတ် ဘဲဥပုံစံ အသီးငယ်များ သီးထွက်လာပြီး မှည့်လာသည့်အခါ အနက်ရောင် သို့မဟုတ် ခရမ်းရောင်သို့ ပြောင်းလဲသွားကာ ၎င်းသနပ်ခါးပင်၏ အခေါက်၊ အကိုင်းနှင့် အမြစ်ပိုင်းများကို ကျောက်ပျဉ်တွင် ရေနှင့် သွေးလိမ်းခြင်းဖြင့် မြန်မာတို့၏ ရိုးရာ အလှခြယ်ပစ္စည်းနှင့် အသားအရေ ထိန်းသိမ်းရေးပစ္စည်းအဖြစ် အဓိက အသုံးပြုကြခြင်း ဖြစ်သည်။<ref name="Hooker1875">Hooker, J. D. (1875). *The Flora of British India*, L. Reeve & Co., London.</ref> ===စိုက်ပျိုးခြင်း=== သနပ်ခါးပင်များကို ဂဝံ/ကျောက်စရစ်မြေ (Gravel soil) တွင် အဓိကစိုက်ပျိုးကြ၍ ရွံ့စေးမြေ၊ ဆားပေါက်သောမြေ၊ ရေဝပ်သောမြေများမှ လွဲ၍ ကျန်မြေအမျိုးအစားများတွင် စိုက်ပျိုးနိုင်သည်။ အပင် ၂-၃နှစ်သား အရွယ်မှ စ၍ ပင်ခြေအတက်များနှင့် အကိုင်းအခက်များကို ရှင်းလင်းဖယ်ရှား ပေးကြသည်။ သနပ်ခါးပင်များသည် ယေဘုယျအားဖြင့် သက်တမ်း ၅-၈ နှစ် အရွယ်တွင် စတင်ဈေးကွက်ဝင်ကာ အရည်အသွေး အကောင်းဆုံး သနပ်ခါးတစ်ပင် ရရှိရန်မှာ သက်တမ်း(၃၅)နှစ်ခန့် လိုသည်ဟု ဆိုကြသည်။<ref>သနပ်ခါးအကြောင်း သိကောင်းစရာနှင့် စိုက်ပျိုးနည်းစနစ် စာအုပ်၊ စိုက်ပျိုးရေး ဦးစီးဌာန။</ref> ===သနပ်ခါးတွင် ဓာတုပစ္စည်း ပါဝင်မှု=== # 2-quinolone and 2-hydroxy quinoline # N-acetyl-N-methyltryplamine # Tanakine and Tanakamine # 7-methoxy-6-(2,3-epoxy-6-methylbutyl) coumarin # 4-methoxy -1-methy 1-2quinolone and marmesin from the organic extracts of the root bank # Suberosin နှင့် marmesin တို့သည် Antibacterial activity နှင့် UV absorption ဂုဏ်သတ္တိများ ရှိသည်။ ==ဆေးဘက်ဆိုင်ရာ== မြန်မာ့ဆေးကျမ်းများအရ သနပ်ခါးသည် ပူ၏။ သွေးကိုကြွစေတတ်၏။ ပူ ခါး ချုပ် ပွင့် ဖြစ်၏။ ငန်းမန်းကို နိုင်စေ၏။ အပူနာ။ အအေးနာ၊ နှစ်မျိုးစလုံးနိုင်၏ဟု ဆိုထားသည်။ သိပ္ပံနည်းဆေးကျမ်းအရဆိုလျှင် Anti-bacterial နှင့် Anti-fungal ပါဝင်မှုကြောင့် အသားအရေကို ကြည်လင်သန့်စင်စေကာ ဝက်ခြံ၊ တင်းတိပ်ကို ပျောက်ကင်းစေသည်။ အဖြူ အမည်းစက်များ ဖြစ်ပေါ်မှုကိုလည်း ပျောက်ကင်းစေပြီး၊ အဖုအပိတ်များကိုလည်း ပျောက်ကင်းစေသည်ဟု ဖော်ပြကြသည်။ သနပ်ခါးတွင် Coumarine ဓာတ်ပါဝင်သဖြင့် အသားအရေပေါ်တွင် ဘက်တီးရီးယားနှင့် မှိုကြောင့်ဖြစ်သော ရောဂါများကို ဖယ်ရှားပေးနိုင်ပြီး၊ အိုမင်းရင့်ရော်မှုကို လျော့ကျစေပြီး အရွယ်နုပျို လန်းဆန်းစေသည်။ Mamesin ပါဝင်မှုကြောင့် ခရမ်းလွန်ရောင်ချည် (UV-A ray) ကြောင့်ဖြစ်ပေါ်သော မျက်နှာပေါ်တွင် အရေပြားတွန့်လိမ်ခြင်း (အရေးအကြောင်း ပေါ်ခြင်း) ၊ အရေပြား အရောင်ပျက်ခြင်း (Skin discoloration) မှကာကွယ်ပြီး တင်းတိတ်နှင့် အရေပြားကင်ဆာ ဖြစ်ပေါ်မှုကိုလည်း ကာကွယ်သည်။<ref>Application of Myanmar traditional THANAKHA as cosmetic; Asian Institute of Technology. Food Engineering and Bioprocess Technology, School of Environment, Resources and Development.</ref> ==ရှင်မတောင် သနပ်ခါး== သနပ်ခါးထဲတွင် လူကြိုက်အများဆုံးမှာ [[ရှင်မတောင်]] သနပ်ခါးဖြစ်သည်။ ရှင်မတောင်သနပ်ခါး၏ မွှေးရနံ့ကြောင့် မြန်မာလူမျိုးတိုင်း ရှင်မတောင် သနပ်ခါးကို နှစ်သက်ကြခြင်း ဖြစ်သည်။ ရှင်မတောင်သနပ်ခါးအပြင် ရွှေဘိုသနပ်ခါးကိုလည်း နှစ်သက်ကြပါသေးသည်။ ရွှေဘိုသနပ်ခါးသည် ရှင်မတောင်သနပ်ခါးကဲ့သို့ ထူးခြားစွာ အနံ့ မမွှေးပေမယ့် ဝင်းဝါတဲ့ အဆင်းကိုပေးပြီး ညက်လှတဲ့အတွက် ရွှေဘိုသနပ်ခါးကိုလည်း မြန်မာအမျိုးသမီးများက နှစ်သက်ကြသည်။ သနပ်ခါးပင်နှင့် မျိုးစိတ်နာမည်တူပြီး သနပ်ခါးနဲ့ လို့လည်း ခေါ်ဆိုကြတဲ့ [[သီးပင်]] (Limonia acidissima)လည်းရှိပါသေးသည်။ သီးပင်ကို wood apple ဟု အမည်ခေါ်ဆိုကြသည်။ မြန်မာလူမျိုးများက သီးပင်၏ အသီးကို [[ထန်းလျက်]]နှင့်ပေါက်ကာ ရောမွှေစားလေ့ရှိကြသည်။ သီးပင်၏ အခေါက်ဖြစ်သော သီးခေါက်ကိုလည်း သနပ်ခါးအဖြစ် သွေးလိမ်းကြသည်။ ရှင်မတောင် သနပ်ခါးကဲ့သို့ အနံ့ မမွှေးပျံ့ သော်လည်းပဲ ကျောက်ပျဉ်၌ သွေးလိုက်သည့်အခါမှာ စေးနေပြီး လိမ်းလိုက်ရင် အသားအရေ စိုပြည်ဝင်းပလာသောကြောင့် မြန်မာအမျိုးသမီးများက သီးခေါက်ကိုလည်း နှစ်သက်ကြပါသေးသည်။ သနပ်ခါးကို မြန်မာလူမျိုးများနှစ်သက်ကြခြင်းသည် သနပ်ခါး၏ ဆေးဖက်ဝင်သော ဂုဏ်သတ္တိကြောင့်လည်း ဖြစ်သည်။ နေလောင်ခြင်းဒဏ်မှ ကာကွယ်ပေးနိုင်သော သနပ်ခါးကို ပူအိုက်စွတ်စိုသော ရာသီဥတုရှိသည့် မြန်မာနိုင်ငံမှာ အရေပြားထိန်းသိမ်းဖို့အတွက် အဓိကထားကြသည်။ အရေပြားယားယံခြင်း ၊ ဓာတ်မတည့်ခြင်းတို့အတွက် သနပ်ခါးကို ဆားနှင့် ရောသွေးကာ လိမ်းကျံကြသည်။ မျက်နှာမှာ ဝက်ခြံကင်းပြီး အသားအရေ ချောမွေ့ဖို့အတွက် သနပ်ခါးက ဆေးဖက်ဝင်ပါသည်။ [[ရခိုင်ပြည်နယ်]] ၊ [[စစ်တွေမြို့]]တွင် နှစ်စဉ် သင်္ကြန်အကြိုနေ့တိုင်းမှာ သနပ်ခါးသွေးပွဲ ကျင်းပလေ့ရှိသည်။ သင်္ကြန်အကြိုနေ့ညမှာ အမျိုးသမီးလေးများက သနပ်ခါးသွေးကြပြီး အမျိုးသားလေးများက သီချင်းများ တီးမှုတ်သီဆိုကြသည်။ သွေးပြီး ရရှိလာတဲ့ သနပ်ခါးများကို ဘုရားဆင်းတုတော်များကို သနပ်ခါးရည်နဲ့ ဆေးကြာပြီး ကုသိုလ်ယူကြတဲ့ ဓလေ့ဟာ ယခုထိတိုင် ရခိုင်ပြည်နယ်မှာ ရှိနေပါသည်။ သနပ်ခါးအတုံးကို ကျောက်ပျဉ်မှာ ရေနှင့်သွေးလိမ်းခြင်းအပြင် သနပ်ခါးမှုန့်ကိုလည်း မျက်နှာလိမ်း ပေါင်ဒါ အဖြစ် အသုံးပြုကြသည်။ အဆီပြန်တဲ့ အသားအရေ ရှိသူများအတွက် သနပ်ခါးသည် အသင့်တော်ဆုံး အလှပြင် သဘာဝ မိတ်ကပ်တစ်မျိုးပဲ ဖြစ်သည်။ ရှင်မတောင်သနပ်ခါးတုံးများကို သိမ်းဆည်းတဲ့အခါမှာ ပလပ်စတစ်အိတ်ထဲ ထည့်ပြီး သိမ်းဆည်းခြင်းသည် အကောင်းဆုံးပါ။ သစ်သားစားပွဲပေါ်မှာ သစ်သားနဲ့ ထိထားရင် ရှင်မတောင်သနပ်ခါးနံ့သာ သစ်သားဆီကို ကူးသွားပြီး ရှင်မတောင်သနပ်ခါးက အနံ့ ပြယ်သွား တတ်သည်။ ရှင်မတောင်သနပ်ခါးတုံးများ အထားကြာ၍ မမွှေးတော့ဘူးဆိုရင် ရေနွေးပွက်ပွက်ဆူကို သနပ်ခါးတုံးပေါ် လောင်းချလိုက်ရင် အနံ့ပြန်မွှေးလာသည်။ ရှင်မတောင် သနပ်ခါးတုံးကို ရေနွေးပူပူနဲ့ ဆေးကြောပြီး နေပူပူမှာ နေလှန်းထားရင် ရှင်မတောင်နံ့ အလွန်မွှေးပျံ့ နေမှာ ဖြစ်သည်။ [[ကဏ္ဍ:သစ်ပင်များ]] ==ရုပ်ပုံများ== <gallery> File:Thanaka girls.JPG|သနပ်ခါးလိမ်းထားကြသည့် ကျေးလက်နေ အမျိုးသမီးများ File:Thanaka.jpg|ရောင်းချရန်အတွက် ထားရှိသည့် သနပ်ခါးများ File:Thanaka_kyaukpyin.JPG|ကျောက်ပြင်များ Image:Thanaka_woman.JPG|ဈေးသည်တစ်ဦး သနပ်ခါးလိမ်းထားပုံ၊ မန္တလေး Image:Thanaka_kids.JPG|သနပ်ခါးလိမ်းထားသည့် ကလေးများ၊ မန္တလေး Image:Thanaka_seller.JPG|စစ်ကိုင်းမြို့၊ ကောင်းမှုတော်ဘုရားတွင် သနပ်ခါးတုံးမျာ ရောင်းချနေပုံ File:Karen Girl Wearing Thanaka.JPG|ကရင်လူမျိုးကလေးငယ်တစ်ဦး သနပ်ခါးလိမ်းထားပုံ File:Hindu woman in Myanmar, wearing thanakha.jpg|ဟိန္ဒူအမျိုးသမီးတစ်ဦး သနပ်ခါးလိမ်းထားပုံ File:Thanakha Tone.jpg|ရောင်းချရန်ထားရှိသည့် သနပ်ခါးတုံးများ၊ ရွှေဂူနီဘုရား </gallery> ==ကိုးကား== {{Reflist}} [[Category:မြန်မာ့ ယဉ်ကျေးမှု]] [[Category:အလှကုန်ပစ္စည်းများ]] nqqvhps4foi5fxm8ydgg58eb459wzck 1060832 1060830 2026-10-31T09:29:40Z Chenzeyan29 141880 /* သမိုင်းကြောင်းနှင့် စာပေအထောက်အထားများ */ 1060832 wikitext text/x-wiki [[File:မြန်မာ့သနပ်ခါး.jpg|thumb|သနပ်ခါးတုံးနှင့် ကျောက်ပျဉ်]] '''သနပ်ခါး''' ({{lang-en|Thanaka}}) သည် မြန်မာလူမျိုးတို့၏ ရိုးရာအလှခြယ်ပစ္စည်းနှင့် သဘာဝအသားအရေ ထိန်းသိမ်းရေးပစ္စည်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ မြန်မာနိုင်ငံတွင် မွေးကင်းစအရွယ်မှစ၍ အရွယ်မရွေး၊ ကျားမ မရွေး သနပ်ခါးကို အသုံးပြုကြပြီး သနပ်ခါးပင် (Scientific name: ''Hesperethusa crenulata'') ၏ အခေါက်နှင့် အမြစ်များကို ကျောက်ပျဉ်တွင် ရေနှင့် သွေး၍ လိမ်းကျံကြသည်။<ref name="NaySar2020">Nay Sar, et al. (2020). "Physicochemical and biological activities of Thanaka: A traditional Myanmar cosmetic". *Journal of Ethnopharmacology*, Vol. 250, 112465.</ref> သနပ်ခါးသည် စိတ်ကြည်လင်ဆန်းသစ်စေသည့် ရနံ့ပြန့်လွင့်ခြင်း၊ အသားအရေကို အေးမြစေခြင်း၊ နေလောင်ဒဏ် ကာကွယ်ပေးခြင်းနှင့် ချောမွတ်စိုပြေစေခြင်း စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံသဖြင့် ရှေးနန်းတွင်းသူများမှအစ ခေတ်သစ်အမျိုးသမီးများအထိ နှစ်ပေါင်း ၂,၀၀၀ ကျော်တိုင်အောင် အစဉ်အဆက် အလေးထား သုံးစွဲလာခဲ့ကြသည်။<ref name="PaganEra">Luce, G.H. (1985). *Phases of Pre-Pagan Burma*. Oxford University Press, pp. 105–112.</ref> [[File:Thanakaboy.jpg|thumb|သနပ်ခါး လိမ်းကျံထားသည့် မြန်မာလူငယ်တစ်ဦး]] သနပ်ခါးသည် ရိုးရာအလှခြယ်ပစ္စည်း ဖြစ်ရုံမကဘဲ ဆေးဘက်ဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများလည်း ပါဝင်သည်။ ခရမ်းလွန်ရောင်ခြည် ကို ကာကွယ်ပေးနိုင်ခြင်း၊ ဘက်တီးရီးယားများကို တွန်းလှန်နိုင်ခြင်း၊ ရောင်ရမ်းမှုကို လျှော့ချပေးနိုင်ခြင်း နှင့် အိုမင်းရင့်ရော်မှုကို ထိန်းသိမ်းပေးသည့် အောက်စီဂျင်ဓာတ်တိုးဆန့်ကျင် ပစ္စည်းများ ပါဝင်ကြောင်း သိပ္ပံနည်းကျ သုတေသနများက အတည်ပြုထားသည်။<ref name="Wang2018">Wang, H., et al. (2018). "Biological activities and chemical constituents of Thanaka (Hesperethusa crenulata)". *Cosmetics*, 5(2), 26.</ref> ပူအိုက်စွတ်စိုသော မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရာသီဥတုတွင် အသားအရေကို အကာအကွယ်ပေးသည့်အတွက် သနပ်ခါးသည် မြန်မာလူမျိုးတို့၏ နေ့စဉ်ဘဝတွင် မရှိမဖြစ် အသုံးပြုကြသော ဓလေ့တစ်ခုအဖြစ် တည်ရှိနေဆဲ ဖြစ်သည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် စာပေအထောက်အထားများ == [[ဗမာလူမျိုး]]များသည် သနပ်ခါးကို ရှေးပုဂံခေတ် ကတည်းကပင် အလှခြယ်ပစ္စည်းနှင့် သဘာဝ ဆေးဝါးအဖြစ် အသုံးပြုခဲ့ကြသည့် သမိုင်းဝင် အထောက်အထားများစွာ ရှိသည်။ သနပ်ခါးကို အသုံးပြုသည့် ဓလေ့သည် [[မြန်မာ့သမိုင်း]]တွင် အစောပိုင်းခေတ်များကတည်းက စတင်ခဲ့ကြောင်း သမိုင်းနှင့် ရှေးဟောင်းသုတေသန အထောက်အထားများအရ သိရှိရသည်။ အချို့သော သမိုင်းသုတေသီများ၏ အဆိုအရ သနပ်ခါးကို အေဒီ ၅ ရာစုခန့် [[ပျူမြို့ပြနိုင်ငံများ]] ခေတ်နှင့် [[ပုဂံခေတ်]] အစောပိုင်း ကတည်းကပင် မြန်မာတို့ စတင်အသုံးပြုခဲ့ကြသည်ဟု ဆိုကြသည်။<ref name="PaganEra">Luce, G.H. (1985). *Phases of Pre-Pagan Burma*. Oxford University Press, pp. 105–112.</ref> ပုဂံမြို့ဟောင်းရှိ ရှေးဟောင်းစေတီတော်များ၊ ဂူဘုရားများနှင့် ရှေးဟောင်းသုတေသန တူးဖော်မှုများတွင် သနပ်ခါးသွေးရာ၌ အသုံးပြုသည့် ပျူခေတ်နှင့် ပုဂံခေတ် [[ကျောက်ပျဉ်]] အကျိုးအပဲ့များကို တွေ့ရှိရခြင်းသည် ဗမာတို့ သနပ်ခါး လိမ်းကျံသည့် ဓလေ့ အမြစ်တွယ်ခဲ့ပုံကို သက်သေပြနေသည်။<ref name="Luce1985">Luce, G.H. (1985). *Phases of Pre-Pagan Burma*. Oxford University Press, Vol. 1, pp. 105–112.</ref> ထို့ပြင် ပုဂံခေတ် နံရံဆေးရေးပန်းချီ အချို့တွင် နန်းတွင်းသူနန်းတွင်းသားများနှင့် အမျိုးသမီးများ၏ မျက်နှာပေါ်၌ သနပ်ခါးကွက်များ ကွက်၍ လိမ်းကျံထားပုံကို တွေ့ရှိနိုင်သည်<ref name="Strachan1989">Strachan, Paul (1989). *Pagan: Art & Architecture of Old Burma*. Kiscadale Publications, pp. 45–48.</ref> စာပေဆိုင်ရာ အထောက်အထားများတွင်လည်း ဗမာကဗျာဆရာ၊ စာဆိုတော်များနှင့် ရဟန်းပညာရှင်များသည် သနပ်ခါး၏ အလှအပနှင့် ရနံ့ကို တင်စားကာ ဖွဲ့ဆိုခဲ့ကြသည်။ အင်းဝခေတ် စာပေ ၁၅ ရာစု အင်းဝခေတ်၏ ထင်ရှားသော ရဟန်းစာဆို [[ရှင်မဟာရဋ္ဌသာရ]] (အေဒီ ၁၄၆၈-၁၅၂၉) သည် သူ၏ ဘူရိဒတ်ဇာတ်ပေါင်းပျို့ နှင့် ရတုများတွင် မြန်မာ့နန်းတွင်းသူတို့ သနပ်ခါးသွေး၍ အလှပြင်ကြပုံကို "နံ့သာချေရ၊ နာဆီမွှေးနှင့်..." ဟူ၍လည်းကောင်း၊ သနပ်ခါး၏ အေးမြသော သဘာဝနှင့် သင်းပျံ့သော ရနံ့ကို ဖွဲ့ဆိုခဲ့သည်။<ref name="HtinAung1967">Htin Aung, Maung (1967). *A History of Burma*. Columbia University Press, pp. 88–95.</ref>တောင်ငူနှင့် ညောင်ရမ်းခေတ် စာပေတွင် [[နတ်သျှင်နောင်]] ၏ ရတုကဗျာများနှင့် ညောင်ရမ်းခေတ် စာဆိုတော်များ၏ ဧချင်း၊ ပျို့များတွင် ဗမာအမျိုးသမီးတို့ သနပ်ခါးကို ပါးပြင်၌ ဘေးကွက်၊ ဘီစပ်ကွက် သို့မဟုတ် သနပ်ခါးအစင်း ရေးဆွဲကာ ရိုးရာအလှ ခြယ်သကြပုံများကို ရေးဖွဲ့ခဲ့ကြသည်။ကုန်းဘောင်ခေတ် စာပေများတွင်လည်း ကုန်းဘောင်ခေတ်တွင် စာဆို မိဖုရားကြီး [[မမြကလေး]]၊ [[လှိုင်ထိပ်ခေါင်တင်]] နှင့် ဦးပုည တို့၏ ကဗျာ၊ ပြဇာတ်နှင့် ပတ္တမြားကန်ဧချင်း စသည့် စာပေများ၌ "နံ့သာစောကဲ သနပ်ခါး" ဟူ၍ သနပ်ခါးကို အမွှေးနံ့သာများအနက် ထိပ်တန်းအဖြစ် တင်စားရေးသားခဲ့ကြသည်။<ref name="PeMaungTin1932">ဖေမောင်တင်၊ ဦး (၁၉၃၂)။ *မြန်မာစာပေသမိုင်း*။ ရန်ကုန်၊ သုဓမ္မဝတီစာပုံနှိပ်တိုက်၊ စာမျက်နှာ-၁၄၅-၁၅၀။</ref> ဗမာလူမျိုးတို့၏ ဓလေ့တွင် သနပ်ခါးသည် သာမန် လိမ်းကျံစရာ မဟုတ်ဘဲ မင်္ဂလာရှိသော သဘာဝ အလှအပဆိုင်ရာ သင်္ကေတအဖြစ် သတ်မှတ်ကြပြီး၊ အထူးသဖြင့် မြန်မာ့အထက်ပိုင်း ချင်းတွင်းမြစ်ဝှမ်းနှင့် ဧရာဝတီမြစ်ဝှမ်းတစ်လျှောက်ရှိ [[မကွေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး]] နှင့် [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]] စသည့် သနပ်ခါး အများဆုံး ထွက်ရှိရာ ဒေသများတွင် ဗမာလူမျိုးတို့သည် ယနေ့ထက်တိုင် သနပ်ခါးစိုက်ပျိုးခြင်းနှင့် သနပ်ခါးလိမ်းကျံသည့် ယဉ်ကျေးမှုအမွေအနှစ်ကို ခိုင်မာစွာ ထိန်းသိမ်းထားကြသည်။<ref name="NaySar2020">Nay Sar, et al. (2020). "Physicochemical and biological activities of Thanaka: A traditional Myanmar cosmetic". *Journal of Ethnopharmacology*, Vol. 250, 112465.</ref> == မြန်မာ့လူ့အဖွဲ့အစည်းအတွင်း သနပ်ခါး၏ ယဉ်ကျေးမှုနှင့် လူမှုရေးဆိုင်ရာ အခန်းကဏ္ဍ == မြန်မာနှင့် သနပ်ခါးသည် ခွဲခြား၍မရနိုင်သည့် မြန်မာ့ယဉ်ကျေးမှု ဓလေ့တစ်ခုဖြစ်ပြီး မြန်မာ့လူ့အဖွဲ့အစည်းအတွင်း သနပ်ခါးလိမ်းသည့် အလေ့အကျင့်ကို ရှေးနှစ်ပေါင်းများစွာကပင် စတင်ခဲ့သည်ဟု ယူဆထားကြသည်။ သနပ်ခါးယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ ရှေးဟောင်းသုတေသန အထောက်အထားများအဖြစ် ပုဂံခေတ် (အေဒီ ၁၁၁၃ ခုနှစ်) တွင် တည်ခဲ့သည့် [[မြင်းကပါကူပြောက်ကြီးဘုရား]] နံရံဆေးရေးပန်းချီများ၊ အေဒီ ၁၁၈၃ ခုနှစ်တွင် တည်ခဲ့သည့် [[စူဠာမဏိဘုရား]] အတွင်းနံရံပန်းချီများနှင့် ခေတ်အဆက်ဆက် တည်ဆောက်ခဲ့သော ဂူဘုရားများရှိ နံရံပန်းချီများတွင် သနပ်ခါးလိမ်းခြယ်သည့် ဓလေ့ကို သရုပ်ဖော် ရေးဆွဲထားသည်ကို တွေ့ရှိရသည်။<ref name="ThanakaHistory">Than Tun (1990). *Studies in Burmese History*. History Department, University of Yangon.</ref> ထို့အပြင် မြန်မာတို့၏ ရိုးရာရှေးရိုးပုံပြင်၊ ရိုးရာဘာသာစကားနှင့် စာပေအရေးအသားများတွင်လည်း သနပ်ခါးဓလေ့ကို ဖော်ပြခဲ့ကြပြီး ခေတ်အဆက်ဆက် ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည့် ပျို့၊ ကဗျာ၊ ဧချင်း၊ အိုင်ချင်း၊ မောင်းထောင်းတေး၊ လမိုင်းလယ်သူဟန်ချင်းနှင့် တေးထပ်များတွင် မြန်မာလူ့အဖွဲ့အစည်း၏ သနပ်ခါးသုံးစွဲသည့် ဓလေ့များကို ထည့်သွင်းစပ်ဆိုထားကြသည်။ မြန်မာနိုင်ငံတွင် သနပ်ခါးစိုက်ပျိုးရှင်သန်ရာ ဒေသများမှာ အပူပိုင်းဒေသများတွင် အများဆုံး တွေ့ရှိရသည်။<ref name="ThanakaCultivation">Ministry of Agriculture and Irrigation, Myanmar (2018). *Distribution and Cultivation of Thanaka in Myanmar*.</ref> မြန်မာတို့သည် သနပ်ခါးကို အလှအပအတွက်သာမက အသားအရေ ထိန်းသိမ်းရန်အတွက်လည်းကောင်း၊ ကျေးလက်တောရွာနေ လယ်သူမ ကောက်စိုက်သမလေးများနှင့် ဆောက်လုပ်ရေးလုပ်ငန်းခွင်မှ ပန်းရန်သမလေးများက ပူပြင်းသည့် နေလောင်ဒဏ်ကို ကာကွယ်နိုင်ရန် ခြေဆုံးခေါင်းဆုံး လိမ်းကျံလေ့ရှိကြသည်။ === မိသားစုနှင့် ဓလေ့ထုံးတမ်း အစဉ်အလာများ === မြန်မာ့လူ့အဖွဲ့အစည်းတွင် သနပ်ခါး၏ အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍတစ်ခုမှာ မိခင်က ရင်နှစ်သားသမီးကို ရေချိုးသန့်စင်ပြီးနောက် ကျောက်ပျဉ်ထက်မှ သနပ်ခါးရည် ပျစ်ပျစ်ကို လက်ဖြင့်သပ်ယူကာ နဖူးနှင့် ပါးပြင်များတွင် လိမ်းခြယ်ပေးကာ ဘုရားကို အာရုံပြုစေခြင်း ဖြစ်သည်။ ကြွင်းကျန်သော သနပ်ခါးကိုပါးစပ်ထဲ ခွံ့ပေးခြင်းဖြင့် ကလေးငယ်များတွင် ဖြစ်တတ်သော ကျောက်ရောဂါနှင့် ဝက်သက်ရောဂါတို့ကို ကာကွယ်ပေးသည်ဟု ယုံကြည်ကြသည်။<ref name="TraditionalCulture">Spicer, F. (2014). *Burmese Culture and Traditions*. White Lotus Press, pp. 140–145.</ref> မြန်မာ့ရိုးရာ [[တပို့တွဲလ]]တွင် ကျင်းပလေ့ရှိသော "မီးဖုန်းလှူပွဲ" (မီးပုံပွဲ) တွင် အအေးဓာတ်လွန်ကဲသဖြင့် ဘုရားရှင်ကိုယ်တော်မြတ်အား နွေးထွေးမှုရှိစေရန် ရည်စူး၍ သနပ်ခါးအတုံးများနှင့် အကိုင်းအလက်များကို ကရမက်၊ နံ့သာဖြူနီတို့နှင့် ရောနှောကာ မီးရှို့ပူဇော်ကြသည်။ ထို့ပြင် [[မန္တလေးမြို့|မန္တလေးမြို့]]ရှိ [[မဟာမြတ်မုနိဘုရားကြီး]]နှင့် [[အောင်တော်မူဘုရား]]တို့တွင် နံနက်စဉ်ဆက်မပြတ် မျက်နှာတော်သစ်ရာ၌ သနပ်ခါးနံ့သာရည်များဖြင့် ပူဇော်ကြသည်။<ref name="MandalayTradition" /> လွတ်လပ်ပျော်ရွှင်မှုကို ဖော်ပြသည့်အနေဖြင့် [[ယောဒေသ]]တွင် "ယောဓလေ့ သနပ်ခါးပါးတို့ပွဲ" နှင့် [[စဉ့်ကူးမြို့]]နယ် [[ခက်သင်ရွာ]]ရှိ [[ရွှေတောင်ဦးတောင်စေတီ]] တက်လမ်းတစ်လျှောက်တွင် သီတင်းကျွတ်လပြည့်နေ့၌ ရွာသူအပျိုချောများက ဘုရားဖူးလာပရိသတ်အား သနပ်ခါးမှုန့်ဖြင့် တို့ဖတ်ရိုက်ပေးသည့် ရိုးရာဓလေ့များလည်း တည်ရှိနေဆဲ ဖြစ်သည်။ === သနပ်ခါးအသင်းနှင့် နိုင်ငံတကာ ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု === မြန်မာ့သနပ်ခါး စိုက်ပျိုးထုတ်လုပ်ရေးကို စနစ်တကျ တိုးတက်ဖွံ့ဖြိုးစေရန်၊ ပြည်သူများ သနပ်ခါးအစစ်ကို သုံးစွဲနိုင်စေရန်နှင့် ရိုးရာယဉ်ကျေးမှုကို ထိန်းသိမ်းရန်အတွက် မြန်မာနိုင်ငံ သနပ်ခါးအသင်း ကို ၂၀၁၇ ခုနှစ် နိုဝင်ဘာလ ၁၁ ရက်နေ့တွင် စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။<ref name="ThanakaAssociation">Myanmar Thanaka Growers, Producers and Exporters Association (2019). *Annual Report on Thanaka Conservation and Promotion*.</ref> အဆိုပါအသင်းကြီးမှ နှစ်စဉ် တပို့တွဲလပြည့်နေ့ကို **မြန်မာ့သနပ်ခါးနေ့**အဖြစ် သတ်မှတ်ကာ ဟောပြောဆွေးနွေးပွဲများ၊ လက်ကမ်းစာစောင် ဖြန့်ဝေခြင်းနှင့် တခမ်းတနား ပူဇော်ပွဲများကို ကျင်းပလျက်ရှိသည်။ ထို့အပြင် မြန်မာ့သနပ်ခါးကို နိုင်ငံတကာဈေးကွက်သို့ ထိုးဖောက်ရောက်ရှိစေရန် ဆွစ်ဇာလန်နိုင်ငံအခြေစိုက် NGO အဖွဲ့တစ်ခုဖြစ်သော **Helvetas Myanmar** နှင့်လည်း ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်လျက် ရှိသည်။ === သိပ္ပံနည်းကျ သုတေသနပြုချက်များနှင့် ဆေးဘက်ဆိုင်ရာ အာနိသင်များ === မြန်မာနိုင်ငံရှိ တက္ကသိုလ်များနှင့် ပြည်ပတက္ကသိုလ်များ၏ သိပ္ပံနည်းကျ ဓာတ်ခွဲသုတေသန ပြုချက်များအရ သနပ်ခါးတွင် လူ့ခန္ဓာကိုယ်အကျိုးပြု ဒြပ်ပေါင်းများ (Bioactive compounds) ပါဝင်ပြီး ဘေးထွက်ဆိုးကျိုး မရှိကြောင်း၊ အလှကုန်ပစ္စည်းများအတွက် လိုအပ်သော အရင်းအမြစ်များ ကြွယ်ဝကြောင်း အတည်ပြုထားသည်။<ref name="ThanakaResearch">Win, K. T., et al. (2021). "Pharmacological and Cosmetic Properties of Thanaka (*Hesperethusa crenulata*)". *Journal of Herbal Medicine*, 28, 100450.</ref> မြန်မာ့တိုင်းရင်းဆေးကျမ်းများအရ သနပ်ခါးမြစ်ကို ဝမ်းနှုတ်ဆေး၊ ချွေးထုတ်ဆေးနှင့် နှလုံးအားဆေးအဖြစ် လည်းကောင်း၊ အသီးကို အဆိပ်ဖြေဆေးနှင့် ကျောက်ရောဂါ ကာကွယ်ဆေးအဖြစ် လည်းကောင်း၊ အရွက်ကို ဝက်ရူးပြန်နှင့် ငှက်ဖျားရောဂါ ပျောက်ဆေးများအဖြစ် လည်းကောင်း အသုံးပြုကြသည်။ အချုပ်အားဖြင့်ဆိုရသော် မြန်မာ့သနပ်ခါးသည် မြန်မာလူမျိုးတို့၏ ဘိုးဘွားအစဉ်အဆက် ထိန်းသိမ်းလက်ဆင့်ကမ်းလာခဲ့ကြသည့် ရိုးရာစာပေ၊ ဓလေ့ထုံးတမ်းနှင့် ပွဲတော်များတွင် နက်ရှိုင်းစွာ ပါဝင်နေသည့် အဖိုးတန် ဒြပ်မဲ့ယဉ်ကျေးမှုအမွေအနှစ် တစ်ရပ် ဖြစ်ပေသည်။ [[ဖိုင်:Rock_Flat.jpg|thumb|alt=Thanatkhar herbs|မြန်မာ့ သနပ်ခါးနှင့် ကျောက်ပျဉ်]] == ပေါက်ရောက်ရာဒေသ၊ သိပ္ပံအမည်နှင့် အပင်၏ ဝိသေသလက္ခဏာများ == သနပ်ခါး၏ ရုက္ခဗေဒ သိပ္ပံအမည်မှာ ''Hesperethusa crenulata'' (ရှေးဟောင်းအမည်သစ်အရ ''Limonia acidissima'' သို့မဟုတ် ''Naringi crenulata'') ဖြစ်ပြီး၊ ၎င်းသည် ရုက္ခဗေဒ မိသားစုဝင် [[ရုတေစီအေ (Rutaceae)]] (သံပရာ၊ လိမ္မော်မိသားစု) နွယ်ဖွား အပင်တစ်မျိုး ဖြစ်သည်။<ref name="FloraOfChina">Flora of China Editorial Committee. *Flora of China*, Science Press and Missouri Botanical Garden Press.</ref> သနပ်ခါးပင်သည် မြန်မာနိုင်ငံအလယ်ပိုင်း မိုးနည်းရေရှားဒေသဖြစ်သော အညာဒေသ (စစ်ကိုင်း၊ မကွေး၊ မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးတို့၏ ခြောက်သွေ့သော မြေမျက်နှာသွင်ပြင်နှင့် ယာမြေများ) တွင် မူလအစ အဓိက ပေါက်ရောက်ရှင်သန်ခဲ့သော ဒေသရင်းသစ်ပင် (Endemic plant) တစ်မျိုး ဖြစ်ကာ အိန္ဒိယနိုင်ငံ၊ သီရိလင်္ကာနှင့် အခြား အရှေ့တောင်အာရှ ဒေသများတွင်လည်း ပျံ့နှံ့ပေါက်ရောက်ကြသည်။<ref name="PaanThanaka2020">Nay Sar, et al. (2020). "Physicochemical and biological activities of Thanaka: A traditional Myanmar cosmetic". *Journal of Ethnopharmacology*, Vol. 250, 112465.</ref> ဤအပင်သည် အပူပိုင်းဒေသ၏ ပူပြင်းခြောက်သွေ့ပြီး ရေရှားပါးကာ နေရောင်ခြည်ပြင်းထန်သော ရာသီဥတုဒဏ်ကို အထူးခံနိုင်ရည်ရှိပြီး၊ အညာဒေသ၏ မြေဆီလွှာနှင့် ရာသီဥတု အခြေအနေတို့ကြောင့် အကောင်းဆုံး အရည်အသွေးရှိသော သနပ်ခါးပင်များကို ပေါက်ဖွားစေနိုင်ကာ ၎င်း၏ အခေါက်နှင့် အမြစ်များတွင် ထူးခြားသည့် ဆေးဘက်ဝင်အာနိသင်များနှင့် အမွှေးအကြိုင် ဓာတုပစ္စည်းများ အများအပြား စုဝေးတည်ရှိနေသည်။ ရုက္ခဗေဒဆိုင်ရာ အပင်ဝိသေသလက္ခဏာများအရ သနပ်ခါးသည် အပင်ငယ် သို့မဟုတ် အလတ်စား အမြဲစိမ်းပင် အမျိုးအစားဖြစ်ပြီး ပုံမှန်အားဖြင့် အမြင့် ၁၅ ပေမှ ပေ ၃၀ ခန့်အထိ ကြီးထွားနိုင်ကာ ပင်စည်အခေါက်မှာ ကြမ်းတမ်းပြီး အဖြူရောင် သို့မဟုတ် မီးခိုးရောင် သန်းလျက်ရှိပြီး အကိုင်းအခက်များတွင် ချွန်ထက်သော ဆူးများ ပါရှိတတ်သည်။ အရွက်များသည် ငှက်မွှေးပုံစံ ပေါင်းရွက်များဖြစ်ကာ ရွက်စုံအလှည့်ကျ ထွက်ရှိကြပြီး ရွက်ပြား၏ အနားများတွင် လှိုင်းတွန့် သို့မဟုတ် လွှသွားပုံစံ အစွယ်ငယ်များ ပါရှိကာ နွေရာသီနှင့် မိုးဦးကျကာလများတွင် အဖြူရောင် သို့မဟုတ် အဝါနုရောင်ရှိသော သေးငယ်သည့် ပန်းပွင့်ငယ်များကို စုပြုံ၍ ပွင့်တတ်သည်။ ပန်းပွင့်ပြီးချိန်တွင် အလုံးပုံစံ သို့မဟုတ် ဘဲဥပုံစံ အသီးငယ်များ သီးထွက်လာပြီး မှည့်လာသည့်အခါ အနက်ရောင် သို့မဟုတ် ခရမ်းရောင်သို့ ပြောင်းလဲသွားကာ ၎င်းသနပ်ခါးပင်၏ အခေါက်၊ အကိုင်းနှင့် အမြစ်ပိုင်းများကို ကျောက်ပျဉ်တွင် ရေနှင့် သွေးလိမ်းခြင်းဖြင့် မြန်မာတို့၏ ရိုးရာ အလှခြယ်ပစ္စည်းနှင့် အသားအရေ ထိန်းသိမ်းရေးပစ္စည်းအဖြစ် အဓိက အသုံးပြုကြခြင်း ဖြစ်သည်။<ref name="Hooker1875">Hooker, J. D. (1875). *The Flora of British India*, L. Reeve & Co., London.</ref> ===စိုက်ပျိုးခြင်း=== သနပ်ခါးပင်များကို ဂဝံ/ကျောက်စရစ်မြေ (Gravel soil) တွင် အဓိကစိုက်ပျိုးကြ၍ ရွံ့စေးမြေ၊ ဆားပေါက်သောမြေ၊ ရေဝပ်သောမြေများမှ လွဲ၍ ကျန်မြေအမျိုးအစားများတွင် စိုက်ပျိုးနိုင်သည်။ အပင် ၂-၃နှစ်သား အရွယ်မှ စ၍ ပင်ခြေအတက်များနှင့် အကိုင်းအခက်များကို ရှင်းလင်းဖယ်ရှား ပေးကြသည်။ သနပ်ခါးပင်များသည် ယေဘုယျအားဖြင့် သက်တမ်း ၅-၈ နှစ် အရွယ်တွင် စတင်ဈေးကွက်ဝင်ကာ အရည်အသွေး အကောင်းဆုံး သနပ်ခါးတစ်ပင် ရရှိရန်မှာ သက်တမ်း(၃၅)နှစ်ခန့် လိုသည်ဟု ဆိုကြသည်။<ref>သနပ်ခါးအကြောင်း သိကောင်းစရာနှင့် စိုက်ပျိုးနည်းစနစ် စာအုပ်၊ စိုက်ပျိုးရေး ဦးစီးဌာန။</ref> ===သနပ်ခါးတွင် ဓာတုပစ္စည်း ပါဝင်မှု=== # 2-quinolone and 2-hydroxy quinoline # N-acetyl-N-methyltryplamine # Tanakine and Tanakamine # 7-methoxy-6-(2,3-epoxy-6-methylbutyl) coumarin # 4-methoxy -1-methy 1-2quinolone and marmesin from the organic extracts of the root bank # Suberosin နှင့် marmesin တို့သည် Antibacterial activity နှင့် UV absorption ဂုဏ်သတ္တိများ ရှိသည်။ ==ဆေးဘက်ဆိုင်ရာ== မြန်မာ့ဆေးကျမ်းများအရ သနပ်ခါးသည် ပူ၏။ သွေးကိုကြွစေတတ်၏။ ပူ ခါး ချုပ် ပွင့် ဖြစ်၏။ ငန်းမန်းကို နိုင်စေ၏။ အပူနာ။ အအေးနာ၊ နှစ်မျိုးစလုံးနိုင်၏ဟု ဆိုထားသည်။ သိပ္ပံနည်းဆေးကျမ်းအရဆိုလျှင် Anti-bacterial နှင့် Anti-fungal ပါဝင်မှုကြောင့် အသားအရေကို ကြည်လင်သန့်စင်စေကာ ဝက်ခြံ၊ တင်းတိပ်ကို ပျောက်ကင်းစေသည်။ အဖြူ အမည်းစက်များ ဖြစ်ပေါ်မှုကိုလည်း ပျောက်ကင်းစေပြီး၊ အဖုအပိတ်များကိုလည်း ပျောက်ကင်းစေသည်ဟု ဖော်ပြကြသည်။ သနပ်ခါးတွင် Coumarine ဓာတ်ပါဝင်သဖြင့် အသားအရေပေါ်တွင် ဘက်တီးရီးယားနှင့် မှိုကြောင့်ဖြစ်သော ရောဂါများကို ဖယ်ရှားပေးနိုင်ပြီး၊ အိုမင်းရင့်ရော်မှုကို လျော့ကျစေပြီး အရွယ်နုပျို လန်းဆန်းစေသည်။ Mamesin ပါဝင်မှုကြောင့် ခရမ်းလွန်ရောင်ချည် (UV-A ray) ကြောင့်ဖြစ်ပေါ်သော မျက်နှာပေါ်တွင် အရေပြားတွန့်လိမ်ခြင်း (အရေးအကြောင်း ပေါ်ခြင်း) ၊ အရေပြား အရောင်ပျက်ခြင်း (Skin discoloration) မှကာကွယ်ပြီး တင်းတိတ်နှင့် အရေပြားကင်ဆာ ဖြစ်ပေါ်မှုကိုလည်း ကာကွယ်သည်။<ref>Application of Myanmar traditional THANAKHA as cosmetic; Asian Institute of Technology. Food Engineering and Bioprocess Technology, School of Environment, Resources and Development.</ref> ==ရှင်မတောင် သနပ်ခါး== သနပ်ခါးထဲတွင် လူကြိုက်အများဆုံးမှာ [[ရှင်မတောင်]] သနပ်ခါးဖြစ်သည်။ ရှင်မတောင်သနပ်ခါး၏ မွှေးရနံ့ကြောင့် မြန်မာလူမျိုးတိုင်း ရှင်မတောင် သနပ်ခါးကို နှစ်သက်ကြခြင်း ဖြစ်သည်။ ရှင်မတောင်သနပ်ခါးအပြင် ရွှေဘိုသနပ်ခါးကိုလည်း နှစ်သက်ကြပါသေးသည်။ ရွှေဘိုသနပ်ခါးသည် ရှင်မတောင်သနပ်ခါးကဲ့သို့ ထူးခြားစွာ အနံ့ မမွှေးပေမယ့် ဝင်းဝါတဲ့ အဆင်းကိုပေးပြီး ညက်လှတဲ့အတွက် ရွှေဘိုသနပ်ခါးကိုလည်း မြန်မာအမျိုးသမီးများက နှစ်သက်ကြသည်။ သနပ်ခါးပင်နှင့် မျိုးစိတ်နာမည်တူပြီး သနပ်ခါးနဲ့ လို့လည်း ခေါ်ဆိုကြတဲ့ [[သီးပင်]] (Limonia acidissima)လည်းရှိပါသေးသည်။ သီးပင်ကို wood apple ဟု အမည်ခေါ်ဆိုကြသည်။ မြန်မာလူမျိုးများက သီးပင်၏ အသီးကို [[ထန်းလျက်]]နှင့်ပေါက်ကာ ရောမွှေစားလေ့ရှိကြသည်။ သီးပင်၏ အခေါက်ဖြစ်သော သီးခေါက်ကိုလည်း သနပ်ခါးအဖြစ် သွေးလိမ်းကြသည်။ ရှင်မတောင် သနပ်ခါးကဲ့သို့ အနံ့ မမွှေးပျံ့ သော်လည်းပဲ ကျောက်ပျဉ်၌ သွေးလိုက်သည့်အခါမှာ စေးနေပြီး လိမ်းလိုက်ရင် အသားအရေ စိုပြည်ဝင်းပလာသောကြောင့် မြန်မာအမျိုးသမီးများက သီးခေါက်ကိုလည်း နှစ်သက်ကြပါသေးသည်။ သနပ်ခါးကို မြန်မာလူမျိုးများနှစ်သက်ကြခြင်းသည် သနပ်ခါး၏ ဆေးဖက်ဝင်သော ဂုဏ်သတ္တိကြောင့်လည်း ဖြစ်သည်။ နေလောင်ခြင်းဒဏ်မှ ကာကွယ်ပေးနိုင်သော သနပ်ခါးကို ပူအိုက်စွတ်စိုသော ရာသီဥတုရှိသည့် မြန်မာနိုင်ငံမှာ အရေပြားထိန်းသိမ်းဖို့အတွက် အဓိကထားကြသည်။ အရေပြားယားယံခြင်း ၊ ဓာတ်မတည့်ခြင်းတို့အတွက် သနပ်ခါးကို ဆားနှင့် ရောသွေးကာ လိမ်းကျံကြသည်။ မျက်နှာမှာ ဝက်ခြံကင်းပြီး အသားအရေ ချောမွေ့ဖို့အတွက် သနပ်ခါးက ဆေးဖက်ဝင်ပါသည်။ [[ရခိုင်ပြည်နယ်]] ၊ [[စစ်တွေမြို့]]တွင် နှစ်စဉ် သင်္ကြန်အကြိုနေ့တိုင်းမှာ သနပ်ခါးသွေးပွဲ ကျင်းပလေ့ရှိသည်။ သင်္ကြန်အကြိုနေ့ညမှာ အမျိုးသမီးလေးများက သနပ်ခါးသွေးကြပြီး အမျိုးသားလေးများက သီချင်းများ တီးမှုတ်သီဆိုကြသည်။ သွေးပြီး ရရှိလာတဲ့ သနပ်ခါးများကို ဘုရားဆင်းတုတော်များကို သနပ်ခါးရည်နဲ့ ဆေးကြာပြီး ကုသိုလ်ယူကြတဲ့ ဓလေ့ဟာ ယခုထိတိုင် ရခိုင်ပြည်နယ်မှာ ရှိနေပါသည်။ သနပ်ခါးအတုံးကို ကျောက်ပျဉ်မှာ ရေနှင့်သွေးလိမ်းခြင်းအပြင် သနပ်ခါးမှုန့်ကိုလည်း မျက်နှာလိမ်း ပေါင်ဒါ အဖြစ် အသုံးပြုကြသည်။ အဆီပြန်တဲ့ အသားအရေ ရှိသူများအတွက် သနပ်ခါးသည် အသင့်တော်ဆုံး အလှပြင် သဘာဝ မိတ်ကပ်တစ်မျိုးပဲ ဖြစ်သည်။ ရှင်မတောင်သနပ်ခါးတုံးများကို သိမ်းဆည်းတဲ့အခါမှာ ပလပ်စတစ်အိတ်ထဲ ထည့်ပြီး သိမ်းဆည်းခြင်းသည် အကောင်းဆုံးပါ။ သစ်သားစားပွဲပေါ်မှာ သစ်သားနဲ့ ထိထားရင် ရှင်မတောင်သနပ်ခါးနံ့သာ သစ်သားဆီကို ကူးသွားပြီး ရှင်မတောင်သနပ်ခါးက အနံ့ ပြယ်သွား တတ်သည်။ ရှင်မတောင်သနပ်ခါးတုံးများ အထားကြာ၍ မမွှေးတော့ဘူးဆိုရင် ရေနွေးပွက်ပွက်ဆူကို သနပ်ခါးတုံးပေါ် လောင်းချလိုက်ရင် အနံ့ပြန်မွှေးလာသည်။ ရှင်မတောင် သနပ်ခါးတုံးကို ရေနွေးပူပူနဲ့ ဆေးကြောပြီး နေပူပူမှာ နေလှန်းထားရင် ရှင်မတောင်နံ့ အလွန်မွှေးပျံ့ နေမှာ ဖြစ်သည်။ [[ကဏ္ဍ:သစ်ပင်များ]] ==ရုပ်ပုံများ== <gallery> File:Thanaka girls.JPG|သနပ်ခါးလိမ်းထားကြသည့် ကျေးလက်နေ အမျိုးသမီးများ File:Thanaka.jpg|ရောင်းချရန်အတွက် ထားရှိသည့် သနပ်ခါးများ File:Thanaka_kyaukpyin.JPG|ကျောက်ပြင်များ Image:Thanaka_woman.JPG|ဈေးသည်တစ်ဦး သနပ်ခါးလိမ်းထားပုံ၊ မန္တလေး Image:Thanaka_kids.JPG|သနပ်ခါးလိမ်းထားသည့် ကလေးများ၊ မန္တလေး Image:Thanaka_seller.JPG|စစ်ကိုင်းမြို့၊ ကောင်းမှုတော်ဘုရားတွင် သနပ်ခါးတုံးမျာ ရောင်းချနေပုံ File:Karen Girl Wearing Thanaka.JPG|ကရင်လူမျိုးကလေးငယ်တစ်ဦး သနပ်ခါးလိမ်းထားပုံ File:Hindu woman in Myanmar, wearing thanakha.jpg|ဟိန္ဒူအမျိုးသမီးတစ်ဦး သနပ်ခါးလိမ်းထားပုံ File:Thanakha Tone.jpg|ရောင်းချရန်ထားရှိသည့် သနပ်ခါးတုံးများ၊ ရွှေဂူနီဘုရား </gallery> ==ကိုးကား== {{Reflist}} [[Category:မြန်မာ့ ယဉ်ကျေးမှု]] [[Category:အလှကုန်ပစ္စည်းများ]] agwpc8k2trx19dc9drqa6ei91p7w6db 3 4841 1060763 1052258 2026-10-30T17:07:52Z Zawzawaungthwin 100038 /* မင်းဒင်ဆောင်းပါးကိစ္စဆွေးနွေးခြင်း */ အပိုင်းသစ် 1060763 wikitext text/x-wiki ကိုမေယာကြီးရေ..ရောက်လာတာ ဝမ်းသာတယ်ဗျာ။ ကိုမေယာရဲ့ ပို့စ်တချို့တောင် တင်ထားတာ ဒီမှာ ရှိနေပြီဗျို့။ ကြိုဆိုပါတယ်။ --[[User:Mmthinker|Mmthinker]] ၁၀:၁၆၊ ၁ ဧ​ပြီ​ ၂၀၀၉ (UTC) ==အကို ကျွန်တော် ဝူကျယ်ထျန်း ဧကရီ== အကြောင်း တည်းဖြစ် နေလို့ပါ Infobox Royalty ကို အကိုဖန်တီးပေးလို့ရလားဗျ ကျွန်တော် မသိလို့ပါ== == WeLc0mE !! == ကြိုဆိုပါတယ်ဗျာ... ဆရာ..။ ဒီကစလို့ ဆရာ့လက်ရာတွေ များသထက်များနိုင်သမျှ မြင်တွေ့ရမယ်လို့ ယုံကြည်မျှော်လင့်ပါတယ်..။ ကျွန်တော်ကလည်း ဆရာ့ကို မျှော်နေတာဗျ..။ ရောက်လာတော့ အဖော်ကောင်း ပြန်ရပြီပေါ့...။ မဟုတ်ရင် ပျင်းစရာကြီးဖြစ်နေတာ..။ ဟတ်..ဟတ်..။ --[[User:လဂွန်းအိန်|လဂွန်းအိန်]] ၁၁:၅၃၊ ၁ မေ​ ၂၀၀၉ (UTC) :Sir Myat Thwin,.. Help me.. Plz Share the NHM Writer from Gmail to me or Link here .. --[[User:Lagoonaing|Lagoonaing]] ၀၆:၃၁၊ ၂၉ နို​ဝင်​ဘာ​ ၂၀၁၁ (UTC) :: [http://www.myanmarlanguage.org/unicode/input-methods-unicode ဒီမှာ] လင့်ခ်ရှိပါတယ်။ [[User:Zawthet|Zawthet]] ၀၆:၃၃၊ ၂၉ နို​ဝင်​ဘာ​ ၂၀၁၁ (UTC) :::: ကျေးဇူးပါ...ကိုဇော်သက်ရေ ...--[[User:Mayor mt|Mayor mt]] ၀၆:၃၆၊ ၂၉ နို​ဝင်​ဘာ​ ၂၀၁၁ (UTC) == ဘိုတောက် ရောက်ရှိခြင်း== အကိုရေ .. ကျနော် ပုံတွေ တင်ပေးမလို့ဟာ မရဘူးဗျ .. ။ စာရေးရတာထက် ပုံတင်ရတာ အချိန် သိပ်မကုန်လို့ပါ။ [[User:Botauk|Botauk]] ၀၅:၄၅၊ ၉ မေ​ ၂၀၀၉ (UTC) :: အဆင်သင့်တာပေါ့။ ကျုပ်ကလည်း စာပဲရေးချင်၊ တည်းြဖတ်ပြင်ဆင်တာသာ လုပ်ချင်တယ်၊ ပုံတင်ရင် အဆင်မပြေတာ များလွန်းလို့။ --[[User:Mmthinker|Mmthinker]] ၀၅:၄၂၊ ၁၄ ဒီ​ဇင်​ဘာ​ ၂၀၀၉ (UTC) အသစ်လေးဘာလေး တင်ပါဦး။ [[User:Lionslayer|Lionslayer]] == ရဟတ်ယာဉ် စာမျက်နှာ ပေါင်းချင်လို့ပါ == ကို MT, စာမျက်နှာအသစ် [[ရဟတ်ယာဥ်]]ကို [[ရဟတ်ယာဉ်]]နဲ့ ပေါင်းချင်ပါတယ်။ အက္ခရာ ဥနဲ့ ညလေး (ဉ) လွဲနေလို့ စာမျက်နှာ လွဲသွားတာပါ။ ကျေးဇူးပါ။ [[User:Zawthet|Zawthet]] ၁၂:၁၆၊ ၁၄ အောက်​တို​ဘာ​ ၂၀၁၀ (UTC) ::: ပေါင်းပါ --[[User:Mayor mt|Mayor mt]] ၀၃:၀၈၊ ၁၅ အောက်​တို​ဘာ​ ၂၀၁၀ (UTC) ==Burmese placenames== Hi Mayor mt, I have added some new names where our church has recently been established. Do you know the Burmese translations for [http://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%85%E1%80%85%E1%80%BA%E1%80%99%E1%80%BE%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%9E%E1%80%B1%E1%80%AC%E2%80%8B%E1%80%9A%E1%80%B1%E1%80%9B%E1%80%BE%E1%80%AF%E1%80%98%E1%80%AF%E1%80%9B%E1%80%AC%E1%80%B8%E1%81%8F%E1%80%A1%E1%80%9E%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%B8%E1%80%90%E1%80%B1%E1%80%AC%E1%80%BA these placenames]? Your help would be gratefully appreciated, Thankyou. --[[User:Jose77|Jose77]] ၀၈:၁၇၊ ၁၉ အောက်​တို​ဘာ​ ၂၀၁၀ (UTC) == Merged? == Hello. I see you have just blanked a page. I don't understand the language here, but apparently the page was merged. If so, maybe some of them can work as a redirect. If not, I guess you should send it to be deleted instead of blanking. Sorry for I'm speaking in English. Happy editing.” [[user:Teles|'''T'''_eleS]] ([[User talk:Teles|<font color="#EC2300">'''T'''</font>]] _{[[:m:user talk:Teles|M]] [[Special:Emailuser/Teles|@]] [[Special:Contributions/Teles|C]] [[Special:CentralAuth/Teles|G]]}) ၀၅:၀၇၊ ၂၆ ဒီ​ဇင်​ဘာ​ ၂၀၁၀ (UTC) ::Thankyou Teles, You talk me know. --[[User:Mayor mt|Mayor mt]] ၀၉:၁၅၊ ၂၉ ဒီ​ဇင်​ဘာ​ ၂၀၁၀ (UTC) == အကိုရေကူပါဦး == ကျွန်တော် အနောက်ပိုင်းတက္ကသိုလ်ကိုပြင်နေတာ ဓာတ်ပုံတင်တာ ခွင့်ပြုချက်မရှိူးပဲပြောနေတယ် အဲဒါဘယ်လိုလုပ်ရမလဲ ကူပါဦး--phyolay83--Pp: ၀၆:၄၈၊ ၁၂ ဇန်​န​ဝါ​ရီ​ ၂၀၁၁ (UTC) :::ကျွန်တော်ဆီ gmail (mayormt@gmail.com)ပို့လိုက်ပါ။ ကျွန်တော်တင်ေပးပါ့မယ်...။--[[User:Mayor mt|Mayor mt]] ၀၇:၁၂၊ ၁၂ ဇန်​န​ဝါ​ရီ​ ၂၀၁၁ (UTC) == asked by Hana San == Hello Ko MT , Do you know who the author of this poem is ? :) Thank you. ဝိုင်းကြီး ဝိုင်းကြီး ဘယ်လောက်ကြီး (ဟော ..ဒီလောက်ကြီး) ဝိုင်းလေး ဝိုင်းလေး ဘယ်လောက်သေး (ဟော..ဒီလောက်သေး) မအေးခြင်းတောင်း ဘယ်လောက်ပေးရတယ် ငါးမူးတကျပ်ပေးရတယ်။ ငါ့ကိုရောင်းပါကွယ် (အမေဆူလိမ့်မယ်) အမေဆူရင် ငါ့ဆီပြေးခဲ့ ဝိုင်းကြီးပတ်ပတ်ဒူဝေဝေ ဝိုင်းကြီးပတ်ပတ်ဒူဝေဝေ... [[User:Hana San|Hana San]] ၀၆:၂၃၊ ၂၀ ဖေ​ဖော်​ဝါ​ရီ​ ၂၀၁၁ (UTC) :: ဒါက မြန်မာ့ရိုးရာကစားနည်းထဲက ဝိုင်းကြီးပတ်ပတ်ဒူဝေဝေ ကစားနည်း ဖြစ်တယ်။ --[[User:Mayor mt|Mayor mt]] ၀၅:၁၆၊ ၂၂ ဖေ​ဖော်​ဝါ​ရီ​ ၂၀၁၁ (UTC) မင်္ဂလာ နှစ်သစ်ကူးပါ။ သင်္ကြန်မနားဘူးလား အကို။ :P [[User:Battoe19|Battoe]] ၁၆:၂၀၊ ၁၅ ဧ​ပြီ​ ၂၀၁၁ (UTC) == Mingalaba == Hello, please write an article about Burmese letters.--[[Special:Contributions/92.243.181.140|92.243.181.140]] ၁၉:၅၆၊ ၁၆ ဧ​ပြီ​ ၂၀၁၁ (UTC) == Barnstar == {| style="border: 1px solid gray; background-color: #fdffe7;" |rowspan="2" valign="middle" | {{#ifeq:{{{2}}}|alt|[[Image:Working Wikimedian's Barnstar Hires.png|100px]]|[[Image:Working Wikimedian's Barnstar Hires.png|100px]]}} |rowspan="2" | |style="font-size: x-large; padding: 0; vertical-align: middle; height: 1.1em;" | '''The Working Wikipedian's Barnstar''' |- |style="vertical-align: middle; border-top: 1px solid gray;" | You are the person to deserve this Barnstar. [[User:Lionslayer|<span style="text-shadow:grey 0.1em 0.1em 0.1em; class=texhtml"><font size=2><font color=#000000><font face="BankGothic Md BT"><b><i>@==<font color=#330000>{<font color=#660000>Lion<font color=#990000>sla<font color=#FF0000>yer>]][[User_Talk:Lionslayer|<span style="text-shadow:grey 0.1em 0.1em 0.1em; class=texhtml"><font size=2><font color=#427224>^☎</span></span></span>]] ၀၈:၄၂၊ ၈ ဩ​ဂုတ်​ ၂၀၁၁ (UTC) |} ==ယင်လပ် ရှင်နာဝပ်== [[ယင်လပ် ရှင်နာဝပ်]] က ရှိပြီးသား အစ်ကိုရေ။ ပေါင်းလိုက်ပြီ။ [[User:Zawthet|Zawthet]] ၀၉:၄၃၊ ၁၁ အောက်​တို​ဘာ​ ၂၀၁၁ (UTC) ကျေးဇူးပါ ကိုဇော်သက်ရေ...--[[User:Mayor mt|Mayor mt]] ၁၀:၀၈၊ ၁၁ အောက်​တို​ဘာ​ ၂၀၁၁ (UTC) ==ခုနှစ်အလိုက်လစဉ်စာမျက်နှာများပုံစံချခြင်း== အစ်ကို ကိုမေယာ။ နှစ်အလိုက် လစဉ်စာမျက်နှာတွေကို ပုံစံချတဲ့အခါ တစ်နှစ်ပြီးတစ်နှစ်မသွားပဲ။ ၁၉၀၁ မှ ၂၀၀၀ ခုနှစ်အထိ မတ်လ ဆို မတ်လချည်းပဲ ပုံစံလိုက်ချပေးရင် လုပ်ရတဲ့ နှုန်း ပိုမြန်မယ်ထင်တယ်နော်အစ်ကို။ ဘာလို့လဲဆိုတော့ ကော်ပီကူးထားတဲ့ ပုံစံက နောက်စာမျက်နှာအသစ်ထဲ ထည့်တဲ့အခါမှာ ခုနှစ်ပဲ ပြင်စရာလိုတော့လို့ပဲ။ အထဲက အချက်အလက်တွေတော့ နောက်မှ ထည့်ကြတာပေါ့။ လောလောဆယ် ပုံစံအရင်ချထားမယ်လို့ စိတ်ကူးနဲ့ လုပ်နေတာပါ။ ၁၉၀၁ ကနေ ၂၀၀၀ ခုနှစ်အထိ လတွေအားလုံး ပုံစံချပြီးရင်တော့ စာမျက်နှာပေါင်း ၁၂၀၀ တိုးလာ လိမ့်မယ်။ တစ်သောင်းပြည့်တော့မယ်ပေါ့။ ဒါတောင် ၁၇ရာစုနဲ့ ၁၈ရာစု မလုပ်ရသေးဘူး။ -- သုတေသီ ၀၆:၅၈၊ ၂၉ နို​ဝင်​ဘာ​ ၂၀၁၁ (UTC) :::ဟုတ်ကဲ့ပါ။ ကျေဇူးပါ။ ::::[[template:၂၀ရာစု|၂၀ရာစုရဲ့ခုနှစ်များ template]] စာမျက်နှာကို ဖွင့်ထားပြီးတော့ အဲဒီကနေတဆင့် ခုနှစ် အစဉ်လိုက် သွားရင် ပိုမြန်တယ်။ ကျွန်တော်တော့ ခဏနားလိုက်ဦးမယ်။ ၁၉၀၁-၂၀၀၀ အတွက် ဇန်နဝါရီလ စာမျက်နှာတွေ အကုန်ထည့်ပြီးသွားပြီ။ ဖြည်းဖြည်း လုပ်ကြတာပေါ့။ -- သုတေသီ ၀၇:၃၉၊ ၂၉ နို​ဝင်​ဘာ​ ၂၀၁၁ (UTC) :::::ကိုမေယာကြီးရှိလို့ အဖော်ကောင်းတာနဲ့ ဆက်တိုက် လုပ်လိုက်တာ တစ်သောင်းကျော်သွားပြီ။ အထဲက အချက်အလက်တွေ ဖြည့်ဖို့ပဲ လိုတော့တယ်။ လက်ရော၊ မျက်စိရော၊ ခါးရော အတော်ညောင်းသွားတာပဲဗျာ။ -- သုတေသီ ၀၈:၂၈၊ ၃၀ နို​ဝင်​ဘာ​ ၂၀၁၁ (UTC) ::ဟုတ်တယ်...တကယ်တော့...တစ်ယောက်ထဲ ရေးနေရင်....တခါတလေ ပျင်းလာတယ် အဖော်လေးနဲ့ဆို.....--[[User:Mayor mt|Mayor mt]] ၀၈:၃၈၊ ၃၀ နို​ဝင်​ဘာ​ ၂၀၁၁ (UTC) == ဓာတ်ပုံလေး စစ်ပေးပါ == အစ်ကို။ ကျေးဇူးပြုပြီး ဒီဆောင်းပါး နှစ်ပုဒ်ကို စစ်ပေးပါ။ User တစ်ယောက်က Report လုပ်လာလို့ပါ။ [[ကျော်ဝင်း]] နဲ့ [[ကျော်ဝင်း၊ မနုဿ (စာရေးဆရာ)]] မှာ အကြောင်းအရာက ကွဲပြီး ဓာတ်ပုံက တူနေတယ်။ ဘယ်ဓာတ်ပုံက အမှန်လဲ ဆိုတာ ကျွန်တော် မသိလို့ပါ။ ကျေးဇူး။ [[User:Zawthet|Zawthet]] ၀၅:၅၁၊ ၁၄ ဒီ​ဇင်​ဘာ​ ၂၀၁၁ (UTC) ::ဟုတ်ကဲ့...ကျွန်တော် ရှာပြီး ကြည့်လိုက်ပါ့မယ်..။--[[User:Mayor mt|Mayor mt]] ၀၇:၅၀၊ ၁၅ ဒီ​ဇင်​ဘာ​ ၂၀၁၁ (UTC) *ကျော်ဝင်း၊ မနုဿ (စာရေးဆရာ) ဓာတ်ပုံနဲ့ ကျော်ဝင်းဓာတ်ပုံ ဖိုင်အမည်ချင်း တူနေတော့ အရင်တင်ထားတဲ့ပုံပေါ်နေတာ...မနုဿကျော်ဝင်းပုံကို တင်လိုက်ပါပြီ.. ။--[[User:Mayor mt|Mayor mt]] ၀၈:၃၄၊ ၁၅ ဒီ​ဇင်​ဘာ​ ၂၀၁၁ (UTC) ==Article Request== Please write about ဆရာတော် [[ဦးဝိစာရ]] [[en:U Wisara|U Wisara]]. Image [http://commons.wikimedia.org/wiki/File:U_Wisara_Statue_standing_on_top_of_pile_of_bamboo_sticks.JPG here]. Thanks. [[User:Lionslayer|<span style="text-shadow:grey 0.1em 0.1em 0.1em; class=texhtml"><font size=2><font color=#000000><font face="BankGothic Md BT"><b><i>@==<font color=#330000>{<font color=#660000>Lion<font color=#990000>sla<font color=#FF0000>yer>]][[User_Talk:Lionslayer|<span style="text-shadow:grey 0.1em 0.1em 0.1em; class=texhtml"><font size=2><font color=#427224>^☎</span></span></span>]] ၀၂:၁၆၊ ၅ ဇန်​န​ဝါ​ရီ​ ၂၀၁၂ (UTC) ::Ok Ko mg mg san --[[User:Mayor mt|Mayor mt]] ၀၉:၂၈၊ ၅ ဇန်​န​ဝါ​ရီ​ ၂၀၁၂ (UTC) == အက်ဒမင်တွေဘယ်ရောက် == အက်ဒမင်တွေ ဘယ်ရောက်နေလဲ မသိဘူး ခင်ဗျ။ အစ်ကိုရော သိလား။ ကျွန်တော် Adminship Request ထားတာ ဘယ်သူမှလဲ ဘာမှ ရီပလိုင်း မပြန်ကြလို့။ ဒီရက်ပိုင်း မြန်မာဝီကီမှာ လူတွေ သိပ်ပြီး မတွေ့သလိုပဲနော်။ --[[User:Aungthurahein|Aungthurahein]] ၀၄:၀၄၊ ၂၇ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၁၂ (UTC) ::အက်ဒမင်တွေ ရှိပါတယ်...၊ မအားကြလို့ နေမှာပါ...--[[User:Mayor mt|Mayor mt]] ၀၄:၁၄၊ ၂၇ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၁၂ (UTC) ကိုMayor ကြီးကိုလည်း ကျေးဇူးတင်ပါတယ်။ ကြိုးစားပါ့မယ်။ [[Chaungoothar]] == Article request == Hello! Could you create articles about [[:en:Selena Gomez|Selena Gomez]], [[:en:Demi Lovato|Demi Lovato]], [[:en:Nicki Minaj|Nicki Minaj]], the social networking site [[:en:Twitter|Twitter]], and the game franchise [[:en:Call of Duty|Call of Duty]]? Thanks. --[[Special:Contributions/112.210.62.199|112.210.62.199]] ၀၇:၂၁၊ ၂ ဧ​ပြီ​ ၂၀၁၂ (UTC) == Novak Djokovic == Hello, can you help me to translate name, there is article [[အန်အိုဗီအေကေ ဒီဂျေအိုကေအိုဗီအိုင်စီ]], is this correct? Thank you.--[[User:Soundwaweserb|Soundwaweserb]] ([[User talk:Soundwaweserb|talk]]) ၁၄:၄၈၊ ၂၄ အောက်​တို​ဘာ​ ၂၀၁၂ (UTC) ==I'd like to see ဖက်ဒရယ်လစ်ဇင်ပြည်ထောင်စုစနစ် on Facebook, then coud you, pls, help me?== အစ်ကိုရေ ကျနော် “ဖက်ဒရယ်လစ်ဇင်ပြည်ထောင်စုစနစ်”စာမျက်နှာကို facebook တို့မှာ link လုပ်ပေးချင်တယ်။ ဥပမာ Maha Bodhi Tahtaung တို့လိုမျိုးပေါ့။ အဲ့ဒါလေး သိရင် ကူညီပါဦး။ [[Chaungoothar]] == Portal:Contents/Portals ပြင်ရန် == အစ်ကိုရေ [[http://my.wikipedia.org/wiki/Portal:Contents/Portals|အဝင်ဝအားလုံး]]အဝင်ဝအားလုံး]မှာ သင်္ချာ နဲ့ ပထဝီက နည်းပညာလို portal မဟုတ်ဘဲ ဆောင်းပါတွေဖြစ်နေ ပါ တယ် ပြန်ပြင်ပေးပါဦး == Write about a new Call of Duty game == Please write an article about [[:en:Call of Duty: Advanced Warfare]]. Thanks. --[[Special:Contributions/112.207.192.10|112.207.192.10]] ၀၃:၀၃၊ ၅ မေ​ ၂၀၁၄ (UTC) == ပုံတင်​တာ အဆင်​မ​ပြေ​လို့ == အစ်ကို​ရေ ပုံတင်​တာ အဆင်​မ​ပြေ​လို့ Facebook က Wikipedia group ထဲ​မှာ တင်​ပေး​ထား​ပါ​တယ်။ အဆင်​ပြေ​ရင် ဒေါင်း​ပြီး တင်​ပေး​ပါ​ဦး။ [[User:Phoenix06|Phoenix06]] ([[User talk:Phoenix06|talk]]) ၂​၃:၂​၄၊ ၂​၅ ဇွန် ၂​၀​၁​၄ (UTC) **တင်​ပေးလိုက်​မည်။ [[User:Mayor mt|Mayor mt]] ([[User talk:Mayor mt|talk]]) ၀၃:၁၀၊ ၂၆ ဇွန်​ ၂၀၁၄ (UTC) == Article request: St. Louis Public Schools == Hi! I found that [[:en:St. Louis Public Schools]] has Burmese language documents. * http://www.slps.org/cms/lib03/MO01001157/Centricity/Domain/5082/BURMESE%20Media_Release_and_Consent_Form.pdf * http://www.slps.org/cms/lib03/MO01001157/Centricity/Domain/5082/BURMESE%20SCHOOL_BUS_RULES.pdf * http://www.slps.org/cms/lib03/MO01001157/Centricity/Domain/38/ESOL_NEW_SITE/translated_pages/burmese/content_bur.html A "[[:en:school district]] is a government agency that operates public schools (hires teachers, opens schools, etc.) Do you want to start a Burmese version article of [[:en:St. Louis Public Schools]]? Thanks, [[User:WhisperToMe|WhisperToMe]] ([[User talk:WhisperToMe|talk]]) ၂၃:၀၂၊ ၈ စက်​တင်​ဘာ​ ၂၀၁၄ (UTC) == Template:မြန်မာတိုင်းနှင့်ပြည်နယ်များ‎ == အစ်ကိုရေ .. '''Template:မြန်မာတိုင်းနှင့်ပြည်နယ်များ''' ကို delete လုပ်လိုက်တာ အဲဒီတန်းပလိတ်ထည့်ထားတဲ့ စာမျက်နှာတွေအကုန်လုံး Category:deleteme ထဲကိုရောက်သွားတယ်ဗျ။ မရောက်ပါဘူး ရှိပါတယ်..။ ( Template:မြန်မာတိုင်းနှင့် ပြည်နယ်များ )မှာ ရှာကြည့်။ (Template:မြန်မာတိုင်းနှင့်ပြည်နယ်များ)ကို delete လုပ်တာပါ။ [[User:Mayor mt|Mayor mt]] ([[User talk:Mayor mt|talk]]) ၁၁:၂၄၊ ၂၉ ဒီ​ဇင်​ဘာ​ ၂၀၁၄ (UTC) [https://my.wikipedia.org/wiki/Template:%E1%80%99%E1%80%BC%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%99%E1%80%AC%E1%80%90%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%B8%E1%80%94%E1%80%BE%E1%80%84%E1%80%B7%E1%80%BA_%E1%80%95%E1%80%BC%E1%80%8A%E1%80%BA%E1%80%94%E1%80%9A%E1%80%BA%E1%80%99%E1%80%BB%E1%80%AC%E1%80%B8] : [https://my.wikipedia.org/wiki/Category:Deleteme Deleteme] မှာ ဝင်ကြည့် ကြည့်ပါ အစ်ကို၊ [[ကချင်ပြည်နယ်]] [[ချင်းပြည်နယ်]] [[စစ်ကိုင်းတိုင်း]] စတာတွေရော တခြားမြို့တွေရော အဲဒီ category ထဲကို ရောက်ကုန်တာကို ပြောတာပါ။ (Template:မြန်မာတိုင်းနှင့်ပြည်နယ်များ) ကို delete မလုပ်ပဲ ( Template:မြန်မာတိုင်းနှင့် ပြည်နယ်များ ) ဆီကိုပဲ redirect လုပ်ရင် ကောင်းမယ်နဲ့တူတယ်။ [[User:Ninjastrikers|Ninjastrikers]] ([[User talk:Ninjastrikers|talk]]) ၁၆:၀၇၊ ၂၉ ဒီ​ဇင်​ဘာ​ ၂၀၁၄ (UTC) --Ok ပြင်လိုက်မယ်[[User:Mayor mt|Mayor mt]] ([[User talk:Mayor mt|talk]]) ၁၆:၃၈၊ ၂၉ ဒီ​ဇင်​ဘာ​ ၂၀၁၄ (UTC) == သီဟသူမင်းသား == ကိုမေယာရေ .. အစ်ကို အသစ်လုပ်လိုက်တဲ့ [[သီဟသူမင်းသား]]ဆိုတာက ပုဂံက သီဟသူ ([[သီဟသူ (ပုဂံ)]]) နဲ့ တူသလားမသိဘူး။ ပုဂံခေတ် တမ်းပလိတ်ထဲမှာ ထည့်ထားတာတွေ့လို့ပါ။ :) [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">⛧</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]] »</span>} ၀၆:၁၁၊ ၂၆ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၁၅ (UTC) :: မတူပါ။ သီဟသူမင်းသားက ရာဇသင်္ကြံ အမတ် သတ်လိုက်တဲ့ မင်းသားပါ။ ဘုရင် မဖြစ်လိုက်ရပါ။ သီဟသူ (ပုဂံ) က ဘုရင်ပါ။ [[User:Mayor mt|Mayor mt]] ([[User talk:Mayor mt|talk]]) ၀၆:၁၇၊ ၂၆ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၁၅ (UTC) ::ဟုတ်ကဲ့ .. အကြောင်းအရာ ထည့်ထားတာ မပါတော့ တူမတူ သေချာမသိလို့ မေးကြည့်တာ။ ကျေးဇူး [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">⛧</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]] »</span>} ၀၆:၂၂၊ ၂၆ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၁၅ (UTC) :::အစ်ကိုရေ ရာဇသင်္ကြံ အမတ် သတ်လိုက်တဲ့ သီဟသူမင်းသားက [[အမေရိကန်ရောက် မင်းသားသီဟသူ]] မဟုတ်ဘူးလို့ ထင်ပါတယ်။ ပြည်စား သီဟသူ ([[သီဟသူ (ပုဂံ)]])အကြောင်းလို့ ထင်ပါတယ်။ [[User:Phyo WP|<span style="color:#a80000; background:#FECB00; text-decoration:inherit">ဖြိုး</span><span style="background:#8B0000"><span style="color:#FECB00">'''WP'''</span></span>]] ([[User talk:Phyo WP|ဆွေးနွေးရန်]]) ၁၁:၁၁၊ ၂၇ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၁၅ (UTC) :::[[အမေရိကန်ရောက် မင်းသားသီဟသူ]]ဟုတ် မဟုတ်ကို ကျွန်တော် သတင်းစာဆရာကြီး ဦးသိမ်းမောင်၏ရာဇသင်္ကြံ ကို ဖတ်နေပါတယ်...ခဏတော့ စောင့်ပါ။[[User:Mayor mt|Mayor mt]] ([[User talk:Mayor mt|talk]]) ၁၃:၂၈၊ ၂၇ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၁၅ (UTC) == အကူအညီတောင်းခံခြင်း == ကိစ္စက ဒီလိုပါ။ကျမ ပျူဖတ်စာကို မြန်မာလိုရော အင်္ဂလိပ်လိုရော ပေ့ချ်လုပ်ထားပါတယ်။ အဲ့ဒါ အင်္ဂလိပ်ပေ့ချ်က အဖျက်ခံရပါတော့မယ်။ကူညီပါနော် Pyu Readerပေ့ချ်ကိုဝင်ကြည့်ပြီး ဖျက်သင့်မဖျက်သင့် မှတ်ချက်လေးရေးပေးပါ။ ဖျက်သင့်တယ်ထင်ရင် ဖျက်သင့်တယ်ပေါ့နော်။မဖျက်သင့်ဘူးထင်ရင်တော့ မဖျက်သင့်ဘူးပေါ့။ အခုလိုအကူအညီတောင်းရတာ တောင်းပန်ပါတယ်။ဒါပေမယ့် တခြားနည်းလမ်း စဉ်းစားလို့မရတာမို့ပါ။ ကျေးဇူးတင်ပါတယ်။ [[User:Yin May Lwin|Yin May Lwin]] ([[User talk:Yin May Lwin|talk]]) ၀၅:၁၄၊ ၁၅ မေ​ ၂၀၁၅ (UTC) ***ကျိုးစားကြည့်ပါ့မယ်[[User:Mayor mt|Mayor mt]] ([[User talk:Mayor mt|talk]]) ၁၅:၅၆၊ ၁၅ မေ​ ၂၀၁၅ (UTC) == Redirects == I have seen your edits around 2014. You have nominated many redirects for deletion that they might be easier to access each article. e.g. [[ASEAN]] -> [[အရှေ့တောင်အာရှနိုင်ငံများအသင်း]]. Why did you do that? I understand that article titles must follow its local language but this does not apply to redirects. I am going to revert some of them. --[[User:Octahedron80|Octahedron80]] ([[User talk:Octahedron80|talk]]) ၀၃:၅၅၊ ၂ ဇွန်​ ၂၀၁၅ (UTC) ** ကောင်းမည်ထင်ရင် လုပ်ပါ ခင်ဗျာ။[[User:Mayor mt|Mayor mt]] ([[User talk:Mayor mt|talk]]) ၀၉:၄၆၊ ၂ ဇွန်​ ၂၀၁၅ (UTC) == အမုန္းစကား == ဥပမာေပးထားပုံကို ျပန္ျပင္ေစလို [[User:Dragon mod|Dragon mod]] ([[User talk:Dragon mod|talk]]) ၁၄:၃၆၊ ၁၀ ဒီ​ဇင်​ဘာ​ ၂၀၁၅ (UTC) ==[[:ပညာအလင်းပြ စာအုပ်တိုက်]] အား [[Wikipedia:Criteria for speedy deletion|မဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ရန်]] အဆိုပြုထားခြင်း== [[File:Ambox warning pn.svg|48px|left|alt=|link=]] {{Quote box|quote=<p>ဤသည်မှာ သင် ပထမဆုံး ဖန်တီးသော ဆောင်းပါးဖြစ်ပါက [[WP:Your first article|သင်၏ ပထမဆုံး ဆောင်းပါးအား ရေးသားနည်း လမ်းညွှန်]]ကို ဖတ်ရှုပေးပါ။</p><!---<p>You may want to consider using the [[Wikipedia:Article wizard|Article Wizard]] to help you create articles.</p> --->|width=20%|align=right}} [[:ပညာအလင်းပြ စာအုပ်တိုက်]] စာမျက်နှာအား ဝီကီပီးဒီးယားမှ မဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ရန်အတွက် တောင်းဆိုထားပါသည်။ ဤသည်မှာ နှစ်ခု သို့မဟုတ် နှစ်ခုထက်ပိုသော [[Wikipedia:မဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ရန်အတွက် သတ်မှတ်ချက်များ|မဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ရန်အတွက် သတ်မှတ်ချက်များ]] အရ ဆောင်ရွက်ခြင်းဖြစ်ပြီး ဆောင်းပါးများသည် အချိန်မရွေး ဆွေးနွေးခြင်းမပြုပဲ ဖျက်ပစ်ခံရနိုင်ပါသည်။ အကယ်၍ စာမျက်နှာသည် တင်းတင်းကြပ်ကြပ်ချမှတ်ထားသော မည်သည့် သတ်မှတ်ချက်နှင့်မဆို ကိုက်ညီနေပါက မကြာမီအချိန်အတွင်း အက်ဒမင်တစ်ဦးမှ ဖျက်ပစ်လိမ့်မည် ဖြစ်သည်။ ပေးထားသော အကြောင်းပြချက်များမှာ – * It seems to be unambiguous advertising which only promotes a company, product, group, service or person and would need to be fundamentally rewritten in order to become encyclopedic. (See [[WP:CSD#G11|section G11 of the criteria for speedy deletion]].) Please read [[Wikipedia:Spam|the guidelines on spam]] and [[Wikipedia:FAQ/Business]] for more information. *ဆောင်းပါးသည် ပုဂ္ဂိုလ်တစ်ဦး၊ တိရစ္ဆာန် တစ်ကောင်ချင်း၊ အဖွဲ့အစည်း (တီးဝိုင်းအဖွဲ့၊ ကလပ်၊ ကုမ္ပဏီ စသည်)၊ ဝက်ဘ်အကြောင်းအရာ၊ သို့မဟုတ် ဖြစ်ရပ်တစ်ခုအကြောင်းဖြစ်ပြီး၊ အကြောင်းအရာသည် ထင်ရှားကျော်ကြားခြင်း သို့မဟုတ် အရေးပါခြင်းကို လက်ခံနိုင်လောက်အောင် ပြသနိုင်ခြင်း မရှိသည့်အတွက် ဖြစ်သည်။ ([[WP:CSD#A7|မဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ရန်အတွက် သတ်မှတ်ချက် အပိုင်း A7]] ကို ကြည့်ပါ။) ဤသို့သော ဆောင်းပါးများသည် အချိန်မရွေး ဖျက်ပစ်ခံရနိုင်သည်။ ကျေးဇူးပြု၍ [[Wikipedia:Notability|ထင်ရှားအရေးပါခြင်းအတွက် လက်ခံသော လမ်းညွှန်ချက်များကို ကြည့်ရှုပါ]]။ အကယ်၍ သင့်အနေဖြင့် ဤစာမျက်နှာသည် ဤအကြောင်းပြချက်ဖြင့် ဖျက်ရန် မသင့်ဟု ယူဆပါက၊ [[:ပညာအလင်းပြ စာအုပ်တိုက်|စာမျက်နှာသို့ သွားရောက်ကာ]] "ဤမဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ခြင်းကို ကန့်ကွက်ရန်"ကို နှိပ်ပြီး '''အဆိုပြုခြင်းကို ကန့်ကွက်နိုင်သည်'''။ ဤသို့ဖြင့် သင်သည် ရှင်းပြနိုင်မည့် အခွင့်အရေး ရရှိမည် ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း စာမျက်နှာတစ်ခုသည် မဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ရန် သတ်မှတ်ခံရပြီးပါက စာမျက်နှာကို ချက်ခြင်း ဖယ်ရှားပစ်နိုင်သည်ကို သတိပြုပါ။ မဆိုင်းမတွ ဖျက်ရန် သတိပေးချက်ကို သင်ကိုယ်တိုင် မဖယ်ရှားပါနှင့်။ အကယ်၍ စာမျက်နှာသည် ဖျက်ပစ်ပြီးဖြစ်ပြီး ဖျက်ပစ်ခံလိုက်ရသော အချက်အလက်များအား နောင်တွင် ကိုးကားရန် ပြန်လည်အလိုရှိပါက ကျေးဇူးပြု၍ ဖျက်ပစ်လိုက်သော စီမံခန့်ခွဲသူ (အက်ဒမင်)အား ဆက်သွယ်ပါ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၀၃:၀၇၊ ၂၈ ဇွန် ၂၀၁၆ (UTC) == [[:File:Burmese & Myanmar Name Law.jpeg]] တွင် အချက်အလက်များ လိုအပ်နေခြင်း == <div style="padding:5px; background-color:#E1F1DE;">'''ဖိုင်တင်သူသို့။''' သင် upload တင်လိုက်သော မီဒီယာဖိုင်ဖြစ်သည့် *[[:File:Burmese & Myanmar Name Law.jpeg]] သည် ယင်း၏ ပုံအကြောင်း ဖော်ပြချက် စာမျက်နှာတွင် ဖော်ပြချက် နှင့်/သို့မဟုတ် အခြားသော အချက်အလက်များ မပါဝင်ပါ။ ဖြစ်နိုင်ပါက ယင်းအချက်အလက်များကို ကျေးဇူးပြု၍ ထည့်သွင်းပေးပါ။ ဤသို့ဖြင့် အခြားသော တည်းဖြတ်သူများအနေဖြင့် ပုံ ကို သုံးစွဲရာတွင်လည်းကောင်း၊ ဖတ်ရှုသူများကိုလည်းကောင်း အထောက်အကူ ဖြစ်စေနိုင်ပါသည်။ အခြား မေးမြန်းစရာများရှိပါက ကျေးဇူးပြု၍ [[Help:ဖိုင်စာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ရှုပါ။ ကျေးဇူးတင်ပါသည်။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၀၄:၃၃၊ ၃၁ ဇူလိုင် ၂၀၁၆ (UTC) </div><!-- Template:Add-desc-l --> == File:ရွှေသိမ်တော်.jpeg ၏ ဖိုင်ရင်းမြစ်နှင့် မူပိုင်ခွင့် ပြဿနာ== [[File:Copyright-problem.svg|64px|left|File Copyright problem|link=]] '''[[:File:ရွှေသိမ်တော်.jpeg]]''' ဖိုင်ကို upload တင်သည့်အတွက် ကျေးဇူးတင်ပါသည်။ သို့သော် ထိုဖိုင်တွင် '''မူပိုင်ခွင့်''' အခြေအနေနှင့် '''ရင်းမြစ်'''များ လိုအပ်နေပါသည်။ ဝီကီပီးဒီးယားသည် [[Wikipedia:Copyrights|မူပိုင်ခွင့်]]နှင့် ပတ်သက်၍ အထူးဂရုပြု ဆောင်ရွက်ပါသည်။ ဤဖိုင်ကို သင်ကိုယ်တိုင် ဖန်တီးထားခြင်း မဟုတ်ခဲ့ပါက မူပိုင်ခွင့် ပိုင်ဆိုင်သူကို သင့်အနေဖြင့် သတ်မှတ်ဖော်ပြပေးရန် လိုအပ်ပါသည်။ အကယ်၍ သင်သည် ဤဖိုင်ကို ဝက်ဘ်ဆိုဒ်တစ်ခုခုမှ ရရှိခဲ့ပါက၊ ကျေးဇူးပြု၍ ရယူခဲ့သည့် ဝက်ဘ်ဆိုဒ်လင့်ခ်နှင့် ဝက်ဘ်ဆိုဒ်၏ အကြောင်းအရာများ အသုံးပြုခြင်းဆိုင်ရာ သတ်မှတ်ချက်များကို ကျေးဇူးပြု၍ ပြန်လည် ဖော်ပြပေးပါ။ အကယ်၍ မူလမူပိုင်ခွင့် ပိုင်ဆိုင်သူနှင့် ဝက်ဘ်ဆိုဒ်တို့ ဆက်နွယ်မှုမရှိပါက ထိုမူလပိုင်ဆိုင်သူကိုလည်း မှတ်တမ်းတင် ထည့်သွင်းရန် လိုအပ်ပါသည်။ မည်သည့်လိုင်စင်သတ်မှတ်ချက်ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသည်ကိုလည်း ဖော်ပြရန် လိုအပ်ပါလိမ့်မည်။ ဝီကီပီးဒီးယားတွင် မည်သည့်ဖိုင်များ တင်သင့်/မတင်သင့်ဆိုသည်ကို လေ့လာနိုင်ရန်အတွက် '''[[WP:IUP#ပုံများ ပေါင်းထည့်ခြင်း|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]]''' ကို ဖတ်ရှုပါ။ [[:File:ရွှေသိမ်တော်.jpeg|ဖိုင် အကြောင်းဖော်ပြချက် စာမျက်နှာ]]ကို တည်းဖြတ်ပြီး အချက်အလက်များကို ထည့်သွင်းပေးပါ။ လိုအပ်သည့် အချက်အလက်များကို ခုနစ်ရက်အတွင်း ထည့်သွင်းခြင်း မရှိပါက ဖိုင်သည် ဖျက်ပစ်ခြင်း ခံရမည် ဖြစ်သည်။ သင် upload တင်ခဲ့သည့် အခြားဖိုင်များကိုလည်း မှန်ကန်စွာ tag လုပ်ထားခြင်း ရှိမရှိကိုလည်း ကျေးဇူးပြု၍ စစ်ဆေးပါ။ သင်၏ ဖိုင်တင်ထားခဲ့သည့် မှတ်တမ်းများကို [{{fullurl:Special:ListFiles/Mayor_mt}} ဤနေရာတွင်] တွေ့ရှိနိုင်ပါသည်။ ကျေးဇူးအထူးတင်ရှိပါသည်။<!-- Template:Di-no source no license-notice --> [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၀:၄၂၊ ၁၆ ဩဂုတ် ၂၀၁၆ (UTC) :စာအုပ်ကနေ ယူထားတဲပုံဆိုရင် ရယူထားတဲ့ စာအုပ်အမည်၊ စာအုပ်ရဲ့ မူပိုင်ခွင့်အခြေအနေ စတာတွေကို ထည့်သွင်းပေးဖို့ ပြောတာပါ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၆:၁၃၊ ၁၆ ဩဂုတ် ၂၀၁၆ (UTC) :: ဟုတ် ဘယ်နေရာမှာ ထည့်ရမလဲ ခင်ဗျာ ပုံထပ်တင်ပြီး ထည့်ရသလား၊ မသိလို့ပါ။[[User:Mayor mt|Mayor mt]] ([[User talk:Mayor mt|ဆွေးနွေး]]) ၁၆:၁၇၊ ၁၆ ဩဂုတ် ၂၀၁၆ (UTC) :::ပုံထပ်တင်စရာ မလိုပါဘူးခင်ဗျာ။ ပုံစာမျက်နှာကို edit လုပ်ပြီး {{tlx|information}} တမ်းပလိတ်နဲ့ ထည့်ပေးရုံပါပဲ။ နမူနာကို [[:File:Daw Aung Kyi.jpg]] စာမျက်နှာကို ကြည့် ကြည့်ပါ။ ကျွန်တော် ပြင်ထားပေးပါတယ်။ လိုင်စင်အနေနဲ့ကတော့ {{tlx|non-free book cover}} ဖြစ်မယ် ထင်ပါတယ်။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၆:၂၈၊ ၁၆ ဩဂုတ် ၂၀၁၆ (UTC) ::ခုလိုရှင်းပြပေးတာ ကျေးဇူးတင်ပါတယ်။[[User:Mayor mt|Mayor mt]] ([[User talk:Mayor mt|ဆွေးနွေး]]) ၁၆:၃၈၊ ၁၆ ဩဂုတ် ၂၀၁၆ (UTC) == FYI == အစ်ကိုရေ .. ဆောင်းပါးအမည်တွေကို ပြောင်းနေတာတွေ့လို့ပါ။ မြန်မာဝီကီပီးဒီးယား အနေနဲ့ လူပုဂ္ဂိုလ်အမည်ပေးစနစ်နဲ့ ပတ်သက်ပြီး [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင် (ဝေါဟာရ)#မြန်မာအမည် နှင့် လင့်ခ်များ|ဒီနေရာမှာ]] ဆွေးနွေးထားတာရှိပါတယ်။ အဲဒီထဲမှာ ''လူပုဂ္ဂိုလ်အမည် ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်တွေကို နာမည်တူမရှိသရွေ့ မောင်၊ ကို၊ ဦး၊ ဒေါက်တာ အပါအဝင် ဝိသေသများ မထည့်ရန်။'' လို့ ဆွေးနွေးထားတာရှိပါတယ်။ အဲဒါကြောင့် အမည်တူမရှိရင် ဒီအတိုင်းလဲ အဆင်ပြေပါတယ်။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၃:၄၉၊ ၁၈ ဩဂုတ် ၂၀၁၆ (UTC) ::ဟုတ်ကဲ့ခင်ဗျာ။ ကျွန်တော် လေ့လာလိုက်ပါ့မယ်။[[User:Mayor mt|Mayor mt]] ([[User talk:Mayor mt|ဆွေးနွေး]]) ၁၅:၀၉၊ ၁၈ ဩဂုတ် ၂၀၁၆ (UTC) == Share your experience and feedback as a Wikimedian in this global survey == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr"> Hello! The Wikimedia Foundation is asking for your feedback in a survey. We want to know how well we are supporting your work on and off wiki, and how we can change or improve things in the future.<ref group=survey>This survey is primarily meant to get feedback on the Wikimedia Foundation's current work, not long-term strategy.</ref> The opinions you share will directly affect the current and future work of the Wikimedia Foundation. You have been randomly selected to take this survey as we would like to hear from your Wikimedia community. To say thank you for your time, we are giving away 20 Wikimedia T-shirts to randomly selected people who take the survey.<ref group=survey>Legal stuff: No purchase necessary. Must be the age of majority to participate. Sponsored by the Wikimedia Foundation located at 149 New Montgomery, San Francisco, CA, USA, 94105. Ends January 31, 2017. Void where prohibited. [[m:Community Engagement Insights/2016 contest rules|Click here for contest rules]].</ref> The survey is available in various languages and will take between 20 and 40 minutes. <big>'''[https://wikimedia.qualtrics.com/SE/?SID=SV_6mTVlPf6O06r3mt&Aud=VAE&Src=53VAEAI Take the survey now!]'''</big> You can find more information about [[m:Community_Engagement_Insights/About_CE_Insights|this project]]. This survey is hosted by a third-party service and governed by this [[:foundation:Community_Engagement_Insights_2016_Survey_Privacy_Statement|privacy statement]]. Please visit our [[m:Community_Engagement_Insights/Frequently_asked_questions|frequently asked questions page]] to find more information about this survey. If you need additional help, or if you wish to opt-out of future communications about this survey, send an email to surveys@wikimedia.org. Thank you! --[[:m:User:EGalvez (WMF)|EGalvez (WMF)]] ([[:m:User talk:EGalvez (WMF)|talk]]) ၂၂:၀၁၊ ၁၃ ဇန်နဝါရီ ၂၀၁၇ (UTC) </div> <!-- Message sent by User:EGalvez (WMF)@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Community_Engagement_Insights/MassMessages/Lists/2016/53-VAEAI&oldid=16205394 --> <references group=survey /> == Your feedback matters: Final reminder to take the global Wikimedia survey == (''Sorry for writing in English'') <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr"> Hello! This is a final reminder that the Wikimedia Foundation survey will close on '''28 February, 2017 (23:59 UTC)'''. The survey is available in various languages and will take between 20 and 40 minutes. '''[https://wikimedia.qualtrics.com/SE/?SID=SV_6mTVlPf6O06r3mt&Aud=VAE&Src=53VAEAI Take the survey now.]''' If you already took the survey - thank you! We won't bother you again. '''About this survey:''' You can find more information about [[m:Community_Engagement_Insights/About_CE_Insights|this project here]] or you can read the [[m:Community_Engagement_Insights/Frequently_asked_questions|frequently asked questions]]. This survey is hosted by a third-party service and governed by this [[:foundation:Community_Engagement_Insights_2016_Survey_Privacy_Statement|privacy statement]]. If you need additional help, or if you wish to opt-out of future communications about this survey, send an email through EmailUser function to [[:m:Special:EmailUser/EGalvez_(WMF)| User:EGalvez (WMF)]]. '''About the Wikimedia Foundation:''' The [[:wmf:Home|Wikimedia Foundation]] supports you by working on the software and technology to keep the sites fast, secure, and accessible, as well as supports Wikimedia programs and initiatives to expand access and support free knowledge globally. Thank you! --[[:m:User:EGalvez (WMF)|EGalvez (WMF)]] ([[:m:User talk:EGalvez (WMF)|talk]]) ၁၉:၃၉၊ ၂၁ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၁၇ (UTC) </div> <!-- Message sent by User:EGalvez (WMF)@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Community_Engagement_Insights/MassMessages/Lists/2016/53-VAEAI&oldid=16205394 --> == File:U thaung han.jpg ၏ ဖိုင်ရင်းမြစ်နှင့် မူပိုင်ခွင့် ပြဿနာ== [[File:Copyright-problem.svg|64px|left|File Copyright problem|link=]] '''[[:File:U thaung han.jpg]]''' ဖိုင်ကို upload တင်သည့်အတွက် ကျေးဇူးတင်ပါသည်။ သို့သော် ထိုဖိုင်တွင် '''မူပိုင်ခွင့်''' အခြေအနေနှင့် '''ရင်းမြစ်'''များ လိုအပ်နေပါသည်။ ဝီကီပီးဒီးယားသည် [[Wikipedia:Copyrights|မူပိုင်ခွင့်]]နှင့် ပတ်သက်၍ အထူးဂရုပြု ဆောင်ရွက်ပါသည်။ ဤဖိုင်ကို သင်ကိုယ်တိုင် ဖန်တီးထားခြင်း မဟုတ်ခဲ့ပါက မူပိုင်ခွင့် ပိုင်ဆိုင်သူကို သင့်အနေဖြင့် သတ်မှတ်ဖော်ပြပေးရန် လိုအပ်ပါသည်။ အကယ်၍ သင်သည် ဤဖိုင်ကို ဝက်ဘ်ဆိုဒ်တစ်ခုခုမှ ရရှိခဲ့ပါက၊ ကျေးဇူးပြု၍ ရယူခဲ့သည့် ဝက်ဘ်ဆိုဒ်လင့်ခ်နှင့် ဝက်ဘ်ဆိုဒ်၏ အကြောင်းအရာများ အသုံးပြုခြင်းဆိုင်ရာ သတ်မှတ်ချက်များကို ကျေးဇူးပြု၍ ပြန်လည် ဖော်ပြပေးပါ။ အကယ်၍ မူလမူပိုင်ခွင့် ပိုင်ဆိုင်သူနှင့် ဝက်ဘ်ဆိုဒ်တို့ ဆက်နွယ်မှုမရှိပါက ထိုမူလပိုင်ဆိုင်သူကိုလည်း မှတ်တမ်းတင် ထည့်သွင်းရန် လိုအပ်ပါသည်။ မည်သည့်လိုင်စင်သတ်မှတ်ချက်ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသည်ကိုလည်း ဖော်ပြရန် လိုအပ်ပါလိမ့်မည်။ ဝီကီပီးဒီးယားတွင် မည်သည့်ဖိုင်များ တင်သင့်/မတင်သင့်ဆိုသည်ကို လေ့လာနိုင်ရန်အတွက် '''[[WP:IUP#ပုံများ ပေါင်းထည့်ခြင်း|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]]''' ကို ဖတ်ရှုပါ။ [[:File:U thaung han.jpg|ဖိုင် အကြောင်းဖော်ပြချက် စာမျက်နှာ]]ကို တည်းဖြတ်ပြီး အချက်အလက်များကို ထည့်သွင်းပေးပါ။ လိုအပ်သည့် အချက်အလက်များကို ခုနစ်ရက်အတွင်း ထည့်သွင်းခြင်း မရှိပါက ဖိုင်သည် ဖျက်ပစ်ခြင်း ခံရမည် ဖြစ်သည်။ သင် upload တင်ခဲ့သည့် အခြားဖိုင်များကိုလည်း မှန်ကန်စွာ tag လုပ်ထားခြင်း ရှိမရှိကိုလည်း ကျေးဇူးပြု၍ စစ်ဆေးပါ။ သင်၏ ဖိုင်တင်ထားခဲ့သည့် မှတ်တမ်းများကို [{{fullurl:Special:ListFiles/Mayor_mt}} ဤနေရာတွင်] တွေ့ရှိနိုင်ပါသည်။ ကျေးဇူးအထူးတင်ရှိပါသည်။<!-- Template:Di-no source no license-notice --> [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၀၂:၂၂၊ ၄ မေ ၂၀၁၇ (UTC) == Sign == [[Image:Information.svg|25px|alt=Information icon]] မင်္ဂလာပါ။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ [[Special:Contributions/Mayor mt|သင့် ဆောင်ရွက်ခဲ့မှုများ]]အတွက် ကျေးဇူးတင်ပါတယ်။ [[နံရံဆေးရေးပန်းချီ]]တွင် သင်ပြုလုပ်ခဲ့သော တည်းဖြတ်မှုကဲ့သို့ [[WP:ARTICLE|ဆောင်းပါးများ]]တွင် သင့် [[WP:SIGNATURE|လက်မှတ်]]ကို ထည့်သွင်းခဲ့တာကို သတိထားလိုက်မိပါတယ်။ ဒါဟာ [[WP:MISTAKES|မှားလေ့ရှိသော အမှား]]တစ်ခုဖြစ်ပြီးတော့ ပြန်လည်ပြင်ဆင်ပြီး ဖြစ်ကောင်းဖြစ်နိုင်ပါတယ်။ ဆောင်းပါးရဲ့ [[Help:စာမျက်နှာ ရာဇဝင်|တည်းဖြတ်မှု ရာဇဝင်]]ဟာ ဆောင်ရွက်ချက်များ မှတ်တမ်းအနေနဲ့ ဆောင်ရွက်တာဖြစ်တဲ့အတွက် ဆောင်းပါးအကြောင်းအရာများထဲက သင့်တည်းဖြတ်မှုများမှာ ကျေးဇူးပြု၍ လက်မှတ်မထည့်ပါနဲ့။ ဆောင်းပါးရဲ့ [[WP:TP|ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာ]] သို့ [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]လိုမျိုး ပရောဂျက် စာမျက်နှာတွေမှာ လက်မှတ်ထည့်ခြင်းဖြင့် ဆွေးနွေးချက်တွေကို ဖတ်ရှုရ လွယ်ကူစေမှာပါ။ နောက်ထပ် သိရှိလိုပါက သို့မဟုတ် စာမျက်နှာအမျိုးအစားများ ခွဲခြားသိလိုပါက ကျေးဇူးပြု၍ [[WP:ARTICLE|ဆောင်းပါးတစ်ခုဆိုတာ ဘာလဲ?]]မှာ ဖတ်ရှုပေးပါ။ သင့်ဆောင်ရွက်ချက်တွေအတွက် ထပ်မံကျေးဇူးတင်ပါတယ်။ ဝီကီမှာ ပျော်ရွှင်ပါစေ။ ကျေးဇူးတင်ပါတယ်။ <!-- Template:uw-articlesig -->[[User:NayiMuu|<span style="background:#74DF00"><span style="color:#FFFFFF">'''Nayi'''</span></span><span style="color:#86B404">'''Muu^®'''</span>]]^{[[User talk:NayiMuu|<span style="color:#86B404"> talk</span>]]} ၀၉:၅၁၊ ၂၆ နိုဝင်ဘာ ၂၀၁၇ (UTC) ---- ဘာရယ် မဟုတ်ပါဘူး။ ဆက်ရေးဖို့ မှတ်ထားဖို့ ဆိုင်းထိုးထားလိုက်တာပါ။ ဆောင်းပါးပြီးပြည့်စုံအောင် ဆက်ရေးပါဦးမည်။ [[User:Mayor mt|Mayor mt]] ([[User talk:Mayor mt|ဆွေးနွေး]]) ၁၀:၂၈၊ ၂၆ နိုဝင်ဘာ ၂၀၁၇ (UTC) == ESEAP Conference == Hello Mayor mt, Scholarship applications for '''[[metawiki:ESEAP_Conference_2018|ESEAP Conference 2018]]''' is now open! '''[[metawiki:ESEAP_Conference_2018|ESEAP Conference 2018]]''' is a regional conference for Wikimedia communities around the ESEAP regions. ESEAP stands for East, Southeast Asia, and Pacific. Taking place in Bali, Indonesia on 5-6 May 2018, this is the first regional conference for the Wikimedia communities around the regions. Full scholarships are subject to quotas, maximum two people per country and your country is eligible to apply, visit [[metawiki:ESEAP_Conference_2018/Attend|this page]]. We also accept [[metawiki:ESEAP_Conference_2018/Submissions|submissions]] of several formats, including: *'''Workshop & Tutorial''': these are presentations with a focus on practical work directed either to acquiring a specific skill or doing a specific task. Sessions are 55 minutes led by the presenters in a classroom space suitable for laptops and work. *'''Posters''': A2-size format to give news, share your community event/program, set out an idea, propose a concept, or explain a problem. The poster itself must be uploaded to Wikimedia Commons with a suitable license. *'''Short Presentation/Sharing talks''': 10-15 minutes presentation on certain topic. Deadline for submissions and scholarship applications is on 15 March 2018. If you have any question, don't hesitate to contact me or send your e-mail to eseap@wikimedia.or.id. Best regards, [[User:Wirjadisastra|Wirjadisastra]] ([[User talk:Wirjadisastra|ဆွေးနွေး]]) ၀၂:၃၉၊ ၁၄ မတ် ၂၀၁၈ (UTC) ==[[:တတိယအဖွဲ့အစည်း]] အား [[Wikipedia:Criteria for speedy deletion|မဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ရန်]] အဆိုပြုထားခြင်း== [[File:Ambox warning pn.svg|48px|left|alt=|link=]] {{Quote box|quote=<p>ဤသည်မှာ သင် ပထမဆုံး ဖန်တီးသော ဆောင်းပါးဖြစ်ပါက [[WP:Your first article|သင်၏ ပထမဆုံး ဆောင်းပါးအား ရေးသားနည်း လမ်းညွှန်]]ကို ဖတ်ရှုပေးပါ။</p><!---<p>You may want to consider using the [[Wikipedia:Article wizard|Article Wizard]] to help you create articles.</p> --->|width=20%|align=right}} [[:တတိယအဖွဲ့အစည်း]] စာမျက်နှာအား ဝီကီပီးဒီးယားမှ မဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ရန်အတွက် အဆိုပြုထားပါသည်။ ဤသည်မှာ [[Wikipedia:မဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ရန်အတွက် သတ်မှတ်ချက်များ#A7|မဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ရန်အတွက် သတ်မှတ်ချက် အပိုင်း A7]] အရ ပြုလုပ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အဘယ့်ကြောင့်ဆိုသော် ဆောင်းပါးသည် ပုဂ္ဂိုလ်တစ်ဦး၊ တိရစ္ဆာန် တစ်ကောင်ချင်း၊ အဖွဲ့အစည်း (တီးဝိုင်းအဖွဲ့၊ ကလပ်၊ ကုမ္ပဏီ စသည်)၊ ဝက်ဘ်အကြောင်းအရာ၊ သို့မဟုတ် ဖြစ်ရပ်တစ်ခုအကြောင်းဖြစ်ပြီး၊ အကြောင်းအရာသည် ထင်ရှားကျော်ကြားခြင်း သို့မဟုတ် အရေးပါခြင်းကို လက်ခံနိုင်လောက်အောင် ပြသနိုင်ခြင်း မရှိသည့်အတွက် ဖြစ်သည်။ [[Wikipedia:မဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ရန်အတွက် သတ်မှတ်ချက်များ#ဆောင်းပါးများ|မဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ရန်အတွက် သတ်မှတ်ချက်များ]]ဖြင့် ဤသို့သော ဆောင်းပါးများသည် အချိန်မရွေး ဖျက်ပစ်ခြင်း ခံရနိုင်သည်။ ကျေးဇူးပြု၍ [[:en:Wikipedia:Notability|မည်သည့်အချက်များအား ထင်ရှားအရေးပါမှုအဖြစ် လက်ခံသည်]]ဆိုခြင်းအား ဖတ်ရှုပါ။ အကယ်၍ သင့်အနေဖြင့် ဤစာမျက်နှာသည် ဤအကြောင်းပြချက်ဖြင့် ဖျက်ရန် မသင့်ဟု ယူဆပါက၊ [[:တတိယအဖွဲ့အစည်း|စာမျက်နှာသို့ သွားရောက်ကာ]] "ဤမဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ခြင်းကို ကန့်ကွက်ရန်"ကို နှိပ်ပြီး '''အဆိုပြုခြင်းကို ကန့်ကွက်နိုင်သည်'''။ ဤသို့ဖြင့် သင်သည် ရှင်းပြနိုင်မည့် အခွင့်အရေး ရရှိမည် ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း စာမျက်နှာတစ်ခုသည် မဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ရန် သတ်မှတ်ခံရပြီးပါက စာမျက်နှာကို ချက်ခြင်း ဖယ်ရှားပစ်နိုင်သည်ကို သတိပြုပါ။ မဆိုင်းမတွ ဖျက်ရန် သတိပေးချက်ကို သင်ကိုယ်တိုင် မဖယ်ရှားပါနှင့်။ အကယ်၍ စာမျက်နှာသည် ဖျက်ပစ်ပြီးဖြစ်ပြီး ဖျက်ပစ်ခံလိုက်ရသော အချက်အလက်များအား နောင်တွင် ကိုးကားရန် ပြန်လည်အလိုရှိပါက ကျေးဇူးပြု၍ ဖျက်ပစ်လိုက်သော စီမံခန့်ခွဲသူ (အက်ဒမင်)အား ဆက်သွယ်ပါ။ <!-- Template:Db-notability-notice --> [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၀၈:၄၈၊ ၁၀ ဇူလိုင် ၂၀၁၈ (UTC) == Community Insights Survey == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr"> '''Share your experience in this survey''' Hi {{PAGENAME}}, The Wikimedia Foundation is asking for your feedback in a survey about your experience with {{SITENAME}} and Wikimedia. The purpose of this survey is to learn how well the Foundation is supporting your work on wiki and how we can change or improve things in the future. The opinions you share will directly affect the current and future work of the Wikimedia Foundation. Please take 15 to 25 minutes to '''[https://wikimedia.qualtrics.com/jfe/form/SV_0pSrrkJAKVRXPpj?Target=CI2019List(asiawps,act4) give your feedback through this survey]'''. It is available in various languages. This survey is hosted by a third-party and [https://foundation.wikimedia.org/wiki/Community_Insights_2019_Survey_Privacy_Statement governed by this privacy statement] (in English). Find [[m:Community Insights/Frequent questions|more information about this project]]. [mailto:surveys@wikimedia.org Email us] if you have any questions, or if you don't want to receive future messages about taking this survey. Sincerely, </div> [[User:RMaung (WMF)|RMaung (WMF)]] ၁၄:၃၀၊ ၆ စက်တင်ဘာ ၂၀၁၉ (UTC) <!-- Message sent by User:RMaung (WMF)@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=CI2019List(asia_wps,act4)&oldid=19352604 --> == Reminder: Community Insights Survey == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr"> '''Share your experience in this survey''' Hi {{PAGENAME}}, A couple of weeks ago, we invited you to take the Community Insights Survey. It is the Wikimedia Foundation’s annual survey of our global communities. We want to learn how well we support your work on wiki. We are 10% towards our goal for participation. If you have not already taken the survey, you can help us reach our goal! '''Your voice matters to us.''' Please take 15 to 25 minutes to '''[https://wikimedia.qualtrics.com/jfe/form/SV_0pSrrkJAKVRXPpj?Target=CI2019List(asiawps,act4) give your feedback through this survey]'''. It is available in various languages. This survey is hosted by a third-party and [https://foundation.wikimedia.org/wiki/Community_Insights_2019_Survey_Privacy_Statement governed by this privacy statement] (in English). Find [[m:Community Insights/Frequent questions|more information about this project]]. [mailto:surveys@wikimedia.org Email us] if you have any questions, or if you don't want to receive future messages about taking this survey. Sincerely, </div> [[User:RMaung (WMF)|RMaung (WMF)]] ၁၅:၀၈၊ ၂၀ စက်တင်ဘာ ၂၀၁၉ (UTC) <!-- Message sent by User:RMaung (WMF)@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=CI2019List(asia_wps,act4)&oldid=19395158 --> == Reminder: Community Insights Survey == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr"> '''Share your experience in this survey''' Hi {{PAGENAME}}, There are only a few weeks left to take the Community Insights Survey! We are 30% towards our goal for participation. If you have not already taken the survey, you can help us reach our goal! With this poll, the Wikimedia Foundation gathers feedback on how well we support your work on wiki. It only takes 15-25 minutes to complete, and it has a direct impact on the support we provide. Please take 15 to 25 minutes to '''[https://wikimedia.qualtrics.com/jfe/form/SV_0pSrrkJAKVRXPpj?Target=CI2019List(asiawps,act4) give your feedback through this survey]'''. It is available in various languages. This survey is hosted by a third-party and [https://foundation.wikimedia.org/wiki/Community_Insights_2019_Survey_Privacy_Statement governed by this privacy statement] (in English). Find [[m:Community Insights/Frequent questions|more information about this project]]. [mailto:surveys@wikimedia.org Email us] if you have any questions, or if you don't want to receive future messages about taking this survey. Sincerely, </div> [[User:RMaung (WMF)|RMaung (WMF)]] ၁၉:၀၀၊ ၃ အောက်တိုဘာ ၂၀၁၉ (UTC) <!-- Message sent by User:RMaung (WMF)@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=CI2019List(asia_wps,act4)&oldid=19407026 --> == နိုဝင်ဘာ ၂၀၁၉ == [[Image:Information.svg|25px|alt=Information icon]] မင်္ဂလာပါ။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ [[Special:Contributions/Mayor mt|သင့် ဆောင်ရွက်ခဲ့မှုများ]]အတွက် ကျေးဇူးတင်ပါတယ်။ [[ပီလီ]]တွင် သင်ပြုလုပ်ခဲ့သော တည်းဖြတ်မှုကဲ့သို့ [[WP:ARTICLE|ဆောင်းပါးများ]]တွင် သင့် [[WP:SIGNATURE|လက်မှတ်]]ကို ထည့်သွင်းခဲ့တာကို သတိထားလိုက်မိပါတယ်။ ဒါဟာ [[WP:MISTAKES|မှားလေ့ရှိသော အမှား]]တစ်ခုဖြစ်ပြီးတော့ ပြန်လည်ပြင်ဆင်ပြီး ဖြစ်ကောင်းဖြစ်နိုင်ပါတယ်။ ဆောင်းပါးရဲ့ [[Help:စာမျက်နှာ ရာဇဝင်|တည်းဖြတ်မှု ရာဇဝင်]]ဟာ ဆောင်ရွက်ချက်များ မှတ်တမ်းအနေနဲ့ ဆောင်ရွက်တာဖြစ်တဲ့အတွက် ဆောင်းပါးအကြောင်းအရာများထဲက သင့်တည်းဖြတ်မှုများမှာ ကျေးဇူးပြု၍ လက်မှတ်မထည့်ပါနဲ့။ ဆောင်းပါးရဲ့ [[WP:TP|ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာ]] သို့ [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]လိုမျိုး ပရောဂျက် စာမျက်နှာတွေမှာ လက်မှတ်ထည့်ခြင်းဖြင့် ဆွေးနွေးချက်တွေကို ဖတ်ရှုရ လွယ်ကူစေမှာပါ။ နောက်ထပ် သိရှိလိုပါက သို့မဟုတ် စာမျက်နှာအမျိုးအစားများ ခွဲခြားသိလိုပါက ကျေးဇူးပြု၍ [[WP:ARTICLE|ဆောင်းပါးတစ်ခုဆိုတာ ဘာလဲ?]]မှာ ဖတ်ရှုပေးပါ။ သင့်ဆောင်ရွက်ချက်တွေအတွက် ထပ်မံကျေးဇူးတင်ပါတယ်။ ဝီကီမှာ ပျော်ရွှင်ပါစေ။ ကျေးဇူးတင်ပါတယ်။ <!-- Template:uw-articlesig --> [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၀၄:၀၉၊ ၁၀ နိုဝင်ဘာ ၂၀၁၉ (UTC) ::Ok == ျမန္မာေဖာင့္လိုအပ္ျခင္း == အစ္ကိုခင္ဗ်ား က်ြန္ေတာ့္မွာစာတတည္းဖို့ျမန္မာေဖာင့္ေလစအခက္အခဲရွိေနလို့ကူညီပါဦး [[အသုံးပြုသူ:Nhpo Nhpo|Nhpo Nhpo]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Nhpo Nhpo|ဆွေးနွေး]]) ၀၂:၅၈၊ ၂၂ ဧပြီ ၂၀၂၀ (UTC) :မင်္ဂလာပါ၊ မဂၤလာပါ{{Ping|Nhpo Nhpo}} *Zawgyi= Unicode fontသုံးဖို႔အခက္အခဲရွိေနရင္အခုေပးထားတယ္Link https://www.rabbit-converter.org/Rabbit/ ေလမွာCopyခ်ၿပီၾကည့္လို႔ရပါတယ္ ကြၽန္ပ္လည္းဖုန္းမွာUnicode fontသုံးဖို႔အခက္အခဲရွိေနလို႔ယခုလိုသုံးေနတာ၂ႏွစ္ရွိပါၿပီး ဒီLinkေလျမန္မာZawgyi Unicodeအဆင္ေျပပါတယ္ တိုင္းရင္းသားဘာသာေတာ့အဆင္မေျပပါ ဒီlinkေလကကြၽန္ပ္ရဲ႕အာကိုးရတယ္လက္ဆြဲေပါ့ ဘာေၾကာင့္လဲဆိုေတာ့ ျမန္မာနိင္ငံအကၡရာမွန္သမွ်ကြၽန္ပ္ကြန္ပ်ဴတာနဲ႔စာ႐ိုက္မကြၽမ္းဘူး ကြၽမ္းတာကဂ်ပန္၊ တ႐ုတ္၊ ထိုင္း၊ အဂၤလိပ္၊ ကိုးရီးယား အာေၾကာင့္ကြၽန္ပ္ျမန္မာနိင္ငံအကၡရာေရးသားလိုရင္ ဖုန္းနဲ႔စာ႐ိုက္ၿပီး ကြန္ပ်ဴတာထဲကိုတဆင့္ျပန္ပို႔ၿပီမွ ဝီကီပီးဒီးယားထဲကိုCopyျပခ်လုပ္ေနရပါတယ္ ဒါကြၽန္ပ္႐ိုးသားစြာဝန္ခံပါတယ္ ကြၽန္ပ္ကဂ်ပန္၊ တ႐ုတ္စာ႐ိုက္ရတာသေဘာအက်ဆုံးပဲဗ် ဘာလို႔လဲဆိုေတာ့ ကြၽန္ပ္အတြက္အရမ္းလြယ္ကူေနလို႔ပါ ကြန္ပ်ဴတာေပၚကြၽန္ပ္အတြက္ခက္ခဲစြာစာ႐ိုက္ရတာ ျမန္မာနိင္ငံအကၡရာပါပဲ အဘယ္ေၾကာင့္ဆိုေတာ့ ကြၽန္ပ္ကိုျမန္မာနိင္ငံအကၡရာစာ႐ိုက္နည္း သင္ေပးမယ္လူမရွိလို႔ပါပဲ ျမန္မာနိင္ငံလာေရာက္ၿပီး သင္ယူဖို႔လည္းအဆင္မေျပပါဘူဗ်ား ဘာလို႔လဲဆိုေတာ့ကြၽန္ပ္ကျမန္မာနိင္ငံဖြားျမန္မာနိင္ငံသားမဟုတ္လို႔ပါ ျမန္မာနိငံေတာ့ေရာက္ဖူးပါတယ္ဗ်ာ နိငံျခားသားဆိုၿပီးကြၽန္ပ္အခြန္းအေကာင့္မ်ားစြာေပးေနရသျဖင့္ ျမန္မာနိင္ငံမွာပညာသင္ယူဖို႔မျဖစ္နိင္ပါဗ်ာ ကြၽန္ပ္ကိုနားလည္မႈမလြဲေစခ်င္ပါ လိုအပ္မယ္ထင္းလို႔ဝင္ေရာက္ေဆြးေႏြးျခင္းျဖစ္ပါတယ္ ေက်းဇူးအမ်ားႀကီးတင္ပါတယ္ Unicode fontသုံးဖို့အခက်အခဲရှိနေရင်အခုပေးထားတယ်Link လေမှာCopyချပြီကြည့်လို့ရပါတယ် ကျွန်ပ်လည်းဖုန်းမှာUnicode fontသုံးဖို့အခက်အခဲရှိနေလို့ယခုလိုသုံးနေတာ၂နှစ်ရှိပါပြီး ဒီLinkလေမြန်မာZawgyi Unicodeအဆင်ပြေပါတယ် တိုင်းရင်းသားဘာသာတော့အဆင်မပြေပါ ဒီlinkလေကကျွန်ပ်ရဲ့အာကိုးရတယ်လက်ဆွဲပေါ့ ဘာကြောင့်လဲဆိုတော့ မြန်မာနိင်ငံအက္ခရာမှန်သမျှကျွန်ပ်ကွန်ပျူတာနဲ့စာရိုက်မကျွမ်းဘူး ကျွမ်းတာကဂျပန်၊ တရုတ်၊ ထိုင်း၊ အင်္ဂလိပ်၊ ကိုးရီးယား အာကြောင့်ကျွန်ပ်မြန်မာနိင်ငံအက္ခရာရေးသားလိုရင် ဖုန်းနဲ့စာရိုက်ပြီး ကွန်ပျူတာထဲကိုတဆင့်ပြန်ပို့ပြီမှ ဝီကီပီးဒီးယားထဲကိုCopyပြချလုပ်နေရပါတယ် ဒါကျွန်ပ်ရိုးသားစွာဝန်ခံပါတယ် ကျွန်ပ်ကဂျပန်၊ တရုတ်စာရိုက်ရတာသဘောအကျဆုံးပဲဗျ ဘာလို့လဲဆိုတော့ ကျွန်ပ်အတွက်အရမ်းလွယ်ကူနေလို့ပါ ကွန်ပျူတာပေါ်ကျွန်ပ်အတွက်ခက်ခဲစွာစာရိုက်ရတာ မြန်မာနိင်ငံအက္ခရာပါပဲ အဘယ်ကြောင့်ဆိုတော့ ကျွန်ပ်ကိုမြန်မာနိင်ငံအက္ခရာစာရိုက်နည်း သင်ပေးမယ်လူမရှိလို့ပါပဲ မြန်မာနိင်ငံလာရောက်ပြီး သင်ယူဖို့လည်းအဆင်မပြေပါဘူဗျား ဘာလို့လဲဆိုတော့ကျွန်ပ်ကမြန်မာနိင်ငံဖွားမြန်မာနိင်ငံသားမဟုတ်လို့ပါ မြန်မာနိငံတော့ရောက်ဖူးပါတယ်ဗျာ နိငံခြားသားဆိုပြီးကျွန်ပ်အခွန်းအကောင့်များစွာပေးနေရသဖြင့် မြန်မာနိင်ငံမှာပညာသင်ယူဖို့မဖြစ်နိင်ပါဗျာ ကျွန်ပ်ကိုနားလည်မှုမလွဲစေချင်ပါ လိုအပ်မယ်ထင်းလို့ဝင်ရောက်ဆွေးနွေးခြင်းဖြစ်ပါတယ် ကျေးဇူးအများကြီးတင်ပါတယ်--[[အသုံးပြုသူ:咽頭べさ|咽頭べさ]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:咽頭べさ|ဆွေးနွေး]]) ၀၄:၀၆၊ ၉ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၁ (UTC) ::ဇော်ဂျီဖောင့် ဖြစ်နေ၍ ယူနီကုဒ်ဖောင့် ပြောင်းသုံးပါ။[[အသုံးပြုသူ:Mayor mt|Mayor mt]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Mayor mt|ဆွေးနွေး]]) ၀၅:၃၆၊ ၂၄ ဧပြီ ၂၀၂၀ (UTC) == Invitation to Rejoin the [https://mdwiki.org/wiki/WikiProjectMed:Translation_task_force Healthcare Translation Task Force] == [[File:Wiki Project Med Foundation logo.svg|right|frameless|125px]] You have been a [https://mdwiki.toolforge.org/prior/index.php medical translators within Wikipedia]. We have recently relaunched our efforts and invite you to [https://mdwiki.toolforge.org/Translation_Dashboard/index.php join the new process]. Let me know if you have questions. Best [[User:Doc James|<span style="color:#0000f1">'''Doc James'''</span>]] ([[User talk:Doc James|talk]] · [[Special:Contributions/Doc James|contribs]] · [[Special:EmailUser/Doc James|email]]) 12:34, 13 August 2023 (UTC) <!-- Message sent by User:Doc James@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Top_translators/20&oldid=25451577 --> == ကျေးဇူးအထူးတင်ပါသည်ခင်ဗျာ သင်ကြားရေးအတွက်လိုအပ်ချက်ပြည့်သွားပါသည် == ဆက်လက်ထည်ဘသွင်းပေးပါဗျာ [[အထူး:ဆောင်ရွက်ချက်များ/65.181.17.63|65.181.17.63]] ၀၈:၂၃၊ ၃ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၄ (UTC) == 2001-2014 Images Upload == Hi can u little bit talk to me to solve the issue. I was looking for [[:ကဏ္ဍ:မြန်မာမွတ်စလင်များ|Category:Burmese Muslims]] i check all page just due to enthusiasm and find out that the images available on pages does not have any lisence info i check who is uploader got your's name. I request u plz and details like ''description, date, Author, source.'' [[အသုံးပြုသူ:獅眠洞|獅眠洞]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:獅眠洞|ဆွေးနွေး]]) ၁၉:၃၅၊ ၂၆ ဇွန် ၂၀၂၅ (UTC) == Help me to Complete this Article == hi, sorry for distributing you Can u help me to complete this [[:en:Draft:List of Mosques in Myanmar]] by adding info(with reference or image), actually I do not understand Burmese script but wanted create this article. It will be helpful. [[အသုံးပြုသူ:Mr.work-shy|Mr.work-shy]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Mr.work-shy|ဆွေးနွေး]]) ၀၆:၀၄၊ ၂၅ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၅ (UTC) == မင်းဒင်ဆောင်းပါးကိစ္စဆွေးနွေးခြင်း == မရှက်ဘူးလား။မြန်မာဝီကီရဲ့ စည်းမျဥ်းကို ဖျက်ပစ်တာ [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၇:၀၇၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) pvijh5a53oxr7k1fof9aex1t1ulw2fm 0 7277 1060838 1050937 2026-10-31T11:37:49Z Mkant00 135890 major expansion 1060838 wikitext text/x-wiki [[File:CalabiYau5.jpg| thumb |6D ကာလာဘီယောင်းငါးထပ်မန်နီဖိုး (6D Calabi–Yau quintic manifold) တစ်ခု၏ 2D ဖြတ်ပိုင်း (2D slice)]] '''ဂျီဩမေတြီ (Geometry)''' ဟူသော စကားလုံးသည် ရှေးဟောင်းဂရိစကားလုံး γεωμετρία ဖြစ်သည့် မြေတိုင်းတာခြင်းမှ ဆင်းသက်လာပြီး ၎င်းသည် γῆ ဖြစ်သည့် ကမ္ဘာမြေ သို့မဟုတ် မြေ နှင့် μέτρον ဖြစ်သည့် အတိုင်းအတာ ဟူသော စကားလုံးများမှ ပေါင်းစပ်ဖြစ်ပေါ်လာခြင်းဖြစ်သည်။ ဂျီဩမေတြီသည် ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များ၏ အကွာအဝေး (distance)၊ ပုံသဏ္ဌာန် (shape)၊ အရွယ်အစားနှင့် နှိုင်းရတည်နေရာကဲ့သို့သော ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ (spatial relationships) နှင့် ရပ်ဝန်း (space) ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာသော [[သင်္ချာ|သင်္ချာ၏]] အဓိက ဘာသာရပ်ခွဲကြီးတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Cuemath (2023).</ref><ref>De Risi (2015), p. 1.</ref> ရုပ်ဝတ္ထုများ၏ သိပ်သည်းဆ (density)၊ အလေးချိန် သို့မဟုတ် အရောင်ကဲ့သို့သော ရူပဗေဒဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားခြင်းမပြုဘဲ ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ပုံသဏ္ဌာန်များကိုသာ သီးသန့်လေ့လာသည်။<ref>Aleksandrov (1969), vol. 6.</ref> [[ဂဏန်းသင်္ချာ]] (arithmetic) နှင့်အတူ ၎င်းသည် ရှေးအကျဆုံး သင်္ချာဘာသာရပ်ခွဲများထဲမှ တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤနယ်ပယ်၌ လေ့လာလိုက်စားသော သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးကို ဂျီဩမေတြီပညာရှင်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အခြေခံပညာအဆင့်တွင် ဤဘာသာရပ်ကို အခြေခံ ဂျီဩမေတြီ (elementary geometry) အဖြစ် သင်ကြားလေ့ရှိသည်။ ဤချဉ်းကပ်မှုနည်းလမ်းမှာ [[အမှတ်|အမှတ်များ]] (points)၊ [[မျဉ်း|မျဉ်းများ]] (lines)၊ ပြင်ညီများ (planes)၊ အကွာအဝေးများ (distances)၊ ထောင့်များ (angles)၊ မျက်နှာပြင်များ (surfaces) နှင့် မျဉ်းကွေးများ (curves) စသည့် အခြေခံ သဘောတရားများကို ဗဟိုပြုကာ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]နှစ်ခုရှိသော (two-dimensional) နှင့် အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော (three-dimensional) [[ယူကလစ် ဂျီဩမေတြီ]] (Euclidean geometry) ကိုသာ အဓိကထား လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။<ref>Tabak (2014), p. xiv.</ref> သို့ရာတွင် သာမန်လေ့လာသူတစ်ဦးအနေဖြင့် ဤအခြေခံကျောင်းသင်ဘာသာရပ်နှင့် ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီ၏ အဆင့်မြင့်နယ်ပယ်ခွဲများအကြား ဆက်စပ်နေမှုကို ချက်ချင်းသဘောပေါက်ရန် ခက်ခဲသည်။ ယနေ့အခါတွင် ခေတ်သစ်ဂျီဩမေတြီဟူသည် တစ်ပြေးညီဖြစ်သော (homogeneous) အရာဝတ္ထုများ (objects) ၌ တွေ့ရသည့် မပြောင်းလဲသော ပမာဏများ (invariant quantities) နှင့် ၎င်းတို့၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို လေ့လာသော ပညာရပ်အဖြစ် ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် လက်ခံထားကြသည်။ ပုံမှန် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဆက်သွယ်ချက်များနှင့် ဆင်တူသည့် သရုပ်မဲ့ (abstract) ဖြစ်စဉ်များကိုလည်း ဂျီဩမေတြီက လေ့လာသည်။ ပုံစံအားဖြင့် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (metric space) တစ်ခုအတွင်း သို့မဟုတ် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) အတွင်းရှိ သရုပ်မဲ့ သင်္ချာဆိုင်ရာ [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (functions) အကြားက အကွာအဝေးများကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းမျိုး ဖြစ်သည်။ မြေတိုင်းတာခြင်းကဲ့သို့သော လက်တွေ့လိုအပ်ချက်များကြောင့် ဂျီဩမေတြီသည် ရှေးခေတ်ကာလကတည်းက ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သော်လည်း အချိန်နှင့်အမျှ ၎င်း၏ လေ့လာမှုနယ်ပယ်မှာ အလွန်ကျယ်ပြန့်လာခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုတိုင်အောင် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တည်ဆောက်ပုံဟူသမျှသည် ယူကလစ်ပုံစံသာဖြစ်သည်ဟူသော ယူဆချက်က လွှမ်းမိုးထားခဲ့သည်။ သို့သော် ၁၉ ရာစုနှင့် ၎င်းနောက်ပိုင်းကာလများတွင် လိုဘာချက်ဗ်စကီး (Lobachevsky) ၏ ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ (hyperbolic geometry) အပါအဝင် ဂေါက်စ် (Gauss) နှင့် အခြားပညာရှင်များ၏ ယူကလစ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီများ (non-Euclidean geometries) ပေါ်ထွက်လာမှုက အဆိုပါယူဆချက်ကို စိန်ခေါ်နိုင်ခဲ့သည်။ ထိုအခါမှသာ ၁၇ ရာစုမှ ဒေဇတ်ဂ် (Desargues) ၏ တွေ့ရှိချက်များအပါအဝင် သမိုင်းတစ်လျှောက်၌ ယူကလစ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီကို သွယ်ဝိုက်၍ အသုံးပြုခဲ့ကြကြောင်း သဘောပေါက်လာကြသည်။ သာဓကအားဖြင့် ရှေးခေတ်ကာလကတည်းက ကမ္ဘာမြေ၏ ပုံသဏ္ဌာန်ကို နားလည်ရန်နှင့် သမုဒ္ဒရာရေကြောင်းခရီးသွားလာရန် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီ (spherical geometry) ကို သွယ်ဝိုက်အသုံးပြုခဲ့ခြင်းမျိုး ဖြစ်သည်။<ref>Kline (1972).</ref> ၁၇ ရာစု၌ ရီနေ ဒေကားတ် (René Descartes) က [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကိုဩဒိနိတ်]] (coordinate) စနစ်ကို စတင်မိတ်ဆက်လိုက်သောအခါ ဂျီဩမေတြီနယ်ပယ်တွင် ကြီးမားသော နည်းစနစ်ပိုင်းဆိုင်ရာ အချိုးအကွေ့တစ်ခု ဖြစ်ပေါ်လာသည်။ ယင်းစနစ်ကြောင့် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ပြဿနာများကို [[အက္ခရာသင်္ချာ]] (algebraic) ကိရိယာများဖြင့် ဖြေရှင်းလာနိုင်ပြီး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (analytic geometry) ဟူ၍ သီးခြားပေါ်ပေါက်လာသည်။<ref>Boyer (1956).</ref> ၁၉ ရာစုအတွင်း ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss)၊ အင်န် အိုင် လိုဘာချက်ဗ်စကီး (N.I. Lobachevskii) နှင့် ဘီ ရီးမန်း (B. Riemann) တို့၏ တွေ့ရှိချက်များက ပင်ကို ကွေးညွှတ်မှု (intrinsic curvature) ရှိသော ချောမွေ့သည့် မျက်နှာပြင်များ (smooth surfaces) နှင့် ယူကလစ်မဟုတ်သော ရပ်ဝန်းများကို (non-Euclidean spaces) ပိုမိုနက်နဲစွာ နားလည်လာစေခဲ့သည်။ ယင်းမှတစ်ဆင့် ဖဲလစ် ကလိုင်း (Felix Klein) ၏ အချိုးညီမှုအုပ်စုများ (symmetry groups) အပေါ် အခြေခံသည့် အာလန်ဂန် အစီအစဉ် (Erlangen program) နှင့် အွန်ရီ ပွန်ကာရေး (Henri Poincaré) ၏ [[အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (algebraic topology) တည်ထောင်မှုတို့က ဂျီဩမေတြီကို သိသိသာသာ ကျယ်ပြန့်သွားစေခဲ့သည်။ အိုင်းစတိုင်း (Einstein) ၏ နှိုင်းရသီအိုရီ (relativity theory) ပေါ်ထွက်လာခြင်းနှင့်အတူ ဂျီဩမေတြီသည် ရူပဗေဒနှင့် အပြန်အလှန် အကျိုးပြုကာ တိုးတက်လာခဲ့ပြီး ရူပဗေဒဆိုင်ရာ အာကာသအချိန် (spacetime) ကို နားလည်ရန် မရှိမဖြစ် လိုအပ်သော သင်္ချာဘာသာစကား ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုနှောင်းပိုင်းတွင် ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) တီထွင်ခဲ့သော ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီသည် အိုင်းစတိုင်း၏ ယေဘုယျ နှိုင်းရသီအိုရီ (general relativity) အတွက် အခြေခံ သင်္ချာကို ထောက်ပံ့ပေးခဲ့သည်။ ၂၀ ရာစုအစောပိုင်းတွင် အဲလ်ဘတ် အိုင်းစတိုင်း (Albert Einstein) ၏ ယေဘုယျ နှိုင်းရသီအိုရီက အာကာသအချိန်ကို ဆူဒို-ရီးမန်း မန်နီဖိုး (pseudo-Riemannian manifold) အဖြစ် ပုံစံထုတ်ခဲ့ပြီး ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ကွေးညွှတ်မှုသည် ဒြပ်ဆွဲအားဖြစ်စဉ်အဖြစ် တိုက်ရိုက် ထင်ဟပ်ကြောင်း ဖော်ထုတ်နိုင်ခဲ့သည်။<ref>Misner, Thorne & Wheeler (1973).</ref> ၂၀ ရာစုအလယ်ပိုင်းတွင် အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် (Alexander Grothendieck) သည် စကင်းမ်သီအိုရီ (scheme theory)၊ အစည်းများ (sheaves) နှင့် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (cohomology) တို့ကို အသုံးပြုကာ [[အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဂျီဩမေတြီ]]ကို တော်လှန်ပြောင်းလဲခဲ့ပြီး [[ကိန်းသီအိုရီ]] (number theory) နှင့် နက်ရှိုင်းစွာ ပေါင်းစပ်ပေးခဲ့သည်။ ယင်းသည် အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် (Andrew Wiles) အား [[ဖဲမ၏ နောက်ဆုံးသီအိုရမ်]] (Fermat's Last Theorem) ကို သက်သေပြနိုင်စေရန် လမ်းခင်းပေးခဲ့သည်။<ref>Hartshorne (1977).</ref><ref>Wiles (1995).</ref> ခေတ်သစ်ဂျီဩမေတြီသည် အလွန်ကျယ်ပြန့်သော ဘာသာရပ်ခွဲများအဖြစ် ကွဲပြားသွားခဲ့သည်။ သာဓကအားဖြင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (Differential geometry) နှင့် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (topology) တို့က [[မန်နီဖိုး#ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော_မန်နီဖိုးများ_(Differentiable_Manifolds)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော မန်နီဖိုးများ]] (differentiable manifolds) နှင့် အဆက်မပြတ် တည်ဆောက်ပုံများ (continuous structures) ကို လေ့လာသည်။ ၎င်းတို့တွင် ချိတ်ဆက်မှုများ (connections)၊ မက်ထရစ်များ (metrics) နှင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော အရာဝတ္ထု စုစည်းမှုများ (continuous families of objects) ပါဝင်သည်။ အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဂျီဩမေတြီ (Algebraic geometry) ကမူ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေစုများ (algebraic varieties) ကို လေ့လာသည်။ အဆင့်မြင့်သီအိုရီ ရူပဗေဒတွင် အတိုင်းအတာ ဆယ်ခုပါဝင်သော ကြိုးသီအိုရီ (string theory) ၌ မမြင်နိုင်သော ပိုလျှံ အတိုင်းအတာ ခြောက်ခုကို ကျစ်လျစ်သိပ်သည်းစေရန် ကာလာဘီ-ယောင်း မန်နီဖိုး (Calabi–Yau manifold) ကို အသုံးပြုထားသည်။<ref>Yau & Nadis (2010).</ref> ထို့အပြင် ပိုင်းစသီးခြား သို့မဟုတ် ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (discrete or combinatorial geometry) နှင့် ကွန်ပျူတာတွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (computational geometry) စသည့် ဘာသာရပ်ခွဲများသည် ကွန်ပျူတာဂရပ်ဖစ် (computer graphics)၊ ကွန်ပျူတာအမြင် (computer vision) နှင့် စက်ရုပ်နည်းပညာ (robotics) တို့အတွက် မရှိမဖြစ် အရေးပါသော အခြေခံအုတ်မြစ်များ ဖြစ်လာကြသည်။ == သမိုင်း (History) == ဂျီဩမေတြီသည် လွန်ခဲ့သော ဘီစီ ၂၀၀၀ ခန့်က မက်ဆိုပိုတေးမီးယား (Mesopotamia) နှင့် အီဂျစ် (Egypt) ပြည်တို့တွင် အစောဆုံး စတင်ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ အစောပိုင်း ဂျီဩမေတြီသည် အလျား၊ ထောင့်၊ [[ဧရိယာ]]နှင့် ထုထည်တို့နှင့် သက်ဆိုင်သော လက်တွေ့ကျ သဘောတရား စုစည်းမှုတစ်ခုဖြစ်ပြီး မြေတိုင်းတာခြင်း၊ အဆောက်အအုံဆောက်လုပ်ခြင်း၊ နက္ခတ္တဗေဒနှင့် အခြားသော လက်မှုပညာများအတွက် အဓိက တီထွင်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့တွင် အိန္ဒုမြစ်ဝှမ်းယဉ်ကျေးမှု (Indus Valley) နှင့် ဘေဘီလုံတို့မှ ပေါ်ထွက်လာသည့် ရိုင်းဒ် သင်္ချာကျမ်းစာ (Rhind Mathematical Papyrus) ကဲ့သို့သော စာရွက်စာတမ်းများနှင့် ပလင်တန် 322 (Plimpton 322) ကဲ့သို့သော ရွှံ့ပြားများပါဝင်သည်။ ဘီစီ ၆ ရာစုအရောက်တွင် ဂရိလူမျိုးများက ဂျီဩမေတြီကို လက်တွေ့တိုင်းတာခြင်းသက်သက်မှသည် ယုတ္တိကျကျ သက်သေပြနိုင်သော ဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် စတင်ပြောင်းလဲခဲ့ကြသည်။ သေးလ် (Thales) နှင့် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် (Pythagoras) တို့သည် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အဆိုပြုချက်များအတွက် ပုံစံတကျ သက်သေပြချက်များကို စတင်အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ဘီစီ ၃၀၀ ခန့်တွင် ယူကလစ် (Euclid) သည် ဤအသိပညာများကို သူ၏ အဲလီမင့်စ် (Elements) ကျမ်းတွင် စနစ်တကျ ပြုစုခဲ့ပြီး နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာနည်းလမ်း (axiomatic method) ကို စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ယူကလစ်၏ နည်းလမ်းသည် ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် သင်္ချာဘာသာရပ်၏ စံပြဖြစ်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် အာခီမီးဒီးစ် (Archimedes) က မျဉ်းကွေးပုံသဏ္ဌာန်များ၏ ဧရိယာနှင့် ထုထည်ကို တွက်ချက်ရန် ချဉ်းကပ်တွက်ချက်နည်းများကို တီထွင်ခဲ့ပြီး ပါဂါမှ အပိုလိုနီးယပ်စ် (Apollonius of Perga) က ကတော့ချွန်ဖြတ်ပိုင်းများ (conic sections) အကြောင်းကို လေ့လာခဲ့သည်။ အိန္ဒိယနိုင်ငံတွင် ရှတပထ ဗြဟ္မဏ (Shatapatha Brahmana) နှင့် ရှူးလ်ဗာ ဆူထရာ (Sulba Sutras) ကျမ်းများ၌ ယဇ်ပလ္လင်များ ဆောက်လုပ်ရန်အတွက် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ စည်းမျဉ်းများကို ရေးသားခဲ့ကြသည်။ အလယ်ခေတ်အတွင်း အစ္စလာမ္မစ် သင်္ချာပညာရှင်များသည် [[အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဂျီဩမေတြီ]] (algebraic geometry) ကို ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့ကြသည်။ အယ်လ်-မာဟာနီ (Al-Mahani) က ကတော့ချွန်ဖြတ်ပိုင်းများနှင့် သက်ဆိုင်သော ပြဿနာတစ်ခုကို သုံးထပ်ညီမျှခြင်း (cubic equation) အား ဖြေရှင်းခြင်းဖြင့် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ပြဿနာများကို အက္ခရာသင်္ချာနှင့် ချိတ်ဆက်နိုင်ခဲ့သည်။ အိုမာ ခေယမ် (Omar Khayyam) နှင့် နာဆီရူဒင် အယ်လ်-တူစီ (Nasir al-Din al-Tusi) တို့သည် ယူကလစ်၏ ပြိုင်မျဉ်းကြိုတင်အဆို (parallel postulate) ကို စူးစမ်းဝေဖန်ခဲ့ကြပြီး ၎င်းတို့၏ လေ့လာမှုများသည် နောင်တစ်ချိန်တွင် ယူကလစ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီကို ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်စေရန် အစောဆုံး အခြေခံအချက်များကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစုအစောပိုင်းတွင် ရီနေ ဒေကားတ် (René Descartes) နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ (Pierre de Fermat) တို့သည် [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်]]ကို မိတ်ဆက်ခဲ့ကြပြီး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (analytic geometry) ကို တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းစနစ်သည် ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များကို ညီမျှခြင်းများအဖြစ် ဖော်ပြနိုင်စေခဲ့ပြီး [[ကဲကုလပ်]] (calculus) ပေါ်ပေါက်လာစေရန် အဓိက တွန်းအားဖြစ်စေခဲ့သည်။ တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဂျီရတ် ဒေဇတ်ဂ် (Girard Desargues) သည် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီ (projective geometry) ကို စတင်ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုတွင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss)၊ နီကိုလိုင်း လိုဘာချက်ဗ်စကီး (Nikolai Lobachevsky) နှင့် ယာနို့စ် ဘိုလိုင် (János Bolyai) တို့သည် ယူကလစ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီများ (non-Euclidean geometries) ကို သီးခြားစီ ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့ကြသည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) က ဤသဘောတရားများကို ပိုမိုယေဘုယျပြုကာ [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများ]] (manifolds) ဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုနှောင်းပိုင်းတွင် ဖဲလစ် ကလိုင်း (Felix Klein) က အချိုးညီအုပ်စုများ (symmetry groups) အပေါ် အခြေခံသည့် အာလန်ဂန် အစီအစဉ် (Erlangen program) ဖြင့် ဂျီဩမေတြီနယ်ပယ်များကို စုစည်းခဲ့သည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး (Henri Poincaré) က [[အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (algebraic topology) ကို စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ၂၀ ရာစုတွင် ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) သည် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများကို ခေတ်သစ်ယုတ္တိဗေဒနှင့်အညီ ပိုမိုပြည့်စုံအောင် ပြန်လည်မွမ်းမံခဲ့သည်။ အိုင်းစတိုင်း၏ ယေဘုယျ နှိုင်းရသီအိုရီ (general relativity) က စကြာဝဠာ၏ အာကာသအချိန်သည် ပြားချပ်မနေဘဲ ဒြပ်ဆွဲအားကြောင့် ကွေးညွှတ်နေကြောင်း ပြသခဲ့ရာ ဂျီဩမေတြီသည် ရူပဗေဒအတွက် အဓိကဘာသာစကား ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၂၀ ရာစုနှောင်းပိုင်းတွင် အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် (Alexander Grothendieck) သည် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဂျီဩမေတြီကို စကင်းမ်များ (schemes) ဖြင့် ပြန်လည်အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခဲ့သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ကွန်ပျူတာအကူအညီပြု ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဒီဇိုင်း (computer-aided geometric design)၊ ကွန်ပျူတာတွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (computational geometry) နှင့် ပိုင်းစသီးခြား ဂျီဩမေတြီ (discrete geometry) တို့သည် ခေတ်သစ်သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာနယ်ပယ်များတွင် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်နေသည်။ == အခြေခံ သဘောတရားများနှင့် ရပ်ဝန်းများ (Foundational Concepts and Spaces) == === နဂိုမှန်အဆိုစနစ်များ (Axiomatic Systems) === ပုံစံတကျ ဂျီဩမေတြီ (formal geometry) သည် ပေါင်းစပ်ဂျီဩမေတြီ (synthetic geometry) ဟုခေါ်သော မူလ တည်ရှိဆက်စပ်မှု ဆက်သွယ်ချက်များ (primitive incidence relations) နှင့် [[နဂိုမှန်အဆို|နဂိုမှန်အဆိုများ]] (axioms) မှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်နိုင်သကဲ့သို့ သတ်မှတ်ထားသော [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုအပေါ်တွင် အခြေခံသည့် ကိုဩဒိနိတ်ရပ်ဝန်းများ (coordinate spaces) မှတစ်ဆင့်လည်း ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာနည်းအရ တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ကလပ်စစ်ကယ် ပေါင်းစပ်ဂျီဩမေတြီ (classical synthetic geometry) တွင် ယူကလစ်၏ အဲလီမင့်စ် (Elements) ကျမ်းပါ စနစ်သည် အမှတ်များ (points)၊ မျဉ်းများ (lines)၊ [[စက်ဝိုင်း|စက်ဝိုင်းများ]] (circles)၊ ထောင့်မှန်များ (right angles) နှင့် ပြိုင်မျဉ်းများ (parallels) ကို အခြေပြုသည့် ကြိုတင်အဆို (postulates) ငါးခုကို သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့အနက် ပဉ္စမမြောက်ဖြစ်သော ပြိုင်မျဉ်းကြိုတင်အဆို (parallel postulate) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\alpha + \beta < 180^\circ \implies L_1 \cap L_2 \neq \emptyset</math> အကယ်၍ မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ခုကို ဖြတ်မျဉ်းတစ်ခုက ဖြတ်သန်းသွားရာတွင် အတွင်းထောင့်များ (interior angles) ၏ ပေါင်းလဒ်သည် ထောင့်မှန်နှစ်ခုထက် ငယ်ပါက ထိုမျဉ်းနှစ်ခုကို အဆုံးမရှိ ဆန့်ထုတ်လျှင် ထိုထောင့်များရှိသော ဘက်၌ မလွဲမသွေ ဆုံတွေ့ကြမည် ဖြစ်သည်။ ဟီလ်ဘတ်၏ နဂိုမှန်အဆိုစနစ် (Hilbert's axiom system) သည် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်မထားသော သဘောတရား သုံးမျိုးဖြစ်သည့် အမှတ်၊ မျဉ်း၊ ပြင်ညီတို့နှင့် ဆက်သွယ်ချက် သုံးမျိုးဖြစ်သည့် တည်ရှိဆက်စပ်မှု (Incidence)၊ အစီအစဉ် သို့မဟုတ် ကြားတွင်ရှိခြင်း (Order or Betweenness) နှင့် ထပ်တူကျမှု (Congruence) တို့ကို အသုံးပြုကာ စနစ်တကျ ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ကြားတွင်ရှိခြင်း ဆက်သွယ်ချက်သည် မျဉ်းတစ်ကြောင်းပေါ်ရှိ အမှတ်များ၏ မျဉ်းဖြောင့်အစီအစဉ် (linear ordering) ကို တည်ထောင်ပေးပြီး ထပ်တူကျမှုသည် အပိုင်းအစများနှင့် ထောင့်များအပေါ်တွင် [[ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်|ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်များ]] (equivalence relations) ကို သတ်မှတ်ပေးကာ ထောင့်-အနား-ထောင့် အခြေအနေ (SAS criterion) ကဲ့သို့သော အခြေခံများကို ဖြည့်ဆည်းပေးသည်။ ပြည့်စုံမှု နဂိုမှန်အဆိုများ (Completeness axioms) ဖြစ်သည့် [[အာခီမီးဒီးစ် ဂုဏ်သတ္တိ]] (Archimedean property) နှင့် မျဉ်းဖြောင့်ပြည့်စုံမှုတို့သည် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ မျဉ်းကို [[ကိန်းစစ်]]မျဉ်း (real number line) <math>\mathbb{R}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်စေသည်။ ဒေးကားတ် ဂျီဩမေတြီ (Cartesian geometry) တွင် အမှတ်များကို ကိန်းစစ်အစီအစဉ်များ (tuples of real numbers) <math>x = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုပြီး မျဉ်းများနှင့် ပြင်ညီများကို [[မျဉ်းဖြောင့်ညီမျှခြင်း|မျဉ်းဖြောင့်ညီမျှခြင်းများ]] (linear equations) ၏ အဖြေစုများအဖြစ် လည်းကောင်း ဖော်ပြသည်။ ဤချဉ်းကပ်မှုတွင် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ သီအိုရမ်များသည် [[အစဉ်ကျသော ဖီးလ်ဒ်]] (ordered field) ဖြစ်သော <math>\mathbb{R}</math> ၏ အက္ခရာသင်္ချာ ဂုဏ်သတ္တိများအဖြစ် ပြောင်းလဲသွားပြီး တာစကီး၏ နဂိုမှန်အဆိုများ (Tarski's axioms) အရ ပထမအဆင့် ယုတ္တိဗေဒ (first-order logic) တွင် ပြီးပြည့်စုံပြီး ဆုံးဖြတ်၍ရနိုင်စွမ်းရှိသော (complete and decidable) စနစ်ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ဤစနစ်အတွင်းရှိ မည်သည့်အဆိုပြုချက်ကိုမဆို မှန်၊ မမှန် အယ်လဂိုရီသမ်နည်းအရ ဆုံးဖြတ်နိုင်သည်။ === မူလရပ်ဝန်းများနှင့် ရပ်ဝန်းပိုင်းများ (Primitive Spaces and Subspaces) === * '''[[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (Vector spaces)''' - ဖီးလ်ဒ် <math>k</math> ပေါ်ရှိ ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ဟူသည် ပေါင်းခြင်းအောက်တွင် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] ဖြစ်ပြီး ဗက်တာရပ်ဝန်း နဂိုမှန်အဆိုများကို ဖြည့်ဆည်းသော စကေလာမြှောက်ခြင်း တပ်ဆင်ထားသည့် အစုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[အခြေအစု]] (basis) <math>\mathcal{B}</math> တစ်ခု၏ အစုအရွယ်အစားသည် အတိုင်းအတာ (dimension) <math>\dim_k(V)</math> ကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (linear transformations) သည် ရပ်ဝန်းများအကြား ဖွဲ့စည်းပုံကို ထိန်းသိမ်းပေးသော မြေပုံများ ဖြစ်ကြသည်။ * '''အဖိုင်းရပ်ဝန်းများ (Affine spaces)''' - ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> နှင့် ဆက်နွှယ်နေသော အဖိုင်းရပ်ဝန်း (Affine space) <math>A</math> ဟူသည် မူလမှတ် (origin) သတ်မှတ်ထားခြင်း မရှိသည့် အမှတ်များ၏ အစုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းအပေါ်တွင် နေရာရွှေ့အုပ်စု (translation group) အဖြစ် <math>V</math> ၏ ပေါင်းခြင်းအုပ်စုက လွတ်လပ်ပြီး ကူးပြောင်းနိုင်သော သက်ရောက်ချက် (free and transitive action) ရှိသည်။ :<math>A \times V \to A, \quad (p, v) \mapsto p + v</math> အမှတ်နှစ်ခု <math>p, q \in A</math> အတွက် နုတ်ခြင်းလုပ်ဆောင်ချက်သည် သီးခြား အရွေ့ဗက်တာ (displacement vector) <math>q - p \in V</math> ကို ပေးသည်။ အမှတ်များ၏ အဖိုင်းမျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်း (affine combination) <math>\sum_{i=1}^k \lambda_i p_i</math> ကို အလေးဆများ၏ ပေါင်းလဒ် <math>\sum_{i=1}^k \lambda_i = 1</math> ဖြစ်ချိန်တွင်သာ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အဖိုင်းရပ်ဝန်းပိုင်း (affine subspace) သည် နေရာရွှေ့ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းပိုင်း (translated vector subspace) ဖြစ်သည်။ * '''[[ပရိုဂျက်တစ်ရပ်ဝန်း|ပရိုဂျက်တစ်ရပ်ဝန်းများ]] (Projective spaces)''' - ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ၏ ပရိုဂျက်တစ်ရပ်ဝန်း <math>\mathbb{P}(V) = (V \setminus \{0\}) / \sim</math> ဟူသည် <math>V</math> အတွင်းရှိ မူလမှတ်ကို ဖြတ်သန်းသွားသော မျဉ်းဖြောင့်များ အားလုံး ပါဝင်သည့် အစုဖြစ်သည်။ ညီမျှခြင်း ဆက်သွယ်ချက်မှာ <math>v \sim \lambda v</math> (<math>\lambda \in k \setminus \{0\}</math>) ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{P}^n(k) = \mathbb{P}(k^{n+1})</math> ၏ အမှတ်များကို တစ်ပြေးညီ ကိုဩဒိနိတ်များ (homogeneous coordinates) <math>[x_0 : x_1 : \dots : x_n]</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီတွင် မျဉ်းပြိုင်များသည် အဆုံးမရှိသော နေရာရှိ ဟိုက်ပါပြင်ညီ (hyperplane at infinity) ပေါ်တွင် ဆုံတွေ့ကြသဖြင့် မည်သည့် ပြင်ညီမျဉ်းနှစ်မဆို အမှတ်တစ်ခု၌ အမြဲ ဖြတ်သန်းဆုံတွေ့ကြသည်။ * '''[[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီရပ်ဝန်းများ]] (Topological spaces)''' - [[အစု]] <math>X</math> နှင့် ၎င်း၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] စုစည်းမှုဖြစ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology) <math>\mathcal{T}</math> ၏ တွဲဖက် <math>(X, \mathcal{T})</math> ဖြစ်ပြီး <math>\emptyset, X \in \mathcal{T}</math> ဖြစ်ကာ မည်သည့် အပွင့်အစုများ၏ ပေါင်းစည်းစုမဆိုနှင့် အဆုံးရှိသော အပွင့်အစုများ၏ ဘုံပိုင်းအစုတို့သည် <math>\mathcal{T}</math> အတွင်း ကျရောက်ရမည်။ အခြေခံ သဘောတရားများတွင် အနီးတစ်ဝိုက်များ (neighborhoods)၊ အပိတ်အစုများ (closed sets)၊ အတွင်းပိုင်း (interior)၊ နယ်နိမိတ် (boundary) နှင့် အပိတ် (closure) တို့ ပါဝင်သည်။ အဆက်မပြတ်ပုံဖော်မှုများ (continuous maps) နှင့် [[ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homeomorphisms) သည် ရပ်ဝန်းများအကြား တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ တူညီမှုကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ * '''[[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများ]] (Manifolds)''' - အတိုင်းအတာ <math>n</math> ရှိသော တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ မန်နီဖိုး (topological manifold) <math>M</math> ဟူသည် ဒေသအလိုက် ယူကလစ်ရပ်ဝန်း <math>\mathbb{R}^n</math> နှင့် ဟိုမီယိုမော်ဖစ် ဖြစ်သော ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်း (Hausdorff space) ဖြစ်သည်။ ချောမွေ့သော မန်နီဖိုး (smooth manifold) တွင် ကူးပြောင်းမှုပုံဖော်မှုများ (transition maps) <math>\psi_\beta \circ \psi_\alpha^{-1} : \psi_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \to \psi_\beta(U_\alpha \cap U_\beta)</math> အားလုံးသည် ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများ ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းသည် [[ထိမျဉ်းရပ်ဝန်း|ထိမျဉ်းရပ်ဝန်းများ]] (tangent spaces) <math>T_p M</math>၊ [[မန်နီဖိုး#ထိမျဉ်းအစည်း_(Tangent_Bundle)|ထိမျဉ်းအစည်း]] (tangent bundle) <math>TM</math> နှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံများ (differential forms) ကို တည်ဆောက်နိုင်စေသည်။ == ထောင့်များ၊ မက်ထရစ်များနှင့် တိုင်းတာမှုများ (Angles, Metrics, and Measures) == === ထောင့်များနှင့် ကွန်ဖော်မယ် တည်ဆောက်ပုံများ (Angles and Conformal Structures) === ယူကလစ် ပြင်ညီ <math>\mathbb{R}^2</math> တွင် အမှတ် <math>p</math> တစ်ခု၌ ဆုံတွေ့သော ရောင်ခြည်နှစ်ခု (rays) အကြားရှိ ထောင့် (angle) ကို ၎င်းတို့၏ [[ယူနစ်ဗက်တာ|ယူနစ်ဗက်တာများ]] (unit vectors) <math>u, v</math> ၏ အတွင်းမြှောက်လဒ် (inner product) မှတစ်ဆင့် အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>\theta = \arccos\left(\frac{\langle u, v \rangle}{\|u\| \|v\|}\right), \quad \theta \in [0, \pi]</math> ရီးမန်း မန်နီဖိုး (Riemannian manifold) <math>(M, g)</math> ပေါ်တွင် ဤသတ်မှတ်ချက်သည် ထိမျဉ်းဗက်တာများ (tangent vectors) အားလုံးအပေါ် သက်ရောက်သည်။ ချောမွေ့သော အသွင်ပြောင်းလဲမှု <math>f : (M, g) \to (N, h)</math> သည် ထောင့်ပမာဏများကို ထိန်းသိမ်းထားပါက ၎င်းကို ကွန်ဖော်မယ် ပုံဖော်မှု (conformal map) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထိုအခါ ပူးတွဲမက်ထရစ်သည် စကေလာဖန်ရှင် <math>\Omega > 0</math> ဖြင့် မူလမက်ထရစ်နှင့် ဆက်စပ်နေသည်။ :<math>f^* h = \Omega^2 g</math> === မက်ထရစ်များနှင့် ဂျီအိုဒက်စစ် အကွာအဝေးများ (Metrics and Geodesic Distances) === [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေးရပ်ဝန်း]] (metric space) ဟူသည် <math>d : X \times X \to [0, \infty)</math> က အပေါင်းကိန်းသေချာမှု (positive definiteness)၊ အချိုးညီမှု (symmetry) နှင့် တြိဂံမညီမျှခြင်း (triangle inequality) တို့ကို ဖြည့်ဆည်းပေးသော စုံတွဲ <math>(X, d)</math> ဖြစ်သည်။ * '''ယူကလစ် အကွာအဝေးဖန်ရှင် (Euclidean metric)''' - <math>\mathbb{R}^n</math> ပေါ်တွင် အမှတ်များ <math>x, y</math> အကြား အကွာအဝေးမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>d_2(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}</math> * '''<math>\ell^p</math> အကွာအဝေးဖန်ရှင်များ (<math>\ell^p</math> metrics)''' - <math>p \ge 1</math> အတွက် အကွာအဝေးမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>d_p(x, y) = \left(\sum_{i=1}^n |x_i - y_i|^p\right)^{1/p}, \quad d_\infty(x, y) = \max_{1 \le i \le n} |x_i - y_i|</math> * '''ဂျီအိုဒက်စစ် မက်ထရစ် (Geodesic metric)''' - ချိတ်ဆက်ထားသော ရီးမန်း မန်နီဖိုး <math>(M, g)</math> ပေါ်တွင် အမှတ် <math>p, q</math> တို့ကို ဆက်သွယ်ထားသည့် အပိုင်းလိုက် ချောမွေ့သည့် မျဉ်းကွေးအားလုံး၏ အလျားများအနက် အင်ဖီမမ် (infimum) ဖြစ်သည်။ :<math>d_g(p, q) = \inf_\gamma \int_a^b \sqrt{g_{\gamma(t)}(\dot{\gamma}(t), \dot{\gamma}(t))} \, dt</math> ဤနေရာတွင် ဂျီအိုဒက်စစ် ညီမျှခြင်း (geodesic equation) ကို ဖြည့်ဆည်းသော မျဉ်းကွေးများသည် အကွာအဝေး အတိုဆုံးလမ်းကြောင်းများကို ဒေသအလိုက် ဖော်ပြပေးသည်။ :<math>\nabla_{\dot{\gamma}} \dot{\gamma} = 0 \iff \ddot{\gamma}^k + \Gamma^k_{ij} \dot{\gamma}^i \dot{\gamma}^j = 0</math> * '''ဟိုက်ပါဘောလစ် မက်ထရစ် (Hyperbolic metric)''' - ပွန်ကာရေး အထက်ပြင်ညီပိုင်း (Poincaré upper half-plane) <math>\mathbb{H}^2 = \{z = x + iy \in \mathbb{C} \mid y > 0\}</math> ပေါ်တွင် မက်ထရစ်မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>ds^2 = \frac{dx^2 + dy^2}{y^2}</math> * ယေဘုယျ နှိုင်းရသီအိုရီ (general relativity) တွင် အာကာသအချိန် (spacetime) ကို လက္ခဏာတန်ဖိုး (signature) <math>(-, +, +, +)</math> ရှိသော ဆူဒို-ရီးမန်း မန်နီဖိုး (pseudo-Riemannian manifold) ဖြင့် ဖော်ပြပြီး အချိန်ကဲ့သို့သော မျဉ်းကွေးများ (timelike curves) ၏ ပကတိအချိန် (proper time) ကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်သည်။ :<math>\tau = \int \sqrt{-g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu} \, dt</math> === အတိုင်းအတာများနှင့် ထုထည်ပုံစံများ (Measures and Volume Forms) === အလျား၊ ဧရိယာနှင့် ထုထည်ဆိုင်ရာ ကလပ်စစ်ကယ် တိုင်းတာမှုများကို (classical measures) <math>X</math> ၏ အစုပိုင်းများ ပါဝင်သော <math>\sigma</math>-အက္ခရာသင်္ချာ (sigma-algebra) <math>\Sigma</math> ပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာသီအိုရီ (measure theory) ဖြင့် ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းသည်။ * '''လီဘက်ဂ် အတိုင်းအတာ (Lebesgue measure)''' - <math>\mathbb{R}^n</math> ပေါ်ရှိ ဘိုရယ်လ် <math>\sigma</math>-အက္ခရာသင်္ချာ (Borel sigma-algebra) ပေါ်တွင် နေရာရွှေ့ပြောင်းမှုအောက်၌ မပြောင်းလဲသော တစ်ခုတည်းသော တိုင်းတာမှုဖြစ်ပြီး ဝင်ရိုးပြိုင် အကွက်ငယ်များအတွက် <math>\lambda^n(\prod_{i=1}^n [a_i, b_i]) = \prod_{i=1}^n (b_i - a_i)</math> ဖြစ်သည်။ * '''ရီးမန်း ထုထည်ပုံစံ (Riemannian volume form)''' - ဦးတည်ချက် သတ်မှတ်ထားသော ရီးမန်း မန်နီဖိုး <math>(M, g)</math> ပေါ်တွင် ထိပ်တန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံ (top-degree differential form) ကို ဒေသဆိုင်ရာ ကိုဩဒိနိတ်များဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>d\mathrm{vol}_g = \sqrt{\det(g_{ij})} \, dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n</math> အစုပိုင်း <math>D \subset M</math> ၏ ထုထည်သည် အင်တီဂရယ်တန်ဖိုး <math>\mathrm{Vol}(D) = \int_D d\mathrm{vol}_g</math> ဖြစ်သည်။ * '''ဆင်ပလက်တစ် ထုထည် (Symplectic volume)''' - အတိုင်းအတာ <math>2n</math> ရှိသော ဆင်ပလက်တစ် မန်နီဖိုး (symplectic manifold) <math>(M, \omega)</math> ပေါ်တွင် ထုထည်ပုံစံကို လျူဗီးလ် တိုင်းတာမှု (Liouville measure) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ :<math>\Omega = \frac{1}{n!} \omega^{\wedge n}</math> ၎င်းသည် ဟာမီလ်တန် [[စီးဆင်းမှု|စီးဆင်းမှုများ]] (Hamiltonian flows) အောက်တွင် မပြောင်းလဲဘဲ တည်ရှိနေသည်။ == အသွင်ပြောင်းခြင်းများ၊ အချိုးညီမှုနှင့် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (Transformations, Symmetry, and Invariants) == === ထပ်တူကျမှု၊ ဆင်တူမှုနှင့် အာလန်ဂန် အစီအစဉ် (Congruence, Similarity, and the Erlangen Program) === အကွာအဝေးရပ်ဝန်း <math>(X, d)</math> ပေါ်တွင် အသွင်ပြောင်းခြင်း <math>f : X \to X</math> သည် အကွာအဝေးအားလုံးကို ထိန်းသိမ်းထားပါက (<math>d(f(x), f(y)) = d(x, y)</math>) ၎င်းကို [[အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှု|အိုင်ဆိုမက်ထရီ]] (isometry) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ပုံသဏ္ဌာန်နှစ်ခု <math>S_1, S_2 \subset X</math> အကြား <math>f(S_1) = S_2</math> ဖြစ်စေသော အိုင်ဆိုမက်ထရီတစ်ခု တည်ရှိပါက ၎င်းတို့သည် '''ထပ်တူကျကြသည် (congruent)''' ဟု ဆိုသည်။ အကယ်၍ ကိန်းသေ <math>r > 0</math> အတွက် <math>f(S_1) = S_2</math> ဖြစ်စေပြီး <math>d(f(x), f(y)) = r \cdot d(x, y)</math> ကို ပြည့်မီသော ဟိုမိုသီတီ (homothety) <math>f : X \to X</math> တည်ရှိပါက ထိုပုံသဏ္ဌာန်နှစ်ခုသည် '''ဆင်တူကြသည် (similar)''' ဟု ခေါ်သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် ဖဲလစ် ကလိုင်း (Felix Klein) က အာလန်ဂန် အစီအစဉ် (Erlangen Program) ကို တင်သွင်းခဲ့ပြီး ဂျီဩမေတြီဟူသည် အသွင်ပြောင်း အုပ်စု (transformation group) <math>G</math> တစ်ခု၏ အစု <math>X</math> ပေါ်ရှိ သက်ရောက်မှုအောက်၌ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariants) ကို လေ့လာခြင်းအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ အကယ်၍ <math>G</math> ၏ သက်ရောက်မှုသည် ကူးပြောင်းနိုင်သော သက်ရောက်ချက် (transitive action) ဖြစ်ပါက ထိုဂျီဩမေတြီကို အခြေခံမှတ်တစ်ခု၏ တည်ငြိမ်စေအုပ်စု (stabilizer) <math>H</math> အတွက် တစ်ပြေးညီရပ်ဝန်း (homogeneous space) <math>G/H</math> အဖြစ် ပုံစံတကျ ဖော်ပြနိုင်သည်။ * '''[[ယူကလစ် ဂျီဩမေတြီ]] (Euclidean geometry)''' - <math>G = \mathrm{Isom}(\mathbb{R}^n) = \mathbb{R}^n \rtimes \mathrm{O}(n)</math> ဟူသော ယူကလစ် အုပ်စု (Euclidean group) သည် မျဉ်းဖြောင့်များ၊ အကွာအဝေး၊ ထောင့်များနှင့် ထုထည်များကို ထိန်းသိမ်းသည်။ * '''ဆင်တူ ဂျီဩမေတြီ (Similarity geometry)''' - <math>G = \mathbb{R}^n \rtimes (\mathbb{R}^+ \times \mathrm{O}(n))</math>၊ ထောင့်များနှင့် အကွာအဝေး အချိုးများကို ထိန်းသိမ်းသည်။ * '''အဖိုင်း ဂျီဩမေတြီ (Affine geometry)''' - <math>G = \mathrm{Aff}(\mathbb{R}^n) = \mathbb{R}^n \rtimes \mathrm{GL}(n, \mathbb{R})</math> ဖြစ်ပြီး ပြိုင်မျဉ်းဖြစ်မှုနှင့် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်တွင်ရှိခြင်း (collinearity)၊ အဖိုင်းမျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်းများကို ထိန်းသိမ်းသည်။ * '''ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီ (Projective geometry)''' - <math>G = \mathrm{PGL}(n+1, \mathbb{R})</math> ဖြစ်ပြီး မျဉ်းဖြောင့်များ၊ ပရိုဂျက်တစ် ဟာမိုနစ် အချိုးများနှင့် နှစ်ထပ်အချိုး (cross-ratio) ကို ထိန်းသိမ်းသည်။ :<math>(z_1, z_2; z_3, z_4) = \frac{(z_1 - z_3)(z_2 - z_4)}{(z_2 - z_3)(z_1 - z_4)}</math> === အတိုင်းအတာ သီအိုရီများ (Dimension Theories) === အတိုင်းအတာ (dimension) ဟူသော သဘောတရားသည် ကွဲပြားသော သင်္ချာနယ်ပယ်များ၌ အောက်ပါအတိုင်း စနစ်တကျ ကွဲပြားသည်။ * '''အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အတိုင်းအတာ (Algebraic / Hamel Dimension)''' - ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> တွင် အတိုင်းအတာ <math>\dim_k(V)</math> သည် <math>V</math> ၏ မည်သည့်အခြေအစု (basis) မဆို၏ [[အစုအရွယ်အစား]] (cardinality) ဖြစ်သည်။ * '''တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ အတိုင်းအတာ (Topological / Lebesgue Covering Dimension)''' - တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း <math>X</math> ၏ ဖုံးအုပ်မှုအတိုင်းအတာ <math>\dim(X) \le n</math> ဖြစ်ရန်အတွက် မည်သည့် အဆုံးရှိ အပွင့်ဖုံးအုပ်မှု (finite open cover) ၌မဆို အမှတ်တိုင်းသည် အများဆုံး အစု <math>n+1</math> ခုအတွင်းသာ ပါဝင်စေမည့် ပိုမိုနုနယ်သော အပွင့်ဖုံးအုပ်မှု (open refinement) အမြဲ တည်ရှိရမည်။ * '''ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် အတိုင်းအတာ (Hausdorff Dimension)''' - အကွာအဝေးရပ်ဝန်း <math>(X, d)</math> ပေါ်ရှိ အစုပိုင်း <math>E \subset X</math> အတွက် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် အတိုင်းအတာမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\dim_H(E) = \inf \{s \ge 0 \mid \mathcal{H}^s(E) = 0\} = \sup \{s \ge 0 \mid \mathcal{H}^s(E) = \infty\}</math> ဤနေရာတွင် <math>\mathcal{H}^s</math> သည် <math>s</math>-အတိုင်းအတာရှိသော ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် အတိုင်းအတာ ဖြစ်သည်။ ဖရက်တယ်လ်များ (fractals) တွင် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် အတိုင်းအတာသည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ အတိုင်းအတာထက် တင်းကြပ်စွာ ကြီးမားလေ့ရှိပြီး ကိန်းပြည့်မဟုတ်သော တန်ဖိုးများ ဖြစ်နိုင်သည်။ * '''ခရူးလ် အတိုင်းအတာ (Krull Dimension)''' - [[အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဂျီဩမေတြီ]]တွင် အဖိုင်းစကင်းမ် (affine scheme) <math>\operatorname{Spec} R</math> ၏ အတိုင်းအတာသည် <math>R</math> အတွင်းရှိ သုဒ္ဓအိုင်ဒီးလ်များ (prime ideals) ၏ ချိတ်တန်း (chain) <math>\mathfrak{p}_0 \subsetneq \mathfrak{p}_1 \subsetneq \dots \subsetneq \mathfrak{p}_k</math> ၏ အလျား <math>k</math> တို့အနက် စူပရီမမ် (supremum) ဖြစ်သည်။ === အချိုးညီ အုပ်စုများနှင့် ပရိုဂျက်တစ် ဒွန်တွဲမှု (Symmetry Groups and Projective Duality) === * '''ပရိုဂျက်တစ် ဒွန်တွဲမှု (Projective Duality)''' - အတိုင်းအတာ အဆုံးရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> အတွက် [[ပရိုဂျက်တစ်ရပ်ဝန်း|ပရိုဂျက်တစ် ရပ်ဝန်း]] <math>\mathbb{P}(V)</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များသည် [[ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း]] (dual space) <math>\mathbb{P}(V^*)</math> အတွင်းရှိ ဟိုက်ပါပြင်ညီများ (hyperplanes) နှင့် တစ်ဆက်တစ်စပ်တည်း ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ပရိုဂျက်တစ် ပြင်ညီ <math>\mathbb{P}^2</math> တွင် အမှတ်များနှင့် မျဉ်းများအကြား သီအိုရမ်မှန်သမျှသည် ၎င်းတို့၏ အခန်းကဏ္ဍများကို ပြောင်းပြန်လဲလှယ်လိုက်သည့်အခါ ဒွန်တွဲသီအိုရမ် (dual theorem) အဖြစ် ခိုင်လုံစွာ တည်ရှိသည်။ * '''လီအုပ်စုများနှင့် အချိုးညီမှု (Lie Groups and Symmetries)''' - ချောမွေ့သော မန်နီဖိုးပေါ်တွင် အချိုးညီမှုများကို လီအုပ်စုများ (Lie groups) ၏ ချောမွေ့သော သက်ရောက်မှုများဖြင့် လေ့လာသည်။ ရီးမန်း မက်ထရစ်ကို ထိန်းသိမ်းသော အသွင်ပြောင်းခြင်းများသည် ကီလင်း [[ဗက်တာစက်ကွင်း|ဗက်တာစက်ကွင်းများ]] (Killing vector fields) ကို ဖြစ်ပေါ်စေပြီး ၎င်းတို့သည် ကီလင်း ညီမျှခြင်း (Killing equation) ကို ဖြည့်ဆည်းကြသည်။ :<math>\mathcal{L}_X g = 0 \iff \nabla_i X_j + \nabla_j X_i = 0</math> == ဂျီဩမေတြီ၏ ခေတ်ပေါ် နယ်ပယ်ခွဲများ (Contemporary Branches of Geometry) == === ဒစ်ဖရန်ရှယ်နှင့် ယူကလစ် မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီ (Differential and Non-Euclidean Geometry) === ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီသည် ချောမွေ့သော [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများ]]ပေါ်တွင် [[ကဲကုလပ်]]နှင့် တန်ဆာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (tensor analysis) ကို အသုံးပြု၍ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တည်ဆောက်ပုံများကို လေ့လာသည်။ * '''ရီးမန်း ကွေးညွှတ်မှု တန်ဆာ (Riemann Curvature Tensor)''' - ချိတ်ဆက်မှု <math>\nabla</math> ပါဝင်သော မန်နီဖိုးပေါ်တွင် <math>R(X, Y)Z = \nabla_X \nabla_Y Z - \nabla_Y \nabla_X Z - \nabla_{[X, Y]} Z</math> ဖြစ်သည်။ ဒေသဆိုင်ရာ ကိုဩဒိနိတ်များဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>R^\rho{}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu \Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda} \Gamma^\lambda_{\mu\sigma}</math> * '''ရစ်ချီ ကွေးညွှတ်မှု (Ricci Curvature) နှင့် စကေလာ ကွေးညွှတ်မှု (Scalar Curvature)''' - ရီးမန်း တန်ဆာကို အကျဉ်းချုပ်ခြင်းဖြင့် ရစ်ချီ တန်ဆာ <math>R_{\mu\nu} = R^\lambda{}_{\mu\lambda\nu}</math> နှင့် စကေလာ ကွေးညွှတ်မှု <math>R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}</math> တို့ကို ရရှိသည်။ * '''ဂေါက်ရှန်း ကွေးညွှတ်မှု (Gaussian Curvature)''' - အတိုင်းအတာ နှစ်ခုရှိသော မျက်နှာပြင်များအတွက် ရီးမန်း ကွေးညွှတ်မှု တန်ဆာကို အမှတ်အလိုက်အားဖြင့် စကေလာတန်ဖိုးဖြစ်သော '''ဂေါက်ရှန်း ကွေးညွှတ်မှု''' <math>K = \kappa_1 \kappa_2</math> ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်ပြီး ၎င်းသည် ပင်မကွေးညွှတ်မှုများ (principal curvatures) ၏ မြှောက်လဒ် ဖြစ်သည်။ ဂေါက်စ်၏ '''သီအိုရီမာ အီဂရီဂျီယမ်''' (Theorema Egregium) က <math>K</math> သည် ပင်ကို မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (intrinsic invariant) ဖြစ်ကြောင်း သက်သေထူသည်။ ၎င်းသည် ယူကလစ် ရပ်ဝန်း <math>\mathbb{R}^3</math> အတွင်းသို့ အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှုဆိုင်ရာ မည်သည့်မြှုပ်နှံမှုနှင့်မျှ မသက်ဆိုင်ဘဲ ရီးမန်း မက်ထရစ် <math>g</math> နှင့် ၎င်း၏ ဆင်းသက်ချက်များအပေါ်၌သာ သီးသန့်တည်မီနေသည်။<ref>Spivak (1999), vol. 2.</ref> * '''ဂေါက်စ်-ဘွန်းနေး သီအိုရမ် (Gauss–Bonnet Theorem)''' - ကျစ်လျစ်ပြီး နယ်နိမိတ်မဲ့သော အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိ ရီးမန်း မျက်နှာပြင် <math>M</math> ပေါ်တွင် ဒေသဆိုင်ရာ ကွေးညွှတ်မှုနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ အွိုင်လာ ဝိသေသတန်ဖိုး (Euler characteristic) <math>\chi(M)</math> အကြား နက်ရှိုင်းသော ပေါင်းကူးမှုကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးသည်။ ဆက်စပ်ပြီး ဦးတည်ချက်သတ်မှတ်နိုင်သော မျက်နှာပြင်များအတွက် မျိုးစု (genus) <math>g</math> ဖြင့် <math>\chi(M) = 2 - 2g</math> ဖြစ်သည်။ :<math>\int_M K \, dA = 2\pi \chi(M)</math> === တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology) === [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]]သည် အဆက်မပြတ် ပုံပျက်ခြင်းများ (continuous deformations, homeomorphisms) အောက်တွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာသည်။ * '''အခြေခံအုပ်စု (Fundamental Group) <math>\pi_1(X, x_0)</math>''' - အခြေခံမှတ် <math>x_0</math> ၌ စတင်ပြီး အဆုံးသတ်သော ကွင်းပိတ်များ (loops) ၏ [[ဟိုမိုတိုပီ|ဟိုမိုတိုပီ အတန်းအစားများ]] (homotopy classes) ပါဝင်သော အုပ်စုဖြစ်သည်။ * '''[[ဟိုမိုလော်ဂျီ|ဟိုမိုလော်ဂျီအုပ်စုများ]] (Homology Groups) <math>H_k(X; \mathbb{Z})</math>''' - ဆင်ဂူလာ ချိတ်တန်းကွန်ပလက်စ် (singular chain complex) <math>(C_k(X), \partial_k)</math> ၏ ဟိုမိုလော်ဂျီဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ :<math>H_k(X; \mathbb{Z}) = \frac{\ker(\partial_k : C_k(X) \to C_{k-1}(X))}{\mathrm{im}(\partial_{k+1} : C_{k+1}(X) \to C_k(X))}</math><ref>May (1999), pp. 75–85.</ref> အထုံးသီအိုရီ (Knot theory) သည် တြီဖွိုင်အထုံး (trefoil knot) ကဲ့သို့သော အတိုင်းအတာ သုံးခုရှိ ရပ်ဝန်း <math>\mathbb{R}^3</math> သို့မဟုတ် <math>S^3</math> အတွင်း စက်ဝိုင်း <math>S^1</math> ကို မြှုပ်နှံထားသည့် အထုံးများ၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ တူညီမှုများကို လေ့လာသည်။<ref>Rolfsen (1976), pp. 45–60.</ref> === အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဂျီဩမေတြီနှင့် စကင်းမ်များ (Algebraic Geometry and Schemes) === အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဂျီဩမေတြီသည် [[ပိုလီနိုမီရယ်|ပိုလီနိုမီရယ်များ]] (polynomials) ၏ ဘုံသုညနေရာစုများ (zero loci) ကို လေ့လာသည်။ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာအပိတ်ဖြစ်သော ဖီးလ်ဒ် (algebraically closed field) <math>k</math> နှင့် [[အိုင်ဒီးလ်]] (ideal) <math>I \subset k[x_1, \dots, x_n]</math> အတွက် အဖိုင်း အက္ခရာသင်္ချာ အစုမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>V(I) = \{x \in k^n \mid \forall f \in I, \; f(x) = 0\}</math> '''ဟီလ်ဘတ် နားလ်စတယ်လန်ဇပ်စ်''' (Hilbert's Nullstellensatz) သည် <math>k[x_1, \dots, x_n]</math> ၏ အိုင်ဒီးလ်များ၏ အရင်းများ (radical ideals) နှင့် အက္ခရာသင်္ချာ အစုများအကြား တစ်ဆက်တစ်စပ်တည်း အပြန်အလှန်ကိုက်ညီမှုကို အောက်ပါအတိုင်း တည်ထောင်ပေးသည်။ :<math>I(V(J)) = \sqrt{J}</math><ref>Eisenbud (1995), pp. 100–135.</ref> အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် (Alexander Grothendieck) ဖော်ထုတ်ခဲ့သော ခေတ်သစ် အခြေခံ အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဂျီဩမေတြီတွင် အဖြေစုများကို '''စကင်းမ်များ''' (schemes) အဖြစ် ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ စကင်းမ်တစ်ခုဟူသည် ဇာရစ်စကီး တိုပေါ်လော်ဂျီ (Zariski topology) နှင့် တည်ဆောက်ပုံအစည်း (structure sheaf) တပ်ဆင်ထားသည့် ဖလှယ်ရကွင်း (commutative ring) <math>R</math> ၏ ပင်မ စပက်ထရမ် <math>\operatorname{Spec} R</math> နှင့် ဒေသအလိုက် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော ဒေသအလိုက်[[ကွင်းပါသော ရပ်ဝန်း]] (locally ringed space) <math>(X, \mathcal{O}_X)</math> ဖြစ်သည်။<ref>Hartshorne (1977), pp. 70–95.</ref> ဤနည်းလမ်းသည် သုညဖြစ်နိုင်စွမ်းရှိသော အစုဝင်များ (nilpotent elements) ကို ပါဝင်စေပြီး အဆုံးမရှိ သေးငယ်သော ပုံပျက်ခြင်းများကို လေ့လာနိုင်စေသည်။<ref>Mumford (1999), pp. 65–85.</ref> ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် အဆီးအတား သီအိုရီများကို ကိုဟီးရန့် အစည်းများ၏ [[ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (cohomology of coherent sheaves) <math>H^q(X, \mathcal{F})</math> မှတစ်ဆင့် တွက်ချက်သည်။ === ကိန်းထွေးနှင့် ခဲလာ ဂျီဩမေတြီ (Complex and Kähler Geometry) === ကိန်းထွေး မန်နီဖိုး (complex manifold) <math>M</math> ဟူသည် ဟိုလိုမော်ဖစ် ကူးပြောင်းမှုပုံဖော်မှုများ (holomorphic transition maps) ပါဝင်သော အက်တလတ်စ် တပ်ဆင်ထားသည့် မန်နီဖိုး ဖြစ်သည်။ ၎င်းတွင် အတိုင်းအတာ <math>2n</math> ရှိပြီး <math>J^2 = -\mathrm{id}</math> ကို ဖြည့်ဆည်းကာ နိုင်ယင်ဟောက်စ် တန်ဆာ (Nijenhuis tensor) ပျောက်ကွယ်သွားသည့် (<math>N_J = 0</math>) သဟဇာတဖြစ်သော နီးပါးကိန်းထွေး တည်ဆောက်ပုံ (integrable almost complex structure) <math>J : TM \to TM</math> တည်ရှိသည်။ '''ခဲလာ မန်နီဖိုး''' (Kähler manifold) ဟူသည် ၎င်း၏ အခြေခံ 2-ဖောင် <math>\omega(X, Y) = g(JX, Y)</math> သည် အပိတ်ပုံစံ <math>d\omega = 0</math> ဖြစ်သည့် ဟာမီရှန် မက်ထရစ် <math>h = g - i\omega</math> တပ်ဆင်ထားသော ကိန်းထွေးမန်နီဖိုး ဖြစ်သည်။<ref>Ballmann (2006), pp. 30–55.</ref> ကျစ်လျစ်သော ခဲလာ မန်နီဖိုးများပေါ်တွင် ဒိုလ်ဘို ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (Dolbeault cohomology) <math>H^{p, q}(M)</math> အုပ်စုများသို့ ဟော့ဂျ် ခွဲခြမ်းမှု (Hodge decomposition) တည်ရှိသည်။ :<math>H^k(M; \mathbb{C}) = \bigoplus_{p+q=k} H^{p, q}(M), \quad \overline{H^{p, q}(M)} \cong H^{q, p}(M)</math> ကာလာဘီ-ယောင်း မန်နီဖိုး (Calabi–Yau manifold) သည် ပထမ ချန်အတန်းအစား (first Chern class) ပျောက်ကွယ်သွားသည့် (<math>c_1(M) = 0</math>) ကျစ်လျစ်သော ခဲလာ မန်နီဖိုး ဖြစ်ပြီး ၎င်းပေါ်တွင် ရစ်ချီ-ပြားချပ်သော မက်ထရစ် (Ricci-flat metric, <math>\mathrm{Ric} = 0</math>) တည်ရှိကြောင်း ရှင်း-တုံ ယောင်း (Shing-Tung Yau) က ကာလာဘီ ယူဆချက်ကို သက်သေပြခြင်းဖြင့် အတည်ပြုခဲ့သည်။<ref>Yau (1978).</ref> === ပိုင်းစသီးခြား၊ ခုံးသောနှင့် ကွန်ပျူတာတွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Discrete, Convex, and Computational Geometry) === * '''ခုံးသော ဂျီဩမေတြီ (Convex geometry)''' - ယူကလစ် ရပ်ဝန်းအတွင်းရှိ ခုံးသည့်အစုများ (convex sets) ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာသည်။ ** '''ကာရာသီအိုဒိုရီ သီအိုရမ် (Carathéodory's theorem)''' - <math>\mathbb{R}^d</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အမှတ် <math>x \in \mathrm{conv}(S)</math> မဆိုကို <math>S</math> အတွင်းရှိ အများဆုံး အမှတ် <math>d+1</math> ခု၏ ခုံးသော ပေါင်းစပ်မှုအဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ** '''ရေဒွန်၏ သီအိုရမ် (Radon's theorem)''' - <math>\mathbb{R}^d</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အမှတ် <math>d+2</math> ခုပါ အစုကိုမဆို ၎င်းတို့၏ ခုံးသော အဖုံးအုပ်များ (convex hulls) အချင်းချင်း ဖြတ်သန်းဆုံတွေ့သည့် သီးခြားအစုပိုင်း နှစ်ခုအဖြစ် အမြဲ ခွဲခြမ်းနိုင်သည်။ ** '''ဟယ်လီ သီအိုရမ် (Helly's theorem)''' - <math>\mathbb{R}^d</math> အတွင်းရှိ အနည်းဆုံး အစု <math>d+1</math> ခု ပါဝင်သော ကျစ်လျစ်သည့် ခုံးသောအစုများ စုစည်းမှုတွင် မည်သည့်အစု <math>d+1</math> ခုမဆို ဘုံပိုင်းဆုံမှတ် ရှိပါက စုစည်းမှုတစ်ခုလုံးတွင် ဘုံပိုင်းဆုံမှတ် ရှိသည်။ * '''ပိုင်းစသီးခြား ဂျီဩမေတြီ (Discrete geometry)''' - ပိုလီတုပ်များ (polytopes) ၏ ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းမှုဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် စက်လုံးထုပ်ပိုးခြင်း (sphere packing) ပြဿနာများကို လေ့လာသည်။ * '''ကွန်ပျူတာတွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Computational geometry)''' - ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများအတွက် ထိရောက်သော အယ်လဂိုရီသမ်များကို ဖော်ထုတ်သည်။ ပုံစံအားဖြင့် ဗိုရိုနွိုင် ပုံကြမ်းများ (Voronoi diagrams) နှင့် ဒေလောနေး [[တြိဂံ]]ကွန်ရက်ခွဲခြမ်းခြင်း (Delaunay triangulations) တို့သည် ကွန်ပျူတာဂရပ်ဖစ်နှင့် ပထဝီဝင် သတင်းအချက်အလက် စနစ်များတွင် အခြေခံ အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ === ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အုပ်စုသီအိုရီ (Geometric Group Theory) === ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အုပ်စုသီအိုရီသည် အဆုံးရှိထုတ်လုပ်ကိန်းပါ အုပ်စုများ (finitely generated groups) ကို ကေးလီ ဂရပ်များ (Cayley graphs) သို့မဟုတ် အကွာအဝေးရပ်ဝန်းများပေါ်ရှိ အိုင်ဆိုမက်ထရီ အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှု လုပ်ဆောင်ချက်များမှတစ်ဆင့် ဂျီဩမေတြီ အရာဝတ္ထုများအဖြစ် လေ့လာသည်။ * '''ကွာစီ-အိုင်ဆိုမက်ထရီ (Quasi-isometry)''' - အုပ်စုနှစ်ခု၏ ကေးလီ ဂရပ်များသည် အတိုင်းအတာ ကြီးမားသော အတိုင်းအတာဘောင်အတွင်း၌ ကွာစီ-အိုင်ဆိုမက်ထရီ ဖြစ်ပါက ၎င်းတို့သည် တူညီသော ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဖွဲ့စည်းပုံရှိကြသည်။ * '''ဂရိုမော့ဗ် ဟိုက်ပါဘောလစ် အုပ်စုများ (Gromov hyperbolic groups)''' - ကေးလီ ဂရပ်အတွင်းရှိ [[တြိဂံ|တြိဂံများ]]အားလုံးသည် တြိဂံပါးလွှာမှု အခြေအနေ (thin triangles condition, <math>\delta</math>-hyperbolic) ကို ဖြည့်ဆည်းသော အုပ်စုများဖြစ်ပြီး ဟိုက်ပါဘောလစ် ရပ်ဝန်းများ၏ အနုတ်လက္ခဏာ ကွေးညွှတ်မှု ဂုဏ်သတ္တိများကို သရုပ်ဖော်သည်။ သာဓကအားဖြင့် <math>\mathbb{H}^2</math> ပေါ်တွင် သက်ရောက်သော ဖူးရှန်း အုပ်စုများ (Fuchsian groups) ပါဝင်သည်။ ဤနေရာတွင် တြိဂံပါးလွှာခြင်းဟူသည် အနားတစ်ခုစီသည် အခြားအနားနှစ်ခု ပေါင်းစည်းမှု၏ <math>\delta</math>-ပတ်ဝန်းကျင်အတွင်း ကျရောက်နေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ == အသုံးချမှုများ (Applications) == === သင်္ချာရူပဗေဒ (Mathematical Physics) === * '''ယေဘုယျ နှိုင်းရသီအိုရီ (General Relativity)''' - ဒြပ်ဆွဲအားကို အာကာသအချိန်၏ ကွေးညွှတ်မှုအဖြစ် ဖော်ပြသော အိုင်းစတိုင်း စက်ကွင်းညီမျှခြင်းများ (Einstein field equations) သည် လိုရန့်ဇ် ဂျီဩမေတြီ (Lorentzian geometry) ပေါ်တွင် အခြေခံထားသည်။ :<math>G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}</math> * '''ဂေ့ချ်သီအိုရီများ (Gauge Theories)''' - အခြေခံ အမှုန်ရူပဗေဒ၏ စံမော်ဒယ် (Standard Model) ကို ပင်မ [[ဖိုက်ဘာအစည်း|ဖိုက်ဘာအစည်းများ]] (principal fiber bundles) ပေါ်ရှိ ချိတ်ဆက်မှုများနှင့် ကွေးညွှတ်မှုများအဖြစ် ဂျီဩမေတြီနည်းအရ ဖော်ပြသည်။ ချန်-ဆိုင်မွန် သီအိုရီ (Chern–Simons theory) နှင့် ယန်-မေးလ်စ် ညီမျှခြင်းများ (Yang–Mills equations) သည် ခေတ်သစ် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီနှင့် ကွမ်တမ် မက္ကင်းနစ်ကို ပေါင်းကူးပေးသည်။ * '''ဆင်ပလက်တစ် မက္ကင်းနစ် (Symplectic Mechanics)''' - ကလပ်စစ်ကယ် မက္ကင်းနစ် (Classical mechanics) ၏ အဆင့်ရပ်ဝန်းသည် တည်နေရာနှင့် [[အဟုန်]]တို့ ပါဝင်သော ဒွန်တွဲထိမျဉ်းအစည်း (cotangent bundle) <math>T^* Q</math> ဖြစ်ပြီး ဆင်ပလက်တစ် ပုံစံ <math>\omega = \sum dq_i \wedge dp_i</math> ကို အသုံးပြုကာ ဟာမီလ်တန် စနစ်များကို လေ့လာသည်။ === အနုပညာ၊ ဗိသုကာပညာနှင့် ပုံသဏ္ဌာန်တိုင်းတာမှုပညာ (Art, Architecture, and Morphometrics) === ဂျီဩမေတြီသည် ရှေးခေတ် အီဂျစ်နှင့် ဂရိတို့၏ ဗိသုကာလက်ရာများမှစ၍ အချိုးအစားညီညွတ်မှုဆိုင်ရာ ရွှေအချိုး (golden ratio) နှင့် အမြင်အာရုံဆိုင်ရာ ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီ နည်းစနစ်များအထိ အနုပညာနယ်ပယ်၌ အဓိက အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်ခဲ့သည်။ ခေတ်သစ် ဗိသုကာပညာတွင် ကွန်ပျူတာအထောက်အကူပြု ဂျီဩမေတြီစနစ်များကို အသုံးပြု၍ ရှုပ်ထွေးသော ကွေးညွှတ်မျက်နှာပြင်များကို တည်ဆောက်သည်။ ဇီဝဗေဒဆိုင်ရာ ပုံသဏ္ဌာန်တိုင်းတာမှုပညာ (Geometric morphometrics) တွင် သက်ရှိများ၏ အရိုးတည်ဆောက်ပုံနှင့် ပုံသဏ္ဌာန် ပြောင်းလဲမှုများကို ပရိုခရပ်စ်တီးစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (Procrustes analysis) ကဲ့သို့သော နည်းလမ်းများဖြင့် တိုင်းတာလေ့လာသည်။ === ကိန်းသီအိုရီနှင့် ဂဏန်းသင်္ချာနည်းကျ ဂျီဩမေတြီ (Number Theory and Arithmetic Geometry) === ဂဏန်းသင်္ချာနည်းကျ ဂျီဩမေတြီ (Arithmetic geometry) သည် ကိန်းဖီးလ်ဒ်များ (number fields) ပေါ်ရှိ ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ပြဿနာများကို ဖြေရှင်းရန် [[အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဂျီဩမေတြီ]]၏ နည်းလမ်းများကို အသုံးချသည်။<ref>Lozano-Robledo (2019), pp. 1–30.</ref> အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် (Andrew Wiles) ၏ [[ဖဲမ၏ နောက်ဆုံးသီအိုရမ်]] (Fermat's Last Theorem) အား ဖြေရှင်းချက်သည် <math>\mathbb{Q}</math> ပေါ်ရှိ ဆီမီးတည်ငြိမ်သော အဲလစ်ပတစ်မျဉ်းကွေးများ (semistable elliptic curves) ၏ မော်ဂျူလာဖြစ်မှုကို တည်ထောင်ပေးခဲ့ပြီး အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဂျီဩမေတြီ၊ မော်ဂျူလာပုံစံများ (modular forms) နှင့် ဂယ်လ်ဝါ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုများ (Galois representations) ကို ပေါင်းကူးပေးခဲ့သည်။<ref>Wiles (1995).</ref> == ကိုးကား (References) == * {{cite book |last=Aleksandrov |first=A.D. |year=1969 |title=A General View of Mathematics |volume=6 |publisher=MIT Press}} * {{cite book |last=Ballmann |first=Werner |year=2006 |title=Lectures on Kähler Manifolds |publisher=European Mathematical Society |isbn=978-3-03719-025-8}} * {{cite book |last=Boyer |first=Carl B. |year=1956 |title=History of Analytic Geometry |publisher=Dover Publications |isbn=978-0-486-43832-0}} * {{cite web |last=Cuemath |year=2023 |title=Geometry - Meaning, Definitions, Types, Basics |url=https://www.cuemath.com/geometry/ |access-date=2024-03-30}} * {{cite book |last=De Risi |first=Vincenzo |year=2015 |title=Mathematizing Space: The Objects of Geometry from Antiquity to the Early Modern Age |publisher=Birkhäuser |isbn=978-3-319-12101-7}} * {{cite book |last=Eisenbud |first=David |year=1995 |title=Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=150 |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-0-387-94269-8}} * {{cite book |last=Hartshorne |first=Robin |year=1977 |title=Algebraic Geometry |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=52 |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-0-387-90244-9}} * {{cite book |last=Kline |first=Morris |year=1972 |title=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-506135-2}} * {{cite book |last=Lozano-Robledo |first=Álvaro |year=2019 |title=Number Theory and Geometry: An Introduction to Arithmetic Geometry |series=Pure and Applied Undergraduate Texts |volume=35 |publisher=American Mathematical Society |isbn=978-1-4704-5016-8}} * {{cite book |last=May |first=J. Peter |year=1999 |title=A Concise Course in Algebraic Topology |publisher=University of Chicago Press |isbn=978-0-226-51183-2}} * {{cite book |last=Misner |first=Charles W. |last2=Thorne |first2=Kip S. |last3=Wheeler |first3=John Archibald |year=1973 |title=Gravitation |publisher=W. H. Freeman |isbn=978-0-7167-0344-0}} * {{cite book |last=Mumford |first=David |year=1999 |title=The Red Book of Varieties and Schemes |series=Lecture Notes in Mathematics |volume=1358 |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-3-540-63293-1}} * {{cite book |last=Rolfsen |first=Dale |year=1976 |title=Knots and Links |series=Mathematics Lecture Series |volume=7 |publisher=Publish or Perish |isbn=978-0-914098-16-4}} * {{cite book |last=Spivak |first=Michael |year=1999 |title=A Comprehensive Introduction to Differential Geometry |volume=2 |edition=3rd |publisher=Publish or Perish |isbn=978-0-914098-71-3}} * {{cite book |last=Tabak |first=John |year=2014 |title=Geometry: The Language of Space and Form |publisher=Facts on File |isbn=978-0-8160-4953-0}} * {{cite journal |last=Wiles |first=Andrew |year=1995 |title=Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem |journal=Annals of Mathematics |volume=141 |issue=3 |pages=443–551 |doi=10.2307/2118559}} * {{cite journal |last=Yau |first=Shing-Tung |year=1978 |title=On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation, I |journal=Communications on Pure and Applied Mathematics |volume=31 |issue=3 |pages=339–411 |doi=10.1002/cpa.3160310304}} * {{cite book |last=Yau |first=Shing-Tung |last2=Nadis |first2=Steve |year=2010 |title=The Shape of Inner Space: String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions |publisher=Basic Books |isbn=978-0-465-02023-2}} [[ကဏ္ဍ:ဂျီဩမေတြီ]] e10momck9npu6sr8t7tqdstytf55ix9 0 10770 1060835 871570 2026-10-31T10:30:19Z ~2026-57940-60 150217 /* */ ကန်စွန်းရွက် 1060835 wikitext text/x-wiki {{infobox person |name =ဖိုးသောကြာ |image = |birth_date = ၁၉၈၂ |birth_name = မောင်သောကြာ |nationality = {{flag|Myanmar}} |parents = [[သုမောင်|ဦးသုမောင်]](စာရေးဆရာ၊ အဆိုတော်၊ သရုပ်ဆောင်) + ဒေါ်အေးအေးမေ (အေးဘုံ) |religion = ဗုဒ္ဓဘာသာ |occupation = ရုပ်ရှင် သရုပ်ဆောင်၊ အဆိုတော် |birth_place = [[ရန်ကုန်မြို့]] }} '''ဖိုးသောကြာ'''သည် မြန်မာနိုင်ငံသား သရုပ်ဆောင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး အဆိုတော်၊ ရုပ်ရှင်မင်းသား၊ စာရေးဆရာ[[သုမောင်]]၏ သားဖြစ်သည်။ ဖိုးသောကြာကို ၁၉၈၂-ခုနှစ်တွင် ဦးသုမောင်နှင့် ဒေါ်အေးအေးမေ (အေးဘုံ)တို့မှ ရန်ကုန်မြို့တွင် မွေးဖွားခဲ့သည်။ နာမည်အရင်းမှာ မောင်သောကြာဖြစ်သည်။ မွေးချင်းလေးဦးအနက် ဒုတိယမြောက် ဖြစ်သည်။ သုမောင် ရိုက်ကူးသော ဆို၊ က၊ ရေးတီး ဂုဏ်ပြုဇာတ်လမ်း ''စိန်ခြယ်ဖျာ ရောင်လင်း'' ရုပ်ရှင်ကားတွင် ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ပြီး ရုပ်ရှင်အနုပညာ လောကထဲသို့ ဝင်ရောက်လာခဲ့သည်။ ကန်စွန်းရွက်နှင့် နာမည်ကြီးသည်။ == ကိုးကား == {{reflist}} [[Category:မြန်မာ အမျိုးသား အဆိုတော်များ]] [[Category:မြန်မာ အမျိုးသား ရုပ်ရှင်သရုပ်ဆောင်များ]] {{Lifetime|၁၉၈၂| |}} 4d8j55gvoyrshgzzf4va5sexif9da7t 1060837 1060835 2026-10-31T11:14:47Z Kyaw Myo Aung 103978 [[Special:Contributions/~2026-57940-60|~2026-57940-60]] ([[User talk:~2026-57940-60|ဆွေးနွေးချက်]]) ၏ မူဟောင်း [[Special:Diff/1060835|1060835]] ကို ပြန်ပြင်လိုက်သည် အကြောင်းမဲ့ လက်သရမ်းခြင်း။ 1060837 wikitext text/x-wiki {{infobox person |name =ဖိုးသောကြာ |image = |birth_date = ၁၉၈၂ |birth_name = မောင်သောကြာ |nationality = {{flag|Myanmar}} |parents = [[သုမောင်|ဦးသုမောင်]](စာရေးဆရာ၊ အဆိုတော်၊ သရုပ်ဆောင်) + ဒေါ်အေးအေးမေ (အေးဘုံ) |religion = ဗုဒ္ဓဘာသာ |occupation = ရုပ်ရှင် သရုပ်ဆောင်၊ အဆိုတော် |birth_place = [[ရန်ကုန်မြို့]] }} '''ဖိုးသောကြာ'''သည် မြန်မာနိုင်ငံသား သရုပ်ဆောင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး အဆိုတော်၊ ရုပ်ရှင်မင်းသား၊ စာရေးဆရာ[[သုမောင်]]၏ သားဖြစ်သည်။ ဖိုးသောကြာကို ၁၉၈၂-ခုနှစ်တွင် ဦးသုမောင်နှင့် ဒေါ်အေးအေးမေ (အေးဘုံ)တို့မှ ရန်ကုန်မြို့တွင် မွေးဖွားခဲ့သည်။ နာမည်အရင်းမှာ မောင်သောကြာဖြစ်သည်။ မွေးချင်းလေးဦးအနက် ဒုတိယမြောက် ဖြစ်သည်။ သုမောင် ရိုက်ကူးသော ဆို၊ က၊ ရေးတီး ဂုဏ်ပြုဇာတ်လမ်း ''စိန်ခြယ်ဖျာ ရောင်လင်း'' ရုပ်ရှင်ကားတွင် ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ပြီး ရုပ်ရှင်အနုပညာ လောကထဲသို့ ဝင်ရောက်လာခဲ့သည်။ == ကိုးကား == {{reflist}} [[Category:မြန်မာ အမျိုးသား အဆိုတော်များ]] [[Category:မြန်မာ အမျိုးသား ရုပ်ရှင်သရုပ်ဆောင်များ]] {{Lifetime|၁၉၈၂| |}} 4wo4f9ztfd3zy33xhv94k0kzl0bsrbn 0 13739 1060746 1054763 2026-10-30T12:57:21Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060746 wikitext text/x-wiki {{Infobox uprising | title = ၂၀၁၁ ခုနှစ် အီဂျစ် လူထုဆန္ဒပြပွဲ | image = Day of Anger marchers in street.jpg|250px | caption = ဇန္နဝါရီ ၂၅ ရက်နေ့၌ ချီတက်လာသော ဆန္ဒပြသူ လူထု | alt = | location = {{အလံ|အီဂျစ်နိုင်ငံ}} | coordinates = | date = ၂၀၁၁ ဇန္နဝါရီ ၂၅ – ''ဖြစ်ပွားဆဲ'' | time = | timezone = | characteristics = ဆန္ဒပြမှု၊ အဓိကရုဏ်း၊ လုယက်မှု၊ သပိတ်မှောက်မှု | injuries = ၃၀၀၀ ကျော်<ref>[https://web.archive.org/web/20110201231932/http://www.haaretz.com/news/international/un-human-rights-chief-300-reported-dead-in-egypt-protests-1.340583 UN human rights chief: 300 reported dead in Egypt protests], ''Haaretz'', 01.02.11</ref> | fatalities = ၃၆၅ - <ref>{{Cite web |title=Egypt's Health Ministry says 365 killed in unrest |url=http://apnews.myway.com/article/20110216/D9LE01083.html |access-date=16 February 2011 |archive-date=10 September 2013 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130910094526/http://apnews.myway.com/article/20110216/D9LE01083.html }}</ref><ref name="autogenerated3">{{cite web|url=http://www.hrw.org/en/news/2011/02/08/egypt-documented-death-toll-protests-tops-300 |title=Egypt: Documented Death Toll From Protests Tops 300 &#124; Human Rights Watch |publisher=Hrw.org |date=2011-01-28 |accessdate=2011-02-09}}</ref> ဆန္ဒပြသူ ၁၃၅ ဦး၊<ref name="liveblog" /><ref name="ajprotestersback" /> ရဲသား ၁၂ ဦး၊<ref name="reuterslive">{{cite web| url=http://live.reuters.com/Event/Unrest_in_Egypt| title=Unrest in Egypt| accessdate=28 January 2011| date=28 January 2011| work=Reuters| archive-date=30 January 2011| archive-url=https://web.archive.org/web/20110130092405/http://live.reuters.com/Event/Unrest_in_Egypt}}</ref><ref name="BBC News">{{cite news|url=http://www.bbc.co.uk/news/world-middle-east-11777943|title=Egypt: Mubarak Sacks Cabinet and Defends Security Role|work=BBC News|date=29 January 2011|accessdate=29 January 2011}}</ref><ref name="guardianlive">{{cite news|url=http://www.guardian.co.uk/world/blog/2011/jan/26/egypt-protests#block-11|title=Protests in Egypt — As It Happened (Live Blog)|date=26 January 2011|accessdate=26 January 2011|work=The Guardian}}</ref> ထောင်ပြေး ၁၂ ဦးနှင့် ထောင်မှူး ၁ ဦး ပါဝင်သည်။<ref>{{cite news|last=News Service|first=Indo-Asian|title=10 killed as protesters storm Cairo building|url=http://www.hindustantimes.com/10-killed-as-protesters-storm-Cairo-building/Article1-656402.aspx|accessdate=30 January 2011|work=Hindustan Times|date=30 January 2011|archivedate=9 February 2011|archiveurl=https://web.archive.org/web/20110209101828/http://www.hindustantimes.com/10-killed-as-protesters-storm-Cairo-building/Article1-656402.aspx}}</ref><ref name="autogenerated1">{{cite web|author=Davies, Wyre |url=http://www.bbc.co.uk/news/world-middle-east-12331520 |title=Egypt Unrest: Protesters Hold Huge Cairo Demonstration |work=BBC News |date= |accessdate=1 February 2011}}</ref> | arrests = ၁၀၀၀ ကျော်<ref>{{cite news|author=Osman, Ahmed Zaki|url=http://www.almasryalyoum.com/en/news/least-1000-arrested-during-ongoing-anger-demonstrations|title=At Least 1000 Arrested During Ongoing 'Anger' Demonstrations|work=Almasry Alyoum|date=26 January 2011|accessdate=30 January 2011}}</ref> }} '''၂၀၁၁ ခုနှစ် အီဂျစ် လူထုဆန္ဒပြပွဲ'''သည် ၂၀၁၁ ခုနှစ် ဇန္နဝါရီလ ၂၅ ရက်နေ့တွင် စတင်ဖြစ်ပွားသည့် လူထုလှုပ်ရှားမှု တစ်ရပ်ဖြစ်သည်။ <ref>{{cite news|author=|url=http://www.almasryalyoum.com/en/news/april-6-youth-movement-calls-massive-demonstration-friday|title=April 6 Youth Movement Calls for Massive Demonstration on Friday|work=[Almasry Alyoum|date=27 January 2011|accessdate=30 January 2011}}</ref><ref name="nyt-fahim">{{cite news|first=Kareem|last=Fahim|coauthors=El-Nagaar, Mona|url=http://www.nytimes.com/2011/01/26/world/middleeast/26egypt.html|title=Violent Clashes Mark Protests Against Mubarak’s Rule|work=The New York Times| date=25 January 2011| accessdate=30 January 2011}}</ref> ထိုနေ့သည်လည်း အီဂျစ်နိုင်ငံ၏ရဲသားများနေ့ ဖြစ်သည်။ ဆန္ဒပြမှု စတင်ခဲ့ပြီး ၁၈ ရက်မြောက် ဖေဖော်ဝါရီလ ၁၁ ရက်နေ့တွင် အီဂျစ်နိုင်ငံအား နှစ် ၃၀ ကြာ အုပ်ချုပ်ခဲ့သည့် သမ္မတ ဟိုစ်နီ မူဘာရတ် (Hosni Mubarak) ရာထူးမှ နုတ်ထွက်ခဲ့သည်။ ဆန္ဒပြပွဲသည် အဓိကအားဖြင့် မြို့တော် [[ကိုင်ရိုမြို့]]၊ အယ်လက်ဇန္ဒရီးယားမြို့ (Alexandria) နှင့် ဆူးအက်မြို့ (Suez) တို့တွင် လူထု ထောင်ပေါင်းများစွာ ချီတက် ဆန္ဒပြရာမှ စတင်ခဲ့သည်။<ref>[http://www.theaustralian.com.au/news/world/net-down-special-forces-deployed-in-cairo-as-egypt-braces-for-protests/story-e6frg6so-1225996200388 "Net down, special forces deployed in Cairo as Egypt braces for protests"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110207193218/http://www.theaustralian.com.au/news/world/net-down-special-forces-deployed-in-cairo-as-egypt-braces-for-protests/story-e6frg6so-1225996200388 |date=7 February 2011 }} - ''News Limited'' - Retrieved 1 February 2011.</ref> ပြီးခဲ့သည့် နှစ်များအတွင်း [[အီဂျစ်နိုင်ငံ]]၌ ဆန္ဒပြပွဲများ မကြာမကြာ ဖြစ်ပွားခဲ့သော်လည်း ၂၀၁၁ ခုနှစ် ဆန္ဒပြပွဲသည် ‘၁၉၇၇ ခုနှစ် ပေါင်မုန့် ဆူပူမှု’ (1977 Bread Riots) နောက်ပိုင်း လူတန်းစားမရွေး၊ ဘာသာမရွေး ပါဝင်သည့် အတိုင်းအတာ အကြီးမားဆုံး ဆန္ဒပြပွဲဖြစ်သည်။<ref name="Dan Murphy 0125">{{cite news|last=Murphy|first=Dan|url=http://www.csmonitor.com/World/Backchannels/2011/0125/Inspired-by-Tunisia-Egypt-s-protests-appear-unprecedented|title=Inspired by Tunisia, Egypt's protests appear unprecedented|work=The Christian Science Monitor|date=25 January 2011|accessdate=30 January 2011}}</ref> ဆန္ဒပြပွဲများသည် [[တူနီးရှား လူထုအုံကြွမှု]] ဖြစ်ပွားပြီးနောက် ရက်သတ္တပတ်အနည်းငယ်အတွင်း စတင်ခဲ့သည်။ အီဂျစ်ဆန္ဒပြပွဲသည်လည်း တူနီးရှား တော်လှန်ရေးနောက် ဆက်တိုက်ဖြစ်ပွားသည့် အာရပ်ကမ္ဘာ ဆန္ဒပြပွဲများ၏ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်းဖြစ်သည်။ အီဂျစ်ဆန္ဒပြသူများ၏ မကျေနပ်ချက်များမှာ ရဲများ၏ အကြမ်းဖက်မှု၊ အရေးပေါ် ဥပဒေ၊ ရွေးကောက်ပွဲ တရားမျှတမှုမရှိခြင်း၊ လွတ်လပ်စွာ ပြောဆိုခွင့်မရှိခြင်း၊ အဂတိလိုက်စားမှုစသည့် တရားရေး၊ နိုင်ငံရေး ပြဿနာများအပြင် ကုန်ဈေးနှုန်းမြင့်မားခြင်း၊ လုပ်အားခ နည်းပါးခြင်း၊ အလုပ်လက်မဲ့နှုန်း မြင့်မားခြင်း စသည့် စီးပွားရေး ပြဿနာများလည်း ပါဝင်သည်။ ဆန္ဒပြသူများသည် တရားမျှတမှုနှင့် လွတ်လပ်မှု အခွင့်အရေးပေးရန်၊ ဟိုစ်နီ မူဘာရတ် သမ္မတ ရာထူးမှ နုတ်ထွက်ရန်၊ အီဂျစ်ပြည်သူကို ကိုယ်စားပြုသည့် အစိုးရသစ် ဖွဲ့စည်းရန် တောင်းဆိုထားသည်။ အီဂျစ်အစိုးရသည် စောစောပိုင်းတွင် မီးသတ်ပိုက်များ၊ မျက်ရည်ယိုဗုံးများ၊ ရာဘာကျည်ဆန်များ၊ ကျိုင်းတုတ်များသုံးကာ ဆန္ဒပြမှုကို ထိန်းချုပ်နိုင်ရန် သို့မဟုတ် ဖြိုခွဲနိုင်ရန် ကြိုးပမ်းခဲ့သော်လည်း အချို့အရေးအခင်းများတွင် ကျည်အစစ်များကို အသုံးပြုခဲ့သောကြောင့် သေဆုံးမှုများ ရှိခဲ့သည်။<ref>{{cite news|url=http://english.aljazeera.net/news/middleeast/2011/01/201112621340630620.html|title=Angry Egyptians Defy Protest Ban|date=27 January 2011|work=Al Jazeera English|accessdate=30 January 2011}}</ref><ref name="aj-defycurfew">{{cite news|url=http://english.aljazeera.net/news/middleeast/2011/01/201112816845606511.html|title=Protesters Across Egypt Defy Curfew|work=Al Jazeera English|date=28 January 2011|accessdate=30 January 2011}}</ref><ref name="CBC News">{{cite news|url=http://www.cbc.ca/world/story/2011/01/26/cairo-police-protest.html|title=Egypt protests claims two more lives|date=26 January 2011|accessdate=26 January 2011|work=CBC News}}</ref> ဇန္နဝါရီလ ၂၉ ရက်နေ့အထိ ဆန္ဒပြသူ အနည်းဆုံး ၁၀၅ ဦးသေဆုံးခဲ့ပြီး ရဲသား ၇၅၀ နှင့် ဆန္ဒပြသူ ၁၅၀၀ ခန့် ဒဏ်ရာရခဲ့သည်။ ကုလသမဂ္ဂမှ ဖေဖော်ဝါရီ ၁ ရက်နေ့တွင် ထုတ်ပြန်သည့် ခန့်မှန်းချက်အရ ဆန္ဒပြမှုအတွင်း လူ ၃၀၀ အသက်ဆုံးရှုံးကာ ၃၀၀၀ ကျော် ဒဏ်ရာရရှိပြီး ရာနှင့်ချီ အဖမ်းခံရသည်ဟု သိရသည်။<ref name="liveblog">{{cite news| url=http://blogs.aljazeera.net/middle-east/2011/01/29/live-blog-291-egypts-protests-continue| title=Live Blog| accessdate=29 January 2011| date=29 January 2011| work=Al Jazeera English| archivedate=10 February 2011| archiveurl=https://web.archive.org/web/20110210202931/http://blogs.aljazeera.net/middle-east/2011/01/29/live-blog-291-egypt-protests}}</ref><ref name="ajprotestersback">{{cite news| url=http://english.aljazeera.net/news/middleeast/2011/01/201112974149942894.html| title=Protesters Back on Egypt Streets| accessdate=29 January 2011| date=29 January 2011| work=Al Jazeera English}}</ref> အချို့ကဆိုလျှင် မြို့တော် ကိုင်ရိုအား စစ်မြေပြင်ဟုပင် ဖော်ပြကြသည်။<ref>{{cite web|url=http://www.guardian.co.uk/global/blog/2011/jan/25/middleeast-tunisia#block-32|title=Protests in Egypt and unrest in Middle East – as it happened|date=25 January 2011|accessdate=26 January 2011|work=The Guardian}}</ref> ဆိပ်ကမ်းမြို့ ဆူးအက်မြို့တွင် ပဋိပက္ခများ ဖြစ်ပွားခဲ့သည်။ အီဂျစ်အစိုးရသည် ညမထွက်ရအမိန့် ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။ သို့သော်လည်း ဆန္ဒပြသူများက လိုက်နာခဲ့ခြင်း မရှိသလို ရဲဘက်မှလည်း တင်းတင်းကျပ်ကျပ် အရေးယူခဲ့ခြင်း မရှိပေ။<ref name="aj-defycurfew"/> ထိုနောက်တွင် မူဘာရတ် အစိုးရ၏ သစ္စာခံ ဗဟိုလုံထိန်းရဲ နေရာတွင် ချုပ်တည်းမှုရှိသည့် စစ်တပ်က တဖြည်းဖြည်း နေရာယူလာသည်။<ref>{{cite news|last=Fleishman|first=Jeffrey and Edmund Sanders (Los Angeles Times)|title=Unease in Egypt as police replaced by army, neighbors band against looters|url=http://seattletimes.nwsource.com/html/nationworld/2014078461_egypt30.html|accessdate=1 February 2011|newspaper=The Seattle Times|date=29 January 2011}}</ref><ref>{{cite news|title=Looting spreads in Egyptian cities|url=http://english.aljazeera.net/news/middleeast/2011/01/2011129175926266521.html|accessdate=1 February 2011|newspaper=Al Jazeera English|date=29 January 2011}}</ref><ref>{{cite news|title=Mubarak plays last card, the army; Police vanish|url=http://www.worldtribune.com/worldtribune/WTARC/2011/me_egypt0078_01_31.asp|accessdate=1 February 2011|newspaper=World Tribune (online)|date=31 January 2011}}</ref><ref>{{cite news|last=Stirewalt|first=Chris|title=Egypt: From Police State to Military Rule|url=http://www.foxnews.com/politics/2011/01/31/egypt-police-state-military-rule/|accessdate=1 February 2011|newspaper=Fox News|date=31 January 2011|archive-date=14 February 2011|archive-url=https://web.archive.org/web/20110214073549/http://www.foxnews.com/politics/2011/01/31/egypt-police-state-military-rule/|url-status=dead}}</ref><ref>{{cite news|last=Hauslohner|first=Abigail|title=The Army's OK with the Protesters, for now|url=http://www.time.com/time/world/article/0,8599,2045124,00.html#ixzz1CfroWYuj|accessdate=1 February 2011|newspaper=Time.com|date=29 January 2011|archivedate=29 April 2011|archiveurl=https://web.archive.org/web/20110429013510/http://www.time.com/time/world/article/0,8599,2045124,00.html#ixzz1CfroWYuj}}</ref> နိုင်ငံတကာ အသိုင်းအဝိုင်းကမူ လူထုဆန္ဒပြမှုကို ထောက်ခံလာကြပြီး အကြမ်းမဖက်ကြရန်နှင့် ပြုပြင်ပြောင်းလဲမှုများကို ငြိမ်းချမ်းစွာ လုပ်ဆောင်ရန် နိုးဆော်ကြသည်။ တချိန်တည်းတွင် နိုင်ငံအတော်များများက အီဂျစ်နိုင်ငံသို့ ခရီးသွား သတိပေးချက်များကို ထုတ်ပြန်ကာ အီဂျစ်ရှိ မိမိတို့၏ နိုင်ငံသားများအား ပြန်ခေါ်နိုင်ရန် ကြိုးစားကြသည်။ နိုင်ငံတကာမှ အီဂျစ်ဆန္ဒပြမှုအား အာရုံစိုက်လာသည်မှာလည်း မျက်မြင်တွေ့သူများနှင့် လှုပ်ရှားသူများက ဗွီဒီယိုမှတ်တမ်းများနှင့် သတင်းများကို မိုဘိုင်းမက်စေ့ဂျ်များ၊ [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်]] (Facebook)၊ တွစ်တာ (Twitter) မှတဆင့် ဖြန့်ဖြူးခဲ့ခြင်း ကြောင့်လည်း ဖြစ်သည်။ ပြည်ပရောက် အီဂျစ်နိုင်ငံသားများကလည်း ၎င်းနိုင်ငံရှိ အီဂျစ်သံရုံးရှေ့တွင်လည်းကောင်း၊ [[အိမ်ဖြူတော်]]ကဲ့သို့သော ထင်ရှားသည့် အဆောက်အဦးရှေ့တွင်လည်းကောင်း စုဝေးကာ အီဂျစ်ဆန္ဒပြမှုကို ထောက်ခံကြသည်။ ဆန္ဒပြမှုသတင်းကို လူသိများသထက် များလာသည့်အခါ အီဂျစ်အစိုးရက ၂၈ ရက်နေ့ အဓိက ဆန္ဒပြမှု ကျင်းပမည့် တရက်အလိုတွင် နိုင်ငံအတွင်းရှိ မိုဘိုင်းဖုန်းနှင့် အင်တာနက်ကို ဖြတ်တောက်လိုက်သည်။<ref>{{cite web|url=http://www.pcworld.com/article/218052/egypt_expands_communications_blackout.html|title=Egypt Expands Communications Blackout|work=[[:en:PC World (magazine)|PC World]]|last=McMillan|first=Robert|date=28 January 2011|accessdate=30 January 2011}}</ref> ဒီ့နောက်တွင် အခြားနည်းလမ်းများဖြင့် ဆက်သွယ်နိုင်ရန် အီဂျစ်နိုင်ငံသားများအား ကမ္ဘာတလွှားရှိ အဖွဲ့အစည်းများက ကူညီပေးခဲ့သည်။ ဇန္နဝါရီ ၂၉ ရက်နေ့တွင် မိုဘိုင်းဖုန်း ဆက်သွယ်မှု အချို့ကို ပြန်လည်ဖွင့်လှစ်ပေးခဲ့သည်။<ref>{{cite web|url=http://english.aljazeera.net/news/middleeast/2011/01/201112921282867688.html|title=Mubarak names his deputy and new PM|work=Al Jazeera English|date=29 January 2011|accessdate=30 January 2011}}</ref> ဆန္ဒပြမှု အဆုံးသတ်ရေးအတွက် မူဘာရတ်သည် ၎င်း၏အစိုးရကို ဖျက်သိမ်းလိုက်ပြီး စစ်ထောက်လှမ်းရေး အကြီးအကဲဟောင်း အိုမာ ဆူလေမန် (Omar Suleiman) အား ဒုတိယ သမ္မတအဖြစ် ခန့်အပ်ကာ လေကြောင်းပို့ဆောင်ရေး ဝန်ကြီး အာမက် ရှာဖိခ် (Ahmed Shafik) အား အစိုးရသစ် ဖွဲ့စည်းရန် ညွှန်ကြားခဲ့သည်။ အတိုက်အခံ အင်အားစုများက [[ကုလသမဂ္ဂ]] အက်တမ်စွမ်းအင် အေဂျင်စီ ဥက္ကဋ္ဌဟောင်း မိုဟာမက် အယ်ဘရာဒေး (Mohamed ElBaradei) အား ကြားဖြတ်အစိုးရ ပေါ်ပေါက်လာရေးအတွက် ညှိနှိုင်းဆွေးနွေးသူအဖြစ် ထောက်ခံကြသည်။<ref>{{cite news|last=Shadid|first=Anthony and David D. Kirpatrick|title=Opposition Rallies to ElBaradei as Military Reinforces in Cairo|url=http://www.nytimes.com/2011/01/31/world/middleeast/31-egypt.html|accessdate=31 January 2011|newspaper=The New York Times|date=30 January 2011}}</ref> ဖိအား များသထက် များလာသောကြောင့် မူဘာရတ်က စက်တင်ဘာတွင် ကျင်းပမည့် ရွေးကောက်ပွဲ၌ ပါဝင်မည်မဟုတ်ကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{cite news|last=EL DEEB|first=SARAH and HADEEL AL-SHALCHI|title=Egypt crowds unmoved by Mubarak's vow not to run|url=http://abcnews.go.com/International/wireStory?id=12815050|accessdate=1 February 2011|newspaper=ABC News (Associated Press Wire)|date=1 February 2011}}</ref> သို့သော်လည်း လူထုက လက်မခံပဲ ဆက်လက် ဆန္ဒပြခဲ့ကြသည်။ ၂၀၁၁ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလ ၁၁ ရက်နေ့တွင် ဒုတိယ သမ္မတ အိုမာ ဆူလယ်မန်က နိုင်ငံပိုင် ရုပ်မြင်သံကြားမှတဆင့် သမ္မတ မူဘာရတ် ရာထူးမှ နုတ်ထွက်မည်ဖြစ်ကြောင်းနှင့် နိုင်ငံတော်အာဏာအား စစ်ဦးစီး ကောင်စီထံ လွှဲပြောင်းလိုက်ပြီဖြစ်ကြောင်း ကြေညာလိုက်သည်။<ref>[http://english.aljazeera.net/news/middleeast/2011/02/201121125158705862.html Hosni Mubarak resigns as president] Al-Jazeera English. 11 Feb 2011</ref> ကာကွယ်ရေး ဦးစီးချုပ် စစ်ဦးစီးကောင်စီ ဥက္ကဋ္ဌ မိုဟာမက် ဟူစိမ် တန်တာဝီ (Mohamed Hussein Tantawi) ဦးဆောင်သည့် စစ်အစိုးရက ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံ ဥပဒေနှင့် ပါလီမန်ကို ဖျက်သိမ်းမည်ဖြစ်ကြောင်း ဖေဖော်ဝါရီလ ၁၃ ရက်နေ့တွင် ကြေညာလိုက်ပြီး နောက်ရွေးကောက်ပွဲ ကျင်းပပြီးအချိန်အထိ စစ်ဖက်မှ ၆ လကြာ အုပ်ချုပ်သွားမည်ဟု ဆိုသည်။ ဝန်ကြီးချုပ် အမက် ရှာဖိခ် အပါအဝင် ယခင်ဝန်ကြီးအဖွဲ့မှ အစိုးရသစ် ဖွဲ့နိုင်မည့်အချိန်အထိ ရင်ခွင်ပိုက် အစိုးရအဖြစ် တာဝန်ယူမည်ဖြစ်သည်။<ref>el-Malawani, Hania. [http://news.smh.com.au/breaking-news-world/egypts-military-dismantles-mubarak-regime-20110214-1as8u.html Egypt's military dismantles Mubarak regime] AFP 13 February 2011</ref> == ကိုးကား == {{reflist|2}} [[Category:အီဂျစ်နိုင်ငံရှိ ဆန္ဒပြပွဲများ]] [[Category:နိုင်ငံအလိုက် အာရပ်နွေဦး]] jx0x0rifh9ssr59shimh5wdny1vmcb2 0 13852 1060828 1060143 2026-10-31T08:38:13Z Mkant00 135890 1060828 wikitext text/x-wiki [[File:Pi-unrolled-720-frame.png|360px|thumb|ယူနစ်အချင်း (unit diameter) ရှိသော စက်ဝိုင်း (circle) ကို ကိန်းမျဉ်း (number line) တစ်လျှောက် ဖြန့်လှိမ့်ပြထားပုံ။ ၎င်း၏ စက်ဝိုင်းပတ်လည်အလျား (circumference) သည် <math>\pi</math> ဖြစ်ကြောင်း ဖော်ပြထားသည်။]] [[File:Pi eq C over d.svg|thumb|စက်ဝိုင်းပတ်လည်အလျား <math>C</math> နှင့် အချင်း (diameter) <math>d</math> တို့၏ အချိုး (ratio) အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းသေ (constant) <math>\pi</math>]] ဂရိအက္ခရာအသေး <math>\pi</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည့် သင်္ချာဆိုင်ရာကိန်းသေ (mathematical constant) '''ပိုင်''' (pi) ကို [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော]] ယူကလစ် ပြင်ညီ (two-dimensional Euclidean plane) တွင် စက်ဝိုင်း (circle) ၏ စက်ဝိုင်းပတ်လည်အလျား (circumference) <math>C</math> နှင့် အချင်း (diameter) <math>d</math> တို့၏ အချိုး (ratio) အဖြစ် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>Arndt and Haenel (2006), p. 8.</ref> <math display="block">\pi = \frac{C}{d}</math> အချင်းဝက် (radius) <math>r</math> ရှိသော စက်ဝိုင်းအတွက် အချင်းသည် <math>d = 2r</math> ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် စက်ဝိုင်းပတ်လည်အလျားမှာ <math>C = 2\pi r</math> ဖြစ်ပြီး ဝန်းရံထားသော [[ဧရိယာ]] (area) မှာ <math>A = \pi r^2</math> ဖြစ်သည်။ [[ယူကလစ် ဂျီဩမေတြီ]] (Euclidean geometry) တွင် တစ်ပြေးညီ အရွယ်ပြောင်းခြင်း (uniform scaling) ပြုလုပ်သော်လည်း ဤအချိုးသည် မပြောင်းလဲသောဂုဏ်သတ္တိ (invariant) ရှိသည်။ <math>\pi</math> သည် [[ကိန်းစစ်]] (real number) ဖြစ်သည့်အပြင် [[ကိန်းလွန်]] (transcendental number) လည်း ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် [[ဂျီဩမေတြီ]] (geometry)၊ [[ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ|သင်္ချာဆိုင်ရာခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း]] (mathematical analysis) နှင့် [[ကိန်းသီအိုရီ]] (number theory) တို့တွင် အခြေခံကိန်းသေအဖြစ် ပါဝင်သည်။<ref>Rudin (1976), p. 183.</ref> == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များနှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ သတ်မှတ်ဖော်ပြချက်များ (Formal Definitions and Analytical Characterizations) == [[File:Sine cosine one period.svg|thumb|ကာလ (period) <math>2\pi</math> ရှိသော [[ဆိုင်းနှင့် ကိုဆိုင်း ဖန်ရှင်များ|ဆိုင်းနှင့် ကိုဆိုင်းဖန်ရှင်များ]] (sine and cosine functions)။]] [[File:Euler's formula.svg|thumb|[[ကိန်းထွေး]] [[ယူနစ်စက်ဝိုင်း]] (complex unit circle) ပေါ်ရှိ [[အွိုင်လာ ပုံသေနည်း]] (Euler's formula) <math>e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi</math>။]] === အကွာအဝေးဖန်ရှင်နှင့် အင်တီဂရယ်ဖြင့် သတ်မှတ်ဖော်ပြခြင်း (Metric and Integral Characterization) === [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကာတီးရှန်း ကိုဩဒိနိတ်များ]] (Cartesian coordinates) တွင် [[ယူနစ်စက်ဝိုင်း]] (unit circle) သည် <math>x^2 + y^2 = 1</math> ကို ပြည့်မီသော [[အမှတ်|အမှတ်များ]] (points) ၏ နေရာ (locus) ဖြစ်သည်။ အပေါ်ဘက်စက်ဝိုင်းခြမ်း (upper semicircle) ၏ မျဉ်းကွေးအလျား (arc length) ကို [[အနန္တဘောင် အင်တီဂရယ်|အနန္တဘောင်]] [[ရီးမန်း အင်တီဂရယ်]] (improper Riemann integral) ဖြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုနည်းကျ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။<ref>Remmert (2012), p. 129.</ref> <math display="block">\pi = \int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}</math> တစ်နည်းအားဖြင့် ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) တစ်လျှောက် [[ဖန်ရှင်|ရာရှင်နယ်ဖန်ရှင်]] (rational function) ၏ [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]] (integral) ကို အသုံးပြု၍ <math>\pi</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်နိုင်သည်။<ref>Remmert (2012), p. 148.</ref> <math display="block">\pi = \int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{1+x^2}</math> === တြီဂိုနိုမေတြီ ပါဝါကိန်းစဉ်တန်းဖြင့် သတ်မှတ်ဖော်ပြခြင်း (Trigonometric Power Series Characterization) === [[တြီဂိုနိုမေတြီ|တြီဂိုနိုမေတြီဖန်ရှင်များ]] (circular functions) ဖြစ်သော <math>\cos x</math> နှင့် <math>\sin x</math> ကို <math>\mathbb{R}</math> ပေါ်တွင် ၎င်းတို့၏ [[ကိန်းစဉ်တန်း|ပါဝါကိန်းစဉ်တန်းများ]] (power series) ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>Rudin (1976), p. 182.</ref> <math display="block">\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}, \qquad \sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> ကိန်းသေ (constant) <math>\pi</math> ကို [[ဆိုင်းနှင့် ကိုဆိုင်း ဖန်ရှင်များ|ကိုဆိုင်းဖန်ရှင်]] (cosine function) ၏ အငယ်ဆုံး အပေါင်း[[ကိန်းစစ်]] သုညမှတ် (smallest positive real zero) ၏ 2 ဆအဖြစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုနည်းကျ သတ်မှတ်သည်။<ref>Rudin (1976), p. 183.</ref> <math display="block">\pi = 2 \inf \{ x \in \mathbb{R}_{>0} \mid \cos x = 0 \}</math> အလားတူ အဓိပ္ပာယ်ဖြင့် <math>\pi</math> သည် [[ဆိုင်းနှင့် ကိုဆိုင်း ဖန်ရှင်များ|ဆိုင်းဖန်ရှင်]] (sine function) ၏ အငယ်ဆုံး အပေါင်းကိန်းစစ် သုညမှတ် ဖြစ်ပြီး <math>\sin\pi = 0</math> ကို ပြည့်မီသည်။ <math>\sin x</math> နှင့် <math>\cos x</math> နှစ်ခုစလုံး၏ အခြေခံကာလ (fundamental period) သည် <math>2\pi</math> ဖြစ်သည်။ === ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင်ဖန်ရှင်နှင့် အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Complex Exponential and Group Homomorphism) === <math>\exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}^\times</math> ကို <math>\exp(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော [[ကိန်းထွေး]] [[ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်|ထပ်ကိန်းတင်ဖန်ရှင်]] (complex exponential map) ဟု ယူပါစို့။ ဤ[[ဖန်ရှင်|ပုံဖော်မှု]] (mapping) သည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အပေါင်းအခြေခံအုပ်စု]] (additive group) <math>(\mathbb{C}, +)</math> မှ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာအုပ်စု]] (multiplicative group) <math>(\mathbb{C}^\times, \cdot)</math> သို့ [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] [[အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (surjective group homomorphism) ဖြစ်သည်။<ref>Ahlfors (1966), p. 46.</ref> ဤ[[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]၏ [[ကာနယ်]] (kernel) သည် <math>2\pi i</math> ဖြင့် ထုတ်လုပ်ပေးသော <math>i\mathbb{R}</math> ၏ [[ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု|အနန္တ ဆိုက်ကလစ်ဖြစ်သော]] [[အုပ်စုပိုင်း|ပိုင်းစသီးခြားအုပ်စုပိုင်း]] (infinite cyclic discrete subgroup) ဖြစ်ပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Remmert (2012), p. 129.</ref> <math display="block">\ker(\exp) = 2\pi i \mathbb{Z} = \{ 2\pi k i \mid k \in \mathbb{Z} \}</math> ဤ[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာအုပ်စု]] (topological group) ၏ ကာနယ်သည် အပေါင်း [[ကိန်းစစ်]] (positive real number) <math>\pi</math> ကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် သတ်မှတ်ပေးသည်။ == အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာနှင့် ကိန်းသီအိုရီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Algebraic and Number-Theoretic Properties) == [[File:Squaring the circle.svg|thumb|စက်ဝိုင်းအား စတုရန်းဖွဲ့ခြင်း (squaring the circle)။ <math>\pi</math> ၏ [[ကိန်းလွန်|ကိန်းလွန်ဖြစ်မှု]] (transcendence) ကြောင့် စက်ဝိုင်း (circle) နှင့် [[ဧရိယာ]] (area) အတိအကျတူညီသော စတုရန်းကို မျဉ်းဖြောင့်တံ (straightedge) နှင့် ကွန်ပါ (compass) သာ အသုံးပြု၍ တည်ဆောက်ရန် မဖြစ်နိုင်ပါ။]] === အီရာရှင်နယ်ဖြစ်မှု (Irrationality) === ကိန်းသေ (constant) <math>\pi</math> သည် [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း]] (irrational number) ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>\pi \notin \mathbb{Q}</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>b \ne 0</math> ဖြစ်သော [[ကိန်းပြည့်]] (integers) နှစ်ခု၏ [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|စားလဒ်]] (quotient) <math>a/b</math> အဖြစ် ဖော်ပြ၍ မရပါ။<ref>Arndt and Haenel (2006), p. 5.</ref> ထို့ကြောင့် <math>\pi</math> ၏ ဒသမကိန်းဖြန့်ထုတ်ချက် (decimal expansion) သည် အဆုံးမသတ်သော (non-terminating) ဖြန့်ထုတ်ချက်ဖြစ်ပြီး ကာလမှန်မဟုတ်ပါ (non-periodic)။ ယိုဟန်း ဟိုင်းရစ်ခ် လမ်းဘတ် (Johann Heinrich Lambert) သည် [[တြီဂိုနိုမေတြီ|တန်းဂျန့်ဖန်ရှင်]] (tangent function) ၏ ဆက်တိုက်အပိုင်းကိန်းဖြန့်ထုတ်ချက်များ (continued fraction expansions) ကို အသုံးပြု၍ 1768 ခုနှစ်တွင် အီရာရှင်နယ်ဖြစ်မှု (irrationality) ကို [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်း|သက်သေပြခဲ့သည်]]။ အေဒရီယန်-မာရီ လီဂျန်ဒါ (Adrien-Marie Legendre) ကလည်း <math>\pi^2</math> သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်ကြောင်း 1794 ခုနှစ်တွင် သက်သေပြခဲ့သည်။<ref>Arndt and Haenel (2006), p. 196.</ref> === ကိန်းလွန်ဖြစ်မှုနှင့် စက်ဝိုင်းအား စတုရန်းဖွဲ့ခြင်း (Transcendence and Circle Quadrature) === ကိန်းသေ <math>\pi</math> သည် [[ကိန်းလွန်]] (transcendental number) ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်]]မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (rational coefficients) ပါဝင်သည့် သုညမဟုတ်သော ကိန်းရှင်တစ်ခုပါ [[ပိုလီနိုမီရယ်]] (non-zero single-variable polynomial) မည်သည့်တစ်ခု၏ ကိန်းရင်း (root) မျှ မဟုတ်ပါ။<ref>Arndt and Haenel (2006), pp. 6–7.</ref> '''လင်ဒီမန်း ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် သီအိုရမ်''' (Lindemann–Weierstrass theorem) <math>\alpha_1, \dots, \alpha_n</math> တို့သည် အချင်းချင်းမတူညီသော [[ကိန်းရင်း|ကိန်းရင်းများ]] (algebraic numbers) ဖြစ်ပါက [[ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်|ထပ်ကိန်းတင်ဖော်ပြချက်များ]] (exponentials) <math>e^{\alpha_1}, \dots, e^{\alpha_n}</math> သည် ကိန်းရင်းများ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) <math>\overline{\mathbb{Q}}</math> အပေါ်တွင် [[မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းခြင်း|မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော]] (linearly independent) ဖော်ပြချက်များ ဖြစ်ကြသည်။<ref>Posamentier and Lehmann (2004), p. 25.</ref> '''လင်ဒီမန်း၏ အကျိုးဆက်သီအိုရမ်''' (Lindemann's corollary) 1882 ခုနှစ်တွင် ရရှိသော ဤအကျိုးဆက်အရ <math>e^{i\pi} + 1 = 0</math> ဖြစ်သောကြောင့် ထပ်ကိန်း (exponent) <math>i\pi</math> သည် [[ကိန်းရင်း]] မဖြစ်နိုင်ပါ။ <math>i</math> သည် ကိန်းရင်းဖြစ်သောကြောင့် <math>\pi</math> သည် [[ကိန်းလွန်]]ဖြစ်ရမည်။<ref>Arndt and Haenel (2006), p. 196.</ref> '''စက်ဝိုင်းအား စတုရန်းဖွဲ့ရန် မဖြစ်နိုင်ခြင်းဆိုင်ရာ အကျိုးဆက်သီအိုရမ်''' (Corollary on the impossibility of squaring the circle) ကွန်ပါနှင့် မျဉ်းဖြောင့်တံဖြင့် တည်ဆောက်ရေး (compass-and-straightedge construction) မှ ရရှိသော [[ကိန်း|ကိန်းများ]] (numbers) သည် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းဖီးလ်ဒ်တိုးချဲ့ခြင်းများ (quadratic field extensions) ၏ [[ကိန်းစဉ်]] (sequence) တစ်လျှောက် ပါဝင်ကြသည်။ ထိုကိန်းအားလုံးသည် ဒီဂရီ (degree) <math>2^k</math> ရှိသော [[ကိန်းရင်း|ကိန်းရင်းများ]] ဖြစ်ကြသည်။ အချင်းဝက် (radius) 1 ရှိသော စက်ဝိုင်းနှင့် [[ဧရိယာ]]တူညီသည့် စတုရန်းကို တည်ဆောက်ရန် အလျား (length) <math>\sqrt{\pi}</math> ရှိသော မျဉ်းပိုင်းကို တည်ဆောက်နိုင်ရမည်။ <math>\pi</math> သည် [[ကိန်းလွန်]]ဖြစ်သောကြောင့် <math>\sqrt{\pi}</math> ကို ထိုနည်းဖြင့် တည်ဆောက်၍ မရပါ (not constructible)။ ထို့ကြောင့် စက်ဝိုင်းအား စတုရန်းဖွဲ့ခြင်းဆိုင်ရာ ကလပ်စစ်ကယ်ပြဿနာ (classical problem)ကို ဖြေရှင်းရန် မဖြစ်နိုင်ပါ။<ref>Posamentier and Lehmann (2004), p. 25.</ref> === ဆက်တိုက်အပိုင်းကိန်းဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (Continued Fraction Representation) === <math>\pi</math> ၏ ရိုးရှင်းသော ဆက်တိုက်အပိုင်းကိန်း (simple continued fraction) သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\pi = 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}}}</math> အဓိက ချဉ်းကပ်[[အပိုင်းကိန်း|အပိုင်းကိန်းများ]] (principal convergents) ၏ [[ကိန်းစဉ်]]သည် <math>\frac{3}{1}, \frac{22}{7}, \frac{333}{106}, \frac{355}{113}, \frac{103993}{33102}</math> တို့ဖြင့် အစပြုသည်။<ref>Eymard and Lafon (2004), p. 78.</ref> <math>\pi</math> သည် [[ကိန်းလွန်]]ဖြစ်သောကြောင့် နှစ်ထပ်ကိန်း[[ညီမျှခြင်း]]၏ [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း|အီရာရှင်နယ်ကိန်းရင်း]] (quadratic irrational) မဟုတ်ပါ။ ထို့ကြောင့် ၎င်း၏ ရိုးရှင်းသော ဆက်တိုက်အပိုင်းကိန်း ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုသည် ကာလမှန်မဟုတ်ပါ။ == ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ကိန်းစဉ်တန်းနှင့် မြှောက်လဒ် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုများ (Analytical Series and Product Representations) == [[File:Archimedes pi.svg|thumb|အာခီမီးဒီးစ်၏ ကုန်စင်အောင်လုပ်ခြင်း နည်းလမ်း (Archimedean method of exhaustion)။ ပုံမှန် အတွင်းထိ ဗဟုဂံများ (regular inscribed polygons) နှင့် အပြင်ထိ ဗဟုဂံများ (circumscribed polygons) ကို အသုံးပြု၍ <math>\pi</math> ကို ကန့်သတ်ထားသည်။]] === အွိုင်လာ ပုံသေနည်းနှင့် ယူနစ်ရင်းများ (Euler's Formula and Roots of Unity) === <math>\varphi \in \mathbb{R}</math> အားလုံးအတွက် [[အွိုင်လာ ပုံသေနည်း]] (Euler's formula) သည် အောက်ပါ[[ဘိုင်နရီ ဆက်သွယ်ချက်|ဆက်သွယ်ချက်]] (relation) ကို ဖော်ပြသည်။<ref>Bronshtein and Semendyayev (1971), p. 592.</ref> <math display="block">e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi</math> <math>\varphi = \pi</math> ဟု ထားပါက အွိုင်လာ၏ ထပ်တူညီမှု (Euler's identity) ကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">e^{i\pi} + 1 = 0</math> မည်သည့် [[ကိန်းပြည့်]] (integer) <math>n \ge 1</math> အတွက်မဆို <math>z^n = 1</math> ၏ အချင်းချင်းမတူညီသော [[ကိန်းထွေး]]အဖြေ (complex solutions) <math>n</math> ခုသည် <math>n</math> ကြိမ်မြောက် [[ယူနစ်ရင်း|ယူနစ်ရင်းများ]] (nth roots of unity) ဖြစ်ပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ကြသည်။<ref>Andrews, Askey, and Roy (1999), p. 14.</ref> <math display="block">z_k = \exp\left(\frac{2\pi i k}{n}\right) = \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right), \qquad k \in \{0, 1, \dots, n-1\}</math> === အနန္တကိန်းစဉ်တန်းများ (Infinite Series) === ဂရီဂေါ်ရီ လိုက်ဘ်နစ်ဇ် [[ကိန်းစဉ်တန်း|အလှည့်ကျ ကိန်းစဉ်တန်း]] (Gregory–Leibniz alternating series) သည် <math>\frac{\pi}{4}</math> သို့ [[စုဆုံသော ကိန်းစဉ်တန်း|ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် စုဆုံသော]] (conditionally convergent) ကိန်းစဉ်တန်း ဖြစ်သည်။<ref>Eymard and Lafon (2004), pp. 53–54.</ref> <math display="block">\frac{\pi}{4} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots</math> နီလကဏ္ဌ ဆိုမယာဇီ၏ ကိန်းစဉ်တန်း (Nilakantha Somayaji's series) သည် ပိုမိုလျင်မြန်စွာ စုဆုံသည်။<ref>Arndt and Haenel (2006), p. 223.</ref> <math display="block">\pi = 3 + 4\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{2k(2k+1)(2k+2)} = 3 + \frac{4}{2\cdot 3\cdot 4} - \frac{4}{4\cdot 5\cdot 6} + \frac{4}{6\cdot 7\cdot 8} - \cdots</math> မေချင်၏ ထပ်တူညီမှု (Machin's identity) သည် တွက်ချက်မှုကို ပိုမိုလျင်မြန်စေရန် အာ့ခ်တန်းဂျန့် [[ပေါင်းခြင်း|အပေါင်း]]သီအိုရမ်များ (arctangent addition theorems) ကို အသုံးပြုသည်။<ref>Arndt and Haenel (2006), pp. 72–74.</ref> <math display="block">\frac{\pi}{4} = 4\arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\left(\frac{1}{239}\right)</math> === အနန္တမြှောက်လဒ်များ (Infinite Products) === ဗီယက်၏ ပုံသေနည်း (Viète's formula) သည် <math>\pi</math> ကို အဆင့်ဆင့်အသိုက်ဖွဲ့ထားသော နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများ (nested quadratic radicals) ၏ [[မြှောက်လဒ်|အနန္တမြှောက်လဒ်]] (infinite product) ဖြင့် ဖော်ပြသည်။<ref>Arndt and Haenel (2006), p. 187.</ref> <math display="block">\frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \cdots = \prod_{k=1}^\infty \cos\left(\frac{\pi}{2^{k+1}}\right)</math> ဝေါလ်လစ် မြှောက်လဒ် (Wallis product) သည် <math>\pi</math> ကို [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်]][[စားခြင်း (သင်္ချာ)|စားလဒ်များ]] (rational quotients) ၏ [[စုဆုံမှတ်]] (limit) ဖြင့် ဖော်ပြသည်။<ref>Arndt and Haenel (2006), p. 187.</ref> <math display="block">\frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^\infty \left(\frac{2n}{2n-1}\cdot\frac{2n}{2n+1}\right) = \prod_{n=1}^\infty \left(\frac{4n^2}{4n^2-1}\right) = \left(\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\right)\left(\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\right)\left(\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\right)\cdots</math> === သီးခြားဂဏန်း ထုတ်ယူခြင်း (Isolated Digit Extraction) === ဘေလီ ဘောဝင်း ပလူးဖ်ပုံသေနည်း (Bailey–Borwein–Plouffe formula) ကို BBP ပုံသေနည်းဟုလည်း ခေါ်သည်။ ဤပုံသေနည်းဖြင့် ရှေ့ရှိဂဏန်းများကို မတွက်ချက်ဘဲ <math>\pi</math> ၏ အခြေ 16 စနစ်ရှိ ဂဏန်းများ (hexadecimal digits) ကို နေရာ <math>n</math> တွင် တွက်ချက်နိုင်သည်။<ref>Bailey, Borwein, and Plouffe (1997), pp. 903–913.</ref> <math display="block">\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k}\left(\frac{4}{8k+1} - \frac{2}{8k+4} - \frac{1}{8k+5} - \frac{1}{8k+6}\right)</math> == ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ၊ ဂျီဩမေတြီနှင့် ရူပဗေဒတို့တွင် ပါဝင်ပုံများ (Roles in Analysis, Geometry, and Physics) == [[File:Circle Area.svg|thumb|အချင်းဝက် (radius) <math>r</math> ရှိသော စက်ဝိုင်း (circle) ၏ [[ဧရိယာ]] (area) သည် <math>\pi r^2</math> ဖြစ်သည်။]] [[File:Gamma plot points marked.svg|thumb|[[ကိန်းစစ်]] ဂါမာဖန်ရှင် (real Gamma function) နှင့် <math>\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}</math> ဖြစ်ပုံ။]] === ဂျီဩမေတြီနှင့် ဂါမာဖန်ရှင် (Geometry and the Gamma Function) === အချင်းဝက် <math>r</math> နှင့် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] <math>n</math> ရှိသော ယူကလစ် စက်လုံး (n-dimensional Euclidean ball) အတွက် ထုထည် (volume) <math>V_n(r)</math> နှင့် နယ်နိမိတ်မျက်နှာပြင်[[ဧရိယာ]] (boundary surface area) <math>S_{n-1}(r)</math> တို့ကို <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> အတွက် သတ်မှတ်သည့် ဂါမာဖန်ရှင် (Gamma function) <math>\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt</math> ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။<ref>Evans (1997), p. 615.</ref> <math display="block">V_n(r) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}r^n, \qquad S_{n-1}(r) = \frac{n\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}r^{n-1}</math> အထူးတန်ဖိုး <math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}</math> သည် ဖက်တိုရီရယ်များ (factorials) နှင့် <math>\pi</math> ၏ ထပ်ကိန်းများ (powers) ကို ဆက်စပ်ပေးသည်။ ဖက်တိုရီရယ်များအတွက် စတာလင်၏ ချဉ်းကပ်မှုပုံသေနည်း (Stirling's asymptotic formula) တွင်လည်း <math>\pi</math> ပါဝင်သည်။<ref>Bronshtein and Semendyayev (1971), p. 190.</ref> <math display="block">n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \quad \text{as } n \to \infty</math> === ရောင်စဉ်သီအိုရီ၊ မညီမျှခြင်းများနှင့် ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်းများ (Spectral Theory, Inequalities, and PDEs) === [[File:Harmonic partials on strings.svg|thumb|တုန်ခါနေသော ကြိုး (vibrating string) ၏ [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်ဖန်ရှင်များ]] (eigenfunctions) နှင့် [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများ]] (eigenvalues) <math>\lambda_k = k^2\pi^2</math>။ ဆက်စပ်ကြိမ်နှုန်းများ (frequencies) သည် <math>\pi</math> ၏ [[ကိန်းပြည့်]]ဆတိုးကိန်းများ (integer multiples) ပါဝင်သော [[ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်|ဂဏန်းသင်္ချာကိန်းစဉ်]] (arithmetic progression) ဖြစ်ကြသည်။]] [[ရပ်ဝန်း|ဆိုဘိုလတ်ဗ် ရပ်ဝန်း]] (Sobolev space) <math>H_0^1(0, 1)</math> ပေါ်တွင် [[လာပလေ့စ် အော်ပရေတာ|လာပလေ့ဆီယန်]] (Laplacian) အတွက် ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး]]ပြဿနာ (Dirichlet eigenvalue problem) သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">-f''(x) = \lambda f(x), \qquad f(0) = f(1) = 0</math> ဤပြဿနာတွင် <math>k \in \mathbb{N}_{\ge 1}</math> အတွက် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး <math>\lambda_k = k^2\pi^2</math> နှင့် သက်ဆိုင်သော အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဖြေများ (non-trivial solutions) <math>f_k(x) = \sin(k\pi x)</math> ရှိသည်။<ref>Hilbert and Courant (1966), pp. 286–290.</ref> အငယ်ဆုံး ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး <math>\lambda_1 = \pi^2</math> သည် ဗာတင်ဂါ၏ မညီမျှခြင်း (Wirtinger's inequality) တွင် ပါဝင်သော အကောင်းဆုံး ကိန်းသေ (optimal constant) ကို သတ်မှတ်ပေးသည်။<ref>Dym and McKean (1972), p. 47.</ref> <math display="block">\pi^2 \int_0^1 |f(x)|^2\,dx \le \int_0^1 |f'(x)|^2\,dx, \qquad \forall f \in H_0^1(0, 1)</math> [[ဂျီဩမေတြီ|ပြင်ညီဂျီဩမေတြီ]] (planar geometry) တွင် ပတ်လည်အလျား (perimeter) <math>P</math> ရှိသော ရိုးရှင်းသော ဂျော်ဒန် မျဉ်းကွေးပိတ် (simple closed Jordan curve) က ဝန်းရံထားသည့် [[ဧရိယာ]] <math>A</math> ကို အိုင်ဆိုပယ်ရီမက်ထရစ်မညီမျှခြင်း (isoperimetric inequality) ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ကန့်သတ်သည်။<ref>Chavel (2001).</ref> <math display="block">4\pi A \le P^2</math> ဤမညီမျှခြင်းတွင် [[ညီမျှခြင်း]] (equality) [[ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ]] (if and only if) မှာ ထိုမျဉ်းကွေးသည် ယူကလစ် စက်ဝိုင်း (Euclidean circle) ဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ === ဂေါက်ရှန်း အင်တီဂရယ်များနှင့် ဖြစ်တန်စွမ်း (Gaussian Integrals and Probability) === [[File:E^(-x^2).svg|thumb|ဂေါက်ရှန်း ခေါင်းလောင်းပုံမျဉ်းကွေး (Gaussian bell curve) <math>y = e^{-x^2}</math> ၏ အောက်ရှိ [[ဧရိယာ]]သည် <math>\sqrt{\pi}</math> ဖြစ်သည်။]] <math>\mathbb{R}</math> တစ်လျှောက် ဂေါက်ရှန်း[[ဖန်ရှင်]] (Gaussian function) ၏ [[အင်တီဂရေးရှင်း|သတ်မှတ်အင်တီဂရယ်]] (definite integral) ကို [[ဝင်ရိုးစွန်း ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ဝင်ရိုးစွန်းကိုဩဒိနိတ်]]အသွင်ပြောင်းခြင်း (polar coordinate transformation) ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း တန်ဖိုးရှာဖွေနိုင်သည်။<ref>Bronshtein and Semendyayev (1971), pp. 106–107.</ref> <math display="block">\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math> ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (mean) <math>\mu</math> နှင့် [[ကွဲလွဲချက်]] (variance) <math>\sigma^2</math> ရှိသော [[ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း|ပုံမှန်ဖြန့်ဖြူးခြင်းရှိသည့်]] [[ကျပန်းကိန်းရှင်]] (normal random variable) ၏ [[ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ ဖန်ရှင်|ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆဖန်ရှင်]] (probability density function) တွင် စုစုပေါင်း[[ဖြစ်တန်စွမ်း]]ကို 1 ဖြစ်စေသည့် ဆကိန်း (normalization factor) အဖြစ် <math>\sqrt{2\pi}</math> ပါဝင်သည်။<ref>Bronshtein and Semendyayev (1971), p. 744.</ref> <math display="block">f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)</math> === ဒစ်ဖရန်ရှယ်ဂျီဩမေတြီနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ (Differential Geometry and Topology) === [[File:Order-7 triangular tiling.svg|thumb|ကလိုင်း စတုတ္ထဒီဂရီ မျဉ်းကွေး (Klein quartic) ကို တစ်ပြေးညီဖြစ်စေခြင်း (uniformization)။ ဂေါက်စ်-ဘွန်နက် သီအိုရမ် (Gauss–Bonnet theorem) အရ ဟိုက်ပါဘောလစ်[[ဧရိယာ]] (hyperbolic area) နှင့် <math>2\pi</math> တို့ ဆက်စပ်ပုံကို ဖော်ပြထားသည်။]] '''ဂေါက်စ်-ဘွန်နက် သီအိုရမ်''' <math>\Sigma</math> ကို ကျစ်လျစ်သော (compact)၊ ဦးတည်နိုင်သည့် (orientable)၊ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော]] (two-dimensional)၊ နယ်နိမိတ်မပါသော (without boundary) [[မန်နီဖိုး#ရီးမန်း_မန်နီဖိုးများ_(Riemannian_Manifolds)|ရီးမန်း မန်နီဖိုး]] (Riemannian manifold) ဟု ယူပါစို့။ <math>K</math> ကို ၎င်း၏ ဂေါက်ရှန်း ကွေးညွှတ်မှု (Gaussian curvature) ဟု ယူပါစို့။ ထိုအခါ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Spivak (1999), Chapter 6.</ref> <math display="block">\int_\Sigma K\,dA = 2\pi\chi(\Sigma)</math> ဤနေရာတွင် <math>\chi(\Sigma)</math> သည် <math>\Sigma</math> ၏ အွိုင်လာ ဝိသေသတန်ဖိုး (Euler characteristic) ဖြစ်သည်။ === ကိန်းထွေးခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Complex Analysis) === <math>\Omega \subset \mathbb{C}</math> ကို အဖွင့်နယ်ပယ် (open domain) ဟု ယူပါစို့။ <math>\gamma</math> ကို အပေါင်းဦးတည်ချက်အတိုင်း ဦးတည်ထား၍ ဖြောင့်တန်းနိုင်သော ဂျော်ဒန် မျဉ်းကွေး (positively oriented rectifiable Jordan curve) ဟု ယူပါစို့။ ၎င်း၏ အတွင်းပိုင်းအပိတ် (closed interior) သည် <math>\overline{\operatorname{int}(\gamma)} \subset \Omega</math> ကို ပြည့်မီသည်။ <math>\Omega</math> ပေါ်ရှိ မည်သည့် [[ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်|ဟိုလိုမော်ဖစ်ဖန်ရှင်]] (holomorphic function) <math>f</math> နှင့် မည်သည့် [[အမှတ်]] (point) <math>z_0 \in \operatorname{int}(\gamma)</math> အတွက်မဆို ကော်ချီ၏ အင်တီဂရယ်ပုံသေနည်း (Cauchy's integral formula) သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Ahlfors (1966), p. 115.</ref> <math display="block">f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{z - z_0}\,dz</math> <math>\Omega</math> ပေါ်ရှိ [[ဖန်ရှင်|မီရိုမော်ဖစ်ဖန်ရှင်]] (meromorphic function) <math>g</math> တွင် သီးသန့်အနန္တတန်ဖိုးမှတ်များ (isolated poles) <math>a_k</math> ရှိပြီး ကွန်တို (contour) <math>\gamma</math> ပေါ်တွင် အနန္တတန်ဖိုးမှတ် မရှိပါက အကြွင်းသီအိုရမ် (residue theorem) အရ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Joglekar (2005), p. 166.</ref> <math display="block">\oint_\gamma g(z)\,dz = 2\pi i \sum_{a_k \in \operatorname{int}(\gamma)} \operatorname{Res}(g, a_k)</math> === ကိန်းသီအိုရီနှင့် ရီးမန်း ဇီတာဖန်ရှင် (Number Theory and the Riemann Zeta Function) === [[File:ModularGroup-FundamentalDomain.svg|thumb|<math>\zeta(2) = \pi^2/6</math> နှင့် ဆက်စပ်သော [[မော်ဂျူလာအုပ်စု]] (modular group) ၏ အခြေခံဒိုမိန်း (fundamental domain)။]] [[ဖန်ရှင်|ရီးမန်း ဇီတာဖန်ရှင်]] (Riemann zeta function) ကို <math>\operatorname{Re}(s) > 1</math> အတွက် <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s}</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ဘာဆယ် ပြဿနာ (Basel problem) ၏ အဖြေမှ ဇီတာဖန်ရှင်၏ <math>s = 2</math> ရှိ တန်ဖိုးကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။<ref>Posamentier and Lehmann (2004), p. 284.</ref> <math display="block">\zeta(2) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}</math> ထို့ကြောင့် တစ်ပြေးညီ ကျပန်းရွေးချယ်ထားသော (chosen uniformly at random) အပေါင်း[[ကိန်းပြည့်]] (positive integers) နှစ်ခုသည် [[နှိုင်းရသုဒ္ဓ|နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်သော]] (coprime) [[ကိန်း|ကိန်းများ]] ဖြစ်နိုင်သည့် [[ဖြစ်တန်စွမ်း|ချဉ်းကပ်မှုဖြစ်တန်စွမ်း]] (asymptotic probability) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Hardy (2008), Theorem 332.</ref> <math display="block">\prod_{p \text{ prime}} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right) = \frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} \approx 0.6079</math> <math>\zeta(s)</math> ၏ အလုံးစုံ [[ညီမျှခြင်း|ဖန်ရှင်နယ်ညီမျှခြင်း]] (global functional equation) သည် အောက်ပါ[[ဘိုင်နရီ ဆက်သွယ်ချက်|ဆက်သွယ်ချက်]] (relation) ကို ဖော်ပြသည်။<ref>Sondow (1994), pp. 421–424.</ref> <math display="block">\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)</math> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last1=Ahlfors |first1=Lars |title=Complex Analysis |edition=2nd |publisher=McGraw-Hill |publication-place=New York |date=1966}} * {{Citation |last1=Andrews |first1=George E. |last2=Askey |first2=Richard |last3=Roy |first3=Ranjan |title=Special Functions |series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications |volume=71 |publisher=Cambridge University Press |publication-place=Cambridge |date=1999 |isbn=978-0-521-78988-2}} * {{Citation |last1=Arndt |first1=Jörg |last2=Haenel |first2=Christoph |title=Pi Unleashed |publisher=Springer-Verlag |publication-place=Berlin |date=2006 |isbn=978-3-540-66572-4 |doi=10.1007/978-3-642-56042-2}} * {{Citation |last1=Bailey |first1=David H. |last2=Borwein |first2=Peter B. |last3=Plouffe |first3=Simon |title=On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants |journal=Mathematics of Computation |volume=66 |issue=218 |date=1997 |pages=903–913 |doi=10.1090/S0025-5718-97-00856-9}} * {{Citation |last1=Bronshtein |first1=Ilia |last2=Semendyayev |first2=K. A. |title=A Guide Book to Mathematics |publisher=Verlag Harri Deutsch |publication-place=Frankfurt |date=1971 |isbn=978-3-87144-095-3}} * {{Citation |last1=Chavel |first1=Isaac |title=Isoperimetric Inequalities: Differential Geometric and Analytic Perspectives |series=Cambridge Tracts in Mathematics |volume=145 |publisher=Cambridge University Press |publication-place=Cambridge |date=2001 |isbn=978-0-521-80267-3}} * {{Citation |last1=Dym |first1=Harry |last2=McKean |first2=Henry P. |title=Fourier Series and Integrals |series=Probability and Mathematical Statistics |volume=14 |publisher=Academic Press |publication-place=New York |date=1972 |isbn=978-0-12-226450-4}} * {{Citation |last1=Evans |first1=Lawrence C. |title=Partial Differential Equations |series=Graduate Studies in Mathematics |volume=19 |publisher=American Mathematical Society |publication-place=Providence |date=1997 |isbn=978-0-8218-0772-9}} * {{Citation |last1=Eymard |first1=Pierre |last2=Lafon |first2=Jean-Pierre |title=The Number Pi |publisher=American Mathematical Society |publication-place=Providence |date=2004 |isbn=978-0-8218-3246-2}} * {{Citation |last1=Hardy |first1=G. H. |title=An Introduction to the Theory of Numbers |edition=6th |publisher=Oxford University Press |publication-place=Oxford |date=2008 |isbn=978-0-19-921986-5}} * {{Citation |last1=Hilbert |first1=David |last2=Courant |first2=Richard |title=Methods of Mathematical Physics |volume=1 |publisher=Wiley |publication-place=New York |date=1966}} * {{Citation |last1=Joglekar |first1=S. D. |title=Mathematical Physics: Advanced Topics |publisher=Universities Press |publication-place=Hyderabad |date=2005 |isbn=978-81-7371-422-1}} * {{Citation |last1=Posamentier |first1=Alfred S. |last2=Lehmann |first2=Ingmar |title=Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number |publisher=Prometheus Books |publication-place=Amherst |date=2004 |isbn=978-1-59102-200-8}} * {{Citation |last1=Remmert |first1=Reinhold |title=Numbers |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=123 |chapter=What is π? |publisher=Springer-Verlag |publication-place=New York |date=2012 |pages=123–149 |isbn=978-1-4612-1005-4}} * {{Citation |last1=Rudin |first1=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3rd |publisher=McGraw-Hill |publication-place=New York |date=1976 |isbn=978-0-07-054235-8}} * {{Citation |last1=Sondow |first1=Jonathan |title=Analytic Continuation of Riemann's Zeta Function and Values at Negative Integers via Euler's Transformation of Series |journal=Proceedings of the American Mathematical Society |volume=120 |issue=2 |date=1994 |pages=421–424 |doi=10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7}} * {{Citation |last1=Spivak |first1=Michael |title=A Comprehensive Introduction to Differential Geometry |volume=3 |edition=3rd |publisher=Publish or Perish |publication-place=Houston |date=1999 |isbn=978-0-914098-72-0}} [[Category:သင်္ချာ ကိန်းသေများ]] jyyknmrsjgr7ywvd11k8pllq1g40g2i 0 16464 1060779 1049676 2026-10-30T17:28:14Z Mkant00 135890 corrections to mathematics 1060779 wikitext text/x-wiki {{Calculus}} '''အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း''' (Integration) သည် [[သင်္ချာ]]ဘာသာရပ်၏ အရေးပါသော အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းကို [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း]] (Differentiation) နှင့် တွဲဖက်၍ ကဲကုလပ် (Calculus) သင်္ချာဘာသာရပ်ဟု ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည်။ အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းသည် အင်တီဂရယ် (Integral) ကို ရှာဖွေသည့် တွက်ချက်မှုတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤတွက်ချက်မှုတွင် [[ဖန်ရှင်]] (Function) တစ်ခုကို ၎င်း၏ ၎င်း၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (Derivative) မှတစ်ဆင့် မူလအတိုင်း ပြန်လည်ဖော်ထုတ်ခြင်းများ ပါဝင်သည်။ ၎င်းအပြင် ဂရပ် (Graph) တစ်ခုဖြင့် ကန့်သတ်ထားသော ဧရိယာ (Area) ကို တွက်ချက်ခြင်းများလည်း ပါဝင်သည်။ ဤလုပ်ငန်းစဉ်ကို ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ (Differential equations) ဖြေရှင်းသည့် နည်းလမ်းတစ်ခုအဖြစ်လည်း နားလည်ထားကြသည်။ ရူပဗေဒဆိုင်ရာ အသုံးချမှုများအနေဖြင့် အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ အလျင် (Velocity) မှတစ်ဆင့် ၎င်း၏ ရွေ့လျားမှုနိယာမကို ရှာဖွေရာတွင် သုံးသည်။ သတ်မှတ်ထားသော အချိန်ကာလတစ်ခုအတွင်း သက်ရောက်အားတစ်ခုက လုပ်ဆောင်ခဲ့သော အလုပ် (Work) ကို တွက်ချက်ရာတွင်လည်း အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းကို အသုံးပြုကြသည်။ == သမိုင်းကြောင်းဆိုင်ရာ အချိန်မှတ်တမ်း (Historical Timeline) == ၁၈၂၃ ခုနှစ်တွင် အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ (A.L. Cauchy) သည် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ]] (Continuous functions) အတွက် အင်တီဂရယ်၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို အင်တီဂရယ် ပေါင်းလဒ်များ၏ စုဆုံမှတ် (Limit) တစ်ခုအနေဖြင့် ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref>* {{Citation |last=Cauchy |first=A. L. |title=Résumé des leçons données à l'Ecole Royale Polytechnique sur le calcul infinitésimal |volume=1 |publisher=Paris |date=1823}}</ref> ၁၈၅၃ ခုနှစ်တွင် ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (B. Riemann) သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (Arbitrary functions) အတွက် အခြေအနေကို လေ့လာခဲ့သည်။ ယင်းတွင် [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များ]] (Discontinuous functions) လည်း ပါဝင်သည်။<ref>* {{Citation |last=Riemann |first=B. |title=Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe |publisher=Dover, reprint (1953) |date=1868}}</ref> ၁၈၇၅ ခုနှစ်တွင် ဂျာစတွန် ဒါဘူး (G. Darboux) သည် အထက်နှင့် အောက် ရီးမန်း ပေါင်းလဒ်များ သို့မဟုတ် ဒါဘူး ပေါင်းလဒ်များကို မိတ်ဆက်ခြင်းဖြင့် အဆိုပါ သီအိုရီကို ပိုမိုတိုးတက်စေခဲ့သည်။ ၁၈၉၄ ခုနှစ်တွင် တီ ဂျေ စတီးလ်ဂျက်စ် (T.J. Stieltjes) သည် စတီးလ်ဂျက်စ် အင်တီဂရယ် (Stieltjes integral) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤနည်းလမ်းသည် ဖန်ရှင်တစ်ခုကို အခြားဖန်ရှင်တစ်ခုအပေါ် အခြေခံ၍ အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ ၁၉၀၂ ခုနှစ်တွင် အွန်ရီ လီဘက်ဂ် (H. Lebesgue) သည် ရီးမန်း အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိခြင်းအတွက် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေများ (Necessary and sufficient conditions) ကို အပြီးသတ် သတ်မှတ်ပေးခဲ့သည်။ ၎င်းအပြင် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ် (Lebesgue integral) ကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။<ref>* {{Citation |last=Lebesgue |first=H. |title=Leçons sur l'intégration et la récherche des fonctions primitives |publisher=Gauthier-Villars |date=1928}}</ref> ၁၉၁၂ ခုနှစ်တွင် အာနိုး ဒန်ဇွာ (A. Denjoy) သည် ဒန်ဇွာ အင်တီဂရယ် (Denjoy integral) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ အခြားဖန်ရှင်တစ်ခု၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]ဖြစ်သော မည်သည့်ဖန်ရှင်အတွက်မဆို သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် (Definite integral) ရှာဖွေခြင်းပြဿနာကို ဤအင်တီဂရယ်က အဖြေပေးသည်။ == ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် (The Indefinite Integral) == [[ဖန်ရှင်]] <math>F</math> တစ်ခု၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] <math>F'</math> သည် သတ်မှတ်ထားသော အပိုင်းအခြား (Interval) တစ်ခုလုံးရှိ နေရာတိုင်းတွင် ဖန်ရှင် <math>f</math> နှင့် ညီမျှနေပါက ထို <math>F</math> ကို <math>f</math> ၏ ပရစ်မစ်တစ် (Primitive) ဟု ခေါ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခုတည်း၏ မည်သည့် ပရစ်မစ်တစ် နှစ်ခုမဆိုသည် ကိန်းသေ (Constant) <math>C</math> တစ်ခုဖြင့်သာ ကွဲလွဲကြသည်။ ထို့ကြောင့် မည်သည့် ပရစ်မစ်တစ်မဆို <math>F+C</math> ပုံစံရှိသည်။ ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ပရစ်မစ်တစ်များအားလုံး စုစည်းမှုကို ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် (Indefinite integral) ဟု ခေါ်သည်။ ၎င်းကို <math>\int f(x) dx</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ အင်တီဂရယ် [[ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်]] (Fundamental Theorem of Integral Calculus) အရ အပိုင်းအခြားတစ်ခုပေါ်ရှိ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]]တိုင်းတွင် ပရစ်မစ်တစ်တစ်ခု ရှိသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့တွင် ယေဘုယျ အင်တီဂရယ်တစ်ခု အမြဲရှိသည်။<ref>* {{Citation |last=Il'in |first=V. A. |last2=Poznyak |first2=E. G. |title=Fundamentals of mathematical analysis |volume=1–2 |publisher=MIR |date=1971–1973 |others=Translated from Russian}}</ref><ref>* {{Citation |last=Kudryavtsev |first=L. D. |title=Mathematical analysis |publisher=Moscow |date=1973 |others=In Russian}}</ref> == သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် (The Definite Integral) == သတ်မှတ် အင်တီဂရယ်ကို ကော်ချီ၊ ရီးမန်း၊ လီဘက်ဂ် နှင့် စတီးလ်ဂျက်စ် တို့က အင်တီဂရယ် ပေါင်းလဒ်များ၏ စုဆုံမှတ် (Limit) အနေဖြင့် မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းကို အပိုင်းအခြားတစ်ခု၏ အစွန်းမှတ်များ (Endpoints) တွင်ရှိသော ပရစ်မစ်တစ်တန်ဖိုးများ၏ ခြားနားခြင်းအနေဖြင့်လည်း အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုကြသည်။ ယင်းခြားနားခြင်းကို <math>F(b) - F(a)</math> အဖြစ် ဖော်ပြသည်။ နယူတန်-လိုက်ဘ်နစ်ဇ် ပုံသေနည်း (Newton-Leibniz formula) ကို ပရစ်မစ်တစ် <math>F</math> ရှိသော [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] <math>f</math> အတွက် အသုံးပြုသည်။ ၎င်းကို <math>\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)</math> ဟူ၍ ဖော်ပြသည်။ ကိန်းရှင် (Variable) ဖြစ်သော အထက်ကန့်သတ်ချက်ပါရှိသည့် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် <math>F(x) = \int_a^x f(t)dt</math> သည် <math>f</math> ၏ ပရစ်မစ်တစ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>* {{Citation |last=Smirnov |first=V. I. |title=A course of higher mathematics |volume=5 |publisher=Addison-Wesley |date=1964 |others=Translated from Russian}}</ref><ref>* {{Citation |last=Nikol'skii |first=S. M. |title=A course of mathematical analysis |volume=1–2 |publisher=MIR |date=1975 |others=Translated from Russian}}</ref> == ရီးမန်း အင်တီဂရယ် (The Riemann Integral) == ရီးမန်း အင်တီဂရယ်ကို ရီးမန်း ပေါင်းလဒ် (Riemann sum) <math>\sigma = \sum f(\xi_i)\Delta x_i</math> ၏ စုဆုံမှတ် (Limit) အနေဖြင့် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုသည်။ ဤတွင် အစုခွဲစနစ် (Partition) ၏ အကြီးဆုံး ကွာဟချက် <math>\max \Delta x_i</math> သည် သုညသို့ ချဉ်းကပ်သွားသည်။ [[ဖန်ရှင်]]တစ်ခုသည် အကန့်အသတ်ရှိသော (Bounded) ဖန်ရှင်ဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော]] အမှတ်များ၏ လီဘက်ဂ် အတိုင်းအတာ (Lebesgue measure) သည် သုညဖြစ်မှသာ ထိုဖန်ရှင်ကို <math>[a,b]</math> ပေါ်တွင် ရီးမန်း အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော ဖန်ရှင်အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဤအချက်သည် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (If and only if) ဖြစ်သည်။ ရီးမန်း အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော ဖန်ရှင်တိုင်းသည် အကန့်အသတ်ရှိသော ဖန်ရှင် ဖြစ်သည်။ သို့သော် ၎င်း၏ ပြောင်းပြန်အဆို (Converse) မှာ မမှန်ကန်ပါ။ ဥပမာအားဖြင့် ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး၏ ဖန်ရှင် (Dirichlet function) သည် အကန့်အသတ်ရှိသော်လည်း ရီးမန်း အင်တီဂရိတ်လုပ်၍ မရပါ။ မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်မှု (Linearity) ဂုဏ်သတ္တိကို <math>\int [\alpha f(x) + \beta g(x)] dx = \alpha \int f(x) dx + \beta \int g(x) dx</math> အဖြစ် ဖော်ပြသည်။ ပေါင်းစပ်နိုင်မှု (Additivity) ဂုဏ်သတ္တိကို <math>\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx</math> အဖြစ် ဖော်ပြသည်။ အစဉ်လိုက်ဖြစ်မှု (Monotonicity) ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>f(x) \geq g(x)</math> ဖြစ်ပါက <math>\int_a^b f(x) dx \geq \int_a^b g(x) dx</math> ဖြစ်သည်။ အကြွင်းမဲ့ အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိခြင်း (Absolute Integrability) ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>a \leq b</math> ဖြစ်လျှင် <math>\left|\int_a^b f(x)dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|dx</math> ဖြစ်သည်။ အင်တီဂရယ်များအတွက် ပထမပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ်အရ <math>[a, b]</math> ပေါ်တွင် <math>g(x) \ge 0</math> ဖြစ်ပြီး <math>m \le f(x) \le M</math> ဖြစ်ပါက <math>\int_a^b f(x)g(x)\,\mathrm{d}x = \mu \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x</math> ဟု ဖော်ပြနိုင်ပြီး <math>\mu \in [m, M]</math> ဖြစ်သည်။ ဒုတိယမြောက် ပျမ်းမျှတန်ဖိုး ပုံသေနည်း သို့မဟုတ် ဘွန်နက်၏ ပုံသေနည်း (Bonnet's Formula) သည် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော ဖန်ရှင်တစ်ခုနှင့် အစဉ်လိုက်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်တစ်ခုတို့၏ မြှောက်လဒ်ကို အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းနှင့် သက်ဆိုင်သည်။<ref>* {{Citation |last=Riemann |first=B. |title=Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe |publisher=Dover, reprint (1953) |date=1868}}</ref><ref>* {{Citation |last=Shilov |first=G. E. |title=Mathematical analysis |volume=1–2 |publisher=M.I.T. |date=1974 |others=Translated from Russian}}</ref><ref>* {{Citation |last=Rudin |first=W. |title=Principles of mathematical analysis |publisher=McGraw-Hill |date=1976}}</ref> == လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ် (The Lebesgue Integral) == လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ်သည် အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (Measure theory) ကို အသုံးပြု၍ ရီးမန်း အင်တီဂရယ်ကို ယေဘုယျပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို ရေတွက်နိုင်သော တန်ဖိုးများသာရှိသည့် တိုင်းတာနိုင်သော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (Measurable functions) ဖြစ်သော ရိုးရှင်းသော ဖန်ရှင်များ (Simple functions) ပေါ်တွင် ဦးစွာ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုသည်။ ထို့နောက် ၎င်းတို့ကို စုဆုံမှတ် (Limit) ကူးပြောင်းခြင်းမှတစ်ဆင့် အခြားဖန်ရှင်များဆီသို့ တိုးချဲ့အသုံးချသည်။ ထိုဖန်ရှင်များကို ရိုးရှင်းသော ဖန်ရှင်များ၏ ညီညာစွာ စုဆုံသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုအနေဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ရီးမန်း အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော ဖန်ရှင်တိုင်းသည် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသည်။ သို့သော် ၎င်း၏ ပြောင်းပြန်အဆိုမှာ မမှန်ကန်ပါ။ ဥပမာအားဖြင့် ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး၏ ဖန်ရှင်သည် နေရာတိုင်းတွင် [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်]]ဖြစ်သော်လည်း လီဘက်ဂ် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသည်။ အကန့်အသတ်ရှိသော ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် တိုင်းတာနိုင်သော ဖန်ရှင်များ အတန်းအစား (Class of measurable functions) တွင် ပါဝင်မှသာ လီဘက်ဂ် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသည်။ ဤအချက်သည် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ အကြွင်းမဲ့ အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိခြင်းသည် ၎င်းကို အခြားသော ယေဘုယျပြုထားသည့် အင်တီဂရယ်များနှင့် ကွဲပြားစေသည်။ ဘုံမပါသော [[အစု|အစုများ]] (Disjoint sets) အပေါ်တွင် ရေတွက်နိုင်သော ပေါင်းစပ်နိုင်မှု (Countable additivity) သို့မဟုတ် <math>\sigma</math>-ပေါင်းစပ်နိုင်မှု ရှိသည်။ အင်တီဂရယ်ကို [[အစု]]ဖန်ရှင် (Set function) <math>F(A) = \int_A f d\mu</math> အဖြစ် ဖော်ပြပါက ၎င်းသည် အတိုင်းအတာ <math>\mu</math> နှင့်စပ်လျဉ်း၍ ပကတိ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်]] (Absolutely continuous function) ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ ပြောင်းပြန်အဆိုမှာ ရေဒွန်-နီကိုဒင်းမ် သီအိုရမ် (Radon-Nikodym theorem) ဖြစ်သည်။ ဤအင်တီဂရယ်သည် ယေဘုယျပြုထားသော ဖန်ရှင်များ (Generalized functions) နှင့် ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများ (Hilbert spaces) ဖြစ်သော <math>L_2</math> နှင့် <math>l_2</math> ရပ်ဝန်းများ အပါအဝင် ခေတ်သစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Modern analysis) အတွက် အလွန်အရေးပါသည်။ ၎င်းအပြင် ထောင့်မှန်ကျ ကိန်းစဉ်တန်းများတွင် သုံးသော ရီးဇ်-ဖစ်ရှာ သီအိုရမ် (Riesz-Fischer theorem) အတွက်လည်း မရှိမဖြစ် လိုအပ်သည်။<ref>* {{Citation |last=Lebesgue |first=H. |title=Leçons sur l'intégration et la récherche des fonctions primitives |publisher=Gauthier-Villars |date=1928}}</ref><ref>* {{Citation |last=Kolmogorov |first=A. N. |last2=Fomin |first2=S. V. |title=Elements of the theory of functions and functional analysis |volume=1–2 |publisher=Graylock |date=1957–1961 |others=Translated from Russian}}</ref><ref>* {{Citation |last=Halmos |first=P. R. |title=Measure theory |publisher=v. Nostrand |date=1950}}</ref><ref>* {{Citation |last=Saks |first=S. |title=Theory of the integral |publisher=Hafner |date=1952 |others=Translated from French}}</ref> == စတီးလ်ဂျက်စ် အင်တီဂရယ် (The Stieltjes Integral) == [[ဖန်ရှင်]] <math>f</math> တစ်ခုကို ဒုတိယမြောက် အင်တီဂရိတ်လုပ်သော ဖန်ရှင် <math>u</math> နှင့်စပ်လျဉ်း၍ အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းကို <math>\int_a^b f(x) du(x)</math> အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ရီးမန်း အင်တီဂရယ်သည် <math>u(x) = x + C</math> ဖြစ်သော အထူးအခြေအနေတစ်ခုသာ ဖြစ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>u</math> တွင် အကန့်အသတ်ရှိပြီး အင်တီဂရိတ်လုပ်၍ရသော [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] <math>u'</math> ရှိပါက အဆိုပါ အင်တီဂရယ်ကို <math>\int_a^b f(x)u'(x)dx</math> အဖြစ် လျှော့ချနိုင်သည်။ ဤအင်တီဂရယ် တည်ရှိရန် လုံလောက်သောအခြေအနေများမှာ <math>f</math> သည် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]]ဖြစ်ပြီး <math>u</math> သည် ကန့်သတ်ချက်ရှိသော ပြောင်းလဲမှု (bounded variation) ရှိခြင်း၊ သို့မဟုတ် <math>f</math> သည် [[ရီးမန်း အင်တီဂရယ်|ရီးမန်း အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း]]ရှိပြီး <math>u</math> သည် လစ်ပ်ရှစ်ဇ် အခြေအနေ (Lipschitz condition) ကို ပြည့်စုံခြင်းတို့ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းသည် <math>f</math> နှင့် <math>u</math> နှစ်ခုစလုံးနှင့်စပ်လျဉ်း၍ မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်မှု ရှိသည်။ ရီးမန်း အင်တီဂရယ်နှင့် မတူညီသည့်အချက်မှာ <math>a < c < b</math> ဖြစ်သော ကပ်လျက် အပိုင်းအခြားများအပေါ်တွင် အင်တီဂရယ်များ သီးခြားစီ တည်ရှိနေသမျှ ကာလပတ်လုံး ပေါင်းစပ်နိုင်မှုရှိသည်။ သို့သော် <math>f</math> နှင့် <math>u</math> တို့သည် အမှတ် <math>c</math> တွင် တပြိုင်နက်တည်း အဆက်မပြတ်မဖြစ်မှု (Discontinuity) ရှိနေပါက အင်တီဂရယ်များ တည်ရှိမည်မဟုတ်သဖြင့် ပေါင်းစပ်၍မရပါ။ စတီးလ်ဂျက်စ် အင်တီဂရယ်သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ ရပ်ဝန်းပေါ်ရှိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ် (Linear functional) တစ်ခု၏ ယေဘုယျပုံစံကို ဖော်ပြပေးသည်။ ဤသည်မှာ ရီးဇ် သီအိုရမ် (Riesz Theorem) ၏ အသုံးချမှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>* {{Citation |last=Stieltjes |first=Th. J. |title=Recherches sur les fractions continues |publisher=C.R. Acad. Sci. Paris |volume=118 |date=1894}}</ref><ref>* {{Citation |last=Smirnov |first=V. I. |title=A course of higher mathematics |volume=5 |publisher=Addison-Wesley |date=1964 |others=Translated from Russian}}</ref> == ကိန်းထွေးနှင့် ကော်ချီ အင်တီဂရယ်များ (Complex and Cauchy Integrals) == ကော်ချီ၏ အင်တီဂရယ်ပုံသေနည်း (Cauchy integral formula) သည် အပေါင်းဦးတည်ချက်ရှိသော အပိုင်းလိုက် ချောမွေ့သည့် ရိုးစင်းသော အပိတ်ကွန်တို (simple closed contour) <math>L</math> ၏ အတွင်းပိုင်း၌ [[ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်]] <math>f</math> နှင့် ၎င်းအတွင်းပိုင်းရှိ အမှတ် <math>z</math> အတွက် နယ်နိမိတ်ပေါ်ရှိ တန်ဖိုးများမှတစ်ဆင့် အတွင်းတန်ဖိုးကို ဖော်ပြပေးပြီး ယင်းကို <math>f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_L \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} \,\mathrm{d}\zeta</math> အဖြစ် ရေးသားသည်။ ကော်ချီပုံစံ အင်တီဂရယ် (Integral of Cauchy Type) သည် အထက်ပါပုံသေနည်းကို သိပ်သည်းဆဖန်ရှင် (Density function) <math>\phi(\zeta)</math> ပါဝင်သော အဖွင့် သို့မဟုတ် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော အပိုင်းလိုက် ချောမွေ့သည့် မျဉ်းကွေးများ (Piecewise smooth curves) <math>\Gamma</math> ဆီသို့ ယေဘုယျပြုထားသည်။ နယ်နိမိတ်တန်ဖိုးများကို ဆိုခေါ့စကီး ပုံသေနည်းများ (Sokhotskii formulas) သို့မဟုတ် ပလီမဲလ်ဂျ် ပုံသေနည်းများ (Plemelj formulas) ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဤပုံသေနည်းများသည် မျဉ်းကွေးဆီသို့ အတွင်းဘက် <math>(+)</math> သို့မဟုတ် အပြင်ဘက် <math>(-)</math> မှ ချဉ်းကပ်လာချိန်တွင် ရှိသော နယ်နိမိတ်တန်ဖိုးများကို ပေးသည်။ ကော်ချီ-စတီးလ်ဂျက်စ် ပုံစံသည် [[ကိန်းထွေး]] ဘိုရဲလ် အတိုင်းအတာ (Borel measure) ကို အသုံးပြုသည်။ ပွန်ပီယူ သို့မဟုတ် ကော်ချီ-ဂရင်း ပုံသေနည်း (Pompeiu or Cauchy-Green Formula) သည် <math>\partial f / \partial \bar{\zeta}</math> ပါဝင်သော အထပ်ထပ် အင်တီဂရယ် (Double integral) ကို ထည့်သွင်းခြင်းဖြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ မဟုတ်သော ဖန်ရှင်များဆီသို့ ကော်ချီ အင်တီဂရယ်ကို ယေဘုယျပြုထားသည်။ ဘော့ချ်နာ-မာတီနယ်လီ နှင့် လီရေး ပုံသေနည်းများ (Bochner-Martinelli and Leray formulas) မှတစ်ဆင့် [[ကိန်းထွေး]] ကိန်းရှင် (Complex variable) အများအပြားပါဝင်သော အခြေအနေများဆီသို့ တိုးချဲ့ထားသည်။ သက်ဆိုင်ရာ ကိုးကားကျမ်းများအဖြစ် အေ အယ်လ် ကော်ချီ ၏ ၁၈၃၁ ခုနှစ် စာတမ်း၊ အိုင် အိုင် ပရီဗာလော့ဗ် ၏ ကော်ချီ အင်တီဂရယ် စာအုပ်နှင့် အန် အိုင် မက်ရှ်ခီလစ်ရှ်ဗီလီ ၏ ဆင်ဂူလာ အင်တီဂရယ် ညီမျှခြင်းများ စာအုပ်တို့ကို လေ့လာနိုင်သည်။<ref>* {{Citation |last=Cauchy |first=A. L. |title=Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites |publisher=Turin |date=1831}}</ref><ref>* {{Citation |last=Privalov |first=I. I. |title=The Cauchy integral |publisher=Saratov |date=1918 |others=In Russian}}</ref><ref>* {{Citation |last=Muskhelishvili |first=N. I. |title=Singular integral equations |publisher=Wolters-Noordhoff |date=1972 |others=Translated from Russian}}</ref> == အနန္တဘောင် အင်တီဂရယ်များ (Improper Integrals) == အနန္တဘောင် အင်တီဂရယ် (Improper integral) သည် အကန့်အသတ်မရှိသော (Unbounded) [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] သို့မဟုတ် အနန္တ (Infinity) သို့ သွားသော အကန့်အသတ်မရှိသော [[အစု|အစုများ]]ပေါ်တွင် အင်တီဂရိတ်လုပ်ရန်အတွက် သုံးသော စုဆုံမှတ် (Limit) ရှာခြင်း လုပ်ငန်းစဉ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ယင်းကို <math>\lim_{\beta \to b} \int_a^\beta f(x) dx</math> အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုသည်။ ပကတိတန်ဖိုး <math>|f|</math> ၏ အနန္တဘောင် အင်တီဂရယ်သည် အဆုံးရှိသောကိန်းဖြစ်ပါက ၎င်းသည် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ်နှင့် ထပ်တူညီသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် လီဘက်ဂ် ပေါင်းစပ်၍မရသော်လည်း အနန္တဘောင် အင်တီဂရယ် တည်ရှိနိုင်သည်။ ဥပမာအနေဖြင့် <math>\int_0^\infty \frac{\sin x}{x} dx</math> ကို ကြည့်နိုင်သည်။ ကော်ချီ၏ အဓိကတန်ဖိုး (Cauchy Principal Value) သည် အမှတ်ဆင်ဂူလာဖြစ်ခြင်းများ (Point singularities) ပါဝင်သော အနန္တဘောင် အင်တီဂရယ်များကို တန်ဖိုးသတ်မှတ်ပေးသည့် နည်းလမ်းဖြစ်သည်။ ဆင်ဂူလာဖြစ်ခြင်း (Singularity) ပတ်လည်တွင် အချိုးညီသော စုဆုံမှတ်များကို ယူခြင်းဖြင့် တွက်ချက်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် PV <math>\int_{-1}^1 \frac{1}{x} dx = 0</math> ဖြစ်သည်။<ref>* {{Citation |last=Apostol |first=T. M. |title=Calculus |volume=1–2 |publisher=Blaisdell |date=1969}}</ref><ref>* {{Citation |last=Schwartz |first=L. |title=Méthodes mathématiques pour les sciences physiques |publisher=Hermann |date=1965}}</ref> == အထပ်ထပ် အင်တီဂရယ်များ (Multiple Integrals) == ကလပ်စစ်ကယ် အထပ်ထပ် အင်တီဂရယ်ကို <math>\mathbb{R}^n</math> ရပ်ဝန်းရှိ ဂျော်ဒန် အတိုင်းအတာ (Jordan measure) အပေါ် အခြေခံထားပြီး ဂျော်ဒန် တိုင်းတာနိုင်သော အစုများအပေါ်တွင် တန်ဖိုးရှာဖွေ တွက်ချက်သော်လည်း၊ ခေတ်သစ် [[လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ်]]စနစ်တွင် ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော လီဘက်ဂ် တိုင်းတာနိုင်သည့် အစုများအပေါ်တွင် တိုးချဲ့သတ်မှတ်သည်။ ဖူဘီနီ၏ သီအိုရမ် (Fubini's Theorem) အရ အထပ်ထပ် ရီးမန်း သို့မဟုတ် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ်တစ်ခုကို အချင်းချင်းငုံထားသော တစ်ခုချင်း အင်တီဂရယ်များ ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုအဖြစ် လျှော့ချနိုင်သည်။ ဤကိန်းစဉ်တန်းကို ထပ်ကျော့ အင်တီဂရယ် (Repeated integral) ဟုလည်း ခေါ်သည်။ ကိန်းရှင်များ ပြောင်းလဲခြင်းပြုလုပ်ရာတွင် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခံကိန်း (Integrand) ကို ဂျေးကိုဘီယန် အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး (Jacobian determinant) ၏ ပကတိတန်ဖိုး <math>|J(t)|</math> ဖြင့် မြှောက်ပေးရန် လိုအပ်သည်။ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ်အရ အပေါင်းကိန်း [[ဖန်ရှင်]] <math>f</math> တစ်ခု၏ <math>n</math>-ကြိမ်မြောက် အထပ်ထပ် အင်တီဂရယ်သည် ဂရပ်အောက်ရှိ <math>(n+1)</math>-[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|တိုင်းတာမှု]]ရှိသော အတိုင်းအတာ သို့မဟုတ် ထုထည် (Volume) ကို ပေးသည်။<ref>* {{Citation |last=Il'in |first=V. A. |last2=Poznyak |first2=E. G. |title=Fundamentals of mathematical analysis |volume=2 |publisher=MIR |date=1982 |others=Translated from Russian}}</ref><ref>* {{Citation |last=Spivak |first=M. |title=Calculus on manifolds |publisher=Benjamin/Cummings |date=1965}}</ref> == လမ်းကြောင်းတစ်လျှောက် အင်တီဂရယ်များနှင့် မျက်နှာပြင် အင်တီဂရယ်များ (Curvilinear and Surface Integrals) == ပထမအမျိုးအစား လမ်းကြောင်းတစ်လျှောက် အင်တီဂရယ် (Line integral) ကို မျဉ်းကွေးအလျား (Arc length) <math>ds</math> နှင့်စပ်လျဉ်း၍ တွက်ချက်သည်။ ၎င်းသည် ဦးတည်ချက်အပေါ် မှီခိုခြင်းမရှိပါ။ ဒြပ်ထုကို တွက်ချက်ရန်အတွက် အသုံးပြုသည်။ ဒုတိယအမျိုးအစား လမ်းကြောင်းတစ်လျှောက် အင်တီဂရယ်ကို ကိုဩဒိနိတ်များ <math>dx_k</math> နှင့်စပ်လျဉ်း၍ တွက်ချက်သည်။ ဦးတည်ချက် ပြောင်းပြန်လှန်လိုက်ပါက လက္ခဏာ ပြောင်းလဲသွားသည်။ [[ဗက်တာ]]စက်ကွင်း (Vector field) တစ်ခုမှ လုပ်ဆောင်ခဲ့သော အလုပ်ကို တွက်ချက်ရန်အတွက် အသုံးပြုသည်။ စက်ကွင်းတစ်ခု၏ လမ်းကြောင်းတစ်လျှောက် အင်တီဂရယ်သည် မည်သည့် အပိတ် မျဉ်းကွေးပေါ်တွင်မဆို သုညဖြစ်နေပါက ထိုစက်ကွင်းကို ပိုတင်ရှယ် စက်ကွင်း (Potential field) သို့မဟုတ် ကွန်ဆာဗေးတစ် စက်ကွင်း (Conservative field) ဟု ခေါ်သည်။ ရိုးရှင်းစွာ ဆက်စပ်နေသော နယ်ပယ်တစ်ခုတွင် (Simply connected domain) ဤအချက်သည် <math>\text{rot} \mathbf{a} = 0</math> နှင့် အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသည်။ ပထမအမျိုးအစား မျက်နှာပြင် အင်တီဂရယ် (Surface integral) ကို မျက်နှာပြင်ဧရိယာ <math>dS</math> ပေါ်တွင် တွက်ချက်သည်။ ဦးတည်ချက်အပေါ် မှီခိုခြင်းမရှိပါ။ စုစုပေါင်း မျက်နှာပြင်ဧရိယာ သို့မဟုတ် ဒြပ်ထုကို ရှာဖွေရာတွင် အသုံးပြုသည်။ ဒုတိယအမျိုးအစား မျက်နှာပြင် အင်တီဂရယ်ကို ဦးတည်ချက်ပါသော မျက်နှာပြင်များပေါ်တွင် တွက်ချက်သည်။ ဤနေရာတွင် အထက်/အောက် သို့မဟုတ် အတွင်း/အပြင် သို့ ညွှန်ပြနေသော ထောင့်မှန်ကျ ဗက်တာများ (Normal vectors) ကို သုံးသည်။ ဗက်တာစက်ကွင်းတစ်ခု၏ စီးဆင်းမှု (Flux) ကို တွက်ချက်ရန် အသုံးပြုသည်။ ဂရင်း၏ ပုံသေနည်း (Green's Formula) သည် လမ်းကြောင်းတစ်လျှောက် အင်တီဂရယ်များကို နှစ်ထပ် အင်တီဂရယ်များနှင့် ချိတ်ဆက်ပေးသည်။ အော့စထရိုဂရက်စကီး ဖြာထွက်မှု သီအိုရမ် သို့မဟုတ် ဂေါက်စ် ဖြာထွက်မှု သီအိုရမ် (Gauss Divergence Theorem) သည် မျက်နှာပြင် အင်တီဂရယ်များကို သုံးထပ် အင်တီဂရယ်များနှင့် ချိတ်ဆက်ပေးသည်။ စတုတ် သီအိုရမ် (Stokes' Theorem) သည် လမ်းကြောင်းတစ်လျှောက် အင်တီဂရယ်များကို မျက်နှာပြင် အင်တီဂရယ်များနှင့် ချိတ်ဆက်ပေးသည်။<ref>* {{Citation |last=Il'in |first=V. A. |last2=Poznyak |first2=E. G. |title=Fundamentals of mathematical analysis |volume=1–2 |publisher=MIR |date=1982 |others=Translated from Russian}}</ref><ref>* {{Citation |last=Dubrovin |first=B. A. |last2=Fomenko |first2=A. T. |last3=Novikov |first3=S. P. |title=Modern geometry |publisher=Springer |date=1987 |others=Translated from Russian}}</ref><ref>* {{Citation |last=Berger |first=M. |last2=Gostiaux |first2=B. |title=Differential geometry: manifolds, curves, and surfaces |publisher=Springer |date=1988 |others=Translated from French}}</ref> == ကိုးကား == [[Category:ကဲကုလပ်]] 0body3d4kpnsiapqitkfjp3jxmcuq2v 0 17867 1060757 1060360 2026-10-30T16:55:50Z Ninjastrikers 22896 စာမျက်နှာကို [[သုံးဆယ့်ရှစ်ဖြာ မင်္ဂလာတရား]] သို့ ပြန်ညွှန်းလိုက်သည် 1060757 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[သုံးဆယ့်ရှစ်ဖြာ မင်္ဂလာတရား]] 4cdjapspgzqfqkrych0frkjs4gglnky 0 19089 1060802 1053818 2026-10-30T23:06:45Z Mkant00 135890 1060802 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ဖန်ရှင်များ}} [[သင်္ချာ]] (Mathematics) တွင် [[ကိန်း]] (Number) တစ်ခု၏ လော့ဂရစ်သမ် (Logarithm) ဆိုသည်မှာ ၎င်းကိန်းကို ရရှိရန်အတွက် အခြားသတ်မှတ်ထားသော တန်ဖိုးဖြစ်သည့် အခြေ (Base) ကို တင်ပေးရမည့် ထပ်ကိန်း (Exponent) ပင်ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အခြေ <math>10</math> အတွက် <math>1000</math> ၏ လော့ဂရစ်သမ်သည် <math>3</math> ဖြစ်သည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် <math>1000</math> သည် <math>10</math> ၏ <math>3</math> ထပ်ကိန်း ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>1000 = 10^3 = 10 \times 10 \times 10</math> ဟု ရေးနိုင်သည်။ ပို၍ ယေဘုယျအားဖြင့် ဆိုရလျှင် <math>x = b^y</math> ဖြစ်ပါက <math>y</math> သည် အခြေ <math>b</math> အတွက် <math>x</math> ၏ လော့ဂရစ်သမ်ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>\log_b x = y</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိပြီး ထို့ကြောင့် <math>\log_{10} 1000 = 3</math> ဖြစ်သည်။ ကိန်းရှင် (Variable) တစ်ခုပါ [[ဖန်ရှင်]] (Function) အနေဖြင့်ဆိုလျှင် အခြေ <math>b</math> ရှိသော လော့ဂရစ်သမ်သည် အခြေ <math>b</math> ဖြင့် ထပ်ကိန်းတင်ခြင်း (Exponentiation) ၏ ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (Inverse function) ဖြစ်သည်။ အခြေ ၁၀ ပါဝင်သော လော့ဂရစ်သမ်ကို ဒသမ လော့ဂရစ်သမ် (Decimal logarithm) သို့မဟုတ် ရိုးရိုး လော့ဂရစ်သမ် (Common logarithm) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းကို သိပ္ပံနှင့် အင်ဂျင်နီယာ နယ်ပယ်များတွင် အများဆုံး အသုံးပြုကြသည်။ သဘာဝ လော့ဂရစ်သမ် (Natural logarithm) သည် ကိန်း <math>e \approx 2.718</math> ကို ၎င်း၏ အခြေအဖြစ် အသုံးပြုသည်။ ၎င်း၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (Derivative) သည် အလွန်ရိုးရှင်းသောကြောင့် သင်္ချာနှင့် ရူပဗေဒ (Physics) နယ်ပယ်များတွင် ကျယ်ပြန့်စွာ အသုံးပြုကြသည်။ ဘိုင်နရီ လော့ဂရစ်သမ် (Binary logarithm) သည် အခြေ <math>2</math> ကို အသုံးပြုသည်။ ၎င်းကို ကွန်ပျူတာသိပ္ပံ (Computer science)၊ သတင်းအချက်အလက် သီအိုရီ (Information theory)၊ ဂီတသီအိုရီ (Music theory) နှင့် ဓာတ်ပုံပညာ (Photography) တို့တွင် ကျယ်ပြန့်စွာ အသုံးပြုကြသည်။ အကြောင်းအရာအရ အခြေကို ရှင်းလင်းစွာ သိရှိနိုင်သောအခါ သို့မဟုတ် အခြေတန်ဖိုးမှာ အရေးမကြီးသောအခါများတွင် ၎င်းကို ချန်လှပ်ထားလေ့ရှိပြီး လော့ဂရစ်သမ်ကို <math>\log x</math> ဟုသာ ရေးသားလေ့ရှိသည်။ လော့ဂရစ်သမ် စကေးများ (Logarithmic scales) သည် အလွန်ကျယ်ပြန့်သော ပမာဏများကို သေးငယ်သော အတိုင်းအတာများအဖြစ်သို့ လျှော့ချပေးသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ဒက်စီဘယ် (Decibel) သည် အချိုးအစားများကို လော့ဂရစ်သမ်များအဖြစ် ဖော်ပြရာတွင် အသုံးပြုသော ယူနစ်ဖြစ်သည်။ အသံဖိအားသည် ၎င်း၏ အတွေ့ရများသော ဥပမာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဓာတုဗေဒပညာတွင် ပီအိတ်ချ် (pH) သည် ရေပျော်ရည်တစ်ခု၏ အက်စစ်ဓာတ်ပါဝင်မှုကို လော့ဂရစ်သမ်ဖြင့် တိုင်းတာသော အတိုင်းအတာဖြစ်သည်။ လော့ဂရစ်သမ်များကို သိပ္ပံဆိုင်ရာ ပုံသေနည်း (Formula) များတွင်သာမက အယ်လ်ဂိုရီသမ်များ၏ ရှုပ်ထွေးမှု (Algorithm complexity) ကို တိုင်းတာရာတွင်လည်း ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် အသုံးပြုကြသည်။ ထို့ပြင် ဖရက်တယ် (Fractal) ဟုခေါ်သော ဂျီဩမေတြီ (Geometry) အရာဝတ္ထုများ၏ တိုင်းတာမှုများတွင်လည်း ၎င်းတို့ကို တွေ့ရှိရသည်။ [[သုဒ္ဓကိန်း]] (Prime number) များကို ရေတွက်ခြင်း သို့မဟုတ် ဖက်တိုရီရယ် (Factorial) များကို ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပုံသေနည်းများတွင်လည်း ပါဝင်လေ့ရှိသည်။ ယေဘုယျ အခြေအနေများတွင် လော့ဂရစ်သမ်သည် တန်ဖိုးများစွာရှိသော ဖန်ရှင် (Multi-valued function) တစ်ခု ဖြစ်လေ့ရှိသည်။ အလားတူပင် တစ်ပိုင်းတစ်စ လော့ဂရစ်သမ် (Discrete logarithm) သည် အဆုံးရှိ[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]] (Finite groups) အတွင်းရှိ ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်၏ တန်ဖိုးများစွာရှိသော ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ == အခြေခံအကြောင်းရင်း (Motivation) == ပေါင်းခြင်း (Addition)၊ မြှောက်ခြင်း (Multiplication) နှင့် ထပ်ကိန်းတင်ခြင်းတို့သည် အခြေခံအကျဆုံးဖြစ်သော ဂဏန်းသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများ (Arithmetic operations) သုံးခုဖြစ်သည်။ အပေါင်း၏ ပြောင်းပြန်တွက်ချက်မှု (Inverse operation) မှာ နုတ်ခြင်း (Subtraction) ဖြစ်သည်။ မြှောက်ခြင်း၏ ပြောင်းပြန်မှာ [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|စားခြင်း]] (Division) ဖြစ်သည်။ အလားတူပင် လော့ဂရစ်သမ်သည် ထပ်ကိန်းတင်ခြင်း၏ ပြောင်းပြန်တွက်ချက်မှု ဖြစ်သည်။ ထပ်ကိန်းတင်ခြင်းဆိုသည်မှာ အခြေဖြစ်သော ကိန်း <math>b</math> တစ်ခုကို သတ်မှတ်ထားသော ထပ်ကိန်း <math>y</math> သို့ တင်ပေးခြင်းဖြင့် တန်ဖိုး <math>x</math> ကို ရရှိစေခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သင်္ကေတဖြင့် ပြသနိုင်သည်။ <math display="block">b^y=x</math> ဥပမာအားဖြင့် <math>2</math> ကို <math>3</math> ထပ်ကိန်းတင်ပါက <math>8</math> ကို ရရှိသည်။ ယင်းကို <math>2^3 = 8</math> ဟုရေးနိုင်သည်။ အခြေ <math>b</math> ၏ လော့ဂရစ်သမ်သည် ပြောင်းပြန်တွက်ချက်မှုဖြစ်ပြီး အဝင်ကိန်း (Input) <math>x</math> မှ အထွက်ကိန်း (Output) <math>y</math> ကို ရရှိစေသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>b</math> သည် အပေါင်း [[ကိန်းစစ်]] (Real number) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>y = \log_b x</math> သည် <math>x=b^y</math> နှင့် ထပ်တူညီ (Equivalent) ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>b</math> သည် အပေါင်း ကိန်းစစ်တစ်ခု မဟုတ်ပါက ထပ်ကိန်းတင်ခြင်းနှင့် လော့ဂရစ်သမ် နှစ်ခုစလုံးကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သော်လည်း တန်ဖိုးများစွာ ထွက်ပေါ်လာနိုင်သည်။ ဤအချက်က အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ပိုမိုရှုပ်ထွေးသွားစေသည်။ လော့ဂရစ်သမ်များကို စတင်မိတ်ဆက်ရခြင်း၏ သမိုင်းကြောင်းအရ အဓိက အခြေခံအကြောင်းရင်းများထဲမှ တစ်ခုမှာ အောက်ပါ ပုံသေနည်းကြောင့်ဖြစ်သည်။ <math display="block">\log_b(xy)=\log_b x + \log_b y</math> ထိုပုံသေနည်းအရ လော့ဂရစ်သမ် ဇယားများ (Logarithm tables) သည် မြှောက်ခြင်းနှင့် စားခြင်းလုပ်ငန်းစဉ်များကို အပေါင်းနှင့် နုတ်ခြင်းများအဖြစ်သို့ လျှော့ချပေးနိုင်သည်။ ကွန်ပျူတာများ မပေါ်ပေါက်မီခေတ်က ၎င်းသည် တွက်ချက်မှုများအတွက် အလွန်ကြီးမားသော အထောက်အကူတစ်ခု ဖြစ်ခဲ့သည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == [[ကိန်း]] <math>N</math> တစ်ခု၏ အခြေ <math>a</math> ရှိသော လော့ဂရစ်သမ်ကို <math>\log_a N</math> ဟု သင်္ကေတပြသည်။ ၎င်းသည် ကိန်း <math>N</math> ရရှိရန် အခြေ <math>a</math> အား တင်ပေးရမည့် ထပ်ကိန်း <math>m</math> ပင်ဖြစ်သည်။ သင်္ချာနည်းအရ ၎င်းကို <math>m = \log_a N \iff a^m = N</math> ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။ လော့ဂရစ်သမ်တစ်ခု [[ကိန်းစစ်]]အဖြစ် တည်ရှိရန်အတွက် အခြေ <math>a</math> သည် အပေါင်းကိန်း (Positive number) ဖြစ်ရမည် (<math>a > 0</math>) ဖြစ်ပြီး <math>1</math> နှင့် မညီမျှရပါ (<math>a \neq 1</math>)။ ထို့အပြင် ကိန်း <math>N</math> သည်လည်း အပေါင်းကိန်းဖြစ်ရန် လိုအပ်သည်။ ဤအခြေအနေများနှင့် ကိုက်ညီသော ပေးထားသည့် အခြေ <math>a</math> နှင့် အပေါင်းကိန်း <math>N</math> တိုင်းအတွက် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (Unique) ကိန်းစစ် လော့ဂရစ်သမ် တစ်ခုသာ တည်ရှိသည်။ အနုတ်ကိန်းများ (Negative numbers) ၏ လော့ဂရစ်သမ်များသည် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (Complex numbers) အဖြစ်သာ တည်ရှိကြသည်။ ထပ်တူညီပြီး ပိုမိုကျစ်လျစ်သော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တစ်ခုမှာ <math>\log_b</math> [[ဖန်ရှင်]]သည် <math>x\mapsto b^x</math> ဖန်ရှင်၏ ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ === ဥပမာများ (Examples) === * <math>2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>\log_2 16 = 4</math> ဖြစ်သည်။ * လော့ဂရစ်သမ်များသည် အနုတ်ကိန်းများလည်း ဖြစ်နိုင်သည်။ <math>2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>\log_2 \! \frac{1}{2} = -1</math> ဖြစ်သည်။ * <math>\log_{10} 150</math> သည် ခန့်မှန်းခြေအားဖြင့် <math>2.176</math> ဖြစ်ပြီး <math>2</math> နှင့် <math>3</math> ကြားတွင် ရှိသည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် <math>150</math> သည် <math>10^2 = 100</math> နှင့် <math>10^3 = 1000</math> အကြားတွင် ရှိသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ * မည်သည့် အခြေ <math>b</math> အတွက်မဆို <math>\log_b b = 1</math> နှင့် <math>\log_b 1 = 0</math> ဖြစ်သည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် အသီးသီးအားဖြင့် <math>b^1 = b</math> နှင့် <math>b^0 = 1</math> တို့ ဖြစ်သောကြောင့်ပင် ဖြစ်သည်။ == အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေခံဂုဏ်သတ္တိများ (Core Algebraic Properties) == လော့ဂရစ်သမ်များသည် ရှုပ်ထွေးသော ဂဏန်းသင်္ချာတွက်ချက်မှုများကို ရိုးရှင်းလွယ်ကူစေသည်။ ၎င်းတို့၏ အဓိက အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Algebraic properties) မှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ * မြှောက်ခြင်းမှ အပေါင်းသို့ ပြောင်းလဲခြင်း- <math>\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N</math> * [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|စားခြင်း]]မှ အနုတ်သို့ ပြောင်းလဲခြင်း- <math>\log_a\left(\frac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N</math> * ထပ်ကိန်းများမှ မြှောက်ခြင်းသို့ ပြောင်းလဲခြင်း- <math>\log_a(N^k) = k \log_a N</math> * ကိန်းရင်းများ (Roots) မှ စားခြင်းသို့ ပြောင်းလဲခြင်း- <math>\log_a(N^{1/k}) = \frac{1}{k} \log_a N</math> * အခြေပြောင်းလဲခြင်း (Base Transition)- လော့ဂရစ်သမ်တစ်ခုကို အခြေ <math>a</math> မှ အခြေ <math>b</math> သို့ ပြောင်းလဲလိုပါက <math>\log_b N = \frac{\log_a N}{\log_a b}</math> ပုံသေနည်းကို အသုံးပြုရသည်။ ဤနေရာတွင် ပါဝင်သော <math>\frac{1}{\log_a b}</math> အား အခြေ <math>a</math> မှ အခြေ <math>b</math> သို့ ပြောင်းလဲမှု မော်ဂျူးလပ်စ် (Modulus of transition) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ == လော့ဂရစ်သမ် အမျိုးအစားများ (Types of Logarithms) == === ဒသမ လော့ဂရစ်သမ်များ (Decimal Logarithms) === ဤလော့ဂရစ်သမ်အမျိုးအစားတွင် အခြေသည် <math>10</math> (<math>a = 10</math>) ဖြစ်ပြီး ၎င်းတို့ကို ရိုးရိုး လော့ဂရစ်သမ်များဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။ သမိုင်းကြောင်းအရနှင့် အချို့သော ဒေသများတွင် ၎င်းကို <math>\lg N</math> ဟု သင်္ကေတပြလေ့ရှိသည်။ [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်း]] (Rational number) တစ်ခုသည် <math>10^k</math> ပုံစံမရှိပါက (ဤနေရာတွင် <math>k</math> သည် [[ကိန်းပြည့်]] (Integer) ဖြစ်သည်) ၎င်း၏ ဒသမ လော့ဂရစ်သမ်သည် ကိန်းလွန် (Transcendental number) တစ်ခုသာ ဖြစ်သည်။ ၎င်းကိန်းလွန်ကို အဆုံးရှိသော ဒသမကိန်းအပိုင်းများဖြင့် ခန့်မှန်းတွက်ချက်နိုင်သည်။ ဒသမ လော့ဂရစ်သမ်တစ်ခု၏ ကိန်းပြည့်အစိတ်အပိုင်းကို ဝိသေသတန်ဖိုး (Characteristic) ဟုခေါ်ပြီး ဒသမကိန်းအစိတ်အပိုင်းကို မန်တစ်ဆာ (Mantissa) ဟုခေါ်သည်။ <math>10^k</math> ၏ ဆတိုးကိန်းများ (Multiples) အဖြစ် ကွာခြားနေသော ကိန်းများသည် တူညီသော မန်တစ်ဆာကို ပိုင်ဆိုင်ကြပြီး ၎င်းတို့၏ ဝိသေသတန်ဖိုးများသာ ကွာခြားကြသည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိကို အခြေခံ၍ လော့ဂရစ်သမ် ဇယားများကို ဖန်တီးနိုင်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ === သဘာဝ လော့ဂရစ်သမ်များ (Natural Logarithms) === သဘာဝ လော့ဂရစ်သမ်၏ အခြေသည် ကိန်းလွန်ဖြစ်သော <math>e \approx 2.71828\dots</math> ဖြစ်သည်။ ဤ <math>e</math> တန်ဖိုးကို <math>e = \lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n</math> သို့မဟုတ် <math>e = \sum_{n=0}^\infty 1/n!</math> အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ သဘာဝ လော့ဂရစ်သမ်ကို <math>\ln N</math> အဖြစ် ရေးသားလေ့ရှိသည်။ သဘာဝ လော့ဂရစ်သမ်နှင့် ဒသမ လော့ဂရစ်သမ်တို့အကြား အပြန်အလှန်ပြောင်းလဲမှုများကို အောက်ပါအတိုင်း လုပ်ဆောင်နိုင်သည်။ * <math>\ln N = \frac{\lg N}{\lg e}</math> (ဤနေရာတွင် <math>\frac{1}{\lg e} \approx 2.30258\dots</math> ဖြစ်သည်) * <math>\lg N = \frac{\ln N}{\ln 10}</math> (ဤနေရာတွင် <math>\frac{1}{\ln 10} \approx 0.43429\dots</math> ဖြစ်သည်) == လော့ဂရစ်သမ် ဖန်ရှင် (The Logarithmic Function) == လော့ဂရစ်သမ် [[ဖန်ရှင်]]သည် ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်၏ ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>y = \ln x \iff x = e^y</math> ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။ မည်သည့် အခြေကိုမဆို သဘာဝ လော့ဂရစ်သမ်မှတစ်ဆင့် <math>\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}</math> ဟူ၍ ဖော်ပြနိုင်သည်။ * အရင်းအမြစ်[[အစု]]နှင့် ပုံရိပ်အစု (Domain and Range)- လော့ဂရစ်သမ် ဖန်ရှင်ကို <math>x > 0</math> အတွက်သာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ ၎င်းသည် တိကျစွာ အစဉ်လိုက် တိုးသော (Strictly increasing) ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ စုဆုံမှတ် (Limit) များမှာ <math>\lim_{x \downarrow 0} \ln x = -\infty</math> နှင့် <math>\lim_{x \to \infty} \ln x = +\infty</math> တို့ဖြစ်သည်။ * ဂရပ် (Graph)- လော့ဂရစ်သမ် ဖန်ရှင်၏ ဂရပ်ကို လော့ဂရစ်သမ်ဆိုင်ရာ မျဉ်းကွေး (Logarithmic curve) ဟု သိကြသည်။ * ကဲကုလပ် (Calculus) ဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ- ၎င်းသည် အခြေခံ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဖန်ရှင် (Elementary analytic function) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>x > 0</math> အတွက် အဆင့်အားလုံးရှိသော [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်များ]]ကို ရှာဖွေနိုင်သည်။ * ဆင်းသက်ချက်များ (Derivatives)- ** <math>(\ln x)' = \frac{1}{x}</math> ** <math>(\log_a x)' = \frac{\log_a e}{x} = \frac{1}{x \ln a}</math> * လော့ဂရစ်သမ်ဆိုင်ရာ ဆင်းသက်ချက် (Logarithmic Derivative)- အပေါင်းကိန်းဖြစ်သော ဖန်ရှင် <math>f:[a,b]\to\mathbb{R}</math> တစ်ခုအတွက် ၎င်း၏ လော့ဂရစ်သမ်ဆိုင်ရာ ဆင်းသက်ချက်ကို <math>(\ln f)' = \frac{f'}{f}</math> ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ * အင်တီဂရယ်များ (Integrals)- လော့ဂရစ်သမ် ဖန်ရှင်များသည် တိကျသော အင်တီဂရယ် တွက်ချက်မှုများတွင် ပါဝင်လေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C</math> နှင့် <math>a > 0</math> အတွက် <math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a}} = \ln(x + \sqrt{x^2+a}) + C</math> တို့ဖြစ်သည်။ * ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း ဖြန့်ထုတ်ချက် (Power Series Expansion)- <math>-1 < x \leq 1</math> အခြေအနေအတွက် ဖန်ရှင်ကို <math>\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots</math> အဖြစ် ဖြန့်ထုတ်နိုင်သည်။ == ကိန်းထွေး လော့ဂရစ်သမ်များ (Complex Logarithms) == ကိန်းထွေးပြင်ညီ (Complex plane) ပေါ်တွင် လော့ဂရစ်သမ် [[ဖန်ရှင်]]သည် အနန္တတန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် (Infinitely-valued function) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>z \neq 0</math> အခြေအနေအတွက် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားပြီး <math>\text{Ln } z</math> ဟု သင်္ကေတပြသည်။ *တန်ဖိုးတစ်ခုတည်းရှိသော ဖြာထွက်ဖန်ရှင် (Single-valued branch) ကို <math>\ln z = \ln|z| + i \arg z</math> အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဤနေရာတွင် ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် (Argument) ၏ အဓိကတန်ဖိုးသည် <math>-\pi < \arg z \leq \pi</math> ဘောင်အတွင်း ရှိသည်။ *၎င်းကို <math>\text{Ln } z = \ln z + 2k\pi i</math> ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>k = 0, \pm1, \dots</math> ဖြစ်သည်။ * အနုတ် [[ကိန်းစစ်]] <math>z < 0</math> များအတွက် လော့ဂရစ်သမ် ဖန်ရှင်၏ တန်ဖိုးများတွင် ကိန်းယောင်ပိုင်းသည် <math>(2k+1)\pi</math> ဖြစ်ပြီး <math>z = -1</math> ဖြစ်သည့် အခြေအနေတွင်သာ တန်ဖိုးအားလုံးသည် [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်သီးသန့်များ]] (pure imaginary numbers) ဖြစ်ကြသည်။ *ကိန်းသုညသည် ဖြာထွက်အမှတ် (Branch point) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤဖန်ရှင်ကို ပုံဖော်ရာတွင် <math>z</math>-ပြင်ညီ၏ အနန္တများပြားသော မိတ္တူ (Copy) များ လိုအပ်ပြီး ၎င်းတို့ စုပေါင်း၍ လော့ဂရစ်သမ် ဖန်ရှင်၏ ရီးမန်း မျက်နှာပြင် (Riemann surface) ကို ဖွဲ့စည်းထားသည်။ == လော့ဂရစ်သမ်ဆိုင်ရာ အင်တီဂရယ် (Logarithmic Integral) == လော့ဂရစ်သမ်ဆိုင်ရာ အင်တီဂရယ်သည် အပေါင်း[[ကိန်းစစ်]] <math>x \neq 1</math> အတွက် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော အထူး[[ဖန်ရှင်]]တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>\text{li}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\ln t}</math> ဟု ဖော်ပြသည်။ * <math>x > 1</math> အတွက် <math>t=1</math> နေရာတွင် အနန္တ [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း]] (Infinite discontinuity) ရှိသည်။ ထို့ကြောင့် အင်တီဂရယ်ကို တစ်ဖက်တစ်ချက်စီမှ ၁ သို့ ချဉ်းကပ်လာသော အဓိက စုဆုံမှတ်တစ်ခုအနေဖြင့် တွက်ချက်ရသည်။ * သုညသို့ ချဉ်းကပ်သော အပေါင်းကိန်း <math>x</math> တန်ဖိုးငယ်များ <math>x \to 0^+</math> အတွက် <math>\text{li}(x) \sim \frac{x}{\ln x} = -\frac{x}{\ln(1/x)}</math> ဟု ချဉ်းကပ်မှုဆိုင်ရာ ခန့်မှန်းတွက်ချက်နိုင်သည်။ * ကြီးမားသော ကိန်းစစ် <math>x</math> တန်ဖိုးများ <math>x \to \infty</math> အတွက် <math>\text{li}(x)</math> သည် သုဒ္ဓကိန်းရေတွက် ဖန်ရှင် <math>\pi(x)</math> ကို အလွန်တိကျစွာ ခန့်မှန်းပေးနိုင်သည်။ ၎င်းသည် <math>x</math> ထက် မကြီးသော [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]]၏ အရေအတွက်ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ ဤအချက်သည် ဒီ လာ ဗယ်လီ-ပူဆင် သီအိုရမ် (de la Vallée-Poussin theorem) နှင့် ဆက်စပ်နေသည်။ * ၎င်းသည် အင်တီဂရယ် ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (integral exponential function) <math>\text{Ei}(x)</math> နှင့် အွိုင်လာ ကိန်းသေ (Euler constant) <math>c \approx 0.5772\dots</math> တို့နှင့် ဆက်စပ်နေသည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းများ (Historical and Notational Facts) == ကိန်းရှင်ပမာဏများအကြား မှီခိုနေမှုများကို လော့ဂရစ်သမ် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]]ဖြင့် ဖော်ပြခြင်းကို ဂျွန် နေပီယာ (John Napier) က ၁၆၁၄ ခုနှစ်တွင် စတင်လေ့လာခဲ့သည်။ ထို့နောက် လော့ဂရစ်သမ် ဇယားများပေါ်ပေါက်လာကာ တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ နယ်ပယ်အသီးသီးတွင် တွင်ကျယ်စွာ အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] ပါဝင်သော လော့ဂရစ်သမ် ဖန်ရှင်အတွက် ပထမဆုံးသော ပြည့်စုံလုံလောက်သည့် သီအိုရီကို လီယွန်ဟတ် အွိုင်လာ (Leonhard Euler) က ၁၇၄၉ ခုနှစ်တွင် ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ သူသည် စုဆုံမှတ်ဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် <math>\text{Ln } z = \lim_{n\to\infty} n(z^{1/n} - 1)</math> ကို အသုံးပြုခဲ့သည်။ လော့ဂရစ်သမ် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းများနှင့် ပတ်သက်၍ နယ်ပယ်အလိုက် ကွဲလွဲမှုများရှိသည်။ ကဲကုလပ်နှင့် ကဲကုလပ်အကြို (Calculus and pre-calculus) ရေးသားသူများအပြင် ဂဏန်းပေါင်းစက် ထုတ်လုပ်သူများသည် အခြေ ၁၀ (ဒသမ) အတွက် <math>\log N</math> ကို လည်းကောင်း၊ အခြေ <math>e</math> (သဘာဝ) အတွက် <math>\ln N</math> ကို လည်းကောင်း ယေဘုယျအားဖြင့် အသုံးပြုကြသည်။ သို့သော် ကဲကုလပ်လွန် သင်္ချာကို ရေးသားသော အနောက်တိုင်း စာရေးဆရာများသည် သဘာဝ လော့ဂရစ်သမ်ကို ညွှန်းဆိုရန် <math>\log N</math> ကိုသာ အမြဲတမ်းနီးပါး အသုံးပြုကြသည်။ ထို့ပြင် ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Complex analysis) တွင် အနောက်တိုင်း စာရေးဆရာ အများစုသည် <math>\ln</math> နှင့် <math>\text{Ln}</math> တို့အစား <math>\log</math> နှင့် <math>\text{Log}</math> ဟူသော သင်္ကေတများကိုသာ အသုံးပြုကြသည်။ == ကိုးကား == * {{Citation |last=Nikol'skii |first=S. M. |title=A course of mathematical analysis |volume=1 |publisher=MIR |date=1977 |others=Translated from Russian}} * {{Citation |last=Markushevich |first=A. I. |title=Theory of functions of a complex variable |volume=1 |publisher=Chelsea |date=1977 |others=Translated from Russian}} * {{Citation |last=Conway |first=J. B. |title=Functions of one complex variable |publisher=Springer |date=1973}} * {{Citation |last=Marsden |first=E. |title=Basic complex analysis |publisher=Freeman |date=1973}} * {{Citation |last=Titchmarsh |first=E. C. |title=The theory of functions |publisher=Oxford Univ. Press |date=1979}} * {{Citation |last1=Saks |first1=S. |last2=Zygmund |first2=A. |title=Analytic functions |publisher=PWN |date=1952 |others=Translated from Polish}} * {{Citation |last=Stromberg |first=K. R. |title=Introduction to classical real analysis |publisher=Wadsworth |date=1981}} * {{Citation |last=Hobson |first=Ernest William |title=John Napier and the invention of logarithms, 1614; a lecture |publisher=Cambridge University Press |date=1914}} * {{Citation |last=Remmert |first=Reinhold |title=Theory of complex functions |publication-place=New York |publisher=Springer-Verlag |date=1991 |isbn=0-387-97195-5 |oclc=21118309}} [[ကဏ္ဍ:အထူး ဖန်ရှင်များ]] 35u0jpmcga514kn932v0nq8bgose7al 0 21481 1060752 1046671 2026-10-30T13:53:28Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 0 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 1 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060752 wikitext text/x-wiki {| class="wikitable" | align=right |- | {{ဩဂုတ်လ}} |} [[ဩဂုတ်]]လ၊ (၆)ရက်နေ့ သည် [[ဂရီဂေါရီးယန်းပြက္ခဒိန်]]အရ တစ်နှစ်တာ၏ (၂၁၈)ရက်မြောက် ([[ရက်ထပ်နှစ်]] ဖြစ်လျှင် (၂၁၉)ရက်မြောက်) နေ့ရက် ဖြစ်သည်။ ယင်းတစ်နှစ်တာ ကုန်ဆုံးရန် ရက်ပေါင်း (၁၄၇) ရက် ကျန်သေးသည်။ == ဖြစ်စဉ်များ == *[[၁၉၄၅]] - [[ဒုတိယ ကမ္ဘာစစ်|ဒုတိယကမ္ဘာစစ်]]: အမေရိကန်ပြည်ထောင်စုမှ B-29 အမျိုးအစား "အီနိုလာဂေး" (Enola Gay) လေယာဉ်ဖြင့် "လစ်တဲလ်ဘွိုင်း" (Little Boy) အမည်ရှိ [[အဏုမြူ လက်နက်|အဏုမြူဗုံး]]ကို [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ဟီရိုရှီးမားမြို့]]ပေါ်သို့ ကြဲချခဲ့ရာ မြို့တော်တစ်ခုလုံး ပျက်စီးသွားခဲ့သည်။ ဗုံးပေါက်ကွဲမှုကြောင့် လူပေါင်း ၇၀,၀၀၀ ခန့် ချက်ချင်း သေဆုံးခဲ့ရပြီး၊ နောက်ဆက်တွဲအနေဖြင့် မီးလောင်ဒဏ်ရာများနှင့် ဓာတ်ရောင်ခြည်သင့်မှုများကြောင့် နောက်နှစ်များတွင် ထောင်နှင့်ချီသော လူများ ထပ်မံသေဆုံးခဲ့ရသည်။ *[[၂၀၂၅]] - အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီရုံး အမိန့်အမှတ် ၂၃/၂၀၂၅ ဖြင့် ဦး[[ကျော်ထင် (ဒုတိယဝန်ကြီး)|ကျော်ထင်]] အား အမျိုးသားစီမံကိန်းဝန်ကြီးဌာန၊ ဒုတိယဝန်ကြီး အဖြစ် ခန့်အပ်ခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web|url=https://www.moi.gov.mm/news/73305|title=ဒုတိယဝန်ကြီး ခန့်အပ်တာဝန်ပေးခြင်း|publisher=MOI|accessdate=6 August 2025}}</ref> *၂၀၂၆ - ထိုင်းနိုင်ငံဝန်ကြီးချုပ် မစ္စတာ [[အာနုထင်း ချာန်ဝီရာကွန်း|အနုထင် ချာဝီရကွန်]]၏ ဖိတ်ကြားချက်အရ ထိုင်းနိုင်ငံသို့ တရားဝင်ခရီးစဉ် (Official Visit) အဖြစ် ဦးမင်းအောင်လှိုင် ရောက်ရှိသည်။<ref>{{Cite web |last=Journal |first=Popular |date=2026-08-06 |title=နိုင်ငံတော်သမ္မတ ဦးမင်းအောင်လှိုင်အား ထိုင်းဝန်ကြီးချုပ်က အစိုးရအိမ်တော်၌ နိုင်ငံတော်အဆင့် အခမ်းအနားဖြင့် ဂုဏ်ပြုကြိုဆို |url=https://www.popularmyanmar.com/%E1%80%94%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%84%E1%80%B6%E1%80%90%E1%80%B1%E1%80%AC%E1%80%BA%E1%80%9E%E1%80%99%E1%80%B9%E1%80%99%E1%80%90-%E1%80%A6%E1%80%B8%E1%80%99%E1%80%84%E1%80%BA-57/ |access-date=2026-08-06 |website=Popular |language=en-US}} {{Dead link|date=October 2026 }}</ref> == မွေးဖွားသူများ == * * * == ကွယ်လွန်သူများ == *[[၂၀၂၅]] - [[မော်သန်း]]၊ [[ပြည်ထောင်စုစာရင်းစစ်ချုပ်]] (၂၀၁၆-၂၀၂၁) ([[၁၉၃၉]] မွေးဖွား) * * == ပွဲတော်ရက်များ == * ဟီရိုရှီးမား ငြိမ်းချမ်းရေး အောက်မေ့ဖွယ် အခမ်းအနား (ဟီရိုရှီးမားမြို့၊ ဂျပန်နိုင်ငံ) * * == ပြင်ပလင့်ခ်များ == {{လများ}} [[Category:ရက်စွဲများ]][[Category:ဩဂုတ်]] nyfavch0otb05v39hor9uo55rmar259 0 24099 1060811 869653 2026-10-31T00:39:57Z Tejinda 87174 /* ဣဒ္ဓိ (၁၀) မျိုး */ 1060811 wikitext text/x-wiki {{ဗုဒ္ဓဘာသာ}} <ref>ဣဒ္ဓိပါဒ (ပု) [ဣဒ္ဓိ+ပါဒ]ဣဒ္ဓိပါဒ်။</ref> (က)ပြီးစီးထမြောက်သောတရား အစု (ဆန္ဒ, ဝီရိယ, စိတ္တ, ဝီမံသာဟူသောတစ်ပါးပါးသောတရား)။ (ခ) သတ္တဝါတို့ ကြီးပွါး တိုးတက်ကြောင်း တရားတို့၏တည်ရာ မှီရာ အခြေခံအကြောင်း တရား။ (ဂ) ဣဒ္ဓိမည်သော-ပြီးစီးထ မြောက်သော-သတ္တဝါတို့ ကြီးပွါးတိုးတက် ကြောင်းဖြစ်သော-(ဥပစာရဈာန် အစရှိသော ကုသိုလ်စိတ်နှင့် ယှဉ်သော) ဆန္ဒ, သမာဓိ, ပဓာနသင်္ခါရတရားတို့၏တည်ရာမှီရာ အခြေခံဖြစ်သော (၎င်းတရား တစ်ပါးပါးမှ) ကြွင်းကျန်သော စိတ်စေတသိက်ဟူသော-တရား အစုအဝေး-နာမက္ခန္ဓာတရားလေးပါး။<ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်">တိပိဋကအဘိဓာန် အတွဲ-၄ (က)</ref> ===ဣဒ္ဓိ, ဣဒ္ဓိပါဒ်=== (ဤနည်း၌ '''ဆန္ဒ,''' သမာဓိ, ပဓာန သင်္ခါရ မည်သော သမ္မပ္ပဓာန် ဝီရိယဟူသော တရား သုံးပါးတို့သည် ဣဒ္ဓိလည်း မည်၏၊ ဣဒ္ဓိပါဒ်လည်း မည်၏၊ ၎င်းတို့မှ ကြွင်းသော နာမက္ခန္ဓာတရား လေးပါးတို့ကား ဣဒ္ဓိပါဒ်သာ မည်၏၊ ထို့အတူ '''ဝီရိယ,''' သမာဓိ, ပဓာန သင်္ခါရ (သမ္မပ္ပဓာန်ဝီရိယ) ဟူသော တရား သုံးပါးတို့သည်၎င်း၊ '''စိတ္တ,''' သမာဓိ, ပဓာန သင်္ခါရ ဟူသော တရားသုံးပါးတို့သည်၎င်း၊ '''ဝီမံသာ''', သမာဓိ, ပဓာန သင်္ခါရဟူသော တရားသုံးပါးတို့သည်၎င်း ဣဒ္ဓိလည်း မည်၏၊ ဣဒ္ဓိပါဒ်လည်း မည်၏၊ ၎င်းသုံးပါးတို့မှ ကြွင်းသော နာမက္ခန္ဓာတရား လေးပါးတို့ကား ဣဒ္ဓိပါဒ်သာမည်၏။ ဣဒ္ဓိနှင့် ဣဒ္ဓိ-ပါဒအရ နောက်ထပ်အရကောက်ယူပုံ အမျိုးမျိုးကို အဘိ၊ဋ္ဌ၊၂၊၂၉၃-စသည်၌ကြည့်။) <ref>စတ္တာရော ဣဒ္ဓိပါဒါ၊ ဆန္ဒိဒ္ဓိပါဒေါ, ဝီရိယိဒ္ဓိပါဒေါ, စိတ္တိဒ္ဓိပါဒေါ, ဝီမံသိဒ္ဓိပါဒေါ။ အဘိ၊ဝိ၊၂၃၂။ ဣဒ္ဓိပါဒါနံ ဣဇ္ဈနဋ္ဌော အဘိညေယျော။ ပဋိသံ၊၁၇။ ဣဒ္ဓိပါဒါနန္တိ ဧတ္ထ ဆန္ဒ ဝီရိယ စိတ္တဝီမံသာသု ဧကေကော ဣဇ္ဈတီတိ ဣဒ္ဓိ၊ သမိဇ္ဈတိ နိပ္ဖဇ္ဇတီတိ အတ္ထော။ ဣဇ္ဈန္တိ ဝါ ဧတာယ သတ္တာ ဣဒ္ဓါ ဝုဒ္ဓါ ဥက္ကံသဂတာ ဟောန္တိတိ ဣဒ္ဓိ၊ ပဌမတ္ထေန ဣဒ္ဓိ ဧဝ ပါဒေါ ဣဒ္ဓိပါဒေါ၊ ဣဒ္ဓိကောဋ္ဌာသောတိ အတ္ထော။ ဒုတိယတ္ထေန ဣဒ္ဓိယာ ပါဒေါ ဣဒ္ဓိပါဒေါ၊ ပါဒေါတိ ပတိဋ္ဌာ၊ အဓိဂမူပါယောတိ အတ္ထော။ ပဋိသံ၊ဋ္ဌ၊၁၊၉၁။ စတ္တာရော ဣဒ္ဓိပါဒါ၊ ဣဓ ဘိက္ခု ဆန္ဒ-သမာဓိ ပဓာန သင်္ခါရ သမန္နာဂတံ ဣဒ္ဓိပါဒံ ဘာဝေတိ။ ဒီ၊၂၊၁၇၂။ ဒီ၊၃၊၁၈၅။ မ၊၁၊၁၄၈။ အံ၊၁၊၄၁။ အဘိ၊ဝိ၊၂၂၅။ ဣဒ္ဓိပါဒါတိ ဧတ္ထ ဣဇ္ဈတီတိ ဣဒ္ဓိ၊ သမိဇ္ဈတိ နိပ္ဖဇ္ဇတီတိ အတ္ထော။ ... ဣဒ္ဓိပါဒန္တိ နိပ္ဖတ္တိ ပရိယာယေန ဝါ ဣဇ္ဈနကဋ္ဌေန, ဣဇ္ဈန္တိ ဧတာယ သတ္တာ ဣဒ္ဓါ ဝုဒ္ဓါ ဥက္ကံသဂတာ ဟောန္တီတိ ဣမိနာ ဝါ ပရိယာယေန ဣဒ္ဓီတိသင်္ခံ ဂတာနံ ဥပစာရဇ္ဈာနာဒိကုသလစိတ္တသမ္ပယုတ္တာနံ ဆန္ဒသမာဓိ ပဓာနသင်္ခါရာနံ အဓိဋ္ဌာနဋ္ဌေန သေသစိတ္တစေတသိကရာသိန္တိ ပါဒဘူတံ အတ္ထော။ အဘိ၊ဋ္ဌ၊၂၊၂၉၀။ ပဋိသံ၊ဋ္ဌ၊၁၊၃၀၄-၅။ အံ၊ဋီ၊၁၊၂၄၅။ (ဝိ၊၁၊၁၂၄။ ဝိ၊၂၊၃၉။ ဒီ၊ဋ္ဌ၊၂၊၂၃၄။ ဒီ၊ဋ္ဌ၊၃၊၁၈၉။ အံ၊ဋ္ဌ၊၁၊၃၈၇။ ဝိသုဒ္ဓိ၊၂၊၁၃။)</ref> <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ===ဣဒ္ဓိပါဒ်(၄) ပါး=== # '''ဆန္ဒိဒ္ဓိပါဒ်''' = ဆန္ဒကြောင့် ပြီးပြည့်စုံမှု၊ လိုချင်မှု ရချင်မှု ပေါက်ချင်မှု ရောက်ချင်မှုတို့၌ အလွန်အကြူး အထူးထက်သန်သော ဆန္ဒကြောင့် ပြီးစီးပြည့်စုံ လာခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ မရလျှင် မနေနိုင်၊ မရလျှင် သေရသည်ကပင် ကောင်းသေး၏ဟု မရဘဲ နေရသည်ထက် သေခြင်းကို အမြတ်ထားနိုင်သော ဆန္ဒမျိုးဖြစ်သည်။ # '''ဝီရိယိဒ္ဓိပါဒ်''' = ဝီရိယကြောင့် ပြီးပြည့်စုံမှု၊ အရေသာ ကြွင်းပါစေ၊ အကြောသာ ကြွင်းပါစေ၊ အရိုးသာ ကြွင်းပါစေ၊ အသားအသွေးအကုန် ခန်းခြောက်ပါစေဟူသော အင်္ဂါလေးပါးရှိသည့် ဝီရိယကြောင့် ပြီးစီးခြင်း ပြည့်စုံခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ ထိုကဲ့သို့သော ဝီရိယနှင့် ပြည့်စုံသောသူသည် ဝီရိယကို စိုက်ထုတ်နိုင်လျှင် ဧကန်ရမည်ရောက်မည်ပေါက်မည်ဟု အထင်ရှိနေသောကြောင့် နေ့နေ့ညည အဘယ်မျှပင် အပန်းခံရသော်လည်း စိတ်မတွန့်၊ ရက်ပေါင်း လပေါင်း နှစ်ပေါင်း မည်မျှကြာအောင် အားထုတ်ရစေကာမူ စိတ်မတွန့်လေပြီ။ # '''စိတ္တိဒ္ဓိပါဒ်''' = စိတ်ကြောင့် ပြီးပြည့်စုံမှု၊ သာသနာတော်ကို တွေ့ကြုံ၍ သာသနဓမ္မကို ကြားနာရသည့်အခါမှစ၍ အလွန်အကြူး ထက်သန်ခိုင်မာသော စိတ်စွမ်းအားကြောင့် ပြီးစီးခြင်း ပြည့်စုံခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ လောက၌ အတင့်အတယ် အဖွယ်အရာ ချမ်းသာစီးပွားမှု၊ ဘုန်းတန်ခိုး လာဘ်လာဘ ကျမ်းဂန်ပရိယတ်မှုများ၌ နေရသော်လည်း ထိုအမှုတို့၌ စိတ်မပါ စိတ်မရှိ၊ မိမိလိုလားမှု၌ ထိုထိုဤဤ ကြံစည်နေရမှသာ စိတ်ချမ်းသာခွင့်ကို ရရှိတော့သည်။ # '''ဝီမံသိဒ္ဓိပါဒ်''' = ပညာကြောင့် ပြီးပြည့်စုံမှု၊ အပါယိကဒုက္ခ ဝဋ်ဒုက္ခကြီးကျယ်ပုံကို ကောင်းစွာမြင်နိုင်သော ပညာ၊ ဣဒ္ဓိတို့၏ အကျိုးအာနိသင်ကို ကောင်းစွာ မြင်နိုင်သော ပညာ၊ ခက်ခဲနက်နဲသော တရားဓမ္မသဘာဝတို့၌ ပြန့်ပြူးစွာ ကျက်စားနိုင်သော ပညာကြောင့် ပြီးစီးခြင်း ပြည့်စုံခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ ထိုပညာနှင့် ပြည့်စုံသောသူသည် လောကီတရား ချမ်းသာစီးပွားမှုတို့၌ စိတ်အရသာကို ရှာကြံ၍ မရဘဲ နက်နဲသော ဖော်ပြပါ ပညာတို့၌သာ စိတ်အရသာကို တွေ့နိုင်တော့သည်။ နက်နဲသောတရား ဆိုလေလေ ပေါက်ရောက်အောင် လုပ်ကြံချင်လေ ဖြစ်တော့သည်။<ref>ဗုဒ္ဓဘာသာကောင်းတစ်ယောက် − သာသနာရေးဝန်ကြီးဌာန</ref> ဝိသုဒ္ဓိမဂ်အဋ္ဌကထာ၊ ဣဒ္ဓိဝိဓနိဒ္ဒေသတွင် ဖော်ပြထားသော ဣဒ္ဓိ (၁၀) မျိုးမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ပါသည်-<ref name="မဟာဗုဒ္ဓဝင် ">မဟာဗုဒ္ဓဝင် ပထမတွဲ (ပဌမပိုင်း) မင်းကွန်းဆရာတော်</ref> '''ဣဒ္ဓိ ဆိုသည်မှာ''' ပြီးစီးပြည့်စုံစေခြင်း၊ အလိုရှိအပ်သောအရာကို ပြီးစီးပြည့်စုံစေနိုင်သော စွမ်းရည်ကို ပါဠိလို "ဣဒ္ဓိ"၊ မြန်မာလို "တန်ခိုး" ဟု ခေါ်ဆိုပါသည်။ ===ဣဒ္ဓိ (၁၀) မျိုး=== ၁။ '''အဓိဋ္ဌာနဣဒ္ဓိ:''' တန်ခိုးရှင်က မိမိတစ်ကိုယ်တည်းကိုပင် အရာပေါင်းများစွာ (ရာ၊ ထောင် စသည်) ဖြစ်စေရန် ဉာဏ်ဖြင့် အဓိဋ္ဌာန်လိုက်ခြင်း၊ စိတ်ဖြင့် စွဲမြဲစွာ ဆောက်တည်လိုက်ခြင်းအားဖြင့် မိမိနှင့်တူသော သို့မဟုတ် မတူသော နိမ္မိတရုပ်ပွားများစွာကို မိမိမူလကိုယ် ပျောက်မသွားစေဘဲ ပြင်ပတွင် ဖန်ဆင်းနိုင်သော တန်ခိုးဖြစ်သည်။ ဥပမာ - အရှင်စူဠပန္ထက မထေရ်သည် မိမိတစ်ကိုယ်တည်းကို ရဟန်းတစ်ထောင်အဖြစ် ဖန်ဆင်းခြင်း။ ၂။ '''ဝိကုဗ္ဗနဣဒ္ဓိ:''' မိမိ၏ မူလရုပ်သဏ္ဌာန်ကို နဂါး၊ ဂဠုန် စသည့် မိမိအလိုရှိရာ အခြားအသွင်သဏ္ဌာန်တစ်ခုခုသို့ ပြောင်းလဲဖန်ဆင်းနိုင်သော တန်ခိုးဖြစ်သည်။ (ဝိ = အထူးထူးအထွေထွေ၊ ကုဗ္ဗန = ပြုလုပ်ဖန်ဆင်းခြင်း)။ ၃။ '''[[မနောမယိဒ္ဓိ]]:''' မိမိ၏ မူလကိုယ်ကို မပြောင်းလဲဘဲ၊ ပြင်ပ၌လည်း ဖန်ဆင်းခြင်းမဟုတ်ဘဲ၊ မိမိ၏ ကိုယ်အတွင်းမှ မိမိနှင့် သဏ္ဌာန်တူသော ကိုယ်ငယ်တစ်ခုကို စိတ်ဖြင့် ဖန်ဆင်းထုတ်နုတ်ပြနိုင်သော တန်ခိုးဖြစ်သည်။ (မနောမယ = စိတ်ဖြင့် ပြီးသော၊ စိတ်အလိုရှိတိုင်း ပြီးစီးသော)။ ၄။ '''ဉာဏဝိပ္ဖါရဣဒ္ဓိ:''' အရဟတ္တမဂ်ဉာဏ် အစရှိသော ဉာဏ်တော်၏ အာနုဘော် ပြန့်နှံ့မှုကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာသော အံ့ဖွယ်ပြီးစီးမှု (တန်ခိုး) ဖြစ်သည်။ ဤဘဝတွင် မချွတ်ဧကန် ရရှိမည့် မဂ်ဉာဏ် ဖိုလ်ဉာဏ်၏ အစွမ်းကြောင့် အန္တရာယ်မှ လွတ်ကင်းခြင်းမျိုးဖြစ်သည်။ * '''ဥပမာ (၁):''' အရှင်[[ဗာကုလ]] - ကောသမ္ဗီသူဌေးသား၊ ဖွားစတွင် ယမုနာမြစ်၌ ရေချိုးစဉ် ငါးမျိုခံရသော်လည်း မသေဘဲ ဗာရာဏသီ၌ ငါးကိုခွဲသောအခါ အသက်ရှင်လျက် ပြန်တွေ့ရခြင်း။ ဤသို့ အန္တရာယ်ကင်းခြင်းသည် ထိုဘဝ၌ ရရှိမည့် အရဟတ္တမဂ်ဉာဏ်၏ အာနုဘော်ကြောင့် ဖြစ်သည်။ * '''ဥပမာ (၂):''' [[သံကိစ္စသာမဏေ]] - မွေးဖွားခါနီးတွင် မိခင်သေဆုံး၍ မီးသင်္ဂြိုဟ်စဉ် ဝမ်းဗိုက်ကို တံစူးဖြင့် ထိုးမိသော်လည်း မသေဘဲ အသက်ရှင်ကာ နောက်ပိုင်း ရဟန္တာဖြစ်သွားခြင်း။ ဤသို့ မီးလောင်မသေခြင်းသည်လည်း ထိုဘဝ၌ ရရှိမည့် အရဟတ္တမဂ်ဉာဏ်၏ အာနုဘော်ကြောင့် ဖြစ်သည်။ ၅။'''သမာဓိဝိပ္ဖါရဣဒ္ဓိ:''' ဈာန်သမာပတ်ကို ဝင်စားဆဲ၊ ဝင်စားပြီးစ အချိန်များတွင် သမာဓိ၏ အာနုဘော် ပြန့်နှံ့မှုကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာသော အံ့ဖွယ်ပြီးစီးမှု (တန်ခိုး) ဖြစ်သည်။ * '''ဥပမာ:''' အရှင်[[သာရိပုတ္တရာထေရ်|သာရိပုတ္တရာ]] - အရှင်[[မဟာမောဂ္ဂလာန်ထေရ်|မဟာမောဂ္ဂလာန်]]နှင့်အတူ ကပေါတချောက်၌ သီတင်းသုံးစဉ်၊ ဆံရိတ်ပြီးစ လသာညတွင် သမာပတ်ဝင်စားနေခိုက် ဘီလူးတစ်ကောင်က ဦးခေါင်းကို အားကုန်ရိုက်သော်လည်း သမာဓိအစွမ်းကြောင့် နာကျင်ထိခိုက်မှု မရှိခြင်း။ ၆။ '''အရိယဣဒ္ဓိ:''' အရိယာပုဂ္ဂိုလ်တို့၏ တန်ခိုးဖြစ်သည်။ စက်ဆုပ်ဖွယ်အာရုံကို စက်ဆုပ်ဖွယ်မဟုတ်ဟု လည်းကောင်း၊ စက်ဆုပ်ဖွယ်မဟုတ်သော အာရုံကို စက်ဆုပ်ဖွယ်ဟု လည်းကောင်း မိမိတို့ နှလုံးသွင်းလိုသည့်အတိုင်း ရှုမြင်နိုင်စွမ်းသော တန်ခိုးဖြစ်သည်။ ၇။ '''ကမ္မဝိပါကဇဣဒ္ဓိ:''' ရှေးကံ၏ အကျိုးပေးကြောင့် ယခုဘဝတွင် အထူးအားထုတ်မှုမရှိဘဲ ရရှိသော တန်ခိုးဖြစ်သည်။ * '''ဥပမာ:''' ငှက်များ ကောင်းကင်၌ ပျံသန်းနိုင်ခြင်း၊ နတ်၊ ဗြဟ္မာ၊ ကမ္ဘာဦးလူ၊ အချို့သော ဝိနိပါတိကအသူရာများ ကောင်းကင်၌ သွားလာနိုင်ခြင်း။ ၈။ '''ပုညဝန္တဣဒ္ဓိ:''' ကောင်းမှုကုသိုလ် (ပုည) ရှိသူတို့၏ တန်ခိုးဖြစ်သည်။ ရှေးကုသိုလ်ကံအပြင် ယခုဘဝတွင် ပြုလုပ်သော အားထုတ်မှု၊ ကျင့်ကြံမှုတို့ကြောင့် ရရှိလာသော တန်ခိုးဖြစ်သည်။ * '''ဥပမာ:''' [[စကြဝတေးမင်း|စကြာမင်း]]ကြီး ကောင်းကင်၌ သွားနိုင်ခြင်း (စကြာကျင့်ဝတ် ကျင့်ကြံရခြင်း)၊ သူ၏စစ်သည်ဗိုလ်ပါများ စကြာမင်းကို မှီ၍ လိုက်ပါနိုင်ခြင်း၊ ဇောတိက၊ ဇဋိလ၊ ဃောသက၊ မေဏ္ဍက သူဌေးကြီးများ၏ အံ့ဖွယ်စည်းစိမ်ချမ်းသာများ။ * '''ကမ္မဝိပါကဇ နှင့် ပုညဝန္တ ထူးခြားချက်:''' ကမ္မဝိပါကဇသည် ရှေးကံသက်သက်ကြောင့် မွေးရာပါရရှိခြင်းဖြစ်ပြီး၊ ပုညဝန္တမှာ ရှေးကံအပြင် ယခုဘဝ အားထုတ်မှု၊ အကြောင်းတရားများ ပေါင်းစပ်၍ ဖြစ်ပေါ်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ၉။ '''ဝိဇ္ဇာမယဣဒ္ဓိ:''' မန္တန်၊ ဆေးဝါး အစရှိသော ဝိဇ္ဇာအတတ်ပညာကို အသုံးပြု၍ ရရှိသော တန်ခိုးဖြစ်သည်။ * '''ဥပမာ:''' ဝိဇ္ဇာဓိုရ်များ ကောင်းကင်ပျံနိုင်ခြင်း။ ၁၀။ '''သမ္မာပယောဂဣဒ္ဓိ:''' သက်ဆိုင်ရာ နည်းလမ်းအတိုင်း ကောင်းစွာ အားထုတ်မှု (သမ္မာပယောဂ) ကြောင့် ရရှိလာသော ပြီးစီးပြည့်စုံမှု အမျိုးမျိုးဖြစ်သည်။ * '''ဥပမာ:''' မဂ်ဖိုလ်နိဗ္ဗာန်ကို ကျင့်ကြံအားထုတ်မှုကြောင့် ရရှိခြင်း (အမြတ်ဆုံး)၊ နှုတ်မှုပညာ၊ လက်မှုပညာ၊ ဗေဒင်၊ ပိဋကတ် သင်ကြားတတ်မြောက်ခြင်း၊ လယ်ယာစိုက်ပျိုးခြင်း စသည်ဖြင့် ကောင်းစွာ အားထုတ်မှုကြောင့် အောင်မြင်ပြည့်စုံမှု ဟူသမျှ ဤဣဒ္ဓိတွင် အကျုံးဝင်သည်။ ဤဣဒ္ဓိ (၁၀) မျိုးတွင် အဓိဋ္ဌာနဣဒ္ဓိ၊ ဝိကုဗ္ဗနဣဒ္ဓိ၊ မနောမယဣဒ္ဓိ စသည်တို့ကို ရရှိရန် အခြေခံ ဈာန်သမာဓိ အားကောင်းရန် လိုအပ်ကြောင်း မှတ်သားအပ်ပါသည်။<ref name="မဟာဗုဒ္ဓဝင် "/> <h4>ဆက်စပ်ဖတ်ရှုရန်</h4> * [https://my.wikisource.org/wiki/မဟာဗုဒ္ဓဝင်/၆-_ပါရမီတော်ခဏ်း_(ဇ)_အဓိဋ္ဌာနပါရမီ#ဣဒ္ဓိ_အဓိဋ္ဌာန် ဣဒ္ဓိ အဓိဋ္ဌာန်] <h4> ကိုးကား </h4> {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဗုဒ္ဓဘာသာ ဝေါဟာရများ]] [[ကဏ္ဍ:ပါဠိဝေါဟာရများ]] [[Category: ဗုဒ္ဓဘာသာ]] art5rdev2aj8lyu6h4be06jxrby8xga 0 72707 1060803 1048538 2026-10-30T23:25:07Z Mkant00 135890 1060803 wikitext text/x-wiki {{Infobox award | name = ဖီး ဆုတံဆိပ် (Fields Medal) | image = FieldsMedalFront.jpg | caption = ဖီး ဆုတံဆိပ်ဒင်္ဂါး၏ ခေါင်းပိုင်း | description = သင်္ချာသုတေသနတွင် ရရှိပြီးသော ထူးချွန်အောင်မြင်မှုများနှင့် အနာဂတ် အောင်မြင်မှု အလားအလာကောင်းများ အတွက် {{efn|အင်္ဂလိပ်ဘာသာ မူရင်းမှာ "to recognize outstanding mathematical achievement for existing work and for the promise of future achievement" ဖြစ်သည်။{{sfn|IMU}}}} | presenter = နိုင်ငံတကာ သင်္ချာသမဂ္ဂ ([[:en:International Mathematical Union|International Mathematical Union]] (IMU)) | country = အမျိုးမျိုး | reward = ကနေဒါနိုင်ငံသုံးဒေါ်လာ ၁၅,၀၀၀ | year = {{Start date|1936}} | year2 = ၂၀၁၄ | website = {{URL|www.mathunion.org/general/prizes/fields/details}} }} '''ဖီး ဆုတံဆိပ်''' (Fields Medal) သည် သင်္ချာသုတေသနဆိုင်ရာ ဆုတံဆိပ်ဖြစ်ပြီး သင်္ချာလောကတွင် အမြင့်ဆုံး ဆုတံဆိပ်တစ်ခုအဖြစ် ယူဆကြသည်။ နိုင်ငံတကာ သင်္ချာသမဂ္ဂ ([[:en:International Mathematical Union|International Mathematical Union]]) က ကြီးမှူး၍ အများအားဖြင့် လေးနှစ်တစ်ကြိမ်ကျင်းပသည့် သင်္ချာပညာရှင်များ၏ နိုင်ငံတကာညီလာခံ ([[:en:International Congress of Mathematicians|International Congress of Mathematicians]]) တွင် ဤဆုတံဆိပ်ကို ဆုချီးမြှင့်သည့်နှစ် ဇန်နဝါရီလ ၁ ရက်မတိုင်မီ အသက် ၄၀ မပြည့်သေးသော ထူးချွန်ပညာရှင် နှစ်ဦးမှ လေးဦးအထိအား ချီးမြှင့်လေ့ရှိသည်။{{sfn|IMU}} နိုဘဲလ်ဆုကို သင်္ချာဆိုင်ရာ သုတေသနအတွက် သီးသန့် ချီးမြှင့်ခြင်းမရှိရာ၊ အာဘဲလ်ဆု ([[:en:Abel Prize|Abel Prize]]) နှင့် ဤ ဖီး ဆုတံဆိပ် နှစ်ခုကို သင်္ချာဆိုင်ရာ နိုဘဲလ်ဆုများဟု ခိုင်းနှိုင်းပြောဆိုလေ့ရှိသည်။ အာဘဲလ်ဆုနှင့် မတူသည့် အချက်မှာ ဖီး ဆုတံဆိပ်ကို ဆုချီးမြှင့်သည့်နှစ် ဇန်နဝါရီလ ၁ ရက်မတိုင်မီ အသက် ၄၀ မပြည့်သေးသည့် သင်္ချာပညာရှင်များကိုသာ ချီးမြှင့်နိုင်သည်ဟု သတ်မှတ်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ရည်ရွယ်ချက်မှာ ရရှိပြီးသည့် ထူးချွန်အောင်မြင်မှုများကိုသာ ဂုဏ်ပြုရန်မဟုတ်ဘဲ ထူးချွန်သည့် တက်သစ်စ လူငယ်ပညာရှင်များကို အနာဂတ် သုတေသနလုပ်ငန်းများ ဆက်လက်လုပ်ဆောင်နိုင်ရန် အတွက် ပံ့ပိုးလို၍ ဖြစ်သည်။{{sfn|Barran|Weisstein}} ဆုတံဆိပ်ဒင်္ဂါးနှင့်အတူ ဆုငွေပါ ချီးမြှင့်လေ့ရှိပြီး ၂၀၀၆ ခုနှစ်မှစ၍ ၎င်းဆုငွေပမာဏမှာ ကနေဒါနိုင်ငံသုံးဒေါ်လာ ၁၅,၀၀၀ ဖြစ်သည်။ ဤ ဆုတံဆိပ် ဖြစ်မြောက်လာရန် အခရာကျကျ ကျိုးပမ်းခဲ့သူ၊ ဤ ဆုတံဆိပ်ဒင်္ဂါး ဒီဇိုင်းကို ကိုယ်တိုင်ရေးဆွဲခဲ့သူ၊ ဆုငွေချီးမြှင့်နိုင်ရန်အတွက် ရန်ပုံငွေ မတည်ပေးခဲ့သူ ကနေဒါသား သင်္ချာပညာရှင် ဂျွန် ချားလ် ဖီး ([[:en:John Charles Fields|John Charles Fields]]) ကို ဂုဏ်ပြုသောအားဖြင့် ဖီး ဆုတံဆိပ်ဟု အမည်မှည့်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။{{sfn|Fields}} ဤဆုတံဆိပ်ကို ၁၉၃၆ ခုနှစ်တွင် ဖင်လန်သား သင်္ချာပညာရှင် လားစ် အာဖော် (Lars Ahlfors) နှင့် အမေရိကန်သား သင်္ချာပညာရှင် ဂျက်ဆီ ဒေါက်ကလပ် (Jesse Douglas) တို့အား စတင်ချီးမြှင့်ခဲ့ပြီး၊ ၁၉၃၆ ခုနှစ်နှင့် ၁၉၅၀ ပြည့်နှစ်များအကြားတွင် ဒုတိယကမ္ဘာစစ်ကြောင့် ဆုချီးမြှင့်နိုင်ခဲ့ခြင်း မရှိပေ။ စစ်လွန်ခေတ်တွင် ၁၉၅၀ ခုနှစ်မှစ၍ နောက်ဆုံး ၂၀၁၄ ခုနှစ်အထိ လေးနှစ်တစ်ကြိမ် မပျက်မကွက် ပြန်လည်ချီးမြှင့်ခဲ့သည်။{{sfn|Fields}} == ဖီးဆုရှင်များ စာရင်း == အချို့သောနှစ်များတွင် ဖီးဆုရှင်များ (Fields Medalists) သည် ၎င်းတို့၏ သီးခြားသင်္ချာစွမ်းဆောင်ရည်များအတွက် တရားဝင်ချီးကျူးဂုဏ်ပြုခံရလေ့ရှိပြီး အခြားနှစ်များတွင်မူ ထိုသို့သော တိကျသည့်ဖော်ပြချက်များကို မပေးအပ်ခဲ့ပေ။ သို့သော်လည်း ဆုချီးမြှင့်သည့်နှစ်တိုင်းတွင် ထင်ရှားသောသင်္ချာပညာရှင်များသည် အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ သင်္ချာပညာရှင်များ ညီလာခံ (International Congress of Mathematicians) ၌ ဆုရှင်တစ်ဦးချင်းစီ၏ လုပ်ဆောင်ချက်များကို ဟောပြောပို့ချခဲ့ကြသည်။ ဤညီလာခံကို အင်္ဂလိပ်အက္ခရာအားဖြင့် အိုင်စီအမ် (ICM) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အောက်ပါဇယားတွင် တရားဝင်ချီးကျူးဂုဏ်ပြုချက်များကို ဖြစ်နိုင်သမျှ ကိုးကားဖော်ပြထားသည်။ ယင်းတို့မှာ ၁၉၅၈ ခုနှစ်၊ ၁၉၉၈ ခုနှစ်နှင့် ၂၀၀၆ ခုနှစ်မှစ၍ နှစ်စဉ်အတွက် ဖြစ်ကြသည်။ ၁၉၈၆ ခုနှစ်အထိ အခြားသောနှစ်များအတွက် ဒေါ်နယ် အယ်လ်ဘာစ် (Donald Albers)၊ ဂျရယ် အယ်လ် အလက်ဇန္ဒာဆန် (Gerald L. Alexanderson) နှင့် ကွန်စတန့်စ် ရိဒ် (Constance Reid) တို့ ရေးသားထားသော အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ သင်္ချာပညာရှင်များ ညီလာခံ ဟောပြောပို့ချချက် အကျဉ်းချုပ်များကို ကိုးကားဖော်ပြထားသည်။<ref>Albers, Donald J.; Alexanderson, G. L.; Reid, Constance. ''International mathematical congresses. An illustrated history 1893–1986''. Rev. ed. including ICM 1986. Springer-Verlag, New York, 1986</ref> ကျန်ရှိသော ၁၉၉၀ ပြည့်နှစ်၊ ၁၉၉၄ ခုနှစ်နှင့် ၂၀၀၂ ခုနှစ်များအတွက် အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ သင်္ချာပညာရှင်များ ညီလာခံ ဟောပြောပို့ချချက်စာသား၏ အစိတ်အပိုင်းကို တိုက်ရိုက်ကိုးကားထားသည်။ အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ သင်္ချာသမဂ္ဂ (International Mathematical Union) ၏ ၂၀၂၆ ခုနှစ် အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ ညီလာခံ၌ နောက်ဆုံးအကြိမ် ဖီးဆုချီးမြှင့်ခြင်းကို ဖီလာဒဲလ်ဖီးယား (Philadelphia) မြို့တွင် ကျင်းပခဲ့သည်။<ref>{{cite web |title=ICM 2026 |url=https://www.mathunion.org/icm/icm-2026 |website=International Mathematical Union |access-date=2 June 2024 |archive-date=10 February 2023 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230210075417/https://www.mathunion.org/icm/icm-2026 |url-status=live }}</ref> {| class="wikitable sortable" style="margin: 1ex auto 1ex auto" |- ! ခုနှစ် ! အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ သင်္ချာပညာရှင်များ ညီလာခံ တည်နေရာ ! colspan=2|ဆုရှင်များ<ref name=IMU>{{cite web|url=http://www.mathunion.org/general/prizes/fields/prizewinners|title=The Fields Medalists, chronologically listed|publisher=International Mathematical Union (IMU)|date=8 May 2008|access-date=25 March 2009|archive-date=26 December 2018|archive-url=https://web.archive.org/web/20181226015744/https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal|url-status=live}}</ref> ! တာဝန်ထမ်းဆောင်ရာအဖွဲ့အစည်း<br />(ဆုရရှိချိန်) ! တာဝန်ထမ်းဆောင်ရာအဖွဲ့အစည်း<br />(လက်ရှိ သို့မဟုတ် နောက်ဆုံး) ! အကြောင်းရင်းများ |- | rowspan=2| ၁၉၃၆ | rowspan=2| အော့စလို (Oslo) မြို့၊ နော်ဝေးနိုင်ငံ | [[File:Lars Ahlfors - MFO.jpg|60px]] | လားစ် အာလ်ဖို့စ် (Lars Ahlfors) | ဟယ်လ်ဆင်ကီ (Helsinki) တက္ကသိုလ်၊ ဖင်လန်နိုင်ငံ | ဟားဗတ် (Harvard) တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web |url=https://www.ams.org/notices/199802/comm-krantz.pdf |title=Lars Valerian Ahlfors (1907–1996) |website=Ams.org |access-date=31 March 2017 |archive-date=3 March 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220303211929/https://www.ams.org/notices/199802/comm-krantz.pdf |url-status=live }}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.math.harvard.edu/history/ahlfors/|title=Lars Ahlfors (1907–1996)|date=7 November 2004|publisher=Harvard University, Dept. of Math.|access-date=19 August 2014|archive-date=23 November 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20141123144942/http://www.math.harvard.edu/history/ahlfors/|url-status=live}}</ref> | ပြင်ညီပြည့်[[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (entire functions) နှင့် မီရိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များ (meromorphic functions) ၏ ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင်များ (inverse functions) ဆိုင်ရာ ရီးမန်း မျက်နှာပြင်များ (Riemann surfaces) နှင့် ဆက်စပ်နေသော ဖုံးအုပ်မျက်နှာပြင်များ (covering surfaces) အပေါ် သုတေသနပြုမှုအတွက် ဆုချီးမြှင့်ခံရသည်။ ၎င်းသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (analysis) ၏ နယ်ပယ်သစ်များကို ဖွင့်လှစ်ပေးနိုင်ခဲ့သည်။<ref name="36reasons">{{cite web |url=https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/1936/index.html |title=Fields Medals 1936 |publisher=International Mathematical Union |website=mathunion.org |access-date=7 April 2019 |archive-date=31 July 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200731102503/https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/1936/index.html |url-status=live }}</ref> |- | [[File:Portrait of Jesse Douglas in c. 1932.jpg|60px]] | ဂျက်ဆီ ဒေါက်ဂလပ်စ် (Jesse Douglas) | မက်ဆာချူးဆက် စက်မှုတက္ကသိုလ် (Massachusetts Institute of Technology)၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု | နယူးယောက်မြို့တော် ကောလိပ် (City College of New York)၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite encyclopedia|url=https://www.britannica.com/EBchecked/topic/170174/Jesse-Douglas|title=Jesse Douglas|date=28 May 2010|encyclopedia=Encyclopædia Britannica|access-date=19 August 2014|archive-date=3 September 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20140903211356/http://www.britannica.com/EBchecked/topic/170174/Jesse-Douglas|url-status=live}}</ref><ref>{{cite web |url=http://wdb.ugr.es/~geometry/seminar/files/talks/MMicallef20130207.pdf |title=The work of Jesse Douglas on Minimal Surfaces |author1=Mario J. Micallef |author2=J. Gray |website=Wdb.ugr.es |access-date=31 March 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141006070205/http://wdb.ugr.es/~geometry/seminar/files/talks/MMicallef20130207.pdf |archive-date=6 October 2014 |url-status=dead }}</ref> | သတ်မှတ်ထားသော နယ်နိမိတ်တစ်ခုဖြင့် ချိတ်ဆက်သတ်မှတ်ထားသည့် အငယ်ဆုံး မျက်နှာပြင်များ (minimal surfaces) ကို ရှာဖွေခြင်းနှင့်သက်ဆိုင်သော ပလာတိုး ပြဿနာ (Plateau problem) အပေါ် အရေးပါသော လုပ်ဆောင်ချက်များကို ပြုလုပ်ခဲ့သည်။<ref name="36reasons" /> |- |rowspan=2| ၁၉၅၀ |rowspan=2| ကိန်းဘရစ်ချ် (Cambridge) မြို့၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု | [[File:LaurentSchwartz.jpg|60px]] | လော်ရင့် ရှဗာ့ဇ် (Laurent Schwartz) | နန်စီ (Nancy) တက္ကသိုလ်၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ | ပါရီ သတ္တမ တက္ကသိုလ် (University of Paris VII)၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ<ref>{{cite web|url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Schwartz.html|title=Laurent Moise Schwartz|date=24 June 2007|publisher=School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland|access-date=19 August 2014|archive-date=6 October 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20141006092731/http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Schwartz.html|url-status=live}}</ref><ref>{{cite book |last=Schwartz |first=Laurent |year=2001 |title=Un mathématicien aux prises avec le siècle |trans-title=A Mathematician Grappling with His Century |location=AMS |publisher=Birkhäuser |isbn=978-3-0348-7584-4}}</ref> | သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒ (theoretical physics) ၏ ဒိုင်ရက် ဒယ်လ်တာ-ဖန်ရှင် (Dirac delta-function) မှ လှုံ့ဆော်မှုရရှိသော ယေဘုယျပြုထားသည့် ဖန်ရှင် (generalized function) ဆိုင်ရာ အယူအဆသစ်ဖြစ်သည့် ဖြန့်ဝေမှု သီအိုရီ (theory of distributions) ကို တီထွင်ခဲ့သည်။<ref name="50reasons">{{cite web |url=https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/1950/index.html |title=Fields Medals 1950 |publisher=International Mathematical Union |website=mathunion.org |access-date=7 April 2019 |archive-date=8 April 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220408074621/https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/1950/index.html |url-status=live }}</ref> |- | [[File:Atle Selberg.jpg|60px]] | အက်တလီ ဆဲလ်ဘာ့ဂ် (Atle Selberg) | colspan="2" | အဆင့်မြင့်လေ့လာရေး သိပ္ပံ (Institute for Advanced Study)၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web |url=https://www.ams.org/notices/200906/rtx090600692p-corrected.pdf |title=Remembering Atle Selberg, 1917–2007 |website=Ams.org |access-date=31 March 2017 |archive-date=23 November 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211123172218/http://www.ams.org/notices/200906/rtx090600692p-corrected.pdf |url-status=live }}</ref> | ဗစ်ဂို ဘရွန်း (Viggo Brun) ၏ ဆန်ခါနည်းလမ်းများ (sieve methods) ကို ယေဘုယျပြုမှုများ တီထွင်ခဲ့သည်။ ရီးမန်း ဇီတာ ဖန်ရှင် (Riemann zeta function) ၏ သုညမှတ်များအပေါ် အဓိကရလဒ်များကို ရရှိခဲ့သည်။ ပီ အဲဒေါ့စ် (P. Erdős) နှင့်အတူ [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်း]] သီအိုရမ် (prime number theorem) အတွက် အခြေခံသက်သေပြချက်ကို ပေးစွမ်းနိုင်ခဲ့ပြီး အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်တန်း (arithmetic progression) ရှိ သုဒ္ဓကိန်းများအထိ ယေဘုယျပြုနိုင်ခဲ့သည်။<ref name="50reasons" /> |- |rowspan=2| ၁၉၅၄ |rowspan=2| အမ်စတာဒမ် (Amsterdam) မြို့၊ နယ်သာလန်နိုင်ငံ | [[File:Kodaira Kunihiko.jpg|60px]] | ကူနီဟီကို ကိုဒါအီရာ (Kunihiko Kodaira) | ပရင်စတန် တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု အဆင့်မြင့်လေ့လာရေး သိပ္ပံ၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref name="mathunion.org">{{cite web |url=http://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1954.1/ICM1954.1.ocr.pdf |title=Proceedings of the International Congress of Mathematicians |date=1954 |website=Mathunion.org |access-date=31 March 2017 |archive-date=29 March 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220329075759/https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1954.1/ICM1954.1.ocr.pdf |url-status=live }}</ref> တိုကျို တက္ကသိုလ်၊ ဂျပန်နိုင်ငံ | တိုကျို တက္ကသိုလ်၊ ဂျပန်နိုင်ငံ<ref>{{cite web |url=https://www.ams.org/notices/199803/comm-obit-spencer.pdf |title=Kunihiko Kodaira (1915–1997) |author=Donald C. Spencer |website=Ams.org |access-date=31 March 2017 |archive-date=23 February 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220223055632/https://www.ams.org/notices/199803/comm-obit-spencer.pdf |url-status=live }}</ref> | ဟာမိုနစ် အင်တီဂရယ်များ (harmonic integrals) သီအိုရီတွင် အဓိကရလဒ်များကို ရရှိခဲ့ပြီး ခဲလာ (Kählerian) မျက်နှာပြင်များနှင့် အထူးသဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေစုများ (algebraic varieties) အတွက် အသုံးချမှုများစွာကို ပြုလုပ်နိုင်ခဲ့သည်။ ထိုသို့သော အဖြေစုများသည် ဟော့ချ် မန်နီဖိုးများ (Hodge manifolds) ဖြစ်ကြောင်းကို [[အစည်း]] ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (sheaf cohomology) ဖြင့် သက်သေပြသနိုင်ခဲ့သည်။<ref name="54reasons">{{cite web |url=https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/1954/index.html |title=Fields Medals 1954 |publisher=International Mathematical Union |website=mathunion.org |access-date=7 April 2019 |archive-date=8 April 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220408074624/https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/1954/index.html |url-status=live }}</ref> |- | [[File:Jean-Pierre Serre, Erlangen 1997.JPG|60px]] | ဂျန်း-ပီယဲ ဆဲရ် (Jean-Pierre Serre) | နန်စီ တက္ကသိုလ်၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ | ကောလိပ် ဒီ ဖရန့်စ် (Collège de France)၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ<ref>{{cite web |url=http://www.math.rug.nl/~top/lectures/delft.pdf |title=Jean-Pierre Serre |website=Math.rug.nl |access-date=31 March 2017 |archive-date=16 June 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160616160010/http://www.math.rug.nl/~top/lectures/delft.pdf |url-status=live }}</ref><ref>{{cite encyclopedia|url=https://www.britannica.com/EBchecked/topic/535878/Jean-Pierre-Serre|title=Jean-Pierre Serre|date=5 February 1997|encyclopedia=Encyclopædia Britannica|access-date=19 August 2014|archive-date=6 October 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20141006104956/http://www.britannica.com/EBchecked/topic/535878/Jean-Pierre-Serre|url-status=live}}</ref> | စက်လုံးမျက်နှာပြင်များ၏ [[ဟိုမိုတိုပီ]] [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]] (homotopy groups) တွင် အဓိကရလဒ်များကို ရရှိခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် ရောင်စဉ်ဆိုင်ရာ ကိန်းစဉ်တန်းများ (spectral sequences) နည်းလမ်းကို အသုံးပြုခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ ကိန်းထွေး ကိန်းရှင် သီအိုရီ (complex variable theory) ၏ အဓိကရလဒ်အချို့ကို အစည်းများ (sheaves) သဘောတရားအဖြစ် ပြန်လည်ဖွဲ့စည်း၍ တိုးချဲ့နိုင်ခဲ့သည်။<ref name="54reasons" /> |- |rowspan=2| ၁၉၅၈ |rowspan=2| အီဒင်ဘာရာ (Edinburgh) မြို့၊ ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း | | ကလောက်စ် ရော့သ် (Klaus Roth) | colspan="2" | အင်ပီရီယယ် ကောလိပ် လန်ဒန် (Imperial College London)၊ ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း<ref>{{Harvnb|McKinnon Riehm|Hoffman|2011|p=212}}</ref> | ကိန်းသီအိုရီ (number theory) ၏ ကျော်ကြားသော ပြဿနာတစ်ခုဖြစ်သည့် သူး-ဇီးဂယ် မညီမျှခြင်း (Thue-Siegel inequality) တွင် တိကျသော ထပ်ကိန်းကို သတ်မှတ်ရှာဖွေခြင်းအတွက် ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။<ref name="hopf">H. Hopf. [https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1958/ICM1958.ocr.pdf Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1958.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220408074808/https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1958/ICM1958.ocr.pdf |date=8 April 2022 }} Report of the Inaugural Session. p. liv</ref> |- | [[File:René Thom.jpeg|60px]] | ရီနေး သွမ်း (René Thom) | စထရပ်စ်ဘော့ (Strasbourg) တက္ကသိုလ်၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ | သိပ္ပံဆိုင်ရာ အဆင့်မြင့်လေ့လာရေး အင်စတီကျု (Institut des hautes études scientifiques)၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ<ref>{{cite web |url=http://www.robertnowlan.com/pdfs/Thom,%20Rene.pdf |title=René Thom |website=Robertnowlan.com |access-date=31 March 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160527024340/http://www.robertnowlan.com/pdfs/Thom,%20Rene.pdf |archive-date=27 May 2016 |url-status=dead }}</ref> | နှစ်အနည်းငယ်အတွင်း [[မန်နီဖိုး#ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော_မန်နီဖိုးများ_(Differentiable_Manifolds)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော မန်နီဖိုးများ]] (differentiable manifolds) ၏ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (topology) အပေါ် အနက်ရှိုင်းဆုံး ထိုးထွင်းသိမြင်မှုဆီသို့ ဦးတည်စေခဲ့သည့် ကိုဘော်ဒစ်ဇင် သီအိုရီ (Cobordism theory) ကို ဖန်တီးခဲ့သည့်အတွက် ဖြစ်သည်။<ref name="hopf" /> |- |rowspan=2| ၁၉၆၂ |rowspan=2| စတော့ဟုမ်း (Stockholm) မြို့၊ ဆွီဒင်နိုင်ငံ | [[File:Lars Hörmander.jpg|60px]] | လားစ် ဟော်မန်ဒါ (Lars Hörmander) | စတော့ဟုမ်း တက္ကသိုလ်၊ ဆွီဒင်နိုင်ငံ | လွန်း (Lund) တက္ကသိုလ်၊ ဆွီဒင်နိုင်ငံ<ref>{{cite web |url=http://smai.emath.fr/IMG/pdf/matapli100_Hormander.pdf |title=A tribute to Lars Hörmander |website=Smai.emath.fr |access-date=31 March 2017 |archive-date=4 June 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160604080024/http://smai.emath.fr/IMG/pdf/matapli100_Hormander.pdf |url-status=live }}</ref> | ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ (partial differential equations) နယ်ပယ်တွင် လုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။ တိကျစွာဆိုရသော် မျဉ်းဖြောင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် အော်ပရေတာများ (linear differential operators) ၏ ယေဘုယျ သီအိုရီအတွက် ပံ့ပိုးပေးနိုင်ခဲ့သည်။ ဤမေးခွန်းများသည် ၁၉၀၀ ပြည့်နှစ် ညီလာခံ၌ ဟီလ်ဘတ် (Hilbert) မေးမြန်းခဲ့သော ပြဿနာများထဲမှ တစ်ခုဆီသို့ ပြန်လည်ရောက်ရှိသွားစေသည်။<ref name="62reasons">{{cite web |url=https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/1962/index.html |title=Fields Medals 1962 |publisher=International Mathematical Union |website=mathunion.org |access-date=7 April 2019 |archive-date=8 April 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220408074729/https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/1962/index.html |url-status=live }}</ref> |- | [[File:John Milnor, 1993 Oct (portioned).jpg|60px]] | ဂျွန် မေးလ်နော (John Milnor) | ပရင်စတန် တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု | စတိုးနီးဘရွတ် (Stony Brook) တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web|url=http://www.math.sunysb.edu/~jack/|title=John W. Milnor|date=5 March 1997|publisher=Stony Brook University|access-date=17 August 2014|archive-date=30 August 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20140830025217/http://www.math.sunysb.edu/%7Ejack/|url-status=live}}</ref> | အတိုင်းအတာ ၇ ခုရှိသော စက်လုံးမျက်နှာပြင်တစ်ခုတွင် ဒစ်ဖရန်ရှယ် တည်ဆောက်ပုံများ (differential structures) စွာ ရှိနိုင်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ယင်းက ဒစ်ဖရန်ရှယ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (differential topology) နယ်ပယ်သစ်ကို ဖန်တီးနိုင်ရန် ဦးတည်စေခဲ့သည်။ ဤအကြောင်းအရာကို ထူးခြားသော စက်လုံးမျက်နှာပြင် (exotic sphere) ခေါင်းစဉ်အောက်တွင် တွေ့ရှိနိုင်သည်။<ref name="62reasons" /> |- |rowspan=4| ၁၉၆၆ |rowspan=4| မော်စကို (Moscow) မြို့၊ ဆိုဗီယက်ပြည်ထောင်စု | [[File:Atiyah-Hirzebruch crop.jpeg|60px]] | မိုက်ကယ် အာတီယာ (Michael Atiyah) | အောက်စ်ဖို့ဒ် (Oxford) တက္ကသိုလ်၊ ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း | အီဒင်ဘာရာ တက္ကသိုလ်၊ ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း<ref>{{cite web |language=es |url=http://upcommons.upc.edu/video/bitstream/2099.2/946/17/Poster05-AbelPrize-CV.pdf |title=Sir Michael F. Atiyah : The Abel Prize |website=Upcommons.upc.edu |access-date=31 March 2017 |archive-date=16 June 2013 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130616140748/http://upcommons.upc.edu/video/bitstream/2099.2/946/17/Poster05-AbelPrize-CV.pdf |url-status=live }}</ref> | ဟာဇဘရွတ်ခ် (Hirzebruch) နှင့် ပူးပေါင်း၍ <math>K</math>-သီအိုရီ (<math>K</math>-theory) တွင် လုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။ [[မန်နီဖိုး#ကိန်းထွေး_မန်နီဖိုးများ_(Complex_Manifolds)|ကိန်းထွေး မန်နီဖိုးများ]] (complex manifolds) အပေါ်ရှိ အဲလစ်ပတစ် အော်ပရေတာများ (elliptic operators) ၏ အညွှန်း သီအိုရမ် (index theorem) ကို ဆင်းဂါး (Singer) နှင့် ပူးပေါင်းသက်သေပြခဲ့သည်။ လက်ဖ်ရှက်ဇ် ပုံသေနည်း (Lefschetz formula) နှင့် ဆက်စပ်နေသော အထိုင်မှတ် သီအိုရမ် (fixed point theorem) တစ်ခုကို သက်သေပြရန် ဘော့တ် (Bott) နှင့်လည်း ပူးပေါင်းလုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။<ref name="66reasons">{{cite web |url=https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/1966/index.html |title=Fields Medals 1966 |publisher=International Mathematical Union |website=mathunion.org |access-date=7 April 2019 |archive-date=22 March 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190322225223/https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/1966/index.html |url-status=live }}</ref> |- | | ပေါလ် ကိုဟန် (Paul Cohen) | colspan="2" | စတန်းဖို့ဒ် (Stanford) တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web |url=http://historicalsociety.stanford.edu/pdfmem/Cohen_P.pdf |title=Memorial Resolution – Paul Cohen (1934–2007) |date=2011 |publisher=Stanford Historical Society |access-date=24 August 2014 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20150105133237/http://historicalsociety.stanford.edu/pdfmem/Cohen_P.pdf |archive-date=5 January 2015 }}</ref> | အတင်းအကျပ် ပြောင်းလဲခြင်းနည်းလမ်း (forcing method) ဟုခေါ်သော နည်းစနစ်ကို အသုံးပြု၍ ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို (axiom of choice) နှင့် ယေဘုယျပြုထားသည့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်တည်မှု အဆိုပြုယူဆချက် (continuum hypothesis) တို့သည် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) တွင် အမှီအခိုကင်းကြောင်းကို သက်သေပြခဲ့သည်။ နောက်ဆုံးပြဿနာမှာ ၁၉၀၀ ပြည့်နှစ် ညီလာခံ၌ ဟီလ်ဘတ် မေးမြန်းခဲ့သော ပြဿနာများထဲမှ ပထမဆုံးပြဿနာ ဖြစ်သည်။<ref name="66reasons" /> |- | [[File:Alexander Grothendieck.jpg|60px]] | အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် (Alexander Grothendieck) | သိပ္ပံဆိုင်ရာ အဆင့်မြင့်လေ့လာရေး အင်စတီကျု၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ | အမျိုးသား သိပ္ပံသုတေသန ဗဟိုဌာန (Centre National de la Recherche Scientifique)၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ<ref>{{cite web |url=http://www.math.ucdenver.edu/~jloats/StudentCELEBS/Grothendieck_Trenkamp.pdf |title=Alexander Grothendieck |website=Math.ucdenver.edu |access-date=31 March 2017 |archive-date=20 October 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161020015323/http://www.math.ucdenver.edu/~jloats/StudentCELEBS/Grothendieck_Trenkamp.pdf |url-status=dead }}</ref> | ဗေးလ် (Weil) နှင့် ဇာရစ်စကီး (Zariski) တို့၏ လုပ်ဆောင်ချက်များအပေါ် အခြေခံ၍ အက္ခရာသင်္ချာ ဂျီဩမေတြီ (algebraic geometry) တွင် အခြေခံကျသော တိုးတက်မှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေခဲ့သည်။ ဂရိုသန်ဒိခ် အုပ်စုများ (Grothendieck groups) နှင့် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (rings) ဟူသော <math>K</math>-သီအိုရီ အယူအဆကို မိတ်ဆက်ပေးခဲ့သည်။ သူ၏ ကျော်ကြားသော တိုဟိုကူ (Tôhoku) စာတမ်းဖြင့် ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို တော်လှန်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။<ref name="66reasons" /> |- | [[File:Stephen Smale2.jpg|60px]] | စတီဗင် စမေးလ် (Stephen Smale) | ကယ်လီဖိုးနီးယား တက္ကသိုလ် (ဘာကလေ)၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု | ဟောင်ကောင် မြို့တော် တက္ကသိုလ်၊ ဟောင်ကောင်<ref>{{cite web|url=http://www6.cityu.edu.hk/ma/people/profile/smales.htm|title=Prof. Stephen SMALE (史梅爾)|date=5 April 2012|publisher=City University of Hong Kong|access-date=18 August 2014|archive-date=9 November 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20141109090333/http://www6.cityu.edu.hk/ma/people/profile/smales.htm|url-status=live}}</ref> | ဒစ်ဖရန်ရှယ် တိုပေါ်လော်ဂျီ နယ်ပယ်တွင် လုပ်ဆောင်ခဲ့ပြီး အတိုင်းအတာ <math>n \geq 5</math> တွင် ယေဘုယျပြုထားသည့် ပွန်ကာရေး ယူဆချက် (generalized Poincaré conjecture) ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ အတိုင်းအတာ <math>n</math> ခုရှိသော စက်လုံးမျက်နှာပြင်နှင့် ဟိုမိုတိုပီ ထပ်တူညီမှုရှိသော (homotopy-equivalent) အတိုင်းအတာ <math>n</math>-ခုရှိ အပိတ် မန်နီဖိုးတိုင်းသည် ၎င်းစက်လုံးမျက်နှာပြင်နှင့် ဟိုမီယိုမော်ဖစ် (homeomorphic) ဖြစ်သည်။ ဤပြဿနာနှင့် ဆက်စပ်ပြဿနာများကို ဖြေရှင်းရန် လက်ကိုင်ကိုယ်ထည်များ (handle-bodies) နည်းလမ်းကို မိတ်ဆက်ပေးခဲ့သည်။<ref name="66reasons" /> |- |rowspan=4| ၁၉၇၀ |rowspan=4| နစ်စ် (Nice) မြို့၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ | [[File:Alan Baker.jpg|60px]] | အလန် ဘေကာ (Alan Baker) | ကိန်းဘရစ်ချ် တက္ကသိုလ်၊ ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း | ထရီနတီ ကောလိပ် (Trinity College)၊ ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း<ref>{{cite web|url=http://www.heidelberg-laureate-forum.org/blog/laureate/alan-baker|title=The Laureates|date=25 September 2013|publisher=Heidelberg Laureate Forum Foundation (HLFF)|access-date=16 August 2014|archive-date=18 October 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20141018234635/http://www.heidelberg-laureate-forum.org/blog/laureate/alan-baker/|url-status=live}}</ref> | ဂဲလ်ဖွန်-ရှနိုက်ဒါ သီအိုရမ် (Gelfond-Schneider theorem) ကို ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ယင်းသီအိုရမ်မှာ ဟီလ်ဘတ်၏ သတ္တမမြောက်ပြဿနာအတွက် အဖြေဖြစ်သည်။ ဤလုပ်ဆောင်ချက်မှတစ်ဆင့် ယခင်က ဖော်ထုတ်သတ်မှတ်ထားခြင်းမရှိသော ကိန်းလွန်များ (transcendental numbers) ကို ထုတ်လုပ်နိုင်ခဲ့သည်။<ref name="70reasons">{{cite web |url=https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/1970/index.html |title=Fields Medals 1970 |publisher=International Mathematical Union |website=mathunion.org |access-date=7 April 2019 |archive-date=8 April 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220408074621/https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/1970/index.html |url-status=live }}</ref> |- | [[File:Hironaka heisuke 1976.jpg|60px]] | ဟေးစကဲ ဟီရိုနာကာ (Heisuke Hironaka) | ဟားဗတ် တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု | ကျိုတို (Kyoto) တက္ကသိုလ်၊ ဂျပန်နိုင်ငံ<ref>{{cite web |url=https://www.ams.org/notices/200509/fea-hironaka.pdf |title=Interview with Heisuke Hironaka |website=Ams.org |access-date=31 March 2017 |archive-date=8 April 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220408074623/https://www.ams.org/notices/200509/fea-hironaka.pdf |url-status=live }}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/en/emeritus.html|title=Professor Emeritus|date=26 May 2007|publisher=Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto, Japan|access-date=16 August 2014|archive-date=5 April 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220405035547/https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/en/emeritus.html|url-status=dead}}</ref> | အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေစုတစ်ခုအပေါ်ရှိ ဆင်ဂူလာရစ်တီများကို ဖြေရှင်းခြင်း (resolution of singularities) နှင့်သက်ဆိုင်သော သီအိုရမ်ကို အတိုင်းအတာ <math>\leq 3</math> အတွက် သက်သေပြခဲ့သည့် ဇာရစ်စကီး၏ လုပ်ဆောင်ချက်များကို ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ဟီရိုနာကာသည် ထိုရလဒ်များကို မည်သည့်အတိုင်းအတာတွင်မဆို သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။<ref name="70reasons" /> |- | | ဆာဂေး နိုဗီကော့ဗ် (Sergei Novikov) | မော်စကို နိုင်ငံတော် တက္ကသိုလ်၊ ဆိုဗီယက်ပြည်ထောင်စု | စတက်ကလော့ဗ် (Steklov) သင်္ချာသိပ္ပံ၊ ရုရှားနိုင်ငံ မော်စကို နိုင်ငံတော် တက္ကသိုလ်၊ ရုရှားနိုင်ငံ မေရီလန်း တက္ကသိုလ် (ကောလိပ်ပတ်ခ်)၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web |url=http://www.mi.ras.ru/~snovikov/998.pdf |title=Interview with Sergey P. Novikov |website=Mi.ras.ru |access-date=31 March 2017 |archive-date=14 May 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160514032252/http://www.mi.ras.ru/~snovikov/998.pdf |url-status=live }}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.mi.ras.ru/~snovikov/index.html|title=Novikov, Sergei Petrovich|date=1 January 2012|publisher=Russian Academy of Science|access-date=20 August 2014|archive-date=26 July 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20140726083130/http://www.mi.ras.ru/~snovikov/index.html|url-status=live}}</ref> | တိုပေါ်လော်ဂျီနယ်ပယ်တွင် အရေးပါသော တိုးတက်မှုများကို ပြုလုပ်ခဲ့ပြီး အထင်ရှားဆုံးမှာ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော မန်နီဖိုး၏ ရာရှင်နယ် ပွန်ထရီယာဂင် အတန်းအစားများ (rational Pontryagin classes) ဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (topological invariance) ကို သက်သေပြခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ သူ၏ လုပ်ဆောင်ချက်များတွင် သွမ်း ရပ်ဝန်းများ (Thom spaces) ၏ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (cohomology) နှင့် ဟိုမိုတိုပီ (homotopy) တို့အား လေ့လာခြင်းလည်း ပါဝင်သည်။<ref name="70reasons" /> |- | [[File:John Griggs Thompson (cropped).jpg|60px]] | ဂျွန် ဂျီ သွန်မဆင် (John G. Thompson) | ကိန်းဘရစ်ချ် တက္ကသိုလ်၊ ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း | ကိန်းဘရစ်ချ် တက္ကသိုလ်၊ ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း ဖလော်ရီဒါ တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web |url=http://www.abelprize.no/c53860/binfil/download.php?tid=53792 |format=PDF |title=John Griggs Thompson |website=Abelprize.no |access-date=31 March 2017 |archive-date=11 June 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160611151241/http://www.abelprize.no/c53860/binfil/download.php?tid=53792 |url-status=dead }}</ref> | ဆိုက်ကလစ်မဟုတ်သော အဆုံးရှိ ရိုးရှင်းအုပ်စုများ (finite simple groups) အားလုံးတွင် စုံကိန်းအစဉ်ရှိကြောင်းကို ဒဗလျူ ဖိုက်တ် (W. Feit) နှင့် ပူးပေါင်းသက်သေပြခဲ့သည်။ ဤလုပ်ဆောင်ချက်ကို သွန်မဆင်က တိုးချဲ့၍ အငယ်ဆုံး ရိုးရှင်းအဆုံးရှိ အုပ်စုများကို သတ်မှတ်နိုင်ခဲ့သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ [[အုပ်စုပိုင်း|အုပ်စုပိုင်းအစစ်များ]] (proper subgroups) ကို ဖြေရှင်း၍ရသော (solvable) ရိုးရှင်းအဆုံးရှိ အုပ်စုများကို ရှာဖွေနိုင်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။<ref name="70reasons" /> |- |rowspan=2| ၁၉၇၄ |rowspan=2| ဗန်ကူးဗား (Vancouver) မြို့၊ ကနေဒါနိုင်ငံ | [[File:Enrico Bombieri.jpg|60px]] | အန်ရီကို ဘွန်ဘီရဲရီ (Enrico Bombieri) | ပီဆာ (Pisa) တက္ကသိုလ်၊ အီတလီနိုင်ငံ | အဆင့်မြင့်လေ့လာရေး သိပ္ပံ၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite book |editor1-last=Bartocci |editor1-first=Claudio |editor2-last=Betti |editor2-first=Renato |editor3-last=Guerraggio |editor3-first=Angelo |display-editors = 3 |editor4-last=Lucchetti |editor4-first=Roberto Lucchetti |title=Vite Mathematiche |trans-title=Mathematical Lives: Protagonists of the Twentieth Century From Hilbert to Wiles |edition=2011 |publisher=Springer |date=2011 |pages=2013–2014 |isbn=978-3642136054 }}</ref> | သုဒ္ဓကိန်းများ (primes)၊ ယူနီဗေးလင့် ဖန်ရှင်များ (univalent functions) နှင့် ဒေသအလိုက် ဘီဘာဘက်ချ် ယူဆချက် (Bieberbach conjecture)၊ ကိန်းထွေး ကိန်းရှင်များစွာပါသော ဖန်ရှင်များ (functions of several complex variables) သီအိုရီ၊ ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ သီအိုရီနှင့် အငယ်ဆုံး မျက်နှာပြင်များ စသည်တို့တွင် အဓိက ပံ့ပိုးမှုများကို ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် ပိုမိုမြင့်မားသော အတိုင်းအတာများရှိ ဘန်းစတိုင်း၏ ပြဿနာ (Bernstein's problem) ကို ဖြေရှင်းပေးနိုင်ခဲ့သည်။<ref name="74reasons">{{cite web |url=https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/1974/index.html |title=Fields Medals 1974 |publisher=International Mathematical Union |website=mathunion.org |access-date=7 April 2019 |archive-date=8 April 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220408074703/https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/1974/index.html |url-status=live }}</ref> |- | [[File:Mumford2.jpg|60px]] | ဒေးဗစ် မမ်ဖို့ဒ် (David Mumford) | ဟားဗတ် တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု | ဘရောင်း (Brown) တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web|url=https://www.dam.brown.edu/people/facultypage.mumford.html|title=David Mumford|publisher=The Division of Applied Mathematics, Brown University|access-date=18 August 2014|archive-date=6 October 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20141006072947/http://www.dam.brown.edu/people/facultypage.mumford.html|url-status=live}}</ref> | ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုအချို့၏ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် အတန်းအစားများ]] (isomorphism classes) ကို ပါရာမီတာဖွဲ့စည်းပေးသည့် အမှတ်များပါဝင်သော မော်ဂျူးလပ်စ်များ၏ အဖြေစုများ (varieties of moduli) တည်ရှိမှုနှင့် တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ ပြဿနာများကို ပံ့ပိုးပေးနိုင်ခဲ့သည်။ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ မျက်နှာပြင်များ (algebraic surfaces) သီအိုရီတွင်လည်း အရေးပါသော ပံ့ပိုးမှုများစွာကို ပြုလုပ်ခဲ့သည်။<ref name="74reasons" /> |- |rowspan=4| ၁၉၇၈ |rowspan=4| ဟယ်လ်ဆင်ကီမြို့၊ ဖင်လန်နိုင်ငံ | [[File:Pierre Deligne (2005) (cropped).jpg|60px]] | ပီယဲ ဒယ်လင်း (Pierre Deligne) | သိပ္ပံဆိုင်ရာ အဆင့်မြင့်လေ့လာရေး အင်စတီကျု၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ | အဆင့်မြင့်လေ့လာရေး သိပ္ပံ၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web |url=http://www.abelprize.no/c57681/binfil/download.php?tid=57756 |format=PDF |title=Pierre Deligne |website=Abelprize.no |access-date=31 March 2017 |archive-date=3 March 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160303181225/http://www.abelprize.no/c57681/binfil/download.php?tid=57756 |url-status=dead }}</ref> | အဆုံးရှိ [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]] (finite fields) ဆီသို့ ရီးမန်း အဆိုပြုယူဆချက် (Riemann hypothesis) ကို ယေဘုယျပြုခြင်းနှင့်သက်ဆိုင်သော ဗေးလ် ယူဆချက် သုံးခုအတွက် အဖြေကို ပေးစွမ်းနိုင်ခဲ့သည်။ သူ၏ လုပ်ဆောင်ချက်သည် အက္ခရာသင်္ချာ ဂျီဩမေတြီနှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသီအိုရီ (algebraic number theory) တို့ကို ပေါင်းစည်းရာတွင် များစွာအထောက်အကူပြုခဲ့သည်။<ref name="78reasons">{{cite web |url=https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/1978/index.html |title=Fields Medals 1978 |publisher=International Mathematical Union |website=mathunion.org |access-date=7 April 2019 |archive-date=10 October 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201010144934/https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/1978/index.html |url-status=live }}</ref> |- | [[File:Charles Fefferman.jpg|60px]] | ချားလ်စ် ဖက်ဖာမန် (Charles Fefferman) | colspan="2" | ပရင်စတန် တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web |url=https://web.math.princeton.edu/WebCV/FeffermanCV.pdf |title=CV : Charles Fefferman |access-date=31 March 2017 |archive-date=8 April 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220408074624/https://web.math.princeton.edu/WebCV/FeffermanCV.pdf |url-status=live }}</ref> | ဂန္ထဝင်ဖြစ်သော အတိုင်းအတာနိမ့် ရလဒ်များ၏ မှန်ကန်သော ယေဘုယျပြုမှုများကို ရှာဖွေခြင်းဖြင့် အတိုင်းအတာပေါင်းစုံ ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (complex analysis) လေ့လာမှုကို ပြန်လည်မွမ်းမံပေးသည့် တီထွင်ဆန်းသစ်မှုများစွာကို ပံ့ပိုးပေးခဲ့သည်။<ref name="78reasons" /> |- | [[File:Grigory Margulis 1978 (portioned).jpg|60px]] | ဂရီဂေါ်ရီ မာဂူလစ် (Grigory Margulis) | မော်စကို နိုင်ငံတော် တက္ကသိုလ်၊ ဆိုဗီယက်ပြည်ထောင်စု | ယေးလ် (Yale) တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web|url=http://users.math.yale.edu/public_html/People/gam3.html|title=Yale Mathematics Department: Gregory A. Margulis|access-date=16 March 2015|archive-date=5 January 2015|archive-url=https://web.archive.org/web/20150105132947/http://users.math.yale.edu/public_html/People/gam3.html|url-status=live}}</ref> | လီအုပ်စုများ (Lie groups) ၏ တည်ဆောက်ပုံအပေါ် တီထွင်ဆန်းသစ်သော ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာချက်ကို ပံ့ပိုးပေးခဲ့သည်။ သူ၏ လုပ်ဆောင်ချက်သည် ပေါင်းစပ်ခြင်း တွက်ချက်မှုပညာ (combinatorics)၊ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (differential geometry)၊ အာဂေါဒစ် သီအိုရီ (ergodic theory)၊ ဒိုင်းနမစ်စနစ်များ (dynamical systems) နှင့် လီအုပ်စုများ နယ်ပယ်တို့တွင် အကျုံးဝင်သည်။<ref name="78reasons" /> |- | | ဒန်နီယယ် ကွီလန် (Daniel Quillen) | မက်ဆာချူးဆက် စက်မှုတက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု | အောက်စ်ဖို့ဒ် တက္ကသိုလ်၊ ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း<ref>{{cite journal |url=https://www.ams.org/notices/201210/rtx121001392p.pdf |title=Daniel Quillen |first1=Eric |last1=Friedlander |author-link=Eric Friedlander |first2=Daniel |last2=Grayson |journal=Notices of the AMS |volume=59 |issue=10 |pages=1392–1406 |doi=10.1090/noti903 |doi-access=free |date=November 2012 |access-date=31 March 2017 |archive-date=8 April 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220408074623/https://www.ams.org/notices/201210/rtx121001392p.pdf |url-status=live }}</ref> | ပိုမိုမြင့်မားသော အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ <math>K</math>-သီအိုရီ (algebraic <math>K</math>-theory) ၏ အဓိက ဗိသုကာရှင်ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အက္ခရာသင်္ချာရှိ အဓိကပြဿနာများ အထူးသဖြင့် ကွင်းသီအိုရီ (ring theory) နှင့် [[မော်ဂျူး|မော်ဂျူး]]သီအိုရီ (module theory) တို့ရှိ ပြဿနာများကို ပုံစံထုတ်ဖြေရှင်းရန် ဂျီဩမေတြီနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ နည်းလမ်းများနှင့် အယူအဆများကို အောင်မြင်စွာ အသုံးချနိုင်ခဲ့သည့် ကိရိယာသစ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref name="78reasons" /> |- |rowspan=3| ၁၉၈၂ |rowspan=3| ဝါဆော (Warsaw) မြို့၊ ပိုလန်နိုင်ငံ | [[File:Alain Connes.jpg|60px]] | အလန် ကွန်း (Alain Connes) | သိပ္ပံဆိုင်ရာ အဆင့်မြင့်လေ့လာရေး အင်စတီကျု၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ | သိပ္ပံဆိုင်ရာ အဆင့်မြင့်လေ့လာရေး အင်စတီကျု၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ ကောလိပ် ဒီ ဖရန့်စ်၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ အိုဟိုင်းယိုး နိုင်ငံတော် တက္ကသိုလ် (Ohio State University)၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web|url=http://www.alainconnes.org/en/|title=Alain Connes|date=25 May 2012|access-date=18 August 2014|archive-date=29 August 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20140829154109/http://www.alainconnes.org/en/|url-status=live}}</ref> | အော်ပရေတာ အက္ခရာသင်္ချာများ (operator algebras) သီအိုရီတွင် ပံ့ပိုးပေးခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် အမျိုးအစား ၃ အစိတ်အပိုင်းများ၏ ယေဘုယျ အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းနှင့် တည်ဆောက်ပုံ သီအိုရမ်၊ လွန်ကဲစွာအဆုံးရှိ အစိတ်အပိုင်း (hyperfinite factor) ၏ [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်|အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (automorphisms) ကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း၊ အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော (injective) အစိတ်အပိုင်းများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းတို့ကို ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် အလွှာလိုက်ဖွဲ့စည်းခြင်းများ (foliations) နှင့် ယေဘုယျ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီတို့တွင် <math>C^*</math>-အက္ခရာသင်္ချာများ (<math>C^*</math>-algebras) သီအိုရီကို အသုံးချမှုများ ပြုလုပ်ခဲ့သည်။<ref name="82reasons">{{cite web |url=https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/1982/index.html |title=Fields Medals and Nevanlinna Prize 1982 |publisher=International Mathematical Union |website=mathunion.org |access-date=7 April 2019 |archive-date=3 December 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181203152158/https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/1982/index.html |url-status=live }}</ref> |- | [[File:William Thurston.jpg|60px]] | ဝီလီယံ သာစတန် (William Thurston) | ပရင်စတန် တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု | ကောနဲလ် (Cornell) တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web|url=https://www.math.cornell.edu/spb/index.php|title=William P. Thurston, 1946–2012|date=30 August 2012|access-date=18 August 2014|archive-date=21 August 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20160821013938/http://www.math.cornell.edu/spb/index.php|url-status=live}}</ref> | ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ၊ တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် ဂျီဩမေတြီ (geometry) တို့အကြား အပြန်အလှန်သက်ရောက်မှုကို ပြသခြင်းဖြင့် အတိုင်းအတာ ၂ ခုနှင့် ၃ ခုရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီ လေ့လာမှုကို တော်လှန်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ အလွန်ကြီးမားသော အပိတ် <math>3</math>-မန်နီဖိုးများ (<math>3</math>-manifolds) အတန်းအစားများသည် ဟိုက်ပါဘောလစ် တည်ဆောက်ပုံ (hyperbolic structure) ကို ဆောင်ကြဉ်းထားသည်ဟူသော အယူအဆကို ပံ့ပိုးပေးခဲ့သည်။<ref name="82reasons" /> |- | [[File:Shing-Tung Yau at Harvard.jpg|60px]] | ရှင်တုန်း ယောင် (Shing-Tung Yau) | အဆင့်မြင့်လေ့လာရေး သိပ္ပံ၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု | ရှင်းဟွာ (Tsinghua) တက္ကသိုလ်၊ တရုတ်ပြည်သူ့သမ္မတနိုင်ငံ<ref>{{cite web |url=http://www.doctoryau.com/yau_cv.pdf |title=CV : Shing-Tung Yau |website=Doctoryau.com |access-date=31 March 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20171025135744/http://www.doctoryau.com/yau_cv.pdf |archive-date=25 October 2017 |url-status=usurped }}</ref> | ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ (differential equations) တွင် ပံ့ပိုးမှုများ ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ အက္ခရာသင်္ချာ ဂျီဩမေတြီရှိ ကလာဘီ ယူဆချက် (Calabi conjecture)၊ ယေဘုယျ နှိုင်းရသီအိုရီ (general relativity theory) ရှိ အပေါင်းဒြပ်ထု ယူဆချက်အပြင် ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းထွေး မောင်းချ်-အမ်ပီယာ ညီမျှခြင်းများ (Monge-Ampère equations) တွင်လည်း ပံ့ပိုးပေးခဲ့သည်။<ref name="82reasons" /> |- |rowspan=3| ၁၉၈၆ |rowspan=3| ဘာကလေ (Berkeley) မြို့၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု | [[File:Simon Donaldson.jpg|60px]] | ဆိုင်မွန် ဒေါ်နယ်လ်ဆန် (Simon Donaldson) | အောက်စ်ဖို့ဒ် တက္ကသိုလ်၊ ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း | အင်ပီရီယယ် ကောလိပ် လန်ဒန်၊ ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း<ref>{{cite web|url=http://wwwf.imperial.ac.uk/~skdona/|title=Simon Donaldson (Royal Society Research Professor)|date=16 January 2008|publisher=Department of Mathematics, Imperial College, Queen's Gate, London|access-date=16 August 2014|archive-date=15 September 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20140915032606/http://wwwf.imperial.ac.uk/~skdona/|url-status=live}}</ref> စတိုးနီးဘရွတ် တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web|url=http://scgp.stonybrook.edu/people/faculty/bios/simon-donaldson|title=Simon Donaldson|access-date=16 March 2015|archive-date=20 March 2015|archive-url=https://web.archive.org/web/20150320072154/http://scgp.stonybrook.edu/people/faculty/bios/simon-donaldson|url-status=live}}</ref> | <math>4</math>-မန်နီဖိုးများ (four-manifolds) ၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ သူ၏ လုပ်ဆောင်ချက်အတွက် အဓိကအားဖြင့် ဆုချီးမြှင့်ခံရခြင်းဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် အတိုင်းအတာ လေးခုရှိသော ယူကလစ် ရပ်ဝန်း (Euclidean four-space) တွင် ပုံမှန်တည်ဆောက်ပုံနှင့် ကွဲပြားသော ဒစ်ဖရန်ရှယ် တည်ဆောက်ပုံတစ်ခု တည်ရှိကြောင်း ပြသနိုင်ခဲ့သောကြောင့် ဖြစ်သည်။<ref name="86reasons">{{cite web |url=https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/1986/index.html |title=Fields Medals and Nevanlinna Prize 1986 |publisher=International Mathematical Union |website=mathunion.org |access-date=7 April 2019 |archive-date=22 March 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190322225314/https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/1986/index.html |url-status=live }}</ref><ref name="IMU Fields Medal 1986">{{cite web | title=Fields Medals 1986 | website=International Mathematical Union (IMU) | date=1986 | url=https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal/fields-medals-1986 | access-date=2024-01-24 | archive-date=24 January 2024 | archive-url=https://web.archive.org/web/20240124060355/https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal/fields-medals-1986 | url-status=live }}</ref> |- | [[File:Gerd Faltings MFO.jpg|60px]] | ဂတ် ဖားလ်တင်း (Gerd Faltings) | ပရင်စတန် တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု | မက်စ် ပလန့် သင်္ချာသိပ္ပံ (Max Planck Institute for Mathematics)၊ ဂျာမနီနိုင်ငံ<ref>{{cite web|url=http://www.heidelberg-laureate-forum.org/blog/laureate/gerd-faltings/|title=The Laureates|date=6 October 2013|publisher=Heidelberg Laureate Forum Foundation (HLFF)|access-date=16 August 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20141006065705/http://www.heidelberg-laureate-forum.org/blog/laureate/gerd-faltings/|archive-date=6 October 2014|url-status=dead}}</ref> | ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ ဂျီဩမေတြီ (arithmetic algebraic geometry) နည်းလမ်းများကို အသုံးပြု၍ မော်ဒယ် ယူဆချက် (Mordell Conjecture) ကို သက်သေပြနိုင်ခဲ့ခြင်းအတွက် အဓိကအားဖြင့် ဆုချီးမြှင့်ခံရခြင်းဖြစ်သည်။<ref name="86reasons" /> |- | [[File:Michael Freedman, circa 1970s (re-scanned C; headshot).jpg|60px]] | မိုက်ကယ် ဖရိဒ်မန်း (Michael Freedman) | ကယ်လီဖိုးနီးယား တက္ကသိုလ် (ဆန်ဒီယေဂို)၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု | မိုက်ခရိုဆော့ဖ် စတေရှင် ကျူ (Microsoft Station Q)၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web|url=http://celebratio.org/cmmedia/essaypdf/19_main_3.pdf|title=Michael H. Freedman|author=Rob Kirby|date=2012|work=celebratio.org|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20141006102901/http://celebratio.org/cmmedia/essaypdf/19_main_3.pdf|archive-date=6 October 2014}}</ref> | <math>4</math>-မန်နီဖိုးများ၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုအတွက် နည်းလမ်းသစ်များကို တီထွင်ခဲ့သည်။ သူ၏ ရလဒ်များအနက်မှ တစ်ခုမှာ အတိုင်းအတာလေးခုရှိသော ပွန်ကာရေး ယူဆချက်ကို သက်သေပြနိုင်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။<ref name="86reasons" /> |- |rowspan=4| ၁၉၉၀ |rowspan=4| ကျိုတို (Kyoto) မြို့၊ ဂျပန်နိုင်ငံ | | ဗလာဒီမာ ဒရင်းဖဲ့လ် (Vladimir Drinfeld) | ဘီ ဗာကင် အပူချိန်နိမ့် ရူပဗေဒနှင့် အင်ဂျင်နီယာ သိပ္ပံ (B Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering)၊ ဆိုဗီယက်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite encyclopedia|url=https://www.britannica.com/EBchecked/topic/171669/Vladimir-Gershonovich-Drinfeld|title=Vladimir Gershonovich Drinfeld|date=19 August 2009|encyclopedia=Encyclopædia Britannica|access-date=2 September 2014|archive-date=10 August 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20140810212856/http://www.britannica.com/EBchecked/topic/171669/Vladimir-Gershonovich-Drinfeld|url-status=live}}</ref> | ချီကာဂို (Chicago) တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web|url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Drinfeld.html|title=Vladimir Gershonovich Drinfeld|date=18 August 2009|publisher=School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland|access-date=16 August 2014|archive-date=6 October 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20141006123607/http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Drinfeld.html|url-status=live}}</ref> | လွန်ခဲ့သော ဆယ်စုနှစ်အတွင်း ဒရင်းဖဲ့လ်၏ အဓိက အာရုံစိုက်မှုသည် လန်လန်းစ် ပရိုဂရမ် (Langlands' program) နှင့် ကွမ်တမ် အုပ်စုများ (quantum groups) ဖြစ်သည်။ နယ်ပယ်နှစ်ခုစလုံးတွင် ဒရင်းဖဲ့လ်၏ လုပ်ဆောင်ချက်သည် ပြတ်သားသော အောင်မြင်မှုတစ်ရပ် ဖြစ်စေခဲ့ပြီး သုတေသနများစွာကို လှုံ့ဆော်ပေးနိုင်ခဲ့သည်။<ref>Yuri Ivanovich Manin. ''On the mathematical work of Vladimir Drinfeld''. [https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1990.1/ICM1990.1.ocr.pdf Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1990. Volume I] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220408074657/https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1990.1/ICM1990.1.ocr.pdf |date=8 April 2022 }} pp. 3–7</ref> |- | [[File:Vaughan Jones p1190550.jpg|60px]] | ဗောန်း ဂျုန်းစ် (Vaughan Jones) | ကယ်လီဖိုးနီးယား တက္ကသိုလ် (ဘာကလေ)၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု | ကယ်လီဖိုးနီးယား တက္ကသိုလ် (ဘာကလေ)၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web|url=http://math.berkeley.edu/~vfr/vita/|title=Curriculum Vitae: Vaughan F. R. Jones|publisher=University of California, Berkeley|date=10 November 2001|access-date=16 August 2014|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20130806082228/http://math.berkeley.edu/~vfr/vita|archive-date=6 August 2013}}</ref> ဗန်ဒါဘစ် (Vanderbilt) တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web|last=Salisbury|first=David|title=Fields Medalist joins Vanderbilt faculty|url=http://news.vanderbilt.edu/2011/04/vaughan-jones/|publisher=Vanderbilt University|access-date=17 May 2011|date=6 April 2011|archive-date=14 April 2011|archive-url=https://web.archive.org/web/20110414130456/http://news.vanderbilt.edu/2011/04/vaughan-jones/|url-status=live}}</ref> | ဂျုန်းစ်သည် ဗွန်နျူမန်း အက္ခရာသင်္ချာများ (von Neumann algebras) နှင့် ဂျီဩမေတြီသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (geometric topology) တို့ကြားရှိ အံ့ဖွယ်ဆက်စပ်မှုတစ်ခုကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။ ထိုရလဒ်အနေဖြင့် အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ရပ်ဝန်းအတွင်းရှိ အထုံးများ (knots) နှင့် ချိတ်ဆက်မှုများအတွက် ပိုလီနိုမီရယ် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (polynomial invariant) အသစ်တစ်ခုကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။<ref>Joan S. Birman. ''The work of Vaughan F. R. Jones''. [https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1990.1/ICM1990.1.ocr.pdf Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1990. Volume I] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220408074657/https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1990.1/ICM1990.1.ocr.pdf |date=8 April 2022 }} pp. 9–18</ref> |- | [[File:Shigefumi Mori.jpg|60px]] | ရှိဂဲဖူမိ မိုရီ (Shigefumi Mori) | colspan="2" | ကျိုတို တက္ကသိုလ်၊ ဂျပန်နိုင်ငံ<ref>{{cite web|url=http://www.heidelberg-laureate-forum.org/blog/laureate/shigefumi-mori/|title=The Laureates|publisher=Heidelberg Laureate Forum Foundation (HLFF)|date=10 April 2014|access-date=16 August 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20140815120453/http://www.heidelberg-laureate-forum.org/blog/laureate/shigefumi-mori/|archive-date=15 August 2014|url-status=dead}}</ref> | လွန်ခဲ့သော ဆယ်စုနှစ်ခန့်အတွင်း အက္ခရာသင်္ချာ ဂျီဩမေတြီတွင် အနက်ရှိုင်းဆုံးနှင့် စိတ်လှုပ်ရှားဖွယ်အကောင်းဆုံး တိုးတက်မှုမှာ အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေစုများ၏ အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း ပြဿနာများနှင့် ဆက်စပ်နေသော အငယ်ဆုံး မော်ဒယ် ပရိုဂရမ် (minimal model program) ဖြစ်သည်။ ၁၉၇၉ ခုနှစ်အစောပိုင်းတွင် မိုရီသည် ဟတ်ရ်ှဟွန်း၏ ယူဆချက် (Hartshorne's conjecture) ကို သက်သေပြခဲ့ခြင်းဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာ ဂျီဩမေတြီသို့ လုံးဝအသစ်အဆန်းဖြစ်သော စိတ်လှုပ်ရှားဖွယ်ရာကို ယူဆောင်လာခဲ့သည်။<ref>Heisuke Hironaka. ''On the work of Shigefumi Mori''. [https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1990.1/ICM1990.1.ocr.pdf Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1990. Volume I] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220408074657/https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1990.1/ICM1990.1.ocr.pdf |date=8 April 2022 }} pp. 19–25</ref> |- | [[File:Edward Witten at Harvard.jpg|60px]] | အက်ဒဝပ် ဝစ်တန် (Edward Witten) | colspan="2" | အဆင့်မြင့်လေ့လာရေး သိပ္ပံ၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web |url=http://www.sns.ias.edu/~witten/CurrentCV.pdf |title=Edward Witten – Vita |date=2011 |access-date=26 October 2011 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20120204111241/http://www.sns.ias.edu/~witten/CurrentCV.pdf |archive-date=4 February 2012 }}</ref> | ရူပဗေဒဆိုင်ရာ ထိုးထွင်းသိမြင်မှုကို ထူးချွန်ပြောင်မြောက်စွာ အသုံးချခြင်းဖြင့် အသစ်အဆန်းနှင့် နက်ရှိုင်းသော သင်္ချာသီအိုရမ်များဆီသို့ ဦးတည်စေကာ သင်္ချာအသိုင်းအဝိုင်းကို အကြိမ်ကြိမ် အံ့အားသင့်စေခဲ့သည်။<ref>{{cite web |url=http://www.mathunion.org/ICM/ICM1990.1/Main/icm1990.1.0031.0036.ocr.pdf |title=On the Work of Edward Witten |author=Michael Atiyah |website=Mathunion.org |access-date=31 March 2017 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20170301004342/http://www.mathunion.org/ICM/ICM1990.1/Main/icm1990.1.0031.0036.ocr.pdf |archive-date=1 March 2017 }}</ref> |- |rowspan=4| ၁၉၉၄ |rowspan=4| ဇူးရစ်ချ် (Zürich) မြို့၊ ဆွစ်ဇာလန်နိုင်ငံ | [[File:Jean Bourgain (vertical crop).jpg|60px]] | ဂျန်း ဘော်ဂိန်း (Jean Bourgain) | သိပ္ပံဆိုင်ရာ အဆင့်မြင့်လေ့လာရေး အင်စတီကျု၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ | အဆင့်မြင့်လေ့လာရေး သိပ္ပံ၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web |url=https://www.math.ias.edu/files/bourgain/CVBourgain.pdf |title=CV : Jean Bourgain |website=Math.ias.edu |access-date=31 March 2017 |archive-date=30 May 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170530041057/https://www.math.ias.edu/files/bourgain/CVBourgain.pdf |url-status=live }}</ref> | ဘော်ဂိန်း၏ လုပ်ဆောင်ချက်သည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း၏ ဗဟိုအကြောင်းအရာများစွာကို လွှမ်းခြုံထားသည်။ ယင်းတို့မှာ ဘာနက်ရပ်ဝန်းများ (Banach spaces) ၏ ဂျီဩမေတြီ၊ ပိုမိုမြင့်မားသော အတိုင်းအတာများရှိ ခုံးခြင်းသဘာဝ (convexity)၊ ဟာမိုနစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (harmonic analysis)၊ အာဂေါဒစ် သီအိုရီနှင့် နောက်ဆုံးတွင် သင်္ချာဆိုင်ရာ ရူပဗေဒမှ မျဉ်းဖြောင့်မဟုတ်သော ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ (nonlinear partial differential equations) တို့ ဖြစ်သည်။<ref>Luis Caffarelli. ''The work of Jean Bourgain''. [https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1994.1/ICM1994.1.ocr.pdf Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1994. Volume I] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220408074735/https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1994.1/ICM1994.1.ocr.pdf |date=8 April 2022 }} pp. 3–5</ref> |- | [[File:Pierre-Louis Lions par Philippe Binant.jpg|60px]] | ပီယဲ-လူဝီ လိုင်းယွန်းစ် (Pierre-Louis Lions) | ပါရီ နဝမ တက္ကသိုလ် (University of Paris 9)၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ | ကောလိပ် ဒီ ဖရန့်စ်၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ အီကိုးလ် ပေါ်လီတက်ကနစ် (École polytechnique)၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ<ref>{{cite web|url=http://www.college-de-france.fr/site/pierre-louis-lions/biographie.htm|title=Collège de France|website=College-de-france.fr|date=16 December 2013|access-date=18 August 2014|archive-date=15 September 2013|archive-url=https://web.archive.org/web/20130915103327/http://www.college-de-france.fr/site/pierre-louis-lions/biographie.htm|url-status=live}}</ref> | သူ၏ ပံ့ပိုးမှုများသည် ဖြစ်တန်စွမ်း သီအိုရီ (probability theory) မှသည် ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများအထိ နယ်ပယ်အမျိုးမျိုးကို လွှမ်းခြုံထားသည်။ ၎င်းညီမျှခြင်းများကို အင်္ဂလိပ်အက္ခရာဖြင့် PDEs ဟု အတိုကောက်ခေါ်ဆိုသည်။ PDEs နယ်ပယ်အတွင်းရှိ မျဉ်းဖြောင့်မဟုတ်သော ညီမျှခြင်းများတွင် လှပသော လုပ်ဆောင်ချက်များစွာကို လုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။ သူရွေးချယ်ခဲ့သော ပြဿနာများသည် အသုံးချမှုများမှ အမြဲတမ်း လှုံ့ဆော်မှုရရှိခဲ့သည်။<ref>S. R. S. Varadhan. ''The work of Pierre-Louis Lions''. [https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1994.1/ICM1994.1.ocr.pdf Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1994. Volume I] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220408074735/https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1994.1/ICM1994.1.ocr.pdf |date=8 April 2022 }} pp. 6–10</ref> |- | [[File:Jean-Christophe Yoccoz.jpg|60px]] | ဂျန်း-ခရစ္စတိုဖာ ယိုကိုဇ် (Jean-Christophe Yoccoz) | ပါရီ-ဆုဒ် ၁၁ တက္ကသိုလ် (Paris-Sud 11 University)၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ | ကောလိပ် ဒီ ဖရန့်စ်၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ<ref>{{cite web|url=http://www.college-de-france.fr/site/jean-christophe-yoccoz/biographie.htm|title=Collège de France|website=College-de-france.fr|date=16 December 2013|access-date=18 August 2014|archive-date=5 January 2015|archive-url=https://web.archive.org/web/20150105141948/http://www.college-de-france.fr/site/jean-christophe-yoccoz/biographie.htm|url-status=live}}</ref> | ယိုကိုဇ်သည် ဘရူနို၏ သီအိုရမ် (Bruno's theorem) အတွက် အလွန်ရှင်းလင်းသော သက်သေပြချက်ကို ရရှိခဲ့ပြီး ၎င်း၏ ပြောင်းပြန်အဆိုကိုလည်း သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ပါလစ် (Palis) နှင့် ယိုကိုဇ် တို့သည် မော့စ်-စမေးလ် ဒစ်ဖီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ (Morse-Smale diffeomorphisms) အတွက် <math>C^\infty</math> ကွန်ဂျူဂိတ် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ၏ ပြည့်စုံသော စနစ်တစ်ခုကို ရရှိခဲ့ကြသည်။<ref>Adrien Douady. ''Presentation de Jean-Christophe Yoccoz''. [https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1994.1/ICM1994.1.ocr.pdf Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1994. Volume I] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220408074735/https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1994.1/ICM1994.1.ocr.pdf |date=8 April 2022 }} pp. 11–16</ref> |- | [[File:EfimIZelmanov.jpg|60px]] | ယက်ဖင် ဇယ်လ်မာနော့ဗ် (Efim Zelmanov) | ဝစ္စကွန်းဆင်း-မက်ဒီဆန် တက္ကသိုလ် (University of Wisconsin-Madison)၊ ချီကာဂို တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု | စတက်ကလော့ဗ် သင်္ချာသိပ္ပံ၊ ရုရှားနိုင်ငံ၊ ကယ်လီဖိုးနီးယား တက္ကသိုလ် (ဆန်ဒီယေဂို)၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web |url=http://www.ime.usp.br/~grishkov/papers/CV.Zelm..pdf |title=CV : Efim Zelmanov |website=Ime.usp.br |access-date=31 March 2017 |archive-date=2 July 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170702045759/https://www.ime.usp.br/~grishkov/papers/CV.Zelm..pdf |url-status=live }}</ref> | ကန့်သတ် ဘန်းဆိုက် ပြဿနာ (restricted Burnside problem) ကို ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့ခြင်းအတွက် ဖြစ်သည်။<ref>Walter Feit. ''On the Work of Efim Zelmanov''. [https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1994.1/ICM1994.1.ocr.pdf Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1994. Volume I] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220408074735/https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1994.1/ICM1994.1.ocr.pdf |date=8 April 2022 }} pp. 17–24</ref> |- |rowspan=4| ၁၉၉၈ |rowspan=4| ဘာလင် (Berlin) မြို့၊ ဂျာမနီနိုင်ငံ | [[File:Richard Borcherds.jpg|60px]] | ရစ်ချတ် ဘော်ချာ့ဒ်စ် (Richard Borcherds) | ကယ်လီဖိုးနီးယား တက္ကသိုလ် (ဘာကလေ)၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု ကိန်းဘရစ်ချ် တက္ကသိုလ်၊ ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း | ကယ်လီဖိုးနီးယား တက္ကသိုလ် (ဘာကလေ)၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web|url=http://www.heidelberg-laureate-forum.org/blog/laureate/richard-borcherds/|title=The Laureates|publisher=Heidelberg Laureate Forum Foundation (HLFF)|date=10 April 2014|access-date=16 August 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20141006103635/http://www.heidelberg-laureate-forum.org/blog/laureate/richard-borcherds/|archive-date=6 October 2014|url-status=dead}}</ref> | အက္ခရာသင်္ချာ၊ အော်တိုမော်ဖစ် ပုံစံများ (automorphic forms) သီအိုရီနှင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ ရူပဗေဒတို့တွင် ပံ့ပိုးပေးခဲ့ခြင်းအတွက် ဖြစ်သည်။ ဤလုပ်ဆောင်ချက်များတွင် ထောင့်စွန်း အက္ခရာသင်္ချာများ (vertex algebras) နှင့် ဘော်ချာ့ဒ်စ်၏ လီအက္ခရာသင်္ချာများကို မိတ်ဆက်ပေးခြင်း၊ ကွန်ဝေး-နော်တန် လမင်းရောင် ယူဆချက် (Conway-Norton moonshine conjecture) ကို သက်သေပြခြင်းနှင့် အော်တိုမော်ဖစ် အနန္တမြှောက်လဒ်များ၏ အတန်းအစားသစ်တစ်ခုကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခြင်းတို့ ပါဝင်သည်။<ref name="1998cer">''Opening ceremony''. [https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1998.1/ICM1998.1.ocr.pdf Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1998. Volume I] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220422051649/https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1998.1/ICM1998.1.ocr.pdf |date=22 April 2022 }} pp. 46–48</ref> |- | [[File:Gowers timothy 2011.jpg|60px]] | တီမသီ ဂေါဝါးစ် (Timothy Gowers) | colspan="2" | ကိန်းဘရစ်ချ် တက္ကသိုလ်၊ ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း<ref>{{cite encyclopedia|url=https://www.britannica.com/EBchecked/topic/240293/William-Timothy-Gowers|title=William Timothy Gowers|encyclopedia=Encyclopædia Britannica|date=28 March 2009|access-date=16 August 2014|archive-date=6 October 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20141006080937/http://www.britannica.com/EBchecked/topic/240293/William-Timothy-Gowers|url-status=live}}</ref> | ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) နှင့် ပေါင်းစပ်ခြင်း တွက်ချက်မှုပညာတို့တွင် ပံ့ပိုးပေးခဲ့ပြီး အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော ဂျီဩမေတြီ (infinite-dimensional geometry) ၏ မျှော်မှန်းချက်အသစ်ကို တီထွင်နိုင်ခဲ့ခြင်းအတွက် ဖြစ်သည်။ ဤလုပ်ဆောင်ချက်များတွင် ဘာနက်၏ ပြဿနာနှစ်ခုကို ဖြေရှင်းခြင်းနှင့် ဂေါဝါးစ်၏ နှစ်ခွကွဲခြင်း ဟုခေါ်သော အရာကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခြင်းတို့ ပါဝင်သည်။ အဆိုပါ နှစ်ခွကွဲခြင်းအရ အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော [[ဘာနက် ရပ်ဝန်း|ဘာနက်ရပ်ဝန်းတိုင်းတွင်]] နည်းပညာအရ ကန့်သတ်ချက်မရှိသော အခြေအစု (unconditional basis) တစ်ခုရှိသည့် အချိုးညီမှုများစွာပါဝင်သော ရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခု ပါဝင်သည် သို့မဟုတ် ၎င်းပေါ်ရှိ အော်ပရေတာတိုင်းသည် ထပ်တူရအော်ပရေတာ၏ ကိန်းစကैलာအဆနှင့် တိကျစွာ သီးခြားဖြစ်သော အော်ပရေတာ ပေါင်းစပ်ထားသည့် ပုံစံရှိပြီး သုညအညွှန်း (index zero) ရှိ ဖရက်ဟုန်း အော်ပရေတာ သို့မဟုတ် တိကျစွာ သီးခြားဖြစ်သော အော်ပရေတာ (strictly singular operator) ဖြစ်သည့် ရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခု ပါဝင်သည်။<ref name="1998cer" /> |- | [[File:Maxim Kontsevich 1994 (headshot).jpg|60px]] | မက်ဇင် ကွန်ဆီဗစ်ချ် (Maxim Kontsevich) | colspan="2" | သိပ္ပံဆိုင်ရာ အဆင့်မြင့်လေ့လာရေး အင်စတီကျု၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ ရတ်ဂါးစ် (Rutgers) တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု | အက္ခရာသင်္ချာ ဂျီဩမေတြီ၊ တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ ရူပဗေဒတို့တွင် ပံ့ပိုးပေးခဲ့ခြင်းအတွက် ဖြစ်သည်။ ဤလုပ်ဆောင်ချက်များတွင် တည်ငြိမ်သော မျဉ်းကွေးများ (stable curves) ၏ မော်ဂျူးလပ်စ် ရပ်ဝန်းများ (moduli spaces) ရှိ ဆုံမှတ်အရေအတွက်များဆိုင်ရာ ဝစ်တန်၏ ယူဆချက်ကို သက်သေပြခြင်း၊ အထုံးများ၏ စကြဝဠာ ဗာစီလီယက်ဗ် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (universal Vassiliev invariant) ကို တည်ဆောက်ခြင်းနှင့် ပွိုင်ဆန် မန်နီဖိုးများ (Poisson manifolds) ၏ ပုံစံတကျ ကွမ်တမ်ဖွဲ့စည်းခြင်း (formal quantization) တို့ ပါဝင်သည်။<ref name="1998cer" /> |- | [[File:Curtis T. McMullen, 1994 Aug-Sept (re-scanned, headshot).jpg|60px]] | ကာတစ် တီ မက်မူးလန် (Curtis T. McMullen) | colspan="2" | ဟားဗတ် တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web |url=http://abel.math.harvard.edu/~ctm/vita/resume.pdf |title=CV : Curtis T McMullen |website=Abel.math.harvard.edu |access-date=31 March 2017 |archive-date=10 February 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170210173438/http://abel.math.harvard.edu/~ctm/vita/resume.pdf |url-status=live }}</ref> | ဟိုလိုမော်ဖစ် ဒိုင်းနမစ် (holomorphic dynamics) သီအိုရီနှင့် <math>3</math>-မန်နီဖိုးများ၏ ဂျီဩမေတြီအသွင်ပြောင်းခြင်း (geometrization) တို့တွင် ပံ့ပိုးပေးခဲ့ခြင်းအတွက် ဖြစ်သည်။ ဤလုပ်ဆောင်ချက်များတွင် တိုက်ခ်မူလာ ရပ်ဝန်း (Teichmüller space) ၏ နယ်နိမိတ်ရှိ အချွန်အမှတ်များ၏ သိပ်သည်းဆဆိုင်ရာ ဘားစ် (Bers) ၏ ယူဆချက်ကို သက်သေပြခြင်းနှင့် ခရာ (Kra) ၏ သီတာ-ဖန်ရှင် (theta-function) ယူဆချက်ကို သက်သေပြခြင်းတို့ ပါဝင်သည်။<ref name="1998cer" /> |- |rowspan=2| ၂၀၀၂ |rowspan=2| ပေကျင်း (Beijing) မြို့၊ တရုတ်ပြည်သူ့သမ္မတနိုင်ငံ | [[File:Laurent Lafforgue.png|60px]] | လော်ရင့် လာဖို့ချ် (Laurent Lafforgue) | colspan="2" | သိပ္ပံဆိုင်ရာ အဆင့်မြင့်လေ့လာရေး အင်စတီကျု၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ<ref>{{cite web|url=https://www.ihes.fr/~lafforgue/cv.html|title=Curriculum Vitae|publisher=ihes|date=6 December 2005|access-date=19 August 2014|archive-date=10 March 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220310232627/http://laurentlafforgue.org/cv.html|url-status=live}}</ref> | အပေါင်း ဝိသေသလက္ခဏာရှိသော ဖန်ရှင် ဖီးလ်ဒ်များ (function fields of positive characteristic) အပေါ်ရှိ ယေဘုယျ မျဉ်းဖြောင့်အုပ်စုများ (general linear groups) <math>\mathrm{GL}_r</math> (<math>r \geq 1</math>) အတွက် လန်လန်းစ် ကိုက်ညီမှုကို သက်သေပြနိုင်ခဲ့သောကြောင့် လော်ရင့် လာဖို့ချ်ကို ဖီးလ်ဒ်ဆု ချီးမြှင့်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။<ref>Gérard Laumon. ''The work of Laurent Lafforgue''. [https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM2002.1/ICM2002.1.ocr.pdf Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2002. Volume I] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220408074623/https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM2002.1/ICM2002.1.ocr.pdf |date=8 April 2022 }} pp. 91–97</ref> |- | [[File:VladimirVoevodsky.jpg|60px]] | ဗလာဒီမာ ဗွိုင်ဗေါ့ဒ်စကီး (Vladimir Voevodsky) | colspan="2" | အဆင့်မြင့်လေ့လာရေး သိပ္ပံ၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web |url=http://www.math.ias.edu/~vladimir/Site3/home_files/mitcv12.pdf |title=CV : Vladimir Voevodsky |website=Math.ias.edu |access-date=31 March 2017 |archive-date=2 April 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160402041701/http://www.math.ias.edu/~vladimir/Site3/home_files/mitcv12.pdf |url-status=live }}</ref> | မိုတီဗစ် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (motivic cohomology) နှင့် <math>\mathbb{A}^1</math>-ဟိုမိုတိုပီ သီအိုရီ (<math>\mathbb{A}^1</math>-homotopy theory) ကို သတ်မှတ်တီထွင်ခဲ့ပြီး အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေစုများအတွက် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ သီအိုရီအသစ်များစွာကို ဖော်ပြရန် မူဘောင်တစ်ခုကို ပံ့ပိုးပေးခဲ့သည်။ ဖီးလ်ဒ်များ၏ <math>K</math>-သီအိုရီအပေါ်ရှိ မေးလ်နော ယူဆချက် (Milnor conjecture) များကို သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။<ref>Christophe Soulé. ''The work of Vladimir Voevodsky''. [https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM2002.1/ICM2002.1.ocr.pdf Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2002. Volume I] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220408074623/https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM2002.1/ICM2002.1.ocr.pdf |date=8 April 2022 }} pp. 99–103</ref> |- |rowspan=4| ၂၀၀၆ |rowspan=4| မက်ဒရစ် (Madrid) မြို့၊ စပိန်နိုင်ငံ | [[File:Andrei Okounkov 1999 (re-scanned, portioned).jpg|60px]] | အန်ဒရီ အိုကွန်းကော့ဗ် (Andrei Okounkov) | ပရင်စတန် တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု | ကိုလံဘီယာ (Columbia) တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web|url=http://www.math.columbia.edu/people/directory/?dname=Okounkov&did=69|title=Department of Mathematics|date=20 December 2012|publisher=Columbia University, Department of Mathematics|access-date=19 August 2014|archive-date=6 October 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20141006102403/http://www.math.columbia.edu/people/directory/?dname=Okounkov&did=69|url-status=live}}</ref> ကယ်လီဖိုးနီးယား တက္ကသိုလ် (ဘာကလေ)၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web|url=https://math.berkeley.edu/people/faculty/andrei-okounkov|access-date=August 22, 2022|title=Andrei Okounkov|publisher=Berkeley Mathematics|website=math.berkeley.edu|archive-date=22 February 2023|archive-url=https://web.archive.org/web/20230222214335/https://math.berkeley.edu/people/faculty/andrei-okounkov|url-status=live}}</ref> | ဖြစ်တန်စွမ်း၊ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု သီအိုရီ (representation theory) နှင့် အက္ခရာသင်္ချာ ဂျီဩမေတြီတို့ကို ပေါင်းကူးပေးသော ပံ့ပိုးမှုများအတွက် ဖြစ်သည်။<ref name="2006cer">''Opening ceremony''. [https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM2006.1/ICM2006.1.ocr.pdf Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2006. Volume I] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220408074623/https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM2006.1/ICM2006.1.ocr.pdf |date=8 April 2022 }} p. 36</ref> |- | [[File:Grigori Perelman, 1993 (re-scanned) (cropped).jpg|60px]] | ဂရီဂေါ်ရီ ပီရယ်လ်မန်း (Grigori Perelman) - ဆုလက်ခံရန် ငြင်းဆိုခဲ့သည် | မရှိပါ | ရုရှား သိပ္ပံအကယ်ဒမီ၏ စတက်ကလော့ဗ် သင်္ချာသိပ္ပံ (စိန့်ပီတာစဘတ် ဌာနခွဲ)၊ ရုရှားနိုင်ငံ<ref>{{cite encyclopedia|url=https://www.britannica.com/EBchecked/topic/1272681/Grigori-Perelman|date=28 May 2008|encyclopedia=Encyclopædia Britannica|access-date=19 August 2014|title=Grigori Perelman &#124; Biography & Facts|archive-date=16 September 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20140916012923/http://www.britannica.com/EBchecked/topic/1272681/Grigori-Perelman|url-status=live}}</ref> | ဂျီဩမေတြီအတွက် ပံ့ပိုးမှုများနှင့် ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု (Ricci flow) ၏ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာနှင့် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တည်ဆောက်ပုံအပေါ် သူ၏ တော်လှန်ပြောင်းလဲစေသော ထိုးထွင်းသိမြင်မှုများအတွက် ဖြစ်သည်။<ref name="2006cer" /> |- | [[File:Terence Tao.jpg|60px]] | တဲရင့်စ် တောင်း (Terence Tao) | colspan="2" | ကယ်လီဖိုးနီးယား တက္ကသိုလ် (လော့စ်အိန်ဂျလိစ်)၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web|url=https://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/cv.html|title=Vitae and Bibliography for Terence Tao|date=16 March 2010|publisher=UCLA Dept. of Math.|access-date=19 August 2014|archive-date=8 April 2000|archive-url=https://web.archive.org/web/20000408183915/https://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/cv.html|url-status=live}}</ref> | ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ၊ ပေါင်းစပ်ခြင်း တွက်ချက်မှုပညာ၊ ဟာမိုနစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာနှင့် အပေါင်းအခြေခံ ကိန်းသီအိုရီ (additive number theory) တို့တွင် ပံ့ပိုးပေးခဲ့ခြင်းအတွက် ဖြစ်သည်။<ref name="2006cer" /> |- | [[File:Wendelin Werner.jpg|60px]] | ဗန်ဒလင် ဗားနား (Wendelin Werner) | ပါရီ-ဆုဒ် ၁၁ တက္ကသိုလ်၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ | အီးတီအိတ်ချ် ဇူးရစ်ချ် (ETH Zurich)၊ ဆွစ်ဇာလန်နိုင်ငံ<ref>{{cite web|url=http://www.math.ethz.ch/~wewerner/|title=Wendelin WERNER|date=18 September 2013|publisher=ETH Zurich|access-date=19 August 2014|archive-date=6 October 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20141006131413/http://www.math.ethz.ch/~wewerner/|url-status=live}}</ref> | စတော့ကတ်စတစ် လူးဗ်နာ ဆင့်ကဲဖြစ်စဉ် (stochastic Loewner evolution)၊ အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော ဘရောင်းနီးယန်း ရွေ့လျားမှု (Brownian motion) ၏ ဂျီဩမေတြီနှင့် ထောင့်ထိန်း စက်ကွင်း သီအိုရီ (conformal field theory) တို့ကို ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်စေရန် ပံ့ပိုးပေးခဲ့ခြင်းအတွက် ဖြစ်သည်။<ref name="2006cer" /> |- |rowspan=4| ၂၀၁၀ |rowspan=4| ဟိုက်ဒရာဘတ် (Hyderabad) မြို့၊ အိန္ဒိယနိုင်ငံ | [[File:Elon Lindenstrauss MFO.jpg|60px]] | အီလွန် လင်ဒန်စထရောက်စ် (Elon Lindenstrauss) | ဂျေရုဆလင် ဟီဘရူး (Hebrew) တက္ကသိုလ်၊ အစ္စရေးနိုင်ငံ ပရင်စတန် တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု | ဂျေရုဆလင် ဟီဘရူး တက္ကသိုလ်၊ အစ္စရေးနိုင်ငံ<ref>{{cite web|url=http://www.huji.ac.il/huji/nobel/lindE.htm|title=Nobel at HU|date=5 July 2011|publisher=The Hebrew University of Jerusalem|access-date=16 August 2014|archive-date=14 August 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20140814071745/http://www.huji.ac.il/huji/nobel/lindE.htm|url-status=live}}</ref> | အာဂေါဒစ် သီအိုရီရှိ အတိုင်းအတာ ခိုင်မာမှု (measure rigidity) ဆိုင်ရာ ရလဒ်များနှင့် ၎င်းတို့ကို ကိန်းသီအိုရီတွင် အသုံးချနိုင်မှုများအတွက် ဖြစ်သည်။<ref name="2010cer">''Opening ceremony''. [https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM2010.1/ICM2010.1.pdf Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2010. Volume I] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220408074655/https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM2010.1/ICM2010.1.pdf |date=8 April 2022 }} p. 23</ref> |- | [[File:Ngo Bau Chau MFO.jpg|60px]] | ငို ဘောင် ချော (Ngô Bảo Châu) | ပါရီ-ဆုဒ် ၁၁ တက္ကသိုလ်၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ အဆင့်မြင့်လေ့လာရေး သိပ္ပံ၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု | ချီကာဂို တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု အဆင့်မြင့်လေ့လာရေး သိပ္ပံ၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web|url=http://www.heidelberg-laureate-forum.org/blog/laureate/bao-chau-ngo/|title=Ngô Bảo Châu › Heidelberg Laureate Forum|access-date=16 March 2015|archive-url=https://web.archive.org/web/20150207021714/http://www.heidelberg-laureate-forum.org/blog/laureate/bao-chau-ngo/|archive-date=7 February 2015|url-status=dead}}</ref> | အက္ခရာသင်္ချာ-ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ နည်းလမ်းများ (algebro-geometric methods) သစ်များကို မိတ်ဆက်ခြင်းမှတစ်ဆင့် အော်တိုမော်ဖစ် ပုံစံများ သီအိုရီရှိ အခြေခံ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Fundamental Lemma) ကို သက်သေပြနိုင်ခဲ့ခြင်းအတွက် ဖြစ်သည်။<ref name="2010cer" /> |- | [[File:Stanislav Smirnov2005 2.JPG|60px]] | စတန်နစ်စလက်ဗ် စမီယာနော့ဗ် (Stanislav Smirnov) | ဂျနီဗာ (Geneva) တက္ကသိုလ်၊ ဆွစ်ဇာလန်နိုင်ငံ | ဂျနီဗာ တက္ကသိုလ်၊ ဆွစ်ဇာလန်နိုင်ငံ စိန့်ပီတာစဘတ် နိုင်ငံတော် တက္ကသိုလ်၊ ရုရှားနိုင်ငံ<ref>{{cite web|url=http://www.unige.ch/~smirnov/|title=Home Page of Stanislav Smirnov|access-date=16 March 2015|archive-date=19 June 2013|archive-url=https://web.archive.org/web/20130619221150/http://www.unige.ch/~smirnov/|url-status=live}}</ref> | စာရင်းအင်း ရူပဗေဒ (statistical physics) ရှိ ပြင်ညီ အိုက်ဆင်း မော်ဒယ် (planar Ising model) နှင့် စိမ့်ဝင်ပျံ့နှံ့မှု (percolation) တို့၏ ထောင့်ထိန်း မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (conformal invariance) ကို သက်သေပြနိုင်ခဲ့ခြင်းအတွက် ဖြစ်သည်။<ref name="2010cer" /> |- | [[File:Cedric Villani at his office 2015 n2 (cropped).jpg|60px]] | ဆက်ဒရစ် ဗီလာနီ (Cédric Villani) | အီကိုးလ် နော်မယ် စူပီးရီးယား ဒီ လိုင်ယွန် (École Normale Supérieure de Lyon)၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ ဟင်နရီ ပွန်ကာရေး အင်စတီကျု (Institut Henri Poincaré)၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ | လိုင်ယွန် တက္ကသိုလ်၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ ဟင်နရီ ပွန်ကာရေး အင်စတီကျု၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ<ref>{{cite web |url=http://cedricvillani.org/wp-content/uploads/2012/10/cv-2012.pdf |title=CV : Cédric Villani |website=Cedricvillani.org |access-date=31 March 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160623224603/http://cedricvillani.org/wp-content/uploads/2012/10/cv-2012.pdf |archive-date=23 June 2016 |url-status=dead }}</ref> | မျဉ်းဖြောင့်မဟုတ်သော လန်ဒေါ အားလျော့ခြင်းများ (Landau damping) နှင့် ဘော့လ်ဇ်မန်း ညီမျှခြင်း (Boltzmann equation) အတွက် မျှခြေသို့ စုဆုံခြင်း (convergence to equilibrium) တို့ကို သက်သေပြနိုင်ခဲ့ခြင်းအတွက် ဖြစ်သည်။<ref name="2010cer" /> |- |rowspan=4| ၂၀၁၄ |rowspan=4| ဆိုးလ် (Seoul) မြို့၊ တောင်ကိုရီးယားနိုင်ငံ | [[File:Artur Ávila crop.jpg|60px]] | အာတူရ် အာဗီလာ (Artur Avila) | ပါရီ သတ္တမ တက္ကသိုလ်၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ အမျိုးသား သိပ္ပံသုတေသန ဗဟိုဌာန၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ အမျိုးသား သန့်စင်နှင့် အသုံးချ သင်္ချာသိပ္ပံ (Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada)၊ ဘရာဇီးနိုင်ငံ | ဇူးရစ်ချ် (Zurich) တက္ကသိုလ်၊ ဆွစ်ဇာလန်နိုင်ငံ အမျိုးသား သန့်စင်နှင့် အသုံးချ သင်္ချာသိပ္ပံ၊ ဘရာဇီးနိုင်ငံ | ပြန်လည်စံသတ်မှတ်ခြင်း (renormalization) ဟူသော အစွမ်းထက်သည့် အယူအဆကို ပေါင်းစည်းမှုမူဝါဒအဖြစ် အသုံးပြု၍ ဒိုင်းနမစ်စနစ်များ သီအိုရီ (dynamical systems theory) ကို နက်နက်ရှိုင်းရှိုင်း ပံ့ပိုးပေးခဲ့ပြီး ယင်းက ဤနယ်ပယ်၏ အသွင်အပြင်ကို ပြောင်းလဲစေခဲ့ခြင်းအတွက် ဖြစ်သည်။<ref name="2014cer">''Opening ceremony''. [https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM2014.1/ICM2014.1.pdf Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2014. Volume I] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220408074729/https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM2014.1/ICM2014.1.pdf |date=8 April 2022 }} p. 23</ref> |- | [[File:Manjul Bhargava.jpg|60px]] | မန်ဂျူးလ် ဘာဂါဗာ (Manjul Bhargava) | colspan="2" | ပရင်စတန် တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web |url=http://www2.maths.ox.ac.uk/cmi/library/research_award/Bhargava/CV.pdf |title=CV : Manjul Bhargava |website=2.maths.ox.ac.uk |access-date=31 March 2017 |archive-date=22 December 2014 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141222225037/http://www2.maths.ox.ac.uk/cmi/library/research_award/Bhargava/CV.pdf |url-status=live }}</ref><ref>{{cite web |url=http://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/2014/news_release_bhargava.pdf |title=The Work of Manjul Bhargava |website=Mathunion.org |access-date=31 March 2017 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20170713133635/http://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/2014/news_release_bhargava.pdf |archive-date=13 July 2017 }}</ref><ref>{{cite web|url=https://www.math.princeton.edu/directory/faculty|title=Faculty|date=8 May 2012|publisher=The Princeton University, Department of Mathematics|access-date=19 December 2014|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20141225194217/http://www.math.princeton.edu/directory/faculty|archive-date=25 December 2014}}</ref> | ကိန်းများ၏ ဂျီဩမေတြီ (geometry of numbers) တွင် အစွမ်းထက်သော နည်းလမ်းသစ်များကို တီထွင်ခဲ့ပြီး ၎င်းတို့ကို အဆင့်ငယ်များရှိသော ကွင်းများကို ရေတွက်ရန်နှင့် အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများ (elliptic curves) ၏ ပျမ်းမျှအဆင့်ကို ဘောင်ခတ်ရန် အသုံးချခဲ့ခြင်းအတွက် ဖြစ်သည်။<ref name="2014cer" /> |- | [[File:Professor Martin Hairer FRS.jpg|60px]] | မာတင် ဟိုင်းရား (Martin Hairer) | ဝါဝစ် (Warwick) တက္ကသိုလ်၊ ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း | ဆွစ်ဇာလန် ဖက်ဒရယ် စက်မှုတက္ကသိုလ် (လော်ဇန်း)၊ ဆွစ်ဇာလန်နိုင်ငံ အင်ပီရီယယ် ကောလိပ် လန်ဒန်၊ ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း | စတော့ကတ်စတစ် ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ (stochastic partial differential equations) သီအိုရီတွင် ထူးချွန်ပြောင်မြောက်စွာ ပံ့ပိုးပေးခဲ့ပြီး အထူးသဖြင့် ထိုသို့သော ညီမျှခြင်းများအတွက် ပုံမှန်ဖွဲ့စည်းပုံများ (regularity structures) သီအိုရီတစ်ရပ်ကို ဖန်တီးနိုင်ခဲ့ခြင်းအတွက် ဖြစ်သည်။<ref name="2014cer" /> |- | [[File:Maryam Mirzakhani in Seoul 2014.jpg|60px]] | မာရီယမ် မီဇာခါနီ (Maryam Mirzakhani) | colspan="2" | စတန်းဖို့ဒ် တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web|url=http://www2.maths.ox.ac.uk/cmi/library/annual_report/ar2008/08Interview.pdf|title=Interview with Research Fellow Maryam Mirzakhani|access-date=24 August 2014|archive-date=27 August 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20140827222953/http://www2.maths.ox.ac.uk/cmi/library/annual_report/ar2008/08Interview.pdf|url-status=live}}</ref><ref>{{cite web|url=http://mathematics.stanford.edu/people/faculty-lecturers/|title=Department of Mathematics|date=22 January 2009|publisher=Stanford University|access-date=19 December 2014|archive-date=21 December 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20141221152037/http://mathematics.stanford.edu/people/faculty-lecturers/|url-status=live}}</ref> | ရီးမန်း မျက်နှာပြင်များနှင့် ၎င်းတို့၏ မော်ဂျူးလပ်စ် ရပ်ဝန်းများ၏ ဒိုင်းနမစ်နှင့် ဂျီဩမေတြီတို့တွင် ထူးချွန်ပြောင်မြောက်စွာ ပံ့ပိုးပေးခဲ့ခြင်းအတွက် ဖြစ်သည်။<ref name="2014cer" /> |- |rowspan=4| ၂၀၁۸ |rowspan=4| ရီယို ဒီ ဂျနေးရိုး (Rio de Janeiro) မြို့၊ ဘရာဇီးနိုင်ငံ | [[File:Caucher Birkar, 2018 (cropped).jpg|60px]] | ကော့ချာ ဘာကာ (Caucher Birkar) | ကိန်းဘရစ်ချ် တက္ကသိုလ်၊ ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း | ရှင်းဟွာ တက္ကသိုလ်၊ တရုတ်ပြည်သူ့သမ္မတနိုင်ငံ | ဖာနို အဖြေစုများ (Fano varieties) ၏ အကန့်အသတ်ရှိခြင်းကို သက်သေပြခြင်းနှင့် အငယ်ဆုံး မော်ဒယ် ပရိုဂရမ်တွင် ပံ့ပိုးပေးခဲ့ခြင်းအတွက် ဖြစ်သည်။<ref name="2018cer">''Opening ceremonies''. [https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM2018/ICM-2018-vol1-ver1-eb.pdf Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2018. Volume I] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220408074623/https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM2018/ICM-2018-vol1-ver1-eb.pdf |date=8 April 2022 }} pp. 13–16</ref> |- | [[File:Alessio Figalli (cropped).jpg|60px]] | အလက်ဆီယို ဖီဂါလီ (Alessio Figalli) | colspan="2" | ဆွစ်ဇာလန် ဖက်ဒရယ် စက်မှုတက္ကသိုလ် (ဇူးရစ်ချ်)၊ ဆွစ်ဇာလန်နိုင်ငံ | အကောင်းဆုံး သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး (optimal transport) သီအိုရီတွင် ပံ့ပိုးပေးခြင်းနှင့် ၎င်းကို ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ၊ အကွာအဝေး ဖန်ရှင် ဂျီဩမေတြီ (metric geometry) နှင့် ဖြစ်တန်စွမ်းတို့တွင် အသုံးချခြင်းများအတွက် ဖြစ်သည်။<ref name="2018cer" /> |- | [[File:Peter Scholze (cropped).jpg|60px]] | ပီတာ ရှို့လ်ဇာ (Peter Scholze) | colspan="2" | ဘွန်း (Bonn) တက္ကသိုလ်၊ ဂျာမနီနိုင်ငံ | <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ဖီးလ်ဒ်များ (<math>p</math>-adic fields) အပေါ်ရှိ ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ ဂျီဩမေတြီကို တော်လှန်ပြောင်းလဲနိုင်ခဲ့ခြင်းအတွက် ဖြစ်သည်။<ref name="2018cer" /> |- | [[File:Akshay Venkatesh 2014 (cropped).jpg|60px]] | အက်ရှေး ဗန်ကတက်ရှ် (Akshay Venkatesh) | စတန်းဖို့ဒ် တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု | အဆင့်မြင့်လေ့လာရေး သိပ္ပံ၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web|url=https://www.ias.edu/press-releases/faculty-appointee-akshay-venkatesh-awarded-2018-fields-medal|title=Faculty Appointee Akshay Venkatesh Awarded 2018 Fields Medal|date=August 2018|access-date=2 August 2018|archive-date=24 January 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220124080025/https://www.ias.edu/news/press-releases/venkatesh-fields|url-status=live}}</ref> |ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများ၏ ညီမျှစွာဖြန့်ဖြူးခြင်း (equidistribution) ကဲ့သို့သော နယ်ပယ်များရှိ ကာလကြာရှည်စွာ တည်ရှိနေခဲ့သည့် ပြဿနာများကို ဖြေရှင်းပေးနိုင်ခဲ့သော ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ကိန်းသီအိုရီ (analytic number theory)၊ တစ်ပြေးညီ ဒိုင်းနမစ်စနစ်များ (homogeneous dynamics)၊ တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု သီအိုရီတို့ကို ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းမှုအတွက် ဖြစ်သည်။<ref name="2018cer" /> |- |rowspan=4| ၂၀၂၂ |rowspan=4| ဟယ်လ်ဆင်ကီ (Helsinki) မြို့၊ ဖင်လန်နိုင်ငံ{{efn|၂၀၂၂ ခုနှစ် အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ သင်္ချာပညာရှင်များ ညီလာခံကို ရုရှားနိုင်ငံ၊ စိန့်ပီတာစဘတ် (Saint Petersburg) မြို့တွင် ကျင်းပရန် မူလက စီစဉ်ထားသော်လည်း ယူကရိန်းနိုင်ငံအား ရုရှားမှ ဝင်ရောက်ကျူးကျော်မှု ဖြစ်ပွားပြီးနောက် အွန်လိုင်းမှတစ်ဆင့် ပြောင်းလဲကျင်းပခဲ့သည်။ ဖီးလ်ဒ်ဆုများအတွက် ဆုပေးပွဲအခမ်းအနားနှင့် ဆုရှင်များ၏ ဟောပြောပို့ချချက်များကို ဖင်လန်နိုင်ငံ၊ ဟယ်လ်ဆင်ကီမြို့တွင် ကျင်းပခဲ့ပြီး တိုက်ရိုက်ထုတ်လွှင့်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=Decision of the Executive Committee of the IMU on the upcoming ICM 2022 and IMU General Assembly |url=https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/ICM2022/ICM_2022_statement.pdf |access-date=5 July 2022 |archive-date=2 April 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220402092339/https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/ICM2022/ICM_2022_statement.pdf |url-status=live }}</ref><ref>{{cite web|url=https://www.mathunion.org/icm/virtual-icm-2022|title=Virtual ICM 2022|website=International Mathematical Union|access-date=5 July 2022|archive-date=1 June 2023|archive-url=https://web.archive.org/web/20230601054456/https://www.mathunion.org/icm/virtual-icm-2022|url-status=live}}</ref>}} | [[File:Hugo Duminil-Copin in Oberwolfach (cropped).jpg|60px]] | ဟူဂို ဒူမီနီးလ်-ကိုပင်း (Hugo Duminil-Copin) | colspan="2" | သိပ္ပံဆိုင်ရာ အဆင့်မြင့်လေ့လာရေး အင်စတီကျု၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ ဂျနီဗာ တက္ကသိုလ်၊ ဆွစ်ဇာလန်နိုင်ငံ<ref name="unige.ch">{{cite web | url=https://www.unige.ch/sciences/math/fields2022/en | title=Hugo Duminil-Copin – Fields Medal 2022 – UNIGE | date=28 June 2022 | access-date=5 July 2022 | archive-date=6 July 2022 | archive-url=https://web.archive.org/web/20220706023552/https://www.unige.ch/sciences/math/fields2022/en | url-status=live }}</ref> | စာရင်းအင်း ရူပဗေဒရှိ အဆင့်ကူးပြောင်းမှုများ (phase transitions) ၏ ဖြစ်တန်စွမ်း သီအိုရီတွင် ကာလကြာရှည်စွာ တည်ရှိနေခဲ့သော ပြဿနာများကို အထူးသဖြင့် အတိုင်းအတာ သုံးခုနှင့် လေးခုတို့တွင် ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့ခြင်းအတွက် ဖြစ်သည်။<ref name="2022fields">{{cite web|url=https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal/fields-medals-2022|title=Fields Medals 2022|website=International Mathematical Union|access-date=5 July 2022|archive-date=5 July 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220705072608/https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal/fields-medals-2022|url-status=live}}</ref> |- | [[File:June Huh - ICM 2018.jpg|60px]] | ဂျွန် ဟော (June Huh) | colspan="2" | ပရင်စတန် တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု | ဟော့ချ် သီအိုရီ (Hodge theory) အယူအဆများကို ပေါင်းစပ်ခြင်း တွက်ချက်မှုပညာသို့ ယူဆောင်လာခြင်း၊ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ လတ္တစ်များ (geometric lattices) အတွက် ဒေါင်းလင်း-ဝီလ်ဆင် ယူဆချက် (Dowling-Wilson conjecture) ကို သက်သေပြခြင်း၊ မက်ထရွိုက်များ (matroids) အတွက် ဟီရွန်-ရိုတာ-ဝဲလ်ရှ် ယူဆချက် (Heron-Rota-Welsh conjecture) ကို သက်သေပြခြင်း၊ လိုရန့်ဇ် ပိုလီနိုမီရယ်များ (Lorentzian polynomials) သီအိုရီကို တီထွင်ခြင်းနှင့် အားကောင်းသော မေဆန် ယူဆချက် (Mason conjecture) ကို သက်သေပြနိုင်ခဲ့ခြင်းတို့အတွက် ဖြစ်သည်။<ref name="2022fields" /> |- | [[File:James Maynard MFO 2013.jpg|60px]] | ဂျိမ်းစ် မေးနာ့ဒ် (James Maynard) | colspan="2" | အောက်စ်ဖို့ဒ် တက္ကသိုလ်၊ ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း | သုဒ္ဓကိန်းများ၏ တည်ဆောက်ပုံကို နားလည်သဘောပေါက်ခြင်းနှင့် ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ချဉ်းကပ်တွက်ချက်မှု (Diophantine approximation) တို့တွင် အဓိကတိုးတက်မှုများဆီသို့ ဦးတည်စေခဲ့သည့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ကိန်းသီအိုရီတွင် ပံ့ပိုးပေးခဲ့ခြင်းအတွက် ဖြစ်သည်။<ref name="2022fields" /> |- | [[File:Maryna Vazovska MFO 2013 crop.jpg|60px]] | မာရီနာ ဗီယာဇော့ဗ်စကာ (Maryna Viazovska) | colspan="2" | ဆွစ်ဇာလန် ဖက်ဒရယ် စက်မှုတက္ကသိုလ် (လော်ဇန်း)၊ ဆွစ်ဇာလန်နိုင်ငံ | အတိုင်းအတာ ၈ ခုတွင် ထပ်တူကျသော စက်လုံးများ၏ အသိပ်သည်းဆုံး စီရီခြင်း (sphere packings) ကို <math>E_8</math> လတ္တစ် (<math>E_8</math> lattice) က ထောက်ပံ့ပေးကြောင်း သက်သေပြနိုင်ခဲ့ခြင်းနှင့် ဖူးရေ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Fourier analysis) ရှိ ဆက်စပ်နေသော အစွန်းရောက် ပြဿနာများ (extremal problems) နှင့် ကြားဖြတ်ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်း ပြဿနာများ (interpolation problems) အတွက် နောက်ထပ် ပံ့ပိုးမှုများ ပြုလုပ်ပေးခဲ့ခြင်းအတွက် ဖြစ်သည်။<ref name="2022fields" /><ref>{{cite web |date=July 5, 2022 |first1=Thomas |last1=Lin |first2=Erica |last2=Klarreich |title=Ukrainian Mathematician Maryna Viazovska Wins Fields Medal |url=https://www.quantamagazine.org/ukrainian-mathematician-maryna-viazovska-wins-fields-medal-20220705/ |access-date=18 July 2022 |archive-date=5 July 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220705072102/https://www.quantamagazine.org/ukrainian-mathematician-maryna-viazovska-wins-fields-medal-20220705/ |url-status=live }}</ref> |- |rowspan=4| ၂၀၂၆ |rowspan=4| ဖီလာဒဲလ်ဖီးယား (Philadelphia) မြို့၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု | [[File:YuDeng2 c.Simons Foundation.jpg|60px]] | ယွီ ဒန်း (Yu Deng) | colspan="2" | ချီကာဂို တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု | ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများတွင် သူ၏ လုပ်ဆောင်ချက်အတွက် ဖြစ်သည်။ ဤလုပ်ဆောင်ချက်များတွင် ကျဲပါးသော ဓာတ်ငွေ့များ (rarefied gases) အတွက် မာကျောသော စက်လုံး ဒိုင်းနမစ် (hard-sphere dynamics) မှ ဘော့လ်ဇ်မန်း ညီမျှခြင်းကို တိကျသေချာစွာ ပုံစံထုတ်ခြင်း၊ မျဉ်းဖြောင့်မဟုတ်သော ပြန့်ကျဲစနစ်များ (nonlinear dispersive systems) မှ လှိုင်းအရွေ့ ညီမျှခြင်းများ (wave kinetic equations) ကို ပုံစံထုတ်ခြင်းနှင့် မျဉ်းဖြောင့်မဟုတ်သော ရှရိုဒင်းဂါး ဒိုင်းနမစ် (nonlinear Schrödinger dynamics) သို့ ဖြစ်တန်စွမ်းဆိုင်ရာ ချဉ်းကပ်မှုများ ပြုလုပ်ခြင်းတို့ ပါဝင်သည်။<ref name="2026fields">{{cite web|url=https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal/fields-medals-2026|title=Fields Medals 2026|website=International Mathematical Union|access-date=23 July 2026|archive-date=23 July 2026|archive-url=https://web.archive.org/web/20260723135714/https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal/fields-medals-2026|url-status=live}}</ref> |- | [[File:John Pardon4 c.Simons Foundation.jpg|60px]] | ဂျွန် ပါဒွန် (John Pardon) | colspan="2" | စတိုးနီးဘရွတ် တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု | ပကတိမဟုတ်သော အခြေခံ ဆိုက်ကယ်များ (virtual fundamental cycles)၊ အချို့သော မန်နီဖိုးများ၏ ဖူကာယာ ကတ်တဂိုရီများ (Fukaya categories) နှင့် ဟိုလိုမော်ဖစ် မျဉ်းကွေးများ (holomorphic curves) ကို ရေတွက်ခြင်းတို့ဆီသို့ ချဉ်းကပ်မှုအသစ်များ အပါအဝင် ဆင်ပလက်တစ် ဂျီဩမေတြီ (symplectic geometry) ရှိ သူ၏ အောင်မြင်မှုများအတွက် ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် <math>3</math>-မန်နီဖိုးများအပေါ်ရှိ [[အုပ်စုသက်ရောက်ချက်|အုပ်စုသက်ရောက်ချက်များ]] (group actions) နှင့် အထုံးသီအိုရီ (knot theory) အပါအဝင် ဂျီဩမေတြီနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ အခြားနယ်ပယ်များသို့ ပံ့ပိုးပေးခဲ့ခြင်းအတွက် ဖြစ်သည်။<ref name="2026fields" /> |- | [[File:Jacob Tsimerman2 c.Simons Foundation.jpg|60px]] | ဂျေးကော့ဘ် ဇင်မာမန်း (Jacob Tsimerman) | colspan="2" | တိုရွန်တို (Toronto) တက္ကသိုလ်၊ ကနေဒါနိုင်ငံ | ဂဏန်းသင်္ချာနှင့် ကိန်းထွေး အက္ခရာသင်္ချာ ဂျီဩမေတြီတို့၏ အခြေခံနည်းလမ်းတစ်ခုအဖြစ် <math>o</math>-အငယ်ဆုံးဖြစ်မှု (<math>o</math>-minimality) ကို ပြန်လည်ပုံဖော်ရာတွင် သူ၏ ပံ့ပိုးမှုအတွက် ဖြစ်သည်။ ပီးရီးယဒ် ပုံဖော်မှုများ (period maps) ၏ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်များ]]ဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာသဘာဝအပေါ် ဂရစ်ဖစ်၏ ယူဆချက် (Griffiths' conjecture) နှင့် ဇီးဂယ် မော်ဂျူလာ အဖြေစုများ (Siegel modular varieties) အတွက် အန်ဒရေး-အူးတ် ယူဆချက် (Andre-Oort conjecture) အပါအဝင် ဗဟိုယူဆချက်များစွာကို သက်သေပြရာတွင် သူပါဝင်ခဲ့သော အခန်းကဏ္ဍအတွက်လည်း ဖြစ်သည်။<ref name="2026fields" /> |- | [[File:Hong_Wang1_c.Simons_Foundation.jpg|60px]] | ဟုန် ဝမ် (Hong Wang) | colspan="2" | နယူးယောက် (New York) တက္ကသိုလ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု သိပ္ပံဆိုင်ရာ အဆင့်မြင့်လေ့လာရေး အင်စတီကျု၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ | ဟာမိုနစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (harmonic analysis) နှင့် ဂျီဩမေတြီသုံး အတိုင်းအတာသီအိုရီ (geometric measure theory) တို့တွင် သူမ၏ လုပ်ဆောင်ချက်အတွက် ဖြစ်သည်။ ဤလုပ်ဆောင်ချက်များတွင် ပြင်ညီ လှိုင်း ညီမျှခြင်း (planar wave equation) အတွက် ဒေသအလိုက် ချောမွေ့စေခြင်း ယူဆချက် (local smoothing conjecture) အပေါ် အတိုင်းအတာပေါင်းစုံနှင့် ချိတ်ဆက်ဖြုတ်နည်းစနစ်များကို အသုံးချခြင်း ပါဝင်သည်။ ထို့အပြင် ဖူးရေ ကန့်သတ်ချက် (Fourier restriction)၊ ဖေါ်ကွန်နာ အကွာအဝေး အစုများ (Falconer distance sets)၊ ပြင်ညီရှိ ဖာစတင်ဘတ် [[အစု|အစုများ]] (Furstenberg sets) နှင့် အတိုင်းအတာ သုံးခုရှိ ခါကေးယား ပြဿနာ (Kakeya problem) တို့တွင် အဓိက တိုးတက်မှုများ ပြုလုပ်နိုင်ခဲ့ခြင်းတို့လည်း ပါဝင်သည်။<ref name="2026fields" /> |} == မှတ်စု == {{notelist}} == အညွှန်း == {{reflist}} == ကိုးကား == {{refbegin}} * {{Citation | last = Barran | first = Michel | last2 = Weisstein | first2 = Eric W. | title = Fields Medal | encyclopedia = MathWorld--A Wolfram Web Resource | publisher = Wolfram Research, Inc. | url = http://mathworld.wolfram.com/FieldsMedal.html | access-date = March 5, 2017 }} *{{Citation | url = http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/jcfields/fields_medal.html | title = The Fields Medal | publisher = Fields Institute | author = Fields Institute | accessdate = March 5, 2017 | ref = CITEREFFields }} *{{Citation | url = http://www.mathunion.org/general/prizes/fields/details | title = Fields Medal Details | publisher = International Mathematical Union | author = IMU | accessdate = March 5, 2017 | ref = CITEREFIMU }} {{refend}} [[Category:ဆုတံဆိပ်များ]] [[Category: သင်္ချာ ဆုများ]] 59nab72brhbb5lbz0ynapzg78yuraif 8 90562 1060758 1058099 2026-10-30T16:57:26Z Ninjastrikers 22896 စာမျက်နှာကို ဗလာလုပ်လိုက်သည် 1060758 wikitext text/x-wiki phoiac9h4m842xq45sp7s6u21eteeq1 0 107056 1060817 1060410 2026-10-31T04:23:45Z ~2026-58094-35 150205 /* ပြည်ထောင်စုအင်္ဂါစဉ် */ 1060817 wikitext text/x-wiki '''ပြည်ထောင်စုအင်္ဂါစဉ်'''ဆိုသည်မှာ ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော်တွင် နိုင်ငံတော်အခမ်းအနားများနှင့် နိုင်ငံတော်သမ္မတဦးဆောင်သော အစည်းအဝေးများ ပြုလုပ်ရာတွင် လည်းကောင်း၊ ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီးဌာနအချင်းချင်း ဆက်သွယ်ဆောင်ရွက်ရာတွင်လည်းကောင်း စနစ်တကျရှိစေရေးနှင့် မှန်ကန်မြန်ဆန်စွာ ဆောင်ရွက်ရေးအတွက် သတ်မှတ်ထားသော အင်္ဂါစဉ်ဖြစ်သည်။<ref>{{cite news|url=http://www.moi.gov.mm/ppd/?q=book/bid-4079|title=အတွဲ (၆၉)၊ အမှတ် (၃၀)၊ ၁၅-၇-၂၀၁၆ ရက်ထုတ်စာစောင်|last=|first=|author2=|date= |publisher=ပုံနှိပ်ရေးနှင့်ထုတ်ဝေရေးဦးစီးဌာန၊ ပြန်ကြားရေးဝန်ကြီးဌာန|accessdate=}}</ref> ==ပြည်ထောင်စုအင်္ဂါစဉ်== လက်ရှိပြည်ထောင်စုအင်္ဂါစဉ်ကို ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဩဂုတ်လ ၁၃ ရက်နေ့ ရက်စွဲပါ လျှို့ဝှက်စာအရ သတ်မှတ်ထားပါသည်။<ref>{{cite news|url=https://www.facebook.com/share/p/1CCcimydVD/|title=https://www.facebook.com/share/p/1CCcimydVD/|last=|first=|author2=|date= |publisher=|accessdate=}}</ref> {| class="wikitable" |'''စဉ်''' |'''ရာထူး''' |'''တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ်''' |- |၁ |[[မြန်မာနိုင်ငံ၏ သမ္မတ|နိုင်ငံတော်သမ္မတ]] |[[မင်းအောင်လှိုင်|ဦးမင်းအောင်လှိုင်]] |- |၂ |[[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ဒုတိယ သမ္မတ|ဒုတိယသမ္မတများ]] | *[[ညိုစော|ဦးညိုစော]] *[[နန်းနီနီအေး|ဒေါ်နန်းနီနီအေး]] |- |၃ |[[ပြည်သူ့လွှတ်တော် ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[ခင်ရီ|ဦးခင်ရီ]] |- |၄ |[[အမျိုးသားလွှတ်တော် ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[အောင်လင်းဒွေး|ဦးအောင်လင်းဒွေး]] |- |၅ |[[ပြည်ထောင်စု တရားသူကြီးချုပ်]] |[[သာဌေး|ဦးသာဌေး]] |- |၆ |[[တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]] |[[ရဲဝင်းဦး|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ရဲဝင်းဦး]] |- |၇ |[[နိုင်ငံတော်ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေဆိုင်ရာခုံရုံး ဥက္ကဋ္ဌများ|နိုင်ငံတော်ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေဆိုင်ရာခုံရုံးဥက္ကဋ္ဌ]] |[[အောင်ဇော်သိန်း|ဦးအောင်ဇော်သိန်း]] |- |၈ |[[ပြည်ထောင်စု ရွေးကောက်ပွဲ ကော်မရှင်|ပြည်ထောင်စုရွေးကောက်ပွဲကော်မရှင်ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[သန်းစိုး (ရွေးကောက်ပွဲကော်မရှင်)|ဦးသန်းစိုး]] |- |၉ |[[ဒုတိယတပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]] |[[ကျော်စွာလင်း|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်စွာလင်း]] |- |၁၀ |[[ပြည်သူ့လွှတ်တော် ဥက္ကဋ္ဌ|ပြည်သူ့လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ]] |[[မောင်မောင်အုန်း|ဦးမောင်မောင်အုန်း]] |- |၁၁ |[[အမျိုးသားလွှတ်တော် ဥက္ကဋ္ဌ|အမျိုးသားလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ]] |[[Jeng Phang နော်တောင်|ဦးဂျဲန်ဖန်နော်တောင်(ခ)ဦးနော်တောင်]] |- |၁၂ |[[ဝန်ကြီးဌာန နှင့် အကြီးအကဲများ စာရင်း|ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီးများ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး (၃၁) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> *[[နိုင်ငံတော် သမ္မတရုံး|နိုင်ငံတော်သမ္မတရုံး ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ခင်မောင်ရီ|ဦးခင်မောင်ရီ]] * [[သမ္မတရုံး ဝန်ကြီးဌာန|နိုင်ငံတော်သမ္မတရုံးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[တင်အောင်စန်း|ဦးတင်အောင်စန်း]] * [[ပို့ဆောင်ရေးဝန်ကြီးဌာန|ပို့ဆောင်ရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မြထွန်းဦး|ဦးမြထွန်းဦး]] * [[ဒီဂျစ်တယ်ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးနှင့် ဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန|ဒီဂျစ်တယ်ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးနှင့်ဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ထွန်းအောင်|ဦးထွန်းအောင်]] * [[ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန|ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ရာပြည့်|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ရာပြည့်]] * [[ပြည်ထဲရေး ဝန်ကြီးဌာန|ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ကိုကိုဦး (ဗိုလ်ချုပ်)|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကိုကိုဦး]] * [[နိုင်ငံခြားရေး ဝန်ကြီးဌာန|နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[တင်မောင်ဆွေ|ဦးတင်မောင်ဆွေ]] * [[အမျိုးသားစီမံကိန်း၊ရင်းနှီးမြှပ်နှံမှုနှင့် နိုင်ငံခြားစီးပွားဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန|အမျိုးသားစီမံကိန်း၊ရင်းနှီးမြှုပ်နှံမှုနှင့်နိုင်ငံခြားစီးပွားဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[အောင်ကျော်ဟိုး|ဦးအောင်ကျော်ဟိုး]] * [[ဘဏ္ဍာရေးနှင့် အခွန် ဝန်ကြီးဌာန|ဘဏ္ဍာရေးနှင့်အခွန်ဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ကံဇော် (ဒေါက်တာ)|ဒေါက်တာ ကံဇော်]] * [[နယ်စပ်ရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန|နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ဖုန်းမြတ်|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဖုန်းမြတ်]] * [[တိုင်းရင်းသားလူမျိုးများရေးရာဝန်ကြီးဌာန|တိုင်းရင်းသားလူမျိုးများရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[သန်းမောင်|ဦးသန်းမောင်]] * [[ဥပဒေရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန|ဥပဒေရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[သီတာဦး|ဒေါက်တာ သီတာဦး]] * [[ပညာရေးဝန်ကြီးဌာန|ပညာရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ချောချောစိန်|ဒေါက်တာ ချောချောစိန်]] * [[သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဝန်ကြီးဌာန|သိပ္ပံနှင့်နည်းပညာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မျိုးသိန်းကျော်|ဒေါက်တာ မျိုးသိန်းကျော်]] * [[ကျန်းမာရေး ဝန်ကြီးဌာန|ကျန်းမာရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[စိုးဝင်း (ဒေါက်တာ)|ဒေါက်တာ စိုးဝင်း]] * [[အမျိုးသမီးရေးရာဝန်ကြီးဌာန|အမျိုးသမီးရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[သက်သက်ဇင်|ဒေါက်တာ သက်သက်ဇင်]] * [[ပြန်ကြားရေးဝန်ကြီးဌာန|ပြန်ကြားရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ထိန်လင်း (ဗိုလ်မှူးကြီး)|ဦးထိန်လင်း]] * [[သာသနာရေး ဝန်ကြီးဌာန|သာသနာရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[တင်ဦးလွင်|ဦးတင်ဦးလွင်]] * [[ယဉ်ကျေးမှု၊ ဟိုတယ်နှင့် ခရီးသွားလာရေးဝန်ကြီးဌာန|ယဉ်ကျေးမှု၊ဟိုတယ်နှင့်ခရီးသွားလာရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ခင်မောင်စိုး (ဝန်ကြီး)|ဦးခင်မောင်စိုး]] * [[စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့် ဆည်မြောင်းဝန်ကြီးဌာန|စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မင်းနောင် (ဝန်ကြီး)|ဦးမင်းနောင်]] * [[သမဝါယမနှင့် ကျေးလက်ဖွံ့ဖြိုးရေး ဝန်ကြီးဌာန|သမဝါယမနှင့်ကျေးလက်ဖွံဖြိုးရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မျိုးဇော်သိမ်း|ဦးမျိုးဇော်သိမ်း]] * [[သယံဇာတနှင့် သဘာဝပတ်ဝန်းကျင် ထိန်းသိမ်းရေး ဝန်ကြီးဌာန|သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ဆန်းဦး|ဦးဆန်းဦး]] * [[လျှပ်စစ်နှင့် စွမ်းအင် ဝန်ကြီးဌာန|လျှပ်စစ်နှင့်စွမ်းအင်ဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ကိုကိုလွင်|ဦးကိုကိုလွင်]] * [[စက်မှု ဝန်ကြီးဌာန|စက်မှုနှင့်အသေးစား၊အငယ်စား၊အလတ်စားနှင့်စီးပွားရေးလုပ်ငန်းများဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ချာလီသန်း|ဒေါက်တာ ချာလီသန်း]] * [[လူဝင်မှုကြီးကြပ်ရေးနှင့် ပြည်သူ့အင်အား ဝန်ကြီးဌာန|လူဝင်မှုကြီးကြပ်ရေးနှင့်ပြည်သူ့အင်အားဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မြင့်ကြိုင်|ဦးမြင့်ကြိုင်]] * [[အလုပ်သမားဝန်ကြီးဌာန|အလုပ်သမားဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မောင်မြင့်|ဦးမောင်မြင့်]] * [[စီးပွားရေးနှင့် ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေး ဝန်ကြီးဌာန|စီးပွားရေးနှင့်ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ထွန်းအုံ|ဦးထွန်းအုံ]] * [[အားကစားရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန|အားကစားရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ရဲမြင့်ထွန်း|ဦးရဲမြင့်ထွန်း]] * [[လူငယ်ရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန|လူငယ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မောင်သင်း|ဒေါက်တာ မောင်သင်း]] * [[ဆောက်လုပ်ရေး ဝန်ကြီးဌာန|ဆောက်လုပ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မျိုးသန့်|ဦးမျိုးသန့်]] * [[လူမှုဝန်ထမ်း ကယ်ဆယ်ရေးနှင့် ပြန်လည်နေရာချထားရေး ဝန်ကြီးဌာန|လူမှုဝန်ထမ်း၊ကယ်ဆယ်ရေးနှင့်ပြန်လည်နေရာချထားရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ကိုကိုလွင် (ဒေါက်တာ)|ဒေါက်တာ ကိုကိုလွင်]] |- |၁၃ |[[ပြည်ထောင်စုရှေ့နေချုပ်]] |[[သီတာဦး|ဒေါက်တာ သီတာဦး]] |- |၁၄ |[[ပြည်ထောင်စုစာရင်းစစ်ချုပ်ရုံး|ပြည်ထောင်စုစာရင်းစစ်ချုပ်]] |[[နိုင်သက်ဦး|ဒေါ်နိုင်သက်ဦး]] |- |၁၅ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ် (ကြည်း)]] |[[ကျော်စွာလင်း|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်စွာလင်း]] |- |၁၆ |[[ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ)]] |– |- |၁၇ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ရေ)]] |[[ထိန်ဝင်း|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထိန်ဝင်း]] |- |၁၈ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(လေ)]] |[[ထွန်းဝင်း|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထွန်းဝင်း]] |- |၁၉ |[[ပြည်ထောင်စု ရာထူးဝန်အဖွဲ့|ပြည်ထောင်စုရာထူးဝန်အဖွဲ့ ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[တင်မောင်ဝင်း (ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး)|ဦးတင်မောင်ဝင်း]] |- |၂၀ |[[ပြည်နယ်နှင့် တိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်များ|တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌများ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> *[[ကချင်ပြည်နယ် လွှတ်တော်|ကချင်ပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးရားဝမ်ဂျုံး *[[ကယားပြည်နယ် လွှတ်တော်|ကယားပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးမော်ရယ် *[[ကရင်ပြည်နယ် လွှတ်တော်|ကရင်ပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးစန်းကို *[[ချင်းပြည်နယ် လွှတ်တော်|ချင်းပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးကောလ်လျန်ထန်း *[[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးတင့်လှိုင်မြင့် *[[တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] [[မြတ်ကို|ဦးမြတ်ကို]] *[[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးအောင်ချိုဦး *[[မကွေးတိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|မကွေးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဒေါက်တာ မောင်မောင်ဌေး *[[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] [[အောင်ကျော်မိုး|ဦးအောင်ကျော်မိုး]] *[[မွန်ပြည်နယ် လွှတ်တော်|မွန်ပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးသက်ထွေး *[[ရခိုင်ပြည်နယ် လွှတ်တော်|ရခိုင်ပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဒေါက်တာ စန်းရွှေ *[[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးဌေးအောင် *[[ရှမ်းပြည်နယ် လွှတ်တော်|ရှမ်းပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] [[စိုင်းလုံကျော်|ဦးစိုင်းလုံကျော်]] *[[ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးသိန်းထွန်း |- |၂၁ |[[နေပြည်တော်ကောင်စီ|နေပြည်တော်ကောင်စီဥက္ကဋ္ဌ]] |[[ကံမြင့်သန်း|ဦးကံမြင့်သန်း]] |- |၂၂ |[[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ပြည်နယ်နှင့်တိုင်းဒေသကြီး ဝန်ကြီးချုပ်|တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်အစိုးရအဖွဲ့ ဝန်ကြီးချုပ်များ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အစိုးရအဖွဲ့ ဝန်ကြီးချုပ် (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> *[[ကချင်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ကချင်ပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] [[ခက်ထိန်နန်|ဦးခက်ထိန်နန်]] *[[ကယားပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ကယားပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] ဦးအံ့မော် *[[ကရင်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ကရင်ပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] [[စောမြင့်ဦး|ဦးစောမြင့်ဦး]] *[[ချင်းပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ချင်းပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] [[ဝုန်ဆွန်းထန်|ဒေါက်တာ ဝုန်ဆွန်းထန်]] *[[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] [[ကိုလေး (ဗိုလ်ချုပ်)|ဦးကိုလေး]] *[[တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] [[ဇော်နိုင်ဦး|ဦးဇော်နိုင်ဦး]] *[[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] [[မျိုးဆွေဝင်း|ဦးမျိုးဆွေဝင်း]] *[[မကွေးတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|မကွေးတိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] [[တင်ကိုကို|ဦးတင်ကိုကို]] *[[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး ဝန်ကြီးချုပ်|မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] [[မျိုးအောင်|ဦးမျိုးအောင်]] *[[မွန်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|မွန်ပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] [[အောင်ဝင်းသန်း|ဦးအောင်ဝင်းသန်း]] *[[ရခိုင်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ရခိုင်ပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] ဦးနိုင်ဦး *[[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] [[အောင်နိုင်သူ|ဦးအောင်နိုင်သူ]] *[[ရှမ်းပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ရှမ်းပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] ဦးစိုင်းထိန်စိုး *[[ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] ဦးအေးကျော် |- |၂၃ |[[မြန်မာနိုင်ငံတော်ဗဟိုဘဏ်|မြန်မာနိုင်ငံတော်ဗဟိုဘဏ်ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[ခင်နိုင်ဦး|ဒေါက်တာ ခင်နိုင်ဦး]] |- |၂၄ |[[အဂတိလိုက်စားမှု တိုက်ဖျက်ရေး ကော်မရှင်|အဂတိလိုက်စားမှုတိုက်ဖျက်ရေးကော်မရှင်ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[စိုးသိန်း (ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး)|ဦးစိုးသိန်း]] |- |၂၅ |[[မြန်မာနိုင်ငံ အမျိုးသား လူ့အခွင့်အရေးကော်မရှင်|မြန်မာနိုင်ငံအမျိုးသားလူ့အခွင့်အရေးကော်မရှင်ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[သစ်လင်းအုန်း|ဦးသစ်လင်းအုန်း]] |- |၂၆ |[[တပ်မတော် စစ်ဘက်ဆိုင်ရာအကြီးအကဲများ|တပ်မတော်မှ ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီးများ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး (၁၇) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * [[အမှတ် (၁) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၁)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] [[နီလင်းအောင်|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး နီလင်းအောင်]] * [[အမှတ် (၂) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၂)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဇော်မင်းလတ် * [[အမှတ် (၃) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၃)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] နှင့် တပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ပြည့်စုံလင်း * [[အမှတ် (၄) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၄)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်လင်းမောင် * [[စစ်ရေးချုပ်]] [[ဇော်ဟိန်း|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဇော်ဟိန်း]] * [[စစ်ထောက်ချုပ်]] [[ဇော်မျိုးတင်|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဇော်မျိုးတင်]] * [[တပ်မတော်စစ်ဆေးရေး အရာရှိချုပ်|တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးအရာရှိချုပ်]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မျိုးမင်းထွန်း * [[စစ်ရာထူးခန့်ချုပ်]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထိန်ဝင်း * [[တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့် စာရင်းစစ်ချုပ် (ကြည်း/ရေ/လေ)|တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့်စာရင်းစစ်ချုပ်(ကြည်း၊ရေ၊လေ)]] [[ညွန့်ဝင်းဆွေ|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ညွန့်ဝင်းဆွေ]] * [[စစ်ဖက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်|တပ်မ​တော်စစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်ကိုထိုက် * [[လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့|လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးအရာရှိချုပ်]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးမင်း * [[ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေး အရာရှိချုပ်ရုံး|ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ်]] [[မိုးမြင့်ဆွေ|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မိုးမြင့်ဆွေ]] * စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(ကြည်း) [[သန်းထိုက်|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး သန်းထိုက်]] * စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(ရေ) ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး သိန်းထူး * အမျိုးသားစည်းလုံးညီညွတ်ရေးနှင့်ငြိမ်းချမ်းရေးဖော်ဆောင်မှုညှိနှိုင်းရေးကော်မတီအတွင်းရေးမှူး ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မင်းနိုင် * အရန်အင်အားမှ [[နိုင်နိုင်ဦး|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး နိုင်နိုင်ဦး]] * ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန [[မြန်မာနိုင်ငံ ရဲတပ်ဖွဲ့|မြန်မာနိုင်ငံရဲတပ်ဖွဲ့ ရဲချုပ်]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးလှိုင် |- |၂၇ |[[ပြည်ထောင်စု တရားလွှတ်တော်ချုပ်|ပြည်ထောင်စုတရားလွှတ်တော်ချုပ် တရားသူကြီးများ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> တရားသူကြီး (၁၀) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * [[သောင်းနိုင်|ဦးသောင်းနိုင်]] * ဦးသိန်းကိုကို * [[သင်းသင်းနွဲ့|ဒေါ်သင်းသင်းနွဲ့]] * ဒေါ်ပြုံးပြုံးအေး * ဒေါက်တာ ကိုကိုနိုင် * ဦးဝင်းမြင့် * ဒေါ်စိုးခက်ခက် * ဒေါ်သင်းသင်းချို * ဒေါက်တာ မျိုးဝင်းအောင် * ဦးစောမျိုးမျိုး |- |၂၈ |[[နိုင်ငံတော်ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေဆိုင်ရာခုံရုံး|နိုင်ငံတော်ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေဆိုင်ရာခုံရုံး အဖွဲ့ဝင်များ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အဖွဲ့ဝင် (၈) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ဦးဉာဏ်ထွန်း * ဦးမျိုးတင့် * ဦးကျော်ဆန်း * ဦးတူးမော် * ဒေါ်စုစုဝင်း * ဒေါ်ဥမ္မာအေး * ဦးတင့်ဝေ * ဒေါက်တာ မာလာမော် |- |၂၉ |ပြည်ထောင်စုရွေးကောက်ပွဲကော်မရှင် အဖွဲ့ဝင်များ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အဖွဲ့ဝင် (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ဦးအောင်မိုးမြင့် * ဦးအောင်လွင်ဦး * ဦးမြင့်ဦး * ဦးခင်မောင်ဦး * ဦးမြင့်သိန်း * ဦးကိုကိုလွင် * ဦးသန်းအောင်ကျော် * ဦးခင်ဇော် * ဦးသန်းထွတ်သိန်း * ဦးအောင်မြင့်လွင် * ဦးခင်မောင်ကြီး * ဦးမျိုးမောင် * ဦးကြည်သိန်း * [[ခင်သင်းဝေ|ဒေါ်ခင်သင်းဝေ]] |- |၃၀ |ဥပဒေကြမ်းကော်မတီ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed"> [[ဥပဒေကြမ်း ကော်မတီ၊ ပြည်သူ့လွှတ်တော်|ပြည်သူ့လွှတ်တော်]] <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ​ [[နန္ဒကျော်စွာ|ဒေါက်တာ နန္ဒကျော်စွာ]] * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်သန်းသန်းအေး * အဖွဲ့ဝင် ဦးစိုးတင့်အောင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးတင့်လွင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးကျော်မင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးတင်ရွှေ * အဖွဲ့ဝင် ဦးသန့်ဇော် * အဖွဲ့ဝင် စိုင်းဝန်းဆမ် * အဖွဲ့ဝင် ဦးဇော်မင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးနိုင်မင်းဦး * အဖွဲ့ဝင် နန်းကျင်း(ခ)နန်းစိန် * အဖွဲ့ဝင် ဦးနိုင်နိုင်ကျော် * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးချုပ် ဝင်းမြိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီး မျိုးထက်ဝင်း * အတွင်းရေးမှူး [[သိန်းထွန်းဦး|ဦးသိန်းထွန်းဦး]] </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed">[[ဥပဒေကြမ်း ကော်မတီ၊ အမျိုးသားလွှတ်တော်|အမျိုးသားလွှတ်တော်]]<div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ​ ဒေါ်နွယ်နွယ်ဦး * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်ကျော်မင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးပြုံးချို * အဖွဲ့ဝင် ဦးသန်းထွန်း * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်ဇင်ပပဦး * အဖွဲ့ဝင် ဦးခိုင်ဝင်းအောင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးဟိန်းမင်းဦး * အဖွဲ့ဝင် ဦးမိုးမြင့် * အဖွဲ့ဝင် ဦးအေးပိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်ပီကျိန်ငိုက်မန် * အဖွဲ့ဝင် ဦးစိုးကြည် * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးချုပ် ဇော်ဇော်ထွန်း * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးကြီး လှိုင်ဝင်း * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်ကြီး ဒေါ်ဖြိုးဖြိုးဝေ * အတွင်းရေးမှူး [[ဇင်မင်းထက်|ဦးဇင်မင်းထက်]] </div> |- |၃၁ |ပြည်သူ့ငွေစာရင်းကော်မတီ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ပြည်သူ့လွှတ်တော် <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ [[တေဇကျော်|ဦးတေဇကျော်]] * အဖွဲ့ဝင် ဦးထွန်းထွန်းအောင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးသိန်းရီ * အဖွဲ့ဝင် ဦးတင့်ဆွေ * အဖွဲ့ဝင် ဦးကိုကိုသင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးမောင်မောင်စိုး * အဖွဲ့ဝင် ဦးအေးချမ်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးခင်မောင်ဝင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးဝင်းကျော် * အဖွဲ့ဝင် ဦးမြင့်စိုး * အဖွဲ့ဝင် ဦးသန်းရွှေ * အဖွဲ့ဝင် ခွန်လှသိန်း * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးချုပ် စိုးညွန့် * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်ကြီး ဒေါ်ယမင်းအောင် * အတွင်းရေးမှူး ဦးတင်အောင်ချစ် </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အမျိုးသားလွှတ်တော် <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ [[ချစ်ဆွေ (သံအမတ်ကြီး)|ဦးချစ်ဆွေ]] * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်သိင်္ဂီဝင်းရွှေ * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်မီမီကျော်ထွန်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးချစ်ဝေ * အဖွဲ့ဝင် ဦးဗိုလ်သိန်းနိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်အေးချမ်းမုံ * အဖွဲ့ဝင် ဦးကျော်ကျော်လင်း(ခ)ဦးထိန်လင်း * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်ထားထားနု * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်ကျော်မင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးဇော်ဇော်မြင့် * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်စိုးစိုးမြင့် * အဖွဲ့ဝင် ခွန်ဝင်းဦး * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးချုပ် ခင်မောင်စိုး * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးကြီး ဖြိုးမင်းဝင်း * အတွင်းရေးမှူး ဦးသန်းအောင် </div> |- |၃၂ |လွှတ်တော်အခွင့်အရေးကော်မတီ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ပြည်သူ့လွှတ်တော် <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ [[မောင်မောင်အုန်း|ဦးမောင်မောင်အုန်း]] * အဖွဲ့ဝင် ဒေါက်တာ ကျော်ဦး * အဖွဲ့ဝင် စိုင်းဆမ် * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်ဇော်မိုး(ခ)အောင်ဇော်မိုးထွန်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်မျိုးသန်း * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်သိင်္ဂီမြင့်ရည် * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်စိုးစိုးရီ * အဖွဲ့ဝင် ဦးစိုးနိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးစောဝင်းထိန် * အဖွဲ့ဝင် ဦးသန်းနိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးစိုးဝင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးဂုဏ်ဝမ်း * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်ချုပ် ရဲကျော်သူ * အဖွဲ့ဝင် ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီး တင်သောင်းလင်း * အတွင်းရေးမှူး ဒေါက်တာ ကျော်ကျော်ဌေး </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အမျိုးသားလွှတ်တော် <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ [[Jeng Phang နော်တောင်|ဦးဂျဲန်ဖန်နော်တောင်(ခ)ဦးနော်တောင်]] * အဖွဲ့ဝင် ဒေါက်တာ ကျော်ထွန်း * အဖွဲ့ဝင် ဒေါက်တာ ဗညားအောင်မိုး * အဖွဲ့ဝင် ဦးတင့်ဇော် * အဖွဲ့ဝင် ဦးခင်ဇော်ထွန်း * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်နီနီမာ * အဖွဲ့ဝင် ဦးကျော်တင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးသိန်းဇော် * အဖွဲ့ဝင် ဦးယုနိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးခင်မောင်ဌေး * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်မြမြသက် * အဖွဲ့ဝင် စိုင်းဝင်းခိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်ချုပ် ကျော်သူရအေး * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးကြီး စိုးရွှေ * အတွင်းရေးမှူး ဦးအောင်တင်မြင့် </div> |- |၃၃ |အစိုးရ၏ အာမခံချက်များ၊ ကတိများနှင့် တာဝန်ခံချက်များစိစစ်ရေးကော်မတီ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ပြည်သူ့လွှတ်တော် <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ [[သန်းထွန်းဦး|ဦးသန်းထွန်းဦး]] * အဖွဲ့ဝင် ဦးမင်းခန့်ကျော် * အဖွဲ့ဝင် ဦးခင်မောင်ထွန်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်လင်းလှိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်ကျော်နှင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးလူဇော် * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်ကိုလတ် * အဖွဲ့ဝင် ဦးထွန်းထွန်းမိုး * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်ဆွေဆွေသင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးဉာဏ်ဝင်းထိုက် * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်စမ်းစမ်းဌေး * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်မြသန်း * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်စိုး * အဖွဲ့ဝင် ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီး လှနိုင် * အတွင်းရေးမှူး ဦးသန်းထွန်း </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အမျိုးသားလွှတ်တော် <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ ဦးလှသိန်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးဝင်းဖေမောင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်စိုး * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်ကျော့ယဉ်ဝင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးကျော်စိန်လှ * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်ယဉ်မင်းထိုက် * အဖွဲ့ဝင် ဦးဖြိုးဝေဝင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးခင်မောင်တင့် * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်သီဟ * အဖွဲ့ဝင် ဦးခင်မောင်သန်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးဇော်မင်းထူး * အဖွဲ့ဝင် စောမြတ်ထွဋ်ဝင်း(ခ)ကိုဆွိ * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်အောင် * အဖွဲ့ဝင် ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီး ဝင်းမြင့်ထွန်း * အတွင်းရေးမှူး ဦးရန်နိုင်ဦး </div> |- |၃၄ |[[တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|တိုင်းမှူးများ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> တိုင်းမှူး (၁၃) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * [[နေပြည်တော်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|နေပြည်တော်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်စိုးလင်း * [[မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်ချုပ် အောင်ဇော်ထွေး * [[အရှေ့မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အရှေ့မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ကိုသွင် * [[အရှေ့ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] နှင့် [[အရှေ့အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] တိုင်းမှူး ဗိုလ်ချုပ် ကျော်နိုင်ဦး * [[တြိဂံဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|တြိဂံဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်စွာထွန်း * [[အရှေ့တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အရှေ့​တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်ချုပ် သူရ ဇော်လွင်စိုး * [[ကမ်းရိုးတန်းဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|ကမ်းရိုးတန်းဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်မှူးချုပ် ရဲဝင်းအောင် * [[ရန်ကုန်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|ရန်ကုန်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်ချုပ် တင်မင်းလတ် * [[အနောက်တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အနောက်တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ကျော်ခိုင် * [[အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်ဇော * [[အနောက်မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အနောက်မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်မှူးချုပ် စိုးဝင်းထွန်း * [[အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ဌေး * [[တောင်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|တောင်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်ချုပ် စိုးကျော်ထက် |- |၃၅ |ဒုတိယဝန်ကြီးများ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ဒုတိယဝန်ကြီး (၄၉) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * နိုင်ငံတော်သမ္မတရုံး ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးခင်လတ် * နိုင်ငံတော်သမ္မတရုံး ဒုတိယဝန်ကြီး [[ခိုင်ခိုင်စိုး|ဒေါက်တာ ခိုင်ခိုင်စိုး]] * နိုင်ငံတော်သမ္မတရုံးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[ထင်ကျော်သူ|ဦးထင်ကျော်သူ]] * ပို့ဆောင်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးအောင်မြိုင် * ပို့ဆောင်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးထွန်းလူ * ဒီဂျစ်တယ်ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးနှင့်ဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးမင်းဇေယျာလှိုင် * ဒီဂျစ်တယ်ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးနှင့်ဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးသက်ဝင်းအောင် * ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဗိုလ်ချုပ် အောင်မျိုးသန့် * ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဗိုလ်ချုပ် မင်းသူ * နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[နိုင်မင်းကျော်|ဦးနိုင်မင်းကျော်]] * နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[ကိုကိုကျော်|ဦးကိုကိုကျော်]] * အမျိုးသားစီမံကိန်း၊ရင်းနှီးမြှုပ်နှံမှုနှင့်နိုင်ငံခြားစီးပွားဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးသန့်စင်လွင် * အမျိုးသားစီမံကိန်း၊ရင်းနှီးမြှုပ်နှံမှုနှင့်နိုင်ငံခြားစီးပွားဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးဟန်ဝင်းအောင် * ဘဏ္ဍာရေးနှင့်အခွန်ဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါ်သန်းသန်းလင်း * ဘဏ္ဍာရေးနှင့်အခွန်ဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[ကျော်ထင် (ဒုတိယဝန်ကြီး)|ဦးကျော်ထင်]] * နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဗိုလ်ချုပ် ကျော်စွာဦး * နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[ကျော်ကျော်ဟန်|ဗိုလ်ချုပ် ကျော်ကျော်ဟန်]] * တိုင်းရင်းသားလူမျိုးများရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးစိုင်းထွန်းညို * ဥပဒေရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[ထိန်လင်းဦး|ဒေါက်တာ ထိန်လင်းဦး]] * ပညာရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးနေမျိုးလှိုင် * ပညာရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးဝင်းမောင်သိန်း * သိပ္ပံနှင့်နည်းပညာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ နေခြည်လဲ့လဲ့သိန်း * ကျန်းမာရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ တင်ထွန်း * အမျိုးသမီးရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[နေသွယ်ကြည်|ဒေါက်တာ နေသွယ်ကြည်]] * ပြန်ကြားရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးရဲတင့် * သာသနာရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[လင်းအောင်|ဦးလင်းအောင်]] * ယဉ်ကျေးမှု၊ဟိုတယ်နှင့်ခရီးသွားလာရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးအေးထွန်း * ယဉ်ကျေးမှု၊ဟိုတယ်နှင့်ခရီးသွားလာရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးဖြိုးဇော်စိုး * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးဗိုလ်ဗိုလ်ကျော် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ ရဲထွန်းဝင်း * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ ရဲတင့်ထွန်း * သမဝါယမနှင့်ကျေးလက်ဖွံ့ဖြိုးရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးသိုက်စိုး * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးခင်လတ်ကြီး * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ သောင်းနိုင်ဦး * လျှပ်စစ်နှင့်စွမ်းအင်ဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးအေးကျော် * လျှပ်စစ်နှင့်စွမ်းအင်ဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးကျော်နိုင်ဝင်း * စက်မှုနှင့်အသေးစား၊အငယ်စား၊အလတ်စားနှင့်စီးပွားရေးလုပ်ငန်းများဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးသွင်အောင် * စက်မှုနှင့်အသေးစား၊အငယ်စား၊အလတ်စားနှင့်စီးပွားရေးလုပ်ငန်းများဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ အောင်ဇေယျ * လူဝင်မှုကြီးကြပ်ရေးနှင့်ပြည်သူ့အင်အားဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[လင်းဇော်ထွန်း|ဦးလင်းဇော်ထွန်း]] * လူဝင်မှုကြီးကြပ်ရေးနှင့်ပြည်သူ့အင်အားဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးရဲထွန်းဦး * အလုပ်သမားဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးမျိုးအောင် * စီးပွားရေးနှင့်ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[မင်းမင်း|ဦးမင်းမင်း]] * စီးပွားရေးနှင့်ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးဝင်းမြင့်ခိုင် * အားကစားရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးမျိုးကျော်သူ * လူငယ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးစစ်နိုင် * ဆောက်လုပ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[မျိုးမြင့်|ဦးမျိုးမြင့်]] * ဆောက်လုပ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ သောင်းနိုင် * လူမှုဝန်ထမ်း၊ကယ်ဆယ်ရေးနှင့်ပြန်လည်နေရာချထားရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ သန်းစိုး * လူမှုဝန်ထမ်း၊ကယ်ဆယ်ရေးနှင့်ပြန်လည်နေရာချထားရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ သန့်ဇော်လွင် |- |၃၆ |ဒုတိယရှေ့နေချုပ် |[[ထိန်လင်းဦး|ဒေါက်တာ ထိန်လင်းဦး]] |- |၃၇ |ဒုတိယစာရင်းစစ်ချုပ် |ဒေါ်ခိုင်ခိုင်အောင် |- |၃၈ |ပြည်ထောင်စုရာထူးဝန်အဖွဲ့ အဖွဲ့ဝင်များ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အဖွဲ့ဝင် (၆) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ဒေါ်ခင်မျိုးမြင့် * ဦးစိုးတင့် * ဒေါက်တာ စုစုဒွေး * ဒေါ်ခင်ရွှေမြင့် * ဒေါက်တာ ခင်ချစ်ချစ် * [[စန်းစန်းနွယ်|ဒေါ်စန်းစန်းနွယ်]] |- |၃၉ |နေပြည်တော်ကောင်စီဝင်များ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ကောင်စီဝင် (၇) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ဗိုလ်မှူးကြီး ရဲမိုး * ဦးမင်းဦး * ဦးခင်မောင်လတ် * ဦးဝင်းမိုးခိုင် * ဦးထွန်းထွန်း * ဦးအောင်ဇေယျ * ဦးမောင်မောင်သန်း |- |၄၀ |တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ် | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ် (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * [[ကချင်ပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|ကချင်ပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[အေးအေးမော်|ဒေါ်အေးအေးမော်]] * [[ကယားပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|ကယားပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[ထွန်းထွန်းဦး (တရားသူကြီး)|ဦးထွန်းထွန်းဦး]] * [[ကရင်ပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|ကရင်ပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[ညွန့်လင်း|ဦးညွန့်လင်း]] * [[ချင်းပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|ချင်းပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] ဦးမြတ်စံ * [[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး တရားလွှတ်တော်|စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[ဇော်ထူး|ဦးဇော်ထူး]] * [[တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး တရားလွှတ်တော်|တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[အေးအေးသန်း|ဒေါ်အေးအေးသန်း]] * [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး တရားလွှတ်တော်|ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[လွင်လွင်အေးကျော်|ဒေါ်လွင်လွင်အေးကျော်]] * [[မကွေးတိုင်းဒေသကြီး တရားလွှတ်တော်|မကွေးတိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[မိမိမော်|ဒေါ်မိမိမော်]] * [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး တရားလွှတ်တော်|မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[လှမြင့် (တရားသူကြီး)|ဒေါ်လှမြင့်]] * [[မွန်ပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|မွန်ပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[ဌေးမြင့်အေး|ဒေါ်ဌေးမြင့်အေး]] * [[ရခိုင်ပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|ရခိုင်ပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[မြအေး (တရားသူကြီး)|ဒေါ်မြအေး]] * [[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော်|ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[စန္ဒာသွယ်|ဒေါ်စန္ဒာသွယ်]] * [[ရှမ်းပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|ရှမ်းပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[သန်းဦးလွင်|ဦးသန်းဦးလွင်]] * [[ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး တရားလွှတ်တော်|ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[မိုးမိုးအေး|ဒေါ်မိုးမိုးအေး]] |- |၄၁ |တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ကချင်ပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးသန်းထွန်းအေး * ကယားပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးစိုးရယ် * ကရင်ပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးအေးမင်းထွေး * ချင်းပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးသန့်စင်ဦး * စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးမျိုးသန့် * တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးခင်မောင်မြင့် * ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးကျော်ဌေး * မကွေးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးခင်မောင်ညို * မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးကျော်မြင့် * မွန်ပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးမင်းအောင်မြင့် * ရခိုင်ပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဒေါက်တာ ထင်လင်းဦး * ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ [[ကျော်ကျော်စိုး|ဦးကျော်ကျော်စိုး]] * ရှမ်းပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးစိုင်းထွန်းစိန် * ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးစောသက်နိုင်ဦး |- |၄၂ |[[ပြည်နယ်နှင့်တိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့များ|တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်အစိုးရအဖွဲ့ဝင် ဝန်ကြီးများ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ကချင်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ကချင်ပြည်နယ်]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး စိုးရန်နောင် * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးချန်တန်ခင် * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးကျော်မင်းခိုင် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးအောင်နိုင် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးရဲရင့်ဆွေ * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်သိမ်းရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ အောင်ဝင်း * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ သန်းဌေးအောင် * ဗမာတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးစိုးသိန်း * ရှမ်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးတင်အောင် * လီဆူးတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးလီပေါ်ရဲ့ * ရဝမ်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးမယစ်ယောရှု </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ကယားပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ကယားပြည်နယ်]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး သန်းစိုးအောင် * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးတင်လှ * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးအောင်မျိုးသိန်း * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးရဲဝင်း * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးဂျိုးဇက်ကျော် * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဒေါ်နှင်းနှင်းရီ * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးစောဟူးဟူး * ဗမာတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဒေါ်ခင်သန္တာထွန်း </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ကရင်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ကရင်ပြည်နယ်]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး စိုးမိုးဝင်း * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးညီညီဇော် * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးစောထွန်းအောင် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးစောမျိုးမြင့် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးအောင်လွင် * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးစယဉ်ဌေး * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး စောခေါင်ပန်ထော့ * ဗမာတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးတင်မောင်လှိုင် * မွန်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးမျိုးမြင့်နိုင် * ပအိုဝ်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ခွန်မြတ်ထူး </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ချင်းပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ချင်းပြည်နယ်]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး ခင်မောင်ထွေး * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ လျန်ဇခုပ် * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးစိန်ထွန်းလှ * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးနေလင်းအောင် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးပေါင်ဇလန်း * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးဝင်းဇော်ဦး * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးအောင်ကျော်ဌေး </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး ဝင်းတင်စိုး * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးအောင်ဇော်ဦး * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးညွန့်ဝင်းအောင် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးခင်မောင်အေး * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးဆန်းဝင်း * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးတင်သန်းဝင်း * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးစောရန်အောင် * [[နာဂ ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ|နာဂကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသဦးစီးအဖွဲ့ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးလှထွန်း * ရှမ်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးစိန်ဖေ * ချင်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးငွန်ဘွလ်ထန် </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး ရန်ကြီးအောင် * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦး​မောင်ကြီး * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးသက်နိုင် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ ဝင်းအောင် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးအောင်ကျော်ကျော်ဦး * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးသိန်းလွင် * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးမင်းမင်းလတ် * ကရင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး စောမာတင်လူသာ </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး ညီလန်းချို * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးဇော်ဝင်း * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဒေါက်တာ ထူးခြားအောင် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးကျော်ထွဋ် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးကိုကိုဦး * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးကျော်ကျော်လင်း * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးနိုင်လင်းဆွေ(ခ)ဦးထွန်းထွန်းဦး * ကရင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး စောလင်းအောင် </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[မကွေးတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|မကွေးတိုင်းဒေသကြီး]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး မိုးမင်းသိန်း * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးစန်းလွင် * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဒေါ်နွယ်နီနိုင် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးဆန်းညွန့်အောင် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးအောင်နိုင် * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးစိုင်းမြင့်အေး * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးကြည်ထွန်း * ချင်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးထွန်းခင် </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးအစိုးရအဖွဲ့|မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး နေလင်းစိုး * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးသိန်းဌေး * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးလှကြွယ် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးကျော်မိုးသက် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးလှမျိုး * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဒေါ်သိင်္ဂီအောင် * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးခင်မောင်အေး * ရှမ်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး စိုင်းအောင်ကြည် </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[မွန်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|မွန်ပြည်နယ်]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး ကျော်စွာမြင့် * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး နိုင်လယိတမ(ခ)နိုင်ခင်မောင်ဇင် * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးတင်ဇော်ထွန်း * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးဇေယျာဦး * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးမင်းမြင့်မောင်လေး * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး မိလဝီဟန် * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ အောင်မြတ်ကျော်စိန် * ဗမာတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးမျိုးမင်းလှိုင် * ကရင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးအောင်ကျော်သိန်း * ပအိုဝ်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးချစ်သိန်း </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ရခိုင်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ရခိုင်ပြည်နယ်]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး ကျော်သူရ * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးအောင်ကျော်မိုး * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးကျော်စိုး * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးကျော်ဆွေလင်း * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးသက်ထွန်း * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးမြင့်စိုး * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးမြင့်စိုးဝင်း * ချင်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးတင်လှ </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး ဝင်းတင့် * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ မေသန်းနွယ် * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးဗိုလ်ဌေး * ပြန်ကြားရေး၊ကယ်ဆယ်ရေးနှင့်သာသနာရေးဝန်ကြီး ဦးနေလင်းထွန်း * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ မျိုးသော် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဒေါက်တာ ထူးမောင် * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးစိုးဦး * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး [[မျိုးမြင့်အောင်|ဦးမျိုးမြင့်အောင်]] * ကရင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး စောဂျက်ကော့ထူး * ရခိုင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးနေမင်းထွန်း </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ရှမ်းပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ရှမ်းပြည်နယ်]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး စိန်ဝင်း * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ လဆိုင်း * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဒေါ်နန်းခမ်းလူ * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးခွန်သန်းထူး * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးလင်းအောင်ဆွေ * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး စိုင်းဝမ်းလှိုင်းတစ်ပ် * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးခွန်ထွန်းဖြူ * [[ဓနုကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ|ဓနုကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသဦးစီးအဖွဲ့ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးအာကာလင်း * [[ပအိုဝ်းကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ|ပအိုဝ်းကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသဦးစီးအဖွဲ့ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးခွန်ဖိုးစိန် * [[ပလောင်ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ|ပလောင်ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသဦးစီးအဖွဲ့ဥက္ကဋ္ဌ]] ''လစ်လပ်'' * [[ကိုးကန့်ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ|ကိုးကန့်ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသဦးစီးအဖွဲ့ဥက္ကဋ္ဌ]] ''လစ်လပ်'' * [[ဝကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရတိုင်း|“ဝ”ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရတိုင်းဦးစီးအဖွဲ့ဥက္ကဋ္ဌ]] ''လစ်လပ်'' * ဗမာတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဒေါ်ခင်ထွေးအောင် * ကချင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးကိန်မိုင် * လီဆူးတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဒေါ်ငွေလှိုင် * လားဟူတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးဝီလ်ဆင်မိုး * အင်းသားတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဒေါ်တင်တင်ရီ * အာခါတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးထွန်းအောင် * ကယန်း(ခ)ပဒေါင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဒေါ်အေးချိုစိန် </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး စိုးမင်းဦး * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးအောင်စန်းချစ် * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးခင်မောင်ကြည် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးကျော်ထွန်းဇော် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးကျော်မျိုးတင် * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဒေါ်မေသန်းဦး * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးမောင်​မောင်ဦး * ကရင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး မန်းသိန်းကျော် * ရခိုင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးစိုးညွန့် </div> |- |၄၃ |တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ် ဥပဒေချုပ် | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ဥပဒေချုပ် (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ကချင်ပြည်နယ်ဥပဒေချုပ် ဒေါ်နန်းလှလှအေး * ကယားပြည်နယ်ဥပဒေချုပ် ဦးဝင်းနိုင် * ကရင်ပြည်နယ်ဥပဒေချုပ် ဒေါ်နော်သန်းသန်းငြိမ်း * ချင်းပြည်နယ်ဥပဒေချုပ် ဦးကပ်တလွန်း * စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးဥပဒေချုပ် ဒေါ်လှလှဝင်း * တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီးဥပဒေချုပ် ဦးထိန်လင်းကျော် * ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးဥပဒေချုပ် ဦးခင်မောင်တင့် * မကွေးတိုင်းဒေသကြီးဥပဒေချုပ် ဦးအေးလွင် * မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးဥပဒေချုပ် ဦးလှသိန်း * မွန်ပြည်နယ်ဥပဒေချုပ် ဒေါ်မိသန္တာမြင့် * ရခိုင်ပြည်နယ်ဥပဒေချုပ် ဦးဝင်းမောင် * ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးဥပဒေချုပ် ဒေါ်ဖြူမာဝေ * ရှမ်းပြည်နယ်ဥပဒေချုပ် ဦးစိုင်းကျော်ဇံ * ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီးဥပဒေချုပ် ဦးခင်မောင်လွင် |- |၄၄ |တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ် စာရင်းစစ်ချုပ် | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> စာရင်းစစ်ချုပ် (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ကချင်ပြည်နယ်စာရင်းစစ်ချုပ် ဒေါ်ခင်လေးနွယ် * ကယားပြည်နယ်စာရင်းစစ်ချုပ် ဒေါ်မော်မော် * ကရင်ပြည်နယ်စာရင်းစစ်ချုပ် ဦးအောင်စိုး * ချင်းပြည်နယ်စာရင်းစစ်ချုပ် ဦးမောင်မောင်ခင် * စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးစာရင်းစစ်ချုပ် ဒေါ်မြင့်မြင့်သိန်း * တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီးစာရင်းစစ်ချုပ် ဒေါ်ဌေးဌေးမြင့် * ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးစာရင်းစစ်ချုပ် ဒေါ်တင်တင်ငြိမ်း * မကွေးတိုင်းဒေသကြီးစာရင်းစစ်ချုပ် ဒေါ်အေးအေး * မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးစာရင်းစစ်ချုပ် ဒေါ်ခင်ခင်သီ * မွန်ပြည်နယ်စာရင်းစစ်ချုပ် ဒေါ်သိန်းသိန်းဦး * ရခိုင်ပြည်နယ်စာရင်းစစ်ချုပ် ဒေါ်ခင်သန်းကြည် * ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးစာရင်းစစ်ချုပ် ဒေါ်ခင်မာချို * ရှမ်းပြည်နယ်စာရင်းစစ်ချုပ် ဒေါ်ခင်ထွေးရီ * ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီးစာရင်းစစ်ချုပ် ဒေါ်ငြိမ်းငြိမ်းဝင်း |- |၄၅ |မြန်မာနိုင်ငံတော်ဗဟိုဘဏ် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌများ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ (၂) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ဦးသက်ထွန်းအောင် * ဒေါက်တာ စန္ဒာဦး |- |၄၆ |အဂတိလိုက်စားမှုတိုက်ဖျက်ရေးကော်မရှင် အဖွဲ့ဝင်များ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အဖွဲ့ဝင် (၈) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ဦးကျော်ဝင်းသိန်း * ဒေါက်တာ ထွန်းထွန်းဦး * [[တိုးရီ|ဦးတိုးရီ]] * ဦးဝင်းဇော်မိုး * ဦးတင်အောင်ဝင်း * ဦးလွန်းဘော် * ဦးကျော်စိုးညွန့် * ဦးမင်းဟန် |- |၄၇ |မြန်မာနိုင်ငံအမျိုးသားလူ့အခွင့်အရေးကော်မရှင် အဖွဲ့ဝင်များ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အဖွဲ့ဝင် (၁၂) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ဒေါက်တာ မြင့်သူမြိုင် * ဦးဝင်းလှိုင်ဦး(ခ)ကုန်ဇမှုန်း * ဦးသန်းဝင်း * ဦးတင်ကိုကို * ဦးအုန်းခိုင် * ဒေါက်တာ နုနုရီ * ဒေါ်စန္ဒာ * ဒေါက်တာ ဆွေဆွေအောင် * ဒေါက်တာ တင်ဌေးအိ * ဒေါက်တာ ဥမ္မာကျော် * ဦးညီညီ * ဦးထွန်းထွန်းဝင်း |- |၄၈ |[[အခွန်အယူခံခုံအဖွဲ့|အခွန်အယူခံခုံအဖွဲ့ဥက္ကဋ္ဌ]] |ဦးမြင့်ဦး |- |၄၉ |တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးများ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ကချင်ပြည်နယ် <div class="mw-collapsible-content"> * ဦးအောင်မြင့် * ဒေါ်ပြုံးပြုံးကြည် * ဒေါ်ခင်ပြုံးရီ </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ကယားပြည်နယ် <div class="mw-collapsible-content"> * ဒေါ်ချယ်ရီခင် * ဒေါ်သိန်းသိန်းနှင်း </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ကရင်ပြည်နယ် <div class="mw-collapsible-content"> * ဒေါ်ခင်စိမ်းဝင်း * ဒေါ်နွဲ့နွဲ့ဦး </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ချင်းပြည်နယ် <div class="mw-collapsible-content"> * ဦးကျော်သောင်းအောင် * ဒေါ်နှင်းကေသီဝင်း </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး <div class="mw-collapsible-content"> * ဦးဟန်သိန်း * ဒေါ်မိမိစိန် * ဦးခင်မောင်မြင့် </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး <div class="mw-collapsible-content"> * ဒေါ်ရင်ရင်သန်း * ဒေါ်ထွေးထွေး </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး <div class="mw-collapsible-content"> * ဒေါ်အေးအေးသန့် * ဒေါ်ခင်အုန်းတင့် * ဒေါက်တာ ဇော်ဝင်းထွန်း * ဦးသန့်ဇော်သန်း </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> မကွေးတိုင်းဒေသကြီး <div class="mw-collapsible-content"> * ဒေါ်ခင်နှင်းထွဋ် * ဦးထွန်းထွန်းအောင် * ဒေါ်မာလာ </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး <div class="mw-collapsible-content"> * ဦးမြင့်ဆန်း * ဒေါ်ခင်စန်းမြင့် * ဒေါ်ကြည်ကြည်စိန်း * ဒေါ်ခင်သစ်ဆွေ * ဦးသန်းထွန်းအောင် * ဦးဌေးအောင် </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> မွန်ပြည်နယ် <div class="mw-collapsible-content"> * ဒေါ်ညိုမီစံ * ဒေါက်တာ အောင်သီဟ * ဒေါ်ခိုင်ခိုင်မျိုး </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ရခိုင်ပြည်နယ် <div class="mw-collapsible-content"> * ဦးအောင်ထွန်းသိန်း * ဒေါ်စောရွှေ </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး <div class="mw-collapsible-content"> * ဦးကျော်စွာငြိမ်း * ဒေါ်ထားထား * ဒေါ်နုနုခင် * ဦးကျော်ကျော် * ဒေါ်မာလာထွဋ် * ဦးသောင်းထွေး </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ရှမ်းပြည်နယ် <div class="mw-collapsible-content"> * ဦးအောင်မော် * ဒေါ်သူဇာအောင် * ဒေါ်အေးအေးလှိုင် </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး <div class="mw-collapsible-content"> * ဒေါ်ယဉ်ယဉ်ဟန် * ဦးဝင်းမြိုင် * ဒေါ်ခင်စန်းဝင်း * ဒေါက်တာ အောင်ထွန်းလင်း </div> |- |၅၀ |ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာနမှ ညွှန်ကြားရေးမှူးများ | |} {{small|<sup> မှတ်ချက်။ ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်နာယကရာထူးသည် ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော် အစည်းအဝေးကျင်းပသည့် အစည်းအဝေးကာလအတွက်သာဖြစ်သဖြင့် ပြည်ထောင်စုအင်္ဂါစဉ်အရ အကျုံးမဝင်ပါ။}} ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:မြန်မာနိုင်ငံ၏ နိုင်ငံရေး]] 1o86w5v161h7d45v4ypupkylbm3i803 0 118341 1060813 1060461 2026-10-31T03:56:25Z ~2026-58094-35 150205 /* တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူးများ */ 1060813 wikitext text/x-wiki '''[[တပ်မတော်|မြန်မာ့တပ်မတော်]]'''တွင် လက်ရှိတာဝန်ထမ်းဆောင်နေကြသော အရာရှိကြီးများ စာရင်းဆောင်းပါးဖြစ်သည်။ ==ထိပ်တန်းအရာရှိကြီးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ရဲဝင်းဦး]] |OTS(၇၇) |- |၂ |[[ဒုတိယတပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ကျော်စွာလင်း]] |DSA(၃၅) |- |} == ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီးများ == ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေအရ တပ်မတော်သား ကိုယ်စားလှယ်အနေဖြင့် ပြည်ထောင်စုအစိုးရအဖွဲ့ ဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး တာဝန်ထမ်းဆောင်နေကြသော တပ်မတော်အရာရှိကြီးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် - {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ရာပြည့်]] |DSA(၂၂) ယခင် နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်​ထောင်စုဝန်ကြီး |- |၂ |[[ပြည်ထဲရေး ဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ကိုကိုဦး (ဗိုလ်ချုပ်)|ကိုကိုဦး]] |DSA(၃၈) ယခင် [[ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ)|ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ]] |- |၃ |[[နယ်စပ်ရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဖုန်းမြတ်]] |OTS(၇၃) ယခင် ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |} == ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်များ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ကြည်း)]] |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ကျော်စွာလင်း]] |DSA(၃၅) |- |၂ |[[ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ)]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[သန်းထိုက်]] |DSA(၃၈) |- |၃ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ရေ)]] |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ထိန်ဝင်း]] <ref>{{cite web|url=https://www.bbc.com/burmese/live/cw9yrgg7y17t|title=ဗိုလ်ချုပ်ထိန်ဝင်း ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ရေ) ဖြစ်လာ|work=BBC Burmese|access-date=၁၅ ဇူလိုင် ၂၀၂၄|date=၁၅ ဇူလိုင် ၂၀၂၄ }}</ref> |DSA(၂၉) |- |၄ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(လေ)]] |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ထွန်းဝင်း]] |DSA(၃၄) |} == တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ် ဝန်ကြီးချုပ်များ == ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေအရ တပ်မတော်သား ကိုယ်စားလှယ်အနေဖြင့် တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့ ဝန်ကြီးချုပ် တာဝန်ထမ်းဆောင်နေကြသော တပ်မတော်အရာရှိကြီးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် - {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[မွန်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့]] ဝန်ကြီးချုပ် |ဗိုလ်မှူးချုပ် [[အောင်ဝင်းသန်း]] |DSA(၃၀) ယခင် [[ဓညဝတီ ရေတပ်စခန်းဌာနချုပ်|ဓညဝတီရေတပ်စခန်းဌာနချုပ်မှူး]] |} == စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[အမှတ် (၁) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၁)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[နီလင်းအောင်]] |DSA(၃၇) |- |၂ |[[အမှတ် (၂) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၂)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဇော်မင်းလတ် |DSA(၃၇) |- |၃ |[[အမှတ် (၃) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၃)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ပြည့်စုံလင်း |DSA(၄၀) |- |၄ |[[အမှတ် (၄) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၄)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်လင်းမောင် |DSA(၃၇) |} == အရာရှိချုပ်များ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[စစ်ရေးချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဇော်ဟိန်း]] |DSA(၃၈) |- |၂ |[[စစ်ထောက်ချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဇော်မျိုးတင်]] |DSA(၃၂) |- |၃ |တပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ပြည့်စုံလင်း |DSA(၄၀) |- |၄ |[[တပ်မတော်စစ်ဆေးရေး အရာရှိချုပ်|တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မျိုးမင်းထွန်း |OTC(၂၃) |- |၅ |[[စစ်ရာထူးခန့်ချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထိန်ဝင်း |DSA(၃၈) |- |၆ |[[စစ်ဥပဒေချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မျိုးသန့်နိုင် |DSA(၃၂) |- |၇ |[[တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့် စာရင်းစစ်ချုပ် (ကြည်း/ရေ/လေ)|တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့်စာရင်းစစ်ချုပ်(ကြည်း၊ရေ၊လေ)]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ညွန့်ဝင်းဆွေ]] |DSA(၃၆) |- |၈ |[[စစ်ဖက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်|တပ်မ​တော်စစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ပြည့်စုံလင်း |DSA(၄၀) |- |၉ |[[လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့|လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးမင်း |DSA(၃၉) |- |၁၀ |[[ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေး အရာရှိချုပ်ရုံး|ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[မိုးမြင့်ဆွေ]] |အလုပ်သင်ဗိုလ်၊အပတ်စဉ်(၂၃) |- |၁၁ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(ကြည်း) |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်ကိုထိုက် |DSA(၃၈) |- |၁၂ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(ရေ) |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး သိန်းထူး |DSA(၃၄) |- |၁၃ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(လေ) |– |– |} == အခြား ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |အမျိုးသားစည်းလုံးညီညွတ်ရေးနှင့်ငြိမ်းချမ်းရေးဖော်ဆောင်မှုညှိနှိုင်းရေးကော်မတီအတွင်းရေးမှူး |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မင်းနိုင် |OTS(၆၆) ယခင် တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့်စာရင်းစစ်ချုပ်(ကြည်း၊ရေ၊လေ) |- |၂ |အရန်အင်အား |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[နိုင်နိုင်ဦး]] |DSA(၃၅) |- |၃ |ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန [[မြန်မာနိုင်ငံရဲတပ်ဖွဲ့]] ရဲချုပ် |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးလှိုင် |ယခင် [[အမှတ် (၄) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၄)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |} == တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[နေပြည်တော်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်စိုးလင်း |– |- |၂ |[[မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ်‌ အောင်ဇော်ထွေး |တေဇ(၂၄) |- |၃ |[[အရှေ့မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ကိုသွင် |– |- |၄ |[[အရှေ့ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်နိုင်ဦး |DSA(၄၁) |- |၅ |[[အရှေ့အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဝေလင်းအောင် |DSA(၄၂) |- |၆ |[[တြိဂံဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်စွာထွန်း |– |- |၇ |[[အရှေ့တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် သူရ ဇော်လွင်စိုး |DSA(၄၂) |- |၈ |[[ကမ်းရိုးတန်းဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ရဲဝင်းအောင် |– |- |၉ |[[ရန်ကုန်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် တင်မင်းလတ် |DSA(၄၁) |- |၁၀ |[[အနောက်တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |‌‌ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ကျော်ခိုင် |DSA(၄၁) |- |၁၁ |[[အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်ဇော |DSA(၄၃) |- |၁၂ |[[အနောက်မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် စိုးဝင်းထွန်း |DSA(၄၃) |- |၁၃ |[[အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ဌေး |OTS(၈၁) |- |၁၄ |[[တောင်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |‌‌ဗိုလ်ချုပ် စိုးကျော်ထက် |DSA(၄၁) |} == ဒုတိယဝန်ကြီးများ == ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေအရ တပ်မတော်သား ကိုယ်စားလှယ်အနေဖြင့် ပြည်ထောင်စုအစိုးရအဖွဲ့ ဝန်ကြီးဌာနများ၏ ဒုတိယဝန်ကြီး တာဝန်ထမ်းဆောင်နေကြသော တပ်မတော်အရာရှိကြီးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် - {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် အောင်မျိုးသန့် |DSA(၃၀) ယခင် ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် |- |၂ |ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် မင်းသူ |DSA(၃၇) ယခင် ဒုတိယတပ်မတော်စစ်ဖက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ် |- |၃ |နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်စွာဦး |တေဇ(၂၂) ယခင် အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး |- |၄ |နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် [[ကျော်ကျော်ဟန်]] |DSA(၄၁) ယခင် ကမ်းရိုးတန်းဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး |} == စစ်လက်ရုံး/ဝန်ထမ်းတပ်ဖွဲ့ ညွှန်ကြားရေးမှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[အမြောက်တပ်ဖွဲ့ ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ထင်ကျော်စိုး |DSA(၃၃) |- |၂ |စစ်အင်ဂျင်နီယာညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဝင်းမင်း |အရာရှိငယ်(၄၃) |- |၃ |ဆက်သွယ်ရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ဆွေသူရ |DSA(၃၉) |- |၄ |သံချပ်ကာယန္တယားညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ထူးမြတ်တိုး |DSA(၃၄) |- |၅ |ဒုံးတပ်ဖွဲ့ညွှန်ကြား​ရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် နိုင်ဝင်းဆွေ |OTS(၉၄) |- |၆ | [[ပြည်သူ့ဆက်ဆံရေးနှင့် စိတ်ဓာတ်စစ်ဆင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး|ပြည်သူ့ဆက်ဆံရေးနှင့်စိတ်ဓာတ်စစ်ဆင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ရဲရင့်အောင်<ref>{{cite web|url=https://www.moi.gov.mm/news/81173|title=(၈၁) နှစ်မြောက်တပ်မတော်နေ့ ဂုဏ်ပြုဇာတ်လမ်းတွင် ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ခဲ့သည့် အနုပညာရှင်များနှင့် ဂုဏ်ပြုစစ်ချီသီချင်း၊ စစ်သည်တေးသီချင်း၊ ကဗျာနှင့် ဝတ္ထုစာမူဆုရရှိသူ စာပေပညာရှင်များအား ဂုဏ်ပြုဆုနှင့် ဂုဏ်ပြုမှတ်တမ်းလွှာများပေးအပ်ချီးမြှင့်|work=MOI Myanmar|access-date=၂၇ မတ် ၂၀၂၆|date=၂၆ မတ် ၂၀၂၆}}</ref> |DSA(၃၇) |- |၇ |ပြည်သူ့စစ်နှင့်နယ်ခြားစောင့်တပ်များညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဝင်းသူ |DSA(၃၅) |- |၈ |[[လျှပ်စစ်နှင့်စက်မှု အင်ဂျင်နီယာ ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|လျှပ်စစ်နှင့် စက်မှုအင်ဂျင်နီယာ]] ညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် နေမျိုးဦး |အရာရှိငယ်(၄၂) |- |၉ |[[ဆေးဝန်ထမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|ဆေးဝန်ထမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဇော်မျိုးဟန် |– |- |၁၀ | [[တပ်မတော်မှတ်တမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|တပ်မတော်မှတ်တမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ရဲကျော်သူ |OTC(၂၀) |- |၁၁ | [[တပ်အင်အားဖြည့်တင်းရေး ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|အင်အားဖြည့်တင်းရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်ကျော်ဦး |OTC(၂၁) |- |၁၂ |တပ်မတော်စစ်သမိုင်းပြတိုက်နှင့်မော်ကွန်းတိုက်ညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် စိုးသူအောင် |DSA(၄၀) |- |၁၃ |[[လုံခြုံရေးနှင့်ဆိုင်သော ပုံနှိပ်လုပ်ငန်း ညွှန်ကြားရေးမှူး|လုံခြုံရေးနှင့်ဆိုင်သောပုံနှိပ်လုပ်ငန်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ဝင်းဇော် |DSA(၃၄) |- |၁၄ |[[ပြန်လည်နေရာချထားရေး ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|ပြန်လည်နေရာချထားရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် လှမိုး |OTC(၁၅) |- |၁၅ |ပစ္စည်းဝယ်ယူရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ကျော်ဝင်း |DSA(၃၇) |- |၁၆ | [[ထောက်ပံ့နှင့် ပို့ဆောင်ရေးတပ်ဖွဲ့|ထောက်ပံ့နှင့် ပို့ဆောင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ရဲထွဋ် |DSA(၃၂) |- |၁၇ |အထူးဆောက်လုပ်ရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ခင်မောင်အေး |– |- |၁၈ |[[စစ်လက်နက်ပစ္စည်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|စစ်လက်နက်ပစ္စည်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် မျိုးမင်း |DSA(၃၈) |} == အခြားတပ်မတော်အရာရှိကြီးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |တွဲဖက်စစ်ရေးချုပ်(၁) |ဗိုလ်ချုပ် ရဲရင့်ဝင်း |DSA(၃၆) |- |၂ |တွဲဖက်စစ်ရေးချုပ်(၂) |ဗိုလ်ချုပ် ထွန်းမြတ်ရွှေ |DSA(၃၁) |- |၃ |တွဲဖက်စစ်ထောက်ချုပ်(၁) |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဇော်ပိုင်ထွန်း |OTC(၂၂) |- |၄ |တွဲဖက်စစ်ထောက်ချုပ်(၂) |ဗိုလ်ချုပ် အောင်စိုးမိုး |DSA(၃၇) |- |၅ |ဒုတိယတပ်မတော်စစ်ဆေးရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် မင်းမင်းကို |OTC(၂၄) |- |၆ |ဒုတိယစစ်ရာထူးခန့်ချုပ် |ဗိုလ်မှူးချုပ် မြင့်သူနိုင် |DSA(၄၂) |- |၇ |တွဲဖက်စစ်ဥပဒေချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် အောင်ခင်သိန်း |OTS(၈၅) |- |၈ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (လေ့ကျင့်ရေး) |ဗိုလ်ချုပ် ဝင်းဗိုလ် |OTS(၉၄) |- |၉ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (စစ်မဟာဗျူဟာ) |ဗိုလ်မှူးချုပ် စိုးညွန့် |DSA(၃၆) |- |၁၀ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (ပူးပေါင်း) |ဗိုလ်ချုပ် စန်းယုနိုင် |DSA(၃၄) |- |၁၁ |ဒုတိယစစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် မင်းသူ |DSA(၃၇) |- |၁၂ |ဒုတိယစစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် ကိုကိုဦး |DSA(၃၆) |- |၁၃ |ဒုတိယလေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် ဇော်မင်းသိန်း |DSA(၃၈) |- |၁၄ |ဒုတိယကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်မှူးချုပ် နေမျိုးကို |OTS(၉၁) |- |၁၅ |ဒုတိယကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်မှူးချုပ် ညီညီအောင် |OTS(၈၁) |- |၁၆ |ဒုတိယတပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့်စာရင်းစစ်ချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်သူရအေး |OTC(၂၁) |- |၁၇ |စခန်းမှူး (ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်ရုံး(ကြည်း)၊ စခန်းရုံး) |ဗိုလ်မှူးချုပ် တင့်ဇော်ခိုင် |DSA(၄၂) |- |၁၈ |[[တပ်ထိန်းချုပ်ရုံး|တပ်ထိန်းချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် သိန်းနိုင် |OTC(၂၂) |- |၁၉ |ညွှန်ကြားရေးမှူးချုပ် (ငွေစာရင်းရုံး၊ ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန) |– |– |} == ကိုးကား == {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:တပ်မတော်၏ စစ်ဘက်ရာထူးတာဝန်ခန့်အပ်မှုများ|*]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ စစ်ဖက်ဆိုင်ရာ လူပုဂ္ဂိုလ်များ]] {{တပ်မတော်}} g64m62tit1rfzmfknayo08nbqf5111t 1060815 1060813 2026-10-31T04:05:43Z ~2026-58094-35 150205 1060815 wikitext text/x-wiki '''[[တပ်မတော်|မြန်မာ့တပ်မတော်]]'''တွင် လက်ရှိတာဝန်ထမ်းဆောင်နေကြသော အရာရှိကြီးများ စာရင်းဆောင်းပါးဖြစ်သည်။ ==ထိပ်တန်းအရာရှိကြီးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ရဲဝင်းဦး]] |OTS(၇၇) |- |၂ |[[ဒုတိယတပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ကျော်စွာလင်း]] |DSA(၃၅) |- |} == ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီးများ == ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေအရ တပ်မတော်သား ကိုယ်စားလှယ်အနေဖြင့် ပြည်ထောင်စုအစိုးရအဖွဲ့ ဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး တာဝန်ထမ်းဆောင်နေကြသော တပ်မတော်အရာရှိကြီးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် - {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ရာပြည့်]] |DSA(၂၂) ယခင် နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်​ထောင်စုဝန်ကြီး |- |၂ |[[ပြည်ထဲရေး ဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ကိုကိုဦး (ဗိုလ်ချုပ်)|ကိုကိုဦး]] |DSA(၃၈) ယခင် [[ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ)|ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ]] |- |၃ |[[နယ်စပ်ရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဖုန်းမြတ်]] |OTS(၇၃) ယခင် ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |} == ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်များ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ကြည်း)]] |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ကျော်စွာလင်း]] |DSA(၃၅) |- |၂ |[[ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ)]] |– |– |- |၃ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ရေ)]] |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ထိန်ဝင်း]] <ref>{{cite web|url=https://www.bbc.com/burmese/live/cw9yrgg7y17t|title=ဗိုလ်ချုပ်ထိန်ဝင်း ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ရေ) ဖြစ်လာ|work=BBC Burmese|access-date=၁၅ ဇူလိုင် ၂၀၂၄|date=၁၅ ဇူလိုင် ၂၀၂၄ }}</ref> |DSA(၂၉) |- |၄ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(လေ)]] |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ထွန်းဝင်း]] |DSA(၃၄) |} == တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ် ဝန်ကြီးချုပ်များ == ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေအရ တပ်မတော်သား ကိုယ်စားလှယ်အနေဖြင့် တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့ ဝန်ကြီးချုပ် တာဝန်ထမ်းဆောင်နေကြသော တပ်မတော်အရာရှိကြီးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် - {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[မွန်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့]] ဝန်ကြီးချုပ် |ဗိုလ်မှူးချုပ် [[အောင်ဝင်းသန်း]] |DSA(၃၀) ယခင် [[ဓညဝတီ ရေတပ်စခန်းဌာနချုပ်|ဓညဝတီရေတပ်စခန်းဌာနချုပ်မှူး]] |} == စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[အမှတ် (၁) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၁)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[နီလင်းအောင်]] |DSA(၃၇) |- |၂ |[[အမှတ် (၂) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၂)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဇော်မင်းလတ် |DSA(၃၇) |- |၃ |[[အမှတ် (၃) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၃)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ပြည့်စုံလင်း |DSA(၄၀) |- |၄ |[[အမှတ် (၄) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၄)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်လင်းမောင် |DSA(၃၇) |} == အရာရှိချုပ်များ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[စစ်ရေးချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဇော်ဟိန်း]] |DSA(၃၈) |- |၂ |[[စစ်ထောက်ချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဇော်မျိုးတင်]] |DSA(၃၂) |- |၃ |တပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ပြည့်စုံလင်း |DSA(၄၀) |- |၄ |[[တပ်မတော်စစ်ဆေးရေး အရာရှိချုပ်|တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မျိုးမင်းထွန်း |OTC(၂၃) |- |၅ |[[စစ်ရာထူးခန့်ချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထိန်ဝင်း |DSA(၃၈) |- |၆ |[[စစ်ဥပဒေချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် အေးမင်းဦး |OTS(၉၄) |- |၇ |[[တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့် စာရင်းစစ်ချုပ် (ကြည်း/ရေ/လေ)|တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့်စာရင်းစစ်ချုပ်(ကြည်း၊ရေ၊လေ)]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ညွန့်ဝင်းဆွေ]] |DSA(၃၆) |- |၈ |[[စစ်ဖက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်|တပ်မ​တော်စစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်ကိုထိုက် |DSA(၃၈) |- |၉ |[[လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့|လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးမင်း |DSA(၃၉) |- |၁၀ |[[ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေး အရာရှိချုပ်ရုံး|ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[မိုးမြင့်ဆွေ]] |အလုပ်သင်ဗိုလ်၊အပတ်စဉ်(၂၃) |- |၁၁ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(ကြည်း) |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[သန်းထိုက်]] |DSA(၃၈) |- |၁၂ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(ရေ) |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး သိန်းထူး |DSA(၃၄) |- |၁၃ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(လေ) |– |– |} == အခြား ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |အမျိုးသားစည်းလုံးညီညွတ်ရေးနှင့်ငြိမ်းချမ်းရေးဖော်ဆောင်မှုညှိနှိုင်းရေးကော်မတီအတွင်းရေးမှူး |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မင်းနိုင် |OTS(၆၆) ယခင် တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့်စာရင်းစစ်ချုပ်(ကြည်း၊ရေ၊လေ) |- |၂ |အရန်အင်အား |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[နိုင်နိုင်ဦး]] |DSA(၃၅) |- |၃ |ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန [[မြန်မာနိုင်ငံရဲတပ်ဖွဲ့]] ရဲချုပ် |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးလှိုင် |ယခင် [[အမှတ် (၄) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၄)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |} == တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[နေပြည်တော်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်စိုးလင်း |– |- |၂ |[[မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ်‌ အောင်ဇော်ထွေး |တေဇ(၂၄) |- |၃ |[[အရှေ့မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ကိုသွင် |– |- |၄ |[[အရှေ့ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်နိုင်ဦး |DSA(၄၁) |- |၅ |[[အရှေ့အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဝေလင်းအောင် |DSA(၄၂) |- |၆ |[[တြိဂံဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်စွာထွန်း |– |- |၇ |[[အရှေ့တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် သူရ ဇော်လွင်စိုး |DSA(၄၂) |- |၈ |[[ကမ်းရိုးတန်းဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ရဲဝင်းအောင် |– |- |၉ |[[ရန်ကုန်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် တင်မင်းလတ် |DSA(၄၁) |- |၁၀ |[[အနောက်တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |‌‌ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ကျော်ခိုင် |DSA(၄၁) |- |၁၁ |[[အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်ဇော |DSA(၄၃) |- |၁၂ |[[အနောက်မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် စိုးဝင်းထွန်း |DSA(၄၃) |- |၁၃ |[[အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ဌေး |OTS(၈၁) |- |၁၄ |[[တောင်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |‌‌ဗိုလ်ချုပ် စိုးကျော်ထက် |DSA(၄၁) |} == ဒုတိယဝန်ကြီးများ == ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေအရ တပ်မတော်သား ကိုယ်စားလှယ်အနေဖြင့် ပြည်ထောင်စုအစိုးရအဖွဲ့ ဝန်ကြီးဌာနများ၏ ဒုတိယဝန်ကြီး တာဝန်ထမ်းဆောင်နေကြသော တပ်မတော်အရာရှိကြီးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် - {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် အောင်မျိုးသန့် |DSA(၃၀) ယခင် ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် |- |၂ |ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် မင်းသူ |DSA(၃၇) ယခင် ဒုတိယတပ်မတော်စစ်ဖက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ် |- |၃ |နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်စွာဦး |တေဇ(၂၂) ယခင် အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး |- |၄ |နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် [[ကျော်ကျော်ဟန်]] |DSA(၄၁) ယခင် ကမ်းရိုးတန်းဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး |} == စစ်လက်ရုံး/ဝန်ထမ်းတပ်ဖွဲ့ ညွှန်ကြားရေးမှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[အမြောက်တပ်ဖွဲ့ ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ထင်ကျော်စိုး |DSA(၃၃) |- |၂ |စစ်အင်ဂျင်နီယာညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဝင်းမင်း |အရာရှိငယ်(၄၃) |- |၃ |ဆက်သွယ်ရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ဆွေသူရ |DSA(၃၉) |- |၄ |သံချပ်ကာယန္တယားညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ထူးမြတ်တိုး |DSA(၃၄) |- |၅ |ဒုံးတပ်ဖွဲ့ညွှန်ကြား​ရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် နိုင်ဝင်းဆွေ |OTS(၉၄) |- |၆ | [[ပြည်သူ့ဆက်ဆံရေးနှင့် စိတ်ဓာတ်စစ်ဆင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး|ပြည်သူ့ဆက်ဆံရေးနှင့်စိတ်ဓာတ်စစ်ဆင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ရဲရင့်အောင်<ref>{{cite web|url=https://www.moi.gov.mm/news/81173|title=(၈၁) နှစ်မြောက်တပ်မတော်နေ့ ဂုဏ်ပြုဇာတ်လမ်းတွင် ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ခဲ့သည့် အနုပညာရှင်များနှင့် ဂုဏ်ပြုစစ်ချီသီချင်း၊ စစ်သည်တေးသီချင်း၊ ကဗျာနှင့် ဝတ္ထုစာမူဆုရရှိသူ စာပေပညာရှင်များအား ဂုဏ်ပြုဆုနှင့် ဂုဏ်ပြုမှတ်တမ်းလွှာများပေးအပ်ချီးမြှင့်|work=MOI Myanmar|access-date=၂၇ မတ် ၂၀၂၆|date=၂၆ မတ် ၂၀၂၆}}</ref> |DSA(၃၇) |- |၇ |ပြည်သူ့စစ်နှင့်နယ်ခြားစောင့်တပ်များညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဝင်းသူ |DSA(၃၅) |- |၈ |[[လျှပ်စစ်နှင့်စက်မှု အင်ဂျင်နီယာ ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|လျှပ်စစ်နှင့် စက်မှုအင်ဂျင်နီယာ]] ညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် နေမျိုးဦး |အရာရှိငယ်(၄၂) |- |၉ |[[ဆေးဝန်ထမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|ဆေးဝန်ထမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဇော်မျိုးဟန် |– |- |၁၀ | [[တပ်မတော်မှတ်တမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|တပ်မတော်မှတ်တမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ရဲကျော်သူ |OTC(၂၀) |- |၁၁ | [[တပ်အင်အားဖြည့်တင်းရေး ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|အင်အားဖြည့်တင်းရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်ကျော်ဦး |OTC(၂၁) |- |၁၂ |တပ်မတော်စစ်သမိုင်းပြတိုက်နှင့်မော်ကွန်းတိုက်ညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် စိုးသူအောင် |DSA(၄၀) |- |၁၃ |[[လုံခြုံရေးနှင့်ဆိုင်သော ပုံနှိပ်လုပ်ငန်း ညွှန်ကြားရေးမှူး|လုံခြုံရေးနှင့်ဆိုင်သောပုံနှိပ်လုပ်ငန်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ဝင်းဇော် |DSA(၃၄) |- |၁၄ |[[ပြန်လည်နေရာချထားရေး ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|ပြန်လည်နေရာချထားရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် လှမိုး |OTC(၁၅) |- |၁၅ |ပစ္စည်းဝယ်ယူရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ကျော်ဝင်း |DSA(၃၇) |- |၁၆ | [[ထောက်ပံ့နှင့် ပို့ဆောင်ရေးတပ်ဖွဲ့|ထောက်ပံ့နှင့် ပို့ဆောင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ရဲထွဋ် |DSA(၃၂) |- |၁၇ |အထူးဆောက်လုပ်ရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ခင်မောင်အေး |– |- |၁၈ |[[စစ်လက်နက်ပစ္စည်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|စစ်လက်နက်ပစ္စည်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် မျိုးမင်း |DSA(၃၈) |} == အခြားတပ်မတော်အရာရှိကြီးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |တွဲဖက်စစ်ရေးချုပ်(၁) |ဗိုလ်ချုပ် ရဲရင့်ဝင်း |DSA(၃၆) |- |၂ |တွဲဖက်စစ်ရေးချုပ်(၂) |ဗိုလ်ချုပ် ထွန်းမြတ်ရွှေ |DSA(၃၁) |- |၃ |တွဲဖက်စစ်ထောက်ချုပ်(၁) |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဇော်ပိုင်ထွန်း |OTC(၂၂) |- |၄ |တွဲဖက်စစ်ထောက်ချုပ်(၂) |ဗိုလ်ချုပ် အောင်စိုးမိုး |DSA(၃၇) |- |၅ |ဒုတိယတပ်မတော်စစ်ဆေးရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် မင်းမင်းကို |OTC(၂၄) |- |၆ |ဒုတိယစစ်ရာထူးခန့်ချုပ် |ဗိုလ်မှူးချုပ် မြင့်သူနိုင် |DSA(၄၂) |- |၇ |တွဲဖက်စစ်ဥပဒေချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် အောင်ခင်သိန်း |OTS(၈၅) |- |၈ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (လေ့ကျင့်ရေး) |ဗိုလ်ချုပ် ဝင်းဗိုလ် |OTS(၉၄) |- |၉ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (စစ်မဟာဗျူဟာ) |ဗိုလ်မှူးချုပ် စိုးညွန့် |DSA(၃၆) |- |၁၀ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (ပူးပေါင်း) |ဗိုလ်ချုပ် စန်းယုနိုင် |DSA(၃၄) |- |၁၁ |ဒုတိယစစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် မင်းသူ |DSA(၃၇) |- |၁၂ |ဒုတိယစစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် ကိုကိုဦး |DSA(၃၆) |- |၁၃ |ဒုတိယလေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် ဇော်မင်းသိန်း |DSA(၃၈) |- |၁၄ |ဒုတိယကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်မှူးချုပ် နေမျိုးကို |OTS(၉၁) |- |၁၅ |ဒုတိယကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်မှူးချုပ် ညီညီအောင် |OTS(၈၁) |- |၁၆ |ဒုတိယတပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့်စာရင်းစစ်ချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်သူရအေး |OTC(၂၁) |- |၁၇ |စခန်းမှူး (ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်ရုံး(ကြည်း)၊ စခန်းရုံး) |ဗိုလ်မှူးချုပ် တင့်ဇော်ခိုင် |DSA(၄၂) |- |၁၈ |[[တပ်ထိန်းချုပ်ရုံး|တပ်ထိန်းချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် သိန်းနိုင် |OTC(၂၂) |- |၁၉ |ညွှန်ကြားရေးမှူးချုပ် (ငွေစာရင်းရုံး၊ ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန) |– |– |} == ကိုးကား == {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:တပ်မတော်၏ စစ်ဘက်ရာထူးတာဝန်ခန့်အပ်မှုများ|*]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ စစ်ဖက်ဆိုင်ရာ လူပုဂ္ဂိုလ်များ]] {{တပ်မတော်}} ewtvkfy4vayay6slixo3lz40svy9tdi 1060816 1060815 2026-10-31T04:17:08Z ~2026-58094-35 150205 /* တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူးများ */ 1060816 wikitext text/x-wiki '''[[တပ်မတော်|မြန်မာ့တပ်မတော်]]'''တွင် လက်ရှိတာဝန်ထမ်းဆောင်နေကြသော အရာရှိကြီးများ စာရင်းဆောင်းပါးဖြစ်သည်။ ==ထိပ်တန်းအရာရှိကြီးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ရဲဝင်းဦး]] |OTS(၇၇) |- |၂ |[[ဒုတိယတပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ကျော်စွာလင်း]] |DSA(၃၅) |- |} == ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီးများ == ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေအရ တပ်မတော်သား ကိုယ်စားလှယ်အနေဖြင့် ပြည်ထောင်စုအစိုးရအဖွဲ့ ဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး တာဝန်ထမ်းဆောင်နေကြသော တပ်မတော်အရာရှိကြီးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် - {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ရာပြည့်]] |DSA(၂၂) ယခင် နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်​ထောင်စုဝန်ကြီး |- |၂ |[[ပြည်ထဲရေး ဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ကိုကိုဦး (ဗိုလ်ချုပ်)|ကိုကိုဦး]] |DSA(၃၈) ယခင် [[ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ)|ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ]] |- |၃ |[[နယ်စပ်ရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဖုန်းမြတ်]] |OTS(၇၃) ယခင် ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |} == ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်များ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ကြည်း)]] |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ကျော်စွာလင်း]] |DSA(၃၅) |- |၂ |[[ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ)]] |– |– |- |၃ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ရေ)]] |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ထိန်ဝင်း]] <ref>{{cite web|url=https://www.bbc.com/burmese/live/cw9yrgg7y17t|title=ဗိုလ်ချုပ်ထိန်ဝင်း ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ရေ) ဖြစ်လာ|work=BBC Burmese|access-date=၁၅ ဇူလိုင် ၂၀၂၄|date=၁၅ ဇူလိုင် ၂၀၂၄ }}</ref> |DSA(၂၉) |- |၄ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(လေ)]] |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ထွန်းဝင်း]] |DSA(၃၄) |} == တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ် ဝန်ကြီးချုပ်များ == ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေအရ တပ်မတော်သား ကိုယ်စားလှယ်အနေဖြင့် တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့ ဝန်ကြီးချုပ် တာဝန်ထမ်းဆောင်နေကြသော တပ်မတော်အရာရှိကြီးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် - {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[မွန်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့]] ဝန်ကြီးချုပ် |ဗိုလ်မှူးချုပ် [[အောင်ဝင်းသန်း]] |DSA(၃၀) ယခင် [[ဓညဝတီ ရေတပ်စခန်းဌာနချုပ်|ဓညဝတီရေတပ်စခန်းဌာနချုပ်မှူး]] |} == စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[အမှတ် (၁) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၁)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[နီလင်းအောင်]] |DSA(၃၇) |- |၂ |[[အမှတ် (၂) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၂)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဇော်မင်းလတ် |DSA(၃၇) |- |၃ |[[အမှတ် (၃) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၃)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ပြည့်စုံလင်း |DSA(၄၀) |- |၄ |[[အမှတ် (၄) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၄)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်လင်းမောင် |DSA(၃၇) |} == အရာရှိချုပ်များ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[စစ်ရေးချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဇော်ဟိန်း]] |DSA(၃၈) |- |၂ |[[စစ်ထောက်ချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဇော်မျိုးတင်]] |DSA(၃၂) |- |၃ |တပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ပြည့်စုံလင်း |DSA(၄၀) |- |၄ |[[တပ်မတော်စစ်ဆေးရေး အရာရှိချုပ်|တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မျိုးမင်းထွန်း |OTC(၂၃) |- |၅ |[[စစ်ရာထူးခန့်ချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထိန်ဝင်း |DSA(၃၈) |- |၆ |[[စစ်ဥပဒေချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် အေးမင်းဦး |OTS(၉၄) |- |၇ |[[တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့် စာရင်းစစ်ချုပ် (ကြည်း/ရေ/လေ)|တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့်စာရင်းစစ်ချုပ်(ကြည်း၊ရေ၊လေ)]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ညွန့်ဝင်းဆွေ]] |DSA(၃၆) |- |၈ |[[စစ်ဖက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်|တပ်မ​တော်စစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်ကိုထိုက် |DSA(၃၈) |- |၉ |[[လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့|လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးမင်း |DSA(၃၉) |- |၁၀ |[[ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေး အရာရှိချုပ်ရုံး|ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[မိုးမြင့်ဆွေ]] |အလုပ်သင်ဗိုလ်၊အပတ်စဉ်(၂၃) |- |၁၁ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(ကြည်း) |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[သန်းထိုက်]] |DSA(၃၈) |- |၁၂ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(ရေ) |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး သိန်းထူး |DSA(၃၄) |- |၁၃ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(လေ) |– |– |} == အခြား ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |အမျိုးသားစည်းလုံးညီညွတ်ရေးနှင့်ငြိမ်းချမ်းရေးဖော်ဆောင်မှုညှိနှိုင်းရေးကော်မတီအတွင်းရေးမှူး |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မင်းနိုင် |OTS(၆၆) ယခင် တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့်စာရင်းစစ်ချုပ်(ကြည်း၊ရေ၊လေ) |- |၂ |အရန်အင်အား |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[နိုင်နိုင်ဦး]] |DSA(၃၅) |- |၃ |ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန [[မြန်မာနိုင်ငံရဲတပ်ဖွဲ့]] ရဲချုပ် |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးလှိုင် |ယခင် [[အမှတ် (၄) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၄)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |} == တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[နေပြည်တော်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်စိုးလင်း |– |- |၂ |[[မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ်‌ အောင်ဇော်ထွေး |တေဇ(၂၄) |- |၃ |[[အရှေ့မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ကိုသွင် |– |- |၄ |[[အရှေ့ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |rowspan=2|ဗိုလ်ချုပ် ကျော်နိုင်ဦး |rowspan=2|DSA(၄၁) |- |၅ |[[အရှေ့အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |- |၆ |[[တြိဂံဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်စွာထွန်း |– |- |၇ |[[အရှေ့တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် သူရ ဇော်လွင်စိုး |DSA(၄၂) |- |၈ |[[ကမ်းရိုးတန်းဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ရဲဝင်းအောင် |– |- |၉ |[[ရန်ကုန်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် တင်မင်းလတ် |DSA(၄၁) |- |၁၀ |[[အနောက်တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |‌‌ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ကျော်ခိုင် |DSA(၄၁) |- |၁၁ |[[အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်ဇော |DSA(၄၃) |- |၁၂ |[[အနောက်မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် စိုးဝင်းထွန်း |DSA(၄၃) |- |၁၃ |[[အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ဌေး |OTS(၈၁) |- |၁၄ |[[တောင်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |‌‌ဗိုလ်ချုပ် စိုးကျော်ထက် |DSA(၄၁) |} == ဒုတိယဝန်ကြီးများ == ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေအရ တပ်မတော်သား ကိုယ်စားလှယ်အနေဖြင့် ပြည်ထောင်စုအစိုးရအဖွဲ့ ဝန်ကြီးဌာနများ၏ ဒုတိယဝန်ကြီး တာဝန်ထမ်းဆောင်နေကြသော တပ်မတော်အရာရှိကြီးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် - {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် အောင်မျိုးသန့် |DSA(၃၀) ယခင် ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် |- |၂ |ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် မင်းသူ |DSA(၃၇) ယခင် ဒုတိယတပ်မတော်စစ်ဖက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ် |- |၃ |နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်စွာဦး |တေဇ(၂၂) ယခင် အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး |- |၄ |နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် [[ကျော်ကျော်ဟန်]] |DSA(၄၁) ယခင် ကမ်းရိုးတန်းဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး |} == စစ်လက်ရုံး/ဝန်ထမ်းတပ်ဖွဲ့ ညွှန်ကြားရေးမှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[အမြောက်တပ်ဖွဲ့ ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ထင်ကျော်စိုး |DSA(၃၃) |- |၂ |စစ်အင်ဂျင်နီယာညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဝင်းမင်း |အရာရှိငယ်(၄၃) |- |၃ |ဆက်သွယ်ရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ဆွေသူရ |DSA(၃၉) |- |၄ |သံချပ်ကာယန္တယားညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ထူးမြတ်တိုး |DSA(၃၄) |- |၅ |ဒုံးတပ်ဖွဲ့ညွှန်ကြား​ရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် နိုင်ဝင်းဆွေ |OTS(၉၄) |- |၆ | [[ပြည်သူ့ဆက်ဆံရေးနှင့် စိတ်ဓာတ်စစ်ဆင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး|ပြည်သူ့ဆက်ဆံရေးနှင့်စိတ်ဓာတ်စစ်ဆင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ရဲရင့်အောင်<ref>{{cite web|url=https://www.moi.gov.mm/news/81173|title=(၈၁) နှစ်မြောက်တပ်မတော်နေ့ ဂုဏ်ပြုဇာတ်လမ်းတွင် ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ခဲ့သည့် အနုပညာရှင်များနှင့် ဂုဏ်ပြုစစ်ချီသီချင်း၊ စစ်သည်တေးသီချင်း၊ ကဗျာနှင့် ဝတ္ထုစာမူဆုရရှိသူ စာပေပညာရှင်များအား ဂုဏ်ပြုဆုနှင့် ဂုဏ်ပြုမှတ်တမ်းလွှာများပေးအပ်ချီးမြှင့်|work=MOI Myanmar|access-date=၂၇ မတ် ၂၀၂၆|date=၂၆ မတ် ၂၀၂၆}}</ref> |DSA(၃၇) |- |၇ |ပြည်သူ့စစ်နှင့်နယ်ခြားစောင့်တပ်များညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဝင်းသူ |DSA(၃၅) |- |၈ |[[လျှပ်စစ်နှင့်စက်မှု အင်ဂျင်နီယာ ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|လျှပ်စစ်နှင့် စက်မှုအင်ဂျင်နီယာ]] ညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် နေမျိုးဦး |အရာရှိငယ်(၄၂) |- |၉ |[[ဆေးဝန်ထမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|ဆေးဝန်ထမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဇော်မျိုးဟန် |– |- |၁၀ | [[တပ်မတော်မှတ်တမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|တပ်မတော်မှတ်တမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ရဲကျော်သူ |OTC(၂၀) |- |၁၁ | [[တပ်အင်အားဖြည့်တင်းရေး ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|အင်အားဖြည့်တင်းရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်ကျော်ဦး |OTC(၂၁) |- |၁၂ |တပ်မတော်စစ်သမိုင်းပြတိုက်နှင့်မော်ကွန်းတိုက်ညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် စိုးသူအောင် |DSA(၄၀) |- |၁၃ |[[လုံခြုံရေးနှင့်ဆိုင်သော ပုံနှိပ်လုပ်ငန်း ညွှန်ကြားရေးမှူး|လုံခြုံရေးနှင့်ဆိုင်သောပုံနှိပ်လုပ်ငန်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ဝင်းဇော် |DSA(၃၄) |- |၁၄ |[[ပြန်လည်နေရာချထားရေး ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|ပြန်လည်နေရာချထားရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် လှမိုး |OTC(၁၅) |- |၁၅ |ပစ္စည်းဝယ်ယူရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ကျော်ဝင်း |DSA(၃၇) |- |၁၆ | [[ထောက်ပံ့နှင့် ပို့ဆောင်ရေးတပ်ဖွဲ့|ထောက်ပံ့နှင့် ပို့ဆောင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ရဲထွဋ် |DSA(၃၂) |- |၁၇ |အထူးဆောက်လုပ်ရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ခင်မောင်အေး |– |- |၁၈ |[[စစ်လက်နက်ပစ္စည်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|စစ်လက်နက်ပစ္စည်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် မျိုးမင်း |DSA(၃၈) |} == အခြားတပ်မတော်အရာရှိကြီးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |တွဲဖက်စစ်ရေးချုပ်(၁) |ဗိုလ်ချုပ် ရဲရင့်ဝင်း |DSA(၃၆) |- |၂ |တွဲဖက်စစ်ရေးချုပ်(၂) |ဗိုလ်ချုပ် ထွန်းမြတ်ရွှေ |DSA(၃၁) |- |၃ |တွဲဖက်စစ်ထောက်ချုပ်(၁) |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဇော်ပိုင်ထွန်း |OTC(၂၂) |- |၄ |တွဲဖက်စစ်ထောက်ချုပ်(၂) |ဗိုလ်ချုပ် အောင်စိုးမိုး |DSA(၃၇) |- |၅ |ဒုတိယတပ်မတော်စစ်ဆေးရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် မင်းမင်းကို |OTC(၂၄) |- |၆ |ဒုတိယစစ်ရာထူးခန့်ချုပ် |ဗိုလ်မှူးချုပ် မြင့်သူနိုင် |DSA(၄၂) |- |၇ |တွဲဖက်စစ်ဥပဒေချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် အောင်ခင်သိန်း |OTS(၈၅) |- |၈ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (လေ့ကျင့်ရေး) |ဗိုလ်ချုပ် ဝင်းဗိုလ် |OTS(၉၄) |- |၉ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (စစ်မဟာဗျူဟာ) |ဗိုလ်မှူးချုပ် စိုးညွန့် |DSA(၃၆) |- |၁၀ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (ပူးပေါင်း) |ဗိုလ်ချုပ် စန်းယုနိုင် |DSA(၃၄) |- |၁၁ |ဒုတိယစစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် မင်းသူ |DSA(၃၇) |- |၁၂ |ဒုတိယစစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် ကိုကိုဦး |DSA(၃၆) |- |၁၃ |ဒုတိယလေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် ဇော်မင်းသိန်း |DSA(၃၈) |- |၁၄ |ဒုတိယကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်မှူးချုပ် နေမျိုးကို |OTS(၉၁) |- |၁၅ |ဒုတိယကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်မှူးချုပ် ညီညီအောင် |OTS(၈၁) |- |၁၆ |ဒုတိယတပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့်စာရင်းစစ်ချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်သူရအေး |OTC(၂၁) |- |၁၇ |စခန်းမှူး (ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်ရုံး(ကြည်း)၊ စခန်းရုံး) |ဗိုလ်မှူးချုပ် တင့်ဇော်ခိုင် |DSA(၄၂) |- |၁၈ |[[တပ်ထိန်းချုပ်ရုံး|တပ်ထိန်းချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် သိန်းနိုင် |OTC(၂၂) |- |၁၉ |ညွှန်ကြားရေးမှူးချုပ် (ငွေစာရင်းရုံး၊ ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန) |– |– |} == ကိုးကား == {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:တပ်မတော်၏ စစ်ဘက်ရာထူးတာဝန်ခန့်အပ်မှုများ|*]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ စစ်ဖက်ဆိုင်ရာ လူပုဂ္ဂိုလ်များ]] {{တပ်မတော်}} 9mslyv32ghei1mdoc0lno8xmlpa9t9x 0 135020 1060831 853075 2026-10-31T09:28:17Z Chenzeyan29 141880 /* */ 1060831 wikitext text/x-wiki {{merge|သနပ်ခါး}} 6alnidk1e30u0j6boylew0dmsn4qpx1 0 137929 1060753 1054775 2026-10-30T13:53:41Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 0 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 1 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060753 wikitext text/x-wiki {{Infobox company | name = ဆဲဗင်း အလဲဗင်း | logo = Logo of 7-Eleven (transparent).svg | logo_size = 150 | အမျိုးအစား = ပုဂ္ဂလိကပိုင် | တည်ထောင်သူ = ဂျိုးစီ ထအမ်စံ | အဆောက်အဦး = {{စတင်ရက်စွဲနှင့်ခုနှစ်|1927}} (စတိုးဆိုင်) | တည်နေရာ = [[ဒါးလတ်စ်မြို့]] ၊ [[တက္ကဆပ်ပြည်နယ်]] | ဝဘ်ဆိုက် = {{URL|https://www.7-eleven.com/}} | location_country = {{အလံ|အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု}} | locations = ၇၁၁၀၀ | key_people = ဂျိုးဇက် တယ်ပင်တို(အမှုဆောင်အရာရှိချုပ် နှင့် ဥက္ကဋ္ဌ)<br/>စတန်လေ(ဒု ဥက္ကဋ္ဌ နှင့် ဘဏ္ဍာရေးအရာရှိချုပ်) | industry = ကုန်စုံဆိုင် | products = အဖျော်ယမကာ<br/>အခြားထုတ်ကုန်မျာ: ကော်ဖီ၊၊သကြားလုံး ၊အသင့်စားအစားအစာ၊ဓာတ်ဆီ၊နို့ထွက်ပစ္စည်း၊သွားရည်စား၊အရက်ယမကာ | ဝန်ထမ်းအရေအတွက် = ၄၅၀၀၀ | အရေအတွက်ဝန်ထမ်းတစ်နှစ် = ၂၀၁၀ | Parent = [[:en:Seven & I Holdings Co.|Seven & I Holdings Co., Ltd.]] (၂၀၀၅–လက်ရှိ) }} ''ဆဲဗင်း အလဲဗင်း'' ('''7ᴇʟᴇᴠᴇn''') သည်[[ဒါးလတ်စ်မြို့]] ၊ [[တက္ကဆပ်ပြည်နယ်]] တွင် အခြေစိုက်သည့် ကုန်စုံစတိုးဆိုင်ကြီးတစ်ခုဖြစ်သည်။ ၁၉၂၇ ခုနှစ်တွင် Dallas ရှိရေခဲအိမ်စတိုးတစ်ခုအဖြစ်စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ၁၉၂၈ ခုနှစ်မှ ၁၉၄၆ ခုနှစ်အတွင်း Tote'm Stores ဟုအမည်ပေးခဲ့သည်။ ကုမ္ပဏီ၏ ၇၀% ကိုဂျပန်လက်အောက်ခံ Ito-Yokado မှ ၁၉၉၁ ခုနှစ်တွင်ဝယ်ယူပြီးနောက် ၂၀၀၅ ခုနှစ်တွင် Seven-Eleven Japan Co. , Ltd ၏လက်အောက်ခံအဖြစ်ပြန်လည်ဖွဲ့စည်းခဲ့ပြီး ယခုအခါတိုကျိုအခြေစိုက် Seven & I Holdings Co. , Chiyoda မှပိုင်ဆိုင်သည်။ ဇူလိုင်လ ၂၀ ရက်နေ့အထိ နိုင်ငံပေါင်း ၇ နိုင်ငံမှ ဆိုင်ခွဲပေါင်း ၇၁,၁၁၁ အထိ ရှိလာသည်။ <ref>{{cite web |last1=Chang |first1=Ron |title=7-Eleven Opens 71,100th Store In S. Korea |url=http://tbs.seoul.kr/eFm/newsView.do?typ_800=J&idx_800=3395420&seq_800= |website=tbs |accessdate=11 July 2020}}</ref> == အေတီမိုလိုယီ == ဖောက်သည်များက ၎င်းတို့၏ဝယ်ယူမှုများအား စုဆောင်းမိသောကြောင့်ကုမ္ပဏီ၏ပထမဆုံးဆိုင်များမှာTote'm Stores အမည်ရှိ Dallas ဖြစ်သည်။ အချို့သောစတိုးဆိုင်များတွင် စတိုးဆိုင်ရှေ့တွင် စစ်မှန်သောအလက်စကာမှ စုစုပေါင်းစတိုးဆိုင်များပါရှိသည်။ ၁၉၄၆ တွင်ကွင်းဆက်၏အမည်ကို Tote'm မှ 7-Eleven ဟု ပြောင်းလဲ၍ ကုမ္ပဏီ၏အချိန်နှင့်တပြေးညီ ဖြစ်စေရန် တစ်ပတ်လျှင်ခုနစ်ရက် နံနက် ၇:၀၀ နာရီမှ ၁၁:၀၀ နာရီအဖြစ်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။<ref name="History - 7-Eleven Corporate"/> ၁၉၉၉ နိုဝင်ဘာလတွင်အမေရိကန်ကုမ္ပဏီရဲ့ကုမ္ပဏီအမည်ကို "Southland Corporation" မှ "7-Eleven Inc. " သို့ပြောင်းခဲ့သည်။"<ref name="7-Eleven Corporate">{{cite web |title= 7-Eleven Corporate |url= http://corp.7-eleven.com/corp/7-eleven-profile |website= corp.7-eleven.com |publisher= 7-Eleven Corporate |accessdate= February 10, 2015 |archive-date= 10 February 2015 |archive-url= https://web.archive.org/web/20150210155353/http://corp.7-eleven.com/corp/7-eleven-profile }}</ref><ref>{{cite book |last1=Smith |first1= Andrew F. |title= The Oxford Companion to American Food and Drink |date= May 2007 |publisher= Oxford University Press |page= 146}}</ref> == သမိုင်း == ၁၉၂၇ ခုနှစ်တွင် Southland Ice ကုမ္ပဏီဝန်ထမ်း ဂျွန်ဂျက်ဖာဆန်ဂရင်းသည် ရေခဲများကို စတင်ရောင်းခဲ့သည်။ ထို့နောက်သူသည် Dallas ရှိရေခဲအိမ်စတိုးဆိုင် ၁၆ ခုအနက်တစ်ခုမှ ကြက်ဥ၊ နို့နှင့်ပေါင်မုန့်များကို စတင်ရောင်းချခဲ့သည်။ Thompson, Sr.<ref name="7-Eleven, Inc. History">[http://www.fundinguniverse.com/company-histories/7-eleven-inc-history/ "7-Eleven, Inc. History"] Retrieved July 20, 2012.</ref> ကုန်စုံစတိုးဆိုင်ငယ်များနှင့်အထွေထွေကုန်သည်များရှိသော်လည်း Thompsonက အဆင်ပြေသောစတိုးဆိုင်များတွင် ပေါင်မုန့်နှင့်နို့ထွက်ပစ္စည်းများကို ရောင်းချခြင်းသည် ဖောက်သည်များအနေဖြင့် အခြေခံပစ္စည်းများအတွက်ခရီးဝေးသွားရန်လိုအပ်ချက်ကိုလျှော့ချလိမ့်မည်ဟုဆိုခဲ့သည်။ နောက်ဆုံးတွင် Thompson သည် ရေခဲကုမ္ပဏီကိုဝယ်ယူခဲ့ပြီး [[ဒါးလတ်စ်မြို့]]ရှိနေရာအများအပြားကိုကြီးကြပ်သော ကော်ပိုရေးရှင်း အဖြစ်သို့ပြောင်းလဲခဲ့သည်။<ref name="History - 7-Eleven Corporate">{{cite news|url=http://corp.7-eleven.com/corp-BAK/history |archiveurl=https://web.archive.org/web/20170317220331/http://corp.7-eleven.com/corp-BAK/history |archivedate=March 17, 2017 |title=History - 7-Eleven Corporate |work=7-Eleven, Inc. |accessdate=April 18, 2017 |url-status=dead }}</ref> ၁၉၂၈ ခုနှစ်တွင် Jenna Lira သည် အလက်စကာမှအမှတ်တရလက်ဆောင်ပစ္စည်းအဖြစ် Totem တိုင်ကိုယူဆောင်လာပြီးစတိုးဆိုင်ရှေ့တွင်နေရာချခဲ့သည်။ ဒါကြောင့်အာရုံစူးစိုက်မှုကိုများစွာသောသဘောတူညီချက်ဆွဲဆောင်အဖြစ်ဝင်ရိုးစွန်းကုမ္ပဏီများအတွက်ဈေးကွက်ရှာဖွေရေးကိရိယာတခုအဖြစ်တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ မကြာခင်မှာပဲအမှုဆောင်အရာရှိတွေကဆိုင်တိုင်းကိုရှေ့မှာစတိုးဆိုင်တိုင်းရှေ့မှာထည့်ပြီးနောက်ဆုံးမှာသူတို့ရဲ့စတိုးဆိုင်တွေအတွက် Alaska Native သွင်းထားတဲ့ဆောင်ပုဒ်ကိုလက်ခံလိုက်သည်။ နောက်ပိုင်းတွင်စတိုးဆိုင်များကို Tote'm Stores ဟူသောအမည်ဖြင့်စတင်လည်ပတ်ခဲ့သည်။ ထိုနှစ်တွင်ပင်ကုမ္ပဏီသည်၎င်း၏ Dallas ရှိအချို့နေရာများတွင်ဓာတ်ဆီဆိုင်များကိုစမ်းသပ်မှုတစ်ခုအဖြစ်စတင်ခဲ့သည်။ ဂျိုးထောစန်ကလည်းကုမ္ပဏီ၏စတိုးဆိုင်များတွင်ထူးခြားသောလက္ခဏာတစ်ခုပေးပြီးလူတိုင်းသည်စတိုးဆိုင်တိုင်းတွင်တူညီသောအရည်အသွေးနှင့်ဝန်ဆောင်မှုရရှိရန်ဝန်ထမ်းများကိုလေ့ကျင့်ပေးသည်။ တောင်ဘက်ကရေခဲစခန်းရှိယောက်ျားလေးများအတွက်ယူနီဖောင်းလည်းစတင်ခဲ့သည်။ ဒါကလက်လီစတိုးဆိုင်အဖြစ်ကုမ္ပဏီတစ်ခုရဲ့အောင်မြင်မှုအတွက်အဓိကအချက်တစ်ချက်ဖြစ်လာသည်။{{fact|date=May 2018}} ၁၉၃၁ ခုနှစ်တွင်[[ကမ္ဘာ့စီးပွားပျက်ကပ်ကြီး]]ကကုမ္ပဏီကိုထိခိုက်ခဲ့ပြီးဒေဝါလီခံခြင်းဆီသို့ပို့ခဲ့သည်။ မည်သို့ပင်ဆိုစေကာမူကုမ္ပဏီသည်ပြန်လည်ထူထောင်ခြင်းနှင့်ပြန်လည်လက်ခံခြင်းများမှတဆင့်၎င်း၏လုပ်ငန်းများကိုဆက်လက်လုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။ တစ်ဦးကရှိ Dallas ဘဏ်လုပ်ငန်းရှင်,W.W.Overton Jr. သည်ကုမ္ပဏီ၏ငွေချေးစာချုပ်အားဒေါ်လာ ၇ ဒေါ်လာဖြင့်ရောင်းချခြင်းအားဖြင့်ဘဏ္ဍာရေးကိုပြန်လည်ရှင်သန်စေခဲ့သည်။ ကုမ္ပဏီ၏ပိုင်ဆိုင်မှုကိုဒါရိုက်တာဘုတ်အဖွဲ့၏ထိန်းချုပ်မှုအောက်သို့ရောက်စေသည်။<ref>{{cite book|last1=Press|first1=Hoover's Business|title=Hoover's Handbook of Private Companies|date=2010|publisher=Hoover's Business Press|page=209}}</ref> ၁၉၄၆ တွင်ကုမ္ပဏီ၏စစ်အပြီးပြန်လည်နာလန်ထူရန်ဆက်လက်ကြိုးပမ်းမှုအနေဖြင့်ထိုစဉ်ကမကြုံစဖူးသောစတိုးဆိုင်များ၏နာရီသစ်လည်ပတ်မှု (နံနက် ၇ နာရီမှည ၁၁ နာရီအထိ) ကိုရောင်ပြန်ဟပ်ရန်အတွက် 7-Eleven ဟုအမည်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် Austin စတိုးသည်ဖောက်သည်များ၏လိုအပ်ချက်ကိုဖြည့်ဆည်းရန်ညလုံးပေါက်ဖွင့်လှစ်ခဲ့ပြီးနောက် ၇၁ Eleven သည်တက္ကဆက်ပြည်နယ်၊ အော်စတင်တွင် ၂၄ နာရီအစီအစဉ်ဖြင့်စမ်းသပ်ခဲ့သည်။<ref name="History - 7-Eleven Corporate"/> နောက်ပိုင်းတွင် ၂၄ နာရီစတိုးဆိုင်များကို Fort Worth နှင့် Texas ရှိ Dallas ရှိ [[လပ်ဗီးဂပ်စ်မြို့]]လပ်ဗီးဂပ်စ်မြို့ နှင့် [[နီဗားဒါးပြည်နယ်]] နီဗားဒါးပြည်နယ်တို့တွင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။<ref>{{cite news|url=http://corp.7-eleven.com/corp-BAK/open-around-the-clock |archiveurl=https://web.archive.org/web/20170418090449/http://corp.7-eleven.com/corp-BAK/open-around-the-clock |archivedate=April 18, 2017 |title=Open Around the Clock - 7-Eleven Corporate |work=7-Eleven, Inc. |accessdate=April 18, 2017 |url-status=dead }}</ref> ၁၉၇၁ ခုနှစ်တွင်တောင်ဘက်က[[https://my.wikipedia.org/wiki/လူဝီစီယားနားပြည်နယ်|လူဝီစီယားနားပြည်နယ်{{Dead link|date=August 2021 }}]] လူဝီစီယားနားပြည်နယ်ရှိShreveport မှ ဂရေဟမ် Allen Penniman, Sr. (1903-1985) ပိုင်ဟောင်းပါကစ္စတန်ကွင်းဆက်၏စတိုးဆိုင်များကိုဝယ်ယူခဲ့သည်။<ref>{{cite web|url=http://www.geni.com/people/G-Allen-Penniman/308343952620003883|title=G. Allen Penniman|publisher=geni.com|accessdate=October 12, 2015}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.legacy.com/obituaries/pensacolanewsjournal/obituary.aspx?pid=174762130|title=Edgar Erwin Penniman|publisher=[[Pensacola News Journal]]|date=May 2, 2015|accessdate=October 12, 2015}}</ref> [[File:7-Eleven, Orlando, Florida, August 1987.ogv|thumb|၁၉၈၇၊ ဩဂုတ်လတွင် Floridian 7-Eleven စတိုးဆိုင်တွင်ဗီဒီယိုဖိုင်]] ၁၉၆၄ ခုနှစ်တွင်ကယ်လီဖိုးနီးယားရှိအမြန်ဖွင့်လှစ်သည့်စတိုးဆိုင် ၁၂၆ အမြန်ဖွင့်လှစ်ထားသည့် Speedee Mart ကို ၁၉၆၄ ခုနှစ်တွင်ဝယ်ယူခဲ့ပြီးနောက်ကုမ္ပဏီသည်လုပ်ငန်းလုပ်ငန်းစတင်ခဲ့သည်။ ကုမ္ပဏီသည် ၁၉၆၈ ခုနှစ်တွင်ပထမဆုံးသောဧရိယာလိုင်စင်သဘောတူညီချက်ကိုမစ်ရှီဂန်ပြည်နယ်၊ Saginawရှိဝတ်ကို၊Saginaw, [[https://my.wikipedia.org/wiki/မီချီဂန်ပြည်နယ်|မီချီဂန်ပြည်နယ်{{Dead link|date=August 2021 }}]]မီချီဂန်ပြည်နယ်၏ပထမဦးဆုံးအမေရိကန်ပြည်ထောင်စု ဧရိယာ 7-Eleven လိုင်စင်ရသူဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၁၉၈၀ ပြည့်လွန်နှစ်များနှောင်းပိုင်းတွင်တောင်ဘက်ကော်ပိုရေးရှင်းသည်ကောလာဟလထွက်ပေါ်လာသည့်ကောလာဟလသတင်းများကြောင့် Thompson မိသားစုအားအများပိုင်ရှယ်ယာများကိုတင်ဒါကမ်းလှမ်းမှုဖြင့်ဝယ်ယူခြင်းအားဖြင့်ကုမ္ပဏီကိုပုဂ္ဂလိကပုံစံအဖြစ်ပြောင်းလဲရန်ခြေလှမ်းများလှမ်းခဲ့သည်။<ref>{{cite news|last1=Sims|first1=Calvin|title=7-Eleven Owner in $5 Billion to Sell Company|url=https://www.nytimes.com/1987/07/06/business/7-eleven-owner-in-5-billion-deal-to-sell-company.html|accessdate=August 4, 2015|work=New York Times|date=July 6, 1987}}</ref>၁၉၈၇ ခုနှစ်ဒီဇင်ဘာလတွင် 7-Eleven ၏ဥက္ကဋ္ဌနှင့်စီအီးအို John Philp Thompsonကကုမ္ပဏီ၏ဒေါ်လာ ၅.၂ ဘီလီယံစီမံခန့်ခွဲမှုဝယ်ယူမှုပြီးဆုံးခဲ့သည်။ ဝယ်ယူမှုသည် ၁၉၈၇ စတော့ဈေးကွက်ပြိုလဲခြင်း၏အကျိုးသက်ရောက်မှုများနှင့်အစပိုင်းတွင်အထွက်နှုန်းမြင့်မားသောကြွေးမြီဘဏ္ဍာရေးကိုမြှင့်တင်ရန်ပျက်ကွက်ခဲ့ပြီးနောက်ကုမ္ပဏီအနေဖြင့်ကုမ္ပဏီ၏ငွေချေးစာချုပ်များတွင်ရင်းနှီးမြှုပ်နှံရန်လှုံ့ဆော်မှုအဖြစ်စတော့ရှယ်ယာအချို့ကိုကမ်းလှမ်းရန်လိုအပ်ခဲ့သည်။<ref>{{cite news|last=Frank| first=Peter H.| url=https://www.nytimes.com/1987/11/11/business/southland-buyout-hits-snag.html|title=Southland Buyout Hits Snag|newspaper=The New York Times|date=November 11, 1987|accessdate=August 3, 2015}}</ref><ref>{{cite news|last=Wayne|first=Leslie |url=https://www.nytimes.com/1988/01/04/business/takeovers-revert-to-the-old-mode.html| title=Takeovers Revert to the Old Mode|newspaper=The New York Times|date=January 4, 1988|accessdate=August 3, 2015}}</ref> ထိုကဲ့သို့သောချုပ်အော်တိုအစိတ်အပိုင်းများကွင်းဆက်အဖြစ်ပိုင်ဆိုင်မှုအမျိုးမျိုး၊<ref>{{cite news|title=Company News: Southland to Sell Chief Auto Unit|url=https://www.nytimes.com/1987/12/25/business/company-news-southland-to-sell-chief-auto-unit.html|accessdate=August 4, 2015|work=New York Times|agency=Reuters|date=December 25, 1987}}</ref> ရေခဲခွဲခြင်း၊နှင့်စတိုးဆိုင်နေရာများရာပေါင်းများစွာ၊<ref>{{cite news|title=Company News: Circle K Will Acquire 473 7-Eleven Stores|url=https://www.nytimes.com/1988/03/01/business/company-news-circle-k-will-acquire-473-7-eleven-stores.html|accessdate=August 4, 2015|work=New York Times|agency=Associated Press|date=March 1, 1988}}</ref> အရောင်းအဝယ်ကာလအတွင်းကြွေးမြီသက်သာစေရန်၁၉၈၇နှင့်၁၉၉၀အကြားရောင်းခဲ့သည်။ ဤသို့လျှော့ချခြင်းကြောင့်မြို့ပြဧရိယာများစွာသည် ၇-ဆယ့်တစ်စတိုးဆိုင်များကိုပြိုင်ဘက်စတိုးဆိုင်အော်ပရေတာများဆုံးရှုံးခဲ့ရသည်။ ၁၉၉၀ အောက်တိုဘာလတွင်အကြီးမားဆုံးသောကြွေးတင်နေသည့်တောင်ဘက်ကော်ပိုရေးရှင်းသည်ကုမ္ပဏီ၏ ၇၀% ကိုဂျပန်လက်အောက်ခံ Ito-Yokado သို့လွှဲပြောင်းရန်အတွက်အခန်း ၁၁ ကိုဒေဝါလီခံရန်တင်သွင်းခဲ့သည်။<ref>{{cite news|last1=Silverstein|first1=Stuart|title=7-Eleven Parent Files 'Prepackaged' Bankruptcy : Retailing: Southland Corp. hopes to expedite the sale of the convenience store chain to its longtime affiliate in Japan|url=http://articles.latimes.com/1990-10-25/business/fi-4478_1_prepackaged-bankruptcy|accessdate=August 4, 2015|work=Los Angeles Times|date=October 25, 1990|archivedate=9 October 2015|archiveurl=https://web.archive.org/web/20151009014736/http://articles.latimes.com/1990-10-25/business/fi-4478_1_prepackaged-bankruptcy}}</ref> Ito-Yokado နှင့် Seven-Eleven Japan မှဒေါ်လာ ၄၃၀ မီလီယံဖိုးငွေအပြီးတွင် ၁၉၉၁ ခုနှစ်မတ်လတွင်တောင်ဘက်သည်ဒေဝါလီခံရခြင်းမှလွတ်မြောက်ခဲ့သည်။ ယခုဂျပန်ကုမ္ပဏီနှစ်ခုသည်ကုမ္ပဏီ၏ ၇၀% ကိုထိန်းချုပ်ထားပြီး Thompson မိသားစုကို ၅ ရာခိုင်နှုန်းဆက်လက်ထားရှိသည်။<ref>{{cite news|title=Japanese Firms Pull Southland Corp. From Chapter 11 : Bankruptcy: The two companies pumped $430 million into the parent company of the 7-Eleven chain for 70% of its stock|url=http://articles.latimes.com/1991-03-06/business/fi-171_1_japanese-companies|accessdate=August 4, 2015|work=Los Angeles Times|date=March 6, 1991|archivedate=4 September 2015|archiveurl=https://web.archive.org/web/20150904045524/http://articles.latimes.com/1991-03-06/business/fi-171_1_japanese-companies}}</ref> ၁၉၉၉ ခုနှစ်တွင်တောင်ဘက် ကော်ပိုရေးရှင်းသည် 7-Eleven မှလွဲ၍ အခြားလုပ်ဆောင်မှုများမှခွဲထုတ်ခြင်းအားဖြင့် 7-Eleven, Inc. သို့ပြောင်းလဲခဲ့သည်။<ref>{{cite news|title=Southland is changing its name to 7-Eleven|url=https://www.nytimes.com/1999/03/10/business/southland-is-changing-its-name-to-7-eleven.html|accessdate=August 4, 2015|work=Los Angeles Times|date=March 10, 1999}}</ref> Ito-Yokado သည် Seven & I Holdings Co. , ကိုတည်ထောင်ခဲ့ပြီး 7-Eleven သည် ၂၀၀၅ ခုနှစ်တွင်၎င်း၏လက်အောက်ခံကုမ္ပဏီဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၂၀၀၇ ခုနှစ်တွင် Seven & I Holdings သည်အမေရိကန်လုပ်ငန်းများကိုတိုးချဲ့မည်ဟုကြေညာခဲ့သည်။ နောက်ထပ် ၇၀၀၀ ထပ်တိုးသောအမေရိကန်စတိုးဆိုင်များ။ ၂၀၁၀ ခုနှစ်အတွက် 7-Eleven သည် "ကမ္ဘာပေါ်တွင်ပထမဆုံးနှင့်အပြည့်စုံဆုံးအဆင့်" ဖြစ်သည့် Entrepreneur မဂ္ဂဇင်း၏ ၃၁ ကြိမ်မြောက်နှစ်ပတ်လည်လုပ်ငန်း ၅၀၀ တွင်နံပါတ် ၃ နေရာကိုရောက်ရှိခဲ့သည်။ ၇ နှစ် Eleven ကို ၁၇ နှစ်မြောက်ထိပ်ဆုံး ၁၀ ယောက်စာရင်းဝင်ခဲ့သည်။ ၂၀၁၀ တွင်ဖလော်ရီဒါပြည်နယ်၊ DeLand တွင်ပထမဆုံး "အစိမ်းရောင်" 7-Eleven စတိုးဆိုင်ကိုဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ စတိုးဆိုင်မှာယူအက်စ်အစိမ်းရောင်ဆောက်လုပ်ရေးကောင်စီ (USGBC) ၏စွမ်းအင်နှင့်ပတ်ဝန်းကျင်ဒီဇိုင်းခေါင်းဆောင်မှု (LEED) ။ ထို့အပြင်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်နှင့်သဟဇာတဖြစ်သောဒီဇိုင်းသည်စတိုးဆိုင်အတွက်စွမ်းအင်သုံးစွဲမှုသက်သာစေသည်။ ထိုနှစ်တွင်ပင် 7-Eleven သည် Slurpee တည်ဆောက်သူ၏အိုင်ဖုန်းနှင့်အန်းဒရွိုက်ဆော့ဝဲ (App) ကိုစတင်မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ Slurpee တည်ဆောက်မှုဆော့ဝဲသည် 7-Eleven စတိုးဆိုင်များကိုလွယ်ကူစွာရှာဖွေနိုင်ပြီးမောင်းနှင်မှုလမ်းညွှန်ကိုပေးသည်။ နောက်နှစ်တွင် 7-Eleven သည် ၄၀,၀၀၀ စတိုးဆိုင်ဖွင့်ပွဲအခမ်းအနားကျင်းပပြီးနှစ်နှစ်အတွင်းတွင်၎င်း၏စတိုးဆိုင် ၆၀,၀၀၀ ကိုဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ ==ထုတ်ကုန်များနှင့်ဝန်ဆောင်မှုများ== <!-- Big Gulp redirects to this section --><!-- For external subsection links --> အမေရိကန်ပြည်ထောင်စုရှိ7-Eleven Slurpee အချိုရည်၁၉၆၅မှာစတင်မိတ်ဆက်တစ်တစ်စိတ်တစ်ပိုင်းအေးစက်နေတဲ့အချိုရည်ဥက္ကလာဟိုးမားရဲ့စတိုးဆိုင်ရေခဲနေသောသောက်အဖြစ်လူသိများကြသည်နှင့် Big Gulp အဖျော်ယမကာ၁၉၇၆ခုနှစ်တွင်စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။<ref>[https://www.nytimes.com/2012/06/07/nyregion/7-eleven-big-gulps-are-immune-from-proposed-new-york-city-ban.html?_r=0 "At 7-Eleven, the Big Gulps Elude a Ban by the City"], by Aaron Edwards, ''[[The New York Times]]'', June 6, 2012 [consulted November 17, 2015].</ref><ref>[http://www.adweek.com/news/advertising-branding/tall-cold-tale-big-gulp-162960 "The Tall, Cold Tale of the Big Gulp Thanks to 7-Eleven, large will never be the same"], by Robert Klara, ''[[Adweek]]'', February 16, 2015 [consulted November 17, 2015].</ref>အခြားထုတ်ကုန်များမှာ ၇-ဆယ့်တစ်ရွေးချယ်ထားသောပုဂ္ဂလိကအမှတ်တံဆိပ်ထုတ်ကုန်များ၊ ကော်ဖီ၊ အသစ်ပြုလုပ်ထားသောနေ့စဉ်အသားညှပ်ပေါင်မုန့်သစ်သီးသစ်များ၊ အသုပ်များ၊ ကိတ်မုန့်များ၊ အပူနှင့်ပြင်ဆင်ထားသည့်အစားအစာများ၊ ဓာတ်ဆီ၊ နို့ထွက်ပစ္စည်းများ၊ ထုတ်ကုန်ပေးပို့န်ဆောင်မှု။ 7-Eleven သည်သောက်သုံးမှုပမာဏနှင့် ၂၄ နာရီအသုံးပြုနိုင်မှုအတွက်လူသိများသည်။ 7-Eleven သည် ၁၂၈ အောင်စ (3785 mL) (Team Gulp) အရွယ်အစားရှိသောအဖျော်ယမကာများကိုထုတ်လုပ်သည်။ ဤအဖျော်ယမကာအရွယ်အစားများအားလုံးကိုမိတ်ဆက်စဉ်ကရောင်းချခဲ့သောအချိုရည်များအနက်အများဆုံးဖြစ်သည်။<ref>{{cite web |url=http://www.smithsonianmag.com/arts-culture/we-have-texas-to-thank-for-the-biggest-big-gulp-84453489/?no-ist |title=We Have Texas to Thank for the Biggest Big Gulp |last1=Smith |first1=K. Annabelle |date=May 30, 2013 |access-date=October 19, 2016}}</ref> 7-Eleven သည်လူကြိုက်များသောယဉ်ကျေးမှု၌ဆိုဒါကြီးများနှင့်မကြာခဏဆက်စပ်မှုရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့်၊ မြို့တော်ဝန်မိုက်ကယ်ဘလွန်းဘာ့ဂ်၏နယူးယောက်မြို့ရှိဆိုဒါကြီးများကိုပိတ်ပင်ခြင်းကို Big Gulp တားမြစ်ခြင်းဟုမကြာခဏရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။<ref>{{cite web |url=http://www.cbsnews.com/videos/bloomberg-on-big-gulp-law-not-banning-anything-just-portion-control/ |title=Bloomberg on 'Big Gulp' law: Not banning anything, just portion control |date=March 10, 2013 |website=cbsnews.com |publisher=CBS News |access-date= October 19, 2016}}</ref> ၂၀၁၂ ခုနှစ်မှာ 7-Eleven က Double Gulp ရဲ့အရွယ်ကို ၆၄ အောင်စကနေ ၅ အောင်စ (၁၄၇၈ mL) ကိုပြောင်းခဲ့တယ်။ အဟောင်းပုံစံခွက်များသည်အောက်ခြေတွင်ကျယ်လွန်း။ ကားများ၌အဖျော်ယမကာကိုင်ဆောင်သူများနှင့်မကိုက်ညီပါ။ ပြောရေးဆိုခွင့်ရှိသူတစ်ဦး၏ပြောကြားချက်အရဆိုဒါတားမြစ်မှုဆိုဒါကြီးကိုတုံ့ပြန်မှုမဟုတ်ကြောင်းပြောကြားခဲ့သည်။<ref>{{Cite news|url=https://www.theatlantic.com/national/archive/2012/06/7-eleven-downsizes-double-gulp-just-156-your-stomachs-capacity/326927/|title=7-Eleven Downsizes 'Double Gulp' To Just 156% of Your Stomach's Capacity|last=Abad-Santos|first=Alexander|work=The Atlantic|access-date=July 21, 2017|language=en-US}}</ref> ၂၀၂၀၊ ဖေဖော်ဝါရီလတွင်သူတို့သည်တက္ကဆက်ပြည်နယ်၊ Irving ရှိ ၇-ဆယ့်တစ်ရုံးချုပ်တွင်ငွေသားမရှိသည့်နေရာကိုဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။<ref>{{cite web |title=7-Eleven Tests Cashierless Store At North Texas Headquarters |url=https://dfw.cbslocal.com/2020/02/05/7-eleven-tests-cashierless-store-texas/ |website=CBS-DFW |date=February 5, 2020}}</ref> == ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာစစ်ဆင်ရေး == [[File:7eleven map.svg|thumb|upright=1.5|Countries with 7-Eleven stores]] === အာရှ === ==== ဟောင်ကောင် ==== [[File:HK SYP Chong Yip Ctr 7-11 shop.jpg|thumb|7-Eleven in [[Shek Tong Tsui]], ဟောင်ကောင်]] 7-Eleven ကို ၁၉၈၁ တွင်ဗြိတိသျှကိုလိုနီဖြစ်ခဲ့သောဟောင်ကောင်တွင်ပထမဆုံးဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ ၂၀၁၁ ခုနှစ်ဇူလိုင်လတွင်နို့ထွက်လယ်ယာ၏လက်အောက်ခံအဖြစ်လုပ်ကိုင်သည်။ လူသိများသော tsat jai 七仔, "ချီစေ ခုနစ်" ဟုအဓိပ္ပာယ်ရသောသို့မဟုတ် 些粉ရှင်ဖန် "ခုနှစ်ခု" ပေါ်တွင်အခြေခံသည်။ ၂၀၁၂ ခုနှစ်တွင် 7-Eleven သည်ဟောင်ကောင်တွင်စတိုးဆိုင် ၉၆၄ ခုရှိခဲ့ပြီး ၅၆၃ ခုကို franchisees မှလုပ်ကိုင်ခဲ့သည်။<ref name="madethemlosers">{{cite news|last1=Nip|first1=Amy|last2=Chong|first2=Dennis|title=7-Eleven owners say wage rise has made them losers|work=South China Morning Post|date=April 30, 2012|page=1}}</ref> ဟောင်ကောင်သည်မကာအိုပြီးလျှင် ၇-ဆယ့်တစ်စတိုးဆိုင်၏ဒုတိယအများဆုံးအထူဖြစ်သည်။ 7-Eleven စတိုးဆိုင်များအားလုံးသည်နေရာအနှံ့တွင်ရှိသော အောက်တိုပါစ်ကဒ်ကိုငွေပေးချေမှုနည်းလမ်းအဖြစ်လက်ခံသည်။<ref name="share">{{cite news|last1=Cheng|first1=Albert|title=Let other cards share in Octopus' success|work=South China Morning Post|date=April 4, 2002|page=14}}</ref> သူတို့သည်အိမ်ရာငှားရမ်းခနှင့်အများသုံးအိမ်ရာငှားရမ်းခအတွက်ပေးချေမှုများကိုလည်းလက်ခံကြသည်။<ref name="rentpayment">{{cite web|title=Rent Payment Methods|url=https://www.housingauthority.gov.hk/en/public-housing/rent-related-matters/rent-payment-methods/index.html|publisher=Hong Kong Housing Authority|accessdate=December 11, 2017}}</ref> ၁၉၈၀ ပြည့်နှစ်၊ နိုဝင်ဘာလတွင်တောင်ဘက်ကော်ပိုရေးရှင်းနှင့်ဟောင်ကောင်လုပ်ငန်းစု Jardine Matheson တို့သည် ၇-ဆယ့်တစ်ကိုပိုင်နက်သို့သယ်ဆောင်ရန်လုပ်ငန်းသဘောတူစာချုပ်ကိုလက်မှတ်ရေးထိုးခဲ့သည်။<ref name="roundclock">{{cite news|last1=Hunt|first1=Christopher|title=Expansion round the clock|work=South China Morning Post|date=May 27, 1987|page=31}}</ref>ပထမဆုံးသော 7-Eleven ဆိုင်သည်မင်္ဂလာချိုင့်တွင် ၁၉၈၁၊ ဧပြီ ၃ ရက်တွင်ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။<ref name="openssoon">{{cite news|title=24-hour shop opens soon|work=South China Morning Post|date=April 1, 1981|page=1}}</ref><ref name="nowits">{{cite news|title=Now it's 24-hour shopping|work=South China Morning Post|date=April 4, 1981|page=12}}</ref> ၁၉၈၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတစ်လျှောက်လုံးတွင်သံကြိုးသည်ဟောင်ကောင်အနှံ့အပြားတိုးများလာခဲ့သည်။ ဆိုင်ခွဲ ၅၀ ကို ၁၉၈၃ ခုနှစ်အောက်တိုဘာ ၆ ရက်တွင် Kwai Chung တွင်ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ ၂၀၀၇ ခုနှစ်မေလ ၇ ရက်၊ Tai Po Center တွင်ဆိုင်မွန်ကိုကိစ်ဝစ်ကဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။<ref name="planfor">{{cite news|title=Plan for 450 more 7-Elevens|work=South China Morning Post|date=October 7, 1983|page=29}}</ref><ref name="foodchain">{{cite news|title=Food chain opens 200th HK store|work=South China Morning Post|date=May 8, 1987|page=5}}</ref> ဆိုင်များကို Jardine Matheson အုပ်စု၏အစိတ်အပိုင်းဖြစ်သော Dairy Farm သို့ ၁၉၈၉ ခုနှစ်တွင်ရောင်းချခဲ့သည်။|page=49}}</ref> Octopus card reader ကို ၁၉၉၉ ခုနှစ်ဇူလိုင်လတွင်ပြုလုပ်ခဲ့သည့် 7-Eleven စတိုးဆိုင်များတွင်စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့သည်၊ သို့သော်အစတွင်၎င်းတို့ကိုကဒ်တန်ဖိုးကိုသာတိုးမြှင့်နိုင်သည်။<ref name="tentacles">{{cite news|last1=Au-yeung|first1=Karvin|last2=Lai|first2=Eric|title=Octopus may spread tentacles to 7-Elevens|work=South China Morning Post|date=June 22, 1999|page=1}}</ref><ref name="photos">{{cite news|last1=Yu|first1=Kai Peter|title=Octopus, photos in 7-Eleven services|work=South China Morning Post|date=July 8, 1999|page=3}}</ref> ၂၀၀၄ စက်တင်ဘာလတွင်နို့ထွက်လယ်ယာသည် SCMP လက်လီရောင်းချမှု (HK) မှ Daily Stop - ပြိုင်ဘက်စတိုးဆိုင်ကွင်းဆက်ကိုဝယ်ယူသောအခါဟောင်ကောင်ရှိနေရာအရေအတွက်ကိုသိသိသာသာတိုးမြှင့်ခဲ့သည်။ အဓိကအားဖြင့် MTR နှင့် Kowloon-Canton မီးရထားဘူတာ (အဓိကအားဖြင့်ဈေးဝယ်စင်တာများနှင့်အိမ်ရာခြံများ) တွင်တည်ရှိပြီးဆိုင် ၈၄ ဆိုင်ကို ၇-ဆယ့်တစ်စတိုးဆိုင်များသို့ပြောင်းလဲခဲ့သည်။<ref name="sharesrally">{{cite news|last1=Li|first1=Sandy|title=SCMP shares rally; on asset disposal|work=South China Morning Post|date=September 17, 2004|page=3}}</ref><ref name="despite">{{cite news|last1=Li|first1=Sandy|title=Dairy Farm expands despite soaring rents|work=South China Morning Post|date=March 1, 2005|page=4}}</ref> ၂၀၀၉ ခုနှစ်တွင် Quarry Bay တွင် 7-Eleven တည်ရှိရာနေရာဖြစ်သောရိုးရာဟောင်ကောင်လမ်းအစားအစာနှင့်နို့လက်ဖက်ရည်ရောင်းသော "7 Café" ဟုခေါ်သောပူပြင်းသည့်အစားအစာကောင်တာတစ်ခုဖြင့်ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။<ref name="firstshot">{{cite news|last1=Tsang|first1=Denise|title=7-Eleven cafe fires first shot in fish ball war|url=http://www.scmp.com/article/691736/7-eleven-cafe-fires-first-shot-fish-ball-war|work=South China Morning Post|date=September 7, 2009|page=1}}</ref> ဤအင်္ဂါရပ်ကို“ Daily Café” နှင့်“ Hot Shot” တံဆိပ်များအောက်ရှိဟောင်ကောင်တစ်လွှားရှိအခြား ၇ နေရာမှ ၁၁ နေရာကိုရွေးရန်တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ==== အင်ဒိုနီးရှား ==== ၂၀၀၈ ခုနှစ်တွင် 7-Eleven သည်အင်ဒိုနီးရှား၌စီးပွားရေးလုပ်ငန်းများကိုတိုးချဲ့ရန်အစီအစဉ်များကို Modern Sevel Indonesia နှင့် Media Nusantara Citra တို့မှမဟာအခွင့်အရေးသဘောတူညီချက်ဖြင့်ကြေညာခဲ့သည်။ Modern Sevel Indonesia ၏ကနဦးအစီအစဉ်များသည်လူဦးရေသိပ်သည်းသောစီးပွားဖြစ်နှင့်စီးပွားရေးနယ်ပယ်များသို့ဂျကာတာတွင်စတိုးဆိုင်များဖွင့်လှစ်ရန်အာရုံစူးစိုက်ရန်ဖြစ်သည်။<ref>{{cite news|url=http://corp.7-eleven.com/NewsRoom/2009NewsReleases/7ElevenStoresinIndonesia/tabid/303/Default.aspx |title=7-Eleven, Inc. Partners with PT. Modern Putra Indonesia in Master Franchise for 7‑Eleven Stores in Indonesia |publisher=7-Eleven, Inc. |date=April 6, 2009 |accessdate=July 11, 2010 |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20100909163851/http://corp.7-eleven.com/NewsRoom/2009NewsReleases/7ElevenStoresinIndonesia/tabid/303/Default.aspx |archivedate=September 9, 2010 }}</ref> ၂၀၁၄ ခုနှစ်တွင်အင်ဒိုနီးရှား၌ ၇-ဆယ့်တစ်ဆိုင်ပေါင်း ၁၉၀ ရှိပြီး ၂၀၁၆ ခုနှစ်စက်တင်ဘာလအထိဆိုင် ၁၆၆ ခုသာလျှော့ချခဲ့သည်။ ၂၀၁၇ ခုနှစ်၊ ဧပြီလတွင် PT Modern Seven Indonesia သည်ထိုင်းနိုင်ငံရှိ Charoen Pokphand Group ၏လက်အောက်ခံ PT Charoen Pokphand Restu Indonesia မှဝယ်ယူမည်ဖြစ်ကြောင်းကြေညာခဲ့သည်။ အဆိုပါဝယ်ယူဖြစ်စဉ်ကိုဇွန်လ ၂၀၁၇မတိုင်မီပြီးစီးရန်စီစဉ်ထားသည်။<ref>{{Cite news|url=http://www.cnnindonesia.com/ekonomi/20170424122447-78-209730/charoen-pokphand-akusisi-bisnis-7-eleven-di-indonesia/|title=Charoen Pokphand Akusisi Bisnis 7-Eleven di Indonesia|work=CNN Indonesia|access-date=May 1, 2017}}</ref>Charoen Pokphand Group သည်ထိုင်းနိုင်ငံရှိခန့်မှန်းခြေအားဖြင့် ၉၀၀၀၀ ၇-ဆယ့်တစ်စတိုးဆိုင်များတွင်အဓိကလုပ်ငန်းလုပ်ကိုင်သူဖြစ်သည်။ သို့သော် ၂၀၁၇ ခုနှစ်၊ ဇွန်လ ၂၂ ရက်တွင် PT Modern International Tbk ကအင်ဒိုနီးရှားရှိကျန်ရှိနေသေးသော ၇-ဆယ့်တစ် ဆိုင် ၃၀ ကို ၂၀၁၇ ခုနှစ်၊ ဇွန်လ ၃၀ ရက်နေ့တွင်၎င်း၏ဝယ်ယူခြင်းအစီအစဉ်ဖျက်သိမ်းခြင်းကြောင့်ပိတ်သိမ်းလိမ့်မည်ဟုကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{cite news|url=http://economy.okezone.com/read/2017/06/23/278/1723282/akuisisi-batal-gerai-7-eleven-resmi-ditutup-pada-30-juni|title=Akuisisi Batal, Gerai 7-Eleven Resmi Ditutup pada 30 Juni|work=Okezone.com|date=June 23, 2017|accessdate=June 23, 2017}}</ref> ==== ဂျပန် ==== [[File:7-Eleven store Toyosu store Tokyo Japan 20140319.jpg|thumb|ဂျပန်နိုင်ငံတိုကျိုမြို့ကိုတိုကျို၌ပထမဆုံးဖွင့်လှစ်ထားသော 7-Eleven ဆိုင်သည် ၁၉၇၄ ခုနှစ်မေလတွင်ဖွင့်လှစ်လိုက်သည်]] ဂျပန်သည်ကမ္ဘာပေါ်ရှိအခြားနေရာများထက် ၇-ဆယ့်တစ် နေရာပိုများသည်။ ၎င်းတို့တွင်၎င်း၏ Seven & I Holdings အမည်ဖြင့်မကြာခဏကျင်းပလေ့ရှိသည်။ Of the 67,480 stores around the globe, 20,700 stores (nearly 31% of global stores) are in Japan,<ref>{{Citation | type = company corporate information | url = http://www.sej.co.jp/company/en/g_stores.html | title = 7–11 around the world | date = June 30, 2018 |publisher= SEJ | place = [[Japan|JP]]}}.</ref> with 2,705 stores in Tokyo alone.<ref>{{Citation | type = company corporate information | url = http://www.sej.co.jp/company/en/n_stores.html | title = Number of Stores in each administrative division | date = July 31, 2018 |publisher= SEJ | place = JP}}.</ref> ကမ္ဘာအဝှမ်းရှိစတိုးဆိုင် ၆၇,၄၈၀ တွင်စတိုးဆိုင်ပေါင်း ၂၀,၇၀၀ (ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာစတိုးဆိုင်များ၏ ၃၁ ရာခိုင်နှုန်းနီးပါး) သည်ဂျပန်နိုင်ငံတွင်ရှိပြီးတိုကျိုတစ်ခုတည်းတွင်စတိုးဆိုင် ၂,၇၀၅ ခုရှိသည်။ ၂၀၀၅ ခုနှစ်စက်တင်ဘာ ၁ ရက်နေ့တွင် Seven & I Holdings Co. , Ltd. , သည်ကုမ္ပဏီအသစ်ဖြစ်သည့် 7-Eleven, Ito-Yokado နှင့် Denny's Japan တို့၏မိခင်ကုမ္ပဏီဖြစ်လာသည်။ ၂၀၁၁ ခုနှစ်၊ ဇူလိုင်လတွင် ၇-ဆယ့်တစ်သည်ဂျပန်နိုင်ငံ၏စီရင်စု ၄၇ ခုလုံးတွင် Okinawa စီရင်စုတွင်တည်နေရာအသစ် ၁၄ ခုဖွင့်လှစ်ထားပြီးစတိုးဆိုင်များရှိသည်။<ref>{{Cite web|url=https://www.okinawa.org/blog/seven-eleven-opening-at-7-a-m-on-7-11-2019.51/|title=Seven-Eleven Opening At 7 A.M. On 7-11-2019|date=2019-07-11|website=Okinawa.Org|language=en-US|access-date=2019-07-11|archive-date=5 August 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200805190255/https://www.okinawa.org/blog/seven-eleven-opening-at-7-a-m-on-7-11-2019.51/}}</ref> စတိုးဆိုင်၏ဗေဒသည်အခြားနိုင်ငံများမှ ၇-ဆယ့်တစ်စတိုးဆိုင်များနှင့်ကွဲပြားခြားနားသည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော်စတိုးဆိုင်များသည်ပိုမိုကျယ်ပြန့်သောကုန်ပစ္စည်းများနှင့်ဝန်ဆောင်မှုများကိုပေးသည်။ ဂျပန်နိုင်ငံရှိ 7-Eleven စတိုးဆိုင်များသည်အခြားနိုင်ငံများမှခရီးသွားဧည့်သည်များအကြားတွင်ရေပန်းစားသည်။ ဘဏ်ခွဲရှိဘဏ်ခုနစ်ခုသည် ATM စက်များသည်ဂျပန်ယန်းငွေသားထုတ်ယူရန်အတွက်နိုင်ငံခြားငွေထုတ်ယူမှုများနှင့်အကြွေးဝယ်ကတ်များကိုလက်ခံလိမ့်မည်။<ref>{{cite web |title=You can withdraw Japanese yen from ATMs at 7-Eleven stores |url=https://www.sevenbank.co.jp/intlcard/index2.html |website=[[Seven Bank]] Ltd. |accessdate=21 September 2019}}</ref> ဂျပန်နိုင်ငံရှိအခြားအဆင်ပြေသောစတိုးဆိုင်များဥပမာအနေဖြင့် 7-Eleven သည်ဆိုလာပြားများနှင့် LEDများကို၎င်း၏စတိုးဆိုင် ၁၄၀၀ ခန့်တွင်တပ်ဆင်ထားသည်။<ref>{{Citation |newspaper= Tokyo Weekender | url = http://www.tokyoweekender.com/2012/05/solar-convenience-stores/ | title = Solar Convenience Stores | date = May 9, 2012 | accessdate = September 26, 2012}}.</ref> ၂၀၁၁ ခုနှစ်ဇူလိုင်လတွင် 7-Eleven သည်မိုဘိုင်းငွေပေးချေမှုဝန်ဆောင်မှုဖြစ်သော 7pay ကိုချက်ချင်းဆိုင်းငံ့ခဲ့သည်။ ဝန်ဆောင်မှုကိုလွှင့်တင်ပြီးနောက်တိုက်ခိုက်ခံခဲ့ရသည်။ တိုက်ခိုက်သူများသည်ဖောက်သည်များ၏အကောင့်များမှပိုက်ဆံဖြုန်းနိုင်ခဲ့သည်။<ref>[https://www.japantimes.co.jp/news/2019/07/04/business/corporate-business/users-7-elevens-mobile-payment-service-lose-total-%C2%A555-million-900-accounts-hacked/#.XU9xQehKi72 Users of 7-Eleven's mobile payment service lose total of ¥55 million after 900 accounts hacked] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210522122746/https://www.japantimes.co.jp/news/2019/07/04/business/corporate-business/users-7-elevens-mobile-payment-service-lose-total-%C2%A555-million-900-accounts-hacked/#.XU9xQehKi72 |date=22 May 2021 }}</ref> ==== မကာအို ==== 7-Eleven သည် ၂၀၀၅ ခုနှစ်တွင်ဟောင်ကောင်ရှိ ၇-Eleven ကိုလုပ်ကိုင်နေသည့် Dairy Farm ၏ပိုင်ဆိုင်မှုအောက်တွင်မကာအိုဈေးသို့ဝင်ရောက်ခဲ့သည်။ ၂၅.၉ စတုရန်းကီလိုမီတာသာရှိသောကြောင့်မကာအိုတွင်စတိုးဆိုင် ၄၅ ခုရှိပြီး ၇-Eleven စတိုးဆိုင်အမြင့်ဆုံးဖြစ်သည့်တစ်ခုတည်းသောဈေးကိုဝယ်သည်။ ၀.၆၅ စတုရန်းကီလိုမီတာတွင်စတိုးဆိုင်တစ်ခုရှိသည်။ ==== တရုတ်ပြည်မကြီး ==== ၇-ဆယ့်တစ်သည် ၁၉၉၂ ခုနှစ်တွင်တရုတ်နိုင်ငံ၊ Shenzhen ရှိ Guangdong တွင်စတင်ဖွင့်လှစ်ခဲ့ပြီးနောက်ပိုင်းတွင် ၂၀၀၄ ခုနှစ်တွင်ပေကျင်းသို့လည်းကောင်း၊ ၂၀၀၉ တွင် Tianjin နှင့်ရှန်ဟိုင်း၊ ၂၀၁၁ တွင် Chengdu၊ ၂၀၁၂ ခုနှစ်တွင် Qingdao၊ ၂၀၁၃ တွင် Chongqing၊ နှင့် Wuhan, Xi'an နှင့် Fuzhou တို့ကို ၁၉၉၉ တွင်စတင်ခဲ့သည်။ Slurpees ကိုဝယ်ယူသော 7-Eleven စတိုးဆိုင်များတွင်တရုတ်နာမည်思乐冰 (စေ့လေပင်) ကိုအသုံးပြုသည်။ သူတို့သည်ရိုးရာပစ္စည်းများအပါအဝင်ရိုးရာပစ္စည်းများအပါအဝင်နွေးထွေးသောအစားအစာများစွာကိုလည်းကမ်းလှမ်းသည်။ Chengdu မှစတိုးဆိုင်များသည် onigiri အမျိုးမျိုး (饭团) အမျိုးမျိုးကိုပေးသည်။ အချိုရည်များ၊ အရက်၊ သကြားလုံးများ၊ စာနယ်ဇင်းများနှင့်အခြားအဆင်ပြေသည့်ပစ္စည်းများလည်းရရှိနိုင်သည်။ ဤစတိုးဆိုင်အများစုကိုတစ်နေ့လျှင် ၂၄ နာရီဖွင့်နိုင်သည်။ ==== မလေးရှား ==== [[File:7-Eleven in Kuala Lumpur, Malaysia.jpg|thumb|မလေးရှား၊ ကွာလာလမ်ပူရှိ ၇-ဆယ့်တစ်ဆိုင်တစ်ဆိုင်|210x210px]] မလေးရှားနိုင်ငံမှ 7-Eleven စတိုးဆိုင်များကို 7-Eleven Malaysia Sdn ကပိုင်ဆိုင်သည်။ တစ်နိုင်ငံလုံးစတိုးဆိုင်ပေါင်း ၂၂၂၂ ခုဖွင့်လှစ်ထားသော7-Eleven ကိုမလေးရှားနိုင်ငံတွင် ၁၉၈၄၊ ဇွန် ၄ ရက်တွင် Berjaya Group Berhad မှဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ ပထမ ဦး ဆုံး 7-Eleven စတိုးကို ၁၉၈၄၊ အောက်တိုဘာလတွင်ကွာလာလမ်ပူ၊ Jalan Bukit Bintang တွင်ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။<ref>{{cite magazine|title=Company Overview of 7-Eleven Malaysia Sdn Bhd|url=http://investing.businessweek.com/research/stocks/private/snapshot.asp?privcapid=22400508|magazine=[[Bloomberg Businessweek]]|accessdate=January 25, 2013|archive-date=5 June 2013|archive-url=https://web.archive.org/web/20130605062137/http://investing.businessweek.com/research/stocks/private/snapshot.asp?privcapid=22400508|url-status=dead}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.hmetro.com.my/node/153103|title=7-Eleven buka cawangan ke 2,000|publisher=|accessdate=October 29, 2016|date=July 20, 2016|archivedate=28 July 2020|archiveurl=https://web.archive.org/web/20200728203607/https://www.hmetro.com.my/node/153103}}</ref> ==== ဖိလစ်ပိုင် ==== ဖိလစ်ပိုင်တွင် ၇-Eleven ကိုဖိလစ်ပိုင်ခုနစ်ကော်ပိုရေးရှင်း (PSC) ကစီမံသည်။ ပထမဆုံးစတိုးဆိုင်ကို Quezon City တွင်ဖွင့်လှစ်ခဲ့ပြီး ၁၉၈၄ ခုနှစ်တွင်ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ ၂၀၀၀ ခုနှစ်တွင်ထိုင်ဝမ်သမ္မတ Chain Store Corporation (PCSC) သည် ၇-Eleven ၏လိုင်စင်ရသူဖြစ်ပြီး PSC ၏အစုရှယ်ယာအများစုကိုဝယ်ယူခဲ့ပြီးစတိုးဆိုင်အတွက်မဟာဗျူဟာမြောက်မဟာမိတ်ဖွဲ့ခဲ့သည်။ ဧရိယာအတွင်းစက်မှုလုပ်ငန်း၂၀၁၅ ခုနှစ်အကုန်တွင်စတိုးဆိုင်အရေအတွက် ၁,၆၀၂ ခုသို့ရောက်ရှိခဲ့သည်။ ၂၀၁၇ တွင်ဖိလစ်ပိုင်တစ်ဝှမ်းလုံးရှိ ၇၁ Eleven ဆိုင်ပေါင်း ၂,၂၈၅ ခုရှိသည်။ ၂၀၁၁ ခုနှစ်အောက်တိုဘာ လမှစ၍ ၇-ဆယ့်တစ်သည် Caltex နှင့်သဘောတူညီချက်တစ်ခုကိုလက်မှတ်ရေးထိုးခဲ့ပြီးတစ်နိုင်ငံလုံးရှိဓာတ်ဆီဆိုင်များတွင်အဆင်ပြေချောမွေ့စွာအရောင်းဆိုင်များဖွင့်လှစ်နိုင်ခဲ့သည်။ ==== စင်္ကာပူ ==== စင်္ကာပူတွင် 7-Eleven သည်ကျွန်းတစ်ခွင်လုံးတွင်အဆင်ပြေဆုံးစတိုးဆိုင်ကြီးများကိုဖွဲ့စည်းသည်။ ၂၀၁၈ ခုနှစ်ဖေဖော်ဝါရီလအထိတစ်နိုင်ငံလုံးအတိုင်းအတာဖြင့်ဖြန့်ကျက်ထားသည့် 7-Eleven ဆိုင်ပေါင်း ၃၉၃ ခုရှိသည်။ စင်ကာပူရှိစတိုးဆိုင်များသည် 7-Eleven Incorporated နှင့်လိုင်စင်သဘောတူညီချက်အရအခွင့်အလမ်းပြုထားသော Dairy Farm International Holdings မှလည်ပတ်သည်။ ၁၉၈၃ ခုနှစ်တွင် Upper Changi လမ်းမကြီးတလျှောက်တွင်စင်္ကာပူ၌ပထမဆုံးဖွင့်လှစ်ထားသော 7-Eleven စတိုးကို ၁၉၈၆ တွင်ဖွင့်လှစ်ခဲ့ပြီး၊ ထိုလိုင်စင်ကို ၁၉၈၉ ခုနှစ်တွင် Dairy Farm Group ၏လက်အောက်ခံ Cold Storage Singapore မှဝယ်ယူခဲ့သည်။ ၂၀၀၆ ခုနှစ်တွင် Shell Singapore နှင့် 7-Eleven တို့သည် Shell Select စတိုးဆိုင် ၆၈ ခုကို ၇-Eleven သို့ပြောင်းရန်သဘောတူခဲ့သည်။ ၂၀၁၇ ခုနှစ်အောက်တိုဘာလတွင်အစုစပ်လုပ်ငန်းကိုရပ်ဆိုင်းလိုက်ပြီး Shell ဓာတ်ဆီဆိုင်ရှိကျန်ရှိသော ၇၂ ဆယ့်ခုနစ်ဆိုင်ကို Shell Select သို့တဖြည်းဖြည်းပြန်လည်သတ်မှတ်ပေးလိမ့်မည်။<ref>{{cite web|url=http://www.straitstimes.com/singapore/transport/shell-to-end-partnership-with-7-eleven-chain|title=Shell to end partnership with 7-Eleven chain|first=Christopher|last=Tan|date=October 2, 2017|accessdate=October 5, 2017|work=[[The Straits Times]]}}</ref> ==== တောင်ကိုရီးယား ==== [[File:7-Eleven store S-Godeok-yeok shop 20180914 123820.jpg|thumb|7-Eleven တောင်ကိုရီးယားဆိုးလ်ရှိ Godeokဘူတာတွင်|192x192px]] 7-Eleven သည် CU (store), GS25 (ယခင် LG25) နှင့်လွတ်လပ်သောပြိုင်ဘက်များနှင့်ယှဉ်ပြိုင်သည့်ကိုရီးယားသမ္မတနိုင်ငံစတိုးဆိုင်ဈေးကွက်တွင်အဓိကနေရာတွင်ရှိသည်။ ကိုရီးယားသမ္မတနိုင်ငံတွင်စတိုးဆိုင်ပေါင်း ၉၁၂၃ ခုရှိသည်။ ဂျပန်နှင့်[[https://my.wikipedia.org/wiki/ထိုင်းနိုင်ငံ|ထိုင်းနိုင်ငံ{{Dead link|date=August 2021 }}]]များသာစတိုးဆိုင်များကိုပိုမိုလက်ခံနိုင်သည်။ ကိုရီးယားသမ္မတနိုင်ငံတွင်စတိုးဆိုင်ပေါင်း ၉၁၂၃ ခုရှိသည်။ ဂျပန်နှင့်ထိုင်းနိုင်ငံများသာစတိုးဆိုင်များကိုပိုမိုလက်ခံနိုင်သည်။ ၂၀၁၀ ခုနှစ်၊ ဇန်နဝါရီလတွင် Lotte Group သည် Buy the Way စတိုးဆိုင်များကိုဝယ်ယူခဲ့ပြီး 7-Eleven အမှတ်တံဆိပ်အောက်ရှိစတိုးဆိုင် ၁၀၀၀ ကိုနာမည်ပြောင်းခဲ့သည်။ [[File:7 ELEVEn Outles in Sindian.jpg|thumb|7-Eleven ဆိုင်နှစ်ဆိုင်သည်ထိုင်ဝမ်နယူးတိုင်ပေမြို့၊ Xindian ခရိုင်ရှိလမ်းဆုံတစ်ခုတည်းတွင်ရှိသည်|202x202px]] ==== ထိုင်ဝမ် ==== 7-Eleven သည်ထိုင်ဝမ်၌အဆင်ပြေလွယ်ကူသောစတိုးဆိုင်ကြီးတစ်ခုဖြစ်ပြီး၊ Uni-President Enterprises ကော်ပိုရေးရှင်းအောက်ရှိ နိုင်ငံတော်သမ္မတChain Store ကိုကော်ပိုရေးရှင်း ၏လက်အောက်တွင်ရှိသည်။ ပထမဆုံးစတိုးဆိုင် ၁၄ ခုကို ၁၉၇၉ ခုနှစ်တွင်ဖွင့်လှစ်ခဲ့ပြီးအမြတ်ရရန်ရုန်းကန်ခဲ့ရသည်။ စတိုးဆိုင်များကိုခေတ်မီစေရန်တောင်ဘက်ကော်ပိုရေးရှင်းသည် Uni-President နှင့်ပူးပေါင်းခဲ့သည်။ သို့သော်စီးပွားရေးသည်နှေးကွေးနေဆဲဖြစ်ပြီး Uni-President သည်အာရှအစားအစာများသိုလှောင်ရန်ရွေးချယ်ခဲ့သည်။ ၁၉၈၆ ခုနှစ်တွင် ၇-Eleven သည်ထိုင်ဝမ်တွင်ပထမဆုံးအမြတ်ရရှိခဲ့သည်။ စတိုးဆိုင် ၅၀၀၀ ကို ၂၀၁၄ ခုနှစ်ဇူလိုင်လတွင်ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ ၂၀၁၈ ခုနှစ်ဇန်နဝါရီလတွင် X-Store အမှတ်တံဆိပ်ဖြင့်စမ်းသပ်။ မတတ်နိုင်သောဆိုင်တစ်ဆိုင်ကိုဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ 7-Eleven သည်ဖေဖော်ဝါရီလ ၂၀၁၉ ခုနှစ်တွင် Domino's Pizza နှင့် ပူးပေါင်း၍ ပေါင်းစပ်ထားသောစတိုးဆိုင်တစ်ခုဖွင့်လှစ်ရန်အစီအစဉ်ရှိကြောင်းကြေညာခဲ့သည်။</ref> [[File:Open Chan Clock on Column of 7-Eleven Zhengtang Store 20160530.jpg|thumb|189x189px|7-Eleven နာရီOpen-Chan ကာတွန်း (ညာ) နှင့်သူ၏သူငယ်ချင်းများ (ဘယ်ဘက်)]] အစောပိုင်း၂၀၀၀ခုနှစ်မှာ 7-Eleven စဖွင့်စပါချန်း (小將) အမည်ရှိကော်ပိုရိတ် mascot, စတိုးဆိုင်ကွင်းဆက်တစ်ခု "ကာတွန်းပြောရေးဆိုခွင့်ရှိသူ" Planet ကိုပွင့်လင်းအဖြစ်လူသိများနေတဲ့စိတ်ကူးယဉ်ကမ္ဘာဂြိုဟ်ကနေသက်တံ့-ပုံပန်းဦးရစ်သရဖူကိုကျီသူဂြိုဟ်သားခွေးမိတ်ဆက် ထိုင်ဝမ်တွင် Open-Chan သည်ထိုင်ဝမ်ကလေးများအကြားတွင်စတင်ပေါ်ပေါက်ခဲ့ပြီးမကြာမီလူကြိုက်များလာသည်။<ref>{{Cite web|url=https://www.7-11.com.tw/en/business/im.html|title=7-ELEVEN|website=www.7-11.com.tw|access-date=2019-09-13}}</ref><ref>{{Cite news|url=https://www.wsj.com/articles/in-taiwan-convenience-stores-have-big-selections-many-fans-1400293559|title=How Convenient: In Taiwan, the 24/7 Store Does It All|last=Hsu|first=Eva Dou and Jenny W.|date=2014-05-17|work=Wall Street Journal|access-date=2019-09-13|language=en-US|issn=0099-9660}}</ref>ထိုင်ဝမ်တွင်ထင်ရှားကျော်ကြားသူဖြစ်လာသည့် Open-Chan ၏နောက်ဆက်တွဲဇာတ်ကောင်သည်ဂျပန်တွင်ပင်စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|url=http://news.searchina.net/id/1640156|title=台湾のゆるキャラ「ＯＰＥＮちゃん」も和装で登場！ 「日本台湾祭り２０１７」 news.searchina.net|website=news.searchina.net|language=ja|access-date=2019-09-13}}</ref> ==== ထိုင်းနိုင်ငံ ==== [[File:7-Eleven, Bangkok, Thailand.jpg|thumb|7-Eleven, Sukhumvit Soi 13,ဘန်ကောက်ထိုင်းနိုင်ငံ]]] ပထမဆုံးထိုင်း 7-Eleven ကို ၁၉၈၉ ခုနှစ်တွင်ဘန်ကောက်ရှိ Patpong လမ်းတွင်ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ ထိုကုမ္ပဏီတွင်ကုမ္ပဏီပိုင် (၄၅%) နှင့်လုပ်ငန်းဆိုင်ခွဲများ (၅၅%) တို့ပါဝင်သည်။<ref name="PE-20200312">{{cite news |last1=Kri-aksorn |first1=Thammachart |title=Here's why Twitter users boycott 7-eleven |url=https://prachatai.com/english/node/8399 |accessdate=24 April 2020 |work=Prachatai English |date=12 March 2020}}</ref> CP ALL Public Company Limited သည်ထိုင်းနိုင်ငံရှိ ၇-Eleven ပိုင်ရှင်နှင့် franchisor ဖြစ်သည်။ ၂၀၂၀ ခုနှစ်မတ်လတွင်ထိုင်းနိုင်ငံတွင်စတိုးဆိုင် ၁၁,၇၀၀ ရှိပြီး ၁၇၀,၀၀၀ ခန့်အလုပ်ခန့်ထားသည်။ 2018 ခုနှစ်တွင် 7-Eleven CP များအတွက်ဝင်ငွေဘတ် ၃၃၃၅၃၂သန်းကိုထုတ်လုပ်ခဲ့သည်။<ref name="PE-20200312" /><ref>{{cite news |last1=Jitpleecheep |first1=Pitsinee |title=7-Eleven poised to top 11,000 stores in 2018 |url=https://www.bangkokpost.com/business/news/1404750/7-eleven-poised-to-top-11-000-stores-in-2018 |accessdate=June 4, 2018 |work=Bangkok Post |date=January 31, 2018}}</ref> 7-Eleven သည် ၇၀ ရာခိုင်နှုန်းသောဈေးကွက်ဝေစုကိုပိုင်ဆိုင်ပြီးအချို့စတိုးဆိုင် ၇၀၀၀ (ဥပမာ FamilyMart) နှင့် "mom and pop" ဆိုင်များကန့်ကွက်သည်။<ref name="PE-20200312" /><ref>{{cite news |last1=Kyozuka |first1=Tamaki |title=FamilyMart to double stores in Thailand, take on 7-Eleven |url=https://asia.nikkei.com/Business/Companies/FamilyMart-to-double-stores-in-Thailand-take-on-7-Eleven |accessdate=June 4, 2018 |work=Nikkei Asian Review |date=November 15, 2016 |archivedate=9 November 2018 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20181109024822/https://asia.nikkei.com/Business/Companies/FamilyMart-to-double-stores-in-Thailand-take-on-7-Eleven }}</ref> ထိုင်းဂျပန်ပြီးနောက် 7-Eleven စတိုးဆိုင်၏ဒုတိယအများဆုံးရှိပါတယ်။<ref name="About 7-Eleven">[https://web.archive.org/web/20080731072739/http://www.7-eleven.com/AboutUs/InternationalLicensing/tabid/115/Default.aspx About 7-Eleven], 7-Eleven. Retrieved 25 March 2010.</ref> ပလတ်စတစ်ညစ်ညမ်းမှုကိုလျှော့ချရန်အတွက်ထိုင်းနိုင်ငံရှိ ၇-ဆယ့်တစ်စတိုးဆိုင်များ၏မိခင်ကုမ္ပဏီဖြစ်သော CP All Public Company သည် ၂၀၁၈ ခုနှစ်နိုဝင်ဘာလတွင်တစ်ကြိမ်တည်းအသုံးပြုသောပလပ်စတစ်အိတ်များကိုအသုံးပြုခြင်းကိုလျှော့ချရန်နှင့်သူတို့၏ရည်ရွယ်ချက်ကိုကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{cite news|title=7-Eleven stores to reduce the use of plastic bags|url=https://thethaiger.com/news/national/7-eleven-stores-to-reduce-the-use-of-plastic-bags|work=The Thaiger|date=8 November 2018|accessdate=8 November 2018}}</ref> ၂၀၂၀၊ ဇန်နဝါရီလတွင် ၇-ဆယ့်တစ် နှင့်အခြားထိုင်းလက်လီရောင်းဝယ်သူ ၄၂ ဦးသည်ဖောက်သည်များအားတစ်ကြိမ်သာပလပ်စတစ်အိတ်များပေးခြင်းကိုရပ်ဆိုင်းတော့မည်ဖြစ်သည်။<ref>{{cite news |title=Major Thai stores to stop giving out plastic bags by 2020: minister |url=https://www.reuters.com/article/us-thailand-plastic/major-thai-stores-to-stop-giving-out-plastic-bags-by-2020-minister-idUSKBN1W915E |accessdate=25 September 2019 |agency=Reuters |date=24 September 2019}}</ref> ==== ယူအေအီး ==== Seven & I Holdings သည် ၂၀၁၄ ခုနှစ်နွေရာသီတွင်အာရပ်စော်ဘွားများပြည်ထောင်စု၊ ဒူဘိုင်းတွင်ပထမဆုံးအရှေ့အလယ်ပိုင်း ၇-ဆယ့်တစ်ကိုဖွင့်လှစ်ရန်အတွက် Seven Emirates Investment LLC နှင့်စာချုပ်ချုပ်ဆိုကြောင်း ၂၀၁၄ ခုနှစ်ဇွန်လတွင်ကြေညာခဲ့သည်။<ref name="7-Eleven to open in Dubai">{{cite web | url=http://www.thenational.ae/business/industry-insights/retail/7eleven-to-open-in-dubai-next-year-first-in-middle-east | title=7-Eleven to open in Dubai next year, first in Middle East | work=[[The National (Abu Dhabi)|The National]] | date=June 17, 2014 | accessdate=June 19, 2014 | author=Sahoo, Sananda | archivedate=22 June 2017 | archiveurl=https://web.archive.org/web/20170622151559/http://www.thenational.ae/business/industry-insights/retail/7eleven-to-open-in-dubai-next-year-first-in-middle-east }}</ref><ref name="7-Eleven to Open Store in Dubai">{{cite news| url=https://www.wsj.com/articles/7-eleven-to-open-store-in-dubai-1402942024 | title=7-Eleven to Open Store in Dubai |work=[[The Wall Street Journal]] | date=June 16, 2014 | accessdate=June 19, 2014 | author=Armental, Maria}}</ref><ref name="Seven & I Dubai">{{cite news | url=http://in.reuters.com/article/2014/06/17/seveni-emirates-dubai-idINL4N0OY0TN20140617 | title=Seven & I to open 7-Eleven in Dubai next year, first in Middle East | agency=[[Reuters]] | date=June 17, 2014 | accessdate=June 19, 2014 | author1=Kim, Chang-Ran | author2=Shimizu, Ritsuko | archivedate=16 October 2015 | archiveurl=https://web.archive.org/web/20151016074440/http://in.reuters.com/article/2014/06/17/seveni-emirates-dubai-idINL4N0OY0TN20140617 }}</ref> ၂၀၁၇ ခုနှစ်အကုန်တွင်နိုင်ငံအတွင်းဆိုင်ပေါင်း ၁၀၀ ခန့်ဖွင့်လှစ်ရန်အစီအစဉ်ရှိကြောင်းကုမ္ပဏီကပြောကြားခဲ့သည်။<ref name="7-Eleven to open in Dubai" /><ref name="Seven & I Dubai"/> ပထမဦးဆုံးအစတိုးဆိုင်တိုင်းပြည်ဇန်နဝါရီ ၂၀၁၈ ၏အဖြစ် 13 စတိုးဆိုင်များရှိပါတယ်အောက်တိုဘာလ ၂၀၁၅ ခုနှစ်တွင်ဖွင့်လှစ်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ==== ဗီယက်နမ် ==== Seven & I Holdings သည်ပထမ ဦး ဆုံး 7-Eleven ကို Saigon ကုန်သွယ်ရေးစင်တာတွင် ၂၀၁၇ ခုနှစ်တွင်ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ ၂၀၂၀ ဇန်နဝါရီလအထိဗီယက်နမ်နိုင်ငံတွင်ဟိုချီမင်းတွင်စတိုးဆိုင် ၄၅ ခုရှိသည်။ ==== ယခင်တည်နေရာ တူရကီ ==== 7-Eleven သည် ၁၉၈၉ ခုနှစ်တွင်တူရကီဈေးကွက်သို့ ဝင်ရောက်ခဲ့ပြီး ၁၉၈၉ စက်တင်ဘာ ၁၂ ရက်တွင်၎င်း၏ပထမဆုံးစတိုးဆိုင်ကိုဖွင့်ခဲ့သည်။</ref> မာစတာဂိမ်း၏အဓိကအစုရှယ်ယာရှင်ဖြစ်သောအော်စကာသည်သူ၏ဇနီးတန်ဆန်အီလဲန်းဝန်ကြီးချုပ်ဖြစ်လာပြီးနောက် ၁၉၉၃ တွင်သူ၏အစုရှယ်ယာများကိုရောင်းချခဲ့သည်။<ref>Milliyet, August 24, 1993</ref> ၂၀၁၀ ပြည့်နှစ်များတွင် ၇-ဆယ့်တစ် သည်တူရကီဈေးကွက်မှထွက်ခွာခဲ့ပြီး၎င်း၏စတိုးဆိုင်အများစုကို franchise ပိုင်ရှင်များထံလွှဲပြောင်းခဲ့သည်။ === ဥရောပ === ပထမဦးဆုံးဥရောပ 7-Eleven စတိုးကို ၁၉၇၈ ခုနှစ်တွင်ဆွီဒင်နိုင်ငံစတော့ဟုမ်းတွင်ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။<ref name="Retro rebrand for 7-Eleven">{{cite web | url=http://www.insideretail.com.au/blog/2013/01/28/retro-rebrand-for-7-eleven/ | title=Retro rebrand for 7-Eleven | work=Inside Retail | date=January 28, 2013 | accessdate=January 28, 2015 | archivedate=12 April 2016 | archiveurl=https://web.archive.org/web/20160412031830/https://www.insideretail.com.au/blog/2013/01/28/retro-rebrand-for-7-eleven/ }}</ref>7-Eleven စတိုးဆိုင်များသည်ယခုအခါစကင်ဒီနေးဗီးယားဒေသရှိဥရောပ၌သာတစ်ခုတည်းသာတည်ရှိသည်။<ref>{{Cite web|title = Franchise Europe Top 500: 7-Eleven – FranchiseDirect.co.uk|url = http://www.franchisedirect.co.uk/top500/7eleven/1/347/|accessdate = April 13, 2015|archive-date = 15 April 2015|archive-url = https://web.archive.org/web/20150415000028/http://www.franchisedirect.co.uk/top500/7eleven/1/347/}}</ref> စကင်ဒီနေးဗီးယားရှိ 7-Eleven အတွက်အဓိကဂိမ်းပိုင်ရှင်မှာ Reitan Servicehandel ဖြစ်ပြီးနော်ဝေးလက်လီကုမ္ပဏီ Reitan Group ၏လက်ရုံးဖြစ်သည်။ Reitangruppen သည် ၂၀၀၆ ခုနှစ်တွင်နော်ဝေနှင့်ဆွီဒင်နိုင်ငံရှိ HydroTexaco (ယခု YX Energy) အလိုအလျှောက်ဘူတာရုံကို ၀ ယ်ယူပြီးနောက်ဓာတ်ဆီဆိုင်ရှိစတိုးဆိုင်အတော်များများကို 7-Elevens အဖြစ်အမှတ်အသားပြုပြီး Shell ကထောက်ပံ့လိမ့်မည်ဟုကြေညာခဲ့သည်။ အခြားစတိုးဆိုင်များမှာ YX တံဆိပ်အောက်တွင်ရှိသည်။ ==== ဒိန်းမတ် ==== [[File:7-Eleven Copenhagen.jpg|thumb|ကိုပင်ဟေဂင် ဒိန်းမတ်အတွက်7-Eleven]] ဒိန်းမတ်အတွက်ပထမဦးဆုံး, 7-Eleven စတိုးဆိုင်ကိုပင်ဟေဂင်ဗဟိုဘူတာမှာရှစ်စတိုးဆိုင်များအပါအဝင်အများစုကိုပင်ဟေဂင်, Aarhus, Aalborg နှင့် Odense အတွက်၁၈၃ စတိုးဆိုင်များ, ရှိပါတယ်စက်တင်ဘာလ 14, 1993 ရက်တွင်ကိုပင်ဟေဂင်အတွက်ကိုပင်ဟေဂင်မှာဖွင့်လှစ်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ဒိန်းမတ်နိုင်ငံတွင် 7-Eleven သည် Shell နှင့် 7-Eleven ဝန်ဆောင်မှုဌာနများကွန်ယက်တစ်ခုရှိသည်။ DS-B နှင့်ရထားဘူတာအများစုတွင် ၇-ဆယ့်တစ် ဆိုင်များဖွင့်လှစ်ရန် Shell နှင့်သဘောတူညီမှုရှိသည်။ ==== နော်ဝေး ==== [[File:7 eleven Bergen Nygardsgaten.JPG|thumb|ဘာဂန်နော်ဝေအတွက်7-Eleven]] ၁၉၇၆ ခုနှစ်၊ စက်တင်ဘာလ ၁၃ ရက်နေ့တွင်နော်ဝေး၌ပထမဆုံးသော ၇-ဆယ့်တစ်ဆိုင်ကိုအော်စလိုမြို့ Grunerlokka တွင်ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ ၂၀၁၈ ခုနှစ်ဇန်နဝါရီလတွင်နော်ဝေတွင်စတိုးဆိုင် ၁၅၃ ခုရှိသည့် ၇-၁၁ ခုရှိပြီး၊ အော်စလိုတွင် ၅၀ ရာခိုင်နှုန်းကျော်ရှိသည်။ Tromsøတွင်တည်ရှိသောနော်ဝေသည်ကမ္ဘာပေါ်တွင်အမြောက်ဆုံး ၇ ခုမြောက် Eleven ရှိသည်။ လူတစ်ဦးချင်းစီအရနော်ဝေတွင်ကနေဒါနှင့်နှိုင်းယှဉ်လျှင် ၇၄,၁၄ လုံးတွင်နော်ဝေလူမျိုး ၄၇၀၀၀ အတွက်စတိုးဆိုင်တစ်ခုရှိပြီးကနေဒါနှင့်နှိုင်းယှဉ်လျှင် ၇၄၀၀၀ တွင်တစ်ဆိုင်ရှိသည်။ ==== ဆွီဒင်နိုင်ငံ ==== [[File:7-Eleven på Mårtenstorget i Lund.jpg|thumb|၇-ဆယ့်တစ် သည်ဆွီဒင်နိုင်ငံ၊ Lund ရှိ Martenstorget တွင်ဖြစ်သည်]] Reitan Group သည် ၁၉၉၇ ခုနှစ်ဒီဇင်ဘာ လမှစ၍ ဆွီဒင်တွင်လိုင်စင်ရရှိခဲ့သည်။ ၁၉၉၀ ပြည့်လွန်နှစ်များအလယ်ပိုင်းတွင်ဆွီဒင်နိုင်ငံမှ ၇-ဆယ့်တစ်သည်ထိုအချိန်ကရရှိထားသောလိုင်စင်ရကုမ္ပဏီဖြစ်သောအမေရိကန်အခြေစိုက်ကုမ္ပဏီငယ်များကကမ်းလှမ်းသောဆိုးရွားသည့်အလုပ်သမားကန်ထရိုက်များကြောင့်လူသိရှင်ကြားကြေညာခြင်းခံခဲ့ရသည်။ ရောင်းအားနှင့်ပိတ်ပစ်ခံရအများအပြားစတိုးဆိုင်များအတွက်ရလဒ်စတော့ခ်ဟုမ်းနှင့်ဂေါင်ဘာ့ဂ်တွင် ၇ ဆယ့် ၁၁ ယောက်သာရှိသည်။ 7-Eleven သည် ၂၀၀၁ ခုနှစ်တွင်ဆွီဒင်၏တောင်ဘက်သို့ Lund တွင်စတိုးဆိုင်ဖွင့်လှစ်သောအခါပြန်လာခဲ့သည်။ ၂၀၀၀ ပြည့်လွန်နှစ်များနှောင်းပိုင်းတွင်ဆွီဒင် 7-Eleven ကွင်းဆက်သည် 7-Eleven franchise ကိုစီမံခန့်ခွဲမှုတွင် Reitan Group ၏စီမံခန့်ခွဲမှုတွင်ဆွီဒင် TV3သည်လိမ်လည်မှုကိုဖော်ထုတ်သည့်အခါဆွီဒင် 7-Eleven ကွင်းဆက်အငြင်းပွားဖွယ်ရာတွင်ပါဝင်ပတ်သက်ခဲ့သည်ဝဘ်ဆိုက်။ ၂၀၀၇ ခုနှစ်၊ ဩဂုတ်လ ၂၇ ရက်နေ့တွင် Reitan Group နှင့် Shell တို့သည်နော်ဝေ၊ ဆွီဒင်၊ ဖင်လန်နှင့်ဒိန်းမတ်နိုင်ငံ ၇ ခုမှ ၀ န်ဆောင်မှုပေးသောစခန်း ၂၆၉ ခုအားနာမည်ပြောင်းလဲရန်ဆယ်နှစ်သဘောတူညီချက်ကိုကြေညာခဲ့သည်။ စာချုပ်အရ ၇-ဆယ့်တစ် သည်စတိုးဆိုင် ၇၇ ခုမှဆွီဒင်ရှိ ၁၈၉ ဆိုင်အထိတိုးချဲ့မည်ဟုဆိုလိုသည်။<ref>{{cite web|last1=O'Mahony|first1=Paul|title=Shell and 7-Eleven strike store deal|url=https://www.thelocal.se/20070827/8303|website=[[The Local]]|accessdate=January 5, 2018|date=August 27, 2007}}</ref> ယခုအခါနိုင်ငံတွင်စတိုးဆိုင် ၁၈၇ ခုရှိသည်။ ==== ယခင်နေရာများ စပိန်နှင့်ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း ==== 7-Eleven ကိုစပိန်တွင် ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ်အထိရရှိနိုင်ခဲ့ပြီးRepsol ဓာတ်ဆီဆိုင်များအတွင်းနှင့်နိုင်ငံအနှံ့ရှိအခြားဓာတ်ဆီဆိုင်အချို့ရှိသည်။ ၁၉၈၀ ပြည့်နှစ်များအတွင်းလန်ဒန်နှင့်အင်္ဂလန်၏အရှေ့တောင်ပိုင်းတွင် ၇-ဆယ့်တစ်အဆင်ပြေသောစတိုးဆိုင်များသည်အများအားဖြင့်ရှိခဲ့သည်။ ပထမဆုံးဆိုင်ကို ၁၉၈၅ တွင်လန်ဒန်မြို့၊ ဆစ်ဒန်ဟမ်အရှေ့တောင်လန်ဒန်တွင်ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။<ref>{{cite web|url=http://www.just-food.com/news/7-eleven-plays-down-uk-re-entry-talk_id126350.aspx|title=US/UK: 7-Eleven plays down UK re-entry talk|publisher=|date=March 25, 2014|accessdate=24 July 2020|archivedate=19 September 2020|archiveurl=https://web.archive.org/web/20200919051946/https://www.just-food.com/news/7-eleven-plays-down-uk-re-entry-talk_id126350.aspx}}</ref> ၁၉၉၇ ခုနှစ်တွင်ကုမ္ပဏီသည်ကုန်သွယ်မှုလုပ်ငန်းများရပ်တန့်ခဲ့သော်လည်း ၂၀၁၄ ခုနှစ်တွင်ယူကေကုန်သွယ်မှုပြန်လည်စတင်ရန်စဉ်းစားခဲ့သည်။<ref>{{cite web|url=http://www.thegrocer.co.uk/7-eleven-considers-uk-convenience-market-entry/355962.article|title=7-Eleven considers UK convenience market entry|work=TheGrocer.co.uk}}</ref> === မြောက်အမေရိက === ==== ကနေဒါ ==== [[File:Ontario 7-Eleven.jpg|thumb|Woodstock,အွန်ကနေဒါအတွက်ဓာတ်ဆီဘူတာရုံနှင့်အတူ7-Eleven စတိုးဆိုင်]] ကနေဒါတွင်ပထမဆုံးဖွင့်လှစ်သော 7-Eleven စတိုးသည် ၁၉၆၉၊ ဇွန် ၂၉ ရက်၊ အယ်လ်ဘာတာရှိ Calgary တွင်ရှိသည်။ ၂၀၁၇ တွင်ကနေဒါ၌ ၇၁တစ်ဆိုင် ၆၄၀ ရှိသည်။|lc=y}}.<ref>{{cite web|url=http://corp.7-eleven.com/AboutUs/InternationalLicensing/tabid/115/Default.aspx |title=7-Eleven – International Licensing |publisher=Corp.7-eleven.com |date=January 1, 2010 |accessdate=August 8, 2010| archiveurl= https://web.archive.org/web/20100806134055/http://corp.7-eleven.com/AboutUs/InternationalLicensing/tabid/115/Default.aspx| archivedate= August 6, 2010 | url-status= live}}</ref> Manitoba တွင် Winnipeg သည်ကမ္ဘာ့အကြီးဆုံး Slurpee သုံးစွဲသူများရှိပြီး ၁၉၇၀ မတ်လ ၂၁ ရက်တွင်စတင်ဖွင့်လှစ်သော 7-Eleven ပထမဦးဆုံးစတင်ဖွင့်လှစ်ချိန်မှ စ၍ Slurpees ၁,၅၀၀,၀၀၀ ရောင်းချခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|url=http://corp.7-eleven.com/corp/about#convenient_facts|title=Convenient Facts - 7-Eleven Corporate|website=corp.7-eleven.com|access-date=January 27, 2017}}</ref> ကနေဒါရှိ ၇-ဆယ့်တစ် ခုလုံးကိုကော်ပိုရိတ်ဖြင့်လည်ပတ်သည်<ref>{{cite web|url=http://franchise.7-eleven.com/index.php/a-strong-brand |title=7-Eleven – A Strong Brand |publisher=Franchise.7-eleven.com |accessdate=August 8, 2010 |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20101114231706/http://www.franchise.7-eleven.com/index.php/a-strong-brand |archivedate=November 14, 2010 }}</ref> ဇူလိုင်လ ၁၁ ရက်နေ့တိုင်းအမေရိကန်၏လုပ်ဖော်ကိုင်ဖက်များကဲ့သို့ပင်စတိုးဆိုင်များသည် "7-Eleven Day" တွင် Slurpees များကိုအခမဲ့ပေးသည်။ ကန့်သတ်ထားသောနေရာ ၇ ခုမှ ၁၁ ခုသည် Shell Canada၊ Petro-Canada သို့မဟုတ် Esso မှဓာတ်ဆီဆိုင်များပါရှိသည်။ ၂၀၀၅ ခုနှစ်နိုဝင်ဘာလတွင်ကနေဒါရှိ Speak Out ကြိုးမဲ့ဆဲလ်ဖုန်းဝန်ဆောင်မှု 7-Eleven ကိုစတင်ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။ ၇-၁၁ နေရာတွင် CIBC ATM စက်များလည်းပါဝင်သည်။ ၂၀၁၂ ခုနှစ်ဇွန်လတွင်ထိုစက်များကို Scotiabank မှလည်ပတ်သည့် ATM စက်များဖြင့်အစားထိုးခဲ့သည်။ 7-Eleven သည်အွန်တာရီယို၊ အွန်တာရီယိုဈေးကို ၂၀၀၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင်၎င်း၏ဆိုင်ခွဲ ၆ ခုကိုဒေသဆိုင်ရာကွင်းဆက် Quickie Convenience Stores သို့ရောင်းချခဲ့သည်။ Speak Out ကြိုးမဲ့ဖောက်သည်များ၏ကံကြမ္မာနှင့်ပတ်သက်ပြီးစိုးရိမ်မှုများရှိလာသောအခါ Quickie သည်ရှိပြီးသား SpeakOut ဖောက်သည်များနှင့်ဖုန်းများကို၎င်း၏ Good2Go ဆဲလ်ဖုန်းပရိုဂရမ်တွင်ထည့်သွင်းရန်ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။ Alimentation Couche-Tard နှင့် Boni-soir စသည့်ချည်နှောင်မှုများနှင့်လွတ်လပ်သောငွေရေးကြေးရေးများကယင်း၏ပြည့်နှက်နေသောကြောင့် 7-Eleven သည်ကွီဘက်ဈေးကွက်တွင်အလားတူမရှိ။ ၂၀၁၆ ခုနှစ်မတ်လတွင် ၇-Eleven သည်အယ်လ်ဘာတာနှင့်ဗြိတိသျှကိုလံဘီယာရှိ Imperial ရေနံပိုင်ဆိုင်သည့် Esso ဓာတ်ဆီဆိုင် ၁၄၈ ခုကိုဒေါ်လာ ၂.၈ ဘီလီယံဖြင့်ဝယ်ယူခဲ့သည်။ သူတို့ရဲ့အဆင်ပြေစတိုးဆိုင်အများစုဟာ 7-Eleven စတိုးဆိုင်များသို့ကူးပြောင်းခဲ့ကြပြီး Esso ကထောက်ပံ့ပေးခဲ့သည်။ အချို့သောနေရာများကိုချက်ချင်းပင် 7-Eleven သို့ ပြောင်းလဲ၍ မရပါ။ အစားထိုး On-Run ကွင်းဆက်မှအစဉ်အဆက်အမွေဆက်ခံထားသောစတိုးဆိုင်ပုံစံများနှင့်အတူ smartstop 24/7“ transstanner banner” အောက်တွင်အလုပ်လုပ်သည်။}}</ref> ==== မက္ကစီကို ==== မက္ကဆီကိုတွင်, 7-Eleven စတိုးဆိုင်ကို ၁၉၇၁ ခုနှစ်တွင် Monterrey တွင် Grupo Chapa (ယခု Iconn) နှင့် 7-Eleven, Inc တို့နှင့် ပူးပေါင်း၍ ဖွင့်သည်။ ၁၉၉၅ တွင် Super 7 ကို 7-Eleven ဟုအမည်ပြောင်းခဲ့သည်။ နိုင်ငံ၏ဒေသများစွာတွင်စတိုးဆိုင်ပေါင်း ၁၈၃၅ ခုရှိသည်။ စတိုးဆိုင်များသည် Centro Históricoအဆောက်အဦး များ (ဥပမာ Centro Históricoအဆောက်အ ဦး များ) သို့မဟုတ်အရေးကြီးသောအထင်ကရအဆောက်အအုံများအတွင်း၌တည်ရှိပါကစတိုးအသွင်အပြင်အမှတ်အသားကိုရွှေသို့မဟုတ်ငွေဖြင့်အက္ခရာဖြင့် monochrome တွင်ပြသသည်။ မက္ကဆီကိုတွင်အဓိကပြိုင်ဘက်များမှာ OXXO (Femsa), Super City (Soriana) နှင့် Farmacias Guadalajara တို့ဖြစ်သည်။ ==== အမေရိကန် ==== [[File:Gulf7eleven.jpg|thumb|Pennsylvania ပြည်နယ်၊ Ellwood City ရှိဓာတ်ဆီအရောင်းအဝယ်အတွက် Gulf Oil နှင့် 7-Eleven စတိုးဆိုင် ၇ ခုပါရှိသည်။]] Supermarket News သည် ၂၀၀၇ ဘဏ္ဍာရေးနှစ်ခန့်မှန်းရောင်းအားအမေရိကန်ဒေါ်လာ ၁၅.၀ ဘီလီယံကို အခြေခံ၍ ၂၀၀၇ ခုနှစ်“ မြောက်အမေရိကစားနပ်ရိက္ခာလက်လီရောင်းချသူများ၏ ၇၅ ခု” တွင် ၇-Eleven ၏မြောက်အမေရိကလည်ပတ်မှုနံပါတ် ၁၁ နေရာတွင်ရှိသည်။ ၂၀၀၅ ဝင်ငွေအပေါ် အခြေခံ၍ 7-Eleven သည်အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု၌ ၂၄ ခုမြောက်အကြီးမားဆုံးလက်လီအရောင်းဆိုင်ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၃ တွင်ယူအက်စ်တစ်လွှားတွင် ၇,၁၁၁ ခုရှိသည်။ ဂိမ်းခသည်အမေရိကန်ဒေါ်လာ ၁၀၀၀၀ မှ ၁၀၀၀ ကြားအတွင်းရှိမူပိုင်ခွင့်နှုန်းနှင့်ကွဲပြားခြားနားသည်။ 7-Eleven America သည်တက္ကဆက်ပြည်နယ် Irving ရှိ Cypress Waters ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှုတွင်၎င်း၏ဌာနချုပ်ရှိသည်။ ဇူလိုင်လ ၁၁ ရက်၊ ၇ ရက် ၁၁ ရက်နေ့တွင်အရွယ်အစားသေးငယ်သည့် Slurpees များသည်အခမဲ့ဖြစ်သည်။ ဤအားလပ်ရက်ကို ၂၀၀၈ ခုနှစ်ဇူလိုင်လ ၁၁ ရက်တွင် J. Brabank နှင့် C. Johnson တို့ကပထမဆုံးအကြိမ်တွေ့ရှိခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ခြွင်းချက်တစ်ခုမှာ ၂၀၂၀ ခုနှစ်၊ COVID-19 ရောဂါကူးစက်မှုကြောင့်ထိုနှစ်တွင်ဖျက်သိမ်းခြင်းဖြစ်သည်။ ၇ ဆုချီးမြှင့်သောအသင်းဝင်များသည်ထိုနှစ်ဇူလိုင်လတွင်အသုံးပြုရန်သူတို့၏ app တွင်အခမဲ့အလတ်စား Slurpee ကိုရရှိသည်။ 7-Eleven ဥက္ကလာဟိုးမားစတိုးဆိုင်များသည်ဝီလျံဘရောင်းနှင့်သဘောတူညီချက်အရ ၁၉၅၃ ခုနှစ်မှစ၍ လွတ်လပ်စွာလုပ်ကိုင်ခဲ့သည်။ ၎င်းကိုသူ၏သားဂျိမ်းစ်ဘရောင်းမှ ဦး ဆောင်နေသည်။ ဤသဘောတူညီချက်၏တစ်စိတ်တစ်ပိုင်းအနေဖြင့် Oklahoma ရှိ 7-Elevens သည်အခြားနေရာများရှိစတိုးဆိုင်များနှင့်အနည်းငယ်ကွဲပြားမှုရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် Big Bite ဟော့ခတ်ကဲ့သို့သောထုတ်ကုန်များကိုမရောင်းပါ။ National 7Rewards system နှင့်မချိတ်ဆက်နိုင်သောကိုယ်ပိုင်သစ္စာရှိမှုအစီအစဉ်ကို“ Thx!” ဟုခေါ်သည်။ ၂၀၁၈ ခုနှစ်ဒီဇင်ဘာလအထိလက်ရှိတွင်နိုင်ငံအတွင်းစတိုးဆိုင်ပေါင်း ၇,၈၅၄ ခုရှိသည်။ ===== လောင်စာဆီ ===== ယူအက်စ်တွင်၊ ၇-၁၁ နေရာအများအပြားတွင် Citgo မှဖြန့်ဝေသောဓာတ်ဆီနှင့်ဓာတ်ဆီဆိုင်များရှိသည်။ ၁၉၈၃ ခုနှစ်တွင်တောင်ဘက်ကော်ပိုရေးရှင်းကဝယ်ယူခဲ့သည်။ Citgo ၏ ၅၀% ကို ၁၉၈၆ ခုနှစ်တွင်Petróleos de Venezuela, SA သို့ရောင်းချခဲ့ပြီးကျန်တဲ့ ၅၀% ကို ၁၉၉၀ မှာဝယ်ယူခဲ့သည်။ Citgo သည် 7-Eleven ၏အဓိကမိတ်ဖက်ဖြစ်သော်လည်းအခြားရေနံကုမ္ပဏီများသည် ၇-Eleven နှင့်အတူပူးတွဲတံဆိပ်ကပ်ထားသည်။ Fina၊ Exxon၊ ပင်လယ်ကွေ့၊ မာရသွန်၊ BP၊ Shell, Chevron (၂၀၁၂ ခုနှစ်နှောင်းပိုင်းတွင် 7-Eleven မဝယ်ခင် TETCO စတိုးဆိုင်အချို့ကို Chevron နှင့် Texaco တို့ပူးတွဲအမှတ်တံဆိပ်) နှင့် Pennzoil တို့ဖြစ်သည်။ Conoco သည်မြောက်အမေရိကတွင်အကြီးဆုံး ၇ ခုမြောက်သောလိုင်စင်ရသူဖြစ်သည်။}}</ref> 7-Eleven သည် ၂၀၁၀ ခုနှစ်ဒီဇင်ဘာလတွင်ဖလော်ရီဒါရှိဆိုဒ် ၁၈၃ ခုဝယ်ယူရန် ExxonMobil နှင့်သဘောတူညီမှုတစ်ခုကိုလက်မှတ်ရေးထိုးခဲ့သည်။ ၂၀၁၁ ခုနှစ်၊ ဩဂုတ်လတွင်မြောက်ပိုင်းတက္ကဆက်တွင် ExxonMobil ဆိုဒ် ၅၁ ခုကိုဝယ်ယူခဲ့သည်။<ref>{{cite web|url=http://www.cstoredecisions.com/2010/12/09/7-eleven-buys-183-exxonmobil-locations-in-florida/|title=7-Eleven Buys 183 ExxonMobil Locations in Florida|work=Convenience Store Decisions|publisher=Harbor Communications|accessdate=June 7, 2016|date=December 9, 2010}}</ref><ref>{{cite web|title=7-Eleven® Signs Agreement with ExxonMobil To Acquire 51 North Texas Locations Retailer Continues Accelerated Store Growth |url=http://corp.7-eleven.com/Newsroom/2011NewsReleases/7ElevenSignsAgreementwithExxonMobil/tabid/493/Default.aspx |work=7-Eleven News Room |publisher=7-Eleven, Inc |accessdate=November 10, 2013 |date=August 16, 2011 |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20131110090644/http://corp.7-eleven.com/Newsroom/2011NewsReleases/7ElevenSignsAgreementwithExxonMobil/tabid/493/Default.aspx |archivedate=November 10, 2013 }}</ref> === သမုဒ္ဒရာ === [[File:190 Bourke Street, Melbourne, VIC, 3000.jpg|thumb|ဩစတြေးလျနိုင်ငံမဲလ်ဘုန်းမြို့ရှိ ၇-ဆယ့်တစ် ဆိုင် (၂၀၁၈)]] ==== ဩစတြေးလျ ==== ဩစတြေးလျ၌ပထမဆုံးသော 7-Eleven ကို ၁၉၇၇၊ ဩဂုတ်လ ၂၄ ရက်နေ့တွင် Victoria, Oakleigh ၏ဆင်ခြေဖုံးတွင်ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ စတိုးဆိုင်အများစုသည်မြို့ပြဒေသများ၊ အထူးသဖြင့်စီးပွားရေးအချက်အချာကျသောနေရာများတွင်တည်ရှိသည်။ ဆင်ခြေဖုံးဒေသရှိစတိုးဆိုင်များသည်ဓာတ်ဆီဆိုင်များအဖြစ်မကြာခဏလည်ပတ်လေ့ရှိပြီးအများစုမှာဗဟိုအုပ်ချုပ်မှုစနစ်ဖြင့်ပိုင်ဆိုင်ပိုင်ခွင့်အနေဖြင့်ပိုင်ဆိုင်ကြသည်။ 7-Eleven သည် ၂၀၁၀ ခုနှစ်တွင် Mobil ၏ကျန်ရှိနေသေးသောAustralianစတြေးလျဓာတ်ဆီဆိုင်များကိုဝယ်ယူခဲ့ပြီး၎င်းတို့ကို 7-Eleven ဆိုင်များသို့ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ ဩစတြေးလျတောင်ပိုင်းတွင် Mobil ဓာတ်ဆီဆိုင်အားလုံးကို Peregrine ကော်ပိုရေးရှင်းသို့ရောင်းချပြီး On the Run ဓာတ်ဆီဆိုင်များအဖြစ်သတ်မှတ်သည်။<ref>{{cite web|url=http://www.7eleven.com.au/media-centre/article/7-eleven-acquires-mobil-retail-fuels-business|title=7-Eleven Acquires Mobil Retail Fuels Business|publisher=|accessdate=October 29, 2016|archivedate=19 March 2020|archiveurl=https://web.archive.org/web/20200319223558/https://www.7eleven.com.au/media-centre/article/7-eleven-acquires-mobil-retail-fuels-business}}</ref> ဩစတြေးလျရှိ ၇-ဆယ့်တစ်ဆိုင်များသည်နေ့စဉ်သတင်းစာများ၊ အချိုရည်များ၊ လက်ဆောင်ကတ်ပြားများကိုကြိုတင်ပေးချေထားသော Visa အမျိုးအစား ၃ မျိုးအပါအဝင်ဖြစ်သည်။ ဆိုင်ခွဲသည် BankWest နှင့်ပူးပေါင်းပြီးတစ်နိုင်ငံလုံးရှိသူတို့၏ဆိုင်တိုင်းတွင် BankWest ATM ကိုနေရာချပေးခဲ့သည်။ ဖောက်သည်များအားအခမဲ့ Slurpee ကိုပေးခြင်းအားဖြင့် ၇ နှစ် Eleven Day ကိုနိုဝင်ဘာ ၇ ရက်တွင်နှစ်စဉ်ပြုလုပ်သည်။<ref>{{cite web|url=http://www.slurpee.com.au/news/view/happy-7-eleven-day |title=Slurpee News: HAPPY 7-ELEVEN DAY! |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20120130001143/http://www.slurpee.com.au/news/view/happy-7-eleven-day |archivedate=January 30, 2012 }}</ref> ၂၀၁၄ ခုနှစ်ဧပြီလတွင် 7-Eleven သည်အနောက်ဩစတြေးလျတွင်စတိုးဆိုင်များစတင်ဖွင့်လှစ်ရန်အစီအစဉ်များကိုကြေညာခဲ့သည်။ ပထမနှစ်အတွင်းစတိုးဆိုင် ၁၁ ခုဖွင့်လှစ်ရန်စီစဉ်ထားပြီးစုစုပေါင်းစတိုးဆိုင် ၇၅ ခုမှာငါးနှစ်အတွင်းတည်ထောင်ခဲ့သည်။ ပထမဆုံးစတိုးဆိုင်ကို ၂၀၁၄၊ အောက်တိုဘာ ၃၀ ရက်တွင် Fremantle မြို့၌ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။<ref>{{cite web|title=First 7-Eleven in WA to open in October|url=http://www.7eleven.com.au/media-centre/article/first-7-eleven-in-wa-to-open-in-october|website=7-Eleven|publisher=7-Eleven Stores Pty. Ltd|accessdate=January 16, 2015|date=September 10, 2014|archivedate=19 March 2020|archiveurl=https://web.archive.org/web/20200319222859/https://www.7eleven.com.au/media-centre/article/first-7-eleven-in-wa-to-open-in-october}}</ref><ref>{{cite web|title=7-Eleven opens first WA store|url=http://www.franchisebusiness.com.au/news/7-eleven-opens-first-wa-store|website=Franchise Business|publisher=Franchise Business|accessdate=January 16, 2015|date=October 31, 2014}}</ref> ၂၀၁၂ ခုနှစ်ဇန်န ဝါရီလအထိတိုင်းပြည်တွင်စတိုးဆိုင်ပေါင်း ၆၇၅ ခုရှိသည်။ ===== ဩစတြေးလျလုပ်ငန်းလုပ်အားခခိုးမှု ===== ၂၀၁၅ ခုနှစ်၊ ဩဂုတ်လတွင် Fairfax Media နှင့် ABC ၏လေးထောင့်အစီအစဉ်သည်ဩစတြေးလျရှိ ၇-ဆယ့်တစ်ရှိလုပ်ငန်းလုပ်ကိုင်သူများ၏အလုပ်အကိုင်အခွင့်အလမ်းများကိုတင်ပြခဲ့သည်။<ref name="smh1">{{cite news|last1=Ferguson|first1=Adele|last2=Danckert|first2=Sarah|last3=Klaus|first3=Toft|title=7-Eleven: Investigation exposes shocking exploitation of convenience store workers|url=http://www.smh.com.au/business/workplace-relations/7eleven-investigation-exposes-shocking-exploitation-of-convenience-store-workers-20150828-gja276.html|accessdate=October 2, 2015|work=[[Sydney Morning Herald]]|date=August 29, 2015}}</ref><ref>{{cite web|title=7-Eleven – A sweatshop on every corner|url=http://www.smh.com.au/business/workplace-relations/7eleven-a-sweatshop-on-every-corner-20150827-gj8vzn.html|date=August 28, 2015}}</ref> စုံစမ်းစစ်ဆေးမှုအရဝန်ထမ်း ၇ ယောက်မှအများစုသည်အခွန်မပေးမီတစ်နာရီလျှင် ၁၀ ဒေါ်လာမှ ၁၄ ဒေါ်လာခန့်နှုန်းဖြင့်သာနှုန်းထားဖြင့်သာပေးရသောနှုန်းထားများဖြစ်ပြီးတစ်နာရီလျှင်ဒေါ်လာ ၂၄.၆၉ နှုန်းဖြင့်တရားဝင်လိုအပ်သောနှုန်းထားများအောက်တွင်ရှိသည်။<ref name="smh1" /> ဝန်ထမ်းများကိုမပေးရသောလုပ်ငန်းရှင်များသည်ပုံမှန်အားဖြင့်စာရင်းများကိုထိန်းသိမ်းထားပြီးဝန်ထမ်းအားတရားဝင်လိုအပ်သောနှုန်းထားဖြင့်ပေးဆောင်နေသည်ကိုပြသနိုင်သည့်မှတ်တမ်းများကိုပေးလေ့ရှိသည်။ ၀ န်ထမ်းများကိုထိုမှတ်တမ်းများကို အခြေခံ၍ လုပ်ခပေးမည်ဖြစ်ပြီး၎င်းတို့အားတရားဝင်လိုအပ်သောနှုန်းထက် ၀ က်ကိုထိထိရောက်ရောက်ပေးလိမ့်မည်။<ref name="smh1" /> ထို့အပြင်အလုပ်သမားများသည်အချိန်ပိုနာရီများ၊ ညများ၊ စနေ၊ တနင်္ဂနွေနေ့များနှင့်အစိုးရရုံးပိတ်ရက်များအတွက်တရားဝင်လုပ်ပိုင်ခွင့်ရှိသည့်ဝန်ထုပ်ဝန်ပိုးများနှင့်ပြစ်ဒဏ်များကိုမကြာခဏမခံရကြကြောင်းကိုလည်းအစီရင်ခံခဲ့သည်။<ref name="smh1" /> ဤအစီရင်ခံစာများပေါ်ထွက်လာပြီးကျယ်ပြန့်သောအာရုံစိုက်မှုကိုခံရပြီးနောက်အချို့သောဝန်ထမ်းများက၎င်းတို့သည် ၇-ဆယ့်တစ် လုပ်ခလစာစနစ်မှတဆင့်မှန်ကန်စွာငွေပေးချေမှုစတင်ခဲ့ကြောင်း Fairfax Media သို့စွပ်စွဲခဲ့ကြသော်လည်းသူတို့၏လုပ်ခ၏တစ်ဝက်ကိုငွေပြန်ပေးရန်ဖရန်ချိုက်စ်ကတောင်းဆိုလိမ့်မည် ။ 7-Eleven သည်နောက်ပိုင်းတွင်သူတို့သည်လစာလိမ်လည်မှုကိုစုံစမ်းစစ်ဆေးရန်အတွက်ရန်ပုံငွေထောက်ပံ့လိမ့်မည်ဟုကြေညာခဲ့သည်။ ဩစတြေးလျနိုင်ငံ၏ပြိုင်ဆိုင်မှုနှင့်စားသုံးသူကော်မရှင်ဥက္ကchairman္ဌ Allan Fels ၏ဥက္ကဋ္ဌဖြစ်သူ Deloitte ၏အကြံပေးမှုဖြင့်လွတ်လပ်သောအဖွဲ့တစ်ခုကစုံစမ်းစစ်ဆေးခဲ့သည်။ Deloitte ၏ ၀ န်ဆောင်မှုဖြင့်လက်ရှိနှင့်ယခင်ဝန်ထမ်း ၇ ဦး မှ ၁၁ ဦး ကိုလစာနိမ့်သည်ဟုဆိုကြသည်။ တစ်ဦးချင်းစီပြောဆိုချက်ကိုအကဲဖြတ်ရန်။<ref>{{cite web|title=Fels to Chair 7-Eleven Independent Panel|url=http://www.7eleven.com.au/media-centre/article/fels-to-chair-7-eleven-independent-panel|website=7-Eleven Media Centre|publisher=7-Eleven Australia|accessdate=October 2, 2015|archivedate=19 March 2020|archiveurl=https://web.archive.org/web/20200319222702/https://www.7eleven.com.au/media-centre/article/fels-to-chair-7-eleven-independent-panel}}</ref> ၂၀၁၅ စက်တင်ဘာလတွင်ဥက္ကဋ္ဌ Russ Withers နှင့်အမှုဆောင်အရာရှိချုပ် Warren Wilmon သည်ကုမ္ပဏီမှနုတ်ထွက်မည်ဟုကြေညာခဲ့သည်။ Withers နေရာတွင်ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌမိုက်ကယ်စမစ်နှင့် Bob Baily ကိုယာယီအမှုဆောင်အရာရှိချုပ်အဖြစ်ခန့်အပ်ခဲ့သည်။<ref>{{cite web |url=http://www.theaustralian.com.au/news/nation/eleven-chairman-russ-withers-quits-chief-executive-resigns/story-e6frg6nf-1227550727425 |title=7-Eleven chairman Russ Withers quits, chief executive resigns |last=Roddan |first=Michael |work=[[The Australian]] |publisher=[[News Corp Australia]] |date=September 30, 2015 |accessdate=October 2, 2015 }} {{Dead link|date=October 2026 }}</ref> 7-Eleven ကိုလေးထောင့်ကွက်စုံစမ်းစစ်ဆေးမှု ၂၀၁၅ ခုနှစ်တွင် Walkley Award ကိုအနိုင်ရရှိခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|url=http://www.theage.com.au/victoria/age-journalists-recognised-at-walkley-awards-20151203-glf3dc.html|title=Age journalists recognised at Walkley awards|date=December 3, 2015|website=The Age|access-date=August 30, 2016}}</ref> ၂၀၁၅ ခုနှစ်ဒီဇင်ဘာလတွင် Four Corners အစီအစဉ်တွင်ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သောဥပဒေအကြံပေးကုမ္ပဏီ Levitt Robinson solicitors မှ 7-Eleven နှင့်စာချုပ်ချုပ်ဆိုရန်သွေးဆောင်ခံခဲ့ရသော franchisees များ၏ကိုယ်စား ၇-ဆယ့်တစ်ရုံးချုပ်ကိုအတင်းအကျပ်အရေးယူနိုင်ရန်အလားအလာရှိကြောင်းကြေညာခဲ့သည်။ မှားယွင်းသောကိုယ်စားပြုသည်။<ref>{{Cite web|url=http://levittrobinson.com/7-eleven-class-action-looms-for-disaffected-franchisees/|title=7-Eleven Class Action Looms for Disaffected Franchisees|date=December 7, 2015|language=en-US|access-date=August 30, 2016|accessdate=24 July 2020|archivedate=5 April 2019|archiveurl=https://web.archive.org/web/20190405023305/http://levittrobinson.com/7-eleven-class-action-looms-for-disaffected-franchisees/}}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} == ပြင်ပလင့်များ == {{commons category}} {{Wikiquote}} * {{official website|www.7-eleven.com}} szyga77udppdsjf519p4uqrzz8zjel3 0 206402 1060818 1055716 2026-10-31T04:34:33Z ~2026-58094-35 150205 /* ဖွဲ့စည်းထားပြီးသော တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်များ */ 1060818 wikitext text/x-wiki [[File:Mm-rmc-map.jpg|thumb|နပတနှင့်ရလခတို့ မဖွဲ့စည်းမီကတပ်မတော် (ကြည်း) တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်များမြေပုံ]] '''တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်''' ({{lang-en|Regional Military Command)}} ဆိုသည်မှာ မြန်မာ့[[တပ်မတော်]]၊ [[တပ်မတော် (ကြည်း)|တပ်မ​တော်(ကြည်း)]]၏ စစ်ဘက်ဆိုင်ရာ ဒေသအာဏာပိုင်အဖွဲ့ ဖြစ်သည်။ ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော်နယ်နိမိတ်ကို စစ်တိုင်းနယ်မြေ (၁၄) ခုအဖြစ် တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်နယ်မြေ (၁၄) ခုဖြင့်ပိုင်းခြားထားပြီး တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်၏ အဓိကလုပ်ငန်းတာဝန်မှာ ၎င်း၏အခြေစိုက်နယ်မြေဧရိယာနှင့် ထိုနယ်မြေနှင့်နယ်နိမိတ်ချင်းထိစပ်နေသော နေရာဒေသများ၏ ကာကွယ်ရေး၊ လုံခြုံရေးနှင့် စစ်ဆင်ရေးဆိုင်ရာကိစ္စရပ်များအား အဓိကတာဝန်ယူဆောင်ရွက်ရသည်။ ထို့ပြင် တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် နယ်မြေအတွင်းရှိသော ၎င်း၏လက်အောက်ခံတပ်များနှင့် အခြားလက်ရုံး/ဝန်ထမ်းတပ်များ၏ စစ်ဦးစီး/ စစ်ရေး/ စစ်ထောက်ပိုင်းဆိုင်ရာ လုပ်ငန်းများကို ဖြေရှင်းဆောင်ရွက်ပေးခြင်း နှင့် စစ်ရုံးရှိအထက်ဌာနများမှ အမိန့်နှင့် ညွှန်ကြားချက်များအား ထပ်ဆင့်ညွှန်ကြားပေးခြင်းနှင့် ကြီးကြပ်ခြင်းတို့ကိုပါ ဆောင်ရွက်ရသည်။ လုပ်ပိုင်ခွင့်အာဏာအနေဖြင့် စစ်ဘက်တရားစီရင်ရေးအာဏာပါ ရရှိထားသည်။ တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် ၏ အမြင့်ဆုံး ရာထူးတာဝန်မှာ “တိုင်းမှူး” (Regional Commander) ဖြစ်ပြီး ခန့်အပ်သောအဆင့်မှာ [[ဗိုလ်ချုပ်]] (သို့မဟုတ်) [[ဗိုလ်မှူးချုပ်]] ဖြစ်သည်။ တပ်မတော်တွင် ရာထူးခန့်အပ်သည့် ဝါစဉ်အရ တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်များ၏ တိုင်းမှူးအသစ်များကို အစမ်းခန့်ကာလပြည့်မြောက်ပြီးသည့် ဗိုလ်မှူးချုပ်အဆင့် အရာရှိကြီးတစ်ဦးဦးကိုသာ ရာထူးတိုးခန့်အပ်လေ့ရှိသည်။ တိုင်းမှူးသည် မိမိကွပ်ကဲမှုနယ်မြေအတွင်း စစ်ဆင်ရေးဆိုင်ရာ လေကြောင်းပစ်ကူတောင်းခံနိုင်သော အနိမ့်ဆုံးအာဏာပိုင်ဖြစ်ပြီး နီးစပ်ရာ လေတပ်စခန်းဌာနချုပ်/လေတပ်စခန်း/လေတပ်ဆွယ် တစ်ခုခုသို့ တိုင်းမှူးကအကြောင်းကြားညှိနှိုင်းမှသာ လေကြောင်းပစ်ကူပေးလေ့ရှိသည်။ စစ်အုပ်ချုပ်ရေး(Martial Law)ကြေညာထားသည့် အချိန်ကာလတွင် ၎င်းစစ်အုပ်ချုပ်ရေးကြေညာခြင်းခံရသော ဒေသကို ကွပ်ကဲသည့် သက်ဆိုင်ရာ တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်၏ တိုင်းမှူးက အုပ်ချုပ်ရေး၊ တရားစီရင်ရေးနှင့် ဒေသန္တရအမိန့်ထုတ်ပြန်နိုင်သည့်အာဏာ ရရှိသည်။ စစ်အုပ်ချုပ်ရေးတွင် တိုင်းမှူးက အတည်ပြု/ပြင်ဆင်နိုင်သည့် အမြင့်ဆုံးပြစ်ဒဏ်မှာ တစ်ကျွန်းထောင်ဒဏ်ဖြစ်သည်။ တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်နယ်မြေများသည် စစ်ဘက်အုပ်ချုပ်ရေး၏ တိုင်းဒေသများဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့အောက်တွင် တပ်မြို့၊ တပ်နယ်များခွဲခြားသတ်မှတ်ထားသည်။ တပ်မြို့ (သို့မဟုတ်) တပ်နယ်တစ်ခုတွင် ယင်း တပ်မြို့ (သို့မဟုတ်) တပ်နယ်အတွင်းရှိ တပ်ရင်း/တပ်ဖွဲ့/စခန်းများအနက်မှ ရာထူးအမြင့်ဆုံးအရာရှိသည် ယင်းတပ်နယ်၏ တပ်နယ်မှူး ({{lang-en|Garrison Commander}}) အဖြစ်လည်း တပ်နယ်အတွင်းရှိ တပ်အားလုံးကို အုပ်ချုပ်ရသည်။ (ဥပမာ - ခြေလျင်/ခြေမြန်တပ်ရင်း (၂) ရင်း၊ ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းစက်ရုံ (၁) ရုံနှင့် တပ်မတော်တန်းမြင့်လေ့ကျင့်ရေးကျောင်း (၁) ကျောင်း ရှိသော တပ်နယ်တွင် တပ်မတော်တန်းမြင့်လေ့ကျင့်ရေးကျောင်း၏ တပ်မှူး ဗိုလ်မှူးချုပ်က ယင်းတပ်နယ်၏ တပ်နယ်မှူးပင်ဖြစ်သည်) တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်သည် ယင်းကွပ်ကဲမှုအောက်ရှိ စစ်ရေးအရ အလွန်အရေးပါသည့် ‌ဒေသများ၌ ခြေလျင်တပ်ရင်း/အခြားတပ်ရင်း အနည်းဆုံးနှစ်ရင်းမှ သုံးရင်းအထိတွဲဖက်အခြေစိုက်ထားသော စစ်ဗျူဟာမှူးတစ်ဦးနှင့် စစ်ဦးစီးမှူး(ဒုတိယတန်း)တစ်ဦးတို့ အထိုင်ချကွပ်ကဲသည့် စစ်ဗျူဟာအဖွဲ့(အခြေချ)({{lang-en|Tactical Operation Command(Garrison))}}များ အခြေစိုက်ထားသည်။ တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်၏ ပင်မဌာနချုပ်ရုံးနှင့် အလွန်ဝေးကွာသည့် ဒေသများ၌မူ ဗိုလ်မှူးချုပ်တစ်ဦး ကွပ်ကဲသော ဦး/ရေး/ထောက်ဆိုင်ရာ ဌာနများပါရှိသည့် ဒေသကွပ်ကဲမှုစစ်ဌာနချုပ်({{lang-en|Regional Operation Command)}}ဖြင့် တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်က တစ်ဆင့်ကိုယ်စား နယ်မြေအတွင်းရှိ တပ်များကို ကွပ်ကဲအုပ်ချုပ်သည်။ တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်၏ ပင်မဌာနချုပ်ရုံးတွင် ကွပ်ကဲမှုရုံး၊ စစ်ဦးစီးဌာနရုံး၊ စစ်ရေးဌာနရုံး၊ စစ်ထောက်ဌာနရုံး၊ စခန်းရုံး၊ စစ်ဆင်ရေးခန်းမ အစရှိသည်တို့ စုပေါင်းတည်ရှိကြပြီး ယျေဘုယျအားဖြင့် စစ်ရေးအရ အားသာသည့် နယ်မြေများ၊ လုံခြုံရေးအရ အားသာသည့်‌နယ်မြေများ၊ တိုင်း/ပြည်နယ်အစိုးရအဖွဲ့နယ်မြေများနှင့် လေတပ်စခန်းဌာနချုပ်တည်ရှိရာ လေဆိပ်များနှင့် နီးကပ်သော နေရာများတွင် တည်ရှိသည်။ တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်၏ ပင်မဌာနချုပ်ရုံးကို စစ်ဗျူဟာအဖွဲ့များဖြင့် ကာရံထားပြီး စစ်ဗျူဟာအဖွဲ့(အခြေချ)များ၏ တည်ရှိမှုသည် ပင်မဌာနချုပ်ရုံး၏ ခံစစ်ကို အလွန်သက်ရောက်စေသည်။ တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်တွင် တိုင်းမှူး({{lang-en|Regional Commander)}}သည် စစ်ဘက်နှင့် အရေးပေါ်ကာလ အရပ်ဘက် အုပ်ချုပ်ရေး၊ တရားစီရင်ရေးအာဏာများကို ရရှိထားပြီး ဒုတိယတိုင်းမှူး({{lang-en|Deputy Regional Commander)}}သည် တိုင်းမှူးကို တာဝန်ခံရသည်။ တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်နှင့် ယင်းကွပ်ကဲမှု‌အောက်ရှိ တပ်အားလုံး၏ ဦး/ရေး/ထောက်ဆိုင်ရာတို့ကို ဗိုလ်မှူးချုပ်အဆင့်ရှိသော တိုင်းဦးစီးချုပ်({{lang-en|Regional Chief of Staff)}}က ကွပ်ကဲကာ တိုင်းကာနယ်ဟုခေါ်သည့် စစ်ဦးစီးဗိုလ်မှူးကြီး({{lang-en|Colonel General Staff)}}၊ ဦးစီးဗိုလ်မှူးကြီး({{lang-en|Colonel Staff)}}များ ကွပ်ကဲသော ဦး/ရေး/ထောက်ဌာန သုံးခုတို့က အရေးယူဆောင်ရွက်သည်။ စစ်ဘက်တရားနှင့်စပ်လျဉ်း၍ လက်ထောက်စစ်ဥပဒေချုပ်တစ်ဦး၊ ဒုတိယလက်ထောက်စစ်ဥပဒေတစ်ဦးနှင့် ဥပဒေအရာရှိတို့ ဦးစီးသည့် စစ်ဥပဒေဌာန ရှိသည်။ စစ်ဦးစီးဌာနတွင် စစ်ဆင်ရေးဆိုင်ရာ ကိစ္စရပ်များ၊ ဖွဲ့စည်းမှုနှင့် လုံခြုံရေးဆိုင်ရာ ကိစ္စရပ်များ၊ ပြည်သူ့စစ်ဆိုင်ရာ ကိစ္စရပ်များ၊ လုပ်ငန်းနှင့်အထွေထွေ စစ်ဆေးရေးဆိုင်ရာ ကိစ္စရပ်များ၊ စစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးဆိုင်ရာ ကိစ္စရပ်များနှင့် ကာကွယ်ရေးဆိုင်ရာ ကိစ္စရပ်တို့ကို တာဝန်ယူဆောင်ရွက်သည်။ စစ်ရေးဌာနတွင် တပ်အင်အားဆိုင်ရာ ကိစ္စရပ်များ၊ တပ်ဖွဲ့ဝင်များ၏ ခံစားခွင့်ဆိုင်ရာ ကိစ္စရပ်များ၊ စစ်စည်းကမ်းနှင့် စစ်ဥပဒေဆိုင်ရာ ကိစ္စရပ်များ၊ ငွေစာရင်းနှင့် စစ်မှတ်တမ်းဆိုင်ရာ ကိစ္စရပ်များကို တာဝန်ယူဆောင်ရွက်သည်။ စစ်ထောက်ဌာနတွင် ဘဏ္ဍာရေးဆိုင်ရာ ကိစ္စရပ်များ၊ စစ်လက်နက်ပစ္စည်းနှင့် စစ်သုံးပစ္စည်းဆိုင်ရာ ကိစ္စရပ်များ၊ ရိက္ခာနှင့် သက်သာချောင်ချိရေးဆိုင်ရာ ကိစ္စရပ်များ၊ အုပ်ချုပ်ထောက်ပံ့မှုဆိုင်ရာ ကိစ္စရပ်များ၊ ပစ္စည်းများစာရင်းအင်းနှင့် ဖြည့်တင်းထိန်းသိမ်းရေးဆိုင်ရာ ကိစ္စရပ်များကို တာဝန်ယူဆောင်ရွက်သည်။ ပင်မဌာနချုပ်ရုံးတစ်ခုလုံး၏ လုံခြုံရေးကို တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်၏ ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီးအဆင့်ရှိ စခန်းမှူးက တာဝန်ယူဆောင်ရွက်ရပြီး ၎င်းအောက်တွင် လုံခြုံရေးတပ်ခွဲများ ရှိသည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် ဌာနအလိုက် အဆင့်ဆင့်ကွပ်ကဲကြသော်လည်း စစ်ဆေးရေးဌာနသည် တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးအရာရှိချုပ်ရုံး၏ ကွပ်ကဲမှုအောက်တွင်လည်းကောင်း၊ ငွေစာရင်းဌာနခွဲသည် ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန၊ ငွေစာရင်းရုံး၏ ကွပ်ကဲမှုအောက်တွင်လည်းကောင်း၊ စစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးဌာနသည် စစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်ရုံး၏ ကွပ်ကဲမှုအောက်တွင်လည်းကောင်း၊ ပြည်သူ့စစ်ဌာနသည် ပြည်သူ့စစ်နှင့်နယ်ခြားတပ်များညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး၏ ကွပ်ကဲမှုအောက်တွင်လည်းကောင်း၊ မှတ်တမ်းဌာနခွဲသည် တပ်မတော်မှတ်တမ်းညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး၏ ကွပ်ကဲမှုအောက်တွင်လည်းကောင်း ရှိသည်။ စစ်ဥပဒေဌာနမှာမူ စစ်ဥပဒေချုပ်ရုံးကွပ်ကဲမှုအောက် ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ယျေဘုယျအားဖြင့် တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်တစ်ခုတွင် စစ်မြေပြင်အင်ဂျင်နီယာတပ်ရင်း၊ ဆက်သွယ်ရေးတပ်ရင်း၊ တပ်မတော်ဆေးရုံ၊ ဆောက်လုပ်ရေးအင်ဂျင်နီယာတပ်ရင်း/ခွဲ အစရှိသော လက်ရုံး/ဝန်ထမ်းတပ်များပါ ပူးတွဲတည်ရှိသည်။ == သမိုင်းကြောင်း == မြန်မာနိုင်ငံလွတ်လပ်ရေး ရပြီးချိန်ဖြစ်သော ၁၉၄၈ခုနှစ်တွင် တပ်မတော်၌ မြောက်ပိုင်းနှင့် တောင်ပိုင်းဟူ၍ စစ်တိုင်း(၂)ခုသာရှိခဲ့သည်။ ထိုစဉ်က တပ်မတော်အကြီးအကဲများအဖြစ် [[မြန်မာနိုင်ငံ ကာကွယ်ရေး ဝန်ကြီးဌာန|ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီး]] ဗိုလ်ချုပ်[[လက်ျာ၊ ဗိုလ် (ရဲဘော် သုံးကျိပ်)|လကျ်ာ]]၊စစ်ဦးစီးချုပ် ဗိုလ်ချုပ်[[စမစ်ဒွန်း]]၊ မြောက်ပိုင်းတိုင်းမှူး ဗိုလ်မှူးချုပ် နေဝင်း၊တောင်ပိုင်းတိုင်းမှူး ဗိုလ်မှူးချုပ် [[စောကြာဒိုး]]တို့ဖြစ်သည်။ လွတ်လပ်ရေးရပြီး ၄လအကြာ ၁၄.၄.၁၉၄၈ခုနှစ်တွင် စစ်ဦးစီးချုပ်ရုံး (စစ်ရုံး)ကို စတင်ဖွဲ့စည်းခဲ့ရာ ဗိုလ်ချုပ်စမစ်ဒွန်းမှာ စစ်ဦးစီးချုပ်၊ ဗိုလ်မှူးချုပ်စောကြာဒိုးမှာ ဒုစစ်ဦးစီးချုပ်၊ မြောက်ပိုင်းတိုင်းမှူး ဗိုလ်မှူးချုပ်နေဝင်း၊ တောင်ပိုင်းတိုင်းမှူး ဗိုလ်မှူးချုပ်အောင်သင်းတို့က အကြီးအကဲများဖြစ်သည်။ဩဂုတ်လ ၁ရက်နေ့တွင် ပြည်သူ့ရဲအပါအဝင် အစိုးရလက်နက်ကိုင်အားလုံး တပ်မတော်အောက်ရောက်ရှိလာပြီး ဗိုလ်ချုပ်စမစ်ဒွန်းမှာ စစ်သေနာပတိ၊ဗိုလ်မှူးချုပ်[[နေဝင်း (ဗိုလ်ချုပ်ကြီး)|နေဝင်း]]မှာ ဒုစစ်သေနာပတိ၊ ဗိုလ်မှူးချုပ်အောင်သင်းမှာ တောင်ပိုင်းတိုင်းမှူး၊ ဗိုလ်မှူးချုပ် လဇွန်တန်မှာ မြောက်ပိုင်းတိုင်းမှူးဖြစ်လာခဲ့သည်။၁၉၄၉ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီတွင် နိုင်ငံရေးအခြေအနေများအရ [[နေဝင်း (ဗိုလ်ချုပ်ကြီး)|ဒုဗိုလ်ချုပ်ကြီးနေဝင်း]]မှာ စစ်ဦးစီးချုပ်ဖြစ်လာခဲ့သည်။ တောင်ပိုင်းတိုင်းမှူးအဖြစ် ဗိုလ်မှူးချုပ်[[ကျော်ဇော၊ ဗိုလ်ချုပ်|ကျော်ဇော]]၊ မြောက်ပိုင်းတိုင်းမှူးအဖြစ် ဗိုလ်မှူးချုပ် အေဒီဘလိတ်တို့က ဆောင်ရွက်သည်။၁၉၅၃ခုနှစ် [[ကူမင်တန်ကျူးကျော်မှု]]တွင် တိုင်းမှူးများကို နေရာပြောင်းရွှေ့ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |url=http://zotang.blogspot.com/2009/12/blog-post.html |title=Freedom, Peace & Justice: ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်ဇော ၉၀ ပြည့်ပြီ၊ တပ်မတော်သားများကို ပြည်သူ့ဘက် ရပ်တည်ရန် မွေးနေ့တွင် တိုက်တွန်း<!-- Bot generated title --> |access-date=8 June 2021 |archive-date=8 June 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210608131735/http://zotang.blogspot.com/2009/12/blog-post.html |url-status=dead }}</ref>၁၉၅၆ခုနှစ်တွင် ဗိုလ်မှူးချုပ်[[ကျော်ဇော၊ ဗိုလ်ချုပ်|ကျော်ဇော]]အား [[ဗမာပြည် ကွန်မြူနစ်ပါတီ|ဗကပ]]နှင့် ဆက်သွယ်သည်ဟုဆိုကာ အနားပေးလိုက်ပြီး<ref>{{cite news|url=https://www-bbc-com.cdn.ampproject.org/v/s/www.bbc.com/burmese/in-depth-50587538.amp?amp_js_v=a6&amp_gsa=1&usqp=mq331AQKKAFQArABIIACAw%3D%3D#aoh=16251119485819&amp_ct=1625111953341&referrer=https%3A%2F%2Fwww.google.com&amp_tf=From%20%251%24s&ampshare=https%3A%2F%2Fwww.bbc.com%2Fburmese%2Fin-depth-50587538|title=တော်လှန်ရေးနယ်မြေမှာ အနှစ် ၄ဝ ကျော်တဲ့ ဗိုလ်ကျော်ဇော မိသားစု|last=|date=|work=|language=|accessdate=}}</ref><ref>{{cite news|url=https://burmese-voanews-com.cdn.ampproject.org/v/s/burmese.voanews.com/amp/general-kyaw-zaw-pass-away/1524867.html?amp_js_v=a6&amp_gsa=1&usqp=mq331AQKKAFQArABIIACAw%3D%3D#aoh=16251829358328&referrer=https%3A%2F%2Fwww.google.com&amp_tf=From%20%251%24s&ampshare=https%3A%2F%2Fburmese.voanews.com%2Fa%2Fgeneral-kyaw-zaw-pass-away%2F1524867.html|title=ဗိုလ်မှူးချုပ်ကျော်ဇော၏ ဈာပနကို အကျဉ်းချုပ်ပြုလုပ်|last=|date=|work=|language=|accessdate=}}</ref> ၎င်းနေရာဖြစ်သော မြောက်ပိုင်းတိုင်းမှူးနေရာတွင် ဗိုလ်မှူးချုပ်[[အောင်ရွှေ]]ကို ခန့်ထားခဲ့သည်။ <ref>[http://newsdeyea.blogspot.com/2009/12/blog-post_1838.html တပ်မတော်သားများ ပြည်သူကို ရန်သူလို သဘော မထားရန် ဗိုလ်မှူးချုပ်ဟောင်း ကျော်ဇော တိုက်တွန်း | ဒီရေ သတင်းများ<!-- Bot generated title -->]</ref> ၁၉၅၉ ခုနှစ် အိမ်စောင့်အစိုးရဖွဲ့စည်းထားချိန်တွင် ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်မှာ ဗိုလ်ချုပ်ကြီး[[နေဝင်း (ဗိုလ်ချုပ်ကြီး)|နေဝင်း]]၊ ဒုကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်မှာ ဗိုလ်မှူးချုပ်[[အောင်ကြီး]]၊ မြောက်ပိုင်းတိုင်းမှူးမှာ ဗိုလ်မှူးချုပ်[[စန်းယု (နိုင်ငံတော်သမ္မတ)|စန်းယု]]၊ တောင်ပိုင်းတိုင်းမှူးမှာ ဗိုလ်မှူးချုပ်[[အောင်ရွှေ]]တို့ဖြစ်သည်။၁၉၆၀ရွေးကောက်ပွဲအပြီး၁၉၆၁ခုနှစ်တွင် ဗိုလ်မှူးချုပ်အောင်ရွှေကို ထုတ်ပယ်လိုက်ကာ ၎င်းနေရာတွင် ဗိုလ်မှူးချုပ် စိန်ဝင်းကို ခန့်ထားလိုက်သည်။ အိမ်စောင့်အစိုးရမှ ရွေးကောက်ခံ ဦးနုအစိုးရကို အာဏာပြန်လွှဲပြီးနောက် တပ်မတော်ကို အင်အားတိုးချဲ့ရန်အတွက် ၁၉၆၁ခုနှစ် အောက်တိုဘာလတွင် စစ်တိုင်း(၂)ခုအား စစ်တိုင်း (၅)ခုသို့ တိုးချဲ့ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ ထိုစစ်တိုင်းများနှင့် တိုင်းမှူးများမှာ *[[မန္တလေးမြို့|မန္တလေး]]အခြေစိုက် [[အနောက်မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] (နမခ)- [[စန်းယု (နိုင်ငံတော်သမ္မတ)|ဗိုလ်မှူးချုပ်စန်းယု]] *[[မင်္ဂလာဒုံမြို့နယ်|ရန်ကုန်မင်္ဂလာဒုံ]]အခြေစိုက် [[အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] (လပခ) - ဗိုလ်မှူးချုပ်[[စိန်ဝင်း၊ ဗိုလ်ချုပ်၊ ဝန်ကြီးချုပ်ဟောင်း|စိန်ဝင်း]] *[[မော်လမြိုင်]]အခြေစိုက် [[အရှေ့တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] (ရတခ) - ဗိုလ်မှူးကြီးသောင်းကြည် *[[ပုသိမ်မြို့|ပုသိမ်]]အခြေစိုက် [[အနောက်တောင်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] (နတခ) - ဗိုလ်မှူးကြီးကြည်မောင် *[[တောင်ကြီးမြို့|တောင်ကြီး]]အခြေစိုက် [[အရှေ့ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] (ရပခ) - ဗိုလ်မှူးကြီးမောင်ရွှေ တို့ဖြစ်ကြသည်။ [[၁၉၆၂ မြန်မာနိုင်ငံစစ်အာဏာသိမ်းခံရခြင်း|၁၉၆၂ခုနှစ်တွင် တပ်မတော်သည် နိုင်ငံတော်အာဏာ]]ကို အာဏာရဦးနုအစိုးရထံမှ  သိမ်းယူခဲ့ပြီး တော်လှန်ရေးကောင်စီအနေဖြင့် စတင်အုပ်ချုပ်ခဲ့သည်။၁၉၇၂ခုနှစ်တွင် အာဏာသိမ်းစစ်ခေါင်းဆောင် [[မြန်မာနိုင်ငံတော်၏ ဝန်ကြီးချုပ်များ|ဝန်ကြီးချုပ်]]ဦး[[နေဝင်း (ဗိုလ်ချုပ်ကြီး)|နေဝင်း]]က ၎င်း၏ [[တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်|ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]]နေရာကို ဗိုလ်ချုပ်ကြီး[[စန်းယု (နိုင်ငံတော်သမ္မတ)|စန်းယု]]အား လွှဲပြောင်းပေးခဲ့ပြီး ဗိုလ်မှူးကြီး[[စိန်လွင် (နိုင်ငံတော်သမ္မတ)|စိန်လွင်]]မှာ [[အနောက်မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|နမခ]]တိုင်းမှူးဖြစ်လာခဲ့သည်။ ထို့အပြင် တပ်မတော်စစ်တိုင်း (၄)ခုကို အသစ်ထပ်မံဖွဲ့စည်းရာ စုစုပေါင်း (၉)ခုဖြစ်လာခဲ့သည်။ အရပ်သတင်းများကမူ ဗိုလ်ချုပ်ကြီးနေဝင်းသည် ၎င်း၏ အကြိုက်ဆုံး (၉)ဂဏန်းကို ဗေဒင်ကိန်းဂဏန်းများအရ ဖွဲ့စည်းသည်ဟု ပြောဆိုခဲ့ကြသည်။ စစ်တိုင်းများအပြင် [[တပ်မ ၇၇|တပ်မ(၇၇)]]၊ [[တပ်မ ၈၈|တပ်မ(၈၈)]]၊ [[အမှတ် (၉၉) ခြေမြန်တပ်မ ဌာနချုပ်|တပ်မ(၉၉)]] စသည့် တပ်မ(၃)ခုကိုပါ စတင်ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။၁၉၇၂ခုနှစ်တွင် တပ်မတော် စစ်တိုင်းများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ *[[မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] - ဗိုလ်မှူးကြီးထွန်းတင် *[[အရှေ့မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] - ဗိုလ်မှူးကြီး[[အေးကို (နိုင်ငံတော်သမ္မတ)|အေးကို]] *[[အရှေ့ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] - ဗိုလ်မှူးကြီးစံကြည် *[[အရှေ့တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] - ဗိုလ်မှူးကြီးတင့်ဆွေ *[[ရန်ကုန်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] - ဗိုလ်မှူးကြီးကျော်ထင် *[[အနောက်တောင်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အနောက်တောင်ပိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] - ဗိုလ်မှူးကြီးသန်းတင် *[[အနောက်မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အနောက်မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] - ဗိုလ်မှူးကြီး[[စိန်လွင် (နိုင်ငံတော်သမ္မတ)|စိန်လွင်]] *[[အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] - ဗိုလ်မှူးကြီးခင်အုန်းတို့ဖြစ်ကြသည်။ဦးနေဝင်းသည် ၎င်းကြိုက်နှစ်သက်သူများကို အမြဲမပြတ် ပြောင်းလဲနေခဲ့၍ စစ်တိုင်းမှူးများမှာ အမြဲ ပြောင်းလဲနေခဲ့သည်။ ၁၉၈၈ခုနှစ် တပ်မတော်အာဏာသိမ်းမှုအပြီးတွင် စစ်တိုင်းမှူး (၉)ဦးမှာ အာဏာသိမ်း [[နိုင်ငံတော် ငြိမ်ဝပ်ပိပြားမှု တည်ဆောက်ရေးအဖွဲ့|နဝတ]]အဖွဲ့တွင် အဖွဲ့ဝင်အဖြစ် ပါဝင်ကြသည်။၁၉၉၀ခုနှစ်<ref>{{cite news|url=https://cincds.gov.mm/node/12078|title=အနောက်မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်၏(၃၁)နှစ်မြောက် တိုင်းနှစ်ပတ်လည်နေ့ အထိမ်း အမှတ် ဆုပေးပွဲ ပြုလုပ်|last=|date=|work=|language=|accessdate=}}</ref>တွင် [[မန္တလေးမြို့|မန္တလေး]]အခြေစိုက် [[အနောက်မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]]အား ၂ပိုင်းခွဲကာ နမခအား [[မုံရွာမြို့]]သို့ ပြောင်းရွှေ့အခြေစိုက်သည်။[[တောင်ငူမြို့|တောင်ငူ]]အခြေစိုက် [[အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]]အား မန္တလေးသို့ ပြောင်းရွှေ့အခြေစိုက်သည်။ တောင်ငူတွင် [[တောင်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]]ဟူ၍ အသစ်တဖန်ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။<ref>{{cite news|url=https://burmese-voanews-com.cdn.ampproject.org/v/s/burmese.voanews.com/amp/article-09-24-11-soldiers-talk079-130479973/1245668.html?amp_js_v=a6&amp_gsa=1&usqp=mq331AQHKAFQArABIA%3D%3D#aoh=16228819305559&referrer=https%3A%2F%2Fwww.google.com&amp_tf=From%20%251%24s&ampshare=https%3A%2F%2Fburmese.voanews.com%2Fa%2Farticle-09-24-11-soldiers-talk079-130479973%2F1245668.html|title=ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီးစောမောင်ကို နဝတဥက္ကဋ္ဌရာထူးကနေ ဖယ်ရှားခဲ့စဉ်က|last=|date=|work=|language=|accessdate=}}</ref><ref>{{cite book | title=အကွဲအပြဲနှင့် မသဲမကွဲမြန်မာပြည်| author=ကိုဝင်း(အမရပူရ)| work= | publisher= | year=| isbn=}}</ref><ref>{{cite book | title=တပ်မတော်ခေါင်းဆောင်များသမိုင်းအကျဉ်း (၁၉၄၁-၁၉၉၈) | author=မြဝင်း | work= | publisher= | year= | isbn=}}</ref> ၁၉၉၇ နဝတမှ [[နအဖ]]သို့ ကူးပြောင်းချိန်တွင် စစ်တိုင်းမှူးများသည် တိုင်းနှင့်ပြည်နယ်ကောင်စီများ၏ ဥက္ကဋ္ဌများ ဖြစ်ကြသည်။ ကာချုပ် [[ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး]][[သန်းရွှေ (ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး)|သန်းရွှေ]]လက်ထက်တွင် [[အရှေ့ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]]ကို ၁၉၉၆ခုနှစ်တွင် [[ကျိုင်းတုံမြို့|ကျိုင်းတုံ]]အခြေစိုက် [[တြိဂံဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]]၊၂၀၁၂ခုနှစ်တွင် [[ခိုလမ်မြို့]]အခြေစိုက်[[အရှေ့အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]]များဖြင့် ခွဲထုတ်ကာ တိုးချဲ့ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။[[မြိတ်မြို့]]အခြေစိုက် [[ကမ်းရိုးတန်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]]၊ [[အမ်းမြို့]]အခြေစိုက် [[အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]]များကိုလည်း ထပ်မံဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ ရန်ကုန်မှ နေပြည်တော်သို့ ပြောင်းရွှေ့ရုံးထိုင်ပြီးနောက် [[အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]]မှ ပျဉ်းမနားဒေသအားလည်း [[နေပြည်တော်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]]အဖြစ် ခွဲထုတ်ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် ၁၉၄၈ခုနှစ်တွင် တပ်မတော်၌ တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် (၂)ခုသာရှိခဲ့ရာမှ ၂၀၂၁ခုနှစ်တွင် တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် (၁၄)ခုအထိရှိလာခဲ့သည်။ == ဖွဲ့စည်းပုံ == {{Ref improve|အပိုင်း|date=စက်တင်ဘာ ၂၀၂၁}} '''''တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်''''' ၏ ယေဘူယျဖွဲ့စည်းပုံမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် - # '''တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်ရုံး (Regional Command)''' ၉၅+၇၄၀ ဦး ## တိုင်းမှူး (Regional Commander) ### တိုင်းမှူး၏ ဦးစီးအရာရှိ (Personal Staff Officer of Regional Commander) ### ရုံးအဖွဲ့ (Staff) ##ဒုတိယတိုင်းမှူး (Deputy Regional Commander) ###ဒုတိယတိုင်းမှူး၏ ဦးစီးအရာရှိ (Personal Staff Officer of Deputy Regional Commander) ###ရုံးအဖွဲ့ (Staff) #'''စစ်ဦးစီးအဖွဲ့ (General Staff)''' ##တိုင်းဦးစီးချုပ် (Regional Chief of Staff) ### တိုင်းဦးစီးချုပ်၏ ဦးစီးလက်ထောက် (Personal Assistant of Regional Chief of Staff) ## စစ်ဦးစီးဗိုလ်မှူးကြီး (Colonel General Staff) ### စစ်ဦးစီးဌာန (General Staff Department) ၂၁+၄၁၈ ဦး #### စစ်ဦးစီးမှူး(ပထမတန်း)(စစ်ဆင်ရေး) (General Staff Officer Grade 1 (Operations)) #### ရုံးအုပ်ချုပ် (Chief Head Clerk) ##### စစ်ဦးစီးဌာန(စစ်ဆင်ရေး) (Operations Branch) ၅+၁၅ ဦး ##### စစ်ဦးစီးဌာန(တာဝန်နှင့်လေ့ကျင့်ရေး) (Duty and Training Branch) ၃+၁၃ ဦး ##### စစ်ဦးစီးဌာန(စစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေး(စစ်ဦးစီး)) (Military Affairs Security (General Staff) Branch) ၂+၇ ဦး #### စခန်းမှူး (Camp Commandant) ##### တိုင်းအရာခံဗိုလ် (Command Sergeant Major) ##### စခန်းရုံး (Camp Office) ၁+၁၁ ဦး ##### လုံခြုံရေးတပ်ခွဲ(၁) (Security Company 1) ၄+၉၄ ဦး ##### လုံခြုံရေးတပ်ခွဲ(၂) (Security Company 2) ၄+၉၄ ဦး ##### တပ်ထောက်မော်တော်ယာဉ်တပ်စု (Quartermaster Motor Platoon) ၁+၁၃၇ ဦး ##### စစ်တီးဝိုင်းတပ်စု (Military Band) +၄၆ ဦး ## ဦးစီးဗိုလ်မှူးကြီး(စစ်ရေး) (Colonel Adjutant Staff) ### စစ်ရေးဌာန (Administrative Department) ၁၉+၂၅၄ ဦး #### ဦးစီးအရာရှိ(ပထမတန်း)(စစ်ရေး) (Staff Officer Grade 1 (Administration)) ##### စစ်ရေးဌာန(၁/၂/၅) (Administrative Branch (1/2/5)) ၃+၇ ဦး ##### စစ်ရေးဌာန(၃/၄) (Administrative Branch (3/4)) ၁+၆ ဦး #### ဦးစီးအရာရှိ(ပထမတန်း)(ငွေစာရင်း/မှတ်တမ်း) (Staff Officer Grade 1 (Account/Record)) ##### ငွေစာရင်းဌာနခွဲ (Account Branch) ၉+၁၂၀ ဦး ###### ဒုတိယညွှန်ကြားရေးမှူး(ငွေစာရင်း) (Deputy Director (Account)) ###### လက်ထောက်ညွှန်ကြားရေးမှူး (Assistant Director) ##### မှတ်တမ်းဌာနခွဲ (Record Branch) ၄+၁၂၁ ဦး ## ဦးစီးဗိုလ်မှူးကြီး(စစ်ထောက်) (Colonel Quartermaster Staff) ### စစ်ထောက်ဌာန (Quartermaster Department) ၁၄+၃၆ ဦး #### ဦးစီးအရာရှိ(ပထမတန်း)(ရိက္ခာ/စစ်ဝတ်) (Staff Officer Grade 1 (Ration/Equipment)) ##### ရိက္ခာဌာနခွဲ (Ration Branch) ၃+၉ ဦး ##### စစ်ဝတ်ဌာနခွဲ (Equipment Branch) ၃+၉ ဦး #### ဦးစီးအရာရှိ(ပထမတန်း)(လုပ်ငန်း) (Staff Officer Grade 1 (Logistics)) ##### လုပ်ငန်းဌာနခွဲ (Quartermaster Management Branch) ၃+၉ ဦး ##### ဖြည့်တင်းရေးနှင့် ထိန်းသိမ်းရေးဌာနခွဲ (Procurement and Storage Branch) ၃+၉ ဦး #'''သီးခြားဌာနများ (Independent Branches)''' ## စစ်ဦးစီးမှူး(ပထမတန်း)(စစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေး) (General Staff Officer Grade 1 (Military Affairs Security)) ### စစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးဌာန (Military Affairs Security Department) ၇+၃ ဦး ## ဦးစီးအရာရှိ(ပထမတန်း)(စစ်ဆေးရေး) (Staff Officer Grade 1 (Inspection)) ### စစ်ဆေးရေးဌာန (Inspectorate Department) ၇+၃ ဦး ## ဦးစီးအရာရှိ(ပထမတန်း)(ပြည်သူ့စစ်) (Staff Officer Grade 1 (Militia)) ### ပြည်သူ့စစ်ဌာန (People's Militia Department) ၇+၃ ဦး ## လက်ထောက်စစ်ဥပဒေချုပ် (Assistant Judge Advocate General) ### စစ်ဥပဒေဌာန (Judge Advocate Branch) ၃+၆ ဦး #### ဒုတိယလက်ထောက်စစ်ဥပဒေချုပ် (Deputy Assistant Judge Advocate General) #### ဥပဒေအရာရှိ (Judge Advocate) # '''[[ဒေသကွပ်ကဲမှုစစ်ဌာနချုပ်]]''' ## ဒေသကွပ်ကဲမှုစစ်ဌာနချုပ်ရုံး ## ကွပ်ကဲမှုအောက် ခြေလျင်/ခြေမြန်တပ်ရင်းများ # '''အခြေချစစ်ဗျူဟာအဖွဲ့များ''' ## အခြေချစစ်ဗျူဟာအဖွဲ့ရုံး ## ကွပ်ကဲမှုအောက် ခြေလျင်/ခြေမြန်တပ်ရင်းများ # '''စစ်ဗျူဟာအဖွဲ့များ (သို့) လှုပ်ရှား စစ်ဗျူဟာအဖွဲ့များ''' #* လက်အောက်ခံ ခြေလျင်/ခြေမြန်တပ်ရင်းများ == ဖွဲ့စည်းထားပြီးသော တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်များ == {|class="wikitable nowrap sortable mw-datatable" |+တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်များ၊ ၎င်းတို့၏အခြေစိုက်နေရာနှင့် တိုင်းမှူးများ<ref>{{cite book |last= ကျော်ဇော|first= မောင် |author-link= |date= ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၂ |title= အထွေထွေဗဟုသုတ (၂၀၂၂–၂၀၂၃) |url= |location= ရန်ကုန် |publisher= ကြယ်စင်စာပေ|page= ၁၇၉ |isbn=}}</ref> !စဉ် !အလံ !တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် !ဌာနချုပ်တည်နေရာ !တည်ထောင်နှစ် !ပထမဆုံးတိုင်းမှူး !လက်ရှိတိုင်းမှူး |- |၁။ |[[ဖိုင်: Myanmar Naypyitaw RMC Flag.svg|100px]] |[[နေပြည်တော်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] (နပတ) |[[နေပြည်တော် ပြည်ထောင်စုနယ်မြေ]]၊ [[နေပြည်တော်မြို့]] |၂၀၀၅ |ဗိုလ်ချုပ် [[ဝေလွင် (ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး)|ဝေလွင်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ​ကျော်စိုးလင်း |- |၂။ |[[ဖိုင်:Mm-northern-rmc.svg|100px]] |[[မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] (မပခ) |[[ကချင်ပြည်နယ်]]၊ [[မြစ်ကြီးနားမြို့]] |၁၉၄၇ |ဗိုလ်မှူးချုပ် [[နေဝင်း (ဗိုလ်ချုပ်ကြီး)|နေဝင်း]] |ဗိုလ်ချုပ်‌ အောင်ဇော်ထွေး |- |၃။ |[[ဖိုင်:Mm-north-eastern-rmc.svg|100px]] |[[အရှေ့မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] (ရမခ) |[[ရှမ်းပြည်နယ်]]၊ [[လားရှိုးမြို့]] |၁၉၇၂ |ဗိုလ်မှူးကြီး [[အေးကို]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ကိုသွင် |- |၄။ |[[ဖိုင်:Mm-eastern-rmc.svg|100px]] |[[အရှေ့ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] (ရပခ) |[[ရှမ်းပြည်နယ်]]၊ [[တောင်ကြီးမြို့]] |၁၉၆၁ |ဗိုလ်မှူးချုပ် [[စန်းယု]] |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်နိုင်ဦး |- |၅။ |[[ဖိုင်: Myanmar Eastern Central RMC Flag.svg|100px]] |[[အရှေ့အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] (ရလခ) |[[ရှမ်းပြည်နယ်]]၊ [[ခိုလမ်မြို့]] |၂၀၁၁ |ဗိုလ်မှူးချုပ် [[ထွန်းထွန်းနောင်]] |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်နိုင်ဦး |- |၆။ |[[ဖိုင်:Mm-triangle-rmc.svg|100px]] |[[တြိဂံဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] (တသခ) |[[ရှမ်းပြည်နယ်]]၊ [[ကျိုင်းတုံမြို့]] |၁၉၉၆ |ဗိုလ်ချုပ် [[သိန်းစိန် (နိုင်ငံတော်သမ္မတ)|သိန်းစိန်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်စွာထွန်း |- |၇။ |[[ဖိုင်:Mm-south-eastern-rmc.svg|100px]] |[[အရှေ့တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] (ရတခ) |[[မွန်ပြည်နယ်]]၊ [[မော်လမြိုင်|မော်လမြိုင်မြို့]] |၁၉၆၁ |ဗိုလ်မှူးချုပ် [[စိန်ဝင်း၊ ဗိုလ်ချုပ်၊ ဝန်ကြီးချုပ်ဟောင်း|စိန်ဝင်း]] |ဗိုလ်ချုပ် ‌သူရ ဇော်လွင်စိုး |- |၈။ |[[ဖိုင်:Mm-coastal-rmc.svg|100px]] |[[ကမ်းရိုးတန်းဒေသတိုင်း စစ်ဌာနချုပ်|ကမ်းရိုးတန်းဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] (ကရခ) |[[တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[မြိတ်မြို့]] |၁၉၉၆ |ဗိုလ်ချုပ် သူရ သီဟသူရ စစ်မောင် |ဗိုလ်မှူးချုပ် ရဲဝင်းအောင် |- |၉။ |[[ဖိုင်:Mm-yangon-rmc.svg|100px]] |[[ရန်ကုန်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] (ရကတ) |[[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ရန်ကုန်မြို့]] |၁၉၆၉ |ဗိုလ်မှူးကြီး [[ကျော်ထင်၊ ဦး (သူရ)|သူရ ကျော်ထင်]] |ဗိုလ်ချုပ် တင်မင်းလတ် |- |၁၀။ |[[ဖိုင်:Mm-south-western-rmc.svg|100px]] |[[အနောက်တောင်တိုင်း စစ်ဌာနချုပ်|အနောက်တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] (နတခ) |[[ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ပုသိမ်မြို့]] |၁၉၆၁ |ဗိုလ်မှူးကြီး ကြည်မောင် |‌‌ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ကျော်ခိုင် |- |၁၁။ |[[ဖိုင်:MM Western RMC Flag.svg|100px]] |[[အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] (နပခ) |[[ရခိုင်ပြည်နယ်]]၊ [[အမ်းမြို့]] (လက်ရှိတွင် [[စစ်တွေမြို့]]၌ ခေတ္တအခြေစိုက်) |၁၉၆၉ |ဗိုလ်မှူးကြီး လှထွန်း |ဗိုလ်မှူးချုပ် ‌ကျော်ဇော |- |၁၂။ |[[ဖိုင်:Mm-north-western-rmc.svg|100px]] |[[အနောက်မြောက်တိုင်း စစ်ဌာနချုပ်|အနောက်မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] (နမခ) |[[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[မုံရွာမြို့]] |၁၉၆၁ |ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်မင်း |ဗိုလ်မှူးချုပ် စိုးဝင်းထွန်း |- |၁၃။ |[[ဖိုင်:Mm-central-rmc.svg|100px]] |[[အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] (လပခ) |[[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[မန္တလေးမြို့]] |၁၉၆၁ |ဗိုလ်မှူးချုပ် သောင်းကြည် |ဗိုလ်မှူးချုပ် ‌အောင်ဌေး |- |၁၄။ |[[ဖိုင်:Mm-southern-rmc.svg|100px]] |[[တောင်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] (တပခ) |[[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[တောင်ငူမြို့]] |၁၉၄၇ |ဗိုလ်မှူးချုပ် [[စောကြာဒိုး]] |ဗိုလ်ချုပ် စိုးကျော်ထက် |} == တိုင်းရင်းသားလက်နက်ကိုင်များသိမ်းပိုက်ခဲ့သော စစ်ဌာနချုပ်များ == ===အရှေ့မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်၊ လားရှိုးမြို့=== ၂၀၂၄ ခုနှစ်၊ ဩဂုတ်လ ၃ ရက်နေ့တွင် ကိုးကန့်လက်နက်ကိုင်တပ်များ၊ တအောင်းလက်နက်ကိုင်တပ်များသည် ပြည်သူ့ကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့များနှင့် ပူးပေါင်းကာ လားရှိုးမြို့အခြေစိုက် အရှေ့မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်ကို တိုက်ခိုက်သိမ်းပိုက်ခဲ့သည်။ တိုက်ပွဲအတွင်း တပ်မတော်ဖက်မှ အင်အား ၁ ထောင်ကျော်ကျဆုံးခဲ့ပြီး တိုင်းရင်းသားလက်နက်ကိုင်များနှင့် ပြည်သူ့ကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့များဖက်မှ အင်အား ၂၀၀ခန့် ကျဆုံးခဲ့သည်။ ===အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်၊ အမ်းမြို့=== ၂၀၂၄ ခုနှစ်၊ အောက်တိုဘာလမှ စတင်၍ အာရက္ခတပ်များမှ အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်တည်ရှိရာ အမ်းမြို့ကို အဖက်ဖက်မှ ပိတ်ဆို့တိုက်ခိုက်နိုင်ခဲ့သည့်အတွက် ၂၀၂၄ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလ ၂၀ ရက်နေ့တွင် အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်ကို တိုက်ခိုက်သိမ်းပိုက်နိုင်ခဲ့သည်။ တိုက်ပွဲအတွင်း အာရက္ခတပ်များဖက်မှ ဒေသခံကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့များ၊ ပြည်သူ့ကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့များ ပါဝင်ကူညီတိုက်ခိုက်ခဲ့ကြသည်။ ၂ လကြာတိုက်ပွဲအပြီးတွင် တပ်မတော်ဖက်မှ အင်အား ၁၀၀၀ ဝန်းကျင်ကျဆုံးကာ အာရက္ခတပ်များ၊ ဒေသခံကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့များနှင့် ပြည်သူ့ကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့များဖက်မှ၁၂၀၀ ကျော်ကျဆုံးခဲ့သည်။ == တိုင်းရင်းသားလက်နက်ကိုင်များ ပြန်လည်လက်လွှတ်ခဲ့ရသော တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်များ == ===အရှေ့မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်၊ လားရှိုးမြို့=== တရုတ်အစိုးရ၏ ကြားဝင်စေ့စပ်ပေးမှုဖြင့် ဧပြီလ ၁၇ ရက်နေ့တွင် တပ်မတော်၏အရှေ့မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်မှတပ်ဖွဲ့ဝင်များ လားရှိုးမြို့ကို ပြန်လည်ဝင်ရောက်ထိန်းချုပ်လိုက်ပြီး MNDAA တပ်ဖွဲ့ဝင်များမှာ ဧပြီလ ၂၂ ရက်နေ့တွင် မြို့မှဆုတ်ခွာပေးခဲ့ရသည်။ <ref>{{cite web|url=https://burma.irrawaddy.com/news/2025/04/22/400132.html|title=စစ်ကောင်စီတပ်လားရှိုးဝင်ပြီ|work=Burma Irrawaddy|access-date=၃ ဇွန် ၂၀၂၅|date=၂၂ ဧပြီ ၂၀၂၄ }}</ref> == ကိုးကား == {{reflist}} {{တပ်မတော် (ကြည်း)}} {{တပ်မတော်}} [[ကဏ္ဍ:တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်များ| ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ့တပ်မတော်၏ ခြေလျင်တပ်ဖွဲ့များ]] en775fpk2qkbnf15w7rrv83vnc171bf 2 225603 1060780 954544 2026-10-30T17:31:33Z Zawzawaungthwin 100038 {{db-userreq}}) 1060780 wikitext text/x-wiki {{db-userreq}}) {| name="userboxes" id="userboxes" style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 1ex; width: 242px; border: 1px solid #99B3FF; clear: right" |- ! ''Zawzawaungthwin'' |- |{{User Myanmar}} |- | {{User my}} |- | {{User en-1}} |- | {{အသုံးပြုသူ ဝီကီပီးဒီးယား/Autopatrolled}} |- | {{User male}} |} [[Category:မြန်မာ ဝီကီပီးဒီးယမန်းများ]] [[Category:User my]] [[Category:User en-1]] [[Category:အမျိုးသား ဝီကီပီးဒီးယမန်းများ]] 7wfl2bs03ltz1r3dwpzki83a8jofpc1 1060810 1060780 2026-10-31T00:20:05Z Kyaw Myo Aung 103978 [[Special:Contributions/Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[User talk:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေးချက်]]) ၏ မူဟောင်း [[Special:Diff/1060780|1060780]] ကို ပြန်ပြင်လိုက်သည် 1060810 wikitext text/x-wiki {| name="userboxes" id="userboxes" style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 1ex; width: 242px; border: 1px solid #99B3FF; clear: right" |- ! ''Zawzawaungthwin'' |- |{{User Myanmar}} |- | {{User my}} |- | {{User en-1}} |- | {{အသုံးပြုသူ ဝီကီပီးဒီးယား/Autopatrolled}} |- | {{User male}} |} [[Category:မြန်မာ ဝီကီပီးဒီးယမန်းများ]] [[Category:User my]] [[Category:User en-1]] [[Category:အမျိုးသား ဝီကီပီးဒီးယမန်းများ]] gn8lhzhwv13xbttym5a34v29au9ze57 0 247698 1060805 1047779 2026-10-31T00:07:33Z Mkant00 135890 corrections to mathematics 1060805 wikitext text/x-wiki [[File:Squarecubetesseract.png|thumb|upright=1.2|ဘယ်မှညာသို့ - စတုရန်း၊ ကုဗတုံး နှင့် တက်စာရက်။ စတုရန်းသည် အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသည်။ ၎င်းကို အတိုင်းအတာတစ်ခုရှိသော မျဉ်းပိုင်းများဖြင့် နယ်နိမိတ်သတ်မှတ်ထားသည်။ ကုဗတုံးသည် အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသည်။ ၎င်းကို အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော စတုရန်းများဖြင့် နယ်နိမိတ်သတ်မှတ်ထားသည်။ တက်စာရက်သည် အတိုင်းအတာလေးခုရှိသည်။ ၎င်းကို အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ကုဗတုံးများဖြင့် နယ်နိမိတ်သတ်မှတ်ထားသည်။]] [[File:Dimension levels.svg|thumb|upright=1.2|အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော ရုပ်ပုံတစ်ခုတွင် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြထားသည့် ပထမဆုံး အာကာသဆိုင်ရာ အတိုင်းအတာ လေးခု။ {{ordered list | အမှတ် နှစ်ခုကို ဆက်သွယ်၍ မျဉ်းပိုင်း တစ်ခု ဖန်တီးနိုင်သည်။ | အပြိုင်ဖြစ်သော မျဉ်းပိုင်း နှစ်ခုကို ဆက်သွယ်၍ စတုရန်း တစ်ခု ဖန်တီးနိုင်သည်။ | အပြိုင်ဖြစ်သော စတုရန်း နှစ်ခုကို ဆက်သွယ်၍ ကုဗတုံး တစ်ခု ဖန်တီးနိုင်သည်။ | အပြိုင်ဖြစ်သော ကုဗတုံး နှစ်ခုကို ဆက်သွယ်၍ တက်စာရက် တစ်ခု ဖန်တီးနိုင်သည်။ }} ]] အတိုင်းအတာ (dimension) သည် သင်္ချာပညာရှိ သဘောတရားတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် တိကျသော ရပ်ဝန်း (space) တစ်ခုအတွင်းရှိ ရွေ့လျားမှုတစ်ခု၏ လွတ်လပ်စွာပြောင်းလဲနိုင်သော အတိုင်းအတာ အရေအတွက် (degrees of freedom) ကို အခြေခံအားဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။ အတိုင်းအတာ (dimension) သဘောတရားသည် အခြေအနေအမျိုးမျိုးတွင် ပါဝင်ပတ်သက်နေသည်။ အခြေအနေအားလုံးအတွက် အတိုင်းအတာကို ကျေနပ်ဖွယ်ဖြစ်အောင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပေးနိုင်သည့် သင်္ချာဆိုင်ရာ သဘောတရားဟူ၍ သီးသန့်မရှိပေ။ ထို့ကြောင့် မတူညီသော ရပ်ဝန်းများ (spaces) အတွက် မတူညီသော အတိုင်းအတာ သဘောတရားများ ရှိနေခြင်း ဖြစ်သည်။ == ဗက်တာရပ်ဝန်း၏ အတိုင်းအတာ (Dimension of a vector space) == အထင်ရှားဆုံးမှာ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) တစ်ခု၏ အတိုင်းအတာ ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို ဟားမဲလ် အတိုင်းအတာ (Hamel dimension) ဟူ၍လည်း ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းသည် ဗက်တာရပ်ဝန်း၏ အခြေအစု (basis) တစ်ခု၏ [[အစု]]အရွယ်အစား (cardinality) နှင့် ညီမျှသည်။ အောက်ပါ ဖော်ပြချက်များသည် ၎င်းနှင့် အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီကြသည်။ * အတိုင်းအတာသည် အငယ်ဆုံး ထုတ်လုပ်ကိန်းအစု (minimal generating set) တစ်ခု၏ အစုအရွယ်အစား (cardinality) နှင့် ညီမျှသည်။ * အတိုင်းအတာသည် အကြီးဆုံး မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော (linearly independent) [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]] (vectors) စနစ်၏ အစုအရွယ်အစား (cardinality) နှင့် ညီမျှသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ဂျီဩမေတြီသဘောအရ ပင်ကိုသိစိတ်ဖြင့် နားလည်နိုင်သော အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ယူကလစ် ရပ်ဝန်း (Euclidean 3-space) သည် အတိုင်းအတာ သုံးခု ရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ အလျား၊ အနံ နှင့် အမြင့် တို့ ဖြစ်ကြသည်။ [[ယူကလစ် ဂျီဩမေတြီ|ယူကလစ် ပြင်ညီ]] (Euclidean plane) သည် အတိုင်းအတာ နှစ်ခု ရှိသည်။ ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) သည် အတိုင်းအတာ တစ်ခု ရှိပြီး အမှတ် (point) တစ်ခုသည် အတိုင်းအတာ သုည ရှိသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>\mathbb{R}^n</math> သည် အတိုင်းအတာ <math>n</math> ရှိသည်။ <math>\mathbb{C}</math> ၏ အတိုင်းအတာသည် အခြေခံအားဖြင့် [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) <math>\mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်း (vector space) အဖြစ် စဉ်းစားခြင်း အပေါ်တွင် မူတည်သည်။ ၎င်း၏ ဆိုလိုရင်းမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\operatorname{dim}_{\mathbb{C}}(\mathbb{C})=1\quad</math> သို့သော် <math>\quad\operatorname{dim}_{\mathbb{R}}(\mathbb{C})=2</math> ဖြစ်သည်။ အဆုံးရှိ ထုတ်လုပ်ကိန်းအစု (finite generating set) မရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများကိုလည်း ၎င်းတို့၏ အငယ်ဆုံး ထုတ်လုပ်ကိန်းအစု၏ အစုအရွယ်အစားကို ၎င်းတို့၏ အတိုင်းအတာအဖြစ် သတ်မှတ်ပေးနိုင်သည်။ ထိုသို့သတ်မှတ်သောအခါ ၎င်းသည် အနန္တ ကာဒီနယ်ကိန်း (infinite cardinal number) တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ အဆုံးရှိသည့် အတိုင်းအတာတစ်ခုရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းကို အတိုင်းအတာအကန့်အသတ်ရှိသော ရပ်ဝန်း (finite-dimensional space) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထိုသို့မဟုတ်ပါက ၎င်းကို အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော ရပ်ဝန်း (infinite-dimensional space) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဟားမဲလ် အခြေအစု (Hamel basis) ဟူသော အသုံးအနှုန်းကို အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (infinite-dimensional vector spaces) အတွက် အဓိကအားဖြင့် အသုံးပြုသည်။ အကြောင်းမှာ ဂျော့ ဟားမဲလ် (Georg Hamel) သည် ဤအခြေအနေအတွက် အခြေအစုတစ်ခု တည်ရှိမှုကို ပထမဆုံး သက်သေပြခဲ့သူဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သူသည် ဤသို့သက်သေပြရာတွင် ကောင်းစွာအစဉ်ကျခြင်း သီအိုရမ် (well-ordering theorem) ကို အသုံးပြုခဲ့သည်။ ၎င်းသီအိုရမ်သည် ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို (axiom of choice) နှင့် အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသည်။ == ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း၏ အတိုင်းအတာ (Hilbert space dimension) == ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း (Hilbert space) တိုင်းတွင် ထောင့်မှန်ကျယူနစ် အခြေအစု (orthonormal basis) တစ်ခု ရှိသည်။ အဆိုပါ အခြေအစုတွင် အဆုံးရှိ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] (elements) ပါဝင်မှသာလျှင် ၎င်းသည် အထက်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည့် သဘောတရားအရ ဟားမဲလ် အခြေအစု (Hamel basis) တစ်ခု ဖြစ်လာမည်ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ထောင့်မှန်ကျယူနစ် အခြေအစု နှစ်ခုမဆို အစုဝင်အရေအတွက် တူညီကြသည်။ ထို့ကြောင့် ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း၏ အတိုင်းအတာကို ထောင့်မှန်ကျယူနစ် အခြေအစုတစ်ခု၏ [[အစု]]အရွယ်အစား (cardinality) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းသည် ကာဒီနယ်ကိန်း (cardinal number) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤကာဒီနယ်ကိန်းသည် တူညီသော စကေလာ[[ဖီးလ်ဒ်]] (scalar field) <math>\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}</math> အပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း|ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများကို]] အပြည့်အဝ အမျိုးအစားခွဲခြားရန် (classify) လုံလောက်သည်။ ကာဒီနယ်ကိန်း တစ်ခုစီအတွက် စကေလာဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{K}</math> အပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းသော [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (linear isometric isomorphism) တစ်ခုအထိ သက်ဆိုင်ရာ [[အစုအရွယ်အစား]]နှင့်ကိုက်ညီသော [[ထောင့်မှန်ကျယူနစ်ဖြစ်မှု|ထောင့်မှန်ကျယူနစ်]] [[အခြေအစု]]တစ်ခု ပိုင်ဆိုင်သည့် ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း တစ်ခုတည်းသီးသန့် ရှိသည်။ ===ဥပမာ – ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အစုအရွယ်အစား (Cardinality of a Hilbert space)=== <math>[0, 1]</math> အပေါ်ရှိ နှစ်ထပ်ကိန်း အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (square-integrable functions) ၏ ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း <math>L^2([0,1])</math> သည် ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း အတိုင်းအတာ <math>\aleph_0</math> ရှိသည်။ သို့ရာတွင် ၎င်း၏ ဟားမဲလ် အတိုင်းအတာ (Hamel dimension) မှာ တိကျစွာ ပိုမိုကြီးမားသည်။ == မန်နီဖိုးတစ်ခု၏ အတိုင်းအတာ (Dimension of a manifold) == လူသိများသော အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများ]] (two-dimensional manifolds) မှာ စက်လုံးမျက်နှာပြင် (surface of a sphere) တစ်ခု သို့မဟုတ် မိုးဘီးယပ်စ် ကြိုးကွင်း (Möbius strip) တို့ ဖြစ်ကြသည်။ === ယူကလစ် ရပ်ဝန်းများဆီသို့ ပတ်ဝန်းကျင်များ၏ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် (Homeomorphism of neighborhoods to Euclidean spaces) === နယ်နိမိတ်မဲ့ [[မန်နီဖိုး]] (manifold without boundary) တစ်ခု၏ အမှတ်တိုင်းတွင် <math>n</math>-အတိုင်းအတာရှိသော ယူကလစ် ရပ်ဝန်း (Euclidean space) ၏ အဖွင့်အစုပိုင်းတစ်ခုနှင့် [[ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမီယိုမော်ဖစ်]] (homeomorphic) ဖြစ်သော ပတ်ဝန်းကျင် (neighborhood) တစ်ခု ရှိသည်။ [[မန်နီဖိုး|နယ်နိမိတ်ပါသော မန်နီဖိုး]] (manifold with boundary) ဖြစ်ပါက နယ်နိမိတ်အမှတ်များတွင် ယူကလစ် ရပ်ဝန်းတစ်ဝက် (Euclidean half-space) <math>\mathbb{H}^n = \{x \in \mathbb{R}^n : x_n \ge 0\}</math> ၏ အဖွင့်အစုပိုင်းနှင့် [[ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမီယိုမော်ဖစ်]] ဖြစ်သော ပတ်ဝန်းကျင် ရှိသည်။ အဆိုပါ <math>n</math> ကို မန်နီဖိုး၏ အတိုင်းအတာဟု ခေါ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် စက်လုံးမျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ အမှတ်တိုင်းတွင် အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော ပြန့်ကားသည့် မျက်နှာပြင် (two-dimensional flat surface) အဖြစ် အခြေခံအားဖြင့် နားလည်နိုင်သော ပတ်ဝန်းကျင်ငယ် (small neighborhood) တစ်ခု ရှိသည်။ === ဆက်စပ်နေသော မန်နီဖိုးများ (Connected manifolds) === အတိုင်းအတာသည် အမှတ်ရွေးချယ်မှုအပေါ် မူတည်နေခြင်းမှ ကာကွယ်ရန်အတွက် အတိုင်းအတာ သဘောတရားကို များသောအားဖြင့် ဆက်စပ်နေသော မန်နီဖိုးများ (connected manifolds) အတွက်သာ အသုံးပြုသည်။ သို့မဟုတ်ပါက မော်ဒယ်ရပ်ဝန်း (model space) နှင့်တကွ အတိုင်းအတာတို့ နေရာတိုင်းတွင် တူညီစေရန် မန်နီဖိုးများကို အစကတည်းက ကြိုတင်၍ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် မိုးဘီးယပ်စ် ကြိုးကွင်း၏ မျက်နှာပြင်ပေါ်ရှိ အမှတ်တစ်ခုသည် ၃၆၀ ဒီဂရီ ပတ်ဝန်းကျင် (360° neighborhood) ရှိသည်။ ဆန့်ကျင်ဘက်အားဖြင့် အစွန်းပေါ်ရှိ အမှတ်တစ်ခုသည် ၁၈၀ ဒီဂရီ ပတ်ဝန်းကျင်သာ ရှိသည်။ == အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အတိုင်းအတာ (Dimension of a metric space) == ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် အတိုင်းအတာ (Hausdorff dimension) သည် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (metric space) တစ်ခု၏ [[အစုပိုင်း]] (subset) တိုင်းအတွက် အတိုင်းအတာတစ်ခု သတ်မှတ်ပေးနိုင်စေသည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် အတိုင်းအတာသည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် အတိုင်းအတာ[[ဖန်ရှင်]] (Hausdorff measure) <math>H^s(X)</math> သုညဖြစ်စေသော <math>s>0</math> အားလုံး၏ အင်ဖီမမ် (infimum) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် အတိုင်းအတာဖန်ရှင် အနန္တဖြစ်စေသော <math>s>0</math> အားလုံး၏ စူပရီမမ် (supremum) နှင့် ထပ်တူညီသည်။ == အရိုးရှင်းဆုံးပုံ ကွန်ပလက်စ်တစ်ခု၏ အတိုင်းအတာ (Dimension of a simplicial complex) == ထိပ်စွန်းမှတ် (vertices) <math>k+1</math> ခု ပါဝင်သော သရုပ်မဲ့ အရိုးရှင်းဆုံးပုံ (abstract simplex) တစ်ခု၏ အတိုင်းအတာကို <math>k</math> ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ အရိုးရှင်းဆုံးပုံ ကွန်ပလက်စ် (simplicial complex) <math>\mathcal{K}</math> ၏ အတိုင်းအတာကို <math>\mathcal{K}</math> တွင် ပါဝင်သည့် အရိုးရှင်းဆုံးပုံများ (simplices) အားလုံး၏ အတိုင်းအတာများအနက်မှ အကြီးဆုံးတန်ဖိုးအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ အကယ်၍ အရိုးရှင်းဆုံးပုံများ၏ အတိုင်းအတာများသည် အကန့်အသတ်မရှိပါက <math>\mathcal{K}</math> ကို အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော ကွန်ပလက်စ် (infinite-dimensional) ဟု ခေါ်သည်။ == အတိုင်းအတာအဖြစ် ချိတ်တန်း အလျား (Chain length as dimension) == အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (finite-dimensional vector space) တစ်ခု၏ အတိုင်းအတာသည် အချင်းချင်းငုံထားသော ရပ်ဝန်းပိုင်းများ (nested subspaces) ချိတ်တန်းတစ်ခု၏ အကြီးဆုံး အလျား (maximum length) နှင့် ညီမျှသည်။ ဤနေရာတွင် အလျားဆိုသည်မှာ တင်းကျပ်စွာပါဝင်ခြင်း အရေအတွက် (number of strict inclusions) ကို ဆိုလိုသည်။ အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော ရပ်ဝန်းများအတွက်မူ အတိုင်းအတာကို [[အခြေအစု|ဟားမဲလ် အခြေအစု]] (Hamel basis) ၏ [[အစုအရွယ်အစား]] (cardinality) ဖြင့်သာ သတ်မှတ်သည်။ အတိုင်းအတာကို ချိတ်တန်း အလျား (chain length) အဖြစ် ရှုမြင်သုံးသပ်ခြင်းက အခြားသော တည်ဆောက်ပုံများဆီသို့ ယေဘုယျပြုရန် (generalization) ခွင့်ပြုပေးသည်။ === ခရူးလ် အတိုင်းအတာ (Krull dimension) === သာဓကအားဖြင့် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) တစ်ခု၏ ခရူးလ် အတိုင်းအတာ (Krull dimension) ကို အချင်းချင်းငုံထားသော [[သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်|သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်များ]] (prime ideals) ချိတ်တန်းတစ်ခု၏ အကြီးဆုံး အလျားဖြစ်သည့် တင်းကျပ်စွာပါဝင်ခြင်း အရေအတွက် သို့မဟုတ် [[အင်ဖီမမ် နှင့် စူပရီမမ်|စူပရီမမ်]] အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ === မန်နီဖိုးတစ်ခု၏ အတိုင်းအတာ (Dimension of a manifold) === ပင်ကိုသိစိတ်အရ သဘောပေါက်နားလည်နိုင်စေရန်အတွက် မန်နီဖိုးတစ်ခု၏ အတိုင်းအတာကို အချင်းချင်းငုံထားသော [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများ]] (nested manifolds) ချိတ်တန်းတစ်ခု၏ အကြီးဆုံး အလျားအဖြစ် သရုပ်ဖော်လေ့ရှိသည်။ ထိုချိတ်တန်းရှိ အဆက်တိုင်းသည် ၎င်း၏ရှေ့တွင်ရှိသော မန်နီဖိုး [[အစုပိုင်း]] (subset) တစ်ခု၏ နယ်နိမိတ် (boundary) သဘောဆောင်သည်။ သို့သော် ပုံစံတကျ သင်္ချာသဘောတရားအရ ဤစိတ်ကူးကို အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ၏ နယ်နိမိတ်များကို အသုံးပြုသည့် ဆင့်ကဲအတိုင်းအတာ (inductive dimension) ဖြင့် တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကမ္ဘာလုံး၏ နယ်နိမိတ်သည် ကမ္ဘာ့မျက်နှာပြင် ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ အစုပိုင်းဖြစ်သော ဂျာမနီနိုင်ငံ၏ နယ်နိမိတ်သည် နိုင်ငံ၏နယ်စပ် ဖြစ်သည်။ တိကျသော နယ်စပ်အပိုင်းတစ်ခု၏ နယ်နိမိတ်များမှာ ၎င်း၏ အစွန်းမှတ်များ (endpoints) ဖြစ်ကြသည်။ ဤထက်ပို၍ ရှည်လျားသော ချိတ်တန်းမရှိသောကြောင့် ကမ္ဘာလုံးသည် အတိုင်းအတာ ၃ ရှိသည်။ ပါဝင်ခြင်း (inclusion) နှင့် နယ်နိမိတ် ဖွဲ့စည်းခြင်း (boundary formation) တို့ကို အမြဲတမ်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသောကြောင့် ဤအချက်က [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း]] (topological space) တိုင်းအတွက် အတိုင်းအတာ သဘောတရားတစ်ခုကို ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ၎င်းကို ဆင့်ကဲ အတိုင်းအတာ (inductive dimension) ဟု ခေါ်သည်။ သို့သော်လည်း ပိုမိုအသုံးများသော တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ အတိုင်းအတာ သဘောတရားမှာ လီဘက်ဂ် ဖုံးအုပ်မှု အတိုင်းအတာ (Lebesgue covering dimension) ဖြစ်သည်။ == တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ အတိုင်းအတာ (Topological dimension) == [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း]] (topological space) <math>X</math> တစ်ခုသည် အတိုင်းအတာ <math>n</math> ရှိရန်အတွက် <math>n</math> သည် အငယ်ဆုံး သဘာဝကိန်း (natural number) ဖြစ်ရမည်။ ၎င်းသဘာဝကိန်းသည် အဖွင့် ဖုံးအုပ်စု (open cover) <math>(U_i)_i</math> တိုင်းအတွက် ပို၍ အသေးစိတ်သည့် အဖွင့် ဖုံးအုပ်စု <math>(V_j)_j</math> တစ်ခု ရှိနေစေရမည်ဖြစ်ပြီး <math>X</math> မှ အမှတ်တိုင်းသည် <math>V_j</math> [[အစု|အစုများ]] (sets) အနက် အများဆုံး <math>n+1</math> ခုတွင်သာ ပါဝင်ရမည်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ထိုကဲ့သို့သော <math>n</math> မရှိပါက <math>X</math> ကို အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော ရပ်ဝန်း (infinite dimension) ဟု ဆိုသည်။ ထို့အပြင် တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology) တွင် လီဘက်ဂ် ဖုံးအုပ်မှု အတိုင်းအတာ (Lebesgue covering dimension) ၏ အစားထိုးတစ်ခုအနေဖြင့် ဆင့်ကဲ အတိုင်းအတာ (inductive dimension) ဟုခေါ်သော အတိုင်းအတာကိုလည်း အသုံးပြုကြသည်။ == ဖရက်တယ် အတိုင်းအတာ (Fractal dimension) == ယခုအထိ ဖော်ပြခဲ့သော [[ကိန်းပြည့်]] (integer) အတိုင်းအတာများအပြင် ယေဘုယျပြုထားသော ရာရှင်နယ်ကိန်း (rational number) သို့မဟုတ် ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ (real-valued) အတိုင်းအတာ သဘောတရားများကိုလည်း သိရှိကြသည်။ ၎င်းတို့၏ အကူအညီဖြင့် ဖရက်တယ်များ (fractals) ဟုခေါ်သော အရာများကို နှိုင်းယှဉ်နိုင်သည်။ == အက္ခရာသင်္ချာ ဂျီဩမေတြီ (Algebraic geometry) == အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေစု (Algebraic variety) နှင့် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) တို့တွင် ခရူးလ် အတိုင်းအတာ (Krull dimension) အသုံးပြုကြသည်။ == အစီအစဉ် အတိုင်းအတာ (Order dimension) == အစီအစဉ် အတိုင်းအတာ သဘောတရားသည် ဒက်ရှ်နစ်-မီလာ သီအိုရမ် (Dushnik-Miller theorem) အပေါ် အခြေခံသည်။ အဆိုပါ သီအိုရမ်အရ [[အစု]] <math>X</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစီအစဉ် (partial order) တိုင်းကို မျဉ်းဖြောင့် အစီအစဉ်များ၏ (linear orders) ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) အဖြစ် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်သည်။ ထို့နောက် တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသောအစု (partially ordered set) <math>(X,\leq)</math> ၏ အစီအစဉ် အတိုင်းအတာကို <math>X</math> ပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် အစီအစဉ် ဆက်သွယ်ချက်များ၏ (linear order relations) ကိုယ်စားပြု စနစ်တစ်ခု၏ အငယ်ဆုံး အစုအရွယ်အစား (cardinality) အဖြစ် သတ်မှတ်ပေးသည်။ [[Category: မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ]] lyujduflb6s39277oqrf1t6ixacd4io 0 258790 1060734 1054340 2026-10-30T12:03:29Z Mkant00 135890 corrections to mathematics 1060734 wikitext text/x-wiki {{Calculus}} [[သင်္ချာ|သင်္ချာဘာသာရပ်]]၏ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ် (differential calculus) တွင် အဓိကလေ့လာသော အရာဝတ္ထုများမှာ [[ဖန်ရှင်]] (function) တစ်ခု၏ ဆင်းသက်ချက် (derivative) နှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် (differential) ကဲ့သို့သော ဆက်စပ်သဘောတရားများနှင့် ၎င်းတို့၏ အသုံးချမှုများ ဖြစ်ကြသည်။ ရွေးချယ်ထားသော အဝင်ကိန်းတစ်ခု၌ ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ ဆင်းသက်ချက်သည် ထိုအဝင်ကိန်းရှိ ဖန်ရှင်၏ ခဏတာပြောင်းလဲနှုန်း (instantaneous rate of change) နှင့် ညီမျှသည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာသည့် လုပ်ငန်းစဉ်ကို ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (differentiation) ဟု ခေါ်သည်။ ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော သဘောတရားအရ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် ချောမွေ့သော [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများ]] (smooth manifolds) ၏ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (category theory) <math>\mathbf{Diff}</math> အပေါ်ရှိ [[ဖန်တာ]] (functor) <math>d \colon \mathbf{Diff} \to \mathbf{Diff}</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဖန်ရှင်များ၏ အကြီးဆုံးတန်ဖိုးနှင့် အငယ်ဆုံးတန်ဖိုးတို့ကို ရှာဖွေရန် ဆင်းသက်ချက်များကို မကြာခဏ အသုံးပြုကြသည်။ ဆင်းသက်ချက်များ ပါဝင်သော ညီမျှခြင်းများကို ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ (differential equations) ဟုခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းတို့သည် သဘာဝဖြစ်စဉ်များကို ဖော်ပြရာတွင် အခြေခံကျသည်။ ဆင်းသက်ချက်များနှင့် ၎င်းတို့၏ ယေဘုယျပြုထားချက်များသည် [[ကိန်းထွေး]] ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (complex analysis)၊ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis)၊ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (differential geometry)၊ အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (measure theory) နှင့် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) ကဲ့သို့သော သင်္ချာနယ်ပယ်များစွာတွင် ပါဝင်သည်။ ဆင်းသက်ချက်ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို [[ကိန်းစစ်]] ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (real analysis)၊ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) နှင့် သက်ဆိုင်သော ဗက်တာ ကဲကုလပ် (vector calculus) နှင့် ကိန်းရှင်တစ်ခုထက်ပိုသော ကဲကုလပ် (multivariable calculus) စသည့် ဘာသာရပ်များတွင် ပိုမိုလေ့လာပြီး ယေဘုယျပြုကြသည်။ == သမိုင်းကြောင်း (History) == ကိန်းရှင် ပမာဏများ (variable magnitudes) ကို ရီနေ ဒေကားတ် (René Descartes) က စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့ခြင်းသည် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ် ပေါ်ပေါက်လာခြင်း၏ အဓိကအကြောင်းရင်းဖြစ်သည်။ ၁၇ ရာစုနှောင်းပိုင်းတွင် အိုက်ဇက် နယူတန် (Isaac Newton) နှင့် ဂေါ့ဖရီး ဝီလ်ဟမ် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် (Gottfried Wilhelm Leibniz) တို့က ဆင်းသက်ချက်နှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်တို့ကို ယေဘုယျအားဖြင့် ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ ၁၉ ရာစုအစောပိုင်းသို့ ရောက်သောအခါ အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ (Augustin Louis Cauchy) သည် စုဆုံမှတ် (limit) သဘောတရားကို အသုံးပြု၍ ဆင်းသက်ချက်အတွက် တိကျသေချာသော [[သင်္ချာ|သင်္ချာဆိုင်ရာ]] အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ချမှတ်ပေးခဲ့သည်။ ၁၈ ရာစုတွင် ဂျေ အယ်လ် ဒါလမ်ဘတ် (J.L. d'Alembert) နှင့် လီယွန်ဟတ် အွိုင်လာ (Leonhard Euler) တို့က [[ကိန်းထွေး]] ဆင်းသက်ချက်များနှင့် ကော်ချီ-ရီးမန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ (Cauchy-Riemann differential equations) ကို လေ့လာအသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ထို့အပြင် ဗွီ ဗိုတယ်ရာ (V. Volterra) သည် ၁၈၈၇ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ မောရစ် ဖရေးရှေး (Maurice Fréchet) သည် ၁၉၁၁ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ အာရ် ဂါးတိုး (R. Gâteaux) သည် ၁၉၁၃ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း ဆင်းသက်ချက် သဘောတရားကို [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော ရပ်ဝန်းများ]] (infinite-dimensional spaces) သို့ ယေဘုယျပြုချဲ့ထွင်ခဲ့ကြသည်။ == အခြေခံ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Fundamental Definitions) == === ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် (The Limit of a Function) === <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (metric spaces) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုကြပါစို့။ <math>E \subset X</math> ဖြစ်ပြီး <math>f</math> သည် <math>E</math> မှ <math>Y</math> သို့ ပုံဖော်ကာ <math>p</math> သည် <math>E</math> ၏ စုဆောင်းမှတ် (limit point) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ယူဆပါ။ မည်သည့် <math>\epsilon > 0</math> အတွက်မဆို <math>0 < d_X(x, p) < \delta</math> ဖြစ်သော အမှတ် <math>x \in E</math> အားလုံးအတွက် <math>d_Y(f(x), q) < \epsilon</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\delta > 0</math> တစ်ခု ရှိနေမည့် ဂုဏ်သတ္တိရှိသော အမှတ် <math>q \in Y</math> တစ်ခု ရှိနေပါက <math>\lim_{x \to p} f(x) = q</math> ဟု ရေးသားသည်။ ဤတွင် အသုံးပြုထားသော စုဆုံမှတ် (limit) နှင့် စုဆောင်းမှတ် (limit point) တို့သည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (mathematical analysis) တွင် သဘောတရားအရ ကွဲပြားသည်။ စုဆောင်းမှတ် ဆိုသည်မှာ အဝင်ကိန်း <math>x</math> ချဉ်းကပ်ရာ နေရာ ဖြစ်ပြီး စုဆုံမှတ် ဆိုသည်မှာ [[ဖန်ရှင်]] <math>f(x)</math> ရရှိမည့် တန်ဖိုး ဖြစ်သည်။ === ဆင်းသက်ချက် နှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် (The Derivative and Differential) === <math>f</math> သည် <math>[a, b]</math> ပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ]] ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုကြပါစို့။ မည်သည့် <math>x \in [a, b]</math> အတွက်မဆို <math>t \neq x</math> ဖြစ်သောအခါ အောက်ပါကို ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ :<math> \phi(t)=\frac{f(t)-f(x)}{t-x} </math> ဖန်ရှင်များ၏ စုဆုံမှတ်သဘောတရားနှင့်အညီ ထိုစုဆုံမှတ်တည်ရှိပါက <math>t</math> သည် <math>x</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ ဤစားလဒ်၏ စုဆုံမှတ်ကို ဆင်းသက်ချက် <math>f^{\prime}(x)</math> အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ :<math> f^{\prime}(x)=\lim_{t\rightarrow x}\phi(t) </math> ဆင်းသက်ချက်သည် အဆုံးရှိတန်ဖိုး သို့မဟုတ် အနန္တတန်ဖိုးအဖြစ် တည်ရှိနိုင်သည်။ အသုံးများသော သင်္ကေတများမှာ <math>f'(x_0)</math>၊ <math>\frac{df(x_0)}{dx}</math>၊ <math>\frac{dy}{dx}</math>၊ <math>(\frac{d}{dx})f(x_0)</math>၊ <math>y'</math> နှင့် <math>y'_x</math> တို့ဖြစ်ကြသည်။ တစ်ဖက်သတ် ဆင်းသက်ချက်များ (one-sided derivatives) တွင် ညာဘက် ဆင်းသက်ချက် (right-hand derivative) <math>\lim_{\Delta x \downarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}</math> နှင့် ဘယ်ဘက် ဆင်းသက်ချက် (left-hand derivative) <math>\lim_{\Delta x \uparrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}</math> တို့ ပါဝင်သည်။ အမှတ် <math>x_0</math> ၌ တူညီသော ညာဘက်နှင့် ဘယ်ဘက် ဆင်းသက်ချက်များ ရှိနေမှသာလျှင် ထိုအမှတ်၌ ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ ဆင်းသက်ချက် တည်ရှိသည်။ တစ်ဖက်သတ် ဆင်းသက်ချက်များ တည်ရှိသော်လည်း ၎င်းတို့ တူညီမှုမရှိသော အမှတ်များကို ထောင့်ချိုးမှတ်များ (angular points) သို့မဟုတ် အချွန်မှတ်များ (cusps) ဟုခေါ်သည်။ ဒစ်ဖရန်ရှယ် <math>dy</math> သို့မဟုတ် <math>df</math> သည် ဖန်ရှင်တိုးပွားခြင်း၏ အဓိက မျဉ်းဖြောင့် အစိတ်အပိုင်း (principal linear part) <math>\Delta y = A \Delta x + \omega</math> ဖြစ်သည်။ ဆင်းသက်ချက် <math>f'(x)</math> သည် ထိုညီမျှခြင်းရှိ မြှောက်ဖော်ကိန်း (coefficient) <math>A</math> ဖြစ်သည်။ [[သင်္ချာ|သင်္ချာနည်းအရ]] ဆင်းသက်ချက်သည် ဖန်ရှင်၏ ဒစ်ဖရန်ရှယ်နှင့် အမှီအခိုကင်းသော ကိန်းရှင် (independent variable) ၏ ဒစ်ဖရန်ရှယ်တို့၏ အချိုး <math>f'(x) = \frac{dy}{dx}</math> ဖြစ်သည်။ === အရင်းအမြစ်စု နှင့် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု (Domain and Differentiability)=== ဆင်းသက်ချက် <math>f^{\prime}</math> သည် <math>\lim_{t\rightarrow x}\phi(t)</math> တည်ရှိသော အမှတ် <math>x</math> အားလုံးပါဝင်သည့် အရင်းအမြစ်စု (domain) တစ်ခုရှိသော ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>f^{\prime}</math> ကို <math>x</math> ၌ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားပြီး အဆုံးရှိတန်ဖိုးဖြစ်ပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>x</math> ၌ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (differentiable) ဖန်ရှင် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>f^{\prime}</math> ကို [[အစု]] <math>E \subset [a, b]</math> အတွင်းရှိ အမှတ်တိုင်း၌ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားပါက <math>f</math> သည် <math>E</math> ပေါ်တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသည်။ အစွန်းမှတ်များ (endpoints) ဖြစ်သော <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့တွင် ဆင်းသက်ချက်သည် သက်ဆိုင်ရာ ညာဘက် သို့မဟုတ် ဘယ်ဘက် ဆင်းသက်ချက်များနှင့် ကိုက်ညီသည်။ == အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်များ (Interpretations) == [[File:Tangent to a curve.svg|right|thumb|214x214px|ဖန်ရှင်၏ ဂရပ် ကို အနက်ရောင်ဖြင့်လည်းကောင်း၊ အမှတ်တစ်ခု၌ ယင်းဖန်ရှင်သို့ ထိမျဉ်း (tangent line) ကို အနီရောင်ဖြင့်လည်းကောင်း ရေးဆွဲဖော်ပြထားသည်။ ထိမျဉ်း၏ စောင်းကိန်း (slope) သည် မှတ်သားထားသော အမှတ်ရှိ ဖန်ရှင်၏ ဆင်းသက်ချက် (derivative) နှင့် ညီမျှသည်။]] ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်အနေဖြင့် ဆင်းသက်ချက် <math>f'(x_0)</math> သည် အမှတ် <math>(x_0, f(x_0))</math> ရှိ မျဉ်းကွေး <math>y = f(x)</math> ၏ ထိမျဉ်း (tangent line) ၏ စောင်းကိန်း (slope) <math>\tan \alpha</math> ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ အကယ်၍ <math>f'(x_0)</math> သည် အဆုံးရှိတန်ဖိုးဖြစ်ပါက ထောင့်သည် ထောင့်ကျဉ်း <math>-\pi/2 < \alpha < \pi/2</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>f'(x_0) = \infty</math> ဖြစ်ပါက ထိမျဉ်းသည် x-ဝင်ရိုးနှင့် ထောင့်မှန်ကျသည်။ မက္ကင်းနစ်ဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်အရ အကယ်၍ အမှတ်တစ်ခုသည် <math>s = f(t)</math> ဖြင့် ဖော်ပြသော မျဉ်းဖြောင့်တစ်ခုပေါ်တွင် ရွေ့လျားနေပါက အချိန် <math>t</math> ရှိ ခဏတာ အလျင် (instantaneous velocity) သည် ဆင်းသက်ချက် <math>v = f'(t)</math> ဖြစ်သည်။ == ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု နှင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (Differentiability and Continuity) == '''သီအိုရမ် (Theorem)''' - ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်းကို သက်ရောက်စေသည်။ <math>f</math> ကို <math>[a, b]</math> ပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်ဟု ဆိုကြပါစို့။ အကယ်၍ <math>f</math> သည် အမှတ် <math>x \in [a, b]</math> ၌ အဆုံးရှိသော ဆင်းသက်ချက် <math>f'(x)</math> ရှိပါက <math>f</math> သည် <math>x</math> ၌ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်]] (continuous) ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက် (Proof)''' <math>t \rightarrow x</math> ဖြစ်သောအခါ <math>f(t) - f(x)</math> ခြားနားခြင်း၏ စုဆုံမှတ်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပြန်လည်ရေးသား၍ တွက်ချက်နိုင်သည်။ :<math> f(t)-f(x)=\frac{f(t)-f(x)}{t-x}\cdot(t-x)\rightarrow f^{\prime}(x)\cdot 0=0 </math> ဤနေရာတွင် <math>f^{\prime}(x)</math> သည် အဆုံးရှိသော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးတစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် <math>f^{\prime}(x) \cdot 0 = 0</math> ဟူသော စုဆုံမှတ်မြှောက်လဒ် မှန်ကန်သည်။ ဤအချက်က <math>\lim_{t\rightarrow x}f(t) = f(x)</math> ဖြစ်ကြောင်း ပြသနေပြီး အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်းအတွက် အခြေအနေကို ပြည့်စုံစေသည်။သို့ရာတွင် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်များ]]သည် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်သည်ဟု အမြဲတမ်း မဆိုနိုင်ပေ။ မည်သည့်အမှတ်တွင်မျှ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရသော အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous non-differentiable functions) လည်း တည်ရှိသည်။ == ဆင်းသက်ချက်များ၏ အက္ခရာသင်္ချာ (Algebra of Derivatives) == '''သီအိုရမ် (Theorem)''' - <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့သည် <math>[a, b]</math> ပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားပြီး <math>x \in [a, b]</math> ၌ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသည်ဟု ယူဆပါ။ ထိုအခါ စားလဒ်အတွက် <math>g(x) \neq 0</math> ဖြစ်သည်ဟု ယူဆထားပါက [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များဖြစ်သော]] <math>f+g</math>၊ <math>fg</math> နှင့် <math>f/g</math> တို့သည် <math>x</math> ၌ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်ပြီး အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ ရှိကြသည်။ *(က) မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်မှု (Linearity) - <math>c</math> သည် ကိန်းသေဖြစ်ပါက <math>(cf)^{\prime}(x)=cf^{\prime}(x)</math> ဖြစ်ပြီး <math>(f \pm g)^{\prime}(x)=f^{\prime}(x) \pm g^{\prime}(x)</math> ဖြစ်သည်။ *(ခ) မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်း (Product Rule) - <math>(fg)^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)</math> *(ဂ) စားလဒ်စည်းမျဉ်း (Quotient Rule) - <math>\left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}(x)=\frac{g(x)f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)f(x)}{g^{2}(x)}</math> '''သက်သေပြချက် (Proof)''' အပိုင်း (က) သည် ပေါင်းလဒ်များ၏ စုဆုံမှတ် ဂုဏ်သတ္တိများမှ ရှင်းလင်းစွာ ဆင်းသက်လာသည်။ အပိုင်း (ခ) မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်း ဖြစ်သည်။ <math>h=fg</math> ဟု ထားပါ။ <math>h(t) - h(x)</math> ခြားနားခြင်းကို အက္ခရာသင်္ချာနည်းအရ အောက်ပါအတိုင်း ဖြန့်ထုတ်နိုင်သည်။ :<math> h(t)-h(x)=f(t)[g(t)-g(x)]+g(x)[f(t)-f(x)] </math> <math>h(t)-h(x)</math> ဖြန့်ထုတ်ချက်ကို <math>t-x</math> ဖြင့် စားပြီးနောက် <math>t \rightarrow x</math> သို့ စုဆုံမှတ်ယူလိုက်ပါက ရလဒ်ထွက်ပေါ်လာမည်ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>f</math> ၏ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်းကြောင့်]] <math>f(t) \rightarrow f(x)</math> ဖြစ်သည်ဟူသော အချက်ကို အခြေခံထားသည်။ အပိုင်း (ဂ) စားလဒ်စည်းမျဉ်း ဖြစ်သည်။ <math>h=f/g</math> အတွက် ခြားနားခြင်း စားလဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း ဖြန့်ထုတ်နိုင်သည်။ :<math> \frac{h(t)-h(x)}{t-x}=\frac{1}{g(t)g(x)}\left[g(x)\frac{f(t)-f(x)}{t-x}-f(x)\frac{g(t)-g(x)}{t-x}\right] </math> <math>t \rightarrow x</math> သို့ စုဆုံမှတ်ယူလိုက်ပြီး ပေါင်းလဒ်နှင့် မြှောက်လဒ် စုဆုံမှတ် သီအိုရမ်များကို အသုံးချခြင်းဖြင့် စားလဒ်စည်းမျဉ်းကို ရရှိသည်။ ထို့အပြင် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင်စည်းမျဉ်း (Inverse Function Rule) လည်း ရှိသည်။ <math>y = f(x)</math> နှင့် <math>x = g(y)</math> တို့သည် အပြန်အလှန် ပြောင်းပြန်ဖြစ်ပြီး တိကျစွာ အစဉ်လိုက်ဖြစ်သော (strictly monotonic) ဖန်ရှင်များဖြစ်သည်ဟု ဆိုကြပါစို့။ အကယ်၍ <math>f'(x_0) \neq 0</math> သည် အဆုံးရှိတန်ဖိုးဖြစ်ပါက <math>g'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}</math> သို့မဟုတ် <math>\frac{dx}{dy} = 1 / \frac{dy}{dx}</math> ဖြစ်သည်။ ဆင်းသက်ချက်များသည် လေးနက်သော ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (deep analytical properties) ရှိကြသည်။ ဘလဲ ၏ ခွဲခြားခြင်း (Baire's classification) အရ ဆင်းသက်ချက် <math>f'</math> သည် အမြဲတမ်း ပထမ ဘလဲ အတန်းအစား (first Baire class) ၏ ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဆင်းသက်ချက်များသည် ဒါဘူး ဂုဏ်သတ္တိ (Darboux property) ကို ပိုင်ဆိုင်ကြသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ဆင်းသက်ချက်တစ်ခုသည် တန်ဖိုးနှစ်ခုကို ရယူပါက ၎င်းတို့ကြားရှိ ကြားခံတန်ဖိုးတိုင်းကိုလည်း ရယူသည်။ ရှိုကေး ၏ သီအိုရမ် (Choquet's Theorem) အရ ဖန်ရှင် <math>\phi</math> သည် ပထမ ဘလဲ အတန်းအစားဖြစ်ပြီး ဒါဘူး ဂုဏ်သတ္တိရှိရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>\phi = f' \circ h</math> ဖြစ်ခြင်းဖြစ်သည်။ ထိုနေရာတွင် <math>f</math> သည် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်ဖြစ်ပြီး <math>h</math> သည် <math>[a,b]</math> ၏ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် (homeomorphism) ဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ဆင်းသက်ချက် ဥပမာများ (Basic Derivative Examples) == မည်သည့် ကိန်းသေ (constant) ၏ ဆင်းသက်ချက်မဆို သုည ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>f(x)=x</math> ဖြစ်ပါက <math>f^{\prime}(x)=1</math> ဖြစ်သည်။ မြှောက်လဒ်နှင့် စားလဒ်စည်းမျဉ်းများကို ထပ်ခါတလဲလဲ အသုံးပြုခြင်းဖြင့် သုညမဟုတ်သော မည်သည့် [[ကိန်းပြည့်]] <math>n \neq 0</math> အတွက်မဆို <math>x^n</math> သည် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရပြီး ၎င်း၏ ဆင်းသက်ချက်မှာ <math>nx^{n-1}</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>n < 0</math> ဖြစ်ပါက <math>x \neq 0</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်သည်။ အကယ်၍ <math>n = 0</math> ဖြစ်ပါက ကိန်းသေဖန်ရှင် <math>x^0 = 1</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်မှာ နေရာတိုင်း၌ သုည ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ပိုင်းခြေ သုညမဟုတ်သော နေရာများတွင် ပိုလီနိုမီရယ်များ (polynomials) နှင့် ရာရှင်နယ် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (rational functions) အားလုံးသည် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသည်။ == ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (The Chain Rule) == '''သီအိုရမ် (Theorem)''' - <math>f</math> သည် <math>[a, b]</math> ပေါ်တွင် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပြီး]] <math>f^{\prime}(x)</math> သည် <math>x \in [a, b]</math> အမှတ်တစ်ခု၌ တည်ရှိသည်ဟု ယူဆပါ။ <math>g</math> ကို <math>f</math> ၏ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်အစု]] (range) ပါဝင်သော အပိုင်းအခြား <math>I</math> ပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားပြီး <math>g</math> သည် အမှတ် <math>f(x)</math> ၌ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသည်။ <math>a \le t \le b</math> အတွက် <math>h(t)=g(f(t))</math> ဖြစ်ပါက <math>h</math> သည် <math>x</math> ၌ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math> h^{\prime}(x)=g^{\prime}(f(x))f^{\prime}(x) </math> '''သက်သေပြချက် (Proof)''' <math>y=f(x)</math> ဟု ထားပါ။ ဆင်းသက်ချက်၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်က ခြားနားခြင်းများကို အမှားကိန်းများ (error terms) ဖြင့် ရေးသားရန် ခွင့်ပြုသည်။ :<math> f(t)-f(x)=(t-x)[f^{\prime}(x)+u(t)] </math> :<math> g(s)-g(y)=(s-y)[g^{\prime}(y)+v(s)] </math> ထိုနေရာတွင် <math>t \rightarrow x</math> ဖြစ်သောအခါ <math>u(t) \rightarrow 0</math> ဖြစ်ပြီး <math>s \rightarrow y</math> ဖြစ်သောအခါ <math>v(s) \rightarrow 0</math> ဖြစ်သည်။ <math>s=f(t)</math> ဟုထားခြင်းဖြင့် စုစုပေါင်း ခြားနားခြင်း <math>h(t)-h(x)</math> ကို အက္ခရာသင်္ချာနည်းအရ ချိတ်ဆက်နိုင်သည်။ :<math> h(t)-h(x)=[f(t)-f(x)]\cdot[g^{\prime}(y)+v(s)] </math> ပထမဖြန့်ထုတ်ချက်ကို ဤညီမျှခြင်းသို့ အစားထိုးလိုက်သောအခါ :<math> h(t)-h(x)=(t-x)\cdot[f^{\prime}(x)+u(t)]\cdot[g^{\prime}(y)+v(s)] </math> <math>t \neq x</math> အတွက် <math>t-x</math> ဖြင့် စားလိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ :<math> \frac{h(t)-h(x)}{t-x}=[g^{\prime}(y)+v(s)]\cdot[f^{\prime}(x)+u(t)] </math> <math>f</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သောကြောင့် <math>t \rightarrow x</math> သည် <math>s \rightarrow y</math> ကို သက်ရောက်စေသည်။ ထို့ကြောင့် အမှားကိန်းများဖြစ်သော <math>u(t) \rightarrow 0</math> နှင့် <math>v(s) \rightarrow 0</math> တို့မှာ ပျောက်ကွယ်သွားပြီး ညာဘက်အခြမ်းသည် <math>g^{\prime}(y)f^{\prime}(x)</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသည်။ == ပိုမိုမြင့်မားသော အဆင့်ရှိ ဆင်းသက်ချက်များ (Higher-Order Derivatives) == ပိုမိုမြင့်မားသော အဆင့်ရှိ ဆင်းသက်ချက်များကို [[သင်္ချာ|သင်္ချာဆိုင်ရာ]] ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်း (mathematical induction) ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ဆင်းသက်ချက်သည် <math>(n-1)</math> ကြိမ်မြောက် ဆင်းသက်ချက်၏ ဆင်းသက်ချက် <math>y^{(n)} = (y^{(n-1)})'</math> ဖြစ်သည်။ သင်္ကေတများအနေဖြင့် <math>y''</math>၊ <math>f''(x)</math>၊ <math>y^{(n)}</math> နှင့် <math>\frac{d^n f(x)}{dx^n}</math> တို့ကို အသုံးပြုကြသည်။ မက္ကင်းနစ်ဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်အရ တည်နေရာ ဖန်ရှင် <math>s = f(t)</math> ၏ ဒုတိယ ဆင်းသက်ချက် <math>f''(t)</math> သည် ခဏတာ အရှိန် (instantaneous acceleration) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ == ဆင်းသက်ချက်ကို ယေဘုယျပြုခြင်းများ (Generalizations of the Derivative) == ဆင်းသက်ချက် သဘောတရားကို [[ကိန်းစစ်]] ကိန်းရှင်တစ်ခုတည်းရှိသော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင်များမှကျော်လွန်၍ နည်းလမ်းအမျိုးမျိုးဖြင့် ယေဘုယျပြုထားသည်။ '''အစုတစ်ခုအပေါ် ဆင်းသက်ချက် (Derivative Over a Set)''' [[အစု]] <math>E</math> အပေါ်ရှိ ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်သည် စုဆုံမှတ် ကိန်းရှင် <math>x \to x_0</math> ကို <math>x \in E</math> အတွက်သာ တင်းကျပ်စွာ ကန့်သတ်ထားသည်။ ဤအခြေအနေတွင် <math>x_0 \in E</math> သည် စုဆောင်းမှတ်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>f'_E(x_0)</math> ဟု ရေးသားပြီး ၎င်းတွင် ဒီနီ ဆင်းသက်ချက်များ (Dini derivatives) နှင့် ခန့်မှန်း ဆင်းသက်ချက်များ (approximate derivatives) ပါဝင်သည်။ '''ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက်များ (Partial Derivatives)''' ကိန်းရှင်အများအပြားပါဝင်သော ဖန်ရှင် <math>f(x_1, \dots, x_n)</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်ကို အခြားကိန်းရှင်အားလုံးကို ကိန်းသေအဖြစ်ထား၍ ကိန်းရှင်တစ်ခုတည်းအတွက် ရှာဖွေခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>\frac{\partial f}{\partial x_1}</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ကွဲပြားသော ကိန်းရှင်များအတွက် ပိုမိုမြင့်မားသော အဆင့်ရှိ ဆင်းသက်ချက်များ ရှာဖွေခြင်းကို ရောနှော ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက်များ (mixed partial derivatives) <math>\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}</math> ဟု ခေါ်သည်။ အကယ်၍ ရောနှော ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက်များသည် အမှတ်တစ်ခု၌ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပါက ၎င်းတို့သည် ဆင်းသက်ချက်ရှာသည့် အစဉ်အလိုက်အပေါ် မူတည်ခြင်းမရှိဘဲ တူညီကြသည်။ အဆုံးရှိ ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက်များ တည်ရှိနေခြင်းသည် ဖန်ရှင်တစ်ခုလုံးကို အပြည့်အဝ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရခြင်း (total differentiability) ကို မသေချာစေပေ။ သို့ရာတွင် ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက်များ တည်ရှိပြီး အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပါက ဖန်ရှင်သည် အပြည့်အဝ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသည်။ '''ကိန်းထွေး ဆင်းသက်ချက်များ (Complex Derivatives)''' [[ကိန်းထွေး]] ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ တွင် <math>w = f(z)</math> သည် ကိန်းထွေး ကိန်းရှင်တစ်ခု၏ ကိန်းထွေးတန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင်ဖြစ်ပါက ဆင်းသက်ချက် <math>f'(z)</math> ကို <math>\lim_{\Delta z \to 0} \frac{\Delta f(z)}{\Delta z}</math> အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဒိုမိန်းတစ်ခုအတွင်းရှိ အမှတ်တိုင်း၌ ကိန်းထွေး ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်ကို ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင် (holomorphic function) ဟု ခေါ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)</math> သည် <math>\mathbb{R}^2</math> တွင် [[ကိန်းစစ်]] ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရပြီး ကော်ချီ-ရီးမန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ ဖြစ်သော <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}</math> နှင့် <math>\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y}</math> တို့ကို ပြည့်စုံစေမှသာလျှင် ကိန်းထွေး ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသည်။ '''ပုံဖော်မှုတစ်ခုအား ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (Differentiation of a Mapping)''' [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (topological vector spaces) အကြားရှိ ပုံဖော်မှု <math>f: X \to Y</math> ကို <math>x_0</math> အနီးတွင် ခန့်မှန်းရန် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော]] [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (continuous linear mapping) <math>l_{x_0}</math> ကို ရှာဖွေရသည်။ အကယ်၍ <math>X=\mathbb{R}^n</math> နှင့် <math>Y=\mathbb{R}^m</math> ဖြစ်ပါက ဆင်းသက်ချက် <math>f'(x_0)</math> ကို ဂျေးကိုဘီယန် ကိန်းအုံ (Jacobian matrix) ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည်။ [[ဘာနက် ရပ်ဝန်း|ဘာနက်ရပ်ဝန်းများ]] (Banach spaces) အတွက် ဖရေးရှေး ဆင်းသက်ချက် (Fréchet derivative) ကို အသုံးပြုသည်။ မျဉ်းဖြောင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများတွင် ဂါးတိုး ဆင်းသက်ချက် (Gâteaux derivative) ကို အသုံးပြုသည်။ ဂါးတိုး ဆင်းသက်ချက်အတွက် ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်များ၏ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းဆိုင်ရာ ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်းသည် များသောအားဖြင့် မှန်ကန်မှုမရှိပေ။ ဤသဘောတရားကို ချောမွေ့သော [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများအကြား]] ပုံဖော်မှုများသို့လည်း ထပ်မံ၍ တိုးချဲ့အသုံးပြုကြသည်။ == ဖန်တာတစ်ခုအဖြစ် ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (Differentiation as a Functor) == [[ဖန်တာ]] <math>d \colon \mathbf{Diff} \to \mathbf{Diff}</math> သည် အောက်ပါတို့ကို ပို့ဆောင်ပေးသည်။ *[[မန်နီဖိုး]] <math>X</math> တစ်ခုကို ၎င်း၏ [[ထိမျဉ်းအစည်း]] (tangent bundle) <math>T X</math> သို့ ပို့ဆောင်သည်။ <math>T X</math> ရှိ အမှတ်များသည် [[အစီအစဉ်ကျအတွဲ|အစီအစဉ်ကျအတွဲများ]] (ordered pairs) <math>(x, v)</math> ဖြစ်ကြသည်။ ထိုနေရာတွင် <math>x \in X</math> ဖြစ်ပြီး <math>v</math> သည် <math>x</math> ရှိ ထိမျဉ်းဗက်တာ (tangent vector) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထိုဗက်တာသည် ချောမွေ့သော ဖန်ရှင်များ၏ အက္ခရာသင်္ချာအပေါ်ရှိ ဆင်းသက်မှု (derivation) <math>v \colon C^\infty(X) \to \mathbb{R}</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>x</math> ရှိ တန်ဖိုးရှာဖွေခြင်း (evaluation) <math>\text{ev}_x \colon C^\infty(X) \to \mathbb{R}</math> ဖြင့် ဖြည့်စွက်ထားသည်။ *ချောမွေ့သော [[ဖန်ရှင်]] <math>f \colon X \to Y</math> တစ်ခုကို ၎င်း၏ ဒစ်ဖရန်ရှယ် <math>d f \colon T X \to T Y</math> သို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ ဤအချက်သည် ဗက်တာစက်ကွင်းများ (vector fields) ၏ ရှေ့သို့တွန်းပို့ချက် (pushforward) နှင့် ဆင်တူသည်။ အကယ်၍ <math>\gamma \colon [-1,1] \to X</math> သည် <math>X</math> အတွင်းရှိ လမ်းကြောင်းတစ်ခုဖြစ်ပြီး ဗက်တာ <math>v \in T_x X</math> ကို ကိုယ်စားပြုပါက <math>(d f)(v) \in T_{f(x)} Y</math> သည် အောက်ပါ လမ်းကြောင်းက ကိုယ်စားပြုသော ဗက်တာ ဖြစ်သည်။ :<math> [-1,1] \stackrel{\gamma}{\to} X \stackrel{f}{\to} Y </math> တူညီသောအဓိပ္ပာယ်အနေဖြင့် ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှု <math>f \colon X \to Y</math> တစ်ခုသည် အက္ခရာသင်္ချာ ပုံဖော်မှု <math>f^\ast = - \circ f \colon C^\infty(Y) \to C^\infty(X)</math> ကို လှုံ့ဆော်ပေးသည်။ ထို့ကြောင့် ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) အားဖြင့် ဆင်းသက်မှု <math>v \colon C^\infty(X) \to \mathbb{R}</math> ကို <math>\text{ev}_{f(x)} \colon C^\infty(Y) \to \mathbb{R}</math> ဖြင့် ဖြည့်စွက်ထားသော ဆင်းသက်မှု <math>v \circ f^\ast \colon C^\infty(Y) \to \mathbb{R}</math> သို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် <math>\phi \in C^\infty(Y)</math> အတွက် <math>v \circ f^\ast(\phi) = v(\phi \circ f)</math> ဖြစ်သည်။ ထိုအခါ ဒစ်ဖရန်ရှယ် <math>d f \colon T X \to T Y</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ :<math> d f(x, v) = (f(x), v \circ f^\ast) </math> ဤဖော်ပြချက် နှစ်ခုလုံးအရ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် ဖန်တာဖြစ်တည်မှု (functoriality) ရှိကြောင်း ထင်ရှားသည်။ ဤအချက်ကို အင်္ဂလိပ်စာပေများတွင် ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (chain rule) ဟု လူသိများသည်။ ရိုးရာကျသော ပုံစံဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားနိုင်သည်။ :<math> d(f \circ g)_x = d f_{g(x)} \circ d g_x </math> '''သီအိုရမ် (Theorem)''' - ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် မြှောက်လဒ် (product) ကို ထိန်းသိမ်းသော [[ဖန်တာ|ဖန်တာတစ်ခု]] ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ချောမွေ့သော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်နှစ်ခုဖြစ်သည့်]] <math>f, g \colon X \to \mathbb{R}</math> တို့၏ မြှောက်လဒ်သည် ပေါင်းစပ်ခြင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း ပြသနိုင်သည်။ :<math> X \stackrel{\Delta}{\to} X \times X \stackrel{f \times g}{\to} \mathbb{R} \times \mathbb{R} \stackrel{\text{mult}}{\to} \mathbb{R} </math> ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းအတွက် မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်းကို ဖန်တာ <math>d</math> ကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် ရရှိနိုင်သည်။ ၎င်းသည် အောက်ပါ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ :<math> T X \stackrel{\Delta}{\to} T X \times T X \stackrel{d f \times d g}{\to} T \mathbb{R} \times T \mathbb{R} \stackrel{d(\text{mult})}{\to} T \mathbb{R} </math> ၎င်းသည် <math>d(\text{mult})</math> ကို တွက်ချက်ခြင်းအထိ အဆင့်လျော့သွားသည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Rudin |first=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |chapter=5: Differentiation |publisher=McGraw-Hill |edition=3rd |date=1976 |pages=103–119}} * {{Citation |author=nLab authors |title=differentiation |date=June 2026 |edition=Revision 33 |url=https://ncatlab.org/nlab/show/differentiation}} * {{Citation |last=Choquet |first=Gustave |title=Outils topologiques et métriques de l'analyse mathématique |publisher=Centre Docum. Univ. Paris |date=1969 |others=Rédigé par C. Mayer |mr=0262426}} * {{Citation |last=Berger |first=Melvyn S. |title=Nonlinearity and Functional Analysis |publisher=Academic Press |date=1977}} * {{Citation |last=Gâteaux |first=René |title=Sur les fonctionnelles continues et les fonctionnelles analytiques |journal=Comptes rendus de l'Académie des Sciences |volume=157 |date=1913 |pages=325–327}} * {{Citation |last1=Frölicher |first1=Alfred |last2=Bucher |first2=Willi |title=Calculus in Vector Spaces without Norm |series=Lecture Notes in Mathematics |volume=30 |publisher=Springer |date=1966}} * {{Citation |last=Spivak |first=Michael |title=Calculus on Manifolds |publisher=W. A. Benjamin |date=1965}} [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] 6gh2caom9xgpti2raeaaiuscyybviwc 0 282520 1060798 1058551 2026-10-30T22:54:25Z Mkant00 135890 corrections to mathematics 1060798 wikitext text/x-wiki [[ဖိုင်:Duality_Hexa-Okta.svg|thumb|သုံးဘက်မြင်အတိုင်းအတာတွင်း ဗက်တာများ၏ အမြင့်ဆုံးစံနှုန်း (maximum norm) (ကုဗတုံး မျက်နှာပြင်) နှင့် တက္ကစီကားစံနှုန်း (taxicab norm) (အဋ္ဌဂံ မျက်နှာပြင်) တို့၏ ကိန်းသေ စံနှုန်းအစုများ (စံနှုန်းစက်လုံးများ)]] [[သင်္ချာ|သင်္ချာဘာသာရပ်]]တွင် '''စံနှုန်း (Norm)''' ဆိုသည်မှာ [[ဗက်တာ]] (vector)၊ [[ကိန်းအုံ]] (matrix)၊ [[ကိန်းစဉ်]] (sequence) သို့မဟုတ် [[ဖန်ရှင်]] (function) ကဲ့သို့သော သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခုအား ကိန်းဂဏန်းတစ်ခုနှင့် ချိတ်ဆက်ပေးသည့် ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ယင်းကိန်းဂဏန်းသည် ထိုအရာဝတ္ထု၏ ပမာဏ (magnitude) ကို တစ်နည်းနည်းဖြင့် ဖော်ပြရန် ရည်ရွယ်သည်။ "ပမာဏ" ၏ တိကျသော အဓိပ္ပာယ်မှာ လေ့လာနေသည့် အရာဝတ္ထုနှင့် အသုံးပြုထားသော စံနှုန်းအပေါ် မူတည်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် စံနှုန်းတစ်ခုသည် ဗက်တာတစ်ခု၏ အလျား (length)၊ ကိန်းအုံတစ်ခု၏ အကြီးဆုံး ဆင်ဂူလာတန်ဖိုး (singular value)၊ ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ ပြောင်းလဲမှု (variation) သို့မဟုတ် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အမြင့်ဆုံးတန်ဖိုး (maximum value) ကို ကိုယ်စားပြုနိုင်သည်။ စံနှုန်းတစ်ခုကို အရာဝတ္ထု၏ ဘယ်ဘက်နှင့် ညာဘက်ရှိ ဒေါင်လိုက်မျဉ်းနှစ်ကြောင်း <math>\| \cdot \|</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ စံနှုန်းသည် [[ကိန်းစစ်]] (real number) သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး]] (complex number) များ အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) တစ်ခု၏ [[အစုဝင်]] (element) တစ်ခုကို အနှုတ်မဟုတ်သော (non-negative) ကိန်းစစ်တစ်ခုသို့ ညွှန်းပို့ပေးသည့် ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းတွင် အပေါင်းကိန်းသေချာမှု (positive definiteness)၊ တစ်ပြေးညီ ပကတိကိန်းဖြစ်မှု (absolute homogeneity) နှင့် နိမ့်ကျစွာပေါင်းမှု (subadditivity) ဟူသော ဂုဏ်သတ္တိ (property) သုံးခု ရှိသည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုကို စံနှုန်းတစ်ခု တပ်ဆင်လိုက်သောအခါ အရေးကြီးသော ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (analytic properties) ရှိသည့် စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်း (normed vector space) တစ်ခုကို ရရှိသည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုပေါ်ရှိ စံနှုန်းတိုင်းသည် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေပြီး ထိုမှတစ်ဆင့် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (topology) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ထပ်တူညီသော စံနှုန်းနှစ်ခု (equivalent norms) သည် တူညီသော တိုပေါ်လော်ဂျီကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (dimension) အကန့်အသတ်ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများပေါ်တွင် စံနှုန်းအားလုံးသည် အချင်းချင်း ထပ်တူညီကြသည်။{{sfn|Heuser|2004}} စံနှုန်းများကို [[မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ]] (linear algebra) နှင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) တို့တွင် အထူးတလည် လေ့လာကြသည်။ ၎င်းတို့သည် ကိန်းဂဏန်းခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုပညာ (numerical analysis) တွင်လည်း အရေးကြီးသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ == အခြေခံ သဘောတရားများ (Basic concepts) == === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) === [[ဖိုင်:Vector-triangle-inequality.svg|thumb|[[တြိဂံ မညီမျှခြင်း]] (triangle inequality) အရ ဗက်တာနှစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ်အလျားသည် ၎င်းတို့၏ သီးခြားအလျားများ ပေါင်းလဒ်ထက် အများဆုံးအားဖြင့် တူညီနိုင်သည်။ ဗက်တာ <math>x</math> နှင့် <math>y</math> တို့ ဦးတည်ရာအရပ် တူညီပါက အဆိုပါ ညီမျှခြင်း အမြဲမှန်ကန်ပြီး ယူကလစ် စံနှုန်း ကဲ့သို့သော တင်းကျပ်စွာ ခုံးသည့် စံနှုန်းများ (strictly convex norms) တွင်မူ သုညမဟုတ်သော ဗက်တာများ၏ ဦးတည်ရာ တူညီမှသာ ညီမျှခြင်း ဖြစ်ပေါ်နိုင်သည်။]] စံနှုန်း (norm) ဆိုသည်မှာ [[ကိန်းစစ်]] (real number) သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး]] (complex number) များဖြစ်သော [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) <math>\mathbb K</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) <math>V</math> မှ ကိန်းစစ်များအစုသို့ ညွှန်းပို့ပေးသော [[ဖန်ရှင်]] (function) <math>\|\cdot\|</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ : <math>\|\cdot\|\colon V\to{\mathbb R}, \; x \mapsto \| x \|</math> ၎င်းသည် [[ဗက်တာ]] (vector) <math>x, y\in V</math> အားလုံးနှင့် [[စကေလာ]] (scalar) <math>\alpha\in\mathbb K</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါ [[နဂိုမှန်အဆို]] (axiom) သုံးခုကို ပြည့်စုံစေရမည်။ {| style="margin-left: 2em" |- | style="width:20em;" |(၁) အပေါင်းကိန်းသေချာမှု (positive definiteness) |<math>\|x\| \ge 0</math>&nbsp;&nbsp;နှင့်&nbsp;&nbsp;<math>\|x\| = 0 \iff x = 0_V</math> |- |(၂) တစ်ပြေးညီ ပကတိကိန်းဖြစ်မှု (absolute homogeneity) |<math>\|\alpha\cdot x\| = |\alpha|\cdot\|x\|</math> |- | (၃) နိမ့်ကျစွာပေါင်းမှု (subadditivity) / [[တြိဂံ မညီမျှခြင်း]] (triangle inequality) |<math>\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|</math> |} ဤတွင် <math>|\cdot|</math> သည် စကေလာ၏ [[ပကတိတန်ဖိုး]] (absolute value) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ ဤစံနှုန်းဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ၁၉၂၂ ခုနှစ်တွင် စတီဖန် ဘာနက် (Stefan Banach) မှ ၎င်း၏ ပါရဂူဘွဲ့စာတမ်းတွင် ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။{{sfn|Banach|1922}}{{sfn|Werner|2007}} ယနေ့ခေတ် အသုံးပြုနေသော စံနှုန်းသင်္ကေတကို ၁၉၀၈ ခုနှစ်တွင် အဲဟတ် ရှမစ် (Erhard Schmidt) က ဗက်တာ <math>x</math> နှင့် <math>y</math> တို့ကြားရှိ အကွာအဝေး (distance) <math>\|x-y\|</math> အဖြစ် ပထမဆုံး စတင်အသုံးပြုခဲ့သည်။{{sfn|Scriba|Schreiber|2009}} === ယူကလစ် စံနှုန်း (Euclidean norm) === စံပြဥပမာတစ်ခုမှာ <math>\mathbb{R}^2</math> ပြင်ညီ (plane) ရှိ သုညမှတ်ကို မူလနေရာ (origin) အဖြစ် အခြေခံသော ဗက်တာ <math>(x,y)</math> တစ်ခု၏ ယူကလစ် စံနှုန်း (Euclidean norm) ဖြစ်သည်။ : <math>\| (x,y) \| = \sqrt{x^2 + y^2}</math> ယင်းသည် ဗက်တာ၏ အလျားနှင့် ကိုက်ညီသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ဗက်တာ <math>(1,1)</math> ၏ ယူကလစ် စံနှုန်းသည် <math>\sqrt{2}</math> နှင့် ညီမျှသည်။ အပေါင်းကိန်းသေချာမှုကြောင့် ဗက်တာတစ်ခု၏ အလျားသည် သုညဖြစ်နေပါက ယင်းဗက်တာသည် သုညဗက်တာ (zero vector) ဖြစ်ရမည်။ တစ်ပြေးညီ ပကတိကိန်းဖြစ်မှုကြောင့် ဗက်တာတစ်ခု၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုစီကို ကိန်းတစ်ခုဖြင့် မြှောက်လိုက်ပါက ၎င်း၏ အလျားသည် ထိုကိန်း၏ ပကတိတန်ဖိုး ပမာဏမြှောက်လဒ်အတိုင်း ပြောင်းလဲသွားမည် ဖြစ်သည်။ နောက်ဆုံးအနေဖြင့် တြိဂံ မညီမျှခြင်းအရ ဗက်တာနှစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ်အလျားသည် ၎င်းတို့ သီးခြားစီ အလျားများ ပေါင်းလဒ်ထက် အများဆုံးအားဖြင့် တူညီနိုင်သည်။ === အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများ (Basic properties) === <math>\alpha = -1</math> ဟု သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် တစ်ပြေးညီ ပကတိကိန်းဖြစ်မှုမှ အောက်ပါအတိုင်း ဆင်းသက်ရရှိသည်။ : <math>\|{-x}\| = \|x\|</math> &nbsp; နှင့် ထို့ကြောင့် &nbsp; <math>\|x - y\| = \|y - x\|</math> ထို့ကြောင့် လက္ခဏာ ပြောင်းပြန်လှန်ခြင်းနှင့် ပတ်သက်၍ [[ခေါက်ချိုးညီ|အချိုးညီမှု]] (symmetry) ရှိသည်။ ထို့ကြောင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ရှိ <math>\|x\| \ge 0</math> ဟူသော သတ်မှတ်ချက်ကို ချန်လှပ်ထားနိုင်သည်၊ အကြောင်းမှာ ၎င်းသည် အခြားသော ဂုဏ်သတ္တိများမှ ဆင်းသက်လာသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ : <math>\|x\| = \frac{1}{2}\left(2\|x\|\right) = \frac{1}{2}\left(\|x\| + \|{-x}\|\right) \geq \frac{1}{2}\|x + {-x}\| = \frac{1}{2}\|0\| = 0</math> ထို့အပြင် စံနှုန်းများအတွက် [[တြိဂံ မညီမျှခြင်း|ပြောင်းပြန် တြိဂံ မညီမျှခြင်း]] (reverse triangle inequality) သည်လည်း အကျုံးဝင်သည်။ : <math>\bigl| \| x \| - \| y \| \bigr| \leq \| x - y \|</math> ၎င်းကို <math>x-y+y</math> အပေါ် တြိဂံ မညီမျှခြင်း အသုံးချခြင်းနှင့် အချိုးညီမှုကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားခြင်းဖြင့် သက်သေပြနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် စံနှုန်းတိုင်းသည် ညီညာစွာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှု (uniformly continuous mapping) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် နိမ့်ကျစွာပေါင်းမှု နှင့် တစ်ပြေးညီ ပကတိကိန်းဖြစ်မှု တို့ကြောင့် စံနှုန်းတစ်ခုသည် နိမ့်ကျမျဉ်းဖြောင့်ဂုဏ် (sublinear) ရှိပြီး ထိုမှတစ်ဆင့် ခုံးသော ပုံဖော်မှု (convex mapping) တစ်ခု ဖြစ်လာသည်၊ ဆိုလိုသည်မှာ <math>t \in [0,1]</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း အကျုံးဝင်သည်။ : <math>\| tx + (1-t) y\| \leq t \| x \| + (1-t) \| y \|</math> === စက်လုံးများ (Norm balls) === [[ဖိုင်:Unit disc 2-norm qtl1.svg|thumb|mini|အတိုင်းအတာ ၂ ရှိသော ရပ်ဝန်းတွင် ယူကလစ် စံနှုန်းအတွက် အနီရောင်ဖြင့် ပြထားသော ယူနစ်စက်လုံး နှင့် အပြာရောင်ဖြင့် ပြထားသော [[ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင်]]]] ဗက်တာ <math>x_0\in V</math> နှင့် ကိန်းစစ် စကေလာ <math>r \in \mathbb{R}</math> အတွက် <math>r > 0</math> ဖြစ်ပါက အောက်ပါ အစုများကို : <math>\{ x \in V\colon \| x-x_0 \| < r \}</math> &nbsp;&nbsp; နှင့် &nbsp;&nbsp; <math>\{ x \in V\colon \| x-x_0 \| \leq r \}</math> ကို အဖွင့်စက်လုံး (open ball) နှင့် အပိတ်စက်လုံး (closed ball) ဟု အသီးသီးခေါ်ပြီး အောက်ပါ အစုကို : <math>\{ x \in V\colon \| x-x_0 \| = r \}</math> <math>x_0</math> ကို ဗဟိုပြု၍ အချင်းဝက် (radius) <math>r</math> ရှိသော '''စက်လုံးမျက်နှာပြင် (sphere)''' ဟု ခေါ်သည်။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တွင် <math>x_0=0</math> နှင့် <math>r=1</math> ဟု ရွေးချယ်ပါက ထွက်ပေါ်လာသော အစုများကို ယူနစ်စက်လုံး (unit ball) သို့မဟုတ် ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင် (unit sphere) ဟု ခေါ်သည်။ စက်လုံး သို့မဟုတ် စက်လုံးမျက်နှာပြင် တိုင်းသည် သက်ဆိုင်ရာ ယူနစ်စက်လုံး သို့မဟုတ် ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင်မှတစ်ဆင့် အချိုးအစား <math>r</math> ဖြင့် အရွယ်ပြောင်းခြင်း (scaling) နှင့် ဗက်တာ <math>x_0</math> ဖြင့် ပြိုင်တူရွှေ့ပြောင်းခြင်း (translation) ပြုလုပ်ခြင်းဖြင့် ဖြစ်ပေါ်လာသည်။ ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင် ပေါ်ရှိ ဗက်တာတစ်ခုကို [[ယူနစ်ဗက်တာ]] (unit vector) ဟု ခေါ်သည်။ <math>x \neq 0</math> ဖြစ်သော မည်သည့်ဗက်တာအတွက်မဆို <math>\tfrac{x}{\| x \|}</math> ဟု ယူနစ်ဗက်တာသတ်မှတ်ခြင်း (normalization) ပြုလုပ်ခြင်းဖြင့် သက်ဆိုင်ရာ ယူနစ်ဗက်တာကို ရရှိနိုင်သည်။ စက်လုံးတစ်ခုသည် ခုံးသောအစု (convex set) ဖြစ်ရမည်။ သို့မဟုတ်ပါက သက်ဆိုင်ရာပုံဖော်မှုသည် တြိဂံမညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေမည်မဟုတ်ပေ။ ထို့အပြင် တစ်ပြေးညီ ပကတိကိန်းဖြစ်မှုကြောင့် စက်လုံးတစ်ခုသည် <math>x_0</math> အခြေပြု၍ အမြဲတမ်း အမှတ်အချိုးညီမှု (point-symmetric) ရှိရမည်။ အကန့်အသတ်ရှိသော အတိုင်းအတာ (finite-dimensional) ဗက်တာရပ်ဝန်းများရှိ စံနှုန်းတစ်ခုကို ၎င်းနှင့်သက်ဆိုင်သော စက်လုံးမှတစ်ဆင့်လည်း သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ထိုသို့သတ်မှတ်ရန်အတွက် အဆိုပါအစုသည် ခုံးသောအစု (convex set) ဖြစ်ခြင်း၊ မျှခြေရှိသော အစု (balanced set) ဖြစ်ခြင်း၊ အပိတ်စု (closed set) ဖြစ်ခြင်း၊ အကန့်အသတ်ရှိခြင်း (bounded) နှင့် သုညမှတ်သည် ၎င်း၏ အတွင်းပိုင်းအမှတ် (interior point) ဖြစ်ခြင်း စသည့် အချက်များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ ကိန်းစစ် ဗက်တာရပ်ဝန်းများတွင် မျှခြေရှိခြင်းသည် သုညမှတ်ကို အခြေပြု၍ အမှတ်အချိုးညီမှုရှိခြင်းနှင့် ထပ်တူညီသည်။ သက်ဆိုင်ရာ ပုံဖော်မှုကို မင်ကော့စကီး ဖန်ရှင်နယ် (Minkowski functional) သို့မဟုတ် ချိန်ညှိဖန်ရှင်နယ် (gauge functional) ဟုလည်း ခေါ်သည်။ ဟာမန် မင်ကော့စကီး (Hermann Minkowski) သည် ၁၈၉၆ ခုနှစ်ကတည်းက [[ကိန်းသီအိုရီ]] (number theory) ဆိုင်ရာ ပြဿနာများ၏ မူဘောင်အတွင်း၌ ယင်းကဲ့သို့သော ချိန်ညှိဖန်ရှင်နယ်များကို လေ့လာခဲ့သည်။ === လှုံ့ဆော်ခံစံနှုန်းများ (Induced norms) === စံနှုန်းတစ်ခုသည် အတွင်းမြှောက်လဒ် (inner product) <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> တစ်ခုမှ ဆင်းသက်လာနိုင်သော်လည်း မဖြစ်မနေ ဆင်းသက်လာရန် မလိုအပ်ပေ။ ထိုသို့ဆင်းသက်လာပါက ဗက်တာ <math>x \in V</math> တစ်ခု၏ စံနှုန်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ : <math>\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle}</math> ဆိုလိုသည်မှာ ဤစံနှုန်းသည် ဗက်တာတစ်ခုကို ၎င်းကိုယ်တိုင် အတွင်းမြှောက်လဒ် ပြုလုပ်ခြင်း၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) ဖြစ်သည်။ ဤတွင် ၎င်းကို အတွင်းမြှောက်လဒ်-လှုံ့ဆော်ခံစံနှုန်း (norm induced by the inner product) သို့မဟုတ် ဟီလ်ဘတ် စံနှုန်း (Hilbert norm) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အတွင်းမြှောက်လဒ်ကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာသော စံနှုန်းတိုင်းသည် [[ကော်ချီ-ရှဗာ့ဇ် မညီမျှခြင်း]] (Cauchy-Schwarz inequality) နှင့် ပြည့်စုံသည်။ : <math>| \langle x, y \rangle | \leq \| x \| \cdot \| y \|</math> ထို့အပြင် ၎င်းသည် ယူနစ်တရီ အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (unitary transformations) အောက်တွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (invariant) ရှိသည်။ ဂျော်ဒန်-ဖွန်နွိုင်းမန်း သီအိုရမ် (Jordan-von Neumann theorem) အရ အတွင်းမြှောက်လဒ်-လှုံ့ဆော်ခံစံနှုန်းသည် အနားပြိုင်စတုဂံ ညီမျှခြင်း (parallelogram law) နှင့် ပြည့်စုံသည်။ သို့သော် အချို့သော အရေးကြီးသည့် စံနှုန်းများသည် အတွင်းမြှောက်လဒ်မှ ဆင်းသက်လာခြင်း မဟုတ်ပါ။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကြည့်လျှင် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှု၏ အဓိကခြေလှမ်းတစ်ခုမှာ အတွင်းမြှောက်လဒ်အပေါ် အခြေခံမထားသော စံနှုန်းများကို မိတ်ဆက်ခဲ့ခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် စံနှုန်းတိုင်းအတွက် ၎င်းနှင့်သက်ဆိုင်သော အတွင်းမြှောက်လဒ်အကြို (semi-inner product) တစ်ခု ရှိသည်။ == ကိုးကား (References) == {{citation | last = Heuser | first = Harro | title = Lehrbuch der Analysis. Teil 2 | edition = 13. Auflage | publisher = Teubner Verlag | year = 2004 | isbn = 3-519-62232-7 }} {{citation | last = Banach | first = Stefan | title = Sur les op&eacute;rations dans les ensembles abstraits et leur application aux &eacute;quations int&eacute;grales | journal = Fundamenta Mathematicae | volume = 3 | issue = 1 | pages = 133–181 | year = 1922 | url = https://bibliotekanauki.pl/articles/1385859 }} {{citation | last = Werner | title = Funktionalanalysis | publisher = Springer | year = 2007 | page = 41 }} {{citation | last1 = Scriba | last2 = Schreiber | title = 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen | publisher = Springer | year = 2009 | pages = 511–512 }} {{refend}} [[ကဏ္ဍ:ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] 4eshttyx5ps9c2drt1tt8e1obfmdq5p 0 282734 1060794 1054224 2026-10-30T22:23:38Z Mkant00 135890 format/hyperlinks 1060794 wikitext text/x-wiki [[ဖိုင်:Cauchy_sequence_illustration.svg|thumb|'''ကော်ချီ ကိန်းစဉ် (Cauchy sequence) ဥပမာ -''' ကိန်းစဉ် ဆက်လက်ဖြစ်ပေါ်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်း၏ အစုဝင်များကြားရှိ အကွာအဝေးသည် အလိုရှိသလောက် သေးငယ်သွားသည်။]] [[ဖိုင်:Cauchy_sequence_illustration2.svg|thumb|'''ကော်ချီ ကိန်းစဉ် မဟုတ်သော ကိန်းစဉ် ဥပမာ -''' ကိန်းစဉ် ဆက်လက်ဖြစ်ပေါ်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်း၏ အစုဝင်များကြားရှိ အကွာအဝေးသည် အလိုရှိသလောက် သေးငယ်မသွားပေ။]] သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် '''ကော်ချီ ကိန်းစဉ်''' (Cauchy sequence) ဆိုသည်မှာ ကိန်းစဉ် ဆက်လက်ဖြစ်ပေါ်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်း၏ အစုဝင်များ (elements) ကြားရှိ အကွာအဝေး (distance) သည် အလိုရှိသလောက် (arbitrarily) သေးငယ်သွားသော ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များကို ပြင်သစ် သင်္ချာပညာရှင် အောဂတ်စတင်-လူးဝီကော်ချီ (Augustin-Louis Cauchy) အား အစွဲပြု၍ မှည့်ခေါ်ထားခြင်းဖြစ်ပြီး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (analysis) တည်ဆောက်မှုအတွက် အခြေခံကျ အရေးပါသည်။ ကိန်းစစ် (real numbers) များပါဝင်သော ကော်ချီ ကိန်းစဉ်တစ်ခုသည် အမြဲတမ်း စုဆုံ (converge) ပြီး ၎င်း၏ စုဆုံမှတ် (limit) အဖြစ် ကိန်းစစ်တစ်ခုရှိသည်။ သို့သော် ရာရှင်နယ်ကိန်း (rational numbers) များပါဝင်သော ကော်ချီ ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ်သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း (irrational number) လည်း ဖြစ်နိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် ကိန်းစစ်များသည် ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်း (complete space) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကိန်းစစ်များသည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (metric space) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားပြီး အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခုအတွင်းရှိ ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များအားလုံး စုဆုံမှသာလျှင် ထိုရပ်ဝန်းကို ပြည့်စုံသည်ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ == ကိန်းများ၏ ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များ (Cauchy sequences of numbers) == === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် === [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] ပါဝင်သော [[ကိန်းစဉ်]] <math>(a_i)_{i\in \mathbb{N}}</math> တစ်ခုသည် မည်သည့် <math>\varepsilon>0</math> အတွက်မဆို အညွှန်းကိန်း (index) <math>N</math> တစ်ခု ရှိနေပြီး ထိုအညွှန်းကိန်းမှစ၍ ကိန်းစဉ်၏ အစုဝင်များအားလုံး တစ်ခုနှင့်တစ်ခု အကွာအဝေး <math>\varepsilon</math> ထက် နည်းပါက ၎င်းကို '''ကော်ချီ ကိန်းစဉ် (Cauchy sequence)''' ဟု ခေါ်သည်။ ပုံစံတကျ (formal) အားဖြင့် ဤအခြေအနေကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားနိုင်သည်။ :<math>\forall \varepsilon>0 \quad \exists N\in\mathbb{N} \quad \forall m,n \ge N \colon \quad \left|a_m-a_n \right|<\varepsilon</math> ဤတွင် <math>| \cdot |</math> သည် ကိန်းတစ်ခု၏ [[ပကတိတန်ဖိုး]] (absolute value) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ ==== မှတ်ချက်များ ==== *အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တွင် <math>\ge N</math> အစား <math>>N</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ <math>< \varepsilon</math> အစား <math>\le \varepsilon</math> ဖြင့်လည်းကောင်း အစားထိုး အသုံးပြုနိုင်သည်။ *ဤအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်နှင့် တူညီစွာ မည်မျှပင် သေးငယ်သော အပေါင်းကိန်း <math>\varepsilon</math> အတွက်မဆို ကိန်းစဉ်၏ အစုဝင်အားလုံးနီးပါး(almost all) ပါဝင်နေမည့် အလျား <math>2\varepsilon</math> ရှိသော အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခု ရှိသည်ဟုလည်း သတ်မှတ်နိုင်သည်။ === ဥပမာများ === * ကိန်းစဉ် <math>a_i = \tfrac{1}{i}</math> သည် ကော်ချီ ကိန်းစဉ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အကြောင်းမှာ မည်မျှပင် သတ်မှတ်ပေးထားသော <math>\varepsilon>0</math> အတွက်မဆို <math>N>\tfrac{1}{\varepsilon}</math> ကို ပြည့်စုံစေမည့် <math>N</math> တစ်ခုကို ရွေးချယ်နိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ မည်သည့် <math>n\geq m>N</math> ကိုမဆို ရွေးချယ်လိုက်ပါက အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်မည်။ ::<math>| a_m - a_n | = \left|\frac{1}{m} - \frac{1}{n}\right| = \left|\frac{n-m}{mn}\right| < \frac{n}{mn} = \frac{1}{m} < \frac{1}{N} < \varepsilon</math>. * ကိန်းစဉ် <math>a_i = i</math> သည် ကော်ချီ ကိန်းစဉ် မဟုတ်ပေ။ ၎င်းအတွက် <math>\varepsilon=\tfrac12</math> ဟု ရွေးချယ်ပြီး <math>N</math> ကို မည်သည့် သဘာဝကိန်း (natural number) အဖြစ်မဆို ထားရှိပါစို့။ ထိုအခါ <math>n=N+1</math> နှင့် <math>m=n+1</math> ကို ရွေးချယ်နိုင်ပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်မည်။<ref>အဆိုကို ချေပရန် (counterproof) အတွက် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ပြောင်းပြန်လှန်လျှင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math>\exists \varepsilon>0 ~ \forall N\in\mathbb{N} ~ \exists m,n \ge N \colon \left|a_m-a_n \right|\geq\varepsilon</math>။</ref> ::<math>| a_m - a_n | = | m - n | = 1 \geq \varepsilon</math>. === ပြည့်စုံမှု (Completeness) === [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ]] အစုအတွင်း၌ အထက်တွင် ဖော်ပြထားသည့်အတိုင်း အစုဝင်များ စုစည်းလာနိုင်သော်လည်း [[စုဆုံမှတ်]] မရှိသော ရာရှင်နယ်ကိန်းများပါဝင်သည့် ကိန်းစဉ်များ ရှိသည်။ ၎င်းအတွက် ဥပမာတစ်ခုမှာ အောက်ပါ ဖွဲ့စည်းမှုပါရှိသော ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ကိန်းစဉ် ဖြစ်သည်။ :<math>a_1:=1,\quad a_{i+1}:=\frac{a_i}{2} + \frac{1}{a_i}</math>. ဤကိန်းစဉ်သည် ကော်ချီ ကိန်းစဉ်တစ်ခု ဖြစ်သော်လည်း ၎င်း၏ စုဆုံမှတ်မှာ အီရာရှင်နယ်ကိန်း <math>\sqrt{2}</math> ဖြစ်သောကြောင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ အစုအတွင်း၌ စုဆုံခြင်း မရှိပေ။ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ အစု <math>\mathbb{Q}</math> အတွင်း၌ ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များစွာ၏ စုဆုံမှတ်များ မရှိခြင်းဟူသော ပြဿနာကြောင့် သမိုင်းကြောင်းအရ ရာရှင်နယ်ကိန်းများမှတဆင့် ကိန်းစစ်များ အစု <math>\mathbb{R}</math> ကို ပြည့်စုံစေခြင်း (completion) နည်းလမ်းဖြင့် တည်ဆောက်ရန် ဦးတည်စေခဲ့သည်။ == အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများရှိ ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များ (Cauchy sequences in metric spaces) == === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) === ပိုမိုယေဘုယျကျစွာအားဖြင့် ကော်ချီ ကိန်းစဉ် သဘောတရားကို အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric) <math>d</math> ပါရှိသော မည်သည့် အလိုရှိ [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (metric space) <math>(X,d)</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math>X </math> အတွင်းရှိ အစုဝင်များ (elements) ၏ ကိန်းစဉ် (sequence) <math>(x_i)_{i\in \mathbb{N}}</math> တစ်ခုကို အောက်ပါအခြေအနေ မှန်ကန်ပါက ကော်ချီ ကိန်းစဉ် ဟု ခေါ်သည်။ <math>\forall \varepsilon>0 \quad \exists N\in\N \quad \forall m,n \geq N \colon \quad d(x_m, x_n) < \varepsilon</math> ဆိုလိုသည်မှာ မည်မျှပင် သေးငယ်သော ကိန်းစစ် <math>\varepsilon > 0</math> အတွက်မဆို သက်ဆိုင်ရာ အညွှန်းကိန်း <math>N</math> တစ်ခုရှိနေပြီး ထို <math>N</math> ထက် ကြီးသော သို့မဟုတ် ညီသော မည်သည့် သဘာဝကိန်းများ <math>m, n</math> အတွက်မဆို ၎င်းအစုဝင်နှစ်ခုကြား အကွာအဝေးသည် <math>d(x_m, x_n) < \varepsilon</math> ဖြစ်ရမည်။ ၎င်းနှင့် ညီမျှသော ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက်တစ်ခုမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ မည်သည့် <math>\varepsilon > 0</math> အတွက်မဆို အမှတ် (point) <math>a</math> တစ်ခုနှင့် အညွှန်းကိန်း <math>N</math> တစ်ခု ရှိသည်။ ထို့အတွက်ကြောင့် <math>x_N</math> မှစ၍ ကိန်းစဉ်အစုဝင်များအားလုံးသည် အမှတ် <math>a</math> ကို ဗဟိုပြု၍ အချင်းဝက် (radius) <math>\varepsilon</math> ရှိသော အဖွင့်စက်လုံး (open ball) <math>B_{\varepsilon}(a)</math> အတွင်း၌ တည်ရှိနေကြသည်။ ဤပုံစံသည် စုဆုံခြင်း (convergence) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်နှင့် အနည်းငယ်သာ ကွဲပြားသည်။ ဤနေရာတွင် ဗဟို (center) <math>a</math> သည် အချင်းဝက် <math>\varepsilon</math> အပေါ် မူတည်နိုင်ခွင့်ရှိသည်။ သို့ရာတွင် စုဆုံခြင်း၌မူ စုဆုံမှတ် <math>a</math> သည် <math>\varepsilon</math> အပေါ် အမှီအခိုကင်းရန် (independent) လိုအပ်သည်။ ဤဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက်အရ [[တြိဂံ မညီမျှခြင်း]] (triangle inequality) ကို အသုံးပြုပါက အစုဝင်များကြား အကွာအဝေးသည် <math>2\varepsilon</math> ထက် ငယ်မည်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် မူလအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်နှင့် တိကျစွာ ညီမျှစေရန် <math>\varepsilon</math> အစား <math>\frac{\varepsilon}{2}</math> ဟု အချိုးချပြောင်းလဲ တွက်ချက်ရမည်ဖြစ်သည်။ <math>\varepsilon</math> သည် အပေါင်းကိန်းအားလုံးကို ဖြတ်သန်းသောကြောင့် အဓိပ္ပာယ်ကို မပြောင်းလဲပါ။ === ပြည့်စုံမှု (Completeness) === အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (metric space) တစ်ခုအတွင်းရှိ စုဆုံ ကိန်းစဉ် (convergent sequence) တိုင်းသည် ကော်ချီ ကိန်းစဉ် (Cauchy sequence) လည်း ဖြစ်သည်။ ကိန်းစဉ် <math>(x_i)_{i \in \mathbb{N}}</math> တစ်ခုသည် [[စုဆုံမှတ်]] (limit) <math>x \in X</math> သို့ စုဆုံသည်ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ မည်သည့် <math>\varepsilon > 0</math> အတွက်မဆို အညွှန်းကိန်း (index) <math>N \in \mathbb{N}</math> တစ်ခု ရှိပြီး မည်သည့် <math>n \geq N</math> အတွက်မဆို <math>d(x,x_n) < \tfrac{\varepsilon}2</math> ဟု ဆိုနိုင်သည်။ ထို့နောက် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများအတွက် [[တြိဂံ မညီမျှခြင်း]] (triangle inequality) ကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် မည်သည့် <math>m,n \geq N</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>d(x_m,x_n) \leq d(x_m,x) + d(x,x_n) < \tfrac{\varepsilon}2 + \tfrac{\varepsilon}2 = \varepsilon</math> ထို့ကြောင့် ၎င်းကိန်းစဉ်သည် ကော်ချီ ကိန်းစဉ် ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် ယင်း၏ ပြောင်းပြန်အဆိုသည် အမြဲတမ်း မှန်ကန်ရန် မလိုအပ်ပေ။ ဤအချက်က နောက်ဆုံးတွင် [[ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်းများ]] (complete spaces) ကို မိတ်ဆက်ရန် ဖြစ်ပေါ်စေခဲ့သည်။ ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်းတစ်ခုတွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ မည်သည့် ကော်ချီ ကိန်းစဉ်တွင်မဆို [[စုဆုံမှတ်]] တစ်ခု ပါရှိသည်။ ထို့အပြင် စုဆုံ ကိန်းစဉ် သဘောတရားသည် ကော်ချီ ကိန်းစဉ် သဘောတရားနှင့် ထပ်တူကျသွားသည်။ မည်သည့် ပြည့်စုံမှုမရှိသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းကိုမဆို ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များ၏ [[ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား|ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ]] (equivalence classes) ကို ဖွဲ့စည်းတည်ဆောက်ခြင်းဖြင့် ပြည့်စုံစေခြင်း (completion) ပြုလုပ်နိုင်သည်။ ဤတွင် <math>X</math> ရှိ အစုဝင်များ၏ ကော်ချီ ကိန်းစဉ် နှစ်ခုဖြစ်သော <math>(x_i)_{i\in \mathbb{N}}</math> နှင့် <math>(y_i)_{i\in \mathbb{N}}</math> တို့ကို အောက်ပါအခြေအနေတွင် ထပ်တူညီသည် (equivalent) ဟု ယူဆသည်။ :<math>\forall \varepsilon>0 \quad \exists N\in\N \quad \forall m,n \geq N \colon \quad d(x_m, y_n) < \varepsilon</math> သို့မဟုတ် အခြား အဓိပ္ပာယ်တူညီသော ဖော်ပြချက်မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\lim_{m, n \to \infty} d(x_m, y_n) = 0</math> ကိန်းစဉ် နှစ်ခုအနက် တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ်သည် <math>X</math> တွင် ရှိနေပါက အခြားကိန်းစဉ်၏ စုဆုံမှတ်သည်လည်း ထိုရပ်ဝန်းတွင်း၌ပင် ရှိနေမည်ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ၎င်းတို့၏ စုဆုံမှတ် နှစ်ခုစလုံးသည် တူညီကြသည်။ [[ကဏ္ဍ:ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းစဉ်နှင့် ကိန်းစဉ်တန်း]] hwjlwesp1p179yj4egy2rnf1ylb1lrg 0 282833 1060792 1046722 2026-10-30T22:05:39Z Mkant00 135890 major expansion 1060792 wikitext text/x-wiki '''ကိန်းစဉ်ရပ်ဝန်း''' (sequence space) ဆိုသည်မှာ [[ဖီးလ်ဒ်|စကေလာဖီးလ်ဒ်]] (scalar field) <math>\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}</math> မှ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော [[ကိန်းစဉ်|အနန္တကိန်းစဉ်များ]] (infinite sequences) သည် အစုဝင်များ (elements) ဖြစ်ကြသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ တူညီသော အခြားဖော်ပြချက်အရ ကိန်းစဉ်ရပ်ဝန်းတစ်ခုသည် [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ]] (natural numbers) <math>\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}</math> မှ <math>\mathbb{K}</math> သို့ သတ်မှတ်ထားသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (functions) သည် အစုဝင်များဖြစ်ကြသည့် ဖန်ရှင်ရပ်ဝန်း (function space) တစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် ပေါင်းခြင်း (pointwise addition) နှင့် သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် စကေလာမြှောက်ခြင်း (pointwise scalar multiplication) တို့အောက်တွင် ထိုကဲ့သို့သော ဖန်ရှင်များအားလုံး၏ [[အစု]]သည် ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ကိန်းစဉ်ရပ်ဝန်းတိုင်းသည် <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> ၏ မျဉ်းဖြောင့်ရပ်ဝန်းပိုင်း (linear subspace) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ|ဖန်ရှင်နယ်ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (functional analysis) တွင် ကိန်းစဉ်ရပ်ဝန်းများအား ယေဘုယျအားဖြင့် ပြည့်စုံသော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (complete norm) သတ်မှတ်ပေးခြင်းဖြင့် [[ဘာနက် ရပ်ဝန်း]] (Banach space) တစ်ခုအဖြစ် သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|ဒေသအလိုက်ခုံးသော တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (locally convex topology) သတ်မှတ်ပေးခြင်းဖြင့် ဖရေးရှေး ရပ်ဝန်း (Fréchet space) သို့မဟုတ် LB-ရပ်ဝန်း (LB-space) တစ်ခုအဖြစ် ဖွဲ့စည်းတည်ဆောက်လေ့ရှိသည်။ == ကိန်းစဉ်အားလုံး၏ ဝန်းရံရပ်ဝန်း (Ambient Space of All Sequences) == <math>\mathbb{K}</math> ထဲတွင် ပါဝင်သော ကိန်းလုံးများဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည့် [[ကိန်းစဉ်|ကိန်းစဉ်များ]] (sequences) <math>x = (x_n)_{n=1}^\infty</math> အားလုံး၏ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) ကို <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြပါစို့။ ၎င်းရပ်ဝန်းအား အောက်ပါအတိုင်း သက်ဆိုင်ရာအစိတ်အပိုင်းများအလိုက် ပေါင်းခြင်း (componentwise addition) သတ်မှတ်ပေးထားသည်။ <math display="block"> (x_n)_{n=1}^\infty + (y_n)_{n=1}^\infty = (x_n + y_n)_{n=1}^\infty </math> ထို့ပြင် <math>\alpha \in \mathbb{K}</math> အားလုံးအတွက် သက်ဆိုင်ရာအစိတ်အပိုင်းများအလိုက် စကေလာမြှောက်ခြင်း (componentwise scalar multiplication) ကိုလည်း အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်ပေးထားသည်။ <math display="block"> \alpha (x_n)_{n=1}^\infty = (\alpha x_n)_{n=1}^\infty </math> [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|မြှောက်လဒ်တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (product topology) သတ်မှတ်ပေးထားသောအခါ <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> သည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|တိုပေါ်လော်ဂျီ ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (topological vector space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထိုရပ်ဝန်းတွင် ကိန်းစဉ်များ၏ ကိန်းစဉ် (sequence of sequences) <math>(x^{(k)})_{k=1}^\infty</math> သည် <math>x</math> သို့ စုဆုံရန် (converges) [[ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ|လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ]] (if and only if) မှာ ကိုဩဒိနိတ် (coordinate) <math>n \in \mathbb{N}</math> တစ်ခုချင်းစီအတွက် <math>\lim_{k \to \infty} x_n^{(k)} = x_n</math> ဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ ဤတိုပေါ်လော်ဂျီအောက်တွင် <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> သည် ပြည့်စုံသော (complete)၊ အကွာအဝေးဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်သော (metrizable)၊ ဒေသအလိုက်ခုံးသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ဗက်တာရပ်ဝန်း (locally convex topological vector space) တစ်ခု ဖြစ်ပြီး ထို့ကြောင့် ဖရေးရှေး ရပ်ဝန်း (Fréchet space) တစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။<ref>Jarchow (1981), pp. 129–130.</ref> <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> ပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ်တိုပေါ်လော်ဂျီသည် အဆက်မပြတ် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်းများ]] (continuous norms) တစ်စုံတစ်ခုမျှ ရှိခွင့်မပြုပေ။ အကြောင်းမှာ <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> ပေါ်ရှိ အဆက်မပြတ် ဆီမီးစံနှုန်း (continuous seminorm) တိုင်းတွင် အသေးအဖွဲမဟုတ်သော [[ကာနယ်]] (non-trivial kernel) တစ်ခု အမြဲရှိနေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။<ref>Jarchow (1981), pp. 129–130.</ref> ရပ်ဝန်း <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> သည် အဆက်မပြတ် စံနှုန်းများ ကင်းမဲ့နေသော ဖရေးရှေး ရပ်ဝန်းများအကြားတွင် အနည်းဆုံးအနေအထား (minimal position) တစ်ခု၌ တည်ရှိနေသည်။ <math>X</math> သည် <math>\mathbb{K}</math> အပေါ်ရှိ ဖရေးရှေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ အောက်ပါအခြေအနေများသည် အဓိပ္ပာယ်ထပ်တူညီကြသည် (equivalent)။<ref>Jarchow (1981), pp. 129–130.</ref> # ရပ်ဝန်း <math>X</math> သည် မည်သည့် အဆက်မပြတ် စံနှုန်းကိုမျှ လက်ခံခွင့်မပြုပေ။ # ရပ်ဝန်း <math>X</math> တွင် <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော]] (isomorphic) တိုပေါ်လော်ဂျီ ဗက်တာရပ်ဝန်းပိုင်း (topological vector subspace) တစ်ခု ပါဝင်သည်။ # ရပ်ဝန်း <math>X</math> တွင် <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော ဖြည့်စွက်ပါဝင်သည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ဗက်တာရပ်ဝန်းပိုင်း (complemented topological vector subspace) တစ်ခု ပါဝင်သည်။ ထို့အပြင် <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> ပေါ်တွင် ပို၍တင်းကျပ်စွာ ကြမ်းသော (strictly coarser) ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဒေသအလိုက်ခုံးသော တိုပေါ်လော်ဂျီ (Hausdorff locally convex topology) တစ်စုံတစ်ခုမျှ တည်ရှိခွင့်မရှိပေ။<ref>Jarchow (1981), pp. 129–130.</ref> ဤအချက်၏ အကျိုးဆက်အနေဖြင့် ကိုဩဒိနိတ်တန်ဖိုးရှာ ဖန်ရှင်နယ်များ (coordinate evaluation functionals) <math>x \mapsto x_n</math> အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြသည့် မည်သည့် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာအနန္တရှိသော]] ကိန်းစဉ်ရပ်ဝန်း (infinite-dimensional sequence space) ပေါ်တွင်မဆို စံနှုန်းတိုပေါ်လော်ဂျီ (norm topology) သည် <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> ပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ်တိုပေါ်လော်ဂျီမှ ဆင်းသက်ရရှိလာသော နှိုင်းရတိုပေါ်လော်ဂျီ (relative topology) ထက် ပို၍တင်းကျပ်စွာ ချောမွေ့နုနယ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် BK-ရပ်ဝန်း (BK-space) ကဲ့သို့သော ရပ်ဝန်းများတွင် ထိုသို့ ဖြစ်သည်။ == ကလပ်စစ်ကယ် စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော နှင့် အကွာအဝေး ကိန်းစဉ်ရပ်ဝန်းများ (Classical Normed and Metric Sequence Spaces) == === <math>\ell^p</math> နှင့် <math>\ell^\infty</math> ရပ်ဝန်းများ (The Spaces <math>\ell^p</math> and <math>\ell^\infty</math>) === <math>0 < p < \infty</math> အတွက် ရပ်ဝန်း <math>\ell^p</math> သည် အောက်ပါအခြေအနေကို ကျေနပ်စေသည့် [[ကိန်းစဉ်|ကိန်းစဉ်များ]] (sequences) <math>x = (x_n)_{n=1}^\infty</math> အားလုံး ပါဝင်သော <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> ၏ မျဉ်းဖြောင့်ရပ်ဝန်းပိုင်း (linear subspace) ဖြစ်သည်။ <math display="block"> \sum_{n=1}^\infty |x_n|^p < \infty </math> <math>1 \le p < \infty</math> အတွက် ဖန်ရှင်နယ် (functional) <math>\|\cdot\|_p : \ell^p \to [0, \infty)</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ <math display="block"> \|x\|_p = \left( \sum_{n=1}^\infty |x_n|^p \right)^{1/p} </math> ဤဖန်ရှင်နယ်သည် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးပြီး ထိုစံနှုန်းအောက်တွင် <math>\ell^p</math> သည် ပြည့်စုံသော စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်း (complete normed vector space) တစ်ခု ဖြစ်ကာ ထို့ကြောင့် [[ဘာနက် ရပ်ဝန်း]] (Banach space) တစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ <math>p = 2</math> ဖြစ်သောအခါ <math>\ell^2</math> သည် အောက်ပါ ယူကလစ် အတွင်းမြှောက်လဒ် (Euclidean inner product) သတ်မှတ်ပေးထားသော [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း]] (Hilbert space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math display="block"> \langle x, y \rangle = \sum_{n=1}^\infty \overline{x_n} y_n </math> ၎င်းအတွင်းမြှောက်လဒ်သည် ပုံမှန်စံနှုန်း (canonical norm) <math>\|x\|_2 = \sqrt{\langle x, x \rangle}</math> ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ရပ်ဝန်း <math>\ell^2</math> သည် ၎င်း၏ စံနှုန်းက အောက်ပါ အနားပြိုင်စတုဂံထပ်တူညီမှု (parallelogram identity) ကို ပြည့်စုံစေသည့် တစ်ခုတည်းသော <math>\ell^p</math> ရပ်ဝန်း ဖြစ်သည်။ <math display="block"> \|x + y\|_p^2 + \|x - y\|_p^2 = 2 \|x\|_p^2 + 2 \|y\|_p^2 </math> အကြောင်းမှာ မတူညီသော ပုံမှန် ကိုဩဒိနိတ် [[ယူနစ်ဗက်တာ|ယူနစ်ဗက်တာများ]] (canonical coordinate unit vectors) အား အစားသွင်းကြည့်ပါက <math>p \neq 2</math> အားလုံးအတွက် ဤထပ်တူညီမှု မပြည့်စုံနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ရပ်ဝန်း <math>\ell^\infty</math> သည် ကန့်သတ်ချက်ရှိသော ကိန်းစဉ်များ (bounded sequences) အားလုံး ပါဝင်သည့် <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်း (subspace) ဖြစ်ပြီး ၎င်းအား အောက်ပါ စူပရီမမ်စံနှုန်း (supremum norm) သတ်မှတ်ပေးထားသည်။ <math display="block"> \|x\|_\infty = \sup_{n \ge 1} |x_n| </math> ရပ်ဝန်း <math>\ell^\infty</math> သည် ခွဲထုတ်၍မရသော ဘာနက် ရပ်ဝန်း (non-separable Banach space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>0 < p < 1</math> အတွက် <math>\ell^p</math> သည် စံနှုန်းသတ်မှတ်၍မရနိုင်သော်လည်း အောက်ပါ ပြိုင်တူရွှေ့ပြောင်းခြင်းတွင်မပြောင်းလဲသော အကွာအဝေးဖန်ရှင် (translation-invariant metric) အောက်တွင် ပြည့်စုံပြီး ဒေသအလိုက်ခုံးမှုမရှိသည့် အကွာအဝေးဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်သော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|တိုပေါ်လော်ဂျီ ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (metrizable topological vector space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math display="block"> d_p(x, y) = \sum_{n=1}^\infty |x_n - y_n|^p </math> === <math>c</math>, <math>c_0</math> နှင့် <math>c_{00}</math> ရပ်ဝန်းများ (The Spaces <math>c</math>, <math>c_0</math>, and <math>c_{00}</math>) === <math>c</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသော စုဆုံကိန်းစဉ်များ၏ ရပ်ဝန်း (space of convergent sequences) သည် <math>\mathbb{K}</math> ထဲတွင် [[စုဆုံမှတ်]] (limit) <math>\lim_{n \to \infty} x_n</math> တည်ရှိသည့် ကိန်းစဉ်များ <math>x = (x_n)_{n=1}^\infty</math> အားလုံး ပါဝင်သော <math>\ell^\infty</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်း ဖြစ်သည်။ စူပရီမမ်စံနှုန်း <math>\|\cdot\|_\infty</math> သတ်မှတ်ပေးထားသောအခါ <math>c</math> သည် <math>\ell^\infty</math> ၏ အပိတ်ဖြစ်သော ရပ်ဝန်းပိုင်း (closed subspace) တစ်ခု ဖြစ်ပြီး ထို့ကြောင့် [[ဘာနက် ရပ်ဝန်း]]တစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ <math>c_0</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသော သုညသို့စုဆုံသည့် ကိန်းစဉ်များ၏ ရပ်ဝန်း (space of null sequences) သည် သုညသို့ စုဆုံသော ကိန်းစဉ်များအားလုံး ပါဝင်သည့် <math>c</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်း ဖြစ်ပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block"> c_0 = \left\{ (x_n)_{n=1}^\infty \in \mathbb{K}^\mathbb{N} \;\Big|\; \lim_{n \to \infty} x_n = 0 \right\} </math> ရပ်ဝန်း <math>c_0</math> သည် <math>c</math> ၏ အပိတ်ဖြစ်သော ရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် <math>\|\cdot\|_\infty</math> အောက်တွင် ဘာနက် ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>c_{00}</math> သို့မဟုတ် <math>\Phi</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသော အဆုံးရှိသော အထောက်အပံ့ရှိသည့် ကိန်းစဉ်များ၏ ရပ်ဝန်း (space of sequences with finite support) တွင် သုညမဟုတ်သည့် ကိန်းလုံးအရေအတွက် အဆုံးရှိရုံသာ ပါဝင်သော ကိန်းစဉ်များအားလုံး ပါဝင်ပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block"> c_{00} = \left\{ (x_n)_{n=1}^\infty \in \mathbb{K}^\mathbb{N} \;\Big|\; \exists N \in \mathbb{N}, \;\forall n > N, \; x_n = 0 \right\} </math> စူပရီမမ်စံနှုန်း <math>\|\cdot\|_\infty</math> သတ်မှတ်ပေးထားသောအခါ <math>c_{00}</math> သည် <math>c_0</math> ၏ အပိတ်မဟုတ်သော ရပ်ဝန်းပိုင်းအစစ် (proper, non-closed subspace) တစ်ခု ဖြစ်ပြီး ထို့ကြောင့် ဘာနက် ရပ်ဝန်းတစ်ခု မဟုတ်ပေ။ ဥပမာအားဖြင့် ဖြတ်တောက်ထားသော ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ်များ၏ ကိန်းစဉ် (sequence of truncated harmonic sequences) <math>x^{(k)} = (1, 1/2, \dots, 1/k, 0, 0, \dots)</math> သည် <math>\|\cdot\|_\infty</math> နှင့် စပ်လျဉ်း၍ <math>c_{00}</math> ထဲရှိ [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) တစ်ခု ဖြစ်သော်လည်း <math>c_0</math> ထဲရှိ ၎င်း၏ စုဆုံမှတ်မှာ ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ် (harmonic sequence) <math>(1/n)_{n=1}^\infty \notin c_{00}</math> ဖြစ်သည်။ ရပ်ဝန်းပိုင်း <math>c_{00}</math> သည် <math>\|\cdot\|_\infty</math> အောက်တွင် <math>c_0</math> ထဲ၌ သိပ်သည်းပြီး (dense)၊ <math>1 \le p < \infty</math> အားလုံးအတွက် <math>\|\cdot\|_p</math> အောက်တွင် <math>\ell^p</math> ထဲ၌လည်း သိပ်သည်းသည်။ === ဆင့်ကဲစုဆုံမှတ် ရပ်ဝန်း <math>\mathbb{K}^\infty</math> (The Inductive Limit Space <math>\mathbb{K}^\infty</math>) === သရုပ်မဲ့ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (abstract vector space) တစ်ခုအနေဖြင့် အဆုံးရှိ ကိန်းစဉ်များ၏ ရပ်ဝန်း (space of finite sequences) သည် <math>\mathbb{K}^\infty = \bigcup_{n=1}^\infty \operatorname{Im}(\operatorname{In}_{\mathbb{K}^n})</math> ဖြစ်ပြီး ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{In}_{\mathbb{K}^n} : \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^\infty</math> သည် အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်ထားသော ပုံမှန်ပါဝင်မှုပုံဖော်ခြင်း (canonical inclusion) ဖြစ်သည်။ <math display="block"> \operatorname{In}_{\mathbb{K}^n}(x_1, \dots, x_n) = (x_1, \dots, x_n, 0, 0, \dots) </math> ပါဝင်မှုပုံဖော်ခြင်းများ၏ စုစည်းမှု (family of inclusions) <math>(\operatorname{In}_{\mathbb{K}^n})_{n=1}^\infty</math> နှင့် စပ်လျဉ်း၍ အဆုံးသတ်[[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (final topology) <math>\tau^\infty</math> သတ်မှတ်ပေးထားသောအခါ <math>\mathbb{K}^\infty</math> သည် ဒေသအလိုက်ခုံးသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ဗက်တာရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီ (category of locally convex topological vector spaces) ထဲရှိ [[တိုက်ရိုက်စုဆုံမှတ်]] (direct limit) <math>\varinjlim \mathbb{K}^n</math> ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\tau^\infty</math> အောက်တွင် <math>\mathbb{K}^\infty</math> သည် ပြည့်စုံသော၊ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်သော၊ ဒေသအလိုက်ခုံးသည့် LB-ရပ်ဝန်း (LB-space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Schaefer and Wolff (1999), pp. 54–57.</ref> တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\tau^\infty</math> သည် <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> မှ လှုံ့ဆော်ရရှိသော နှိုင်းရတိုပေါ်လော်ဂျီထက် ပို၍တင်းကျပ်စွာ ချောမွေ့နုနယ်သည်။ ရပ်ဝန်း <math>(\mathbb{K}^\infty, \tau^\infty)</math> သည် ကိန်းစဉ်ဆိုင်ရာ (sequential) ဖြစ်သော်လည်း ဖရေးရှေး-ယူရီဆန် (Fréchet–Urysohn) မဟုတ်ပေ။ <math>\mathbb{K}^\infty</math> ထဲရှိ ကိန်းစဉ်တစ်ခုသည် <math>\tau^\infty</math> တွင် စုဆုံရန် [[ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ|လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ]]မှာ ၎င်းသည် တစ်ခုတည်းသော ပုံရိပ် <math>\operatorname{Im}(\operatorname{In}_{\mathbb{K}^n})</math> ထဲတွင် အဆုံးစွန်၌ အပြည့်အဝပါဝင်နေပြီး ထို အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ ရပ်ဝန်းပိုင်း (finite-dimensional subspace) ၏ ယူကလစ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (Euclidean topology) တွင် စုဆုံခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ === ကိန်းစဉ်တန်း ရပ်ဝန်းများ <math>bs</math> နှင့် <math>cs</math> (Series Spaces <math>bs</math> and <math>cs</math>) === <math>bs</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသော ကန့်သတ်ချက်ရှိသည့် [[ကိန်းစဉ်တန်း|ကိန်းစဉ်တန်းများ]]၏ ရပ်ဝန်း (space of bounded series) တွင် တစ်စိတ်တစ်ပိုင်းပေါင်းလဒ်များ၏ ကိန်းစဉ် (sequence of partial sums) ကန့်သတ်ချက်ရှိသည့် ကိန်းစဉ်များ <math>x = (x_n)_{n=1}^\infty</math> အားလုံး ပါဝင်ပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block"> \|x\|_{bs} = \sup_{n \ge 1} \left| \sum_{k=1}^n x_k \right| < \infty </math> စံနှုန်း <math>\|\cdot\|_{bs}</math> သတ်မှတ်ပေးထားသောအခါ <math>bs</math> သည် အောက်ပါ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှု]] (linear mapping) အောက်တွင် <math>\ell^\infty</math> နှင့် [[အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှု|အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှုအရ]] [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော]] (isometrically isomorphic) [[ဘာနက် ရပ်ဝန်း]]တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math display="block"> (x_n)_{n=1}^\infty \mapsto \left( \sum_{k=1}^n x_k \right)_{n=1}^\infty </math> <math>cs</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသော စုဆုံသည့် ကိန်းစဉ်တန်းများ၏ ရပ်ဝန်း (space of convergent series) သည် တစ်စိတ်တစ်ပိုင်းပေါင်းလဒ်များ၏ ကိန်းစဉ်က <math>\mathbb{K}</math> ထဲတွင် စုဆုံသော ကိန်းစဉ်များအားလုံး ပါဝင်သည့် <math>bs</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်း ဖြစ်သည်။ ထို မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှုအောက်တွင်ပင် <math>cs</math> သည် <math>c</math> နှင့် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှုအရ အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။ == တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ မပြောင်းလဲသောဂုဏ်သတ္တိများ၊ ဒွန်တွဲမှု နှင့် အော်ပရေတာသီအိုရီ (Structural Invariants, Duality, and Operator Theory) == === ရှောင်းဒါး အခြေအစုများနှင့် ခွဲထုတ်နိုင်စွမ်း (Schauder Bases and Separability) === <math>i</math> ခုမြောက် ကိုဩဒိနိတ် (coordinate) တွင် <math>1</math> ဖြစ်ပြီး အခြားနေရာများတွင် <math>0</math> ဖြစ်သည့် [[ကိန်းစဉ်]]ကို <math>e_i = (\delta_{i,n})_{n=1}^\infty</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုပါစို့။ ကိန်းစဉ် <math>(e_i)_{i=1}^\infty</math> သည် <math>c_0</math> အတွက်သော်လည်းကောင်း၊ <math>1 \le p < \infty</math> ဖြစ်သောအခါ <math>\ell^p</math> အတွက်သော်လည်းကောင်း အခြေအနေမဲ့ [[အခြေအစု|ရှောင်းဒါး အခြေအစု]] (unconditional Schauder basis) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထို့ကြောင့် <math>c_0</math> နှင့် <math>1 \le p < \infty</math> အတွက် <math>\ell^p</math> တို့သည် ခွဲထုတ်၍ရသော [[ဘာနက် ရပ်ဝန်း|ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ]] (separable Banach spaces) ဖြစ်ကြသည်။ စုဆုံကိန်းစဉ်များ၏ ရပ်ဝန်း <math>c</math> အတွက်မူ စုစည်းမှု (family) <math>(e_i)_{i=1}^\infty</math> သည် <math>c_0</math> ကိုသာ စပန်လုပ်ပေးနိုင်သည်။ <math>c</math> အတွက် ရှောင်းဒါး အခြေအစု (Schauder basis) တစ်ခုကို ကိန်းသေကိန်းစဉ် (constant sequence) <math>\mathbf{1} = (1, 1, 1, \dots)</math> အား ပူးတွဲပေါင်းစပ်ထည့်သွင်းခြင်းဖြင့် ရရှိနိုင်ပြီး ၎င်းသည် အခြေအစု <math>(\mathbf{1}, e_1, e_2, \dots)</math> ကို ပေးကာ အဆိုပါအခြေအစုသည်လည်း အခြေအနေမဲ့ ရှောင်းဒါး အခြေအစုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ရပ်ဝန်း <math>\ell^\infty</math> သည် မည်သည့် ရေတွက်နိုင်သော ရှောင်းဒါး အခြေအစု (countable Schauder basis) ကိုမျှ ခွင့်မပြုဘဲ ခွဲထုတ်၍မရသော (non-separable) ရပ်ဝန်း ဖြစ်သည်။ === အဆက်မပြတ် ဒွန်တွဲရပ်ဝန်းများနှင့် ကိုယ်ပြန်ဟပ်ဂုဏ်သတ္တိ (Continuous Dual Spaces and Reflexivity) === <math>1 < p < \infty</math> အတွက် <math>q = p / (p - 1)</math> သည် <math>1/p + 1/q = 1</math> ကို ကျေနပ်စေသော ဟိုလ်ဒါ ကွန်ဂျူဂိတ်ထပ်ကိန်း (Hölder conjugate exponent) ဖြစ်ပါစေ။ [[အစုဝင်]] <math>y = (y_n)_{n=1}^\infty \in \ell^q</math> တိုင်းသည် အောက်ပါ မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် ဒွန်တွဲတွဲဖက်မှု (bilinear duality pairing) မှတစ်ဆင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော [[မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်|မျဉ်းဖြောင့်ဖန်ရှင်နယ်]] (continuous linear functional) <math>L_y \in (\ell^p)^*</math> တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ <math display="block"> L_y(x) = \sum_{n=1}^\infty y_n x_n, \qquad x \in \ell^p </math> ဟိုလ်ဒါ၏ မညီမျှခြင်း (Hölder's inequality) အရ <math>|L_y(x)| \le \|y\|_q \|x\|_p</math> ဖြစ်ပြီး <math>y \mapsto L_y</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော ပုံဖော်မှု <math>\kappa_q : \ell^q \to (\ell^p)^*</math> သည် မျဉ်းဖြောင့် [[အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှု]] [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (linear isometric isomorphism) တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Dunford and Schwartz (1958), pp. 65–68.</ref> <math>\kappa_p : \ell^p \to (\ell^q)^*</math> နှင့် [[ထရန်စပို့စ်]] အော်ပရေတာ (transpose operator) ၏ ပြောင်းပြန် <math>\kappa_q^* : (\ell^p)^{**} \to (\ell^q)^*</math> တို့ကို ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းခြင်းသည် ပုံမှန် တန်ဖိုးရှာ ထည့်သွင်းခြင်း (canonical evaluation embedding) <math>J : \ell^p \to (\ell^p)^{**}</math> နှင့် ထပ်တူကျပြီး ၎င်းက <math>1 < p < \infty</math> အားလုံးအတွက် <math>\ell^p</math> သည် ကိုယ်ပြန်ဟပ်ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံကြောင်း (reflexive) သက်သေထူသည်။ နယ်နိမိတ် ထပ်ကိန်းများ (boundary exponents) နှင့် စုဆုံကိန်းစဉ်များ၏ ရပ်ဝန်းများအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ # <math>x \in c_0</math> နှင့် <math>y \in \ell^1</math> တို့အတွက် မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် တွဲဖက်မှု (bilinear pairing) <math>\langle x, y \rangle = \sum_{n=1}^\infty x_n y_n</math> အောက်တွင် <math>c_0</math> ၏ အဆက်မပြတ် [[ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း]] (continuous dual) သည် <math>\ell^1</math> နှင့် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှုအရ အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။ # <math>\ell^1</math> ၏ အဆက်မပြတ် ဒွန်တွဲရပ်ဝန်းသည် <math>\ell^\infty</math> နှင့် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှုအရ အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။ # <math>\ell^\infty</math> ၏ အဆက်မပြတ် ဒွန်တွဲရပ်ဝန်းသည် စုစုပေါင်းပြောင်းလဲမှု [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (total variation norm) သတ်မှတ်ပေးထားသော <math>\mathbb{N}</math> ၏ ပါဝါအစု (power set) ပေါ်ရှိ ကန့်သတ်ချက်ရှိသည့် အဆုံးရှိအပေါင်းအခြေခံ အတိုင်းအတာများ၏ ရပ်ဝန်း (space of bounded, finitely additive measures) <math>ba(\mathbb{N})</math> နှင့် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှုအရ အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။<ref>Dunford and Schwartz (1958), pp. 296–298.</ref> ရပ်ဝန်းများဖြစ်ကြသော <math>c_0</math>၊ <math>\ell^1</math> နှင့် <math>\ell^\infty</math> တို့သည် ကိုယ်ပြန်ဟပ်ဂုဏ်သတ္တိ ပြည့်စုံမှုမရှိကြပေ။ === ပါဝင်မှုများနှင့် ပစ်တ်၏ သီအိုရမ် (Inclusions and Pitt's Theorem) === <math>1 \le p < q \le \infty</math> အတွက် ပုံမှန်ပါဝင်မှုပုံဖော်ခြင်း (canonical inclusion) <math>\ell^p \hookrightarrow \ell^q</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပြီး အောက်ပါမညီမျှခြင်းကို ကျေနပ်စေသည်။ <math display="block"> \|x\|_q \le \|x\|_p </math> ဤပါဝင်မှုသည် တင်းကျပ်သောပါဝင်မှု (strict inclusion) ဖြစ်ပြီး <math>p \neq q</math> ဖြစ်သည့် မည်သည့်အခါတွင်မဆို <math>\ell^p</math> သည် <math>\ell^q</math> နှင့် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အိုင်ဆိုမော်ဖစ် (linearly isomorphic) မဖြစ်နိုင်ပေ။ <math>q < \infty</math> အတွက် <math>\ell^p</math> ၏ ပုံရိပ်အစု (range) သည် <math>\ell^q</math> ထဲတွင် သိပ်သည်းသည်။ <math>q = \infty</math> အတွက် စူပရီမမ်စံနှုန်းနှင့် စပ်လျဉ်း၍ <math>\ell^\infty</math> ထဲရှိ <math>\ell^p</math> ၏ အပိတ် (closure) သည် <math>c_0</math> ဖြစ်သည်။ မတူညီသော <math>\ell^p</math> ရပ်ဝန်းများအကြား ပြောင်းပြန်ပုံဖော်မှုသည် တင်းကျပ်လှသော အော်ပရေတာသီအိုရီဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များနှင့် ရင်ဆိုင်ရသည်။ '''ပစ်တ်၏ သီအိုရမ်''' (Pitt's Theorem) - <math>1 \le p < s < \infty</math> ဖြစ်ပါစေ။ ကန့်သတ်ချက်ရှိသော [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်အော်ပရေတာ]] (bounded linear operator) <math>T : \ell^s \to \ell^p</math> တိုင်းသည် ကျစ်လျစ်သော အော်ပရေတာ (compact operator) ဖြစ်သည်။<ref>Pitt (1936), pp. 174–180.</ref> အကြောင်းမှာ <math>\ell^s</math> ၏ မည်သည့် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာအနန္တရှိသော]] ရပ်ဝန်းပိုင်းကိုမျှ <math>\ell^p</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခုပေါ်သို့ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်နည်းကျ ပုံမဖော်နိုင်သောကြောင့် <math>\ell^s</math> မှ <math>\ell^p</math> သို့ သတ်မှတ်ထားသော ကန့်သတ်ချက်ရှိသည့် မျဉ်းဖြောင့်အော်ပရေတာတိုင်းသည် တင်းကျပ်စွာ ဆင်းဂူလာဖြစ်ကြသည် (strictly singular)။ ===<math>\ell^1</math> တွင် ရှူးဝါး ဂုဏ်သတ္တိ နှင့် ကျစ်လျစ်မှု (The Schur Property and Compactness in <math>\ell^1</math>) === ရပ်ဝန်း <math>\ell^1</math> သည် '''ရှူးဝါး ဂုဏ်သတ္တိ''' (Schur property) နှင့် ပြည့်စုံသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>\ell^1</math> ထဲတွင် အားနည်းစွာ စုဆုံသော (converges weakly) [[ကိန်းစဉ်]]တိုင်းသည် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]တိုပေါ်လော်ဂျီ၌ အားကောင်းစွာ စုဆုံခြင်းလည်း (converges strongly) ဖြစ်သည်။<ref>Schur (1921), pp. 79–111.</ref> ရှူးဝါး ဂုဏ်သတ္တိသည် ကိန်းစဉ်ဆိုင်ရာ ဖြစ်ရပ် (sequential phenomenon) သက်သက်သာ ဖြစ်သည်။ <math>\ell^1</math> ပေါ်ရှိ အားနည်းသော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (weak topology) သည် စံနှုန်းတိုပေါ်လော်ဂျီထက် ပို၍တင်းကျပ်စွာ ကြမ်းသည်။ <math>\ell^1</math> တွင် စံနှုန်းအရ မစုဆုံနိုင်သော အားနည်းစွာ စုဆုံသည့် ကွန်ရက်များ (weakly convergent nets) တည်ရှိပြီး [[ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင်]] (unit sphere) <math>\{x \in \ell^1 \mid \|x\|_1 = 1\}</math> ၏ အားနည်းသော အပိတ် (weak closure) သည် အပိတ် ယူနစ်စက်လုံး (closed unit ball) တစ်ခုလုံး ဖြစ်သည်။ [[အစုပိုင်း]] <math>K \subset \ell^1</math> တစ်ခုသည် ကျစ်လျစ်ရန် (compact) [[ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ|လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ]]မှာ ၎င်းသည် အားနည်းစွာ ကျစ်လျစ်ခြင်း (weakly compact) ဖြစ်ပြီး ထိုသို့ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>K</math> သည် ကန့်သတ်ချက်ရှိခြင်း၊ အပိတ်ဖြစ်ခြင်း နှင့် အနန္တတွင် ညီညာစွာသေးငယ်ခြင်း (equismall at infinity) ပင်ဖြစ်သည်။<ref>Trèves (2006), pp. 451–458.</ref> [[အစု]] <math>K \subset \ell^1</math> တစ်ခုသည် '''အနန္တတွင် ညီညာစွာသေးငယ်သည်''' (equismall at infinity) ဟု ဆိုရာ၌ <math>\varepsilon > 0</math> တိုင်းအတွက် <math>x = (x_n)_{n=1}^\infty \in K</math> အားလုံးနှင့် သက်ဆိုင်ပြီး အောက်ပါမညီမျှခြင်းကို ကျေနပ်စေသည့် [[ကိန်းပြည့်]] <math>N \in \mathbb{N}</math> တစ်ခု တည်ရှိခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ <math display="block"> \sum_{n=N}^\infty |x_n| < \varepsilon </math> === အလုံးစုံအကျုံးဝင်သော စားလဒ် နှင့် ထည့်သွင်းခြင်း သီအိုရမ်များ (Universal Quotient and Embedding Theorems) === ရပ်ဝန်း <math>\ell^1</math> သည် ခွဲထုတ်၍ရသော [[ဘာနက် ရပ်ဝန်း|ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ]]အတွက် အလုံးစုံအကျုံးဝင်သော ဝန်းရံမော်ဒယ် (universal ambient model) တစ်ခုအဖြစ် အသုံးဝင်သည်။ '''ဘာနက်-မာဇူးရ် သီအိုရမ်''' (Banach–Mazur Theorem) - ခွဲထုတ်၍ရသော ဘာနက် ရပ်ဝန်း (separable Banach space) <math>X</math> တိုင်းသည် <math>\ell^1</math> ၏ စားလဒ်ရပ်ဝန်း (quotient space) တစ်ခုနှင့် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ [[အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှု]]ရှိသည် (linearly isometric)။<ref>Banach and Mazur (1933), pp. 100–112.</ref> ဆိုလိုသည်မှာ <math>X \cong \ell^1 / \ker Q</math> ဖြစ်စေသည့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်သော ကန့်သတ်ချက်ရှိသည့် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်အော်ပရေတာ]] (surjective bounded linear operator) <math>Q : \ell^1 \to X</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ အပိတ်ဖြစ်သော ရပ်ဝန်းပိုင်း <math>\ker Q</math> သည် ယေဘုယျအားဖြင့် <math>\ell^1</math> ထဲတွင် ဖြည့်စွက်မပါဝင်ပေ (uncomplemented)။ <math>\ell^1</math> ၏ အတွင်း၌ တစ်ခုနှင့်တစ်ခု [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]]မဖြစ်ကြသော ဖြည့်စွက်မပါဝင်သည့် အပိတ်ရပ်ဝန်းပိုင်းများသည် ရေတွက်၍မကုန်နိုင်အောင် များပြားစွာ တည်ရှိကြသည်။ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာအနန္တရှိသော]] ဘာနက် ရပ်ဝန်းတိုင်းတွင် <math>1 \le p < \infty</math> ဖြစ်သည့် <math>\ell^p</math> တစ်ခုခု သို့မဟုတ် <math>c_0</math> ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ် မိတ္တူ (isomorphic copy) တစ်ခု မဖြစ်မနေ ပါဝင်ရမည်လော ဟူသော ဒွန်တွဲထည့်သွင်းခြင်း ယူဆချက် (dual embedding conjecture) အား 1974 ခုနှစ်တွင် ဘောရစ် စီရယ်လ်ဆွန် (Boris Tsirelson) က ငြင်းပယ်ဖြေရှင်းခဲ့သည်။ ၎င်းသည် <math>c_0</math> နှင့်သော်လည်းကောင်း မည်သည့် <math>\ell^p</math> နှင့်သော်လည်းကောင်း အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော ရပ်ဝန်းပိုင်း မပါဝင်သည့် ကိုယ်ပြန်ဟပ် ဘာနက် ရပ်ဝန်းဖြစ်သော စီရယ်လ်ဆွန် ရပ်ဝန်း (Tsirelson's space) ကို တည်ဆောက်ပြခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>Tsirelson (1974), pp. 138–141.</ref> [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း]] သီအိုရီ (Hilbert space theory) တွင် <math>\ell^2</math> သည် ပုံမှန် ပိုင်းစသီးခြား ကိုဩဒိနိတ် မော်ဒယ် (canonical discrete coordinate model) အဖြစ် အသုံးဝင်သည်။ <math>\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}</math> အပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာအနန္တရှိသော ခွဲထုတ်၍ရသည့် ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း (infinite-dimensional separable Hilbert space) တိုင်းသည် <math>\ell^2</math> နှင့် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှုအရ အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။<ref>Debnath and Mikusinski (2005), pp. 120–121.</ref> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last1=Banach |first1=Stefan |last2=Mazur |first2=S. |title=Zur Theorie der linearen Dimension |journal=Studia Mathematica |volume=4 |date=1933 |pages=100–112 |doi=10.4064/sm-4-1-100-112}} * {{Citation |last1=Debnath |first1=Lokenath |last2=Mikusinski |first2=Piotr |title=Hilbert Spaces with Applications |edition=3rd |publisher=Elsevier Academic Press |date=2005 |isbn=978-0-12-208438-6 |pages=120–121}} * {{Citation |last1=Dunford |first1=Nelson |last2=Schwartz |first2=Jacob T. |title=Linear Operators, Part I: General Theory |series=Pure and Applied Mathematics |volume=7 |publisher=Interscience Publishers |date=1958 |isbn=978-0-471-60848-6}} * {{Citation |last=Jarchow |first=Hans |title=Locally Convex Spaces |series=Mathematische Leitfäden |publisher=B. G. Teubner |date=1981 |isbn=978-3-519-02224-4 |doi=10.1007/978-3-322-86438-3}} * {{Citation |last1=Narici |first1=Lawrence |last2=Beckenstein |first2=Edward |title=Topological Vector Spaces |series=Pure and Applied Mathematics |edition=2nd |publisher=CRC Press |date=2011 |isbn=978-1-58488-866-6}} * {{Citation |last=Pitt |first=H. R. |title=A note on bilinear forms |journal=Journal of the London Mathematical Society |volume=11 |issue=3 |date=1936 |pages=174–180 |doi=10.1112/jlms/s1-11.3.174}} * {{Citation |last1=Schaefer |first1=Helmut H. |last2=Wolff |first2=Manfred P. |title=Topological Vector Spaces |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=3 |edition=2nd |publisher=Springer-Verlag |date=1999 |isbn=978-0-387-98726-2 |doi=10.1007/978-1-4612-1468-7}} * {{Citation |last=Schur |first=J. |title=Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen |journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik |volume=151 |date=1921 |pages=79–111 |doi=10.1515/crll.1921.151.79}} * {{Citation |last=Trèves |first=François |title=Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels |publisher=Dover Publications |date=2006 |isbn=978-0-486-45352-1}} * {{Citation |last=Tsirelson |first=B. S. |title=It is impossible to imbed ℓ_p or c_0 into an arbitrary Banach space |journal=Functional Analysis and Its Applications |volume=8 |issue=2 |date=1974 |pages=138–141 |doi=10.1007/BF01078631}} [[Category:အကာသ (သင်္ချာ)]] 53ecjwjbz72e8a7k65jaob9yx1790y2 1060793 1060792 2026-10-30T22:06:22Z Mkant00 135890 1060793 wikitext text/x-wiki '''ကိန်းစဉ်ရပ်ဝန်း''' (sequence space) ဆိုသည်မှာ [[ဖီးလ်ဒ်|စကေလာဖီးလ်ဒ်]] (scalar field) <math>\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}</math> မှ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော [[ကိန်းစဉ်|အနန္တကိန်းစဉ်များ]] (infinite sequences) သည် အစုဝင်များ (elements) ဖြစ်ကြသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ တူညီသော အခြားဖော်ပြချက်အရ ကိန်းစဉ်ရပ်ဝန်းတစ်ခုသည် [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ]] (natural numbers) <math>\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}</math> မှ <math>\mathbb{K}</math> သို့ သတ်မှတ်ထားသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (functions) သည် အစုဝင်များဖြစ်ကြသည့် ဖန်ရှင်ရပ်ဝန်း (function space) တစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် ပေါင်းခြင်း (pointwise addition) နှင့် သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် စကေလာမြှောက်ခြင်း (pointwise scalar multiplication) တို့အောက်တွင် ထိုကဲ့သို့သော ဖန်ရှင်များအားလုံး၏ [[အစု]]သည် ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ကိန်းစဉ်ရပ်ဝန်းတိုင်းသည် <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> ၏ မျဉ်းဖြောင့်ရပ်ဝန်းပိုင်း (linear subspace) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ|ဖန်ရှင်နယ်ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (functional analysis) တွင် ကိန်းစဉ်ရပ်ဝန်းများအား ယေဘုယျအားဖြင့် ပြည့်စုံသော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (complete norm) သတ်မှတ်ပေးခြင်းဖြင့် [[ဘာနက် ရပ်ဝန်း]] (Banach space) တစ်ခုအဖြစ် သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|ဒေသအလိုက်ခုံးသော တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (locally convex topology) သတ်မှတ်ပေးခြင်းဖြင့် ဖရေးရှေး ရပ်ဝန်း (Fréchet space) သို့မဟုတ် LB-ရပ်ဝန်း (LB-space) တစ်ခုအဖြစ် ဖွဲ့စည်းတည်ဆောက်လေ့ရှိသည်။ == ကိန်းစဉ်အားလုံး၏ ဝန်းရံရပ်ဝန်း (Ambient Space of All Sequences) == <math>\mathbb{K}</math> ထဲတွင် ပါဝင်သော ကိန်းလုံးများဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည့် [[ကိန်းစဉ်|ကိန်းစဉ်များ]] (sequences) <math>x = (x_n)_{n=1}^\infty</math> အားလုံး၏ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) ကို <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြပါစို့။ ၎င်းရပ်ဝန်းအား အောက်ပါအတိုင်း သက်ဆိုင်ရာအစိတ်အပိုင်းများအလိုက် ပေါင်းခြင်း (componentwise addition) သတ်မှတ်ပေးထားသည်။ <math display="block"> (x_n)_{n=1}^\infty + (y_n)_{n=1}^\infty = (x_n + y_n)_{n=1}^\infty </math> ထို့ပြင် <math>\alpha \in \mathbb{K}</math> အားလုံးအတွက် သက်ဆိုင်ရာအစိတ်အပိုင်းများအလိုက် စကေလာမြှောက်ခြင်း (componentwise scalar multiplication) ကိုလည်း အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်ပေးထားသည်။ <math display="block"> \alpha (x_n)_{n=1}^\infty = (\alpha x_n)_{n=1}^\infty </math> [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|မြှောက်လဒ်တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (product topology) သတ်မှတ်ပေးထားသောအခါ <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> သည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|တိုပေါ်လော်ဂျီ ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (topological vector space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထိုရပ်ဝန်းတွင် ကိန်းစဉ်များ၏ ကိန်းစဉ် (sequence of sequences) <math>(x^{(k)})_{k=1}^\infty</math> သည် <math>x</math> သို့ စုဆုံရန် (converges) [[ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ|လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ]] (if and only if) မှာ ကိုဩဒိနိတ် (coordinate) <math>n \in \mathbb{N}</math> တစ်ခုချင်းစီအတွက် <math>\lim_{k \to \infty} x_n^{(k)} = x_n</math> ဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ ဤတိုပေါ်လော်ဂျီအောက်တွင် <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> သည် ပြည့်စုံသော (complete)၊ အကွာအဝေးဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်သော (metrizable)၊ ဒေသအလိုက်ခုံးသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ဗက်တာရပ်ဝန်း (locally convex topological vector space) တစ်ခု ဖြစ်ပြီး ထို့ကြောင့် ဖရေးရှေး ရပ်ဝန်း (Fréchet space) တစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။<ref>Jarchow (1981), pp. 129–130.</ref> <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> ပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ်တိုပေါ်လော်ဂျီသည် အဆက်မပြတ် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်းများ]] (continuous norms) တစ်စုံတစ်ခုမျှ ရှိခွင့်မပြုပေ။ အကြောင်းမှာ <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> ပေါ်ရှိ အဆက်မပြတ် ဆီမီးစံနှုန်း (continuous seminorm) တိုင်းတွင် အသေးအဖွဲမဟုတ်သော [[ကာနယ်]] (non-trivial kernel) တစ်ခု အမြဲရှိနေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။<ref>Jarchow (1981), pp. 129–130.</ref> ရပ်ဝန်း <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> သည် အဆက်မပြတ် စံနှုန်းများ ကင်းမဲ့နေသော ဖရေးရှေး ရပ်ဝန်းများအကြားတွင် အနည်းဆုံးအနေအထား (minimal position) တစ်ခု၌ တည်ရှိနေသည်။ <math>X</math> သည် <math>\mathbb{K}</math> အပေါ်ရှိ ဖရေးရှေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ အောက်ပါအခြေအနေများသည် အဓိပ္ပာယ်ထပ်တူညီကြသည် (equivalent)။<ref>Jarchow (1981), pp. 129–130.</ref> # ရပ်ဝန်း <math>X</math> သည် မည်သည့် အဆက်မပြတ် စံနှုန်းကိုမျှ လက်ခံခွင့်မပြုပေ။ # ရပ်ဝန်း <math>X</math> တွင် <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော]] (isomorphic) တိုပေါ်လော်ဂျီ ဗက်တာရပ်ဝန်းပိုင်း (topological vector subspace) တစ်ခု ပါဝင်သည်။ # ရပ်ဝန်း <math>X</math> တွင် <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော ဖြည့်စွက်ပါဝင်သည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ဗက်တာရပ်ဝန်းပိုင်း (complemented topological vector subspace) တစ်ခု ပါဝင်သည်။ ထို့အပြင် <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> ပေါ်တွင် ပို၍တင်းကျပ်စွာ ကြမ်းသော (strictly coarser) ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဒေသအလိုက်ခုံးသော တိုပေါ်လော်ဂျီ (Hausdorff locally convex topology) တစ်စုံတစ်ခုမျှ တည်ရှိခွင့်မရှိပေ။<ref>Jarchow (1981), pp. 129–130.</ref> ဤအချက်၏ အကျိုးဆက်အနေဖြင့် ကိုဩဒိနိတ်တန်ဖိုးရှာ ဖန်ရှင်နယ်များ (coordinate evaluation functionals) <math>x \mapsto x_n</math> အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြသည့် မည်သည့် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာအနန္တရှိသော]] ကိန်းစဉ်ရပ်ဝန်း (infinite-dimensional sequence space) ပေါ်တွင်မဆို စံနှုန်းတိုပေါ်လော်ဂျီ (norm topology) သည် <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> ပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ်တိုပေါ်လော်ဂျီမှ ဆင်းသက်ရရှိလာသော နှိုင်းရတိုပေါ်လော်ဂျီ (relative topology) ထက် ပို၍တင်းကျပ်စွာ ချောမွေ့နုနယ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် BK-ရပ်ဝန်း (BK-space) ကဲ့သို့သော ရပ်ဝန်းများတွင် ထိုသို့ ဖြစ်သည်။ == ကလပ်စစ်ကယ် စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော နှင့် အကွာအဝေး ကိန်းစဉ်ရပ်ဝန်းများ (Classical Normed and Metric Sequence Spaces) == === <math>\ell^p</math> နှင့် <math>\ell^\infty</math> ရပ်ဝန်းများ (The Spaces <math>\ell^p</math> and <math>\ell^\infty</math>) === <math>0 < p < \infty</math> အတွက် ရပ်ဝန်း <math>\ell^p</math> သည် အောက်ပါအခြေအနေကို ကျေနပ်စေသည့် [[ကိန်းစဉ်|ကိန်းစဉ်များ]] (sequences) <math>x = (x_n)_{n=1}^\infty</math> အားလုံး ပါဝင်သော <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> ၏ မျဉ်းဖြောင့်ရပ်ဝန်းပိုင်း (linear subspace) ဖြစ်သည်။ <math display="block"> \sum_{n=1}^\infty |x_n|^p < \infty </math> <math>1 \le p < \infty</math> အတွက် ဖန်ရှင်နယ် (functional) <math>\|\cdot\|_p : \ell^p \to [0, \infty)</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ <math display="block"> \|x\|_p = \left( \sum_{n=1}^\infty |x_n|^p \right)^{1/p} </math> ဤဖန်ရှင်နယ်သည် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးပြီး ထိုစံနှုန်းအောက်တွင် <math>\ell^p</math> သည် ပြည့်စုံသော စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်း (complete normed vector space) တစ်ခု ဖြစ်ကာ ထို့ကြောင့် [[ဘာနက် ရပ်ဝန်း]] (Banach space) တစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ <math>p = 2</math> ဖြစ်သောအခါ <math>\ell^2</math> သည် အောက်ပါ ယူကလစ် အတွင်းမြှောက်လဒ် (Euclidean inner product) သတ်မှတ်ပေးထားသော [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း]] (Hilbert space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math display="block"> \langle x, y \rangle = \sum_{n=1}^\infty \overline{x_n} y_n </math> ၎င်းအတွင်းမြှောက်လဒ်သည် ပုံမှန်စံနှုန်း (canonical norm) <math>\|x\|_2 = \sqrt{\langle x, x \rangle}</math> ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ရပ်ဝန်း <math>\ell^2</math> သည် ၎င်း၏ စံနှုန်းက အောက်ပါ အနားပြိုင်စတုဂံထပ်တူညီမှု (parallelogram identity) ကို ပြည့်စုံစေသည့် တစ်ခုတည်းသော <math>\ell^p</math> ရပ်ဝန်း ဖြစ်သည်။ <math display="block"> \|x + y\|_p^2 + \|x - y\|_p^2 = 2 \|x\|_p^2 + 2 \|y\|_p^2 </math> အကြောင်းမှာ မတူညီသော ပုံမှန် ကိုဩဒိနိတ် [[ယူနစ်ဗက်တာ|ယူနစ်ဗက်တာများ]] (canonical coordinate unit vectors) အား အစားသွင်းကြည့်ပါက <math>p \neq 2</math> အားလုံးအတွက် ဤထပ်တူညီမှု မပြည့်စုံနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ရပ်ဝန်း <math>\ell^\infty</math> သည် ကန့်သတ်ချက်ရှိသော ကိန်းစဉ်များ (bounded sequences) အားလုံး ပါဝင်သည့် <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်း (subspace) ဖြစ်ပြီး ၎င်းအား အောက်ပါ စူပရီမမ်စံနှုန်း (supremum norm) သတ်မှတ်ပေးထားသည်။ <math display="block"> \|x\|_\infty = \sup_{n \ge 1} |x_n| </math> ရပ်ဝန်း <math>\ell^\infty</math> သည် ခွဲထုတ်၍မရသော ဘာနက် ရပ်ဝန်း (non-separable Banach space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>0 < p < 1</math> အတွက် <math>\ell^p</math> သည် စံနှုန်းသတ်မှတ်၍မရနိုင်သော်လည်း အောက်ပါ ပြိုင်တူရွှေ့ပြောင်းခြင်းတွင်မပြောင်းလဲသော အကွာအဝေးဖန်ရှင် (translation-invariant metric) အောက်တွင် ပြည့်စုံပြီး ဒေသအလိုက်ခုံးမှုမရှိသည့် အကွာအဝေးဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်သော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|တိုပေါ်လော်ဂျီ ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (metrizable topological vector space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math display="block"> d_p(x, y) = \sum_{n=1}^\infty |x_n - y_n|^p </math> === <math>c</math>, <math>c_0</math> နှင့် <math>c_{00}</math> ရပ်ဝန်းများ (The Spaces <math>c</math>, <math>c_0</math>, and <math>c_{00}</math>) === <math>c</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသော စုဆုံကိန်းစဉ်များ၏ ရပ်ဝန်း (space of convergent sequences) သည် <math>\mathbb{K}</math> ထဲတွင် [[စုဆုံမှတ်]] (limit) <math>\lim_{n \to \infty} x_n</math> တည်ရှိသည့် ကိန်းစဉ်များ <math>x = (x_n)_{n=1}^\infty</math> အားလုံး ပါဝင်သော <math>\ell^\infty</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်း ဖြစ်သည်။ စူပရီမမ်စံနှုန်း <math>\|\cdot\|_\infty</math> သတ်မှတ်ပေးထားသောအခါ <math>c</math> သည် <math>\ell^\infty</math> ၏ အပိတ်ဖြစ်သော ရပ်ဝန်းပိုင်း (closed subspace) တစ်ခု ဖြစ်ပြီး ထို့ကြောင့် [[ဘာနက် ရပ်ဝန်း]]တစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ <math>c_0</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသော သုညသို့စုဆုံသည့် ကိန်းစဉ်များ၏ ရပ်ဝန်း (space of null sequences) သည် သုညသို့ စုဆုံသော ကိန်းစဉ်များအားလုံး ပါဝင်သည့် <math>c</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်း ဖြစ်ပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block"> c_0 = \left\{ (x_n)_{n=1}^\infty \in \mathbb{K}^\mathbb{N} \;\Big|\; \lim_{n \to \infty} x_n = 0 \right\} </math> ရပ်ဝန်း <math>c_0</math> သည် <math>c</math> ၏ အပိတ်ဖြစ်သော ရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် <math>\|\cdot\|_\infty</math> အောက်တွင် ဘာနက် ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>c_{00}</math> သို့မဟုတ် <math>\Phi</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသော အဆုံးရှိသော အထောက်အပံ့ရှိသည့် ကိန်းစဉ်များ၏ ရပ်ဝန်း (space of sequences with finite support) တွင် သုညမဟုတ်သည့် ကိန်းလုံးအရေအတွက် အဆုံးရှိရုံသာ ပါဝင်သော ကိန်းစဉ်များအားလုံး ပါဝင်ပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block"> c_{00} = \left\{ (x_n)_{n=1}^\infty \in \mathbb{K}^\mathbb{N} \;\Big|\; \exists N \in \mathbb{N}, \;\forall n > N, \; x_n = 0 \right\} </math> စူပရီမမ်စံနှုန်း <math>\|\cdot\|_\infty</math> သတ်မှတ်ပေးထားသောအခါ <math>c_{00}</math> သည် <math>c_0</math> ၏ အပိတ်မဟုတ်သော ရပ်ဝန်းပိုင်းအစစ် (proper, non-closed subspace) တစ်ခု ဖြစ်ပြီး ထို့ကြောင့် ဘာနက် ရပ်ဝန်းတစ်ခု မဟုတ်ပေ။ ဥပမာအားဖြင့် ဖြတ်တောက်ထားသော ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ်များ၏ ကိန်းစဉ် (sequence of truncated harmonic sequences) <math>x^{(k)} = (1, 1/2, \dots, 1/k, 0, 0, \dots)</math> သည် <math>\|\cdot\|_\infty</math> နှင့် စပ်လျဉ်း၍ <math>c_{00}</math> ထဲရှိ [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) တစ်ခု ဖြစ်သော်လည်း <math>c_0</math> ထဲရှိ ၎င်း၏ စုဆုံမှတ်မှာ ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ် (harmonic sequence) <math>(1/n)_{n=1}^\infty \notin c_{00}</math> ဖြစ်သည်။ ရပ်ဝန်းပိုင်း <math>c_{00}</math> သည် <math>\|\cdot\|_\infty</math> အောက်တွင် <math>c_0</math> ထဲ၌ သိပ်သည်းပြီး (dense)၊ <math>1 \le p < \infty</math> အားလုံးအတွက် <math>\|\cdot\|_p</math> အောက်တွင် <math>\ell^p</math> ထဲ၌လည်း သိပ်သည်းသည်။ === ဆင့်ကဲစုဆုံမှတ် ရပ်ဝန်း <math>\mathbb{K}^\infty</math> (The Inductive Limit Space <math>\mathbb{K}^\infty</math>) === သရုပ်မဲ့ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (abstract vector space) တစ်ခုအနေဖြင့် အဆုံးရှိ ကိန်းစဉ်များ၏ ရပ်ဝန်း (space of finite sequences) သည် <math>\mathbb{K}^\infty = \bigcup_{n=1}^\infty \operatorname{Im}(\operatorname{In}_{\mathbb{K}^n})</math> ဖြစ်ပြီး ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{In}_{\mathbb{K}^n} : \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^\infty</math> သည် အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်ထားသော ပုံမှန်ပါဝင်မှုပုံဖော်ခြင်း (canonical inclusion) ဖြစ်သည်။ <math display="block"> \operatorname{In}_{\mathbb{K}^n}(x_1, \dots, x_n) = (x_1, \dots, x_n, 0, 0, \dots) </math> ပါဝင်မှုပုံဖော်ခြင်းများ၏ စုစည်းမှု (family of inclusions) <math>(\operatorname{In}_{\mathbb{K}^n})_{n=1}^\infty</math> နှင့် စပ်လျဉ်း၍ အဆုံးသတ်[[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (final topology) <math>\tau^\infty</math> သတ်မှတ်ပေးထားသောအခါ <math>\mathbb{K}^\infty</math> သည် ဒေသအလိုက်ခုံးသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ဗက်တာရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီ (category of locally convex topological vector spaces) ထဲရှိ [[တိုက်ရိုက်စုဆုံမှတ်]] (direct limit) <math>\varinjlim \mathbb{K}^n</math> ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\tau^\infty</math> အောက်တွင် <math>\mathbb{K}^\infty</math> သည် ပြည့်စုံသော၊ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်သော၊ ဒေသအလိုက်ခုံးသည့် LB-ရပ်ဝန်း (LB-space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Schaefer and Wolff (1999), pp. 54–57.</ref> တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\tau^\infty</math> သည် <math>\mathbb{K}^\mathbb{N}</math> မှ လှုံ့ဆော်ရရှိသော နှိုင်းရတိုပေါ်လော်ဂျီထက် ပို၍တင်းကျပ်စွာ ချောမွေ့နုနယ်သည်။ ရပ်ဝန်း <math>(\mathbb{K}^\infty, \tau^\infty)</math> သည် ကိန်းစဉ်ဆိုင်ရာ (sequential) ဖြစ်သော်လည်း ဖရေးရှေး-ယူရီဆန် (Fréchet–Urysohn) မဟုတ်ပေ။ <math>\mathbb{K}^\infty</math> ထဲရှိ ကိန်းစဉ်တစ်ခုသည် <math>\tau^\infty</math> တွင် စုဆုံရန် [[ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ|လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ]]မှာ ၎င်းသည် တစ်ခုတည်းသော ပုံရိပ် <math>\operatorname{Im}(\operatorname{In}_{\mathbb{K}^n})</math> ထဲတွင် အဆုံးစွန်၌ အပြည့်အဝပါဝင်နေပြီး ထို အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ ရပ်ဝန်းပိုင်း (finite-dimensional subspace) ၏ ယူကလစ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (Euclidean topology) တွင် စုဆုံခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ === ကိန်းစဉ်တန်း ရပ်ဝန်းများ <math>bs</math> နှင့် <math>cs</math> (Series Spaces <math>bs</math> and <math>cs</math>) === <math>bs</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသော ကန့်သတ်ချက်ရှိသည့် [[ကိန်းစဉ်တန်း|ကိန်းစဉ်တန်းများ]]၏ ရပ်ဝန်း (space of bounded series) တွင် တစ်စိတ်တစ်ပိုင်းပေါင်းလဒ်များ၏ ကိန်းစဉ် (sequence of partial sums) ကန့်သတ်ချက်ရှိသည့် ကိန်းစဉ်များ <math>x = (x_n)_{n=1}^\infty</math> အားလုံး ပါဝင်ပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block"> \|x\|_{bs} = \sup_{n \ge 1} \left| \sum_{k=1}^n x_k \right| < \infty </math> စံနှုန်း <math>\|\cdot\|_{bs}</math> သတ်မှတ်ပေးထားသောအခါ <math>bs</math> သည် အောက်ပါ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှု]] (linear mapping) အောက်တွင် <math>\ell^\infty</math> နှင့် [[အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှု|အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှုအရ]] [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော]] (isometrically isomorphic) [[ဘာနက် ရပ်ဝန်း]]တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math display="block"> (x_n)_{n=1}^\infty \mapsto \left( \sum_{k=1}^n x_k \right)_{n=1}^\infty </math> <math>cs</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသော စုဆုံသည့် ကိန်းစဉ်တန်းများ၏ ရပ်ဝန်း (space of convergent series) သည် တစ်စိတ်တစ်ပိုင်းပေါင်းလဒ်များ၏ ကိန်းစဉ်က <math>\mathbb{K}</math> ထဲတွင် စုဆုံသော ကိန်းစဉ်များအားလုံး ပါဝင်သည့် <math>bs</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်း ဖြစ်သည်။ ထို မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှုအောက်တွင်ပင် <math>cs</math> သည် <math>c</math> နှင့် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှုအရ အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။ == တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ မပြောင်းလဲသောဂုဏ်သတ္တိများ၊ ဒွန်တွဲမှု နှင့် အော်ပရေတာသီအိုရီ (Structural Invariants, Duality, and Operator Theory) == === ရှောင်းဒါး အခြေအစုများနှင့် ခွဲထုတ်နိုင်စွမ်း (Schauder Bases and Separability) === <math>i</math> ခုမြောက် ကိုဩဒိနိတ် (coordinate) တွင် <math>1</math> ဖြစ်ပြီး အခြားနေရာများတွင် <math>0</math> ဖြစ်သည့် [[ကိန်းစဉ်]]ကို <math>e_i = (\delta_{i,n})_{n=1}^\infty</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုပါစို့။ ကိန်းစဉ် <math>(e_i)_{i=1}^\infty</math> သည် <math>c_0</math> အတွက်သော်လည်းကောင်း၊ <math>1 \le p < \infty</math> ဖြစ်သောအခါ <math>\ell^p</math> အတွက်သော်လည်းကောင်း အခြေအနေမဲ့ [[အခြေအစု|ရှောင်းဒါး အခြေအစု]] (unconditional Schauder basis) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထို့ကြောင့် <math>c_0</math> နှင့် <math>1 \le p < \infty</math> အတွက် <math>\ell^p</math> တို့သည် ခွဲထုတ်၍ရသော [[ဘာနက် ရပ်ဝန်း|ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ]] (separable Banach spaces) ဖြစ်ကြသည်။ စုဆုံကိန်းစဉ်များ၏ ရပ်ဝန်း <math>c</math> အတွက်မူ စုစည်းမှု (family) <math>(e_i)_{i=1}^\infty</math> သည် <math>c_0</math> ကိုသာ စပန်လုပ်ပေးနိုင်သည်။ <math>c</math> အတွက် ရှောင်းဒါး အခြေအစု (Schauder basis) တစ်ခုကို ကိန်းသေကိန်းစဉ် (constant sequence) <math>\mathbf{1} = (1, 1, 1, \dots)</math> အား ပူးတွဲပေါင်းစပ်ထည့်သွင်းခြင်းဖြင့် ရရှိနိုင်ပြီး ၎င်းသည် အခြေအစု <math>(\mathbf{1}, e_1, e_2, \dots)</math> ကို ပေးကာ အဆိုပါအခြေအစုသည်လည်း အခြေအနေမဲ့ ရှောင်းဒါး အခြေအစုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ရပ်ဝန်း <math>\ell^\infty</math> သည် မည်သည့် ရေတွက်နိုင်သော ရှောင်းဒါး အခြေအစု (countable Schauder basis) ကိုမျှ ခွင့်မပြုဘဲ ခွဲထုတ်၍မရသော (non-separable) ရပ်ဝန်း ဖြစ်သည်။ === အဆက်မပြတ် ဒွန်တွဲရပ်ဝန်းများနှင့် ကိုယ်ပြန်ဟပ်ဂုဏ်သတ္တိ (Continuous Dual Spaces and Reflexivity) === <math>1 < p < \infty</math> အတွက် <math>q = p / (p - 1)</math> သည် <math>1/p + 1/q = 1</math> ကို ကျေနပ်စေသော ဟိုလ်ဒါ ကွန်ဂျူဂိတ်ထပ်ကိန်း (Hölder conjugate exponent) ဖြစ်ပါစေ။ [[အစုဝင်]] <math>y = (y_n)_{n=1}^\infty \in \ell^q</math> တိုင်းသည် အောက်ပါ မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် ဒွန်တွဲတွဲဖက်မှု (bilinear duality pairing) မှတစ်ဆင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော [[မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်|မျဉ်းဖြောင့်ဖန်ရှင်နယ်]] (continuous linear functional) <math>L_y \in (\ell^p)^*</math> တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ <math display="block"> L_y(x) = \sum_{n=1}^\infty y_n x_n, \qquad x \in \ell^p </math> ဟိုလ်ဒါ၏ မညီမျှခြင်း (Hölder's inequality) အရ <math>|L_y(x)| \le \|y\|_q \|x\|_p</math> ဖြစ်ပြီး <math>y \mapsto L_y</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော ပုံဖော်မှု <math>\kappa_q : \ell^q \to (\ell^p)^*</math> သည် မျဉ်းဖြောင့် [[အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှု]] [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (linear isometric isomorphism) တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Dunford and Schwartz (1958), pp. 65–68.</ref> <math>\kappa_p : \ell^p \to (\ell^q)^*</math> နှင့် [[ထရန်စပို့စ်]] အော်ပရေတာ (transpose operator) ၏ ပြောင်းပြန် <math>\kappa_q^* : (\ell^p)^{**} \to (\ell^q)^*</math> တို့ကို ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းခြင်းသည် ပုံမှန် တန်ဖိုးရှာ ထည့်သွင်းခြင်း (canonical evaluation embedding) <math>J : \ell^p \to (\ell^p)^{**}</math> နှင့် ထပ်တူကျပြီး ၎င်းက <math>1 < p < \infty</math> အားလုံးအတွက် <math>\ell^p</math> သည် ကိုယ်ပြန်ဟပ်ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံကြောင်း (reflexive) သက်သေထူသည်။ နယ်နိမိတ် ထပ်ကိန်းများ (boundary exponents) နှင့် စုဆုံကိန်းစဉ်များ၏ ရပ်ဝန်းများအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ # <math>x \in c_0</math> နှင့် <math>y \in \ell^1</math> တို့အတွက် မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် တွဲဖက်မှု (bilinear pairing) <math>\langle x, y \rangle = \sum_{n=1}^\infty x_n y_n</math> အောက်တွင် <math>c_0</math> ၏ အဆက်မပြတ် [[ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း]] (continuous dual) သည် <math>\ell^1</math> နှင့် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှုအရ အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။ # <math>\ell^1</math> ၏ အဆက်မပြတ် ဒွန်တွဲရပ်ဝန်းသည် <math>\ell^\infty</math> နှင့် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှုအရ အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။ # <math>\ell^\infty</math> ၏ အဆက်မပြတ် ဒွန်တွဲရပ်ဝန်းသည် စုစုပေါင်းပြောင်းလဲမှု [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (total variation norm) သတ်မှတ်ပေးထားသော <math>\mathbb{N}</math> ၏ ပါဝါအစု (power set) ပေါ်ရှိ ကန့်သတ်ချက်ရှိသည့် အဆုံးရှိအပေါင်းအခြေခံ အတိုင်းအတာများ၏ ရပ်ဝန်း (space of bounded, finitely additive measures) <math>ba(\mathbb{N})</math> နှင့် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှုအရ အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။<ref>Dunford and Schwartz (1958), pp. 296–298.</ref> ရပ်ဝန်းများဖြစ်ကြသော <math>c_0</math>၊ <math>\ell^1</math> နှင့် <math>\ell^\infty</math> တို့သည် ကိုယ်ပြန်ဟပ်ဂုဏ်သတ္တိ ပြည့်စုံမှုမရှိကြပေ။ === ပါဝင်မှုများနှင့် ပစ်တ်၏ သီအိုရမ် (Inclusions and Pitt's Theorem) === <math>1 \le p < q \le \infty</math> အတွက် ပုံမှန်ပါဝင်မှုပုံဖော်ခြင်း (canonical inclusion) <math>\ell^p \hookrightarrow \ell^q</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပြီး အောက်ပါမညီမျှခြင်းကို ကျေနပ်စေသည်။ <math display="block"> \|x\|_q \le \|x\|_p </math> ဤပါဝင်မှုသည် တင်းကျပ်သောပါဝင်မှု (strict inclusion) ဖြစ်ပြီး <math>p \neq q</math> ဖြစ်သည့် မည်သည့်အခါတွင်မဆို <math>\ell^p</math> သည် <math>\ell^q</math> နှင့် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အိုင်ဆိုမော်ဖစ် (linearly isomorphic) မဖြစ်နိုင်ပေ။ <math>q < \infty</math> အတွက် <math>\ell^p</math> ၏ ပုံရိပ်အစု (range) သည် <math>\ell^q</math> ထဲတွင် သိပ်သည်းသည်။ <math>q = \infty</math> အတွက် စူပရီမမ်စံနှုန်းနှင့် စပ်လျဉ်း၍ <math>\ell^\infty</math> ထဲရှိ <math>\ell^p</math> ၏ အပိတ် (closure) သည် <math>c_0</math> ဖြစ်သည်။ မတူညီသော <math>\ell^p</math> ရပ်ဝန်းများအကြား ပြောင်းပြန်ပုံဖော်မှုသည် တင်းကျပ်လှသော အော်ပရေတာသီအိုရီဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များနှင့် ရင်ဆိုင်ရသည်။ '''ပစ်တ်၏ သီအိုရမ်''' (Pitt's Theorem) - <math>1 \le p < s < \infty</math> ဖြစ်ပါစေ။ ကန့်သတ်ချက်ရှိသော [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်အော်ပရေတာ]] (bounded linear operator) <math>T : \ell^s \to \ell^p</math> တိုင်းသည် ကျစ်လျစ်သော အော်ပရေတာ (compact operator) ဖြစ်သည်။<ref>Pitt (1936), pp. 174–180.</ref> အကြောင်းမှာ <math>\ell^s</math> ၏ မည်သည့် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာအနန္တရှိသော]] ရပ်ဝန်းပိုင်းကိုမျှ <math>\ell^p</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခုပေါ်သို့ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်နည်းကျ ပုံမဖော်နိုင်သောကြောင့် <math>\ell^s</math> မှ <math>\ell^p</math> သို့ သတ်မှတ်ထားသော ကန့်သတ်ချက်ရှိသည့် မျဉ်းဖြောင့်အော်ပရေတာတိုင်းသည် တင်းကျပ်စွာ ဆင်းဂူလာဖြစ်ကြသည် (strictly singular)။ ===<math>\ell^1</math> တွင် ရှူးဝါး ဂုဏ်သတ္တိ နှင့် ကျစ်လျစ်မှု (The Schur Property and Compactness in <math>\ell^1</math>) === ရပ်ဝန်း <math>\ell^1</math> သည် '''ရှူးဝါး ဂုဏ်သတ္တိ''' (Schur property) နှင့် ပြည့်စုံသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>\ell^1</math> ထဲတွင် အားနည်းစွာ စုဆုံသော (converges weakly) [[ကိန်းစဉ်]]တိုင်းသည် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]တိုပေါ်လော်ဂျီ၌ အားကောင်းစွာ စုဆုံခြင်းလည်း (converges strongly) ဖြစ်သည်။<ref>Schur (1921), pp. 79–111.</ref> ရှူးဝါး ဂုဏ်သတ္တိသည် ကိန်းစဉ်ဆိုင်ရာ ဖြစ်ရပ် (sequential phenomenon) သက်သက်သာ ဖြစ်သည်။ <math>\ell^1</math> ပေါ်ရှိ အားနည်းသော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (weak topology) သည် စံနှုန်းတိုပေါ်လော်ဂျီထက် ပို၍တင်းကျပ်စွာ ကြမ်းသည်။ <math>\ell^1</math> တွင် စံနှုန်းအရ မစုဆုံနိုင်သော အားနည်းစွာ စုဆုံသည့် ကွန်ရက်များ (weakly convergent nets) တည်ရှိပြီး [[ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင်]] (unit sphere) <math>\{x \in \ell^1 \mid \|x\|_1 = 1\}</math> ၏ အားနည်းသော အပိတ် (weak closure) သည် အပိတ် ယူနစ်စက်လုံး (closed unit ball) တစ်ခုလုံး ဖြစ်သည်။ [[အစုပိုင်း]] <math>K \subset \ell^1</math> တစ်ခုသည် ကျစ်လျစ်ရန် (compact) [[ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ|လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ]]မှာ ၎င်းသည် အားနည်းစွာ ကျစ်လျစ်ခြင်း (weakly compact) ဖြစ်ပြီး ထိုသို့ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>K</math> သည် ကန့်သတ်ချက်ရှိခြင်း၊ အပိတ်ဖြစ်ခြင်း နှင့် အနန္တတွင် ညီညာစွာသေးငယ်ခြင်း (equismall at infinity) ပင်ဖြစ်သည်။<ref>Trèves (2006), pp. 451–458.</ref> [[အစု]] <math>K \subset \ell^1</math> တစ်ခုသည် '''အနန္တတွင် ညီညာစွာသေးငယ်သည်''' (equismall at infinity) ဟု ဆိုရာ၌ <math>\varepsilon > 0</math> တိုင်းအတွက် <math>x = (x_n)_{n=1}^\infty \in K</math> အားလုံးနှင့် သက်ဆိုင်ပြီး အောက်ပါမညီမျှခြင်းကို ကျေနပ်စေသည့် [[ကိန်းပြည့်]] <math>N \in \mathbb{N}</math> တစ်ခု တည်ရှိခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ <math display="block"> \sum_{n=N}^\infty |x_n| < \varepsilon </math> === အလုံးစုံအကျုံးဝင်သော စားလဒ် နှင့် ထည့်သွင်းခြင်း သီအိုရမ်များ (Universal Quotient and Embedding Theorems) === ရပ်ဝန်း <math>\ell^1</math> သည် ခွဲထုတ်၍ရသော [[ဘာနက် ရပ်ဝန်း|ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ]]အတွက် အလုံးစုံအကျုံးဝင်သော ဝန်းရံမော်ဒယ် (universal ambient model) တစ်ခုအဖြစ် အသုံးဝင်သည်။ '''ဘာနက်-မာဇူးရ် သီအိုရမ်''' (Banach–Mazur Theorem) - ခွဲထုတ်၍ရသော ဘာနက် ရပ်ဝန်း (separable Banach space) <math>X</math> တိုင်းသည် <math>\ell^1</math> ၏ စားလဒ်ရပ်ဝန်း (quotient space) တစ်ခုနှင့် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ [[အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှု]]ရှိသည် (linearly isometric)။<ref>Banach and Mazur (1933), pp. 100–112.</ref> ဆိုလိုသည်မှာ <math>X \cong \ell^1 / \ker Q</math> ဖြစ်စေသည့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်သော ကန့်သတ်ချက်ရှိသည့် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်အော်ပရေတာ]] (surjective bounded linear operator) <math>Q : \ell^1 \to X</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ အပိတ်ဖြစ်သော ရပ်ဝန်းပိုင်း <math>\ker Q</math> သည် ယေဘုယျအားဖြင့် <math>\ell^1</math> ထဲတွင် ဖြည့်စွက်မပါဝင်ပေ (uncomplemented)။ <math>\ell^1</math> ၏ အတွင်း၌ တစ်ခုနှင့်တစ်ခု [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]]မဖြစ်ကြသော ဖြည့်စွက်မပါဝင်သည့် အပိတ်ရပ်ဝန်းပိုင်းများသည် ရေတွက်၍မကုန်နိုင်အောင် များပြားစွာ တည်ရှိကြသည်။ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာအနန္တရှိသော]] ဘာနက် ရပ်ဝန်းတိုင်းတွင် <math>1 \le p < \infty</math> ဖြစ်သည့် <math>\ell^p</math> တစ်ခုခု သို့မဟုတ် <math>c_0</math> ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ် မိတ္တူ (isomorphic copy) တစ်ခု မဖြစ်မနေ ပါဝင်ရမည်လော ဟူသော ဒွန်တွဲထည့်သွင်းခြင်း ယူဆချက် (dual embedding conjecture) အား 1974 ခုနှစ်တွင် ဘောရစ် စီရယ်လ်ဆွန် (Boris Tsirelson) က ငြင်းပယ်ဖြေရှင်းခဲ့သည်။ ၎င်းသည် <math>c_0</math> နှင့်သော်လည်းကောင်း မည်သည့် <math>\ell^p</math> နှင့်သော်လည်းကောင်း အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော ရပ်ဝန်းပိုင်း မပါဝင်သည့် ကိုယ်ပြန်ဟပ် ဘာနက် ရပ်ဝန်းဖြစ်သော စီရယ်လ်ဆွန် ရပ်ဝန်း (Tsirelson's space) ကို တည်ဆောက်ပြခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>Tsirelson (1974), pp. 138–141.</ref> [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း]] သီအိုရီ (Hilbert space theory) တွင် <math>\ell^2</math> သည် ပုံမှန် ပိုင်းစသီးခြား ကိုဩဒိနိတ် မော်ဒယ် (canonical discrete coordinate model) အဖြစ် အသုံးဝင်သည်။ <math>\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}</math> အပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာအနန္တရှိသော ခွဲထုတ်၍ရသည့် ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း (infinite-dimensional separable Hilbert space) တိုင်းသည် <math>\ell^2</math> နှင့် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှုအရ အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။<ref>Debnath and Mikusinski (2005), pp. 120–121.</ref> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last1=Banach |first1=Stefan |last2=Mazur |first2=S. |title=Zur Theorie der linearen Dimension |journal=Studia Mathematica |volume=4 |date=1933 |pages=100–112 |doi=10.4064/sm-4-1-100-112}} * {{Citation |last1=Debnath |first1=Lokenath |last2=Mikusinski |first2=Piotr |title=Hilbert Spaces with Applications |edition=3rd |publisher=Elsevier Academic Press |date=2005 |isbn=978-0-12-208438-6 |pages=120–121}} * {{Citation |last1=Dunford |first1=Nelson |last2=Schwartz |first2=Jacob T. |title=Linear Operators, Part I: General Theory |series=Pure and Applied Mathematics |volume=7 |publisher=Interscience Publishers |date=1958 |isbn=978-0-471-60848-6}} * {{Citation |last=Jarchow |first=Hans |title=Locally Convex Spaces |series=Mathematische Leitfäden |publisher=B. G. Teubner |date=1981 |isbn=978-3-519-02224-4 |doi=10.1007/978-3-322-86438-3}} * {{Citation |last1=Narici |first1=Lawrence |last2=Beckenstein |first2=Edward |title=Topological Vector Spaces |series=Pure and Applied Mathematics |edition=2nd |publisher=CRC Press |date=2011 |isbn=978-1-58488-866-6}} * {{Citation |last=Pitt |first=H. R. |title=A note on bilinear forms |journal=Journal of the London Mathematical Society |volume=11 |issue=3 |date=1936 |pages=174–180 |doi=10.1112/jlms/s1-11.3.174}} * {{Citation |last1=Schaefer |first1=Helmut H. |last2=Wolff |first2=Manfred P. |title=Topological Vector Spaces |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=3 |edition=2nd |publisher=Springer-Verlag |date=1999 |isbn=978-0-387-98726-2 |doi=10.1007/978-1-4612-1468-7}} * {{Citation |last=Schur |first=J. |title=Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen |journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik |volume=151 |date=1921 |pages=79–111 |doi=10.1515/crll.1921.151.79}} * {{Citation |last=Trèves |first=François |title=Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels |publisher=Dover Publications |date=2006 |isbn=978-0-486-45352-1}} * {{Citation |last=Tsirelson |first=B. S. |title=It is impossible to imbed ℓ_p or c_0 into an arbitrary Banach space |journal=Functional Analysis and Its Applications |volume=8 |issue=2 |date=1974 |pages=138–141 |doi=10.1007/BF01078631}} [[Category:အကာသ (သင်္ချာ)]] [[ကဏ္ဍ:ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] r65vywa6cen7hcyen7g0r4y0ly76lbh 0 286440 1060804 1052935 2026-10-31T00:04:53Z Mkant00 135890 corrections to mathematics 1060804 wikitext text/x-wiki ဂျေးကော့ ဘရိုနောင်းစကီး (Jacob Bronowski) က [[သင်္ချာ|သင်္ချာနယ်ပယ်တစ်ခုလုံးတွင်]] အရေးအပါဆုံးသော တစ်ခုတည်းသီးသန့် [[သီအိုရမ်]] အဖြစ် ဖော်ပြခဲ့သည့် [[ပိုက်သာဂိုရပ်စ်]] သီအိုရမ် (Pythagorean theorem) သို့မဟုတ် ပိုက်သာဂိုရပ်စ်၏ သီအိုရမ် (Pythagoras's theorem) သည် [[ယူကလစ် ဂျီဩမေတြီ]] (Euclidean geometry) တွင် အခြေခံကျသော ဆက်သွယ်ချက် (relation) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ယင်းသီအိုရမ်သည် [[တြိဂံ]] တစ်ခုအား [[ထောင့်မှန်တြိဂံ]] (right triangle) ဖြစ်စေရန်အတွက် ၎င်း၏ အနားသုံးဖက် အလျားများနှင့်ပတ်သက်၍ လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (necessary and sufficient condition) တစ်ခုကို ပြဋ္ဌာန်းပေးသည်။ ရှေးအကျဆုံး ဖော်ပြချက်အရ ဤသီအိုရမ်က [[ထောင့်မှန်ခံအနား]] (hypotenuse) ပေါ်တွင် တည်ဆောက်ထားသော [[စတုရန်း]]၏ [[ဧရိယာ]] (area) သည် ကျန်အနားနှစ်ဖက်ပေါ်တွင် တည်ဆောက်ထားသော စတုရန်းများ၏ ဧရိယာပေါင်းလဒ်နှင့် ညီမျှသည်ဟု ဆိုသည်။ <ref>{{Citation |last=Saikia |first=Manjil P. |title=The Pythagoras' Theorem |journal=arXiv preprint arXiv:1310.0986 |date=2013}} </ref> ထောင့်မှန်ခံအနားဆိုသည်မှာ ထောင့်မှန်နှင့် မျက်နှာချင်းဆိုင်ရှိနေသော အနားဖြစ်သည်။ ကျန်အနားနှစ်ဖက်ကို ထောင့်မှန်ကျအနားများ (catheti) ဟု ခေါ်သည်။ အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျအားဖြင့် ၎င်းကို အနားအလျားများဖြစ်သော <math>a</math>, <math>b</math> နှင့် ထောင့်မှန်ခံအနား <math>c</math> တို့ကို ဆက်စပ်ပေးသည့် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ညီမျှခြင်း (Pythagorean equation) အဖြစ် ဖော်ပြသည်။ <ref>{{Citation |last=Sally |first=P. |title=Chapter 3: Pythagorean triples |date=2007 |page=63}}</ref> :<math>a^2 + b^2 = c^2</math> ယင်း၏ ပြောင်းပြန်အဆို (converse) သည်လည်း အလားတူပင် တိကျသေချာစွာ မှန်ကန်မှုရှိသည်။ အကယ်၍ တြိဂံတစ်ခု၏ အနားတစ်ဖက်ကို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ထားသော တန်ဖိုးသည် ကျန်အနားနှစ်ဖက်၏ နှစ်ထပ်ကိန်းများ [[ပေါင်းလဒ်]] နှင့် ညီမျှပါက အဆိုပါတြိဂံသည် ထောင့်မှန်တြိဂံ တိတိကျကျဖြစ်မည်ဖြစ်သည်။ ပိုမိုကျယ်ပြန့်သောရှုထောင့်မှကြည့်လျှင် ဤသီအိုရမ်သည် [[ကိုဆိုင်းနိယာမ]] (Law of Cosines) <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C</math> ၏ သီးသန့်အခြေအနေတစ်ရပ် ဖြစ်သည်။ ထောင့် <math>C</math> သည် ထောင့်မှန်ဖြစ်သောအခါ <math>\cos C = 0</math> ဖြစ်သွားပြီး အဆိုပါ[[ကိန်း|ကိန်း]] ပျောက်ကွယ်သွားရာမှ ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ညီမျှခြင်း (Pythagorean equation) ကို ရရှိစေသည်။ <ref>{{Citation |last=Greub |first=W. H. |title=Linear algebra |publisher=Springer |date=1967}}</ref> == သမိုင်းကြောင်းနှင့် နဂိုမှန်အဆိုအရ တိကျသေချာမှု (Historical Context and Axiomatic Rigor) == ရှေးဟောင်း အိုင်အိုနီယန် (Ionian) ဂရိ ဒဿနိကဗေဒပညာရှင် ဆေးမော့စ်မှ ပိုက်သာဂိုရပ်စ် (Pythagoras of Samos) ၏ အမည်ကို အစွဲပြု၍ မှည့်ခေါ်ထားသော်လည်း အဆိုပါ သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆက်သွယ်ချက်ကို မက်ဆိုပိုတေးမီးယား (Mesopotamia) <ref>{{Citation |last=Maor |first=E. |title=The Pythagorean Theorem: A 4000-year History |publisher=Princeton University Press |date=2007}}</ref> နှင့် တရုတ်ပြည် ကျိုးမင်းဆက် (Zhou Dynasty) အပါအဝင် အစောပိုင်း ယဉ်ကျေးမှုအဖွဲ့အစည်းများက လက်တွေ့အတွေ့အကြုံအရ သိရှိခဲ့ကြသည်။ ပိုက်သာဂိုရပ်စ်ကိုယ်တိုင်သည် [[ကိန်း|ကိန်းများ]]နှင့်ပတ်သက်၍ လျှို့ဝှက်ဆန်းကြယ်သော အယူအဆကို လက်ကိုင်ထားခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် အစောဆုံး ဟယ်လင်နစ် (Hellenic) ပုံစံတကျ သက်သေပြချက် (formal proof) များကို သူကိုယ်တိုင် ဖော်ထုတ်ခဲ့ခြင်း မဟုတ်နိုင်ပေ။ ၎င်းသက်သေပြချက်များကို သူ၏နောက်လိုက်များဖြစ်သော လေ့လာသင်ယူသူများဂိုဏ်းက ဖော်ထုတ်ခဲ့ခြင်းဖြစ်ရန် အလွန်များပြားလှသည်။ ယင်းဂိုဏ်းကို လေ့လာသင်ယူသူများ သို့မဟုတ် သင်္ချာပညာရှင်များ ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည့် မာသီမာတီကွိုင် (Mathematikoi) ဟုလည်း ခေါ်ကြသည်။ ထိုသူတို့သည် ကိန်းဂဏန်းနှင့် ဂျီဩမေတြီ (geometry) ဆိုင်ရာ သီအိုရမ် (theorem) များအတွက် ပုံစံတကျ သက်သေပြချက် လိုအပ်သည်ဟူသော သဘောတရားကို စတင်လမ်းဖောက်ခဲ့သူများ ဖြစ်သည်။ <ref>{{Citation |title=Pythagoras |work=Stanford Encyclopedia of Philosophy}}</ref> ဤသီအိုရမ်ကို ယူကလစ် (Euclid) ၏ Elements ကျမ်း စာအုပ်-၁ တွင် အဆို-၄၇ အဖြစ် စံပြုပြဋ္ဌာန်းထားသည်။ ၎င်း၏ ပြောင်းပြန်အဆိုကို အဆို-၄၈ အဖြစ် ပြဋ္ဌာန်းထားသည်။ ကလပ်စစ်ကယ် ဂျီဩမေတြီနည်းကျ သက်သေပြချက်တစ်ခုသည် ထောင့်မှန်ခံအနားဆီသို့ အမြင့်မျဉ်းတစ်ခု တည်ဆောက်ခြင်းအပေါ် အခြေခံထားသည်။ ဤသို့ပြုလုပ်ခြင်းဖြင့် တြိဂံကို မူလတြိဂံနှင့် ပုံစံတိကျစွာ တူညီသော တြိဂံငယ်နှစ်ခုအဖြစ် ခွဲခြမ်းလိုက်သည်။ ယင်းက အချိုးကျညီမျှခြင်းများဖြစ်သော <math>c_1/a = a/c</math> နှင့် <math>c_2/b = b/c</math> တို့ကို ရရှိစေသည်။ ၎င်းတို့ကို အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ <math>(c_1 + c_2)c = a^2 + b^2</math> ရရှိပြီး ယင်းမှတစ်ဆင့် <math>c^2 = a^2 + b^2</math> သို့ ရောက်ရှိစေသည်။ အထက်ပါကဲ့သို့သော ရှေးရိုးသက်သေပြချက်များသည် သမိုင်းကြောင်းအရ အရေးပါသော်လည်း ၎င်းတို့သည် ယူကလစ်၏ ပြိုင်မျဉ်း ကြိုတင်အဆို (parallel postulate) အပေါ်တွင် အခြေခံအားဖြင့် မှီခိုနေသည်။ ဤအဆိုက အတွင်းထောင့်များ ပေါင်းလဒ်ကို ၁၈၀ ဒီဂရီဖြစ်ကြောင်း သေချာစေသည်။ ခေတ်သစ် တိကျသေချာသော စံနှုန်းများအရ အဆိုပါသက်သေပြချက်များသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာထားခြင်းမရှိသော ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ယူဆချက်များကို ကာကွယ်ရန်အတွက် ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းထားသော အခြေခံအုတ်မြစ် တည်ဆောက်ပုံတစ်ခု လိုအပ်သည်။ ထို့ကြောင့် သီအိုရမ်ကို တိကျသေချာစွာ ပြဋ္ဌာန်းနိုင်ရန် ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) ၏ Grundlagen der Geometrie သို့မဟုတ် တာစကီး (Tarski) ၏ အခြေခံ [[ယူကလစ် ဂျီဩမေတြီ]] ကဲ့သို့သော ခေတ်သစ် နဂိုမှန်အဆို စနစ်များ (axiomatic systems) နှင့် ဆက်စပ်ပေးရန် လိုအပ်သည်။ == အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြချက်များ (Algebraic proofs) == [[File:Pythagoras algebraic2.svg|thumb|upright|110px|အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြချက်နှစ်ခု၏ ပုံကြမ်း]] ပုံကြမ်း၏ အောက်ပိုင်းတွင် ပြသထားသည့်အတိုင်း အနား <math>c</math> ရှိသော စတုရန်းတစ်ခု၏ ပတ်လည်တွင် အချိုးညီစွာ (symmetrically) စီစဉ်ထားသည့် တူညီသော တြိဂံလေးခုကို အသုံးပြု၍ ဤသီအိုရမ်ကို အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ သက်သေပြနိုင်သည်။ <ref>{{Citation |last=Bogomolny |first=Alexander |title=Pythagorean Theorem and its many proofs, Proof #4 |date=2016 |url=https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml#4 |work=Cut-the-Knot}}</ref>ဤသို့ပြုလုပ်ခြင်းဖြင့် အနား <math>a+b</math> နှင့် ဧရိယာ <math>(a+b)^2</math> ရှိသော ပိုကြီးသည့် စတုရန်းတစ်ခုကို ရရှိစေသည်။ တြိဂံလေးခုနှင့် အနား <math>c</math> ရှိသော စတုရန်းတို့၏ ဧရိယာပေါင်းလဒ်သည် ပိုကြီးသည့် စတုရန်း၏ ဧရိယာနှင့် တူညီရမည်ဖြစ်သောကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ :<math>(b + a)^2 = c^2 + 4\frac{ab}{2} = c^2 + 2ab</math> :<math>c^2 = (b+a)^2 - 2ab = b^2 + 2ab + a^2 - 2ab = a^2 + b^2.</math> အလားတူ သက်သေပြချက်တစ်ခုတွင် ပုံကြမ်း၏ အပေါ်ပိုင်း၌ ပြသထားသည့်အတိုင်း အနား <math>a</math>, <math>b</math> နှင့် <math>c</math> ရှိသော ထောင့်မှန်တြိဂံ၏ မိတ္တူလေးခုကို အနား <math>c</math> ရှိသော စတုရန်းတစ်ခုအတွင်း၌ စီစဉ်ထားသည် ။ <ref>{{Citation |last=Bogomolny |first=Alexander |title=Pythagorean Theorem and its many proofs, Proof #3 |date=2016 |url=https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml#3 |work=Cut-the-Knot}}</ref> အဆိုပါ တြိဂံများသည် ဧရိယာ <math>\frac{1}{2}ab</math> ဖြင့် တူညီကြပြီး စတုရန်းအငယ်မှာမူ အနား <math>b-a</math> ရှိကာ ဧရိယာ <math>(b-a)^2</math> ရှိသည်။ ထို့ကြောင့် စတုရန်းအကြီး၏ ဧရိယာသည် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>(b-a)^2 + 4\frac{ab}{2} = (b-a)^2 + 2ab = b^2 - 2ab + a^2 + 2ab = a^2 + b^2.</math> သို့ရာတွင် ဤသည်မှာ အနား <math>c</math> နှင့် ဧရိယာ <math>c^2</math> ရှိသော စတုရန်းတစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် ဤသို့ရရှိသည်။ :<math>c^2 = a^2 + b^2</math> == အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီနှင့် ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းများ (Algebraic Geometry and Diophantine Equations) == [[ကိန်းသီအိုရီ]] (number theory) တွင် [[ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်း]] (Diophantine equation) <math>a^2 + b^2 = c^2</math> အတွက် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်]] အဖြေများ (integral solutions) ဖြစ်သည့် <math>(a, b, c)</math> တို့ကို ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သုံးခုတွဲများ (Pythagorean triples) ဟု ခေါ်သည်။ ဤသုံးခုတွဲများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း (classifying) အတွက် အလွန်တိကျသေချာသော ချဉ်းကပ်မှုသည် [[ဂဏန်းသင်္ချာ]] (arithmetic) ကို ကျော်လွန်၍ [[အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဂျီဩမေတြီ]] (algebraic geometry) အတွင်းသို့ ကူးပြောင်းသွားသည်။ [[ညီမျှခြင်း]]ကို <math>c^2</math> ဖြင့် စားလိုက်ခြင်းအားဖြင့် ဤပြဿနာသည် ချောမွေ့သော ကတော့ချွန် ဖြတ်ပိုင်း မျဉ်းကွေး (smooth conic curve) <math>x^2 + y^2 = 1</math> အတွက် [[ရာရှင်နယ်ကိန်း|ရာရှင်နယ် အဖြေများ]] (rational solutions) <math>(x, y)</math> ကို ရှာဖွေခြင်းအဖြစ် ပြောင်းလဲသွားသည်။ ဤ ကတော့ချွန် ဖြတ်ပိုင်း (conic) ကို [[ရပ်လုံးကြွပုံဖော်ပရိုဂျက်ရှင်း]] (stereographic projection) မှတစ်ဆင့် ပရိုဂျက်တစ် မျဉ်း (projective line) <math>\mathbb{P}^1(\mathbb{Q})</math> အပေါ်တွင် အလုံးစုံ ကိန်းရှင်ကြားခံညီမျှခြင်းများ (parameterization) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ ကတော့ချွန် ဖြတ်ပိုင်းပေါ်ရှိ အမှတ် <math>(-1, 0)</math> မှနေ၍ ပရိုဂျက်တစ် မျဉ်း <math>x = 1</math> ဆီသို့ [[ပရိုဂျက်ရှင်း]] (projection) ပြုလုပ်လိုက်သောအခါ ရာရှင်နယ်အဖြေ <math>(r, s)</math> တစ်ခုစီသည် ရာရှင်နယ် ကိုဩဒိနိတ် (rational coordinate) <math>t = \frac{2s}{1 + r}</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ခံရသည်။ ပြောင်းပြန်အားဖြင့် ရာရှင်နယ်အမှတ် <math>(1, t)</math> ကို <math>(-1, 0)</math> နှင့် ဆက်သွယ်လိုက်သောအခါ ကတော့ချွန် ဖြတ်ပိုင်းကို ရာရှင်နယ်အမှတ် နှစ်မှတ်တိတိတွင် ဖြတ်သွားသည်။ သို့မဟုတ်ပါက <math>t = \infty</math> တွင် နှစ်ထပ်မှတ် (double point) တစ်ခုအဖြစ် ဖြတ်သွားသည်။ :<math>r = \frac{4 - t^2}{4 + t^2}, \quad s = \frac{4t}{4 + t^2}</math> <math>t' = t/2</math> ကို အစားထိုးခြင်းအားဖြင့် ပရစ်မစ်တစ် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သုံးခုတွဲများ (primitive Pythagorean triples) အားလုံး၏ အခြေခံ ကိန်းရှင်ကြားခံညီမျှခြင်းများကို ရရှိသည်။ <ref>{{Citation |last=Hardy |first=G. H. |last2=Wright |first2=E. M. |title=An introduction to the theory of numbers |publisher=Oxford Univ. Press |date=1979 |chapter=XIII}}</ref> ဤနေရာတွင် <math>t' = u/v</math> ဟု သတ်မှတ်ပြီး <math>u, v</math> တို့သည် [[နှိုင်းရသုဒ္ဓ]] (coprime) ဖြစ်ကြသည့် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|ဆန့်ကျင်ဘက် စုံမသဘာဝ]] (opposite parity) ရှိသော အပေါင်း[[ကိန်းပြည့်]]များ ဖြစ်ကာ <math>v > u</math> ဖြစ်သည်။ ယေဘုယျ ကိန်းပြည့် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သုံးခုတွဲ အားလုံးကို အချိုးချဲ့ [[ကိန်းပြည့်]] <math>k</math> ဖြင့် မြှောက်ခြင်းအားဖြင့် ရရှိသည်။ :<math>a = k(v^2 - u^2), \quad b = 2kuv, \quad c = k(v^2 + u^2)</math> ဤအချက်နှင့် ပတ်သက်၍ မှတ်သားရန်ရှိသည်။ ဤဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းကို ထပ်ကိန်းများ (powers) <math>n \ge 3</math> သို့ ယေဘုယျပြုရန် (generalize) ကြိုးပမ်းခြင်းသည် <math>a^n + b^n = c^n</math> အဖြစ် ထွက်ပေါ်လာသည်။ ယင်းကို [[ဖဲမ၏ နောက်ဆုံးသီအိုရမ်]] (Fermat's Last Theorem) အဖြစ် သိရှိကြသည်။ == ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Functional Analysis) == သင်္ချာဆိုင်ရာ ရပ်ဝန်းများ (mathematical spaces) သည် [[အတိုင်းအတာ_(သင်္ချာ)#ဗက်တာရပ်ဝန်း၏_အတိုင်းအတာ_(Dimension_of_a_vector_space)|အနန္တအတိုင်းအတာ]] (infinite dimensions) သို့ ကြီးထွားလာသည်နှင့်အမျှ ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ်သည် [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း|ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများ]] (Hilbert spaces) အတွင်းရှိ ပါဆီဗယ် ညီမျှခြင်း (Parseval's Equality) သို့ ယေဘုယျပြုပြောင်းလဲသွားသည်။ <ref>{{Citation |last=Greub |first=W. H. |title=Linear algebra |publisher=Springer |date=1967}}</ref> <math>X</math> ကို အတွင်းမြှောက်လဒ် <math>(\cdot, \cdot)</math> နှင့် သက်ဆိုင်ရာ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) <math>\|\cdot\|</math> တို့ပါဝင်သော စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသည့် ခွဲထုတ်၍ရသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (normed separable vector space) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပါ။ အကယ်၍ <math>\{e_n\}</math> သည် <math>X</math> အတွင်းရှိ [[ထောင့်မှန်ကျဖြစ်မှု|ထောင့်မှန်ကျ စနစ်]] (orthogonal system) ဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ မျဉ်းဖြောင့်စပန် (linear span) သည် <math>X</math> တွင် သိပ်သည်းခြင်းရှိသော ပြည့်စုံသည့် စနစ် (complete system) တစ်ခုဖြစ်ပါက [[အစုဝင်|အစုဝင်]] <math>x \in X</math> တစ်ခုအတွက် ပါဆီဗယ် ညီမျှခြင်းက အဆိုပါအစုဝင်၏ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] နှစ်ထပ်ကိန်းကို ၎င်း၏ ဖူရီယေး မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (Fourier coefficients) ၏ မော်ဂျူးလပ်စ်များ (moduli) ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းနှင့် ညီမျှစေသည်။ အထွေထွေ ထောင့်မှန်ကျ စနစ်များအတွက် ဘက်ဆယ် မညီမျှခြင်း (Bessel's inequality) သာလျှင် အမြဲတမ်း မှန်ကန်ပြီး ပြည့်စုံမှုရှိမှသာ ညီမျှခြင်း ဖြစ်လာသည်။ ထိုအစုဝင် <math>e_n \ne 0</math> ဖြစ်သည်။ :<math>\|x\|^2 = \sum_{n=1}^\infty |a_n|^2 \|e_n\|^2</math> ဤနေရာတွင် <math>a_n = \frac{(x, e_n)}{(e_n, e_n)}</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ အခြေ[[အစု|အစု]] (basis) <math>\{e_n\}</math> သည် ထောင့်မှန်ကျယူနစ် (orthonormal) ဖြစ်ပါက ယင်းညီမျှခြင်းသည် <math>\|x\|^2 = \sum_{n=1}^\infty |a_n|^2</math> အဖြစ် ရိုးရှင်းသွားသည်။ အစုဝင် <math>x \in X</math> တိုင်းအတွက် ပါဆီဗယ် ညီမျှခြင်း မှန်ကန်မှုရှိခြင်းသည် <math>X</math> အတွင်းရှိ ထောင့်မှန်ကျ စနစ် <math>\{e_n\}</math> အား သင်္ချာနည်းကျ ပြည့်စုံမှု (complete) ရှိစေရန်အတွက် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ <ref>{{Citation |last=Steklov |first=V. A. |title=Sur certaines égalités générales communes à plusieurs séries de fonctions souvent employées dans l'analyse |journal=Zap. Nauchn. Fiz.-Mat. Obshch. Ser. 8 |volume=157 |date=1904 |pages=1–32}}</ref> ခွဲထုတ်၍မရသော ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများ (Non-Separable Hilbert Spaces) အထိ ဤသီအိုရမ်သည် ပိုမိုကျယ်ပြန့်သွားသည်။ အညွှန်းအစု (index set) <math>\mathfrak{A}</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော ပြည့်စုံသည့် ထောင့်မှန်ကျယူနစ် စနစ် (complete orthonormal system) <math>\{e_\alpha\}</math> အတွက် ညီမျှခြင်းသည် <math>(x, x) = \sum_{\alpha \in \mathfrak{A}} |(x, e_\alpha)|^2</math> ဖြစ်လာသည်။ ဤနေရာတွင် ပေါင်းလဒ်ကို အဆုံးရှိ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (finite subsets) <math>\mathfrak{A}_0 \subset \mathfrak{A}</math> အားလုံးအပေါ်ရှိ [[စူပရီမမ်]] (supremum) အဖြစ် တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ [[အင်တီဂရေးရှင်း#လီဘက်ဂ်_အင်တီဂရယ်_(The_Lebesgue_Integral)|လီဘက်ဂ်-အင်တီဂရိတ်]]လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော နှစ်ထပ်ကိန်းများပါရှိသည့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်]]တန်ဖိုးရှိ [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (real-valued functions) ၏ ရပ်ဝန်း <math>L_2[-\pi, \pi]</math> တွင် တြီဂိုနိုမေတြီ စနစ်ကို ပြည့်စုံသော ထောင့်မှန်ကျ စနစ်အဖြစ် အသုံးပြုခြင်းက ပါဆီဗယ် ညီမျှခြင်းဆီသို့ ဦးတည်သွားစေသည်။ ယင်းကို အမ် ပါဆီဗယ် (M. Parseval) က ၁၈၀၅ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြခဲ့သည်။ ထို့ပြင် ၎င်းကို ကွန်ဂျူဂိတ်ထပ်ကိန်း (conjugate exponent) ဖန်ရှင် အတန်းအစားများ တစ်လျှောက် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ်-ယန်း မညီမျှခြင်း (Hausdorff-Young inequality) အဖြစ် ယေဘုယျပြုချဲ့ထွင်နိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>1 \le p \le 2</math> နှင့် <math>p^{-1} + q^{-1} = 1</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>q \ge 2</math> ဖြစ်သည့် အခြေအနေတွင် [[လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ်|လီဘက်ဂ် ရပ်ဝန်း]] <math>L_p[-\pi, \pi]</math> မှ ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ ဖူရီယေး မြှောက်ဖော်ကိန်းများသည် [[ကိန်းစဉ် ရပ်ဝန်း]] (sequence space) <math>\ell_q</math> အတွင်းသို့ ကျရောက်ပြီး <math>\|\widehat{f}\|_{\ell_q} \le \|f\|_{L_p}</math> ဖြစ်သည်။ == ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ- ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ကွင်းများ (Abstract Algebra: Pythagorean Rings) == အဆင့်မြင့် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ်၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို ပိုက်သာဂိုရပ်စ် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (Pythagorean rings) ဟုခေါ်သော [[အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ|အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ]] (algebraic structures) ကို သတ်မှတ်ရန် သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ထားသည်။ ၎င်းတွင် [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]ဖြစ်သော <math>a, b \in R</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်စေမည့် [[နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု]] (binary operation) <math>p: R \times R \to R</math> ပိုင်ဆိုင်ထားပါက ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ကွင်းဟုခေါ်သည်။ ယင်းကွင်းသည် ဖက်စပ်၍မရသော ဂုဏ်သတ္တိ ရှိနိုင်သကဲ့သို့ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိမရှိသော ကွင်း (non-unital ring) လည်း ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>a^2 + b^2 = p(a,b)^2</math> အကယ်၍ ဤ[[နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု]] <math>p</math> ကို [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖလှယ်ရ]] နှင့် [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖက်စပ်ရ]] ဂုဏ်သတ္တိများ ရှိသည်ဟု သီးခြားယူဆပါက အဆိုပါတွက်ချက်မှု <math>p</math> ပါဝင်သော [[အစု|အစု]] <math>R</math> သည် [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖလှယ်ရ]] [[ဆီမီးအုပ်စု]] (commutative semigroup) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ သို့ရာတွင် ယေဘုယျအားဖြင့် <math>p(a,b)^2 = a^2 + b^2</math> ဟူသော အခြေအနေတစ်ခုတည်းက <math>p</math> အား ဖလှယ်ရ ဆီမီးအုပ်စု ဖြစ်လာစေရန် အလိုအလျောက် အာမမခံနိုင်ပေ။ ယင်းကို အဆုံးရှိ ပေါင်းလဒ်သို့ ပုံဖော်ပေးသည့် <math>n</math>-လုံးသွင်း တွက်ချက်မှု <math>p_n</math> သို့ တိုးချဲ့နိုင်သည်။ ယင်းကို <math>\sum_{i=1}^n a_i^2 = p_n(a_1, a_2, \dots, a_n)^2</math> အဖြစ် ဖော်ပြသည်။ [[အစဉ်ကျသော ဖီးလ်ဒ်|အစဉ်ကျ ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ဖီးလ်ဒ်]] <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ရွေးချယ်ထားသော [[အခြေအစု]] ပါဝင်သည့် အဆင့်အဆုံးရှိ [[လွတ်လပ်သော မော်ဂျူး|လွတ်လပ်သော <math>R</math>-မော်ဂျူး]] (finite-rank free R-module) <math>A</math> အတွက် အဆိုပါ <math>n</math>-လုံးသွင်း တွက်ချက်မှုကို အသုံးပြု၍ စံနှုန်းသဘောဆောင်သော ပကတိတန်ဖိုး (absolute value) <math>|(\cdot)|: A \to R</math> နှင့် သက်ဆိုင်ရာ နှစ်ထပ်ကိန်းပုံစံ (quadratic form) <math>q = |(\cdot)|^2</math> ကို သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အကျိုးဆက်အားဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော နှစ်ထပ်ကိန်းပုံစံ ပါဝင်သည့် မော်ဂျူးအတွက် <math>\mathrm{Cl}_R(A, q)</math> ဟု သင်္ကေတပြုထားသော သက်ဆိုင်ရာ ကလစ်ဖို့ဒ် အက္ခရာသင်္ချာ (Clifford algebra) တစ်ခု တည်ဆောက်နိုင်သည်။ == ကိုးကား == * {{Citation |last=Bronowski |first=J. |title=The Ascent of Man}} * {{Citation |last=Nikol'skii |first=S. M. |title=A course of mathematical analysis |volume=2 |publisher=MIR |date=1977 |others=Translated from Russian}} * {{Citation |last=Il'in |first=V. A. |last2=Poznyak |first2=E. G. |title=Fundamentals of mathematical analysis |volume=2 |publisher=MIR |date=1982 |others=Translated from Russian}} * {{Citation |last=Bary |first=N. K. |title=A treatise on trigonometric series |publisher=Pergamon |date=1964 |others=Translated from Russian}} * {{Citation |last=Zygmund |first=A. |title=Trigonometric series |volume=1 |publisher=Cambridge Univ. Press |date=1988}} * {{Citation |last=Kirillov |first=A. A. |last2=Gvishiani |first2=A. D. |title=Theorems and problems in functional analysis |publisher=Springer |date=1982 |others=Translated from Russian}} * {{Citation |last=Hewitt |first=E. |last2=Stromberg |first2=K. R. |title=Real and abstract analysis |publisher=Springer |date=1965}} [[ကဏ္ဍ:ညီမျှခြင်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ဂျီဩမေတြီ သမိုင်း]] [[ကဏ္ဍ:ထောင့်]] [[ကဏ္ဍ:ဧရိယာ]] r6xku4x3wyp01z258gywxovpj6pt0ks 0 290802 1060797 1053819 2026-10-30T22:51:17Z Mkant00 135890 1060797 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ဖန်ရှင်များ}} [[သင်္ချာ]]ဘာသာရပ်တွင် ညီမျှခြင်း <math>y = \sin x</math> ဖြင့် ဖော်ပြသော ဆိုင်း (sine) နှင့် ညီမျှခြင်း <math>y = \cos x</math> ဖြင့် ဖော်ပြသော ကိုဆိုင်း (cosine) တို့သည် အခြေခံကျသော [[တြီဂိုနိုမေတြီ]] [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (trigonometric functions) ဖြစ်ကြသည်။ အဆိုပါ ဖန်ရှင်နှစ်ခုလုံးအတွက် [[ဖန်ရှင်|အရင်းအမြစ်စု]] (domain) သည် <math>x</math> တန်ဖိုး <math>-\infty</math> မှ <math>\infty</math> ကြားရှိ [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်မျဉ်း]] (real line) တစ်ခုလုံး ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့၏ [[ဖန်ရှင်|ပုံရိပ်အစု]] (range) သည် အပိတ် အပိုင်းအခြား (closed interval) ဖြစ်သည့် <math>[-1, 1]</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းဖန်ရှင်နှစ်ခုလုံးသည် <math>2\pi</math> ကာလ (period) ရှိသော ကာလမှန် ဖန်ရှင်များ (periodic functions) ဖြစ်ကြသည်။ သို့သော်လည်း ၎င်းတို့သည် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံမသဘာဝ]] (parity) တွင် ကွာခြားမှုရှိသည်။ ဆိုင်းသည် [[စုံကိန်းဖန်ရှင်နှင့် မကိန်းဖန်ရှင်|မကိန်းဖန်ရှင်]] (odd function) ဖြစ်ပြီး ကိုဆိုင်းသည် [[စုံကိန်းဖန်ရှင်နှင့် မကိန်းဖန်ရှင်|စုံကိန်းဖန်ရှင်]] (even function) ဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ထပ်တူညီမှုများ (Fundamental Identities) == ဆိုင်းနှင့် ကိုဆိုင်းတို့သည် [[ပိုက်သာဂိုရပ်စ်_သီအိုရမ်|ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ထပ်တူညီမှု]] (Pythagorean identity) ဖြင့် နီးကပ်စွာ ဆက်စပ်နေကြသည်။ အဆိုပါ ထပ်တူညီမှုမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\sin^2x+\cos^2x=1 </math> ၎င်းတို့သည် အခြားသော တြီဂိုနိုမေတြီ [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များနှင့်]] အချိုးပြောင်းပြန် ဆက်သွယ်ချက်များ (reciprocal relationships) လည်း ရှိကြသည်။ ဆိုင်းကို ကိုဆီးကန့် (cosecant) ခေါ် <math>\csc x</math> ဖြင့် ဆက်စပ်ထားသည်။ ကိုဆိုင်းကို ဆီးကန့် (secant) ခေါ် <math>\sec x</math> ဖြင့် ဆက်စပ်ထားသည်။ ဆက်သွယ်ပုံများမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\sin x=\frac{1}{\csc x} \qquad \text{and} \qquad \cos x=\frac{1}{\sec x}.</math> == ကဲကုလပ် (Calculus) == [[ကဲကုလပ်]] (calculus) တွင် အဆိုပါ [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ၏]] [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်များ]] (derivatives) နှင့် [[အင်တီဂရေးရှင်း#ယေဘုယျ_အင်တီဂရယ်_(The_Indefinite_Integral)|ယေဘုယျ အင်တီဂရယ်များ]] (indefinite integrals) သည် တစ်ခုမှတစ်ခုသို့ အလှည့်ကျ ပြောင်းလဲကြသည်။ ၎င်းတို့၏ ဆင်းသက်ချက်များမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>(\sin x)'=\cos x \qquad \text{and} \qquad (\cos x)'=-\sin x.</math> ၎င်းတို့၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ်များမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\int\sin(x)\,dx=-\cos x+C \qquad \text{and} \qquad \int\cos(x)\,dx=\sin x+C.</math> == ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း နှင့် ပြောင်းပြန်များ (Power Series and Inverses) == အဆိုပါ [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်နှစ်ခုလုံးကို]] မက်လောရင် ကိန်းစဉ်တန်း (Maclaurin series) ဟုခေါ်သော အနန္တ ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း (infinite power series) များဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤကိန်းစဉ်တန်းများသည် <math>x</math> တန်ဖိုး <math>-\infty</math> မှ <math>\infty</math> ကြားရှိ [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) အားလုံးအတွက် စုဆုံသည် (converge)။ ၎င်းကိန်းစဉ်တန်းများမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dotsb</math> :<math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dotsb</math> ဆိုင်းနှင့် ကိုဆိုင်းတို့သည် ကာလမှန် ဖန်ရှင်များဖြစ်ကြသဖြင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်မျဉ်း]] တစ်ခုလုံးပေါ်တွင် [[ပြောင်းပြန်ဖန်ရှင်]] တိုက်ရိုက် မရှိနိုင်ပေ။ သို့သော်လည်း ၎င်းတို့၏ အရင်းအမြစ်စုများကို ဆိုင်းအတွက် <math>[-\pi/2, \pi/2]</math> နှင့် ကိုဆိုင်းအတွက် <math>[0, \pi]</math> ဟူ၍ ကန့်သတ်လိုက်ပါက [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်များ]] (bijective functions) ရရှိပြီး ၎င်းတို့ကို ပြောင်းပြန်လှန်ရန် သက်ဆိုင်ရာ [[ပြောင်းပြန်ဖန်ရှင်|ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင်များ]] (inverse functions) ကို အသုံးပြုကြသည်။ ယင်းတို့ကို အာ့ခ်ဆိုင်း (arcsine) <math>\arcsin</math> နှင့် အာ့ခ်ကိုဆိုင်း (arccosine) <math>\arccos</math> ဟု အသီးသီး ခေါ်ကြသည်။ == ကိန်းထွေးများ နှင့် ဟိုက်ပါဘောလစ် ဖန်ရှင်များ (Complex numbers and Hyperbolic Functions) == ဆိုင်းနှင့် ကိုဆိုင်းတို့ကို [[ကိန်းထွေး]] <math>z</math> အထိ တိုးချဲ့လိုက်သောအခါ ၎င်းတို့သည် ထပ်ကိန်းတင် [[ဖန်ရှင်]] (exponential function) နှင့် အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Euler's formula) မှတစ်ဆင့် ဆက်စပ်သွားသည်။ :<math>e^{iz}=\cos z+i\sin z.</math> အွိုင်လာ ပုံသေနည်းကို အသုံးပြု၍ ဖန်ရှင်နှစ်ခုလုံးကို ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်များ (complex exponentials) ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ :<math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \qquad \text{and} \qquad \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.</math> နောက်ဆုံးအနေဖြင့် ဤဖန်ရှင်များကို ညီမျှခြင်း <math>z = ix</math> ကဲ့သို့သော [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်သီးသန့်များ]] (purely imaginary numbers) တွင် တန်ဖိုးရှာဖွေသောအခါ (evaluated) ၎င်းတို့သည် ဟိုက်ပါဘောလစ် ဆိုင်း (hyperbolic sine) <math>\sinh x</math> နှင့် ဟိုက်ပါဘောလစ် ကိုဆိုင်း (hyperbolic cosine) <math>\cosh x</math> တို့အဖြစ်သို့ အသွင်ပြောင်းသွားသည်။ :<math>\sin(ix)=i\sinh x \qquad \text{and} \qquad \cos(ix)=\cosh x.</math> == ကိုးကား == * {{Citation |last1=Abramowitz |first1=M. |last2=Stegun |first2=I. A. |title=Handbook of mathematical functions |edition=reprint |publisher=Dover |date=1972 |at=§4.3}} * {{Citation |last=Markushevich |first=A. I. |title=Theory of functions of a complex variable |volume=1 |publisher=Chelsea |date=1977 |others=Translated from Russian}} [[ကဏ္ဍ:အထူး ဖန်ရှင်များ]] dhy1aaw75xg5atj48fq2wvp9ou2ddd1 0 290841 1060791 1054222 2026-10-30T20:43:38Z Mkant00 135890 corrections to mathematics 1060791 wikitext text/x-wiki {{Calculus}} [[သင်္ချာ|သင်္ချာတွင်]] ကိန်းစဉ်တန်း (series) သည် [[ကိန်းစဉ်|အနန္တ ကိန်းစဉ်]] (infinite sequence) ၏ ကိန်းများကို [[ပေါင်းခြင်း|ပေါင်းထားသော]] ပေါင်းလဒ်ဖြစ်သည်။ ကိန်းစဉ်တန်းများကို လေ့လာခြင်းသည် ကဲကုလပ် (calculus) နှင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (mathematical analysis) တို့၏ အဓိက အစိတ်အပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အနန္တ ကိန်းစဉ် <math>(a_1, a_2, a_3, \ldots)</math> တစ်ခုကို ပေးထားလျှင် ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုကို <math>\sum_{i=1}^\infty a_i</math> ဟူသော ဖော်ပြချက်ဖြင့် ပုံစံတကျ (formally) ဖော်ပြသည်။<ref name=":5">{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |page=37}}</ref> ကိန်းစဉ်တန်း၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ် (partial sum) သည် ၎င်း၏ ပထမဆုံး ကိန်း <math>n</math> ခု၏ အဆုံးရှိပေါင်းလဒ်ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>s_n = \sum_{k=1}^n a_k</math> ဟု သတ်မှတ်ဖော်ပြသည်။<ref name=":15">{{Citation |last1=Rudin |first1=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3rd |publisher=McGraw-Hill |date=1976 |page=59}}</ref> အကယ်၍ <math>n \to \infty</math> အခြေအနေသို့ ရောက်ရှိသွားသောအခါ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များ၏ ကိန်းစဉ်သည် အဆုံးရှိသော [[စုဆုံမှတ်|သင်္ချာဆိုင်ရာ စုဆုံမှတ်]] (mathematical limit) တစ်ခုသို့ ချဉ်းကပ်သွားပါက ထိုကိန်းစဉ်တန်းကို စုဆုံသော (convergent) ကိန်းစဉ်တန်းဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထိုကိန်းစဉ်တန်းကို ပေါင်းစပ်နိုင်သော (summable) ကိန်းစဉ်တန်းဟုလည်း ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။ ထိုစုဆုံမှတ်ကို ကိန်းစဉ်တန်း၏ ပေါင်းလဒ်အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ပေးထားသည်။<ref name=":4">{{Citation |last1=Spivak |first1=Michael |title=Calculus |edition=4th |publisher=Publish or Perish |date=2008 |pages=471–472}}</ref><ref name=":2">{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |page=384}}</ref><ref name=":3">{{Citation |last1=Ablowitz |first1=Mark J. |last2=Fokas |first2=Athanassios S. |title=Complex Variables: Introduction and Applications |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |date=2003 |page=110}}</ref> အကယ်၍ ၎င်းစုဆုံမှတ် မတည်ရှိပါက ထိုကိန်းစဉ်တန်းသည် ဖြာထွက်သော (divergent) ကိန်းစဉ်တန်း ဖြစ်သည်။<ref name=":43">{{Citation |last1=Spivak |first1=Michael |title=Calculus |edition=4th |publisher=Publish or Perish |date=2008 |page=453}}</ref> == အစုအဖွဲ့ဖွဲ့ခြင်းနှင့် ပြန်လည်စီစဉ်ခြင်း (Grouping and Rearrangement) == အဆုံးရှိသော ပေါင်းလဒ်များတွင် အပေါင်းတွက်ချက်မှု၏ [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (associativity) နှင့် [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (commutativity) တို့ကြောင့် ကိန်းများကို အစုအဖွဲ့ဖွဲ့ခြင်းနှင့် ပြန်လည်စီစဉ်ခြင်းတို့ကို လွတ်လပ်စွာ ပြုလုပ်နိုင်သည်။ အနန္တ ကိန်းစဉ်တန်းများအတွက်မူ ဤတွက်ချက်မှုများသည် သတိပြုရန် လိုအပ်သည်။ စုဆုံသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု၏ ကိန်းများကို အစုအဖွဲ့ဖွဲ့ခြင်းသည် အမြဲတမ်း မှန်ကန်ပြီး ပေါင်းလဒ်ကို ပြောင်းလဲစေမည်မဟုတ်ပါ။ သို့သော်လည်း ဖြာထွက်သော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုကို အစုအဖွဲ့ဖွဲ့ခြင်းသည် ရှေ့နောက်မညီညွတ်သော စုဆုံမှတ်များဆီသို့ စုဆုံသွားသည့် တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များ၏ ကိန်းစဉ်တစ်ခုကို ထွက်ပေါ်လာစေနိုင်သည်။ ဤအချက်ကို ဂရန်ဒီ၏ ကိန်းစဉ်တန်း (Grandi's series) <math>(1 - 1 + 1 - 1 + \cdots)</math> တွင် တွေ့မြင်နိုင်သည်။<ref name=":0">{{Citation |last1=Kifowit |first1=Steven J. |last2=Stamps |first2=Terra A. |title=The harmonic series diverges again and again |journal=American Mathematical Association of Two-Year Colleges Review |volume=27 |issue=2 |date=2006 |pages=31–43}}</ref><ref name=":14">{{Citation |last1=Spivak |first1=Michael |title=Calculus |edition=4th |publisher=Publish or Perish |date=2008 |page=496}}</ref> ကိန်းများ၏ အနန္တ ပြန်လည်စီစဉ်ခြင်းသည် ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ်ကို ပြောင်းလဲစေနိုင်သည်။ [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers) ပါဝင်သော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု၏ ပကတိတန်ဖိုးများ (absolute values) ပေါင်းလဒ် <math>\sum |a_n|</math> စုဆုံရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ ထိုကိန်းစဉ်တန်းသည် ပြန်လည်စီစဉ်ခြင်းကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားစရာမလိုဘဲ တူညီသော တန်ဖိုးတစ်ခုတည်းသို့ စုဆုံခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို အကြွင်းမဲ့ စုဆုံခြင်း (absolute convergence) ဟု သိထားကြသည်။ အကယ်၍ ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုသည် စုဆုံသော်လည်း အကြွင်းမဲ့စုဆုံခြင်းမရှိပါက ၎င်းသည် ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် စုဆုံသော (conditionally convergent) ကိန်းစဉ်တန်း ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် စုဆုံသော [[ကိန်းစစ်]]ပေါင်းလဒ်ကိုမဆို အလိုရှိရာ ကိန်းစစ် (arbitrary real number) တစ်ခုခုသို့ စုဆုံရန်အတွက် ပြန်လည်စီစဉ်နိုင်ကြောင်း ရီးမန်း ကိန်းစဉ်တန်း သီအိုရမ် (Riemann series theorem) က သက်သေပြထားသည်။ ၎င်းပေါင်းလဒ်ကို လုံးဝ ဖြာထွက်သွားစေရန်လည်း ပြန်လည်စီစဉ်နိုင်ကြောင်း ၎င်းသီအိုရမ်ကပင် သက်သေပြထားသည်။<ref name=":46">{{Citation |last1=Spivak |first1=Michael |title=Calculus |edition=4th |publisher=Publish or Perish |date=2008 |pages=483–486}}</ref><ref name=":25">{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |pages=412–414}}</ref><ref>{{Citation |last1=Rudin |first1=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3rd |publisher=McGraw-Hill |date=1976 |page=76}}</ref> == ကိန်းစဉ်တန်းများအပေါ် တွက်ချက်မှုများ (Operations on Series) == ကိန်းစဉ်တန်းများ [[ပေါင်းခြင်း]]နှင့် [[စကေလာ]]မြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) တို့ကို သက်ဆိုင်ရာ ကိန်းတစ်ခုချင်းစီအလိုက် တွက်ချက်လုပ်ဆောင်ပြီး ၎င်းတို့သည် စုဆုံခြင်းကို ထိန်းသိမ်းထားသည်။<ref name=":242">{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |pages=385–386}}</ref><ref>{{Citation |last1=Rudin |first1=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3rd |publisher=McGraw-Hill |date=1976 |page=72}}</ref> ကိန်းစဉ်တန်းနှစ်ခု၏ [[မြှောက်ခြင်း]]ကို ကော်ချီ မြှောက်လဒ် (Cauchy product) ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ <math>\biggl( \sum_{k=0}^{\infty} a_k \biggr) \cdot \biggl( \sum_{k=0}^{\infty} b_k \biggr) = \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{k} a_{j} b_{k-j}</math> အကယ်၍ မူလကိန်းစဉ်တန်းနှစ်ခုစလုံးသည် အကြွင်းမဲ့ စုဆုံပါက ၎င်းတို့၏ ကော်ချီ မြှောက်လဒ်သည် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းလဒ်များ၏ မြှောက်လဒ်ဆီသို့ အကြွင်းမဲ့ စုဆုံသည်။<ref name=":7">{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |page=238}}</ref><ref name=":422">{{Citation |last1=Spivak |first1=Michael |title=Calculus |edition=4th |publisher=Publish or Perish |date=2008 |pages=486–487, 493}}</ref> == အများသုံး ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ကိန်းစဉ်တန်းများ (Common Numerical Series) == * '''ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်း (Geometric series) -''' <math>\sum_{n=0}^\infty a r^n</math> ဖြစ်သည်။ <math>a \neq 0</math> ဟု ယူဆပါက အဆိုပါ ကိန်းစဉ်တန်းသည် <math>\frac{a}{1 - r}</math> သို့ စုဆုံရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>|r| < 1</math> ဖြစ်ခြင်းပင် ဖြစ်သည်။<ref name=":45">{{Citation |last1=Spivak |first1=Michael |title=Calculus |edition=4th |publisher=Publish or Perish |date=2008 |pages=473–478}}</ref><ref name=":24">{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |pages=388–390, 399–401}}</ref> * '''ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ်တန်း (Harmonic series) -''' <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ဖြာထွက်သော ကိန်းစဉ်တန်းအတွက် အခြေခံကျသော ဥပမာတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref name=":243">{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |page=384}}</ref> * '''အလှည့်ကျ ကိန်းစဉ်တန်း (Alternating series) -''' ကိန်းများသည် အပေါင်းလက္ခဏာနှင့် အနုတ်လက္ခဏာ တစ်လှည့်စီ ဖြစ်နေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အလှည့်ကျ ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ်တန်း <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}</math> သည် <math>\ln(2)</math> သို့ ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် စုဆုံသည်။<ref name=":2434">{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |pages=403–404}}</ref> * '''တယ်လီစကုပ်ပုံ ကိန်းစဉ်တန်း (Telescoping series) -''' <math>\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ကိန်းစဉ် <math>b_n</math> သည် စုဆုံမှတ် <math>L</math> သို့ စုဆုံပါက ၎င်းကိန်းစဉ်တန်းသည် <math>b_1 - L</math> ဆီသို့ စုဆုံသည်။<ref name=":2432">{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |page=386}}</ref><ref name=":10">{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |page=387}}</ref> == စုဆုံခြင်း စစ်ဆေးခြင်း (Convergence Testing) == ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု၏ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များကို တိုက်ရိုက် မတွက်ချက်နိုင်သောအခါ စုဆုံခြင်း စစ်ဆေးခြင်းများကို အသုံးပြုသည်။ အကယ်၍ <math>\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0</math> ဖြစ်ပါက ထိုကိန်းစဉ်တန်းသည် ဖြာထွက်ကြောင်း အခြေခံကျသော <math>n</math> ကြိမ်မြောက်ကိန်း စစ်ဆေးခြင်း (nth-term test) က ဖော်ပြသည်။<ref>{{Citation |last1=Spivak |first1=Michael |title=Calculus |edition=4th |publisher=Publish or Perish |date=2008 |page=473}}</ref><ref name=":18">{{Citation |last1=Rudin |first1=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3rd |publisher=McGraw-Hill |date=1976 |page=60}}</ref> အကြွင်းမဲ့ စုဆုံခြင်းကို တည်ဆောက်ရန်အတွက် တိုက်ရိုက် နှိုင်းယှဉ်စစ်ဆေးခြင်း (direct comparison test)၊<ref>{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |pages=395–396}}</ref> စုဆုံမှတ် နှိုင်းယှဉ်စစ်ဆေးခြင်း (limit comparison test)၊<ref>{{Citation |last1=Spivak |first1=Michael |title=Calculus |edition=4th |publisher=Publish or Perish |date=2008 |pages=475–476}}</ref> အချိုး စစ်ဆေးခြင်း (ratio test)၊<ref name=":11">{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |pages=399–401}}</ref> ကိန်းရင်း စစ်ဆေးခြင်း (root test)၊<ref>{{Citation |last1=Rudin |first1=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3rd |publisher=McGraw-Hill |date=1976 |page=65}}</ref> အင်တီဂရယ် စစ်ဆေးခြင်း (integral test)၊<ref>{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |pages=397–398}}</ref> နှင့် ကော်ချီ၏ သိပ်သည်းမှု စစ်ဆေးခြင်း (Cauchy's condensation test) တို့ အသုံးများသည်။<ref name=":17">{{Citation |last1=Rudin |first1=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3rd |publisher=McGraw-Hill |date=1976 |page=61}}</ref> ဤသို့တည်ဆောက်ရာတွင် အထက်ဘောင်ရှိသော အနုတ်မဟုတ်သည့် ကိန်းများကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းဖြင့် လုပ်ဆောင်လေ့ရှိသည်။ ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် စုဆုံခြင်းအတွက် စစ်ဆေးရာတွင် အလှည့်ကျ ကိန်းစဉ်တန်း စစ်ဆေးခြင်း (alternating series test)၊<ref>{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |pages=403–404}}</ref> ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး၏ စစ်ဆေးခြင်း (Dirichlet's test) နှင့် အာဘဲလ်၏ စစ်ဆေးခြင်း (Abel's test) တို့ကို သုံးရသည်။<ref name=":13">{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |pages=407–409}}</ref><ref name=":14" /> ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုသည် တိကျစွာ ဖြာထွက်နေသောအခြေအနေမျိုးတွင် ဆီဇာရို ပေါင်းခြင်း (Cesàro summation) သို့မဟုတ် အာဘဲလ် ပေါင်းခြင်း (Abel summation) ကဲ့သို့သော ပေါင်းခြင်း နည်းလမ်းများသည် ၎င်းတို့အတွက် ယေဘုယျပြုထားသော တန်ဖိုးများကို စနစ်တကျ သတ်မှတ်ပေးနိုင်သည်။ == ဖန်ရှင်များ၏ ကိန်းစဉ်တန်းများ (Series of Functions) == [[ကိန်းစစ်]]တန်ဖိုးရှိ (real-valued) သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး]]တန်ဖိုးရှိ [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (complex-valued functions) ၏ ကိန်းစဉ်တန်း <math>\sum f_n(x)</math> သည် [[အစု]]တစ်ခုအတွင်းရှိ အမှတ်တစ်ခုစီတွင် စုဆုံမှတ် <math>f(x)</math> ဆီသို့ စုဆုံပါက ၎င်းသည် အမှတ်အလိုက် စုဆုံခြင်း (pointwise convergence) ကို ပြသသည်။ ပိုမို အားကောင်းသော အခြေအနေတစ်ခုမှာ တစ်ပြေးညီ စုဆုံခြင်း (uniform convergence) ဖြစ်ပြီး ၎င်းတွင် စုဆုံနှုန်းသည် <math>x</math> အပေါ် အမှီအခိုကင်းသည်။ ကိန်းပိုင်းတစ်ခုချင်းစီသည် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပါက]] တစ်ပြေးညီ စုဆုံခြင်းသည် ပေါင်းလဒ်ဖန်ရှင်၏ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) အပြင် အဆုံးရှိသော အပိုင်းအခြားများ (finite intervals) ပေါ်တွင် ကိန်းပိုင်းအလိုက် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (term-by-term integrability) ကဲ့သို့သော ဂုဏ်သတ္တိများကို ထိန်းသိမ်းပေးထားကြောင်း အာမခံသည်။ * '''ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း (Power series) -''' <math>\sum a_n(x-c)^n</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဖန်ရှင်များ (analytic functions) ကို ဖွဲ့စည်းရန်အတွက် သတ်မှတ်ထားသော စုဆုံခြင်း အချင်းဝက် (radius of convergence) တစ်ခုအတွင်း၌ စုဆုံသည်။ ဥပမာအားဖြင့် တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း (Taylor series) ဖြစ်သည်။ စုဆုံခြင်းကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားခြင်းမပြုဘဲ ပုံစံတကျပေါင်းလဒ်များ (formal sums) အဖြစ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ကိုင်တွယ်သောအခါ ၎င်းတို့သည် ပုံစံတကျ ပါဝါကိန်းစဉ်တန်းများ (formal power series) ကို ဖွဲ့စည်းပေးသည်။<ref>{{Citation |last1=Bourbaki |first1=Nicolas |title=Algebra |publisher=Springer |date=1989 |page=§III.2.11}}</ref> * '''လော်ရင့် ကိန်းစဉ်တန်း (Laurent series) -''' ၎င်းတို့သည် အနုတ်ထပ်ကိန်းများ (negative exponents) ပါဝင်သော ကိန်းများကို လက်ခံခြင်းဖြင့် ပါဝါကိန်းစဉ်တန်းများကို ယေဘုယျပြုထားပြီး ကွင်းပုံသဏ္ဌာန်နယ်ပယ်တစ်ခုပေါ်တွင် စုဆုံသည်။ * '''ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး ကိန်းစဉ်တန်း (Dirichlet series) -''' <math>\sum \frac{a_n}{n^s}</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ကိန်းသီအိုရီ (analytic number theory) တွင် မရှိမဖြစ် လိုအပ်သည်။ ရီးမန်း ဇီတာ ဖန်ရှင် (Riemann zeta function) သည် ဥပမာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * '''တြီဂိုနိုမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်း (Trigonometric series) -''' ၎င်းတို့သည် တြီဂိုနိုမေတြီ ဖန်ရှင်များ (trigonometric functions) ၏ ပေါင်းလဒ်များ ဖြစ်သည်။ ဖူရီယာ ကိန်းစဉ်တန်း (Fourier series) မှာ အထင်ရှားဆုံး ဥပမာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ '''ချဉ်းကပ်မှု ကိန်းစဉ်တန်း (Asymptotic series) -''' ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုလုံး အနေဖြင့် စုဆုံနိုင်သကဲ့သို့ ဖြာထွက်လည်း ဖြာထွက်နိုင်ပြီး ဖြာထွက်နေသည့်တိုင်အောင် ၎င်းတို့၏ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များသည် ချဉ်းကပ်မှု စုဆုံမှတ်တစ်ခု၌ အလွန်တိကျသော ခန့်မှန်းချက်များဖြစ်သည့် ဖြန့်ထုတ်ချက်များ ဖြစ်ကြသည်။ == References== [[ကဏ္ဍ:ကိန်းစဉ်နှင့် ကိန်းစဉ်တန်း]] 29kbecyef8hz1m6wjr3cjqyjwaml53u 0 290843 1060789 1054221 2026-10-30T20:37:38Z Mkant00 135890 corrections to mathematics 1060789 wikitext text/x-wiki {{Calculus}} [[သင်္ချာ|သင်္ချာပညာ]]တွင် ကိန်းစဉ် (sequence) သည် အစီအစဉ်တကျရှိသော [[အစုဝင်]] (element) များ၏ စာရင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ယင်းစာရင်းတွင် ထပ်တူညီသော အရာများကို ထပ်မံထည့်သွင်းခြင်းအား ခွင့်ပြုထားသည်။ ပုံစံတကျအားဖြင့် (formally) ကိန်းစဉ်တစ်ခုကို အရင်းအမြစ်စု (domain) သည် ဆက်တိုက်ဖြစ်နေသော [[ကိန်းပြည့်]] (integer) များ၏ အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုဖြစ်သည့် [[ဖန်ရှင်]] (function) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ အဆိုပါ အရင်းအမြစ်စုအတွက် [[သဘာဝကိန်း]] (natural number) များ <math>\mathbb{N}</math> ကို အများဆုံး အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။<ref name="Gaughan">{{Citation |last1=Gaughan |first1=Edward |title=Introduction to Analysis |publisher=American Mathematical Society |date=2009 |page=Chapter 1.1}}</ref> ယင်း၏ ပစ်မှတ်စု (codomain) သည် မည်သည့် [[အစု]] (set) မဆို ဖြစ်နိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ကိန်းစစ်]] (real number) များ <math>\mathbb{R}</math>၊ [[ကိန်းထွေး]] (complex number) များ <math>\mathbb{C}</math>၊ သို့မဟုတ် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း]] (arbitrary topological space) တစ်ခုခု ဖြစ်နိုင်သည်။<ref name="Saff">{{Citation |last1=Saff |first1=Edward B. |last2=Snider |first2=Arthur David |title=Fundamentals of Complex Analysis |publisher=Prentice Hall |date=2003 |page=Chapter 2.1}}</ref><ref name="Munkres">{{Citation |last1=Munkres |first1=James R. |title=Topology |publisher=Prentice Hall |date=2000 |pages=Chapters 1 and 2}}</ref> ယေဘုယျအားဖြင့် ကိန်းစဉ်များကို စံ (standard) ဖန်ရှင်များမှနေ၍ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (notation) အားဖြင့် ခွဲခြားသတ်မှတ်လေ့ရှိသည်။ အဝင်ကိန်း (input) ကို <math>a(n)</math> အစား အောက်ခြေစာလုံး (subscript) အဖြစ် <math>a_n</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ကိန်းစဉ်တစ်ခုလုံးကို <math>(a_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> သို့မဟုတ် <math>(a_n)</math> ဟူ၍ သင်္ကေတပြုလေ့ရှိသည်။<ref name=":0">{{Citation |title=Sequences |publisher=MathsIsFun |date=2020}}</ref><ref>{{Citation |last1=Weisstein |first1=Eric W. |title=Sequence |publisher=MathWorld |date=2020}}</ref> == ကိန်းစဉ် အမျိုးအစားများ (Types of Sequences) == ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ အလျား (length) ဆိုသည်မှာ ၎င်းတွင်ပါဝင်သော [[အစုဝင်|အစုဝင်များ၏]] အရေအတွက်ဖြစ်သည်။ ကိန်းစဉ်များကို အောက်ပါအတိုင်း ခွဲခြားနိုင်သည်။ * '''အဆုံးရှိ (Finite)''' - <math>n</math> ရှိသော အဆုံးရှိ ကိန်းစဉ် (finite sequence) ကို <math>n</math>-ခုတွဲ (<math>n</math>-tuple) ဟုလည်း ခေါ်သည်။ ၎င်းတွင် ဗလာကိန်းစဉ် (empty sequence) ပါဝင်သည်။ * '''တစ်ဖက်သတ် အနန္တ (Singly infinite)''' - ၎င်းကို <math>\mathbb{N}</math> ဖြင့် အညွှန်း (index) တပ်ထားသည်။ ၎င်းသည် ဦးတည်ရာ တစ်ဖက်တည်းသို့ အနန္တ (infinite) အထိ ဆန့်ထွက်နေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> ဖြစ်သည်။ * '''နှစ်ဖက်စလုံး အနန္တ (bi-infinite or doubly infinite)''' - ၎င်းကို [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]]အားလုံးပါဝင်သော [[အစု]] <math>\mathbb{Z}</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသည်။ ၎င်းသည် အနုတ်နှင့် အပေါင်း ဦးတည်ရာ နှစ်ဖက်စလုံးသို့ အနန္တအထိ ဆန့်ထွက်နေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\ldots, a_{-1}, a_0, a_1, a_2, \ldots</math> ဖြစ်သည်။ ကိန်းစဉ်များကို ပုံသေနည်း (formula) တစ်ခုမှတစ်ဆင့် တိုက်ရိုက် သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>a_n = n^2</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ်ပါက [[ကိန်း|ကိန်းများကို]] ၎င်း၏ ရှေ့ကိန်းများ၏ [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်အဖြစ်]] သတ်မှတ်ပေးသော ထပ်ကျော့ဆက်သွယ်ချက် (recurrence relation) မှတစ်ဆင့် ထပ်ကျော့နည်းဖြင့် (recursively) လည်း သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ဤအတွက် ထင်ရှားသော ဥပမာတစ်ခုမှာ <math>a_n = a_{n-1} + a_{n-2}</math> ဟူသော ဖီဘိုနာချီကိန်းစဉ် (Fibonacci sequence) ဖြစ်သည်။ ပိုမို ရှုပ်ထွေးသော ထပ်ကျော့ကိန်းစဉ်များတွင် ဟိုလိုနိုမစ် ကိန်းစဉ် (holonomic sequence) များ ပါဝင်သည်။ ထိုကိန်းစဉ်များရှိ ကိန်းများကို ပိုလီနိုမီရယ် မြှောက်ဖော်ကိန်း (polynomial coefficient) များပါဝင်သော မျဉ်းဖြောင့် ထပ်ကျော့ဆက်သွယ်ချက် (linear recurrence) များဖြင့် သတ်မှတ်ထားသည်။ ထို့အပြင် ရေကာမန်၏ ကိန်းစဉ် (Recamán's sequence) သည်လည်း ရှုပ်ထွေးသော ကိန်းစဉ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>{{Citation |title=A005132: Recamán's sequence |publisher=On-Line Encyclopedia of Integer Sequences |date=2018}}</ref> == အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများ (Basic Properties) == * '''အစဉ်လိုက်ဖြစ်မှု (Monotonicity)''' - ကိန်းစဉ် <math>(a_n)</math> တစ်ခုသည် <math>n</math> အားလုံးအတွက် <math>a_{n+1} \ge a_n</math> ဖြစ်လျှင် ယင်းကို အစဉ်လိုက် တိုးသော (monotonically increasing) ကိန်းစဉ်ဟု ခေါ်သည်။ ထို့အတူ <math>a_{n+1} > a_n</math> ဖြစ်လျှင် တိကျစွာ အစဉ်လိုက် တိုးသော (strictly monotonically increasing) ကိန်းစဉ်ဟု ခေါ်သည်။ အစဉ်လိုက် လျော့သော ကိန်းစဉ် (decreasing sequence) များကိုလည်း ဤနည်းအတိုင်း အချိုးညီစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ အစဉ်လိုက်တိုးသော သို့မဟုတ် အစဉ်လိုက်လျော့သော ကိန်းစဉ်တစ်ခုခုကို အစဉ်လိုက်ဖြစ်သော (monotone) ကိန်းစဉ်ဟု ခေါ်သည်။ * '''အကန့်အသတ်ရှိခြင်း (Boundedness)''' - [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]]ပါဝင်သော ကိန်းစဉ်တစ်ခုတွင် <math>n</math> အားလုံးအတွက် <math>a_n \le M</math> ဖြစ်စေမည့် ကိန်းစစ် <math>M</math> တစ်ခု တည်ရှိနေပါက ယင်းကိန်းစဉ်ကို အထက်မှ အကန့်အသတ်ရှိသော (bounded from above) ကိန်းစဉ်ဟု ခေါ်သည်။ ထို့အတူ အချို့သော <math>m</math> အတွက် <math>a_n \ge m</math> ဖြစ်လျှင် ၎င်းကို အောက်မှ အကန့်အသတ်ရှိသော (bounded from below) ကိန်းစဉ်ဟု ခေါ်သည်။ အဆိုပါ အခြေအနေ နှစ်ရပ်စလုံးနှင့် ကိုက်ညီသော ကိန်းစဉ်ကို အကန့်အသတ်ရှိသော (bounded) ကိန်းစဉ်ဟု ခေါ်သည်။ * '''ကိန်းစဉ်ပိုင်းများ (Subsequences)''' - ကိန်းစဉ်ပိုင်း (subsequence) <math>(a_{n_k})</math> တစ်ခုကို မူရင်း ကိန်းစဉ် <math>(a_n)</math> ထဲမှ [[အစုဝင်|အစုဝင်များကို]] ရွေးချယ်ပြီး ၎င်းတို့၏ မူလ အစီအစဉ်အတိုင်း တိကျစွာ ထားရှိခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>(n_k)_{k \in \mathbb{N}}</math> သည် တိကျစွာ အစဉ်လိုက် တိုးသော အညွှန်းများ၏ ကိန်းစဉ်တစ်ခု ဖြစ်ရမည်။ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ [[ကိန်းပြည့်]] ကိန်းစဉ် (multiplicative integer sequence) များလည်း တည်ရှိကြသည်။ ယင်းတို့သည် နှိုင်းရသုဒ္ဓ (coprime) ဖြစ်သော အညွှန်းကိန်းများအတွက် <math>a_{nm} = a_n a_m</math> ဟူသော အခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ အပြည့်အဝ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ကိန်းစဉ် (completely multiplicative sequence) များသည် [[သဘာဝကိန်း|အပေါင်းကိန်းပြည့်]] <math>n</math> နှင့် <math>m</math> အားလုံးအတွက် အဆိုပါ ဂုဏ်သတ္တိနှင့် ကိုက်ညီကြသည်။ ၎င်းတို့ကို ထပ်ကျော့နည်းဖြင့် ယေဘုယျပြု (generalization) လည်း ဖော်ပြနိုင်သည်။<ref>{{Citation |last1=Lando |first1=Sergei K. |title=Lectures on generating functions |publisher=American Mathematical Society |date=2003 |page=Chapter 7.4}}</ref><ref>{{Citation |last1=Falcon |first1=Sergio |title=Fibonacci's multiplicative sequence |publisher=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology |date=2003 |pages=310–315}}</ref> == စုဆုံမှတ်များ နှင့် စုဆုံခြင်း (Limits and Convergence) == ကိန်းစဉ်များ၏ စုဆုံခြင်း (convergence) သည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (mathematical analysis) တွင် အခြေခံ သဘောတရား (concept) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]]ပါဝင်သော ကိန်းစဉ် <math>(a_n)</math> တစ်ခုတွင် <math>n</math> သည် အလိုရှိသလောက် ကြီးမားလာသောအခါ (arbitrarily large) [[ကိန်း|ကိန်းများ]]သည် <math>L</math> သို့ အလိုရှိသလောက် နီးကပ်လာပါက (arbitrarily close) ထိုကိန်းစဉ်သည် စုဆုံမှတ် (limit) <math>L</math> သို့ စုဆုံသည် (converge) ဟု ဆိုသည်။ ပုံစံတကျအားဖြင့် (formally) တိုင်းတာပြဆိုရလျှင် ကိန်းစစ် <math>\varepsilon > 0</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါအတိုင်း [[သဘာဝကိန်း]] <math>N</math> တစ်ခု တည်ရှိပြီး <math>n \ge N</math> အားလုံးအတွက် ကိုက်ညီမှုရှိပါက <math>\lim_{n\to\infty}a_n = L</math> ဖြစ်သည်။<ref name="Gaughan" /> <math>|a_n - L| < \varepsilon</math> [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]]အတွက်ဆိုလျှင် <math>|\cdot|</math> သည် ကိန်းထွေး မော်ဂျူးလပ်စ် (complex modulus) ကို ရည်ညွှန်းသည်။ ယေဘုယျ [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (metric space) များတွင် ၎င်းကို အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (distance function) <math>d(a_n, L)</math> ဖြင့် အစားထိုး အသုံးပြုသည်။ စုဆုံသော ကိန်းစဉ်များသည် [[ပေါင်းခြင်း]] (addition)၊ [[စကေလာ|စကေလာမြှောက်ခြင်း]] (scalar multiplication)၊ မြှောက်လဒ် (product) များနှင့် စားလဒ် (quotient) များအတွက် စံ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ စုဆုံမှတ် နိယာမ (algebraic limit law) များကို လိုက်နာကြသည်။<ref name="Dawkins">{{Citation |last1=Dawkins |first1=Paul |title=Series and Sequences |publisher=Paul's Online Math Notes |date=2012}}</ref> အရေးပါသော သီအိုရမ် (theorem) များမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ * '''ညှစ်ခြင်း သီအိုရမ် (The Squeeze Theorem)''' - အကယ်၍ <math>a_n \le c_n \le b_n</math> ဖြစ်ပြီး <math>\lim a_n = \lim b_n = L</math> ဖြစ်ပါက <math>\lim c_n = L</math> ဖြစ်သည်။ * '''အစဉ်လိုက် စုဆုံခြင်း သီအိုရမ် (Monotone Convergence Theorem)''' - အကန့်အသတ်ရှိပြီး အစဉ်လိုက်ဖြစ်သော ကိန်းစဉ်တိုင်းသည် စုဆုံသော ကိန်းစဉ်များ ဖြစ်ကြသည်။ * ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ ကိန်းစဉ်ပိုင်းများအားလုံးသည် တူညီသော စုဆုံမှတ်တစ်ခုတည်းသို့ စုဆုံမှသာလျှင် မူလကိန်းစဉ်သည် စုဆုံသော ကိန်းစဉ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ '''ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များ (Cauchy Sequences)''' - အညွှန်းများ ကြီးမားလာသည်နှင့်အမျှ ကိန်းများအကြားရှိ အကွာအဝေးသည် အလိုရှိသလောက် သေးငယ်သွားပါက ထိုကိန်းစဉ်ကို [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) ဟု ခေါ်သည်။ ကိန်းစစ်များ <math>\mathbb{R}</math> ကဲ့သို့သော ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (complete metric space) တစ်ခုတွင် ကိန်းစဉ်တစ်ခုသည် ကော်ချီ ကိန်းစဉ်ဖြစ်မှသာလျှင် စုဆုံရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ '''အနန္တ စုဆုံမှတ်များ (Infinite Limits)''' - အကယ်၍ ကိန်းများသည် အပေါင်းဘက်သို့ အကန့်အသတ်မရှိ ကြီးမားလာပါက အဆိုပါ ကိန်းစဉ်သည် ဖြာထွက်သော (divergent) ကိန်းစဉ် ဖြစ်ပြီး ယင်းကို ပုံစံတကျအားဖြင့် <math>\lim_{n\to\infty} a_n = \infty</math> ဟု သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ အလားတူစွာ အနုတ်ဘက်သို့ အကန့်အသတ်မရှိ ကျဆင်းသွားပါက <math>\lim_{n\to\infty} a_n = -\infty</math> ဟု ဖော်ပြသည်။ သို့ရာတွင် ပမာဏတန်ဖိုး <math>|a_n|</math> သာလျှင် အကန့်အသတ်မရှိ ကြီးမားလာပြီး လက္ခဏာ အလှည့်အပြောင်းဖြစ်နေပါက အဆိုပါ သီးခြား အနန္တ စုဆုံမှတ်များဆီသို့ ဦးတည်ခြင်း မရှိပေ။ == ကိန်းစဉ်တန်းများ နှင့် ဆက်စပ်မှု (Relationship to Series) == [[ကိန်းစဉ်တန်း]] (series) <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> တစ်ခုကို ၎င်း၏ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ် (partial sum) များဖြစ်သော <math>S_N = \sum_{n=1}^N a_n</math> ပါဝင်သည့် ကိန်းစဉ်ဖြင့် တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ အကယ်၍ ဤတစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များ၏ ကိန်းစဉ် <math>(S_N)</math> သည် စုဆုံမှတ်တစ်ခုသို့ စုဆုံပါက မူလကိန်းစဉ်တန်းသည်လည်း ထိုတန်ဖိုးသို့ စုဆုံသည်ဟု ဆိုသည်။ == References== [[ကဏ္ဍ:ကိန်းစဉ်နှင့် ကိန်းစဉ်တန်း]] gyayacscyz6dtea26p2r6qmdcilpen7 0 290846 1060788 1054339 2026-10-30T20:17:33Z Mkant00 135890 corrections to mathematics 1060788 wikitext text/x-wiki {{Calculus}} {{distinguish|စုဆောင်းမှတ်}} [[သင်္ချာ|သင်္ချာပညာ]]တွင် စုဆုံမှတ် (limit) ဆိုသည်မှာ [[ဖန်ရှင်]] (function) တစ်ခု၊ [[ကိန်းစဉ်]] (sequence) တစ်ခု သို့မဟုတ် အခြားသော သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထု (mathematical object) တစ်ခု၏ အဝင်ကိန်း (input) သို့မဟုတ် အညွှန်း (index) သည် သတ်မှတ်ထားသော အမှတ် (point) တစ်ခုသို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ ၎င်းဖန်ရှင် သို့မဟုတ် အရာဝတ္ထုက ချဉ်းကပ်သွားသည့် တန်ဖိုးဖြစ်သည်။ စုဆုံမှတ်များသည် ကဲကုလပ် (calculus) နှင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (mathematical analysis) တို့၏ အခြေခံ သဘောတရားများ ဖြစ်ကြသည်။ ယင်းတို့သည် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း]] (continuity)၊ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်များ]] (derivatives) နှင့် [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်များ]] (integrals) အတွက် တိကျသေချာသော အခြေခံအုတ်မြစ်များကို ပံ့ပိုးပေးသည်။<ref>{{Citation |last1=Stewart |first1=James |title=Calculus: Early Transcendentals |edition=6th |publisher=Brooks/Cole |date=2008 |page=68}}</ref> <math>x</math> သည် <math>c</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားချိန်တွင် <math>f</math> ဟူသော ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ်အတွက် ဖော်ပြချက်ကို ယေဘုယျအားဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားလေ့ရှိသည်။ :<math>\lim_{x \to c} f(x) = L</math> ၎င်းကို <math>x \to c</math> ဖြစ်ချိန်တွင် <math>f(x) \to L</math> ဟူ၍ မြား သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (arrow notation) ဖြင့်လည်း သင်္ကေတပြု ဖော်ပြနိုင်သည်။ == ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် (Limit of a Sequence) == <math>X</math> ကို [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း]] (topological space) တစ်ခုဟု သတ်မှတ်မည်။ အကယ်၍ <math>x_0</math> ၏ အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင် (open neighborhood) <math>U</math> တိုင်းအတွက် <math>n > N</math> အားလုံး၌ <math>x_n \in U</math> ဖြစ်စေမည့် [[သဘာဝကိန်း]] (natural number) <math>N</math> တစ်ခု တည်ရှိခဲ့လျှင် ထို <math>X</math> ရပ်ဝန်းအတွင်းရှိ ကိန်းစဉ် <math>(x_n)_{n=1}^\infty</math> သည် စုဆုံမှတ် <math>x_0 \in X</math> သို့ စုဆုံသည် (converge) ဟု ဆိုသည်။<ref>{{Citation |last1=Kelley |first1=John L. |title=General Topology |publisher=Van Nostrand |date=1955 |page=125}}</ref> ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်း (Hausdorff space) တစ်ခုတွင် ကိန်းစဉ်တစ်ခု၌ အများဆုံး စုဆုံမှတ် တစ်ခုတည်းသာ ရှိနိုင်သည်။ အကယ်၍ <math>X</math> သည် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (distance metric) <math>d</math> ပါရှိသော [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (metric space) တစ်ခု ဖြစ်ပါက၊ ၎င်း၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (topological definition) သည် ရှေးရိုးစဉ်လာ <math>\varepsilon-N</math> အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အဖြစ်သို့ ရောက်ရှိသွားသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>\varepsilon > 0</math> တိုင်းအတွက် <math>n > N</math> အားလုံး၌ <math>d(x_n, x_0) < \varepsilon</math> ဖြစ်စေမည့် <math>N \in \mathbb{N}</math> တစ်ခု တည်ရှိပါက <math>\lim_{n \to \infty} x_n = x_0</math> ဖြစ်သည်။ [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) <math>\mathbb{R}</math> ကဲ့သို့သော ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (complete metric space) များတွင် ကိန်းစဉ်တစ်ခုသည် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) ဖြစ်မှသာလျှင် စုဆုံသော ကိန်းစဉ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ စုဆုံမှတ် တစ်ခုတည်းသို့ မစုဆုံသော ကိန်းစစ် ကိန်းစဉ်များအတွက်မူ ၎င်း၏ ကိန်းစဉ်ပိုင်းများ၏ စုဆုံမှတ်များ (subsequential limits) ၏ အကန့်အသတ်ဘောင်များကို အထက် စုဆုံမှတ် (limit superior သို့မဟုတ် <math>\limsup</math>) နှင့် အောက် စုဆုံမှတ် (limit inferior သို့မဟုတ် <math>\liminf</math>) တို့ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ <math>\mathbb{R}</math> အတွင်းရှိ ကိန်းစဉ်တစ်ခုသည် ၎င်း၏ အထက် စုဆုံမှတ်နှင့် အောက် စုဆုံမှတ်တို့ ညီမျှပြီး အဆုံးရှိ (finite) မှသာလျှင် စုဆုံရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ == ဖန်ရှင် သို့မဟုတ် ပုံဖော်မှုတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် (Limit of a Function or Mapping) == <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့ကို [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ]]အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး <math>E \subset X</math> ဟု ထားမည်။ ထို့ပြင် <math>c</math> သည် <math>E</math> ၏ [[စုဆောင်းမှတ်]] (limit point သို့မဟုတ် accumulation point) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်မည်။ <math>Y</math> အတွင်းရှိ <math>L</math> ၏ ပတ်ဝန်းကျင် (neighborhood) <math>V</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါအခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီစေမည့် <math>X</math> အတွင်းရှိ <math>c</math> ၏ ပတ်ဝန်းကျင် <math>U</math> တစ်ခု တည်ရှိခဲ့လျှင် အမှတ် <math>L \in Y</math> သည် <math>x \to c</math> ဖြစ်ချိန်၌ <math>f: E \to Y</math> ဟူသော ပုံဖော်မှု (mapping) ၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ *<math>f(E \cap U \setminus \{c\}) \subset V</math> <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] ဖြစ်သောအခါ ဤသတ်မှတ်ချက်သည် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် (Weierstrass) က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းထားသော စံ (standard) <math>(\varepsilon, \delta)</math>-အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>\varepsilon > 0</math> တိုင်းအတွက် <math>0 < d_X(x, c) < \delta</math> ဖြစ်လျှင် <math>d_Y(f(x), L) < \varepsilon</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\delta > 0</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။<ref>{{Citation |last1=Il'in |first1=V. A. |last2=Poznyak |first2=E. G. |title=Fundamentals of Mathematical Analysis |volume=1 |publisher=Mir Publishers |date=1982 |page=142}}</ref> <math>c</math> ပါဝင်သော အရင်းအမြစ်စု (domain) တစ်ခုပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော [[ဖန်ရှင်]] <math>f</math> တစ်ခုသည် <math>\lim_{x \to c} f(x) = f(c)</math> ဖြစ်မှသာလျှင် <math>c</math> ၌ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော]] (continuous) ဖန်ရှင်ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ အရင်းအမြစ်စု <math>E</math> ၏ ကန့်သတ်ချက်များ (restrictions) သည် သီးသန့်ဖြစ်သော စုဆုံမှတ်များကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ကိန်းစစ်]] ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်စုကို <math>x > c</math> အဖြစ် ကန့်သတ်လိုက်ပါက ညာဘက်မှ စုဆုံမှတ် (right-handed limit) ကို ရရှိမည်ဖြစ်ပြီး ၎င်းကို <math>\lim_{x \to c^+} f(x)</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ [[File:Limit-at-infinity-graph.png|right|thumb|upright=1.4|အနန္တရှိ စုဆုံမှတ်သည် <math>L</math> ဖြစ်သော ဖန်ရှင် <math>f(x)</math> ဖြစ်သည်။ အလိုရှိရာ အကွာအဝေး (arbitrary distance) <math>\varepsilon</math> မည်သည်အတွက်မဆို <math>x > S</math> အားလုံးအတွက် ဖန်ရှင်သည် <math>L \pm \varepsilon</math> အတွင်း၌ ရှိနေစေမည့် တန်ဖိုး <math>S</math> တစ်ခု တည်ရှိရမည် ဖြစ်သည်။]] === ကိန်းစဉ်အရ သတ်မှတ်ဖော်ပြခြင်း (Sequential Characterization) === ရေတွက်နိုင်မှုဆိုင်ရာ ပထမ [[နဂိုမှန်အဆို]] (first axiom of countability) နှင့် ကိုက်ညီသော ရပ်ဝန်းများတွင် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ်ကို ကိန်းစဉ်များဖြင့်သာ အပြည့်အဝ သတ်မှတ်ဖော်ပြနိုင်သည်။ <math>\lim_{x \to c} f(x) = L</math> ဟူသော စုဆုံမှတ် တည်ရှိရန်မှာ <math>c</math> သို့ စုဆုံသည့် <math>E \setminus \{c\}</math> အတွင်းရှိ ကိန်းစဉ် <math>(x_n)</math> တိုင်းအတွက် ပုံရိပ် ကိန်းစဉ်တန်း (image sequence) <math>f(x_n)</math> သည် <math>Y</math> အတွင်းရှိ <math>L</math> သို့ စုဆုံမှသာလျှင် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ == ဂုဏ်သတ္တိများ (Properties) == စုဆုံမှတ်များ တည်ရှိရာနေရာများတွင် ၎င်းတို့သည် မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ (linear algebraic operations) ကို ထိန်းသိမ်းထားသည်။ [[စကေလာ|စကေလာတန်ဖိုးရှိ]] ဖန်ရှင်များ (scalar-valued functions) အတွက် <math>\lim_{x \to c} f(x) = L_1</math> နှင့် <math>\lim_{x \to c} g(x) = L_2</math> ဖြစ်ပါက အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ * '''[[ပေါင်းခြင်း]] သို့မဟုတ် ခြားနားခြင်း တွက်ချက်မှု (Sum/Difference) -''' <math>\lim_{x \to c} [f(x) \pm g(x)] = L_1 \pm L_2</math> * '''[[မြှောက်ခြင်း|မြှောက်လဒ်]] တွက်ချက်မှု (Product) -''' <math>\lim_{x \to c} [f(x)g(x)] = L_1 L_2</math> * '''စားလဒ် တွက်ချက်မှု (Quotient) -''' <math>\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_1}{L_2}</math> (ဤနေရာတွင် <math>L_2 \neq 0</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်သည်) စုဆုံမှတ်များသည် တင်းကျပ်မှုမရှိသော မညီမျှခြင်းများ (non-strict inequalities) ကိုလည်း ထိန်းသိမ်းထားသည်။ အကယ်၍ <math>c</math> အနီးတွင် <math>f(x) \le g(x)</math> ဖြစ်ပါက <math>\lim f(x) \le \lim g(x)</math> ဖြစ်သည်။ ယင်းအချက်သည် ညှစ်ခြင်း သီအိုရမ် (Squeeze Theorem သို့မဟုတ် Sandwich Theorem) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ '''အနန္တ စုဆုံမှတ်များ''' (Infinite Limits) - ကိန်းစဉ်များ သို့မဟုတ် ဖန်ရှင်များသည် အကန့်အသတ်မရှိ (without bound) ကြီးမားလာသည့်အခါ ဤအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို တိုးချဲ့အသုံးပြုနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\lim_{x \to c} f(x) = \infty</math> ဖြစ်သည့် အခြေအနေမျိုးတွင်လည်း ထိုသို့ အသုံးပြုနိုင်သည်။ ယင်းသို့ တိုးချဲ့ရာတွင် တိုးချဲ့ကိန်းစစ်မျဉ်း (extended real number line) ကဲ့သို့သော ကျစ်လျစ်ပြုခြင်း (compactification) မှတစ်ဆင့် အနန္တကို မှန်ကန်ခိုင်လုံသော တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ [[စုဆောင်းမှတ်]]အဖြစ် သတ်မှတ်ကိုင်တွယ်သည်။ ဤဆက်စပ်မှုအရ တိုးချဲ့ကိန်းစစ်မျဉ်းတွင် <math>+\infty</math> ၏ အခြေခံ ပတ်ဝန်းကျင်များကို [[ကိန်းစစ်]] <math>M</math> အတွက် <math>(M, +\infty] = (M, \infty) \cup \{+\infty\}</math> အဖြစ်လည်းကောင်း၊ <math>-\infty</math> ၏ အခြေခံ ပတ်ဝန်းကျင်များကို <math>[-\infty, M) = (-\infty, M) \cup \{-\infty\}</math> အဖြစ်လည်းကောင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပြီး <math>(M, \infty)</math> နှင့် <math>(-\infty, M)</math> တို့မှာ ဗဟိုဖယ်ထုတ်ထားသော ပတ်ဝန်းကျင်များ (punctured neighborhoods) ဖြစ်ကြသည်။ == ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (Category Theory) == [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) တွင် အရာဝတ္ထုများကို စုဆုံမှတ်များမှတစ်ဆင့် ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်းဟူသော သဘောတရားကို ပုံကြမ်းများ (diagrams) အသုံးပြု၍ သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ထားသည်။ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (index category) တစ်ခုမှ ပစ်မှတ် ကတ်တဂိုရီ (target category) <math>\mathcal{C}</math> ဆီသို့ သွားသော [[ဖန်တာ]] (functor) တစ်ခုဖြစ်သည့် ပုံကြမ်းတစ်ခုပေးထားရာတွင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ * '''[[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်|စုဆုံမှတ်]] (limit)''' ဆိုသည်မှာ အဆိုပါပုံကြမ်းထံသို့ စကြဝဠာ ကတော့ပုံ (universal cone) အား ဝင်ရောက်ခွင့်ပြုသော အရာဝတ္ထုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ယင်းကို ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ် သို့မဟုတ် ပရိုဂျက်တစ် စုဆုံမှတ် (inverse/projective limit သို့မဟုတ် <math>\varprojlim</math>) ဟုလည်း ခေါ်သည်။ ၎င်းသည် [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်|ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်များ]] (Cartesian products) နှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ရပ်ဝန်းပိုင်းများ (topological subspaces) ကဲ့သို့သော တည်ဆောက်ပုံများကို ယေဘုယျပြုထားသည်။ * '''[[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်|ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] (colimit)''' သည် ယင်း၏ ဒွန်တွဲ သဘောတရား (dual concept) ဖြစ်သည်။ ယင်းကို တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ် သို့မဟုတ် ဆင့်ကဲ စုဆုံမှတ် (direct/inductive limit သို့မဟုတ် <math>\varinjlim</math>) ဟုလည်း ခေါ်သည်။ ၎င်းသည် တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်များ (direct sums)၊ ဘုံမပါသော ပေါင်းစပ်စုများ (disjoint unions) နှင့် စားလဒ်ရပ်ဝန်းများ (quotient spaces) ကို ယေဘုယျပြုထားသည်။<ref>{{Citation |last1=Mitchell |first1=Barry |title=Theory of Categories |publisher=Academic Press |date=1965 |page=7}}</ref> == ကိုးကား== {{Reflist}} [[category:ကဲကုလပ်]] m6rbb681gwl48k7ebr2jq3xzgp8yvny 0 291229 1060801 1053817 2026-10-30T23:04:49Z Mkant00 135890 1060801 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ဖန်ရှင်များ}} [[သင်္ချာ|သင်္ချာပညာတွင်]] '''ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (exponential function)''' သည် အဝင်ကိန်း သုညကို တစ်သို့ ပုံဖော်ပေးသော နေရာတိုင်းတွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) သည် ၎င်း၏တန်ဖိုးနှင့်ညီမျှသော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် (unique) [[ကိန်းစစ်]] [[ဖန်ရှင်]] (real function) ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>e^x</math> သို့မဟုတ် <math>\exp x</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ၎င်း၏ အဝင်ကိန်း (argument) သည် အခြေခံ ကိန်းသေ (base constant) <math>e \approx 2.718</math> အပေါ် သက်ရောက်ထားသော ထပ်ကိန်း (exponent) အဖြစ် လုပ်ဆောင်သည်။ ဤကိန်းသေကို နေပီယာ ကိန်း (Napier number) ဟုလည်း ခေါ်သည်။ ယင်းဖန်ရှင်သည် ပေါင်းလဒ်များ (sums) ကို မြှောက်လဒ်များ (products) အဖြစ်သို့ ပြောင်းလဲပေးရာတွင် <math>\exp(x + y) = \exp x \cdot \exp y</math> အဖြစ် ရှိသည်။ ထို့အပြင် ကိန်းစစ်များ (real numbers) အပေါ်တွင် ၎င်းသည် သဘာဝ [[လော့ဂရစ်သမ်]] (natural logarithm) ၏ ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) ဖြစ်သည်။ ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပေးသော [[စုဆုံမှတ်]]ကို 1683 ခုနှစ်တွင် ဂျက်ကော့ဘ် ဘာနူးလီ (Jacob Bernoulli) က အတိုးနှုန်းအား လေ့လာရာမှ ပထမဆုံး ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။<ref name="O'Connor_2001"/> == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Definitions) == ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်အတွက် အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသည်ဟု ဆိုနိုင်သော [[သင်္ချာ|သင်္ချာဆိုင်ရာ]] သတ်မှတ်ဖော်ပြခြင်းများ အများအပြား ရှိသည်။ * '''ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း (Differential equation) -''' ၎င်းသည် <math>\mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}</math> အပေါ်ရှိ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော [[ဖန်ရှင်]] (differentiable function) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ကနဦး အခြေအနေ (initial condition) <math>y(0) = 1</math> ဖြင့် <math>y' = y</math> ကို ပြေလည်စေသော ဖန်ရှင် ဖြစ်သည်။ * '''ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း (Power series) -''' ကိန်းစစ်[[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး]]ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{C}</math> အပေါ်တွင် ၎င်းသည် မည်သည့် <math>x</math> အတွက်မဆို အကြွင်းမဲ့ စုဆုံသော (absolutely convergent) မက်လောရင် [[ကိန်းစဉ်တန်း]] (Maclaurin series) <math>\exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> အဖြစ် တည်ရှိပြီး [[အာခီမီးဒီးစ် ဂုဏ်သတ္တိ|အာခီမီးဒီးစ် မဟုတ်သော ဖီးလ်ဒ်များ]]ဖြစ်သည့် <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ဖီးလ်ဒ်များ (p-adic fields) တွင်မူ ၎င်းကိန်းစဉ်တန်းသည် သုည၏ သတ်မှတ်ထားသော ပတ်ဝန်းကျင်အတွင်း၌သာ စုဆုံသည်။ <ref name="Rudin_1987"/><ref name=":0">{{Citation |last=Weisstein |first=Eric W. |title=Exponential Function |work=MathWorld |publisher=Wolfram Research |url=https://mathworld.wolfram.com/ExponentialFunction.html |access-date=2020-08-28 |language=en}}</ref> * '''ကိန်းပြည့် ထပ်ကိန်းများ၏ စုဆုံမှတ် (Limit of integer powers) -''' <math>\mathbb{R}</math> , <math>\mathbb{C}</math> သို့မဟုတ် [[ကိန်းစစ်]]/[[ကိန်းထွေး]] ဘာနက် [[အက္ခရာသင်္ချာ|အက္ခရာသင်္ချာများ]] (Banach algebras) အပေါ်တွင် <math>\exp(x)=\lim_{n \to +\infty} \left(1+\frac xn\right)^n</math> အဖြစ် ရှိသည့် [[ကိန်းပြည့်]] ထပ်ကိန်းများ၏ [[စုဆုံမှတ်]] ဖြစ်သည်။<ref name="Maor"/><ref name=":0" /> == ဂုဏ်သတ္တိများ နှင့် ယေဘုယျ ပုံစံ (Properties and General Form) == * '''အပေါင်းကိန်းဖြစ်မှု နှင့် ချဉ်းကပ်မျဉ်း (Positivity & Asymptote) -''' [[ကိန်းစစ်]] <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>e^x > 0</math> ဖြစ်သည်။ ယင်း[[ဖန်ရှင်]]သည် အစဉ်လိုက် တိုးသော (monotonically increasing) ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ၎င်း၏ [[ဖန်ရှင်#ဂရပ်များ_(Graphs)|ဂရပ်]] (graph) သည် အထက်သို့ စောင်းတက်နေသည်။ ထို့အပြင် ၎င်းသည် x-ဝင်ရိုးကို အလျားလိုက် ချဉ်းကပ်မျဉ်း (horizontal asymptote) အဖြစ် ပိုင်ဆိုင်သည်။<ref>{{Citation |title=Exponential Function Reference |work=www.mathsisfun.com |url=https://www.mathsisfun.com/sets/function-exponential.html |access-date=2020-08-28}}</ref> * '''ယေဘုယျ ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်များ (General Exponential Functions) -''' မည်သည့် ကိန်းစစ်အခြေ <math>a > 0</math> အတွက်မဆို ယေဘုယျ ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (general exponential function) သည် သဘာဝ ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်နှင့် <math>a^x = e^{x \ln a}</math> ဟူသော ဆက်သွယ်ချက် ရှိသည်။ ဤနေရာတွင် <math>a \neq 1</math> ဖြစ်သည်။ ယင်းဖန်ရှင်သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပြီး အဆုံးမဲ့ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (infinitely differentiable) ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ကဲကုလပ် (calculus) ထပ်တူညီမှုများဖြစ်သော <math>(a^x)' = a^x \ln a</math> နှင့် <math>\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + K</math> တို့ကို ထွက်ပေါ်စေသည်။<ref>{{Citation |last=Stromberg |first=K. R. |title=Introduction to Classical Real Analysis |publication-place=Belmont, CA |publisher=Wadsworth |date=1981 |isbn=978-0-534-98012-2}}</ref> ပိုမိုကျယ်ပြန့်စွာ ကြည့်လျှင် <math>f(x) = Cb^x</math> သို့မဟုတ် <math>f(x) = Ce^{kx}</math> ပုံစံရှိသော ဖန်ရှင်များကို ယေဘုယျ ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်များအဖြစ် ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် ခေါ်ဆိုကြသည်။ ၎င်းတို့သည် <math>y' = ky</math> ပုံစံရှိ [[မျဉ်းဖြောင့်ညီမျှခြင်း|မျဉ်းဖြောင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ]] (linear differential equations) အတွက် အဖြေများ (solutions) အဖြစ် လုပ်ဆောင်ပေးသည်။ * '''ချဉ်းကပ်မှု တိုးပွားနှုန်း (Asymptotic Growth) -''' အကယ်၍ အခြေ <math>a > 1</math> ဖြစ်ပါက <math>x \to +\infty</math> ဖြစ်သွားချိန်တွင် <math>a^x</math> ဖန်ရှင်သည် <math>x</math> ၏ မည်သည့် ထပ်ကိန်းထက်မဆို ပို၍ လျင်မြန်စွာ တိုးလာသည်။ ထို့အတူ <math>x \to -\infty</math> ဖြစ်သွားချိန်တွင် ၎င်းသည် <math>1/x</math> ၏ မည်သည့် ထပ်ကိန်းထက်မဆို ပို၍ လျင်မြန်စွာ သုညသို့ ချဉ်းကပ်သွားသည်။ တိတိကျကျဆိုရလျှင် မည်သည့် [[သဘာဝကိန်း]] (natural number) <math>b > 0</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\lim_{x \to +\infty} \frac{a^x}{|x|^b} = \infty, \quad \lim_{x \to -\infty} |x|^b a^x = 0</math><ref>{{Citation |last=Dieudonné |first=J. A. |author-link=Jean Dieudonné |title=Foundations of Modern Analysis |volume=1 |publication-place=New York |publisher=Academic Press |date=1969 |page=192 |mr=0349288 |zbl=0176.00502}}</ref> == ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (Complex Exponential) == [[ကိန်းစစ်]] ထပ်ကိန်းတင် [[ဖန်ရှင်]] <math>f(x) = e^x</math> ကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဆက်လက်တည်ရှိခြင်း (analytic continuation) မှတစ်ဆင့် [[ကိန်းထွေးပြင်ညီ]] (complex plane) အတွင်းသို့ တိုးချဲ့နိုင်သည်။ ၎င်းက အပြည့်အဝ ဖန်ရှင် (entire function) <math>w = e^z</math> ကို ထွက်ပေါ်စေသည်။<ref>{{Citation |last=Markushevich |first=A. I. |title=Theory of Functions of a Complex Variable |volume=1 |publication-place=New York |publisher=Chelsea Publishing |date=1977 |mr=0444912}}</ref> ၎င်းသည် ကိန်းစစ် ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်၏ [[စုဆုံမှတ်]]၊ ပါဝါ[[ကိန်းစဉ်တန်း]]၊ နှင့် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) <math>d(e^z)/dz = e^z</math> ဂုဏ်သတ္တိများကို ထိန်းသိမ်းထားသည်။<ref>{{Citation |last=Hille |first=Einar |title=Analytic Function Theory |volume=1 |chapter=§ 6.1 The exponential function |publication-place=Waltham, MA |publisher=Blaisdell |date=1959 |pages=138–143 |mr=0108492}}</ref> [[ကိန်းထွေး]] ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်သည် အွိုင်လာ၏ ပုံသေနည်း (Euler's formula) မှတစ်ဆင့် [[တြီဂိုနိုမေတြီ|တြီဂိုနိုမေတြီ ဖန်ရှင်များ]] (trigonometric functions) နှင့် ဆက်စပ်နေသည်။ :<math>e^{x+iy} = e^x(\cos y + i\sin y)</math> မော်ဂျူးလပ်စ် (modulus) သည် <math>|e^z| = e^x</math> ဖြစ်ပြီး ဝင်ရိုးစွန်းထောင့်သည် <math>\arg(e^z) = \{y + 2\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\}</math> ဖြစ်သည်။ အွိုင်လာ၏ ထပ်တူညီမှု (Euler's identity) <math>e^{i\pi}=-1</math> ၏ အကျိုးဆက်အရ ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်သည် ကာလ (period) <math>2\pi i</math> ပါရှိသော ကာလမှန် ဖန်ရှင် (periodic function) ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>e^{z+2\pi i} = e^z</math> ဖြစ်သည်။<ref name="Apostol_1974"/> ယင်းဖန်ရှင်သည် မည်သည့်အခါမျှ သုည တန်ဖိုးမရရှိသော်လည်း အခြားသော ကိန်းထွေး တန်ဖိုးအားလုံးကို ရယူနိုင်သည်။ <math>w \neq 0</math> ဖြစ်သော အခြေအနေအတွက် <math>e^z = w</math> [[ညီမျှခြင်း]]တွင် အဖြေများ [[အနန္တ]] (infinitely many solutions) ရှိသည်။ ထိုအဖြေများကို ကိန်းထွေး [[လော့ဂရစ်သမ်]] (complex logarithm) ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ချုပ်ကိုင်ထားသည်။ :<math>z_k = \ln|w| + i(\operatorname{Arg} w + 2\pi k) \quad \text{for } k \in \mathbb{Z}</math> == ကိန်းလွန်ဖြစ်တည်မှု (Transcendency) == <math>e^z</math> [[ဖန်ရှင်]]သည် [[ကိန်းလွန်|ကိန်းလွန် ဖန်ရှင်]] (transcendental function) ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ၎င်းသည် ရာရှင်နယ် [[အပိုင်းကိန်း|အပိုင်းကိန်းများ]] (rational fractions) ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{C}(X)</math> အပေါ်ရှိ သုညမဟုတ်သော [[ပိုလီနိုမီရယ်]] (polynomial) တစ်ခု၏ ကိန်းရင်း (root) မဟုတ်ပေ။ ၎င်း၏ အခြေဖြစ်သော သဘာဝ ထပ်ကိန်းတင် <math>e</math> သည် ကိန်းလွန် ကိန်း (transcendental number) ဖြစ်ကြောင်းကို 1873 ခုနှစ်တွင် ချားလ်စ် အာမစ်တ် (Charles Hermite) က သက်သေပြခဲ့သည်။ ==ကိုးကား== <references> <ref name="Rudin_1987">{{Citation |last=Rudin |first=Walter |title=Real and Complex Analysis |edition=3rd |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill |date=1987 |isbn=978-0-07-054234-1 |page=1 |url=https://archive.org/details/RudinW.RealAndComplexAnalysis3e1987 |mr=0924157 |zbl=0925.00005}}</ref> <ref name="Maor">{{Citation |last=Maor |first=Eli |author-link=Eli Maor |title=e: The Story of a Number |publication-place=Princeton |publisher=Princeton University Press |date=1994 |isbn=978-0-691-05854-2 |page=156}}</ref> <ref name="O'Connor_2001">{{Citation |last1=O'Connor |first1=John J. |last2=Robertson |first2=Edmund F. |title=The number e |date=2001 |work=MacTutor History of Mathematics archive |publisher=University of St Andrews |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e/}}</ref> <ref name="Apostol_1974">{{Citation |last=Apostol |first=Tom M. |author-link=Tom M. Apostol |title=Mathematical Analysis |edition=2nd |publication-place=Reading, Mass. |publisher=Addison-Wesley |date=1974 |isbn=978-0-201-00288-1 |page=19 |url=https://archive.org/details/mathematicalanal00apos_530/page/n32 |url-access=limited |mr=0344384 |zbl=0309.26002}}</ref> </references> [[ကဏ္ဍ:အထူး ဖန်ရှင်များ]] ayifkgfpmapic8upyifhumdykewnygt 0 291327 1060778 1052964 2026-10-30T17:25:25Z Mkant00 135890 corrections to mathematics 1060778 wikitext text/x-wiki {{Calculus}} [[သင်္ချာ|သင်္ချာပညာ]]တွင် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း (differential equation) သည် မသိ[[ဖန်ရှင်]] (unknown function) တစ်ခု သို့မဟုတ် တစ်ခုထက်ပိုသော ဖန်ရှင်များကို ၎င်းတို့၏ အဆင့်ဆင့်သော [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) များနှင့် ဆက်စပ်ပေးသည့် [[ညီမျှခြင်း]] (equation) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ဖန်ရှင်နယ် (functional) ညီမျှခြင်း၏ တိကျသော အမျိုးအစားတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤဝေါဟာရကို အခြားအထူးပြုချက်မပါဘဲ အသုံးပြုသောအခါ ၎င်းသည် ရိုးရိုး ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း (ordinary differential equation) ကို ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ ဤညီမျှခြင်းတွင် မသိဖန်ရှင်များသည် ကိန်းရှင် (variable) တစ်ခုတည်းအပေါ်တွင်သာ မှီခိုနေသည်။ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများသည် ရူပဗေဒ၊ ဘောဂဗေဒ၊ ဇီဝဗေဒနှင့် အင်ဂျင်နီယာ သိပ္ပံပညာရပ်များ (engineering sciences) ရှိ အမျိုးမျိုးသော ဖြစ်စဉ်များကို မော်ဒယ် (model) တည်ဆောက်ရာတွင် အလွန်အရေးကြီးသည်။ ၎င်းတို့သည် ပမာဏ (quantity) တစ်ခုကို ၎င်း၏ ပြောင်းလဲနှုန်းများ (rates of change) သို့မဟုတ် ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ဆင်းသက်ချက် (higher-order derivative) များနှင့် တိုက်ရိုက် ဆက်စပ်ပေးသည်။ ရိုးရှင်းသော ညီမျှခြင်းများတွင် တိကျသော (exact) ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ အဖြေများ (analytical solutions) ရှိသော်လည်း အများစုတွင် ထိုသို့မရှိပေ။ တိကျသော အဖြေများကို မရရှိနိုင်သောအခါ အဖြေများ၏ ဂုဏ်သတ္တိ (property) များကို ဒိုင်းနမစ်စနစ်များ (dynamical systems) သီအိုရီ (theory) ကို အသုံးပြု၍ အရည်အသွေးပိုင်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (qualitative analysis) ပြုလုပ်နိုင်သည်။ သို့မဟုတ် ခေတ်သစ် ကွန်ပျူတာနည်းပညာများဖြင့် အလွန်ထိရောက်မှုရှိစေရန် ဖန်တီးထားသော ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ နည်းလမ်းများ (numerical methods) ကို အသုံးပြု၍ ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်း (approximation) ကိုလည်း ပြုလုပ်နိုင်သည်။ == မက္ကင်းနစ်မှ ဥပမာ (Example from mechanics) == ကလပ်စစ်ကယ် မက္ကင်းနစ် (classical mechanics) တွင် နယူတန် ၏ ရွေ့လျားမှု နိယာမများသည် အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ ရွေ့လျားမှုကို ရွေ့လျားမှု [[ညီမျှခြင်း]] (equation of motion) ဟု လူသိများသော ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း တစ်ခုအနေဖြင့် ဖော်ပြသည်။ တည်နေရာသည် အချိန်၏ မသိ[[ဖန်ရှင်]] ဖြစ်သည်။ အလျင် (velocity) နှင့် အရှိန် (acceleration) တို့သည် ၎င်း၏ ပထမနှင့် ဒုတိယ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်များ]] အသီးသီး ဖြစ်ကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်းသေ (constant) ဒြပ်ဆွဲအား (<math>G</math>) နှင့် ၎င်း၏ အလျင် (<math>v</math>) နှင့် တိုက်ရိုက်အချိုးကျခြင်း (direct proportionality) ရှိသော လေထုခုခံမှု (air resistance) (<math>R</math>) တို့ကိုသာ ခံစားရသည့် ကျဆင်းနေသော ဘောလုံးတစ်လုံးကို အောက်ပါအတိုင်း မော်ဒယ် တည်ဆောက်နိုင်သည်။ :<math>\vec{\mathrm{G}} + \vec{\mathrm{R}} = m \frac {d\vec{v}}{dt}</math> လေထု၏ ခုခံဆွဲအား (aerodynamic drag)သည် <math>\vec{R} = - k \vec{v}(t)</math> ဖြစ်သည်ဟု ယူဆရမည်။ ဤနေရာတွင် <math>k>0</math> ဖြစ်ပြီး <math>m</math> သည် ဒြပ်ထု (mass) ဖြစ်သည်။ ဤအင်အားများ (forces) ကို ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုး (vertical axis) ပေါ်သို့ ပရိုဂျက်ရှင်း (projection) ချသောအခါ <math>v</math> သည် အလျင်၏ ဒေါင်လိုက် အစိတ်အပိုင်းဖြစ်ပြီး အောက်ပါ ပထမအဆင့် မျဉ်းဖြောင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း (first-order linear differential equation) ကို ရရှိသည်။ :<math>v(t) + \frac {m}{k} \frac {dv(t)}{dt} = \frac {G}{k}</math> ဤညီမျှခြင်းအတွက် တိကျသော ယေဘုယျအဖြေမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>v(t) = \frac {G}{k} + C\mathrm{e}^{-\frac {k}{m}t} </math> == ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ၏ သမိုင်း (History of differential equations) == [[သင်္ချာ|သင်္ချာဆိုင်ရာ]] မော်ဒယ် တည်ဆောက်ခြင်းသည် ဉာဏ်တဖန်မွေးခေတ် အတွင်း စတင်ပေါ်ပေါက်ခဲ့သော်လည်း ပုံစံတကျ (formal) ဒစ်ဖရန်ရှယ် [[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်းများ]]သည် အိုင်းဆက် နယူတန် နှင့် ဂေါ့ဖရီးဒ် ဝီလ်ဟမ် လိုက်ဘနစ် တို့၏ ကဲကုလပ် (calculus) ကို တီထွင်မှုနှင့်အတူ ပေါ်ထွက်လာခဲ့သည်။ သူ၏ 1671 ခုနှစ် စာတမ်းတွင် နယူတန် သည် <math>\frac {dy}{dx} = f(x)</math> နှင့် <math>\frac {dy}{dx} = f(x, y)</math> ကဲ့သို့သော ညီမျှခြင်းများကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့ပြီး ၎င်းတို့ကို [[ကိန်းစဉ်တန်း|အနန္တ ကိန်းစဉ်တန်း]] (infinite series) များကို အသုံးပြု၍ ဖြေရှင်းခဲ့သည် <ref>Newton (1744), p. 66</ref>။ 1695 ခုနှစ်တွင် ဂျေးကော့ဘ် ဘာနူးလီ သည် မျဉ်းဖြောင့်မဟုတ်သော ဘာနူးလီ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းကို အဆိုပြုခဲ့ပြီး ထိုညီမျှခြင်းကို လိုက်ဘနစ် က မကြာမီတွင် ရိုးရှင်းအောင်ပြုလုပ်၍ ဖြေရှင်းခဲ့သည်။ တုန်ခါနေသော ကြိုးကဲ့သို့သော အစောပိုင်း ရူပဗေဒ ပြဿနာများကို ရောန် လီ ရွန် ဒီအာလမ်ဘတ်၊ လီယွန်ဟတ် အွိုင်လာ၊ ဒန်နီယယ် ဘာနူးလီ နှင့် ဂျိုးဆက် လူဝီ လာဂေါင့် တို့က လေ့လာခဲ့ကြသည် <ref>Fraser (1983), pp. 107–113</ref><ref>Wheeler and Crummett (1987), pp. 33–37</ref>။ ဤသည်မှာ 1746 ခုနှစ်တွင် ဒီအာလမ်ဘတ် အား 1D လှိုင်းညီမျှခြင်း (wave equation) ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိစေခဲ့ပြီး များမကြာမီတွင် အွိုင်လာ သည် 3D ပုံစံကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည် <ref>Speiser (2008), p. 191</ref>။ 1750 ခုနှစ်များတွင် အွိုင်လာ နှင့် လာဂေါင့် တို့သည် tautochrone မျဉ်းကွေး (curve) ပြဿနာကို ဖြေရှင်းရန် အွိုင်လာ-လာဂေါင့် ညီမျှခြင်းကို တီထွင်ခဲ့ကြသည်။ ဤသည်မှာ နောက်ဆုံးတွင် လာဂေါင့်ဂျီယံ မက္ကင်းနစ် (Lagrangian mechanics) ကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခြင်းသို့ ရောက်ရှိစေခဲ့သည်။ ထို့နောက် 1822 ခုနှစ်တွင် ဂျိုးဇက် ဖူရီယေး သည် အပူကူးပြောင်းခြင်းနှင့် ပတ်သက်သော သူ၏ အခြေခံကျသည့် သုတေသနကို ထုတ်ဝေခဲ့ပြီး အပူ ညီမျှခြင်း (heat equation) ကို ရောက်ရှိစေခဲ့သည်။ ၎င်းသည် ယခုအခါ [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] သီအိုရီ (probability theory)၊ ဘဏ္ဍာရေးဆိုင်ရာ သင်္ချာနှင့် ကွမ်တမ် မက္ကင်းနစ် (quantum mechanics) ကဲ့သို့သော ကွဲပြားသည့် နယ်ပယ်များအတွက် အခြေခံကျသော ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း (partial differential equation) တစ်ခု ဖြစ်သည် <ref>Fourier(1822)</ref>။ == ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း အမျိုးအစားများ (Types of differential equations) == [[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်းများကို]] အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း (classifying) သည် ၎င်းတို့ကို ဖြေရှင်းရန် သို့မဟုတ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာရန်အတွက် သင့်လျော်သော [[သင်္ချာ|သင်္ချာဆိုင်ရာ]] ကိရိယာများကို အဆုံးအဖြတ်ပေးသည်။ * ရိုးရိုး ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများတွင် ကိန်းရှင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] ပါဝင်သည်။ သို့သော် ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများတွင် အမှီအခိုကင်းသော ကိန်းရှင် (independent variable) များစွာပါဝင်သော ဖန်ရှင်များ ပါဝင်သည်။ * ၎င်းတို့ကို မျဉ်းဖြောင့် (linear) နှင့် မျဉ်းဖြောင့်မဟုတ်သော ညီမျှခြင်းများ (nonlinear equation) အပြင် တစ်ပြေးညီ (homogeneous) နှင့် တစ်ပြေးညီမဟုတ်သော ပုံစံများဟူ၍ ထပ်မံခွဲခြားထားသည်။ အခြားသော တိကျသည့် အမျိုးအစားခွဲများတွင် အင်တီဂရယ်-ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း (integro-differential equation) များ ပါဝင်သည်။ ၎င်းတို့သည် ဆင်းသက်ချက်များနှင့် [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]] (integral) များကို ပေါင်းစပ်ထားသည်။ တောင့်တင်းသော ညီမျှခြင်း (stiff equation) များသည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ တည်ငြိမ်မှု (numerical stability) လိုအပ်ချက်များကြောင့် ပြတ်သားသော နည်းလမ်းများ (explicit methods) တွင် အဆင့်အရွယ်အစား (step size) ကို အလွန်သေးငယ်စွာ ထားရှိတွက်ချက်ရသည့် ညီမျှခြင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ဟိုလိုမော်ဖစ် ညီမျှခြင်း (holomorphic equation) များကို [[ကိန်းထွေး]] (complex number) များအပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ စတော့ကတ်စတစ် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း (stochastic differential equation) များသည် စတော့ကတ်စတစ် လုပ်ငန်းစဉ် (stochastic process) များကို ပေါင်းစပ်ထည့်သွင်းထားသည်။ နှောင့်နှေး ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း (delay differential equation) များသည် ယခင် အခြေအနေများအပေါ် မှီခိုသည်။ သရုပ်မဲ့ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများသည် ဖန်ရှင်နယ် ရပ်ဝန်းများအတွင်း လုပ်ဆောင်ကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း (Hilbert space) နှင့် ဘာနက် ရပ်ဝန်း (Banach space) တို့ဖြစ်သည်။ == အဖြေများ တည်ရှိမှု (Existence of solutions) == ဒစ်ဖရန်ရှယ် [[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်းများ]]ကို ဖြေရှင်းခြင်းသည် [[အက္ခရာသင်္ချာ]] ညီမျှခြင်း (algebraic equation) များကို ဖြေရှင်းခြင်းထက် များစွာ ပိုမိုရှုပ်ထွေးသည်။ ပြတ်သားသည့် အဖြေများသည် ရှားပါးပြီး တည်ရှိမှု (existence) ကို အာမခံချက် မပေးနိုင်ပေ။ မူလအခြေအနေ (initial condition) <math>y(x_0)=y_0</math> ပါရှိသော ပထမအဆင့် ရိုးရိုး ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း <math>\frac{dy}{dx} = g(x, y)</math> များအတွက် ပီကတ်-လင်ဒီလော့ဖ် သီအိုရမ် (Picard-Lindelöf theorem) က <math>x_0</math> ပတ်လည်ရှိ အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုပေါ်တွင် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) ဒေသအလိုက် အဖြေတစ်ခုကို အာမခံပေးသည်။ ဤသို့ဖြစ်ရန် <math>g(x, y)</math> သည် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (continuous) ဖန်ရှင်]]ဖြစ်ရန်နှင့် <math>y</math> တွင် ဒေသအလိုက် လစ်ပ်ရှစ်ဇ် အဆက်မပြတ် (locally Lipschitz continuous) ဖြစ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>\frac{\partial g}{\partial y}</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပါက ဤအခြေအနေသည် အလိုအလျောက် ပြည့်စုံသွားသည်။ မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်သော <math>n</math>-အဆင့် မူလအခြေအနေပေး ပြဿနာ (initial value problem) တစ်ခုအတွက် :<math>f_{n}(x)\frac{d^n y}{dx^n} + \cdots + f_{1}(x)\frac{d y}{dx} + f_{0}(x)y = g(x)</math> မြှောက်ဖော်ကိန်း (coefficient) များဖြစ်သော <math>\{f_0, \dots, f_n\}</math> နှင့် <math>g</math> တို့သည် မူလအမှတ် <math>x_0</math> ပါဝင်သော အပိုင်းအခြားတစ်ခုပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည်ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် ထိုအပိုင်းအခြားပေါ်ရှိ နေရာတိုင်းတွင် <math>f_n(x) \neq 0</math> ဖြစ်မည်ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ ၎င်းသည် <math>n</math> ခုသော မူလအခြေအနေများဖြစ်သည့် <math>y(x_0) = y_0, y'(x_0) = y_1, \dots, y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1}</math> တို့နှင့် ကိုက်ညီပါက တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အဖြေတစ်ခု တည်ရှိသည် <ref>Zill (2001)</ref>။ == ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ၏ ဥပမာများ (Examples of differential equations) == === ပထမအဆင့် ညီမျှခြင်းများ (First-order equations) === ;ခွဲထုတ်၍ရသော ကိန်းရှင်များ (Separable variables) ရိုးရှင်းသော ပထမအဆင့် မျဉ်းဖြောင့် ရိုးရိုး ဒစ်ဖရန်ရှယ် [[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်း]]တစ်ခုသည် အောက်ပါပုံစံကို ဆောင်သည်။ :<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + f(t) y = 0 </math> <math>y \neq 0</math> ဟု ယူဆပါက ကိန်းရှင်များ ခွဲထုတ်ခြင်း (separation of variables) ဖြင့် <math>\frac{\mathrm{d}y}{y} = - f(t) \mathrm{d}t</math> ကို ရရှိသည်။ နှစ်ဖက်စလုံးကို [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း]] (integration) ဖြင့် ယေဘုယျအဖြေကို ရရှိသည်။ :<math>y = A \exp\left(- \int f(t) \mathrm{d}t\right)</math> ဤနေရာတွင် <math>A</math> သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော (arbitrary) ကိန်းသေ တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>A=0</math> ဟု သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် အသေးအဖွဲ (trivial) အဖြေဖြစ်သော <math>y(t)=0</math> ကို ပြန်လည်ရရှိသည်။ ====ခွဲထုတ်၍မရသော ကိန်းရှင်များ (Non-separable variables)==== ယေဘုယျ တစ်ပြေးညီမဟုတ်သော ပုံစံမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + p(x) y = q(x)</math> ၎င်းကို အင်တီဂရယ်အထောက်အကူပြု ဆခွဲကိန်း (integrating factor) <math>\mu(x) = \exp\left( \int_{x_0}^x p(t) \mathrm{d}t \right)</math> မိတ်ဆက်ခြင်းဖြင့် ဖြေရှင်းနိုင်သည်။ ညီမျှခြင်းကို <math>\mu(x)</math> ဖြင့် [[မြှောက်ခြင်း]] (multiplication) အားဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ပြန်လည်ရေးသားနိုင်သည်။ :<math>\frac{\mathrm{d}(\mu(x)y)}{\mathrm{d}x} = \mu(x)q(x)</math> ဆက်စပ်နေသော အပိုင်းအခြား (connected interval) တစ်ခုပေါ်ရှိ တိကျသောအဖြေသို့ ဦးတည်သွားစေသည်။ :<math>y(x) = \frac{\int_{x_0}^x \mu(s)q(s)\,\mathrm{d}s + y(x_0)}{\mu(x)}</math> === ဒုတိယအဆင့် ညီမျှခြင်းများ (Second-order equations) === ==== အားလျော့ခြင်းမရှိသော ရိုးရှင်းသည့် တုန်ခါမှု (Undamped simple oscillation)==== ပွတ်တိုက်မှုကင်းမဲ့သော ကာလမှန် (periodic) ရွေ့လျားမှုကို အောက်ပါအတိုင်း မော်ဒယ် တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် စပရိန် ဒြပ်ထုတစ်ခု၏ ရွေ့လျားမှုဖြစ်သည်။ :<math>\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega^2x\,</math> ဤနေရာတွင် <math>\omega > 0</math> ဖြစ်သည်။ ယေဘုယျအဖြေမှာ <math>x(t) = A \cos (\omega t) + B \sin (\omega t)</math> ဖြစ်သည်။ မူလအခြေအနေများကို အသုံးချခြင်းဖြင့် <math>A=1</math> နှင့် <math>B=0</math> တို့ကို ရရှိပြီး <math>x(t) = \cos (\omega t)</math> ဟူသော ရလဒ်ထွက်ပေါ်လာသည်။ ဥပမာအားဖြင့် မူလ ယူနစ် အရွေ့ဖြစ်သော <math>x(0) = 1</math> နှင့် သုညဖြစ်သော မူလအလျင် <math>x'(0) = 0</math> တို့ကို အသုံးပြုနိုင်သည်။ လွှဲကျယ် (amplitude) <math>R</math> နှင့် အခြေပြထောင့် (phase) <math>\phi</math> တို့ကို အသုံးပြု၍ ယေဘုယျအဖြေကို <math>x(t) = R \cos (\omega t + \phi)</math> အဖြစ်လည်း ရေးသားနိုင်သည်။ ====အားလျော့ တုန်ခါမှု (Damped oscillation)==== လက်တွေ့ကျသော စနစ်များတွင် ပွတ်တိုက်မှုသည် အလျင်နှင့် တိုက်ရိုက်အချိုးကျသော ဆွဲငင်အားတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေပြီး ညီမျှခြင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ပြောင်းလဲသွားစေသည်။ :<math>\frac{d^2x}{dt^2} = - c \frac{dx}{dt} - \omega^2x\, </math> ဤနေရာတွင် <math>c > 0</math> သည် အားလျော့မှု မြှောက်ဖော်ကိန်းဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ကိန်းသေမြှောက်ဖော်ကိန်းများပါသော မျဉ်းဖြောင့် (linear differential equation with constant coefficients) ဒုတိယအဆင့် တစ်ပြေးညီ ရိုးရိုး ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>A \mathrm{e}^{rt}</math> ပုံစံရှိသော အဖြေတစ်ခုကို အစားထိုးခြင်း (substitution) ဖြင့် အောက်ပါ ဝိသေသလက္ခဏာ ညီမျှခြင်း (characteristic equation) ကို ရရှိသည်။ :<math>r^2 + c r + \omega^2 = 0\,</math> <math>c < 2\omega</math> ဖြစ်ပါက ကိန်းရင်းများသည် [[ကိန်းထွေး]] ကွန်ဂျူဂိတ် (complex conjugate) များ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် စနစ်သည် ထပ်ကိန်းအလိုက် ကျဆင်းသွားသော တုန်ခါမှုများကို ပြသသည်။ ထိုစနစ်ကို အားလျော့မှုနည်းပါးသော စနစ်ဟုခေါ်သည်။ :: <math>x(t) = {\rm e}^{-\frac{c}{2}t} \left(C_1 \cos \left(t \sqrt{\omega^2 - \frac{c^2}{4}}\right) + C_2 \sin \left(t \sqrt{\omega^2 - \frac{c^2}{4}}\right) \right) \,</math> ဤနေရာတွင် <math>C_1</math> နှင့် <math>C_2</math> တို့သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော ကိန်းသေများ ဖြစ်ကြသည်။ == ကိုးကားများ == * {{Citation |last=Boyer |first=Carl B. |title=The History of the Calculus and Its Conceptual Development |publication-place=New York |publisher=Dover Publications |date=1959 |isbn=978-0-486-60509-8}} * {{Citation |last=Cajori |first=Florian |title=The History of Notations of the Calculus |journal=Annals of Mathematics |volume=25 |issue=1 |date=1923 |pages=1–46 |doi=10.2307/1967725 |publisher=Princeton University |publication-place=Princeton, NJ}} * {{Citation |last=Fourier |first=Joseph |title=Théorie analytique de la chaleur |publication-place=Paris |publisher=Firmin Didot Père et Fils |date=1822}} * {{Citation |last=Fraser |first=Craig |title=Review of The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742, by John T. Cannon and Sigalia Dostrovsky |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |volume=9 |issue=1 |date=1983 |pages=107–113 |doi=10.1090/S0273-0979-1983-15175-3 |publisher=American Mathematical Society |publication-place=Providence, RI}} * {{Citation |last=Newton |first=Isaac |title=Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum |publication-place=Lausanne |publisher=Marc-Michel Bousquet & Co. |date=1744 |series=Opuscula Mathematica, Philosophica et Philologica |volume=1}} * {{Citation |last=Speiser |first=David |title=Discovering the Principles of Mechanics 1600-1800 |editor1-last=Williams |editor1-first=Kim |editor2-last=Caparrini |editor2-first=Sandro |publication-place=Basel |publisher=Birkhäuser |date=2008 |isbn=978-3-7643-8564-4}} * {{Citation |editor-last=Struik |editor-first=Dirk Jan |title=A Source Book in Mathematics, 1200-1800 |publication-place=Cambridge, MA |publisher=Harvard University Press |date=1969 |isbn=978-0-674-82355-6}} * {{Citation |last1=Wheeler |first1=Gerard F. |last2=Crummett |first2=William P. |title=The Vibrating String Controversy |journal=American Journal of Physics |volume=55 |issue=1 |date=1987 |pages=33–37 |doi=10.1119/1.15311 |publisher=American Association of Physics Teachers |publication-place=College Park, MD}} * {{Citation |last=Zill |first=Dennis G. |title=A First Course in Differential Equations |edition=Classic 5th |publication-place=Pacific Grove, CA |publisher=Brooks/Cole |date=2001 |isbn=978-0-534-37388-7}} [[Category:ကဲကုလပ်]] r9j7848jck6or6k36heabfu8d9zip0a 0 291336 1060735 1054241 2026-10-30T12:09:25Z Mkant00 135890 corrections to mathematics 1060735 wikitext text/x-wiki {{Calculus}} [[ကဲကုလပ်]] (calculus) တွင် [[ဖန်ရှင်]] (function) တစ်ခု၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) ကို တွက်ချက်ရာ၌ အသုံးပြုသော ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (differentiation) ဆိုင်ရာ စည်းမျဉ်းများ၏ အကျဉ်းချုပ်ကို အောက်တွင် ဖော်ပြထားသည်။ == ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း၏ အခြေခံစည်းမျဉ်းများ (Elementary rules of differentiation) == အခြားသတ်မှတ်ဖော်ပြထားခြင်း မရှိပါက ဤနေရာရှိ [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]]အားလုံးသည် [[ကိန်းစစ်]] (real number) <math>\mathbb{R}</math> များ၏ ဖန်ရှင်များဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် ကိန်းစစ်တန်ဖိုး (real value) များကိုသာ ထုတ်ပေးသည်။ သို့သော် ယေဘုယျအားဖြင့် အောက်ပါ ပုံသေနည်း (formula) များကို ကောင်းစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (definition) ပေးနိုင်သော မည်သည့်နေရာတွင်မဆို အသုံးပြုနိုင်သည်။ ဤသို့အသုံးပြုရာတွင် [[ကိန်းထွေး]] (complex number) <math>\mathbb{C}</math> များပါဝင်သော အခြေအနေများလည်း အကျုံးဝင်သည်။ မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်မှု (linearity)၊ မြှောက်လဒ် (product)၊ စားလဒ် (quotient) နှင့် ချိတ်ဆက် (chain) စသည့် ပေါင်းစပ်စည်းမျဉ်း (combination rule) များ မှန်ကန်စေရန်အတွက် ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော ဖန်ရှင်များသည် တွက်ချက်ရမည့် အမှတ် (point) တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (differentiable) ဖန်ရှင်များ ဖြစ်ရမည်။ === ကိန်းသေကိန်းပိုင်း စည်းမျဉ်း (Constant term rule) === <math>c \in \mathbb{R}</math> ဖြစ်သော မည်သည့် <math>c</math> တန်ဖိုးအတွက်မဆို <math>f(x)</math> သည် <math>f(x) = c</math> ဟု ပေးထားသော ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (constant function) ဖြစ်ပါက <math>\frac{df}{dx} = 0</math> ဖြစ်သည်။ ==== သက်သေပြချက် (Proof) ==== <math>f(x) = c</math> နှင့် <math>f(x+h) = c</math> ဟုထားပါ။ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်၏]] အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ တွက်ချက်မှုမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} \\ &= 0. \end{align}</math> ဤတွက်ချက်မှု (computation) က မည်သည့် ကိန်းသေ ဖန်ရှင်၏ ဆင်းသက်ချက်မဆို 0 ဖြစ်ကြောင်း ပြသနေသည်။ === ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း၏ မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်မှု (Linearity of differentiation) === မည်သည့် ဖန်ရှင် <math>f</math> နှင့် <math>g</math> များအတွက်မဆို၊ မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> များအတွက်မဆို <math>x</math> ကို မူတည်၍ ဖန်ရှင် <math>h(x) = af(x) + bg(x)</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ <math display="block">h'(x) = af'(x) + bg'(x).</math> လိုက်ဘ်နစ်ဇ် (Leibniz) ၏ [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း|သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း]] (notation) တွင် ဤအချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားသည်။ <math display="block">\frac{d(af+bg)}{dx} = a\frac{df}{dx} + b\frac{dg}{dx}.</math> အထူးအခြေအနေများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ * ကိန်းသေ ဆခွဲကိန်း စည်းမျဉ်း (constant factor rule) <math display="block">(af)' = af'</math> * ပေါင်းလဒ် စည်းမျဉ်း (sum rule) <math display="block">(f+g)' = f' + g'</math> * [[နုတ်ခြင်း]] စည်းမျဉ်း (subtraction rule) <math display="block">(f-g)' = f' - g'.</math> === မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်း (Product rule) === ဖန်ရှင် <math>f</math> နှင့် <math>g</math> များအတွက် <math>x</math> ကို မူတည်၍ ဖန်ရှင် <math>h(x) = f(x)g(x)</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ <math display="block">h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).</math> လိုက်ဘ်နစ်ဇ် ၏ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းတွင် ဤအချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားသည်။ <math display="block">\frac{d(fg)}{dx} = \frac{df}{dx}g + f\frac{dg}{dx}.</math> === ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (Chain rule) === ဖန်ရှင် <math>h(x) = f(g(x))</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">h'(x) = f'(g(x))g'(x).</math> လိုက်ဘ်နစ်ဇ် ၏ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းတွင် ဤအချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားသည်။ <math display="block">\frac{d}{dx}h(x) = \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dx},</math> ထိုနေရာတွင် <math>y = g(x)</math> နှင့် <math>z = f(y)</math> ဖြစ်သည်။ === ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင်စည်းမျဉ်း (Inverse function rule) === အကယ်၍ ဖန်ရှင် <math>f</math> တွင် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>g</math> ရှိပြီး <math>g(f(x)) = x</math> နှင့် <math>f(g(y)) = y</math> တို့ ပြည့်စုံကာ <math>g</math> သည် သက်ဆိုင်ရာအမှတ်၌ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်]] ဖြစ်ပါက <math>f'(g(y)) \neq 0</math> ဖြစ်လျှင် အောက်ပါ[[ညီမျှခြင်း]] (equation) မှန်ကန်သည်။ <math display="block">g' = \frac{1}{f'\circ g}</math> လိုက်ဘ်နစ်ဇ် ၏ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းတွင် ဤအချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားသည်။ <math display="block">\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}.</math> == ထပ်ကိန်း နိယာမများ (Power laws)၊ ပိုလီနိုမီရယ်များ (polynomials)၊ စားလဒ်များ (quotients) နှင့် အချိုးပြောင်းပြန်များ (reciprocals) == === ပိုလီနိုမီရယ် သို့မဟုတ် အခြေခံ ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်း (Polynomial or elementary power rule) === မည်သည့် သုညမဟုတ်သော [[ကိန်းစစ်]] <math>r \neq 0</math> အတွက်မဆို <math>f(x) = x^r</math> ဖြစ်ပါက အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">f'(x) = rx^{r-1}.</math> အကယ်၍ <math>r</math> သည် [[ကိန်းပြည့်]] (integer) မဟုတ်ပါက <math>x</math> သည် တိကျစွာ အပေါင်းဖြစ်သော (strictly positive) ကိန်း ဖြစ်ရမည်။ အကယ်၍ <math>r \ge 1</math> ဖြစ်ပါက အဆိုပါ ပုံသေနည်းသည် <math>x = 0</math> အတွက်လည်း မှန်ကန်သည်။ <math>r = 1</math> ဖြစ်သောအခါ ဤသည်မှာ အထူးအခြေအနေ ဖြစ်သွားသည်။ ထိုအခါ <math>f(x) = x</math> ဖြစ်လျှင် <math>f'(x) = 1</math> ဖြစ်လာသည်။ ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်းကို ပေါင်းလဒ်စည်းမျဉ်း နှင့် ကိန်းသေ ဆတိုး စည်းမျဉ်းများဖြင့် ပေါင်းစပ်အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် မည်သည့် [[ပိုလီနိုမီရယ်|ပိုလီနိုမီရယ်၏]] [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ကိုမဆို]] တွက်ချက်နိုင်သည်။ === အချိုးပြောင်းပြန် စည်းမျဉ်း (Reciprocal rule) === သုညသို့ ပျောက်ကွယ်မသွားသော (nonvanishing) မည်သည့် [[ဖန်ရှင်]] <math>f</math> အတွက်မဆို <math>h(x) = \frac{1}{f(x)}</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ <math display="block">h'(x) = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2}.</math> လိုက်ဘ်နစ်ဇ် ၏ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းတွင် ဤအချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားသည်။ <math display="block">\frac{d(1/f)}{dx} = -\frac{1}{f^2}\frac{df}{dx}.</math> အချိုးပြောင်းပြန် စည်းမျဉ်းကို စားလဒ်စည်းမျဉ်းမှ ဖြစ်စေ သို့မဟုတ် ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်းနှင့် ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်းတို့၏ ပေါင်းစပ်မှုမှ ဖြစ်စေ ဆင်းသက်ရယူနိုင်သည်။ === စားလဒ်စည်းမျဉ်း (Quotient rule) === အကယ်၍ <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့သည် ဖန်ရှင်များဖြစ်ပါက <math>g \neq 0</math> ဖြစ်သော မည်သည့်နေရာတွင်မဆို အောက်ပါ[[ညီမျှခြင်း]] မှန်ကန်သည်။ <math display="block">\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}</math> ဤစည်းမျဉ်းကို အချိုးပြောင်းပြန် စည်းမျဉ်းနှင့် မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်းတို့မှ ဆင်းသက်ရယူနိုင်သည်။ ၎င်းနှင့် ဆန့်ကျင်ဘက်အားဖြင့် ကိန်းသေ ပိုလီနိုမီရယ် <math>f(x) = 1</math> ကို အသုံးပြု၍ အချိုးပြောင်းပြန် စည်းမျဉ်းကို စားလဒ်စည်းမျဉ်းမှလည်း ဆင်းသက်ရယူနိုင်သည်။ === ယေဘုယျပြုထားသော ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်း (Generalized power rule) === အခြေခံ ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်းကို သိသာစွာ ယေဘုယျပြု (generalize) နိုင်သည်။ အယေဘုယျဆုံး ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်းမှာ ဖန်ရှင်နယ် ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်း (functional power rule) ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ဖန်ရှင် <math>f</math> နှင့် <math>g</math> များအတွက်မဆို <math>f(x) > 0</math> ဖြစ်ပြီး ညီမျှခြင်း၏ နှစ်ဖက်စလုံးကို ကောင်းစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားနိုင်သော မည်သည့်နေရာတွင်မဆို အောက်ပါညီမျှခြင်း မှန်ကန်သည်။ <math display="block">(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right)</math> အထူးအခြေအနေများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ * <math>a</math> သည် သုညမဟုတ်သော မည်သည့် ကိန်းစစ်မဆိုဖြစ်ပြီး <math>x</math> သည် အပေါင်းကိန်း ဖြစ်သောအခါ <math>f(x) = x^a</math> ဖြစ်လျှင် <math>f'(x) = ax^{a-1}</math> ဖြစ်သည်။ * အချိုးပြောင်းပြန် စည်းမျဉ်းကို <math>g(x) = -1</math> ဖြစ်သော အထူးအခြေအနေအဖြစ် ဆင်းသက်ရယူနိုင်သည်။ == ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်များနှင့် လော့ဂရစ်သမ် ဖန်ရှင်များ၏ ဆင်းသက်ချက်များ (Derivatives of exponential and logarithmic functions) == <math display="block">\frac{d}{dx}\left(c^{ax}\right) = {ac^{ax} \ln c } ,\qquad c > 0.</math> <math display="block">\frac{d}{dx}\left(e^{ax}\right) = ae^{ax}</math> <math display="block">\frac{d}{dx}\left( \log_c x\right) = {1 \over x \ln c} , \qquad c > 0, c \neq 1.</math> <math display="block">\frac{d}{dx}\left(\ln x\right) = {1 \over x} ,\qquad x > 0.</math> <math display="block">\frac{d}{dx}\left(\ln |x|\right) = {1 \over x} ,\qquad x \neq 0.</math> <math display="block">\frac{d}{dx}\left( x^x\right) = x^x(1 + \ln x).</math> <math display="block">\frac{d}{dx}\left(f(x)^{g(x)}\right) = g(x) f(x)^{g(x)-1}\frac{d}{dx}(f(x)) + f(x)^{g(x)} \ln(f(x)) \frac{d}{dx}(g(x)),\qquad \text{if } f(x) > 0, \text{ and if } \frac{d}{dx}(f(x)) \text{ and } \frac{d}{dx}(g(x)) \text{ exist}.</math> <math display="block">\frac{d}{dx}\left( f(x)^{f(x)}\right) = f(x)^{f(x)} \left(1 + \ln f(x)\right)\frac{d}{dx}(f(x)),\qquad \text{if } f(x) > 0, \text{ and if } \frac{d}{dx}(f(x)) \text{ exists}.</math> <math display="block">\frac{d}{dx}\left( W(x)\right) = {1 \over {x+e^{W(x)}}} ,\qquad x > -{1 \over e},</math> ထိုနေရာတွင် <math>W(x)</math> သည် လမ်းဘတ် W ဖန်ရှင် (Lambert W function) ၏ ပင်မ ဖြာထွက်ဖန်ရှင် (principal branch) ဖြစ်သော <math>W_0(x)</math> ဖြစ်သည်။ === လော့ဂရစ်သမ်ဆိုင်ရာ ဆင်းသက်ချက်များ (Logarithmic derivatives) === လော့ဂရစ်သမ်ဆိုင်ရာ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]သည် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်တစ်ခု၏]] [[လော့ဂရစ်သမ်]]ကို ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းအတွက် စည်းမျဉ်းကို ဖော်ပြသည့် အခြားနည်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤနည်းလမ်းသည် ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်းကို အသုံးပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။ <math>f</math> သည် အပေါင်းကိန်းဖြစ်သော မည်သည့်နေရာတွင်မဆို အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">(\ln f)' = \frac{f'}{f}</math> လော့ဂရစ်သမ်နည်းကျ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (logarithmic differentiation) သည် ဆင်းသက်ချက်ကို လက်တွေ့မရှာဖွေမီ တိကျသော ဖော်ပြချက် (expression) များကို ရိုးရှင်းစေရန် လော့ဂရစ်သမ်များနှင့် ၎င်း၏ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း စည်းမျဉ်းများကို အသုံးပြုသည့် နည်းလမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထပ်ကိန်း (exponent) များကို ဖယ်ရှားရန်၊ မြှောက်လဒ်များကို ပေါင်းလဒ်များအဖြစ် ပြောင်းလဲရန်နှင့် [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|စားခြင်း]] (division) ကို [[နုတ်ခြင်း]] (subtraction) အဖြစ် ပြောင်းလဲရန် လော့ဂရစ်သမ်များကို အသုံးပြုနိုင်သည်။ ဤလုပ်ငန်းစဉ်တစ်ခုစီသည် ဆင်းသက်ချက်ရှာရန်အတွက် ဖော်ပြချက်ကို ပိုမိုရိုးရှင်းသွားစေနိုင်သည်။ == တြီဂိုနိုမက်ထရီ ဖန်ရှင်များ၏ ဆင်းသက်ချက်များ (Derivatives of trigonometric functions) == <math display="block">\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x = {1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\sec x) = \tan x \sec x</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\csc x) = -\cot x \csc x</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x = {-1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\arcsin x) = {1 \over \sqrt{1-x^2}}</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\arccos x) = {-1 \over \sqrt{1-x^2}}</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\arctan x) = {1 \over 1+x^2}</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\operatorname{arcsec} x) = {1 \over |x|\sqrt{x^2-1}}</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\operatorname{arccsc} x) = {-1 \over |x|\sqrt{x^2-1}}</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\operatorname{arccot} x) = {-1 \over 1+x^2}</math> အထက်ပါ ဇယားရှိ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်များသည်]] ပြောင်းပြန် ဆီးကန့် (inverse secant) ၏ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်အစု]] (range) သည် <math>[0, \pi] \setminus \{\pi / 2\}</math> ဖြစ်သော အခြေအနေအတွက် ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ပြောင်းပြန် ကိုဆီးကန့် (inverse cosecant) ၏ ပုံရိပ်အစုသည် <math>[-\pi / 2, \pi / 2] \setminus \{0\}</math> ဖြစ်သော အခြေအနေအတွက်လည်း ဖြစ်သည်။ အဝင်ကိန်း (argument) နှစ်ခုပါဝင်သော ပြောင်းပြန် တန်းဂျင့် [[ဖန်ရှင်]] (inverse tangent function) <math>\arctan(y,x)</math> ကို ထပ်မံ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်လေ့ရှိသည်။ ၎င်း၏ တန်ဖိုးသည် <math>(-\pi, \pi]</math> ပုံရိပ်အစုအတွင်း တည်ရှိပြီး အမှတ် <math>(x, y)</math> ၏ ကွာဒရန့် (quadrant) ကို ရောင်ပြန်ဟပ် (reflect) ပြသသည်။ မူလမှတ်နှင့် <math>x</math>-ဝင်ရိုး၏ အနုတ်ဘက်ခြမ်းမှအပ ကျန်ရှိသော အမှတ်များဖြစ်သည့် <math>(x, y) \in \mathbb{R}^2 \setminus ((-\infty, 0] \times \{0\})</math> အတွက် ၎င်း၏ ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက် (partial derivative) များမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{\partial \arctan(y,x)}{\partial y} = \frac{x}{x^2 + y^2} \qquad\text{and}\qquad \frac{\partial \arctan(y,x)}{\partial x} = \frac{-y}{x^2 + y^2}.</math> == ဟိုက်ပါဘောလစ် ဖန်ရှင်များ၏ ဆင်းသက်ချက်များ (Derivatives of hyperbolic functions) == <math display="block">\frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\tanh x) = \operatorname{sech}^2 x = {1 \over \cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\operatorname{sech} x) = -\tanh x \operatorname{sech} x</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\operatorname{csch} x) = -\coth x \operatorname{csch} x</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\coth x) = -\operatorname{csch}^2 x = {-1 \over \sinh^2 x} = 1 - \coth^2 x</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\operatorname{arsinh} x) = {1 \over \sqrt{x^2+1}}</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\operatorname{arcosh} x) = {1 \over \sqrt{x^2-1}}</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\operatorname{artanh} x) = {1 \over 1-x^2}</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\operatorname{arsech} x) = {-1 \over x\sqrt{1-x^2}}</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\operatorname{arcsch} x) = {-1 \over |x|\sqrt{1+x^2}}</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\operatorname{arcoth} x) = {1 \over 1-x^2}</math> == အထူးဖန်ရှင်များ၏ ဆင်းသက်ချက်များ (Derivatives of special functions) == === ဂါမာ ဖန်ရှင် (Gamma function) === <math>x > 0</math> အတွက် တွက်ချက်မှုမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ <math display="block">\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\, dt</math> <math display="block">\Gamma'(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \ln t \, dt</math> <math display="block">\Gamma'(x) = \Gamma(x) \left( -\gamma + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+x-1}\right) \right)</math> === ရီးမန်း ဇီတာ ဖန်ရှင် (Riemann zeta function) === <math>x > 1</math> အတွက် တွက်ချက်မှုမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ <math display="block">\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x}</math> <math display="block">\zeta'(x) = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^x}</math> == အင်တီဂရယ်များ၏ ဆင်းသက်ချက်များ (Derivatives of integrals) == [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်ကို]] <math>x</math> မူတည်၍ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာရန်]] လိုအပ်သည်ဟု ဆိုကြပါစို့။ <math display="block">F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\, dt</math> ဤနေရာတွင် ဖန်ရှင် <math>f(x,t)</math> နှင့် <math>\frac{\partial}{\partial x} f(x,t)</math> နှစ်ခုစလုံးသည် <math>a(x) \le t \le b(x)</math> နှင့် <math>x_0 \le x \le x_1</math> တို့ ပါဝင်သော <math>(x,t)</math> ပြင်ညီ၏ အချို့သော နယ်ပယ် (region) အတွင်း <math>x</math> နှင့် <math>t</math> နှစ်ခုစလုံးအတွက် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်]] (continuous) ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အပြင် ဖန်ရှင် <math>a(x)</math> နှင့် <math>b(x)</math> တို့သည်လည်း အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပြီး <math>x_0 \le x \le x_1</math> အတွက် နှစ်ခုစလုံးတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ဆင်းသက်ချက်များ ရှိကြသည်။ ထို့ကြောင့် <math>x_0 \le x \le x_1</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">F'(x) = f(x,b(x))b'(x) - f(x,a(x))a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partial x} f(x,t)\, dt.</math> ဤပုံသေနည်းသည် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]] စည်းမျဉ်း (Leibniz integral rule) ၏ ယေဘုယျ ပုံစံ (general form) ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို [[ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်]] (fundamental theorem of calculus) အသုံးပြု၍ ဆင်းသက်ရယူနိုင်သည်။ == အကြိမ် n မြောက် အဆင့်အထိ ဆင်းသက်ချက်များ (Derivatives to nth order) == [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ၏]] အကြိမ် <math>n</math> မြောက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (n-th derivative) ကို တွက်ချက်ရန်အတွက် စည်းမျဉ်းအချို့ တည်ရှိသည်။ ထိုနေရာတွင် <math>n</math> သည် အပေါင်း[[ကိန်းပြည့်]] (positive integer) ဖြစ်ပြီး အောက်ပါတို့ ပါဝင်သည်။ === ဖာဒီဘရူနို ၏ ပုံသေနည်း (Faà di Bruno's formula) === အကယ်၍ <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့သည် <math>n</math> ကြိမ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်သော (n-times differentiable) ဖန်ရှင်များဖြစ်ပါက အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{d^n}{dx^n}[f(g(x))] = n! \sum_{ {{m_1,\dots,m_n}} } f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x)) \prod_{j=1}^n \frac{1}{m_j!}\left(\frac{g^{(j)}(x)}{j!}\right)^{m_j}</math> ဤနေရာတွင် ပေါင်းလဒ်သည် အောက်ပါ ကန့်သတ်ချက်ကို ပြည့်မီသော အနုတ်မဟုတ်သည့် ကိန်းပြည့်များ၏ အစုဝင်အတွဲ (tuple) <math>(m_1, \dots, m_n)</math> များအားလုံးအပေါ် အကျုံးဝင်သည်။ <math display="block">1m_1 + 2m_2 + 3m_3 + \cdots + nm_n = n.</math> === ယေဘုယျ လိုက်ဘ်နစ်ဇ် စည်းမျဉ်း (General Leibniz rule) === အကယ်၍ <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့သည် <math>n</math> ကြိမ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်သော ဖန်ရှင်များဖြစ်ပါက အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{d^n}{dx^n}[f(x)g(x)] = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k)}(x) g^{(k)}(x).</math> == ကိုးကား == * {{Citation |last1=Ayres |first1=Frank |last2=Mendelson |first2=Elliott |title=Calculus |edition=5th |series=Schaum's Outline Series |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill |date=2009 |isbn=978-0-07-150861-2}} * {{Citation |last1=Wrede |first1=Robert C. |last2=Spiegel |first2=Murray R. |title=Advanced Calculus |edition=3rd |series=Schaum's Outline Series |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill |date=2010 |isbn=978-0-07-162366-7}} * {{Citation |last1=Spiegel |first1=Murray R. |last2=Lipschutz |first2=Seymour |last3=Schiller |first3=John J. |last4=Spellman |first4=Dennis |title=Complex Variables |edition=2nd |series=Schaum's Outline Series |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill |date=2009 |isbn=978-0-07-161569-3}} * {{Citation |author=University of Waterloo |title=Differentiation Rules |publisher=CEMC Open Courseware |date=2022 |url=https://courseware.cemc.uwaterloo.ca/11/assignments/47/6 |access-date=3 May 2022}} * {{Citation |last1=Lipschutz |first1=Seymour |last2=Spiegel |first2=Murray R. |last3=Liu |first3=John |title=Mathematical Handbook of Formulas and Tables |edition=3rd |series=Schaum's Outline Series |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill |date=2009 |isbn=978-0-07-154855-7}} * {{Citation |last=Woan |first=Graham |title=The Cambridge Handbook of Physics Formulas |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=2010 |isbn=978-0-521-57507-2}} * {{Citation |last1=Riley |first1=Ken F. |last2=Hobson |first2=Michael P. |last3=Bence |first3=Stephen J. |title=Mathematical Methods for Physics and Engineering |edition=3rd |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=2006 |isbn=978-0-521-86153-3}} * {{Citation |last1=Olver |first1=Frank W. J. |last2=Lozier |first2=Daniel W. |last3=Boisvert |first3=Ronald F. |last4=Clark |first4=Charles W. |title=NIST Handbook of Mathematical Functions |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=2010 |isbn=978-0-521-19225-5 |mr=2723248 |zbl=1198.00002}} [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ် သီအိုရမ်များ]] 8geeh43kh5kmfs4ppuwgd8re4bms4kz 0 291389 1060776 1052173 2026-10-30T17:24:53Z Mkant00 135890 corrections to mathematics 1060776 wikitext text/x-wiki [[ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (analysis) တွင် ဒစ်ဖရန်ရှယ် (differential) သည် ကိန်းရှင် (variable) သို့မဟုတ် [[ဖန်ရှင်]] (function) တစ်ခု၏ တိုးပွားလာမှု (increment) ထဲမှ မျဉ်းဖြောင့် (linear) ဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းကို ရည်ညွှန်းပြီး [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်]]တစ်ခု၏ ဝင်ရိုးပေါ်ရှိ အဆုံးမဲ့ သေးငယ်လွန်းသော အပိုင်းကို ဖော်ပြသည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ 17 ရာစုနှင့် 18 ရာစုနှစ်များတွင် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများ (infinitesimals) ဆိုင်ရာ ကဲကုလပ် (calculus) ၌ အဓိကကျခဲ့သော်လည်း 19 ရာစုတွင် အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ (Augustin-Louis Cauchy) နှင့် ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် (Karl Weierstrass) တို့ ဖော်ထုတ်ခဲ့သော [[စုဆုံမှတ်]] (limit) အယူအဆက အခြေခံခိုင်မာမှုအပိုင်းတွင် ဤသဘောတရားကို အစားထိုးနေရာယူခဲ့သည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (differentiable) ဖန်ရှင် <math>f</math> ပါဝင်သည့် <math>y = f(x)</math> အတွက် မှီခို ဒစ်ဖရန်ရှယ် <math>\mathrm{d}y</math> နှင့် အမှီအခိုကင်းသော (independent) ဒစ်ဖရန်ရှယ် <math>\mathrm{d}x</math> တို့ကြားရှိ အခြေခံဆက်သွယ်ချက်မှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် ။ :<math>\mathrm{d}y = f'(x) \mathrm{d}x</math> ဤနေရာတွင် <math>f'(x)</math> သည် <math>x</math> နေရာရှိ <math>f</math> ၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ <math>\mathrm{d}y</math> အစား <math>\mathrm{d}f(x)</math> သို့မဟုတ် <math>\mathrm{d}f_x</math> ဟုလည်း ရေးနိုင်သည်။ ၎င်းကို ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက် (partial derivative) များ အသုံးပြု၍ စုစုပေါင်း ဒစ်ဖရန်ရှယ် (total differential) အဖြစ်သို့ ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ဒစ်ဖရန်ရှယ်များကို [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]] (integral) များအတွက် <math>\textstyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x</math> ကဲ့သို့သော ဖော်ပြချက်များတွင် သို့မဟုတ် ဆင်းသက်ချက်များအတွက် <math>\tfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}</math> ကဲ့သို့သော သင်္ကေတအစိတ်အပိုင်းများအဖြစ် အများဆုံး အသုံးပြုကြသည်။ ခိုင်မာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (definition) များသည် [[ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ]] (differential geometry) တွင် တိကျသော 1-ပုံစံများ အနေဖြင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံ (differential forms) များမှတစ်ဆင့် တည်ရှိသည်။ == ဖြည့်စွက်အကြောင်းအရာ (Context) == ရစ်ချတ် ကူးရန့် (Richard Courant) (1924) က မှတ်ချက်ပြုသည်မှာ အဆုံးမဲ့ သေးငယ်သော ဒစ်ဖရန်ရှယ်တွင် သီးခြား လွတ်လပ်သော အဓိပ္ပာယ် မရှိသော်လည်း [[စုဆုံမှတ်|စုဆုံမှတ်များ]]မှတစ်ဆင့် <math>f^\prime(x)</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပြီး တိုးပွားလာမှု <math>h=\Delta x</math> ကို <math>h=\mathrm{d}x</math> ဟု သင်္ကေတပြုထားသော အမှီအခိုကင်းသော ကိန်းရှင် (independent variable) အဖြစ် ယူဆခြင်းဖြင့် <math>\tfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}</math> ကို အမှန်တကယ် စားလဒ် (quotient) အဖြစ် သတ်မှတ်နိုင်သည်။ <math>\mathrm{d}y=hf^\prime(x)</math> ဟု သတ်မှတ်ခြင်းက <math>f^\prime(x)=\tfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}</math> ကို အလိုအလျောက် ရရှိစေသည်။ ခေတ်သစ် အသုံးအနှုန်းများအရ <math>x</math> နေရာရှိ ဒစ်ဖရန်ရှယ်သည် ထိမျဉ်း ရပ်ဝန်း <math>T_x\mathbb{R}\simeq\mathbb{R}</math> မှ [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) ဆီသို့ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (linear map) ဖြစ်သည်။ ထိမျဉ်း [[ဗက်တာ]] (tangent vector) <math>h\in\mathbb{R}\simeq T_x\mathbb{R}</math> သည် <math>\mathrm{d}f(x)(h)=f^\prime(x)h</math> ဟု သတ်မှတ်ကာ <math>hf^\prime(x)</math> ဆီသို့ ပုံဖော်သည်။ <math>\mathrm{d}x(x)(h)=h</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>f^\prime(x)=\tfrac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x(x)}</math> ဆိုသည့် ဆက်သွယ်ချက်ကို သဘာဝကျကျ ရရှိသည်။ == မျဉ်းဖြောင့်ပုံစံဖြစ်စေသော တိုးပွားလာမှုအဖြစ် ဒစ်ဖရန်ရှယ် (The differential as a linearized increment) == [[ဖန်ရှင်]] <math>f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> တစ်ခုအတွက် ဝင်ကိန်း (argument) အပြောင်းအလဲ <math>\Delta x</math> သည် တိုးပွားလာမှု <math>\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x)</math> ကို ရရှိစေသည်။ အကယ်၍ <math>f</math> သည် (အဖိုင်း) မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင် (linear function) <math>y = m x + b</math> ဖြစ်ပါက <math>\Delta y = m \cdot \Delta x</math> ဖြစ်မည်။ ထိုအခါ တိုးပွားလာမှုသည် ဝင်ကိန်း အပြောင်းအလဲနှင့် တိုက်ရိုက်အချိုးကျသည်။ မျဉ်းဖြောင့်မဟုတ်သော ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များအတွက်မူ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] <math>f'(x)</math> သည် ခြားနားခြင်း စားလဒ်၏ [[စုဆုံမှတ်]]ဖြစ်သည် ။ :<math>f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}</math> <math>\Delta x \neq 0</math> အတွက် အကြွင်း <math>\phi(\Delta x) := \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} - f'(x)</math> ကို သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် အောက်ပါ တိုးပွားလာမှုကို ရရှိသည် ။ :<math>\Delta y = f'(x) \cdot \Delta x + \phi(\Delta x) \cdot \Delta x</math> ဤနေရာတွင် <math>\Delta y</math> သည် မျဉ်းဖြောင့် အပိုင်း <math>f'(x) \cdot \Delta x</math> နှင့် ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် (higher order) ၌ သုညဖြစ်သွားသော အကြွင်း (<math>\lim_{h \to 0} \phi(h) = 0</math>) ဟူ၍ နှစ်ပိုင်း ကွဲသွားသည်။ ဤမျဉ်းဖြောင့် အပိုင်းကို ဒစ်ဖရန်ရှယ် <math>\mathrm{d}y</math> ဟုခေါ်ပြီး ၎င်းသည် သေးငယ်သော <math>\Delta x</math> အတွက် <math>\Delta y</math> ၏ ကောင်းမွန်သော ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်းကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition)== <math>f \colon D \to \mathbb{R}</math> ကို အရင်းအမြစ်[[အစု]] (domain) <math>D \subseteq \mathbb{R}</math> ပါရှိသော [[ဖန်ရှင်]]တစ်ခုဟု ဆိုပါစို့။ <math>f</math> သည် <math>x \in D</math> နေရာတွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်ဖြစ်ပြီး <math>h \in \mathbb{R}</math> ဖြစ်ပါက :<math>\mathrm{d}f(x)(h) := f'(x)\cdot h</math> သည် တိုးပွားလာမှု <math>h</math> အတွက် <math>x</math> နေရာရှိ <math>f</math> ၏ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဖြစ်သည်။ များသောအားဖြင့် <math>h</math> ကို <math>\mathrm{d}x</math> အဖြစ် ရေးလေ့ရှိရာ <math>\mathrm{d}y = \mathrm{d}f(x)(h)</math> သို့မဟုတ် ကလပ်စစ်ကယ် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းဖြင့် အလွယ်တကူ <math>\mathrm{d}y = \mathrm{d}f(x)</math> ကို ရရှိသည်။ သတ်မှတ်ထားသော <math>x</math> တစ်ခုအတွက် <math>\mathrm{d}f(x)</math> သည် <math>h\in\mathbb{R}</math> မှ <math>f^\prime(x)h\in\mathbb{R}</math> သို့ ပုံဖော်သော မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထပ်တူရ ဖန်ရှင် (identity function) <math>\mathrm{id}(x) = x</math> အတွက်မူ <math>\mathrm{d}x = \mathrm{d(id)}(x)(h) = 1 \cdot h = h</math> ကို ရရှိပြီး <math>\mathrm{d}y = \mathrm{d}x</math> ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုနိုင်သည်။ == ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ်များ (Higher-order differentials) == အကယ်၍ <math>f</math> သည် <math>x</math> နေရာတွင် <math>n</math> ကြိမ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်သော (n-times differentiable) [[ဖန်ရှင်]]ဖြစ်ပြီး <math>\mathrm{d}x = h \in \mathbb{R}</math> ဖြစ်ပါက :<math>\mathrm{d}^n y := \mathrm{d}^n f(x) := f^{(n)}(x) \, \mathrm{d}x^n</math> သည် <math>x</math> နေရာရှိ <math>f</math> ၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် အဆင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဖြစ်သည်။ ကူးရန့် (Courant) က ပြောင်းလဲနေသော <math>x</math> တစ်လျှောက်လုံးတွင် <math>h</math> ကို သတ်မှတ်ထားသော (fixed) ကိန်းတစ်ခုအဖြစ် ယူဆခြင်းဖြင့် ၎င်းကို သက်သေပြခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathrm{d}y=hf^\prime(x)</math> သည် <math>x</math> ၏ ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\mathrm{d}^2y=h^2f^{\prime\prime}(x)</math> ရရှိရန်အတွက် နောက်တစ်ကြိမ် ထပ်မံ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]ရှာနိုင်သည်။ ယင်းမှတစ်ဆင့် <math>\mathrm{d}^ny = h^n f^{(n)}(x)</math> သို့ ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ ဤ ကလပ်စစ်ကယ် [[အက္ခရာသင်္ချာ]]ဆိုင်ရာ အစဉ်အလာသည် တိုးပွားလာမှု <math>\mathrm{d}x</math> ကို ကိန်းသေတစ်ခုအဖြစ် ယူဆခြင်းအပေါ်တွင် မှီခိုနေသည်။ ခေတ်သစ် ဒစ်ဖရန်ရှယ်ဂျီဩမေတြီတွင် 1-ပုံစံ <math>\mathrm{d}x</math> ၏ ပြင်ပဆင်းသက်ချက် (exterior derivative) သည် လုံးဝ သုညဖြစ်သော်လည်း (<math>\mathrm{d}^2 = 0</math>)၊ ကလပ်စစ်ကယ် အဆင့်မြင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ်များသည် အချိုးညီ ဆင်းသက်ချက်များ (symmetric derivatives) ကို ကိုယ်စားပြုသောကြောင့် ဤအယူအဆ နှစ်ရပ်သည် သဘောတရားအရ ကွဲပြားသည့် သင်္ချာဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ ဖြစ်ကြသည်။ == တွက်ချက်ခြင်း စည်းမျဉ်းများ (Calculation rules)== <math>\mathrm{d}y = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \mathrm{d}x</math> [[ညီမျှခြင်း]]နှင့် စံ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] စည်းမျဉ်းများမှတစ်ဆင့် ဆင်းသက်လာသော ဒစ်ဖရန်ရှယ်များသည် ကိန်းရှင်များ၊ [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] <math>u, v, y, z</math> နှင့် ကိန်းသေ <math>c</math> တို့အတွက် [[ဂဏန်းသင်္ချာ]] တွက်ချက်မှုများကို လိုက်နာကြသည် ။ * ကိန်းသေများ (Constants): <math>\mathrm{d}(c) = 0</math> နှင့် <math>\mathrm{d}(c y) = c \, \mathrm{d}y</math> * [[ပေါင်းခြင်း]]/[[နုတ်ခြင်း]] (Addition/Subtraction): <math>\mathrm{d}(u \pm v) = \mathrm{d}u \pm \mathrm{d}v</math> * [[မြှောက်ခြင်း]] (Multiplication): <math>\mathrm{d}(u v) = v\,\mathrm{d}u + u\,\mathrm{d}v</math> * [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|စားခြင်း]] (Division): <math>\mathrm{d}\left(\frac{u}{v} \right) = \frac{v\,\mathrm{d}u - u\,\mathrm{d}v}{v^2}</math> * ကွင်းဆက် စည်းမျဉ်း (Chain Rule): အကယ်၍ <math>z</math> သည် <math>y</math> အပေါ် မှီခိုပြီး <math>y</math> သည် <math>x</math> အပေါ် မှီခိုပါက <math>\mathrm{d}z = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y} \cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\; \mathrm{d}x</math> ဖြစ်သည်။ === ဥပမာများ (Examples) === * <math>u = x^2</math> နှင့် <math>v = \sin(x)</math> အတွက် <math>\mathrm{d}(u v) = x^2 \cos(x)\,\mathrm{d}x + \sin(x) 2x \, \mathrm{d}x</math> * <math>y = 1 + x^2</math> နှင့် <math>z = \sqrt{y}</math> အတွက် <math>\mathrm{d}(\sqrt{1+x^2}) = \frac{2 x\, \mathrm{d}x}{2 \sqrt{y}} = \frac{x}{z} \mathrm{d}x</math> == 1-ပုံစံများအနေဖြင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ်များ (Differentials as 1-forms) == ခေတ်သစ် အသုံးအနှုန်းများအရ <math>\mathrm{d}f</math> သည် တိကျသော 1-ပုံစံတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အဖွင့်စု <math>U \subset \mathbb{R}^n</math> အပေါ်ရှိ ဖက်ဖီယန် (Pfaffian) ပုံစံ <math>\omega</math> တစ်ခုသည် <math>p\in U</math> ရှိ အမှတ်တိုင်းအတွက် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း#မျဉ်းဖြောင့်_ဖန်ရှင်နယ်များနှင့်_ဒွန်တွဲရပ်ဝန်းများ_(Linear_Functionals_and_Dual_Spaces)|ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း]] <math>\mathrm T^*_pU</math> အတွင်း၌ မျဉ်းဖြောင့် ပုံစံ <math>\omega_p\colon\mathrm T_pU\to\mathbb R</math> တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ ချောမွေ့သော [[ဖန်ရှင်]] <math>f\colon U\rightarrow\mathbb{R}</math> ၏ စုစုပေါင်း ဒစ်ဖရန်ရှယ် <math>\mathrm{d}f</math> ကို ထိမျဉ်း [[ဗက်တာ]] <math>X \in \mathrm T_pU</math> အပေါ်တွင် လားရာပြ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]အဖြစ် အောက်ပါအတိုင်း တန်ဖိုးရှာနိုင်သည် ။ :<math>(\mathrm{d}f)_p(X)=Xf</math> ဂရေးဒီးယင့် (gradient) နှင့် စံ အတွင်းမြှောက်လဒ်တို့ကို အသုံးပြု၍ ၎င်းကို <math>(\mathrm{d}f)_p(X)=\langle\mathrm{grad}\,f,X\rangle</math> အဖြစ် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်သည်။ == တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ အကူအညီအဖြစ် ဒစ်ဖရန်ရှယ်များ (Differentials as computational aid)== ဒစ်ဖရန်ရှယ်များသည် တွက်ချက်မှုများကို ရိုးရှင်းလွယ်ကူစေပြီး အထူးသဖြင့် ရူပဗေဒကဲ့သို့သော နေရာတွင် အသုံးဝင်သည်။ === အစားထိုးခြင်းဖြင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (Integration by substitution)=== <math>\int x \sin(x^2 + 1)\,\mathrm{d}x</math> ကို တွက်ချက်ရန် <math>t=x^2 + 1</math> ဖြင့် အစားထိုးပါ ။ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] <math>\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}= 2 x</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathrm{d}t = 2x\,\mathrm{d}x</math> ကို ရရှိသည်။ :<math>\int x\, \sin(x^2 + 1)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int \sin(t)\,\mathrm{d}t = - \frac{1}{2}\cos(x^2 + 1)+ C \quad (C \in \mathbb{R})</math> === ကိန်းရှင်များ ခွဲထုတ်ခြင်း (Separation of variables)=== ကနဦး အခြေအနေ <math>f(0) = C_0</math> ပါရှိသော [[ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း]] <math>f'(x) = - k \cdot f(x)</math> အတွက် <math>y = f(x)</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ :<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = - k \cdot y \implies \frac{1}{y} \, \mathrm{d}y = - k \, \mathrm{d}x</math> <math>y \neq 0</math> ဟု ယူဆပါက [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း]]ဖြင့် <math>\ln|y| = -kx + C</math> ကို ရရှိပြီး ယေဘုယျ အဖြေ <math>f(x)=C_0\cdot\exp(-k\cdot x)</math> ကို ပြန်လည်ရရှိသည်။ ၎င်းသည် <math>C_0 = 0</math> ဖြစ်သောအခါ အသေးအဖွဲဖြစ်သော အဖြေကိုလည်း မှန်ကန်စွာ ရှင်းပြနိုင်သည်။ ===လမ်းကြောင်းတစ်လျှောက် အင်တီဂရယ် (Line integral)=== အချင်းဝက် <math>r</math> ရှိသော စက်ဝိုင်းတစ်ခု၏ တည်နေရာ [[ဗက်တာ]]မှာ <math>t \in [0,2\pi]</math> အတွက် <math>\vec r = \begin{pmatrix} r \cos t \\ r \sin t \end{pmatrix}</math> ဖြစ်သည်။ ဒစ်ဖရန်ရှယ် <math>\mathrm{d}\vec r = \begin{pmatrix} -r \sin t \\ r \cos t \end{pmatrix} \mathrm{d}t</math> သည် အလျား <math>\mathrm{d}s = r \, \mathrm{d}t</math> ကို ပေးသည်။ လုံးပတ် <math>U</math> သည် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် ။ :<math>U = \int_0^{2\pi} r \,\mathrm{d}t = 2 r \pi</math> === ကတော့တစ်ခု၏ ထုထည် (Volume of a cone)=== အချင်းဝက် <math>r</math> နှင့် အမြင့် <math>h</math> ရှိသော ကတော့တစ်ခုအတွက် ထိပ်ဖျားမှ အကွာအဝေး <math>x</math> ရှိ အချင်းဝက် <math>r_s</math> မှာ <math>r_s = \frac{rx}{h}</math> ဖြစ်သည်။ အဆုံးမဲ့သေးငယ်သော ဆလင်ဒါ ထုထည်မှာ <math>\mathrm{d}V = {r_s}^2 \pi \,\mathrm{d}x</math> ဖြစ်သည်။ စုစုပေါင်း ထုထည်မှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် ။ :<math>V = \int_0^h \frac{r^2}{h^2} x^2 \pi \, \mathrm{d}x = \frac{1}{3} r^2 \pi h</math> ==သမိုင်းကြောင်း (Historical)== ဂေါ့တ်ဖရီးဒ် ဗီလ်ဟဲလ်မ် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် (Gottfried Wilhelm Leibniz) သည် 1675 ခုနှစ်တွင် [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]] သင်္ကေတကို <math>\mathrm{d}x</math> သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းနှင့်အတူ ပထမဆုံး မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ 19 ရာစုတွင် အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ (Augustin-Louis Cauchy) သည် ဒစ်ဖရန်ရှယ်များကို အဆုံးမဲ့သေးငယ်သော တိုးပွားမှုများ <math>\Delta x</math> နှင့် နှိုင်းယှဉ်ပါက အဆုံးရှိ ကိန်းသေများ (<math>\mathrm{d}x = h</math>) အဖြစ် ကိုင်တွယ်ခဲ့ပြီး အခြေခံ ကဲကုလပ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို တည်ငြိမ်စေရန်အတွက် တင်းကျပ်သော စုဆုံမှတ်များ <math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> မှတစ်ဆင့် ဂျီဩမေတြီ အချိုးအစားများကို ဆုံးဖြတ်ခဲ့သည်။ == ကိုးကား == * {{Citation |last=Becker |first=Oskar |title=Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung |publisher=Suhrkamp Verlag |publication-place=Frankfurt am Main |date=1975 |isbn=978-3-518-07714-6}} * {{Citation |last=Bos |first=Henk J. M. |title=Differentials, Higher-Order Differentials and the Derivative in the Leibnizian Calculus |journal=Archive for History of Exact Sciences |volume=14 |issue=1 |date=1974 |at=pp. 1–90 |doi=10.1007/BF00327456}} * {{Citation |last=Courant |first=Richard |title=Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung |publisher=Springer-Verlag |publication-place=Berlin, Heidelberg |date=1971 |isbn=978-3-540-05466-5}} * {{Citation |last1=Dallmann |first1=Herbert |last2=Elster |first2=Karl-Heinz |title=Einführung in die höhere Mathematik |volume=1 |edition=3rd |publisher=Gustav Fischer Verlag |publication-place=Jena |date=1991 |isbn=978-3-334-00409-8}} * {{Citation |last1=Endl |first1=Kurt |last2=Luh |first2=Wolfgang |title=Analysis |volume=1 |publisher=Akademische Verlagsgesellschaft |publication-place=Wiesbaden |date=1972 |isbn=978-3-400-00185-3}} * {{Citation |last1=Endl |first1=Kurt |last2=Luh |first2=Wolfgang |title=Analysis |volume=2 |publisher=Akademische Verlagsgesellschaft |publication-place=Wiesbaden |date=1973 |isbn=978-3-400-00206-5}} * {{Citation |last1=Finster |first1=Reinhard |last2=van der Heuvel |first2=Gerd |title=Gottfried Wilhelm Leibniz |publisher=Rowohlt Taschenbuch Verlag |publication-place=Reinbek bei Hamburg |date=1990 |isbn=978-3-499-50481-5}} * {{Citation |last1=Joos |first1=Georg |last2=Kaluza |first2=Theodor |title=Höhere Mathematik für den Praktiker |publisher=Johann Ambrosius Barth |publication-place=Leipzig |date=1942}} * {{Citation |last=Karlson |first=Paul |title=Vom Zauber der Zahlen: Eine unterhaltsame Mathematik für Jedermann |publisher=Ullstein |publication-place=Berlin |date=1954}} * {{Citation |last=Leibniz |first=Gottfried Wilhelm |editor-last=Kowalewski |editor-first=Gerhard |title=Über die Analysis des Unendlichen: Abhandlung über die Quadratur der Kurven |series=Ostwalds Klassiker der exakten Naturwissenschaften |volume=162 |publisher=Verlag Harri Deutsch |publication-place=Frankfurt am Main |date=2008 |isbn=978-3-8171-3162-4}} * {{Citation |last=Pascal |first=Blaise |title=Traité des sinus des quarts de cercle |date=1659}} * {{Citation |editor-last=Pierer |editor-first=Heinrich August |title=Universal-Lexikon der Gegenwart und Vergangenheit |volume=2 |publication-place=Altenburg |date=1857 |at=pp. 349–350}} * {{Citation |editor-last1=Popp |editor-first1=Karl |editor-last2=Stein |editor-first2=Erwin |title=Gottfried Wilhelm Leibniz: Philosoph, Mathematiker, Physiker, Techniker |publisher=Schlütersche |publication-place=Hannover |date=2000 |isbn=978-3-87706-609-6}} * {{Citation |last=Schmidt |first=Jürgen |title=Basiswissen Mathematik |publisher=Springer Spektrum |publication-place=Berlin, Heidelberg |date=2014 |isbn=978-3-662-43545-8 |doi=10.1007/978-3-662-43546-5}} * {{Citation |last=Sonar |first=Thomas |title=3000 Jahre Analysis: Geschichte, Kulturen, Menschen |edition=2nd |publisher=Springer-Verlag |publication-place=Berlin, Heidelberg |date=2016 |isbn=978-3-662-48917-8 |doi=10.1007/978-3-662-48918-5}} * {{Citation |last=Spalt |first=Detlef |title=Die Vernunft im Cauchy-Mythos |publisher=Verlag Harri Deutsch |publication-place=Frankfurt am Main |date=1996 |isbn=978-3-8171-1480-1}} [[Category:ကဲကုလပ်]] 76rltl5zeefpv9duic69n25b3nav85s 0 291433 1060796 1054333 2026-10-30T22:50:16Z Mkant00 135890 corrections to mathematics 1060796 wikitext text/x-wiki [[File:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|220px|ကိန်းထွေး (complex number) <math>z</math> ၏ ပကတိတန်ဖိုး (absolute value) သည် မူလနေရာ (origin) မှ <math>z</math> အထိ အကွာအဝေး (distance) <math>r</math> ဖြစ်သည်။ <math>z</math> နှင့် ယင်း၏ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် (complex conjugate) <math>\bar z</math> တို့သည် တူညီသော ပကတိတန်ဖိုး ရှိကြကြောင်းကိုလည်း ပုံတွင် တွေ့မြင်နိုင်သည်။]] [[File:Absolute value.svg|right|thumb|220px|ကိန်းစစ် (real number) များအတွက် ပကတိတန်ဖိုး ဖန်ရှင် (absolute value function) ၏ ဂရပ် (graph) ဖြစ်သည်။]] [[သင်္ချာ|သင်္ချာတွင်]] <math>x</math> ဟုခေါ်သော [[ကိန်းစစ်]] (real number) တစ်ခု၏ ပကတိတန်ဖိုး (absolute value) သို့မဟုတ် မော်ဂျူးလပ်စ် (modulus) ကို <math>|x|</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းသည် လက္ခဏာကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားခြင်းမရှိဘဲ တိုင်းတာထားသော <math>x</math> ၏ အနုတ်ကိန်းမဟုတ်သည့် ပမာဏ (magnitude) ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>x</math> သည် အပေါင်းကိန်း (positive number) ဖြစ်လျှင် <math>|x|=x</math> ဖြစ်ပြီး <math>x</math> သည် [[အနုတ်ကိန်း]] (negative number) ဖြစ်လျှင် <math>|x|=-x</math> ဖြစ်ကာ ဤအခြေအနေတွင် <math>-x</math> သည် အပေါင်းကိန်းဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် <math>|0|=0</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>3</math> ၏ ပကတိတန်ဖိုးမှာ <math>3</math> ဖြစ်ပြီး <math>-3</math> ၏ ပကတိတန်ဖိုးမှာလည်း <math>3</math> ပင်ဖြစ်သည်။ [[ကိန်း]] တစ်ခု၏ ပကတိတန်ဖိုးကို သုညမှ ယင်းကိန်း၏ အကွာအဝေး (distance) အဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ ကိန်းစစ်များအတွက် ပကတိတန်ဖိုးကို ယေဘုယျပြုထားခြင်း (generalization) များသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေအနေအမျိုးမျိုးတွင် ဖြစ်ပေါ်လေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers)၊ ကွာတာနီယွန်များ (quaternions)၊ အစဉ်ကျသော [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (ordered rings)၊ [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]] (fields) နှင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces) အတွက်လည်း ပကတိတန်ဖိုးကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ သင်္ချာ နှင့် ရူပဗေဒဆိုင်ရာ အခြေအနေအမျိုးမျိုးတွင် ပကတိတန်ဖိုးသည် ပမာဏ၊ အကွာအဝေးနှင့် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) ဟူသော သဘောတရားများနှင့် နီးကပ်စွာ ဆက်စပ်နေသည်။ == ဝေါဟာရအသုံးအနှုန်းနှင့် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (Terminology and notation) == 1806 ခုနှစ်တွင် ရောန်-ရောဘတ် အာဂန် (Jean-Robert Argand) သည် [[ကိန်းထွေး]] ပကတိတန်ဖိုးအတွက် ပြင်သစ်ဘာသာစကားဖြင့် အတိုင်းအတာယူနစ်ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော မော်ဂျူး (module) ဟူသည့် အသုံးအနှုန်းကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။<ref>Oxford English Dictionary (2008).</ref><ref>Nahin (1998); O'Connor & Robertson (2001); Littré (1877).</ref> ပကတိတန်ဖိုးဟူသော အသုံးအနှုန်းကို ဤအဓိပ္ပာယ်ဖြင့် အနည်းဆုံး ပြင်သစ်ဘာသာစကားတွင် 1806 ခုနှစ်မှစတင်၍လည်းကောင်း၊ အင်္ဂလိပ်ဘာသာစကားတွင် 1857 ခုနှစ်မှစတင်၍လည်းကောင်း အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။<ref>Carnot (1806), p. 105.</ref> ဒေါင်လိုက်မျဉ်းပါရှိသော <math>|x|</math> [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း|သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း]] (notation) ကို 1841 ခုနှစ်တွင် ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် က မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။<ref>Higham (1998), p. 25.</ref> ပကတိတန်ဖိုးအတွက် အခြားအမည်များတွင် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ တန်ဖိုး (numerical value) နှင့် ပမာဏ (magnitude) တို့ ပါဝင်သည်။<ref>Oxford English Dictionary (2008).</ref> ဒေါင်လိုက်မျဉ်း သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် အခြားသင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေအနေများတွင်လည်း ပါဝင်လာတတ်ပြီး [[အစု]] (set) တစ်ခုအပေါ် အသုံးချပါက ယင်းအစု၏ [[အစုအရွယ်အစား]] (cardinality) ကို ရည်ညွှန်းကာ [[ကိန်းအုံ]] (matrix) တစ်ခုအပေါ် အသုံးချပါက ၎င်း၏ အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး (determinant) ကို ရည်ညွှန်းသည်။<ref>Sargent (2025), p. 10.</ref> ဒေါင်လိုက်မျဉ်းများသည် ပကတိတန်ဖိုးဟူသော သဘောတရားကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည့် [[အက္ခရာသင်္ချာ|အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ]] အရာဝတ္ထုများ (algebraic objects) အတွက် အထူးသဖြင့် စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော အစား အက္ခရာသင်္ချာ (normed division algebra) ၏ [[အစုဝင်]] (element) တစ်ခုအတွက်သာလျှင် ပကတိတန်ဖိုးအဖြစ် ရည်ညွှန်းသည်။ အောက်ခြေအညွှန်းများပါရှိသော ဒေါင်လိုက်မျဉ်းနှစ်ထပ်များ ဖြစ်သည့် <math>\|\cdot\|_2</math> နှင့် <math>\|\cdot\|_\infty</math> တို့ကို <math>\mathbb{R}^n</math> အတွင်းရှိ [[ဗက်တာ]] (vector) တစ်ခု၏ ယူကလစ် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (Euclidean norm) သို့မဟုတ် စူပရီမမ် စံနှုန်း (supremum norm) အတွက် ယေဘုယျအားဖြင့် အသုံးပြုသည်။<ref>Spivak (1965), p. 1.</ref><ref>Munkres (1991), p. 4.</ref> == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်နှင့် ဂုဏ်သတ္တိများ (Definition and properties) == === ကိန်းစစ်များ (Real numbers) === မည်သည့်[[ကိန်းစစ်]] <math>x</math> အတွက်မဆို <math>x</math> ၏ ပကတိတန်ဖိုး သို့မဟုတ် မော်ဂျူးလပ်စ်ကို <math>|x|</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုပြီး အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>Mendelson (2008), p. 2.</ref> <math display=block>|x| = \begin{cases} x, & \text{if } x \geq 0 \\ -x, & \text{if } x < 0. \end{cases} </math> ထို့ကြောင့် <math>x</math> ၏ ပကတိတန်ဖိုးသည် အပေါင်းကိန်း သို့မဟုတ် သုညသာ အမြဲဖြစ်ပြီး မည်သည့်အခါမျှ [[အနုတ်ကိန်း]] မဖြစ်ပေ။ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ [[ဂျီဩမေတြီ]] (analytic geometry) ရှုထောင့်မှကြည့်လျှင် ကိန်းစစ်တစ်ခု၏ ပကတိတန်ဖိုးသည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (real number line) တစ်လျှောက် သုညမှ ယင်းကိန်း၏ အကွာအဝေးဖြစ်ပြီး ကိန်းစစ်နှစ်ခု၏ ခြားနားခြင်းရလဒ် (difference) ၏ ပကတိတန်ဖိုးသည် ၎င်းတို့နှစ်ခုကြားရှိ အကွာအဝေးဖြစ်သည်။<ref>Smith (2013), p. 8.</ref> နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) သင်္ကေတသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) အပေါင်း နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းကို ကိုယ်စားပြုသောကြောင့် ၎င်းကို အပေါင်းကိန်းတစ်ခုအပေါ် အသုံးချသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။<ref>Varberg, Purcell & Rigdon (2007), p. 13.</ref> <math display=block>|x| = \sqrt{x^2}.</math> ဤထပ်တူညီသော (equivalent) ဖွဲ့စည်းဖော်ပြမှုကို အခြားရွေးချယ်စရာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အဖြစ် အသုံးပြုနိုင်သည်။<ref>Stewart (2001), p. A5.</ref> ပကတိတန်ဖိုးတွင် အခြေခံဂုဏ်သတ္တိ (fundamental properties) လေးခုရှိသည်။ ဤနေရာတွင် <math display="inline">a</math> နှင့် <math display="inline">b</math> တို့မှာ ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။<ref>Shechter (1997), p. 259.</ref> {| style="margin-left:1.6em" |- | style="width: 250px" |<math>|a| \ge 0 </math> | အနုတ်ကိန်းမဟုတ်ခြင်း (non-negativity) |- |<math>|a| = 0 \iff a = 0 </math> | အပေါင်းကိန်းသေချာမှု (positive-definiteness) |- |<math>|ab| = \left|a\right| \left|b\right|</math> | [[မြှောက်ခြင်း|မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ]] ဂုဏ်သတ္တိ (multiplicativity) |- |<math>|a+b| \le |a| + |b| </math> | နိမ့်ကျစွာပေါင်းမှု (subadditivity)၊ အတိအကျအားဖြင့် တြိဂံ မညီမျှခြင်း (triangle inequality) |} အခြားအသုံးဝင်သော ဂုဏ်သတ္တိအချို့မှာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်၏ တိုက်ရိုက်ရလဒ်များ သို့မဟုတ် အထက်ပါ အခြေခံဂုဏ်သတ္တိ လေးခုမှ ဆင်းသက်လာခြင်းများ ဖြစ်သည်။ {| style="margin-left:1.6em" |- | style="width:250px" |<math>\bigl| \left|a\right| \bigr| = |a|</math> | ထပ်တူရပေးဂုဏ်သတ္တိ (idempotence) |- | style="width:250px" |<math>\left|-a\right| = |a|</math> | ဂရပ်၏ အချိုးညီရောင်ပြန်ဟပ်ခြင်း (reflection symmetry) |- |<math>|a - b| = 0 \iff a = b </math> | ခွဲခြားမရနိုင်မှုများ၏ ထပ်တူညီမှု (identity of indiscernibles)၊ ၎င်းသည် အပေါင်းကိန်းသေချာမှုနှင့် ထပ်တူညီသည်။ |- |<math>|a - b| \le |a - c| + |c - b| </math> | တြိဂံ မညီမျှခြင်း၊ ၎င်းသည် နိမ့်ကျစွာပေါင်းမှုနှင့် ထပ်တူညီသည်။ |- |<math>\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}\ </math>၊ <math>b \ne 0</math> ဖြစ်လျှင် | [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|စားခြင်းကို]] ထိန်းသိမ်းခြင်း (preservation of division) |- |<math>|a-b| \geq \bigl| \left|a\right| - \left|b\right| \bigr| </math> | ပြောင်းပြန် တြိဂံ မညီမျှခြင်း (reverse triangle inequality) |} မညီမျှခြင်းများ (inequalities) နှင့်ပတ်သက်သော အခြားအသုံးဝင်သည့် ဂုဏ်သတ္တိနှစ်ခုမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။<ref>Varberg, Purcell & Rigdon (2007), p. 11.</ref> {| style="margin-left:1.6em" |- |<math>|a| \le b \iff -b \le a \le b </math> |- |<math>|a| \ge b \iff a \le -b\ </math> သို့မဟုတ် <math>a \ge b </math> |} === ကိန်းထွေးများ (Complex numbers) === [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] သည် အစဉ်ကျသော (ordered) သဘာဝမရှိသောကြောင့် [[ကိန်းစစ်]] အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို တိုက်ရိုက်အသုံးချ၍မရပေ။ သို့သော်လည်း သုညမှ အကွာအဝေးအဖြစ် ပကတိတန်ဖိုး၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူမှု (geometric interpretation) ကို ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ပကတိတန်ဖိုးကို [[ကိန်းထွေးပြင်ညီ]] (complex plane) အတွင်းရှိ ၎င်းနှင့်သက်ဆိုင်သော အမှတ်မှ [[မူလနေရာ]] (origin) သို့ ယူကလစ် အကွာအဝေး (Euclidean distance) ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ မည်သည့် ကိန်းထွေး <math display=block>z = x + iy,</math> အတွက်မဆို <math>z</math> ၏ ပကတိတန်ဖိုး သို့မဟုတ် မော်ဂျူးလပ်စ်ကို <math>|z|</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုပြီး အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>González (1992), p. 19.</ref> <math display=block>|z| = \sqrt{\operatorname{Re}(z)^2 + \operatorname{Im}(z)^2}=\sqrt{x^2 + y^2}.</math> ကိန်းထွေး <math>z</math> တစ်ခုကို ၎င်း၏ ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံ (polar form) ဖြင့် <math>z = r e^{i \theta},</math> အဖြစ် ဖော်ပြသောအခါ ၎င်း၏ ပကတိတန်ဖိုးမှာ <math>|z| = r</math> ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ကိန်းထွေး <math>z</math> နှင့် ၎င်း၏ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် (complex conjugate) <math>\overline{z} = x - iy</math> တို့၏ မြှောက်လဒ် (product) သည် အမြဲတမ်း အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ် <math>\left(x^2 + y^2\right)</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>z</math> ၏ ပကတိတန်ဖိုးသည် <math>z \cdot \overline{z}</math> ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ယင်းကို ပကတိ နှစ်ထပ်ကိန်း (absolute square) ဟုခေါ်သည်။<ref>González (1992), p. 19.</ref> <math display=block>|z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}}.</math> ကိန်းထွေး ပကတိတန်ဖိုးသည် ကိန်းစစ် ပကတိတန်ဖိုးအတွက် အထက်တွင်ဖော်ပြထားသော အခြေခံဂုဏ်သတ္တိ လေးခုနှင့် တူညီသည်။ <math>|z|^n = |z^n|</math> ဟူသော ထပ်တူညီမှု (identity) သည် [[မြှောက်ခြင်း|မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ]] ဂုဏ်သတ္တိ၏ အထူးအခြေအနေတစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းကိုယ်တိုင် မကြာခဏ အသုံးဝင်သည်။<ref>González (1992), p. 19.</ref> == ပကတိတန်ဖိုး ဖန်ရှင် (Absolute value function) == [[ကိန်းစစ်]] ပကတိတန်ဖိုး [[ဖန်ရှင်]] (absolute value function) သည် နေရာတိုင်းတွင် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော]] (continuous) ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>x = 0</math> မှလွဲ၍ နေရာတိုင်းတွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော]] (differentiable) ဖန်ရှင်အဖြစ် တွေ့ရသည်။ ၎င်းသည် <math>(-\infty, 0]</math> အပိုင်းအခြား (interval) တွင် အစဉ်လိုက် လျော့သော (monotonically decreasing) ဖန်ရှင်ဖြစ်ပြီး <math>[0, +\infty)</math> အပိုင်းအခြားတွင် အစဉ်လိုက် တိုးသော (monotonically increasing) ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။<ref>Varberg, Purcell & Rigdon (2007), p. 84.</ref> ၎င်းသည် [[စုံကိန်းဖန်ရှင်နှင့် မကိန်းဖန်ရှင်|စုံကိန်းဖန်ရှင်]] (even function) တစ်ခုဖြစ်ပြီး အပိုင်းလိုက် (piecewise) မျဉ်းဖြောင့် (linear) ဖြစ်သော ခုံးသော ဖန်ရှင် (convex function) တစ်ခုဖြစ်သည်။<ref>Varberg, Purcell & Rigdon (2007), p. 32.</ref> ကိန်းစစ်နှင့် [[ကိန်းထွေး]] နှစ်မျိုးစလုံးအတွက် ပကတိတန်ဖိုး ဖန်ရှင်သည် ထပ်တူရပေးဂုဏ်သတ္တိရှိသည်။ === လက္ခဏာ၊ အကြီးဆုံးတန်ဖိုးနှင့် အငယ်ဆုံးတန်ဖိုး ဖန်ရှင်များဖြင့် ဆက်စပ်မှုများ (Relationships to sign, max, and min functions) === ပကတိတန်ဖိုး [[ဖန်ရှင်]] သည် လက္ခဏာကိုထည့်သွင်းစဉ်းစားခြင်းမရှိဘဲ တန်ဖိုးတစ်ခုကို ပြန်လည်ပေးပို့ပြီး လက္ခဏာ သို့မဟုတ် signum ဖန်ရှင် (sign function) မှာမူ တန်ဖိုးကိုထည့်သွင်းစဉ်းစားခြင်းမရှိဘဲ ကိန်းတစ်ခု၏ လက္ခဏာကို ပြန်လည်ပေးပို့သည်။ ၎င်းတို့၏ ဆက်စပ်မှုမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>|x| = x \sgn(x),</math> ထို့အပြင် <math>x \ne 0</math> အတွက် :<math>\sgn(x) = \frac{|x|}{x} = \frac{x}{|x|}.</math> <math>s,t\in\mathbb{R}</math> အတွက် ပကတိတန်ဖိုးသည် အငယ်ဆုံးတန်ဖိုး (minimum) နှင့် အကြီးဆုံးတန်ဖိုး (maximum) ဖန်ရှင်များနှင့် အောက်ပါအတိုင်း ဆက်စပ်နေသည်။ :<math>|t-s|= -2 \min(s,t)+s+t</math> :<math>|t-s|=2 \max(s,t)-s-t.</math> ဤသည်မှတစ်ဆင့် <math>|t|= \max(t,-t)</math> ကို ဆင်းသက်ရယူနိုင်သည်။ === ဆင်းသက်ချက်နှင့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် (Derivative and Antiderivative) === [[ကိန်းစစ်]] ပကတိတန်ဖိုး ဖန်ရှင်တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရနိုင်သော <math>x = 0</math> မှလွဲ၍ မည်သည့် <math>x \ne 0</math> အတွက်မဆို [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) ရှိပြီး ၎င်းကို လက္ခဏာဖန်ရှင်နှင့် ညီမျှသော အဆင့် ဖန်ရှင် (step function) ဖြင့် ပေးထားသည်။<ref>Weisstein (2023).</ref><ref>Bartle & Sherbert (2011), p. 163.</ref> <math display="block"> \frac{d\left|x\right|}{dx} = \frac{x}{|x|} = \begin{cases} -1 & x<0 \\ 1 & x>0 \end{cases} = \sgn(x) \quad \text{for } x \ne 0. </math> <math>x = 0</math> ရှိ <math>|x|</math> ၏ ဆပ်ဆင်းသက်ချက် (subdifferential) သည် <math>[-1, 1]</math> အပိုင်းအခြားဖြစ်သည်။<ref>Curnier (1999), pp. 31–32.</ref> [[ကိန်းထွေး]] ပကတိတန်ဖိုး ဖန်ရှင်သည် နေရာတိုင်းတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော်လည်း မည်သည့်နေရာတွင်မျှ ကိန်းထွေး ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရနိုင်ပေ။ <math>z \ne 0</math> အတွက် ၎င်းသည် ကော်ချီ-ရီးမန်း ညီမျှခြင်းများ (Cauchy-Riemann equations) ကို ဖောက်ဖျက်သည်။<ref>Weisstein (2023).</ref> ကိန်းစစ် ပကတိတန်ဖိုး ဖန်ရှင်၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် (antiderivative) မှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\int \left|x\right| dx = \frac{x\left|x\right|}{2} + C,</math> ထိုနေရာတွင် <math>C</math> သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း ကိန်းသေ (constant of integration) ဖြစ်သည်။ ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (chain rule) ကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် ပကတိတန်ဖိုးနှင့် ပေါင်းစပ်ထားသော ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်သည့် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ ဆင်းသက်ချက်မှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ <math>{d \over dx} |f(x)|=\sgn(f(x)) f'(x)\quad \text{for } f(x) \ne 0\,.</math> ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်းနှင့် မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်း (product rule) များကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]]ဖြစ်သော <math>n</math> နှင့် <math>m</math> တို့အတွက် <math>x^n |x|^m</math> အမျိုးအစား ဖော်ပြချက်များ၏ ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်း (power rule) မှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ <math>{d \over dx} x^n |x|^m = (n+m)x^{n-1}|x|^m\quad \text{for } x \ne 0\,.</math> == အကွာအဝေး (Distance) == [[ကိန်းစစ်]] သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး]] နှစ်ခု၏ ခြားနားခြင်းရလဒ်၏ ပကတိတန်ဖိုးသည် ၎င်းတို့ကြားရှိ အကွာအဝေးဖြစ်သည်။ ယူကလစ် <math>n</math>-ရပ်ဝန်းရှိ အမှတ်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>a = (a_1, \dots, a_n)</math> နှင့် <math>b = (b_1, \dots, b_n)</math> ကြားရှိ စံ ယူကလစ် အကွာအဝေးကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>Tabak (2014), p. 150.</ref> <math display="block">\sqrt{\textstyle\sum_{i=1}^n(a_i-b_i)^2}. </math> ဤယူကလစ် အကွာအဝေးသည် အတိုင်းအတာ 1 ခုရှိသော ကိန်းစစ်နှင့် အတိုင်းအတာ 2 ခုရှိသော ကိန်းထွေး ရပ်ဝန်းများအတွက် ပကတိတန်ဖိုး အကွာအဝေး၏ တိုက်ရိုက် ယေဘုယျပြုထားခြင်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ ပကတိတန်ဖိုး၏ ဂုဏ်သတ္တိများသည် [[အစု]] <math>X \times X</math> အပေါ်ရှိ [[နဂိုမှန်အဆို]] (axioms) လေးခုနှင့် ပြည့်စုံသော မက်ထရစ် (metric) သို့မဟုတ် အကွာအဝေး [[ဖန်ရှင်]] (distance function) <math>d</math> ၏ ယေဘုယျသဘောတရားကို လှုံ့ဆော်ပေးသည်။ :{| |- |style="width:250px" | <math>d(a, b) \ge 0 </math> | အနုတ်ကိန်းမဟုတ်ခြင်း |- |<math>d(a, b) = 0 \iff a = b </math> | ခွဲခြားမရနိုင်မှုများ၏ ထပ်တူညီမှု |- |<math>d(a, b) = d(b, a) </math> | အချိုးညီမှု (symmetry) |- |<math>d(a, b) \le d(a, c) + d(c, b) </math> | တြိဂံ မညီမျှခြင်း |} == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations) == === အစဉ်ကျသော ကွင်းများ (Ordered rings) === အထက်တွင် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] အတွက် ပေးထားသော ပကတိတန်ဖိုး အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို မည်သည့် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသော [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (totally ordered ring) <math>R</math> သို့မဆို တိုးချဲ့နိုင်သည်။ <math>a</math> သည် <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်]] တစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်း၏ ပကတိတန်ဖိုးမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ <math display="block">|a| = \left\{ \begin{array}{rl} a, & \text{if } a \geq 0 \\ -a, & \text{if } a < 0. \end{array}\right. </math> ထိုနေရာတွင် <math>-a</math> သည် <math>a</math> ၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် (additive inverse) ဖြစ်ပြီး <math>0</math> သည် အပေါင်းဆိုင်ရာ [[ထပ်တူရအစုဝင်|ထပ်တူရ]] (additive identity) ဖြစ်ကာ <math><</math> နှင့် <math>\geq</math> တို့သည် ကွင်းအတွင်းရှိ အစဉ်ကျခြင်းနှင့် သက်ဆိုင်သည်။<ref>Mac Lane & Birkhoff (1999), p. 264.</ref> === ဖီးလ်ဒ်များ (Fields) === [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ [[ကိန်းစစ်]] တန်ဖိုးရှိ [[ဖန်ရှင်]] (real-valued function) <math>v</math> တစ်ခုသည် [[နဂိုမှန်အဆို]] လေးခုနှင့် ပြည့်စုံပါက ၎င်းကို ပကတိတန်ဖိုး သို့မဟုတ် မော်ဂျူးလပ်စ်၊ ပမာဏ၊ တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း (valuation) ဟုခေါ်သည်။<ref>Shechter (1997), p. 260.</ref> :{| cellpadding=10 |- |<math>v(a) \ge 0 </math> | အနုတ်ကိန်းမဟုတ်ခြင်း |- |<math>v(a) = 0 \iff a = \mathbf{0} </math> | အပေါင်းကိန်းသေချာမှု |- |<math>v(ab) = v(a) v(b) </math> | [[မြှောက်ခြင်း|မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ]] ဂုဏ်သတ္တိ |- |<math>v(a+b) \le v(a) + v(b) </math> | နိမ့်ကျစွာပေါင်းမှု / တြိဂံ မညီမျှခြင်း |} ထိုနေရာတွင် <math>\mathbf{0}</math> သည် <math>F</math> ၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရကို ရည်ညွှန်းသည်။ အထက်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သော ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းထွေး ပကတိတန်ဖိုးများသည် ဥပမာများဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>v</math> သည် <math>F</math> ပေါ်ရှိ ပကတိတန်ဖိုးတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>d(a, b) = v(a - b)</math> ဖန်ရှင်သည် အကွာအဝေး ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ပြီး အောက်ပါအခြေအနေများသည် ထပ်တူညီကြသည်။ * <math>d</math> သည် မည်သည့် <math>x, y, z \in F</math> အတွက်မဆို လွန်ကဲအကွာအဝေး မညီမျှခြင်း (ultrametric inequality) <math>d(x, y) \leq \max(d(x,z),d(y,z))</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ * <math> \left\{ v\left( \sum_{k=1}^n \mathbf{1}\right) : n \in \mathbb{N} \right\} </math> သည် <math>\mathbb{R}</math> တွင် အကန့်အသတ်ရှိသည် (bounded)။ * မည်သည့် <math>n \in \mathbb{N}</math> အတွက်မဆို <math> v\left({\textstyle \sum_{k=1}^n } \mathbf{1}\right) \le 1\ </math> ဖြစ်သည်။ * မည်သည့် <math>a \in F</math> အတွက်မဆို <math> v(a) \le 1 \Rightarrow v(\mathbf{1}+a) \le 1\ </math> ဖြစ်သည်။ * မည်သည့် <math>a, b \in F</math> အတွက်မဆို <math> v(a + b) \le \max \{v(a), v(b)\}\ </math> ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေများနှင့် ပြည့်စုံသော ပကတိတန်ဖိုးကို [[အာခီမီးဒီးစ် ဂုဏ်သတ္တိ|အာခီမီးဒီးစ် မဟုတ်]] (non-Archimedean) ဟုဆိုပြီး ထိုသို့မဟုတ်ပါက ၎င်းသည် [[အာခီမီးဒီးစ်_ဂုဏ်သတ္တိ|အာခီမီးဒီးစ်]] (Archimedean) ဖြစ်သည်။<ref>Shechter (1997), pp. 260–261.</ref> === ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces) === ပကတိတန်ဖိုး <math>|\cdot|</math> ပါရှိသည့် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> တစ်ခုအပေါ်အခြေခံသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] <math>V</math> ပေါ်ရှိ <math>\|\cdot\|</math> အဖြစ် ဖော်ပြထားသော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ [[ဖန်ရှင်]] တစ်ခုကို အောက်ပါတို့နှင့် ပြည့်စုံပါက ပကတိတန်ဖိုး သို့မဟုတ် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] အဖြစ် ခေါ်ဆိုသည်။ {| cellpadding=10 style="margin-left: 10px" |- |<math>\|\mathbf{v}\| \ge 0 </math> | အနုတ်ကိန်းမဟုတ်ခြင်း |- |<math>\|\mathbf{v}\| = 0 \iff \mathbf{v} = \mathbf{0}</math> | အပေါင်းကိန်းသေချာမှု |- |<math>\|a \mathbf{v}\| = \left|a\right| \left\|\mathbf{v}\right\| </math> | တစ်ပြေးညီ ပကတိကိန်းဖြစ်မှု (absolute homogeneity) / အပေါင်း အရွယ်ပြောင်းခြင်း (positive scalability) |- |<math>\|\mathbf{v} + \mathbf{u}\| \le \|\mathbf{v}\| + \|\mathbf{u}\| </math> | နိမ့်ကျစွာပေါင်းမှု / တြိဂံ မညီမျှခြင်း |} <math>\mathbb{R}</math> ကို အတိုင်းအတာ 1 ခုရှိသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] <math>\mathbb{R}^1</math> အဖြစ် စဉ်းစားသောအခါ <math>\mathbb{R}^1</math> ပေါ်ရှိ မည်သည့်စံနှုန်း <math>\|\cdot\|</math> အတွက်မဆို <math>\|x\| = \|1\| \cdot |x|</math> ဖြစ်သဖြင့် ပကတိတန်ဖိုးသည် အပေါင်းကိန်းသေမြှောက်ဖော်ကိန်းအထိသာ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] ဖြစ်ပြီး <math>\|1\| = 1</math> ဟု သတ်မှတ်ပါက ပကတိတန်ဖိုးသည် တစ်ခုတည်းသော စံနှုန်း ဖြစ်လာသည်။ === ပေါင်းစပ်ခြင်း အက္ခရာသင်္ချာများ (Composition algebras) === မည်သည့် ပေါင်းစပ်ခြင်း [[အက္ခရာသင်္ချာ]] (composition algebra) <math>A</math> တွင်မဆို ၎င်း၏ ကွန်ဂျူဂိတ် (conjugation) ဟုခေါ်သော [[အင်ဗော်လူးရှင်း]] (involution) <math>x \to x^*</math> တစ်ခု ရှိသည်။ <math>A</math> အတွင်းရှိ [[အစုဝင်]] <math>x</math> နှင့် ၎င်း၏ ကွန်ဂျူဂိတ် <math>x^*</math> တို့၏ မြှောက်လဒ်ကို <math>N(x) = x x^*</math> ဟု ရေးသားပြီး <math>x</math> ၏ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] ဟု ခေါ်သည်။ [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] <math>\mathbb{R}</math>၊ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] <math>\mathbb{C}</math> နှင့် ကွာတာနီယွန်များ <math>\mathbb{H}</math> တို့သည် သေချာသော နှစ်ထပ်ကိန်း ပုံစံများ (definite quadratic forms) ဖြင့် ပေးထားသည့် စံနှုန်းများပါရှိသော ပေါင်းစပ်ခြင်း [[အက္ခရာသင်္ချာ|အက္ခရာသင်္ချာများ]] ဖြစ်ကြသည်။ ဤအစား အက္ခရာသင်္ချာများ (division algebras) ရှိ ပကတိတန်ဖိုးကို ပေါင်းစပ်ခြင်း အက္ခရာသင်္ချာ စံနှုန်း၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းဖြင့် ပေးထားသည်။ အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခုတွင် သုညမဟုတ်သော စံနှုန်းရှိသောအခါ <math>x</math> တွင် <math>x^*/N(x)</math> ဖြင့် ပေးထားသည့် [[မြှောက်ခြင်း|မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ]] ပြောင်းပြန် (multiplicative inverse) တစ်ခု ရှိသည်။ == ကိုးကား == {{Reflist|2}} * {{Citation |last=Baronti |first=Marco |last2=De Mari |first2=Filippo |last3=van der Putten |first3=Robertus |last4=Venturi |first4=Irene |title=Calculus Problems |publication-place=Cham, Switzerland |publisher=Springer |date=2016 |isbn=978-3-319-15428-2 |doi=10.1007/978-3-319-15428-2 |mr=3525203 |zbl=1351.00001}} * {{Citation |last1=Bartle |first1=Robert G. |last2=Sherbert |first2=Donald R. |title=Introduction to Real Analysis |edition=4th |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons |date=2011 |isbn=978-0-471-43331-6}} * {{Citation |last=Bluttman |first=Ken |title=Excel Formulas and Functions For Dummies |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons |date=2015 |isbn=978-1-119-07678-0}} * {{Citation |last=Carnot |first=Lazare Nicolas Marguerite |title=Mémoire sur la relation qui existe entre les distances respectives de cinq points quelconques pris dans l'espace |publication-place=Paris |publisher=Courcier |date=1806}} * {{Citation |last=Curnier |first=A. |title=New Developments in Contact Problems |editor-last1=Wriggers |editor-first1=Peter |editor-last2=Panagiotopoulos |editor-first2=Panagiotis |publication-place=Vienna |publisher=Springer |date=1999 |isbn=978-3-211-83154-0 |doi=10.1007/978-3-7091-6419-8}} * {{Citation |last=González |first=Mario O. |title=Classical Complex Analysis |publication-place=New York |publisher=CRC Press |date=1992 |isbn=978-0-8247-8415-7 |mr=1152326 |zbl=0775.30001}} * {{Citation |last=Higham |first=Nicholas J. |title=Handbook of Writing for the Mathematical Sciences |edition=2nd |publication-place=Philadelphia |publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics |date=1998 |isbn=978-0-89871-420-3}} * {{Citation |last=Knuth |first=Donald E. |title=Proceedings of the 1962 ACM National Conference |contribution=Invited papers: History of writing compilers |publication-place=New York |publisher=ACM Press |date=1962 |doi=10.1145/800198.806098}} * {{Citation |last=Littré |first=Émile |title=Dictionnaire de la langue française |publication-place=Paris |publisher=Hachette |date=1877}} * {{Citation |last1=Mac Lane |first1=Saunders |last2=Birkhoff |first2=Garrett |title=Algebra |edition=3rd |publication-place=Providence, RI |publisher=American Mathematical Society |date=1999 |isbn=978-0-8218-1646-2 |mr=1680053 |zbl=0932.00001}} * {{Citation |last=Mendelson |first=Elliott |title=Schaum's Outline of Beginning Calculus |edition=3rd |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill Professional |date=2008 |isbn=978-0-07-148754-2}} * {{Citation |last=Munkres |first=James |title=Analysis on Manifolds |publication-place=Boulder, CO |publisher=Westview Press |date=1991 |isbn=978-0-201-51035-5 |mr=1079015 |zbl=0725.26012}} * {{Citation |last=Nahin |first=Paul J. |title=An Imaginary Tale: The Story of \sqrt{-1} |publication-place=Princeton, NJ |publisher=Princeton University Press |date=1998 |isbn=978-0-691-02795-1 |mr=1633979}} * {{Citation |last1=O'Connor |first1=J. J. |last2=Robertson |first2=E. F. |title=Jean Robert Argand |publisher=School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews |publication-place=Scotland |date=2001}} * {{Citation |author=Oxford English Dictionary |title=Draft Revision |publisher=Oxford University Press |date=June 2008}} * {{Citation |last=Sargent |first=Murray III |title=A Nearly Plain-Text Encoding of Mathematics |type=Unicode report 28 |date=January 22, 2025 |url=https://www.unicode.org/notes/tn28/UTN28-PlainTextMath-v3.3.pdf}} * {{Citation |last=Shechter |first=Eric |title=Handbook of Analysis and Its Foundations |publication-place=San Diego, CA |publisher=Academic Press |date=1997 |isbn=978-0-12-622760-4 |mr=1417259 |zbl=0863.00001}} * {{Citation |last=Siegel |first=Carl Ludwig |title=Note on automorphic functions of several variables |journal=Annals of Mathematics |series=Second Series |volume=43 |issue=4 |date=1942 |doi=10.2307/1968953 |mr=0008095 |zbl=0063.02983}} * {{Citation |last=Smith |first=Karl |title=Precalculus: A Functional Approach to Graphing and Problem Solving |edition=6th |publication-place=Burlington, MA |publisher=Jones & Bartlett Publishers |date=2013 |isbn=978-0-7637-5177-7}} * {{Citation |last=Spivak |first=Michael |title=Calculus on Manifolds |publication-place=Boulder, CO |publisher=Westview Press |date=1965 |isbn=978-0-8053-9021-6 |mr=0204620 |zbl=0141.05405}} * {{Citation |last=Stewart |first=James B. |title=Calculus: Concepts and Contexts |edition=2nd |publication-place=Pacific Grove, CA |publisher=Brooks/Cole |date=2001 |isbn=978-0-534-37718-2}} * {{Citation |last=Tabak |first=John |title=Geometry: The Language of Space and Form |series=Facts on File Math Library |publication-place=New York |publisher=Infobase Publishing |date=2014 |isbn=978-0-8160-6876-0}} * {{Citation |last1=Varberg |first1=Dale E. |last2=Purcell |first2=Edwin J. |last3=Rigdon |first3=Steven E. |title=Calculus |edition=9th |publication-place=Upper Saddle River, NJ |publisher=Pearson Prentice Hall |date=2007 |isbn=978-0-13-146968-6}} * {{Citation |last=Weisstein |first=Eric W. |title=Absolute Value |url=http://mathworld.wolfram.com/AbsoluteValue.html |publisher=Wolfram Web Resource |date=2023}} [[ကဏ္ဍ:အထူး ဖန်ရှင်များ]] qjunmic0z10p6srhuljrt5vyiue3ws7 1060799 1060796 2026-10-30T22:59:44Z Mkant00 135890 1060799 wikitext text/x-wiki [[File:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|220px|ကိန်းထွေး (complex number) <math>z</math> ၏ ပကတိတန်ဖိုး (absolute value) သည် မူလနေရာ (origin) မှ <math>z</math> အထိ အကွာအဝေး (distance) <math>r</math> ဖြစ်သည်။ <math>z</math> နှင့် ယင်း၏ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် (complex conjugate) <math>\bar z</math> တို့သည် တူညီသော ပကတိတန်ဖိုး ရှိကြကြောင်းကိုလည်း ပုံတွင် တွေ့မြင်နိုင်သည်။]] [[File:Absolute value.svg|right|thumb|220px|ကိန်းစစ် (real number) များအတွက် ပကတိတန်ဖိုး ဖန်ရှင် (absolute value function) ၏ ဂရပ် (graph) ဖြစ်သည်။]] [[သင်္ချာ|သင်္ချာတွင်]] <math>x</math> ဟုခေါ်သော [[ကိန်းစစ်]] (real number) တစ်ခု၏ ပကတိတန်ဖိုး (absolute value) သို့မဟုတ် မော်ဂျူးလပ်စ် (modulus) ကို <math>|x|</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းသည် လက္ခဏာကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားခြင်းမရှိဘဲ တိုင်းတာထားသော <math>x</math> ၏ အနုတ်ကိန်းမဟုတ်သည့် ပမာဏ (magnitude) ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>x</math> သည် အပေါင်းကိန်း (positive number) ဖြစ်လျှင် <math>|x|=x</math> ဖြစ်ပြီး <math>x</math> သည် [[အနုတ်ကိန်း]] (negative number) ဖြစ်လျှင် <math>|x|=-x</math> ဖြစ်ကာ ဤအခြေအနေတွင် <math>-x</math> သည် အပေါင်းကိန်းဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် <math>|0|=0</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>3</math> ၏ ပကတိတန်ဖိုးမှာ <math>3</math> ဖြစ်ပြီး <math>-3</math> ၏ ပကတိတန်ဖိုးမှာလည်း <math>3</math> ပင်ဖြစ်သည်။ [[ကိန်း]] တစ်ခု၏ ပကတိတန်ဖိုးကို သုညမှ ယင်းကိန်း၏ အကွာအဝေး (distance) အဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ ကိန်းစစ်များအတွက် ပကတိတန်ဖိုးကို ယေဘုယျပြုထားခြင်း (generalization) များသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေအနေအမျိုးမျိုးတွင် ဖြစ်ပေါ်လေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers)၊ ကွာတာနီယွန်များ (quaternions)၊ အစဉ်ကျသော [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (ordered rings)၊ [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]] (fields) နှင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces) အတွက်လည်း ပကတိတန်ဖိုးကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ သင်္ချာ နှင့် ရူပဗေဒဆိုင်ရာ အခြေအနေအမျိုးမျိုးတွင် ပကတိတန်ဖိုးသည် ပမာဏ၊ အကွာအဝေးနှင့် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) ဟူသော သဘောတရားများနှင့် နီးကပ်စွာ ဆက်စပ်နေသည်။ == ဝေါဟာရအသုံးအနှုန်းနှင့် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (Terminology and notation) == 1806 ခုနှစ်တွင် ရောန်-ရောဘတ် အာဂန် (Jean-Robert Argand) သည် [[ကိန်းထွေး]] ပကတိတန်ဖိုးအတွက် ပြင်သစ်ဘာသာစကားဖြင့် အတိုင်းအတာယူနစ်ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော မော်ဂျူး (module) ဟူသည့် အသုံးအနှုန်းကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။<ref>Oxford English Dictionary (2008).</ref><ref>Nahin (1998); O'Connor & Robertson (2001); Littré (1877).</ref> ပကတိတန်ဖိုးဟူသော အသုံးအနှုန်းကို ဤအဓိပ္ပာယ်ဖြင့် အနည်းဆုံး ပြင်သစ်ဘာသာစကားတွင် 1806 ခုနှစ်မှစတင်၍လည်းကောင်း၊ အင်္ဂလိပ်ဘာသာစကားတွင် 1857 ခုနှစ်မှစတင်၍လည်းကောင်း အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။<ref>Carnot (1806), p. 105.</ref> ဒေါင်လိုက်မျဉ်းပါရှိသော <math>|x|</math> [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း|သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း]] (notation) ကို 1841 ခုနှစ်တွင် ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် က မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။<ref>Higham (1998), p. 25.</ref> ပကတိတန်ဖိုးအတွက် အခြားအမည်များတွင် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ တန်ဖိုး (numerical value) နှင့် ပမာဏ (magnitude) တို့ ပါဝင်သည်။<ref>Oxford English Dictionary (2008).</ref> ဒေါင်လိုက်မျဉ်း သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် အခြားသင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေအနေများတွင်လည်း ပါဝင်လာတတ်ပြီး [[အစု]] (set) တစ်ခုအပေါ် အသုံးချပါက ယင်းအစု၏ [[အစုအရွယ်အစား]] (cardinality) ကို ရည်ညွှန်းကာ [[ကိန်းအုံ]] (matrix) တစ်ခုအပေါ် အသုံးချပါက ၎င်း၏ အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး (determinant) ကို ရည်ညွှန်းသည်။<ref>Sargent (2025), p. 10.</ref> ဒေါင်လိုက်မျဉ်းများသည် ပကတိတန်ဖိုးဟူသော သဘောတရားကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည့် [[အက္ခရာသင်္ချာ|အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ]] အရာဝတ္ထုများ (algebraic objects) အတွက် အထူးသဖြင့် စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော အစား အက္ခရာသင်္ချာ (normed division algebra) ၏ [[အစုဝင်]] (element) တစ်ခုအတွက်သာလျှင် ပကတိတန်ဖိုးအဖြစ် ရည်ညွှန်းသည်။ အောက်ခြေအညွှန်းများပါရှိသော ဒေါင်လိုက်မျဉ်းနှစ်ထပ်များ ဖြစ်သည့် <math>\|\cdot\|_2</math> နှင့် <math>\|\cdot\|_\infty</math> တို့ကို <math>\mathbb{R}^n</math> အတွင်းရှိ [[ဗက်တာ]] (vector) တစ်ခု၏ ယူကလစ် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (Euclidean norm) သို့မဟုတ် စူပရီမမ် စံနှုန်း (supremum norm) အတွက် ယေဘုယျအားဖြင့် အသုံးပြုသည်။<ref>Spivak (1965), p. 1.</ref><ref>Munkres (1991), p. 4.</ref> == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်နှင့် ဂုဏ်သတ္တိများ (Definition and properties) == === ကိန်းစစ်များ (Real numbers) === မည်သည့်[[ကိန်းစစ်]] <math>x</math> အတွက်မဆို <math>x</math> ၏ ပကတိတန်ဖိုး သို့မဟုတ် မော်ဂျူးလပ်စ်ကို <math>|x|</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုပြီး အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>Mendelson (2008), p. 2.</ref> <math display=block>|x| = \begin{cases} x, & \text{if } x \geq 0 \\ -x, & \text{if } x < 0. \end{cases} </math> ထို့ကြောင့် <math>x</math> ၏ ပကတိတန်ဖိုးသည် အပေါင်းကိန်း သို့မဟုတ် သုညသာ အမြဲဖြစ်ပြီး မည်သည့်အခါမျှ [[အနုတ်ကိန်း]] မဖြစ်ပေ။ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ [[ဂျီဩမေတြီ]] (analytic geometry) ရှုထောင့်မှကြည့်လျှင် ကိန်းစစ်တစ်ခု၏ ပကတိတန်ဖိုးသည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (real number line) တစ်လျှောက် သုညမှ ယင်းကိန်း၏ အကွာအဝေးဖြစ်ပြီး ကိန်းစစ်နှစ်ခု၏ ခြားနားခြင်းရလဒ် (difference) ၏ ပကတိတန်ဖိုးသည် ၎င်းတို့နှစ်ခုကြားရှိ အကွာအဝေးဖြစ်သည်။<ref>Smith (2013), p. 8.</ref> နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) သင်္ကေတသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) အပေါင်း နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းကို ကိုယ်စားပြုသောကြောင့် ၎င်းကို အပေါင်းကိန်းတစ်ခုအပေါ် အသုံးချသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။<ref>Varberg, Purcell & Rigdon (2007), p. 13.</ref> <math display=block>|x| = \sqrt{x^2}.</math> ဤထပ်တူညီသော (equivalent) ဖွဲ့စည်းဖော်ပြမှုကို အခြားရွေးချယ်စရာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အဖြစ် အသုံးပြုနိုင်သည်။<ref>Stewart (2001), p. A5.</ref> ပကတိတန်ဖိုးတွင် အခြေခံဂုဏ်သတ္တိ (fundamental properties) လေးခုရှိသည်။ ဤနေရာတွင် <math display="inline">a</math> နှင့် <math display="inline">b</math> တို့မှာ ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။<ref>Shechter (1997), p. 259.</ref> {| style="margin-left:1.6em" |- | style="width: 250px" |<math>|a| \ge 0 </math> | အနုတ်ကိန်းမဟုတ်ခြင်း (non-negativity) |- |<math>|a| = 0 \iff a = 0 </math> | အပေါင်းကိန်းသေချာမှု (positive-definiteness) |- |<math>|ab| = \left|a\right| \left|b\right|</math> | [[မြှောက်ခြင်း|မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ]] ဂုဏ်သတ္တိ (multiplicativity) |- |<math>|a+b| \le |a| + |b| </math> | နိမ့်ကျစွာပေါင်းမှု (subadditivity)၊ အတိအကျအားဖြင့် တြိဂံ မညီမျှခြင်း (triangle inequality) |} အခြားအသုံးဝင်သော ဂုဏ်သတ္တိအချို့မှာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်၏ တိုက်ရိုက်ရလဒ်များ သို့မဟုတ် အထက်ပါ အခြေခံဂုဏ်သတ္တိ လေးခုမှ ဆင်းသက်လာခြင်းများ ဖြစ်သည်။ {| style="margin-left:1.6em" |- | style="width:250px" |<math>\bigl| \left|a\right| \bigr| = |a|</math> | ထပ်တူရပေးဂုဏ်သတ္တိ (idempotence) |- | style="width:250px" |<math>\left|-a\right| = |a|</math> | ဂရပ်၏ အချိုးညီရောင်ပြန်ဟပ်ခြင်း (reflection symmetry) |- |<math>|a - b| = 0 \iff a = b </math> | ခွဲခြားမရနိုင်မှုများ၏ ထပ်တူညီမှု (identity of indiscernibles)၊ ၎င်းသည် အပေါင်းကိန်းသေချာမှုနှင့် ထပ်တူညီသည်။ |- |<math>|a - b| \le |a - c| + |c - b| </math> | တြိဂံ မညီမျှခြင်း၊ ၎င်းသည် နိမ့်ကျစွာပေါင်းမှုနှင့် ထပ်တူညီသည်။ |- |<math>\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}\ </math>၊ <math>b \ne 0</math> ဖြစ်လျှင် | [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|စားခြင်းကို]] ထိန်းသိမ်းခြင်း (preservation of division) |- |<math>|a-b| \geq \bigl| \left|a\right| - \left|b\right| \bigr| </math> | ပြောင်းပြန် တြိဂံ မညီမျှခြင်း (reverse triangle inequality) |} မညီမျှခြင်းများ (inequalities) နှင့်ပတ်သက်သော အခြားအသုံးဝင်သည့် ဂုဏ်သတ္တိနှစ်ခုမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။<ref>Varberg, Purcell & Rigdon (2007), p. 11.</ref> {| style="margin-left:1.6em" |- |<math>|a| \le b \iff -b \le a \le b </math> |- |<math>|a| \ge b \iff a \le -b\ </math> သို့မဟုတ် <math>a \ge b </math> |} === ကိန်းထွေးများ (Complex numbers) === [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] သည် အစဉ်ကျသော (ordered) သဘာဝမရှိသောကြောင့် [[ကိန်းစစ်]] အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို တိုက်ရိုက်အသုံးချ၍မရပေ။ သို့သော်လည်း သုညမှ အကွာအဝေးအဖြစ် ပကတိတန်ဖိုး၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူမှု (geometric interpretation) ကို ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ပကတိတန်ဖိုးကို [[ကိန်းထွေးပြင်ညီ]] (complex plane) အတွင်းရှိ ၎င်းနှင့်သက်ဆိုင်သော အမှတ်မှ [[မူလနေရာ]] (origin) သို့ ယူကလစ် အကွာအဝေး (Euclidean distance) ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ မည်သည့် ကိန်းထွေး <math display=block>z = x + iy,</math> အတွက်မဆို <math>z</math> ၏ ပကတိတန်ဖိုး သို့မဟုတ် မော်ဂျူးလပ်စ်ကို <math>|z|</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုပြီး အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>González (1992), p. 19.</ref> <math display=block>|z| = \sqrt{\operatorname{Re}(z)^2 + \operatorname{Im}(z)^2}=\sqrt{x^2 + y^2}.</math> ကိန်းထွေး <math>z</math> တစ်ခုကို ၎င်း၏ ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံ (polar form) ဖြင့် <math>z = r e^{i \theta},</math> အဖြစ် ဖော်ပြသောအခါ ၎င်း၏ ပကတိတန်ဖိုးမှာ <math>|z| = r</math> ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ကိန်းထွေး <math>z</math> နှင့် ၎င်း၏ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် (complex conjugate) <math>\overline{z} = x - iy</math> တို့၏ မြှောက်လဒ် (product) သည် အမြဲတမ်း အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ် <math>\left(x^2 + y^2\right)</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>z</math> ၏ ပကတိတန်ဖိုးသည် <math>z \cdot \overline{z}</math> ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ယင်းကို ပကတိ နှစ်ထပ်ကိန်း (absolute square) ဟုခေါ်သည်။<ref>González (1992), p. 19.</ref> <math display=block>|z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}}.</math> ကိန်းထွေး ပကတိတန်ဖိုးသည် ကိန်းစစ် ပကတိတန်ဖိုးအတွက် အထက်တွင်ဖော်ပြထားသော အခြေခံဂုဏ်သတ္တိ လေးခုနှင့် တူညီသည်။ <math>|z|^n = |z^n|</math> ဟူသော ထပ်တူညီမှု (identity) သည် [[မြှောက်ခြင်း|မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ]] ဂုဏ်သတ္တိ၏ အထူးအခြေအနေတစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းကိုယ်တိုင် မကြာခဏ အသုံးဝင်သည်။<ref>González (1992), p. 19.</ref> == ပကတိတန်ဖိုး ဖန်ရှင် (Absolute value function) == [[ကိန်းစစ်]] ပကတိတန်ဖိုး [[ဖန်ရှင်]] (absolute value function) သည် နေရာတိုင်းတွင် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော]] (continuous) ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>x = 0</math> မှလွဲ၍ နေရာတိုင်းတွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော]] (differentiable) ဖန်ရှင်အဖြစ် တွေ့ရသည်။ ၎င်းသည် <math>(-\infty, 0]</math> အပိုင်းအခြား (interval) တွင် အစဉ်လိုက် လျော့သော (monotonically decreasing) ဖန်ရှင်ဖြစ်ပြီး <math>[0, +\infty)</math> အပိုင်းအခြားတွင် အစဉ်လိုက် တိုးသော (monotonically increasing) ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။<ref>Varberg, Purcell & Rigdon (2007), p. 84.</ref> ၎င်းသည် [[စုံကိန်းဖန်ရှင်နှင့် မကိန်းဖန်ရှင်|စုံကိန်းဖန်ရှင်]] (even function) တစ်ခုဖြစ်ပြီး အပိုင်းလိုက် (piecewise) မျဉ်းဖြောင့် (linear) ဖြစ်သော ခုံးသော ဖန်ရှင် (convex function) တစ်ခုဖြစ်သည်။<ref>Varberg, Purcell & Rigdon (2007), p. 32.</ref> ကိန်းစစ်နှင့် [[ကိန်းထွေး]] နှစ်မျိုးစလုံးအတွက် ပကတိတန်ဖိုး ဖန်ရှင်သည် ထပ်တူရပေးဂုဏ်သတ္တိရှိသည်။ === လက္ခဏာ၊ အကြီးဆုံးတန်ဖိုးနှင့် အငယ်ဆုံးတန်ဖိုး ဖန်ရှင်များဖြင့် ဆက်စပ်မှုများ (Relationships to sign, max, and min functions) === ပကတိတန်ဖိုး [[ဖန်ရှင်]] သည် လက္ခဏာကိုထည့်သွင်းစဉ်းစားခြင်းမရှိဘဲ တန်ဖိုးတစ်ခုကို ပြန်လည်ပေးပို့ပြီး လက္ခဏာ သို့မဟုတ် signum ဖန်ရှင် (sign function) မှာမူ တန်ဖိုးကိုထည့်သွင်းစဉ်းစားခြင်းမရှိဘဲ ကိန်းတစ်ခု၏ လက္ခဏာကို ပြန်လည်ပေးပို့သည်။ ၎င်းတို့၏ ဆက်စပ်မှုမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>|x| = x \sgn(x),</math> ထို့အပြင် <math>x \ne 0</math> အတွက် :<math>\sgn(x) = \frac{|x|}{x} = \frac{x}{|x|}.</math> <math>s,t\in\mathbb{R}</math> အတွက် ပကတိတန်ဖိုးသည် အငယ်ဆုံးတန်ဖိုး (minimum) နှင့် အကြီးဆုံးတန်ဖိုး (maximum) ဖန်ရှင်များနှင့် အောက်ပါအတိုင်း ဆက်စပ်နေသည်။ :<math>|t-s|= -2 \min(s,t)+s+t</math> :<math>|t-s|=2 \max(s,t)-s-t.</math> ဤသည်မှတစ်ဆင့် <math>|t|= \max(t,-t)</math> ကို ဆင်းသက်ရယူနိုင်သည်။ === ဆင်းသက်ချက်နှင့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် (Derivative and Antiderivative) === [[ကိန်းစစ်]] ပကတိတန်ဖိုး ဖန်ရှင်တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရနိုင်သော <math>x = 0</math> မှလွဲ၍ မည်သည့် <math>x \ne 0</math> အတွက်မဆို [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) ရှိပြီး ၎င်းကို လက္ခဏာဖန်ရှင်နှင့် ညီမျှသော အဆင့် ဖန်ရှင် (step function) ဖြင့် ပေးထားသည်။<ref>Weisstein (2023).</ref><ref>Bartle & Sherbert (2011), p. 163.</ref> <math display="block"> \frac{d\left|x\right|}{dx} = \frac{x}{|x|} = \begin{cases} -1 & x<0 \\ 1 & x>0 \end{cases} = \sgn(x) \quad \text{for } x \ne 0. </math> <math>x = 0</math> ရှိ <math>|x|</math> ၏ ဆပ်ဒစ်ဖရန်ရှယ် (subdifferential) သည် <math>[-1, 1]</math> အပိုင်းအခြားဖြစ်သည်။<ref>Curnier (1999), pp. 31–32.</ref> [[ကိန်းထွေး]] ပကတိတန်ဖိုး ဖန်ရှင်သည် နေရာတိုင်းတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော်လည်း မည်သည့်နေရာတွင်မျှ ကိန်းထွေး ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရနိုင်ပေ။ <math>z \ne 0</math> အတွက် ၎င်းသည် ကော်ချီ-ရီးမန်း ညီမျှခြင်းများ (Cauchy-Riemann equations) ကို ဖောက်ဖျက်သည်။<ref>Weisstein (2023).</ref> ကိန်းစစ် ပကတိတန်ဖိုး ဖန်ရှင်၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် (antiderivative) မှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\int \left|x\right| dx = \frac{x\left|x\right|}{2} + C,</math> ထိုနေရာတွင် <math>C</math> သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း ကိန်းသေ (constant of integration) ဖြစ်သည်။ ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (chain rule) ကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် ပကတိတန်ဖိုးနှင့် ပေါင်းစပ်ထားသော ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်သည့် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ ဆင်းသက်ချက်မှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ <math>{d \over dx} |f(x)|=\sgn(f(x)) f'(x)\quad \text{for } f(x) \ne 0\,.</math> ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်းနှင့် မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်း (product rule) များကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]]ဖြစ်သော <math>n</math> နှင့် <math>m</math> တို့အတွက် <math>x^n |x|^m</math> အမျိုးအစား ဖော်ပြချက်များ၏ ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်း (power rule) မှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ <math>{d \over dx} x^n |x|^m = (n+m)x^{n-1}|x|^m\quad \text{for } x \ne 0\,.</math> == အကွာအဝေး (Distance) == [[ကိန်းစစ်]] သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး]] နှစ်ခု၏ ခြားနားခြင်းရလဒ်၏ ပကတိတန်ဖိုးသည် ၎င်းတို့ကြားရှိ အကွာအဝေးဖြစ်သည်။ ယူကလစ် <math>n</math>-ရပ်ဝန်းရှိ အမှတ်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>a = (a_1, \dots, a_n)</math> နှင့် <math>b = (b_1, \dots, b_n)</math> ကြားရှိ စံ ယူကလစ် အကွာအဝေးကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>Tabak (2014), p. 150.</ref> <math display="block">\sqrt{\textstyle\sum_{i=1}^n(a_i-b_i)^2}. </math> ဤယူကလစ် အကွာအဝေးသည် အတိုင်းအတာ 1 ခုရှိသော ကိန်းစစ်နှင့် အတိုင်းအတာ 2 ခုရှိသော ကိန်းထွေး ရပ်ဝန်းများအတွက် ပကတိတန်ဖိုး အကွာအဝေး၏ တိုက်ရိုက် ယေဘုယျပြုထားခြင်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ ပကတိတန်ဖိုး၏ ဂုဏ်သတ္တိများသည် [[အစု]] <math>X \times X</math> အပေါ်ရှိ [[နဂိုမှန်အဆို]] (axioms) လေးခုနှင့် ပြည့်စုံသော မက်ထရစ် (metric) သို့မဟုတ် အကွာအဝေး [[ဖန်ရှင်]] (distance function) <math>d</math> ၏ ယေဘုယျသဘောတရားကို လှုံ့ဆော်ပေးသည်။ :{| |- |style="width:250px" | <math>d(a, b) \ge 0 </math> | အနုတ်ကိန်းမဟုတ်ခြင်း |- |<math>d(a, b) = 0 \iff a = b </math> | ခွဲခြားမရနိုင်မှုများ၏ ထပ်တူညီမှု |- |<math>d(a, b) = d(b, a) </math> | အချိုးညီမှု (symmetry) |- |<math>d(a, b) \le d(a, c) + d(c, b) </math> | တြိဂံ မညီမျှခြင်း |} == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations) == === အစဉ်ကျသော ကွင်းများ (Ordered rings) === အထက်တွင် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] အတွက် ပေးထားသော ပကတိတန်ဖိုး အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို မည်သည့် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသော [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (totally ordered ring) <math>R</math> သို့မဆို တိုးချဲ့နိုင်သည်။ <math>a</math> သည် <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်]] တစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်း၏ ပကတိတန်ဖိုးမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ <math display="block">|a| = \left\{ \begin{array}{rl} a, & \text{if } a \geq 0 \\ -a, & \text{if } a < 0. \end{array}\right. </math> ထိုနေရာတွင် <math>-a</math> သည် <math>a</math> ၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် (additive inverse) ဖြစ်ပြီး <math>0</math> သည် အပေါင်းဆိုင်ရာ [[ထပ်တူရအစုဝင်|ထပ်တူရ]] (additive identity) ဖြစ်ကာ <math><</math> နှင့် <math>\geq</math> တို့သည် ကွင်းအတွင်းရှိ အစဉ်ကျခြင်းနှင့် သက်ဆိုင်သည်။<ref>Mac Lane & Birkhoff (1999), p. 264.</ref> === ဖီးလ်ဒ်များ (Fields) === [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ [[ကိန်းစစ်]] တန်ဖိုးရှိ [[ဖန်ရှင်]] (real-valued function) <math>v</math> တစ်ခုသည် [[နဂိုမှန်အဆို]] လေးခုနှင့် ပြည့်စုံပါက ၎င်းကို ပကတိတန်ဖိုး သို့မဟုတ် မော်ဂျူးလပ်စ်၊ ပမာဏ၊ တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း (valuation) ဟုခေါ်သည်။<ref>Shechter (1997), p. 260.</ref> :{| cellpadding=10 |- |<math>v(a) \ge 0 </math> | အနုတ်ကိန်းမဟုတ်ခြင်း |- |<math>v(a) = 0 \iff a = \mathbf{0} </math> | အပေါင်းကိန်းသေချာမှု |- |<math>v(ab) = v(a) v(b) </math> | [[မြှောက်ခြင်း|မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ]] ဂုဏ်သတ္တိ |- |<math>v(a+b) \le v(a) + v(b) </math> | နိမ့်ကျစွာပေါင်းမှု / တြိဂံ မညီမျှခြင်း |} ထိုနေရာတွင် <math>\mathbf{0}</math> သည် <math>F</math> ၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရကို ရည်ညွှန်းသည်။ အထက်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သော ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းထွေး ပကတိတန်ဖိုးများသည် ဥပမာများဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>v</math> သည် <math>F</math> ပေါ်ရှိ ပကတိတန်ဖိုးတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>d(a, b) = v(a - b)</math> ဖန်ရှင်သည် အကွာအဝေး ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ပြီး အောက်ပါအခြေအနေများသည် ထပ်တူညီကြသည်။ * <math>d</math> သည် မည်သည့် <math>x, y, z \in F</math> အတွက်မဆို လွန်ကဲအကွာအဝေး မညီမျှခြင်း (ultrametric inequality) <math>d(x, y) \leq \max(d(x,z),d(y,z))</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ * <math> \left\{ v\left( \sum_{k=1}^n \mathbf{1}\right) : n \in \mathbb{N} \right\} </math> သည် <math>\mathbb{R}</math> တွင် အကန့်အသတ်ရှိသည် (bounded)။ * မည်သည့် <math>n \in \mathbb{N}</math> အတွက်မဆို <math> v\left({\textstyle \sum_{k=1}^n } \mathbf{1}\right) \le 1\ </math> ဖြစ်သည်။ * မည်သည့် <math>a \in F</math> အတွက်မဆို <math> v(a) \le 1 \Rightarrow v(\mathbf{1}+a) \le 1\ </math> ဖြစ်သည်။ * မည်သည့် <math>a, b \in F</math> အတွက်မဆို <math> v(a + b) \le \max \{v(a), v(b)\}\ </math> ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေများနှင့် ပြည့်စုံသော ပကတိတန်ဖိုးကို [[အာခီမီးဒီးစ် ဂုဏ်သတ္တိ|အာခီမီးဒီးစ် မဟုတ်]] (non-Archimedean) ဟုဆိုပြီး ထိုသို့မဟုတ်ပါက ၎င်းသည် [[အာခီမီးဒီးစ်_ဂုဏ်သတ္တိ|အာခီမီးဒီးစ်]] (Archimedean) ဖြစ်သည်။<ref>Shechter (1997), pp. 260–261.</ref> === ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces) === ပကတိတန်ဖိုး <math>|\cdot|</math> ပါရှိသည့် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> တစ်ခုအပေါ်အခြေခံသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] <math>V</math> ပေါ်ရှိ <math>\|\cdot\|</math> အဖြစ် ဖော်ပြထားသော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ [[ဖန်ရှင်]] တစ်ခုကို အောက်ပါတို့နှင့် ပြည့်စုံပါက ပကတိတန်ဖိုး သို့မဟုတ် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] အဖြစ် ခေါ်ဆိုသည်။ {| cellpadding=10 style="margin-left: 10px" |- |<math>\|\mathbf{v}\| \ge 0 </math> | အနုတ်ကိန်းမဟုတ်ခြင်း |- |<math>\|\mathbf{v}\| = 0 \iff \mathbf{v} = \mathbf{0}</math> | အပေါင်းကိန်းသေချာမှု |- |<math>\|a \mathbf{v}\| = \left|a\right| \left\|\mathbf{v}\right\| </math> | တစ်ပြေးညီ ပကတိကိန်းဖြစ်မှု (absolute homogeneity) / အပေါင်း အရွယ်ပြောင်းခြင်း (positive scalability) |- |<math>\|\mathbf{v} + \mathbf{u}\| \le \|\mathbf{v}\| + \|\mathbf{u}\| </math> | နိမ့်ကျစွာပေါင်းမှု / တြိဂံ မညီမျှခြင်း |} <math>\mathbb{R}</math> ကို အတိုင်းအတာ 1 ခုရှိသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] <math>\mathbb{R}^1</math> အဖြစ် စဉ်းစားသောအခါ <math>\mathbb{R}^1</math> ပေါ်ရှိ မည်သည့်စံနှုန်း <math>\|\cdot\|</math> အတွက်မဆို <math>\|x\| = \|1\| \cdot |x|</math> ဖြစ်သဖြင့် ပကတိတန်ဖိုးသည် အပေါင်းကိန်းသေမြှောက်ဖော်ကိန်းအထိသာ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] ဖြစ်ပြီး <math>\|1\| = 1</math> ဟု သတ်မှတ်ပါက ပကတိတန်ဖိုးသည် တစ်ခုတည်းသော စံနှုန်း ဖြစ်လာသည်။ === ပေါင်းစပ်ခြင်း အက္ခရာသင်္ချာများ (Composition algebras) === မည်သည့် ပေါင်းစပ်ခြင်း [[အက္ခရာသင်္ချာ]] (composition algebra) <math>A</math> တွင်မဆို ၎င်း၏ ကွန်ဂျူဂိတ် (conjugation) ဟုခေါ်သော [[အင်ဗော်လူးရှင်း]] (involution) <math>x \to x^*</math> တစ်ခု ရှိသည်။ <math>A</math> အတွင်းရှိ [[အစုဝင်]] <math>x</math> နှင့် ၎င်း၏ ကွန်ဂျူဂိတ် <math>x^*</math> တို့၏ မြှောက်လဒ်ကို <math>N(x) = x x^*</math> ဟု ရေးသားပြီး <math>x</math> ၏ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] ဟု ခေါ်သည်။ [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] <math>\mathbb{R}</math>၊ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] <math>\mathbb{C}</math> နှင့် ကွာတာနီယွန်များ <math>\mathbb{H}</math> တို့သည် သေချာသော နှစ်ထပ်ကိန်း ပုံစံများ (definite quadratic forms) ဖြင့် ပေးထားသည့် စံနှုန်းများပါရှိသော ပေါင်းစပ်ခြင်း [[အက္ခရာသင်္ချာ|အက္ခရာသင်္ချာများ]] ဖြစ်ကြသည်။ ဤအစား အက္ခရာသင်္ချာများ (division algebras) ရှိ ပကတိတန်ဖိုးကို ပေါင်းစပ်ခြင်း အက္ခရာသင်္ချာ စံနှုန်း၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းဖြင့် ပေးထားသည်။ အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခုတွင် သုညမဟုတ်သော စံနှုန်းရှိသောအခါ <math>x</math> တွင် <math>x^*/N(x)</math> ဖြင့် ပေးထားသည့် [[မြှောက်ခြင်း|မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ]] ပြောင်းပြန် (multiplicative inverse) တစ်ခု ရှိသည်။ == ကိုးကား == {{Reflist|2}} * {{Citation |last=Baronti |first=Marco |last2=De Mari |first2=Filippo |last3=van der Putten |first3=Robertus |last4=Venturi |first4=Irene |title=Calculus Problems |publication-place=Cham, Switzerland |publisher=Springer |date=2016 |isbn=978-3-319-15428-2 |doi=10.1007/978-3-319-15428-2 |mr=3525203 |zbl=1351.00001}} * {{Citation |last1=Bartle |first1=Robert G. |last2=Sherbert |first2=Donald R. |title=Introduction to Real Analysis |edition=4th |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons |date=2011 |isbn=978-0-471-43331-6}} * {{Citation |last=Bluttman |first=Ken |title=Excel Formulas and Functions For Dummies |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons |date=2015 |isbn=978-1-119-07678-0}} * {{Citation |last=Carnot |first=Lazare Nicolas Marguerite |title=Mémoire sur la relation qui existe entre les distances respectives de cinq points quelconques pris dans l'espace |publication-place=Paris |publisher=Courcier |date=1806}} * {{Citation |last=Curnier |first=A. |title=New Developments in Contact Problems |editor-last1=Wriggers |editor-first1=Peter |editor-last2=Panagiotopoulos |editor-first2=Panagiotis |publication-place=Vienna |publisher=Springer |date=1999 |isbn=978-3-211-83154-0 |doi=10.1007/978-3-7091-6419-8}} * {{Citation |last=González |first=Mario O. |title=Classical Complex Analysis |publication-place=New York |publisher=CRC Press |date=1992 |isbn=978-0-8247-8415-7 |mr=1152326 |zbl=0775.30001}} * {{Citation |last=Higham |first=Nicholas J. |title=Handbook of Writing for the Mathematical Sciences |edition=2nd |publication-place=Philadelphia |publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics |date=1998 |isbn=978-0-89871-420-3}} * {{Citation |last=Knuth |first=Donald E. |title=Proceedings of the 1962 ACM National Conference |contribution=Invited papers: History of writing compilers |publication-place=New York |publisher=ACM Press |date=1962 |doi=10.1145/800198.806098}} * {{Citation |last=Littré |first=Émile |title=Dictionnaire de la langue française |publication-place=Paris |publisher=Hachette |date=1877}} * {{Citation |last1=Mac Lane |first1=Saunders |last2=Birkhoff |first2=Garrett |title=Algebra |edition=3rd |publication-place=Providence, RI |publisher=American Mathematical Society |date=1999 |isbn=978-0-8218-1646-2 |mr=1680053 |zbl=0932.00001}} * {{Citation |last=Mendelson |first=Elliott |title=Schaum's Outline of Beginning Calculus |edition=3rd |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill Professional |date=2008 |isbn=978-0-07-148754-2}} * {{Citation |last=Munkres |first=James |title=Analysis on Manifolds |publication-place=Boulder, CO |publisher=Westview Press |date=1991 |isbn=978-0-201-51035-5 |mr=1079015 |zbl=0725.26012}} * {{Citation |last=Nahin |first=Paul J. |title=An Imaginary Tale: The Story of \sqrt{-1} |publication-place=Princeton, NJ |publisher=Princeton University Press |date=1998 |isbn=978-0-691-02795-1 |mr=1633979}} * {{Citation |last1=O'Connor |first1=J. J. |last2=Robertson |first2=E. F. |title=Jean Robert Argand |publisher=School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews |publication-place=Scotland |date=2001}} * {{Citation |author=Oxford English Dictionary |title=Draft Revision |publisher=Oxford University Press |date=June 2008}} * {{Citation |last=Sargent |first=Murray III |title=A Nearly Plain-Text Encoding of Mathematics |type=Unicode report 28 |date=January 22, 2025 |url=https://www.unicode.org/notes/tn28/UTN28-PlainTextMath-v3.3.pdf}} * {{Citation |last=Shechter |first=Eric |title=Handbook of Analysis and Its Foundations |publication-place=San Diego, CA |publisher=Academic Press |date=1997 |isbn=978-0-12-622760-4 |mr=1417259 |zbl=0863.00001}} * {{Citation |last=Siegel |first=Carl Ludwig |title=Note on automorphic functions of several variables |journal=Annals of Mathematics |series=Second Series |volume=43 |issue=4 |date=1942 |doi=10.2307/1968953 |mr=0008095 |zbl=0063.02983}} * {{Citation |last=Smith |first=Karl |title=Precalculus: A Functional Approach to Graphing and Problem Solving |edition=6th |publication-place=Burlington, MA |publisher=Jones & Bartlett Publishers |date=2013 |isbn=978-0-7637-5177-7}} * {{Citation |last=Spivak |first=Michael |title=Calculus on Manifolds |publication-place=Boulder, CO |publisher=Westview Press |date=1965 |isbn=978-0-8053-9021-6 |mr=0204620 |zbl=0141.05405}} * {{Citation |last=Stewart |first=James B. |title=Calculus: Concepts and Contexts |edition=2nd |publication-place=Pacific Grove, CA |publisher=Brooks/Cole |date=2001 |isbn=978-0-534-37718-2}} * {{Citation |last=Tabak |first=John |title=Geometry: The Language of Space and Form |series=Facts on File Math Library |publication-place=New York |publisher=Infobase Publishing |date=2014 |isbn=978-0-8160-6876-0}} * {{Citation |last1=Varberg |first1=Dale E. |last2=Purcell |first2=Edwin J. |last3=Rigdon |first3=Steven E. |title=Calculus |edition=9th |publication-place=Upper Saddle River, NJ |publisher=Pearson Prentice Hall |date=2007 |isbn=978-0-13-146968-6}} * {{Citation |last=Weisstein |first=Eric W. |title=Absolute Value |url=http://mathworld.wolfram.com/AbsoluteValue.html |publisher=Wolfram Web Resource |date=2023}} [[ကဏ္ဍ:အထူး ဖန်ရှင်များ]] iv4bfu3ih6l2ziw65zok7yci003lv36 0 291445 1060786 1054240 2026-10-30T20:06:01Z Mkant00 135890 corrections to mathematics 1060786 wikitext text/x-wiki {{Calculus}} [[File:RTCalc.svg|thumb|300 px|right|[[ကိန်းစစ်]] [[ဖန်ရှင်]] <math>f</math> သည် အပိတ် အပိုင်းအခြားအစစ် <math>[a, b]</math> ပေါ်တွင် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်]]ဖြစ်ပြီး အဖွင့် အပိုင်းအခြား <math>(a, b)</math> ပေါ်တွင် [[ဆင်းသက်ချက်_(ဒစ်ဖရန်ရှယ်_ကဲကုလပ်)#ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု_နှင့်_အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း_(Differentiability_and_Continuity)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်]]ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် <math>f(a) = f(b)</math> ဖြစ်ပါက <math>f'(c) = 0</math> ဖြစ်စေမည့် <math>c</math> တန်ဖိုးတစ်ခုသည် အဆိုပါ <math>(a, b)</math> ကြားတွင် တည်ရှိမည်ဖြစ်သည်။]] ကဲကုလပ် (calculus) နှင့် ကိန်းစစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (real analysis) ဘာသာရပ်များတွင် ရိုးလ်၏ သီအိုရမ် (Rolle's theorem) သို့မဟုတ် ရိုးလ်၏ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (lemma) ဟုခေါ်သော အဆိုအရ ကွဲပြားသော အမှတ်နှစ်ခုတွင် တူညီသောတန်ဖိုးများ ရရှိသည့် ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ (real-valued) [[ဆင်းသက်ချက်_(ဒစ်ဖရန်ရှယ်_ကဲကုလပ်)#ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု_နှင့်_အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း_(Differentiability_and_Continuity)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်]] (differentiable function) တစ်ခုသည် ၎င်းအမှတ်နှစ်ခုကြား တစ်နေရာရာတွင် ငြိမ်နေသော အမှတ် (stationary point) တစ်ခု မဖြစ်မနေ ရှိရမည်ဖြစ်သည်။ ဤငြိမ်နေသော အမှတ်ဆိုသည်မှာ ၎င်း၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) သုညဖြစ်သွားသော အမှတ်ဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရမ်သည် ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ် (mean value theorem) ၏ အထူးအခြေအနေတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်းကို ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ်ကို သက်သေပြရာတွင်လည်း အသုံးချသည်။ == ဖော်ပြချက် (Statement) == [[ကိန်းစစ်]] [[ဖန်ရှင်]] (real function) <math>f</math> တစ်ခုသည် အပိတ် အပိုင်းအခြားအစစ် (proper closed interval) <math>[a, b]</math> ပေါ်တွင် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်]] (continuous function) ဖြစ်ပြီး အဖွင့် အပိုင်းအခြား (open interval) <math>(a, b)</math> ပေါ်တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် <math>f(a) = f(b)</math> ဖြစ်ပါက အဖွင့် အပိုင်းအခြား <math>(a, b)</math> အတွင်း၌ <math>f'(c) = 0</math> ဖြစ်စေမည့် <math>c</math> တန်ဖိုး အနည်းဆုံးတစ်ခု တည်ရှိသည်။ == သမိုင်းကြောင်း (History) == ဤသီအိုရမ်၏ အစောပိုင်းပုံစံတစ်ခုကို 12 ရာစုတွင် ဘာစကာရာ-၂ က ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref>Encyclopedia Britannica (2026).</ref> ဤသီအိုရမ်ကို မီရှဲလ် ရိုးလ် အား အစွဲပြု၍ အမည်ပေးထားခြင်း ဖြစ်သည်။ သူသည် 1691 ခုနှစ်တွင် [[ဒစ်ဖရန်ရှယ်]] ကဲကုလပ် (differential calculus) ကို အသုံးမပြုဘဲ [[ပိုလီနိုမီရယ်]] [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (polynomial functions) အတွက်သာ မှန်ကန်သည့် ကန့်သတ်ပုံစံတစ်ခုကို သက်သေပြခဲ့သည်။ ခေတ်သစ် ပုံစံတကျ သက်သေပြချက် (formal proof) ကို 1823 ခုနှစ်တွင် ကော်ချီ က ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ်၏ အကျိုးဆက်သီအိုရမ် (corollary) အဖြစ် ပထမဆုံး ထုတ်ဝေခဲ့သည်။<ref>Besenyei (2012).</ref><ref>Cajori (1999), p. 224.</ref> == ဥပမာများနှင့် ချေပဥပမာများ (Examples and counterexamples) == *<math>r > 0</math> အတွက် <math>f:[-r,r]\to\mathbb{R}</math> ကို <math>f(x)=\sqrt{r^2 - x^2}</math> အဖြစ် သတ်မှတ်ပါ။ ၎င်း၏ [[ဖန်ရှင်#ဂရပ်များ_(Graphs)|ဂရပ်]] (graph) သည် အထက် စက်ဝိုင်းခြမ်းပုံ ဖြစ်သည်။ အဆိုပါဖန်ရှင်သည် <math>[-r, r]</math> ပေါ်တွင် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပြီး]] <math>(-r, r)</math> ပေါ်တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသည်။ သို့သော် ဒေါင်လိုက် ထိမျဉ်းများ (vertical tangents) ရှိနေခြင်းကြောင့် အစွန်းမှတ်များ (endpoints) ဖြစ်သော <math>-r</math> နှင့် <math>r</math> တို့တွင်မူ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရပေ။ <math>f(-r) = f(r)</math> ဖြစ်သောကြောင့် ရိုးလ်၏ သီအိုရမ်ကို အသုံးချနိုင်သည်။ ဤအချက်က ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု (differentiability) သည် အဖွင့် အပိုင်းအခြားပေါ်တွင်သာ မဖြစ်မနေ လိုအပ်ကြောင်း ပြသနေသည်။ [[File:Absolute value.svg|thumb|300px|[[ပကတိတန်ဖိုး]] [[ဖန်ရှင်]]၏ ဂရပ်]] *[[ပကတိတန်ဖိုး]] [[ဖန်ရှင်]] (absolute value function) <math>f(x) = |x|,\quad x \in [-1, 1]</math> ကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ ယင်းဖန်ရှင်သည် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည့်အပြင်]] <math>f(-1) = f(1)</math> ကိုလည်း ပြည့်စုံစေသည်။ သို့သော် <math>f'(c) = 0</math> ဖြစ်စေမည့် <math>c \in (-1, 1)</math> ဟူ၍ မရှိပေ။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အတွင်းပိုင်းအမှတ် (interior point) <math>x = 0</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရသောကြောင့် ဤသီအိုရမ် မှန်ကန်မှုမရှိခြင်း ဖြစ်သည်။ *အပိုင်းအခြားတစ်ခု၏ နေရာတိုင်းတွင် သုညဖြစ်သော [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]ရှိသည့် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော [[ဖန်ရှင်]]တစ်ခုသည် ကိန်းသေ (constant) ဖြစ်ရမည်ဟု ရိုးလ်၏ သီအိုရမ်က ညွှန်းဆိုပြသသည်။ ဖန်ရှင် <math>f</math> ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော အပိုင်းအခြားအတွင်းရှိ ကွဲပြားသော <math>x_1 < x_2</math> တန်ဖိုးတိုင်းအတွက် အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်ပါ။ <math display=block>g(x)=f(x)-f(x_1)-\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)</math> နေရာတိုင်းတွင် <math>f'(x) = 0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>g'(x) = -\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}</math> ရရှိသည်။ <math>g(x_1) = g(x_2) = 0</math> ဖြစ်သည့်အတွက် <math>g'(c) = 0</math> ဖြစ်စေမည့် <math>c \in (x_1,x_2)</math> တစ်ခုရှိကြောင်း ရိုးလ်၏ သီအိုရမ်က အာမခံချက်ပေးသည်။ ထို့ကြောင့် <math>f(x_1) = f(x_2)</math> ဖြစ်လာပြီး ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် ကိန်းသေဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ === အရင်းအမြစ်စု၏ ပြည့်စုံမှုအတွက် လိုအပ်ချက် (Requirement for completeness of domain) === ရိုးလ်၏ သီအိုရမ်သည် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) ၏ ပြည့်စုံမှု (completeness) အပေါ်တွင် မှီခိုနေသည်။ ပြည့်စုံမှုမရှိဘဲ သိပ်သည်းစွာ [[အစဉ်ကျသော ဖီးလ်ဒ်]] (densely ordered field) တစ်ခုအပေါ်တွင်မူ ဤသီအိုရမ် မှန်ကန်မှုမရှိပေ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>f(x)=(x^{2}-2)^{2}</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသော [[ဖန်ရှင်]] <math>f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}</math> သည် [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ]] (rational numbers) အစု <math>\mathbb{Q}</math> ပေါ်တွင် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပြီး]] ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသည်။ ထို့ပြင် <math>f(0)=f(2)=4</math> ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် ကိန်းရင်း (root) <math>\sqrt{2}</math> သည် [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း]] (irrational number) ဖြစ်နေသောကြောင့် <math>f'(x)=0</math> ဖြစ်စေမည့် <math>x \in (0,2)\cap\mathbb{Q}</math> တစ်ခုမျှ တည်ရှိမနေပေ။ == ယေဘုယျပြုထားခြင်း (Generalization) == <math>[a, b]</math> ပေါ်ရှိ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်]] [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ]] [[ဖန်ရှင်]] <math>f</math> တစ်ခုသည် <math>f(a) = f(b)</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် <math>x \in (a, b)</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါ ညာဘက်မှ [[စုဆုံမှတ်]] နှင့် ဘယ်ဘက်မှ စုဆုံမှတ်များ (right- and left-hand limits) သည် <math display="block">f'(x^+):=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \quad\text{and}\quad f'(x^-):=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math> တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းစစ်မျဉ်း (extended real line) <math>[-\infty, \infty]</math> အတွင်း တည်ရှိနေသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုသို့ဖြစ်လျှင် စုဆုံမှတ် (limit) တစ်ခုသည် <math>\ge 0</math> ဖြစ်ပြီး အခြားစုဆုံမှတ်တစ်ခုသည် <math>\le 0</math> ဖြစ်စေမည့် <math>c \in (a, b)</math> တစ်ခု တည်ရှိမည်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ထိုစုဆုံမှတ်နှစ်ခု တူညီနေပါက ၎င်း၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] တည်ရှိမည်ဖြစ်ပြီး <math>f'(c) = 0</math> ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ === မှတ်ချက် === * အကယ်၍ [[ဖန်ရှင်]] <math>f</math> သည် ခုံးသော (convex) သို့မဟုတ် ခွက်သော (concave) ဖန်ရှင်ဖြစ်ပါက ဤစုဆုံမှတ်များသည် တည်ရှိပြီး ၎င်းတို့သည် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] ဖြစ်ကြသည်။ * တစ်ဖက်သတ် ဆင်းသက်ချက်များ (one-sided derivatives) သည် အစဉ်လိုက် တိုးသော (monotonically increasing) အခြေအနေတွင် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ ခုံးခြင်းသဘာဝကို သက်သေပြရန် ဤယေဘုယျပုံစံက လုံလောက်မှုရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားနိုင်သည်။<ref>Artin (1964), pp. 3–4.</ref> <math display="block">f'(x^-) \le f'(x^+) \le f'(y^-),\quad x < y.</math> == ယေဘုယျပုံစံ၏ သက်သေပြချက် (Proof of the generalized version) == အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (extreme value theorem) အရ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] <math>f</math> သည် <math>[a, b]</math> ပေါ်တွင် ၎င်း၏ အကြီးဆုံးတန်ဖိုး (maximum) နှင့် အငယ်ဆုံးတန်ဖိုး (minimum) တို့ကို ရရှိသည်။ အကယ်၍ ၎င်းတန်ဖိုးနှစ်ခုစလုံးသည် အစွန်းမှတ်များ၌ ဖြစ်ပေါ်ပါက <math>f</math> သည် ကိန်းသေ [[ဖန်ရှင်]]ဖြစ်သွားပြီး နေရာတိုင်းတွင် <math>f'(x) = 0</math> ဖြစ်မည်ဖြစ်သည်။ ထိုသို့မဟုတ်ပါက အကြီးဆုံးတန်ဖိုးသည် အတွင်းပိုင်းအမှတ် <math>c \in (a, b)</math> တစ်ခု၌ ရှိသည်ဟု ယူဆပါ။ ဤသက်သေပြချက်သည် ဖန်ရှင် <math>-f</math> ၏ အငယ်ဆုံးတန်ဖိုးအတွက်လည်း အလားတူပင် ဖြစ်သည်။ သေးငယ်သော <math>h > 0</math> တန်ဖိုးများအတွက် <math>f(c+h) \le f(c)</math> ရရှိသည်။ ထို့ကြောင့် <math>\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \le 0</math> ဖြစ်ပြီး <math>f'(c^+) \le 0</math> ကို ရရှိစေသည်။ ပြောင်းပြန်အားဖြင့် <math>h < 0</math> ဖြစ်သောအခါ ပိုင်းခြေ (denominator) သည် [[အနုတ်ကိန်း]] (negative number) ဖြစ်သွားသောကြောင့် <math>\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \ge 0</math> ကို ရရှိစေပြီး <math>f'(c^-) \ge 0</math> ဖြစ်လာသည်။ ထို့ကြောင့် [[စုဆုံမှတ်|စုဆုံမှတ်များ]]သည် ဆန့်ကျင်ဘက် လက္ခဏာများ ရှိကြသည်။ == ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ဆင်းသက်ချက်များအတွက် ယေဘုယျပြုထားခြင်း (Generalization to higher derivatives) == [[ဖန်ရှင်]] <math>f</math> ကို <math>[a, b]</math> ပေါ်တွင် <math>n - 1</math> ကြိမ် အဆက်မပြတ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်သည်ဟု ယူဆပါ။ ထို့ပြင် ၎င်း၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] <math>f^{(n)}</math> သည် <math>(a, b)</math> ပေါ်တွင် တည်ရှိသည်ဟု ထားပါ။ အကယ်၍ 1 မှ <math>n</math> အထိ <math>k</math> တန်ဖိုးတိုင်းအတွက် <math>f(a_k) = f(b_k)</math> ဖြစ်စေမည့် အပိုင်းအခြား <math>n</math> ခု ဖြစ်သော <math>a_1 < b_1 \le a_2 < b_2 \le \dots \le a_n < b_n</math> တို့သည် <math>[a, b]</math> အတွင်း တည်ရှိနေပါက <math>f^{(n)}(c) = 0</math> ဖြစ်စေမည့် <math>c \in (a, b)</math> တစ်ခု တည်ရှိမည်ဖြစ်သည်။ [[File:Rolle Generale.svg|thumb|290x290px|အနီရောင်မျဉ်းကွေးသည် <math>[-3, 2]</math> အပိုင်းအခြားအတွင်း ကိန်းရင်းအဖြေ 3 ခုရှိသော ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ ဂရပ်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် အစိမ်းရောင်ဖြင့် ပြသထားသော ၎င်း၏ ဒုတိယ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (second derivative) သည်လည်း ယင်းအပိုင်းအခြားအတွင်း၌ပင် ကိန်းရင်းအဖြေတစ်ခု ရှိနေသည်။]] အထူးသဖြင့် <math>n \ge 2</math> ဖြစ်ပြီး <math>[a, b]</math> ပေါ်တွင် <math>n - 1</math> ကြိမ် အဆက်မပြတ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်တစ်ခု၌ အနည်းဆုံး ကွဲပြားသော ကိန်းရင်း <math>n</math> ခု ရှိနေပါက ယင်း၏ ဆင်းသက်ချက် <math>f^{(n - 1)}</math> သုညဖြစ်သွားသော အတွင်းပိုင်းအမှတ် <math>c \in (a, b)</math> တစ်ခု မဖြစ်မနေ ရှိနေမည်ဖြစ်သည်။ === သက်သေပြချက် (Proof) === ဤအဆိုကို သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်း (mathematical induction) ဖြင့် သက်သေပြနိုင်သည်။ <math>n = 1</math> ဖြစ်သည့် အခြေအနေသည် စံပြုထားသော ရိုးလ်၏ သီအိုရမ်ပင် ဖြစ်သည်။ ယခု ဤအဆိုသည် <math>n - 1</math> အတွက် မှန်ကန်သည်ဟု မှတ်ယူပါစို့။ ၎င်းအပိုင်းအခြား <math>n</math> ခုအပေါ် စံပြုထားသော ရိုးလ်၏ သီအိုရမ်ကို အသုံးချလိုက်ပါက <math>f'(c_k) = 0</math> ဖြစ်စေမည့် အမှတ် <math>n</math> ခု ဖြစ်သော <math>c_1 < \dots < c_n</math> တို့ကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ ယင်းက အစွန်းမှတ်များ၌ <math>f'</math> သုညဖြစ်သွားသည့် အပိတ် အပိုင်းအခြား <math>n - 1</math> ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဤ <math>f'</math> အပေါ်သို့ ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်းဆိုင်ရာ ယူဆချက် (inductive hypothesis) ကို အသုံးချလိုက်သောအခါ ၎င်း၏ <math>n - 1</math> ကြိမ်မြောက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]သည် တစ်နည်းအားဖြင့် <math>f^{(n)}</math> သည် တစ်ခုသော အမှတ် <math>c</math> ၌ သုညဖြစ်ရမည် ဖြစ်သည်။ == အခြား ဖီးလ်ဒ်များသို့ ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations to other fields) == ရိုးလ်၏ သီအိုရမ်သည် [[အစဉ်ကျသော ဖီးလ်ဒ်]] (ordered field) တစ်ခု လိုအပ်ပြီး အခြား [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]] (fields) ဆီသို့ တိကျစွာ ယေဘုယျပြု၍ မရနိုင်ပေ။ သို့သော် ၎င်းနှင့်ဆက်စပ်နေသော အကျိုးဆက်သီအိုရမ်တစ်ခုကတော့ ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအပေါ်တွင် အပြည့်အဝ ဆခွဲကိန်းခွဲ၍ရသော (factors completely) [[ပိုလီနိုမီရယ်]]တိုင်းအတွက် ၎င်း၏[[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]ကိုလည်း အပြည့်အဝ ဆခွဲကိန်းခွဲ၍ရနိုင်ပါက ယင်းဖီးလ်ဒ်တွင် ရိုးလ်၏ ဂုဏ်သတ္တိ (Rolle's property) ရှိသည်ဟု သတ်မှတ်သည်။<ref>Brown, Craven & Pelling (1986), pp. 66–78.</ref> မည်သည့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော ဖီးလ်ဒ် (algebraically closed field) မဆို ရိုးလ်၏ ဂုဏ်သတ္တိကို ပိုင်ဆိုင်ကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers) ကို ကြည့်နိုင်သည်။ [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ]]တွင်မူ ထိုဂုဏ်သတ္တိ မရှိပေ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>x^3 - x = x(x - 1)(x + 1)</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်တွင် ဆခွဲကိန်းခွဲ၍ရသော်လည်း ၎င်း၏ ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်သော <math>3x^2 - 1</math> မှာမူ ဆခွဲကိန်းခွဲ၍ မရနိုင်ပေ။ [[အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်|အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်များ]] (finite fields) အနက်မှ <math>\mathbf{F}_2</math> နှင့် <math>\mathbf{F}_4</math> တို့တွင်သာ ရိုးလ်၏ ဂုဏ်သတ္တိ ရှိကြသည်။<ref>Kaplansky (1972).</ref><ref>Craven & Csordas (1977), pp. 801–817.</ref><ref>Ballantine & Roberts (2002), pp. 72–74.</ref> == ကိုးကား == * {{Citation |last=Artin |first=Emil |author-link=Emil Artin |translator-first=Michael |translator-last=Butler |title=The Gamma Function |orig-year=1931 |date=1964 |publication-place=New York |publisher=Holt, Rinehart and Winston |at=pp. 3–4}} * {{Citation |last1=Ballantine |first1=C. |last2=Roberts |first2=J. |title=A Simple Proof of Rolle's Theorem for Finite Fields |journal=The American Mathematical Monthly |volume=109 |issue=1 |date=January 2002 |at=pp. 72–74 |doi=10.2307/2695770 |jstor=2695770 |publisher=Mathematical Association of America}} * {{Citation |last=Besenyei |first=Ádám |title=A brief history of the mean value theorem |date=2012-09-17 |url=http://abesenyei.web.elte.hu/publications/meanvalue.pdf |type=Presentation}} * {{Citation |last1=Brown |first1=Ron |last2=Craven |first2=Thomas C. |last3=Pelling |first3=M. J. |title=Ordered fields satisfying Rolle's theorem |journal=Illinois J. Math. |volume=30 |issue=1 |date=1986 |at=pp. 66–78}} * {{Citation |last=Cajori |first=Florian |author-link=Florian Cajori |title=A History of Mathematics |date=1999 |publication-place=Providence, RI |publisher=American Mathematical Soc. |isbn=978-0-8218-2102-2 |url=https://books.google.com/books?id=mGJRjIC9fZgC&pg=RA1-PA119-IA5 |at=p. 224}} * {{Citation |last1=Craven |first1=Thomas |last2=Csordas |first2=George |title=Multiplier sequences for fields |journal=Illinois J. Math. |volume=21 |issue=4 |date=1977 |at=pp. 801–817 |url=https://projecteuclid.org/euclid.ijm/1256048929 |doi=10.1215/ijm/1256048929}} * {{Citation |title=Rolle's theorem |encyclopedia=Encyclopedia Britannica |publisher=Encyclopædia Britannica, Inc. |url=https://www.britannica.com/science/Rolles-theorem |access-date=2026-09-11}} * {{Citation |last=Kaplansky |first=Irving |author-link=Irving Kaplansky |title=Fields and Rings |edition=2nd |publication-place=Chicago |publisher=University of Chicago Press |date=1972 |isbn=978-0-226-42451-4}} [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ် သီအိုရမ်များ]] 0te12ke6m2adf8n7dj4u9d3j29j327h 0 291648 1060800 1053078 2026-10-30T23:03:38Z Mkant00 135890 1060800 wikitext text/x-wiki [[Image:Conformal map.svg|right|thumb|အပေါ်ပုံတွင် ထောင့်မှန်စတုဂံပုံ ဂရစ်ကွက်ကို ပြသထားပြီး အောက်ပုံတွင် ကွန်ဖော်မယ် ပုံဖော်မှု (conformal map) <math>f</math> အောက်ရှိ ၎င်း၏ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] (image) ကို ပြသထားသည်။]] [[File:Mapping f z equal 1 over z.gif|thumb|[[ဖန်ရှင်]] (function) <math>f(z)={1}/{z}</math> ၏ ပုံဖော်မှု (mapping) ကို ပြသထားသည်။ ပုံသည် မတူညီသော <math>z</math> ကို အပြာရောင်ဖြင့် ပြသထားပြီး သက်ဆိုင်ရာ <math>f(z)</math> ကို အနီရောင်ဖြင့် ပြသထားသည်။ အမှတ် (point) <math>z</math> နှင့် <math>f(z)</math> တို့ကို <math>\mathbb{C}\tilde = \mathbb{R}^2</math> တွင် ပြသထားသည်။ <math>y</math>-ဝင်ရိုးသည် <math>z</math> နှင့် <math>f(z)</math> တို့၏ [[ကိန်းထွေး]] (complex number) ၏ ကိန်းယောင်ပိုင်း (imaginary part) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။]] မှတ်ချက် - ဤဆောင်းပါးတွင် သင်္ချာဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ်ကွဲပြားမှုအပေါ်မူတည်၍ အင်္ဂလိပ်ဝေါဟာရ "domain" အား ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အဝင်ကိန်းများစုဝေးမှုအတွက် "အရင်းအမြစ်စု (domain)" အဖြစ်လည်းကောင်း၊ အဖွင့်ဖြစ်ပြီး ဆက်စပ်နေသော ရပ်ဝန်းအတွက် "နယ်ပယ် (domain)" အဖြစ်လည်းကောင်း၊ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကွင်းတည်ဆောက်ပုံအတွက် "ကိန်းပြည့်ရင်းဆိုင်ရာ ဒိုမိန်း (integral domain)" အဖြစ်လည်းကောင်း သီးခြားစီ ခွဲခြားအသုံးပြုထားသည်။ [[သင်္ချာ|သင်္ချာဘာသာရပ်တွင်]] ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင် (holomorphic function) ဆိုသည်မှာ [[ကိန်းထွေးပြင်ညီ]] (complex plane) <math>\mathbb{C}</math> ရှိ နယ်ပယ် (domain) တစ်ခုအတွင်းရှိ အမှတ်တစ်ခုစီ၏ ပတ်ဝန်းကျင် (neighbourhood) တွင် ကိန်းထွေး [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော]] (complex differentiable) ကိန်းထွေး ကိန်းရှင်တစ်ခု (single complex variable) ၏ ကိန်းထွေးတန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် (complex-valued function) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသဘောတရားကို နောက်ပိုင်းတွင် ကိန်းထွေး ကိန်းရှင်တစ်ခု သို့မဟုတ် တစ်ခုထက်ပိုသော ကိန်းရှင်များအဖြစ် ယေဘုယျပြုထားသည်။ ပတ်ဝန်းကျင်တစ်ခုတွင် ကိန်းထွေး ဆင်းသက်ချက် (complex derivative) တည်ရှိခြင်းသည် အလွန်အားကောင်းသော အခြေအနေတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ယင်းက ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် [[အနန္တ]]အကြိမ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (infinitely differentiable) ဖန်ရှင်ဖြစ်ပြီး ဒေသအလိုက် ၎င်း၏ ကိုယ်ပိုင် [[တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း]] (Taylor series) နှင့် တူညီကြောင်း ဖော်ပြသည်။ ဤသည်မှာ ၎င်းဖန်ရှင်သည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ (analytic) ဖြစ်ကြောင်း ဆိုလိုသည်။ ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များသည် [[ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ|ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (complex analysis) တွင် လေ့လာမှု၏ အဓိက အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်ကြသည်။ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဖန်ရှင် (analytic function) ဟူသော ဝေါဟာရကို ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင် နှင့် အပြန်အလှန် အသုံးပြုလေ့ရှိကြသည်။ သို့ရာတွင် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဟူသော စကားလုံးကို ၎င်း၏ အရင်းအမြစ်စု အတွင်းရှိ အမှတ်တစ်ခုစီ၏ ပတ်ဝန်းကျင်တွင် စုဆုံသော ပါဝါ[[ကိန်းစဉ်တန်း]] (convergent power series) အဖြစ် ရေးသားနိုင်သော မည်သည့်ဖန်ရှင်ကိုမဆို ရည်ညွှန်းရန် ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော သဘောတရားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်အားလုံးသည် ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဖန်ရှင်များ (complex analytic functions) ဖြစ်ကြပြီး ပြောင်းပြန်အားဖြင့်လည်း မှန်ကန်ကြောင်း ဆိုခြင်းမှာ ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာရှိ အဓိက သီအိုရမ် တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>European Mathematical Society (2015).</ref> ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များကို တစ်ခါတစ်ရံတွင် ပုံမှန် ဖန်ရှင်များ (regular functions) အဖြစ်လည်း ရည်ညွှန်းကြသည်။<ref>European Mathematical Society (2021).</ref> အရင်းအမြစ်စုသည် [[ကိန်းထွေးပြင်ညီ]] (complex plane) တစ်ခုလုံးဖြစ်သော ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်ကို အလုံးစုံ ဖန်ရှင် (entire function) ဟု ခေါ်သည်။ အမှတ် <math>z_0</math> တွင် ဟိုလိုမော်ဖစ်ဖြစ်သည် ဟူသော စကားစုသည် ကိန်းထွေးပြင်ညီရှိ <math>z_0</math> ၏ အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင် (open neighbourhood) တစ်ခုအတွင်း နေရာတိုင်း၌ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == [[ဖန်ရှင်]] <math>f(z) = \bar{z}</math> သည် သုညတွင် [[ကိန်းထွေး]] ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရပေ။ အကြောင်းမှာ <math>\tfrac{f(z) - f(0)}{z - 0}</math> ၏ တန်ဖိုးသည် သုညသို့ ချဉ်းကပ်လာသော လားရာအပေါ် မူတည်၍ ကွဲပြားသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး (real axis) ပေါ်တွင် <math>f</math> သည် <math>g(z) = z</math> နှင့် ညီမျှသည်။ ဤတွင် [[စုဆုံမှတ်]] သည် <math>1</math> ဖြစ်သည်။ တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး (imaginary axis) ပေါ်တွင် <math>f</math> သည် <math>h(z) = -z</math> နှင့် ညီမျှသည်။ ဤတွင် စုဆုံမှတ်သည် <math>-1</math> ဖြစ်သည်။ ကိန်းထွေး ကိန်းရှင်တစ်ခုရှိ ကိန်းထွေးတန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခုကို ပေးထားပါက ၎င်း၏ အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အမှတ် <math>z_0</math> တစ်ခု၌ <math>f</math> ၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) ကို အောက်ပါ စုဆုံမှတ်အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည် ။<ref>Ahlfors (1979).</ref> : <math>f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{ z - z_0 }.</math> ဤသည်မှာ ပမာဏများအားလုံး ကိန်းထွေးများ ဖြစ်ကြသည်မှလွဲ၍ ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ ဆင်းသက်ချက် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ထင်ဟပ်စေသည်။ အကယ်၍ စုဆုံမှတ် တည်ရှိပါက <math>f</math> သည် <math>z_0</math> တွင် ကိန်းထွေး ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသည်။ ကိန်းထွေး ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု (complex differentiability) သည် မျဉ်းဖြောင့် (linear) သဘောတရားရှိပြီး မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်း (product rule)၊ စားလဒ်စည်းမျဉ်း (quotient rule) နှင့် ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (chain rule) တို့ကို လိုက်နာသည်။<ref>Henrici (1986).</ref> ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် အဖွင့်စု (open set) <math>U</math> ၏ အမှတ်တိုင်းတွင် ကိန်းထွေး ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရပါက ၎င်းသည် <math>U</math> ပေါ်တွင် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခုသည် <math>z_0</math> ၏ ပတ်ဝန်းကျင်တစ်ခုခုပေါ်တွင် ဟိုလိုမော်ဖစ်ဖြစ်ပါက ၎င်းသည် အမှတ် <math>z_0</math> ၌ ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။<ref>Ebenfelt et al. (2011).</ref> ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် အမှတ်တစ်မှတ်တည်း၌ ကိန်းထွေး ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်သော်လည်း ထိုနေရာတွင် ဟိုလိုမော်ဖစ် မဖြစ်နိုင်ပေ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\textstyle f(z) = \vert z \vert \vphantom{l}^2 = z \bar{z}</math> သည် <math>0</math> တွင် ကိန်းထွေး ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်သော်လည်း အခြားမည်သည့်နေရာတွင်မျှ မရရှိနိုင်ပေ။ ထို့ကြောင့် ၎င်းသည် <math>0</math> တွင် ဟိုလိုမော်ဖစ် မဟုတ်ပေ။ အကယ်၍ ကိန်းထွေး ဖန်ရှင် (complex function) <math>f(x+ iy) = u(x,y) + i\,v(x, y)</math> သည် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖြစ်ပါက <math>u</math> နှင့် <math>v</math> တို့သည် ကော်ချီ-ရီးမန်း ညီမျှခြင်းများ (Cauchy-Riemann equations) ကို ပြည့်စုံစေသည့် <math>x</math> နှင့် <math>y</math> အပေါ်မူတည်သော ပထမအဆင့် ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက်များ (first partial derivatives) ရှိကြသည် ။<ref>Markushevich (1965).</ref> : <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad \mbox{and} \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\,</math> အလားတူပင် <math>z</math> ၏ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် (complex conjugate) ဖြစ်သော <math>\bar{z}</math> အပေါ်မူတည်သည့် <math>f</math> ၏ ဗာတင်ဂါ ဆင်းသက်ချက် (Wirtinger derivative) သည် သုည ဖြစ်သည် ။<ref>Gunning & Rossi (1965).</ref> : <math>\frac{\partial f}{\partial\bar{z}} = 0,</math> ၎င်း၏ အဓိပ္ပာယ်မှာ <math>f</math> သည် ဒစ်ဖရန်ရှယ် အခြေအနေတစ်ခုအနေဖြင့် <math>\bar{z}</math> ထံမှ ပုံစံတကျအားဖြင့် အမှီအခိုကင်းကြောင်း ဖြစ်သည်။ လူးမန်း-မန်ချော့ဖ် သီအိုရမ် (Looman-Menchoff theorem) အရ အကယ်၍ <math>f</math> သည် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပြီး]] (continuous) <math>u</math> နှင့် <math>v</math> တို့သည် ကော်ချီ-ရီးမန်း ညီမျှခြင်းများကို ပြည့်စုံစေသည့် ပထမအဆင့် ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက်များ ရှိပါက <math>f</math> သည် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။<ref>Gray & Morris (1978).</ref> ကိန်းထွေး ဆင်းသက်ချက်ကို ကိန်းစစ် ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက်များ (real partial derivatives) ဖြင့် <math>f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y}</math> အဖြစ် ပြတ်သားစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။<ref>Ponce Campuzano (2021).</ref> == ဝေါဟာရအသုံးအနှုန်းများ (Terminology) == ဟိုလိုမော်ဖစ် ဟူသော ဝေါဟာရကို ၁၈၇၅ ခုနှစ်တွင် အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ၏ တပည့်နှစ်ဦးဖြစ်သော ရှားလ် အိုဂတ်စ် ဘရီယို နှင့် ရောန်-ကလော့ဒ် ဘူကေးတို့က မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ၎င်းသည် တစ်ခုလုံး ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော ဂရိစကားလုံး ὅλος (hólos) နှင့် ပုံစံ သို့မဟုတ် အသွင်အပြင် ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော μορφή (morphḗ) တို့မှ ဆင်းသက်လာသည်။ ဤသည်မှာ အစိတ်အပိုင်း ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော μέρος (méros) မှ ဆင်းသက်လာသည့် မီရိုမော်ဖစ် (meromorphic) ဟူသော ဝေါဟာရနှင့် ဆန့်ကျင်ဘက်ဖြစ်သည်။ ဟိုလိုမော်ဖစ် [[ဖန်ရှင်]]တစ်ခုသည် နယ်ပယ် တစ်ခုအတွင်းရှိ အလုံးစုံ ဖန်ရှင်နှင့် တူညီသည်။ တစ်ချိန်တည်းမှာပင် သီးသန့် အနန္တတန်ဖိုးမှတ်များမှလွဲ၍ ဟိုလိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော မီရိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင် (meromorphic function) သည် အလုံးစုံ ဖန်ရှင်များ၏ ရာရှင်နယ် [[အပိုင်းကိန်း|အပိုင်းကိန်း]] (rational fraction) များနှင့် တူညီသည်။<ref>Briot & Bouquet (1875), pp. 14–15; Harkness & Morley (1893), p. 161.</ref> ယနေ့ခေတ်တွင် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင် ကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဖန်ရှင် ထက် ပိုမိုအသုံးပြုလေ့ရှိကြသည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ၎င်းတို့၏ ထပ်တူညီမှု (equivalence) သည် အသေးအဖွဲ (trivial) အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်တစ်ခု မဟုတ်ဘဲ အဓိက ဆင်းသက်ရရှိသော ရလဒ်တစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ == ဂုဏ်သတ္တိများ (Properties) == ကိန်းထွေး [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း]]သည် မျဉ်းဖြောင့်သဘောတရားရှိပြီး မြှောက်လဒ်၊ စားလဒ် နှင့် ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်းများကို လိုက်နာသောကြောင့် ဟိုလိုမော်ဖစ် [[ဖန်ရှင်]]များ၏ [[ပေါင်းခြင်း|ပေါင်းလဒ်များ]] (sums)၊ [[မြှောက်ခြင်း|မြှောက်လဒ်များ]] (products) နှင့် ပေါင်းစပ်ခြင်းများ (compositions) သည် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်နှစ်ခု၏ စားလဒ် <math>f/g</math> သည် <math>g</math> တွင် သုညမှတ်များ မရှိသော နေရာတိုင်း၌ ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။<ref>Henrici (1993).</ref> <math>\mathbb{C}</math> ကို ကိန်းစစ်ပြင်ညီ (real plane) <math>\textstyle \mathbb{R}^2</math> ဖြင့် ခွဲခြားသတ်မှတ်ရာတွင် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များသည် ကော်ချီ-ရီးမန်း ညီမျှခြင်းများကို ဖြေရှင်းပေးသော [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်]] ပထမအဆင့် ဆင်းသက်ချက်များပါရှိသည့် ကိန်းစစ် ကိန်းရှင်နှစ်ခု၏ ဖန်ရှင်များနှင့် ထပ်တူကျသည်။<ref>Markushevich (1965).</ref> ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင် <math>f(x + iy) = u(x, y) + i\,v(x,y)</math> တိုင်းသည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်စုပေါ်ရှိ ဟာမိုနစ် ဖန်ရှင်များ (harmonic functions) ဖြစ်သော ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းများ အဖြစ်သို့ ကွဲထွက်သွားသည်။ ယင်းဖန်ရှင်များသည် လာပလေ့စ်၏ ညီမျှခြင်း (Laplace's equation) <math>\textstyle \nabla^2 u = \nabla^2 v = 0</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ ဤတွင် <math>v</math> သည် <math>u</math> ၏ ဟာမိုနစ် ကွန်ဂျူဂိတ် (harmonic conjugate) ဖြစ်သည်။<ref>Evans (1998).</ref> ပြောင်းပြန်အားဖြင့် ရိုးရှင်းစွာ ဆက်စပ်နေသော နယ်ပယ် (simply connected domain) <math>\textstyle \Omega \subset \mathbb{R}^2</math> ပေါ်ရှိ ဟာမိုနစ် ဖန်ရှင် <math>u(x, y)</math> တိုင်းသည် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ ကော်ချီ၏ အင်တီဂရယ် သီအိုရမ် (Cauchy's integral theorem) က ကွင်းပိတ်တစ်ခုတစ်လျှောက်ရှိ ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်တိုင်း၏ ကွန်တို အင်တီဂရယ် (contour integral) သည် ပျောက်ကွယ်သွားကြောင်း ဖော်ပြသည် ။<ref>Lang (2003).</ref> : <math>\oint_\gamma f(z)\,\mathrm{d}z = 0,</math> ဤတွင် <math>\gamma</math> သည် ၎င်း၏ အစမှတ်နှင့် အဆုံးမှတ် တူညီသော ရိုးရှင်းစွာ ဆက်စပ်နေသော နယ်ပယ် <math>U \subset \mathbb{C}</math> အတွင်းရှိ ဖြောင့်တန်းနိုင်သော လမ်းကြောင်း (rectifiable path) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကော်ချီ၏ အင်တီဂရယ် ပုံသေနည်း (Cauchy's integral formula) အရ အပိတ်ပြားတစ်ခုအတွင်း ဟိုလိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်တိုင်းသည် နယ်နိမိတ်ပေါ်ရှိ ၎င်း၏ တန်ဖိုးများဖြင့် အပြည့်အဝ ဆုံးဖြတ်နိုင်ကြောင်း ဖော်ပြသည်။<ref>Lang (2003).</ref> အကယ်၍ <math>U \subset \mathbb{C}</math> သည် ကိန်းထွေး နယ်ပယ် တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f \colon U \to \mathbb{C}</math> သည် ဟိုလိုမော်ဖစ်ဖြစ်ကာ အပိတ် အပိတ်ပြား (closed disk) <math>D \equiv \{ z : \vert z - z_0 \vert \leq r \}</math> ကို နယ်နိမိတ် စက်ဝိုင်း (boundary circle) <math>\gamma</math> နှင့်အတူ <math>U</math> အတွင်း ပါဝင်သည်ဆိုပါက <math>D</math> ၏ အတွင်းပိုင်း (interior) ရှိ <math>a</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည် ။ : <math>f(a) = \frac{ 1 }{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{z-a}\,\mathrm{d}z</math> ဤတွင် အင်တီဂရယ်သည် လက်ဝဲရစ် (counter-clockwise) ဖြစ်သည်။ ကော်ချီ၏ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း ပုံသေနည်း (Cauchy's differentiation formula) ကို အသုံးပြု၍ ဆင်းသက်ချက် <math>{f'}(a)</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားနိုင်သည် ။<ref>Lang (2003).</ref> : <math> f'\!(a) = \frac{ 1 }{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{(z-a)^2}\,\mathrm{d}z,</math> ၎င်းသည် <math>f</math> ဟိုလိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော နယ်ပယ်တစ်ခုကို ဘောင်ခတ်ထားသည့် <math>a</math> ပတ်လည်ရှိ ရိုးရှင်းသော အပေါင်းကိန်း ကွင်းပိတ်တစ်ခုအတွက် ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော (infinitesimal) အပေါင်းကိန်း ကွင်းပိတ်များ <math>\gamma</math> အတွက်မူ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် ။ : <math> f'\!(a) = \lim\limits_{\gamma\to a} \frac{ i }{2\mathcal{A}(\gamma)} \oint_{\gamma}f(z)\,\mathrm{d}\bar{z},</math> ဆင်းသက်ချက် သုညမဟုတ်သော နယ်ပယ်များတွင် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များသည် ကွန်ဖော်မယ် ပုံဖော်မှုများ (conformal maps) ဖြစ်ကြပြီး သေးငယ်သော ပုံသဏ္ဌာန်များ၏ ထောင့်များနှင့် ပုံစံများကို ထိန်းသိမ်းထားသည်။<ref>Rudin (1987).</ref> [[အက္ခရာသင်္ချာ|အက္ခရာသင်္ချာနည်းအရ]] အဖွင့်စုတစ်ခုပေါ်ရှိ ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များ၏ အစုသည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) တစ်ခုနှင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ကိန်းထွေး ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (complex vector space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဆက်စပ်နေသော အဖွင့်စုတစ်ခုပေါ်တွင် ၎င်းသည် [[အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း|ကိန်းပြည့်ရင်းဆိုင်ရာ ဒိုမိန်း]] (integral domain) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။<ref>Gunning & Rossi (1965).</ref> ဂျီဩမေတြီနည်းအရ ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခုသည် <math>z_0</math> တွင် ဟိုလိုမော်ဖစ်ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>z_0</math> ၏ ပတ်ဝန်းကျင်တစ်ခုရှိ ၎င်း၏ ပြင်ပ ဆင်းသက်ချက် (exterior derivative) <math>\mathrm{d}f</math> သည် <math>f'(z)\,\mathrm{d}z</math> နှင့် ညီမျှခြင်း ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ရိုးရှင်းစွာ ဆက်စပ်နေသော နယ်ပယ်တစ်ခုရှိ လမ်းကြောင်း <math>\gamma</math> အတွက် <math>F_\gamma(z) = F(z_0) + \int_\gamma f(\zeta)\,\mathrm{d}\zeta</math> သည် ယေဘုယျပြုထားသော စတုတ်၏ သီအိုရမ် (generalized Stokes' theorem) အရ လမ်းကြောင်းရွေးချယ်မှုအပေါ် အမှီအခိုကင်းပြီး <math>F'(z) = f(z)</math> ကို ရရှိစေသည်။ == ဥပမာများ (Examples) == * အလုံးစုံ [[ဖန်ရှင်]]များတွင် ကိန်းထွေး မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (complex coefficients) ပါသော <math>z</math> ရှိ [[ပိုလီနိုမီရယ်|ပိုလီနိုမီရယ်များအားလုံး]]၊ [[ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်]] (exponential function) <math>\exp z</math> နှင့် [[တြီဂိုနိုမေတြီ|တြီဂိုနိုမေတြီ ဖန်ရှင်များ]] (trigonometric functions) ဖြစ်သည့် <math>\cos{z} = \tfrac{1}{2} \bigl( \exp(+iz) + \exp(-iz)\bigr)</math> နှင့် <math>\sin{z} = -\tfrac{1}{2} i \bigl(\exp(+iz) - \exp(-iz)\bigr)</math> တို့ ပါဝင်သည်။ ၎င်းတို့သည် <math>\mathbb{C}</math> တစ်ခုလုံးပေါ်တွင် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ * ကိန်းထွေး [[လော့ဂရစ်သမ်]] (complex logarithm) <math>\log z</math> ၏ ပင်မ ဖြာထွက်ဖန်ရှင် (principal branch) သည် အရင်းအမြစ်စု <math>\mathbb{C} \smallsetminus \{ z \in \mathbb{R} : z \le 0\}</math> ပေါ်တွင် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။ * နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ဖန်ရှင် (square root function) <math>\sqrt{z} \equiv \exp \bigl(\tfrac{1}{2} \log z\bigr)</math> သည် လော့ဂရစ်သမ် တည်ရှိသော နေရာတိုင်းတွင် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။ * အချိုးပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (reciprocal function) <math>\tfrac{1}{z}</math> သည် <math>\mathbb{C} \smallsetminus \{ 0 \}</math> ပေါ်တွင် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖြစ်ပြီး <math>\mathbb{C}</math> ပေါ်တွင် မီရိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။ ကော်ချီ-ရီးမန်း ညီမျှခြင်းများ၏ အကျိုးဆက်အနေဖြင့် ဆက်စပ်နေသော နယ်ပယ်တစ်ခုပေါ်ရှိ မည်သည့် ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ (real-valued) ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်မဆို ကိန်းသေဖြစ်ရမည်။ ထို့ကြောင့် [[ပကတိတန်ဖိုး]] (absolute value) <math>\vert z \vert</math>၊ ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် (argument) <math>\arg z</math>၊ ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part) <math>\operatorname{Re}(z)</math> နှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်း (imaginary part) <math>\operatorname{Im}(z)</math> တို့သည် ဟိုလိုမော်ဖစ် မဟုတ်ကြပေ။ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် <math>\bar{z}</math> သည်လည်း ဟိုလိုမော်ဖစ် မဟုတ်ပေ။ ၎င်းသည် ဆန့်ကျင်ဘက်ဟိုလိုမော်ဖစ် (antiholomorphic) ဖြစ်သည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Ahlfors |first=Lars |title=Complex Analysis |edition=3rd |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill |date=1979 |isbn=978-0-07-000657-7 |mr=0510197 |zbl=0395.30001}} * {{Citation |last1=Briot |first1=Charles Auguste |last2=Bouquet |first2=Jean-Claude |date=1875 |title=Théorie des fonctions elliptiques |edition=2nd |publication-place=Paris |publisher=Gauthier-Villars}} * {{Citation |last1=Ebenfelt |first1=Peter |last2=Hungerbühler |first2=Norbert |last3=Kohn |first3=Joseph J. |last4=Mok |first4=Ngaiming |last5=Straube |first5=Emil J. |year=2011 |title=Complex Analysis |publication-place=Basel |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-3-0346-0009-5}} * {{Citation |last=European Mathematical Society |year=2015 |title=Analytic functions of one complex variable |encyclopedia=Encyclopedia of Mathematics |publisher=European Mathematical Society / Springer}} * {{Citation |last=European Mathematical Society |year=2021 |title=Analytic function |encyclopedia=Encyclopedia of Mathematics |publisher=European Mathematical Society / Springer}} * {{Citation |last=Evans |first=Lawrence C. |year=1998 |title=Partial Differential Equations |series=Graduate Studies in Mathematics |volume=19 |publication-place=Providence, RI |publisher=American Mathematical Society |isbn=978-0-8218-0772-9 |mr=1625845 |zbl=0902.35002}} * {{Citation |last1=Gray |first1=J. D. |last2=Morris |first2=S. A. |date=April 1978 |title=When is a function that satisfies the Cauchy–Riemann equations analytic? |journal=The American Mathematical Monthly |volume=85 |issue=4 |doi=10.2307/2321164}} * {{Citation |last1=Gunning |first1=Robert C. |last2=Rossi |first2=Hugo |year=1965 |title=Analytic Functions of Several Complex Variables |series=Modern Analysis |publication-place=Englewood Cliffs, NJ |publisher=Prentice-Hall |isbn=978-0-8218-6953-6 |mr=0180696 |zbl=0141.08601}} * {{Citation |last1=Harkness |first1=James |last2=Morley |first2=Frank |date=1893 |title=A Treatise on the Theory of Functions |publication-place=London |publisher=Macmillan}} * {{Citation |last=Henrici |first=Peter |year=1986 |title=Applied and Computational Complex Analysis, Volume 1 |publication-place=New York |publisher=John Wiley & Sons |isbn=978-0-471-88924-3 |mr=0902028 |zbl=0661.30001}} * {{Citation |last=Henrici |first=Peter |year=1993 |title=Applied and Computational Complex Analysis, Volume 3 |publication-place=New York |publisher=John Wiley & Sons |isbn=978-0-471-58986-0 |mr=0822470 |zbl=1107.30300}} * {{Citation |last=Lang |first=Serge |year=2003 |title=Complex Analysis |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=103 |edition=4th |publication-place=New York |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-0-387-98592-3 |mr=1661605 |zbl=1030.30001}} * {{Citation |last=Markushevich |first=A. I. |year=1965 |title=Theory of Functions of a Complex Variable, Volume 1 |publication-place=Englewood Cliffs, NJ |publisher=Prentice-Hall |mr=0171899 |zbl=0128.06402}} * {{Citation |last=Ponce Campuzano |first=Juan Carlos |date=14 August 2021 |title=2.3: Complex Differentiation |work=Complex Analysis – A Visual and Interactive Introduction |publisher=LibreTexts}} * {{Citation |last=Rudin |first=Walter |year=1987 |title=Real and Complex Analysis |edition=3rd |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill Book Co. |isbn=978-0-07-054234-1 |mr=0924157 |zbl=0925.00005}} [[ကဏ္ဍ:ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] foky5vkgbf8jv765ur85vrb2zpaxyiy 0 291754 1060808 1053595 2026-10-31T00:16:43Z Mkant00 135890 1060808 wikitext text/x-wiki ဘာနက် အက္ခရာသင်္ချာ (Banach algebra) သည် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ|ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ]] (associative algebra) တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|နိမ့်ကျစွာမြှောက်သည့် စံနှုန်း]] (submultiplicative norm) တစ်ခု တပ်ဆင်ထားသည့် ဘာနက် ရပ်ဝန်း (Banach space) တစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ဖန်ရှင် ရပ်ဝန်းများ (function spaces) နှင့် အော်ပရေတာ အက္ခရာသင်္ချာများ (operator algebras) အား လေ့လာရန်အတွက် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) တွင် အခြေခံ တည်ဆောက်ပုံ (foundational structure) တစ်ခုအဖြစ် အသုံးဝင်သည်။ == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Formal Definitions) == <math>(A, +)</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) တစ်ခု ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ အကယ်၍ အောက်ပါ အခြေအနေများကို ပြည့်စုံစေပါက တည်ဆောက်ပုံ <math>(A, +, \circ, \|\cdot\|)</math> သည် ဘာနက် အက္ခရာသင်္ချာ တစ်ခု ဖြစ်သည်။ * <math>(A, +, \|\cdot\|)</math> သည် ဘာနက် ရပ်ဝန်း တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပြည့်စုံသော စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်း (complete normed vector space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ * <math>(A, +, \circ)</math> သည် ဖက်စပ်ရ <math>\mathbb{K}</math>-အက္ခရာသင်္ချာ (associative <math>\mathbb{K}</math>-algebra) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ * <math>a, b \in A</math> အားလုံးအတွက် <math>\|a \circ b\| \le \|a\| \|b\|</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ ၎င်းကို နိမ့်ကျစွာမြှောက်မှု (submultiplicativity) ဟု ခေါ်သည်။ [[မြှောက်လဒ်]] အော်ပရေတာ <math>\circ</math> ကို ယေဘုယျအားဖြင့် ချန်လှပ်ထားလေ့ရှိပြီး <math>a \circ b</math> အား <math>ab</math> အဖြစ် ဖော်ပြလေ့ရှိသည်။ === အင်ဗော်လူးရှင်းပါရှိသော ဘာနက် အက္ခရာသင်္ချာများ (Involutive Banach Algebras) === <math>\mathbb{C}</math> အပေါ်ရှိ ဘာနက် * အက္ခရာသင်္ချာ (Banach-*-algebra) သည် <math>a, b \in A</math> နှင့် <math>\lambda, \mu \in \mathbb{C}</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများကို ပြည့်စုံစေသော [[အင်ဗော်လူးရှင်း|အင်ဗော်လူးရှင်း]] (involution) <math>* \colon A \to A</math> တစ်ခု တပ်ဆင်ထားသည့် ဘာနက် အက္ခရာသင်္ချာ တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤအင်ဗော်လူးရှင်းသည် <math>a \mapsto a^*</math> ကို ပုံဖော်ပေးသည်။ * <math>(a^*)^* = a</math> * <math>(ab)^* = b^*a^*</math> * <math>(\lambda a + \mu b)^* = \overline{\lambda}a^* + \overline{\mu}b^*</math> * <math>\|a^*\| = \|a\|</math> C* အက္ခရာသင်္ချာ (C*-algebra) သည် C* ထပ်တူညီမှု (C*-identity) ကို ထပ်မံပြည့်စုံစေသော ဘာနက် * အက္ခရာသင်္ချာ တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Kadison & Ringrose (1983).</ref> * <math>a \in A</math> အားလုံးအတွက် <math>\|a^*a\| = \|a\|^2</math> ဖြစ်သည်။ ဖွန်နွိုင်းမန်း အက္ခရာသင်္ချာ (von Neumann algebra) သည် ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း (Hilbert space) တစ်ခုပေါ်ရှိ အကန့်အသတ်ရှိသော အော်ပရေတာများ (bounded operators) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားကာ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|အားနည်းသော အော်ပရေတာ တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (weak operator topology) တွင် အပိတ်ဖြစ်သော ထပ်တူရပါသော C* အက္ခရာသင်္ချာ (unital C*-algebra) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ == အဓိက သီအိုရမ်များ နှင့် ဂုဏ်သတ္တိများ (Core Theorems & Properties) == === ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော ဂုဏ်သတ္တိ (Invertibility) === <math>A</math> သည် <math>\|1\| = 1</math> ကို ပြည့်စုံစေသော [[ထပ်တူရအစုဝင်|မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်]] (multiplicative identity element) <math>1</math> ပါရှိသည့် ဘာနက် အက္ခရာသင်္ချာ တစ်ခု ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ [[ပြောင်းပြန် အစုဝင်|ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော အစုဝင်များ]] (invertible elements) ၏ [[အစု]] <math>A^\times</math> သည် <math>A</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အဖွင့်စုပိုင်း]] (open subset) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>\|a - b\| < \|b^{-1}\|^{-1}</math> ကို ပြည့်စုံစေသည့် မည်သည့် <math>b \in A^\times</math> နှင့် <math>a \in A</math> အတွက်မဆို [[အစုဝင်]] <math>a</math> သည် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်ပြီး ၎င်း၏ ပြောင်းပြန်ကို [[ကိန်းစဉ်တန်း|နွိုင်းမန်း ကိန်းစဉ်တန်း]] (Neumann series) ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ :<math>a^{-1} = b^{-1}\sum_{n=0}^\infty ((b-a)b^{-1})^n</math> ပြောင်းပြန်လှန်ခြင်း ပုံဖော်မှု <math>a \mapsto a^{-1}</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပြီး <math>A^\times</math> ကို [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ အုပ်စု]] (topological group) တစ်ခုအဖြစ် တည်ဆောက်ပေးသည်။ === ရောင်စဉ် နှင့် ရောင်စဉ်အချင်းဝက် (Spectrum and Spectral Radius) === <math>A</math> သည် ထပ်တူရပါသော <math>\mathbb{C}</math>-ဘာနက် အက္ခရာသင်္ချာ တစ်ခု ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ <math>a \in A</math> ၏ ရောင်စဉ် (spectrum) ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ :<math>\sigma(a) := \{\lambda \in \mathbb{C} \mid a - \lambda 1 \notin A^\times\}</math> ရောင်စဉ် သီအိုရီ (spectral theory) အရ <math>\sigma(a)</math> သည် <math>\mathbb{C}</math> ၏ ဗလာမဟုတ်သော (non-empty) [[အစုပိုင်း|ကျစ်လျစ်သော အစုပိုင်း]] (compact subset) တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Bonsall & Duncan (1973).</ref> ရောင်စဉ်အချင်းဝက် (spectral radius) <math>r(a) := \sup \{|\lambda| \mid \lambda \in \sigma(a)\}</math> ကို ဂဲလ်ဖန်း (Gelfand) ၏ ရောင်စဉ်အချင်းဝက် ပုံသေနည်းဖြင့် ဆုံးဖြတ်သည်။ :<math>r(a) = \lim_{n \to \infty} \|a^n\|^{1/n}</math> === ဖလှယ်ရ ဘာနက် အက္ခရာသင်္ချာများ နှင့် ဂဲလ်ဖန်း သီအိုရီ (Commutative Banach Algebras & Gelfand Theory) === <math>A</math> သည် ဖလှယ်ရသော (commutative) ထပ်တူရပါသော <math>\mathbb{C}</math>-ဘာနက် အက္ခရာသင်္ချာ တစ်ခု ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ ဂဲလ်ဖန်း ရောင်စဉ် (Gelfand spectrum) သို့မဟုတ် ဂဲလ်ဖန်း ရပ်ဝန်း (Gelfand space) <math>X_A</math> သည် သုညမဟုတ်သော မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်များ (non-zero multiplicative linear functionals) <math>\varphi \colon A \to \mathbb{C}</math> အားလုံး၏ [[အစု]] ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့သည် အလိုအလျောက် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပြီး စံနှုန်း အများဆုံး <math>1</math> ရှိကြကာ <math>\|\varphi\| \leq 1</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ထပ်တူရအစုဝင်သည် <math>\|1\| = 1</math> ကို ပြည့်စုံစေပါက ထိုဖန်ရှင်နယ်တိုင်း၏ စံနှုန်းသည် အတိအကျ <math>1</math> ဖြစ်သည်။ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|နှိုင်းရ အားနည်း * တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (relative weak-* topology) တပ်ဆင်ထားပါက <math>X_A</math> သည် ကျစ်လျစ်သော ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်း (compact Hausdorff space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဂဲလ်ဖန်း အသွင်ပြောင်းခြင်း (Gelfand transform) သည် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|အက္ခရာသင်္ချာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (continuous algebra homomorphism) <math>\textstyle\widehat{\cdot} \colon A \to \mathcal{C}(X_A)</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ :<math>\widehat{a}(\varphi) = \varphi(a)</math> အစုဝင်တစ်ခု၏ ရောင်စဉ်သည် ဂဲလ်ဖန်း အသွင်ပြောင်းခြင်းနှင့် အောက်ပါအတိုင်း ဆက်စပ်နေသည်။ :<math>\sigma(a) = \widehat{a}(X_A)</math> <math>X_A</math> နှင့် <math>A</math> ၏ [[အကြီးဆုံး အိုင်ဒီးလ်|အကြီးဆုံး အိုင်ဒီးလ်များ]] (maximal ideals) အစု <math>\operatorname{MaxSpec}(A)</math> ကြားတွင် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ပုံမှန် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]] (canonical bijection) တစ်ခု တည်ရှိသည်။ :<math>X_A \to \operatorname{MaxSpec}(A), \quad \varphi \mapsto \ker(\varphi)</math> မည်သည့် <math>\varphi \in X_A</math> အတွက်မဆို <math>\ker(\varphi)</math> သည် ဖြည့်စွက်အတိုင်းအတာ <math>1</math> (codimension <math>1</math>) ရှိသော အပိတ် အကြီးဆုံး အိုင်ဒီးလ် (closed maximal ideal) တစ်ခုဖြစ်ပြီး စားလဒ်ရပ်ဝန်း (quotient space) သည် <math>A/\ker(\varphi) \cong \mathbb{C}</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ == ကိုးကား == <references /> * {{Citation |last1=Bonsall |first1=F. F. |last2=Duncan |first2=J. |title=Complete Normed Algebras |series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. NF Bd. 80 |publication-place=Berlin |publisher=Springer |date=1973 |isbn=3-540-06386-2}} * {{Citation |last1=Kadison |first1=Richard V. |last2=Ringrose |first2=John R. |title=Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Special Topics. Band 1: Elementary Theory |publication-place=New York |publisher=Academic Press |date=1983 |isbn=0-12-393301-3}} * {{Citation |last=Takesaki |first=Masamichi |title=Theory of Operator Algebras I |publication-place=Berlin |publisher=Springer |date=1979 |isbn=3-540-90391-7}} [[ကဏ္ဍ:ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] 9y3hjwz84d4joly00rg8a0u50jsa5xt 0 291756 1060807 1055353 2026-10-31T00:16:18Z Mkant00 135890 1060807 wikitext text/x-wiki ဖန်ရှင်နယ် [[ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ|ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာတွင်]] ဟန်း-ဘာနက် သီအိုရမ် (Hahn-Banach theorem) သည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာ ရပ်ဝန်းပိုင်း]] (vector subspace) တစ်ခုပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော အကန့်အသတ်ရှိသော မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်များ (bounded linear functionals) ကို ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုလုံးသို့ တိုးချဲ့ပေးနိုင်ရန် အာမခံသည့် အခြေခံ ရလဒ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (normed vector space) တိုင်းအပေါ်တွင် ၎င်း၏ [[ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း]] (dual space) ကို အပြည့်အဝ သတ်မှတ်ဖော်ပြနိုင်ရန်အတွက် လုံလောက်သော အရေအတွက်ရှိသည့် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်]] မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်များ (continuous linear functionals) တည်ရှိမှုကို ၎င်းက သေချာစေသည်။ == ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဟန်း-ဘာနက် သီအိုရမ်များ (Analytic Hahn–Banach Theorems) == === ကိန်းစစ် လွှမ်းမိုးခံ တိုးချဲ့ချက် သီအိုရမ် (Dominated Extension Theorem (Real)) === <math>X</math> သည် [[ကိန်းစစ်]] [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခု]] ဖြစ်ပြီး <math>p \colon X \to \mathbb{R}</math> သည် အောက်ပါတို့ကို ပြည့်စုံစေသော နိမ့်ကျမျဉ်းဖြောင့်ဂုဏ်ရှိသော [[ဖန်ရှင်]] (sublinear function) တစ်ခု ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ * <math>x, y \in X</math> အားလုံးအတွက် <math>p(x + y) \le p(x) + p(y)</math> ဖြစ်သည်။ * <math>x \in X</math> နှင့် <math>t \ge 0</math> အားလုံးအတွက် <math>p(tx) = tp(x)</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>M</math> သည် <math>X</math> ၏ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာ ရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခု]] ဖြစ်ပြီး <math>f \colon M \to \mathbb{R}</math> သည် <math>p</math> ၏ လွှမ်းမိုးခံရသော (dominated) မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ် (linear functional) တစ်ခု ဖြစ်ကာ အောက်ပါအတိုင်း ပြည့်စုံစေပါက :<math>f(m) \le p(m) \quad \text{for all } m \in M </math> ဖြစ်သည်။ ထိုအခါ အောက်ပါအတိုင်း ပြည့်စုံစေသည့် <math>f</math> ၏ မျဉ်းဖြောင့် တိုးချဲ့ချက် (linear extension) <math>F \colon X \to \mathbb{R}</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ :<math>F(x) \le p(x) \quad \text{for all } x \in X</math> အကယ်၍ <math>p</math> အား တိကျစွာ ခုံးသော ဖန်ရှင် (convex function) တစ်ခုအဖြစ် ယူဆပါက ဤဖော်ပြချက်သည် ဆက်လက် မှန်ကန်သည်။<ref>Schechter (1996).</ref> === ကိန်းစစ်/ကိန်းထွေး တိုးချဲ့ချက် သီအိုရမ် (Real/Complex Extension Theorem) === <math>X</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခု]] ဖြစ်ပြီး <math>p \colon X \to \mathbb{R}</math> သည် ဆီမီးစံနှုန်း (seminorm) တစ်ခု ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ အကယ်၍ <math>M</math> သည် <math>X</math> ၏ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာ ရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခု]] ဖြစ်ပြီး <math>f \colon M \to \mathbb{K}</math> သည် အောက်ပါကို ပြည့်စုံစေသော မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်တစ်ခု ဖြစ်ပါက :<math>|f(m)| \le p(m) \quad \text{for all } m \in M</math> ဖြစ်သည်။ ထိုအခါ အောက်ပါတို့ကို ပြည့်စုံစေသည့် မျဉ်းဖြောင့် တိုးချဲ့ချက် <math>F \colon X \to \mathbb{K}</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ :<math>F(m) = f(m) \quad \text{for all } m \in M</math> :<math>|F(x)| \le p(x) \quad \text{for all } x \in X</math> === အဆက်မပြတ် တိုးချဲ့ချက် သီအိုရမ် (Continuous Extension Theorem) === <math>M</math> သည် <math>\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}</math> အပေါ်ရှိ ဒေသအလိုက် ခုံးသော တိုပေါ်လော်ဂျီ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (locally convex topological vector space) <math>X</math> ၏ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာ ရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခု]] ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်]] မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်တိုင်း <math>f \colon M \to \mathbb{K}</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော မျဉ်းဖြောင့် တိုးချဲ့ချက် <math>F \colon X \to \mathbb{K}</math> တစ်ခု ရှိသည်။<ref>Narici & Beckenstein (2011).</ref> အကယ်၍ <math>X</math> သည် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]သတ်မှတ်ထားသော ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ဤတိုးချဲ့ချက်ကို စံနှုန်းကို တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းသော (norm-preserving) အရာအဖြစ် ရွေးချယ်နိုင်သည်။ :<math>\|F\|_{X^*} = \|f\|_{M^*}</math> == ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဟန်း-ဘာနက် သို့မဟုတ် ခွဲခြားခြင်း သီအိုရမ်များ (Geometric Hahn–Banach or Separation Theorems) == <math>X</math> သည် [[ကိန်းစစ်]] တိုပေါ်လော်ဂျီ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (real topological vector space) တစ်ခု ဖြစ်ပြီး <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့သည် <math>X</math> ၏ ဗလာမဟုတ်သော ဘုံမပါသော ခုံးသောအစုပိုင်းများ (non-empty, disjoint convex subsets) ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ * အဖွင့်စုများ (Open Sets): အကယ်၍ <math>A</math> သည် အဖွင့်စု (open set) တစ်ခု ဖြစ်ပါက အောက်ပါကို ပြည့်စုံစေသည့် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်]] မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ် <math>f \colon X \to \mathbb{R}</math> တစ်ခုနှင့် <math>s \in \mathbb{R}</math> တို့ တည်ရှိသည်။ :<math>f(a) < s \le f(b) \quad \text{for all } a \in A, b \in B</math> * ကျစ်လျစ်သော အစုများ နှင့် အပိတ် အစုများ (Compact and Closed Sets): အကယ်၍ <math>X</math> သည် ဒေသအလိုက် ခုံးသော ဖြစ်ပြီး <math>A</math> သည် ကျစ်လျစ်၍ <math>B</math> သည် အပိတ်စု ဖြစ်ပါက အောက်ပါကို ပြည့်စုံစေသည့် အဆက်မပြတ် မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ် <math>f \colon X \to \mathbb{R}</math> တစ်ခုနှင့် <math>s, t \in \mathbb{R}</math> တို့ တည်ရှိသည်။ :<math>f(a) < t < s < f(b) \quad \text{for all } a \in A, b \in B</math> * စတာနစ်ဆလပ်ဗ် မာဇူးရ် (Stanisław Mazur) ၏ သီအိုရမ် (Mazur's Theorem): အကယ်၍ <math>M \subset X</math> သည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာ ရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခု]] ဖြစ်ပြီး <math>K \subset X</math> သည် <math>M</math> နှင့် ဘုံမပါသော ဗလာမဟုတ်သည့် အဖွင့် ခုံးသောအစုပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက <math>K</math> နှင့် ဘုံမပါဘဲ <math>M</math> ကို ငုံထားသည့် <math>X</math> ၏ အပိတ် ဟိုက်ပါပြင်ညီ (closed hyperplane) တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ၎င်းသည် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|ဖြည့်စွက်အတိုင်းအတာ]] 1 ရှိသော ဗက်တာ ရပ်ဝန်းပိုင်း ဖြစ်သည်။ [[ကိန်းထွေး]] တိုပေါ်လော်ဂျီ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (complex topological vector spaces) အတွက် အလားတူ မညီမျှခြင်းများသည် <math>f</math> ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း <math>\operatorname{Re} f</math> အပေါ် သက်ရောက်သည်။ == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations) == === ဆီမီးစံနှုန်းများအတွက် တိုးချဲ့ချက် (Extension for Seminorms) === <math>M</math> သည် <math>X</math> ၏ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာ ရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခု]] ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ အကယ်၍ <math>p \colon M \to \mathbb{R}</math> သည် <math>M</math> ပေါ်ရှိ ဆီမီးစံနှုန်းတစ်ခု ဖြစ်ပြီး <math>q \colon X \to \mathbb{R}</math> သည် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>p(m) \le q(m)</math> ကို ပြည့်စုံစေသည့် <math>X</math> ပေါ်ရှိ ဆီမီးစံနှုန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>P(m) = p(m)</math> ဖြစ်ကာ <math>x \in X</math> အားလုံးအတွက် <math>P(x) \le q(x)</math> ဖြစ်စေသည့် ဆီမီးစံနှုန်း <math>P \colon X \to \mathbb{R}</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ === ဗက်တာတန်ဖိုးရှိ တိုးချဲ့ချက် (Vector-Valued Extension) === အကယ်၍ <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုတည်းအပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] ဖြစ်ပါက [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာ ရပ်ဝန်းပိုင်း]] <math>M \subset X</math> ပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော မည်သည့် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (linear map) <math>f \colon M \to Y</math> မဆိုသည် မျဉ်းဖြောင့် တိုးချဲ့ချက် <math>F \colon X \to Y</math> ကို လက်ခံရရှိသည်။ === မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိရှိသည့် ဟန်း-ဘာနက် (Invariant Hahn–Banach) === <math>X</math> သည် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]သတ်မှတ်ထားသော ရပ်ဝန်း (normed space) တစ်ခု ဖြစ်ပြီး <math>\Gamma</math> သည် <math>X</math> ပေါ်ရှိ ကျုံ့ခြင်းများ (contractions) ဖြစ်ကြသော [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်]] [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများ]] (continuous linear operators) ၏ [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖလှယ်ရ]] [[ဆီမီးအုပ်စု]] (commutative semigroup) တစ်ခု ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ ၎င်းတွင် <math>L \in \Gamma</math> အားလုံးအတွက် <math>\|L\| \le 1</math> ဖြစ်သည်။ <math>M \subset X</math> သည် <math>\Gamma</math> အောက်တွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိရှိသည့် (invariant) [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာ ရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခု]] ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ ၎င်းတွင် <math>L \in \Gamma</math> အားလုံးအတွက် <math>L(M) \subseteq M</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>f \colon M \to \mathbb{K}</math> သည် <math>\Gamma</math> အောက်တွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိရှိသည့် အဆက်မပြတ် မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်တစ်ခု ဖြစ်ပါက ထိုအခါ <math>f</math> တွင် <math>\|F\| = \|f\|</math> ကို ပြည့်စုံစေသော <math>\Gamma</math>-မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိရှိသည့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော မျဉ်းဖြောင့် တိုးချဲ့ချက် <math>F \colon X \to \mathbb{K}</math> တစ်ခု ရှိသည်။ ၎င်းတွင် <math>M</math> ပေါ်၌ <math>f \circ L = f</math> ဖြစ်သည်။<ref>Rudin (1991).</ref> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last1=Narici |first1=Lawrence |last2=Beckenstein |first2=Edward |title=Topological Vector Spaces |edition=2nd |publication-place=Boca Raton |publisher=CRC Press |date=2011 |isbn=978-1584888666}} * {{Citation |last=Rudin |first=Walter |title=Functional Analysis |edition=2nd |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill |date=1991 |isbn=0-07-054236-8}} * {{Citation |last=Schechter |first=Eric |title=Handbook of Analysis and its Foundations |publication-place=San Diego |publisher=Academic Press |date=1996 |isbn=0-12-622760-8}} [[ကဏ္ဍ:ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ သီအိုရမ်များ]] cy1nau9cfuyjjppb4e1luufl5odr8vf 0 291828 1060787 1054337 2026-10-30T20:06:11Z Mkant00 135890 corrections to mathematics 1060787 wikitext text/x-wiki [[File:Beispiel für den Satz vom Maximum und Minimum 3.svg|right|thumb|220px|[a,b] ပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (continuous function) သည် ယင်း၏ အကြီးဆုံးတန်ဖိုး (maximum) နှင့် အငယ်ဆုံးတန်ဖိုး (minimum) ကို အမြဲတမ်း ရရှိသည်။]] '''အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Extreme value theorem)''' သည် အပိတ်နှင့် အကန့်အသတ်ရှိသော အပိုင်းအခြား (closed and bounded interval) တစ်ခုပေါ်ရှိ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင်]] (continuous real-valued function) တစ်ခုက ၎င်း၏ အကြီးဆုံးတန်ဖိုး (maximum) နှင့် အငယ်ဆုံးတန်ဖိုး (minimum) များကို ရရှိကြောင်း ဖော်ပြသည့် ကိန်းစစ် [[ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (real analysis) ရှိ အခြေခံကျသော သီအိုရမ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ == ပုံစံတကျ ဖော်ပြချက် (Formal Statement) == <math>f : [a,b] \to \mathbb{R}</math> သည် အပိတ်နှင့် အကန့်အသတ်ရှိသော အပိုင်းအခြား <math>[a,b]</math> ပေါ်ရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (continuous function) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ်က <math>[a,b]</math> အတွင်း အောက်ပါအခြေအနေကို ပြေလည်စေမည့် ကိန်းများ <math>c</math> နှင့် <math>d</math> တို့ တည်ရှိကြောင်း ဖော်ပြသည်။ <math display="block">f(d) \leq f(x) \leq f(c) \quad \forall x\in [a,b]</math> ဤအချက်က <math>[a,b]</math> ပေါ်ရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အကန့်အသတ်ရှိကြောင်း ဖော်ပြသည့် ပိုမိုအားနည်းသော အကန့်အသတ်ရှိခြင်း သီအိုရမ် (boundedness theorem) ကို သက်ရောက်စေသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ အောက်ပါအခြေအနေကို ပြေလည်စေမည့် ကိန်းစစ်များ <math>m</math> နှင့် <math>M</math> တို့ တည်ရှိသည်။ <math display="block">m \le f(x) \le M \quad \forall x \in [a, b]</math> == ပုံစံတကျ သက်သေပြချက်များ (Formal Proofs) == ယေဘုယျကျမှုကို မဆုံးရှုံးစေဘဲ အောက်ပါ သက်သေပြချက်များသည် အထက်ဘောင် (upper bound) နှင့် အကြီးဆုံးတန်ဖိုး တို့၏ တည်ရှိမှုကို တည်ဆောက်ပေးသည်။ ဆင်တူသော သက်သေပြချက်များကို <math>-f</math> အပေါ် အသုံးချခြင်းဖြင့် အောက်ဘောင် (lower bound) နှင့် အငယ်ဆုံးတန်ဖိုး တို့ကို တည်ဆောက်ပေးသည်။ === အကန့်အသတ်ရှိခြင်း သီအိုရမ် (Boundedness Theorem) === <math>f</math> သည် <math>[a,b]</math> ပေါ်တွင် အထက်မှ အကန့်အသတ်မရှိ (not bounded above) ဟု မှတ်ယူပါ။ ထိုအခါ <math>x_n \in [a,b]</math> နှင့် <math>n</math> အားလုံးအတွက် <math>f(x_n) > n</math> ဖြစ်စေမည့် [[ကိန်းစဉ်]] (sequence) <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ <math>[a,b]</math> သည် အကန့်အသတ်ရှိသောကြောင့် ဘော်ဇာနို-ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် သီအိုရမ် (Bolzano-Weierstrass theorem) က စုဆုံသော ကိန်းစဉ်ပိုင်း (convergent subsequence) <math>(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}</math> တစ်ခု၏ တည်ရှိမှုကို အာမခံပေးသည်။ <math>x = \lim_{k\to\infty} x_{n_k}</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>[a,b]</math> သည် အပိတ် ဖြစ်သောကြောင့် <math>x \in [a,b]</math> ဖြစ်သည်။ <math>x</math> နေရာရှိ <math>f</math> ၏ အဆက်မပြတ်ဖြစ်မှု (continuity) အရ ကိန်းစဉ် <math>(f(x_{n_k}))</math> သည် <math>f(x)</math> သို့ စုဆုံ (converge) သည်။ သို့သော်လည်း တည်ဆောက်ပုံအရ <math>k</math> အားလုံးအတွက် <math>f(x_{n_k}) > n_k \geq k</math> ဖြစ်ပြီး ယင်းက <math>(f(x_{n_k}))</math> သည် <math>\infty</math> သို့ ဖြာထွက် (diverge) ကြောင်း သက်ရောက်သည်။ ဤအချက်သည် <math>f(x)</math> သို့ စုဆုံခြင်းကို ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု ဖြစ်စေသည်။ သို့ဖြစ်၍ <math>f</math> သည် <math>[a,b]</math> ပေါ်တွင် အထက်မှ အကန့်အသတ်ရှိသည်။ === ကိန်းစဉ်အရ အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ် ကိန်းစဉ်အရ (Sequential Extreme Value Theorem) === အကန့်အသတ်ရှိခြင်း သီအိုရမ်အရ အစု <math>f([a,b])</math> သည် အထက်မှ အကန့်အသတ်ရှိသည်။ ကိန်းစစ်များ၏ ဒက်ဒီကင်း-ပြည့်စုံသော (Dedekind-complete) ဂုဏ်သတ္တိအရ စူပရီမမ် (supremum) <math>M = \sup f([a,b])</math> သည် တည်ရှိသည်။ <math>n \in \mathbb{N}</math> တိုင်းအတွက် <math>M - 1/n</math> သည် <math>f</math> အတွက် အထက်ဘောင်တစ်ခု မဟုတ်ပေ။ သို့ဖြစ်၍ <math>[a,b]</math> အတွင်း အောက်ပါအခြေအနေကို ပြေလည်စေမည့် ကိန်းစဉ် <math>(d_n)</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ <math display="block">M - \frac{1}{n} < f(d_n) \leq M</math> ညှစ်ခြင်း သီအိုရမ် (squeeze theorem) အရ ကိန်းစဉ် <math>(f(d_n))</math> သည် <math>M</math> သို့ စုဆုံသည်။ ဘော်ဇာနို-ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် သီအိုရမ်အရ <math>(d_n)</math> တွင် အချို့သော <math>d \in [a,b]</math> သို့ စုဆုံသည့် ကိန်းစဉ်ပိုင်း <math>(d_{n_k})</math> တစ်ခု ရှိသည်။ <math>f</math> သည် <math>d</math> နေရာတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သောကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">f(d) = \lim_{k\to\infty} f(d_{n_k}) = M</math> ထို့ကြောင့် <math>f</math> သည် ၎င်း၏ စူပရီမမ် <math>M</math> ကို <math>d</math> နေရာ၌ ရရှိသည်။ === အခြား သက်သေပြချက် (Alternative Proof) === <math>M = \sup f([a,b])</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>x \in [a,b]</math> အားလုံးအတွက် <math>f(x) < M</math> ဖြစ်သည်ဟု ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုကို ပြသရန်အတွက် မှတ်ယူပါ။ <math display="block">g(x) = \frac{1}{M - f(x)}</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင်သည် <math>[a,b]</math> ပေါ်တွင် တိကျစွာ အပေါင်းဖြစ်ပြီး အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်။ စူပရီမမ်၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>\epsilon > 0</math> တိုင်းအတွက် <math>M - f(x) < \epsilon</math> ဖြစ်စေမည့် <math>x \in [a,b]</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ဤအချက်က <math>g(x) > 1/\epsilon</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်ရောက်ပြီး ယင်းမှာ <math>g</math> သည် <math>[a,b]</math> ပေါ်တွင် အကန့်အသတ်မရှိကြောင်း ဆိုလိုခြင်းဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း ဤအချက်သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် <math>g</math> အပေါ် အသုံးချထားသည့် အကန့်အသတ်ရှိခြင်း သီအိုရမ်နှင့် ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု ဖြစ်စေသည်။ သို့ဖြစ်၍ <math>f(x) = M</math> ဖြစ်စေမည့် အချို့သော <math>x \in [a,b]</math> သည် တည်ရှိရမည်ဖြစ်သည်။ == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations) == === ကျစ်လျစ်သော ရပ်ဝန်းများ (Compact Spaces) === အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ်သည် ယေဘုယျ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ]] (topological spaces) သို့ ဖြန့်ကျက်သည်။ <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ အကယ်၍ <math>f:V\to W</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>K \subset V</math> သည် ကျစ်လျစ်သော အစု (compact set) တစ်ခုဖြစ်ပါက [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] (image) <math>f(K) \subset W</math> သည် ကျစ်လျစ်သည်။ အကယ်၍ <math>W = \mathbb{R}</math> သည် စံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (standard topology) နှင့် ဖြစ်ပြီး <math>K</math> သည် [[ဗလာစု|ဗလာမဟုတ်သော]] ကျစ်လျစ်သည့် [[အစုပိုင်း]] ဖြစ်ပါက ဟိုင်းနား-ဘိုရဲလ် သီအိုရမ် (Heine-Borel theorem) က ကျစ်လျစ်သော အစု <math>f(K)</math> သည် အပိတ်ဖြစ်ပြီး အကန့်အသတ်ရှိကြောင်း သက်ရောက်စေသည်။ <math>f(K)</math> သည် ဗလာမဟုတ်ဘဲ အကန့်အသတ်ရှိသောကြောင့် <math>\sup f(K)</math> နှင့် <math>\inf f(K)</math> တို့သည် ကိန်းစစ်များအဖြစ် တည်ရှိကြသည်။ <math>f(K)</math> သည် အပိတ်ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းတွင် ၎င်း၏ [[အင်ဖီမမ် နှင့် စူပရီမမ်|စူပရီမမ်]]နှင့် [[အင်ဖီမမ် နှင့် စူပရီမမ်|အင်ဖီမမ်]]တို့ ပါဝင်သည်။ ထို့ကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း အကြီးဆုံးတန်ဖိုးနှင့် အငယ်ဆုံးတန်ဖိုးကို ရရှိစေမည့် <math>p, q \in K</math> တို့ တည်ရှိသည်။ <math display="block">f(p) = \max_{x \in K} f(x) = \sup_{x \in K} f(x) \quad \text{and} \quad f(q) = \min_{x \in K} f(x) = \inf_{x \in K} f(x)</math> === ဆီမီးအဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (Semi-continuous Functions) === ဤသီအိုရမ်သည် တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းစစ်မျဉ်း (extended real number line) <math>[-\infty, \infty]</math> ထဲသို့ ပုံဖော်ပေးသည့် ဆီမီးအဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များသို့ ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ ဖန်ရှင် <math>f: [a, b] \to [-\infty, \infty)</math> တစ်ခုသည် အောက်ပါအခြေအနေရှိလျှင် အထက် ဆီမီးအဆက်မပြတ် (upper semi-continuous) ဖြစ်သည်။ <math display="block">\limsup_{y\to x} f(y) \le f(x) \quad \forall x \in [a, b]</math> အကယ်၍ <math>f</math> သည် ကျစ်လျစ်သော အပိုင်းအခြား (compact interval) <math>[a,b]</math> ပေါ်တွင် အထက် ဆီမီးအဆက်မပြတ် ဖြစ်ပါက ၎င်းသည် အထက်မှ အကန့်အသတ်ရှိပြီး ၎င်း၏ စူပရီမမ်ကို ရရှိသည်။ ဖန်ရှင် <math>f: [a, b] \to (-\infty, \infty]</math> တစ်ခုသည် အောက်ပါအခြေအနေရှိလျှင် အောက် ဆီမီးအဆက်မပြတ် (lower semi-continuous) ဖြစ်သည်။ <math display="block">\liminf_{y\to x} f(y) \geq f(x) \quad \forall x \in [a, b]</math> အကယ်၍ <math>f</math> သည် ကျစ်လျစ်သော အပိုင်းအခြား <math>[a,b]</math> ပေါ်တွင် အောက် ဆီမီးအဆက်မပြတ် ဖြစ်ပါက ၎င်းသည် အောက်မှ အကန့်အသတ်ရှိပြီး ၎င်း၏ အင်ဖီမမ်ကို ရရှိသည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Abbott |first=Stephen |title=Understanding Analysis |series=Undergraduate Texts in Mathematics |publication-place=New York |publisher=Springer-Verlag |date=2001 |isbn=978-0-387-95060-0}} * {{Citation |last=Rudin |first=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3rd |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill |date=1976 |isbn=0-07-054235-X}} * {{Citation |last=Spivak |first=Michael |title=Calculus |edition=3rd |publication-place=Houston |publisher=Publish or Perish |date=1994 |isbn=978-0-914098-89-8}} [[ကဏ္ဍ: ကဲကုလပ် သီအိုရမ်များ]] o8xe8pscnmeym6lhep59fdwpscr9pkx 0 291879 1060755 1054236 2026-10-30T15:50:10Z Mkant00 135890 corrections to mathematics 1060755 wikitext text/x-wiki <math>g</math> သည် <math>x</math> တွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်]] (differentiable function) ဖြစ်ပြီး <math>f</math> သည် <math>g(x)</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (chain rule) အရ [[ပေါင်းစပ်ခြင်း အော်ပရေတာ|ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်]] (composite function) <math>f \circ g</math> သည် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသည်။ လာဂေါင့် (Lagrange) ၏ [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း|သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း]] (notation) အရ ၎င်း၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)</math> <math>y = f(u)</math> နှင့် <math>u = g(x)</math> ဖြစ်ပါစေ။ လိုက်ဘ်နစ်ဇ် (Leibniz) ၏ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းတွင် ဆင်းသက်ချက်မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}</math> တိကျသော အမှတ်များတွင် တန်ဖိုးရှာဖွေသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=c} = \left.\frac{dy}{du}\right|_{u = g(c)} \cdot \left.\frac{du}{dx}\right|_{x=c}</math> ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင် <math>n</math> ခုဖြစ်သော <math>f_1, \ldots, f_n</math> အတွက် ထပ်ခါတလဲလဲ အသုံးချခြင်းသည် အောက်ပါရလဒ်ကို ပေးသည်။<ref>Apostol (1974).</ref> <math display="block">\frac{df_1}{dx} = \frac{df_1}{df_2}\frac{df_2}{df_3}\cdots\frac{df_n}{dx}</math> == သက်သေပြချက်များ (Proofs) == === ခြားနားခြင်းဆိုင်ရာ စားလဒ် စုဆုံမှတ် (Difference Quotient Limit) === <math>a</math> ရှိ <math>f \circ g</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">(f \circ g)'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(g(x)) - f(g(a))}{x - a}</math> <math>g(x) = g(a)</math> ဖြစ်သောအခါ [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|သုညဖြင့် စားခြင်း]] (division by zero) ကို ရှောင်ရှားရန် [[ဖန်ရှင်|အပိုင်းလိုက် ဖန်ရှင်]] (piecewise function) <math>Q</math> တစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math display="block">Q(y) = \begin{cases} \frac{f(y) - f(g(a))}{y - g(a)}, & y \neq g(a) \\ f'(g(a)), & y = g(a) \end{cases}</math> <math>f</math> သည် <math>g(a)</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသောကြောင့် <math>Q</math> သည် <math>g(a)</math> တွင် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်]] (continuous)။ ခြားနားခြင်းဆိုင်ရာ စားလဒ်သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြန့်ထွက်သွားသည်။ <math display="block">\frac{f(g(x)) - f(g(a))}{x - a} = Q(g(x)) \cdot \frac{g(x) - g(a)}{x - a}</math> <math>x \to a</math> သို့ ချဉ်းကပ်သည့် [[စုဆုံမှတ်]]ကို ယူသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\lim_{x \to a} \left[ Q(g(x)) \cdot \frac{g(x) - g(a)}{x - a} \right] = Q(g(a)) \cdot g'(a) = f'(g(a)) \cdot g'(a)</math> === မျဉ်းဖြောင့်ပုံစံ ခန့်မှန်းတွက်ချက်မှု (Linear Approximation) === <math>a</math> ၌ <math>g</math> ၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု]] (differentiability) သည် <math>\lim_{h \to 0} \varepsilon(h) = 0</math> နှင့် အောက်ပါအခြေအနေကို ပြည့်စုံစေသည့် <math>\varepsilon(h)</math> တစ်ခု တည်ရှိမှုကို ရည်ညွှန်းသည်။ <math display="block">g(a + h) - g(a) = g'(a)h + \varepsilon(h)h</math> <math>g(a)</math> ရှိ <math>f</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုသည် <math>\lim_{k \to 0} \eta(k) = 0</math> နှင့် အောက်ပါအခြေအနေကို ပြည့်စုံစေသည့် <math>\eta(k)</math> တစ်ခု တည်ရှိမှုကို ရည်ညွှန်းသည်။ <math display="block">f(g(a) + k) - f(g(a)) = f'(g(a))k + \eta(k)k</math> <math>k_h = g(a + h) - g(a) = g'(a)h + \varepsilon(h)h</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>k_h</math> ကို အစားထိုးသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">f(g(a + h)) - f(g(a)) = f'(g(a))[g'(a)h + \varepsilon(h)h] + \eta(k_h)[g'(a)h + \varepsilon(h)h]</math> <math>h</math> ဖြင့် [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|စားခြင်း]]နှင့် <math>h \to 0</math> သို့ ချဉ်းကပ်သည့် [[စုဆုံမှတ်]]ကို တန်ဖိုးရှာဖွေသောအခါ အောက်ပါရလဒ်ကို ရရှိသည်။ <math display="block">\lim_{h \to 0} \frac{f(g(a + h)) - f(g(a))}{h} = f'(g(a))g'(a)</math> === ကာရာသီယိုဒိုရီ၏ ဖွဲ့စည်းဖော်ပြမှု (Carathéodory's Formulation) === ကာရာသီယိုဒိုရီ (Carathéodory) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (definition) အရ <math>f</math> သည် <math>a</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်စွမ်းရှိရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>f(x) - f(a) = q(x)(x - a)</math> နှင့် <math>f'(a) = q(a)</math> တို့ကို ပြည့်စုံစေသည့် <math>a</math> ၌ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်]]တစ်ခုဖြစ်သော <math>q</math> တည်ရှိခြင်းပင်ဖြစ်သည်။<ref>Kuhn (1991), pp. 40-44.</ref> ၎င်းကို <math>g(a)</math> ၌ရှိသော <math>f</math> နှင့် <math>a</math> ၌ရှိသော <math>g</math> တို့တွင် အသုံးချသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်လာသည်။ <math display="block">f(g(x)) - f(g(a)) = q(g(x))(g(x) - g(a))</math> <math display="block">g(x) - g(a) = r(x)(x - a)</math> အစားထိုးခြင်းက အောက်ပါရလဒ်ကို ပေးသည်။ <math display="block">f(g(x)) - f(g(a)) = q(g(x))r(x)(x - a)</math> <math>q \circ g</math> နှင့် <math>r</math> တို့သည် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သောကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">(f \circ g)'(a) = q(g(a))r(a) = f'(g(a))g'(a)</math> == ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ဆင်းသက်ချက်များ (Higher Derivatives) == ဖာဒီဘရူနို (Faà di Bruno) ၏ ပုံသေနည်းသည် ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်းကို [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ဆင်းသက်ချက်များ]]အထိ ယေဘုယျပြုထားသည် (generalizes)။ <math>y = f(u)</math> နှင့် <math>u = g(x)</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block"> \begin{align} \frac{dy}{dx} & = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} \\ \frac{d^2 y }{d x^2} & = \frac{d^2 y}{d u^2} \left(\frac{du}{dx}\right)^2 + \frac{dy}{du} \frac{d^2 u}{dx^2} \\ \frac{d^3 y }{d x^3} & = \frac{d^3 y}{d u^3} \left(\frac{du}{dx}\right)^3 + 3 \frac{d^2 y}{d u^2} \frac{du}{dx} \frac{d^2 u}{d x^2} + \frac{dy}{du} \frac{d^3 u}{d x^3} \\ \frac{d^4 y}{d x^4} & = \frac{d^4 y}{du^4} \left(\frac{du}{dx}\right)^4 + 6 \frac{d^3 y}{d u^3} \left(\frac{du}{dx}\right)^2 \frac{d^2 u}{d x^2} + \frac{d^2 y}{d u^2} \left( 4 \frac{du}{dx} \frac{d^3 u}{dx^3} + 3 \left(\frac{d^2 u}{dx^2}\right)^2\right) + \frac{dy}{du} \frac{d^4 u}{dx^4} \end{align} </math> == ကိန်းရှင်များစွာပါ ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (Multivariable Chain Rule) == === စကေလာတန်ဖိုးရှိ မသိကိန်းများစွာပါ ဖန်ရှင်များ (Scalar-Valued Multivariate Functions) === <math>i = 1, \dots, k</math> အတွက် <math>x</math> တွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များ]]ဖြစ်သည့် <math>g_i\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> နှင့် <math>\mathbf{g}(x) = (g_1(x), \dots, g_k(x))</math> ၌ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|စုစုပေါင်း ဆင်းသက်ချက်]] (total derivative) ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင် <math>f\colon\mathbb{R}^k \to \mathbb{R}</math> တို့ ဖြစ်ပါစေ။ <math>D_i f</math> သည် <math>f</math> ၏ အကြိမ် <math>i</math> မြောက် အဝင်ကိန်း (argument) အလိုက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက်]] (partial derivative) ကို ကိုယ်စားပြုပါက အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{d}{dx}f(g_1(x), \dots, g_k (x)) = \sum_{i=1}^k \left(\frac{d}{dx}{g_i}(x)\right) D_i f(g_1(x), \dots, g_k (x))</math> === ဗက်တာတန်ဖိုးရှိ မသိကိန်းများစွာပါ ဖန်ရှင်များ (Vector-Valued Multivariate Functions) === [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များ]]ဖြစ်သည့် <math>f \colon \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^k</math> နှင့် <math>g \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math> တို့အတွက် <math>D_{\mathbf{a}} g</math> သည် <math>\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n</math> ၌ <math>g</math> ၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|စုစုပေါင်း ဆင်းသက်ချက်]] (total derivative) ကို ရည်ညွှန်းသည်ဟု ဆိုပါစို့။ စုစုပေါင်း ဆင်းသက်ချက်များအတွက် ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်းမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Spivak (1965), pp. 19-20.</ref> <math display="block">D_{\mathbf{a}}(f \circ g) = D_{g(\mathbf{a})}f \circ D_{\mathbf{a}}g</math> [[ကိန်းအုံ|ဂျေးကိုဘီယန် ကိန်းအုံများ]] (Jacobian matrices) <math>J</math> အဖြစ် ဖော်ပြသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">J_{f \circ g}(\mathbf{a}) = J_{f}(g(\mathbf{a})) J_{g}(\mathbf{a})</math> <math>\mathbf{y} = f(\mathbf{u})</math> နှင့် <math>\mathbf{u} = g(\mathbf{x})</math> တို့အတွက် အစိတ်အပိုင်း ပုံစံ (component form) ဖြင့် ဖော်ပြရာတွင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{\partial y_j}{\partial x_i} = \sum_{\ell = 1}^m \frac{\partial y_j}{\partial u_\ell} \frac{\partial u_\ell}{\partial x_i}</math> == သရုပ်မဲ့ ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Abstract Generalizations) == * '''ဘာနက် ရပ်ဝန်းများရှိ ဖရေးရှေး ဆင်းသက်ချက်များ (Fréchet Derivatives in Banach Spaces):''' ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ (Banach spaces) <math>X, Y, Z</math> ၏ အပွင့်အစုများ <math>U \subseteq X</math> နှင့် <math>V \subseteq Y</math> ကြားရှိ ပုံဖော်မှုများ <math>g: U \to V</math> နှင့် <math>f: V \to Z</math> တို့အတွက် <math>g</math> သည် <math>x \in U</math> ၌လည်းကောင်း၊ <math>f</math> သည် <math>g(x) \in V</math> ၌လည်းကောင်း [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဖရေးရှေး ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရပါက]] ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင် <math>f \circ g</math> သည် <math>x</math> ၌ ဖရေးရှေး ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရပြီး ၎င်း၏ ဖရေးရှေး ဆင်းသက်ချက်သည် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|အကန့်အသတ်ရှိသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများ]] (bounded linear operators) ၏ ပေါင်းစပ်မှုအဖြစ် <math>D(f \circ g)(x) = Df(g(x)) \circ Dg(x)</math> ဖြစ်သည်။<ref>Cheney (2001), pp. 121-125.</ref> * '''ဒစ်ဖရန်ရှယ် မန်နီဖိုးများ (Differential Manifolds):''' [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများ]]ကြားရှိ ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများ (smooth maps) <math>g: M \to N</math> နှင့် <math>f: N \to P</math> တို့အတွက် ဒစ်ဖရန်ရှယ်သည် [[မန်နီဖိုး#ထိမျဉ်းအစည်း_(Tangent_Bundle)|ထိမျဉ်းအစည်းများ]] (tangent bundles) ကို <math>d(f \circ g)_p = df_{g(p)} \circ dg_p</math> ဖြစ်စေရန် ပုံဖော်ပေးသည်။ * '''ခဲလာ ဒစ်ဖရန်ရှယ်များ (Kähler Differentials):''' [[ဖလှယ်ရ ကွင်း|ဖလှယ်ရ ကွင်းများ]] (commutative rings) ၏ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (ring homomorphism) <math>g \colon R \to S</math> နောက်တွင် <math>f \colon S \to T</math> ဖြင့် ဆက်လက်တွက်ချက်ခြင်းသည် <math>D(f \circ g) = Df \circ Dg</math> ကို ပြည့်စုံစေသော ခဲလာ ဒစ်ဖရန်ရှယ်များ၏ မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) ကို လှုံ့ဆော်ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Apostol |first=Tom M. |title=Mathematical Analysis |edition=2nd |publisher=Addison Wesley |year=1974 |isbn=978-0201002881}} * {{Citation |last=Cheney |first=Ward |title=Analysis for Applied Mathematics |publication-place=New York |publisher=Springer |year=2001 |isbn=978-0-387-95279-6 |at=pp. 121-125}} * {{Citation |last=Kuhn |first=Stephen |title=The Derivative á la Carathéodory |journal=The American Mathematical Monthly |volume=98 |issue=1 |year=1991 |doi=10.2307/2324035 |at=pp. 40-44}} * {{Citation |last=Spivak |first=Michael |title=Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus |publication-place=Boston |publisher=Addison-Wesley |year=1965 |isbn=978-0805390216 |at=pp. 19-20}} [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ် သီအိုရမ်များ]] kbrhcfr1seu0zaqklvu65ynisysksya 0 291883 1060756 1054243 2026-10-30T16:18:57Z Mkant00 135890 1060756 wikitext text/x-wiki <math>f</math> ကို အပိုင်းအခြား (interval) <math>I</math> တစ်ခုပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်]] (continuous) ဖြစ်ပြီး [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်]] (injective function) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပါစို့။ ၎င်း၏ [[ပြောင်းပြန်ဖန်ရှင်]] (inverse function) ကို <math>f^{-1}</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုပါစို့။ ဤနေရာတွင် <math>f^{-1}(y) = x</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>f(x) = y</math> ဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>f</math> သည် <math>x = f^{-1}(y)</math> တွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်]] (differentiable function) ဖြစ်ပြီး <math>f'(f^{-1}(y)) \neq 0</math> ဖြစ်ပါက <math>f^{-1}</math> သည် <math>y</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။<ref>Marsden & Weinstein (1981).</ref> ပြောင်းပြန်ဖန်ရှင်စည်းမျဉ်း (inverse function rule) အတွက် လာဂေါင့်၏ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (notation) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}</math> <math>\mathcal{D}</math> သည် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|တစ်လုံးသွင်း ဆင်းသက်ချက် အော်ပရေတာ]] (unary derivative operator) ဖြစ်ပြီး <math>\circ</math> သည် [[ပေါင်းစပ်ခြင်း အော်ပရေတာ|ဖန်ရှင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်း]] (function composition) ကို ရည်ညွှန်းသည့် အော်ပရေတာ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (operator notation) တွင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\mathcal{D}[f^{-1}] = \frac{1}{(\mathcal{D}f) \circ f^{-1}}</math> <math>y = f(x)</math> နှင့် <math>x = f^{-1}(y)</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသော လိုက်ဘ်နစ်ဇ်၏ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းတွင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Derivatives of Inverse Functions (2021).</ref> <math display="block">\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \implies \frac{dx}{dy} \, \frac{dy}{dx} = 1</math> == ဆင်းသက်ခြင်း (Derivation) == <math>f</math> သည် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော (invertible) [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်]]တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ပြောင်းပြန်ဖန်ရှင်၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (definition) အရ <math display="block">f(f^{-1}(y)) = y</math> ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (chain rule) ကို အသုံးပြု၍ နှစ်ဖက်စလုံးအား <math>y</math> အပေါ် အခြေခံပြီး ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းက အောက်ပါရလဒ်ကို ပေးသည်။ <math display="block">f'(f^{-1}(y)) \cdot (f^{-1})'(y) = 1</math> <math>f'(f^{-1}(y)) \neq 0</math> ဟု ယူဆကာ <math>f'(f^{-1}(y))</math> ဖြင့် စားသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}</math> == ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ဆင်းသက်ချက်များ (Higher-Order Derivatives) == ထပ်တူညီမှု (identity) <math>\frac{dx}{dy} \frac{dy}{dx} = 1</math> အား သွယ်ဝိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (implicitly differentiating) က ပြောင်းပြန်ဖန်ရှင်၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ဆင်းသက်ချက်များ]] (higher-order derivatives) အတွက် ပုံသေနည်းများကို ရရှိနိုင်သည်။ <math>f</math> သည် ဒေသအလိုက် (locally) <math>C^2</math> ဖြစ်ပြီး <math>f'(x) \neq 0</math> ဖြစ်သည်ဟု ယူဆလျှင် လိုက်ဘ်နစ်ဇ်၏ [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း|သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း]]ဖြင့် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဒုတိယ ဆင်းသက်ချက်]]အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{\left(\frac{dy}{dx}\right)^3}</math> <math>f</math> သည် ဒေသအလိုက် <math>C^3</math> ဖြစ်သည်ဟု ယူဆလျှင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|တတိယ ဆင်းသက်ချက်]]အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{d^3x}{dy^3} = -\frac{\frac{d^3y}{dx^3}}{\left(\frac{dy}{dx}\right)^4} + 3\frac{\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2}{\left(\frac{dy}{dx}\right)^5}</math> လာဂေါင့်၏ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းတွင် <math>t = f^{-1}(y)</math> ကို အစားထိုးသောအခါ ဒုတိယနှင့် တတိယ ဆင်းသက်ချက်များမှာ အောက်ပါအတိုင်း ထွက်ပေါ်လာသည်။ <math display="block">(f^{-1})''(y) = -\frac{f''(f^{-1}(y))}{\left[f'(f^{-1}(y))\right]^3}</math> <math display="block">(f^{-1})'''(y) = -\frac{f'''(f^{-1}(y))}{\left[f'(f^{-1}(y))\right]^4} + 3\frac{\left[f''(f^{-1}(y))\right]^2}{\left[f'(f^{-1}(y))\right]^5}</math> ဒေသအလိုက် <math>C^n</math> ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်သော <math>f</math> အတွက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|အကြိမ် <math>n</math> မြောက် ဆင်းသက်ချက်]]ကို ဒစ်ဖရန်ရှယ် အော်ပရေတာ (differential operator) တစ်ခု အသုံးပြု၍ တိုတုတ်ရှင်းလင်းစွာ ဖော်ပြနိုင်သည်။ <math display="block">(f^{-1})^{(n)}(y) = \left. \left[ \left(\frac{1}{f'(t)}\frac{d}{dt}\right)^{n} t \right] \right|_{t = f^{-1}(y)}</math> == အင်တီဂရယ်ဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Integral Properties) == ဆက်စပ်နေသော အပိုင်းအခြား (connected interval) တစ်ခုပေါ်တွင် ပြောင်းပြန်ဖန်ရှင်စည်းမျဉ်းကို အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integrating) က အောက်ပါ ဆက်စပ်မှုကို ရရှိသည်။ <math display="block">f^{-1}(y) = \int \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} \, dy + C</math> ထို့အပြင် ပြောင်းပြန်ဖန်ရှင် ကိုယ်တိုင်၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် (antiderivative) ကို မူလဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် <math>F</math> ကို အသုံးပြု၍ တန်ဖိုးရှာဖွေနိုင်သည်။ <math display="block">\int f^{-1}(y) \, dy = y f^{-1}(y) - F(f^{-1}(y)) + C</math> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last1=Marsden |first1=Jerrold E. |last2=Weinstein |first2=Alan |title=Calculus Unlimited |publication-place=Menlo Park, Calif. |publisher=Benjamin/Cummings Pub. Co |date=1981 |isbn=0-8053-6932-5 |chapter=Chapter 8: Inverse Functions and the Chain Rule |url=https://authors.library.caltech.edu/25054/10/CalcUch8-invfunc-chainrule.pdf}} * {{Citation |title=Derivatives of Inverse Functions |url=https://oregonstate.edu/instruct/mth251/cq/Stage6/Lesson/inverseDeriv.html |website=oregonstate.edu |archive-url=https://web.archive.org/web/20210410154136/https://oregonstate.edu/instruct/mth251/cq/Stage6/Lesson/inverseDeriv.html |archive-date=2021-04-10}} [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ် သီအိုရမ်များ]] 3ut7m72tdxpsb6m3huvypydu4b17hjc 0 291889 1060790 1054225 2026-10-30T20:38:34Z Mkant00 135890 corrections to mathematics 1060790 wikitext text/x-wiki <math>(a_n)_{n \in \mathbb{N}^+}</math> သည် [[ကိန်းစဉ်|ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်]] (arithmetic progression/ AP) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ကိန်းစဉ်၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းပိုင်း (term) ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>Knuth (1997).</ref> :<math>a_n = a + (n - 1)d</math> ဤနေရာတွင် <math>a</math> သည် ကနဦး ကိန်းပိုင်းဖြစ်ပြီး <math>d = a_{n+1} - a_n</math> သည် ကိန်းသေ (constant) ဖြစ်သော ဘုံကွာခြားချက် (common difference) ဖြစ်သည်။ == ပေါင်းလဒ် (Sum) သို့မဟုတ် ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်တန်း (Arithmetic series) == <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းပိုင်းများပါဝင်သည့် အဆုံးရှိ (finite) [[ကိန်းစဉ်|ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်]]တစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ်ကို <math>S_n = \sum_{k=1}^n a_k</math> ဖြင့် ဖော်ပြပြီး ၎င်းကို အောက်ပါ အပိတ်ပုံစံ (closed-form) ဖော်ပြချက်များ (expressions) ဖြင့် ပေးထားသည်။ :<math>S_n = \frac{n}{2}(a + a_n) = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]</math> [[ကိန်းစဉ်တန်း]]ကို ရှေ့စဉ်နောက်ဆက် နှင့် ပြောင်းပြန် အစီအစဉ်များဖြင့် ဖော်ပြရာတွင် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ :<math>S_n = a + (a+d) + (a+2d) + \dots + (a+(n-1)d)</math> :<math>S_n = a_n + (a_n-d) + (a_n-2d) + \dots + (a_n-(n-1)d)</math> [[ညီမျှခြင်း]] (equation) နှစ်ခုစလုံး၏ သက်ဆိုင်ရာ ကိန်းပိုင်းများကို [[ပေါင်းခြင်း]]ဖြင့် အောက်ပါရလဒ်ကို ရရှိသည်။ :<math>2S_n = n(a + a_n)</math> 2 ဖြင့် [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|စားခြင်း]]ဖြင့် ရလဒ်ကို ရရှိသည်။ == မြှောက်လဒ် (Product) == <math>\frac{a}{d} > 0</math> ဖြစ်သော အဆုံးရှိ [[ကိန်းစဉ်|ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်]]တစ်ခုအတွက် ပထမဆုံး <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းပိုင်းများ၏ [[မြှောက်လဒ်]] (product) ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>\prod_{k=1}^n a_k = d^n \frac{\Gamma\left(\frac{a}{d} + n\right)}{\Gamma\left(\frac{a}{d}\right)}</math> ဤနေရာတွင် <math>\Gamma(z)</math> သည် ဂါမာ ဖန်ရှင် (Gamma function) ကို ဖော်ပြသည်။ ကိန်းပိုင်းတစ်ခုစီမှ <math>d</math> ကို ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (factoring) ဖြင့် ဖယ်ထုတ်ရာတွင် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\prod_{k=1}^n a_k = \prod_{k=0}^{n-1} (a+kd) = d^n \prod_{k=0}^{n-1} \left(\frac{a}{d}+k\right) = d^n \left(\frac{a}{d}\right)^{\overline{n}}</math> ဤနေရာတွင် <math>x^{\overline{n}}</math> သည် တက်နေခြင်း ဖက်တိုရီရယ် (rising factorial) သို့မဟုတ် ပေါ့ခ်ဟာမာ သင်္ကေတ (Pochhammer symbol) ကို ဖော်ပြသည်။ <math>z > 0</math> အတွက် ထပ်ကျော့ဆက်သွယ်ချက် (recurrence relation) <math>\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)</math> ကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် မည်သည့် အပေါင်း[[ကိန်းပြည့်]] (positive integer) <math>m</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်လာသည်။ :<math>\frac{\Gamma(z+m)}{\Gamma(z)} = \prod_{k=0}^{m-1}(z+k)</math> <math>z = \frac{a}{d}</math> နှင့် <math>m = n</math> တို့ကို အစားထိုးခြင်းဖြင့် နောက်ဆုံး အပိတ်ပုံစံ ဖော်ပြချက်ကို တိုက်ရိုက် ရရှိသည်။ == စာရင်းအင်းဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Statistical properties) == <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းပိုင်းများပါဝင်သည့် အဆုံးရှိ [[ကိန်းစဉ်|ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်]]တစ်ခုအတွက် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ * '''ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (Mean)''' :<math>\overline{a} = \frac{S_n}{n} = \frac{a + a_n}{2}</math> * '''စံသွေဖည်ကိန်း (Standard deviation)''' :<math>\sigma = |d|\sqrt{\frac{(n-1)(n+1)}{12}}</math> == ထပ်တူပိုင်းအစုများ (Intersections) == နှစ်ဖက်စလုံး အနန္တ (doubly infinite) ဖြစ်သော [[ကိန်းပြည့်]] [[ကိန်းစဉ်|ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်]] နှစ်ခု၏ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) သည် ဗလာ (empty) ဖြစ်သည် သို့မဟုတ်ပါက အခြားသော နှစ်ဖက်စလုံး အနန္တဖြစ်သည့် ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေပြီး ၎င်းကို [[တရုတ် အကြွင်း သီအိုရမ်]] (Chinese remainder theorem) မှတစ်ဆင့် တွက်ချက်နိုင်သည်။ နှစ်ဖက်စလုံး အနန္တဖြစ်သော [[ကိန်းပြည့်]] ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်များ၏ အဆုံးရှိ စုစည်းမှု (finite family) တစ်ခုအတွင်းရှိ ကိန်းစဉ်စုံတွဲတိုင်းသည် ဗလာမဟုတ်သော ထပ်တူပိုင်းအစု (non-empty intersection) တစ်ခုကို မျှဝေပိုင်ဆိုင်ပါက အဆိုပါ အဆုံးရှိ စုစည်းမှုတစ်ခုလုံးသည် ဘုံကိန်း (common number) တစ်ခုကို မျှဝေပိုင်ဆိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် နှစ်ဖက်စလုံး အနန္တဖြစ်သော ကိန်းပြည့် ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်များသည် ဟယ်လီ စုစည်းမှု (Helly family) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။<ref>Duchet (1995), pp. 381–432.</ref> == References == * {{Citation |last=Duchet |first=Pierre |editor1-last=Graham |editor1-first=Ronald L. |editor2-last=Grötschel |editor2-first=Martin |editor3-last=Lovász |editor3-first=László |title=Handbook of Combinatorics, Volume 1 |contribution=Hypergraphs |publication-place=Amsterdam |publisher=Elsevier |date=1995 |pages=381–432 |isbn=978-0-444-82346-5 |mr=1373656}} * {{Citation |last=Knuth |first=Donald E. |title=The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms |edition=3rd |publication-place=Reading, MA |publisher=Addison-Wesley |date=1997 |isbn=0-201-89683-4 |mr=1480922 |zbl=0878.68001}} [[ကဏ္ဍ:ကိန်းစဉ်နှင့် ကိန်းစဉ်တန်း]] 7w3umwapoy6g7lswp1w52m7do7i8ig1 0 291892 1060795 1054229 2026-10-30T22:24:12Z Mkant00 135890 1060795 wikitext text/x-wiki <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math> သည် [[အနန္တ]] [[ကိန်းစဉ်တန်း]] (infinite series) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များ၏ [[ကိန်းစဉ်]] (sequence of partial sums) ကို <math>(S_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> အဖြစ် အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>S_n = \sum_{k=0}^n a_k</math> <math>\lim_{n \to \infty} S_n</math> သည် အဆုံးရှိ [[စုဆုံမှတ်]] (finite limit) တစ်ခုအဖြစ် မတည်ရှိပါက ထိုကိန်းစဉ်တန်းသည် ဖြာထွက်သော (divergent) သဘောသဘာဝရှိသည်။ ပေါင်းခြင်း နည်းလမ်း (summation method) <math>\mathbf{A}</math> သည် တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များ၏ ကိန်းစဉ်များပါရှိသော ရပ်ဝန်းမှ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) သို့ သွားသော တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း [[ဖန်ရှင်]] (partial function) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် အဆိုပါ ဖီးလ်ဒ်သည် <math>\mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}</math> ဖြစ်သည်။ ယင်းနည်းလမ်းသည် ဖြာထွက်သော ကိန်းစဉ် <math>(S_n)</math> သို့ တန်ဖိုး <math>\mathbf{A}(S)</math> တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ သက်ဆိုင်ရာ ကိန်းစဉ်တန်း ပေါင်းခြင်း နည်းလမ်းကို <math>\mathbf{A}^\Sigma(a) = \mathbf{A}(S)</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ == ပေါင်းခြင်း နည်းလမ်းများ၏ နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Axiomatic properties of summation methods) == :<math>\mathbf{A}</math> နှင့် <math>\mathbf{B}</math> တို့သည် [[ကိန်းစဉ်|ကိန်းစဉ်များ]]ကို တန်ဖိုးများဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသော ပေါင်းခြင်း နည်းလမ်းများ ဖြစ်ကြသည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ * '''ပုံမှန်ဖြစ်မှု (Regularity)''' :အကယ်၍ <math>\lim_{n \to \infty} S_n = x</math> ဖြစ်တည်ပါက <math>\mathbf{A}(S) = x</math> ဖြစ်သည်။ * '''မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်မှု (Linearity)''' :ကိန်းစဉ်များ <math>R</math>, <math>S</math> နှင့် [[စကေလာ]] (scalar) များ <math>\alpha, \beta</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathbf{A}(\alpha R + \beta S) = \alpha \mathbf{A}(R) + \beta \mathbf{A}(S)</math> * '''တည်ငြိမ်မှု (Stability) သို့မဟုတ် ကူးပြောင်းနိုင်ခြင်း (Translativity)''' :<math>S'</math> သည် <math>S'_n = S_{n+1} - S_0</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစဉ်တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>\mathbf{A}(S)</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ (if and only if) <math>\mathbf{A}(S')</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်ခြင်းပင်ဖြစ်ပါက အဆိုပါနည်းလမ်းသည် တည်ငြိမ်မှုကို ပြည့်စုံစေပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်လာသည်။<ref>Hardy (1949).</ref> :<math>\mathbf{A}(S) = S_0 + \mathbf{A}(S')</math> * '''ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု (Consistency)''' :အကယ်၍ <math>\mathbf{A}(S)</math> နှင့် <math>\mathbf{B}(S)</math> နှစ်ခုစလုံးကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားပါက <math>\mathbf{A}(S) = \mathbf{B}(S)</math> ဖြစ်သည်။ == အဓိကကျသော ပေါင်းခြင်း နည်းလမ်းများ (Core summation methods) == === ပျမ်းမျှရှာနည်းများ (Averaging methods) === <math>(p_n)</math> သည် <math>\lim_{n \to \infty} \frac{p_n}{\sum_{i=0}^n p_i} = 0</math> ကို ပြည့်စုံစေသည့် အပေါင်းကိန်းပိုင်းများ (positive terms) ပါဝင်သော [[ကိန်းစဉ်]]တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ နောလွန်း ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (Nørlund mean) <math>\mathbf{N}_p</math> သည် စုဆုံမှတ် တည်ရှိသည်ဟု ယူဆကာ <math>(S_n)</math> ၏ တန်ဖိုးကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်သည်။ :<math>\mathbf{N}_p(S) = \lim_{m \to \infty} \frac{\sum_{i=0}^m p_{m-i} S_i}{\sum_{i=0}^m p_i}</math> <math>C_k</math> ဖြင့် ဖော်ပြသော အစဉ် (order) <math>k</math> ရှိသည့် ဆီဇာရို [[ပေါင်းခြင်း]] (Cesàro summation) သည် ကိန်းစဉ် <math>p_n^k = \binom{n+k-1}{k-1}</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော နောလွန်း ပျမ်းမျှတန်ဖိုးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ === အဘီလီယန် ပျမ်းမျှတန်ဖိုးများ (Abelian means) === <math>(\lambda_n)</math> သည် <math>\lambda_0 \ge 0</math> ပါဝင်ပြီး [[အနန္တ]] (infinity) သို့ ချဉ်းကပ်သွားသော တိကျစွာ အစဉ်လိုက် တိုးသော (strictly increasing) [[ကိန်းစဉ်]]တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ အဘီလီယန် (Abelian) ပျမ်းမျှတန်ဖိုး <math>A_\lambda</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>x > 0</math> အတွက် [[ကိန်းစဉ်တန်း]] စုဆုံပြီး စုဆုံမှတ် တည်ရှိသည်ဟု ယူဆထားသည်။ :<math>A_\lambda(S) = \lim_{x \to 0^+} \sum_{n=0}^\infty a_n e^{-\lambda_n x}</math> အကယ်၍ <math>\lambda_n = n</math> ဖြစ်ပါက <math>z = e^{-x}</math> အဖြစ် သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် စံ အာဘဲလ် [[ပေါင်းခြင်း]] (Abel summation) ကို ရရှိသည်။<ref>Zakharov (2001).</ref> :<math>A(S) = \lim_{z \to 1^-} \sum_{n=0}^\infty a_n z^n</math> === မိုးမန့် နည်းလမ်းများ (Moment methods) === ဘိုရဲလ် [[ပေါင်းခြင်း]] (Borel summation) သည် [[ကိန်းစဉ်တန်း]]၏ ပေါင်းလဒ်ကို [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]] အသွင်ပြောင်းခြင်း (integral transform) မှတစ်ဆင့် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ဤနေရာတွင် အင်တီဂရယ် စုဆုံသည်ဟု ယူဆထားသည်။<ref>Muraev (1978), pp. 1332–1340.</ref> :<math>\mathbf{B}(S) = \int_0^\infty e^{-t} \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n t^n}{n!} \, \mathrm{d}t</math> == အဓိကကျသော သီအိုရမ်များ (Core theorems) == '''အဘီလီယန်နှင့် တောဘာရီယန် သီအိုရမ်များ (Abelian and tauberian theorems)''' [[ပေါင်းခြင်း]] နည်းလမ်း <math>\mathbf{M}</math> တစ်ခုအတွက် အဘီလီယန် သီအိုရမ် (Abelian theorem) တစ်ခုသည် ၎င်း၏ ပုံမှန်ဖြစ်မှုကို ခိုင်မာစေသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>\sum a_n = x</math> ဖြစ်ပါက <math>\mathbf{M}</math> သည် ပေါင်းလဒ် <math>x</math> ကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ တောဘာရီယန် သီအိုရမ် (Tauberian theorem) သည် တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပြောင်းပြန်အဆို (partial converse) တစ်ခုဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>\mathbf{M}</math> သည် <math>\sum a_n</math> အား ပေါင်းလဒ် <math>x</math> အဖြစ် သတ်မှတ်ပေးပြီး [[ကိန်းစဉ်]] <math>(a_n)</math> အပေါ် သင့်လျော်သော ချဉ်းကပ်မှုဆိုင်ရာ (asymptotic) ဘေးထွက်အခြေအနေတစ်ခု မှန်ကန်ပါက ထို[[ကိန်းစဉ်တန်း]]သည် စံသဘောတရားအရ စုဆုံသော ကိန်းစဉ်တန်း ဖြစ်သည်။ '''ဘာနက် စုဆုံမှတ် (Banach limit)''' စုဆုံသော ကိန်းစဉ်များပါရှိသည့် ရပ်ဝန်းပိုင်း (subspace) အပေါ်ရှိ စံ စုဆုံမှတ် တွက်ချက်မှု (standard limit operation) သည် [[မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်]] (linear functional) တစ်ခုဖြစ်သည်။ သင့်လျော်စွာ ရွေးချယ်ထားသော နေရာရွှေ့-မပြောင်းလဲသည့် (shift-invariant) နိမ့်ကျမျဉ်းဖြောင့်ဂုဏ် (sublinear) ဖန်ရှင်နယ်တစ်ခုအပေါ် အသုံးပြုထားသည့် [[ဟန်း-ဘာနက် သီအိုရမ်]] (Hahn-Banach theorem) အရ ဤဖန်ရှင်နယ်ကို အကန့်အသတ်ရှိသော (bounded) ကိန်းစဉ်များအားလုံး၏ ရပ်ဝန်းဆီသို့ တည်ဆောက်၍မရနိုင်သောနည်းလမ်းဖြင့် (nonconstructively) တိုးချဲ့နိုင်ပြီး မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်မှုနှင့် နေရာရွှေ့-မပြောင်းလဲသည့် ဂုဏ်သတ္တိတို့ကို ပြည့်စုံစေသည့် ဘာနက် စုဆုံမှတ်တစ်ခု တည်ရှိစေသည်။ == References == * {{Citation |last=Hardy |first=G. H. |title=Divergent Series |publication-place=Oxford |publisher=Clarendon Press |date=1949 |mr=0030620}} * {{Citation |last=Muraev |first=E. B. |title=Borel summation of <math>n</math>-multiple series, and entire functions associated with them |journal=Sibirskii Matematicheskii Zhurnal |volume=19 |issue=6 |date=1978 |mr=0515152}} * {{Citation |last=Zakharov |first=A. A. |title=Abel summation method |encyclopedia=Encyclopedia of Mathematics |publisher=Springer |date=2001 |isbn=978-1-55608-010-4}} [[ကဏ္ဍ: ကိန်းစဉ်နှင့် ကိန်းစဉ်တန်း]] 2eqd5qolawh47cuyujapb4r9plu6p4m 0 292215 1060827 1055648 2026-10-31T08:37:04Z Mkant00 135890 1060827 wikitext text/x-wiki [[File:Snake-in-the-box and Hamiltonian path.svg|thumb|right|အနီရောင်ဖြင့် ပြသထားသော ဟာမီလ်တန် လမ်းကြောင်းတစ်ခု ပါဝင်သည့် အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော (three-dimensional) ဟိုက်ပါကုဗတုံး ဂရပ် (hypercube graph)။]] [[File:Trail but not path.svg|250px|thumb|right|လမ်းကြောင်း မဖြစ်သော လမ်းယဉ်]] [[ဂရပ်သီအိုရီ]] (graph theory) တွင် လမ်းကြောင်း (path) သည် မတူညီသော ထိပ်စွန်းမှတ် (vertex) များ၏ [[ကိန်းစဉ်]] (sequence) တစ်ခုကို ဆက်သွယ်ပေးသည့် အနား (edge) များ၏ အဆုံးရှိ သို့မဟုတ် [[အနန္တ]]ဖြစ်သော ကိန်းစဉ်ဖြစ်သည်။ == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Formal definitions) == === လျှောက်လှမ်းခြင်း၊ လမ်းယဉ် နှင့် လမ်းကြောင်း (Walk, trail and path) === * '''လျှောက်လှမ်းခြင်း (walk):''' ထိပ်စွန်းမှတ် (vertex) များ၏ [[ကိန်းစဉ်]] (sequence) တစ်ခုကို ဆက်သွယ်ပေးသည့် အနား (edge) များ၏ အဆုံးရှိ သို့မဟုတ် [[အနန္တ]]ဖြစ်သော ကိန်းစဉ်ဖြစ်သည်။<ref>Bender & Williamson (2010), p. 162.</ref> :<math>\Phi</math> သည် အင်ဆီးဒန့်စ် [[ဖန်ရှင်]] (incidence function) ဖြစ်သည်ဟု ယူဆကာ <math>G = (V, E, \Phi)</math> ကို ဂရပ် (graph) တစ်ခုဟု သတ်မှတ်ပါ။ အဆုံးရှိ လျှောက်လှမ်းခြင်းဆိုသည်မှာ <math>(e_1, e_2, \dots, e_{n-1})</math> ဟူသော အနားများ၏ ကိန်းစဉ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းအတွက် <math>(v_1, v_2, \dots, v_n)</math> ဟူသော ထိပ်စွန်းမှတ်များ၏ ကိန်းစဉ်တစ်ခု ရှိရမည်ဖြစ်ပြီး <math>i = 1, 2, \dots, n-1</math> အတွက် <math>\Phi(e_i) = \{v_i, v_{i+1}\}</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်း <math>(v_1, v_2, \dots, v_n)</math> ကိန်းစဉ်သည် ထိပ်စွန်းမှတ် ကိန်းစဉ်ဖြစ်သည်။ <math>v_1 = v_n</math> ဖြစ်ပါက လျှောက်လှမ်းခြင်းသည် အပိတ် ဖြစ်သည်။ ထိုသို့မဟုတ်ပါက အဖွင့် ဖြစ်သည်။ * '''လမ်းယဉ် (trail):''' အနားများအားလုံး မတူညီဘဲ ကွဲပြားနေသော လျှောက်လှမ်းခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>Bender & Williamson (2010), p. 162.</ref> * '''လမ်းကြောင်း (path):''' ထိပ်စွန်းမှတ်များအားလုံး ကွဲပြားနေသော လမ်းယဉ်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်း၏ အနားများအားလုံးသည်လည်း ကွဲပြားနေမည်ဖြစ်သည်။<ref>Bender & Williamson (2010), p. 162.</ref> အလေးဆပေးဂရပ် (weighted graph) တစ်ခုရှိ အဆုံးရှိ လျှောက်လှမ်းခြင်း၊ လမ်းယဉ် သို့မဟုတ် လမ်းကြောင်းတစ်ခု၏ အလေးဆ (weight) သည် ဖြတ်သန်းသွားသော အနားများ၏ အလေးဆများကို ပေါင်းထားသော ပေါင်းလဒ် ဖြစ်သည်။ === လားရာပြ လျှောက်လှမ်းခြင်း၊ လမ်းယဉ် နှင့် လမ်းကြောင်း (Directed walk, trail and path) === * '''လားရာပြ လျှောက်လှမ်းခြင်း (directed walk):''' ထိပ်စွန်းမှတ်များ၏ [[ကိန်းစဉ်]]တစ်ခုကို ဆက်သွယ်ထားပြီး တူညီသော ဦးတည်ချက်သို့ လားရာပြထားသည့် အနားများ၏ ကိန်းစဉ်ဖြစ်သည်။<ref>Bender & Williamson (2010), p. 162.</ref> :<math>\Phi</math> သည် အင်ဆီးဒန့်စ် [[ဖန်ရှင်]]ဖြစ်သည်ဟု ယူဆကာ <math>G = (V, E, \Phi)</math> ကို လားရာပြဂရပ် (directed graph) တစ်ခုဟု သတ်မှတ်ပါ။ အဆုံးရှိ လားရာပြ လျှောက်လှမ်းခြင်းဆိုသည်မှာ <math>(v_1, v_2, \dots, v_n)</math> ဟူသော ထိပ်စွန်းမှတ်များ၏ ကိန်းစဉ်နှင့် ကိုက်ညီသည့် <math>(e_1, e_2, \dots, e_{n-1})</math> အနားများ၏ ကိန်းစဉ်ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>i = 1, 2, \dots, n-1</math> အတွက် <math>\Phi(e_i) = (v_i, v_{i+1})</math> ဖြစ်သည်။ * '''လားရာပြ လမ်းယဉ် (directed trail):''' အနားများအားလုံး မတူညီဘဲ ကွဲပြားနေသော လားရာပြ လျှောက်လှမ်းခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>Bender & Williamson (2010), p. 162.</ref> * '''လားရာပြ လမ်းကြောင်း (directed path):''' ထိပ်စွန်းမှတ်များအားလုံး ကွဲပြားနေသော လားရာပြ လမ်းယဉ်ဖြစ်သည်။<ref>Bender & Williamson (2010), p. 162.</ref> == အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းဆိုင်ရာ လမ်းကြောင်း ပြဿနာများ (Algorithmic path problems) == * '''အတိုဆုံးလမ်းကြောင်း (shortest path):''' ၎င်းကို အနုတ်ကိန်းမဟုတ်သော (non-negative) အနား (edge) အလေးဆ (weight) များအတွက် [[အဆင့်ဆင့်တွက်နည်း|ဒိုက်စထရာ၏ အဆင့်ဆင့်တွက်နည်း]] (Dijkstra's algorithm) ဖြင့် ဖြေရှင်းသည်။ ရောက်ရှိနိုင်သော [[အနုတ်ကိန်း]] ကွင်းပိတ် (negative cycle) များ မပါဝင်သည့် အနုတ်ကိန်း အလေးဆရှိသော ဂရပ် (graph) များအတွက် ဘဲလ်မန်း-ဖို့ဒ် အဆင့်ဆင့်တွက်နည်း (Bellman–Ford algorithm) ဖြင့် ဖြေရှင်းသည်။ အနုတ်ကိန်း ကွင်းပိတ်များ မပါဝင်သော စုံတွဲအားလုံး၏ အတိုဆုံးလမ်းကြောင်းများအတွက် ဖလွိုက်ဒ်-ဝါရှယ် အဆင့်ဆင့်တွက်နည်း (Floyd–Warshall algorithm) ဖြင့် ဖြေရှင်းသည်။ * '''အရှည်ဆုံး လမ်းကြောင်း (longest path):''' ၎င်းပြဿနာသည် အကြီးဆုံး အလျားရှိသော လမ်းကြောင်း (path) ကို တွက်ချက်ခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ယေဘုယျအားဖြင့် NP ခက်ခဲသော ပြဿနာဖြစ်သည်။ * '''k လမ်းကြောင်း အစုခွဲစနစ် ပြဿနာ (k-path partition problem):''' ၎င်းသည် လမ်းကြောင်းတစ်ခုစီတွင် ထိပ်စွန်းမှတ် (vertex) အများဆုံး <math>k</math> ခု ပါဝင်ပြီး ထိပ်စွန်းမှတ်များ ဘုံမပါသော (vertex-disjoint) လမ်းကြောင်းများ၏ အငယ်ဆုံး စုစည်းမှုတစ်ခုဖြစ်လာစေရန် ဂရပ်တစ်ခုကို အစုခွဲစနစ် (partition) ပြုလုပ်ရသည့် ပြဿနာဖြစ်သည်။<ref>Chen, Goebel, Lin, Su, Xu, & Zhang (2019), p. 150.</ref> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last1=Bender |first1=Edward A. |last2=Williamson |first2=S. Gill |title=Lists, Decisions and Graphs. With an Introduction to Probability |date=2010}} * {{Citation |last1=Chen |first1=Yong |last2=Goebel |first2=Randy |last3=Lin |first3=Guohui |last4=Su |first4=Bing |last5=Xu |first5=Yao |last6=Zhang |first6=An |title=An improved approximation algorithm for the minimum 3-path partition problem |journal=Journal of Combinatorial Optimization |volume=38 |issue=1 |pages=150–164 |date=2019 |doi=10.1007/s10878-018-00372-z |mr=3980327 |zbl=1459.90099}} [[ကဏ္ဍ:ကွန်ဘိုင်နတိုးရစ်]] fg3qaal7jm14pqjip26f9a3is2flmsk 0 292220 1060829 1055655 2026-10-31T08:38:46Z Mkant00 135890 1060829 wikitext text/x-wiki [[File:Example of simple undirected graph 3.svg|thumb|upright=0.8|<math>6</math> ခုရှိသော ထိပ်စွန်းမှတ် (vertex) များနှင့် <math>7</math> ခုရှိသော အနား (edge) များပါရှိသည့် ဂရပ် (graph) တစ်ခု။]] [[File:Undirected, directed, mixed, multigraph.svg|thumb|ဂရပ်တစ်ခုတွင် အနားများဖြင့် ဆက်သွယ်ထားသော ထိပ်စွန်းမှတ်များ ပါဝင်သည်။ ၎င်းဂရပ်ကို အောက်ပါအတိုင်း တစ်ခါတစ်ရံ ခေါ်ဆိုကြသည်။ အပေါ် ဘယ်ဘက်ပုံသည် လားရာမဲ့ ဂရပ် (undirected graph) ဖြစ်သည်။ အပေါ် ညာဘက်ပုံသည် လားရာပြဂရပ် (directed graph) ဖြစ်သည်။ လားရာမဲ့ ဂရပ်များနှင့် လားရာပြဂရပ်များကို ရောနှောဂရပ် (mixed graph) အဖြစ် ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ အောက် ဘယ်ဘက်ပုံသည် ရောနှောဂရပ်ဖြစ်သည်။ ရိုးရှင်းသော ဂရပ် (simple graph) သည် မာလ်တီဂရပ် (multigraph) နှင့် ကွဲပြားသည်။ အောက် ညာဘက်ပုံသည် မာလ်တီဂရပ်ဖြစ်သည်။]] ဂရပ်သီအိုရီ (graph theory) သည် ဂရပ်များကို လေ့လာသော ပညာရပ်ဖြစ်သည်။ ဤဂရပ်များသည် အရာဝတ္ထု (object) များအကြား စုံတွဲလိုက် ဆက်သွယ်ချက်များကို မော်ဒယ်တည်ဆောက်ရာတွင် အသုံးပြုသော [[သင်္ချာ]] တည်ဆောက်ပုံ (mathematical structure) များ ဖြစ်ကြသည်။ == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Formal definitions) == ဂရပ် (graph) သည် တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းတည်ဆောက်ပုံတွင် ထိပ်စွန်းမှတ် (vertex) များ၏ [[အစု]] (set) တစ်ခုနှင့် အနား (edge) များ၏ အစုတစ်ခု ပါဝင်သည်။ ထို့အပြင် အနားတစ်ခုစီကို ၎င်း၏ အစွန်းမှတ် (endpoint) များနှင့် ပုံဖော်မှု (mapping) ပြုလုပ်ပေးသည့် အင်ဆီးဒန့်စ် ဆက်သွယ်ချက် (incidence relation) တစ်ခုလည်း ပါဝင်သည်။ အနားတစ်ခုဖြင့် ဆက်သွယ်ထားသော ထိပ်စွန်းမှတ်နှစ်ခုကို အစွန်းမှတ်များဟု ခေါ်သည်။ * '''လားရာမဲ့ ဂရပ် (undirected graph):''' အနားများက ထိပ်စွန်းမှတ်နှစ်ခုကို [[ခေါက်ချိုးညီ|အချိုးညီစွာ]] (symmetrically) ဆက်သွယ်ပေးထားသော ဂရပ်ဖြစ်သည်။ * '''လားရာပြဂရပ် (directed graph):''' အနားတစ်ခုစီတွင် သတ်မှတ်ထားသော ဦးတည်ချက် (orientation) ပါရှိသည့် ဂရပ်ဖြစ်သည်။ ထိုဦးတည်ချက်ကို မြား (arrow) ဖြင့် ဖော်ပြသည်။<ref>Ore (1962), p. 2.</ref> * '''ရောနှောဂရပ် (mixed graph):''' လားရာပြအနားများရော လားရာမဲ့အနားများပါ ပါဝင်သော ဂရပ်ဖြစ်သည်။<ref>Ore (1962), p. 3.</ref> * '''မာလ်တီဂရပ် (multigraph):''' တူညီသော အစွန်းမှတ်စုံတွဲတစ်ခုတည်းကို အနားများစွာက မျှဝေအသုံးပြုခွင့်ပေးထားသော ဂရပ်ဖြစ်သည်။ ၎င်းဂရပ်တွင် ထိပ်စွန်းမှတ်တစ်ခုကို ၎င်းကိုယ်တိုင်နှင့် ပြန်လည်ဆက်သွယ်ထားသော အနားများလည်း ပါဝင်ခွင့်ရှိသည်။ ထိုသို့ဆက်သွယ်ထားသော အနားများကို ကွင်းပိတ် (loop) များဟု ခေါ်သည်။<ref>Bollobás (2013), p. 7.</ref> * '''အလေးဆပေးဂရပ် (weighted graph):''' ၎င်း၏ အနားများကို ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ အလေးဆ (weight) များ သတ်မှတ်ပေးထားသော ဂရပ်ဖြစ်သည်။ == ဘာသာရပ်ခွဲများနှင့် အဓိက ဂုဏ်သတ္တိများ (Subareas and core properties) == * '''တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂရပ်သီအိုရီ (topological graph theory): ''' ဂရပ် (graph) များကို [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း]] (topological space) များအဖြစ် လေ့လာသည်။ ပုံစံတကျ (formally) အားဖြင့် ၎င်းတို့ကို [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာတစ်ခုရှိသော]] (one-dimensional) CW ကွန်ပလက်စ် (CW complex) များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ရိုးရှင်းသော ဂရပ် (simple graph) များအတွက်မူ အရိုးရှင်းဆုံးပုံ ကွန်ပလက်စ် (simplicial complex) များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။<ref>Gross & Tucker (2012), p. 1.</ref> * '''ဂရပ် ထည့်သွင်းခြင်း (graph embedding):''' မျက်နှာပြင် (surface) တစ်ခုပေါ်တွင် ဂရပ်တစ်ခုကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (representation) ဖြစ်သည်။ ထိုနေရာတွင် [[အမှတ်]] (point) များကို ထိပ်စွန်းမှတ် (vertex) များနှင့် ချိတ်ဆက်ထားပြီး အနား (edge) များကို ရိုးရှင်းသော စက်ဝိုင်းပြတ် (arc) များ သို့မဟုတ် ကွင်းပိတ်များအတွက် ရိုးရှင်းသည့် မျဉ်းကွေးပိတ် (simple closed curve) များဖြင့် ချိတ်ဆက်ထားသည်။ မည်သည့် မျဉ်းပိုင်း သို့မဟုတ် မျဉ်းကွေးပိတ်များမှ အတွင်းပိုင်းအမှတ် (interior point) များ၌ အချင်းချင်း ဖြတ်သန်းသွားခြင်း မရှိပေ။ * '''ဂရပ်ပိုင်းငယ် (graph minor):''' ဂရပ် <math>H</math> ကို ဂရပ် <math>G</math> မှ ထိပ်စွန်းမှတ်များ သို့မဟုတ် အနားများကို ဖျက်ပစ်ခြင်းနှင့် အနားများကို ကျုံ့ခြင်း (contracting) များ ပြုလုပ်ခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းနိုင်လျှင် <math>H</math> သည် <math>G</math> ၏ ဂရပ်ပိုင်းငယ် ဖြစ်သည်။ ဗဂ်နာ၏ သီအိုရမ် (Wagner's theorem) အရ အဆုံးရှိဂရပ် (finite graph) တစ်ခု ပြင်ညီ (planar) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ ၎င်း၏ ဂရပ်ပိုင်းငယ်တွင် ပြည့်စုံသော ဂရပ် (complete graph) <math>K_5</math> နှင့် အစုနှစ်ပိုင်းခွဲ ဂရပ် (bipartite graph) <math>K_{3,3}</math> တို့ မပါဝင်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။<ref>Lovász (2006), p. 77.</ref> * '''ဖြတ်မှတ်အရေအတွက် (crossing number):''' ဂရပ်တစ်ခုကို ပြင်ညီ (plane) ပေါ်တွင် ဆွဲရာ၌ အနားများ အချင်းချင်း ဖြတ်သန်းသွားသော အနည်းဆုံးအရေအတွက် ဖြစ်သည်။ * '''ဗို့အား ဂရပ် (voltage graph):''' ၎င်း၏ အနားများကို [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (group) တစ်ခု၏ [[အစုဝင်]] (element) များဖြင့် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော ဂုဏ်သတ္တိရှိစွာ (invertibly) အမည်တပ်ထားသော လားရာပြဂရပ် (directed graph) ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို ဆင်းသက်ဂရပ် (derived graph) များ တည်ဆောက်ရာတွင် အသုံးပြုသည်။<ref>Gross & Tucker (2012), p. 57.</ref> === အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဂရပ်သီအိုရီ (Algebraic graph theory) === [[Image:Petersen1 tiny.svg|thumb|200px|ပီတာဆန် ဂရပ် (Petersen graph) သည် အလွန် [[ခေါက်ချိုးညီ|အချိုးညီမှု]] (symmetric) ရှိသည်။ ၎င်း၏ [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စု]] (automorphism group) သည် ပါမြူတေးရှင်းအပြည့် အုပ်စု (symmetric group) <math>S_5</math> ဖြစ်သည်။]] အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဂရပ်သီအိုရီ (algebraic graph theory) သည် [[မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ]] (linear algebra) နှင့် [[အုပ်စုသီအိုရီ]] (group theory) တို့ကို အသုံးပြုသည်။ * '''ရောင်စဉ် ဂရပ်သီအိုရီ (spectral graph theory):''' လားရာမဲ့ ဂရပ် (undirected graph) တစ်ခု၏ [[ကိန်းအုံ|ကပ်လျက်ရှိမှု ကိန်းအုံ]] (adjacency matrix) နှင့် [[ကိန်းအုံ|လာပလေ့ဆီယန် ကိန်းအုံ]] (Laplacian matrix) တို့၏ [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ဝိသေသ ပိုလီနိုမီရယ်]] (characteristic polynomial) များကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသည်။ ၎င်းတို့၏ [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး]] (eigenvalue) များနှင့် [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာ]] (eigenvector) များကိုလည်း လေ့လာသည်။ လာပလေ့ဆီယန် ကိန်းအုံဆိုသည်မှာ [[ကိန်းအုံ|ဒီဂရီ (degree) ကိန်းအုံ]]ထဲမှ ကပ်လျက်ရှိမှု ကိန်းအုံကို နုတ်ထားခြင်းဖြစ်သည်။ * '''ဂရပ် အချိုးညီမှုများ (graph symmetries):''' [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စု]] (automorphism group) များကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသည်။ ဖရုခ်တ်၏ သီအိုရမ် (Frucht's theorem) အရ အဆုံးရှိအုပ်စုတိုင်းသည် အဆုံးရှိ လားရာမဲ့ ဂရပ်တစ်ခု၏ အချိုးညီအုပ်စု (symmetry group) ဖြစ်သည်။<ref>Gross & Tucker (2012), p. 70.</ref> * '''ဂရပ်ဆိုင်ရာ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (graph invariants):''' သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံ (abstract structure) အပေါ်တွင်သာ တိကျစွာ မှီခိုနေသော အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ (algebraic property) များ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့တွင် [[ပိုလီနိုမီရယ်|ခရိုမက်တစ် ပိုလီနိုမီရယ်]] (chromatic polynomial) များနှင့် [[ပိုလီနိုမီရယ်|တတ် ပိုလီနိုမီရယ်]] (Tutte polynomial) များ ပါဝင်သည်။ === ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဂရပ်သီအိုရီ (Geometric graph theory) === [[File:Euclidean minimum spanning tree.svg|thumb|ယူကလစ် (Euclidean) အငယ်ဆုံး ဖြန့်ကျက်သစ်ပင်ဂရပ် (minimum spanning tree)။]] ဤသီအိုရီသည် ယူကလစ် ရပ်ဝန်း (Euclidean space) ထဲတွင် မျဉ်းဖြောင့်များ သို့မဟုတ် အဆက်မပြတ် မျဉ်းကွေးများဖြင့် ဆွဲထားသော ဂရပ်များ၏ စီစဉ်တွဲစပ်မှုဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ (combinatorial property) များနှင့် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ (geometric property) များအပေါ် အဓိကထားလေ့လာသည်။ * '''ပြင်ညီ မျဉ်းဖြောင့် ဂရပ် (planar straight-line graph):''' ထိပ်စွန်းမှတ်များကို အမှတ်များအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အနားများကို အချင်းချင်း ဖြတ်သန်းမှုမရှိသော (non-crossing) မျဉ်းဖြောင့်ပိုင်း (line segment) များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ပြင်ညီဂရပ် (planar graph) ဖြစ်သည်။ ဖာရီ၏ သီအိုရမ် (Fáry's theorem) အရ မည်သည့် ရိုးရှင်းသော ပြင်ညီဂရပ်မဆို ထိုကဲ့သို့သော ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုမျိုး ရှိနိုင်သည်။ * '''ဖြတ်မှတ် ဂရပ် (intersection graph):''' ထိပ်စွန်းမှတ်တစ်ခုစီကို [[အစု]] (set) တစ်ခုနှင့် ချိတ်ဆက်ထားသော ဂရပ်ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့၏ အစုများအကြား ဗလာမဟုတ်သော ထပ်တူပိုင်းအစု (non-empty intersection) ရှိပါက ထိုထိပ်စွန်းမှတ်များကို ဆက်သွယ်ထားသည်။ ဥပမာအနေဖြင့် အကြွေစေ့ ဂရပ် (coin graph) သို့မဟုတ် စက်ဝိုင်း အစုအပြုံများကို ပြသနိုင်သည်။ ကီးဘီ-အန်ဒရေးယက်ဗ်-သာစတန် သီအိုရမ် (Koebe–Andreev–Thurston theorem) အရ အချင်းချင်း ဖြတ်သန်းမှုမရှိသော စက်ဝိုင်းများ၏ ဖြတ်မှတ် ဂရပ်များသည် ရိုးရှင်းသော ပြင်ညီဂရပ်များနှင့် အတိအကျ ကိုက်ညီမှု (correspond) ရှိသည်။<ref>Thurston (2002), p. 330.</ref> === အစွန်းရောက် ဂရပ်သီအိုရီ (Extremal graph theory) === [[File:Biclique K 5 5.svg|thumb|မန်တယ်လ်၏ သီအိုရမ် (Mantel's theorem) က တြိဂံကင်းစင်သော ဂရပ် (triangle-free graph) တစ်ခု၏ အစွန်းရောက်ကိန်း (extremal number) သည် <math>\lfloor n^2/4 \rfloor</math> ဖြစ်ကြောင်း ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။]] ဤသီအိုရီသည် သီးခြား ဂရပ်ပိုင်း (subgraph) များ မပါဝင်သော ရိုးရှင်းသည့် ဂရပ်များအတွင်းရှိ အစွန်းရောက်ကိန်း (extremal number) ကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသည်။ အစွန်းရောက်ကိန်းဆိုသည်မှာ ပေးထားသော ထိပ်စွန်းမှတ်အရေအတွက်အတွက် ရှိနိုင်သည့် အများဆုံး အနားအရေအတွက် ဖြစ်သည်။<ref>Chartrand, Jordon, Vatter, & Zhang (2024), p. 221.</ref> တူရန်၏ သီအိုရမ် (Turán's theorem) နှင့် အဲဒို့ရှ်-စတုန်း သီအိုရမ် (Erdős–Stone theorem) တို့သည် ပြည့်စုံသော ဂရပ်ပိုင်းများ မပါဝင်သည့် ဂရပ်များအတွက် အစွန်းရောက် ကန့်သတ်ချက် (extremal bound) များကို ယေဘုယျပြုထားခြင်း (generalize) ဖြစ်သည်။ မန်တယ်လ်၏ သီအိုရမ်က ထိပ်စွန်းမှတ် <math>n</math> ခုပါဝင်သော တြိဂံကင်းစင်သော ဂရပ် (triangle-free graph) တစ်ခု၏ အစွန်းရောက်ကိန်းသည် <math>\lfloor n^2/4 \rfloor</math> ဖြစ်ကြောင်း တွေ့ရှိခဲ့သည်။ === ကျပန်း ဂရပ်သီအိုရီ (Random graph theory) === [[File:Random minimum spanning tree.svg|thumb|ကျပန်းသတ်မှတ်ထားသော အလေးဆများပေါ်ရှိ ကျပန်း အငယ်ဆုံး ဖြန့်ကျက်သစ်ပင်ဂရပ်။]] ဤသီအိုရီသည် ဖြစ်တန်စွမ်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း (probability distribution) များဖြင့် ထုတ်လုပ်ထားသော ဂရပ်များကို လေ့လာသည်။ ဥပမာအနေဖြင့် အဲဒို့ရှ်-ရေညီ မော်ဒယ်ကို ပြနိုင်သည်။ ၎င်းတွင် တစ်ပြေးညီ ဖြန့်ကျက်သစ်ပင်ဂရပ် (uniform spanning tree) များ၊ ဖြာထွက် လုပ်ငန်းစဉ် (branching process) များနှင့် ကျပန်း ဘိုင်နရီ သစ်ပင်ဂရပ် (random binary tree) များကဲ့သို့သော စတော့ကတ်စတစ် (stochastic) တည်ဆောက်ပုံများ ပါဝင်သည်။<ref>Bollobás (2001), p. xi.</ref> == တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ပြဿနာများ (Computational problems) == * '''ဂရပ်ပိုင်း အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (subgraph isomorphism):''' ပိုမိုကြီးမားသော ဂရပ် (graph) တစ်ခုအတွင်း၌ ပုံသေ ဂရပ်တစ်ခုကို ဂရပ်ပိုင်း (subgraph) အဖြစ် ရှာဖွေခြင်းဖြစ်သည်။ အကြီးဆုံးသော ပြည့်စုံသည့် ဂရပ်ပိုင်းကို ရှာဖွေခြင်းသည် အကြီးဆုံး ကလစ်ခ် ပြဿနာ (maximum clique problem) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် NP ခက်ခဲသော (NP-hard) ပြဿနာဖြစ်သည်။ * '''ဂရပ် အရောင်ခြယ်ခြင်း (graph coloring):''' ကပ်လျက်ရှိသော ထိပ်စွန်းမှတ် (vertex) များ တူညီသည့် အရောင် မရှိစေရန်အတွက် အနည်းဆုံး အရောင်အရေအတွက်ဖြင့် သတ်မှတ်ပေးခြင်း ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို အရောင်လေးမျိုး သီအိုရမ်ကဲ့သို့သော သီအိုရမ်များက ထိန်းချုပ်ထားသည်။ * '''လမ်းကြောင်း ပြဿနာ (route problem) များ:''' ၎င်းတို့တွင် [[လမ်းကြောင်း|ဟာမီလ်တန် လမ်းကြောင်း]] (Hamiltonian path) ပြဿနာနှင့် [[လမ်းကြောင်း|အတိုဆုံးလမ်းကြောင်း]] (shortest path) ပြဿနာတို့ ပါဝင်သည်။ ထို့အပြင် နယ်လှည့်အရောင်းသမား ပြဿနာ (Traveling Salesman Problem) လည်း ပါဝင်သည်။ အတိုဆုံးလမ်းကြောင်း ပြဿနာကို ပိုလီနိုမီရယ် အချိန် (polynomial time) ဖြင့် ဖြေရှင်းနိုင်သော်လည်း ဟာမီလ်တန် လမ်းကြောင်း ပြဿနာနှင့် နယ်လှည့်အရောင်းသမား ပြဿနာတို့မှာ NP-ခက်ခဲသော ပြဿနာ (NP-hard problem) များ ဖြစ်ကြသည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Bollobás |first=Béla |title=Modern Graph Theory |publisher=Springer |date=2013 |isbn=978-1-4612-0619-4 |mr=1633290 |zbl=0902.05016}} * {{Citation |last=Bollobás |first=Béla |title=Random Graphs |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |date=2001 |isbn=0-521-79722-5 |mr=1864966 |zbl=0979.05003}} * {{Citation |last1=Chartrand |first1=Gary |last2=Jordon |first2=Heather |last3=Vatter |first3=Vincent |last4=Zhang |first4=Ping |title=Graphs & Digraphs |edition=7th |publisher=CRC Press |date=2024 |isbn=978-1-032-13340-9}} * {{Citation |last1=Gross |first1=Jonathan L. |last2=Tucker |first2=Thomas W. |title=Topological Graph Theory |publisher=Dover Publications |date=2012 |isbn=978-0-486-41741-7 |mr=1897368 |zbl=1010.05021}} * {{Citation |last=Lovász |first=László |title=Graph minor theory |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |volume=43 |issue=1 |pages=75–86 |date=2006 |doi=10.1090/S0273-0979-05-01088-8 |mr=2188176 |zbl=1110.05080}} * {{Citation |last=Ore |first=Øystein |title=Theory of Graphs |publisher=American Mathematical Society |series=American Mathematical Society Colloquium Publications |volume=38 |date=1962 |mr=0150753 |zbl=0114.39602}} * {{Citation |last=Thurston |first=William |title=The Geometry and Topology of 3-manifolds |publisher=MSRI Publications |date=2002}} [[ကဏ္ဍ:ကွန်ဘိုင်နတိုးရစ်]] 00tk1ai4er64rgjdr6d65a3uyj0c2qp 0 292495 1060826 1056655 2026-10-31T08:23:26Z Mkant00 135890 1060826 wikitext text/x-wiki [[ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (mathematical analysis) တွင် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (metric space) <math>M</math> တစ်ခုအတွင်းရှိ အမှတ်များ၏ [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) တိုင်းသည် အဆိုပါ <math>M</math> တွင်ပင်ပါဝင်သော [[စုဆုံမှတ်]] (limit) တစ်ခုရှိပါက ၎င်းကို [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်း]] (complete space) သို့မဟုတ် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|ကော်ချီ ရပ်ဝန်း]] (Cauchy space) ဟုခေါ်ဆိုသည်။ ပင်ကိုသိစိတ်အရ ရပ်ဝန်း (space) တစ်ခုမှ ပျောက်ဆုံးနေသော အမှတ်များ အပေါက်များ မရှိပါက ၎င်းသည် ပြည့်စုံသည်။ ပေးထားသော ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ပြည့်စုံစေခြင်း (completion) သို့ ဦးတည်လျက် အဆိုပါ အပေါက်အားလုံးကို ဖြည့်စွက်ရန် အမြဲတမ်းဖြစ်နိုင်ခြေရှိသည်။ == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Formal Definitions) == [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (metric space) <math>(X, d)</math> တစ်ခုမှ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] (elements) ၏ [[ကိန်းစဉ်]] (sequence) <math>x_1, x_2, x_3, \ldots</math> ကို [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) ဟုခေါ်ဆိုရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ [[ကိန်းစစ်|အပေါင်း ကိန်းစစ်]] (positive real number) <math>r > 0</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်စေမည့် [[ကိန်းပြည့်|အပေါင်း ကိန်းပြည့်]] (positive integer) <math>N</math> တစ်ခုတည်ရှိခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ <math>m, n > N</math> ဖြစ်သော အပေါင်းကိန်းပြည့်တိုင်းအတွက် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ <math display=block>d(x_m, x_n) < r</math> အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း <math>(X, d)</math> တစ်ခု ပြည့်စုံရန် (complete) လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ အောက်ပါ အဓိပ္ပာယ်ထပ်တူညီသော (equivalent) အခြေအနေများအနက် တစ်ခုခုကို ပြည့်မီခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ *<math>X</math> အတွင်းရှိ ကော်ချီ ကိန်းစဉ်တိုင်းသည် <math>X</math> သို့ စုဆုံသည် (converges)။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>X</math> တွင်ပင်ပါဝင်သော [[စုဆုံမှတ်]] (limit) တစ်ခုရှိသည်။ *သုညသို့ချဉ်းကပ်နေသော အချင်းများ (diameters) ရှိသည့် <math>X</math> ၏ ဗလာမဟုတ်သော [[အစုပိုင်း|အပိတ်စုပိုင်းများ]] (non-empty closed subsets) ၏ အစဉ်လိုက်လျော့သော ကိန်းစဉ် (decreasing sequence) တိုင်းတွင် ဗလာမဟုတ်သော ထပ်တူပိုင်းအစု (non-empty intersection) တစ်ခုရှိသည်။ အကယ်၍ <math>F_n</math> သည် အပိတ် (closed) ဖြစ်ပြီး ဗလာမဟုတ်ပါက <math>n</math> တိုင်းအတွက် <math>F_{n+1} \subseteq F_n</math> ဖြစ်ပြီး <math>\operatorname{diam}\left(F_n\right) \to 0</math> ဖြစ်လျှင် <math>F_n</math> အစုများအားလုံးအတွက် ဘုံပါဝင်သော (common) တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် အမှတ် (unique point) <math>x \in X</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ == အဓိက သီအိုရမ်များ (Core Theorems) == *[[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|ကျစ်လျစ်သော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (compact metric space) တိုင်းသည် ပြည့်စုံသည် (complete)။ သို့သော် ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်းများ (complete spaces) သည် ကျစ်လျစ်ရန် (compact) မလိုအပ်ပေ။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (metric space) တစ်ခု ကျစ်လျစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ၎င်းသည် ပြည့်စုံပြီး အပြည့်အဝကန့်သတ်ချက်ရှိခြင်း (totally bounded) ပင်ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>\mathbb{R}^n</math> ၏ အပိတ်ဖြစ်ပြီး ကန့်သတ်ချက်ရှိသော ရပ်ဝန်းပိုင်း (closed and bounded subspace) <math>S</math> တိုင်းသည် ကျစ်လျစ်ပြီး ထို့ကြောင့် ပြည့်စုံကြောင်း ဖော်ပြသည့် ဟိုင်းနား ဘိုရဲလ် သီအိုရမ် (Heine-Borel theorem) ၏ ယေဘုယျပြုထားခြင်း (generalization) တစ်ခုဖြစ်သည်။<ref>Sutherland 1975</ref> *<math>(X, d)</math> သည် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ အကယ်၍ <math>A \subseteq X</math> သည် [[အစု|အပိတ်စု]] (closed set) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>A</math> သည်လည်း ပြည့်စုံသည်။ <math>(X, d)</math> သည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ အကယ်၍ <math>A \subseteq X</math> သည် ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်းပိုင်း (complete subspace) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>A</math> သည်လည်း အပိတ် (closed) ဖြစ်သည်။ *<math>(X, d)</math> သည် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>(A, d)</math> သည် <math>X</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်း (subspace) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>A</math> ပြည့်စုံရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>A</math> သည် <math>X</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အပိတ်စုပိုင်း]] (closed subset) တစ်ခုဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ *အကယ်၍ <math>X</math> သည် ဗလာမဟုတ်သော [[အစု]] (non-empty set) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>X</math> မှ <math>M</math> သို့ရှိသော ကန့်သတ်ချက်ရှိသည့် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (bounded functions) <math>f</math> အားလုံး၏ အစု <math>B(X, M)</math> သည် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>B(X, M)</math> ရှိ အကွာအဝေး (distance) ကို <math>M</math> ရှိ အကွာအဝေးအားအသုံးပြု၍ စူပရီမမ်အကွာအဝေးဖန်ရှင် (supremum metric) ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math display="block">d(f, g) \equiv \sup\{d(f(x), g(x)): x \in X\}</math> *အကယ်၍ <math>X</math> သည် ဗလာမဟုတ်သော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း]] (non-empty topological space) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခုဖြစ်ပါက အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပြီး ကန့်သတ်ချက်ရှိသည့် ဖန်ရှင်များ (continuous bounded functions) <math>f : X \to M</math> အားလုံးပါဝင်သော အစု <math>C_b(X, M)</math> သည် <math>B(X, M)</math> ၏ အပိတ်ဖြစ်သော ရပ်ဝန်းပိုင်း (closed subspace) တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းသည်လည်း ပြည့်စုံသည်။ *ဘလဲ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရမ် (Baire category theorem) က ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတိုင်းသည် ဘလဲ ရပ်ဝန်း (Baire space) တစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ဖော်ပြသည်။ ရပ်ဝန်း၏ မည်သည့်နေရာတွင်မျှသိပ်သည်းခြင်းမရှိသော အစုပိုင်းများ (nowhere dense subsets) အား ရေတွက်နိုင်သောပေါင်းစပ်ခြင်း (countable union) တွင် ဗလာဖြစ်သော အတွင်းပိုင်း (empty interior) သာရှိသည်။ * ဘာနက် အထိုင်မှတ်သီအိုရမ် (Banach fixed-point theorem) က ဗလာမဟုတ်သော ပြည့်စုံသည့် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခုပေါ်ရှိ ကျုံ့ခြင်း ပုံဖော်မှု (contraction mapping) တစ်ခုတွင် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အထိုင်မှတ် (unique fixed point) တစ်ခု တည်ရှိကြောင်း ဖော်ပြသည်။ * <math>X</math> သည် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>S_1, S_2, \ldots</math> သည် <math>X</math> ၏ အစုပိုင်းများ (subsets) ၏ ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။<ref>Zalinescu 2002, p. 33</ref> :* အကယ်၍ <math>S_i</math> တိုင်းသည် <math>X</math> တွင် အပိတ်ဖြစ်ပါက <math display=inline>\operatorname{cl} \left(\bigcup_{i \in \mathbb{N}} \operatorname{int} S_i\right) = \operatorname{cl} \operatorname{int} \left(\bigcup_{i \in \mathbf{N}} S_i\right)</math> ဖြစ်သည်။ :* အကယ်၍ <math>S_i</math> တိုင်းသည် <math>X</math> တွင် အဖွင့် (open) ဖြစ်ပါက <math display=inline>\operatorname{int} \left(\bigcap_{i \in \mathbb{N}} \operatorname{cl} S_i\right) = \operatorname{int} \operatorname{cl} \left(\bigcap_{i \in \mathbb{N}} S_i\right)</math> ဖြစ်သည်။ *မည်သည့် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း <math>M</math> အတွက်မဆို <math>M</math> ကို သိပ်သည်းသော ရပ်ဝန်းပိုင်း (dense subspace) တစ်ခုအဖြစ် ငုံထားသည့် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း <math>M'</math> ကို တည်ဆောက်ရန် ဖြစ်နိုင်ခြေရှိသည်။ <math>\overline{M}</math> ဟုလည်း သင်္ကေတပြုသည်။ ၎င်းတွင် အလုံးစုံအကျုံးဝင်သော ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) ရှိသည်။ အကယ်၍ <math>N</math> သည် မည်သည့် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းမဆိုဖြစ်ပြီး <math>f</math> သည် <math>M</math> မှ <math>N</math> သို့ရှိသော မည်သည့် ညီညာစွာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည့် ဖန်ရှင် (uniformly continuous function) မဆိုဖြစ်ပါက <math>f</math> ကို တိုးချဲ့ထားသည့် (extends) <math>M'</math> မှ <math>N</math> သို့ရှိသော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် (unique) ညီညာစွာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင် <math>f'</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ <math>M'</math> ရပ်ဝန်းကို ဤဂုဏ်သတ္တိဖြင့် [[အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှု]] (isometry) အထိ သတ်မှတ်နိုင်ပြီး ၎င်းကို <math>M</math> ၏ ပြည့်စုံစေခြင်း (completion) ဟုခေါ်ဆိုသည်။ *<math>M</math> ၏ ပြည့်စုံစေခြင်းကို <math>M</math> အတွင်းရှိ ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များ၏ (Cauchy sequences) ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ (equivalence classes) စုဝေးထားသည့် အစုတစ်ခုအဖြစ် တည်ဆောက်နိုင်သည်။ <math>M</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် ကော်ချီ ကိန်းစဉ် <math>x = \left(x_n\right)</math> နှင့် <math>y = \left(y_n\right)</math> နှစ်ခုအတွက်မဆို ၎င်းတို့၏ အကွာအဝေးကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math display=block>d\left(x, y\right) = \lim_{n \to \infty} d\left(x_n, y_n\right)</math> :ဤအရာသည် ဆူဒိုအကွာအဝေးဖန်ရှင် (pseudometric) တစ်ခုကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ အကွာအဝေး 0 ရှိခြင်း ဆက်သွယ်ချက်အောက်ရှိ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ၏ အစုသည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် <math>M</math> ၏ ပြည့်စုံစေခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ == ဥပမာများ (Examples) == *ခြားနားခြင်း (difference) ၏ [[ပကတိတန်ဖိုး]] (absolute value) ဖြင့်ပေးထားသော စံ အကွာအဝေးဖန်ရှင် (standard metric) ပါရှိသည့် [[အတိပြကိန်း|အတိပြကိန်းများ]] (rational numbers) ၏ ရပ်ဝန်း (space) <math>\mathbb{Q}</math> သည် မပြည့်စုံပေ (complete)။ <math>x_1 = 1</math> နှင့် <math>x_{n+1} = \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n}</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော [[ကိန်းစဉ်]] (sequence) ကို သုံးသပ်ကြည့်ပါ။ ၎င်းသည် အတိပြကိန်းများ၏ [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) တစ်ခုဖြစ်သော်လည်း ၎င်းသည် မည်သည့် အတိပြကိန်းဖြစ်သော စုဆုံမှတ် (rational limit) သို့မျှ စုဆုံခြင်း (converge) မရှိပေ။ *ပကတိ ခြားနားခြင်း အကွာအဝေးဖန်ရှင် (absolute difference metric) ပါရှိသည့် အဖွင့်အပိုင်းအခြား (open interval) <math>(0,1)</math> သည်လည်း မပြည့်စုံပေ။ <math>x_n = \tfrac{1}{n+1}</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစဉ်သည် ကော်ချီဖြစ်သော်လည်း ပေးထားသော ရပ်ဝန်းအတွင်းတွင် [[စုဆုံမှတ်]] (limit) မရှိပေ။ သို့သော် အပိတ်အပိုင်းအခြား (closed interval) <math>[0,1]</math> မှာမူ ပြည့်စုံသည်။ *[[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) ၏ ရပ်ဝန်း <math>\mathbb{R}</math> နှင့် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers) ၏ ရပ်ဝန်း <math>\mathbb{C}</math> တို့သည် ပြည့်စုံကြပြီး ယူကလစ် ရပ်ဝန်း (Euclidean space) <math>\mathbb{R}^n</math> သည်လည်း အလားတူပင်ဖြစ်သည်။ *အတိုင်းအတာအနန္တ (infinite-dimensional) ဖြစ်သော စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (normed vector spaces) သည် ပြည့်စုံနိုင်သည် သို့မဟုတ် မပြည့်စုံနိုင်ပေ။ ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်းများမှာမူ ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ (Banach spaces) ဖြစ်ကြသည်။ အပိတ်ဖြစ်ပြီး ကန့်သတ်ချက်ရှိသော အပိုင်းအခြား (closed and bounded interval) တစ်ခုပေါ်ရှိ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည့် ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင်များ]] (continuous real-valued functions) ၏ ရပ်ဝန်း <math>C[a, b]</math> သည် ဘာနက် ရပ်ဝန်းတစ်ခုဖြစ်ပြီး ထို့ကြောင့် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စူပရီမမ်စံနှုန်း]] (supremum norm) နှင့် ပတ်သက်၍ ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (complete metric space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ သို့သော် စူပရီမမ်စံနှုန်းသည် <math>(a, b)</math> ပေါ်ရှိ အဆက်မပြတ်ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ၏ ရပ်ဝန်း <math>C(a, b)</math> ပေါ်တွင် စံနှုန်း (norm) တစ်ခုကို မပေးနိုင်ပေ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ၎င်းတွင် ကန့်သတ်ချက်မရှိသော ဖန်ရှင်များ (unbounded functions) ပါဝင်နိုင်သောကြောင့်ဖြစ်သည်။ *[[P-အခြေခံကိန်း|p-အခြေခံကိန်းများ]] (p-adic numbers) ၏ ရပ်ဝန်း <math>\mathbb{Q}_p</math> သည် မည်သည့် [[သုဒ္ဓကိန်း]] (prime number) <math>p</math> အတွက်မဆို ပြည့်စုံသည်။ <math>\mathbb{R}</math> သည် သာမန်အကွာအဝေးဖန်ရှင်ဖြင့် <math>\mathbb{Q}</math> ကို ပြည့်စုံစေသည့် နည်းလမ်းအတိုင်းပင် ဤရပ်ဝန်းသည် p-အခြေခံ အကွာအဝေးဖန်ရှင် (p-adic metric) ဖြင့် <math>\mathbb{Q}</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ *အကယ်၍ <math>S</math> သည် အလိုရှိရာ [[အစု]] (arbitrary set) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\left(x_n\right)</math> နှင့် <math>\left(y_n\right)</math> ကိန်းစဉ်များကြားရှိ အကွာအဝေး (distance) ကို <math>\tfrac{1}{N}</math> အဖြစ် သတ်မှတ်လျှင် <math>S</math> အတွင်းရှိ ကိန်းစဉ်အားလုံး၏ အစု <math>S^{\mathbb{N}}</math> သည် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်လာမည်ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>N</math> သည် <math>x_N</math> နှင့် <math>y_N</math> မတူညီသော အငယ်ဆုံး အညွှန်း (smallest index) ဖြစ်ပြီး အကယ်၍ ထိုသို့သော အညွှန်းမရှိပါက <math>0</math> ဖြစ်သည်။ *အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများအနေဖြင့် ပြည့်စုံသော ဆက်စပ်နေသည့် (connected) [[မန်နီဖိုး#ရီးမန်း_မန်နီဖိုးများ_(Riemannian_Manifolds)|ရီးမန်း မန်နီဖိုးများ]] (Riemannian manifolds) သည် ဂျီအိုဒက်စစ်အရပြည့်စုံကြသည် (geodesically complete)။ ၎င်းတို့၏ အဓိပ္ပာယ်ထပ်တူညီမှု (equivalence) မှာ ဟော့ဖ်-ရီနော သီအိုရမ် (Hopf-Rinow theorem) မှ ဆင်းသက်လာခြင်းဖြစ်သည်။ == ကိုးကား (References) == *{{Citation|last=Kelley|first=John L.|title=General Topology|isbn=0-387-90125-6|publisher=Springer|year=1975}} *{{Citation|last=Kreyszig|first=Erwin|title=Introductory functional analysis with applications|publisher=Wiley|publication-place=New York|year=1978|isbn=0-471-03729-X}} *{{Citation|last=Lang|first=Serge|title=Real and Functional Analysis|isbn=0-387-94001-4}} *{{Citation|last1=Meise|first1=Reinhold|last2=Vogt|first2=Dietmar|others=Ramanujan, M.S. (trans.)|title=Introduction to functional analysis|publisher=Oxford: Clarendon Press; New York: Oxford University Press|year=1997|isbn=0-19-851485-9}} *{{Citation|last=Sutherland|first=Wilson A.|title=Introduction to Metric and Topological Spaces|year=1975|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-853161-6}} *{{Citation|last=Zalinescu|first=C.|title=Convex analysis in general vector spaces|publisher=World Scientific|publication-place=River Edge, N.J. London|year=2002|isbn=981-238-067-1}} [[ကဏ္ဍ:ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] 12m67u5k65a2va3v7ya4h69qlkmyqaj 0 292661 1060785 1057281 2026-10-30T19:57:57Z Mkant00 135890 1060785 wikitext text/x-wiki [[File:comparison convolution correlation.svg|thumb|400px|class=skin-invert-image|ကွန်ဗော်လူးရှင်း (convolution)၊ ကြက်ခြေခတ်ဆက်စပ်မှု (cross-correlation) နှင့် မိမိကိုယ်တိုင်ဆက်စပ်မှု (autocorrelation) တို့ကို ပုံဖြင့် နှိုင်းယှဉ်ဖော်ပြချက်။ [[ဖန်ရှင်]] (function) <math>f</math> ပါဝင်သော တွက်ချက်မှုများ (operations) အတွက် <math>f</math> ၏ အမြင့် (height) ကို <math>1.0</math> ဟု ယူဆပါက မတူညီသော အမှတ် (point) <math>5</math> ခုရှိ ရလဒ်၏ တန်ဖိုး (value) ကို အမှတ်တစ်ခုချင်းစီ၏ အောက်ရှိ အရိပ်ချယ်ထားသော ဧရိယာ (area) ဖြင့် ဖော်ပြထားသည်။]] ဖန်ရှင်နယ်ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) တွင် '''ကွန်ဗော်လူးရှင်း''' (convolution) ဆိုသည်မှာ [[ဖန်ရှင်]] (function) နှစ်ခုဖြစ်သော <math>f</math> နှင့် <math>g</math> အပေါ်တွင် ပြုလုပ်သည့် သင်္ချာဆိုင်ရာတွက်ချက်မှု (mathematical operation) တစ်ခုဖြစ်ပြီး တတိယဖန်ရှင် <math>f * g</math> ကို ထုတ်ပေးသည်။ ၎င်းကို ဖန်ရှင်နှစ်ခုအနက် တစ်ခုအား ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုး (vertical axis) အပေါ် အခြေခံ၍ အချိုးညီရောင်ပြန်ဟပ်ခြင်း (reflection) နှင့် နေရာရွှေ့ခြင်း (shift) ပြုလုပ်ပြီးနောက် ရရှိလာသော ဖန်ရှင်နှစ်ခု၏ သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် [[မြှောက်လဒ်]] (pointwise product) ၏ [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]] (integral) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည် (defined)။ ကွန်ဗော်လူးရှင်း ဟူသော အသုံးအနှုန်းသည် ရလဒ်အဖြစ် ရရှိလာသော ဖန်ရှင်ကိုသာမက ၎င်းကို တွက်ချက်သည့် လုပ်ငန်းစဉ်ကိုပါ ရည်ညွှန်းသည်။ အင်တီဂရယ် စုဆုံသည့် (converges) နေရာရွှေ့တန်ဖိုးအားလုံးအတွက် သို့မဟုတ် နေရာတိုင်းနီးပါး (almost everywhere) အတွက် ဤအင်တီဂရယ်ကို တန်ဖိုးရှာဖွေခြင်း (evaluating) ဖြင့် ကွန်ဗော်လူးရှင်းဖန်ရှင်ကို ရရှိပြီး [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (commutativity) အရ မည်သည့်ဖန်ရှင်ကို ရောင်ပြန်ဟပ်၍ နေရာရွှေ့သည်ဖြစ်စေ ရလဒ်မှာ ပြောင်းလဲခြင်းမရှိပေ။ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (continuous) သို့မဟုတ် ပိုင်းစသီးခြား (discrete) ကိန်းရှင် (variable) တစ်ခု၏ [[ကိန်းစစ်]]တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင်များ (real-valued functions) အတွက် ကွန်ဗော်လူးရှင်း <math>f * g</math> သည် ကြက်ခြေခတ်ဆက်စပ်မှု (cross-correlation) <math>f \star g</math> နှင့် <math>f(x)</math> သို့မဟုတ် <math>g(x)</math> အား ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးအပေါ် အခြေခံ၍ ရောင်ပြန်ဟပ်ထားသည့် အချက်တွင်သာ ကွာခြားသည်။ ထို့ကြောင့် <math>f * g</math> သည် <math>g(-x)</math> နှင့် <math>f(x)</math> တို့၏ ကြက်ခြေခတ်ဆက်စပ်မှု သို့မဟုတ် <math>f(-x)</math> နှင့် <math>g(x)</math> တို့၏ ကြက်ခြေခတ်ဆက်စပ်မှု ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{R}^d</math> အပေါ်ရှိ [[ကိန်းထွေး]]တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင်များ (complex-valued functions) အတွက် ကြက်ခြေခတ်ဆက်စပ်မှုကို <math>(g \star h)(x) := \int_{\mathbb{R}^d} \overline{g(y - x)} h(y) \, dy</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပါက သတ်မှတ်ထားသော (fixed) အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသည့် ဖန်ရှင် (integrable function) <math>g \in L^1(\mathbb{R}^d)</math> အတွက် ကြက်ခြေခတ်ဆက်စပ်မှု အော်ပရေတာ (cross-correlation operator) <math>h \mapsto g \star h</math> သည် ကွန်ဗော်လူးရှင်း အော်ပရေတာ (convolution operator) <math>f \mapsto f * g</math> ၏ <math>L^2(\mathbb{R}^d)</math> အပေါ်ရှိ [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း]] တွဲဖက် (Hilbert-space adjoint) ဖြစ်သည်။ ကွန်ဗော်လူးရှင်းကို ယူကလစ် ရပ်ဝန်း (Euclidean space) <math>\mathbb{R}^d</math> အပေါ်ရှိ ဖန်ရှင်များအတွက် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားပြီး ပိုမိုယေဘုယျအားဖြင့် အတိုင်းအတာ (measure) တစ်ခု တပ်ဆင်ထားသော [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာအုပ်စုများ]] (topological groups) အပေါ်တွင်လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် စက်ဝိုင်းအုပ်စု (circle group) <math>\mathbf{T}</math> အပေါ်ရှိ ကာလမှန်ဖန်ရှင်များ (periodic functions) အတွက် ကာလမှန် ကွန်ဗော်လူးရှင်း (periodic convolution) သို့မဟုတ် စက်ဝိုင်းပုံ ကွန်ဗော်လူးရှင်း (circular convolution) အဖြစ်လည်းကောင်း၊ [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]]၏ အုပ်စု (group of integers) <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်ရှိ [[ကိန်းစဉ်|ကိန်းစဉ်များ]] (sequences) အတွက် ပိုင်းစသီးခြား ကွန်ဗော်လူးရှင်း (discrete convolution) အဖြစ်လည်းကောင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ကွန်ဗော်လူးရှင်း တွက်ချက်မှု၏ ပြောင်းပြန် (inverse) ကို တွက်ချက်ခြင်းအား ဒီကွန်ဗော်လူးရှင်း (deconvolution) ဟု ခေါ်သည်။ == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Formal definitions) == === အဆက်မပြတ် ကွန်ဗော်လူးရှင်း (Continuous convolution) === [[File:Convolution of box signal with itself2.gif|thumb|right|300px|class=skin-invert-image|ထောင့်မှန်စတုဂံပုံ လှိုင်းခုန် (rectangular pulse) တစ်ခုကို ၎င်းကိုယ်တိုင်နှင့် အဆက်မပြတ် ကွန်ဗော်လူးရှင်း (continuous convolution) ပြုလုပ်ရာမှ တြိဂံပုံ လှိုင်းခုန် (triangular pulse) တစ်ခု ရရှိလာပုံ။]] [[ဖန်ရှင်|လီဘက်ဂ် တိုင်းတာနိုင်သော ဖန်ရှင်များ]] (Lebesgue measurable functions) ဖြစ်ကြသည့် <math>f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{C}</math> အတွက် ကွန်ဗော်လူးရှင်း (convolution) <math>f * g</math> ကို [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]] (integral) တည်ရှိသည့် (exists) <math>t \in \mathbb{R}</math> တိုင်း၌ အောက်ပါ အင်တီဂရယ် အသွင်ပြောင်းခြင်း (integral transform) ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည် (defined)။ :<math>(f * g)(t) := \int_{-\infty}^\infty f(\tau) g(t - \tau) \, d\tau = \int_{-\infty}^\infty f(t - \tau) g(\tau) \, d\tau</math> ပိုမိုယေဘုယျအားဖြင့် တိုင်းတာနိုင်သော (measurable) [[ကိန်းထွေး]]တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင်များ (complex-valued functions) ဖြစ်ကြသည့် <math>f, g : \mathbb{R}^d \to \mathbb{C}</math> အတွက် ကွန်ဗော်လူးရှင်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ :<math>(f * g)(x) := \int_{\mathbb{R}^d} f(y) g(x - y) \, dy = \int_{\mathbb{R}^d} f(x - y) g(y) \, dy</math> <math>x, y \in \mathbb{R}^d</math> အတွက် ပြိုင်တူရွှေ့ပြောင်းခြင်း အော်ပရေတာ (translation operator) <math>(\tau_x h)(y) := h(y - x)</math> နှင့် အချိုးညီရောင်ပြန်ဟပ်ခြင်း အော်ပရေတာ (reflection operator) <math>\tilde{h}(y) := h(-y)</math> တို့ကို အသုံးပြုပါက နေရာရွှေ့တန်ဖိုး (shift) <math>x</math> ရှိ အင်တီဂရိတ်လုပ်ခံကိန်း (integrand) ကို <math>f(y) g(x - y) = f(y) (\tau_x \tilde{g})(y)</math> ဟု ရေးသားနိုင်သည်။ အကယ်၍ ဒေသအလိုက် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော (locally integrable) <math>f, g \in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})</math> တို့သည် <math>[0, \infty)</math> အပေါ်တွင် အထောက်အပံ့ရှိပါက (supported) ဆိုလိုသည်မှာ <math>t < 0</math> အတွက် <math>f(t) = g(t) = 0</math> ဖြစ်ပါက <math>t < 0</math> အတွက် <math>(f * g)(t) = 0</math> ဖြစ်ပြီး <math>t \ge 0</math> အတွက် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းဘောင်များ (integration limits) သည် အဆုံးရှိ အပိုင်းအခြား (finite interval) <math>[0, t]</math> သို့ ဖြတ်တောက်သွားသည် (truncate)။ :<math>(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau) g(t - \tau) \, d\tau \quad \text{for } t \ge 0</math> အင်ဂျင်နီယာပညာရပ်ဆိုင်ရာ စာပေများတွင် [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း|သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း]] (notation) အတိုကောက်အနေဖြင့် <math>f(t) * g(t) := (f * g)(t)</math> ကို တစ်ခါတစ်ရံ အသုံးပြုကြသည်။<ref>Smith (1997), Ch. 13.</ref> <math>t</math> သည် တန်ဖိုးရှာဖွေသည့်အမှတ် (evaluation point) နှင့် နေရာရွှေ့ထားသော ဖန်ရှင်များ၏ ကိန်းရှင် (variable) နှစ်ခုလုံးကို ကိုယ်စားပြုသောကြောင့် ဤသင်္ကေတအသုံးအနှုန်းအတွင်း၌ အဝင်ကိန်းများ (arguments) ကို နေရာရွှေ့ရာတွင် သတိပြုရန် လိုအပ်သည်။ ပြိုင်တူရွှေ့ပြောင်းခြင်း အော်ပရေတာ <math>(\tau_{t_0} h)(t) = h(t - t_0)</math> အောက်တွင် <math>(f * \tau_{t_0} g)(t) = (f * g)(t - t_0)</math> ဖြစ်သော်လည်း <math>(\tau_{t_0} f * \tau_{t_0} g)(t) = (f * g)(t - 2t_0)</math> ဖြစ်သည်။<ref>Irwin (1997), p. 75.</ref> === စက်ဝိုင်းပုံ ကွန်ဗော်လူးရှင်း (Circular convolution) === <math>g_T : \mathbb{R} \to \mathbb{C}</math> သည် ကာလ (period) <math>T > 0</math> ရှိသော ကန့်သတ်ချက်ရှိသည့် (bounded) တိုင်းတာနိုင်သော [[ဖန်ရှင်|ကာလမှန်ဖန်ရှင်]] (periodic function) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f \in L^1(\mathbb{R})</math> ဖြစ်သည်ဟု ယူဆပါစို့။ ထိုအခါ ကာလမှန် ပေါင်းလဒ် (periodic summation) <math>f_T(\tau) := \sum_{k=-\infty}^\infty f(\tau + kT)</math> သည် <math>\tau \in \mathbb{R}</math> နေရာတိုင်းနီးပါး (almost everywhere) အတွက် [[အကြွင်းမဲ့ စုဆုံခြင်း|အကြွင်းမဲ့စုဆုံပြီး]] (converges absolutely) မည်သည့် <math>t_0 \in \mathbb{R}</math> အတွက်မဆို <math>L^1([t_0, t_0 + T])</math> အတွင်းရှိ <math>T</math>-ကာလမှန် ဖန်ရှင်တစ်ခုကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပေးသည်။ ဖူဘီနီ၏ သီအိုရမ် (Fubini's theorem) အရ ကွန်ဗော်လူးရှင်း <math>f * g_T</math> သည် <math>T</math>-ကာလမှန် ဖြစ်ပြီး အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ :<math>(f * g_T)(t) = \int_{t_0}^{t_0 + T} \left( \sum_{k=-\infty}^\infty f(\tau + kT) \right) g_T(t - \tau) \, d\tau</math> တိုနယ်လီ၏ သီအိုရမ် (Tonelli's theorem) အရ <math>f</math> နှင့် <math>g_T</math> တို့သည် အလိုရှိရာ (arbitrary) အနုတ်မဟုတ်သော (non-negative) တိုင်းတာနိုင်သော ဖန်ရှင်များဖြစ်ကြပြီး <math>g_T</math> သည် <math>T</math>-ကာလမှန် ဖြစ်သည့်အခါတွင်လည်း ဤထပ်တူညီမှု (identity) သည် <math>[0, \infty]</math> ၌ မှန်ကန်သည်။ <math>g_T</math> ကိုယ်တိုင်က ဖန်ရှင် <math>g \in L^1(\mathbb{R})</math> တစ်ခု၏ ကာလမှန် ပေါင်းလဒ်ဖြစ်သည့်အခါ <math>f * g_T</math> ဖန်ရှင်ကို <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့၏ '''စက်ဝိုင်းပုံ ကွန်ဗော်လူးရှင်း''' (circular convolution) သို့မဟုတ် '''ဆိုက်ကလစ် ကွန်ဗော်လူးရှင်း''' (cyclic convolution) ဟု ခေါ်သည်။<math>f</math> ၏ ကာလမှန် ပေါင်းလဒ်နေရာတွင် အလိုရှိရာ <math>T</math>-ကာလမှန် ဖန်ရှင် <math>f_T \in L^1([t_0, t_0 + T])</math> ဖြင့် အစားထိုးခြင်းဖြင့် <math>[t_0, t_0 + T]</math> အပေါ်ရှိ <math>f_T</math> နှင့် <math>g_T</math> တို့၏ ကာလမှန် ကွန်ဗော်လူးရှင်း (periodic convolution) ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ === ပိုင်းစသီးခြားနှင့် ဆိုက်ကလစ် ကွန်ဗော်လူးရှင်း (Discrete and cyclic convolution) === [[File:2D Convolution Animation.gif|thumb|right|class=skin-invert-image|[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော]] (two-dimensional) ပိုင်းစသီးခြား (discrete) ကွန်ဗော်လူးရှင်း လှုပ်ရှားမှုပြပုံ။]] [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (integers) အပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော [[ကိန်းထွေး]]တန်ဖိုးရှိ [[ကိန်းစဉ်|ကိန်းစဉ်များ]] (complex-valued sequences) ဖြစ်ကြသည့် <math>f, g : \mathbb{Z} \to \mathbb{C}</math> အတွက် '''ပိုင်းစသီးခြား ကွန်ဗော်လူးရှင်း''' (discrete convolution) ကို [[ကိန်းစဉ်တန်း]] (series) [[အကြွင်းမဲ့ စုဆုံခြင်း|အကြွင်းမဲ့စုဆုံသည့်]] <math>n \in \mathbb{Z}</math> တိုင်း၌ အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>Damelin & Miller (2011), p. 219.</ref> :<math>(f * g)[n] := \sum_{m=-\infty}^\infty f[m] g[n - m] = \sum_{m=-\infty}^\infty f[n - m] g[m]</math> အဆုံးရှိ ကိန်းစဉ် (finite sequence) နှစ်ခု၏ ကွန်ဗော်လူးရှင်းကို ၎င်းတို့အား သုညဖြင့် တိုးချဲ့၍ <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်ရှိ အဆုံးရှိ အထောက်အပံ့ရှိသော (finitely supported) [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]]အဖြစ် ပြောင်းလဲခြင်းဖြင့် ရရှိသည်။ အဆုံးရှိ ကိန်းစဉ်နှစ်ခုသည် [[ပိုလီနိုမီရယ်]] (polynomial) နှစ်ခု၏ မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (coefficients) ကို ကိုယ်စားပြုသည့်အခါ ၎င်းတို့၏ ပိုင်းစသီးခြား ကွန်ဗော်လူးရှင်းမှ ကော်ချီ မြှောက်လဒ် (Cauchy product) ဟု လူသိများသော အဆိုပါ ပိုလီနိုမီရယ်နှစ်ခု၏ သာမန်[[မြှောက်လဒ်]] (product) ၏ မြှောက်ဖော်ကိန်းများကို ရရှိသည်။ အကယ်၍ <math>g</math> သည် အဆုံးရှိ ကိန်းပြည့်အပိုင်းအခြား <math>\{-M, \dots, M\}</math> အပေါ်တွင် အထောက်အပံ့ရှိပါက [[ပေါင်းခြင်း]] (summation) သည် အောက်ပါအတိုင်း လျော့ကျသွားသည်။<ref>Press et al. (1989), p. 450.</ref> :<math>(f * g)[n] = \sum_{m=-M}^M f[n - m] g[m]</math> အကယ်၍ <math>g_N : \mathbb{Z} \to \mathbb{C}</math> သည် ကိန်းပြည့်ကာလ <math>N \ge 1</math> ဖြင့် ကာလမှန်ဖြစ်ပြီး <math>f \in \ell^1(\mathbb{Z})</math> သည် အကြွင်းမဲ့ပေါင်းစပ်နိုင်သော (absolutely summable) ကိန်းစဉ်တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>f * g_N</math> သည် <math>N</math>-ကာလမှန် ဖြစ်ပြီး အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ :<math>(f * g_N)[n] = \sum_{m=0}^{N-1} \left( \sum_{k=-\infty}^\infty f[m + kN] \right) g_N[n - m]</math> <math>g_N</math> သည် ကိန်းစဉ် <math>g</math> တစ်ခု၏ ကာလမှန် ပေါင်းလဒ်ဖြစ်ပြီး <math>f</math> နှင့် <math>g</math> နှစ်ခုလုံးသည် <math>\{0, 1, \dots, N - 1\}</math> အပေါ်တွင် အထောက်အပံ့ရှိသည့်အခါ ၎င်းသည် [[ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု]] (cyclic group) <math>\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}</math> အပေါ်ရှိ ဆိုက်ကလစ် ကွန်ဗော်လူးရှင်း <math>f *_N g</math> သို့ လျော့ကျသွားသည်။ <math>n \in \{0, 1, \dots, N - 1\}</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\begin{align} (f *_N g)[n] := (f * g_N)[n] &= \sum_{m=0}^{N-1} f[m] g_N[n - m] \\ &= \sum_{m=0}^n f[m] g[n - m] + \sum_{m=n+1}^{N-1} f[m] g[N + n - m] \\ &= \sum_{m=0}^{N-1} f[m] g[(n - m) \bmod N] \end{align}</math> အထွက်ကိန်း (output) <math>N</math> ခုလုံးအတွက် <math>f *_N g</math> ကို တိုက်ရိုက်တန်ဖိုးရှာဖွေခြင်းသည် <math>\mathcal{O}(N^2)</math> ပမာဏရှိသော [[ဂဏန်းသင်္ချာ]]တွက်ချက်မှုများ (arithmetic operations) လိုအပ်သည်။ စက်ဝိုင်းပုံ ကွန်ဗော်လူးရှင်း သီအိုရမ် (circular convolution theorem) အရ အမြန် ဖူရီယာ အသွင်ပြောင်းခြင်း (fast Fourier transform) သို့မဟုတ် FFT [[အဆင့်ဆင့်တွက်နည်း]] (algorithm) ကို အသုံးပြု၍ ကိန်းစဉ်တစ်ခုချင်းစီ၏ ပိုင်းစသီးခြား ဖူရီယာ အသွင်ပြောင်းခြင်း (discrete Fourier transform) သို့မဟုတ် DFT ကို တွက်ချက်ခြင်း၊ သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် [[မြှောက်ခြင်း]] (pointwise multiplication) နှင့် ပြောင်းပြန် (inverse) FFT ကို သက်ရောက်စေခြင်းဖြင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ရှုပ်ထွေးမှု (computational complexity) ကို တွက်ချက်မှုအရေအတွက် <math>\mathcal{O}(N \log N)</math> သို့ လျှော့ချနိုင်သည်။<ref>Knuth (1997), §4.3.3.C.</ref><ref>von zur Gathen & Gerhard (2003), §8.2.</ref> အခြားသော အမြန်အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများသည် ရှုန်းဟာဂါ-ရှထရပ်ဆန် အဆင့်ဆင့်တွက်နည်း (Schönhage–Strassen algorithm)၊ မာဆန်း အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (Mersenne transforms)<ref>Rader (1972), pp. 1269–1273.</ref> သို့မဟုတ် ဝီနိုဂရက်ဒ်၏ အနည်းဆုံးစစ်ထုတ်ခြင်း အဆင့်ဆင့်တွက်နည်း (Winograd minimal filtering algorithm)<ref>Winograd (1980).</ref> ကဲ့သို့သော [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|အဆုံးရှိကွင်းများ]] (finite rings) အပေါ်ရှိ အသွင်ပြောင်းခြင်းများကို အသုံးပြုကြသည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်၏ အရင်းအမြစ်စုနှင့် တည်ရှိမှု (Domain of definition and existence) == [[ဖန်ရှင်|တိုင်းတာနိုင်သော ဖန်ရှင်များ]] (measurable functions) ဖြစ်ကြသည့် <math>f, g : \mathbb{R}^d \to \mathbb{C}</math> အတွက် <math>(f * g)(x)</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည့် [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]] (integral) သည် နေရာရွှေ့ထားသော [[မြှောက်လဒ်]] (shifted product) <math>y \mapsto f(y) g(x - y)</math> သည် <math>\mathbb{R}^d</math> အပေါ်၌ လီဘက်ဂ် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသည့် (Lebesgue integrable) အခါတိုင်းတွင် <math>x \in \mathbb{R}^d</math> ၌ တည်ရှိသည် (exists)။ <math>f</math> နှင့် <math>g</math> အပေါ်ရှိ အထောက်အပံ့ (support)၊ ဒေသအလိုက် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (local integrability) နှင့် [[အနန္တ]]၌ (at infinity) လျော့ပါးသွားမှု (decay) ဆိုင်ရာ အခြေအနေအမျိုးမျိုးတို့က ဤအင်တီဂရယ်သည် နေရာတိုင်း၌ သို့မဟုတ် နေရာတိုင်းနီးပါး (almost everywhere) ၌ စုဆုံကြောင်း (converges) အာမခံပေးသည်။ === ကျစ်လျစ်မှုအထောက်အပံ့ပြု ဖန်ရှင်များ (Compactly supported functions) === အကယ်၍ <math>f, g \in C_c(\mathbb{R}^d)</math> တို့သည် ကျစ်လျစ်မှုအထောက်အပံ့ပြု (compactly supported) [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်များ]] (continuous functions) ဖြစ်ကြပါက ကွန်ဗော်လူးရှင်း (convolution) <math>f * g</math> သည် နေရာတိုင်းတွင် တည်ရှိပြီး <math>\operatorname{supp}(f * g) \subseteq \operatorname{supp}(f) + \operatorname{supp}(g)</math> နှင့်အတူ <math>f * g \in C_c(\mathbb{R}^d)</math> ဖြစ်သည်။<ref>Hörmander (1983), Ch. 1.</ref> ပိုမိုယေဘုယျအားဖြင့် အကယ်၍ <math>f \in C_c(\mathbb{R}^d)</math> သည် ကျစ်လျစ်သော အထောက်အပံ့ (compact support) ရှိပြီး အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကာ <math>g \in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)</math> သည် ဒေသအလိုက် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော (locally integrable) [[ဖန်ရှင်]]ဖြစ်ပါက <math>f * g</math> သည် နေရာတိုင်းတွင် မှန်ကန်စွာအဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားပြီး (well-defined) <math>\mathbb{R}^d</math> အပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{R}</math> အပေါ်တွင် <math>f</math> နှင့် <math>g</math> နှစ်ခုလုံးသည် ဒေသအလိုက် နှစ်ထပ်ကိန်းအင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော (locally square-integrable) <math>f, g \in L^2_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})</math> ဖန်ရှင်များဖြစ်ကြပြီး အောက်မှ ကန့်သတ်ချက်ရှိသော (bounded below) အပိုင်းအခြား (interval) <math>[a, \infty)</math> အပေါ်တွင် အထောက်အပံ့ရှိသည့်အခါ သို့မဟုတ် နှစ်ခုလုံးသည် အထက်မှ ကန့်သတ်ချက်ရှိသော (bounded above) အပိုင်းအခြား <math>(-\infty, a]</math> အပေါ်တွင် အထောက်အပံ့ရှိသည့်အခါတွင်လည်း ကွန်ဗော်လူးရှင်း <math>f * g</math> သည် နေရာတိုင်း၌ မှန်ကန်စွာအဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားသည်။ === အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော ဖန်ရှင်များနှင့် Lp ရပ်ဝန်းများ (Integrable functions and Lp spaces) === အကယ်၍ <math>f, g \in L^1(\mathbb{R}^d)</math> တို့သည် [[ဖန်ရှင်|လီဘက်ဂ် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော ဖန်ရှင်များ]]ဖြစ်ကြပါက တိုနယ်လီ၏ သီအိုရမ် (Tonelli's theorem) နှင့် ဖူဘီနီ၏ သီအိုရမ် (Fubini's theorem) တို့အရ <math>(f * g)(x)</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည့် [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]]သည် <math>x \in \mathbb{R}^d</math> နေရာတိုင်းနီးပါးအတွက် စုဆုံပြီး ရလဒ်ဖန်ရှင်သည် <math>f * g \in L^1(\mathbb{R}^d)</math> နှင့် အောက်ပါမညီမျှခြင်း (inequality) တို့ကို ပြေလည်စေသည်။<ref>Stein & Weiss (1971), Theorem 1.3.</ref> :<math>\|f * g\|_1 \le \|f\|_1 \|g\|_1</math> ထို့ပြင် <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့သည် နေရာတိုင်းနီးပါး၌ အနုတ်မဟုတ်သော (non-negative) တန်ဖိုးရှိပါက [[ညီမျှခြင်း]] ရရှိသည်။ ထို့ကြောင့် ကွန်ဗော်လူးရှင်း တပ်ဆင်ထားသော <math>L^1(\mathbb{R}^d)</math> သည် [[ဘာနက် အက္ခရာသင်္ချာ|ဖလှယ်ရ ဘာနက် အက္ခရာသင်္ချာ]] (commutative Banach algebra) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပိုမိုယေဘုယျအားဖြင့် <math>1 \le p \le \infty</math> အတွက် <math>f \in L^1(\mathbb{R}^d)</math> နှင့် <math>g \in L^p(\mathbb{R}^d)</math> ဖြစ်ပါက <math>f * g \in L^p(\mathbb{R}^d)</math> ဖြစ်ပြီး အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ :<math>\|f * g\|_p \le \|f\|_1 \|g\|_p</math> ယေဘုယျအားဖြင့် '''ယန်း၏ ကွန်ဗော်လူးရှင်း မညီမျှခြင်း''' (Young's convolution inequality) အရ <math>1 \le p, q, r \le \infty</math> တို့သည် <math>\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = \tfrac{1}{r} + 1</math> ကို ပြေလည်စေပါက <math>f \in L^p(\mathbb{R}^d)</math> နှင့် <math>g \in L^q(\mathbb{R}^d)</math> အားလုံးအတွက် <math>(f * g)(x)</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည့် အင်တီဂရယ်သည် <math>x \in \mathbb{R}^d</math> နေရာတိုင်းနီးပါး၌ စုဆုံပြီး <math>f * g \in L^r(\mathbb{R}^d)</math> [[အစုဝင်]] (element) တစ်ခုကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပေးကာ အောက်ပါမညီမျှခြင်းကို ပြေလည်စေသည်။ :<math>\|f * g\|_r \le \|f\|_p \|g\|_q</math> အထူးသဖြင့် <math>r = \infty</math> နှင့် <math>\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1</math> ဖြစ်သော ကွန်ဂျူဂိတ်ထပ်ကိန်း (conjugate exponent) အခြေအနေတွင် အဆိုပါအင်တီဂရယ်သည် <math>x \in \mathbb{R}^d</math> တိုင်း၌ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|ကန့်သတ်ချက်ရှိသော အဆက်မပြတ်ဖန်ရှင်]] (bounded continuous function) တစ်ခုသို့ စုဆုံသည်။ ထို့ကြောင့် ကွန်ဗော်လူးရှင်းသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံဖော်မှု (continuous bilinear map) <math>L^p(\mathbb{R}^d) \times L^q(\mathbb{R}^d) \to L^r(\mathbb{R}^d)</math> တစ်ခုကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပေးသည်။ ယန်း၏ မညီမျှခြင်းသည် စက်ဝိုင်းအုပ်စု (circle group) <math>\mathbf{T}</math> အပေါ်တွင်လည်းကောင်း၊ <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်တွင်လည်းကောင်း၊ ယူနီမော်ဂျူလာ (unimodular) ဖြစ်သော [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|ဒေသအလိုက်ကျစ်လျစ်သော အုပ်စုများ]] (locally compact groups) အပေါ်တွင်လည်းကောင်း မှန်ကန်သည်။ <math>1 < p, q, r < \infty</math> ဖြစ်သော <math>\mathbb{R}^d</math> အပေါ်တွင် 1975 ခုနှစ်၌ ဝီလီယံ ဘက်ခ်နာ (William Beckner) နှင့် 1976 ခုနှစ်၌ ဟမ်း ယန် ဘရပ်စ်ကမ့်ပ် (Herm Jan Brascamp) နှင့် အဲလီးယော့တ် အိတ်ချ် လိဘ် (Elliott H. Lieb) တို့ သီးခြားစီ သက်သေပြခဲ့ကြသော အတိကျဆုံး မညီမျှခြင်း (sharp inequality)<ref>Beckner (1975), pp. 159–182.</ref><ref>Brascamp & Lieb (1976), pp. 151–173.</ref> မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\|f * g\|_r \le B_{p,q}^d \|f\|_p \|g\|_q</math> ဤတွင် <math>B_{p,q} < 1</math> သည် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာတစ်ခုရှိသော]] (one-dimensional) အကောင်းဆုံး ကိန်းသေ (optimal constant) ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် <math>\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = \tfrac{1}{r} + 1</math> ကို ပြေလည်စေသော <math>1 \le p < \infty</math> နှင့် <math>1 < q, r < \infty</math> တို့အတွက် '''အားနည်းသော ယန်း မညီမျှခြင်း''' (weak Young inequality) သည် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်သည်။<ref>Reed & Simon (1975), §IX.4.</ref> :<math>\|f * g\|_{r,w} \le C_{p,q} \|f\|_p \|g\|_{q,w}</math> ဤတွင် <math>\|\cdot\|_{q,w}</math> သည် အားနည်းသော <math>L^q</math> (weak <math>L^q</math>) တစ်နည်းအားဖြင့် လိုရန့်ဇ် ရပ်ဝန်း (Lorentz space) <math>L^{q,\infty}</math> ၏ ကွာစီစံနှုန်း (quasi-norm) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ ထို့ကြောင့် ကွန်ဗော်လူးရှင်းသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံဖော်မှု <math>L^p(\mathbb{R}^d) \times L^{q,w}(\mathbb{R}^d) \to L^{r,w}(\mathbb{R}^d)</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပေးသည်။ === လျင်မြန်စွာ လျော့ကျသော ဖန်ရှင်များနှင့် ဖြန့်ဝေမှုများ (Rapidly decreasing functions and distributions) === အကယ်၍ <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့သည် ရှဗာ့ဇ် ရပ်ဝန်း (Schwartz space) <math>\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)</math> အတွင်းရှိ လျင်မြန်စွာ လျော့ကျသော (rapidly decreasing) [[ဖန်ရှင်|ချောမွေ့သော ဖန်ရှင်များ]] (smooth functions) ဖြစ်ကြပါက <math>f * g \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^d)</math> ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)</math> သည် ကွန်ဗော်လူးရှင်းအောက်တွင် [[အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ]]ရှိသည် (closed under convolution)။<ref>Stein & Weiss (1971), Theorem 3.3.</ref> အကယ်၍ <math>\varphi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^d)</math> သည် ချောမွေ့ပြီး ကျစ်လျစ်မှုအထောက်အပံ့ပြု စမ်းသပ်ဖန်ရှင် (test function) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>u \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^d)</math> သည် ဖြန့်ဝေမှု (distribution) တစ်ခုဖြစ်ပါက ကွန်ဗော်လူးရှင်း <math>u * \varphi</math> သည် <math>x \in \mathbb{R}^d</math> တိုင်း၌ အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော <math>C^\infty(\mathbb{R}^d)</math> အတွင်းရှိ ချောမွေ့သော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ :<math>(u * \varphi)(x) := u(\tau_x \tilde{\varphi}), \quad \text{where } (\tau_x \tilde{\varphi})(y) = \varphi(x - y)</math> ပိုမိုယေဘုယျအားဖြင့် <math>\mathcal{E}'(\mathbb{R}^d)</math> သည် ကျစ်လျစ်မှုအထောက်အပံ့ပြု ဖြန့်ဝေမှုများ၏ ရပ်ဝန်း (space) ဖြစ်သည့်အခါ ကွန်ဗော်လူးရှင်းကို ကိန်းစဉ်အရ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (sequentially continuous) မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံဖော်မှု <math>\mathcal{D}'(\mathbb{R}^d) \times \mathcal{E}'(\mathbb{R}^d) \to \mathcal{D}'(\mathbb{R}^d)</math> အဖြစ် တစ်ခုတည်းသီးသန့် (uniquely) တိုးချဲ့နိုင်ပြီး မည်သည့် <math>u \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^d)</math>၊ <math>v \in \mathcal{E}'(\mathbb{R}^d)</math> နှင့် <math>\varphi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^d)</math> တို့အတွက်မဆို အောက်ပါ [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (associative law) မှန်ကန်သည်။ :<math>u * (v * \varphi) = (u * v) * \varphi</math> ပိုမိုယေဘုယျအားဖြင့် အနည်းဆုံး နှစ်ခုတွင် ကျစ်လျစ်သော အထောက်အပံ့ရှိသည့် မည်သည့်ဖြန့်ဝေမှု သုံးခု <math>u, v, w \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^d)</math> အတွက်မဆို ဤဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ မှန်ကန်သည်။<ref>Hörmander (1983), §4.2.</ref> === အတိုင်းအတာများ (Measures) === <math>\mathbb{R}^d</math> အပေါ်ရှိ ကန့်သတ်ချက်ရှိသော ပြောင်းလဲမှု (bounded variation) ရှိသည့် မည်သည့် ကိန်းထွေး ဘိုရဲလ် အတိုင်းအတာ (complex Borel measure) နှစ်ခု <math>\mu</math> နှင့် <math>\nu</math> အတွက်မဆို ၎င်းတို့၏ ကွန်ဗော်လူးရှင်း <math>\mu * \nu</math> သည် ကန့်သတ်ချက်ရှိသော [[ဖန်ရှင်|ဘိုရဲလ် တိုင်းတာနိုင်သော ဖန်ရှင်]] (Borel-measurable function) <math>f</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည့် ကန့်သတ်ချက်ရှိသော ပြောင်းလဲမှုရှိသည့် ကိန်းထွေး ဘိုရဲလ် အတိုင်းအတာ ဖြစ်သည်။<ref>Rudin (1962), Ch. 1.</ref> :<math>\int_{\mathbb{R}^d} f(x) \, d(\mu * \nu)(x) = \int_{\mathbb{R}^d} \int_{\mathbb{R}^d} f(x + y) \, d\mu(x) \, d\nu(y)</math> အညွှန်းဖန်ရှင် (indicator function) <math>\mathbf{1}_A</math> ရှိသော မည်သည့် [[အစု|ဘိုရဲလ် အစု]] (Borel set) <math>A \subseteq \mathbb{R}^d</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ :<math>(\mu * \nu)(A) = \int_{\mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^d} \mathbf{1}_A(x + y) \, d(\mu \times \nu)(x, y)</math> ဤအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်သည် <math>\mu, \nu</math> တို့ကို အဆင့် သုည (order zero) ရှိသော ဖြန့်ဝေမှုများအဖြစ် ရှုမြင်သည့်အခါ ဖြန့်ဝေမှုဆိုင်ရာ ကွန်ဗော်လူးရှင်းနှင့် ကိုက်ညီပြီး <math>\mu, \nu</math> တို့သည် လီဘက်ဂ် အတိုင်းအတာ (Lebesgue measure) အရ ပကတိအဆက်မပြတ်ဖြစ်သည့် (absolutely continuous) အခါ <math>L^1</math> ဖန်ရှင် ကွန်ဗော်လူးရှင်းနှင့် ကိုက်ညီသည်။ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စုစုပေါင်းပြောင်းလဲမှု စံနှုန်း]] (total variation norm) <math>\|\cdot\|</math> အရ ကန့်သတ်ချက်ရှိသော ပြောင်းလဲမှုရှိသည့် ကိန်းထွေး ဘိုရဲလ် အတိုင်းအတာများ၏ ရပ်ဝန်း <math>M(\mathbb{R}^d)</math> သည် အောက်ပါမညီမျှခြင်းကို ပြေလည်စေသော [[ဘာနက် အက္ခရာသင်္ချာ|ဖလှယ်ရ ဘာနက် အက္ခရာသင်္ချာ]]တစ်ခု ဖြစ်သည်။ :<math>\|\mu * \nu\| \le \|\mu\| \|\nu\|</math> == ဂုဏ်သတ္တိများ (Properties) == === အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာဂုဏ်သတ္တိများ (Algebraic properties) === <math>L^1(\mathbb{R}^d)</math> အပေါ်တွင်သာမက <math>C_c(\mathbb{R}^d)</math> နှင့် <math>\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)</math> တို့ အပေါ်တွင်ပါ ကွန်ဗော်လူးရှင်း (convolution) သည် မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်မြှောက်လဒ် (bilinear product) တစ်ခုကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပေးပြီး အဆိုပါရပ်ဝန်း (space) ကို [[ထပ်တူရအစုဝင်|မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာထပ်တူရ]] (multiplicative identity) မပါသော ဖလှယ်ရ (commutative) [[ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ|ဖက်စပ်ရအက္ခရာသင်္ချာ]] (associative algebra) တစ်ခု ဖြစ်စေသည်။<ref>Strichartz (1994), §3.3.</ref> * '''[[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (Commutativity) -''' <math>f * g = g * f</math> ဖြစ်ပြီး ၎င်းကို ကိန်းရှင်များ ပြောင်းလဲခြင်း (change of variables) ဖြစ်သော <math>u = x - y</math> မှ ရရှိသည်။ * '''[[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (Associativity) -''' <math>f * (g * h) = (f * g) * h</math> ဖြစ်ပြီး ၎င်းကို ဖူဘီနီ၏ သီအိုရမ် (Fubini's theorem) မှ ရရှိသည်။ * '''[[ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိ]] (Distributivity) -''' [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]] (integral) ၏ မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်မှု (linearity) အရ <math>f * (g + h) = (f * g) + (f * h)</math> ဖြစ်သည်။ * '''[[စကေလာ]]နှင့် ကိုက်ညီမှု (Scalar compatibility) -''' <math>a \in \mathbb{C}</math> အားလုံးအတွက် <math>a(f * g) = (af) * g = f * (ag)</math> ဖြစ်သည်။ * '''[[ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်|ကိန်းထွေးကွန်ဂျူဂိတ်ပြုခြင်း]] (Complex conjugation) -''' <math>\overline{f * g} = \overline{f} * \overline{g}</math> ဖြစ်သည်။ * '''အချိုးညီရောင်ပြန်ဟပ်ခြင်း (Reflection) သို့မဟုတ် အချိန်ပြောင်းပြန်လှန်ခြင်း (time reversal) -''' <math>\tilde{f}(x) = f(-x)</math> အတွက် <math>\widetilde{f * g} = \tilde{f} * \tilde{g}</math> ဖြစ်သည်။ * '''ဖြန့်ဝေမှုများအတွင်းရှိ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာထပ်တူရ (Multiplicative identity in distributions) -''' [[ဖန်ရှင်]]အက္ခရာသင်္ချာများ (function algebras) ဖြစ်ကြသော <math>L^1(\mathbb{R}^d)</math>၊ <math>C_c(\mathbb{R}^d)</math> နှင့် <math>\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)</math> တို့တွင် ကွန်ဗော်လူးရှင်းအောက်၌ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာထပ်တူရ မရှိသော်လည်း <math>L^1(\mathbb{R}^d)</math> တွင် မူလအစ ဒယ်လ်တာဖန်ရှင်များ (nascent delta functions) ဟုခေါ်သော ခန့်မှန်းထပ်တူရများ (approximate identities) ရှိသည်။ ကျစ်လျစ်မှုအထောက်အပံ့ပြု (compactly supported) ဖြန့်ဝေမှုများ (distributions) ၏ [[ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ|ဖလှယ်ရအက္ခရာသင်္ချာ]] (commutative algebra) <math>\mathcal{E}'(\mathbb{R}^d)</math> နှင့် အတိုင်းအတာ အက္ခရာသင်္ချာ (measure algebra) <math>M(\mathbb{R}^d)</math> တို့တွင် မူလမှတ် (origin) ၌ ဗဟိုပြုသော ဒိုင်ရက် ဒယ်လ်တာ ဖြန့်ဝေမှု (Dirac delta distribution) <math>\delta</math> သည် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာထပ်တူရအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။ :<math>u * \delta = \delta * u = u</math> * '''ကွန်ဗော်လူးရှင်း ပြောင်းပြန်များ (Convolution inverses) -''' <math>\mathcal{E}'(\mathbb{R}^d)</math> သို့မဟုတ် <math>[0, \infty)</math> အပေါ်တွင် အထောက်အပံ့ရှိသော (supported) ဖြန့်ဝေမှုများ၏ အက္ခရာသင်္ချာ <math>\mathcal{D}'_+(\mathbb{R})</math> ကဲ့သို့သော ထပ်တူရပါသော ကွန်ဗော်လူးရှင်း အက္ခရာသင်္ချာ (unital convolution algebra) တစ်ခုအတွင်း၌ [[အစုဝင်]] (element) <math>S</math> တစ်ခုသည် တူညီသော အက္ခရာသင်္ချာအတွင်း၌ <math>S^{-1} * S = \delta</math> ကို ပြေလည်စေသည့် အစုဝင် <math>S^{-1}</math> တည်ရှိပါက [[ပြောင်းပြန် အစုဝင်|ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော]] (invertible) အစုဝင်ဖြစ်သည်။ ထိုကဲ့သို့ ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော အစုဝင်များ၏ [[အစု]] (set) သည် ကွန်ဗော်လူးရှင်းအောက်တွင် ယူနစ်များ၏ အုပ်စု (group of units) ဟုခေါ်သော [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ပိုမိုယေဘုယျအားဖြင့် <math>\delta</math> အပေါ်သို့ သက်ရောက်ထားသည့် ကိန်းသေမြှောက်ဖော်ကိန်းများ (constant coefficients) ပါသော မျဉ်းဖြောင့် ကိန်းရှင်ခွဲဒစ်ဖရန်ရှယ်အော်ပရေတာ (linear partial differential operator) ကဲ့သို့သော ဖြန့်ဝေမှု <math>S \in \mathcal{E}'(\mathbb{R}^d)</math> တစ်ခုတွင် အခြေခံအဖြေ (fundamental solution) ဟုခေါ်သည့် <math>S * E = \delta</math> ကို ပြေလည်စေသော ကွန်ဗော်လူးရှင်း ပြောင်းပြန် <math>E \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^d)</math> တစ်ခု ရှိနိုင်သော်လည်း <math>\mathcal{D}'(\mathbb{R}^d)</math> အတွင်းရှိ ကျစ်လျစ်သော အထောက်အပံ့မရှိသည့် ဖြန့်ဝေမှုများသည် ယေဘုယျအားဖြင့် ကွန်ဗော်လူးရှင်းအောက်တွင် [[အက္ခရာသင်္ချာ]]တစ်ခုကို မဖွဲ့စည်းနိုင်ပေ။ === အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းနှင့် ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (Integration and differentiation) === * '''[[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း]] (Integration) -''' အကယ်၍ <math>f, g \in L^1(\mathbb{R}^d)</math> ဖြစ်ပါက ဖူဘီနီ၏ သီအိုရမ်အရလည်းကောင်း၊ အလားတူစွာ <math>f, g</math> တို့သည် <math>\mathbb{R}^d</math> အပေါ်ရှိ အနုတ်မဟုတ်သော (non-negative) [[ဖန်ရှင်|တိုင်းတာနိုင်သော ဖန်ရှင်များ]] (measurable functions) ဖြစ်ကြပါက တိုနယ်လီ၏ သီအိုရမ် (Tonelli's theorem) အရလည်းကောင်း အောက်ပါထပ်တူညီမှုကို ရရှိသည်။<ref>Stein & Weiss (1971), Theorem 1.3.</ref> :<math>\int_{\mathbb{R}^d} (f * g)(x) \, dx = \left( \int_{\mathbb{R}^d} f(x) \, dx \right) \left( \int_{\mathbb{R}^d} g(x) \, dx \right)</math> * '''<math>\mathbb{R}</math> အပေါ်ရှိ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်များ (Antiderivatives) -''' အကယ်၍ <math>f, g \in L^1(\mathbb{R})</math> ဖြစ်ပြီး <math>F(t) = \int_{-\infty}^t f(\tau) \, d\tau</math> နှင့် <math>G(t) = \int_{-\infty}^t g(\tau) \, d\tau</math> ဖြစ်ပါက ဖူဘီနီ၏ သီအိုရမ်အရ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ :<math>(F * g)(t) = (f * G)(t) = \int_{-\infty}^t (f * g)(\tau) \, d\tau</math> * '''[[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း]] (Differentiation) -''' အကယ်၍ <math>f, g \in L^1(\mathbb{R}^d)</math> ဖြစ်ပြီး <math>f</math> တွင် အားနည်းသော ကိန်းရှင်ခွဲဆင်းသက်ချက် (weak partial derivative) <math>\frac{\partial f}{\partial x_i} \in L^1(\mathbb{R}^d)</math> ရှိပါက <math>f * g</math> သည် <math>x_i</math> အရ အားနည်းစွာ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (weakly differentiable) ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ အလားတူစွာ <math>f \in C_c^1(\mathbb{R}^d)</math> နှင့် ဒေသအလိုက် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော (locally integrable) <math>g \in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)</math> ဖြစ်ပါက <math>f * g</math> သည် <math>x_i</math> အရ [[ဆင်းသက်ချက်_(ဒစ်ဖရန်ရှယ်_ကဲကုလပ်)#ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု_နှင့်_အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း_(Differentiability_and_Continuity)|အဆက်မပြတ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော]] (continuously differentiable) ဖန်ရှင်ဖြစ်ပြီး အခြေအနေနှစ်ရပ်လုံးတွင် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ :<math>\frac{\partial}{\partial x_i}(f * g) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right) * g</math> <math>f</math> နှင့် <math>g</math> နှစ်ခုလုံးတွင် <math>L^1(\mathbb{R}^d)</math> အားနည်းသော ဆင်းသက်ချက်များ (weak derivatives) ရှိသည့်အခါတွင်လည်းကောင်း၊ <math>u \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^d)</math> နှင့် <math>v \in \mathcal{E}'(\mathbb{R}^d)</math> တို့အတွက် သို့မဟုတ် သမမျှတသော ဖြန့်ဝေမှု (tempered distribution) <math>u \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^d)</math> နှင့် လျင်မြန်စွာ လျော့ကျသော ဖြန့်ဝေမှု (rapidly decreasing distribution) သို့မဟုတ် ရှဗာ့ဇ် ဖန်ရှင် (Schwartz function) <math>v</math> တို့အတွက် ဖြန့်ဝေမှုများ၏ သဘောတရားအရလည်းကောင်း ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် အစိတ်အပိုင်း (factor) နှစ်ခုလုံးနှင့် ဖလှယ်၍ရသည် (commutes)။ :<math>\frac{\partial}{\partial x_i}(f * g) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right) * g = f * \left(\frac{\partial g}{\partial x_i}\right)</math> [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာတစ်ခု]] (one dimension) တွင် <math>\frac{d}{dx}(f * g) = \frac{df}{dx} * g = f * \frac{dg}{dx}</math> ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>f \in C_c^k(\mathbb{R}^d)</math> နှင့် <math>g \in C_c^m(\mathbb{R}^d)</math> ဖြစ်ပါက <math>f * g \in C_c^{k+m}(\mathbb{R}^d)</math> ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း ကျစ်လျစ်သော အထောက်အပံ့ (compact support) သို့မဟုတ် [[အနန္တ]]၌ ဆင်းသက်ချက်များ၏ လျင်မြန်သော လျော့ပါးသွားမှု မရှိပါက <math>C^\infty(\mathbb{R})</math> အတွင်းရှိ အပေါင်း (positive) အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော ဖန်ရှင် (integrable function) နှစ်ခု၏ ကွန်ဗော်လူးရှင်းသည် <math>\mathbb{R}</math> အပေါ်၌ မည်သည့်နေရာတွင်မျှ [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော]] (nowhere continuous) ဖန်ရှင် ဖြစ်နေနိုင်သည်။<ref>Uludag (1998), pp. 335–358.</ref> * '''ပိုင်းစသီးခြား ခြားနားခြင်းအော်ပရေတာ (Discrete difference operator) -''' ကွန်ဗော်လူးရှင်း [[အကြွင်းမဲ့ စုဆုံခြင်း|အကြွင်းမဲ့စုဆုံသည့်]] (converges absolutely) <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်ရှိ [[ကိန်းစဉ်|ကိန်းစဉ်များ]] (sequences) အတွက် ရှေ့သို့ခြားနားခြင်း အော်ပရေတာ (forward difference operator) <math>(Df)[n] := f[n + 1] - f[n]</math> သည် အောက်ပါ[[ညီမျှခြင်း]]ကို ပြေလည်စေသည်။ :<math>D(f * g) = (Df) * g = f * (Dg)</math> === ကွန်ဗော်လူးရှင်း သီအိုရမ်နှင့် အင်တီဂရယ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (Convolution theorem and integral transforms) === '''ကွန်ဗော်လူးရှင်း သီအိုရမ်''' (convolution theorem) က ဖော်ပြသည်မှာ <math>f, g \in L^1(\mathbb{R}^d)</math> အတွက် ဖူရီယာ အသွင်ပြောင်းခြင်း (Fourier transform) <math>\widehat{f}(\xi) = \mathcal{F}\{f\}(\xi) := \int_{\mathbb{R}^d} f(x) e^{-2\pi i x \cdot \xi} \, dx</math> သည် ကွန်ဗော်လူးရှင်းကို သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် [[မြှောက်ခြင်း]] (pointwise multiplication) အဖြစ်သို့ ပြောင်းလဲပေးသည်။<ref>Stein & Weiss (1971), Theorem 1.4.</ref> :<math>\mathcal{F}\{f * g\}(\xi) = \mathcal{F}\{f\}(\xi) \cdot \mathcal{F}\{g\}(\xi), \qquad \text{or} \qquad \widehat{f * g} = \widehat{f} \cdot \widehat{g}</math> ယူနစ်တရီမဟုတ်သော (non-unitary) ထောင့်ပြကြိမ်နှုန်း (angular-frequency) သတ်မှတ်ချက်ကို အသုံးပြုပါက ဤ[[ညီမျှခြင်း]]သည် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပုံမှန်ပြုကိန်းသေ (multiplicative normalization constant) တစ်ခုအထိ မှန်ကန်သည်။ အကယ်၍ ထပ်မံ၍ ရှဗာ့ဇ် ရပ်ဝန်း (Schwartz space) အတွင်းရှိ <math>f, g \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^d)</math> သို့မဟုတ် <math>f, g \in L^1(\mathbb{R}^d) \cap L^2(\mathbb{R}^d)</math> ဖြစ်သည့်အခါကဲ့သို့ <math>\widehat{f} \cdot \widehat{g} \in L^1(\mathbb{R}^d)</math> ဖြစ်ပါက ဖူရီယာ ပြောင်းပြန်လှန်ခြင်း (Fourier inversion) အရ နေရာတိုင်းနီးပါး (almost everywhere) ၌ <math>f * g = \mathcal{F}^{-1}\{\mathcal{F}\{f\} \cdot \mathcal{F}\{g\}\}</math> ကို ရရှိသည်။ နှစ်ဖက်ရ လာပလေ့စ် အသွင်ပြောင်းခြင်း (bilateral Laplace transform) အတွက်လည်း အလားတူ ထပ်တူညီမှု (identity) တစ်ခု မှန်ကန်သည်။ <math>f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{C}</math> တို့တွင် တူညီသော ဒေါင်လိုက်အကန့် (vertical strip) <math>\operatorname{Re}(s) \in (\alpha, \beta)</math> အတွင်း၌ [[အကြွင်းမဲ့ စုဆုံခြင်း|အကြွင်းမဲ့စုဆုံသည့်]] အောက်ပါ နှစ်ဖက်ရ လာပလေ့စ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ ရှိသည်ဟု ယူဆပါစို့။ :<math>F(s) = \int_{-\infty}^\infty e^{-su} f(u) \, du, \qquad G(s) = \int_{-\infty}^\infty e^{-sv} g(v) \, dv</math> [[အင်တီဂရေးရှင်း|ထပ်ကျော့အင်တီဂရယ်]] (iterated integral) အတွင်း၌ <math>t = u + v</math> ကို အစားထိုးခြင်း (substituting) နှင့် ဖူဘီနီ၏ သီအိုရမ်ကို အသုံးချခြင်းဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ :<math>\begin{align} F(s) G(s) &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-s(u + v)} f(u) g(v) \, du \, dv \\ &= \int_{-\infty}^\infty e^{-st} \left( \int_{-\infty}^\infty f(u) g(t - u) \, du \right) dt \\ &= \int_{-\infty}^\infty e^{-st} (f * g)(t) \, dt \end{align}</math> ထို့ကြောင့် <math>f * g</math> ၏ နှစ်ဖက်ရ လာပလေ့စ် အသွင်ပြောင်းခြင်းသည် <math>\operatorname{Re}(s) \in (\alpha, \beta)</math> အတွင်း၌ အကြွင်းမဲ့စုဆုံပြီး သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် [[မြှောက်လဒ်]] (pointwise product) <math>F(s) G(s)</math> နှင့် တူညီသည်။ <math>[0, \infty)</math> အပေါ်တွင် အထောက်အပံ့ရှိသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]]အတွက် တစ်ဖက်သတ် လာပလေ့စ် အသွင်ပြောင်းခြင်း (unilateral Laplace transform)၊ ပိုင်းစသီးခြား ကွန်ဗော်လူးရှင်း (discrete convolution) အတွက် <math>Z</math>-အသွင်ပြောင်းခြင်း (<math>Z</math>-transform) နှင့် <math>(0, \infty)</math> အပေါ်ရှိ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ကွန်ဗော်လူးရှင်း (multiplicative convolution) ပါဝင်သော မယ်လင် အသွင်ပြောင်းခြင်း (Mellin transform) တို့အတွက်လည်း အလားတူ ကွန်ဗော်လူးရှင်း သီအိုရမ်များ မှန်ကန်သည်။ === ပြိုင်တူရွှေ့ပြောင်းခြင်းနှင့် လိုက်လျောညီထွေဖြစ်မှု (Translational equivariance) === <math>x \in \mathbb{R}^d</math> နှင့် ပြိုင်တူရွှေ့ပြောင်းခြင်း အော်ပရေတာ (translation operator) <math>(\tau_x f)(y) = f(y - x)</math> တို့အတွက် ကွန်ဗော်လူးရှင်းသည် ပြိုင်တူရွှေ့ပြောင်းခြင်းများ (translations) နှင့် ဖလှယ်၍ရပြီး တစ်နည်းအားဖြင့် ပြိုင်တူရွှေ့ပြောင်းခြင်းနှင့် လိုက်လျောညီထွေဖြစ်သည် (translation-equivariant)။ :<math>\tau_x(f * g) = (\tau_x f) * g = f * (\tau_x g)</math> <math>f \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^d)</math> သို့မဟုတ် <math>f \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^d)</math> အတွက် ပြိုင်တူရွှေ့ပြောင်းခြင်း ကိုယ်တိုင်သည် ပြိုင်တူရွှေ့ပြောင်းထားသော ဒိုင်ရက် ဒယ်လ်တာ ဖြန့်ဝေမှု <math>\tau_x \delta</math> နှင့် ကွန်ဗော်လူးရှင်းပြုခြင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\tau_x f = f * (\tau_x \delta)</math> ပြောင်းပြန်အားဖြင့် (conversely) စံ ဖန်ရှင်ရပ်ဝန်းများ (function spaces) အပေါ်ရှိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (continuous) မျဉ်းဖြောင့် (linear) ပြိုင်တူရွှေ့ပြောင်းခြင်းနှင့် လိုက်လျောညီထွေဖြစ်သော အော်ပရေတာများကို ကွန်ဗော်လူးရှင်း အော်ပရေတာများ (convolution operators) အဖြစ် အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်ဖော်ပြနိုင်သည်။<ref>Stein & Weiss (1971), Ch. I, §3.</ref> * ပြိုင်တူရွှေ့ပြောင်းခြင်း အားလုံးနှင့် ဖလှယ်၍ရသော ဆိုလိုသည်မှာ <math>x \in \mathbb{R}^d</math> အားလုံးအတွက် <math>S(\tau_x f) = \tau_x(Sf)</math> ဖြစ်သော ကန့်သတ်ချက်ရှိသည့် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်အော်ပရေတာ]] (bounded linear operator) <math>S : L^1(\mathbb{R}^d) \to L^1(\mathbb{R}^d)</math> တိုင်းကို [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|အော်ပရေတာစံနှုန်း]] (operator norm) <math>\|S\| = \|\mu\|</math> ရှိသည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) ကိန်းထွေး ဘိုရဲလ် အတိုင်းအတာ (complex Borel measure) <math>\mu \in M(\mathbb{R}^d)</math> နှင့် ကွန်ဗော်လူးရှင်း <math>Sf = \mu * f</math> အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည်။ * ပိုမိုယေဘုယျအားဖြင့် <math>1 \le p < \infty</math> အတွက် ကန့်သတ်ချက်ရှိသော ပြိုင်တူရွှေ့ပြောင်းခြင်းနှင့် လိုက်လျောညီထွေဖြစ်သည့် မျဉ်းဖြောင့်အော်ပရေတာ <math>S : L^p(\mathbb{R}^d) \to L^p(\mathbb{R}^d)</math> တိုင်းကို <math>\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)</math> အပေါ်၌ ကန့်သတ်ချက်ရှိသော ဖူရီယာ မြှောက်ကိန်း (bounded Fourier multiplier) ဟုခေါ်သည့် ဖူရီယာ အသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\widehat{u} \in L^\infty(\mathbb{R}^d)</math> ရှိသော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် သမမျှတသော ဖြန့်ဝေမှု <math>u \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^d)</math> နှင့် ကွန်ဗော်လူးရှင်း <math>Sf = u * f</math> အဖြစ် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်သည်။ <math>p = 2</math> အတွက် ပလန်ရှရဲလ်၏ သီအိုရမ် (Plancherel's theorem) အရ <math>S</math> သည် <math>L^2(\mathbb{R}^d)</math> အပေါ်၌ ကန့်သတ်ချက်ရှိသော (bounded) အော်ပရေတာ ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>\widehat{u} \in L^\infty(\mathbb{R}^d)</math> ဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်ပြီး <math>\|S\|_{L^2 \to L^2} = \|\widehat{u}\|_\infty</math> ဖြစ်သည်။ == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations) == === အုပ်စုများအပေါ်ရှိ ကွန်ဗော်လူးရှင်းများ (Convolutions on groups) === <math>G</math> သည် ဘယ် ဟား အတိုင်းအတာ (left Haar measure) <math>\lambda</math> တပ်ဆင်ထားသော [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|ဒေသအလိုက်ကျစ်လျစ်သော ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာအုပ်စု]] (locally compact Hausdorff topological group) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ [[ကိန်းထွေး]]တန်ဖိုးရှိ (complex-valued) [[ဖန်ရှင်|အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော ဖန်ရှင်များ]] (integrable functions) ဖြစ်ကြသည့် <math>f, g \in L^1(G, \lambda)</math> အတွက် ၎င်းတို့၏ ကွန်ဗော်လူးရှင်း (convolution) ကို <math>x \in G</math> ၏ <math>\lambda</math>-နေရာတိုင်းနီးပါး (almost everywhere) ၌ အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည် (defined)။ :<math>(f * g)(x) := \int_G f(y) g(y^{-1} x) \, d\lambda(y)</math> <math>G</math> သည် အဘီလီယန်မဟုတ်သော (non-abelian) အုပ်စုဖြစ်သည့်အခါ ဤတွက်ချက်မှု (operation) သည် ယေဘုယျအားဖြင့် ဖလှယ်၍မရသော (non-commutative) တွက်ချက်မှု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် <math>\Delta : G \to (0, \infty)</math> သည် <math>d\lambda(yz) = \Delta(z) \, d\lambda(y)</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော <math>G</math> ၏ မော်ဂျူလာဖန်ရှင် (modular function) ဖြစ်သည်ဟု ယူဆပါက <math>d\lambda(z^{-1}) = \Delta(z^{-1}) \, d\lambda(z)</math> ဖြစ်သည်။ <math>G</math> သည် <math>\Delta \equiv 1</math> ဖြစ်သော ယူနီမော်ဂျူလာ (unimodular) အုပ်စု မဟုတ်ပါက <math>\int_G f(y) g(y^{-1} x) \, d\lambda(y)</math> သည် <math>\int_G f(x z^{-1}) g(z) \, d\lambda(z)</math> နှင့် တူညီခြင်းမရှိဘဲ <math>y = x z^{-1}</math> ကို အစားထိုးခြင်း (substituting) ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ :<math>(f * g)(x) = \int_G f(x z^{-1}) g(z) \Delta(z^{-1}) \, d\lambda(z)</math> သတ်မှတ်ထားသော (fixed) ဖန်ရှင် <math>g</math> ဖြင့် ညာဘက်မှ ကွန်ဗော်လူးရှင်းပြုခြင်း (right-convolution) သည် ယူကလစ် ပြိုင်တူရွှေ့ပြောင်းခြင်း အော်ပရေတာ (Euclidean translation operator) <math>\tau_h</math> ကို ယေဘုယျပြုထားသည့် ဘယ်ဘက်မှ ပြိုင်တူရွှေ့ပြောင်းခြင်း အော်ပရေတာ (left translation operator) <math>(L_h f)(x) := f(h^{-1} x)</math> နှင့် ဖလှယ်၍ရစေရန် (commutes) အတွက် ဘယ် ဟား အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ရွေးချယ်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ :<math>L_h(f * g) = (L_h f) * g</math> ပွန်ထရီယာဂင် ဒွန်တွဲအုပ်စု (Pontryagin dual group) <math>\widehat{G}</math> ရှိသည့် မည်သည့် [[အဘီလီယန်အုပ်စု|ဒေသအလိုက်ကျစ်လျစ်သော အဘီလီယန် အုပ်စု]] (locally compact abelian group) <math>G</math> အပေါ်တွင်မဆို ဖူရီယာ အသွင်ပြောင်းခြင်း (Fourier transform) သည် <math>L^1(G)</math> အတွင်းရှိ ကွန်ဗော်လူးရှင်းကို <math>\widehat{G}</math> အပေါ်ရှိ သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် [[မြှောက်ခြင်း]] (pointwise multiplication) အဖြစ်သို့ ပြောင်းလဲပေးသည်။ အထူးသဖြင့် စံသတ်မှတ်ထားသော လီဘက်ဂ် အတိုင်းအတာ (normalized Lebesgue measure) <math>\tfrac{1}{2\pi} dy</math> တပ်ဆင်ထားသည့် စက်ဝိုင်းအုပ်စု (circle group) <math>\mathbf{T} = \mathbb{R} / 2\pi\mathbb{Z}</math> အပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင် <math>g \in L^1(\mathbf{T})</math> သည် ကန့်သတ်ချက်ရှိသော (bounded) ကွန်ဗော်လူးရှင်း အော်ပရေတာ (convolution operator) <math>T_g : L^2(\mathbf{T}) \to L^2(\mathbf{T})</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပေးသည်။ :<math>(T_g f)(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbf{T}} f(y) g(x - y) \, dy</math> အော်ပရေတာ <math>T_g</math> သည် [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း]] (Hilbert space) <math>L^2(\mathbf{T})</math> အပေါ်ရှိ ကျစ်လျစ်သော အော်ပရေတာ (compact operator) တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း တွဲဖက် (Hilbert-space adjoint) <math>T_g^*</math> မှာ <math>g^*(y) := \overline{g(-y)}</math> နှင့် ကွန်ဗော်လူးရှင်းပြုခြင်း ဖြစ်သည်။ <math>\mathbf{T}</math> သည် အဘီလီယန် (abelian) ဖြစ်သောကြောင့် <math>T_g^* T_g = T_g T_g^*</math> ဖြစ်ရာ <math>T_g</math> သည် မူမှန်အော်ပရေတာ (normal operator) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>L^2(\mathbf{T})</math> အပေါ်ရှိ ထိုကဲ့သို့သော ကွန်ဗော်လူးရှင်း အော်ပရေတာများနှင့် ပြိုင်တူရွှေ့ပြောင်းခြင်း အော်ပရေတာများ အားလုံး၏ စုစည်းမှု (family) သည် မူမှန်အော်ပရေတာများ၏ ဖလှယ်၍ရသော စုစည်းမှု (commuting family) တစ်ခုဖြစ်ပြီး အောက်ပါ စရိုက်လက္ခဏာဖန်ရှင်များ (characters) ၏ [[အခြေအစု|ထောင့်မှန်ကျယူနစ်အခြေအစု]] (orthonormal basis) အားဖြင့် တစ်ပြိုင်နက် (simultaneously) ဒိုင်ယာဂွန်နယ်ပုံစံပြောင်းထားသော (diagonalized) စုစည်းမှု ဖြစ်သည်။ :<math>h_k(x) = e^{ikx}, \qquad k \in \mathbb{Z}</math> အလားတူပင် [[ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု|အဆုံးရှိ ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု]] (finite cyclic group) <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> အပေါ်တွင် ကွန်ဗော်လူးရှင်း အော်ပရေတာများကို <math>n \times n</math> [[ကိန်းအုံ|လှည့်ပတ်ကိန်းအုံများ]] (circulant matrices) ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြပြီး ပိုင်းစသီးခြား ဖူရီယာ အသွင်ပြောင်းခြင်း (discrete Fourier transform) အားဖြင့် တစ်ပြိုင်နက် ဒိုင်ယာဂွန်နယ်ပုံစံပြောင်းနိုင်သည်။ အဘီလီယန်ဖြစ်ရန် မလိုအပ်သော ယေဘုယျ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|ကျစ်လျစ်သော အုပ်စုများ]] (compact groups) အတွက် ပီတာ-ဗိုင်းလ် သီအိုရမ် (Peter–Weyl theorem) အရ ဆမခွဲနိုင်သော (irreducible) [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော]] (finite-dimensional) ယူနစ်တရီ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုများ (unitary representations) ၏ ကိန်းအုံမြှောက်ဖော်ကိန်းများ (matrix coefficients) သည် <math>L^2(G)</math> ၏ [[ထောင့်မှန်ကျဖြစ်မှု|ထောင့်မှန်ကျ]] အခြေအစု (orthogonal basis) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းပြီး ကွန်ဗော်လူးရှင်းကို ဆမခွဲနိုင်သော အစိတ်အပိုင်း (irreducible component) တစ်ခုချင်းစီအပေါ်၌ [[မြှောက်လဒ်|ကိန်းအုံမြှောက်ခြင်း]] (matrix multiplication) အဖြစ်သို့ ခွဲခြမ်းပေးသည်။ === အုပ်စုများအပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာများ၏ ကွန်ဗော်လူးရှင်း (Convolution of measures on groups) === <math>G</math> သည် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာအသွင်ဖြင့် ရေးသားထားသော (multiplicatively written) [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|ဒေသအလိုက်ကျစ်လျစ်သော ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာအုပ်စု]]တစ်ခု ဖြစ်ပြီး <math>M(G)</math> သည် <math>M(\mathbb{R}^d)</math> ကို ယေဘုယျပြုထားသည့် <math>G</math> အပေါ်ရှိ ကန့်သတ်ချက်ရှိသော ကိန်းထွေး ရာဒွန် အတိုင်းအတာများ (complex Radon measures) ၏ ရပ်ဝန်း (space) ကို ကိုယ်စားပြုသည်ဟု ယူဆပါစို့။ <math>\mu, \nu \in M(G)</math> အတွက် ၎င်းတို့၏ ကွန်ဗော်လူးရှင်း <math>\mu * \nu \in M(G)</math> သည် <math>m(x, y) = xy</math> ဖြင့် ပေးထားသော အုပ်စုမြှောက်ခြင်းပုံဖော်မှု (group multiplication map) <math>m : G \times G \to G</math> အောက်တွင် မြှောက်လဒ်အတိုင်းအတာ (product measure) <math>\mu \times \nu</math> ၏ ရှေ့သို့တွန်းပို့ချက် (pushforward) ဖြစ်ပြီး [[အနန္တ]]၌ သုညဖြစ်သွားသော (vanishing at infinity) [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်]] (continuous function) <math>f \in C_0(G)</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါ[[ညီမျှခြင်း]]ဖြင့် သတ်မှတ်ဖော်ပြသည်။ :<math>\int_G f(z) \, d(\mu * \nu)(z) = \iint_{G \times G} f(xy) \, d\mu(x) \, d\nu(y)</math> အဓိပ္ပာယ်ထပ်တူညီစွာ (equivalently) [[အစုပိုင်း|ဘိုရဲလ် အစုပိုင်း]] (Borel subset) <math>E \subseteq G</math> တိုင်းအတွက် [[ဖန်ရှင်|အညွှန်းဖန်ရှင်]] (indicator function) <math>\mathbf{1}_E</math> ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။<ref>Hewitt & Ross (1979), p. 266.</ref> :<math>(\mu * \nu)(E) = \iint_{G \times G} \mathbf{1}_E(xy) \, d\mu(x) \, d\nu(y)</math> <math>M(G)</math> အပေါ်ရှိ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စုစုပေါင်းပြောင်းလဲမှု စံနှုန်း]] (total variation norm) သည် ကွန်ဗော်လူးရှင်းအောက်တွင် နိမ့်ကျစွာမြှောက်သည့်ဂုဏ်သတ္တိရှိသော (submultiplicative) စံနှုန်း ဖြစ်သည်။ :<math>\|\mu * \nu\| \le \|\mu\| \|\nu\|</math> အကယ်၍ <math>G</math> တွင် ဘယ် ဟား အတိုင်းအတာ <math>\lambda</math> ရှိပြီး <math>\mu</math> သို့မဟုတ် <math>\nu</math> သည် <math>\lambda</math> အရ ပကတိအဆက်မပြတ်ဖြစ်ပါက (absolutely continuous) <math>\mu * \nu</math> သည်လည်း <math>\lambda</math> အရ ပကတိအဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်။<ref>Hewitt & Ross (1979), Theorem 19.18, p. 272.</ref> <math>\mu</math> နှင့် <math>\nu</math> နှစ်ခုလုံးသည် ရေဒွန်-နီကိုဒင်းမ် သိပ်သည်းဆများ (Radon–Nikodym densities) ဖြစ်ကြသော <math>f, g \in L^1(G, \lambda)</math> ဖြင့် ပကတိအဆက်မပြတ်ဖြစ်သည့်အခါ <math>\lambda</math> အရ <math>\mu * \nu</math> ၏ သိပ်သည်းဆ (density) မှာ <math>f * g</math> ဖြစ်သည်။ [[ဖြစ်တန်စွမ်း]]သီအိုရီ (probability theory) တွင် <math>\mu</math> နှင့် <math>\nu</math> တို့သည် အပေါင်းအခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာအုပ်စု (additive topological group) <math>(\mathbb{R}^d, +)</math> အပေါ်ရှိ [[ဖြစ်တန်စွမ်း အတိုင်းအတာ|ဘိုရဲလ် ဖြစ်တန်စွမ်းအတိုင်းအတာများ]] (Borel probability measures) ဖြစ်ကြပါက <math>\mu * \nu</math> သည် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (distribution) <math>\mu</math> နှင့် <math>\nu</math> အသီးသီးရှိကြသော အမှီအခိုကင်းသည့် ကျပန်း[[ဗက်တာ]] (independent random vectors) နှစ်ခုဖြစ်သည့် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့၏ ပေါင်းလဒ် (sum) <math>X + Y</math> ၏ ဖြစ်တန်စွမ်းဖြန့်ဖြူးခြင်း (probability distribution) ဖြစ်သည်။ === အင်ဖီမမ် ကွန်ဗော်လူးရှင်း (Infimal convolution) === [[ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ|ခုံးသော ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (convex analysis) တွင် [[ဖန်ရှင်|ခုံးသော ဖန်ရှင်အစစ်များ]] (proper convex functions) ဖြစ်ကြသည့် <math>f_1, \dots, f_m : \mathbb{R}^n \to (-\infty, +\infty]</math> တို့၏ <math>\square</math> သို့မဟုတ် <math>*</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုသော '''အင်ဖီမမ် ကွန်ဗော်လူးရှင်း''' (infimal convolution) သို့မဟုတ် အပီ-ပေါင်းခြင်း (epi-addition) ဆိုသည်မှာ <math>x \in \mathbb{R}^n</math> အတွက် [[အင်ဖီမမ် နှင့် စူပရီမမ်|အင်ဖီမမ်]] (infimum) ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော တိုးချဲ့ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် (extended real-valued function) <math>f_1 \mathbin{\square} \cdots \mathbin{\square} f_m : \mathbb{R}^n \to [-\infty, +\infty]</math> ဖြစ်သည်။<ref>Rockafellar (1970), §5.</ref> :<math>(f_1 \mathbin{\square} \cdots \mathbin{\square} f_m)(x) := \inf \left\{ f_1(x_1) + \cdots + f_m(x_m) \mid x_1, \dots, x_m \in \mathbb{R}^n, \; x_1 + \cdots + x_m = x \right\}</math> ခုံးသော ဖန်ရှင်များ (convex functions) ၏ အင်ဖီမမ် ကွန်ဗော်လူးရှင်းသည် ခုံးသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f_1, \dots, f_m</math> တို့တွင် တူညီသော အဖိုင်း အောက်ခံဖန်ရှင် (affine minorant) တစ်ခု ရှိသည့်အခါတိုင်း၌ ခုံးသော ဖန်ရှင်အစစ် ဖြစ်သည်။ ခုံးသော ကွန်ဂျူဂိတ် (convex conjugate) ဟုခေါ်သည့် လီဂျန်ဒါ-ဖန်ချယ်လ် ကွန်ဂျူဂိတ် (Legendre–Fenchel conjugate) ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ :<math>\varphi^*(x^*) := \sup_{y \in \mathbb{R}^n} \left( \langle x^*, y \rangle - \varphi(y) \right)</math> ဤကွန်ဂျူဂိတ်အောက်တွင် အင်ဖီမမ် ကွန်ဗော်လူးရှင်းသည် သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် [[ပေါင်းခြင်း]] (pointwise addition) အဖြစ်သို့ ပြောင်းလဲသွားသည်။ :<math>(f_1 \mathbin{\square} \cdots \mathbin{\square} f_m)^*(x^*) = f_1^*(x^*) + \cdots + f_m^*(x^*)</math> === ဘိုင်အက္ခရာသင်္ချာများ (Bialgebras) === <math>(X, \nabla, \eta, \Delta, \varepsilon)</math> သည် [[မြှောက်ခြင်း]] (multiplication) <math>\nabla : X \otimes_k X \to X</math>၊ ယူနစ် (unit) <math>\eta : k \to X</math>၊ ဒွန်တွဲမြှောက်ခြင်း (comultiplication) <math>\Delta : X \to X \otimes_k X</math> နှင့် [[ဒွန်တွဲအက္ခရာသင်္ချာ|ဒွန်တွဲယူနစ်]] (counit) <math>\varepsilon : X \to k</math> တို့ ပါဝင်သော [[ဖလှယ်ရ ကွင်း|ဖလှယ်ရကွင်း]] (commutative ring) <math>k</math> တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဒွန်တွဲအက္ခရာသင်္ချာ|ဘိုင်အက္ခရာသင်္ချာ]] (bialgebra) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ <math>X</math> ၏ <math>k</math>-မျဉ်းဖြောင့် [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်|အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (<math>k</math>-linear endomorphisms) ၏ <math>k</math>-[[မော်ဂျူး]] (<math>k</math>-module) <math>\operatorname{End}_k(X)</math> အပေါ်တွင် <math>k</math>-[[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (<math>k</math>-linear map) နှစ်ခုဖြစ်သော <math>\phi, \psi \in \operatorname{End}_k(X)</math> တို့၏ '''ကွန်ဗော်လူးရှင်း မြှောက်လဒ်''' (convolution product) <math>\phi * \psi</math> ကို အောက်ပါ [[ပေါင်းစပ်ခြင်း အော်ပရေတာ|ပေါင်းစပ်ခြင်း]] (composition) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>Kassel (1995), §III.3.</ref> :<math>X \xrightarrow{\Delta} X \otimes_k X \xrightarrow{\phi \otimes \psi} X \otimes_k X \xrightarrow{\nabla} X</math> ဆိုလိုသည်မှာ <math>\phi * \psi := \nabla \circ (\phi \otimes \psi) \circ \Delta</math> ဖြစ်သည်။ ဤမြှောက်လဒ် တပ်ဆင်ထားသော <math>\operatorname{End}_k(X)</math> သည် [[ထပ်တူရအစုဝင်|မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာထပ်တူရ]] (multiplicative identity) <math>\eta \circ \varepsilon</math> ပါဝင်သည့် ဖက်စပ်ရ (associative) [[ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအပေါ်ရှိ အက္ခရာသင်္ချာ|<math>k</math>-အက္ခရာသင်္ချာ]] (<math>k</math>-algebra) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဘိုင်အက္ခရာသင်္ချာ <math>X</math> တစ်ခုသည် ဟော့ဖ် အက္ခရာသင်္ချာ (Hopf algebra) တစ်ခု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ ထပ်တူရ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (identity endomorphism) <math>\operatorname{id}_X \in \operatorname{End}_k(X)</math> တွင် အောက်ပါ[[ညီမျှခြင်း]]ကို ပြေလည်စေပြီး '''အန်တီပို့ဒ်''' (antipode) ဟုခေါ်သည့် နှစ်ဖက်စလုံးအတွက် ကွန်ဗော်လူးရှင်းပြောင်းပြန် (two-sided convolution inverse) <math>S \in \operatorname{End}_k(X)</math> တစ်ခု ရှိခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ :<math>S * \operatorname{id}_X = \operatorname{id}_X * S = \eta \circ \varepsilon</math> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Beckner |first=William |title=Inequalities in Fourier analysis |journal=Annals of Mathematics |series=Second Series |volume=102 |issue=1 |pages=159–182 |date=1975 |doi=10.2307/1970980 |jstor=1970980}} * {{Citation |last1=Brascamp |first1=Herm Jan |last2=Lieb |first2=Elliott H. |title=Best constants in Young's inequality, its converse, and its generalization to more than three functions |journal=Advances in Mathematics |volume=20 |issue=2 |pages=151–173 |date=1976 |doi=10.1016/0001-8708(76)90184-5}} * {{Citation |last1=Damelin |first1=S. |last2=Miller |first2=W. |title=The Mathematics of Signal Processing |publisher=Cambridge University Press |date=2011 |isbn=978-1107601048 |page=219}} * {{Citation |last1=Hewitt |first1=Edwin |last2=Ross |first2=Kenneth A. |title=Abstract harmonic analysis. Vol. I |edition=2nd |series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften |volume=115 |publisher=Springer-Verlag |publication-place=Berlin, New York |date=1979 |isbn=978-3-540-09434-0 |mr=551496}} * {{Citation |last=Hörmander |first=L. |title=The analysis of linear partial differential operators I |publisher=Springer-Verlag |date=1983 |isbn=3-540-12104-8}} * {{Citation |last=Irwin |first=J. David |title=The Industrial Electronics Handbook |edition=1 |publisher=CRC Press |date=1997 |page=75 |isbn=978-0-8493-8343-4}} * {{Citation |last=Kassel |first=Christian |title=Quantum Groups |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=155 |publisher=Springer-Verlag |date=1995 |isbn=978-0-387-94370-1}} * {{Citation |last=Knuth |first=Donald E. |title=The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms |edition=3rd |publisher=Addison-Wesley |date=1997 |isbn=0-201-89684-2}} * {{Citation |last1=Press |first1=William H. |last2=Flannery |first2=Brian P. |last3=Teukolsky |first3=Saul A. |last4=Vetterling |first4=William T. |title=Numerical Recipes in C |publisher=Cambridge University Press |date=1989 |isbn=0-521-35465-X}} * {{Citation |last=Rader |first=C. M. |title=Discrete Convolutions via Mersenne Transforms |journal=IEEE Transactions on Computers |volume=21 |issue=12 |pages=1269–1273 |date=1972 |doi=10.1109/T-C.1972.223497}} * {{Citation |last1=Reed |first1=Michael |last2=Simon |first2=Barry |title=Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. II: Fourier Analysis, Self-Adjointness |publisher=Academic Press |date=1975 |isbn=0-12-585002-6}} * {{Citation |last=Rockafellar |first=R. Tyrrell |title=Convex Analysis |publisher=Princeton University Press |date=1970 |isbn=978-0-691-01586-6}} * {{Citation |last=Rudin |first=Walter |title=Fourier analysis on groups |publisher=Interscience Publishers |date=1962 |isbn=0-471-52364-X}} * {{Citation |last=Smith |first=Stephen W. |title=The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing |publisher=California Technical Publishing |date=1997 |isbn=0-9660176-3-3}} * {{Citation |last1=Stein |first1=Elias M. |title=Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces |publisher=Princeton University Press |date=1971 |isbn=0-691-08078-X}} * {{Citation |last=Strichartz |first=Robert S. |title=A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms |publisher=CRC Press |date=1994 |isbn=0-8493-8273-4}} * {{Citation |last=Uludag |first=A. Muhammed |title=On possible deterioration of smoothness under the operation of convolution |journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications |volume=227 |issue=2 |pages=335–358 |date=1998 |doi=10.1006/jmaa.1998.6091}} * {{Citation |last1=von zur Gathen |first1=Joachim |last2=Gerhard |first2=Jürgen |title=Modern Computer Algebra |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |date=2003 |isbn=0-521-82646-2}} * {{Citation |last=Winograd |first=S. |title=Arithmetic Complexity of Computations |publisher=SIAM |date=1980 |isbn=978-0-89871-163-9}} [[ကဏ္ဍ:ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] 6zcc80xtocwr3kkmy2gkd2u2kmiekqk 0 292821 1060806 1057855 2026-10-31T00:15:53Z Mkant00 135890 corrections to mathematics 1060806 wikitext text/x-wiki '''ဘာနက် ရပ်ဝန်း''' (Banach space) ဆိုသည်မှာ <math>\mathbb{K} = \mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{K} = \mathbb{C}</math> ဖြစ်သော [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) <math>\mathbb{K}</math> အပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည့် ပြည့်စုံသော (complete) စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (normed vector space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Bourbaki (1987), p. V.87.</ref> ဤသင်္ချာသဘောတရားကို 1920 မှ 1922 ခုနှစ်အတွင်း စနစ်တကျ လေ့လာစူးစမ်းခဲ့သူ ပိုလန်လူမျိုး သင်္ချာပညာရှင် စတီဖန် ဘာနက် (Stefan Banach) ကို အစွဲပြု၍ အမည်ပေးထားခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>Narici and Beckenstein (2011), p. 93.</ref> == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် နှင့် အခြေခံသဘောသဘာဝ ဖော်ပြချက် (Definition and Fundamental Characterization) == <math>X</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) <math>\mathbb{K}</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ <math>X</math> အပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော '''[[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]''' (norm) ဆိုသည်မှာ အောက်ပါဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ကိုက်ညီသည့် [[ဖန်ရှင်]] (function) <math>\|\cdot\| : X \to [0, \infty)</math> ဖြစ်သည် ။ *<math>\|x\| = 0</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>x = 0</math> ဖြစ်ခြင်း (positive definiteness) * <math>\alpha \in \mathbb{K}</math> အားလုံးနှင့် <math>x \in X</math> အားလုံးအတွက် <math>\|\alpha x\| = |\alpha| \, \|x\|</math> ဖြစ်ခြင်း (absolute homogeneity) * <math>x, y \in X</math> အားလုံးအတွက် <math>\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|</math> ဖြစ်ခြင်းဟူသော [[တြိဂံ မညီမျှခြင်း|တြိဂံမညီမျှခြင်း]] သို့မဟုတ် နိမ့်ကျစွာပေါင်းမှု (subadditivity) စုံတွဲ <math>(X, \|\cdot\|)</math> ကို '''စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်း''' (normed vector space) ဟု ခေါ်သည်။ ထိုစံနှုန်းသည် <math display="block">d(x, y) = \|x - y\|</math> ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော တည်နေရာရွှေ့ပြောင်းမှုအရ မပြောင်းလဲသည့် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေးဖန်ရှင်]] (translation-invariant metric) <math>d : X \times X \to [0, \infty)</math> ကို လှုံ့ဆော်ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ <math>X</math> အတွင်းရှိ [[ကိန်းစဉ်]] (sequence) <math>(x_n)_{n=1}^\infty</math> တစ်ခုသည် ပေးထားသော <math>\varepsilon > 0</math> တိုင်းအတွက် <math>n, m \geq N</math> ဖြစ်သည့်အခါတိုင်း <math>\|x_n - x_m\| < \varepsilon</math> ပြည့်စုံစေသည့် ကိန်းပြည့် <math>N \in \mathbb{N}</math> တစ်ခု တည်ရှိပါက ၎င်းကို '''[[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]]''' (Cauchy sequence) ဟု ခေါ်သည်။ အကယ်၍ ရပ်ဝန်း <math>(X, \|\cdot\|)</math> သည် <math>d</math> နှင့် ပတ်သက်၍ ပြည့်စုံမှုရှိပါက ဆိုလိုသည်မှာ <math>X</math> အတွင်းရှိ ကော်ချီ ကိန်းစဉ်တိုင်းသည် <math>X</math> အတွင်းရှိ [[စုဆုံမှတ်]] (limit) သို့ စုဆုံပါက ထိုရပ်ဝန်းကို '''ဘာနက် ရပ်ဝန်း''' (Banach space) ဟု ခေါ်သည်။ === ကိန်းစဉ်တန်း ပေါင်းစည်းနိုင်စွမ်း စံသတ်မှတ်ချက် (Series Summability Criterion) === စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>X</math> တစ်ခုသည် ဘာနက် ရပ်ဝန်း ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>X</math> အတွင်းရှိ [[အကြွင်းမဲ့ စုဆုံခြင်း|အကြွင်းမဲ့စုဆုံသော]] [[ကိန်းစဉ်တန်း|ကိန်းစဉ်တန်း]] (absolutely convergent series) တိုင်းသည် <math>X</math> အတွင်း စုဆုံခြင်းပင်ဖြစ်သည်။<ref>Megginson (1998), Theorem 1.3.9, p. 20.</ref> ဆိုလိုသည်မှာ <math>X</math> သည် ပြည့်စုံမှုရှိရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math display="block">\sum_{n=1}^\infty \|v_n\| < \infty \implies \sum_{n=1}^\infty v_n \text{ converges in } X</math> ဟူသောအချက် ပြည့်စုံခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ == တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ နှင့် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တည်ဆောက်ပုံများ (Topological and Geometric Structures) == စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွင်း ဗဟို <math>x \in X</math> နှင့် အချင်းဝက် <math>r > 0</math> ရှိသော အဖွင့်စက်လုံး (open ball) နှင့် အပိတ်စက်လုံး (closed ball) များကို <math display="block">B(x, r) = \{y \in X \mid \|x - y\| < r\}, \qquad \overline{B}(x, r) = \{y \in X \mid \|x - y\| \leq r\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ အပိတ် ယူနစ်စက်လုံး (closed unit ball) ကို <math>B_X = \overline{B}(0, 1)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ ဤအဖွင့်စက်လုံးများနှင့် အပိတ်စက်လုံးများသည် ခုံးသောအစုများ (convex sets) ဖြစ်ကြပြီး [[မူလနေရာ]] (origin) ကို ဗဟိုပြုထားသော အဖွင့်စက်လုံးများနှင့် အပိတ်စက်လုံးများသည် မျှခြေရှိသောအစုများ (balanced sets) လည်း ဖြစ်ကြသည်။ စံနှုန်းမှ ဖြစ်ပေါ်လာသော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (norm topology) သည် <math>X</math> ကို ဒေသအလိုက်ခုံးသော (locally convex) တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဗက်တာရပ်ဝန်း (topological vector space) တစ်ခု ဖြစ်စေသည်။ အကယ်၍ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဗက်တာ[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (dimension) သည် အနန္တ (infinite) ဖြစ်ပါက အပိတ် ယူနစ်စက်လုံး <math>B_X</math> သည် ကျစ်လျစ်သောအစု (compact set) မဟုတ်ပေ။ ထို့ကြောင့် အတိုင်းအတာအနန္တရှိသော ဘာနက် ရပ်ဝန်းများသည် ဒေသအလိုက်ကျစ်လျစ်မှု (locally compact) ဘယ်သောအခါမျှ မရှိကြပေ။<ref>Rudin (1991), Theorem 1.22, p. 17.</ref> ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုတည်းပေါ်ရှိ စံနှုန်းနှစ်ခု <math>\|\cdot\|_1</math> နှင့် <math>\|\cdot\|_2</math> တို့သည် <math>c \|x\|_1 \leq \|x\|_2 \leq C \|x\|_1</math> ဖြစ်စေသည့် ကိန်းသေများ <math>c, C > 0</math> တည်ရှိပါက ထိုစံနှုန်းများကို ထပ်တူညီသော စံနှုန်းများ (equivalent norms) ဟု ခေါ်သည်။ ထပ်တူညီသော စံနှုန်းများသည် တူညီသော တိုပေါ်လော်ဂျီကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော (finite-dimensional) ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုအပေါ်ရှိ မည်သည့် စံနှုန်းမဆို အချင်းချင်း အမြဲတမ်း ထပ်တူညီကြပြီး ထိုရပ်ဝန်းများသည် အမြဲတမ်း ပြည့်စုံမှုရှိကြသည်။ === တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်များ နှင့် စားလဒ်ရပ်ဝန်းများ (Direct Sums and Quotient Spaces) === ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ <math>X_1, \dots, X_n</math> ၏ [[တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်]] (direct sum) <math>X = \bigoplus_{i=1}^n X_i</math> သည် <math>\|(x_1, \dots, x_n)\| = \sum_{i=1}^n \|x_i\|_{X_i}</math> ဟူသော စံနှုန်းအရ ဘာနက် ရပ်ဝန်း ဖြစ်သည်။ <math>M</math> သည် ဘာနက် ရပ်ဝန်း <math>X</math> ၏ အပိတ် မျဉ်းဖြောင့်ရပ်ဝန်းပိုင်း (closed linear subspace) ဖြစ်ပါက စားလဒ်ရပ်ဝန်း (quotient space) <math>X/M</math> သည် <math display="block">\|x + M\|_{X/M} = \inf_{m \in M} \|x + m\|</math> ဟူသော စားလဒ်စံနှုန်း (quotient norm) တပ်ဆင်ထားသည့်အခါ ဘာနက် ရပ်ဝန်း ဖြစ်လာသည်။<ref>Megginson (1998), Theorem 1.4.17, p. 30.</ref> ကန့်သတ်ချက်ရှိသော မျဉ်းဖြောင့်အော်ပရေတာ <math>T : X \to Y</math> တိုင်းကို သဘာဝကျသော ပရိုဂျက်ရှင်း <math>\pi : X \to X/\ker T</math> မှတစ်ဆင့် <math>T = T_1 \circ \pi</math> ဟူ၍ ပုံမှန် ဆခွဲကိန်းခွဲခြမ်းမှု (canonical factorization) ပြုလုပ်နိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>\pi</math> သည် ပုံမှန် ပရိုဂျက်ရှင်း ဖြစ်ပြီး <math>T_1 : X/\ker T \to T(X)</math> သည် <math>T_1(x + \ker T) = T(x)</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော [[ကာနယ်]] (kernel) မှတစ်ဆင့် ပုံဖော်သည့် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] (injective) ကန့်သတ်ချက်ရှိ မျဉ်းဖြောင့်အော်ပရေတာ ဖြစ်သည်။<ref>Carothers (2005), p. 18.</ref> အကယ်၍ <math>Y</math> သည် ဘာနက် ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက အဖွင့်ပုံဖော်မှု သီအိုရမ် (open mapping theorem) အရ <math>T_1</math> သည် <math>X/\ker T</math> မှ <math>T(X)</math> အပေါ်သို့ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (topological isomorphism) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ပုံရိပ်အစု (range) <math>T(X)</math> သည် <math>Y</math> အတွင်း အပိတ်စု (closed set) ဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ == ကန့်သတ်ချက်ရှိသော မျဉ်းဖြောင့်အော်ပရေတာများ နှင့် အခြေခံသီအိုရမ်များ (Bounded Linear Operators and Fundamental Theorems) == <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) <math>\mathbb{K}</math> အပေါ်ရှိ စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ရပ်ဝန်းများ (normed spaces) ဖြစ်ကြပါစေ။ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှု]] (linear map) <math>T : X \to Y</math> သည် <math>X</math> တစ်ခုလုံးအပေါ်တွင် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော]] (continuous) ပုံဖော်မှုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ ၎င်းသည် ကန့်သတ်ချက်ရှိသော [[အစု|အစုများ]] (bounded sets) အပေါ်တွင် ကန့်သတ်ချက်ရှိခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>x \in X</math> အားလုံးအတွက် <math>\|Tx\|_Y \leq C \|x\|_X</math> ဖြစ်စေသည့် <math>C \geq 0</math> တည်ရှိခြင်းပင်ဖြစ်သည်။<ref>Rudin (1991), Theorem 1.32, p. 24.</ref> သုညမဟုတ်သော ကန့်သတ်ချက်ရှိ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်အော်ပရေတာ]] (non-zero bounded linear operator) တစ်ခုသည် ရပ်ဝန်း <math>X</math> တစ်ခုလုံးအပေါ်တွင် အလုံးစုံကန့်သတ်ချက်ရှိသော (globally bounded) အခြေအနေ မည်သည့်အခါမျှ မရှိနိုင်သော်လည်း အပိတ် ယူနစ်စက်လုံး (closed unit ball) <math>B_X</math> အပေါ်သို့ ၎င်း၏ ကန့်သတ်ခြင်း (restriction) သည် ကန့်သတ်ချက်ရှိသည်။ <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့ ပုံဖော်သည့် အဆက်မပြတ် မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှုများ၏ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) ကို <math>B(X, Y)</math> ဟု သတ်မှတ်ပြီး <math display="block">\|T\| = \sup_{x \in B_X} \|Tx\|_Y</math> ဟူသော အော်ပရေတာစံနှုန်း (operator norm) တပ်ဆင်ထားသည်။ <math>X \neq \{0\}</math> ဖြစ်သည့်အခါ ထိုစံနှုန်းကို <math display="block">\|T\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Tx\|_Y}{\|x\|_X}</math> ဟူ၍လည်း ထပ်တူညီစွာ ဖော်ပြနိုင်သည်။ အကယ်၍ <math>Y</math> သည် ဘာနက် ရပ်ဝန်း (Banach space) ဖြစ်ပါက <math>X</math> ပြည့်စုံမှု (completeness) ရှိသည်ဖြစ်စေ မရှိသည်ဖြစ်စေ <math>B(X, Y)</math> သည် အမြဲတမ်း ဘာနက် ရပ်ဝန်း ဖြစ်သည်။<ref>Megginson (1998), Theorem 1.5.1, p. 35.</ref> <math>X = Y</math> သည် သုညမဟုတ်သော ဘာနက် ရပ်ဝန်း ဖြစ်သည့်အခါ ရပ်ဝန်း <math>B(X) = B(X, X)</math> သည် အော်ပရေတာ ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းခြင်း (operator composition) မြှောက်လဒ်အရ <math>\|ST\| \leq \|S\| \, \|T\|</math> နှင့် ထပ်တူရအော်ပရေတာ (identity operator) အတွက် <math>\|I\| = 1</math> တို့နှင့် ကိုက်ညီပြီး ထပ်တူရပါသော [[ဘာနက် အက္ခရာသင်္ချာ]] (unital Banach algebra) တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ === ဘာနက်၏ အခြေခံသီအိုရမ်များ (The Fundamental Theorems of Banach) === ဘာနက် ရပ်ဝန်းများအတွက် အောက်ပါ အခြေခံသီအိုရမ်ကြီး လေးခုသည် ဘလဲ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရမ် (Baire category theorem) ကို အခြေခံ၍ မှန်ကန်ကြသည်။ * '''တစ်ပြေးညီကန့်သတ်ချက်ရှိမှု အခြေခံသဘောတရား သို့မဟုတ် ဘာနက်-ရှတိုင်းဟောက်စ် သီအိုရမ်''' (Uniform Boundedness Principle or Banach–Steinhaus Theorem) - <math>X</math> သည် ဘာနက် ရပ်ဝန်း ဖြစ်ပြီး <math>Y</math> သည် စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ရပ်ဝန်း ဖြစ်ပါစေ။ <math>\mathcal{F} \subseteq B(X, Y)</math> သည် ကန့်သတ်ချက်ရှိသော မျဉ်းဖြောင့်အော်ပရေတာများ၏ စုစည်းမှု (family of bounded linear operators) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ အကယ်၍ <math>x \in X</math> တိုင်းအတွက် :<math>\sup_{T \in \mathcal{F}} \|T(x)\|_Y < \infty</math> ဖြစ်ပါက :<math>\sup_{T \in \mathcal{F}} \|T\| < \infty</math> ရရှိသည်။<ref>Rudin (1991), Theorem 2.5, p. 43.</ref> * '''အဖွင့်ပုံဖော်မှု သီအိုရမ်''' (Open Mapping Theorem) - <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ပါစေ။ အကယ်၍ <math>T \in B(X, Y)</math> သည် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] (surjective) ပုံဖော်မှု ဖြစ်ပါက <math>T</math> သည် အဖွင့်ပုံဖော်မှု (open map) ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>X</math> ၏ အဖွင့်စုပိုင်း (open subset) <math>U \subseteq X</math> တိုင်းအတွက် <math>T(U)</math> သည် <math>Y</math> အတွင်း အဖွင့်စု ဖြစ်သည်။<ref>Rudin (1991), Theorem 2.11, p. 47.</ref> * '''ကန့်သတ်ချက်ရှိသော ပြောင်းပြန်သီအိုရမ်''' (Bounded Inverse Theorem) - <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ပါစေ။ အကယ်၍ <math>T \in B(X, Y)</math> သည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] (bijective) ပုံဖော်မှု ဖြစ်ပါက ၎င်း၏ ပြောင်းပြန် မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှု (inverse linear map) <math>T^{-1} : Y \to X</math> သည် ကန့်သတ်ချက်ရှိသည်။ ထို့ကြောင့် <math>T</math> သည် ဘာနက် ရပ်ဝန်းများအကြား [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (isomorphism) တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Rudin (1991), Corollary 2.12, p. 48.</ref> * '''အပိတ်ဂရပ် သီအိုရမ်''' (Closed Graph Theorem) - <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ကြပြီး <math>T : X \to Y</math> သည် <math>X</math> တစ်ခုလုံးအပေါ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှုတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ [[ဖန်ရှင်၏ ဂရပ်|ဂရပ်]] (graph) <math>\Gamma(T) = \{(x, Tx) \mid x \in X\}</math> သည် <math>X \oplus Y</math> အတွင်း အပိတ်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>T</math> သည် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း]]ပင်ဖြစ်သည်။<ref>Rudin (1991), Theorem 2.15, p. 50.</ref> == ဒွန်တွဲမှု၊ အားနည်းသော တိုပေါ်လော်ဂျီများ နှင့် ကိုယ်ပြန်ဟပ်မှု (Duality, Weak Topologies, and Reflexivity) == === အဆက်မပြတ် ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း (The Continuous Dual Space) === စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ရပ်ဝန်း (normed space) <math>X</math> ၏ '''[[ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း|အဆက်မပြတ် ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း]]''' (continuous dual space) ဆိုသည်မှာ <math display="block">\|f\|_{X'} = \sup_{x \in B_X} |f(x)|</math> ဟူသော ဒွန်တွဲစံနှုန်း (dual norm) တပ်ဆင်ထားသည့် အဆက်မပြတ် [[မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်|မျဉ်းဖြောင့်ဖန်ရှင်နယ်များ]] (continuous linear functionals) ၏ ရပ်ဝန်း <math>X' = B(X, \mathbb{K})</math> ဖြစ်သည်။ စကေလာ[[ဖီးလ်ဒ်]] (scalar field) <math>\mathbb{K}</math> သည် ပြည့်စုံသော (complete) ဖီးလ်ဒ်ဖြစ်သောကြောင့် <math>X'</math> သည် အမြဲတမ်း ဘာနက် ရပ်ဝန်း (Banach space) ဖြစ်သည်။<ref>Megginson (1998), p. 41.</ref> [[ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း]]၏ အပိတ် ယူနစ်စက်လုံး (closed unit ball) ကို <math display="block">B_{X'} := \{f \in X' \mid \|f\|_{X'} \leq 1\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ * '''[[ဟန်း-ဘာနက် သီအိုရမ်|ဟန်း-ဘာနက် တိုးချဲ့ချက်သီအိုရမ်]]''' (Hahn–Banach Extension Theorem) - <math>X</math> သည် <math>\mathbb{K}</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) တစ်ခု ဖြစ်ပြီး အကယ်၍ <math>\mathbb{K} = \mathbb{R}</math> ဖြစ်ပါက <math>p : X \to \mathbb{R}</math> သည် နိမ့်ကျမျဉ်းဖြောင့်ဂုဏ်ရှိသော ဖန်ရှင် (sublinear function) ဖြစ်ပြီး အကယ်၍ <math>\mathbb{K} = \mathbb{C}</math> ဖြစ်ပါက <math>p : X \to \mathbb{R}</math> သည် ဆီမီးစံနှုန်း (seminorm) ဖြစ်ပါစေ။ <math>Y \subseteq X</math> သည် ရပ်ဝန်းပိုင်း (subspace) တစ်ခု ဖြစ်ပြီး <math>f : Y \to \mathbb{K}</math> သည် <math>y \in Y</math> အားလုံးအတွက် <math>\operatorname{Re}(f(y)) \leq p(y)</math> နှင့် ကိုက်ညီသော [[မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်|မျဉ်းဖြောင့်ဖန်ရှင်နယ်]] (linear functional) ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>F|_Y = f</math> ဖြစ်ပြီး <math>x \in X</math> အားလုံးအတွက် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်ပိုင်း]] (real part) <math>\operatorname{Re}(F(x)) \leq p(x)</math> ပြည့်စုံစေသည့် မျဉ်းဖြောင့်ဖန်ရှင်နယ် <math>F : X \to \mathbb{K}</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။<ref>Rudin (1991), Theorem 3.2, p. 56.</ref> * '''စံနှုန်းသတ်မှတ် မျဉ်းဖြောင့်ဖန်ရှင်နယ်များ''' (Norming Functionals) - သုညမဟုတ်သော [[ဗက်တာ]] (non-zero vector) <math>x \in X \setminus \{0\}</math> တိုင်းအတွက် <math>\|f\|_{X'} = 1</math> နှင့် <math>f(x) = \|x\|_X</math> ဖြစ်စေသော အဆက်မပြတ် [[မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်|မျဉ်းဖြောင့်ဖန်ရှင်နယ်]] <math>f \in X'</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။<ref>Megginson (1998), Theorem 1.9.6, p. 75.</ref> * '''ရပ်ဝန်းပိုင်းများနှင့် စားလဒ်များ၏ ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း''' (Dual of Subspaces and Quotients) - အကယ်၍ <math>M</math> သည် ဘာနက် ရပ်ဝန်း <math>X</math> ၏ အပိတ် မျဉ်းဖြောင့်ရပ်ဝန်းပိုင်း (closed linear subspace) ဖြစ်ပါက ထောင့်မှန်ကျရပ်ဝန်း (orthogonal space) ကို <math>M^\bot = \{f \in X' \mid f(m) = 0, \forall m \in M\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ ထိုအခါ <math>(X/M)'</math> သည် <math>M^\bot</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းစွာ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော]] (isometrically isomorphic) ရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>M'</math> သည်လည်း <math>X'/M^\bot</math> နှင့် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းစွာ အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။<ref>Megginson (1998), Theorems 1.10.16–1.10.17, pp. 94–95.</ref> === အားနည်းသော နှင့် အားနည်းသော* တိုပေါ်လော်ဂျီများ (Weak and Weak* Topologies) === <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''အားနည်းသော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]]''' (weak topology) ဆိုသည်မှာ ဖန်ရှင်နယ် <math>f \in X'</math> အားလုံးကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်စေသည့် အကြမ်းဆုံးတိုပေါ်လော်ဂျီ (coarsest topology) ဖြစ်သည်။ အားနည်းသော တိုပေါ်လော်ဂျီသည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် (Hausdorff) [[ရပ်ဝန်း]] ဖြစ်သည့်အပြင် ဒေသအလိုက်ခုံးသော (locally convex) ရပ်ဝန်းလည်း ဖြစ်သည်။ <math>X'</math> အပေါ်ရှိ '''အားနည်းသော* တိုပေါ်လော်ဂျီ''' (weak* topology) ဆိုသည်မှာ <math>x \in X</math> တိုင်းအတွက် သတ်မှတ်ထားသော တန်ဖိုးရှာပုံဖော်မှုများ (evaluation maps) <math>f \mapsto f(x)</math> အားလုံးကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်စေသည့် အကြမ်းဆုံးတိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ * '''ဘာနက်-အလာအိုဂလူး သီအိုရမ်''' (Banach–Alaoglu Theorem) - <math>X</math> သည် စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်း ဖြစ်ပါစေ။ ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း၏ အပိတ် ယူနစ်စက်လုံး <math>B_{X'}</math> သည် အားနည်းသော* တိုပေါ်လော်ဂျီတွင် ကျစ်လျစ်သော (compact) [[အစု]] ဖြစ်သည်။<ref>Rudin (1991), Theorem 3.15, p. 68.</ref> အကယ်၍ <math>X</math> သည် ခွဲထုတ်၍ရသော (separable) ရပ်ဝန်းဖြစ်ပါက <math>B_{X'}</math> သည် အားနည်းသော* တိုပေါ်လော်ဂျီတွင် မက်ထရစ်အသွင်ပြောင်းနိုင်သော (metrizable) ရပ်ဝန်း ဖြစ်သည်။<ref>Megginson (1998), Theorem 2.6.23, p. 231.</ref> === ဘိုင်ဒွန်တွဲ နှင့် ကိုယ်ပြန်ဟပ်မှု (Bidual and Reflexivity) === <math>X</math> ၏ '''[[ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း|ဘိုင်ဒွန်တွဲ]]''' (bidual) ဆိုသည်မှာ <math>X'' = (X')'</math> ဖြစ်သည်။ <math display="block">F_X(x)(f) = f(x), \quad \forall f \in X'</math> ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ပုံမှန် တန်ဖိုးရှာပုံဖော်မှု (canonical evaluation map) <math>F_X : X \to X''</math> သည် <math>X</math> မှ <math>X''</math> အတွင်းသို့ ပုံဖော်သည့် မျဉ်းဖြောင့် [[အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှု|အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းသော]] ထည့်သွင်းခြင်း (isometric embedding) တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Megginson (1998), Theorem 1.11.1, p. 97.</ref> စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ရပ်ဝန်း <math>X</math> ၏ ပုံမှန်ပုံဖော်မှု <math>F_X : X \to X''</math> သည် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] (surjective) ပုံဖော်မှု ဖြစ်ပါက ထိုရပ်ဝန်းကို '''ကိုယ်ပြန်ဟပ်သော''' (reflexive) ရပ်ဝန်းဟု ခေါ်သည်။ ကိုယ်ပြန်ဟပ်သော စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ရပ်ဝန်းတိုင်းသည် ဘာနက် ရပ်ဝန်း ဖြစ်သည်။ * '''ဂိုးလ်စတိုင်း၏ သီအိုရမ်''' (Goldstine's Theorem) - အပိတ် ယူနစ်စက်လုံး၏ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] <math>F_X(B_X)</math> သည် ဘိုင်ဒွန်တွဲ၏ အပိတ် ယူနစ်စက်လုံး <math>B_{X''}</math> အတွင်း၌ အားနည်းသော*-သိပ်သည်းသော (weak*-dense) အစု ဖြစ်သည်။<ref>Megginson (1998), Theorem 2.6.26, p. 233.</ref> * '''အားနည်းသော ကျစ်လျစ်မှု သတ်မှတ်ဖော်ပြချက်''' (Weak Compactness Characterization) - ဘာနက် ရပ်ဝန်း <math>X</math> သည် ကိုယ်ပြန်ဟပ်သော ရပ်ဝန်းဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ ၎င်း၏ အပိတ် ယူနစ်စက်လုံး <math>B_X</math> သည် အားနည်းသော တိုပေါ်လော်ဂျီတွင် ကျစ်လျစ်သော အစုဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။<ref>Megginson (1998), Theorem 2.8.2, p. 247.</ref> * '''အေးဘားလိုင်း-ရှမူးလ်ယန် သီအိုရမ်''' (Eberlein–Šmulian Theorem) - ဘာနက် ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အစုပိုင်းတစ်ခုသည် အားနည်းစွာ ကျစ်လျစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ၎င်းသည် အားနည်းစွာ ကိန်းစဉ်အရကျစ်လျစ်သော (sequentially compact) အစုဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>X</math> သည် ကိုယ်ပြန်ဟပ်သော ရပ်ဝန်းဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>X</math> အတွင်းရှိ ကန့်သတ်ချက်ရှိသော [[ကိန်းစဉ်]] (bounded sequence) တိုင်း၌ အားနည်းစွာ စုဆုံသော ကိန်းစဉ်ပိုင်း (weakly convergent subsequence) တစ်ခု ပါဝင်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။<ref>Wojtaszczyk (1991), Theorem II.C.3, p. 49; Megginson (1998), Corollary 2.8.9, p. 251.</ref> * '''ဂျိမ်းစ်၏ သီအိုရမ်''' (James's Theorem) - <math>\mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}</math> အပေါ်ရှိ ဘာနက် ရပ်ဝန်း <math>X</math> သည် ကိုယ်ပြန်ဟပ်သော ရပ်ဝန်းဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ အဆက်မပြတ် မျဉ်းဖြောင့်ဖန်ရှင်နယ် <math>f \in X'</math> တိုင်းသည် အပိတ် ယူနစ်စက်လုံးအပေါ်၌ ၎င်း၏ စံနှုန်းသို့ ရောက်ရှိခြင်း (attains its norm) ပင်ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>|f(x)| = \|f\|_{X'}</math> ဖြစ်စေသည့် <math>x \in B_X</math> တစ်ခု တည်ရှိခြင်းပင်ဖြစ်သည်။<ref>Megginson (1998), Theorem 2.8.14, p. 254.</ref> == ရှေးရိုး ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ နှင့် ခိုင်မာသော ဒွန်တွဲများ (Classical Banach Spaces and Concrete Duals) == === ကိန်းစဉ်ရပ်ဝန်းများ နှင့် ဖန်ရှင်ရပ်ဝန်းများ (Sequence and Function Spaces) === * '''ရပ်ဝန်း <math>c_0</math>''' (The space <math>c_0</math>) - <math>\|x\|_\infty = \sup_{n} |x_n|</math> ဟူသော စူပရီမမ်စံနှုန်း (supremum norm) တပ်ဆင်ထားသည့် သုညသို့ စုဆုံသော [[စကေလာ]] [[ကိန်းစဉ်|ကိန်းစဉ်များ]] (scalar sequences) ၏ ရပ်ဝန်း ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ [[ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း]] (dual space) သည် <math>\ell^1</math> နှင့် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းစွာ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော (isometrically isomorphic) ရပ်ဝန်း ဖြစ်သည်။<ref>Megginson (1998), Theorem 1.12.8, p. 110.</ref> * '''ရပ်ဝန်းများဖြစ်သော <math>\ell^p</math> နှင့် <math>L^p(\mu)</math>''' (The spaces <math>\ell^p</math> and <math>L^p(\mu)</math>) - <math>1 \leq p < \infty</math> အတွက် <math>\ell^p</math> သည် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) <math>\|x\|_p = (\sum_{n=1}^\infty |x_n|^p)^{1/p}</math> ရှိသော ကိန်းစဉ်များ (sequences) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ရပ်ဝန်း <math>L^p(\mu)</math> သည် <math>\int |f|^p \, d\mu < \infty</math> နှင့် ကိုက်ညီပြီး <math>\mu</math>-နေရာတိုင်းနီးပါး (almost everywhere) တူညီမှုအရ သတ်မှတ်ထားသော တိုင်းတာနိုင်သော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (measurable functions) ၏ [[ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား|ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ]] (equivalence classes) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားကာ စံနှုန်းမှာ <math>\|f\|_p = (\int |f|^p \, d\mu)^{1/p}</math> ဖြစ်သည်။ <math>1 < p < \infty</math> ဖြစ်သည့်အခါ ကွန်ဂျူဂိတ် ထပ်ညွှန်း (conjugate exponent) သည် <math>q = p/(p - 1)</math> ဖြစ်ပြီး <math>L^p(\mu)</math> ၏ ဒွန်တွဲရပ်ဝန်းသည် <math>L^q(\mu)</math> နှင့် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းစွာ အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။<ref>Rudin (1991), Theorem 3.17, p. 70.</ref> ထို့ကြောင့် <math>1 < p < \infty</math> အတွက် <math>L^p(\mu)</math> နှင့် <math>\ell^p</math> တို့သည် ကိုယ်ပြန်ဟပ်သော (reflexive) ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ရပ်ဝန်းများဖြစ်ကြသော <math>\ell^1, c_0, \ell^\infty</math> နှင့် (<math>L^1([0, 1])</math> ကဲ့သို့သော) အတိုင်းအတာအနန္တရှိသော (infinite-dimensional) မည်သည့် <math>L^1(\mu)</math> ရပ်ဝန်းမဆို ကိုယ်ပြန်ဟပ်မှု မရှိကြပေ။ * '''ရပ်ဝန်း <math>C(K)</math>''' (The space <math>C(K)</math>) - ဗလာမဟုတ်သော (non-empty) ကျစ်လျစ်သော ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်း (compact Hausdorff space) <math>K</math> အတွက် <math>C(K)</math> သည် <math>\|f\|_\infty = \max_{x \in K} |f(x)|</math> ဟူသော စူပရီမမ်စံနှုန်း တပ်ဆင်ထားသည့် <math>K</math> အပေါ်ရှိ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်များ]] (continuous functions) ၏ ဘာနက် ရပ်ဝန်း (Banach space) ဖြစ်သည်။ ရီးဇ်-မာကော့ဗ်-ကာကူတာနီ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုသီအိုရမ် (Riesz–Markov–Kakutani representation theorem) အရ <math>C(K)</math> ၏ အဆက်မပြတ် ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း (continuous dual space) သည် ပုံမှန် ဘိုရဲလ် အတိုင်းအတာများ (regular Borel measures) ၏ ရပ်ဝန်း <math>M(K)</math> နှင့် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းစွာ အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။<ref>Rudin (1991), Theorem 3.19, p. 73.</ref> * '''[[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း|ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများ]]''' (Hilbert Spaces) - အနားပြိုင်စတုဂံညီမျှခြင်း (parallelogram law) <math>\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2)</math> မှတစ်ဆင့် [[အစက်မြှောက်လဒ် (စကေလာမြှောက်လဒ်)|အတွင်းမြှောက်လဒ်]] (inner product) <math>\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}</math> မှ ဖြစ်ပေါ်လာသော စံနှုန်းတပ်ဆင်ထားသည့် ဘာနက် ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ရီးဇ် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုသီအိုရမ် (Riesz representation theorem) အရ အဆက်မပြတ် [[မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်|မျဉ်းဖြောင့်ဖန်ရှင်နယ်]] (continuous linear functional) တိုင်းကို တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) <math>y \in H</math> အတွက် <math>f(x) = \langle x, y \rangle</math> ဟု ဖော်ပြနိုင်သောကြောင့် ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများသည် ကိုယ်တိုင်ဒွန်တွဲ (self-dual) ဖြစ်သည့်အပြင် ကိုယ်ပြန်ဟပ်မှုလည်း ရှိကြသည်။<ref>Rudin (1991), Theorem 4.12, p. 90.</ref> ဂျိမ်းစ် ရပ်ဝန်း (James space) <math>J</math> သည် ၎င်း၏ ဘိုင်ဒွန်တွဲ (bidual) <math>J''</math> နှင့် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းစွာ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်ပြီး [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (dimension) <math>\dim(J''/F_J(J)) = 1</math> ပြည့်စုံသော်လည်း ကိုယ်ပြန်ဟပ်မှုမရှိသော ဘာနက် ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဥပမာ ဖြစ်သည်။<ref>Lindenstrauss and Tzafriri (1977), p. 25.</ref> == ရှောင်းဒါး အခြေအစုများ (Schauder Bases) == ဘာနက် ရပ်ဝန်း (Banach space) <math>X</math> အတွင်းရှိ [[ကိန်းစဉ်]] (sequence) <math>(e_n)_{n=1}^\infty</math> သည် <math>x \in X</math> တိုင်းအတွက် <math display="block">x = \sum_{n=1}^\infty x_n e_n = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N x_n e_n</math> ပြည့်စုံစေသည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော စကေလာကိန်းစဉ် (unique sequence of scalars) <math>(x_n)_{n=1}^\infty</math> တည်ရှိပါက ထိုကိန်းစဉ်ကို '''[[အခြေအစု|ရှောင်းဒါး အခြေအစု]]''' (Schauder basis) ဟု ခေါ်သည်။<ref>Lindenstrauss and Tzafriri (1977), p. 1.</ref> ရှောင်းဒါး အခြေအစုရှိသော ဘာနက် ရပ်ဝန်းတိုင်းသည် ခွဲထုတ်၍ရသော (separable) ရပ်ဝန်း ဖြစ်သည်။ <math>e_n^*(x) = x_n</math> ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည့် ကိုဩဒိနိတ် ဖန်ရှင်နယ်များ (coordinate functionals) <math>e_n^* : X \to \mathbb{K}</math> သည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ ကန့်သတ်ချက်ရှိသော [[မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်|မျဉ်းဖြောင့်ဖန်ရှင်နယ်များ]] (bounded linear functionals) ဖြစ်ကြသည့် ဘိုင်ထောင့်မှန်ကျ ဖန်ရှင်နယ်များ (biorthogonal functionals) ဖြစ်ကြသည်။ ပယ် အန်ဖလို (Per Enflo) သည် ရှောင်းဒါး အခြေအစု မရှိသည့်အပြင် ချဉ်းကပ်တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ (approximation property) လည်း ကင်းမဲ့နေသော ခွဲထုတ်၍ရသည့် ဘာနက် ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို တည်ဆောက်ပြခဲ့သည်။<ref>Enflo (1973), pp. 309–317.</ref> == တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ တန်ဆာမြှောက်လဒ်များ (Topological Tensor Products) == <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) <math>\mathbb{K}</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces) ဖြစ်ပါစေ။ [[တန်ဆာ မြှောက်လဒ်|အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တန်ဆာမြှောက်လဒ်]] (algebraic tensor product) <math>X \otimes Y</math> သည် အောက်ပါ [[အလုံးစုံအကျုံးဝင်သော ဂုဏ်သတ္တိ]] (universal property) နှင့် ကိုက်ညီသည် ။ [[မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံစံ|မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံဖော်မှု]] (bilinear map) <math>T : X \times Y \to Z</math> တိုင်းသည် <math>T(x, y) = \widetilde{T}(x \otimes y)</math> ဖြစ်စေသည့် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှု]] (linear map) <math>\widetilde{T} : X \otimes Y \to Z</math> မှတစ်ဆင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်စွာ ဆခွဲကိန်းခွဲခြမ်းမှု ပြုလုပ်နိုင်သည်။<ref>Ryan (2002), p. 1.</ref> ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ (Banach spaces) <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> အတွက် ကြက်ခြေခတ် စံနှုန်းများ (cross-norms) သည် <math>x \in X, y \in Y</math> အားလုံးအတွက် <math>\|x \otimes y\| = \|x\| \, \|y\|</math> နှင့် ကိုက်ညီကြသည် ။ *<math>u \in X \otimes Y</math> အတွက် '''ပရိုဂျက်တစ် ကြက်ခြေခတ် စံနှုန်း''' (projective cross-norm) <math>\pi</math> ကို <math display="block">\|u\|_\pi = \inf \left\{ \sum_{i=1}^n \|x_i\| \, \|y_i\| \;\Big|\; u = \sum_{i=1}^n x_i \otimes y_i \right\}</math> ဟု အင်ဖီမမ် (infimum) ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math>(X \otimes Y, \|\cdot\|_\pi)</math> ၏ ပြည့်စုံစေခြင်း (completion) ရလဒ်ကို '''[[တန်ဆာ မြှောက်လဒ်|ပရိုဂျက်တစ် တန်ဆာမြှောက်လဒ်]]''' (projective tensor product) ဟု ခေါ်ပြီး <math>X \widehat{\otimes}_\pi Y</math> ဟု ရေးသားဖော်ပြသည်။<ref>Ryan (2002), p. 15.</ref> *<math>u \in X \otimes Y</math> အတွက် '''အင်ဂျက်တစ် ကြက်ခြေခတ် စံနှုန်း''' (injective cross-norm) <math>\varepsilon</math> ကို <math>u = \sum_{i=1}^n x_i \otimes y_i</math> ဖြစ်သည့်အခါ <math display="block">\|u\|_\varepsilon = \sup \left\{ \left| \sum_{i=1}^n f(x_i) g(y_i) \right| \;\Big|\; f \in B_{X'}, \, g \in B_{Y'} \right\}</math> ဟု စူပရီမမ် (supremum) ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math>(X \otimes Y, \|\cdot\|_\varepsilon)</math> ၏ ပြည့်စုံစေခြင်း ရလဒ်ကို '''[[တန်ဆာ မြှောက်လဒ်|အင်ဂျက်တစ် တန်ဆာမြှောက်လဒ်]]''' (injective tensor product) ဟု ခေါ်ပြီး <math>X \widehat{\otimes}_\varepsilon Y</math> ဟု ရေးသားဖော်ပြသည်။<ref>Ryan (2002), p. 45.</ref> ဗလာမဟုတ်သော (non-empty) ကျစ်လျစ်သော ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်း (compact Hausdorff space) <math>K</math> နှင့် ဘာနက် ရပ်ဝန်း <math>Y</math> အတွက် အောက်ပါ ပုံမှန် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းသော [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (canonical isometric isomorphisms) တည်ရှိကြသည် ။ <math display="block">C(K) \widehat{\otimes}_\varepsilon Y \cong C(K, Y), \qquad L^1([0, 1]) \widehat{\otimes}_\pi Y \cong L^1([0, 1], Y)</math><ref>Ryan (2002), pp. 29, 49–50.</ref> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last1=Banach |first1=Stefan |title=Théorie des opérations linéaires |publisher=Monografie Matematyczne |publication-place=Warszawa |date=1932}} * {{Citation |last1=Bourbaki |first1=Nicolas |title=Topological Vector Spaces: Chapters 1–5 |series=Elements of Mathematics |publisher=Springer-Verlag |publication-place=Berlin, New York |date=1987 |isbn=978-3-540-13627-9}} * {{Citation |last1=Carothers |first1=Neal L. |title=A Short Course on Banach Space Theory |series=London Mathematical Society Student Texts |volume=64 |publisher=Cambridge University Press |publication-place=Cambridge |date=2005 |isbn=978-0-521-84283-9}} * {{Citation |last1=Diestel |first1=Joseph |title=Sequences and Series in Banach Spaces |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=92 |publisher=Springer-Verlag |publication-place=New York |date=1984 |isbn=978-0-387-90859-5}} * {{Citation |last1=Enflo |first1=Per |title=A counterexample to the approximation property in Banach spaces |journal=Acta Mathematica |volume=130 |date=1973 |pages=309–317 |doi=10.1007/BF02392270}} * {{Citation |last1=Lindenstrauss |first1=Joram |last2=Tzafriri |first2=Lior |title=Classical Banach Spaces I: Sequence Spaces |series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete |volume=92 |publisher=Springer-Verlag |publication-place=Berlin, Heidelberg |date=1977 |isbn=978-3-540-08072-5}} * {{Citation |last1=Megginson |first1=Robert E. |title=An Introduction to Banach Space Theory |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=183 |publisher=Springer-Verlag |publication-place=New York |date=1998 |isbn=978-0-387-98431-5}} * {{Citation |last1=Narici |first1=Lawrence |last2=Beckenstein |first2=Edward |title=Topological Vector Spaces |edition=2nd |publisher=CRC Press |publication-place=Boca Raton, FL |date=2011 |isbn=978-1-58488-866-6}} * {{Citation |last1=Rudin |first1=Walter |title=Functional Analysis |edition=2nd |publisher=McGraw-Hill |publication-place=New York |date=1991 |isbn=978-0-07-054236-5}} * {{Citation |last1=Ryan |first1=Raymond A. |title=Introduction to Tensor Products of Banach Spaces |series=Springer Monographs in Mathematics |publisher=Springer-Verlag |publication-place=London |date=2002 |isbn=978-1-85233-437-6}} * {{Citation |last1=Wojtaszczyk |first1=Przemysław |title=Banach Spaces for Analysts |series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |volume=25 |publisher=Cambridge University Press |publication-place=Cambridge |date=1991 |isbn=978-0-521-35618-3}} [[ကဏ္ဍ:ဖန်ရှင်နယ်_ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] 0z0a6fsshfqk7532emn1opa8wl16kxj 0 293262 1060751 1059552 2026-10-30T13:45:49Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060751 wikitext text/x-wiki {{Infobox civil conflict | name = ၂၀၂၆ ပြင်သစ် ကျောင်းသား ဆန္ဒပြပွဲများ | partof = [[Gen Z ဆန္ဒပြပွဲများ]] | image = {{Multiple image|border=infobox|perrow=2|total_width=300 | image1 = Paris riots, 17 October 2026 - Firefighters extinguishing a burning car - JJxFile 0048.jpg | image2 = Journée de mobilisation des lycéens à Perpignan 03.jpg | image3 = Ikasleen protesta, Baiona, 2026 2.jpg | image4 = Mouvement lycéen Rennes 2 - Vive la Commune.jpg | image5 = Manifestation du 17 octobre 2026 à Paris 22.jpg | image6 = Paris riots, 17 October 2026 - Crowd breaking into a Chanel boutique - JJxFile 0100.jpg 03.jpg }} | caption = ကျောင်းသား ဆန္ဒပြပွဲများ | alt = Lors de la mobilization, une poubelle a été incendiée par des élèves ne participant pas au blocage. Deux lycéens engagés ont tenté d'éteindre le feu. | date = ၁၈ စက်တင်ဘာ ၂၀၂၆ – လက်ရှိအချိန်အထိ<br />({{Age in days|month1=09|day1=18|year1=2026}} ရက်) | location = [[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]] | causes = ဆရာနှင့် ဝန်ထမ်း အင်အားမလုံလောက်ခြင်း၊ ကျောင်းသားဦးရေ ကြပ်ညပ်များပြားခြင်း၊ အဆောက်အအုံများ ယိုယွင်းပျက်စီးခြင်း၊ အချိန်ဇယားများ လွန်ကဲခြင်း၊ တက္ကသိုလ်ဝင်ခွင့် စနစ်ဖြစ်သော Parcoursup ၏ အားနည်းချက်များ | methods = မီးရှို့မှု၊ ဆန္ဒပြမှုများ၊ ကျောင်းသိမ်း/နေရာယူမှုများ၊ ဖျက်ဆီးမှုများ၊ ဆူပူအကြမ်းဖက်မှုများ၊ ပစ္စည်းလုယက်မှုများ၊ အင်တာနက် တက်ကြွလှုပ်ရှားမှုများ၊ ကျောင်းသား တက်ကြွလှုပ်ရှားမှုများ၊ သပိတ်မှောက်မှုများ | status = ဆက်လက်ဖြစ်ပွားနေဆဲ | casualties1 = '''ဆန္ဒပြသူများ''': ပဲရစ်မြို့၌ ဆန္ဒပြပွဲများအတွင်း နှလုံးရပ်တန့်သွားသူတစ်ဦး သေဆုံးခဲ့ပြီး၊ ရဲတပ်ဖွဲ့က အသေးစိတ်အချက်အလက်များကို ထပ်မံထုတ်ပြန်ခြင်း မရှိပါ။<ref name="Reuters18OctCasualties">{{cite news |title=France faces aftermath of worst unrest in years |url=https://www.reuters.com/world/europe/france-faces-aftermath-worst-unrest-years-2026-10-18/ |work=Reuters |date=18 October 2026}}</ref><ref name="AP18OctCasualties">{{cite news |title=Macron to address nation after riots and looting lead to 1,800 arrests across France |url=https://apnews.com/article/f5ce07c2ef46ad0c02c6ff7018532a59 |work=Associated Press |date=18 October 2026}}</ref> | casualties2 = '''ရဲတပ်ဖွဲ့ဝင်များ''': ပြည်ထဲရေး ဝန်ကြီးဌာန၏ ထုတ်ပြန်ချက်အရ အောက်တိုဘာ ၁၇ ရက်တွင် ရဲတပ်ဖွဲ့ဝင် ၁,၀၀၀ ဒဏ်ရာရရှိခဲ့ပြီး ၎င်းတို့ထဲမှ ၇ ဦးမှာ ဒဏ်ရာပြင်းထန်သည်။<ref name="BBC19OctMacron">{{cite news |last=Burgess |first=Jack |date=18 October 2026 |title=Macron calls for calm and order after riots across France |url=https://www.bbc.com/news/articles/cw240zl08dm5o |access-date=18 October 2026 |work=BBC News}}</ref> ထို့အပြင် အောက်တိုဘာ ၁၇ ရက်နေ့က နန့် (Nantes) မြို့တွင် သီးခြားလုပ်ဆောင်မှု တစ်ခုအတွင်း ကားတိုက်မိခြင်းခံရ၍ ရဲအရာရှိ ၁ ဦး သေဆုံးခဲ့ပြီး၊ အဆိုပါ မော်တော်ယာဉ်မောင်းနှင်သူမှာ ယင်းဖြစ်ရပ်နှင့် ပတ်သက်ဆက်နွှယ်မှု မရှိသူ ဖြစ်သည်။<ref>{{cite news |last=Sarrot |first=Aurélie |last2=Maillochon |first2=Raphaël |title=Nantes : un policier de 22 ans tué après avoir été percuté par une voiture lors d'une intervention |url=https://www.tf1info.fr/justice-faits-divers/nantes-un-policier-de-22-ans-meurt-percute-par-une-voiture-sur-le-peripherique-lors-d-une-intervention-2470477.html |work=TF1 Info |date=17 October 2026 |language=fr}}</ref> | casualties_label = ထိခိုက်ဆုံးရှုံးမှုများ | notes = '''အောက်တိုဘာ ၁၇-၁၈ ရက် ဆန္ဒပြပွဲများအပြီး ဖမ်းဆီးခံရမှုများ:''' ဘီဘီစီ သတင်းဌာန၏ ဖော်ပြချက်အရ ပြည်ထဲရေး ဝန်ကြီးဌာန၏ အဆိုအရ လူ ၂,၄၀၀ ခန့် ဖမ်းဆီးခံခဲ့ရသည်။<ref name="BBC19OctMacron" /> }} '''၂၀၂၆ ပြင်သစ်ကျောင်းသား ဆန္ဒပြပွဲများ'''သည် ၂၀၂၆ ခုနှစ် စက်တင်ဘာ ၁၈ ရက်နေ့မှစ၍ [[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]] [[ပါရီမြို့]] မှစတင်ခဲ့သော အထက်တန်းကျောင်းသားများ၏ ဆန္ဒပြမှုများ ဖြစ်သည်။ဤဆန္ဒပြပွဲများသည် နောက်ပိုင်းတွင် [[ဘယ်လ်ဂျီယမ်နိုင်ငံ|ဘယ်လ်ဂျီယံ]]၊ [[အယ်လ်ဘေးနီးယားနိုင်ငံ|အယ်လ်ဘေးနီးယား]]၊ [[ဂရိနိုင်ငံ|ဂရိ]]နှင့် [[အီတလီနိုင်ငံ]]တို့သို့ပါ ကူးစက်ပြန့်ပွားခဲ့သည်အထိ ဖြစ်ပွားခဲ့သော ဆန္ဒပြပွဲလည်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite news |date=5 October 2026 |title=Blocus des lycées : des manifestations d'élèves dégénèrent dans plusieurs villes de Belgique, dont Liège |url=https://www.leparisien.fr/faits-divers/blocus-des-lycees-des-manifestations-deleves-degenerent-dans-plusieurs-villes-de-belgique-dont-liege-05-10-2026-WSNW7CFBJJFQZEJGKHMZS3TCGE.php |access-date=8 October 2026 |work=Le Parisien |language=fr}}</ref> ပြင်သစ်နိုင်ငံအတွင်း ၂၀၂၆ ခုနှစ် စက်တင်ဘာ ၁၈ ရက်နေ့မှစခဲ့သည့် ဆန္ဒပြပွဲများသည် ၂၀၂၆ ခုနှစ် အောက်တိုဘာ ၆ ရက်နေ့တွင် ကျောင်းသားများ၊ ဆရာ/ဆရာမများ၊ မိဘများနှင့် အလုပ်သမားသမဂ္ဂများ ပါဝင်သည့် တစ်နိုင်ငံလုံးအတိုင်းအတာဖြင့် လှုပ်ရှားမှုအဖြစ်သို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ The Conversation ၏ ဖော်ပြချက်အရ ဤဆန္ဒပြပွဲကို သမဂ္ဂများက တစ်နိုင်ငံလုံးတွင် လူဦးရေ ၄၅၀,၀၀၀ ပါဝင်ခဲ့သည်ဟု ခန့်မှန်းခဲ့ပြီး ပြင်သစ်အစိုးရကမူ ၂၅၀,၀၀၀ ဟု စာရင်းထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2026-10-16 |title=Italian pupils rally nationwide for better school conditions |url=https://www.yahoo.com/news/world/articles/italian-pupils-rally-nationwide-better-150346255.html |access-date=2026-10-18 |publisher=Yahoo News |language=en-US |agency=DPA}}</ref> == နောက်ခံအကြောင်းအရင်းနှင့် ဆန္ဒပြပွဲများ စတင်ပေါ်ပေါက်လာခြင်း == ဆန္ဒပြကြသည့် အကြောင်းအရင်းများသည် ဆရာအင်အား မလုံလောက်မှု၊ စာသင်ခန်းများအတွင်း လူဦးရေ ပြည့်နှက်နေမှု၊ ပင်ပန်းနွမ်းနယ်ဖွယ် အချိန်ဇယားများ၊ ယိုယွင်းပျက်စီးနေသော အဆောက်အအုံများ၊ တက္ကသိုလ်ဝင်ခွင့်စနစ် နှင့် ဆက်စပ်နေသော စိတ်ဖိစီးမှုများနှင့် [[၂၀၂၆ ဥရောပ အပူလှိုင်း]]ဖြတ်သန်းစဉ် စာသင်ခန်းများအတွင်း အပူချိန် ၄၀ ဒီဂရီ စဲလ်စီးယပ်စ် (၁၀၄ ဒီဂရီ ဖာရင်ဟိုက်) အထိ မြင့်မားခဲ့မှုတို့ဖြစ်သည်ဟု ကျောင်းသားများက ထောက်ပြခဲ့ကြသည်။<ref>{{Cite web |last=Chrisafis |first=Angelique |date=2 October 2026 |title=Fires, fury and hundreds of arrests as France gripped by student protests |url=https://www.theguardian.com/world/2026/oct/02/student-protests-shut-schools-across-france |work=The Guardian}}</ref> လှုပ်ရှားမှုသည် စက်တင်ဘာ ၂၁ ရက်နေ့တွင် ပြင်သစ်နိုင်ငံရှိ စာသင်ကျောင်းတစ်ကျောင်းမှ စတင်ခဲ့သည်။ စက်တင်ဘာ ၁၇ ရက်တွင် ဆရာများ သပိတ်မှောက်အပြီး နောက်တစ်နေ့၌ ကျောင်းသားများက ဆန္ဒပြပွဲ စတင်ခဲ့ကြခြင်းဖြစ်သည်။စက်တင်ဘာ ၂၅ ရက်အထိ လှုပ်ရှားမှုသည် ဒေသတွင်း၌သာ ရှိနေသေးသော်လည်း လူမှုကွန်ရက်များမှတစ်ဆင့် အခြားကျောင်းများသို့ ပျံ့နှံ့သွားခဲ့သည်။စက်တင်ဘာ ၂၅ ရက်တွင် ပြင်သစ်ပညာရေးဌာနက ကျောင်း ၁၂ ကျောင်းခန့် ပိတ်ဆို့ခံထားရကြောင်း ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။ ပါရီဒေသရှိ ကျောင်းပေါင်း ၆၀ ခန့်တွင် အနှောင့်အယှက်များ ဖြစ်ပေါ်ခဲ့ပြီး ၁၀ ကျောင်းခန့် အမှန်တကယ် ပိတ်ဆို့ခံခဲ့ရသည်။ USL ဥက္ကဋ္ဌ Rani က ဤလှုပ်ရှားမှုသည် အလွန်လျင်မြန်စွာ ပျံ့နှံ့သွားခဲ့ကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။<ref name="lestradic">{{cite news |last1=Le Stradic |first1=Segolene |date=19 October 2026 |title=The French 14-Year-Old Whose Face Was Maimed by a Tear Gas Grenade |url=https://www.nytimes.com/2026/10/19/world/europe/france-protests-violence-police-response.html |access-date=20 October 2026 |work=The New York Times}}</ref> == နောက်ဆက်တွဲဖြစ်ရပ်များ == အောက်တိုဘာလသို့ ရောက်ရှိချိန်တွင် လှုပ်ရှားမှု၏ အချို့သော အစိတ်အပိုင်းများသည် ရဲတပ်ဖွဲ့နှင့် ကျောင်းအုပ်ကြီးများ အပါအဝင် စီမံခန့်ခွဲရေး ဝန်ထမ်းအချို့အပေါ် အကြမ်းဖက်မှုများ ပြုလုပ်လာခဲ့သည်။ ပြင်သစ် ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန၏ ထုတ်ပြန်ချက်အရ အောက်တိုဘာ ၁ ရက်နေ့ တစ်ရက်တည်းတွင်ပင် လူ ၁,၉၄၉ ဦး ဖမ်းဆီးခံခဲ့ရသည်။ ပြင်သစ်အစိုးရက လက်ဝဲစွန်း အုပ်စုများအား နိုင်ငံရေး အမြတ်ထုတ်ရန်အတွက် မငြိမ်မသက်မှုများကို လှုံ့ဆော်နေသည်ဟု စွပ်စွဲခဲ့သည်။ တစ်ဖက်တွင်လည်း ဆန္ဒပြအဖွဲ့အစည်းများနှင့် ပါတီများက ဤလှုပ်ရှားမှုသည် အလိုအလျောက် ဖြစ်ပေါ်လာခြင်းဖြစ်ကြောင်း ချေပခဲ့ပြီး အစိုးရနှင့် လက်ယာယိမ်းပါတီများသည် ပူးပေါင်းကြံစည်မှု သီအိုရီများကို လျှောက်တွေးနေကြသည်ဟု စွပ်စွဲခဲ့ကြသည်။<ref>{{Cite news |last=Landler |first=Mark |date=2026-10-08 |title=For France's Resurgent Far Left, Student Protests Are an Opening and a Threat |url=https://www.nytimes.com/2026/10/08/world/europe/france-protests-far-left-melenchon.html |access-date=2026-10-08 |work=The New York Times |language=en-US |issn=0362-4331}}</ref> အရွယ်မရောက်သေးသူ အများစုပါဝင်သည့် လူ ၆,၈၀၀ ကျော်ကို ထိန်းသိမ်းခဲ့သော ရဲတပ်ဖွဲ့၏ တုံ့ပြန်မှုကို လူ့အခွင့်အရေး အဖွဲ့အစည်းများက ဝေဖန်ခဲ့ကြသည်။ Amnesty International က အင်အားကို "အချိုးအစားမမျှတသည့် သုံးစွဲခြင်း" ဟု ပြစ်တင်ရှုတ်ချခဲ့ပြီး၊ Human Rights Watch ကလည်း ကလေးငယ်များ ပြင်းထန်စွာ ဒဏ်ရာရရှိခဲ့ကြောင်း အစီရင်ခံခဲ့ကာ၊ ကုလသမဂ္ဂ လူ့အခွင့်အရေးရုံးကလည်း စိုးရိမ်မကင်းဖြစ်ကြောင်း ဖော်ပြ၍ အခြေအနေများ လျှော့ချရန် တောင်းဆိုခဲ့သည်။ အစိုးရဘက်မှမူ ရဲတပ်ဖွဲ့၏ ဖိနှိပ်ချုပ်ချယ်မှု စွပ်စွဲချက်များကို ပယ်ချခဲ့ပြီး ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီး က အရေးယူဆောင်ရွက်မှုများသည် နီးပါးမျှ အချိုးအစားကျညီကြောင်းနှင့် အချို့သော ဆန္ဒပြပွဲများသည် ဆူပူအကြမ်းဖက်မှုများအဖြစ်သို့ ပြောင်းလဲသွားခဲ့ကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |last1=Albertini |first1=Antoine |date=2026-10-02 |title=High school protests spread across France, pitting radical left against government |url=https://www.lemonde.fr/en/france/article/2026/09/29/high-school-protests-spread-across-france-pitting-radical-left-against-government_6758067_7.html |access-date=2026-10-08 |work=Le Monde |language=fr |issn=1950-6244 |last2=Leloup |first2=Damien |last3=Pommiers |first3=Eléa}}</ref> == ယခင် ဆန္ဒပြပွဲများ == ၁၉၉၀ ပြည့်နှစ် ဆောင်းဦးရာသီတွင် အလုပ်သမားလူတန်းစားများနေထိုင်ရာ ပါရီမြို့ပြင်မှ အထက်တန်းကျောင်းသားများသည် ဘေးကင်းလုံခြုံရေး၊ သန့်ရှင်းရေး၊ ဝန်ထမ်းနှင့် ပစ္စည်းကိရိယာ မလုံလောက်မှုတို့အတွက် ဆန္ဒပြခဲ့ကြသည်။ ပါရီတွင် လူ ၁၀၀,၀၀၀ နီးပါးနှင့် တစ်နိုင်ငံလုံးတွင် ၁၅၀,၀၀၀ နီးပါး ပါဝင်ခဲ့ကြသည်။ ပညာရေးဝန်ကြီး Lionel Jospin က အရေးပေါ်အစီအစဉ်နှင့် ပညာရေးဘတ်ဂျက် တိုးမြှင့်ပေးခြင်းဖြင့် တုံ့ပြန်ခဲ့သည်။<ref name="auto4">{{Cite web |date=2026-09-30 |title=Lycées : pourquoi un mouvement lycéen avait déjà forcé l'État à agir en 1990, selon l'historien Claude Lelièvre |url=https://www.hglycee.fr/news/lycees-pourquoi-un-mouvement-lyceen-avait-deja-force-l-etat-a-agir-en-1990/ |access-date=2026-10-02 |website=Hglycee |language=fr |archive-url=https://web.archive.org/web/20261002020505/https://www.hglycee.fr/news/lycees-pourquoi-un-mouvement-lyceen-avait-deja-force-l-etat-a-agir-en-1990/ |archive-date=2 October 2026 |url-status=dead}}</ref> ၂၀၀၅ ခုနှစ် အစောပိုင်းတွင် ကျောင်းသားများနှင့် ဆရာများသည် François Fillon ၏ ပညာရေးစနစ် ပြုပြင်ပြောင်းလဲမှုကို ဆန့်ကျင်ခဲ့ကြသည်။ ကျောင်းသား ၁၅,၀၀၀ မှ ၄၀,၀၀၀ ကြား ပါဝင်ခဲ့ကြပြီး Fillon က နောက်ဆုတ်ကာ ပြုပြင်ပြောင်းလဲမှုကို ရုပ်သိမ်းပေးခဲ့သည်။<ref name=":3">{{Cite news |date=2005-02-11 |title="La réforme Fillon, c'est du favoritisme implicite. On aura un bac 93 et un bac 75" |url=https://www.lemonde.fr/archives/article/2005/02/11/la-reforme-fillon-c-est-du-favoritisme-implicite-on-aura-un-bac-93-et-un-bac-75_397740_1819218.html |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20210411222335/https://www.lemonde.fr/archives/article/2005/02/11/la-reforme-fillon-c-est-du-favoritisme-implicite-on-aura-un-bac-93-et-un-bac-75_397740_1819218.html |archive-date=11 April 2021 |access-date=2026-10-07 |work=Le Monde |language=fr |issn=1950-6244}}</ref> ၂၀၁၈ နွေဦးတွင် ORE ဥပဒေနှင့် Parcoursup စနစ်ကို ဆန့်ကျင်မှုကို တက္ကသိုလ်များက အဓိက ဦးဆောင်ခဲ့သည်။ ဆောင်းဦးတွင် အထက်တန်းကျောင်းသားများသည် Parcoursup နှင့် Jean-Michel Blanquer ၏ ပြုပြင်ပြောင်းလဲမှုကို တစ်ဖန် ပြန်လည်ဆန့်ကျင်ခဲ့ကြပြီး ကျောင်းပေါင်းများစွာ ပိတ်ဆို့ခံခဲ့ရသည်။ သို့သော် Parcoursup စနစ်နှင့် ပြုပြင်ပြောင်းလဲမှုများကို အနည်းငယ် ပြင်ဆင်၍ ဆက်လက်စတင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |date=2 October 2026 |title=Schoolyard protests are setting France ablaze |url=https://www.economist.com/europe/2026/10/02/schoolyard-protests-are-setting-france-ablaze |newspaper=[[The Economist]]}}</ref> == ဖွဲ့စည်းပုံနှင့် ဖြစ်စဉ်များ == အထက်တန်းကျောင်းသားများ သမဂ္ဂ (USL) ၏ စက်တင်ဘာ ၂၉ ရက်နေ့ အရေးဆိုမှုတွင် ဆရာနှင့် ဝန်ထမ်း အင်အား မလုံလောက်မှု၊ ယိုယွင်းပျက်စီးနေသော ကျောင်းအဆောက်အအုံများ၊ စာသင်ချိန်နှင့် အတန်းဝင်ဆံ့မှု လွန်ကဲခြင်းနှင့် Parcoursup တက္ကသိုလ်ဝင်ခွင့်စနစ်ကြောင့် ဖြစ်ရသော စိတ်ဖိစီးမှုဟူသည့် တောင်းဆိုချက် ၄ ခု ပါဝင်ခဲ့သည်။ အောက်တိုဘာ ၂ ရက်တွင် ပညာရေးဝန်ကြီး အဲဒူးဝါးဒ် ဂျက်ဖရေး (Édouard Geffray) နှင့် တွေ့ဆုံပြီးနောက် ကျောင်းသားခေါင်းဆောင်များက အစိုးရ၏ တုံ့ပြန်မှုကို မကျေနပ်ကြောင်း ပြောကြားခဲ့ပြီး ဆန္ဒပြမှုများ ဆက်လက်ပြုလုပ်ရန် တောင်းဆိုခဲ့ကြသည်။ ယင်းလှုပ်ရှားမှုကို အထွေထွေ အလုပ်သမား သမဂ္ဂများ အဖွဲ့ချုပ် (CGT) အပါအဝင် အလုပ်သမား အင်အားစု သမဂ္ဂ (FO)၊ အမျိုးသား သီးခြားလွတ်လပ်သော သမဂ္ဂများ သမဂ္ဂ (UNSA)၊ ပြင်သစ် ဒီမိုကရက်တစ် အလုပ်သမား သမဂ္ဂများ အဖွဲ့ချုပ် (CFDT)၊ ဆောလီးဒဲ မဟာမိတ် သမဂ္ဂ (Solidaires)၊ ပြင်သစ် ခရစ်ယာန် အလုပ်သမားများ အဖွဲ့ချုပ် (CFTC) နှင့် တောင်သူလယ်သမားများ အဖွဲ့ချုပ် (Confédération Paysanne)) တို့နှင့်အတူ ဆရာများသမဂ္ဂများဖြစ်သည့် ညီညွတ်သော သမဂ္ဂများ အဖွဲ့ချုပ် (FSU) နှင့် အမျိုးသား အထက်တန်းနှင့် အလယ်တန်းကျောင်းများ သမဂ္ဂ (SNALC) တို့ကလည်း အားပေးထောက်ခံခဲ့ကြသည်။ စက်တင်ဘာ ၂၈ ရက်တွင် ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီး လော်ရန့် နူးနက်ဇ် က လူ ၁၆၄ ဦး ဖမ်းဆီးခံရပြီး ကျောင်းပေါင်း ၁၈၀ ထိခိုက်ခဲ့ကြောင်း၊ ရဲတပ်ဖွဲ့ဝင်၊ ကျောင်းသားနှင့် ဝန်ထမ်း အများအပြား ဒဏ်ရာရခဲ့ကြောင်း ပြောကြားခဲ့ကာ အသက် ၁၄ နှစ်အရွယ် ကျောင်းသားတစ်ဦးမှာ မျက်ရည်ယိုဗုံး ထိမှန်၍ မေးရိုးကျိုးသွားခဲ့သည်။ စက်တင်ဘာ ၂၉ ရက်၌ ကျောင်းပေါင်း ၄၀၀ ခန့် အနှောင့်အယှက်ဖြစ်ခဲ့ပြီး လူ ၄၄၀ ထိန်းသိမ်းခံခဲ့ရကာ လေးလ် (Lille) မြို့ရှိ ကျောင်းတွင် ရဲတပ်ဖွဲ့က မျက်ရည်ယိုဗုံး သုံးစွဲခဲ့သည်။ စက်တင်ဘာ ၃၀ ရက်တွင်မူ လူ ၆၂၅ ဦး ထိန်းသိမ်းခံရပြီး ကျောင်းပေါင်း ၃၅၆ ကျောင်း ထိခိုက်ကာ ဝန်ထမ်းနှင့် ကျောင်းသား ၁၁၉ ဦး ဒဏ်ရာရရှိခဲ့သည်။ အောက်တိုဘာ ၁ ရက်တွင် တက္ကသိုလ်ကျောင်းသားများသည်လည်း ပိတ်ဆို့မှုများတွင် ပါဝင်လာခဲ့ရာ Sorbonne, Strasbourg, Montpellier, Lyon နှင့် Rennes စသည့် တက္ကသိုလ်ပေါင်း ၃၀ ခန့် ပိတ်ဆို့ခံခဲ့ရသည်။ ညနေပိုင်းတွင် ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာနက ကျောင်းပေါင်း ၁,၀၂၇ ကျောင်း ထိခိုက်ခဲ့ပြီး ၂၂၂ ကျောင်း ပိတ်ဆို့ခံရကာ ၁,၉၄၉ ဦး ဖမ်းဆီးခံရကြောင်း ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။ ဝန်ကြီးချုပ် လီကော်နူး (Lecornu) က အရေးပေါ် အစည်းအဝေး ခေါ်ယူခဲ့ပြီး အစိုးရက လက်ဝဲစွန်းပါတီ LFI က နောက်ကွယ်မှ ကြိုးကိုင်နေသည်ဟု စွပ်စွဲခဲ့သော်လည်း LFI က အစိုးရသည် ပူးပေါင်းကြံစည်မှု သီအိုရီများကို လျှောက်တွေးနေခြင်းဖြစ်ကြောင်း ချေပခဲ့သည်။ ထို့နောက် အောက်တိုဘာ ၂ ရက်တွင် ကျောင်းပေါင်း ၄၀၀ ခန့်ကို အွန်လိုင်းမှ စာသင်ရန် ညွှန်ကြားခဲ့သည်။ အောက်တိုဘာ ၂ ရက်တွင် ပြင်သစ်နိုင်ငံ၏ အထက်တန်းကျောင်း ၃,၇၀၀ အနက် ၄၀၀ ခန့် ပိတ်ထားခဲ့ရပြီး ပါရီအပါအဝင် မြို့များတွင် ကျောင်းပြင်ပ စုဝေးခွင့်များကို ပိတ်ပင်ခဲ့သည်။ သို့သော်လည်း ပါရီမြို့ရှိ ကျောင်းအချို့တွင် အမှိုက်ပုံးများ မီးရှို့ရာမှတစ်ဆင့် အဆောက်အအုံများ မီးစွဲလောင်ခဲ့ပြီး Meaux မြို့ရှိ Henri-Moissan ကျောင်းတွင် မီးလောင်မှုကြောင့် ယူရို သန်းပေါင်းများစွာ ပျက်စီးဆုံးရှုံးခဲ့ကာ Belfort မြို့တွင်လည်း ရဲအရာရှိတစ်ဦး အုပ်စုဖွဲ့ ဝိုင်းဝန်းရိုက်နှက်ခံရ၍ ဆေးရုံတင်ခဲ့ရသည်။ အောက်တိုဘာ ၅ ရက်တွင် ကျောင်းပေါင်း ၄၀၀ မှ ၅၀၀ အထိ ပိတ်ထားခဲ့ရပြီး ကျောင်းပေါင်း ၂၄ ကျောင်း မီးရှို့ခံရခြင်း သို့မဟုတ် ဖျက်ဆီးခံခဲ့ရကြောင်း ပညာရေးဝန်ကြီးက ပြောကြားခဲ့သည်။ Lens မြို့တွင် အသက် ၁၅ နှစ်အရွယ် ကျောင်းသားတစ်ဦးသည် ရဲတပ်ဖွဲ့က ပစ်ပေါက်လိုက်သော လက်ပစ်ဗုံးကို ပြန်ကောက်ပေါက်ရာမှ လက်တွင် ပေါက်ကွဲသွားသဖြင့် လက်တစ်ဖက် ပြတ်ထွက်သွားခဲ့သည်။ အောက်တိုဘာ ၆ ရက်တွင် တတိယမြောက် တစ်နိုင်ငံလုံးအတိုင်းအတာ ဆန္ဒပြပွဲ စတင်ခဲ့ရာ ကျောင်းပေါင်း ၁,၈၀၀ ခန့် ပိတ်ဆို့ခြင်း သို့မဟုတ် ပိတ်ထားခြင်းများ ရှိခဲ့သည်။ အောက်တိုဘာ ၇ ရက်မှ ၁၆ ရက်အတွင်း အတိုက်အခံနှင့် ဆန္ဒပြမှုများ ဆက်လက်ဖြစ်ပွားခဲ့ရာ အောက်တိုဘာ ၇ ရက်တွင် ပြင်သစ်၏ ရဲတပ်ဖွဲ့ ဖိနှိပ်မှုကို ဝေဖန်ခဲ့သည့် အီရန်သံအမတ်ကို ဆင့်ခေါ် သတိပေးခဲ့သည်။ အောက်တိုဘာ ၈ ရက် စတုတ္ထမြောက် ဆန္ဒပြပွဲတွင် ပါဝင်သူ ၇၁,၅၀၀ ဦး ရှိခဲ့ပြီး၊ အောက်တိုဘာ ၁၃ ရက် ပဉ္စမမြောက် ဆန္ဒပြပွဲတွင် လူ ၁၆၁,၅၀၀ ပါဝင်ခဲ့ကာ သဘာဝပတ်ဝန်းကျင် လှုပ်ရှားသူ ဂရီတာ သွန်းဘာဂ် (Greta Thunberg) လည်း ပါဝင်အားဖြည့်ခဲ့သည်။ အောက်တိုဘာ ၁၆ ရက်တွင် ကျောင်းပေါင်း ၁၆၀ ခန့် ပိတ်ဆို့ထားဆဲ ဖြစ်ပြီး စာသင်ကျောင်း သုံးပုံတစ်ပုံခန့် ထိခိုက်ခဲ့သည် အောက်တိုဘာ ၁၇ ရက်တွင် ကျောင်းသားလှုပ်ရှားမှုသည် အဝါရောင်အင်္ကျီ (Yellow vests) လှုပ်ရှားမှုများနှင့် ပေါင်းစည်းကာ ကုန်ဈေးနှုန်းကြီးမားမှုကိုပါ ဆန့်ကျင်ဆန္ဒပြခဲ့ကြသည်။ တစ်နိုင်ငံလုံးတွင် ဆန္ဒပြသူ ၅၅၀,၀၀၀ ခန့် ပါဝင်ခဲ့ပြီး လူ ၁,၂၀၀ ခန့် ဖမ်းဆီးခံရကာ ရဲတပ်ဖွဲ့ဝင် ၁၅၀ ဒဏ်ရာရခဲ့သည်။ Lyon မြို့တွင် ခရီးသွားလုပ်ငန်းရုံး မီးရှို့ခံရပြီး Limoges မြို့တွင် ၁၉ ရာစုနှစ်စတိုင် သမိုင်းဝင် မြို့တော်ခန်းမ (Hôtel de Ville) အဆောက်အအုံ မီးလောင်ကျွမ်းခဲ့သည်။ အောက်တိုဘာ ၁၈ ရက်နှင့် ၁၉ ရက်တို့တွင် တစ်နိုင်ငံလုံး၌ ဖမ်းဆီးခံရသူ ၂,၄၀၀ ဦးအထိ ရှိလာခဲ့ပြီး ရဲတပ်ဖွဲ့ဝင် ၁,၀၀၀ ခန့် ဒဏ်ရာရရှိခဲ့သည်။ သမဂ္ဂများနှင့် ကျောင်းသားများ၏ ဆန္ဒပြမှုများ ပိုမိုကျယ်ပြန့်လာခဲ့ပြီး သမ္မတ [[အီမန်နျူရယ် မက်ခရွန်]] က ပြည်သူသို့ မိန့်ခွန်းပြောကြားရန် ပြင်ဆင်ခဲ့သည်။<ref name="euronews">{{cite news |date=1 October 2026 |title=Hundreds held, dozens wounded as protests over conditions in French schools escalate |url=https://www.euronews.com/2026/10/01/hundreds-held-dozens-wounded-as-protests-over-conditions-in-french-schools-escalate |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20261005101129/https://www.euronews.com/2026/10/01/hundreds-held-dozens-wounded-as-protests-over-conditions-in-french-schools-escalate |archive-date=5 October 2026 |access-date=5 October 2026 |work=Euronews}}</ref> == ကိုးကား == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:၂၀၂၆ ပဋိပက္ခများ]] [[ကဏ္ဍ:၂၀၂၆ ခုနှစ် ဆန္ဒပြပွဲများ]] [[ကဏ္ဍ:ပြင်သစ်နိုင်ငံရှိ ဆန္ဒပြပွဲများ]] [[ကဏ္ဍ:ဥရောပတိုက်ရှိ Gen Z ဆန္ဒပြပွဲများ]] a9z1t7wldwe4i5xk3zqz6mtkcwbcaem 0 293308 1060821 1059785 2026-10-31T06:29:04Z Ninjastrikers 22896 Restored revision 1059759 by [[Special:Contributions/နေနီဝန်း|နေနီဝန်း]] ([[User talk:နေနီဝန်း|talk]]) (TwinkleGlobal) 1060821 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[တက္ကသိုလ်ဝင်စာမေးပွဲ]] oo8adzvuwpzzjb5vqhy7od6yotvt3n0 0 293311 1060774 1059985 2026-10-30T17:22:44Z Ninjastrikers 22896 cleanup, remove social links 1060774 wikitext text/x-wiki {{ref improve}} {{Infobox person | name = စမ်းရေမိုး | native_name = သန်းဇော်ထွေး | birth_date = {{Birth date and age|1995|7|18}} | birth_place = [[ကသာမြို့]] | alma_mater = [[အမျိုးသားယဉ်ကျေးမှုနှင့်အနုပညာတက္ကသိုလ်(မန္တလေး)|အမျိုးသား ယဉ်ကျေးမှုနှင့် အနုပညာ တက္ကသိုလ် (မန္တလေး)]] | occupation = ဇာတ်မင်းသား၊ သဘင်အနုပညာရှင် | years_active = ၂၀၂၅-လက်ရှိ | organization = စမ်းရေမိုး ဇာတ်သဘင် | known_for = မယ်အောင်ဗလ အက၊ မာယာဒေဝီ တေးအော်ပရာ }} '''စမ်းရေမိုး''' (၁၈ ဇူလိုင် ၁၉၉၅ မွေးဖွား) သည် လင်္ကာဒီပ အနုပညာအင်အားစုမှ ပျိုးထောင်ပေးထားသော "စမ်းရေမိုး ဇာတ်သဘင်" အဖွဲ့၏ ခေါင်းဆောင်မင်းသား ဖြစ်သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် ပညာရေး == စမ်းရေမိုး (အမည်ရင်း သန်းဇော်ထွေး)ကို ၁၉၉၅ ခုနှစ် ဇူလိုင်လ ၁၈ ရက် နေ့တွင် ဖခင် ဦးမောင်ညို နှင့် မိခင် ဒေါ်သေးတို့မှ မွေးဖွားခဲ့ပြီး အငယ်ဆုံးသားဖြစ်သည်။ စမ်းရေမိုး သည် [[အမျိုးသားယဉ်ကျေးမှုနှင့်အနုပညာတက္ကသိုလ်(မန္တလေး)|မန္တလေး ယဉ်ကျေးမှုအနုပညာတက္ကသိုလ်]] ကျောင်းဆင်း တစ်ဦးဖြစ်သည်။ == ဇာတ်သဘင် ခရီးလမ်း == စမ်းရေမိုးသည် ငယ်စဉ်ကတည်းကပင် အနုပညာကို ဝါသနာပါသူတစ်ဦး ဖြစ်သည်။ ဇာတ်သဘင်လောကသို့ စတင်ဝင်ရောက်ချိန်တွင် တင်မောင်ဆန်းမင်းဝင်း ဇာတ်အဖွဲ့၌ ယိမ်းမင်းသားဘဝဖြင့် (၂) နှစ်၊ လက်ထောက်မင်းသားဘဝဖြင့် (၃) နှစ်တိုင်တိုင် ပါဝင်ကပြခဲ့သည်။စမ်းရေမိုး အမည်ကို ဇာတ်ဆရာ တင်မောင်ဆန်းမင်းဝင်း က ပေးခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ထို့နောက် တင်မောင်ဆန်းမင်းဝင်း ၏ ဇာတ်အဖွဲ့၌ တစ်ညလျှင် ညကြေး ကျပ် ၁၅,၀၀၀ ဖြင့် ဆက်လက်ကပြဖျော်ဖြေခဲ့ရသည်။<ref name="MQ15000">{{cite web |title=တစ်ည(၁၅၀၀၀)နဲ့ကရင်း ဘဝစခဲ့တဲ့ “စမ်းရေမိုး” |url=https://mediaqueenmm.com/video/%E1%80%90%E1%80%85%E1%80%BA%E1%80%8A%E1%81%81%E1%81%85%E1%81%80%E1%81%80%E1%81%80%E1%80%94%E1%80%B2%E1%80%B7%E1%80%80%E1%80%9B%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%B8-%E1%80%98%E1%80%9D%E1%80%85%E1%80%81/ |website=Media Queen |date=2026-01-21 |language=my }}</ref> အနုပညာခရီးလမ်းအစတွင် မိုးရွာထဲတွင်ပင် မဆုတ်မနစ် ကပြဖျော်ဖြေခဲ့ရပြီး အခက်အခဲများစွာကို ကျော်ဖြတ်ခဲ့ရသည်။ === နှစ်အလိုက် အနုပညာလှုပ်ရှားမှုများ === ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဩဂုတ်လ ၃၁ ရက်တွင် လင်္ကာဒီပ အနုပညာအင်အားစုက တည်ထောင်သည့် စမ်းရေမိုးဇာတ်သဘင်၏ Live Show အခမ်းအနားကို ရန်ကုန်မြို့၊ တောင်ဒဂုံမြို့နယ်ရှိ လင်္ကာဒီပ Studio တွင် ကျင်းပခဲ့ပြီး ခေါင်းဆောင်မင်းသားအဖြစ် ကပြဖျော်ဖြေခဲ့သည်။<ref name="MCShow">{{cite web |title=လင်္ကာဒီပ ပျိုးထောင်တဲ့ စမ်းရေမိုး ရဲ့ ဇာတ်သဘင် Live Show |url=https://www.myanmarcelebrity.com/2025/09/live-show.html |website=Myanmar Celebrity |date=2025-09-09 |language=my }}</ref>၂၀၂၆ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလတွင် ရန်ကုန်မြို့၊ သင်္ဃန်းကျွန်းမြို့နယ်ရှိ ကျိုက်ဒေးရုံ အာနန္ဒာဘုရားတွင် ကျင်းပသော ဇာတ်ပွဲ၌ ကပြဖျော်ဖြေခဲ့ရာမှတဆင့် လူအများ၏ အားပေးခြင်းကို ခံခဲ့ရသည်။<ref name="MCKyaik">{{cite web |title=ကျိုက်ဒေးရုံမှာ ကပြ ဖျော်ဖြေခဲ့တဲ့ စမ်းရေမိုး |url=https://www.myanmarcelebrity.com/2026/01/blog-post_16.html |website=Myanmar Celebrity |date=2026-01-16 |language=my }}</ref> ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဧပြီလ ၂၃ ရက် တွင် မန္တလေးမြို့၌ ပရိသတ်နှင့် တွေ့ဆုံသည့် Fan Meeting တစ်ခုကို ကျင်းပခဲ့သည်။<ref name="MCFan">{{cite web |title=ရွှေမန်းမြေက ပရိသတ်တွေ နဲ့ ဆုံဆည်းခဲ့တဲ့ စမ်းရေမိုး |url=https://www.myanmarcelebrity.com/2026/04/blog-post_648.html |website=Myanmar Celebrity |date=2026-04-29 |language=my}}</ref> === မွေးနေ့အထိမ်းအမှတ် ဇာတ်သဘင်ကပွဲ === စမ်းရေမိုးသည် ၎င်း၏ မွေးနေ့အထိမ်းအမှတ်အဖြစ် "စီလနှင့်အတူ စမ်းရေမိုးမွေးနေ့ကပွဲ" ဇာတ်သဘင်ဖျော်ဖြေပွဲကြီးကို ရန်ကုန်မြို့ရှိ အမျိုးသားဇာတ်ရုံ၌ ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဇူလိုင်လ ၁၅ ရက်မှ ၁၈ ရက်အထိ စီစဉ်တင်ဆက်ခဲ့သည်။ အဆိုပါ မွေးနေ့ကပွဲတွင် မြန်မာ့ရိုးရာ သဘင်အနုပညာ အကအလှများ၊ ဇာတ်ထုပ်ကြီးများနှင့် တေးသီချင်းများကို ဖျော်ဖြေတင်ဆက်ခဲ့သည်။<ref name="PJBirthday">{{cite web |title=ချစ်ရတဲ့ ပရိသတ်တွေနဲ့အတူ မွေးနေ့ပွဲကို ပျော်ပျော်ရွှင်ရွှင်ကျင်းပခဲ့တဲ့ စမ်းရေမိုး |url=https://www.youtube.com/watch?v=R63driFzEFg |website=Popular Journal |date=2026-07-18 |language=my }}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} {{Lifetime|၁၉၉၅| }} [[Category:၁၉၉၅ မွေးဖွားသူများ]] [[Category:မြန်မာ ဇာတ်မင်းသားများ]] {{Myanmar-bio-stub}} n20hzci3hh7i34prth54kpwq6v3di6t 0 293339 1060772 1059834 2026-10-30T17:18:40Z Ninjastrikers 22896 +ref improve, stub 1060772 wikitext text/x-wiki {{ref improve}} {{Infobox person | name = အောင်ဇမ္ဗူ (ဇာတ်မင်းသား) | native_name = အေးမင်းဦး | birth_date = {{Birth date and age|1999|11|9}} | birth_place = [[အစဲ|အစဲကျေးရွာ]]၊ [[ကျောက်တန်းမြို့နယ်]] | alma_mater = [[အမျိုးသားယဉ်ကျေးမှုနှင့်အနုပညာတက္ကသိုလ်(ရန်ကုန်)]] | occupation = ဇာတ်မင်းသား၊ သဘင်အနုပညာရှင် | years_active = ၂၀၂၅ - လက်ရှိ | organization = အောင်ဇမ္ဗူ ဇာတ်သဘင် | known_for = }} '''အောင်ဇမ္ဗူ (ဇာတ်မင်းသား)''' (၉ နိုဝင်ဘာ ၁၉၉၉ မွေးဖွား) သည် မြန်မာဇာတ်မင်းသားတစ်ဦး နှင့် ရုပ်ရှင်သရုပ်ဆောင် တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် ပညာရေး == အောင်ဇမ္ဗူ (ဇာတ်မင်းသား)၏ အမည်အရင်းမှာ အေးမင်းဦး ဖြစ်သည်။[[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး|ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး၊]][[ကျောက်တန်းမြို့နယ်]]၊[[အစဲ|အစဲကျေးရွာ]] တွင် မွေးဖွားခဲ့ပြီး မိဘများမှာ တောင်သူမျိုးရိုး ဖြစ်သည်။မောင်နှမ ၂ ဦးအနက် အကြီးဆုံးသား ဖြစ်သည်။ ကျောက်တန်းမြို့ အခြေခံပညာအထက်တန်းကျောင်းမှ [[တက္ကသိုလ်ဝင်တန်းစာမေးပွဲ]] အောင်မြင်ခဲ့ပြီးနောက် [[အမျိုးသားယဉ်ကျေးမှုနှင့်အနုပညာတက္ကသိုလ်(ရန်ကုန်)|အမျိုးသားယဥ်ကျေးမှုနှင့်အနုပညာတက္ကသိုလ် (ရန်ကုန်)]] သို့ တက်ရောက်ခဲ့ကာ ဘွဲ့ရရှိခဲ့သည်။ == ဇာတ်မင်းသားဘဝ == ၂၀၂၅ ခုနှစ် တွင် အောင်ဇမ္ဗူဇာတ်သဘင် ကို တည်ထောင်၍ ခေါင်းဆောင်ဇာတ်မင်းသား အဖြစ် မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်လောက တွင် စတင်ရပ်တည်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=NP News |url=https://www.npnewsmm.com/news/69a2c646abd66a603216166b |access-date=2026-10-23 |website=www.npnewsmm.com}}</ref> == အနုပညာလှုပ်ရှားမှုများ == ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဇွန်လ ၁၂ ရက်နေ့တွင် ရုံတင်ပြသခဲ့သည့် အငြိုးအတေး ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားဖြင့် သရုပ်ဆောင် အဖြစ်ပါ ရပ်တည်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Myanmar Movie Trailers |date=2026-06-06 |title=အငြိုးအတေး ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားကြီး OFFICIAL TRAILER |url=https://www.youtube.com/watch?v=6eCcfFKFEKk |access-date=2026-10-23}}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} {{Lifetime|၁၉၉၉| }} [[Category:၁၉၉၉ မွေးဖွားသူများ]] [[Category:မြန်မာ ဇာတ်မင်းသားများ]] [[Category:မြန်မာ အမျိုးသား သရုပ်ဆောင်များ]] {{Myanmar-bio-stub}} 1mulv6i62xi3x44d6yathxwlb3e2h1j 1060773 1060772 2026-10-30T17:18:56Z Ninjastrikers 22896 /* အနုပညာလှုပ်ရှားမှုများ */ 1060773 wikitext text/x-wiki {{ref improve}} {{Infobox person | name = အောင်ဇမ္ဗူ (ဇာတ်မင်းသား) | native_name = အေးမင်းဦး | birth_date = {{Birth date and age|1999|11|9}} | birth_place = [[အစဲ|အစဲကျေးရွာ]]၊ [[ကျောက်တန်းမြို့နယ်]] | alma_mater = [[အမျိုးသားယဉ်ကျေးမှုနှင့်အနုပညာတက္ကသိုလ်(ရန်ကုန်)]] | occupation = ဇာတ်မင်းသား၊ သဘင်အနုပညာရှင် | years_active = ၂၀၂၅ - လက်ရှိ | organization = အောင်ဇမ္ဗူ ဇာတ်သဘင် | known_for = }} '''အောင်ဇမ္ဗူ (ဇာတ်မင်းသား)''' (၉ နိုဝင်ဘာ ၁၉၉၉ မွေးဖွား) သည် မြန်မာဇာတ်မင်းသားတစ်ဦး နှင့် ရုပ်ရှင်သရုပ်ဆောင် တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် ပညာရေး == အောင်ဇမ္ဗူ (ဇာတ်မင်းသား)၏ အမည်အရင်းမှာ အေးမင်းဦး ဖြစ်သည်။[[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး|ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး၊]][[ကျောက်တန်းမြို့နယ်]]၊[[အစဲ|အစဲကျေးရွာ]] တွင် မွေးဖွားခဲ့ပြီး မိဘများမှာ တောင်သူမျိုးရိုး ဖြစ်သည်။မောင်နှမ ၂ ဦးအနက် အကြီးဆုံးသား ဖြစ်သည်။ ကျောက်တန်းမြို့ အခြေခံပညာအထက်တန်းကျောင်းမှ [[တက္ကသိုလ်ဝင်တန်းစာမေးပွဲ]] အောင်မြင်ခဲ့ပြီးနောက် [[အမျိုးသားယဉ်ကျေးမှုနှင့်အနုပညာတက္ကသိုလ်(ရန်ကုန်)|အမျိုးသားယဥ်ကျေးမှုနှင့်အနုပညာတက္ကသိုလ် (ရန်ကုန်)]] သို့ တက်ရောက်ခဲ့ကာ ဘွဲ့ရရှိခဲ့သည်။ == ဇာတ်မင်းသားဘဝ == ၂၀၂၅ ခုနှစ် တွင် အောင်ဇမ္ဗူဇာတ်သဘင် ကို တည်ထောင်၍ ခေါင်းဆောင်ဇာတ်မင်းသား အဖြစ် မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်လောက တွင် စတင်ရပ်တည်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=NP News |url=https://www.npnewsmm.com/news/69a2c646abd66a603216166b |access-date=2026-10-23 |website=www.npnewsmm.com}}</ref> == အနုပညာလှုပ်ရှားမှုများ == ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဇွန်လ ၁၂ ရက်နေ့တွင် ရုံတင်ပြသခဲ့သည့် ''အငြိုးအတေး'' ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားဖြင့် သရုပ်ဆောင် အဖြစ်ပါ ရပ်တည်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Myanmar Movie Trailers |date=2026-06-06 |title=အငြိုးအတေး ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားကြီး OFFICIAL TRAILER |url=https://www.youtube.com/watch?v=6eCcfFKFEKk |access-date=2026-10-23}}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} {{Lifetime|၁၉၉၉| }} [[Category:၁၉၉၉ မွေးဖွားသူများ]] [[Category:မြန်မာ ဇာတ်မင်းသားများ]] [[Category:မြန်မာ အမျိုးသား သရုပ်ဆောင်များ]] {{Myanmar-bio-stub}} o63pj6ego90nagk3rgac2qd64vx1wpy 0 293512 1060768 1060420 2026-10-30T17:15:01Z Ninjastrikers 22896 1060768 wikitext text/x-wiki {{Ref improve}} '''ပြင်ဦးလွင် ၁၉ မိုင် မီးသတ်ကွေ့''' သည် [[မန္တလေးမြို့|မန္တလေး]] - [[လားရှိုးမြို့|လားရှိုး]] အဝေးပြေးလမ်းမကြီး (ပြင်ဦးလွင် တောင်တက်အဆင်းလမ်း) မိုင်တိုင်အမှတ်၁၉ ၊ [[၂၁-မိုင်ရွာ၊ ပြင်ဦးလွင်မြို့နယ်|၂၁-မိုင်ရွာ]]အနီးတွင် တည်ရှိသော ထင်ရှားသည့် လမ်းကွေ့တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ လမ်းကွေ့သည် လမ်းအကွေ့အကောက် ဆိုးရွားပြီး လျှောစက်ပြင်းထန်သဖြင့် ခရီးသည်တင် မော်တော်ယာဉ်များနှင့် ကုန်တင်ယာဉ်များ မကြာခဏ ဘရိတ်ပေါက် တိမ်းမှောက်လေ့ရှိပြီး လူအစုလိုက်အပြုံလိုက် ယာဉ်မတော်တဆမှုများ မကြာခဏ အဖြစ်များသော နေရာတစ်ခုအဖြစ် လူသိများသည်။<ref name="Eleven-PyinOoLwin-2026">{{cite web |title=ပြင်ဦးလွင် - မန္တလေး အဆင်းလမ်း မိုင်တိုင်အမှတ် ၁၉ မီးသတ်ကွေ့တွင် နယူးမန္တလာထွန်း ခရီးသည်တင်ယာဉ် ချောက်ထဲကျကာ ခြောက်ဦး သေဆုံး |url=https://news-eleven.com/article/316328 |website=Eleven Media Group |date=၂၄ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ |language=my |access-date=၂၈ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ }}</ref><ref>{{cite web |title=သီတင်းကျွတ်ကာလ ယာဉ်တိုက်မှု၊ မီးလောင်မှုတွေ |url=https://www.ludunwayoo.com/feature-mm/2026/10/28/171920/ |website=LuduNwayOo |author=ထွန်းညိုဦး |date=၂၈ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ |language=my |access-date=၂၈ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ }}</ref> == သမိုင်းဖြစ်ရပ်များ == ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ်၊ ဩဂုတ်လတုန်းက ပြင်ဦးလွင်မြို့ရှိ ဗဟိုဝန်ထမ်းတက္ကသိုလ်နှင့် မီးသတ်သင်တန်းကျောင်းတို့မှ သင်တန်းဆင်းလာကြသည့် မီးသတ်ဝန်ထမ်းများ၊ ရဲဝန်ထမ်းအချို့ကို မန္တလေးဘူတာသို့ ပို့ဆောင်ပေးရန် ပြင်ဦးလွင်မှ မန္တလေးသို့ ဆင်းလာသည့် မော်တော်ယာဉ်သည် မန္တလေး-လားရှိုး အဝေးပြေးလမ်းမကြီး မိုင်တိုင်အမှတ် ၁၉ အရောက်တွင် ဘရိတ်ပေါက်ကာ တိမ်းမှောက်မှု ဖြစ်ပွားခဲ့သည်။ အဆိုပါ ကြောက်မက်ဖွယ် မတော်တဆမှုကြောင့် ယာဉ်ပေါ်ပါ မီးသတ်ရဲဘော်များနှင့် ရဲဝန်ထမ်း စုစုပေါင်း လူ ၄၂ ဦးအထိ အသက်ဆုံးရှုံးခဲ့ရသည်။ ထိုသို့ မီးသတ်ဝန်ထမ်းများစွာ စေတနာ့ဝန်ထမ်း တာဝန်ထမ်းဆောင်ရင်း ထိခိုက်သေဆုံးခဲ့ရသည့် ဝမ်းနည်းဖွယ် ဖြစ်စဉ်ကြီးကို အစွဲပြု၍ ထိုစဉ်ကတည်းကပင် အဆိုပါ လမ်းကွေ့အား "မီးသတ်ကွေ့" ဟု အမည်တွင် ခေါ်ဝေါ်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ မတော်တဆမှုကြီးပြီးနောက်ပိုင်းတွင် မီးသတ်ကွေ့၌ ညဘက် ကားပျက်နေပါက လူများ ရောက်လာပြီး ကူတွန်းပေးခြင်း၊ ဒုက္ခရောက်နေသော ခရီးသည်များကို ကူညီပေးခြင်းနှင့် ကူတွန်းပေးပြီးနောက် ၂၁ မိုင်ရွာအနီးအရောက် ကားရပ်ပေးသည့်အခါ လိုက်ပါလာသူများ မရှိတော့ခြင်း စသည့် သဘာဝလွန် ဖြစ်ရပ်ဆန်းများ ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ သို့သော် ဒေသခံများ၏ အဆိုအရ ထိုသို့ ခြောက်လှန့်မှုများရှိသည်ဆိုသော်လည်း ခရီးသွားများကို ဒုက္ခမပေးဘဲ ကူညီတတ်ကြသည်ဟု ယုံကြည်ကြသည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ကွယ်လွန်သူ မီးသတ်ရဲဘော်ကြီးများအတွက် ရည်စူး၍ ကုသိုလ်ကောင်းမှုများ ပြုလုပ်ပေးခြင်း၊ လွမ်းစေတီတစ်ဆူ တည်ထားပေးခဲ့ခြင်းတို့ ကြောင့် ဖြစ်စဉ်များ တဖြည်းဖြည်း နည်းပါးသွားခဲ့သော်လည်း ဖြတ်သန်းသွားလာသူများက ဘဝခြားသော်လည်း တာဝန်သိတတ်သည့် မီးသတ်ရဲဘော်များကို သတိရကာ မေတ္တာပို့ အမျှဝေ ဆုတောင်းပေးလေ့ရှိသည်။<ref name="BBC-PyinOoLwin-2026">{{cite web |title=ပြင်ဦးလွင် မီးသတ်ကွေ့ ယာဉ်တိုက်မှုနောက်ဆက်တွဲ |url=https://www.facebook.com/share/v/1FnN67S981/ |website=BBC News မြန်မာ |date=၂၈ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ |language=my |access-date=၂၈ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ }}</ref> ===၂၀၂၆ ခုနှစ် ယာဉ်မတော်တဆမှု === ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ အောက်တိုဘာလ ၂၄ ရက် ညနေ ၆ နာရီဝန်းကျင်နှင့် ည ၇ နာရီခန့်တွင် ပြင်ဦးလွင်မှ မန္တလေးသို့ မောင်းနှင်လာသော "နယူးမန္တလာထွန်း" ခရီးသည်တင်ယာဉ် (YU TONG Express) သည် မိုင်တိုင်အမှတ် ၁၉ မီးသတ်ကွေ့အရောက်၌ ဘရိတ်ပေါက်ကာ အရှိန်မထိန်းနိုင်ဘဲ မန္တလေးမှ ပြင်ဦးလွင်သို့ မောင်းနှင်လာသော Nissan Wingroad အငှားယာဉ်ငယ်အား ဝင်ရောက်တိုက်မိခဲ့ပြီး ပေ ၅၀ ခန့်အနက်ရှိသော လမ်းဘေးချောက်အတွင်းသို့ ထိုးကျတိမ်းမှောက်ခဲ့သည်။ အဆိုပါ ယာဉ်တိုက်မှုကြောင့် အငှားယာဉ်မောင်း၊ ကားကြီးပေါ်ပါ ယာဉ်မောင်း၊ ခရီးသည် ၈ ဦးနှင့် အခြားတစ်ဦး အပါအဝင် လူတစ်ဒါဇင်နီးပါး သေဆုံးခဲ့ပြီး၊ ခရီးသည်များအနက် ထိခိုက်ဒဏ်ရာရရှိသူ ၁၂ ဦးကို မန္တလေးပြည်သူ့ဆေးရုံကြီးနှင့် ပြင်ဦးလွင်မြို့နယ် ပြည်သူ့ဆေးရုံသို့ ပို့ဆောင်ကုသပေးခဲ့သည်။လူအစုလိုက်အပြုံလိုက် ယာဉ်မတော်တဆမှုများ ထပ်မံမဖြစ်ပွားစေရန်အတွက် အဆိုပါ မီးသတ်ကွေ့လမ်းပိုင်းကို စနစ်တကျ ပြင်ဆင်မှုများပြုလုပ်ပေးရန် ဝါရင့်အင်ဂျင်နီယာများနှင့် ကျွမ်းကျင်သူများက တာဝန်ရှိသူများကို တိုက်တွန်းတောင်းဆိုလျက်ရှိသည်။<ref name="BBC-PyinOoLwin-2026" /><ref name="Eleven-PyinOoLwin-2026" /> == ကိုးကား == {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:ယာဉ်မတော်တဆမှုများ]] k849fk2e0rh00v6030oqmgeb2ik0s6k 1060769 1060768 2026-10-30T17:15:19Z Ninjastrikers 22896 [[commons:Help:Gadget-HotCat|HotCat]]ကို အသုံးပြု၍ [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ လမ်းမကြီးများ]]ကို ပေါင်းထည့်ခဲ့သည် 1060769 wikitext text/x-wiki {{Ref improve}} '''ပြင်ဦးလွင် ၁၉ မိုင် မီးသတ်ကွေ့''' သည် [[မန္တလေးမြို့|မန္တလေး]] - [[လားရှိုးမြို့|လားရှိုး]] အဝေးပြေးလမ်းမကြီး (ပြင်ဦးလွင် တောင်တက်အဆင်းလမ်း) မိုင်တိုင်အမှတ်၁၉ ၊ [[၂၁-မိုင်ရွာ၊ ပြင်ဦးလွင်မြို့နယ်|၂၁-မိုင်ရွာ]]အနီးတွင် တည်ရှိသော ထင်ရှားသည့် လမ်းကွေ့တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ လမ်းကွေ့သည် လမ်းအကွေ့အကောက် ဆိုးရွားပြီး လျှောစက်ပြင်းထန်သဖြင့် ခရီးသည်တင် မော်တော်ယာဉ်များနှင့် ကုန်တင်ယာဉ်များ မကြာခဏ ဘရိတ်ပေါက် တိမ်းမှောက်လေ့ရှိပြီး လူအစုလိုက်အပြုံလိုက် ယာဉ်မတော်တဆမှုများ မကြာခဏ အဖြစ်များသော နေရာတစ်ခုအဖြစ် လူသိများသည်။<ref name="Eleven-PyinOoLwin-2026">{{cite web |title=ပြင်ဦးလွင် - မန္တလေး အဆင်းလမ်း မိုင်တိုင်အမှတ် ၁၉ မီးသတ်ကွေ့တွင် နယူးမန္တလာထွန်း ခရီးသည်တင်ယာဉ် ချောက်ထဲကျကာ ခြောက်ဦး သေဆုံး |url=https://news-eleven.com/article/316328 |website=Eleven Media Group |date=၂၄ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ |language=my |access-date=၂၈ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ }}</ref><ref>{{cite web |title=သီတင်းကျွတ်ကာလ ယာဉ်တိုက်မှု၊ မီးလောင်မှုတွေ |url=https://www.ludunwayoo.com/feature-mm/2026/10/28/171920/ |website=LuduNwayOo |author=ထွန်းညိုဦး |date=၂၈ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ |language=my |access-date=၂၈ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ }}</ref> == သမိုင်းဖြစ်ရပ်များ == ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ်၊ ဩဂုတ်လတုန်းက ပြင်ဦးလွင်မြို့ရှိ ဗဟိုဝန်ထမ်းတက္ကသိုလ်နှင့် မီးသတ်သင်တန်းကျောင်းတို့မှ သင်တန်းဆင်းလာကြသည့် မီးသတ်ဝန်ထမ်းများ၊ ရဲဝန်ထမ်းအချို့ကို မန္တလေးဘူတာသို့ ပို့ဆောင်ပေးရန် ပြင်ဦးလွင်မှ မန္တလေးသို့ ဆင်းလာသည့် မော်တော်ယာဉ်သည် မန္တလေး-လားရှိုး အဝေးပြေးလမ်းမကြီး မိုင်တိုင်အမှတ် ၁၉ အရောက်တွင် ဘရိတ်ပေါက်ကာ တိမ်းမှောက်မှု ဖြစ်ပွားခဲ့သည်။ အဆိုပါ ကြောက်မက်ဖွယ် မတော်တဆမှုကြောင့် ယာဉ်ပေါ်ပါ မီးသတ်ရဲဘော်များနှင့် ရဲဝန်ထမ်း စုစုပေါင်း လူ ၄၂ ဦးအထိ အသက်ဆုံးရှုံးခဲ့ရသည်။ ထိုသို့ မီးသတ်ဝန်ထမ်းများစွာ စေတနာ့ဝန်ထမ်း တာဝန်ထမ်းဆောင်ရင်း ထိခိုက်သေဆုံးခဲ့ရသည့် ဝမ်းနည်းဖွယ် ဖြစ်စဉ်ကြီးကို အစွဲပြု၍ ထိုစဉ်ကတည်းကပင် အဆိုပါ လမ်းကွေ့အား "မီးသတ်ကွေ့" ဟု အမည်တွင် ခေါ်ဝေါ်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ မတော်တဆမှုကြီးပြီးနောက်ပိုင်းတွင် မီးသတ်ကွေ့၌ ညဘက် ကားပျက်နေပါက လူများ ရောက်လာပြီး ကူတွန်းပေးခြင်း၊ ဒုက္ခရောက်နေသော ခရီးသည်များကို ကူညီပေးခြင်းနှင့် ကူတွန်းပေးပြီးနောက် ၂၁ မိုင်ရွာအနီးအရောက် ကားရပ်ပေးသည့်အခါ လိုက်ပါလာသူများ မရှိတော့ခြင်း စသည့် သဘာဝလွန် ဖြစ်ရပ်ဆန်းများ ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ သို့သော် ဒေသခံများ၏ အဆိုအရ ထိုသို့ ခြောက်လှန့်မှုများရှိသည်ဆိုသော်လည်း ခရီးသွားများကို ဒုက္ခမပေးဘဲ ကူညီတတ်ကြသည်ဟု ယုံကြည်ကြသည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ကွယ်လွန်သူ မီးသတ်ရဲဘော်ကြီးများအတွက် ရည်စူး၍ ကုသိုလ်ကောင်းမှုများ ပြုလုပ်ပေးခြင်း၊ လွမ်းစေတီတစ်ဆူ တည်ထားပေးခဲ့ခြင်းတို့ ကြောင့် ဖြစ်စဉ်များ တဖြည်းဖြည်း နည်းပါးသွားခဲ့သော်လည်း ဖြတ်သန်းသွားလာသူများက ဘဝခြားသော်လည်း တာဝန်သိတတ်သည့် မီးသတ်ရဲဘော်များကို သတိရကာ မေတ္တာပို့ အမျှဝေ ဆုတောင်းပေးလေ့ရှိသည်။<ref name="BBC-PyinOoLwin-2026">{{cite web |title=ပြင်ဦးလွင် မီးသတ်ကွေ့ ယာဉ်တိုက်မှုနောက်ဆက်တွဲ |url=https://www.facebook.com/share/v/1FnN67S981/ |website=BBC News မြန်မာ |date=၂၈ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ |language=my |access-date=၂၈ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ }}</ref> ===၂၀၂၆ ခုနှစ် ယာဉ်မတော်တဆမှု === ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ အောက်တိုဘာလ ၂၄ ရက် ညနေ ၆ နာရီဝန်းကျင်နှင့် ည ၇ နာရီခန့်တွင် ပြင်ဦးလွင်မှ မန္တလေးသို့ မောင်းနှင်လာသော "နယူးမန္တလာထွန်း" ခရီးသည်တင်ယာဉ် (YU TONG Express) သည် မိုင်တိုင်အမှတ် ၁၉ မီးသတ်ကွေ့အရောက်၌ ဘရိတ်ပေါက်ကာ အရှိန်မထိန်းနိုင်ဘဲ မန္တလေးမှ ပြင်ဦးလွင်သို့ မောင်းနှင်လာသော Nissan Wingroad အငှားယာဉ်ငယ်အား ဝင်ရောက်တိုက်မိခဲ့ပြီး ပေ ၅၀ ခန့်အနက်ရှိသော လမ်းဘေးချောက်အတွင်းသို့ ထိုးကျတိမ်းမှောက်ခဲ့သည်။ အဆိုပါ ယာဉ်တိုက်မှုကြောင့် အငှားယာဉ်မောင်း၊ ကားကြီးပေါ်ပါ ယာဉ်မောင်း၊ ခရီးသည် ၈ ဦးနှင့် အခြားတစ်ဦး အပါအဝင် လူတစ်ဒါဇင်နီးပါး သေဆုံးခဲ့ပြီး၊ ခရီးသည်များအနက် ထိခိုက်ဒဏ်ရာရရှိသူ ၁၂ ဦးကို မန္တလေးပြည်သူ့ဆေးရုံကြီးနှင့် ပြင်ဦးလွင်မြို့နယ် ပြည်သူ့ဆေးရုံသို့ ပို့ဆောင်ကုသပေးခဲ့သည်။လူအစုလိုက်အပြုံလိုက် ယာဉ်မတော်တဆမှုများ ထပ်မံမဖြစ်ပွားစေရန်အတွက် အဆိုပါ မီးသတ်ကွေ့လမ်းပိုင်းကို စနစ်တကျ ပြင်ဆင်မှုများပြုလုပ်ပေးရန် ဝါရင့်အင်ဂျင်နီယာများနှင့် ကျွမ်းကျင်သူများက တာဝန်ရှိသူများကို တိုက်တွန်းတောင်းဆိုလျက်ရှိသည်။<ref name="BBC-PyinOoLwin-2026" /><ref name="Eleven-PyinOoLwin-2026" /> == ကိုးကား == {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:ယာဉ်မတော်တဆမှုများ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာနိုင်ငံရှိ လမ်းမကြီးများ]] 12nkuf78rwv4illdi6hulexof4yshgv 1060770 1060769 2026-10-30T17:16:11Z Ninjastrikers 22896 /* သမိုင်းဖြစ်ရပ်များ */ +cn 1060770 wikitext text/x-wiki {{Ref improve}} '''ပြင်ဦးလွင် ၁၉ မိုင် မီးသတ်ကွေ့''' သည် [[မန္တလေးမြို့|မန္တလေး]] - [[လားရှိုးမြို့|လားရှိုး]] အဝေးပြေးလမ်းမကြီး (ပြင်ဦးလွင် တောင်တက်အဆင်းလမ်း) မိုင်တိုင်အမှတ်၁၉ ၊ [[၂၁-မိုင်ရွာ၊ ပြင်ဦးလွင်မြို့နယ်|၂၁-မိုင်ရွာ]]အနီးတွင် တည်ရှိသော ထင်ရှားသည့် လမ်းကွေ့တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ လမ်းကွေ့သည် လမ်းအကွေ့အကောက် ဆိုးရွားပြီး လျှောစက်ပြင်းထန်သဖြင့် ခရီးသည်တင် မော်တော်ယာဉ်များနှင့် ကုန်တင်ယာဉ်များ မကြာခဏ ဘရိတ်ပေါက် တိမ်းမှောက်လေ့ရှိပြီး လူအစုလိုက်အပြုံလိုက် ယာဉ်မတော်တဆမှုများ မကြာခဏ အဖြစ်များသော နေရာတစ်ခုအဖြစ် လူသိများသည်။<ref name="Eleven-PyinOoLwin-2026">{{cite web |title=ပြင်ဦးလွင် - မန္တလေး အဆင်းလမ်း မိုင်တိုင်အမှတ် ၁၉ မီးသတ်ကွေ့တွင် နယူးမန္တလာထွန်း ခရီးသည်တင်ယာဉ် ချောက်ထဲကျကာ ခြောက်ဦး သေဆုံး |url=https://news-eleven.com/article/316328 |website=Eleven Media Group |date=၂၄ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ |language=my |access-date=၂၈ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ }}</ref><ref>{{cite web |title=သီတင်းကျွတ်ကာလ ယာဉ်တိုက်မှု၊ မီးလောင်မှုတွေ |url=https://www.ludunwayoo.com/feature-mm/2026/10/28/171920/ |website=LuduNwayOo |author=ထွန်းညိုဦး |date=၂၈ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ |language=my |access-date=၂၈ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ }}</ref> == သမိုင်းဖြစ်ရပ်များ == ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ်၊ ဩဂုတ်လတုန်းက ပြင်ဦးလွင်မြို့ရှိ ဗဟိုဝန်ထမ်းတက္ကသိုလ်နှင့် မီးသတ်သင်တန်းကျောင်းတို့မှ သင်တန်းဆင်းလာကြသည့် မီးသတ်ဝန်ထမ်းများ၊ ရဲဝန်ထမ်းအချို့ကို မန္တလေးဘူတာသို့ ပို့ဆောင်ပေးရန် ပြင်ဦးလွင်မှ မန္တလေးသို့ ဆင်းလာသည့် မော်တော်ယာဉ်သည် မန္တလေး-လားရှိုး အဝေးပြေးလမ်းမကြီး မိုင်တိုင်အမှတ် ၁၉ အရောက်တွင် ဘရိတ်ပေါက်ကာ တိမ်းမှောက်မှု ဖြစ်ပွားခဲ့သည်။ အဆိုပါ ကြောက်မက်ဖွယ် မတော်တဆမှုကြောင့် ယာဉ်ပေါ်ပါ မီးသတ်ရဲဘော်များနှင့် ရဲဝန်ထမ်း စုစုပေါင်း လူ ၄၂ ဦးအထိ အသက်ဆုံးရှုံးခဲ့ရသည်။ ထိုသို့ မီးသတ်ဝန်ထမ်းများစွာ စေတနာ့ဝန်ထမ်း တာဝန်ထမ်းဆောင်ရင်း ထိခိုက်သေဆုံးခဲ့ရသည့် ဝမ်းနည်းဖွယ် ဖြစ်စဉ်ကြီးကို အစွဲပြု၍ ထိုစဉ်ကတည်းကပင် အဆိုပါ လမ်းကွေ့အား "မီးသတ်ကွေ့" ဟု အမည်တွင် ခေါ်ဝေါ်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ မတော်တဆမှုကြီးပြီးနောက်ပိုင်းတွင် မီးသတ်ကွေ့၌ ညဘက် ကားပျက်နေပါက လူများ ရောက်လာပြီး ကူတွန်းပေးခြင်း၊ ဒုက္ခရောက်နေသော ခရီးသည်များကို ကူညီပေးခြင်းနှင့် ကူတွန်းပေးပြီးနောက် ၂၁ မိုင်ရွာအနီးအရောက် ကားရပ်ပေးသည့်အခါ လိုက်ပါလာသူများ မရှိတော့ခြင်း စသည့် သဘာဝလွန် ဖြစ်ရပ်ဆန်းများ ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။{{cn}} သို့သော် ဒေသခံများ၏ အဆိုအရ ထိုသို့ ခြောက်လှန့်မှုများရှိသည်ဆိုသော်လည်း ခရီးသွားများကို ဒုက္ခမပေးဘဲ ကူညီတတ်ကြသည်ဟု ယုံကြည်ကြသည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ကွယ်လွန်သူ မီးသတ်ရဲဘော်ကြီးများအတွက် ရည်စူး၍ ကုသိုလ်ကောင်းမှုများ ပြုလုပ်ပေးခြင်း၊ လွမ်းစေတီတစ်ဆူ တည်ထားပေးခဲ့ခြင်းတို့ ကြောင့် ဖြစ်စဉ်များ တဖြည်းဖြည်း နည်းပါးသွားခဲ့သော်လည်း ဖြတ်သန်းသွားလာသူများက ဘဝခြားသော်လည်း တာဝန်သိတတ်သည့် မီးသတ်ရဲဘော်များကို သတိရကာ မေတ္တာပို့ အမျှဝေ ဆုတောင်းပေးလေ့ရှိသည်။<ref name="BBC-PyinOoLwin-2026">{{cite web |title=ပြင်ဦးလွင် မီးသတ်ကွေ့ ယာဉ်တိုက်မှုနောက်ဆက်တွဲ |url=https://www.facebook.com/share/v/1FnN67S981/ |website=BBC News မြန်မာ |date=၂၈ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ |language=my |access-date=၂၈ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ }}</ref> ===၂၀၂၆ ခုနှစ် ယာဉ်မတော်တဆမှု === ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ အောက်တိုဘာလ ၂၄ ရက် ညနေ ၆ နာရီဝန်းကျင်နှင့် ည ၇ နာရီခန့်တွင် ပြင်ဦးလွင်မှ မန္တလေးသို့ မောင်းနှင်လာသော "နယူးမန္တလာထွန်း" ခရီးသည်တင်ယာဉ် (YU TONG Express) သည် မိုင်တိုင်အမှတ် ၁၉ မီးသတ်ကွေ့အရောက်၌ ဘရိတ်ပေါက်ကာ အရှိန်မထိန်းနိုင်ဘဲ မန္တလေးမှ ပြင်ဦးလွင်သို့ မောင်းနှင်လာသော Nissan Wingroad အငှားယာဉ်ငယ်အား ဝင်ရောက်တိုက်မိခဲ့ပြီး ပေ ၅၀ ခန့်အနက်ရှိသော လမ်းဘေးချောက်အတွင်းသို့ ထိုးကျတိမ်းမှောက်ခဲ့သည်။ အဆိုပါ ယာဉ်တိုက်မှုကြောင့် အငှားယာဉ်မောင်း၊ ကားကြီးပေါ်ပါ ယာဉ်မောင်း၊ ခရီးသည် ၈ ဦးနှင့် အခြားတစ်ဦး အပါအဝင် လူတစ်ဒါဇင်နီးပါး သေဆုံးခဲ့ပြီး၊ ခရီးသည်များအနက် ထိခိုက်ဒဏ်ရာရရှိသူ ၁၂ ဦးကို မန္တလေးပြည်သူ့ဆေးရုံကြီးနှင့် ပြင်ဦးလွင်မြို့နယ် ပြည်သူ့ဆေးရုံသို့ ပို့ဆောင်ကုသပေးခဲ့သည်။လူအစုလိုက်အပြုံလိုက် ယာဉ်မတော်တဆမှုများ ထပ်မံမဖြစ်ပွားစေရန်အတွက် အဆိုပါ မီးသတ်ကွေ့လမ်းပိုင်းကို စနစ်တကျ ပြင်ဆင်မှုများပြုလုပ်ပေးရန် ဝါရင့်အင်ဂျင်နီယာများနှင့် ကျွမ်းကျင်သူများက တာဝန်ရှိသူများကို တိုက်တွန်းတောင်းဆိုလျက်ရှိသည်။<ref name="BBC-PyinOoLwin-2026" /><ref name="Eleven-PyinOoLwin-2026" /> == ကိုးကား == {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:ယာဉ်မတော်တဆမှုများ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာနိုင်ငံရှိ လမ်းမကြီးများ]] tpnffgexkemys8qucfh55n5w02yzkc5 1 293554 1060741 1060719 2026-10-30T12:35:16Z မင်းဒင် 150006 /* ဆောင်းပါးကိစ္စ */ အကြောင်းပြန်ခြင်း 1060741 wikitext text/x-wiki == ဆောင်းပါးကိစ္စ == @[[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] မင်္ဂလာပါ၊ မိမိ၏ ကိုယ်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ သို့မဟုတ် မိမိနှင့် တိုက်ရိုက်ပတ်သက်နေသော ဆောင်းပါးများကို ကိုယ်တိုင် ဝင်ရောက် ရေးသားခြင်း နှင့် ပြင်ဆင်ခြင်းသည် ဝိကီပီးဒီးယား၏ အကျိုးစီးပွား ပဋိပက္ခ မူဝါဒနှင့် မညီညွတ်ပါ။ထို့အပြင် ဝီကီပီးဒီးယားပေါ်တွင် '''[[ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ]]'''ကို ရေးသားခြင်းသည် [[ဝီကီပီးဒီးယား:COI|ကိုယ်ကျိုးအတွက် တည်းဖြတ်ခြင်း ပဋိပက္ခ]]နမူနာ တစ်ခုဖြစ်ပြီး ယင်းကို ''ပြင်းထန်စွာ'' အားမပေးပါ။ ဒီမှာ ရှုပါ [[ဝီကီပီးဒီးယား:ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ|ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ]] ။ထို့အတွက်ကြောင့် စိတ်မကောင်းစွာဖြင့် ဤစာမျက်နှာသည် ပယ်ဖျက်ရမည် စာမျက်နှာဖြစ်ပါကြောင်း [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၀:၀၆၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) :ဒီဆောင်းပါးမှာက ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဖြစ်နေတာရယ်၊ ရေးသားထားတဲ့ ဆောင်းပါးထဲက အချက်အလက်တွေကို အတည်ပြုဖို့ ရင်းမြစ်ရှာဖို့ ခက်တာရယ်။ ဆရာမင်းဒင်အနေနဲ့ ယုံကြည်စိတ်ချရတဲ့ မီဒီယာ၊ သတင်းစာ စသဖြင့်မှာ မိမိရဲ့ ကိုယ်ရေးအချက်အလက်တွေ ပြောပြ၊ ဖော်ပြထားတာရှိရင် အဲ့ကနေ အကိုးအကား ယူလို့ ရတယ်။ တချို့စာရေးဆရာတွေကတော့ မိမိရေးတဲ့ စာအုပ်ရဲ့ အရှေ့ဆုံး သို့မဟုတ် ကျောဘက်မှာ ကိုယ်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဆိုတာမျိုး ထည့်တတ်ကြတယ်။ အဲ့လိုဆိုရင် အဲ့ကနေ အကိုးအကား ဖြစ်ပါတယ်လို့ ယူလို့ရမယ်ထင်တယ်။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၁၄၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::ဒီဆောင်းပါးကတော့ ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဖြစ်နေတဲ့အတွက်ကြောင့် ဖျက်ပစ်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၂၁၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::မင်းဒင်ဆိုတဲ့ ကလောင်အမည်ဟာ မင်းဒင်ရဲ့သက်ခိုင်၊ ဖြစ်ပျက်ရှာပုံတော်ခရီးသည်၊ သမုဒယစစ်မြေသလင်းကြေအပါအဝင် ပုံနှိပ်စာအုပ် ၁၄အုပ်အပြင် ပြည်တွင်းပြည်ပ မဂ္ဂဇင်း၊ ဂျာနယ်၊ သတင်းစာတွေမှာ နိုင်ငံရေး၊အတွေးအမြင် ၊သရော်စာပေါင်းမြောက်များစွာရေးသားပြီးသူမို့ ဝီကီအနေနဲ့ ဖျက်ပစ်သင့်တယ်ထင်ရင်လည်း ကျွန်တော်ဝမ်းမနည်းပါဘူး။ ဝီကီရဲ့စစ်ဆေးချက် အားနည်းတာကိုတော့ အကြီးအကျယ် အံ့ဩမိပါတယ်။ ကျေးဇူးပါ။ [[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:မင်းဒင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၂:၃၅၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) 2mcdm2locd91hm1s0l289mkz34e685u 1060748 1060741 2026-10-30T13:08:25Z Zawzawaungthwin 100038 /* ဆောင်းပါးကိစ္စ */ အကြောင်းပြန်ခြင်း 1060748 wikitext text/x-wiki == ဆောင်းပါးကိစ္စ == @[[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] မင်္ဂလာပါ၊ မိမိ၏ ကိုယ်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ သို့မဟုတ် မိမိနှင့် တိုက်ရိုက်ပတ်သက်နေသော ဆောင်းပါးများကို ကိုယ်တိုင် ဝင်ရောက် ရေးသားခြင်း နှင့် ပြင်ဆင်ခြင်းသည် ဝိကီပီးဒီးယား၏ အကျိုးစီးပွား ပဋိပက္ခ မူဝါဒနှင့် မညီညွတ်ပါ။ထို့အပြင် ဝီကီပီးဒီးယားပေါ်တွင် '''[[ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ]]'''ကို ရေးသားခြင်းသည် [[ဝီကီပီးဒီးယား:COI|ကိုယ်ကျိုးအတွက် တည်းဖြတ်ခြင်း ပဋိပက္ခ]]နမူနာ တစ်ခုဖြစ်ပြီး ယင်းကို ''ပြင်းထန်စွာ'' အားမပေးပါ။ ဒီမှာ ရှုပါ [[ဝီကီပီးဒီးယား:ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ|ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ]] ။ထို့အတွက်ကြောင့် စိတ်မကောင်းစွာဖြင့် ဤစာမျက်နှာသည် ပယ်ဖျက်ရမည် စာမျက်နှာဖြစ်ပါကြောင်း [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၀:၀၆၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) :ဒီဆောင်းပါးမှာက ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဖြစ်နေတာရယ်၊ ရေးသားထားတဲ့ ဆောင်းပါးထဲက အချက်အလက်တွေကို အတည်ပြုဖို့ ရင်းမြစ်ရှာဖို့ ခက်တာရယ်။ ဆရာမင်းဒင်အနေနဲ့ ယုံကြည်စိတ်ချရတဲ့ မီဒီယာ၊ သတင်းစာ စသဖြင့်မှာ မိမိရဲ့ ကိုယ်ရေးအချက်အလက်တွေ ပြောပြ၊ ဖော်ပြထားတာရှိရင် အဲ့ကနေ အကိုးအကား ယူလို့ ရတယ်။ တချို့စာရေးဆရာတွေကတော့ မိမိရေးတဲ့ စာအုပ်ရဲ့ အရှေ့ဆုံး သို့မဟုတ် ကျောဘက်မှာ ကိုယ်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဆိုတာမျိုး ထည့်တတ်ကြတယ်။ အဲ့လိုဆိုရင် အဲ့ကနေ အကိုးအကား ဖြစ်ပါတယ်လို့ ယူလို့ရမယ်ထင်တယ်။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၁၄၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::ဒီဆောင်းပါးကတော့ ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဖြစ်နေတဲ့အတွက်ကြောင့် ဖျက်ပစ်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၂၁၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::မင်းဒင်ဆိုတဲ့ ကလောင်အမည်ဟာ မင်းဒင်ရဲ့သက်ခိုင်၊ ဖြစ်ပျက်ရှာပုံတော်ခရီးသည်၊ သမုဒယစစ်မြေသလင်းကြေအပါအဝင် ပုံနှိပ်စာအုပ် ၁၄အုပ်အပြင် ပြည်တွင်းပြည်ပ မဂ္ဂဇင်း၊ ဂျာနယ်၊ သတင်းစာတွေမှာ နိုင်ငံရေး၊အတွေးအမြင် ၊သရော်စာပေါင်းမြောက်များစွာရေးသားပြီးသူမို့ ဝီကီအနေနဲ့ ဖျက်ပစ်သင့်တယ်ထင်ရင်လည်း ကျွန်တော်ဝမ်းမနည်းပါဘူး။ ဝီကီရဲ့စစ်ဆေးချက် အားနည်းတာကိုတော့ အကြီးအကျယ် အံ့ဩမိပါတယ်။ ကျေးဇူးပါ။ [[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:မင်းဒင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၂:၃၅၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) :::မြန်မာဝီကီရဲ့ စံနှုန်းတွေ ဖျက်လိုက်ကြတာပေါ့ဆရာ။ဆရာ ဟိုတစ်ရက်ထဲက မြန်မာဝီကီမှာ မင်းဒင် လို့ လာလုပ်ကတည်းက ကိုယ်တိုင်လာမရေးဖို့ တားဆီးခဲ့ပါတယ်။Facebook Messenger ကနေ ကြည့်ကို မကြည့်တာပါ။ဒီတော့ နာမည်ကြီးတာ မကြီးတာနဲ့ မဆိုငိပါဘူး။အခု စည်းမျဉ်းကို ပြောနေတာပါ။မဖျက်လဲ ဒါဟာ ကိုယ့်ဟာကိုယ်ရေးတာဆိုပြီး ပေါ်နေမှာဖြစ်ပါကြောင်း [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၃:၀၈၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) 0vpl4p4clgg0q43s3z3pk5w9809poir 1060765 1060748 2026-10-30T17:11:58Z Ninjastrikers 22896 /* ဆောင်းပါးကိစ္စ */ အကြောင်းပြန်ခြင်း 1060765 wikitext text/x-wiki == ဆောင်းပါးကိစ္စ == @[[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] မင်္ဂလာပါ၊ မိမိ၏ ကိုယ်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ သို့မဟုတ် မိမိနှင့် တိုက်ရိုက်ပတ်သက်နေသော ဆောင်းပါးများကို ကိုယ်တိုင် ဝင်ရောက် ရေးသားခြင်း နှင့် ပြင်ဆင်ခြင်းသည် ဝိကီပီးဒီးယား၏ အကျိုးစီးပွား ပဋိပက္ခ မူဝါဒနှင့် မညီညွတ်ပါ။ထို့အပြင် ဝီကီပီးဒီးယားပေါ်တွင် '''[[ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ]]'''ကို ရေးသားခြင်းသည် [[ဝီကီပီးဒီးယား:COI|ကိုယ်ကျိုးအတွက် တည်းဖြတ်ခြင်း ပဋိပက္ခ]]နမူနာ တစ်ခုဖြစ်ပြီး ယင်းကို ''ပြင်းထန်စွာ'' အားမပေးပါ။ ဒီမှာ ရှုပါ [[ဝီကီပီးဒီးယား:ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ|ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ]] ။ထို့အတွက်ကြောင့် စိတ်မကောင်းစွာဖြင့် ဤစာမျက်နှာသည် ပယ်ဖျက်ရမည် စာမျက်နှာဖြစ်ပါကြောင်း [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၀:၀၆၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) :ဒီဆောင်းပါးမှာက ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဖြစ်နေတာရယ်၊ ရေးသားထားတဲ့ ဆောင်းပါးထဲက အချက်အလက်တွေကို အတည်ပြုဖို့ ရင်းမြစ်ရှာဖို့ ခက်တာရယ်။ ဆရာမင်းဒင်အနေနဲ့ ယုံကြည်စိတ်ချရတဲ့ မီဒီယာ၊ သတင်းစာ စသဖြင့်မှာ မိမိရဲ့ ကိုယ်ရေးအချက်အလက်တွေ ပြောပြ၊ ဖော်ပြထားတာရှိရင် အဲ့ကနေ အကိုးအကား ယူလို့ ရတယ်။ တချို့စာရေးဆရာတွေကတော့ မိမိရေးတဲ့ စာအုပ်ရဲ့ အရှေ့ဆုံး သို့မဟုတ် ကျောဘက်မှာ ကိုယ်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဆိုတာမျိုး ထည့်တတ်ကြတယ်။ အဲ့လိုဆိုရင် အဲ့ကနေ အကိုးအကား ဖြစ်ပါတယ်လို့ ယူလို့ရမယ်ထင်တယ်။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၁၄၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::ဒီဆောင်းပါးကတော့ ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဖြစ်နေတဲ့အတွက်ကြောင့် ဖျက်ပစ်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၂၁၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::မင်းဒင်ဆိုတဲ့ ကလောင်အမည်ဟာ မင်းဒင်ရဲ့သက်ခိုင်၊ ဖြစ်ပျက်ရှာပုံတော်ခရီးသည်၊ သမုဒယစစ်မြေသလင်းကြေအပါအဝင် ပုံနှိပ်စာအုပ် ၁၄အုပ်အပြင် ပြည်တွင်းပြည်ပ မဂ္ဂဇင်း၊ ဂျာနယ်၊ သတင်းစာတွေမှာ နိုင်ငံရေး၊အတွေးအမြင် ၊သရော်စာပေါင်းမြောက်များစွာရေးသားပြီးသူမို့ ဝီကီအနေနဲ့ ဖျက်ပစ်သင့်တယ်ထင်ရင်လည်း ကျွန်တော်ဝမ်းမနည်းပါဘူး။ ဝီကီရဲ့စစ်ဆေးချက် အားနည်းတာကိုတော့ အကြီးအကျယ် အံ့ဩမိပါတယ်။ ကျေးဇူးပါ။ [[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:မင်းဒင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၂:၃၅၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) :::မြန်မာဝီကီရဲ့ စံနှုန်းတွေ ဖျက်လိုက်ကြတာပေါ့ဆရာ။ဆရာ ဟိုတစ်ရက်ထဲက မြန်မာဝီကီမှာ မင်းဒင် လို့ လာလုပ်ကတည်းက ကိုယ်တိုင်လာမရေးဖို့ တားဆီးခဲ့ပါတယ်။Facebook Messenger ကနေ ကြည့်ကို မကြည့်တာပါ။ဒီတော့ နာမည်ကြီးတာ မကြီးတာနဲ့ မဆိုငိပါဘူး။အခု စည်းမျဉ်းကို ပြောနေတာပါ။မဖျက်လဲ ဒါဟာ ကိုယ့်ဟာကိုယ်ရေးတာဆိုပြီး ပေါ်နေမှာဖြစ်ပါကြောင်း [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၃:၀၈၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::::@[[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] - ဝီကီပီးဒီးယားရဲ့ စံနှုန်းမူဝါဒတွေအရ [[ဝီကီပီးဒီးယား:ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ|ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ ဆောင်းပါး]]တွေ ရေးသားတာကို အားမပေးပါဘူး။ အဓိက အကြောင်းကတော့ ကိုယ့်အကြောင်းကိုယ် အမွှန်းတင်ရေးသားတာမျိုး၊ ဘက်လိုက်ဖော်ပြတာမျိုး ဖြစ်လာနိုင်တဲ့အတွက်ပါ။ ဒုတိယအနေနဲ့ ဒီဆောင်းပါးမှာ ကိုးကားထားပြုထားတဲ့ ရင်းမြစ်တွေက [[ဝီကီပီးဒီးယား:QUESTIONABLE|ဆောင်းပါးရေးသူ/ဆောင်းပါးပါ အကြောင်းအရာရဲ့ လူမှုကွန်ယက်စာမျက်နှာ]]၊ [[En:WP:RSPYT|ယူကျု့ဘ်]]၊ [[ဝီကီပီးဒီးယား:ခိုင်လုံသော ရင်းမြစ်များ|ယုံကြည်စိတ်ချရသော]]/[[ဝီကီပီးဒီးယား:ရင်းမြစ်များကို ကိုးကားခြင်း|ထင်ရှားကျော်ကြားသော မီဒီယာများ]] မဟုတ်သည့်အတွက် ဒီဆောင်းပါးကို မြန်မာဝီကီပေါ်မှာ ထိန်းသိမ်းထားနိုင်ဖို့ ခက်ခဲပါတယ်။ ဒါ့အပြင် [[ဝီကီပီးဒီးယား:ထင်ရှားအရေးပါမှု|လူပုဂ္ဂိုလ်ရဲ့ ထင်ရှားကျော်ကြားမှု]]သည်လည်း ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်နိုင်ဖို့ စံနှုန်းတစ်ခုအနေနဲ့ ထည့်သွင်းစဉ်းစားပါသေးတယ်။ ဝီကီမှာ ဆောင်းပါးအနေနဲ့ ရှိနိုင်ဖို့ ထင်ရှားကျော်ကြားမှုရှိဖို့ လိုပါတယ်။ ထင်ရှားကျော်ကြားတယ်ဆိုတဲ့အချက်ကို လွတ်လပ်တဲ့၊ အမှီအခိုကင်းတဲ့၊ ခိုင်လုံစိတ်ချရတဲ့ ရင်းမြစ်တွေက ဖော်ပြထားတာမျိုးတွေ ရှိဖို့ လိုအပ်ပါတယ်။ ဒီစံနှုန်းတွေနဲ့ ပြည့်မီကိုက်ညီမှသာလျှင် ဆောင်းပါးအနေနဲ့ ထားရှိနိုင်မှာပါ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:Montserrat;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၇:၁၁၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) 6g8qyfl1zoo36p3xvvuq6zkb46ra9gs 1060766 1060765 2026-10-30T17:12:31Z Ninjastrikers 22896 1060766 wikitext text/x-wiki == ဆောင်းပါးကိစ္စ == @[[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] မင်္ဂလာပါ၊ မိမိ၏ ကိုယ်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ သို့မဟုတ် မိမိနှင့် တိုက်ရိုက်ပတ်သက်နေသော ဆောင်းပါးများကို ကိုယ်တိုင် ဝင်ရောက် ရေးသားခြင်း နှင့် ပြင်ဆင်ခြင်းသည် ဝိကီပီးဒီးယား၏ အကျိုးစီးပွား ပဋိပက္ခ မူဝါဒနှင့် မညီညွတ်ပါ။ထို့အပြင် ဝီကီပီးဒီးယားပေါ်တွင် '''[[ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ]]'''ကို ရေးသားခြင်းသည် [[ဝီကီပီးဒီးယား:COI|ကိုယ်ကျိုးအတွက် တည်းဖြတ်ခြင်း ပဋိပက္ခ]]နမူနာ တစ်ခုဖြစ်ပြီး ယင်းကို ''ပြင်းထန်စွာ'' အားမပေးပါ။ ဒီမှာ ရှုပါ [[ဝီကီပီးဒီးယား:ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ|ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ]] ။ထို့အတွက်ကြောင့် စိတ်မကောင်းစွာဖြင့် ဤစာမျက်နှာသည် ပယ်ဖျက်ရမည် စာမျက်နှာဖြစ်ပါကြောင်း [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၀:၀၆၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) :ဒီဆောင်းပါးမှာက ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဖြစ်နေတာရယ်၊ ရေးသားထားတဲ့ ဆောင်းပါးထဲက အချက်အလက်တွေကို အတည်ပြုဖို့ ရင်းမြစ်ရှာဖို့ ခက်တာရယ်။ ဆရာမင်းဒင်အနေနဲ့ ယုံကြည်စိတ်ချရတဲ့ မီဒီယာ၊ သတင်းစာ စသဖြင့်မှာ မိမိရဲ့ ကိုယ်ရေးအချက်အလက်တွေ ပြောပြ၊ ဖော်ပြထားတာရှိရင် အဲ့ကနေ အကိုးအကား ယူလို့ ရတယ်။ တချို့စာရေးဆရာတွေကတော့ မိမိရေးတဲ့ စာအုပ်ရဲ့ အရှေ့ဆုံး သို့မဟုတ် ကျောဘက်မှာ ကိုယ်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဆိုတာမျိုး ထည့်တတ်ကြတယ်။ အဲ့လိုဆိုရင် အဲ့ကနေ အကိုးအကား ဖြစ်ပါတယ်လို့ ယူလို့ရမယ်ထင်တယ်။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၁၄၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::ဒီဆောင်းပါးကတော့ ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဖြစ်နေတဲ့အတွက်ကြောင့် ဖျက်ပစ်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၂၁၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::မင်းဒင်ဆိုတဲ့ ကလောင်အမည်ဟာ မင်းဒင်ရဲ့သက်ခိုင်၊ ဖြစ်ပျက်ရှာပုံတော်ခရီးသည်၊ သမုဒယစစ်မြေသလင်းကြေအပါအဝင် ပုံနှိပ်စာအုပ် ၁၄အုပ်အပြင် ပြည်တွင်းပြည်ပ မဂ္ဂဇင်း၊ ဂျာနယ်၊ သတင်းစာတွေမှာ နိုင်ငံရေး၊အတွေးအမြင် ၊သရော်စာပေါင်းမြောက်များစွာရေးသားပြီးသူမို့ ဝီကီအနေနဲ့ ဖျက်ပစ်သင့်တယ်ထင်ရင်လည်း ကျွန်တော်ဝမ်းမနည်းပါဘူး။ ဝီကီရဲ့စစ်ဆေးချက် အားနည်းတာကိုတော့ အကြီးအကျယ် အံ့ဩမိပါတယ်။ ကျေးဇူးပါ။ [[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:မင်းဒင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၂:၃၅၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) :::မြန်မာဝီကီရဲ့ စံနှုန်းတွေ ဖျက်လိုက်ကြတာပေါ့ဆရာ။ဆရာ ဟိုတစ်ရက်ထဲက မြန်မာဝီကီမှာ မင်းဒင် လို့ လာလုပ်ကတည်းက ကိုယ်တိုင်လာမရေးဖို့ တားဆီးခဲ့ပါတယ်။Facebook Messenger ကနေ ကြည့်ကို မကြည့်တာပါ။ဒီတော့ နာမည်ကြီးတာ မကြီးတာနဲ့ မဆိုငိပါဘူး။အခု စည်းမျဉ်းကို ပြောနေတာပါ။မဖျက်လဲ ဒါဟာ ကိုယ့်ဟာကိုယ်ရေးတာဆိုပြီး ပေါ်နေမှာဖြစ်ပါကြောင်း [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၃:၀၈၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::::@[[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] - ဝီကီပီးဒီးယားရဲ့ စံနှုန်းမူဝါဒတွေအရ [[ဝီကီပီးဒီးယား:ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ|ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ ဆောင်းပါး]]တွေ ရေးသားတာကို အားမပေးပါဘူး။ အဓိက အကြောင်းကတော့ ကိုယ့်အကြောင်းကိုယ် အမွှန်းတင်ရေးသားတာမျိုး၊ ဘက်လိုက်ဖော်ပြတာမျိုး ဖြစ်လာနိုင်တဲ့အတွက်ပါ။ ဒုတိယအနေနဲ့ ဒီဆောင်းပါးမှာ ကိုးကားထားပြုထားတဲ့ ရင်းမြစ်တွေက [[ဝီကီပီးဒီးယား:QUESTIONABLE|ဆောင်းပါးရေးသူ/ဆောင်းပါးပါ အကြောင်းအရာရဲ့ လူမှုကွန်ယက်စာမျက်နှာ]]၊ [[En:WP:RSPYT|ယူကျု့ဘ်]] စာမျက်နှာတွေ ဖြစ်နေတဲ့အပြင် [[ဝီကီပီးဒီးယား:ခိုင်လုံသော ရင်းမြစ်များ|ယုံကြည်စိတ်ချရသော]]/[[ဝီကီပီးဒီးယား:ရင်းမြစ်များကို ကိုးကားခြင်း|ထင်ရှားကျော်ကြားသော မီဒီယာများ]] မဟုတ်သည့်အတွက် ဒီဆောင်းပါးကို မြန်မာဝီကီပေါ်မှာ ထိန်းသိမ်းထားနိုင်ဖို့ ခက်ခဲပါတယ်။ ဒါ့အပြင် [[ဝီကီပီးဒီးယား:ထင်ရှားအရေးပါမှု|လူပုဂ္ဂိုလ်ရဲ့ ထင်ရှားကျော်ကြားမှု]]သည်လည်း ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်နိုင်ဖို့ စံနှုန်းတစ်ခုအနေနဲ့ ထည့်သွင်းစဉ်းစားပါသေးတယ်။ ဝီကီမှာ ဆောင်းပါးအနေနဲ့ ရှိနိုင်ဖို့ ထင်ရှားကျော်ကြားမှုရှိဖို့ လိုပါတယ်။ ထင်ရှားကျော်ကြားတယ်ဆိုတဲ့အချက်ကို လွတ်လပ်တဲ့၊ အမှီအခိုကင်းတဲ့၊ ခိုင်လုံစိတ်ချရတဲ့ ရင်းမြစ်တွေက ဖော်ပြထားတာမျိုးတွေ ရှိဖို့ လိုအပ်ပါတယ်။ ဒီစံနှုန်းတွေနဲ့ ပြည့်မီကိုက်ညီမှသာလျှင် ဆောင်းပါးအနေနဲ့ ထားရှိနိုင်မှာပါ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:Montserrat;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၇:၁၁၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) oiinclsuci0dixoitagfmmcao68o06h 1060767 1060766 2026-10-30T17:14:36Z Zawzawaungthwin 100038 /* ဆောင်းပါးကိစ္စ */ အကြောင်းပြန်ခြင်း 1060767 wikitext text/x-wiki == ဆောင်းပါးကိစ္စ == @[[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] မင်္ဂလာပါ၊ မိမိ၏ ကိုယ်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ သို့မဟုတ် မိမိနှင့် တိုက်ရိုက်ပတ်သက်နေသော ဆောင်းပါးများကို ကိုယ်တိုင် ဝင်ရောက် ရေးသားခြင်း နှင့် ပြင်ဆင်ခြင်းသည် ဝိကီပီးဒီးယား၏ အကျိုးစီးပွား ပဋိပက္ခ မူဝါဒနှင့် မညီညွတ်ပါ။ထို့အပြင် ဝီကီပီးဒီးယားပေါ်တွင် '''[[ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ]]'''ကို ရေးသားခြင်းသည် [[ဝီကီပီးဒီးယား:COI|ကိုယ်ကျိုးအတွက် တည်းဖြတ်ခြင်း ပဋိပက္ခ]]နမူနာ တစ်ခုဖြစ်ပြီး ယင်းကို ''ပြင်းထန်စွာ'' အားမပေးပါ။ ဒီမှာ ရှုပါ [[ဝီကီပီးဒီးယား:ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ|ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ]] ။ထို့အတွက်ကြောင့် စိတ်မကောင်းစွာဖြင့် ဤစာမျက်နှာသည် ပယ်ဖျက်ရမည် စာမျက်နှာဖြစ်ပါကြောင်း [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၀:၀၆၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) :ဒီဆောင်းပါးမှာက ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဖြစ်နေတာရယ်၊ ရေးသားထားတဲ့ ဆောင်းပါးထဲက အချက်အလက်တွေကို အတည်ပြုဖို့ ရင်းမြစ်ရှာဖို့ ခက်တာရယ်။ ဆရာမင်းဒင်အနေနဲ့ ယုံကြည်စိတ်ချရတဲ့ မီဒီယာ၊ သတင်းစာ စသဖြင့်မှာ မိမိရဲ့ ကိုယ်ရေးအချက်အလက်တွေ ပြောပြ၊ ဖော်ပြထားတာရှိရင် အဲ့ကနေ အကိုးအကား ယူလို့ ရတယ်။ တချို့စာရေးဆရာတွေကတော့ မိမိရေးတဲ့ စာအုပ်ရဲ့ အရှေ့ဆုံး သို့မဟုတ် ကျောဘက်မှာ ကိုယ်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဆိုတာမျိုး ထည့်တတ်ကြတယ်။ အဲ့လိုဆိုရင် အဲ့ကနေ အကိုးအကား ဖြစ်ပါတယ်လို့ ယူလို့ရမယ်ထင်တယ်။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၁၄၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::ဒီဆောင်းပါးကတော့ ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဖြစ်နေတဲ့အတွက်ကြောင့် ဖျက်ပစ်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၂၁၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::မင်းဒင်ဆိုတဲ့ ကလောင်အမည်ဟာ မင်းဒင်ရဲ့သက်ခိုင်၊ ဖြစ်ပျက်ရှာပုံတော်ခရီးသည်၊ သမုဒယစစ်မြေသလင်းကြေအပါအဝင် ပုံနှိပ်စာအုပ် ၁၄အုပ်အပြင် ပြည်တွင်းပြည်ပ မဂ္ဂဇင်း၊ ဂျာနယ်၊ သတင်းစာတွေမှာ နိုင်ငံရေး၊အတွေးအမြင် ၊သရော်စာပေါင်းမြောက်များစွာရေးသားပြီးသူမို့ ဝီကီအနေနဲ့ ဖျက်ပစ်သင့်တယ်ထင်ရင်လည်း ကျွန်တော်ဝမ်းမနည်းပါဘူး။ ဝီကီရဲ့စစ်ဆေးချက် အားနည်းတာကိုတော့ အကြီးအကျယ် အံ့ဩမိပါတယ်။ ကျေးဇူးပါ။ [[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:မင်းဒင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၂:၃၅၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) :::မြန်မာဝီကီရဲ့ စံနှုန်းတွေ ဖျက်လိုက်ကြတာပေါ့ဆရာ။ဆရာ ဟိုတစ်ရက်ထဲက မြန်မာဝီကီမှာ မင်းဒင် လို့ လာလုပ်ကတည်းက ကိုယ်တိုင်လာမရေးဖို့ တားဆီးခဲ့ပါတယ်။Facebook Messenger ကနေ ကြည့်ကို မကြည့်တာပါ။ဒီတော့ နာမည်ကြီးတာ မကြီးတာနဲ့ မဆိုငိပါဘူး။အခု စည်းမျဉ်းကို ပြောနေတာပါ။မဖျက်လဲ ဒါဟာ ကိုယ့်ဟာကိုယ်ရေးတာဆိုပြီး ပေါ်နေမှာဖြစ်ပါကြောင်း [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၃:၀၈၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::::@[[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] - ဝီကီပီးဒီးယားရဲ့ စံနှုန်းမူဝါဒတွေအရ [[ဝီကီပီးဒီးယား:ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ|ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ ဆောင်းပါး]]တွေ ရေးသားတာကို အားမပေးပါဘူး။ အဓိက အကြောင်းကတော့ ကိုယ့်အကြောင်းကိုယ် အမွှန်းတင်ရေးသားတာမျိုး၊ ဘက်လိုက်ဖော်ပြတာမျိုး ဖြစ်လာနိုင်တဲ့အတွက်ပါ။ ဒုတိယအနေနဲ့ ဒီဆောင်းပါးမှာ ကိုးကားထားပြုထားတဲ့ ရင်းမြစ်တွေက [[ဝီကီပီးဒီးယား:QUESTIONABLE|ဆောင်းပါးရေးသူ/ဆောင်းပါးပါ အကြောင်းအရာရဲ့ လူမှုကွန်ယက်စာမျက်နှာ]]၊ [[En:WP:RSPYT|ယူကျု့ဘ်]] စာမျက်နှာတွေ ဖြစ်နေတဲ့အပြင် [[ဝီကီပီးဒီးယား:ခိုင်လုံသော ရင်းမြစ်များ|ယုံကြည်စိတ်ချရသော]]/[[ဝီကီပီးဒီးယား:ရင်းမြစ်များကို ကိုးကားခြင်း|ထင်ရှားကျော်ကြားသော မီဒီယာများ]] မဟုတ်သည့်အတွက် ဒီဆောင်းပါးကို မြန်မာဝီကီပေါ်မှာ ထိန်းသိမ်းထားနိုင်ဖို့ ခက်ခဲပါတယ်။ ဒါ့အပြင် [[ဝီကီပီးဒီးယား:ထင်ရှားအရေးပါမှု|လူပုဂ္ဂိုလ်ရဲ့ ထင်ရှားကျော်ကြားမှု]]သည်လည်း ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်နိုင်ဖို့ စံနှုန်းတစ်ခုအနေနဲ့ ထည့်သွင်းစဉ်းစားပါသေးတယ်။ ဝီကီမှာ ဆောင်းပါးအနေနဲ့ ရှိနိုင်ဖို့ ထင်ရှားကျော်ကြားမှုရှိဖို့ လိုပါတယ်။ ထင်ရှားကျော်ကြားတယ်ဆိုတဲ့အချက်ကို လွတ်လပ်တဲ့၊ အမှီအခိုကင်းတဲ့၊ ခိုင်လုံစိတ်ချရတဲ့ ရင်းမြစ်တွေက ဖော်ပြထားတာမျိုးတွေ ရှိဖို့ လိုအပ်ပါတယ်။ ဒီစံနှုန်းတွေနဲ့ ပြည့်မီကိုက်ညီမှသာလျှင် ဆောင်းပါးအနေနဲ့ ထားရှိနိုင်မှာပါ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:Montserrat;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၇:၁၁၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::::@[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] @[[အသုံးပြုသူ:Mayor mt|Mayor mt]] [[အသုံးပြုသူ:Kyaw Myo Aung|Kyaw Myo Aung]] ခင်ဗျားတို့တွေ ဘယ်လို အယ်ဒီတာတွေလဲ သတ္တိမရှိကြဘူးလား။ဆရာ ခင်မောင်မောင်လွင် မပါပါခင်ဗျာ.စည်းမျဥ်းနဲ့ အခုပြောနေဆွေးနွေးနေတာ။အဲ့စာမျက်နှာအပေါ်တောင် ခင်ဗျားတို့ မဆုံးဖြတ်ရဲတာ မှတ်တမ်းတင်ခံရမှာ မကြောက်ကြဘူးလား။ [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၇:၁၄၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) 96k3lodmnueq2x5ajs5mvr787komo6q 1060777 1060767 2026-10-30T17:25:18Z Zawzawaungthwin 100038 /* ဆောင်းပါးကိစ္စ */ အကြောင်းပြန်ခြင်း 1060777 wikitext text/x-wiki == ဆောင်းပါးကိစ္စ == @[[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] မင်္ဂလာပါ၊ မိမိ၏ ကိုယ်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ သို့မဟုတ် မိမိနှင့် တိုက်ရိုက်ပတ်သက်နေသော ဆောင်းပါးများကို ကိုယ်တိုင် ဝင်ရောက် ရေးသားခြင်း နှင့် ပြင်ဆင်ခြင်းသည် ဝိကီပီးဒီးယား၏ အကျိုးစီးပွား ပဋိပက္ခ မူဝါဒနှင့် မညီညွတ်ပါ။ထို့အပြင် ဝီကီပီးဒီးယားပေါ်တွင် '''[[ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ]]'''ကို ရေးသားခြင်းသည် [[ဝီကီပီးဒီးယား:COI|ကိုယ်ကျိုးအတွက် တည်းဖြတ်ခြင်း ပဋိပက္ခ]]နမူနာ တစ်ခုဖြစ်ပြီး ယင်းကို ''ပြင်းထန်စွာ'' အားမပေးပါ။ ဒီမှာ ရှုပါ [[ဝီကီပီးဒီးယား:ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ|ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ]] ။ထို့အတွက်ကြောင့် စိတ်မကောင်းစွာဖြင့် ဤစာမျက်နှာသည် ပယ်ဖျက်ရမည် စာမျက်နှာဖြစ်ပါကြောင်း [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၀:၀၆၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) :ဒီဆောင်းပါးမှာက ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဖြစ်နေတာရယ်၊ ရေးသားထားတဲ့ ဆောင်းပါးထဲက အချက်အလက်တွေကို အတည်ပြုဖို့ ရင်းမြစ်ရှာဖို့ ခက်တာရယ်။ ဆရာမင်းဒင်အနေနဲ့ ယုံကြည်စိတ်ချရတဲ့ မီဒီယာ၊ သတင်းစာ စသဖြင့်မှာ မိမိရဲ့ ကိုယ်ရေးအချက်အလက်တွေ ပြောပြ၊ ဖော်ပြထားတာရှိရင် အဲ့ကနေ အကိုးအကား ယူလို့ ရတယ်။ တချို့စာရေးဆရာတွေကတော့ မိမိရေးတဲ့ စာအုပ်ရဲ့ အရှေ့ဆုံး သို့မဟုတ် ကျောဘက်မှာ ကိုယ်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဆိုတာမျိုး ထည့်တတ်ကြတယ်။ အဲ့လိုဆိုရင် အဲ့ကနေ အကိုးအကား ဖြစ်ပါတယ်လို့ ယူလို့ရမယ်ထင်တယ်။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၁၄၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::ဒီဆောင်းပါးကတော့ ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဖြစ်နေတဲ့အတွက်ကြောင့် ဖျက်ပစ်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၂၁၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::မင်းဒင်ဆိုတဲ့ ကလောင်အမည်ဟာ မင်းဒင်ရဲ့သက်ခိုင်၊ ဖြစ်ပျက်ရှာပုံတော်ခရီးသည်၊ သမုဒယစစ်မြေသလင်းကြေအပါအဝင် ပုံနှိပ်စာအုပ် ၁၄အုပ်အပြင် ပြည်တွင်းပြည်ပ မဂ္ဂဇင်း၊ ဂျာနယ်၊ သတင်းစာတွေမှာ နိုင်ငံရေး၊အတွေးအမြင် ၊သရော်စာပေါင်းမြောက်များစွာရေးသားပြီးသူမို့ ဝီကီအနေနဲ့ ဖျက်ပစ်သင့်တယ်ထင်ရင်လည်း ကျွန်တော်ဝမ်းမနည်းပါဘူး။ ဝီကီရဲ့စစ်ဆေးချက် အားနည်းတာကိုတော့ အကြီးအကျယ် အံ့ဩမိပါတယ်။ ကျေးဇူးပါ။ [[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:မင်းဒင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၂:၃၅၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) :::မြန်မာဝီကီရဲ့ စံနှုန်းတွေ ဖျက်လိုက်ကြတာပေါ့ဆရာ။ဆရာ ဟိုတစ်ရက်ထဲက မြန်မာဝီကီမှာ မင်းဒင် လို့ လာလုပ်ကတည်းက ကိုယ်တိုင်လာမရေးဖို့ တားဆီးခဲ့ပါတယ်။Facebook Messenger ကနေ ကြည့်ကို မကြည့်တာပါ။ဒီတော့ နာမည်ကြီးတာ မကြီးတာနဲ့ မဆိုငိပါဘူး။အခု စည်းမျဉ်းကို ပြောနေတာပါ။မဖျက်လဲ ဒါဟာ ကိုယ့်ဟာကိုယ်ရေးတာဆိုပြီး ပေါ်နေမှာဖြစ်ပါကြောင်း [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၃:၀၈၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::::@[[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] - ဝီကီပီးဒီးယားရဲ့ စံနှုန်းမူဝါဒတွေအရ [[ဝီကီပီးဒီးယား:ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ|ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ ဆောင်းပါး]]တွေ ရေးသားတာကို အားမပေးပါဘူး။ အဓိက အကြောင်းကတော့ ကိုယ့်အကြောင်းကိုယ် အမွှန်းတင်ရေးသားတာမျိုး၊ ဘက်လိုက်ဖော်ပြတာမျိုး ဖြစ်လာနိုင်တဲ့အတွက်ပါ။ ဒုတိယအနေနဲ့ ဒီဆောင်းပါးမှာ ကိုးကားထားပြုထားတဲ့ ရင်းမြစ်တွေက [[ဝီကီပီးဒီးယား:QUESTIONABLE|ဆောင်းပါးရေးသူ/ဆောင်းပါးပါ အကြောင်းအရာရဲ့ လူမှုကွန်ယက်စာမျက်နှာ]]၊ [[En:WP:RSPYT|ယူကျု့ဘ်]] စာမျက်နှာတွေ ဖြစ်နေတဲ့အပြင် [[ဝီကီပီးဒီးယား:ခိုင်လုံသော ရင်းမြစ်များ|ယုံကြည်စိတ်ချရသော]]/[[ဝီကီပီးဒီးယား:ရင်းမြစ်များကို ကိုးကားခြင်း|ထင်ရှားကျော်ကြားသော မီဒီယာများ]] မဟုတ်သည့်အတွက် ဒီဆောင်းပါးကို မြန်မာဝီကီပေါ်မှာ ထိန်းသိမ်းထားနိုင်ဖို့ ခက်ခဲပါတယ်။ ဒါ့အပြင် [[ဝီကီပီးဒီးယား:ထင်ရှားအရေးပါမှု|လူပုဂ္ဂိုလ်ရဲ့ ထင်ရှားကျော်ကြားမှု]]သည်လည်း ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်နိုင်ဖို့ စံနှုန်းတစ်ခုအနေနဲ့ ထည့်သွင်းစဉ်းစားပါသေးတယ်။ ဝီကီမှာ ဆောင်းပါးအနေနဲ့ ရှိနိုင်ဖို့ ထင်ရှားကျော်ကြားမှုရှိဖို့ လိုပါတယ်။ ထင်ရှားကျော်ကြားတယ်ဆိုတဲ့အချက်ကို လွတ်လပ်တဲ့၊ အမှီအခိုကင်းတဲ့၊ ခိုင်လုံစိတ်ချရတဲ့ ရင်းမြစ်တွေက ဖော်ပြထားတာမျိုးတွေ ရှိဖို့ လိုအပ်ပါတယ်။ ဒီစံနှုန်းတွေနဲ့ ပြည့်မီကိုက်ညီမှသာလျှင် ဆောင်းပါးအနေနဲ့ ထားရှိနိုင်မှာပါ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:Montserrat;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၇:၁၁၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::::@[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] @[[အသုံးပြုသူ:Mayor mt|Mayor mt]] [[အသုံးပြုသူ:Kyaw Myo Aung|Kyaw Myo Aung]] ခင်ဗျားတို့တွေ ဘယ်လို အယ်ဒီတာတွေလဲ သတ္တိမရှိကြဘူးလား။ဆရာ ခင်မောင်မောင်လွင် မပါပါခင်ဗျာ.စည်းမျဥ်းနဲ့ အခုပြောနေဆွေးနွေးနေတာ။အဲ့စာမျက်နှာအပေါ်တောင် ခင်ဗျားတို့ မဆုံးဖြတ်ရဲတာ မှတ်တမ်းတင်ခံရမှာ မကြောက်ကြဘူးလား။ [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၇:၁၄၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) :::::ငါ ထွက်တယ်ကွာ အေးရော [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၇:၂၅၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) a1kn09gcbg404q9ksqkudq6kouepqmy 1060782 1060777 2026-10-30T17:41:07Z Zawzawaungthwin 100038 [[Special:Contributions/Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[User talk:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေးချက်]]) ၏ မူဟောင်း [[Special:Diff/1060777|1060777]] ကို ပြန်ပြင်လိုက်သည် 1060782 wikitext text/x-wiki == ဆောင်းပါးကိစ္စ == @[[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] မင်္ဂလာပါ၊ မိမိ၏ ကိုယ်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ သို့မဟုတ် မိမိနှင့် တိုက်ရိုက်ပတ်သက်နေသော ဆောင်းပါးများကို ကိုယ်တိုင် ဝင်ရောက် ရေးသားခြင်း နှင့် ပြင်ဆင်ခြင်းသည် ဝိကီပီးဒီးယား၏ အကျိုးစီးပွား ပဋိပက္ခ မူဝါဒနှင့် မညီညွတ်ပါ။ထို့အပြင် ဝီကီပီးဒီးယားပေါ်တွင် '''[[ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ]]'''ကို ရေးသားခြင်းသည် [[ဝီကီပီးဒီးယား:COI|ကိုယ်ကျိုးအတွက် တည်းဖြတ်ခြင်း ပဋိပက္ခ]]နမူနာ တစ်ခုဖြစ်ပြီး ယင်းကို ''ပြင်းထန်စွာ'' အားမပေးပါ။ ဒီမှာ ရှုပါ [[ဝီကီပီးဒီးယား:ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ|ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ]] ။ထို့အတွက်ကြောင့် စိတ်မကောင်းစွာဖြင့် ဤစာမျက်နှာသည် ပယ်ဖျက်ရမည် စာမျက်နှာဖြစ်ပါကြောင်း [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၀:၀၆၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) :ဒီဆောင်းပါးမှာက ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဖြစ်နေတာရယ်၊ ရေးသားထားတဲ့ ဆောင်းပါးထဲက အချက်အလက်တွေကို အတည်ပြုဖို့ ရင်းမြစ်ရှာဖို့ ခက်တာရယ်။ ဆရာမင်းဒင်အနေနဲ့ ယုံကြည်စိတ်ချရတဲ့ မီဒီယာ၊ သတင်းစာ စသဖြင့်မှာ မိမိရဲ့ ကိုယ်ရေးအချက်အလက်တွေ ပြောပြ၊ ဖော်ပြထားတာရှိရင် အဲ့ကနေ အကိုးအကား ယူလို့ ရတယ်။ တချို့စာရေးဆရာတွေကတော့ မိမိရေးတဲ့ စာအုပ်ရဲ့ အရှေ့ဆုံး သို့မဟုတ် ကျောဘက်မှာ ကိုယ်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဆိုတာမျိုး ထည့်တတ်ကြတယ်။ အဲ့လိုဆိုရင် အဲ့ကနေ အကိုးအကား ဖြစ်ပါတယ်လို့ ယူလို့ရမယ်ထင်တယ်။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၁၄၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::ဒီဆောင်းပါးကတော့ ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဖြစ်နေတဲ့အတွက်ကြောင့် ဖျက်ပစ်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၂၁၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::မင်းဒင်ဆိုတဲ့ ကလောင်အမည်ဟာ မင်းဒင်ရဲ့သက်ခိုင်၊ ဖြစ်ပျက်ရှာပုံတော်ခရီးသည်၊ သမုဒယစစ်မြေသလင်းကြေအပါအဝင် ပုံနှိပ်စာအုပ် ၁၄အုပ်အပြင် ပြည်တွင်းပြည်ပ မဂ္ဂဇင်း၊ ဂျာနယ်၊ သတင်းစာတွေမှာ နိုင်ငံရေး၊အတွေးအမြင် ၊သရော်စာပေါင်းမြောက်များစွာရေးသားပြီးသူမို့ ဝီကီအနေနဲ့ ဖျက်ပစ်သင့်တယ်ထင်ရင်လည်း ကျွန်တော်ဝမ်းမနည်းပါဘူး။ ဝီကီရဲ့စစ်ဆေးချက် အားနည်းတာကိုတော့ အကြီးအကျယ် အံ့ဩမိပါတယ်။ ကျေးဇူးပါ။ [[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:မင်းဒင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၂:၃၅၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) :::မြန်မာဝီကီရဲ့ စံနှုန်းတွေ ဖျက်လိုက်ကြတာပေါ့ဆရာ။ဆရာ ဟိုတစ်ရက်ထဲက မြန်မာဝီကီမှာ မင်းဒင် လို့ လာလုပ်ကတည်းက ကိုယ်တိုင်လာမရေးဖို့ တားဆီးခဲ့ပါတယ်။Facebook Messenger ကနေ ကြည့်ကို မကြည့်တာပါ။ဒီတော့ နာမည်ကြီးတာ မကြီးတာနဲ့ မဆိုငိပါဘူး။အခု စည်းမျဉ်းကို ပြောနေတာပါ။မဖျက်လဲ ဒါဟာ ကိုယ့်ဟာကိုယ်ရေးတာဆိုပြီး ပေါ်နေမှာဖြစ်ပါကြောင်း [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၃:၀၈၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::::@[[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] - ဝီကီပီးဒီးယားရဲ့ စံနှုန်းမူဝါဒတွေအရ [[ဝီကီပီးဒီးယား:ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ|ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ ဆောင်းပါး]]တွေ ရေးသားတာကို အားမပေးပါဘူး။ အဓိက အကြောင်းကတော့ ကိုယ့်အကြောင်းကိုယ် အမွှန်းတင်ရေးသားတာမျိုး၊ ဘက်လိုက်ဖော်ပြတာမျိုး ဖြစ်လာနိုင်တဲ့အတွက်ပါ။ ဒုတိယအနေနဲ့ ဒီဆောင်းပါးမှာ ကိုးကားထားပြုထားတဲ့ ရင်းမြစ်တွေက [[ဝီကီပီးဒီးယား:QUESTIONABLE|ဆောင်းပါးရေးသူ/ဆောင်းပါးပါ အကြောင်းအရာရဲ့ လူမှုကွန်ယက်စာမျက်နှာ]]၊ [[En:WP:RSPYT|ယူကျု့ဘ်]] စာမျက်နှာတွေ ဖြစ်နေတဲ့အပြင် [[ဝီကီပီးဒီးယား:ခိုင်လုံသော ရင်းမြစ်များ|ယုံကြည်စိတ်ချရသော]]/[[ဝီကီပီးဒီးယား:ရင်းမြစ်များကို ကိုးကားခြင်း|ထင်ရှားကျော်ကြားသော မီဒီယာများ]] မဟုတ်သည့်အတွက် ဒီဆောင်းပါးကို မြန်မာဝီကီပေါ်မှာ ထိန်းသိမ်းထားနိုင်ဖို့ ခက်ခဲပါတယ်။ ဒါ့အပြင် [[ဝီကီပီးဒီးယား:ထင်ရှားအရေးပါမှု|လူပုဂ္ဂိုလ်ရဲ့ ထင်ရှားကျော်ကြားမှု]]သည်လည်း ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်နိုင်ဖို့ စံနှုန်းတစ်ခုအနေနဲ့ ထည့်သွင်းစဉ်းစားပါသေးတယ်။ ဝီကီမှာ ဆောင်းပါးအနေနဲ့ ရှိနိုင်ဖို့ ထင်ရှားကျော်ကြားမှုရှိဖို့ လိုပါတယ်။ ထင်ရှားကျော်ကြားတယ်ဆိုတဲ့အချက်ကို လွတ်လပ်တဲ့၊ အမှီအခိုကင်းတဲ့၊ ခိုင်လုံစိတ်ချရတဲ့ ရင်းမြစ်တွေက ဖော်ပြထားတာမျိုးတွေ ရှိဖို့ လိုအပ်ပါတယ်။ ဒီစံနှုန်းတွေနဲ့ ပြည့်မီကိုက်ညီမှသာလျှင် ဆောင်းပါးအနေနဲ့ ထားရှိနိုင်မှာပါ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:Montserrat;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၇:၁၁၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::::@[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] @[[အသုံးပြုသူ:Mayor mt|Mayor mt]] [[အသုံးပြုသူ:Kyaw Myo Aung|Kyaw Myo Aung]] ခင်ဗျားတို့တွေ ဘယ်လို အယ်ဒီတာတွေလဲ သတ္တိမရှိကြဘူးလား။ဆရာ ခင်မောင်မောင်လွင် မပါပါခင်ဗျာ.စည်းမျဥ်းနဲ့ အခုပြောနေဆွေးနွေးနေတာ။အဲ့စာမျက်နှာအပေါ်တောင် ခင်ဗျားတို့ မဆုံးဖြတ်ရဲတာ မှတ်တမ်းတင်ခံရမှာ မကြောက်ကြဘူးလား။ [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၇:၁၄၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) 96k3lodmnueq2x5ajs5mvr787komo6q 1060783 1060782 2026-10-30T17:41:24Z Zawzawaungthwin 100038 [[Special:Contributions/Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[User talk:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေးချက်]]) ၏ မူဟောင်း [[Special:Diff/1060767|1060767]] ကို ပြန်ပြင်လိုက်သည် 1060783 wikitext text/x-wiki == ဆောင်းပါးကိစ္စ == @[[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] မင်္ဂလာပါ၊ မိမိ၏ ကိုယ်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ သို့မဟုတ် မိမိနှင့် တိုက်ရိုက်ပတ်သက်နေသော ဆောင်းပါးများကို ကိုယ်တိုင် ဝင်ရောက် ရေးသားခြင်း နှင့် ပြင်ဆင်ခြင်းသည် ဝိကီပီးဒီးယား၏ အကျိုးစီးပွား ပဋိပက္ခ မူဝါဒနှင့် မညီညွတ်ပါ။ထို့အပြင် ဝီကီပီးဒီးယားပေါ်တွင် '''[[ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ]]'''ကို ရေးသားခြင်းသည် [[ဝီကီပီးဒီးယား:COI|ကိုယ်ကျိုးအတွက် တည်းဖြတ်ခြင်း ပဋိပက္ခ]]နမူနာ တစ်ခုဖြစ်ပြီး ယင်းကို ''ပြင်းထန်စွာ'' အားမပေးပါ။ ဒီမှာ ရှုပါ [[ဝီကီပီးဒီးယား:ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ|ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ]] ။ထို့အတွက်ကြောင့် စိတ်မကောင်းစွာဖြင့် ဤစာမျက်နှာသည် ပယ်ဖျက်ရမည် စာမျက်နှာဖြစ်ပါကြောင်း [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၀:၀၆၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) :ဒီဆောင်းပါးမှာက ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဖြစ်နေတာရယ်၊ ရေးသားထားတဲ့ ဆောင်းပါးထဲက အချက်အလက်တွေကို အတည်ပြုဖို့ ရင်းမြစ်ရှာဖို့ ခက်တာရယ်။ ဆရာမင်းဒင်အနေနဲ့ ယုံကြည်စိတ်ချရတဲ့ မီဒီယာ၊ သတင်းစာ စသဖြင့်မှာ မိမိရဲ့ ကိုယ်ရေးအချက်အလက်တွေ ပြောပြ၊ ဖော်ပြထားတာရှိရင် အဲ့ကနေ အကိုးအကား ယူလို့ ရတယ်။ တချို့စာရေးဆရာတွေကတော့ မိမိရေးတဲ့ စာအုပ်ရဲ့ အရှေ့ဆုံး သို့မဟုတ် ကျောဘက်မှာ ကိုယ်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဆိုတာမျိုး ထည့်တတ်ကြတယ်။ အဲ့လိုဆိုရင် အဲ့ကနေ အကိုးအကား ဖြစ်ပါတယ်လို့ ယူလို့ရမယ်ထင်တယ်။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၁၄၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::ဒီဆောင်းပါးကတော့ ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဖြစ်နေတဲ့အတွက်ကြောင့် ဖျက်ပစ်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၂၁၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::မင်းဒင်ဆိုတဲ့ ကလောင်အမည်ဟာ မင်းဒင်ရဲ့သက်ခိုင်၊ ဖြစ်ပျက်ရှာပုံတော်ခရီးသည်၊ သမုဒယစစ်မြေသလင်းကြေအပါအဝင် ပုံနှိပ်စာအုပ် ၁၄အုပ်အပြင် ပြည်တွင်းပြည်ပ မဂ္ဂဇင်း၊ ဂျာနယ်၊ သတင်းစာတွေမှာ နိုင်ငံရေး၊အတွေးအမြင် ၊သရော်စာပေါင်းမြောက်များစွာရေးသားပြီးသူမို့ ဝီကီအနေနဲ့ ဖျက်ပစ်သင့်တယ်ထင်ရင်လည်း ကျွန်တော်ဝမ်းမနည်းပါဘူး။ ဝီကီရဲ့စစ်ဆေးချက် အားနည်းတာကိုတော့ အကြီးအကျယ် အံ့ဩမိပါတယ်။ ကျေးဇူးပါ။ [[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:မင်းဒင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၂:၃၅၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) :::မြန်မာဝီကီရဲ့ စံနှုန်းတွေ ဖျက်လိုက်ကြတာပေါ့ဆရာ။ဆရာ ဟိုတစ်ရက်ထဲက မြန်မာဝီကီမှာ မင်းဒင် လို့ လာလုပ်ကတည်းက ကိုယ်တိုင်လာမရေးဖို့ တားဆီးခဲ့ပါတယ်။Facebook Messenger ကနေ ကြည့်ကို မကြည့်တာပါ။ဒီတော့ နာမည်ကြီးတာ မကြီးတာနဲ့ မဆိုငိပါဘူး။အခု စည်းမျဉ်းကို ပြောနေတာပါ။မဖျက်လဲ ဒါဟာ ကိုယ့်ဟာကိုယ်ရေးတာဆိုပြီး ပေါ်နေမှာဖြစ်ပါကြောင်း [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၃:၀၈၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::::@[[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] - ဝီကီပီးဒီးယားရဲ့ စံနှုန်းမူဝါဒတွေအရ [[ဝီကီပီးဒီးယား:ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ|ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ ဆောင်းပါး]]တွေ ရေးသားတာကို အားမပေးပါဘူး။ အဓိက အကြောင်းကတော့ ကိုယ့်အကြောင်းကိုယ် အမွှန်းတင်ရေးသားတာမျိုး၊ ဘက်လိုက်ဖော်ပြတာမျိုး ဖြစ်လာနိုင်တဲ့အတွက်ပါ။ ဒုတိယအနေနဲ့ ဒီဆောင်းပါးမှာ ကိုးကားထားပြုထားတဲ့ ရင်းမြစ်တွေက [[ဝီကီပီးဒီးယား:QUESTIONABLE|ဆောင်းပါးရေးသူ/ဆောင်းပါးပါ အကြောင်းအရာရဲ့ လူမှုကွန်ယက်စာမျက်နှာ]]၊ [[En:WP:RSPYT|ယူကျု့ဘ်]] စာမျက်နှာတွေ ဖြစ်နေတဲ့အပြင် [[ဝီကီပီးဒီးယား:ခိုင်လုံသော ရင်းမြစ်များ|ယုံကြည်စိတ်ချရသော]]/[[ဝီကီပီးဒီးယား:ရင်းမြစ်များကို ကိုးကားခြင်း|ထင်ရှားကျော်ကြားသော မီဒီယာများ]] မဟုတ်သည့်အတွက် ဒီဆောင်းပါးကို မြန်မာဝီကီပေါ်မှာ ထိန်းသိမ်းထားနိုင်ဖို့ ခက်ခဲပါတယ်။ ဒါ့အပြင် [[ဝီကီပီးဒီးယား:ထင်ရှားအရေးပါမှု|လူပုဂ္ဂိုလ်ရဲ့ ထင်ရှားကျော်ကြားမှု]]သည်လည်း ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်နိုင်ဖို့ စံနှုန်းတစ်ခုအနေနဲ့ ထည့်သွင်းစဉ်းစားပါသေးတယ်။ ဝီကီမှာ ဆောင်းပါးအနေနဲ့ ရှိနိုင်ဖို့ ထင်ရှားကျော်ကြားမှုရှိဖို့ လိုပါတယ်။ ထင်ရှားကျော်ကြားတယ်ဆိုတဲ့အချက်ကို လွတ်လပ်တဲ့၊ အမှီအခိုကင်းတဲ့၊ ခိုင်လုံစိတ်ချရတဲ့ ရင်းမြစ်တွေက ဖော်ပြထားတာမျိုးတွေ ရှိဖို့ လိုအပ်ပါတယ်။ ဒီစံနှုန်းတွေနဲ့ ပြည့်မီကိုက်ညီမှသာလျှင် ဆောင်းပါးအနေနဲ့ ထားရှိနိုင်မှာပါ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:Montserrat;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၇:၁၁၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) oiinclsuci0dixoitagfmmcao68o06h 1060784 1060783 2026-10-30T17:42:17Z Zawzawaungthwin 100038 ပယ်နုတ်ခြင်း 1060784 wikitext text/x-wiki :ဒီဆောင်းပါးမှာက ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဖြစ်နေတာရယ်၊ ရေးသားထားတဲ့ ဆောင်းပါးထဲက အချက်အလက်တွေကို အတည်ပြုဖို့ ရင်းမြစ်ရှာဖို့ ခက်တာရယ်။ ဆရာမင်းဒင်အနေနဲ့ ယုံကြည်စိတ်ချရတဲ့ မီဒီယာ၊ သတင်းစာ စသဖြင့်မှာ မိမိရဲ့ ကိုယ်ရေးအချက်အလက်တွေ ပြောပြ၊ ဖော်ပြထားတာရှိရင် အဲ့ကနေ အကိုးအကား ယူလို့ ရတယ်။ တချို့စာရေးဆရာတွေကတော့ မိမိရေးတဲ့ စာအုပ်ရဲ့ အရှေ့ဆုံး သို့မဟုတ် ကျောဘက်မှာ ကိုယ်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဆိုတာမျိုး ထည့်တတ်ကြတယ်။ အဲ့လိုဆိုရင် အဲ့ကနေ အကိုးအကား ဖြစ်ပါတယ်လို့ ယူလို့ရမယ်ထင်တယ်။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၁၄၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::ဒီဆောင်းပါးကတော့ ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဖြစ်နေတဲ့အတွက်ကြောင့် ဖျက်ပစ်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၂၁၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::မင်းဒင်ဆိုတဲ့ ကလောင်အမည်ဟာ မင်းဒင်ရဲ့သက်ခိုင်၊ ဖြစ်ပျက်ရှာပုံတော်ခရီးသည်၊ သမုဒယစစ်မြေသလင်းကြေအပါအဝင် ပုံနှိပ်စာအုပ် ၁၄အုပ်အပြင် ပြည်တွင်းပြည်ပ မဂ္ဂဇင်း၊ ဂျာနယ်၊ သတင်းစာတွေမှာ နိုင်ငံရေး၊အတွေးအမြင် ၊သရော်စာပေါင်းမြောက်များစွာရေးသားပြီးသူမို့ ဝီကီအနေနဲ့ ဖျက်ပစ်သင့်တယ်ထင်ရင်လည်း ကျွန်တော်ဝမ်းမနည်းပါဘူး။ ဝီကီရဲ့စစ်ဆေးချက် အားနည်းတာကိုတော့ အကြီးအကျယ် အံ့ဩမိပါတယ်။ ကျေးဇူးပါ။ [[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:မင်းဒင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၂:၃၅၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::::@[[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] - ဝီကီပီးဒီးယားရဲ့ စံနှုန်းမူဝါဒတွေအရ [[ဝီကီပီးဒီးယား:ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ|ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ ဆောင်းပါး]]တွေ ရေးသားတာကို အားမပေးပါဘူး။ အဓိက အကြောင်းကတော့ ကိုယ့်အကြောင်းကိုယ် အမွှန်းတင်ရေးသားတာမျိုး၊ ဘက်လိုက်ဖော်ပြတာမျိုး ဖြစ်လာနိုင်တဲ့အတွက်ပါ။ ဒုတိယအနေနဲ့ ဒီဆောင်းပါးမှာ ကိုးကားထားပြုထားတဲ့ ရင်းမြစ်တွေက [[ဝီကီပီးဒီးယား:QUESTIONABLE|ဆောင်းပါးရေးသူ/ဆောင်းပါးပါ အကြောင်းအရာရဲ့ လူမှုကွန်ယက်စာမျက်နှာ]]၊ [[En:WP:RSPYT|ယူကျု့ဘ်]] စာမျက်နှာတွေ ဖြစ်နေတဲ့အပြင် [[ဝီကီပီးဒီးယား:ခိုင်လုံသော ရင်းမြစ်များ|ယုံကြည်စိတ်ချရသော]]/[[ဝီကီပီးဒီးယား:ရင်းမြစ်များကို ကိုးကားခြင်း|ထင်ရှားကျော်ကြားသော မီဒီယာများ]] မဟုတ်သည့်အတွက် ဒီဆောင်းပါးကို မြန်မာဝီကီပေါ်မှာ ထိန်းသိမ်းထားနိုင်ဖို့ ခက်ခဲပါတယ်။ ဒါ့အပြင် [[ဝီကီပီးဒီးယား:ထင်ရှားအရေးပါမှု|လူပုဂ္ဂိုလ်ရဲ့ ထင်ရှားကျော်ကြားမှု]]သည်လည်း ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်နိုင်ဖို့ စံနှုန်းတစ်ခုအနေနဲ့ ထည့်သွင်းစဉ်းစားပါသေးတယ်။ ဝီကီမှာ ဆောင်းပါးအနေနဲ့ ရှိနိုင်ဖို့ ထင်ရှားကျော်ကြားမှုရှိဖို့ လိုပါတယ်။ ထင်ရှားကျော်ကြားတယ်ဆိုတဲ့အချက်ကို လွတ်လပ်တဲ့၊ အမှီအခိုကင်းတဲ့၊ ခိုင်လုံစိတ်ချရတဲ့ ရင်းမြစ်တွေက ဖော်ပြထားတာမျိုးတွေ ရှိဖို့ လိုအပ်ပါတယ်။ ဒီစံနှုန်းတွေနဲ့ ပြည့်မီကိုက်ညီမှသာလျှင် ဆောင်းပါးအနေနဲ့ ထားရှိနိုင်မှာပါ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:Montserrat;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၇:၁၁၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) 8fi072xjf59lt9eh77eyyri5sik5727 1060819 1060784 2026-10-31T04:47:51Z Mayor mt 1506 1060819 wikitext text/x-wiki :ဒီဆောင်းပါးမှာက ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဖြစ်နေတာရယ်၊ ရေးသားထားတဲ့ ဆောင်းပါးထဲက အချက်အလက်တွေကို အတည်ပြုဖို့ ရင်းမြစ်ရှာဖို့ ခက်တာရယ်။ ဆရာမင်းဒင်အနေနဲ့ ယုံကြည်စိတ်ချရတဲ့ မီဒီယာ၊ သတင်းစာ စသဖြင့်မှာ မိမိရဲ့ ကိုယ်ရေးအချက်အလက်တွေ ပြောပြ၊ ဖော်ပြထားတာရှိရင် အဲ့ကနေ အကိုးအကား ယူလို့ ရတယ်။ တချို့စာရေးဆရာတွေကတော့ မိမိရေးတဲ့ စာအုပ်ရဲ့ အရှေ့ဆုံး သို့မဟုတ် ကျောဘက်မှာ ကိုယ်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဆိုတာမျိုး ထည့်တတ်ကြတယ်။ အဲ့လိုဆိုရင် အဲ့ကနေ အကိုးအကား ဖြစ်ပါတယ်လို့ ယူလို့ရမယ်ထင်တယ်။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၁၄၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::ဒီဆောင်းပါးကတော့ ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဖြစ်နေတဲ့အတွက်ကြောင့် ဖျက်ပစ်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၂၁၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::မင်းဒင်ဆိုတဲ့ ကလောင်အမည်ဟာ မင်းဒင်ရဲ့သက်ခိုင်၊ ဖြစ်ပျက်ရှာပုံတော်ခရီးသည်၊ သမုဒယစစ်မြေသလင်းကြေအပါအဝင် ပုံနှိပ်စာအုပ် ၁၄အုပ်အပြင် ပြည်တွင်းပြည်ပ မဂ္ဂဇင်း၊ ဂျာနယ်၊ သတင်းစာတွေမှာ နိုင်ငံရေး၊အတွေးအမြင် ၊သရော်စာပေါင်းမြောက်များစွာရေးသားပြီးသူမို့ ဝီကီအနေနဲ့ ဖျက်ပစ်သင့်တယ်ထင်ရင်လည်း ကျွန်တော်ဝမ်းမနည်းပါဘူး။ ဝီကီရဲ့စစ်ဆေးချက် အားနည်းတာကိုတော့ အကြီးအကျယ် အံ့ဩမိပါတယ်။ ကျေးဇူးပါ။ [[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:မင်းဒင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၂:၃၅၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::::@[[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] - ဝီကီပီးဒီးယားရဲ့ စံနှုန်းမူဝါဒတွေအရ [[ဝီကီပီးဒီးယား:ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ|ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ ဆောင်းပါး]]တွေ ရေးသားတာကို အားမပေးပါဘူး။ အဓိက အကြောင်းကတော့ ကိုယ့်အကြောင်းကိုယ် အမွှန်းတင်ရေးသားတာမျိုး၊ ဘက်လိုက်ဖော်ပြတာမျိုး ဖြစ်လာနိုင်တဲ့အတွက်ပါ။ ဒုတိယအနေနဲ့ ဒီဆောင်းပါးမှာ ကိုးကားထားပြုထားတဲ့ ရင်းမြစ်တွေက [[ဝီကီပီးဒီးယား:QUESTIONABLE|ဆောင်းပါးရေးသူ/ဆောင်းပါးပါ အကြောင်းအရာရဲ့ လူမှုကွန်ယက်စာမျက်နှာ]]၊ [[En:WP:RSPYT|ယူကျု့ဘ်]] စာမျက်နှာတွေ ဖြစ်နေတဲ့အပြင် [[ဝီကီပီးဒီးယား:ခိုင်လုံသော ရင်းမြစ်များ|ယုံကြည်စိတ်ချရသော]]/[[ဝီကီပီးဒီးယား:ရင်းမြစ်များကို ကိုးကားခြင်း|ထင်ရှားကျော်ကြားသော မီဒီယာများ]] မဟုတ်သည့်အတွက် ဒီဆောင်းပါးကို မြန်မာဝီကီပေါ်မှာ ထိန်းသိမ်းထားနိုင်ဖို့ ခက်ခဲပါတယ်။ ဒါ့အပြင် [[ဝီကီပီးဒီးယား:ထင်ရှားအရေးပါမှု|လူပုဂ္ဂိုလ်ရဲ့ ထင်ရှားကျော်ကြားမှု]]သည်လည်း ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်နိုင်ဖို့ စံနှုန်းတစ်ခုအနေနဲ့ ထည့်သွင်းစဉ်းစားပါသေးတယ်။ ဝီကီမှာ ဆောင်းပါးအနေနဲ့ ရှိနိုင်ဖို့ ထင်ရှားကျော်ကြားမှုရှိဖို့ လိုပါတယ်။ ထင်ရှားကျော်ကြားတယ်ဆိုတဲ့အချက်ကို လွတ်လပ်တဲ့၊ အမှီအခိုကင်းတဲ့၊ ခိုင်လုံစိတ်ချရတဲ့ ရင်းမြစ်တွေက ဖော်ပြထားတာမျိုးတွေ ရှိဖို့ လိုအပ်ပါတယ်။ ဒီစံနှုန်းတွေနဲ့ ပြည့်မီကိုက်ညီမှသာလျှင် ဆောင်းပါးအနေနဲ့ ထားရှိနိုင်မှာပါ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:Montserrat;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၇:၁၁၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::::သွန်းနေစိုး ကျတော့ရော ကိုယ်တိုင်ရေးထားတာပဲ၊ အကောင့်က DatthaKyawswar နဲ့ --[[အသုံးပြုသူ:Mayor mt|Mayor mt]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Mayor mt|ဆွေးနွေး]]) ၀၄:၄၇၊ ၃၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) cpn5ymdiizql330je6x0mw4prt2qoyc 1060820 1060819 2026-10-31T05:04:25Z Mayor mt 1506 1060820 wikitext text/x-wiki :ဒီဆောင်းပါးမှာက ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဖြစ်နေတာရယ်၊ ရေးသားထားတဲ့ ဆောင်းပါးထဲက အချက်အလက်တွေကို အတည်ပြုဖို့ ရင်းမြစ်ရှာဖို့ ခက်တာရယ်။ ဆရာမင်းဒင်အနေနဲ့ ယုံကြည်စိတ်ချရတဲ့ မီဒီယာ၊ သတင်းစာ စသဖြင့်မှာ မိမိရဲ့ ကိုယ်ရေးအချက်အလက်တွေ ပြောပြ၊ ဖော်ပြထားတာရှိရင် အဲ့ကနေ အကိုးအကား ယူလို့ ရတယ်။ တချို့စာရေးဆရာတွေကတော့ မိမိရေးတဲ့ စာအုပ်ရဲ့ အရှေ့ဆုံး သို့မဟုတ် ကျောဘက်မှာ ကိုယ်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဆိုတာမျိုး ထည့်တတ်ကြတယ်။ အဲ့လိုဆိုရင် အဲ့ကနေ အကိုးအကား ဖြစ်ပါတယ်လို့ ယူလို့ရမယ်ထင်တယ်။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၁၄၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::ဒီဆောင်းပါးကတော့ ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိဖြစ်နေတဲ့အတွက်ကြောင့် ဖျက်ပစ်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၂၁၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::မင်းဒင်ဆိုတဲ့ ကလောင်အမည်ဟာ မင်းဒင်ရဲ့သက်ခိုင်၊ ဖြစ်ပျက်ရှာပုံတော်ခရီးသည်၊ သမုဒယစစ်မြေသလင်းကြေအပါအဝင် ပုံနှိပ်စာအုပ် ၁၄အုပ်အပြင် ပြည်တွင်းပြည်ပ မဂ္ဂဇင်း၊ ဂျာနယ်၊ သတင်းစာတွေမှာ နိုင်ငံရေး၊အတွေးအမြင် ၊သရော်စာပေါင်းမြောက်များစွာရေးသားပြီးသူမို့ ဝီကီအနေနဲ့ ဖျက်ပစ်သင့်တယ်ထင်ရင်လည်း ကျွန်တော်ဝမ်းမနည်းပါဘူး။ ဝီကီရဲ့စစ်ဆေးချက် အားနည်းတာကိုတော့ အကြီးအကျယ် အံ့ဩမိပါတယ်။ ကျေးဇူးပါ။ [[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:မင်းဒင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၂:၃၅၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::::@[[အသုံးပြုသူ:မင်းဒင်|မင်းဒင်]] - ဝီကီပီးဒီးယားရဲ့ စံနှုန်းမူဝါဒတွေအရ [[ဝီကီပီးဒီးယား:ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ|ကိုယ်တိုင်ရေးအတ္ထုပ္ပတ္တိ ဆောင်းပါး]]တွေ ရေးသားတာကို အားမပေးပါဘူး။ အဓိက အကြောင်းကတော့ ကိုယ့်အကြောင်းကိုယ် အမွှန်းတင်ရေးသားတာမျိုး၊ ဘက်လိုက်ဖော်ပြတာမျိုး ဖြစ်လာနိုင်တဲ့အတွက်ပါ။ ဒုတိယအနေနဲ့ ဒီဆောင်းပါးမှာ ကိုးကားထားပြုထားတဲ့ ရင်းမြစ်တွေက [[ဝီကီပီးဒီးယား:QUESTIONABLE|ဆောင်းပါးရေးသူ/ဆောင်းပါးပါ အကြောင်းအရာရဲ့ လူမှုကွန်ယက်စာမျက်နှာ]]၊ [[En:WP:RSPYT|ယူကျု့ဘ်]] စာမျက်နှာတွေ ဖြစ်နေတဲ့အပြင် [[ဝီကီပီးဒီးယား:ခိုင်လုံသော ရင်းမြစ်များ|ယုံကြည်စိတ်ချရသော]]/[[ဝီကီပီးဒီးယား:ရင်းမြစ်များကို ကိုးကားခြင်း|ထင်ရှားကျော်ကြားသော မီဒီယာများ]] မဟုတ်သည့်အတွက် ဒီဆောင်းပါးကို မြန်မာဝီကီပေါ်မှာ ထိန်းသိမ်းထားနိုင်ဖို့ ခက်ခဲပါတယ်။ ဒါ့အပြင် [[ဝီကီပီးဒီးယား:ထင်ရှားအရေးပါမှု|လူပုဂ္ဂိုလ်ရဲ့ ထင်ရှားကျော်ကြားမှု]]သည်လည်း ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်နိုင်ဖို့ စံနှုန်းတစ်ခုအနေနဲ့ ထည့်သွင်းစဉ်းစားပါသေးတယ်။ ဝီကီမှာ ဆောင်းပါးအနေနဲ့ ရှိနိုင်ဖို့ ထင်ရှားကျော်ကြားမှုရှိဖို့ လိုပါတယ်။ ထင်ရှားကျော်ကြားတယ်ဆိုတဲ့အချက်ကို လွတ်လပ်တဲ့၊ အမှီအခိုကင်းတဲ့၊ ခိုင်လုံစိတ်ချရတဲ့ ရင်းမြစ်တွေက ဖော်ပြထားတာမျိုးတွေ ရှိဖို့ လိုအပ်ပါတယ်။ ဒီစံနှုန်းတွေနဲ့ ပြည့်မီကိုက်ညီမှသာလျှင် ဆောင်းပါးအနေနဲ့ ထားရှိနိုင်မှာပါ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:Montserrat;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၇:၁၁၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::::သွန်းနေစိုး ကျတော့ရော ကိုယ်တိုင်ရေးထားတာပဲ၊ အကောင့်က DatthaKyawswar နဲ့ --[[အသုံးပြုသူ:Mayor mt|Mayor mt]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Mayor mt|ဆွေးနွေး]]) ၀၄:၄၇၊ ၃၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) ::::ကျွန်တော် သဘောအရတော့ သက်ရှိ ကိုယ်တိုင်ရေးတာက အချက်အလက် Data အမှန်ရတာပေါ့။ ပြီးမှ ကျွန်တော်တို့က ပြန်ပြင်ကြတာ ကောင်းမလား။--[[အသုံးပြုသူ:Mayor mt|Mayor mt]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Mayor mt|ဆွေးနွေး]]) ၀၅:၀၄၊ ၃၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) dgy4ammmha9ostebc22y6vvoaupxivz 0 293556 1060736 2026-10-30T12:17:31Z ~2026-57720-01 150181 "'''ဘတ်စ်ကား''' ({{lang-en|bus}}) သည် ခရီးသည်အမြောက်အမြား သယ်ဆောင်ရန် ဒီဇိုင်းထုတ်ထားသော လမ်းသုံးယာဉ်တစ်စီးဖြစ်သည်။ ဘတ်စ်ကားများသည် ခရီ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1060736 wikitext text/x-wiki '''ဘတ်စ်ကား''' ({{lang-en|bus}}) သည် ခရီးသည်အမြောက်အမြား သယ်ဆောင်ရန် ဒီဇိုင်းထုတ်ထားသော လမ်းသုံးယာဉ်တစ်စီးဖြစ်သည်။ ဘတ်စ်ကားများသည် ခရီးသည် ၃၀၀ အထိ သယ်ဆောင်နိုင်သည်။ အသုံးအများဆုံး အမျိုးအစားများမှာ တစ်ထပ်ဘတ်စ်ကားများဖြစ်ပြီး နှစ်ထပ်ဘတ်စ်ကားများလည်း ရရှိနိုင်ပါသည်။ အခြားအမျိုးအစားများတွင် အဆစ်ပါ ဘတ်စ်ကားများနှင့် အထပ်နိမ့်ဘတ်စ်ကားများ ပါဝင်သည်။ [[ကဏ္ဍ:ယာဉ်]] 2uye00jd292r1t9k1umxpq6l4pb8jm6 1060737 1060736 2026-10-30T12:18:15Z ~2026-57720-01 150181 1060737 wikitext text/x-wiki '''ဘတ်စ်ကား''' ({{lang-fr|voitures d'omnibus}}, {{lang-en|bus}}) သည် ခရီးသည်အမြောက်အမြား သယ်ဆောင်ရန် ဒီဇိုင်းထုတ်ထားသော လမ်းသုံးယာဉ်တစ်စီးဖြစ်သည်။ ဘတ်စ်ကားများသည် ခရီးသည် ၃၀၀ အထိ သယ်ဆောင်နိုင်သည်။ အသုံးအများဆုံး အမျိုးအစားများမှာ တစ်ထပ်ဘတ်စ်ကားများဖြစ်ပြီး နှစ်ထပ်ဘတ်စ်ကားများလည်း ရရှိနိုင်ပါသည်။ အခြားအမျိုးအစားများတွင် အဆစ်ပါ ဘတ်စ်ကားများနှင့် အထပ်နိမ့်ဘတ်စ်ကားများ ပါဝင်သည်။ [[ကဏ္ဍ:ယာဉ်]] eukhq3vt4ujmwymdgr9sq2rywqjq1sq 1060738 1060737 2026-10-30T12:19:02Z ~2026-57720-01 150181 1060738 wikitext text/x-wiki [[ဖိုင်:Sükhbaatar Square Parking Lot.jpg|thumb|ဘတ်စ်ကား]] '''ဘတ်စ်ကား''' ({{lang-fr|voitures d'omnibus}}, {{lang-en|bus}}) သည် ခရီးသည်အမြောက်အမြား သယ်ဆောင်ရန် ဒီဇိုင်းထုတ်ထားသော လမ်းသုံးယာဉ်တစ်စီးဖြစ်သည်။ ဘတ်စ်ကားများသည် ခရီးသည် ၃၀၀ အထိ သယ်ဆောင်နိုင်သည်။ အသုံးအများဆုံး အမျိုးအစားများမှာ တစ်ထပ်ဘတ်စ်ကားများဖြစ်ပြီး နှစ်ထပ်ဘတ်စ်ကားများလည်း ရရှိနိုင်ပါသည်။ အခြားအမျိုးအစားများတွင် အဆစ်ပါ ဘတ်စ်ကားများနှင့် အထပ်နိမ့်ဘတ်စ်ကားများ ပါဝင်သည်။ [[ကဏ္ဍ:ယာဉ်]] t4s7u99ziyq94xfp6m8m3rc3gnuu8us 1060739 1060738 2026-10-30T12:19:38Z ~2026-57720-01 150181 1060739 wikitext text/x-wiki [[ဖိုင်:Sükhbaatar Square Parking Lot.jpg|thumb|ဘတ်စ်ကား]] '''ဘတ်စ်ကား''' ({{lang-en|bus}}) သည် ခရီးသည်အမြောက်အမြား သယ်ဆောင်ရန် ဒီဇိုင်းထုတ်ထားသော လမ်းသုံးယာဉ်တစ်စီးဖြစ်သည်။ ဘတ်စ်ကားများသည် ခရီးသည် ၃၀၀ အထိ သယ်ဆောင်နိုင်သည်။ အသုံးအများဆုံး အမျိုးအစားများမှာ တစ်ထပ်ဘတ်စ်ကားများဖြစ်ပြီး နှစ်ထပ်ဘတ်စ်ကားများလည်း ရရှိနိုင်ပါသည်။ အခြားအမျိုးအစားများတွင် အဆစ်ပါ ဘတ်စ်ကားများနှင့် အထပ်နိမ့်ဘတ်စ်ကားများ ပါဝင်သည်။ [[ကဏ္ဍ:ယာဉ်]] 669wd3yth6eoph5npydw3g6ct9bvk59 0 293557 1060740 2026-10-30T12:29:02Z ~2026-57720-01 150181 "[[ဖိုင်:Maikel Melero - Exhibición Freestyle GP Camión de España 2013 - 01.jpg|thumb|မော်တော်ဆိုင်ကယ်]] '''မော်တော်ဆိုင်ကယ်''' ({{lang-en|motorcycle, motorbike, bike}}) ဆိုသည်မှာ ဘီးနှစ်ဘီး သို့မဟုတ် သုံ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1060740 wikitext text/x-wiki [[ဖိုင်:Maikel Melero - Exhibición Freestyle GP Camión de España 2013 - 01.jpg|thumb|မော်တော်ဆိုင်ကယ်]] '''မော်တော်ဆိုင်ကယ်''' ({{lang-en|motorcycle, motorbike, bike}}) ဆိုသည်မှာ ဘီးနှစ်ဘီး သို့မဟုတ် သုံးဘီးပါ မော်တော်ယာဉ်တစ်စီးဖြစ်ပြီး ထိုင်ခုံပုံစံဖြင့် လက်ကိုင်ဘားဖြင့် မောင်းနှင်ရသည်။ [[ကဏ္ဍ:ယာဉ်]] 1s5wnesvbsn17s8bbpjcjzmvriipgeb 3 293558 1060747 2026-10-30T13:02:04Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1060747 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-57720-01 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၃:၀၂၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) n9gb8wd0uxjdea7cyxwj5uojnkongd1 1 293559 1060750 2026-10-30T13:33:11Z ~2026-57827-94 150184 /* ပညာရေး */ အပိုင်းသစ် 1060750 wikitext text/x-wiki == ပညာရေး == ဒေသ မတည်ငြိမ်မှုကြောင့် စာသင်ကျောင်းများ ပိတ်ထားတာ ၅နှစ်ခန့်ရှိပါပြီ ယခု ဒေသတည်ငြိမ်နေသော်လဲ စာသင်ကျောင်းပြန်ပြီး မဖွင့်ပေးနိုင်တာ ဘာကြောင့်ပါလဲ [[အထူး:ဆောင်ရွက်ချက်များ/~2026-57827-94|~2026-57827-94]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:~2026-57827-94|talk]]) ၁၃:၃၃၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) q5at2we0wity2ukh31uuvyk3ow1fc1r 3 293560 1060754 2026-10-30T14:02:12Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1060754 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-57827-94 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၄:၀၂၊ ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) duo5f9wd8d5yjfxkv8qfrugqeadbygq 0 293561 1060771 2026-10-30T17:17:31Z Ninjastrikers 22896 [[:en:User:Qwertyytrewqqwerty/DisamAssist|DisamAssist]] အသုံးပြု၍ [[အောင်ဇမ္ဗူ]] သို့ ပြန်ညွှန်းဖန်တီးနေသည်။ 1060771 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[အောင်ဇမ္ဗူ]] {{R to disambiguation page}} fjr2ggy4m9iolwrwntn6a7sledg29lm 0 293562 1060812 2026-10-31T01:44:41Z Tejinda 87174 "{{ဗုဒ္ဓဘာသာ}} '''မနောမယိဒ္ဓိ''' (ပါဠိ: *Manomayiddhi*) ဆိုသည်မှာ စိတ်၏ တန်ခိုးစွမ်းအားဖြင့် မိမိ၏ ပကတိခန္ဓာကိုယ်အတွင်းမှ အခြားကိုယ်ပွားတစ်..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1060812 wikitext text/x-wiki {{ဗုဒ္ဓဘာသာ}} '''မနောမယိဒ္ဓိ''' (ပါဠိ: *Manomayiddhi*) ဆိုသည်မှာ စိတ်၏ တန်ခိုးစွမ်းအားဖြင့် မိမိ၏ ပကတိခန္ဓာကိုယ်အတွင်းမှ အခြားကိုယ်ပွားတစ်ခုကို ဖန်ဆင်းနိုင်သည့် [[အဘိညာဉ်]]တန်ခိုးတစ်မျိုး ဖြစ်ပါသည်။ ပါဠိဘာသာအားဖြင့် “မနသာ နိဗ္ဗတ္တာ မနောမယာ၊ မနောမယာ စ သာ ဣဒ္ဓိ စာတိ မနောမယိဒ္ဓိ” ဟု ဖွင့်ဆိုထားပြီး၊ '''“စိတ်ကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာသော တန်ခိုး”''' ဟု အဓိပ္ပာယ်ရပါသည်။ <ref>ဝိသုဒ္ဓိ၊၂၊၃၅။ ပဋိသံ၊ဋ္ဌ၊၂၊၂၇၈။ တတြ ဟိ ဝိပဿနာဉာဏေန မနောမယိဒ္ဓိယာ စ သဟ ဆ အဘိညာ ပရိဂ္ဂဟေတွာ အဋ္ဌ ဝိဇ္ဇာ ဝုတ္တာ။ ဝိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၈။ (-မ၊ဋ္ဌ၊၃၊၁၈၁။ ပဋိသံ၊ဋ္ဌ၊၂၊၂၇၈။ မ၊ဋီ၊၃၊၁၂၆။ ) မနောမယိဒ္ဓိယာတိ ဧတ္ထ ‘‘ဣဓ ဘိက္ခု ဣမမှာ ကာယာ အညံ ကာယံ အဘိနိမ္မိနာတီ’’တိ ဝုတ္တတ္တာ သရီရဗ္ဘန္တရဈာနမနေန အညဿ သရီရဿ နိဗ္ဗတ္တိဝသေန ပဝတ္တာ မနောမယိဒ္ဓိ နာမ။ ဝိမတိ၊၁၊၅၀။ (-သာရတ္ထ၊၁၊၂၃၅။ )</ref> ===မနောမယိဒ္ဓိ ဖြစ်ပေါ်လာပုံ အဆင့်ဆင့်=== ဤတန်ခိုးကို ထူထောင်ရာတွင် ကျင့်စဉ်အဆင့်ဆင့်ကို အောက်ပါအတိုင်း လုပ်ဆောင်ရသည်— # '''ပါဒက[[ဈာန်]] ဝင်စားခြင်း:''' ရှေးဦးစွာ တန်ခိုးရှင်သည် [[အာကာသကသိုဏ်း]]လျှင် [[အာရုံ]]ရှိသော ပါဒကဈာန် (ဈာန်ကို အခြေခံပေးသော ဈာန်) ကို ဝင်စားရသည်။ # '''ကိုယ်ကို အခေါင်းပြုခြင်း:''' ထိုဈာန်မှ ထပြီးနောက် မိမိ၏ ခန္ဓာကိုယ်ကို စိတ်ဖြင့် *“အယံ ကာယော သုသိရော ဟောတု - ဤခန္ဓာကိုယ်သည် အခေါင်းဖြစ်စေသတည်း”* ဟု ပရိကံပြု၍ [[အဓိဋ္ဌာန်]]ရသည်။ # '''ကိုယ်ခေါင်းအတွင်း ခန္ဓာကိုယ်ပွား ဖန်ဆင်းခြင်း:''' ထိုသို့ ခန္ဓာကိုယ် အခေါင်းဖြစ်လာသည့်အခါ တန်ခိုးရှင်၏ ခန္ဓာကိုယ်အတွင်း၌ [[ပထဝီကသိုဏ်း]]၏ အစွမ်းဖြင့် တစ်ပါးသော ခန္ဓာကိုယ်ကို ဆင်ခြင်၍ ပရိကံပြုကာ *“ထိုကိုယ်ခေါင်းအတွင်း၌ အခြားကိုယ်တမျိုး ဖြစ်စေသား”* ဟု ခန္ဓာကိုယ်ပွား တစ်ခုဖြစ်အောင် ထပ်မံ အဓိဋ္ဌာန်ရသည်။ # '''ပြီးမြောက်ပုံနှင့် ပြသခြင်း:''' ဤသို့ ပရိကံနှင့် အဘိညာဉ်တို့ နှစ်ထပ်ဖြစ်အောင် ဖန်ဆင်းခြင်းဖြင့် မနောမယိဒ္ဓိကာယ (စိတ်တန်ခိုးဖြင့် ပြီးသော ကိုယ်) ပြီးစီးလေသည်။ ထို့နောက် ဖန်ဆင်းထားသည့် ထိုခန္ဓာကိုယ်ကို ပါးစပ်မှ ထုတ်၍ သူတစ်ပါးတို့အား ပြသနိုင်စွမ်းရှိသည်။ ဤသို့ ဖန်ဆင်းနိုင်သော ဉာဏ်ကို '''“မနောမယိဒ္ဓိဉာဏ”''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။<ref>ကမ္မဋ္ဌာန်း ဘာသာဋီကာ</ref> ===မနောမယိဒ္ဓိဉာဏ်၏ စွမ်းအား (၅) ပါး=== [[ဒီဃနိကာယ်]] ကျမ်းဂန်များအရ မနောမယိဒ္ဓိဉာဏ်တွင် အောက်ပါစွမ်းအား ၅ ပါး ပါဝင်သည်— # မိမိကိုယ်မှ တစ်ပါးသော ကိုယ်ကို ဖန်ဆင်းနိုင်ခြင်း၊ # ထိုဖန်ဆင်းသော ကိုယ်သည် [[ရုပ်]]ရှိခြင်း၊ # စိတ်ဖြင့် ပြီးမြောက်ခြင်း၊ # အင်္ဂါကြီးငယ် အပြည့်အစုံ ရှိခြင်း၊ # [[ဣန္ဒြေ]] မချို့တဲ့သော ကိုယ်ဖြစ်ခြင်း။<ref>(ဒီ၊၁၊၇၃။) (ဒီ၊မြန်၊၁။၈၆။)</ref> ===အခြားတန်ခိုးများနှင့် ကွာခြားချက်=== ကျမ်းဂန်လာ ဣဒ္ဓိ (တန်ခိုး) (၁၀) မျိုးအနက် '''မနောမယိဒ္ဓိ''' သည် အခြားတန်ခိုးများနှင့် အောက်ပါအတိုင်း ကွာခြားမှု ရှိပါသည်— * '''ဝိကုဗ္ဗနိဒ္ဓိ:''' မိမိခန္ဓာကိုယ်ကို ဖျောက်၍ ပုံသဏ္ဌာန် အမျိုးမျိုး ဆောင်ပြခြင်း ဖြစ်သည်။ * '''မနောမယိဒ္ဓိ:''' မိမိကိုယ်ကို မဖျောက်ဘဲ ပကတိခန္ဓာကိုယ်အတွင်း၌ အလားတူ ကိုယ်တစ်မျိုးကို ထပ်မံဖြစ်စေခြင်း ဖြစ်သည်။ * *(ဥပမာအားဖြင့် - သန်လျက်အိမ်အတွင်း၌ အိမ်နှင့် ပုံသဏ္ဌာန်တူသော သန်လျက် ရှိသကဲ့သို့၎င်း၊ မြွေရေလဲနှင့် မြွေအကောင်သည် တထပ်တည်း တူသကဲ့သို့၎င်း၊ ပကတိခန္ဓာကိုယ်အတွင်း၌ အလားတူ ကိုယ်တစ်မျိုးကို ဖန်ဆင်းနိုင်ခြင်း ဖြစ်သည်။)* * ကျန်ရှိသော တန်ခိုးများကိုမူ အဓိဋ္ဌာနိဒ္ဓိ အစရှိသည်ဖြင့် ခွဲခြားထားသည်။ ===ဝိဇ္ဇာ (၈) ပါးတွင် ပါဝင်ခြင်း=== မနောမယိဒ္ဓိဉာဏ်သည် [[ဗုဒ္ဓဘာသာ]]ကျမ်းဂန်များတွင် ဖော်ပြထားသော '''[[ဝိဇ္ဇာ]] ၈ ပါး''' တွင် တစ်ပါးအပါအဝင် ဖြစ်ပေသည်— # [[ဝိပဿနာဉာဏ်]] # '''မနောမယိဒ္ဓိဉာဏ်''' (စိတ်ဖြင့်ပြီးသော တန်ခိုးဉာဏ်) # ဣဒ္ဓိဝိဓဉာဏ် (တန်ခိုးအမျိုးမျိုး၌ ဖြစ်သော ဉာဏ်) # ဒိဗ္ဗသောတဉာဏ် (နတ်၏ပသာဒသောတနှင့် တူသော အဘိညာဏ်) # ပရစိတ္တဝိဇာနနဉာဏ် / [[စေတောပရိယဉာဏ်]] (သတ္တဝါတို့၏ စိတ်အကြံကို သိသော ဉာဏ်) # [[ပုဗ္ဗေနိဝါသာနုဿတိဉာဏ်]] (ရှေး၌ဖြစ်ဖူးသော ခန္ဓာအစဉ်ကို အောက်မေ့နိုင်သော ဉာဏ်) # ဒိဗ္ဗစက္ခုဉာဏ် (နတ်မျက်စိနှင့် တူသော ဉာဏ်အမြင်) # [[အာသဝက္ခယဉာဏ်]] (အာသဝေါကုန်ရာ အရဟတ္တ[[မဂ်]]၌ ဖြစ်သော ဉာဏ်)<ref>(ဝိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၈၈။) (အံ၊ဋ္ဌ၊၁၊၄၁၀။) (ဝိသုဒ္ဓိ၊၁၊၁၉၆။) (သာရတ္ထ၊ဋီ၊၁၊၁၈။)</ref> ===ရဟန်းပြုရခြင်း၏ မျက်မှောက်ဘဝ ရကျိုး (၁၄) မျိုး=== ဒီဃနိကာယ် သာမညဖလသုတ် ဒေသနာတော်အရ [[ရဟန်း]]ပြုရခြင်းကြောင့် ရရှိနိုင်သော မျက်မှောက်ဘဝ အကျိုး[[တရား]] (၁၄) မျိုးတွင် မနောမယိဒ္ဓိဉာဏ် ရရှိခြင်းသည် '''အဋ္ဌမမြောက် (၈)''' အကျိုးတရားအဖြစ် ပါရှိပါသည်။<ref>(ဒီ၊၁၊၅၆။) (ဒီ၊မြန်၊၁။၆၇။)</ref> ===ပြင်ပလင့်များ=== * [https://my.wikisource.org/wiki/ကမ္မဋ္ဌာန်း_ဘာသာဋီကာ#မနောမယိဒ္ဓိ ကမ္မဋ္ဌာန်း ဘာသာဋီကာ] * [https://my.wikisource.org/wiki/ပရမတ္ထသရူပဘေဒနီကျမ်း-ဒုတွဲ-ဒု#မနောမယိဒ္ဓိ ပရမတ္ထသရူပဘေဒနီကျမ်း-ဒုတွဲ-ဒု] * [https://my.wikisource.org/wiki/သီလက္ခန်_ပါဠိတော်#မနောမယိဒ္ဓိဉာဏ် သီလက္ခန် ပါဠိတော်] * [https://my.wikisource.org/wiki/သီလက္ခန်_ပါဠိတော်#မနောမယိဒ္ဓိဉာဏ်_(၂) သီလက္ခန် ပါဠိတော်] * [https://my.wikisource.org/wiki/ပိဋကတ်သုံးပုံ_သရုပ်စုံအဘိဓာန်-ပဖဗဘမ#မနောမယိဒ္ဓိဉာဏ်_စွမ်းအား_၅_ပါး ပိဋကတ်သုံးပုံ သရုပ်စုံအဘိဓာန်] * [https://my.wikisource.org/wiki/ပရမတ္ထသရူပဘေဒနီကျမ်း-ဒုတွဲ#ဝိကုဗ္ဗနိဒ္ဓိ_မနောမယိဒ္ဓိ_၂-ပါး_ထူးခြားချက် ပရမတ္ထသရူပဘေဒနီကျမ်း-ဒုတွဲ] === ကိုးကား === {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဗုဒ္ဓဘာသာ ဝေါဟာရများ]] [[ကဏ္ဍ:ပါဠိဝေါဟာရများ]] i8mcrjlru5rgnwt1ie5w61isiqkvpbs 3 293563 1060814 2026-10-31T04:04:00Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1060814 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-58094-35 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၄:၀၄၊ ၃၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) eq1mou1kdjrhxsj3qm6miblturlymmh 1 293564 1060822 2026-10-31T06:41:04Z ~2026-55501-01 149554 /* စားလုံးပေါင်း ပြင်ဆင်ရန် */ အပိုင်းသစ် 1060822 wikitext text/x-wiki == စားလုံးပေါင်း ပြင်ဆင်ရန် == သက်တံမှော်ဟုသာ ဖြစ်သင့်ပါသည်။ [[အထူး:ဆောင်ရွက်ချက်များ/~2026-55501-01|~2026-55501-01]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:~2026-55501-01|talk]]) ၀၆:၄၁၊ ၃၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) 01eev51yoqlwy8yy840xlo8prja2mgq 3 293565 1060834 2026-10-31T10:04:44Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1060834 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-57887-46 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၀:၀၄၊ ၃၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) bqwz4i3s6rq5a4kfey2dxeo89cxyj8p 3 293566 1060836 2026-10-31T11:04:53Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1060836 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-57940-60 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၀၄၊ ၃၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) p9tekia706sy73t63fr14bshy0s8oc8